Текст
В. Н. ОРАЕВСКИЙ
ПЛАЗМА НА ЗЕМЛЕ И В КОСМОСЕ
(Издание дополненное и переработанное)
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1980
О природных явлениях, связанных с плазмой — наиболее распространенным в космосе состоянием вещества, об использовании ныне и в будущем плазмы, созданной искусственно, рассказывается в книге. Автор знакомит читателей с проблемами управляемых термоядерных реакций, с прикладными вопросами магнитной гидро- и газодинамики, повествует о происхождении и структуре магнитного поля Земли, о магнитных бурях и полярных сияниях, о звездах — молодых, старых и умирающих, приводит новые данные о космических источниках радио- и инфракрасного излучения, таких как радиогалактнки, квазары и пульсары.
Адресована широкому кругу читателей.
Ответственный редактор
п. м. ТОМЧУК
Редакция научно-популярной литературы
20409-483
о --------------583-80. 1704070000
М221(О4)-8О
© Издательство «Наукова думка», 1980
ОТ АВТОРА
Перед знакомством с книгой часто возникает желание представить себе логическую связь глав, чтобы понять, как читать данную книгу. Конечно, этому способствует оглавление. Поэтому в первую очередь автор дал главам и параграфам названия не короткие, а достаточно широко раскрывающие их содержание. Все же для полного представления о книге этого, как нам кажется, недостаточно. Поэтому дополнительно скажем несколько слов. Автор стремился, чтобы каждая глава была законченным целым и их можно было бы читать практически независимо друг от друга. В тех местах, где связь есть, даны соответствующие указания. Для более полного понимания сути вопроса, отраженного в названии книги, не следует исключать из чтения отдельные главы. При этом к математическим выкладкам, которые, естественно, воспринимаются труднее описательного текста, можно применить подход врачей к фармакологии: обычно врачи не вникают в то, как готовится лекарство, — они лишь знают результаты его действия. Так и здесь: из второй главы, посвященной основным закономерностям в поведении плазмы, читатель, которому трудно даются математические выкладки, может использовать лишь основные выводы. Чтобы помочь их выбрать, части параграфов, относящиеся к математическим выкладкам, напечатаны петитом. Хотя для понимания математических вычислений, приводимых в книге, не нужно знать высшей математики, их усвоение требует весьма внимательного чтения.
Физика плазмы является относительно молодым разделом физики. Естественно, что в такой науке факты и явления накапливаются достаточно быстро. Поэтому за время, прошедшее с момента выхода первого издания книги (1974 г.), собрался определенный материал по фундаментальным и прикладным вопросам физики плазмы. Это заставило автора переработать и несколько дополнить отдельные разделы книги. Наибольшим изменениям подверглись разделы, связанные с плазменными явлениями в космосе. И это неудивительно, так как наступил период не только пассивных, но и активных систематических исследований в космосе.
3
Автор выражает глубокую благодарность академику Р. 3. Сагдееву за обсуждение общей структуры книги, академику АН УССР Л. И. Ахиезеру и доктору физико-математических наук П. М. Том-чуку, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд полезных замечаний, кандидату физико-математических наук Е. В. Мишину и С. М. Ревенчуку за помощь, оказанную при оформлении рукописи.
ГЛАВА I
ПЛАЗМА — ЧЕТВЕРТОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
§ 1.1. Плазма — газ положительно и отрицательно заряженных частиц. Характерные свойства газов.
В каких случаях есть сходство между явлениями в газах и жидкостях. Почему плазма — четвертое состояние вещества
Частично или полностью ионизованный газ обычно называют плазмой. Это означает, что плазма состоит из положительно и отрицательно заряженных частиц, которые могут находиться среди нейтральных частиц. Свойства плазмы определяются заряженными частицами. Нейтральные частицы, которые присутствуют в не полностью ионизованном газе, образуют примесь вещества, находящегося в третьем состоянии.
Употребляемое нами понятие «газ» нуждается в разъяснении. Физическую систему, состоящую из большого числа сходных объектов, принято называть газом в том случае, когда взаимодействие между этими объектами является слабым. Более точно это означает, что энергия взаимодействия объектов — будем называть их в дальнейшем частицами — мала по сравнению с кинетической энергией самих частиц1. Тогда все движение частиц можно разделить (иногда условно) на свободное движение и столкновения. Основное время частицы газа движутся равномерно и прямолинейно, и лишь в течение кратких мгновений происходят их столкновения. 1
1 Не следует смешивать понятие «газ» и понятие «вещество в газообразном состоянии». Из дальнейшего станет ясной разница между ними. А сейчас заметим, что вещество в газообразном состоянии представляет собой газ нейтральных атомов или молекул. Существуют и Другие газовые системы (в соответствии с приведенным определением). Например, газ элементарных магнетиков, газ диполей в твердом теле и, наконец, рассматриваемый нами газ заряженных частиц.
5
При столкновениях частицы обмениваются между собой энергией и импульсом. Поэтому весь изломанный (из-за столкновений) путь хаотически движущейся в газе частицы делится на отдельные прямолинейные участки — так называемые длины свободного пробега. Важными характеристиками газа являются средняя длина свободного пробега частиц и соответствующее ей среднее время между двумя последовательными столкновениями.
Обратимся к явлениям, происходящим на длинах, намного превышающих среднюю длину свободного пробега. Нетрудно представить, что в этих условиях газ ведет себя подобно жидкости. В самом деле, в анализируемом нами случае частицы оказываются как бы связанными — каждая из них не может уйти дальше, чем на длину свободного пробега. Иными словами, частицы локализованы в областях, размеры которых намного меньше интересующих нас длин. Поэтому микроструктура движения газа уже не важна и весь газ может рассматриваться как сплошная среда — жидкость 2. В частности, плазма ведет себя как проводящая жидкость в тех процессах, характерные пространственные масштабы которых гораздо больше средних длин свободного пробега, а характерные времена значительно превосходят времена между столкновениями. В этом случае плазма описывается уравнениями магнитной гидродинамики. (В последующих главах, и прежде всего в гл. IV, будет рассказано о магнитогидродинамических процессах в плазме и проводящих средах.)
До сих пор мы говорили о плазме как о газе заряженных частиц, не останавливаясь на ее характерных свойствах. В чем же отличие плазмы от нейтрального газа? Почему плазму называют четвертым состоянием вещества? Постараемся в общих чертах ответить на эти вопросы. Специфика плазмы (в частности, ее отличие от нейтрального газа) тесно связана с колебательными и волновыми процессами. Чтобы понять, это, рас
2 Дополнительно к сказанному уместно привести следующий наглядный пример — движение облаков в воздухе. Во-первых, облака в воздухе воспринимаются как сплошная среда; во-вторых, процесс расплывания облаков в воздухе сходен с процессом растекания одной жидкости в другой (с приблизительно одинаковыми плотностями).
6
смотрим, как в нейтральном газе и плазме происходит передача информации о локальном изменении состояния.
В нейтральном газе такая информация передается лишь в результате столкновений частиц. Следовательно, скорость передачи информации определяется скоростью движения частиц.
В плазме картина совсем иная. В отличие от нейтральных частиц, которые взаимодействуют, лишь подойдя друг к другу на расстояние, равное «размеру» частицы3, заряженные частицы взаимодействуют при помощи дальнодействующих кулоновских сил. Поэтому в плазме весь ансамбль частиц зачастую очень быстро «ощущает» локальные изменения состояния и начинает принимать участие в коллективных движениях — колебаниях и волнах. Теперь скорость передачи информации о локальном изменении состояния определяется скоростью распространения электромагнитных колебаний и волн, возбуждаемых заряженными частицами.
Наиболее распространенной в плазме является ситуация, когда характерные пространственно-временные масштабы волновых и колебательных движений существенно меньше столкновительных. Для таких движений парными столкновениями частиц можно пренебречь. Плазму, в которой парными столкновениями частиц можно пренебречь, называют обычно бесстолкнови-тельной.
Из сказанного следует, что если состояние нейтрального газа изменяется за счет столкновений, а времена изменения состояний не меньше среднего времени между столкновениями, то в плазме изменение состояния может происходить значительно быстрее за счет возбуждения электромагнитных колебаний и волн. Характерные времена изменения состояний определяются в этом случае временами взаимодействия частиц с волнами и волн с волнами.
Таким образом, новые, необычные для нейтрального газа свойства определяются коллективными движениями плазмы — колебаниями и волнами. Само же воз
3 То есть на расстояние, равное условному радиусу атома или молекулы.
7
никновение колебательных и волновых движений с пространственно-временными масштабами, значительно меньшими, чем столкновительные, связано с дальнодей-ствующим характером кулоновских сил. Именно специфические коллективные процессы в плазме позволяют говорить о ней как о четвертом состоянии вещества.
Следует, однако, отметить, что не всегда поведение плазмы резко отличается от поведения обычного газа. Плазма с частными столкновениями во многих отношениях ведет себя как обычный газ.
§ 1.2. При каких условиях и где вещество находится в состоянии плазмы
Встречаем ли мы в повседневной жизни, в наших земных условиях вещество в состоянии плазмы? Оказывается, это бывает не так уж редко. Сейчас, по-видимому, найдется немного людей, не видевших ламп дневного света, красочной световой рекламы. Однако не все знают, что здесь вещество находится в состоянии плазмы. Точно так же не всем известно, что при явлении молнии (как и при других видах электрического разряда в газах) вещество переходит в состояние плазмы (совершая затем довольно быстро обратный переход в газообразное состояние).
В космосе вещество преимущественно находится в состоянии плазмы. Солнце и большая часть звезд — это высокотемпературные плазменные образования.
Естественно, что для того чтобы представлять, когда мы можем встретиться с веществом в состоянии плазмы, нужно знать, как и при каких условиях она возникает. А для этого следует рассмотреть различие в микроструктуре вещества, находящегося в разных состояниях.
В твердом состоянии атомы или молекулы вследствие взаимного притяжения расположены в узлах кристаллических решеток. Нужно сказать, что такие атомы или молекулы не неподвижны — они совершают малые колебания относительно узла решетки как положения равновесия. Естественно, вследствие связи частиц в колебаниях одновременно участвуют все частицы кристалла. Эти колебания называют обычно фононами. При повышении температуры, то есть при воз
8
растании кинетической энергии частиц, амплитуды их колебаний увеличиваются. Частицы стремятся оторваться от ближайших соседей, разрушить кристаллическую структуру. Но так как существуют силы притяжения, то до определенных средних кинетических энергий частиц (температур) разрушения решетки не происходит. Лишь тогда, когда амплитуда колебаний частиц становится приблизительно равной расстоянию между узлами решетки, последняя разрушается — вещество переходит в жидкое состояние. Соответствующую такому переходу температуру именуют температурой плавления.
В жидком состоянии не существует строгого порядка в построении частиц, однако они не могут отойти далеко друг от друга, поскольку их кинетическая энергия не превосходит потенциальную энергию взаимного притяжения.
Нагревая жидкость, мы увеличиваем кинетическую энергию частиц. Наконец, тогда, когда их кинетическая энергия превысит потенциальную энергию притяжения, они смогут оторваться друг от друга. Вещество перейдет в газообразное состояние, при котором частицы, оставаясь нейтральными, движутся большую часть времени независимо и лишь в отдельные короткие промежутки сталкиваются. Температуру, соответствующую переходу жидкость—газ, называют температурой газообразования.
Что же произойдет при дальнейшем нагревании газа? Вначале будет лишь увеличиваться температура газа (а вместе с ней и давление). Качественный скачок, то есть переход в другое состояние — состояние плазмы, произойдет тогда, когда средние энергии частиц станут сравнимыми с потенциальной энергией притяжения электрона ядром. Иначе говоря, температура, измеренная в энергетических единицах4, будет приблизительно равна потенциалу ионизации. В этих условиях случайно оказавшийся в газе нейтральных частиц электрон с кинетической энергией, превосходящей потенциал
* Энергию в 1 эВ электрон приобретает, проходя разность потенциалов в 1 В, Температуре в 1 эВ соответствует температура в 11 600 К.
9
ионизации, сталкиваясь с атомом, может передать свою энергию не всему атому, а отдельному электрону и выбить этот электрон из атома — ионизовать атом. Такой процесс ионизации нейтральных частиц приводит к тому, что в газе возникает примесь электронов и ионов — примесь плазмы. При дальнейшем повышении температуры вещество переходит в состояние плазмы (подробнее об этом сказано в § II.5).
Зная, что потенциалы ионизации различных веществ колеблются от нескольких электрон-вольт до приблизительно 10 эВ, нетрудно указать температуры плаз-мообразования. Они составляют от нескольких десятков тысяч до сотни тысяч градусов. Сейчас не будем останавливаться на том, как нагреть вещество до таких температур и как его теплоизолировать. Об этом речь пойдет ниже.
Описанный способ ионизации нейтрального газа, то есть образования плазмы, называют тепловым, или термическим. В природных условиях плазма Солнца и звезд образована термическим путем. Существуют и другие способы получения плазмы. Так, при облучении газа потоком фотонов (у-квантов) с энергиями порядка потенциала ионизации вещество также переходит в состояние плазмы. Подобный механизм ионизации газа излучением эффективен при условии, что обратный процесс соединения электронов с ионами в нейтральный атом происходит не быстрее процесса ионизации. При температурах, которые заметно ниже потенциалов ионизации, образование плазмы облучением может осуществляться лишь в сильно разреженном газе и при достаточно больших потоках фотонов. Такая ситуация реализуется в верхних слоях атмосферы Земли, где за счет солнечного излучения возникают плазменные слои, называемые ионосферой.
В лабораторных условиях и в технике широко применяют способ получения плазмы с помощью электрического разряда. В естественных условиях типичным примером образования плазмы этим способом служит явление молнии. Условие существования газоразрядной плазмы и есть условие существования разряда. Для возникновения последнего необходимо, чтобы электрон, попавший в электрическое поле, получил на длине свободного пробега энергию большую, чем это нужно для
ю
выбивания из нейтрального атома одного электрона. В этом случае нарастание потока электронов (до определенной поры) происходит лавинообразно (подобно тому как протекают цепные ядерные реакции): первый электрон выбивает еще один, два электрона — четыре и т. д. Иными словами, число электронов размножается вначале по геометрической прогрессии. В этом случае достаточно иметь весьма малую часть затравочных электронов, чтобы образовалась лавина, то есть возник разряд. Такие электроны практически всегда есть.
Отметим, что при разряде может происходить также и разогрев плазмы за счет джоулева тепла, возникающего при прохождении через вещество тока. Это в свою очередь может привести к образованию плазмы термическим путем. Естественным условием разогрева является превышение «подачи» джоулева тепла над теплоотводом.
Из сказанного следует, что плазма в зависимости от способа создания может иметь различную температуру. При температурах, которые меньше или приблизительно равны потенциалу ионизации, в плазме есть примесь нейтрального газа. И хотя весь ансамбль частиц в большинстве физических процессов может проявлять сугубо плазменные свойства, немалую роль играют также свойства нейтрального газа. Поэтому плазма с температурами £Т<<?фиопиз или £Т«ефИониз считается низкотемпературной 5.
На первый взгляд такое название кажется странным. Ведь по нашему определению плазма с температурой 10 000 К также является низкотемпературной. Однако в физике размерные величины могут быть малы или велики не сами по себе, а лишь в сопоставлении с некоторыми характерными величинами той же размерности. В рассматриваемом случае температура плазмы велика по сравнению-с комнатными температурами. Но не последние являются для плазмы характерными величинами размерности энергии.
5 k — постоянная Больцмана, дающая связь между температурной и энергетической шкалами (в системе CGS); Т — температура в градусах; е — заряд электрона; фиоииз — потенциал ионизации.
11
Мы уже говорили, что потенциал ионизации всегда определяет условия возникновения плазмы (то ли температура должна быть порядка потенциала ионизации при термическом способе образования плазмы, то ли энергия фотонов должна достигать потенциала ионизации при образовании плазмы путем облучения нейтрального газа, то ли с потенциалом ионизации должна сравниваться энергия электрона, набираемая в электрическом поле на длине свободного пробега, при образовании плазмы газоразрядным путем). Именно поэтому для плазмы высокими считают температуры, заметно превосходящие потенциал ионизации. Таким образом, газовая плазма делится на низкотемпературную и высокотемпературную.
В низкотемпературной плазме большую роль играют элементарные процессы, происходящие при столкновениях частиц. Это ионизация, то есть отрыв электрона от атома или молекулы; рекомбинация — процесс, обратный ионизации, соединение электрона и иона в нейтральный атом; перезарядка — процесс, когда ион и нейтральная частица, сталкиваясь, обмениваются электроном, в результате чего исходный ион становится нейтральной частицей, а нейтральная частица — ионом; возбуждение при столкновениях, то есть переход электрона в атоме с основной «орбиты» на «орбиту» с большим «радиусом», или, что то же самое, в состояние с большей энергией — так называемое возбужденное состояние6. Есть также ряд других элементарных процессов.
В дальнейшем при рассмотрении конкретных приложений мы еще вернемся к названным процессам. В частности, ионизационно-рекомбинационные процессы играют важную роль в плазме магнитогидродинамических (МГД) генераторов, процессы возбуждения нейтральных частиц определяют работу газовых лазеров и мазеров и т. д.
В высокотемпературной плазме, то есть в плазме с температурами, заметно превышающими потенциал
• В возбужденном состоянии электрон «живет» конечное время, после чего он опускается иа основную «орбиту» — переходит в основное состояние, передавая разность энергий испускаемому при этом фотону.
12
ионизации, примеси нейтрального газа практически нет. Плазма в простейшем случае состоит из электронов и одного сорта ионов. Обычно термоизоляция такой плазмы осуществляется с помощью магнитного поля. Указанный метод термоизоляции будет изложен далее. А здесь отметим, что в этом случае заряженные частицы движутся поперек магнитного поля по круговым орбитам — так называемым окружностям — и не могут без влияния других частиц или электрических полей уйти поперек магнитных силовых линий дальше, чем на радиус ларморовской окружности. Поскольку величина такого радиуса обратно пропорциональна напряженности магнитного поля, то достаточно сильные поля обеспечивают весьма малые ларморовские радиусы, иными словами, создают магнитную стенку для заряженных частиц1.
До сих пор речь шла о газовой плазме. Однако плазменные явления возникают часто в объектах, казалось бы, далеких от газовых.
Остановимся, к примеру, на металлах или полупроводниках. По современным представлениям их структура такова: есть решетка (остов), состоящая из упорядоченно расположенных частиц — ионов или нейтральных частиц, и есть газ хаотически перемещающихся носителей электричества, называемых электронами (заряд отрицательный) и дырками (заряд положительный). Электроны и дырки в твердых веществах не являются частицами в полном смысле этого слова: в свободном состоянии именно таких частиц (то есть с соответствующими зарядом и массой) нет. Тем не менее уравнения, описывающие их движение, подобны уравнениям движения обычных частиц — с той разницей, что роль массы здесь играют некоторые величины, зависящие от структуры вещества.
Эти величины обычно именуют эффективными массами электронов и дырок. Поэтому электроны и дырки в твердых телах называют квазичастицамн (лат. quasi — почти). *
7 Подробнее о движении заряженных частиц в магнитном поле будет рассказано в § II.1. А в следующей главе кратко описаны наиболее интересные типы магнитных ловушек — систем для магнитной термоизоляции плазмы.
13
Поскольку поведение заряженных квазичастиц аналогично поведению электронов и ионов, то и свойства газа электронов и дырок сходны со свойствами газовой плазмы. Отсюда название такой системы — твердотельная плазма.
Продолжим наше сравнение с целью подчеркнуть некоторые общие свойства плазмы и металлов. Обратимся к такой важной характеристике, как проводимость (величина, обратная сопротивлению). Эта величина — коэффициент пропорциональности между плотностью тока частиц и электрическим полем (закон Ома)
/=аЕ, (1.1)
который определяется из условия стационарности (независимости от времени) тока в заданном электрическом поле.
В металлах носителями электричества являются электроны, в плазме — тоже. Известно, что электрическое поле ускоряет электроны. Поэтому для стационарности потока электронов (тока) необходимо, чтобы существовала сила, уравновешивающая ускоряющее действие электрического поля. Это сила трения электронов об остов в плазме металлов или об ионы в газовой плазме. Обозначая через т время, в течение которого электрон передает свой импульс остову металла или ионам плазмы, можем записать тормозящую силу в виде
Приравнивая эту силу ускоряющей силе электрического поля еЕ, получаем закон Ома для постоянного тока
пе2т j——env=-----Е,
tn
пе2х
СГ=“—, m
(1.3)
(1.4)
где п — плотность электронов.
14
Подстановка в (1.4) величин тип, характерных для металлов и плазмы8, показывает, что плазма — прекрасный проводник электричества. К примеру, проводимость меди при комнатных температурах составляет 6-Ю5 Ом-1’СМ-1, а проводимость плазмы при температурах, заметно превышающих потенциалы ионизации щелочных металлов, например при Т108 К, равна 107 Ом-1-см-1.
Уже говорилось, что если нас интересуют пространственно-временные масштабы, заметно превосходящие-среднюю длину свободного пробега частиц и среднее-время между столкновениями, то плазма ведет себя-как сплошная среда — жидкость. Теперь к этому можно добавить, что такая жидкость обладает хорошей проводимостью. Поэтому естественно, что некоторые явления, происходящие в плазме, аналогичны явлениям,, имеющим место в жидких металлах, а описываются они-уравнениями магнитной гидродинамики. В частности, определенные крупномасштабные процессы на Солнце подобны явлениям, происходящим в жидких металлах.
То, что плазма обладает высокой проводимостью,, натолкнуло на мысль использовать ее в роли проводника в электрическом генераторе, работающем при высоких температурах. Но ведь плазма — газ, а это позволяет применить ее и как рабочее вещество в тепловом двигателе.
Оба указанных свойства плазмы привели к идеепрямого преобразования тепловой энергии в электрическую с помощью МГД-генераторов. Использование высоких температур в таких генераторах дает надежду поднять КПД всего цикла до 50%. Это значительно-выше КПД современных тепловых станций.
Поэтому создание мощных МГД-генераторов составляет одну из важнейших физико-технических проблем-современной энергетики.
8 Как будет видно из дальнейшего изложения, величина г для полностью ионизованной, то есть высокотемпературной, плазмы обратно пропорциональна плотности числа электронов п, поэтому проводимость высокотемпературной плазмы от плотности носителей не зависит.
15.
§ 1.3. Чем определяется большой интересе к изучению плазменных явлений
Физика плазмы — наука молодая. Условно ее развитие можно разделить на два этапа.
Первый начался в 20-е годы нашего века с работ американских ученых И. Лэнгмюра и Л. Тонкса. На этом этапе интерес к изучению плазменных явлений был в основном сугубо теоретическим. Эксперименты показали весьма интересное состояние вещества, которое вело себя странным образом — растекалось и пульсировало подобно биологической плазме. Поэтому новому состоянию было дано несколько необычное, но прижившееся в настоящее время название — плазма.
Основополагающую роль в развитии представлений о плазме в тот период сыграли работы советских ученых А. А. Власова, Н. Н. Боголюбова, Л. Д. Ландау. Они заложили теоретические основы физики плазмы: сформулировали главные уравнения, учитывающие и коллективные плазменные процессы, и столкновения — так называемые кинетические уравнения для заряженных частиц с самосогласованным полем 9.
В конце первого периода независимо друг от друга советские физики А. И. Ахпезер и Я. Б. Файнберг и американские — Д. Бом и Е. Гросс выполнили две весьма важные работы, свидетельствовавшие об одном: в плазме, пронизываемой пучком заряженных частиц, возникает неустойчивость, которая приводит к возбуждению коллективных движений — волн. Новыми здесь были два обстоятельства: во-первых, показана возможность передачи энергии пучка плазме не за счет парных столкновений частиц пучка и плазмы, а в результате общего взаимодействия всего коллектива частиц через самосогласованное электромагнитное поле; во-вторых, предсказана первая неустойчивость плазмы, которая не находилась в состоянии термодинамического равновесия10 (в рассматриваемом случае неравновес-
9 Самосогласованным называют электромагнитное поле, возникающее в плазме как суммарное поле самих частиц плазмы.
10 Система, предоставленная самой себе, стремится к состоянию термодинамического равновесия. В этом состоянии существует понятие температуры (как меры средней энергии частиц), а также закон равнораспределения средней энергии на каждую степень свободы. Подробнее об этом — ниже.
16
ность создавалась пучком). Дальнейшее развитие физики плазмы показало, что неустойчивости термодинамически неравновесной плазмы играют важнейшую роль в типично плазменных — коллективных — процессах.
Второй этап, начало которого можно отнести к 50-м годам, характеризуется резким повышением интереса к физике плазмы в связи с важнейшими проблемами прикладного характера, и в первую очередь с проблемой управляемого термоядерного синтеза. Чтобы лучше понять причину такого внимания к физике плазмы, нужно представлять всю грандиозность и важность этой проблемы и знать, какова ее связь с физикой плазмы.
Идея получения управляемого термоядерного синтеза основана на использовании реакций слияния легких ядер. При этом выделяется удельная энергия (то есть энергия, отнесенная к одной массовой единице), более чем в 1 млн. раз превышающая энергию горения угля и нефти. Если среднегодовая суммарная добыча угля и нефти с газовым конденсатом достигает в нашей стране свыше 1 млрд, т, то для замены такого количества химического топлива потребовалось бы немногим более 100 т смеси дейтерия и трития. При этом стоимость сырья для термоядерных энергетических установок составляет менее 1% стоимости эквивалентного по энерговыделению количества угля.
Для того чтобы заставить легкие ядра сливаться, необходимо, чтобы они приблизились друг к другу на очень малые расстояния — порядка 10~12—10~13 см, где в основном действуют ядерные силы притяжения. До этих расстояний проявляются кулоновские силы отталкивания (одноименных зарядов), которые частицы могут преодолеть за счет большой кинетической энергии. Поэтому для осуществления управляемого термоядерного синтеза нужны очень высокие температуры — порядка сотен миллионов градусов, а при таких температурах, как мы уже знаем, вещество находится в состоянии полностью ионизованной плазмы. Вот почему так тесно связаны проблемы управляемого термоядерного синтеза и сугубо плазменные — нагрева плазмы до указанных температур и удержания ее за времена, достаточные для того, чтобы прореагировала нужная часть ядер тяжелого водорода. Именно поэтому на вто
2—3451
17
ром этапе развития плазменных исследований основные усилия' направлены на решение вопросов, связанных с нагревом плазмы и ее устойчивым удержанием.
Вначале казалось, что плазма, термоизолированная с помощью магнитного поля, будет вести себя подобно газу. Просачивание (диффузия) плазмы сквозь магнитное поле должно было, с этой точки зрения, происходить за счет парных столкновений частиц, в результате которых частицы, перебрасываясь с одной ларморовской окружности на другую, медленно покидали бы объем удержания. Однако первые же эксперименты показали, что уход плазмы из объема удержания зависит не от парных взаимодействий частиц. На первый план выступили так называемые неустойчивости плазмы, приводящие к коллективному уходу ее на стенки камер, внутри которых она удерживалась. Причем уход этот происходил значительно быстрее, чем диффузия плазмы за счет кулоновских столкновений частиц н. Иными словами, не индивидуальные процессы (парные столкновения частиц), а коллективные играли основную роль в динамике плазмы.
Резкое проявление коллективных свойств плазмы наблюдалось и в экспериментах по ее нагреву. (В частности, одним из методов нагрева плазмы является нагрев с помощью пучков заряженных частиц. Выше уже было отмечено, что взаимодействие пучка с плазмой носит коллективный характер.) Естественно поэтому, что основной упор в исследованиях по физике плазмы был сделан на изучении коллективных степеней свободы плазмы — колебаний и волн. Если в газе нейтральных частиц от взаимодействия индивидуальных степеней свободы, происходящих при столкновениях частиц, зависят такие процессы, как диффузия, теплопроводность, проводимость и т. п., то в плазме аналогичные процессы могут определяться взаимодействием волн с частицами и волнами.
Существенным результатом многих исследований является разработка теоретических представлений, отно-
11 Усилиями многих советских и зарубежных физиков были изучены неустойчивости, ухудшающие магнитное удержание плазмы. На основе этих исследований разработаны методы борьбы с опасными для удержания плазмы неустойчивостями.
18
сящихся к так называемым нелинейным взаимодействиям волн с частицами и волнами.
В кратком рассказе неизбежно останутся незатронутыми результаты многих теоретических и экспериментальных работ. Укажем лишь, что сильное влияние на развитие физики плазмы оказали исследования по управляемому термоядерному синтезу, в области МГД-генераторов, физики околоземного, и межпланетного пространства, электроники сверхвысоких мощностей. Поэтому неудивительно, что основной вклад в развитие современных представлений физики плазмы внесли работы, тесно связанные с указанными выше проблемами. Это работы советских физиков Л. А. Арцимовича, Е. П. Велихова, Б. Б. Кадомцева, М. А. Леонтовича, Р. 3. Сагдеева, зарубежных ученых М. Розенблюта, В. Драммонда, М. Крускала, Г. Трэда, X. Петчека, Р. Поста, Г. Фюрса, Р. Люста, А. Шлютера, Д. Пфир-ша, С. Чепмена, Дж. Данжи, Дж. Тейлора, X. Альф-вена и др.
2*
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В ПОВЕДЕНИИ ПЛАЗМЫ
§ П. 1. Движение заряженной частицы в электрических и магнитных полях
Движение в постоянном электрическом поле. В данном случае на заряженную частицу действует постоянная сила, равная произведению заряда частицы q на напря-
женность электрического поля Е. При этом направление силы электрического поля совпадает с направлением самого поля. Уравнение движения можно записать в виде
mw=qE, (II.1)
—> где т — масса частицы, w — вектор ускорения.
Из (ПЛ) следует, что частица равномерно ускоряется в зависимости от знака заряда либо вдоль, либо против направления электрического поля. Перпендикулярная полю компонента скорости остается неизменной. Иными словами, движение в постоянном электрическом поле аналогично движению в поле тяжести Земли — роль ускорения силы тяжести g играет величина — Е. т
Рассмотрим движение положительно заряженной частицы. Пусть q — величина положительная (траектория движения отрицательно заряженной частицы может быть получена зеркальным отражением относительно плоскости, перпендикулярной направлению электрического поля, траектории частицы с положительным знаком заряда той же абсолютной величины).
Направим вертикальную ось OZ против направления постоянного электрического поля, а горизонтальную ОХ —вдоль перпендикулярной электрическому полю компоненты скорости частицы (рис. 1). Будем считать, что отрицательно заряженная пластина бесконечно длинного плоского конденсатора, создающего такое
20
электрическое поле, находится в плоскости z=0 (на «нулевой» высоте), а положительно заряженная пластина — достаточно высоко: вне нашего рисунка. Тогда траектории движения заряженной
частицы такие же, как для камня или снаряда, движущегося по отношению к Земле, — это в общем случае (то есть когда их(0) #=
=#0) параболы. Так, движение частицы, имеющей начальную скорость, направленную под определенным углом а к оси ОХ, полностью аналогично полету снаряда, выпущенного под тем же углом. Движение заряженной частицы, инжектированной в точке z = h с нулевой скоростью, происходит так же, как и падение тела с эквивалентной высоты.
Общий закон движения определяется формулами:
Рис. 1. Движение заряженной частицы в постоянном электрическом поле.
— Е, т
q
Vz = V2 (0)+wzt = vz (0) ч-Et,
т
q
z==zo+v2(O)H-----Etz, (П.2)
2m
Ox = Vx(0), x=Xo+MW-
Исключая из (IL2) время, получим уравнение параболы, описывающее траекторию движения заряженной частицы в постоянном электрическом поле:
Uz(0) q
z=zo4--------(х—Хо)Ч---------Е(х—хо)2. (II.3)
Wx(0) 2mv “ (0)
Формулы (II.2) показывают, что полная кинетическая энергия 2 2
mvx-j-mvz
заряженной частицы Т=----------- изменяется за счет изменения
z — компоненты скорости, иными словами, электрическое поле совершает работу по перемещению заряженной частицы в z-направлении. Эта работа W равна произведению силы электрического поля на путь, пройденный частицей в направлении действующей силы, то есть при перемещении частицы из точки Zi в точку 22'
W^qE(z2~zi)
21
или 2 2
tn V 2 MUi
------------= qE(z2—Zi). (II.4) 2 2
Здесь Vt и V2 — соответственно квадраты полной скорости частицы в произвольных точках Ai и Л 2, лежащих на траектории движения частицы. Величина Ez, очевидно, потенциал электрического поля. Следовательно, в правой части (П.4) стоит разность потенциалов в точках Л2 и Л|, уменьшенная на величину заряда q. Именно поэтому в задачах о движении заряженных частиц в электрических полях удобно пользоваться в качестве энергетических единиц электрон-вольтами. 1 эВ — это энергия, приобретаемая заряженной частицей с зарядом д, равным элементарному заряду е (е=4,8-10“10 CGSE), при прохождении разности потенциалов в 1 В. Эта энергия равна 1,6-10~12 эрг
Движение в поле точечного заряда. К задаче о движении заряженной частицы в поле точечного заряда сводится задача о столкновении (взаимодействии) двух заряженных частиц с произвольными массами и т2. При этом вначале решается задача о нахождении траектории частицы с массой, равной так называемой при-mitnz
веденной массе ц=-----------, и зарядом, равным qiq2 и
движущимся в поле точечного единичного заряда, а затем по этой траектории находят траектории реальных частиц. В случае, когда одна из масс (например, масса иона) намного больше другой (массы электрона), приведенная масса и ее траектория практически совпадают с массой и траекторией легкой частицы (это естественно, так как тяжелую частицу можно считать неподвижной).
Точное решение рассматриваемой задачи возможно лишь методами высшей математики, поэтому не будем приводить строгий вывод уравнения траектории частицы 1 2 * *. Ограничимся лишь некоторыми качественными рассуждениями и результатами, необходимыми для понимания характера столкновительных процессов в плазме. Как будет видно из дальнейшего, основную роль в столкновительных процессах в плазме играют рассеяния
1 Электрон с энергией 1 эВ имеет скорость 6-107 см/с, а протон с такой же энергией — 1 10е см/с.
2 Отметим попутно, что задача о взаимодействии разноименно
заряженных частиц аналогична задаче о гравитационно взаимо-
действующих частицах.
22
частиц на малые углы. Можно дать качественный вывод выражения для наиболее важной характеристики траектории — угла рассеяния.
Построим в соответствии с этим качественно траекторию частицы (рис. 2). Введем понятие прицельного параметра р, который равен длине перпендикуляра, опущенного из точки О расположе
ния точечного заряда на продолжение линии исходного движения частицы. Учтем теперь два обстоятельства: симметрию траектории относительно точки В, где частица максимально приближается к точечному заряду (симметрия связана с центральным характером кулоновских сил), и малость угла рассеяния частицы 0. Кроме того, поскольку сила
Рис. 2. Движение заряженной частицы в поле точечного заряда, убывает обратно пропорционально
квадрату расстояния от точечного заряда, можно считать, что процесс взаимодействия происходит вблизи точки максимального приближения частицы к точечному заряду. Учитывая малость угла рассеяния 0, полагаем, что расстояние от точечного заряда до точки максимального сближения О В приблизительно равно прицельному параметру р. Иначе говоря, средняя сила на участке взаимодейст-
вия АС есть /?вз—------. Эта сила, умноженная на время взаимо-
р^
действия и деленная на массу, дает изменение скорости частицы. В свою очередь, отношение изменения скорости к первоначальной скорости есть tg 0, который при малом угле отклонения пропорционален самому углу 0 (выраженному в радианах).
Таким образом, в нашей задаче остается оценить время взаимодействия. Весьма грубую оценку этого времени можно дать, считая, что, когда расстояние между частицей и точечным зарядом увеличивается по сравнению с минимальным вдвое, взаимодействие прекращается (в действительности сила взаимодействия при этом уменьшается в 4 раза). Тогда расстояние, которое частица проходит в зоне взаимодействия, приблизительно равно 2р. Следова-
2р
тельно, время взаимодействия твз~-----, а
1 2^2
Ду -----FвзТвз ==
m тур
Отсюда
л 2qiqz -----------
ту2р
(IL5)
(II.6)
23
Точное решение задачи дает следующую формулу:
^1^2 Часто вводят параметр р -----. При р = р частица от-
X mv* х
л
клоняется на прямой угол 0=—. При больших значениях прицельного параметра (р^р ) правая часть уравнения мала, то есть 0 0
tg---«---- и формула (II.7) преобразуется в формулу (II.6).
2 2
Конечно, приведенный вывод формулы (II.6) весьма не строг, но он приемлем как качественная оценка угла рассеяния (укажем также, что при этой оценке мы несколько завысили среднюю силу взаимодействия, но вместе с тем занизили время взаимодействия).
Движение частицы в постоянном магнитном поле. Силу, действующую со стороны магнитного поля на заряженную частицу, называют силой Лоренца (Рл)- По абсолютной величине
е
Fa=—v^H, (II.8)
где и — величина, перпендикулярная магнитному полю компоненты скорости, Н — величина напряженности магнитного поля, с — скорость света. Эта сила не влияет на движение частицы вдоль силовой линии магнитного поля и направлена перпендикулярно как магнитному полю, так и вектору скорости, то есть перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы ско-рости v и напряженности магнитного поля Н. Причем направление вектора силы для положительно заряженной частицы таково, что из конца этого вектора движение от вектора скорости к вектору магнитного поля должно смотреться как направленное против часовой стрелки. Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, имеет противоположное направление.
Отметим прежде всего важное свойство взаимодействия заряженной частицы с магнитным полем: магнит
24
ное поле непосредственно не совершает работы над заряженной частицей. Это следует из того факта, что сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости или мгновенному направлению перемещения. Отсюда косинус угла между направлениями перемещения и силы равен нулю, то есть нулю равна работа силы магнитного поля, действующей на заряженную частицу. Иными словами, кинетическая энергия заряженной частицы в магнитном поле сохраняется.
Рассмотрим вначале случай, когда продольная магнитному полю компонента скорости равна нулю. Сила Лоренца заставляет частицу равномерно вращаться в направлении, перпендикулярном магнитному полю, mv2
±
уравновешивая центробежную силу, равную —-—.
R
Тут R — радиус окружности, по которой происходит вращение частицы. Этот радиус находим (как обычно для вращательного движения) из условия равновесия сил mv2 v тс
е J- J-
—\н=— или *=— ’ <IL9>
R обычно называют ларморовским радиусом, а окружность, по которой происходит вращение, — ларморовской окружностью.
Из (П.9) следует, что круговая частота вращения а>н определяется формулой
еН
(0н =--. (П.Ю)
тс
Отметим, что заданное направление силы Лоренца приводит к вращению положительно заряженной частицы по часовой стрелке, если смотреть из конца вектора напряженности магнитного поля; отрицательно заряженные частицы вращаются в противоположном направлении.
Следует также указать, что вращающиеся заряженные частицы создают круговой ток. Причем как положительно, так и отрицательно заряженные частицы создают ток одного направления (поскольку противоположные заряды вращаются в противоположные сторо
25
ны). Этот ток становится дополнительным источником магнитного поля.
Как нетрудно видеть, поле тока вращающихся частиц, направлено в сторону, противоположную исходному магнитному полю. Иными словами, вращающиеся частицы стремятся ослабить магнитное поле, которое является причиной их вращения. Конечно же, одна или немногие частицы не дадут значительных напряженностей ослабляющих полей. Однако при больших концентрациях плазмы эффект ослабления поля может быть заметным. (Эффект ослабления поля сложнее, чем кажется на первый взгляд; поэтому здесь мы не будем подробно говорить о нем.)
Перейдем к общему случаю — движению частицы под произвольным углом. Нетрудно понять, что траектория такого движения есть винтовая линия, навитая напряженности магнитного поля. Сочетание вращения поперек магнитного поля и равномерного движения вдоль магнитного поля приводит к картине движения, показанной на рис. 3. Радиус винтовой линии определяется формулой (II.9), а шаг
винта I равен произведению продольной магнитному полю компоненты скорости на период обращения по ларморовской окружности:
вдоль направления вектора
Рис. 3. Винтовое движение заряженной частицы в постоянном и однородном магнитном поле.
l=v
2лтс еН
(Н.П)
Приведем некоторые числовые значения величин, характеризующие вращение частицы по ларморовской окружности. Заметим вначале, что ларморовская частота (следовательно, и период обращения по ларморовской окружности) не зависит от скорости вращения; она определяется лишь зарядом и массой частицы, а также напряженностью магнитного поля. Ларморовские частоты электронов сое даже в слабых полях достаточно велики. В магнитном поле Н= \ Э, <де= 1,7-107 с~* (ларморовская частота ионов водорода в этом поле приблизительно равна 104 с-1). Средняя величина лармо
26
ровских радиусов электронов и ионов в поле порядка 105Э и при температурах порядка 104 эВ (это температуры и поля, планируемые для квазистационарных термоядерных установок) составляет:
Яе«2-10-3 см, ^«Ю-1 см.
Таким образом, частицы как бы приклеены к силовым линиям магнитного поля, поскольку не отходят от них на расстояния, превышающие ларморовский радиус.
Движение частицы в комбинированных электрическом и магнитном полях. Рассмотрим вначале случай, когда постоянное электрическое поле параллельно постоянному магнитному полю. Поскольку магнитное поле не действует на продольное движение частицы, а электрическое — на перпендикулярное направление полей, общее движение будет состоять из равномерно ускоренного продольного и вращательного поперечного движений. Отсюда траектория движения есть винтовая линия с шагом винта, растущим линейно во времени.
Самый большой интерес представляет, однако, иной случай — движение заряженной частицы во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. При этом, если магнитное поле значительно превосходит электрическое, ускоренного движения частицы под влиянием электрического поля не возникает. Движение в направлении, перпендикулярном магнитному полю, состоит из быстрого вращения по ларморовской окружности и медленного движения — в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой расположены векторы напряженностей электрического и магнитного полей —
Е и Н. Медленное движение характеризуется постоянной скоростью; его называют дрейфом.
Качественно характер такого движения можно понять из следующих рассуждений (см. также рис. 4).
Рис. 4. Дрейфовое движение заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях.
27
Электрическое поле Е действует в плоскости ларморовской окружности. Следовательно, оно ускоряет движение частицы в тот полупериод вращения, когда она движется в направлении поля, и замедляет во второй полупериод. Скорость при обходе по ларморовской окружности не изменится — замедление во втором полупериоде вращения компенсирует ускорение в первом. Таким образом, частица возвращается в точку с тем же потенциалом электрического поля, то есть смещения частицы в направлении электрического поля не произойдет.
Иная картина будет наблюдаться в направлении, перпендикулярном электрическому полю. Здесь возникает разность скоростей Vd, поскольку составляющая скорости в одном направлении (на рис. 4 — движение вниз) больше составляющей скорости при движении в противоположном направлении (движение вверх). Такая разность скоростей (одна и та же для каждого последующего вращения по ларморовской окружности) и есть дрейфовая скорость wd- Ее можно найти, приравнивая соответствующее изменение силы Лоренца силе электрического поля:
9
---vnH=qE , .
С J-
(П.12)
Отсюда следует
Е
(11.13)
Итак, при движении заряженной частицы в комбинированных электрическом и магнитном полях к ускорению приводит лишь параллельная магнитному полю компонента электрического поля; перпендикулярная компонента электрического поля вызывает так называемый электрический дрейф — движение заряженной ча-
стицы в направлении, перпендикулярном плоскости Е Е
±
и Н, с постоянной скоростью, равной с--- и не зави-
н
28
сящей от знака заряда3.
К дрейфовому движению приводит любая ускоряющая частицу сила, направленная перпендикулярно магнитному полю. Для того чтобы получить общее выражение для скорости дрейфа, необходимо в (II. 1.2) вместо qE ± записать F±, и тогда
F
vD = c — (11.14)
qti
Из (11.14) следует, что если F не зависит от величины заряда q, то разноименные заряды будут дрейфовать в разные стороны. В плазме это приведет к разделению зарядов.
Одним из важных примеров силы, не зависящей от знака заряда и приводящей поэтому к разделению зарядов, является инерционная сила, связанная с изменением скорости электрического дрейфа. Такая сила вызывает новый дрейф — поляризационный. Смысл такого названия состоит в том, что причиной изменения скорости дрейфа, то есть появления силы в направлении дрейфа, служат электрические поля внутри плазмы, возникшие не от внешних источников, а вследствие разделения зарядов в плазме — ее поляризации.
Е
Итак, пусть скорость электрического дрейфа с ——
П изменяется за счет изменения во времени электрического поля. Тогда, обозначая через Е скорость изменения электрического поля (то есть изменение поля в единицу времени), можно записать соответствующую инерционную силу в виде
FE=Mc-^~. п
Дрейфовая скорость в этом случае определяется выражением
3 Наше рассмотрение справедливо для случая, когда напряженность магнитного поля намного превосходит напряженность перпендикулярного ему электрического поля.
29
Me2 vP=.——-E, qH2
Для электронов поляризационный дрейф намного меньше поляризационного дрейфа ионов (в отношении т
---). Плотность ионного поляризационного тока м
Мгце2 = ТГг Е’
где tii — плотность ионов в плазме. Следовательно, плотность тока пропорциональна скорости изменения электрического поля. Иными словами, изменение во времени электрического поля, так же как и в диэлектрике, вызывает ток смещения — поляризационный ток. Легко видеть, что направление поляризационного тока совпадает с направлением электрического поля. В плазме поляризационный ток часто перекрывает ток, связанный с поперечной проводимостью.
Движение частицы в слабонеоднородном магнитном поле. Прежде всего условимся, какие поля будем называть слабонеоднородными. При рассмотрении движения в постоянном магнитном поле мы приводили примеры числовых значений ларморовских радиусов. Так, для планируемых параметров термоядерных установок эти радиусы весьма малы (Л?е~2-10~3 см, /?,«10-icm). Ясно, что в этом случае на расстоянии, равном ларморовскому радиусу, трудно создать изменение магнитного поля, соотносимое по порядку величины с самым сильным магнитным полем. То же относится и к размерам порядка шага винта (если вместо подставить соответствующую тепловую скорость движения частиц).
Подобная ситуация не редка. Довольно часто можно считать ларморовский радиус частиц и шаг винта весьма малыми по сравнению с размерами, на которых заметно изменяется магнитное поле. Магнитные поля, для которых это условие выполнено, будем считать слабонеоднородными.
Остановимся на наиболее простом случае, когда напряженность изменяется вдоль силовых линий магнитного поля. В этом случае частицы замедляют свое движение вдоль магнитного поля по мере продвижения в места с большей напряженностью. При определенных
30
условиях (см. ниже) частица может отразиться от мест сгущения силовых линий магнитного поля. Причину ее
торможения можно понять из простого качественного
рассмотрения.
Для этого обратимся к рис. 5. Здесь изображен один
виток траектории в нарастающем магнитном поле Н. Если мы интересуемся возможностью отражения части-
цы, то можем сразу же принять продольную скорость частицы равной нулю. Разложим вектор магнитного поля в одной из точек траектории на две компонен-
ты — перпендикулярную плоскости витка Нп и направленную по радиусу Hi. Сила, связанная с первой компонентой, поддерживает вращение частицы по ларморовской окружности, уравновешивая центробежную силу niv2
—, Сила F, обусловленная радиальной компонентой Hi, действует против направления магнитного поля. Она-то и приводит к выталкиванию ча-
Рис. 5. Отражение заря-жен ной частицы от мест сгущения силовых линий магнитного поля.
стицы из областей сгущения силовых линий. Основным эффектом (на первый взгляд незаметным), который
определяет движение частицы, является увеличение угла а между направлениями вектора Нп и вектора Hi. Под таким углом частица входит в новое ларморовское вращение при движении в сторону сгущающихся силовых линий магнитного поля. Это означает, в частности, что растет поперечная компонента скорости. При условии сохранения полной энергии (магнитное поле работы над частицей не совершает) может наступить такой момент, когда вся энергия переходит в энергию поперечного движения (продольная скорость в этот момент становится равной нулю). Частица отражается от точек
сгущения магнитного поля.
В связи с тем что по мере продвижения в места с большей напряженностью магнитного поля энергия поперечного движения также растет, существует связь между напряженностью магнитного поля и энергией поперечного движения. Строгое теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что при движении в сла-
31
бонеоднородном поле отношение энергии поперечного движения к величине напряженности магнитного поля, усредненное по быстрому ларморовскому вращению, есть величина постоянная, или, как часто говорят, адиабатический инвариант:
mv%
Л
——=const.
2Н
(11.15)
Поскольку абсолютная величина скорости частицы в магнитном поле не изменяется, то адиабатическим ин-sin2 а вариантом является также и величина --------, откуда
п
следует, что
sin a=sin a0
н
~нГ'
(11.16)
Точке отражения будет соответствовать угол а, рав-л
ный —или магнитное поле Н\, определяемое выражением
Но
Н{ =--------.
sin2 do
На принципе отражения частиц от мест сгущения силовых линий магнитного поля построена магнитная
ловушка, предложенная независимо советским ученым Г. И. Будкером и американским — Р. Постом. Пусть на обоих концах магнитного соленоида витки сгущаются. Тогда магнитное поле имеет структуру, показанную на рис. 6. Из формул (11.15) и (11.16) следует, что
частицы, для которых угол а (пли, что то же самое, по-
Рис. 6. Магнитная ловушка Будкера — Поста.
перечная компонента скорости) превосходит некоторую критическую величину, будут удерживаться в объеме, заключенном между поверхностями с максимальным значением магнитного поля. Это условие, вытекающее из (П.16), выглядит следующим образом:
32
-1/ Но
sinai> I/ ------
* Нщах
(П.17)
Здесь си — угол между напряжением скорости и вектором напряженности магнитного поля в точке с минимальным значением этого поля.
Таким образом, магнитное поле может удерживать отдельные заряженные частицы [для которых выполнено условие (11.17)] не только в направлении, перпендикулярном силовым линиям, но и в направлении вдоль поля Но.
У ловушки Будкера—Поста несколько названий. Адиабатической ее именуют потому, что она основана на принципе сохранения адиабатического инварианта (11.15), из которого следует условие удержания (11.17). Название «ловушка с магнитными зеркалами» подчеркивает факт отражения частиц (подобно тому как световые лучи отражаются зеркалами) от точек сгущения силовых линий магнитного поля. В «ловушке с магнитными пробками» (или пробкотроне) частицы, удовлетворяющие условию (11.17), «запираются» внутри некоторого объема «магнитными пробками».
Отметим, что простейшим способом создания ловушки Будкера—Поста является использование двух токовых витков, в которых ток течет в одном направлении и которые расположены на определенном расстоянии параллельно друг другу.
Отношение поперечной энергии к напряженности магнитного поля, сохраняющемуся при движении в слабонеоднородном поле, можно придать и несколько иной физический смысл. Рассмотрим снова вращение заряженной частицы по ларморовской окружности и найдем магнитный момент соответствующего тока 4:
то1
<1Ы8>
где i — ток, создаваемый частицей и равный произведению заряда на скорость вращения у . Таким образом, магнитный момент вращающейся по ларморовской
4 Эта величина с точностью до постоянного множителя совпа-дает с вращательным моментом системы.
3—3451
33
окружности частицы есть адиабатический инвариант — величина, сохраняющаяся при движении в слабонеоднородном магнитном поле.
Из (11.18) видно также, что частицу, вращающуюся по ларморовской окружности, можно рассматривать как «магнитик» с магнитным моментом ц и энергией взаимодействия с магнитным полем U:
U=pH. (11.19)
С помощью этой аналогии легко понять, что в случае, когда имеется изменение напряженности магнитного поля в направлении, перпендикулярном самому полю, вследствие изменения энергии взаимодействия U появляется сила, выталкивающая «магнитик» в область более слабого поля. Эта сила направлена в сторону поперечного ослабления магнитного поля и, так же как постоянное поперечное электрическое поле, не вызывает ускорения частиц, а приводит к дрейфу, называемому градиентным5.
Наконец, существует еще один вид дрейфового движения в неоднородном магнитном поле. В том случае, когда силовые линии искривлены, появляется центробежная сила Fc, связанная с движением вдоль искривленной линии:
2 ту.
Гс=-т±-> (П.20)
АС
где /?с — радиус кривизны силовой линии магнитного поля.
Как было показано в (11.14), каждой силе, направленной перпендикулярно магнитному полю, соответствует своя скорость дрейфа.
Для Fc это
5 Используя термины высшей математики, можно записать связь силы с энергией взаимодействия —V(/==—возни-
кающая в результате действия этой силы скорость дрейфа опре-
Н
деляется так: vh = c----V//.
еН
34
t’c — скорость дрейфа, называемого центробежным.
Оба рассмотренных выше дрейфа (градиентный и центробежный) приводят к разделению зарядов, поскольку направление скорости дрейфа определяется знаком заряда. Это затрудняет удержание плазмы в магнитных ловушках.
§ II. 2. Столкновения частиц в плазме
Будем считать, что нам удалось избавиться от коллективных процессов. Иными словами, соблюдены условия, не позволяющие развиваться неустойчивостям плазмы. Это нужно сделать для того, чтобы рассмотреть столк-новительные процессы в «чистом виде» — без влияния коллективных степеней свободы плазмы.
Проанализируем несколько подробнее некоторые общие свойства движения частиц в газе. Мы уже знаем (см. § 1.1), что основным свойством газовых систем является малость энергии взаимодействия частиц (объектов) по сравнению со средней собственной энергией. Для газа частиц, не имеющих внутренней структуры, это означает, что средняя кинетическая энергия частиц намного больше энергии их взаимодействия. Данное обстоятельство можно использовать для выяснения качественной картины характера движения частиц в газе.
При этом может представиться два различных вида взаимодействий. Первый — взаимодействие с помощью короткодействующих сил, когда взаимодействие прекращается за пределами определенного расстояния, называемого обычно радиусом взаимодействия. Типичным примером короткодействующих сил являются силы взаимодействия между нейтральными частицами (атомами или молекулами) либо нейтральными и заряженными частицами. Второй вид — взаимодействие с помощью дальнодействующих сил, к которым относятся кулоновские силы.
Рассмотрим сперва короткодействующие силы. В этом случае частицы, которые находятся на расстоянии, превышающем некоторое, можно считать невзаимодействующими. Малость энергии взаимодействия частиц по сравнению с их средней кинетической энергией означает, что в зоне взаимодействия частицы проводят незначительную часть времени движения. Иными сло
3'
35
вами, всю траекторию движения частицы можно представить в виде хаотически 6 изломанной линии, состоящей из больших прямолинейных участков и очень малых — почти точечных — участков резкого искривления траектории в результате взаимодействия — столкновений. Движение, имеющее указанный характер, называется броуновским; типичная картина его представлена на рис. 7.
Рис. 7. Траектория броуновского движения частицы.
На самой траектории размерами участков резкого искривления можно пренебречь, то есть считать, что столкновения происходят в отдельных точках. Однако эти размеры нельзя полагать равными нулю при определении эффективности взаимодействия частиц. В самом деле, сделав нулевыми радиусы взаимодействия частиц, мы бы совершенно исключили взаимодействие. Таким образом, приходим к выводу, что эффективность взаимодействия определяется некоторым расстоянием между центрами частиц (атомов или молекул), подойдя на которое частицы вступят во взаимодействие, в результате чего их скорости изменятся по величине и направлению. Поэтому удобно свести процесс упругого столкновения7 реальных частиц к столкновению упругих шаров 8.
В связи с этим введем понятие эффективного сечения рассеяния. Для упругих шаров столкновение произойдет в том случае, когда они подойдут на расстояние г, равное сумме их радиусов rt и г2. Иначе можно сказать, что одновременное попадание шаров в круг с радиусом r=ri+r2 и эффективным сечением (то есть площадью) ст=лг2 неизбежно ведет к их столкновению.
0 В связи с тем что частицы газа хаотически разбросаны по всему, объему, занимаемому газом.
7 Упругими называются такие столкновения частиц, при которых их суммарная кинетическая энергия сохраняется, то есть изменения внутренней энергии не происходит.
8 Размеры сталкивающихся шаров могут изменяться в зависимости от скоростей (энергий) частиц.
36
Таким образом, эффективным сечением рассеяния в будем называть площадь окружности, одновременно попадая в которую две частицы сталкиваются9. Эффективные сечения рассеяния частиц могут быть вычислены на основе квантовой механики с помощью высшей математики. Эта процедура даже для простейших атомов и молекул очень сложна и зачастую требует применения электронно-вычислительных машин. Для оценки весьма приближенных значений сечений рассеяния нейтральных атомов или молекул иногда используют их условные размеры (как легко сообразить, при такой оценке радиус г соответствующей окружности равен сумме условных радиусов взаимодействующих частиц).
Зная сечения рассеяния (которые обычно зависят от энергии частиц и определены либо теоретически, либо экспериментально), можно найти среднюю длину свободного пробега частиц (см. § 1.1) и среднее время между двумя последовательными столкновениями. Определяя среднюю длину свободного пробега, будем считать, что все частицы газа плотностью 10 п, кроме одной, называемой обычно пробной, покоятся. Пробная же частица совершает между столкновениями прямолинейное движение со скоростью, равной средней скорости относительного движения частиц в газе.
1
В рассматриваемом случае в объеме, равном —
находится в среднем одна частица. Пусть этот объем — цилиндр с поперечным сечением, равным о — эффективному сечению рассеяния, а ось цилиндра направлена вдоль траектории прямолинейного движения частицы. Проходя в таком цилиндре, частица, как нетрудно понять, испытывает в среднем одно столкновение. Иными 1
словами, образующая цилиндра объемом ------ и попе-
речным сечением а и есть I — средняя длина свободного пробега:
9 Отметим условность выражения «одновременное попадание двух частиц в некоторую область».
10 Плотностью газа называется среднее число частиц в единице объема (n = N/V, где У — полное число частиц, V — объем, занимаемый газом).
37
Для определения среднего времени между двумя последовательными столкновениями т нужно поделить среднюю длину свободного пробега на среднюю скорость относительного движения:
/ 1
т=——=-------------. (11.23)
WUqtii VOTH
Средняя относительная скорость движения при столкновении одинаковых частиц равна У2цт, где цт — тепловая скорость этих частиц. В случае, когда сталкиваются легкая и тяжелая частицы с заметно отличающимися массами (например, электрон и атом), оОтп совпадает с тепловой скоростью легкой частицы.
Наряду с величиной т часто используется обратная ей величина v — средняя частота соударений в единицу времени:
v = ncru0TH. (11.24)
Длины свободного пробега частиц в газе, который находится в обычных условиях — при атмосферном давлении и комнатных температурах, весьма малы. Эти величины приблизительно равны 10~5 см (характерные сечения порядка несколько единиц, умноженных, на 10-15 см2, а плотности 2,7-1019 см-3).
Обратимся теперь к случаю дальнодействующих кулоновских сил. Разберем столкновительные процессы вначале чисто качественно, а затем полуколичественно, то есть приведем некоторые количественные оценки характерных величин.
Итак, рассмотрим траекторию частицы в плазме, где преобладающую роль играют кулоновские взаимодействия заряженных частиц, то есть в полностью или почти полностью ионизованной плазме. Для кулоновски взаимодействующих частиц все • столкновения можно условно разбить на далекие — с большими прицельными параметрами (см. § II.1) и близкие — с малыми прицельными параметрами. Большим прицельным пара
38
метрам соответствуют малые углы рассеяния, то есть плавное изменение траектории частицы, а малым — углы рассеяния порядка единицы (в радианной мере), то есть резкое изменение траектории частицы. Покажем, что основную роль во взаимодействии заряженных частиц играют далекие соударения.
С этой целью найдем силу трения, действующую на пробную частицу со стороны всех остальных частиц плазмы. Для ее определения можно считать, что на неподвижный точечный заряд налетает со скоростью, равной средней скорости относительного движения, однородный поток частиц. Примем также, что парные столкновения происходят независимо друг от друга. Это приближение обычно называют приближением парных столкновений. Однородность потока частиц приводит к тому, что среднее изменение ско-
рости происходит только в направлении их движения. (В перпендикулярном направлении задача симметрична — нет выделенных направлений во взаимодействии.) Чтобы определить силу трения, нужно найти, как в среднем изменяется в единицу времени скорость налетающих частиц в продольном направлении. Для простоты предположим, что налетающие частицы имеют одинаковые массы и заряды. Согласно рис. 8, изменение скорости вследствие одного столкновения в направлении движения пучка Дцг при рассеянии на угол 0 можно записать в таком виде:
Рис. 8. Изменение скорости частицы при рассеянии на неподвижном центре.
Диг = —2и sin2------—2и . (11.25)
2 Р2+Р2х
Напомним, что угол рассеяния связан с прицельным параметром соотношением (11.17), то есть
Р
0 1 е2
tg-----=-------; р =----------.
2 р 1 2mv2
Частицы с прицельными параметрами, близкими к р, но отличающимися от р на малую величину Др, изменяют свою скорость вследствие столкновений на величину, приближенно определяемую формулой (11.25). Частицы испытывают рассеяние на углы, близкие к углу 0, в том случае, если они попадают вначале в кольцо площадью До = 2лрДр (см. рис. 9) с центром, расположенным на прямой, параллельной направлению движения потока и проходящей через точечный заряд. В единицу времени через До
39
пройдет число частиц, равное произведению плотности числа частиц на скорость и и на До, иными словами, изменение импульса частиц в единицу времени
Рис. 9. Картина рассеяния частицы в поле точечного заряда.
Искомая сила есть сумма всех &F2, относящихся к До, соответствующим разным прицельным параметрам, то есть
р2х
F2 = v>2nmu2--------2лрДр. (11.27)
р2+р2х
Подробное суммирование при Др->0 носит в высшей математике название интегрирования и приводит к такому результату:
4 л п /ртах
F=----е*----In (-----
in и2 \ р
(11.28)
Неопределенным в формуле (11.28) есть максимальный прицельный параметр р|Пах. Несколько ниже мы найдем ему величину.
Величина In (pmax/p^) играет весьма важную роль в теории парных кулоновских столкновений частиц в плазме, поэтому она носит специальное название кулоновского логарифма (обозначается часто буквой X). Эта величина показывает, что рассеяния на малые углы (самый малый из них соответствует ртах) вносят во взаимодействие вклад, который в кулоновский логарифм раз боль-rt
ше вклада от рассеяния на углы порядка -----. Для термоядерной
2
плазмы, как будет показано ниже, величина кулоновского логарифма составляет примерно 10—20.
40
Несмотря на то, что изменение траектории теперь происходит плавно, мы можем условно ввести понятия средней длины свободного пробега /, среднего времени между последовательными соударениями т, средней частоты столкновений. При этом под т будем понимать среднее время, за которое произойдет поворот траектории на угол, примерно равный единице, то есть импульс частицы изменится на порядок величины. Соответствующее I связано с т формулой, аналогичной (11.23). Используя (11.28), можно определить т как отношение первоначального импульса ти к величине F:
ти т2и3
Формула (11.29) показывает, что величина т может быть оценена с помощью весьма простых рассуждений на основе формулы (11.23).
Определим вначале по порядку величины сечение рассеяния на большие углы ст±. Величина радиуса этого сечения приблизительно равна радиусу «минимального» сближения частиц, когда потенциальная энергия становится равной кинетической:
е2 ти2 2е2
— ~-------- или
р 1П I п 2
Откуда
2
О —Лргп1п~ , , • X т2и2
Однако мы знаем, что полное сечение рассеяния Ополи определяется рассеянием на малые углы, эффективность которого в кулоновский логарифм раз больше рассеяния на малые углы; таким образом,
ти2
4 ле4
Ополн^ А.(Т^ .
(11.30)
Используя (11.23) и (11.30), получаем для т выражение (11.29).
Если мы вернемся к движению заряженной частицы в плазме, то в (11.29) необходимо вместо массы т и скорости и подставлять соответственно приведенную
41
тлпгг
массу М-—-~п _^т и среднюю скорость относительного движения частиц.
Резюмируем кратко сказанное. В случае короткодействующих сил (описывающих, например, взаимодействие заряженных частиц с нейтральными) траектории частиц в газе представляют собой хаотически изломанные линии, состоящие из отдельных прямолинейных участков. При этом можно ввести понятие сечения рассеяния, которое позволяет найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между последовательными столкновениями.
В случае дальнодействующих (кулоновских) сил основной вклад во взаимодействие дают рассеяния частиц на малые углы, плавно изменяющие траекторию частиц. При этом, однако, также можно ввести понятие сечений рассеяния средних длин свободного пробега и времен между соударениями.
§ II. 3. Квазинейтральность плазмы.
Дебаевский радиус и ленгмюровская частота.
Уточнение понятия «плазма»
Одним из важнейших свойств плазмы является ее стремление к приблизительному сохранению равенства плотностей положительно и отрицательно заряженных частиц. Иначе говорят, что плазма стремится сохранить квазинейтральность.
Рассмотрим простейшую плазменную систему — плазму без магнитного поля, состоящую из электронов и одного сорта ионов с не сильно разнящимися температурами. Тогда, казалось бы, электроны, имеющие гораздо большие средние скорости теплового движения, намного быстрее, чем ионы, будут покидать плазму, что приведет к значительной разности концентраций ионов и электронов.
Однако это не так. «Уход из плазмы даже небольшого количества электронов приводит к появлению в ней сильного электрического поля, которое препятствует уходу электронов, то есть уменьшению их плотности.
Проиллюстрируем сказанное выше численным примером. Пусть есть разреженная плазма с плотностью
42
1014 частиц в 1 с№ (эта плотность в 100 тыс. раз меньше плотности нейтрального газа, находящегося при атмосферном давлении и комнатной температуре). Предположим, что в слое плазмы длиной 1 см плотность электронов всего на 1 % меньше плотности ионов. Подсчитаем, какое при этом образуется поле. В соответствии с законами электростатистики, если на длине х равномерно распределен заряд Q, то возникающее электрическое поле 11
£=4nQx. (11.31)
В нашем примере х=1 см, Q = e-10,2=4,8-102 ед. CGSE, следовательно, £'=144 000 В/см.
Естественно, до образования столь больших электрических полей дело не дойдет. Иными словами, для плазмы с указанными плотностями реальное неравенство плотностей положительно и отрицательно заряженных частиц, или, как часто говорят, разделение зарядов, как мы видели из приведенной оценки, невозможно, на очень малых масштабах оно может быть заметным.
Определим, с каким временным масштабом происходит замедление разделения скорости зарядов. Как известно, ускорение или замедление электронов в электрическом поле определяется формулой
е
w=-----Е. (11.32)
т
Электрическое поле, вызываемое смещением электронов плотностью пе относительно ионов, определяется, как уже говорилось, формулой (11.31), где Q = = —4л/гех; таким образом,
£= — 4лепех. (11.33)
Подставляя (II.33) в (11.32), получим уравнение, описывающее движение электронов при их смещении относительно ионов: 11
11 В общем случае электрическое поле, создаваемое зарядом Q, распределенным по х произвольным образом, определяется уравнением £'=4nQ (11.31). Тут Ег имеет смысл скорости изменения электрического поля в х-направлении, то -есть Е' = ЬЕ/&х при исчезающе малых значениях Дх, а Д£=£(х4-Дх)—£(х).
43
4лпее2
(11.34)
w — —---------------х.
in
Стоящая в правой части (11.33) сила, как и при упругих колебаниях, пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению, а это, как известно, при малых отклонениях от положения равновесия приводит к колебательному характеру движения с частотой 12
—
(11.35)
Рассмотренные нами колебания электронов относительно ионов называются ленгмюровскими, или плазменными, колебаниями. Соответствующая этим колебаниям частота называется электронной ленгмюров-ской, или плазменной, частотой.
Нетрудно определить также и пространственный масштаб разделения зарядов. Из (11.34) следует, что при разделении зарядов на отдельный электрон действует возвращающая сила FSt связанная с возникновением препятствующего разделению зарядов электрического поля и составляющая —4ле2/гх. Приравнивая работу этой замедляющей силы 2ле2пх2 средней кинетической энергии движения электрона в заданном на-
- 2 т vx правлении — ——, находим х0 — пространственный
масштаб разделения зарядов:
Отсюда
-2 mvx Т
2лпе2х2=—-—=----.
0 2 2
ХО = ГЛ =
(11.36)
12 Упругие колебания материальной точки, подвешенной на пружине, удовлетворяют уравнению mw=—kx. Для этих колебаний
частота <о =
k
m
44
Часто удобно пользоваться такой записью (11.36):
v rD=------, (П.37)
(Оре где
т~
—•. m
Величина rD называется дебаевским радиусом. Она, так же как и ленгмюровская частота, играет важнейшую роль в физике плазмы.
Приведем численные значения характерных ленгмю-ровских частот и дебаевских радиусов. Как видно из (11.35), ленгмюровская частота определяется лишь плотностью плазмы. Для упоминавшихся в начале параграфа плотностей порядка 1014 частиц в 1 см3
У 4л-1014-(4,8-10-10)2
-------—----------«10+"с-> (II.38)
Для определения дебаевского радиуса необходимо, помимо значения плотности, также знать температуру или среднюю тепловую скорость движения частиц. Так, при термоядерных температурах 7« 104 эВ
Гв«10-2см. (П.39)
Как видно из (11.36), дебаевский радиус пропорционален корню квадратному из отношения температуры к плотности. Это означает, в частности, что для весьма малых плотностей дебаевский радиус может стать весьма большим. Тогда, если размеры системы значительно меньше дебаевского радиуса, возникающие от разделения зарядов поля практически не влияют на движение заряженных частиц и разделение зарядов может быть полным. В этом случае нет также коллективних колебаний электронов относительно ионов — ленгмюровских колебаний. Таким образом, при размерах системы меньших, чем дебаевский радиус, плазменные коллективные свойства фактически исчезают.
Исходя из этого, уточним понятие «плазма». Под плазмой будем понимать газ, который состоит из электронов и ионов и занимает объем с линейными размерами, превосходящими дебаевский радиус.
45
§ П. 4. Термодинамика плазмы. Глубина проникновения электрического поля в плазму. Определение величины кулоновского логарифма
Общим свойством замкнутых систем (то есть систем, для которых взаимодействиями с окружающими их объектами можно пренебречь) является стремление к устранению некоторого стационарного состояния, называемого состоянием теплового равновесия. К этому состоянию замкнутая система приходит за счет взаимодействия частиц, составляющих ее. В плазме переход к равновесному состоянию осуществляется за счет столкновений.
Не будем здесь подробно рассматривать переходы в состояние теплового равновесия; приведем лишь оценки времен этих переходов. Сосредоточим основное внимание на свойствах систем, находящихся в состоянии теплового равновесия. Прежде чем перейти к термодинамике плазмы, укажем, когда плазма может находиться в состоянии теплового термодинамического равновесия. Поскольку причиной перехода к состоянию термодинамического равновесия является перераспределение энергии между частицами в результате столкновений, время перехода в это состояние является по порядку величины временем обмена энергией между частицами.
Это время мы можем оценить, приняв, пока на веру, что характерная величина кулоновского логарифма для плазмы примерно равна десяти. Сам процесс перехода системы в состояние термодинамического равновесия называют обычно релаксацией системы. Время релаксации электронной компоненты те в полностью ионизованной плазме отличается от времени релаксационной компоненты п и от времени релаксации всей плазмы в целом Па- В самом деле, обмен энергией между электронами происходит за время, приблизительно равное среднему времени электрон-электронных столкновений [см. (11.29)]:
ГЩт Те»---------
V2 яле4?.
(11.40)
46
Ионы релаксируют за счет ион-ионных столкновений. Соответствующее столкновительное время определяет релаксацию внутри ионной компоненты:
|'2 лне4Х
Итак, сперва релаксируют электроны к своей темпе-
УМ
~~пГ
раз большее, происходит релаксация ионов к температуре Ti. Затем наступает время обмена энергией между электронами и ионами, приводящее к релаксации всей системы. Это время также можно оценить, исходя из
М
простых соображений. Если бы мы собрали ------ элек-
т
тронов и столкнули их с одним ионом, то между ними произошел бы заметный обмен энергией, так как интенсивный обмен энергией имеет место лишь при столкновениях одинаковых масс. Легко сообразить, что того же эффекта можно достичь, сталкивая последовательно
М
приблизительно --- электронов с ионом. Таким обра-
т
зом, для заметного обмена энергией между ионами и м
электронами нужно набрать а-------- электрон-ионных:
столкновений (где а — численный коэффициент, близкий к единице).
Поскольку скорость относительного движения электронов и ионов определяется (при не очень разнящихся Те и Ti) электронной скоростью, то
м
tei = a--Те. (11.42)
т
Строгие вычисления показывают, что аУ2=0,4. Следовательно, полностью равновесной плазма становится за времена, превышающие те,-. За времена, меньшие, чем (11.42), электроны и ионы плазмы могут иметь раз
47
личные температуры. В низкотемпературной плазме при условии, что время столкновений с нейтральными частицами меньше времени кулоновских соударений, вначале происходит выравнивание температур ионов и нейтральных частиц, а затем за большее время релаксирует электронная компонента. Оценки релаксационного времени производятся по формуле (11.23) с учетом того, что, так же как и при электрон-ионной релаксации, для
Мп заметной передачи энергии необходимо накопить -----
/л столкновений (где Мп — масса нейтральной частицы).
Из (11.40) — (11.42) видно, что с увеличением температуры релаксационные времена растут пропорционально температуре в степени 3/2 и при высоких температурах для разреженной плазмы могут быть весьма большими. Иначе говоря, в течение значительного промежутка времени высокотемпературная плазма может не находиться в состоянии термодинамического равновесия. Напротив, плотная низкотемпературная, в частности слабоионизованная, плазма обычно находится в термодинамически равновесном состоянии.
Рассмотрим конкретные примеры. Пусть плотность водородной плазмы порядка 1014 частиц в 1 см3, а температура — порядка 104 эВ (термоядерные параметры), тогда
Те^З-10-3С, Тг~ 1 ,‘2-10-1 C, Xei ^6 С. (11.43)
Заметим сразу, что времена, характерные для развития коллективных процессов в высокотемпературной плазме, обычно значительно меньше, чем (11.43). Так, при рассмотрении ленгмюровских колебаний можно часто не учитывать столкновений частиц. Для приводимого нами примера м^Ю14 период ленгмюровских колебаний
т^10-нс, (11.44)
что намного меньше времен релаксаций (11.43). Поэтому при рассмотрении коллективных движений высокотемпературной плазмы парными столкновениями можно пренебречь. Подобное приближение называют приближением бесстолкновительной плазмы. В такой плазме — и это будет видно из дальнейшего рассказа —
48
преобладающую роль играют коллективные процессы.
Обратимся теперь к рассмотрению термодинамических свойств плазмы. Основным понятием, характеризующим термодинамически равновесное состояние, является температура. От нее зависит распределение энергии между частицами плазмы. Поэтому, зная температуру, можно найти средние значения величин, зависящих от энергии.
Введем понятие функции распределения частиц по энергиям. С этой целью всю энергетическую шкалу разобьем на очень малые участки Де и примем за единицу измерения энергии величину Де. В качестве функции распределения частиц по энергиям изберем функцию 7V(e), показывающую, какое среднее число частиц имеется в том или ином единичном интервале энергий. Впервые вид функции распределения по кинетическим энергиям частиц газа, не обладающих внутренней структурой, установил выдающийся английский ученый Дж. К. Максвелл:
&KHU
2 ----- Т
V(e)=Vo----------Уекип е , (11.45)
Ул(6Г)3
где Vo — число частиц газа. Часто вместо функции V(e) используют функцию распределения по энергиям частиц, находящихся в единичном объеме; она обозначается и(е). Очевидно, что
8кин
V(Скин) 2УеКин Т
( 8 к и н ) ==---= Ц о---------
(11.46)
Ул(йТ')3
где 1/ — объем, занимаемый газом. Ясно, что функция распределения л(е), просуммированная по всем интервалам энергии Де,
даст величину л0 — плотность числа частиц.
Распределения (11,45) и (11.46) частиц по энергиям называют обычно максвелловскими. Проанализируем основные свойства таких распределений. Прежде всего отметим, что температура входит в (11.45) и (11.46) как параметр, определяющий ход кривой л(е) — распределение частиц по энергиям в термодинамически равновесном состоянии (рис. 10). Функция п(е) стремится к пулю при
Рис. 10. Распределение частиц по энергиям.
стремлении энергии к нулю,
а это означает, что в равновесном состоянии нет частиц с нулевыми энергиями. Нс существует также частиц и с бесконечно боль-
4—3451
49
шими энершямн — функция п(е) экспоненциально убывает при стремлении е к бесконечности. Иными словами» среднее число частиц с энергиями, намного превышающими kTt есть величина экспоненциально малая. Максимальное число частиц находится вблизи
1
энергий етах=------&Т, то есть /z(e) имеет максимум в этой точке.
2
С помощью (11.45) можно найти средние значения величин, являющихся функцией энергии частиц. Для этого л(е) — число частиц с энергией е — нужно умножить на указанную функцию от энергии, просуммировать это произведение по всем единичным интервалам энергии Де, результат разделить на п0 — число частиц в единичном объеме. В частности, найденная таким способом средняя энергия хаотического движения частиц в равновесном состоянии
_ 3
е=-----kT. (11.46 а)
2
Распределение Максвелла позволяет также найти связь давления, оказываемого частицами газа, с температурой этого газа, иными словами, найти уравнение состояния
рос*----Т(X,
(П.47)
где индекс а обозначает сорт частиц.
Давление плазмы, состоящей из ионов и электронов, равно сумме давлений отдельных компонент. Как уже указывалось, внутрикомпонентная релаксация в плазме происходит быстрее, чем межкомпонентная, вследствие чего электронная и ионная температуры могут заметно отличаться. В то же время плотности электронов и ионов практически равны, что приводит к следующему выражению для давления плазмы:
Рпл — ,
(11.48)
где п — плотность электронов или ионов.
До сих пор мы говорили о газе частиц, не находящемся во внешнем поле. Выдающийся австрийский физик Л. Больцман показал, что плотность газа, находящегося во внешнем поле в термодинамически равновесном состоянии, определяется формулой
O(X.V.«)
па{х, у, г) =Ло(0)е *т
(11.49)
50
Тут n(0) — плотность частиц в точке, где U — потенциальная энергия частиц в заданном поле — равна нулю. Таким образом, функция распределения частиц по энергиям во внешнем поле имеет вид
Вкин4“^
2 ___~
n(e)=n(0)---------Пекине . (П.50>
Это распределение называют распределением Максвелла—Больцмана.
Формула (11.49) позволяет решить вопрос о глубине проникновения в плазму внешнего электрического поля. В самом деле, в соответствии с (11.31)
E'(x)=4nQ(x), (11.51)
где
Q = e[n£ (х)— пе(х)].
В равновесном состоянии плотности электронов и ионов описываются формулой (11.49) — формулой Больцмана. Иначе говорят, что электроны и ионы распределены в пространстве по Больцману:
—е<р вф
krT
гц=пое , лв==пое . (11.52)
Для малых полей ---------<^1 показатели соответствующих экс-
kT
понент в (11.52) малы. Как известно, экспонента может быть представлена в виде ряда
а2
еа= 1+а+-------+ ... (11.53)
2
При малых значениях показателя экспоненты а в (11.52) можно ограничиться первыми двумя членами разложения:
еаа; 1-f-ct. (11.54)
Следовательно, для малых полей уравнение (11.51) с учетом (11.52) и (11.54) можно записать в виде
Ф
£'=-----— , (11.55)
г2 D
где
rD = у --------------.
» 8лл ег
4*
51
При равных Ti и Те приведенное здесь выражение для гd совпадает с (11.36). Так как электрическое поле равно с обратным знаком скорости пространственного изменения потенциала ср, то есть
Е= — ф'» (11.56)
то решением, затухающим внутрь плазмы от границы, где приложено внешнее электрическое поле напряженностью Ео, служит выражение х
Е(х)=Еое . (11.57)
Из (11.57) следует, что внешнее поле проникает в плазму на глубину порядка дебаевского радиуса го.
Этот вывод позволяет нам вернуться к вопросу о величине кулоновского логарифма X. В выражении (11.28) нами не определен максимальный прицельный параметр рШах. Заметим, что если Ртах
------10, дву-трехкратная ошибка в определении ртах не по-Р
влияет практически на определение величины X, так как логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Например, пусть мы определили, что р/ртах=105, и при этом вдвое занизили результат, то есть реальное отношение (р/ртах)р составляет 2-Ю5, тогда
X=ln ( Pm-aI ) = 1п2-105 = 51п 10+1п2. \ Р Лр
Поскольку 1п2 намного меньше In 105, им можно пренебречь при определении X. Это означает, что достаточно определить Ртах по порядку величины.
Нетрудно понять, что поле пробного заряда (в задаче о силе трения заряда в плазме, см. § II.2) можно рассматривать как внешнее поле в плазме. В соответствии с (11.57) это поле будет экранироваться на расстояниях порядка дебаевского радиуса. Следовательно, максимальный прицельный парамето для частиц, еще испытывающих кулоновское взаимодействие, будет также порядка дебаевского радиуса, то есть
Ртах Го, (11.58)
что дает следующее выражение для кулоновского логарифма:
го (kT)4>
Х=1п-------=ln — (11.59)
У4лпое2
52
Приведем численное значение кулоновского логарифма для плазмы плотностью пт 1014 частиц в 1 см3, kTm 104 эВ:
Х=20. (П.60)
§ II. 5. Ионизационное равновесие. Формула Саха
Здесь более подробно, чем в гл. I, будет рассмотрен процесс перехода нейтрального газа в состояние плазмы. Остановимся на термическом способе ионизации. Если процесс образования плазмы за счет нагрева исходного газа происходит медленно, в течение времени, заметно превосходящего релаксационные времена, то можно считать, что в каждый данный момент система плазма— газ находится в термодинамически равновесном состоянии. Таким образом, для решения задачи необходимо прежде всего изучить равновесное состояние системы плазма—газ. Простоты ради рассмотрим одноатомный газ.
С точки зрения термодинамики систем с переменным числом частиц ионизационное равновесие представляет собой частный случай химического равновесия, соответствующий следующим одновременно происходящим реакциям ионизации:
Лоч^Л1-|-е—; ; • • •, (11.61)
где Ао обозначает нейтральный атом, Ль Л2 — однодвукратно ионизованные атомы и т. д. Когда прямой и обратный процессы протекают по одному и тому же пути, тогда условие баланса скоростей прямого и обратного процессов (так называемый принцип детального равновесия) дает возможность установить связь между концентрациями частиц, участвующих в реакциях ионизации. Например, если ионизация своим возникновением обязана электрон-нейтральным или электрон-ион-ным столкновениям, то обратный процесс рекомбинации происходит при тройных столкновениях частиц. Процесс, обратный фотоионизации, — рекомбинация с испусканием фотонов.
Условия детального равновесия выполняются в замкнутых системах, то есть в системах, для которых обменом энергией и частицами с окружающими системами можно пренебречь, изучая само равновесие. Такая си
53
туация осуществляется в низкотемпературной плазме тогда, когда ее плотность достаточно велика. В этом случае основными процессами, приводящими к так называемому ионизационному равновесию, являются ионизация за счет электронного удара и рекомбинация при тройных столкновениях.
В разреженной плазме ионизационное равновесие может не устанавливаться. При малых плотностях тройные соударения маловероятны, поэтому процессом, определяющим ионизацию, является фотоионизация. Но тогда, при условии, что плазма прозрачна для соответствующих фотонов, образующихся при обратном процессе рекомбинации с испусканием фотона, ионизационное равновесие не наступает. Все же и в этом случае можно добиться установления в системе ионизационного равновесия, окружая ее оболочкой, отражающей фотоны.
Для всех атомов (кроме атома водорода, имеющего один электрон) ионизация является ступенчатой. Это значит, что вначале происходит однократная ионизация, то есть из атома выбивается наиболее слабосвязанный электрон, затем последовательно выбиваются другие электроны. Для каждой ступени ионизации условие ионизационного равновесия, возникшего за счет ионизации электронным ударом и рекомбинации при тройных столкновениях, выражается формулой, полученной индийским ученым М. Саха:
Л rti 1--------
—— * hT (”-62) zif—1 Л п
Тут rii — концентрация i-кратно ионизованных ионов, Ц — i-й потенциал ионизации, пе — концентрация электронов, Л — так называемая дебройлевская длина волны электрона, то есть величина, равная:
1г л/ kT
Л=------, v= I/ --------, (11.63)
mv • 2m
где ft — постоянная Планка (« 10~27 эрг*с). Для водородной плазмы формулу Саха можно упростить, введя понятие степени ионизации а. Величина а
54
представляет собой отношение плотности ионизованных частиц к начальной плотности соответствующих атомов По. Так как в водородной плазме присутствуют только однозарядные ионы, то с учетом квазинейтральности
п1 = пе=п.
(11.64)
Из (11.62) можно получить
i
е™?
а
(11.65)
У НоХ3
График а как функция Т приведен на рис. 11. Из него, так же как и из (11.65), видно, что если при Т—10 000 К
Рис. 11. Зависимость коэффициента ионизации от температуры.
а больше 10%, то при Т—30 000 К на 2-Ю4 положительных ионов водорода приходится всего лишь один нейтральный атом.
§ II. 6. Кинетическое описание плазмы.
Понятие самосогласованного поля.
Характер изменения функции распределения за счет кулоновских соударений
Наиболее строго плазма описывается с помощью кинетических уравнений для функций распределения электронов и ионов по скоростям, которые необходимо решать совместно с уравнениями Максвелла для электрического и магнитного полей. Здесь мы не будем приводить н исследовать эту систему уравнений, так как опа сформулирована в терминах высшей математики.
Разберем лишь их основные качественные результаты. Прежде всего о функции распределения частиц по скоростям. Ее определение аналогично определению функции распределения по энергиям. Функцией распределения частиц по скоростям называется такая функция компонент скоростей f (vXt uz), которая показывает, какое число частиц находится в малом интервале скоростей от
55
vx + Avx; Vy+Auyj v2+Avz до Ux, vVt vt. Так, установленная Максвеллом функция распределения частиц (не обладающих внутренней структурой) по скоростям в термодинамически .равновесном состоянии
2 2 2
m(vx+vw+vz)
/ т \ V?
f(vx, vy, vz) ~п (------ I e
\ 2nkT /
2kT
(11.66)
Из этой функции можно получить (11.45).
Для процессов, которые описываются величинами, зависящими не только от времени, но и от координат (например, для волновых процессов), необходимо ввести зависимость функции распределения также от координат. Иными словами, перейти к функции распределения частиц по координатам и скоростям. Эта функция — будем ее обозначать f (х, г/, г, vXt vy, vZi t] — зависит от времени и показывает, какое число частиц в момент времени t с координатами, находящимися в интервале от х+Дх, г/4-Дг/, г+Дг до х, у, z, и скоростями, расположенными в интервале от ух+Дух, vv+Avv, Уг+Дуг до Vx, Цу, t/z. В частности, функция распределения, соответствующая распределению по энергиям Максвелла—Больцмана, не зависит от времени:
f (X, у, Z, VXf Vy, Vz) =
т 2 z 2
— (vx+vv+vz)+U(x, у, z) 2
(m \ ‘is hi
------ ) e . (П.67)
2nkT /
Уравнение, описывающее изменение зависимости функции распределения от времени t, координат х, у, z и компонент скорости ^х, vy, называется кинетическим. Оно связывает скорость изменения во времени функции распределения с ее изменением в обычном пространстве и пространстве скоростей.
Для того чтобы лучше пояснить основные особенности этого уравнения, сделаем небольшое отступление.
Как хорошо известно, движение частицы в обычном пространстве происходит по некоторой линии, называемой траекторией движения частицы. Траектория показывает, как изменяются х, у, z — координаты частицы — в зависимости от времени. Если компоненты скоростей Ух, Vz изменяются во времени, то в системе координат, по соответствующим осям которой отложены значения компонент скоростей vx, vv, Vz, можно также провести линию, именуемую часто траекторией частицы в пространстве скоростей (то есть в указанной системе координат).
При отсутствии столкновений частиц их траектории в пространстве скоростей представляют собой непрерывные линии в связи с тем, что во внешнем поле компоненты скоростей изменяются непрерывным образом.
56
Столкновения, происходящие, как мы считаем, мгновенно, изменяют скорости частиц скачком. Это означает, что траектория частицы в пространстве скоростей обрывается в момент столкновении в одной точке и начинается в другой точке этого пространства сразу же вслед за моментом столкновения (рис. 12). Если столкновения происходят с небольшим изменением скоростей (как, на-
пример, при кулоновских столкновениях с большими прицельными параметрами р), скачки траектории в пространстве скоростей невелики.
Вернемся к рассмотрению свойств кинетического уравнения. Как будет видно из дальнейшего, кинетические уравнения для короткодействующих и дальнодействующих сил существенно отличаются и такое различие связано прежде всего с так называемым самосогласованным по-
Рис. 12. Изменение траекторий частиц в х-, v-
лем. пространстве в результа-
Попытаемся объяснить это каче- те столкновений.
СТВенно. , / и 2 — траектории частиц
Рассмотрим вначале, как о пи- ® росгранств^ А°
г ’ *, столкновения; г и 2 —
сывает кинетическое уравнение свои- после столкновения, ства функции распределения газа невзаимодействующих частиц. (Напоминаем, что в газе взаимодействие частиц мало.) При отсутствии взаимодействий частицы движутся по непрерывным траекториям как в обычном координатном пространстве, так и в пространстве скоростей. В пространстве скоростей нет точек окончания и возобновления траекторий, иными словами, нет точек стоков и источников частиц. Поэтому изменение функции распределения подобно изменению плотности жидкости, непрерывно движущейся в пространстве, где нет. источников и стоков этой жидкости, с тем различием, что непрерывное движение осуществляется не только в координатном пространстве, но и в пространстве скоростей. Уравнения, описывающие подобные движения, хорошо известны и называются уравнениями непрерывности.
Разберем теперь, какие изменения в кинетическое уравнение для частиц внесет учет их взаимодействий, вызванных короткодействующими силами, иными словами, столкновений. В обычном про-
странстве траектории частиц остаются непрерывными — появляются лишь изломы в точках, где произошло столкновение. В пространстве скоростей в моменты столкновений появляются стоки и источники частиц. Если при столкновениях не происходят химические реакции, то число источников равно числу стоков, то есть полное число частиц сохраняется.
Таким образом, в кинетическое уравнение добавляется слагаемое, описывающее изменение во времени функции распределения за счет столкновений и отражающее нарушение непрерывного в пространстве скоростей движения частиц. Обычно это слагаемое называют столкновительным членом, или интегралом столкновений.
Для дальнодействующих кулоновских сил ситуация не является такой простой. В самом деле, с одной сто
57
роны, весь ансамбль движущихся в плазме заряженных частиц создает электрические и магнитные поля, которые в свою очередь влияют на движение заряженных частиц, а поэтому должны входить в кинетическое уравнение (наряду с внешними полями). Такие электромагнитные поля называются самосогласованными. (Мы уже упоминали самосогласованное электрическое поле в § II.3, где рассматривались ленгмюровские колебания плазмы.) С другой стороны, происходят также парные столкновения частиц, расположенных сравнительно близко друг от друга.
Как отделить в плазме вклад двухчастичного кулоновского взаимодействия в самосогласованное поле от вклада в столкновения частиц? Такая сложная задача, имеющая принципиальный характер, была решена выдающимся советским физиком и математиком Н. Н. Боголюбовым. Он показал, что: 1) токи и заряды плазмы (которые могут быть вычислены с помощью функции распределения f) входят в уравнения Максвелла наравне с внешними токами и зарядами; 2) возбуждаемое плазменными токами и зарядами электромагнитное поле входит в кинетические уравнения для заряженных частиц наравне с внешними полями (то есть это электромагнитное поле — самосогласованное); 3) двухчастичные взаимодействия дают в интеграл столкновений вклад, •обусловленный рассеянием на малые углы частиц, находящихся на расстояниях, не превышающих дебаевский радиус.
Это означает; в частности, что характерные столкновительные времена и длины в плазме можно рассчитывать по формулам, приведенным в § II.2 и II.4.
Столкновительные члены в кинетических уравнениях, описывающие изменение во времени соответствующих функций распределения, которое происходит за счет кулоновских столкновений, имеют весьма специфический вид и резко отличаются от столкновительных членов, отражающих взаимодействие с помощью короткодействующих сил, Оказывается, кулоновские столкновения не изменяют характера кинетического уравнения. Оно также имеет вид уравнения непрерывности не только- в обычном пространстве, но и в пространстве скоростей.
Постараемся качественно объяснить это обстоятельство. Как неоднократно подчеркивалось, основной вклад в столкновительные процессы, связанные с кулоновски взаимодействующими частицами, вносят рассеяния на малые углы, то есть рассеяния с малыми изменениями скорости частиц (напоминаем, что этот вклад в кулоновский логарифм раз превышает вклад от столкновений, резко
58
изменяющих скорости частиц). Таким образом, можно рассматривать лишь малые скачки траекторий частиц в пространстве скоростей. Отсюда следует, что траектории частиц можно приближенно считать непрерывными, учитывая, однако, их среднее изменение за счет малых скачков. Такое квазинепрерывное «движение» частиц в пространстве скоростей напоминает диффузионное движение газа или процесс выравнивания температур за счет теплопроводности.
Для того чтобы понять это сравнение, вспомним качественную картину диффузионного движения. В приближении нулевой длины свободного пробега газ полностью аналогичен жидкости — фактически мы все частицы приблизили друг к другу и пренебрегли их перемещениями относительно друг друга. Поэтому все они могут двигаться лишь с одной скоростью, называемой обычно массовой. Поток газа через произвольно выбранную поверхность определяется в этом случае значением плотности только на самой поверхности. Такой поток называют иногда кинематическим. Однако если мы учтем конечность длины свободного пробега, то заметим, что частицы уже не будут обладать одной скоростью (существует тепловой разброс скоростей), а поток будет определяться плотностью не только на границе, но и в ее окрестностях на расстояниях, приближающихся к длине свободного пробега. Тогда, когда плотность на поверхности не совпадает точно с плотностью на расстояниях порядка длины свободного пробега (иными словами, газ неоднороден), в смеси газов возникает дополнительный поток, пропорциональный скорости пространственного изменения плотности, характеризующей упомянутую выше разность плотностей. Такой поток называется диффузионным.
Вернемся-к изменению функции распределения за счет далеких соударений, то есть за счет соударений с малым изменением скорости. Пренебрегая эффектом малых скачков скоростей из-за кулоновских соударений, получим поток частиц в пространстве скоростей через некоторую фиксированную поверхность, определяемый числом частиц, находящихся на этой поверхности, то есть значением функции распределения на рассматриваемой поверхности. Однако через поверхность могут пройти также частицы, находящиеся на расстоянии среднего скачка скоростей. Таким образом, подобно диффузионному движению в обычном пространстве поток частиц в пространстве скоростей определяется разностью значений функции распределения на «расстоянии» среднего скачка скоростей, а эта разность пропорциональна скорости изменения функции распределения в пространстве скоростей. Следовательно, изменение во времени функции распределения за счет кулоновских столкновений имеет характер диффузии в пространстве скоростей, а это означает. что кинетическое уравнение сохранило вид уравнения непрерывности как в обычном пространстве, так и в пространстве скоростей, несмотря на учет столкновений.
Впервые на это важное отличие кулоновских столкновений от столкновений нейтральных частиц указал выдающийся советский физик Л. Д. Ландау. Приведенное им количественное рассмотрение подтвердило качественные соображения.
Всегда ли в плазме необходимо учитывать столкновения? Для ответа на этот вопрос нужно знать хотя бы порядок величин характерных времен интересующих нас
59
процессов. Ясно, что если некоторый процесс развивается за времена, намного меньшие столкновительных, столкновениями частиц можно пренебречь!3. Приближение, в котором не учитываются столкновения частиц, называется приближением бесстолкновительной плазмы. Отсюда, однако, не следует, что в этом приближении мы не учитываем кулоновских взаимодействий, поскольку они являются причиной появления самосогласованного электромагнитного поля.
§ II. 7. В каких случаях плазма ведет себя как смесь электронной и ионной жидкостей
Приближенное описание плазмы с помощью уравнений для двух жидкостей — электронной и ионной — имеет большую область применимости. Этим описанием часто пользуются при анализе различных процессов не только в столкновительной, но и в бесстолкновительной плазме. Уравнения, описывающие движение жидкости, обычно называют уравнениями гидродинамики. Поэтому рассматриваемое приближение часто именуют приближением двухжидкостной гидродинамики.
В столкновительной плазме такое приближение хорошо «работает» тогда, когда интересующие нас пространственно-временные масштабы намного больше средних длин свободных пробегов и соответствующих столкновительных времен. В этом случае частицы локализованы в объемах, масштабы которых близки к средней длине свободного пробега, и поэтому газ частиц выглядит как жидкость, где частицы «упакованы». Хотя плотность «упаковки» частиц в жидкостях и газах различна, с точки зрения крупномасштабных движений это не играет принципиальной роли — отличие проявляется в основном в разнице плотностей и сжимаемости.
То, что электронная и ионная компоненты плазмы релаксируют с разной скоростью за счет внутрикомпо-нентных соударений, позволяет рассматривать их как разные жидкости — электронную и ионную, каждая из которых обладает своей массовой скоростью и температурой. Это отнюдь не означает, что жидкости сов-ер-
13 Примерами таких процессов могут служить волновые процессы, происходящие в высокотемпературной плазме (см. далее).
60
шенно независимы. Кулоновские взаимодействия частиц плазмы (как о том говорилось в предыдущем параграфе) являются причиной возникновения самосогласованного электромагнитного поля, воздействующего, естественно, как на ионы, так и на электроны.
Помимо самосогласованного поля «связывают» эти жидкости также и межкомпонентные столкновения, приводящие к обмену энергией и импульсом между компонентами, то есть к выравниванию электронной и ионной температур и появлению трения одной компоненты о другую.
В бесстолкновительной плазме также может быть использовано приближение двухжидкостной гидродинамики. Так, для движений поперек магнитного поля роль длины свободного пробега частицы играет ее ларморовский радиус — вращающаяся по ларморовской окружности частица локализована в направлениях, поперечных направлению силовых линий магнитного поля. Поэтому для поперечных относительно магнитного поля движений, характерные пространственно-временные масштабы которых значительно превосходят ларморовский радиус и время обращения по ларморовской окружности, плазма ведет себя как жидкость.
Гидродинамическое описание может быть использовано и для продольных по отношению к магнитному полю движений бесстолкновительной плазмы. Здесь частицы «связываются» уже не столкновениями и не магнитным полем, а самосогласованным электрическим полем.
Критерий применимости двухжидкостного описания плазмы в этом случае можно получить из сравнения электрической силы с силой давления, возникающей вследствие теплового движения частиц. Если скорости теплового движения малы по сравнению со скоростями направленного движения соответствующей компоненты плазмы, то можно применить двухжидкостное описание плазмы.
Частые столкновения частиц постоянно изменяют вектор скорости, как говорят, «перемешивают» энергию хаотического движения частиц в разных направлениях. Именно поэтому давление является изотропным (одинаковым во всех направлениях). При отсутствии столкновений такое перемешивание исчезает и давление по
61
разным направлениям может быть различным. В магнитном поле все же имеется перемешивание между двумя направлениями, перпендикулярными силовым линиям магнитного поля.
Действительно, магнитное поле вращает частицы, все время изменяя направление их скоростей в поперечном направлении. Это означает, что если интересоваться временами, намного большими, чем период обращения по ларморовской окружности, то их можно усреднить по быстрому вращению, что естественно приводит к равнораспределению (в среднем) энергии по поперечным степеням свободы. Таким образом, неперемешанными остаются энергии продольного и поперечного движений, следствием чего является возможность существования различных давлений в продольном р{] и перпендикулярном по отношению к постоянному магнитному полю направлениях.
Поскольку причины, позволяющие применять гидродинамическое приближение к описанию продольных и поперечных движений, различны, то по разным законам изменяются в процессе движения продольное и поперечное р± давления. И даже если в начальной стадии эти давления одинаковы, они окажутся разными при дальнейшей динамике плазмы.
Вернемся снова к столкновительной плазме и рассмотрим, за какие гидродинамические процессы ответственны те или иные столкновения частиц. Прежде всего скажем несколько слов общего характера. Проведем вначале классификацию релаксационных процессов в двухкомпонентной смеси электронного и ионного газов. (Напомним, что термин «релаксация» означает стремление газа к состоянию термодинамического равновесия.) С этой целью обратимся еще раз к равновесной функции распределения частиц по скоростям.
Пусть весь газ движется с постоянной средней скоростью и. Тогда термодинамически равновесное распределение частиц по скоростям имеет вид.
—т
(vx^vxy+(vv—Vy)2+(vz—vz)2
Хе
2ЬТ
(11.68)
62
где v — значение скорости частицы в системе координат, относительно которой газ движется 14 15.
Если бы во всех точках объема, занимаемого газом, плотность, температура, средняя скорость движения были одинаковыми, это означало бы, что мы имеем дело с движением газа, в котором произошла полная релаксация.
Рассмотрим, каким путем газ может прийти к такому состоянию. Допустим, что вначале газ неоднороден в пространстве, то есть средние значения плотности, энергии и скорости являются функциями координат. Тогда снова произойдет релаксация к термодинамически равновесному состоянию [описанному распределением по скоростям Максвелла (11.68)] в объемах с размерами, которые намного меньше размеров полного объема, но гораздо больше длины свободного пробега. Это случай так называемой релаксации к локальному термодинамически равновесному состоянию Отсюда следует, что газ приближенно описывается максвелловской функцией распределения с плотностью, средней скоростью и температурой, являющимися функциями координат и времени.
Таким образом, в рассматриваемом приближении поведение плазмы можно описать, не прибегая к функции распределения частиц по скоростям, а более простым способом — с помощью уравнений для л, v и Г. Эти уравнения могут быть получены из кинетического уравнения; их называют уравнениями гидродинамики или газодинамики данного газа. Уравнение для плотности п. именуют уравнением непрерывности. (В покоящейся смеси газов она описывает диффузию.) Уравнение для
14 Для того чтобы получить вид функции распределения в лабораторной системе координат, относительно которой газ движется со скоростью и, необходимо в (11.67), где функция распределения записана в системе координат, относительно которой газ как целое покоится, выразить значение скорости в системе покоя газа через ее значение в лабораторной системе координат.
15 Факт независимости релаксации параметров плазмы к своим локальным равновесным состояниям с отличающимися значениями плотности, скорости и температуры можно понять из следующих рассуждений. Разобьем весь объем плазмы на эти малые объемы. Взаимодействие плазмы в выделенном малом объеме с соседними объемами происходит через узкий слой частиц, лежащих вблизи поверхности на расстоянии порядка длины свободного пробега. Это взаимодействие носит, как говорят, поверхностный характер. Если размеры выделенного объема значительно превосходят длину свободного пробега, то поверхностное взаимодействие мало. Иначе говоря, плазму в таком объеме можно приближенно считать квази-замкнутой системой, в которой релаксация происходит независимо от «соседей».
63
изменения скорости является уравнением движения (это уравнение Ньютона, распространенное на сплошную среду). Уравнение для температуры описывает распространение тепла в газе и для покоящегося газа переходит в уравнение теплопроводности. Эти уравнения иначе называют уравнениями переноса, так как они описывают перенос массы газа (уравнение непрерывности), перенос импульса (уравнение движения) и перенос энергии (уравнение для температуры) при различных движениях газа.
Из сказанного ясно, почему явления диффузии, вязкости, трения, теплопроводности, проводимости называют обычно явлениями переноса. Такие явления обусловлены столкновениями. Явления диффузии, вязкости, теплопроводности — это соответственно перенос массы газа, импульса и температуры, связанный с неоднородностью также соответственно плотности, скорости и температуры, причем диффузия обусловлена межкомпонентными столкновениями, а вязкость (иначе — внутреннее трение) и теплопроводность — внутрикомпонент-ными соударениями.
§ II. 8. Уравнение непрерывности для электронной и ионной компонент плазмы. Диффузия в плазме, связанная с электрон-ионными парными столкновениями
Для того чтобы иметь возможность качественно проанализировать уравнение переноса в плазме, сделаем небольшое отступление. Введем понятие скорости изменения величин во времени и в пространстве. Под скоростью изменения величины Q во времени (подобно тому, как это делается для мгновенной скорости изменения коор-
динаты частицы или просто скорости) будем понимать величину Q, определяемую соотношением
AQ
Q =-----; AQ = Q(/+A/)—Q(Q (11.69)
AZ
при малых значениях А/. Причем приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше AZ (для величин, линейно изменяющихся со временем, то есть Q = 4Z, скорость изменения Q, есте-
ственно, постоянна и, как это следует из (11.69), Q=A). Аналогично определяется «скорость» изменения величин в пространстве.
Для простоты будем считать, что плотность п, средняя ско-
—>
рость v и температура Т зависят лишь от одной координаты х.
64
Тогда pf — «скорость» изменения в пространстве некоторой величины р, являющейся функцией п, и, Т (в частности, это могут быть сами величины л, и, Т или их произведения), определяется соотношением
Др
р'ж-----; Др = р(х4~Дх)— р(х). (11.70)
Дх
Здесь также приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше величина Дх.
Теперь разберем, какой вид имеют уравнения для каждой компоненты плазмы.
Уравнение переноса массы компоненты газа называют обычно уравнением непрерывности (индексом а в дальнейшем будем обозначать величины, относящиеся к а-й компоненте i —t для ионов и е — для электронов). Для того чтобы вывести уравнение, обратимся к рис. 13. Здесь изображен малый объем газа, которому
Рис. 13. Течение жидкости через малый объем.
для простоты придана форма небольшого параллелепипеда. Масса объема представляет собой произведение плотности частиц ла на массу отдельной частицы Ма и на величину объема:
W=п Ма W=naMaS Дх, (11.71)
(Z ос сл ис (Л ' *
где S — площадь поверхности грани, перпендикулярной направлению х, а Дх — размер соответствующего ребра параллелепипеда.
Рассмотрим простейший случай, когда скорость газа v направлена вдоль оси х. Тогда за малое время Д^ через поверхность Л, лежащую в плоскости с координатой х, в объем W втечет количество жидкости с массой
М i = М апа (x)Sva(x)M.
(П.72)
За то же время из объема W вытечет (через поверхность В, относящую от А на расстоянии Дх) количество жидкости с массой
Д42 = Л1а/га(х+Дх)5уа(х+Дх)ДЛ (11.73)
Разность между и М2 равняется изменению массы жидкости в объеме W за время Д/, которое в свою очередь составляет10
16 В (11.74) учтено, что если Дх мало, то плотность изменяется незначительно.
5-3451
65
&ma W = Мапа ('+^0 SAx—Maii (Z) SAx. (Ц.74)
Используя (11.72) — (11.74), получаем
MaS [na (x) va (x) — na(x+Ax) va(x+Ax) ] AZ=
= MaS[/za(Z+AO— na(/)]Ax. (11.75)
Сокращая в (11.75) одинаковый массовый множитель и деля обе части на произведение VZA/, получаем
Ап Д(паиа)
—----------я. (П.76)
AZ Ах
При выбранных нами малых значениях Ах и это означает, что
na=-(n<xVa),>
(11.77)
то есть скорость изменения во времени плотности na равняется с обратным знаком «скорости» пространственного изменения потока плотности naVa.
Уравнение (11.77) называют уравнением непрерывности. Смысл этого названия фактически раскрыт в приведенном выводе. Отметим, что в уравнение непрерывности вошла величина средней скорости газа va. Это означает, что для определения изменения плотности со временем и в пространстве необходимо знать скорость иа. Такая величина определяется уравнением движения. Уравнения для рассматриваемого нами случая (когда скорость направлена вдоль х и от этой же координаты зависят все величины) выведены в следующем параграфе.
Отметим, что рассматриваемый пример называют одномерной двухжидкостной гидродинамикой.
Обратимся теперь к вопросу о диффузии в плазме. Обычно поток частиц данной компоненты газа при движении в некоторой среде, слабо связанной с исследуемой компонентой (такой средой может быть, в частности, другая компонента газа), можно разбить на две части — кинематическую и. диффузионную. Кинематической называют ту часть общего потока частиц а-ком-поненты газа, которая совпадала бы с полным потоком в том случае, если бы частицы a-компоненты не испытывали рассеяния за счет взаимодействия с указанной выше средой.
Определим диффузионный поток, полагая при этом, что кинематический отсутствует. Рассмотрим поток ча
«6
стиц, возникающий вследствие зависимости плотности па от координаты х (рис. 14). Каждая частица за время между соударениями с частицами среды т смещается на расстояние Дх равновероятно вправо и влево. Поэтому
через плоскость х=х0 в положительном направлении пройдет половина частиц, испытавших столкновения в слое от х0—Дх до Хо, вторая половина двинется в отрицательном направлении. Число частиц, про-
Рис. 14. Профиль плотности
плазмы.
шедших слева направо через поверхность х=х0 за единицу
времени в положительном на-
правлении, обозначается /+ и определяется так:
1г Дл т Дх
;+=——Дх] —
Дх
« [«о (*) — п' (х) Дх] .
Левосторонний поток 1 Дх
/_=— [ПоЧ-п'Дх] —.
Диффузионный поток возникает из-за отсутствия равенства правостороннего и левостороннего потоков (справа налево идет больше частиц, так как плотность в точке x-f-Дх выше, чем в точке х—Дх):
(Дх)2
/=/+—/- --------n'^—Dn', (11.78)
где ,
(Дх)2
D=--------. (11.79)
т
Величину Da называют коэффициентом диффузии; она определяет скорость выравнивания концентрации a-компоненты. С учетом (11.78) получаем уравнение непрерывности в следующем виде:
5'
67
n = (Dti')'.
(11.80)
Его именуют уравнением диффузии.
Если на стенках сосуда частицы поглощаются, то мы можем, зная вывод (11.80), грубо оценить тух-— время ухода газа из заданного объема на соответствующие
п п -
стенки. В этом случае -------, (Dn')'mD----; где п —
Тух L2
среднее значение плотности на рассматриваемой длине L.
Подставляя указанные величины в (11.80), получаем
L2
тух~—. (11.81)
Итак, зная коэффициент диффузии D, можно в нейтральном газе определить время ухода a-компоненты на поглощающие стенки.
Диффузионные процессы, происходящие в плазме, отличаются от диффузии в газах, а это связано с квази-нейтральностыо плазмы. Мы уже знаем (см. § Н.З), что отклонение от квазинейтральности в плазме не может быть значительным: возникающие даже при слабом отклонении сильные электрические поля препятствуют дальнейшему разделению зарядов. Поэтому, если скорости диффузии различных компонент (определяемые соответствующими коэффициентами диффузии) заметно отличаются, процесс в целом будет определяться более медленной диффузией.
В самом деле, вначале за малое время быстро диффундирующие частицы отрываются на небольшое расстояние (порядка дебаевского радиуса) от частиц, медленно диффундирующих. Но при этом возникает электрическое поле, которое прекращает дальнейший отрыв. Поле, правда, несколько ускоряет медленно диффундирующие частицы, но такое ускорение приблизительно вдвое увеличивает скорость их потока, определяющий общий диффузионный поток плазмы.
Диффузия плазмы, скорость которой определяется медленно диффундирующей компонентой, называется амбиполярной.
68
В плазме без магнитного поля быстрее диффундируют электроны. Следовательно, в этих условиях коэффициент диффузии плазмы приблизительно равен удвоенному ионному коэффициенту диффузии. Подсчитаем соответствующие смещения Дх и времена т, определяющие [см. (11.79)] ионный коэффициент диффузии. Ионная диффузия (как и электронная) зависит от электрон-ион-ных столкновений. Входящее в (11.79) время т имеет смысл времени изменения на порядок величины импульса диффундирующих частиц. Поскольку за одно столкновение импульс ионов изменяется на величину импульса электронов, то на порядок своей величины он изме-
УМ
--- столкновений,
откуда время, характеризующее диффузию ионов,
м
Тег*
т
(П.82)
За это время ион сместится на расстояние Дх:
. р
ДХгЯ^и^т,- .
Следовательно, коэффициент диффузии плазмы
TVs
М'Але’пА,
(П.83)
Мы пользуемся здесь обозначением Dn, потому что этим же коэффициентом определяется уход плазмы в продольном по отношению к магнитному полю направлении, ибо магнитное поле не влияет на продольное движение частиц. Диффузия плазмы поперек сильного магнитного поля определяется уже не ионной, а электронной компонентой.
Легко оценить этот коэффициент диффузии. За время одного электрон-ионного столкновения xet электрон смещается на величину, приблизительно равную его лар-
69
моровскому радиусу (импульс изменяется на порядок величины). Следовательно,
Z)H«2Z)e^ —
-L Tei
пегпсг\ут
(11.84)
Н^Т
Используя (11.84) и (11.85), можно показать, насколько эффективно магнитное удержание плазмы. Учитывая (11.81), легко прийти к выводу, что отношение времени удержания плазмы в магнитном поле т ко времени удержания плазмы без магнитного поля Гц представляет собой величину, обратную отношению соответствующих коэффициентов диффузии:
D
(11.85)
Величину шаха называют часто параметром замагни-ченности частиц сорта а.
Формула (11.85) совместно с (11.81) показывает, что для эквивалентного по времени удержания плазмы без
магнитного поля нужны размеры в Уо),ТгСОеТе раз больше, чем в замагниченной плазме. Чтобы представить, насколько значительными будут эти размеры, оценим величину, стоящую под корнем для следующих параметров термоядерных установок: Т«104 эВ, п«1014, Н= = 5-104Э, L±=20 см. Для этого случая ©гТг«6-107
<BeTe«2,5- 108, 7cOiTitt)eTe~ Ю8.
Таким образом, эквивалентные указанным 20 см размеры плазмы, не удерживаемой магнитным полем,
2-Ю9 см=2-104 км!
Оценим попутно время удержания плазмы для указанных параметров. Используя (11.81) и (11.74), получим
туд«5.102с. (11.86)
Проведенный анализ показывает, что плазма может эффективно удерживаться магнитным полем. Коэффи
70
циент диффузии плазмы поперек магнитного поля с возрастанием последнего уменьшается, он обратно пропорционален квадрату напряженности магнитного поля. На принципе магнитного удержания плазмы основаны ква-зистационарные термоядерные установки.
Формулы, приведенные здесь, не всегда определяют время удержания плазмы. Так, если плазма неустойчива по отношению к самовозбуждению хаотических колебаний, то обычно рассеяние частиц на таких колебаниях приводит к коэффициентам диффузии, существенно превышающим (11.85).
§ II. 9. Уравнение движения компонент плазмы.
Сила электрон-ионного трения.
Процессы вязкости, или внутреннего трения
Теперь нетрудно понять, какими должны быть уравнения движения электронной и ионной компонент плазмы. Применяя рассуждения, подобные использованным при выделении уравнения непрерывности, и учитывая, что изменение во времени импульса жидкости, находящейся в объеме II/, происходит не только вследствие втекания и вытекания, но и под действием внешних и внутренних сил (таких, как силы давления и самосогласованного электромагнитного поля), получаем:
Fx
Ma(nava}=-Ma(nav2y+—^-. (11.87)
а
Здесь Fx — сумма внешних и внутренних сил, которые дей-а
ствуют в направлении Ох на соответствующую компоненту газа, находящуюся в объеме W. Уравнение (IL87) можно упростить, используя уравнение непрерывности (11.80):
Fx
Mana(va+vava) =~^~' (IL88)
Это наиболее часто употребляемый вид уравнения движения, допускающий простую физическую интерпретацию. Стоящая в скобках величина представляет собой полное ускорение жидкости не в неподвижной точке объема, а изменение скорости малого объема жидкости (иногда говорят «частицы жидкости»), передвигающегося со скоростью va.
В самом деле, изменение скорости передвигающейся частицы Ауцолн состоит из изменения скорости в течение времени А/вблизи рассматриваемой точки пространства:
ДУ1 = У(/+Д/>Х)— и(/,х), <11.89)
71
и из разности скоростей в двух точках, разделенных расстоянием Дх, которое частица жидкости, движущаяся со скоростью о, прошла за время Д/:
ДV2= v (/, х+Дх) —V (t, х). (11.90)
Деля оба слагаемых на Д£ и учитывая, что Дх=пД/, а также используя формулы (11.69), (11.70), получаем, что полное ускорение
Диполи ДУ1 Д^2 йпол и --------= | =
ы ы. ы
• Дуг = с> + ^---—u-j-v'j'. (11,91)
Дх
Таким образом, (11.88) выражает закон Ньютона, записанный для движущейся жидкости.
Расшифруем смысл силы, стоящей в (11.88):
Fx = FP +F3 +FTP +FD +FB„ . (11.92)
a a a a a a
Здесь FP — сила, обусловленная давлением плазмы; F9 — a a
сила, действующая на компоненту плазмы со стороны самосогласованного поля; Ftp — сила трения одной компоненты плазмы об a
другую; Fn — сила вязкости, или внутреннего трения; Рвн — a a
сила, действующая со стороны внешних полей.
Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности.
Сила давления Fp . В соответствии с § П.4 давление ком-a
поненты
Ра="аЛг (11.93)
Как известно из школьного курса физики, давление есть сила, действующая на единичную поверхность газа. Сила, действующая на указанный на рис. 12 объем W,
FPa=Pa(x)S-pa(x+Ax)S = -Wpa, (11.94)
то есть
(11.95)
Сила самосогласованного поля. Легко записать силу электрического поля (самосогласованная сила Лоренца в рассматриваемом примере отсутствует):
72
Fz = ea,naWE* нли ---------= eanaE*- (11.56)
<4 W
Сила трения может быть записана нами, исходя из качественных соображений 17. При столкновениях электронов с ионами скорость первых резко изменяет свое направление. Иначе говоря, за время, примерно равное времени электрон-ионных столкновений xei (не путать со временем передачи энергии от электронов к ионам!), электрон теряет свою упорядоченную скорость u=ve—и, и, следовательно, утрачивает импульс тси. Соответствующая сила представляет собой отношение изменения утраченного импульса ко времени Те,, за которое этот импульс утрачивается.
Следовательно, на электроны, находящиеся в объеме W, действует сила трения, направленная против их движения:
meneW (Ve—Vi)
(11.97)
Время tei в (11.97) с точностью до множителя У2 совпадает со временем тее электрон-электронных соударений. Из (11.97)
F тр е mcne(ve—Vi)
Из закона сохранения импульса следует, что в результате трения ионы приобретают утрачиваемый электронами импульс, то есть
Ftp
i mcne(Ui—Ve)
Если учесть также трение между электронами и ионами, возникающее из-за разности тепловых скоростей, то к (11.99) добавится так называемая термосила:
^Трт
------= — $пТе, где р» 1. (11.99 а)
Сила вязкости, или внутреннего трения, может быть получена с помощью соображений, использованных нами при определении диффузионного потока. Только теперь нужно найти не поток числа частиц, а поток импульса. Следует подчеркнуть, что поток импульса связан с внутрикомпонентными столкновениями.
17 Здесь пока не будем рассматривать вопрос о так называемой термосиле — силе трения, возникающей за счет неоднородности температуры. Ввиду громоздкости вывода, выражение для термосилы будет приведено без вывода.
73
Определим (подобно тому, как это делалось в предыдущем параграфе для диффузионного потока) разность потоков импульса, переносимых слева направо и справа налево с расстояний, приблизительно равных длине свободного пробега. При этом будем считать, что профиль скорости аналогичен профилю плотности, приведенному на рис. 12. Тогда поток х-компоненты импульса, переносимый в х-направлении с расстояний, примерно равных длине свободного пробега, будет
2 /а
лхх = — Matia------v=— 1]о va, (II.100)
где la — средняя длина свободного пробега по отношению к вну-трикомпонентным столкновениям, та — соответствующее ей время. Величина т]о носит название коэффициента вязкости. Соответ-a
ствующая (11.100) сила есть «скорость» пространственного изменения потока лЖх, взятая с обратным знаком, то есть
FB а
IF
= (По v'a)'-
<а
(11.101)
Итак, уравнения движения (которые являются уравнениями переноса соответствующего импульса) имеют вид
для электронов:
т€пе mne(Ve+VeVe)=—Pe—eneE---------(ue—Vi) —
Xci
Гв
e
-$nTe+ (t]oe Ve) +-^— - (11.102)
для ионов: , mene
Mni(yi+ViVi )=—pi+etiiE-\--------(ye—Vi)+
Xei
F nu
V, )4----—-
i Ц7
(11.103)
Как видно из (11.02) и (11.103), в эти уравнения вошли электронная и ионная температуры, которые определяются из уравнений переноса энергии, рассмотренных в следующем параграфе.
74
§ 11. 10. Перенос энергии в плазме. Процесс выравнивания электронной и ионной температур. Джоулев разогрев плазмы.
Теплопроводность ионной и электронной жидкостей
Не будем подробно останавливаться на выводе уравнения переноса энергии в плазме, так как он подобен выводу уравнений непрерывности и движения. Укажем лишь, что учитывается при выводе этого уравнения, и приведем его вид для одномерной модели
(то есть для случая, когда v || Ох и все величины зависят только от х).
При выводе уравнений переноса энергии необходимо учесть изменение со временем энергии соответствующей компоненты плаз-3
мы [равной ----пТ, см. (11.46)]. Изменение это является след-
2
ствием: 1) втекания и вытекания жидкости из объема; 2) работы всех сил, действующих на эту компоненту, которая находится в рассматриваемом объеме (силы приведены в предыдущем параграфе); 3) связанного с неоднородностью температуры потока энергии, переносимого частицами с расстояний порядка длины свободного пробега и определяющего явление теплопроводности плазмы; 4) скорости выравнивания электронной и ионной температур плазмы. Производя при этом упрощения за счет использования уравнения непрерывности и уравнения движения, получим в случае одномерной модели.
для электронов:
3 ,
---Пе(Тe~\~VcTс) —Це—ftexx^e^Qel (II. 104)
2
для ионов:
3
---ni(Ti+viTi )+pxVi =— qi—Hixx^i+Qi, (IL105) 2
где qa — поток энергии а-й компоненты, определяемый столкновениями; Qe — тепло, выделяющееся в электронах вследствие столкновений с ионами; Qi — аналогичная величина для ионов.
Процесс передачи энергии от электронов к ионам, как указывалось в § II.4, протекает приблизительно в /И
раз медленнее, чем процесс электронной релаксации. Поэтому величина Qi определяется следующей формулой:
3 пе
ei
75
Зт л(
= —— (Ге-Л). (П.106),
/н Те
Несколько иначе обстоит дело с энерговыделением в электронной компоненте. Здесь Qe — величина изменения энергии в единицу времени за счет электрон-ион-ных соударений — состоит из двух разных по физической сути слагаемых. Первое определяет разогрев электронов за счет трения о практически неподвижные ионы. Такой процесс переводит (за время, примерно равное времени одного столкновения электрона с ионом) поддерживаемую внешним полем энергию направленного движения электронов в энергию их хаотического движения. При этом на разогрев электронов расходуется энергия внешнего поля. Если внешнее поле электрическое, то этот процесс соответствует джоулеву разогреву плазмы (вернее, ее электронной компоненты). Второе слагаемое равняется величине Qi, определяемой формулой (11.106), с обратным знаком. Это прямое следствие закона сохранения энергии: прибыль энергии в ионах равна убыли этой энергии в электронах. Таким образом,
пгпи2
Qe= — Qi—F TpU=c~~ —
3in ne
-----(11.107) /И Те
(Как будет видно из дальнейшего, первое слагаемое при квазистационарном протекании тока имеет вид о£2.)
Поговорим теперь о теплопроводности электронной и ионной жидкостей. Рассмотрим поток энергии qa, связанный с тепловым движением частиц. Этот поток возникает вследствие неоднородности профиля температуры. Его можно найти, так же как это делалось для диффузионного потока, из разности потоков энергии с расстояний смещения Дх в результате одного столкновения слева направо и справа налево от точки х:
(А*)2 ,
qa=—n——-Тл=— хаТа, (II.108)
где
(А*)2
Хв=П--------. (11.109)
76
Чтобы полнее проанализировать явление теплопроводности, разберем случай, когда и электронная и ионная компоненты покоятся, то есть Vi=ve=0, а плотности fii=ne=n постоянны. Будем интересоваться временами, меньшими, чем время обмена энергией между электронной и ионной компонентами. Тогда слагаемым Qi в уравнениях переноса энергии можно пренебречь. За времена, намного большие чем т<?, в рассматриваемом случае произойдет выравнивание температур, Те станет равной Ti и уравнения примут довольно простой вид:
Т=
(11.110)
Это уравнение и называется уравнением теплопроводности.
Оценим время выравнивания температуры, а для случаев, когда температура стенок равна нулю 18, время
т остывания плазмы. Заменяя Т на --------, а величину,
(11.111)
неоднородности и при исследо-
х Т стоящую в правой части (11.110), на — п
аналогично (П.81),
£2/1 £2
Тт ~-----=-------т.
х (Дх)2
где L — размер системы в направлении температуры.
При изучении теплопроводности, как
вании диффузии, необходимо рассмотреть отдельно теплопроводность плазмы без магнитного поля (теплопроводность вдоль направления силовых линий магнитного поля, как легко понять, будет такой же) п теплопроводность плазмы поперек сильного магнитного поля.
В плазме без магнитного поля коэффициент электронной теплопроводности намного больше коэффициен
18 Конечно же, это условно. Точнее было бы считать эту температуру намного меньшей средней температуры плазмы.
77
та ионной теплопроводности, то есть быстрее выравнивает свою температуру или остывает электронная компонента плазмы. Это происходит потому, что электроны значительно подвижнее ионов.
Докажем такое утверждение. Для плазмы без магнитного поля Дх~/« — длине свободного пробега по отношению к внутрикомпонентным соударениям. Следовательно,.
Ха Па, —.ПаРаХа
Т
(11.112)
или отношение коэффициентов теплопроводности, приближенно равное обратному отношению времен выравнивания температуры,
М Тр
Тт m
(11.113)
Таким образом, время выравнивания электронной
температуры в у ---- раз меньше времени выравнива
ния ионной температуры. Это означает, что в плазме без магнитного поля, соприкасающейся со стенками, вначале «остывают» электроны, а затем ионы.
Все наши выводы о плазме без магнитного поля справедливы и для процессов выравнивания продольных по отношению к магнитному полю температур, поскольку магнитное поле не влияет на движение частиц в продольном направлении.
Теплопроводность поперек сильного магнитного поля может быть оценена с помощью формулы (11.109), в которую вместо Дх следует подставить соответствующий ларморовский радиус:
х , «и —— al ©г т на.
(11.114)
Рассмотрим теперь отношение электронного и ионного коэффициентов теплопроводности. Из (11.114) следует, что
Тт н
4 e-L tn
Гт х М
е 41
(11.115)
Мы получим соотношение, обратное (11.113), откуда следует, что в поперечном магнитному полю направлении сперва «остывают» ионы, а уж затем за время, в
УМ
---раз большее, «остывают» электроны, m
Если сравнить поперечную и продольную теплопроводности плазмы, то увидим, что поперечная теплопроводность в квадраты соответствующих параметров за-магниченности раз меньше, чем продольная.
§ И. 11. Полная система уравнений одномерной двухжидкостной гидродинамики
Подытожим результаты трех последних параграфов.
Система гидродинамических уравнений для электронной и ионной жидкостей должна быть дополнена уравнениями Максвелла для самосогласованного поля. В рассматриваемом одномерном случае магнитное поле отсутствует. Поэтому к гидродинамическим уравнениям необходимо дописать уравнение Пуассона, уже приводившееся ранее [см. (11.51)]:
Е'=4ле(л<—ле). (11.116)
Система же уравнений двухжидкостной гидродинамики приобретает следующий вид:
— (11.117)
/ mene
mnetVe+VeVe) =—ре—еПеЕ-------------(ue~ У7)-|-
Т
Ет$ Е вп г те
+ (Ло М'+----------+-------; (11.118)
е Г Г
тспе Mtii(Vi+ViVi) = —Pi+eniE-\->----------(ve—у,) +
т
/*"тр Е вн
79
3 ' ' ' *
___ni(Ti + ViTi)+PiVi= — qe—n€xxVc+Qe', (II. 120) 2
——ni (Ti+ViTi)+piVi = -— Qi—ftixxVi+Qi. (11,121)
2
(Величины Лхх, qi, e, Qe, i определены в предыдущих параграфах.) Система уравнений (11.116)—(11.121) является замкнутой (то есть число независимых уравнений равно числу независимых переменных). В дальнейшем она будет использована при изучении электростатических колебаний плазмы, называемых продольными.
§ II. 12. Проводимость плазмы.
Закон Ома для плазмы.
Эффективность токового разогрева плазмы
Одно из важнейших свойств плазмы — ее способность великолепно проводить ток. Основной характеристикой любого проводника является величина удельной проводимости о 19. Чем больше величина удельной проводимости, тем выше плотность тока (при одном и том же значении поля), а поэтому лучшим проводником является рассматриваемая среда. Как будет видно из приведенных ниже формул, проводимость плазмы, особенно высокотемпературной, на много порядков может превосходить проводимость лучших проводников, таких, например, как медь.
Определим величину проводимости плазмы. Как известно, удельная проводимость представляет собой коэффициент пропорциональности между плотностью тока / и напряженностью электрического поля Е:
j = oE. (11.122)
Это и есть закон Ома. Для плазмы без магнитного поля закон Ома можно получить из уравнений движения одномерной двухжидкостной гидродинамики, выведенных в § П.9 и приведенных в § 11.11.
Разберем более подробно явление протекания тока в плазме. На первый взгляд кажется странным, что не
19 Иногда используют вместо а величину, обратную ей — 1
удельное сопротивление р==----.
о
80
ускорение носителей заряда, а их средняя скорость пропорциональна напряженности постоянного электрического поля. Ведь, как мы знаем из § II.1, ускорение заряженной частицы массы т, обладающей зарядом q, можно выразить зависимостью
а следовательно, скорость
q
----Et. (11.123) т
Казалось бы, частицы в плазме непрерывно должны ускоряться. Причем в основном ускоряются электроны, обладающие значительно меньшей массой, чем ионы (масса наиболее легкого иона водорода в 1840 раз больше массы электрона). На самом деле частицы ускоряются за время, равное времени свободного пробега по отношению к электрон-ионным соударениям, причем ускорением за этот период иона по сравнению с ускорением электрона- можно пренебречь. (Оно в худшем случае в 1840 раз меньше. Следовательно, ионы можно считать практически неподвижными.)
• При столкновении с ионом электрон теряет свой направленный импульс, ионы хаотизируют направление движения электронов. Таким образом возникает сила торможения, препятствующая ускорению электрона в постоянном электрическом поле. Эта средняя сила торможения является силой трения электронной жидкости об ионную (см. § II.9). Заметим попутно, что элек-трон-электронные соударения не тормозят в среднем электроны, так как сохраняют полный импульс электронной жидкости.
Приведенные качественные рассуждения подкрепляются хотя и простым, но достаточно строгим математическим выводом, использующим уравнение одномерного движения. Пусть мы имеем дело с пространственно однородной плазмой. Это означает, что «скорости» пространственного изменения всех величин равны нулю. При стационарном протекании тока нулю равно также ускорение, тогда из (11.118) следует, что
6-3451 81
tne
----u=—eE. (П.124)
(Отметим еще раз, что и с большой степенью точности совпадает с ve, то есть ионы можно считать неподвижными.)
Плотность тока в квазинейтральной плазме
j = en.iVi—etieve=en(Vi—ve) = епи, (11.125)
ГДе П{ — Пе = П.
Подставляя в эту формулу значение и, получаем закон Ома для плазмы:
пе2те,
/ == Е=аалЕ.
тп
(П.126)
Тут
ne2tel On л .
т
Подставляя выражение (11.29) для тег-, получаем
апл=-----(11.127)
Это весьма интересный результат: проводимость полностью ионизованной плазмы не зависит от плотности зарядов п. На первый взгляд, такой вывод кажется неестественным. Казалось бы, увеличение количества электронов, переносящих ток, должно повысить проводимость. Однако это не так! Плазма квазинейтральна, и потому увеличение количества электронов приводит к точно такому же увеличению количества ионов. Это означает, что возрастает число «неподвижных» центров, на которых происходит рассеяние электронов, повысится средняя сила трения отдельного электрона об ионы, а результатом увеличения силы трения является уменьшение скорости электронов. В итоге увеличения плотности электронов и уменьшения их скорости электрический ток остается постоянным.
82
Еще раз подчеркнем, что этот результат получен для полностью ионизованной плазмы, где электроны замедляются лишь за счет трения об ионы.
В низкотемпературной плазме ситуация может быть другой. В общем случае, при произвольном соотношении времен электрон-ионных и электрон-нейтральных соударений, к силе трения электронов об ионы добавляется сила трения электронов о газ нейтральных частиц.
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, дают следующую формулу для проводимости низкотемпературной плазмы:
rte2TeiTeo сг=-----------— >
П1(Та+Хео)
где те0 — среднее время столкновения между электроном и нейтральной частицей. Так как тео не зависит от плотности электронов, то появляется зависимость проводимости от плотности электронов.
Отметим ещу одну важную особенность формулы (11.127). Если проводимость металлов в широком диапазоне температур не зависит от температуры, то проводимость плазмы повышается с возрастанием температуры Т пропорционально Т3/< Такой результат — следствие зависимости сечения кулоновского взаимодействия от энергии частиц: сила трения электронов об ионы падает обратно пропорционально энергии движения электронов в степени 3/2. Иными словами, чем больше энергия электрона, тем меньше времени он будет’ находиться в области взаимодействия с неподвижным ионом. Это и есть причина, приводящая к уменьшению эффективности взаимодействия с возрастанием энергии.
Заканчивая рассмотрение вопроса о проводимости плазмы, отметим, что законом Ома и понятием проводимости в плазме можно пользоваться в продолжение времен, больших, чем среднее время между столкновениями электрона с тяжелыми частицами (ионами и нейтральными частицами), и на длинах, заметно превосходящих соответствующую длину свободного пробега, так как в противоположном случае сила трения не успевает компенсировать ускорение электронов во внешнем поле.
Остановимся на вопросе об эффективности токового разогрева. В § 11.10 получено уравнение, описывающее изменение электронной температуры во времени. Для
6
83
пространственно однородной плазмы это уравнение описывает два процесса — нагрев электронов за счет трения об ионы и передачу энергии от электронов к ионам. Рассмотрим скорость нагрева электронов за счет работы силы трения об ионы, то есть
3 • тепеи2
пТнаг=—-------. (П.129)
Л Лъе
Учитывая формулу (11.124), дающую связь относительной скорости с напряженностью электрического поля, а также уравнение (11.126), определяющее проводимость плазмы, уравнение (11.129) можно записать в виде
з
— п7'наг=а£2. (11.130)
Формула (11.130) выражает закон Джоуля—Ленца, известный из школьного курса. Так как ст~7”/2, то скорость, или мощность, разогрева увеличивается с возрастанием температуры плазмы. Соответственно уменьшается время разогрева плазмы. Нетрудно понять, что это .происходит вследствие увеличения с возрастанием температуры времени электронных соударений (или соответствующей длины свободного пробега).
Мы уже говорили, что с ростом средней энергии частиц эффективность электрон-ионных взаимодействий падает; соответствующее сечение уменьшается обратно пропорционально квадрату электронной температуры. Поэтому за время между последовательными электрон-ионными столкновениями электрон набирает, ускоряясь в поле, большую энергию. Иными словами, падение коэффициента трения при повышении температуры приводит к увеличению средней стационарной скорости электронов. Формула (11.130) позволяет оценить время разогрева плазмы траз, и, подставляя в о среднее значение температуры, получим
3 — п
Траз~—~ (ле2ХУ?п)-------. (П.130а)
Г'/2£2
Стоящий в скобках множитель можно считать постоянным, так как величина кулоновского логарифма % слабо зависит от температуры.
84
Следует помнить, что приведенные нами формулы и рассуждения, поясняющие их физический смысл, справедливы лишь до тех пор, пока законно применение понятия проводимости. В высокотемпературной плазме может оказаться, что интересующие нас пространственно-временные масштабы меньше столкновительных, и тогда формулы неприменимы.
Все же в некоторых случаях закон Ома оказывается справедливым. Эти случаи характеризуются появлением трения электронов об ионы не через парные столкновения, а через возбуждаемые при неустойчивостях колебания и волны. Тогда, если удается оценить тКол — время замедления электронов за счет коллективного трения об ионы, его можно подставить в формулу (11.126) вместо тег. Проводимость, характеризующая такую плазму, называется аномальной.
§ 11.13. Магнитная гидродинамика плазмы. Понятие магнитного давления.
Вмороженность силовых линий магнитного поля. Время диффузии магнитного поля в плазме.
Понятие скин-слоя
Читатель уже знает, что плазма характеризуется высокой проводимостью. Это позволяет в тех случаях, когда плазму можно рассматривать как единую сплошную среду, не различая отдельных компонент, описывать ее с помощью уравнений, подобных гидродинамическим уравнениям для жидких проводящих сред, то есть для жидких металлов. Такие уравнения носят название уравнений магнитной гидродинамики.
Чтобы лучше понять особенности магнитогидродинамической модели, можно предположить для начала, что проводимость рассматриваемой жидкости бесконечно велика. Тогда наш проводник не сможет пересекать силовые линии магнитного поля. Действительно, при пересечении силовых линий магнитного поля проводником в нем, в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, возникнет электродвижущая сила. Но так как проводник идеальный, иными словами, его проводимость бесконечна, то сколь угодно малая электродвижущая сила вызывала бы в нем, в соответствии с законом Ома, бесконечный ток, что, естественно, не
85
возможно. Поэтому наше предположение о том, что идеальный проводник может двигаться поперек магнитного поля, неверно. Следовательно, движущийся проводник потянет за собой силовые линии магнитного поля при своем движении в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Это и есть закон вмороженности силовых линий магнитного поля в идеально проводящую жидкость. Закон вмороженности можно трактовать также и как невозможность пересечения поверхности идеального проводника силовыми линиями магнитного поля. Такой факт имеет прямое экспериментальное подтверждение — магнитное поле не проникает в сверхпроводник!
Вмороженное магнитное поле оказывает на жидкость действие, аналогичное действию давления. Это давление, называемое магнитным, выражается формулой
Н2
Рк=—. (П.131)
оЛ
Величину р!Л можно определить, исходя из следующих соображений. Как уже говорилось в § II.1, сила, действующая со стороны магнитного поля на заряд е,
е
F=-----v Н (11.132)
С -L
и направлена перпендикулярно v f и Н. Учитывая двухжидкостную подструктуру нашей проводящей жидкости — плазмы, можно рассматривать элемент электронной жидкости, имеющей заряд епс, как отдельную микрочастицу. Тогда сила, действующая на этот элемент,
encv
FMc=--------— Н. (11.133)
Аналогично на единичный объем ионной жидкости действуют силы
eniV
FM.=---------н. (11.134)
Поскольку в рассматриваемом случае обе жидкости связаны между собой в единую проводящую жидкость, сила, действующая на единичный объем всей жидкости,
86
J.
FM=— H. (11.135)
С другой стороны, хорошо известно, что ток возбуждает магнитное поле. Вблизи рассматриваемого объема, на малых расстояниях Ах, магнитное поле можно определить по формуле для плоского тока, то есть добавочное за счет / магнитное поле AHZ направлено на уменьшение Hz,
4л
Д//2=—--------/ Дх, (11.136)
С -L
где х — направление, перпендикулярное направлению тока и магнитного поля. Отсюда следует, что сила определяется формулой
FM=——~~H'zHz.
4л
(11.137)
Можно показать, что
то есть
(11.138)
Сравнение с формулой (11.95) показывает, что ве-№
личина —:— ведет себя в уравнениях движения анало-8 л
гично давлению; поэтому ее и называют магнитным давлением. В частности, магнитное давление может уравновешивать давление плазмы, равное сумме электронного и ионного давлений. В этом случае изменение профиля магнитного давления должно быть противоположно изменению профиля давления плазмы.
Вмороженность силовых линий магнитного поля и Действие на проводящую жидкость со стороны магнитного поля силы, аналогичной давлению, лежат в основе многих приложений выводов магнитной гидродинамики. В частности, эти законы используются при конструиро
87
вании магнитных насосов, перекачивающих такие жидкие металлы, как ртуть и натрий. Эти же законы применяются при расчете плазменных ловушек.
Как видно из приведенных выше рассуждений, закон вмороженности силовых линий магнитного поля, строго говоря, справедлив для среды с бесконечной проводимостью. Ясно, что учет конечности проводимости должен привести к возможности медленного движения среды поперек силовых линий магнитного поля (медленного потому, что при быстрых движениях возникал бы, в соответствии с законами электромагнитной индукции и Ома, непомерно большой ток).
Процесс проникновения магнитного поля в проводник носит диффузионный характер. Поясним это на примере плазмы.
Пусть плазма удерживается постоянным магнитным полем. Это означает, что малое изменение давления плазмы полностью компенсируется давлением магнитного поля, иными словами, выполняется равенство
/ Я2 \ ДЯ
Др=Д (-—- )=Н0—— . (11.139)
,\ 8л / 4л
Отсюда следует, в частности, что изменение магнитного поля (при условии равновесия магнитного давления и давления плазмы) и давления плазмы происходит по одинаковым законам. Из § И.8 мы знаем, что плазма диффундирует сквозь магнитное поле, и потому уравнение для давления (пропорционального плотности) является также уравнением диффузионного типа. Следовательно, таким же должно быть уравнение для изменения магнитного поля:
H=(DmH'Y. (И. 140)
Оценим величину коэффициента диффузии £>,п. Для этого величину скорости диффузии магнитного поля в плазму приравниваем величине скорости диффузии плазмы, сквозь магнитное поле:
Дп дя
£>пл---&Dm—-. (11.141)
п Н '
88
Учитывая, что
Дп Др
— . (11.142)
а также связь Др с ДЯ [формула (11.139)], получаем:
//2
^пл. (11.143) 4лр--------------------'
Подставляя значение коэффициента диффузии плазмы поперек магнитного поля и учитывая выражение для проводимости а, видим, что
с2
Dm^-------. (11.144)
4ла •
Строгие вычисления показывают, что данное равенство является точным не только для плазмы, но и для металлов. Теперь, зная (11.140) и (11.144), можно оценить подобно тому, как это делалось в § II.8, время диффузии магнитного поля в проводящую среду
L2
тн«—. (11.145)
Um
Эту формулу можно трактовать и иначе: магнитное поле за время тн проникает в проводник на глубину б, определяемую из (11.145).
Рассмотрим процесс проникновения в плазму высокочастотного электромагнитного поля. Глубину проникновения магнитного поля и соответствующего тока можно оценить с помощью формулы (П.140). В самом деле, переменное магнитное поле проникает в проводник в течение полупериода высокочастотных колебаний; таким образом, глубина проникновения высокочастотной волны
6« У Dm~- (П.146)
На этой же глубине, носящей название скин-слоя (англ, skin — кожа), высокочастотное поле за счет электродвижущей силы (ЭДС) индукции возбуждает ток. Этот так называемый высокочастотный ток течет не по всему проводнику, а по узкому скин-слою.
89
Отметим, что в плазме глубина проникновения поля может быть не равна б, высокочастотные электромагнитные колебания с частотами, меньшими, чем ленгмюровская, не могут распространяться в плазме без магнитного поля. Это связано с тем, что (как показано в § II.3) разделение зарядов в плазме, поддерживающее электрическое поле, может происходить лишь за времена, меньшие, чем период ленгмюровских колебаний. В данном случае электрическое поле проникает на глубину, равную величине дебаевского радиуса (см. §11.4). Следовательно, если дебаевский радиус меньше скино-вой длины, определяемой формулой (11.146), то именно он будет определять глубину скин-слоя в плазме без магнитного поля. Надо также указать, что Dm — коэффициент диффузии магнитного поля и б — глубина скин-слоя могут определяться в турбулентной плазме не парными столкновениями, а коллективными процессами, приводящими к аномальному сопротивлению плазмы. В этом случае формулы (11.144) и (11.146) остаются справедливыми, если в них под а понимать аномальную проводимость плазмы.
Выше были рассмотрены явления, происходящие в плазме и проводящих жидкостях сходным образом. Однако даже в одножидкостном приближении, каким является приближение магнитной гидродинамики, есть существенное различие между плазмой и проводящими жидкостями. Такое различие связано с сжимаемостью. Если проводящие жидкости обладают ничтожной сжимаемостью, то сжимаемость плазмы весьма велика. Это существенное обстоятельство играет важную роль в магнитной гидродинамике плазмы.
Конечно же, не только сжимаемость отличает плазму от проводящей жидкости. При высоких частотах, например, существенную роль играет разделение зарядов, вследствие чего плазма не ведет себя как единая'смесь электронов и ионов — электронная компонента отходит от ионной. Возникают новые коллективные степени свободы, такие, как, например, рассмотренные в § П.З ленгмюровские колебания. Поэтому модель магнитной гидродинамики имеет не слишком широкую область применимости; скорости изменения величин во времени и в пространстве должны быть малыми. Это означает, что пространственно-временные масштабы, на которых за
90
метно изменяются величины, характеризующие плазму, должны быть достаточно велики — большими, чем время передачи энергии от ионов к электронам и соответствующая длина свободного пробега. Для движений поперек магнитного поля роль столкновительного времени и длины свободного пробега могут играть ларморовские периоды и радиусы.
§ П. 14. Общие сведения о волновых и колебательных процессах в плазме
Можно без преувеличения сказать, что колебательные и волновые процессы «сделали» плазму самостоятельным разделом физики, не схожим зачастую с газодинамикой нейтрального газа. Эта несхожесть обусловлена разным характером взаимодействия частиц в нейтральном газе и плазме. В нейтральном газе, как уже указывалось, частицы взаимодействуют, лишь подойдя друг к другу на расстояния, примерно равные условным размерам атомов или молекул. Поэтому здесь процессы переноса массы, импульса, энергии обусловлены фактически столкновениями частиц.
Неудивительно, что скорость распространения волн не слишком большой амплитуды, называемых звуковыми, пропорциональна средней скорости теплового движения частиц.
В плазме кулоновские взаимодействия частиц дают вклад не только в столкновения частиц, но и в образование самосогласованного электромагнитного поля (ответственного за дальнодействие частиц). Самосогласованное электромагнитное поле распространяется обычно значительно быстрее, чем хаотически движущиеся частицы. Поэтому заряженные частицы всей плазмы зачастую «оповещаются» об изменениях, происшедших в каком-то одном месте, гораздо быстрее, нежели частицы нейтрального газа. При этом частицы плазмы начинают двигаться под действием самосогласованного поля, вовлекаясь в коллективные движения — колебания и волны, характерные пространственно-временные масштабы которых обычно существенно меньше столкновп-тельных.
Как любая другая среда, плазма стремится избавиться от термодинамической неравновесности наиболее бы
91
стрым путем 20. Естественно поэтому, что в тех случаях, когда столкновительные времена велики по сравнению с характерными временами волновых и колебательных процессов, плазма стремится избавиться от термодинамической неравновесности через возбуждение колебаний и волн — так называемые неустойчивости плазмы. При этом она использует любую, так сказать, «лазейку», чтобы поскорее выйти из термодинамически неравновесного состояния. Поэтому столь большую роль в физике плазмы играют различного рода неустойчивости. Часто их развитие приводит к так называемому турбулентному режиму, когда возникающие колебания и волны являются хаотическими. В этом случае рассеяние частиц на хаотических электромагнитных полях вызывает явления переноса, не связанные с парными столкновениями; в результате возникают аномальное сопротивление, аномальная диффузия, аномальная теплопроводность. В свою очередь, последняя приводит к быстрому уходу частиц плазмы из объема удержания и к так называемому бесстолкновительному нагреву, бесстолкновитель-ным ударным волнам и т. п.
В § II.3 читатель познакомился с колебательными и волновыми процессами. Там были рассмотрены ленг-мюровские колебания плазмы, играющие весьма важную роль в ее динамике.
Прежде чем приступить к последовательному - изложению волновых свойств плазмы, расскажем о некоторых общих понятиях, используемых в теории волновых процессов, а также дадим небольшое математическое отступление
Рассмотрим вначале периодические волновые одномерные движения плазмы. Для таких движений, при малой их амплитуде, все величины, описывающие плазму, зависят синусоидально от координат и времени, то есть
= sin(—шН-6*+ф*о). (11.147)
В фиксированной точке плазмы х=х0 величины Ai синусоидально изменяются во времени. Как известно, величину ш называют частотой изменения величин во времени (или просто частотой волны). Она связана с периодом волны соотношением
20 Это утверждение лежит в основе термодинамики неравновесных процессов (см., например, книгу: Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. — М. : Изд-во иностр, лит., 1960).
92
(11.148)
co
В фиксированный момент времени величины Л, периодически изменяются в пространстве с пространственной «частотой» k. Величину k называют волновым числом. Подобно связи периода Т £ частотой со пространственный период L, называемый длиной волны, связан с волновым вектором k соотношением
2л
Х =-----. (11.149)
k
В (11.147) величину Л10 именуют амплитудой, a ф;о — начальной фазой волны. Легко видеть, что амплитуда волны Л, о равна максимальному значению величины Аг, а начальная фаза <Pio определяет значение величины Аг в начальный момент /==0 и в точке х=хо. Величину
ф1==—<of-f-£x+<pio (11.150)
называют фазой волны, причем, как видно из (11.150), ср — линейная функция координаты и времени. Равным значением фазы ср(х,/) соответствуют [см. (11.147)] одинаковые значения величин
Важным понятием, характеризующим распространение волны в среде, является фазовая скорость — скорость распространения фиксированного значения фазы (или, что то же самое, фиксированного значения Л,). Условие постоянства фазы дает связь фазовой скорости с частотой и волновым вектором. Условие
—со/+£х+фо = const = cpi
можно переписать в виде
СО (pi—фо со
х==-^-Н------------=-----/+Хо, (11.151)
k k k
то есть
со X
г>Ф=----=-----. (11.152)
k Т
Как видно из (11.152), фазовая скорость не зависит от х и t, а это означает, что произвольные фиксированные значения величин А. движутся с одной и той же скоростью
(О
Отметим также, что, как легко видеть, если -------<с, то в
k
со системе координат xf, движущейся с фазовой скоростью ---------,
k исчезает временная зависимость величин Л,- от t. В этой системе координат
93
A i ==Л iosin (&х'+фо).
(11.153)
При различных вычислениях удобнее пользоваться не синусами и косинусами, а экспоненциальными функциями от соответствующих мнимых аргументов. Напомним, что
ei<x = cos а-Н sin а, (11.154)
то есть sin а есть мнимая часть е1а:
sin a = /m(e’a)t
Поэтому в промежуточных вычислениях имеют дело с комплексными величинами выделяя действительные величины в конце вычислений.
Очень удобно пользоваться экспоненциальными функциями от мнимых аргументов при вычислении временных и пространственных скоростей изменения величин. Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть нас интересуют колебания груза на упругой пружине. Тогда сила упругости, возвращающая груз к положению равновесия, направлена против смещения и пропорциональна величине смещения х (закон Гука).
Следовательно, уравнение движения имеет вид
tna = —kx. (11.155)
Это уравнение, как известно, описывает синусоидальные колебания материальной точки около положения равновесия:
x=xosin со/,
(11.156)
где
т/ k
(О — ----
т
Известно также, что скорость и ускорение определяются следующими выражениями:
и — хосо cos со/, a = —Xoco2sin со/. (11.157)
Покажем это, используя вместо синусов и косинусов функцию
Прежде всего найдем скорость изменения комплексной величины:
х = хое^\ (П.158)
Напомним, что скорость изменения величины х есть
Дх х»------,
Д/
94
где Дх=х(/+А/)—х(/), а А/ мало. Учитывая (11.158), получаем
Дх=х0[е*<й((+д*>—=Xoei0t [е1шД*—1]. (11.159)
Как уже говорилось, при малых показателях экспонента
l-f-KoAt (11.160)
Причем равенство тем точнее, чем меньше А/. Используя (11.160), имеем
• Хое*®* (iw&t)
х=---------------=1й)Хое1Ш*==Ц|)Х. (11.161)
Ы
Следовательно, для того чтобы найти скорость изменения комплексной величины х, изменяющейся во времени по рассматриваемому закону, достаточно умножить ее на но. Отсюда легко найти скорость изменения скорости, то есть «ускорение» А величины х:
Л=—w2x. (11.162)
k
Или иначе: если о2=------, комплексная величина х удовлетво-
ри
ряет уравнению
mA——kx. (11.163)
Из сравнения (11.163) и (11.155) видно, что (11.155) может рассматриваться как мнимая часть (11.163), а решение (11.156) уравнения (11.155) есть мнимая часть (11.158), которое можно считать решением (11.163). Скорость v из (11.157) есть также мнимая часть величины х — скорости изменения комплексной величины х.
В соответствии с изложенным выше при анализе волновых движений также удобно вместо величин Л,, определяемых (11.147), вводить комплексные величины В,, определяемые как
Bz=BZoe-/^+Z*x (11.164)
где В,о=Л,оегф°\
Величины BiQ называют комплексными амплитудами.
Зная временную и пространственную скорости изменения В/, легко найти соответствующие скорости изменения Л;. В результате простых вычислений, аналогичных проделанным для случая колебания груза на пружинке, получаем
= Bi = ikBi. (11.165)
В (11.165) скорость изменения величины во времени имеет знак, обратный знаку этой же величины Ait А{,
95
A'i — мнимые части величин: Bi, Bi, Bi.
После приведенных здесь сведений общего характера можно перейти к изложению физики колебательных и волновых процессов в плазме.
§ II. 15. Электростатические волны в плазме без магнитного поля.
Понятие о дисперсионном уравнении.
Затухание Ландау.
Неустойчивость системы плазма — пучок. Просветление волновых барьеров.
Вернемся к высокочастотным движениям плазмы, связанным с разделением зарядов. В § П.З были рассмотрены качественно колебания плазмы, вызываемые смещением электронов относительно ионов, — так называемые ленгмюровские колебания. Здесь вопрос о ленгмюровских колебаниях будет разобран более строго и подробно.
Прежде всего скажем о роли ионов и высокочастотных процессах в плазме. Можно считать, что в таких процессах ионы неподвижны, поскольку изменение скорости ионов за полупериод, возникающее вследствие наличия самосогласованного поля, по порядку величины в М
--- раз меньше соответствующего изменения скорости nt
электронов. Иначе говоря, при высокочастотных движениях плазмы ионы не успевают заметно смещаться под действием высокочастотных сил. Поэтому в начальном приближении можно считать ионы покоящимися21. Наличие неподвижных ионов важно также учитывать при определении стационарного фона, на котором возникают электронные волновые движения.
В. § II.3 были фактически рассмотрены высокочастотные колебания, возникающие при небольшом смещении электронной жидкости относительно ионной. При
21 Иногда, однако, если интересоваться временами, заметно большими, чем характерное время высокочастотных движениГ! (характерным временем высокочастотных движений является период 2л
ленгмюровских колебаний Гпл ——), ионная компонента может СОе
играть весьма важную роль в динамике плазмы.
96
таком смещении силы давления электронного газа не «работают», поскольку профиль электронной жидкости однороден.
Обратимся к более общему случаю, когда изменение величин, описывающих движение электронной жидкости, зависит от координат. В этом случае начинают действовать силы давления, стремящиеся вытолкнуть электронный газ из мест с большими давлениями и, следовательно, более плотных, в места, менее плотные. Поэтому ясно, что при изучении волновых движений плазмы необходимо учитывать давление.
Будем считать, что стационарное состояние представляет собой однородную, неподвижную и квазинейтральную плазму, то есть плотности пОа и температуры ТОа постоянны, скорости частиц иа в стационарном состоянии равны нулю, а также выполняется равенство
n0c==n0i. (11.166)
Так как ленгмюровские частоты весьма велики (они обычно намного превосходят частоты столкновений), исследуем ленгмюровские волны, пренебрегая столкновениями. Это, в свою очередь, дает возможность пренебречь диссипативными процессами и использовать приближение идеальной гидродинамики для электронов.
Рассмотрим динамику малых отклонений от равновесного состояния, считая, что величины Л,, описывающие плазму, можно представить в таком виде:
Л,=Л<+бЛ(. (11.167)
Причем бЛ,-<^Лг. Это означает, что в уравнениях, описывающих рассматриваемые движения, можно пренебречь слагаемыми квадратичными и более высокой степени по 6Л<, в сравнении с членами первой степени по 6Л,-, или, как говорят, линейными членами. Получаемые при этом уравнения линейны по величинам 6Л, и скоростям их пространственного и временного изменения 22.
Для анализируемого нами случая необходимо разобрать систему уравнений, описывающую одномерные движения электронной жидкости, заменить в ней величины в соответствии с (11.167) и затем удержать в уравнениях слагаемые, линейные (то есть первой степени) по 6Л/, 6Л,- и 6Л. Проделав эту несложную процедуру, получим
22 Описанный выше процесс отбрасывания степеней величин 6Л, бД,-( 6Л<» более высоких, чем первая, носит название линеаризации уравнений, а сама система уравнений именуется линеаризованной.
7-3451
97
Ve — 0,
mriobv^ — Ьре—епоЬЕ, (11.168)
po 6 ре = у -d/l.
По
Эти уравнения следует дополнить уравнениями Пуассона для электрического поля:
6Е'==—4ле6не. (II. 169)
Ищем периодические решения системы уравнений (11.168), (П.169). В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе, можно считать величины 6пс, 6t>e, дре и 6Е комплексными и пропорциональными e~^t + ihx, то есть
6/?.c = 6noe-,^( + iftx, 6uc = 6voe"i<*)( + iftx,
6pc = 6p0e-<oi + <hxt d£ = 6E0e-^‘ + ihx. (11.170)
Учитывая, что, согласно выводам предыдущего параграфа, скорости пространственного и временного изменения величин равны самим величинам, умноженным соответственно на +ik и —но, можно переписать нашу систему уравнений в следующем виде:
(—щ)6по+1бпо6Уо)в“^ + 1Ьх==0. (11.171)
(2 е \
—iksc6nQ-------6Ео) e-ico' + iftx, (11.172)
tn /
^6£0e-^f + ^x = 4neSn0e-^t + 1‘ftx, (11.173)
2 р0 где se = y-----.
поте
Мы исключили из уравнения движения 5ре, подставив вместо него его значение из третьего уравнения системы (11.168). Сокращая все уравнения системы (11.171) —(11.173) на не равные нулю множители получаем систему линейных алгебраических
уравнений относительно амплитудных значений плотности 6п0, скорости био и электрического поля б£о:
—(Обпо+по&бу = 0,
(11.174)
е
&$26по—cofcvo—*----6£о = 0,
т
(11.175)
4лебпо-Н^£о = О.
(11.176)
98
Как хорошо известно, система (П.174) — (И.176) имеет ненулевые решения в том случае, когда определитель системы равен нулю. Для нашего случая это означает:
—W по/г О
е
А2з2 —(0 —i = 0.
е пг
4яе 0 ik
(11.177)
Это уравнение, дающее условие существования ненулевых периодических решений нашей исходной системы, называют дисперсным уравнением.
Раскрывая определитель (11.177) по известным правилам, получаем:
4пл0е2
со2 =------+&S*. (11.178)
пг °
Таким образом, дисперсионное уравнение дает связь частоты с волновым вектором для исследуемого типа волн. Зная эту связь, можно с помощью уравнений (11.174)—(11.176) выразить величины б/10 и 6у0 через величину амплитуды электрического поля 6£о-
Так как рассматриваемые движения не возбуждают магнитного поля, а следовательно, полное электрическое поле можно определить из уравнения Пуассона, являющегося основным уравнением электростатики, ленгмю-ровские волны часто называют электростатическими.
Электростатический характер ленгмюровских волн можно понять, перейдя в систему координат, движущуюся с фазовой скоростью волны. Как следует из анализа, проведенного в предыдущем параграфе, в этой системе координат все величины не зависят от времени. Здесь электростатическое и газодинамическое расталкивания электронов, участвующих в колебаниях, уравновешиваются силой динамического давления газовой струи электронов, движущихся со скоростью, периодически колеблющейся в пространстве около значения 0)
Оф=-----. При этом синусоидальный профиль плотности
k
электронов образует статическое электрическое поле, которое, согласно законам электростатики, также обладает
Л синусоидальным профилем, сдвинутым по фазе на по отношению к профилю электронной плотности.
7
99
Гидродинамическая модель электронной жидкости с самосогласованным электрическим полем хотя и дает правильный закон дисперсии, но не учитывает весьма важный кинетический эффект — возникновение (даже при отсутствии столкновений) затухания волн. Этот эффект был теоретически предсказан Л. Ландау в 1946 г. и носит его имя.
Причина возникновения затухания Ландау может быть понята из простых качественных рассуждений. Для этого исследуем характер движения частиц в поле волны. Удобно перейти в систему координат, движущуюся вместе с волной (то есть со скоростью, равной фазовой скорости волны).
На рис. 15 изображен профиль электрического потенциала ленгмюровской волны (он находится в противофазе с профилем плотности частиц) .Частицы, движущиеся со скоростями, близкими к фазовой скорости волны, будут «захватываться» в потенциальные ямы волны. При этом частицы со скоростями, несколько превышающими фазовую скорость волны, могут затормозиться электрическим полем волны и отразиться, как говорят, от ее поэтом в системе коорди-
x-ut
Рис. 15. Частицы, захваченные в потенциальные ямы электростатической волной.
тенциального барьера. Но при нат, где волна покоится, импульс частицы изменяется на обратный.
Подсчитаем изменение скорости частицы. Если до «столкновения» с барьером частица имеет скорость в со системе координат, движущейся с волной, v'—v---------,
k со
то после «столкновения» получим v"=—t>-|------. Таким
k
/СО \
образом, изменение скорости частицы До=2 (-------—и) .
(Оно, естественно, одинаково в любой инерциальной системе координат.) В соответствии с этим скорость в лабораторной системе координат после столкновения
100
у1 = и+Ди = и
0)
— —V k
(11.179)
Следовательно, изменение энергии 23
<)/(>
Де=2/п-----(------v
k \ k
(11.180)
со
При Де отрицательно, что означает потерю
энергии частицы; иными словами, частица, имеющая скорость, немного большую, чем фазовая скорость вол* ны, отдает энергию волне.
Формула (11.180) справедлива и в случае, если частица имеет скорость ниже фазовой скорости волны. В этом случае она отражается от задней «стенки» потенциальной ямы. Тогда Де положительно и такие частицы отбирают энергию у волны.
Следовательно, волна будет затухать, нарастать или распространяться без изменения и зависимости от соотношения числа частиц, отдающих ей энергию и отбирающих у нее энергию. Для того чтобы оценить число тех и других частиц, нужно прежде всего найти условия захвата частиц. Это нетрудно сделать. Для захвата необходимо, чтобы кинетическая энергия частиц в системе координат, где волна покоится, была меньше ее потенциальной энергии в поле волны:
(11.181)
Здесь 6ф0 — амплитуда электростатического потенциала волны; иными словами, частицы, имеющие скорости в
со т/ 2е6ф0 со т/ 2е6ф0
интервале от — у -------------А0 m
дут захвачены волной. (Остальные частицы называют обычно пролетными.) Причем частицы, попавшие в ин-
23 Считаем, что Ди мало по сравнению с и. Это справедливо для волн не слишком большой амплитуды.
101
<0 -1/ 2е6<ро о)
тервал от — -------|/ ——------ до ——, станут отбирать
Ш О)
энергию у волны, а в интервале от —j— до ——+
У2е6сро
----------отдавать. Ясно, что разница между чи-т
слом тех и иных частиц будет определяться зависимостью функции распределения частиц по скоростям в направлении распространения волны.
Рис. 16. Характерные функции распределения частиц по скоростям.
На рис. 16, а приведена функция распределения Максвелла. Видно, что волна, распространяющаяся в термодинамически равновесной плазме, затухает, так как функция Максвелла монотонно убывает с ростом vx. Таким образом, вблизи любого значения скорости число частиц, имеющих скорости ниже фиксированной, превышает число частиц, имеющих большие скорости и лежащих в таком же по величине интервале скоростей. Причем чем больше фазовая скорость волны, тем меньше число частиц, лежащих вблизи нее. Легко видеть [см. (11.66)], что число частиц экспоненциально убывает, следовательно, при больших фазовых скоростях затухание Ландау экспоненциально мало.
Заметим, что, как следует из рис. 16, а, затухание Ландау велико в местах заметного изменения функции распределения по скоростям. Если функция распреде-102
ления имеет вид плато в некотором участке пространства скоростей, то электростатические волны с фазовыми скоростями, попадающими в этот участок, затухать не будут, поскольку для Платовой функции распределения существует полный баланс частиц — как отдающих энергию волне, так и отбирающих. Если функция имеет слабый наклон, как, например, вблизи нуля скорости, то затухание Ландау для волн с фазовыми скоростями, лежащими в этом районе, мало. Наиболее сильно затухают волны в местах резкого изменения функции распределения — вблизи тепловых скоростей частиц. Поэтому ленгмюровские волны с длинами порядка обратного дебаевского радиуса сильно затухают [это те волны, которые, как следует из (11.178), имеют фазовые скорости в районе тепловых скоростей]. Для этих волн время затухания приблизительно равно периоду колебаний.
Обратимся к термодинамически равновесной плазме, пронизываемой пучком заряженных частиц со своим небольшим тепловым разбросом. В этом случае функция распределения электронного пучка примет вид
m{vz—v„)2
/ т \ Ч: 2kTn
f(vz)=n0 -^7~) е (11182>
Следовательно, общая функция распределения будет такой, как показано на рис. 16, б. Легко видеть, что теперь волны, распространяющиеся со скоростями, несколько меньшими, чем скорость пучка, будут усиливаться. В плазме всегда есть набор волн очень малой амплитуды, излучаемых движущимися заряженными частицами. Такие волны называются тепловыми флуктуациями плазмы. Поэтому при прохождении через плазму пучка заряженных частиц тепловые флуктуации, имеющие вид электронных ленгмюровских колебаний плазмы со скоростями, чуть меньшими, чем скорость пучка, усиливаются. Можно показать, что усиление будет происходить по экспоненте. Явление экспоненциального роста колебаний в плазме носит название неустойчивости в плазме.
Выше мы рассмотрели неустойчивость в системе плазма—электронный пучок, при которой развиваются
юз
существенно надтепловые ленгмюровские колебания. Естественно, нарастать постоянно колебания не могут.
Как происходит насыщение спектра колебаний? Изменяются ли при этом функции распределения частиц по скоростям? Ответы на эти вопросы были даны в работах советских физиков А. А. Веденова, Е. П. Велихова, Р. 3. Сагдеева и американских :— В. Драммонда и Д. Пайнса на основе развитой ими так называемой квазилинейной теории.
Было показано, что взаимодействие частица—волна приводит к образованию функции распределения, имеющей вид плато. Это нетрудно понять с помощью рас-суждений, аналогичных тем, которыми мы пользовались, объясняя возникновение неустойчивости или затухания. Если колебания не нарастают и не затухают, то отсюда следует, что количественное соотношение частиц, отбирающих у волны и отдающих ей энергию, равно. Этому, как было сказано, соответствует платовая функция распределения.
Уже говорилось, что неустойчивость системы плазма—пучок была впервые рассмотрена А. И. Ахиезером и Я. Б. Файнбергом, Д. Бомом и Е. Гроссом. В дальнейшем оказалось, что плазменно-пучковые системы могут иметь широкое применение при решении различных прикладных вопросов. Возникло, в частности, интересное научное направление — плазменная электроника. Больших успехов в развитии этого направления достигли украинские физики. Здесь в первую очередь следует назвать коллектив, руководимый Я. Б. Файнбергом.
С резонансными частицами связано и другое интересное явление — так называемое просветление плазменных волновых барьеров вследствие кинетических эффектов, Пусть на пути ленгмюровской волны находится «ступенька» плотности — область повышенной плотности и конечных размеров. Допустим также, что плотность плазмы внутри ступеньки такова, что частота падающей волны меньше электронной ленгмюровской частоты внутри ступеньки. Тогда поле волны может проникать вглубь «ступеньки» лишь на расстояние порядка дебаевского радиуса, и, как казалось, если ширина «ступеньки» намного больше этого размера, волна не может пройти в область, расположенную за «ступенькой». Ины
104
ми словами, в плазме возникает барьер непрозрачности для данной волны.
Однако, как было показано В. В. Лиситченко и автором этих строк, а также независимо для иной ситуации А. А. Водяницким, Н. С. Ерохиным, С. С. Моисеевым, резонансные частицы, отрывающиеся от волны в начале барьера, могут регенерировать волны за барьером непрозрачности. Это явление, характерное для бесстолкновительной плазмы, экспериментально наблюдалось в работах Л. И. Романюка, автора данного издания и их сотрудников, а также в исследованиях И. И. Залю-бовского и его сотрудников. Коэффициенты прохождения волн достигали десятков процентов, в то время как при отбрасывании эффекта резонансных частиц они должны были быть равными нулю24.
В заключение отметим, что все выводы относительно ленгмюровских колебаний применимы и к случаю распространения этих волн параллельно силовым линиям магнитного поля, так как последнее не влияет на продольное движение частиц.
§ II. 16. Низкочастотные волны в плазме.
Звуковые, магнитозвуковые и альфвеновские волны
Аналогично газу в плазме могут распространяться низкочастотные колебания, обусловленные ее упругостью. Такие волны обычно называют звуковыми.
Вначале рассмотрим плазму без магнитного поля и будем считать ее однородным газом, в котором делением на ионную и электронную компоненты можно пренебречь. Допустим, плазму сжали и дали ей возможность свободно расширяться (например, в одном направлении). Давление сжатой плазмы стремится расширить ее. При этом расширение не окончится и тогда, когда плотность плазмы в данном участке станет равной плотности окружающих участков, ибо в этот момент работа, затраченная на сжатие, полностью перейдет в кинетическую энергию движения расширяющейся плазмы, по-
24 Отметим попутно, что подобный эффект «нетуннельного» прохождения частиц сквозь барьер существует в квантовой механике. Как показано Л. Б. Леинсоном, А. И. Резом и автором этих строк, он связан с возможностью «просачивания» частиц сквозь барьер за счет виртуальных распадов частиц.
105
еле чего давление струи расширяющейся плазмы начнет сжимать соседние участки. Затем подобный процесс произойдет на соседнем участке, и в результате по плазме побежит звуковая волна. Как видно, сжимаемость плазмы определяет распространение звуковой волны.
Поскольку скорость расширения зависит от тепловой скорости сжатого газа, то естественно ожидать, что фазовая скорость звуковой волны пропорциональна этой величине. Приведенный ниже расчет подтверждает такое предположение.
В столкновительной плазме звуковая волна будет затухать за счет процессов внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности. Именно эти процессы диссипируют энергию направленного движения в тепло. Так как в рассматриваемом случае, среднее относительное элек-трон-ионное движение отсутствует, то нет и электрон-ионного трения. Процессами вязкости и теплопроводности в начальном приближении можно пренебречь в том случае, когда характерные пространственно-временные масштабы волнового движения, то есть длины волн и периоды колебаний, намного превосходят соответствующие длины свободного пробега и столкновительные времена. Тогда для столкновительной плазмы уравнения движения ничем не отличаются от уравнений движения обычного идеального (в смысле отсутствия диссипации) газа нейтральных частиц — уравнений непрерывности массы плазмы, движения и адиабаты. Заметим, что в рассматриваемом случае плазма квазинейтральна и вследствие этого электрическая сила, действующая на электроны, полностью компенсируется электрической силой, действующей на ионы.
То, что в столкновительной случае для низкочастотных длинноволновых движений плазма ведет себя как газ нейтральных частиц, можно понять, исходя из следующих соображений. Электроны локализованы вблизи ионов на расстояниях, примерно равных длине свободного пробега по отношению к электрон-ионным соударениям. А с точки зрения расстояний, намного превышающих эту длину, можно считать подобную ион-элек-тронную систему нейтральной (эта система обладает дипольным моментом, поле которого резко падает с расстоянием).
106
Приведем уравнения, описывающие звуковые движения столк-новительной плазмы. Как и в. предыдущем параграфе, будем рассматривать малые колебания. Тогда указанные выше уравнения, линеаризованные относительно малых отклонений от стационарного состояния, имеют такой вид:
бр = роби\
робо=—6р',
(П.183)
С с
бр=у------6р,
ро
где р — массовая плотность, то есть p=niMi-|-zzeme (практически совпадает с р<), давление $ = гц1\+пеТе, v — массовая скорость движения, связанная со скоростями компонент плазмы соотно-
шением
MiVi+mevc и=------------
(11.184)
Так же, как и в предыдущем параграфе, ищем решение системы (11.183) в виде периодических бегущих волн:
dp —dpoe-iwt+lhx,
6u==6uoe~iCi)t+ihx,
(11.185)
Подставляя в (11.183) эти величины, а также скорости пространственного и временного изменения величин, найденных по правилам, описанным в § 11.14 (то есть — 6Л,——tco64i),
получим следующее условие разрешимости — дисперсионное уравнение:
—со р0Л
kS2 -------со
ро
(11.186)
где
о PQ s2~ у-----.
ро
Откуда связь частоты и волнового числа для звуковых волн
й)2 = &252
(11.187)
107
Как видно из (11.187), фазовая скорость звуковых волн, или просто скорость звука в плазме, равна величине s, пропорциональной тепловой скорости ионов.
Перейдем к рассмотрению звуковых колебаний в бесстолкновительной плазме, где они также могут распространяться. Однако физическая картина их распространения иная, чем в случае столкновительной плазмы. Здесь значительную роль играет самосогласованное электрическое поле. В бесстолкновительной плазме могут существовать компоненты со своими температурами Ti и Те. Допустим, что температура электронов намного больше температуры ионов Л, и, следовательно, температурой ионов можно вообще пренебречь25. (Такую плазму обычно называют неизотермической.) Предположим, что мы опять сжали газ и предоставили ему возможность свободно расширяться. Поскольку столкновения отсутствуют, холодные ионы практически остаются вначале на месте, а подвижные электроны стремятся оторваться от них, убежать из мест сжатия. При этом образуется электрическое поле, препятствующее отрыву электронной компоненты от ионной и тянущее вслед за электронами тяжелые ионы. Иными словами, поле как бы привязывает к электронам, имеющим тепловую энер-3
гию -у-ЛТ, ионы с массой Mi; отсюда ясно, что скорость распространения звука определяется отношением электронной температуры к массе ионов.
Сказанное выше подкрепляется расчетом, основывающимся на модели двухжидкостной одномерной гидродинамики. Мы не будем приводить здесь эти вычисления. Читатель, интересующийся количественной стороной вопроса, может проделать их сам, подобно тому как это произведено нами для ленгмюровских и обычных звуковых волн. Укажем, что вычисления дают формулу
<й2=62о2, (11.188)
где
-I/” Te+Ti
Vs= г —м--------’
• Mi
25 Как будет звуковые волны в
видно из дальнейшего, только в этом случае бесстолкновительной плазме слабо затухают.
108
В анализируемом случае Te^Tt, тогда
Os=U—. (11.189)
J Лт i
Рассмотрим кратко вопрос о затухании звуковых волн в бесстолкновительной плазме. В случае, когда Te^Ti, то есть в изотермической плазме, фазовая скорость звуковых волн попадает в область тепловых скоростей ионов. Поэтому в изотермической плазме звуковые волны сильно затухают, причем (в соответствии со сказанным в предыдущем параграфе) время затухания примерно равно периоду колебаний.
Для неизотермической плазмы при Те~^>Т\ (звуковые колебания в этой плазме обычно именуют неизотермическим звуком) фазовая скорость волн значительно больше ионных тепловых и значительно меньше электронных тепловых скоростей. Это означает, что затухание Ландау на ионах экспоненциально мало (как уже говорилось, экспоненциально мало число частиц, в данном случае ионов, в районе скоростей, превышающих тепловые). Затухание Ландау на электронах также мало, в связи с тем что вблизи нуля скорости максвелловская функция распределения электронов по скоростям весьма близка к Платовой.
Перейдем к анализу магнитозвуковых колебаний плазмы. В § 11.13 было показано, что в плазме, помещенной в магнитное поле, наряду с обычным существует магнитное давление
№
Рм=—— • ол
В том случае, когда давление магнитного поля сравнимо или превышает обычное давление газа, в плазме могут распространяться волны типа звуковых — такие, в которых существует периодическое чередование участков сжатия и разрежения. Фазовые скорости этих волн превышают скорость обычных звуковых колебаний и зависят от величины напряженности магнитного поля. Пусть, например,
№
—»Рпл, (11.190)
109
то есть
8лрп л №
«I26.
Тогда в формулу для скоростей звуковых колебаний войдет вместо обычного давления магнитное. Остается
теперь выяснить, какое значение показателя адиабаты ум следует поставить в формулу, аналогичную (11.186). Это можно сделать, заметив, что магнитное поле вмо-
Н*
рожено в плазму, и, следовательно,
— Рм~ р2,
8л
то есть у =2. Таким образом можно определить фазовую скорость рассматриваемых колебаний, которые обычно называются быстрыми магнитозвуковыми, для
случая р<С1:
(11.191)
где ~--------------------------------•
4лр
Величина vA называется альфвеновской скоростью по имени шведского физика X. Альфвена, впервые рассмотревшего волны, которые могут распространяться в магнитогидродинамических средах.
Рассмотрим случай, когда 0С1. При р<С1 альфве-новская скорость волн намного превосходит звуковую скорость в плазме, но возможны волны, распространяющиеся со звуковой скоростью. Нетрудно понять причину этого и найти фазовые скорости таких медленных волн. В самом деле, в продольном направлении магнитное поле не оказывает влияния на движение частиц. Поэтому в бесстолкновительной и столкновительной плазмах в этом направлении волны распространяются так же, как и в плазме без магнитного поля, со значениями звуковых скоростей, приведенными в (11.186) и (II.189). Все же магнитное поле оказывает влияние на такие
гв Параметр 0 играет роль как в динамике плазмы, так и при решении задач об удержании плазмы. Он показывает, во сколько раз давление плазмы отличается от магнитного.
110
волны, препятствуя распространению в направлении, перпендикулярном силовым линиям, поэтому их назьь вают медленными магнитозвуковыми.
До сих пор мы рассматривали так называемые продольные волны — такие, у которых скорость движения вещества направлена вдоль направления распространения волны. Однако в сплошных средах известны и другие типы волн, называемые поперечными, в которых вещество движется поперек направления распространения. К таким типам колебаний относятся колебания струны, в которых движущей является сила натяжения струны 27. В магнитной гидродинамике также существует сила натяжения, которая приводит к возможности распространения в плазме поперечных волн, называемых альфвеновскими. Эти волны играют важную роль не только в лабораторной плазме, но и в плазме космической, а также при распространении возмущений в проводящих жидкостях. Скорость их распространения равна альфвеновской vA и всегда направлена вдоль магнитного поля.
§ II. 17. Нелинейные взаимодействия волн и частиц в плазме. Самовоздействие волн. Солитоны. Турбулентность и аномальные процессы переноса
Как уже говорилось, наиболее полно плазма описывается с помощью кинетических уравнений для ионов и электронов и уравнений Максвелла для самосогласованных электромагнитных полей. Большая сложность этих уравнений не дает возможности решить их точно в подавляющем большинстве плазменных задач. Поэтому в физике плазмы, как и в других областях физики, обычно используются различные приближения, позволяющие упростить уравнения и решить требуемую задачу с той или иной степенью точности. Приближения относятся к выбору модели описания плазмы (например, двухжидкостной, одножидкостной и т. п.) и к выбору метода решения.
Одним из весьма продуктивных (на ранней стадии развития плазменных исследований) приближений яви
27 Заметим, что поперечные волны отсутствуют при движении обычных жидкостей и газов. Они наблюдаются только в твердых телах.
111
лось так называемое линейное приближение. Оно справедливо тогда, когда энергия плазменных колебаний мала по сравнению с тепловой энергией частиц. Линейное приближение дает значительную информацию о состоянии плазмы, ее дисперсионных свойствах и устойчивости. Вместе с тем это приближение не в состоянии ответить на вопросы о динамике развивающихся либо развитых колебаний. Для того, например, чтобы указать, до какого уровня разовьются колебания в результате возникновения той или иной неустойчивости, необходимо знать явления, приводящие к уходу энергии из неустойчивого колебания к частицам либо к другим — затухающим колебаниям и волнам. А такой отток энергии осуществляется через нелинейные процессы.
Нелинейные процессы в плазме основаны на трех главных типах взаимодействий: волна-волна; волна— частица; волна—частица—волна.
Взаимодействие первого типа связано с резонансом трех волн. Суть такого резонанса состоит в том, что биение, образованное двумя волнами, попадает в резонанс с третьей волной. При этом необходимо соблюдение как временного резонанса coi = (02+^3, так и пространственного &1 = А!2+&з- Эти условия подобны условиям сохранения энергии (частот) и импульса квазичастиц (волновых векторов). Поэтому часто их называют распадными условиями, а соответствующий процесс — распадным взаимодействием волн. Распадное взаимодействие волн в плазме впервые было рассмотрено Р. 3. Сагдеевым и автором этих строк.
Второй тип взаимодействия (волна—частица) можно считать линейным. Оно тоже имеет резонансный характер: в резонансе с волной находятся частицы ($=kv (О
или -£—=и. Такое взаимодействие, как мы уже знаем, впервые рассмотренное Л. Д. Ландау, ведет к захвату частиц в потенциальные ямы волн, следствием чего является затухание Ландау.
При взаимодействии волна—частица—волна биения от двух волн попадают в резонанс с частицами, то есть
(01—(02
cij—со2= (&1—k2)v, или о—--------. (11.192)
&1—
112
Иначе об этом взаимодействии говорят как о нелинейном затухании Ландау, или затухании Ландау на биениях.
Наряду с процессами взаимодействия волн и частиц в плазме имеются процессы самовоздействия волн. К простейшему типу самовоздействия можно отнести процесс рождения кратных гармоник. Так, при рождении второй гармоники нелинейное биение образуется за счет «взаимодействия» волны самой с собой, то есть частота биения составляет 2<о, а волновой вектор — 2k.
Это биение может либо попасть, либо не попасть в резонанс с собственным колебанием плазмы. Нетрудно сообразить, что условием резонанса является равенство фазовых скоростей биения и собственного колебания плазмы с той же длиной волны (иначе — с тем же волновым вектором), что и биение. Иными словами, условие резонанса в данном случае
2со со(2£)
2k — 2k
(11.193)
где со(2/г) — частота собственного колебания соответствующего волновому вектору 2k. Это условие выполняется для так называемых линейных спектров, когда
v=ks. (11.194)
Легко понять, что в этом случае все кратные гармоники находятся в резонансе с соответствующими биениями. Это приводит, в частности, к тому, что первоначально синусоидальные волны начинают укручаться. При этом образуются скачки параметров (ударные волны).
Что же останавливает укручение волн? Общий ответ: выход из резонанса кратных гармоник. Конкретнее: существует два различных по своей природе процесса, останавливающих укручение волн. Первый связан с диссипацией — поглощением средой энергии волн за счет вязкости, трения, теплопроводности и т. п. В этом случае в выражении (11.194) появляется мнимая добавка, описывающая затухание волн. Появление этой мнимой добавки нарушает условие резонанса (11.193), то есть расстраивает резонанс.
8-3451
113
Нарастание гармоник прекращается тогда, когда подача энергии в гармонику равна потере энергии за счет затухания. Так, в гидродинамике процессы вязкости и теплопроводности дают вклад в затухание, растущий пропорционально А2. Поэтому в спектре гармоник возникает насыщение, что приводит к конечной ширине фронта волны, на котором резко меняются параметры среды. Иначе говоря, ударная волна имеет определенную ширину фронта.
Другой процесс, останавливающий рост гармоник, — так называемая нелинейная дисперсия волн. Это случай, когда частота не является линейной функцией волнового вектора k. В плазме данная ситуация весьма частая (см., например, связь частоты с волновым вектором для ленгмюровских волн). Здесь условие (II.193) не выполняется.
Кратные гармоники образуются как вынужденные колебания. Разрывов на фронте волны не возникает. Более того, при определенных условиях волна может двигаться без искажений своей формы. В частности, могут образовываться уединенные волны, которые в настоящее время принято называть солитонами.
Основы теории плазменных солитонов заложены Р. 3. Сагдеевым. В дальнейшем работы по теории солитонов М. Крускала, К. Гарднера, В. Е. Захарова и других ученых привели к развитию интересного метода решения нелинейных уравнений в частных производных — так называемого метода обратной задачи теории рассеяния.
Если вернуться к общим представлениям о влиянии нелинейных процессов на свойства плазмы, то следует отметить, что нелинейные эффекты не только приводят к различным неустойчивостям (что математически означает появление у частот мнимых добавок), но и изменяют сами частоты (иначе говоря, нелинейности вносят добавки в действительные части частот). Это означает, что изменяются диэлектрические свойства плазмы под воздействием волн конечной амплитуды. В свою очередь изменение диэлектрических свойств плазмы, другими словами, показателей преломления для различных типов плазменных волн, приводит к интересному эффекту, предсказанному советским ученым Г. А. Аскарьяном, — так называемой самофокусировке волн.
114
Явление самофокусировки можно понять из весьма простых рассуждений. Пусть электромагнитная волна распространяется в плазме. Если под воздействием этой волны среда становится оптически более плотной (за счет нелинейного изменения показателя преломления),, то луч сам себе создает что-то вроде фокусирующей линзы. При этом центральная часть несколько отстает от периферийных и волна сходится к центру. Данное явление и получило наименование самофокусировки волны.
Возвращаясь к основным типам нелинейного взаимодействия волн и частиц, необходимо отметить, что на их основе была разработана теория слабой турбулентности плазмы. В рамках этой теории удалось описать явление установления спектра турбулентности, а также явления переноса, связанные с рассеянием на случайных, или турбулентных, колебаниях плазмы.
Можно подсчитать эффективную длину рассеяния на колебаниях и эффективное время между последовательными соударениями. Следовательно, мы можем определить величины, входящие в выражения для так называемых аномальных коэффициентов переноса, связанных с развитыми надтепловыми колебаниями, такими как диффузия, теплопроводность, проводимость. Развитие теории турбулентной плазмы является большим достижением физики плазмы28. С ее помощью удалось оценить опасность для удержания плазмы одних и полезность других неустойчивостей.
28 Основы теории турбулентной плазмы заложены в работах советских физиков А. А. Веденова, Е. П. Велихова, Р. 3. Сагдеева, Б. Б. Кадомцева, В. Н. Петвиашвили, А. А. Галеева, В. И. Карп-мана, В. П. Силина и американских — В. Драммонда и Д. Пайнса.
8*
ГЛАВА III
ПРОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО СИНТЕЗА
§ III. 1. Проблема топлива в современной энергетике. Ядерные источники энергии. Преимущества энергетики, основанной на управляемом термоядерном синтезе
В последнее время ученые все чаще говорят об энергетическом голоде, грозящем планете в сравнительно близком будущем. В чем существо вопроса? Чем вызвано беспокойство специалистов? Постараемся вкратце рассказать об этом.
Главный вклад в энергетику экономически развитой страны дает выработка электроэнергии. Следовательно, она является основным показателем состояния энергетики страны, а ее увеличение характеризует рост энергетики страны. В XX ст. производство электроэнергии в СССР, США, Англии и других странах росло очень быстро (наиболее стремительно — в нашей стране). При этом выработка электроэнергии удваивалась за период, колеблющийся для различных стран от 6 до 10 лет. Так как основным источником энергии служит химическое сырье — уголь, нефть, газ и т. п., то именно их добыча определяет темпы роста энергетики.
Как выяснилось, технические возможности увеличения добычи химического топлива не смогут длительно поддержать взятый темп наращивания производства электроэнергии. Более того, по оценкам специалистов, даже при разумно допустимом замедлении темпа выработки электроэнергии имеющихся и потенциально возможных запасов химического топлива хватит на потребности энергетики всего на 100—150 лет. Таким образом, человечество стоит перед угрозой энергетического голода.
Представим, что все запасы химического топлива уже исчерпаны. К чему это привело бы? Тогда работа
116
ли бы лишь гидроэлектростанции, доля которых в производстве электроэнергии весьма мала. Остановилось бы большинство фабрик и заводов, практически перестал бы действовать городской, водный и железнодорожный транспорт. Не было бы горючего для самолетов. Потребление света лимитировалось бы. Исчезли бы уголь и газ, используемые для отопления и приготовления пищи и т. д.
Иными словами, человечество было бы отброшено на много десятилетий назад.
Есть ли в принципе выход из этого возможного тупика? Да, есть: это использование энергии, выделяемой при ядерных реакциях. В частности, применение управляемых термоядерных реакций даст практически неисчерпаемый источник дешевой энергии. По оценкам специалистов, в случае освоения управляемого термоядерного синтеза стоимость 1 кВт термоядерной электроэнергии будет не менее чем в 200 раз ниже стоимости 1 кВт энергии, вырабатываемой в настоящее время. Кроме дешевизны топлива, у термоядерной энергетики есть еще ряд неоспоримых преимуществ перед энергетикой, основанной на химическом топливе, и энергетикой, сырьем которой служат делящиеся изотопы урана или плутония. Первое преимущество состоит в том, что в термоядерной энергетике нет выбросов продуктов сгорания в атмосферу. Второе — практически полное отсутствие радиоактивных отходов, нуждающихся в длительном захоронении. Это означает, что выработка электроэнергии, основанная на термоядерном синтезе, не приведет к загрязнению среды. Третье преимущество — взрывобезопасность. Топлива, содержащегося в термоядерных реакторах, недостаточно для термоядерного взрыва, иными словами, в принципе исключается возможность катастрофы на термоядерных электростанциях. Это позволит размещать термоядерные электростанции в любом подходящем месте, в частности в городах и других населенных пунктах.
Подчеркнем здесь еще раз главную (см. также § 1.3) особенность реакций термоядерного синтеза L Энергия, выделяемая при термоядерных реакциях и при-
1 Аналогичной особенностью обладают также реакции деления урана и плутония.
117
ходящаяся на одну массовую единицу, более чем в миллион раз превосходит соответствующую энергию при химических реакциях (в частности, при реакциях горения). 1 т сырья для термоядерного реактора, работающего на смеси дейтерия и трития (тяжелых изотопов водорода), эквивалентна приблизительно 5 млн. т угля! Это также несомненное преимущество термоядерных электростанций перед современными. Как видим, освоение управляемого термоядерного синтеза весьма важная и интересная задача. Поэтому не удивительно, что ученые многих стран мира прилагают большие усилия для ее решения.
История борьбы за управляемый термоядерный синтез неразрывно связана' с развитием физики плазмы. Каждое новое достижение в понимании свойств высокотемпературной плазмы позволило сделать новые шаги на пути к решению столь важной для человечества проблемы, какой является проблема управляемого термоядерного синтеза.
Поэтому, говоря о современном состоянии проблемы управляемого термоядерного синтеза и перспективах в этой области, мы неизбежно будем касаться отдельных вопросов физики плазмы.
§ III. 2. Выделение энергии в термоядерных реакциях. Эффективность реакций.
Типы реакций. Литий — главное сырье наиболее перспективных реакторов, основанных на использовании реакций слияния дейтерия с тритием
Последовательное изложение существа проблемы управляемого термоядерного синтеза, ее современного состояния и перспектив решения естественно начать с рассмотрения элементарных процессов, лежащих в ее основе.
Такими процессами являются реакции слияния легких ядер, иначе — реакции синтеза ядер. При них выделяется внутриядерная энергия, приводящая к уменьшению общей массы ядер, участвующих в реакциях. Энергия эта выделяется в виде кинетической энергии образующихся ядер и нейтронов, то есть в виде тепловой энергии. Количественно суммарная кинетическая энергия Еь,
118
выделяемая при термоядерных реакциях, связана с убылью массы на величину
Eh=Amc2. (III.1)
Из формулы (Ш.1) видно, что наиболее выгодными с энергетической точки зрения являются реакции, в которых относительное изменение массы наиболее велико, А/гс то есть---максимально.
т
Конечно, не все ядерные реакции происходят с уменьшением массы, то есть с выделением энергии. Закон сохранения энергии, учитывающий формулу Эйнштейна (III.1), говорит о том, что в реакциях, обратных тем, в которых выделяется энергия £й, происходит поглощение точно такого же количества энергии Ek-
Чтобы понять, при участии каких элементов реакции в принципе могут приводить к выделению энергии, удобно рассмотреть поведение величины так называемого упаковочного множителя pt часто используемого в ядер-ной физике:
М—А
Р=~Г> (Ш-2)
где М — истинная масса ядра, выраженная в атомных единицах2, величина А, равная числу нуклонов (нейтронов и протонов) в ядре, — массовое число.
Как видно из (Ш.2), упаковочный множитель показывает средний «запас» массы, приходящийся на один нуклон, который может выделиться или поглотиться (в зависимости от знака р) при попадании нуклонов в данное связанное состояние. Легко понять, как величина относительного изменения массы соотносится с упаковочными множителями частиц, участвующих в реакции
a-\-b-^c+d+Eh. (Ш.З)
Для этого нужно формулу (III.2) переписать относительно массы соответствующего ядра и учесть, что число нуклонов в ядерных реакциях сохраняется, то есть
2 Атомные единицы массы выбираются из условия, согласно которому масса атома кислорода равна 16 атомным единицам.
119
Ла+Дб=Лс+^сь В результате простых вычислений по-
лучаем:
АЛ! раАа+рьДь— (pcAc+ptAd)
(Ш.4)
М
Очевидно, выделяемая в указанной реакции энергия выражается через упаковочные числа следующей формулой:
Eh = mNc2[paAa+pbAb— (pcAc+PdAd)], (III.5)
где mN — масса нуклона.
Из формулы (III.5) следует, что возможными для использования в энергетике являются те ядерные реакции, которые связаны с уменьшением упаковочных множителей.
На графике (рис. 17) приведена зависимость упаковочных множителей от массового числа элемента. Из
Рис. 17. Упаковочные множители.
него видно, что к энерговыделению могут приводить либо реакции слияния — синтеза легких ядер (то есть термоядерные реакции), либо реакции деления тяжелых ядер на ядра элементов, расположенных в середине таблицы Менделеева. Причем график и формула (Ш.4) показывают, что более эффективными, с точки зрения
120
выделения энергии на одну массовую единицу, являются реакции синтеза легких ядер.
Естественно, не только относительным изменением массы определяется перспективность использования той или иной реакции. Необходимо, чтобы возможны были условия, при которых реакции протекали бы в макроскопически заметных количествах, то есть достаточно эффективно. Мерой этого служит величина эффективного сечения реакции, определяемая аналогично сечению рассеяния, введенному в § II.2. Эффективным сечением реакции будем называть такую площадь окружности, одновременное попадание в которую частиц а и b приводит к их реакции.
Важной характеристикой процесса протекания реакций является величина g — число реакций, происходящих в единице объема за единицу времени. Связь этой величины с сечением реакции можно получить с помощью рассуждений, аналогичных использованным в § II.2 при выводе формул для частот столкновений:
g=nanbov. (III.6)
Здесь си — среднее значение величины для частиц, имеющих не одинаковые относительные скорости, а распределенные по определенному закону 3.
Из (III.6) следует, что величина g, характеризующая скорость протекания реакций, практически прямо пропорциональна среднему эффективному сечению реакций. Чем больше это сечение, тем эффективнее протекают реакции. Иными словами, при выборе типа реакций, наиболее пригодных для использования в термоядерных реакторах, необходимо сравнить сечения различных реакций синтеза.
На. рис. 18 приведены графики зависимости сечений различных термоядерных реакций от энергии взаимодействующих частиц для ряда реакций от энергии с наибольшими значениями эффективных сечений 4. Сече-
3 Такое усреднение производится с помощью соответствующей функции распределения ро скоростям.
4 В ядерной физике для реакции A-\-b^C-\-d обычно употребляется обозначение A(bd) С. Подобного рода обозначения использованы на рис 18. Здесь же приведены значения энергий, выделяющихся в соответствующих реакциях.
121
сечения других реакции.
ю
Энергия, кэВ
Рис, 18. Сечения реакций термоядерного синтеза.
ние ядерных процессов обычно измеряется в барнах: 1 барн=10~24 см2. Как видим, наибольшими сечениями для приведенных энергий обладает реакция слияния дейтерия с тритием. Сечение этой реакции в интервале от 10 до 100 кэВ более чем в сто раз превосходит учесть, что с точки зрения относительного изменения массы реакция d4-/~>-He4-|-n — одна из лучших (конкурировать с ней может только реакция d+He3->He4+p), то понятно, почему основное внимание физиков сосредоточено на ней.
На первый взгляд кажется, что использование реакции слияния дейтерия с тритием, как говорят, df-реакцин, в практических целях невозможно из-за малого количества
природного трития. Однако оказалось, что возможна «добыча» трития из изотопа лития Li6, который в до-
статочном для энергетики количестве есть в природе. В природном литии содержится около 7,5% изотопа Li6. Следовательно, фактическим топливом для термоядерной энергетики, основанной на использовании dt-реакции, является Li6. Оценено, что при мыслимых годовых расходах энергии запасов Li6 хватит человече
ству на десятки тысяч лет.
Во всех проектах использования Л-реакций в термоядерных реакторах предполагается для восстановления сжимаемого трития использовать реакцию
Li84-n-^+He4-|-4,8 МэВ.
(Ш.7)
Эта реакция имеет относительно большое сечение, приблизительно обратно пропорциональное скорости нейтронов и для тепловых нейтронов составляющее около 103 барн. Как видим, добыча трития из лития также сопровождается выделением энергии. Если для восстановления трития использовать нейтрон, возникающий в
122
(//-реакциях, то полная энергия, выделяемая в таком цикле, выразится формулой
£d«+ELi»n==22,4 МэВ. (III.8)
В проектах термоядерного (//-реактора основной объем удержания плазмы предполагается окружить литиевой оболочкой (иногда ее называют бланкетом) с тем, чтобы попадающие в нее нейтроны разогревали ее (литий служит также теплоносителем) и восстанавливали израсходованный тритий.
Естественно, при любых конструктивных ухищрениях некоторая, пусть очень малая, доля нейтронов будет пропадать. Отсюда следует, что необходимо восстанавливать хотя бы то количество нейтронов, которое образуется в (//-реакциях, а для этого можно использовать реакции размножения нейтронов, например
Ве94-п->2Не4+2л. (III.9)
Таким образом, бланкет должен содержать также примесь размножителя.
Мы не будем останавливаться на обсуждаемых в настоящее время технических проектах и проблемах, возникающих в связи с созданием литиевой оболочки. Это увело бы нас в сторону от основной темы книги. Для ознакомления с физическими основами проблемы управляемого термоядерного синтеза в этом нет никакой надобности.
§ III. 3. Энергетический баланс в dt-реакторе с учетом потерь. Когда термоядерный реактор начнет вырабатывать энергию. Критерий Лаусона
Остановимся на (//-реакции в качестве основной реакции синтеза для термоядерного реактора. Как видно из рис. 18, сечения (//-реакции велики лишь начиная с энергий, приблизительно равных 5 кэВ и выше. При температурах, соответствующих этим энергиям, вещество находится в состоянии плазмы. Следовательно, чтобы получить заметное количество энергии из горячей дей-териево-тритиевой плазмы, необходимо определенное время удерживать ее.
123
Определим пороговое значение времени удержания плазмы Тп, показывающее время, при котором энерговыделение за счет реакций синтеза сравнивается с суммарными энергетическими потерями плазмы вследствие ее ухода из объема удержания и за счет излучения. Прежде всего установим скорость выделения энергии в единице объема. Помимо di-реакций, в дейтериево-три-тиевой плазме будут протекать dd- и ii-реакции синтеза, а также реакции синтеза дейтронов и тритонов с ядрами Не3, образующимися в результате di-реакции. Однако эти реакции не дают заметного вклада в энерговыделение, поскольку все они обладают эффективными сечениями, значительно меньшими, чем сечение ^-реакции. Следовательно, энерговыделение в di-плазме определяется реакциями слияния дейтерия с тритием.
Количество энергии AQe, выделяемое в di-плазме с одинаковыми концентрациями дейтерия и трития в результате di-реакций в единицу времени в единичном объеме, есть соответствующее число реакций gdi, умноженное на величину выделяемой кинетической энергии:
(ШЛО)
4
Выражение для времени потерь энергии, связанных с уходом частиц из объема, где плазма удерживается, можно записать как
3/2п6Т
AQn=----------. (III.11)
Тп
3
Здесь —^-nkT — средняя энергия, уносимая каждой из компонент — ионной и электронной.
Радиационные потери плазмы состоят из тормозного излучения и в тех случаях, когда плазма удерживается магнитным полем,— синхротронного излучения (часто используется термин «циклотронное излучение»). Тормозное излучение происходит вследствие торможения
1
5 Множитель ----- появился вследствие того, что nt = rid =
4
1 =----п.
2
124
электронов в поле ядер. Оно подобно излучению в рентгеновских трубках. Количество энергии, теряемое dt-плазмой в единицу времени в единичном объеме за счет тормозного излучения, определяется формулой
AQTOpM = an27”/», (III.12)
где а — постоянный множитель, не зависящий от температуры и концентрации (для случая, когда Дфторм измеряется в Вт/см3, а температура — в градусах, а~5-10-35).
Синхротронное излучение обусловлено центростремительным ускорением частицы, вращающейся в магнитном поле по ларморовской окружности. Удобно воспользоваться приближенной формулой, показывающей отношение потерь за счет синхротронного излучения Д@Синхр к потерям за счет тормозного излучения Дфторм (для магнитных полей с напряженностью порядка десятков килоэрстед):
AQcnHXp
AQtopm
=0,1ГЛ.
(III.13)
Здесь температура выражена в килоэлектронвольтах.
Формула показывает, что потери в результате синхротронного излучения становятся равными потерям за счет тормозного излучения приблизительно при энергии 5 кэВ. Заметим, однако, что синхротронное излучение лежит в миллиметровой области частот. Поэтому в отличие от жесткого тормозного излучения рентгеновского типа оно может быть возвращено в объем удержания плазмы. Итак, полные радиационные потери в плазме могут быть записаны в следующем виде:
Д Qpa д == Д Qtopm "Ь Д Q сипхр = п2ШТ). (III.14)
Теперь можно получить выражение для времени удержания плазмы, необходимого для того, чтобы термоядерная плазма служила источником энергии, то есть чтобы
AQe^AQpafl- (III.15)
125
Это неравенство можно переписать в виде
откуда
( 1 — dt
П2 {——fpapjj)
3nkT
Тп
(Ш.16)
3kT
(Ш.17)
h
Минимальное значение величины, стоящей в правой части (III.17), впервые было вычислено Дж. Лаусоном (США) для с/Треакции при оптимальной температуре плазмы порядка 8 кэВ. В единицах системы CGS оно равно 1014. Следовательно, для того чтобы дейтериево-тритиевая плазма была источником энергии, необходимо нагреть ее до температур порядка 5—8 кэВ и удерживать за времена, определяемые неравенством
(nrn)df>1014 см-3-с. (III.18)
Неравенство (III. 18) обычно называют критерием Лау-сона.
В заключение параграфа отметим, что аналогичные (III. 18) вычисления, проделанные для dd-реакции, дают следующее неравенство:
(«Tn)dd>1018 см-3-с.
(III.19)
§ III. 4. Общая характеристика методов осуществления контролируемого термоядерного синтеза
Критерий Лаусона (III.18) дает простое соотношение между плотностью плазмы и временем, в течение которого горячая плазма (Та 8 кэВ) с заданной плотностью должна «существовать». Этот критерий фактически указывает на два возможных подхода к решению проблемы контролируемого термоядерного синтеза. Первый связан с достаточно длительным удержанием горячей разреженной плазмы, второй — с очень быстрым нагревом плотной плазмы. Термоядерные устройства, основанные на первом подходе, обычно называют квазистационарны-
126
ми, а на втором — импульсными. В последних предполагается быстро нагреть плазму с настолько высокой плотностью, что не нужно будет заботиться об ее удержании — достаточное количество ядерного горючего прореагирует во время разлета нагретой очень плотной плазмы. Принципом действия импульсные устройства напоминают двигатели внутреннего сгорания, в то время как квазистационарные устройства работают подобно тепловым источникам энергии.
Как же все это выглядит (хотя бы приблизительно) в расчетах? Как осуществить длительное удержание горячей разреженной плазмы? Каким образом можно быстро разогреть — «поджечь» — плотную плазму? Чем определяется выбор характерных параметров соответствующих термоядерных устройств?
Постараемся в общих чертах ответить на поставленные тут вопросы.
Прежде всего напомним (см. § III.2), что основным топливом для термоядерных реакторов является литий и что в термоядерном реакторе должно быть достаточное количество лития для регенерации трития. В квази-стационарных реакторах объем удержания предполагается окружить литиевой (с небольшой примесью размножителя нейтронов) оболочкой, которая в принципе может играть двоякую роль: преимущественно использоваться для регенерации трития; быть теплоносителем. Основным способом удержания плазмы в квазистацио-нарных устройствах является удержание с помощью магнитного поля.
Выше уже говорилось немного о таком способе удержания плазмы. Расскажем здесь об этом более подробно. Первоначально казалось, что в лабораторных условиях плазму при температуре около 100 млн. градусов практически невозможно удерживать. Так, в 1949 г. известные американские теоретики-атомщики Дж. Гамов и Т. Критчфилд говорили об управляемом термоядерном синтезе как о задаче, технически почти не осуществимой. Но уже год спустя в различных странах независимо (работы по управляемому термоядерному синтезу велись в ту пору в обстановке строгой секретности) были предложены методы магнитного удержания плазмы и показана принципиальная возможность их осуществления!
127
В самом деле, если ни один материал не выдерживает указанных выше температур, то нужно оторвать плазму от стенок, а это можно сделать с помощью магнитного поля. Мы знаем, что заряженные частицы сами по себе не уходят поперек магнитного поля дальше чем на величину ларморовского радиуса. Но оказалось, что если создавать однородное магнитное поле с прямыми линиями, то необходимо иметь установки с размерами в несколько десятков километров, чтобы унос энергии частицами, свободно движущимися вдоль магнитного поля, на торцы не превышал притока энергии в объеме за счет реакций. Снова трудно свести концы с концами. И тогда родилась мысль свести концы с концами магнитного цилиндра в прямом смысле слова, то есть свернуть магнитное поле в «бублик», или, как говорят математики, в тор (рис. 19). Так появилась идея замкнутых тороидальных магнитных ловушек.
При рассмотрении конкретных тороидальных установок будет рассказано о том, как и почему видоизменялись магнитные конфигурации тороидального типа. Укажем, что, как это представляется на современном этапе развития работ по проблеме контролируемого термоядерного синтеза, тороидальные си-
стемы кажутся более приемлемыми для термоядерного реактора, чем незамкнутые системы.
«Ба,. — скажет читатель, — только что автор толковал о том, что системы с открытыми концами — незамкнутые системы — должны быть необычайно длинными и, следовательно, непригодны, а тут снова о них речь!»
И все же здесь нет никакой путаницы. Когда мы говорили об установках с размерами порядка десятков километров, то речь шла о магнитных системах с прямыми силовыми линиями. Однако, как об этом говорилось в § II.1 (см. рис. 6), сгущение силовых линий магнитного поля на торцах приводит к тому, что от точек сгущения отражаются внутрь ловушки частицы, у которых в центре ловушки отношение продольной компоненты скорости к перпендикулярной есть величина, пре
Рис. 19. Тороидальная магнитная ловушка.
128
вышающая УЯоДЛпах [см. (11.17)], где HQ и Ятах — соответственно напряженности магнитного поля в центре и на торцах. Впервые эта весьма изящная идея магнитного удержания была высказана независимо двумя учеными — советским Г. И. Будкером и американским Р. Постом.
Таким образом, квазистационарные системы можно разделить на замкнутые, или тороидального типа, и открытые.
Чтобы определить время, необходимое для удержания плазмы, нужно знать значения плотностей, пригодных для использования в квазистационарных системах.
Магнитный способ удержания основан на том, что давление плазмы удерживается давлением магнитного поля. При этом если в плазме нет магнитного поля, то
Hi
-—=p™=nk(Te+Ti)=2nkT, (III.20)
Н*
lenfer
(III.21)
где П=Пе = Пй
Откуда следует, что
п
Так, при полях порядка 100 кГс и термоядерных температурах порядка 10 кэВ плотности плазмы могут достигать 1016 частиц/см3.
Помимо указанного ограничения, налагаемого достижимыми в настоящее время квазистационарными магнитными полями, существуют также ограничения, связанные с плотностями энерговыделения в 1 см3. Если говорить о квазистационарных термоядерных реакторах, то в них слишком большие плотности энерговыделения недопустимы. Это связано с технической невозможностью квазистационарного отвода больших плотностей энергии.
В соответствии с (III.10) можно рассчитать плотность энерговыделения Q при заданных плотности и температуре. Для Л-реакции при температуре плазмы 10 кэВ и концентрации 1015
Q^1010. (III.22)
9-3451
129
Если увеличить плотность в 1000 раз, то есть до 1018 частиц/см3, то энерговыделение возрастет в миллион раз по сравнению с (III.22). Таким образом, предельные магнитные поля и реально достижимый эпергосъем с 1 см3 дают оптимальные значения концентрации плазмы от 1014 до 1016 частиц/см3.
Это в свою очередь означает, что времена удержания должны быть от 1с (для ялДО14) до 10 мс (для п«1016) [см. (III.18)].
Следует отметить, что соотношение между давлением плазмы и магнитного поля не равно 1, как это было бы, если бы плазма имела резкую границу и внутри нее отсутствовало магнитное поле. Оказывается, если внутри плазмы есть магнитное поле, то равновесные замкнутые магнитные конфигурации существуют при |3<С1.
Итак, мы знаем ориентировочно параметры квази-стационарных термоядерных установок: магнитное поле Няз 100 кГс, температура 7«10 кэВ, плотность плИО14, время удержания, которое необходимо достигнуть, тл; «1 с. Для этих установок основной проблемой является достаточно длительное магнитное удержание. История борьбы за увеличение времени удержания — это история борьбы с различными типами неустойчивостей высокотемпературной плазмы. К вопросу об устойчивости мы еще вернемся.
С первых же шагов по пути решения проблемы контролируемого термоядерного синтеза одновременно возникли идеи создания квазистацноиарных и импульсных систем. Казалось, что у последних есть определенные преимущества перед квазистацпонарнымп. Вначале были предложены импульсные системы с использованием магнитного поля — так называемые Z- и 0-пинчи. В таких системах производится быстрое сжатие плазмы, приводящее к разогреву протекающего по плазме тока собственным магнитным либо внешним магнитным полем. Казалось, поскольку достижимые значения импульсных магнитных полей выше, чем квазистационар-ных, то можно поднять плотность плазмы и тем самым уменьшить время ее удержания, а следовательно, не слишком беспокоиться о неустойчивостях. Однако и в этих установках возникали неустойчивости, присущие именно им. Были изучены неустойчивости таких систем и выработаны методы борьбы с наиболее опасными не
130
устойчивостями. Есть определенные результаты в разработке импульсных магнитных устройств. Однако и здесь для достижения полного успеха необходима большая и кропотливая работа.
До сих пор речь шла о магнитных системах. Однако нельзя ли отказаться от магнитного удержания и тем самым разрубить гордиев узел неустойчивостей, присущих этим системам? В 1962 г. советскими физиками Н. Г. Б асовым и О. Н. Крохиным была опубликована работа об осуществлении контролируемого термоядерного синтеза с помощью лазеров. Предлагалось мощным пучком лазерного света быстро нагреть (поджечь) твердую дейтериево-тритиевую мишень с плотностью п
1023 частиц/см3, после чего реакции должны происходить при весьма кратковременном взрыве этой микро-водородной бомбы. Дальнейшие исследования показали, что идея лазерного термоядерного синтеза в том виде, в котором она была первоначально высказана, наталкивается на непреодолимые трудности, связанные с созданием сверхмощных лазеров.
Казалось, нет выхода из тупика, в который зашли поиски осуществления контролируемого термоядерного синтеза. Однако в 1972 г. были опубликованы работы американских ученых Дж. Накольса, Л. Вуда, Л. Циммермана, А. Тиссена, предложивших оригинальный способ «медленного» равномерного обжатия с помощью лазерного излучения сферической мишени до плотностей порядка 1027 частиц/см3 и нагрева ее на конечной стадии обжатия7. Так как выход реакций пропорционален квадрату плотности [см. (III.6)], то увеличение в
7 Конечно, в физике понятия медленного и быстрого процессов всегда связаны со сравнением с какими-то другими временами. Сжатие и разогрев капли должны происходить за времена порядка 10"8с. Казалось бы, это очень быстрый процесс. Однако основное здесь — скорость нарастания давления лазерного луча. Если она не превышает скорости «звука», определяемой в данном случае как
УР о п
у---, то процесс сжатия медленный. В этом случае почти
Р
до конца сжатия не образуются ударные волны, которые уходят вперед от фронта сжатия и сильно разогревают сжимаемую каплю, то есть значительно увеличивают ее упругость. Именно поэтому, для того чтобы сжать каплю до больших плотностей, нужно соблюдать условие медленности сжатия»
9*
131
10 тыс. раз плотности повышает, при равной температуре, выход в 100 млн. раз. Естественно, за счет увеличения плотности можно снизить температуру поджига. Все эти соображения привели американских ученых к выводам о том, что, вкладывая энергию порядка 105— 106 Дж за импульс порядка 10~8с, можно осуществить контролируемый термоядерный синтез при условии, что коэффициенты поглощения лазерного света превысят 60%, а КПД самих лазеров составит 10%.
Казалось, задача осуществления термоядерного синтеза с помощью лазеров сводится к чисто технической задаче создания сверхмощных лазеров с большими КПД. Казалось, можно уйти от сложных плазменных явлений, связанных с коллективными процессами. На самом деле и здесь даже для очень быстрых процессов определяющую роль играют коллективные колебания и волны в плазме.
Поясним это подробнее. Для конкретности будем •считать, что сжатие и нагрев дейтериево-тритиевой капли происходит с помощью излучения неодимового лазера, частота которого порядка Ю^с*1. Проследим за динамикой процесса сжатия. Вначале за счет так называемого обратного тормозного излучения происходит испарение верхних слоев мишени, причем испаряющееся вещество быстро переходит в состояние плазмы. Таким образом, сжимающаяся капля окружена плазменной короной. Причем поглощение излучения происходит в плазменной короне до точки отражения электромагнитных волн от плазмы, то есть до точки, где частота электромагнитной волны сравнивается с частотой ленгмюровской. Для рассматриваемого случая это соответствует плотности пт 1021 части ц/см3.
Оказывается, в плазменной короне основным процессом, определяющим взаимодействие мощной волны с плазмой, является коллективный процесс — распадная параметрическая неустойчивость падающей электромагнитной волны8. В ходе развития распадных неустойчивостей происходят довольно сложные коллективные процессы в плазменной короне.
8 Распадная параметрическая неустойчивость была предсказана в 1962 г. Р. 3. Сагдеевым и автором этой книги; в применении к лазерному методу осуществления контролируемого термоядерного синтеза изучалась рядом советских и зарубежных ученых.
132
Подчеркнем еще раз, что для такого быстрого процесса, как лазерный нагрев плазмы, не удалось исключить коллективные явления. Поэтому в настоящее время проблема лазерного контролируемого термоядерного синтеза — это проблема физико-техническая: с одной стороны, необходимо создать лазеры с нужными параметрами, с другой, такие параметры будут определяться физикой коллективного взаимодействия мощных электромагнитных волн с плазмой.
Назовем также еще один перспективный импульсный метод осуществления контролируемого термоядерного синтеза. Во многом он подобен лазерному — речь идет о разогреве дейтериево-тритиевых мишеней с помощью мощных релятивистских9 электронных пучков. Этот метод был предложен советскими физиками Е. К- Завой-ским и Л. И. Рудаковым. По сравнению с лазерным он имеет преимущество — большие КПД электронных ускорителей. Недостатком является значительно худшая фокусировка электронных пучков, чем световых.
Итак, существуют два принципиально различных подхода к решению проблемы управляемого термоядерного синтеза: один — создание квазистационарных установок, второй — импульсных.
В настоящее время наиболее изучены квазистацио-нарные установки. Считается, что на основе установок тороидального типа токамак можно создать термоядерный реактор.
В последующих параграфах мы расскажем о физических процессах, происходящих в наиболее распространенных термоядерных устройствах.
§ III. 5. Линейный самосжимающийся разряд (Z-пиич).
Магнитогидродинамические неустойчивости
Наш рассказ об основных типах термоядерных установок начнем с линейного самосжимающегося разряда, называемого Z-пинчем (англ, to pinch — сжимать). Это удобно потому, что подобные системы позволяют просто описать наиболее опасные (то есть развиваю
9 Релятивистскими называются пучки, движущиеся со скоростями, близкими к скорости света.
133
щиеся наиболее быстро и прекращающие удержание плазмы) магнитогидродинамические неустойчивости, которые могут проявляться и в системах с более сложной конфигурацией магнитного поля.
Итак, обратимся к самосжимающему газовому разряду в прямых трубах. В таких системах разряд создает плазму из нейтрального газа (см. § 1.2), нагревает ее п удерживает с помощью собственного магнитного поля тока, текущего по плазме. Как будет видно из дальнейшего, с целью стабилизации таких разрядов необходимо использовать также внешнее магнитное
поле.
Рис. 20. Z-пннч.
Рассмотрим поэтапно различные стадии разряда. Впервые теория сжатия и разогрева в линейном разряде была предложена советскими физиками М. А. Леонто-вичем и С. М. Осовцем (несколько позже независимо к подобным выводам пришел американский физик М. Розенблют).
На начальной стадии нарастающего разряда ток / вследствие скин-эффекта течет в относительно тонкой оболочке (рис. 20). Возникающее при этом кольцевое магнитное поле тока Н<(> оказывает давление на слой плазмы, ускоряя его. При этом давлением нейтрального газа, препятствующим сжатию, можно на данном этапе пренебречь. Движущаяся у оси цилиндрическая оболочка увеличивается в размерах, вовлекая в движение находящийся перед ней нейтральный газ. Такое движение происходит до тех пор, пока магнитное поле не стянет первоначальный цилиндр в плазменную трубку. На следующем этапе продолжается сжатие, уже плазменного шнура, которое сопровождается разогревом плазмы. Начинает действовать давление плазмы,
препятствующее дальнейшему сжатию плазменного шнура. При этом происходит разогрев плазмы (в простейшем случае — адиабатический). В момент максимального сжатия наивысших значений до-
стигают также температура и плотность плазмы.
После стягивания шнура до минимальных размеров наступает следующая стадия: в игру вступает отраженная ударная волна, которая стремится расширить шнур.
134
Казалось бы, вслед за расширением должно наступить
сжатие, затем снова расширение и т. д., иными словами, шнур будет «дышать».
Однако в той простой конфигурации, которая нами описывается, колебательный режим движения границы шнура будет прерван так называемыми магнитогидро-динамическими неустойчивостями. Наиболее быстро развивающимися неустойчивостями линейного самосжимаю-щегося разряда будут неустойчивости, связанные с перетяжками (рис. 21) и изгибом плазменного шнура (рис. 22).
Легко понять качественно причину появления развивающихся в первую очередь неустойчивостей типа перетяжек (иногда их называют «сосисочными» неустойчи
востями) . Пусть в некоторых местах образовались небольшие сужения шнура, тогда здесь увеличивается магнитное поле, то есть магнитное давление выше, чем в широких местах. Это приводит к еще большему сужению шнура, что в свою очередь увеличивает магнитное поле у его поверхности, и т. д.
Такой прцесс все более быстрого развития образовавшегося вначале случайно «возвущения» состояния
Рис. 2L Неустойчивости типа перетяжек.
Рис. 22. Неустойчивости типа «змеек».
плазмы носит, как уже го-
ворилось, название неустойчивости плазмы. В данном случае мы имеем дело с магнитогидродинамической неустойчивостью. Укажем, что развитие неустойчивостей
типа перетяжек сопровождается резким увеличением магнитных полей в районе перетяжек. Возникающие при
этом перенапряженности индукционных электрических полей в плазме являются причиной появления групп заметно надтепловых ускоренных электронов и ионов. Это может привести, в частности, к появлению потока нейтронов из дейтериевотритиевой плазмы задолго до выполнения необходимых условий для появления тепловых нейтронов.
135
Неустойчивости типа перетяжек стабилизируются продольным магнитным полем. В самом деле, в полностью ионизованной плазме за короткие времена магнитное поле можно считать вмороженным (см. § 11.13). Поэтому сохраняется магнитный поток через поперечное сечение шнура, иными словами, магнитное поле при сжатии растет обратно пропорционально квадрату радиуса. Следовательно, давление, связанное с внутренним продольным магнитным полем и противодействующее сжатию — перетяжке, изменяется обратно пропорционально четвертой степени радиуса плазменного шнура. Таким образом, даже небольшое по величине начальное магнитное поле может быть достаточным для стабилизации неустойчивостей типа перетяжек.
Количественно критерий стабилизации неустойчивости относительно перетяжек при наличии внутреннего продольного поля В можно получить из следующих простых соображений. Пусть радиус а плазменного цилиндра изменился на малую величину ба. Тогда сохранение магнитного потока приводит к тому, что продольное магнитное поле изменилось на величину
ба
65 = —В02—. (III.23)
Откуда изменение соответствующего магнитного давления
2 Во 2ба
брвнт= ” • (III.24)
С другой стороны, внешнее кольцевое поле Н определяется формулой
2/
Н=-------, (III.25)
са
а значит, изменение соответствующего давления
2 Но да
орвнш—~;
4л а
(III.26)
Для устойчивости необходимо, чтобы при уменьшении радиуса шнура изменение внутреннего, противодей
136
ствующего сжатию давления было бы больше, чем изменение внешнего давления, то есть
№ 2/2
Другой неустойчивостью, тоже заметно препятствующей достаточно длительному удержанию плазмы в пин-чевых системах, является неустойчивость типа «змеек». Причина ее возникновения состоит в том, что незначительный случайный изгиб шнура приводит к сгущению силовых линий магнитного поля, большему на вогнутой стороне шнура, чем на выпуклой (см. рис. 22). Поэтому возникает разность магнитных давлений, стремящаяся еще больше изогнуть шнур. Продольное магнитное поле стабилизирует короткие изгибы шнура — «змейки». В самом деле, наряду с увеличением внешнего магнитного давления на внутренней части изгиба возникает объемная квазиупругая сила, связанная с натяжением магнитного поля и препятствующая дальнейшему изгибу.
Можно подсчитать разность сил и найти критерий стабилизации «змеек». Соответствующий расчет дает следующее условие устойчивости плазменного шнура:
В2 X
—>1п —, (III.28)
где X — длина изгиба. Необходимо также учесть, что равновесие плазменного шнура достигается тогда, когда внешнее давление и полное внутреннее давление сравниваются, то есть
В2 Я2
Рпл+—=—, (Ш.29)
оТС ОЛ
иначе В2<№. Отсюда следует, что длинноволновые возмущения нельзя стабилизировать внутренним продольным магнитным полем.
Если же продольное магнитное поле есть вне и внутри шнура, то условия стабилизации возмущений улучшаются. В этом случае суммарное магнитное поле будет винтовым. В таком поле возмущения формы шнура, аналогичные «змейкам» для шнура без внешнего продольного поля, очевидно, должны иметь форму винтовых
137
изгибов, причем шаг такого винта будет совпадать с шагом силовой линии на поверхности шнура, то есть Н,
2ла-----. Следовательно, возмущения с длинами Л,
меньшими, чем шаг винта, будут устойчивыми, иначе говоря,
нг
К<.2па—— Нф
(III.30)
Таким образом, если характерные размеры системы меньше величины, стоящей в правой части неравенства (Ш.ЗО), то плазменный шнур устойчив. В частности, качественно наши выводы сохраняются и для тороидального шнура. В этом случае длина шнура 2nR (где У? — радиус тора). Следовательно, в тороидальных плазменных системах с продольным током, находящихся во внешнем продольном магнитном поле, критерий неустойчивости
Hz Нг
2nR<Z.2na-----. (III.31)
Это условие можно записать относительно тока:
а2
(III.32)
Мы привели довольно грубый вывод критерия устойчивости. В частности, полагали, что распрямленный тор и истинный тор — одно и то же. Большой ошибки при этом мы не сделали. Следует заметить все же, что численный коэффициент в формуле (III.32) зависит от геометрии системы. Поэтому правильнее сказать, что неустойчивость возникает при токе, превышающем критический:
/>Л<р«с-— Нг. (III.33)
Л
Этот ток /Кр называют обычно током Шафранова—Крускала 10.
10 По имени двух физиков: советского — В. Д. Шафранова и американского — М. Крускала, развивших независимо теорию магннтогидродинамической устойчивости указанных систем.
138
§ III. 6. Равновесные замкнутые магнитные конфигурации. Захваченные и пролетные частицы. Неоклассическая теория явлений переноса в тороидальных системах
Идея использования замкнутых магнитных конфигураций тороидального типа11 для осуществления контролируемого термоядерного синтеза — одно из первых реалистических предложений. На первый взгляд кажется, что достаточно равномерно навить на тор витки, по которым протекает ток, и возникающее тороидальное магнитное поле начнет держать плазму. Однако это не так! Для того чтобы магнитное поле удерживало плазму, необходимо прежде всего добиться равновесия внешних сил магнитного поля и внутренних сил давления плазмы в шнуре, а в тороиде с равномерной намоткой токовых витков такого равновесия нет.
Продемонстрируем справедливость такого утверждения на простейшем примере. Внутрь плазменного шнура магнитное поле не проникло (рис. 23), следовательно, условием равновесия должно служить равенство давления плазмы р давлению магнитного поля В2/8л.
Рис. 23. Удержание плазмы внешним магнитным полем в тороидальной системе (отсутствие равновесия).
Однако в связи с тем, что магнитное поле на «внешней» стороне тороидального шнура (точка b на рис. 23) меньше, чем на «внутренней» (точка а), равновесие в такой системе не достижимо.
11 В физике высокотемпературной плазмы принято называть тороидальными системы, которые получают из тора с помощью непрерывных деформаций — локальных и глобальных растяжений и сжатий.
139
Более сложный анализ показывает, что вывод справедлив и в общем случае, когда поле существует и внутри плазмы. При этом можно идти двумя путями в исследовании вопроса о равновесных конфигурациях. Первый — изучение условий равновесия на основе уравнений магнитной гидродинамики, второй — анализ движения отдельных заряженных частиц. Так, анализируя движение отдельных заряженных частиц, можно прийти к выводу, что в неоднородном тороидальном магнитном поле они испытывают дрейф в направлении, перпендикулярном экваториальной плоскости. Это и ведет к потере равновесия шнура. Анализ тороидального дрейфа частиц привел к идее вращательного преобразования, используемой в настоящее время в большинстве замкнутых плазменных конфигураций. Сущность вращательного преобразования заключается в том, что поле тороидальной ловушки представляет собой винтовые силовые линии. Эти линии поворачиваются вокруг некоторой замкнутой линии (называемой часто магнитной осью) при обходе вдоль магнитной системы. Вращательное преобразование выбирается из условия устранения (правильнее — компенсации) тороидального дрейфа.
В связи с тем что в тороидальных системах с вращательным преобразованием есть места сгущений и разрежений силовых линий магнитного поля (см. рис. 22), движение заряженных частиц может быть локализовано между двумя последовательными сгущениями аналогично тому, как это происходит в ловушках Будкера—По-
Рис. 24. «Банановые» области в тороидальных системах. Во — основное, или тороидальное, магнитное поле; сплошной линией обведена область движения захваченных частиц, пунк-жрной — проекция этой области на поперечное сечение тора.
140
ста. Поэтому частицы можно разделить на захваченные в ловушки, которые часто называют «бананами» (как видно из рис. 24, эти ловушки имеют форму бананов), и пролетные, свободно минующие указанные места сгущения силовых линий магнитного поля.
Вращательное преобразование выбирается таким образом, чтобы компенсировать дрейф как захваченных, так и пролетных частиц. На рис. 25 схематически изо-
бражены траектории пролетных и захваченных частиц
при наличии дрейфа. Можно показать, что смещение захваченных частиц в результате тороидального дрейфа заметно больше смещения пролетных, поэтому для равновесия необходимо в основном подавить дрейф захваченных частиц.
Замкнутая магнитная конфигурация должна быть устойчива по отношению к наиболее опасным магнитогидродинамическим колебаниям. Поэтому в тороидальных установках типа токамак, где вра-
Рис. 25. Схематическое изображение траектории пролетной (а) и запертой (6) частиц при наличии дрейфа.
щательное преобразование создается за счет продольного тока, должен выполняться прежде всего критерий Шафранова—Крускала (III. 33):
а2
С — Нг.
<111.34)
Сейчас среди тороидальных установок наиболее перспективными кажутся установки типа токамак. Наряду с ними продолжаются исследования на установках типа стелларатор, а также на тороидальных мультиполях. Как же выглядят эти установки? Каковы основные принципы их работы?
Прежде всего об установках типа токамак. В них (рис. 26) продольное магнитное поле создается внешними токовыми обмотками, подобно тому как это дела-
141
ется в обычном соленоиде. Вращательное преобразование создается продольным током /. В токамаке он играет и другую важную роль: греет плазму до весьма высоких температур (так называемый джоулев разогрев).
Принципиальная схема возбуждения тока в установке следующая: ток в плазменном шнуре, служащем вторичной обмоткой трансформатора, возбуждается при мощном разряде через первичную обмотку.
Не останавливаясь на деталях, укажем, что в
Рис 26. Схема установки типа то- установках типа токамак камак. удалось подавить наибо-
лее опасные неустойчивости за счет хорошей конфигурации магнитного поляъ а также достигнуть параметров, лучших, чем в других термоядерных установках квазистационарного типа. Это плод кропотливой работы научного коллектива сотрудников Института атомной энергии им. И\ В. Курчатова, который возглавлял выдающийся советский физик Л. А. Арцимович.
Отсутствие неустойчивостей на установках типа токамак указывало на то, что явления переноса (теплопроводность, диффузия и т. п.) будут здесь определяться кулоновскими соударениями частиц. Долгое время полагали, что коэффициенты переноса в тороидальных системах можно подсчитать по формулам (11.84) и (11.114), которые справедливы, строго говоря, для конфигураций с прямыми магнитными силовыми линиями. Так, казалось, что в результате электрон-ионных столкновений частицы сместятся на величину Дх^ге:
2 Ге Dtt-------=-----.
Т Те
(III.35)
Однако, как показали советские физики А. А. Галеев и Р. 3. Сагдеев, это не так.
Мы уже говорили, что в тороидальных системах частицы, удерживаемые магнитным полем, делятся на за-
142
хваченные и пролетные, то есть на локализованные в «банановых» областях и задерживающиеся в этих областях. Столкновения могут перевести пролетные частицы в захваченные и наоборот, а захваченные в один «банан» — в захваченные в другой «банан». Поэтому нельзя считать электронный радиус характерной длиной смещения — частицы могут смещаться сразу на ширину соответствующего «банана». Помимо того, время, необходимое для выбивания частицы из «банана», существенно меньше среднего времени между столкновениями, что также увеличивает диффузию. Последнее обстоятельство связано с тем, что при вычислении среднего
Рис. 27. Схема установки типа стелларатор.
Рис. 28. Схема установки типа тороидальный мультиполь.
времени между столкновениями суммируются времена отклонения частицы на малые углы (поскольку под средним временем между столкновениями понимается время, в течение которого произойдет поворот импульса частицы на угол порядка л), тогда как для выхода частиц из «банана» частице достаточно рассеяться на угол, значительно меньший л. Отмеченные здесь качественные рассуждения были приведены А. А. Галеевым и Р. 3. Сагдеевым и подкреплены разработанной ими достаточно строгой теорией переноса в тороидальных системах, получившей название неоклассической 12.
Наряду с системами типа токамак интенсивно исследуются системы типа стелларатор (рис. 27). В них вращательное преобразование создается током внешних
12 Если в физике плазмы говорят, что явления переноса поперек магнитного поля являются классическими, то под этим понимают, что соответствующие коэффициенты определяются формулами (11.84), (11.114) и т. п. Отсюда следует, что характерные длины — это ларморовские радиусы, а характерные времена — это времена между столкновениями соответствующих частиц.
143
проводников. Работы по исследованию таких систем ведутся во многих странах, в СССР они сосредоточены в Физико-техническом институте АН УССР и Физическом институте АН СССР им. П. Н. Лебедева.
В заключение параграфа укажем также на весьма интересный класс установок — так называемые тороидальные мультиполи (рис. 28). В них предполагается возбуждать ток в сверхпроводящих кольцах, подвешенных за счет электродинамических сил. Хотя эти установки могут длительно удерживать плазму, они, по-видимому, непригодны для решения термоядерной проблемы, так как образующиеся в ^-реакциях нейтроны будут быстро разрушать сверхпроводимость колец.
§ III. 7. Сжатие и разогрев плазмы с помощью быстронарастающего внешнего магнитного поля (0-пинч)
В весьма широком классе установок используют быстро-нарастающее магнитное поле для сжатия и разогрева плазмы. Установки эти часто называют 0-пинчами. Сразу же подчеркнем, что при сжатии могут быть использованы различные конфигурации магнитных полей. Поэтому всегда следует название «0-пинч» дополнять указанием, какая из магнитных конфигураций применена.
Рассмотрим вначале простейший 0-пинч — линейный, который был одной из первых импульсных систем. Полагали, что за счет сжатия плазмы до больших плотностей можно уменьшить время ее удержания и при этом избежать проявления опасных неустойчивостей, а также выполнить критерий Лоусона. При сжатии, естественно, как ,и в Z-пинче, происходит разогрев плазмы, иными словами, внешнее магнитное поле играет двойную роль: удерживает сжатую плотную плазму на короткое время и разогревает ее. По отношению к рассмотренному в § III.5 Z-пинчу токовая и магнитная конфигурации как бы поменялись местами (рис. 29). Если в Z-пинче продольный ток 1г создает кольцевое, или, как говорят, азимутальное, магнитное поле /7<р, сжимающее плазму, то в 0-пинче быстро нарастающее продольное магнитное поле Hz, образуемое током во внешней катушке, индуцирует кольцевой (азимутальный) ток в плазме.
144
Рис. 29. Схема токов и магнитных полей в Z- и 0-пинчах.
Эксперименты с линейными 0-пинчами показали, что прежде всего они могут быть использованы как хорошие источники нейтронов. Что касается применения линейных 0-пинчей в качестве термоядерных реакторов, то здесь энергетический баланс нарушается вследствие энергетических потерь на торцы. Подчеркнем, однако, что в установках типа линейного 0-пинча получены весьма высокие параметры плазмы, а также наибольший нейтронный выход, свидетельствующий о происходящих в такой плазме термоядерных реакциях. Наличие больших энергетических потерь на торцы заставило ученых вновь обратиться к тороидальным магнитным конфигурациям.
Конечно, существует разница между тороидальными ус
тановками типа токамак и стелларатор, с одной стороны, и 0-пинчами — с другой. Если установки первого типа рассчитаны на достаточно длительное удержание не слишком плотной плазмы, причем магнитное поле не используют для ее нагрева, то в 0-пинчах магнитное поле применяют и для сжатия плазмы до больших плотностей, и для нагрева ее. Требование более длительного удержания в квазистационарных тороидальных системах приводит к тому, что в этих системах магнитное поле внутри плазмы должно иметь давление, которое намного рп л больше, чем давление плазмы, то есть Р=8л~——<С1. п2
В тороидальных 0-пинчах требуется лишь ненадолго «задержать» сжатую и разогретую плазму, поэтому в данном случае давление магнитного поля сравнимо с плазменным.
Есть еще одна особенность динамики плазмы, присущая 0-пинчам: важную роль здесь играет магнитное поле, захватываемое плазмой. Рассмотрим явление захвата магнитного поля сжимающейся плазмой несколько подробнее. Пусть нарастание магнитного поля происхо
10-3451
145
дит тогда, когда в системе есть нейтральный газ. Тогда поле на начальном этапе будет свободно проникать внутрь объема, занимаемого средой с плохой проводимостью — нейтральным газом, а затем слабоионизован-ной плазмой.
При этом само образование горячей плазмы задерживается существенно. Обычно разряжаемая батарея, создающая магнитное поле, дает несколько затухающих полупериодов изменения магнитного поля. В тех случаях, когда на начальном этапе в объеме имеется нейтральный газ, образование плотной и горячей плазмы
Рис. 30. Захваченные магнитные поля в 0-пинче.
происходит на втором или даже третьем полупериоде разряда. Поэтому магнитное поле используется здесь неэффективно. Для того чтобы улучшить эффективность использования магнитного поля, необходимо предварительно ионизовать газ, то есть создать плазму с относительно хорошей проводимостью. Применяются различные методы предварительной ионизации — слабый высокочастотный разряд, оптическая ионизация и т. д. При этом на стадии, предшествующей основному сжатию, обычно захватывается плазмой поле, которое заметно меньше основного магнитного, однако играет важную роль в динамике 0-пинча. Типичная конфигурация поля при сжатии плазмы—на рис. 30. Замкнутое захваченное магнитное поле, казалось бы, должно удерживать частицы в заштрихованных объемах в случае сохранения устойчивости конфигурации в процессе сжатия. Однако
146
эксперименты по линейным 0-пинчам показывают, что частицы уносят на торцы заметную долю энергии. Именно поэтому в настоящее время основные надежды ученых связываются с так называемыми тороидальными 0-пинчами.
§ III. 8. Общая характеристика термоядерных реакторов
Прежде чем перейти к изложению существа проблемы, попытаемся ответить на вопрос: «Имеется ли проект термоядерного реактора, обладающий такими существенными преимуществами, которые позволяют исключить из рассмотрения все другие проекты?»
Нам представляется, что в настоящее время такого проекта нет.
Возможно, его и не будет. Ведь есть, например, несколько типов ядерных реакторов, конкурирующих между собой и вместе с тем позволяющих использовать то или иное положительное качество элементов, входящих в их состав. Сегодня наиболее исследованной термоядерной системой можно считать токамак. У этой системы имеются определенные преимущества, но они недостаточны для того, чтобы из так называемых кандидатов в реакторы избрать лишь токамак, отбросив все остальные.
Исследования, направленные на решение термоядерной проблемы, ведутся в основном по двум направлениям. Если обратиться к критерию Лаусона, то можно заметить, что существуют два различных пути решения термоядерной проблемы. Первый — увеличивать время удержания горячей плазмы, которая в этом случае может быть разряженной; второй — стремиться достичь за короткое время больших плотностей.
Термоядерные установки, основанные на достаточно длительном удержании плазмы, обычно называют ква-зистационарными. В них происходит относительно спокойное сжигание термоядерного топлива. Во всех установках такого типа используют магнитное поле для достижения достаточно длительного удержания плазмы (точнее, удержания энергии плазмы). В связи с этим квазистационарные системы часто именуют системами магнитного удержания.
10*
147
Рис. 31. Схема термоядерного реактора квази-стацпонарного типа.
В термоядерных установках, рассчитанных на использование очень плотной плазмы, используют идею быстрого разогрева конденсированных таблеток (твердых или жидких), содержащих дейтериево-тритиевую смесь. Быстро нагретые и одновременно сжатые до плотностей, больших чем плотности конденсированного вещества, таблетки взрываются. При этом смесь реагирует на стадии разлета. Вот почему такие системы обычно называют системами инерционного удержания. Несмотря на значительные различия систем, принадлежащих к каждому из двух описанных типов термоядерных установок, имеются общие требования для установок одного и того же типа. Эти требования приводят к необходимости использования в них одинаковых по назначению элементов.
Прежде всего следует отметить, что любые установки, использующие dZ-реакции, должны содержать зону воспроизводства трития из Li6 с помощью термоядерных нейтронов. Этот элемент, называемый бланкетом, должен входить в состав реакторов — как квазистационар-ных, так и основанных на инерционном удержании. При
148
этом заполняющее бланкет вещество может быть также
теплоносителем.
В состав установок с магнитным удержанием плазмы непременно входит система токовых витков, создающая магнитное поле требуемой конфигурации. На рис. 31 показано взаимное расположение основных элементов квазистационарных систем. В центре находится горячая плазма, «оторванная» от стенок магнитным полем. Между плазмой и стенкой существует вакуумный промежуток, позволяющий существенно уменьшить тепловые потоки заряженных частиц на стенки камеры. Затем идет стенка вакуумной камеры, которую нужно охлаждать в связи с тем, что тепловые потоки из термоядерной плазмы огромны. Следовательно, вакуумная камера должна быть окружена достаточно хорошим теплоноси-
телем.
Далее идет бланкет. Вещество, заполняющее его, играет две роли: регенератора трития и теплоносителя 13.
В настоящее время считается, что токовые витки должны быть сверхпроводящими. Это, в частности, означает, что магнит необходимо защитить от теплового и нейтронного излучений. Поэтому магнитную систему нужно вынести за бланкет, а между ней и бланкетом разместить защитную стенку. И, наконец, еще один необходимый эле-
Тракт подачи df-maSmox
озрыиаемая лазерными или электронными лучами внутри камеры
Рис. 32. Схема термоядерной системы инерционного удержания.
мент — термоизолятор магнита.
Так же, как системы маг-
нитного удержания, систе-
мы инерционного удержания обладают общими элементами (рис. 32). Прежде всего это мишени. Их величина
определяется возможностями другого элемента — взрывной камеры. Такая камера должна выдерживать огром-
13 Теплоотвод должен осуществляться в связи с тем, что, во-первых, в бланкете поглощаются энергичные термоядерные нейтроны, а во-вторых, реакция нейтрона с Li6 также сопровождается энерговыделением.
149
ные давления, развиваемые в результате взрывов дейте-риево-тритиевых мишеней. В то же время нейтроны, уносящие 80% энергии термоядерного синтеза, должны практически беспрепятственно проникать через стенки камеры в бланкет, принципиально не отличающийся от блаикета квазистационарной установки. Так как дейте-риево-тритиевая смесь должна относительно равномерно сжиматься, то необходимо, чтобы лазерных или электронных пучков было достаточно много. Это означает, что во взрывной камере нужно проделать достаточное число каналов, обеспечивающих транспортировку к мишени лазерных или электронных пучков.
§ III. 9. Реакторные системы синтез—деление
Представим себе, что удалось каким-то способом увеличить энергию, нарабатываемую в результате протекания каждой термоядерной реакции. Это привело бы к снижению критерия Лаусона. Как нетрудно понять, понижающий коэффициент был бы приблизительно равен отношению энергии, выделяемой в обычном dZ-реакторе, к соответствующей энергии при увеличенной наработке.
А если в бланкет термоядерного реактора ввести делящееся вещество? Тогда 14-мэвные термоядерные нейтроны смогут вызвать процессы деления тяжелых ядер, несколько размножаясь при этом. (В этом случае возможно осуществить также наработку трития из лития.) В связи с тем что при делении тяжелых ядер выделяется 200 МэВ в одной реакции, есть возможность существенного увеличения наработки энергии в пересчете на одну реакцию.
Нами описана принципиальная схема установок синтез—деление (§ III.8). В настоящее время известно несколько вариантов совместного использования реакций синтез—деление. Так, системы, называемые гибридными (рис. 33), направлены в основном на ослабление критерия Лаусона. Тем не менее и в них можно улучшить параметры атомных реакторов.
Для того чтобы понять это, необходимо кратко рассказать о проблемах атомной энергетики, основанной на делении тяжелых ядер. Прежде всего об энергоресурсах. Сегодня используют изотоп U235, которого в природном уране приблизительно в 140 раз меньше, чем U238 — основного изотопа урана.
150
Существует, однако, принципиальная возможность вовлечения U238 и практически не менее распространенного Th233 в энергоресурсы: переработка под действием нейтронов U238 и Th233 соответственно в Ри239 и U233. Чисто ядерная переработка этих изотопов возможна в реакторах на быстрых нейтронах, так называемых реак-
Генератор
^еплоноать
Ураново-литиедый бммет
Термоядерный реактор
Пар
(Q)
'Турбина
-Конденсатор пара
вода
)\\\о о о о va
№о°о°о°о°о|
ЖОО°О°1
(6)
Рис. 33. Схема гибридного реактора (а) и бланкет (б).
торах-размножителях, или бридерах. Необходимо, чтобы время удвоения топлива было заметно меньшим, чем время удвоения энерговыработки. Сейчас считается, что если время удвоения топлива будет 5—6 лет, то бридеры обеспечат нужный темп развития энергетики. Пока это время недостижимо.
Оказывается, что и в этом вопросе совместное использование систем синтез—деление может помочь. Термоядерные нейтроны позволят существенно уменьшить время удвоения ядерного топлива по отношению к времени наработки в бридерах. Сравнивая системы синтеза и деления, нетрудно заметить, что при одной и той же мощности термоядерные системы приблизительно в 10 раз богаче нейтронами, чем ядерные. Это привело к мысли использовать термоядерную подсистему лишь для наработки нейтронов, отводя ядерной системе роль наработчика энергии.
В настоящее время наиболее перспективным считается путь постепенного освоения термоядерной энергии.
151
На первом этапе предполагается создать системы синтез—деление, на втором — реакторы, использующие «^-реакции. Конечной целью является создание ^-термоядерного реактора, для которого энергоресурсы неограниченны и который экологически существенно чище других ядерных систем.
Помимо сказанного, следует упомянуть и о такой возможности применения термоядерных систем: они могут оказать существенную помощь в решении одной из основных экологических проблем ядерной энергетики, основанной лишь на использовании реакций деления.
Относительно недавно было показано, что ряд радиоактивных продуктов ядерного деления, вредных с экологической точки зрения, могут быть «переработаны» в ядра практически безвредные при помощи потоков нейтронов с энергией порядка 14 МэВ.
Это привело к мысли использовать для подобной переработки термоядерные установки, в которых, как мы знаем, такие нейтроны возникают за счет реакций термоядерного синтеза дейтерия с тритием.
ГЛАВА IV
ПРИКЛАДНАЯ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
§ IV. 1. Магнитогидродинамические генераторы
В начале предыдущей главы читатель познакомился с проблемой энергетического голода на нашей планете. В § III. 1 рассказано о том, что химических видов горючего хватит, по оценкам специалистов, на 100— 150 лет. Мы знаем также, что кардинальным решением проблемы энергетического голода на Земле является создание энергетики, основанной, по-видимому, на ядер-ном топливе (атомная или термоядерная энергетика).
Однако до тех пор, пока человечество не освоило ядерной энергетики, оно будет использовать химические виды горючего. Так ли уж эффективно применяется в настоящее время химическое топливо? Оказывается, нет. Достаточно указать, что средний КПД тепловых электростанций не превышает 30%. Иными словами, мы превращаем в электрическую энергию менее 1/3 энергии, запасенной в угле, нефти, газе и т. п. Существуют ли принципиальные возможности увеличения КПД неядерных электростанций? Да. В настоящее время их обычно связывают с разработкой мощных магнитогидроднна-мических (МГД) генераторов.
Помимо непосредственного повышения КПД электростанций, к экономии топлива ведет рациональное распределение во времени выработки электроэнергии. Поясним, в чем суть вопроса. Для этого обратимся к суточному графику электроэнергетической системы.
Обычно в утренние часы нагрузка в энергосистемах минимальна. Определенный рост происходит в дневное время. Вечером наступает резкий пик. Заметную роль в его создание вносят освещение, различные бытовые приборы, наконец, телевизоры. Энергетики с тревогой ожидают проведения крупных спортивных состязаний,
153
таких как футбольные и хоккейные матчи, соревнования по фигурному катанию и т. п. Необходимо, чтобы энергосистема выдержала перегрузки, связанные с одновременным включением в сеть миллионов телевизоров.
Нетрудно понять: проблема покрытия пиковых нагрузок связана с тем, что современные тепловые электростанции невозможно вывести на рабочий режим с той скоростью, с которой происходит включение в сеть телевизоров, приемников и других приборов бытовой электротехники. Поэтому в настоящее время проблема гашения пиковых нагрузок решается в основном за счет того, что определенный процент тепловых энергоблоков работает основную часть времени вхолостую, принимая на себя большие нагрузки в периоды обычных или временных пиков потребления электроэнергии. Проблема пиков усугубляется тем, что необходимо учитывать не только пиковые, но и аварийные ситуации. Конечно, холостая работа энергоблоков, непрерывно сжигающих топливо, экономически невыгодна, хотя на современном этапе она необходима для нормальной работы всей энергосистемы.
Как можно изменить указанную ситуацию? Очевидно, для замены работающих вхолостую энергоблоков необходимо найти такие способы преобразования энергии, которые позволили бы, во-первых, весьма быстро выводить электростанцию на нужный мощностной режим и, во-вторых, имели бы меньший среднесуточный расход топлива по сравнению с современными тепловыми электростанциями. В связи с этим внимание привлекают МГД-генераторы, способные в принципе за секунды выходить на режим большой мощности.
Из сказанного ясно, что проблема создания МГД-ге-нераторов большой мощности относится к числу центральных в современной энергетике. В настоящее время принято оценивать эффективность научных исследований в денежном выражении. Конечно, это не всегда возможно. Однако для МГД-генераторов такая оценка существует. Цифра приближается к заметной доле стоимости всех запасов угля.
В чем же состоит основная идея магнитогидродинамического метода преобразования энергии? Для лучшего пояснения этой идеи часто пользуются сравнением машинного генератора постоянного тока и МГД-генера-
154
Рис. 34. Схема действия МГД-генератора.
тора. В машинном генераторе твердые проводники движутся поперек магнитного поля. При таком движении, в соответствии с законом электромагнитной индукции, на концах проводника возникает электродвижущая сила (ЭДС), пропорциональная напряженности магнитного поля, активной длине проводника и скорости его движения поперек постоянного магнитного поля. С помощью системы контактов ЭДС передается на нагрузку.
Принципиально то же самое происходит и в МГД-генераторе. Отличие состоит в том, что вместо твердого проводника поперек магнитного поля движется плазма, описываемая, при определенных условиях, уравнениями магнитной гидродинамики (про это — см. гл. II).
Схема работы МГД-генератора представлена на рис. 34. В соответствии с законом электромагнитной индукции на «концах» нашего проводника — плазмы — возникает ЭДС
HvL
8 =------
с
(IV.l)
где Н — напряженность магнитного поля, L — эффективный размер плазмы поперек ее движения, v — скорость плазменного потока. (Заметим попутно, что соответствующая формула есть и в теории обычных электрических генераторов.)
Рассмотрим вкратце основные соотношения, определяющие работу МГД-генератора. Прежде всего о напряжении U, которое может быть подано на нагрузку. Формула, определяющая Ut хорошо известна из школьного курса физики:
[7=е_/Явит. (IV.2)
Иными словами, напряжение на «концах» нашего генератора равно разности ЭДС и падения напряжения IRbht на внутреннем сопротивлении Как обычно, в электротехнике величина тока I определяется нагруз-
155
кой, то есть внешним сопротивлением 7?Внш, точнее, 1= И
=-------. Введем простую, но важную характеристику
/?внш
генератора — параметр нагрузки К.:
(IV.3)
U /?вн ш
д'___________________
6 R внт DM Ш
С помощью этого параметра можно выразить мощность генератора Р через параметры самого МГД-гене-ратора. Прибегнув к простым алгебраическим выкладкам, получим следующую формулу:
H2vzL
Р=-----—oK(l-K), (IV.4)
где о — коэффициент электропроводности, определяе-L
мый соотношением о=--------.
/?внт
Формула (IV.4) показывает, что для достижения значительных мощностей необходимо использовать большие магнитные поля и скорости движения, а также иметь при этих параметрах достаточно высокую проводимость плазмы. Из (IV.4) следует также, что максимальная мощность может сниматься при вполне определенном соотношении внутренней и внешней нагрузок. Максимальное значение Р как функции К достигается 1 при Я=—:
1 aHWL
Ртах= ' '
(IV.5)
Такой же величины достигает мощность разогрева плазмы. Следовательно, в МГД-генераторе происходит не только прямое преобразование тепловой энергии в электрическую, но и дополнительный нагрев рабочего тела. Выходящая из канала МГД-генератора нагретая плазма может использоваться для работы обычных тепловых установок.
156
Однако проблема стыковки МГД-генератора с тепловой электростанцией является весьма сложной. Она связана прежде всего с тем, что необходимо удовлетворить два противоречивых требования. С одной стороны, температура плазмы, проходящей через МГД-генератор, должна быть достаточно высока, а с другой, современные энергоблоки работают при относительно низких температурах. Это означает, что газ после МГД-генератора необходимо несколько охладить, что в свою очередь приводит к заметному снижению КПД всего цикла.
Вернемся к МТД-генератору. Как уже отмечалось [см. формулу (IV.4)], для достижения больших мощностей необходимо иметь плазму высокой проводимости. Такая плазма приготовляется в камере сгорания, где к продуктам сгорания органического топлива прибавляется легкоионизируемая примесь, называемая обычно присадкой. В качестве присадки обычно используют щелочные металлы, имеющие самые малые потенциалы ионизации.
После камеры сгорания плазма попадает в так называемое сопло, которое создает направленный поток плазмы нужной скорости. Исследование оптимальных условий использования МГД-генераторов привело к выводу, что поток плазмы должен быть сверхзвуковым. Роль сопла как раз и заключается в создании сверхзвукового потока плазмы.
После сопла плазма входит в так называемый канал МГД-генератора, где и происходит непосредственное преобразование энергии потока плазмы в электрическую. Сам канал может быть конструкционно сложным, но обязательно иметь электродные и изоляционные стенки. Технические проблемы, стоящие перед создателями канала МГД-генератора, очень непросты. Необходимо, чтобы стенки канала выдерживали весьма большие тепловые потоки плазмы и, следовательно, могли работать устойчиво при высоких температурах.
Канал МГД-генератора помещен в магнитное поле, создаваемое специальными магнитами. Как мы видели, магнитное поле должно быть как можно большим. В настоящее время используются магнитные поля немногим больше 1 Т (104 Гс).
Таким образом, проблема разработки и создания МГД-генераторов является комплексной, включающей
157
вопросы физики плазмы, физики и техники сверхзвуковых потоков, техники создания магнитных полей больших напряженностей, высокотемпературного материаловедения и т. п.
Невозможно кратко изложить все проблемы, с которыми сталкиваются ученые, работающие над созданием МГД-генераторов. Отметим лишь отдельные. Одним из основных является вопрос создания плазмы продуктов сгорания с максимально возможной проводимостью в районе температур порядка 3000 К- Не менее важен вопрос об электродных стенках. Дело в том, что при больших плотностях тока обычно образуются дуги, пляшущие по электродным стенкам. Это приводит к тому, что в местах дуг происходит существенный нагрев и, как следствие, испарение материала электрода. Происходит, как говорят, эрозия электродов. Это в свою очередь ограничивает долговечность (ресурс) работы электродов.
Серьезные проблемы стоят перед создателями магнитных систем, стремящихся получить максимальные поля в больших объемах. За последнее время в разработке МГД-генераторов достигнут значительный прогресс, позволяющий надеяться на внедрение их в большую энергетику.
Говоря об основном направлении в развитии работ по МГД-генераторам, следует рассказать и о выдвинутой советским ученым Е. П. Велиховым весьма оригинальной идее применения этих установок для исследования недр Земли.
Суть этой идеи в следующем. Время проникновения электромагнитного поля в толщу земной коры — несколько секунд. Поэтому для ее зондирования можно использовать мощные электромагнитные сигналы. Анализ показал, что создать такие сигналы могут специальные импульсные МГД-генераторы, преимущество которых — в относительно малых габаритах при большой развиваемой мощности. Добиться таких результатов удалось с помощью пороховых зарядов плазмы высокой проводимости, а также потому, что работа короткими импульсами позволила обойтись без обычного для МГД-генераторов охлаждения стенок.
Начиная с 1973 г. проведены успешные эксперименты по зондированию земных недр на Памире, Урале,
158
Кольском полуострове. Так, в Баренцевом море электроды погружали в воду, и ток от МГД-генераторов шел от электрода к электроду, огибая громадную береговую линию полуостровов Среднего и Рыбачьего. Таким способом «просвечивались» Кольский полуостров и большая часть Карелии. Нетрудно понять, что электромагнитный сигнал «застревал», например, в рудоносных областях и они становились «видимыми».
§ IV. 2. Ускорители плазмы и проблема плазменных движителей
Наряду с проблемой МГД-генераторов одной из важных проблем прикладной магнитной гидродинамики является создание плазменных движителей, основанных на использовании ускорителей плазмы. Основная идея состоит в том, что за счет существенного увеличения скорости реактивной плазменной струи по сравнению с обычными плазменными струями можно значительно снизить расход массы. Особое значение приобретают плазменные движители для тех объектов, для которых важно снижение общего веса. В частности, такая ситуация возникает при разработке управляемых космических аппа^ ратов, которые могут автономно, с помощью своих движителей, изменять траекторию полета.
Для того чтобы лучше понять положение дел в области создания реактивных двигателей, приведем некоторые цифры. Как известно, реактивная тяга двигателя определяется произведением массы выбрасываемого вещества М на скорость его движения v : Mv. В настоящее время применяются реактивные двигатели, использующие химическое топливо. Скорости реактивных струй в таких двигателях порядка 105 см/с. Это означает, что даже при таком малом тяговом усилии, как 10 кГ, расход массы равен около 100 кг вещества в сутки. Поэтому использование плазменных ускорителей со скоростью струи более 107 см/с дало бы возможность при той же тяге уменьшить расход вещества более чем в 100 раз по сравнению с обычными реактивными двигателями.
Как же заставить плазму двигаться с указанными скоростями? Рассмотрим, к примеру, схему, внешне напоминающую схему МГД-генератора. Пусть в плазме,
159
находящейся в таком же канале, как в МГД-генерато-
ре, и помещенной в магнитное поле Я, указанное на рис. 34, прикладывается внешнее напряжение (разность потенциалов между верхней и нижней пластинами). Тогда (IV.2) может трактоваться как формула для определения скорости движения плазмы, то есть из (IV.2) с использованием (IV.1) получаехм
U ~\-1/^вн
V — C
HL
(IV.6)
В этом примере ускорение плазмы возникает вследствие явления электромагнитной индукции.
Реальные схемы плазменных ускорителей являются более сложными и разнообразными, чем указанная нами. Естественно, разработка плазменных движителей требует новых мощных источников энергии. Это связано не только с принципиальным отличием плазменных движителей от современных реактивных двигателей. Дело еще и в том, что при постоянстве тяги, как легко понять, энергия, расходуемая для достижения больших скоростей плазменных струй, растет пропорционально скорости. Поэтому возникают новые научно-технические задачи создания мощных источников энергии специального типа (малогабаритных, энергоемких и т. п.).
§ IV. 3. Магнитогидродинамические насосы
Довольно широкое применение в последнее время получили так называемые магнитогидродинамические (МГД) насосы. Мы уже знаем, что в результате взаимодействия электрического тока, протекающего в проводящей жидкости (или плазме), возникает сила, действующая аналогично давлению. Эта сила используется в МГД-насосах для приведения в движение жидкости. Если в МГД-генераторе задается движение жидкости (плазмы) и вследствие этого возникает индукционная электропроводящая сила, то в МГД-насосах задается внешнее электромагнитное поле, которое приводит за счет так называемой пондемоторной силы в движение жидкость (или плазму).
МГД-насосы (так же, как и движители) делятся на кондукционные и индукционные. Кондукцнонные насо
160
сы — это фактически обращенные МГД-генераторы. В насосах индукционного типа используют переменные электромагнитные поля. По сути индукционные насосы подобны асинхронным машинам.
Принципиально насосы не отличаются от МГД-дви-жителей. Конечно, разница в назначении движителей и насосов обусловливают и конструктивные различия. Так, по форме проточной части МГД-насосы могут быть плоскими, цилиндрическими, спиральными и т. д. При этом в плоских и цилиндрических индукционных насосах применяют бегущие магнитные поля, а в спиральных — вращающиеся поля.
В настоящее время в нашей стране разработаны индукционные насосы производительностью до 2000 м3/ч. Перекачиваемые жидкие металлы имеют температуру до 1500°С. Индукционные МГД-насосы обладают весьма высоким КПД; у лучших из них он превышает 50%.
Выше говорилось, что кондукционные МГД-насосы— фактически обращенные МГД-генераторы. Это означает, что в таких машинах движение проводящей жидкости задается с помощью прикладываемого к верхней и ниж-ней пластинам (см. рис. 34) электрического поля. Подобно МГД-генераторам, кондукционные насосы бывают обычно плоскими. Не останавливаясь на их конструктивных особенностях, укажем, что наряду с перекачиванием жидкостей с высокой проводимостью (жидких металлов) они могут быть использованы для перекачивания жидкостей с низкой проводимостью (электролитов) . Кондукционные насосы успешно применяют для перекачивания проводящих жидкостей, находящихся под большими давлениями. Производительность таких насосов составляет более 2000 м3/ч, они могут работать при давлениях выше 5-105 н/м2.
1 1—3451
ГЛАВА V
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ И ПЛАЗМЕННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В БЛИЗКОМ КОСМОСЕ
До относительно недавнего времени вопрос о происхождении магнитного поля Земли оставался загадкой. Успехи в понимании его возникновения стали возможны благодаря развитию магнитной гидродинамики, а также палеомагнитологии '. Открытия последнего времени, касающиеся магнитного поля нашей планеты, затронули не только земные проблемы. Человек шагнул в космос, начал изучать его, осуществляя непосредственные измерения — с помощью приборов, установленных на ракетах и спутниках.
И тут нашему взору предстала картина, которую невозможно было нарисовать, оставаясь на Земле. Выяснилось, что существует так называемый радиационный пояс Земли, что структура магнитного поля планеты на больших высотах не повторяет магнитную структуру вблизи ее поверхности; удалось объяснить явления магнитных бурь и полярных сияний, поставить первые контролируемые эксперименты в космосе.
В данной главе мы кратко познакомим читателя с этими вопросами.
§ V. 1. Происхождение магнитного поля Земли. Проблема гидромагнитного динамо Земли
Попытки объяснить существование магнитного поля Земли делались неоднократно на протяжении более чем трех с половиной веков. Начало этому положил английский физик У. Гильберт, который около 1600 г. высказал гипотезу о том, что наша планета представляет собой большой магнит. Он утверждал, что в грубом приближении структуру магнитного поля можно представить себе в виде магнитного диполя, расположенного в цен-
1 О палеомагнитологии будет сказано ниже.
162
тре Земли и направленного от Северного географического полюса к Южному (рис. 35). Затем последовал период, так сказать, экспериментальный — производились измерения магнитного поля в различных точках планеты и для многих моментов времени. В подтверждении гипотезы У. Гильберта и N
развитии наших представлений о магнитном поле Земли большую роль сыграли работы немецкого [ \
ученого Ф. Гаусса. Основываясь на | | I ) j I f
Рис. 35. Геомагнитное поле на близких от S
поверхности Земли расстояниях. V5! \
произведенных измерениях, он показал математически, что главные источники геомагнитного поля расположены внутри Земли.
Долгое время вопрос о физической природе источников магнитного поля Земли оставался необъяснимым. Был высказан ряд гипотез, однако ни одна из них не выдерживала критики как с точки зрения теоретической, так и исходя из данных наземных измерений. Основная причина этого, по-видимому, состояла в том, что в гипотезах практически не учитывалось внутреннее строение Земли. Да и знания о нем были весьма скудны.
В качестве примера можно привести гипотезу английского физика П. Блэкетта, предложенную им сравнительно недавно, в 50-х годах нашего столетия. В основе ее лежит предположение о том, что всякое вращающееся тело намагничивается самопроизвольно вдоль оси вращения. Отметим, что подобную мысль еще в начале нашего столетия высказал русский физик-экспериментатор П. Н. Лебедев, который пытался доказать ее с помощью опытов с вращающимися медными шарами. Однако П. Н. Лебедев не получил экспериментального подтверждения ожидаемого эффекта. Исследования П. Блэкетта также не подтвердили его гипотезу.
Уже говорилось, что большую роль в современных представлениях о причинах возникновения магнитного поля Земли сыграла молодая наука палеомагнитология, изучающая геомагнитное поле прошлых геологических эпох по остаточной намагниченности горных пород. Иногда говорят, что предмет этой науки — «окаменевший» магнетизм. Самое удивительное открытие палеомагни-
11*
163
тологии состоит в том, что магнитное поле Земли многократно испытывало «переполюсовку» — изменение полярности, сохраняя при этом свой дипольный характер. Процесс «переполюсовки» геомагнитного поля происходил, с точки зрения геологической, весьма быстро — за время порядка 104 лет. Открытие изменения полярности магнитного поля Земли позволило отбросить не только гипотезы, в которых геомагнитное поле связывалось непосредственно с вращением, но и целый ряд других предположений, не дающих объяснения указанному явлению.
Современные представления о природе геомагнитного поля связаны с теорией гидромагнитного динамо. Поэтому сделаем небольшое отступление и расскажем вкратце о гидромагнитном динамо вообще, а затем вернемся непосредственно к теории геомагнитного поля.
Что такое гидромагнитное динамо? Как мы знаем, при движении проводников в магнитном поле в них возбуждаются токи за счет электродвижущей силы индукции. На этом принципе, в частности, основаны широко применяемые в технике динамомашины с самовозбуждением. В них магнитное поле, нужное для появления электродвижущей силы, возникает за счет отвода частиц возбуждаемого тока в обмотки магнита, поддерживающего поле последнего. Подчеркнем важную особенность таких динамомашин: система твердых проводников и скользящих контактов позволяет направлять ток так, как это необходимо для самовозбуждения. А имея дело с гидромагнитной средой, мы не знаем, как распределяются токи и могут ли они при определенных условиях течь так, чтобы возникло самоподдерживаю-щееся магнитное поле, то есть чтобы работало гидро-магнитное динамо с самовозбуждением.
Отсюда следует, что если мы хотим объяснить геомагнитное поле с помощью гипотезы гидромагнитного динамо, то необходимо вначале доказать принципиальную возможность самовозбуждения магнитного поля при движении проводящей жидкости в шаровой области. Это совсем не просто. Так, в 1934 г. английский ученый Т. Каулинг показал, что если движение однородной проводящей жидкости и магнитное поле обладают симметрией относительно некоторой оси, то стационарное гидромагнитное динамо невозможно. Иначе
164
говоря, однородное двумерное динамо принципиально невозможно. Таким образом, в проблеме гидромагнит-ного динамо приходится иметь дело с трехмерными задачами, что весьма усложняет дело.
При решении вопроса о принципиальной возможности существования гидромагнитного динамо вначале были рассмотрены простейшие примеры, далекие от непосредственного применения к объяснению геомагнитного поля. Американские ученые Ф. Лоус и И. Уилкинсон показали, что система двух вращающихся цилиндров, помещенных в сплошную проводящую среду под прямым углом друг к Другу, служит примером гидромагнитного динамо.
Чтобы понять это, рассмотрим сплошную проводящую среду, в которой находится цилиндр с осью вращения, совпадающей с внешним магнитным полем Ьо. Будем считать, что между вращающимся цилиндром и всей проводящей жидкостью существует идеальный электрический контакт (рис. 36). Ясно, что при вращении цилиндра в плоскостях магнитного поля, проходящих через ось цилин- I дра в меридиональном направлении, -----------
будут возникать индукционные ЭДС, а вместе с ними — соответствующие токи, создающие вторичное магнитное поле Ь\, силовые линии которого явля-
Рис. 36. Цилиндр, вращающийся в проводя- ^^^Ха
щей жидкости (ось вращения совпадает с на-правлением магнитного поля). <
ются кольцевыми (как это видно на рис. 36). Если теперь расположить в сплошной проводящей среде взаимно перпендикулярно друг к другу два таких цилиндра (рис. 37), то вторичное поле одного может служить основным для другого.
Эксперимент, поставленный Ф. Лоусом и И. Уилкинсоном в 1958 г., показал, что при достаточно высокой проводимости вещества и больших скоростях вращения цилиндров возникает самовозбуждение поля. Это было одним из первых экспериментальных доказательств принципиальной возможности гидромагнитного динамо. Конечно, в разобранном примере, имеющем огромное
165
принципиальное значение, условия весьма далеки от тех, которые возможны в земном ядре.
Современные представления о внутренней структуре Земли сформировались благодаря крупным успехам сейсмологии — науки, исследующей упругие волны, рас
Рис. 37. Схема гидромагнитного динамо двух вращающихся в проводящей жидкости цилиндров.
Рис. 38. Схема строения Земли по К. Буллену.
пространяющиеся в недрах планеты во время землетрясений. Известно, что в средах с различной плотностью и структурой упругие волны распространяются по-разному: неодинаковы их скорости, на границе двух сред происходит их отражение и преломление и т. д. Изучение характера распространения упругих колебаний позволило создать модель внутреннего строения Земли. В настоящее время наиболее близкой к реальности считается модель, предложенная австралийским физиком К. Булленом. В соответствии с ней, Земля состоит из концентрических зон, разделенных границами, на которых довольно резко изменяются физические свойства и состав зон (рис. 38). Первая зона А, толщина которой составляет примерно 33 км, носит название земной коры. Зоны В, С, D образуют так называемую мантию, толщина которой равна приблизительно 2900 км. Последующие зоны — Е, F, G — составляют ядро. На границе мантии и ядра, точнее, между зонами D и Е, вещество переходит из твердого состояния в жидкое. Само ядро, однако, не является полностью жидким. В жидком состоянии находится лишь зона Е, толщина которой приблизительно равна 2000 км. Следующая за ней зона F представляет собой относительно тонкий переходный
166
слой толщиной около 140 км. Наконец, центральная зона G имеет радиус около 1200 км и находится в твердом состоянии.
Охарактеризуем также некоторые физические свойства зон, в первую очередь плотность и температуру. Плотность при приближении к центру Земли возрастает равномерно почти повсюду, изменяясь скачком лишь на границе зон D и Е (от 5 до 9,5 г/см3), или, как говорят, на границе оболочки (зоны Л, В, С, D) и ядра (зоны £, £, G). Плотность в центре ядра оценивается величиной 17 г/см3. Температура также возрастает. Вначале, до глубины 1000 км, она повышается очень быстро, затем рост ее существенно замедляется. На границе оболочки и ядра температура достигает 3000—4000°С, а в центре ядра — 4000—5000°С.
В теории гидромагнитного динамо весьма важной величиной является электропроводность, поэтому мы приведем значения ее для различных слоев. Полагают, что электропроводность вначале убывает и падает до нуля на глубине около 400 км, а затем начинает нарастать до значений, приблизительно равных 3-103 Ом^-м-1.
Зная физические характеристики зон, можно сделать вероятные предположения об их химическом составе. По существующим в настоящее время представлениям, жидкая зона Е состоит из расплавленных железа, никеля и кремния, центральная зона G, по всей вероятности, является железно-никелевой. В переходной области F железо и никель находятся в жидком состоянии, тогда как кремний постепенно кристаллизуется. Мы говорим только о ядре потому, что лишь в нем вещество существует в жидкой фазе и к тому же обладает высокой электропроводностью, а это именно те компоненты, на основе которых строится теория гидромагнитного динамо Земли.
Первым шагом в развитии современных представлений о магнитном поле Земли была выдвинутая в 1919 г. гипотеза английского физика Дж. Лармора, объясняющая происхождение магнитных полей в солнечных пятнах. Ученый предположил, что при движении проводящего вещества в результате электромагнитной индукции могут возникать магнитные поля — то, что выше было названо гидромагнитным динамо.
Более двадцати лет эта гипотеза не получала дальнейшего развития, поскольку не были предложены кон
167
кретные механизмы работы гидромагнитного динамо Земли, а также не имели ответа отмеченные выше принципиальные вопросы. Затем решение проблемы возникновения магнитного поля Земли было существенно продвинуто вперед работами двух ученых — американского В. Эльзассера и советского Я- И. Френкеля, предположивших, что тепловая конвекция в зоне Е может играть ту же роль, что и механическое вращение в обычных динамомашинах, то есть роль двигателя в земной «динамомашине».
Идеи тепловой конвекции были использованы физиками: английским — Э. Буллардом и советским — С. И. Брагинским. Э. Буллард предположил, что существует разница во вращении оболочки и ядра. Такое предположение разумно, потому что слой Е жидкий. Кроме того, как это следует из уравнений магнитной гидродинамики, для возбуждения поля в ядре необходимо, чтобы оно вращалось относительно оболочки, — упомянутая выше теорема Каулинга указывает, что в противном случае поле возникать не будет. Косвенным подтверждением неоднородного вращения ядра можно считать явление так называемого западного дрейфа2, впервые обнаруженного Э. Буллардом.
В самом деле, так как ядро соединяется с оболочкой при посредстве жидкой зоны Е, легко представить себе существование разности скоростей твердой части ядра и оболочки. В таком случае, если оболочка движется преимущественно на запад, а твердая зона ядра — на восток, то возможно возникновение западного магнитного дрейфа. Остановимся на этом несколько подробнее.
Прежде всего нетрудно понять, что наблюдаемое на
поверхности Земли магнитное поле которое называют обычно меридиальным, будет проникать в ядро. Так как ядро обладает весьма высокой проводимостью, то магнитное поле (в соответствии с законом вморожен-ности силовых линий в вещество) будет, захватываясь
г Магнитное поле Земли не является строго дипольным — существуют относительно малые добавки к дипольному основному магнитному полю. В 1951 г. было выявлено, что изолинии недипольной части геомагнитного поля перемешаются в западном направлении со скоростью около 0,2° в год. Это явление и названо западным дрейфом.
168
веществом, вытягиваться вследствие неоднородного вращения в долготном направлении, образуя так называе
мое тороидальное поле Вф (рис. 39). Если бы зона Е обладала бесконечной проводимостью, происходило бы непрерывное наматывание витков поля Вф, то есть его величина росла бы до бесконечности. На самом деле, наряду с захватом поля вследствие конечной проводимости (хотя и очень боль-
шой), рост поля останавливается процессом его диффузии через вещество. В стационарном состоянии значение 5Ф определяется взаимной компенсацией процессов увлечения поля и его диффузии. Нетрудно понять, что при значительной ве-
Рис. 39. Тороидальное и полои-дальное геомагнитные поля.
личине проводимости то-
роидальное поле может быть намного больше меридионального. Поскольку наблюдаемое меридиональное
поле довольно жестко связано с ядром, скорость западного дрейфа должна определяться скоростью движения ядра относительно оболочки. Отметим, что хотя тороидальное поле может быть гораздо больше меридионального, оно нами не наблюдается, так как сосредото
чено в ядре.
Теперь для окончательного ответа на вопрос о происхождении магнитного поля Земли необходимо предложить механизм замкнутого цикла самовозбуждения Вр через В<р и наоборот с помощью неоднородного вращения. Наиболее реалистическая модель самовозбуждения разработана С. И. Брагинским. Им выявлены условия, при которых возможно самовозбуждение магнитного поля, а также уточнена роль конвективных движений в гидромагнитном динамо Земли. Сохраняя основные выводы магнитогидродинамической теории Э. Булларда относительно тороидального магнитного поля, Брагинский пришел к выводу, что самовозбуждение поля возможно лишь при несимметрии последнего относительно оси вращения. Этим объясняется тот факт, что ось вращения Земли и магнитная ось несколько не совпадают.
169
С. И. Брагинский показал, что несимметричное движение дает возможность генерации почти взаимно перпендикулярных полей Вр и без участия внешнего магнитного поля. (Вспомним пример с вращающимися цилиндрами.) Заметим также, что рассчитанное в теории Брагинского тороидальное поле имеет напряженность, существенно большую, чем в теории Булларда.
Если Я. И. Френкель, а вслед за ним Э. Буллард предполагали, что тепловая конвекция приводит к движению жидких слоев в зоне Е, поддерживающему стационарную «работу» геомагнитного динамо, то С. И. Брагинский предлагает более рациональный механизм массового движения. Он считает, что тепловая конвекция не может дать относительно большие КПД, требуемые в теории магнитного динамо. В самом деле, малый перепад температур в ядре приводит, в соответствии с известной теоремой Карно, к малым КПД «динамомашины». Поэтому необходимо найти механизмы нетеплового происхождения, вызывающие массовое движение в зоне Е. Наиболее вероятной причиной движений в зоне Е, по мнению С. И. Брагинского, является всплытие легких примесей. На менее плотные массы, которые могут оказаться в нижних слоях зоны Е, действует Архимедова сила, приводящая их к всплытию и к опусканию более плотных масс. При этом образуются массовые движения, необходимые для поддержания поля. По гипотезе С. И. Брагинского, ответственным за такие движения является кремний, растворенный в железе. Поскольку с глубиной растет давление, жидкий кремний, растворенный в железе, начинает кристаллизоваться на «дне» — в зоне F — и всплывать вверх. При этом верхние слои стремятся занять место всплывающих кристалликов. Расчеты показывают, что указанный механизм может дать величину Архимедовой силы, достаточную для движения, Необходимого для поддержания магнитного поля Земли.
Важным выводом магнитогидродинамической теории является также признание возможности самообращения магнитной оси вследствие изменения условий, при которых происходят вихревые движения. Этим удается объяснить факт происходивших ранее «переполюсовок» магнитного поля Земли.
170
§ V. 2. Структура окружающей Землю атмосферы.
Ионосфера
Мы уже говорили о том, что большая часть вещества во Вселенной находится в состоянии плазмы. При этом в качестве примеров плазменных образований приводились Солнце и звезды. А что можно сказать об околоземном пространстве? Далеко ли от поверхности Земли появляются стационарные плазменные области? Оказывается, даже с точки зрения земных расстояний, не так далеко. Уже на высотах около 50—80 км начинается так называемая ионосфера — область, где плазма сосуществует с нейтральным газом атмосферы Земли.
Ионосфера играет важную роль не только в атмосферных явлениях. Радиосвязь, особенно дальняя, существенным образом зависит от ионосферы, ее свойств и состояния. Непрерывно происходящие в ионосфере явления, определяющие ее состояние, обусловлены многими факторами. Это состав и состояние верхней атмосферы, это и корпускулярные солнечные потоки, это и процессы, происходящие в так называемой магнитосфере — области околоземного стационарного магнитного поля (о ней речь пойдет в следующем параграфе).
Так как ионосфера самым тесным образом связана с атмосферой, начнем с рассказа о структуре атмосферы.
Околоземные слои атмосферы изучались с незапамятных времен. На основе полученных данных строились различные модели структуры всей атмосферы. Но по-настоящему познать предмет можно лишь путем непосредственных измерений. А для атмосферы это означало необходимость оторваться от Земли.
С древних времен человек мечтал о полетах над Землей, пытался летать, как птица, с помощью крыльев. Затем наступила эра воздухоплавания: созданы воздушные шары и первые самолеты. Воздухоплавание открыло перед человеком возможность систематических физических измерений окружающей Землю атмосферы не только вблизи планеты, но и на более значительных расстояниях от нее. И до сих пор воздушные шары являются важным инструментом изучения нижних слоев атмосферы, ее состава, колебаний параметров, таких как давление, температура, скорость движения.
171
В наше время ракетная техника создала основу для прямых космических измерений и экспериментов. Космические исследования позволили как бы снять пелену атмосферного слоя, и исследователи обнаружили явления, которые практически невозможно было предсказать, находясь на Земле. Комплекс наук о Земле и окружающем ее пространстве получил возможность сравнивать «земные» гипотезы с «внеземными» данными.
Достижения космонавтики позволили лучше узнать нашу планету, ее строение, богатства недр и океанов. Считается, что с помощью космических метеорологических систем можно будет не только хорошо диагностировать атмосферу для улучшения прогнозов погоды, но и создать в будущем условия для управления климатом.
Обратимся теперь непосредственно к структуре и вариациям верхней атмосферы по материалам, полученным с помощью космических аппаратов. Основные современные представления о структуре верхней атмосферы и ее динамике на высотах от 150 до 1500 км возникли из анализа данных об эволюции траекторий искусственных спутников Земли. В частности, подтвердилось ранее существовавшее предположение о нестационарности профиля плотности атмосферы начиная с 200 км и выше. Это заметно осложняет построение общей модели верхней атмосферы, что представляется важным для различных приложений. Результаты космических исследований позволяют весьма определенно говорить о составе верхней атмосферы и менее определенно о вариациях этого состава.
Модель верхней части атмосферы выглядит следующим образом. В районе высот около 100—120 км возникает диффузионное разделение газов из-за того, что различные газы убывают с высотой по-разному. На высотах около 200—250 км возрастает относительная концентрация атомарного кислорода, образующегося за счет диссоциации молекулярного кислорода под действием солнечного ультрафиолетового излучения. Параллельно с этим процессом происходит уменьшение относительной концентрации азота. И уже на высотах 250— 300 км атомарный кислород становится основным компонентом нейтральной части атмосферы. В верхних слоях атмосфера является водородно-гелиевой (в годы минимума солнечной активности — начиная с высот 500—
172
600 км, в годы максимума — с 1000—1500 км). Причем в самых верхних слоях атмосфера состоит практически из одного водорода. Концентрация водорода была весьма точно измерена при полетах советских космических станций вплоть до расстояний порядка нескольких радиусов Земли.
Обратимся теперь к ионосфере. Интересно отметить, что, с одной стороны, исследования с помощью спутников и ракет дают новые сведения о составе и структуре ионосферы, особенно внешнего ее слоя, а с другой—эти сведения помогают более точно рассчитывать траектории полета ракет и спутников.
Итак, структура ионосферы выглядит приблизительно следующим образом. Нижняя ее часть, простирающаяся от высот ~50—80 км, обычно называют D-слоем. Затем идет £-слой до высот около 130—150 км; верхняя часть ионосферы, расположенная выше 150 км, именуется D-слоем. Причем часто выделяют Dj-слой (приблизительно до 300 км) и F% (слой от 300 км и выше). Слои разделяются по концентрации ионов и электронов, которые в свою очередь определяются различными физическими процессами, приводящими к образованию ионизованного вещества.
Совсем еще недавно не было ясно, до каких пор простирается ионосфера. Эксперименты последних лет показали, что ионосфера занимает расстояние по меньшей мере до 4—5 радиусов Земли. Следует отметить, что максимум концентрации верхнего D-слоя расположен на высотах от 180 до 320 км. Концентрация же верхней части ионосферы существенно зависит от солнечной активности. Нетрудно понять, что в годы спокойного Солнца концентрация верхних слоев ионосферы уменьшается, причем спад концентрации резко усиливается.
Приведем некоторые данные о составе ионосферы. Концентрация нейтралов уменьшается от 1013 частиц/см3 на высоте около 100 км до 105 частиц/см3 на высоте около 1000 км. Концентрация заряженной компоненты (электронов и ионов) в нижних слоях ионосферы изменяется сильно в зависимости от времени года и даже в течение суток. Это связано с изменением потока солнечных квантов, ионизирующих нейтральный газ. На больших высотах концентрация плазмы убывает значительно
173
медленнее, чем концентрация нейтралов. Отношение концентрации плазмы ппл к концентрации нейтралов гг0 является важной характеристикой ионосферы и показывает, является ли плазма слабоионизованной или пол-
л ностью ионизованной. Иначе говоря, величина-------сви-
ло
детельствует о том, какие элементарные процессы характерны для данного слоя, а также имеется ли возможность проявления коллективных свойств плазмы.
fin л
Так вот, на высотах около 100 км------~ 10-8—10-10; на
По
Мп Л высотах порядка 300 км — ---------~10-2, а на высоте
Ло
3000 км — ------л; 104. То есть в верхних слоях ионо-
Ло
сфера является полностью ионизованной.
Температура в ионосфере в среднем растет с высотой от около 300 К на высотах порядка 100 км до 3000— 4000 К на высотах около 1000 км и выше.
Ионосфере, ее структуре, свойствам, зависимости ее состояния от времени года, суток, характера солнечной активности посвящены многие исследования. И это неудивительно. Ведь ионосфера — внешний слой атмосферы Земли, а следовательно, во многом определяет такие жизненно важные процессы, как поглощение солнечной (световой и корпускулярной) энергии и ее «транспортировку» на Землю. Но не только это вызывает интерес к ионосферным исследованиям. Нет нужды говорить о важности дальней радио- и телевизионной связи. И здесь ионосфера играет важную роль. В зависимости от диапазона волн, их интенсивности в ионосфере происходят сложные процессы, такие как отражение волн от плазменных волновых барьеров ионосферной плазмы, возбуждение других типов волн, нагрева самой ионосферы и т. п.
В ионосфере часто происходит (в зависимости от условий) самовозбуждение волн вследствие плазменных неустойчивостей. Такие процессы легко можно зафиксировать, включив радиоприемник и обнаружив при этом
174
фон шумов и свистов. Кстати, один из типов плазменных волн, дисперсионные свойства которого определяются магнитным полем и плотностью плазмы, так и называется — свисты, или свистящие атмосферики. Это название произошло от того, что впервые эти волны были зарегистрированы в виде свистов в радиоприемных устройствах.
Относительно высокий уровень шумов и свистов указывает на то, что ионосфера не часто находится в спокойном состоянии. Изучение ее бурлящих, турбулентных свойств — задача весьма сложная. В настоящее время имеются определенные данные о турбулентности ряда, ионосферных слоев. Эти материалы получены не только с помощью пассивных измерений, но и в активных плазменных экспериментах.
§ V. 3. Солнечный ветер. Магнитосфера. Магнитные бури. Полярные сияния. Активные плазменные эксперименты в близком космосе
В § V.1 мы познакомились с современными представлениями о магнитном поле Земли и его происхождении. В период, предшествовавший нашей, космической эпохе многочисленными наземными измерениями и исследованиями на небольших высотах было показано, что на Земле и в непосредственной близости от нее магнитное поле носит дипольный характер. До того как космическое пространство стали исследовать с помощью ракет и спутников, полагали, что дипольный характер магнитное поле сохраняет и на больших высотах. Соответствующие рисунки показывали студентам и школьникам, помещали их в учебниках. Было это всего 15—20 лет назад.
Современная ракетная техника позволила проникнуть далеко за пределы Земли, произвести в космосе прямые измерения. Полученные данные оказались неожиданными. Из них в первую очередь следует назвать обнаружение солнечного ветра, существенного изменения структуры магнитного поля Земли на больших расстояниях, а также радиационных поясов Земли.
Вначале о солнечном ветре. Так называют потоки водородной плазмы, непрерывно истекающей с поверх
175
ности Солнца. Первые намеки на возможность существования таких потоков были получены при изучении ориентации хвостов комет в сторону, противоположную нашему светилу.
Исходя из этих данных, астроном Л. Бирман высказал предположение о потоках частиц, непрерывно уходящих от Солнца. Косвенным указанием на наличие солнечного ветра являлась также связь между вспышками на Солнце и началом магнитных бурь. Естественно, что только непосредственные измерения в космосе дали возможность доказательно говорить о том, что Солнце непрерывно испускает поток водородной плазмы.
Каковы же основные характеристики солнечного ветра, какова его динамика? Скорость солнечного ветра около 300—500 км/с. Такой поток с концентрацией до 10 частиц/см3 распространяется в межпланетной среде, которая находится в состоянии плазмы (плотность межпланетной плазмы 102 см-3, температура 7'^103К). Сразу же отметим, что скорость солнечного ветра является весьма большой по сравнению с характерными скоростями распространения возмущений в межпланетной плазме, то есть по сравнению со скоростями магнито-гидродинамических волн. Плазму солнечного ветра характеризует высокая проводимость. Это означает, что солнечный ветер способен захватить силовые линии магнитного поля Солнца и «тянуть» их за собой. Если учесть вращение Солнца, то станет понятной картина силовых линий магнитного поля, имеющих вид спиралей Архимеда. Вблизи орбиты Земли силовые линии магнитного поля составляют угол, приблизительно равный 45° по отношению к оси Солнце—Земля.
Именно межпланетное магнитное поле определяет скорости распространения магнитогидродинамических волн. (Напомним, что поперечная альфвеновская волна распространяется вдоль магнитного поля, а поперек магнитного поля может распространяться продольная магнитозвуковая волна, см. § 11.16.) Так как скорость солнечного ветра намного превосходит скорости распространения магнитогидродинамических волн, течения плазмы солнечного ветра в определенном смысле аналогичны сверхзвуковым течениям в газе. В «сверхзвуковом» течении солнечного ветра и обтекании им космических объектов в Солнечной системе весьма ярко
176
проявляются отличия плазмы от обычного нейтрального газа.
Для лучшего понимания этого отличия обратимся вначале к сверхзвуковому обтеканию тел в газе. Физические процессы, связанные с таким обтеканием тел, изучаются в аэродинамических трубах. (В таких трубах исследуется, в частности, картина обтекания газом сверхзвуковых самолетов.) Известно, что при сверхзвуковом обтекании тел образуются ударные волны. Такое явление может наблюдать каждый, отмечая появление резкого хлопка (аналогично возникающему при взрыве) при преодолении самолетом звукового барьера. Ударная волна имеет резкую границу, ширина которой называется шириной фронта ударной волны. В газе эта ширина определяется Х-длиной свободного пробега и для сильных ударных волн по порядку величины равна X. Это понятно, так как информацию о мощном возмущении состояния газа, вызываемом сверхзвуковым движением тела, переносят частицы с расстояний порядка длины свободного пробега.
Обратимся теперь к сверхзвуковым течениям в плазме. (Здесь роль скорости звука может играть также альфвеновская скорость, определяющая скорость распространения альфвеновских и магнитозвуковых волн, см. § 11.16). Пусть мы имеем дело с естественной «аэродинамической трубой» — межпланетным пространством. Здесь длина свободного пробега заметно превосходит расстояние Солнце—Земля.
Будет ли в таком случае сверхзвуковое обтекание Земли, а правильнее, магнитного поля Земли, сопровождаться образованием «ударной» волны? Этот вопрос затрагивает общий принципиальный вопрос о том, могут ли в плазме, где столкновения частиц не играют существенной роли, то есть в бесстолкновительной плазме, образовываться ударные волны. Положительный ответ стал возможен в результате работы многих советских и зарубежных физиков; основной вклад принадлежит Р. 3. Сагдееву.
В рамках нашей книги нет возможности изложить хотя бы качественно главные результаты теории бес-столкновительных ударных волн. Назовем лишь основные физические причины, приводящие к образованию таких волн. Если в нейтральном газе передача энергии
1/2 12—3451
177
и импульса происходит в результате парных столкновений, то, как уже неоднократно подчеркивалось, в плазме возможна передача энергии и импульса с помощью возбуждения коллективных степеней свободы — колебаний и волн. Именно коллективные механизмы обмена энергией приводят к возможности образования ударных волн с толщиной, намного меньшей, чем длина свободного пробега по отношению к парным столкновениям. В частности, такое явление наблюдается при обтекании солнечным ветром магнитного поля Земли. При этом структура силовых линий магнитного поля заметно отличается от дипольной и обладает рядом весьма интересных свойств.
На рис. 40 показана картина силовых линий магнитного поля Земли в сечении день—ночь. Как видно из рисунка, геомагнитное поле образует в потоке плазмы солнечного ветра полость, обычно называемую магнитосферой. У магнитосферы нет точной границы — она ко-
Рис. 40. Меридиональный разрез магнитосферного распределения плазмы.
178
леблется в зависимости от интенсивности солнечного ветра. Эта граница, называемая магнитопаузой, происходит там, где в данный момент давление геомагнитного поля способно сдержать динамическое давление солнечного ветра. А это приводит к тому, что ближайшее расстояние до магнитосферы в направлении к Солнцу составляет приблизительно 10 земных радиусов, или около 60 тыс. км. Перед магнитосферой лежит область бесстолкновительной ударной волны. В пей плазма находится в так называемом турбулентном состоянии, характеризующемся высоким уровнем хаотических электромагнитных колебаний и большими скоростями относительно движения частиц, ответственных за обмен энергией внутри фронта ударной волны.
Следует отметить также наличие с дневной стороны так называемых нейтральных точек, то есть точек, вблизи которых происходит изменение направления силовых линий магнитного поля. Можно считать доказанным, что вблизи этих точек, где практически отсутствует давление магнитного поля, существует поток высокоэнергичных частиц солнечного ветра, направленный внутрь магнитосферы. Благодаря этому потоку вблизи магнитопаузы образуется (в ночную сторону) плазменный слой с высокотемпературной плазмой. Этот слой иногда называют магнитной мантией.
Если с дневной стороны магнитное поле значительно искажено солнечным ветром, то еще большим изменениям оно подвержено с ночной стороны. В ночную сторону магнитосфера вытянута значительно. У нее, как говорят, имеется хвост, который простирается не менее чем на 100 земных радиусов! Диаметр хвоста — около 40 радиусов Земли.
Весьма интересна структура геомагнитного хвоста. В его центральной части, вблизи оси Солнце—Земля, расположен так называемый нейтральный плазменный слой, в котором напряженность магнитного поля слаба. Силовые линии магнитного поля, лежащие выше и ниже, практически параллельны оси слоя и направлены в противоположные стороны.
Искусственные спутники Земли позволили детально исследовать геомагнитное поле внутри магнитосферы.
Так, прямыми измерениями, осуществленными советскими спутниками «Космос-2б» и «Космос-49», впервые
7г 12*
179
охвачено 75% земной поверхности. Выполненные в короткий срок с большой степенью равномерности эти измерения позволили получить представление о магнитном поле, свободном от вековых вариаций. В дальнейшем с помощью спутника «Космос-321» были проведены магнитные измерения на 94% поверхности земного шара. Сравнение данных, полученных с помощью трех указанных выше спутников, дало возможность определить вековые изменения магнитного поля по всей поверхности нашей планеты. Если вспомнить наш рассказ о возникновении магнитного поля Земли (§ V.1), то можно понять, что знание таких изменений играет важную роль при выяснении механизма происхождения геомагнитного поля. Обнаружение интенсивных потоков энергичных частиц, локализованных внутри определенных областей магнитосферы, было одним из первых значительных открытий в околоземном космическом пространстве, сделанных с помощью прямых измерений. Эти области назвали радиационными поясами Земли Вернова—Ван-Алена.
Быстрые, энергичные частицы захватываются в гигантские магнитные ловушки и достаточно длительно удерживаются в них. Это явление возникновения зон захваченной радиации вблизи Земли представляет интерес не только само по себе, но и с общеплазменной точки зрения. Перед исследователями открывается возможность изучения созданной природой громадной «установки», в которой можно наблюдать за ускорением и удержанием плазмы. Установку подобных масштабов создать в земных условиях невозможно, а следовательно, невозможно получить лабораторные данные, подобные данным о динамике и кинетике частиц в радиационных поясах.
Неудивительно, что радиационные пояса привлекли внимание многих исследователей космического пространства. В настоящее время имеется весьма обширный экспериментальный материал. Были проведены измерения потоков заряженных частиц, их распределение по энергиям, изучен характер движения, зависимости зоны захваченной радиации от местного времени, исследованы вариации интенсивности. Было показано, что вариации интенсивности связаны с конкретными типами плазменных неустойчивостей, присущих радиационным поясам.
180
На основе многочисленных исследований удалось создать математические модели процессов, происходящих в радиационных поясах. Успехи в разработке математического описания физики радиационных поясов наталкивают на мысль применить идеи и теории, развитые для радиационных поясов, к другим плазменным образованиям в космосе — Солнцу или отдельным областям Галактики. В следующей главе будет рассказано о том, что существуют, например, гигантские природные ускорители частиц, ответственные за образование космических лучей. Но пока что мы не в состоянии ставить прямые измерения в далеком космосе. Поэтому информация о радиационных поясах и ее теоретическая интерпретация помогают понять ряд явлений в далеком космосе.
Весьма интересными явлениями, происходящими в области околоземного космического пространства, являются так называемые магнитные бури. Выше говорилось о том, что силовые линии магнитного поля, исходящего от Солнца в межпланетное пространство, имеют вид спиралей Архимеда. Однако это усредненная картина. Точно такое состояние наблюдается довольно редко. Почти непрерывно происходят возмущения этого состояния солнечными вспышками. Во время вспышек от Солнца идет поток еще более быстрых, чем в стационарном солнечном ветре, частиц, а такие сверхзвуковые потоки сопровождаются образованием ударных волн, которые несут с собой магнитные поля, искажающие спиральную структуру межпланетного поля. Двигаясь дальше, образованные за счет вспышек ударные волны подходят к магнитосфере. И здесь возникает комплекс весьма интересных явлений.
Резко вторгаясь в магнитосферу, ударная волна сильно возмущает ее. Стрелки компасов в районе возмущений начинают прыгать, сильно возмущается ионосфера, в результате чего прерываются радио- и телевизионная связь. Это явление носит название магнитной бури.
Магнитные бури большой интенсивности вызывают одно из красивейших явлений природы — полярные сияния. Из-за чего же возникают полярные сияния? Если внимательно взглянуть на схему магнитного поля Земли, то нетрудно понять, что это поле магнитной ловуш
181
ки. Рассмотрим движение заряженных частиц, захваченных в такую ловушку. К полюсам магнитные силовые линии сгущаются, а к экватору расширяются. Итак, образованная магнитная ловушка имеет пробки в районе полюсов. То есть можно сказать, что обычно частицы «болтаются» между полюсами. Во время магнитной бури вторгающаяся ударная волна сильно возмущает плазму, возбуждая в ней интенсивные электромагнитные колебания. Эти колебания магнитного и электрического полей, во-первых, приводят к локальным изменениям магнитного поля (а следовательно, пробочного отношения), а во-вторых, хаотически меняют направления и величины скоростей частиц, захваченных в геомагнитную ловушку. Оба процесса ведут к интенсивному высыпанию быстрых заряженных частиц в пробки (расположенные, как уже отмечалось, в районах полюсов). Эти быстрые частицы попадают в верхние слои атмосферы (80—150 км). Здесь, непрерывно сталкиваясь с нейтральными частицами, они либо возбуждают их, либо ионизируют. В связи с тем что первоначальная энергия частиц, высыпающихся в пробки, значительно выше потенциалов ионизации, высыпающаяся частица, прежде чем потерять свою энергию, способна ионизовать много нейтральных частиц. Это приводит к тому, что ионизация на пути следования высыпающихся потоков вначале нарастает лавиной. Увеличивается и количество возбужденных нейтралов, которые высвечиваются достаточно быстро, что и наблюдается как сияние.
Установлено, что в области полярных сияний протекают интенсивные токи (более миллиона ампер), вызывающие, в частности, сильные возмущения магнитного поля.
Высыпающиеся в геомагнитные пробки потоки частиц — это фактически пучки заряженных частиц. Как мы знаем, распространяясь по плазме, пучки заряженных частиц приводят к неустойчивостям системы плазма—пучок. При этом возбуждаются мощные электромагнитные колебания. Плазма переходит в турбулентное состояние, где колебания плотности происходят хаотически. Рассеяние радиоволн на таких плазменных неоднородностях приводит к нарушению радиосвязи во время магнитных бурь. Таким образом, магнитные бури,
182
вторгаясь в магнитосферу, приводят к возмущениям магнитного поля, образованию в верхней атмосфере потоков быстрых заряженных частиц, что в результате приведет к полярным сияниям, снльношумящей ионосфере, нарушению радиосвязи.
Расскажем кратко, как изучается сложный комплекс явлений — магнитных бурь и полярных сияний. Весьма продуктивным оказалось сочетание одновременных измерений па спутнике и на Земле. Впервые такой комплексный подход был осуществлен при помощи спутника «Космос-261» и ряда наземных обсерваторий. Исследования были продолжены при помощи спутника «Космос-348», а также спутников «Ореол», запущенных в соответствии с советско-французской программой сотрудничества.
В этих экспериментах были получены очень интересные данные. В частности, изучались так называемые фотоэлектроны — сверхтепловые частицы с энергиями десятки и сотни электронвольт. Эти электроны играют важную роль в процессе протекания полярных сияний. Они занимают промежуточное место между ионосферной (холодной) плазмой и электронами, высыпающимися в пробки. Было показано, что фотоэлектроны способны проникать из одного полушария в другое, двигаясь вдоль геомагнитных силовых линий.
В последнее время для изучения явлений, вызываемых высыпанием быстры?; электронов в верхние слои атмосферы, проводятся так называемые активные космические эксперименты. Значительное число таких экспериментов связано с инжекцией электронных пучков с борта ракеты.
В 1969 г. американскими учеными под руководством Хесса в районе экватора с помощью электронного пучка инициировалось искусственное полярное сияние. Более сложная задача, связанная с перехватом электронов, отраженных в Южном полушарии, а посланных из Северного, была изучена в серии экспериментов американских ученых «Эхо», проводимых под руководством Винклера. Результаты этих экспериментов находятся в неплохом соответствии с теорией движения частиц в ловушке Будкера—Поста.
В описанных выше экспериментах не изучались коллективные процессы. В советских (серия «Зарница») и
183
советско-французских экспериментах АРАКС3 получены весьма важные данные, указывающие на существенную роль коллективных процессов, связанных с развитием пучковой неустойчивости. Было показано, что развитие плазменно-пучковой неустойчивости приводит к заметному разогреву плазмы, в результате чего возбуждение и ионизация нейтральных частиц в области развития неустойчивости резко усиливаются. Учет этого механизма передачи энергии в конечном счете нейтралам помог понять, в частности, структуру распределения интенсивности свечения по высоте в полярных сияниях.
Наряду с электронными пучками в ракетных активных экспериментах использовались бариевые, а также плазменные струи. Идея использования бариевых струй принадлежит западногерманским ученым Р. Люсту и Г. Харенделу. Суть ее состоит в следующем. Барий легко ионизируется ультрафиолетовым излучением Солнца. Поэтому, выбросив нейтральную бариевую струю, можно затем получить плазменное облако, которое наблюдается достаточно легко. В частности, измерение скорости ионов бария позволяет сделать выводы о состоянии и параметрах плазмы в области вторжения в магнитосферу. А это в свою очередь проливает свет на процессы, происходящие при вторжении ударной волны в магнитосферу.
Так, в экспериментах, проведенных под руководством Г. Харендела, было зарегистрировано увеличение скорости бариевых ионов с 14 до 80 км/с вблизи высоты 5000 км. Это позволяет сделать вывод о высокой степени турбулентности плазмы в данной области, приводящей к существенному ускорению частиц.
В настоящее время планируется значительное число активных экспериментов, осуществление которых позволит получить новые сведения о плазме околоземного космического пространства.
В заключение параграфа расскажем кратко о некоторых плазменных явлениях, связанных с обтеканием солнечным ветром других тел Солнечной системы. Обтекание Луны не приводит к образованию бесстолкновительной ударной волны, во-первых, потому, что Луна
3 Указанные эксперименты проведены под руководством Р, 3. Сагдеева, И. А. Жулина (СССР), Ф. Камбу (Франция).
184
не обладает магнитным полем, а во-вторых, потому, что на поверхности Луны происходит полное поглощение плазменного потока солнечного ветра.
Если бы не было теплового разброса частиц в солнечном ветре, то за Луной «вырезалась» бы большая цилиндрическая полость, свободная от солнечного ветра. В действительности лунная «тень» от солнечного ветра имеет вид конуса.
Получены также данные о взаимодействии солнечного ветра с Венерой. Здесь, как и у Земли, обнаружена бесстолкновительная ударная волна. Однако у этой волны иная природа. Дело в том, что у Венеры нет собственного магнитного поля. Она вносит возмущения в поток плазмы солнечного ветра вследствие довольно значительной проводимости верхних слоев своей атмосферы. Эти слои препятствуют проникновению магнитного поля, захваченного солнечным ветром, а следовательно, и проникновению плазмы солнечного ветра. Поэтому часто говорят, что магнитосфера Венеры наведенная.
ГЛАВА VI
КОСМИЧЕСКИЕ ПЛАЗМЕННЫЕ ОБРАЗОВАНИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ДАЛЕКОМ КОСМОСЕ
В космосе вещество находится в основном в состоянии плазмы. Не удивительно поэтому, что плазменные процессы определяют многие космические явления. Наша цель — познакомить читателя с такими основными космическими плазменными объектами, как Солнце и звезды, рассказать об их структуре и плазменных процессах, происходящих в их недрах, а также о наиболее интересных открытиях в далеком космосе, связанных с плазменными явлениями.
§ VI. 1. Солнце и звезды, их строение и источники энергии
До относительно недавнего времени источники энергии Солнца оставались для ученых загадкой. Вскоре после открытия закона всемирного тяготения определили массу Солнца, которая составляет 333 000 земных масс. Если бы на Солнце использовалась энергия сгорания химического топлива, то оно давно погасло бы. Однако Солнце светит! И светит, практически не ослабевая! В чем же дело?
Для ответа на этот вопрос обратимся к структуре Солнца. По современным представлениям, это плазменный шар, обладающий весьма высокой температурой. Мощность излучения, или светимость,' Солнца (которую можно определить, зная количество энергии, поступающее в единицу времени на Землю, и расстояние Солнце-Земля), позволяет сделать вывод о температуре на его поверхности — около 6000 К-
А какова температура внутри Солнца? Она определяется из расчета равновесия сил по всему объему Солнца. Если бы не существовало других сил, кроме газокинетических сил давления, то Солнце быстро «ра
186
зорвалось» бы — произошел бы разлет плазмы в разные стороны. В действительности громадное давление плазмы на Солнце уравновешивается силами тяготения, которые возрастают по мере приближения к его центру. Соответственно должно увеличиваться давление плазмы внутри Солнца, а вместе с ним и температура. Как показывают расчеты, температура внутренних частей Солнца в тысячи раз больше, чем на поверхности. Это означает, в частности, что вещество внутри Солнца находится в состоянии полностью ионизованной плазмы. Температура, достигающая нескольких миллионов градусов, делает возможным протекание термоядерных реакций, при которых, как известно, выделяется энергия, в миллионы раз большая, чем при химических реакциях горения. Это и есть разрешение загадки об источниках энергии Солнца и звезд.
Вернемся к вопросу о равновесии Солнца. Возьмем шар, имеющий массу Солнца и состоящий из водородной плазмы. По своим характеристикам он будет близок к нашему светилу. Если учесть, что термоядерные реакции с участием водорода приводят к образованию гелия, и добавить в расчетную модель около одной трети гелия, то получим очень хорошее соответствие расчетной модели с реальным Солнцем. Таким образом, водо-родно-гелиевая модель Солнца согласуется с современными данными о нем, а также дает ответ на один из основных вопросов физики звезд — об источнике их энергии.
Большинство звезд по строению похожи на Солнце (их мы будем в дальнейшем называть нормальными) с той разницей, что по размерам они могут заметно отличаться от него. Наше светило относится к звездам маленьким. Для того чтобы знать строение звезды, недостаточно иметь расчет по равновесию сил, или по механическому равновесию. Необходимо также, чтобы существовало тепловое равновесие, иными словами, чтобы не перегревались или не переохлаждались отдельные слои звезды. Это требует более детальных знаний законов тепловыделения и теплопереноса в плазме звезды. В режиме теплового равновесия звезда получает столько энергии, сколько выделяется в ней в результате термоядерных реакций.
187
Назовем некоторые особенности механического и теплового равновесия звезд, кажущиеся при беглом взгляде парадоксальными. Первая из них связана с механическим равновесием сил давления и сил притяжения, или гравитационных сил. При таком равновесии, называемом часто гравитационным равновесием звезды, для того чтобы нагреть звезду, нужно не передать ей, а отобрать у нее энергию! Однако никакого парадокса здесь нет. Разберемся в сути вопроса. Допустим, что звезда излучает энергию, которая больше равновесной. Это сразу же приведет к уменьшению газокинетического давления внутри звезды. Соответственно сила тяготения — гравитационная сила — будет стягивать звезду, совершая над ней работу. Эта работа превращается в тепло, подобно тому как превращается в тепло при торможении метеорита работа сил тяготения Земли по его ускорению. При сжатии звезды работа гравитационных сил вдвое больше, чем отвод энергии наружу. Поэтому звезда разогревается, несмотря на потерю энергии ’.
Вторая особенность связана с тем, что светимость звезды (мощность ее излучения) определяется в основном не скоростью подачи термоядерной энергии, а законом теплоотвода. Если теплоотвод превысит тепловыделение, то при сжатии звезда будет разогреваться, а это в свою очередь приведет к увеличению скорости термоядерных реакций, что, в конечном счете, вновь устанавливает тепловое равновесие. Поэтому нормальные звезды являются системами саморегулирующимися. Из сказанного следует, что размеры звезды определяются законом тепловыделения, а светимость — законом теплоотвода.
Мы рассказали здесь о Солнце и нормальных звездах, о расчетах их механического и теплового равновесия. Заметим, что такие расчеты очень громоздки и производятся с помощью быстродействующих ЭВМ. Как видим, понимание структуры и энергетики звезд стало возможным в результате прогресса в ядерной фи-
1 Этот вывод — следствие общей теоремы (называемой теоремой вириала), в соответствии с которой гравитационная (потенциальная) энергия звезды отрицательна и вдвое больше кинетической энергии теплового движения частиц.
188
зике, физике плазмы и вычислительной технике. Это наглядный пример взаимного влияния различных наук.
Наряду с нормальными существуют и другие очень интересные типы звезд. Рассказывать о них удобно, одновременно знакомя с эволюцией звезд. Это будет сделано в следующем параграфе.
§ VI. 2. Об эволюции звезд.
Красные гиганты и белые карлики. Рождение Новых и Сверхновых
В науке об эволюции звезд целый ряд интересных проблем связан с общей теорией относительности2. Поэтому, строго говоря, подробное изложение современных представлений об эволюции звезд требует привлечения общей теории относительности. Автору не представляется возможным в рамках данной книги знакомить читателя с весьма непростыми представлениями общей теории относительности. Здесь затрагиваются лишь те вопросы эволюции звезд, без которых трудно, а подчас и невозможно понять явления, происходящие в далеком космосе и связанные с плазменными процессами.
Долгое время в вопросе об определении возраста звезд не существовало достаточно ясности. Основным критерием была светимость звезды, которая, как мы уже говорили, определяется температурой ее поверхности. Именно эта величина может быть найдена непосредственно из измерений. Температура поверхности звезды определяет также спектральный состав ее излучения. Если звезда светится красным цветом, то температура ее поверхности относительно низкая. Звезды с высокой температурой поверхности светятся белым или синевато-белым светом. Ранее полагали, что, чем «краснее» звезда, тем она старее, и наоборот: белые и синие звезды — это образования молодые. Как будет видно из дальнейшего, такое деление неправильно и не соответствует современному представлению об эволюции звезд.
2 В качестве примера уместно привести широко обсуждаемую и, безусловно, интереснейшую проблему коллапсаров, или черных дыр.
13-3451
189
Значительный прогресс в науке об эволюции звезд обусловлен успехами ядерной физики. После того как последняя сумела дать ответы на вопросы о том, какие ядерные реакции сопровождаются выделением энергии и как это происходит, у астрономов появилась принципиальная возможность рассчитывать как стационарные модели звезд (о чем частично говорилось в предыдущем параграфе), так и модели процессов, определяющих их развитие, — эволюцию. Однако системы уравнений, описывающих указанные процессы, являются весьма громоздкими. Поэтому их решение стало возможным лишь после появления ЭВМ. Конечно, кроме уравнений, нужно знать некоторые начальные данные. Здесь у астрономов нет полного единства взглядов. Все же предпочтительными в настоящее время кажутся эволюционные схемы, где в качестве исходного материала «используют» для «строительства» звезд водород. Заметим, что различия между схемами, в которых за основу взят водород, и рядом других схем часто стираются при описании последующих этапов развития звезды.
Итак, пусть есть водородное облако. Под действием сил тяготения оно распалось на отдельные сгустки. Сжимаясь, сгустки будут разогреваться; при этом образуется водородная плазма — зародыш звезды. Непрерывное гравитационное сжатие за счет энергетических потерь во внешнюю область приведет, как мы знаем, к разогреву звезды. При температурах центральных областей около 106 К начнутся термоядерные реакции, связанные с превращением водорода в гелий. Когда выделение термоядерной энергии уравновесит теплоотвод, закончится первый этап эволюции звезды — гравитационное сжатие и она перейдет в стационарное состояние. Данный этап длится очень долго, поскольку запасы водорода — источника термоядерной энергии — весьма велики. Солнце и другие нормальные звезды находятся именно на таком этапе своего развития. Это как бы зрелый возраст звезды, а этап гравитационного сжатия можно назвать детством и юностью звезды. Большинство звезд относится к нормальным, то есть находятся в зрелом возрасте. Оно и понятно, ведь это наиболее длительный период их жизни.
Затем наступает следующий этап. После того как приблизительно 2/3 водородного горючего выгорит, ядро
190
начинает сжиматься, а оболочка, наоборот, — расширяться. На границе ядро—оболочка возникает скачок не только плотности, но и температуры. Образуются звезды с гигантски расширенной и относительно холодной оболочкой и сильно разогретым за счет гравитационного сжатия плотным ядром. Эти звезды воспринимаются как гиганты, светящиеся красным светом (следствием относительно низкой температуры поверхности). Поэтому их называют красными гигантами. Это звезды-старики.
Долгое время оставался неясным вопрос об источниках энергии красных гигантов. Если предположить, что у них, так же как и у нормальных звезд, гомогенная структура, то есть структура с плавным изменением плотности, то температура в центре красного гиганта окажется недостаточно высокой для протекания соответствующих термоядерных реакций. Гетерогенная модель, то есть модель со скачком плотности, позволила устранить противоречие.
Отметим еще одну интересную особенность эволюции звезд, Звезды-гиганты живут значительно меньше, чем маленькие звезды, такие, например, как Солнце. Это связано с тем, что светимость звезды как функция массы растет быстрее, чем ее масса. Иными словами, отношение светимости звезды к ее массе есть функция, растущая с увеличением массы. Поэтому большие звезды быстрее расходуют свой запас ядерной энергии. Есть звезды-гиганты, живущие всего несколько десятков миллионов лет.
Не только сроками жизни в зрелом возрасте отличаются звезды большие и малые. Зависит от массы звезды и последний этап ее жизни. Звезда, у которой масса меньше примерно двух солнечных масс, заканчивает свою жизнь довольно спокойно. После того, как выгорит ядерное горючее, звезда будет гравитационно сжиматься до очень больших плотностей. Размеры таких звезд — белых карликов — близки к размерам Земли, а их массы — к массе Солнца! Температура поверхности белых карликов очень высокая (поэтому они и называются белыми). Однако это не молодые звезды, как полагали прежде, а очень старые — медленно умирающие. Вследствие того что поверхность белых карликов стала намного меньше по сравнению с исходной,
13*
191
а масса осталась практически той же, они остывают чрезвычайно медленно (излучение пропорционально площади поверхности).
Весьма интересно происходит старение звезд, массы которых превышают две солнечные. После выгорания ядерного горючего такая звезда не может находиться в гравитационном равновесии, поскольку силы тяготения стремятся собрать все ее вещество в одну точку. Это явление так называемого гравитационного коллапса. Заслуживает внимания следующее обстоятельство. После сжатия звезды до определенных, очень малых размеров гравитационные силы, искривляющие световой луч, станут настолько большими, что испускаемое звездой световое излучение будет возвращаться обратно. Это означает, что звезда не будет видна. (Отсюда название таких звезд — черные дыры.) В настоящее время не ясно, до каких пор происходит сжатие звезды. Известно, однако, что иногда на месте, где ничего не наблюдалось, внезапно возникает яркое свечение. Происходит звездный взрыв чудовищной силы. Причем мощность подобных взрывов такова, что в момент максимума излучается столько света, сколько стационарно излучают миллиарды нормальных звезд! Теперь доказано, что Новые и Сверхновые (слово «звезда» астрономы обычно опускают) и раньше существовали как звезды.
Наиболее мощные вспышки называются Сверхновыми. При вспышках Сверхновых большая часть их вещества разбрасывается и затем постепенно расширяется, а центральная часть уплотняется настолько, что электроны как бы вдавливаются в ядра. В результате возникают так называемые нейтронные звезды. Их плотности и температуры у поверхности значительно выше, чем соответствующие величины у белых карликов.
Характерной вспышкой Сверхновой является вспышка в 1054 г. В результате этой вспышки образовалась известная Крабовидная туманность. Наблюдения показывают, что туманность расширяется, и настанет время, когда она не будет видна на фоне межзвездного газа.
192
§ VL 3. Космические источники излучения в радио- и инфракрасном диапазонах: ядра галактик, радиогалактики, квазары
Выше говорилось о том, что в плазме легко возбуждаются коллективные движения — колебания и волны. В термодинамически равновесной плазме их уровень относительно невысок. Обычно такие колебания и волны называют тепловыми. Однако в плазме неравновесный (например, в плазме с группами быстрых частиц) уровень колебаний во много раз может превышать уровень тепловых колебаний. Плазма, как говорят, находится в турбулентном состоянии, она как бы «бурлит». Но она не только «бурлит»: турбулентная плазма еще и «шумит», то есть является источником излучения электромагнитных волн. Этот «шум» можно услышать, если воспользоваться прибором, подобным обычному радиоприемнику.
До сих пор мы говорили о плазме звезд, находящейся в основном в спокойном состоянии. Однако и в звездах происходят коллективные, в частности турбулентные, процессы, играющие важную роль в ряде явлений — таких, например, как периодические циклы солнечной активности, как происходящие в солнечной короне и т. п. Мы не будем останавливаться на них, а расскажем о процессах плазменного происхождения, приводящих к мощному надтепловому излучению космическими объектами электромагнитных волн радио- и инфракрасного диапазонов.
Прежде всего приведем некоторые данные. Начнем с ядер галактик. Так обычно называют центральные части галактик, имеющие размеры около 1013—1014 км. Что о них известно в настоящее время? Это скопления огромного количества звезд — до миллиарда и больше. Причем здесь находятся звезды разного возраста — от молодых до старых, возможно, есть среди них и нейтронные звезды. Межзвездное пространство заполнено плазмой. Температура такой плазмы достигает нескольких тысяч градусов, а ее концентрация довольно велика и составляет 105—106 см3. В ядрах галактик имеется магнитное поле. Скорости движения плазмы и звезд относительно невелики — порядка 107 см/с. Однако есть небольшие группы частиц, движущихся со скоростями,
193
близкими к скорости света. Их называют обычно релятивистскими. Возможны также быстрые вращения ядер галактик.
Ядра галактик генерируют излучения в радио- и инфракрасном диапазонах. В радиодиапазоне интенсивность излучения варьируется в довольно широких пределах. Однако почти для всех источников она не является термодинамически равновесной.
Еще более интересно обнаруженное недавно инфракрасное излучение. Оказывается, ядра галактик почти 90% своей светимости генерируют в узком диапазоне длин волн с максимумом в районе длины волны, равной 7-10~3 см. Удивительно, что, несмотря на разнообразие объектов, максимумы их излучения практически совпадают. Источником инфракрасного излучения является не вся галактика. Так, в Солнечной системе есть по меньшей мере три источника инфракрасного излучения. Они гораздо меньше ее ядра.
Все это относится к так называемым нормальным галактикам. Некоторые же галактики являются более активными. Они излучают более интенсивно, чем «нормальные», как в радио-, так и в инфракрасном диапазонах.
В чем проявляется активность галактических ядер? Прежде всего в заметном увеличении скорости движения плазменных масс. Наиболее яркие объекты с активными ядрами — квазары (от лат. quasi — почти, то есть почти звезды) — по величине заметно уступают обычным галактическим ядрам. По-видимому, размеры квазаров 1011—1012 км. Концентрация плазмы в них максимальная и достигает 106 см-3, а температура — порядка 2-1014 К. Очень интенсивное излучение квазаров в радио- и оптическом диапазонах имеет неравновесный характер. Это свидетельство того, что плазма в них находится в турбулентном состоянии. Наблюдения за квазарами только начаты. Возможно, исходным источником энергии квазаров, как и других активных ядер галактик, является упоминавшийся уже гравитационный коллапс, происходящий при массе, гораздо большей, чем при вспышках Сверхновых.
Интересно отметить, что открытие квазаров и других объектов с турбулентной плазмой может дать ответы на некоторые вопросы теории происхождения элементов
194
во Вселенной. Постараемся вкратце объяснить суть дела. Мы уже знаем, что термоядерные реакции, происходящие в недрах звезд, приводят к образованию гелия из водорода. Как могут возникать другие, более тяжелые ядра? Наиболее распространенной в настоящее время является теория образования элементов с помощью механизма ядерного захвата нейтронов. Легко понять, что непосредственно захват нейтрона не приводит к появлению нового элемента, так как при этом не изменяется заряд ядра. Возникает лишь новый изотоп, атом которого обладает теми же химическими свойствами, что и исходный элемент. Разница проявляется лишь в структуре и массе ядра. Если вновь образованный изотоп перегружен нейтронами, то ядро старается избавиться от такой перегрузки — оно становится радиоактивным. Радиоактивный изотоп испускает электрон и антинейтрино и превращается в один из изотопов последующего элемента. Такова в весьма общих чертах теория образования тяжелых элементов.
Однако есть элементы, образование которых описанным путем объяснить невозможно. Их часто называют обойденными — они не лежат на пути ядерного захвата нейтронов. К обойденным элементам относятся, например, дейтерий, литий, бор. Их происхождение в принципе можно объяснить, исходя из свойств турбулентной плазмы. В самом деле, характерным свойством турбулентной плазмы является наличие групп надтепловых частиц, возникающих в результате коллективных процессов. При определенных условиях тяжелые надтепловые частицы могут вступать в ядерные реакции, которые невозможны при участии тепловых частиц. Попытки' объяснить происхождение обойденных элементов с помощью «холодных» ядерных реакций указанного типа сейчас кажутся разумными.
Вернемся снова к источникам мощного радиоизлучения. Кроме квазаров, к ним относятся так называемые радиогалактики. По размерам они обычно значительно превосходят галактики, видимые в оптическом диапазоне. Интересным также является то обстоятельство, что источники радиоизлучения расположены в основном в нескольких областях за границами оптически видимой части галактики. Наиболее вероятно, что в этих местах сосредоточены выбросы из галактик реля
195
тивистских пучков (облаков электронов). Отметим еще один любопытный факт: у всех космических радиоисточников зависимость интенсивности излучения от частоты, несмотря на большую разницу в условиях, описывается одинаковой функцией.
В настоящее время объяснить причины генерации радиоизлучения мощными источниками типа квазаров и радиогалактик весьма трудно. Дело в том, что наблюдательных фактов, позволяющих дать однозначную качественную интерпретацию описанных явлений, в достаточном количестве нет. Тем не менее предложены теории, в соответствии с которыми источниками излучения квазаров фактически являются релятивистские электроны. Последние раскачивают колебания определенных типов, в результате чего плазма переходит в турбулентное состояние. А, как мы знаем, турбулентная плазма «бурлит» и «шумит». В настоящее время показано, что турбулентная плазма квазаров может «шуметь» в радиодиапазоне. Именно этот «шум» и воспринимается земными наблюдателями.
Нет сомнения в том, что новые факты позволяют отдать предпочтение одной из нескольких существующих в настоящее время теорий. А это в свою очередь прольет свет на вопросы, связанные с динамикой турбулентной плазмы квазаров, и даст возможность судить об их эволюции.
§ VI. 4. Пульсары
Если радиоизлучение квазаров и радиогалактик принимается на Земле непрерывно, то существуют космические источники, излучение которых воспринимается в виде импульсов. Причем эти импульсы повторяются с большой степенью стабильности их чередования. Это интересное открытие было сделано в 1967 г. в Кембридже группой астрофизиков во главе с Э. Хыоишем. Такие космические объекты были названы пульсарами.
В настоящее время считается доказанным, что пульсары могут быть отождествлены с вращающимися нейтронными звездами. Впервые такую гипотезу высказал английский ученый Т. Голд в 1968 г.
Пульсары обладают мощным магнитным полем. Напряженность его достигает фантастически большой ве
196
личины — IO11—1012 э, а возможно, и 1013— Ю14 Э. Характерные магнитные поля нормальных звезд не превосходят 103 * Э. У Солнца, например, напряженность магнитного поля всего лишь около 1 Э, у некоторых массивных звезд — от 102 до 103 Э. Почему же магнитное поле пульсаров — нейтронных звезд — такое огромное? Радиус нейтронной звезды примерно в сто тысяч раз меньше, чем у обычных звезд. При образовании нейтронной звезды сжимающаяся плазма, обладающая прекрасной проводимостью, захватывает магнитное поле3. Согласно закону вмороженности силовых
линий магнитного поля, последнее растет обратно пропорционально квадрату радиуса звезды. Поэтому уменьшение радиуса в 105 * * * раз приведет к увеличению магнитного поля в 1010 раз.
Почему же вращающиеся нейтронные звезды представляют собой пульсирующие источники радиоизлучения? По гипотезе Т. Голда, лежащий в основе объяснения такого эффекта, нейтронная звезда имеет узкую направленность излучения, подобно тому как это бывает в радиотехнических антеннах. Вращение нейтронной звезды приводит к чередованию моментов совпадения направления нейтронная звезда—Земля и направления излучения. Простейшая схема подобного типа показана на рис. 41.
Пульсары имеют магнитосферу. Их магнитные поля способны удерживать плазму с плотностью порядка
3 Квазинейтральная плазма превращается в нейтроны лишь на
последнем этапе сжатия, когда размеры сжимающейся звезды при-
ближаются к размерам конечной нейтронной звезды. Поэтому в
наших качественных рассуждениях мы можем брать конечные раз-
меры плазменной звезды с вмороженным магнитным полем, равным
по порядку величины размерам нейтронной звезды.
197
1010 см-3 вблизи поверхности звезды. Для того чтобы ответить на вопрос о природе излучения, необходимо рассмотреть свойства околопульсарной плазмы. Так как пульсар вращается, то заряженные частицы могут ускоряться вращающимся магнитным полем. Поэтому в околопульсарной плазме возможно существование ускоренных пучков релятивистских частиц. Как показывают расчеты, в сильно замагниченной плазме излучение очень большой — пульсарной — мощности в радиодиапазоне может иметь место лишь тогда, когда есть релятивистские пучки частиц. В этом случае излучение, генерируемое релятивистскими пучками, может быть направлено под прямым углом к магнитному полю и линейно поляризовано. Такой вывод хорошо согласуется с экспериментальными данными.
(Продолжение)
Таблица некоторых физических величин в различных системах единиц
Величина ST COSM CGSE
Формула размерности Наименование Формула размерности Наименование Коэффициент пересчета Формула размерности Наименование Коэффициент пересчета
Масса м килограмм М Г 103 м грамм (г) 103
Длина L (кг) метр (м) L см 102 L санти- 10г
Время Т секунда (с) Т с 1 Т метр (см) секунда (сек) 1
Работа и L2MT~2 джоуль L2MT~2 эрг 107 L2MT~2 эрг 107
энергия Электри- IT (Дж) кулон (Кл) LWM'P 0,1 [ЗРМ'РТ-' Франк- 3-109
ческий заряд Сила электрического тока I ампер (А) EWMWT-' 0,1 LWMWT~2 лин (Фр) 3-109
Величина S1
Формула размерности Наименование Формула размерности
Напряженность электрического ноля LMT-4-1 вольт на метр (В/м) MVW“2
Напряженность магнитного поля L-4 ампер на; метр (А/м) £-1/2^1/27-
Магнитная индукция МТ~2!~1 тесла (Т) t-1/2^1/27-
Магнитный поток L2MT-2I~' вебер (Вб) £3/2^1/27-1
Электрическая постоянная (8о) L-2M-'T42 фарада на метр (Ф/м) 8,85-IO-*2 £-272
Магнитная проницаемость (Цо) LMT-2!-2 генри на метр (Г/м) 1,26-10~₽ —
(Продолжение)
CGSM CGSE
Наименование Коэффициент пересчета Формула размерности Наименование Коэффициент пересчета
10G 3,34-10-’
эрстед О) 1,26-10“2 L '/2МЧ2Т~2 3,77-10s
гаусс (Гс) 104 L-WM42 3,34-10~7
максвелл (Мкс) 108 Ш2МЧ2 3,34-10-’
1,11-10—21 — 1
1 L-2T2 1,11-10~31
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора . ..................................... 3
Глава I. Плазма — четвертое состояние вещества. 5
§ 1.1. Плазма — газ положительно и отрицательно заряженных частиц. Характерные свойства газов. В каких случаях есть сходство между явлениями в газах и жидкостях. Почему плазма — четвертое состояние вещества...................................... 5
§ 1.2. При каких условиях и где вещество находится в состоянии плазмы........................................ 8
§ 1.3. Чем определяется большой интерес к изучению плазменных явлений......................................16
Глава II. Основные закономерности в поведении плазмы . 20
§ II.1. Движение заряженной частицы в электрических
и магнитных полях.................................20
§ II.2. Столкновения частиц в плазме.....................35
§ П.З. Квазинейтральность плазмы. Дебаевский радиус
и ленгмюровская частота. Уточнение понятия «плазма» .........................................42
§ II.4. Термодинамика плазмы. Глубина проникновения
электрического поля в плазму. Определение величины кулоновского логарифма . .... 46
§ П.5. Ионизационное равновесие. Формула Саха . . 53
§ II.6. Кинетическое описание плазмы. Понятие самосогласованного поля. Характер изменения функции распределения за счет кулоновских соударений . 55
§ II.7. В каких случаях плазма ведет себя как смесь электронной и ионной жидкостей..........................60
§ II.8. Уравнение непрерывности для электронной и ионной компонент плазмы. Диффузия в плазме, связанная с электрон-монными парными столкновениями ................................................64
§ II.9. Уравнение движения компонент плазмы. Сила электрон-ионного трения. Процессы вязкости, или внутреннего трения .................................... 71
§ 11.10. Перенос энергии в плазме. Процесс выравнивания электронной и ионной температур. Джоулев разогрев плазмы. Теплопроводность ионной и электронной жидкостей........................................75
201
§ ИЛ 1. Полная система уравнений одномерной двухжидкостной гидродинамики....................................79
§ 11.12. Проводимость плазмы. Закон Ома для плазмы.
Эффективность токового разогрева плазмы . . 8ft
§ 11.13. Магнитная гидродинамика плазмы. Понятие магнитного давления. Вмороженность силовых линий магнитного поля. Время диффузии магнитного
поля в плазме. Понятие скин-слоя .... 85
§ 11.14. Общие сведения о волновых и колебательных про-
цессах в плазме...................................91
§ 11.15. Электростатические волны в плазме без магнитного поля. Понятие о дисперсионном уравнении.
Затухание Ландау. Неустойчивость системы плазма — пучок. Просветление волновых барьеров . 96
§ 11.16. Низкочастотные волны в плазме. Звуковые, магнитозвуковые и альфвеновские волны . . . 105
§ II.17. Нелинейные взаимодействия волн и частиц в плазме. Самовоздействие волн. Солитоны. Турбулентность и аномальные процессы переноса . . 111
Глава III. Проблема управляемого термоядерного синтеза . 116
§ III.1. Проблема топлива в современной энергетике, Ядерные источники энергии. Преимущества энергетики, основанной на управляемом термоядерном синтезе.................................................116
§ III.2. Выделение энергии в термоядерных реакциях. Эффективность реакций. Типы реакций. Литий — главное сырье наиболее перспективных реакторов, основанных на использовании реакций слияния дейтерия с тритием......................................118
§ Ш.З. Энергетический баланс в dZ-реакторе с учетом потерь. Когда термоядерный реактор начнет вырабатывать энергию. Критерий Лаусона . . . 123
§ III.4. Общая характеристика методов осуществления контролируемого термоядерного синтеза . . . 126
§ Ш.5. Линейный самосжимающийся разряд (Z-пинч). Магнитогидродинамические неустойчивости . . 133
§ III.6. Равновесные замкнутые магнитные конфигурации. Захваченные и пролетные частицы. Неоклассическая теория явлений переноса в тороидальных системах............................................139
§ Ш.7. Сжатие и разогрев плазмы с помощью быстрона-растающего внешнего магнитного поля (8-пинч) 144
§ II 1.8. Общая характеристика термоядерных реакторов. 147
§ Ш.9. Реакторные системы синтез-давление . . 156
Глава IV. Прикладная магнитная гидродинамика . . . 153
§ IV. 1. Магнитогидродинамические генераторы . . . 153
§ IV.2. Ускорители плазмы и проблема плазменных движителей ..............................................159
§ IV,3. Магнитогидродинамические насосы . .... 160
202
Глава V. Магнитное поле Земли и плазменные явления в
близком космосе................................162
§ V.I. Происхождение магнитного поля Земли. Проблема гидромагнитного динамо Земли . . . 162
§ V.2. Структура окружающей Землю атмосферы. Ионосфера ..........................................171
§ V.3. Солнечный ветер. Магнитосфера. Магнитные бури. Полярные сияния. Активные плазменные эксперименты в близком космосе........................175
Глава VI. Космические плазменные образования и плазменные явления в далеком космосе............................186
§ VI.1. Солнце и звезды, их строение и источники энергии 186
§ VI.2. Об эволюции звезд. Красные гиганты и белые карлики. Рождение Новых и Сверхновых . . . 189
§ VI.3. Космические источники излучения в радио- и инфракрасном диапазонах: ядра галактик, радиогалактики, квазары.....................................193
§ VI.4. Пульсары . 196
Приложение. Таблица некоторых физических величин в различных системах единиц...................................199
Виктор Николаевич Ораевскив
ПЛАЗМА НА ЗЕМЛЕ И В КОСМОСЕ,
Издание переработанное и дополненное
Утверждено к печати Редакционной коллегией научно-популярной литературы АН УССР
Редактор А. Г. Пеккер
Художественный редактор Б. И. Прищепа Оформление художника А. К. Косупа Технический редактор А. М. Капустина Корректоры Т. Я. Чорная, Р. С. Коган
Информ бланк № 3634
Сдано в набор 23.05.80. Подп. к печ. 09.09.80. Бф 01100. Формат 84x108/3 Бумага тип. № 3. Лит. гарн. Выс. печ. Усл.-печ. л. 10,71. Уч.-изд л 10 4 Тираж 8200 экз. Заказ 3451. Цена 35 коп.
Издательство «Наукова думка».
252601, Киев, ГСП, Репина, 3.
Областная книжная типография Львовского областного управления по дела) полиграфии, издательств и книжной торговли, Львов, Стефаника, Ц.
35 коп.
«НАУКОВА ДУМКА»