Оптическая голография - Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л.

Автор: Кольер Р. Беркхарт К. Лин Л.

Теги: оптика специальные области применения и специальная техника фотографии голография оптическая голография

Год: 1973

Похожие

Голография

Радиооптика и голография. Учебное пособие для ВУЗов

Техника кино и телевидения №08

Эйзенштейн С.М. Избранные произведения. Том 3. Эстетика

Текст

gg^ Оптическая I
W голография
Optical
Holography
Robert J. Collier
Christoph B. Burckhardt
Lawrence H. Lin
Bell Telephone Laboratories
Murray Hill, New Jersey
1971
Academic Press
New York and London
Р. Кольер, К. Беркхарт, Л. Лин
Оптическая
голография
Перевод с английского
под редакцией
Ю. И. ОСТРОВСКОГО
Издательство «Мир» Москва 1973
УДК 535 + 778.3
Настоящая книга представляет
собой капитальную монографию,
написанную известными
американскими специалистами,
активно работающими в области
оптической голографии.
Книга содержит полное
изложение теоретических
принципов голографии,
подробное описание методики
голографических экспериментов
и получающихся при этом
результатов. Большой интерес
представляют разделы,
посвященные практическим
применениям голографии.
Книга рассчитана на научных
работников и инженеров,
занимающихся голографией,
и специалистов смежных
областей, желающих
ознакомиться с ее
возможностями. Она полезна
также аспирантам
и студентам-старшекурсникам
соответствующих специальностей.
Редакция литературы по физике
К
0234-049
041(01)73
© Перевод на русский язык, «Мир», 1973
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Всеобщий интерес, проявляемый в настоящее время к голо-
графии и ее применениям, обусловлен не только модой — голо-
графические методы явились мощным средством физических и тех-
нических исследований. Развитие голографии заставило по-новому
взглянуть на устоявшиеся и казавшиеся ранее завершенными раз-
делы физической оптики.
Книга Кольера, Беркхарта и Лина представляет собой капи-
тально написанный учебник по оптической голографии. Она до-
ступна студентам старших курсов технических вузов и физиче-
ских факультетов университетов и содержит последовательное
и систематическое изложение оптической голографии и многих ее
применений. Достоинством книги является ее физичность. Авторы
не злоупотребляют математическими абстракциями, хотя и про-
водят детальный анализ явлений, когда это необходимо. В книге,
на наш взгляд, удачно выдержаны пропорции между теорией
и экспериментом. Человек, внимательно изучивший предлага-
емую книгу, сможет читать оригинальную литературу по голо-
графии и работать в этой области.
Авторы книги, начиная с 1965 г., активно работают в области
экспериментальной оптической голографии и известны своими
пионерскими работами по голографической интерферометрии, по
многоцветной голографии, по исследованию свойств голографиче-
ских изображений, новых сред для записи голограмм и т. д.
При переводе мы старались по возможности ближе придержи-
ваться оригинального текста и не делали сокращений даже в тех
случаях, когда это представлялось нам целесообразным. Добав-
ления к списку литературы, сделанные нами, минимальны и от-
носятся главным образом к русским эквивалентам книг, на ко-
торые ссылаются авторы.
В заключение хотелось бы поблагодарить авторов и фирму
«Белл телефон лэбораторис» за присланные для русского издания
оригиналы иллюстраций и список исправлений.
Перевод книги сделан Е. Н. Шедовой (гл. 4—8,11), Г. В. Остров-
ской (гл. 3, 9, 12, 15, 20), В. Н. Синцовым (гл. 2, 10, 16—19)
и Г. В. Дрейден (гл. 1, 13, 14). В редактировании гл. 14 суще-
ственную помощь оказал В. К. Соколов.
Ю. И. Островский
•ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Через несколько месяцев после выхода в свет американского
издания этой книги Дэннис Габор был удостоен Нобелевской
премии по физике за изобретение голографии. Исходя из основ-
ных законов дифракции и интерференции света, в 1948 г. Габор
создал свой новый метод, причем дал не только его математиче-
ское обоснование, но и экспериментальное подтверждение. Все
последующие работы в области голографии были развитием вы-
двинутой Габором основной идеи о том, что комплексная ампли-
туда световой волны может быть зафиксирована на светочувстви-
тельном материале и впоследствии восстановлена.
Однако голография имеет глубокие исторические корни, ибо
в ее основе лежат исследования и других ученых, в том числе
и Нобелевских лауреатов. Так, Габор как одного из своих пред-
шественников называл Лоуренса Брэгга, которому удалось,
используя рентгеновские лучи, получить оптическое изображение
атомной структуры. Более того, по мнению Ван Хирдена, закон
Брэгга для дифракции света на атомных плоскостях кристалла
лежит в основе понимания объемной голографии. В то же время
ключ к полному объяснению принципов объемной голографии мож-
но найти в тех методах цветной фотографии, за которые в 1908 г.
получил Нобелевскую премию Габриель Липпман. Обобщая
и сочетая идеи Липпмана и Брэгга, Ю. Н. Денисюк получил отра-
жательные голограммы, которые позволяют восстанавливать
записанную на них информацию при освещении белым светом,
а не при монохроматическом освещении, как это требуется
обычно.
Однако именно наиболее монохроматический источник излуче-
ния — лазер, изобретенный в начале шестидесятых годов, поста-
вил голографию на практический фундамент. Вскоре после того,
как появились первые лазеры, Э. Лейт и Ю. Упатниекс заложили
основы современной голографии.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
7
Прежде всего они рассмотрели голографический процесс с точ-
ки зрения современной теории связи, а затем, когда в их распоря-
жении оказались лазеры, получили поразившие всех трехмерные
голографические изображения, реализовав таким образом потен-
циальные возможности изобретения Габора.
Мы видим, следовательно, что голография прекрасно иллю-
стрирует путь научного прогресса: прежде всего требуется актив
ное понимание всего, что было сделано предшественниками, а за-
тем начинается этап творчества. Авторы надеются, что данная
книга послужит необходимым фундаментом для тех читателей,
которые, возможно, продолжат этот процесс.
5 апреля 1972 г. Роберт Кольер
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Развитию голографии способствовали совместные усилия спе-
циалистов, работающих в разных областях науки: электронной
микроскопии, электротехнике, оптике, физике и химии. Бес-
спорно, такой всесторонний интерес к голографии, проявленный
учеными разных специальностей вскоре после изобретения лазе-
ров, привел к широкому размаху исследований в этой области.
В то же время это обстоятельство явилось также причиной потока
публикаций, написанных на языках разных наук и рассеянных
по множеству журналов. Как и следовало ожидать, уровень пер-
вичных знаний, необходимый для чтения этих публикаций, суще-
ственно различен. Вопреки целям авторов, эта лавина публикаций
может нарушить взаимопонимание между учеными, работающими
в области голографии, и теми, кто будет использовать на прак-
тике голографические методы.
Наша книга адресована тем, кто хочет узнать, как можно ис-
пользовать голографические методы для решения технических
проблем. Мы пытались дать здесь основу, отталкиваясь от которой,
можно было бы создавать новое. Для чтения книги достаточно
знаний, которыми обладают студенты старших курсов физических
и технических специальностей. Необходимы элементарные сведе-
ния по оптике, знакомство с уравнениями Максвелла и аппаратом
фурье-преобразований.
В настоящей книге основное внимание уделяется свойствам
голограмм, полученных с помощью видимого света. Мы исходим
из того, что читатель не является специалистом в физической
оптике. Поэтому прежде всего излагаются основные представле-
ния физической оптики, на которых основана голография. Затем
для объяснения специфических свойств простых голограмм ис-
пользуются геометрические представления. В гл. 4—6 дано крат-
кое математическое и физическое введение в фурье-оптику. Эти
главы являются основой для теории плоских и объемных голо-
грамм, изложенной в следующих главах — 8 и 9. Этим главам
предпослана гл. 7, предназначенная для тех, кто, возможно, захо-
чет попытаться своими руками получить голограмму, прежде
чем перейти к дальнейшему изучению. В этой главе обсуждаются
требования к лазерам непрерывного действия, описаны необхо-
димые оптические детали и даны схемы простейших эксперимен-
тов, которые могут быть осуществлены со сравнительно простым
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
9
оборудованием. Для улучшения результатов голографист-экспе-
риментатор должен также подобрать наиболее подходящий для
данной задачи материал для регистрации голограмм (гл. 10).
Если голографируемый объект нестабилен, для получения голо-
грамм приходится использовать импульсные лазеры. Техника
импульсного голографирования описана в гл. 11.
За исключением гл. 19, в которой рассмотрены голограммы,
синтезированные с помощью электронно-вычислительных машин,
вторая часть книги посвящена возможным применениям голо-
графии: повышению разрешения изображений, получению изо-
бражений через рассеивающие среды, пространственной филь-
трации, опознаванию образов и кодированию, интерферометри-
ческому исследованию смещений и получению контурных карт
рельефа, хранению информации, получению монохроматических
и цветных трехмерных изображений и объемному телевидению.
Здесь также обсуждаются трудности, которые еще предстоит пре-
одолеть. К ним относятся низкая дифракционная эффективность,
шумы, искажения, нелинейные эффекты, низкая чувствительность
высокоразрешающих регистрирующих материалов и пятнистая
структура, наблюдаемая при освещении голограмм лазерным
светом.
Книга задумана как учебное пособие, а не как сборник статей
по голографии. Поэтому из значительного количества литературы
по голографии мы отобрали лишь тот материал, который является
наиболее подходящим для учебных целей. В соответствии с этим
в списки литературы, помещенные в конце каждой главы, вошли
лишь те работы, которые были использованы при написании соот-
ветствующих глав. Читатель, который захочет глубже позна-
комиться с вопросом, может обратиться к работам, перечисленным
в кратком списке литературы после предисловия; в этих работах
можно найти и более полную библиографию
Мы высоко ценим поддержку, оказанную нам фирмой «Белл
телефон лэбораторис», а также благодарим за личную помощь,
оказанную нам многими из наших коллег. Мы особенно призна-
тельны X. Бьючемпу и Е. Доэрти, помогавшим нам в получении
нужных голограмм и других иллюстраций к книге.
ЛИТЕРАТУРА 1)
CAUFIELD Н. J., SUN LU, The CHAMBERS R. Р., COURTNEY-
Applications of Holography, New PRATT J. S., Bibliography on
York, 1970. Holograms, Journ. Soc. Mot. Pict.
Telev. Eng., 75, 373, 759 (1966).
x) Здесь и далее звездочкой отмечены работы, добавленные редактором
перевода.— Прим. ред.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
CHAMBERS R. Р., STEVENS В. А.,
Bibliography on Holograms,
Journ. Soc. Motion Pict. Telev.
Eng., 76, 392 (1967).
DE VELIS J. B., REYNOLDS G. 0.,
Theory and Applications of Ho-
lography, Reading, Massachu-
setts, 1967. [Имеется перевод:
ДЖ. ДЕ ВЕЛИС, ДЖ. О. РЕЙ-
НОЛЬДС, Голография (теория
и приложения), М., 1970.]
FRANCON М., Holographie, Paris,
1969. (Имеется перевод: М.
ФРАНСОН, Голография, изд-во
«Мир», 1972.)
GOODMAN J. W., Introduction to
Fourier Optics, New York, 1968.
(Имеется перевод: ДЖ. ГУД-
МЕН, Введение в фурье-оптику,
изд-во «Мир», 1970.)
KIEMLE Н., ROSS D., Einfiihrung
in die Technik der Holographie,
Frankfurt am Main, 1969.
KOCK W. E., Lasers and Hologra-
phy: An Introduction to Cohe-
rent Optics, New York, 1969.
(Имеется перевод'. У. KOK,
Лазеры и голография, изд-во
«Мир», 1971.)
LATTA J. N., A Classified Biblio-
graphy on Holography and Re-
lated Fields, Journ. Soc. Motion
Pict. Telev. Eng., 77, 422, 540
(1968).
ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голография,
Л., 1970.
SMITH Н. М., Principles of Holo-
graphy, New York, 1969.
STROKE G. W., An Introduction to
Coherent Optics and Holography,
2nd ed., New York, 1969. (Имеет-
ся перевод 1-го изд.: ДЖ.
СТРОУК, Введение в когерент-
ную оптику и голографию, изд-во
«Мир», 1967.)
♦BUTTERS J. N., Holography and
its Technology, London, 1971.
♦ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голография
и ее применение, Л., 1973.
♦ПАПУЛИС А., Теория систем и
преобразований в оптике, изд-во
«Мир», 1971.
♦СОРОКО Л. М., Основы гологра-
фии и когерентной оптики, М.,
1971.
♦VIENOT J. CH., SMIGIELSKI Р.,
ROYER J., Holographie optique,
Paris, 1971 (готовится русский
перевод).
♦Applications of Holography. Proc,
of the United States-Japan Semi-
nar on Information Processing by
Holography (October, 1969), New
York — London, 1971.
♦Applications of Holography. Proc,
of the International Simposium
(Besanjon, 1970), Besanjon 1971.
♦The Engineering Uses of Hologra-
phy, ed. E. R. Robertson and
J. M. Harvey, Cambridge, 1970.
♦Голография и оптическая обработка
информации, Библиографиче-
ский указатель (721 ссылка),
Дубна, 1968.
♦Материалы первой, второй и треть-
ей Всесоюзных школ по голо-
графии, Л., 1971, 1972.
ПОСВЯЩАЕТСЯ
СЬЮЗЕН, АННЕ-МАРИИ И СИЛЬВИИ
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В связи с созданием лазеров начался новый этап в развитии
оптической науки: возник практический интерес к изучению коге-
рентного света и появились возможности осуществления некоторых
старых идей. К их числу относится метод восстановления волно-
вого фронта, который был впервые предложен Габором в 1948 г.
[1.1—1.3]. Возрождение интереса к этому методу в значительной
степени связано с широким распространением лазеров, дающих
излучение с высокими когерентными свойствами. Восстановление
волнового фронта, или голография, как ее теперь называют,—
это способ восстановления трехмерного изображения предмета
по его несфокусированной дифракционной картине. Цель, кото-
рую ставил Габор при разработке своего метода, состояла в улуч-
шении разрешения изображения, полученного с помощью элек-
тронного микроскопа. Хотя Габору не удалось продемонстрировать
применимость своего принципа к электронным волнам, он смог
получить восстановленное изображение в видимом свете. Однако
в то время отсутствовали источники когерентного излучения доста-
точной мощности даже в видимой области, из-за чего голографию
долго относили к числу оптических диковинок. Столкнувшись
со значительными трудностями и не получив сколько-нибудь
ценных результатов, первые исследователи отказались от даль-
нейшей разработки метода. В течение десяти лет казалось, что
этому методу суждено остаться в неизвестности. Обстановка про-
яснилась в начале 60-х годов благодаря работе, которая была
выполнена в Научно-техническом институте Мичиганского универ-
ситета. В 1962 г. Лейт и Упатниекс [1.4—1.6] начали публика-
цию серии статей, в которых использовался новый подход к опти-
ческой голографии, основанный на методах теории связи. К 1964 г.
они сумели убедительно доказать практическую ценность голо-
графии и показать, что при этом большое значение имеет исполь-
зование лазерного света. Действительно, трехмерные изображе-
ния, которые получили Лейт и Упатниекс, освещая фотопластин-
ки лазерным светом, поразили воображение всех, кто их видел,
12
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
и побудили многих начать свои собственные исследования в обла-
сти голографии. Теперь голография широко известна как прак-
тический способ регистрации и последующего восстановления
волновых фронтов. Запись, сделанная на светочувствительном
материале, называется голограммой.
В отличие от фотографических негативов на поверхности голо-
граммы виден лишь серый фон; ничто не указывает на то, что
в ней скрыто изображение предмета (фиг. 1.1). Обычная фото-
ФИГ. 1.1. Фотография голограммы.
графин приучила нас к тому, что видимые признаки регистрируе-
мого объекта воспроизводятся на пластинке или пленке в виде
двумерного изображения. Чтобы собрать свет, рассеиваемый
каждой точкой объекта, и сфокусировать его в соответствующие
точки изображения, необходима линза. Отсутствие деталей изо-
бражения на поверхности голограммы показывает, что в голо-
графии можно обходиться без линз, воспроизводящих изображе-
ние. Для регистрации несфокусированного света, рассеянного
объектом, который освещается лазером, требуется только фото-
графическая пластинка и когерентная опорная волна. Этот несфо-
§ 1-
ОПТИЧЕСКАЯ ГОЛОГРАФИЯ
13
кусированный свет или дифракционная картина представляет
собой наложение световых волн от многих точек объекта. Кар-
тина, получаемая при этом, обычно макроскопически однородна
по интенсивности. Несмотря на кажущееся отсутствие зарегистри-
рованной информации, при освещении экспонированной и прояв-
ленной голограммы в пространстве формируется объемное изо-
бражение предмета. Это изображение, которое может быть лока-
лизовано на некотором расстоянии от голограммы, обладает глу-
биной и параллаксом, обычно свойственным реальному объекту.
Как мы увидим далее, голография может найти гораздо более
широкое применение, чем получение объемных изображений.
Познакомившись с этим методом ближе, мы увидим, что он может
быть использован для хранения и обработки информации, а так-
же в интерферометрии и микроскопии. В этой главе вводятся основ-
ные понятия, необходимые для понимания принципов голографии.
Многие из затронутых здесь вопросов будут рассмотрены более
строго в последующих главах.
§ 1. Оптическая голография
Голография — это интерференционный метод регистрации све-
товых волн, дифрагировавших на объекте, который освещен коге-
рентным светом. При этом дифрагированные волны должны проин-
терферировать с согласованной с ними по фазе опорной волной-
Если волны обладают достаточной степенью когерентности, раз.
ность фаз между предметной и опорной волной остается постоян-
ной во времени: в результате возникает наблюдаемая интерфе-
ренционная картина с определенным распределением интенсив-
ности. Фотографическая запись этой картины — голограмма —
содержит информацию и о фазе и об амплитуде дифрагированных
волн, благодаря чему возможно их восстановление. Восстановле-
ние волнового фронта происходит на втором этапе, когда голо-
грамма освещается опорной волной.
Сохранение воспроизводимой информации о фазе является
уникальной особенностью голографического процесса. В противо-
положность этому фотография может сохранить только простран-
ственное распределение интенсивности света в предметной сцене
(объекте); с помощью линз фотоаппарата оно воспроизводится
в сфокусированном изображении и записывается на фотослое,
поскольку количество образовавшегося серебра зависит от интен-
сивности. Однако интенсивность представляет собой величину,
усредненную по всем фазам световой волны, и поэтому не содер-
жит информации о фазе волны, идущей от объекта. В голографи-
ческом методе информация об амплитуде и фазе несфокусирован-
ной волпы, идущей от объекта, кодируется с помощью опорной
волны еще до регистрации.
14
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
Голографический метод применим ко всем волнам: электрон-
ным, рентгеновским, световым, микроволнам, акустическим и сей-
смическим при условии, что они достаточно когерентны для соз-
дания требуемых интерференционных картин. И действительно,
голограммы были получены с каждым из этих видов волн. Однако
голографический метод, по-видимому, наиболее пригоден в опти-
ческом диапазоне электромагнитного спектра. После создания
лазеров оптическая голография стала быстро развиваться, в то
время как работа в более коротковолновом диапазоне тормозится
отсутствием источников когерентного излучения. Что касается
другого конца шкалы длин волн, то активные исследования прово-
дятся в настоящее время лишь в акустической голографии. Раз-
рабатываются новые методы формирования акустических голо-
грамм, но сколько-нибудь интересных результатов пока не полу-
чено. Поэтому мы ограничимся рассмотрением видимого света
и оптической голографии. Прежде чем приступить к более под-
робному обсуждению голографического метода, дадим краткое
изложение некоторых разделов физической оптики.
§ 2. Световые волны
Распространение механической энергии, связанной с упругими
деформациями, распространение звука и света можно рассматри-
вать как волновое движение. При распространении механиче-
ской энергии, скажем, по поверхности океана, непосредственно
видно, что волновое движение является поперечным. Гораздо
труднее наблюдать продольные звуковые волны в воздухе. Вместо
непосредственного наблюдения молекул воздуха мы должны
судить об их движении по воздействию на мембрану. Еще труд-
нее обнаружить волновой характер распространения света. Так
как частота электрического и магнитного полей в световой волне
достигает 1015 Гц, то не существует детектора, который был бы
настолько малоинерционным, чтобы с его помощью можно было
регистрировать мгновенные значения электрического и магнит-
ного полей.
Волновые свойства света были впервые продемонстрированы
в 1802 г. Томасом Юнгом, который наблюдал интерференцию
света, исходящего из двух различных точек волнового фронта.
Он обнаружил, что в разных точках экрана, освещенного двумя
такими вторичными источниками, может происходить не только
взаимное усиление интенсивности света, но и взаимное гашение.
Это явление трудно объяснить с точки зрения корпускулярной
теории, но его легко понять на основе волновых представлений.
Экспериментальное устройство Юнга для получения интерферен-
ции от двух световых источников показано на фиг. 1.2. Точечное
отверстие Ро освещено параллельным пучком света. Сферическая
§ 2.
СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ
15
волна, возникающая при дифракции на отверстии Ро, падает на
расположенный на некотором расстоянии непрозрачный экран
с двумя одинаковыми отверстиями Pi и Р2. Эти отверстия выре-
зают небольшие участки волнового фронта, в результате обра-
зуются две вторичные согласованные по фазе сферические волны.
На экране S, который помещен параллельно первому экрану,
в том месте, где волны перекрываются, наблюдаются чередую-
щиеся светлые и темные интерференционные полосы, расположен-
ные перпендикулярно линии, соединяющей Pi и Р2.
Получение голограмм тесно связано с таким способом наблю-
дения волновых свойств света, поскольку и в том, и в другом
ФИГ. 1.2. Схема опыта Юнга.
случае производится регистрация интенсивности светлых и тем-
ных полос, возникающих в месте пересечения когерентных свето-
вых волн. Пространственное распределение интенсивности, полу-
чаемое при этом, называется интерференционной картиной или
картиной стоячих волн. Последнее название связано с тем, что
пространственное распределение интенсивности полос остается
постоянным во времени. Именно благодаря этому мы можем наблю-
дать интерференционные полосы в эксперименте Юнга, а также
измерять их интенсивность и расстояние между ними. Образо-
вание интерференционных полос доказывает, что свет обладает
волновыми свойствами, а измерение расстояния между полосами
и их контраста позволяет определить такие характеристики,
как длина волны и степень когерентности.
Хотя невозможно непосредственно наблюдать световые колеба-
ния, убедительным доказательством их существования может
служить успех теории Максвелла, которая предсказывает элек-
тромагнитные, в частности световые, волны. Согласно теории
16
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
Максвелла, в световой волне существуют два векторных силовых
поля — электрическое и магнитное. Эти поля способны распро-
страняться через пространство, не содержащее какого-либо веще-
ства, и мы можем наблюдать только усредненные по времени эф-
фекты их взаимодействия с приемником. Голография имеет дело
Падающая
волна
Отраженная
волна
ФИГ. 1.3.
Схема эксперимента Винера.
с взаимодействием световых волн со светочувствительным материа-
лом, например зернами галоидного серебра в фотослое. На первый
взгляд может показаться, что необходимо учитывать оба силовых
ноля, каждое из которых может взаимодействовать с регистри-
рующей средой. Однако это не так, о чем свидетельствует опыт
§ 3.
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ
17
Винера со стоячими волнами, выполненный в 1890 г. (фиг. 1.3).
Винер показал, что стоячие световые волны создают наибольшее
почернение на фотопластинке в области пучностей электриче-
ского поля и совсем не вызывают почернения в области пучностей
магнитного поля. Таким образом, именно электрическое поле
электромагнитной волны ответственно за образование голограммы.
Это справедливо не только для фотослоев, но и для всех других
светочувствительных сред, которые используются для получения
голограмм. (Свет взаимодействует с электронами, которые нахо-
дятся в покое или движутся со скоростью, значительно меньшей
скорости света, так что вкладом магнитного поля можно пре-
небречь.) Таким образом, мы пренебрегаем влиянием магнитного
поля на формирование голограммы и проводим рассмотрение так,
как будто в световой волне имеется только электрическое поле.
При восстановлении изображения по голограммам, записанным
на немагнитных материалах, опять существенно лишь взаимо-
действие электрического поля с регистрирующей средой.
§ 3. Интерференционные картины
Получение голограммы в сущности является регистрацией
интенсивности интерференционной картины. Если разность фаз
между интерферирующими волновыми полями постоянна в течение
какого-либо времени, то пространственное распределение интен-
сивности полос в интерференционной картине будет также по-
стоянно во времени. В этом параграфе мы рассмотрим распреде-
ление интенсивности в такой интерференционной картине. При
этом мы ограничим наше рассмотрение интерференцией монохро-
матических волн одинаковой частоты, полученных от одиночного
непрерывно излучающего источника. Таким образом, мы имеем
в виду идеальный случай абсолютно когерентного света. Разность
фаз и интенсивность интерференционной картины постоянны во
времени. При этом существенно упрощается описание основных
явлений. Частично когерентный свет будет рассмотрен в § 9.
Прежде чем переходить к дальнейшему изложению, поста-
раемся более точно представить суть взаимодействия света с фото-
графической средой. Почернение единицы объема фотослоя или
отбеливание единицы объема фотохромного материала есть функ-
ция энергии, поглощенной этим объемом и усредненной за время,
большое по сравнению с периодом световых колебаний. Из теории
Максвелла мы знаем, что и — энергия на единицу объема, или
плотность энергии электрического поля световой волны, в системе
единиц МКС описывается выражением
1 - -
и = СР • V,
18
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1
где е — диэлектрическая проницаемость среды, в которой распро-
страняется волна, и v — вектор электрического поля. Запишем
усредненное по времени значение и следующим образом:
т т
(и)=-^- \ и dt = у е \ v-v dt = -^ е (v-v),
-т -т
где 2Т — интервал времени, по которому производится усредне-
ние, а скобки ( ) означают усреднение по времени.
В любой точке световой волны вектор Пойптинга определяет
величину и направление потока энергии за единицу времени через
единичную площадку, нормальную к потоку. Усредненную по
времени величину этого вектора в классической оптике называют
интенсивностью света в точке. Если обозначить интенсивность
через 1Р, то
1
1Р = s {и} = -тг se (v - v),
Л
где s — скорость света в среде. В системе МКС интенсивность 1Р
выражается в ваттах на квадратный метр. С другой стороны,
в голографии принято сокращенное определение интенсивности:
1 = 2 (р-р). (1.1)
Как показывает последующее рассмотрение монохроматических
волн, интенсивность I сводится к квадрату амплитуды световой
волны и является очень важным п аметром в теории голографии.
Хотя выбор термина интенсивное ь для квадрата амплитуды до
некоторой степени неудачен, обычно всегда можно понять, какая
интенсивность имеется в виду в данной ситуации. К тому же бла-
годаря пропорциональности между I и 1Р мы можем с равным
успехом выражать относительные интенсивности либо через I,
либо через 1р. Таким образом, если — радиус-вектор точки
в световом пучке, а г2— радиус-вектор другой точки, то относи-
тельные интенсивности в двух точках определяются отношением
I (ri) _Тр(г1)
I (г2) Iр (г2)
Используя определение интенсивности 1Р, мы можем теперь
описать взаимодействие света с фоточувствительным материалом,
пользуясь величиной экспозиции Е. Пусть свет проходит с очень
малым поглощением через слой галоидосеребряной фотоэмульсии.
В любом объеме фотослоя число центров скрытого изображения,
образующихся за единицу времени, есть функция средней элек-
§ 3. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ 19
трической энергии, полученной этим объемом за единицу времени.
Рассмотрим объем с единичным поперечным сечением, нормаль-
ным к потоку энергии. Поток энергии, проходящий через этот
объем в единицу времени, равен интенсивности 1р. Общее число
центров скрытого изображения (т. е. число зерен галоидного
серебра), способных к проявлению и образующихся за время
экспозиции хе в нашем объеме, описывается некоторой функцией
экспозиции Е = 1рХе Тхе. Следовательно, почернение (или
уменьшение пропускания пластинки) после проявления этих
зерен может быть также выражено как функция экспозиции Е
(см. гл. 2, § 5, п. 1).
Правильное представление о сущности интерференционных
процессов можно получить, подставляя выражения для соответ-
ствующих волновых амплитуд в выражение (1.1) для интенсивно-
сти. Если электрическое поле v существует как физическая вели-
чина, оно должно быть действительной функцией координат
и времени, а если оно соответствует строго монохроматической
волне, оно должно быть простой гармонической функцией вре-
мени. Пусть / — частота волновых колебаний, тогда электриче-
ское поле описывается выражением
v = a cos (2л/£ + <р), (1.2)
где а и <р — амплитуда и фаза, являющиеся функциями только
пространственных координат. Подстановка выражения (1.2)
в выражение (1.1) дает
г
Z = -^r j [1 + cos (4л/г + 2<р)] dt = а>а для (1.3)
-т
= а2 = + + azt (1-4)
где ах, ауп az — проекции вектора а на оси декартовых координат.
Интенсивность, таким образом, равна квадрату амплитуды элек-
трического поля. Как ясно видно из (1.4), измерение интенсив-
ности одной волны не дает информации о фазе волны.
Необходимым условием образования интерференционных кар-
тин является одновременное присутствие более чем одной волны.
Поэтому мы должны вначале выяснить, как производится сло-
жение нескольких интерферирующих монохроматических волн,
а затем применить выражение (1.1). Каждая волна может быть
представлена в виде vt = а; cos (2nft + <р;), где частота / имеет
одно и то же значение для всех волн (кг — вектор электрического
поля в области интерференции). Сумма этих синусоидальных
2*
20 ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. 1.
функций есть синусоида, и, таким образом, мы имеем
а± cos (2n/i + <р±) + а2 cos (2л ft + <р2) + • • • =
= a cos (2л ft + <р). (1.5)
Это выражение может быть представлено в виде
Re [at exp [i (2л ft + <Pi)]] + Re [a2 exp [i (2л ft + <p2)]] + • =
= Re [a exp [i (2л ft + <p)U, (1.6)
где Re [ ] означает действительную часть комплексной вели-
чины, стоящей внутри скобок. Использование комплексных вели-
чин упрощает вычисления, тем более что мы можем упростить
запись, опуская символ Re [ ] и, таким образом, не напоми-
ная, что волновая функция — действительная величина (но имея
это постоянно в виду).
На этой стадии мы обратим внимание на несколько формул,
которые мы будем применять к комплексной волновой функции
пространства и времени, входящей в правую часть соотношения
(1.6). Комплексная величина -1)
—►
v = a exp (i <р) exp (2ni/i),
которая содержит фазовый множитель, зависящий от времени
и меняющийся с частотой колебаний /, называется комплексным
вектором электрического поля; комплексная величина
—► ->
а = a exp (i <р)
содержит только амплитуду и фазовый множитель, который не
меняется с частотой f и называется комплексным вектором ампли-
туды, а его действительная часть а — просто вектором амплитуды.
Когда мы имеем дело со скалярными волнами (см. ниже), слово
«вектор» из этих выражений исключается. (Общее определение
комплексного электрического поля дается в приложении II.)
Опуская символ Re [ ] в соотношении (1.6) и деля каждый
член на exp (2ni/i), получаем
exp (i <Pi) -|- a2 exp (i <p2) + = a exp (г <p) = a.
(1-7)
Таким образом, комплексный вектор амплитуды суммы монохро-
матических волн получается сложением комплексных векторов
амплитуды индивидуальных врлн согласно правилам сложения
комплексных чисел.
х) Комплексные величины обозначаются жирным шрифтом.
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ
21
§ 3.
Теперь мы можем записать интенсивность I в выражении (1.3)
через а, составляя произведение
—> —> —> —> —>
а-а* = [a exp (I <р)] - [а ехр (— i <р)] = а-а,
так что
I = а -а = а -а* = exp (i <р±) + а2 exp (i <р2) + . • •] X
X [ai exp (— i <р±) + а2 exp (—i <р2) + • • •], (1-8)
где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины.
1. Интерференция двух волн
Голография обычно имеет дело с интерференцией двух волн:
предметной волны и опорной волны. В этом случае интенсивность
I в выражении (1.8) принимает вид
I = а-а = -а^ а2 'd2 -|-
+ а±-а2 {exp [i (<р2 — <р±)] + exp [— i (<р2 — <Pi)]}
ИЛИ
I = 1г “Ь Г2 “Ь 2aj -а2 cos (<р2 — <pi). (1-9)
Таким образом, интенсивность в любой точке интерференционной
картины, образованной двумя волнами, является суммой интен-
сивностей отдельных волн плюс интерференционный член. В этом
не зависящем от времени интерференционном члене содержится
информация о разности фаз.
Отметим, что для того, чтобы интерференционный член не был
равен нулю, вектор а2 должен иметь компоненту, параллельную щ.
Две световые волны, которые поляризованы во взаимно перпен-
дикулярных направлениях, дают, согласно выражению (1.9),
вклад в интенсивность, равный только сумме интенсивностей,
и не могут привести к возникновению ни интерференционной
картины, ни голограммы. С другой стороны, если две интерфери-
рующие волны поляризованы параллельно друг другу, то резуль-
тирующая интенсивность I может быть и больше и меньше суммы
их интенсивностей. Например, если волны имеют постоянные
и равные амплитуды
|а1| = |а2| = (Д)1/2 = (Г2)1/2,
то из выражения (1.9) следует, что максимальная величина общей
интенсивности I в четыре раза больше интенсивности Zj или 12,
а минимальное значение суммарной интенсивности I равно нулю.
22
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
Из выражения (1.9) видно, что только параллельные друг
другу векторные волновые компоненты могут создать интерферен-
ционные картины (или голограммы). При анализе процесса обра-
зования голограммы мы можем рассматривать взаимодействующие
волновые амплитуды как скалярные величины. Это, конечно, при-
водит к упрощению записи. Далее почти везде будет применяться
скалярный волновой анализ.
ФИГ. 1.4.
Структура интерференционной картины,
образующейся при пересечении двух
плоских волн.
Пространственное распределение амплитуд и фаз интерфери-
рующих волн определяет специфический вид интерференционной
картины, или картины стоячих волн. В качестве наиболее про-
стого и наглядного примера обратимся к интерференции плоских
воли, что понадобится нам в дальнейшем при рассмотрении голо-
графии. Предположим, что плоские волны исходят от одинаковых
абсолютно когерентных источников и пересекаются под углом 20,
как показано на фиг. 1.4. Для таких волн точки постоянной
фазы лежат в одной плоскости (плоский волновой фронт). Для
§ 3.
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ КАРТИНЫ
23
упрощения чертежа на нем представлены только положительные
максимумы амплитуды, или гребни волновых фронтов и F2,
нормальных к плоскости чертежа. Эти максимумы расположены
на расстоянии длины волны Л друг от друга х). Следы пересечения
этих фронтов с плоскостью чертежа изображены пунктирными
линиями. Две системы периодически расположенных линий пред-
ставляют последовательный ряд волновых фронтов в каждом вол-
новом цуге. Волновые нормали 1 и 2, находящиеся в плоскости
чертежа, перпендикулярны к фронтам и указывают направление
распространения волн.
Линии пересечения плоскостей и F2 перпендикулярны плос-
кости чертежа (фиг. 1.4). На этих линиях, положение которых
отмечено жирными точками, гребни волн складываются. Посколь-
ку волны распространяются в направлении их нормалей, линии
пересечения волновых фронтов движутся, образуя плоскости мак-
симальной результирующей амплитуды света, которые делят
пополам угол между волновыми нормалями. Эти плоскости нор-
мальны к плоскости чертежа и локализованы там, где частота
вертикальной штриховки на фиг. 1.4 максимальна. Усредненный
по времени квадрат результирующей амплитуды, т. е. интенсив-
ность, также максимален вдоль этих линий или полос. Такие
плоскости являются местом интерференции всех волн, для кото-
рых в выражении (1.9) <р2 — Ф1 = 2пл; п = 0, 1, 2, .... Если
принять во внимание и другие разности фаз, при которых проис-
ходит сложение амплитуд, то мы приходим к синусоидальному
распределению интенсивности в интерференционной картине по
направлению у. Это показано плотностью вертикальной штри-
ховки на фиг. 1.4. (Анализ интерференции плоских волн прово-
дится в гл. 9, § 1.)
Рассматривая треугольник, изображенный жирными линиями
на фиг. 1.4, легко установить, что период синусоидального рас-
пределения интенсивности описывается формулой
2d sin 0= %. (1.10)
Заметим, что 0 — угол скольжения, образованный каждой вол-
новой нормалью с плоскостями максимумов интенсивностей (плос-
костями пучностей). Если угол 20 между волновыми нормалями
возрастает, период d уменьшается. Чтобы можно было зарегистри-
ровать интерференционную картину, которая образуется при
получении голограммы, разрешающая способность используе-
мой фотографической среды должна составлять не менее 1/d линий
на единицу длины.
х) Если не оговорено иное, то символ X означает длину волны света
в среде, в которой он распространяется.
24
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
§ 4. Дифракция
При получении голограмм производится запись дифракцион-
ных картин. Дифракцией называют явление, заключающееся в ис-
кривлении волновых нормалей (лучей) при встрече света с пре-
пятствием, оптическое пропускание или отражение которого зна-
чительно изменяется на расстояниях, близких к длине волны
света. На маленьких отверстиях в экранах дифрагирует весь свет,
прошедший через них, па больших же отверстиях дифрагирует
ФИГ. 1.5. Дифракция света на плоской решетке.
только свет, прошедший вблизи краев отверстия. Свет, проходя-
щий через центральную часть большого отверстия, не испытывает
дифракции. Дифракция является основной темой гл. 5, и поэтому
здесь нет необходимости подробно останавливаться на отдельных
деталях. Однако для понимания материала, изложенного в остав-
шейся части настоящей главы, полезно привести два уравнения,
которые описывают дифракцию на плоских и объемных решетках.
Голограмма сама по себе есть вызывающий дифракцию объект,
обладающий некоторыми специфическими свойствами. Отвле-
каясь от сложной микроструктуры голограмм, их можно разде-
§ 4.
ДИФРАКЦИЯ
25
лить на два вида, а именно: голограммы, ведущие себя 1) подобно
плоским дифракционным решеткам и 2) подобно объемным диф-
ракционным решеткам. На фиг. 1.5 показана в разрезе плоская
дифракционная решетка. Решетка может состоять из ряда перио-
дически расположенных прозрачных щелей на непрозрачном
экране. Для плоской волны, падающей на решетку, условие
ФИГ. 1.6. Дифракция света на объемной решетке.
DB' + В'Е = 2d Bin б = А (закон Брэгга).
синфазности дифрагированных пучков, ведущей к их взаимному
усилению, является уравнением решетки:
d (sin i + sin 6) = %, (1.11)
где d — постоянная решетки, i — угол падения и 6 — угол ди-
фракции. Как видно из фиг. 1.5, при выполнении условия (1.11)
под углом 6 образуется главный максимум дифрагированной плос-
кой волны. Кроме того, возможны отрицательные и более высо-
кие порядки дифракции. (Здесь мы ограничились рассмотрением
дифракции первого порядка.)
На фиг. 1.6 показана (в разрезе) объемная дифракционная
решетка, содержащая периодически расположенные рассеиваю-
щие плоскости, освещенные плоской волной. Здесь справедлив
тот же самый принцип: интенсивность имеет максимальную вели-
чину в том направлении, в котором происходит синфазное сложе-
ние световых волн, рассеянных последовательными плоскостями.
Условие образования главного максимума дифрагированной
26
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
плоской волны, которое имеет вид
2d sin 0= %, (1.12)
называется законом Брэгга по имени Уильяма Брэгга [1.7],
получившего его для случая дифракции рентгеновских лучей от
атомных плоскостей в кристалле. Брэгг предположил, что ди-
фракция в кристалле обусловлена отражением падающей волны
от кристаллических плоскостей. Максимум дифракции возникает,
когда углы, образованные падающим и отраженным лучами с кри-
сталлической плоскостью, равны, как показано на фиг. 1.6, при-
чем угол 0 удовлетворяет условию (1.12).
Сравнение выражений (1.11) и (1.12) обнаруживает, что послед-
нее накладывает более жесткие условия на наблюдение максиму-
ма дифракции. Для объемной решетки выбор угла падения опре-
деляет и длину волны и угол дифракции. Для плоских решеток
это не так. Уравнение (1.11) допускает произвольный выбор и угла
падения и длины волны.
§ 5. Образование голограмм
Перейдем теперь к рассмотрению основ самого голографиче-
ского метода, начав рассмотрение с описания получения голо-
грамм. Габор образовал название голограмма от греческого слова
6%оп, означающего «весь» или «целый», подчеркнув тем самым,
что регистрация как фазовой, так и амплитудной информации
обеспечивает более полное описание световой волны. Метод сохра-
нения фазовой информации заложен в выражении (1.9), из кото-
рого видно, что информация о фазе сохраняется в интерференцион-
ной картине при двухлучевой интерференции. Таким образом,
для того чтобы получить голограмму, когерентный свет, идущий
от лазера, необходимо разделить на два пучка, один из которых
освещает объект, а другой служит опорным (фиг. 1.7).
В качестве опорной волны, как правило, используются немо-
дулированпые волны со сферическими или плоскими фронтами.
Опорный пучок направляется таким образом, чтобы он пересекся
со светом, прошедшим через объект или отраженным от объекта.
Если оба пучка абсолютно когерентны, то интерференционная
картина образуется во всем объеме, в котором перекрываются
пучки. Светочувствительная среда, помещенная в область пере-
крытия, будет претерпевать определенные химические или физи-
ческие изменения, обусловленные воздействием световой энергии.
После окончания экспозиции и после того, как фоточувствитель-
ная среда подверглась соответствующей обработке, требующейся
для преобразования этих изменений в вариации оптического про-
пускания, мы получаем голограмму.
§ 5.
ОБРАЗОВАНИЕ ГОЛОГРАММ
27
Когда регистрирующей средой служит галоидосеребряный
фотослой, изменение пропускания может быть вызвано увеличе-
нием поглощения, обусловленным превращением галоидного се-
ребра в металлическое серебро в результате экспонирования и про-
явления. При таких обстоятельствах получаются поглощающие
(амплитудные) голограммы. Если ту же самую голограмму отбе-
лить, т. е. превратить серебро в прозрачное соединение, пока-
затель преломления которого отличается от показателя преломле-
ния желатина, то интерференционная картина регистрируется как
вариации показателя преломления эмульсии. Голограмма тогда
ФИГ. 1.7.
Схема получения голограммы.
называется фазовой голограммой. При получении амплитудных
голограмм экспозиция и процесс проявления выбираются так,
чтобы пространственное распределение коэффициента поглоще-
ния голографической пластинки соответствовало распределению
интенсивности падающего света. При получении фазовой голо-
граммы добиваются того, чтобы пространственная фазовая моду-
ляция, налагающаяся на волну при ее прохождении через голо-
грамму, соответствовала распределению интенсивности падаю-
щего света.
Интенсивность интерференционной картины, образованной про-
стыми немодулированными плоскими или сферическими волнами,
обычно можно представить в виде трехмерной контурной карты.
Контурные поверхности на такой карте соответствуют зонам мак-
симальной интенсивности света, для которых выполняется условие
<р2 — Ф1 = 2лп в выражении (1.9). Если очень тонкая светочув-
ствительная среда помещена в область интерференции и соответ-
ствующим образом проэкспонирована, то на ней будут зареги-
стрированы линии пересечения этих контурных поверхностей
с плоскостью эмульсии (серебряные линии в случае тонкого
фотослоя).
28
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
На фиг. 1.8 представлена фотография увеличенного участка
такой голограммы. Если относительно толстая светочувствитель-
ная среда помещается в область интерференции, то в толще среды
регистрируются сами контурные поверхности. Голограммы, реги-
стрируемые в тонкой среде, обладают свойствами, подобными свой-
ствам плоских дифракционных решеток, и называются плоскими
ФИГ. 1.8.
Фотография увеличенного участка голо-
граммы.
голограммами. При использовании более толстой среды голограм-
ма начинает приобретать свойства объемной дифракционной ре-
шетки. Голограмма, у которой преобладают трехмерные свойства,
называется объемной.
§ 6. Восстановление волнового фронта
Серебряные линии на плоской голограмме и серебряные по-
верхности в объемных голограммах расположены очень близко
друг к другу и, следовательно, могут сильно дифрагировать свет.
Когда голограмма освещается исходным опорным пучком, то
часть дифрагировавшего на ней света вновь воссоздает волновой
§ 6.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
29
фронт, который при регистрации голограммы шел от объекта.
Восстановленная волна исходит из голограммы точно так же,
как первоначальная предметная волна. Наблюдатель, видящий
1 /
Мнимое
изображение
пучон
ФИГ. 1.9. Образование мнимого изображения пред-
мета при освещении голограммы исход-
ным опорным пучком.
волну, идентичную исходной предметной волне, совершенно есте-
ственно воспринимает ее как бы исходящей от мнимого изображе-
ния предмета, расположенного точно там, где ранее находился
предмет (фиг. 1.9). С другой стороны, если обратить опорный пу-
чок так, что все лучи обращенного пучка будут направлены про-
тивоположно лучам первоначального опорного пучка, то такой
ФИГ. 1.10.
Образование действительного изображе-
ния предмета при освещении голограммы
пучком, сопряженным исходному опор-
ному пучку.
сопряженный пучок, освещающий обратную сторону голограммы,
создаст действительное изображение предмета в месте первоначаль-
ного расположения предмета (фиг. 1.10). Поскольку свет схо-
30
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
дится к изображению, действительное изображение может быть
непосредственно зарегистрировано фотопластинкой или фото-
приемником без применения линз. Следовательно, голограмма —
это зарегистрированная картина интерференции определенной
предметной и определенной опорной волн. На этой картине проис-
ходит дифракция света; она действует и как регистрирующая и как
проекционная система, которая при освещении опорной вол-
ной дает изображение исходного предмета без помощи добавоч-
ных линз.
Нетрудно видеть, как происходит восстановление волнового
фронта в случае элементарной голограммы, образованной пересе-
чением двух плоских волн. Прежде чем рассмотреть эту проблему,
мы можем качественно установить ее связь с практическим слу-
чаем, когда предметный пучок несет информацию и имеет слож-
ную структуру. Для этого рассмотрим произвольный объект, осве-
щенный лазером. Произвольную волну, прошедшую через объект,
можно, воспользовавшись анализом Фурье, разложить на сумму
плоских волн. Каждая из них будет интерферировать с плоской
опорной волной, образуя налагающиеся голограммы простого
типа, которые мы будем рассматривать. Каждая такая голограмм-
ная компонента действует на падающий свет так же, как и эле-
ментарная голограмма, образованная плоскими волнами.
Выше (фиг. 1.4) мы уже приводили интерференционную карти-
ну для двух плоских волн. Та же картина изображена на фиг. 1.11,
где добавлены только горизонтальные границы регистрирующей
среды, имеющей толщину Т. Если предположить, что интерферен-
ционная картина зарегистрирована в фотографической эмульсии,
то частота вертикальной штриховки теперь соответствует оптиче-
ской плотности фотослоя. (Связь оптической плотности с интен-
сивностью интерференционной картины определяется кривой
почернения, которая является характеристикой конкретной
эмульсии и метода ее обработки.) Если рассматривать области
максимальной плотности, как было сделано при обсуждении
фиг. 1.4, то мы снова обнаружим ряд периодически располо-
женных плоскостей — на этот раз ряд серебряных рассеивающих
плоскостей. Их пространственное расположение определяется
выражением (1.10), 2d sin 0 = %, где 0 — угол между нормалью
к волновому фронту каждой из плоских волн и плоскостями мак-
симальной плотности среды.
Сравнение фиг. 1.11 с фиг. 1.6 показывает, что голограмма
представляет собой объемную дифракционную решетку. Пусть
плоская волна (длина волны %) падает на эту решетку. Чтобы
дифракция была заметной, угол скольжения 0, который нормаль
к волновому фронту падающей волны составляет с плоскостями
решетки, должен подчиняться закону Брэгга, 2d sin 0 = %. Выра-
жения (1.10) и (1.12) совпадают, откуда следует, что при освеще-
§ 6.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
31
нии голограммы любой из образовавших ее плоских волн и любой
из сопряженных им волн, т. е. плоских волн, распространяю-
щихся в направлении, противоположном направлению исходной
волны, мы получим максимальную интенсивность дифрагирован-
ного света.
Из фиг. 1.11 видно, что, когда волна 1 освещает элементарную
голограмму под углом Брэгга 0, она дифрагирует (отражается)
в соответствии с законом Брэгга в направлении волны 2. Соответ-
ственно этому волну 1 можно рассматривать как волну, восстанав-
ливающую волну 2 с помощью голограммы. То же самое получает-
ся при освещении волной 2. Освещение голограммы волной,
сопряженной волне 1, восстанавливает волну, сопряженную вол-
не 2, и наоборот.
32
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
§ 7. Геометрия образования плоских
и объемных голограмм
Чтобы показать, как геометрия получения голограммы влияет
на ее дифракционные свойства, рассмотрим интерференцию сфери-
ческой волны, исходящей из точечного источника S, находящегося
ФИГ. 1.12. Поперечное сечение семейства пучно-
стей стоячих волн, образованных при
интерференции плоской волны и сфери-
ческой волны, исходящей из точки S.
Изображены характерные положения пла-
стинки, соответствующие разным схемам по-
лучения голограмм.
на определенном расстоянии от регистрирующей среды, и опор-
ной плоской волны, распространяющейся сверху вниз, как пока-
зано на фиг. 1.12. Точечный источник представляет собой эле-
ментарный объект, а сферическая волна, исходящая из него,—
предметную волну. [Как будет показано в дальнейшем, более
сложный объект можно рассматривать как совокупность элемен-
тарных точечных источников. Светлот каждого из них интерфери-
рует с опорной волной, а взаимной (перекрестной) интерферен-
§ 7. ГЕОМЕТРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГОЛОГРАММ 33
цией сейчас можно пренебречь.] На фиг. 1.12 представлено одно
из поперечных сечений семейства поверхностей максимальной
интенсивности, образующихся при интерференции плоской опор-
ной волны и предметной волны от точечного источника. В этом
поперечном сечении, которое содержит точечный источник и нор-
маль к плоской волне, следами поверхностей являются параболы.
Если выделить любую малую часть сферической предметной вол-
ны, интерферирующей с плоской опорной волной, то результи-
рующая интерференционная картина будет подобна изображенной
на фиг. 1.4. Направление луча от источника S и нормали к плос-
кой волне, а также расстояние между соседними плоско-
стями максимальной интенсивности удовлетворяют выражению
(1.10).
Некоторые характерные положения пластинки при регистра-
ции голограммы обозначены на фиг. 1.12 цифрами 1—4. Габор
(1948) [1.1], не имевший в своем распоряжении лазера и вынуж-
денный максимально использовать свет от источников с низкой
когерентностью, при получении своих голограмм помещал пла-
стинку в положение 1. Здесь среднее направление света от точки
5 и направление опорной волны коллинеарны, поэтому получен-
ные таким образом голограммы были названы голограммами
с осевым опорным пучком, или осевыми голограммами. Точечный
рассеиватель, помещенный в плоскую волну в точке S, создает
сферическую волну, а оставшийся нерассеянным свет служит
плоской опорной волной. Для интерферирующих волн, получен-
ных этим способом, разность хода предметной и опорной волн
минимальна в положении голограммы 1, что позволяет использо-
вать источники с низкой когерентностью. Относительно большое
расстояние между соседними поверхностями максимумов сни-
жает требования к разрешающей способности регистрирующей
среды.
Лейт и Упатниекс (1962) [1.4—1.6] получили внеосевые голо-
граммы с таким взаимным расположением пучков, которое экви-
валентно помещению голографической пластинки в положение 2.
Благодаря использованию лазерного света в их установке раз-
ность хода для света, распространяющегося от источника к голо-
грамме в предметном и опорном пучках, могла иметь большую
величину. Внеосевое расположение позволяет преодолеть труд-
ности, возникающие при получении габоровских осевых голо-
грамм, а большая когерентность лазерного света позволяет вос-
станавливать трехмерные изображения. Именно этот последний
результат работы Лейта и Упатниекса в наибольшей степени
привлек внимание к голографии и способствовал ее возрож-
дению.
В положении 2 среднее направление света от точечного источ-
ника образует острый угол с направлением опорной волны. Если
3—0990
34
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
толщина регистрирующей среды мала по сравнению с расстоянием
между поверхностями максимумов, то голограмма, полученная
в этом положении, действует как двумерная дифракционная
решетка. Падающий луч в этом случае может взаимодействовать
только с одной поверхностью при прохождении через среду. Сле-
довательно, голограмма по существу представляет собой систему
линий на поверхности. То же самое справедливо, конечно, для
габоровских осевых голограмм.
Для голограмм, получаемых в положении 3, угол между сред-
ним направлением света от точечного источника и направлением
плоской волны составляет приблизительно 90° и расстояние между
соседними поверхностями интерференционных максимумов (пуч-
ностей) в соответствии с (1.10) имеет меньшую величину. Если
толщина голограммы Т больше этого расстояния, то регистри-
рующую пластинку можно рассматривать как объемную дифрак-
ционную решетку. Ван Хирден (1963) [1.8] описал дифракционные-
свойства объемных голограмм и трактовал голограмму как ряды
частично отражающих плоскостей, селективный отклик которых
на падающий свет соответствует закону Брэгга. Голограммы,
зарегистрированные в положении 3, получили название брэг-
говских. Пеннингтон и Лин (1965) [1.9] использовали селектив-
ные свойства брэгговской дифракции, чтобы преодолеть трудно-
сти, связанные с переналожением цветов в двумерных голограм-
мах, и получить первые голограммы, дающие многоцветное изо-
бражение.
В положении 4 плоская волна падает на голографическую
пластинку с одной стороны, а сферический волновой фронт —
с другой. В этом случае расстояние между интерференционными
поверхностями составляет примерно М2, и эти поверхности близ-
ки к плоскостям, параллельным поверхности голографической
пластинки. Денисюк (1962) .[1.10, 1.11] впервые описал получение
голограмм в этом положении. При регистрации интерференцион-
ной картины в галоидосеребряной эмульсии образуется боль-
шое число близко расположенных частично отражающих серебря-
ных плоскостей, которые действуют как отражательный интерфе-
ренционный фильтр. Даже в эмульсии толщиной лишь 12—15 мкм
может образоваться около 50—100 серебряных слоев. Поскольку
эти слои подобны слоям, образующимся в методе цветной фото-
графии Липпмана и поскольку дифракция света на них происхо-
дит в соответствии с законом Брэгга, такие объемные голограммы
называют голограммами Липпмана — Брэгга — Денисюка. Их
также называют отражательными, поскольку освещающая
волна во время процесса восстановления волнового фронта ка-
жется отраженной в направлении предметной волны. Строук
и Лабейри (1966) [1.12] показали, что такая голограмма действует
как интерференционный фильтр, селективность которого доста-
§ 8.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
35
точна для восстановления предметной волны в белом свете 1).
По указанным причинам такие голограммы получили также
название голограмм, восстанавливаемых в белом свете.
Голограммы характеризуются не только углом, который со-
ставляют предметный и опорный пучки при их регистрации.
В последующих главах будут проанализированы свойства линзо-
вых и безлинзовых голограмм Фурье, фраунгоферовских голо-
грамм, голограмм сфокусированных изображений и других раз-
новидностей голограмм.
§ 8. Основные уравнения голографии
Основные понятия голографии, введенные в предыдущих па-
раграфах путем рассмотрения волновых фронтов и конфигураций
пучка, можно сформулировать в более общей форме. Обратимся
ФИГ. 1.13. Общая схема получения голограммы.
к фиг. 1.13, где предметы 1 и 2 в общем случае могут отражать
свет диффузно. Оба предмета освещаются когерентным светом
от одного и того же источника. Отраженные лучи интерферируют
в области, где помещена светочувствительная пластинка. Как
при получении голограммы, так и при восстановлении волнового
фронта нас будут интересовать только комплексные амплитуды
света непосредственно вблизи светочувствительной пластинки.
Комплексную амплитуду света, попадающего на пластинку от.
предмета 1, можно записать в виде at = exp (i<Pi), где аг и
Экспериментальное доказательство этого и даже измерение спект-
ральной селективности голограмм содержится еще в первых работах
Ю. Н. Денисюка.— Прим. ред.
3*
36
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
являются функциями пространственных координат пластинки.
Аналогично этому комплексная амплитуда света, достигающего
пластинки от предмета 2, записывается как а2 = а2 ехр (йр2).
Обозначим через а* и а* величины, комплексно-сопряженные
амплитудам а! и а2.
Будем считать, что экспозиция светочувствительной пластинки
при регистрации интерференционной картины, образованной вол-
нами а4 и а2, выбрана правильно, пластинка должным образом
проявлена, а голограмма относится к абсорбционному (амплитуд-
ному) типу. В этом случае, как будет показано в гл. 2, § 6, п. 2,
пропускание t полученной голограммы (отношение амплитуды
света, пропущенного голограммой, к амплитуде света, падающего
на нее) содержит член пропорциональный экспозиции Е =
= 1рХе и, следовательно, пропорциональный интенсивности I.
(Интересующие нас здесь основные положения голографии проще
всего получить, ограничившись рассмотрением плоских ампли-
тудных голограмм. Фазовым и объемным голограммам посвящены
гл. 7—9.) Умножая сумму амплитуд at и а2 на величину, ком-
плексно-сопряженную, так же, как в выражениях (1.7) и (1-8),
мы можем написать для интенсивности
1= (ai + аг) (ai + a2)*> (1-13)
Предположим, что между /и Е и, следовательно, между t и I суще-
ствует линейная зависимость следующего вида:
Амплитуда прошедшего света f (1 14)
Амплитуда падающего света око > \ • )
Где to— пропускание неэкспонированной пластинки. Экспери-
ментальные кривые зависимости t от Е, приведенные на фиг. 10.7
и 10.8, показывают, что это предположение достаточно хорошо
выполняется в некотором интервале экспозиций. Более точное
приближение, содержащее нелинейные члены, приведено в гл. 12
{формула (12.1)]. Постоянная часть пропускания t0 и константа
к здесь не представляют интереса; свет дифрагирует на вариациях
пропускания, т. е. на той его части, которая пропорциональна
изменяющейся в пространстве функции I. Раскрывая выражение
(1.13), получаем
I = а^а* -|- а2а2 -|- ata2 -|- а*а2 = Ii -|- Z2-|- aia2 Ч- а*а2, (1.15)
где Zt и 1г— интенсивности отдельных волн.
Предположим, что мы хотим, освещая голограмму волной от
предмета 1 (фиг. 1.14), восстановить волновой фронт, который ра-
нее приходил к пластинке от предмета 2. Комплексная амплитуда
света, прошедшего через голограмму, равна произведению ампли-
туды падающего света а4 на пропускание голограммы t. В этом
произведении основную роль играют комплексные амплитуды
§ 8.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
37
волн, дифрагированных на вариациях пропускания tE, завися-
щих от экспозиции
w ~ (71 -|-12) + а^аг -Ь 7iaz- (1.16)
В последнем выражении знак равенства заменен символом пропор-
циональности, поскольку мы опустили константу к в выражении
(1.14). Каждый из членов в формуле (1.16) — комплексная ампли-
туда одной из волн, выходящих из голограммы. Наибольший
ФИГ. 1.14. Восстановление волнового фронта от
объекта 2 на фиг. 1.13 при освещении
голограммы волновым фронтом объекта 1.
При такой схеме наблюдатель видит мнимое
изображение объекта 2.
интерес представляет последний член. При постоянном значении
71 он описывает дифрагированную волну, амплитуда которой
пропорциональна амплитуде волны, падавшей на голограмму от
предмета 2 во время регистрации голограммы. Наблюдатель, вос-
принимающий восстановленную расходящуюся волну, увидит
мнимое изображение предмета 2, конечно, при том условии, что
другие дифрагированные волны, описываемые другими членами
формулы (1.16), не налагаются на нее.
В первых работах по голографии основная проблема как раз
и состояла в том, чтобы избежать наложения других дифраги-
рованных волн, описываемых остальными членами формулы
(1.16). Возможности первых исследователей были ограничены
плохой когерентностью источников света, поэтому тогда было
трудно или даже невозможно использовать решения, которые
позднее стали осуществимыми благодаря появлению лазера. На-
пример, боковое смещение двух источников интерферирующих волн
38
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
(предметы 1 и 2 на фиг. 1.13) и использование рассеивателей света
были введены в практику только в начале 60-х годов, в период воз-
рождения голографии.
Если предметы 1 и 2 отражают свет диффузно, мы можем счи-
тать освещенности, создаваемые на голограмме несфокусирован-
ным отраженным от них светом, макроскопически постоянными.
Иначе говоря, пространственные изменения Zj и 1г в плоскости
голограммы происходят настолько быстро, что их невозможно
разрешить глазом. Тогда Ц и 12 можно считать константами,
и первый и последний члены в правой части формулы (1.16) пред-
ставляют восстановленные волны, идущие от предметов 1 и 2.
Поскольку предметы 1 и 2 не перекрываются, их мнимые изобра-
жения также не перекроются. Второй член в правой части выра-
жения (1.16) представляет диффузную волну, которая не форми-
рует изображения. Этот член, однако, может давать однородный
фон в изображениях, образованных другими волнами, умень-
шая их контраст.
Предмет 1 на фиг. 1.14 можно рассматривать как опорный ис-
точник и at — как комплексную амплитуду опорной волны. Вме-
сто того чтобы использовать диффузную опорную волну, проще
применять плоскую или сферическую волны. Это можно осуще-
ствить, заменив объект 1 на фиг. 1.13 и 1.14 плоским зеркалом.
Интенсивность 1^ света, отраженного зеркалом к голограмме,
практически постоянна по всей плоскости голограммы, так что
в результате вновь восстанавливается волна от предмета 2. Для
практики это важно потому, что, отражая лазерный свет от любого
плоского зеркала, можно получить освещающий пучок, который
дублирует опорный. Таким образом, для восстановления может
быть всегда использован исходный предмет 1. В гл. 8 (см. также
гл. 2, § 6) мы, следуя Лейту и Упатниексу [1.4—1.6], покажем,
что, когда угол между направлением немодулированного опор-
ного пучка и средним направлением света от предмета достаточно
велик, можно получить неискаженное мнимое изображение пред-
мета 2. Первые исследователи, которые помещали и источник
немодулированной опорной волны и объект на одну и ту же нор-
маль к (осевой) голограмме и использовали нерассеивающие объек-
ты, установили, что второй член в правой части уравнения (1.16)
создает действительное изображение предмета. Наблюдение как
мнимого, так и действительного изображения было затруднено
из-за наложения несфокусированного света, идущего от другого
изображения. Во внеосевом методе Лейта и Упатниекса (методе
с наклонным опорным пучком) эти помехи исключались, что спо-
собствовало развитию голографии.
Действительное изображение предмета 2 в общем случае легче
всего получить, освещая голограмму волной, сопряженной опор-
ной волне. Мы называем одну волну сопряженной другой, когда
§ 9.
ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
39
в любой плоскости их амплитуды являются комплексно-сопряжен-
ными и когда они распространяются антипараллельно друг другу.
Волну, сопряженную опорной, просто получить в случае плоской
опорной волны. Тогда сопряженной волной будет плоская же
волна, направленная антипараллельно первоначальной. Из выра-
жения (1.15) в этом случае получаем, что в плоскости голограммы
справедливо следующее соотношение:
w,~a?Z = aT(Z1 + Z2)4-Z1a! + a?aIa2. (1.17)
Второй член правой части пропорционален комплексной амплиту-
де волны, сопряженной первоначальной волне, которая расхо-
дится от предмета 2. В рассматриваемом случае она представ-
ляет собой сходящуюся волну (все лучи направлены противопо-
ложно соответствующим лучам в первоначальной волне). Волна
сходится к действительному изображению предмета 2, но вслед-
ствие ее сопряженности изображение является псевдоскопическим,
т. е. имеет перевернутую глубину и необычный параллакс (см.
тл. 8, § 1). Наличие или отсутствие перекрытия дифрагированных
волн зависит от выбора угла между средними направлениями
предметного и опорного пучков.
§ 9. Частичная когерентность
До сих пор мы обсуждали свойства световых волн и голограмм,
считая свет абсолютно когерентным. Мы предполагали существо-
вание точечного источника, испускающего бесконечно длинный
монохроматический волновой цуг сферических или плоских волн.
При этих условиях разность фаз для двух фиксированных точек
вдоль направления луча не зависит от времени, или, что то же
самое, разность фаз, измеренная в одной точке пространства
в начале и в конце фиксированного интервала времени Ai, не
изменяется со временем. Мы сформулировали критерий абсолют-
ной временной, или продольной, когерентности. Аналогично раз-
ность фаз для двух фиксированных точек в плоскости, перпенди-
кулярной направлению луча, не зависит от времени. Последнее
условие представляет собой критерий абсолютной пространст-
венной, или поперечной, когерентности.
Реальные источники света характеризуются ограниченной
степенью когерентности. Несмотря на это, результаты, которые
мы получили в предыдущих параграфах, используя идеализиро-
ванное представление об абсолютной когерентности, остаются
все же применимыми, хотя и с некоторыми ограничениями. Прак-
тически эти ограничения означают, что мы должны пересмотреть
процесс усреднения по времени, которое мы производили при
расчете интенсивности интерференционной картины. Особый ин-
40
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
терес представляет интерференционный член [см. выражение
(1.9)]. Влияние частичной когерентности в основном проявляется
в том, что глубина модуляции интенсивности в интерференцион-
ной картине уменьшается [коэффициент при члене с косинусом
в выражении (1.9) становится меньше], вследствие чего минималь-
ное значение интенсивности уже не равно нулю. В результате
дифракционная эффективность голограммы снижается по срав-
нению с эффективностью голограммы, полученной с помощью
абсолютно когерентного света (см. гл. 7).
1. Длина когерентности и временная когерентность
При оценке временной когерентности весьма полезно пользо-
ваться понятием длины когерентности источника. Предположим,
что источник излучает монохроматический волновой цуг опреде-
ленной длины I и что мгновенные значения амплитуды можно одно-
временно измерить в двух точках zt и z2, расположенных на одной
нормали к волновому фронту. Если разность Az = z2 — zt не-
много меньше чем I, то в течение короткого периода распростра-
няющийся монохроматический волновой цуг может существо-
вать в обеих точках Zj и z2 и в течение этого короткого периода
может казаться, что источник обладает временной когерентно-
стью. Когда волновой цуг смещается так, что бн больше не укла-
дывается в интервал Az, признаки временной когерентности исче-
зают. Интервал Az = I, для которого сохраняется некоторая сте-
пень постоянства разности фаз во времени, есть мера длины коге-
рентности волнового источника. (Более строгое определение
длины когерентности дается в гл. 7.) Длину когерентности I
можно выразить через произведение I = с At, где At — время,
в течение которого источник излучает непрерывный цуг, и с— ско-
рость света. В голографии, как мы увидим, длина когерентности
накладывает ограничение на допустимую разность в длине пути
опорного и предметного пучков. Это фактически ограничивает
глубину предмета.
Длину когерентности можно выразить через другие величины,
разложив одночастотный волновой цуг продолжительностью At
на фурье-компоненты. Комплексную напряженность электриче-
ского поля v импульса продолжительностью At и частотой /о,
можно представить в виде
_ ( а0 ехр (2ш/оО Для — -у- < t < 4^-,
( 0 вне этого интервала;
здесь а0— константа и t — время. (Мы произвольно выбрали
фазу <р равной 0.) Спектр интенсивности света пропорционален
§ 9.
ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
41
квадрату фурье-образа функции v, который можно записать в виде-
At/2
I V (/) I2 = ( «о exp (2ш'/оО exp (— 2nift) dt J =
— At/2
d-i8>
Первые нули известной функции [(sin х)/х]2 (фиг. 1.15) отвечают
значению / — /о = ± 1/Ai. Полуширину центрального максиму-
ма этой функции можно принять за ширину полосы частот А/.
ФИГ. 1.15. Спектр интенсивности одночастотного
импульса продолжительностью At.
Ширина полосы А/ = l/At.
Тогда А/ = 1/Ai. Подставляя Ai = Цс в выражение для ширины
полосы А/, получаем полезное соотношение между длиной коге-
рентности и шириной полосы
1 = -£р (1-19)
Поскольку монохроматические компоненты Фурье соответствуют
бесконечно длинным волновым цугам, понятие ограниченной
когерентности, определяемое в этом приближении, связано с нали-
чием волн многих различных частот, падающих согласованно
и несогласованно друг с другом. Такой подход применяется, когда
точки наблюдения zt и z2 находятся на большом расстоянии, так
42
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
что между Zj и z2 может накапливаться значительный фазовый
сдвиг.
Понятие одночастотных импульсов является до некоторой
степени более реалистическим, чем понятие бесконечно длинных
волновых цугов. Тепловые источники света состоят из атомных
осцилляторов, излучающих в случайные моменты времени серии
конечных волновых цугов случайной длины. Их частоты ме-
няются при тепловом движении и под действием локальных полей.
Наблюдатель
ФИГ. 1.16.
Схема, поясняющая применение интер-
ферометра Майкельсона для амплитуд-
ного деления пучка и сравнения фазы
волны в двух точках наблюдения, рас-
положенных на расстоянии 2Az.
Однако если спектр испускания может быть описан колоколо-
образной кривой с полушириной А/, то отношение I « с/А/ можно
считать практическим определением длины когерентности тепло-
вого источника. Из этого определения ясно, что только те тепловые
источники, которые излучают в очень узкой полосе частот А/,
могут иметь желательную для голографии большую длину коге-
рентности. (Когерентность лазерных источников обсуждается
в гл. 7 и 11.)
•§ 9 ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 43
Временную когерентность можно связать с контрастом полос
интерференционной картины. Методы амплитудного деления пуч-
ка (например, с помощью интерферометра Майкельсона) позво-
ляют сравнивать фазы плоской волны в различных точках вдоль
направления распространения (фиг. 1.16). Если наклонить одно
из зеркал, то сравнение облегчается, поскольку в этом случае
плоские волны, выделенные из пучка, пересекаются, как на
•фиг. 1.4, и образуют систему линейных интерференционных по-
лос, интенсивность которых в плоскости наблюдения дается
выражением (1.15):
I = li + 12 + *4*12 “Ь а*а2.
Более общее выражение для интенсивности, справедливое и для
частично когерентного света, можно получить, заменяя комплекс-
ные амплитуды at и а2 комплексными напряженностями электри-
ческих полей Vi и v2 и добавляя скобки, означающие усреднение
по времени [как в формуле (1.1)]. В результате имеем
Z = Zi-|-Z2-|- (vivl -Ь V*v2) — /i-|-/2_l_2 Re [(viV2)]- (1.20)
Следует отметить, что операция усреднения по времени дает раз-
ные результаты в случае частичной и в случае абсолютной коге-
рентности. Это проявляется в видности V полос, которую Майкель-
<сон определил следующим образом:
у -^макс -^иин 21)
•^макс + ^мин
При Zj = 12 видность V имеет максимальное значение, равное
единице, что соответствует абсолютной когерентности [см. выра-
жение (1.9)]. Поскольку интерференционные полосы представ-
ляют собой сечение распределения интенсивности стоячих
волн, отношение интенсивностей в стоячей волне также рав-
но V.
Прежде чем переходить к дальнейшему рассмотрению частич-
ной когерентности, покажем с помощью выражения (1.20), что
две монохроматические волны, различающиеся по частоте, взаим-
но некогерентны. Когда эти волны пересекаются, они не создают
картины стоячих волн, поскольку интерференционный член
2Re [(viv2*)] обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, поло-
жим, что комплексная амплитуда каждой волны равна единице
и что комплексные напряженности электрического поля имеют
вид
Vi = exp и v2 = exp (2ni/2i).
44
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
Тогда
т
Re [<ViV2>] = Re j exp {2ni (/i — /2) t} dt^ =
— T
sin 2n (fa — /2) T
~ 2n (/i —/2) T
При T l/(/i — /2) эта величина стремится к нулю. Таким обра-
зом, мы не можем ожидать, что, например, зеленый лазерный
свет будет интерферировать с голубым.
Аналогично этому не могут интерферировать и две волны
одной и той же частоты, если разность фаз <р хаотически изме-
няется в течение времени наблюдения Т. В этом случае
произведение vjv* становится равным exp (2n,tfit + i <р) X
X (exp (— 2n,ifit) = exp (iq>). Если для коротких случайных пе-
риодов в течение времени наблюдения Т фаза <р принимает все
возможные значения между 0 и 2л, то средняя величина фазового
множителя exp (i<p) равна нулю (статистика случайных процессов
рассматривается в гл. 12, § 3, п. 3). Так, например, световые волны
от двух не согласованных по фазе гелий-неоновых лазеров не ин-
терферируют.
2. Комплексная степень когерентности
Общие положения теории частичной когерентности подробно
изложены в гл. 10 книги Борна и Вольфа [1.13]. В гл. 7 настоя-
щей книги, где проводится количественное рассмотрение коге-
рентных свойств лазерных и тепловых источников света, нам
потребуются некоторые результаты, содержащиеся в книге Борна
и Вольфа. Мы приведем их здесь без доказательств. Эти результаты
используются главным образом в гл. 7 и 11, где рассматриваются
лазеры непрерывного излучения и импульсные лазерные источ-
ники.
Предположим, что световые волны выходят из отверстий Pi
и Р2 в непрозрачном экране и интерферируют на экране £
(фиг. 1.17). Отверстия освещаются протяженным частично коге-
рентным источником. Интенсивность в любой точке Q на экране £
описывается выражением (1.20), где Vj и v2— комплексные на-
пряженности электрического поля волн, идущих от Pi и Р2 и дости-
гающих точки Q. Как показано в книге Борна и Вольфа [1.13],
усредненное по времени значение интерференционного члена
(V1V2 + V*v2) = 2 Re [(viv§>]
можно выразить через комплексную степень когерентности
Y12 (т), которая устанавливает связь между электрическими
полями в точках Pi и Р2 и усредненным по времени интерферен-
§ 9.
ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
45
ционным членом в точке Q. Так как последняя величина выра-
жается через видность интерференционных полос, то Y12 (т) можно
связать с измеряемой величиной. Покажем, что это действительно
так.
Пусть vp/i) и Vp2(i) — комплексные напряженности элек-
трического поля в точках Pt и Р2, а 2 (vp/^vp/i)) и
ФИГ. 1.17.
Схема опыта Юнга при использовании
протяженного источника.
2 (vp2(i)vp2(i)) — соответствующие интенсивности света. Тогда,
согласно Борну и Вольфу, комплексная степень когерентности
•^12 (т) определяется как нормированная корреляция между
тР1 (i) и vp2 (i):
<vp1(i+T) v>2(0>
12 [<vP1 (0 у Pi (0> <VP2 (О VP2 (*)>]1/2
т™ S vP1(t+T)v*2(t)dt
=--------------f---------------------------т--------------------- . (1.22)
[ ( J v₽i(i) v₽i ® dt) (j™ 4f J (i) (i) dt) ]1/2
Связь между Y12 и 2Re [(viv*)] устанавливается формулой
2 Re [<v1V!>] = 2 (Д/2)1/2 Re [Y12 (т)] =
= 2 (Л/2)1/21Y12 (t) I cos p12 (t), (1.23)
тдо Ц и I2— интенсивности света, приходящего в точку Q из Pj
м Р2 соответственно; т — разность во времени прохождения света
46
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
в точку Q из точек Pj и Р2; Pi2— фаза величины у12 (т). Величина
Y12 (г) есть мера взаимной когерентности света в точках Pj и Р2
и заключает в себе как предельные случаи и временную и про-
странственную когерентность. Мы можем теперь подставить (1.23)
в (1.20) и определить максимальное и минимальное значения ин-
тенсивности I'.
/макс = 11 + /гЧ- 2 (ZjZ2) | У121, когда cos|J12=l
и
/мин = /1 + h — 2 (Z1Z2)1/21Y121, когда cos 012 = — 1.
Подставляя эти величины в выражение (1.21) для видности, полу-
чаем
TZ . I У12 [_____I У12 I___ /Л О/V
2(Л + Л) _ (Л/Л)1/2-4- (Л//1)1/2’ k У
Когда интерферирующие волны имеют равную интенсивность,
абсолютная величина степени когерентности равна наблюдаемой;
видности (контрасту) интерференционной картины.
3. Пространственная когерентность
При т-> 0 видность полос, полученных в установке с двумя
отверстиями (фиг. 1.17), по существу является мерой простран-
ственной когерентности (взаимной когерентности в точках
и Р2). Если протяженный источник F состоит из ряда некоррели-
рованных пространственно разделенных осцилляторов, то каж-
дый осциллятор, освещающий оба отверстия, создает свою интер-
ференционную картину на экране S. Какое значение интенсивности
данной интерференционной картины — максимальное, минималь-
ное или промежуточное — будет наблюдаться в точке Q, зависит
от соотношения между фазами света, приходящего в точки Pi
и Р2 от данного осциллятора. Соотношение между фазами в свою
очередь зависит от расположения осциллятора внутри источника
и от угла, под которым виден от источника отрезок PiP2. Может
оказаться, что некоторые осцилляторы дадут на экране S интер-
ференционные полосы, максимумы которых будут совпадать
с минимумами полос, образованных другими осцилляторами.
Тогда результирующая интенсивность однородна и контраст ра-
вен нулю. Отсюда следует, что протяженная совокупность некор-
релированных осцилляторов малопригодна в качестве источника
для интерферометрии и голографии — методах, связанных с ре-
гистрацией интерференционных полос.
Согласно теореме Ван-Циттерта — Цернике (см. [1.13]), сте-
пень пространственной когерентности связана с поперечным раз-
§ 9.
ЧАСТИЧНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
47
мерой источника посредством преобразования Фурье. (В оптике
обычно имеют дело с преобразованиями Фурье, которые связы-
вают распределение сигнала по пространственным координатам
с распределением его по пространственным частотам или угловым
направлениям. Преобразования Фурье обсуждаются в гл. 4.)
Мы здесь ограничимся формулировкой этой теоремы. Для протя-
женного источника, содержащего взаимно некогерентные осцил-
ляторы, излучающие в узкой спектральной полосе шириной Av,
ФИГ. 1.18.
Степень пространственной когерентно-
сти ||xs| как функция радиуса источника
и угла, под которым из источника виден
отрезок прямой, соединяющей две рас-
сматриваемые точки.
теорему Ван-Циттерта — Цернике можно сформулировать сле-
дующим образом: когда малый источник освещает две близко рас-
положенные точки, лежащие в плоскости, находящейся на большом
расстоянии от источника, степень когерентности комплексных
электрических полей в этих двух точках дается величиной нормиро-
ванного фуръе-образа распределения интенсивности источника.
Для однородного по яркости кругового источника радиусом гй
степень пространственной когерентности | jns I представлена на
фиг. 1.18, где параметрами являются 0 — угол, под которым от
источника виден отрезок, соединяющий обе точки, и г0— радиус
48
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ГЛ. 1.
источника. Мы видим, что в области центрального максимума
степень пространственной когерентности тем больше, чем меньше
источник и чем он дальше находится (т. е. чем меньше угол 0).
ЛИТЕРАТУРА
1.1. GABOR D., Nature, 161, 777
(1948).
Новый принцип микроскопии.
1.2. GABOR D., Proc. Roy. Soc.,
A 197, 454 (1949).
Микроскопия на основе метода
восстановления волнового
фронта.
1.3. GABOR D., Proc. Phys. Soc.,
В 64, 449 (1951).
Микроскопия на основе метода
восстановления волнового
фронта, II.
1.4. LEITH Е. N., UPATNIEKS J.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 52,
1123 (1962).
Восстановление волнового
фронта и теория связи.
1.5. LEITH Е. N., UPATNIEKS J.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 53,
1377 (1963).
Восстановление волнового
фронта в случае непрерывных
тоновых объектов.
1.6. LEITH Е. N., UPATNIEKS J.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 54,
1295 (1964).
Восстановление волнового
фронта от объемных предметов
при диффузном освещении.
4.7. BRAGG W. L., Proc. Camb.
Phil. Soc., 17, 43 (1912).
Дифракция коротких электро-
магнитных волн на кристалле.
1.8. VAN HEERDEN Р. J., Appl.
Opt., 2, 393 (1963).
Теория хранения информации
в твердых телах.
1.9. PENNINGTON К. S.,LINL.H.,
Appl. Phys. Lett., 7, 56 (1965).
Восстановление многоцветного
волнового фронта.
1.10. ДЕНИСЮК Ю. Н., ДАН СССР,
144, 1275 (1962).
Об отображении оптических
свойств объекта в волновом
поле рассеянного им излуче-
ния.
1.11. ДЕНИСЮК Ю. Н., Оптика
и спектроскопия, 15, 522 (1963).
Об отображении оптических
свойств объекта в волновом
поле рассеянного им излуче-
ния.
1.12. STROKE G. W„ LABEYRIE
А. Е., Phys. Lett., 20, 368
(1966).
Восстановление голографиче-
ских изображений в белом све-
те при использовании дифрак-
ционного эффекта Липпма-
на — Брэгга.
1.13. BORN М., WOLF Е., Princip-
les of Optics, Oxford, 1964.
(Имеется перевод: М. БОРН,
Э. ВОЛЬФ, Основы оптики,
М., 1970.)
Глава 2
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
Первоначальное назначение голографии заключалось в соз-
дании электронно-микроскопического метода получения изобра-
жений объектов атомных размеров. К 1947 г., когда была изобре-
тена голография, разрешающая способность электронно-оптиче-
ских систем микроскопов имела величину порядка 10 А, и было
ясно, что сферическая аберрация ограничивает предельное раз-
решение величиной около 5 А. Габор пришел к мысли, что абер-
рационное изображение, созданное объективом микроскопа, со-
храняет всю информацию об объекте, хотя и в закодированной
некоторым образом форме. Если бы удалось как-то декодировать
аберрационное изображение, то предел разрешения электронного
микроскопа можно было бы свести к 1 А, что позволило бы наблю-
дать атомную структуру.
Габор решил вообще избавиться от объектива электронного
микроскопа и производить операцию декодирования фотографи-
ческой записи несфокусированных электронных волн, дифрагиро-
вавших на объекте. Запись электронного волнового поля, или
голограмма, декодируется при освещении ее когерентным види-
мым светом, причем часть освещающей волны дифрагирует на
голограмме. Волны, возникающие при процессе вторичной ди-
фракции, являются оптическим эквивалентом несфокусированных
электронных волн. Они создают увеличенное оптическое изобра-
жение исходного объекта. Чтобы добиться желаемого результата,
световой пучок, освещающий голограмму, должен быть точной
по масштабу имитацией электронного пучка. При этом масштаб
задается отношением длины волны видимого света и электронных
волн.
Если голограмма подвергается увеличению в соответствии
с этим масштабом, возникает свободное от искажений оптическое
изображение с увеличением, соответствующим отношению длин
волн.
Чтобы проверить правильность теории, Габор получил первую
голограмму в видимом свете, а не в электронных волнах. Хотя
этот сдвиг в оптический диапазон спектра оказался шагом в нуж-
ном направлении, все его значение могло быть оценено только
после того, как в распоряжении исследователей появились ла-
зерные источники света.
4—0990
50
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2-
§ 1. Рентгеновский микроскоп Брэгга
Идея создания подобного двухступенчатого безлинзового ме-
тода микроскопии, основанного на восстановлении волновых
фронтов, возникла в рентгеновской кристаллографии, где в тече-
ние ряда лет производились исследования расположения атомов
в кристаллах, несмотря на отсутствие объективов для рентгенов-
ских лучей. Еще в 1929 г. Лоуренс Брэгг смог получить оптиче-
ское изображение расположения атомов в кристалле диопсида
[2.1]. Метод Брэгга основывался на оптическом фурье-синтезе.
Как указывалось в гл. 1, § 6, любое пространственное распреде-
ление света, в частности оптическое изображение атомов в кри-
сталлической структуре, может быть разложено на фурье-ком-
поненты, т. е. на ряд синусоидальных составляющих (решеток).
Суперпозиция этих составляющих дает изображение. Брэгг созна-
вал, что полученные обычным способом данные о дифракции
рентгеновских лучей содержат сведения об амплитуде и ориента-
ции этих синусоидальных решеток. Идея его работы заключалась
в построении систем полос, соответствующих дифракционным
данным, и в совмещении их на фотопластинке, что привело к соз-
данию так называемого «рентгеновского микроскопа» [2.2, 2.3].
Габор в своей первой статье по голографии [2.4] указывает, что
этот рентгеновский микроскоп послужил отправной точкой при
разработке его идей. Краткое рассмотрение метода Брэгга откроет
основу, на которой Габор построил голографию. Брэгг смог до-
стичь успеха в построении различимого изображения атомной
структуры благодаря непосредственному применению принципа
суперпозиции систем синусоидальных полос. На экран проеци-
ровалось несфокусированное изображение фотоснимка системы
непрозрачных цилиндрических стержней (расположенных так,
что их оси были параллельны плоскости фотопластинки, а рас-
стояние между осями в два раза превышало диаметр). На экране
возникала приблизительно синусоидальная система полос. Сорок
таких систем полос, расстояние между которыми и ориентация
определялись рентгеноспектральными данными диопсида, после-
довательно проецировались на укрепленную на экране фотобу-
магу. После ее проявления на ней получалось изображение рас-
положения атомов в кристалле. Многократное экспонирование
приводило к падению контраста изображения, и Брэгг искал
метод, который позволял бы сразу же сформировать весь набор
требуемых систем полос в плоскости изображения. Он выбрал
схему Юнга, в которой система синусоидальных полос возникала
в результате интерференции света на двух отверстиях. Непро-
зрачная пластинка, в соответствующих местах которой были про-
сверлены отверстия, при освещении когерентным светом созда-
§ 1.
РЕНТГЕНОВСКИЙ МИКРОСКОП БРЭГГА
51
вала требуемую суперпозицию множества систем полос, что при-
вело к улучшению изображения.
Важным аспектом этой работы было то, что Брэгг сознавал
фундаментальную связь между своими опытами и теорией форми-
рования оптического изображения, разработанной Аббе. В 1873 г.
ФИГ. 2.1. Схема, иллюстрирующая образование
изображения по теории Аббе. (По Брэг-
гу [2.1].)
Аббе дал описание получения оптического изображения с помо-
щью объектива как процесса двойной дифракции. Его теорию
легче всего понять для того случая, когда изображаемый объект
представляет собой одномерную дифракционную решетку
(фиг. 2.1). На первой стадии этого процесса плоская волна осве-
щает решетку и линза формирует в задней фокальной плоскости
совокупность ярких фокальных точек St, соответствующих кар-
тине дифракции в дальнем поле (дифракции Фраунгофера) ре-
шетки. На второй стадии эти фокальные точки рассматриваются
4*
52
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2
как источники, создающие вторичную дифракционную картину
в плоскости изображения. Свет, расходящийся от фокальных
точек, образует суперпозицию систем полос Юнга, которая син-
тезирует изображение объекта в плоскости изображения. В ме-
тоде рентгеновской микроскопии, предложенном Брэггом, в ре-
зультате первой стадии — освещения кристалла пучком рентге-
новских лучей — также возникает набор точек. Если кристалл
ориентирован нужным образом в падающем пучке и дифрагирован-
ные рентгеновские лучи регистрируются в нужной области про-
странства, то можно считать, что рентгеновские лучи рассеиваются
проекцией атомов кристаллографической ячейки на плоскость.
В таком случае картина фраунгоферовской дифракции рентгенов-
ских лучей на элементарной ячейке представляет собой набор
фокальных точек, расположенных в одной плоскости. Связь
с теорией Аббе легко понять, если представить себе, что в непро-
зрачной пластинке проделаны отверстия так, чтобы они соответ-
ствовали фраунгоферовской картине дифракции рентгеновских
лучей. При освещении пластинки когерентным видимым светом
(вторая стадия) отверстия играют роль вторичных источников,
создающих вторую дифракционную картину, которая, согласно
Аббе, образует оптическое изображение.
Чтобы в действительности получить изображение, взаимное
расположение отверстий должно точно соответствовать положению
максимумов картины фраунгоферовской дифракции рентгеновских
лучей. Диаметры отверстий должны в определенном масштабе
соответствовать значениям амплитуды дифракционной картины.
(Эти значения можно получить, измеряя интенсивность пучка
рентгеновских лучей, но такие измерения не дают информации
о фазе.) Помещая пластинку с отверстиями вблизи объектива
и освещая ее когерентным светом, можно получить картину
фраунгоферовской дифракции в задней фокальной плоскости
объектива. Это не что иное, как картина вторичной дифракции
Аббе, полученная в оптическом диапазоне длин волн вместо
рентгеновского диапазона. При должном выборе объекта съемки
эта картина будет представлять собой хорошее увеличенное
изображение элементарной ячейки кристаллической структуры.
Процесс двойной дифракции, который мы схематически рас-
смотрели, математически может быть описан как два последова-
тельных преобразования Фурье. Как мы увидим в гл. 5, фраун-
гоферовская картина объекта приблизительно соответствует его
фурье-образу. Вторая дифракция и второе преобразование Фурье
восстанавливают предметную функцию (определение фурье-образа
см. в гл. 4). Однако рентгенограммы не записывают полностью
фурье-образ. Амплитуда может быть найдена как квадратный
корень из значения интенсивности, однако информация о фазе
не сохраняется. С помощью таких измерений нельзя получить
ГОЛОГРАФИЯ В ЭЛЕКТРОННОЙ МИКРОСКОПИИ
53
изображение кристаллографической элементарной ячейки, если
только фурье-образ не окажется действительным. Брэгг был до-
статочно предусмотрительным, чтобы выбрать элементарную
ячейку с центральносимметричным расположением атомов, фурье-
образ которой является действительным. Только знак амплитуды
дифрагированной волны (положительный или отрицательный)
в этом случае не определен. Однако знак амплитуды во всех
участках дифракционной картины можно сделать одинаковым,
если выбрать такую элементарную ячейку, у которой тяжелый
атом расположен в центре симметрии. Амплитуда рентгеновских
лучей, рассеянных тяжелым атомом, будет сравнительно большой
и сможет служить опорной амплитудой, к которой прибавляются
или из которой вычитаются меньшие амплитуды волн, дифрагиро-
ванных остальными частями ячейки. Следовательно, фурье-образ
ячейки модулирует однородную фоновую амплитуду с глубиной,
недостаточной для изменения ее знака. Кристалл диопсида удо-
влетворяет требованию о тяжелом центре симметрии. Для более
общего класса объектов, не имеющих центра симметрии, фурье-
образ характеризуется пространственным изменением фазового
множителя. Потеря же фазовой информации при записи первой
дифракционной картины недопустима, если мы хотим при второй
дифракции получить изображение.
§ 2. Голография в электронной микроскопии
Габор дополнил брэгговский процесс двойной дифракции на
двух различных длинах волн способом, позволяющим осущест-
влять одновременную запись распределения как амплитуды, так
и фазы дифракционной картины. Это привело к общей интерпре-
тации процесса получения изображения и дало возможность при-
менять его к более широкому классу объектов. Однако даже этот
новый принцип, по крайней мере в форме, которую Габор считал
приемлемой для электронной микроскопии, накладывал ограни-
чения на вид объекта. Объект должен обладать большими про-
зрачными участками, чтобы при когерентном освещении его элек-
тронными волнами через него на регистрирующую пластинку
проходила сильная недифрагированная составляющая. В ре-
зультате интерференции этой недифрагированной, или фоновой,
волны с волнами, дифрагировавшими на краях непрозрачных
частей объекта, возникает распределение интенсивности, записы-
ваемое в виде голограммы. Фаза недифрагированной волны слу-
жит опорной фазой, с которой можно сравнивать пространствен-
ные изменения фазы дифрагированных волн. Относительная фаза
кодируется в виде косинусоидального множителя интерферен-
ционного члена [см. выражение (1.9)]. Оптическое декодирование,
54
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
или восстановление волнового поля (вторая дифракция), проис-
ходит при освещении увеличенной голограммы волной, оптически
подобной недифрагированной волне с соответствующим измене-
нием масштаба.
Габор смог включить в первое сообщение о «новом принципе
микроскопии» [2.4] чисто оптическое подтверждение метода. На
фиг. 2.2 приведены некоторые из полученных им результатов.
Видимый свет использовался как на стадии записи, так и на
стадии восстановления. Однако, несмотря на значительные после-
дующие усилия, главным образом Хейна и др. [2.5, 2.6], приме-
нение голографии в электронной микроскопии (регистрация элек-
ФИГ. 2.2.
Результаты некоторых ранних гологра-
фических экспериментов Габора. (По Га-
бору [2.17].)
Слева — объект, в центре — голограмма;
справа — восстановленное изображение.
тронной волны и оптическое восстановление изображения) ока-
залось бесплодным занятием. Наилучшее разрешение, получен-
ное при помощи этого метода, уступало разрешению, которое
достигалось тогда обычным способом. Хейн и Малви [2.6] в на-
чале пятидесятых годов первыми провели опыты как с исходной
схемой Габора получения голограмм, названной методом проек-
ции, так и с более выгодной схемой, названной методом пропус-
кания [2.5]. С помощью этих методов они пытались одновременно
получить: 1) высокую пространственную когерентность, чтобы
иметь высокий контраст интерференционных полос; 2) достаточно
большое расстояние между полосами, чтобы была возможна их
раздельная регистрация; 3) как можно меньшее расстояние между
голограммой и источником, чтобы свести к минимуму длительность
экспонирования.
В методе проекции, схематически показанном на фиг. 2.3,
объект должен быть расположен очень близко к источнику элек-
тронной волны и сравнительно далеко от регистрирующей пла-
§ 2.
ГОЛОГРАФИЯ В ЭЛЕКТРОННОЙ МИКРОСКОПИИ
55
стинки. Как будет показано в гл. 3 [см. выражение (3.9)], в этой
схеме максимально расстояние между полосами, т. е. минимальна
пространственная частота системы полос. Однако, поскольку
•объект расположен близко к источнику, телесный угол 0, под
которым объект виден из источника, велик. Чтобы пространст-
венная когерентность была высокой, произведение радиуса источ-
ника на угол 0 должно быть малым (фиг. 1.18). Источник, необ-
ходимый для достижения эффективного разрешения 1 А, может
быть получен путем уменьшения обычного источника электрон-
ного пучка в 106 раз с использованием электронной оптики. Однако
цена, уплачиваемая за это, высока; происходящие при таком
уменьшении сильнейшие искажения формы пучка не могут быть
скомпенсированы путем оптической имитации в процессе восста-
новления. Эти искажения ограничивают используемое число
полос и, следовательно, апертуру голограммы, что в свою очередь
ограничивает разрешающую способность.
В методе пропускания (фиг. 2.4) используется источник боль-
шей величины. Чтобы получить достаточную пространственную
когерентность, источник и объект расположены на таком рас-
стоянии друг от друга, чтобы угол 0 был мал. Голограмма распо-
лагается вблизи объекта, чтобы сократить длительность экспо-
нирования. Однако полосы дифракции в ближнем поле (дифракция
Френеля) расположены близко друг к другу, и чтобы зареги-
стрировать их на фотографическом материале, необходимо уве-
личить их с помощью электронно-оптической системы. В сущ-
ности, эта схема представляет собой электронный микроскоп,
работающий на пропускание с дефокусировкой, причем объект
расположен в нормальном положении перед объективом. К источ-
нику электронов добавлена щелевая система, при помощи которой
регулируется пространственная когерентность. Основным пре-
имуществом метода пропускания является то, что в нем устранены
56
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
сильные искажения пучка, обусловленные его уменьшением.
Несмотря на это преимущество, главным препятствием на пути
достижения высокого разрешения является недостаточная сте-
пень пространственной когерентности. Чтобы получить нужную
Голограмма
Увеличенное и
изображение"*’’"1
плоскости Н
ФИГ. 2.4. Получение голограммы с помощью элек-
тронной волны методом пропускания.
пространственную когерентность, источник следует задиафраг-
мировать до площади порядка 1 мкм2, что сильно снижает интен-
сивность пучка и соответственно увеличивает длительность экспо-
нирования примерно до 2 ч. Нестабильность напряжения,
тепловые деформации, вибрации и загрязнение объекта в этом
случае действуют как факторы, совместно ограничивающие разре-
шение голографической структуры, и, как следствие этого,—
изображения.
§ 3. Рентгеновская голография
Габор не предполагал использовать голографию в рентгенов-
ской микроскопии, так как казалось, что создание интенсивного
источника когерентных рентгеновских лучей сопряжено даже
с большими трудностями, чем создание достаточно когерентного
источника электронов. Однако другие исследователи, например
Баэз, Эль-Сам и Киркпатрик [2.7, 2.8], из-за отсутствия объек-
тива для рентгеновских лучей прибегли к голографическому
методу. В 1952 г. Эль-Сам и Киркпатрик смогли получить види-
мое изображение тонкой проволоки при освещении ее рентгенов-
ской дифракционной картины, зарегистрированной за 20 лет
перед этим Келлстромом. Этот двухступенчатый процесс восста-
новления волнового фронта оказался единственным важным
успешным опытом в области рентгеновской голографии. В пяти-
десятых годах были сделаны попытки продемонстрировать полез-
ность голографической рентгеновской микроскопии, однако при
§ 4. ПЕРВЫЕ ОПЫТЫ ПО ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ 57
этом не удалось получить дифракционные картины, содержащие
более одной интерференционной полосы. (Одна полоса недоста-
точна для восстановления волнового фронта. Келлстрому удалось
получить четыре или пять полос с хорошим контрастом с каждой
стороны от неиспользуемой центральной области.) Главной причи-
ной получения полос с недостаточным контрастом была недо-
статочная пространственная и временная когерентность источ-
ника рентгеновского излучения.
В настоящее время рентгеновское излучение, обладающее необ-
ходимой степенно когерентности, можно получить с исполь-
зованием эффекта Мессбауэра, однако при этом интенсивность
очень мала. Необходимая пространственная когерентность может
быть достигнута диафрагмированием источника (до нескольких
ангстрем в поперечнике) или удалением объекта от источника.
В любом случае за улучшение когерентности приходится распла-
чиваться потерей интенсивности, и ограничивающим фактором
становится проблема стабильности. Из этого рассмотрения, по-
видимому, вытекает, что при существующих сегодня источниках
излучения рентгеновская голография не представляет практиче-
ской ценности.
§ 4. Первые опыты по оптической голографии
Первым исследователем собственно оптической голографии
был Роджерс [2.9]. Работая главным образом с ртутной дуговой лам-
пой высокого давления, Роджерс в 1952 г. сообщил о ряде опы-
тов, в значительной степени предвосхищающих большинство
голографических исследований, выполненных более чем через
10 лет с помощью лазера. К наиболее интересным результатам
его работы относятся:
1. Голографическая регистрация волны, восстановленной дру-
гой голограммой (метод, сейчас используемый для получения
копий голограмм).
2. Получение трехмерного изображения (возможность, пред-
сказанная Габором).
3. Осуществление вычитания изображений при наложении
«негативной» и «позитивной» голограмм.
4. Получение рельефных фазовых голограмм с высокой диф-
ракционной эффективностью.
5. Неудачная попытка получения многоцветной составной
голограммы с использованием красителей с селективным погло-
щением.
6. Инициирование работы по расчету голограмм (предвосхи-
щение сегодняшних работ по синтезу голограмм с помощью
ЭВМ).
58
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
Кроме того, Роджерс развил предположение Габора о тесной
связи между голограммой точечного источника и зонной пластин-
кой Френеля. Аналогия с зонной пластинкой полезна для пони-
мания формирования оптического изображения голограммой
и может быть получена из простых геометрических соображений
12.9] (см. также [2.8]).
1. Геометрический анализ элементарной голограммы
Габора
Как указано в § 2 настоящей главы, объект голографирова-
ния по схеме Габора должен иметь малые непрозрачные участки
на сравнительно большом прозрачном фоне. В последующем ана-
лизе мы будем рассматривать объект, представляющий собой
идеализацию объектов Габора, а именно единичный точечный
рассеиватель. Характеристики пространственной и временной
когерентности источника освещения также идеализированы,
а именно: предполагается, что он представляет собой точечный
источник монохроматических сферических волн. Наконец, пред-
полагается, что светочувствительная среда, на которой произво-
дится запись голограммы, является достаточно тонкослойной
(плоской). С этими допущениями схема, аналогичная схеме экс-
перимента Габора, представлена на фиг. 2.5. Точечный источник
S, находящийся на расстоянии v от плоскости голограммы Н,
§ 4.
ПЕРВЫЕ ОПЫТЫ ПО ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ
59
освещает рассеивающий центр Р, находящийся на расстоянии и
от Н. Мы хотим получить выражение, описывающее распределение
интенсивности света в плоскости голограммы, возникающее вслед-
ствие интерференции света, рассеянного точкой Р, с когерентным
фоном.
Общее выражение, описывающее интенсивность картины двух-
лучевой интерференции, имеет вид [см. (1.9)]
I = Ц + 12 + 2(110.2 cos (<р2 — Ф1)-
Мы предполагаем, что амплитудное пропускание голограммы
пропорционально I. Вследствие пространственной модуляции
разности фаз А<р = <р2 — <р± (а4 и а2 почти постоянны во всей
плоскости голограммы) при освещении голограммы возникает диф-
ракция света. Разность фаз А<р в некоторой точке Q голограммы
может быть выражена через разность хода световых лучей, рас-
пространяющихся между S и Q по прямому пути (опорная, или
референтная, волна), и лучей, идущих от S к Q через точку Р (пред-
метная, или сигнальная, волна). Допустим, что источник непре-
рывно излучает световую волну (длиной % и частотой F), абсо-
лютная фаза которой Ф = 2л Ft является линейной функцией
времени. Волновой фронт, приходящий в Q в момент времени Zg,
имеет абсолютную фазу, пропорциональную интервалу времени,
прошедшему с момента его испускания. Если скорость распро-
странения волны равна с, то фаза волнового фронта,прибывающего
в Q в момент Zg по пути SPQ, составляет Ф5 = 2л F (Zg —
— (SPQIc)). Аналогичным образом фаза волнового фронта, одно-
временно прибывающего в точку Q по пути SQ, равна Фг =
= 2л F (tQ — (SQ/c)). Поскольку SPQ > SQ, то Фг > Ф5 и
Фг - Фв = (SPQ - SQ) = <р2 - <Pi = Аф = •
В тех случаях, когда AZ = nk. где п = 1, 2, 3, . . ., имеем
cos А<р = 1, и интенсивность интерференционной полосы макси-
мальна. Анализ можно ограничить плоскостью хина фиг. 2.5, по-
скольку при расположении как S, так и Р на оси z распределение
интенсивности симметрично относительно оси z. Из фиг. 2.5 сле-
дует
AZ = (г s) — t — (v — и 4- s) — t = v — u-\-s —1 =
= v — и + (и2 + z2)1'2 — (у1 + x2)1/2 «

a:2 x2 / 1 1 \
2v 2 \ и v )
при соблюдении условий х
Габора. Введем определение
и та х <t^v, что соответствует опыту
1_ __ _1_______£
/ и V ’
(2.1)
60
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
тогда условие
(2.2)
определяет радиусы хп системы колец максимальной яркости
с центром в точке О.
2. Зонная пластинка
Находя значение хп из выражения (2.2), получаем
хп = (А)1/2-(2га)1/2, (2.3)
т. е. радиусы колец пропорциональны квадратным корням из
четных целых чисел.
ФИГ. 2.6. Зонная пластинка Френеля.
Условие, описываемое выражением (2.3), идентично условию,
описывающему распределение прозрачных зон зонной пластинки
Френеля [2.10]. (Зонную пластинку, изображенную на фиг. 2.6,
можно изготовить, вычерчивая на белой бумаге концентрические
окружности, радиусы которых пропорциональны квадратным
корням из последовательных целых чисел 1, 2, 3, .... Эти окруж-
ности образуют кольцевые зоны, которые следует зачернить
§ 4.
ПЕРВЫЕ ОПЫТЫ ПО ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ
61
через одну. Затем изготовляется уменьшенная фотокопия этого
чертежа; полученный диапозитив и представляет собой зонную
пластинку [2.10].) Поскольку выражение (2.3) описывает
периодичность как зонной пластинки, так и голограммы точечного
источника, следует ожидать сходства их дифракционных свойств.
Это в общем верно, с тем исключением, что кривая пропускания
зонной пластинки имеет прямоугольную, а не синусоидальную,
ФИГ. 2.7. Фокусирующие свойства зонной пла-
стинки.
как у голограммы, форму. При дифракции на синусоидальной
решетке возникают только волны + 1-го и — 1-го порядков,
тогда как на решетке с прямоугольной модуляцией возникают
и спектры высших порядков, или гармоники. Таким образом,
дифракционные свойства голограммы Габора могут быть выве-
дены из известных свойств зонной пластинки [2.11], если огра-
ничиться рассмотрением первого порядка дифракции.
Зонная пластинка представляет собой дифракционную решетку
с фокусирующими свойствами. Она одновременно является поло-
жительной и отрицательной линзой. Величина / в выражении (2.2)
есть фокусное расстояние зонной пластинки или голограммы.
Выражение (2.1) аналогично формуле линзы, определяющей рас-
стояние от линзы до изображения и в зависимости от фокусного
расстояния / и расстояния от линзы до объекта v. Если зонная
пластинка освещается точечным источником S и мы рассматри-
ваем только первый порядок дифракции, то, как показано на
фиг. 2.7, возникают два изображения: мнимое изображение Р,
62
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
из которого исходит расходящаяся волна + 1-го порядка дифрак-
ции, и действительное изображение Р', в которое сходится волна
—1-го порядка дифракции. Согласно этой аналогии, голограмма
точечного объекта также ведет себя подобно дифракционной ре-
шетке с фокусирующими свойствами и подобно отрицательной
и положительной линзе, создающей мнимое и действительное
изображения. Предположим, что голограмма освещается точеч-
ным источником S в его исходной позиции — на расстоянии v
от голограммы. Согласно выражению (2.1), голограмма создаст
мнимое изображение источника S па расстоянии и от голограммы.
Это изображение можно рассматривать или как мнимое изобра-
жение источника 5, или как мнимое изображение исходного рас-
сеивающего центра Р, поскольку это изображение расположено
в той точке, где ранее находилась точка Р. Если принять послед-
нюю концепцию, то сферическую волну, дифрагировавшую на
голограмме и расходящуюся из Р, можно рассматривать как
восстановленную волну, ранее рассеивавшуюся точкой Р.
Аналогия между свойствами зонной пластинки и голограммы
точечного объекта позволяет объяснить отображающие свойства
более общего класса голограмм. Обычный протяженный объект
можно рассматривать как совокупность точечных объектов. Свет,
рассеянный каждой из этих точек, интерферирует с опорной вол-
ной, в результате чего возникает суперпозиция многих гологра-
фических зонных пластинок. (При этом предполагается, что рас-
сеянные волны значительно уступают по интенсивности опорной,
так что взаимной интерференцией рассеянных волн можно пре-
небречь.) Когда вся голограмма освещается опорной волной, каж-
дая индивидуальная голограмма создает мнимое изображение соот-
ветствующей ей точки объекта, и в процессе восстановления эти
изображения в совокупности создают образ протяженного объекта.
§ 5. Осевые голограммы
Вопреки предположению Габора о гом, что в оптической об-
ласти, «где существуют способы расщепления пучков, будут най-
дены методы создания когерентного фона, позволяющие улучшить
разрешение предмета по глубине, а также подавить влияние
сопряженной волны», в оптической голографии в пятидесятых
годах по-прежнему использовалась первоначальная осевая схема.
Отсутствие хорошего источника когерентного света, по-видимому,
было препятствием на пути экспериментальных работ. Источник
и объект размещались на оптической оси, перпендикулярной
к поверхности фотографической пластинки. Чтобы вскрыть неко-
торые трудности и ограничения, присущие этому методу, вернемся
к анализу, основы которого заложил Габор (см. гл. 1. § 8). В этом
§ 5.
ОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ
65
анализе основное внимание уделяется амплитудам падающих
на плоскость голограммы волн и волн, выходящих из нее.
Рассмотрим лежащий на оси объект, пригодный для получе-
ния голограмм Габора. При освещении его когерентным светом
общую комплексную амплитуду и света, падающего на фотослой
в плоскости голограммы, можно представить как комплексную
функцию пространственных координат и = и0 ехр (г <ри). Часть
амплитуды и представляет собой амплитуду недифрагированпой
фоновой, или опорной, волны г = г0 exp (г<рг), а часть — амплитуду
волны, дифрагировавшей на объекте а = а0 exp (г<ра). Тогда
и = г + а (2.4)’
и для интенсивности в плоскости голограммы получаем
I = uu* = (г + а) (г 4- а)* =
= r20 -I- а20 + га* + г*а = r20 + а20 + 2r0a0 cos (<рг — <ра). (2.5}
1. Отклик фотографического слоя
При записи голограмм на фотопластинке фотослой должен
быть проэкспонирован светом с интенсивностью I, проявлен,
отфиксирован, а затем освещен опорной световой волной с целью
восстановления изображения. Возникает вопрос, какую роль
играет отклик фотослоя во всех этих операциях. Хертер и Дриф-
филд в 1890 г. характеризовали отклик фотопластинки при помо-
щи характеристической кривой (называемой также кривой почер-
нения); эта кривая представляет собой график зависимости опти-
ческой плотности проявленной фотопластинки от логарифма
экспозиции. Они определили оптическую плотность следующим
образом:
£ = lg4,
tj
где — пропускание по интенсивности, т. е. отношение интен-
сивности света, прошедшего через фотослой, к интенсивности
падающего света. Экспозиция определяется как
Е = 1Р хе ~ 1те
(см. гл. 1, § 3), где тР— длительность экспонирования; 1Р, или,
в сокращенной форме записи, I [см. выражение (1.1)],— интен-
сивность света, падающего на пластинку во время экспонирова-
ния. Общая форма характеристической кривой приведена на
фиг. 2.8. Хотя эта кривая удобна для фотографии и использова-
лась в ранних работах по голографии, она не лучшим образом
характеризует отклик фотослоя с точки зрения процесса форми-
рования голограммы.
64
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2
Вид характеристической кривой зависит как от свойств фото-
графического слоя, так и от методики последующей химико-фото-
графической обработки. Прямолинейная часть характеристиче-
ской кривой может быть описана выражением
v=ig-y=v(igE-igK),
ч4=Чт)’- <2-6>
или
J = КУЕ-ч ~ E~V ~I~V.
В этих выражениях у — наклон прямолинейной части кривой,
a 1g К — точка пересечения продолжения этой прямой с осью
ФИГ. 2.8. Характеристическая кривая.
lg Е. В случае когерентного освещения нас обычно интересует
не J, а коэффициент амплитудного пропускания t = Из при-
веденных выше выражений следует, что
t-TiP. (2.7)
Предположим, что фотослой, подвергнутый экспонированию
светом с интенсивностью I, обработан с получением негатива.
§ 5. ОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ 65
Тогда амплитудное пропускание
tn -Г'*'2.
Если же с негатива печатают позитив, то освещенность при печа-
тании пропорциональна Уп— пропусканию (по интенсивности)
негатива — и результирующее амплитудное пропускание пози-
тивного отпечатка составляет
tP = (<?р)1/2 - (Jn)-V2 ~ (Z-’n)-V2 ~ Zr/2, (2.8)
где = Г. Индекс р в этом случае относится к позитивному
отпечатку.
2. Восстановление
Габор в своих опытах использовал позитивную голограмму,
освещаемую исходной опорной волной г. Комплексная амплитуда
светового поля после прохождения сквозь голограмму равна
w = г£р ~ г/1?2.
Если условия проявления подобраны так, что Г = 2, то
w ~ г/ = г (г2 + + га* + г*а) = г2г Д- га2 + гга* + г2а,
w ~ г20 (г + а) + г2 -^1 exp (i<pr) + r20 exp (i2<pr) а*, ^2‘9^
где гг* = г2 и г = г0 ехр (г <рг). Если амплитуда опорной волны
одинакова во всей плоскости голограммы (г20 = const), то первый
член правой части выражения (2.9) описывает волновой фронт,
комплексная амплитуда которого пропорциональна амплитуде
исходной волны и в выражении (2.4). Далее, если амплитуда опор-
ной волны настолько велика, что а2/г0 1, то вторым членом
можно пренебречь. Наконец, для опорной волны, фаза которой
почти постоянна во всей плоскости голограммы (как, например,
в схеме получения габоровских голограмм методом пропускания),
третий член пропорционален величине, сопряженной комплекс-
ной амплитуде объектной волны. Он создает второе, сопряженное
изображение объекта. Если используется метод пропускания
(фиг. 2.4), то сопряженное изображение является действительным
(см. гл. 3, § 3, п. 1). В этом случае при разглядывании освещаю-
щего источника сквозь голограмму будут видны этот источник,
мнимое изображение объекта и сопряженное действительное изо-
бражение объекта. (Напомним, что осевая голограмма ведет себя
подобно набору наложенных друг на друга зонных пластинок,
и две волны, соответствующие мнимому и действительному изо-
бражениям, могут быть восстановлены одновременно.) Если на-
5-0990
66
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2
блюдатель фокусирует глаз на мнимом изображении, то двойник
последнего, действительное изображение, оказывается несфоку-
сированным. Наоборот, если поместить белый экран в той плос-
кости, где дифрагированные лучи сходятся и создают действи-
тельное изображение, на нем обнаруживается несфокусированный
световой поток от мнимого изображения. Эти взаимные световые
помехи от изображения-двойника в направлении наблюдения
являются тем недостатком осевого метода голографии, который
Габор и его последователи старались устранить.
3. Контраст осевых голограмм
Прежде чем переходить к рассмотрению некоторых методов,
применяемых для решения проблемы двойного изображения,
поинтересуемся, как скажется на восстановленном изображении
отличие Г от 2. Комплексная амплитуда дифрагированных волн
в плоскости голограммы может быть представлена в общей форме
в виде
w ~ г/г/2 = г (Гд + а% + га* + г*а)г/2 =
г / л I °о I г * I г* \г/2
=-г?"о а »
X '0'0 ' 0 i
г / 4 , Г . Г г * , Г г* . \
«rr0 (1+ттг+-2'7г а +'2'72- а— • • •) •
Если Гц а%, так что второй член пренебрежимо мал, получаем,
умножая все члены на г,
г / , Г \ .Сопряженный член, соответствующий
~ г° \ т- 2 ) "т" действительному изображению.
При фокусировке на мнимое изображение имеем, пренебрегая
несфокусированным световым потоком от действительного изо-
бражения,
w~r-L-|-a. (2.10)
Из выражения (2.10) вытекает, что значение Г определяет контраст,
т. е. отношение амплитуды сигнала к амплитуде фона. Например,
при Г = + 2 (позитивная голограмма) w представляет собой
восстановленную исходную волну и = г -]- а, где свет от объекта
суммируется со световым потоком от фона; при Г = — 2 (нега-
тивная голограмма) w = г — а и свет от объекта вычитается из
фоновой засветки. В последнем случае возникает негативное изо-
бражение. Значения Г, лежащие между -]- 2 и — 2, приводят
к получению различающихся по контрасту изображений.
§ 5.
ОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ
67
4. Устранение проблемы второго изображения
Мы видим, что для получения осевых голограмм, характерных
для раннего периода голографии, требуется соблюдение следую-
щих условий: 1) объект должен состоять из малых непрозрачных
участков на большом прозрачном фоне, чтобы выполнялось тре-
бование rj аа0‘, 2) с исходной голограммы необходимо сделать
позитивный отпечаток; 3) чтобы восстановить исходный контраст
объекта, результирующее значение Г должно быть равно + 2.
Хотя все эти условия приводили к определенным ограничениям,
наиболее серьезным недостатком было наложение несфокусирован-
ного изображения на сопряженное с ним второе сфокусированное
изображение. Некоторые из ранних работ были направлены на
устранение помех от двойникового изображения при сохранении
осевой геометрии. Первой такой попыткой был метод двух голо-
грамм, предложенный Брэггом и Роджерсом [2.12]. Этот метод
основан на простом рассуждении: если пригодный для получения
осевой голограммы объект осветить параллельным пучком коге-
рентного света и зарегистрировать его дифракционную картину
на голограмме 1, а затем после проявления убрать объект и осве-
тить голограмму исходным пучком, то возникнет мнимое изобра-
жение объекта в исходном его положении и = — / [см. выраже-
ние (2.1) для случая v = оо]. На расстоянии f с противоположной
стороны голограммы возникнет действительное изображение.
Однако в плоскости действительного изображения находится
также нежелательная дифракционная картина, образованная вол-
ной, которая кажется расходящейся от мнимого изображения.
Поскольку мнимое изображение и объект занпмают одно и то же
положение, отстоящее на расстоянии 2/ от плоскости действитель-
ного изображения, Брэгг и Роджерс пришли к мысли, что эта
нежелательная дифракционная картина идентична картине диф-
ракции, образуемой объектом на расстоянии 2/. Они предложили
зарегистрировать на расстоянии 2f от объекта негатив дифрак-
ционной картины, т. е. голограмму 2.
Чтобы наблюдать действительное изображение, устранив при
этом помехи от его двойника, надо осветить голограмму 1 в исход-
ном положении и зарегистрировать голограмму 2 картины помех
в плоскости действительного изображения. Запись негатива на
голограмме 2 должна устранить картину дифракции от мнимого
изображения; должно остаться только действительное изображе-
ние на равномерно освещенном фоне. На практике не происходит
полного подавления фона, так что успех метода нельзя считать
полным. Более того, метод приводит к увеличению уровня шума
и применим только к действительному изображению.
Эль-Сам [2.7] предложил другие способы устранения двой-
никового изображения, а Ломани [2.13] разработал метод, основан-
5*
68
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
ный на фильтрации картины дифракции Фраунгофера. Ни эти
методы, ни метод Брэгга — Роджерса не были достаточно эффек-
тивны и удобны. Важная проблема оставалась нерешенной. Преж-
де чем перейти к рассмотрению решения этой проблемы, предло-
женного Лейтом и Упатниексом, укажем, что в некоторых
случаях осевая голограмма в состоянии создать нужное изображе-
ние без существенных помех со стороны сопряженного изображе-
ния. Томпсон и др. [2.14] смогли получить голограммы движу-
щихся частиц аэрозоля при освещении импульсным лазером,
используя осевой метод. (Длина когерентности примененного в этих
опытах лазера была недостаточной, поэтому именно осевой метод
позволял обойти эту трудность.) Частицы аэрозоля были столь
малыми, что голограмма, полученная в ближнем поле для ансамб-
ля частиц, по отношению к каждой индивидуальной частице
находилась в дальнем поле. Если рассматривать действительное
изображение такой частицы, то кажется, что ее мнимое изобра-
жение находится в очень отдаленной плоскости. Поэтому в плос-
кости действительного изображения дифракционная картина
точечного мнимого изображения выглядит равномерным фоном —
сферической волной постоянной амплитуды — и не мешает
наблюдению изображения. В этом случае можно наблюдать чет-
кое действительное изображение.
§ 6. Внеосевые голограммы
Отказавшись от осевой геометрии голографического экспери-
мента и введя опорный пучок под углом к пучку, идущему от объ-
екта, Лейт и Упатниекс изобрели наиболее общий и самый успеш-
ный метод устранения двойникового изображения (а также неди-
фрагированного света) из восстановленного изображения. На
фиг. 2.9 показана первоначальная схема Лейта и Упатниекса
[2.15], в которой использовалась ртутная лампа. Две линии из
картины дифракции Фраунгофера на дифракционной решетке слу-
жат вторичными источниками света, находящимися в определенном
фазовом отношении. Один из них играет роль источника опорной
волны, а другой освещает объект на просвет. Голограмма может
быть зарегистрирована в любом месте области перекрытия пучков.
Сходство схемы этого опыта со схемой опыта Юнга очевидно.
Хотя, по-видимому, целесообразнее отложить объяснение вне-
осевого метода до введения понятия пространственной частоты
(гл. 5), некоторые преимущества этого метода можно оценить,
пользуясь представлением о зонных пластинках. Обратимся
к фиг. 2.10, на которой представлено изображение зонной пла-
стинки, образованное при интерференции плоской опорной волны
со сферической волной, рассеянной точечным рассеивателем, нахо-
§6.
ВНЕОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ
69
дящимся в Р. В осевом методе мы помещаем небольшую фотогра-
фическую пластинку (прямоугольник, очерченный пунктиром)
в центре интерференционной картины так, что нормаль к его
поверхности проходит через Р параллельно направлению распро-
странения плоской опорной волны. Если используется нелазер-
ный источник света, то из-за ограниченной длины когерентности
на голограмме может быть записана лишь часть интерференцион-
ной картины, в пределах, ограниченных окружностью малого
радиуса с центром на оси. По мере того как длина оптического пути
ФИГ. 2.9 Первоначальная схема получения вне-
осевых голограмм. (По Лейту и Упат-
ниексу [2.15].)
от источника до голограммы через объект увеличивается по срав-
нению с длиной прямого пути, проходимого опорной волной, вид-
ность полос уменьшается и в конце концов, когда разность хода
достигает длины когерентности, становится равной нулю, и интер-
ферограмма более не дифрагирует свет с достаточной эффектив-
ностью. Из фиг. 2.10 видно, что по мере удаления от центра интер-
ференционной картины разность хода растет. Небольшая голо-
грамма, которую можно зарегистрировать, освещается плоской
опорной волной. На этой голограмме дифрагирует волна, кото-
рая кажется расходящейся от мнимого изображения в точке Р,
и вторая волна, которая сходится в действительное изображе-
ние в точке Р'. Наблюдению любого из изображений вдоль оси
мешает несфокусированный свет от сопряженного изображения
и недифрагированный свет.
Предположим, однако, что длина когерентности света доста-
точна для создания нужной видности полос на значительно боль-
шей площади зонной пластинки. Тогда небольшую фотопластинку
можно настолько удалить от оси, что ее не будут пересекать осе-
70
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
вые лучи, идущие от Р. В этом случае, как показано на фиг. 2.10,
все лучи, исходящие от мнимого изображения в точке Р, не пере-
крываются с лучами, сходящимися в Р', и проблема двойного
изображения устраняется. Часть освещающей опорной волны, кото-
рая не испытывает дифракции на голограмме, также не перекры-
вается с волнами, идущими от изображений. [Обращаясь к выра-
жению (2.5), мы видим, что наряду с интерференционными
ФИГ. 2.10.
Простая внеосевая голограмма.
членами и постоянной опорной интенсивностью на голограмме за-
писывается интенсивность предметной волны а%. Освещающая голо-
грамму опорная волна претерпевает дифракцию на любой про-
странственной модуляции оптической плотности голограммы, обу-
словленной членом а%. Таким образом, угол 0 на фиг. 2.10
должен быть достаточно большим, чтобы избежать наложения вол-
ны, образующей изображение, на освещающую волну, дифрагиро-
ванную на а*. Для произвольных объектов взаимодействие с аг0 при-
§ 6.
ВНЕОСЕВЫЕ ГОЛОГРАММЫ
71
водит к появлению света, дифрагировавшего в некотором интер-
вале углов, симметричном относительно направления распростра-
нения опорной волны.]
1. Контраст внеосевых голограмм
Поскольку образующая изображение дифрагированная волна
и прошедшая сквозь голограмму освещающая волна не перекры-
ваются в пространстве, регистрируемый наблюдателем восстанов-
ленный волновой фронт, например, мнимого изображения описы-
вается только вторым членом выражения (2.10), а именно
членом Га/2. В этом случае значение или знак Г не влияют на
контраст изображения. При Г = — 2 восстановленное изображение
не будет негативом оригинала. Наблюдаемая интенсивность вол-
ны, образующей изображение, описываемая произведением
(— Га/2) (— Га*/2), по-прежнему пропорциональна интенсивности
первоначальной волны, и мы получаем позитивное изображение.
Таким образом, одной негативной голограммы уже достаточно
для получения позитивного изображения, контраст которого
соответствует контрасту объекта.
2. Линейность отклика
С появлением внеосевого метода стало ясным, что описывать
свойства фотослоя величиной наклона прямолинейного участка
характеристической кривой неудобно [2.16]. Разумеется, любой
метод оценки свойств должен указывать пути получения записи,
наиболее точно восстанавливающей предметную волну при осве-
щении ее опорной волной. Такое точное восстановление дости-
гается в том случае, когда амплитудное пропускание проявленной
голограммы линейно зависит от интенсивности интерференцион-
ной картины. В этом случае амплитуда волны, образующей мни-
мое изображение, в соответствии с выражением (2.9) равна г°а,
т. е. пропорциональна а, если обеспечено постоянство rjj по пло-
щади голограммы. Таким образом, важной с точки зрения голо-
графии экспозиционной характеристикой является график зави-
симости амплитудного пропускания t от экспозиции Е, показан-
ный на фиг. 2.11,а. Для регистрации голограммы необходима
такая экспозиция, при которой амплитудное пропускание попа-
дает в пределы линейного участка кривой. Если максимальным
или минимальным значениям интенсивности в плоскости голо-
граммы соответствуют значения пропускания, выходящие за пре-
делы линейного участка, в восстановленном изображении воз-
никнут искажения. Как видно из фиг. 2.11, б, линейный участок
зависимости t (Е) для обычно используемых фотопластинок Кодак
649F соответствует начальному участку классической характе-
72
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
ГЛ. 2.
ристической кривой. В этом случае трудно установить правиль-
ную экспозицию, пользуясь обычной кривой. Интересно отметить,
что значение экспозиции, соответствующее середине линейного
участка кривой t (Е), существенно меньше значения, соответ-
ствующего середине прямолинейного участка классической кривой.
ФИГ. 2.11. а — зависимость амплитудного коэффи-
циента пропускания от экспозиции;
б — характеристическая кривая, на ко-
торой отмечена область, соответствую-
щая линейному участку кривой t (Е).
(По Когельнику [2.18].)
Таким образом, для одного и того же фотослоя голографическая
экспозиция обычно меньше, чем фотографическая, и проявленные
пластинки имеют меньшую оптическую плотность (фит. 1.1).
3. Другие эффекты, связанные с применением внеосевой
опорной волны и увеличением когерентности
Благодаря использованию внеосевой методики оптическая
голография освободилась от ограничений, возникших в первых
работах по электронной и рентгеновской голографии. Стало оче-
видным, что благодаря применению светоделителей даже при осе-
вой геометрии отпадает необходимость в использовании части
недифрагированного света, проходящего через объект, в каче-
стве опорной волны. Эти преимущества, а также возможность
использования лазерных источников, обладающих весьма высокой
когерентностью, дали возможность применять голографию для
ЛИТЕРАТУРА
73
любых прозрачных или отражающих объектов, например полуто-
новых транспарантов или отражающих трехмерных объектов.
При использовании внеосевого метода, в отличие от осевой
голографии, интенсивность опорного пучка не обязательно долж-
на существенно превышать интенсивность предметной волны.
Однако интенсивность опорного пучка должна быть достаточно
большой по сравнению с его модуляцией, накладываемой пред-
метной волной, чтобы результирующая экспозиция не выходила
за пределы линейного участка кривой t (Е).
ЛИТЕРАТУРА
2.1. BRAGG W. L., Zs. Kristal-
logr., 70, 475 (1929).
Оптический метод представле-
ния результатов рентгеновско-
го анализа.
2.2. BRAGG W. L., Nature, 143,
678 (1939).
Новый тип рентгеновского ми-
кроскопа.
2.3. BRAGG W. L., Nature, 149,
470 (1942).
Рентгеновский микроскоп.
2.4. GABOR D., Nature, 161, 777
(1948).
Новый принцип микроскопии.
2.5. HAINE М. Е., DYSON J.,
Nature, 166, 315 (1950).
Модификация дифракционного
микроскопа, предложенного
Габором.
2.6. HAINE М. Е., MULVEY Т.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 42,
763 (1952).
Получение дифракционного
изображения с помощью элек-
тронов в дифракционном ми-
кроскопе Габора.
2.7. EL-SUM Н. М. A., KIRK-
PATRICK Р., Phys. Rev., 85,
763 (1952).
Микроскопия с помощью вос-
становленных волновых фрон-
тов.
2.8. EL-SUM Н. М. A., Ph. D. The-
sis, Stanford Univ., 1952.
Микроскопия с восстановлени-
ем волнового фронта.
2.9. ROGERS G. L., Proc. Roy.
Soc. (Edinburgh), 63A, 193
(1952).
Опыты по дифракционной
микроскопии.
2.10. MYERS О. Е., Jr., Amer.
Journ. Phys., 19, 359 (1951).
Исследование прозрачных
зонных пластинок.
2.11. SUSSMAN М., Amer. Journ.
Phys., 28, 394 (1960).
Элементарная дифракционная
теория зонных пластинок.
2.12. BRAGG W. L., ROGERS G. L.,
Nature, 167, 190 (1951).
Устранение нежелательного
изображения в дифракцион-
ной микроскопии.
2.13. LOHMANN A., Opt. Acta, 3,
97 (1956).
Передача боковой частоты в оп-
тическом диапазоне примени-
тельно к микроскопу Габора.
2.14. THOMPSON В. J., WARD J.,
ZINKY W., Journ. Opt. Soc.
Amer., 55, 1566A (1965); Appl.
Opt., 6, 519 (1967).
Применение голограммной тех-
ники для определения размера
частиц.
2.15. LEITH Е. N., UPATNIEKS J.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 52,
1123 (1962).
Восстановленные волновые
фронты и теория связи.
2.16. К OZMA A., Journ. Opt. Soc.
Amer., 56, 428 (1966).
Фотографическая регистрация
пространственно-модулирован-
ного когерентного света.
2.17. GABOR D., Research, 4, 107
(1951).
Дифракционная микроскопия.
2.18. KOGELNIK Н„ Proc. Symp.
Mod. Opt., New York, 1967,
p. 605.
Отклик при восстановлении
и эффективность голограмм-
ных решеток.
Глава 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
В гл. 2 рассмотрение осевых голограмм Габора и голограмм
Лейта и Упатниекса (с внеосевым опорным пучком) основывалось
на представлении об интерференции световых волн, приходя-
щих от двух точечных источников. Несмотря на ряд упрощений,
анализ голограмм точечного источника позволяет проиллюстри-
ровать многие важные особенности голографии. С помощью
такого анализа можно многое узнать о частоте интерференцион-
ных полос на голограмме, о свойствах образующихся мнимого
и действительного изображений и об увеличении изображения,
получаемом при восстановлении.
В природе не существует точечных источников, однако про-
тяженные источники и освещенные предметы мы можем рассма-
тривать как набор точечных источников. Пусть а1; а2 . . . и т. д.
представляют собой комплексные амплитуды световых волн,
приходящих на голограмму от такой совокупности предметных
точечных источников. Если г — комплексная амплитуда опорной
волны в плоскости голограммы, то полная комплексная амплитуда
в той же плоскости будет
ai “Г а2 + . . . + г.
Полная интенсивность, которая регистрируется на голограмме,
равна
I = (в! + а2 + . . . + г) (а* + а* + . . . + г*) =
= а^* + а2а* + . . . + rr* + (ata* + а2а* +...)+
+ г (а* + а* 4- . . .) + г* (at + а2 + . . .).
Если не учитывать перекрестных членов (члены ata* + а2а* +
+ . . .), которые соответствуют интерференции между компонен-
тами предметной волны, то точечные источники можно считать
независимыми. Что касается влияния перекрестных членов на
восстановление изображений, то его можно устранить способами,
о которых говорилось в гл. 2. В случае габоровской (осевой) голо-
графии амплитуда опорной волны намного больше, чем амплитуда
предметной волны. В этом случае перекрестными членами можно
пренебречь. В случае внеосевой голографии угол между предмет-
ной и опорной волнами выбирают настолько большим, чтобы
дифрагированные волны, соответствующие изображению и пере-
§ 1.
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ
75
крестным членам, распространялись под разными углами. (Волны,
соответствующие перекрестным членам, распространяются в на-
правлениях, близких к направлению освещающего пучка.)
Поскольку предметные точечные источники можно в данном
случае считать независимыми, мы здесь ограничимся рассмотре-
нием одного точечного предметного источника. Опорный источ-
ник также будем считать точечным. Будем считать, что все волны
распространяются слева направо. Предположим, что 1) освещаю-
щие волны полностью когерентны, 2) голограмма экспонируется
и проявляется таким образом, чтобы ее амплитудное пропускание
было пропорционально интенсивности интерференционной кар-
тины и 3) голограммы действуют как плоские (двумерные) дифрак-
ционные решетки.
Читателей, которые сами собираются получать голограммы
и хотят наблюдать свойства голограмм, описанные в этой главе,
следует предостеречь относительно выбора светочувствительного
материала. Большинство эффектов, которые рассмотрены ниже,
например одновременное наблюдение действительного и мнимого
изображений и влияние на восстановленное изображение изме-
нения угла падения или длины волны восстанавливающего пучка
по сравнению с применявшимися при съемке голограммы, наи-
лучшим образом проявляются, если голограмма на самом деле
действует как плоская дифракционная решетка. Толщина высоко-
разрешающих фотографических эмульсий, обычно используемых
в голографии, лежит в пределах от 6 до 15 мкм, поэтому, чтобы
избежать угловой и спектральной селективности объемных реше-
ток, следует использовать малые углы между опорным и пред-
метным пучками. Достаточно малую толщину имеет термопластик
[3.1]; записанную на нем голограмму можно рассматривать как
плоскую решетку (см. также гл. 10). Такие голограммы обладают
всеми рассмотренными ниже свойствами.
§ 1. Расчет разности фаз между предметной
и опорной волнами
Будем считать, что предметная, опорная и освещающая волны
в любой точке Q в плоскости голограммы (фиг. 3.1) характери-
зуются фазой в этой точке по отношению к фазе в фиксирован-
ном начале координат О. (Предполагается, что амплитуда
сферической волны, исходящей из каждого точечного источника,
приблизительно постоянна в плоскости голограммы.) Пусть про-
странство по обе стороны от голограммы имеет одинаковый пока-
затель преломления; тогда, считая голограмму очень тонкой,
относительные фазы можно рассчитать по геометрическим разно-
стям хода световых лучей. Мы используем здесь метод расчета
76
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3
Мейера [3.2], справедливый в параксиальном приближении.
(Расчеты для непараксиального случая см. в работе [3.3].)
Пусть а = aQ exp (i сра) — комплексная амплитуда световой
волны, приходящей в плоскость голограммы из точечного пред-
метного источника, и г = r0 exp (i <рг) — комплексная амплитуда
опорной волны в плоскости голограммы. Тогда, как и в гл. 2, § 5
ФИГ. 3.1. Параметры, необходимые для расчета
разности фаз <рг — <ра.
(но не ограничиваясь рассмотрением осевых голограмм), для ин-
тенсивности, регистрируемой в плоскости голограммы, получим
/ = а„-]-Го + га* + г*а. (3.1)
Наибольший интерес для нас представляют интерференцион-
ные члены
га* + r*a = 2a0r0 cos (<рг — <ра), (3.2)
которые описывают периодические пространственные вариации
интенсивности, т. е. интерференционные полосы. Пространственная
частота полос на голограмме определяется скоростью изменения
аргумента косинуса, т. е. разности фаз <рг — сра.
Рассмотрим теперь схему получения голограммы (фит. 3.1).
Предметный точечный источник Р расположен в плоскости х^у^,
отстоящей от начала координат О на расстоянии Zj = — d.
Начало координат О лежит в плоскости голограммы х2у2 (штрихи
будут сохраняться до тех пор, пока мы не дойдем до рассмотрения
увеличения голограммы). Опорный точечный источник R рас-
положен в некоторой произвольной плоскости хтуг на расстоянии
зг от плоскости голограммы. Если R находится слева от голо-
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ
77
граммы и опорная волна исходит из R, то zT < 0 (как на фиг. 3.1);
если R находится справа от плоскости голограммы и опорная
волна сходится в точку R. то zT > 0. Мы хотим рассчитать вели-
чину срг — фа в произвольной точке Q в плоскости голограммы.
Чтобы определить число периодов колебания интенсивности на
единицу расстояния вдоль координатных осей, т. е. простран-
ФИГ. 3.2. К определению знака разности фаз
в точках Q и О.
а — для расходящейся предметной волны;
б — для сходящейся опорной волны.
ственную частоту, продифференцируем величину (1/2л) (фг — фа)
по пространственной координате. Тогда мы узнаем, сколько
полос на единицу длины в данном направлении должно быть заре-
гистрировано фотографической эмульсией в зависимости от взаим-
ного расположения точек Р, R и голограммы.
Начальные фазы волн, исходящих из Р и R, совершенно про-
извольны. Пусть они выбраны так, что в точке О в плоскости
голограммы фазы обеих волн одинаковы. Мы можем считать эти
значения фаз равными нулю. Поскольку Р и R — точечные источ-
ники, каждый из них излучает сферическую волну, фаза которой
в любой точке пространства пропорциональна радиальному рас-
стоянию от этой точки до источника. Тогда, вычислив разность
хода PQ — РО, мы получим фазу фа световой волны, приходящей
в точку Q из точки Р. Аналогично можно рассчитать фазу фг для
волны, приходящей в точку Q из точки R. Следует обратить вни-
мание на знак фазы в точке Q относительно фазы в О, для чего
рассмотрим две схемы (фиг. 3.2). Величина разности фаз фа,
соответствующая разности хода PQ — РО, равна | Фа I =
= (2л/Х) | (PQ — РО) |, где X — длина волны. Если Р — реаль-
ный точечный источник, испускающий расходящуюся сфериче-
скую волну, и если PQ > РО, то волновой фронт, пришедший
78
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
в точку Q, испущен источником раньше, чем волновой фронт,
одновременно достигший точки О (фиг. 3.2, а). Поэтому фаза
волнового фронта в точке Q должна быть меньше фазы в О (пред-
полагается, что фаза возрастает со временем) и, следовательно,
сра = — (2л/Х) (PQ — РО). На фиг. 3.2,6 изображена сходя-
щаяся опорная волна. Здесь R представляет собой точку, в кото-
рой фокусируется опорная волна. Эта точка находится по другую
сторону от голограммы по отношению к точке Р. Для RQ > RO
фаза волнового фронта в Q больше, чем в О, поскольку волно-
вой фронт, достигший точки Q, был испущен позднее. Таким обра-
зом, для сходящейся опорной волны фг = + (2л/%) (RQ — RO),
в то время как в обычном случае расходящейся опорной волны
фг = — (2л/Х) (RQ — RO).
Теперь вернемся к вычислению разности фаз фг — фа для
случая, когда и Р, и R являются источниками расходящихся
сферических волн, расположенными по одну сторону от голо-
граммы. Для фазы предметной волны в Q получаем
<t.= -¥pPQ-P°) =
= — {[(^ — *,)’ + (si — У1)2 + — и + =
где — длина волны излучения, используемого для получения
интерференционной картины, и где предполагается, что значение
zt отрицательно, так что знак фа остается отрицательным. (Та-
ким образом, вид волны, т. е. является она расходящейся или
сходящейся, определяется знаком z^) Если как Р, так и Q рас-
положены не слишком далеко от оси z и если z^ достаточно велико,
то фа можно в первом приближении представить в виде
Фа -77 [-^7 (ж22 + У? ~ 2ж2а:1— 2^i) ] • (3-3)
Здесь мы ограничились членами, пропорциональными 1/zj.
Следующими членами разложения будут члены третьего порядка
относительно 1/zj. [Приближение первого порядка оказывается
удовлетворительным в большинстве случаев, рассматриваемых
в данной главе. Во всех случаях, когда выражения, выведенные
с помощью приближенного равенства (3.3), отличаются от выве-
денных другими способами, это будет оговорено особо.] Фаза
Фг (^> У^ опорной волны в точке Q может быть рассчитана анало-
гичным способом; в результате получаем
фг« [1ST +У2> ~ 2х'2Хт ~ 2у'2УгУ> ] <3-4>
§ 1.
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ
79
Тогда разность фаз предметной и опорной волн в точке Q дается
выражением
1*-т-=Т(г[К,+|0 (2b- гЬ) -
<3-5>
Величина в квадратных скобках представляет собой разность
хода AZ между световыми волнами, пришедшими в точку Q из то-
чек Р и R.
1. Осевая голограмма
В этом случае как предметный, так и опорный точечные источ-
ники находятся на оси z, так что в (3,5) Xi, у1у хт и ут равны нулю.
Если мы в соответствии с гл. 2, § 4, п. 1, обозначим zt = — и
и zT = — v, то разность хода в (3.5) примет вид
«+/;> (|) (£--£-)=
=^*+^(l)(4-4)=^F=€-
Здесь мы использовали (2.1) и ввели обозначение /-1 = и~х — ц-1;
кроме того, через р = (х22 + у'2) 1/2 обозначено радиальное рас-
стояние от начала координат в плоскости голограммы. Светлые
полосы в интерференционной картине образуются, если AZ =
= п где п — целое число. Поскольку разность хода AZ сим-
метрична относительно начала координат, полосы имеют вид
окружностей и интерференционная картина представляет собой
зонную пластинку, описываемую выражением
A!=^+rtl(±_±) = ₽i_„X,. (3.7)
В соответствии с (3.2) интенсивность интерференционной картины
меняется в пространстве по косинусоидальному закону,
cos (срг — сра) = cos (SnAZ/Xi). Если бы зависимость AZ от про-
странственных координат была линейной, то интенсивность
менялась бы по косинусоидальному закону с постоянной частотой.
Обычно это не так, однако можно определить локальную про-
странственную частоту интерференционных полос v (р). (Здесь
р — пространственная переменная, отсчитываемая в направле-
нии, перпендикулярном интерференционным полосам, и v рассма-
тривается как функция р.) Частоту v можно определить как делен-
ную на 2л пространственную скорость изменения фазы интерфе-
ренционной картины в точке Q:
v(P)=ifcsi.^=^(«). (3.8)
80
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
Если AZ определяется выражением (3.7), то
V(p) = ^-. (3.9)
Таким образом, по мере удаления от центра голограммы частота
полос увеличивается пропорционально р. При некотором значе-
нии р частота v может превысить разрешающую способность vm
светочувствительной среды. Это значение р определяет предель-
ную апертуру и разрешающую способность голограммы.
Сравнивая требования к разрешающей способности регистри-
рующей среды для случая осевой голографии и для других голо-
графических схем, которые будут рассмотрены в этой главе, мы
увидим, что удобно и достаточно рассматривать только компо-
ненту пространственной частоты v в направлении ж'. Для даль-
нейшего упрощения предположим, что R находится на бесконеч-
ности (т. е. опорная волна плоская и zT = оо). Для этого слу-
чая [см. (3.6)] имеем
t'__ а(фг Фа) _ хг /Q
S — 2л. ~ Z1X1 ' k '
Чем дальше расположен предмет от голограммы, тем реже
полосы и тем легче их зарегистрировать. Габор пытался исполь-
зовать это в своем «проекционном методе» (см. гл. 2, § 2). К сожа-
лению, при этом падает разрешающая способность, если значе-
ние ж' ограничено.
2. Внеосевая голограмма
Подставляя в (3.5) AZ = получаем
и = «•+Й-)(4)(А-А.)_
т. е. уравнение окружности с координатами центра:
__ Z1%T ZrXj
2— Zj—Zr
г %1Ут ггУ1
Zi—zr
и радиусом р, определяемым формулой
Р2 =
Zi zr
Ziyr — Zj-yi \2
ZT )
ZL— zr
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Рассмотрим внеосевую голограмму, образованную при интер-
ференции аксиальной плоской опорной волны (хт = ут = 0,
= оо) со сферической предметной волной, исходящей из точки,
смещенной относительно оси (xj, = 0, zt). Координаты центра
системы круговых интерференционных полос, радиусы которых
§ 1.
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ
81
соответствуют целым значениям п в (3.13), определяются выраже-
нием (3.12) и равны ж' = ж4 и у'2 = 0. Таким образом, центр интер-
ференционной картины, имеющей вид зонной пластинки, является
основанием перпендикуляра, опущенного из Р на плоскость голо-
граммы (фиг. 3.3). Если центр фотопластинки находится в точке О,
ФИГ. 3.3. Голограмма, образованная точечным
объектом Р, расположенным не на оси,
и аксиальной плоской опорной волной.
то будет зарегистрирована внеосевая часть интерференционной
картины, что соответствует схеме получения голограммы по Лей-
ту и Упатниексу. Частоту интерференционных полос в направ-
лении ж' можно найти, дифференцируя величину Д//Х15 опреде-
ляемую выражением (3.11), при условии хт = yr = yi = 0 и zr =
6-0990
82
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
= оо. В результате получаем
^'=--4—1-4-. (3.14)
Предполагая, что центр голограммы находится в О, сравним
значение определяемое выражением (3.14), с соответствующей
величиной, найденной для осевой схемы голографирования [см.
(3.10)]. В центре осевой голограммы (ж' = 0) частота полос равна
нулю, в то время как для внеосевой схемы частота в центре равна
xjztkt. По мере удаления от центра в направлении отрицательных
значений ж' (фиг. 3.3) частота полос в обеих интерференционных
картинах растет пропорционально х'2 и разность частот сохра-
няется постоянной. Краю голограммы соответствуют наиболее
высокие пространственные частоты интерференционной картины.
Для того чтобы на внеосевой голограмме была зарегистриро-
вана интерференционная картина, разрешающая способность све-
точувствительной среды должна быть на xjziki больше, чем для
осевой голограммы. Из (3.11) следует, что для внеосевой опорной
волны {хТ 0, xTlzT = tg 0Г « 0Г) разность частот равна
_ JhzdL, (3.15)
где 0j — средний угол между осью z и предметной волной, т. е.
угол, который лучи, идущие от Р к центру голограммы О, состав-
ляют с осью z. Таким образом, различие в максимальной частоте
интерференционных полос на внеосевых и осевых голограммах
определяется средним углом между предметным и опорным пучками.
В реальном случае либо размеры предмета, либо размер голо-
граммы могут оказаться такими, что частота полос будет пре-
вышать разрешающую способность регистрирующей среды vm.
Если голограмма мала по сравнению с предметом, то главную
роль в (3.14) играет последний член [или (0! — в (3.15)].
Максимальная частота на голограмме будет определяться точеч-
ным источником, расположенным на самом удаленном краю пред-
мета. Если > vm для крайних участков предмета, то эти участ-
ки не будут зарегистрированы. С другой стороны, если фотопла-
стинка намного больше предмета, то главную роль в (3.14) будет
играть первый член. За пределами некоторой величины х'2 всем
точкам предмета будут соответствовать зонные пластинки с ча-
стотой •
стинки, используемой для записи голограммы.
т. Величина х2 определяет предельный размер пла-
3. Безлинзовая фурье-голограмма
Рассмотрим теперь представленную на фиг. 3.4 схему, в кото-
рой предметный и опорный источники находятся в одной плоско-
сти. Предметный точечный источник находится в точке Р с коор-
§ 1-
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ
83
динатами = 0, z15 опорный источник — в точке R с коорди-
натами хт, уг = 0, zT = zP Тогда разность фаз (3.5) принимает
вид
-icr(v-rW <316)
Дифференцируя (<рг — фа)/2л по ж', получаем, что частота
полос постоянна и равна
Г = (3-17)
Поскольку интенсивность интерференционной картины не зависит
от у' [см. (3.16)], полосы в этом случае имеют вид вертикальных
ный угол.
прямых линий, расположенных на равных расстояниях друг от
друга. В направлении ж' их интенсивность меняется по косину-
соидальному закону. (Эта схема эквивалентна схеме опыта Юнга,
соответственно одинаков и вид интерференционной картины.
Такой метод был предложен Винтропом и Вортингтоном [3.4]
для голографии в рентгенрвской области и Строуком [3.5] для
оптической голографии.)
Как видно из фиг. 3.4, в первом приближении xTlzi = tg 0r «
« 0Г и аналогично ^/zt та 0!- Величину фг — фа в (3.16) можцо
записать в виде
фг-фа = 47(61-0г)^- (3-18)
Это выражение зависит только от угла, под которым из голо-
граммы виден отрезок, соединяющий точки Р и R. Выражение
6*
84
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
(3.18) остается справедливым и в том случае, когда точки Р и R
находятся на бесконечном расстоянии от голограммы (zr = Zi =
= оо, a xTlzT « 0Г и x^Zi « 0t конечны). Волны, приходящие на
голограмму от точечных источников, находящихся на бесконеч-
ности, являются плоскими. Они представляют собой картину
дальнего поля, или фурье-образ точечных источников. Следо-
вательно, можно считать, что система прямых полос, описываемая
выражением (3.18), возникает в результате интерференции плос-
кой опорной волны с фурье-образом предметного точечного источ-
ника Р. Чтобы восстановить плоскую волну, являющуюся фурье-
образом точки Р, голограмму, полученную по схеме фиг. 3.4,
не обязательно освещать исходной опорной волной, идущей
из точки R; с равным успехом можно использовать любую плоскую
волну. В последнем случае для того, чтобы получить изображение
точки Р, нужно наблюдать восстановленную волну в дальнем поле.
Необходимое для этого второе фурье-преобразование можно осу-
ществить оптически, помещая за голограммой линзу и наблюдая
картину в задней фокальной плоскости линзы. О безлинзовой
фурье-голографии см. также гл. 8.
Помещая опорный источник рядом с предметом, можно сделать
величину Xi — хт в (3.17) малой; тогда частота полос будет
низкой. В случае когда справедливо приближение (3.3), частота
будет постоянной на всей голограмме и можно использовать
фотопластинки с низкой разрешающей способностью. Для протя-
женных предметов rq — хт зависит от ширины предмета. Частота
полос, образованных краевыми участками предмета, может пре-
высить разрешающую способность фотопластинки, так что эти
участки не будут зарегистрированы. Однако для небольших объек-
тов схема безлинзовой фурье-голографии дает равномерно низ-
кочастотную систему интерференционных полос на голограмме
большой площади. Поэтому эти голограммы могут иметь высокую
апертуру, что обеспечивает восстановление изображений с высо-
ким разрешением.
С помощью (3.18) можно определить расстояние между полоса-
ни d = 1/£' для интерференционной картины, образованной при
пересечении двух плоских волн:
d=s^-
Пусть, как и в гл. 1, § 1, 0Г = — 0t. Подставляя это значение
0Г в (3.19), получаем
2eld = ‘k1, (3.20)
что соответствует выражению (1.10)
2d sin 0 = X
в случае малого угла 0.
§ 2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА 85
То обстоятельство, что безлинзовая фурье-голограмма экви-
валентна голограмме, образованной двумя пересекающимися
плоскими волнами, легко понять, если заметить, что <рг — сро
представляет собой выражение для разности фаз двух сфериче-
ских волн равной кривизны, но различных по направлению.
Поэтому вклад в разность фаз, обусловленный кривизной вол-
новых фронтов, компенсируется и остается только его часть, обу-
словленная различием средних направлений волн.
§ 2. Восстановление с помощью точечного
источника
Рассмотрев различные схемы получения голограмм, перейдем
теперь к процессу восстановления. Предположим, что получен-
ную голограмму можно до восстановления увеличить или умень-
шить. Чтобы это учесть, обозначим теперь координаты в плоско-
сти голограммы через х2 = тх'г и уг = шу', где т — линейное
ФИГ. 3.5. Освещение голограммы, расположенной
в плоскости х2, У г, точечным источни-
ком С (хс, г/с, zc).
Если плоскость изображения расположена на
положительном расстоянии z3 от голограммы,
как показано здесь, то изображение действи-
тельное; если расстояние z3 отрицательно, то
изображение мнимое.
увеличение. Кроме того, длина волны Х2 при восстановлении не
обязательно должна быть равна длине волны использовавшейся
при получении голограммы; их отношение обозначим через р. =
= Восстанавливающая (или освещающая) волна исходит
из точечного источника С (хс, ус, zc) (фиг. 3.5). Мы не будем тре-
86
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
бовать, чтобы источник С совпадал с исходным опорным источни-
ком; это может быть источник расходящейся волны или фокус
сходящейся волны.
Если голограмма соответствующим образом зарегистрирована
на фотоэмульсии, то ее амплитудное пропускание t пропорцио-
нально интенсивности I, определяемой выражением (3.1) (см.
также гл. 1, § 8), где интенсивности сферических волн Д = а*
и 12 = Гд приблизительно постоянны в плоскости голограммы.
Следовательно, в случае голограммы точечных источников ди-
фракция происходит только за счет пространственных вариаций
пропускания, обусловленных членами
га* + г* а.
Комплексные амплитуды дифрагированных волн в плоскости
голограммы пропорциональны произведению комплексной ампли-
туды освещающей волны с на записанные вьппе члены пропуска-
ния:
era* + сг*а,
где с = с0 exp (i <рс). В гл. 1, § 8, указывалось, что первый из этих
членов, содержащий а*, дает действительное изображение, в то
время как второй член, содержащий а, образует мнимое изобра-
жение. Как мы увидим, это не всегда так. Тем не менее фазу
дифрагированной волны
era* = coroao exp li (<рс + <рг — <ро)1
мы обозначим через х)
фн = Фе + фг — Фа, (3-21)
а фазу волны сг*а — через
фу = Фс — Фг + фа- (3.22)
Как и при расчетах <ра, мы положим фазу <рс волны с равной
нулю в начале координат О и вычислим относительную фазу в не-
которой произвольной точке (х2, у2) в плоскости голограммы.
Таким образом,
Фе (^2, z/2)«-^-[-^-(^-t-z/1 —2х2хс —2z/2z/c)J. (3.23)
Расстояние zc по оси z может быть либо положительным, либо
отрицательным в зависимости от того, освещается ли голограмма
соответственно сходящейся или расходящейся волной. Подставив
х) Индексы R и V в формулах (3.21) и (3.22) происходят от англий-
ских слов real (действительное) и virtual (мнимое).— Прим. ред.
СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ
87
теперь величины <рс, фо и фг из (3.23), (3.3) и (3.4) в (3.22), находим
) +
, 2л (1\ I x'22 + y22—2xixi—2y2y1 \ _
Л.1 \ 2 / \ zi )
2л / 1\ / х'г2 + у’г2 — 2х’2хт — 2у’гут \
\ 2 ) \ zT I'
Вводя величины ж2 = шх2, у2 = шу'2 и р = Х2/Х15 получаем
<РН*2, Уг) = ^[М+у1) (-^+^-7fc)-
-2.г2(^ + -^1—^-2и2 (2<=.+
а \ zc ‘ 7П21 mzr / \ zc mzi mzT / J
(3.24)
Аналогично
<Pr(^2, Уг) = -^~\№ + у\) (-1-
/»2 L- ' "С пЬЦ fftr м-р f
— 2x2 (—— । .^ 2„2 Д--ЯЕЦ1.
\ zc znzj 1 mzT I a \ zc mZi mzT I J
(3.25)
Если голограмма действительно восстанавливает изображение
точечного источника Р, то фазы восстановленных волн в плоско-
сти голограммы фу и фн должны соответствовать фазам сфериче-
ских волн. В первом приближении распределение фазы сфериче-
ской волны в плоскости голограммы можно записать в соответст-
вии с (3.3):
Ф (ж2, Уг) = (^ + у1— 2ж2ж3 — 2z/2z/3)] . (3.26)
В этом равенстве z3— расстояние от голограммы до плоскости
изображения, а х3 и у3 — координаты изображения точки Р
в плоскости изображения (фиг. 3.5). Мы должны попытаться при-
вести фу и фн к такому же виду, как ф. Если это удастся сделать,
то восстановленные волны в первом приближении будут сфериче-
скими, сходящимися или расходящимися в зависимости от знака
Фу и фн- Они соответствуют в первом приближении изображению
точечного источника. Члены высших порядков, которыми мы пре-
небрегли в выражениях для ф, фу и фн, могут, однако, отличаться;
эти члены соответствуют аберрациям (см. § 4 настоящей главы).
§ 3. Свойства изображений
Если вынести за скобки коэффициент при (^ + у2) в выраже-
ниях (3.24) и (3.25), то можно записать фу и фн в желаемой форме.
Это свидетельствует о том, что в первом приближении восстанов-
88
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
ленное изображение будет представлять собой точечный источник
с координатами (z3V, y3V, z3V) для сру и (хзн, y3R, z3R) для срн,
где
(1 , р. р. \ -1 m2zczizr
zc "т" nfizi rrflz^. J Tn2zizr+Pzczr — Pzczl ’
__m'2xcZizr + n>nxizczr — nmxrzczi ,q jn.
Tn2z1zr + pzczr — pzczi ‘ '
7n2yezlzr + P”4/lzezr —P'»yrzezl
“sv m2zjzr + pzczr — pzczi
fl p Ц \ -1_____________m2ZeZpr__________
\ zc m2Zj ~ m2zr / m2zizr — pzczr -|- p.zczi ’
m2xczizr— ixmxizczr -|- pzraa:rzczi
nfiz^zr — pzczr + pzczj ’
m2yezizr — WlZezr + \ктугз^
mPziZf — pzczr + pzczi
(3.28)
Наряду с соотношениями, определяющими положение вос-
становленного изображения, мы можем найти выражение для
поперечного увеличения Л/попер, равного
л/г ______ dx3 dy3
попер
Из (3.27) и (3.28) имеем
З/попер, v = т 4
попер, R = m (1
Для углового увеличения
2Иугл
получим
d(хэ/гэ)
d (^i/zj)
I М У™ । m
(3.30)
1. Восстановление изображений с помощью
осевых голограмм
Индексы V и R соответствуют восстановленным волпам сг*а
и era*. Будут ли образованные этими волнами изображения на
самом деле мнимыми или действительными, зависит от того, яв-
ляются они сходящимися или расходящимися, т. е. от знака
z3V и z3R. Отрицательный знак соответствует расходящейся волне
и мнимому изображению, а положительный знак — сходя-
§3.
СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ
89
щейся волне и действительному изображению. (Заметим, что
Zi — расстояние от объекта до голограммы — отрицательно, если
объект представляет собой действительный точечный источник.)
Рассмотрение свойств изображений мы начнем со случая осевых
голограмм, когда опорный, предметный и освещающий источ-
ники лежат на одной оси, так что
хт = Xi = хс = 0.
Мы будем рассматривать только координаты изображения х и z,
поскольку рассмотрение координаты у не дает дополнительной
информации.
В «проекционном» методе Габора предмет должен распола-
гаться вблизи источника, т. е. zr = Zi + Д, где Д — отрицатель-
ная величина и Д/zj 1 (см. гл. 2, § 2). Пусть ц = m = 1 и zc =
= zr (это соответствует первому оптическому опыту Габора, под-
твердившему его идею). Подставляя указанные вьппе значе-
ния х и z в (3.27) и (3.28), получаем
x3v = 0, z3y = z1 = zc—Д,
/2 1 . (о.о1),
^зн —0» z3H= (—----------—) «гс-|-Д.
Изображения располагаются симметрично относительно осве-
щающего источника на небольшом расстоянии от него. Поскольку
значение zc отрицательно, оба изображения мнимые. Чтобы их
сфотографировать, Габору пришлось использовать линзу, обра-
зующую действительные изображения на фотопластинке. Для
р = m = 1 поперечное увеличение [см. (3.29)] принимает вид
Л^попер. V = Н +^1 (—----1 >
Г Iе . 1Г \ -1-1 (3-32)
jVnonep,H-[l —2! (— + —)] •
Если освещающий источник расположен в той точке, где нахо-
дился исходный опорный источник, т. е. zc = zr, то MnonePjy =
= 1 и Л/Попер,н — 1 (напомним, что zjzr « 1). (Увеличение,
равное — 1, в случае мнимого изображения, образованного вол-
ной фн, соответствует перевернутому изображению.) Если осве-
щающий волновой фронт имеет в плоскости голограммы меньшую
кривизну, чем опорная волна, т. е. | zc | > | zr |, то поперечное
увеличение возрастает. При zc—> оо, т. е. когда освещающая волна
становится плоской, поперечное увеличение стремится к zjk.
Однако при этом увеличивается и расстояние z3 от голограммы до-
плоскости изображения. Угловое увеличение 7Иугл = ц/ш. = 1
остается постоянным.
§0
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
Первоначальный план Габора состоял в том, чтобы получить
голограмму с помощью электронных волн, а при восстановлении
использовать волны оптического диапазона. Для этого случая
р = X2Ai Ю5. Для устранения аберраций он предлагал уве-
личить голограмму в ц = т раз и поместить освещающий источ-
ник на расстоянии zc = mzT от голограммы. Поперечное увеличе-
ние при этих условиях составляет
Л^попер = + т = + Ц, (3.33)
но угловое увеличение остается равным единице. Следовательно,
расстояние от голограммы до плоскости изображения оказы-
вается в ц раз больше расстояния от объекта до голограммы.
Главная особенность метода «пропускания» Хейна и Дайсона
(см. гл. 2, § 2) состоит в том, что объект располагается вблизи
голограммы, т. е. | Zi | | zT |. Снова, положив хТ = х^ = хс = 0,
р = т = 1 и zc = zr, из (3.27) и (3.28) получим
x3v = 0, z3v = Zi,
_л _ I 2 1 \-1 (3.34)
язн-0, z3H-^—.
Если используется плоская опорная волна, так что zT -> оо, то
мнимое изображение образуется на расстоянии zls а действитель-
ное на расстоянии — zt. Изображения симметричны относительно
голограммы. Оба изображения при этом прямые, поскольку
ЛГпопер >v = -^ГПопер?н =
Рассматривая голограмму, освещаемую плоской волной
(zc = оо), длина волны которой отличается от использованной
при регистрации голограммы (р > 1), можно получить результат,
который имеет общее значение, а не ограничен только голографи-
ческими схемами с осевым опорным пучком. При условии, что
масштаб голограммы остается неизменным (т = 1), поперечное
увеличение 717попер = (1 — Zi/Zr)"1 зависит от отношения zjz?,
но не зависит от изменения длины волны. Если, кроме того, и опор-
ная волна была плоской (zr = оо), то в процессе восстановления
вообще невозможно получить увеличение. Конечно, изменение
размера голограммы позволяет получить значительное попереч-
ное увеличение, даже если используются плоские опорная и вос-
станавливающая волны. Однако оптическое увеличение голо-
граммы представляло бы собой неудобную и нежелательную сту-
пень безлинзового процесса восстановления изображений. Кроме
того, оптическое увеличение голограммы приводит к тому, что
плоскость изображения оказывается на значительном расстоя-
нии от голограммы. Например, если zc = zr = оо и ц = т. то
для расстояния от действительного изображения до голограммы
имеем z3R = — mzt = — pzj.
§ 3.
СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ
91
2. Схема Лейта и Упатниекса с внеосевым
опорным пучком
В схеме Лейта и Упатниекса объектный, опорный и освещаю-
щий источники располагаются не на одной оси. Поэтому теперь
нет необходимости ограничивать положение опорного источника
осью z, как мы делали в § 1, п. 2, настоящей главы. Нетрудно про-
иллюстрировать влияние изменения длины волны и угла падения
освещающей волны по отношению к опорной на примере плоских
волн. Здесь и далее до конца главы мы будем считать, что размеры
голограммы остаются неизменными, т. е. т = 1. Мы снова огра-
ничимся рассмотрением х- и z-координат изображения. При сделан-
ных упрощающих предположениях выражения (3.27) и (3.28)
примут вид
*3v=*i + (-g-)-y-(v)Z1 = *1+Z1 (тг-0Г) ’ Z3y=7-’
/ ес . Q \ Zi
Z3R=Z1 — Zi l-T-i-Or) , 2ЗН=--
х / Н
где 0С « tg 0С = xc/zc и 0Г « tg 0Г = xr/zr — углы, которые
освещающий и опорный пучки составляют с положительным
направлением оси z (фиг. 3.6).
92
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
Если освещающая волна идентична опорной (р, = 1 и 0С = 0Г),
то мнимое изображение появится в том месте, где располагался
исходный объект (а^, zt), а действительное изображение образуется
в плоскости, расположенной на расстоянии zt от голограммы по
другую сторону относительно освещающего источника. Оба изо-
бражения — прямые.
Так же как в гл. 1, § 4, удобно описывать процесс восстановле-
ния как дифракцию освещающего пучка на решетке, рассматривая
углы падения и дифракции. Поскольку голограммы, обсуждае-
мые в этой главе, подобны плоским дифракционным решеткам,
следует вычислить угол дифракции при освещении голограммы
плоской волной, составляющей с плоскостью голограммы угол 0С.
Для дальнейшего упрощения положим 0С = 0Г = 0 (фиг. 3.7).
Тогда из (3.35) находим угол дифракции, соответствующий
дифрагированной волне с фазой фу:
А ___ &3V _ А
иду —---------
*3V Zi
(для Zi < 0 угол отрицателен), и угол, соответствующий волне
с фазой срн:
бзв —
Жзя
2зн
£1
Z1
«-0!
(для Zi < 0 угол положителен).
Направления восстановленных волн показаны на фиг. 3.7. Из-
менение длины волны освещающего пучка приводит к изменению
угла дифракции в р раз, где р — отношение длин волн. Если же
§ 3.
СВОЙСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ
93
|.i=l, но 0С 0Г = 0, то к обоим углам 03V и 0ЗН добавляется
угол 0С, т. е. дифрагированные пучки поворачиваются вокруг
оси у.
В общем случае, когда плоские опорная и освещающая волны
идут под углом к оси, для углов дифракции, которые можно найти
из (3.35), имеем
63У = |Л01 + 0С — |Л0Г И 0ЗН = — |Л0! + 0С + |Л0Г-
(3.36)
Часто при получении голограммы выбирают углы так, что 04 =
= — а, 0Г = 4- а и 0С = + а. Если ц = 1, то углы дифракции
0ЗУ = — а и 0зК = + За (фиг. 3.8).
ФИГ. 3.8.
Внеосевая голограмма, образованная
симметричными относительно нормали
предметным и опорным пучками и осве-
щенная исходным опорным пучком.
До сих пор все наши результаты были получены в приближении
первого порядка. Наше рассмотрение, если его применить к обра-
зованию элементарной голограммы и освещению ее плоской вол-
ной, должно было бы привести к известной формуле плоской
дифракционной решетки [см. (1.11)]
d (sin i + sin 6) = X2-
Однако приближение первого порядка позволяет получить фор-
мулу (1.11) только в приближении малых углов. Чтобы это пока-
зать, запишем (1.11) в виде, соответствующем голографически
полученным решеткам. Рассмотрим решетку, образованную при
интерференции двух плоских волн на фотослое (фиг. 1.4). В этом
случае каждый из углов можно принять равным 01? так что d =
= Xi/2 sin0j. Подставляя d в (1.11) и предполагая, что освещающая
волна падает под углом i = 0Ь получаем для угла дифракции 6
94
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
(в настоящей главе мы обозначали этот угол 03) следующее выра-
жение:
sin 6 = sin 03 = 2 jy sin 0! — sin0j = (2p— l)sin0!. (3.37)
Теперь вычислим угол дифракции 03V из (3.36) при тех же усло-
виях. Производя замену 0j = — 0Г и 0С = 0Г, получаем
0ЗУ = 0J (2р. - 1), (3.38)
что соответствует в первом приближении равенству (3.37).
Таким образом, результаты, полученные путем геометрического рас-
смотрения в приближении первого порядка, справедливы только-
в том случае, когда sin 0 « tg 0 0.
3. Восстановление изображений в случае,
когда все источники находятся на одинаковом расстоянии
от голограммы
Пусть предметный и опорный источники лежат в одной и той
же плоскости, т. е. z4 = zr и освещающая волна идентична опор-
ной (хс = хг, zc = zr)- Тогда (3.27) и (3.28) примут вид
3-3V = %Г (1 ц) ЦХ1, Zgy = Zj, /д дд\
Ж3Н = (1 + р) — ЦЖь Z3R = Zi- ' '
Такая схема соответствует получению безлинзовой фурье-голо-
граммы. В этом случае оба изображения мнимые и расположены
в той плоскости, где находился объект при съемке голограммы.
Если опорный источник находится на оси z, то изображения сим-
метричны относительно этой оси. Изображение с координатами
(^зя, z3H) — перевернутое.
Любая из этих волн может сходиться в точке, которая нахо-
дится на положительном расстоянии от плоскости голограммы.
Пусть предметный пучок представляет собой такую сходящуюся
волну, так что расстояние Zi положительно, и пусть zr = zc =
= — Zj. Тогда
zi
и изображение, соответствующее фу, действительное для 2р > !•
С другой стороны, для изображения, соответствующего фн,
гзя— 2р+1 ’
и оно является мнимым. Наоборот, если освещающая волна будет
сходиться в точке на положительном расстоянии от голограммы,
§ 4. АБЕРРАЦИИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 95
то анализ формул для z3V и z3R в (3.27) и (3.28) показывает, что
оба изображения в этом случае действительны; изображение
в точке (х3у, z3V) тогда перевернуто.
§ 4. Аберрации третьего порядка
Выражение (3.26), описывающее распределение фазы в плоско-
сти голограммы, представляет собой только приближение первого
порядка относительно l/z3. Приближение следующего порядка
содержит несколько членов, пропорциональных (l/z3)3. Это,
конечно, относится также и к выражениям для сра, <рг и фс [см. (3.3),
(3.4) и (3.23) соответственно]. Чтобы получить члены третьего
порядка в выражениях для фу или фн, нужно в соответствии
с (3.21) или (3.22) сложить члены третьего порядка в (3.3), (3.4)
и (3.23). Разности фаз между членами третьего порядка в (3.26)
и членами третьего порядка в выражениях для фу (или фн) пред-
ставляют собой аберрации.
Мейер [3.2] вычислил разные типы аберраций голограмм, соот-
ветствующие в общепринятой классификации сферической абер-
рации, коме, астигматизму, кривизне поля и дисторсии. Он пока-
зал, что если освещающая волна идентична опорной, то одна из
дифрагированных на голограмме волн образует изображение,
свободное от аберраций. Увеличение в этом случае равно
единице.
Увеличения можно достичь, либо освещая голограмму сфери-
ческой волной, кривизна которой отлична от кривизны опорной вол-
ны, и сохраняя р. = т = 1, либо используя для освещения световой
пучок с длиной волны, отличающейся от использованной при полу-
чении голограммы (р. #= 1), либо изменяя размеры голограммы
(т 1). Первым из этих способов нельзя получить безаберрацион-
пое изображение. Если в качестве опорной и освещающей волн
использовать плоские волны, то свободное от аберраций изобра-
жение, соответствующее волне с фазой фу, образуется, если
р. = т и 6С = 0г, в то время как безаберрационное изображение,
соответствующее волне с фазой фн, получается при условии
р. = т, 0с = — 0г (изменение масштаба голограммы связано,
однако, с применением линз и ухудшением изображения). Если
опорный и предметный источники находятся на одинаковом рас-
стоянии от голограммы (схема безлинзовой фурье-голографии,
zt = zr), то можно без оптического увеличения голограммы полу-
чить увеличенное изображение с нулевыми сферическими абер-
рациями. Увеличение достигается за счет использования большей
длины волны (р, > 1). Однако при этом имеют место аберрации
по крайней мере одного из других видов.
§6
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
ЛИТЕРАТУРА
3.1. URBACH J. С., MEIER R. W.,
Appl. Opt., 5, 666 (1966).
Регистрация голограмм на
фототермопластиках.
3.2. MEIER R. W., Journ. Opt. Soc.
Amer., 55, 987 (1965).
Увеличение и аберрации
третьего порядка в голографии.
3.3. CHAMPAGNE Е. В., Journ.
Opt. Soc. Amer., 57, 51 (1967).
Формирование изображений в
непараксиальных лучах, увели-
чение и аберрации в голографии.
3.4. WINTHROP J. Т., WORTHIN-
GTON С. R., Phys. Lett., 15,
124 (1965).
Рентгеновская микроскопия с
последующим преобразованием
Фурье.
3.5. STROKE G. W., Appl. Phys.
Lett., 6, 201 (1965).
Метод без линзового фурье-пре-
образования в голографии.
Глава 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В основу анализа голограмм точечного источника (см. гл. 3)
было положено рассмотрение разности хода лучей от источника
до голограммы, образуемой сферическими или плоскими волнами.
Для таких простых волн нетрудно найти распределение комплекс-
ных амплитуд света непосредственно вблизи голограммы,
поэтому такая характеристика поля используется далее для описа-
ния основных принципов записи и восстановления волнового
фронта.
Однако если во входной плоскости имеется более слож-
ное распределение комплексных амплитуд и требуется определить,
как оно изменяется при прохождении света через однородное про-
странство, оптические элементы, голограмму и т. п., то рассмо-
трение следует проводить в более общем виде.
Электромагнитные волны могут быть промодулированы во
времени или, что характерно для волн в оптическом диапазоне,
в пространстве. При временной модуляции распространение волны
можно рассматривать в любой из двух областей: временной или
частотно-временной. Аналогично распространение пространствен-
но-модулированной волны, которое нас здесь интересует, можно
рассматривать либо в координатной области, либо в пространст-
венно-частотной. В координатной области комплексная амплитуда
а’ (ж, у) выражается как функция пространственных координат х,
у плоскости наблюдения, через которую проходит свет. То же
самое распределение может быть выражено через ортогональные
пространственные частоты £ и т).
Если к произвольному двумерному распределению комплекс-
ных амплитуд света применить основную теорему анализа Фурье,
то это распределение можно записать в виде дискретной или не-
прерывной суммы синусоидальных составляющих. Величина,
обратная пространственному периоду любой из компонент суммы,
измеренному в выбранном направлении в плоскости наблюдения,
называется пространственной частотой этой компоненты в ука-
занном направлении. Разлагая пространственный период по
ортогональным направлениям х и у, получаем соответствующие
компоненты £ и р пространственной частоты. Таким образом, мы
можем выразить распределение комплексных амплитуд а (ж, у)
в координатной области через другую функцию А (£, р) в обла-
сти пространственных частот. Функция А (£, р) определяется дву-
7-0990
98
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4
мерным фурье-образом ^[а (ж, у)] функции а (х, у)'.
оо оо
ер [а (х, у)] = j j а (ж, у) ехр (2зи£г) exp (2nvt\y) dx dy =
— ОО —оо
= А(£, л). (4.1)
Соотношение (4.1), из которого следует, что А (£, р) есть фурье-
образ функции а (ж, у), в символической записи имеет вид
а (ж, у) zo А (£, т]). С другой стороны, а (х, у) есть обратный
фурье-образ .F-1 [А (£, р)] функции А (£, т]):
00 оо
jr-1[A(£, Л)]= j j A(g, т])ехр( — 2ni&r)exp( — 2лй]у) о!£сй] =
— ОО —00
= а(ж, у). (4.2)
То обстоятельство, что функция а (х, у) является обратным
фурье-образом функции А (£, р), символически можно записать
как А (£, л) с а (х, у). Заметим, что если знак zd указывает на
прямое преобразование Фурье, ас — на обратное, то запись
а (х, у) с А (|, р) может читаться в обоих направлениях. При
этом говорят, что А (£, р) и а (х, у) образуют пару преобразова-
ний Фурье х).
Операция преобразования Фурье, связывающая координатную
и частотную области, отражает физическую сущность действия
оптических систем. Преобразование можно рассматривать как
разложение сложной световой волны на множество плоских солн,
направляющие косинусы которых соответствуют пространствен-
ным частотам. Анализ распространения и дифракции плоской
волны достаточно прост, но в то же время позволяет понять основ-
ные физические принципы этих явлений.
Хотя прямой (4.1) и обратный (4.2) фурье-образы определяются
интегралами с бесконечными пределами, в большинстве случаев
их можно заменить интегралами с конечными пределами и выпол-
нить преобразование оптическим методом. В гл. 6, например,
показано, что пространственные распределения комплексных
амплитуд света в передней и задней фокальных плоскостях сфе-
рической линзы образуют пару преобразований Фурье. Это позво-
ляет получать голограммы Фурье, интересные особенности
*) Знаки в экспоненциальных множителях в (4.1) и (4.2) выбраны
в соответствии с определением понятия плоских волн, которое вводится
в гл. 5 [см. (5.7)]. Распределению амплитуд в координатной области,
описывающему плоскую волну, распространяющуюся в положительном
направлении осей х и у, соответствует функция положительных про-
странственных частот в частотной области.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ
99
которых связаны с преобразованием Фурье. В настоящей главе
мы рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, пред-
полагая, что читатель уже знаком в общих чертах с этой теорией.
Более полное изложение вопроса можно найти в работах [4.1 —
4.31.
§ 1. Линейные пространственно-инвариантные
системы и преобразование Фурье
Будем рассматривать оптическую систему, показанную
на фиг. 4.1, как «черный ящик»; иными словами, нас будет инте-
ресовать не содержимое ящика, а только то, как он действует.
ФИГ. 4.1. Оптическая система, рассматриваемая
как «черный ящик».
Мы хотим знать выходную функцию в плоскости Р2 при заданной
входной функции в плоскости Р^.
При использовании когерентного света входной и выходной
функциями могут быть, например, функции распределения ком-
плексных амплитуд света в плоскости предмета и в плоскости
изображения. Предположим, что входной функции at (х, у) соот-
ветствует выходная функция bi (х, у), а входной функции а2 (х, у)
соответствует выходная функция Ь2 (х, у). Систему называют
линейной, если выполняется свойство суперпозиции, т. е. для всех
входных функций at (х, у) и а2 (х, у) и для всех постоянных
и с2 входная функция (х, у) -j- с2а2 (х, у) преобразуется
в выходную функцию Cibi (х, у) -j- с2Ь2 (х, у). Систему называют
пространственно-инвариантной, если входная функция а! (х —
— и, у — и) преобразуется в выходную bt (х — и, у — и) для
всех at (х, у). Здесь и и и — постоянные; масштаб системы коор-
динат на выходе выбран так, что увеличение равно единице. Заме-
7*
100
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
тим, что оптические системы очень часто не являются пространст-
венно-инвариантными по всей входной и выходной плоскости.
Однако обычно они пространственно-инвариантны внутри доста-
точно малых областей, которые называют изопланарными участка-
ми. Тогда для любого изопланарного участка систему считают
линейной и пространственно-инвариантной.
Линейные и пространственно-инвариантные системы обладают
свойством преобразовывать синусоидальный сигнал на входе
ФИГ. 4.2.
Двумерная синусоидальная функция
с периодом Л и пространственными
частотами | и ц.
в синусоидальный сигнал той же частоты на выходе. Синусоидаль-
ная двумерная функция показана на фиг. 4.2. Такая зависящая
от х и у функция с периодом Л описывается формулой
—► —►
а(х, у) = А (и, Л) cos2n , (4.3)
—► —►
где А (п, Л) — амплитуда косинусоидальной функции; г = 1х +
4* 1У — радиус-вектор; i и j — единичные векторы в направлении
осей х и у, ап — единичный вектор в направлении, соответствую-
щем периоду Л. Из фиг. 4.2 видно, что п = i cos а j cos |3;
тогда
а (ж, у) = A (£, т]) cos 2л + ру), (4.4)
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ 101
где пространственные частоты
s_______________________cos а cos 3
есть величины, обратные пространственным периодам, измерен-
ным по осям х и у соответственно. Вещественную функцию а (х, у)
можно представить в виде Re [а (х, у)] (гл. 1, § 3), где а (х, у) —
комплексная величина, и затем использовать в расчетах величину
а (х, у), опуская символ Re. Тогда получим
а (х, у) = A (£, р) ехр [—2т. + ру)1 =
= А (£, р) ехр (—2лг£ж) ехр (—2 ягцу). (4.5)
Таким образом, для линейной пространственно-инвариантной
системы выходная функция Ь (х, у), соответствующая входной
функции а (х, у), имеет те же пространственные частоты, что
и а (х, у), и
Ь (х, у) = S (£, р) А(£, р)ехр (—2я1%х) ехр (—2л гр у), (4.6)
где S (£, р) — частотная передаточная функция (см., например,
14.1]).
Это простое соотношение между входной и выходной синусо-
идальными функциями показывает, что для описания линейной
пространственно-инвариантной оптической системы может слу-
жить частотная передаточная функция S (£, р). Обычно входные
функции оптических систем не являются синусоидальными, но
в соответствии с (4.1) и (4.2) их можно разложить по синусоидаль-
ным функциям с помощью прямого и обратного преобразований
Фурье:
ОО оо
А (£, р) = J j а(х, у) ехр (2лг£я) ехр (2лгру) dx dy
— оо —оо
И
оо оо
а (ж, у) = § j А(£, р) ехр (— 2лг£я) ехр (— 2лгру) d£dp.
— оо —оо
Функцию А (£, р) часто называют спектром функции а (х, у).
Предположим, что в формуле (4.2) а (х, у) является входной функ-
цией линейной пространственно-инвариантной системы, и нас
интересует выходная функция Ь (х, у). В соответствии с (4.6)
мы должны каждую фурье-компоненту умножить на соответствую-
щую частотную передаточную функцию S (£, р). Выполняя эту
операцию, получаем следующее выражение для выходной функции
102
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
ь (ж, у):
b(x, z/)= j j А(£, Ti) S (£, т])ехр( — 2лг£я) exp (—2лгт]г/)
— оо —оо
(4.7)
Из формулы (4.7) следует, что выходная функция линейной про-
странственно-инвариантной системы есть фуръе-образ произведе-
ния спектра входной функции на частотную передаточную функ-
цию. Выражая тот же результат через пространственные частоты
(в пространстве Фурье), получаем, что спектр выходной функции
линейной пространственно-инвариантной системы равен произ-
ведению спектра входной функции на частотную передаточную
функцию, т. е.
В (£, р) = A (£, р) S (£, р). (4.8)
§ 2. Формулы соответствия и преобразования
Фурье
Формула (4.8) устанавливает связь между входным и выход-
ным сигналами линейной пространственно-инвариантной системы
посредством операции умножения в области пространственных
частот. Как мы увидим, в координатной области тоже существует
операция, определяющая связь между входным и выходным
сигналами. Такое соответствие между операциями в двух областях
обусловлено общими свойствами преобразования Фурье; можно
было бы привести много других подобных примеров. Вообще гово-
ря, существует два типа соответствий между частотной и коорди-
натной областями. К первому типу относится соответствие опера-
ций. Каждой операции в координатной области, например сложе-
нию или умножению двух функций, соответствует операция в обла-
сти пространственных частот, причем не обязательно совпадающая
с операцией в координатной области. Ко второму типу соответствий
относится соответствие функций. Каждой функции в координатной
области соответствует другая функция в частотной области.
(Существуют такие нерегулярные функции, которые не имеют
фурье-образов, но мы их здесь не рассматриваем.)
Хотя входные и выходные функции оптических систем обычно
являются двумерными, основные задачи оптики часто могут быть
рассмотрены с помощью одномерного анализа. Это упрощает
математические выражения и графическое представление. Кроме
того, двумерную функцию, записанную в соответствующей систе-
ме координат, часто можно представить как произведение двух
одномерных функций. Фурье-образ такой функции равен произ-
§ 2.
ФОРМУЛЫ СООТВЕТСТВИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
103
ведению фурье-образов двух одномерных функций. Прямое и об-
ратное фурье-преобразования одномерной функции имеют вид
ОО
А (Е) = j а (х) ехр (2л^х) dx, (4.9)
— ОО
со
а (х) = j А (£) ехр (—2at&) d^.
— СО
(4.10)
Некоторые функции, являющиеся двумерными в прямоуголь-
ной системе координат, могут быть представлены как одномерные
в полярной системе координат. Примерами таких функций, инте-
ресных для голографии, являются функция Гаусса и функция
круговой апертуры. Функцию Гаусса ехр (— 3Tgr8), где g —
постоянная и г8 = х2 у8, можно представить как произведение
ехр (— ngx8) ехр (— ngy2),
так что ее фурье-образ можно найти путем двукратного примене-
ния соотношения (4.9). Вычисление фурье-образа одномерной
функции производится следующим образом:
СО
А (£) = j ехр (—ngx2) ехр (2ш£х) dx =
— ОО
—л; (gx2 — 2i£x)] dx =
= ехр(—j exp [ — л (Kgx—-^2]dx =
— oo

где интеграл с бесконечными пределами в предпоследней строке
равен единице. Тогда для функции A (v), являющейся фурье-об-
разом функции ехр (— 3igr2), имеем
. , . 1 / лЕ2\ 1 / лр2\ 1 „ / nv2\
A (v) = —_ехр (-А.) --«р ( - т) ,
где
V2 = + Т]8.
104
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
Функция круговой апертуры rect (г/2с) равна единице в круге
радиусом с и нулю при г > с. Чтобы найти ее фурье-образ, следует
записать (4.1) в цилиндрических координатах. Положим
х = г cos 0, у = r sin 0,
g = vcoscp, Т] = v sin ср,
а (х, у) = rect (-£-) =
Для
Для
г < с,
Г^> с.
Тогда формула (4.1) принимает вид
с 2я
A (v) = j £ j ехр [ 2л irv cos (0—ф)] d0 J
о о
г dr =
[2л Jo (2nrv)] r dr
= W j (2nvr) J° d (2nvr>=
0
= ^Л(2л™) = лС8
Ji (2jivc)
me
Здесь мы воспользовались следующими соотношениями:
2л
2лJo (х) = j ехр (ix cos 0) и j xJ0 (x) dx = xJ\ (ж)
0
(cm. [4.4]), где Jo и Л — функции Бесселя первого рода соответ-
ственно нулевого и первого порядков. Функция
Ji (2лус)
тс
имеет максимальное значение, равное единице, при v = 0, следо-
вательно, функция A (v) достигает своего максимального значения,
равного лс8, в начале координат частотной плоскости. Функция
A (v) показана на фиг. 4.7. Ширину кривой A (v) принимают рав-
ной величине v0 = 0,61/с, т. е. полуширине центрального пика.
В литературе имеются подробные таблицы фурье-преобразо-
ваний (см., например, [4.5]), на которые мы при необходимости
будем ссылаться. Однако полезно рассмотреть здесь некоторые
из основных операций фурье-анализа и привести в наших обозна-
чениях наиболее употребительные соотношения между функциями.
Для обозначения функций в координатной области мы будем поль-
зоваться строчными буквами, для обозначения функций в частот-
ной области — прописными, а символом о будем указывать на
фурье-соответствие функций в частотной и координатной обла-
стях. Каждому соответствию, обозначенному символом о, отве-
§ 3.
ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ
105
чает обратное соответствие, обозначаемое символом с, за исклю-
чением соотношений (4.20) и (4.21), относящихся к операции сдви-
га, а также соотношения (4.33).
§ 3. Операция свертки
Рассмотрение операций, устанавливающих соответствие меж-
ду функциями в разных областях, начнем со следующего соотно-
шения:
ОО
Ь(ж) = j a(w)s(;r—и) du => А (£) S (£) =В (£). (4.11)
— ОО
Интеграл, стоящий слева, называется интегралом свертки; его
часто записывают следующим образом:
ОО
j a (u) s (ж—и) du = а (х) * s (ж),
— ОО
где символ * означает операцию свертки. Соотношение (4.11)
выражает очень важную теорему свертки, согласно которой
фуръе-образ свертки двух функций равен произведению их фуръе-
образов. Соотношение (4.11) легко доказать с помощью определе-
ний фурье-образа (4.9) и (4.10):
ОО ОО ОО
ja(w)s(x—u)du= j a (u) j S (£) exp [ — 2ni (x—u)^]d^,du =
— co — oo —oo
= j S ф [ J a (u) exp (2niu£) du J exp (— 2nix%) ей; =
— oo —oo
oo
= J A © S(I)exp (- 2nixl) d^A (£, 7]) S & 7]).
— OO
Заметим, что по виду последнего интеграла нельзя сказать, кото-
рая из функций, стоящих под интегралом свертки, имеет сдвиг.
Следовательно, операция свертки коммутативна, т. е.
а (х) * s (х) = s (ж) * а (х).
В гл. 14 будет использовано следующее свойство операции
свертки, относящееся к влиянию сдвига одной из функций, стоя-
щих под интегралом свертки: если функция а (х) смещена на рас-
стояние с относительно своего начального положения, то свертка
106
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
а (х — с) * s (ж) может быть выражена через смещенную свертку
начальных функций а (х) и s (ж). Пусть
ОО
а (х) * s (х) = j а (и) s (х—и) du = h (х),
— ОО
тогда
ОО
а(х—c)*s(x) = § а (и—с)в(х—u)du =
— СО
00
= j a(v)s[(x—с) — v]dv = h(^—с), (4.12)
— 00
где v = и — с.
Смысл интеграла свертки можно уяснить с помощью фиг. 4.3,
на которой показаны вещественные функции а (г/), s (и), а также
ФИГ. 4.3. Иллюстрация операции свертки.
Площадь под кривой а (и) s (х — и) численно
равна значению свертки Ъ (х) в точке х.
функция s(—и), являющаяся зеркальным отражением функции
s (и) относительно оси ординат. Для нахождения интеграла (4.11)
нужно построить зеркальное отражение функции s (и), полученную
функцию сдвинуть по оси и вправо на отрезок х, умножить сдвину-
тую функцию s (х — и) на а (и} и вычислить площадь под кривой
а (и) s (х — и). В результате мы получим одно значение функции
Ъ (х). Повторяя указанные действия для различных значений сдви-
га х, можно построить функцию Ъ (х).
Фиг. 4.4 иллюстрирует операцию свертки двух простых пря-
моугольных функций. Сдвинутая функция s (х — и) перемещается
i 3.
ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ
107
вдоль функции а (и) (верхняя часть фиг. 4.4). Свертка этих двух
функций отлична от нуля только для тех значений сдвига х, при
которых функции перекрываются. Ширина свертки, изображенной
как функция от х (нижняя часть фиг. 4.4), равна сумме ширин
функций, подвергаемых операции свертки. Последнее справедли-
во для функций произвольной формы.
Если функцию А (£), стоящую в правой части соотношения
(4.11), рассматривать как частотный спектр входной функции
линейной пространственно-инвариантной системы, a S (£) как
частотную передаточную функцию, то В (£), согласно равенству
(4.8), есть частотный спектр выходной функции Ь (х). Вид выход-
ной функции, выражаемой интегралом свертки, определяется
видом входной функции и передаточными характеристиками
системы. В соотношении (4.11) а (х) можно рассматривать как вход-
ную функцию, фурье-образ которой равен А (£); следовательно,
для нахождения выходной функции остается определить вид функ-
ции s (х). Для этого сначала рассмотрим некоторые полезные
свойства 6-функции Дирака:
6 (х) = 0 при х 0, (4.13а)
6 (ж) = 6 (—ж), (4.136)
j 6 (х) dx — 1, (4.13в)
— ОО
б (а^) = -]4|-6(ж), (4.13г)
j /(ж) 6 (ж—a)dx = f (а). (4.13д)
— ОО
Свойство (4.13д) называют фильтрующим свойством 6-функции.
Оно выражает тот факт, что свертка какой-либо функции с 6-функ-
цией равна самой функции.
Предположим, что на вход системы подан импульс, т. е. вход-
ная функция а (х) представляет собой 6-функцию. Заменяя
в (4.11) а (и) на 6 (и), получаем
ОО 00
Ь(х)= j 6 (и) s (ж—и) du= § s (и) 8 (х—и) du =
— ОО —ОО
ОО
= j s(w)6(w—x)du = s(x). (4.14)
— ОО
Здесь мы использовали соотношение (4.13д), коммутативность
операции свертки [см. доказательство соотношения (4.11)] и сим-
108
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
метричность 6-функции. Итак, видно, что s (х) представляет собой
выходную функцию, или отклик системы, соответствующий
импульсу на входе. Импульсный отклик з (ж) в оптике называют
функцией рассеяния. Она характеризует распределение комплекс-
ной амплитуды света в выходной плоскости, соответствующее
точечному источнику света, т. е. 6-функции во входной плоскости.
Согласно (4.11),
s (ж) => S (£), (4.15)
т. е. для линейной пространственно-инвариантной системы фуръе-
образ функции рассеяния есть частотная передаточная функция.
ФИГ. 4.4.
Свертка двух прямоугольных функций.
Вверху показано перемещение одной функции
относительно другой. Внизу представлена
свертка как функция от х, откуда видно, что
ширина свертки равна сумме ширин функций,
подвергаемых операции свертки.
Кроме того, соотношение (4.11) можно интерпретировать сле-
дующим образом: выходная функция линейной пространственно-
инвариантной системы равна свертке входной функции и функции
рассеяния.
Другим примером, поясняющим смысл операции свертки и ее
связь с линейной пространственно-инвариантной системой, может
§ 3.
ОПЕРАЦИЯ СВЕРТКИ
109
служить функция
Г / \ 1 х ®
I (#) = тг~ rect -j—,
' 7 Ди Ди
(4.16)
т. е. симметричная относительно оси ординат узкая прямоугольная
функция, определенная в области от — Ди/2 до + Ди/2 и имеющая
высоту 1/Ди (фит. 4.5, а). Пусть функции I (х) на входе системы
соответствует функция s(x) на выходе (фит. 4.5, б). Выразим через
I (х) произвольную входную функцию а (х). Вещественная входная
функция а (х), показанная нафиг. 4.5, в, представлена в виде сово-
купности прямоугольных функций шириной Ди. Для каждого
ФИГ. 4.5.
Свертка входной функции с откликом
системы на узкую прямоугольную функ-
цию.
а—прямоугольная функция I («); б — отклик
линейной пространственно-инвариантной сис-
темы на входную функцию I (х); в — входная
функция, представленная в виде совокупности
прямоугольных функций; г — схема, показы-
вающая, что свертка для любого значения
х равна сумме ординат при данном х всех
кривых, представляющих собой отклики.
значения х, х = и, высота прямоугольной функции равна а (и)
и функция сдвинута на и от центра функции I (х). Высота а (и)
в а (и) раз больше высоты функции I (х). Следовательно, пря-
110
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
моугольную функцию при х = и можно представить в виде
а (и) I (х — и) &и.
Учитывая свойство линейности, получаем, что выходная функция,
соответствующая такой входной, будет в а (и) &и раз больше выход-
ной функции, соответствующей I (х). Из пространственной инва-
риантности системы следует, что смещение входной функции на и
вызывает в свою очередь такое же смещение выходной функции
s(x), не изменяя ее вида. Следовательно, выходная функция, соот-
ветствующая функции а (и)1 (х — и) &и, равна
а (и) s (х — и) &и.
Тогда совокупности прямоугольных функций, составляющих a (х)„
соответствует сумма выходных функций
2 а (и) s (х—и)
что и показано на фиг. 4.5, г.
Совершим теперь переход Ди-> du, т. е. заменим конечное
приращение Ди бесконечно малым du. При этом сумма переходит
в интеграл, стоящий в соотношении (4.11)
ОО
b (х) - § a(w)s(x—и) dut (4.17)
— ОО
где для общности функции а (х) и s (у) взяты комплексными. Таким
образом, вследствие линейности и пространственной инвариант-
ности системы выходная функция представляет собой свертку
входной функции и отклика на узкую импульсную функцию.
§ 4. Другие виды соответствия операций
Ниже мы рассмотрим некоторые операции в координатной обла-
сти и те операции, которые соответствуют им в частотной области.
Для первой из них, операции корреляции, теорема фурье-преобра-
зования доказывается аналогично теореме свертки. Доказатель-
ство остальных также не вызывает затруднений и может быть
найдено в книге [4.1].
а. Операция корреляции
§ а* (и) s (х4-и) du => А* (|) S (Е). (4.18)
— ОО
§ 4.
ДРУГИЕ ВИДЫ СООТВЕТСТВИЯ ОПЕРАЦИЙ
111
Интеграл слева называется кросс-корреляцией функций а (х)
и s (х) и может быть записан в виде
ОО
с(ж) = j а* (и) s (х-|- и) du = а* (х) *s (ж), (4.19)
— ОО
где символ * означает операцию корреляции. Заметим, что опера-
ция корреляции не является коммутативной, она отличается
от операции свертки тем, что для ее нахождения берется комплекс-
но-сопряженная функция'а* (ж) и функция s (ж), а не ее зеркальное
отражение относительно оси ординат. Соотношение (4.18) означает,
что фурье-образ кросс-корреляции двух функций есть произведение
комплексно-сопряженного фуръе-образа одной функции и фуръе-
образа другой. Если в (4.19) а (х) = s (х), то с (х) называется
автокорреляцией.
б. Операция сдвига
Смещение функции в координатной области приводит не к сме-
щению соответствующей функции (ее фурье-образа) в частотной об-
ласти, а к умножению фурье-образа несмещенной функции на фа-
зовый множитель, фаза которого является линейной функцией
частоты:
а (х — с) => А (£) ехр (2ш£с). (4.20)
Соотношение (4.20) используется для описания оптических схем
опознавания образов. Если мы теперь произведем смещение
функции в частотной области, то найдем, что в координатной обла-
сти это приведет к умножению соответствующей функции (обратного
фурье-образа) на фазовый множитель, являющийся линейной
функцией координат:
А (Н — с) с: а (х) ехр (—2nicx). (4.21)
Заметим, что показатели экспоненты в соотношениях (4.20) и (4.21)
отличаются знаками.
в. Теорема подобия
Если в координатной области произведено «сжатие» координат,
то в частотной области это вызовет «растяжение» координат:
а (сх) =)-ц А (-1).
(4.22)
г. Сложение и умножение на число
а (х) + Ь (х) => А (£) + В (%) (4.23)
и
са (х) => сА (£). (4.24)
112
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
д. Инверсия
Инверсия функции в координатной области вызывает инверсию
в частотной области
а (-х) => А (-£). (4.25)
е. Фуръе-образ комплексно-сопряженной функции и свойство сим-
метрии
а* (± ж) о А * (+ £). (4.26)
Если функция в координатной области действительная и цель-
ная, т. е. а (х) = а (—х), то из (4.25) следует, что А (£) = А (—£).
Из соотношения (4.26) имеем А (£) = А* (£). Следовательно,
-g- rect (-|~)
ФИГ. 4.6.
Пары преобразований Фурье, соответ-
ствующие соотношениям (4.27), (4.28),
(4.31).
§ 4.
ДРУГИЕ ВИДЫ СООТВЕТСТВИЯ ОПЕРАЦИЙ
113
действительной и четной функции в координатной области соот-
ветствует действительный и четный фурье-образ. С учетом этого
Брэгг выбрал для своих экспериментов по рентгеновской микро-
скопии объекты, имеющие центр симметрии, т. е. объекты, струк-
тура которых описывается действительными четными функциями
(см. гл. 2, § 1).
Если а (ж) дэ А (£) и а (х) —действительная функция, то, соглас-
но (4.26), имеем а (х) d А* (—£) и А (£) = А* (—£) Из послед-
него выражения следует, что функция А (£) эрмитова х). Следова-
i 3(£ + -|-)
+ 2 Т1
COS 7ГСХ
(4-32)
х) См. [4.6].— Прим, перев.

8-0990
114
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ГЛ. 4.
тельно, фурье-образом действительной в координатной области
функции является эрмитова функция. Это значит, что фурье-образ
действительного сигнала можно полностью определить, если изве-
стны его частоты в положительной области, и при решении задач,
в которых рассматриваются действительные сигналы (например,
электрические), можно ограничиться только этими частотами.
§ 5. Некоторые соответствия функций
Ниже приводятся наиболее важные пары преобразований
Фурье; большая часть из них изображена на фиг. 4.6 и фиг. 4.7.
В каждой из этих пар возможна взаимная замена переменных х и В,
за исключением соотношений (4.29) и (4.30), являющихся наиболее
простыми примерами операции сдвига, а также соотношения (4.33)
ехр(—псх2) zd ехр ( — л , (4.27)
6(z)zz>l, (4.28)
6 {х -|- с) zd ехр (—2лгВс), (4.29)
exp (2тсх) zd 6 (В-г с), (4.30)
sin лея: 1 . I Е \ ,,
------zd—recti — ), (4.31)
ЛСХ С \ С I ' '
cosncx=>-|-6 (в + -|-)+-|-6 (в—£-)» (4.32)
sinnCxzD-i-6^_^)_±6(B + ^-), (4.33)
rect (-2-) zd -c/1 (^cv). (4.34)
В соотношении (4.34) функции rect (г/2с) и cJ\ (2ncv)/v, где
г2 = ж2 + у2 и v2 = В2 + р2, обладают осевой симметрией;
через Ji обозначена функция Бесселя первого рода первого
порядка.
ЛИТЕРАТУРА
115
4.1 . BRACEWELL R., The Fou-
rier Transform and Its Appli-
cations, New York, 1965.
4.2 . PAPOULIS A., The Fourier
Integral and Its Applications,
New York, 1962.
4.3 . JENNISON R. C., Fourier
Transforms, Oxford, 1961.
4.4 . JAHNKE E., EMDE F., Tab-
les of Functions, 4th ed.,
New York, 1945. (Имеется
перевод первого издания:
Е. ЯНКЕ, Ф. ЭМДЕ, Табли-
цы функций, М.—Л., 1949.)
4.5 . CAMPBELL G. A., FOSTER
R. М., Fourier Integrals for
Practical Applications, New
Jersey, 1961.
ЛИТЕРАТУРА
4.6*. СМИРНОВ В. И., Курс выс-
шей математики, т. 2, 3, М.,
1967.
4.7 *. ГУДМЕН ДЖ., Введение в
фурье-оптику, изд-во «Мир»,
1970.
4.8 *. ЯНКЕ Е., ЭМДЕ Ф., ЛЕШ
Ф., Специальные функции.
Формулы, графики, таблицы,
М., 1968.
4.9 *. ХАРКЕВИЧ А. А., Спектры
и анализ, М., 1962.
4.10 *. ПАП УЛИС А., Теория систем
и преобразований в оптике,
изд-во «Мир», 1971.
4.11 *. СОРОКО Л. М., Основы голо-
графии и когерентной оптики,
М., 1971.
8*
Глава 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
При получении голограммы на пути света, испущенного источ-
ником, приходится помещать различные препятствия. Ими могут
быть светоделители, зеркала, микрообъективы, линзы, диафрагмы,
а также объект голографирования и фотопластинка. Каждый из
этих элементов по-своему воздействует на световой пучок.
Так как их размеры конечны, то они оказывают влияние лишь
на часть пучка, вызывая потери оптической информации.
Дифракция на препятствиях не является единственной причи-
ной изменения световой волны. Даже в процессе обычного рас-
пространения света в пространстве происходит изменение поля его
комплексных амплитуд. Примером этого может служить рассмат-
риваемое далее в гл. 6 свойство тонких линз выполнять преобра-
зование Фурье распределения амплитуд в световой волне. Мы
увидим, что для осуществления преобразования Фурье необхо-
димо не только, чтобы свет прошел через линзу, но и чтобы оп про-
шел после этого путь, равный фокусному расстоянию линзы. Про-
цесс получения голограмм и их изображающие свойства можно
объяснить с помощью теории дифракции.
В этой главе мы рассмотрим распространение и дифракцию
плоских волн сначала на препятствиях простой, а затем более
сложной формы. Будет установлена связь между распределением
комплексных амплитуд света в плоскости объекта и в плоскости,
удаленной от него на некоторое расстояние в направлении распро-
странения волн. Анализ проводится в области пространственных
частот. Хотя этот подход отличается от принятого во многих учеб-
никах по оптике, мы увидим, что он естественно вытекает из исход-
ных представлений. При обычном методе анализа, т. е. в коорди-
натной области, связь между амплитудами светового поля в двух
плоскостях устанавливается с помощью интеграла Френеля —
Кирхгофа. Мы покажем эквивалентность того и другого подхода
к решению задач о дифракции.
§ 1. Волновое уравнение и его решение
для монохроматической волны
Уравнения Максвелла устанавливают связь между производ-
ными по координатам и времени от векторных величин, характери-
зующих электромагнитное поле. Для волн, распространяющихся
§ 2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
117
в свободном пространстве, из уравнений Максвелла можно полу-
чить волновое уравнение
у, (5.4)
(см. [5.1]). В соответствии со сказанным в гл. 1, § 2, будем рассма-
тривать только вектор электрического поля у; через с обозначена
скорость света; t — время, V2 — оператор Лапласа, а х, у, z —
декартовы координаты. Из условий интерференции, выведенных
в гл. 1, § 3, п. 1, вытекает, что в уравнении (5.1) векторные величи-
ны можно заменить скалярными, т. е.
^»(х, у, z, (5.2)
где v (х, у, z, t) — одна из двух взаимно перпендикулярных
компонент электрического поля, колеблющихся в плоскости, пер-
пендикулярной направлению распространения волны.
Если, как в предыдущих главах, рассматривать монохрома-
тический свет с частотой /, то решением уравнения (5.2) будет
синусоидальное скалярное поле
v (х, у, z, t) = а (х, у, z) cos [2лД + ср (ж, у, z)], (5.3)
или, по аналогии с (1.6),
v (х, у, z, t) = Re [а (х, у, z) ехр (5.4)
где а (х, у, z) — комплексная амплитуда, или фазор, определяю-
щий как амплитуду, так и фазу волны,
а (х, у, z) = а (х, у, z) ехр [гср (ж, у, z)]. (5.5)
Для удобства математических выкладок символ Re [ ] отбрасы-
вают и в (5.2) величину v заменяют комплексной величиной v.
Делая эту замену, следует помнить, что в действительности физи-
ческая величина электрического поля вещественна.
§ 2. Решение волнового уравнения для случая
плоской волны
Волна называется плоской, если ее амплитуда и фаза в любой
момент времени постоянны по всей плоскости, уравнение которой
имеет вид
т.п = const, (5.6)
где, г — радус-вектор точки в пространстве, а п — единичный
вектор, нормальный к рассматриваемой плоскости (фиг. 5.1).
118
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
Положим, что удовлетворяющая волновому уравнению комплекс-
ная величина электрического поля v имеет вид
v (х, у, z, t) = ащхр (—ikr-n) ехр (i2n/7), (5.7)
где а± — постоянная амплитуда волны, а 7с — константа, физиче-
ский смысл и величину которой мы определим далее. Если произве-
дение r-п постоянно по всей плоскости, то, согласно (5.7), фаза
ФИГ. 5.1. Плоская волна в прямоугольной системе
координат х, у, z.
волны в любой момент времени тоже постоянна по всей этой плоско-
сти. Для конкретных значений г = и t = фаза волны будет
равна 2л/^ — -п = cpi (rj, 7t). В более поздний момент време-
ни tz > то же значение <р± фаза будет иметь на большем расстоя-
нии г2 -п > г1 -п, в то время как на прежнем расстоянии -п она
возрастет. Таким образом, плоскости постоянных фаз перемещают-
ся в пространстве, и решение волнового уравнения, имеющее вид
(5.7), представляет собой плоские волны. Направление вектора п,
нормального к плоскости постоянной фазы, является направлением
распространения волны. Если cos a, cos р и cos у — направляю-
§ 2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
119
щие косинусы вектора п (фиг. 5.1), то равенство (5.7) можно запи-
сать в виде
v (ж, у, z, t) = ехр [—ik (х cos а + у cos р +
+ z cos у] ехр (i2n/z), (5.8)
—►
где х, у и z — компоненты вектора г в декартовых координатах.
Подстановка решения вида (5.8) в волновое уравнение (5.2) дает
— к2 (cos2 а + cos2 р -Ь cos2 у) = ——(5.9)
где к — длина волпы света. Поскольку направляющие косинусы
удовлетворяют соотношению
cos2 а + cos 2Р + cos 2 у = 1, (5.10)
то v является решением волнового уравнения при условии
к = ^. (5.11)
Величина Zc называется волновым числом. Соотношение (5.8) можно
записать в виде
/ .л [ г> ./ cos а , cos 6 . cosv\1 ,.п ...
у(ж, у, z, t) = alexp — 2лцж——\-у + ехР =
= at ехр [—2т (£ж -|- ру -|- £z)] ехр (i2nft) =
= а (ж, у, z) ехр (i2nft). (5.12)
В этой главе мы будем рассматривать только монохроматический
срет. Тогда множитель ехр (i2nft) можно опустить и для описания
электрического поля пользоваться только комплексной амплиту-
дой а (ж, у, z). Величины £, р, £, определяемые равенствами
= (5.13а)
£ = -^, (5.13в)
называются пространственными частотами. Они обратны про-
странственным периодам волны, измеренным соответственно по
осям ж, у и z. Пространственная частота измеряется в обратных
миллиметрах (1/мм).
Следует отметить, что пространственные частоты могут прини-
мать как положительные, так и отрицательные значения. Если
направление распространения волны составляет с соответствую-
щей осью угол меньше 90°, то пространственная частота положи-
120
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
тельна, если больше 90°, то она отрицательна. Если ориентировать
систему координат так, чтобы, например, ось z совпала с направ-
лением распространения волны (£ = т] = 0, £ = 1/Х), то легко
видеть, что в (5.12) фаза волны в фиксированный момент времени
уменьшается с увеличением расстояния от источника. (Читатель
должен обратить внимание на то, что в некоторых книгах введено
обратное правило выбора знака, конечно, в равной мере законное.
Важно только в дальнейшем последовательно придерживаться
того или иного выбора.)
Пространственные частоты £, т] и £ часто выражаются через
углы 0! = 90° — а, 02 = 90° — р и 03 = 90° — у; тогда они запи-
сываются следующим образом:
g=sinei, (5.14а)
£ = -5^-. (5.14в)
А
На фиг. 5.2 изображена плоская волна, распространяющаяся
в плоскости yz. Мы видим, что 02 и 03 представляют собой углы,
образованные направлением распространения волны с плоскостя-
ми xz и ху соответственно. Величины £, ц, £ не являются незави-
симыми, их связь можно получить из (5.10). При подстановке
(5.13а) — (5.13в) в (5.10) получаем
X2 £2 + XV + Х2£2 = 1, (5.15)
или
£ = ±4(1-^2-%2т]2)1/2’ (5.16)
где знак определяется направлением распространения волны
в соответствии с принятым ранее правилом знаков [см. обсужде-
ние после формул (5.13)]. Теперь мы можем записать комплексную
амплитуду а (ж, у, z) плоской волны [см. (5.12)] в следующем
виде:
а (ж, у, z) =
Г о . I cos а . cos 6 , cos у \ “I
= a1exp|_-2nl^-^- + y-r^Vz-TJL)J =
=atexp [—2ni (£ж+т1у)] ехр [— ^)z(l—Х2£2—X2T]2)1/2J =
= а (ж, у, 0) ехр £—i (y-)z(l—Х2£2—XV)1/2J. (5.17)
§ 3. ДИФРАКЦИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 121
Выражение (5.17) очень полезно при рассмотрении задач о дифрак-
ции волн. Из него видно, что величина комплексной амплитуды
плоской волны на произвольном расстоянии z равна произведению
комплексной амплитуды волны при z = 0 и экспоненты, убываю-
щей при увеличении z.
§ 3. Дифракция на периодических структурах
Рассмотрим теперь, что происходит со световой волной, встре-
чающей на своем пути какое-либо препятствие. Чтобы получить
точное решение задачи о дифракции волн, необходимо решить
волновое уравнение (5.2) при граничных условиях, соответствую-
щих выбранному препятствию. К сожалению, такой прямой под-
122
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ- 5.
ход годится только для предметов очень простой формы. Даже
в этом случае решение получается очень сложным и громоздким.
Поэтому обычно представляющие практический интерес задачи
дифракции решают приближенными методами. В большинстве
задач оптики точность этих решений оказывается вполне удовлет-
ворительной. Причины этого выяснятся в дальнейшем.
ФИГ. 5.3.
Прохождение плоской волны с ампли-
тудой at через транспарант, амплитуд-
ное пропускание которого меняется как
cos у.
Непосредственно за транспарантом возни-
кают три плоские волны.
Сначала рассмотрим плоскую волну с амплитудой распро-
страняющуюся в направлении положительной полуоси z и падаю-
щую на прозрачный объект (транспарант), находящийся в плоско-
сти z = 0. Пусть транспарант, показанный на фиг. 5.3, имеет
амплитудное пропускание
t (х, у) = t0 ti cos 2лт]г/, (5.18)
§ 3.
ДИФРАКЦИЯ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
123
являющееся периодической функцией от у с пространственной
частотой т), a to и — вещественные постоянные х). [Предполагает-
ся, что t (х, у) — вещественная функция, т. е. транспарант
не вносит фазового сдвига.] Непосредственно за транспарантом
амплитуда волны а (х, у, 0) равна произведению амплитуды пада-
ющего света и пропускания t:
а(х, у, 0)=a^(x, y) = alt0-[-altlcos2m\y =
1 1
= a.1t0-}—=-a1t1 ехр (2шт]г/) ехР (—2ш’т)у). (5.19)
Заметим, что второй член в (5.19) и решение (5.12) волнового урав-
нения одинаково зависят от ху, если в (5.12) £ = 0, а т] <0. Поэто-
му можно считать, что второй член описывает плоскую волну,
которая распространяется параллельно плоскости yz (т. е. перпен-
дикулярно оси х, а = 90°), и направление ее распространения
образует отрицательный угол 02 с осью z (фиг. 5.3), поскольку,
согласно (5.146), sin 02 = %тр Аналогично третий член (5.19)
описывает плоскую волну, которая также распространяется
параллельно плоскости yz, образуя при этом с осью z положитель-
ный угол 02 (фиг. 5.3). Первый член в (5.19) не зависит от ху [в
(5.12) этому соответствует £ = т] = 0] и описывает плоскую волну,
распространяющуюся в направлении оси z. Итак, при падении
плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, на транспарант
с синусоидальным в направлении у амплитудным пропусканием
за транспарантом возникают три плоские волны: первая, с ампли-
тудой а^о, распространяется вдоль оси z (недифрагированная
волна); вторая, с амплитудой а^12, распространяется в плоскости
yz вниз от оси z, образуя с осью z угол | 02 | = arcsin(%T]) (дифра-
гированная волна —1-го порядка); третья, с амплитудой а^12,
распространяется в плоскости yz вверх от оси z, образуя с осью z
такой же угол | 02 | (дифрагированная волна + 1-го порядка).
Мы рассмотрели один из важных случаев дифракции. Транс-
паранты с периодическим распределением амплитудного пропу-
скания называются дифракционными решетками. В большинстве
случаев голограмму можно рассматривать как транспарант
с периодически промодулированным амплитудным пропусканием.
Поэтому можно ожидать, что голограмма будет воздействовать на
падающий свет примерно так же, как обычная дифракционная
решетка.
х) Как следует из (4.3) и (4.4), понятие пространственной частоты
применимо к синусоидальной составляющей пространственного распре-
деления любой физической величины, например пропускания или отра-
жения, а не только к распределению комплексных амплитуд света. Прост-
ранственная частота синусоидальной составляющей в 2л раз меньше ско-
рости пространственного изменения фазы данной составляющей в выбран-
ном направлении.
124
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
Продолжим рассмотрение дифракции плоской волны на поме-
щенном в плоскости z = 0 транспаранте с синусоидальным ампли-
тудным пропусканием t (х, у) и определим комплексную амплитуду
света в плоскости ху при z = d. Непосредственно за транспарантом
возникают три плоские волны, комплексные амплитуды которых
в плоскости z = 0 описываются выражением (5.19). С помощью
(5.17) можно определить комплексные амплитуды этих волн при
z = d. Результирующая комплексная амплитуда при z = d
является их суммой и имеет вид
а(я, у, d) = a1toexp (-~г-у-) +
+ у ехр (i2nr]z/) ехр £ — i (1—^2г12)1/2^| +
Д~а1£1ехр(— i2nT]z/) ехр £—i (1 — %2т]2)1/2 J . (5.20)
[Первый член (5.20) получается из (5.17) при |= ц =0, а второй
и третий при | = 0.] Поскольку зависящие от z показатели экспо-
нент, взятые в (5.20) приз = d, являются мнимыми, каждый из
трех членов в (5.20) описывает распространяющуюся волну.
Однако для некоторых длин волн % показатели экспонент стано-
вятся вещественными. При %т] —1 угол дифракции 02 = arcsin Хц
увеличивается, приближаясь к 90°. Для больших значений длин
волн, удовлетворяющих неравенству
Х2ц2 > 1, (5.21)
выражение (1 — ^т)2)1/» становится мнимым. Если взять отрица-
тельный знак перед корнем, то экспоненциальный множитель при-
нимает вид
ехр £ — I (— i) (Х2ц2—l)1/2j = ехр (—bd), (5.22)
где Ъ имеет положительное и вещественное значение. В этом случае
второй и третий члены в (5.20), соответствующие первому порядку
дифракции, будут описывать поверхностные волны — волны, рас-
пространяющиеся вдоль поверхности транспаранта и затухающие
по экспоненте с увеличением расстояния от нее. (Выбор знака,
таким образом, соответствует физически реализуемому явлению.)
Если неравенство (5.21) записать в виде % >. 1/т), то видно, что
поверхностные волны возникают при падении на решетку света,
длина волны которого больше периода решетки 1/т). Их амплитуда
является функцией расстояния d от решетки и при d X стремится
к нулю [см. (5.22)]. Условие затухания волн, выраженное через
пространственные частоты, может быть записано в виде т] > 1/%.
Таким образом, в распределении поля на расстоянии d^> % от транс-
паранта не содержится никакой информации о его простран-
ственных частотах, превышающих 1/%.
§ 4-
ПОСТАНОВКА ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ О ДИФРАКЦИИ
125
§ 4. Постановка общей задачи о дифракции
Рассмотрим теперь дифракцию на предметах более сложной
формы. Пусть амплитудное пропускание предмета является
периодической функцией от у, которая может и не быть простой
косинусоидальной функцией вида (5.18). Например, транспарант
может состоять из чередующихся непрозрачных и прозрачных
полос. Тогда амплитудное пропускание можно записать в виде
ряда Фурье. В более общем случае, когда амплитудное пропуска-
ние является комплексной периодической функцией двух перемен-
ных х и у, его можно представить в виде суммы членов, каждый
из которых имеет вид ехр (—i2n^x) ехр (—12т\у) [см. (4.5)J. Умно-
жая каждый член на соответствующий коэффициент, получаем
для комплексного амплитудного пропускания t (х, у), периодичес-
ки (но в остальном произвольно) зависящего от х и у, следующий
ряд Фурье:
t (х, у) =23 ехР (— i2ntix) ехр (— £2лрьг/). (5.23)
i k
Суммирование проводится по всем членам, необходимым для описа-
ния двумерной функции. Пусть транспарант с пропусканием
t (х, у) помещен в плоскость z = 0, и на него падает плоская волна
с амплитудой ai,распространяющаяся в направлении осиз. За транс-
парантом возникает набор плоских волн, распространяющихся
в различных направлениях. С помощью (5.17) и (5.23) для суммар-
ной амплитуды а2 (х, у, d) этих волн в плоскости z = d имеем
а2 (х, у, d) = aj 2 2 [ *№ ехР (— 12я&х) ехр (— i 2nphy) х
I h
X ехр (-I (1 - - %2л1)1/г) ] =
= «122 [tuexp( -i^l(l- A,2|?-X2pg)1/2) X
1 h
X exp (—12л^>1х) exp ( —i2nphj/)]. (5-24)
Если t (x, y) — непериодическая функция, то ряд Фурье заме-
няется интегралом Фурье [5.2J, а коэффициенты — произве-
дением Т (£, р) dSdp, где t (х, у) zd Т (£, р). Тогда (5.24) прини-
мает вид
а2 (х, у, d) = j j (|, р) ехр ( — i (1—%2|2 — X2p2)1/2j J X
X ехр(—г2л£ж)ехр( — i2npy) d£ dp, (5.25)
где интегрирование производится по всем | и р, удовлетворяющим
неравенству (£2 + р2) 1Д2. Анализ преобразования Фурье
126
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ- 5.
(5.25) дает следующий результат:
Если плоская волна с амплитудой а^, распространяющаяся а
направлении оси z, падает на помещенный в плоскости z = О
транспарант с амплитудным пропусканием t (х, у), то спектр
А2 (£, Л) комплексной амплитуды волны в плоскости z= d имеет
вид
А2 (В, Л) kd = «1Т (В, Л) ехр [ - i (1 - КТ - W)1/2J . (5.26)
Если лучи считать параксиальными, т. е. т) 1/К, то квад-
ратный корень в (5.26) можно записать в виде
(1-V£2 — Vp2)1/2« 1--1 V£2--|- Vt]2, (5.27).
и и
а (5.26) аменить приближенным выражением
Аг (В, Л) \z=d «Д' (£, л) ехр [inKd (|2 + л2)]. (5.28)
Фазовый множитель ехр (—i2nd/K), постоянный в плоскости ху,
в (5.28) опущен. (Отбрасывание фазового множителя, постоянного
по всей плоскости, эквивалентно сдвигу начала отсчета времени.)
Поскольку в (5.28) фаза ср = nKd (|2 -|- ц2) = nXdv2 является пара-
болической функцией координат %, т|, то приближение (5.28)
называют параболическим. Мы часто будем пользоваться этим
приближением, поэтому следует установить границы его приме-
нимости. Определим при л — 0 верхний предел значений про-
странственной частоты |, для которых параболическое приближе-
ние справедливо. Заметим, что в (5.27) следующий (опущенный)
член разложения равен V£4/8. Для определения искомого предела
мы должны задать допустимую ошибку в фазе. Известное правило
Рэлея (см. [1.13]) гласит, что любая хорошая оптическая система
не должна искажать фазу волнового фронта больше чем на л/2.
Принимая этот критерий, запишем
2nd _я ,r qq.
X 8^2’
откуда
(5-зо)
Приведем числовой пример. Пусть d = 10 см, К = 0,5 мкм. Из
условия (5.30) получим, что верхнее предельное значение простран-
ственной частоты, для которого справедливо параболическое при-
ближение, равно | = ИЗ мм-1.
§ 5. Связь с интегралом Френеля—Кирхгофа
В координатной области решение задачи о дифракции формули-
руется с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа следующим
образом: если плоская волна с амплитудой распространяющая-
§ 5.
СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ФРЕНЕЛЯ — КИРХГОФА
127
ся в положительном направлении оси z, падает на предмет с ампли-
тудным пропусканием! fe, z/i), помещенный в перпендикулярной
оси z плоскости z = О, то комплексная амплитуда света а2 (х2,
у2, d) в плоскости z = d имеет вид
-}-ОО 4“°°
a? {х2, у2, d) = j j t(xi, z/i) X
Xl = —OO yi = — oo
X -xp {~г-(2?А) [d2 +(*2-+ (У2~yi)2]1/2}cos edXidyi. (5.31)
[d* + (z2-ztf + (y2-
Вывод интеграла Френеля—Кирхгофа приведен, например, в
книге [5.3]. Через 0 обозначен угол между положительным направ-
лением оси z и отрезком прямой, соединяющим точки fo, г/15 0)
и (•r2, J/2, d), a cos 0 называют коэффициентом наклона. Геометри-
ческая схема, используемая при выводе интеграла Френеля —
Кирхгофа, приведена на фиг. 5.4. Следует отметить, что неболь-
шие изменения граничных условий приводят к изменению коэффи-
циента наклона. Коэффициент наклона, введенный Зоммерфель-
дом, совпадает с входящим в (5.31), тогда как у Кирхгофа он равен
(1 + cos 0)/2. Если угол 0 не слишком велик, то различие между
этими коэффициентами мало.
Заметим, что выражение (5.31) имеет форму интеграла свертки,
т. е. для нахождения комплексной амплитуды света при z = d
необходимо подвергнуть операции свертки амплитудное пропуска-
ние t (х, у) со второй функцией под знаком интеграла в (5.31).
Это соответствует умножению в (5.26) фурье-образа пропускания
128
распространение и дифракция света
гл. 5.
t (х, у) на функцию пространственной частоты. Можно показать,
что запись комплексной амплитуды света через интеграл Френе-
ля — Кирхгофа в виде (5.31) и запись в частотной области в виде
(5.26) полностью эквивалентны. Поскольку доказательство этого
довольно громоздко, оно приведено в приложении I. Здесь мы
покажем эту эквивалентность только для параболического при-
ближения (5.28) и для приближенной формы выражения (5.31),
которую сейчас получим. Пусть в (5.31) (х2 — х^) d и (у2 — У1)
d; тогда cos 0«1. Разложим в ряд аргумент экспоненты
в (5.31):
[d2 + (^-xiy + (y2-yiy]1/2^d+ (У2^— <5-32)
и заменим знаменатель в (5.31) его приближенным значением,
равным d. С такими приближениями выражение для комплексной
амплитуды света при z = d имеет вид
4“ОО -j-oo
а2 (х2, y2,d) = -^^ t (xlt yi) х
«1 = —оо у1=-оо
X ехр {— ^.[(^2 — + — z^)2]} dxidyi. (5.33)
Здесь опущен постоянный по всей плоскости z = d множитель.
Отсюда видно, что функция t (rt^, z/i) подвергается операции сверт-
ки с функцией
Ь^’г/) = т?ехр[-'й’(а:2 + л]' (5-34)
Эквивалентность рассматриваемых приближений в координатной
и частотной областях будет доказана, если мы сможем пока-
зать. что амплитуда а2 (х2, у2, d) в виде (5.33) и спектр А2 (£, ц)
в виде (5.28) связаны преобразованием Фурье. Поскольку, как
уже отмечалось, t (х, у) дз Т (£, ц), то из теоремы свертки (4.11)
следует, что h (х, у) zd Н (£, ц), где
Н (£, Л) = ехР [inXd (£2 -|- т]2)] (5.35)
является третьим сомножителем в (5.28). Запишем функцию
Н (£, т]) в виде произведения
Н (£, ц) = ехр (in%d£2) ехр (inWr]2) (5.36)
и вычислим ее обратный фурье-образ. Мы можем сделать это в два
действия. Сначала проведем преобразование относительно |, счи-
тая т] постоянной, а затем сделаем преобразование относительно
т], считая постоянной х. С помощью соотношения (4.27) получим
§ 5. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ФРЕНЕЛЯ — КИРХГОФА 129
искомый обратный фурье-образ функции Н (£, ц):
~ ( —iXd)1/2 еХР ) (_iA,d)V2 еХР ( ikd ) —
=id ехР [ —S' &+^)]=h
что и требовалось доказать.
Как отмечалось в гл. 2, § 1, комплексную амплитуду дальнего
поля (дифракционную картину Фраунгофера) можно приближенно
представить как фурье-образ амплитудного пропускания транс-
паранта. Используя (5.33), можно проверить это утверждение
для случая освещения плоской волной транспаранта с амплитуд-
ным пропусканием t (ж1т z/j). Представим экспоненциальный мно-
житель в (5.33) в виде
ехР [ ~S' & + УЪ ] ехр [ - in ] X
X ехр {{2л (§) +У1 (»]}•
Первый сомножитель не зависит от переменных интегрирования
Xi и у± и может быть вынесен из-под знака интеграла. Если даль-
ним полем считать область, расстояние d до которой больше разме-
ров транспаранта, так что выполняется условие дальнего поля
< d, (5.37)
то второй сомножитель приблизительно равен единице. Производя
замену
1=^ и т) = 45-, (5-38)
получаем
а2 (х2, уd) = 4g- ехр [ — -g- (з* + у2)] х
ОО ОО
X J J t (xt, yi) ехр [i2n (&С1 + tiz/i)] dxi dy± =
— oo —oo
= -Й-“1>[-П-«+Й)]т(8,Ч), (5.39)
где фазовый множитель сферической волны медленно меняется
в плоскости х2у2 и где мы использовали определение фурье-образа
(4.1). Если умножить выражение (5.39) на комплексно-сопряжен-
ное с ним, то получим, что интенсивность в дальнем поле равна
квадрату абсолютной величины фурье-образа функции t.
Для дальнего поля, т. е. при выполнении условия (5.37), | и ц
определяются выражениями (5.38), аналогичными выражениям
9-0990
130
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
ГЛ. 5.
(5.14а) и (5.146), согласно которым £ = (sin и ц = (sin 02)/Х.
На фиг. 5.5 схематически изображена плоская волна, падающая
на прозрачный объект (транспарант), помещенный в плоскости
Размеры транспаранта малы по сравнению с расстоянием
от плоскости х1у1 до плоскости наблюдения x2yz- Световые лучи,
дифрагировавшие на транспаранте, можно представить в виде
пучков света с одинаковым поперечным сечением, распространяю-
щихся в направлениях, соответствующих пространственным часто-
там транспаранта. Один из таких пучков, проходящий под углом
02 к оси z, изображен на фиг. 5.5. Его сечение плоскостью х2у%
представляет собой сравнительно небольшую область с центром
в точке у2- Если расстояние d достаточно велико, так что у2 гораздо
больше размеров сечения пучка, то
Хп = sin 02 ~ или и « .
1 “ а ' м
Аналогично
t ~ Х2
~ W
Прежде чем закончить этот параграф, необходимо сказать
несколько слов об основных допущениях теории Френеля — Кирх-
гофа. Как было показано в § 3 настоящей главы, интеграл Френе-
ля — Кирхгофа и эквивалентная ему запись в частотной области
не дают точного решения задачи с граничными условиями. Физиче-
ский смысл основного допущения этой теории можно проиллю-
стрировать на примере плоской волны, падающей на непрозрачный
ЛИТЕРАТУРА
131
экран с отверстием, причем амплитудное пропускание в пределах
отверстия равно единице, а за его пределами — нулю. На самом
деле это справедливо лишь для участков, удаленных от края отвер-
стия, так как вблизи них на световое поле оказывают влияние опти-
ческие свойства материала экрана. Именно этим влиянием прене-
брегают в теории Френеля — Кирхгофа, поэтому она справедлива
для задач о дифракции на предметах, размеры которых велики
по сравнению с длиной волны света. Это условие выполняется
во многих задачах оптики.
Однако в некоторых случаях, особенно в голографии, интегра-
лом Френеля — Кирхгофа или его эквивалентом в частотной
области пользуются и тогда, когда отдельные детали предмета
ненамного превышают длину волны света. В этом случае теория
дает по крайней мере качественное решение задачи. Примером этого
может служить рассмотрение синусоидальной амплитудной решет-
ки, описываемой выражением (5.18). При этом мы не считали, что
пространственный период решетки 1/т] значительно больше X.
Тем не менее наша теория предсказывает в соответствии с действи-
тельностью существование трех плоских волн, суммарная ампли-
туда которых сразу за транспарантом изменяется с частотой,
равной частоте решетки т]. Точное решение задачи с граничными
условиями также дает три волны, и в этом смысле приближенная
теория справедлива. Приближенное решение может отличаться
от точного лишь значениями амплитуд этих волн, а что касается
большинства задач голографии, то для них нет необходимости
знать точное значение амплитуды волны.
ЛИТЕРАТУРА
5.1. ВАМО S., WHINNERY J. R.,
‘Fields and Waves in Modern
Radio, 2nd ed., New York, 1953.
5.2. JOOS G., Theoretical Physics,
New York, 1950, p. 51—54.
5.3. O’NEILL E. L., Introduction to
Statistical Optics, Reading, Mas-
sachusetts, 1963. (Имеется пере-
вод: Э. О’НЕЙЛ, Введение в
статистическую оптику, изд-во
«Мир», 1966.)
9*
Глава 6
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
Сферические линзы могут формировать не только распределе-
ние амплитуд света, соответствующее изображению, но и созда-
вать картину, являющуюся фурье-образом этого распределения.
Следовательно, с помощью простой линзы можно добиться того,
чтобы распределение освещенности, создаваемое предметной вол-
ной в плоскости голограммы, представляло собой фурье-образ
некоторого исходного изображения. Записанный на голограмме
фурье-образ обладает свойствами, имеющими важное значение для
оптического опознавания образов и оптической памяти.
Линзу как устройство, способное формировать изображение,
используют в голографии для получения голограммы сфокусиро-
ванного изображения. В этом случае линза фокусирует изображе-
ние голографируемого предмета на плоскость голограммы, где оно
интерферирует с опорной волной. Такой метод получения голо-
грамм позволяет значительно уменьшить требования к степени
когерентности излучения, используемого при восстановлении.
Полученная надлежащим образом голограмма сфокусированного
изображения может быть освещена при восстановлении обычной
лампой накаливания с матовым стеклом J).
Эти причины, а также возможность использования линз для
формирования световых пучков нужной конфигурации делают
необходимым анализ некоторых свойств оптических систем, содер-
жащих тонкие линзы. В этой главе мы выведем условия, при ко-
торых линза формирует либо а) фурье-образ входного распреде-
ления комплексных амплитуд, либо б) изображение этого распреде-
ления.
Хотя условие формирования изображения можно было бы
вывести на основе принципов геометрической оптики (пренебре-
гая дифракцией), этого нельзя сделать для условия формирования
фурье-образа, которое должно быть получено с помощью
теории дифракции. Поэтому мы рассмотрим то и другое условие
с точки зрения физической оптики, принимая во внимание ко-
нечность длины волны света и связанные с этим дифракционные
эффекты.
!) Уменьшаются требования и к протяженности опорного источника,
используемого для получения голограммы,— он также может иметь про-
извольные размеры.— Прим. ред.
§ 1.
СФЕРИЧЕСКАЯ ЛИНЗА
133
§ 1. Сферическая линза
Простая сферическая линза состоит из прозрачного материала,
ограниченного двумя сферическими поверхностями. В материале
линзы свет распространяется в п раз медленнее (п — показатель
преломления материала линзы), чем в вакууме. Такая линза изоб-
ражена на фиг. 6.1, причем ее центр и центры ограничивающих
ее сферических поверхностей лежат на оси z декартовой системы
координат. Пусть на линзу падает плоская волна с длиной вол-
ны X, распространяющаяся вдоль оси z слева направо. Определим
комплексную амплитуду света аг в плоскости, нормальной к оси z
и касательной к поверхности правой половины линзы. Выразим аг
через ai, где а/ — комплексная амплитуда света в аналогичной
плоскости, касательной к левой поверхности линзы. Если считать,
что в линзе отсутствует поглощение, то задача сведется к нахож-
дению фазового множителя, на который надо затем умножить аг.
Для его получения мы должны вычислить изменение фазы волны
при ее прохождении между плоскостями z = z2 и z = z3 (фиг. 6.1).
Допустим далее, что величина d = z3 — z2 столь мала, что плоско-
134
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
сти z2 и z3 почти совпадают, т. е. будем считать линзу тонкой.
При таком условии луч света, падающий в точку с координатами
(х0, уо) на левой поверхности линзы, выходит в точке практически
с теми же координатами (ж0, у0) на правой поверхности. Следова-
тельно, фазовую модуляцию падающей волны, осуществляемую
тонкой линзой, можно рассматривать как модуляцию транспаран-
том, который имеет пропускание t (х, у) = ехр [j Д<р (х, у)] и рас-
положен в плоскости ху, нормальной оси линзы и проходящей
через ее центр.
Правая поверхность линзы описывается уравнением сферы
радиусом i\:
a^ + ^ + z^r2.
Здесь zr — координата произвольной точки на правой поверхно-
сти линзы. Решая уравнение относительно zr, получаем
zr = (г2-а;2-у2)1/2. (6.1)
Аналогично левая поверхность описывается уравнением сферы
радиусом г2:
^2 + j/2 + (zi —zz)2 = r|,
где zi — координата произвольной точки на левой поверхности
линзы, a z( — координата центра кривизны левой поверхности;
они связаны следующим соотношением:
Zi = Z1-(rl-x^-y^12. (6.2)
Толщина материала линзы, через которую проходит световая вол-
на, зависит от х и у, а именно:
Т(х, y) = Zr-Zl = (ri-x^-y^-Zi + (rl-x^y^/2. (6.3)
После прохождения линзы
испытывать фазовый сдвиг,
в месте с толщиной Т волна будет
равный
2nT 2лп7' ,,
где X' — длина волны в материале линзы; п — показатель прелом-
ления линзы (относительно воздуха); X = nk' — длина волны в воз-
духе. (Знак «минус» соответствует уменьшению фазы при увеличе-
нии расстояния от источника.)
Путь в воздухе, который проходит световая волна между плос-
костями z = z2 и z = z3, равен d — Т. Ему соответствует фазовый
сдвиг
Дф2= -^(d-T), (6.5)
§ 1.
СФЕРИЧЕСКАЯ ЛИНЗА
135
где d = z3 — z2. Полный фазовый сдвиг при прохождении волны
от z2 до z3 выражается суммой
Д<р = Л<р1 + Л(р2= (6.6)
Мы можем опустить последний член в (6.6), так как он не зависит
от а:и у и представляет собой фазовый сдвиг, постоянный по всей
плоскости ху при z = z3. Тогда (6.6) принимает вид
Д<Р = -^-(п-1)Т(х, у). (6.7)
Подставляя теперь в (6.7) выражение (6.3) для Т (х, у), получаем
Л<Р= —^(n-1) [(г2 —а:2 —у2)1/2 + (г2 —а:2 —у2)1/2]. (6.8)
Здесь, как и прежде, мы опустили не зависящую от а: и у часть
фазового сдвига + (2л/Х) zt. Чтобы получить искомое соотноше-
ние между аг и а/, заменим квадратные скобки в (6.8) их разложе-
ниями, в которых сохраним члены только первого порядка; тогда
(^ - а;2 - у^ « Г1 (1 - ^1), (6.9)
(r|-a:2-y2)'/2«r2(l-^l). (6.10)
Такое параксиальное приближение справедливо, если (а:2 + у2)
г2 или (а:2 4- у2) г|. Опять опуская фазовые сдвиги, не завися-
щие от х и у, получаем вместо (6.8)
л \ Г1 ^2 /
Произведение (п — 1) (1/г± 4- 1/г2) связано с фокусным расстоя-
нием / тонкой линзы известной формулой (см., например, [6.1])
7=<'-1>(л + ч)- <6Л2>
и фазовый сдвиг теперь можно записать в виде
Д<р = -^-(а:2-|-г/2). (6.13)
Если рассматриваемая линза достаточно тонкая и изменяет толь-
ко фазу падающего на нее света, то на основе (6.13) мы можем полу-
чить соответствующее линзе комплексное пропускание t (а:, у).
Его двумерное распределение в плоскости ху, проходящей через
136
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
центр линзы, описывается выражением
t(z,z/) = exp (iA<p) = ехр [yj(z? + z/2)] . (6.14)
Комплексная амплитуда света аг справа от линзы непосред-
ственно вблизи нее равна произведению пропускания t (ж, у)
и комплексной амплитуды аг света, падающего на линзу слева:
аг = аг ехр (ж2 + у2) ]. (6.15)
Если сравнить зависящее от а: и у распределение фазовой модуля-
ции Д<р, описываемое выражением (6.13), с фазовыми распределе-
ниями, описываемыми выражениями (3.3), (3.4) или (3.26), то
видно, что оно в приближении первого порядка соответствует
сферической волне, сходящейся в точку на оси z, расположенную
на расстоянии / от линзы (/ > 0).
§ 2. Простейшая оптическая система
Рассмотрим теперь оптические системы, состоящие из тонких
линз и свободных промежутков между ними. Самые разнообраз-
ные оптические системы, например лупа, микроскоп, телескоп,
действительно не содержат иных элементов, кроме линз и свобод-
ных промежутков. (Читателю, знакомому с материалом гл. 5,
не покажется странным включение свободного пространства в чис-
ло элементов оптической системы.) Рассмотрим сначала очень
простую оптическую систему, которая, однако, способна выпол-
нять операцию преобразования Фурье. Это поможет нам понять
принцип работы более сложных систем, которые будут рассмотре-
ны в следующем параграфе. Интересующая нас система изобра-
жена на фиг. 6.2. Она состоит из сферической линзы с фокусным
расстоянием /, помещенной в плоскости z = 0, и расположенного
вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным про-
пусканием! (xt, у^. На линзу падает распространяющаяся в поло-
жительном направлении оси z плоская волна. Ее комплексная
амплитуда слева непосредственно вблизи линзы равна ар Опреде-
лим комплексную амплитуду в плоскости z = /.
Согласно (6.15), комплексная амплитуда ar(.ri, z/i) справа
от линзы непосредственно вблизи нее описывается формулой
аг (Ж1, У1) = аг ехр (х* + у?)] • (6-16)
Затем волна "доходит через транспарант, и ее комплексная ампли-
туда сразу за транспарантом выражается произведением
а/ (хь у1) = ar (xt, yi) t (xlt yt) =
= ait(xt, z/j) exp (^i+ z/i)J . (6.17)
§ 2.
ПРОСТЕЙШАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
137
[Если линза тонкая, то совершенно неважно, справа или слева
от нее находится транспарант. В любом случае произведение
(6.17) будет состоять из одних и тех же сомножителей.] Справа
от транспаранта волна распространяется в свободном простран-
стве. Комплексную амплитуду волны в плоскости z = / можно
выразить через ее амплитуду в плоскости z = 0 либо в координат-
ной области, либо в области пространственных частот (см. гл. 5).
ФИГ. 6.2. Простейшая оптическая система, выпол-
няющая преобразование Фурье.
Выберем координатную область и воспользуемся соотношением
(5.33); тогда комплексная амплитуда а2 (х2, г/2) в плоскости z = f
запишется в виде
а2 (ж2, z/2) = -^у j j a, (xj, z/i) X
X ехр | [(ж2 — zcj)2 + (z/г — г/i)2]} dxt dy± =
= Tf J J * (x‘’ exP [ V (Ж1 + J'i)] x
X exp yy [(z2 —Zi)a + (*/2 —J/i)2]} dxidyt. (6.18)
Здесь интегрирование производится по всей поверхности линзы.
Упрощая выражение (6.18), получаем
а2 (х2, z/2) = -уу j j t (Xi, yi) X
X exp [-§-(2зд + 2у1у2 — х\ — z/l)] dx^y^. (6.19)
138
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ 6.
Поскольку интеграл берется в плоскости хгуг, можно вынести
из-под знака интеграла множитель, зависящий только от х2 и у2;
это дает
а2 (ж2, J/г) = уу- ехр [ — (ж| + z/|)J X
X j j t fa, yj) exp C(зд + z/jz/г)] dyr. (6.20)
Если положить
£ = (6.21)
И
л = < (6-22)
и подставить эти выражения в (6.20), то комплексную амплитуду
при z = / можно представить в виде
а2 (ж2, г/2) = -уу ехр [ — (ж| + yl) ] х
X J J t (Xi, У1) ехр [i2n (х^ + г/1П)] ^У1- (6.23)
В интеграле (6.23) легко узнать двумерное преобразование Фурье
при условии, что функция t (xt, yt) равна нулю за пределами
поверхности линзы. Последнее условие позволяет расширить пре-
делы интегрирования до +оо и —оо, что и требуется для преобра-
зования Фурье. Множитель, стоящий перед интегралом, пропор-
ционален пропусканию, которое может быть приписано тонкой
рассеивающей линзе с фокусным расстоянием —/, помещенной
в плоскости z = /. Экспонента представляет собой фазовый мно-
житель сферической волны. В данном случае он описывает распре-
деление фазы в плоскости х2у2, которую пересекает сферическая
волна, расходящаяся от расположенного на оси источника. Итак,
мы можем заключить, что если на тонкую линзу с примыкающим
к ней транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной
плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд,
пропорциональное произведению фазового множителя сферической
волны и фуръе-образа пропускания транспаранта.
Выражения (6.21) и (6.22) являются определениями, связываю-
щими пространственные частоты £ и ц света, дифрагировавшего
на транспаранте, с координатами (х2, у2) формирующегося в фо-
кальной плоскости линзы фурье-образа пропускания транспаран-
та. Этим выражениям, безусловно, можно придать вид, эквивалент-
ный определениям пространственных частот в гл. 5. В приближе-
нии малых углов, которое согласуется с приближениями,
принятыми выше, можно применять исходные выражения (5.14а)
§ 2. ПРОСТЕЙШАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 139
и (5.146) для £ и т]. Последнее утверждение иллюстрируется
фиг. 6.3, где в соответствии с (5.146) плоская волна, испытавшая
дифракцию на транспаранте и распространяющаяся под углом 0
к оси z, характеризуется пространственной частотой ц = (sin 0)/Х.
Луч, проходящий через центр линзы без отклонения (в случае
тонкой линзы), в фокальной плоскости х2у2 встречается с прелом-
ленными лучами на расстоянии +у2 от оси z- Для малых углов
ФИГ. 6.3. Геометрическая схема, поясняющая
соотношение между пространственными
частотами и координатами фокальной
плоскости.
имеем у2// ~ 0 ~ sin 0 = гД, поэтому ц « УгЩ- Аналогичные
соображения справедливы для £ и х2.
В § 3 мы видели, что пространственные частоты картины,
возникшей в результате дифракции света на предмете, являются
пространственными частотами двумерных фурье-компонент пред-
мета. Поэтому если известна максимальная пространственная
частота предмета, то с помощью (6.21) или (6.22) можно вычислить
максимальную протяженность его фурье-образа, сформированного
в задней фокальной плоскости данной линзы. Рассмотрим числен-
ный пример только для одной координаты. Положим максималь-
ную пространственную частоту предмета равной умеренной вели-
411116 I £макс I = Ю мм-1; кроме того, примем, что / = 500 мм,
а X = 0,5 мкм = 5 -Ю-4 мм. Тогда максимальная протяженность
фурье-образа в положительном направлении оси х получается
весьма малой: х2, макс = 2,5 мм.
В некоторых случаях, когда важна только интенсивность света,
эффекты, обусловленные наличием фазового множителя сфериче-
140
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
ской волны в (6.23), не играют роли. В других случаях от них ста-
раются избавиться. Для этого в плоскости z = f помещают соби-
рающую линзу с фокусным расстоянием /. Из (6.15) и (6.23)
очевидно, что сразу за этой второй линзой мы получим фурье-
образ, не содержащий фазового множителя сферической волны.
Оптическая система, выполняющая такое преобразование, изобра-
жена на фиг. 6.4.
Вернемся к рассмотрению системы, показанной на фиг. 6.2,
полагая при этом, что транспарант совершенно прозрачен, т.е.
t (zi,J/i) = 1- Тогда амплитуда в плоскости z = / в соответствии
с (6.23) будет равна
а2 (ж2, у2) = ехр [ ( —(ж| + у2) ] X
j j ехр [i2n (х& + z/jT])] dxr dylt
(6.24)
ФИГ. 6.4.
Оптическая система, выполняющая точ-
ное преобразование Фурье.
Линзы Lt и Ь, имеют одинаковые фокусные
расстояния f.
Допустим, что линза имеет неограниченные размеры; тогда преде-
лы интегрирования можно распространить до бесконечности и ин-
теграл будет представлять собой фурье-образ единицы. Из соот-
ношения (4.30) при с = 0 следует, что интеграл равен 6 (£) -6 (ц) =
= 6 (£, ц) = 6 (ж2/Х/, у2/Х/) и обращается в нуль всюду, кроме
ж2 = У2 = 0. Тогда (6.24) принимает вид
<6-25’
§ 3.
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
141
мы видим, что падающая на линзу с положительным фокусным
расстоянием / плоская волна сходится в математическую точку,
лежащую в плоскости, удаленной от линзы на ее фокусное расстоя-
ние. Тот факт, что фокальным пятном линзы оказалась математи-
ческая точка, обусловлен сделанным нами допущением о неогра-
ниченности размеров линзы. Линза конечных размеров образует
протяженное световое пятно с центром в точке с координатами
ж2 = У2 — 0- Влияние конечных размеров линзы будет рассмот-
рено в § 4 настоящей главы.
§ 3. Оптическая система более общего вида
Кроме систем, изображенных на фиг. 6.2 и 6.4, существуют
и другие оптические системы, которые могут выполнять преобра-
зование Фурье. Это станет очевидным после того, как мы рассмот-
ФИГ. 6.5. Оптическая система более общего вида.
Линза имеет фокусное расстояние f.
рим оптическую систему более общего вида. В этом параграфе мы
выведем не только условия формирования фурье-образа, но и усло-
вия формирования изображения. Рассматриваемая система пока-
зана на фиг. 6.5. Сферическая волна падает на транспарант с ком-
плексным амплитудным пропусканием t fo, j/i)- Радиус кривизны
волны равен т. е. волна расходится из точки, удаленной на рас-
стояние влево от транспаранта t (жр z/t). На расстоянии d2 спра-
ва от транспаранта помещена сферическая линза с фокусным
расстоянием /. Наша задача — определить комплексную ампли-
туду волны в плоскости, находящейся па расстоянии d2 справа
от линзы.
142
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
Для решения задачи воспользуемся приближенной формулой
(5.33) (свертка в координатной области), описывающей распростра-
нение волны в свободном пространстве, и приближенной форму-
лой пропускания линзы (6.15). Анализировать прохождение света
через оптическую систему, состоящую из свободного пространства
и линз, было бы проще с помощью одних только мультипликатив-
ных форм, однако легко убедиться, что это невозможно. Действи-
тельно, если для описания распространения волны в свободном
пространстве мы выберем область пространственных частот, то
можем воспользоваться мультипликативной формой (5.28). Одна-
ко выражение (6.17), описывающее прохождение света через линзу,
имеет мультипликативную форму в координатной области, и в обла-
сти пространственных частот мы должны заменить его сверткой.
Если же выбрать в качестве исходной координатную область, то
получим, что выражение для распространения света в свободном
пространстве имеет форму свертки, а для прохождения через лин-
зу — мультипликативную форму. Выбор может быть сделан про-
извольно, и мы проведем рассмотрение в координатной области.
Анализ системы, изображенной на фиг. 6.5, включает в себя
две операции умножения и две операции свертки. Для упрощения
записи мы воспользуемся обозначениями операций и допущения-
ми. введенными Вандер Люгтом [6.2]. Это наиболее краткая
и удобная форма записи уже выведенных нами соотношений.
1. Форма записи операций
Из равенства (6.14) следует, что тонкая линза является тран-
спарантом, пропускание которого описывается формулой
g(z, y) = exp[-^-(.r2 + z/2)]. (6.26)
Функция g (ж, у) по форме очень похожа на функцию h (х, у),
определяемую выражением (5.34). Эта функция, которая подвер-
гается свертке с входным пропусканием, если распространение
волн в свободном пространстве рассматривается в координатной
области, имеет вид
h^’ ^=ijexp[—(6'27)
Основываясь на сходстве выражений (6.26) и (6.27), можно ввести
функцию:
ф(.т, у; р) = ехр^—^(.r2 + z/2)] , (6.28)
где р — произвольный параметр. Тогда для описания прохожде-
ния волны через сферическую линзу с фокусным расстоянием
§ 3.
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
143
/ комплексную амплитуду света, падающего на линзу, нужно
умножить на ф* (х, у; F). Звездочка обозначает комплексно-
сопряженную величину, и
F = j- (6.29)
Волна, прошедшая в пространстве расстояние d, описывается сверт-
кой комплексной амплитуды и выражения (i/X) D-ip (х, у, D),
где х)
D = ±. (6.30)
Приведем ряд свойств функции ф (ж, у; р), которые в дальней-
шем будут нам полезны. В справедливости следующих равенств
можно убедиться подстановкой выражения (6.28):
ф (ж, у; р) = ф* (х, у; —р), (6.31)
ф (—х, —у; р) = ф (х, у; р), (6.32)
Ф (*, г/; Pi) ф (ж, у; Pz) = Ф (ж, у; Pi + Pz), (6-33)
ф (х, у, pi) Ф* (х, у; р2) = Ф (^, у; Pi — р2) = (6.34)
= Ф* (ж, у; Pz — Pi).
чр (сх, су; р) = ф (х, у; с2р), (6.35)
ф(ж — и, у — v; p) = ty(x, у; p)ty(u, v; р) ехр (их-)- vy) J . (6.36)
Соотношение
ф* (х, у; 0) = 1 (6.37)
выражает тот факт, что линза с бесконечно большим фокусным
расстоянием не изменяет распределения амплитуд поля, падаю-
щего на нее.
Применим приведенную форму записи к анализу оптической
системы, изображенной на фиг. 6.5. Расходящаяся сферическая
волна, падающая на помещенный в плоскости Pi транспарант
t (xt, yi), описывается функцией ф (xlt ур, Di) [см. обсуждение
выражения (6.23)]. Амплитуда света, прошедшего через транспа-
рант, выражается произведением
а/ (ль yi) = ф (ж±, ур, t (х^ у^. (6.38)
Свертка а/ и (iZ)2/X) ф (х, у; D2) дает распределение амплитуд
на левой поверхности линзы
az (ж2, У2) = j j а, (х^ yi) ф (х2 — xlt у2 — ур, D2) dxt dyr, (6.39)
_____ -Pi
-1) Заметим, что в работах Вандер Люгта использованы прописные буквы
F и D для величин, обозначенных у нас строчными буквами / и d, и наоборот.
Кроме того, Вандер Люгт применяет противоположный нашему знак зави-
симости фазы от времени. Выбор знака обсуждался в гл. 3, § 1, и в гл. 5, § 2.
144
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
а умножение аг на функцию -ф* (ж2, z/2; F), описывающую пропу-
скание линзы, дает распределение комплексных амплитуд на пра-
вой поверхности
аг (ж2, у2) = аг (ж2, у2) ф* (х2, у2, F). (6.40)
Наконец, вычисляя свертку аг с функцией (iD3/k) ф (х, у, D3),
получаем комплексную амплитуду а (х3, у3) в плоскости ху на рас-
стоянии d3 от линзы:
а(жз, Уз)=^~ § § »г(^2> У2) Ф (х3—х2, у3 — у2; D3)dx2dy2. (6.41)
Рг
Выражение (6.41) можно привести к более удобному виду, если
1) представитьф-функции, входящие в (6.39) и (6.41), в виде мно-
жителей, зависящих от координат только одной плоскости [исполь-
зуя (6.36)]; 2) подставить (6.39) и (6.40) в (6.41); 3) сгруппировать
множители, зависящие от координат х, у одной плоскости
[воспользовавшись равенствами (6.31) — (6.34)]. В результате
получим
а (*з. уз) = — (-^т2-) Ф (хз, Уз', D3) х
X j jjj Ф(Ж!, z/j; + ZJ2)t(Ж!, yi)^(x2, y2; D2 — F + D3) X
Pi P2
X exp [x2 (D2Xi + D3x3) + y2 (D2yi + D3y3)]} x
X dx{ dyt dx2 dy2. (6.42)
2. Условие формирования изображения
В первую очередь покажем, что выходная функция а (х3, у3)
в (6.42) имеет такой же вид, как и входная функция t (xlt у^,
а потому является ее изображением (если формирование изображе-
ния рассматривается в приближении геометрической оптики).
Последнее условие, записанное через параметры оптической систе-
мы, показанной на фиг. 6.5, имеет вид
или, используя обозначения, введенные в этой главе,
D2+D3 = F. (6.44)
Подставляя (6.44) во второй ф-множитель, стоящий под знаком
интеграла в (6.42), получаем, что ф (х2, у2; D2 — F + D3) = 1,
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
145
и для интеграла по плоскости Р2 находим
Рг
= 6 (
(6.45)
1 - ехр [х2 (D2xl -]- D3x3) + у2 (D2yl + D3y3)] J- dx2 dy2 —
D2Xi + D3x3 D2yi-\-D3y3\
к ’ к I
Здесь мы применили соотношение (4.30) при с = 0. Записывая
6-функцию следующим образом:
С Г ^2 I 1 2>3 \ ^2 I I ^3 \ ~|
S L— (®1+ ПГ*3) ’ — М ’
и используя свойство (4.13г) для случая двумерной 6-функции,
т. е. 6 (ах, by) = (1/ | ab |) 6 (х, у), получаем
6 ( D^+D^., D^+D^ } = 6 (Ж1 + х3, У1 + у3) . (6.46)
Подстановка в (6.42) найденных выше соотношений дает
a(z3, Уз) = — Уз', D3) $ $ ф (ж±, z/j; + D2) t (xt, yt) x
2 Pi
X 6 +-p|- x3, z/i + z/3) dxY dyi =
= -%Ф [*з, Уз', D3 + 2 (A + A)] X
Xt(-^,-^). (6.47)
Здесь мы учли, что свертка любой функции с 6-функцией равна
исходной функции [см. (4.13д)], а чтобы придать соотношению
более компактный вид, использовали (6.32) — (6.35). В (6.47)
ф-функция является фазовым множителем сферической волны,
который при получении изображения, как правило, играет незна-
чительную роль. В большинстве случаев в качестве изображения
регистрируется распределение интенсивностей аа*, так что фазо-
вый множитель выпадает (фф* = 1). При таких условиях на фор-
мирование изображения не влияет кривизна Di волнового фронта.
В (6.47) остается распределение амплитудного пропускания, т. е.
<6'48>
которое является перевернутым увеличенным изображением исход-
ного распределения t (xlt z/j); увеличение равно
М=-^-=--т-. (6-49)
D3 d2 7
10-0990
146
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
3. Условие формирования фурье-образа
Возвращаясь к (6.42), определим условия, при которых выход-
ное распределение комплексных амплитуд а (х3, у3) в плоскости
х3у3 является фурье-образом входного пропускания t (xlt у^.
Поскольку искомое преобразование Фурье должно связывать
комплексные амплитуды в плоскостях хгуг и х3у3, то из (6.42)
необходимо исключить члены, зависящие от координат х2, у2 плос-
кости Р2. Для наглядности запишем (6.42) в виде
а (х3, у3) = ( —Ф (хз, Уз', D3) х
X J J ф(Ж1, z/i; Di + D2)t(x1, y^lzdxidyi, (6.50)
Pi
где
I2= j j ф (ж2, y2; D2-F + D3) exp |i2n [x2 _]_
Pi
+ Уг ( Д2У1 + Дз;/з j J | dx2 dy2 = (6.51)
= j Ф (x2, У 2, D2 — F + D3) exp {i2n, (x2Z, + y2Tf\)} dx2dy2 (6.52)
p2J
и
g Д2Ж1+Д3Ж3 Д2У1+Д3У3 (6 53)
Переменные x2 и y2 можно исключить, если вычислить интеграл
Фурье (6.52). Функция ф (х2, у2; D2 — F + D3) является дву-
мерной функцией Гаусса и ее фурье-образ 12 (xlt х3), определяе-
мый соотношением (4.27), с учетом свойств ф-функций приводится
к виду
12 хз) = цд2_^_|_дз) X
хГ^1 + ^Хз,у1+^уз; д2Л+д3)• (6'54>
Применяя (6.36) и (6.35), получаем окончательный результат для 12:
J2-цд2-д+д3)г1’ У1' D2-F+D3) Г3’ Уз’ D2-F+D3) х
X ехр ( д2^у4.дз) (зд + У1Уз)} • (6.55)
Подставляя 12 в (6.50) и группируя с помощью (6.34) ф-функции,
зависящие от координат одной плоскости, получаем следующее
выражение для распределения комплексных амплитуд в плоско-
§ 3.
ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА
147
сти, находящейся на расстоянии d3 от линзы:
а (*з. Уз) = Х,(Д2—т?+Д3) Ч (жз. Уз, D3 — D2_F3+Da ) X
X J J Ч {*i> Уй Di+D2— } t (xt, z/t) x
Pi
X exp 112л [ Х ] (Ж1Ж3 + z/iz/з)} dxt dyt. (6.56)
Интеграл по плоскости Pi в (6.56) имеет вид фурье-образа, если
4>-функция, стоящая под знаком интеграла, равна единице. Послед-
нее имеет место при условии
л+д2-д- DiLnr=0- <6-57>
^2 — Г "Г-ь'з
Положим, что транспарант t (ж15 yi) освещается плоской волной,
так что Di = Udi = 0 и di = оо. Тогда
D3 = F или d3 = / (6.58)
и (6.56) принимает вид
а(ж3, г/3) = -у^Ч [хз, Уз, F—X
X j j t (Х1, У1) exp (ад, + z/iPs)] dxi dyi. (6.59)
Pi
Таким образом, когда на помещенный перед линзой транспарант
t (^i, yi) падает плоская волна, в задней фокальной плоскости
линзы, если не учитывать фазовый множитель сферической волны,
возникает распределение комплексных амплитуд, которое имеет
вид фурье-образа функции t (xt, yi). Это справедливо независимо-
от расстояния d2 между линзой и транспарантом. Фазовый мно-
житель сферической волны можно сделать равным единице, поло-
жив
D2 = F, (6.60)
т. е. поместив транспарант в переднюю фокальную плоскость лин-
зы. Такая система, применяемая на практике для получения
фурье-образа входного транспаранта, изображена на фиг. 6.6,
С учетом (6.60) выражение (6.59) принимает вид
а(^з, Уз) = -^- § j t(^!, yi) ехр [12л (х£ + У1Т])] dxi dyi, (6.61)
Pi
где
* = и = # <6-62>
являются координатами в плоскости пространственных частот.
10*
148
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
ФИГ. 6.6.
Другая оптическая система, выполняю-
щая точное преобразование Фурье.
Фокусное расстояние линзы равно f.
Следует заметить, что если £ и р взяты положительными, то
знак показателя экспоненты под интегралом в (6.61) соответствует
плоскость частот или плоскость плоскость
фурье-образа
ФИГ. 6.7. Ориентация координатных осей в пло-
скостях, в которых формируются фурье-
образы.
преобразованию пространственного распределения в частотное,
но не наоборот. При положительных | и т] показатель экспоненты
имеет знак плюс во всех формулах аналогичных преобразований,
осуществляемых оптическими системами, подобными изображен-
§ 4-
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
149
ной на фиг. 6.6. Чтобы привести оптические преобразования в соот-
ветствие с определениями (4.1) и (4.2), координаты в задней фокаль-
ной плоскости линзы, где формируется пространственное распре-
деление, должны иметь знаки, обратные знакам координат в перед-
ней фокальной плоскости, являющейся плоскостью пространст-
венных частот. Если же пространственное распределение образо-
вано в передней фокальной плоскости, то координаты в задней
плоскости берутся с теми же знаками, что и в передней. Иллю-
страция этого правила дана на фиг. 6.7.
Если входной транспарант t (xi, yj) освещен сферической вол-
ной (.Dj 0), то из (6.56) легко видеть, что плоскость, в которой
формируется фурье-образ, не совпадает с задней фокальной плос-
костью линзы Ю3 определяется из соотношения (6.57)]. Кроме
того, поскольку теперь D3 и F не равны друг другу, масштабный
множитель преобразования Фурье
____^2^3____
Z, (-О2—Р + #з)
будет функцией/)2- Это позволяет создавать системы, выполняющие
преобразование Фурье с переменным масштабным множителем
[6.2].
§ 4. Влияние конечных размеров линзы
1. Влияние на спектр пространственных частот
Для анализа оптического преобразования Фурье в § 2 было
принято допущение о бесконечном радиусе линзы. Это позволило
описывать пропускание линзы чисто фазовым множителем с беско-
нечными пределами. Теперь положим, что линза имеет конечный
радиус с, и рассмотрим снова интеграл Фурье в (6.24) для случая
t (^1, У1) = 1:
ОО
Л = j j ехр [i2n (xil + z/jT])] dXi dy^
— OO
Если li выразить через цилиндрические координаты как в коор-
динатной, так и в частотной области, а интегрирование проводить
в пределах радиуса линзы с, то для 1\ получаем
Л - [rect (^) ] - («’) Agsa (6.63)
(см. гл. 4, §|2), где ер обозначает преобразование Фурье. Функция
[J"i (2nvc)]/nvc имеет максимальное значение, равное единице,
при v = 0, следовательно, максимум функции Ц лежит на оси
и его значение равно лс2. На фиг. 4.7 построены функция Ц и ее
фурье-образ rect (г/2с). Таким образом, если линза с бесконечными
150
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
размерами фокусирует плоскую волну в математическую точку
[6-функция в (6.25)], то линза с конечным радиусом с преобразует
падающую на нее часть плоской волны в пятно конечной ширины.
За размер пятна обычно принимают половину расстояния между
нулями функции Бесселя, что соответствует интервалу в области
пространственных частот, равному v0 = 0,61/с мм-1. Пользуясь
соотношением
v = (^ + n2)1/2 = ^(^ + ^)1/2 = ^ , (6.64)
вытекающим из (6.21) и (6.22), можно перейти от ширины полосы
в частотной области к расстоянию в координатной области;
в результате для ширины (диаметра) пятна в плоскости х2у2 нахо-
дим
А = 0,61-у-. (6.65)
Ширину А в (6.65) можно считать мерой степени неопределенности,
с которой точка плоскости х2у2 пространственных частот соответ-
ствует пространственной частоте аксиальной плоской волны,
падающей на линзу конечного радиуса с. Эта неопределенность
является следствием того, что линза конечных размеров собирает
лишь часть пространственной информации, которую несет свето-
вая волна.
Рассмотрим теперь транспарант, пропускание которого уже
не равно единице и в полярных координатах описывается функцией
t (г, 0). Интеграл Фурье в (6.23), описывающий результат оптиче-
ского преобразования Фурье, которое осуществляет система,
изображенная на фиг. 6.2, теперь имеет вид
Ii=^[t(r, 0)rect (-£-)] = T(v, у)* [ле2 А^vc) ] , (6.66)
где t (г, 0) гэ Т (v, ф). Как указывалось в гл. 4, § 3, свертка двух
функций представляет собой результат сканирования одной функ-
ции с помощью другой. Функцию Т (v, ф), являющуюся фурье-
образом пропускания t (г, 0), сформированным бесконечно большой
линзой, можно рассматривать как совокупность идеальных точек
или 6-функций. При свертке каждой 6-функции с функцией пятна
лс2 [Ji (2nvc)/nvc], имеющего ширину А = 0,61 Х//с, 6-функция
уширяется до значения А.
2. Влияние конечных размеров линзы на выбор системы,
формирующей изображение или фурье-образ
Рассмотрим сначала, как сказывается конечность размеров
линзы на формировании изображения. Для получения качествен-
ного изображения необходимо, чтобы линза собирала всю световую
§ 4.
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
151
волну, переносящую информацию о предмете. Заведомо плохая
в этом отношении система изображена на фиг. 6.8. Плоская волна
падает на предмет, которым является транспарант с пропусканием
t (#i, г/i). Будем рассматривать распространение волны в плоско-
сти yz. Можно мысленно представить, что входное пропускание t
разложено на фурье-компоненты, описывающие пропускание сину-
соидальных решеток. Пусть одна из них имеет пространственную
частоту т]. Наша система подобна системе, изображенной на
фиг. 5.3, за исключением того, что здесь поперечное сечение
ФИГ. 6.8. Система, формирующая изображение
при освещении плоской волной.
падающего на решетку пучка света ограничивается протяженно-
ствю транспаранта t уг). Если плоская волна падает на ре-
шетку неограниченных размеров, то, как указывалось в гл. 5,
§ 3, дифрагировавшие волны будут плоскими, и их комплексные
амплитуды справа от транспаранта t уг) непосредственно
вблизи него будут описываться выражением (5.19):
1 1
a^i, y1) = a1t0 + -^-a1t1exp(2n.i‘r\yl)-\--^-a1t1exp( — 2m'r]y1), (6.67)
а углы дифракции определяться формулой
92 = ± arcsin Хт,.
Если пренебречь дифракцией на краях транспаранта, то можно
считать, что любой малый пучок лучей, падающий на произволь-
но выбранный малый участок решетки, дифрагирует под углом 92.
Рассмотрим сначала пучок лучей, осью которого является ось z
(фиг. 6.8). Максимальный угол, под которым дифрагируют лучи,
еще попадающие на линзу с радиусом г2, определяется отношением
r2ld2 = tg 92- Для простоты положим r2/d2 = tg 92 « sin 92. Тог-
152
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
да для центральных лучей получим, что максимальная простран-
ственная частота т]Макс входной решетки, которую линза может
преобразовать в изображение, определяется условием
sin 02 = ^Лмакс !
т. е. не превосходит величины
'п,“акс<_5г- (6-68)
Предположим теперь, что транспарант t имеет форму крута радиу-
сом i\, и рассмотрим пучок лучей, падающих на область, располо-
женную в непосредственной близости от края круга z/j =
Чтобы на линзу попадали все лучи, идущие от этой области тран-
спаранта, угол дифракции 0' не должен превышать величины
(r2 — i\)/d2, т. е.
tg 0; « sin 0; = Х%акс<,
пли
ЛмаксС-^. (6.69)
Таким образом, максимальная пространственная частота предме-
та, преобразуемая в изображение, является линейной убывающей
функцией его радиуса. Если пространственные частоты не удовлет-
воряют условию (6.69), то происходит потеря информации.
Прежде чем рассматривать оптическую систему, более полно
передающую информацию о предмете, воспользуемся проведен-
ным выше анализом системы на фиг. 6.8, чтобы выявить преиму-
щество осуществляющей преобразование Фурье оптической систе-
мы, изображенной на фиг. 6.2 (или 6.4) по сравнению с системой,
показанной на фиг. 6.6. Если на фиг. 6.8 расстояние d3 равно
фокусному расстоянию линзы, то мы получим выполняющую пре-
образование Фурье оптическую систему, которая при неограни-
ченных размерах линзы будет формировать фурье-образ Т (£, ц)
в плоскости х3у3 независимо от величины d2. [От величины
d2 зависит фазовый множитель сферической волны из (6.59),
который мы здесь не учитываем.] Однако в действительности линза
имеет конечный радиус г2, и из (6.68) и (6.69) видно, что максималь-
ная пространственная частота света, попадающего на линзу, обрат-
но пропорциональна расстоянию d2 между линзой и транспарантом
t (%i, У1). Если же d2 = 0 (как на фиг. 6.2 или 6.4), то линза
преобразует все пространственные частоты предмета, и в задней
фокальной плоскости формируется полный спектр функции
t (#i, 1/1)- В этом отношении подобная система обладает преимуще-
ством перед показанной на фиг. 6.6 системой, где d2 = /.
§ 4.
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
153
Система, формирующая изображение и сохраняющая наиболее
полно переносимую светом информацию о предмете, изображена
на фиг. 6.9. Соприкасающаяся с предметом-транспарантом t (xlt у^
первая линза Lr формирует сферический волновой фронт, который
фокусируется в расположенный на оси центр второй линзы L2.
Поскольку линза L2 находится в задней фокальной плоскости пер-
вой линзы, на поверхности линзы L2 формируется фурье-образ,
или спектр, функции t (xt, уг). В свою очередь линза L2 преобра-
зует этот фурье-образ в изображение транспаранта, возникающее
Фокусное расстояние линз Li и равно соот-
ветственно d2 и f.
в плоскости х3у3. Ограничиваясь анализом в плоскости yz, рас-
смотрим опять фурье-компоненту [одну из синусоидальных реше-
ток, составляющих пропускание t (х1, z/i)] с пространственной
частотой т]. На этот раз решетка освещается сферической волной.
Если в (6.67) вместо аг подставить фазовый множитель, соответ-
ствующий сферической волне, которая сходится в точку, находя-
щуюся на расстоянии d2 от t (xlt у J, то третий член в правой части
(6.67) примет вид
у ехр (— 2т^\у^ — ехр р -у- } (x2t + z/f) J х
X ехр [ — ?-^(Xt])z/iJ =
= ехр р -у- (у^-) [^i + z/i — 2 (d2 sin 02) г/i] j- . (6.70)
154
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 6.
Для малых углов имеем d2 sin 02 « d202 « z/2. Подставляя в (6.70)
у2, получаем для фазы
(₽=4L (it) ^ + ^1-2^]. (6.71)
Сравнение выражений (6.71) и (3.26) показывает, что <р представ-
ляет собой распределение фаз сферической волны, фокусирующей-
ся в расположенную вне оси z точку с координатами (z/2, z = d2),
положение которой определяется углом 02. Вообще говоря, при
ФИГ. 6.10. Когерентная передаточная функция
rect (v/2vMaKC) оптической системы, изоб-
раженной на фиг. 6.9.
освещении синусоидальной решетки сходящейся сферической вол-
ной, как и при освещении плоской волной, возникают три волны:
одна недифрагированная, фокусирующаяся в точку на оси, и две
другие, дифрагирующие под средними углами 02 = ± arcsin Хт]
и фокусирующиеся в плоскости z = d2 в точки с координатами ±у2-
Рассмотрим опять падающий на t (х^, узкий пучок лучей
с вершиной на оси z. Как видно из фиг. 6.9, максимальный угол,
под которым эти лучи могут дифрагировать, попадая при этом
на линзу, составляет
tg 02 « sin 02 = Хт]макс =
(6.72)
Однако это же условие справедливо (в пределах наших допущений)
и для лучей, падающих на края предмета. Если обобщить прове-
денный анализ на произвольно ориентированные синусоидальные
§ 4.
ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЛИНЗЫ
155
решетки, то (6.72) можно записать в виде
Jv — Г2
лумакс —
ИЛИ
^макс =' ! (6.73)
где v = (£2 + ц2)^, как в (6.64). Из (6.73) следует, что линза
в оптической системе на фиг. 6.9 независимо от расположения
предмета во входной плоскости преобразует в изображение всю
световую информацию о предмете, которую несут компоненты
с пространственными частотами вплоть до vMaKc. Если- простран-
ственная частота какой-либо компоненты пропускания превышает
vMaKC, то соответствующая ей информация теряется. Если записать
полученные результаты, применив понятие частотной передаточ-
ной функции [см. определение (4.6)], то в нашем случае она имеет
постоянное значение для частот вплоть до vMaKC и равна нулю для
частот, превышающих vMaKC- Эта функция изображена на фиг. 6.10.
Для систем, формирующих изображение в когерентном свете,
ее называют когерентной передаточной функцией.
3. Влияние конечных размеров линзы
на разрешение изображения
Чтобы получить функцию рассеяния s (х3, у3) для изображенной
нафиг. 6.9 системы, формирующей изображение, мы должны, со-
гласно (4.15), найти обратный фурье-образ частотной передаточной
функции S (v). Последняя изображена на фиг. 6.10 и является
функцией вида rect (v/2vMaKC), фурье-образ которой определяется
соотношением (4.34). В данном случае фурье-образ зависит от пе-
ременных, принадлежащих координатной области, и функция рас-
сеяния (нормированная на максимальное значение, равное еди-
нице) имеет вид
S (г) = (2лУМаксг) (6.74)
^макс7*
где г = (ж| + г/з)1/2- График функции s (г) приведен на фиг. 6.11.
Мы уже знаем, что если пучок света фокусируется в плоскости
линзы, строящей затем изображение, как в системе на фиг. 6.9,
то частотная передаточная функция одинакова для любого поло-
жения предмета во входной плоскости и vMaKc не зависит от коор-
динат входной плоскости. Следовательно, разрешение изображе-
ния, которое определяется функцией рассеяния, тоже не зависит
от положения предмета на входе. Согласно гл. 4, § 3, выходная
функция линейной пространственно-инвариантной оптической
системы (изображение) равна свертке входной функции и функции
рассеяния. При свертке каждая точка входной функции, описы-
156
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ ГЛ. 6.
ваемая 6-функцией, расширится на выходе в пятно шириной
Д = 0,61/умакс = 0,61 d2X/r2- Величина Д есть ширина наимень-
шего разрешаемого системой пятна на изображении. [Здесь мы
полагаем, что увеличение равно единице. В противном случае Д
умножается на dzld2', см. (6.49).] Показанную на фиг. 6.8 оптиче-
скую систему, в которой для освещения используется плоская
волна, а также системы со сферическими волнами, фокусирующи-
мися вне плоскости линзы, формирующей изображение, невозмож-
но описать одной только передаточной функцией. Такие системы,
ФИГ. 6.11. Функция рассеяния для формирующей
изображение системы, представленной
на фиг. 6.9.
в которых разрешение меняется в зависимости от положения пред-
мета во входной плоскости, называются пространственно-неинва-
риантными.
Мы рассмотрели некоторые ограничения свойств оптической
системы, обусловленные конечными размерами реальных линз.
Если ограничение, вносимое линзой, вызвано только конечностью
ее размеров, то такая линза называется дифракционно-ограничен-
ной. В нашем анализе мы неоднократно пользовались приближе-
нием малых углов. Если же световые лучи падают на тонкие линзы
под большими углами, значения которых выходят за рамки этого
приближения, то наблюдается ухудшение свойств системы по срав-
нению с оптимальными свойствами дифракционно-ограниченной
системы. Это происходит, когда размеры предмета велики и он рас-
положен не на оси, а отношение диаметра линзы к ее фокусному
расстоянию уже нельзя считать малым.
§ 5. КОГЕРЕНТНЫЕ И НЕКОГЕРЕНТНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ 157
§ 5. Когерентные и некогерентные передаточные
функции
Хотя для голографии получение изображений в некогерентном
свете обычно не представляет интереса, здесь уместно сделать крат-
кое отступление и сравнить частотные передаточные функции опти-
ческих систем, освещаемых когерентным и некогерентным светом.
Пусть в оптической системе, освещаемой когерентным светом,
входным комплексным амплитудам а! (х, у) или а2 (х, у) отвечают
соответственно выходные амплитуды (х, у) или Ь2 (х, у). Если
система линейна, то входной комплексной амплитуде а! (х, у) +
а2 (х, у) должна соответствовать на выходе комплексная амплитуда
с (ж, у) = bi (ж, у) + Ь2 (ж, у). Выходная интенсивность I = сс*
будет при этом иметь вид многочлена
I = bib! + b2b| + bib! + b*b2 = Ц +12 + bib! + btb2, (6.75)
где Zi — выходная интенсивность при действии на входе только
волны ai, а/2 — при действии только волны а2. При когерентном
освещении все четыре члена в (6.75), вообще говоря, не равны нулю.
Следовательно, в этом случае система нелинейна по интенсивно-
сти. Однако при некогерентном освещении выходная интенсив-
ность складывается только из входных интенсивностей
I = Л + 1г,
158
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
ГЛ. 3.
т. е. системы, освещаемые некогерентным светом, линейны по
интенсивности. Для характеристики таких систем можно пользо-
ваться функцией рассеяния и частотной передаточной функцией
для интенсивности. Последнюю называют оптической передаточной
функцией, а ее модуль — модуляционной передаточной функцией.
Функция рассеяния для интенсивности описывает распределе-
ние интенсивности света в выходной плоскости, соответствующее
импульсной функции во входной плоскости, и, следовательно,
равна квадрату абсолютной величины комплексной амплитудной
функции рассеяния. Для представленной на фиг. 6.9 системы,
формирующей изображение, она имеет вид
(г) = Г - 71 (2ял,макСг)П 2 . (6.76)
L л^максГ J
В соответствии с аналогичными соотношениями для когерентной
системы оптическая передаточная функция является фурье-обра-
зом функции Sj (г) и, согласно (4.18) и (4.34), представляет собой
автокорреляцию когерентной передаточной фунции rect (v/2vMaKC).
Как оптическая передаточная функция, так и когерентная пере-
даточная функция обладают круговой симметрией и зависят толь-
ко от V. Двумерные проекции абсолютных величин этих функций
представлены на фиг. 6.12.
ЛИТЕРАТУРА
6.1. JENKINS F. A., WHITE Н.Е.,
Fundamentals of Optics, 3rd ed.,
New York, 1957.
6.2. VANDER LUGT A., Proc.
IEEE, 54, 1055 (1966).
Обозначения операций при ана-
лизе и синтезе оптических си-
стем обработки данных.
Глава 7
ИСТОЧНИКИ СВЕТА
И ТЕХНИКА ОПТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Как только для получения голограмм стали применяться лазе-
ры, голография встала на практический фундамент. До откры-
тия лазеров в качестве источников света обычно использовались
ртутные лампы, в которых достигался оптимальный компро-
мисс между требованиями к когерентности и к интенсивности
излучения. Увеличения пространственной когерентности можно
было добиться только путем уменьшения светящейся поверхности
источника, что приводило к значительному ослаблению интенсив-
ности. В противоположность этому лазерное излучение обладает
одновременно и высокой когерентностью и большой интенсивно-
стью. Однако даже при использовании лазеров попытка получить
голограмму может оказаться безуспешной, если экспериментатор
не знаком со свойствами лазеров и техникой оптического экспери-
мента.
В этой главе мы рассмотрим когерентные свойства источников
непрерывного излучения в связи с получением голограмм и вос-
становлением волнового фронта. Обсуждаются также способы раз-
деления лазерного пучка на предметный и опорный, рассматривает-
ся пример простейшей голографической установки и процесс голо-
графирования.
§ 1. Источники света для получения голограмм
Требования, которые предъявляются в голографии к источ-
никам света, определяются свойствами предмета и расположением
элементов оптической схемы. На фиг. 7.1, а и б показаны два рас-
пространенных способа получения предметного и опорного пучков
от одного источника. На фиг. 7.1, а показано так называемое деле-
ние фронта световой волны, а на фиг. 7.1, б — амплитудное деле-
ние. И в том и другом случае волны, достигающие голограммы,
испускаются источником в пределах угла 20о. Как показано на
фиг. 1.18, степень пространственной, или поперечной, когерент-
ности | 1 определяется не только размерами источника, но
и углом 0О. Чтобы разность фаз предметной и опорной волн суще-
ственно не зависела от времени (условие, необходимое для получе-
ния интерференционной картины), излучение источника должно
обладать достаточной пространственной когерентностью в угле
160
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
20о. Кроме того, оно должно характеризоваться достаточной вре-
менной, или продольной, когерентностью. Точнее говоря, наиболь-
шая оптическая разность хода световых лучей, идущих от источ-
ника к голограмме (и испытывающих отражение от поверхности
б
ФИГ. 7.1. Методы получения голограмм, основан-
ные на делении волнового фронта (а)
и на амплитудном делении (б).
предмета или зеркал, используемых для формирования опорного
пучка), должна быть меньше длины когерентности.
В гл. 1, § 9, п. 2, мы видели, что комплексная степень когерент-
ности Y12 (т) [см. (1.22)] включает в себя и пространственную
§ 1.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
161
и временную когерентность. Если в выражении (1.22) положить
т—>• 0, то можно рассматривать только поперечную компоненту
когерентности. Если же корреляция величин v₽1 и Vp2 в (1.22) зави-
сит только от т, то мы будем иметь дело лишь с продольной коге-
рентностью. Такой подход к рассмотрению когерентности несколь-
ко схематичен, но полезен для выявления недостатков обычных
тепловых источников по сравнению с лазерами. В настоящей главе
мы рассмотрим только газовые лазеры непрерывного действия,
и в частности гелий-неоновый и аргоновый лазеры. Получение
голограмм с помощью импульсных лазеров обсуждается в гл. 11.
Полупроводниковые лазеры в настоящее время в голографии поч-
ти не используются из-за малой мощности излучения в видимой
области и низких когерентных свойств.
1. Требования к пространственной когерентности
Когерентные свойства лазерного пучка тесно связаны с его
модовой структурой. Исчерпывающий анализ модовых структур
дан в работе [7.1]. Что касается голографии, то излучение лазера,
генерирующего в любой одной поперечной моде, можно считать
пространственно-когерентным. Желательно, чтобы генерировалась
мода наиболее низкого порядка, ТЕМ00, так как при этом можно
получить большую равномерность освещения, чем в том случае,
когда лазер генерирует моду более высокого порядка. Кроме
того, генерация моды высокого порядка является существенно
менее стабильной, так как при этом существует тенденция к одно-
временной генерации двух или более мод. Почти все изготавливае-
мые промышленностью лазеры генерируют моду наинизшего
порядка или могут быть настроены на такой режим.
В противоположность лазерному, излучение обычных источни-
ков обладает значительно меньшей пространственной когерентно-
стью. Чтобы улучшить пространственную когерентность источни-
ка произвольных размеров, нужно задиафрагмировать его излу-
чающую поверхность, выделив небольшую ее часть. Если задать-
ся определенным значением минимальной пространственной коге-
рентности, то, воспользовавшись теоремой Ван Циттерта —
Цернике (см. гл. 1, § 9, п. 3), можно определить максимальную
протяженность нелазерного источника, при которой еще возмож-
но получение голограмм с помощью методов, показанных
на фиг. 7.1, а и б.
Для этого рассмотрим схему на фиг. 7.2. Через точечное отвер-
стие S в плоскости х'у' на плоскость ху, находящуюся на расстоя-
нии R от х'у', попадает излучение только от небольшой части
поверхности источника. Выберем в плоскости ху точки Pi и Р2
с координатами (0, 0) и (ж, у) соответственно. Угол, под которым
из центра точечного отверстия виден отрезок равен 0. Схема
11—0990
162
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7
на фиг. 7.2 подобна схеме па фиг. 1.17. Согласно выражению
(1.22), для комплексной степени когерентности имеем
V12 (Т) =
т
jVpi v*2 ®dt
—т
~ Т Т ’
L ( VP1 (f) VP1 (f) dt ) ( J * V₽2 (i) V*2 (f) dt) ]1/2
— T -T
где vp4 и vp2 — комплексные амплитуды электрического поля
в точках Pi и Р2, ат — разность времен прохождения светом рас-
стояния от точек Pi и Р2 до точки наблюдения Q (фиг. 1.17). Для
ФИГ. 7.2. К рассмотрению пространственной коге-
рентности теплового источника.
случая, когда т = 0 и расположение точек Pi и Р2 соответствует
фиг. 7.2, величину у12 (0) = p.s (ж, у) можно записать в виде
У v (0, 0, t) v* (х, у, t) dt
(*, У) = —------------—----------й--------------------------- • (7Л)
[ J v (0, 0, t) v* (0, 0, t) dt у v (ж, у, t) v* (ж, у, t) dt]1/2
— оо —оо
Величина представляет собой измеренную в плоскости ху
комплексную степень пространственной (поперечной) когерентно-
сти диафрагмированного источника.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
163
С помощью теоремы Ван Циттерта — Цернике [7.2] мы можем
выразить степень пространственной когерентности | | через
абсолютную величину нормированного фурье-образа распределе-
ния интенсивности излучения источника в плоскости диафрагмы:
1 Ив (ж, у)| =
ОО оо
У У /(ж', j/')exp[2ni(ga:' + llj/')<la:'dj/'
— ОО —оо
оо оо
У $ I , у') dx'dy'
— ОО —оо
(7.2)
где | = x/XR, т] = уГ/Л [как в (5.38)], а X — средняя длина волны
излучения, испущенного источником. Теорема справедлива при
следующих условиях:
1. Излучение источника является квазимонохроматическим,
т. е. средняя длина волны X гораздо больше спектральной шири-
ны ДА,.
2. Расстояние R между отверстием и плоскостью ху гораздо
больше размера отверстия и расстояния г.
3. Излучение слева от точечного отверстия пространственно
некогерентно.
4. Длина когерентности излучения источника с/Д/ = А,2/ДА,
гораздо больше максимальной оптической разности хода лучей
между каждой из выбранных точек и произвольной точкой источ-
ника. (Здесь / — временная частота.)
Все эти условия могут выполняться на практике; спектральную
ширину ДА, можно сделать сколь угодно малой, пропустив излу-
чение через узкополосный фильтр.
Если предположить, что интенсивность излучения источника
однородна в плоскости круглого отверстия радиусом г0, то, инте-
грируя (7.2), получаем с помощью (4.34)
(2nvr0) (2nvr0)
nvr0 nvr0
(7.3)
Как указывалось в гл. 4, функция Ji (2nvr0)/nvr0 имеет максималь-
ное значение, равное единице. Пространственная частота v может
быть выражена следующим образом:
V = (В2 + л2)1/а = -V = IT ~ Т ’
Лл КК Л
где 0 — угол, показанный на фиг. 7.2. Тогда выражение для сте-
пени пространственной когерентности принимает вид
Л (2яг09/А) _
яг09/А
На фиг. 7.3 приведена зависимость [ p.s ] от го0/А,.
11*
164
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
Предположим, что мы хотим получить голограмму одним из ме-
тодов, схемы которых представлены на фиг. 7.1, и выберем 20о =
= 30°, т. е. 0О = л/12. Если, кроме того, потребовать, чтобы сте-
пень пространственной когерентности | | была не меньше
1/1/2 = 0,707 (произвольный критерий, выбор которого будет
обоснован ниже), и положить X = 0,5 мкм, то из фиг. 7.3 найдем,
что (гоОо/^)макс = 0,25, и максимальный допустимый диаметр
диафрагмы 2г0 ж 1 мкм. Если для получения достаточной про-
странственной когерентности излучения теплового источника
использовать точечное отверстие, диаметр которого не превышает
ФИГ. 7.3. Зависимость степени пространственной
когерентности от го0/Х.
1 мкм, то мы резко уменьшим полезную мощность излучения источ-
ника. Среди нелазерных источников наибольшую мощность излу-
чения с единицы поверхности дают ртутные дуговые лампы высо-
кого давления. Обычно она достигает 100 Вт/см* 1 2 * * * * * В при X = 5461 А
и ДА, « 50 А.
Диафрагма диаметром 1 мкм уменьшает полезную мощность
излучения источника до 1 мкВт. При использовании узкополос-
ного монохроматического фильтра, улучшающего временную коге-
рентность, мощность излучения уменьшается еще сильнее.
В противоположность этому от лазеров непрерывного действия
легко получить полезную мощность, равную 100 мВт.
§ 1.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
165
2. Временная когерентность обычных (нелазерных)
источников непрерывного излучения
Временная когерентность излучения полностью определяется
его спектральным составом. Если лазер работает в режиме гене-
рации одной аксиальной, или продольной, моды (и, разумеется,
одной поперечной моды), то для голографии временную когерент-
ность его излучения можно считать абсолютной. Хотя большинство
выпускаемых лазеров можно настроить на генерацию одной попе-
речной моды самого низкого порядка, они обычно не рассчитаны
на одночастотный режим генерации, т. е. от них нельзя получить
излучение, содержащее только одну продольную моду. Временная
когерентность излучения обычного (многомодового) газового лазе-
ра ненамного лучше временной когерентности спонтанного излу-
чения, возникающего при том же атомном переходе в газовом раз-
ряде, происходящем в аналогичных условиях. В этом параграфе
мы в первую очередь установим критерий для оценки временной
когерентности, а затем рассмотрим временную когерентность неко-
торых обычных газоразрядных источников.
Из выражения (7.4) следует, что степень пространственной
когерентности света в точках Pi и Р2 плоскости ху (фиг. 7.2) зави-
сит от координат этих точек только через угол 0 между световыми
лучами, идущими от протяженного источника в данные точки.
Рассмотрим случай, когда Pi и Р2 расположены на пути одного
и того же луча, исходящего из точечного источника, так что 0 =
= 0, | fxs | = 1 и комплексная степень когерентности зависит
только от т. Чтобы выделить этот случай, заменим в (1.22) у12 (т)
на комплексную степень временной когерентности (т),
a vpj (i) = vp2 (i) на v (i) и vpj (t + т) на v (t + т); тогда получим
T ОО
lim —Г v (t-f-т) v* (t) dt f v (t + t) v* (t) dt
41 J J
Ит(т)=-----------, (7.5)
lim -^=- C v (t) v* (t) dt \ v (t) v* (t) dt
T“>oo J J
-T -oo
где v (t) и v (t + t) — комплексные амплитуды электрического
поля соответственно в точках Р2 и Pi (причем точка Pi ближе
к источнику, чем Р2). Выражение (7.5) справедливо при ампли-
тудном делении световой волны (фиг. 7.1, б), когда лучи, получен-
ные из одного исходного, проходят неодинаковые пути до точки
наблюдения. При таком расположении т — временной интервал,
соответствующий разности хода лучей, оказывается не равным
нулю, даже если точки Pi и Р2 совпадают. Величина т может быть
выражена через оптическую разность хода AL = ст, где с — ско-
рость света. Выберем длину когерентности kLH = схн так, чтобы
166
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
I Мт (тн) I = 1/]/2. В следующем параграфе мы увидим, что этот
критерий играет важную роль в голографии. Для успешного
получения голограммы разность хода любой пары лучей, идущих
от источника до произвольной точки регистрирующей среды,
должна быть меньше kLH. Чтобы определить Д£н для данного
источника, нужно построить график зависимости | (т) | от т.
Для этого выразим (7.5) через частоту / и подставим туда спектр
излучения источника. Выражение (7.5) примет вид
j Ф (/) ехр (2лг/т) df
Мт(т) = -^^--------------, (7.6)
У ф(/)й/
— оо
где Ф (/) = V (/) V* (/) — спектр излучения, а V (/) — временной
фурье-образ функции v (т). [Более общее определение v (т) см.
в приложении II.] Эквивалентность выражений (7.5) и (7.6) легко
доказать, приравнивая их числители и знаменатели по отдельности.
Равенство числителей вытекает из теоремы автокорреляции, спра-
ведливой как для временнйх, так и для пространственных пере-
менных [см. (4.18)]. Равенство знаменателей следует из частного
случая той же теоремы при т = 0. Если функции | p.s (ж, у) |
и I (х'. у') в (7.2) связаны преобразованием Фурье в координатной
области, то функции | (т) | и Ф (/) связаны преобразованием
Фурье в временной области.
Используя (7.6), определим степень временной когерентности
I Мт (т) I для некоторых обычных (нелазерных) источников. Среди
нелазерных источников излучение с наиболее высокой когерент-
ностью дают газоразрядные лампы. Для выделения какой-либо
одной линии из спектра излучения разряда обычно применяется
соответствующий фильтр или монохроматор. Контур Ф (/) спек-
тральной линии, испускаемой газоразрядной лампой низкого дав-
ления, может быть описан функцией Гаусса [7.3]:
Ф(/) = ФОТвхр{-[2<!1а^=«-]2}, (7.7)
где / — частота, соответствующая центру спектральной линии
и Д/д — допплеровская ширина линии, взятая на уровне поло-
вины максимальной интенсивности. Подставив (7.7) в (7.6), можно
видеть, что числитель выражения (7.6) есть смещенный фурье-
образ функции Гаусса. Его можно вычислить с помощью соотно-
шений (4.21) и (4.27), заменив в них пространственную перемен-
ную временной. Знаменатель формулы (7.6) можно найти по таб-
лицам интегралов, в результате получаем
Мт (т) = ехр (- 2ш/т) ехр [ - (2] ,
§ 1-
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
167
<7-8>
Форма линий в спектре излучения газоразрядных ламп высокого
давления лучше описывается формулой Лоренца [7.3]:
Ф(/) = Ф(7)[1 + {-2^_}2]-1 , (7.9)
где Д/£ — лоренцева ширина линии, обусловленная столкнове-
ниями атомов газа и заряженных частиц. Подставляя (7.9) в (7.6)
ФИГ. 7.4.
Степень временной когерентности излу-
чения теплового источника с гауссовым
и лоренцевым контуром спектральной
линии.
и используя теорему сдвига, соотношение (444) из работы [7.4]1)
и таблицу интегралов, находим
Цт (т) = ехр (—2 л г/т) ехр (—лтД/l),
| Цт (т) ] = ехр (— лтД/ь).
(7.10)
Теперь с помощью выражений (7.8) и (7.10) или фиг. 7.4, где
представлена зависимость | | от т Д/с и тД/l, можно опреде-
х) Это соотношение имеет вид
йг ( 1 \ _ ехР [ —Р (6)]
\4n2z2-|-PM 2Р
Прим. ред.
168
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
лить Д£н = схя. Для | | = 1/]Л2 = 0,707 имеем xHkfD = 0,32,
тогда как хн ДД, = 0,11. Соответствующая этим значениям длина
когерентности составляет
с V2 In 2 _ 0,32с
— лД/д — Д/д
__ с In 2 __ 0,11с
Я ~ 2nAfL ~ Д/д
(газовый разряд низкого давления),
(7.11)
(газовый разряд высокого давления).
(7.12)
Одна из наиболее узких линий, испускаемых нелазерными источ-
никами, — оранжевая линия 6058 А криптона-86. Можно добить-
ся того, чтобы допплеровская ширина этой линии не превышала
4,5-Ю8 Гц [7.5]. Тогда, согласно (7.11), для длины когерентности
имеем kLH х 21 см. Если бы при этом для получения необходи-
мой пространственной когерентности не приходилось ограничивать
размеры источника, уменьшая тем самым выходную мощность
излучения, то такой источник можно было бы использовать в голо-
графии. Гораздо большей интенсивностью обладает зеленая линия
5461 А излучения ртутной дуговой лампы высокого давления.
Однако ширина этой линии &fL составляет 5 -1012 Гц (ДХ х 50 А),
так что длина когерентности ДДи ~ 8 мкм. Для использования
такого излучения в голографии нужно уменьшить ширину линии
с помощью фильтра или монохроматора.
Вычислим теперь длину когерентности спонтанного излучения
неонового и аргонового газовых разрядов с длиной волны, равной
соответственно 6328 и 4880 А. В дальнейшем мы сравним получен-
ный результат с длиной когерентности лазерных линий на тех же
длинах волн. Если условия, при которых происходят рассматрива-
емые газовые разряды, сходны с условиями в гелий-неоновом
и аргоновом ионном лазерах, то допплеровская ширина прибли-
зительно равна 1,5 -109 Гц для линии 6328 А и 7,5 • 109 Гц для линии
4880 А. Следовательно, согласно (7.11), длина когерентности излу-
чения атомов неона на длине волны 6328 А (красная линия) состав-
ляет приблизительно 6,4 см, а для излучения ионов аргона на
длине волны 4880 А (синяя линия) она равна 1,5 см.
2. Временная когерентность излучения
газовых лазеров
Рассмотрим теперь временную когерентность излучения лазера
и некоторые способы получения генерации на одной продольной
моде (одночастотный режим) в лабораторных условиях. Вначале
§ 1.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
169
положим, что лазер сконструирован или настроен на генерацию
поперечной моды самого низкого порядка (ТЕМ^), но при этом
может генерировать несколько продольных мод. Тогда структура
продольных мод полностью определяет спектр излучения Ф (/)
и, следовательно, временную когерентность излучения лазера.
Рассмотрим продольную модовую структуру более подробно.
Обычный лазерный резонатор представляет собой два сфери-
ческих зеркала, помещенных на расстоянии I друг от друга. Соб-
ственная частота га-й моды резонатора определяется формулой
= (7.13)
где п — целое число и с — скорость света. Генерация возникает
на всех частотах /п, находящихся внутри частотного интервала
A/g, для которого коэффициент усиления активной среды превы-
шает потери света в резонаторе, включая потери на выходе. Частот-
ный интервал генерации A/G может быть больше или меньше доп-
плеровской ширины A/D. Спектральная ширина каждой моды А/м
определяется потерями в резонаторе и стабильностью резонатора
по отношению к механическим и тепловым воздействиям. Типич-
ная величина А/м « 10в Гц (при времени наблюдения порядка
нескольких минут). Предположим, что лазер генерирует только
одну продольную моду, спектр излучения которой Ф (/) описывает-
ся функцией Гаусса, имеющей на половине максимума интенсив-
ности ширину А/м = 10в Гц. Длина когерентности А£н для такого
одночастотного лазера, согласно (7.11), равна 1 -10в см = 1 км.
Почти во всех голографических исследованиях оптическая длина
пути света гораздо меньше 1 км. Поэтому мы вправе считать, что
А7)н —> оо и что спектр излучения (контур линии) может быть пред-
ставлен 6-функцией. Если лазер генерирует серию продольных
мод, то Ф (/) можно аппроксимировать несколькими сдвинутыми
6-функциями.
Как определяется длина когерентности лазера, когда он гене-
рирует несколько продольных мод? Сначала рассмотрим случай
возникновения генерации только на двух продольных модах. Этот
режим осуществляется, когда частотный интервал A/G, в котором
лазер имеет достаточный для генерации коэффициент усиления,
в два раза превышает расстояние /n+i — /п между модами, т. е.
Д/с _ с
~2 Jn+1 Jn~ 21 ‘
Спектр излучения такого двухмодового лазера может быть пред-
ставлен с помощью двух 6-функций:
Ф (/) = Л6 (/ - /п) + Л+16 (/ - /п+1),
170
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
где 1п — полная мощность излучения в одной моде. Подставляя
Ф (/) в (7.6), получаем
Нт (т) = /n_|_1/n+1 [Л ехр (2ni/nr) + In+i ехр (2ni/n+iT)] =
= ехр (2л1’/пт) [ an + an+i ехр ( 2лi т j J , (7.14)
где мы использовали выражение для расстояния между модами
/п+1 — fn = с/21 и где
Дп= 7 , Дп+i — г ----- и ап + ап+1 = 1.
Jn~r-In+1 JnTJn+l
Тогда выражение для степени когерентности | цт (т) | принимает
вид
| нт (т) | = | ап + ап+1 ехр | =
= | [an + aLn +2anan+i cos(7.15)
Функция | Нт (т) | Для двух значений параметра b = | an+i — ап |
ФИГ. 7.5.
Степень временной когерентности излу-
чения лазера, генерирующего две про-
дольные моды (для двух значений пара-
метра Ь).
показана на фиг. 7.5. Параметр Ъ представляет собой минимальное
значение | Нт (т) |. Если b = 0, то ап = ап+1 = 1/2 и
। ! . I I Г 1 . 1 лет "I1/! I I лет I
IMt)I = |L-t+tC0S— J | = | “2ГГ
§. 1.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
171
Если мощность излучения в одной моде вдвое больше, чем в дру-
гой, т. е. b = 1/3, ап = Vg, an+i = 2/3, то
I /XI I I 5 \Х/2 Г . 4 лет Л1/2 I
I Иг (т) 1 = 1 (-9-) |_l+-cos—J ].
Для двухмодового режима генерации независимо от значений
параметра b функция | (т) | является периодической по т
с периодом 2Z/c. Условие | /лт (т) | = 1/|Л2 выполняется для ряда
кратных значений т, как показано на фиг. 7.5. Наименьшее из
этих значений обозначим тн и за длину когерентности примем
величину Д£н = стн. Если Ь = 0, то тн = Z/2c и длина коге-
рентности Д£н = Z/2. Для длин путей в интервале от 0 до 2Д£Н
степень временной когерентности меняется монотонно при возра-
стании разности хода, подобно тому как это имеет место в случае
нелазерных источников, аналогичная зависимость для которых
изображена на фиг. 7.4. Длина резонатора Z = 2Д£Н типичного
газового лазера равна 1 м. Тогда при получении голограмм раз-
ность хода пучков не должна превышать величины kLH = Z/2 =
= 0,5 м.
Так как колебания температуры приводят к изменению длины Z
резонатора, величина Ъ может изменяться в некоторых пределах.
Однако если область Д/е, в которой возможна генерация (т. е.
усиление превышает потери света) гораздо меньше допплеровской
ширины линии Д/д, то мощность излучения в каждой моде при-
мерно одинакова и b « 0. Из фиг. 7.5 видно, что даже если мощ-
ность излучения в одной моде в два раза больше мощности излуче-
ния в другой (Ь = 1/3), то значение тн (соответствующее | (т) | =
= 0,707) практически не отличается от значения и при Ь = 0.
Поэтому далее мы будем считать, что мощность излучения в каж-
дой моде одинакова.
Заметим, что для лазера с длиной резонатора 1 м при переходе
от одномодового режима генерации к двухмодовому длина коге-
рентности резко падает от 1 км до 0,5 м.
Если лазер генерирует N мод, то спектр излучения можно
записать в виде
ф (/) = (/— /л) + In+i 6 (/ — /п+1) +• • • +Ai+lV-16 (/ — fn+N-i)-
Подставляя это выражение в (7.6), получаем для степени когерент-
ности
| (т) | = | ехр (2ni/nT) + ехр (2nZ/n+1r) + ... + ехр (2ni/n+JV-iT)|.
(7.16)
При выводе этой формулы мы воспользовались условием 1п =
= /п+1 = . . . = In+N^. Вводя в выражение (7.16) расстояние
172
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
c/2Z между модами и вынося множитель ехр (2hZ/,1_1t) за скобки,
получаем
)Цт(т)| = | «Р<2у„-.Ч х
X [ехр (+ ехр ( “2.) + ... + ехр ( ] | =
И ехр (2iti/n_iT) q [ [ехр (nicx/l)] [ехр (Nnicx/l)—1] 1 |_
N J t ехр (nicx/l)—1 J ]—
__I ехр (2лг/пх) Г ехр (Nnicx/l)— 1 "ll
] N L exp (nicx/l)—1 J|'
Здесь мы использовали известную формулу суммы геометрической
прогрессии со знаменателем ехр (лгст/Z). Если выражение, стоящее
ФИГ. 7.6.
Степень временной когерентности лазе-
ра, генерирующего одну (I), две (II),
три (III) и четыре (IV) продольные моды.
под знаком абсолютной величины, умножить на комплексно-сопря-
женное, извлечь квадратный корень и найти абсолютную величи-
ну полученного результата, то | (т) | будет иметь вид
। / ч |_ [ 1 I i —cos (Nncx/l) \х/2 I _ I sin (Nncx/2l) I /7-174
I Mr W I — I -fi- ( 1 — cos (ncx/l) I ] | TV sin (ncx/2l) ] ’ ' '
Как и при двухмодовой генерации, степень когерентности | (т) |
представляет собой периодическую функцию т. На фиг. 7.6 пока-
зана функция | (т) | для случаев, когда лазер генерирует одну,
две, три и четыре моды. Главные максимумы этих кривых (равные
5 1-
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ
173
единице) находятся па одинаковых расстояниях т = 21/с друг от
друга независимо от числа мод N. Функции принимают нулевые
значения при т = (mlN) (21/с), где т = 1, 2, 3, . . но m/N
0, 1, 2, 3, . . . .
Из изложенного очевидно, что наиболее желателен одночастот-
ный режим генерации. Длина когерентности излучения такого
лазера практически неограниченна, в то время как при генерации
всего нескольких мод она резко уменьшается (фиг. 7.6). Если для
получения голограммы используется излучение с малой длиной
когерентности, то это накладывает ограничения на глубину пред-
мета и требует уравнивания оптических путей предметного и опор-
ного пучков, что часто оказывается трудоемкой операцией. К сожа-
лению, получить стабильный одночастотный режим генерации
довольно трудно, к тому же при достижении этого режима мощ-
ность излучения резко уменьшается.
4. Методы получения одночастотного режима
генерации
Наиболее очевидный метод получения одночастотного режима
генерации состоит в уменьшении длины резонатора до величины,
удовлетворяющей условию
/ п+1 /п 2/
В таком случае достаточно усиления, которое обеспечивало бы
возникновение генерации в полосе частот A/G, равной расстоянию
между модами. В результате будет поддерживаться генерация
только на одной моде. Если полосу A/G взять примерно равной
допплеровской ширине линии Д/с = 1,5-109 Гц, то для гелий-
неонового лазера (X 6328 А), работающего в одночастотном режи-
ме, длина резонатора должна составлять I = c/2/\fD — 10 см.
В таком коротком резонаторе объем активной среды очень мал,
и, следовательно, выходная мощность лазера составляет лишь доли
милливатта [7.5]. Длина резонатора аргонового ионного лазера
(X 4880 А) для получения одночастотной генерации должна быть
всего 2 см, что служит серьезным препятствием к созданию
такого лазера.
Более эффективный метод получения одночастотной генерации
состоит в использовании двух связанных резонаторов, при этом
только для одной моды, общей для обоих резонаторов, усиление
имеет достаточную величину, необходимую для генерации. Чтобы
увеличить объем активной среды, оптическую длину Zj одного
из резонаторов выбирают большой, а чтобы развести как можно
дальше общие для резонаторов моды, оптическую длину Z2 Дру-
гого — малой [см. (7.13)]. Если длину Z2 для гелий-неонового лазе-
174
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
ра взять равной 10 см, а для аргонового ионного лазера — 2 см,
то получим одночастотную генерацию, так как в коротком резо-
наторе сможет возбудиться только одна мода.
Светоделитель
Зернало
М,
Лазерная трубна
Зернало
Мз

б
ФИГ. 7.7. Схемы связанных резонаторов для полу-
чения одночастотного режима генерации,
о — схема о эталоном Фабри — Перо внутри
резонатора; б — интерференционный резо-
натор.
На фиг. 7.7, а и б показаны схемы получения одночастотного
режима генерации с помощью связанных резонаторов. Достоинство
первой схемы [7.6, 7.7] — простота, тогда как вторая [7.8—7.11]
позволяет получить более высокую мощность излучения. В схеме
на фиг. 7.7,а вторым резонатором, осуществляющим селекцию
мод, служит обычная плоскопараллельная пластина из плавленого
кварца, играющая роль эталона Фабри — Перо. Геометрическая
толщина эталона t связана с его оптической толщиной 12 соотно-
шением Z2 = tni, где rii — показатель преломления плавленого
§ 2
ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ полос
175
кварца. Чтобы на длине 12 укладывалось целое число полуволн
в соответствии с (7.13), эталон обычно наклоняют на небольшой
угол к оптической оси. Во многих случаях используется эталон
без всяких покрытий, улучшающих отражающие свойства его
поверхности. На фиг. 7.7,6 второй резонатор, осуществляющий
селекцию мод, состоит из зеркал М2 и М3 и светоделителя. Данная
конфигурация обладает высокими потерями для всех мод, за
исключением общих для связанных резонаторов. Кривизна зеркал
Mi и М3 выбирается так, чтобы на поверхности светоделителя
волновые фронты совпадали друг с другом.
Наибольшая выходная мощность излучения, полученная
в одночастотном режиме генерации, составляет около 50 мВт
на длине волны 6328 А для гелий-неонового лазера и около 1 Вт
на длине волны 4880 А для аргонового ионного лазера. Основная
трудность получения одночастотного режима генерации методом
связанных резонаторов заключается в сохранении размеров обоих
резонаторов неизменными. Указанная трудность возрастает, если
мощность генерации велика, так как температура окружающей
среды повышается. Если Ц 12, то во время генерации доста-
точно подстраивать только длину 12. Такую подстройку можно
осуществлять, изменяя наклон пластины на фиг. 7.7, а или
изменяя положение зеркала М3 на фиг. 7.7,6. Для контроля
за длиной 12 резонатора применяют также системы автоподстрой-
ки, с помощью которых поддерживается неизменной частота гене-
рации /, соответствующая центру линии. На практике, не поль-
зуясь системой автоподстройки, можно добиться стабильности
частоты излучения лазера в течение нескольких минут. Обычно
этого вполне достаточно для получения голограммы.
§ 2. Видность (контраст) интерференционных
полос при регистрации голограмм
Для успешной регистрации голограммы прежде всего должно
выполняться условие высокого контраста интерференционных
полос. Интенсивность интерференционной картины, образован-
ной двумя пучками, описывается выражением (1.9)
I = Л + Л + 2aja2 cos (<р2 — <Pi)-
Высокий контраст, или большая глубина модуляции, означает,
что амплитуда изменяющегося в пространстве косинусоидального
члена сравнима по величине с постоянным членом Ц + 12. Чем
больше амплитуда косинусоидального члена, тем больше ампли-
туда дифрагированной на голограмме волны н.а стадии восстанов-
ления. Таким образом, от контраста интерференционной картины
176
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
(7.18)
зависит яркость восстановленного изображения, и, следова-
тельно, он должен быть как можно более высоким. (Дифракцион-
ная эффективность плоских и объемных голограмм рассматри-
вается соответственно в гл. 8 и 9.)
В этом параграфе мы оценим также точность, с которой
восстанавливается предметная волна, причем ограничимся рас-
смотрением плоских голограмм. Для точного восстановления
исходной предметной волны при использовании, например, ампли-
тудной голограммы, необходимо, чтобы амплитудное пропускание
голограммы линейно зависело от интенсивности регистрируемой
на ней интерференционной картины. Мы рассмотрим, как можно
получить интерференционные полосы высокого контраста и как
осуществить линейную запись волнового фронта.
1. Получение интерференционных полос высокого
контраста
Количественно контраст характеризуется видностью полос,
которая определяется формулой (1.21):
у Лиакс ^мин
^мако + ^мин
где /Иако и ^мин означают максимальную и минимальную интен-
сивности интерференционных полос в плоскости наблюдения.
Видность полос в разных местах плоскости наблюдения может
быть различной, поэтому ее определяют для какой-либо малой
области, размеры которой, однако, превышают расстояние между
полосами. Как мы увидим ниже, видность полос зависит от степе-
ни когерентности | у12 (т) | между интерферирующими пучка-
ми, от угла Q между направлениями поляризации пучков х) и от
отношения R интенсивностей обоих пучков (все величины берутся
в плоскости наблюдения). Для упрощения вывода формулы,
устанавливающей связь между V и параметрами | у12 (т) |, Q и R,
потребуем, чтобы последние были постоянными в любой малой
области плоскости наблюдения, и будем рассматривать опти-
ческую схему, показанную на фиг. 7.8, в которой и опорную
и предметную волны получают от одного и того же лазерного
источника. Все волны являются сферическими, причем опорная
волна исходит из точечного источника R, а предметная кажется
исходящей из мнимого точечного источника Р. Мы исследуем
интерференцию света в очень малой области А плоскости наблю-
дения. Область А достаточно велика, чтобы можно было измерить
х) Здесь и далее авторы под направлением и плоскостью поляризации
понимают соответственно направление электрического вектора и плоскость,
в которой находятся электрический и волновой векторы.—Прим. ред.
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 177
видность полос, но в то же время достаточно мала, чтобы опорную
и предметную волны можно было считать плоскими, а параметры
| Y12 (т) | и Q — постоянными. Анализ проводится в предположе-
нии, что оба волновых вектора лежат в плоскости xz.
Предположим, что лазер работает в режиме генерации одной
поперечной, но нескольких продольных мод. Тогда пространствен-
ную когерентность излучения такого лазера можно считать абсо-
лютной и вместо степени когерентности | у12 (т) | рассматривать
степень временнбй когерентности । (т) |. Прежде чем присту-
пить к рассмотрению интерференции волн, показанных на фиг. 7.8,
выделим в выражении (7.5) для (т) быстро меняющийся во
времени фазовый множитель, входящий в выражение для комплек-
сной напряженности электрического поля V. Напомним, что
в гл. 1, § 3, комплексная напряженность электрического поля
монохроматической волны была определена следующим образом:
v = а ехр (i<p) ехр (2ni/£).
Для излучения с несколькими близкими по величине частотами v
можно записать в виде
v = а ехр (i<p) [с0 ехр (2л; i/i) + ехр {2ni (f + st) t] +
+ c2 exp {2ni (/ + 82) t} + ...] =
= a exp (i<p) exp (2лг‘Д) [c0 + щ exp (2nteit) +
+ c2 exp (2nie2t) + ... ],
12-0990
178
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7
ИЛИ
v (7) = а ехр (i<p) g (t) ехр (2лift), (7.19)
где g (t) = 2 ct exP (2л£ег£) изменяется значительно медленнее,
чем ехр (2ni/7), если <^/. Легко видеть, что выражение, опи-
сывающее комплексную напряженность электрического поля для
излучения в узкой полосе частот, имеет тот же вид, что и для моно-
хроматического излучения, если в качестве комплексной ампли-
туды взять
a (f) = а ехр (i<p) g (2). (7.20)
Как и в случае монохроматического излучения, мы можем заме-
нить v (7) на а (2). Подставляя (7.19) в выражение (7.5) для (т),
получаем
т
lim, j g («+*) g* (0 М
Цт (т) =- exp (2лг/т)-------------------------=
!im f g (t) g* (t) dt
T->oo 41 J
-T
= exp (2ju/t)
<g(*+t) g* (*)>
<g(0 g*
ИЛИ
Иг (t) = (t) exp ( — 2nifx) = . (7.21)
Вернемся к рассмотрению интерференции частично когерент-
ных опорной и предметной волн (фиг. 7.8). Комплексную амплиту-
ду опорной волны в области А запишем следующим образом:
г = г ехр (ftp) g (t + т) = г ехр (2л^гж) g (t + т), (7.22)
где пространственная частота Ег соответствует средней длине вол-
ны X. Параметр т определяется величиной ст, где с — скорость
света и ст — оптическая разность хода опорного и предметного
пучков от лазерного источника до области А. Интенсивность
опорного пучка в А описывается выражением
1Т = <гг*) = г2 (g (t + т) g* (t + т)). (7.23)
Мы можем разделить предметную волну на две компоненты так,
чтобы направление поляризации одной из них совпадало с направ-
лением поляризации опорной волны. Комплексная амплитуда
этой компоненты в области А имеет вид
ац = а ехр (2л1%ах) g (f) cos Q, (7.24)
а интенсивность —
Za|| = <anafi) = a2 cos2 R (g (t) g* (t)). (7.25)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 179
Здесь Q — угол между направлениями поляризации опорного
и предметного пучков, а — пространственная частота предмет-
ной волны, соответствующая средней длине волны. Для комплекс-
ной амплитуды компоненты с направлением поляризации, пер-
пендикулярным направлению поляризации опорной волны, имеем
a_L = а ехр (2л1^аж) g (t) sin Q, (7.26)
а для интенсивности получим
Ia± = <a±ai) = a2 sin2 Q (g (t) g* (0). (7.27)
Далее нам нужно сделать следующее: 1) подставить (7.22) —
(7.27) в выражение для интенсивности интерференционной карти-
ны, образованной волнами г, ац и ajj 2) установить связь между
распределением интенсивности в интерференционной картине
и степенью временной когерентности | (т) |; 3) найти максималь-
ное и минимальное значения интенсивности и определить по фор-
муле (7.18) видность V. Формулу (1.20) для интенсивности интер-
ференционной картины, образованной двумя волнами,
/ = Д +/г+2 Re [(vivS)] (7.28)
можно записать через их комплексные амплитуды и применить
для описания интерференционной картины, образованной волна-
ми г, ац и а_ц. Заметим, что полная интенсивность предметной вол-
ны есть 1а = /а|| + 7а± = а2 (g (t) g* (t)) [согласно (7.25) и (7.27)]
и что в интерференционный член входит лишь та компонента пред-
метной волны, направление поляризации которой совпадает
с направлением поляризации опорной волны. Тогда интенсивность
интерференционной картины в области А складывается из интен-
сивностей отдельных волн и интерференционного члена:
7 = Тг + Taj| + Taj_4- 2 Re [(raj])] =
= r2 <g (t-j- т) g* (t + t)> + a2 <g (t) g* (£)) -j- 2 Re [<raj])].
Величину (raj]) можно определить с помощью (7.22) и (7.24); это
дает
(raj]) = га cos Q ехр [2ni (?r — %а) х] (g (t + т) g* (£)) =
= га cos Q ехр [2ni (£г — £Q) x] iiy (т) (g (t) g* (ф =
= ra cos Q exp [2ni (|r — %a) x] | (т) | exp [г£ (т)] X
X <g (t) g* (t)), (7.29)
где мы использовали (7.21), учли, что | Цт (т) | = | (т) |,
и представили (т) в виде произведения его модуля | (т) |
на фазовый множитель ехр [ (т) ]. Подставляя (7.29) в выражение
12*
180
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
для интенсивности I в области А, получаем
I = г2 <g (t + Т) g* (t + т)) + a2 <g (t) g* (t)) +
+ 2Re {ra cos Q | (t) | exp [2ni (^r — £a) x + it, (т)] X
X <g (t) g* (f))}.
Величины в скобках, обозначающих усреднение по времени, не
зависят от пространственных координат и равны между собой
ФИГ. 7.9.
Интерферометр Майкельсона.
[см. (7.19)] с точностью до постоянного множителя, который мож-
но опустить, тогда
I = г2 + а2 + 2га | (т) | cos Q cos [2л (£г — £а) х + £ (т)] =
= г2 + а2 + 2га | (т) | cos Q cos Р (х, т), (7.30)
где
Р (х, т) = 2л (£г — la) х + t, (т).
Интерференционная картина имеет максимальную интенсив-
ность 1мако ПРИ cos Р (я, т) = +1, а минимальную 7МИН — ПРИ
cos р (х, т) = —1. Подставляя экстремальные значения интен-
сивности в (7.18), получаем для видности полос
Т7_ 2га | р.т (т) | cos Й _ 2 | Цт (т) | ф/л cos Й ,7о..
~ Л4-1 ’ v-ol)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 181
где R = (rid)'2' — отношение интенсивностей опорной и предметной
волн. Заметим, что видность полос не зависит от пространственной
частоты опорного и предметного пучков и что V (7?) = V (1/7?).
Видность достигает максимального значения, равного единице,
когда каждая из величин | (т) |, 7? и cos £2 равна единице.
Степень временной когерентности | (т) | излучения лазера,
генерирующего несколько продольных мод, описывается выра-
жением (7.17). График ее зависимости от т представлен па фиг. 7.6,
ФИГ. 7.10. Экспериментальная зависимость видно-
сти V от оптической разности хода Д£.
откуда видно, что | (т) | достигает единицы при малых значе-
ниях т. Точнее, значение т должно быть мало по сравнению с вели-
чиной тн, для которой степень временной когерентности равна
0,707. Мы сможем добиться выполнения этого условия, если
оптическую разность хода ДА = ст опорного и предметного пучков
сделаем меньше длины когерентности кЬн = стн. Если в (7.31)
7? = 1 и cos £2 = 1, то наблюдение видности полос в зависимости
от разности хода пучков может служить простым способом опре-
деления зависимости | (т) | от ДА. Для этого можно восполь-
зоваться интерферометром Майкельсона (фиг. 7.9), который обес-
печивает выполнение условий 7? = 1 и cos £2 = 1. На фиг. 7.10
представлена экспериментальная зависимость V от ДА, получен-
ная для гелий-неонового лазера с длиной резонатора 1 м'(Х =
= 6328 А). Длина когерентности ДАН при V = 1/]Л2 составляет
примерно 12 см.
В голографии информация о предмете передается путем про-
странственной модуляции предметной волны, поэтому условие
182
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
R = 1, необходимое для получения максимально высокой вид-
ности полос, не может выполняться по всей плоскости голограммы.
В лучшем случае путем изменения интенсивности опорной волны
ФИГ. 7.11.
Желательное и нежелательное направ-
ления поляризации.
можно добиться выполнения условия R = 1 в тех местах голо-
граммы, где интенсивность предметной волны имеет наибольшую
ФИГ. 7.12.
Изменение направления вектора поля-
ризации с помощью полуволновой пла-
стинки.
величину. Далее мы увидим, что для обеспечения линейной записи
волнового фронта по всей поверхности голограммы должно выпол-
няться требование R > 1.
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 183
Лазерное излучение, как правило, линейно поляризовано,
и добиться оптимальной видности за счет выполнения условия
cos Q = 1 нетрудно. Однако, как видно из фиг. 7.11, желательно,
чтобы направления поляризации опорного и предметного пучков
были перпендикулярны плоскости, образованной их волновыми
векторами. (Если пучки распространяются параллельно плоскости
оптического стола, то направление их поляризации должно быть
перпендикулярно этой плоскости.) В этом случае cos Q = 1
независимо от величины угла 0 между волновыми векторами,
С другой стороны, если лазерный свет поляризован в плоскости
волновых векторов, т. е. в плоскости чертежа па фиг. 7.11, то угол
Q = 0. Тогда если при получении голограммы пучки пересе-
каются под прямым углом, то cos Q, а следовательно, и видность
полос равны нулю. Направление поляризации света можно,
конечно, изменить так, чтобы оно было перпендикулярно плоскости
стола, для чего в пучок вводят ориентированную должным обра-
зом полуволновую пластинку (фиг. 7.12).
Некоторые предметы деполяризуют отражающийся от их по-
верхности свет. В таких случаях компоненту с нежелательным
направлением поляризации можно устранить с помощью второго
поляризатора и добиться оптимальной видности, изменяя соотно-
шение интенсивностей опорного и предметного пучков.
2. Линейная запись
Рассмотрим связь между линейностью записи волнового фронта
на голограмме и видностью голографических интерференционных
полос. Толщину фоточувствительного материала будем считать
малой, так что его амплитудное пропускание будет зависеть
только от х и у.
Предположим, что фотоматериал подвергается экспозиции
(см. гл. 2, § 5, п. 1)
Е (х, у) = 1Р (х, у) хе = kJ (х, у) те, (7.32)
где те — время экспозиции; Zc± — коэффициент пропорциональ-
ности между интенсивностями 1Р и I, введенный нами в гл. 1,
§ 3, и I — интенсивность интерференционной картины, описывае-
мая выражением (7.30). Амплитудное пропускание экспонирован-
ной и проявленной голограммы определенным образом зависит
от экспозиции Е. Обозначим часть пропускания, зависящую от
экспозиции, через tE. (Здесь мы считаем, что голограмма может
осуществлять не только амплитудную, но и фазовую модуляцию.)
Подставляя (7.30) в (7.32), получаем
Е (ж) = frjTe [г2 + а2 + 2га | (т) | cos Q cos Р (х, т)] =
= Ео + Ei (х), (7.33)
184
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
где
Ео = к1Хе (г2 + а2)
и
Ei. (х) = 2kiXera | (т) | cos Q cos 0 (х, т) =
= к^га | (т) | cosaQ ехр [i£ (т)] ехр [2ni (£г—Еа) х] +
+ к^хега | (т) | cos Q ехр [—it, (т)] X
X ехр [—2ni — la) х]. (7.34)
Поскольку при выводе (7.34) была использована формула (7.30),
ограничения, наложенные ранее па размер области А, сохраняют
свое значение и для формулы (7.34). Если отношение интенсивно-
стей пучков R > 1, то Ei всегда меньше Ео, и мы можем разло-
жить амплитудное пропускание tE в пределах области А в ряд
Тейлора:
+ • (7.35)
Если голограмма с пропусканием tE освещается исходной
опорной волной г = г ехр (2n.ilTx) (предполагается, что для вос-
становления используется монохроматический свет), то комплекс-
ная амплитуда промодулированного света, прошедшего через
участок А, составляет
W = rtE.
Если в (7.35) коэффициенты при членах ряда, содержащих Ei
во второй и более высоких степенях, малы, то при восстановле-
нии получится волна, амплитуда которой прямо пропорциональна
амплитуде волны от предмета а = а ехр (2ni£aa;). Тогда, учитывая
только второй член из (7.34), для восстановленной волны, прошед-
шей через А, получаем
w„ = rE1tE (Ео) =
= {kiXerHE (Ео) ехр [—it, (т)] | (т) | cos Q} а ехр (2n.ilax) =
= (const) а ехр (2л^аж); (7.36)
здесь
tb(£o)=-^|Eo=coiist’если 5^=°-
Учитывая выражение (7.31) для видности V, запишем (7.36) в виде
w„ = —kiXertE (Ео) ехр [ — it, (т)] [2га | (т) | cos Q] ехр (2ni^,a;) =
= у rts (Ео) ехр [ — it, (т)] EgV ехр (2ш1ах). (7.37)
Для интенсивности восстановленной волны имеем
TD = ±[rtHEo)EoV]2. (7.38)
§ 2.
ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС
185
В § 1, п. 2 настоящей главы мы приняли минимальную допусти-
мую степень временной когерентности излучения, применяемого
для получения голограммы, равной | (тн) | = 1/1^2. Поскольку
У ~ | Цт (т) |, то при таком выборе интенсивность восстановлен-
ной волны составляет не менее 50% интенсивности волны, вос-
станавливаемой с голограммы, полученной при использовании
излучения с идеальной временной когерентностью.
Голографическая запись волнового фронта называется линей-
ной и пространственно-инвариантной, или просто линейной, если
по всей плоскости голограммы комплексная амплитуда восста-
новленной волны пропорциональна исходной амплитуде предмет-
ной волны. Запись будет линейной в том случае, если произ-
водная комплексного пропускания t голограммы по экспозиции Е
имеет постоянную величину
= const, (7.39)
dE ’ ' '
и не меняется во всем диапазоне экспозиций, воздействующих
на различные участки голограммы. Диапазон экспозиций Етъ <Z
< Е < Ем&ка можно получить из (7.33) и (7.31), причем ЕЫИП —
значение экспозиции при cos Р = —1, а Ем&ка — при cos Р = +1.
Выражая диапазон экспозиций через максимальную видность
полос Гщако в произвольной области голограммы, имеем
Ео (1 - Гмакс) < Е < Ео (1 + Гмакс). (7.40)
Выполнение условия dtldE = const во всем диапазоне, определяе-
мом (7.40), зависит от свойств фотоматериала, используемого
для записи голограммы (см. гл. 10).
Выведем некоторые общие для различных фотоматериалов
условия линейной записи, рассмотрев по отдельности получение
плоских амплитудных и плоских фазовых голограмм. Комплекс-
ное амплитудное пропускание светочувствительного материала,
пригодного для получения плоской голограммы, может быть
записано в виде
t = t ехр (up);
его производная по экспозиции составляет
5- = _2FexP^(₽) + l7exp W 41 • (7-41>
Под воздействием света, падающего на светочувствительный слой,
могут меняться и модуль t и фаза <р его пропускания. Хотя фото-
чувствительные материалы реагируют на действие света изме-
нением как той, так и другой величины, у большинства обычно
используемых материалов заметно изменяется лишь одна из них.
Если dt/dE имеет конечную величину и dyldE = 0, то будет полу-
186
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
чена амплитудная голограмма, а если dyldE имеет конечную
величину и dtldE = 0, то фазовая.
Если мы хотим получить амплитудную голограмму па фотослое,
то условие линейной записи (7.39) принимает вид
dt
—= const.
Для определения области линейности данного фотослоя нужно
построить кривую зависимости амплитудного пропускания от
экспозиции (t — Е-кривую). Запись голограммы будет линейной,
если диапазон экспозиций Ео (1 — Гмак0) < Е < Ео (1 + Емакс)
ФИГ. 7.13.
Зависимость амплитудного пропускания
от экспозиции.
соответствует линейному участку t — Е-кривой (фиг. 7.13). Эту
кривую можно получить экспериментально, измеряя зависимость
пропускания по интенсивности Д от экспозиции Е и затем вы-
числяя t = В гл. 10 приведены t — Е-кривые для некоторых
широко используемых в голографии фотослоев.
Для записи фазовой голограммы может быть использован,
например, термопластик. В этом случае из (7.39) и (7.41) получаем
следующее условие линейности:
,. . d<p (£)
ехр (j<p) = const
(7.42)
§ 2. ВИДНОСТЬ (КОНТРАСТ) ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 187
[где <р (Е) — зависящая от экспозиции часть фазы амплитудного
пропускания светочувствительного материала]. Легко видеть, что
(7.42) имеет только тривиальное решение: <р = const и dqldE = О,
т. е. линейная запись фазовых голограмм, строго говоря, невоз-
можна. Однако для малых, но конечных значений <р (Я) экспо-
ненциальный множитель в (7.42) становится близким к единице,
т. е. ехр (i<p) « 1, и условие линейной записи принимает вид
= const, <р(£)«1. (7.43)
Типичная кривая зависимости <р от Е показана на фиг. 7.14.
Только для небольшого диапазона экспозиций, соответствующего
ФИГ. 7.14. Зависимость фазы амплитудного про-
пускания от экспозиции.
прямолинейному участку кривой, <р (£) принимает малые значе-
ния и запись является действительно линейной. Для более широ-
кого диапазона экспозиций и соответственно больших значе-
ний <р (£) запись становится нелинейной. На практике фазовые
голограммы могут иметь высокую дифракционную эффективность
без заметных нелинейных эффектов. Это означает, что сущест-
вует значительный интервал экспозиций и соответствующий ему
умеренный диапазон значений <р (£), в котором запись голограммы
производится без существенных отклонений от линейности.
У многих материалов, используемых для записи голограмм,
например фотопластинок или фотопленок, прямолинейный участок
кривой не доходит до значения Е = 0. Поскольку нижняя граница
188
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
линейного диапазона экспозиций есть Е$ (1 — Емак0), видность
не может достичь своего максимального значения, равного едини-
це. Если во всей плоскости голограммы интенсивность опорного
пучка больше интенсивности предметного, то минимальное значе-
ние отношения интенсивностей пучков 7?мин везде больше единицы
и, таким образом, максимальное значение видности Емак0 везде
меньше единицы.
§ 3. Расширение лазерного пучка
Диаметр пучка света, испускаемого лазером, обычно составляет
около 1 мм, в то время как в большинстве случаев требуется
осветить предмет и получить голограмму гораздо больших разме-
ров. Кроме того, необходимо обеспечить как можно большую
равномерность освещения. Расширить лазерный пучок можно
с помощью одной или нескольких линз или сферических зеркал.
При этом не происходит значительных потерь мощности излу-
чения или заметного изменения распределения интенсивности
в пучке. Что же касается равномерности освещения, то она может
быть достигнута только за счет использования лишь части выход-
ной мощности лазера.
Распределение интенсивности в лазерном пучке определяется
структурой его поперечных мод. Для всех мод, кроме моды самого
низкого порядка, TEMqq, в поперечном сечении пучка имеются
один или несколько темных участков. Поэтому при наличии
в лазерном излучении мод высоких порядков нельзя получить
равномерного освещения. Если пренебречь дифракционными эф-
фектами, обусловленными конечностью размеров активной среды
лазера, то радиальное распределение интенсивности излучения
в Т ЕМ 00-мо де описывается функцией Гаусса
'•'>=2444 <7-44)
где
Pt = j I (г) 2лг dr]
о
— полная выходная мощность лазера; г — расстояние от центра
до произвольной точки сечения пучка, a w — полуширина пучка.
(При г = w интенсивность пучка в е2 раз меньше, чем в центре.)
Это плавное изменение интенсивности по сечению пучка может
нарушаться из-за дифракционных эффектов, возникающих на
краях активной среды лазера, например на стенках газоразряд-
ной трубки. Дифракция играет заметную роль, если лазерный
резонатор образован двумя зеркалами большого радиуса, тогда
§ 3.
РАСШИРЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА
189
как при использовании полусферического резонатора ее можно
не принимать во внимание.
Если распределение интенсивности в пучке описывается глад-
кой функцией Гаусса, т. е. не искажается шумами и дифракцией,
то проще всего расширить лазерный пучок, отражая его от перед-
ней поверхности вогнутого или выпуклого зеркала. Главное
достоинство этого способа заключается в отсутствии многократных
отражений, однако падающий на зеркало и отраженный пучки
должны составлять некоторый угол, что приводит к возникновению
ФИГ. 7.15. Расширение пучка и пространственная
фильтрация.
аберраций в расходящемся пучке. Аберрации можно уменьшить,
если для получения пучка, имеющего нужное сечение на заданном
расстоянии, применять зеркало с возможно большим радиусом
кривизны.
Если распределение интенсивности в пучке не является строго
гауссовым, а искажается шумами, то их можно полностью устра-
нить с помощью метода пространственной фильтрации. Для этого
лазерный пучок фокусируется линзой и в фокальную точку поме-
щается точечное отверстие х). Для фокусировки пучка и одновре-
менно для его расширения можно использовать обычный микро-
объектив (фиг. 7.15). Через точечное отверстие проходят только
самые низкочастотные компоненты, соответствующие медленно
меняющемуся гауссовому распределению, тогда как высокочастот-
ные шумы задерживаются. За отверстием распространяется сфери-
ческий волновой фронт практически с чисто гауссовым распре-
делением интенсивности. (Для получения плоского волнового
фронта следует добавить коллимирующую линзу.)
-1) Для той же цели можно использовать сужающийся волоконный све-
топровод, выходной торец которого играет роль точечного отверстия [7.18].—
Прим. ред.
190
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
Оценим теперь диаметр точечного отверстия, необходимый
для осуществления пространственной фильтрации, считая распре-
деление интенсивности пучка по-прежнему гауссовым. Если
диаметр фокусирующей линзы значительно больше ширины па-
дающего пучка, то изменением распределения интенсивности
в пучке, обусловленным дифракцией на краях линзы, можно пре-
небречь. Комплексная амплитуда света, падающего на линзу,
равна квадратному корню из выражения (7.44) и пропорциональ-
на ехр (—Pj/zz^) (wj — радиус, или полуширина, падающего
пучка в передней фокальной плоскости линзы, а — расстояние
от центра до какой-либо точки в этой плоскости). Ее фурье-образ
формируется линзой в плоскости отверстия и (в соответствии
с изложенным в гл. 4, § 2) определяется соотношением
ехр ( — j зэ const ехр (— л2«ф v2 j
=э const ехр ( , (7.45)
где v = г2/Х/ (/ — фокусное расстояние линзы; г2 — радиальное
расстояние в плоскости отверстия). Для нахождения интенсивно-
сти пучка в задней фокальной плоскости линзы нужно возвести
в квадрат правую часть соотношения (7.45), что дает
Л~ехр -------;
при этом полуширина пучка составляет
Подставляя в (7.46) типичные значения величин X = 0,63 мкм,
/ = 16 мм и Wi = 1 мм, находим, что полная ширина лазерного
пучка вблизи фокуса 2ш2 = 6,4 мкм. Такой пучок легко пройдет
через диафрагму диаметром 10 мкм, выбранную в качестве про-
странственного фильтра, а пространственные частоты, превы-
шающие v = rJK-f = 5 мкм/(16 мм X 0,63 мкм) = 0,5 мм-1, будут
ею задержаны. Пространственные частоты, обусловленные диф-
ракцией, рассеянием на пылинках и многократным отражением
в линзах, имеют еще большие значения, а потому полностью
задерживаются отверстием диаметром 10 мкм.
Предположим, что после расширения лазерного пучка рас-
пределение интенсивности в нем осталось приблизительно гауссо-
вым. Равномерность освещения предмета или фотопластинки
таким пучком определяется максимальным радиусом г0 той части
пучка, которая пересекается с предметом (фотопластинкой). Если
предметом служит круглый диск радиусом г0, то интенсивность
§ 4. РАЗДЕЛЕНИЕ И ОСЛАБЛЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА
191
светового пучка па краю диска составляет [см. (7.44)]
/е=/оехр(-М), (7.47)
где Io = 2Ptln,u? — интенсивность света в центре диска, a Pt
и w — соответственно полная мощность излучения и полуширина
лазерного пучка в плоскости диска. Мощность лазерного излуче-
ния, фактически освещающего диск, найдем, интегрируя (7.44)
по радиусу г:
Го
J ехр ( -5) ^rdr = Pt [1-ехр ( -М)].
О
Выражая экспоненту через (7.47), получаем
т,+т, = *• <7-48)
Если, например, мы хотим, чтобы интенсивность света на краю
Диска составляла по крайней мере 50% интенсивности в центре,
то для освещения мы сможем использовать только 50% полной
мощности лазера.
Если нужно добиться равномерного освещения гауссовым пуч-
ком диска радиусом г0, то необходимо использовать фильтр с таким
пропусканием, чтобы интенсивность прошедшего света в любой
точке сечения пучка была такой же, как на его краю. Для этого
пропускание фильтра по интенсивности должно иметь вид
Г2 (г2 — г§)-] .
j = J ехР|_—~2 J Для г<го,
0 вне указанной области.
Теперь мощность лазера, используемую для освещения, можно
записать в виде произведения интенсивности / (г) [определяемой
выражением (7.44)], пропускания J и площади диска лг2:
= 2Р, (Л)’ехр (-^). (7.49)
Дифференцируя (7.49) по г0, находим максимальное значение Pt.
При г* = ш2/2 оно равно
Л,маКО=:7- = 0,37Л.
§ 4. Разделение и ослабление лазерного пучка
Для получения голограммы лазерный пучок нужно разделить
так, чтобы одну его часть использовать для освещения предмета,
а другую — для формирования опорной волны (фиг. 7.1). Если
192
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
требуется осветить предмет с нескольких сторон (для устранения
теней), то необходимо делить лазерный пучок па несколько пуч-
ков. В большинстве случаев применяется амплитудное деление
(фиг. 7.1, б), а не деление волнового фронта, так как при этом
достигается большая равномерность освещения и требуется мень-
шее расширение пучка. Разделение пучка может быть произведено
до или после его расширения. Разделение до расширения обладает
двумя преимуществами: 1) светоделитель может иметь небольшую
апертуру; 2) дифракционные эффекты, обусловленные пылинками
и дефектами поверхности светоделителя, могут быть затем устра-
нены схемой пространственной фильтрации (микрообъектив —
точечное отверстие), используемой для расширения пучка.
Преимущество разделения после расширения состоит лишь в том,
что при этом требуется только один набор оптических элементов
для расширения пучка.
Наиболее просто деление лазерного пучка на два осуществляет-
ся с помощью полупрозрачных посеребренных или алюминирован-
ных зеркал или же зеркал с диэлектрическим покрытием. Для
устранения интерференции, обусловленной отражением света от
другой поверхности зеркала, на нее наносят просветляющее
покрытие. Вместо полупрозрачного зеркала можно использовать
светоделительный кубик, составленный из двух прямоугольных
призм, склеенных по гипотенузным поверхностям. Перед склеива-
нием на одну из поверхностей наносят полупрозрачное покрытие.
По сравнению с зеркалами светоделительные кубики обладают
рядом преимуществ: они не создают поперечного смещения про-
шедшего пучка, а их посеребренная поверхность не может быть
повреждена при чистке. С другой стороны, выходящие из
кубика пучки распространяются почти под прямым углом друг
к другу.
Отношение интенсивностей пучков, выходящих из светоделите-
ля, должно быть таким, чтобы видность полос в плоскости голо-
граммы была оптимальной. Конечно, величина оптимального отно-
шения будет меняться в зависимости от условий получения голо-
граммы. Поэтому желательно иметь светоделитель, с помощью
которого можно было бы менять это отношение при наименьших
потерях света. Такой светоделитель особенно необходим для
голографической интерферометрии в реальном времени, поскольку
оптимальное отношение интенсивностей пучков различно при
получении голограмм и восстановлении волнового фронта.
Простейшим устройством для получения пучков с различным
отношением интенсивностей является зеркало, на которое нанесено
отражающее покрытие в виде круга с монотонно изменяющимся
по азимуту коэффициентом отражения. Для получения необходи-
мого отношения интенсивностей пучок должен попадать на опре-
деленный участок посеребренной поверхности. Очевидный недоста-
§ 4. РАЗДЕЛЕНИЕ И ОСЛАБЛЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА 193
ток такого устройства заключается в наличии градиента коэффи-
циента отражения, что приводит к неоднородности деления
по сечению пучка.
Наиболее совершенным является поляризационный светодели-
тель, изготовленный из материала, обладающего двойным луче-
преломлением, например кальцита или кристаллического кварца.
В качестве примера па фиг. 7.16 изображена схема, в которой
светоделителем служит призма Фостера — Сили [7.12]. С помощью
полуволновой пластинки А можно произвольно изменять направ-
ление линейной поляризации лазерного пучка, падающего затем
на призму Фостера — Сили В. Призма вырезана и посеребрена
таким образом, что необыкновенный луч, поляризованный пер-
пендикулярно плоскости чертежа, проходит через нее без изме-
нений, а обыкновенный луч, поляризованнный параллельно
плоскости чертежа, испытывает преломление и отражение и выхо-
дит из призмы под углом 90° к необыкновенному лучу. Поворачи-
вая пластинку А, можно получить любое отношение интенсивно-
стей выходящих из призмы пучков. Неподвижная полуволновая
пластинка С изменяет направление поляризации обыкновенного
луча так, чтобы оба луча были поляризованы перпендикулярно
плоскости чертежа, как требуется в большинстве случаев. Полу-
волновые пластинки можно заменить компенсаторами или электро-
оптическими кристаллами. Такие светоделители можно исполь-
зовать для света с любой длиной волны. Электрооптические кри-
сталлы дают возможность изменять отношение интенсивностей
пучков с помощью электрического поля.
Если из двух пучков в дальнейшем используется только один,
то светоделитель в этом случае работает как аттенюатор. Однако
13-0990
194
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
более экономично для ступенчатого ослабления использовать
нейтральные фильтры, а для плавного — две поляризационные
призмы или два поляроида.
Имеется два типа нейтральных фильтров, а именно фильтры,
ослабляющие интенсивность излучения за счет поглощения и за
счет отражения части энергии. Фильтры первого типа обычно
используются для ослабления излучения небольшой мощности,
примерно до 1 Вт/см2. Интерференция, обусловленная многократ-
ными отражениями между поверхностями фильтра, устраняется
благодаря поглощению. При более высокой мощности излучения
в фильтре такого типа будет выделяться большое количество тепла,
что может привести к его повреждению.
§ 5. Роль механической стабильности в получении
голограмм
Значение наибольшей пространственной частоты интерферен-
ционной картины, регистрируемой на голограмме, определяет,
с какой точностью положение светочувствительного материала
относительно этой картины должно оставаться неизменным. Будем
считать, что интерференционная картина неподвижна. При полу-
чении голограмм в большинстве случаев наименьшее расстояние
между полосами приблизительно равно длине волны используемо-
го света. Отсюда следует, что за время экспозиции сдвиг фото-
материала не должен превышать долей длины волны. В лаборатор-
ных условиях достичь такой стабильности нетрудно, если для
крепления фотоматериала применить сконструированный должным
образом держатель. Что же касается получения стабильной интер-
ференционной картины, то эта задача несравненно сложнее. Созда-
ние стабильной интерференционной картины — традиционная про-
блема прецизионной оптической интерферометрии.
Неподвижность интерференционной картины обеспечивается
тщательным и надежным креплением на массивной оптической
скамье или столе оптических элементов, включая предмет, источ-
ник света и фотоматериал. Нередко используются столы из грани-
та, бетона, стали или алюминия, вес которых достигает нескольких
тонн. Большая масса необходима для того, чтобы сделать собствен-
ную частоту колебания стола (около 1 Гц) много меньше частот
колебаний здания. Защитить оптический стол от вибраций здания
можно, поместив стол в ванну с песком, или с помощью системы
пневматических амортизаторов. Например, недорогая система
амортизаторов состоит из нескольких автомобильных камер, напол-
ненных воздухом при низком давлении. Другим примером может
служить более дорогостоящая система на воздушной подушке.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
195
Возмущения окружающего воздуха, имеющие как акустичес-
кий, так и тепловой характер, также могут явиться причиной
нестабильности интерференционной картины. Избавиться от них
значительно труднее, чем от механических вибраций. В связи
с этим во время экспозиции лучше выключать кондиционеры
и вентиляторы. Источники тепла, например лампы накаливания
и электрическое оборудование, должны быть по возможности
заранее удалены от оптической установки. Чтобы уменьшить
влияние указанных факторов, оптическую длину пути пучков,
особенно между светоделителем и голограммой, делают как можно
меньше.
При уменьшении времени экспозиции влияние механической
нестабильности и возмущений окружающей среды сказывается,
конечно, в меньшей степени. Поэтому важно полнее использовать
выходную мощность лазера, выбирая оптимальное соотношение
между интенсивностями пучков и сводя к минимуму количество
оптических элементов, а следовательно, и потерь в них. В некото-
рых случаях для стабилизации интерференционной картины при-
меняют электронные системы с обратной связью [7.13, 7.14].
Однако их использование возможно только в том случае, когда
сдвиг полос, обусловленный механической нестабильностью или
возмущениями окружающей среды, можно компенсировать изме-
нением оптической длины пути опорного или предметного пучков
или изменением частоты генерации лазера.
§ 6. Источники света для восстановления
волнового фронта
Если необходимо восстановить с минимальными аберрациями
записанный на голограмме исходный волновой фронт, то восста-
навливающий пучок должен иметь то же направление распростра-
нения и тот же радиус кривизны, что и опорный пучок, исполь-
зовавшийся при получении голограммы. Разрешение изображения,
образованного восстановленной волной, ограничивается только
протяженностью голограммы и когерентными свойствами восста-
навливающего пучка.
Чтобы восстановить изображение с наибольшим возможным
разрешением, нужно использовать источник с такой же коге-
рентностью, как и при записи голограммы. Однако во многих
случаях такое разрешение не только не необходимо, но даже неже-
лательно. Мощный лазер, генерирующий большое число продоль-
ных мод, с успехом используется для освещения голограммы,
полученной с одночастотным лазером, и по сравнению с последним
дает более яркое изображение без заметного ухудшения его каче-
ства. В некоторых случаях без существенного ухудшения разре-
13 *
196
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
шения на стадии восстановления применяются дуговые лампы
или лампы накаливания. В этом параграфе мы рассмотрим влия-
ние когерентности источника на разрешение элементов восстанов-
ленного изображения.
Мы видели, что степень пространственной когерентности нела-
зерного источника определяется его протяженностью [см. (7.4)].
Для точечного источника, т. е. при г0 = 0 в (7.4), степень про-
странственной когерентности | jis | максимальна и равна единице.
Для проведения анализа предположим, что имеется реальный
ФИГ. 7.17. Схема, иллюстрирующая влияние раз-
меров восстанавливающего источника
на изображение точки Р.
источник конечных размеров, обладающий, следовательно, мет-
шей пространственной когерентностью, но имеющий очень высо-
кую временную когерентность. Предположим, что этот протя-
женный источник используется для освещения голограммы, полу-
ченной с идеальным точечным опорным источником, и рассмотрим,
как сказывается на разрешении изображения уменьшение про-
странственной когерентности восстанавливающего излучения. Для
источника малых размеров влияние пространственной когерентно-
сти восстанавливающего излучения можно оценить, исходя из
выражений (3.27), определяющих координаты мнимого изображе-
ния:
ZiZr-j- [lzczr — [iZcZi
---- JMr (7.50)
ZlZp-j- [lzczr — flZcZi--------------'
§ 6. ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 197
где масштабный коэффициент тп, входящий в (3.27), принят рав-
ным единице; хс, zc — координаты освещающего источника; р, =
= а смысл остальных величин ясен из фиг. 7.17. (3 а м е-
ч а н и е: результаты гл. 3, используемые далее, справедливы
для плоских голограмм.) Фиг. 7.17 иллюстрирует процесс восста-
новления. Голограмма Н освещается находящимся на расстоянии
zr от нее исходным точечным опорным источником 7?; при этом
изображение предмета Р формируется в его исходном положении
(xt, г,). Теперь рассмотрим второй точечный источник излучения
R', находящийся на том же расстоянии zc = zr от голограммы
и излучающий свет с той же длиной волны, что и источник R
[в (7.50) р, = 1]. Из (7.50) находим, что второе мнимое изображе-
ние Р' имеет координаты
= Xt -|-(хс — хг), z3y = zi. (7.51)
zr
Введем обозначения Дз/2 = xsv — xY и Дг/2 = хс — хт. Будем
считать, что нелазерный источник конечных размеров состоит
из совокупности точечных источников, экстремальные координаты
которых Xf. = хт + \т!2, zc = z,.. Длина отрезка вдоль оси х,
на котором могут расположиться изображения точки Р при вос-
становлении источником шириной Дг, с учетом (7.51) выражается
в виде
Дз= 2 (vC3V—xt) = 2— (хс — хг),
zr
или
Дз = —Дг. (7.52)
zr
Таким образом, степень пространственной когерентности излуче-
ния источника, определяемая его диаметром Дг, задает минималь-
ное разрешаемое на изображении расстояние Дз.
Пусть, например, при восстановлении источником служит
ртутная дуговая лампа с диаметром излучающей зоны 0,3 мм,
излучение которой проходит через узкополосный монохромати-
ческий фильтр. Если и источник и изображение находятся на рас-
стоянии z,. от голограммы, то наименьший размер Дз детали, кото-
рый можно разрешить на изображении, составляет 0,3 мм. При
Zi = zT = 1 м такое разрешение приближается к разрешению
человеческого глаза, находящегося непосредственно за голограм-
мой, и его вполне достаточно для большинства визуальных наблю-
дений. Из (7.52) следует, что, чем ближе находится изображение
к плоскости голограммы, тем меньшие требования предъявляются
к пространственной когерентности излучения источника, осве-
щающего голограмму. Наименьшими они являются в том случае,
когда центральное сечение изображения совпадает с плоскостью
голограммы.
198
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
Рассмотрим качество изображения, восстановленного с голо-
граммы, которая была получена с точечным опорным источником
с идеальной временной когерентностью, а восстанавливается
с помощью теплового источника очень малых размеров, испускаю-
щего излучение конечной спектральной ширины Д%. Для этого мы
воспользуемся формулой (3.35). Если положить, что восстанавли-
вающий пучок (как и опорный) представляет собой плоскую волну,
исходящую из удаленного точечного источника с координатами
(xr, zr), то координаты мнимого изображения в соответствии
с (3.35) можно записать в виде
3V zT z4 и 1) “V 1 ’ sv~~ I* ’
Обозначая x3V — xt = Да, xT/zT = 0r, — Х2 = Д%, получаем
Да = 0гг1^-, Zsy_Z1 = ^Z1. (7.53)
Предположим, что предмет находится на оси, тогда небольшие
изменения его положения в направлении z не вызывают уменьшения
разрешения изображения в плоскости, перпендикулярной направ-
лению наблюдения. Поскольку определяет положение предмета,
а при освещении голограммы исходным опорным источником
излучения с длиной волны — и положение изображения, то Да
представляет собой отклонение от Xt координаты изображения,
возникающее при восстановлении волнового фронта источником
излучения с длиной волны %2 — Таким образом, при
освещении голограммы очень маленьким немонохроматическим
источником со спектральной шириной излучения Д% изображение
точки растягивается до размеров Да, описываемых формулой (7.53).
Если в качестве примера рассмотреть опять излучение ртутной
дуговой лампы высокого давления со спектральной шириной 50 А
и средней длиной волны 5461 А и взять в (7.53) обычные
значения величин 0Г= 15° и z4 = 100 мм, то размер размытого
изображения точки будет составлять 0,24 мм. Заметим, что спек-
тральная ширина источника, соответствующая сравнительно низ-
кой степени когерентности, накладывает ограничения на глубину
изображения, в которой можно различать мелкие детали объекта,
а также на угол 0Г падения опорного пучка на голограмму. Если
центральное сечение трехмерного изображения совпадает с плос-
костью голограммы (zt = 0), а угол 0Г мал, то возможно восста-
новление в белом свете. Изображение объекта, восстановленное
в некотором объеме вблизи голограммы, будет казаться ахромати-
ческим, т. е. цветовая дисперсия будет пренебрежимо мала т)
(см. гл. 17, § 4).
х) Цвет такого изображения будет изменяться при изменении направ-
ления наблюдения.— Прим. ред.
§ 6.
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
199
Если для восстановления используются нелазерные источники,
то размеры источника и спектральная ширина его излучения
являются важнейшими факторами, определяющими размер
наименьшей разрешаемой детали на изображении. При восста-
новлении в лазерном свете главную роль часто играют другие
параметры. Так, излучение гелий-неонового лазера, генерирующе-
го несколько продольных мод, обладает достаточно высокой вре-
менной когерентностью, так что при получении голограммы
на стандартной фотопластинке высокого разрешения размером 9 X
X 12 см разрешение определяется главным образом дифракцион-
ными эффектами (т. е. угловой апертурой голограммы) 1). Рас-
смотрим формирование действительного изображения точки по
схеме, показанной на фиг. 7.18. Максимальный линейный размер
hm голограммы определяется степенью временной когерентности
источника. Действительно, оптическая разность хода AL лучей,
идущих через голограмму от источника до изображения, не должна
превышать длины когерентности kLH. Величину hm найдем, выра-
зив AL через линейный размер h голограммы (для источника,
расположенного на бесконечности). Из фиг. 7.18 имеем
AZ/ = /jsin0r+(^2 + zi)1/2 —zb (7.54)
!) Дифракционное угловое разрешение Да голограммы указанных раз-
меров Да = X/Z> = 5-Ю-6 рад. Однако на практике такого разрешения
достигнуть не удается как из-за несовершенства фотоматериалов и про-
цесса их обработки, так и вследствие ограниченной когерентности источ-
ников (в том числе и лазерных).— Прим. ред.
200
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
Возьмем обычные значения 0Г и z;, а именно 0Г = 30° и zt = 2/j;
тогда AL = 0,736Д. Заменяя AL на \LH, находим
Пт 0,736 "
Длина когерентности \LH излучения гелий-неонового лазера
с длиной резонатора 1 м составляет 10 см, что дает для hm значе-
ние около 13 см. (Заметим, что для аргонового лазера, генери-
рующего несколько продольных мод и обладающего длиной коге-
рентности &LH » 2 см, значение hm составляет всего 1/5 указан-
ной величины.)
§ 7. Техника простейшего голографического
эксперимента
В предыдущих параграфах этой главы мы подробно рассмотре-
ли те свойства источников излучения и оптических элементов,
которые желательны для большинства применений в голографии.
ФИГ. 7.19. Схема простой установки для получе-
ния голограмм.
Безусловно, требования к оптическим элементам меняются в зави-
симости от условий их применения. В этом параграфе мы дадим
описание простейшей голографической установки, которая позво-
ляет получать хорошие голограммы и восстанавливать трехмерные
изображения высокого качества. Кроме того, в этой установке
§ 7.
ТЕХНИКА ПРОСТЕЙШЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА
201
используется минимальное число недорогих оптических эле-
ментов .
Схема оптической установки для получения голограмм показа-
на на фиг. 7.19, а на фиг. 7.20 приведена ее фотография. Все
оптические элементы тщательно прикреплены к массивному сталь-
ФИГ. 7.20. Фотография действующей установки,
собранной по схеме фиг. 7.19.
пому оптическому столу, который покоится на нескольких нака-
чанных камерах от колес самолета. Светоделители и зеркала
прикреплены воском к металлическим стержням, зажатым в гнез-
дах штативов, которые в свою очередь крепятся болтами к столу.
В качестве источника света используется гелий-неоновый лазер,
генерирующий несколько продольных мод. Его выходная мощ-
ность составляет 1,8 мВт, а длина волны излучения 6328 А. Свето-
делителем служит стеклянная пластинка толщиной примерно 5 мм,
от каждой поверхности которой (передней и задней) отражается
около 5% падающего излучения. Излучение, отраженное от перед-
ней поверхности, используется в качестве опорного пучка,
202
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
а оставшиеся 90% проходят через пластинку и освещают предмет.
Два 20 X микрообъектива (фокусное расстояние 8 мм, числовая
апертура 0,5) увеличивают диаметр пучков от 1 мм до 7 см вблизи
ФИГ. 7.21. Фотография голограммы, полученной
на установке, показанной на фиг. 7.20.
объекта S и голограммы Н. Два зеркала Mt и М2, на передних
поверхностях которых свет испытывает отражение, расположены
так, что средние оптические длины путей BMtSH и ВМ2Н при-
близительно одинаковы.
Чтобы дать представление о качестве результатов, которых
можно достичь с помощью этой установки, была получена голо-
грамма расположенных друг за другом трех керамических букв
высотой 2 см. Средняя интенсивность света, попадающего от этого
предмета на голограмму, составляла 0,2 мкВт/см2, а опорного
пучка 1 мкВг/см8. Для записи голограммы использовалась фото-
пластинка Кодак 649F, а время экспозиции составляло прибли-
зительно 50 с. Экспонированная пластинка обрабатывалась
в проявителе типа Кодак D-19 или HRP, предназначенном для
эмульсий с высоким разрешением. После проявления проводи-
лись обычные этапы фотообработки (фиксирование, отбеливание,
промывка), которые более подробно описаны в гл. 10. На фиг. 7.21
§ 7.
ТЕХНИКА ПРОСТЕЙШЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА
203
приведена фотография полученной голограммы. На ней видна гру-
бая дифракционная картина, обусловленная рассеянием света на
пылинках, которые, вероятно, попали на микрообъективы, исполь-
ФИГ. 7.22.
Схема установки для восстановления.
ФИГ. 7.23.
Изображение, полученное с голограм-
мы, показанной на фиг. 7.21.
зуемые для расширения световых пучков (голографические поло-
сы, представляющие собой запись волнового фронта, имеют слиш-
ком большую пространственную частоту и видны лишь при увели-
204
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
ГЛ. 7.
чении). Полосы, образованные дифракцией на пылинках, не ока-
зывают существенного влияния на качество изображения, восста-
новленного с голограммы, однако при желании их можно устра-
нить с помощью пространственной фильтрации, помещая вблизи
фокуса микрообъектива диафрагму диаметром 10 мкм (см. § 3
настоящей главы).
Простая схема восстановления исходного предметного волново-
го фронта показана на фиг. 7.22. Свет от лазера попадает на
микрообъектив, который расширяет пучок и формирует для
освещения голограммы волновой фронт, тождественный исходному
опорному. Волна, восстановленная таким способом, образует мни-
мое изображение, размеры и положение которого относитель-
но голограммы совпадают с размерами и положением исходного
предмета. На фиг. 7.23 приведена фотография восстановленного
изображения.
ЛИТЕРАТУРА
7.1. KOGELNIK Н., LI Т., Appl.
Opt., 5, 1550 (1966).
Лазерные пучки и резонато-
ры.
7.2. BORN М., WOLF Е., Prin-
ciples of Optics, 3rd ed., Ox-
ford, 1965. (Имеется перевод:
М.БОРН, Э. ВОЛЬФ, Основы
оптики, М., 1970.)
7.3. MITCHELL А. С. G., ZE-
MANSKY М. W., Resonance
Radiation and Excited Atoms,
London — New York, 1961.
(Имеется перевод 1-го пзд.:
А. МИТЧЕЛЛ, М. ЗЕМАН-
СКИЙ, Резонансное излуче-
ние п возбужденные атомы,
М.. 1937.)
7.4. CAMPBELL G. A., FOSTER
R. М., Fourier Integrals for
Practical Applications, New
Jersey, 1961.
7.5. GORDON E. I., WHITE A. D.,
Proc. IEEE, 52, 206 (1964).
Одночастотные газовые лазе-
ры с длиной волны излучения
6328 А.
7.6. LIN L. Н., LoBIANCO С. V.,
Appl. Opt., 6, 1255 (1967).
Экспериментальная техника
получения многоцветных го-
лограмм при восстановлении
в белом свете.
7.7. BARBER Н. Р., Appl. Opt., 7,
559 (1968).
Увеличение длины когерент-
ности He-Ne-лазеров.
7.8. SMITH Р. W., IEEE Journ.
Quant. Electron., 1, 343 (1965).
Стабилизированный одноча-
стотный лазер с длинным ре-
зонатором.
7.9. SMITH Р. W., IEEE Journ.
Quant. Electron, 2, 666 (1966).
О стабилизации мощного одно-
частотного лазера.
7.10. ZORY Р., Journ. Appl. Phys.,
37, 3643 (1966).
Измерение мощности одноча-
стотного аргонового лазера п
изотопического сдвига линии
6328 А неона с помощью ин-
терферометрического лазера.
7.11. RIGROD W. W., JOHNSON
А. М., IEEE Journ. Quant.
Electron., 3, 644 (1967).
Резонансный призматический
селектор мод для газовых ла-
зеров.
7.12 . CAULFIELD Н. J., BEYEN
W. J., Rev. Sci. Instr., 38,
977 (1967).
Двупреломляющие светодели-
тели в голографии.
7.13 . NEUMANN D. В., ROSE
Н. W., Appl. Opt., 6, 1097
(1967).
Улучшение качества записи
голограмм с помощью систем
с обратной связью
ЛИТЕРАТУРА
205
7.14 . ROSE Н. W., PRUETT Н. D.,
Appl. Opt., 7, 87 (1968).
Стабилизация голографиче-
ских полос с помощью систем
с обратной связью, осущест-
вляющих модуляцию частоты.
7.15 *. BUTTERS J. N., Holography
and Its Technology, Camb-
ridge, 1971.
7.16 *. ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голо-
графия, Л., 1970.
7.17 *. ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Голо-
графия и ее применение, Л.,
1973.
7.18 *. ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Авт.
свид. па изобр. № 300919,
1969.
Глава 8
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
Расстояние между полосами на небольших осевых голограм-
мах, зарегистрированных при недиффузном освещении, значитель-
но превышает толщину фотослоя. Каждый луч, освещающий такую
голограмму, при прохождении через нее взаимодействует только
с одной зарегистрированной на ней полосой. Следовательно,
действие, оказываемое голограммой на пучок света, подобно
действию плоской дифракционной решетки, обладающей фокуси-
рующими свойствами. Габор рассмотрел эти свойства для случая
строго двумерной голограммы. Полученные им выводы оказались
в хорошем согласии с экспериментальными данными.
В предложенном Лейтом и Упатниексом методе с наклонным
опорным пучком образуются голограммы с большей частотой
полос, чем в случае осевых голограмм. Разность частот пропор-
циональна величине угла между предметным и опорным пучками
[см. (3.15)]. Типичное значение расстояния между полосами на
голограмме с наклонным опорным пучком можно получить, рас-
смотрев интерференцию двух плоских волн. Расстояние между
полосами d связано с углом 0 (равным половине угла между
направлениями пучков) и длиной волны А, соотношением (1.10):
2d sin 0 = А,. Для 0 = 15° и А, = 0,5 мкм (зеленый свет) имеем
d = 1 мкм. Толщина фотослоев, используемых для регистрации
внеосевых голограмм, составляет обычно 15 мкм, и, следовательно,
зарегистрированные на них голограммы по сути дела уже нельзя
считать двумерными. Тем не менее Лейт и Упатниекс [8.1, 8.2],
используя представления теории связи, распространили двумер-
ный анализ и на случай внеосевых голограмм. Несмотря на то
что двумерная модель на самом деле обычно не реализуется, такой
подход создал хорошую базу для дальнейшего развития гологра-
фии. Однако его применение к тем голограммам, которые правиль-
нее было бы рассматривать как объемные дифракционные решетки,
дает результаты, выполняющиеся лишь частично, и оставляет
необъясненными многие наблюдаемые на практике свойства голо-
грамм.
Поэтому важно помнить, что выводы, полученные в результате
анализа плоских голограмм, строго выполняются лишь для голо-
грамм, зарегистрированных на достаточно тонких слоях. В каче-
стве примера такого слоя можно назвать термопластик, толщина
которого может быть сравнимой с длиной световой волны. Наблю-
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 207
даемые свойства голограмм, зарегистрированных на термопласти-
ке, правильно предсказываются теорией плоских голограмм.
Используя математический аппарат, разработанный в теории
дифракции (см. гл. 5 и 6), рассмотрим теперь те свойства плоских
голограмм, которые нельзя было получить с помощью геометри-
ческого анализа, проведенного в гл. 3. На теории дифракции
основано и обсуждение фурье-голограмм. Мы выведем условие
разделения формирующих изображение волн, дифрагирован-
ных внеосевой голограммой, рассмотрим факторы, влияющие
на качество изображения, и найдем максимальное значение диф-
ракционной эффективности амплитудных и фазовых голограмм.
§ 1. Получение голограмм с наклонным опорным
пучком при недиффузном предметном пучке
Получение голограммы с помощью опорной волны, интерфери-
рующей с предметной под некоторым углом, было описано в гл. 2,
§ 6, как один из наиболее эффективных методов разделения двойни-
ковых изображений. Пространственно-частотный анализ этого
метода приводит к понятию несущей, или опорной, волны, про-
странственная частота которой модулируется информацией о пред-
мете. Таким образом, выражение голограмма с несущей частотой
эквивалентно выражению внеосевая голограмма. При использова-
нии метода несущей частоты отпадает необходимость получения
опорной волны за счет света, прошедшего через предмет. Вследствие
этого при применении внеосевых голограмм, в противоположность
габоровским голограммам, нет необходимости ограничиваться
транспарантами с большими прозрачными участками.
На фиг. 8.1 показан простой способ деления волнового фронта,
позволяющий освещать прозрачный транспарант когерентной
плоской волной и получать наклонную плоскую опорную волну
от того же источника. В качестве предмета можно взять полутоно-
вый транспарант. Пусть а (х, у) — комплексная амплитуда пред-
метной волны в плоскости голограммы, г = г ехр (2ni%rx) —
комплексная амплитуда плоской опорной волны. Пространствен-
ная частота опорной волны 5Опорн = —5г = —(sin 0)/^ соответ-
ствует волновому вектору опорной волны, направленному вниз
от оси z, где 0 — угол, образованный им в плоскости xz с осью z.
Как и в гл. 1, § 8, мы будем рассматривать получение амплитудной
голограммы. Пусть после записи интерференционной картины,
образованной волновыми фронтами а (х, у) и г, и полной фотогра-
фической обработки мы получили голограмму с амплитудным
пропусканием
(8-1)
t = to — kl,
208
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
где t0 — пропускание неэкспонированной (но проявленной) пла-
стинки; к — постоянная, а I — интенсивность интерференционной
картины. Согласно (1.15), интенсивность описывается выражением
I — аа* + гг* + »г* + а*г =
= аа* + г2 + аг ехр (—2л^г;т) + а*г ехр (2тЕ,гх). (8.2)
ФИГ. 8.1.
Простая схема получения голограммы
с внеосевым опорным пучком.
Если на стадии восстановления голограмма освещается исходной
опорной волной, для комплексной амплитуды поля сразу за голо-
граммой имеем
w (х, у) = rt = tor ехр (2n,i%rx) — к [аа*г ехр (2л^га;) +
+ г3 ехр (2л^г;т) + аг2 + а*г2 ехр (4л^га;)]. (8.3)
1. Разделение дифрагированных волн
В гл. 1, § 8, мы без доказательства утверждали, что при соот-
ветствующем направлении опорной волны можно отделить нужную
восстановленную волну от остальных, дифрагированных голо-
граммой. На фиг. 2.10 геометрически показано, что для этого
необходимо иметь достаточно большой средний угол между пред-
метным и опорным пучками. Чтобы связать условие углового
разделения дифрагированных волн с максимальной пространствен-
ной частотой пропускания предмета, проведем пространственно-
частотный анализ выражения (8.3) [8.1]. Пусть голографируемый
транспарант имеет пропускание s (х, у) и спектр S (f, ц), где
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 209
s (х, у) S (5, т]). Протяженность спектра S (5, р) лежит в пре-
делах от ^макс Д° “Ь^макс и от Лмакс ДО “ЬЛмакс Возможное
спектральное распределение | S (£, т]) | в плоскости ?г| приведено
на фиг. 8.2. При освещении транспаранта распространяющейся
вдоль оси z плоской волной комплексная амплитуда предметной
ФИГ. 8.2. Спектр транспаранта.
волны, падающей на голограмму, равна а (х, у). Соответствующий
этой функции спектр определяется выражением (5.26):
А(£, ri) = a1S(g, T])exp[-j^-(l-^2-W)1/2]. (8.4)
где aj — постоянная амплитуда плоской волны, падающей на
транспарант, a. d — расстояние между транспарантом и голограм-
мой. Заметим, что максимальная протяженность, или ширина,
спектра А (5, р) в плоскости пространственных частот определяет-
ся интервалом, в котором функция S (£, р) не равна нулю. Выра-
жение (8.3) содержит не только а (х, у), но и комплексно-сопря-
женную ей величину а* (х, у) со спектром
А' (£, т]) = А* (— — т]) =
= a1S*(-g, -T))exp[ + i^?(1_^_A.2ti2)]1/2. (8.5)
Здесь было использовано соотношение (4.26). Теперь с помощью
(8.4) и (8.5) найдем абсолютное значение спектра функции w (х, у),
определяемой выражением (8.3).
14—0990
210
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
Первый член в правой части (8.3), tor ехр (2л^гл:), описывает
недифрагированный свет, распространяющийся в направлении
падающей волны. Для обычных амплитудных голограмм (с низкой
эффективностью) эта компонента, как правило, очень велика.
Согласно соотношению (4.30), ее спектр представляет собой 6-
вышедшего из голограммы, зарегистри-
рованной с наклонным опорным пучком.
функцию в точке с координатами (—£г, 0). Соответствующее
преобразование мы можем описать соотношением
tor ехр (2лгЕ,гх) дэ t0r8 (S + Sr) (8.6)
и для наглядности изобразить спектр большой вертикальной
стрелкой на фиг. 8.3.
Второй член в (8.3) (первый в скобках), —kaa*r ехр (2ni%rX),
преобразуется в частотном пространстве, согласно (4.18) и (4.21),
в смещенную функцию автокорреляции спектра А (5, ц). Прежде
всего нас интересует максимальная протяженность функции авто-
корреляции в плоскости пространственных частот; эта величина
является главным фактором, определяющим пространственную
частоту, соответствующую наклону опорной волны. Для ее на-
хождения напомним, что интеграл корреляции, подобно интегралу
свертки, представляет собой сканирование одной функции
с помощью другой (фиг. 4.4). Интервал значений переменных,
в котором интеграл не равен нулю, определяется суммой ширин
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 211
обеих функций; в случае автокорреляции максимальная протя-
женность результирующей функции в два раза больше ширины
функции, подвергаемой операции автокорреляции. Опуская по-
стоянные множители, получаем фурье-образ второго члена из (8.3):
аа* ехр (2ni^Tx) =э А* (S, ч) * А (£+ £г, ц) =
= [S* (g, т)) ехр (i (1 — Ж3- Vr]2)1/2] *
* [S(£ + &•, Л)ехр (-i (1-2,2(? + ^)2_^т]2)1/2)]. (8.7)
Как указывалось ранее, ширина спектра А (£, ц) определяется
его амплитудным распределением и, следовательно, шириной
спектра S (£, т])- Таким образом, функция автокорреляции (8.7)
в два раза шире функции S (5, р): ее ширина составляет
2 [?макс ( ?макс)] = ^?макс ПО ОСИ £ И 4т]макс ПО ОСИ Т]. Ее
центр (—0) соответствует центру функции S (S + Р)
[см. (4.12)] и совпадает с пространственной частотой, соответ-
ствующей наклону освещающего пучка. Симметричное размытие
дифрагированного света вокруг направления освещающего голо-
грамму пучка иногда называют интермодуляцией, имея в виду, что
оно обусловлено модуляцией света от одного участка предмета
светом от другого.
Снова возвращаясь к (8.3), мы видим, что второй член в скоб-
ках, —кг3 ехр (2ni%rx), аналогичен первому экспоненциальному
члену в правой части формулы, который, как уже говорилось,
преобразуется в 6-функцию в точке (S = —gr, 0). Как правило,
компонента, соответствующая этому члену, меньше компоненты,
описываемой первым членом формулы (8.3).
Все три члена, которые мы только что рассмотрели, называют-
ся членами нулевого порядка, так как они описывают световые
волны, не испытавшие отклонения, т. е. распространяющиеся
за голограммой в том же направлении, что и падающая на нее
волна.
Третий член в квадратных скобках в (8.3) пропорционален
исходной волне а (х, у), которая попадает на голограмму от
предмета. Абсолютная величина ее спектра | А (5, ц) |, как легко
видеть из (8.4), пропорциональна | S (£, ц) |. Мы считаем, что
I S (^, т]) | описывает симметричное распределение вокруг цен-
тральной пространственной частоты = 0, т]0 = 0 в интервале
±£макс и ±т]Макс (фиг. 8.2), и, следовательно, то же частотное
распределение соответствует функции а (х, у) в изображении
спектра на фиг. 8.3.
Последний член в (8.3), —ka*r3 ехр (4ni^r.r), описывает волно-
вой фронт, комплексно-сопряженный предметному волновому
фронту в плоскости голограммы и промодулированный высокой
14*
212
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
несущей частотой. (Заметим, что соответствующая дифрагирован-
ная волна не является ни антипараллельной, ни комплексно-
сопряженной исходной предметной волне, как это было в случае,
рассмотренном в гл. 1, § 8.) Спектр рассматриваемого члена опре-
деляется соотношением
—ka*rz ехр (4ni^rx) => —kr2A* [—(Е + 2ЕГ), —р].
Согласно (8.5), его абсолютная величина пропорциональна
I S* [—(^ + 2ЕГ), —т]] |, т. е. это частотное распределение подобно
распределению на фиг. 8.2, но является его зеркальным отраже-
нием и смещено по оси —£ на величину 2ЕГ> а граничные значения
частот равны Е = —2£г ± Емакс и т] = ±т]макс.
На фиг. 8.3 построены абсолютные значения спектров волн
на выходе из голограммы. Видно, что использование опорной
волны с соответствующей высокой пространственной частотой
(т. е. большим углом падения 0) обеспечивает угловое разделение
волн, образующих изображение. Как следует из фиг. 8.3, чтобы
избежать наложения волны нулевого порядка на волны, обра-
зующие изображение, опорная пространственная частота Еопорн
должна удовлетворять соотношению
I Еопорн — Ео I = I —Ег — Ео I = Ег + Ео ЗЕмако (8-8)
где Ео — центральная пространственная частота спектра предмета
(которую мы считаем равной нулю). Даже для того, чтобы выпол-
нялось условие минимального углового разделения волн
I Еопорн — Ео I = ЗЕмакс, светочувствительный материал должен
обладать высоким разрешением в направлении х. Заменим в (8.2)
комплексную амплитуду а (х, у) предметной волны в плоскости
голограммы ее компонентой в направлении -\-х с наивысшей
пространственной частотой
А (Ео “Ь Емакс) ехр [ 2лг (Ео Емакс)
Тогда (8.2) можно записать в виде
t (х) ^I=Az+rz+A (Ео+Емакс) Г ехр [—2ni (Ео + Емакс+Ег) •*] +
“ЬА (Ео“1_Емакс)вг ехР [2jli (Ео-ЬЕмакс-ЬЕг)-^] =
= I0+(const) COS [2л (Er + Ео + Емакс) х].
В аргументе косинуса содержится частота полос Ег + Ео + Емакс,
которая должна быть записана на светочувствительном материале.
Если учесть условие (8.8): Ег + Ео = ЗЕмакс, то оказывается, что
пространственная частота будет равна 4ЕМакс> т. е. в 4 раза пре-
восходит наивысшую пространственную частоту предмета. Высо-
кая разрешающая способность, которую должна иметь регистри-
рующая среда при получении голограммы с наклонным опорным
пучком, является своего рода платой за разделение двойниковых
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 213
изображений. Однако достоинства этого метода — высокое каче-
ство изображения и широкий выбор объектов голографирования
компенсируют его недостатки, особенно если имеются высокораз-
решающие фотоэмульсии. Перекрытие волн, обусловленное интер-
модуляцией, обычно не играет существенной роли, так как вели-
чина члена, описывающего этот эффект, быстро падает с удалением
частоты от центральной (фиг. 8.3). Ослабить нежелательные
пучки могут перекрываться в плоскости
изображения (положение 1), несмотря
на их угловое разделение, тогда как
в положении 2 перекрытие отсутст-
вует.
эффекты, обусловленные перекрытием волн, можно также, делая
амплитуду опорной волны значительно больше амплитуды пред-
метной волны. Тогда первый член в скобках в (8.3) становится
малым по сравнению с третьим и четвертым членами.
Хотя соотношение (8.8) является условием того, что в области
пространственных частот волны не перекрываются (условие угло-
вого разделения), из него не следует, что в плоскости изображе-
ния, образованного одной из дифрагированных волн, будет отсут-
ствовать нежелательное излучение, обусловленное другими вол-
нами. Это легко видеть из фиг. 8.4, где показано образование
действительного изображения в плоскости, находящейся сравни-
тельно недалеко от плоскости голограммы (положение 1). На фиг.
8.4 изображены пучки света, исходящие из двух точек освещен-
ной голограммы. Здесь выполняется условие углового разделения
дифрагированных волн, тем не менее в область действительного
изображения (положение 1) наряду с волной, формирующей
действительное изображение, попадает нежелательный свет за
214
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
счет волн нулевого порядка. Наиболее простой выход из этого
положения заключается в выборе достаточно высокой простран-
ственной частоты опорной волны, а также достаточно большого
расстояния между предметом и голограммой, что устраняет пере-
крытие волн в плоскости изображения (положение 2).
Другой, более сложный выход состоит в отфильтровании ком-
понент с нежелательными пространственными частотами. Это
можно сделать, если использовать линзу, формирующую в задней
фокальной плоскости частотный спектр поля комплексных ампли-
туд, существующего в непосредственной близости за голограм-
мой, а затем закрыть весь спектр, кроме его полезной части. Из-за
сложности этого метода он применяется в тех случаях, когда
разрешающая способность регистрирующей среды очень низка.
Предположим, например, что мы хотим зарегистрировать на
панхроматической пленке Кодак Tri-X голограмму транспа-
ранта, центральная пространственная частота которого = О,
а максимальная £маКс = Л макс = 20 мм-1 (что соответствует дета-
ли предмета, имеющей протяженность 0,025 мм). Если мы хотим
записать голограмму с наклонным опорным пучком, то в соответ-
ствии с настоящим параграфом абсолютное значение минимальной
пространственной частоты опорной волны, необходимое для пол-
ного углового разделения дифрагированных волн, составит
I допори I = З^макс = 60 мм-1, а наивысшая частота полос, кото-
рую нужно зарегистрировать, будет 4£макс = 80 мм-1. Эти вели-
чины лежат как раз в пределах разрешающей способности данной
пленки. Правда, увеличивая угол между опорным и предметным
пучками, т. е. увеличивая | £опорн |, можно достигнуть еще больше-
го углового разделения волн, но тогда будет превзойден предел
разрешения пленки. Найдем угол между пучками в схеме на
фиг. 8.1, соответствующий частоте 60 мм-1:
sin 0 « 0 = Цопорн = (0,633-10-3) (6-Ю1) =
= 3,79-10-2 рад = 2,16°,
где А, = 0,633 -Ю-3 мм — длина волны излучения гелий-неонового
лазера. Поскольку угол очень мал, опорный пучок должен быть
сформирован с помощью светоделителя, помещенного между голо-
графируемым транспарантом и голограммой. Такая схема получе-
ния голограммы показана на фиг. 8.5. Поскольку 0 составляет
всего 2,16°, дифрагированные волны будут наверняка перекры-
ваться в плоскости действительного изображения, если попереч-
ные размеры транспаранта сравнимы с расстоянием от него до
голограммы. В этом случае нужно применить метод фильтрации
пространственных частот. Были предложены также методы, осно-
ванные на полном внутреннем отражении нежелательных волн
[8.3, 8.4].
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 215
Попутно следует заметить, что если на одной и той же фото-
пластинке регистрируются сразу несколько голограмм, то путем
надлежащего выбора опорных волн, используемых при их получе-
нии, можно обеспечить угловое разделение восстановленных волн,
формирующих изображения. Предположим, что имеются две нало-
женные друг на друга голограммы, каждая из которых является
голограммой предмета, расположенного на оси z и освещенного
ФИГ. 8.5. Схема получения внеосевых голограмм
при малом угле между предметным
и опорным пучками.
аксиальной плоской волной. Оба предмета имеют среднюю про-
странственную частоту ?0 = 0, т]0 — 0 и полосу пространственных
частот ±£макс> ^ЬГмакс- Одна голограмма получена с плоской
опорной волной, имеющей пространственную частоту ^опорн =
= = 3SMaKe И Т]опорн == О» ДРУГАЯ С ПЛОСКОЙ ОПОрНОЙ ВОЛ-
НОЙ, имеющей пространственные частоты 5Опорн = —— 2^макс =
= —5Емакс и ропорн = 0. Основываясь на анализе, подобном тому,
с помощью которого были получены спектры на фиг. 8.3, мы най-
дем, что спектральный отклик каждой отдельной голограммы,
освещаемой соответствующей ей опорной волной, имеет вид, пока-
занный на фиг. 8.6, а и б. При освещении двух наложенных друг
на друга голограмм плоской волной с пространственной частотой
5 получается спектр, изображенный на фиг. 8.6, в. Волны,
формирующие изображение, не перекрываются, причем условие
углового разделения имеет вид
А допори 2£макс, (8.9)
216
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
где ДЕопорн — разность пространственных частот опорных волн,
а 2Емакс — ширина полосы пространственных частот предмета
в направлении х. Пространственная частота восстанавливающей
волны может быть произвольной.
Абсолютная
ФИГ. 8.6.
Пространственный спектр излучения,
прошедшего через голограмму.
а — на стадии регистрации и восстановления
использовалась опорная волна с простран-
ственной частотой — = — 3^макс’ 6 —
пространственная частота — — 2£макс‘,
в — спектр света, прошедшего через две
голограммы а и б, освещенные плоской вол-
ной с пространственной частотой—£ .
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 217
2. Формирование действительного изображения
Если транспарант освещается плоской волной, то возникающая
в ближнем поле дифракционная картина является проекцией
голографируемого транспаранта. Каждый малый участок голо-
ФИГ. 8.7. Наблюдение мнимого изображения пред-
мета, освещавшегося на стадии получе-
ния голограммы недиффузным светом.
граммы, на которой регистрируется эта картина, содержит инфор-
мацию только о малой части предмета. Предположим, что голо-
грамма, полученная по схеме, показанной на фиг. 8.1, освещается
теперь исходной плоской опорной волной. На фиг. 8.7 показаны
освещающие голограмму и восстановленные волны, а также распо-
ложенное на оси мнимое изображение. (Предполагается, что пред-
метом является простой транспарант, представляющий собой
непрозрачный экран с тремя небольшими отверстиями.) Так как
освещение предмета не является диффузным, а сам предмет не
вызывает диффузного рассеяния падающей на него плоской вол-
ны, то наблюдатель из данного положения будет видеть свет
только от одного из пятен мнимого изображения. Он может обна-
ружить все три пятна, поворачивая голову, т. е. переводя взгляд
с одного места изображения на другое. Это утомительный и практи-
чески непригодный способ. Поэтому, когда предмет не вызывает
диффузного рассеяния света, лучше наблюдать проекцию действи-
тельного изображения. Для этого в плоскость действительного
изображения следует поместить диффузно рассеивающий экран
из матового стекла; в этом случае можно рассматривать все изобра-
жение из одного положения. (Менее удобный способ наблюдения
состоит в превращении мнимого изображения в действительное
с помощью линзы.)
218
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
При освещении голограммы исходной опорной волной, как
на фиг. 8.7, мнимое изображение возникает на оси там, где нахо-
дился исходный предмет, и не имеет сферических аберраций
и аберраций косых пучков (см. гл. 3, § 4, и работу [3.2]). Для
действительного изображения, которое образуется не на оси,
это не так. Рассмотрим теперь два способа освещения голограммы,
позволяющие получить свободное от аберраций и расположенное
на оси действительное изображение. Мы полагаем, что голограмма
была получена по схеме фиг. 8.1, где центр предмета располагается
на оси z, а опорная плоская волна распространяется под углом —0
к ней. В первом способе голограмма освещается плоской волной,
составляющей с осью z угол -]-0, как показано на фиг. 8.8. Такое
освещение голограммы соответствует умножению ее амплитудного
пропускания, описываемого формулами (8.1) и (8.2), на множи-
тель г ехр (—2л^гл:), где Er = (sin0)/X. Из всех дифрагированных
волн мы будем рассматривать только волну, формирующую дей-
ствительное изображение. Эта волна имеет в плоскости голограм-
мы комплексную амплитуду а*г2, сопряженную с амплитудой
исходной предметной волны в этой же плоскости. Анализ легко
проводится в плоскости пространственных частот. Частотный
спектр функции а* (х, у) определяется выражением (8.5):
А'(£, т]) = А*(—Е, —т]) =
= ajS* (-Е, -т)) ехр [ + i .
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 219
Предположим, что волновой фронт с комплексной амплитудой
а* (х, у) переместился на расстояние d вдоль оси z вправо от
голограммы. Согласно (5.26), спектр пространственных частот
комплексной амплитуды волны на расстоянии d имеет вид
А" (£, л) = А' (£, л) ехр [ - i (1 - Ж* - ЭД1/2] =
= atS*(-L —ц). (8.10)
Если мы совершим обратное фурье-преобразование обеих частей
соотношения (8.10) и используем соотношение (4.26), то получим,
что комплексная амплитуда в плоскости, удаленной на расстояние
d от голограммы, пропорциональна величине, комплексно-сопря-
женной пропусканию s* (х, у) голографируемого транспаранта.
Следовательно, интенсивность на расстоянии d пропорциональна
интенсивности в плоскости транспаранта. Таким образом, голо-
грамма формирует изображение исходного транспаранта, которое
является действительным (волны, формирующие изображение,
сходятся к изображению) и располагается на оси z. Плоскость
изображения находится справа от голограммы на том же расстоя-
нии d, на котором слева от нее был помещен голографируемый
предмет. Фотопластинка, помещенная в плоскости изображения,
зарегистрирует изображение без использования линзы.
Второй способ образования действительного изображения пока-
зан на фиг. 8.9. Следует обратить внимание на то, что восстанавли-
вающий пучок падает на голограмму справа (в то время как ис-
ходный опорный пучок падал на нее слева) и является антипарал-
лельным, а следовательно, сопряженным исходному опорному
пучку. Однако в плоскости голограммы комплексная амплитуда
освещающего ее волнового фронта есть г ехр (—г2л^гл:), т. е.
совпадает с амплитудой освещающего пучка, показанного на
фиг. 8.8. Пучок на фиг. 8.9 отличается от пучка на фиг. 8.8 только
тем, что распространяется справа налево. Поскольку комплексные
амплитуды в плоскости голограммы одинаковы в обеих схемах,
к схеме на фиг. 8.9 применимы наши предыдущие рассуждения.
Единственное различие заключается в том, что теперь действи-
тельное изображение формируется на оси на расстоянии d слева
от голограммы, в соответствии с направлением распространения
освещающего пучка, и положение изображения совпадает с исход-
ным положением предмета. Для этого лучи, формирующие изобра-
жение, должны быть антипараллельны лучам, исходившим из
объекта, а соответствующие волны должны быть сопряженными.
Схемы на фиг. 8.8 и 8.9 можно с равным успехом использовать
для получения действительного изображения при условии, что
голограмма тонкая. Для толстых голограмм больше подходит
схема на фиг. 8.9, поскольку закон Брэгга (критерий максималь-
220
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
ной интенсивности волны, дифрагированной объемной решеткой)
одинаково удовлетворяется при использовании как исходной опор-
ной волны, так и сопряженной волны (см. гл. 1, § 6). Если реги-
ФИГ. 8.9.
Другой метод получения действитель-
ного изображения, расположенного
на оси.
стрирующую среду нельзя считать строго двумерной, то схема на
фиг. 8.7 больше подходит для получения мнимого изображения,
а схема на фиг. 8.9 — для получения действительного изображения.
3. Требования к когерентности излучения
при получении внеосевых голограмм
Длина когерентности лазерного излучения, используемого для
получения голограммы по схеме фиг. 8.1 с наклонным опорным
пучком, должна быть больше, чем при применении схемы с осе-
вым опорным пучком. Мы можем найти связь между необходимой
длиной когерентности и геометрией схемы получения голограммы,
рассмотрев сначала интерференцию двух плоских волн (фиг. 8.10).
Немодулированный предметный (сигнальный) пучок распростра-
няется по оси, а опорный пучок составляет с ним угол 0. Отсюда
следует, что длины путей от источника до фотографической
пластинки для всех лучей пучка одинаковы, в то время как
для опорного они различны; наибольшая разность равна
§ 1. ПОЛУЧЕНИЕ ГОЛОГРАММ С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ ПУЧКОМ 221
Мы можем сделать так, чтобы длина пути центрального опорного
луча была равна длине пути сигнальных лучей; в таком случае
максимальная разность хода сигнального и опорного пучков
ФИГ. 8.10. Максимальная разность хода Zi лучей
в плоскости голограммы для наклонной
плоской опорной волны.
будет составлять
4=|sin|0 1 = 1 xgr, (8.11)
где а — размер пластинки; | 0 | — величина угла, который опор-
ный пучок составляет с осью z, и — соответствующая про-
странственная частота опорной волны. Таким образом, даже
при отсутствии какой-либо информации в предметном пучке длина
когерентности должна быть по крайней мере IJ2.
Теперь рассмотрим дополнительную разность хода сигнального
пучка, обусловленную дифракцией на транспаранте, содержащем
некоторую информацию (фиг. 8.11). При малых значениях 0макс
наибольшая длина пути предметных лучей отличается от длины
пути немодулированного сигнального пучка на величину
Z2 = 7^------d » 4 ~ 4 (8-12)
еозомакс *
Здесь d — расстояние между транспарантом и пластинкой;
0макс — максимальный угол дифракции плоской волны на тран-
спаранте и £Мавс — максимальная пространственная частота
транспаранта. Таким образом, если длина пути центрального
луча опорного пучка равна длине пути центрального луча сигналь-
ного пучка, то окончательное требование к длине когерентности
222
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
лазерного излучения принимает вид
> 4+ч=+4
di di di
(8.13)
При осевом расположении Габора = 0 и необходимая длина
когерентности LH должна быть всего лишь равна или больше Z2-
Существует несколько методов получения внеосевых голограмм,.
ФИГ. 8.11. Максимальная разность хода Z2 для сиг-
нального пучка, несущего информацию
о предмете.
которые позволяют использовать излучение примерно с такой же
длиной когерентности. В этих методах применяется особое рас-
положение оптических элементов, и они предназначены для полу-
чения голограмм в тех случаях, когда для освещения используется
нелазерный свет [8.5, 8.6] или излучение многомодовых импульс-
ных лазеров (см. гл. 11, § 6, п. 1).
§ 2. Голографирование с наклонным опорным
пучком при диффузном освещении предмета
Как уже указывалось, один из недостатков метода освещения
голографируемого транспаранта плоской (или сферической) вол-
ной заключается в трудности наблюдения мнимого изображения.
Другой недостаток проявляется, даже когда мы наблюдаем действи-
тельное изображение. Пылинка или дефект на поверхности какого-
либо оптического элемента, используемого для расширения осве-
щающего предмет пучка (см. гл. 7, § 3), при восстановлении может
вызвать появление концентрических колец, локализованных
§ 2.
ГОЛОГРАФИРОВАНИЕ ПРИ ДИФФУЗНОМ ОСВЕЩЕНИИ
223
в плоскости изображения. Эта кольцевая структура видна на
фиг. 8.12. Она напоминает зонную пластинку и представляет
собой спроецированную на плоскость предмета картину интер-
ференции сферических волн (возникших при рассеянии света
на пылинке) с невозмущенной волной, освещающей транспарант.
Третий недостаток заключается в том, что при освещении
голографируемого транспаранта плоской волной интенсивность
ФИГ. 8.12.
Действительное изображение транспа-
ранта, восстановленное с голограммы,
полученной при недиффузном освеще-
нии. (По Лейту и Упатниексу [8.2].)
Видны шумы в виде системы колец.
224
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
прошедшего через него света изменяется в широких пределах,
определяемых вариациями пропускания предмета. Этот недоста-
ток также является следствием проецирования сигнальной волны
на голограмму. Если необходимо произвести линейную голографи-
ФИГ. 8.13. Освещение голографируемого транспа-
ранта через диффузный экран.
а — получение голограммы; б — наблюдение
мнимого изображения.
ческую запись, то интенсивность опорного пучка должна быть
больше интенсивности сигнального пучка по всей плоскости
голограммы (см. гл. 7, § 2, п. 2). В тех местах, где сигнальный
пучок слаб, отношение интенсивностей пучков будет слишком
§ 2. ГОЛОГРАФИРОВАНИЕ ПРИ ДИФФУЗНОМ ОСВЕЩЕНИИ 225
большим и, следовательно, дифракционная эффективность соот-
ветствующего участка голограммы мала.
Эти недостатки можно устранить, если использовать диффузное
освещение голографируемого транспаранта [8.7]. Для этого между
ФИГ. 8.14. Фотографии действительных изображе-
ний диффузно освещенного предмета,
которые получены при освещении голо-
граммы пучком уменьшающегося диа-
метра.
Диаметр пучка составляет (слева направо)
0,81, 0,26 и 0,08 см.
лазерным источником и транспарантом обычно помещают диффуз-
ный экран, например матовое стекло. Так как диффузный экран
рассеивает свет в широком телесном угле, то теперь наблюдателю
не нужно менять положения головы, чтобы видеть весь транспа-
рант. То же справедливо и для наблюдения мнимого изображения,
образованного восстановленной предметной волной, по крайней
мере в том интервале углов, в который попадают падающие на
голограмму и регистрируемые ею лучи.
Хотя фаза диффузного света, идущего от предмета, представля-
ет собой быстро меняющуюся пространственную функцию коорди-
нат в плоскости голограммы, свет в этой плоскости может сохра-
нять когерентные свойства. Это происходит, если 1) исходная
волна, освещающая диффузный экран, пространственно когерент-
на по всей площади экрана, 2) максимальная длина пути света
от источника до голограммы через диффузный экран отличается от
длины пути опорного пучка не больше, чем на длину когерент-
ности и 3) экран остается неподвижным. Схема установки для
получения голограммы при диффузном освещении транспаранта
показана на фиг. 8.13, а, а схема наблюдения мнимого изображе-
ния — на фиг. 8.13, б.
Голограмма, полученная при диффузном освещении, обладает
рядом замечательных свойств Поскольку диффузный экран имеет
15—0990
226
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
более широкий спектр пространственных частот, чем транспарант,
он рассеивает свет в широком телесном угле, так что каждая точка
ФИГ. 8.15. Максимальные углы между опорными
и предметными лучами, достигающими
голограммы при недиффузном (а) и при
диффузном (б) освещении предмета.
в плоскости голограммы получает свет от всех точек транспаранта.
На стадии восстановления через любую часть голограммы можно
наблюдать все мнимое изображение предмета. При смещении
§ 2. ГОЛОГРАФИРОВАНИЕ ПРИ ДИФФУЗНОМ ОСВЕЩЕНИИ 227
направления наблюдения изображение видно с другой стороны.
Если мы имеем голограмму двумерного транспаранта и хотим
наблюдать в некоторой плоскости его действительное изображе-
ние, то сможем получить его целиком даже в том случае, когда
голограмма оказалась разбитой или поврежденной, так что сохра-
нился лишь небольшой участок. Конечно, разрешение изображе-
ния тем хуже, чем меньше площадь оставшейся части голограммы
(как и в случае линзы конечных размеров). На фиг. 8.14 пред-
ставлены фотографии трех действительных изображений, восста-
новленных с одной и той же голограммы, освещаемой лазерным
пучком уменьшающегося диаметра. Способность нелокально реги-
стрировать информацию, свойственная голограммам, полученным
при диффузном освещении предмета, может оказаться ценной для
хранения информации. В то время как при использовании микро-
изображений царапина или пятно на них приводит к полному
уничтожению части информации, информация, записанная на
голограмме при диффузном освещении, оказывается сравнительно
невосприимчивой к подобным дефектам регистрирующей среды.
Использование диффузного освещения выдвигает повышенные
требования к разрешающей способности регистрирующей среды.
Максимальная частота полос, которая должна быть зарегистри-
рована на голограмме, определяется максимальным углом, обра-
зованным предметными лучами с направлением распространения
опорного пучка. На фиг. 8.15, а показан угол ф, образованный
плоской опорной волной и лучами недиффузного света, прошедше-
го через транспарант. Помещая диффузный экран между источни-
ком света и транспарантом, можно существенно увеличить угол ф
(фиг. 8.15, б).
1. Трехмерные изображения
Большинство трехмерных объектов отражает свет более или
менее диффузно, так что их голограммы обладают только что
рассмотренными свойствами. Кроме этих свойств, существуют
другие, связанные с трехмерностью предмета. Так как голограмма
может восстанавливать волну, являющуюся точной копией исход-
ной предметной волны, то мнимое изображение, из которого ка-
жется исходящей восстановленная волна, будет обладать такой же
глубиной и параллаксом, как и исходный объект. Изображение,
которое воспринимает наблюдатель правым и левым глазом,
формируется лучами, проходящими через различные участки
голограммы; таким образом, каждый глаз наблюдателя восприни-
мает изображение из разных точек зрения (фиг. 8.16). Эти точки
зрения совпадают с теми, из которых видел исходный предмет
наблюдатель, рассматривавший его через отверстие, определяемое
размерами голограммы. Как при наблюдении изображения, так
и при наблюдении самого объекта создается одинаковое ощущение
15*
228
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8-
глубины. При перемещении наблюдателя смещается его точка
зрения и, так же как при рассматривании исходного объекта,
наблюдается параллакс. На фиг. 8.17 для демонстрации парал-
лакса приведены две фотографии одного и того же мнимого изобра-
ФИГ. 8.16. Наблюдение мнимого изображения трех-
мерного объекта.
жения, полученные под разными углами. Конечно, полное пред-
ставление о трехмерности изображения можно получить, только
рассматривая его через голограмму своими глазами.
Действительное изображение трехмерного предмета, восста-
новленное с помощью голограммы, обладает одним удивительным
свойством — его глубина инвертирована. В этом случае мы гово-
рим, что изображение является псевдоскопическим. Рассмотрим
ФИГ. 8.17.
Две фотографии одного и того же мнимого изображения трехмерного объекта,
сделанные под разными углами зрения.
230
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. «
получение голограммы простого трехмерного предмета, пред-
ставляющего собой два разделенных в пространстве точечных
источника (фиг. 8.18, а), и последующее восстановление действи-
тельного изображения при освещении голограммы волной, сопря-
женной исходной опорной волне (фиг. 8.18, б). На стадии получе-
ния голограммы точка Pi расположена ближе к плоскости голо-
Фотопластинна
ФИГ. 8.18, а — получение голограммы предмета,
состоящего из двух точек, находящихся
на разных расстояниях от голограммы;
б — формирование действительного изоб-
ражения.
граммы, чем точка Р2. На стадии восстановления действительные
изображения точек Pi и Р2 образуются в их исходных положе-
ниях (в соответствии с изложенным в § 1, п. 2, настоящей главы).
Однако чтобы наблюдатель увидел действительное изображение,
т. е. воспринял свет, распространяющийся справа налево и испы-
тавший дифракцию на голограмме, он должен занять положение,
§ 2.
ГОЛОГРАФИРОВАНИЕ ПРИ ДИФФУЗНОМ ОСВЕЩЕНИИ
231
показанное на фиг. 8.18, б. Точка Р2 будет для него ближе, чем
Таким образом, наблюдатель увидит обратное по глубине распо-
ложение точек по отношению к исходной картине, которую он
видел при регистрации света, распространявшегося через фото-
пластинку слева направо. Это свойство приводит к ряду необычных
визуальных эффектов. Предположим, что Pi и Р2 — точки на
ФИГ. 8.19. Получение голограммы, формирующей
ортоскопическое действительное изобра-
жение.
поверхности некоторого трехмерного предмета и что существует
диапазон углов наблюдения, в котором часть поверхности вблизи
точки Pi заслоняет окрестность точки Р2- При освещении предмета
под углами в пределах этого диапазона на голограмме регистри-
руется информация только о поверхности вблизи Р^ При восста-
новлении наблюдатель, смотрящий под соответствующими углами,
но с другой стороны голограммы, видит только область вокруг Рр
Ему кажется, что точка Р2, находящаяся на переднем плане
изображения, заслоняется областью, расположенной позади нее,—
чувство, противоречащее повседневному опыту. Противоречие ме-
жду воспринимаемым изображением и действительным видом пред-
мета, каким его запомнил наблюдатель, вызывает ощущение неудов-
летворенности при наблюдении псевдоскопических изображений.
От псевдоскопичности действительного изображения можно
избавиться. Предположим, что на стадии получения голограммы
используется линза, с помощью которой формируется действи-
тельное изображение освещенного лазерным светом предмета, т. е.
фотопластинка помещается в сходящуюся волну, как на фиг. 8.19,
232
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
и с помощью соответствующего опорного пучка записывается голо-
грамма сходящейся волны. При освещении голограммы исходной
опорной волной восстанавливается исходная предметная волна.
Восстановленная волна сходится, образуя, как и исходная, дей-
ствительное изображение справа от голограммы. Поэтому изобра-
жение имеет нормальную глубину х), т. е. является ортоскопи-
ческим. Если же голограмму осветить сопряженной опорной
волной, распространяющейся справа налево, то из исходного
положения предмета будет расходиться волна, сопряженная исход-
ной предметной волне. Это значит, что для рассматриваемого
случая в плоскости, в которой строила изображение линза, будет
теперь формироваться мнимое изображение этого изображения.
Наблюдателю, смотрящему через голограмму слева, точки, нахо-
дившиеся на заднем плане изображения, сформированного линзой,
теперь будут казаться расположенными ближе точек, распола-
гавшихся на переднем плане, следовательно, мнимое изображение
будет в этом случае псевдоскопическим [8.8].
Если с помощью голографического процесса формируется
псевдоскопическое изображение некоторого изображения, которое
уже является псевдоскопическим по отношению к исходному
предмету, то результирующее голографическое изображение будет
ортоскопическим по отношению к этому предмету. Следовательно,
если в качестве предметной волны для получения первой голограм-
мы использовать восстановленную другой голограммой волну,
образующую псевдоскопическое изображение, то освещение пер-
вой голограммы волной, сопряженной ее опорной волне, приведет
к образованию ортоскопического изображения [8.9]. Тех же резуль-
татов можно добиться с помощью автоколлимационных устройств,
которые позволяют обойтись без получения второй голограммы,
необходимой для обращения псевдоскопического изображения
в ортоскопическое и наоборот [8.10].
2. Пятнистая структура
Поскольку волны, восстанавливаемые с голограмм, получен-
ных с диффузными предметными пучками, являются копиями
волн, испускаемых предметами, освещенными лазерным светом,
в этом случае возникают те же проблемы, что и при наблюде-
нии диффузно рассеивающих объектов, освещенных лазером.
Наблюдателю, рассматривающему либо изображение, либо пред-
мет, мешает пятнистая структура, из-за которой наблюдаемая
поверхность кажется состоящей из отдельных светящихся точек.
1) В общем случае продольное увеличение линзы отличается от по-
перечного, а потому продольные и поперечные масштабы будут искажены.
Поэтому нормальную глубину будет иметь только изображение, полученное
при увеличении, равном единице.— Прим. ред.
§ з.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
233
Размер отдельных пятен определяется наименьшей апертурой
приемника (например, радужной оболочки глаза) и расстоянием
до наблюдаемой поверхности [8.11]. В любой области поверхности,
меньшей предела разрешения, имеется множество рассеивающих
центров. Компоненты комплексной амплитуды света, рассеянного
разными центрами, будут иметь разные фазы, но так как свет
когерентен, то разность фаз постоянна во времени и компоненты
амплитуды складываются. Наблюдатель, неспособный разрешить
отдельные рассеивающие центры, воспринимает свет, исходящий
от (этой) малой области, как небольшое пятно равномерной интен-
сивности, величина которой определяется результирующей фазой
складывающихся амплитуд. Даже при равномерном освещении
поверхности будет казаться, что интенсивность наблюдаемого
отраженного света хаотически меняется от пятна к пятну, так
как интенсивность в каждом из них определяется суммарной
амплитудой, возникающей при когерентном сложении амплитуд
рассеянного света, имеющих случайные фазы. Если наблюдатель
изменит свое положение так, чтобы видеть поверхность под другим
углом, то световые лучи, идущие от поверхности к наблюдателю,
пройдут по другому пути. Фазы компонент, образующих суммар-
ную амплитуду света, идущего от каждого из предельно разреши-
мых при наблюдении пятен, также изменяются, и соответственно
с этим изменяется яркость пятен. Непрерывное смещение наблю-
дателя ведет к усреднению интенсивности, изменениями которой
обусловливается пятнистая структура, в результате чего улучшает-
ся качество восприятия. Однако такой способ не очень удобен при
рассмотрении мелких деталей, и наличие пятнистой структуры
в этом случае будет препятствовать качественному восприятию
и создавать неудобства при наблюдении. (Более подробно эффект
пятнистости описан в гл. 12.)
§ 3. Схемы получения голограмм различного типа
1. Голограммы Френеля
Если светочувствительный материал, предназначенный для
регистрации голограммы, например фотопластинка, помещается
в области дифракции ближнего поля (области дифракции Френеля)
на произвольном расстоянии от источника опорной волны, то
получается голограмма, которую называют голограммой Френеля.
Это наиболее простой способ регистрации голограммы, так как
он позволяет получать голограмму и затем восстанавливать вол-
новой фронт без использования линз или каких-либо других
оптических устройств. За исключением некоторых особенностей,
свойственных безлинзовым фурье-голограммам, которые мы обсуж-
дали в гл. 3, все рассмотренные ранее свойства голограмм пред-
234
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8-
ставляют собой свойства голограмм Френеля. Последние относятся
к наиболее распространенному типу голограмм и могут быть
получены по схемам, представленным на фиг. 7.1, 7.19; общий
вид установки представлен на фиг. 7.20, а фотография полученной
голограммы — на фиг. 7.21. Для освещения голограммы на стадии
восстановления можно использовать установку, схема которой
показана на фиг. 7.22; при этом образуется трехмерное изображе-
ние предмета, подобное показанному на фиг. 7.23. На фиг. 2.4
приведена использовавшаяся на ранней стадии развития гологра-
фии схема получения голограммы с осевым опорным пучком.
2. Голограммы сфокусированных изображений
При использовании в схеме получения голограмм линз или
других оптических элементов, формирующих изображение, и соот-
ветствующем их расположении можно получить голограмму, обла-
ФИГ. 8.20.
Получение голограммы сфокусирован-
ного изображения.
дающую рядом полезных свойств. Предположим, что фотопластин-
ку на фиг. 8.19 смещают так, что она оказывается в плоскости
центрального сечения изображения, сформированного линзой
(фиг. 8.20). Если теперь ввести опорный пучок, то мы получаем
голограмму сфокусированного изображения [8.12, 8.13, 8.20*]. На
стадии восстановления с исходной опорной волной часть изобра-
жения, восстановленного с помощью голограммы, будет мнимой,
а часть — действительной. Наблюдатель не заметит существенно-
§ 3.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
235
го различия между этим изображением и изображением, восста-
навливаемым с помощью безлинзовой голограммы Френеля. Одна-
ко теперь угол, под которым может рассматриваться изображение,
ограничен апертурой линзы, и центр трехмерного изображения
будет казаться расположенным в плоскости голограммы. Достоин-
ство этого способа заключается в уменьшении требований к коге-
ФИГ. 8.21. Изображение, восстановленное с голо-
граммы сфокусированного изображения,
освещенной протяженным источником.
рентности излучения источника, используемого на стадии восста-
новления. На эту особенность голограмм сфокусированных изобра-
жений мы указывали в гл. 7, § 6, где была установлена связь между
расстоянием Zt от изображения до голограммы и пространствен-
ной и временной когерентностью излучения источника. Связь
между размером минимального разрешаемого элемента изображе-
ния Да, степенью пространственной когерентности излучения
(определяемой протяженностью источника Дг) и расстоянием от
236 АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ ГЛ. 8.
источника до голограммы zr описывается формулой (7.52):
Да = — Дг.
zr
При Zt -> 0 (голограмма сфокусированного изображения) на ста-
дии восстановления можно использовать источник больших раз-
меров с низкой пространственной когерентностью излучения
и получить при этом изображение с достаточно хорошим разреше-
нием. Следовательно, голограмму сфокусированного изображения
можно ярко осветить с помощью протяженного источника. Конеч-
но, Zi = 0 только для какой-то одной плоскости предмета, и при
восстановлении с протяженным источником разрешение элементов
изображения, расположенных по разные стороны от этой плоско-
сти, будет ухудшаться (фиг. 8.21).
Формула (7.53) связывает разрешение До восстановленного
изображения со спектральной шириной ДА, излучения, исполь-
зуемого для освещения голограммы:
д л ДА
До OrZi -г-,
л
где Zi — снова расстояние между голограммой и изображением;
А, — длина волны, соответствующая середине интервала ДА,, а 0Г —
угол между опорным пучком и нормалью к плоскости голограммы
(считается, что предмет и изображение расположены на оси).
Мы видим, что при малых 0г и Zj спектральная ширина источника,
используемого при восстановлении изображения, может быть
большой — это не оказывает значительного влияния на размер
предельно разрешаемого элемента изображения. Можно восполь-
зоваться даже источником белого света; в этом случае централь-
ное сечение изображения, локализованное в плоскости голограм-
мы, будет казаться ахроматическим х), в то время как точки изо-
бражения, находящиеся вне этой плоскости, будут обладать цвето-
вой дисперсией и казаться размытыми, что свидетельствует об
уменьшении разрешения.
3. Фурье-голограммы
В последующих трех пунктах мы сравним несколько методов
получения голограмм, которые позволяют формировать в плоско-
сти голограммы распределение амплитуд, соответствующее либо
точному фурье-образу предмета, либо произведению фурье-образа
на медленно меняющийся фазовый множитель. Общим для указан-
ных методов является следующее требование: опорный источник
должен располагаться строго в той же (входной) плоскости, что
1) См. примечание на стр. 198.— Прим. ред.
§ 3.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
237
и предмет. Поэтому наш анализ относится, строго говоря, к плос-
ким предметам (т. е. транспарантам) и теряет силу, если размеры
предмета заметно выходят за пределы входной плоскости. Как
правило, мы считаем, что предмет освещается плоской волной.
В некоторых исследуемых здесь схемах получения голограмм
используется линза. Если линза расположена перед предметом,
то плоской волной освещается линза. Если линза расположена
ФИГ. 8.22. Схема получения фурье-голограммы
(размеры линзы даны не в масштабе).
за входной плоскостью, то предполагается, что она воздействует
на свет, идущий как эт предмета, так и от опорного источника.
Фуръе-голограммой мы называем голограмму в том случае,
если на ней регистрируется интерференция двух волн, комплекс-
ные амплитуды которых в плоскости голограммы являются фурье-
образами предмета и опорного источника. Как мы увидим в гл. 14,
такие голограммы применяются в качестве пространственных
фильтров для опознавания образов, а свойства преобразования
Фурье лежат в основе процесса опознавания. В этом случае
пропускание опорного источника пространственно модулировано
(протяженный источник). Здесь же мы ограничимся рассмотрением
точечных опорных источников.
В гл. 6, § 3, п. 3, мы установили, что фурье-образ двумерного
предмета может быть сформирован в задней фокальной плоскости
линзы (фиг. 6.6). Схема получения фурье-голограмм по методу
Вандер Люгта [8.14] показана на фиг. 8.22. Если s (х, у) — про-
238
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
пускание транспаранта, помещенного в передней фокальной
плоскости линзы, то амплитуда предметной волны в плоскости
голограммы, совпадающей с задней фокальной плоскостью линзы,
есть S (^, р), где s (х, у) S (£, т]). В передней фокальной
плоскости расположен также точечный источник 6 (х + Ь, у),
фурье-образом которого является плоская волна с амплитудой
ехр (—2лл£,Ь). Это плоская волна играет роль опорной волны
и также, как и S (£, т]), освещает заднюю фокальную плоскость
линзы. Интенсивность интерференционной картины, образованной
двумя фурье-образами, описывается выражением
I = [ехр (—2лг£&) + S (5, т])1 [ехр (2л^&) + S* (Е, т])1 =
= 1 + | S (5, т]) |2 + S (?, ц) ехр (2лгЕЬ) S* (5, ц) ехр (—2л^Ь).
(8.14)
Предположим, что проявленная голограмма имеет пропускание
t (х, у) ~ I. Если голограмма освещается распространяющейся
вдоль оси z плоской волной с постоянной амплитудой г0, то произ-
ведение rot (х, у) представляет собой комплексную амплитуду W
дифрагированного света непосредственно за голограммой:
W ~ rot (х, у) ~1 =
= 1 + | S |2 + S ехр (2лгЕЬ) + S* ехр (-2л^Ь). (8.15)
Линза, расположенная непосредственно перед голограммой
или непосредственно после нее (фиг. 8.23), будет создавать в зад-
ней фокальной плоскости поле, соответствующее произведению
обратного фурье-образа функции W на фазовый множитель сфе-
рической волны (см. гл. 6, § 2). Если мы регистрируем только
интенсивность света в задней фокальной плоскости линзы, то
можем опустить фазовый множитель сферической волны. Как
показано на фиг. 8.23, члены нулевого порядка из (8.15) будут
фокусироваться в этой плоскости примерно в начале координат.
Обратный фурье-образ третьего члена в правой части выраже-
ния (8.15), s (х — Ь, у}, представляет собой исходное пропуска-
ние, смещенное на величину b от начала координат в положитель-
ном направлении оси х. Фурье-образ четвертого члена есть
s* [—(х + Ъ), —у], т. е. представляет собой функцию, сопряжен-
ную и зеркально симметричную исходному пропусканию, смещен-
ную на расстояние b от начала координат в отрицательном
направлении оси х. И в том и в другом случае дифрагировавший
на голограмме свет сходится, образуя действительные изображе-
ния, расположенные в одной плоскости. Фотография изображений,
формируемых фурье-голограммой в задней фокальной плоскости
восстанавливающей линзы, показана на фиг. 8.24. Поскольку
фотопленка регистрирует только интенсивность, то изображения
§3.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
239
отличаются лишь тем, что одно является зеркальным отражением
другого.
Полезное свойство фурье-голограмм, записанных с плоской
опорной волной, состоит в том, что формируемые ими изображения
остаются неподвижными при перемещении голограммы. Благода-
ря этому с голограмм, записанных на пленке, намотанной на бара-
бан, можно было бы восстанавливать неподвижные изображения
при вращении барабана. Для доказательства нечувствительности
положения изображения к перемещению голограммы представим
себе, что комплексная амплитуда, выражаемая третьим членом
(8.15), смещена на величину в направлении -]-Е, так что теперь
она описывается выражением
S (? — Ео, р) ехр [2л£ (Е — £0) Ь].
Если условия освещения голограммы остались прежними и форми-
руется соответствующая им дифрагированная волна, то комплекс-
ная амплитуда поля в задней фокальной плоскости линзы будет
240
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
равна
[S — £о, р) ехр (2л^6)] ехр (—2л^0Ь) =
= [s (х, у) ехр (—2лл£о-г)* 6 (ж — 6)1 ехр (—2л^о&) =
= s (х — Ъ, у) ехр (—2лг?0.г),
где означает обратное преобразование Фурье и где мы исполь-
зовали соотношения (4.11), (4.21), (4.29) и учли, что свертка любой
функции с 6-функцией дает исходную функцию. Фазовый множи-
тель ехр (—2п/Л0.г) не входит в выражение для интенсивности,
и интенсивность изображения
s (х — Ь, ?/) s* (х — Ь, у)
совпадает с наблюдающейся при неподвижной голограмме.
ФИГ. 8.24. Фотография плоскости изображения
фурье-голограммы.
Голограмма фурье-образа транспаранта должна регистриро-
вать интенсивность, изменяющуюся в широких пределах. Свет,
прошедший через транспарант без отклонений (нулевой порядок),
фокусируется линзой в яркую точку в начале координат частотной
плоскости (плоскость голограммы). Гармоники с более высокими
пространственными частотами, дифрагировавшие на транспаранте
и фокусирующиеся в других местах частотной плоскости, имеют
гораздо меньшую интенсивность. Если интенсивность опорного
пучка достаточна для линейной записи низкочастотной компонен-
ты, то она может оказаться слишком большой для линейной записи
§ 3. СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА 241
слабых высокочастотных гармоник. В результате дифракционная
эффективность для высоких частот может оказаться низкой. Если
на стадии восстановления комплексные амплитуды высокочастот-
ных компонент не превышают амплитуд шумов, обусловленных
рассеянием света на голограмме, то информация о предмете
теряется.
4. Квази-фурье-голограммы
Квази-фуръе-голограммой мы называем голограмму, которая
регистрируется при соблюдении следующих условий: 1) фотоплас-
тинка расположена в задней фокальной плоскости линзы и 2) пред-
мет-транспарант и опорный точечный источник находятся в одной
и той же плоскости, расположенной перед линзой или за ней,
ФИГ. 8.25. Образование квази-фурье-голограммы;
входная плоскость расположена вплот-
ную к линзе.
но не являющейся передней фокальной плоскостью линзы. Пред-
мет или линза (в зависимости от того, что помещено ближе к источ-
нику) освещается плоской волной.
Такая схема с транспарантом и опорным точечным источником,
расположенным вплотную к линзе, показана на фиг. 8.25. Мы знаем
(см. гл. 6, § 2), что в этом случае амплитуда предметной волны на
голограмме есть фурье-образ транспаранта, умноженный на фазо-
вый множитель сферической волны. Выясним теперь роль этого
множителя. Комплексную амплитуду предметной волны в плос-
16-0990
242
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
кости голограммы можно представить в виде [см. (6.23)]
а (х2, у2) = ±Lexp [ —(х22 + г/2)] S (g, р) =
= сехр [—+ S(g, т]), (8.16)
где с = гаД/, = x2/Kf, т] = г/2ДА S (Е, р) cz s (х1? г/J
и ехр [— (гл/%/) (xl + г/2)] — фазовый множитель сферической
волны. Множитель ехр [— (г'лД/) (xf J- г/2)], как нетрудно видеть,
представляет собой пропускание тонкой рассеивающей линзы
с фокусным расстоянием — / [см. (6.15)]. Таким образом, а (х2, у2)
можно рассматривать как пропускание системы, состоящей из
транспаранта с пропусканием S (5, р) и помещенной вплотную
к нему рассеивающей линзы с фокусным расстоянием — /. Ана-
логично а * (х2, у2) соответствует пропусканию системы, состоя-
щей из транспаранта с пропусканием S* (5, р), расположенного
вплотную к собирающей линзе с фокусным расстоянием + /.
Если для получения голограммы используется опорный точеч-
ный источник, лежащий в одной плоскости с транспарантом,
то фазовый множитель сферической волны в выражении для
а (х2, У2) выпадает. На фиг. 8.25 показан точечный источник,
смещенный по оси Xt на —Ь от начала координат плоскости ^j/j.
Он создает сферическую волну, распределение фаз которой в плос-
кости х2у2 (если в точке с координатами х2 = 0, у2 = 0 мы
приписываем фазе нулевое значение) выражается формулой (3.3)
Ф (*2, г/2) = + У1 + 2x2b) •
(Тонкая линза с малой кривизной ее поверхностей создает лишь
почти постоянный фазовый сдвиг световой волны, испускаемой
точкой плоскости, расположенной вплотную к линзе.) Вспомним,
что в (3.3) Zi — отрицательная величина. В схеме на фиг. 8.25
Zt = —/. Следовательно, комплексная амплитуда сферической
опорной волны на голограмме имеет вид
г = гоехр [— ^(х\ + у22 + 2х2Ъ)У (8.17)
В результате интерференции волн с амплитудами г и а (х2, у2)
возникает картина со следующим распределением интенсивностей:
1 = г2 + аа* +
+ cr0S (Е, т)) ехр [—-g- (х22+ yl)] ехр [-g- (х2 J- i/|+ 2x2b^ +
(8.18)
+ c*r0S* (g, т]) ехр (л:2 + г/2)] ехр -^(*1 + у\ + 2x2b)j =
= r2-|-aa*-|-cr0S (Е, т])ехр (г2л J-c*r0S*(£, р) ехр ( —г‘2л =
= г2 +1 cS |2 J- cr0S (^, т]) ехр (2лг£&) J- c*r0S (Е, р) ехр (—2лгЕ&).
§ 3.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
243
Полученное выражение тождественно выражению (8.14), которое
описывает фурье-голограмму, следовательно, голограмма, заре-
гистрированная по схеме фиг. 8.25, обладает теми же свойст-
вами.
Можно показать, что такими же свойствами обладает квази-
фурье-голограмма, при получении которой предмет и источник
уже не располагаются в плоскости, прилегающей вплотную к лин-
зе. Для этого вернемся к гл. 6 и воспользуемся выражением
(6.59).
Оно описывает комплексную амплитуду света, приходящего
от транспаранта с пропусканием t (х15 yi) в заднюю фокальную
плоскость линзы, где находится голограмма. Транспарант поме-
щен на произвольном расстоянии d перед линзой и освещается
плоской волной. Мы видим, что комплексная амплитуда равна
произведению фурье-образа функции t (х15 г/Д на фазовый множи-
тель сферической волны
ехр[--Т (?"4) <^+^)] ’
который не зависит от вида t (х1? у^. Выражение (6.59) справедли-
во и для предметной, и для опорной волны. Вид фазового множи-
теля не зависит от того, предмету или опорному источнику мы
приписываем пропускание t (х15 г/f), поскольку и тот и другой
находятся на одном и том же расстоянии d от линзы. Следователь-
но, в произведениях аг* и а*г, определяющих интерференционную
структуру голограммы, фазовые множители будут отсутствовать
и останутся только фурье-образы предмета и опорного источника
в соответствии с (8.18).
Предположим теперь, что предмет и опорный источник находят-
ся позади линзы и расположены на расстоянии d от ее задней:
фокальной плоскости и что линза освещается плоской волной.
Выражения (8.16) — (8.18) и вытекающие из них следствия оста-
нутся справедливы, если заменить f на d. В этом случае можно«
считать, что падающий на предмет сходящийся пучок света возни-
кает из параллельного пучка, освещающего расположенную вплот-
ную к предмету линзу с фокусным расстоянием d.
5. Безлинзовые фурье-голограммы
Предположим, что из схемы на фиг. 8.25 удалена линза, а опор-
ный точечный источник по-прежнему располагается в той же плос-
кости, что и предмет-транспарант (фиг. 8.26). Предметный вол-
новой фронт, который будет записан на голограмме, теперь пред-
ставляет собой картину ближнего поля, или картину дифракции
Френеля от транспаранта. Тем не менее мы увидим, что пропуска-
16»
244
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
ние голограммы, полученной по схеме, показанной на фиг. 8.26,
похоже на пропускание фурье-голограммы. Члены, формирующие
изображение, опять представляют собой произведения фурье-
образов и фазовых множителей, линейно зависящих от координат
ФИГ. 8.26. Схема получения без линзовой фурье-
голограммы.
плоскости голограммы. Поэтому термин безлинзовая фуръе-голо-
грамма применяется для голограмм, получаемых без использо-
вания линз, но с расположенным в плоскости предмета точечным
опорным источником. Как и прежде, предмет освещается плоской
волной.
Согласно (5.33) и соображениям, изложенным в гл. 5, § 5, ком-
плексная амплитуда света предметной волны в плоскости х2у2
голограммы на фиг. 8.26 может быть записана в виде
а (х2, у2) = -g- ехр [ - (х*2 + у2)] х
X j j [s (хь z/i) ехр | (х* + у2)} J X
X ехр [2л£ (%,'xt + т]'у^] dxr dyi =
= сехр (^ + y2)]F(g', т]'), (8.19)
где
F(g', Ti'Jczs^i, У1)ехр[ —^(л:2 + у2)], c = -g- ,
d — расстояние между плоскостями xtyt и х2у2 и £' = x2/7.d,
т]' =у2Г/Я. Если голограмма была зарегистрирована с опорной волной
§ 3.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
245
г = го ехр [— (in/hd) (xl + у1)] ехр (—2ni^'b) [выражение (8.17)
при у = d], то компоненты пропускания голограммы, ответствен-
ные за формирование изображения, выражаются формулой, ана-
логичной (8.18):
а (х2, У2) г* + а* (х2, у2) г =
= сг0 F (5', т]') ехр (2л^'Ь) + c*r0F* (£', ц') ехр (—2л^'Ь).
(8.20)
Здесь тоже отсутствует фазовый множитель сферической волны,
зависящий от координат плоскости голограммы х2 и у2. Таким
образом, изображение, формируемое голограммой, будет оставать-
ся неподвижным при ее перемещении. Зависящий от и yt фазо-
вый множитель сферической волны, на который в выражении для
фурье-образа умножается пропускание предмета s (xi, yj), не ока-
зывает влияния на свойства восстановленного изображения. Его
можно рассматривать просто как часть пропускания предмета,
а именно считать, что он соответствует линзе, расположенной
вплотную к транспаранту.
Если голограмма освещается аксиальной плоской волной, то ком-
плексные амплитуды дифрагированных голограммой волн, форми-
рующих изображение, пропорциональны правой части выражения
(8.20). Пропускание голограммы (8.20) подобно пропусканию
фурье-голограммы, за исключением того, что F (£', ц') и комплекс-
но-сопряженная функция не являются фурье-образами функций
s (^i, yi) и s* (—xlt —yi), а представляют собой фурье-образы
произведений этих функций на фазовые множители сферических
волн. Чтобы, освещая голограмму плоской волной, получить
фурье-образ ее пропускания, необходима линза, как на фиг. 8.23.
[Заметим, что и rf в (8.20) отличаются постоянным масштабным
множителем а = d/f от пространственных частот £ = х^к]
и т] = у2Щ, входящих в выражение (8.16), которое описывает
преобразование Фурье, осуществляемое линзой с фокусным рассто-
янием /. Запишем ?'ит]' в виде = £/а и т/ = ц/а и воспользу-
емся теоремой подобия, соотношение (4.22). Тогда найдем, что
преобразование Фурье, которому подвергаются члены выра-
жения (8.20) и которое осуществляет линза с фокусным расстоя-
нием у, приводит к уменьшению изображения в а раз по сравнению
со случаем d = у. ] В результате преобразования получаем, что
комплексные амплитуды света в плоскости х3у3 изображения,
находящегося в задней фокальной плоскости линзы, пропорцио-
нальны выражениям
s[(az3—b), ау3] ехр { — ^ [(az3—b)2+ а2у|]} ,
s* [ — (az3 + b), — ayjexp {21 [(ои:3 -f- b)* + a2y2]} ,
246
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8-
умноженным на фазовые множители сферической волны, которые
вводит линза, используемая на стадии восстановления. Если
регистрируется интенсивность изображения, то фазовые множи-
тели роли не играют. Интенсивности | s [(az3 — b), ау3] |2
и | s [ —(az3 + b), —ау3] |2 соответствуют расположенным в плос-
кости х3у3 прямому и перевернутому изображениям с коорди-
натами центров (Ь/а, 0) и (—b/а, 0).
Несмотря па то, что при освещении плоской опорной волной
безлинзовая фурье-голограмма формирует изображение, подобное
тому, которое восстанавливает фурье-голограмма, на практике
часто бывает проще осветить голограмму исходным точечным опор-
ным источником. Тогда, как и у других голограмм, положение
мнимого изображения совпадает с исходным положением предмета.
Основным в без линзовой фурье-голографии является следую-
щее требование: кривизна сферического фронта, описываемого
фазовым множителем сферической опорной волны, должна быть
такой же, как кривизна сферического фронта, описываемого фазо-
вым множителем предметной волны. Нечувствительность положе-
ния изображения к перемещению голограммы успешно использо-
валась для получения составных голограмм, информационная
емкость которых снижена до необходимого минимума и которые
позволяют осуществлять стереоскопическое наблюдение трехмер-
ных изображений (см. гл. 18).
6. Безлинзовые голограммы Фраунгофера
В гл. 2, § 5, п. 4, мы отмечали, что осевые голограммы, заре-
гистрированные в области дальнего поля предмета, позволяют
наблюдать одно изображение без искажающего влияния со сторо-
ны другого. Томпсон и др. [8.15] использовали эту возможность
для исследования размеров и формы движущихся аэрозольных
частиц, что, по-видимому, явилось одним из первых практических
применений голографии. Картина дифракции Фраунгофера (карти-
на дальнего поля) может быть зарегистрирована на фотопластинке,
помещенной на расстоянии d от предмета, при условии [см. (5.37)]
(8.21)
Здесь Xi и у! — координаты произвольной точки предмета, а % —
длина волны света.
Предположим, что предмет, пропускание которого описывает-
ся функцией s (xt, у]), имеющей фурье-образом функцию S (£, ц),
освещается плоской волной в направлении, нормальном к плоско-
сти хку! (фиг. 8.27). Выражение (5.39) описывает комплексную
амплитуду а (х2, у2) света, падающего на плоскость х2у2, располо-
§ 3.
СХЕМЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГОЛОГРАММ РАЗЛИЧНОГО ТИПА
247
женную в области дальнего поля на расстоянии d от х^-.
а (х2, у2) = ехр [ - g (х* + ^)] S (£, т]). (8.22)
В работе [8.15] голограмма Фраунгофера регистрировалась
при освещении предмета плоской когерентной волной. Фотопла-
стинка экспонировалась в области дальнего поля. Свет, прошед-
ший через предмет без дифракции, служил опорной волной.
Тогда, так же как и для других осевых голограмм, при условии
надлежащего экспонирования и обработки позитивной голограммы
ФИГ. 8.27. Образование безлинзовой голограммы
Фраунгофера.
контраст восстановленного изображения совпадает с контрастом
объекта. На стадии восстановления голограмма освещается плос-
кой волной, тождественной той, что использовалась для освещения
предмета.
Поскольку на стадии регистрации голограммы используется
плоская опорная волна, фазовый множитель сферической волны
[см. (8.22)] не устраняется и изображение, формируемое голограм-
мой Фраунгофера, смещается при перемещении голограммы.
Можно считать, что в голограмму как бы встроена линза, соответ-
ствующая сферическому фазовому множителю. При перемещении
голограммы линза перемещается вместе с ней и в свою очередь
перемещает изображение.
Если предмет настолько мал, что его можно рассматривать как
расположенный на оси точечный рассеиватель (как в случае аэро-
зольной частицы), то фиг. 8.27 эквивалентна фиг. 2.5 и при записи
формируется интерференционная картина, напоминающая зонную
248
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
пластинку. Если пропускание небольшого предмета можно
аппроксимировать 6-функцией 6 (х) zd S (£, tj) = 1, то амплитуда
а (^2, У г), описываемая выражением (8.22), будет представлять
собой немодулированную сферическую волну. На стадии восстанов-
ления амплитуды а (х2, у2), записанной на голограмме Фраунгофе-
ра, будет формироваться идентичная волна, исходящая из мнимого
изображения. В плоскости действительного изображения с обратной
стороны голограммы эта волна создает только однородный фон, кото-
рый почти не мешает наблюдению действительного изображения.
Мы можем определить голограмму Фраунгофера как голограм-
му, на которой регистрируется интерференционная структура,
образованная дифракционной картиной от предмета в области
дальнего поля и сферической волной от опорного источника,
некомпланарного предмету. Как правило, опорный источник рас-
полагается на бесконечности и опорная волна является плоской.
7. Голограммы Фраунгофера, полученные с линзой
Выражение (8.22) для комплексной амплитуды а (х2, у г) диф-
ракционной картины дальнего поля совпадает с формулой (8.16),
ФИГ. 8.28.
Получение голограммы Фраунгофера
с использованием линзы.
§ 4. РОЛЬ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ 249
которая описывает комплексную амплитуду света, наблюдаемого
в задней фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием /,
расположенной непосредственно перед когерентно освещенным
предметом. Следовательно, очевидно, что с помощью линзы реги-
стрируется голограмма Фраунгофера, если 1) расположенный
вплотную к линзе транспарант освещается плоской волной,
2) используется плоская (например, внеосевая) опорная волна
и 3) предметная и опорная волны интерферируют в плоскости
голограммы, помещенной в задней фокальной плоскости линзы.
Полученная таким образом голограмма будет иметь свойства,
подобные свойствам безлинзовой голограммы Фраунгофера.
На фиг. 8.28 приведена схема получения голограммы описанного
здесь типа.
§ 4. Роль разрешающей способности
регистрирующей среды и размеров голограммы
Рассмотрев основные типы плоских голограмм, вернемся к огра-
ничениям, которые налагает регистрирующая среда на свойство
голограмм формировать изображение. Требования к разрешающей
способности регистрирующей среды для записи различного типа
голограмм обсуждались в гл. 3, § 1. Ниже с помощью простой моде-
ли мы рассмотрим, как сказывается ограниченность разрешающей
способности на качестве изображения. Наш подход аналогичен
подходу, используемому в работах Лукоша [8.16] и Урбаха и Мейе-
ра [8.17].]
1. Ограниченная разрешающая способность
регистрирующей среды
Начнем анализ с рассмотрения плоскости xz на фиг. 8.29,
где показан предмет, точечный опорный источник R (хГ, 0, —zr)
и фотопластинка. Плоскость, нормальная к оси и содержащая
точечный опорный источник, находится от регистрирующей плас-
тинки на расстоянии zr. Как показано на фиг. 8.29, луч, идущий
от опорного источника до произвольной точки Q (х2, 0, 0) на по-
верхности пластинки, образует угол 0Г с нормалью к пластинке
(осью z) и, следовательно, характеризуется пространственной часто-
той %г. Предположим, что тонкий пучок таких лучей от опорного
источника интерферирует в окрестности точки Q с аналогичным
пучком лучей от предмета, образующим угол 0О с осью z. Послед-
нему соответствует пространственная частота ?о- Интенсивность
интерференционной картины, которая должна быть зарегистриро-
250
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
вана, выражается формулой
I = [ехр (2лг5ож2) + ехр (2nigrz2) 1 [ехр (— 2лг5ож2) +
+ ехр (—2ш&.ж2)] = 2 + 2 cos [2л (50—&•) (8.23)
Здесь мы предположили, что волны имеют единичные амплитуды.
Частота косинусоидального члена 5о — представляет собой
стрирующеи среды.
частоту полос интерференционной структуры. Для малых углов
ее можно представить следующим образом:
_______sin 0О sin 0r 0q -0,.---------.л oz\
So— Sr —-------------------------------— • (o.Z4)
Предположим теперь, что среда идеально регистрирует все про-
странственные частоты, не превышающие некоторой предельной
частоты 5с, но в то же время абсолютно не в состоянии зарегистри-
ровать компоненты структуры с частотой, превышающей 5С- Если
предмет рассеивает свет в широкой полосе пространственных час-
тот 5о, это означает, что при данном значении 5г не все простран-
ственные частоты могут быть зарегистрированы голограммой.
Другими словами, на голограмме будут зарегистрированы только
те лучи, углы которых с осью z не выходят за пределы некоторого
интервала значений. На фиг. 8.29 один такой предельный луч,
идущий от предмета к произвольной точке Q плоскости голограм-
§ 4.
РОЛЬ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
251
мы, пересекает плоскость опорного источника в точке жмакс. Мы
будем называть такой луч краевым', соответствующая ему про-
странственная частота £ о,маис удовлетворяет соотношению
5о.мавс — 5г = 5с- (8.25а)
Если краевой луч составляет с осью z угол Оо,Мавс! то, используя
(8.24), можно написать
бо.мавс 6г £ бе /о
•----« 5с = -у-, (8.256)
или
00.макс — 0Г ~ 0С. (8.25в)
С помощью фиг. 8.29 можно определить координату zMaKC:
--ма^-*2 = tg (0Г + 0С) « 0Г + 0С «
откуда
З-мавс 3-г “Ь (8.26)
Аналогично для координаты гмин точки пересечения другого крае-
вого луча имеем
3-мин з:г zr%^c. (8.27)
Заметим, что краевые лучи пересекают плоскость опорного источ-
ника в точках, координаты которых в использованном здесь при-
ближении малых углов не зависят от координат точки Q плоско-
сти регистрации.
Введем теперь гипотетический непрозрачный экран, помещен-
ный в плоскости, нормальной к оси z и содержащей опорный
источник. Экран имеет отверстие с центром в точке R, где находит-
ся опорный источник. Края отверстия определяются точками
(^мавс, 0, — zr) и (жмин, 0, —zr). Через отверстие проходят все те
предметные лучи, в результате интерференции которых с опорны-
ми лучами в некоторой точке Q плоскости голограммы образуются
полосы, разрешаемые и регистрируемые светочувствительной сре-
дой. Если же луч, идущий от предмета к произвольной точке
Q плоскости голограммы, или продолжение этого луча пересекает
наш гипотетический экран, то этот луч не будет зарегистрирован
голограммой. Некоторые из таких лучей показаны на фиг. 8.30.
Это правило справедливо для предметов, расположенных как перед
плоскостью опорного источника, так и за ней. Мы можем распро-
странить свой анализ и на случай двумерного экрана, вводя про-
странственные частоты v, где v2 = 52 + т]2, и предельную частоту
тогда отверстие в экране представляет собой окружность ради-
усом zr%vc с центром в точке R.
Обратимся теперь к рассмотренным ранее схемам получения
голограмм различного типа и, применив наглядный способ экра-
252
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
на, покажем, как сказывается наличие предельной пространствен-
ной частоты на свойствах регистрируемых голограмм. Начнем
со схемы получения безлинзовой фурье-голограммы, показанной
на фиг. 8.26. Так как голографируемый транспарант и точечный
опорный источник находятся в одной и той же плоскости — плос-
кости экрана, то отверстие в экране ограничивает только размер
предмета, который может быть зарегистрирован. В пределах этого
размера лучи всех направлений (всех пространственных частот)
будут полностью зарегистрированы голограммой (опять-таки
в приближении малых углов). То же выполняется для схемы
на фиг. 8.25, содержащей линзу. Таким образом, эти две схемы
позволяют осуществлять голографическую регистрацию предметов,
содержащих высокие пространственные частоты, на материалах
с низкой разрешающей способностью.
Теперь рассмотрим схему для получения осевой голограммы
Френеля при освещении голографируемого транспаранта аксиаль-
ной плоской волной. Опорный источник R лежит на оси z на беско-
нечности (хт = 0, zT = оо). Действие нашего гипотетического
экрана, расположенного на бесконечности, выражается в том, что
он устанавливает предельные значения углов, образуемых лучами
§ 4.
РОЛЬ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
253
С ОСЬЮ Z. Если обозначить Омаке — ^макс/^г И 0Мин — ^мин/^г,
то (8.26) и (8.27) принимают вид
Омаке 0с, Омин да 0С. (8.28)
Эти соотношения показывают, что экстремальные углы 0макс и
Омин, которые составляют краевые лучи с осью z, непосредственно
ФИГ. 8.31. Влияние ограниченности разрешающей
способности регистрирующей среды при
получении осевых голограмм.
определяются предельным углом 0С (фиг. 8.31). Плоская предмет-
ная волна, распространяющаяся в направлении | 0С | и имеющая
пространственную частоту | 1с | = | 0С | /X, соответствует компо-
ненте пропускания предмета с той же пространственной частотой
| 1с | (см. гл. 5, § 3). Следовательно, голограмма не будет регистри-
ровать те компоненты пропускания предмета, пространственная
частота которых превышает | 1с| , что в свою очередь ведет к огра-
ничению разрешения изображения. Разрешение изображения,
достижимое в этом случае, эквивалентно тому, которое может иметь
контактный снимок предмета, полученный на том же регистрирую-
щем материале.
С помощью фиг. 8.32 можно понять, к чему приводит ограни-
ченность разрешающей способности регистрирующей среды в том
случае, когда дифрагировавший на предмете аксиальный плоский
волновой фронт интерферирует с наклонной плоской опорной вол-
ной. В такой схеме формируется голограмма Френеля с несущей
частотой. Соотношения (8.26) и (8.27), записанные через предель-
ные углы 0Макс и Омин, которые определяются экраном, прини-
мают вид
Омаке = Ог + 0с, Омин = Ог — 0с- (8.29)
Из фиг. 8.32 мы видим, что если угол 0С не слишком велик, то
лишь ограниченный диапазон положительных пространственных
частот, дифрагированных предметом, попадет на фотопластинку,
254
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
не пересекая экрана, ограничивающего интервал углов. Один из
таких лучей, идущий от предмета под углом 0О к оси z, показан
на фиг. 8.32. Отрицательные пространственные частоты предмета
обрезаются значительно в меньшей степени, чем положительные
(и наоборот, если опорная волна имеет положительную простран-
ственную частоту). Такая неравномерность записи положитель-
ных и отрицательных пространственных частот может ухудшить
ФИГ. 8.32. Влияние ограниченности разрешающей
способности среды при получении голо-
грамм с наклонной плоской опорной
волной.
разрешение изображения. Чтобы избежать этого, предельная
частота |с должна быть высокой. Более того, для полного разделе-
ния волн нулевого порядка и дифрагированных волн, формирую-
щих изображение, частота £с должна примерно в 4 раза превышать
наибольшую пространственную частоту предмета (см. § 1, п. 1).
2. Размер голограммы
Если матрица голограмм предназначается для хранения инфор-
мации (см. гл. 16), причем количество сохраняемой информации
велико, то очевидно, что размер каждой отдельной голограммы
должен быть мал. Мы считаем, что влияние размеров голограммы
на качество изображения аналогично влиянию линзы конечных
размеров (см. гл. 6, § 4, п. 2). Основной результат, полученный
в гл. 6, § 4, справедлив и для голограммы, если только заменить
апертуру линзы апертурой голограммы.
§ 4. РОЛЬ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ 255-
Разрешение изображения, формируемого как голограммой,
так и линзой, определяется фурье-образом когерентной передаточ-
ной функции оптического устройства, т. е. функцией рассеяния.
Чем больше размеры голограммы, тем выше максимальная прост-
ранственная частота предмета, которая может быть ею воспринята,
и тем уже функция рассеяния (фиг. 6.11). Если размер голограммы'
должен быть ограничен по таким соображениям, как получение
максимальной плотности хранения информации, то важно наибо-
лее выгодно использовать имеющуюся в распоряжении поверхность
регистрирующей среды. Если мы примем, что разрешающая спо-
собность среды достаточно высока, чтобы среда могла воспринять-
все пространственные частоты, идущие от предмета, то наша зада-
ча сводится к равномерной регистрации всех частотных компонент
от всех частей предмета.
В гл. 6, § 4, п. 2, показано, что линзовая оптическая система,
в которой предмет освещается аксиальной плоской волной, дает'
максимальное разрешение изображения только для точек предме-
та, расположенных вблизи оптической оси. Разрешение изобра-
жения линейно падает с увеличением расстояния от оси. Наилуч-
ший способ освещения предмета, показанный на фиг. 6.9, состоит
в использовании сходящейся сферической волны, фокусирующей-
ся в плоскости линзы 1/2. В этом случае для всех точек предмета
достигается наивысшее возможное разрешение изображения, отве-
чающее данному размеру линзы. Передаточная функция таковг
системы, которую называют пространственно-инвариантной, изо-
бражена на фиг. 6.10. Схемы аналогичных пространственно-инва-
риантных голографических систем показаны на фиг. 8.25
и фиг. 8.28. Эти системы позволяют оптимально использовать огра-
ниченную площадь голограммы, так как на небольшую по разме-
рам голограмму падают от всех точек предмета лучи в одном и том
же диапазоне пространственных частот, благодаря чему разреше-
ние изображения имеет одинаковую достаточно высокую величину
на всех участках. Поскольку пучок лучей от каждой точки пред-
мета перекрывает всю площадь голограммы (см. фиг. 6.9), то инфор-
мация 6 каждой точке предмета хранится всеми точками голограм-
мы. Таким образом, голограммы, полученные по схемам фиг. 8.25
и фиг. 8.28, не чувствительны к пыли и царапинам, подобно голо-
граммам, полученным при диффузном освещении предмета, и, кро-
ме того, не обладают пятнистой структурой. Основная проблема,
связанная с получением голограмм по схемам фиг. 8.25 и 8.28,
заключается в регистрации интенсивности света, меняющейся
в широком диапазоне. Как уже отмечалось, нулевой простран-
ственной частоте соответствует большой пик интенсивности.
В гл. 16 мы рассмотрим некоторые полезные методы, позволяющие
находить компромисс между избытком информации и требованием
к динамическому диапазону.
256
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
§ 5. Максимальная эффективность плоских
голограмм
Если нужно восстановить максимально яркое изображение,
то полезно знать максимальную дифракционную эффективность,
которой обладают голограммы различного типа. Здесь мы опреде-
лим эффективности [8.18] плоских амплитудных и фазовых голо-
грамм, образующихся в результате интерференции плоской
наклонной опорной волны г = г ехр (2лг?ж) и аксиальной не моду-
лированной плоской предметной волны с амплитудой а.
Начнем с рассмотрения амплитудной голограммы. Если пред-
положить, что зависящая от экспозиции часть tE амплитудного
пропускания проявленной голограммы пропорциональна интен-
сивности регистрируемой интерференционной картины, то
tE ~ I = [а 4- г ехр (2ni£r)] [а -{- г ехр (— 2ni£z)] =
= a2 -j- г2 + 2ar cos (2л£г),
или
te = tE0 4- ti cos (2n£z). (8.30)
Для плоской амплитудной голограммы полное амплитудное про-
пускание t в соответствии с формулой (1.14) определяется как t =
= to — tE, где to — пропускание неэкспонированной пластинки.
Как правило, t может изменяться от 0 до 1 (если to = !)• Макси-
мальный диапазон изменения t достигается при tEa = 1/2и ti =
При этих условиях
t = to—tE = i — у—у COS (2л£г) = у—у cos (2ngz) =
= у—ехр (2ni£z)—^-ехр(— 2л^ж). (8.31)
Пусть голограмма освещается аксиальной плоской волной еди-
ничной амплитуды. Тогда амплитуда волны, распространяющейся
за голограммой, равна пропусканию t, определяемому формулой
(8.31). Мы видим, что свет дифрагирует только в нулевой и 4-1-й
и —1-й порядки. Поскольку амплитуда дифрагированной волны
первого порядка составляет 1/4 амплитуды падающего света, то
интенсивность волны первого порядка равна 1/16 интенсивности
падающего света. Дифракционная эффективность определяется
как отношение мощности дифрагированной волны первого порядка
к мощности излучения, освещающего голограмму. В настоящем
случае, когда голограмма освещена равномерно, мы можем в этом
определении заменить мощность излучения на его интенсивность.
Итак, эффективность равна 1/16, или 6,25%. На практике регистри-
§ 5. МАКСИМАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ 257
рующие среды не являются линейными во всем диапазоне экспози-
ций, соответствующем изменению пропускания t от 0 до 1. Поэто-
му, если требуется восстановить волновой фронт без нелинейных
искажений, то максимальная эффективность, равная 6,25%, не мо-
жет быть достигнута.
Несколько большей дифракционной эффективностью могут
обладать голограммы, пропускание tE которых описывается не ко-
синусоидальной, а прямоугольной периодической функцией х.
(Таким пропусканием могут обладать голограммы, синтезирован-
ные с помощью вычислительных машин.) В этом случае в одной
половине периода пропускание tE равно нулю, а во второй —
единице. Первые два члена разложения прямоугольной функции
в ряд Фурье имеют вид [8.19, 8.21*]:
1 9
tE = т + cos (2л£е)
4 Л
= у + -i- [ехр (2л^ж) + ехр (— 2л ^ж)] — ... . (8.32)
При t = 1 — tE дифракционная эффективность равна (1/л)2 =
= 10,1%. Кроме того, на решетках прямоугольного профиля воз-
можна и дифракция более высоких порядков.
В гл. 7, § 2, п. 2, комплексное пропускание светочувствительной
среды было записано в виде
t = t ехр [7<р (ж)].
Для фазовой голограммы в отсутствие потерь мы можем считать
t постоянной величиной, равной единице; тогда
t = ехр [7<р (ж)]. (8.33)
Хотя в гл. 7, § 2, п. 2, мы видели, что фазовые голограммы осуще-
ствляют линейную запись только при малых значениях <р, для
нахождения максимально возможной эффективности голограммы
снимем с (р это ограничение. Светочувствительный материал экспо-
нируется таким образом, что фазовый сдвиг ф (ж), приобретаемый
плоской волной при прохождении обработанной голограммы,
пропорционален интенсивности света, действовавшей при экспо-
зиции, т. е.
Ф (ж) ~ а2 + г2 + 2 ar cos 2л£ж = ф0 + ф! cos (2л£ж). (8.34)
Пропускание голограммы t принимает вид
t = ехр (йр0) ехр [гф1 cos (2л£ж)] ~ ехр [гф1 cos (2л^ж)]. (8.35)
Если опустить постоянный фазовый множитель ехр (£ф0), то (8.35)
можно представить в виде ряда Фурье [8.19, 8.21*]
-|-оо
t = ехр [гф± cos (2л£ж)] = 3 (ф1) ехр (&п2л£ж),
п=— 00
17—0990
258
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 8.
где Jn — функция Бесселя первого рода n-го порядка. Если голо-
грамма t освещается аксиальной плоской волной единичной
амплитуды, то амплитуда дифрагированной волны + 1-го порядка
описывается функцией Ji (cpt), которая показана на фиг. 8.33.
Ее максимальное значение равно 0,582, а максимальная эффектив-
ность составляет 33,9%.
ФИГ. 8.33.
Амплитуда Ji (rpt) дифрагированной
волны первого порядка для синусо-
идальной фазовой решетки.
Несколько больше света дифрагирует в первый порядок, если
фаза меняется как прямоугольная функция х и принимает значе-
ние <р = 0 в течение одной половины периода и значение ср = л —
в течение другой. Тогда пропускание t равно +1 при <р = О
и —1 при <р = л. Такая голограмма подобна амплитудной голо-
грамме, пропускание которой описывается прямоугольной функци-
ей, причем амплитуда света, дифрагированного в первый порядок,
в два раза больше, чем при амплитудной модуляции. Следователь-
но, такая голограмма обладает в 4 раза большей эффективностью,
равной 40,4%.
ЛИТЕРАТУРА
8.1. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 52, 1123 (1962).
Восстановление волнового
фронта и теория связи.
8.2. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 53, 1377 (1963).
Восстановление волнового
фронта для полутоновых
объектов.
8.3. LIN L. Н., Appl. Opt., 6,
2004 (1967).
Улучшение разделения голо-
графических изображений с
помощью полного отражения.
ЛИТЕРАТУРА
259
8.4. STETSON К. A., Appl. Phys.
Lett., 11, 225 (1967).
Метод получения голограмм
с использованием полного
внутреннего отражения света.
8.5. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 57, 975 (1967).
Получение голограмм с по-
мощью систем, создающих
ахроматические полосы.
8.6. BURCKHARDT С. В., DO-
HERTY Е. Т., Appl. Opt., 7,
1191 (1968).
Использование внеосевого
опорного пучка для получе-
ния голограмм с несущей ча-
стотой.
8.7. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 54, 1295 (1964).
Восстановление волнового
фронта при диффузном осве-
щении и для трехмерных объ-
ектов.
8.8. MEIER R. W., Journ. Opt.
Soc. Amer., 57, 895 (1967).
Оптические свойства гологра-
фических изображений.
8.9. ROTZ F. В., FRIESEM А. А.,
Appl. Phys. Lett., 8, 146
(1966).
Голограммы, формирующие
непсевдоскопические действи-
тельные изображения.
8.10. BURCKHARDT С. В., COL-
LIER R. J., DOHER-
TY Е. Т., Appl. Opt., 7, 627
(1968).
Получение и инверсия псевдо-
скопических изображений.
8.11. RIGDEN J. D., GOR-
DON Е. I., Proc. IRE, 50,
2367 (1962).
Эффект зернистости при
освещении рассеянным светом
лазера.
8.12. ROSEN L., Appl. Phys. Lett.,
9, 337 (1966).
Получение голограмм сфоку-
сированных изображений с
протяженными источниками.
8.13. STROKE G. W., Phys. Lett.,
23, 325 (1966).
Восстановление в белом свете
голографических изображе-
ний с помощью пропускаю-
щих голограмм, зарегистри-
рованных с обычными сфоку-
сированными изображениями
и осевым опорным пучком.
8.14. VANDER LUGT A., IEEE
Trans., Inform. Theor., IT-10,
139 (1964).
Обнаружение сигнала с по-
мощью комплексной простран-
ственной фильтрации.
8.15. THOMPSON В. J., WARD
J. Н., ZINKY W., Appl.
Opt., 6, 519 (1967).
Применение голографическо-
го метода для анализа разме-
ров частиц.
8.16. LUKOSZ W., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 1084 (1968).
Теория голографического изо-
бражения, основанная на рас-
смотрении эквивалентной
линзы.
8.17. URBACH J. С.,MEIER R. W.,
Appl. Opt., 8, 2269 (1969).
Свойства и ограничения ре-
гистрирующих материалов,
используемых в голографии.
8.18. KOGELNIK Н., Proc. Symp.
Modern Opt., ed. J. Fox, New-
York, 1967, p. 605.
Отклик при восстановлении
и эффективность голографи-
ческих решеток.
8.19. WESTMAN Н. Р. (ed.), Re-
ference Data for Radio Enge-
neers, 4th ed., Internat. Tele-
phone and Telegraph Corp.,
1956, p. 1019.
8.20* . TANNER L. H., Journ. Sci.
Inst., 43, 81 (1966).
Некоторые применения голо-
графии в механике газовых
потоков.
8.21* . АНГО А., Математика для
электро- и радиоинженеров
М., 1965.
17*.
Глава У
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ
ГОЛОГРАММАХ
Отклик элементарной объемной голограммы при ее освещении
когерентным излучением можно рассматривать с точки зрения
теории связанных волн. Однако, прежде чем применить эту теорию,
воспользуемся пространственно-частотными представлениями,
введенными в гл. 5, чтобы понять, как образуется элементарная
объемная голограмма, и вывести аналитические выражения, опи-
сывающие ее дифракционную периодическую структуру.
§ 1. Голограмма, образованная двумя плоскими
волнами
Рассмотрим две плоские волны единичной амплитуды, распро-
страняющиеся в плоскости yz. Проникая в регистрирующую среду,
они интерферируют (фиг. 9.1). Согласно закону Снеллиуса,
sip Од sin Од ,g
sin t|)S sin 1|)д ’ \ • /
где n — показатель преломления регистрирующей среды. Здесь Qs
и QH — углы между направлениями распространения волн и осью
z в воздухе, а и фн — соответствующие углы в регистрирую-
щей среде. Как и в гл. 3, § 1, мы начнем со сложения комплексных
амплитуд плоских волн в среде и затем, чтобы найти интенсив-
ность, умножим результирующую комплексную амплитуду на ком-
плексно-сопряженную ей величину. В результате получаем сле-
дующее выражение для комплексной амплитуды в среде:
а (у, z) = ехр [—i2n (r]s y + £sz)l + ехр [—i2n (x\Ry + £Hz)J
и
aa* = I = 2 + 2 cos 2л [(r]s где sin tbs X ’ (1—X3rig)1/a Ss % и X — длина волны в среде. - Цд) у + <Xs - Сд) Z], (9.2) 1н = 51П/’Л [из (5.146)], (l-XSii^ ?н — [из (5.16)],
§ 1. ГОЛОГРАММА, ОБРАЗОВАННАЯ ДВУМЯ ПЛОСКИМИ ВОЛНАМИ 261
Предположим сначала, что среда обладает фото чувствитель-
ностью ТОЛЬКО В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ Z = Zj = const. В ЭТОЙ ПЛОСКО-
СТИ второй член в аргументе косинуса в (9.2) (£s — Zr) zi пред-
ставляет собой постоянную добавку к фазе и его можно положить
у
ФИГ. 9.1.
Образование элементарной голограммы.
равным пулю. Оставшееся слагаемое соответствует фазовому чле-
ну, определяющему частоту интерференционных полос в направ-
лении у’
1 snubs—sinibH /п
= = (9.3)
где dy — расстояние между соседними максимумами косинусои-
дального распределения интенсивности в интерференционных
полосах в направлении оси у. Поскольку распределение интен-
сивности, описываемое формулой (9.2), не зависит от х, максиму-
мы интенсивности полос располагаются на лежащих в плоскости
z = Zj линиях, параллельных оси х и находящихся на расстояниях
dy друг от друга. Формула (9.3) дает связь между dy, длиной волны
и направлениями волн в среде. Аналогичная формула справедли-
ва и для соответствующих величин вне регистрирующей среды, т. е.
в воздухе. Это нетрудно показать, используя закон Снеллиуса:
________Ь.__________________________________________ (9 4\
у sin tps—sintpfl (1/га) (sin fls—sin flH) sinQs—sinflf? ’ ' ' '
где %a = — длина волны в воздухе.
262
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
Аналогичное выражение для dy получается для объемной голо-
—> —>
граммы, если волновые векторы S и R составляют равные углы
с нормалью к поверхности (фиг. 1.4). В этом случае фа = +9,
фн = —О, T]S = —Лн, Ла = Лв и £s — = 0. В объемной среде
интерференционная картина представляет собой совокупность
поверхностей постоянной фазы косинусоидального члена в фор-
муле (9.2). Эти поверхности описываются уравнением
2л (t]S — Лв) У + 2л (Ss — Sh) z = const. (9.5)
В случае, соответствующем фиг. 1.4, второй член в (9.5) равен нулю,
а ла —Л в = 2Ла- Тогда для оставшейся части фазового члена
получим
2л (2t]S) у = const.
В этом случае уравнение поверхностей постоянной фазы сводится к
у = const.
Таким образом, эти поверхности представляют собой плоскости,
параллельные плоскости xz. Расстояния между поверхностями,
соответствующими максимальным значениям интенсивности
(поверхностями пучностей), в направлении оси у равны dy. Если
фа = —фл = 9> то
dy = — = -^—, или dy = -x-^—a, (9.6)
у vy 2t]S у 2 sin 0 ' '
что совпадает с выражением (1.10). Поскольку плоскости пучно-
стей параллельны оси z, то 9 соответствует углам, которые каждая
из интерферирующих плоских волн составляет с этими плоско-
стями в среде.
Возвращаясь к (9.5) и более общему выражению для поверх-
ностей постоянной фазы, отметим, что уравнение (9.5) описывает
плоскости, перпендикулярные плоскости yz [линии пересечения
этих плоскостей с плоскостью yzпредставляют собой прямые линии,
и в (9.5) отсутствует зависимость от х]. Угол ф между этими плос-
костями и осью можно определить, дифференцируя (9.5) по z:
(t]8-M^ + (Ss-Sh) = 0
или
tg А =^-= ——(9.7)
r dz Ла—Лн
Воспользовавшись введенными ранее обозначениями для про-
странственных частот [см. (9.2)], получим
. , (1 — sin2 фа)1/2—(1—sin2 фд)1/2 совфа— созфд
sin фа—sin фд — sin фа —sin фн
= tg(j£+I»\
§ 2.
ЗАКОН БРЭГГА
263
ИЛИ
</» = ^+2рД-. (9.8)
Как видно из фиг. 9.1 и формулы (9.8), поверхности пучностей
элементарной голограммы делят пополам угол между волновыми
векторами интерферирующих волн. Оси у и z на фиг. 9.1 можно,
конечно, повернуть вокруг оси ж на угол ф так, чтобы ось z совпала
с плоскостью пучностей. Если теперь обозначить через 9 угол,
который каждый из пучков составляет с плоскостью пучностей
в среде, то соотношение (1.10) будет справедливо независимо
от ориентации пучков относительно нормали к голограмме, т. е.
2d sin 9 = X.
Из фиг. 9.1 видно также, что расстояние между соседними плос-
костями пучностей определяется соотношением
d = dv cos ф = cos . (9.9)
§ 2. Закон Брэгга
На фиг. 9.2 в соответствующем масштабе представлено попе-
речное сечение элементарной голограммы, образованной в объем-
ной светочувствительной среде. Обычно толщина эмульсионного
слоя составляет около 15 мкм. Горизонтальные линии представ-
ляют собой следы пересечения плоскости чертежа с плоскостями
максимальной плотности серебра, которые соответствуют плоско-
стям пучностей интерференционной картины, существовавшей
в эмульсии во время экспозиции. Предположим, что в воздухе углы
между пучками при получении голограммы составляли 30°
(фиг. 9.2) и длина волны Ха = 0,633 мкм. Подставляя эти значения
в (9.4), получим, что постоянная решетки d = 1,22 мкм. Если
такую решетку осветить исходным опорным пучком, то каждый
луч до выхода из эмульсии пересечет по крайней мере три плоско-
сти максимальной плотности. Было бы удивительно, если бы теория
плоских голограмм, изложенная в гл. 8, описывала бы все свой-
ства такой объемной голограммы. Кроме того, толщина 15 мкм
относительно невелика, если сравнивать ее с толщиной других
регистрирующих сред, например фотохромных кристаллов.
Поэтому при рассмотрении дифракции на таких голограммах необ-
ходимо учитывать, что каждый луч последовательно рассеивается
от большого числа периодически расположенных поверхностей
максимумов плотности. Чтобы амплитуда результирующей дифра-
гированной волны была максимальной, волны, рассеянные после-
довательными слоями, должны быть синфазны. Для этого необхо-
264
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9-
димо, чтобы выполнялось определенное соотношение между длиной
волны %, углом 9, который составляет освещающий голограмму
пучок с рассеивающими поверхностями, и расстоянием d между
этими поверхностями. Это соотношение представляет собой закон
Брэгга [см. (1.12)], который можно записать в виде
2d sin е = Ъ. (9.10)
п
Здесь Ка — длина волны в воздухе; п — средний показатель пре-
ломления светочувствительной среды и 0 — угол, который
ФИГ. 9.2. Изображенная в масштабе интерферен-
ционная картина, зарегистрированная
в эмульсии Кодак 649 F.
Угол между двумя пучками 30°, длина волны
6328 А, толщина эмульсии 15 мкм.
освещающий и дифрагированный пучки составляют с рассеиваю-
щими слоями в светочувствительной среде. Закон Брэгга опреде-
ляет угол падения, если длина волны и расстояние между слоями
заданы. Если же угол падения и постоянная решетки выбираются
независимо, то закон Брэгга определяет длину волны. Таким обра-
зом, объемные голограммы, свойства которых описываются зако-
ном Брэгга, являются селективными по отношению к освещающе-
му их излучению. В настоящей главе мы постараемся найти функ-
циональную связь между амплитудой дифрагированной волны
и углом падения (или длиной волны) восстанавливающего пучка.
Мы также вычислим максимальную возможную величину дифрак-
§ 4.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
265
ционной эффективности элементарной пропускающей или отра-
жающей голограммы. Результаты этих расчетов существенным
образом отличаются от полученных в гл. 8, § 5, результатов для
элементарных плоских голограмм.
§ 3. Теория связанных волн
Большинство теоретических работ [9.1—9.6] хорошо описыва-
ют наблюдаемую угловую и спектральную селективность объем-
ных голограмм. Однако в том случае, когда дифракционная эффек-
тивность голограммы высока, в теоретических расчетах обязатель-
но нужно учитывать ослабление освещающей волны при прохож-
дении через голограмму. Выполненные с помощью электронно-
вычислительных машин расчеты для объемных голограмм [9.2,
9.3] показали, что такие голограммы могут обладать высокой
дифракционной эффективностью; это предсказание было затем
подтверждено экспериментально. Таким образом, линейная теория
[9.1, 9.6] не объясняет всех свойств объемных голограмм. Наобо-
рот, теория связанных волн не только предсказывает селективный
отклик объемных голограмм, но также правильно описывает
их высокую дифракционную эффективность. Согласно этой тео-
рии, в некоторых случаях дифракционная эффективность может
приближаться к 100%, что соответствует почти полному гашению
освещающей волны. При дальнейшем изложении в настоящей
главе мы будем придерживаться теории, разработанной Когель-
ником [9.4, 9.5]. Преимущество примененного им подхода состоит
в том, что он позволяет получить как аналитические, так и числен-
ные результаты и применим к разным типам объемных голограмм
(поглощающих и непоглощающих).
Здесь мы остановимся только на анализе голограмм, образован-
ных двумя плоскими волнами, т. е. голограмм с синусоидальной
записью. В гл. 1, § 6, мы уже приводили соображения, поясняю-
щие, почему достаточно ограничиться рассмотрением синусоидаль-
ных голограмм. Дело в том, что произвольная функция простран-
ственных координат, в данном случае голограмма, может быть
разложена в ряд Фурье, т. е. представлена в виде суммы синусои-
дальных решеток, каждая из которых взаимодействует с падаю-
щим на нее светом в соответствии с предсказанием данной теории.
§ 4. Волновое уравнение
Рассмотрим объемную голограмму, схематически изображен-
ную на фиг. 9.3. Границы голограммы обозначены вертикальными
линиями z = 0 и z = Т, параллельными оси у. Предположим, что
266
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ- 9.
в результате экспонирования и проявления голограммы в ее объе-
ме либо диэлектрическая проницаемость, либо коэффициент погло-
щения становятся синусоидальными функциями координат у и z
и не зависят от х. Отсюда следует, что плоскости постоянной
диэлектрической проницаемости или коэффициента поглощения
ФИГ. 9.3. Геометрическая схема объемной голо-
граммы.
ориентированы перпендикулярно плоскости yz (плоскости черте-
жа). Величина диэлектрической проницаемости (или коэффициента
поглощения) меняется по закону косинуса в направлении вектора
—>
решетки К. лежащего в плоскости yz и перпендикулярного плос-
костям постоянной фазы. Линии на фиг. 9.3 представляют собой
следы пересечения плоскости yz с поверхностями, в которых сину-
соидально изменяющаяся величина коэффициента поглощения
или диэлектрической проницаемости имеет максимум; они распо-
ложены на расстоянии d друг от друга и составляют угол ф'
с поверхностями голограммы. Будем считать, что абсолютная
величина вектора решетки К, перпендикулярного к этим поверх-
ностям, равна
К = \К\ = ^. (9.11)
§ 4.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
267
Слева на голограмму падает плоская монохроматическая свето-
вая волна, вектор v электрического поля которой перпендикулярен
плоскости падения, т. е. направлен параллельно оси х, нормаль-
ной к плоскости чертежа. Внутри голограммы направление рас-
—>
пространения волны определяется вектором р, который составляет
угол ф с нормалью к поверхности голограммы (т. е. с осью z).
Вектор о соответствует направлению распространения дифраги-
рованной волны. (Когельник показал, что с небольшими изменени-
ями эта теория может быть применена и в случае, когда вектор
электрического поля лежит в плоскости падения.)
Прохождение волны через толстую голограмму можно описать
с помощью уравнений Максвелла для немагнитной среды, относи-
тельная магнитная проницаемость которой р = 1. Эти уравнения
—>
связывают между собой вектор электрического поля к, вектор
магнитного поля Н и вектор смещения D в среде. В системе единиц
МКС эти уравнения имеют вид
rot f — — p0-f-, (9.12а)
rot Я = + он, (9.126)
divZ) = 0 (объемные заряды отсутствуют), (9.12в)
div Н = 0, (9.12г)
где р0 — магнитная проницаемость вакуума; е0 — диэлектриче-
ская проницаемость вакуума; е — относительная диэлектрическая
проницаемость материала голограммы и а — проводимость среды.
Беря rot от обеих частей уравнения (9.12а)
rot rot v = — р0 rot = — ро (rot Я) (9.13)
и дифференцируя уравнение (9.126)
4(го1Я) = еое-^ + о4’ <9'14)
получаем
—> —>
rot rot н = — р0 (a-g- + eoe-^-). (9.15)
С другой стороны, согласно известному векторному тождеству
(см., например, [9.7, 9.17*]), rot rot v можно записать в следующем
268
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
виде:
rot rot v = grad div г — V2^, , (9.16)
где V2 — оператор Лапласа. Прежде чем приравнять (9.15) и (9.16),
покажем, что первый член в правой части (9.16) равен нулю. Рас-
смотрим для этого уравнение (9.12в)
—> —>
div D = div (еоер) = 0.
Это соотношение можно записать иначе с помощью другого вектор-
ного тождества (см. [9.7, 9.17*1), которое в нашем случае имеет вид
div (еоер) = p-grad (еое) + еое div v = 0. (9.17)
—>
Поскольку вектор v параллелен оси х, а изменение диэлектриче-
ской проницаемости происходит только в плоскости yz, то скаляр-
ное произведение равно нулю:
p-grad (еое) = 0 (9.18)
и из (9.17) следует, что
div v = 0. (9.19)
Комбинируя (9.19), (9.16) и (9.15), получаем
V2p — НоО' — Р-обое = 0. (9.20)
—>
Теперь мы можем подставить в (9.20) выражения для р, е и о,
соответствующие нашему частному случаю. Так же, как и в гл. 5,
—>
§ 1, мы можем записать вектор электрического поля р, направлен-
ный параллельно оси х, в виде скалярной величины
р (у, z, t) = Re [а (у, z) ехр (fcoi)], (9.21)
которая не зависит от хи осциллирует с постоянной угловой часто-
той со. Опустив, как и ранее, символ действительной величины
Re [ ], решим уравнение (9.20) для комплексной величины
а (у, z). Подставляя (9.21) в (9.20), получаем
V2 а — г'сороса + со2роеоеа = 0. (9.22)
Можно считать, что относительная диэлектрическая проницае-
мость е складывается из среднего значения е и синусоидально
изменяющейся компоненты, имеющей амплитуду et. Вектор, иду-
щий из начала координат в любую точку среды, можно предста-
вить в виде г = tx + jy + kz (i, j и к — единичные векторы,
направленные соответственно по осям х, у и z). Для принятого
нами пространственного распределения диэлектрической прони-
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
269
цаемости поверхности е = const представляют собой плоскости,
уравнения которых по аналогии с (5.6) можно записать в виде
г-п = const,
—>
где вектор п — единичный вектор нормали к этим плоскостям,
равный К/\ К |. Величина е в каждой из таких плоскостей опре-
—> —> —> —> —> —>
деляется пространственной фазой 2л (r-n/tf) = К-г, где r-п пред-
ставляет собой расстояние плоскости е = const от начала коорди-
нат и где d — измеренное вдоль направления нормали расстоя-
ние между плоскостями, соответствующее изменению фазы на 2л.
Все вышесказанное применимо и к проводимости о, которая
определяет поглощение; изменение этих величин в пространстве
описывается следующими соотношениями:
е = е + et cos К-г, (9.23)
0 = 0 + 0! cos К -г. (9.24)
Подставляя (9.23) и (9.24) в (9.22), получаем волновое уравнение
V2a + q2a = 0, (9.25)
где
q2 = Zc2e — гсороС + (^2Si — гсоро°'1) cos К ‘г- (9.26)
В (9.26)
к = со (роео)1/2 = = -g-,
где с = (еор,о)-1/2 — скорость света в вакууме (очень близкая
к скорости света в воздухе) и ка — длина волны в воздухе. Чтобы
упростить наши расчеты, запишем
qa = Zc (е)1/а [&(е)1/2-
__2^о£_ + 2 ------icofxgoi \ cosf = (9.27)
2fc(s)1/2 \2(е)1/2 2k(s)1/2> J
= р [Р —2ia + 2x{ехр (iK-г) + ехр ( — iK-г)}] =
= р2— 2io.p + 2хР [ехр (iK-r) + ехр (— iK-г)], (9.28)
где
Р = к (е)1/2, (9.29)
_ <0|XqO 2К (в)1/2 ’ (9.30)
“-И" 2(+ _ ; <0|Г0О1 \ _ / т. S1 1 2к (е)1/2 / 2 \ 2 (е)1/2 — !«! j (9.31)
270
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
И
(9.32)
_ <0|ХрСТ1
1 2fc(s)1/2‘
Как будет показано ниже, параметр взаимодействия х имеет осо-
бое значение в теории связанных волн. Он описывает взаимодей-
ствие между падающей и дифрагированной волнами. Если х = 0,
то нет ни взаимодействия, ни дифракции.
Оптические свойства среды обычно принято характеризовать
не значением диэлектрической проницаемости, а показателем
преломления. Чтобы перейти к такому описанию, рассмотрим сна-
чала распространение световой волны в однородной диэлектриче-
ской среде с большим затуханием. Решение волнового уравнения,
соответствующее плоской волне, проходящей через среду в напра-
влении z, имеет вид
f = А ехр (—Yoz),
где А — постоянная амплитуда и где комплексная постоянная
Yo определяется соотношением
Yo = i (еео|хосо2 — ip0(oo)1/2
(см., например, [9.7]). (Заметим, что мы положили р = 1 и что
в однородной среде gj и Oi равны нулю.) Мы можем установить
смысл величин р в (9.29) и а в (9.30), выразив у о через эти парамет-
ры, что дает
Yo = i (Р2 — 2iaP)1/2« ip + a.
Это справедливо при условии а р, которое в большинстве слу-
чаев выполняется. Тогда волновая функция в однородной среде
принимает вид
f = А ехр (—ipz) ехр (—az),
где р — так называемая постоянная распространения, а a — ко-
эффициент поглощения. Поскольку р и а определены через сред-
ние значения диэлектрической проницаемости и проводимости
голограммы, то мы можем считать,что Р и а представляют собой
постоянную распространения и коэффициент поглощения в экви-
валентной однородной среде, где е = е и о = о. Это справедливо
при условии а р.
Обозначим через п средний показатель преломления голограм-
мы и показатель преломления эквивалентной однородной среды.
Напомним, что показатель преломления равен отношению ско-
рости света в вакууме к скорости света в среде. Поскольку при
р = 1 последняя величина равна (ееоро)-1/2, то мы имеем
- _ (ёе0|10)1/2 _-i/2
!<• ““ I / — О
(ЕоНо) /2
(9.33)
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
271
Подставляя это значение в (9.29), получаем
Р = -^-. (9.34)
Ад
Как видно из (9.34), ограничение а р соответствует условию
а < (9.35)
ла
Следует отметить, что множитель ехр (—az) в волновой функ-
ции f при а > 0 соответствует ослаблению. Предположим, что
в результате регистрации амплитудной голограммы величина a
оказалась промодулированной; однако при фотографической реги-
страции коэффициент поглощения не может стать отрицательным.
Используя (9.30) и (9.31), равенство (9.24) можно выразить через
а и амплитуду модуляции щ и показать, что, когда не выполнено
условие aj а, результирующее значение поглощения может
оказаться отрицательным (при cos К -г = —1). Поэтому введем
добавочное ограничение
(9.36)
Аналогично (9.33) показатель преломления голограммы п пред-
ставим в виде
м2 = е. (9.37)
Выражая п через его среднее значение п и амплитуду модуляции
щ и используя (9.23), запишем
п2 = (п + щ cos К -г)2 = е + е! cos К -г. (9.38)
Допустим, что
щ п. (9.39)
_ —* —>
Тогда, возведя в квадрат (п + щ cos К -г) в (9.38) и пренебрегая
членом с п\. получим, что п = (е)1/2 [выражение, совпадающее
с (9.33)] и
Для объемных голограмм условие (9.39) обычно выполняется.
Подставляя (9.40) в (9.31), постоянную взаимодействия х можно
представить в виде
лщ iaj
X 2“ ’
(9.41)
272
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
§ 5. Решение волнового уравнения
Теперь мы должны решить уравнение в частных производных
(9.25), т. е. волновое уравнение. Для этого введем некоторые упро-
щающие предложения. Во-первых, будем решать уравнение (9.25)
только для углов падения, близких к тем, которые удовлетворяют
закону Брэгга. Именно при таких углах наблюдается дифрагиро-
ванная волна заметной интенсивности. Во-вторых, предположим,
что в голограмме распространяются только две волны — падаю-
щая волна и волна, дифрагированная под углом, близким к брэг-
говскому. Последнее предположение определяет нижний предел
толщины голограммы, для которого справедлива данная теория.
Следствия, к которым приводит введение этих ограничений, будут
рассмотрены в конце главы.
Комплексную амплитуду падающей волны в толще голограммы
можно записать в виде
аг = R (z) ехр (—ip-г), (9.42)
где р имеет направление распространения волны (фиг. 9.3). Здесь
—> —►
фазовый множитель ехр (—ip -г) соответствует плоской падающей
волне, распространяющейся в среде, в которой нет пространствен-
ных вариаций диэлектрической проницаемости и отсутствует
поглощение. Из (5.7) и (5.11) и рассмотренной нами в § 4 настоящей
главы теории распространения волн в однородной среде следует,
что
Р=|р| = ₽, (9.43)
где р дается формулой (9.34). Фазовый множитель ехр (—ip-г)
соответствует быстрым вариациям фазы, связанным с любой бегу-
щей волной. С другой стороны, амплитудный множитель R (z)
учитывает медленные изменения фазы и амплитуды волны при ее
прохождении через толщу голограммы (т. е. является функцией z).
Эти изменения обусловливаются пространственными вариациями
диэлектрической проницаемости и коэффициента поглощения.
Аналогично мы можем записать комплексную амплитуду
дифрагированной на голограмме волны:
ad = S (z) ехр (—io-г), (9.44)
где о — вектор, показанный на фиг. 9.3. Если свет падает на голо-
грамму под углом Брэгга, то особое значение приобретает вектор-
ное соотношение
о = р - К (9.45)
§ 5.
РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
273
между векторами распространения падающей и дифрагированной
волн и вектором решетки К. На фиг. 9.3 вверху справа приведена
векторная диаграмма, графически представляющая равенство
(9.45).
Если свет падает под углом Брэгга, то и вектор падающей волны
р и вектор дифрагированной волны о составляют с плоскостями
пучностей синусоидальной голографической решетки угол 0О
(угол Брэгга). Как было показано в предыдущем параграфе,
—>
вектор К лежит в плоскости yz, перпендикулярной плоскостям
пучностей. Поскольку вектор электрического поля падающей волны
направлен по оси х, соответствующий волновой вектор (вектор
—>
распространения) р также должен лежать в плоскости yz. Как
видно из (9.45), вектор о лежит в той же плоскости. Треугольник,
образованный тремя компланарными векторами, для случая, когда
как р, так и о образуют угол 0О с рассеивающими плоскостями,
показан в нижней правой части фиг. 9.3. Поскольку этот треуголь-
ник равнобедренный, р = о = р, то
^- = psin0o. (9.46)
Используя (9.11) и (9.34), получаем
= р sin 0О = sin 0О. (9.47)
Соотношение (9.47) можно также записать в виде
2d sin 0О = (закон Брэгга).
п
Таким образом, (9.45) выражает закон Брэгга для света, падаю-
щего под углом Брэгга.
Вернемся теперь к проблеме решения волнового уравнения
(9.25). Комплексную амплитуду а электрического поля в любой
точке голограммы можно представить как сумму амплитуд пада-
ющей волны аг и дифрагированной волны ad:
а = аг + ad = R (z) ехр (—ip-r) + S (z) exp (—io-r). (9.48)
Подставим (9.48) в (9.25). При взятии частных производных исполь-
зуем следующие соотношения
р -г = руу + ргг, о -г = 0уу + ozz; (9.49)
P2=-^+Pz, aa = a^ + at (9.50)
Члены, получающиеся после выполнения действий над а, указан-
ных в (9.25), можно сгруппировать как коэффициенты либо при
18—0990
274
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
ехр (—гр-г), либо при ехр (—го1-г). При рассмотрении второго
члена в (9.25), q2a, членами с экспоненциальными множителями
ехр [—I (К + р) -г] и ехр [—г (н — К) -г] можно пренебречь,
поскольку волны с векторами распространения К + р или н — К
не удовлетворяют векторному соотношению Брэгга (9.45). Чтобы
одновременно выполнялось и уравнение (9.25), и соотношение'
—> —> —>
(9.45) для произвольных К, коэффициенты как при ехр (—гр-г),
так и при ехр (—гн-г) должны равняться нулю. Следовательно,
должны выполняться два равенства:
R" — 2ip2R' -p2R + ₽2R - 2ia₽R + 2x₽S = 0, (9.51)
S’ - 2ia2S' - a2S + p2S- 2ia₽S + 2x₽R = 0. (9.52)
Штрихи обозначают дифференцирование no z.
Сделав некоторые предположения и введя новые обозначения,
можно упростить (9.51) и (9.52). Ранее уже было отмечено, что
быстрые вариации волновых функций в (9.42) и (9.44) описывают-
ся фазовыми множителями, в то время как R (z) и S (z) меняются
сравнительно медленно. Предположим теперь, что R (z) и S (z)
меняются настолько медленно, что величинами R" и S" можно пре-
небречь. В дальнейшем мы проверим справедливость такого при-
ближения. Уравнение (9.51) упрощается, если заметить, что сум-
ма третьего и четвертого членов равна нулю [см. (9.43)]. Рассмот-
рим теперь сумму третьего и четвертого членов в (9.52), равную
S (Р2 — н2), и оценим величину множителя Р2 — o'2 для случая,
когда угол падения 0 отличается от угла Брэгга 0О только на ма-
лую величину 6, т. е,
0 = 0О + 6. (9.53)
Воспользовавшись выражением (9.45), можно написать
Р2_о-2 = р2_(р_£)2=р2_р2 + 2р.£_^2^
= 2рЯ cos (у-0) -К2 = 2рК sin 0-Я2. (9.54)
—> —>
Угол между р и К, равный л/2 — 0, показан на фиг. 9.3. В соответ-
ствии с (9.53) sin 0 можпо записать в виде
sin 0 = sin (0О + 6) = sin 0О cos 6 + sin 6 cos 0O «
a; sin 0O + 6 cos 0O «-Д-4-6 cos 0O, (9.55)
zp
где мы положили sin 6 а; 6, cos 6 а; 1 и использовали (9,46)
и (9,43), чтобы показать, что
sin 0П = -^-. (9.56)
§ 5.
РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
275
Подставляя (9.55) в (9.54), получаем
P2-a2 « 2р7Г [-§-+6 cos 0O] « « 2p®) cos 60«
fv 2p (2p sin 90) 6 cos 60, (9.57)
p2 — a2~ 2p26 sin 20o. (9.58)
Обозначим Г = рб sin 20o, (9,59)
так что P2 - a2 = 2рГ. (9.60)
Тогда, пренебрегая производными R" и S", используя (9.60)
и вводя обозначения
р2 р cos ib ,
Cr = ~ - = cos 1|),
мы можем преобразовать (9.51) и (9.52) к виду
cHR' + aR = — ixS, (9.62)
cs S' + (a + гГ) S = — ixR, (9.63)
где R' = dR/dz и S' = dS/dz.
Эти уравнения связанных волн позволяют понять физику про-
цесса дифракции. Когда при распространении падающей и дифра-
гированной волн сквозь голограмму пройденное ими расстояние
увеличивается на dz, комплексные амплитуды этих волн меняются
на dR или dS. Это изменение вызвано поглощением, которому соот-
ветствуют члены aR и aS, или взаимодействием волн друг с дру-
гом, описываемым членами взаимодействия xS и xR, Как мы уви-
дим, член iTS в (9.63) соответствует добавочному фазовому множи-
телю в дифрагированной волне. Если угол, под которым распро-
страняется падающая волна, сильно отличается от угла Брэгга,
то величина Г будет большой. В результате накопления этой доба-
вочной фазы дифрагированная волна выходит из синхронизма
с падающей волной, что приводит к ослаблению взаимодействия.
Уравнения (9.62) и (9.63) представляют собой систему двух
линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Под-
ставляя (9.62) в (9,63), получаем для R одно дифференциальное
уравнение второго порядка
R"+/_g_ + _a_+_g\R'+ («2-НГ« + х2) R = o (9>64)
\ Сд Cg Cg ) CrCS
18*
276
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ, 9.
Решение этого дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами ищем в виде
R (z) = ехр (yz). (9.65)
Подставляя (9.65) в (9.64), получаем квадратное уравнение для у
Y2+ 9 66
' ' \ CR Cs CS I ' CRCS V >
решение которого имеет вид
£ I а . а , /Г \ 1 Г / « а г’Г \2 4х2 "Р/г
^1,г_____________________________________________________2 \ cR cs cs ) 2 L \ cr cs cs / cRcs J ’
(9.67)
где индекс 1 соответствует знаку плюс перед квадратным корнем,
а 2 — знаку минус. Частными решениями уравнения (9.64) явля-
ются функции ехр (y4z) и ехр (у2 z), а полное решение дается их
линейной комбинацией
R (z) = Rt ехр (ytz) + R2 ехр (y2z), (9,68)
где Ri и R2 — постоянные, которые можно вычислить, исходя из
граничных условий. Подставляя (9.68) в (9.62), получаем ана-
логичное уравнение для S (z):
S (z) = St ехр (yjz) + S2 exp (y2z). (9,69)
В двух следующих параграфах мы вычислим постоянные R1;
R2, St и S2 для пропускающих и отражательных голограмм. При
рассмотрении пропускающих голограмм предполагается, что
решетка не наклонная, т. е. плоскости решетки перпендикулярны
к поверхности объемной голограммы. При рассмотрении отража-
тельных голограмм (фиг. 1.12, положение 4) предполагается, что
плоскости решетки параллельны поверхности. Мы здесь остано-
вимся только на диэлектрических решетках без потерь, или чисто
фазовых решетках, для которых меняется показатель преломления
и потери равны нулю, и чисто абсорбционных решетках, у которых
меняется коэффициент поглощения, а показатель преломления
постоянен. Решетки с наклонными слоями, фазовые решетки
с потерями, а также смешанные амплитудно-фазовые решетки
рассматриваются в работе Котельника [9.5].
Прежде чем продолжить обсуждение, заметим, что с помощью
выражений (9.65) и (9.67) можно установить, действительно ли
мы имели право пренебречь величиной R" по сравнению с p2R'
в уравнении (9.51). Из (9.65) находим, что R" = у2 ехр (yz),
а из (9.61) получаем p2R' = у₽ cos ф ехр (yz). Таким образом, для
ф < 90° условие R" p2R' означает, что у С ₽. Как видно из
§ 6.
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
277
(9.67), условие у выполняется, если величина Г (пропорцио-
нальная бр) очень мала и если удовлетворяются неравенства (9.35),
(9.36) и (9.39). Аналогичным образом можно показать, что при тех
же условиях можно пренебречь производной S" по сравнению с
§ 6. Пропускающие голограммы
Пусть слева на пропускающую голограмму падает освещаю-
щая волна (фиг. 9.4). Как освещающая, так и дифрагированная
волны распространяются сквозь голограмму слева направо. Нор-
мируем амплитуду падающей волны R (z) так, чтобы R (0) = 1
ФИГ. 9.4.
Пропускающая голограмма.
при z = 0. Первоначально амплитуда дифрагированной волны
равна нулю, так что S (0) = 0 при z = 0. Записав (9.68) и (9.69)
для z = 0, получим граничные условия
R (0) = Rt + R2 = 1, (9.70)
S (0) = St + S2 = 0. (9.71)
Используя (9.70) и (9.71) и добавочное соотношение, которое сле-
дует из (9.69), а именно
S' (0) = Y1St + y2S2,
мы можем решить уравнение взаимодействия волн (9.63) для St =
= —S2; тогда для z = 0 получаем
cs (YiSi + Y2S2) = —йс,
278
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
ИЛИ
b!=-b2=-Cs(Vi_,
(9.72)
При таких значениях Sj и S2 из (9.69) можно вычислить амплитуду
дифрагированной волны на другой поверхности голограммы прв
ФИГ. 9.5. Геометрическая схема пропускающей
голограммы с плоскостями пучностей,
перпендикулярными поверхности голо-
граммы.
z = Т (Т — толщина голограммы). Это дает
S (Т) = i * [ехр (у2Г)-ехр (У1Г)]. (9.73)
о \ । 1 12/
В соответствии с ранее намеченным планом ограничимся слу-
чаем, когда плоскости решетки ориентированы перпендикулярно
поверхности голограммы и, следовательно, вектор решетки К
параллелен поверхности. Нафиг. 9.5 приведены схема расположе-
ния векторов и векторный треугольник, соответствующий соотно-
—> —> —>
шению o' = р — К, для брэгговского угла падения. Вектор падаю-
щей волны р образует угол 0 с плоскостями решетки и такой же
§ 6.
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
279
угол ф = 0 с осью z. Если выполнено условие Брэгга, то 0 = 0О,
треугольник становится равнобедренным и выполняется соотно-
шение
cH = -^- = cs = -^=cos0o. (9.74)
Мы будем считать, что равенство (9.74) справедливо для всех
углов падения (близких к углу Брэгга), которые мы будем рас-
сматривать.
1. Фазовые пропускающие голограммы
Теперь наша цель состоит в том, чтобы найти амплитуду S (Т)
дифрагированной волны, исходящей из голограммы, для случая,
когда а = at = 0, т. е. для диэлектрической фазовой решетки
без потерь. При выполнении вычислений удобно ввести параметры
2 и v, определяемые соотношениями
£ = 6₽Т sin 0О =-5-^0-, (9.75)
v = -^- = . (9.76)
COS 0О Aa cos 0О ' '
Из (9.73) видно, что прежде всего нужно выразить через £ и v вели-
чины (yt — у2)> Yi?1 и YzT. Из (9.67) имеем
Yt-Yz^-y-^ + v3)1^, (9.77)
Yi.2?’= — ± i (£2 + v2)1/2. (9.78)
Подставляя (9.77) и (9.78) в (9.73), получаем
с _ _• ехр(—ig) sin (g2 + v2)1/2 ,q 7q,
Поскольку амплитуду падающей волны при z = 0 мы положи-
ли равной единице, эффективность голограммы составляет
п I S (Л I2 I С /т>\ |2
П | К (0) |2 ।& ) I ’
Сначала рассмотрим случай, когда свет падает под углом Брэгга,
так что 6 = 0 и £ = 0. Эффективность будет равна 100%, если
sin v = 1 или если
v = = (9.80) ка cos 0О 2 v '
Соотношение (9.80) можно также записать в виде
280
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
Левая часть равенства (9.81) эквивалентна приращению оптичес-
кого пути падающего луча, которое наблюдалось бы в том случае,
если бы среднее изменение показателя преломления среды голо-
граммы было равно П1 (фиг. 9.5). Если эквивалентное изменение
ФИГ. 9.6. Зависимость относительной эффектив-
ности т)/т]0 диэлектрической пропускаю-
щей голограммы (без потерь) от £ =
= 6 (2лп/Ха) Т sin 0О для различных
значений параметра v = ^ntTi}.a cos 0О.
(По Когельнику [9.5].)
длины пути равно половине длины волны падающего излучения
(в воздухе), то эффективность становится равной 100%. Таким
образом, если голограмма образуется в диэлектрической среде без
потерь, то даже при небольших вариациях показателя преломле-
ния дифракционная эффективность может достигать 100% при
условии, что толщина среды Т достаточно велика, чтобы выполня-
лось равенство (9.81).
Если угол падения отличается от угла Брэгга, то получить
100%-ную дифракционную эффективность невозможно. На фиг. 9.6
§ 6.
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
281
представлены результаты расчетов, выполненных по формуле
(9.79). По вертикальной оси отложена эффективность т], деленная
на -г]!) — эффективность, получаемую при падении освещающего
пучка под углом Брэгга. По горизонтальной оси отложен параметр
£, пропорциональный угловому отклонению 6 от угла Брэгга.
На фиг. 9.6 приведены три кривые, соответствующие трем значе-
ниям параметра v. При постоянной толщине Т и данной геометрии
пучков, образующих голограмму, параметр v пропорционален
амплитуде вариаций показателя преломления, образующихся
в результате экспонирования и обработки голограммы. Каждой
из кривых на фиг. 9.6 соответствует своя максимальная величина
эффективности т]о> которая достигается при £ = 0. Отметим, что
при v = л/2 эффективность т]0 составляет 100%, тогда как при
v = л/4 и v = Зл/4 она равна 50%. Фиг. 9.6 иллюстрирует зави-
симость эффективности голограммы от угла падения для трех
значений модуляционного параметра v.
В качестве практического примера использования изложенной
здесь теории вычислим, при каком отклонении угла падения
6 от угла Брэгга дифракционная эффективность падает до нуля.
Предположим, что голограмма образована в хромированном жела-
тине (см. гл. 10) в результате интерференции двух плоских волн,
угол между направлениями распространения которых в воздухе'
равен 60°. Угол Брэгга в воздухе равен 30°, а в желатине 19,2°
(если считать, что показатель преломления желатина п = 1,52).
Пусть длина волны в воздухе Ла = 4880 А, толщина слоя Т =
= 15 мкм и v = л/2, так что при падении света под углом Брэгга:
эффективность составляет 100%. Из (9.75) имеем
g = -^rsin 0О = 96,56.
Поскольку кривая для v = л/2 на фиг. 9.6 падает до нуля при
£ = 2,7, имеем 6 = 2,7/96,5 = 0,028 рад = 1,6° (внутри желати-
на). В воздухе 6 = 2,45°.
Кривыми, изображенными на фиг. 9.6, можно пользоваться
также, чтобы определить, как меняется дифракционная эффек-
тивность при отклонении длины волны от значения, удовлетворяю-
щего закону Брэгга. Пусть голограмма образована двумя плоски-
ми волнами с длиной волны Ла, угол между которыми в регистри-
рующей среде с показателем преломления п равен 200. При осве-
щении плоской волной с длиной волны Ла, удовлетворяющей
закону Брэгга (9.10)
2 nd sin 0О = Ла,
голограмма имеет максимальную эффективность. Пусть теперь
длина волны, падающей на голограмму, стала равной Ла + АЛ,
282
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
где АХ/Ха<^1. Максимальная эффективность теперь наблюдается
при освещении не под углом 0О, а под новым углом Брэгга 0' =
= 0О + 6. Если мы по-прежнему будем освещать голограмму под
исходным углом 0О = 0„ — б, то дифракционная эффективность
уменьшится, поскольку теперь угол 0О отличается от брэгговского
0' угла на —6 и соответственно параметр £ = —брГ sin 0О имеет
отрицательную величину. Кривые т]/т]0 = I S (Г) |2 на фиг. 9.6
симметричны относительно £ (6) [см. (9.79)], так что, зная 6, мы
можем определить уменьшение эффективности, соответствующее
Величину 6 можно выразить через АХ, введя в (9.10) новые
брэгговские параметры 0О + 6 и Ха + АХ:
2nd sin (0ц -|- 6) = Ха -|- АХ. (9.82)
Полагая sin 8 «8 и cos 6 « 1 и используя (9.10), получаем
б = -=-АЦ_ (9.83)
2nd cos 0О ’
или
6 = -^tg0o. (9.84)
ла
.Для параметра £ (при положительных АХ) имеем
£=—71 sin 0О. (9.85)
Вычислим, при каком значении АХ эффективность голограммы
в хромированном желатине падает до нуля (для ранее приведенно-
го примера). Подставляя в (9.85) £ = 2,7, п = 1,52, Т = 15 мкм,
Ха = 0,488 мкм и 0О = 19,2°, найдем, что | АХ | = 0,0393 мкм =
= 393 А. [Для малых АХ изменением v можно пренебречь. Это
становится очевидным, если продифференцировать (9.76) по X
и рассмотреть фиг. 9.6.]
С помощью кривых на фиг. 9.6 можно установить простое пра-
вило, определяющее чувствительность фазовых голограмм к изме-
нению угла падения. Если £ 3, то дифракционная эффектив-
ность практически равна нулю (по крайней мере для л/2 v
л/4). Воспользовавшись равенством (9.75), вычислим величину
бо, соответствующую £ = 3:
<9-86’
Используя (9.10), получаем
б0«4 • (9-87)
§ 6
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
283
Подставляя (9.87) в (9.84), приходим к приближенному соотно-
шению для чувствительности к изменению длины волны:
(9.88)
Здесь отклонение на АХ0 соответствует уменьшению эффективно-
сти до нуля.
2. Абсорбционные пропускающие голограммы
Если пропускание голограммы, изображенной на фиг. 9.5,
характеризуется величиной = 0 и конечными значениями
а и 0Ц, то дифракция света на ней обусловлена только вариациями
коэффициента поглощения. В дальнейшем рассмотрении можно
продолжать пользоваться параметром £, который определяется
соотношением (9.75), однако вместо параметра v удобнее ввести
новый параметр уа. Константа взаимодействия х [см. (9.41)]
дается теперь соотношением
K=_^L( (9.89)
и va мы определим следующим образом:
Снова, как и выше, мы должны вычислить S (Г) по формуле (9.73).
Как и прежде, сначала нужно выразить — у2 и Yi.z?1 через £
и va. Из (9.67) имеем
_ _Г /_Г_\2 __tz? “|1/2_г / «1 \ 2 / Г
XI Yz — ( Cg ) + CjsCR J — |_ \ cos 0O / \ cos 0O J J “
=4-(v“-^)1/2 (9-91)
и
Yi. гТ = % + W-S2)1^. (9.92)
CUS Uq
Подставляя эти значения в (9.73), получаем амплитуду S (Т)
волны, дифрагированной на чисто абсорбционной пропускающей
голограмме:
I аТ \ / -tx sh(v“-§2)1/2 /qqqx
S (Г) = - ехр (-^-) ехр (-ф (1_g2/v,)W- • (9-93)
Для случая падения под углом Брэгга (£ = 0) амплитуда дифра-
гированной волны принимает вид
sm=_exp(__^_)slly^_ (9.94)
284
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
На фиг. 9.7 абсолютные величины S (Т) представлены в зави-
симости от cciTVcos 0О для различных значений отношения а/сср
Чтобы найти дифракционную эффективность (для падающей волны
единичной амплитуды), нужно возвести в квадрат | S (Т) |. При
увеличении с&! величина | S (Г) | возрастает. Поскольку мы исклю-
чаем здесь возможность усиления (или отрицательного поглоще-
ФИГ. 9.7.
Зависимость абсолютной величины ам-
плитуды дифрагированной волны от
a^/cos 0о для абсорбционных (пропу-
скающих) голограмм при различных
значениях параметра a/at. (По Когель-
нику [9.5].)
ния), при увеличении at значение а также должно возрастать,
чтобы выполнялось условие а Как видно из (9.94), увеличе-
ние а приводит к уменьшению | S (Т) |. Положим величину cq
равной ее максимально возможному значению at = а; подставим
это значение в (9.94) и найдем максимум | S (Т) | по отношению
к at Г/cos 0О. Максимальное значение амплитуды дифрагированной
волны достигается при atГ/cos 0О —- In 3 и равно | S (Т) | =
= (3]/г3)-1. Возводя в квадрат | S (Г) |мак0, найдем максимальную
§ 6.
ПРОПУСКАЮЩИЕ ГОЛОГРАММЫ
285
дифракционную эффективность т]мако = 1/z1 = 3,7%, что несколько
больше половины максимальной дифракционной эффективности
тонкой абсорбционной голограммы (см. гл. 8, § 5).
Интересно вычислить оптическую плотность абсорбционной
голограммы, обладающей максимальной дифракционной эффектив-
ностью. Предположим, что средний коэффициент поглощения равен
ФИГ. 9.8. Зависимость относительной эффектив-
ности т)/т]0 абсорбционной пропускаю-
щей голограммы от | = 6 (2лга/Ха) Fsin 0 0.
(По Когельнику [9.5].)
а, а толщина голограммы Т. Измеряемая оптическая плотность
голограммы практически равна плотности равномерно засвечен-
ной фотопластинки толщиной Т с коэффициентом поглощения а.
Амплитудное пропускание такой пластинки можно определить
как отношение амплитуды световой волны, прошедшей через пла-
стинку в направлении нормали, к амплитуде волны, падающей
на пластинку. Для однородной среды амплитуда волны (действи-
тельная) имеет вид А ехр (—az) (см. § 4 настоящей главы), так что
t = ехр (—аТ).
286 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ ГЛ. 9.
Возводя в квадрат t, получаем пропускание по интенсивности
J = f = ехр (—2аГ).
В соответствии с определением оптической плотности
(см. гл. 2, § 5) имеем
D = - 1g J,
или
D = — 1g [ехр (—2а Г)]. (9.95)
Положив аГ/cos 0О = In 3 (величина, при которой достигается
максимальная дифракционная эффективность), получим
D = (2 In 3) cos 0О1g е = 0,955 cos 0О,
где е — основание натуральных логарифмов. Мы видим, что опти-
мальной для абсорбционной пропускающей голограммы является
оптическая плотность, меньшая единицы. Эта величина мала
по сравнению с оптической плотностью, используемой в обычной
фотографии, однако согласуется с результатами экспериментов,
которые показывают, что оптическая плотность хороших абсорб-
ционных голограмм соответствует плотности недодержанных фото-
снимков. На фиг. 9.7 проведена пунктирная кривая, соединя-
ющая все точки, которым соответствует оптическая плотность
D = 0,955 cos 0О. Мы видим, что эта оптическая плотность
является оптимальной для всех отношений а/аь
На фиг. 9.8 изображена полученная с помощью (9.93) зависи-
мость относительной эффективности т]/т]0 от £ для абсорбционной
пропускающей голограммы. Обе кривые соответствуют а = at;
по виду кривые аналогичны кривым на фиг. 9.6 для v л/2.
Вид кривых слабо зависит от параметра at77(2 cos 0О).
§ 7, Отражательные голограммы
Отражательные голограммы с плоскостями пучностей, парал-
лельными поверхности голограммы, образуются при интерференции
двух волн, распространяющихся в противоположных направле-
ниях относительно оси z. Действительно, из уравнения (9.5)
2л (t]s — т]н) у + 2л (£s — £н) z = const
следует, что если T]s = Лн и £s = —то уравнение, описываю-
щее плоскости пучностей, имеет в этом случае вид
2л (2£s) z = const,
или
z = const,
§ 7. ОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОГРАММЫ 287
т. е. плоскости пучностей параллельны плоскости ху. Они рас-
положены на расстоянии
d — 1 — Х
г~ 2&s — 2 (1—А,2р2)1/2
Если отражательная голограмма освещается световой волной,,
падающей слева, то ее отклик характеризуется дифрагированной
волной, распространяющейся справа налево (фиг. 9.9). Поэтому
ФИГ. 9.9. Отражательная голограмма.
амплитуда дифрагированной волны при z = Т равна нулю.
Если, как и прежде, положить амплитуду падающей волны равной
единице, то граничные условия примут вид
R(0) = Rt+R2 = 1, (9.96)
S (Г) = St exp (yiT) + S2 exp (угЛ = 0. (9.97)
Используя эти граничные условия в уравнениях связанных
волн, найдем амплитуду S (0) дифрагированной волны, идущей
от голограммы, при z — 0. Мы можем сделать это, подставляя
(9.96) и (9.97) в (9.63). Для z — 0 тогда получим
—in (Rj Д- R2) = — in = cs (YjSj -j- Y2S2) + (a + if1) (Si + S2).
(9.98)
Поскольку S (0) = Si Д- S2, мы должны представить первый
член в правой части (9.98) как функцию Si + S2, после чего (9.98)
даст искомое решение. После некоторых преобразований гранич-
ных условий (9.97) это удается сделать. Прежде всего запишем
(9.97) в виде
(9.99)
—Si ехр (YiT) = S2 ехр (у2Т).
288
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
Теперь к обоим частям равенства (9.99) прибавим St ехр (у2Г).
Тогда получим
St [ехр (у2Л — ехР (Yi^)1 = (Si + S2) ехр (у2Г). (9.100)
Затем умножим обе части (9.99) на —1 и прибавим к ним
S2 ехр (yi Г); это дает
S2 [—ехр (у2Т) + ехр (у^)] = (Sf + S2) ехр (^Т). (9.101)
ФИГ. 9.10. Геометрическая схема отражательной
голограммы с плоскостями пучностей,
параллельными ее поверхности.
Тогда первый член в правой части равенства (9.98) принимает
вид
- (v Ч । v вл f Yi (S1 +S2) ехр (у2Т) — у2 (Si + S2) ехр (Y1T) /О
€s (Yibi + у2&г) - cs----_________--------------- (y.1UZ)
и
S(0) = S1 + S2=-ix(a + ir + Cs
v ' \ 1 ' L exp(y2T) —exp (yiT) J/
(9.103)
Вычислим теперь (9.103) при условии, что вектор решетки
К перпендикулярен поверхности голограммы, как это показано
§ т.
ОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
289
на фиг. 9.10. Вектор р образует угол 0 с плоскостями решетки,
и векторная диаграмма, изображенная справа на фиг. 9.10, соот-
ветствует равенству (9.45) о = р — К для падения под углом Брэг-
га. Если угол 0 равен углу Брэгга 0О, то треугольник равнобедрен-
ный, и мы имеем
ся"=-у = —cs= — -у = cos фо, (9.104)
где ф0 — показанный на фиг. 9.10 угол между р и осью z при паде-
нии света под углом Брэгга. В дальнейшем мы будем считать, что
угол падения 0 близок к 0О, так что равенство (9.104) выполняется
достаточно точно.
1. Фазовые отражательные голограммы
Фазовые отражательные голограммы характеризуются значе-
нием а = at = 0. В этом случае удобно ввести параметры
» ГТ ртбзшгОо SOT а /о ллс \
2^ф^ = 2созф0° = S₽r Cos 0О’ (9-105а)
У V.T яп^Т
Т ~ COS ф0 _ Xa COS ф0
В (9.105а) было использовано определение (9.59) величины Г
и соотношение ф0 = л/2 — 0О. Чтобы выразить S (0) через и vr,
нужно подставить (9.104), (9.105а) и (9.1056) в выражение (9.67)
Для Yi, 2* Тогда получим
Yi,27’-^r±(v?-^)14 (9.106)
Непосредственная, но довольно длительная процедура подста-
новки (9.105а), (9.1056) и (9.106) в (9.103) приводит к следующему
выражению для амплитуды дифрагированной волны при z = 0:
(^r/vr) + [l-(lr/vr)2]1/2 Cth (v2-^)1'2
Для падения под углом Брэгга = 0 и дифракционная
эффективность может достигать 100%, так же как и для диэлектри-
ческих пропускающих голограмм при отсутствии потерь. Однако
в противоположность пропускающим голограммам, для которых
т] о достигает 100% при определенном значении произведения тол-
щины на постоянную взаимодействия, в данном случае при увеличе-
нии vr дифракционная эффективность асимптотически приближает-
ся к максимальной величине. Соответствующее различие кривых
19-0990
290
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
иллюстрируется фиг. 9.11, на которой приведены эксперименталь-
ные зависимости дифракционной эффективности от экспозиции,
полученные в работе [9.10] для хромированного желатина. На кри-
вых 1 и 2, соответствующих пропускающим голограммам, имеется
максимум эффективности, положение которого зависит от экспо-
зиции (и, таким образом, от v), в то время как эффективность
отражательной голограммы (кривая 3} непрерывно возрастает по
мере увеличения экспозиции.
ФИГ. 9.11. Зависимость амплитуды дифрагирован-
ной волны от экспозиции для решеток
в хромированном желатине. (По Лину
[9.10].)
Кривые 1 и 2 соответствуют пропускающим
решеткам; кривая а—отражательной решетке.
На фиг. 9.12 относительная эффективность т]/т]0 представлена
как функция £г для трех значений параметра vr, а именно: vr =
= л/4, зг/2 и Зл/4; для этих кривых значения т]0 составляют соот-
ветственно 43, 84 и 96%. Заметим, что по мере увеличения vr
происходит значительное уширение максимума зависимости
эффективности отражательной голограммы от угла падения. Рас-
смотрим кривую для vr = л/2 и оценим селективность отражательной
голограммы по отношению к длине волны. Из (9.84) (считая 6
§ 7.
ОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
291
отрицательным) и (9.105а) имеем
5г = — рт lg 0.COS е„ = —fJ si п 0„ =
= -£№г)Та^°- <9Л08>
В соответствии с кривой для vr =п/2 на фиг. 9.12, т]/т]0 = 0, когда
£г0 = 3,5. Положив % = 0,488 мкм, Т - 15 мкм, п = 1,52 и 0О =
ФИГ. 9.12.
Зависимость относительной эффектив-
ности т)/т)0 диэлектрической отража-
тельной голограммы без потерь от =
= 6 (2лга/Ха) Т cos 0О для разных зна-
чений параметра vr = лщТ/ка созф0.
(По Когельнику [9.5].)
= 80° (в желатине) и найдя Д% из (9.108), получим [ ДА [ =
— 0,0059 мкм = 59 А. Благодаря такой высокой спектральной
селективности отражательных голограмм для их освещения можно
использовать источники белого света (см. гл. 17).
19*
292 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ ГЛ- 9-
2. Абсорбционные отражательные голограммы
Здесь, так же как и в § 6, п. 2 настоящей главы, et = 0, тогда
как а и at имеют конечные значения, а постоянная х = —iaJ2.
cos ф0
(По Ко-
(9.109а)
(9.1096)
(9.110)
ФИГ. 9.13. Зависимость абсолютной величины ам-
плитуды дифрагированной волны от
«1Т!cos фо Для абсорбционной отража-
тельной голограммы при различных
значениях параметра a/aj.
тельнику [9.5].)
Определим параметры vra и £Га следующим образом:
________________________ а,]Т
Vra 2 cos фо ’
2 аТ iTT _
®ra cos фо ' 2 cos фо
Тогда, выражая yt,2T в (9.67) через vra и gra, получаем
Здесь использовано условие (9.104), выполняющееся для отража-
тельной голограммы:
сн = — cs = cos фо-
(9.103)
§ 7.
ОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
293
Если подставить в выражение для S (0), то для амплитуды
дифрагированной волны, исходящей из голограммы, получим
S(0)=-{^+L(^)2-1]1/2cth^a-Vr2a)1^}“1. (9.111)
При падении под углом Брэгга Г = 0 и
£га
Ура
2а
а^ ’
и выражение для S (0) принимает вид
s (0)=- {£+(^ - ГС‘Ь (^-4Г]} - •
(9.112)
ФИГ. 9.14.
Зависимость относительной эффектив-
ности р/р0 для абсорбционной отража-
тельной голограммы от ГТ/2 созф0
при различных значениях параметра
aT/cosipo и ai=a. (ПоКогельнику[9.51.)
Оптимальная величина | S (0) | достигается, когда at принимает
максимальное значение at = а. Тогда
294
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
Если at = а-> оо, то достигается максимальная эффективность
Пмако = I S (0) |2^ (2 + ]ЛЗ)-2 = 7,2%. Это отражает тот экспе-
риментально установленный факт, что дифракционная эффектив-
ность отражательных абсорбционных голограмм достигает макси-
мальной величины, когда фотопластинка совсем темная. На
фиг. 9.13 изображены кривые зависимости | S (0) | от о^Г/созфо
для нескольких значений a/at. Мы видим, что при at Г/cos ф0 = 2
амплитуда дифрагированной волны достаточно близка к своему
асимптотическому максимальному значению. В соответствии
с (9.95) оптическая плотность пластинки при этом равна 1,7. Эта
величина представляет собой минимальную оптическую плотность,
которую нужно получить (путем соответствующего выбора экспо-
зиции), чтобы достичь близкой к максимальной дифракционной
эффективности.
На фиг. 9.14 приведена зависимость относительной эффектив-
ности от Г772 cos фо для a = at и разных значений a 77 cos ф0-
§ 8. Обсуждение свойств объемных голограмм
В табл. 9.1 сравниваются теоретические и наблюдаемые макси-
мальные значения дифракционной эффективности для плоских
и объемных голограмм при условиях, рассмотренных в настоящей
главе. Максимальные теоретические значения дифракционной
эффективности близки к наблюдаемым; исключение составляют
только абсорбционные отражательные голограммы. Поскольку
часть предсказанных значений получена с помощью теории, изло-
женной в настоящей главе, а часть — с помощью результатов
анализа плоских голограмм, проведенного в гл. 8, необходимо уста-
новить, какой толщиной должна обладать голограмма, чтобы ее
можно было считать объемной. Клейн [9.12] определил нижний
предел толщины объемных голограмм через параметр
(? = 2яХа---. (9.113)
nd2
Теория связанных волн начинает давать хорошие результаты при
> 10 [9.5]. Рассмотрим типичный случай: Т = 15 мкм, Ха =
= 0,633 мкм, п = 1,52 (для желатина). Положив Q = 10, найдем,
что расстояние между интерференционными плоскостями равно
d = 1,98 мкм. Подставляя это значение и величину % = %a/n =
= 0,416 мкм в (1.10) (2d sin 0 = %), находим минимальный угол
между пучками 20 а; 12°, необходимый для получения объемной
голограммы в слое желатина толщиной 15 мкм. Как отмечалось
в § 1, если в (1.10) подставить % = %а, то мы получим угол между
пучками в воздухе. Таким образом, угол 20 между пучками в воз-
ОБСУЖДЕНИЕ СВОЙСТВ ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММ
295
Таблица 9.1
Максимальная дифракционная эффективность голограмм
разных типов
Толщина реги-
стрирующей среды
Толстая
Вид голограмм Пропускающие Пропускающие Отражательные
Модулируемая величина Ампли- туда Фаза Коэфф, поглоще- ния Показа- Коэфф, тель пре-поглоще- ломле- ния НИЯ Показа- тель прелом- ления
Максимальная теоретическая эффективность, % 6,25 33,9 3,7 100 7,2 100
Максимальная эффективность, достигнутая экспе- риментально, % 6,0 32,6 3,0 90 3,8 80
Литература [11.28] [9.8] [9.9] [9.10] [9.11] [9.10]
духе, необходимый для получения объемной голограммы с по-
мощью излучения гелий-неонового лазера в фотографической
эмульсии толщиной 15 мкм, составляет 18,4°.
Голограмма, полученная при таком минимальном угле между
пучками, обладает заметной селективностью к углу падения осве-
щающего пучка. Для фазовой голограммы значение 60 в среде,
согласно (9.86) и (9.87), составляет
________
2пТ sin 0о
~«0,13 рад «7,5°.
Однако такие голограммы почти не обладают спектральной
селективностью. Для использованных выше параметров и 0О = 6°
Д%о « --с^9° %а « 8000 А.
296
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
ГЛ. 9.
Дифракционная эффективность таких голограмм превышает 5096
для всего видимого спектра [9.13].
С ростом 0О селективность голограммы по отношению к углу
падения возрастает. Например, если 0О = 30°, в то время как
Т, п и Ха имеют прежние значения, то 60 « 1,6° в среде. При такой
большой угловой селективности на одной фотопластинке можно
получать большое число голограмм, причем наблюдатель будет
видеть одновременно только одно изображение. Все голограммы
могут быть получены с предметным пучком, имеющим одинаковую
среднюю пространственную частоту, тогда как направления опор-
ных пучков должны отличаться по крайней мере на 60- Если прояв-
ленную фотопластинку осветить одним из исходных опорных пуч-
ков (удовлетворяющим условию Брэгга лишь для одной из заре-
гистрированных на пластинке голограмм), то восстановится только
предметная волна, соответствующая данному опорному пучку
(см. гл. 16).
Другой метод, позволяющий зарегистрировать на одной
фотопластинке много предметных волн и затем восстанавливать
их поочередно, состоит в том, что каждый предметный пучок
интерферирует с одним и тем же опорным пучком, однако фото-
пластинка в этом случае после каждой экспозиции повора-
чивается на угол 60.
В соответствии с (9.88) при увеличении угла Брэгга 0О возра-
стает спектральная селективность голограммы (Д%0 « 300 А при
0О = 30° в среде), что позволяет получать многоцветные голо-
граммы [9.14], которые восстанавливают цветные изображения без
переналожения изображений разных цветов (см. гл. 17). Когда
угол между пучками увеличивается настолько, чтобы образовалась
отражательная голограмма, селективность по отношению к длине
волны описывается выражением (9.108). Отражательные голограм-
мы обладают настолько высокой селективностью к длине волны,
что их можно восстанавливать в белом свете [9.15, 9.18*]. Отража-
тельные голограммы могут восстанавливать многоцветные изо-
бражения при освещении белым светом [9.16]. Однако при
увеличении 0О из-за наличия множителя cos 0О в (9.105а) падает
селективность таких голограмм по отношению к углу падения
восстанавливающего пучка.
Когельник [9.5], анализ которого был использован в настоя-
щей главе, рассмотрел также случай пучка, поляризованного
в плоскости падения. Он нашел, что все ранее изложенные резуль-
таты остаются справедливыми, если сделать только одно видоизме-
нение, а именно умножить константу взаимодействия х на косинус
угла (в среде) между падающим и дифрагированным пучками.
При приближении этого угла к 90° амплитуда дифрагированной
волны стремится к нулю.
ЛИТЕРАТУРА
297
ЛИТЕРАТУРА
9.1. LEITH Е. N., KOZMA А.,
UPATNIEKS J., MARKS I.,
MASSEY N., Appl. Opt., 5,
1303 (1966).
Голографическая запись ин-
формации в трехмерной среде.
9.2. BURCKHARDT С. В., Journ.
Opt. Soc. Amer., 56, 1502
(1966).
Дифракция плоской волны на
синусоидальной слоистой ди-
электрической решетке.
9.3. BURCKHARDT С. В., Journ.
Opt. Soc. Amer., 57, 601 (1967).
Эффективность диэлектриче-
ской решетки.
9.4. KOGELNIK Н„ Proc. Symp.
Modern. Opt., ed. J. Fox,
New York, 1967, p. 605.
Отклик при восстановлении
и эффективность голографиче-
ских решеток.
9.5. KOGELNIK Н., Bell. Syst.
Tech. Journ., 48, 2909 (1969).
Теория взаимодействия для
толстых голографических ре-
шеток.
9.6. GABOR D., STROKE G. W.,
Proc. Roy. Soc., A304, 275
(1968).
Теория объемных голограмм.
9.7. RAMO S., WHINNERY J. R.,
Fields and Waves in Modern
Radio, 2nd ed., New York,
1960.
9.8. SHANKOFFT. A., Appl. Opt.,
7, 2101 (1968).
Фазовые голограммы в хро-
мированном желатине.
9.9. GEORGE N., MATT-
HEWS J. W., Appl. Phys.
Lett., 9, 212 (1966).
Голографические дифракци-
онные решетки.
9.10. LIN L. H., Appl. Opt., 8, 963
(1969).
Получение голограмм в слоях
затвердевшего хромирован-
ного желатина.
9.11. LIN L. Н., LoBIANCO С. V.,
Appl. Opt., 6, 1255 (1967).
Экспериментальная техника
получения многоцветных го-
лограмм, восстанавливаемых
в белом свете.
9.12. KLEIN W. R., Proc. IEEE,
54, 803 (1966).
Теоретическая эффективность
схем Брэгга.
9.13, SHANKOFF Т. A., CUR-
RAN R. К., Appl. Phys. Lett.,
13, 239 (1968).
Эффективные высокоразре-
шающпе фазовые дифракцион-
ные решетки.
9.14. PENNINGTON К. S., LIN
L. Н., Appl. Phys. Lett., 7, 56
(1965).
Восстановление многоцветно-
го волнового фронта.
9.15. STROKE G. W., LABEY-
RIE А. Е., Phys. Lett., 20,
368 (1966).
Восстановление в белом свете
голографических изображе-
ний при использовании ди-
фракционного эффекта Лппп-
мана — Брэгга.
9.16. LIN L. Н., PENNING-
TON К. S., STROKE G. W.,
LABEYRIE А. Е., Bell Syst.
Tech. Journ., 45, 659 (1966).
Восстановленпе многоцвет-
ных голографических изо-
бражений при освещении
источником белого света.
9.17* . БРОНШТЕЙН И. Н., СЕ-
МЕНДЯЕВ К. А., Справоч-
ник по математике для инже-
неров и учащихся втузов,
пзд. 9-е, М., 1962.
9.18* . ДЕНИСЮК Ю. Н., Оптикап
спектроскопия, 15, 522 (1963).
Об отображении оптических
свойств объекта в волновом
поле рассеянного им излуче-
ния.
Глава 10
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
Для практической реализации внеосевой схемы голографии
требуются регистрирующие материалы с высокой разрешающей
способностью. В гл. 8, § 4, и. 1, было показано, что использование
для записи голограмм материала, для которого предельная про-
странственная частота невелика, может привести к падению разре-
шения в восстановленном изображении и сужению поля изобра-
жения. Относительно высокая светочувствительность галоидосе-
ребряных фотослоев является их преимуществом, однако лишь
немногие из промышленно выпускаемых фотослоев обладают
необходимой разрешающей способностью. Благодаря повышению
мощности источников когерентного света стала возможной реги-
страция голограмм на «необычных» (не галоидосеребряных) фото-
графических материалах. Многие из них имеют высокую разрешаю-
щую способность, но все они относительно малочувствительны.
Однако, когда для регистрации голограмм используется достаточ-
но мощный лазер, длительность экспонирования может быть
уменьшена до величины, обеспечивающей получение высокока-
чественных голограмм.
Сама природа голографического процесса приводит к необхо-
димости использования «необычных» регистрирующих материалов.
При освещении голограммы происходит восстановление волнового
фронта, записанного с помощью либо амплитудной, либо фазовой
пространственной модуляции. Фотографические материалы, моду-
лирующие амплитуду светового потока, пригодны для регистра-
ции как обычных фотоснимков, так и голограмм. С другой сторо-
ны, регистрирующие материалы с фазовой модуляцией, не пред-
ставляющие интереса для обычной фотографии, являются идеаль-
ными для голографии.
В настоящей главе обсуждаются некоторые общие требования
к материалам для регистрации голограмм. Сначала будет рассмот-
рена идеальная характеристическая кривая, обеспечивающая точ-
ную запись голограммы и восстановление волнового фронта.
При сравнении характеристической кривой реальных материалов
с идеальной кривой становятся ясными ограничения, накладывае-
мые свойствами реальных материалов. Тем не менее многие из этих
материалов обладают свойствами, необходимыми для большинства
голографических экспериментов; к числу таких материалов отно-
сятся галоидосеребряные фотографические слои, слои хромирован-
§ 1.
ИЗМЕНЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
299
ного желатина, фотополупроводниковые термопластические слои,
фотохромные материалы и кристаллы сегнетоэлектриков.
Мы предполагаем, что запись и восстановление производят-
ся с помощью лазера с непрерывным излучением. Особенности
использования галоидосеребряных фотослоев, магнитных пленок
и других материалов в сочетании с импульсным лазером рас-
смотрены в гл. 11.
§ 1. Изменения оптических свойств
светочувствительных материалов
Экспонирование и (там, где оно требуется) проявление светочув-
ствительных материалов должны изменять оптические свойства
материала, предназначенного для регистрации голограмм. Крат-
ко рассмотрим распространение световой волны в однородной
среде с поглощением. Как показано в гл. 9, § 4, плоская волна,
прошедшая в такой среде расстояние Г, выходит из нее, имея
комплексную амплитуду
f = А ехр (—уГ) = А ехр (—i$T) ехр (—аТ),
где Р = 2лп0/Ка — постоянная распространения; а — амплитуд-
ный коэффициент поглощения; п0 — показатель преломления
и а р. В этом случае можно написать
-L = exp(—аГ) ехр (— • (Ю.1)
У материала, пригодного для записи голограмм, при экспониро-
вании и проявлении должен изменяться по крайней мере один
из параметров: а, п0 или Т. Обычно меняется существенно лишь
один из этих параметров. Таким образом, мы можем разделить
наиболее важные светочувствительные материалы на две группы:
1) материалы с амплитудной модуляцией (поглощающие), у ко-
торых а зависит от экспозиции;
2) материалы с фазовой модуляцией, у которых от экспозиции
зависит либо п0, либо Т.
1. Материалы с амплитудной модуляцией
Голографическая интерференционная картина регистрируется
на этих материалах в форме пространственных вариаций поглоще-
ния. Примером таких материалов могут служить галоидосеребря-
ные фотографические слои, фотохромные стекла и фотохромные
органические пленки. Для однородного материала этого типа
с амплитудным коэффициентом поглощения, равным а, и толщиной
в направлении падающей плоской волны, равной Т, можно опре-
делить следующие величины (см. гл. 9, § 6, п. 2):
300
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10-
Амплитудное пропускание
t = ехр (—аТ);
Пропускание по интенсивности
J = Z2 = ехр (—2аГ);
Оптическая плотность
D = -1g J = 2аТ 1g е = 0,869 аТ.
Чтобы получить максимальную дифракционную эффективность
плоской пропускающей голограммы при синусоидальной форме
интерференционных полос, значение t должно изменяться по сину-
соидальному закону от нуля до единицы (см. гл. 8, § 5). На прак-
тике это трудно достижимо, так как соответствующие значения
оптической плотности должны лежать в пределах от 0 до оо.
Максимальная плотность D = 2, соответствующая амплитудному
пропусканию, равному 0,1, вполне достаточна; такую плотность,
легко получить при использовании фотографических слоев (но не
всех фотохромных материалов). Теоретически оптимальное значе-
ние средней оптической плотности плоской голограммы должно,
составлять D = 0,6, что соответствует = х/2 в выражении
(8.30). Это значение близко к экспериментально определенному
оптимальному значению для фотографических слоев.
В соответствии с приведенным в гл. 9, § 6, п. 2, анализом эле-
ментарной объемной пропускающей голограммы, максимальная
дифракционная эффективность наблюдается в том случае, когда
амплитуда at синусоидальной модуляции коэффициента поглоще-
ния равна среднему коэффициенту поглощения а. Тогда для at = a
максимальная эффективность наблюдается при аТ/ cos 0О = In Зт
где 0О — угол Брэгга. Если принять за типичную величину 0О =
= 30°, то путем подстановки аТ = In 3 cos 30° получаем, что опти-
мальная средняя оптическая плотность D равна 0,827 и D лежит
в интервале от 0 до 1,65.
Экспериментально полученное оптимальное значение средней
оптической плотности для толстых фотографических слоев обычно'
меньше 0,827 и ненамного превосходит 0,6.
Для объемных отражательных голограмм из теоретических
соображений, приведенных в гл. 9, § 7, п. 2, следует, что с ростом
аТ дифракционная эффективность асимптотически приближается
к максимальному значению. При а.Т = 2 средняя оптическая плот-
ность D м 1,7 и эффективность достаточно близка к максимальной.
При регистрации таких голограмм на толстослойных фотографи-
ческих материалах экспериментально определенное оптимальное
значение оптической плотности составляет около 2.
§ 1-
ИЗМЕНЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
301
2. Материалы с фазовой модуляцией
Голографическая интерференционная структура регистрирует-
ся на этих материалах в форме пространственного изменения либо
показателя преломления п, либо толщины Т. Материалы с фазо-
вой модуляцией обычно почти идеально прозрачны, так что можно
принять коэффициент поглощения а « 0. Разность фаз света,
прошедшего через слой диэлектрика толщиной Т с показателем
преломления п0 и через слой воздуха той же толщины описывается
в соответствии с выражением (10.1) следующей формулой:
фз=2л(п0-1)Г . (10.2)
Поскольку длина волны %а обычно весьма мала по сравнению с п0Т,
малое изменение п0 или Т, вызванное действием света, может при-
вести к большому изменению фазы Дф. Однако нетрудно видеть,
что дифракционная эффективность как плоских фазовых голограмм
(гл. 8, § 5), так и объемных фазовых голограмм [см. (9.80)] макси-
мальна при значении Дф, равном приблизительно л. Поэтому
положим
Л . Г2л(п0—1И I
Ач-А1 k J=“'
или
ДГ2(Д,Г1)Г 1 2 („.-!) Г рд, МЛ,. (103)
L Mi J Ад \ 1 L /
Для тонкослойных (плоских) голограмм толщина Т близка к %а.
Поскольку достижимые на практике значения Дп0 обычно намного
меньше, чем п0 — 1, мы можем пренебречь членом, содержащим
Дп0‘ в выражении (10.3). Тогда условие достижения максимальной
дифракционной эффективности принимает вид
Для типичных значений Ха = 0,5 мкм и п0 = 1,5 мы получаем
ДГ = %а = 0,5 мкм. Дифракционная эффективность может дости-
гать 33,9% для синусоидальных решеток и 40,4% для прямоуголь-
ных решеток (гл. 8, § 5). К числу материалов, пригодных для реги-
страции тонкослойных фазовых голограмм, относятся фотополу-
проводниковые термопластические пленки, пленки фоторезистов,
подвергнутые травлению, фото полимерные пленки и фотоматериа-
лы, отбеленные до такой степени, что остается только поверхност-
ный рельеф.
В объемных фазовых голограммах может осуществляться про-
странственная модуляция как показателя преломления, так и тол-
щины регистрирующего материала. Однако модуляция толщины
302
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
может быть основным источником шума в восстановленном изобра-
жении, поэтому ее устраняют, помещая голограмму в иммерсион-
ную жидкость с подходящим показателем преломления. Для устра-
нения этого нежелательного эффекта должно соблюдаться условие
Д777’ < Аи0/ (по — 1). Из выражения (10.3) следует, что дифрак-
ционная эффективность объемной фазовой голограммы макси-
мальна при
Дио = -^-. (Ю.5)
Вновь принимая = 0,5 мкм, получаем, что Дп0 составляет
2,5 -Ю-4 на каждый миллиметр толщины материала. Максималь-
ная дифракционная эффективность может составлять 100%. Хота
максимальная требуемая модуляция Дп0 довольно мала, лишь
немногие регистрирующие материалы обладают необходимой чув-
ствительностью; к их числу принадлежат слои хромированного-
желатина, кристаллы сегнетоэлектриков и отбеленные фотогра-
фические слои.
§ 2. Экспозиция и чувствительность
Критерием чувствительности материалов для регистрации голо-
грамм может служить величина экспозиции, необходимая для
достижения определенной дифракционной эффективности голо-
граммы при нормированных условиях освещения. Чем меньше
эта экспозиция, тем выше чувствительность. Строгое определение
чувствительности дано в § 6 настоящей главы. Здесь мы рассмотрим;
только некоторые практические факторы, определяющие мини-
мально допустимую чувствительность или максимально допусти-
мую длительность экспонирования материалов, применяемых для
регистрации голограмм.
Рассмотрим освещенность, создаваемую экспонирующим свето-
вым потоком, и усредним ее по площади, содержащей большое чис-
ло интерференционных полос. В этом случае средняя величина
экспозиции определяется выражением
Ео = ^-, (10.6>
где тр — эффективный коэффициент передачи энергии от лазера
к регистрирующему материалу; Р — выходная мощность излу-
чения лазера; те — длительность экспонирования; А — площадь
сечения пучка, освещающего голограмму. При типичных условиях
регистрации лишь часть энергии, излучаемой лазером, достигает
поверхности голограммы. От 30 до 50% мощности теряется из-за
того, что необходимо обеспечить равномерное освещение предмета
§ 3.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ МАТЕРИАЛА
303
и голограммы (см. гл. 7, § 3). Если предмет диффузно отражает
свет, то примерно 10% падающего на него светового потока дойдет
до голограммы. Кроме того, примерно 4% потока теряется при
отражении от каждой поверхности раздела воздух — стекло опти-
ческих элементов, участвующих в формировании освещающего
пучка. В силу этих причин значение г]< не превосходит на практи-
ке 5%. Именно такое значение следует использовать при вычисле-
нии предельной практической экспозиции по формуле (10.6).
Как указано в гл. 7, § 5, механическая нестабильность голографи-
ческой установки и неоднородности, вызванные воздушными пото-
ками, накладывают ограничения на предельную длительность
экспонирования. Примем, что она равна те = 300 с. Тогда при
А = 100 см2 находим, что EJP = 0,15 мДж/см2 на 1 мВт выход-
ной мощности лазерного излучения. С этой точки зрения материа-
лы, при использовании которых экспозиция должна быть больше
определяемой предельным значением Ео/Р, как правило, практи-
чески непригодны для голографических экспериментов. Поскольку
максимальная выходная мощность гелий-неонового лазера с дли-
ной разрядной трубки 1 м равна 50—100 мВт на длине волны
6328 А, верхний предел экспозиции для этого лазера при приня-
тых выше допущениях составляет 15 мДж/см2. Если необходима
большая экспозиция, то следует использовать более мощный арго-
новый лазер. Если регистрирующий материал настолько малочув-
ствителен, что экспозиция должна существенно превосходить
величину 15 мДж/см2, то значительно возрастают трудности,
связанные с нестабильностью при интенсивном освещении. Напри-
мер, расширение предмета, вызванное его нагреванием при погло-
щении лазерного излучения, может привести к появлению полос
на врсстановленном изображении (см. гл. 15).
Светочувствительность фотографических слоев и фотополупро-
водниковых термопластических слоев достаточно велика, так что
значения экспозиции, необходимые для получения голограмм,
лежат гораздо ниже предельного значения 15 мДж/см2, чего нель-
зя сказать о большинстве других материалов. Кроме того, боль-
шинство других материалов обладает чувствительностью только
в синей и зеленой областях спектра.
§ 3. Разрешающая способность регистрирующего
материала
Разрешающая способность светочувствительного материала,
используемого для регистрации голограммы, должна быть доста-
точна для раздельной передачи интерференционных полос. Для
оценки требований к разрешающей способности регистрирующего
304
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
материала рассмотрим образование элементарной пропускающей
голограммы (фиг. 9.1). Две плоские волны образуют интерферен-
ционную картину, характеризующуюся плоскостями пучностей.
Углы между направлениями распространения волн и нормалью
к голограмме равны соответственно Qs и QH в воздухе и фа и фн
в регистрирующем материале.
В плоской голограмме регистрируются следы пересечения систе-
мы интерференционных плоскостей с плоскостью голограммы.
Согласно выражению (9.4), расстояние между этими следами равно
& ___________________________
у sin ipg — sin ярд sinQg — sin Qh
и частота полос vy = Mdy. В объемной голограмме регистрируются
•сами плоскости пучностей и нужно рассматривать расстояние d
между соседними плоскостями по нормали к их поверхности.
Согласно (9.9),
d — dy cos ф,
где ф — угол между плоскостями пучностей и нормалью к поверх-
ности голограммы. Эти плоскости делят пополам угол между
направлениями распространения волн в регистрирующей среде.
Можно написать
1 1
^ = ^cos^’
ИЛИ
vy = v cos ф, (10.7)
где v — пространственная частота (т. е. количество интерферен-
ционных полос на 1 мм) в направлении, перпендикулярном к плос-
костям пучностей интерференционной картины. Взяв предельные
значения углов между направлениями распространения пучков,
образующих голограмму, и приняв ф = 0, мы можем определить
максимальный диапазон разрешения, которым должен обладать
материал, предназначенный для регистрации пропускающих голо-
грамм. Если Qs = Йл, то v = 0. Если Qs = —QH = л/2, то
v = 2/%а и
0<v<^-. (10.8)
При = 0,5 мкм (для пропускающих голограмм) имеем 0 < v <
< 4000 мм-1.
Для отражательных голограмм максимальный диапазон разре-
шения можно оценить, рассматривая голограмму, образованную
двумя плоскими волнами, распространяющимися навстречу друг
другу вдоль оси z и имеющими одинаковую пространственную
частоту^ вдоль оси у. Как показано в гл. 9, § 7, при т] = r]s = т]л
и £ = £s = —Zr плоскости пучностей ориентированы параллель-
§ 4.
СОХРАНЯЕМОСТЬ И СТИРАПИЕ ГОЛОГРАММНОЙ ЗАПИСИ
305
но плоскости голограммы и находятся друг от друга на расстоянии
, _ 1 _ X
z~2£~ 2(1 —XV)1/2
Если учесть, что % = Ха/п0, где п0 — показатель преломления
регистрирующей среды, (sin ф)/Х = р и в соответствии с законом
Снеллиуса (sin Q)/n0 = sin -ф, то
d =--------Uno---------- =-----Хо--- .
2[1 — (sin2 Q)/n.g)]1/a 2 (n§ —sin2 Q)1'2 '
Если Q = л/2, to dz = Ka/2 (n„ — l)1/2; если же Q = 0, то dz =
= %a/2n0. Принимая Xa = 0,5 мкм и учитывая, что показатель
преломления желатина п0 = 1,5, получаем для отражательных
объемных голограмм
4500 < vz < 6000 мм'1,
где
Из этих простых расчетов видно, что разрешающая способ-
ность материалов для регистрации голограмм должна существенно
превышать разрешающую способность обычных фотографических
материалов, для которых высоким считается значение 200 мм-1.
Сведения о разрешении различных регистрирующих материалов
приведены в § 8, п. 2, и § 10, п. 4.
§ 4. Сохраняемость и стирание голограммной
записи
Голограмма должна сохраняться только в течение промежутка
времени, необходимого для восстановления изображения. Голо-
граммы, записанные на растворах просветляющихся красителей,
обычно существуют так недолго, что не могут быть использованы х).
Наоборот, в фотослоях образуется постоянная запись, но их
уже нельзя использовать повторно. Голограммы, записанные на фо-
тохромных материалах или кристаллах сегнетоэлектриков, имеют
промежуточную степень устойчивости и исчезают за сравнительно
короткое время. Это исчезновение может быть вызвано или тепло-
вой релаксацией (темновой реакцией), или экспонированием в вос-
станавливающем пучке. Длительность тепловой релаксации при
х) Такие голограммы существуют лишь во время экспонирования; они
обладают малой инерционностью и, возможно, найдут применение в ряде
случаев, например для коррекции лазерных пучков.—Прим. ред.
20-0990
306
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
комнатной температуре лежит в пределах от минут до недель.
Самопроизвольное стирание голограмм является нежелательным
эффектом. Однако стирание может быть вызвано преднамеренно,
путем нагрева или освещения фотохромного или сегнетоэлектриче-
ского регистрирующего материала.
К числу регистрирующих материалов, в которых наиболее
благоприятным образом сочетаются постоянство записи, возмож-
ность ее стирания и повторной записи, относятся фотополупровод-
никово-термопластические пленки и магнитные пленки. Голограм-
мы, записанные на этих материалах, устойчивы при комнатной
температуре, но легко стираются: в первом случае — путем повы-
шения температуры, во втором случае — приложением магнитно-
го поля. После стирания возможна запись новых голограмм на тех
же участках пленок (свойства магнитных пленок рассмотрены
в гл. 11).
Требования к сохраняемости и стираемости записи в значитель-
ной степени определяются характером решаемой задачи. Однако
при этом необходимо учитывать уменьшение дифракционной эффек-
тивности, чувствительности и разрешающей способности материала,
которое неизбежно сопровождает увеличение способности к много-
кратной записи.
§ 5. Шумы и линейность записи
Под шумом мы подразумеваем нежелательный световой поток,
дифрагированный или рассеянный голограммой в направлении
восстановленной волны. Мы рассматриваем следующие источники
шума:
1. Хаотическое рассеяние сигнального и опорного пучков
во время экспонирования, вызванное зернистостью регистрирую-
щего материала.
2. Хаотическое рассеяние восстанавливающего пучка и вос-
становленной волны, вызванное зернистой структурой голограммы.
3. Пространственная модуляция опорной волны при записи
и восстановлении.
4. Нелинейность записи сигнальной волны.
5. Оптическая неоднородность и деформации поверхности
регистрирующего материала.
Влияние первого и второго источников шума обычно невелико,
за исключением случая записи множества голограмм на одном
и том же участке регистрирующего материала или применения
специальных методов получения голограмм в некогерентном свете.
Третий источник шума не связан со свойствами регистрирующего
материала и имеет существенное значение только в том случае,
когда для записи голограммы используется пространственно-моду-
§ 6.
ИДЕАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
307
лированный опорный пучок. Даже если комплексная амплитуда
восстанавливающей волны в плоскости голограммы строго пропор-
циональна амплитуде исходной опорной волны, то и тогда этот
источник шумов приводит к размытию восстановленной предмет-
ной волны [см. формулу (14.23)].
По всей вероятности, наиболее важен четвертый источник
шума — нелинейная запись сигнальной волны. Влияние нелинейной
записи рассмотрено в гл. 12. В этой главе мы обсудим эксперимен-
тальные методы, обеспечивающие для данного материала линей-
ность записи.
Пятая причина шума возникает или в процессе изготовления
регистрирующего материала, или в процессе его обработки после
экспонирования. Если внутри материала существуют дефекты (что
обычно наблюдается, например, в крупных кристаллах сегнето-
электриков) или соответствующие поверхности материала не яв-
ляются строго плоскими, то волновые фронты при прохождении
через материал претерпевают искажения. Однако эти нежелатель-
ные дефекты часто удается обнаружить перед экспонированием
и отбросить негодные пластинки. Мокрая обработка фотографиче-
ских слоев, в особенности их отбеливание, так же как обработка
слоев хромированного желатина, может привести к искажениям
поверхности желатина или внутренним изменениям. Поверхно-
стные искажения обычно преобладают, однако они легче устраня-
ются.
§ 6. Идеальное восстановление волнового фронта
и идеальный регистрирующий материал
После рассмотрения некоторых необходимых, желательных
или неизбежных свойств материалов для записи голограмм перей-
дем к анализу свойств материала, позволяющего получить идеаль-
ное восстановление волнового фронта. Предположим, что после
записи и обработки регистрирующий материал возвращен в то са-
мое положение, которое он занимал при регистрации, и голограмма
освещена исходной опорной волной. Определим комплексную
амплитуду при идеальном восстановлении предметной волны
в форме, не зависящей от того, является ли голограмма плоской
или объемной, амплитудной или фазовой, пропускающей или
отражательной.
Для этого прежде всего рассмотрим интерференцию предмет-
ной и опорной волн в отсутствие регистрирующего материала.
Выберем определенную плоскость ху в зоне интерференции и обо-
значим комплексную амплитуду предметной волны в этой плоско-
сти через а (а;, у), а комплексную амплитуду опорной волны в той
20*
30S
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
же плоскости через г (х, у). Запишем интенсивность интерферен-
ционной картины в плоскости ху в виде [см. (1.15)]
I (х, у) = аа* + гг* + га* + г*а. (10.10)
Чтобы записать голограмму, регистрирующий материал поме-
щают в зону интерференции, которая примыкает к плоскости ху,
не включая ее в себя. Материал расположен таким образом, что
при реконструкции восстановленная волна выходит из него
и проходит сквозь плоскость ху. Таким образом мы можем легко
измерить значения интенсивности предметной, опорной и восста-
новленной волн в плоскости ху. Будем рассматривать комплекс-
ную амплитуду освещающей волны в той же плоскости и обозна-
чим ее (в отсутствие голограммы) г (х, у).
Последний член в правой части выражения (10.10) соответству-
ет восстановленной предметной волне. Для плоской амплитудной
голограммы комплексная амплитуда восстановленной волны в пло-
скости голограммы ху представляет собой функцию произведения
комплексной амплитуды освещающей волны г (х, у) на экспозицию
тег*а [см. (7.32)]. Поскольку наше определение идеального восста-
новления должно распространяться на этот частный случай, так
же как и на другие типы голограмм, полезно ввести комплексную
амплитуду при идеальном восстановлении волны
w0 (х, у) = 2S ZcjTe гг* а, (10.11)
где те — длительность экспонирования; Zcj — коэффициент пропор-
циональности между значениями интенсивности 1Р и I (см. гл. 1,
§ 3); S — комплексная постоянная. Множитель, равный 2, введен
для того, чтобы иметь потом возможность перейти к видности
интерференционных полос V. Тогда идеальным регистрирующим
материалом будет такой, для которого комплексная амплитуда
восстановленной волны описывается выражением (10.11). Если
величина гг* постоянна по всей плоскости ху, то запись голограм-
мы является линейной, т. е. комплексная амплитуда восстановлен-
ной волны w0 прямо пропорциональна комплексной амплитуде
предметной волны а.
Если г (х, у) и а (х, у) являются плоскими волнами
г = г ехр (&2л£г.т), а = а ехр(&2л£а.т)
и г, а, и — действительные постоянные, то выражение
(10.11) приводится к
w0 (х) = Sr (2/CjTera) ехр (i2n£a.r) = (10.12)
= Sr E0V exp (i2n^,ax),
где мы воспользовались соотношением
2k1xera = ki (a2 + r2) xeV = EaV,
§ 6. ИДЕАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА 309
вытекающим из (7.31) при | ц | = 1, Q = 0, и соотношением
(7.33). Из (10.12) вытекает, что при соблюдении условия идеаль-
ного восстановления
S = S ехр (jo) = const (10.13)
достигается линейность записи и комплексная амплитуда восста-
новленной волны представляет собой плоскую волну
w0 (ж) = ехр [i(2n£a х + о)] (10.14)
с амплитудой
= SrE0V. (10.15)
Величина S, называемая голографической чувствительностью,
является характеристикой идеального материала, причем предпо-
ФИГ. 10.1.
Кривые зависимости ДА) от Ед для
идеального регистрирующего материала.
И — дифракционная эффективность; Ед —
средняя экспозиция (в условных единицах);
V — видность полос.
лагается, что S не зависит от средней экспозиции Ео, видности
полос V и пространственной частоты предметной волны по всей
площади голограммы.
Дифракционная эффективность голограммы определяется отно-
шением интенсивностей
310
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
что можно записать как
= SE0V. (10.16)
Если задаться определенной величиной видности полос V, то го-
лографическая чувствительность регистрирующего материала S
пропорциональна квадратному корню из величины дифракционной
эффективности т] и обратно пропорциональна средней экспозиции.
Можно графически представить зависимость ]/т] от Ео при различ-
ных V или зависимость ]/т] от V при различных Ео. В обоих случа-
ях мы получим семейство прямых линий (фиг. 10.1 и 10.2).
ФИГ. 10.2. Кривые зависимости от V для
идеального регистрирующего материала.
Обозначения те же, что на фиг. 10.1.
Эти прямые можно рассматривать как экспозиционные характе-
ристики идеального регистрирующего материала, которые могут
служить основой для сравнительной оценки свойств реальных
материалов.
§ 7. Сравнительные экспозиционные
характеристики реальных регистрирующих
материалов
Условие, заключающееся в том, что голографическая чувстви-
тельность 8 = 5 ехр (io) должна в соответствии с (10.13) иметь
во всей плоскости ху постоянное значение, не зависящее от Ео, V
и £а, обычно не соблюдается для реальных регистрирующих
§ 7. СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПОЗИЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗИ
материалов. В лучшем случае условие (10.13) выполняется в огра-
ниченном интервале значений указанных параметров. Отклонения
5 и О' от постоянного значения приводят к амплитудным и фазовым
искажениям восстановленного волнового фронта [см. выражение
(10.14)]. Большая часть материалов, за исключением отбеленных
фотослоев, вносит лишь малые фазовые искажения. Важнейшим
источником шума в восстановленном волновом фронте обычно
являются амплитудные искажения, вызванные изменениями -S';
их можно уменьшить только за счет уменьшения дифракционной
эффективности.
ФИГ. 10.3. Кривые зависимости Д/т] от Ео для
реального регистрирующего материала.
В гл. 7 в качестве экспозиционной характеристики материала
мы использовали кривую зависимости амплитудного пропускания
t от экспозиции Е (фиг. 7.13). Хотя эта характеристика, строго
говоря, применима лишь к плоским амплитудным голограммам,
она достаточно хорошо описывает свойства не только плоских
голограмм. В тех случаях, когда ее применение возможно, t — Е-
кривая имеет ряд преимуществ. Так, ее сравнительно легко полу-
чить экспериментально; кроме того, с ее помощью нетрудно
установить оптимальную среднюю экспозицию и быстро оценить
видность интерференционных полос. Однако эта характеристика
обладает и серьезным недостатком, а именно: она не дает никаких
сведений о дифракционной эффективности. Кроме того, по зави-
симости t (Е) невозможно установить, достаточна ли разрешающая
способность данного материала для получения голограмм.
312
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
Больше информации относительно свойств материала дают
кривые зависимости ]/г] от V при различных значениях Ео или Vг]
от Ео при различных V. Кривые на фиг. 10.3 и 10.4 относятся
к реальному регистрирующему материалу, и их можно сравнить
с соответствующими кривыми для идеального материала (фиг. 10.1
и 10.2). При получении голограмм величина экспозиции Ео часто
почти постоянна по всей плоскости голограммы. В этом случае
ФИГ. 10.4. Кривые зависимости ~\/г[ от V для
реального регистрирующего материала.
R — отношение интенсивности опорного пуч-
ка к интенсивности предметного пучка.
удобнее использовать экспозиционные характеристики, приведен-
ные на фиг. 10.4. В некоторых случаях, когда голограмма регистри-
руется в некогерентном свете, причем предметный волновой фронт
интерферирует с самим собой, видность интерференционных полос
V почти постоянна по всей плоскости голограммы (см. гл. 20).
В этом сравнительно редком случае более удобны кривые на
фиг. 10.3. В дальнейшем мы ограничимся обсуждением экспози-
ционных характеристик, приведенных на фиг. 10.4.
Чтобы получить такие характеристики для какого-нибудь
регистрирующего материала, следует с его помощью зарегистри-
ровать ряд голограмм, создаваемых двумя плоскими волнами.
Каждой голограмме должно соответствовать определенное сочета-
ние средней экспозиции Ео и отношения интенсивности интерфери-
рующих пучков R. По величине R можно рассчитать видность
§ 7. СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПОЗИЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 313
полос V = 2]//?/(1 + R) [см. выражение (7.31) для случая р = 1,
Q = 0]. Если целью получения экспозиционных характеристик
является определение наилучших условий записи голограммы
при фиксированном угле между предметным и опорным пучками,
то все голограммы должны быть зарегистрированы при одной и той
же средней величине угла между интерферирующими пучками.
После регистрации и проявления голограмм измеряют их
дифракционную эффективность т]. Далее строят совокупность
кривых ]Лт] (7) для различных значений параметра Ео в линейном
масштабе, как это показано на фиг. 10.4. (Для удобства мы также
приводим т] и R в нелинейном масштабе.)
Такой метод представления экспозиционных характеристик
имеет определенные преимущества. Прежде всего, он подходит
для любого регистрирующего материала, толстого или тонкого,
амплитудного или фазового, для пропускающих или отражатель-
ных голограмм. Следовательно, он позволяет проводить прямое
сравнение экспозиционных характеристик различных материалов,
которые могут быть использованы для получения голограмм в дан-
ных конкретных условиях. Далее, отклонение характеристик
любого реального материала от соответствующих характеристик
идеального легко обнаружить и оценить путем сравнения экспе-
риментальных кривых с кривыми фиг. 10.2. Такие кривые позво-
ляют получить следующие важные данные:
1. Диапазон значений видности V или отношений интенсивно-
сти R, в котором запись голограммы линейна [что определяется
по прямолинейному участку кривой ]/т] (^) ПРИ постоянном
значении -Ео].
2. Максимально достижимую величину дифракционной эффек-
тивности.
3. Значение экспозиции, необходимое для получения заданной
дифракционной эффективности (при постоянном значении 7),
т. е. меру чувствительности.
4. Оптимальное значение средней экспозиции, позволяющее
достичь наилучшего компромисса между линейностью и дифрак-
ционной эффективностью.
На фиг. 10.4 величина экспозиции Е01 представляет собой инер-
цию материала — минимальную экспозицию, при которой мате-
риал дает отклик; Е02, Е03, EOi, Е05 — постепенно возрастающие
экспозиции. Экспозиция Е02 имеет недостаточную величину,
поэтому дифракционная эффективность мала. При экспозиции,
равной Е03, прямолинейный участок кривой имеет самую большую
длину, что позволяет зарегистрировать наибольшие вариации
видности 7. При экспозиции EOi достигается максимальная дифрак-
ционная эффективность. В области, лежащей между Е03 и EOi,
возможен компромисс между линейностью и эффективностью,
314
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
При экспозиции Е05 материал оказывается переэкспонированным
и эффективность начинает уменьшаться.
Хотя значения эффективности, указанные на фиг. 10.4, отно-
сятся к элементарным голограммам, образованным двумя плоски-
ми волнами, в некоторых случаях эти кривые могут быть исполь-
зованы для оценки средней эффективности т]ср для более общего
класса голограмм. Рассмотрим голограмму, образованную плоской
опорной волной и диффузным предметным пучком. Нам нужно
найти среднее значение видности Fcp или среднее значение отно-
шения интенсивностей /?ср, что позволит перейти к среднему зна-
чению т]ср по кривым зависимости ]/\] от V. Общая интенсивность
света в плоскости голограммы, складывающаяся из интенсивности
опорного и предметного пучков, измеряется с помощью приемника
достаточно больших размеров, усредняющего интенсивность
по большому числу интерференционных полос. Поскольку компо-
нента интенсивности, вносимая диффузным предметным пучком,
сама по себе является интерференционной картиной с высокой
пространственной частотой или пятнистой структурой (см. гл. 8,
§ 2, п. 2), то детектируется только ее усредненное по площади зна-
чение. Это среднее значение почти постоянно по всей плоскости
голограммы. Таким образом, мы можем выбрать подходящее
значение средней экспозиции Ео, но можем измерить только сред-
нее значение отношения интенсивностей пучков R. По кривой
зависимости ]/т] от V выбираем значение V или R. Поскольку мы
можем установить только усредненное значение отношения интен-
сивностей /?ср, можно достичь разумного компромисса между линей-
ностью и эффективностью, выбирая значение, соответствующее
центральной точке прямолинейного участка кривой зависимости
]/т] от V. Среднее значение эффективности т]ср в этом случае опре-
деляется по вертикальной оси этого графика.
Определение голографической чувствительности реального
регистрирующего материала совпадает с ее определением (10.16)
для идеального материала
5 = Jg-. (10.17)
Однако в соответствии с видом кривых, приведенных
на фиг. 10.4, величина S более не является строго постоянной.
Для реальных материалов ее принимают равной максимальному
наклону прямолинейных участков кривых ]/т] (V), деленному
на соответствующее значение Ео. Чувствительность S можно рас-
сматривать как относительный критерий качества регистрирую-
щего материала.
§ 8.
ГАЛОИДОСЕРЕБРЯНЫЕ ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СЛОИ
315
§ 8. Галоидосеребряные фотографические слои
В свете предыдущего общего рассмотрения перейдем к анализу
частных свойств и характеристик некоторых наиболее важных или
потенциально важных регистрирующих материалов. Габор для
получения своих первых голограмм использовал галоидосеребря-
ные фотографические материалы. Из-за сравнительно высокой
чувствительности и общедоступности эти материалы до сих пор
применяются чаще всего. Однако широко используемые фотома-
териалы типа 649F фирмы Истмен-Кодак не были первоначально
предназначены для регистрации лазерного излучения. Недавно
фирма Агфа-Геверт выпустила фотоматериалы, специально пред-
назначенные для получения фотоснимков и голограмм в свете лазе-
ров. В настоящее время существуют следующие типы фотоматери-
алов, пригодных для записи голограмм: 649F, 649GH, «Высоко-
разрешающие пластинки» (HRP) (фирма Истмен-Кодак) и 8Е56,
8Е70, 8Е75, 10Е56, 10Е70, 10Е75, 14С70, 14С75 (фирма Агфа-
Геверт).
1. Общие оптические свойства фотослоя
и записанной голограммы
Фотослой в основном состоит из микрокристаллов галогенидов
серебра, диспергированных в желатине. В желатине содержатся
также некоторые сенсибилизаторы. Фотографическая эмульсия
наносится на прозрачную подложку — либо стеклянную пластин-
ку, либо гибкую ацетатную пленку. Для голограмм, запись кото-
рых производится с помощью непрерывно излучающего лазера,
предпочтительно использовать жесткую стеклянную подложку.
Сведения о толщине эмульсионного слоя и пропускании по интен-
сивности некоторых фотоматериалов приведены в табл. 10.1.
Таблица 10.1
Приблизительные значения толщины эмульсионного слоя
и пропускания по интенсивности некоторых галоидосеребряных
фотоматериалов
Фотоматериал Толщина, мкм Пропускав 6328 А ие по интенс 5145 А :ивности 4880 А
649F (пластинки) 15 0,42 0,40 0,33
649F (пленка) 6 0,81 0,61 0,62
HRP (пластинки) 6 0,81 0,58 0,58
10Е56 (пластинки) 6 0,67 0,35 0,29
10Е70 (пластинки) 6 0,47 0,37 0,29
10Е75 (пластинки) 6 0.61 0,50 0,40
316
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
После экспонирования фотослоя в поле интерференции двух
пучков света и проявления образуется абсорбционная (амплитуд-
ная) голограмма. В процессе проявления экспонированные мик-
рокристаллы галогенида серебра превращаются в зерна металличе-
ского серебра. После проявления иногда производится отбелива-
Длина волны
ФИГ. 10.5. Рассеяние света, падающего по нор-
мали на фотографические эмульсии.
Длины волн даны в ангстремах.
ние, в результате которого металлическое серебро превращается
в прозрачное соединение, а абсорбционная голограмма — в фазо-
вую (см. п. 5 настоящего параграфа). Фотослои пригодны для реги-
страции и пропускающих и отражательных голограмм. Для абсорб-
ционных пропускающих голограмм оптимальное значение средней
оптической плотности близко к 0,6; для абсорбционных отража-
тельных голограмм — к 2,0. Отбеливание с успехом применялось
только для первого типа голограмм. Если голограмма подвергает-
ся отбеливанию, то требуется существенное увеличение экспози-
ции по сравнению с экспозицией, необходимой в том случае, когда
отбеливание не производится.
Диаметр микрокристаллов галогенида серебра в голографиче-
ских фотоматериалах обычно не превосходит 0,1 мкм. Эти микро-
кристаллы не только поглощают, но и рассеивают свет. Как видно
из фиг. 10.5, рассеяние света существенно возрастает при переходе
от красной к синей части спектра. Прямое и обратное рассеяние
измерялось при углах 45 и 125° по отношению к пучку света,
падающему на фотослой перпендикулярно его поверхности. В § 5
этой главы мы указывали, что шум, вызванный рассеянием, обыч-
<5 8.
ГАЛОИДОСЕРЕБРЯНЫЕ ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СЛОИ
317
но незначителен, однако в том случае, когда голографические
методы используются для точной репродукции микроизображе-
ний, он становится заметным и приводит к падению контраста
изображения.
Тем, кто хочет получить отражательные голограммы (голограм-
мы во встречных пучках) на выпускаемых промышленностью фото-
пластинках или пленках, следует иметь в виду, что обычно на таких
фотоматериалах на непокрытой эмульсией стороне подложки
имеется противоореольный слой. Этот слой, окрашенный в черный
или красный цвет, наносится для того, чтобы уменьшить долю
света, отраженного от задней поверхности подложки, однако он
препятствует получению отражательных голограмм. Его можно
удалить в темноте подходящим растворителем, например спиртом.
2. Спектральная чувствительность и разрешение
В тех случаях, когда известно, на какой длине волны будет
регистрироваться голограмма, следует выбрать фотослой, обла-
дающий максимальной чувствительностью при этой длине волны.
На фиг. 10.6 приведены ориентировочные кривые спектральной
чувствительности для пяти типов фотослоев. Эти кривые основаны
Длина волны, А
ФИГ. 10.6. Кривые спектральной чувствительности
фотографических материалов.
на указываемом изготовителем критерии фотографической чувстви-
тельности, т. е. величине, обратно пропорциональной экспозиции,
и не связаны с дифракционной эффективностью или видностыо
интерференционной картины. На фиг. 10.6 экспозиция возрастает
в отрицательном направлении оси ординат. Эти кривые показыва-
318
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10-
ЮТ, что фотослои могут быть либо равномерно очувствлены ко все-
му видимому спектру (панхроматические слои), либо обладать
чувствительностью только в сине-зеленой части спектра (ортохро-
матические слои), либо характеризоваться селективной чувстви-
тельностью, соответствующей наиболее часто используемым лини-
ям излучения лазеров.
Величину максимальной пространственной частоты, которая
может быть записана на фотослое, часто называют его разрешающей
способностью. В табл. 10.2 приведены сведения о разрешающей
способности некоторых фотоматериалов по данным фирм-изгото-
вителей (на практике эффективная разрешающая способность
голографических фотослоев, как указано в § 3 этой главы, превос-
ходит приведенные в табл. 10.2 значения).
Как известно, в одном и том же фотографическом материале
не могут сочетаться высокая чувствительность и высокая разре-
шающая способность. Практически с ростом разрешающей способ-
ности светочувствительность быстро падает. Например, по данным
фирмы Истмен-Кодак, разрешающая способность фотоматериалов
103F и 649F, обладающих подобным ходом спектральной чувстви-
тельности, составляет соответственно 56—68 мм-1 и более чем
Таблица 10.2
Разрешающая способность галоидосеребряных фотоматериалов
для голографии по данным фирм-изготовителей
Разрешающая способность, мм-1 Фотоматериал Разрешающая способность, мм-1 Фотоматериал
1500 14С70, 10С75 3000 8Е56, 8Е70, 8Е75
2800 10Е56, 10Е70, 10Е75 свыше 2000 649F, 649GH, HRP
2000 мм-1, тогда как их светочувствительности относятся как
60 :0,005 [10.1]. Таким образом, возрастание разрешающей способ-
ности в 30 раз сопровождается уменьшением чувствительности
на четыре порядка. В обычной фотографии разрешающая способ-
ность 100 мм-1 более чем достаточна, в то время как для рядовых,
голографических экспериментов требуется разрешающая способ-
ность, составляющая несколько тысяч мм-1 (см. § 3 настоящей гла-
вы). Поэтому неудивительно, что чувствительность фотоматериа-
лов, используемых для голографии, на несколько порядков,
уступает чувствительности фотоматериалов для обычной фотогра-
фии. Несмотря на это, фотоматериалы обладают наибольшей чув-
ствительностью из всех регистрирующих материалов для голо-
графии.
§ 8
ГАЛОИДОСЕРЕБРЯНЫЕ ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СЛОИ
319
3. Экспозиционные характеристики
Ранее мы отмечали (гл. 2, § 6, п. 2; гл. 7, § 2, п. 2; § 7 настоящей
главы), что зависимость амплитудного пропускания t от экспози-
ции Е является важной, хотя и неполной характеристикой откли-
ка регистрирующих материалов для голографии. На фиг. 10.7
и 10.8 представлены подобные кривые для пластинок Кодак 649F
и Агфа-Геверт 10Е70. На форму этих кривых влияет процесс про-
явления (см. ниже). Для записи голограмм было использовано
ФИГ. 10.7. Кривая зависимости t от Е для пла-
стинок Кодак 649F.
излучение с длиной волны 6328 А. Однако форма кривых слабо
зависит от длины волны. Для перехода к другой длине волны сле-
дует лишь внести поправку на спектральную чувствительность
в соответствии с фиг. 10.6.
Как указывалось в § 7 этой главы, кривые зависимости ]/т]
от V для разных значений Ео более удобны и дают больше инфор-
мации об экспозиционных свойствах материала. Эти кривые при-
ведены для указанных выше фотоматериалов на фиг. 10.9 и 10.10.
Для получения этих данных использовались голограммы, которые
записывались с помощью плоских волн; каждая волна падала
на фотопластинку под углом 22,5° к нормали, а угол между направ-
лениями распространения волн был равен 45°; длина волны света
составляла 6328 А. Видно, что оптимальное значение экспозиции
Ео для пластинок 649F составляет около 70 мкДж/см2, а для пла-
стинок 10Е70 равно 2,5 мкДж/ см2. Эти данные хорошо согласуют-
ся со значениями, соответствующими центральным точкам пря-
320
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
ФИГ. 10.8, Кривая зависимости t от Е для пла-
стинок Агфа-Геверт 10Е70.
ФИГ. 10,9.
Кривые зависимости Д/i] от V для пла-
стинок Кодак 649F.
Данные получены по голограммам, образован-
ным двумя плоскими волнами, направленны-
ми под углом 22,5° к нормали к поверхности
пластинки и под углом 45° друг к другу;
длина волны 6328 А. Методика проявления
рассмотрена в § 8, п. 4.
§ 8.
галоидосеребряные фотографические слои
321
молинейных участков t — ^-кривых на фиг. 10.7 и 10.8. Таким
образом, t — ^-кривые применимы и к «не совсем плоским» голо-
граммам. Из фиг. 10.9 видно также, что максимальная дифракци-
онная эффективность близка к 4%. При V < 0,8 запись линейна.
Дифракционная эффективность голограммы диффузного предмета
ФИГ. 10.10. Кривые зависимости "И от V для пла-
стинок Агфа-Геверт 10Е70.
Данные получены при тех же условиях, что
и на фиг. 10.9.
при линейной записи должна быть несколько ниже 1 % (что соот-
ветствует V = 0,4). Сравнение данных для этих двух типов фото-
материалов показывает, что голографическая чувствительность
S = V^/VE0 [см. (10.17)] составляет для пластинок 10Е70 при-
близительно 7,3 м* 2 * * S * * В/Дж, а для 649F равна 0,26 м2/Дж, т. е. пластин-
ки первого типа чувствительнее примерно в 28 раз.
4. Химико-фотографическая обработка
Химико-фотографическая обработка голограмм почти не отли-
чается от обработки обычных фотоснимков с высоким разрешением.
В качестве примера приведем последовательность операций,
рекомендованную фирмой Истмен-Кодак для обработки фотома-
териалов для научных целей [10.1] и дающую удовлетворительные
21—0990
322 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ ГЛ. 10.
результаты для фотоматериалов как этой фирмы, так и фирмы
Агфа-Геверт:
1. Проявление 5 мин в проявителе Кодак D-19 при непрерыв-
ном перемешивании.
2. Промывка 0,5 мин в воде.
3. Фиксирование 5 мин в быстром фиксирующем растворе
фирмы Кодак, содержащем дубитель, при непрерывном переме-
шивании.
4. Промывка 0,5 мин в воде.
5. Удаление фиксирующего раствора путем обработки 1,5 мин
в осветляющем растворе фирмы Кодак.
6. Промывка 5 мин в проточной воде.
7. Удаление остатков сенсибилизатора путем промывки в тече-
ние 5 мин в метаноле.
8. Промывка 1 мин в воде.
9. Сушка.
Рекомендуемая температура проявляющего раствора 20° С.
Температура остальных растворов не столь критична, однако
желательно поддерживать ее также на уровне 20° С.
Процесс сушки обработанных фотослоев в голографии играет
более важную роль, чем в обычной фотографии. Как указывалось
в § 1, п. 2 настоящей главы, сокращение толщины эмульсионного
слоя при сушке на величину, примерно равную длине волны,
вызывает изменение фазы восстановленного волнового фронта
на 180°. Если голограмму можно считать тонкой или если фаза
восстановленного волнового фронта не имеет первостепенного
значения, можно использовать обычные методы сушки. Например,
можно сушить голограмму на воздухе после пропитки в течение
примерно 2 мин разбавленным раствором Кодак Фото-Фло х)
в течение 2 мин. Если голограмма используется в интерферомет-
рии, где фазовые искажения при восстановлении волнового фронта
должны быть сведены к минимуму, надо использовать специаль-
ную методику сушки. Такая методика, позволяющая добиться
большей однородности толщины эмульсионного слоя, состоит
в следующем. После удаления сенсибилизатора (операция 7)
мокрая голограмма пропитывается сначала денатурированным
спиртом в течение 1,5 мин при непрерывном перемешивании,
а затем изопропанолом СН3СНОСНСН3 также в течение 1,5 мин.
Затем голограмма вынимается из изопропаноловой ванны и избы-
ток изопропанола сдувается потоком сухого воздуха, чтобы избе-
жать испарения спирта и конденсации влаги из воздуха на поверх-
ности эмульсионного слоя.
При обычной обработке фотослоев происходит их усадка по
толщине примерно на 15%. Основной причиной этого является
х) Раствор поверхностно-активного вещества.— Прим, перев.
5 8. ГАЛОИДОСЕРЕБРЯНЫЕ ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СЛОИ 323
удаление неэкспонированного галогенида серебра из слоя в про-
цессе фиксирования. Усадка приводит к некоторым нежелательным
для голографии последствиям. Фаза восстановленного волнового
фронта, очевидно, отличается от фазы первоначального предметного
волнового фронта. К сожалению, это изменение фазы может быть
неоднородным по площади голограммы. Более серьезная проблема
заключается в нарушении брэгговского условия дифракции
2 sin 0 = А для восстановленной волны.
Расстояние d между изофазными плоскостями уменьшается
(если только эти плоскости не перпендикулярны поверхности
голограммы). Если мы имеем голограмму, образованную двумя
плоскими волнами (элементарную голограмму), которая характе-
ризуется единственным значением d, то изменение d до нового
значения d' можно скомпенсировать, меняя длину волны восста-
навливающего пучка в отношении d'Id. Можно также изменить
в отношении did' синус угла, под которым восстанавливающий
пучок падает на изофазные плоскости. В более общем случае,
когда в предметном пучке содержится набор пространственных
частот, голограмма будет характеризоваться совокупностью значе-
ний d. Компенсация усадки посредством изменения длины волны
восстанавливающего пучка или угла его падения на голограмму
может быть точной только для одной пространственно-частотной
компоненты. Нарушение условия Брэгга для остальных компонент
приведет к ослаблению их в восстановленной волне и к определен-
ному падению разрешения восстановленного изображения.
Если для восстановления волнового фронта с помощью отра-
жательной голограммы используется белый свет, то наиболее
заметным последствием усадки эмульсионного слоя является
цветовой сдвиг восстановленного изображения. При наблюдении
в направлении, соответствующем исходному направлению на пред-
мет, его цвет соответствует более коротковолновой части спектра.
(Новая длина волны определяется соотношением А' = hd'ld.)
Таким образом, изображение, восстановленное с голограммы,
Записанной в красном свете (длина волны 6328 А), может иметь
зеленый цвет (длина волны около 5300 А), что, конечно, является
серьезной проблемой в цветной голографии (см. гл. 17).
Если при обработке опустить стадию фиксирования, то усадка
уменьшается. Однако неотфиксированная голограмма неустойчива
(темнеет со временем) и создает сильный шум вследствие рас-
сеяния света на неудаленных микрокристаллах галогенида
серебра.
Можно добиться того, чтобы обработанный фотослой имел
исходную толщину, пропитывая его водным раствором триэтанол-
амина (СН2ОНСН2)3Н с последующей медленной, осторожной суш-
кой на воздухе [10.3]. На фиг. 10.11 показана зависимость относи-
21»
324
МАТЕРИАЛЫ.’ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ- 10.
тельной толщины эмульсионного слоя фотопластинок Кодак 649F,
проявленных до величины оптической плотности, равной 2, от
концентрации триэтаноламина. Значение концентрации, необходи-
ФИГ. 10.11. Зависимость отношения толщины про-
явленной эмульсии к ее первоначаль-
ной толщине от концентрации триэта-
ноламина.
По этой кривой можно определить концентра-
цию, необходимую для устранения усадки
обработанных фотоэмульсий Кодак 649F.
мое для точной компенсации усадки, немного зависит от опти-
ческой плотности и может быть определено опытным путем для
каждого полива эмульсии.
5. Отбеленные голограммы
Амплитудную голограмму, записанную на фотоматериале, мож-
но превратить в фазовую голограмму, обладающую более высокой
дифракционной эффективностью. Это осуществляется путем хими-
ческого отбеливания фотоэмульсии. Существуют два вида процес-
сов отбеливания. Первый процесс [10.4—10.6] приводит к превра-
щению пространственного распределения коэффициента поглоще-
ния в соответствующее распределение толщины отбеленного
эмульсионного слоя, т. е. создает так называемый пространствен-
§ 8. ГАЛОИДОСЕРЕБРЯНЫЕ ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СЛОИ 325
ный рельеф. Второй процесс [10.7—10.11] превращает простран-
ственное распределение коэффициента поглощения в соответ-
ствующее ему распределение показателя преломления эмульсион-
ного слоя. На практике в отбеленной голограмме оказываются
модулированными как толщина, так и показатель преломления
и, кроме того, сохраняется некоторое поглощение; ее максималь-
ная дифракционная эффективность не превосходит 70%.
Фазовую голограмму с модуляцией толщины эмульсионного
слоя получают путем отбеливания голограммы в отбеливающе-
дубящем растворе. В этом процессе удаляются зерна серебра,
образовавшиеся при проявлении. Желатин вблизи удаленных
серебряных зерен становится более задубленным (прочным) по
сравнению с желатином в других участках эмульсионного слоя.
(Задубливание является результатом возрастания числа пере-
крестных связей между молекулами желатина — сшивания, см.
§ 9, п. 1 настоящей главы.) После высушивания участок желатино-
вого слоя с повышенной степенью задубливания становится
толще других участков. Таким образом, в голограмме, зарегистри-
рованной на фотоматериале, проявленном и отбеленном в отбели-
вающе-дубящем растворе, интерференционная картина записана
как пространственная модуляция толщины желатинового слоя.
Пространственная частота интерференционной картины, соответ-
ствующая максимальной амплитуде модуляции толщины, обратно
пропорциональна средней толщине эмульсионного слоя [10.6]
и для пластинок Кодак 649F с толщиной эмульсии 15 мкм состав-
ляет около 10 мм-1. Вследствие этого трудно ожидать, что этот
процесс будет эффективен для пространственных частот, превы-
шающих несколько сотен мм-1. Однако эффект модуляции толщи-
ны, наблюдается вплоть до 1200 мм-1 [10.5].
Для получения фазовой голограммы с высоким разрешением
весьма эффективен процесс, в котором проявленное серебро
в эмульсионном слое амплитудной голограммы превращается
в прозрачное соединение серебра с большим, чем у желатина,
показателем преломления. Такая голограмма значительно сильнее
рассеивает свет, чем неотбеленная голограмма. В результате
уровень шума в восстановленном изображении значительно пре-
вышает его уровень в изображении, полученном с неотбеленной
голограммы или с отбеленной голограммы, имеющей чисто поверх-
ностный рельеф.
Несмотря на то что теоретический предел разрешения огра-
ничивается лишь размером исходных серебряных зерен, этот
процесс не очень пригоден для получения отражательных голо-
грамм (голограмм во встречных пучках). Наибольшая достигну-
тая эффективность отбеленных отражательных голограмм состав-
ляет всего 10% [10.12]. В дальнейшем мы ограничимся лишь из-
ложением вопросов, относящихся к пропускающим голограммам.
326
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
Отбеливающие растворы для превращения серебра в его про-
зрачное соединение обычно содержат один из следующих окислите-
лей: сулему HgCl2, хлорное железо FeCl3, красную кровяную соль
K3Fe(CN)6, бихромат аммония (NH^C^Oj или бромную медь
СпВг2. Окисление серебра Ag-> Ag+ происходит в процессе хими-
ческой реакции, при которой многовалентный ион металла восста-
навливается до низшего валентного состояния, а именно:
Hg2+-»Hg+, Fe3+->Fe2+, Cr6+->Cr3+, Cu2+->Cu+.
При этом возникают такие соли серебра, как AgCl, AgBr, AgHgCl2
или Ag4Fe(CN)6.
ФИГ. 10.12. Кривые зависимости ~|/т] от V для отбе-
ленных фотоэмульсий Кодак 649F.
Условия получения аналогичны указанным
в подписи к фиг. 10.9. Вместо проявителя
D-19 использовался проявитель Кодак D-76.
Отбеливающие растворы, содержащие красную кровяную соль,
принадлежат к числу лучших; с их помощью получаются устой-
чивые голограммы с высокой дифракционной эффективностью
и сравнительно малым уровнем шума [10.10]. Один из довольно
простых процессов отбеливания, мало отличающийся от описанно-
го выше процесса проявления, состоит из следующих операций:
1. Проявление 5 мин в проявителе Кодак D-76 при перемеши-
вании.
§ 8.
ГАЛОИДОСЕРЕБРЯНЫЕ ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СЛОИ
327
2. Промывка 0,5 мин в воде.
3. Фиксирование 5 мин в быстром фиксирующем растворе
фирмы Кодак.
4. Промывка 0,5 мин в воде.
5. Удаление фиксажа 1,5 мин в осветляющем растворе фирмы
Кодак.
6. Промывка 5 мин в проточной воде.
7. Удаление сенсибилизатора — купание в метаноле в течение
5 мин.
8. Промывка 1 мин в воде.
9. Отбеливание 3 мин в 5%-ном водном растворе K3Fe(CN)6.
10. Промывка 5 мин в проточной воде.
ФИГ. 10.13. Уменьшение шума в изображении, вое-
становлением отбеленной голограммой,
при использовании иммерсионной жид-
кости.
а — изображение, полученное без иммерсион-
ной жидкости; б — изображение, полученное
с той же голограммы при введении нескольких
капель ксилола между эмульсионным слоем
и покровным стеклом.
11. Обезвоживание сначала 1,5 мин в денатурированном спир-
те, затем 1,5 мин в изопропаноле.
12. Сушка путем сдувания избытка изопропанола струей сухо-
го воздуха.
Экспозиционные характеристики (кривые зависимости ]/т] от
V) отбеленной голограммы, полученной на пластинке Кодак 649F,
приведены на фиг. 10.12.
328
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
Сравнение фиг. 10.12 и 10.9 показывает, что после отбеливания
дифракционная эффективность возросла от 4 до 65 %. Одновремен-
но несколько уменьшилась длина прямолинейного участка кривой
зависимости ]Лт] от V, что указывает на сокращение диапазона
линейности записи. Оптимальная экспозиция составляет 1 мДж/см2
по сравнению с 70 мкДж/см2 для неотбеленной голограммы.
Из фиг. 10.12 видно, что переэкспонирование отбеленной голо-
граммы не приводит к существенному падению дифракционной
эффективности в противоположность сильному падению эффектив-
ности для неотбеленных голограмм. Голографическая чувствитель-
ность S отбеленной голограммы, определяемая по формуле (10.17),
составляет около 0,04 м2/Дж по сравнению с 0,26 м2/Дж для неот-
беленной голограммы, зарегистрированной на том же фотомате-
риале Кодак 649F.
ТПум при восстановлении с отбеленной голограммы обычно пре-
восходит шум неотбеленной голограммы. Замена проявителя D-19
проявителем Кодак D-76 позволяет существенно снизить этот
шум [10.10], хотя при использовании проявителя D-19 можно
получить большую голографическую чувствительность, равную
0,08 м2/Дж. Важным источником шума в отбеленных голограммах
является оптическая неоднородность поверхности эмульсионного
слоя, которая приводит к тому, что фаза о в (10.13) становится
зависящей от координат. Однако этот шум можно существенно
уменьшить, помещая голограмму в кювету с иммерсией или нанося
на ее поверхность пленку с необходимым показателем преломле-
ния. На фиг. 10.13, а приведен снимок восстановленного изобра-
жения, полученного с отбеленной голограммы, проявленной
в проявителе Кодак D-19. На фиг. 10.13, б приведен снимок
изображения, полученного с той же голограммы, поверхность
которой была смазана небольшим количеством ксилола и закрыта
покровным стеклом. Показатели преломления желатина, стекла
и ксилола составляют соответственно 1,53, 1,54 и 1,49.
§ 9. Слои хромированного желатина
Оптические свойства голограмм, зарегистрированных на слоях
хромированного желатина, близки к идеальным. Правильно запи-
санная и обработанная голограмма так мало рассеивает и погло-
щает свет, что при обычном дневном свете она почти неотличима
от чистой стеклянной пластинки. Дифракционная эффективность
объемных голограмм, записанных на слоях хромированного жела-
тина, может приближаться к теоретическому пределу — 100%.
На этом материале могут быть записаны как отражательные, так
и пропускающие голограммы, причем высокая дифракционная
эффективность сочетается с низким уровнем шума.
§ 9.
СЛОИ ХРОМИРОВАННОГО ЖЕЛАТИНА
329
1. Методика записи голограмм
С 30-х годов XIX века было известно, что ультрафиолетовое
излучение или синий свет может вызвать в присутствии малых
количеств бихромата образование перекрестных связей — сшива-
ние молекул желатина. Это сшивание известно также под назва-
нием дубления. Достаточно задубленный желатин не растворяется
в воде. Таким образом, когда желатиновый слой, содержащий
небольшое количество бихромата, облучается светом в течение
достаточно длительного времени, облученная часть слоя становит-
ся нерастворимой в воде, в то время как необлученная может быть
легко отмыта водой. Способность хромированного желатина вести
себя подобно современным фоторезистам в течение многих лет
использовалась в фотолитографии [10.13]. Разумеется, если осве-
щающее световое поле представляет собой голографическую интер-
ференционную картину, образованную двумя когерентными вол-
новыми фронтами, то записывается фазовая голограмма.
Существует ряд методов записи голограмм на слоях хромиро-
ванного желатина [10.14, 10.15], которые дают лучшие результаты
по сравнению с описанным выше. Ниже приводится описание
метода, с помощью которого можно получить весьма высококаче-
ственные голограммы, несмотря на то что некоторые из происхо-
дящих при этом химических реакций и физических процессов до
конца не ясны. Прежде всего кратко опишем сущность процесса
и механизма записи информации. Слой хромированного желатина
первоначально химически задубливается до такой степени, при
которой неэкспонированный слой не растворяется в воде. После
экспонирования голографической интерференционной картиной
голцграмма промывается водой, чтобы удалить непрореагиро-
вавший бихромат. Вслед за этим голограмма подвергается быстро-
му обезвоживанию в изопропаноловой ванне с целью завершения
процесса проявления. Таким образом, голограмма записывается
как на поверхности, так и в объеме слоя.
Так как перед проявлением желатиновый слой был предвари-
тельно задублен, в стадии промывки не происходит растворения
и удаления желатина. Вместо этого желатин поглощает значитель-
ное количество воды, что приводит к увеличению его объема
(разбуханию). Разбухание желатина, однако, происходит неодно-
родно. Обнаружено, что количество поглощенной воды и, следо-
вательно, разбухание уменьшается с ростом прочности желатино-
вого слоя. Желатин, подвергшийся экспонированию светом высо-
кой интенсивности, задубливается сильнее, чем желатин, полу-
чивший меньшее количество световой энергии. Поскольку рас-
пределение интенсивности света в экспонирующей интерференцион-
ной картине неоднородно, возникает соответствующее распределе-
ние разбухания желатинового слоя. Если при быстром обезвожи-
330
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
вании в изопропаноле вода удаляется из желатина со скоростью,
превышающей нормальную скорость усадки, то возникшее про-
странственно неоднородное увеличение объема может сохраниться.
Не представляет трудности связать это локализованное диф-
ференциальное расширение желатинового слоя с соответствующим
ему поверхностным рельефом и образованием поверхностной голо-
граммы. Однако весьма важной составной частью процесса записи
являются дифференциальные изменения плотности в объеме жела-
тинового слоя, ведущие к образованию объемной голограммы.
Физический механизм, ведущий к получению записи в объеме,
до конца не ясен. Не вызывает сомнения, что быстрое обезвожива-
ние и одновременная усадка желатина ведут к появлению сильных
внутренних локализованных напряжений. Эти напряжения
в свою очередь вызывают перераспределение желатина, на что
указывает появление трещин вдоль изофазных плоскостей интер-
ференции. В этом случае дифракция Брэгга может быть вызвана
рассеянием света на последовательности поверхностей раздела
желатин — воздух. С другой стороны, неоднородное распределе-
ние напряжений внутри желатинового слоя может вызвать обра-
зование внутренних пустот в слое, который становится похожим
на губку, причем эти пустоты развиваются преимущественно
в менее экспонированном, т. е. в более мягком желатине. Если
действует этот механизм, то причиной дифракции является изме-
нение эффективного показателя преломления внутри желатинового
•слоя. Когда размеры трещин или пустот становятся соизмеримыми
с расстоянием между интерференционными полосами, совершенство
записи нарушается и в восстановленном изображении появляется
шум. Поскольку этот эффект определяется прочностью желатиново-
го слоя, исходная степень задубленности является весьма важным
параметром при изготовлении слоя хромированного желатина.
2 Изготовление слоя
Слои хромированного желатина не выпускаются промышлен-
ностью. Ниже дается описание метода их изготовления, который
может быть применен в фотографической или голографической
лаборатории. Первый этап состоит в получении тонкого слоя чисто-
го желатина на стеклянной пластинке или другой подходящей
подложке. Этот желатиновый слой должен быть задублен в такой
мере, чтобы он не растворялся в воде комнатной температуры.
В литературе, посвященной фотографическим эмульсиям, описаны
многочисленные способы дубления желатиновых слоев [10.16].
Простой способ приготовления слоя задубленного хромированного
желатина состоит в следующем: 7%-ный (по весу) раствор желати-
на равномерно поливается на стеклянную пластинку; избыточному
раствору дают с нее стечь. Стеклянную пластинку не нужно
§ 9.
СЛОИ ХРОМИРОВАННОГО ЖЕЛАТИНА
331
покрывать подслоем или специально очищать — это может быть
просто отмытая от эмульсии фотопластинка. После высыхания
слоя он задубливается купанием в дубящем фиксаже, например
в быстром фиксирующем растворе фирмы Кодак, в течение 3—
5 мин. Затем следует промывка в воде. Полученный этим способом
слой желатина имеет толщину около 3 мкм и обладает очень
хорошей адгезией к стеклу. Меняя концентрацию раствора жела-
тина или многократно нанося слой, можно получать толщину
в пределах от менее чем 1 до 20 мкм. Если толщина намного пре-
вышает 20 мкм, то быстрое обезвоживание слоя в процессе прояв-
ления становится менее эффективным. В дальнейшем предпола-
гается, что слой хромированного желатина имеет толщину около
12 мкм, если не оговорено иное.
Другой удобный способ состоит в использовании желатиновых
слоев фотопластинок, выпускаемых промышленностью х). Для
получения чистого желатинового слоя галогенид серебра, содержа-
щийся в непроявленной фотопластинке, растворяют в фиксирую-
щем растворе, а пластинку промывают в воде и метаноле.
Сенсибилизация слоя производится путем купания в 5%-ном
водном растворе бихромата аммония в течение 5 мин при комнат-
ной температуре. Затем слой подвергают медленной сушке в тем-
ноте в течение 4—6 час, после чего он готов к употреблению.
Темновые реакции не оказывают влияния на свойства слоя при
хранении в течение нескольких дней при комнатной температуре
или нескольких месяцев в холодильнике при температуре 10° С.
3 Чувствительность и разрешающая способность
Точные сведения о спектральной чувствительности слоя задуб-
ленного хромированного желатина отсутствуют. Следует ожидать,
что его чувствительность близка к спектральной чувствительности
незадубленного желатинового слоя, используемого в качестве
фоторезиста. (Более подробные данные по этому вопросу содер-
жатся в книге [10.13].) Если это справедливо, то голографическая
чувствительность должна иметь максимум около 3550 А. и посте-
пенно спадать до нуля вблизи 5800 А. Отношение значений чув-
ствительности при 4880 и 5145 А (линии аргонового лазера)
близко к 5:1. При 6328 А (линия гелий-неонового лазера)
чувствительность равна нулю.
х) Для этой цели с успехом применялись пластинки 649F фирмы Кодак.
Пластинки ряда других типов дали худшие результаты. Критическим пара-
метром в данном случае является прочность желатинового слоя, которая
не задается при изготовлении пластинок.
332
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. К).
В некоторых пределах чувствительность слоев хромированного
желатина зависит от вида соли, используемой в качестве сенси-
билизатора. Бихромат аммония (NH4)2Cr2O7 дает более высокую
чувствительность, чем бихромат калия К2Сг2О7 или натрия
Na2Cr2O7. Использование пиридинбихромата Cr2O7H2 -C5H5N -11Н2(>
повышает чувствительность втрое, однако это соединение синте-
зируется с трудом, а слой теряет чувствительность через несколь-
ко часов. Поэтому мы будем рассматривать свойства слоев, сенси-
билизированных бихроматом аммония.
Голографическая чувствительность слоев хромированного жела-
тина зависит также от степени задубленности желатина. Для
достижения высокой чувствительности желатин не должен быть
слишком задублен. С другой стороны, при недостаточной задуб-
ленности при проявлении могут возникать значительные поры
или пустоты, что приводит к образованию «изморози» на голограм-
ме и увеличивает уровень шумов в восстановленном изображении.
Поэтому приходится искать компромисс между стремлением повы-
сить чувствительность и избежать образования «изморози». По-ви-
димому, верхнего предела разрешения в этом случае не существует,
так как слой не обладает зернистостью. В отличие от отбеленных
голограмм, полученных на галоидосеребряных фотоматериалах,
слои хромированного желатина позволяют получать как пропу-
скающие, так и отражательные голограммы с высокой дифрак-
ционной эффективностью.
4 Экспозиционные характеристики
При регистрации голограмм на слоях хромированного желати-
на предметный и опорный пучок могут падать на слой с одной;
и той же стороны (пропускающая голограмма) или с противополож-
ных сторон (отражательная голограмма). В последнем случае
голографическая чувствительность имеет несколько меньшую вели-
чину. Типичные экспозиционные характеристики слоя хромиро-
ванного желатина приведены на фиг. 10.14. Условия получения
этих кривых аналогичны условиям, при которых получены кривые
на фиг. 10.9 и 10.12, за исключением того, ч длина волны лазер-
ного излучения составляла 4880, а не 6328 А. Мы видим, что макси-
мальная дифракционная эффективность близка к 80% (при экс-
позиции ~ 20 мДж/см2); возможны и большие значения эффектив-
ности. Голографическая чувствительность S слоев хромированно-
го желатина, определенная по формуле (10.17), близка к 0,65 X
X 10-2 м2/Дж по сравнению с величиной 0,26 м2/Дж для фото-
пластинок Кодак 649F. Если считать допустимой легкую «измо-
розь», то можно добиться большей чувствительности. Из фиг. 10.14
также видно, что если требуется высокая дифракционная эффек-
тивность, то трудно одновременно добиться линейности записи.
§ 9.
СЛОИ ХРОМИРОВАННОГО ЖЕЛАТИНА
333
5, Обработка слоев
Наблюдавшаяся без проявления максимальная дифракционная
•эффективность голограмм (образованных в толстых слоях хроми-
рованного желатина толщиной до 0,5 мм) достигала 60%. Однако
при этом требующаяся для регистрации голограмм обычных пред-
метов величина экспозиции была бы недопустимо большой. Кроме
ФИГ. 10.14. Кривые зависимости ф/т] от V для слоя
хромированного желатина.
Условия получения аналогичны указанным
в подписи к фиг. 10.9, за исключением того,
что длина волны составляла 4880 А-
того, непроявленный желатиновый слой сохраняет свою свето-
чувствительность, поэтому воздействие восстанавливающего пучка
света и постороннего освещения неизбежно приводят к разруше-
нию голограммы и восстановление изображения становится невоз-
можным. Правда, в некоторых случаях, например при голографи-
ческой интерферометрии (см. гл. 15), эти недостатки можно считать
второстепенными по сравнению с преимуществом, заключающимся
в том, что экспонированный регистрирующий материал не нужно
подвергать обработке и он может оставаться на том же месте,
где находился во время записи.
334
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
Как правило, сенсибилизированный желатиновый слой должен
быть проэкспонирован лишь до предела, который можно опреде-
ФИГ. 10.15.
Фотографии изображений, восстанов-
ленных голограммами, зарегистрирован-
ными на слоях хромированного жела-
тина.
а и б — изображения, восстановленные про-
пускающими голограммами. Шум в изобра-
жении б вызван нелинейностью записи. Изо-
бражение в восстановлено отражательной
голограммой при освещении обычной 100-ватт-
ной лампой накаливания с вольфрамовой
нитью.
лить по фиг. 10.14, после чего слой следует обработать. Дифрак-
ционная эффективность такого экспонированного слоя до обра-
ботки составляет только доли процента, но после обработки резко
§ 10.
ФОТОПОЛУПРОВОДНИКОВО-ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИЕ СЛОИ
335
возрастает. Хорошие результаты дает обработка слоя хромиро-
ванного желатина, состоящая из следующих операций:
1. Промывка экспонированного слоя в проточной воде в тече-
ние 5 мин при температуре 20° С.
2. Купание в изопропаноле в течение 2 мин с перемешиванием.
3. Сушка в струе воздуха.
Однако поверхность обработанных таким способом голограмм
покрыта «изморозью», особенно если обработка проводится при
слишком высокой температуре или желатин слишком мягок.
Появление «изморози» можно предотвратить. Для этого до про-
мывки в воде и купания в изопропаноле голограмму обрабаты-
вают в 0,5%-ном растворе бихромата аммония в течение
5 мин и затем в быстром дубяще-фиксирующем растворе фирмы
Кодак или других восстанавливающих растворах (например, 2%-
ном растворе метабисульфита натрия Na2S2O5) в течение 5 мин.
Устранение «изморози» скорее всего вызвано восстановлением
шестивалентного хрома бихромата до трехвалентного в процессе
дальнейшего задубливания желатина. Эти режимы обработки не
очень критичны, а сама обработка может быть повторена до дости-
жения необходимых результатов. Если голограмма предназначена
для длительного хранения, ее следует защитить от воздействия
атмосферной влаги, наклеив покровное стекло на слой желатина.
Фотоснимки некоторых изображений, восстановленных с голо-
грамм, записанных на слоях хромированного желатина, приведены
на фиг. 10.15, а—в. На фиг. 10.15, а приведен снимок действитель-
ного изображения, содержащего примерно 104 точек, размер кото-
рых близок к дифракционному пределу разрешения (диаметр
10 мкм), изображение было получено с пропускающей голограммы
диаметром 1,25 мм. Дифракционная эффективность голограммы
близка к 15%. На фиг. 10.15, б на примере того же изображения
продемонстрировано влияние нелинейности записи, вызванной
использованием слишком слабого опорного пучка. Хотя дифрак-
ционная эффективность возрастает до 50%, восстановленное изоб-
ражение становится крайне неоднородным. На фиг. 10.15, в при-
веден снимок трехмерного предмета, восстановленного с отража-
тельной голограммы при освещении обычной 100-ваттной лампой
накаливания. Центральная плоскость изображения лежит
в плоскости голограммы.
§ 10. Фотополупроводниково-термопластические
слои
Голограмма может быть зарегистрирована на термопласти-
ческой пленке; процесс записи в этом случае основан на деформа-
ции поверхности такой пленки в соответствии с распределением
336
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
интенсивности света в голографической интерференционной карти-
не. Термопластические пленки обычно несветочувствительны, поэ-
тому их объединяют с фотополупроводниковой пленкой в единую
структуру, реагирующую на освещение. Благодаря некоторым
уникальным и весьма выгодным свойствам такая структура являет-
ся важным регистрирующим материалом. Комбинированная
пленка обладает высокой чувствительностью во всей видимой
области спектра и не требует длительной «мокрой» химической
обработки.
Голограммы, зарегистрированные на этом материале, харак-
теризуются не слишком высокой дифракционной эффективностью
и устойчивы при комнатной температуре. Они могут быть стерты,
так что возможна многократная запись. Кроме того, записанная
на них голограмма обладает свойствами практически идеальной
плоской фазовой голограммы, и брэгговская дифракция отсут-
ствует. Как показано в гл. 16, это свойство полезно при построе-
нии голографических устройств оптической памяти.
В то же время фотополупроводниковые термопластические
слои имеют некоторые существенные недостатки. Наиболее важ-
ным из них является ограниченность полосы передаваемых про-
странственных частот. Максимальная разрешающая способность
этого материала ненамного превышает 1000 мм-1. Кроме того,
высококачественные пленки изготовить нелегко (промышленно-
стью они не выпускаются), а процесс теплового проявления экспо-
нированного слоя критичен.
1. Методика записи и стирания голограмм
В зависимости от того, каким способом фотопроводник комби-
нируется с термопластическим веществом, возможны три следую-
щих типа структуры слоев:
1. Гомогенная: фотопроводник и термопластическое вещество
растворены друг в друге или сополимеризованы (или же сам тер-
мопластик обладает свойствами фотопроводника).
2. Гетерогенная: фотопроводник в виде очень тонкой суспензии
диспергирован в слое термопластика.
3. Многослойная: термопластик нанесен поверх фотопровод-
ника.
Хотя структуры и первого, и второго типа с успехом исполь-
зовались в электрофотографии [10.17, 10.18], многослойная струк-
тура оказалась наиболее удобной для голографии [10.19]. В даль-
нейшем мы ограничимся рассмотрением многослойной структуры,
представленной на фиг. 10.16. Роль подложки выполняет стеклян-
ная пластинка с нанесенным на нее тонким прозрачным проводя-
щим слоем, например слоем окиси олова. Поверх него нанесены
слои фотопроводника и термопластика.
§ 10.
ФОТОПОЛУПРОВОДНИКОВО-ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИЕ СЛОИ
337
Перед экспонированием материал в темноте подвергается очув-
ствлению путем создания однородного потенциала на поверх-
ности термопластика по отношению к прозрачному прово-
дящему слою (фиг. 10.16). Устройство, создающее коронный
разряд, состоящее из тонкой проволоки, находящейся под высо-
ким напряжением (6—10 кВ), и заземленного экрана, ионизирует
воздух вблизи поверхности термопластика. Положительные ионы
притягиваются к заземленному прозрачному проводящему слою
+ 10 нВ
Фотопроводнин-
Прозрачный)/"
проводнин" J
Стенло—
ФИГ. 10.16.
Структура фотопроводник — термопла-
стик.
Показано также устройство для создания
коронного разряда.
и осаждаются на поверхности термопластика, где они удерживают-
ся отрицательными зарядами, индуцированными на прозрачном
проводящем слое. Всю поверхность термопластика можно одно-
родно зарядить до потенциала, обычно равного нескольким сотням
вольт, передвигая коронный разряд вдоль поверхности с постоян-
ной скоростью на неизменной высоте.
Последовательность этапов в цикле «запись — стирание» при-
ведена на фиг. 10.17. Для простоты показаны только фотопрово-
дящий и термопластический слои, заземленный прозрачный про-
водящий слой и стеклянная подложка не изображены. На первом
этапе (первая зарядка) на поверхности термопластика описанным
выше способом создается однородный электростатический потен-
циал. На втором этапе (экспонирование) на регистрирующую
систему накладывается голографическая интерференционная кар-
тина, при этом происходит разрядка фотопроводника в соответ-
ствии с пространственным распределением интенсивности экспо-
нирующего света. В разряженных участках потенциал электронов
уменьшается на величину, соответствующую толщине фотопрово-
дящего слоя, и электроны осаждаются на нижней поверхности
термопластического слоя. Это приводит к падению потенциала,
22-0990
338
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10-
измеряемого на верхней поверхности освещенных участков термо-
пластического слоя. Однако электрическое поле в термопласти-
ческом слое, пропорциональное плотности поверхностного заряда,,
не изменяется. На третьем этапе (вторая зарядка) используется
та же методика, что и при первой зарядке; потенциал повсеместно
на поверхности термопластика возвращается к исходному значе-
нию, определяемому условиями коронного разряда. В тех участ-
ках, где экспонирование привело к разрядке фотопроводника,
Этап 1
+++++++++++++++
Первая зарядка
7//Ш//М/ШШМ7Лл-Ч ермопластик
_____________Фотопроводник
Этап 2
Энспонирование
Свет Свет
IIIII ши
+++++++++++++++
\///////////////////////\
Этап 3
Вторая зарядка

Этап 5
Стирание
Этап 4
Проявление

ФИГ. 10.17. Цикл «запись — стирание» термопласти-
ческой голограммы.
электрическое поле возрастает, образуя пространственно ме-
няющееся распределение поля при постоянном потенциале поверх-
ности. На четвертом этапе (проявление) на слой термопластика
кратковременно действуют теплом, повышая его температуру до
значения, близкого к точке размягчения или плавления (обычно
между 60 и 100° С). При этой температуре термопластик деформи-
руется под действием локальных электрических полей, причем
его толщина уменьшается в сильно экспонированных участках
(высокое значение поля) и возрастает в слабо экспонированных.
При быстром охлаждении до комнатной температуры эти деформа-
ции замораживаются, и голограмма таким образом фиксируется
в виде пространственного распределения толщины слоя термо-
$ 10. ФОТОПОЛУПРОВОДНИКОВО-ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИЕ СЛОИ 339
пластика. Полученная запись стабильна при комнатной температу-
ре. На последнем этапе (стирание) слой вновь нагревают до тем-
пературы, превышающей температуру стадии проявления (или
выдерживают при температуре проявления более длительное
время). При этой температуре силы поверхностного натяжения
размягченного или расплавленного слоя термопластика сглажи-
вают рельеф толщины и стирают ранее записанную голограмму.
Благодаря увеличению электропроводности как фотопроводника,
так и термопластика на этом этапе обычно происходит полная
нейтрализация электростатических зарядов.
2. Приготовление регистрирующего материала
Фотополупроводниковые термопластические пленки не произ-
водятся промышленностью, так что их приходится изготовлять
самим экспериментаторам. Для приготовления пленки надо взять
стеклянную пластинку, покрытую тонким слоем прозрачного про-
водника, например окиси олова (поверхностное сопротивление
примерно 1 Ом/см2). Этот проводник служит для заземления одной
стороны регистрирующего слоя. Он может быть использован также
в качестве омического нагревающего элемента для теплового
проявления голограммы. С этой целью поверх слоя окиси олова
с двух концов наносятся электроды, выдерживающие большие
токовые нагрузки. Удобны, например, серебряные электроды,
наносимые впеканием серебряной краски; они устойчивы к дей-
ствию обычно применяемых для чистки растворителей и допуска-
ют пайку с токоподводящими контактами.
Достаточно хорошим фотопроводником, легко наносимым тон-
ким слоем на стекло, является полимерное соединение поли-N-
винилкарбазол (ПВК), к которому добавляется малое количество
донорного вещества 2,4,7-тринитро-9-фторена (ТНФ) х) и сенсиби-
лизатора к красной зоне спектра — красителя бриллиантовый
зеленый. В качестве растворителя берут смесь из равных объемов
дихлорметана и пара-диоксана. Составляется следующий раствор:
ПВК - 20 г
ТНФ - 2 г
Краситель — 0,2 г
Растворитель — 300 мл
Погружая в этот раствор стеклянную пластинку и вытаскивая
ее со скоростью 7,5 см/мин, можно получить покрытие толщиной
около 2,5 мкм.
х) Это вещество, возможно, обладает канцерогенными свойствами, поэто-
му при его использовании следует избегать вдыхания паров или порошка.
22*
340
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
Из термопластиков наиболее подходит натуральная древесная
смола, растворяемая в чистом керосине в соотношении 75 г смолы
на 300 мл растворителя. Для получения слоя толщиной 1 мкм
скорость вытаскивания пластинки с предварительно нанесенным
и высушенным фотопроводящим слоем должна составлять
5 см/мин. Затем материал подвергается нагреву до 60° С в тече-
ние 1 ч.
3. Экспонирование, проявление и стирание
голограммы
После заземления проводящего прозрачного покрытия пленка
в темноте заряжается с помощью коронного разряда, как было
описано выше. Поскольку полупроводниково-термопластические
пленки используются для получения тонких фазовых голограмм,
как опорный, так и предметный пучки обычно освещают материал
с одной и той же стороны (любой). Может быть использован любой
лазер, дающий излучение в видимой области спектра; оптималь-
ная средняя экспозиция равна 100 мкДж/см2 при 6328 А. После
экспонирования и второй зарядки материал может дальше обра-
батываться на свету. Тепловое проявление производят различными
методами, например нагреванием потоком горячего воздуха,
радиационным нагревом с помощью электронагревателя или путем
пропускания тока через прозрачный проводящий слой (см. гл. 16,
§ 5). Последний способ наиболее удобен, если общая площадь
голограммы не превышает 100 см2. Он позволяет поднять темпера-
туру слоя до нужного значения очень быстро, за доли секунды.
Если длительность прохождения тока увеличить вдвое, то проис-
ходит стирание голограммы.
4. Предельное разрешение, гистерезис и возможность
повторной записи
Как указывалось выше, с помощью фотополупроводниково-
термопластической пленки может быть зарегистрирована лишь огра-
ниченная полоса пространственных частот. При пространственных
частотах, близких к нулю или нескольким тысячам мм-1, деформа-
ции поверхности и возникновения поверхностного рельефа не на-
блюдается. В зависимости от толщины пленки и в меньшей степени
от величины электростатического поля между поверхностями слоя
перед проявлением пиковое значение полосы передаваемых про-
странственных частот может изменяться от десятков мм-1 до зна-
чения, превышающего 1000 мм-1; ширина полосы частот обычно
составляет 50% от пиковой частоты. На фиг. 10.18 показана типич-
ная кривая зависимости квадратного корня из величины дифрак-
ционной эффективности от пространственной частоты интерфе-
§ 10.
ФОТОПОЛУПРОВОДНИКОВО-ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИЕ СЛОИ
341
ренционной картины. Можно считать, что эта кривая соответствует
когерентной передаточной функции голограммы, зарегистрирован-
ной на данном материале. С уменьшением толщины пленки пико-
вая пространственная частота возрастает. Однако для 1000 мм-1
толщина слоя составляет всего 1 мкм. Изготовить такую пленку
О 250 5ОО 750 1000 1250 1500 1750 2000
V мм-1
ФИГ. 10.18. Кривая, характеризующая передачу
пространственных частот термопласти-
ческой голограммой в ограниченной по-
лосе.
Голограмма образована плоскими волнами,
распространяющимися под равными углами
относительно нормали к поверхности голо-
граммы; г; — дифракционная эффективность,
0 — угол между пучками; v — пространст-
венная частота системы полос.
равномерной толщины очень трудно; кроме того, на нее сильно
влияют пыль и загрязнения поверхности подложки.
Как будет показано в гл. 16, фотополупроводниково-термо-
пластические пленки, допускающие стирание записи и повторное
использование, могут найти применение для создания устройства
оптической памяти с многократной записью и немедленным считы-
ванием. В применениях такого рода следует остерегаться явления
гистерезиса (памяти), т. е. возможности наложения изображений
с ранее записанных голограмм, которые мы считали полностью стер-
тыми, на изображение, восстановленное с последней голограммы.
Гистерезис может быть сильным, если нагрев при стирании недо-
статбчен. Однако при омическом нагреве его степень легко контро-
342
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
лируется, и гистерезис не представляет сложной проблемы.
Об этом свидетельствует фиг. 10.19, где приведены изображения,
восстановленные голограммой после 5, 105 и 106 циклов «запись —
стирание». Недостаточная экспозиция или нагревание при прояв-
ФИГ. 10.19. Фотоснимки изображений, восстанов-
ленных термопластической голограммой
после: 5 (а), 105 (б) и 106 (в) циклов
«запись — стирание».
лении могут привести к появлению «изморози» на голограмме
и соответственно к повышению шума в восстановленном изобра-
жении. С другой стороны, перегрев слоя может вызвать его порчу
и ограничить возможность повторного использования.
S и.
ФОТОХРОМНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
343
$ 11. Фотохромные материалы
Обратимое изменение цвета регистрирующего материала после
экспонирования называется фотохромизмом или фотохромией.
Фотохромные материалы темнеют после экспонирования ультра-
фиолетовым излучением или синим светом. Согласно простой
модели фотохромного кристалла, в нем существует два класса
примесных центров [10.20]. В исходном состоянии материал
поглощает только в коротковолновой части спектра, оставаясь
практически прозрачным для видимого света. Поглощение света
приводит к переходу электронов от одного класса примесных
центров в зону проводимости, после чего они могут быть захваче-
ны другим классом примесных центров. В этом втором состоя-
нии материал поглощает в видимой области и кажется окра-
шенным.
Возвращение к исходному состоянию осуществляется путем
естественной или искусственной тепловой релаксации или путем
оптического обесцвечивания. Последнее вызывается длинноволно-
вым облучением материала в полосе возникшего поглощения.
Электроны, захваченные примесными центрами второго класса,
возбуждаются и захватываются центрами первого класса, и мате-
риал возвращается в исходное состояние. Для записи голограмм
можно использовать как процесс потемнения, так и процесс
выцветания фотохромного материала.
При использовании для записи голограмм фотохромные мате-
риалы обладают многими ценными свойствами. Поскольку фото-
хромизм обусловлен фотохимическими реакциями, протекаю-
щими на молекулярном уровне, материал не обладает зер-
нистостью и разрешающая способность его более чем достаточна
для голографии. Энергия, необходимая для фотохимической реак-
ции, поставляется непосредственно светом, и для получения
голограммы не требуется никакого проявления. Голограмму,
записанную на фотохромном материале, можно стереть оптическим
или тепловым способом, и материал можно использовать для
повторной записи.
К сожалению, эти материалы обладают и многими недостатка-
ми. Их фоточувствительность по крайней мере на три порядка
уступает чувствительности галоидосеребряных фотографических
слоев. Фотохромный материал, на котором записана голограмма,
остается чувствительным к любому свету, длина волны которого
лежит в его полосе поглощения, независимо от того, каким образом
этот свет попадает на голограмму. Часто можно использовать для
восстановления свет с длиной волны, существенно отличающейся
от длины волны света, применявшегося при записи. Однако это
ведет к возникновению аберраций в восстановленном волновом
344
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
фронте. При хранении происходит стирание записи вследствие
тепловой релаксации (темновых реакций), хотя охлаждение голо-
граммы может очень эффективно замедлить это стирание. Возмож-
ность многократной записи на органических фотохромных материа-
лах ограничивается явлением усталости; их светочувствитель-
ность падает по мере возрастания количества циклов «запись —
стирание» вплоть до полной потери чувствительности.
Фотохромизмом обладают многие твердые вещества, как орга-
нические, так и неорганические, в растворах или в кристалличе-
ской форме. При достаточной мощности лазера на нужной длине
волны можно записать голограмму почти на любом фотохромном
материале. Дифракционная эффективность достигает нескольких
процентов. Голограммы записывались на органических пленках,
содержащих производные спиропирана [10.21] (способом потемне-
ния на длине волны 6328 А), в галоидосеребряных фотохромных
стеклах (либо способом потемнения на 4880 А [10.22], либо спо-
собом просветления на 6328 А [10.23]), в подвергнутых гидрогени-
зации кристаллах КВг (способом просветления на 6328 А (10.24]),
в кристаллах CaF2, легированных La или Се, или кристаллах
SrTiO3, легированных Fe + Мо или Ni + Мо (способом просветле-
ния на 6328 А [10.25]). Приблизительные значения времени тепло-
вой релаксации при комнатной температуре последних четырех
типов кристаллов (CaF2, SrTiO3) составляют соответственно 24 ч,
1 нед, 10 и 15 мин. Эксперименты, выполненные с фотохромными
кристаллами, в большинстве случаев направлены на изучение
потенциальной возможности использования объемных голограмм
для создания оптических запоминающих устройств большой
емкости, впервые предложенных Ван Хирденом (см. гл. 16).
§ 12. Сегнетоэлектрические кристаллы
Показатель преломления некоторых сегнетоэлектрических
кристаллов может незначительно изменяться (обычно на ~ 10~5)
после интенсивного светового облучения. Этот эффект, вызванный
действием света, экспериментаторы, работающие с электроопти-
ческими кристаллами, не без оснований назвали оптическим
повреждениемх). В определенной степени это явление сходно
с фотохромизмом; под воздействием тепла или света показатель
преломления возвращается к исходной величине. В табл. 10.3
перечислены кристаллы, на которых были записаны голограммы
[10.26—10.28]; здесь же приведены примерные значения времени
х) По аналогии с радиационными повреждениями в ядерной физике.—
Прим, перев.
§ 12-
СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ
345
Таблица 10.3
Приблизительные значения времени релаксации голограмм,
записанных на сегнетоэлектрических кристаллах
при комнатной температуре
Кристалл Время релаксации Кристалл Время релаксации
LiNbOg 2 недели BaTiOg 1 с
LiTaOg 2 недели Танталат-нпобат калия * 1 с
BaCaNaNbOg 10 мин Bi^TigOu 50 с
* При внешнем электрическом поле напряженностью 2 кВ/см.
релаксации при комнатной температуре. Наилучшие результаты
были получены для кристаллов ниобата лития LiNbO3.
Модель механизма записи голограмм в кристалле ниобата
лития [10.29] основана на предположении, что изменение показа-
теля преломления вызвано электрооптическим эффектом. Предпо-
ложим, что голографическая интерференционная картина пред-
ставляет собой систему плоскостей, ориентированных перпендику-
лярно направлению внутреннего электрического поля в кристалле.
(Это электрическое поле параллельно оси с кристалла.) В участках
максимальной интенсивности электроны под действием света пере-
ходят из ловушек в зону проводимости. Под действием внутренне-
го поля они смещаются на малое расстояние и, попадая в распо-
ложенный между максимумами участок с низкой освещенностью,
вновь захватываются ловушками. Это перераспределение зарядов
приводит к образованию локального электрического поля между
электронами, вновь захваченными ловушками, и оставленными
ими донорными центрами, которые теперь стали ионизованными.
Благодаря электрооптическому эффекту локальное электрическое
поле в свою очередь вызывает локальное изменение показателя
преломления. Для получения изменения порядка 2 -10“5 необходи-
мо поле около 1000 В/см.
Максимальная дифракционная эффективность зарегистриро-
ванной в LiNbOg голограммы, образованной интерференционными
плоскостями, примерно перпендикулярными оси с, составляет
42% [10.26]. В соответствии с этой моделью дифракционная эффек-
тивность голограмм, у которых интерференционные плоскости па-
раллельны оси, очень мала. Чувствительность зависит от направле-
ния поляризации света лазера; она различна для обыкновенного
и необыкновенного лучей. При записи голограмм кристаллы
этого типа обладают теми же преимуществами, что и фотохромные
материалы, включая высокую разрешающую способность при
346
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 10.
записи. Кроме того, после множества циклов «запись — стирание»
не наблюдается эффекта усталости. Поскольку полученные голо-
граммы являются фазовыми, их дифракционная эффективность
может быть на порядок выше, чем у голограмм на фотохромных
^материалах.
Эти кристаллы обладают и недостатками, присущими фотохром-
ным материалам. Проблемы, специфичные для записи нескольких
голограмм, рассмотрены в гл. 16, § 3, п. 4. Коренной проблемой
ФИГ. 10.20. Фотоснимки изображений, восстанов-
ленных голограммами, записанными
на кристалле ниобата лития.
в данном случае является нестабильность голограммы, которая
не фиксируется, в отличие от обычных фотослоев. Другая труд-
ность состоит в низкой величине голографической чувствительно-
сти S. Для кристаллаоЫМЬ03 толщиной 1 см, освещаемого светом
с длиной волны 4880 A, S « 0,3 -Ю-6 м2/Дж, что в 106 раз уступа-
ет чувствительности фотопластинок Кодак 649F. С возрастанием
длины волны чувствительность еще более падает. На фиг. 10.20
приведены фотоснимки изображений, восстановленных голограм-
мами, записанными на кристалле LiNbO3 (исходные объекты
представляли собой транспаранты).
ЛИТЕРАТУРА
10.1. Kodak Plates and Films for Пластинки и пленки фирмы
Science and Industry, Eastman Кодак для научных и про-
Kodak Со., Rochester, New мышленных целей.
York, 1967.
ЛИТЕРАТУРА
347
10.2. WYANT J. C., GIVENS M. P.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 58,
357 (1968).
Влияние фотографической
контрастности на яркость изо-
бражений, восстановленных
с голограмм.
10.3. LIN L. Н., LoBIAN-
СО С. V., Appl. Opt., 6, 1255
(1967).
Экспериментальная методика
получения голограмм, восста-
навливающих многоцветное
изображение при освещении
белым светом.
'10.4. ALTMAN J. Н., Appl. Opt.,
5, 1689 (1966).
Чисто рельефные изображе-
ния на пластинках типа 649 F.
10.5. RUSSO V., SOTTIni S., Appl.
Opt., 7, 202 (1968).
Отбеленные голограммы.
10.6. SMITH H. M., Journ. Opt.
Soc. Amer., 58, 533 (1968).
Фотографические рельефные
изображения.
10.7. CATHEY W. J., Jr., Journ.
Opt. Soc. Amer., 55 , 457 (1965).
Трехмерное восстановление
волнового фронта с использо-
ванием фазовых голограмм.
10.8. LATTA J. N., Appl. Opt., 7,
2409 (1968).
Отбеливание голографиче-
ских дифракционных решеток
с целью достижения макси-
мальной дифракционной эф-
фективности.
10.9. UP ATNIEKSJ., LEONARD С.,
Appl. Opt., 8, 85 (1969).
Дифракционная эффектив-
ность отбеленных фотографий
интерференционных картин.
10.10. BURCKHARDT С. В., DO-
HERTY Е. Т., Appl. Opt., 8,
2479 (1969).
Процесс отбеливания, позво-
ляющий получить голограммы
с высокой эффективностью и
низким уровнем шума.
10.11. PENNINGTON К. S., HAR-
PER J. S., Appl. Opt., 9,
1643 (1970).
Методика получения голо-
грамм с низким уровнем шума
и улучшенной эффективно-
стью.
10.12. KIEMLE Н., KREINER W.,
Phys. Lett., 28А, 425 (1968).
Фазовая голограмма Липп-
мана — Брэгга с высокой эф-
фективностью .
10.13. К OSAR J., Light-Sensitive
Systems, New York, 1965,
Ch. 2.
10.14. SHANKOFFT. A., Appl. Opt.,
7, 2101 (1968).
Фазовые голограммы на хро-
мированном желатине.
10.15. LIN L. H.,Appl. Opt., 8,963
(1969).
Получение голограмм на за-
дубленных пленках хромиро-
ванного желатина.
10.16. MEES С. Е. К., JAMES Т. Н.,
ed., The Theory of the Photo-
graphic Process, 3rd ed., New
York, 1966, Ch. 3. (Имеется
перевод: Ч. МИЗ, Т.
ДЖЕЙМС, Теория фотографи-
ческого процесса,М.—Л .,1973.)
10.17. KOPCZEWSKI R. F.,
COLE Н. S., Appl. Opt.
Suppl., 3, 156 (1969).
Фотопроводимость в гомоген-
ной фотопластической реги-
стрирующей пленке.
10.18, AFTERGUT S., BART-
FAI J. J., WAGNER В. С.,
Appl. Opt. Suppl., 3, 101
(1969).
Фотопластическая регистри-
рующая пленка, содержащая
CdS.
10.19. URBACH J. С.,MEIER R.W.,
Appl. Opt., 5, 666 (1966).
Термопластическая ксерогра-
фическая голография.
10.20. AMODEI J. J., BOSOM-
WORTH D. R., Appl. Opt., 8,
2473 (1969).
Запись голограмм и восста-
новление информации на кри-
сталлах титаната стронция.
10.21. МИКАЭЛЯН А. Л., АКСЕН-
ЧИКОВ А. П., БОБРИ-
НЕВ В. И., ГУЛАН-
ЯН Е. X., ШАТУН В. В.,
IEEE Journ. Quant. Electr.,
QE-4, 757 (1968).
Голограммы на фотохромных
пленках.
10.22. KIRK J. Р., Appl. Opt., 5
1684 (1966).
348
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
ГЛ- 10.
Голограмма на фотохромном
стекле.
10.23. BALDWIN W. J., Appl. Opt.,
6, 1428 (1967).
Определение информацион-
ной емкости фотохромного
стекла с помощью гологра-
фии.
10.24. KALMAN G., в книге Appli-
cation of Lasers to Photography
and Information Handling, ed.
R. D. Murray, New York, 1968.
Голография в толстых средах.
10.25. BOSOMWORTH D. R., GER-
RITSEN H. J., Appl. Opt., 7,
95 (1968).
Толстые голограммы в фото-
хромных материалах.
10.26. CHEN F. S., LaMACCHIA
J. T., FRASER D. B., Appl.
Phys. Lett., 13, 223 (1968).
Запись голограмм в ниобате
лития.
10.27. LaMACCHIA J. Т., Joint
IEEE-CUA Symp. Applicati-
ons of Ferroelectrics (Oct.,
1968), Abst.
Запись голограмм в сегнето-
электриках.
10.28. LIN L. H., Proc. IEEE, 57,
252 (1969).
Голографическое измерение
оптически индуцированных
неоднородностей показателя
преломления в титанате вис-
мута.
10.29. CHEN F. S., Journ. Appl.
Phys., 40, 3389 (1969).
Оптически индуцированное
изменение показателя прелом-
ления в ниобате и танталате
лития.
Глава 11
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
При получении голограммы с лазером непрерывного действия
предмет обычно закрепляют так, чтобы он не смог сдвинуться
больше, чем на долю длины световой волны. Такие высокие тре-
бования к стабильности (особенно при записи голограммы с высо-
кой пространственной частотой) не позволяют получать голо-
граммы живых или движущихся объектов. В гл. 7, § 5, мы уже
ФИГ. 11.1. Фотография мнимого изображения мухи
в полете [11.18].
Голограмма была получена с импульсным
рубиновым лазером с модулированной доброт-
ностью при длительности импульса 100 нс.
отмечали, что все проблемы, связанные с механической нестабиль-
ностью установки и возмущениями окружающей среды, можно
разрешить, уменьшая время экспозиции. В этом параграфе мы
рассмотрим импульсные лазерные источники, выходная энергия
350
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
которых достаточно велика, чтобы проэкспонировать пластинку
за время порядка десятков наносекунд. При соответствующей
технике эксперимента и необходимых предосторожностях с по-
мощью импульсных лазеров можно получать голограммы летящих
пуль, струй жидкости, аэрозольных частиц, насекомых в полете
(фиг. 11.1), людей, т. е. объектов, которые невозможно заре-
гистрировать с лазером непрерывного действия. Для восстановле-
ния предметной волны используется обычно гелий-неоновый лазер,
непрерывного действия.
С 1965 г. при получении голограмм Фраунгофера [11.1] и голо-
грамм Френеля с наклонным опорным пучком [11.2] стало приме-
няться освещение объектов когерентным светом импульсных руби-
новых лазеров на просвет, как, например, на фиг. 11.1. Брукс
и др. [11.2] с большим успехом применили методы импульсной
голографии к интерферометрии быстропротекающих процессов
(фиг. 11.2) (см. гл. 15, § 2). Однако только совсем недавно голо-
граммы освещенных спереди объектов (т. е. отражающих трехмер-
ных объектов), полученные с импульсными лазерами, по своему
качеству стали сравнимыми с голограммами, полученными с лазе-
рами непрерывного действия. Основная проблема заключалась
в малой длине когерентности излучения импульсных лазеров
достаточно высокой мощности. Однако благодаря совместным
усилиям специалистов были разработаны одночастотные лазеры
с модулированной добротностью и с энергией импульсов, дости-
гающей нескольких джоулей, а также созданы фотоэмульсии,
обладающие высокой чувствительностью к излучению рубиновых
лазеров. В результате стало возможным получение голограмм,
не уступающих по качеству голограммам, зарегистрированным
с лазерами непрерывного действия. Более того, стали ненужными
массивные столы и зажимы, столь необходимые при работе с лазе-
рами непрерывного действия. Таким образом, голографирование
с помощью импульсных лазеров приближается в некоторых отно-
шениях к моментальному фотографированию. Однако в настоящее
время в распоряжении экспериментаторов имеется излучение
только красного цвета (от рубиновых лазеров) х), так что получе-
ние многоцветных голографических изображений пока невоз-
можно. Впрочем, этот недостаток является второстепенным по
сравнению с высокой стоимостью установок с импульсными
лазерами.
х) В последнее время для импульсного голографирования все шире
используется вторая гармоника излучения рубинового лазера (X 3472]’А),
вторая гармоника излучения неодимового лазера (X 5300 А), а также вынуж-
денное комбинационное рассеяние и жидкостные лазеры.— Прим. ред.
§ 1.
МНОГОМОДОВЫЙ РУБИНОВЫЙ ЛАЗЕР
351
ФИГ. 11.2.
Фотография голографического изобра-
жения небольшой автомобильной свечи,
воспламеняющей ацетилено-кислород-
ную смесь во время одной из двух
экспозиций.
352
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ- 11.
$ 1. Многомодовый рубиновый лазер
В оптической голографии пока что широкое применение нашел
только один импульсный лазер, а именно рубиновый лазер, излу-
чающий красный свет с длиной волны 6943 А. Пока еще будущему
принадлежит использование в голографии лазеров на алюмо-
пттриевом гранате (АИГ) и лазеров на стекле, мощное инфракрас-
ное излучение которых может быть преобразовано с помощью нели-
нейного элемента (удвоителя частоты) в зеленый свет высокой
интенсивности. Мы ограничимся здесь рассмотрением лишь тех
свойств рубиновых лазеров [11.3], которые имеют отношение
к голографии.
Генерация в лазере возникает благодаря возбуждению ионов
Сг3+, входящих в состав розового рубина (А12О3 с 0,05 вес. %
Сг2О3). Обычно рубин вырезают в виде цилиндрического стержня;
типичные размеры такого стержня— 5 мм в диаметре и 4 см в длину.
Торцы стержня шлифуются до параллельности. На торцы нано-
сится серебряное или диэлектрическое покрытие, так чтобы один
был полностью, а другой — частично отражающим. При опти-
ческой накачке стержня импульсными ксеноновыми лампами излу-
чается импульс линейно поляризованного красного света с энер-
гией порядка 1 Дж и длительностью около 0,25 мс. Направление
поляризации света перпендикулярно плоскости, в которой лежат
ось стержня и ось с кристалла.
Как мы увидим, длительность импульса такого рубинового
лазера, равная 0,25 мс, оказывается слишком большой для полу-
чения голограмм целого ряда объектов. С помощью устройства,
называемого модулятором добротности, длительность импульса
может быть сокращена до десятков наносекунд. Модулятор доброт-
ности представляет собой быстродействующий оптический затвор,
помещенный внутрь лазерного резонатора. Для осуществления
модуляции на один конец рубинового стержня наносят просвет-
ляющее покрытие или срезают этот конец под углом Брюстера,
а внешнее зеркало помещают после стержня и затвора. Затвор
остается закрытым и препятствует генерации лазера в течение
всей оптической накачки, за время которой большое число ионов
Сг3+ в рубиновом стержне переходит на возбужденный уровень.
В момент открытия затвора лазер дает короткую вспышку огром-
ной мощности.
Хотя рубиновые стержни по своим оптическим свойствам зна-
чительно превосходят многие другие оптические прозрачные среды,
они все еще уступают по однородности газу или плазме гелий-нео-
нового и аргонового лазеров. Из-за высокого коэффициента усиле-
ния рубинового лазера неустранимые остаточные напряжения
и неоднородности вызывают одновременную генерацию большого
§ 2, ОДНОЧАСТОТНЫЙ РУБИНОВЫЙ ЛАЗЕР 353
числа поперечных мод по всему сечению стержня. Поскольку
частоты генерации поперечных мод не связаны между собой, то
пространственная когерентность излучаемого света очень низка.
Временная когерентность и длина когерентности излучения
лазера сильно зависят от числа продольных мод, которые могут
генерироваться одновременно (см. гл. 7, § 1, п. 3). Частотный
интервал, разделяющий две соседние продольные моды, опреде-
ляется формулой (7.13):
A/ = /n+1-/n=-J- ,
где с — скорость света в воздухе, а I — полная оптическая длина
пути в рубине и воздухе между зеркалами резонатора лазера.
Типичное значение длины I = 20 см, так что А/ = 0,75-109 Гц.
При комнатной температуре полная ширина АД, линии флуорес-
ценции рубина с длиной волны 6943 А. составляет 420-109 Гц.
Полагая, что на всех модах, частоты которых /п = пс/21 лежат
внутри интервала АД, коэффициент усиления достаточен для
поддержания генерации, определим количество генерируемых
мод: АД/А/ = 560, Следовательно, длина когерентности лазера
не может быть много больше длины когерентности линии флуо-
ресценции, Пусть линия флуоресценции имеет лоренцеву форму
и ширину АД = 420-109 Гц. Тогда, согласно (7.12), длина коге-
рентности линии флуоресценции равна ALH = ОДД/АД « 80 мкм.
Из-за такой малой длины когерентности многомодовый лазер не
может быть использован в обычных схемах регистрации голограмм.
Даже при получении голограмм прозрачных объектов, освещенных
на просвет, оптические длины опорного и предметного пучков
должны быть очень точно уравнены для всех точек голограммы.
§ 2. Одночастотный рубиновый лазер
Как и в гл. 7, § 1, п. 3, будем называть рубиновый лазер, гене-
рирующий одну поперечную и одну продольную моду, одночастот-
ным. Одночастотный лазер обладает наивысшей возможной вре-
менной и пространственной когерентностью, но его выходная
мощность в импульсе значительно меньше, чем у многомодового
лазера. Однако выходную энергию одночастотного импульсного
рубинового лазера можно увеличить с помощью рубиновых усили-
телей и достичь при этом даже большей энергии, чем в режиме
многомодовой генерации. Усиленное излучение имеет практически
ту же степень пространственной и временной когерентности, что
и излучение одно частотного генератора.
Существуют различные типы конструкций одпочастотных лазе-
ров [11.4—11.7]. Простой применяемый на практике вариант
23—0990
354
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
лазера изображен на фиг. 11.3. (Лампы накачки и система охлаж-
дения ламп и лазера па схеме не показаны.) Рубиновые стержни,
применяющиеся в таких лазерах, должны быть очень высокого
оптического качества, а их полированные торцы должны быть
оптически плоскими. При проверке стержня в интерферометре
на его торце должно наблюдаться не более двух полос. Обычно
на торцы стержня, а также на поверхность других элементов
внутри резонатора наносят просветляющее покрытие. Часто быва-
ет необходимым поместить внутрь резонатора диафрагму (обычно
около 2 мм в диаметре), чтобы получить лазерный пучок от наибо-
лее однородной части рубинового стержня и таким образом осу-
ществить селекцию поперечных мод. Селекция продольных мод
Диафрагма
внутри резонатора
Модулятор добротности
на насыщающемся
красителе
Оптически накачиваемый
рубиновый стержень
Пряностью
отражающее зеркало
Выход
Ч астично 'отражающее
зернало или эталон
ФИГ. 11.3. Расположение элементов одночастотного
рубинового лазера,
достигается с помощью пассивного затвора, служащего для моду-
ляции добротности [11.8]. Кроме того, можно поместить внутрь
резонатора эталон (см. гл. 7, § 1, п. 4). В качестве затвора исполь-
зуется жидкостная ячейка, содержащая насыщающийся краситель,
например раствор криптоцианина в метаноле. Ее роль заключается
в следующем: пока рубин подвергается оптической накачке,
в результате которой создается инверсная заселенность уровней
ионов Сг3+, краситель поглощает излучение, испускаемое при
этом рубином, и препятствует возникновению генерации. Это
поглощение нелинейно зависит от интенсивности света. При доста-
точно высокой интенсивности излучения рубина энергетические
уровни красителя, участвующие в поглощении, обедняются
и в результате краситель, как принято говорить, просветляется.
Теперь он становится прозрачным для излучения рубинового
стержня, и лазер генерирует короткий импульс. До начала генера-
ции световые волны, соответствующие различным модам резонато-
ра, многократно проходят через поглощающий краситель. При
§ 3.
ДЛИНА КОГЕРЕНТНОСТИ ОДНОЧАСТОТНОГО ЛАЗЕРА
355
этом из-за нелинейности поглощения красителя потери для одних
продольных или поперечных мод возрастают сильнее, чем для
других. Уровень накачки можно выбрать так, чтобы усиление
превышало пороговое значение только для одной моды. Тогда вся
запасенная в рубине энергия высветится на одной частоте.
Форма выходного импульса одночастотного рубинового лазера
(изменение интенсивности во времени) примерно соответствует
гауссовой кривой. Если лазер генерирует поперечную моду самого
низкого порядка, ТЕМ00, то кривая зависимости интенсивности
от радиуса пучка тоже близка к гауссовой. Зависимость интен-
сивности х) от радиуса г и времени t можно представить в виде
(«Л)
где
ОО оо
Я= j j I (г, t) 2лгdr dt
О —oo
— полная энергия в импульсе; w — полуширина пучка, a Ai —
половина длительности импульса. При значении радиуса
г = w интенсивность в е2 раз меньше ее максимальной величины
при г = 0. Аналогично при t = \t интенсивность импульса в е2
раз меньше, чем при t = 0. Приведем типичные эксперименталь-
ные значения этих величин: Н = 25 мДж, w = 0,5 мм и Ait =
= 15-10-9 с = 15 нс.
В идеальном случае частота излучения одночастотного лазера
должна оставаться постоянной в течение всего импульса. При
этом пространственная когерентность была бы почти абсолютной,
а временная определялась бы только длительностью импульса.
На практике было обнаружено, что во время импульса частота
может существенно изменяться [11.9, 11.10]. Как мы увидим
в следующем параграфе, это приводит к уменьшению временной
когерентности. Кроме того, изменение частоты может происходить
неравномерно по сечению пучка, а это в свою очередь вызывает
ухудшение пространственной когерентности 2).
§ 3. Длина когерентности одночастотного лазера
В гл. 7, § 1, п. 3, мы видели, что длина когерентности для
одночастотного лазера непрерывного действия практически неогра-
ниченна. Теперь покажем, что длина когерентности для обычного
В этой главе под интенсивностью везде понимается величина све-
тового потока, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения,
обозначенная в гл. 1, § 3, через 1Р.
2) L. D. SIEBERT, частное сообщение, 1970 г.
23*
356
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
одночастотного импульсного лазера составляет всего лишь око-
ло 1 м. Для большинства применений такая величина оказывается
вполне достаточной.
Чтобы определить длину когерентности излучения источника,
необходимо вычислить комплексную степень временной когерент-
ности (т), определяемую формулой (7.5):
v (t-j-т) v* (t) dt
Нт (Т) = , (11.2)
( v (t) v* (t) dt
— ОО
где v (it) и v (t + т) — комплексные амплитуды напряженности
электрического поля световых волн, излучаемых одним источни-
ком, но приходящих в точку Р разными путями, ат — временной
интервал, соответствующий разности хода. Чтобы вычислить
интегралы в (11.2), необходимо выразить v через величины, харак-
теризующие одночастотный импульсный лазер и учитывающие
наблюдаемое изменение (модуляцию) частоты его излучения. Если
длительность импульса и период частотной модуляции велики
по сравнению с периодом световых колебаний, то амплитуда элек-
трического поля пропорциональна квадратному корню из интен-
сивности. Тогда, извлекая квадратный корень из Ip(r, t) [см. (11.1)],
можно записать
v = aexp[—^5-]exp[i(p(O], ( Н.З)
где а не зависит от времени t (но может зависеть от координат
точки Р), а <р (<) — фаза, соответствующая модуляции частоты
/ (it). Мгновенное значение частоты лазера / (it) определяется как
откуда можно найти <р (it):
<р (it) = j 2л/ (it) dt. (11.4)
Допустим, что в первом приближении частота изменяется во вре-
мени линейно, как показано на фиг. 11.4, т. е.
/(0 = /о+(^)^, (И.5)
где /0 — средняя частота (в максимуме импульса), а А/ — откло-
нение частоты от средней за половину длительности импульса At.
Тогда (11.4) можно записать в виде
Ф (О = У 2л ^/о+ (-др) tj dt = фо + 2n/ot -|- л (11.6)
§ 3. ДЛИНА КОГЕРЕНТНОСТИ ОДНОЧАСТОТНОГО ЛАЗЕРА 357
где фо — постоянная интегрирования. Теперь с учетом (11.3)
и (11.6) можно выполнить интегрирование в (11.2). После ряда
ФИГ. 11.4. Изменение амплитуды и частоты импуль-
са во времени.
довольно длинных преобразований получаем выражение для
степени временной когерентности
|0Нт)| = вхр . (41.7)
Используя определение длины когерентности, данное в гл. 7,
§ 1, п. 2, а именно
ALH = стн,
где с — скорость света, а тн — временной интервал, соответ-
ствующий разности хода, при которой | ц (тн) | = 1/1Л2, получа-
ем длину когерентности для одночастотного импульсного лазера
\LH = ]/ЙГ2--------—------п-. (11.8)
Г [1 + (лД/Д02]/2 ’
358
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
При А/ = 0 длина когерентности ограничивается только длитель-
ностью импульса. Выбирая для Ai типичное значение Ai —
= 15-10~9 с, получаем, что в отсутствие частотной модуляции
А£н = 3,7 м. Из-за частотной модуляции эта величина снижается
в [1 + (лА/А<)2]1/2 раз. Наблюдаемые значения А/ для рубиновых
лазеров с модулированной добротностью составляют около
50-106 Гц [11.10]; при этом А£н = 0,39 X 3,7 = 1,4 м. Найденная
величина А£н очень хорошо согласуется с полученной экспери-
ментально [11.11].
§ 4. Рубиновый усилитель
Рубиновые стержни можно использовать в качестве оптических
усилителей, с помощью которых выходная энергия импульса
одночастотного импульсного лазера повышается до уровня, полу-
чаемого в многомодовом рубиновом лазере. При усилении практи-
чески полностью сохраняется пространственная и временная
ФИГ. 11.5.
Расположение элементов импульсного
рубинового усилителя.
когерентность исходного излучения. Оптическое усиление более
целесообразно использовать для излучения рубиновых, а не газо-
вых лазеров. В то время как усиление в газовой активной среде
достигает лишь нескольких процентов на метр (имеется в виду
среда лазера, излучающего видимый свет), в рубине можно полу-
чить усиление до 1,1 дБ/см [11.12].
На фиг. 11.5 показана применяемая на практике схема усиле-
ния с оптической накачкой рубинового стержня [11.7, 11.11].
Рубиновый стержень здесь может быть худшего качества, чем это
требуется для одночастотных генераторов, и поэтому размеры
стержня могут быть достаточно большими, чтобы световой пучок
проходил через него несколько раз, как показано на фиг. 11.5.
Для достижения максимального усиления стержни генератора
§ 4.
РУБИНОВЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
359
и усилителя должны располагаться так, чтобы с-оси кристаллов
были компланарны. При большом усилении нужно принять меры
для предотвращения самовозбуждения, которое может привести
к повреждению стержней и зеркал. Очевидно, что для этого на оба
торца стержня усилителя необходимо нанести высококачественное
просветляющее покрытие. Однако даже незначительное отражен-
ное излучение не должно попадать на выходное зеркало генерато-
ра. Оптически усилитель изолируется от генератора с помощью
простого пространственного фильтра, представляющего собой сап-
фировую диафрагму, помещенную в фокальную точку, общую для
двух линз на фиг. 11.5. Входящий свет проходит через диафрагму,
а отраженный, распространяющийся под небольшим углом к оси,
задерживается ею. Чтобы сфокусированный свет не повредил
диафрагму, а также чтобы не возникло светового пробоя в воздухе,
необходимо правильно выбрать фокусные расстояния линз. Кроме
того, желательно, чтобы расстояние между диафрагмой и второй
линзой было несколько меньше фокусного расстояния. Тогда
пучок становится расходящимся, и плотность энергии излучения
остается ниже насыщения или тем более порога разрушения
рубинового стержня. Если диаметр входящего пучка составляет
1 мм, то для выходящего пучка он будет приблизительно равен
6—7 мм. Типичное значение фокусного расстояния линзы составля-
ет 3,3 см; размер диафрагмы приблизительно 30 мкм. На выходе
усилителя можно получить импульс с энергией до 10 Дж, но при
этом очень велик риск повредить стержень или другие оптические
элементы. Для обычной голографии оказывается вполне достаточ-
ным умеренный и безопасный уровень энергии в 1—3 Дж.
Из-за неоднородностей в стержнях большого диаметра, при-
меняемых в рубиновых усилителях, радиальное распределение
интенсивности выходного пучка может сильно отличаться от
гауссова распределения, характерного для моды ТЕМ00. Эти отли-
чия несущественны, если пучок используется для освещения
диффузно рассеивающих предметов, однако их нельзя не прини-
мать во внимание при использовании такого пучка в качестве
опорного. Поскольку энергия, необходимая для формирования
опорного пучка, значительно меньше энергии, нужной для осве-
щения предмета, то относительно однородный опорный пучок
можно получить, отводя часть излучения, поступающего на вход
усилителя. При этом все излучение на выходе усилителя исполь-
зуется для освещения предмета. Однако при использовании такого
метода наблюдается странное на первый взгляд явление, а именно:
видность интерференционной картины, образованной опорным
и предметным пучками, достигает максимума не тогда, когда опти-
ческие длины их путей равны, а когда они отличаются на конеч-
ную величину [11.11]. Экспериментатор, не знакомый с этим явле-
нием и привыкший сводить к минимуму разность хода пучков,
360
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
может прийти к выводу, что голограммы, полученные с импульсны-
ми лазерами, обладают меныпей эффективностью, чем полученные
с лазерами непрерывного действия. Как будет показано ниже,
описанный эффект можно объяснить небольшим сдвигом частоты
лазера, возникающим при прохождении света через усилитель
[11.11].
Рассмотрим схему, изображенную на фиг. 11.6. Выходящий из
усилителя пучок и часть входящего проходят до точки Р разные
пути: АВР и АР соответственно. Положим, что время прохожде-
ния путей АВР и АР различается на т и что средняя частота света,
меннбй когерентности излучения на вхо-
де и выходе рубинового усилителя.
прошедшего через усилитель по пути АВР, изменилась и вместо /о
стала равной (1 + 6) /0. Вычислим комплексную степень взаимной
временной когерентности, соответствующую нашей схеме. По
аналогии с (7.1) представим ее в виде
j v( (t + т) vf (t) dt
Рт (?) = —---------------------------------. (И.9)
[$ V1 (0vl (0 dt j v2 (0 v2 (0 di]1/2
— oo —oo
Здесь комплексная амплитуда электрического поля в точке Р
для света, прошедшего по пути АР, равна
у1(^-|-т) = а1ехр [ — (-^р)2] ехр [i<pt (? + ?)], (11.10)
где
Ф1 G + ?) — фо + 2л/0 (i —)— т) + л -ду (t -|-т)2, (11.11)
РУБИНОВЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
361
а комплексная амплитуда поля в точке Р для света, прошедшего
по пути АВР, равна
v2(£) = a2exp — (-^-)2]ехр [i<p2 (01» (11.12)
где
Фг (0 = фо + 2л (1 +6) /0£ —}-от t2 (11.13)
После довольно трудоемких вычислений получаем
I Цт (т) | = ехр [(? (г)], (11.14)
где Q (г) — квадратичная функция г:
<2 (Т) = - (-J-)21+(уО2 + Л2А/Д^обт_(Д£)2 ^2. (1!. 15)
\ СлЪ /и &
При 6 = 0 выражение (11.14) сводится к (11.7), как и должно
быть. Однако в отличие от значения | (г) |, определяемого
формулой (11.7), здесь | р,т (г) | достигает максимального значе-
ния не при т = 0, а при т = тт. Чтобы найти тт, положим
откуда получаем
dQ (т) I =Oj
dx |т=тт
л2Д/ (Д03 f08
Хт~ 1 + (лД/Д4)2 •
(11.16)
Следовательно, видность интерференционных полос вблизи точки
Pi максимальна, если световой импульс, проходящий через уси-
литель, отстает на время гт от импульса, идущего по пути АР.
[Видность связана с величиной | (т) | соотношением (7.31).]
Другими словами, оптическая длина пути АВР должна быть боль-
ше длины пути ЯР на величину
АГт = схт,
или
.Т
1 + (зхД/Д^2 •
(11.17)
Полагая, как и прежде, А/ = 5 -107 Гц и At = 15-10 9 с (наблю-
даемые значения), находим
= 7,6-10~2 м/МГц.
too
Отсюда видно, что сдвиг 6/0 по частоте всего лишь на 15 МГц
дает заметную величину ALm « 1,2 м [11.11].
362
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
§ 5. Защита оптических элементов
Пиковая интенсивность света, испущенного рубиновым лазе-
ром с модулированной добротностью, достаточно велика, чтобы
повредить некоторые оптические элементы, использующиеся в схе-
ме. Чтобы этого не произошло, необходимо принять соответствую-
щие меры. Стремясь получить слишком мощное излучение, можно
вывести из строя и сам рубиновый лазер. Предполагаемый срок
службы рубинового стержня, используемого в многомодовом лазе-
ре с выходной интенсивностью х) 2 -108 Вт/см2, составляет прибли-
зительно 1000 импульсов и резко падает до одного импульса для
лазеров с интенсивностью излучения 4-109 Вт/см2 [11.13]. Распо-
ложенные в резонаторе лазера зеркала с многослойным диэлектри-
ческим покрытием выдерживают от 1 до 5 импульсов многомодово-
го излучения интенсивностью 4 .108 Вт/см2. Если же эти зеркала
погружены в нитробензол, то они выдерживают до 50 таких импуль-
сов [11.14]. При многомодовой генерации различные поперечные
моды образуют в поперечном сечении пучка пятна с высокой ин-
тенсивностью («горячие пятна»), во много раз превышающей пико-
вую интенсивность, усредненную по сечению. Эти горячие пятна,
конечно, играют ведущую роль в разрушении оптических элемен-
тов. В одночастотном режиме радиальное распределение интен-
сивности моды ТЕМ00 имеет вид гладкой гауссовой кривой,
поэтому можно без ущерба для рубина и диэлектрических зеркал
допустить интенсивность, даже несколько превышающую
ЗЛО8 Вт/см2.
Пороги разрушения стержней и зеркал, находящихся вне
резонатора, значительно выше. Необходимо только внимательно
отнестись к размещению линз, предназначенных для простран-
ственной фильтрации или для расширения лазерного пучка. Порог
разрушения оптического стекла, согласно опубликованным дан-
ным, колеблется от 2.10е Вт/см2 для боролантанового стекла
до 7 ЛО10 Вт/см2 для боросиликатного кронгласа [11.15]. (Как
и раньше, эти же значения можно принять в качестве пороговых
для одночастотного режима генерации в ТЕМ00-мор$.) Объективы
из нескольких линз, склеенных канадским бальзамом, разрушают-
ся при меньших интенсивностях. Клей темнеет под воздействием
импульса с пиковой интенсивностью (3—4)-107 Вт/см2 [11.16].
С другой стороны, если элементы линзовой системы разделены
воздушными промежутками, то разрушение одного из них может
произойти, когда отраженный от одного из элементов свет фоку-
сируется на другом [11.16].
Значения интенсивностей, которые приводятся в этом параграфе, из-
мерялись как средние по сечению пучка.
§ 5.
ЗАЩИТА ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
363
Для пространственной фильтрации и одновременного расшире-
ния пучков света от лазеров непрерывного действия применяются
положительные линзы в сочетании с проделанными в металли-
ческих пластинках точечными отверстиями (фиг. 7.15). Положи-
тельные линзы используются для расширения пучков импульсных
лазеров только в том случае, если точно известно, что пиковая
интенсивность в фокальной точке лежит ниже порога пробоя
воздуха 7ь = 7-101:1 Вт/см2 [11.17]. Зная пиковую интенсив-
ность импульсного лазера и полуширину пучка ivi в передней
фокальной плоскости положительной линзы, можно вычислить
ее наименьшее допустимое фокусное расстояние.
Считая линзу идеальной (т. е. учитывая только дифракцию)
и предполагая, что пучок характеризуется гауссовым распределе-
нием интенсивности, можно, воспользовавшись выражением (7.46),
получить полуширину пучка в задней фокальной плоскости:
<11Л8>
где / — фокусное расстояние, а X — длина волны. Если свет
проходит через линзу без потерь, то пиковая интенсивность излу-
чения в задней фокальной плоскости линзы определяется сле-
дующим образом:
где использовано соотношение (11.18). Полагая 12 = 1ъ =
= 7 ПО11 Вт/см2, найдем по полученной формуле минимально
допустимое фокусное расстояние fm линзы:
Пиковая интенсивность Д излучения одночастотного лазера
определяется формулой (11.1):
Взяв типичные для излучения одночастотного лазера значения
величин Н = 25 мДж, = 0,5 мм и Ait = 15-10~9 с, находим,
что Ц = 3,3-108 Вт/см2, a fm = 24,5 мм. Подставляя значение
fm вместо / в (11.18), получаем, что минимальный диаметр 2ш2 пуч-
ка составляет 22 мкм. Пучок такого диаметра сможет пройти
через сапфировую диафрагму диаметром 30 мкм, показанную
на фиг. 11.5. (Сапфир разрушается излучением примерно той же
интенсивности, что и рубин.) Чтобы предотвратить пробой воздуха
на выходе рубинового усилителя, т. е. там, где пиковая интенсив-
ность больше, обычно применяют отрицательную линзу, расши-
ряющую пучок.
364
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
Используемые при получении голограмм зеркала и светодели-
тели тоже должны быть защищены от повреждений пучками света
высокой интенсивности. Порог разрушения зеркал и светоделите-
лей с металлическим покрытием составляет всего лишь 106 Вт/см2,
так что эти элементы могут быть повреждены нерасширенным пуч-
ком света за один импульс. Диэлектрические зеркала, как указы-
валось выше, обладают гораздо более высоким порогом разруше-
ния и могут выдерживать интенсивность света, идущего непосред-
ственно от лазера. Однако очень важно сохранять эти зеркала
в чистоте. Пылинки и другие частицы органического происхожде-
ния, попавшие на поверхность зеркала, могут снизить порог
разрушения до уровня 106 Вт/см2 и ниже.
Порог разрушения фильтров из цветного стекла и диэлектри-
ческих интерференционных фильтров примерно такой же, как
и оптических стекол и диэлектрических зеркал. Однако нейтраль-
ные фильтры, использующиеся в работе с лазерами непрерывного
действия, часто изготавливаются из органических материалов и не
годятся для работы с импульсными лазерами. Недавно получили
распространение стеклянные нейтральные фильтры, которые вы-
держивают излучение с интенсивностью примерно до 3 -105 Вт/см2.
§ 6. Установки для получения голограмм
с импульсными лазерами
Хотя замена лазера непрерывного действия импульсным не
вызывает принципиальных изменений в схеме получения голо-
грамм, в этом случае возникают некоторые специфические особен-
ности, обусловленные меньшей длиной когерентности импульсно-
го лазера и большим разнообразием объектов, голографирование
которых стало возможным благодаря уменьшению времени экспо-
зиции.
1. Применение многомодового импульсного лазера
Многомодовые рубиновые лазеры, как обычные, так и с моду-
лированной добротностью, были первыми импульсными источни-
ками света, примененными в голографии, и до сих пор широко
используются для получения голограмм освещенных на просвет
прозрачных предметов. Голографируемыми предметами в этом
случае могут быть кюветы с газами или жидкостями, прозрачные
тела или силуэты непрозрачных тел. В любом таком случае угол
рассеяния пучка, освещающего предмет, невелик. Если в отсут-
ствие предмета достигнута высокая степень взаимной когерентно-
сти опорного и предметного пучков по всей плоскости голограммы,
то введение любого из указанных предметов пе вызовет зпачитель-
§ 6.
УСТАНОВКИ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
365
ного изменения взаимной когерентности пучков. В установке,
разработанной Бруксом и др. [11.18], требования к когерентности
удовлетворяются, даже если предметы освещаются через диффуз-
ный экран (фиг. 11.7). Как мы видели в гл. 8, § 2, диффузное
освещение желательно, если наблюдение мнимого изображения
будет производиться непосредственно глазом (фиг. 8.13).
ФИГ. 11.7. Схема получения голограммы предмета,
диффузно освещенного на просвет мно-
гомодовым лазером. (По Бруксу и др.
[11.18].)
Рассмотрим оптическую установку, изображенную на фиг. 11.7,
не принимая во внимание объект, который, по нашему предполо-
жению, рассеивает свет под малыми углами. На светоделителе,
расположенном в левом верхнем углу фиг. 11.7, происходит
амплитудное деление волнового фронта многомодового лазерного
пучка на две части. Роль остальных элементов схемы сводится
к обеспечению того, чтобы каждая пара лучей из соответственных
точек поделенных волновых фронтов прошла равные оптические
пути от светоделителя до голограммы. В плоскости голограммы
лучи из каждой пары интерферируют друг с другом, но не
с другими лучами. Таким образом, несмотря на низкую сте-
пень пространственной или временной когерентности излучения
лазера, на голограмме регистрируются полосы высокой видности.
В предметный пучок помещен диффузный экран, изображение
которого проецируется на плоскость голограммы. Если можно
366
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ- 11
пренебречь аберрациями системы, формирующей изображение,
то можно считать, что изображение плоскости экрана лежит
в плоскости голограммы. Следовательно, нужно только осветить
диффузный экран под тем же углом, под которым опорный пучок
освещает голограмму, и тогда в каждой точке голограммы сойдутся
соответствующие друг другу лучи. Поскольку система линз фор-
мирует перевернутое изображение, в опорный пучок, очевидно,
необходимо ввести компенсирующие переворачивающие призмы.
Формирование изображения осуществляется двумя плоско-выпук-
лыми линзами В. Каждая из линз имеет фокусное расстояние /.
Две плоско-выпуклые линзы А используются как конденсор
и формируют в центральной плоскости линз В изображение мни-
мого источника, освещающего экран. Системы линз А и В совме-
стно служат для того, чтобы сделать оптическую длину пути
от любой точки экрана до соответствующей ей точки на его изобра-
жении величиной, более или менее не зависящей от положения
точки на экране. Кроме того, каждая из плоско-выпуклых линз
компенсирует абберации парной ей линзы. Чтобы эффективно
использовать диффузный экран, нужно освещать его по нормали
к поверхности. Ряд тонких призм, расположенных вблизи поверх-
ности экрана, служит именно этой цели. При этом каждая призма
настолько тонка, что оптическая разность хода, которую она вно-
сит, много меньше длины когерентности лазера. На фиг. 11.8
помещена фотография изображения, восстановленного с голограм-
мы, полученной на установке фиг. 11.7 1).
2. Применение одночастотного импульсного лазера
При использовании в качестве источника излучения одночастот-
ного импульсного лазера с длиной когерентности около 1 м для
получения голограмм могут применяться обычные схемы. Благо-
даря малым временам экспозиции ослабляются требования к меха-
нической стабильности установки и получение пропускающих
[11.19] и отражательных [11.20] голограмм высокого качества
оказывается сравнительно простым. Если применяется рубиновый
усилитель, а опорный пучок формируется за счет части излучения,
поступающего на вход усилителя, то путь предметного пучка
должен быть увеличен на отрезок ALm [см. (11.17)]. Величину
ALm, при которой обеспечивается максимальная видность полос,
лучше всего находить экспериментально.
Если объектом голографирования является человек (или дру-
гое живое существо), то необходимо, чтобы уровень энергии излу-
Оригинальная схема, в которой рассеиватель также проецируется
на голограмму, но одновременно служит светоделителем, предложена в ра-
боте [11.29].— Прим. ред.
УСТАНОВКИ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
367
ФИГ. 11.8.
Фотография изображения, восстанов-
ленного с голограммы, полученной по
схеме фиг. 11.7.
Пуля (калибр 22) пробила тонкую медную
пластинку, образовав ударную волну.
368
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
чения, попадающего в глаза, был безопасным. На фиг. 11.9
показана схема, с помощью которой, используя импульсный
лазер, можно получать голографические изображения человека,
не причиняя ему вреда. Здесь расширенный пучок лазерного
излучения не сразу падает на объект, а сначала проходит через
диффузный экран. Кроме того, можно снижать уровень энергии,
^Светоделитель
Одночастотный
лазер и усилитель
ФИГ. 11.9. Схема получения голографического
изображения человека с помощью одно-
частотного рубинового лазера с моду-
лированной добротностью. (По Энсли
[11.11].)
применяя высокочувствительные фотоматериалы (см. § 9). На
фиг. 11.9 представлена установка для получения пропускающих
голограмм. Однако можно сделать так, чтобы опорный пучок
освещал противоположную объекту сторону фотопластинки;
в этом случае возможно получение отражательных голограмм.
Как мы увидим далее, именно опорный пучок представляет
наибольшую опасность для объекта. В силу высокой направлен-
ности этого пучка он может сфокусироваться на сетчатке глаза
в пятно малого размера и освещенность сетчатки может превысить
безопасный уровень. Поэтому необходимо следить за тем, чтобы
случайно отраженная или прошедшая часть опорного пучка не
попала в глаза. Чтобы обнаружить нежелательные рефлексы,
§ 6.
УСТАНОВКИ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
369
ФИГ. 11.10. Фотография трехмерного голографиче-
ского изображения Л. Д. Зиберта.
24—0990
370
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
нужно предварительно осветить установку лазером непрерывного
действия, пучок которого направлен так же, как пучок импульс-
ного лазера. На фиг. 11.10 помещена фотография трехмерного
голографического портрета Л. Д. Зиберта.
§ 7. Максимально допустимая скорость
движения объекта
Главное достоинство использования в голографии импульсных
лазеров состоит в возможности получения голограмм движущихся
объектов и быстропротекающих процессов. Однако здесь допусти-
мые скорости движения, объектов ниже тех, которые возможны
при высокоскоростной фотографии, за исключением случаев дви-
жения в строго определенном направлении [11.21]. За время экспо-
зиции максимальное изменение оптической длины пути предмет-
ного пучка от источника до голограммы в результате перемеще-
ния объекта не должно превышать А./2. В противном случае
интерференционная картина окажется совершенно размытой
и голограммы не получится. Таким образом, хотя длитель-
ность импульса 2Ai очень невелика, возможное перемещение
объекта тоже мало, и скорость его в произвольном направлении
обычно не должна превышать нескольких метров в секунду.
Определим максимальную скорость точки предмета, которая
возможна в схеме получения голограмм, изображенной на
фиг. 11.11. Из лазерного пучка, фокусирующегося в точке L,
формируется пучок, освещающий объект S в направлении LS,
и опорный пучок, распространяющийся в направлении LH. Опор-
ный пучок, прошедший путь LH, и свет, отраженный от S, интер-
ферируют в плоскости голограммы в точке Н. Любое перемещение
точки S не по поверхности эллипсоида с фокальными точками L
и Н приводит к изменению длины оптического пути LSH, а сле-
довательно, и интерференционной картины в точке Н [11.11].
Если точка S движется по поверхности эллипсоида, то ее скорость
ограничивается только требуемым разрешением изображения, как
в обычной фотографии. Наихудшим случаем является перемеще-
ние точки S в направлении, нормальном к поверхности эллипсои-
да. Пусть максимально допустимое перемещение s в этом направле-
нии за время экспозиции 2Д£ таково, что вызывает изменение
оптической длины пути LSH на величину AL = А./2. Тогда для
максимальной возможной скорости v получим v = s/2At Из
фиг. 11.11 видно, что
AL — 2s cos а = -^ ,
§ 8.
БЕЗОПАСНОЕ ОСВЕЩЕНИЕ ЖИВЫХ ОБЪЕКТОВ
371
ИЛИ
А,
4 cos а
И
_ А,
8Ai cos а ’
где 2а = LSH. Полагая а = 30°, % ~ 7 -IO-7 м и Ait = 15 ПО-9 с,
находим, что и « 6,7 м/с. Для предметов, освещенных сзади,
ФИГ. 11.11.
Схема для вычисления максимально
допустимой скорости точечного объекта.
например пули на фиг. 11.8, где L, S и Н располагаются на одной
линии, а а = 90°, максимальная возможная скорость определяет-
ся только требуемым разрешением изображения 1).
§ 8. Безопасное освещение живых объектов
Лазерное излучение может быть сфокусировано хрусталиком
глаза на сетчатку в виде маленького пятна высокой интенсивности,
поэтому важно знать, при какой пороговой плотности энергии,
падающей на единицу площади сетчатки, происходит ее разруше-
х) В рассматриваемом случае предметный пучок образуется не вслед-
ствие рассеяния света движущейся пулей, а вследствие рассеяния света
неподвижным диффузным экраном, на фоне которого движется пуля. Этим
и объясняется снижение требований к максимальному перемещению пули
за время экспозиции.— Прим. ред.
24*
372
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
ние, и ни в коем случае не допускать превышения этого порога.
Американская конференция специалистов по промышленной гигие-
не (ACGIH) [11.22] опубликовала следующие данные по макси-
мально допустимой плотности энергии импульса, еще безопасной
для сетчатки 1):
Лазер с модулированной добротностью (длительность импульса
30-IO-9 с): 0,07 Дж/см2.
Обычный лазер (длительность импульса 200 -10-6 с): 0,85 Дж/см2.
Поскольку при получении голографических изображений человека
наиболее подходящим источником является одночастотный лазер
с модулированной добротностью, мы должны руководствоваться
первым из приведенных значений плотности энергии, равным
0,07 Дж/см2.
Предположим, что прямое или зеркально отраженное излуче-
ние одночастотного лазера с модулированной добротностью,
имеющее равномерную интенсивность 10, падает на роговицу
глаза. Пусть R — радиус зрачка, а / — фокусное расстояние
хрусталика. Подставляя (6.63) в (6.64) и умножая (6.24) на ком-
плексно-сопряженную величину, получаем распределение интен-
сивности I (г) по сетчатке в задней фокальной плоскости хруста-
лика:
т м — ( лД2 V т (2лДгАД
V’ \ У ) ° (nRr/kf)Z ’
где мы положили я? = 10, &г — радиальное расстояние от центра
сфокусированного пятна (в плоскости сетчатки). Если г = 0,
то / (г) принимает максимальное значение, равное
Если выражение для интенсивности проинтегрировать по длитель-
ности импульса, то интенсивность можно записать через плот-
ность энергии. В частности, если Есегч — максимально допусти-
мая плотность энергии на сетчатке, a EV0T — соответствующая
плотность энергии на роговице, то для максимально допустимого
значения последней величины имеем
Р '-S I \2 р
рог ~ \nR2 ) -^сетч-
Принимая % = 7 -10-’ м, / = 15 мм, 2R = 7 мм (максимум) и
Есет = 0,07 Дж/см2, получаем Ерот = 5,2-Ю"9 Дж/см2. Даже
при использовании самых чувствительных фотоматериалов, при-
меняющихся для записи голограмм, плотность энергии должна
г) Предельная плотность энергии для кожи установлена равной
10~3 Дж/см2.
§ 9.
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОЙ ГОЛОГРАФИИ
373
составлять около 10-6 Дж/см2 (см. § 9). Поскольку на опорный
пучок приходится большая часть этой величины, то очевидно,
что для предохранения сетчатки от травм необходимо особенно
остерегаться случайных отражений опорного пучка.
Допустим, что соответствующие меры предосторожности при-
няты и на объект падает только излучение, прошедшее через
диффузный экран, как показано на фиг. 11.9. Обычно расстояние s
от глаза человека до экрана гораздо больше фокусного расстоя-
ния / глаза. Следовательно, малая область As экрана отображает-
ся на сетчатке в задней фокальной плоскости глаза еще меньшей
областью Аг. Из простых геометрических соображений получаем,
что площади областей относятся как As/Ar = Положим
далее, что плотность энергии на экране равна Ей и что область As
экрана рассеивает падающую на нее энергию AMs в телесный
угол Qs. Если диаметр зрачка есть D, то телесный угол, под кото-
рым он виден из плоскости экрана, равен n,Dz/i^; тогда доля энер-
гии, падающей на сетчатку, составляет nD2/4s2Qs. Следовательно,
энергия ЕГАГ, которую получает сетчатка (Ег — плотность энер-
гии на сетчатке), запишется в виде
ИЛИ
Р _ лО2 4S р _ лО2 р
Дг 4s2Qs Ar ^s~ 4/2Qs £‘s’
Заметим, что выражение, связывающее Ег и Ев, не зависит от s.
Подставляя обычные значения величин: D — 7 мм, / = 15 мм
и Qs = л/10 стер, получаем Ег = 0,54 Es. Поскольку максималь-
ное безопасное значение Ет составляет 0,07 Дж/см2, плотность энер-
гии лазерного излучения, падающего на диффузный экран, не
должна превышать значения Es = 0,07/0,54 = 0,13 Дж/см2. Так,
например, если полная энергия импульса излучения, равномерно
освещающего экран, равна 1 Дж, то минимальная необходимая
площадь экрана составляет 1/0,13 = 7,7 см2.
§ 9. Материалы для импульсной голографии
Большинство материалов, предназначенных для записи голо-
грамм с лазерами непрерывного действия (см. гл. 10), малочувстви-
тельны к коротким ° импульсам излучения рубинового лазера
с длиной волны 6943 А. В этом параграфе мы рассмотрим материа-
лы, разработанные специально для рубиновых лазеров, а также
материалы, которые могут быть использованы для той же цели
в будущем. Некоторые их параметры приведены в табл. 11.1.
Применение в голографии импульсных лазеров не уменьшило
потребности в фотоматериалах, обладающих высокой чувствитель-
374
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
Таблица 11.1
Материалы для записи голограмм с импульсными лазерамиа
Материал Требуемая плотность энергии, мкДж/см2 Максимальная дифракцион- ная эффектив- ность, % Разрешающая способность Литера- тура Примечание
Фотослой Агфа-Геверт 8Е75 11—21 б 4 а 3000 мм-1 г [11.23] Может приме- няться для за- писи отража- тельных голо- грамм
Фотослой Агфа-Геверт 10Е75 3—6 6 Зв 2800 мм-1 г [11.23]
Фотослой Агфа-Геверт 14С75 0,5—1 б 0,4в 1500 мм-1 г [11.23]
Фотослой Кодак 649F 2000— 8000 6 4,4В более 2000 мм-1 г [11.24] Большая из указанных чувствитель- но ст ей при времени про- явления 8 мин
Магнитная пленка MnBi 30 000 0,001 (эф- фект Фара- дея) 0,01 (эффект Керра) разрешение 2 мкм Д [11.25] Возможно сти- рание информа- ции. Точка Кюри 633 К
Магнитная пленка ЕиО 100— 1000 0,01 ~ 100 мм-1 Д [11.26] Возможно сти- рание. Точка Кюри 69,5 К
М ета л лическая пленка Bi 50 000 6 около 1000 мм""1 Д [11.28]
Из выпускаемых отечественной промышленностью фотоматериалов можно рекомен-
довать для импульсной голографии пластинки ВРЛ (Московский завод) и пленку высо-
коразрешающую голографическую (Казанский завод). По своим свойствам эти фотослои
близки к Агфа 10Е75-- Прим. ред.
Для оптической плотности 0,5. Учтено нарушение закона взаимозаместимости при
длит'>льности импульса 10—50 нс.
в Для голограммы, полученной при интерференции двух плоских волн, направлен-
ных под углом 45° друг к другу.
г По данным фирмы-изготовителя.
д Значение взято из работы, цитируемой в соседнем столбце.
ностью, высокой разрешающей способностью и способностью долго
хранить информацию. Как и при работе с лазером непрерывного
действия, мы хотим, чтобы регистрация голограмм с рубиновым
§ 9.
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОЙ ГОЛОГРАФИИ
375
лазером была линейной, а полученные голограммы имели низкий
уровень шумов и позволяли стирать записанную на них информа-
цию. Таким образом, значительная часть соображений, приведен-
ных в гл. 10, относится и к нашему случаю. Заметим, что выраже-
ние (10.6) для плотности Ео энергии излучения, экспонирующего
фотопластинку, может быть теперь записано в виде
где тр — результирующий коэффициент передачи энергии от лазе-
ра к регистрирующему материалу; Н — энергия импульса на
выходе лазера; А — площадь поперечного сечения пучка, осве-
щающего голограмму. Для обычного освещенного спереди объекта
тр составляет всего лишь 5%, но при освещении объектов сзади
(на просвет) этот коэффициент может быть значительно выше.
При воздействии на фотослои, содержащие галоидное серебро,
очень короткого (несколько наносекунд) импульса рубинового
лазера происходит так называемое нарушение закона взаимозаме-
стимости. Это означает, что если при данном значении экспози-
ции Ей = 1Рхе и в данных условиях фотообработки время экспо-
зиции те лежит в наносекундном интервале, то оптическая плот-
ность проявленной фотопластинки имеет меньшую величину, чем
при большем времени экспозиции. Нарушение закона взаимоза-
местимости учтено в табл. 11.1, где приведены значения плотности
энергии, необходимой для получения оптической плотности, рав-
ной 0,5—0,6. Заметим, что фотослои типа Агфа-Геверт 8Е75,
10Е75 и 14С75 обладают большей чувствительностью, чем любые
другие материалы. Нарушение закона взаимозаместимости приво-
дит к тому, что для этих материалов при длительности экспозиции
от 10 до 50 нс плотность энергии необходимо увеличить в 2—4 раза
111.23]. Тем не менее благодаря их высокой чувствительности
облегчается обеспечение безопасности при получении голограмм
живых объектов. Относительно малой чувствительностью к излу-
чению рубинового лазера с модулированной добротностью обла-
дает фотослой Кодак 649F. Его спектральная чувствительность
падает в 10 раз при изменении длины волны от 6328 до 6943 А
и еще в 10 раз из-за нарушения закона взаимозаместимости.
Однако действие последней причины можно несколько ослабить,
увеличивая время проявления [11.24].
Высокая пиковая интенсивность (1—100 МВт/см2), достигаемая
в 10—50-наносекундном импульсе рубинового лазера с модули-
рованной добротностью, позволяет регистрировать голограммы
на материалах, которые совершенно непригодны для работы
с лазерами непрерывного действия. Так, тонкие магнитные пленки
могут быть локально нагреты лазерным излучением почти до точки
Кюри, что приводит к изменению их магнитных и магнито-опти-
376
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
ческих свойств. Если эти свойства могут изменяться в пространстве
с достаточно большой пространственной частотой, то такие пленки
пригодны для записи голограмм. Предположим, что сначала маг-
нитная пленка была однородно намагничена в данном направле-
нии достаточно сильным магнитным полем. Затем к пленке при-
кладывается слабое однородное противоположно направленное
магнитное поле смещения. Если при этом на пленку не действует
лазерное излучение, то ничего не изменяется. Если же на пленку
попадает голографическая интерференционная структура, обра-
зованная светом импульсного лазера, то температура тех участков
пленки, на которые приходятся максимумы интенсивности, увели-
чивается до точки Кюри или выше. При таких температурах маг-
нитное поле смещения изменяет ориентацию магнитных доменов
пленки на противоположную. После охлаждения противоположно
ориентированные домены сохраняются и в отсутствие магнитного
поля; таким образом регистрируется голограмма, хранящая
информацию долгое время. Пространственные вариации ориента-
ции доменов вызывают пространственное изменение эффекта
Фарадея (для проходящего света) или эффекта Керра (для отра-
женного света). Поскольку эти эффекты связаны с вращением
вектора поляризации, необходимо учитывать направление поля-
ризации света, используемого на стадии восстановления. Анализ
показывает, что подобная голограмма по характеру своего дей-
ствия аналогична фазовой. Ее привлекательной особенностью
является возможность стирания информации с помощью сильного
магнитного поля, благодаря чему пленка может быть использована
неоднократно.
Примером такого материала может служить тонкая пленка из
MnBi, температура Кюри которой составляет 360° С (633 К) [11.25].
На такой пленке была зарегистрирована простейшая интерферен-
ционная картина, образованная двумя плоскими волнами (рас-
стояние между полосами 2 мкм), при плотности энергии 0,3 Дж/см2.
При этом дифракционная эффективность оказалась довольно
низкой, а именно 0,01 % для голограмм с эффектом Керра и 0,001 %
для голограмм с эффектом Фарадея. Стирание осуществлялось
магнитным полем 4000 Э. Другим примером может служить тонкая
пленка из ЕнО [11.26]. Ее температура Кюри составляет всего
лишь 69 К, так что для записи и хранения голограмм необходима
криогенная техника. По-видимому, этот материал не найдет
практического применения в голографии.
При достаточно высокой пиковой мощности излучения голо-
граммы могут быть нанесены термическим путем на тонкие метал-
лические пленки, например, из Си, Si [11.27] и Bi [11.28] 1).
х) В работе [11.30] голографическая структура регистрировалась на
алюминиевых и золотых пленках. — Прим. ред.
ЛИТЕРАТУРА
377
В тех местах пленки, на которые попадают максимумы интер-
ференционной картины, происходит испарение металла. Хотя для
получения голограмм на этих пленках требуется высокая плот-
ность энергии, пленки имеют хорошую разрешающую способность
(1000 мм"1) и, следовательно, зарегистрированные на них голо-
граммы обладают относительно высокой дифракционной эффектив-
ностью.
ЛИТЕРАТУРА
11.1. THOMPSON В. J„ WARD
I. Н., ZINKY W., Journ.
Opt. Soc. Amer., 55, 1566
A (1965); Appl. Opt., 6, 519
(1967).
Применение голографиче-
ского метода для анализа
размеров частиц.
11.2. BROOKS R. Е., HEFLIN-
GER L. О., WUER-
KER R. F., BRIONES R. А.,
Appl. Phys. Lett., 7, 92
(1965).
Голографическая фотогра-
фия быстропротекающих яв-
лений с обычным рубиновым
лазером и с рубиновым лазе-
ром с модулированной доб-
ротностью.
11.3. STEELE Е. L., Optical La-
sers in Electronics, New York,
1968.
11.4. McCLUNG F. J., WEI-
NER D., IEEE Journ. Quant.
Electr., QE-1, 94 (1965).
Селекция продольных мод
в лазерах, излучающих ги-
гантский импульс.
11.5. DANEU V., SACCHI С. А.,
SVELTO О., IEEE Journ.
Quant. Electr., QE-2, 290
(1966).
Рубиновый лазер с модули-
рованной добротностью, ге-
нерирующий одну попереч-
ную и одну продольную мо-
ДУ-
11.6. BJORKHOLM J. Е., STO-
LEN R. Н., Journ. Appl.
Phys., 39, 4043 (1968).
Простой одномодовый ла-
зер, излучающий гигантский
импульс.
11.7. SIEBERT L. D., Appl. Phys.
Lett., 11, 326 (1967).
Голографирование лазерны-
ми импульсами освещенных
спереди, предметов.
11.8. SOOY W. R., Appl. Phys.
Lett., 7, 36 (1965).
Естественная селекция мод
в лазере с пассивной моду-
ляцией добротности.
11.9. BRADLEY D. J., MAGY-
AR G., RICHARDSON M. С.,
Nature, 212, 63 (1966).
Зависящий от интенсивности
частотный сдвиг в рубиновых
лазерах, излучающих гигант-
ский импульс.
11.10. FLAMHOLZ A., W0L-
GA G. J., Journ. Appl. Phys.,
39, 2723 (1968).
Интерференционное иссле-
дование излучения рубино-
вого лазера с пассивной мо-
дуляцией добротности.
11.11. ANSLEY D. A., Appl. Opt.,
9, 815 (1970).
Получение голографических
изображений людей с помо-
щью импульсных лазеров.
11.12. GEUSIC J. Е., SCO-
VIL Н. Е. D., Bell. Syst.
Tech. Journ., 41, 1371 (1962).
Оптический мазер, излучаю-
щий ненаправленную бегу-
щую волну.
11.13. BURNS F. Р., IEEE Spec-
trum, 4, 115 (1967).
Мощные лазеры — их рабо-
чие характеристики, недо-
статки и будущее.
11.14. GREGG D. W., THO-
MAS S. J., Appl. Phys. Lett.,
8, 316 (1966).
378
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
ГЛ. 11.
Иммерсионная жидкость для
уменьшения разрушающего
действия гигантского им-
пульса лазера на диэлектри-
ческое покрытие зеркала.
11.15. CULLOM J. Н„ WAY-
NANT R. W., Appl. Opt.,
3, 989 (1964).
Определение порога разру-
шения разных стекол лазе-
рами.
11.16. RASBERRY S. D., SCRIB-
NER B.F.,MARGOSHESM.,
Appl. Opt., 6, 81 (1967).
Возбуждение лазерным излу-
чением в спектральном хими-
ческом анализе.
11.17. MINCK R. W., Journ. Appl.
Phys., 35, 252 (1964).
Электрические разряды в га-
зах на оптической частоте.
11.18. BROOKS R. Е., HEFLIN-
GER L. О., WUER-
KER R. F„ IEEE Journ.
Quant. Electr., QE-2, 275
(1966).
Голограммы, полученные с
импульсными лазерами.
11.19. SIEBERT L.D., Proc. IEEE,
56, 1242 (1968).
Получение больших гологра-
фических изображений чело-
века при освещении спереди.
11.20. ZECH R. G„ SIEBERTL. D.,
Appl. Phys. Lett., 13, 417
(1968).
Отражательные голограм-
мы, полученные с помощью
импульсных лазеров.
11.21. NEUMANN D. В., Journ.
Opt. Soc. Amer., 58, 447
(1968).
Голография движущихся
объектов.
11.22. The American Conference of
Governmental Industrial Hy-
gienists, “A Guide for Uni-
form Industrial Hygiene Co-
des and Regulations”, 1968.
11.23. NASSENSTEIN H., DED-
DEN H„ METZ H. J„
RIECK H.E., SCHULTZE D.,
Photogr. Sci. Eng., 13,194
(1969).
Физические свойства мате-
риалов, используемых в го-
лографии.
11.24. HERCHER М„ RUFF В.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 57,
103 (1967).
Нарушение закона взаимо-
заместимости при высоких
интенсивностях для пласти-
нок Кодак 649F при 6953 А.
11.25. MEZRICH R. S., Appl. Phys.
Lett., 14, 132 (1969). „
Регистрация магнитной го-
лограммы на MnBi.
11.26. FAN G„ PENNINGTON К.,
GREINER J. H„ Journ.
Appl. Phys., 40, 974 (1969).
Магнито-оптическая голо-
грамма.
11.27. GERRITSEN H. J., HEL-
LER M. E., Journ. Appl.
Phys., 38, 2054 (1967).
Термический способ получе-
ния дифракционных решеток
с помощью лазеров, излучаю-
щих гигантский импульс.
11.28. AMODEI J. J., MEZ-
RICH R. S., Appl. Phys.
Lett., 15, 45 (1969).
Голограммы на тонких вис-
мутовых пленках.
11.29* . BURCH J.M., GATES J.W.,
HALL R. G. N., TAN-
NER L. H., Nature, 212,
No. 5068, 1347 (1966).
Голография co светодели-
тельным рассеивающим экра-
ном и импульсным рубино-
вым лазером в качестве
источника света.
11.30* . КОМАР А. П., СТАВНИ-
КОВ М. В., ТУРУХА-
НО Б. Г., ТУРУХАНО Н.,
Оптика и спектр., 23, 827
(1967).
Голографические решетки на
тонкой металлической пленке.
Глава 12
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ,
ПЯТНИСТАЯ СТРУКТУРА И ШУМЫ,
ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ЗЕРНИСТОСТЬЮ ФОТОСЛОЯ
В гл. 10, § 6, мы установили, что с помощью идеальной голо-
граммы восстанавливается волна, комплексная амплитуда кото-
рой пропорциональна амплитуде исходной предметной волны.
Однако в направлении предметной волны может распространяться
некоторое количество постороннего света, амплитуда которого
уже не пропорциональна сигналу. Приводящие к этому свойства
голограммы можно рассматривать как источники шумов. О не-
скольких таких источниках уже говорилось в гл. 10, § 5; это
зернистость (или гранулярность) пленки и нелинейность регистра-
ции. Добавочным потенциальным источником шума является пят-
нистая структура полученных в когерентном свете изображений
диффузно отражающих или диффузно пропускающих поверхностей
(см. гл. 8, § 2, п. 2). В настоящей главе мы более детально обсудим
влияние этих источников шумов на качество голографических
изображений. Будут также рассмотрены способы уменьшения
влияния пятнистой структуры.
§ 1. Влияние нелинейности записи
При анализе плоских голограмм в гл. 3 и 8 мы обычно считали,
что амплитудное пропускание голограммы t и экспозиция Е
связаны линейным соотношением [как, например, в формуле (8.1):
t = t0 — kl, где интенсивность I пропорциональна экспозиции].
Зависимость t от Е для реальной регистрирующей среды всегда
в той или иной степени нелинейна (см. фиг. 10.7). Однако если
пределы изменения экспозиции, задаваемые неравенством (7.40),
Ео (1 — 'Имакс) < Е < Ео (1 + Умакс), не выходят за пределы
приблизительно линейного участка t — Е-крпвой, то вредное
влияние нелинейности на изображение может быть сведено
к минимуму. В формуле (7.40) Ео — средняя экспозиция и VMaKo —
максимальная видность регистрируемой интерференционной
структуры. Ограничение видности, с одной стороны, умень-
шает эффекты, обусловленные нелинейностью регистрации,
с другой стороны, ограничивает дифракционную эффективность т]
[согласно формуле (10.16), ]А] = SE0V, где S — чувст-
вительность]. Таким образом, при получении голограммы всегда
приходится идти на компромисс между достижением максималь-
380
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
ной дифракционной эффективности и сведением к минимуму
нелинейных эффектов. Этот компромисс приводит к необходи-
мости выбора соответствующего отношения интенсивностей
пучков /?, поскольку 7? связано с видностью V соотноше-
нием (7.31).
До последнего времени анализ нелинейных эффектов в гологра-
фии проводился только для плоских амплитудных голограмм
[12.1—12.5]. Здесь мы суммируем наиболее важные результаты,
полученные для плоских амплитудных голограмм, используя
ФИГ. 12.1. Зависимость амплитудного пропускания
от экспозиции для фотопластинок Ко-
дак 649F (сплошная кривая) и аппрок-
симация этой зависимости полиномом
третьего порядка (12.1) (пунктирная
кривая).
аппроксимацию зависимости t от Е полиномом. На практике нели-
нейные эффекты наблюдаются как для фазовых, так и для ампли-
тудных голограмм, зарегистрированных как в толстых, так
и в тонких средах.
На фиг. 12.1 представлена t — ^-кривая для пластинок Кодак
649F и аппроксимирующая кривая, описываемая полиномом
t = 0,92 - (0,575 -IO-3) Е - (0,137 НО-3) Е* + (0,735-Ю"6) Е3,
(12.1)
где Е — экспозиция в мкДж/см2 и if — амплитудное пропускание.
Поскольку такая кубическая аппроксимация достаточно хорошо
§ 1.
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЗАПИСИ
381
согласуется с экспериментальной кривой на значительном ее
участке, будем считать, что общее выражение для пропускания
плоской амплитудной голограммы имеет вид
t = с0 -|- CiE -|- с2Е2 -|- csE3. (12.2)
Для обычной области экспозиций наиболее важны нелинейные
эффекты, обусловленные квадратичным членом. Как и в форму-
ле (7.32), экспозиция определяется выражением
Е = kilre, (12.3)
где kt — коэффициент пропорциональности между интенсивностью
1р и квадратом амплитуды I (см. гл. 1, § 3) и те — время экспози-
ции. Первый член в правой части формулы (12.2) не зависит от
экспозиции, в то время как второй член соответствует линейному
соотношению между пропусканием и экспозицией. Третий и чет-
вертый члены характеризуют нелинейность записи. Рассмотрим
теперь вклад, вносимый третьим членом,
t2 = с2Е2. (12.4)
Предположим, что предметная волна, комплексная амплитуда
которой в плоскости голограммы равна а = а ехр (i<pa), и опорная
волна с комплексной амплитудой в той же плоскости г =
= г ехр (г<рг) интерферируют в течение времени те. Соответствую-
щая экспозиция равна
Е = ktl^e = kt (аа* + гг* + аг* + а*г) те. (12.5)
Подставляя Е в (12.4), получаем
= cjt2 (аа* -|- гг* -|- аг* -|- а*г)2 т1. (12.6)
Чтобы упростить анализ, предположим, что опорная волна не
модулирована, т. е. гг* = const. Отделим теперь от (12.6) все
члены, пропорциональные первым степеням каких-нибудь членов
в равенстве (12.5), и запишем
t2 = Линейные члены +
+ с2к2 т! [(аа*)2 + а2г*2 + а*2г2 -[- 2аа*аг* -|- 2аа*а*г]. (12.7)
Кубический член в (12.2) приводит к появлению членов про-
пускания, часть из которых имеет такую же форму, как слагаемые,
входящие в (12.7). При количественных расчетах вклад этих чле-
нов следовало бы включить в квадратичный нелинейный эффект.
Однако, поскольку здесь нас интересует лишь качественный ана-
лиз, этой добавкой можно пренебречь. Предположим, что голо-
грамма освещена исходной опорной волной г, и рассмотрим лишь
382
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
ту часть г£2 дифрагированного света, которая обусловлена членом
пропускания t2 (при дальнейшем обсуждении мы пренебрежем
линейными членами, входящими в t2). Как следует из формулы
(12.7), волна, дифрагированная в направлении исходной предмет-
ной волны и, таким образом, накладывающаяся на линейно вос-
становленную предметную волну, описывается четвертым членом
в скобках. Комплексная амплитуда этой нелинейной компоненты
равна г (2аа*аг*) ~ 2 (аа*) а. Согласно анализу, приведенному
в гл. 8, § 1, п. 1, множитель 2аа* соответствует излучению, распре-
деление пространственных частот которого имеет центр вблизи
нулевой частоты. Поскольку на эту величину умножается ком-
плексная амплитуда предметной волны а, соответствующее коли-
чество дифрагированного излучения будет распространяться
в направлении предметной волны.
1. Квадратичные члены
Прежде чем более подробно рассматривать вклад в комплекс-
ную амплитуду дифрагированной волны г<2 члена 2 (аа*) а,
кратко обсудим вклады первых трех членов в скобках в выраже-
нии (12.7). Будем считать, что г — аксиальная плоская волна
единичной амплитуды г = г ехр (г<р,.) = 1, так что интересующие
нас члены принимают вид
г [(аа*)2 + а2г*2 + а*2г2] = (аа*)2 + а2 + а*2. (12.8)
В соответствии с фиг. 8.3 спектр аа* имеет в два раза большую
ширину полосы пространственных частот, чем сам предмет (это
становится очевидным, если найти фурье-образ произведения аа*
или, что эквивалентно,— автокорреляцию фурье-образа предме-
та А). Те же доводы можно применить к первому члену в правой
части соотношения (12.8). Тогда оказывается, что спектр простран-
ственных частот (аа*)2, полученный путем свертки спектра аа*
с самим собой, в четыре раза шире спектра предмета и также имеет
центр при 5 = 0- Таким образом, сдвиг центральной простран-
ственной частоты 5 а предметной волны относительно частоты 5г
опорной волны должен быть больше, чем это требуется при линей-
ной регистрации, когда необходимо избежать наложения членов
нулевого порядка на восстановленную предметную волну.
Второй член в правой части соотношения (12.8), а2, представля-
ет собой квадрат комплексной амплитуды предметной волны
в плоскости голограммы. Чтобы понять его роль, рассмотрим пред-
мет в виде точечного источника, расположенного в точке (а?! = 0,
yi = —Ъ) входной плоскости Zi = —d, находящейся на расстоя-
нии d от плоскости голограммы хгуг (фиг. 12.2). Согласно форму-
ле (3.3), фаза предметной волны на голограмме определяется
§ 1.
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЗАПИСИ
383
следующим образом:
Ф=—+ + (12.9)
Тогда а2 можно представить в виде
а2 = а2ехр(2гф)~ехр[—-^-|(z2 + y2 + 2y2b)] , (12.10)
где так же, как и в гл. 3, амплитуду мы считаем постоянной
в плоскости голограммы. Экспонента в правой части равенства
(12.10) представляет собой фазовый множитель, соответствующий
ФИГ. 12.2. Мнимые изображения точечного источ-
ника, восстанавливаемые в первом и вто-
ром дифракционных порядках.
фронту сферической волны, которая расходится от точечного
источника, расположенного в точке = 0, z/t = —b, = —d/2).
Этот фронт имеет в два раза большую кривизну, чем исходный
предметный фронт. Из фиг. 12.2 видно, что среднее направление
волны, дифрагировавшей на нелинейном члене а2, составляет
с осью z угол 0П?, который примерно в два раза превышает угол
дифракции линейно восстановленной предметной волны. Если
предмет достаточно мал и достаточно смещен от начала координат,
то углового наложения нелинейно и линейно восстановленных
волн можно избежать. Аналогичным образом третий член в (12.8)
можно интерпретировать как сходящийся предметный волновой
фронт. Были предложены некоторые применения этих квадратич-
384
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
ных (и более высокого порядка) волновых фронтов. Увеличение
кривизны дифрагированных волновых фронтов второго и более
высоких порядков можно использовать для увеличения чувстви-
тельности интерферометрических измерений [12.6] и для сужения
интерференционных полос [12.7].
2 Перекрестная модуляция
Вернемся теперь к четвертому члену в выражении (12.7). При
освещении нелинейной голограммы исходной опорной волной г
этот член дает дифрагированный волновой фронт г (2аа*аг*) ~
~ 2аа*а. Влияние этого члена особенно важно, когда голографи-
ФИГ. 12.3. Образование ложных изображений пред-
мета, состоящего из двух точечных
источников.
Ложные изображения образуются за счет
перекрестных членов.
руемый предмет представляет собой ряд точечных источников.
С такой ситуацией встречаются при хранении матриц двоично
закодированной информации в голографической памяти (см. гл. 16).
В качестве примера предположим, что предмет, образующий
в плоскости голограммы волну а, состоит из двух точечных источ-
ников Р1 =0, yi = b, Zi = — d) и Р2 Ui =0, yi = —Ъ, Zi =
= —d), как показано на фиг. 12.3.
§ 1.
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЗАПИСИ
385
Чтобы получить точное выражение для 2аа*а, запишем
комплексную амплитуду сферической волны, исходящей из Pi
и достигающей плоскости голограммы, в виде
а1 = а1ехр(г'ф1) = а1ехрГ —+ 2t/2b)l , (12.11)
где, как и в гл. 3, амплитуду щ мы считаем постоянной в плоскости
голограммы. Аналогично, комплексная амплитуда сферической
волны, приходящей к голограмме из точки Р2, имеет вид
а2 = а2 ехр’(г<р2) = а2 ехр Г — г А- + 2^)1. (12.12)
Если положить = а2 и 1, то суммарная комплексная амплиту-
да предметного пучка в плоскости голограммы составляет
а = а! + а2 = ехр (г’ф4) + ехр (г’ф2). (12.13)
Выражая нелинейный член 2аа*а через и ф2, имеем
2аа*а = 2 [ехр (icpi) 4- ехр (г<р2)1 [ехр (—г’фО + ехр (—г<р2)1 X
X [ехр (г’ф!) + ехр (г<р2)1.
Выполняя умножение, находим
2аа*а = 2 {3 ехр (г’ф^ -|- 3 ехр (г’ф2) + ехр [г (2ф4 — фг)1 +
+ ехр [г (2ф2 — ф1)]}. (12.14)
Первые два члена в правой части (12.14) пропорциональны исход-
ным волновым фронтам, идущим из Pi и Р2, и, таким образом,
соответствуют восстановленным волнам, которые идут из мнимых
изображений точек Pi и Р2. Чтобы выяснить влияние третьего
и четвертого членов в (12.14), подставим значения ф! и ф2 из (12.11)
и (12.12). Тогда выражение для 2ф4 — ф2 принимает вид
2ф1-ф2= _^^[ж» + /а_2?2(ЗЬ)]. (12.15)
Как можно установить из фиг. 12.3, сферическая волна с фазой
2ф1 — ф2 исходит из ложного мнимого изображения точечного
источника Р3, расположенного в точке с координатой i/i = ЗЬ.
Ложное изображение Р3 и истинное изображение Р2 расположены
симметрично относительно точки Pt. Аналогично можно показать,
что сферическая волна с фазой 2ф2 — ф4 исходит из ложного мни-
мого изображения точечного источника Р4, расположенного в точ-
ке с координатой yi = —3b. На фиг. 12.4 приведена фотография
ложных изображений, появляющихся при восстановлении изобра-
жения двух точечных источников [12.2]. Предположим теперь,
25-0990
386
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
что голографируемым объектом является матрица закодированных
в двоичной системе данных, где присутствие точек на пересечении
перпендикулярных рядов, отстоящих друг от друга на расстояние
2Ь, соответствует логической «единице», а их отсутствие — логи-
ческому «нулю». Очевидно, что нелинейная регистрация приведет
к появлению ложных логических «единиц».
ФИГ. 12.4. Влияние нелинейности регистрации
на вид восстановленного изображения.
(По Фризему и Зеленке [12.2].)
а — исходный объект, состоящий из одного
яркого и одного слабого точечных источни-
ков; б — истинные и ложные изображения,
сфотографированные в плоскости изображе-
ния нелинейно зарегистрированной голо-
граммы.
Последний, пятый, нелинейный член в скобках в формуле (12.7)
при освещении голограммы исходной опорной волной с комплекс-
ной амплитудой г дает дифрагированную волну с амплитудой
2аа*а*г2. Она распространяется под углом, соответствующим
несущей пространственной частоте, которая вдвое больше про-
странственной частоты опорной волны. Поскольку такую же
несущую пространственную частоту имеет волна, являющаяся
комплексно-сопряженной с исходной предметной волной, пятый
член приводит к появлению ложных изображений, наклады-
вающихся на действительное изображение объекта, подобных
ложным изображениям, которые накладываются па мнимое изо-
бражение.
Если голографируемые объекты являются диффузно отра-
жающими или диффузно пропускающими, то ложные изображе-
ния, появляющиеся в результате нелинейной записи, приводят
к появлению шумового ореола вокруг истинных изображений.
Чтобы это понять, рассмотрим дифрагированную волну с комплекс-
ной амплитудой (2аа*) а. Волна с такой же комплексной амплиту-
§ 1.
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ЗАПИСИ
387
дой возникает при освещении предметной волной а транспаранта
с пропусканием 2аа*. Поскольку аа* представляет собой интен-
сивность несфокусированного рассеянного предметом света
в плоскости голограммы, пропускание аа* эквивалентно тому,
которое имела бы фотографическая пластинка после линейной
фотографической регистрации однородной засветки с высокой
ФИГ. 12.5. Нелинейные эффекты. (По Гудмену
и Найту [12.3].)
а — исходный объект и опорный источник,
находящийся в плоскости объекта, б — фото-
графия, полученная в плоскости изображения
нелинейно зарегистрированной безлинзовой
фурье-голограммы. Видны ореолы и изобра-
жения второго порядка для широких верти-
кальных полос.
частотой модуляции, обусловленной пятнистостью. Если при-
нять такое представление, то фурье-компоненты пропускания аа*
должны однородно рассеивать каждый луч из падающей предмет-
ной волны в полосе пространственных частот, даваемой функцией
S' [аа*]. Эта полоса имеет в два раза большую ширину, чем поло-
са частот предметной волны. Таким образом, диффузный свет,
25*
388
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
исходящий из голограммы при значительной нелинейности реги-
страции, накладывается на истинное изображение и образует
вокруг него ореол, как показано на фиг. 12.5. Здесь изображения
±1-го и ±2-го дифракционных порядков, возникающие при
нелинейной записи безлинзовой фурье-голограммы, расположены
симметрично относительно недифрагированного пучка нулевого
порядка.
Мы рассмотрели здесь только квадратичные нелинейные члены.
Аналогичным образом можно проанализировать нелинейность
третьего и более высоких порядков.
Например, кубический член дает волну, дифрагированную
под углом, примерно в три раза превышающим угол, под которым
наблюдается линейно восстановленное изображение. Кроме того,
появляются добавочные ложные изображения, которые наклады-
ваются на истинные изображения и окружают их.
§ 2. Пятнистая структура
Как указывалось в гл. 8, § 2, п. 2, проблема пятнистой струк-
туры свойственна не только голографии, но возникает при наблю-
дении любых диффузно рассеивающих объектов, освещенных
лазерным излучением [12.8]. Прежде чем рассматривать некоторые
методы, используемые для уменьшения вредных эффектов, связан-
ных с пятнистостью, мы кратко остановимся на ее природе (более
подробный анализ можно найти, например, в работе [12.9]).
Представим себе диффузный экран (матовое стекло), просвечи-
ваемый плоской когерентной световой волной. При прохождении
через экран эта волна случайным образом модулируется по фазе.
На некотором расстоянии от экрана направления (или простран-
ственные частоты) прошедшего излучения оказываются распреде-
ленными в широких пределах. Такой экран можно рассматривать
как суперпозицию случайным образом ориентированных фазовых
решеток со случайными величинами пространственных периодов.
Тогда плоская падающая волна дифрагирует на этом экране
в стольких направлениях, сколько элементарных фазовых реше-
ток (фурье-компонент) требуется, чтобы характеризовать экран.
В то время как комплексная амплитуда света на поверхности
экрана меняется только по фазе, в любой другой плоскости не
только фаза, но и амплитуда будут флуктуировать, являясь
сложной функцией пространственных координат. Это происходит
в результате интерференции когерентных, но распространяющихся
под случайными углами плоских дифрагированных волн. Фото-
пластинка, освещенная таким рассеянным светом, зарегистрирует
соответствующие флуктуации интенсивности. Однако если струк-
тура матового стекла достаточно тонка, то зарегистрировать
§ 2.
ПЯТНИСТАЯ СТРУКТУРА
389
флуктуации интерференционной картины можно только на высоко-
разрешающем фотослое, а для их наблюдения необходим
микроскоп.
На фиг. 12.6 представлена голограмма картины, образованной
диффузно рассеянным когерентным светом. Благодаря увеличе-
нию на фотографии видны детали, размеры которых имеют порядок
длины световой волны. Хотя в этом случае предметная волна интер-
ферировала с опорной волной, результирующая картина очень
похожа на наблюдаемую в отсутствие опорной волны.
ФИГ. 12.6. Увеличенная фотография участка голо-
граммы, полученной с диффузным пред-
метным пучком.
При диффузном, но когерентном освещении комплексная
амплитуда а в любой точке представляет собой сумму комплексных
амйлитуд всех интерферирующих плоских волн. Таким образом,
ее можно представить как сумму большого числа комплексных
амплитуд со случайно меняющимися фазами:
а = at + а2 + . . . + ап. (12.16)
Иногда удобно представлять комплексную амплитуду в виде фазо-
вого вектора (фазора). Его длина пропорциональна амплитуде,
а угол наклона равен фазе соответствующей комплексной ампли-
туды. На фиг. 12.7 графически изображен случай сложения пяти
комплексных амплитуд. Предположим, что экран рассеивает рав-
номерно во всех направлениях, так что модули всех комплексных
амплитуд равны (так же как и длины соответствующих фазоров
на фиг. 12.7). Тогда изменение амплитуды а результирующей
комплексной амплитуды а = а ехр (i0) в зависимости от положе-
ния в пространстве определяется только фазами комплексных
амплитуд или углами отдельных фазоров, складывающихся в
каждой точке. Таким образом, амплитуда а оказывается случай-
390
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
ной функцией координат, что ведет к образованию пятнистой
структуры (фиг. 12.6).
Хотя амплитудная модуляция когерентного света, рассеянного
экраном, имеет очень высокую пространственную частоту, при
наблюдении с помощью глаза или другой оптической системы
со средней апертурой наблюдается модуляция со сравнительно
низкой пространственной частотой, так называемая пятнистая
структура. Пятнистая структура может значительно затруднить
восприятие информации, которую несет изображение. При этом
ФИГ. 12.7. Сложение произвольно направленных
фазоров, имеющих одинаковую длину.
не существенно, фокусируется ли глаз на бесконечность, на рас-
сеивающий экран или же пятнистая структура рассматривается
в любой более близкой плоскости — картина остается такой же.
Однако, если увеличить апертуру оптической системы, размер
отдельных пятен становится меньше. Следовательно, наблю-
даемая пятнистая структура обусловлена ограничением апертуры
оптической системы.
Предположим, что пятнистая структура наблюдается глазом
или оптической системой, сфокусированными на бесконечность.
Если оптическая система имеет конечную апертуру с радиусом с,
то каждой пространственно-частотной компоненте излучения, диф-
рагированного в систему диффузным экраном, нельзя приписать
одну точку в задней фокальной плоскости оптической системы
(плоскости пространственных частот). Как мы видели в гл. 6,
§ 4, п. 1, в этом случае свет фокусируется в соответствующее
пределу разрешения дифракционное пятно диаметром А =
= 2 (0,61) X (//2с), где / — фокусное расстояние, а 2с// — отно-
сительное отверстие оптической системы. В пространственно-
§ 2.
ПЯТНИСТАЯ СТРУКТУРА
391
частотной плоскости этому пятну соответствует полоса шириной
v = 0,61/с. Поскольку волны в данной полосе частот когерентны,
их амплитуды складываются, как фазоры на фиг. 12.7. Таким обра-
зом, и в этом случае результирующая амплитуда и интенсивность
в любом пятне, расположенном в фокальной плоскости, опреде-
ляются случайными фазами отдельных волн.
Из приведенного рассмотрения следует, что размер пятен
структуры ограничен дифракцией и обратно пропорционален отно-
шению 2с//, т. е. относительному отверстию оптической системы.
ФИГ. 12.8. Вид пятнистой структуры, сфотографи-
рованной при различных апертурах
оптической системы.
а — апертура равна //280; б — апертура рав-
на //93, в — увеличенное в 3 раза изобра-
жение участка фотографии б.
Это .иллюстрируется фиг. 12.8, а — в. На фиг. 12.8, а приведена
фотография диффузно рассеивающей поверхности, полученная
с оптической системой, имеющей апертуру //280. На фиг. 12.8, б
представлена та же поверхность, сфотографированная при апер-
туре //93. Отчетливо видно, что размеры пятен в последнем случае
меньше. При увеличении картины, приведенной на фиг. 12.8, б,
в т раз (т — отношение апертур при получении фотографий
12.8, а и б) ее структура (фиг. 12.8, в) становится очень похожей
на приведенную на фиг. 12.8, а.
Если апертура оптической системы достаточно велика или
уширение светового пучка при прохождении через рассеиватель
настолько мало, что весь свет от предмета проходит через опти-
ческую систему, то качество изображения не ограничивается
дифракцией на оправе линзы. В этом случае оптическая система
не дает наложенной на изображение пятнистой структуры.
Поскольку даже самые высокие пространственные частоты,
имеющиеся в плоскости рассеивателя, разрешаются в его изобра-
жении, достигается неискаженный перенос комплексной амплиту-
392 НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ ГЛ. 12.
ды с поверхности рассеивателя в плоскость изображения. Чисто
фазовая модуляция и равномерное распределение интенсивности
на поверхности диффузора переносятся в плоскость изображения.
В этом случае ни модуляции интенсивности, ни пятнистой структу-
ры не наблюдается.
Исследуем теперь относительную величину флуктуаций интен-
сивности в пятнистой структуре по сравнению со средней интен-
сивностью света. Мы предполагаем, что выражение (12.16) дает
комплексную амплитуду а в любой точке светового поля. Пусть
каждая комплексная амплитуда имеет одинаковую амплитуду ah,
но их фазы случайным образом меняются в пределах 0 <pft 2л.
Наше рассмотрение применимо как к высокочастотным простран-
ственным флуктуациям в несфокусированном свете от рассеиваю-
щего источника, так и к пятнистой структуре с низкой простран-
ственной частотой, наблюдаемой с помощью оптической системы.
Мы хотим рассчитать отношение величины корня из среднего
квадрата флуктуаций интенсивности N к средней интенсивности I:
(12.17)
1 = а2 (12.18)
N=[(I—I)2]1/2 = (I2—fj'2. (12.19)
Статистическое распределение результирующей комплексной ам-
плитуды а = а ехр (i0) в (12.16) представляет собой решение
известной задачи о случайных блужданиях и характеризуется
плотностью вероятности
»<»«)£) (12.20)
(распределение Рэлея; см. [12.10, 12.19*]). Величина а2 в (12.20) —
постоянная, физический смысл которой нужно выяснить. Среднее
значение функции / (а, 0) определяется следующим образом:
Ж~9) = j j / (а, 0) р (а, 0) dQ da. (12.21)
о о
В соответствии с этим для I = а2 имеем
ОО
1 = ^: j «Зех₽(—jJ) da,
О
или
I = а2.
(12.22)
§ 2.
ПЯТНИСТАЯ СТРУКТУРА
393
Чтобы определить N в (12.19), мы также должны вычислить Р.
Поскольку Р = а*, снова используя (12.21), получаем
ОО
j asexp (--g-j da,
о
или
Р = 2а4. (12.23)
Подставляя (12.22) и (12.23) в (12.19), находим
WM2O4—а4]1/2 = а2 = Г. (12.24)
Таким образом, корень из среднего квадрата флуктуаций интен-
сивности равен средней интенсивности.
1. Способы устранения или ослабления пятнистой
структуры
Из сказанного следует, что пятнистость представляет собой
серьезную проблему при получении голографических изображе-
ний. Многие методы устранения или ослабления пятнистости
применимы к случаям, когда предмет представляет собой двумер-
ный транспарант. При диффузном освещении транспаранта
проявляются преимущества, связанные с избыточностью регистра-
ции (см. гл. 8, § 2). Так, облегчается наблюдение изображения,
кроме того, изображение становится нечувствительным к пылин-
кам и царапинам на голограмме. Обычно источником диффузного
освещения служит рассеивающий экран, т. е. матовое стекло,
и рассеяние на его центрах является причиной появления пят-
нистой структуры.
Можно избавиться от пятнистости и при этом в значительной
степени сохранить нечувствительность к пыли и дефектам; для
этого нужно исключить диффузный экран и получить голограмму,
соответствующую фурье-образу пропускания предмета. Предмет
освещается плоской волной, и фурье-преобразование осуществляет-
ся линзой (фиг. 8.25). Регистрация в этом случае является избы-
точной, поскольку каждая точка фурье-образа соответствует
полной комплексной амплитуде излучения, исходящего от всех
частей объекта, имеющих данную пространственную частоту.
Однако, как отмечалось в гл. 8, § 3, п. 3, из-за сильных вариа-
ций интенсивности в фурье-образах большинства предметов не
удается осуществить линейную регистрацию голограмм с высокой
дифракционной эффективностью. Поэтому приходится идти на
компромисс между высокой избыточностью записи, с одной сторо-
394
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
ны, и высокой дифракционной эффективностью голограммы —
с другой. Один из путей достижения такого компромисса состоит
в том, что голограмму помещают в плоскость, слегка смещенную
относительно точного положения плоскости фурье-образа (см.
гл. 16, § 4, п. 3).
Другой метод, в котором несмотря на отсутствие матового экра-
на, обусловливающего появление пятнистой структуры, информа-
ция о предмете распределяется по всей поверхности голограммы,
заключается в использовании фазовой модулирующей пластинки
[12.11]. В качестве последней можно взять стеклянную пластинку
с одной плоской поверхностью, тогда как на другой имеются
неглубокие случайным образом расположенные неровности, имею-
щие низкую пространственную частоту. Такую пластинку поме-
щают вплотную к транспаранту, так что можно считать, что
транспарант и фазовая модулирующая пластинка находятся
в одной плоскости, и освещают их когерентным светом. Процесс
получения голограммы и последующего восстановления волнового
фронта можно считать эквивалентным действию оптической систе-
мы с ограниченной апертурой, которая строит изображение плоско-
сти модулятора и транспаранта в сопряженной плоскости. Если
поверхностные неровности фазового модулятора имеют низкую
пространственную частоту, так что все пространственные частоты
света, дифрагированного на модуляторе и транспаранте, проходят
через апертуру оптической системы, то будет осуществляться
неискаженное отображение плоскости предмета в плоскость
изображения. Однородная освещенность поверхности фазового
модулятора сохранится и в изображении, и пятнистая структура
не появится. В действительности получение хаотического фазового
модулятора связано со значительными трудностями, так что
на практике его заменяют периодической фазовой решеткой [12.12,
12.13].
Пятнистую структуру нужно учитывать, если необходимо
спроецировать на светочувствительную поверхность голографи-
ческое действительное изображение. Если интенсивность каждого
разрешаемого пятна в изображении представляет собой среднее
из большого числа значений интенсивности, то можно уменьшить
пятнистость, сохранив рассеиватель при получении голограммы.
Для этого нужно получить голограмму достаточно больших разме-
ров (с большим относительным отверстием), так чтобы разрешение
в проецируемом изображении было больше, чем это необходимо
при его регистрации на светочувствительной поверхности. Если
размер пятен мал по сравнению с пределом разрешения фотослоя,
то будет происходить усреднение интенсивности и вызванные пят-
нистостью флуктуации интенсивности устранятся.
Усреднение можно осуществить и другим способом. Предполо-
жим, что на одной фотопластинке рядом получено много голо-
§ 2.
ПЯТНИСТАЯ СТРУКТУРА
395
грамм. Для всех голограмм транспарант, служащий объектом,
оставался одним и тем же, но диффузный экран между экспози-
циями менялся. После проявления и фиксирования с помощью
каждой голограммы последовательно получают действитель-
ное изображение предмета на светочувствительной поверхности
112.14].
При многократном экспонировании осуществляется наложение
интенсивностей большого числа изображений, каждое из которых
несет одинаковую информацию о предмете, но характеризуется
различной пятнистой структурой, в результате чего и происходит
усреднение. Однако этот способ ослабления пятнистой структуры
сравнительно мало эффективен. Чтобы улучшить отношение сигна-
ла к корню из среднего квадрата флуктуаций интенсивности
в п раз, нужно произвести усреднение по п1 2 изображениям [12.14].
Таким образом, площадь, необходимая для регистрации этих
голограмм, в п2 раз больше минимальной площади, необходимой
для регистрации голограммы недиффузного предмета.
В гл. 8, § 3, п. 2, было показано, что с помощью голограммы
сфокусированного изображения двумерного объекта можно полу-
чить изображение с высоким разрешением даже при ее освещении
протяженным тепловым источником. Предположим, что такая
голограмма была получена с матовым экраном в освещающем
пучке так, что при освещении когерентным светом в изображении
появляется пятнистая структура. Если вместо этого осветить
голограмму протяженным источником, так что область простран-
ственной когерентности становится меньше предельно разрешимого
пятна в изображении, то фазоры в каждом пятне изображения уже
не будут складываться когерентно. В этом случае складываются
только их интенсивности, и пятнистая структура, таким образом,
исключается. Однако если на голограмме сфокусированного
изображения зарегистрирован трехмерный объект, то освещение
такой голограммы источником конечных размеров приводит
к некоторой потере разрешения вследствие того, что значительная
часть изображения лежит вне плоскости голограммы. Тривиаль-
ный, но неудобный способ усреднения пятнистой структуры при
исследовании трехмерных объектов, освещенных лазером, заклю-
чается в том, что наблюдатель должен непрерывно менять положе-
ние головыг). Оптимальные методы наблюдения трехмерных
объектов еще ждут своей разработки.
1) Можно рекомендовать также другие способы усреднения пятнистой
структуры во времени-, укрепление фурье-голограммы на вибрирующем дер-
жателе, а также введение в восстанавливающий пучок до его расширения
хаотически движущейся фазовой неоднородности, например вращаемого
электромотором диска из полиэтиленовой пленки.— Прим. ред.
396
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12.
§ 3. Шум, обусловленный зернистостью фотослоя
При низкой эффективности голограммы рассеяние света отдель-
ными зернами проявленного фотослоя становится существенным
источником шума. Низкой дифракционной эффективностью неиз-
бежно обладают голограммы слабо отражающих объектов при
коротких экспозициях, а также голограммы, полученные путем
наложения нескольких абсорбционных (амплитудных) голограмм
на одну и ту же пластинку (см. гл. 17, § 5, п. 5). Шум, обусловлен-
ный зернистостью фотослоя, часто определяет верхний предел
числа голограмм, которые можно зарегистрировать на одной
пластинке. Голограммы в некогерентном свете можно также рас-
сматривать как суперпозицию голограмм с низкой дифракционной
эффективностью; их применимость ограничивается главным обра-
зом шумом, обусловленным зернистостью пленки. В дальнейшем
мы рассмотрим амплитудные голограммы, но основные выводы
справедливы и для фазовых голограмм.
1. Шум, обусловленный зернистостью фотослоя,
в голограммах Фурье
Начнем с исследования влияния шума, обусловленного зер-
нистостью, на голограммы Фурье. Пусть плоская волна, падающая
нормально на фотопластинку, освещает ее равномерно. После
экспонирования пластинка проявляется, фиксируется, помещает-
ся непосредственно перед линзой (фиг. 12.9) и снова освещается
плоской волной. Рассеянный свет, соответствующий интенсивности
шума, измеряется в задней фокальной плоскости. Такие измерения
можно проводить для голограмм Фурье, поскольку схема на
фиг. 12.9 эквивалентна схеме, используемой при освещении фурье-
голограмм (фиг. 8.23), и плоскость наблюдения или изображения
фурье-голограммы представляет собой заднюю фокальную плос-
кость линзы.
Представим теперь интенсивность света, рассеянного равно-
мерно засвеченной пластинкой, как функцию координат (£, ц)
в частотной плоскости (в задней фокальной плоскости линзы).
Для этого запишем амплитуду шума в задней фокальной плоскости
линзы в виде, аналогичном (8.16):
а(§, ц) = ^ехр[—§-(^ + ^)]T(g,7]), (12.25)
где а — амплитуда волны, равномерно освещающей пластинку
с пропусканием t (жь z/j), и где Т (g, ц) с t (жь z/j). Тогда интен-
сивность в некоторой точке (g, ц) частотной плоскости запишется
« 3.
ШУМ, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ЗЕРНИСТОСТЬЮ ФОТОСЛОЯ
397
•следующим образом:
In (I, П) = а (§, ц) а* (£, 7]) =
2 2
= Т а, 7]) Т* (§, 7]) = -^F (g, 7]), (12.26)
тде
F (£, 7]) = Т (g, 71) Т* (§, 1]) с t {хъ у J ¥ t (Xi, Z/i).
Распределение освещенности в частотной плоскости характери-
зуется высокочастотной пятнистой структурой. Впредь нас будет
ФИГ. 12.9.
Схема измерения энергетического спе-
ктра.
интересовать локальная интенсивность света, усредненная по
многим пятнам:
_2 _______
W,n) = -^^,n). (12-27)
Равенство (12.27) можно записать с помощью энергетического
(винеровского) спектра Ф (£, р) — отношения мощности шума,
рассеянного в единичной полосе двумерной пространственной
частоты РN/B, к мощности Рг, падающей на пластинку. Поскольку
ширина полосы В = связана с площадью х^уъ в фокальной
плоскости равенством х^у^. = ^2/2511 (см. СТР. 138), единичная поло-
са частот эквивалентна X2/2 единицам площади. Таким образом,
= kJNKf = kxa2F = (k^AH) =
398
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА. ШУМЫ
ГЛ- 12.
где Ан — площадь пластинки, a kt — постоянная, определяемая
равенством (7.32). Отсюда
-&Г = Л7Г2-^ф^г’)’ (12-28)
и формулу (12.27) можно записать в виде
(12,29)
Энергетический спектр зависит от типа фотопластинки (т. е. от
размера зерен) и от ее среднего амплитудного пропускания после
ФИГ. 12.10. Энергетические спектры пластинок
Кодак 649F для нескольких значений
пропускания по интенсивности.
7 — пропускание 54%, 2 — 28% , 3 — 18% ,‘
4 — контрольные данные для прозрачной
пластинки.
экспонирования и проявления. Измерение мощности шума в фурье-
плоскости и, таким образом, энергетического спектра, осуще-
ствляется в пределах апертуры детектора, определяющей центр
полосы пространственных частот и ее ширину (фиг. 12.9). Для
нахождения энергетического спектра строят зависимость мощности
шума от положения детектора в фурье-плоскости, т. е. от про-
странственной частоты. Чтобы получить надежное усредненное
значение IN (£, р), апертура детектора должна быть достаточно
большой, т. е. захватывать много пятен [12.15]. Энергетические
спектральные кривые для пластинок Кодак 649F приведены на
§ 3.
ШУМ, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ЗЕРНИСТОСТЬЮ ФОТОСЛОЯ
399
фиг. 12.10 [12.16]. Энергетический спектр измерялся как функция
радиальной частоты v = (§2 + т]2)1/2, причем предполагалось, что
функция Ф (£, ц) аксиально симметрична. Результаты измерений
энергетических спектров опубликованы также в работе [12.17].
2. Шум, обусловленный зернистостью фотослоя,
в случае голограмм Френеля
Плоскость изображения френелевской голограммы в большин-
стве случаев расположена в дальнем поле по отношению к зернам
фотопластинки. Поскольку картина дальнего поля описывается
выражением (8.22), имеющим тот же вид, что и (12.25), формальное
рассмотрение шума, связанного с зернистостью пленки, для фре-
нелевской голограммы аналогично соответствующему рассмотре-
нию для фурье-голограммы. Различие состоит в определении
пространственной частоты, использованном в равенстве (12.28).
В случае фурье-голограмм в каждую точку плоскости наблюдения
(фурье-плоскости) приходит только свет, дифрагированный голо-
граммой в одном направлении, которое определяется данной парой
координат в частотном пространстве £, т]. Измеряя мощность
шумов в точках плоскости £т], можно получить энергетический
спектр шума. В случае френелевской голограммы световые лучи
идут от разных точек голограммы в данную точку изображения
под разными углами, т. е. в некотором интервале пространствен-
ных частот. Если измерять мощность шумов по схеме, представлен-
ной на фиг. 12.9, то каждой точке плоскости изображения фре-
нелевской голограммы следует приписать средние значения § и ц
(Sa, Ла)- Например, значения сА и т]А можно выбрать так, чтобы
они были равны пространственным частотам, соответствующим
рассеянным световым лучам, идущим от центра пластинки в точку
наблюдения в плоскости изображения. Тогда для средней величи-
ны интенсивности шума в точке в плоскости изображения получим
Ф(^а) , (12.30)
где d — расстояние от пластинки до точки наблюдения.
3. Отношение сигнал —шум
При вычислении отношения сигнала к шуму, обусловленному
зернистостью фотослоя, в восстановленном голограммой изобра-
жении необходимо учитывать, что сигнал и шум когерентны
и поэтому складываются их амплитуды [12.18]. Так же как в слу-
чае пятнистой структуры (см. § 2 настоящей главы), разумно
400
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ- 12.
определить шум N как корень из среднего квадрата флуктуаций
результирующей интенсивности:
N = [(/—/)2]1/2 = (Р—Г)1/2. (12.31)
В этом случае применима статистика случайных блужданий
(см. § 2) и общее выражение для нахождения среднего значения
совпадает с формулой (12.21). Пусть в плоскости изображения
интенсивность сигнала равна /г, а его комплексная амплитуда
равна аг. Далее, пусть в той же плоскости IN представляет собой
интенсивность шума, связанного с зерном фотослоя (в отсутствие
сигнала), a aN соответствующую ему комплексную амплитуду.
Оценим значение N, воспользовавшись выражением (12.31). Будем
считать свет, идущий от объекта, недиффузным, так что амплитуда
сигнала в плоскости изображения аг полностью определена.
В плоскости изображения происходит интерференция сигнала
и шума; результирующая интенсивность имеет вид
I = (аг 4“ йа) (аг + aw)* = It + + aiaN + a?aA- (12.32)
Возводя эту величину в квадрат, получаем
Р — II +/n-|- a? aJv + + 21 ilN -|- 2/1а;а& -|- 2Z;afaN +
+ 21 Na^ + 2/Na:aN + 2/JN. (12.33)
Чтобы оценить величину N по формуле (12.31), нужно вычислить
среднюю величину Р. Поскольку амплитуда aN равна сумме
многих комплексных амплитуд со случайными фазами, соответ-
ствующая плотность вероятности опять определяется формулой
(12.20). Используя (12.21), можно показать, что средняя величина
всех членов в (12.33), содержащих любые степени aN (или а#),
равна нулю. Действительно, если плотность вероятности для
aN = а ехр (id) описывается формулой (12.20), то для среднего
значения а’^, где т — целое число, не равное нулю, имеем
а™ = а™ ехР (im®) — \ ехР ( ~ § ехР (^9) ^0 — 0>
о о
поскольку интеграл по 0 равен нулю. Поэтому в выражении
(12.33) для среднего значения Р остаются только следующие
члены;
r = + (12.34)
Обратимся снова к § 2. Сравнивая (12.22) и (12.23), получаем
7^=2Tn. (12.35)
§ 3. ШУМ, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ЗЕРНИСТОСТЬЮ ФОТОСЛОЯ 401
Здесь мы заменили I в (12.22) и (12.23) на IN. Подставляя (12.35)
в (12.34), получаем
r = 7?+27tf + 4MN. (12.36)
Другой величиной, необходимой для расчета TVno формуле (12.31),
TN
ФИГ. 12.11. Зависимость отношения сигнал — шум
I}/N от отношения интенсивности сиг-
нала к средней интенсивности шума
в отсутствие сигнала
является квадрат средней интенсивности 72. Из (12.32) имеем
I —
и
Г = Гг+21^ + 1^. (12.37)
Подставляя (12.36) и (12.37) в (12.31), величину шума N запишем
в виде
N = (P-r^ = (fN+2IlTN)1/^TN (1 + 4^41/2 (12-38)
и для отношения сигнала к шуму получим
•4 = -=-----Ц --I7- • (12.39)
26—0990
402
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
гл. 12-
Зависимость отношения сигнал — шум от IJ1N изображена на
фиг. 12.11. Возможны два предельных случая:
1) когда А «1, 4 = -Г-> (12-40)
2)wi»l, А ’ ('Ll*''. (12.41)
^N У 2 ' Jjy >
Обычно представляет интерес второй случай. При этом для коге-
рентного освещения отношение сигнал — шум пропорционально
отношению корней квадратных из интенсивности сигнала и сред-
ней интенсивности шума, обусловленного зернистостью фотослоя
в отсутствие сигнала, т. е. отношению их амплитуд.
4. Иллюстративный пример
Для иллюстрации важности выведенного соотношения (12.41)
рассмотрим влияние шума, обусловленного зернистостью фотослоя,
на качество изображения матрицы двоично закодированных дан-
ных, восстановленных системой голографической памяти (см.
гл. 16, § 4). Предположим, что маленькая голограмма диаметром
1,25 мм освещается пучком, сопряженным опорному пучку,
использованному при ее получении. При этом на расстоянии
15 см от голограммы образуется изображение матрицы размером
2,5 X 2,5 см (маленькая голограмма представляет собой одну
из набора голограмм, хранящихся в памяти). При определенной
таким образом относительной апертуре голограммы находим, что
набор из 100 X 100 ярких точек диаметром 0,1 мм может
составить матрицу, содержащую 104 логических единиц. Мы хотим
вычислить отношение интенсивности сигнала 1г в одном из этих
пятен к N, т. е. к корню из среднего квадрата флуктуаций
интенсивности пятен, при условии 1г 3> I^IilN = (1//2)
[см. (12.41)]. Средняя интенсивность шума IN определяется фор-
мулой (12.30)
Г pt Ра)
N ki
Рассмотрим точку, расположение которой в плоскости изображе-
ния соответствует средней пространственной частоте 400 мм'1.
Чтобы найти энергетический спектр, воспользуемся кривой (фиг.
12.10) для фотопластинок типа Кодак 649F при пропускании,
равном 28%. Величина Ф (§А, Ла) оказывается равной примерно
4-10~° мм2. Полагая Х= 0,633 мкм = 0,633 ПО-3 мм и d =
= 15 см = 150 мм, для средней величины интенсивности шума
§ 3.
ШУМ, ОБУСЛОВЛЕННЫЙ ЗЕРНИСТОСТЬЮ ФОТОСЛОЯ
403
в пятне получаем
IN = 4,4-1СГ7 (мм)'2-^-.
Интенсивность светового сигнала в этом пятне можно представить
как
(12.42)
1 ki MAS '
где Pi — мощность, падающая на голограмму; ц — дифракцион-
ная эффективность голограммы; М — 104 — количество пятен
в изображении матрицы и As — площадь одного из пятен диамет-
ром 0,1 мм. Полагая ц = 1%, находим
Il = 1,27-10-4 (мм)-2^-.
Подставляя величину IJIN в (12.41), найдем отношение сиг-
нал — шум:
^=И,9.
Таким образом, только за счет шума, связанного с зернистостью
фотослоя, интенсивность ярких пятен в изображении матрицы
двоично закодированной информации меняется от пятна к пятну
в пределах 8%. Если же, с другой стороны, сравнить величину IN
в точке изображения матрицы, где яркое пятно отсутствует (т. е.
в месте, соответствующем логическому нулю), с интенсивностью
яркого пятна, то окажется, что интенсивность шума составляет
всего 0,35% от интенсивности яркого пятна. Наш пример иллю-
стрирует, что даже слабая средняя интенсивность шума приводит
к значительным флуктуациям интенсивности. Это обусловлено
сложением амплитуд сигнала и шума при использовании когерент-
ного освещения.
ЛИТЕРАТУРА
12.1. KOZMA A., Journ. Opt. Soc.
Amer. 56, 428 (1966).
Фотографическая регистра-
ция пространственно-моду-
лированного когерентного
излучения.
12.2. FRIESEM A. A., ZELEN-
КА J. S., Appl. Opt., 6,
1755 (1967).
Влияние нелинейности плен-
ки в голографии.
12.3. GOODMAN J. W., KNIGHT
G. R., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 1276 (1968). Вли-
яние нелинейности пленки
па восстановление изобра-
жения диффузных объектов.
12.4. BRYNGDAHL О., LOH-
MANN A., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 1325 (1968).
Нелинейные эффекты в голо-
графии.
12.5. KOZMA A., Opt. Acta, 15,
527 (1968).
Анализ нелинейности фото-
пленки при голографической
регистрации.
12.6. BRYNGDAHL О., LOH-
MANN A. W., Journ.
Opt. Soc. Amer., 58, 141
(1968).
Интерферограмма как голо-
грамма сфокусированного
из об ра женин.
26*
404
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, СТРУКТУРА, ШУМЫ
ГЛ. 12
12.7. MATSUMOTO К., Journ.
Opt. Soc. Amer., 59, 777
(1969).
Голографическая многолу-
чевая интерферометрия.
12.8. RIGDEN J. D., GOR-
DON Е. I., Proc. IRE, 50,
2367 (1962).
Пятнистая структура рассе-
янного лазерного излучения.
12.9. ENLOE L. Н., Bell Syst.
Tech. Journ., 46, 1479 (1967).
Шумоподобная структура в
изображении диффузно отра-
жающих предметов при ко-
герентном освещении.
12.10. MIDDLETON D., An Intro-
duction to Statistical Commu-
nication Theory, New York,
1960.
12.11. UPATNIEKS J., Appl. Opt.,
6, 1905 (1967).
Улучшение качества двумер-
ных изображений в когерент-
ных оптических системах.
12.12. LEITH Е. N., UPAT-
NIEKS J., Appl. Opt., 7,
2085 (1968).
Получение изображений при
псевдохаотическом диффуз-
ном когерентном освещении.
12.13. GERRITSEN Н. J., HAN-
NAN W. J., RAM-
RERG Е. G., Appl. Opt., 7,
2301 (1968).
Устранение пятнистого шума
в голограммах с избыточно-
стью информации.
12.14. MARTIENSSEN W., SPIL-
LER S., Phys. Lett., 24А,
126 (1967).
Еосстановление голографи-
ческого изображения без
пятнистой структуры.
12.15. KOZMA A., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 436 (1968).
Елияние шума, обусловлен-
ного зернистостью фотослоя,
в голографии.
12.16. RURCKHARDT С. В., Appl.
Opt., 6, 1359 (1967).
Информационная емкость
оптически полученных про-
странственных фильтров для
опознавания образов.
12.17. VILKOMERSON D. Н. R.,
Appl. Opt., 9, 2080 (1970).
Измерение спектральной
плотности шума фоточувстви-
тельных материалов на вы-
соких пространственных ча-
стотах.
12.18. GOODMAN J. W., Journ.
Opt. Soc. Amer., 57, 493
(1967).
Шум, обусловленный зерни-
стостью фотослоя, при полу-
чении изображений методом
восстановления волнового
фронта.
12.19* . ДАВЕНПОРТ В. Б.,
РУТ В. Л., Введение в тео-
рию случайных сигналов и
шумов, М., 1960, § 7.6, 8.5,
8.6.
Глава 13
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
В гл. 10 и 12 были установлены источники шумов и других
помех, затрудняющих получение голографических изображений,
точно соответствующих оригиналу и характеризующихся высоким
разрешением. Многие из этих трудностей отпадут, когда будут
созданы более высококачественные светочувствительные материа-
лы. К настоящему времени уже изобретен ряд способов исполь-
зования уникальных изображающих свойств голограмм. Мы рас-
смотрим случаи, где в силу особых технических и экономических
причин голографическим методам получения изображения предме-
та следует отдать предпочтение по сравнению с обычными опти-
ческими методами. В принципе голография может найти приме-
нение в области микроскопии, фотолитографии, при передаче
изображений через земную атмосферу, для шифровки и в устрой-
ствах оптической памяти. Последний вопрос обсуждается в гл. 16,
здесь мы рассмотрим другие области применения.
§ 1. Микроскопия
Микроскопия, для усовершенствования которой в свое время
была изобретена голография, уже больше не является основной
областью ее применения, хотя работы в этом направлении про-
должаются. Габор предлагал использовать при восстановлении
излучение с значительно большей длиной волны, чем на стадии
получения голограмм; при этом увеличение должно быть равно
отношению длин волн [см. выражение (3.33)]. Если на обеих
стадиях голографического процесса используется видимый свет,
то получить увеличение можно, уменьшив кривизну фронта вос-
станавливающей волны по сравнению с опорной (см. гл. 3, § 3,
п. 1). Увеличение получается без применения линз. Однако, как
отмечено в гл. 3, оно сопровождается аберрациями. В работе [13.1]
сообщалось о получении примерно стократного увеличения с воз-
можностью разрешения деталей размером в несколько микрон.
Однако в литературе отсутствуют публикации о безлинзовой запи-
си и восстановлении изображений, размеры деталей которых
близки к длине волны света. Высокая точность, с которой должен
быть сформирован освещающий волновой фронт, а также жесткие
требования к качеству фотоматериалов создают трудности в дости-
406
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
жепии такого высокого разрешения с помощью безлинзовой
голографии. С помощью голограммы, зарегистрированной в уста-
новке, показанной на фиг. 13.1, было получено разрешение около
1 мкм [13.2—13.4]. Здесь, как и в обычном микроскопе, объектив
создает увеличенное действительное изображение предмета
ФИГ. 13.1. Схема голографического микроскопа.
и регистрируется голограмма этого изображения. При восстановле-
нии голограмма воспроизводит изображение, которое затем наблю-
дается с помощью окуляра микроскопа. На фиг. 13.2 представлена
фотография полученного таким способом изображения волок-
нистого материала. Стрелка указывает на волокно диаметром
1 мкм.
Для обычных амплитудных объектов нет почти никакого смысла
получать голограммы, которые лишь воспроизводят изображение,
уже образованное объективом микроскопа. Существуют, однако,
ситуации, когда голографическая запись обладает преимущества-
f> 1.
МИКРОСКОПИЯ
407
ми. Такой ситуацией, при которой целесообразно применять
голографию, является, в частности, фазовая микроскопия. Чтобы
обнаружить фазовую модуляцию световой волны, прошедшей
через прозрачный (фазовый) объект, ее сначала нужно превратить
в амплитудную модуляцию. Обычно это делается с помощью
ФИГ. 13.2.
Изображение, восстановленное с голо-
граммы, полученной с помощью устрой-
ства, показанного нафиг. 13.1. (По Ван
Лигтену и Остербергу [13.2].)
Стрелка указывает на волокно диаметром
1 мкм.
интерференционного микроскопа, схема которого показана на
фиг. 13.3 [13.5]. Установка состоит из источника света, светодели-
тельной призменной системы, двух объективов, призменной систе-
мы для сведения световых пучков и системы наблюдения. Фазовый
объект на предметном стекле микроскопа помещается в одну из
оптических ветвей, а в другой помещается предметное стекло без
объекта. После сведения световых пучков, которые распростра-
нялись по двум ветвям, увеличенное изображение фазового объек-
408
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
та интерферирует с немодулированным пучком. В результате оно
оказывается промодулированным по амплитуде и становится види-
мым. Чтобы ликвидировать нежелательные интерференционные
полосы, оптические пути предметного пучка и пучка сравнения
должны быть тщательно уравнены, т. е. показатели преломления
ФИГ. 13.3. Схема обычного интерференционного
микроскопа. (По Сноу и Вандеваркеру
[13.5].)
и толщины стеклянных элементов должны быть совершенно оди-
наковы. Одинаковым должно быть также и увеличение. В связи
с этим стоимость интерференционного микроскопа довольно высо-
ка.
Голографический вариант интерференционного микроскопа
можно описать, обращаясь к фиг. 13.1. Сначала чистое стекло
помещают в предметный пучок и получают голограмму. После
§ 1.
МИКРОСКОПИЯ
409
ФИГ. 13.4.
Интерферограмма капли масла, полу-
ченная в голографическом интерферен-
ционном микроскопе. (По Сноу и Ван-
деваркеру [13.5].)
410
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
проявления голограмму возвращают в ее исходное положение
и освещают первоначальной опорной волной. Тогда голограмма
восстанавливает волну, прошедшую через чистое предметное стек-
ло. Если затем поместить фазовый объект на предметное стекло,
то дифрагировавшая на нем волна будет интерферировать с вол-
ной, восстановленной голограммой. Для фокусировки на плос-
кость изображения, построенного объективом, используется оку-
ляр. На фиг. 13.4 показана полученная таким образом интерферо-
грамма капли масла, нанесенной на предметное стекло. Таким
образом, применение голограммы позволяет получить немодули-
рованный пучок сравнения гораздо легче, чем в обычном интер-
ференционном микроскопе. В отличие от интерференционного
микроскопа здесь нет необходимости точно подбирать парные
оптические детали в каждой ветви. Вместо этого используются
волны, прошедшие по одному и тому же пути в разные моменты
времени. Это возможно благодаря способности голограммы сохра-
нять запись волнового фронта и восстанавливать его в нужный
момент времени. Операцию получения голограммы с записью
волнового фронта сравнения необходимо выполнить только один
раз, по-видимому, при изготовлении микроскопа. Исследователь,
применяющий микроскоп, не должен сам заниматься голографией,
он использует голограмму так же, как и другие оптические эле-
менты микроскопа. Необходимо только, чтобы предметные стекла
были оптически плоскими.
Когда на голограмме зарегистрировано не чистое предметное
стекло, а представляющий интерес фазовый объект, возникают
другие возможности. Если поместить проявленную голограмму
на прежнее место и восстановить опорным пучком предметную
волну, то восстановленный волновой фронт в плоскости изобра-
жения проинтерферирует с первоначальным волновым фронтом
в этой плоскости. Предположим, что плоскость голограммы рас-
полагается таким образом, что волновые фронты изображений,
созданных голограммой и объективом микроскопа, находятся в
фазе по всей плоскости изображения; в этом случае мы получим
однородную интенсивность. Если одно из изображений затем
смещается (смещение должно быть меньше предела разрешения
микроскопа), то в тех частях изображения, где фаза меняется
быстро, наблюдаются изменения интенсивности. Там, где фаза
меняется медленно, оба изображения находятся, по существу,
еще в фазе. В тех участках, где фаза сильно зависит от координат
в плоскости изображения, т. е. на краях фазового объекта, будет
наблюдаться некоторое изменение фазы и, следовательно, умень-
шение наблюдаемой интенсивности света. Эта техника представля-
ет собой голографический вариант дифференциальной интерферо-
метрии и используется для выявления контуров. Голограмму
можно использовать также для получения изображения микроско-
§ 2. АНАЛИЗ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ 411
пического биологического объекта, содержащего очень медленно
движущиеся области (участки) в статическом окружении [13.6].
На стадии восстановления волнового фронта движущиеся
участки резко проявляются в виде темных областей изображения.
Только те части предмета, которые достаточно неподвижны во
время экспозиции, дают высококонтрастную интерференционную
картину и яркие области на восстановленном изображении.
§ 2. Анализ аэрозольных частиц
Одним из первых применений голографии был анализ аэро-
зольных частиц. В этом случае наглядно выявляются важные
преимущества, которыми обладает голографическая регистрация
движущихся микроскопических объектов по сравнению с фото-
графической регистрацией или непосредственным наблюдением.
Если исследуемый объект мал, то требуется большое увеличение,
а глубина поля микроскопа соответственно уменьшается. Предпо-
ложим, что в определенный момент времени мы хотим зарегистри-
ровать движущиеся микроскопические объекты, распределенные
по объему; или предположим, что мы хотим зарегистрировать
единичное быстропротекающее случайное событие, когда известно,
что оно произойдет в данное время внутри данного объема, но
точное месторасположение его внутри объема неизвестно. При
таких быстропротекающих процессах полезно иметь возможность
зарегистрировать весь интересующий объем в нужный момент
времени с помощью голограммы, а затем в стационарных условиях
детально исследовать трехмерное изображение по всему объему.
Поскольку при получении голограммы пластинка не обязательно
должна находиться в определенной плоскости изображения, сопря-
женной плоскости объекта, на голограмме можно зарегистриро-
вать весь объем с разрешением, которое в конечном счете огра-
ничивается только апертурой голограммы г).
Аэрозольные частицы очень малы, обычно от 5 до 50 мкм
в диаметре. Голографическая пластинка будет находиться в даль-
нем поле практически при любом расстоянии от объема, содержа-
щего частицы. Для получения безлинзовой фраунгоферовой голо-
граммы (см. гл. 8, § 3, п. 6) объем с частицами освещают импуль-
сом от рубинового лазера (см. гл. 11). При осевой геометрии тре-
бования к когерентности излучения импульсного рубинового лазе-
ра минимальны; кроме того, действительное изображение практи-
чески не искажается из-за наложения на него дифракционной
картины дальнего поля от мнимого изображения.
1) Это не совсем так. Разрешение ограничивается также шумами, кото-
рые взаимно создают частицы, лежащие в разных плоскостях.— Прим. ред.
412
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
На фиг. 13.5 показана схема установки, применявшейся для
регистрации голограмм (см. работу Томпсона и др. [13.7], где
имеются ссылки на более ранние работы, посвященные этому
ФИГ. 13.5.
Схема записи голограмм аэрозольных
частиц.
вопросу). Для получения голограмм с помощью коротких лазер-
ных импульсов требуются высокочувствительные фотоматериалы,
которые обычно обладают низким разрешением. Для уменьшения
ФИГ. 13.6. Схема восстановления изображения по
голограммам аэрозольных частиц.
пространственной частоты интерференционной структуры можно
увеличить изображение исследуемого объема с помощью линзы,
как показано на фиг. 13.5, а затем увеличенное изображение
зарегистрировать на голограмме. Увеличение необходимо для
уменьшения диапазона пространственных частот в фурье-образе
и, следовательно, в фраунгоферовой картине [см. выражения (4.22)
и (8.22)]. При увеличении в 5 раз необходимое разрешение пластин-
§ 2.
АНАЛИЗ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
413
ни, на которой записывается голограмма, пе превышает 100 мм-1.
Для регистрации голограмм можно использовать пленку Кодак
SO-243 г), более чувствительную, чем 649F.
Схема удобного и безопасного для глаз способа наблюдения
изображения показана на фиг. 13.6 [13.7]. Параллельный пучок
от гелий-неонового лазера освещает голограмму, создавая за ней
ФИГ. 13.7.
Изображение аэрозольных частиц на те-
левизионном экране. (По Томпсону и др.
[13.7].)
(справа на схеме) действительное изображение частиц в исследуе-
мом объеме. Линзы проецируют одну из плоскостей изображения
с увеличением на трубку телевизионной камеры. Изображение
этой плоскости наблюдается на телевизионном экране; общее
увеличение достигает 300 X . Можно исследовать любую другую
х) Аналогичная отечественная пленка —«тип 18».— Прим. ред.
414
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
плоскость изображения, для этого достаточно просто сместить
голограмму по направлению к линзам и телевизионной камере.
На фиг. 13.7 показана фотография частиц, видимых на экране.
§ 3. Передача изображения через среду,
вносящую фазовые искажения
Когда среда между предметом и обычной изображающей систе-
мой содержит фазовые неоднородности, как, например, линза
с аберрациями, стеклянная пластинка с неровной поверхностью,
экран из матового стекла или турбулентная атмосфера, инфор-
мация о предмете может быть так искажена, что он станет неузна-
ваемым. Было разработано несколько голографических методов,
позволяющих получать неискаженное изображение предмета через
искажающую среду, при этом использовалась способность голо-
грамм сохранять фазовую информацию.
1. Метод голограммы сфокусированного изображения
На фиг. 13.8 показана голографическая система, которая ком-
пенсирует искажения, возникающие при прохождении волны
через тонкую фазовую неоднородность. Искажения могут быть
слабыми, как в случае аберраций, создаваемых линзами [13.8],
или более сильными, как в случае беспорядочного рассеяния на
тонком экране из матового стекла [13.9]. Используя тот же рас-
сеиватель (фазовую неоднородность), линзу и голограмму, можно
получить действительное изображение предмета, расположенное
позади рассеивателя (фиг. 13.9).
Для осуществления такого способа рассеиватель должен пред-
ставлять собой плоский фазовый объект, пропускание которого
описывается зависящим от координат экспоненциальным фазовым
множителем. Если на фиг. 13.8 рассеиватель и плоскость голо-
граммы располагаются в сопряженных плоскостях линзы (плос-
кость предмета и плоскость изображения) и рассеиватель осве-
щается плоской волной, то комплексная амплитуда а! волны
непосредственно за рассеивателем является также амплитудой
волны и в плоскости голограммы. При получении голограммы
используется сходящаяся опорная волна, имеющая в плоскости
голограммы комплексную амплитуду а2. Эта волна интерферирует
с волной, имеющей комплексную амплитуду аР Нас будет инте-
ресовать член а*а2 в выражении для пропускания голограммы
[см. выражение (1.15)]. Предположим, что освещение, положение
линзы и рассеивателя остаются фиксированными в течение того
времени, пока голограмма проявляется и возвращается в исходное
§ 3.
ПЕРЕДАЧА ИЗОБРАЖЕНИЯ
415
положение. Сходящаяся опорная волна устраняется, и голограмма
освещается только волной аР
ФИГ. 13.8.
Схема получения голограмм сфокусиро-
ванных изображений, в которой компен-
сируются фазовые искажения, вноси-
мые рассеивателем.
ФИГ. 13.9.
Схема получения действительного или
мнимого изображения предмета позади
рассеивателя, в которой используется
голограмма сфокусированного изобра-
жения.
В этом случае позади голограммы образуется дифрагированная
волна с комплексной амплитудой а1а*а2. Поскольку а^ — чисто
фазовая функция координат в плоскости голограммы, произведе-
ние ащ* равно константе Ц. В соответствии с выражением (1.16)
416
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
мы получаем восстановленную волну с комплексной амплитудой
У\а2 а2, где а2 — комплексная амплитуда первоначальной схо-
дящейся волны. Теперь поместим прозрачный предмет перед рас-
сеивателем и осветим его плоской волной, как показано на фиг.
13.9. На рассеиватель падает волна с комплексной амплиту-
дой а0, тогда как в плоскости голограммы комплексная амплитуда
равна аоар
При таком освещении голограмма дифрагирует волну с ком-
плексной амплитудой а0а1а*а2 ~ а0а2. Такую же комплексную
амплитуду a<)a2 мы имели бы, если бы свет, прошедший через
объект, был затем пропущен через собирающую линзу. Действие
рассеивателя полностью скомпенсировано. Поэтому можно счи-
тать, что при наличии голограммы рассеиватель как бы заменяется
тонкой собирающей линзой, расположенной в той же плоскости.
Фокус этой линзы лежит вне оси.
Обозначим через d0 расстояние между предметом и рассеивате-
лем и через / — расстояние между голограммой и точкой, в кото-
рой сходится исходный опорный пучок (расстояние измеряется
вдоль центрального луча); тогда расстояние до изображения
йг- можно определить по формуле тонкой линзы: 1// = l/d0 + 1/d;-
Когда d0 превосходит /, получается действительное изображение
предмета в плоскости, расположенной позади, т. е. на схеме справа
от голограммы, в направлении, определяемом осью исходной опор-
ной волны. Отсутствие множителя в комплексной ампли-
туде дифрагированной волны означает, что изображение свободно
от искажений, вносимых рассеивателем.
2. Метод сопряженной опорной волны
Второй метод получения изображений через сильно иска-
жающее или матовое стекло тесно связан с предыдущим. В этом
методе, однако, голограмма не только исключает фазовые искаже-
ния, но и сохраняет информацию о предмете. На фиг. 13.10, а
между предметом и плоскостью голограммы расположена вол-
нистая стеклянная поверхность, искажающая фазу. При получе-
нии голограммы внеосевая опорная волна интерферирует с иска-
женным предметным волновым фронтом. Если голограмма осве-
щается волной, сопряженной исходной опорной волне, как пока-
зано на фиг. 13.10, б, то восстанавливается волна, сопряженная
предметной. Эта волна распространяется антипараллельно перво-
начальной предметной волне, а ее волновой фронт в любой точке
сопряжен первоначальному предметному волновому фронту (фиг.
8.9). Поскольку эта волна проходит по пути предметного пучка
сквозь стекло в обратном направлении, фазовый множитель,
вызванный искажениями в стекле, умножается на множитель, ему
сопряженный. В результате искажающие фазовые множители
§ 3.
ПЕРЕДАЧА ИЗОБРАЖЕНИЯ
417
исключаются и остается только неискаженная предметная волпа,
которая дает действительное изображение, расположенное в том
месте, где вначале находился предмет, как показано на фиг. 8.9
Искажающая Искаженный
среда
ФИГ. 13.10. Схема получения изображения через
искажающую среду.
а — получение голограммы; б — восстанов-
ление.
и фиг. 13.10, б [13.10, 13.11]. Если на стадии восстановления уда-
лить искажающую среду, то сопряженная волна не даст изобра-
жения первоначального предмета.
На фиг. 13.11 приведены фотографии, иллюстрирующие эффек-
тивность этого метода. На фиг. 13.11, а представлен исходный
предмет, па фиг. 13.11, б — изображение, полученное с помощью
27-0990
418
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
описанного выше метода, а на фиг. 13.11, в — изображение, полу-
чающееся в том случае, когда искажающее стекло удалено из
схемы восстановления. Малейшее изменение направления осве-
щающего пучка, расположения голограммы и стекла нарушает
возможность наблюдения изображения. Этот недостаток может
обратиться в преимущество, если использовать описанный метод
для кодирования секретных сообщений. Расшифровка голограммы
ФИГ. 13.11. Фотографии, иллюстрирующие эффек-
тивность метода устранения влияния
искажающей среды. (По Когельнику
[13.10].)
а — предмет; б — изображение, полученное
по схеме, показанной на фиг. 13.10, б;
в — изображение, полученное в отсутствие
искажающей среды на стадии восстановления
возможна только в том случае, если имеется точная копия иска-
жающего стекла и точно известна геометрия схемы восстановле-
ния. Следует отметить, что рассмотренный метод позволяет ком-
пенсировать фазовые искажения, вносимые трехмерной прозрач-
ной средой по всей ее глубине.
3. Одинаковые искажения предметной
и опорной волн
На фиг. 13.12 показано экспериментальное устройство, позво-
ляющее воспроизводить условия, при которых создаются искаже-
ния, аналогичные возникающим при наблюдении через земную
§ 3.
ПЕРЕДАЧА ИЗОБРАЖЕНИЯ
419
атмосферу по вертикали [13.12]. Предмет и опорный точечный
источник лежат в одной плоскости, причем расстояние между ними
мало по сравнению с их расстоянием до голограммы. Искажающая
среда непосредственно примыкает к пластинке. Если среда тонка
по сравнению с наименьшими размерами оптических неоднородно-
стей, то можно считать, что предметный и опорный лучи рас-
пространяются практически по одному и тому же оптическому
ФИГ. 13.12.
Схема получения изображения через
искажающую среду при одинаковых
фазовых искажениях предметной и опор-
ной волн.
путй сквозь среду и испытывают одинаковую фазовую модуляцию.
В этом случае пропускание искажающей среды можно аппрокси-
мировать фазовым множителем ехр [iq> (ж, у)]. Обозначим ком-
плексную амплитуду предметной волны, падающей на среду,
через а (ж, у). Тогда комплексная амплитуда предметной волны
в плоскости голограммы будет равна а (ж, у) ехр [i'<p (ж, г/)]. Ана-
логично, комплексная амплитуда опорной волны в плоскости
голограммы равна г (ж, у) ехр [гср (ж, у)]. Как обычно, предполо-
жим. что пропускание голограммы t пропорционально интенсив-
ности интерференционной картины; тогда
t ~ {а (ж, у) ехр [icp (ж, г/)] + г (ж, у) ехр [icp (ж, i/)]} X
X {а* (ж, у) ехр [ — icp (ж, г/)] 4-г* (ж, у) ехр [ — icp (ж, г/)]}~
~ аа*-f-гг*+ аг*-|-а*г. (13.1)
Мы видим, что пропускание голограммы не содержит никаких
следов фазового искажения ср (ж, у), и, следовательно, когда
27*
420
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
голограмма освещается опорной волной г (х, у), восстанавливает-
ся неискаженная предметная волна.
ФИГ. 13.13. Изображение, восстановленное с голо-
граммы, полученной по схеме на фиг.
13.12. (По Гудмену и др. [13.12].)
Чтобы множитель ехр [icp (х, у)] был одинаковым для пред-
метной и опорной волн, угол, под которым виден от голограммы
отрезок прямой, соединяющий предмет и опорный источник,
должен быть малым. Заметим, что схема получения голограмм
в этом случае совпадает со схемой безлинзовой фурье-голографии,
§ 3.
ПЕРЕДАЧА ИЗОБРАЖЕНИЯ
421
а упомянутое ограничение поля зрения аналогично ограничению,
которое накладывается конечным разрешением фотоматериала при
ФИГ. 13.14.
Изображение, полученное непосредст-
венно с помощью линзы, помещенной
за искажающей средой. (По Гудмену
и др. [13.12].)
использовании такой схемы (см. гл. 8, § 4, п. 1). В обоих случаях
ограничено не разрешение изображения, а поле зрения.
На фиг. 13.13 представлена фотография изображения, восста-
422
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
новленного с помощью голограммы, полученной описанным выше
методом. Для сравнения на фиг. 13.14 показано изображение,
полученное с помощью линзы, помещенной за искажающей
средой. Очевидно, что при создании изображения обычным спосо-
бом передать информацию через среду практически невозможно.
В работе Гудмена и др. ИЗ.13] описаны выполненные в полевых
условиях эксперименты, целью которых было использование
голографического метода для получения изображения через турбу-
лентную атмосферу.
4. Получение изображения через движущиеся
рассеиватели
Голографический метод получения изображения через сово-
купность движущихся рассеивающих частиц, например через
туман, чрезвычайно прост [13.14, 13.15]. Предположим, что непод-
вижный предмет скрыт туманом. Голограмма представляет собой
картину, возникающую при интерференции предметной волны,
прошедшей через туман, и опорной волны, которая не проходит
через него. Поскольку рассеивающие частицы движутся, только
та часть предметной волны, которая проходит через туман без
рассеяния, когерентна с опорной волной, образует стационарную
интерференционную структуру и записывается на голограмме.
Пространственно-некогерентный свет, рассеянный туманом, добав-
ляет только постоянный фон, который, однако, уменьшает дифрак-
ционную эффективность голограммы и уменьшает отношение
сигнал — шум. Анализ отношения сигнал — шум для случая,
когда сигнал содержит сильную компоненту некогерентного света,
был выполнен Хамасаки [13.16].
§ 4. Проецирование высоноразрешенного
изображения
Если освещать голограмму пучком, сопряженным опорному
пучку, который использовался для ее получения, то теоретически
можно восстановить неискаженное изображение предмета. Разре-
шение в спроецированном действительном изображении должно
быть ограничено только дифракцией на краях голограммы. Как
показано в гл. 6, § 4, п. 3, и гл. 8, § 4, п. 2, разрешение возрастает
с увеличением размеров голограммы. Поскольку голограмму мож-
но сделать большой, то следует ожидать, что будет достигнуто
разрешение вплоть до пространственных частот 1000 мм-1 на поле
5x5 см. Хотя увеличение в этом случае всегда равно единице,
такое спроецированное в масштабе 1 : 1 изображение с высоким
§ 4.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ВЫСОКОРАЗРЕШЕННОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ 423
разрешением может найти важное применение при изготовлении
интегральных схем фотолитографским способом. Точное отобра-
жение фотолитографских масок на полупроводниковые платы
достигается в настоящее время контактной печатью, в процессе
которой маска скоро портится. Желательно было бы вместо этого
создавать изображение маски на плате проекционным методом,
но только очень хорошие и очень дорогие объективы способны
спроецировать маску с нужным разрешением и полем зрения.
Голография, казалось бы, может многое предложить в этой
области, но пока что затронутому вопросу посвящено сравнитель-
но мало работ. Так, сообщалось о получении изображения линии
толщиной 4 мкм на поле диаметром 2,5 см [13.17]. Однако при полу-
чении голограммы в предметном пучке находился рассеиватель,
из-за чего изображение имело зернистую структуру. Многие труд-
ности, препятствующие достижению оптимальных результатов
при проецировании голографических изображений, связаны с не-
совершенством имеющихся регистрирующих материалов
(см. гл. 10). Усадка эмульсии, поверхностные искажения, нелиней-
ность и другие источники шумов, свойственные слою, особенно
сильно проявляются при когерентном освещении и регистрации
голограмм. В результате получается пятнистое изображение с низ-
ким контрастом и размытыми краями — качества, неприемлемые
при изготовлении полупроводниковых схем. Создание новых,
более совершенных материалов, по-видимому, поможет решить
эти проблемы.
Когда желательно получить максимально возможную разре-
шающую способность, недопустимы даже малейшие смещения
голограммы по отношению к освещающему пучку [13.18]. Кроме
тога, как говорилось ранее [см. (7.52) и (7.53)], конечный размер
освещающего источника и его степень монохроматичности играют
важную роль при определении предела разрешения. Все эти эффек-
ты становятся минимальными, когда во время получения голо-
граммы предмет расположен вплотную к голографической пла-
стинке. Однако такое расположение связано с трудностями введе-
ния опорной волны, которая не должна проходить сквозь предмет.
Хорошим решением было бы получение голограммы сфокусирован-
ного изображения двумерного транспаранта (см. гл. 8, § 3, п. 2),
но для этого формирование изображения должно производиться
широкоугольным высокоразрешающим объективом.
На фиг. 13.15 показана схема, в которой не используются
линзы и в то же время решается проблема опорного пучка [13.19].
Здесь опорная волна проходит через призму и слой иммерсионной
жидкости и входит в фотопластинку через заднюю поверхность
подложки. Когда волна достигает границы эмульсия — воздух,
происходит полное внутреннее отражение. При интерференции
предметной волны с отраженной опорной волной образуется про-
424
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
пускающая голограмма, а при интерференции предметной волны
с падающей опорной волной образуется отражательная голограм-
ма. Чтобы получить действительное изображение предмета, голо-
грамму освещают волной, распространяющейся антипараллельно
опорной волпе. Если при восстановлении используется та же схема,
что и при получении голограммы, то обе голограммы, зарегистри-
рованные в эмульсии, пропускающая и отражательная, восстанав-
ливают действительное изображение в месте расположения исход-
ного транспаранта. Заметим, что педифрагированный свет снова
полностью отражается на границе эмульсия — воздух и не ме-
шает наблюдению действительного изображения.
ФИГ. 13.15. Получение голограмм с использованием
полного внутреннего отражения.
В предварительных исследованиях достигнуто максимальное
разрешение по изображению, равное 640 мм-1, однако изображение
характеризуется довольно высоким уровнем шумов [13.20]. Шумы
уменьшаются, когда голограмма освещается некогерентным све-
том. Уменьшение шумов сопровождается очень небольшой потерей
разрешения (до 500мм-1). Можно ожидать, что в дальнейшем метод
полного внутреннего отражения, или, как его иначе называют,
метод регистрации поверхностных волн, будет усовершенствован
[13.21, 13.22], и таким путем удастся добиться повышения каче-
ства спроецированных изображений.
§ 5.
МУЛЬТИПЛИКАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
425
§ 5. Мультипликация изображений
Транспарант, изображение которого можно проецировать
описанными в предыдущих параграфах способами, часто состоит
из многих одинаковых изображений. Обычно эти изображения
создаются камерой многократного фотографирования или с помо-
щью растровой или фасетной оптики. Для получения большого
числа одинаковых изображений [13.23—13.26] можно также
ФИГ. 13.16. Получение голограмм, используемых
для мультипликации изображений.
использовать плоские голограммы. Здесь мы опишем один из вари-
антов этого метода [13.25].
Для получения множительной голограммы необходимо заре-
гистрировать интерференцию волн от ряда точечных источников
Pj, . . ., Рп с опорной волной от точечного источника R, как
показано на фиг. 13.16. Чтобы использовать голограмму вместо
растрового множительного объектива для размножения изобра-
жений, непосредственно за голограммой помещают линзу, как
показано на фиг. 13.17. Исходный транспарант, освещенный
лазерным светом, располагают так, что свет, прошедший через
линзу и не испытавший дифракции на голограмме, образует дей-
ствительное изображение с центром в точке R. Это изображение
является изображением нулевого порядка. При этом также созда-
ется целый ряд одинаковых действительных изображений в первом
порядке дифракции; центры этих изображений расположены в точ-
ках, где находились источники Р(.
Для объяснения описанного процесса рассмотрим сначала слу-
чай, когда объектом является просто точечный источник. В этом
случае сферическая волна, прошедшая через голограмму и сходя-
щаяся в точке R, сопряжена исходной опорной волне. Вследствие
этого в точках, где были расположены источники Р{, возникают
426
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ГЛ. 13.
их действительные изображения, которые в идеальном случае
свободны от аберраций. Предположим теперь, что точечный источ-
ник заменен произвольным транспарантом. Тогда каждая точка
этого транспаранта дает смещенное изображение ряда точек Рг.
Смещение пропорционально расстоянию данной точки от центра
транспаранта, поэтому смещенные ряды точек образуют изобра-
жения транспаранта с центрами в Pt. Поскольку только централь-
ная точка освещенного транспаранта создает сходящуюся волну,
которая точно сопряжена первоначальной опорной волне, лишь
ФИГ. 13.17. Мультипликация изображений с по-
мощью голограммы, полученной в уст-
ройстве, показанном на фиг. 13.16.
центральные точки изображений свободны от аберраций. При уда-
лении от центра каждого изображения аберрации возрастают.
Однако если угловые размеры каждого изображения малы, то во
многих случаях аберрации имеют допустимую величину. Разре-
шение в каждом из изображений, конечно, не может быть выше
разрешения, которое дает линза L, поэтому в схеме нужно исполь-
зовать хороший объектив. Разрешение ограничивается также
конечной протяженностью реальных точечных источников Р^.
Описанным методом получено разрешение 50 мм-1, в то время как
в другом варианте удалось разрешить линии шириной 3 мкм по
полю 5 X 5 см [13.24].
ЛИТЕРАТУРА
13.1. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 55, 569 (1965).
Микроскопия с помощью вос-
становления волнового фронта.
13.2. VAN LIGTEN R. V., OSTER-
BERG Н,, Nature, 211, 282
(1966).
Голографическая микроско-
пия.
ЛИТЕРАТУРА
427
13.3. ELLIS G. W., Science, 154,
1195 (1966).
Голографическая микроско-
пия: преобразование изобра-
жения при апостериорном вос-
становлении.
13.4. CARTER W. Н., IEEE Journ.
Quant. Electr., 2, 44 (1966).
Селекция поляризации вос-
становленных волновых фрон-
тов и применение к поляриза-
ционной микроголографии.
13.5. SNOW К., VANDEWAR-
KER R., Appl. Opt,, 7, 549
(1968).
Применение голографии к ин-
терференционной микроско-
пии.
13.6. FELEPPA Е. J,, Phys. Today,
22, 25 (July 1969).
Применение голографии в био-
медицине.
13.7. THOMPSON R. J., WARD
J. Н., ZINKY W., Appl. Opt.,
6, 519 (1967).
Применение голографическо-
го метода для анализа разме-
ров частиц.
13.8. UPATNIEKS J., VANDER
LUGT A., LEITH Е., Appl.
Opt., 5, 589 (1966).
Коррекция линзовых аберра-
ций с помощью голограмм.
13.9. KOGELNIK Н., PENNING-
TON К. S., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 273 (1968).
Получение голографического
изображения через неоднород-
ную среду.
13.10. KOGELNIK Н., Dell Syst.
Tech. Journ., 44, 2451 (1965).
Голографическое проециро-
вание изображений через не-
однородную среду.
13.11. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 56, 523 (1966),
Получение голографических
изображений через рассеиваю-
щую среду.
13.12. GOODMAN J. W., HUNT-
LEY W. Н., JACKSON D. W.,
LEHMANN M., Appl. Phys.
Lett., 8, 311 (1966).
Получение изображения через
неоднородную среду с помо-
щью метода восстановления
волнового фронта.
13,13. GOODMAN J. W., JACK-
SON D. W„ LEHMANN M,,
KNOTTS J., Appl. Opt., 8,
1581 (1969).
Эксперименты по получению
голографических изображе-
ний на большом расстоянии.
13.14. STETSON К. A., Journ, Opt.
Soc. Amer., 57, 1060 (1967).
Получение голографических
изображений через туман.
13,15. SPITZ Е., Compt. Rend.,
264В, 1449 (1967).
Голографическое восстановле-
ние объектов через рассеиваю-
щую среду с движущимися
частицами.
13,16. HAMASAKI J., Appl. Opt.,
7, 1613 (1968).
Отношение сигнал — шум для
голографических изображе-
ний при сильной некогерент-
ной засветке.
13.17. BEESLEY M.J., FOSTER Н.,
HAMBLETON К. G., Elec-
tron. Lett., 4, 49 (1968).
Голографическое проециро-
вание микросхем.
13,18. CHAMPAGNE Е. В., MAS-
SEY N. G., Appl. Opt., 8,
1879 (1969).
Разрешение в голографии.
13.19. STETSON К. A., Appl. Phys.
Lett., 11, 225 (1967).
Голография с использованием
полного внутреннего отраже-
ния.
13.20. STETSON К. A., Appl. Phys.
Lett., 12, 362 (1968).
Улучшение разрешения и от-
ношения сигнал — шум для
голограмм с использованием
внутреннего отражения.
13.21. NASSENSTEIN Н., Optik, 29,
597 (1969); 30, 44 (1969).
Интерференция, дифракция и
голография с поверхностными
волнами.
13.22. BRYNGDAHL О., Journ. Opt.
Soc. Amer., 59, 1645 (1969).
Голография с поверхностными
волнами.
13.23. LIN L. Н., SCHULZ-DU-
BOIS Е. О., U.S. Patent
3405614, December 1965, 15
October, 1968.
Аппарат для создания фасет-
ных линз.
428 ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ГЛ. 13.
13.24. LU S., Proc. IEEE, 56, 116
(1968).
Мультипликация изображе-
ний для интегральных схем
с помощью фурье-голограмм.
13.25. GROH G., Appl. Opt., 7,
1643 (1968).
Мультипликация изображе-
ний с помощью голограмм
точечных источников.
13.26. LOWENTHALS., WERTS А.,
REMBAULT М., Compt.
Rend., 267В, 120 (1968).
Получение изображения сеток
с помощью множительных го-
лограмм, освещенных про-
странственно-некогерентным
светом.
Глава 14
ГОЛОГРАММЫ И ГОЛОГРАММНЫЕ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ
С ПРОСТРАНСТВЕННО-МОДУЛИРОВАННЫМИ
ОПОРНЫМИ ВОЛНАМИ
Голограмма представляет собой запись интенсивности интер-
ференционной картины, образованной предметной и опорной вол-
нами. Однако в математическом представлении интенсивности
интерференционной картины не содержится ничего, что позволило
бы отличить одну из этих волн от другой, за исключением
произвольных обозначений. Было показано, что пропускание
t плоской голограммы симметрично по отношению к комплексным
амплитудам двух волн, участвующих в получении голограммы.
Обозначим комплексную амплитуду (в плоскости голограммы)
одной волны через а = а ехр (гсра) и комплексную амплитуду дру-
гой через г = г ехр (ifpr). При линейной регистрации имеем
[см. (1.15)]
t ~ I = аа* + гг* + аг* + а*г. (14.1)
Обычно в процессе восстановления голограмму освещают одной
из волн, используемых для ее получения. Если исходные волны
удовлетворяют определенным требованиям (их смысл будет рас-
смотрен в этой главе), то при освещении голограммы одной из этих
волн восстанавливается другая волна. Восстановленная волна
называется предметной волной, в то время как другая волна слу-
жит просто для отсчета фазы.
Голограммы, которые при освещении волной одной формы вос-
станавливают другую волну, можно использовать в качестве
пространственных фильтров для отбора данных. Предположим,
например, что данные в виде когерентных световых изображений
поочередно освещают голограммный фильтр. Если в одном из этих
изображений распределение комплексных амплитуд такое же, как
в опорной волне, использованной при регистрации голограммы,
то его легко опознать, поскольку в этом случае голограмма вос-
становит предметную волну. Наиболее удобны для использования
в качестве пространственных фильтров плоские фурье-голограммы
(см. гл. 8, § 3, п. 3). В этом случае для выделения входной, про-
странственно-частотной и выходной плоскостей используется лин-
зовая система. Такая голограмма, помещенная в пространственно-
частотную плоскость, осуществляет операцию фильтрации про-
странственно-частотных компонент входной функции (изобра-
жения) .
430
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
§ 1. Ассоциативная память
Пусть голограмма, имеющая пропускание t, описываемое
выражением (14.1), освещается волной с комплексной амплитудой
с. Комплексная амплитуда света, дифрагировавшего на голограм-
ме, в плоскости голограммы равна
w = ct ~ cl — саа* + сгг* + саг* + са*г. (14.2)
При соответствующем выборе с, а и г третий и четвертый члены
выражения (14.2) могут описывать соответственно восстановлен-
ные волны а и г. Пусть а и г таковы, что соответствующие интен-
сивности в плоскости голограммы аа* = а2 и гг* = г2 имеют посто-
янную величину, не зависящую от координат ху в этой плоскости.
Если комплексная амплитуда освещающей волны с совпадает
с г, то третий член в выражении (14.2) саг* = г2а ~ а соответ-
ствует восстановленной исходной волне с комплексной амплитудой
в плоскости голограммы, равной а. Аналогично при с = а четвер-
тый член соответствует другой восстановленной волне, также
участвующей в образовании голограммы и имеющей комплек-
сную амплитуду г в плоскости голограммы. Мы можем сумми-
ровать эти свойства, сказав, что комплексные амплитуды а и г
запоминаются голографически ассоциативно. Если голограмма
освещается волной г, то восстанавливается волна а, если же голо-
грамма освещается волной а, то восстанавливается другой член
ассоциативной пары г.
При получении голограмм обычно используются предметные
волны, комплексные амплитуды которых являются произволь-
ными пространственными функциями, и опорные волны, комплекс-
ные амплитуды которых являются чисто фазовыми множителями.
Если комплексная амплитуда опорной волны с = г = Ь ехр (гсрг),
где Ъ — константа, то третий член в выражении (14.2) принимает
вид
саг* = &2а ехр (icpr) ехр (— icpr) ~ а,
т. е. представляет собой восстановленную предметную волну.
Этот результат справедлив при любом виде зависимости фазы
срг (ж, у) от координат х и у в плоскости голограммы. Однако если
фаза опорной волны срг (х, у) является пространственно-модулиро-
ванной функцией, то для восстановления неискаженной предмет-
ной волны восстанавливающая волна с должна быть совершенно
идентична г. В большинстве случаев в качестве опорной волны при
записи голограммы используются волны, фаза которых не моду-
лирована, такие, как плоская или сферическая волна. В этом слу-
чае, как мы видели в гл. 3, в качестве восстанавливающих можно
использовать плоские или сферические волны, падающие на голо-
грамму под разными углами или имеющие разную кривизну.
§ 1. АССОЦИАТИВНАЯ ПАМЯТЬ 431
При этом в первом приближении изменится только положение или
увеличение изображения предмета.
Если в качестве опорного источника используется обычный
отражающий (или пропускающий) диффузный объект, то величина
саг* может быть приблизительно пропорциональна а. В этом слу-
чае как амплитуда, так и фаза волны г (х, у) на голограмме будут
пространственно-модулированы. Однако, если не учитывать пят-
нистую структуру (см. гл. 8, § 2, п. 2, и гл. 12), интенсивность
несфокусированного света, идущего от рассеивателя, оказывается
макроскопически однородной. В этом смысле важно рассматривать
гг* как постоянную величину, не зависящую от координат на голо-
грамме. Для с = г имеем
саг* = гг*а~ а.
1. Эксперимент с фантомным изображением
На фиг. 14.1а приведена схема получения голограммы, в кото-
рой источниками как предметной, так и опорной волны являются
диффузно отражающие предметы [14.1]. Расположенный горизон-
тально металлический брусок с прорезью служит предметом, а сто-
ящий вертикально брусок с несколькими отверстиями играет роль
опорного источника. Их матированные поверхности одновременно
освещаются лазерным пучком ограниченного кругового сечения.
Участки брусков, освещенные лазерным пучком, видны на фотогра-
фии в левой верхней части фиг. 14.16 как более яркие. Эта фотогра-
фия сцены, наблюдаемой со стороны голограммы, была получена
при комнатном освещении и при одновременном освещении излу-
чением лазера для того, чтобы предметный и опорный источники
были видны более четко. Каждый брусок отражает свет в широком
интервале углов, благодаря чему обеспечивается перекрытие двух
волн, отраженных по направлению к голограмме. Хотя при описа-
нии голографического процесса восстановления целесообразно
проводить различие между предметным и опорным источниками
или предметной и опорной волнами, голограмма, полученная таким
образом, является простой фотографией френелевской (ближнего
поля) дифракционной картины когерентно освещенной сцены.
После соответствующего экспонирования и проявления голо-
грамма, на которой зарегистрирована эта дифракционная картина,
помещалась точно на первоначальное место и горизонтальный бру-
сок убирался (правая фотография на фиг. 14.16). Лазерный свет,
отраженный от вертикального бруска, продолжал освещать голо-
грамму точно так же, как и во время получения голограммы.
На нижней фотографии фиг. 14.16 показана сцена, наблюдаемая
через освещенную голограмму. Здесь вместе с вертикальным брус-
ком, играющим роль опорного источника, ясно видно изображение
432
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14
той части горизонтального бруска с прорезью, которая была осве-
щена лазером во время получения голограммы. Изображение,
которое появляется, когда голограмма освещается соответствую-
Голограмма
ФИГ. 14.1а. Схема регистрации голограмм в экспе-
риментах по получению фантомных изоб-
ражений.
щей пространственно-модулированной опорной волной, часто
называют фантомным изображением. Если убрать вертикальный
брусок, оставив горизонтальный, который играет роль освещаю-
щего источника, то появится фантомное изображение вертикаль-
ного бруска.
2. Допустимые смещения опорного источника
Чтобы получить хорошее восстановление с помощью простран-
ствепно-модулированной опорной волны, голограмму следует воз-
вратить точно в ее первоначальное положение и использовать в ка-
честве опорной волны то же самое лазерное освещение, как и во
время получения голограммы. Если в описанном выше экспери-
менте либо вертикальный брусок (опорный источник), либо голо-
грамма в какой-то момент чуть-чуть смещаются, то фантомное изо-
бражение предмета исчезает и на его месте остается только диффуз-
ная засветка — «шум». Найти допустимую величину смещения
опорного источника можно из следующих соображений. Предпо-
§ 1.
АССОЦИАТИВНАЯ ПАМЯТЬ
433
ложим, что голограмма получается с диффузным опорным источ-
ником. Голограмма обрабатывается, помещается в ее первоначаль-
ное положение и освещается тем же самым, но слегка смещенным
ФИГ. 14.16. Получение фантомных изображений.
(По Кольеру и Пеннингтону [14.1].)
Вверху: слева — исходная предметная сцена,
справа — опорный (освещающий) источник
(обычные фотографии); внизу — фантомное
изображение, наблюдаемое сквозь голограмму.
опорным источником (фиг. 14.2). Допустим, что в результате этого
смещения происходит сдвиг фронта опорной волны на голограмме
на расстояние с в направлении у (фиг. 14.2; для простоты мы
ограничиваемся рассмотрением в плоскости yz). Роль опорного
источника играет большой диффузный экран PJP2, освещенный
28—0990
434
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
плоской волной. Экран рассеивает свет в широком телесном угле.
Однако на голограмму попадает только свет, распространяющийся
в пределах угла 20, который определяется расстоянием от рассеи-
вателя до голограммы. (Голограмму, изображенную на фиг. 14.2,
можно считать небольшим участком голограммы произвольных
размеров.) Конус лучей, в пределах которого свет падает на голо-
грамму, ограничен осью пучка, исходящего из точки Plf состав-
ляющей с осью z угол —0, и осью пучка, исходящего из точки Р2,
которая составляет с осью z угол -|-0. Чтобы показать, к чему при-
водит перемещение диффузного опорного источника, достаточно
рассмотреть лучи, соответствующие только этим предельным
направлениям.
Свет, попадающий на голограмму из точек Pi и Р2, можно
аппроксимировать плоскими волнами ехр (2jut]z/) и ехр (—2 л й] у),
где т] = sin 0/Х. (Начальные фазы волн произвольны. Однако учет
фазовых множителей не вносит ничего нового в последующие
вычисления.) Рассмотрим голограмму, образованную опорной
ФИГ. 14.2. Диффузный опорный источник, осве-
щающий маленькую голограмму.
волной с комплексной амплитудой г (у) = ехр (2л ipy) -|-
+ ехр (—2 л й] у) и предметной волной а. Тогда третий член в вы-
ражении (14.1), соответствующий мнимому изображению, прини-
мает вид
аг* = а [ехр (—2лй]у) ехр (2лй]у)].
Теперь предположим, что голограмма освещается смещенным
опорным источником так, что комплексная амплитуда освещаю-
§ 1
АССОЦИАТИВНАЯ ПАМЯТЬ
435
щей волны равна г (у — с). Тогда выражение для восстановленного
волнового фронта [третий член в (14.2)] примет вид
г (у — с) аг* = {ехр [2лй] (у — с)] + ехр [—2 л ip (у — с)]} X
X а [ехр (—2nipy) + ехр (2nipz/)] =
= а {ехр (—2 л ip с) -f- ехр [—2 л ip (2 г/ — с)] +
+ ехр [2ли] (2г/ — с)] + ехр (2лгрс)}=
= 2а {cos (2лрс) + cos [2лр (2г/ — с)]}.
Второй косинусоидальный член представляет собой информацию
о предмете, наложенную на пространственно-частотную несущую.
Это одна из компонент диффузного рассеяния предметной инфор-
мации, вызванного множеством пространственных частот, соответ-
ствующих реальному рассеивателю. Эта компонента создает диф-
фузный шумовой фон в плоскости изображения и при дальней-
шем рассмотрении ею можно пренебречь. Первый косинусоидаль-
ный член представляет собой постоянную, на которую умножается
комплексная амплитуда предметной волны а; он обращается в нуль,
когда с = с() = 1/(4р) = X/(4sin 0). В этом случае предметная волна
совсем не восстанавливается. Очевидно, что допустимое смещение
опорного источника из его первоначального положения значитель-
но меньше с0.
К этому выводу можно прийти также, рассматривая дифрак-
ционную картину только от опорного источника. Дифракцион-
ная картина, соответствующая опорному источнику, образуется
в результате интерференции двух плоских волн, исходящих из Pj
и Р2, и представляет собой систему прямых полос с пространствен-
ным периодом d = V(2 sin 0) [см. (9.6)]. Отсюда следует, что допу-
стимое смещение с должно быть значительно меньше половины
расстояния между полосами в дифракционной картине опорного
источника на голограмме. (Из наших расчетов, в которых рассмат-
ривалась только одна пара плоских волн, следует, что при линей-
ном смещении рассеивателя происходит периодическое восстанов-
ление волны а. Однако для реального рассеивателя, который созда-
ет на голограмме произвольно ориентированные полосы, этот вывод
несправедлив.)
В более общем случае как амплитуда, так и фаза опорной волны
на голограмме пространственно-модулированы. Если для освеще-
ния обработанной голограммы использовать опорную волну, то
в плоскости голограммы амплитуда восстановленной волны, соот-
ветствующей мнимому изображению, будет равна гг*а, где гг*
является теперь функцией х и у. Нам нужно найти форму волнового
фронта этой волны в плоскости, где должно находиться изображе-
ние предмета, поскольку именно эта форма определяет связь меж-
ду амплитудной функцией опорного источника и качеством изобра-
жения предмета. Наиболее просто интерпретируемые результаты
28*
436
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14
получаются для случая, когда голограмма образуется в фурье-
плоскости предметного и опорного источников. Более сложным
является случай френелевской голограммы. Однако если исклю-
чить результаты, обусловленные специфическими свойствами
ная плоскость или плос-
кость фурье-обоаза
ФИГ. 14.3.
Оптическая система, осуществляющая
двойное преобразование Фурье и создаю-
щая изображение в масштабе 1:1.
фурье-голограмм (например, инвариантностью положения изобра-
жения по отношению к перемещению голограммы), и если опорный
свет является полностью диффузным, то анализ справедлив и для
голограмм Френеля.
§ 2. Фурье-голограмма с пространственно-
модулированной опорной волной
Фурье-голограммой мы называем голограмму, получающуюся
в задней фокальной плоскости линзы в результате интерференции
света от двух источников, расположенных в передней фокальной
плоскости линзы. Рассмотрим запись голограмм этого типа для
случая, когда в плоскости голограммы комплексные амплитуды
§ 2. ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММА С МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНОЙ 437
каждой из волн, участвующих в ее образовании, пространственно-
модулированы. Мы ограничимся здесь анализом фурье-голограмм,
поскольку получаемые в этом случае результаты непосредственно
применимы к проблеме опознавания образов. Анализ заимство-
ван из работы Вандер Люгта и др. [14.2], посвященной оптической
пространственной фильтрации.
Рассмотрим схему двойного преобразования Фурье, или опти-
ческую систему, создающую изображение без увеличения
(фиг. 14.3). На фокусном расстоянии перед линзой Lj, во входной
плоскости Xiiji находятся два транспаранта, освещаемые плоской
волной и являющиеся входными источниками. Линза Li в своей
фокальной плоскости £т] формирует фурье-образы распределений
комплексных амплитуд пропускания этих транспарантов (см. гл, 6,
§ 3, п. 3). Линза L2 осуществляет обратное фурье-преобразование
распределения комплексных амплитуд в плоскости £т]; в результате
двукратного преобразования в плоскости xsys появляется изобра-
жение входных транспарантов. (Следует обратить внимание на то,
что оси х3 и у3 в пространственной плоскости имеют обратное
направление по отношению к направлению осей £ и т] в плоскости
пространственных частот. Это находится в соответствии с резуль-
татами, полученными в гл. 6, § 3, п. 3.) Для простоты ограничимся
случаем, когда пропускание транспарантов зависит только от од-
ной координаты у. Комплексные пропускания двух транспарантов
обозначим через tj (z/J и t2 (j/i + b). Пропускание t2 представляет
собой функцию, центр которой находится не в начале координат О,
а в точке уг = —Ъ. Как показано на фиг. 14.3, оптическая система
создает изображение центра транспаранта t2 в плоскости х$у3
в точке у3 = —Ь, расположенной над осью z.
Предположим, что в плоскости £т] помещена фотопластинка,
на которой регистрируется картина интерференции получаемых
с помощью линзы Li фурье-образов транспарантов tj и t2. После
экспонирования и проявления полученную голограмму возвраща-
ют в ее исходное положение в плоскости £п. Транспарант t2 уда-
ляют из входной плоскости, оставляя только транспарант t±,
освещаемый плоской волной. Комплексная амплитуда падающей
на голограмму волны представляет собой фурье-образ пропуска-
ния tj. При соответствующем выборе функции Ц амплитуда дифра-
гировавшей на голограмме волны в плоскости голограммы по суще-
ству представляет собой фурье-образ пропускания t2. Эта волна,
проходя через линзу L2 так же, как проходил свет, исходивший
из транспаранта t2, образует изображение последнего в плоскости
xsys. Качество изображения будет определяться видом пропуска-
ния tj. Центр изображения транспаранта t2 опять находится в точ-
ке ys = —Ъ над осью z.
Продолжим теперь анализ процессов получения голограмм
и восстановления волнового фронта, по-прежнему для простоты
438
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
ограничиваясь рассмотрением плоскостей yz и rjz. Если входная
плоскость освещается плоской волной единичной амплитуды, то
прошедший свет будет иметь в этой плоскости комплексную ампли-
туду
ti (j/i) + t2 (j/i + b).
В плоскости £т] комплексная амплитуда равна
Ti (т]) + Т2 (т]) ехр (—2лгцЬ),
где Tj (ц) и Т2 (ц) — соответственно фурье-образы пропусканий
tj (г/1) и t2 (yi) и где использовано соотношение (4.20). Фотопластин-
ка, помещенная в плоскость £1], в случае линейной регистрации
после проявления будет иметь пропускание tH, пропорциональное
интенсивности света:
tH ~ TjT*-|-T2T* + Т/Г*ехр ( +2лгт]Ь) +Т*Т2ехр (-2лй]Ь). (14.3)
Если осветить голограмму волной с комплексной амплитудой
Tj (ц), то комплексная амплитуда волны, прошедшей через голо-
грамму, будет равна Tj tH. Особый интерес для нас представляет
последний член в выражении для tH, поскольку именно он дает
изображение транспаранта t2 (у{ -|- b). Комплексная амплитуда
волны, соответствующей этому pi лен у, в плоскости £т] пропор-
циональна
ТгГ*Т2 ехр (— 2лгц&).
Тогда обусловленная этим членом комплексная амплитуда а (у3)
в выходной плоскости пропорциональна его обратному фурье-
образу
а (Уз) ~ [TjT^ ехр (- 2лгт]&)]. (14.4)
Используя соотношения (4.18) и (4.19), мы можем записать произ-
ведение TjT* в виде
т±тг=^- [t*(y3) * ^(Уз)].
Тогда а (у3) принимает вид
а (Уз) ~ № [t* (Уз) * ti (Уз)] Т2 ехр (— 2шт]Ь)}. (14.5)
Поскольку Т2 ехр (—2л,1цЬ) представляет собой Jt-' [t2 (у3 -|- Ь)],
получаем, используя соотношение (4.11),
а (Уз) ~ JF"1 {& (Уз) * ti (y3)] JT [t2 (у3 + 5)]} ~
~ [t? (Уз) * ti (у3)] * t2 (у3 + Ь). (14.6)
Из выражения (14.6) следует, что комплексная амплитуда в выход-
ной плоскости представляет собой свертку t2 (у3 Ь) с функцией
автокорреляции пропускания ti (у3). Ранее было показано [см.
выражение (4.13д)1, что такая свертка дает t2 (у3 -р Ь), т. е. неиска-
женное изображение выходного транспаранта t2 (yt -р b), если
§ 2. ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММА С МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНОЙ 439
автокорреляционная функция представляет собой 6-функцию.
Следовательно, для получения хорошего изображения транспа-
ранта t2 нужно в качестве tj использовать такой транспарант,
функция автокорреляции пропускания которого является функци-
ей с острым максимумом, похожей на 6-функцию. Если пропуска-
нию tj соответствует точечный источник, расположенный в вход-
ной плоскости, то это условие будет выполнено.
1. Функция автокорреляции диффузного экрана
Матовый диффузный экран или рассеивающая пластинка также
обладают таким пропусканием, которое удовлетворяет усло-
вию создания хорошего изображения. Можно считать, что свет,
прошедший через рассеиватель, излучается ансамблем вторичных
точечных источников, испускающих сферические волны одинако-
вой амплитуды, но случайной фазы. Каждый из этих источников
можно представить в виде произведения 6-функции на фазовый
множитель: 6 (у — ут) ехр (гсрт). Фурье-образ ансамбля М таких
6-функций, согласно соотношению (4.29), есть
м
D(t]) = 3 ехр (2niymT]) ехр (icpm).
т=1
Чтобы найти функцию автокорреляции ансамбля точечных источ-
ников, нужно записать произведение D (ц) D* (ц) и затем найти
обратный фурье-образ этого произведения [см. (4.18)]. Для этого
запишем выражение, комплексно-сопряженное предыдущему:
м
D*(T])= 2 ехр ( —2nfynT]) ехр ( —jcpn);
п=1
тогда
м м
D(7])D*(7])= 2 3 ехр[2лЦут—уп)т]]ехр[«(фт—фп)] =
m=i п==-1
М М
= М+ 2 3 ехр [2лг (ут—Уп)11] ехр [г(фт—фп)]-
7П, П=1
тфп
Для автокорреляции С получим
м м
C = ^-1[DD*] = M6(y)+ 23 6 [у —(ym—уп)] ехр [г (фт—фп)].
7П. П=1
тфп
(14.7)
Отсюда видно, что величина первого члена в правой части равен-
ства (14.7), являющегося единственной 6-функцией в точке у = О,
440
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
линейно возрастает с числом точечных источников М, в то время
как величина каждой 6-функции, стоящей под знаком двойной
суммы, не зависит от М. Следовательно, для М 1 функция авто-
корреляции имеет резкий максимум при у = 0. Если предположить,
что пространственная плотность вторичных источников в рассеи-
вателе постоянна, то чем больше размеры рассеивателя, т. е. чем
больше число М, тем ближе его автокорреляционная функция
к 6-функции.
§ 3. Несколько экспериментов с фурье-
голограммами
Ван Хирден [14.3] впервые показал, что фрагмент предметной
сцены, зарегистрированной на фурье-голограмме, можно исполь-
зовать для создания «фантомного изображения» оставшейся части
сцены. Он предложил применить этот принцип для нахож-
дения информации в библиотеке, полный запас информации кото-
рой зарегистрирован на одной фурье-голограмме. По крайней мере
в принципе, для получения такой голограммы пришлось бы одно-
временно расположить во входной плоскости все страницы всех
имеющихся в библиотеке книг (на практике решение этой задачи
связано с большими трудностями микрофильмирования). Положе-
ние каждой страницы во входной плоскости соответствует ее дей-
ствительному расположению в библиотеке. Наряду со страницами
всех библиотечных книг во входной плоскости располагается
яркий точечный источник. Для получения голограммы использует-
ся оптическая система, описанная в § 2. После проявления голо-
грамма помещается в свое первоначальное положение.
Предположим, что фрагмент всей хранящейся в библиотеке
информации, скажем одна страница одной книги, в том же масшта-
бе и при том же самом освещении, как при получении голограммы,
помещается в свое исходное положение в входной плоскости.
Теоретически в этом случае с помощью голограммы может быть
получено фантомное изображение всей оставшейся информации,
записанной на ней. Если считать, что интенсивность излучения,
освещающего голограмму, уменьшается пропорционально отно-
шению размера фрагмента к размеру площади, занимаемой всеми
страницами всех книг библиотеки, то интенсивность фантомного
изображения будет, очевидно, малой. Однако фантомное изображе-
ние яркого точечного источника будет отчетливо наблюдаться
в некоторой точке выходной плоскости, соответствующей первона-
чальному положению точечного источника во входной плоскости.
Если фрагмент смещен относительно положения, которое он зани-
мал во время получения голограммы, то, как будет показано,
фантомное изображение точечного источника, возникающее в вы-
§ 3.
НЕСКОЛЬКО ЭКСПЕРИМЕНТОВ С ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММАМИ
441
ходной плоскости, также оказывается соответственно смещенным
от его исходного положения. Таким образом, появление фантом-
ного изображения точечного источника означает, что фрагмент
находится в библиотеке и вектор смещения точечного источника
из его номинального положения соответствует расположению
фрагмента в библиотеке.
То обстоятельство, что фантомное изображение наблюдается
при смещении фрагмента из его первоначального положения
во входной плоскости, является следствием свойств преобразова-
“FMOC4 <
"Ч vOCKfi *’
FmOOCLATO»
C.M л..1-
ftM. s.

ФИГ. 14.4 Фантомные изображения, полученные
с помощью фурье-голограммы. (По Пен-
нингтону и Кольеру [14.5].)
а — исходный объект; б — фантомные изобра-
жения букв FM, смещающиеся при смеще
нии опорного источника DEMODULATOR.
ния Фурье. Чтобы убедиться в этом, предположим, что голограмма
с пропусканием tH [см. выражение (14.3)] освещается волной с ком-
плексной амплитудой Tj (ц) ехр (—2nir]c), являющейся фурье-
образом функции Ч (yj -|- с). Пропускание tj (z/± + с) соответству-
ет переносу первоначального опорного источника из точки yj = О’
в точку у! =—с. Восстановленная волна в плоскости голограм-
мы имеет комплексную амплитуду, пропорциональную произведе-
нию Tj (ц) ехр (—2лй]с) на четвертый член в выражении для tH:
TjTJTa ехр [ — 2niT] (с -|- Ь)].
Чтобы найти комплексную амплитуду а (у3) в выходной плоско-
сти, нужно выполнить операцию обратного преобразования Фурье-
442
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
с описанным выше волновым фронтом. В результате имеем:
а (z/з) ~ [t* (j/з) * ti (z/з)] * t2 (z/з + с + Ь).
Пусть автокорреляционная функция имеет очень резкий макси-
мум, так что a (z/3) « t2 (z/з + с + &)• Таким образом, фантомное
изображение транспаранта t2 переносится на такое расстояние — с
в направлении оси у3 в плоскости xsys, на какое был смещен тран-
спарант tj (z/j) в ПЛОСКОСТИ ОДр
Основные принципы получения фантомных изображений, разра-
ботанные Ван Хирденом, были подтверждены Строуком и др. [14.4].
Они использовали схему, аналогичную показанной на фиг. 14.3.
Слайд (или транспарант) играл роль исходной входной функции,
а его фрагмент служил для освещения голограммы и восстанов-
ФИГ. 14.5. Использование диффузных источников
света для получения фурье-голограмм.
(По Пеннингтону и Кольеру [14.5].)
а — улучшение фантомного изображения букв
FM при использовании диффузного источ-
ника; б — фантомное изображение полутоно-
вого слайда.
.ления изображения оставшейся части слайда. Было показано, что
если опорный источник имеет широкий спектр пространственных
частот, т. е. автокорреляционную функцию с острым максимумом,
то в результате операции свертки с предметной входной функцией
восстанавливается хорошее изображение.
На фиг. 14.4 показаны фантомные изображения, появляющиеся,
несмотря на перемещение фрагмента в входной плоскости [14.5].
Здесь в качестве объекта (фиг. 14.4,а) использован транспарант
с прозрачными буквами FM и DEMODULATOR на непрозрачном
фоне. Можно считать, что буквы FM соответствуют пропусканию
t2 (j/i) (см. § 2), в то время как слово DEMODULATOR играет
роль пропускания tj (z/j). Для получения голограммы использо-
валась схема, показанная на фиг. 14.3. На фиг. 14.4, б показана
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
443
серия изображений, полученных при освещении голограммы сло-
вом DEMODULATOR. Изображения сфотографированы фотоаппа-
ратом, наведенным на входную плоскость сквозь голограмму.
При последовательном дискретном смещении слова DEMODULA-
TOR влево восстанавливалось фантомное изображение букв FM.
Это изображение перемещалось вместе с прямым изображением
слова DEMODULATOR. (Прямое изображение было значительно
ярче, чем фантомное, и при фотографировании его приходилось
ослаблять. Этого не пришлось бы делать, если бы для регистрации
использовалась среда, позволяющая получить голограмму с высокой
дифракционной эффективностью.) Крупнозернистый шумовой фон,
наложенный на изображение букв FM, появляется в результате
использования в качестве опорного источника непригодного для
этой цели фрагмента DEMODULATOR. Если оба транспаранта,
tj и t2, сделать диффузными, поместив перед ними со стороны источ-
ника рассеиватель, то качество изображения улучшается, как
видно на фиг. 14.5, а. Это происходит из-за того, что автокорреля-
ционная функция, характеризующая рассеиватель, имеет острый
максимум. На фиг. 14.5, б приведена фотография изображения
диффузно освещенного полутонового слайда, восстановленного
с помощью фурье-голограммы. Верхняя часть головы и шляпа
играют роль транспаранта tP Когда эта часть слайда освещает
всю голограмму, появляется фантомное изображение остальной
части слайда.
§ 4. Опознавание образов
Многие из свойств фурье-голограмм, полученных с простран-
ственно-модулированной опорной волной, имеют важное значение
для проблемы опознавания образов (Вандер Люгт и др. [14.2]).
Для опознавания образов (букв) Вандер Люгт и др. применяли
согласованную фильтрацию с помощью пространственного фильт-
ра, полученного голографическим методом (см. § 2). Чтобы понять,
что такое согласованный фильтр, как его получают и применяют,
обратимся к фиг. 14.6. Показанная здесь оптическая схема, так же
как и схема, изображенная на фиг. 14.3, осуществляет два после-
довательных фурье-преобразования и создает изображение объекта
в масштабе 1:1. При получении пространственного фильтра для
опознавания образов в верхнюю половину входной плоскости
помещают транспарант, содержащий М прозрачных изображений
на непрозрачном фоне. Эта часть входной плоскости освещается
плоской волной. Представим пропускание этого ряда одномерных
объектов (образов) в виде
м
t(2/1—СО)= 3 ЪО/!—сД. (14.8)
=1
444
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
гл. 14.
Здесь предполагается, что образы расположены симметрично отно-
сительно точки z/i = с0, a t; (z/j — Cj) представляет собой j-й
образ ряда с центром в точке ух = cj. Во входной плоскости нахо-
дится также яркий точечный источник света, локализованный
в точке z/i = —b и описываемый функцией б (г/± + Ь). Фурье-
голограмма формируется в плоскости пространственных частот £1].
Входная плоскость
Пространственно-частот-
ная плоскость или плос-
кость фурье-образа
Выходная плоскость
ФИГ. 14.6. Оптическая система для опознавания
образов.
Голограмму можно рассматривать как результат интерференции
волны, являющейся фурье-образом пропускания t (г/± — с0), с пло-
ской волной, соответствующей б-функции. Однако, когда голограм-
ма выполняет операцию опознавания, она освещается светом, про-
шедшим только через фрагмент пропускания t, т. е. через один или
несколько образов, которые вводятся во входную плоскость. Как мы
увидим, восстановление в выходной плоскости яркого изображения
точечного источника соответствует опознаванию данного образа.
1. Понятие согласованного фильтра
Оптическая система, изображенная на фиг. 14.6, может выпол-
нять операцию пространственной фильтрации пропускания про-
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
445
извольных транспарантов, помещенных во входную плоскость,
при условии, что в пространственно-частотной плоскости нахо-
дится фильтр с комплексным пропусканием
Фильтр Н (ц) является оптимальным для обнаружения известного
сигнала на фоне линейно аддитивного шума (шум не зависит от
формы сигнала). Здесь S* (ц) — функция, комплексно-сопряжен-
ная фурье-образу сигнала, а ДДц) — энергетический (винеровский)
спектр линейно аддитивного шума на входе фильтра [см. (12.28)].
Фильтр, описываемый выражением (14.9), создает на выходе опти-
мальное отношение максимума сигнала опознавания к средне-
квадратичному значению шума [14.2]. Если энергетический спектр
N (ц) одинаков для всех г] (белый шум), то Н (ц) называют согла-
сованным фильтром.
Для опознавания образов ряда Е (z/i — с0) нужно положить
числитель в выражении (14.9) равным функции, комплексно-сопря-
женной фурье-образу пропускания t (z/± — с0), т. е. равным
м
S* (ц) = Т* (ц) ехр (— 2nzT]c0) = 2 Т* ехр (— 2nzT]Cy), (14.10)
j=i
где Т (ц) с t (z/t) и Ту (ц) с ty (z/j). Как показано в гл. 12, § 3,
п. 1, «шум» с энергетическим спектром N (ц) может быть представ-
лен функцией автокорреляции комплексного пропускания, соот-
ветствующего шуму, во входной плоскости ^z/p При опознавании
образов это пропускание будет включать неизвестные образы, не
содержащиеся в ряду t, например искажения, размытия и т. д. (Эти
неизвестные составляющие могут не быть линейно аддитивными.)
Физически реализовать множитель 1/N (ц) в выражении (14.9)
нетрудно, если известен вид N (ц). Поскольку N (ц) представляет
собой фурье-образ автокорреляционной функции, которая являет-
ся действительной и четной функцией, то N (ц) также действитель-
ная величина и, следовательно, ее можно зарегистрировать на
пленке обычными фотографическими методами. На пленке создает-
ся освещенность, пропорциональная N (ц). Затем она обрабаты-
вается как негатив с контрастом = 2. Тогда пленка приобрета-
ет амплитудное пропускание tn = 1/N (г|) [см. выражение (2.7)].
Такой негатив можно поместить в пространственно-частотную
плоскость в качестве части пространственного фильтра. (Этот
способ осуществления операции деления можно также использо-
вать в экспериментах с фантомными изображениями, описанными
в § 3. Добавочный фильтр 1/(TjT*) = 1/ | Т± |2, помещенный
в пространственно-частотную плоскость на фиг. 14.3, устраняет
множитель (TjT*) в выражении (14.4). Результирующая амплиту-
да в выходной плоскости будет в точности равна t2 (z/3 -р &), т. е.
соответствует фантомному изображению [14.6].)
446
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
До появления голографии основная трудность изготовления
согласованного фильтра заключалась в получении S* (ц). Посколь-
ку S* (ц) — комплексная величина, то для ее получения необходи-
мо регистрировать не только амплитудную, но и фазовую информа-
цию. Ван Хирден, а затем и Вандер Люгт показали, что гологра-
фия как бы создана для решения этой задачи. Соответствующим
образом полученная фурье-голограмма, на которой зарегистриро-
вана величина S* (г|), и фотографически полученный транспарант
с пропусканием UN (ц) помещаются вплотную друг к другу
в пространственно-частотной плоскости. Их комбинация пред-
ставляет собой фильтр с пропусканием S* (y\)IN (ц) = Н (ц). При
опознавании образов спектр шума N (ц) обычно неоднороден и не
является линейно аддитивным. Однако оказывается, что в экспе-
риментах по оптическому опознаванию образов удается получить
хорошие результаты, если просто считать 1/N (ц) постоянной вели-
чиной и не применять соответствующего транспаранта.
2. Отклик фильтра
Не рассматривая далее ту часть пропускания фильтра, которая
зависит от N (ц), исследуем детально, как получают и используют
фильтр. В зависимости от способа освещения можно получить
либо импульсный отклик фильтра, либо сигнал опознавания.
Полный набор t (z/j — с0) образов, подлежащих опознаванию,
помещается на вход системы; там же располагается яркий точеч-
ный источник б (z/j -|- Ь). Голограмма регистрируется в простран-
ственно-частотной плоскости (фиг. 14.6). Как мы увидим, такая
голограмма представляет собой нужный нам фильтр, пропускание
которого в общем виде описывается выражением (14.3). Восполь-
зовавшись соотношением (14.10) и учитывая, что б (z/i + b) zz>
ехр (—2njr]&), запишем выражение для пропускания в следую-
щем виде:
tH ~ S (ц) S* (т|) —|—1 —S (ц) ехр (-|-2hzt]Ь) + S* (ц) ехр (—2лгт]&) ~
~ ТТ*+1-|-Т ехр [-|-2hzt] (с0-|-&)] + Т* ехр [— 2ли] (с0-|-&)].
(14.11)
Предположим, что фильтр помещается в пространственно-частот-
ную плоскость и освещается только светом от точечного источника,
расположенного во входной плоскости (такой источник представля-
ет собой пространственный аналог импульса). Найдем импульсный
отклик фильтра в выходной плоскости. В этом случае комплексная
амплитуда волны, прошедшей сквозь голограмму, запишется сле-
дующим образом:
[ехр (—2тс£г|&)] -tH ~ ТТ* ехр (—2лгт]&) + ехр (—2ли]&) +
+ Т ехр (-|-2hzt]c0) + Т* ехр [—2лгц (с0 + 2&)]. (14.12)
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
44?
Линза L2 осуществляет обратное фурье-преобразование комплек-
сной амплитуды, описываемой выражением (14.12). В результате
в выходной плоскости имеем следующее распределение комплекс-
ных амплитуд
а (у3) ~ It* (Уз) *t (уз)! *6 (уз + Ь) + б (уд + Ь) +
+ t (у3 — с0) + t* (—Уз + с0 + 26). (14.13)
Используя (4.12), мы видим, что первый член в выражении для
а (у3) представляет собой функцию автокорреляции ансамбля
образов с центром в точке у3 = —&; второй член соответствует
изображению точечного источника, третий является изображением
ряда образов и представляет собой импульсный отклик, в то время
как четвертый член представляет собой смещенное сопряженное
изображение ансамбля образов, перевернутое относительно обыч-
ной инверсии линзы.
Теперь предположим, что точечный источник убирается,
а голограмма освещается светом, прошедшим через один из образов
ряда t, пропускание которого во входной плоскости равно
tz (yi — Ci). Из выражения для этого пропускания видно, что
образ находится в том месте, которое он занимал во время получе-
ния голограммы. Если рассматривать этот образ как фрагмент
исходного сигнала на входе, состоящего из ряда образов и точечно-
го источника, то можно ожидать, что голограмма восстановит
фантомное изображение оставшихся образов, а также изображе-
ние точечного источника. Эти изображения должны появиться
в выходной плоскости в тех местах, где оптическая система, пока-
занная на фиг. 14.6, создает обычные оптические изображения.
Если голограмму с пропусканием tH, описываемым выраже-
нием (14.11), осветить волной с комплексной амплитудой
J7 [tz (yi — q)] = Тг ехр (4-2nzT]Cz),
то комплексная амплитуда дифрагированной волны в плоскости £т|
[Тг ехр(-|-2л1т]сг)]-tH~ ТТ*Тгехр (-|-2nzT]Cz) + Тг ехр (-|-2лй]сг)+
+ TTz ехр [-[-2лгт| (с0 -|- Cz Н- &)] +
+ Т*Тг ехр [—2лгт] (с0 — ct + &)]. (14.14)
Выполнив обратное фурье-преобразование, получим следую-
щее распределение комплексной амплитуды в выходной плоскости:
а (у3) ~ [t* (у3) * t (уз)! * tz (уз — Ci) + tz (у3 — ct) +
+ t (у3) * tz (у3 — с0 — ci — b) + t* (уд) * tz(y3-(-c0—Ci+Ь).
(14.15)
Второй член справа представляет собой неискаженное изображе-
ние образа tz с центром в точке у3 = Ci. К оставшимся членам
можно применить теорему (4.12). Мы видим, что первый член
448
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
представляет собой распределение, центр которого также находит-
ся в точке р3 = Ci. Его максимальная протяженность в простран-
стве равна удвоенной протяженности всего ансамбля образов плюс
размер единичного образа t^. Если, однако, функция автокорреля-
ции ряда имеет достаточно острый максимум, то первый член
ФИГ. 14.7. Схема распределения комплексных ам-
плитуд, описываемого выражением
(14.15) для случая, когда d — 3WI2 ш
(ось уз направлена вниз).
можно рассматривать как еще одно фантомное изображение образа
tz, которое совпадает с недифрагированным светом. Третий член
является сверткой образа tz со всеми членами ряда; соответствую-
щее распределение имеет центр в точке у3 = ct 4~ с0 + Ь, а его
протяженность в пространстве равна сумме протяженностей ряда
образов и размера единичного образа tz. Последний член выраже-
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
449
ния (14.15), представляющий собой корреляцию tz со всеми обра-
зами ряда, соответствует распределению с такими же простран-
ственными размерами, но его центр находится в точке у3 = ct —
— с0 — Ъ. Чтобы наглядно представить расположение в простран-
стве распределений комплексной амплитуды, входящих в а (у3),
предположим для простоты, что образ Ц расположен в центре
ряда образов, так что сг = с0 = W/2, где W — размер ряда.
Пусть размер образа tz равен w. Изобразив компоненты а(у3),
как это сделано на фиг. 14.7, можно найти то минимальное рас-
стояние между точечным источником и центром ряда во входной
плоскости d = b + с0, при котором не происходит перекрытия
распределений в выходной плоскости. Центр первого члена в выра-
жении (14.15) находится в точке у3 = сг = W/2, а ширина распре-
деления, соответствующего этому члену, равна 2W w. Корре-
ляционный член [последний член в выражении (14.15)] имеет
центр в точке у 3 = — Ь и ширину W 4- w. Когда корреляционный
член примыкает к распределению с центром в точке у3 = сг, рас-
стояние Ъ имеет минимальную величину, которая определяется
выражением
, 2W+w , W + w
Ъ = ^Г-------С°4-~1Г-
Таким образом, d = Ъ + с0 = (ЗИ72) -|- w. Распределение, соот-
ветствующее функции свертки (третий член), расположено сим-
метрично относительно центра первого члена (z/3 = ci).
Фантомному изображению ряда образов соответствует первый
член в правой части выражения (14.15), а фантомному изображе-
нию точечного источника — четвертый член. Чтобы продемонстри-
ровать справедливость первого из этих утверждений, перепишем
первый член правой части выражения (14.14), используя выраже-
ние (14.10):
м м
2 Ту ехр (4- 2nir]Cy) 2 Т£ ехР (—2ягг\ск) Тг ехр (+ 2лгцсг) =
j=l &=1
м
= [ 3 Ту ехр ( 4 2лгт]Су)] Т?Тг 4-
з=1
м м
4- 2 Ту ехР ( + 2niT]Cy) 2 Т£ ехр (—2nir]cfe) Тг ехр (4- 2лгт]сг) =
У=1 k=l
k=f=l
= Т ехр (4- 2лгт]с0) Тг*Тг 4-
м м
4-3 Туехр(4-2лй]су) 3 Т£ехр( — 2nir]cfe) Тг ехр (4-2лг7]сг).
5=1 k=l
Чтобы найти распределение комплексной амплитуды в выходной
плоскости, произведем обратное фурье-преобразование получен-
29-0990
450
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
ного выше выражения:
[t* (г/з) * tz (г/g)] * t (г/з— с0) +
м м
+ Г t (Уз—Ck) * tj (г/з—С;)! * tz (г/з Ci).
Lfe=l 3 = 1 J
Если функция автокорреляции образа tz имеет острый максимум,
то первому члену соответствует (слабое) фантомное изображение
ряда образов t (г/3 — с0). В то же время М — 1 автокорреляцион-
ных и (М — I)2 взаимно корреляционных функций, входящих
во второй член, приводят к появлению совпадающих друг с дру-
гом фантомных изображений образа tz (г/3 — cz).
Теперь произведем обратное фурье-преобразование последнего
члена в выражении (14.14); тогда последний член выражения
(14.15) примет вид
[Т* ехр (— 2лгт]с0) Тг ехр (-}- 2лгт]сг) ехр (— 2лгт]Ь)] =
= .F"1 {т?Тг ехр (—2лгцЬ) +
+ S T*Tz ехр [ — 2лгт) (с; — cz + 6)]} =
3^=1
= [t* (г/з) * tz (г/з)] * 6 (г/з + Ъ) +
м
+ Г t* (г/з) * tz (г/з) 1 *8(г/з + cj — Ci +ty. (14.16)
Lj=i J
Первый член полученного выражения можно рассматривать как
фантомное изображение точечного источника, образующегося
в результате свертки б-функции с функцией автокорреляции tz.
Изображение б (г/3 + Ъ) локализуется в точке г/3 = —Ъ, т. е.
в том положении, где создает изображение оптическая система,
представленная на фиг. 14.6. Возможно, более естественно рас-
сматривать этот первый член как автокорреляционную функцию
от tz, значение которой благодаря фильтрующим свойствам б-функ-
ции вычисляется в точке у3 = —Ъ. В любом случае первому члену
соответствует яркое световое пятно, появление которого означает,
что tz является одним из образов, зарегистрированных на голо-
граммном фильтре. Для четкой работы схемы опознавания авто-
корреляционная функция опознаваемого образа должна иметь
острый максимум, в то время как функции взаимной корреляции
этого образа со всеми остальными образами ряда [второй член
в выражении (14.16)1 должны быть достаточно широкими. Функции
взаимной корреляции распределяются вблизи максимума авто-
корреляционной функции; их центры смещены от точки у3 = —Ъ
на расстояния, равные расстояниям от входного образа до других
образов в исходном ансамбле.
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
451
3. Идентификация образов
Пока мы только показали, что если один из ряда образов, заре-
гистрированных на голограммном фильтре, поместить в его исход-
ное положение во входной плоскости, то голограммный фильтр
опознает его как один из образов этого ряда. Однако фильтр не
указывает, какой из образов ряда введен на вход системы, потому
что сигнал опознавания, яркое пятно в точке у3 = —Ь, одинаков
для любого из образов, если они занимают свои исходные места
на входе системы. Предположим, однако, что входная плоскость
закрывается маской так, что остается только маленькое окно
с центром в начале координат, причем размеры окна соответству-
ют размерам одного образа. Для опознавания неизвестные образы
должны устанавливаться в этом окне. При такой установке образ
С (//1 — ci) оказывается смещенным из своего первоначального
положения на q единиц в направлении —у^ а его пропускание
можно представить в виде t; (г/J. Подставим в первую строч-
ку выражения (14.16) вместо освещающей амплитуды
Тг ехр (+2л1цсг) значение Gf [t; (г/Jl = Тг. Тогда член, соответ-
ствующий сигналу опознавания на выходе [первый член в послед-
ней строчке выражения (14.16)1, примет вид
С = [t*(//s) * tz(j/3)]* б(г/з + сг + Ь). (14.17)
Из (14.17) следует, что яркое пятно опознавания смещается из
точки г/з = —b на сг единиц в направлении —у3. Поскольку
каждый образ исходного ряда находится на некотором характер-
ном для него расстоянии с7- от начала координат, то по положению
яркого пятна сигнала опознавания относительно точки у3 = —b
можно определить, какой из образов введен на вход системы.
Прежде чем переходить к схеме опознавания, в которой наилуч-
шим образом используется свойство оптических систем параллель-
но обрабатывать большое количество информации, еще раз изло-
жим основные принципы метода опознавания. Мы видели, что
при введении согласованного фильтра в пространственно-частот-
ную плоскость, как показано на фиг. 14.6, в выходной плоскости
возникает сигнал, соответствующий корреляции неизвестного обра-
за со всеми образами, записанными на фильтре. Когда неизвестный
образ является одним из ряда образов, записанных на фильтре,
сигналом опознавания служит появление интенсивного светового
пятна. Появление такого пятна является следствием операции
оптического фурье-преобразования, осуществляемой линзой L2
над произведением фурье-образа входного сигнала на сопряжен-
ные фурье-образы сигналов, зарегистрированных на фильтре.
Смещение входного образа из положения, которое он занимал
во время получения фильтра, равносильно умножению этого про-
изведения на фазовый множитель, фаза которого линейна относи-
29*
452
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
тельно координат в пространственно-частотной плоскости. В ре-
зультате обратного фурье-преобразования, осуществляемого лин-
зой Z2, в выходной плоскости появляется сигнал, являющийся
функцией автокорреляции, однако теперь этот сигнал смещен
относительно первоначального положения на величину, равную
смещению образа на входе. Фильтры, получаемые вне фурье-
плоскости, не будут опознавать образы, смещенные из исходного
положения. Наоборот, нечувствительность фурье-голограммы
к смещению объекта на входе, вытекающая из свойств преобразо-
вания Фурье, используется для идентификации образов.
ФИГ. 14.8. Входная плоскость при получении фильт-
ра для опознавания букв.
Если отдельные буквы печатной страницы одна за другой
перемещаются мимо входного окна системы, то при этом только
частично используются возможности одновременной обработки
входной информации. В то время как характерные черты отдель-
ной буквы обрабатываются одновременно с помощью голограммно-
го фильтра и оптической системы, показанной на фиг. 14.6, N букв
на странице распознаются последовательно. Вандер Люгт и др.
[14.2] предложили остроумное видоизменение описанного ранее
метода опознавания, которое позволяет одновременно идентифици-
ровать все буквы на странице.
Предположим, что во'входную плоскость до создания голограм-
много фильтра введен транспарант, показанный на фиг. 14.8.
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
453
[Здесь черные буквы представляют собой прозрачные образы,
а черная точка с координатами (—Ъ, 0) изображает яркий точеч-
ный источник.] К каждой из введенных на вход букв примыкает
ФИГ. 14.9. Одновременное опознавание букв на
всей странице.
а — страница, введенная во входное окно си-
стемы; б — картина, наблюдаемая на выходе.
участок входной плоскости, размер которого позволяет спроеци-
ровать на него страницу, содержащую неизвестные буквы, которые
необходимо идентифицировать. На фиг. 14.9, а снова показана
•454
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
входная плоскость; на этот раз эта плоскость непрозрачна, за
исключением входного окна в верхней левой части первого квад-
ранта.
В этом окне помещается страница букв, которые необходимо
идентифицировать. Предположим, что при получении фильтра
использовались показанный на фиг. 14.8 транспарант, освещаемый
плоской световой волной, точечный источник и оптическая систе-
ма, изображенная на фиг. 14.6. На фиг. 14.9, б представлена вы-
ходная плоскость. Черная точка с координатами (—Ъ, 0) представ-
ляет собой изображение точечного источника или сигнал авто-
корреляции для образа, занимающего во входной плоскости по-
ложение, идентичное тому, которое он занимал при получении
фильтра.
Пусть входная плоскость имеет вид, изображенный на
фиг. 14.9, а, тогда яркое пятно появится в точке \—Ъ, 0) только
в том случае, если первой буквой на странице является буква
А. Все другие буквы А на странице, помещенной на входе, также
приведут к появлению ярких автокорреляционных пятен, распо-
ложенных на таких расстояниях от точки (—Ь, 0), которые соответ-
ствуют их расстояниям от первой буквы на странице. Таким обра-
зом, положение всех букв А на странице, введенной на вход,
будет отмечено автокорреляционными пятнами на соответствующем
участке выходной плоскости (карте), обозначенном на фиг. 14.9, б
буквой А. Эти пятна показаны на фиг. 14.9, б крестиками.
Автокорреляционные крестики, соответствующие положению
букв В на введенной на вход странице, смещаются относитель-
но точки (—Ь, 0) в соответствии с их расстояниями от того по-
ложения, которое буква В занимала во время получения
фильтра. Таким образом, положение всех букв В на странице,
введенной на вход, будет отмечено автокорреляционными пят-
нами, обозначенными крестиками, на участке выходной плос-
кости.
Аналогичным образом на соответствующих участках плоскости
автокорреляционными точками будет отмечено положение других
букв, входящих в записанный на фильтре ансамбль. Чтобы осу-
ществить считывание этого упорядоченного ансамбля сигналов
опознавания, предлагалось использовать ансамбль фотодетекто-
ров в выходной плоскости, по одному для каждого возможного
положения буквы в каждой из карт, соответствующих разным
буквам. Если число букв на входной странице N = 2000 и среди
них имеется п = 100 различных букв, то необходимо nN =
= 200 000 фотодетекторов. Каждой странице, помещенной на
вход, в этом случае будет соответствовать не более 2000 электри-
ческих сигналов, которые могут быть считаны сканированием
всей матрицы фотодетекторов и соответствующим образом сохра-
нены в постоянной памяти.
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
455
4. Практические проблемы
Для осуществления считывающих систем, которые позволяли
бы производить одновременную идентификацию всех букв на
странице, по-видимому, необходимо использовать новейшие дости-
жения технологии интегральных схем. Кроме того, вводимая
на вход системы страница должна быть установлена с высокой
точностью. Однако эти проблемы решить все-таки легче, чем
преодолеть более общие фундаментальные ограничения когерент-
ного оптического опознавания образов. Последующее рассмотре-
ние относится как к более простым схемам последовательного
•опознавания образов (буква за буквой), так и одновременному
•опознаванию целых страниц.
Неизбежным является компромисс между высокой дискримина-
ционной способностью, с одной стороны, и нечувствительностью
системы к ориентации, размеру и качеству букв, вводимых на
вход системы, с другой стороны. Широкополосный голограммный
фильтр (фильтр, который регистрирует как низкочастотные, так
и высокочастотные пространственные компоненты фурье-образов
входящих в ансамбль букв) допускает изменение масштаба букв
на +15% и их поворот на +16° (типичные цифры) [14.2]. Сигналы
•опознавания при этом остаются достаточно яркими. Однако при
использовании широкополосного фильтра функции взаимной кор-
реляции могут иметь пиковые интенсивности, которые в отдельных
случаях равны интенсивностям автокорреляционных функций.
В результате этого появляется сигнал ложного опознавания. Это
заведомо справедливо для букв алфавита, в очертании которых
имеются общие элементы (например, О содержится в Q). Попытки
получения широкополосных фильтров могут привести к тому,
что компоненты с очень низкой пространственной частотой начнут
играть слишком заметную роль. Этим компонентам соответствует
свет, проходящий почти без отклонения через большие прозрачные
участки букв, в основном определяющие их пропускание. Для
букв с одинаковыми прозрачными участками эти сильные низко-
частотные компоненты не используются при дискриминации:
на практике может оказаться, что их регистрация даже мешает
идентификации.
Если амплитуда опорного пучка достаточно велика для линейной
записи низких пространственно-частотных компонент, то слабые
высокочастотные компоненты записываются при большом отноше-
нии интенсивностей пучков R. Из выражения (7.31) мы знаем, что
при больших R видность зарегистрированной структуры про-
порциональна 7?-1/2. При этом амплитуда света, дифрагированного
такой структурой, может быть настолько мала, что ее невозможно
различить на фоне шума. Если же уменьшить интенсивность опор-
ного пучка, то некоторые из более важных низкочастотных компо-
456
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
нент будут регистрироваться нелинейно, что приведет к появле-
нию дополнительного шума.
Путем переэкспонирования центрального участка голограммы
(области, где регистрируются компоненты с низкой пространствен-
ной частотой) можно получить фильтр, преимущественно про-
пускающий высокочастотные пространственные компоненты.
Центральная часть фильтра обладает сильным поглощением, так
что через нее проходит очень мало света. Внешние участки, на
которых регистрируются более высокие пространственные часто-
ты, оказываются при этом проэкспонированными оптимальным
образом и обладают более высокой дифракционной эффектив-
ностью. В результате этого подчеркиваются края и углы помещен-
ных на входе букв, и таким образом выявляются их различия.
Однако по мере увеличения селективности опознавания возрастает
чувствительность к изменению ориентации, изменению размера
или ухудшению качества образа.
Фильтры, выделяющие высокие пространственные частоты,
можно использовать для регистрации и опознавания производных
от образов [14.7]. Пропускание t (у) на входе можно представить
с помощью его фурье-образа Т (ц):
ОО
t(//)= j T(T])exp( —2лй]г/)йт].
— ОО
Тогда для производной от пропускания на входе получим
ОО
( — 2л1'т]Т (ц) ехр ( — 2niTp/) dr],
ay J *
— ОО
ИЛИ
^=э-2шт]Т (т)).
Чтобы применить этот метод, нужно заменить произведение Т*Тг
в члене опознавания [последний член выражения (14.14)] на
[4-2лгт)Т*] [-2л1Т]Тг] = 4л2т]2Т*Тг.
Для этого в пространственно-частотной плоскости вплотную
к обычному голографическому фильтру, зарегистрированному
в фурье-плоскости, помещают дополнительный фильтр. Новый
фильтр должен иметь пропускание 4л2т]2, параболически воз-
растающее с расстоянием от центра плоскости и равное нулю
в центре. Как и предполагалось, этот метод обеспечивает лучшую
избирательность при опознавании букв ряда, но в то же время
малопригоден для опознавания вариантов данной буквы. Фиг.
14.10 иллюстрирует величину отношения сигнал — шум, полу-
ченную с дифференцирующим фильтром при введении показанного
на фиг. 14.10, а транспаранта.
le filtrage des frequences spatiales
le filtrage des frequences spatiales
(e filtrage des frequences spatiales
le filtrage des frequences spatiales
le filtrage des frequences spatiales
а le filtrage des frequences spatiales
ФИГ. 14.10 Идентификация буквы «е» с помощью
фильтра для опознавания образов мето-
дом производной. (По Ловенталю и Бель-
во [14.7].)
а — страница на входе; б — наблюдаемые
пики автокорреляции на выходе; в — микрс-
денситограмма одной из строк картины б.
458
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
Из проведенного рассмотрения высокочастотной фильтрации
следует, что процесс опознавания образов с помощью голограмм-
ного фильтра был бы более успешным, если бы в качестве вход-
ных функций использовались сложные пространственные картины
со сравнительно небольшой площадью прозрачных участков. Сле-
довательно, можно ожидать, что метод когерентного оптического
опознавания образов может оказаться весьма пригодным, напри-
мер, для идентификации отпечатков пальцев [14.8]. Метод допу-
скает нарушение ориентации на +3° и позволяет идентифициро-
вать даже фрагменты отпечатка. Серьезной проблемой является
шум (обусловленный пылинками и пятнами), который делает сигнал
нечетким. Очевидно, эксперт-дактилоскопист менее чувствителен
к шумам этого типа, чем оптическая система опознавания образов.
Одна из проблем, возникающих при всех применениях когерент-
ной оптической системы опознавания образов, связана с тем, что
необработанный входной сигнал, например страницу книги или
отпечаток пальца, необходимо превратить в транспарант. Этот
транспарант можно затем поместить перед входным окном, осве-
тить когерентным светом и идентифицировать. Если же на вход
системы вводить сам объект, а не соответствующий ему транспа-
рант, то диффузный свет, освещающий голограммный фильтр,
будет в основном характеризовать шероховатость входной страни-
цы. В некоторых применениях рельефные изображения входных
страниц получаются на термопластике, при этом запись можно
осуществить всего за несколько секунд. Когда же требуется быстрая
обработка или обработка в реальном времени, даже несколько
секунд, возможно, окажутся слишком большим сроком.
5. Другой метод
Предположим, что для установления корреляции между изо-
бражениями на входе и известными изображениями каждый раз
производится новая голографическая запись. В этом случае можно
реализовать более прямой метод опознавания образов [14.9, 14.10].
Чтобы понять основную идею метода, обратимся к анализу, про-
веденному в § 2. Два транспаранта К (yt) и t2 (г/± + Ъ) играют роль
входных источников, которые используются для получения фурье-
голограммы в оптической схеме, показанной на фиг. 14.3. Пред-
положим, что К (yt) — транспарант образа, который мы хотим
найти на странице неизвестных образов, и t2 (yi + Ъ) — транспа-
рант страницы, на которой содержится один или несколько обра-
зов К (yj. Пропускание фурье-голограммы, образованной с этими
источниками, описывается выражением (14.3)
tu Т^Т* -]- Т2Т2 -]- TjT2 ехр (-)- 2л1Т]Ь) -]-
-]- Т*Т2 ехр (— 2лй]&),
(14.18)
§ 4.
ОПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ
459
где
ti (г/J => Tj (ц) и t2 (г/i) => Т2 (Т)).
Предположим, что такую голограмму возвращают в ее исходное
положение в частотной плоскости (фиг. 14.3) и освещают аксиаль-
ной плоской волной единичной амплитуды (для этого точечный
источник помещают в начало координат входной плоскости).
Линза Ь2 осуществляет обратное фурье-преобразование функции
tH, которое наблюдается в выходной плоскости.
Пусть расстояние b достаточно велико, так что в плоскости
х3у3 распределение, соответствующее обратным фурье-образам
первых трех членов в выражении (14.18), не перекрывается с рас-
пределением, соответствующим обратному фурье-образу четверто-
го члена. Обратный фурье-образ четвертого члена
[Т*Т2ехр (- 2niT]6)] = [t? (г/3)1* t2(z/3)]>6 (у3 + L) (14.19)
представляет собой взаимную корреляцию пропускания t2 с про-
пусканием tj с центром в точке у3 = —Ь. Именно эта точка явля-
лась бы центром изображения пропускания t2 (yt Ь), если бы
это изображение строилось обычной двухлинзовой системой. Если
пропускание t2 окажется идентичным пропусканию t1? то автокор-
реляционная функция t* * tj -будет иметь острый максимум, что
приведет к появлению яркого пятна, соответствующего сигналу
опознавания, в точке у3 = —Ъ. Если в транспаранте t2 содержится
один или более образов с пропусканием t1; то можно считать, что
каждый из этих образов вместе с известным пропусканием Е
образуют независимые, но наложенные друг на друга голограммы;
автокорреляционные пики возникнут в точках у3 = —bi, соответ-
ствующих центрам этих пропусканий 11г. Таким образом, положе-
ния всех образов Е на входной странице с неизвестными данными
будут идентифицированы.
Одно из преимуществ этого метода заключается в том, что
он исключает необходимость точного возвращения фильтра в то
положение, которое он занимал во время его получения. Однако
на первый взгляд это само по себе, по-видимому, не обеспечивает
быстрой обработки входных данных или обработки в реальном
времени. Для каждого нового ансамбля неизвестных образов,
помещенных на вход, нужно получить новую голограмму. Однако
этот недостаток можно устранить, если использовать термопласти-
ческие регистрирующие материалы, где возможно стирание записи
(см. гл. 10). В этом случае можно за несколько секунд получить
полностью обработанные голограммы in situ (на месте). Это займет
не больше времени, чем превращение необработанных данных
в форму транспаранта (процесс, обязательный в любой из описан-
ных когерентных оптических систем опознавания образов).
460
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
Ту же самую идею опознавания образов можно применить
для очень быстрой обработки информации, если заменить фото-
пластинку в частотной плоскости видиконом, преобразующим
интерференционную картину в изменяющиеся во времени электри-
ческие сигналы. С помощью спектроанализатора можно осуще-
ствить фурье-преобразование этих сигналов и наблюдать корре-
ляционные функции [14.11]. При этом произойдет некоторая поте-
ря опознавательной способности, обусловленная одномерностью
наблюдаемой корреляции. Конечно, разрешающая способность
видикона должна быть достаточной для разрешения интерферен-
ционной картины, поэтому пространственные частоты этой карти-
ны не должны быть высокими.
§ 5. Мультипликация и кодирование
Использование одного голограммного фильтра, зарегистриро-
ванного в фурье-плоскости, для идентификации нескольких раз-
личных образов на входной странице может служить примером
пространственно-частотного мультиплицирования. Если такому
голограммному фильтру в частотной плоскости соответствует неко-
торая полоса пространственных частот, то введение на вход систе-
мы для опознавания каждого из образов приводит к появлению
в световой волне, освещающей голограмму, компоненты, про-
странственные частоты которой лежат в той же полосе. В этом
смысле канал пространственных частот голограммы будет мульти-
плицирован. Чтобы осуществить единственное в своем роде кодиро-
вание пространственных частот в этой полосе, будем освещать
голограмму волной, комплексная амплитуда которой пропор-
циональна фурье-образу пропускания любого из входных изобра-
жений. Представим себе голограммный фильтр Вандер Люгта
как суперпозицию одновременно полученных голограмм, для каж-
дой из которых источником кодированной опорной волны служит
один из образов, а предметом — точечный источник. Когда отдель-
ный образ, который нужно опознать, помещен на вход и освещает
голограммный фильтр, только одна голограмма из этой совокуп-
ности голограмм откликается на данное кодирование освещающей
волны. При этом восстановится волна, дающая изображение точеч-
ного источника.
На практике частотное мультиплицирование не обязательно
должно ограничиваться случаем одной экспозиции и единственно-
го предмета. Многократное экспонирование одной и той же фото-
пластинки с заменой как предметного, так и опорного кода между
экспозициями [14.12] может найти применение для создания много-
цветных голографических систем формирования изображений
[14.13] и цифровых запоминающих устройств [14.14]. Применению
§ 5.
МУЛЬТИПЛИКАЦИЯ И КОДИРОВАНИЕ
461
многоцветных голографических изображений посвящена гл. 17.
В настоящем параграфе мы рассмотрим метод записи точечных
световых источников, которые могут служить двоичными единица-
ми информации в голограммной памяти.
1. Хранение числовой информации
с помощью кодированных многократно экспонированных
голограмм
Страницу двоичной информации можно представить в виде
ансамбля ярких светящихся точек, расположенных в точках пере-
сечения регулярной двумерной сетки. Присутствие яркого пятна
в данной точке соответствует единице в двоичной системе, а отсут-
ствие пятна — нулю. Мы хотим голографически зарегистрировать
пропускание такого ансамбля с помощью кодированной опорной
волны и затем определить, сколько таких голограмм можно полу-
чить на одной и той же фотопластинке путем многократного экспо-
нирования. При каждой экспозиции заменяют как числовую
страницу, так и кодированную опорную волну. Для этого в каче-
стве опорного источника применяют рассеиватель или матовое
стекло и перемещают его между экспозициями. Достаточно очень
небольшого смещения рассеивателя (около 15 мкм) для того, что-
бы пропускание рассеивателя оказалось практически некоррели-
рованным с его пропусканием в исходном положении (см. § 1, п. 2).
Освещая голограмму соответствующим образом закодированной
опорной волной, можно получить изображение любой числовой
страницы, хранящейся в голограммной памяти. Только одна из
записанных голограмм откликнется на код и восстановит фантом-
ное изображение. Остальные голограммы создадут нежелательный
рассеянный фон или шум. Чтобы определить, сколько цифровых
страниц можно записать на одной голограмме, нужно выяснить
источники шумов и вычислить отношение интенсивности сигнала
к интенсивности шума в плоскости изображения.
На фиг. 14.11 представлена фотография восстановленного
изображения одиночного точечного источника на фоне окружающе-
го его шума. Фотография получена путем освещения совокупно-
сти 10 снятых на одну пластинку голограмм одной из кодирован-
ных опорных волн, использованных при получении этих голо-
грамм. Объектом при получении голограмм служил один и тот же
точечный источник. Заметим, что шум локализован вблизи изобра-
жения яркого пятна. Предположим, что узловые точки на входной
странице расположены достаточно далеко друг от друга, так что
шум, окружающий данное изображение пятна, не перекрывается
с шумом, окружающим соседнее пятно. В этом случае мы можем
ограничиться рассмотрением связи между числом наложенных
друг на друга голограмм одного и того же точечного источника
462
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
и интенсивностью сигнала и шума. Последующий анализ в основ-
ном заимствован из работы [14.14].
Пусть a(i)(y) — комплексная амплитуда предметной вол-
ны 2) на голограмме, полученной с i-м точечным источником»
ФИГ. 14.11. Фотография изображения пятна диамет-
ром 25 мкм, восстановленного одной
из 10 наложенных друг на друга коди-
рованных голограмм. (По ЛаМакхиа
и Уайту [14.14].)
и г<*)(г/) — комплексная амплитуда соответствующей кодированной
опорной волны. Член амплитудного пропускания голограммы»
ответственный за восстановление мнимого изображения, пропор-
ционален При N экспозициях член, соответствующий
всем мнимым изображениям, будет
N
tB ~ 3 (14.20)
i=i
х) Верхний индекс указывает последовательность экспозиций.
§ 5.
МУЛЬТИПЛИКАЦИЯ И КОДИРОВАНИЕ
463
Предположим, что N наложенных друг на друга голограмм осве-
щаются светом от /-го опорного источника. Тогда дифрагирован-
ная волна, соответствующая мнимому изображению в плоскости
голограммы, имеет комплексную амплитуду
N N
w = r^tv ~ 2 a(i>r*W ~ г<Лг*<Лау>-|-г^ 2 а^г*(*>. (14.21)'
i=l i=l
i=#j
Поскольку все объекты, являющиеся точечными источниками^
идентичны, имеем а^> = а<*> = а. Обычно размеры голограммы
малы по сравнению с расстоянием от голограммы до диффузно-
го опорного источника. Тогда, как и в случае, показанном на
фиг. 14.2, можно считать, что рассеиватель состоит из М отдель-
ных точечных источников, посылающих на голограмму М плоских
волн, имеющих единичные амплитуды, пространственные частоты
T]<J) и случайные начальные фазы <р^. Амплитуда опорной волны.
г<Л принимает вид
м
Г О) = 2 ехр (+ 2л1ч$у) ехр (+ tcp™). (14.22>
т=1
Для первого члена в выражении (14.21) имеем
м
= а 2 ехР (+ 2niT]my) ехр (+ i<p(m) X
m=l
м
х 2 ехр (- 2л^п5)г/) ехр (— <р£й) =
П=1
мм
= Ма + а 23 ехр [2ni(T]m —Лп1) у]ехр [i (ф^ —фп1)]-
т, п=1
т=рп
(14.23)
Первый член в правой части выражения (14.23) соответствует
изображению точечного источника, и его можно рассматривать
как сигнал. Второй член содержит М2 — М — М (М — 1) членов,
каждый из которых представляет модуляцию предметным волно-
вым фронтом а несущих с различными пространственными частота-
ми и случайными фазами. Если сумму этих амплитуд умножить,
на комплексно-сопряженную ей величину, усреднить произведении
по пространственным координатам и извлечь квадратный корень
из произведения, то мы получим среднеквадратичное значение
амплитуды шума [М (М — I)]1/2 а, где а = | а |. Когда число
М велико, амплитуда шума приблизительно равна амплитуде
464
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
сигнала. Второй член выражения (14.21) можно записать в виде
N N М
гО) 3 а^>г*<4> = 3 а [ 3 ехР (+ 2nirffy) ехр (j<p^) х
i=i i=i m=i
i=#j i=#j
x з exp( —2л^г)г/)ехр( —icp^)]. (14.24)
n=i
Каждой голограмме, за исключением одной, полученной с помощью
опорной волны, используемой для освещения голограммы, теперь
отвечает М2 членов в скобках в выражении (14.24), каждый из
которых имеет амплитуду а и случайную фазу. Всем (N — 1) М2
членам выражения (14.24) соответствует в плоскости голограммы
среднеквадратичная амплитуда шума
[(7V-1) М2]1/2а.
Для нас представляет интерес отношение интенсивности сигнала
к общей интенсивности шума в плоскости изображения. Однако
вычислим сначала интенсивности шума и сигнала в плоскости
голограммы. Интенсивность шума, получаемая из выражения
(14.23), равна М (М — 1) а2 « М2а2 (для больших М). Выраже-
ние (14.24) дает также вклад в интенсивность шума, равный
М2 (N — 1) а2. Таким образом, полная интенсивность шума на
голограмме составляет
MV + M2Na2 — М2а2 = NM2a2. (14.25)
Поскольку интенсивность сигнала, полученная из выражения
(14.23), равна М2а2, для отношения интенсивности сигнала к ин-
тенсивности шума в плоскости голограммы получим
/ Is \ _ MW __ 1
\77/н“ NMW ~~N
(14.26)
Может показаться, что при больших N сигнал неразличим на
фоне шумов. Однако для нас имеет значение отношение сигнала
к шуму в плоскости изображения, а не в плоскости голограммы.
Поскольку сигнал представляет собой изображение точечного
источника, то соответствующее ему дифрагированное голограммой
излучение концентрируется в маленькое пятно в плоскости изобра-
жения, создавая высокую освещенность. Наоборот, световой
лоток, соответствующий шуму, распределяется по всей плоскости
изображений и создает низкую освещенность.
Можно вычислить отношение ps максимальной освещенности
в пятне восстановленного изображения к освещенности, соответ-
ствующей сигналу в плоскости голограммы, считая, что размеры
голограммы малы по сравнению с расстоянием d от голограммы
до плоскости изображения. Для этого случая (фиг. 14.12) восста-
§ 5.
МУЛЬТИПЛИКАЦИЯ И КОДИРОВАНИЕ
465
новленный волновой фронт сигнала является практически плоским
и однородным на поверхности голограммы. Тогда образуемое им
мнимое изображение представляет собой картину дальнего поля
для круглого отверстия радиусом h, которая в общем случае описы-
вается выражением (5.39). Умножая (5.39) на комплексно-сопря-
женное выражение, получаем искомое отношение освещенностей
<14-27’
ФИГ. 14.12.
Схема установки для получения и осве-
щения голограммы точечного источника
с использованием кодированной опор-
ной волны.
Распределение освещенности, создаваемой шумом в плоскости
восстановленного изображения, можно оценить, исходя из распре-
деления углов, под которыми распространяется предметный вол-
новой фронт, описываемый вторым членом в выражении (14.23).
В результате двойного суммирования получаем, что разброс про-
странственных несущих частот равен 2 (т]м — т^). Переходя
к углам 0М, 0t и 0, показанным на фиг. 14.12, найдем соответ-
ствующий разброс углов 2 (0М — 0t) = 20, где мы использовали
соотношение т] г « 0г-А. Таким образом, площадь плоскости изобра-
жения, на которой распределены шумы, равна л (20cZ)2/4; отноше-
ние освещенности, создаваемой шумом в плоскости изображения,
к освещенности, создаваемой шумом в плоскости голограммы, обрат-
но пропорционально отношению соответствующих площадей:
__ Л/i2 /i2 / Л f OQ4
— (л/4) (20d)2 = W
Теперь мы можем получить отношение освещенностей,
создаваемых сигналом и шумом в плоскости изображения. Для
30-0990
466
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
этого нужно умножить отношение (Js/In)h> описываемое выраже-
нием (14.26), на Ps/pw:
I \ _ 1 Ps_____(л/г2)2 92^2 _n292fe2 Н4
/I N pN~ N №№ ' h* N№ ‘ ' '
При получении этого результата мы считали, что шум однородно
распределен по плоскости изображения. В действительности осве-
щенность, создаваемая шумом, максимальна в месте локализации
изображения. Заметим, что величина, определяемая выражени-
ем (14.29), не является отношением сигнал — шум для когерентно-
го освещения. Чтобы найти отношение сигнал — шум, нужно
подставить выражение (14.29) для ЦП N в формулу (12.41) (см. так-
же фиг. 12.11) х).
Путем многократного экспонирования одной фотопластинки
с использованием кодированной опорной волны удалось получить
более 1000 наложенных друг на друга голограмм точечного источ-
ника. Это число не является пределом. При использовании в каче-
стве объекта точечного источника предельное число наложенных
голограмм определяется не интенсивностью шума, связанного
с использованием диффузной опорной волны, а шумом, создавае-
мым зернистостью пленки, или шумом, вносимым фотоприемным
устройством. Максимальная дифракционная эффективность, кото-
рую можно получить для одиночной голограммы, убывает обратна
пропорционально квадрату числа экспозиций (см. гл. 17, § 5Г
п. 5). В результате этого интенсивность сигнала в любом изобра-
жении пятна оказывается настолько низкой, что шум фотоприем-
ника становится основной проблемой при практическом создании
устройств памяти. С другой стороны, когда в качестве объекта
при получении голограммы с кодированной опорной волной
используются не простые, находящиеся на относительно большом
расстоянии друг друга точечные источники, а объекты более общего-
вида, шумы, обусловленные различными точками объекта, пере-
кроются. В результате число наложенных друг на друга голограмм
составляет в лучшем случае несколько десятков, поскольку оно
ограничивается корреляционным шумом, интенсивность которого
была рассчитана в этом параграфе.
§ 6. Обработка изображения
Некоторые из обсуждавшихся выше идей относительно про-
странственной фильтрации можно применить для исправления
или улучшения фотографических изображений [14.15]. В качестве
х) Число экспозиций У в выражении (14.29) не следует путать с шумом
N в выражении (12.41).
§ 6.
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЯ
467
примера рассмотрим фотографию, умышленно полученную при
расфокусированном фотоаппарате. Допустим, что хорошо сфоку-
сированное фотографическое изображение предмета имеет ампли-
тудное пропускание f (х, у), тогда как его несфокусированному
изображению соответствует пропускание g (х, у). Будем считать,
что расфокусированный аппарат преобразует каждую точку
в предметной плоскости в пятно в плоскости изображения с рас-
пределением амплитуды h (х, у). Распределение h (х, у) представ-
ляет собой импульсный отклик расфокусированной оптической
системы. Если зарегистрировать это распределение на фотопла-
стинке с соответствующим контрастом у, то можно получить тран-
спарант с пропусканием h (х, у) (см. гл. 2, § 5, п. 1). Предположим
далее, что функцию изображения g (х, у) можно записать сле-
дующим образом:
g (х, у) = / (х, у) *h (х, у), (14.30)
т. е. аналогично выражению (6.66), которое описывает уширение
изображения точки из-за дифракции на линзе ограниченного
диаметра (см. гл. 6, § 4, п. 1). Выражение (14.30) означает, что
амплитуда каждой точки в функции неискаженного изображения
/ (х, у) в расфокусированном изображении умножается на одно
и то же амплитудное распределение h (х, у). Как показано в гл. 4,
для этого необходимо, чтобы оптическая система была линейна
и пространственно-инвариантна.
Наша задача заключается в том, чтобы найти, как нужно осве-
тить транспарант g (х, у) и пространственно отфильтровать про-
шедший через него свет, чтобы восстановить только / (х, у). Про-
цесс фильтрации осуществляется в пространственно-частотной
плоскости (фурье-плоскости). Для этого транспарант g (х, у) по-
мещают в передней фокальной плоскости линзы; при этом в задней
фокальной плоскости образуется фурье-образ G (£, ц) функции
изображения (фиг. 6.6). Из выражения (14.30) следует, что
G (£, т]) = F (£, ц) Н (£, ц), (14.31)
где F (I, ц) с / (х, у) и Н (g, ц) сз h (х, у).
Если мы сможем осуществить умножение
н^_= f-h-h^ (1432)
|Н|2 I Н |2 ’ V '
то наша цель будет достигнута. Фильтр Н*/| Н |2 можно реализо-
вать в виде двух установленных вплотную фильтров Н* и | Н |-2,
подобно тому как реализуется фильтр S*/N (см. § 4, п. 1) [14.2,
14.15]. Транспарант с пропусканием h (х, у) помещается в перед-
нюю фокальную плоскость схемы (фиг. 6.6), а распределение
интенсивности, сформированное в задней фокальной плоскости,
регистрируется в виде фотонегатива. Негатив проявляется до у =
30*
468
ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ
ГЛ. 14.
= 2, так что его амплитудное пропускание оказывается равным
Z=[|H|2]-V2 = |H|-a.
Затем, опять поместив транспарант h (х, у) в передней фокальной
плоскости линзы, в [ее задней фокальной плоскости получают
фурье-голограмму (по схеме, показанной на фиг. 8.22 или фиг. 14.6),
на которой регистрируется Н*. Если фильтры Н* и | Н |-2 совме-
стить и поместить в пространственно-частотную плоскость (фиг.
14.6), а транспарант с пропусканием g (х, у) ввести во входную
плоскость и осветить аксиальной плоской волной, то в простран-
ственно-частотной плоскости будем иметь произведение
а в выходной плоскости получим [F] = / (ж, у), т. е. неиска-
женное изображение. Метод требует тщательной обработки фото-
пластинок, и получить хорошие результаты трудно.
Фурье-голограммы (линзовые и безлинзовые), освещаемые про-
странственно-модулированной опорной волной или полученные
с пространственно-модулированной опорной волной, также можно
в определенных случаях использовать для обработки фотографи-
ческих изображений. Рассмотрим множество перекрывающихся
изображений, полученных от набора беспорядочно расположенных
точечных отверстий, действующих как камера-обскура с многими
входными отверстиями [14.16]. Из-за конечной апертуры этой
камеры каждая точка идеального изображения / (х, у) размывает-
ся в пятно с распределением, описываемым функцией h (х, у),
в результате чего получается искаженное изображение g (х, у).
Как и ранее [см. выражение (14.30)], положим, что g (х, у) можно
представить в виде свертки функций / (х, у) и h (х, у). Предполо-
жим, что при получении фурье-голограммы, так же как и в случае,
показанном на фиг. 14.6, во входную плоскость вместо исходного
набора отверстий вводится транспарант с пропусканием g (х, у).
Пропускание такой голограммы по форме аналогично описываемо-
му выражением (14.11), если в последнее вместо Т подставить G.
Интерес для нас представляет последний член выражения —
произведение G* на линейный фазовый множитель. Если ввести
голограмму в заднюю фокальную плоскость линзы, а в передней
фокальной плоскости на оси поместить транспарант с пропускани-
ем h (х, у) и осветить его плоской волной, то комплексная амплиту-
да, соответствующая последнему члену в пропускании голограм-
мы, в пространственно-частотной плоскости будет иметь вид
HG* ехр (—2л1Т]Ь) = HH*F* ехр (—2лгт]Ь).
Обратное фурье-преобразование, осуществляемое линзой, дает
[h* * Ы * / (—х, —у-\- Ъ).
ЛИТЕРАТУРА
469
Если функция автокорреляции набора точечных отверстий h (х, у)
близка к 6-функции, то ее свертка с f дает перевернутое резко
сфокусированное изображение, пропускание которого практиче-
ски равно /.
Если при получении фурье-голограммы в качестве предмета
и опорного источника во входной плоскости используются тран-
спаранты с пропусканием g (х, у) и h (х, у) и если g (х, у) =
= f'(x, у) * h (х, у), то один из членов пропускания голограммы
будет
GH* = FHH*.
Предположим, что [НН*] = h* * h-> 6 (х, у). Если голограм-
ма освещается аксиальной плоской волной и линза осуществляет
обратное фурье-преобразование произведения GH*, то в выходной
плоскости мы снова получим пропускание /.
ЛИТЕРАТУРА
14.1. COLLIER R. J., PENNING-
TON К. S., Appl. Phys. Lett.,
8, 44 (1966).
Получение фантомных изобра-
жений с помощью голограмм,
образованных в ближнем поле.
14.2. VANDER LUGT A., ROTZ
F. В., KLOOSTER A., Jr.,
в книге Optical and Electro-
Optical Information Proce-
ssing, ed. J. T. Tippett et al.,
Cambridge, Mass., 1965.
Считывание букв с помощью
оптической пространственной
фильтрации.
14.3. VAN HEERDEN Р. J., Appl.
Opt., 2, 387 (1963).
Новый оптический метод хра-
нения и воспроизведения ин-
формации.
14.4. STROKE G. W., RES-
TRICK R., FUNKHOU-
SER A., BRUMM D., Phys.
Lett., 18, 274 (1965).
Увеличение разрешения в вы-
сокоразрешающей голографии
путем компенсации протяжен-
ности источника с помощью
корреляционного восстанов-
ления.
14.5. PENNINGTON К. S., COL-
LIER R. J., Appl. Phys. Lett.,
8, 14 (1966).
Эксперименты по получению
фантомных изображений с по-
мощью голограмм.
14.6. LOHMANN A. W., WER-
LICH Н. W., Phys. Lett., 25А,
570 (1967).
Получение голограммных
пространственных фильтров
для кодированной передачи
и восстановления изображе-
ния.
14.7. LOWENTHAL S., BEL-
VAUX Y., Opt. Acta, 14, 245
(1967).
Опознавание изображений с
помощью пространственной
фильтрации.
14.8. HORVATH V., HOLE-
MANN J. М., LEM-
MO ND С. Q., Laser Focus,
р. 18 (June 1967).
Голографический способ опо-
знавания отпечатков паль-
цев.
14.9. RAU J. Е., Journ. Opt. Soc.
Amer., 56, 1490 (1966).
Обнаружение различий в дей-
ствительных распределе-
ниях.
14.10. WEAVER С. S., GOOD-
MAN J. W., Appl. Opt., 5,
1248 (1966).
Оптический метод получения
свертки двух функций.
14.11. RAU J. Е., Journ. Opt. Soc.
Amer., 57, 798 (1967).
Комплексная пространствен-
ная модуляция в реальном
времени.
470 ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ ГЛ. 14.
14.12. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., KOSMA A., MAS-
SEY N., Laser Focus, р. 15
(Nov. 1, 1965).
Визуализация голограмм.
14.13. COLLIER R. J., PENNING-
TON К. S., Appl. Opt., 6,
1091 (1967).
Создание многоцветного изо-
бражения с помощью голо-
грамм, полученных в двумер-
ной среде.
14.14. LaMACCHIA J. Т., WHITE
D. L., Appl. Opt., 7, 91 (1968).
Кодированные многократно
экспонированные голограм-
мы.
14.15. STROKE G., ZECH R. G.,
Phys. Lett., 25A, 89 (1967).
Апостериорное исправление
изображения (нахождение
функции по свертке) с помо-
щью голографического деле-
ния фурье-образа.
14.16. STROKE G. W., HAY-
АТ G. S., HOOVER R. В.,
UNDERWOOD J. Н., Opt.
Common., 1, 138 (1969).
Создание изображения в
рентгеновских лучах с помо-
щью камеры-обскуры с мно-
гими входными отверстиями
при апостериорном синтезе го-
лографического изображения.
Глава 15
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
Если голограмма, на которой записано более одной волны,
освещается когерентным светом, то восстановленные волны могут
интерферировать друг с другом (или с любой другой когерентной
волной, исходящей из освещающего источника). По прошествии
некоторого времени, потребовавшегося для осознания этого оче-
видного факта, его важность была понята практически одновре-
менно многими исследователями [15.1—15.6]. Соответствующие
эксперименты, начатые в 1965 г., привели к созданию новой обла-
сти интерферометрии — голографической интерферометрии. С тех
пор интерферометрия стала самым важным применением гологра-
фии.
Волна, зарегистрированная на голограмме, может быть сохра-
нена и в дальнейшем восстановлена и использована. Предметом
голографической интерферометрии является получение и интер-
претация интерференционных картин, которые появляются, когда
существовавшие ранее и записанные на голограмме волны в даль-
нейшем восстанавливаются и интерферируют с волной сравнения.
Возможность сохранения и последующего восстановления волн
является уникальным преимуществом голографического метода
по сравнению с обычной оптической интерферометрией. Мы уви-
дим, что это дает возможность интерферометрически сравнивать
диффузно отражающие или рассеивающие поверхности, подвергну-
тые напряжению, с этими же поверхностями в их исходном состоя-
нии. Так, на фиг. 15.1 видны круговые интерференционные по-
лосы на восстановленном с помощью голограммы изображении
термоэлектрического элемента. Полосы соответствуют изги-
бу поверхности вследствие термической деформации [15.7]. Раз-
ность смещений точек поверхности в направлении нормали
к ней составляет примерно половину длины волны на каждую по-
лосу.
Интерференционные полосы, характеризующие малые смеще-
ния предмета, имеют сравнительно низкую пространственную
частоту (фиг. 15.1). Поскольку в интерферометрии имеют дело
главным образом с такими смещениями, в настоящей главе мы
будем применять термин интерференционные полосы к этой низко-
частотной картине, а не к высокочастотной пространственной
структуре голограммы или пятнистой структуре, получающейся
при интерференции диффузно рассеянного когерентного света.
472
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
Имеется несколько вариантов метода голографической интер-
ферометрии: интерферометрия в реальном времени, метод двух
экспозиций или временного интервала, метод усреднения во времени
ФИГ. 15.1. Интерференционные полосы на изобра-
жении термоэлектрического элемента
при наблюдении сквозь дважды экспо-
нированную голограмму. (По Вольфе
и Доэрти [15.7].)
и стробоскопический метод. Сначала мы рассмотрим метод интер-
ферометрии в реальном времени и метод двух экспозиций приме-
нительно к диффузно отражающим объектам, а затем обратимся
§ 1-
ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ
473
к проблеме связи между наблюдаемой интерференционной карти-
ной, ее локализацией в пространстве и смещениями поверхности
предмета. Мы рассмотрим возможности применения метода усред-
нения во времени и стробоскопического метода для изучения
вибраций и, наконец, обсудим голографические методы изучения
рельефа.
§ 1. Интерферометрия в реальном времени
Как было показано в гл. 7, § 2, п. 2, если на голограмме заре-
гистрирована картина интерференции предметной и опорной волн,
то может быть восстановлена волна, комплексная амплитуда
которой прямо пропорциональна амплитуде первоначальной пред-
метной волны. Наилучшее восстановление достигается, если голо-
грамму точно поместить в положение, которое она занимала во
время экспонирования, и осветить ее исходным опорным пучком.
Если предположить, что голограмма установлена точно на свое
первоначальное место, то с точностью до постоянных амплитудно-
го и фазового множителей восстановленная волна будет копией
исходной предметной волны. (Отношение амплитуд исходной
и восстановленной волн можно сделать равным единице, меняя
интенсивность освещения.) Допустим, что в течение того времени,
пока голограмма подвергалась фотографической обработке, т. е.
в промежутке между экспонированием голограммы и установкой
ее на исходное место, положение предмета остается фиксирован-
ным и он продолжает освещаться лазерным светом. Что же мы уви-
дим, если посмотрим на предмет сквозь проявленную и установ-
ленную в исходное положение голограмму? Поскольку в боль-
шинстве исследований по голографической интерферометрии голо-
граммы регистрируются на фотографических эмульсиях, предпо-
ложим, что это имеет место и в данном случае. Вспомним также,
что амплитуда восстановленной волны имеет тогда отрицательный
знак (сдвинута по фазе на л) по отношению к исходной предметной
волне [см. (8.3)]. Предположим, что обработка голограммы не
искажает эмульсии, голограмма точно установлена в исходное
положение и освещение подобрано так, чтобы уравнять абсолют-
ные величины амплитуд волны, исходящей от предмета, и восста-
новленной предметной волны. При выполнении этих трех условий
восстановленные волны будут гасить волны, исходящие от объек-
та, в каждой точке пространства по ту сторону от голограммы, где
находится наблюдатель. Поэтому наблюдатель, смотрящий на
предмет через голограмму, не увидит его. (В действительности
наблюдается по крайней мере одна широкая светлая полоса,
поскольку обработка голограммы неизбежно приводит к неболь-
шим искажениям фотослоя.)
474
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
Если голографируемым предметом является плоская зеркаль-
ная поверхность, то голографический метод, описанный выше,
дает не более того, что можно достигнуть с помощью интерферо-
метра Майкельсона, освещенного равномерным когерентным све-
том (фиг. 1.16). Поскольку зеркала могут быть отполированы
столь тщательно, что любой микроструктурой их поверхности
допустимо пренебречь, то одну зеркальную поверхность можно
считать эквивалентной другой. С помощью светоделительного
зеркала в интерферометре Майкельсона данную зеркальную по-
верхность можно интерферометрически сравнить с эквивалентной
ей поверхностью. Так же как и в голографическом методе, может
наблюдаться полное гашение или усиление света.
Голографический метод, однако, имеет уникальное свойство,
состоящее в том, что шероховатую рассеивающую поверхность
произвольной формы со сложной микроструктурой можно интер-
ферометрически сравнить с другой поверхностью, обладающей
точно такой же микроструктурой. В принципе это сделать не труд-
нее, чем осуществить сравнение полированных зеркал. Мы можем
рассматривать мнимое изображение диффузно рассеивающего пред-
мета, полученное с помощью голограммы, как одну такую поверх-
ность. Другой является поверхность самого предмета. Если исход-
ная опорная волна освещает голограмму, возвращенную в точ-
ности в исходное положение, то мнимое изображение не только
будет казаться макроскопической копией предмета, но и будет
совпадать с предметом в пространстве и иметь поверхностную
микроструктуру, светорассеивающие свойства которой идентичны
свойствам предмета. Практически попытка заменить два зеркала
интерферометра Майкельсона парой в такой же мере идентичных
реальных поверхностей обречена на неудачу. Голография же
позволяет решить эту задачу, и при дальнейшем рассмотрении
в § 3 мы будем считать, что поверхность предмета и ее изображение
являются двумя независимыми и почти идентичными физическими
поверхностями.
После того как достигнуто точное совмещение мнимого изобра-
жения с предметом, последний можно подвергнуть напряжению
и деформации или же освободить от приложенного напряжения
и позволить ему вернуться в исходное состояние. В результате
оптическое расстояние от точки наблюдения до любой точки
поверхности изменится относительно расстояния до соответствую-
щей точки эталонной поверхности (поверхности мнимого изобра-
жения). Расстояние точек поверхности от источника света, кото-
рый освещает обе поверхности, также изменится. Соответственно
когерентные световые лучи, рассеянные от идентичных, но сме-
щенных участков поверхностей (участков с идентичной микро-
структурой), приобретут относительный фазовый сдвиг на пути
от источника до плоскости наблюдения. Вследствие фазового сдви-
§ 1.
ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ
475
га и вызванного им изменения амплитуды результирующей волны
возникнет интерференционная картина, которая характеризует
деформацию поверхности предмета. Изменение интерференционной
картины наблюдается одновременно с деформацией предмета —
отсюда название «голографическая интерферометрия в реальном
времени». Очевидно, что вызванные напряжением деформации не
должны значительно менять микроструктуру поверхности. По-
скольку шероховатая поверхность действует как хаотический рас-
сеиватель, любое значительное изменение шероховатости поверх-
ности приведет к наложению нового беспорядочного фазового рас-
пределения на световую волну, отраженную от объекта. Волна,
исходящая от объекта, и восстановленная предметная волна обра-
зуют при этом нерегулярную интерференционную структуру
с высокой пространственной частотой; эту структуру уже нельзя
интерпретировать как интересующую нас низкочастотную регу-
лярную картину, обусловленную деформацией поверхности.
Голографическая интерферометрия в реальном времени услож-
няется рядом факторов. Чтобы интерференционная картина наблю-
далась вообще и чтобы по ней можно было судить о смещении
предмета, положение предмета и его освещение при наблюдении
через обработанную голограмму, установленную в исходное поло-
жение, должны быть точно такими же, как при получении голо-
граммы. Это обычно означает, что предмет и оптические детали
голографической установки либо должны оставаться в фиксиро-
ванном положении в течение времени между экспонированием
и наблюдением, либо могут быть возвращены в исходное положе-
ние с большой точностью. Совместить интерференционную струк-
ТУРУ> образованную предметным и опорным пучками во время
наблюдения, со структурой, которая зарегистрирована на голо-
грамме, необходимо с точностью до долей расстояния между поло-
сами. Эта задача упрощается, когда угол между предметным и
опорным пучками мал. Дополнительная трудность связана
с усадкой эмульсии, сопровождающей мокрый процесс обработки
фотографической пластинки. Это вызывает неизбежные искажения
восстановленных волновых фронтов и соответствующее искажение
наблюдаемой интерференционной картины. Кроме того, до тех
пор пока фотопластинка не высохнет полностью, усадка продол-
жается, что затрудняет установку голограммы с помощью исход-
ного опорного пучка.
Несмотря на такие трудности, можно получить высококонтраст-
ные интерференционные полосы (фиг. 15.2). Приведенная на фото-
графии интерференционная картина, полученная в реальном вре-
мени, характеризует деформации вблизи прорези в металлической
вилке, подвергнутой напряжению [15.8]. Голография в реальном
времени имеет определенные преимущества, а именно позволяет
производить непрерывную регистрацию смещений шероховатой
476
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
ФИГ. 15.2.
Интерференционные полосы вблизи про-
рези в металлической вилке, подвергну-
той напряжению. (По Дадерару [15.8].)
Картина наблюдалась в реальном времени.
§ 2. ДВУХЭКСПОЗИЦИОННАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ 477
поверхности без контакта с ней и без ее разметки (что необходимо,
например, в методе муаровых полос). Вторым очень полезным
преимуществом перед методом двух экспозиций является возмож-
ность путем небольших смещений голограммы получать оптималь-
ное для количественной интерпретации расположение интерфе-
ренционных полос [15.9].
§ 2. Двухэкспозиционная интерферометрия
Непрерывное наблюдение смещения поверхности относительно
ее начального состояния может в некоторых случаях давать больше
информации, чем это необходимо. Если достаточно зерегистриро-
вать относительное смещение поверхности, которое произошло
за определенный интервал времени, то можно применить метод,
свободный от экспериментальных трудностей, возникающих при
использовании интерферометрии в реальном времени. Этот метод
заключается в том, что голограмма до фотографической обработки
экспонируется дважды: один раз, когда поверхность находится
в исходном состоянии, другой раз — когда она деформирована.
При обеих экспозициях используется одинаковая опорная волна.
В этом методе двух экспозиций, или временного интервала, не воз-
никает проблемы совмещения восстановленной волны с волной,
идущей от предмета. После того как экспонирование голограммы
закончено, нас уже не интересует ни сам предмет, ни оптические
элементы голографической установки. Как волна сравнения,
характеризующая начальное состояние поверхности, так и волна,
соответствующая измененному состоянию поверхности, восста-
навливаются одновременно при освещении голограммы волной,
подобной исходной опорной волне. К восстанавливающему пучку
предъявляются такие же требования, как и при освещении любой
обычной голограммы. Искажения, обусловленные усадкой эмуль-
сии, одинаковы для обеих восстановленных волн и поэтому не
влияют на расположение полос, образованных при их интерферен-
ции. Тем не менее на изменение микроструктуры поверхности
налагаются такие же ограничения, как и в методе реального вре-
мени.
Освещение дважды экспонированной голограммы позволяет
не только одновременно восстановить две волны, которые рассеива-
лись предметом в разные моменты времени, но и дает возможность
наблюдать их интерференцию в идеальных условиях. На каждую
из волн может приходиться половина полной дифракционной
эффективности. При этом их интенсивности будут равны, и интер-
ференционные полосы, которые они образуют, будут иметь высо-
кую видность, или контраст. В дальнейшем мы можем рассматри-
вать два мнимых изображения поверхности предмета, образован-
478
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
ные восстановленными волнами, как две немного отличающиеся
физические поверхности. Представим себе, что эти поверхности,
соответствующие начальному и конечному состояниям, одновре-
менно освещаются когерентным светом, первоначально осве-
щавшим предмет. Если начальное и конечное состояния поверх-
ности предмета одинаковы, то интерференционная картина, полу-
чающаяся в методе двух экспозиций, отличается от интерферен-
ционной картины в реальном времени в одном отношении. Каждая
восстановленная волна отрицательна по отношению к исходной
предметной волне, и, следовательно, когда начальное и конечное
состояния одинаковы, восстановленные волны складываются
и дают яркое изображение предмета.
Фиг. 15.1 иллюстрирует контрастность полос, получаемых
с помощью метода двух экспозиций. При первой экспозиции термо-
электрический элемент находился при комнатной температуре.
Перед второй экспозицией к зажимам элемента было приложено
напряжение, вследствие чего температура наблюдаемой поверхно-
сти понизилась на 10° С. Задняя поверхность элемента (через
которую осуществлялся теплоподвод) была более теплой; возник-
новение градиента температуры привело к стягиванию наружной
поверхности, в результате чего она стала вогнутой.
Метод двух экспозиций при использовании импульсных лазеров
с большим успехом был применен к интерферометрии быстропро-
текающих процессов [15.10]. На фиг. 15.3 приведена фотография
изображения летящей пули, полученная при наблюдении через
дважды экспонированную голограмму. Видны интерференционные
полосы в области ударной волны. Если не считать проблемы обес-
печения достаточной длины когерентности излучения импульсного
лазера (см. фиг. 11.7), то простота получения результатов являет-
ся значительным преимуществом голографического метода перед
обычной интерферометрией. Чтобы получить фотографию типа
показанной на фиг. 15.3, камера с газом, через которую должна
пролететь пуля, просвечивается излучением импульсного лазера.
(Если лазерный свет до прохождения камеры рассеивается диффу-
зором, то восстановленное изображение легко наблюдать невоору-
женным глазом.) Прошедший свет интерферирует с опорной волной
вне камеры, давая первую экспозицию на голограмме. Прохожде-
ние пули через камеру запускает второй лазерный импульс, осве-
щающий пулю и (еще раз) камеру. Прошедший свет вместе с перво-
начальным опорным пучком дает вторую экспозицию. В области
ударной волны, создаваемой пулей, плотность газа в камере изме-
няется, а вместе с ней изменяется и длина оптического пути через
газ. Если обработанная голограмма освещается волной, подобной
опорной волне, то обе восстановленные волны интерферируют
и образуют полосы, характеризующие изменение плотности газа
за время между экспозициями. Как полосы, так и изображения

ФИГ. 15.3.
Фотография изображения летящей пули,
полученная с помощью дважды экспони-
рованной голограммы. (По Хефлингеру,
Вюркеру и Бруксу)
480
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
являются, конечно, трехмерными и записываются с характерной
.для голографии большой глубиной поля. Фотография, приведен-
ная на фиг. 15.3, сделана при фокусировке камеры на плоскость
мнимого изображения силуэта пули.
Привлекательная особенность голографического метода состо-
ит в том, что стеклянные окна камеры не должны быть оптически
плоскими, как это необходимо в том случае, когда камера поме-
щается в одном плече обычного интерферометра. Как возмущенный
пучок, так и пучок сравнения в голографическом методе проходят
в сущности по одному и тому же пути. Если окна камеры не сдви-
нулись за время между экспозициями, то их неоднородность
не может привести к появлению мешающих интерференционных
полос. Несмотря на оптическую неоднородность стеклянных окон,
они не будут видны на восстановленных с помощью голограммы
изображениях 1).
§ 3. Локализация интерференционных полос
и их интерпретация
При некоторых применениях голографической интерферомет-
рии, например при неразрушающих методах контроля, требуется
только качественная информация об интерференционной картине.
Предположим, что термоэлектрическое устройство, изображенное
на фиг. 15.1, недостаточно хорошо соединено с полупроводнико-
вым термоэлементом или с тепловым резервуаром. Обнаружить
это можно просто путем визуального наблюдения искажений ин-
терференционной картины, которая при отсутствии таких дефектов
была бы симметричной. Для других применений, когда необходим
количественный анализ напряжений, желательно по интерферен-
ционной картине непосредственно получить карту смещений по-
верхности. К сожалению, задача усложняется тем, что система
интерференционных полос, возникающих при деформации поверх-
ности, вообще говоря, не локализована на ней.
Поверхностью локализации интерференционной картины назы-
вают такую поверхность, для которой контраст, или видность,
интерференционной картины максимален. Положение поверх-
ности локализации зависит от освещения предмета, природы его
деформации и направления наблюдения. Найти поверхность лока-
лизации можно, рассматривая интерференцию световых лучей,
рассеянных парами соответственных точек на исходной и деформи-
рованной поверхностях предмета. (Как будет показано немного
х) Неоднородность окна камеры, ближайшего к наблюдателю, будет
искажать наблюдаемую картину, но не в интерферометрическом, а в обыч-
ном смысле.— Прим. ред.
§ 3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 481
позже, рассеяние от несоответственных точек является случайным
по фазе, и его можно рассматривать как шум.) Допустим, что
интенсивность рассеянного света измеряется светочувствительным
приемником небольших размеров. Приемник способен восприни-
мать свет только в пределах узкого конуса лучей, основанием кото-
рого является ограниченный участок рассеивающей поверхности,
а вершина лежит па приемнике. За направление наблюдения мы
примем среднее направление лучей. Пусть б представляет собой
разность фаз световых лучей, приходящих на приемник от пары
соответственных точек на (ограниченном) наблюдаемом участке
рассеивающей поверхности. (Такую пару образуют исходное
и смещенное положения любой точки на этом участке.) На неко-
тором расстоянии от наблюдаемой поверхности для всех пар лучей,
которые приходят от соответственных точек наблюдаемого участка
и находятся в пределах конечной угловой апертуры приемника,
вариации б равны или почти равны нулю. Мы называем такое по-
ложение точкой локализации. При таком перемещении приемника
над поверхностью предмета, при котором направление наблюдения
остается фиксированным, на него попадает свет от новых участков
рассеивающей поверхности. Величина б (усредненная по малому
наблюдаемому участку) изменяется от точки к точке, в результате
будут зарегистрированы интерференционные полосы, характери-
зующие смещение поверхности. Расстояние от точки локализации
до рассеивающей поверхности также может меняться.
Если перемещать приемник так, чтобы он все время находился
в точках локализации, то регистрируемые полосы будут наиболее
контрастными. Это следует из требования, чтобы вариации вели-
чины б в таких точках были близки к нулю. Таким образом,
каждая пара соответственных точек, регистрируемых приемником,
вносит почти одинаковый вклад в интенсивность. Когда приемник
перемещается над рассеивающей поверхностью, величина б
и величины этих вкладов в интенсивность медленно и плавно
меняются. Например, когда зарегистрированная интенсивность
имеет минимум в точке локализации, это обусловлено тем, что
все наблюдаемые соответственные точки дают нулевой вклад
в интенсивность, регистрируемую приемником. Таким образом,
интенсивность в минимуме может быть почти нулевой и контраст
полос будет близок к максимальному. Совокупность точек лока-
лизации образует поверхность локализации, на которой полосы
кажутся сфокусированными, или локализованными. При соответ-
ствующем ограничении угловой апертуры приемника контраст
полос можно сделать сколь угодно близким к максимальному.
Как будет показано в п. 2, при изменении направления наблюде-
ния поверхность локализации может изменяться.
В некоторых случаях, один из которых будет рассмотрен ниже,
полосы локализуются на плоскости, перпендикулярной направле-
3 1-0990
482
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15
нию наблюдения и расположенной очень близко к предмету.
В этом случае можно одновременно сфотографировать как полосы,
так и предмет и получить снимок, пригодный для обработки. В дру-
гих случаях расстояние от поверхности локализации до рас-
сеивающей поверхности меняется в широких пределах. Уменьшая
апертуру линзовой системы, можно и в этом случае добиться одно-
временного наблюдения как поверхности, так и интерференцион-
ной картины, однако при этом может ухудшиться разрешение.
Чтобы найти зависимость между деформацией и наблюдаемой
интерференционной картиной [15.11—15.13], рассмотрим малый
участок поверхности и его смещение, как это сделано в работе
Александрова и Бонч-Бруевича [15.14]. Этот малый участок наблю-
дают с помощью оптической системы с ограниченной апертурой,
обеспечивающей большую глубину резкости. При этом в боль-
шинстве случаев удается одновременно получить сфокусирован-
ное изображение предмета и интерференционной картины. Наблю-
дая последовательно данный участок предмета с четырех различ-
ных направлений и считая полосы, которые как бы проходят
по участку изображения при изменении направления наблюдения,
можно получить систему из трех уравнений, которая позволяет
найти смещение данного участка поверхности.
Прежде чем переходить к некоторым простым примерам связи
смещения с соответствующей ему интерференционной картиной,
рассмотрим более детально основные положения. Для этого обра-
тимся к фиг. 15.4, на которой АВС представляет собой начальное
положение небольшого участка диффузно отражающей поверх-
ности, а А'В'С' — смещенное положение того же участка поверх-
ности. При этом микроструктура поверхности вблизи точек А
и А', В и В' и т. д. одинакова. Как показано на фиг. 15.4, вектор
смещения Дг одинаков для пар точек А, А', В, В' и С, С', что
соответствует случаю поступательного смещения поверхности
АВС. В случае интерферометрии в реальном времени участок АВС
соответствует мнимому изображению поверхности. Если же исполь-
зуется метод двух экспозиций, то участок АВС представляет собой
мнимое изображение, соответствующее положению объекта во вре-
мя первой экспозиции. В обоих случаях АВС можно рассматривать
как поверхность сравнения. Поверхность А'В'С' в методе интер-
ферометрии в реальном времени соответствует реальной поверх-
ности предмета, а в методе двух экспозиций — мнимому изобра-
жению поверхности при второй экспозиции. Плоская волна,
идентичная плоской волне, освещавшей исходный предмет, одно-
временно освещает малые участки поверхности сравнения и сме-
щенной поверхности, положение которых определяется радиус-
вектором г.
Световые волны, рассеянные этими поверхностями в пределах
ограниченного телесного угла, приходят к наблюдателю или при-
J 3.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС
483
емнику, расположенному в точке Р. Перемещая приемник
и сохраняя фиксированное направление наблюдения, попытаемся
найти поверхность локализации интерференционной картины,
соответствующую смещению поверхности Аг. Для определения
ФИГ. 15.4.
Поступательное смещение поверхности
АВС.
точки локализации Р нам нужно только рассмотреть интерферен-
цию света, рассеянного любой точкой А, лежащей на исходной
поверхности, с соответствующим светом, рассеянным точкой А',
лежащей на смещенной поверхности. В отсутствие смещения
поверхности разность фаз между световыми лучами, рассеянными
точками А и А', равна нулю. Смещение не должно изменять
микроструктуру поверхности. Отсюда следует, что разность фаз б,
приобретаемая световой волной, рассеянной точкой Я', по сравне-
нию с волной, рассеянной точкой Я, непосредственно определяется
вектором смещения Аг.
Это выполняется и для других пар точек В и В' и т. д. В каж-
дом случае при интерференции лучей от пары соответственных
31*
484
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
точек результирующая интенсивность на приемнике зависит толь-
ко от разности фаз 6. Однако это не так в случае интерференции
света, рассеянного точкой А, со светом, рассеянным точками В'
и С'. Хаотическая микроструктура поверхности предмета приво-
дит к случайным значениям разностей фаз для световых волн,
рассеянных не соответственными точками А', В', С' и т. д. При
интерференции этих волн образуется нелокализованная высоко-
частотная интерференционная картина, почти пе сказывающаяся
на наблюдении локализованной низкочастотной системы полос,
характеризующей смещение Аг.
Чтобы это понять, рассмотрим интерференцию света от точек
А, А', В и В' при произвольном положении приемника. Полагая
все амплитуды равными единице, получим следующее выражение
для комплексной амплитуды в месте расположения приемника:
а = {ехр (i</>A) + ехр [i (</>А + бА)]} +
+ {ехр (г</>в) + ехр [г (фв + бв)]},
ГДе Фа и Фв — случайные фазы, соответствующие беспорядочной
микроструктуре поверхности, и бА и бв — разности фаз, обусловлен-
ные смещением поверхности. Чтобы найти интенсивность на
приемнике, нужно умножить а на комплексно-сопряженную ей
величину. Умножив члены в первых фигурных скобках (см. выше)
на комплексно-сопряженную им величину, получим интенсивность
на детекторе, определяемую только интерференцией света от
точек А и А'. Эта величина равна 2 (1 -]- cos бА).
Аналогично, интенсивность, обусловленную интерференцией
света от точек В и В', можно найти, умножая на комплексно-сопря-
женную величину члены во второй фигурной скобке. Соответ-
ствующая величина равна 2(1-]- cos бв). Оставшиеся члены в аа*
представляют собой перекрестные члены
2 cos (фА — фв) -]- 2 cos (фА — фв — бв) +
+ 2 cos (фА — фв А- бА) + 2 cos (фА — фв -]- бА — бв).
Эти члены зависят от случайных фаз фА и фв в точках А и В.
Допустим, что мы включили в наши расчеты интенсивности все
рассеивающие точки на ограниченном участке рассеивающей
поверхности, регистрируемом приемником. Результирующая вели-
чина, определяемая перекрестными членами, в любой точке на
поверхности приемника будет быстро меняться при изменении его
положения. Это обусловливается добавлением большого числа
новых случайных фаз от новых рассеивающих точек, регистри-
руемых приемником в каждом новом положении. Предположим,
что площадь детектора мала по сравнению с низкочастотными
полосами, характеризующими смещение поверхности, но достаточ-
но велика, чтобы перекрыть много таких высокочастотных флук-
§ 3.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС
485
туаций интенсивности, или пятен. Если детектор реагирует только
на пространственно усредненный свет, падающий на светочувстви-
тельную поверхность, то при таком пространственном усреднении
перекрестные члены исчезают. В выражении для интенсивности
остаются только члены, имеющие вид
N + COS бА + COS бв + . . . + COS бдг,
где N — число пар точек, рассеянный свет от которых попадает
на приемник, и где cos бА, cos 8В и т. д. практически постоянны
на поверхности приемника.
Если различия фаз бА, бв и т. д. близки к нулю, то их косинусы
приблизительно равны и вклад каждой пары соответственных
точек АА', ВВ' и т. д. в суммарную интенсивность одинаков.
В этом случае точка наблюдения является и точкой локализации.
Когда приемник движется вдоль поверхности, он измеряет интен-
сивность, пропорциональную 1 + cos б, где б — медленно ме-
няющаяся функция координаты приемника. В зависимости от
вида этой функции регистрируемая интерференционная картина
может представлять собой прямые полосы с постоянной простран-
ственной частотой или полосы более сложной формы с меняющейся
пространственной частотой.
1. Общие выражения для б и условие локализации
На фиг. 15.4 показано смещение поверхности АВС в плоскости
ху в новое положение А'В'С'. Смещение, изображенное на
фиг. 15.4, соответствует чисто поступательному движению, однако
мы рассмотрим сначала общий случай. В соответствии с принятой
нами моделью будем считать, что исходная и смещенная поверх-
ности, АВС и А'В'С', существуют одновременно и освещаются
исходной предметной волной. Освещающая волна распространяет-
ся в направлении единичного вектора иг. Свет, рассеянный поверх-
ностью, наблюдается в направлении единичного вектора ns. Пред-
полагается, что оба эти вектора лежат в плоскости ху.
Рассмотрим теперь оптическую разность хода между лучами,
идущими от источника света к наблюдателю через точки А и А'.
Эта оптическая разность хода состоит из двух частей: разности
хода лучей, освещающих точки А и А', и разности хода лучей,
рассеянных в точках А и А'. Первую часть разности хода можно
представить как проекцию смещения Дг на направление освещения
nt, в то время как вторая часть представляет собой проекцию Дг
—> —> —* —> —>
на направление рассеяния ns. Умножая Дг-иг- и Дг-и8 на 2л/%,
где % — длина волны освещающего излучения, получим соответ-
ствующие части разности фаз б, приобретаемой световым пучком,
486
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
идущим от источника к наблюдателю через смещенную точку,
по сравнению с пучком, идущим через исходную точку.
В соответствии с правилом знаков, принятым нами в гл. 2,
§ 4, п. 1, гл. 3, § 1, и гл. 5, § 2, для фазы света как функции рас-
стояния от источника, положительная величина произведения
Дг-пг- означает, что смещенная точка находится дальше от источ-
ника и ее вклад в б отрицателен. Наоборот, положительная вели-
чина произведения Дг -ns означает, что свет от смещенной точки
проходит до точки наблюдения меньшее расстояние, чем свет,
идущий от несмещенной точки. Следовательно, его вклад в раз-
ность фаз б положителен. Поэтому мы можем записать общее выра-
жение для разности фаз:
б = 4^-Дг-(п8— пЛ. (15.1)
Приравнивая нулю вариацию величины б при изменении угла
наблюдения в пределах апертуры приемника, регистрирующего
излучение, определим, где локализованы интерференционные поло-
сы. Для этого мы должны продифференцировать б по углу наблю-
дения и положить полученный дифференциал d8 равным нулю.
2. Поступательное смещение поверхности
На фиг. 15.4 показан частный случай чисто поступательного
смещения поверхности. При этом оба произведения, Дг-ns = AG
—> —> .
и Дг-п{ = A'F, положительны. Предположим, что освещающая
волна плоская, так что вектор иг постоянен. Для поступательного
смещения величина Дг также постоянна, поэтому б в формуле (15.1)
принимает вид
б = с-ns — с15 (15.2)
где с — постоянный вектор и = const. Поскольку в выраже-
нии (15.2) отсутствует вектор г, оно справедливо не только для
пары соответственных точек на ограниченном участке поверхно-
сти, но и для всех пар точек на всей поверхности. Подставляя
в (15.2) с-ns = сх cos ф8 + су sin ф8, дифференцируя б по </>s
и полагая d6 = 0, получаем условие локализации: <j>s = const.
Чтобы удовлетворялось это условие, приемник с конечной аперту-
рой должен располагаться в бесконечности, т. е. в дальнем поле,
где угловые размеры поверхности, видимые от приемника, пре-
небрежимо малы.
Непосредственно из (15.2) также следует, что результатом
интерференции в этом случае является просто введение постоян-
§ 3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 487
ного фазового сдвига в освещающую плоскую волну, рассеиваемую
в любом выбранном направлении ns. Предположим, что приемник
имеет достаточную поверхность, чтобы усреднять пятнистую
структуру, и что направление наблюдения ns фиксировано. Тогда
при поступательном смещении такого детектора он не обнаружит
полос, а зарегистрирует только плоскую волну с равномерной
интенсивностью, определяемой равенством 1 + cos б = const.
Предположим, однако, что на фокусном расстоянии от поверх-
ности помещена линза, а наблюдение ведется в ее задней фокаль-
ной плоскости. Тогда каждая плоская волна, распространяющаяся
в направлении ns, будет фокусироваться в соответствующей точке
этой фокальной поверхности, или плоскости пространственных
частот, в оптическом смысле расположенной на бесконечном рас-
стоянии от поверхности. Поскольку углы преобразуются в положе-
ния точек на этой поверхности, можно убрать диафрагмы, которые
ограничивали угол, захватываемый приемником. Тогда при пере-
мещении приемника в задней фокальной плоскости будут наблю-
даться резкие интерференционные полосы. Поскольку б не зависит
от z, приемник, положение которого определяется только величи-
ной у, т. е. который смещается только в направлении z, будет
регистрировать постоянную интенсивность. Это изображение ли-
нии представляет собой локализованную интерференционную кар-
тину для света, рассеянного в данном направлении ns. Перемеще-
ние приемника вдоль направления у в плоскости пространственных
частот эквивалентно изменению направления наблюдения ns,
а следовательно, и фазы б. При каждом изменении фазы на 2л
будет наблюдаться яркая полоса. Таким образом, поступательно-
му смещению диффузно отражающей поверхности при условиях,
представленных на фиг. 15.4, соответствует система параллельных
интерференционных полос, локализованных в бесконечности.
3. Поворот вокруг оси, расположенной
на поверхности
В противоположность поступательному смещению поворот
вокруг оси, проходящей через рассеивающую поверхность, приво-
дит к появлению параллельных интерференционных полос,
локализованных очень близко к поверхности. На фиг. 15.5 осью
вращения является ось z, перпендикулярная плоскости чертежа.
Исходное положение поверхности совпадает с плоскостью xz.
При повороте поверхности на малый угол а все ее точки опишут
малые дуги в плоскости ху. Поверхность освещается плоской
волной, нормаль к которой лежит в плоскости ху и составляет
488
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
угол <j>t с поверхностью. Наблюдение ведется в пределах ограни-
ченного конуса лучей. Среднее направление наблюдения находит-
ся в плоскости ху и составляет угол $s с поверхностью. Как
и прежде, будем считать, что исходная и смещенная поверхности
у
ФИГ. 15.5.
Поворот вокруг оси, проходящей через
поверхность.
существуют одновременно и освещаются исходным предметным
пучком.
Как видно из фиг. 15.5, разность фаз лучей, рассеянных
в направлении наблюдения парой идентичных, но смещенных
точек А, А', описывается выражением
б =------[FA' -)-A'G] iv----------(АА') [sin 6; + sin А.]
Л Л>
2л;
----jj- (ха) [sin -[-sin </>s[.
(15.3)
В противоположность выражению (15.2) разность фаз б в этом слу-
чае меняется с координатой х рассеивающих центров. Приемник,
перемещающийся вдоль поверхности и регистрирующий волну,
§ з.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС
489
рассеянную в фиксированном направлении зарегистрирует
меняющуюся в пространстве интенсивность. Предположим, что
на некотором конечном расстоянии h от рассеивающей поверхности
объекта существует поверхность локализации, и вычислим это
ФИГ. 15.6.
Геометрическая схема для расчета рас-
стояния h от поверхности до точки лока-
лизации интерференционной картины
при повороте поверхности.
расстояние h для произвольной точки локализации Р (фиг. 15.6).
Если предположить, что точка Р находится на конечном расстоя-
нии за поверхностью, то мы должны рассмотреть исходящий из Р
световой пучок, рассеянный малым участком поверхности между
х — dx/2 и х -j- dx/2 в пределах углов <£s ± 1/г <^<Ь- (Точка Р
может быть расположена и перед поверхностью; тогда в эту точку
сходится рассеянный свет.)
490
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
(15.5)
Точка Р расположена на поверхности локализации, если ва-
риация величины 6 [см. (15.3)1 при изменении </>s близка к нулю.
Поскольку Р на фиг. 15.6 представляет собой мнимую точку лока-
лизации, в этом случае необходима линза, собирающая расхо-
дящиеся лучи в конус, попадающий на приемник. Выполняя
дифференцирование б по </>s и учитывая, что х зависит от </>s, а </>г —
нет, получаем следующее выражение для дифференциала:
йб «----a (dx) [sin </>s + sin </>г] —j- (xa) cos <ps d$s «
{sin2~4>g [sin fc + sin ^sl + ^cos </>5} d$s, (15.4)
где мы использовали соотношение
dx = sin2 <j>s d<b’
которое можно получить из геометрических соображений (фиг.
15.6). Приравняв дифференциал йб нулю и решив уравнение
d6 = 0 относительно h, найдем
__ х cos ф3 sin2 ф8
~ sin фг-j-sin <J>S
Если направление наблюдения нормально к поверхности, т. е.
если $s = л/2, то h = 0 и полосы локализованы на рассеивающей
поверхности. Заметим, что в этом случае соответственные точки
находятся на одной линии с направлением наблюдения. Если угол,
под которым ведется наблюдение, отличен от нуля, поверхность
локализации будет лежать либо перед поверхностью, либо позади
нее (в зависимости от того, больше или меньше л/2 угол </>s). По-
верхность локализации всегда пересекает рассеивающую поверх-
ность по оси вращения х = 0.
В каждой точке локализации каждая пара рассеивающих
точек АА', ВВ' и т. д. в пределах интервала изменения координат,
равного dx, вносит одинаковый вклад в интенсивность на при-
емнике, равный
1 = 1+ cos б. 1.(15.6)
В соответствии с (15.3) б является линейной функцией х и не зави-
сит от z. Поэтому при перемещении приемника по поверхности
локализации он зарегистрирует прямые интерференционные поло-
сы с интенсивностью, меняющейся при изменении х по косинусо-
идальному закону, причем пространственная частота равна
a (sin + sin </>s)/%.
§ 3.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС
491
4. Связь смещения поверхности с наблюдаемыми
интерференционными полосами
Проделанные расчеты локализации полос для простейших сме-
щений позволяют понять, почему при произвольной деформации
поверхности (являющейся совокупностью поступательного смеще-
ния и поворота) могут возникнуть полосы, локализованные в лю-
бом месте между поверхностью и ± бесконечностью. Точно опреде-
лить поверхность локализации в общем случае трудно. Однако
в большинстве случаев основная задача экспериментатора, при-
меняющего интерферометрические методы, состоит не в нахожде-
нии поверхности локализации, а только в установлении связи
между наблюдаемой интерференционной картиной и смещением
поверхности. Чтобы экспериментально найти эту зависимость,
Александров и Бонч-Бруевич фокусировали объектив на поверх-
ность предмета. Пусть ось объектива ориентирована вдоль линии
РА на фиг. 15.6, и его апертура ограничена, так что он собирает
свет, рассеянный только малым участком поверхности вблизи
точки А. В объектив попадает и свет, как бы исходящий из точ-
ки Р, лежащей в мнимой плоскости локализации системы полос.
При достаточно больших размерах объектива изображение источ-
ника характеризуется высоким разрешением. Однако большой
незадиафрагмированный объектив может захватить слишком боль-
шой конус лучей, исходящих из точки Р, вследствие чего упадет
контраст. Путем ограничения апертуры объектива можно достичь
компромиссных условий, когда и контраст и разрешающая способ-
ность достаточны. Тогда благодаря увеличенной глубине поля
зрения удается одновременно наблюдать как поверхность, так
и локализованные вне ее интерференционные полосы.
Следует подчеркнуть, что этого удается достичь только ценой
ухудшения разрешения. С увеличением глубины поля зрения
становится труднее различать мелкие детали поверхности; кроме
того, затрудняется подсчет тесно расположенных полос. В гл. 12
отмечалось, что уменьшение апертуры ведет к увеличению разме-
ров зерен пятнистой структуры. Когда размер зерен становится
сравнимым с расстоянием между интерференционными полосами,
поверхность приемника перестает усреднять флуктуации интен-
сивности. Это затрудняет интерпретацию интерференционной кар-
тины.
Предположим, как это часто бывает в действительности, что
использование оптической системы наблюдения с низкой аперту-
рой не препятствует нужному разрешению. Соответствующим
образом задиафрагмированную оптическую систему фокусируют
на почти совпадающие исходную и деформированные поверхности;
при этом удается в то же время наблюдать высококонтрастную
интерференционную картину. Описываемый метод позволяет опре-
492
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
делить смещение небольшого участка или пятна А па поверхности
предмета. Проводится серия наблюдений полос, которые появ-
ляются вблизи А. Сначала предположим, что в направлении наблю-
дения ns0 в точке А наблюдается темная (или светлая) полоса.
Это соответствует разности фаз б0 между лучами, рассеянными
пятном в его смещенном и несмещенном положениях. В общем
виде б0 описывается выражением (15.1)
-> -> ->
60 = J^-Ar-(ns0 — щ). (15.7)
Здесь индекс нуль означает порядковый номер полосы, появившей-
ся первоначально в точке А. Затем наблюдают тот же участок
поверхности в новом направлении и подсчитывают число по-
лос к, проходящих через А во время изменения направления
наблюдения. Поскольку направление освещения остается неиз-
менным, разность фаз между лучами, рассеянными пятном, описы-
вается теперь выражением
6fe^^-Ar-(rasft —иг). (15.8)
Вычитая (15.7) из (15.8), получаем
6ft — б0 = -у Аг • (nsk — ns0) = ± 2л/с,
или
Ar-(nsft — ns0) = (15.9)
где 2лк — число радиан, соответствующее прохождению к полос
через точку А. Соотношение (15.9) представляет собой линейное
уравнение для трех неизвестных компонент смещения Аг. Сделав
еще два наблюдения, получают два добавочных уравнения, что
достаточно для определения трех компонент смещения Аг. (Знак
Аг не определяется измерением разности фаз и должен быть либо
известен априори, либо получен другим способом.)
В пределах указанных выше ограничений описанный метод
применим к смещениям любого вида. Однако максимальное сме-
щение, которое можно измерить этим интерференционным мето-
дом, ограничивается наибольшей пространственной частотой по-
лос, которая еще может быть разрешена используемой оптической
системой. Например, для чистого поворота (см. гл. 15, § 3, п. 3)
частота полос
a (sin <J>j + sin ф8)
X.
пропорциональна углу поворота а. Чтобы полосы были разреше-
ны, необходимо ограничить величину а.
§ 4.
ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ ВИБРИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
493
§ 4. Интерферометрия вибрирующих поверхностей
Пауэлл и Стетсон [15.5] предложили использовать голографи-
ческую регистрацию для изучения вибраций поверхностей еще
до того, как были разработаны метод реального времени и метод
двух экспозиций для статических поверхностей. И все же два
последних метода лежат в основе метода Пауэлла — Стетсона.
Действительно, Пауэлл и Стетсон смогли аналитически показать,
ФИГ. 15.7. Фотографии изображений вибрирующей
гитары, восстановленных с помощью
усредненных во времени голограмм.
(По Молину и Стетсону.)
Полосы характеризуют два первых типа коле-
баний гитары; а—частота 185 Гц; б—ча-
стота 285 Гц.
что голографическая регистрация вибрирующей поверхности
с усреднением во времени эквивалентна одновременной голографи-
ческой регистрации ансамбля поверхностей, положения которых
в пределе совпадают со всеми положениями, проходимыми вибри-
рующей поверхностью за время экспозиции. Последующие иссле-
дования синусоидально вибрирующих мембран [15.15] показали,
что в данном случае справедливо даже более простое рассмотрение.
Поскольку мембрана дольше находится в двух своих крайних
494
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
положениях, чем в любом другом положении, ее усредненную
во времени голограмму можно рассматривать как двухэкспози-
ционпую х). При этом, так же, как и в методе двух экспозиций,
наблюдались интерференционные полосы. Амплитуды вибраций,
рассчитанные по наблюдаемому расстоянию между полосами при
таком упрощенном подходе, с точностью до 10% согласуются с более
точными расчетами Пауэлла и Стетсона. Однако наблюдается
существенное различие в видности интерференционной картины
вибрирующей поверхности по сравнению с соответствующей карти-
ной, полученной методом двух экспозиций. Эти различия можно
объяснить только с помощью анализа, аналогичного выполнен-
ному Пауэллом и Стетсоном.
На фиг. 15.7 приведены фотографии изображений вибрирующей
гитары, восстановленных с помощью голограммы. На изображе-
ние наложены усредненные во времени полосы, характеризующие
вибрацию.
1. Голографическая интерферометрия с усреднением!
во времени
Способ получения усредненных во времени голограмм вибри-
рующей поверхности идентичен способам, используемым для полу-
чения голограмм стационарных поверхностей. Если максимальная
амплитуда вибрации не превосходит нескольких десятков длин
волн освещающего излучения, то на восстановленном с помощью
голограммы изображении поверхности виден ряд отчетливых ин-
терференционных полос. В то время как некоторые из этих полос
могут быть узловыми линиями, большая часть полос представляет
собой контурные линии равной амплитуды колебаний участков
поверхности.
Чтобы проиллюстрировать связь между амплитудой вибраций
и интенсивностью интерференционной картины, рассмотрим по-
верхность мембраны, освещенную параллельным когерентным све-
товым пучком (фиг. 15.8). Предположим, что в покоящемся состоя-
нии поверхность мембраны находится в плоскости xz и что ее сме-
щения из этой плоскости во время вибраций невелики. Зажим на
внешнем краю мембраны фиксирует положение одной узловой
линии.
Эта схема аналогична случаю чистого поворота (фиг. 15.5),
и разность фаз б лучей, рассеянных парой соответственных точек
А, А', можно записать в виде, аналогичном (15.3). В данном
случае нас интересует смещение А А' = D (х, t) в некоторый
момент времени t. Рассмотрим простое гармоническое колебание
х) Такая же приближенная трактовка усредненной во времени голограммы
вибрирующей поверхности дана в работе [15.33].— Прим. ред.
§ 4. ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ ВИБРИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 495
мембраны. Тогда смещение произвольной точки в момент време-
ни t можно записать в виде
D (х, t) = D (х) cos at, (15.10)
где со — круговая частота колебаний. Подставляя D (х, t) вместо
ха в (15.3), получаем следующее выражение для мгновенного фазо-
вого сдвига рассеянных лучей:
б (х, t) = —^-D (х) cosat [sin 4- sin </>s]. (15.11)
Прежде чем использовать значение б (х, t) для расчета интен-
сивности интерференционной картины, рассмотрим процесс реги-
ФИГ. 15.8. Геометрическая схема для расчета фазо-
вого сдвига 6 (х, t) в методе усреднения
во времени.
страции голограммы. Мы должны быть уверены в том, что голо-
грамма регистрирует усредненную во времени интенсивность ин-
терференционной картины, создаваемой зависящей от времени
комплексной амплитудой предметной волны в плоскости голограм-
мы. На практике это означает, что время экспозиции должно
быть велико по сравнению с периодом колебаний. Однако в наших
расчетах мы можем усреднять точно по одному периоду колебаний.
При получении голограммы вибрирующей поверхности фото-
чувствительная среда освещается плоской опорной волной с комп-
лексной амплитудой в плоскости голограммы г и отраженной от
вибрирующей поверхности предметной волной с комплексной
496
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15
амплитудой s (х, f). Мы видим, что комплексная амплитуда пред-
метной волны является функцией не только координаты х, но
также и времени t. В любой момент времени t интенсивность
в плоскости голограммы описывается выражением
I (х, t) = s (х, t) s* (х, t) + г2 + s* (х, t) г + s (х, f) г*, (15.12)
где г — | г !. Экспозиция, действующая на голограмму, пропор-
циональна усредненной по времени интенсивности
т
(T) = 4-J I(x,t)dt-, (15.13)
о
здесь Т = 2л/со — период и со — круговая частота колебаний
поверхности. Подставляя значение I (х, t) из (15.12), можно пред-
ставить (15.13) в виде
т т
(I) = -y- j [s (х, t)s* (х, t) + r2 + s* (х, t)r]dt + ^~ s(x, t) dt,
о о
(15.14)
где интересующий нас член записан последним в правой части.
Благодаря этому члену восстанавливается исходная предметная
волна и мнимое изображение поверхности предмета. Если плоская
амплитудная голограмма экспонируется и проявляется так, что
регистрацию можно считать линейной, то амплитудное пропуска-
ние голограммы пропорционально (I). При освещении исходной
опорной волной восстанавливается усредненная во времени исход-
ная предметная волна, описываемая выражением
т т
w ~ г • j s (х, t)dt ~ -X- j s (ж, t) dt =
о ' о
2л
= i J 8(ж’ (15.15)
о
Равенство (15.15) справедливо для света, исходящего из любой
точки предмета, и для волнового фронта предметной световой вол-
ны на произвольном расстоянии от предмета. Пусть a (.r, t) пред-
ставляет собой мгновенную комплексную амплитуду излучения,
приходящего в точку Р из точки А вибрирующей поверхности.
Мы можем записать а (х, t) в виде
а (х, t) = а (х) ехр [i6 (х, £)], (15.16)
где а (х) — комплексная амплитуда в точке Р в моменты времени,
когда вибрирующая поверхность находится в плоскости xz,
§ 4. ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ ВИБРИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 497
и 6 (х, t) — описываемая выражением (15.11) добавочная разность
фаз, вносимая смещением D (х, t) поверхности. Подставляя а (х, t)
в (15.15) вместо s (х, t), мы можем записать комплексную амплиту-
ду восстановленной волны, первоначально распространявшейся
из точки А в точку Р, в виде
2л
wA ~а(х)-^- j ехр [i6 (х, £)] d (at). (15.17)
о
Интеграл в (15.17) соответствует интерференции в точке Р света,
исходящего из несмещенной точки А, со светом из соответственных
точек А', А" и т. д., которые представляют собой все смещенные
промежуточные положения, последовательно занимаемые точкой А
при вибрации поверхности. Подставляя выражение (15.11) для
б (х, t) в (15.17), можно вычислить коэффициент модуляции ком-
плексной амплитуды а (х) волны, исходящей от несмещенной
поверхности. Таким образом,
2л
f ехр [i6 (х, £)] d (at) =
2л
= j ехР [ — ’Т’ (sin + sin <Ь) cos at J d (at) =
о
= Jo D (x) (sin фг 4- sin </>s)J .
где Ju — функция Бесселя нулевого порядка от аргумента
(2л/Х) D(x) (sin фг -|-sin ф8) (см. [4.4]) 1). Интенсивность в точке
наблюдения равна
wAwA~ а(х)а* (х) |j0 (х) (sin фг + зшфз)^}2. (15.18)
Как видно из (15.18), темные полосы в наблюдаемой интерфе-
ренционной картине поверхности, вибрирующей по синусоидаль-
ному закону, соответствуют нулям функции J2, а светлые полосы
соответствуют максимумам этой функции. Эти максимумы убывают
при увеличении аргумента (см., например, фиг. 8 работы [15.16]),
т. е. с ростом амплитуды колебаний D (х). Падение интенсивности
ограничивает число полос, имеющих достаточный для наблюдения
контраст2).
х) Заметим, что Jo (z) = Jo (—z).
2) Контраст полос высоких порядков падает из-за шумов, уровень кото-
рых становится сравнимым с интенсивностью максимумов. Без учета шумов
контраст полос любого порядка был бы постоянен и равен единице.—
Прим. ред.
32 —оячо
498
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
Метод усреднения во времени позволяет с интерферометричес-
кой точностью измерять амплитуды вибраций диффузно отражаю-
щих поверхностей. При этом отпадает необходимость в использо-
вании каких-либо чувствительных приборов, находящихся в кон-
такте с вибрирующей поверхностью. В противоположность методу,
основанному на использовании фигур Хладни, в этом случае несу-
щественна также и кривизна поверхности. Голографический
метод применялся для изучения вибраций различных предметов,
начиная от кристаллов кварца [15.17] и кончая деревянными
пластинами, используемыми для изготовления скрипок [15.18].
Этот метод дает значительно больше сведений о неузловых участ-
ках поверхности, чем все ранее применявшиеся методы. Тем
не менее метод усреднения во времени имеет ряд ограничений,
что заставляет исследовать другие пути применения голографии
для изучения вибраций. Одно из этих ограничений связано с паде-
нием контраста интерференционных полос, о чем мы уже говорили,
второе — с невозможностью определения относительной фазы коле-
баний.
2. Интерферометрия вибрирующих поверхностей
в реальном времени [15 6]
Исследование вибраций поверхности в реальном времени осу-
ществляется следующим образом: получают голограмму неподвиж-
ного предмета, устанавливают проявленную голограмму в ее
исходное положение и возбуждают вибрацию предмета. Глаз
наблюдателя осуществляет в этом случае усреднение во времени
интенсивностей последовательных интерференционных картин,
образованных при интерференции света, как бы рассеянного
неподвижным изображением, и света, рассеянного вибрирующим
предметом. Рассмотрим точку Л на мнимом изображении неподвиж-
ного предмета, восстанавливаемом при освещении голограммы
исходной опорной волной. Пусть а (х) — комплексная амплитуда
света, приходящего в точку наблюдения Р из точки А. В любой
момент наблюдатель, находящийся в точке Р, регистрирует интен-
сивность картины, возникающей при интерференции света от
точки А мнимого изображения и соответствующей ей точки А'
реальной движущейся поверхности. Запишем комплексную ампли-
туду световой волны, приходящей в точку Р из А', в виде
—а (х) ехр [i6 (х, £)], где б (х, t) — разность фаз, обусловленная
смещением D (х, t), определяется выражением (15.11). Тогда для
интенсивности в момент t имеем
I (х, t) = {а (х) — а (х) ехр [i6 (х, £)]} X
X {а* (х) — а* (х) ехр [—i6 (х, £)]} = 2 | а (х) |2 [1—cos б (х, £)].
(15.19)
§ 4. ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ ВИБРИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 499
(Отрицательный знак возникает из-за того, что фаза восстанов-
ленной волны сдвинута относительно фазы реальной волны на л.)
Усредняя по одному периоду колебаний, получаем
т
{1} = 2 | а (х) |а -у- j [1—cos б (х, t)]dt =
о
2л
= 2 [ а (х) |2 § [1 — cos б (х, £)] d (at) =
о
= 2[a(z)|2 {l-J0[-^P(a;)(sin^ + sin </>s)]}, (15.20)
(см. (15.11) и [4.4]).
Поскольку интенсивность (I) в (15.20) падает до нуля только
при D (х) = 0, контраст интерференционной картины, а следова-
тельно, и число полос при наблюдении в реальном времени умень-
шается.
3. Стробоскопическая голографическая
интерферометрия
При стробоскопическом освещении поверхности вибрирующего
предмета можно получить голографическую интерференционную
картину, несущую информацию, которую нельзя получить мето-
дом усреднения во времени. Это видоизменение метода оказалось
успешным.
Для наблюдения интерференционной картины в реальном вре-
мени получают голограмму неподвижной поверхности и после
проявления возвращают ее в исходное положение. Затем возбуж-
дают вибрацию поверхности и освещают ее во время каждого
периода колебаний коротким световым импульсом [15.19, 15.33*].
Если импульс достаточно короткий, то этот метод эквивалентен
методу голографической интерферометрии неподвижных объектов
в реальном времени (см. § 1 настоящей главы). Однако световой
импульс может освещать вибрирующую поверхность в различных
фазах колебания, что дает возможность сравнивать положение
поверхности в любой фазе колебания с положением ее неподвиж-
ног'о изображения. Так же как и в описанном выше методе реаль-
ного времени, можно менять частоту колебаний и таким образом
исследовать модовую структуру колебаний в широком диапазоне
частот. Естественно, что в этом случае световые импульсы должны
быть синхронизированы с колебаниями поверхности. Таким спосо-
бом можно исследовать острые резонансы. Методы реального вре-
мени позволяют наблюдать изменение интерференционной картины
при увеличении амплитуды вибраций от нуля до определенной
32*
500
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
величины или при приближении частоты колебаний к резонансной.
При таких наблюдениях можно сосчитать полосы, следя за их
перемещением, и определить положение узловых линий. Слегка
смещая поверхность в направлении нормали к ней и наблюдая
за перемещением полос, можно определить относительную фазу
колебаний для всех точек модовой картины вибраций. Важнейшее
преимущество стробоскопического метода по сравнению с методом
усреднения во времени состоит в том, что видность (контраст)
полос имеет постоянную величину, не зависящую от амплитуды
вибрации х). Интенсивность полос меняется по закону 1 + cos б
[см. выражение (15.6)1. Поэтому стробоскопический метод позволя-
ет исследовать вибрации с большей амплитудой, чем метод усред-
нения во времени.
Стробоскопические методы были также применены в голографи-
ческой двухэкспозиционной интерферометрии (см., например,
[15.20]). В одном из таких методов первую экспозицию делают
при неподвижной поверхности, причем время этой экспозиции
равно примерно половине обычно используемой длительности
экспозиции, обеспечивающей при восстановлении высокую диф-
ракционную эффективность.
Затем возбуждают вибрацию поверхности, а для' освещения
объекта используют синхронизованные с колебаниями световые
импульсы. При таких условиях повторно экспонируют голограм-
му. При восстановлении изображения с помощью такой голограм-
мы появляется интерференционная картина, характерная для
метода двух экспозиций. При этом сохраняются следующие пре-
имущества стробоскопического метода перед методом усреднения
во времени: во-первых, амплитуды вибраций можно изучать в лю-
>бой фазе колебаний и, во-вторых, интерференционные полосы имеют
достоянный контраст.
В другом двухэкспозиционном стробоскопическом методе две
экспозиции создаются повторяющимися парами световых импуль-
сов, которые синхронизованы с вибрацией так, что каждая пара
импульсов освещает объект один раз за период колебания [15.21,
15.33*]. При восстановлении волн с помощью такой голограммы
получаются полосы, соответствующие относительному смещению
поверхности за время между первым и вторым импульсами.
Конечно, интервал между двумя импульсами можно регулировать.
Это особенно выгодно при изучении сильных вибраций. Обычно
х) Контраст полос в методе Пауэлла — Стетсона (без учета шума) также
постоянен, однако интенсивность максимумов быстро падает. В стробоскопи-
ческом методе падение интенсивности максимумов с увеличением амплитуды
происходит значительно медленней. Скорость этого падения определяется
длительностью стробирующего импульса. Здесь и далее авторы рассматри-
вают случай бесконечно малой длительности стробирующего импульса.—
Прим. ред.
§ 5.
ПОЛУЧЕНИЕ КОНТУРОВ РЕЛЬЕФА
501
при больших амплитудах колебаний получается интерференцион-
ная картина со слишком близко расположенными полосами, что
затрудняет их наблюдение. Регулируя промежуток времени между
двумя импульсами, можно исследовать небольшое смещение
поверхности за время между импульсами и получить ограниченное
число полос в поле зрения. Этот способ может быть использован
в методах неразрушающего контроля, когда наиболее интересные
особенности процессов выявляются, как правило, при больших
амплитудах колебаний1).
§ 5. Получение контуров рельефа
В результате интерференции двух световых пучков, из которых
по крайней мере один восстанавливается с помощью голограммы,
можно получить интерференционную картину, представляющую
собой топографическую контурную карту на поверхности трех-
мерного предмета или его мнимого изображения. Каждый контур
представляет собой геометрическое место точек поверхности,
имеющих некоторую постоянную высоту над фиксированной
плоскостью. Прежде чем рассмотреть, как получаются такие
контурные карты голографическим путем, отметим, что подобная
методика давно используется для интерференционного контроля
небольших отступлений оптических поверхностей от заданной
формы. Ошибки, возникающие в процессе шлифовки, приводят
к нерегулярности контурных кривых, которые можно обнаружить
вплоть до величин порядка одной десятой полосы. Поскольку
голографический метод можно применить к шероховатым поверх-
ностям, контроль и исправление формы детали могут осуще-
ствляться без промежуточной полировки, необходимой при исполь-
зовании обычных интерферометрических методов [15.22].
Мы рассмотрим только два (из нескольких возможных) метода
получения контурных кривых. В одном из них используется
излучение с двумя длинами волн и только однократно экспониро-
ванная голограмма [15.23]. Второй метод представляет собой метод
двух экспозиций, причем показатель преломления среды, окру-
жающей объект, меняется между экспозициями [15.24]. Соответ-
ствующим выбором длин волн в первом методе или показателей
преломления во втором можно варьировать разность высот между
соседними контурами от микрон до миллиметров.
В обоих методах интерферометрически сравниваются две
немного различающиеся поверхности. (Мы здесь не делаем разли-
чия между реальной поверхностью и ее мнимым изображением.)
х) При смещении стробирующего импульса относительно момента вре-
мени, соответствующего крайнему (амплитудному) положению объекта, при-
ходится сокращать его длительность.— Прим. ред.
502
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
Чтобы наблюдаемая интерференционная картина характеризовала
рельеф поверхности, должны выполняться следующие условия:
1. Разность фаз лучей, приходящих к наблюдателю от соот-
ветственных точек двух поверхностей, должна быть пропорцио-
нальна высоте поверхности над некоторым плоским уровнем.
2. Полосы должны быть локализованы вблизи поверхности.
1. Метод двух длин волн
Предположим, что при получении голограммы предмет осве-
щается параллельным световым пучком, направленным по оси z
(фиг. 15.9). Параллельный опорный пучок направлен под углом
ФИГ. 15.9. Схема получения контуров рельефа мето-
дом двух длин волн.
к оси и лежит в плоскости xz. Расчеты будут проводиться только
для этой плоскости. Для получения голограммы используется
излучение с длиной волны Пока голограмму проявляют,
предмет находится в фиксированном положении. После того как
голограмма возвращена в свое исходное положение, освещают
голограмму и объект лазерным излучением с длиной волны %2,
несколько отличной от %!. При этом предполагается, что форма
волнового фронта и направление световых пучков сохраняются
неизменными. Параллельный опорный световой пучок с длиной
волны %2 освещает голограмму и восстанавливает мнимое изобра-
жение предмета. Это изображение, однако, смещено относительно
положения самого предмета, который теперь освещается парал-
лельным, направленным по оси световым пучком также с длиной
§ 5.
ПОЛУЧЕНИЕ КОНТУРОВ РЕЛЬЕФА
503
волны Рассмотрим точку Р с координатами (х±, zj, располо-
женную на поверхности самого предмета. Чтобы найти новые
координаты этой точки (x3V, z3V) на изображении предмета, сдви-
нутом в результате изменения длины волны, вернемся к выраже-
нию (3.35), согласно которому для мнимого изображения
^3v = 4 + Z1(-^--0rV (15.21)
Z3V = -S- (15.22)
Здесь 0С и 0Г — углы, которые составляют восстанавливающая
и опорная волны с осью z, и р, = Несмотря на смещение
в направлении х, поперечное увеличение [см. (3.29)]
TI / л I ITl&Zi Zi \ 1
^попер, у = та ( 1 + — — )
\ JAZq zr j
равно единице, если и восстанавливающий и опорный пучки
параллельны и m = 1.
Сравним теперь интерферометрически мнимое изображение
поверхности, восстановленное излучением с длиной волны %2,
с истинной поверхностью, освещенной излучением той же длины
волны. Для диффузно отражающей поверхности поперечное сме-
щение, описываемое выражением (15.21), нежелательно, посколь-
ку в этом случае интерференционные полосы локализуются
на значительном расстоянии от поверхности. Чтобы исключить
поперечное смещение, можно изменить угол падения восстанав-
ливающего пучка так, чтобы вместо равенства 0С = 0Г выполня-
лось равенство 0С = ц0г. В этом случае x3V станет равным х±,
и изображение не будет сдвинуто относительно самого предмета
в поперечном направлении. Останется только смещение вдоль оси
или по высоте
Az = —— Z1 = Z1 (\~Л2), (15.23)
J1 Л>2
где Zi — высота поверхности, отсчитанная от плоскости голо-
граммы. Если наблюдение производится в направлении оси z,
то полная разность фаз лучей, идущих от источника к наблюда-
телю через соответственные точки на двух поверхностях, отве-
чаем смещению 2Az и описывается выражением
6(х) = ^-.221(х)^=^, (15.24)
где высота zlt как видно из фиг. 15.9, является функцией х.
Поскольку истинная поверхность и ее мнимое изображение сме-
щены вдоль оси, соответственные точки расположены на линии
наблюдения. Световые лучи, распространяющиеся вдоль оси
из любой пары соответственных точек, интерферируют на поверх-
504
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
ности, и изменение их относительных фаз 6 при изменении х
приводит к появлению интерференционных полос, локализован-
ных на поверхности. Согласно (15.24), разность фаз 6 прямо
пропорциональна высоте поверхности.
Чтобы связать изменение высоты поверхности Дг4 с измене-
нием Аб, запишем (15.24) для случая малых Azt и Аб; тогда полу-
чим
Следовательно, изменение высоты, которое приводит к изме-
нению фазы Аб = 2л и соответствует переходу от одной полосы
к другой, равно
А -
AZ1— 2 —Л2) '
Если и %2 мало отличаются, то это выражение можно записать
в виде:
^.=ж- <15.25)
Удобным источником света для метода двух длин волн является
ионный аргоновый лазер, генерирующий две длины волны, отли-
чающиеся на АА = 0,0115 мкм, с центром около А = 0,48 мкм.
Из соотношения (15.25) следует, что расстояние между соседними
контурами в этом случае соответствует изменению высоты па
10 мкм.
2. Иммерсионный метод
Для получения контурных линий двухдлинноволновым мето-
дом можно воспользоваться как описанной выше схемой реаль-
ного времени, так и методом двух экспозиций. Однако поперечное
смещение мнимого изображения налагает целый ряд условий на
опорный и восстанавливающий пучки. Поэтому предпочтительнее
более простой метод получения контуров, в котором отсутствует
поперечное смещение изображения и, следовательно, интерферен-
ционные полосы локализованы на поверхности предмета. Этого
удается достигнуть следующим способом. Исследуемый предмет
помещают в кювету, заполненную прозрачной жидкостью или
газом с показателем преломления п1г и экспонируют голограмму
первый раз. Затем заполняют кювету другим веществом с показа-
телем преломления п2 и экспонируют голограмму второй раз.
На фиг. 15.10 схематически показано расположение иммерсион-
ной кюветы и освещающего и опорного пучков в установке, пред-
назначенной для получения таких двухэкспозиционных голо-
грамм. Световые пучки во время обеих экспозиций остаются
§ 5.
ПОЛУЧЕНИЕ КОНТУРОВ РЕЛЬЕФА
505
неизменными, так же как и положение кюветы при замене иммер-
сионной среды между экспозициями. После фотографической
обработки голограмму освещают исходной опорной волной.
ФИГ. 15.10.
Схема установки для получения конту-
ров рельефа иммерсионным методом.
ФИГ. 15.11.
Действительное положение А и кажу-
щееся положение А' точки поверхности
при наблюдении в двух направлениях.
Прежде чем вычислять разность фаз б для лучей, идущих
от мнимых изображений, восстанавливаемых голограммой, обра-
тим внимание на кажущееся положение объекта, погруженного
506
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
в среду, отличающуюся от среды, окружающей наблюдателя.
Будем считать, что предмет погружен в кювету с плоскими стек-
лянными окнами (фиг. 15.11) и что в первом случае среда внутри
кюветы имеет показатель преломления щ, равный показателю
преломления п0 вне кюветы, в то время как во втором случае
показатель преломления п2 не равен п0. Для наблюдателя, смот-
рящего на предмет в направлении, составляющем некоторый
угол с нормалью к окнам кюветы, при замене вещества в кювете
точка А сместится как вдоль линии наблюдения, так и перпен-
дикулярно к ней. Для наблюдателя же, смотрящего по направле-
нию нормали к окну, точка сместится только по линии наблю-
ФИГ. 15.12. К расчетам фазового сдвига в иммер-
сионном методе.
дения. Такое направление наблюдения является наиболее выгод-
ным, поскольку, как уже отмечалось, в этом случае интерферен-
ционные полосы локализованы на поверхности предмета. Как
показывают расчеты, поверхность окна играет роль той плоскости,
от которой отсчитывается высота поверхности предмета.
Теперь приступим к расчету разности фаз б (х) для световых
лучей, которые на своем пути от источника к наблюдателю рас-
сеиваются соответственными точками мнимых изображений.
Используемые при расчетах обозначения приведены на фиг. 15.12,
показатель преломления п0 среды вне кюветы принят равным
единице. Сама кювета может быть наполнена либо веществом
§ 5. ПОЛУЧЕНИЕ КОНТУРОВ РЕЛЬЕФА 507
с показателем преломления п1г либо веществом с показателем
преломления п2, причем п2 > п±. Параллельный освещающий
пучок падает на кювету справа. Если среда в кювете имеет пока-
затель преломления п±, лучи преломляются под углом г± и попа-
дают в точку А на поверхности предмета. Рассеянные лучи наблю-
даются в направлении нормали в точке В. Если же показатель
преломления среды равен п2, то все сказанное остается справедли-
вым с той лишь разницей, что угол преломления теперь равен г2.
На двухэкспозиционной голограмме записываются световые вол-
ны, попадающие в точку В после прохождения разных оптических
путей. Как видно из фиг. 15.12, оптическая разность хода равна
I = щ [FGA + АВ] - п2 [СНА + АВ] =
= zzj [FGA -]- h] — п2 [СНА -]- hl. (15.26)
В соответствии с законом Снеллиуса щ sin = п2 sin r2 = sin 0.
Воспользовавшись тригонометрическими соотношениями х), можно
показать, что n^FG = п2СН, и привести (15.26) к виду
I = n^GA -|- h] — п2 [НА + h] =
= h [tti (1 -|- cos r4) — n2 (1 -|- cos r2)l. (15.27)
Тогда разность фаз можно записать в виде
6 (х) = h (х) [щ (1 + cos г4) — п2 (1 + cos г2)], (15.28)
где h (х) — высота поверхности, являющаяся функцией х. Посколь-
ку величины, стоящие в квадратных скобках, постоянны, выра-
жение (15.28) имеет тот же вид, что и (15.24). Так же как и в ме-
тоде двух длин волн, пары соответственных точек оказываются
на линии наблюдения, и контурные кривые локализованы на по-
верхности. Чтобы найти изменение высоты ДЛ, соответствующее
промежутку между полосами, запишем (15.28) в дифференциаль-
ной форме и положим Д6 = 2л. Тогда
ДЛ = -7Г-:-----(15.29)
П1(1-]-СОЗГ1)—П2(1+СОЗГ2)
При заполнении кюветы фреоном при давлении 3 атм одной полосе
соответствует разность высот Д/i порядка 100 мкм. Заполняя
кювету жидкостями, можно измерять разности высот, меньшие
10 мкм.
х) Тот же результат можно получить, если учесть, что фаза падающей
волны в точке В одинакова для обоих волновых фронтов GB и НВ.
508
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
ФИГ. 15.13.
Пример использования двухэкспози-
ционной голографической интерферо-
метрии для целей неразрушающего
контроля.
На фотографиях изображений четырехслой-
ной шины видны места расклейки слоев.
В этих местах наблюдается система круго-
вых интерференционных полос. Эти дефекты
выявились в результате остаточных деформа-
ций после накачки шины до давления около
3 атм.
ЛИТЕРАТУРА
509
§ 6. Применения и усовершенствования описанных
методов
Голографическая интерферометрия расширяет возможности
классических интерферометрических методов, к числу которых
относятся двухлучевая и многолучевая интерферометрия, методы
фотоупругости и метод муаровых полос. Свойство голограммы
сохранять и восстанавливать волны позволяет распространить
интерферометрические измерения на диффузно отражающие или
диффузно освещенные объекты. Голографическая интерферомет-
рия может быть использована при изучении напряжений, в гидро-
динамике [15.25], для обнаружения трещин [15.8] и исследова-
ниях акустических резонансов, для контроля и производства
точных оптических стекол, металлических деталей высокой точ-
ности [15.26] и аэродинамических поверхностей. Этот метод может
также оказаться полезным при разработке новых способов нераз-
рушающего контроля [15.27] (фиг. 15.13). По-видимому, описан-
ные методы найдут широкое применение в практике интерферо-
метрических исследований.
Хотя в настоящей главе было рассмотрено большинство основ-
ных вопросов, по мере развития метода возникнет, конечно, много
полезных видоизменений и усовершенствований. В литературе
уже появились сообщения об использовании многолучевой интер-
ференции для сужения интерференционных полос [15.28, 15.29],
о схемах с двумя опорными пучками, обеспечивающих локализа-
цию полос на поверхности предмета [15.30], об использовании
модулированного во времени опорного пучка в голографии
с усреднением во времени [15.31, 15.32].
В литературе обсуждаются вопросы дальнейшего усовершен-
ствования этого метода, а также возможность расширения сферы
его применения для решения специфических задач1).
ЛИТЕРАТУРА
15.1. BURCH J. М., Prod. Eng.
(London), 44, 431 (1965).
Применение лазеров в про-
мышленности.
15.2. HAINES К. A., HILDE-
BRAND В. Р., Phys. Lett.,
19, 10 (1965).
Получение контуров с по-
мощью восстановления вол-
новых фронтов.
15.3. COLLIER R. J., DOHER-
TY Е. Т., PENNING-
TON К. S., Appl. Phys. Lett.,
7, 223 (1965).
Применение метода муаро-
вых полос в голографии.
15.4. BROOKS R. Е., HEF-
LINGER L. О., WUER-
KER R. F., Appl. Phys.
Lett., 7, 248 (1965).
х) См. также [15.34—15.37].—Прим. ред.
510
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
ГЛ. 15.
Интерферометрия с пучком
сравнения, восстановленным
голографически.
15.5. POWELL R. L., STET-
SON К, A., Journ, Opt. Soc.
Amer., 55, 1593 (1965).
Интерферометрический виб-
рационный анализ методом
восстановления волнового
фронта.
15.6. STETSON К. A., PO-
WELL R, L., Journ. Opt,
Soc. Amer., 55, 1694 (1965).
Голографическая интерферо-
метрия и анализ вибраций
диффузных объектов в реаль-
ном времени.
15,7. WOLFE R., DOHER-
TY Е. Т,, Journ, Appl, Phys.,
37, 5008 (1966).
Голографическая интерфе-
рометрия напряжений в тер-
моэлектрических охлаждаю-
щих модулях.
15,8, DUDDERAR Т, D., Ехр.
Meeh., 9, 281 (1969).
Применение голографии к ис-
следованию разрушений.
15.9. YAMAGUCHI I., SAITO Н.,
Jap. Journ. Appl. Phys,, 8,
768 (1969),
Применение голографиче-
ской интерферометрии к из-
мерению коэффициента Пуас-
сона.
15.10. HEFLINGER L. О., WUER-
KER R. F., BROOKS R. Е.,
Journ. Appl. Phys., 37, 642
(1966).
Голографическая интерфе-
рометрия.
15.11. HAINES К, A., HILDE-
BRAND В. Р,, Appl. Opt.,
5, 595 (1966).
Измерение поверхностных
деформаций методом восста-
новления волнового фрон-
та.
15,12. TSURUTA Т., SHIOTA-
КЕ N., ITOH Y., Opt. Acta,
16, 723 (1969).
Получение и локализация го-
лографической интерферен-
ционной картины.
15,13. ENNOS А. Е., Journ. Sci.
Instrum, (Journ. Phys. E.),
Ser. 2, 1, 731 (1968).
Измерение деформаций пло-
ских поверхностей методом
голографической интерферо-
метрии.
15.14. АЛЕКСАНДРОВ Е. Б.,
БОНЧ-БРУЕВИЧ А. М.,
ЖТФ, 37, 360 (1967),
Исследование поверхност-
ных деформаций с помощью
голограммной техники.
15.15. MONAHAN М. A., BROM-
LEY К., Journ. Acoust, Soc.
Amer., 44, 1225 (1968).
Вибрационный анализ мето-
дом голографической интер-
ферометрии.
15.16. BROWN G. М., GRANT
R. М., STROKE G. W.,
Journ. Acoust. Soc. Amer.,
45, 1166 (1969).
Теория голографической ин-
терферометрии.
15.17. TSUZUKI Y., HIROSE Y.,
IIJIMA K., Proc. IEEE, 56,
1229 (1968).
Голографическое наблюде-
ние параметрически возбуж-
денных типов колебаний
кварцевой пластинки, выре-
занной по оси х.
15.18. AGREN С,, STETSON К. А.,
Journ, Acoust. Soc. Amer.,
46, 120 (1969) (abstr.).
Измерение резонансов дере-
вянных пластин для изго-
товления скрипок с помо-
щью голографической ин-
терферометрии.
15.19. ARCHBOLD Е,, EN-
NOS А. Е., Nature, 217, 942
(1968),
Наблюдение типов колебаний
поверхности методом стробо-
скопической и голографиче-
ской интерферометрии.
15.20. WATRASIEWICZ В. М.,
SPICER Р., Nature, 217,
1142 (1968).
Анализ вибраций методом
стробоскопической гологра-
фии.
15.21. SHAJENKO Р., JOHN-
SON С. D., Appl. Phys. Lett.,
13, 44 (1968).
Стробоскопическая гологра-
фическая интерферометрия.
15,22. SHIOTAKE N,, TSURU-
TA Т,, ITOH Y., TSUJI-
UCHI J., TAKEYA N.,
ЛИТЕРАТУРА
511
MATSUDA К., Jap. Journ.
Appl, Phys., 7, 904 (1968).
Голографическое получение
контурных карт рельефа диф-
фузно отражающих поверх-
ностей с помощью иммерси-
онного метода.
15.23. HILDEBRAND В. Р., HAI-
NES К. A., Journ. Opt. Soc.
Amer., 57, 155 (1967).
Применение многодлинно-
волновой и многолучевой го-
лографии для получения кон-
туров рельефа.
15.24. TSURUTA Т„ SHIOTA-
КЕ N., TSUJIUCHI J.,
MATSUDA К., Jap. Journ.
Appl. Phys., 6, 661 (1967).
Голографическое получение
контурных карт диффузно
отражающих поверхностей
с помощью иммерсионного
метода.
15.25. TANNER L. Н., Journ. Sci,
Instrum., 44, 1015 (1967).
Использование рубинового
лазера для интерферометри-
ческих исследований в гид-
родинамике.
15.26. ARCHBOLD Е., BURCH
J. М., ENNOS А. Е., Journ.
Sci. Instrum,, 44, 489 (1967).
Применение голографии для
сравнения поверхностей ци-
линдрических отверстий.
15,27. Laser Focus, р. 16. (Feb.
1969).
15.28. BURCH J, M., ENNOS A.E.,
WILTON R. J., Nature, 209,
1015 (1966).
Двух- и многолучевая интер-
ферометрия при восстановле-
нии волнового фронта.
15.29. TSURUTA Т., ITOH Y.,
Appl. Opt., 8, 2033 (1969).
Голографическая двухлуче-
вая интерферометрия при
использовании многократно
отраженного света.
15.30, TSURUTA Т., SHIOTA-
КЕ N..ITOHY., Jap. Journ.
Appl. Phys., 7, 1092 (1968).
Голографическая интерфе-
рометрия с использованием:
двух опорных пучков.
15.31. ALEKSOFF С. С., Appl.
Phys. Lett., 14, 23 (1969).
Усредненная во времени го-
лография смещающихся
объектов.
15.32. MOTTIERF.M., Appl. Phys.
Lett., 15, 285 (1969).
Усредненная во времени го-
лография с треугольной фа-
зовой модуляцией опорной
волны.
15.33* . ЗАЙДЕЛЬ А. Н., МАЛХА-
СЯН Л. Г., МАРКО-
ВА Г. В., ОСТРОВ-
СКИЙ Ю. И., ЖТФ, 38,
1824 (1968).
Стробо-голографический ме-
тод изучения вибраций.
15.34* . ЭННОС А. Е. в книге «Ме-
тоды неразрушающих испы-
таний», изд-во «Мир», 1972.
Методы оптической гологра-
фии и когерентной оптики.
15.35* . ENNOS А. Е., Advances in
Quant. Electr., London, New
York, 1970.
Голографическая интерферо-
метрия.
15,36* . ОСТРОВСКИЙ Ю. И., Го-
лография и ее применение,
Л., 1973.
15.37* . BUTTERS J. N., Holography
and its Technology, New
York, 1971.
Глава 16
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
На голограммах может быть записана как двумерная, так
и трехмерная информация. Эта информация может быть в форме
цвета или кода, графической или буквенно-цифровой. Она может
быть записана на поверхности голограммы или в ее объеме, про-
странственно разделена или наложена при записи, храниться
постоянно или быть стираемой. Части этой записи могут не иметь
никакого отношения друг к другу или могут быть попарно свя-
заны, могут представлять собой опознаваемые образы или совер-
шенно непонятные узоры. Предполагаемая область применения
голографической записи информации простирается от музейных
каталогов до кодированных кредитных карточек. Признавая
это разнообразие, мы в настоящей главе ограничимся главным
образом обсуждением голографической записи информации в такой
форме, которая пригодна для вычислительных машин. В наш
век компьютеров проблема хранения информации для вычисли-
тельных машин привлекает наибольшее внимание. Более того,
область применения голографических методов записи информации
для ЭВМ весьма широка. В дальнейшем мы рассмотрим исполь-
зование совокупности множества голограмм в запоминающем
устройстве или блоке памяти, внешнем (периферийном) по отно-
шению к центральному процессору вычислительной машины.
При этом существенное значение имеет быстрота доступа к хра-
нящейся информации. Нетрудно показать, что голографические
методы записи информации имеют явные преимущества по срав-
нению с другими оптическими методами, такими, как запись мик-
роизображений, однако их реальными конкурентами являются
широко распространенные магнитные методы, в которых исполь-
зуется запись на барабанах, лентах и дисках. Важнейшей целью
является создание голографических запоминающих устройств
с аналогичными параметрами. При сопоставимой информапионной
емкости, например 108 бит, и стоимости около 0,01 цента на бит
голографические запоминающие устройства в состоянии обес-
печить считывание информации за микросекунды, в то время
как магнитные ленты, диски и барабаны требуют десятков милли-
секунд. Вместе с тем магнитная запись обладает тем преимуще-
ством, что может стираться, а скорость ее записи может быть равна
скорости считывания. Разработка голографической памяти с бы-
строй записью и стиранием еще находится в начальной стадии
лабораторных экспериментов.
§ 1-
СИСТЕМА ХРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
513
§ 1. Система хранения информации, основанная
на постраничной записи микроизображений
Большинство оптических методов записи информации осно-
вано на использовании способности фотографических слоев реги-
стрировать информацию с высокой плотностью. Хорошим приме-
ром может служить регистрация страниц книг и документов на
пленке шириной 35 мм. Если на каждом полукадре фотографи-
ровать одну страницу текста, то на катушке пленки длиной 30 м
поместится 1600 страниц. При этом мы почти не прибегаем к какой-
то специальной технике регистрации; более того, плотность
регистрации информации весьма далека от предельных возмож-
ностей высокоразрешающих фотографических слоев. Вершина
виртуозности в микрофотографировании была достигнута в 1926 г.
Эммануэлем Гольдбергом, который получил читаемые микрофото-
снимки страницы, состоящей из 50 строк, имевшие размер 100 мкм.
Высота букв в микрофотоснимке составляла всего 1 мкм. При
записи информации с такой плотностью можно было бы зареги-
стрировать 87 500 страниц текста на 1 кв. дюйм ('—6,5 см2) [16.1].
Это — наивысшее достижение в технике фотографического умень-
шения; однако высокая квалификация, необходимая для выпол-
нения столь тонкой работы, крайние меры предосторожности,
требуемые для избавления от частиц пыли, которые могут попасть
на изображение, и длительность операций тщательной фокуси-
ровки высокоразрешающего микроскопа при записи и считывании
изображения исключают возможность применения этого способа
для построения практической системы быстрого считывания.
При записи буквенно-цифровой информации с умеренным коэф-
фициентом уменьшения, когда частицы пыли нормальной величи-
ны не могут полностью замаскировать букву, система записи
на микропленке с последующей проекцией хорошо соответствует
возможностям человека, осуществляющего считывание, и скоро-
сти, с которой он может усваивать информацию.
В настоящее время много усилий затрачивается на создание
систем записи информации, предназначенных для считывания не
человеком, а вычислительной машиной. В этом случае некоторые
особенности систем с микрофильмированием являются серьезными
недостатками. Так как машинная информация должна записы-
ваться двоичным кодом, на микроизображения сильнее влияют
такие помехи, как частицы пыли, пятна или дефекты регистри-
рующей среды. Чтобы понять эту особенность, рассмотрим одну
из форм кодирования, в которой первоначально непрозрачный
транспарант покрывают малыми прозрачными точками, располо-
женными в определенных местах регулярного узора. Прозрачные
514
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
точки представляют собой логические «единицы», в то время
как отсутствие прозрачной точки в регулярной картине эквива-
лентно логическому «нулю». Эти биты информации могут быть
легко искажены или потеряны, если, например, частицы пыли
закроют прозрачные участки («единицы») или в эмульсионном
слое возникнут точечные прозрачные дефекты в местах, соответ-
ствующих «нулям». Низкая помехоустойчивость микроизображе-
ния, записанного в двоичном коде, вызвана недостаточной избы-
точностью записи (или высокой степенью локализации информации
в микроизображении). Попытки увеличения избыточности записи
остаются безуспешными из-за роста трудностей при считывании
информации. Как будет показано в § 4, голография в состоянии
решить эту проблему. Однако для записи голограмм должно
использоваться лазерное освещение, а необходимые для этого
мощные лазеры еще не обладают достаточной надежностью.
Поэтому, несмотря на некоторые недостатки систем с микроизо-
бражениями, в разное время рассматривалась возможность исполь-
зования различных их вариантов в машинной памяти [16.2].
Мы приведем описание основного варианта такой системы, что
послужит основой для дальнейшего рассмотрения в § 4 весьма
сходной с ней голографической системы памяти.
Новейшие тенденции развития оптических запоминающих
устройств с постраничной записью направлены на улучшение
работы вычислительной машины в целом путем создания пери-
ферийных запоминающих устройств с большой емкостью и высо-
кой быстротой считывания. Цель состоит в том, чтобы заменить
магнитные ленты, диски или барабаны карточной или каталожной
системой памяти. При этом система памяти должна быстро пере-
давать в центральное запоминающее устройство вычислительной
машины абзацы или страницы информации такого объема, который
в состоянии воспринять компьютер. Чтобы достичь этого, время
считывания информации должно быть существенно меньше харак-
терного для магнитных устройств времени порядка 10—100 мс.
С полной уверенностью можно сказать, что последовательный
просмотр ролика пленки с микроизображениями при механиче-
ской перемотке пленки для установки нужного изображения
перед увеличивающей оптической системой не приведет к дости-
жению желаемых результатов. Необходим такой метод, который
позволял бы осуществлять передачу на центральный процессор
вычислительной машины постраничной информации с произволь-
ной выборкой. Выбор страниц и их ввод должны выполняться
в «электронном» масштабе времени, т. е. в течение микросекунд.
Такой способностью обладают оптические устройства с адресова-
нием луча или с бегущим лучом.
На фиг. 16.1 приведена схема одной из систем с адресованием
луча. В ней используется регулярная матрица микроизображе-
§ 1.
СИСТЕМА ХРАНЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ
515
ний, расположенных за множеством линз, называемых в сово-
купности линзовым растром. С левой стороны схемы расположена
маска, представляющая собой совокупность прозрачных точечных
отверстий на непрозрачном фоне. Она является страницей инфор-
мации, записанной в двоичном коде и подготовленной для ввода
в запоминающее устройство или в плоскость записи (на фотопла-
стинку, находящуюся с правой стороны за линзовым растром).
Такую маску мы назовем входной страницей. Входная страница
Диафрагма
Линзовый растр
Фотопластинка
Рассеивающий
/экран
Входная страница
Рассеивающий
экран
Считывающий
пучон
Плоскость изобра-
. жения и матрица
Записывающий фотоприемнинов
пучок
ФИГ. 16.1. Линзово-растровая система хранения
информации с бегущим пятном.
При считывании рассеивающий экран во
входной плоскости и диафрагма рядом с фо-
топластинкой убираются, а вместо входной
страницы помещается матрица фотоприемни-
ков.
освещается рассеянным светом таким образом, что информация
о любом бите на странице распределяется световыми лучами
на всю плоскость линзового растра. Перед линзовым растром
ставится апертурная диафрагма с маленьким отверстием, закры-
вающая все элементарные линзы, кроме одной. Световые лучи,
падающие на элементарную линзу линзового растра, фокусируют-
ся в соответствующее малое- пятно в фокальной плоскости эле-
ментарной линзы. В результате на фотопластинке, расположенной
в задней фокальной плоскости растра, получается микроизобра-
жение входной страницы. Затем вместо первой страницы уста-
навливается вторая (в том же положении), и диафрагма сдви-
гается, открывая новую элементарную линзу, и производится
запись второго микроизображения. Число страниц, которое мож-
но записать, равно числу линз в линзовом растре. Когда запись
окончена, фотопластинку проявляют с обращением, фиксируют
33*
516
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
и помещают в то положение, которое она занимала при записи
в фокальной плоскости линзового растра.
Считывание информации, соответствующей любой входной
странице, производится путем освещения соответствующего мик-
роизображения через описанную оптическую систему в направле-
нии, противоположном направлению лучей света на стадии записи
микроизображения. Элементарная линза линзового растра фоку-
сирует пропущенный свет в плоскости, сопряженной с плоскостью
микроизображения, т. е. в той плоскости, где находилась входная
страница при записи. Размеры полученного изображения соот-
ветствуют исходным размерам входного изображения. Поскольку
все входные страницы при записи устанавливались в одно и то же
положение, каждая линзочка при запросе считывающим световым
пучком спроецирует свое микроизображение в один и тот же
участок входной плоскости. Следовательно, потребуется только
одна детектирующая поверхность (мозаика фотодетекторов или
фотокатод видикона). Считывающим световым пучком может слу-
жить лазерный луч, отклоняемый произвольно на любое микро-
изображение с помощью оптико-акустического или электроопти-
ческого дефлектора (отклоняющего устройства); можно использо-
вать также электронный пучок в электронно-лучевой трубке
[16.2].
В последнем случае пучок отклоняется электростатическим
или магнитным полем, так что светящееся пятно можно направить
в любую нужную точку на экране электронно-лучевой трубки.
Это пятно в свою очередь фокусируется на нужное микроизобра-
жение. В другой считывающей схеме используется освещение
матрицы микроизображений с помощью матрицы электролюми-
несцентных диодов: по одному диоду на каждое изображение
и элементарную линзу. Во входной плоскости, куда каждая
линза проецирует свое микроизображение, расположены фото-
транзисторы (по одному на каждый бит информации), которые
детектируют яркие точки — логические «единицы». Возможно,
что с развитием полупроводниковой техники такой способ окажет-
ся перспективным.
Следует подчеркнуть, что свойства линзово-растровой системы,
записывающей микроизображения, ухудшаются по мере роста
плотности записи информации. Важной проблемой остается чув-
ствительность к пыли и дефектам, вызывающим помехи, однако
главное затруднение состоит в получении высококачественных
линзовых растров. Разрешающая способность, плоскостность поля
изображения, контраст изображения и апертурный угол выпу-
скаемых линзовых растров и методы контроля отдельных линз
внутри растра, вообще говоря, не удовлетворяют требованиям
системы оптической памяти. В § 4 будет показано, что голографи-
ческий аналог этой системы превосходит ее во многих отношениях.
§ 2.
СИСТЕМА ОПТИЧЕСКОЙ ПАМЯТИ СО СТОЯЧЕЙ ВОЛНОЙ
517
§ 2. Система оптической памяти со стоячей волной
Теория, развитая в гл. 9, дает зависимость отклика объемных
голограмм на освещение от угла падения и длины волны падаю-
щего света, а также от толщины голограммы и ее пространствен-
ного периода. Ван Хирден [16.3] показал, как эти свойства
объемных голограмм могут быть использованы для голографиче-
ского наложения страниц информации в одном и том же объеме
толстослойной регистрирующей среды и для постраничного, счи^
тывания без взаимных помех. Весьма близким предшественником
системы памяти, основанной на использовании объемных голо-
грамм, можно считать систему памяти со стоячей волной [16.4],
основанную на разработанном Габриэлем Липпманом методе
цветной фотографии [16.5]. Прежде чем перейти к описанию голо-
графической записи информации в толстослойных средах, рас-
смотрим вкратце принципиальную схему системы памяти со стоя-
чей волной.
На фиг. 16.2 показано, как можно использовать метод Липп-
мана для создания устройства памяти с оптическим считыванием.
Как и в исходной схеме Липпмана, параллельный пучок белого
света (например, коллимированный свет циркониевой дуговой
лампы) проходит через узкополосный спектральный фильтр,
что позволяет получить необходимую степень временной коге-
518
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
рентности. Длина когерентности должна быть такой, чтобы свет,
прошедший через фотослой толщиной 15 мкм, смог бы интерфе-
рировать с этим же светом, отраженным от ртутного зеркала,
находящегося в контакте с эмульсионным слоем (можно также
использовать излучение лазера). Возникает картина стоячих
световых волн, причем поверхности максимальной интенсивности
расположены параллельно поверхности эмульсионного слоя. Если
длина когерентности составляет по меньшей мере 30 мкм, интер-
ференционные полосы регистрируются во всем объеме эмульсион-
ного слоя. Процесс записи информации организован по принципу
последовательной записи слов и происходит следующим образом.
Каждой информационной маске, помещаемой перед фотослоем,
соответствует фильтр с максимумом пропускания при определен-
ной длине волны. В непрозрачной маске имеются малые отверстия,
расположенные в определенных местах регулярной матрицы.
В различных масках положение отверстий различно. Каждое
из отверстий обозначает, что определенный объем эмульсионного
слоя, находящийся за данным отверстием, зарезервирован для
записи всех бит информации данного слова. Расположение отвер-
стий во всей совокупности масок рассчитывается таким образом,
чтобы обеспечить запись всех слов и всех бит информации в них.
Логическая «единица» и ее математическое положение (разряд)
внутри двоичного числа или слова кодируются путем экспониро-
вания эмульсионного слоя через маску картиной стоячих волн,
период которых соответствует максимуму пропускания спектраль-
ного фильтра. Период d = Х/2 определяется по формуле (1.10)
при 0 = 90° и %, равной пропущенной фильтром центральной
длине волны в эмульсионном слое. Таким образом, при определен-
ном сочетании информационной маски и спектрального фильтра
осуществляется запись логической «единицы» в одном и том же
разряде во всех словах, которым соответствует это отверстие
в масках. При втором экспонировании меняют как спектральный
фильтр, так и маску, и новая логическая «единица», разряд кото-
рой в двоичном числе кодируется новым периодом решетки,
записывается в новом наборе слов. Некоторые из картин стоячих
волн, соответствующих второму биту информации, записываются
в неэкспонированных объемах эмульсионного слоя (в словах,
где первый бит был равен нулю), а другие записываются в виде
системы полос, наложенной на систему полос, полученную при
первом экспонировании. Процесс записи повторяется до дости-
жения плотности 10 бит/слово.
Один из способов считывания информации представлен на
фиг. 16.3. Это метод произвольной выборки слов при параллель-
ном считывании всех бит данного слова. (Прежде всего необхо-
димо отметить, что ртутное зеркало убрано.) Источник света
(например, криптоновый лазер), излучающий несколько длин
§ 2.
СИСТЕМА ОПТИЧЕСКОЙ ПАМЯТИ СО СТОЯЧЕЙ ВОЛНОЙ
519
волн, соответствующих максимумам пропускания 10 спектраль-
ных фильтров, использованных для кодирования бит каждого
слова, посылает пучок света на электрооптическое отклоняющее
устройство. Это устройство в произвольной последовательности
освещает объем слоя, соответствующий любому записанному
слову. Свет, содержащий большое число длин волн, дифрагирует
на множестве решеток в соответствии с законом Брэгга, возвра-
щается от эмульсионного слоя по направлению, противополож-
ному направлению опрашивающего луча, частично отражается
ФИГ. 16.3. Схема метода параллельного считыва-
ния с произвольной выборкой в системе
памяти со стоячими волнами.
от светоделителя и попадает на призму, осуществляющую разло-
жение по длинам волн. В световом пучке, падающем на призму,
присутствует несколько длин волн, соответствующих нескольким
периодам решетки и битам информации, записанным в объеме,
отвечающем считываемому слову. Разделение по спектру произ-
водится с помощью призмы, а детектирование — с помощью отдель-
ных фотоприемников. Таким образом, все биты в данном слове
считываются одновременно.
Наиболее серьезным препятствием на пути успешного исполь-
зования системы памяти со стоячими волнами являются недо-
статки регистрирующих сред. Ширина спектральной полосы
отраженного дифракционной решеткой света при регистрации
520
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
на фотопластинках Кодак 649F составляет 50 А. [16.4]. При
этом на участке, соответствующем одному слову, можно зареги-
стрировать до 10 длин волн или бит информации. Однако из-за
неконтролируемой усадки эмульсионного слоя во время проявле-
ния и фиксирования периоды решеток уменьшаются, а максимумы
их отражения сдвигаются в коротковолновую часть спектра.
Усадка происходит неравномерно; величина сдвига длины волны,
которая может достигать 1000 А, меняется в зависимости от
экспозиции или числа бит записанной информации. (С увеличе-
нием экспозиции количество неэкспонированных микрокри-
сталлов галоида серебра, удаляемых при фиксировании, падает
и усадка желатинового слоя уменьшается.) Равномерное набуха-
ние не может должным образом компенсировать усадку, которая
приводит к уменьшению надежности детектирования информации.
Следует считаться также с тем, что при хранении происходит
дальнейший сдвиг максимума отражения решеток.
Если учесть быстродействие существующих отклоняющих
устройств и свойства выпускаемых промышленностью регистри-
рующих материалов, то оказывается, что емкость системы памяти
со стоячими волнами при пословной организации не может быть
очень большой. Десять тысяч отдельных направлений адресования
луча и, следовательно, 104 слов — вот максимум того, что можно
ожидать от сегодняшних отклоняющих устройств со временем
переключения порядка микросекунд. При нескольких десятках
бит на слово общая емкость не превысит 5 -105 бит. Если мы хотим,
чтобы оптические методы успешно конкурировали с магнитными
методами создания карточной и каталожной памяти, то емкость
должна быть, по-видимому, на 2—3 порядка выше, т. е. составлять
108 бит.
§ 3. Голографическая запись информации
в толстых регистрирующих средах
Описанная выше система памяти со стоячими волнами запи-
сывает единицу информации в виде картины стоячих волн, рас-
пределенной в объеме эмульсионного слоя, соответствующем дан-
ному слову. Однако этот объем локализован по отношению к поверх-
ности эмульсии.' он примыкает к малой площадке, положение
которой определяется отверстиями в информационной маске.
Если бы мы попытались увеличить емкость памяти путем деления
каждого отверстия в информационной маске на несколько отвер-
стий меньшего диаметра, т. е. путем создания страницы из не-
скольких слов, центрированной относительно исходного располо-
жения слова, то такое устройство характеризовалось бы большей
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
521
степенью локализации и поэтому было бы более чувствительным
к загрязнениям, пыли, дефектам и к точности направления считы-
вающего луча. Ван Хирден [16.3] предложил метод, с помощью
которого можно распределить страницы, слова и биты информации
нелокализованным образом во всем объеме толстослойной реги-
стрирующей среды. Это позволяет осуществить систему памяти
с высокой емкостью и страничной организацией, почти нечувстви-
тельную к пыли или дефектам. Быстрое считывание страниц
в произвольной последовательности производится при освещении
регистрограммы лучом лазера, направленным нужным образом.
Система памяти представляет собой суперпозицию объемных голо-
грамм (по одной на каждую страницу), полученных методом
многократного экспонирования одного и того же объема толсто-
слойного светочувствительного материала. При экспонировании
длина световой волны для всех голограмм остается постоянной,
однако среднее значение угла между предметным и опорным пуч-
ками меняется при переходе к каждому последующему экспониро-
ванию. Поскольку желательно, чтобы при считывании все заре-
гистрированные страницы изображались на одной и той же прием-
ной поверхности, входные страницы при записи устанавливаются
в одно и то же положение, как в постраничной системе хранения
микроизображений, описанной в § 1. Таким образом, между
циклами экспонирования меняются только направление опорного
пучка и входная страница. На фиг. 16.4 схематически представлен
метод записи. Опорные пучки изображены в виде плоских волн.
Входными страницами служат диапозитивы на пленке шириной
35 мм, на которых информация записана в двоичном коде способом,
описанным в § 1.
Каждая записанная страница информации кодируется в виде
объемной голограммы, пространственные частоты которой одно-
значно характеризуются соответствующим ей опорным пучком
и распределением света, прошедшего через входную страницу.
Любая из наложенных друг на друга объёмных голограмм селек-
тивно откликается на освещение в соответствии с законом Брэгга
(1.12). Следовательно, каждая из них дифрагирует падающий
свет с достаточной эффективностью только при освещении колли-
мированным пучком, направление распространения которого сов-
падает с направлением распространения опорного пучка при
записи этой или сопряженной ей голограммы. (Мы предполагаем,
что для считывания используется свет с такой же длиной волны,
как и для записи; при таких условиях искажения восстановленной
волны минимальны.) Когда объем, содержащий все наложенные
друг на друга голограммы, освещается одной из сопряженных
опорных волн, эта волна отклоняется в направлении, сопряжен-
ном исходной предметной волне, записанной с данной опорной
волной. При этом возникает действительное изображение входной
522
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
страницы в ее истинных размерах, расположенное там, где поме-
щалась входная страница при записи. Сама голограмма выполняет
все функции отображающей оптической системы. Как и в системе,
описанной в § 1, для детектирования логических «единиц», т. е.
ной странице. При считывании считывающие
пучки, сопряженные с опорными, восстанав-
ливают действительные изображения на мат-
рице фотоприемников, которая устанавлива-
ется вместо входной страницы.
ярких точек в изображении страницы, используется регулярная
матрица фототранзисторов, расположенная в плоскости восста-
новленного изображения.
Многократно экспонированная голограмма с наложенными
интерференционными картинами представляет собой пример рас-
пределенной, или избыточной, записи всей информации в системе
памяти. С другой стороны, изображение, полученное при помощи
любой из восстановленных волн, является селективной обратной
трансформацией страницы информации в локализованную форму,
необходимую для детектирования. Таким путем голографический
процесс обеспечивает селективное оптическое считывание. При
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
523
этом система оптической памяти избавляется от характерного для
нее недостатка — возможности потери или ложного восстановления
информации.
1. Фазовые голограммы
Для описания систем памяти с объемными голограммами пер-
воначально использовалось представление об амплитудных голо-
граммах, зарегистрированных в щелочногалоидных кристаллах
[16.3]. Однако, как было показано в гл. 9, дифракционная эффек-
тивность объемных голограмм повышается, если они записываются
в виде фазовых или диэлектрических решеток без потерь. Рассмот-
рим не обладающую потерями регистрирующую среду толщиной Т
с показателем преломления, линейно изменяющимся с экспо-
зицией. Максимальное возможное изменение показателя прелом-
ления Ап соответствует некоторой предельной экспозиции, превы-
шение которой не приводит к дальнейшему изменению п. Предпо-
ложим, что голограмма зарегистрирована при такой экспозиции,
которая соответствует максимальной дифракционной эффективно-
сти. Определим, какое количество голограмм может быть зареги-
стрировано на этом материале при заданном диапазоне Ап. Чтобы
можно было воспользоваться анализом свойств объемных голо-
грамм, развитым в гл. 9, ограничимся рассмотрением элементар-
ных голограмм, образующихся при интерференции плоских волн.
Для дальнейшего упрощения примем, что плоскости узлов и пуч-
ностей всех голограмм (изофазные плоскости) расположены нор-
мально к поверхности регистрирующей среды. На практике
изофазные плоскости в голограмме могут быть расположены под
различными углами ф к поверхности слоя, как показано на
фиг. 16.5. Наклон изофазных плоскостей к поверхности мало су-
ществен для дальнейших расчетов. Из результатов, полученных
в гл. 9, для нас сейчас наибольший интерес представляет формула
(9.81), определяющая условия получения 100% дифракционной
эффективности:
П1Т __ Ха
cos0o — 2
(16.1)
Здесь п4 — амплитуда синусоидальной модуляции показателя
преломления, вызываемой в регистрирующей среде голографиче-
ской интерференционной картиной; Г — толщина регистрирую-
щей среды, измеренная по нормали к поверхности; 0О — угол
Брэгга, образуемый падающим светом с изофазными поверхно-
стями внутри среды; — длина волны света в воздухе. Кроме
того, для нас существенна полная угловая ширина полосы между
нулевыми значениями дифракционной эффективности:
Ф-~- 2б0 « # = -=-^--,
Т пТ sin Оо
(16.2)
524
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16-
где 60 определяется выражениями (9.86) и (9.87); d — расстояние
между плоскостями объемной решетки голограммы; п — среднее
Направление
предметного
пучка
Направления
опорных
пучков^
Плоскость
пучностей
Трехмерная
регистрирующая
среда
ФИГ. 16.5. Получение элементарной голограммы
в трехмерной среде.
значение показателя преломления регистрирующей среды. Выра-
жение (16.2) описывает чувствительность дифракционной эффек-
тивности к отклонению освещающего пучка от угла Брэгга.
2. Предел емкости записи, накладываемый динамическим
диапазоном
Если регистрирующая среда экспонируется единичной эле-
ментарной интерференционной картиной с интенсивностью
I = /0 + Ц cos (К -г + А) (16.3)
и изменение показателя преломления линейно связано с экспози-
цией, то показатель преломления можно записать в виде, анало-
гичном формуле (9.38):
п = п + cos {К-г + А), (16.4)
где п — среднее значение показателя преломления среды после
однократной экспозиции; щ — амплитуда модуляции показателя
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
525
преломления; К — вектор решетки (К = 2л/d) [см. (9.11)]. Пред-
положим, что на светочувствительную среду последовательно
действуют М экспозиций вида (16.3). Каждая из них характери-
зуется произвольным вектором решетки Ki и произвольной
фазовой постоянной Аг, и модуляция показателя преломления
для каждой решетки линейно зависит от экспозиции. Показатель
преломления среды в этом случае становится равным
м
п = п-\- 2 rti cos (Ki-г+ &i), (16.5)
i—1
где n — среднее значение показателя преломления после М экспо-
зиций. Представим себе наихудший из возможных случаев,
а именно будем считать, что в какой-то точке среды все наложенные
друг на друга синусоидальные модуляции показателя преломле-
ния точно совпали по фазе. В этом случае они сложатся и возник-
м
нет суммарная модуляция, равная 2 У, пг. Предположим, что
i=i
минимальная величина суммарной модуляции равна нулю, а мак-
симальная Ап. Пусть для рассматриваемой точки регистрирующей
среды максимальный динамический диапазон Ап оказывается
полностью использованным при М экспозициях. Это можно
выразить как
м
2^т = \п. (16.6)
4=1
(Замечание. Предполагается, что в каждой из М экспозиций
средняя интенсивность Zo равна модуляции интенсивности Д.)
Когда при записи каждой из голограмм удовлетворяется усло-
вие (16.1), каждое значение пг может быть записано следующим
образом:
Далее, каждый отдельный освещающий пучок должен взаимодей-
ствовать только с одной голограммой из набора; это означает, что
углы 0Ог- должны различаться по крайней мере на угол Ф = 2б0,
определяемый из формулы (16.2). В качестве последнего упро-
щающего предположения примем, что все голограммы записаны
при угле Брэгга, лежащем вблизи угла 0ог = 45°, так что cos 0Ог да
да 1/]Л2 для всех i. Из формулы (16.7) следует
n1 = n2=...=nM=Y^¥ . (16.8)
526
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 1S
Тогда соотношение (16.6) можно представить в виде
Мп/ = ^, (16.9)
откуда вытекает, что при указанных выше условиях количество
голограмм, которое можно записать в среде с модуляцией пока-
зателя преломления Ап, равно
;|/ = У2АпГ . (16.10)
„а
Для = 5 -10-7 м, Т = 1 см, Ап = 10-3 получаем, что М =
= 28, т. е. не очень большое число. Пусть, однако, голограммы
зарегистрированы так, что дифракционная эффективность каждой
в отдельности составляет 50%. Тогда, обращаясь к фиг. 9.6 и вы-
ражению (9.76), находим, что соотношение (16.1) должно быть
заменено соотношением
п\Т _ ха
cos 0О — 4
и число М возрастает до 56. Если отказаться от требования стро-
гой линейности соотношения между экспозицией и модуляцией
показателя преломления, то число М может увеличиться до 100.
3. Предел емкости записи, накладываемый угловой
шириной полосы
Чтобы подсчитать влияние на предельную емкость записи
конечной угловой ширины полосы Ф, в которой голограмма
откликается на падающий свет т), предположим, что существует
толстослойный регистрирующий материал с неограниченным диа-
пазоном Ап. При построении системы памяти желательно запи-
сывать каждую голограмму при определенном значении угла
между фиксированным направлением предметного пучка и меняю-
щимся направлением опорного пучка. В этом случае любая из
опорных волн при освещении блока памяти вызовет дифракцию
только от той решетки, в образовании которой она участвовала,
и восстановит только связанную с ней предметную волну, удовле-
творяющую условию Брэгга. При последующем обсуждении мы
не будем учитывать эффектов второго порядка, возникающих при
взаимодействии восстановленной волны с другими решетками.
Рассмотрим угловой диапазон Q, в котором лежит направление
опорного луча; пусть этот диапазон симметричен относительно
угла между предметным и опорным лучами 20о (фиг. 16.5). Под
х) Эта величина определяется угловой селективностью восстановления.—
Прим, перев.
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
527
углом 0О опорный пучок пересекает изофазные поверхности внутри
регистрирующей среды; этот угол фигурирует в законе Брэгга:
2d sin 0О А = -Ъ-, (16.11)
п
где п — показатель преломления среды, используемой для записи
информации; А — длина волны света в среде; Аа — длина волны
в воздухе. Следует отметить, что на фиг. 16.5 весь диапазон углов
ФИГ. 16.6. Конус углов, подчиняющихся закону
Брэгга, для простой объемной решетки.
Q выбран так, что он лежит в одной плоскости. Мы накладываем
это ограничение на Q, исходя из следующих соображений. Усло-
вие Брэгга (16.11) для дифракционных решеток, образованных
двумя плоскими волнами, удовлетворяется в том случае, когда
направления освещающих волн образуют коническую поверх-
ность, ось которой нормальна к плоскостям решетки (фиг. 16.6).
На практике для произвольного предметного волнового фронта
голограмма представляет собой совокупность систем изофазных
поверхностей, каждая из которых характеризуется своим конусом
брэгговских углов. Только угол, под которым падает исходный
опорный пучок, удовлетворяет условию Брэгга для всех изофазных
поверхностей. Однако при освещении голограммы лучами, рас-
пространяющимися в любом из направлений, определяемых этими
конусами, будет происходить частичное восстановление предмет-
ной волны. Если надо избежать взаимных помех, то опорные пучки
528
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
при записи дополнительных голограмм не должны идти ни по одно-
му из этих направлений. Чтобы обеспечить выполнение этого
требования, можно воспользоваться следующим простым способом:
выберем направления опорных пучков так, чтобы они лежали
в одной плоскости, и надлежащим образом разделим направления
в этой плоскости. Как мы увидим ниже, при таком ограничении
удается все же записать намного больше голограмм, чем при огра-
ничении, накладываемом условием максимального динамического
диапазона (см/ п. 2 и 5 настоящего параграфа).
Когда все опорные пучки лежат в одной плоскости, предельное
число голограмм N, записываемых без взаимных помех, можно
получить путем деления диапазона Q на угловую ширину полосы
Ф каждой голограммы. Таким образом,
уу л; QnT sin Op
Подставляя примерные значения величин в (16.12), нетрудно
убедиться в преимуществе толстослойных голограмм в качестве
элементов памяти. Если выбрать Q = 20°, п = 2,0, X = 0,5 мкм,
0О = 45° и Т = 1 мм, то Ф = 0,02°, и мы получим, что в среде
толщиной 1 мм можно записать N = 1000 голограмм без взаимных
помех первого порядка.
4. Предел емкости записи, накладываемый
дифракционной эффективностью
Согласно формуле (16.1), фазовые голограммы, образованные
двумя плоскими волнами в диэлектрической среде, не обладаю-
щей потерями, могут иметь дифракционную эффективность, рав-
ную 100%. Предположим, однако, что в среде записано много
таких элементарных голограмм с помощью способа, показанного
на фиг. 16.5, т. е. все голограммы образованы идентичной пред-
метной плоской волной, но различными опорными волнами.
В этом случае максимальная дифракционная эффективность каж-
дой голограммы уменьшается. Если же направления предметного
и опорного пучков изменяются при переходе от голограммы
к голограмме по крайней мере на 2б0, то значения дифракционной
эффективности отдельных голограмм могут оставаться равными
100%. Чтобы понять различие между этими двумя случаями,
рассмотрим влияние восстановленной волны на остальные голо-
граммы, полученные с помощью идентичных предметных волн.
Предположим, что объем блока памяти освещается одной из исход-
ных опорных волн, в результате чего восстанавливается предмет-
ная волна. Восстановленная плоская предметная волна образует
с каждой из голограмм в объеме блока памяти угол, точно равный
брэгговскому углу 0ог, и дифрагирует в направлениях соответ-
§ 3. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ 529
ствующих опорных волн. Вследствие этого взаимодействия ампли-
туда нужной предметной волны и, следовательно, дифракционная
эффективность каждой индивидуальной голограммы снижаются.
Более того, дифракция восстановленных опорных волн на их
собственных решетках может в свою очередь привести к восста-
новлению соответствующих им предметных волн. Последние
распространяются в том же направлении, что и нужная предметная
волна, создавая взаимные помехи.
На практике дифракционная эффективность даже индивидуаль-
ной объемной фазовой голограммы, полученной при модуляции
предметной волны полезной информацией и записанной с соблю-
дением линейности, не может быть равна 100%. Это обусловлено
вариацией амплитуды предметной волны и соответствующими из-
менениями величины отношения интенсивности пучков R. Типич-
ное значение эффективности составляет около 15%. Если наклады-
вается большое число подобных голограмм, то по причинам, опи-
санным выше, происходит дальнейшее падение эффективности.
Однако возможность восстановления других опорных волн одной
восстановленной пространственно-модулированной предметной
волной зависит от корреляции последней с другими записанными
предметными волнами (см. гл. 14). Вообще говоря, можно ожидать,
что возникновение других опорных волн будет слабым, а после-
дующая генерация предметной волны второго порядка и взаимные
помехи еще слабее.
Из предыдущего рассмотрения вытекает, что даже в диэлек-
трических средах без потерь следует ожидать низких значений
дифракционной эффективности голограмм, если последние запи-
саны способом, удобным для считывания (фиг. 16.4). Покажем,
что число бит В на записанной странице информации (т. е. на
голограмме) определяется мощностью лазерного освещения Ро,
дифракционной эффективностью голограммы ц и чувствительно-
стью фотоприемников. Если дифракционная эффективность
является функцией числа голограмм или записанных страниц,
то она ограничивает не только количество бит на страницу, но
и общую информационную емкость системы памяти.
Предположим, что Р = цРо — общая мощность лазера, дифра-
гированная на одной из голограмм в создаваемое ей изображение,
и что фотоприемники детектируют биты информации или дан-
ные, закодированные в изображении в виде точек. Для заданной
выходной мощности лазера мощность, попадающая на один
фотоприемник, определяется отношением
Величина сигнала детектора, таким образом, обратно пропор-
циональна В. Поэтому следует или существенно ограничить В,
34—0990
530
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
или пойти на другие компромиссы. Например, сигнал зависит
также от длительности поступления мощности Ра, т. е. от периода
накопления, который определяется скоростью считывания системы
памяти. В течение этогр периода на чувствительной площади
фотоприемника под действием фотонов возникает заряд Q. Жела-
тельно, чтобы этот заряд вызывал максимальное напряжение
сигнала V = QIC, где С — емкость приемника. Чтобы обеспечить
это, световое пятно, соответствующее логической «единице», долж-
но быть как можно меньше. Тогда чувствительная площадь прием-
ника и ее емкость С могут быть доведены до минимальной вели-
чины, а выходной сигнал будет максимальным. Чтобы изображе-
ния точек имели малые размеры, необходимо использовать голо-
граммы с большими апертурами. Если плотность записи должна
2Д = ЮОмнм
Считывающий
пучон
диаметром D.
быть высокой, то необходимо найти компромисс между размером
элемента изображения и размерами голограммы и ее емкостью.
В § 4, п. 1, будет показано, что голограмма диаметром 1 мм
в состоянии отобразить на плоскость, отстоящую от нее на 10 см,
страницу 3x3 см2, содержащую 104 ярких точек диаметром
100 мкм (фиг. 16.7). Если дифракционная эффективность голо-
граммы составляет 10% или более, то отображаемая картина
может быть успешно детектирована при освещении существующими
лазерами. Проведенное обсуждение эффективности показывает, что
при считывании с помощью неподвижной регулярной матрицы
приемников можно зарегистрировать только одну подобную фазо-
вую объемную голограмму. Емкость в этом случае составляет
только 104 бит. Конечно, можно допустить меньшее число бит
на страницу и соответственно большее количество страниц. Тогда
начинает играть роль ограничение числа страниц, накладываемое
динамическим диапазоном (см. п. 2).
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
531
5. Проблемы, связанные со свойствами реальных
регистрирующих сред
При использовании имеющихся в настоящее время регистри-
рующих сред не удается реализовать потенциальную емкость
системы памяти на объемных голограммах даже при полном разде-
лении пространственных частот различных предметных волн,
записанных в форме наложенных друг на друга фазовых голо-
грамм. Прежде всего диапазон Ап у испытанных до настоящего
времени регистрирующих сред не превышает 10-3. Кроме того,
возникают трудности, о которых мы ранее не говорили. В качестве
примера для иллюстрации основных проблем рассмотрим моно-
кристалл ниобата лития LiNbO3 (см. гл. 10, § 12), который по
физическим свойствам наиболее близок к идеальному регистри-
рующему материалу. Было показано, что в LiNbO3 можно осу-
ществлять запись фазовых голограмм; толщина монокристалла
может достигать 1 см [16.6]. Несмотря на большую толщину Т,
невозможно экспонировать кристалл таким образом, чтобы удо-
влетворялись условия (16.1), и получить дифракционную эффек-
тивность, равную 100 %. (Все же была достигнута значительная эф-
фективность, равная 42%; при этом освещенность кристалла со-
ставляла 1 Вт/см2 в течение 100 с. Следует отметить, что эта эф-
фективность, так же как и максимальная эффективность, равная
100% для идеального материала, может быть достигнута лишь
при записи голограмм плоских волн в отсутствие полезного сиг-
нала, модулирующего эти волны.)
Хотя и существуют проблемы, связанные со стабильностью
голограмм, зарегистрированных в кристаллах LiNbO3, предполо-
жим временно, что мы можем управлять стабильностью и полу-
чить много наложенных друг на друга голограмм. Тогда возни-
кают новые трудности. Прежде всего, если показатель преломле-
ния среды существенно меняется от первой экспозиции до послед-
ней, то направления считывающего луча, удовлетворяющие усло-
вию Брэгга, отличаются от направлений опорных пучков при
записи. Изменение направления считывающего луча незначи-
тельно для последней экспозиции, но сравнительно велико для
первой. Переписывая закон Брэгга в виде
П Sin 0 : =
и предполагая, что правая часть равенства остается постоянной
при считывании, мы видим, что изменение п может быть ком-
пенсировано изменением угла 0 между направлением считываю-
щего пучка и плоскостями решетки. При этом обеспечивается
выполнение условия Брэгга. Если принять, что показатель пре-
ломления возрастает с экспозицией, то для наложения большого
34*
532
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
числа голограмм лучше всего сначала экспонировать кристалл
предметным и опорным пучками, составляющими наименьший
угол друг с другом. Последующие экспозиции приведут к тому,
что для этой голограммы направление считывающего луча нужно
будет изменить сильнее всего (в сторону меньших значений 0).
При записи страниц с минимальным угловым диапазоном опор-
ного пучка Ф предотвращаются угловое наложение и взаимные
помехи при считывании. Однако практически этот метод удается
реализовать лишь приближенно; кроме того, за его применение
приходится расплачиваться. Как отмечалось в гл. 10, § 8, п. 4,
если предметная волна содержит компоненты с различной про-
странственной частотой, то компенсация изменений параметров
Брэгга или п посредством изменения направления освещающего
луча будет точной только для одной компоненты. Таким образом,
мы расплачиваемся потерей разрешения в изображении. Если
в регистрирующем материале скрытое изображение можно уси-
лить при проявлении, после того как произведены все экспозиции
(как, например, в слоях хромированного желатина), то проблема
изменения показателя преломления во время экспонирования
отпадает. В настоящее время не существует материала для записи
фазовых голограмм, который, с одной стороны, обладал бы доста-
точной чувствительностью к видимому свету, а с другой стороны,
был достаточно химически и физически стабильным при толщине,
необходимой для создания блоков памяти на объемных голо-
граммах.
Процесс записи голограмм в кристаллах ниобата лития заклю-
чается в фотовозбуждении электронов, находящихся в ловушках,
смещении этих электронов в электрическом поле и вторичном
их захвате ловушками. Поскольку за первой экспозицией не сле-
дует процесс «фиксирования», то при второй экспозиции под дей-
ствием голографической интерференционной картины, возникаю-
щей в кристалле, некоторые из вновь захваченных электронов
могут опять возбудиться; при этом частично разрушится про-
странственное распределение зарядов, соответствующее первой
голограмме. Из-за отсутствия фиксирования число голограмм,
которое можно записать в кристалле ниобата лития, не превышает
нескольких десятков. Чтобы избежать аналогичного стирания
при считывании, необходимо при этом использовать свет с другой
длиной волны, чем при записи. Как указывалось в гл. 3, § 4,
это приводит к возникновению аберраций.
6. Амплитудные голограммы
Недостаточная стабильность голограмм, малая чувствитель-
ность при экспонировании и трудность получения высококаче-
ственных монокристаллов снижают возможности использования
§ 3. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ 533
ниобата лития. Однако он представляет новый класс регистри-
рующих сред, так что его можно считать заметной вехой на пути
к осуществлению идеальной среды. Фазовые голограммы с наи-
высшей эффективностью получены на слоях хромированного
желатина. Этот материал может быть проявлен и отфиксирован,
однако попытки получения на нем объемных голограмм оказались
безуспешными из-за трудностей в обработке очень толстых слоев.
Другой класс материалов для записи объемных голограмм обра-
зуют материалы, в которых могут быть зарегистрированы ампли-
тудные голограммы. Недостатком этих голограмм является низкая
дифракционная эффективность. Однако многие толстослойные
светочувствительные материалы для регистрации амплитудных
голограмм, к числу которых относятся, например, бромистый
калий [16.7], органические фотохромные слои, фотохромные стек-
ла с галоидами серебра [16.8] и легированные кристаллы титаната
стронция [16.9], широко доступны. Поэтому в настоящее время
продолжается исследование их свойств с точки зрения исполь-
зования в системах памяти. В одном образце подобных мате-
риалов было зарегистрировано до 100 наложенных друг на друга
голограмм [16.8].
Рассмотрим толстослойную регистрирующую среду, коэффи-
циент поглощения которой линейно возрастает с экспозицией
до некоторого предельного значения Аа. Предположим, что до
экспонирования среда не обладает потерями. При экспонирова-
нии единичной элементарной интерференционной картиной среда
в соответствии с (9.24) приобретает проводимость
а = ст0 + o’! cos К -г. (16.14)
В гл. 9 среднее значение проводимости а0 и амплитуда модуляции
Oj были выражены через соответствующие значения среднего
коэффициента поглощения а и амплитуды модуляции а4 [см. (9.30)
и (9.32)]. С учетом этих соотношений формулу (16.14) можно
представить в виде
ае = а + at cos К-г. (16.15)
В гл. 9, § 6, п. 2, было показано, что максимальная дифракцион-
ная эффективность, равная 3,7%, достигается в том случае, когда
среднее значение коэффициента поглощения а равно амплитуде
модуляции и когда выполняется условие
или
COS 0л 10 ti ft А
ai = —у-МпЗ. (16.16)
Здесь, как и выше, 0О — угол Брэгга и Т — толщина регистри-
рующей среды. По фиг. 16.8, повторяющей фиг. 9.7, можно найти
534
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
максимальную эффективность для значений а/с^, меняющихся
от 1 до 5. Эффективность определяется как квадрат ординаты
| S | на фиг. 16.8. Мы используем эти данные для того, чтобы
определить влияние наложения многих голограмм на максималь-
ную дифракционную эффективность отдельной голограммы (см.
также гл. 17, § 6, п. 3).
Предположим, что М элементарных голографических картин,
каждая из которых описывается формулой (16.3), последовательно
экспонируются на регистрирующую среду. Снова, как и в п. 2,
мы предполагаем, что значения вектора решетки Ki и фазовой
постоянной Aj произвольны и что в каждом случае возникающее
изменение коэффициента поглощения прямо пропорционально
экспозиции. Поэтому мы можем написать следующее выражение
для коэффициента поглощения после М экспозиций:
м ->->
ав = а+ 3 аг cos (Ki-r + Аг), (16.17)
i=l
где а — общий средний коэффициент поглощения. Поскольку
Kt и Аг произвольны, мы принимаем, что существует такая точка
внутри среды, где все синусоидальные модуляции коэффициента
поглощения находятся точно в фазе и складываются с образова-
м
нием общей пиковой модуляции, равной 2 Как и в п. 2,
г—1
мы предполагаем, что минимальное значение этой пиковой моду-
ля
ляции равно нулю, а максимальное значение 2 2 ai равно дина-
1=1
мическому диапазону Аа. Поскольку среда вначале не обладала
поглощением, отсюда следует, что а = Аа/2. Кроме того, отсюда
вытекает, что в каждой из М экспозиций среднее значение интен-
сивности 10 равно интенсивности модуляции Ц. Следовательно,
мы можем написать
м
2'£1ai = ka (16.18)
i=l
И
а = -^-. (16.19)
Для облегчения расчетов примем, что переменная величина
cqTVcos 0ог, отложенная по оси абсцисс на фиг. 16.8 (где индекс i
относится к любой из наложенных голограмм), приблизительно
одинакова для всех голограмм. Это условие соблюдается, когда
«1 = «2 =
— ам
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
535
COS 001 ~ COS 002 ~ . . . ~ COS 0М « COS 00,
где 0ог — углы Брэгга и Т — толщина регистрирующей среды.
Из формулы (16.18) вытекает соотношение
Ма1 = ^-, (16.20)
а из (16.19) имеем
Mat = a, -^ = М. (16.21)
В гл. 9, § 6, п. 2, мы показали, что при среднем значении
коэффициента поглощения
In 3 COS 0о
а =-----
можно достичь максимального значения дифракционной эффек-
тивности при a/at = 1 и что это значение является оптимальным
ФИГ. 16.8.
Зависимость нормированной ампли-
туды восстановленной волны | S | от мо-
дуляции для амплитудной голограммы.
при всех a/at > 1. Тогда в соответствии с (16.19) наибольший не-
обходимый динамический диапазон выражается формулой
Аа = 2а = —n . (16.22)
Для этого случая максимальную эффективность единичной голо-
536
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
граммы, входящей в систему, содержащую от 1 до 5 наложенных
голограмм равной эффективности, можно найти по кривым
фиг. 16.8. Максимальная эффективность подсчитывается как
квадрат значений | S |, соответствующих точкам, где пунктирная
линия пересекает кривые, соответствующие значениям а/«! =
= 1, 2, 3, 4 и 5. Мы видим, что дифракционная эффективность
падает от 3,7% для единичной голограммы до приблизительно
0,1% для 5 голограмм. Этот пример показывает, что при записи
таким способом нескольких сотен голограмм, каждая из которых
будет иметь крайне низкую дифракционную эффективность, воз-
никает очень трудная проблема детектирования при считывании.
Наиболее вероятно, что малая амплитуда дифрагированного сиг-
нала потонет в шумах приемника или в шумах, вызванных рас-
сеянием в регистрирующей среде (см. также гл. 17, § 6, п. 3,
где показано, что при наложении М голограмм эффективность
отдельной голограммы снижается в М'2 раз).
На практике при работе с толстослойными поглощающими
материалами возникают затруднения при попытке равномерно
экспонировать материал по всей толщине. Если первоначально
прозрачный материал потемнел в результате экспозиции и после
экспозиции не производилось проявления, то поверхностный слой
среды становится переэкспонированным еще до того, как глубже
расположенный слой получит экспозицию, соответствующую опти-
мальной плотности. Так обстоит дело с некоторыми фотохром-
ными материалами. Эффективность голограмм, полученных в таких
условиях, меньше, чем у голограмм с равномерно распределенной
по толщине Т плотностью почернения. Эффективная толщина при
освещении оказывается меньше физической толщины Т, и угловая
селективность голограммы падает. По мере записи новых голо-
грамм оптическая плотность поверхностного слоя возрастает,
уменьшая эффективную экспозицию глубже лежащих слоев.
Более того, дифракционные свойства ранее записанных голограмм
заметно ухудшаются. Ослабление освещающего пучка может
стать настолько значительным, что он будет опрашивать только
часть толщины голограммы. Шум возрастает, сигнал падает,
а угловая селективность уменьшается до такой степени, что
восстановленные изображения перекрываются. Если же фото-
хромный материал был предварительно окрашен ультрафиолето-
вым облучением и запись голограммы производится способом
обесцвечивания при воздействии видимого света, тогда первое
экспонирование осуществляется при значительном ослаблении.
Обесцвечивание происходит неравномерно и наиболее значительно
в поверхностном слое материала. Запись новых голограмм факти-
чески переэкспонирует этот слой, содержащий наиболее эффек-
тивную часть первых голограмм, и нарушает их дифракционные
свойства. Потери первоначально записанной информации огра-
§ 3.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ИНФОРМАЦИИ
537
ничивают число амплитудных голограмм, которое можно нало-
жить друг на друга. Как уже отмечалось, в фотохромном стекле
удалось записать около 100 голограмм [16.8]. Недостаточная ста-
бильность голограммы и необходимость использования света
с одной длиной волны для записи и другой — для считывания
также создают трудности при практической реализации. (Для
неразрушающего считывания регистрирующая среда должна быть
нечувствительна к длине волны считывающего света.)
Фотографические слои, как и некоторые фотохромные среды,
реагируют на падающий свет возрастанием оптической плотности,
но основное увеличение плотности происходит после экспозиции
при проявлении, благодаря чему устраняется проблема неравно-
мерного экспонирования. Однако из-за мокрой обработки фото-
слоя возникают дополнительные проблемы, которые полностью
ликвидируют это преимущество. В результате процесса фиксиро-
вания эмульсионный слой подвергается усадке (см. гл. 10, § 8,
п. 4). Степень усадки может быть неравномерной по толщине
эмульсионного слоя, вследствие чего первоначальные расстояния
между интерференционными поверхностями нарушаются; это
уменьшает угловое разрешение и количество голограмм, которое
можно записать без взаимных помех.
Чувствительность фазовых и амплитудных голограмм к длине
волны освещающего света описывается формулой (9.88):
ДХ0 dctg0o
17 - Т '
Из нее вытекает, что в толстослойной среде можно записать боль-
шое число голограмм и осуществить их раздельное считывание1,
если для записи каждой из них использовать свою длину волны.
(Именно этот принцип лежит в основе объемной цветной голо-
графии, рассматриваемой в гл. 17.) Для быстрого произвольного
считывания необходим источник света, длина волны которого
может изменяться с помощью какого-либо электронного устрой-
ства. Хотя на этом пути и получены некоторые результаты, прак-
тически для считывания удобнее применять метод углового откло-
нения луча, основанный на использовании угловой селективности
объемных голограмм. Анализ, проведенный в п. 5 и 6, показы-
вает, что для реализации потенциальных возможностей систем
оптической памяти на объемных голограммах необходим реги-
стрирующий материал с улучшенными характеристиками, кото-
рый пока еще не создан. Такой материал должен иметь доста-
точную чувствительность к длине волны, используемой при
записи голограмм, и обладать достаточной стабильностью после
окончания записи. Желательно иметь возможность производить
запись фазовых голограмм в виде скрытых изображений с после-
дующим проявлением и фиксированием.
538
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
§ 4. Голографическая система памяти с бегущим
пятном
Вслед за анализом системы, потенциальные возможности кото-
рой еще не реализованы, мы дадим описание голографической
системы памяти, в которой успешно сочетается большая емкость
и высокое быстродействие. Это — система постраничного считы-
вания с бегущим пятном [16.10, 16.11]. Любая страница в произ-
вольной последовательности может быть считана и введена в цен-
тральный процессор вычислительной машины в течение микро-
секунд. В противоположность системе памяти на объемных голо-
граммах, описанных в § 3, основные элементы этой памяти, пока-
занные на фиг. 16.9, изготовляются из существующих материалов
ФИГ. 16.9. Элементы постраничной голографиче-
ской системы памяти с бегущим пятном.
с помощью уже разработанной технологии. Сравнение фиг. 16.9
и фиг. 16.1 показывает, что эта система представляет собой голо-
графический аналог линзовой растровой оптической системы
памяти с микроизображениями. Страницы с информацией отдель-
но регистрируются в форме малых голограмм, пространственно
разделенных и регулярно расположенных в плоскости голографи-
ческой памяти. Каждой голограмме соответствуют определенный
участок плоскости памяти и своя страница как объект регистра-
ции, однако для всех голограмм используется один и тот же кол-
лимированный опорный пучок.
1. Емкость и быстродействие
Страница с информацией, предназначенная для ввода в маши-
ну, должна быть закодирована двоичным кодом. В § 3, п. 4, было
указано, что параметры системы памяти определяются ко личе-
5 4. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАМЯТИ 539
ством энергии, поступающей на фотоприемники. Чтобы иллю-
стрировать это положение, предположим, что лазер на фиг. 16.9
имеет выходную мощность излучения 1 Вт. При прохождении
луча через два отклоняющих устройства (для отклонения во взаим-
но перпендикулярных направлениях) и оптическую систему и при
дифракции на голограмме эта мощность снижается на 20 дБ.
Предположим, что мы хотим разместить 104 бит на странице.
Разделение луча на 104 изображений приводит к тому, что мощ-
ность, падающая на фотоприемник, уменьшается до 1 мкВт.
Скорость ввода информации на матрицу приемников у быстро-
действующего запоминающего устройства может составлять 1 стра-
ницу в 1 мс. За этот интервал времени при такой мощности на
фотоприемник попадает 3 -106 фотонов. Диаметр чувствительной
площади фотоприемников, способных обнаружить столь малые
потоки, составляет 100 мкм.
В соответствии с этим подсчитаем диаметр голограммы, кото-
рая создает пятно диаметром 100 мкм в плоскости изображения,
отстоящей от голограммы на 10 см. Общее выражение для опре-
деляемого дифракцией диаметра А пятна, которое можно получить
при помощи отображающей системы с апертурой D на расстоянии
приведено в гл. 6, § 4, п. 3. Его можно представить в виде
А = 0,61-^ = 1,22-^, <46.23)
Это пятно представляет собой функцию рассеяния, определяе-
мую выражением (6.74); А — расстояние от центрального мак-
симума функции до первого нуля с любой стороны, которое при-
нимается за номинальную величину диаметра пятна. Более стро-
гим является требование, чтобы диаметр пятна равнялся 2А,
т. е. соответствовал расстоянию между нулевыми значениями
функции рассеяния.
Если положить d2 = 10 см, % = 0,5 мкм, 2А = 100 мкм, то
мы получим D = 1,22-10-1 см. Таким образом, голограмма диа-
метром 1,2 мм при освещении лазерным лучом доступной в настоя-
щее время мощности может восстановить детектируемое изобра-
жение страницы, содержащей 104 бит.
Расстояние между пятнами (битами) определяет размеры
страницы. Это расстояние должно быть достаточно большим, чтобы
свет, предназначенный для одного фотоприемника, не попадал
на чувствительную площадь другого и чтобы уменьшить токи
утечки между приемниками. С другой стороны, из соображений
экономичного использования пластинки кремния, на которой
технологией интегральных схем получают матрицу фотоприем-
ников, это расстояние не должно превышать минимально необхо-
димого. Если расстояние между центрами пятен диаметром 100 мкм
составляет 300 мкм, мы получаем страницу 3x3 см2. Теперь
540
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
подсчитаем количество страниц, которое можно записать методом,
обеспечивающим быстрое считывание.
Количество страниц и, следовательно, емкость памяти опре-
деляются свойствами отклоняющего устройства, используемого
ФИГ. 16.10а. Акустические отклоняющие устройства
с водяными ячейками. (По Пинноу
и Вильямсону.)
для запроса информации. Для этих целей очень удобны акусти-
ческие отклоняющие устройства. Два таких последовательно
стоящих устройства в сочетании с оптической системой в состоя-
нии направить луч лазера по любому из многих адресов на пло-
скости ху. На фиг. 16.10а показаны два взаимно перпендикулярно
расположенных акустических устройства, отклоняющие луч по
осям х и у. В качестве оптико акустической среды используется
вода. На фиг. 16.106 представлена матрица из 32 X 32 раздельных
положений луча, получаемая с помощью таких отклоняющих
устройств. В приложении III показано, что распространяющаяся
звуковая волна создает в среде дифракционную решетку, которая
§ 4. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАМЯТИ 541
эффективно дифрагирует свет при освещении под углом Брэгга
[16.12]. Период решетки равен длине звуковой волны. Изменяя
частоту / бегущей звуковой волны в интервале Д/, можно менять
период решетки и связанный с ним угол дифракции. Поскольку
* 8
8 *
* #
* «
* Ъ
% *
* %
* Ъ
* #
*
$
£
%
*
4*
&
*?
Ъ
Ъ
•й-
&
* ** * * •« t
* ♦ • »«»»«««*♦ *
» ♦ « *« *мм»м'нт«т.т*« .
* * * ♦ * «»*«»•» •«♦»>«* »
««« <*««««*•« «9 «*9999 999««999 %
♦•♦«•••« 99 ««« «*Н«М ««« ««««-»
*••«*«9«9«99999999^9999S99««
'i*«««»**O«e«t« «#««««««««*»
<••« 9 •««« «99 9 «99 «9 9« «•«*»«»«« *
••««•••«««•««99«
» • • « • *
• « •*•***«*«** в * _.
$
•хй
у
>8
•Й?
%
%
ФИГ. 16.106. Матрица из 32 х 32 дискретных поло-
жений луча, образованная отклоняю-
щими устройствами, показанными на
фиг. 16.10а. (По Андерсону [16.11].)
направление падающего луча фиксировано, можно было бы ожи-
дать появления брэгговской дифракции только для одного зна,
чения f и одного периода решетки. Как показано в приложении III-
пространственная неоднородность излучения звукового преобра-
зователя в действительности вызывает разброс ориентаций зву-
542
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ 16.
ковых решеток, что приводит к возникновению брэгговского
взаимодействия в определенном интервале Д/. Можно считать,
что эффективный диапазон углового отклонения ограничен теми
значениями углов, для которых интенсивность отклоненного
луча превышает 50% интенсивности луча, падающего на откло-
няющее устройство. Мы нашли, что угловой диапазон Д<р очень
мал: порядка 8 мрад. Однако с ячейками небольших размеров
все же возможно получить до 100 ненакладывающихся направле-
ний в одной плоскости. Если акустической ячейкой служат моно-
кристаллы йодноватой кислоты или молибдата свинца, то быстро-
действие ячейки составляет примерно 1 мкс (см. приложение
III, работа [III.1]).
Полезным критерием для количественной оценки потенциала
одного акустического отклоняющего устройства служит введенное
в приложении III произведение емкости на быстродействие
N.±-=*bf, (16.24)
где N — число разрешимых направлений, в которые можно
адресовать луч за время т. Мы видим, что для увеличения коли-
чества адресов приходится жертвовать быстродействием 1/т. Для
осуществления произвольного адресования луча в одну из 64 X 64
позиций за 1,6 мкс потребуется ширина полосы частот Д/ =
= 80 МГц (при коэффициенте запаса 2 и последовательном рас-
положении двух отклоняющих устройств). Ширину полосы огра-
ничивают частотная характеристика электроакустического пре-
образователя (ниобат лития), который генерирует звуковую волну,
и частотная характеристика оптико-акустического материала
(например, а-иодноватой кислоты [16.13]), в котором распростра-
няется звуковая волна. При таких характеристиках удается
достичь столь высокого значения Д/, как 300 МГц, при несущей
частоте 350 МГц. Таким образом, вполне возможно осуществить
плоскость памяти, содержащую матрицу из 100 X 100 голограмм,
любая из которых может быть считана за 1 мкс. При 104 бит
на страницу общая емкость будет равна 108 бит.
2. Работа системы
Желательно иметь возможность считывать любую страницу,
хранящуюся в системе памяти, не прибегая к дополнительному
объективу. Для большой матрицы голограмм, например 100 X 100,
размер плоскости памяти может быть равен 15 X 15 см2; ото-
бражающий объектив, превращающий восстановленные голограм-
мами мнимые изображения в действительные, должен быть в этом
случае большим и дорогостоящим. Вместо этого можно непосред-
ственно получить действительные изображения, освещая голо-
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАМЯТИ
543
граммы пучком, сопряженным по отношению к исходному опор-
ному пучку. Во всяком случае, отклоняющее устройство и колли-
мационный объектив образуют пучки, аналогичные исходному
опорному по направлению и форме волнового фронта. Далее
'••••••♦♦••♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
••••••••••••••••«••••••«•••••♦а
•••••••••♦♦••♦••♦о*
»»••••«• ••••••••••••••••••••••»
••••••••••••••••••••
•««•••••••••••••а
«•«•••••••••••••A»
*••••••••
ФИГ. 16.11а.
Матрица из 32 х 32 голограмм, каж-
дая из которых имеет диаметр 1,2 мм.
(По Андерсону [16.11].)
система линз увеличивает их смещение таким образом, что они
пересекают плоскость памяти в тех участках, где расположены
голограммы. Когда отклоненные и коллимированные пучки
направлены антипараллельно по отношению к исходному опорно-
му пучку и попадают на голограммы с обратной стороны, на мат-
рице фотоприемников восстанавливаются действительные изобра-
жения. Яркие точки в изображении страницы (логические
«единицы») совпадают с расположением фотоприемников, и послед-
544
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
нир превращают оптическую страницу информации в электриче-
скую. Электрические сигналы, возникающие при таком преобра-
зовании, запоминаются в полупроводниковой буферной памяти.
ФИГ. 16.116. Изображение эталонной страницы, вос-
становленное с помощью единичной го-
лограммы. (По Андерсону [16.11].)
В матрице имеется 4032 логических «едини-
цы» и 64 «нуля»; диаметр каждой точки —
100 мкм.
Считывание информации из буферной памяти происходит с быстро-
той, обычной для электронных устройств, и когда поиск информа-
ции окончен, в буферную память в течение микросекунд вводится
новая страница, содержащая 104 бит.
§ 4.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАМЯТИ
545
На фиг. 16.11а представлен фотоснимок матрицы из 32 X 32
голограмм, каждая из которых имеет диаметр 1,2 мм. При осве-
щении каждая из голограмм восстанавливала изображение эта-
ФИГ. 16.11b. Блок из 64 фотополупроводниковых
приемников. (По Андерсону [16.11].)
Чувствительная площадь каждого приемника
100 х 100 мкм2. Этот блок соответствует ана-
логичному блоку из 64 бит информации на
эталонной странице.
лонной страницы, вид которой представлен на фиг. 16.116. (Следует
иметь в виду, что изображена эталонная, страница, содержащая
примерно 64 X 64 логических «единиц», расположенных в блоках
по 64 бита. В каждый блок вводился «нуль» для проверки величины
отношения сигнал — шум.) Формат страницы был выбран таким
35—0990
546
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
образом, что каждый блок из 64 бит попадал на блок из 64 фото-
приемников, образующих единую интегральную схему, показан-
ную на фиг. 16.11в. 64 такие интегральные схемы составляли
матрицу фотоприемников. Когда голограммы (фиг. 16.11а) были
изготовлены на слоях хромированного желатина либо на фотома-
териалах, отбеливаемых после обработки, они направляли
10—15% мощности считывающего луча в изображение страницы.
Хотя матрица пространственно разделенных голограмм менее
элегантна, чем система из большого числа наложенных друг
на друга объемных голограмм, она имеет определенные практиче-
ские преимущества по сравнению со всеми типами оптической
памяти, описанными до сих пор. Одно из важнейших преимуществ
состоит в том, что, используя уже имеющиеся материалы, удается
получить оптическую память емкостью 108 бит, причем время
произвольной выборки имеет порядок величины, характерной
для электронных устройств (~1 мкс). Оптическая память с такими
параметрами уже может быть использована в вычислительных
машинах. Кроме того, угловые допуски на направления опраши-
вающего луча вполне выполнимы, а ошибки поддаются коррекции
посредством обратной связи. Плотность записи в голографической
системе памяти с бегущим лучом существенно уступает плотности,
потенциально достижимой в системе на объемных голограммах,
однако вполне достаточна для создания системы емкостью 108 бит.
Например, матрица из 100 X 100 голограмм диаметром 1,2 мм
поместится на пластинке регистрирующего материала размером
не более 15 X 15 см2. Разумная оценка стоимости показывает, что
она должна составлять несколько сотых цента за бит. Наряду
с отмеченными практическими преимуществами перед другими
голографическими системами памяти система памяти с бегущим
лучом обладает следующими преимуществами по сравнению со сво-
им аналогом, в котором используются микроизображения:
1. Отображающая оптическая система, необходимая для прое-
цирования страницы информации, записанной на каждой голо-
грамме, на общую матрицу приемников, содержится в самой
голограммной записи.
2. Разрешение изображения может быть близким к дифрак-
ционному пределу, обусловленному диаметром голограммы.
3. При правильном получении голограмм эта информация
оказывается записанной избыточно и запись относительно нечув-
ствительна к пыли и дефектам регистрирующей среды.
3. Запись голограмм
В некоторых отношениях при записи голограмм удобно исполь-
зовать рассеянный свет для освещения входной страницы, как,
например, в показанной на фиг. 16.1 линзово-растровой системе
§ 4.
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАМЯТИ
547
с микроизображениями. Рассеянный свет обеспечивает избыточ-
ность записи, для осуществления которой необходимо только
перемещать между экспозициями апертурную маску, ограничи-
вающую участки записи отдельных голограмм. Однако в случае
когерентного освещения использование рассеивающего экрана
приводит к возникновению пятнистости в изображении. Как
указано в гл. 8, § 2, п. 2, и в гл. 12, при освещении рассеянным
гущим пятном.
Плоскость записи приблизительно совпадает
с фокальной плоскостью объектива.
когерентным светом наблюдатель воспринимает зернистую карти-
ну, в которой размер зерна или пятна определяется разрешающей
силой оптической системы для наблюдения (или глаза). Изобра-
жения, восстановленные с помощью голограмм, также характе-
ризуются пятнистой структурой. В случае малых голограмм (как,
например, в системе памяти с бегущим лучом) размер пятна,
обусловленного когерентностью, определяется дифракционным
пределом разрешения голограммы, т. е. ее диаметром. При осве-
щении голограммы пятнистая структура накладывается на вос-
становленное изображение. Эти пятна неотличимы от несущих
35*
548
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16-
информацию точек на страницах, записанных в двоичном коде,
а поскольку размер информационных точек также лежит на пре-
деле разрешения, то изображение теряется.
Используемая на практике схема получения голограмм в пло-
скости памяти показана на фиг. 16.12. Основной принцип записи
был рассмотрен в гл. 8, § 4, п. 2. Уместно подчеркнуть, что полу-
чение фурье-голограмм по схеме фиг. 16.12 позволяет наилучшим
образом использовать ограниченную площадь голограммы. В этом
ФИГ. 16.13. Увеличенный участок фурье-образа
входной страницы емкостью 104 бит.
Поперечный размер показанного участка
1,4 мм,
случае на голограмме конечных размеров удается записать наи-
более широкий диапазон пространственных частот объекта, и, сле-
довательно, при восстановлении может быть получено наиболее
высокое разрешение по всей площади изображения. Поскольку
каждая точка фурье-образа, записанная в плоскости голограммы,
характеризует общую амплитуду световых колебаний определен-
ной пространственной частоты, испускаемых всеми участками
объекта, запись информации с помощью фурье-голограммы носит
избыточный характер. Одно из очевидных преимуществ записи
фурье-голограмм, которым нельзя пренебрегать при записи 104 го-
лограмм, состоит в том, что лазерный свет концентрируется
на площади регистрации, что снижает время экспонирования
до минимальной величины. С другой стороны, важнейший недо-
статок фурье-голограмм хорошо иллюстрируется фиг. 16.13,
§ 4. ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАМЯТИ 549
на которой представлен увеличенный фотоснимок той части фурье-
образа входной страницы, которая покрывает собой площадь
индивидуальной голограммы диаметром 1,4 мм на фурье-плоско-
сти. (Сама страница содержит около 104 точек при регулярном их
расположении, как показано на фиг. 16.14, б.) Фурье-образ
регулярной двумерной матрицы прозрачных точек во входной
плоскости представляет собой подобную матрицу в плоскости
фурье-образов [16.14]. Из фиг. 16.13 видно, что на значительной
ФИГ. 16.14. а — распределение интенсивности
в «почти-фурье-образе» входной стра-
ницы (диаметр картины 1,25 мм); б —
изображение страницы, восстановлен-
ное с помощью голограммы, получен-
ной с использованием картины а.
На странице имеется почти 104 ярких точек;
диаметр каждой из них 100 мкм.
части площади голограммы не зарегистрировано голографической
интерференционной картины, и голограммы, полученные при
таком характере объекта, должны обладать низкой дифракцион-
ной эффективностью. Яркие участки картины на фиг. 16.13 отра-
жают основную периодичность регулярного изображения стра-
ницы.
На высококонтрастном фотоснимке не зарегистрирована
чрезвычайно существенная информация об отсутствующих точках
(нулях), которые должны выявиться как участки слабой интен-
сивности между яркими участками. Однако эти компоненты
плохо регистрируются и самим голографическим процессом. Когда
550
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
интенсивность опорного луча достаточно высока, чтобы обеспечить
линейность записи в ярких участках, она оказывается слишком
высокой для адекватной записи слабых компонент. При восста-
новлении с помощью такой голограммы их интенсивность оказы-
вается слишком малой, из-за чего отношение сигнал — шум
не будет иметь нужной величины.
Чтобы достичь эффективного компромисса между требуемой
избыточностью записи и нежелательно большим диапазоном
яркости объекта, связанным с записью точно в фурье-плоскости,
следует поместить голограмму несколько ближе к объективу
(т. е. на расстоянии, меньшем фокусного расстояния). Фиг. 16.14, а
иллюстрирует степень однородности в этой плоскости, смещенной
от фокальной плоскости на 1/20 фокусного расстояния. Диаметр
изображения равен 1,25 мм. При записи с параллельным опорным
пучком и последующем освещении такая голограмма восстанав-
ливает изображение входной страницы размером 2,5 X 2,5 см2,
содержащей приблизительно 104 логических «единиц». На
фиг. 16.14, б представлен фотоснимок изображения. Каждая
яркая точка, или логическая «единица», имеет диаметр 100 мкм;
расстояние между точками составляет 250 мкм.
Другой метод достижения равномерной интенсивности осве-
щения в плоскости голограммы при сохранении избыточности,
характерной для записи в плоскости фурье-образа, состоит в том,
что в контакт со входной страницей приводят маску с хаотическим
распределением фазы. Действие этой маски заключается в беспо-
рядочной модуляции фазы световых лучей, проходящих сквозь
отверстия во входной странице, что приводит к случайной интер-
ференции их в плоскости голограммы. Подобная маска, которую
помещают в контакт с входной страницей, может быть изготов-
лена травлением стеклянной пластинки. При этом толщина стек-
лянной пластинки за каждой точкой входной страницы изменяется
случайным образом [16.15]. Это означает, что элементарные лучи,
проходящие сквозь страницу как логические «единицы», приобре-
тают сдвиги фазы, хаотически распределенные в интервале от 0
до л относительно фазы светового пучка, прошедшего сквозь
участки стекла, не подвергнутые травлению. Для иллюстрации
эффективности этого метода на фиг. 16.15 представлено распреде-
ление интенсивности, зарегистрированное точно в плоскости
фурье-образа (фиг. 16.15, а) и в плоскости, отстоящей от нее
всего на 250 мкм (фиг. 16.15, б). (Остаточные флуктуации на
фиг. 16.15, а вызваны фазовыми ошибками в фазовой маске.
Можно показать, что идеальное распределение интенсивности
пропорционально интенсивности фурье-образа [ Ji (х)1х\2 единич-
ного отверстия в маске входной страницы. В фурье-плоскости
имелось отверстие диаметром 1,4 мм, так что полученная картина
соответствует центральной области главного максимума.) При
§ 4.
голографическая система памяти
551
использовании этих двух методов записи голограмм получены
сопоставимые результаты. Однако запись точно в фурье-плоскости
с применением фазовой маски имеет некоторые практические
преимущества.
Удачная схема получения матрицы голограмм приведена
на фиг. 16.16. Фурье-преобразование входной страницы выпол-
няется при помощи большого объектива. После каждой экспози-
ции объектив и апертурная пластинка, закрывающая регистри-
рующий материал, сдвигаются совместно, что приводит к дискрет-
ному перемещению предметного пучка и апертуры голограммы.
ФИГ. 16.15.
а — распределение интенсивности, со-
здаваемое сочетанием входной страни-
цы с фазовой маской, в плоскости голо-
графической памяти, совпадающей
с фурье-плоскостью; б — распределение
интенсивности в плоскости, отстоящей
всего на 250 мкм от фурье-плоскости.
После каждого сдвига во входную плоскость вводится новая
входная страница и экспонируется новый участок регистрирующей
фотопластинки. Экспериментальный макет такой установки произ-
водит запись матрицы из 32 X 32 голограмм, содержащей
4 «10е бит, за 1,5 ч. Для записи на галоидосеребряных фотослоях
с последующим отбеливанием и для записи на слоях хромиро-
ванного желатина требуется одно и то же время, включая про-
цессы обработки, следующие за экспонированием.
Усовершенствование методов записи голограмм и регистри-
рующих материалов с улучшенной дифракционной эффективно-
552
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
стью создали условия, благоприятствующие практическому
использованию системы голографической памяти с бегущим пятном
(см. гл. 10). Благодаря использованию процессов отбеливания
амплитудных голограмм или записи фазовых голограмм на слоях
хромированного желатина дифракционную эффективность голо-
грамм удалось повысить на порядок по сравнению с амплитудны-
ми голограммами. Обычные значения дифракционной эффектив-
ности голограмм с записью изображений страниц в двоичном коде
сейчас лежат в диапазоне 10—15%. Кроме того, получено отно-
шение мощности сигнала в изображении логической «единицы»
ФИГ. 16.16.
Схема эффективного метода записи мат-
рицы голограмм.
к мощности шума в изображении нуля, превышающее 30 : 1,
при суммарных флуктуациях интенсивности «единиц», обусловлен-
ных всеми причинами, не превосходящих 2:1. Эти данные озна-
чают, что голографическая система постраничной памяти с бегущим
пятном достаточно практична для использования в запоминающих
устройствах полупостоянного хранения.
§ 5.
ЗАПИСЬ, СЧИТЫВАНИЕ И СТИРАНИЕ ИНФОРМАЦИИ
553
§ 5. Запись, считывание
и стирание информации in situ
При многих применениях систем записи и считывания большой
емкости необходимо обновление записанной информации. Полу-
постоянный характер голографической системы записи с бегущим
пятном является ограничением в том смысле, что при необходимо-
сти внесения изменений только в одну страницу весь блок памяти
должен быть выброшен и записан вновь. Когда производится
такое изменение, необходима регистрация новой страницы с помо-
щью считывающего пучка и фотоприемников. Если обновление
информации становится частой операцией, полезное машинное
время системы памяти падает. Поэтому желательно найти способ
стирания произвольно выбранной страницы информации и выпол-
нения операций записи, считывания и стирания информации без
изъятия плоскости записи из ее первоначального положения.
Возможность успешного решения такой задачи зависит в первую
очередь от создания подходящего регистрирующего материала.
Как регистрирующий материал, так и регистрограмма должны
обладать всеми свойствами, характерными для постоянных запи-
сей, т. е., во-первых, устойчивостью записи во времени при
температуре, соответствующей условиям считывания, и, во-вто-
рых, высокими чувствительностью, разрешением, величиной отно-
шения сигнал — шум и дифракционной эффективностью. Помимо
этого, они должны допускать полное стирание без явлений гисте-
резиса или усталости, причем все операции, включая стирание,
а также, по необходимости, проявление или фиксирование, долж-
ны предпочтительно быть осуществимы на месте (in situ). Оче-
видно, что в системе объемных голограмм типа рассмотренных
в § 3 селективное стирание затруднительно. Все голограммы
наложены друг на друга, и стирание одной голограммы без сти-
рания остальных может оказаться невозможным. С другой сто-
роны, пространственная матрица голограмм, как плоских, так
и объемных, может быть легко подвергнута этой операции.
В настоящее время мы не располагаем регистрирующими мате-
риалами, обладающими всеми необходимыми свойствами, однако
некоторые из существующих заслуживают дальнейшего исследо-
вания. На фотохромном титанате стронция SrTiO3 [16.9] можно
зарегистрировать голограммы с максимальной дифракционной
эффективностью, равной 1%; однако для того, чтобы голограмм-
ная запись была стабильна в течение недель, необходимо хранить
ее при температуре жидкого азота. Фазовые голограммы, записан-
ные при помощи гигантского импульса излучения рубинового
лазера термомагнитным методом на тонких пленках ЕиО, могут
554
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16-
быть стерты малым магнитным полем, однако полученные до сих пор
голограммы характеризовались низким разрешением и малой диф-
ракционной эффективностью [16.16]. Голограммы с более высоким
разрешением могут быть записаны в течение наносекунд на пленках
ФИГ. 16.17. Электрическая схема для проявления
и стирания малой матрицы термопла-
стических голограмм.
MnBi, однако их дифракционная эффективность остается низкой
[16.17]. Пожалуй, наиболее удачным компромиссным материалом
на сегодня является составная фотопроводниково-термопластиче-
ская пленка, на которой можно образовать полностью обработан-
ную фазовую голограмму за время, приблизительно равное 1 с.
Метод, в котором для экспонирования, проявления и фиксирова-
ния голограмм in situ используется совместное действие электри-
ческого заряда, света и тепла, был описан в гл. 10. При повторении
цикла запись — считывание — стирание более 100 раз было
получено значение дифракционной эффективности от 5 до 10 %
[16.18]. На фиг. 10.19 приведены фотоснимки изображений на раз-
личных стадиях испытаний; последний снимок (с новым объектом)
показывает, что изображение свободно от эффекта гистерезиса,
и после 106 циклов запись — стирание не наблюдается потери
разрешения. К числу недостатков термопластических голограмм
может быть отнесено, во-первых, то, что время записи значительно
превышает время считывания, и, во-вторых, узкополосный харак-
тер пространственно-частотного отклика. Старение этого материа-
ла изучено пока недостаточно.
На фиг. 16.17 показана электрическая схема для весьма скром-
ной матрицы (3 X 3) термопластических голограмм. Электроды
соединяют прямоугольные ячейки, покрытые слоем окиси олова,
с источником переменного тока (60 Гц) таким образом, что импульс
тока можно послать в любую избранную ячейку. При протекании
тока через прозрачный проводящий слой окиси олова выделяется
§ 5.
ЗАПИСЬ, СЧИТЫВАНИЕ И СТИРАНИЕ ИНФОРМАЦИИ
555
тепло, достаточное для записи или стирания голограмм в этой
ячейке. На фиг. 16.18 показан макет блока памяти. Как указано
в гл. 10, на слой окиси олова нанесены слои фотопроводника
и термопластического вещества. Опыты, выполненные с этим
ФИГ. 16.18.
Фотоснимок небольшого макета блока
памяти на термопластических голо-
граммах.
макетом, показали, что матрица термопластических голограмм
обладает следующими полезными свойствами [16.18]:
1, На одной и той же стеклянной пластинке можно достаточно
близко друг к друту разместить множество малых голограмм
в регулярной матрице. Тепловая изоляция между голограммами
достаточна для того, чтобы тепловое проявление и стирание одной
из голограмм не влияло на соседние голограммы.
556
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
ФИГ. 16.19.
Симметричное расположение опорного
и считывающего пучков.
ФИГ. 16.20.
Схема устройства памяти с записью,
считыванием и стиранием голограммы
in situ.
Затворы в считывающем, опорном и предмет-
ном пучках на схеме не показаны.
ЛИТЕРАТУРА
557
2. Хотя схема, приведенная на фиг. 16.17, допускает про-
хождение тока не только через избранную ячейку, но и через
другие, термопластический слой имеет температурный порог
•срабатывания, вследствие чего процесс записи или стирания
осуществляется только в той ячейке, ток через которую превышает
определенное пороговое значение.
3. Количество циклов запись — стирание для каждой голо-
граммы может значительно превышать 100; стирание может быть
достаточно полным и свободным от гистерезиса.
4. Разрешение при записи превышает 1000 мм-1; дифракцион-
ная эффективность составляет приблизительно 7%.
5. Свойства термопластической голограммы близки к свойствам
идеальной плоской голограммы. При симметричном положении
параллельных опорного и считывающего пучков относительно
нормали к плоскости записи (фиг. 16.19) можно получить безабер-
рационное действительное изображение (см. гл. 8, § 1, п. 2),
что позволяет эффективно разделить входную и выходную пло-
скости.
На фиг. 16.20 показано, каким образом матрица термопласти-
ческих голограмм может быть использована для записи, считы-
вания и стирания in situ. Вспомогательная матрица голограмм
играет роль устройства, управляющего направлением луча и обес-
печивающего необходимую направленность освещения входных
страниц, благодаря чему запись голограмм производится в раз-
личных ячейках блока памяти. К входной странице, состоящей
только из логических «единиц», прилегает матрица источников
света, что позволяет составлять новые входные страницы элек-
тронными методами. В плоскости памяти свет может попадать
не только на участки, в которых производится полезная запись.
Однако импульс тока, превышающий пороговый, направляется
только в одну из ячеек, в которой и возникнет стабильная запись.
ЛИТЕРАТУРА
16.1. STEVENS G. W. W., Micro-
photography, New York, 1968.
16.2. REICH А., в книге Optical
and Electro-Optical Informa-
tion Processing, ed. J. T. Tip-
pett et al., Cambridge, Massa-
chusetts, 1965, p. 567.
Высокоскоростное фотохром-
ное запоминающее устройство
с большой емкостью и полу-
произвольной выборкой.
16.3. VAN HEERDEN Р. J., Appl.
Opt., 2, 393 (1963).
Теория оптической записи ин-
формации в твердых телах.
16.4. FLEISHER Н., PENGEL-
LY Р., REYNOLDS J.,
SCHOOLS R., SINCER-
BOX G., в книге Optical and
Electro-Optical Information
Processing, ed. J. T. Tippett
et al., Cambridge, Massachu-
setts, 1965, p. 1.
Система памяти с оптическим
считыванием, использующая
липпмановский процесс для
записи информации.
16.5. LIPPMANN G., Journ. Phys.
(Paris), 3, 97 (1894).
О теории фотографирования
558
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
ГЛ. 16.
в простых и составных цве-
тах интерференционным ме-
тодом.
16.6. CHEN F. S., LaMAC-
CHIA J. Т., FRASER D. В.,
Appl. Phys. Lett., 13, 223
(1968).
Запись голограмм в ниобате
лития.
16.7. KALMAN G., в книге Appli-
cations of Lasers to Photo-
graphy and Information Hand-
ling, ed. R. D. Murray, Soc.
of Photographic Scientists and
Engineers, 1968, p. 99.
Голография в толстослойных
средах.
16.8. FRIESEM A. A., WAL-
KER J. L., Appl. Opt., 9,
201 (1970).
Толстые амплитудные реги-
стрирующие материалы.
16.9. AMODEI J. J., BOSOM-
WORTH D. R., Appl. Opt.,
8, 2473 (1969).
Запись и восстановление го-
лограмм на фотохромных
кристаллах титаната строн-
ция.
16.10. SMITS F. М., GALLA-
HER L. Е., Bell Syst. Tech.
Journ., 46, 1267 (1967).
Принципы конструирования
системы полупостоянной оп-
тической памяти.
16.11. ANDERSON L. К., Bell Lab.
Rec., 46, 318 (1968).
Голографическая система па-
мяти для записи больших ко-
личеств информации.
16.12. GORDON Е. I., Proc. IEEE,
54, 1391 (1966).
Обзор оптико-акустических
устройств для отклонения и
модуляции.
16.13. PINNOW D. A., DIX-
ON R. W., Appl. Phys. Lett.,
13, 15 (1968).
а-Иодноватая кислота — вы-
ращиваемый из раствора кри-
сталл с большими возможно-
стями применения в оптико-
акустических устройствах.
16.14. BRACEWELL R., The Fou-
rier Transform and Its Appli-
cations, New York, 1965.
16.15. BURCKHARDT С. B., Appl.
Opt., 9, 695 (1970).
Использование хаотической
фазовой маски при записи
фурье-голограмм информаци-
онных масок.
16.16. FAN_G., PENNINGTON К.,
GREINER J. Н., Journ. Appl.
Phys., 40, 974 (1969).
Магнитно-оптическая голо-
грамма.
16.17. MEZRICH R. S., Appl. Phys.
Lett., 14, 132 (1969).
Запись магнитных голограмм
на MnBi при температуре,
превышающей точку Кюри.
16.18. LIN L. Н., BEAUCHAMP
Н. L., Appl. Opt., 9, 2088
(1970).
Система оптической памяти
с записью, считыванием и сти-
ранием in situ с использова-
нием термопластических го-
лограмм.
Глава 17
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
Задача цветной голографии состоит в восстановлении трехмер-
ного изображения, цвет которого был бы близок к цвету исходного
объекта, освещенного обычным светом. В этом направлении были
сделаны важные шаги, однако до сих пор остаются нерешенными
как колориметрические проблемы, так и проблемы, связанные
с дифракционным построением изображения.
Колориметрические трудности обусловлены тем, что для осве-
щения объекта приходится использовать свет лазера, а не солнеч-
ный свет или свет ламп накаливания. Чтобы пояснить это поло-
жение, рассмотрим особенно трудный объект — узкополосный
(100 А) интерференционный фильтр с максимумом пропускания
при 5900 А. При рассматривании в солнечном свете этот фильтр
кажется оранжевым. Предположим, что мы освещаем фильтр
комбинацией из двух линий — 6328 А гелий-неонового лазера
и 5145 А аргонового лазера. Если смешать их в нужной про-
порции, то эти две линии могут достаточно близко аппроксими-
ровать цвет фильтра. Однако в каких бы пропорциях мы ни сме-
шивали эти линии при освещении фильтра, мы всегда получим
один и тот же результат: фильтр остается черным, так как про-
пускает свет только в области 5850—5950 А. Чтобы достичь
результатов, близких к получающимся при освещении белым све-
том, требуется создать лазер, излучающий много линий, пере-
крывающих широкую область видимого спектра. Хотя в настоя-
щее время и имеется достаточно широкий выбор лазерных линий,
запись голограммы в свете более чем трех дискретных длин волн
представляется непрактичной.
§ 1. Смешение цветов с использованием лазерного
излучения
Прежде чем переходить к рассмотрению проблем, связанных
с голографическим восстановлением многоцветных изображений,
и ряда предложенных для решения этой задачи методов, дадим
краткий обзор основных понятий колориметрии, существенных
для цветной голографии [17.1, 17.15*]. Хотя этот обзор и не внесет
560
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17
ничего нового в сложный вопрос о цвете, он по крайней мере
создаст рациональную основу для выбора лазеров с необходимыми
длинами волн и интенсивностями излучений на этих длинах волн.
Определим, может ли смешение света, излучаемого лазерами
с тремя длинами волн, дать любой желаемый цвет. Для количе-
ственной оценки соотношения интенсивностей этих линий следует
принять аналитический метод описания цвета.
1. Цвет и цветность
Цветное зрение обусловливается как психологическими, так
и физическими факторами, вследствие чего трудно дать определе-
ние цвета. Это с очевидностью следует из определения, принятого
ФИГ. 17.1.
Цветовой треугольник МСК.
Комитетом по колориметрии Американского оптического общества:
«Цвет определяется иными характеристиками света, чем про-
странственная и временная неоднородность; свет представляет
собой ту часть лучистой энергии, которая воспринимается челове-
ком как визуальное ощущение, возникающее вследствие раздра-
жения сетчатки глаза» [17.2].
§ 1. СМЕШЕНИЕ ЦВЕТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 561
Цвета, отличающиеся только по яркости, имеют одинаковую
цветность. Например, черный, различные оттенки серого и белый
являются ахроматическими цветами, отличающимися только по
яркости, но имеющими одинаковую цветность. Если нас не инте-
ресует относительная яркость цветного поля, мы можем не делать
различия между терминами «цвет» и «цветность». Так, цвет экрана
из рассеивающего стекла, освещенного светом лазера с длиной
волны 6328 А, является красным независимо от интенсивности
освещения.
Международный орган — Международная светотехническая
комиссия (МСК) установила стандартный метод описания цвет-
ности любого цветового поля. Каждому цвету приписывается
набор координат цветности (х, у, z), подчиняющихся соотно-
шению
х + у + z = 1. (17.1)
Если известны значения двух координат, третья координата
однозначно определяется из соотношения (17.1). Следовательно,
каждый цвет может быть представлен точкой с координатами
(х, у) на плоскости. На фиг. 17.1 приведена диаграмма цветности
МСК, которая представляет собой графическое изображение
площади на плоскости, содержащей все возможные цвета. Мы
отметили участки диаграммы, соответствующие преобладающим
цветам. Разумеется, между ними нет четких границ.
2. Цвета, которые можно получить при лазерном
освещении
На фиг. 17.1 точки, соответствующие монохроматическому
свету (спектрально чистые цвета), отмечены цифрами, соответ-
ствующими длинам волн, вдоль подковообразной внешней грани-
цы диаграммы цветности. Цвет излучения гелий-неонового лазера
с длиной волны 6328 А отмечен точкой А, а цвет излучения арго-
нового лазера с длинами волны 5145 и 4880 А — соответственно
точками В и С. Мы будем пользоваться этой диаграммой в соот-
ветствии с правилами МСК, не вдаваясь в обоснование этих
правил. Согласно правилам, все цвета, возникающие при сме-
шении в различных пропорциях лазерного излучения с длинами
волн 6328 и 5145 А, представлены точками на прямой АВ. Цвета,
получающиеся при добавлении лазерного излучения с длиной
волны 4880 к к этим двум компонентам, изображаются точками
на любой прямой, соединяющей точку С с любой точкой АВ. Все
эти точки лежат внутри треугольника АВС.
При использовании более трех длин волн область возможных
цветов на диаграмме цветности ограничена многоугольником.
562
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
В этом случае он занимает большую площадь диаграммы, и можно
подобрать больше цветов, соответствующих цветам объекта. Одна-
ко для подбора цвета голографического изображения, соответ-
ствующего цвету объекта, необходимо осуществлять независимую
подгонку мощности на каждой длине волны лазерного излучения
как при записи голограммы, так и при восстановлении. На прак-
тике, однако, довольно трудно произвести успешную подгонку
мощности на трех длинах волн. Кроме того, как будет показано
далее, чем больше число длин волн, тем ниже дифракционная
эффективность голограммы. Чтобы можно было расширить диа-
пазон возможных цветов, необходим более удачный набор первич-
ных цветов АВС. Данные о длинах волн излучения некоторых
выпускаемых промышленностью лазеров с непрерывным излуче-
нием приведены в табл. 17.1. Если нанести их на диаграмму цвет-
Таблица ПЛ
Длины волн непрерывного лазерного излучения
Длина волны, А Приблизительный цвет Лазерная среда Приблизитель- ная мощность, мВт *
4416 Пурпурно-синий Не—Cd 50
4579 » » Аг 50
4762 Синий Кг 30
4765 » Аг 250
4880 Сине-зеленый Аг 700
4965 Зелено-синеватый Аг 150
5017 Зеленый Аг 150
5145 » Аг 700
5208 » Кг 60
5682 Темно-зеленый Кг 60
6328 Красный Не—Ne 50
6471 » Кг 150
* Данные для выпускаемых промышленностью моделей лазеров.
пости, то ясно видно, что линии излучения криптонового лазера
6471 А (красная), 5208 А (зеленая) и 4762 А (синяя) образуют боль-
шой треугольник. На этом основании криптоновый лазер должен
был бы широко использоваться в цветной голографии. К сожале-
нию, он дорог, обладает непродолжительным сроком службы
и потребляет ток большой силы. Вследствие этого обычно исполь-
зуются гелий-неоновый лазер с длиной волны излучения 6328 А
в красной области и аргоновый лазер с длинами волн излучения
§ 1. СМЕШЕНИЕ ЦВЕТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 563
5145 А в зеленой и 4880 А в синей области. Аргоновый лазер
имеет также другую линию излучения в синей области — 4765 А,
что позволяет получить лучший охват цветов в синей и пурпурной
областях диаграммы цветности. Однако это преимущество теряется
из-за меньшей мощности излучения на линии 4765 А по сравнению
с линией 4880 А, что существенно, если общая мощность излуче-
ния лазера невысока.
3. Получение белого цвета при лазерном освещении
В практической цветной голографии для получения естествен-
ного цвета объекта, как правило, не нужно рассчитывать отно-
шение интенсивностей красного, зеленого и синего лазерного
ФИГ. 17.2.
Кривая видности.
освещения. Относительную мощность источников обычно подби-
рают эмпирически до получения желаемого результата или при-
ближения к нему. Однако при выборе или покупке лазеров для
цветной голографии полезно оценить относительные мощности
излучения на основных длинах волн. Поскольку отношение
интенсивностей меняется от объекта к объекту, в качестве стан-
дартного цвета выберем равноэнергетический белый цвет.
36*
564
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
Рассмотрим смесь лазерных линий с длинами волн Ai, А2 и А3, осве-
щающую рассеивающий экран. Пусть свет, рассеянный и пропу-
щенный экраном, воспринимается визуально. Мы хотим опреде-
лить величину отношений мощности лазерного излучения
Pi: Р2: Р3 при А2и А3, необходимую для того, чтобы наблюдатель
воспринял этот цвет как равноэнергетический белый цвет. При
этом предполагается, что последний характеризуется равномер-
ным распределением энергии по всем длинам волн в видимой обла-
сти спектра; его хроматические координаты, как показано на
фиг. 17.1, равны 073, 1/3, 1/3).
В зависимости от длины волны один ватт монохроматического
излучения создает различное визуальное ощущение (видность).
Кривая видности приведена на фиг. 17.2. Визуальное ощущение,
вызываемое излучением (видность), определяется световым пото-
ком, который измеряется в люменах. Количество люменов на ватт
для данного источника света называется его световой отдачей.
Пусть т)! — световая отдача, и (xit yit z±) — координаты цвет-
ности лазерного излучения на длине волны с аналогичными
обозначениями для А2 и А3. Пусть также (х0, у0, z0) — координаты
цветности цвета, наблюдаемого при освещении рассеивающего
экрана лазерным излучением с указанными длинами волн. Коор-
динату х0 следует рассчитать с помощью линейного уравнения
с коэффициентами т]2Р2 и т]3Р3, связывающего xlt х2 и х3:
Хп = Г (f}iPiXi + т]2Р2а;2 + П3Р3Х3), (17.2)
где г — постоянная; гц, т]2 и т]3 — световая отдача; Pi, Р2 и Р3 —
мощность излучения с длинами волн Ai, А2 и А3. Соответственно
аналогичные выражения могут быть написаны для двух других
координат:
У о = г (щР^! + т] 2Р 2у2 + т]3Р3у3), (17.3)
z0 = г CniPiZi + T]2P2z2 + T]3P3z3). (17.4)
Постоянная г подбирается таким образом, чтобы обеспечить
равенство xfl + у0 + z0 = 1. Уравнения (17.2)—(17.4) содержат
четыре неизвестных: Pi, Р2, Р3 и г. Произведем расчет для длин
волн, равных соответственно At = 4880 А, А2 = 5145 А и 13 =
= 6328 А. Из фиг. 17.1 и 17.2, а также формулы (17.1) полу-
чаем значения световой отдачи и координат цветности, приведен-
ные в табл. 17.2. Подставляя эти значения совместно с координа-
тами цветности равноэнергетического белого цвета (х0 = у0 =
= Zo = 1/3) в уравнения (17.2) — (17.4) и находя отношение
Pi : Р2 : Р3, получаем, что Pi : Р2 : Р3 = 1,42 : 0,362 : 1,22.
§ 2.
РЕГИСТРИРУЮЩИЕ МАТЕРИАЛЫ
565
Таблица 17.2
Световая отдача и координаты цветности для трех
спектральных цветов
Длина волны, А Световая отдача т), лм/Вт Координаты цветности
X V 2
4880 130 0,06 0,25 0,69
5145 415 0,04 0,81 0,15
6328 163 0,71 0,29 0,00
§ 2. Регистрирующие материалы
Для получения широкого диапазона цветов линии лазерного
излучения должны быть расположены далеко друг от друга. Это
в свою очередь означает, что необходимы регистрирующие мате-
риалы, чувствительные к этим длинам волн. Некоторые из наибо-
лее эффективных материалов, например слои хромированного
желатина, не могут быть использованы из-за нечувствительности
к красному свету. До настоящего времени большинство работ
по многоцветной голографии выполнялось на амплитудных голо-
граммах, зарегистрированных на фотографических слоях. Для
получения многоцветных изображений лучше всего использовать
объемные голограммы; они селективны по цвету (см. гл. 9, § 6,
п. 1. и гл. 9, § 7, п. 1), что исключает возможность перекрестной
цветовой модуляции. Голограммы, восстанавливающие много-
цветное изображение, могут быть также получены на фотопро-
водниково-термопластических пленках, но они неизбежно являют-
ся плоскими, и для предотвращения перекрестной модуляции
приходится прибегать к другим, менее удобным приемам.
Основной недостаток объемных амплитудных голограмм с точ-
ки зрения цветной голографии заключается в их низкой дифрак-
ционной эффективности. Такие голограммы получают путем нало-
жения трех записей, соответствующих трем первичным длинам
волн. Как мы отметили в гл. 16, § 3, п. 5, максимальная дифрак-
ционная эффективность для единичной записи составляет всего
3,7% и быстро падает с ростом числа наложенных голограмм.
Объемные отражательные голограммы позволяют производить
восстановление изображения при освещении белым светом, что
весьма удобно для наблюдателя. Однако такая голограмма дифра-
гирует свет только в узких спектральных зонах, на долю которых
приходится лишь малая часть общей мощности освещения. Из-за
неэффективного использования освещающего потока и низкой
дифракционной эффективности многоцветные голографические изо-
566
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
бражепия приходится наблюдать в затемненном помещении.
Попытки увеличить дифракционную эффективность отражатель-
ных голограмм методом отбеливания, успешно используемом для
голограмм, работающих на пропускание, в данном случае пока
оказались безуспешными.
§ 3. Монохроматические изображения
Цвет любой точки голографического изображения определяется
спектральным распределением мощности света, исходящего из этой
точки. Если ограничиться рассмотрением некоторых из наиболее
распространенных методов получения голограмм, то можно пред-
ложить следующую классификацию голографических изображений:
1. Монохроматические изображения: спектр каждой точки
изображения представляет собой узкую спектральную зону около
одной центральной длины волны.
2. А хроматические изображения: спектр каждой точки содер-
жит почти равную мощность на всех длинах волн в видимой обла-
сти спектра.
3. Многоцветные изображения: спектр меняется от точки
к точке.
Наиболее распространенными являются монохроматические
изображения: они восстанавливаются с помощью голограмм,
записанных на одной лазерной линии. Чтобы восстановить пред-
метную волну, обычно освещают голограмму светом с исходной
длиной волны. Если допустимы изменение масштаба и некоторые
аберрации, то можно использовать и свет с другой длиной волны.
В тех случаях, когда применение лазерного освещения может
оказаться опасным, лазер заменяют менее когерентным узкопо-
лосным источником с малой площадью излучателя, например
ртутной дуговой лампой с фильтром. Это приводит к некоторому
падению разрешения, что не очень существенно при использовании
голограммы в изобразительных целях. Отражательные голограм-
мы, зарегистрированные в монохроматическом свете, можно при
восстановлении освещать белым светом. В этом случае голограмма
сама отфильтровывает узкую спектральную полосу, в которой
было зарегистрировано изображение.
§ 4. Ахроматические изображения
Ахроматические голографические изображения могут наблю-
даться лишь в строго определенных условиях, несоблюдение
таких условий приводит к уменьшению глубины отображаемого
пространства.
§ 4. АХРОМАТИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 567
1. Голограммы сфокусированного изображения
Плоская пропускающая голограмма, полученная в монохрома-
тическом свете, может при освещении белым светом восстановить
ахроматическое изображение. Как было отмечено в гл. 8, § 3,
л. 2, когда плоскость голограммы пересекает объем, в котором
заключено оптическое изображение, изменение длины волны вос-
станавливающего света не влияет на разрешение в этой плоскости.
Все спектральные компоненты белого света, освещающего подоб-
ную голограмму, одинаково хорошо фокусируются, образуя
точки изображения в плоскости голограммы. Для точек изобра-
жения, лежащих вне плоскости голограммы, цветовое уширение
(дисперсия) зависит от угла отклонения опорного пучка и рас-
стояния этих точек от плоскости голограммы [см. (7.53)]. На
фиг. 8.21 видны изменения резкости изображения, обусловленные
как протяженностью источника, так и шириной спектральной
полосы его излучения.
2. Компенсация дисперсии
Ахроматические изображения могут быть очень яркими, так
как при их образовании используется весь поток белого света,
освещающий голограмму. Когда изображение полностью нахо-
дится вне плоскости голограммы, все же можно восстановить
ахроматическое изображение, используя внеосевую пропускаю-
щую голограмму. Предположим, что голограмма освещена белым
светом, распространяющимся в направлении исходного опорного
пучка. Голограмма действует как дифракционная решетка, т. е.
отклоняет различные спектральные составляющие на разные
углы, лежащие в пределах определенного интервала углов дифрак-
ции. Поместим вблизи голограммы компенсирующую дифракцион-
ную решетку, имеющую равную по величине, но противополож-
ную по знаку дисперсию. Тогда при наблюдении изображения
в определенном направлении оно будет казаться ахроматическим
117.3, 17.4]. Если нужно получить большую яркость наблюдаемого
изображения, то компенсирующая решетка должна обладать
высокой дифракционной эффективностью.
Решетку, в какой-то степени выполняющую эти функции,
легко изготовить, заменив исходный объект источником плоской
волны, направление распространения которой совпадает со сред-
ним направлением света от объекта. Записывая интерференцион-
ную картину, получающуюся при взаимодействии этой плоской
волны с исходной опорной волной, мы получаем дифракционную
решетку с нужными свойствами. Местоположение этой решетки
в схеме показано на фиг. 17.3.
568
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
Вследствие двойной дифракции восстановленная волна распро-
страняется в направлении освещающей волны. В действительности
на комбинации голограммы и дифракционной решетки свет дифра-
гирует как на одной голограмме, образованной предметным и опор-
ным источниками, расположенными на одной оси. Это означает,
что изображение, возникающее при восстановлении, будет наблю-
даться на фоне недифрагированного света, как в методе осевых
голограмм Габора. В данном случае недифрагированный свет
может быть устранен с помощью затвора жалюзийного типа, рас-
положенного между голограммой и дифракционной решеткой,
ФИГ. 17.3. Получение ахроматического изображе-
ния методом компенсации дисперсии.
как показано на фиг. 17.3. Дадим теперь аналитическое описание
процесса. Пусть объект расположен вне оси таким образом, что
амплитуда световой волны а (х), попадающей от объекта во время
записи голограммы в ее плоскость, эквивалентна комплексной
амплитуде а0 (х), модулированной несущей с высокой простран-
ственной частотой ехр (2л^д:). [Предполагается, что центр спектра
а0 (х) находится при нулевой пространственной частоте.] Таким
образом,
а (х~) = а0 (х) ехр (2лi^x). (17.5)
От источника, расположенного на оси, исходит сферическая опор-
ная волна г = ехр [ир (ж)], центр спектра которой также нахо-
дится при нулевой пространственной частоте. В результате интер-
ференции предметной и опорной волн происходит образование
голограммы, в выражении для пропускания которой содержится
§ 4.
АХРОМАТИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
569
член, соответствующий мнимому изображению:
tD « r*a = r*a0 (х) ехр (2ni^). (17.6)
Компенсирующую решетку получают путем записи картины
интерференции плоской волны ехр с опорной волной г.
Нас интересует член г ехр (—2лitx). Чтобы упростить анализ,
не будем рассматривать жалюзийный затвор, а будем считать, что
ФИГ. 17.4. Схема, объясняющая получение ахро-
матического изображения.
голограмма и дифракционная решетка соприкасаются друт с дру-
гом и освещены волной г. Тогда дифракцию будет испытывать
волна, амплитуда которой пропорциональна
rtDr ехр (—2л^я) = га0 {х). (17.7)
Центр ее спектра расположен при нулевой пространственной
частоте. Видно, что восстановленная предметная волна уже не
содержит высокой несущей частоты, а ее среднее направление
совпадает с осью. Это остается справедливым и для освещения,
содержащего большое число спектральных линий, поскольку
средняя пространственная частота £ волны г равна нулю и не
зависит от длины волны.
Предположим, что опорный пучок является сходящимся, а для
восстановления используется сходящийся пучок белого света.
Тогда, если глаз наблюдателя находится в точке, в которую схо-
дится пучок, как показано на фиг. 17.4, то наблюдатель воспри-
нимает сходящийся пучок, который кажется исходящим из всех
точек мнимого изображения [см. (17.7)]. Несмотря на то что>
570
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. ’17.
различные спектральные компоненты восстанавливают набор изо-
бражений, различающихся по увеличению и расстоянию от наблю-
дателя, глаз все же воспринимает ахроматическое изображение.
Чтобы это было так, любой луч, входящий в глаз, должен пройти
через одни и те же (или соответственные) точки каждого из после-
довательных изображений (фиг. 17.4). В каждой точке излучения
со всеми длинами волн складываются, а поскольку их энергия
одинакова, то сфокусированное на сетчатку изображение воспри-
нимается как ахроматическое. Однако для этого необходимо,
чтобы для каждой точки изображения отношение поперечной
координаты х к расстоянию изображения от глаза не зависело
от длины волны восстанавливающего света. Мы можем получить
этот результат с помощью выражений (3.27), рассматривая ком-
бинацию голограммы и решетки как внеосевую голограмму
[см. (17.7)].
Пусть опорный и восстанавливающий источники находятся
на оси, так что хт = хс = 0. Как показано на фиг. 17.4, измеренные
вдоль оси расстояния опорного и восстанавливающего источников
от голограммы положительны, т. е. zc = zT > 0, тогда как рас-
стояния до объекта z, и до мнимого изображения гзу отрицательны.
Подставляя я, = = 0 и zc = zr в (3.27), получаем
язу =---------------, (17.8)
ZjZc-l-pzg — pzcZi '
гзу =-----, (17.9)
Z!Zc-|-|J,zj: —pzczi 4 '
где p — отношение длин волн при записи и восстановлении
и где тп в выражениях (3.27) мы положили равным единице. Для
расстояния z0 от изображения до глаза имеем
Z0 = Zc — Z3y, (17.10)
поскольку z3y < 0. Путем подстановки выражений (17.8) —
(17.10) в отношение я3у/г0 находим, что оно действительно не зави-
сит от р.
Для точек наблюдения, расположенных вне фокуса, наблю-
дается цветовая дисперсия. На фото I, а (см. вклейку) показано
ахроматическое изображение, полученное этим методом, а на
фото I, б — то же изображение в отсутствие компенсации.
§ 5. Многоцветные изображения, восстановленные
с помощью плоских голограмм
При получении голограмм, позволяющих восстанавливать
монохроматические или ахроматические изображения, исполь-
зуется монохроматический свет. Такие голограммы представляют
•§ 5.
МНОГОЦВЕТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
571
собой записи единственной интерференционной картины. Если
необходимо восстановить цветное изображение цветного объекта,
то как предметный, так и опорный пучки должны содержать
излучения нескольких длин волн. Компоненты предметной и опор-
ной волн, которые имеют разную длину волны, не могут образо-
вать картину стоячих волн, необходимую для записи голограмм.
Их электрические векторы осциллируют с разной частотой,
и при их сложении и возведении в квадрат соответствующее
распределение интенсивности не содержит интерференционного
члена (см. гл. 1, § 9, п. 1). С другой стороны, компоненты пред-
метной и опорной волн, которые имеют одну и ту же длину волны,
могут интерферировать, образуя голограмму. Мы можем рас-
сматривать ее как наложение независимых голограмм, число
которых равно числу спектральных компонент при их записи.
1. Перекрестная модуляция и ложные изображения
Чтобы восстановить многоцветное изображение, суперпозицию
голограмм освещают исходной опорной волной. Каждая спек-
тральная компонента дифрагирует на голограмме, записанной
при соответствующей ей длине волны, и восстанавливает исходную
предметную волну. Если бы наблюдатель был в состоянии воспри-
нимать только эти дифрагированные волны, он бы увидел много-
цветное мнимое изображение объекта, расположенное в том же
месте, где ранее находился объект. Однако мы предполагаем,
что записи представляют собой плоские голограммы; на каждой
из них дифрагирует свет не только той длины волны, который
образовал данную голограмму, но и все спектральные компоненты
освещающего пучка. В гл. 3, § 3, п. 2, было показано, что в резуль-
тате перекрестной модуляции падающего света с одной длиной
волны голограмма, записанная на другой длине волны, восста-
новит ложные предметные волны, распространяющиеся под раз-
личными углами. Эти волны могут восстановить ложные перекры-
вающиеся мнимые изображения объекта с угловым увеличением,
зависящим от отношения длин волн р, [см. (3.30)]. (Здесь мы рас-
сматриваем только мнимые изображения, хотя такая же перекрест-
ная модуляция возникает и для действительных изображений.)
Проведем простой анализ проблемы перекрестной модуляции.
Для простоты ограничимся рассмотрением световых лучей, лежа-
щих в плоскости xz. Мы предполагаем, что объект освещен излу-
чением лазера с М длинами волн: Ai, Х2, . . ., А,т, . . .,
В плоскости голограммы комплексную амплитуду предметной
волны с многими длинами волн можно записать в виде
м _
s(^)= 3 Sm (я) ехр (2ni£smz), (17.11)
т=1
572
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17-
гДе Ism — средняя пространственная частота т-й спектральной
компоненты, a sm (х) имеет спектр пространственных частот,
центр которого лежит при нулевой частоте [см., например, (17.5)].
Если опорный пучок состоит из М плоских волн с теми же М
длинами волн, то комплексная амплитуда опорной волны в пло-
скости голограммы равна
м
г(х) = 2 rm ехр (2п,%гтх), (17.12)
тп=1
гДе гт — постоянные величины. Предположим, что в результате
записи интерференции волн виг получена амплитудная голо-
грамма с общим пропусканием
м _
Z (л) — -j-Гт-j-Smrm ехр [2л j (^sm ^rm) x] -)-
m=l
+ s^rm exp [2nf (Irm — Ism) я]}, (17.13)
где cm — постоянная, зависящая от спектральной чувствительно-
сти регистрирующего материала при длине волны Хт, и где sm =
= I sm I-
Чтобы восстановить исходную предметную волну, мы должны
осветить голограмму светом с многими длинами волн:
м
г' (х)= 2 гп ехр (2ni%rnx). (17.14)
п—1
Это выражение отличается от выражения для исходной волны г
только тем, что вместо гт в него входит другая постоянная г'п.
Это позволяет в процессе восстановления выполнить коррекцию
цвета. В результате дифракции на голограмме возникнут волны,
дающие мнимое изображение:
м _
w(^)^r't„ = r' Л cmsmrmexp [2ni (£sm —£гт)я],
т=1
где tu — третий член в правой части выражения (17.13). Подстав-
ляя выражение (17.14) для г', получаем
м _
w (х) = 2 (стГтГт) Sm ехр (2л1^тх) +
т=1
ММ _
4~ S S (СтГтГп) Sm Схр [2л£ (^sm 4~ ^гп |гт)^]ф (17.15)
т=1 п=1
тфп
Сумма членов, стоящих под знаком одного суммирования
в (17.15), пропорциональна амплитуде исходной предметной волны
§ 5.
МНОГОЦВЕТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
573
s, если
= с2г2г'2 = ... = СмГмГм- (17.16)
Соотношение (17.16) выражает условия, необходимые для пра-
вильного воспроизведения цвета исходного объекта, каким он
виден при лазерном освещении. Каждый член под знаком двойного
суммирования в (17.15) соответствует ложной восстановленной
предметной волне, возникающей вследствие дифракции света
с длиной волны на голограмме, образованной светом с длиной
волны Хт. Фазовый множитель показывает, что волновой фронт
ложного изображения наложен на несущую пространственную
частоту %sm + %гп — £тт, зависящую от длин волн и кт. Всего
образуется М2 — М таких волн, восстанавливающих равное
количество ложных смещенных мнимых изображений, каждое
из которых одноцветно. На фото II приведен фотоснимок ис-
тинного и ложных изображений, восстановленных голограммой,
зарегистрированной в фотослое толщиной 12 мкм с использова-
нием всего лишь двух длин волн: = 6328 А и Х2 = 4880 А.
Для обеспечения плоского характера голограммы среднее значе-
ние угла между предметным и опорным пучками составляло
только 15°. Следует обратить внимание на искажение масштаба
ложных изображений, накладывающихся на истинные равные
по величине красное и синее изображения букв BR.
Хотя для устранения или уменьшения влияния ложных изо-
бражений, восстановленных плоскими цветными голограммами,
предложено несколько способов, все они сопряжены либо с огра-
ничением ширины полосы пространственных частот, либо с паде-
нием разрешения в изображении, либо с уменьшением отношения
сигнал — шум.
2. Разделение спектров
Один из способов уменьшения влияния ложных изображений
заключается в отделении пространственно-частотного спектра
подлинного изображения от спектров ложных изображений для
всех длин волн, используемых в процессе восстановления. Пред-
положим, что ширина полосы пространственных частот объекта
с любой стороны от средней частоты равна АЬт Для любого
значения т. Выражение (17.15) показывает, что средняя про-
странственная частота ложной восстановленной волны равна
Ьт + ^гп — 1гт‘ Соответствующая ширина полосы частот состав-
ляет также с каждой стороны от среднего значения. Если
необходимо полностью разделить спектры подлинного и ложных
изображений, то условие
4lU-UI>AU (17.17)
574
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.

должно удовлетворяться при всех Кт и Хп. Поскольку величина
Lm может быть выражена через значение угла 0rm, образуемого
плоской волной с нормалью к голограмме
__sin Эр/п
^•т ’
то выполнение условия (17.17) можно обеспечить правильным
выбором направления и длины волны каждой компоненты опор-
ного пучка [17.5—17.7].
Предположим, что мы хотим определить допустимую ширину
полосы пространственных частот объекта при использовании
только двух длин волн, например = 6328 А и Х2 = 4880 А.
Если положить 0Г1 = 30° и 0г2 = 45°, то для максимально допу-
стимой ширины полосы пространственных частот объекта получим
ле 1 I sin 45° sin 30° I .
= ------—Г330 мм •
Это соответствует диапазону углов зрения ±12° относительно сред-
него направления восстановленной предметной волны. Когда
используются более чем две длины волны, величина | £гп — |
уменьшается, следовательно, в этом случае для сохранения
неизменной полосы пространственных частот необходимо увели-
чить угловой интервал между опорными пучками. Пожалуй,
применению этого метода, а также любых методов с использова-
нием плоских голограмм, которые будут рассмотрены ниже, силь-
нее всего препятствует необходимость освещения голограммы
на стадии восстановления несколькими лазерными пучками с раз-
личными длинами волн при их точной относительной юстировке.
Другой недостаток рассмотренного метода состоит в том, что
наблюдатель все же будет воспринимать ложные изображения,
хотя их спектры и будут отделены от спектра истинного изобра-
жения.
3. Метод кодирования опорного пучка
Второй метод уменьшения влияния ложных восстановленных
изображений заключается в том, что каждая спектральная ком-
понента опорной волны кодируется способом, характерным только
для нее [17.8]. На стадии восстановления освещение голограммы
производится волнами, закодированными аналогичным образом.
На этой стадии важно добиться того, чтобы геометрия лазерных
пучков и взаимное расположение опорного источника и голо-
граммы сохранялись точно такими же, как и при записи голо-
граммы. На фиг. 17.5 приведена схема одного из способов такого
кодирования. Лазерное излучение с несколькими длинами волн
направляется в виде единого смешанного пучка на участок матовой
§ 5.
МНОГОЦВЕТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
575
стеклянной пластинки. Свет, рассеянный пластинкой и попавший
на голограмму, служит опорной волной. Хотя все спектральные
компоненты рассеиваются на одном и том же участке пластинки,
их комплексные амплитуды в плоскости голограммы кодируются
индивидуальным для каждой компоненты образом. Этот резуль-
тат обусловливается только спектральной зависимостью ком-
плексной амплитуды дифрагированного света [см. (5.25)]. В случае
рассеивающего экрана мы можем считать, что выражение (5.25)
ФИГ. 17.5. Схема кодирования опорного пучка.
соответствует интерференции множества плоских волн, распро-
страняющихся во многих направлениях. Распределение амплитуд,
и фаз по пространственной частоте носит случайный характер,
но этот характер различен для каждой длины волны X. В ре-
зультате интерференции кодированной опорной волны с соот-
ветствующей спектральной компонентой в предметной волне
образуется голограмма, свойства которой рассмотрены в гл. 14,.
§ 5. Аналогичные голограммы образуются всеми другими спек-
тральными компонентами предметной и опорной волн. Эти голо-
граммы накладываются друг на друга.
Результат освещения любой из голограмм, полученной с коди-
рованной опорной волной, исходной опорной волной рассматри-
вается в гл. 14, § 5, п. 1 [выражение (14.23)]. В дополнение к вос-
становленной предметной волне возникает фоновый шум, почти
однородный по интенсивности. Анализ выражения (14.23) пока-
576
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
зывает, что этот шум состоит из комплексной амплитуды предмет-
ной волны, промодулированной набором несущих волн, фазы
которых случайны, а диапазон пространственных частот вдвое
превышает диапазон частот диффузной опорной волны. Остальные
спектральные компоненты опорной волны, освещающие соответ-
ствующие им голограммы, создают аналогичные восстановленные
предметные волны и распределения шумов. Если принять, что
на каждую длину волны приходится одинаковая доля амплитуды
предметной волны, а чувствительность регистрирующей среды
не зависит от длины волны, то вклад каждой спектральной компо-
ненты будет определяться интенсивностью соответствующей опор-
ной волны [см. (14.23)]. Можно подобрать интенсивности отдель-
ных опорных волн таким образом, чтобы при освещении рассеи-
вающего экрана всеми опорными пучками он казался белым.
В этом случае фоновый шум приводит главным образом к сниже-
нию насыщенности цвета и уменьшению контраста изображения.
Кроме рассмотренного автокорреляционного шума, возникаю-
щего при освещении голограммы кодированным волновым фрон-
том, идентичным волновому фронту, использованному при ее
записи, наблюдается также шум, обусловленный перекрестной
модуляцией при освещении кодированным волновым фронтом
с длиной волны голограммы, записанной другим кодированным
волновым фронтом с длиной волны Хт. Амплитуда этого шума
описывается выражением (14.24). [Замечание. Нижние индек-
сы т и п в выражении (14.24) относятся к множеству плоских
волн, рассеянных матовым стеклом, тогда как верхние индексы
i и j соответствуют различным кодам или в данном случае различ-
ным длинам волн.] Если рассматривать взаимодействие кодиро-
ванной опорной волны с голограммой как процесс дифракции
набора плоских волн на двумерной дифракционной решетке, то
не вызывает удивления тот факт, что средняя пространственная
частота спектра шума перекрестной модуляции для компоненты
с длиной волны сдвинута относительно пространственной
частоты восстановленной предметной волны (и автокорреляцион-
ного шума) для компоненты с длиной волны Хт. Этот сдвиг можно
подсчитать, если ограничиться рассмотрением средних простран-
ственных частот освещающей волны и опорной волны кт. Если
положить пространственные частоты под знаком двойного сум-
мирования в выражении (17.15) равными их средним значениям,
то для сдвига пространственной частоты получим
= = ---(17.18)
поскольку все освещающие и опорные пучки имеют одно и то же
среднее направление. Мы видим, что при > кт сдвиг отрица-
телен, а при — положителен. Если наклон опорного
a
б
ФОТО I.
a — фотоснимок ахроматического изоб-
ражения, полученного при компенсации
дисперсии; б — то же изображение,
без компенсации.
ФОТО II.
Влияние перекрестной мо-
дуляции на изображение,
восстановленное с помощью
плоской голограммы, запи-
санной в двух длинах волн
при угле между предметным
и опорным пучками, рав-
ном 15°.
ФОТО III.
Фотоснимок многоцветного
изображения, восстановлен-
ного с голограммы с коди-
рованием опорного пучка.
ФОТО IV.
Фотоснимок многоцветного
изображения, восстановлен-
ного с мозаичной голограм-
мы, записанной в двух дли-
нах волн.
ФОТО V.
Фотоснимок первого многоцветного изоб-
ражения, полученного при помощи
объемной голограммы, записанной по
схеме фиг. 17.7.
ФОТО VI. Фотоснимок многоцветного изображе-
ния эталонной картины, восстановлен-
ного с помощью отражательной голо-
граммы.
Для записи голограммы были использованы
три длины волны: 6328, 5145 и 4 765Л, для
восстановления—белый свет от циркониевой
дуговой лампы.
ФОТО VII.
Фотоснимок многоцветного трехмерного
изображения, восстановленного при
освещении белым светом отражательной
голограммы.
Для записи голограммы были использованы
две длины волны: 6328 и 5145 А.
§ 5
МНОГОЦВЕТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
577
пучка достаточно мал, то эта цветовая дисперсия, создающая
многоцветный фон, сводится к минимуму.
На фото III приведен фотоснимок многоцветного изображения,
полученного с помощью голограммы с кодированием опорного
пучка. Две спектральные компоненты 6328 и 4880 А были зако-
дированы способом, показанным на фиг. 17.5. Среднее значение
угла между предметным и опорным пучками составляло 15°,
как и при получении изображения, представленного на фото II.
Мы видим, что ложные изображения превратились в более терпи-
мый однородный фоновый шум, который позволяет воспринимать
желательную информацию об изображении. Следует обратить
внимание на цветовую дисперсию.
Два обстоятельства затрудняют реализацию этого способа.
После химико-фотографической обработки голограмма должна
быть помещена в исходное положение с высокой степенью точ-
ности, рассчитанной в гл. 14, § 1, п. 2. Кроме того, предметная
волна будет восстановлена только при освещении голограммы
исходным кодированным опорным пучком. При непреднамеренном
сдвиге опорного источника восстановление может оказаться невоз-
можным.
4. Пространственная дискретизация
Если записывается составная голограмма, каждый небольшой
участок которой образован излучением только с одной длиной
волны, то перекрестная модуляция и ложные изображения могут
быть полностью устранены [17.8]. Наилучшие результаты полу-
чаются, когда эти участки (или элементы) распределены хаотически,
однако, когда элементы достаточно малы, возможно и перемежаю-
щееся расположение в соответствии с длинами волн. На стадии
восстановления каждый элемент должен освещаться светом той
длины волны, при помощи которого он был записан. Таким путем
можно избавиться от перекрестной модуляции и ложных изобра-
жений. Каждая спектральная компонента предметной волны вос-
станавливается одним из дискретных неперекрывающихся участ-
ков площади голограммы. В этом методе мы жертвуем разреше-
нием.
Такую форму дискретизации можно осуществйть несколькими
путями. Один из способов состоит в том, что на панхроматический
регистрирующий материал накладывается мозаика из цветных
фильтров. Каждый из фильтров прозрачен лишь для одной спек-
тральной компоненты, экспонирующей участок материала за этим
фильтром. После обработки голограмма должна быть установлена
в прежнее положение с сохранением контакта с мозаичным филь-
тром. Если спектральная ширина полосы пропускания каждого
фильтра достаточно узка, например 50 А или меньше, то для
37-0990
578
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17
освещения голограммы и восстановления многоцветного изобра-
жения может быть использован белый свет. Еще лучше, если
фильтрующими свойствами обладает сам регистрирующий мате-
риал. На фиг. 17.6 приведена схема метода, основанная на том,,
что голограмма может образоваться лишь в тех участках реги-
стрирующей среды, где присутствуют одновременно и предметная,
и опорная волны, имеющие одинаковый спектральный состав.
На голограммную пластинку с помощью многоцветного опорного
волн
ФИГ. 17.6. Запись мозаичной голограммы для вос-
становления многоцветного изображе-
ния.
луча проецируется оптическое изображение мозаичного свето-
фильтра, состоящего из разноцветных полосок, каждая из которых
соответствует одной длине волн. Это изображение, состоящее
из дискретных участков, освещенных монохроматическим светом,
выступает в роли опорного волнового фронта. Хотя предметный
волновой фронт не подвергается фильтрации, полученные голо-
граммы пространственно разделены в соответствии с длинами
волн. Многоцветный предметный волновой фронт восстанавливает-
ся при помещении проявленной голограммы в исходное положение
и освещении ее волновым фронтом опорного мозаичного изображе-
ния. На фото IV приведен фотоснимок многоцветного изображе-
ния, полученного этим способом. Были использованы две длины
волны: 6328 и 4880 А, а угол между сигнальным и опорным пуч-
ками составлял, как и в предыдущих опытах, 15°.
§ 5.
МНОГОЦВЕТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
579
5. Дифракционная эффективность плоских голограмм,
восстанавливающих многоцветные изображения
Определим дифракционную эффективность голограммы, обра-
зованной светом с несколькими длинами волн и освещаемой теми
же спектральными компонентами, как отношение общей мощности
оптического излучения в восстановленных многоцветных пред-
метных волнах к общей мощности падающего света. Это определе-
ние согласуется с данным в гл. 8, § 5, определением для плоских
голограмм, восстанавливающих монохроматические изображения.
Однако из-за множественности записи, необходимой для цветной
голографии, дифракционная эффективность снижается по срав-
нению с эффективностью единичной голограммы. Для простран-
ственно дискретизированной или составной голограммы, полу-
ченной при наложении мозаики цветных фильтров, это снижение
равно отношению суммарной площади участков голограммы,
записанной с одной длиной волны, к общей площади голограммы.
Свет данной длины волны, освещающий всю площадь голограммы,
испытывает дифракцию только на этой части площади. Предполо-
жим, что на каждом элементе голограммы происходит дифракция
своей спектральной компоненты с одинаковой эффективностью т^,
которая равна максимальной величине, получающейся при еди-
ничной записи. Кроме того, предположим, что площадь голо-
граммы делится поровну между всеми спектральными компонен-
тами. Тогда при равной мощности спектральных компонент
в восстанавливающем пучке дифракционная эффективность состав-
ной голограммы, полученной при М длинах волн, равна
Пм = ^. (17.19)
Уменьшение дифракционной эффективности в зависимости
от числа спектральных компонент выражено более резко, если
голограммы накладываются при записи, например, как в § 5, п. 2,
когда спектры перекрестной модуляции отделены от спектра
сигнальной волны, или как в § 5, п. 3, когда используется коди-
рование опорной волны. В последующем анализе мы будем рас-
сматривать М наложенных амплитудных голограмм, каждая
из которых получена с одной из М спектральных компонент
и линейно записана на тонком регистрирующем материале. Каж-
дая голограмма при условиях, во всем идентичных, за исключе-
нием длины волны, представляет собой запись простой интер-
ференционной картины, образованной равными по амплитуде
плоскими сигнальной и опорной волнами. Дифракционная эффек-
тивность каждой из голограмм имеет одну и ту же максимально
возможную величину.
37*
580
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
Прежде всего напомним, что максимальная дифракционная
эффективность простой плоской голограммы, образованной двумя
плоскими волнами, достигается в том случае, когда ее пропускание
определяется выражением (8.31). Приведем опять это выражение
t = t0 — tE, (17.20)
где t — пропускание голограммы; t0 — пропускание неэкспони-
рованной пластинки, т. е. максимальное возможное значение t, и
tE = tEo + ti cos (2п£ж) (17.21)
— член, зависящий от экспозиции [см. (8.30)]. Относительная
амплитуда дифрагированной волны первого порядка возрастает
с ростом амплитуды модуляции t^. Однако не может превышать
среднее значение, или рабочую точку tEti, так как иначе t будет
периодически превышать значение t0, соответствующее неэкспо-
нированным участкам. Поскольку это невозможно, наивысшая
эффективность для данной экспозиции достигается при
£i = £e0- (17.22)
Рассмотрим наложение М голографических экспозиций на
одном и том же тонком регистрирующем материале. Каждая
последующая экспозиция выполняется с новой длиной волны.
После М экспозиций амплитудное пропускание t становится
равным
м
t = to— 2 Vm + tm COS (2л^тД; -p Am)], (17.23)
m=l
где Дто — фазовая постоянная. Воспользовавшись соотношением
(17.22) для каждой экспозиции, можно написать
м
t = t0— 2 [*т + ^МехР(2пг£тж+гДто) +
771=1
+ ехр (— 2т,%тх — гДто)}J . (17.24)
Мы предполагаем, что пропускание tm равно t — величине,
постоянной для всех т, но что фаза Дт произвольна. Пусть
голограмма с пропусканием, описываемым выражением (17.24),
освещается М исходными опорными волнами, каждая из которых
имеет единичную амплитуду. Тогда каждая голограмма из сово-
купности наложенных голограмм восстанавливает свою исходную
предметную волну при исходной длине волны, при этом дифрак-
ционная эффективность составляет
§ 5.
МНОГОЦВЕТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
581
Отсюда следует, что совокупность голограмм в целом имеет
коллективную эффективность
лм=(4)2- (17-25)
Поскольку фаза Дт произвольна, а голограммы записаны линей-
но, мы предполагаем, что в худшем случае существует такая
точка в регистрирующем материале, где М синусоидальных моду-
ляций пропускания накладываются, и их максимальные ампли-
туды t суммируются. В этом случае выражение (17.23) принимает
вид _ _
t = t0 — Mt — Mt = t0 — 2Mt. (17.26)
Поскольку минимальное значение t равно нулю, максимальное
значение t определяется из соотношения
t0 — 2M~t = О,
откуда
(17.27)
Подставляя (17.27) в (17.25), получаем
ъН-пг)2' ,17'28>
Для единичной экспозиции М = 1 и
Следовательно,
= (17.29)
Таким образом, при наложении голограмм в тонкой регистри-
рующей среде их дифракционная эффективность снижается
в М2 раз. При допущениях, использованных для расчета, можно
ожидать, что голограмма, записанная с тремя спектральными
компонентами, восстановит многоцветное изображение, яркость
которого составит 1/9 от яркости сопоставимого монохроматиче-
ского изображения. На практике несколько жертвуют линейно-
стью записи, чтобы добиться большей дифракционной эффектив-
ности. Несмотря на это, многоцветные изображения, восстанов-
ленные с помощью голограмм, записанных на фотослоях, зна-
чительно темнее своих монохроматических аналогов.
582
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17
§ 6. Восстановление многоцветных изображений
с помощью объемных голограмм
С точки зрения восстановления многоцветных изображений
объемные голограммы обладают заметными преимуществами перед
плоскими голограммами. Ложные изображения устраняются без
всякой потери разрешения, контраста или ширины спектра про-
странственных частот. Не требуется применять специальных
методов записи или восстановления. Необходимо только, чтобы
регистрирующая среда имела достаточную толщину.
Предположим, что несколько голограмм записывается в толсто-
слойной среде, причем при записи каждой голограммы исполь-
зуется своя длина волны. Будем пока считать, что голограммы
являются элементарными, т. е. образованы плоскими предметной
и опорной волнами. Если же мы хотим получить максимальную
дифракционную эффективность, то при восстановлении голограм-
мы должны освещаться исходными опорными волнами с соблюде-
нием закона Брэгга (9.10)
2nd sin 0О = Ао.
Величины, входящие в эту формулу, относятся к определенной
голограмме и соответствующей опорной волне, восстанавливаю-
щей изображение. Здесь п — средний показатель преломления
регистрирующей среды; d — период голограммной решетки; 0о —
угол Брэгга, который составляет восстанавливающий пучок
с изофазными поверхностями; — длина волны восстанавли-
вающего света. Если эта длина волны отличается от величины,
определяемой законом Брэгга, то дифракционная эффективность
падает, как это показано на фиг. 9.6, 9.8, 9.12 и 9.14 для различ-
ных видов объемных голограмм. Абсцисса £ на фиг. 9.8 и 9.12
является функцией ДА — отклонения от брэгговской длины
волны — и связана с ней соотношением (9.85)
5 = — 4^- tg 9о ' Т sin 0о (для пропускания),
Ад Ад
где Т — толщина регистрирующей среды. На фиг. 9.12 и 9.14
по оси абсцисс отложена величина
е _ гг
2 cos ip0 >’
которая связана с ДА соотношением (9.108):
£г=—- Т sin 0о (для отражения),
^д ^д
На всех четырех фигурах, таким образом, показана чувствитель-
ность объемных голограмм к отклонениям от брэгговской длины
S 6.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ МНОГОЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
583
волны при освещении под углом Брэгга. Для достаточно больших
значений ДА дифракционная эффективность может стать исчезаю-
ще малой. Следовательно, наложенные друг на друга объемные
голограммы при освещении исходной опорной волной под углом
Брэгга не создают эффекта перекрестной модуляции, если длины
волн восстанавливающих спектральных компонент различаются
достаточно заметно.
В гл. 9 мы подсчитали наименьшее отклонение длины волны
ДА, при котором дифракционная эффективность фазовой объемной
голограммы падает до нуля. Однако в случае отражательных
амплитудных голограмм, записанных в условиях, обеспечиваю-
щих максимум дифракционной эффективности (aT/cos ф0 = 2
на фиг. 9.14), кривая зависимости дифракционной эффективности
от не проходит через нуль, поэтому такая характеристика для
этих голограмм непригодна. Тем не менее важно рассмотреть
этот случай, так как отражательные амплитудные голограммы,
зарегистрированные на фотослоях, сейчас являются лучшим
средством получения многоцветных голографических изображе-
ний. Поэтому в качестве номинальной меры спектральной селек-
тивности как пропускающих, так и отражательных голограмм
возьмем то отклонение ДА = А, для которого относительная
дифракционная эффективность т]/т]0 = 0,5. Ограничимся анализом
амплитудных голограмм, зарегистрированных на фотослоях, и рас-
смотрим факторы, влияющие на перекрестную модуляцию цвета.
Примем, что спектральные компоненты, используемые для записи
голограммы, содержатся в одном опорном пучке и что в качестве
угла Брэгга 0О в выражениях (9.85) или (9.108) мы можем под-
ставить половину угла между направлением опорного пучка
и средним направлением предметного пучка внутри регистри-
рующей среды. При этих расчетах следует учитывать, что А
является функцией квадрата длины волны [см. (9.85) и (9.108)];
для любой пары спектральных компонент Аг и Ki+1, используемых
для записи и освещения многоцветной объемной голограммы,
расчет А должен выполняться для большей длины волны Аг+1.
Критерий отсутствия перекрестной модуляции можно тогда
записать следующим образом:
*г+1-Ьг>Аг+1. (17-30)
Если, величина А достаточно мала, объемную голограмму
можно освещать белым светом, имеющим непрерывный спектр.
Как отмечено в гл. 9, § 7, п. 1, спектральная селективность отра-
жательных голограмм, записанных в диэлектрической среде без
потерь, может достигать 100 А. В случае освещения белым светом
максимально допустимая величина А определяется не длинами
волн спектральных компонент лазерного излучения, используе-
мого для записи голограммы (эти длины волн могут различаться
584
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
довольно заметно), а приемлемым разрешением Да [см. (7.53)12
да=_Ц^1
Л
где вместо ДХ мы можем подставить Л. В этом выражении 0Г —
угол, под которым опорный пучок падает на голограмму, a Zj —
расстояние от объекта или его изображения до голограммы. Источ-
ник белого света должен иметь возможно меньшую площадь
светящейся поверхности, а изображение объекта располагаться
как можно ближе к голограмме.
1. Пропускающие голограммы
Отсутствие перекрестной модуляции в многоцветном изображе-
нии, восстановленном объемной голограммой, впервые было про-
демонстрировано с пропускающей голограммой, зарегистриро-
ФИГ. 17.7.
Схема записи пропускающих голограмм
на двух длинах волн. (По Пеннингтону
и Лину [17.9].)
ванной на пластинке Кодак 649F по схеме, показанной на фиг. 17.7
[17.9]. В этой схеме угол между средним направлением предмет-
ного пучка и направлением плоской опорной волны составляет
§ 6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ МНОГОЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 585.
90°. Каждый из пучков падает на голограмму под углом 45°.
На фото V приведено первое многоцветное изображение, полу-
ченное в этой схеме. (Хотя в этом опыте использовались только-
две длины волны, Ац = 4880 А и Х2 = 6328 А, такая схема может
быть использована для трех длин волн [17.10].) Исходным объек-
том служил цветной диапозитив, и восстановление предметной
волны производилось при освещении голограммы исходной
опорной волной.
Подсчитаем величину А, входящую в формулу (9.85), для
условий, соответствующих схеме на фиг. 17.7. Номинальное зна-
чение толщины эмульсионного слоя после обработки Т = 12 мкм;
показатель преломления п = 1,5. Длину волны в воздухе
мы принимаем равной большему из двух значений, т. е. 6328 А.
По фиг. 9.8 для т]/т]о = 0,5 получаем значение £ = 1,5. После-
преломления предметного и опорного пучков на границе между
воздухом и фотослоем угол между ними уменьшается примерно
до 56°, что соответствует углу Брэгга 0О » 28°. Используя эти
значения параметров, найдем из (9.85) изменение длины волны
ДХ = А, приводящее к уменьшению дифракционной эффектив-
ности вдвое по сравнению с максимальным значением; это дает
А = 210 А. Из фиг. 9.8 следует, что дифракционная эффектив-
ность падает до нуля при 5 = 3 или ДХ = 420 А. С дальнейшим
увеличением £ дифракционная эффективность вновь возрастает,
однако лишь до значения, соответствующего малому побочному
максимуму т]/т]о = 0,05 при ДХ = 620 А; далее следуют новые-
минимумы и уменьшающиеся максимумы. Отсюда вытекает, что
рассчитанное значение А достаточно мало по сравнению с разно-
стью %2 — = 6328 А — 4880 А = 1448 А. Таким образом, на
голограммы, записанные со светом с длиной волны 4880 А и 6328 А,
почти не будет влиять перекрестная модуляция.
Аналогичный расчет, выполненный для зеленой линии аргоно-
вого лазера 5145 А, дает величину А, приблизительно равную
140 А. Зеленая линия находится от синей линии 4880 А на рас-
стоянии, равном всего 265 А. Поскольку ДХ = 265 А соответ-
ствует » 2,8 и т]/т]о » 0,02, возможно появление лишь незна-
чительной перекрестной модуляции, когда эти две линии совместно
используются для записи и восстановления пропускающих голо-
грамм. Это и наблюдается в действительности [17.10].
2. Отражательные голограммы
Из выражений (9.85) и (9.108) вытекает, что как для пропускаю-
щих, так и для отражательных голограмм спектральный отклик
сужается с ростом угла Брэгга 0О. Слишком узкополосный отклик
586
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
нежелателен, поскольку он ограничивает яркость изображения.
При значении угла Брэгга порядка 80° отклик отражательных
голограмм достаточно селективен, чтобы обеспечить восстанов-
ление многоцветного изображения приемлемого качества при
освещении белым светом. Во многих случаях достаточно ярким
л малым по площади источником света для восстановления
является дуговая лампа [17.11]. На фиг. 17.8 приведена схема
получения отражательных голограмм. Единственное существенное
отличие ее состоит в том, что опорная и предметная волны осве-
щают голограмму с противоположных сторон. По такой схеме
ФИГ. 17.8. Схема получения отражательной голо-
граммы.
могут быть записаны как монохроматические, так и многоцветные
голограммы. Однако при использовании для записи объемной
голограммы более чем одной длины волны преимущества отража-
тельной голограммы сказываются особенно сильно [17.12].
Поскольку для восстановления можно применять белый свет,
наблюдатель избавлен от необходимости использовать несколько
линий лазерного излучения для восстановления многоцветного
изображения.
Подсчитаем величину А для отражательной голограммы, заре-
гистрированной при наибольшей длине волны 6328 А по схеме,
показанной на фиг. 17.8. Используя значение п = 1,5 для пока-
зателя преломления эмульсионного слоя, определяем значение
угла Брэгга в эмульсионном слое 0О » 80°. Из фиг. 9.14 следует,
что = 2 при aZ/cos 0О = 2 и т]/т]о = 0,5. Подставляя эти
§ 6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ МНОГОЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 587
величины и значение толщины голограммы Т = 12 мкм в (9.108),
получаем A w 70 А. Аналогичные значения получены экспери-
ментально; они достаточно малы для получения многоцветного
изображения при освещении белым светом [17.12—17.14, 17.16*].
Поскольку расстояние между интерференционными макси-
мумами в отражательной голограмме близко к половине длины
волны света в регистрирующей среде, регистрирующий материал
должен обладать очень высоким разрешением (см. гл. 10, § 3).
По этой же причине необходима высокая механическая стабиль-
ность оптических узлов, применяемых при записи отражатель-
ных голограмм (см. гл. 7, § 5). Однако при регистрации отража-
тельных голограмм на фотографических слоях наиболее сложные
проблемы связаны с химико-фотографической обработкой. Искаже-
ние и усадка эмульсионного слоя в этом случае существенно важ-
нее, чем при записи голограмм, используемых в проходящем свете.
Во время химико-фотографической обработки и после нее эмуль-
сионный слой претерпевает набухание и усадку, и при сушке слоя
трудно избежать его деформации. Записанные интерференционные
плоскости расположены почти параллельно поверхности пла-
стинки в очень тонком (10 мкм) слое эмульсии. Деформация, кото-
рую обычно считают малой, может все же составлять значитель-
ную часть общей толщины слоя и исказить расстояние между
изофазными плоскостями, записанными по толщине слоя. Это
в свою очередь приводит к искажению восстановленных волновых
фронтов и цвета изображения, возникающего при освещении голо-
граммы белым светом. Для уменьшения этих нежелательных
эффектов опорный пучок при записи голограммы должен падать
на фотослой со стороны стеклянной подложки, поскольку с этой
стороны эмульсионный слой претерпевает наименьшие искажения.
При восстановлении освещающая волна в первую очередь взаимо-
действует с наименее искаженной стороной эмульсионного слоя.
Поскольку в отражательных голограммах наблюдается значитель-
ное ослабление светового потока (они имеют оптическую плот-
ность около 2), наименее искаженная часть голограммы вносит
наибольший вклад в восстановление предметной волны.
Нормальная химико-фотографическая обработка фотослоя
обычно приводит к усадке эмульсионного слоя по толщине.
Причиной этого является удаление непроявленного галоидного
серебра из эмульсионного слоя в процессе фиксирования,
приводящее к усадке желатинового слоя. Количество галоидов
серебра, содержащееся в большинстве выпускаемых промышлен-
ностью фотографических материалов, является избыточным с точки
зрения голографии, и после проявления голограммы в слое остает-
ся еще много галоидов. Ввиду этого усадка эмульсии после фикси-
рования достигает значительной величины (20—30% для пласти-
нок Кодак 649F). Наиболее важное следствие усадки заключается
588
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
в изменении цвета изображения, восстанавливаемого при освеще-
нии отражательных голограмм белым светом. В качестве примера
рассмотрим отражательную голограмму, записанную на пла-
стинке Кодак 649F красным излучением лазера с длиной волны
6328 А. После нормальной обработки голограмму освещают белым
светом, падающим в направлении исходного опорного пучка.
Цвет изображения становится зеленым (~5300 А). Если мы хотим,
чтобы цветные изображения, восстанавливаемые отражательными
голограммами, точно (в разумных пределах) воспроизводили
цвета исходных объектов, то следует устранить усадку эмульсион-
ного слоя. Используя контролируемое набухание с применением
триэтаноламина (см. гл. 10, § 8, п. 4.), можно восстановить перво-
начальную толщину слоя с высокой степенью точности. Поскольку
толщина эмульсионного слоя также зависит от влажности окру-
жающего воздуха, лучше всего накрыть эмульсионный слой
покровным стеклом и герметизировать края, чтобы изолировать
скорректированную голограмму от атмосферы.
Дифракционная эффективность отражательных голограмм,
записанных на фотографических слоях, обычно имеет меньшую
величину в коротковолновой части спектра. К сожалению, боль-
шинство источников белого света, которые можно использовать
для освещения этих голограмм, характеризуются большей интен-
сивностью излучения в длинноволновой части спектра. Можно
попытаться скомпенсировать это расхождение на стадии записи
голограммы путем соответствующего подбора экспозиций для
различных спектральных компонент. Циркониевая дуговая лам-
па — один из наилучших источников белого света; она имеет
сравнительно высокую интенсивность излучения вблизи синего
конца спектра, а размер ее светящегося тела мал. На фото VI
приведен фотоснимок многоцветного голографического изображе-
ния (эталонной картины), восстановленного в белом свете цирко-
ниевой дуговой лампы. Отражательная голограмма была записана
на трех длинах волн: 6328, 5145 и 4765 А. На фото VII приведен
фотоснимок многоцветного объемного изображения, полученного
этим же методом, однако для записи голограммы использовались
всего две длины волн: 6328 и 5145 А.
3. Дифракционная эффективность объемных голограмм,
восстанавливающих многоцветные изображения
В гл. 16, § 3, п. 6, был проведен анализ влияния наложения
многих голограмм на максимальную дифракционную эффектив-
ность одной голограммы, входящей в совокупность М объемных
голограмм. Эту теорию можно непосредственно применить и в дан-
ном случае, когда каждая голограмма записывается при одном
ЛИТЕРАТУРА
589
и том же направлении пучков, но с разными длинами волн. Как
и в гл. 16, § 3, п. 6, будем предполагать, что коэффициент погло-
щения аЕ пропорционален экспозиции и что после М независимых
наложенных экспозиций, идентичных по всем условиям, кроме
длины волны, выполняется равенство
а1 = а2 = ... =ат= ... = ам = -^-. (17.31)
Здесь а — средний суммарный коэффициент поглощения после М
экспозиций, равный половине динамического диапазона свето-
чувствительного материала, и at — амплитуда модуляции каждой
голограммы [см. (16.21)]. Подставляя (17.31) в выражение для
амплитуды волны, дифрагированной амплитудной объемной про-
пускающей голограммой [соотношение (9.94)]
5(7’) = —ехр sh (
' ' * \ cos 0q / \ 2 cos 0О /
и максимизируя | S (Т) | по отношению к aiT/2 cos 0О, находим
значение | 5макс I как функцию М. Возводя это значение в квад-
рат, находим дифракционную эффективность:
3Макс— ехр cog0o } 4л/2_1 «ехр^ cog0o } ~ М2 (17.32)
для М > 1. Этот же результат можно легко получить графически
из фиг. 9.7. Видно, что эффективность любой из наложенных
•объемных голограмм падает пропорционально квадрату числа
голограмм, как и в случае плоских амплитудных голограмм.
Аналогичный результат можно получить, подставляя (17.31)
в выражение (9.111) для амплитуды волны, дифрагировавшей
на амплитудной отражательной голограмме.
ЛИТЕРАТУРА
17.1. WYSZECKI G., STI-
LES W. S., Color Science,
New York, 1967, Sect. 3, 4.
17.2. The Optical Society of Ame-
rica, Committee on Colori-
metry, The Science of Color,
New York, 1953, p. 220.
17.3. BURCKHARDT С. B., Bell
Syst. Tech. Journ., 45, 1841
(1966).
Восстановление голограмм в
белом свете.
17.4. DeBITETTO D. J., Appl.
Phys. Lett., 9, 417 (1966).
Простая компенсация диспер-
сии при восстановлении изо-
бражений с помощью плоских
голограмм в белом свете.
17.5. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., Journ. Opt. Soc.
Amer., 54, 1295 (1964).
Восстановление волновых
фронтов при диффузном осве-
щении и в случае трехмер-
ных объектов.
17.6. MANDEL L., Journ. Opt.
Soc. Amer., 55, 1697 (1965).
Получение цветных изобра-
жений методом восстановле-
ния волновых фронтов.
17.7. MAR ОМ Е., Journ. Opt. Soc.
Amer., 57, 101 (1967).
Получение цветных изобра-
жений методом восстановле-
ния волновых фронтов.
590
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ГЛ. 17.
17.8. COLLIER R. J., PENNING-
TON К. S., Appl. Opt., 6,
1091 (1967).
Получение многоцветных
изображений с помощью го-
лограмм, зарегистрирован-
ных в двумерных средах.
17.9. PENNINGTON К. S.,
LIN L. Н., Appl. Phys. Lett.,
7, 56 (1965).
Восстановление многоцвет-
ных волновых фронтов.
17.10. FRIESEM A. A., FEDO-
ROWICZ R. J., Appl. Opt.,
6, 529 (1967).
Восстановление многоцвет-
ных волновых фронтов.
17.11. STROKE G. W., LABEY-
RIE А. Е., Phys. Lett., 20,
368 (1966).
Восстановление голографи-
ческих изображений в белом
свете с использованием
эффекта дифракции Липпма-
на — Брэгга.
17.12. LIN L. Н., PENNING-
TON К. S., STROKE G. W.,
LABEYRIE А. Е., Bell Syst.
Tech. Journ., 45, 659 (1966).
Голографическое восстанов-
ление многоцветных изо-
бражений при освещении бе-
лым светом.
17.13. UPATNIEKS J., MARKS J.,
FEDOROWICZ R. J., Appl.
Phys. Lett., 8, 286 (1966).
Голограммы цветных изобра-
жений для восстановления
в белом свете.
17.14. LIN L. Н., LoBIAN-
СО С. V., Appl. Opt., 6, 1255
(1967).
Экспериментальные методы
получения голограмм, вос-
станавливающих многоцвет-
ное изображение при осве-
щении белым светом.
17.15* . ГУРЕВИЧ М. М., Цвет и его
измерение, М., 1950.
17.16* . ДЕНИСЮК Ю. Н., Оптика
и спектроскоп., 15, 75 (1963).
Об отображении оптических
свойств объекта в волновом
поле рассеянного им излу-
чения.
Глава 18
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
Составной голограммой мы называем совокупность небольших
голограмм, расположенных в одной плоскости, причем каждая
из них находится близко к соседней или перекрывается с ней.
Такие индивидуальные голограммы мы будем называть элемен-
тами составной голограммы. Волновые фронты, записанные на
соседних элементах, не обязательно должны быть непрерывными
или когерентными друг с другом. Однако при одновременном
освещении всех элементов восстанавливаемые ими волновые фрон-
ты могут совместно образовать нужное изображение.
В гл. 17 было описано применение составной мозаичной голо-
граммы для записи многоцветного изображения. В этом случае
каждая из взаимно переплетенных совокупностей элементов осве-
щается светом своей длины волны. В настоящей главе мы огра-
ничимся главным образом обсуждением освещения единичным
когерентным источником. Хотя предметные волны могут и не быть
взаимно когерентны при записи, при восстановлении они коге-
рентны.
Мы покажем, что, осуществляя запись составных голограмм
и совершая определенные операции над их элементами, можно
получить результаты, которые не удается достичь при исполь-
зовании единичной голограммы. Составные голограммы приме-
нялись для уменьшения количества информации, содержащейся
в голограмме, для увеличения или уменьшения стереоскопического
эффекта, для получения изображения объекта с углом обзора 360°
и для синтеза трехмерных голографических изображений на основе
двумерных фотоснимков существующих объектов или несуще-
ствующих объектов, рассчитанных с помощью вычислительной
машины.
§ 1. Разрешение изображения и размеры элемента
В этой главе, посвященной изображениям, восстановленным
с помощью составных голограмм, мы всегда будем говорить только
об изображениях, которые должны непосредственно наблюдаться
глазом, т. е. являются мнимыми. Вследствие этого размеры наи-
меньшей детали в изображении должны быть не ниже предела
разрешения при рассматривании глазом с нормального расстояния.
592
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
Однако неправильный выбор размера элемента голограммы может
настолько ухудшить качество изображения, что это будет вос-
приниматься глазом. В таком случае предел разрешения накла-
дывается дифракцией на краях элемента. Разумно выбрать раз-
меры элемента так, чтобы они обусловливали такое же ухудшение
разрешения, как и конечная апертура зрачка глаза. Дальнейшее
уменьшение элемента приведет только к падению разрешения.
•С другой стороны, не имеет смысла и увеличивать размеры эле-
мента, поскольку тогда разрешение будет ограничиваться свой-
ФИГ. 18.1. Наблюдение точки объекта.
ствами глаза. Более того, если требуется большое число элементов,
то при слишком больших их размерах ухудшаются свойства
составной голограммы.
Установим грубый критерий для выбора размеров элемента.
Пусть точка объекта находится на расстоянии de от глаза, диаметр
зрачка которого равен De (фиг. 18.1). Функцию рассеяния в пло-
скости объекта можно по-прежнему определить выражением
(16.23) (см. также гл. 6, § 4, п. 3). Таким образом, из-за дифракции
света на границах зрачка минимальный размер детали объекта,
которая еще будет восприниматься глазом, будет составлять
Ag= 1,22Ме , (18.1)
Dq
где К — длина волны света от объекта. Здесь мы принимаем, что
разрешение нормального глаза ограничено дифракцией. На
фиг. 18.1 пунктирной линией показана маска, выделяющая круг-
лый элемент составной голограммы диаметром Dh, находящийся
от объекта на расстоянии dh. Этот элемент при должном освещении
восстанавливает мнимое изображение в плоскости исходного
§ 1. РАЗРЕШЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ И РАЗМЕРЫ ЭЛЕМЕНТА 593
объекта с функцией рассеяния, имеющей ширину
А„ = -1,. (18.2)
Из условия равной ширины двух функций рассеяния в наблюдае-
мом изображении получаем, используя (18.1) и (18.2),
Таким образом, диаметр элемента должен составлять
= (18.4)
Взяв некоторые типичные значения, а именно: De = 3 мм, de =
= 60 см, dh = 20 см, получим диаметр элемента Dh = 1 мм.
Предположим, что мы освещаем элемент голограммы светом с дли-
ной волны Л = 0,5 мкм. Тогда подстановка в формулу (18.2) дает
ширину функции рассеяния Ад = 122 мкм.
Когда мы рассматриваем совместное действие многих элемен-
тов, то обнаруживаем дополнительные факторы, которые могут
повлиять на качество наблюдаемого изображения. Как мы увидим,
в некоторых случаях применения составных голограмм требуется,
чтобы прилегающие друг к другу элементы восстанавливали вол-
ны, расходящиеся от идентичных мнимых изображений, которые
кажутся совпадающими. При неточном взаимном расположении
прилегающих элементов восстанавливаемые ими изображения
не кажутся совпадающими, что приводит к смазыванию наблю-
даемого изображения. С другой стороны, очень близкое располо-
жение элементов также может оказать заметное влияние на изо-
бражение. При когерентном освещении элементов, восстанавли-
вающих почти идентичные волновые фронты, последние могут
интерферировать, что приводит к появлению системы полос, нало-
женных на изображение.
Для примера предположим, что два идентичных соседних эле-
мента, центры которых находятся на расстоянии Dh, равном
диаметру элементов, лежат в плоскости фурье-образа, или, что
то же самое, в плоскости пространственных частот изображения.
В соответствии с (6.21) геометрическому разделению Dh в плоскости
пространственных частот соответствует сдвиг пространственной
частоты
е__ Дд
[в выражении (6.21) мы заменили / на dh\. Теперь рассмотрим
влияние этого сдвига частоты на изображение. Если а (ж) —
комплексная амплитуда изображения, восстановленного одним
из элементов, то а (ж) ехр [—2ш‘ (£>л/^л) — комплексная ам-
38-0990
594 СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ ГЛ. 18
плитуда, восстановленная другим элементом [см. операцию сдвига,
соотношение (4.21)]. Для интенсивности интерференционной кар-
тины имеем
/=2|ар[1+оо9(2п-^)];
это выражение описывает синусоидальную систему полос, моду-
лирующую интенсивность изображения с периодом
б = -^-. (18.5)
Сравнение формул (18.5) и (18.2) показывает, что глаз разрешит
эти полосы, если его предел разрешения равен Дд/1,22.
Таким образом, когда элементы слишком малы, это приводит
не только к падению разрешения, но и к появлению мешающих
интерференционных полос [см. (18.5)]. Если составная голограмма
применяется для уменьшения информационной емкости, то ее
элементы представляют собой многократно повторенные копии
исходной голограммы (см. § 2). При использовании составных
голограмм для уменьшения информационной емкости по сравне-
нию с обычной голограммой тенденция к уменьшению размера
элемента понятна. Формула (18.4) указывает на возможность
разумного компромисса при выборе размера элемента. Если эле-
мент имеет форму длинной полоски, а не кружка, то в формуле
(18.4) за величину Dh следует принимать ширину полоски. В этом
случае разрешение Дд в направлении ширины полоски опреде-
ляется выражением (18.2) (из которого следует удалить множи-
тель 1,22).
§ 2. Уменьшение информационной емкости
голограммы
Установив критерии для выбора размеров элемента, рассмот-
рим первое из нескольких возможных применений составных
голограмм. Предположим, что мы хотим передать всю информа-
цию, записанную на голограмме размером 10 X 10 см2, по теле-
визионному каналу с шириной полосы 5 МГц. Если на голограмме
зарегистрирован диффузно отражающий объект, то простран-
ственные частоты могут составлять 2000 мм-1 в горизонтальном
направлении и 1000 мм-1 в вертикальном направлении. Чтобы
передать эту информацию, мы должны просканировать голо-
грамму оптико-электронным датчиком, способным разрешить эти
полосы, и передать результаты сканирования на приемник с часто-
той 5 МГц. Поскольку в горизонтальном направлении (или по оси
х) может содержаться 2000 мм-1 X 100 мм = 2 -105 периодов
§ 2.
УМЕНЬШЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ ЕМКОСТИ ГОЛОГРАММЫ
595
модуляции, то для сканирования одной горизонтальной строки
потребуется
2ЛО5__4.1О-2С
1 5-10» —4 с-
Количество горизонтальных строк, необходимых для сканирова-
ния голограммы высотой 10 см, определяется максимальной про-
странственной частотой в вертикальном направлении (или по
оси у) и теоремой отсчетов (см. гл. 19, § 1). Согласно этой теореме,
следует произвести выборку каждого из 10® периодов вертикаль-
ной пространственной модуляции по крайней мере дважды. Сле-
довательно, количество строк равно N = 2-10®, и суммарное вре-
мя передачи составляет
Nt = 2-10®-4-10-1 2 = 8-Ю3 с « 2,2 ч.
Очевидно, что для практического осуществления передачи
голограммы по телевизионному каналу информационную емкость
голограммы необходимо весьма существенно уменьшить. Было
предложено несколько методов уменьшения информационной емко-
сти [18.1—18.5], хотя до сих пор не было публикаций об исполь-
зовании каких-либо из этих методов для настоящей передачи
голограмм. Все они, кроме одного [18.4], основаны на применении
составных голограмм.
1. Влияние экрана
Очевидный путь уменьшения информационной емкости голо-
граммы состоит в уменьшении ее площади. Это можно сделать
за счет некоторой потери в разрешении изображения, что не являет-
ся проблемой, поскольку голограмма большой площади восста-
навливает изображения с существенно большим разрешением,
чем требуется для нормального наблюдения. Однако большая
площадь голограммы обеспечивает широкий угол зрения при
наблюдении трехмерного изображения, и сохранение такой осо-
бенности в высшей степени желательно. Цель всех методов,
описанных в настоящей главе, состоит в снижении информацион-
ной емкости за счет потери разрешения, однако без существен-
ного уменьшения диапазона углов наблюдения. Простой способ
достижения этого состоит в том, что вплотную к голограмме
помещают маску с совокупностью щелей, через которые произво-
дится экспонирование соответствующих полосок голограммы.
Предположим, что полоски голограммы передаются по каналу
связи и точно воспроизводятся приемным устройством. При осве-
щении лазерным пучком, дублирующим опорный пучок, исполь-
зованный при записи голограммы, они восстанавливают трехмер-
ное изображение. Однако условия наблюдения такого изображе-
38*
596
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ- 18-
ния крайне неудовлетворительны, поскольку оно кажется распо-
ложенным за периодическим экраном («частоколом»), находящимся
в плоскости голограммы (фиг. 18.2, а), Если увеличить размеры
ФИГ. 18.2. а — действие экрана при фокусиро-
вании глаза наблюдателя на гологра-
фическое изображение; б — изображе
ние, наблюдаемое при восстановлении
со второй голограммы при устранении
действия экрана методом Беркхарда
[18.1].
непрозрачных полос маски с целью дальнейшего уменьшения
площади голограммы, то влияние экрана становится более замет-
ным и все сильнее мешает восприятию изображения.
§ 2. УМЕНЬШЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ ЕМКОСТИ ГОЛОГРАММЫ 597
Путем дополнительной обработки воспроизведенной приемным
устройством голограммы можно устранить описанный нежелатель-
ный эффект, однако это ведет к дальнейшей потере разрешения.
Обработка состоит в том, что совокупность пространственно раз-
деленных голограмм в виде полосок освещают лазерным пучком
и используют восстановленное мнимое изображение в качестве
объекта для регистрации на второй голограмме [18.1]. Предполо-
жим, что ширина каждой полоски на первой голограмме в п раз
меньше расстояния между полосками. В этом случае фотопла-
стинка при записи второй голограммы экспонируется п раз.
Между операциями экспонирования первая голограмма смещается
на расстояние, равное ширине полосы, а освещающий пучок
поворачивается таким образом, чтобы точки в центральной пло-
скости мнимого изображения вернулись в то положение в пло-
скости изображения, которое они занимали до смещения голо-
граммы (см. гл. 3, § 3, п. 2). (Поворот восстанавливающего пучка
в состоянии компенсировать сдвиг изображения только в одной
плоскости; в других плоскостях неизбежно некоторое падение
разрешения, вызванное смазыванием изображения.) После п пере-
мещений и п циклов экспонирования первая голограмма смещается
на расстояние, равное расстоянию между полосками, а на второй
голограмме получается запись, эквивалентная той, которая воз-
никла бы на первой без пробелов между полосками; так устра-
няется эффект экранировки (фиг. 18.2, б).
2. Получение составной фурье-голограммы
Аналогичный результат можно получить и более простым
способом, если по каналу связи передается фурье-голограмма
[18.2]. В приемном устройстве каждый элемент голограммы может
быть заполнен примыкающими друг к другу дубликатами пере-
данной полоски. Поскольку каждый из п дубликатов представляет
собой фурье-голограмму, их относительное смещение не приводит
к соответствующему перемещению восстанавливаемого ими изо-
бражения. Как указано в гл. 8, § 3, п. 5, изображение остается
неподвижным при смещении голограммы, и все элементы совместно
восстанавливают единственное трехмерное изображение.
Безлинзовую фурье-голограмму с существенно уменьшенной
площадью и информационной емкостью можно получить по схе-
ме, показанной на фиг. 18.3, а. Объект и опорный источник нахо-
дятся на одном и том же расстоянии от плоскости голограммы
в соответствии с требованиями, сформулированными в гл. 8,
§ 3, п. 5. При записи используется маска, благодаря чему экспо-
нируются только пронумерованные участки голограммной пла-
стинки. Суммарная площадь и информационная емкость голо-
граммы, записанной в схеме, показанной на фиг. 18.3, б, не пре-
598
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
вышают значений, необходимых для восстановления удовлетво-
рительного изображения. Как и выше, мы предполагаем, что
голограмма после увеличения сканируется оптико-электронным
устройством, выходной электрический сигнал которого передается
|I|I|I|2|2|2|3|3|3|4|4|4|5|5|5|6|6|6|7|7|7]
ФИГ. 18.3.
а, — схема записи элемента составной
фурье-голограммы; б — элемент голо-
граммы; е — один из рядов составной
голограммы.
по каналу связи на приемное устройство. Здесь процесс выпол-
няется в обратном порядке: голограмма перезаписывается и муль-
типлицируется. Эти копии и являются элементами, из которых
собирают составную голограмму.
§ 2.
УМЕНЬШЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ ЕМКОСТИ ГОЛОГРАММЫ
599
(18.6)
Каждый элемент имеет форму, показанную на фиг. 18.3, б,
и состоит из семи квадратиков площадью hx X hy, отстоящих
друг от друга на расстояние L. Один ряд составной голограммы
получают путем последовательного наложения Llhx элементов, так
чтобы они заполняли пробелы в ряду, как показано на фиг. 18.3, в.
Повторяя этот ряд Hy/hy раз в вертикальном направлении, полу-
чают окончательно заполненную составную голограмму площадью
Нх X Ну. На практике этот процесс «сборки» голограммы мог бы
выполняться электронными средствами. Когда составная голо-
грамма освещается исходным опорным пучком, все ее части дифра-
гируют свет и совместно создают мнимое изображение объекта.
Сравнивая площадь элемента с площадью составной голограммы,
получаем коэффициент уменьшения информационной емкости
по сравнению с нормальной голограммой размером Нх X Ну.
Этот коэффициент К равен
hx hy
Коэффициент К равен также числу элементов составной голо-
граммы.
Выше уже отмечалось, что при геометрии схемы, соответствую-
щей получению безлинзовых фурье-голограмм (фиг. 18.3, а),
голографическое изображение инвариантно относительно смеще-
ния элементов. Эта инвариантность строго соблюдается только
для плоскости изображения, в которой находится и опорный
источник. (На фиг. 18.3, а такой плоскостью является централь-
ная плоскость объекта.) Для областей трехмерного изображения,
удаленных от центральной плоскости, перемещение элементов
голограммы в действительности приводит к некоторому смазыва-
нию изображения. Чем больше перемещение, тем больше смазы-
вание. Однако если глаз наблюдателя сфокусирован на какую-то
точку объекта, то он воспринимает свет только от относительно
малой площади голограммы. На этой площади содержатся части
лишь небольшого числа элементов. Поскольку эти элементы сме-
щены незначительно, смазывание внешних плоскостей изображе-
ния может быть небольшим.
На практике обнаружено, что чем более удалены опорный
источник и объект от плоскости голограммы, тем больше допу-
стимое расхождение их по глубине, как и следовало ожидать
при наблюдении сквозь малое число элементов малых размеров.
Комплексная амплитуда предметной волны, падающей на любой
из этих элементов во время записи голограммы, описывается
выражением (8.19):
а (х2, у2) = сехр [ — -^-(^4-1/|)] F(g', т]')>
где d — расстояние между объектом и плоскостью голограммы;
600
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
(х2, У 2) — координаты в этой плоскости; F (£', rf) — фурье-образ
произведения комплексной амплитуды объекта на фазовый мно-
житель сферической волны. Если XcZ, Ы для любой точ-
ФИГ. 18.4.
Уменьшение информационной емкости
в 1000 раз.
а — фотоснимок изображения, восстановлен-
ного обычной голограммой площадью Нх х Ну',
б — фотоснимок изображения, восстановлен-
ного составной голограммой площадью
Нх X Hv при площади каждого элемента
(Н^ХН.Л/ЮОО.
л у
ки элемента голограммы, то а (х2, у2) ~ F 'П')- Если опорный
источник к тому же находится на значительном удалении от голо-
граммы, то опорную волну в плоскости элемента голограммы
в хорошем приближении можно считать плоской волной; тогда
§ 3.
ГИПЕР- И ГИПОСТЕРЕОСКОПИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
601
пропускание голограммы близко к пропусканию фурье-голограм-
мы [см. (8.20)]. Следовательно, малые смещения элемента приводят
к практически необнаруживаемым смещениям изображения.
3. Потеря вертикального параллакса
Величина отношения Llhx, входящего в коэффициент К в выра-
жении (18.6), не превосходит 10, так как значение hx не должно
быть очень малым, чтобы не ограничить разрешение, а значение L
не должно быть слишком большим, чтобы не вызвать резких
изменений в горизонтальном параллаксе. Однако коэффициент
уменьшения информационной емкости в вертикальном направле-
нии Hy/hy может достигать 100 и более, если мы в вертикальном
направлении зададимся лишь одним углом обзора изображения.
Такое значительное снижение информационной емкости дости-
гается благодаря полной потере вертикального параллакса [18.2,
18.3, 18.5]. К счастью, эта потеря не влияет существенно на наше
восприятие глубины изображения; глаза человека раздвинуты
по горизонтальному направлению, и в этом же направлении они
смещаются при повороте головы. На фиг. 18.4 сравнивается каче-
ство изображения, восстановленного с 1000-элементной составной
голограммой, и изображения, полученного при помощи обычной
голограммы тех же размеров. Составная голограмма характеризо-
валась следующими параметрами: Llhx = 10, Hylhu = 100, К =
= 1000.
§ 3. Гипер- и гипостереоскопические
голографические изображения
В качестве второй области применения составных голограмм
рассмотрим способ получения голографических изображений,
имеющих бинокулярный параллакс, превосходящий нормальный
(гиперстереоскопические изображения) или уступающий ему (ги-
постереоскопические изображения). В гиперстереоскопическом
трехмерном изображении различие между изображениями на сет-
чатке левого и правого глаза наблюдателя увеличивается по срав-
нению с нормальным, что приводит к обострению ощущения
объемности, в особенности для удаленных объектов. Наоборот,
гипостереоскопические изображения облегчают наблюдение трех-
мерных объектов, расположенных вблизи. В этом случае нормаль-
ное угловое расхождение между лучами, распространяющимися
от точки изображения к левому и правому глазу, уменьшается,
вследствие чего физическое усилие, необходимое для фокусировки
обоих глаз на близко расположенный объект (усилие аккомода-
ции), также уменьшается [18.6]. Такие изменения бинокулярного
602
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18
параллакса обычно достигаются посредством перераспределения
спектра исходного изображения [18.7]. Перераспределению долж-
ны подвергаться лишь составляющие пространственных частот
в горизонтальном направлении, параллельно линии, соединяю-
щей глаза. Мы ограничимся рассмотрением случая применения
составных голограмм для увеличения или уменьшения в 2 раза
эффективного расстояния между левым и правым глазом. Оче-
видно, что описанные методы можно обобщить и получить любую
желаемую величину базы стереоскопического зрения.
Для получения гиперстереоскопического изображения, эквива-
лентного воспринимаемому при удвоенном расстоянии между
глазами, прежде всего регистрируют фурье-голограмму объекта.
Поскольку эта голограмма находится в плоскости спектра про-
странственных частот объекта, восстановленное ею изображение
инвариантно относительно перемещений голограммы в ее пло-
скости. Чтобы произвести перераспределение пространственных
частот, голограмму (т. е. плоскость пространственных частот)
делят на тонкие вертикальные полоски равной ширины (что экви-
валентно равной ширине полосы пространственных частот в гори-
зонтальном направлении), удаляют каждую вторую полоску
и соединяют остающиеся непрерывным образом, не изменяя их
последовательности. Если голограмма записана на фотопленке,
перераспределение плотности выполняется просто вырезанием
и соединением полосок пленки.
Когда необходимо получить изображение, стереоскопическая
база которого составляет половину нормальной, изготовляют две
идентичные фурье-голограммы; их разрезают на тонкие вертикаль-
ные полоски и рядом с каждой помещают ее дубликат. При осве-
щении такой составной голограммы исходным опорным пучком
получается гипостереоскопическое изображение.
§ 4. Широкоугольные голографические
изображения
Когда наблюдатель рассматривает плоскую голограмму, пере-
водя взгляд с одного ее края на другой в горизонтальной плоско-
сти, изменение угла, под которым он рассматривает изображение,
обычно не превышает 60°. Если мы определим угол зрения как
угол, стягиваемый голограммой и имеющий вершину в центре
изображения, то становится ясно, что для плоской голограммы
этот угол не может превышать 180°. Однако плоская составная
голограмма может обеспечить угол зрения, равный 360°.
Углы зрения, превышающие 180°, можно получить и при помо-
щи голограмм, зарегистрированных на цилиндрических поверх-
ностях, окружающих объект; эти голограммы не являются состав-
§ 4.
ШИРОКОУГОЛЬНЫЕ ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
603
ными [18.8—18.11]. Однако их запись, хранение и рассматривание
связаны с определенными трудностями. Например, когда объект
достаточно велик, площадь окружающего его регистрирующего
материала может стать недопустимо большой. Чтобы получить
правильное изображение, голограмму после обработки нужно
вернуть на ту же самую цилиндрическую поверхность, на которой
она находилась во время записи. Указанные трудности отпадают
Зеркало
опорного
ФИГ. 18.5. Схема записи составных широкоуголь-
ных голограмм.
при использовании составных голограмм. Такие плоские голо-
граммы с 360°-обзором настолько компактны, что, возможно,
когда-нибудь будут включаться в книги в качестве страниц.
На фиг. 18.5 приведена схема записи составной голограммы
с широким, углом зрения [18.12]. Каждый элемент составной
голограммы записывается с одной и той же опорной волной обыч-
ным голографическим методом. Однако объект, помещенный
на поворотном столике, поворачивается на малый угол после
каждой экспозиции. Во время экспонирования к регистрирующе-
му слою прижимается маска, представляющая собой непрозрач-
ную пластинку с одной прозрачной щелью; ширина щели опре-
деляет ширину элемента. Между экспозициями маска смещается
в горизонтальном направлении на расстояние, равное ширине
элемента, причем направление этого смещения противоположно
направлению вращения объекта (фиг. 18.5). Таким образом реги-
604
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
стрирующий слой последовательно полосками экспонируется по
всей своей ширине. При освещении всей составной голограммы
пучком, соответствующим исходному опорному пучку, наблюда-
тель увидит мнимое изображение объекта. По мере того как
наблюдатель переводит взгляд от одного края голограммы к дру-
гому, он видит, что изображение поворачивается в том же направ-
лении, в каком поворачивался объект при записи голограммы.
На фиг. 18.6 приведены фотоснимки изображений трехмерного
объекта, восстановленных центром и двумя крайними участками
ФИГ. 18.6. Фотоснимки трех видов трехмерного
изображения, восстановленного состав-
ной голограммой, записанной по схеме
фиг. 18.5. (По Кингу [18.12].)
составной голограммы, полученной этим методом. В .этом случае
для полного 360°-оборота потребовалось 80 элементов при ширине
каждого 1,25 мм.
Успешная реализация описанного метода зависит от следую-
щих обстоятельств. Вращение объекта должно быть настолько
плавным, насколько это возможно, т. е. число отдельных позиций
должно быть как можно больше. Однако это число ограничено
наименьшей допустимой шириной элемента (см. § 1) и наибольшей
шириной составной голограммы. При ограниченном числе эле-
ментов полный угол поворота объекта должен быть таким, чтобы
угол поворота при переходе от одного элемента к другому был
« 5.
СИНТЕЗ ТРЕХМЕРНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ФОТОСНИМКАМ
605
не слишком большим. Если последняя величина слишком велика,
то при наблюдении через два соседних элемента одним глазом
изображение может оказаться смазанным или двоящимся в уча-
стках, наиболее удаленных от оси вращения и претерпевающих
существенное смещение при переходе от элемента к элементу.
Более того, при наблюдении обоими глазами расхождение между
изображениями, воспринимаемыми левым и правым глазом, может
быть настолько велико, что мозг не сможет воспринять их как
единое трехмерное изображение. Изображение опять будет дво-
иться, причем эффект опять будет наибольшим для точек изобра-
жения, наиболее удаленных от оси вращения. Вследствие этого
необходимо экспериментально определить приемлемый компро-
мисс между глубиной изображения и углом его поворота. Для
составной голограммы, восстанавливающей представленное на
фиг. 18.6 изображение, весь угол 360° был записан на голограмме,
охватывающей нормально только угол зрения, равный только 30°;
глубина изображения составляла 4 см.
§ 5. Синтез трехмерного изображения
по фотоснимкам1)
Если на голограмме регистрируется диффузно рассеивающий
трехмерный объект, то каждый малый участок голограммы может
восстановить свое собственное трехмерное мнимое изображение
объекта (см. гл. 8, § 2). Эти изображения отличаются в зависимо-
сти от положения малых участков на голограмме и соответствую-
щих этому положению направлений визирования объекта. Когда
наблюдатель рассматривает изображение через такой малый
участок голограммы, на сетчатку глаза проецируется плоское
изображение. Изображения на сетчатке левого и правого глаза
различны, что создает ощущение глубины пространства. Пред-
положим, что мы в состоянии записать голограмму с таким свой-
ством, что каждый малый участок голограммы, через который
глаз фокусируется на изображение, восстанавливает только дву-
мерное мнимое изображение объекта. Если это изображение
меняется нужным образом от участка к участку, то мозг наблю-
дателя и в этом случае будет воспринимать различающиеся «левое»
и «правое» двумерные изображения, вследствие чего возникнет
ощущение глубины пространства. Такой эффект может быть
достигнут при помощи составной голограммы. Каждый ее элемент
регистрирует свет, проходящий через один из совокупности фото-
*) Описанный в настоящем параграфе метод является голографическим
вариантом интегральной фотографии Липпмана [18.19] (см.также [18.20.
18.21]).— Прим. ред.
606
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18
снимков объекта. Наблюдатель, рассматривая составную голо-
грамму от одного ее края к другому, ощущает параллакс обычным
образом.
1. Регистрация ракурсных фотоснимков
Один из методов регистрации фотоснимков, пригодных для
записи элементов голограммы, показан на фиг. 18.7. Трехмерный
объект освещен обычным белым светом. Матрица линзочек, назы-
ваемая линзовым растром (когда эта матрица двумерна), фор-
мирует матрицу изображений на фотопластинке [18.13]. Назовем
ФИГ. 18.7. Метод записи ракурсных снимков с по-
мощью линзового растра.
позитив каждого из этих снимков ракурсным снимком. Каждый
из них представляет собой изображение объекта, наблюдаемого
под слегка отличающимся углом зрения.
Использование линзового растра необходимо только в том
случае, когда объект изменяется во времени и требуется произве-
сти мгновенную запись. Если объект стационарен, для записи
ракурсных снимков можно использовать один объектив или каме-
ру с одним объективом [18.14—18.16]. Камера может перемещаться
в различные положения, например, соответствующие положениям
отдельных линзочек на фиг. 18.7, а ракурсные снимки могут
регистрироваться последовательно на катушке пленки. Как
и в случае стереопар, эти ракурсные снимки не обязательно долж-
§ 5.
СИНТЕЗ ТРЕХМЕРНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ФОТОСНИМКАМ
607
ны быть фотоснимками реальных объектов. Действительно, одно
из наиболее интересных применений голографического синтеза
изображений состоит в отображении ракурсных снимков, синте-
зированных вычислительной машиной [18.17]. При этом в дей-
ствительности объект может и не существовать, необходимы толь-
ко координаты его точек, записанные в памяти вычислительной
машины. Машине, запрограммированной на конструирование
трехмерных объектов, может быть дана команда на печать на вы-
ходном микрофильмирующем устройстве набора рисунков, пред-
ставляющих столько видов объекта, сколько требуется.
Очевидно, что первоначальная запись объекта в виде набора
ракурсных снимков имеет определенные преимущества перед
непосредственной голографической записью. Такая запись может
быть выполнена с объектами, освещенными белым светом, движу-
щимися объектами, протяженными сценами и даже несуществую-
щими объектами. Теперь рассмотрим методы использования
ракурсных снимков для построения составной голограммы.
2. Запись голограммы
Предположим, что фотопластинка на фиг. 18.7 была экспони-
рована через линзовый растр, проявлена с обращением для полу-
чения позитивного снимка и вновь помещена за линзовым растром.
Осветим все ракурсные снимки диффузным светом лазера, падаю-
щим на фотопластинку, справа, как показано на фиг. 18.8. Когда
свет проходит через каждое изображение, элементы линзового
растра проецируют действительные изображения объекта, фоку-
сируя их в его исходное положение. Эти изображения при совмест-
ном действии синтезируют полное трехмерное изображение объек-
та. Такое синтезированное изображение может служить объектом
голографирования [18.13]. Однако следует отметить, что дей-
ствительное изображение, образованное лучами, прошедшими
через ракурсные снимки в направлениях, антипараллельных
направлениям исходных лучей от объекта, является псевдоскопи-
ческим (см. гл. 8, § 2, п. 1). Голограмма псевдоскопического
действительного изображения объекта должна освещаться пучком,
сопряженным по отношению к опорному пучку; в этом случае она
восстанавливает ортоскопическое изображение.
Обычно записывают голограмму в плоскости, лежащей между
линзовым растром и изображением. Если голограмма записана
в плоскости (фиг. 18.8) или вблизи нее, то образуются близко
расположенные дискретные элементы, и такая запись представляет
собой составную голограмму в смысле, определенном в этой главе.
Если голограмма записана в плоскости изображения Р2, она
представляет собой суперпозицию голограмм сфокусированных
изображений [18.16]. В последнем случае предпочтительно запи-
608
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
сывать голограмму при одновременном освещении всех ракурсных
снимков. Голограммы, полученные при последовательной записи,
•обычно характеризуются низкой дифракционной эффективностью
и малой величиной отношения сигнал — шум (см. гл. 17, § 5,
п. 5). Когда элементы голограммы пространственно разделены,
как в случае записи голограммы вблизи плоскости Pi, хорошие
результаты получаются как при одновременном, так и при после-
довательном экспонировании. Если голограмма расположена вбли-
ФИГ. 18.8. Восстановление действительного изоб-
ражения при лазерном освещении мат-
рицы ракурсных снимков в сочетании
с линзовым растром.
зи линзового растра, то опорный пучок должен падать на фото-
пластинку с обратной стороны, образуя отражательную голо-
грамму.
Схема, приведенная на фиг. 18.9, дает большую свободу при
записи составной голограммы с использованием набора ракурсных
снимков. Основными элементами схемы являются ракурсные
снимки, голограммная пластинка, лазер, неподвижный проекцион-
ный объектив, рассеивающий экран и маска, которая может точно
перемещаться над поверхностью фотопластинки [18.17, 18.18].
Мы рассмотрим процесс для того случая, когда ракурсные снимки
различаются только по азимутальному углу визирования объекта,
который на них зарегистрирован. В этом случае процесс аналоги-
§ 5.
СИНТЕЗ ТРЕХМЕРНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ФОТОСНИМКАМ
609
чей процессу записи широкоугольных голограмм, рассмотрен-
ному в § 4.
Предположим, что мы вводим в пучок лазерного света ракурс-
ный снимок, соответствующий виду на объект через правый край
голограммы. Это изображение проецируется на рассеивающий
экран, который в свою очередь распределяет свет по всем участкам
плоскости голограммы. Щель в маске расположена таким образом,
что через нее экспонируется вертикальная полоска в крайнем
Лазерный
свет
снимки
Проекционный
объектив
ФИГ. 18.9. Схема последовательной записи элемен-
тов голограммы с помощью набора
ракурсных снимков.
правом углу голограммы. Рассеянный свет, попадающий от экрана
на щель, можно считать эквивалентным свету, диффузно рас-
сеянному объектом в методе записи широкоугольных голограмм.
Однако в этом случае полностью отсутствует вертикальный
параллакс. При записи элемента голограммы фиксированный
опорный пучок интерферирует с предметным пучком. Для записи
610
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
второй голограммной полоски, расположенной слева от первой
и непосредственно примыкающей к ней, первый ракурсный сни-
мок заменяется следующими, и маска смещается на ширину щели
влево. Последовательно вся совокупность ракурсных снимков
записывается в виде элементов составной голограммы. При осве-
щении составной голограммы одним исходным опорным пучком,
ФИГ. 18.10.
Снимок трехмерного изображения несу-
ществующего объекта. (По Кингу и др.
[18.17].)
Лампа, показанная на снимке, освещает голо-
грамму сфокусированного изображения. Серия
ракурсных снимков синтезировалась вы-
числительной машиной, после чего была за-
писана составная голограмма, с которой было
получено изображение совокупности произ-
вольно ориентированных в пространстве
ярких линий.
ЛИТЕРАТУРА
611
использовавшимся для записи всех элементов, наблюдатель вос-
принимает трехмерное мнимое изображение, параллакс которого
связан с диапазоном углов визирования ракурсных снимков.
Преимущество этого метода состоит в том, что он дает возможность
использовать любой из описанных выше способов уменьшения
информационной емкости, изменения степени стереоскопичности
и увеличения угла обзора. Для создания перспективных снимков
пригоден любой способ.
Запись голограммы сфокусированного изображения с помощью
составной голограммы также имеет свои преимущества. Такую
запись выполняют, помещая регистрирующую пластинку в пло-
скость действительного изображения, восстановленного при осве-
щении составной голограммы волной, сопряженной по отношению
к исходной опорной волне. Поскольку все двумерные перспектив-
ные снимки зарегистрированы голографически при одном и том же
положении объекта, все их двумерные действительные изображе-
ния лежат также в общей плоскости наилучшей фокусировки.
На фиг. 18.10 приведен фотоснимок синтезированного трехмерного
изображения (произвольный набор прямых линий в пространстве),
восстановленного голограммой сфокусированного изображения,
записанной в этой плоскости. Ракурсные снимки были созданы
вычислительной машиной, а исходная составная голограмма была
записана по схеме, приведенной на фиг. 18.9. При освещении
составной голограммы было получено трехмерное изображение
несуществующего объекта. Голограмма сфокусированного изо-
бражения, с помощью которой было получено изображение,
показанное на фиг. 18.10, была зарегистрирована на слое хроми-
рованного желатина. Благодаря сочетанию ее высокой дифрак-
ционной эффективности со свойствами голограммы сфокусирован-
ного изображения (см. гл. 8, § 3, п. 2) было получено яркое изо-
бражение, для восстановления которого достаточно освещения
белым светом от маленькой лампы, видимой на снимке.
ЛИТЕРАТУРА
18.1. BURCKHARDTC. В., Journ.
Opt. Soc. Amer., 58, 241
(1968).
Уменьшение информацион-
ной емкости голограмм, пред-
назначенных для визуально-
го наблюдения.
18.2. LIN L. Н., Appl. Opt., 7,
545 (1968).
Метод уменьшения информа-
ционной емкости голограмм
посредством выборки про-
странственных частот.
18.3. DE BITETTO D. J., Appl.
Phys. Lett., 12, 176 (1968).
Уменьшение ширины полосы
частот систем передачи голо-
грамм посредством исключе-
ния вертикального параллак-
са.
18.4. HAINES К. A., BRUMM
D. В., Appl. Opt., 7, 1185
(1968).
Уменьшение информационно-
го содержания голограмм.
18.5. FRITZLER D., MAROM Е.,
Appl. Opt., 8, 1241 (1969).
Уменьшение ширины поло-
39*
612
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
ГЛ. 18.
сы, необходимой для переда-
чи голограмм с высоким раз-
решением.
18.6. DUDLEY L. Р., в книге
Applied Optics and Optical
Engineering, ed. R. King-
slake, vol. 2, New York, 1965,
p. 77.
Стереоскопия.
18.7. LIN L. H., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 1539 (1968).
Гиперстереоскопические и
гипостереоскопические голо-
графические изображения.
18.8. HIOKI R., SUZUKI Т., Jap.
Journ. Appl. Phys., 4, 816
(1965).
Всестороннее восстановление
волновых фронтов.
18.9. SUPERTZI Е. Р., RIG-
LER А. К., Journ. Opt. Soc.
Amer., 56, 524 (1966).
Широкоугольная голография.
18.10. JEONG Т. Н., RUDOLF Р.,
LUCKETT A., Journ. Opt.
Soc. Amer., 56, 1263 (1966).
Голография с углом обзора
360°.
18.11. JEONG Т. Н., Journ. Opt.
Soc. Amer., 57, 1396 (1967).
Цилиндрическая голография
и некоторые возможные ее
применения.
18.12. KING М. С., Appl. Opt., 7,
1641 (1968).
Запись трехмерных изобра-
жений с углом обзора 360°
с помощью многократной ре-
гистрации голограмм.
18.13. POLE R. V., Appl. Phys.
Lett., 10, 20 (1967).
Получение трехмерных изо-
бражений и голограмм объек-
тов, освещенных белым све-
том.
18.14. McCRICKERD J. Т., GE-
ORGE N., Appl. Phys. Lett.,
12, 10 (1968).
Голографическая стерео-
грамма, полученная из по-
следовательности составных
фотоснимков.
18.15. GEORGE N., McCRI-
CKERD J. Т., CHANG
М. М. Т., Proc. SPIE Semi-
nar-in-Depth Holography,
1968, р. 117.
Масштаб и разрешение голо-
графических стереограмм
протяженных объектов.
18.16. REDMAN J. D., Proc. SPIE
Seminar-in-Depth Holograp-
hy, 1968, p. 161.
Трехмерное восстановление
портретов и пейзажей с ис-
пользованием голографиче-
ского мультиплицирования.
18.17. KING М. С., NOLL А. М.,
BERRY D. Н., Appl. Opt.,
9, 471 (1970).
Новый подход к синтезу го-
лограмм на вычислительных
машинах.
18.18. DE BITETTO D. J., Appl.
Opt., 8, 1740 (1969).
Синтез голографических па-
норамных стереограмм со
снимков, полученных в бе-
лом свете.
18.19* . LIPPMANN G., Compt.
Rend., 146, 446 (1908).
18.20* . ВАЛЮС Н. А., Растровая
оптика, М., 1949.
18.21* . ВАЛЮС Н. А., Растровые
оптические приборы, М.,
1966.
Глава 19
ГОЛОГРАММЫ,
СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАШИНЕ
Голограммы, синтезированные на вычислительной машине,
могут выполнять функции, аналогичные функциям оптически
записанных голограмм в наиболее перспективных областях при-
менения последних. С помощью синтезированных голограмм
можно опознавать буквы или снимки, исправлять качество
изображений и производить интерферометрические испытания
оптических поверхностей. Чтобы дать реалистическую оценку
их преимуществ по сравнению с оптическими лазерными голо-
граммами, необходимо понять принципы, лежащие в основе
метода расчета голограмм. В этой главе мы ограничимся обсужде-
нием основных принципов этого метода, оставляя в стороне детали,
относящиеся к конкретным типам вычислительных машин или
их выходных устройств.
Прежде чем перейти к математическому анализу, кратко опи-
шем метод. Предположим, что объект, освещенный лазерным
светом, может быть адекватно описан ограниченным ансамблем
точек, рассеивающих свет. Если ввести в вычислительную машину
координаты этих точек вместе с параметрами, характеризующими
длину волны и направление распространения освещающей объект
и опорной волн, то можно рассчитать распределение амплитудного
пропускания в образующейся голограмме. Эта информация может
быть записана в памяти вычислительной машины и отображена
на выходном устройстве — графопостроителе или электронно-
лучевой трубке, что дает увеличенное изображение голограммы.
Увеличение необходимо из-за недостаточного разрешения печат-
ных и отображающих устройств. Эта запись далее уменьшается
оптическим методом до размеров, соответствующих длине волны,
использованной при расчете, и регистрируется фотографическим
методом в виде транспаранта. Когда полученную таким образом
голограмму освещают лазерным пучком, восстанавливается изо-
бражение объекта. Очевидно, что можно рассчитать голограммы
объектов, реально не существующих, поскольку требуется только
математическое представление об объекте.
Машинные методы, которые будут рассмотрены, синтезируют
фурье-голограммы [19.1, 19.2]. Для этого вычислительная машина
должна рассчитать весьма большое количество отсчетов двумер-
ного фурье-образа объекта. Каждый отсчет состоит из значения
амплитуды и фазы фурье-образа в определенной точке. Количество
614
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
отсчетов ограничивается машинным временем и его стоимостью.
Как и следует ожидать, такое ограничение сильно влияет на изо-
бражающие свойства голограммы. Например, ограничение про-
странственной частоты отсчетов приводит к уменьшению поля
зрения или размеров регистрируемого объекта и его изображения.
Этот результат аналогичен тому, который получается при записи
фурье-голограмм на регистрирующей среде с ограниченным раз-
решением. С другой стороны, ограничение общего количества
отсчетов ведет к ограничению размеров голограммы и, следова-
тельно, ограничению дифракционного предела разрешения в вос-
становленном изображении. Дальнейшее упрощение, используемое
во многих методах машинного синтеза голограмм, состоит в том,
что величину амплитудного пропускания в любой точке считают
равной либо единице, либо нулю. Такие «двухтоновые» голограм-
мы называются бинарными. Это упрощение позволяет совместить
отображение голограмм с техническими данными большинства
выходных устройств и облегчает последующую фотографическую
запись уменьшенной голограммы.
§ 1. Теорема отсчетов
Существует возможность рассчитать ограниченное число отсче-
тов (т. е. дискретных значений) непрерывной функции, например
фурье-образа функции, и по этим отсчетам точно восстановить всю
непрерывную функцию. В соответствии с теоремой отсчетов, если
непрерывная функция / (ж) имеет ограниченную полосу, т. е.
спектр ее имеет значения, отличные от нуля, только в ограничен-
ном диапазоне частот, и если отсчеты / (ж) производятся по край-
ней мере дважды в любом интервале \х, равном периоду наивысшей
пространственно-частотной составляющей / (ж), тогда функция
f (ж) может быть точно восстановлена из дискретных отсчетов.
Ниже мы дадим краткое рассмотрение некоторых применений
теоремы отсчетов. (Более подробное обсуждение этой теоремы
и ее применений дано в книге Брэйсуэлла [4.1, гл. 10].) *)
Для начала введем понятие о гребенчатой функции, показан-
ной на фиг. 19.1:
ОО
comb (х) = 3 6 (х — т), (19.1)
т=—оо
где т — целое число единиц расстояния. Видно, что функция
comb (х) представляет собой бесконечную последовательность
1) См. также [19.10, гл. 5] и [19.11, гл. 4]. Точная формулировка тео-
ремы отсчетов включает требование об эквидистантности точек, в которых
берутся отсчеты. Теорема отсчетов была впервые доказана акад. В. А. Ко-
тельниковым.— Прим. ред.
§ 1.
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
615
6-функций единичной силы, т. е. нормированных по площади
на единицу [см. соотношение (4.13в)], причем все 6-функции отсто-
ят от соседних на единичном расстоянии. Как показано в работе
[4.1], фурье-образ функции comb (ж) снова является функцией
comb (£), так что
comb (ж) дэ comb (£). (19.2)
Расстояние между 6-функциями, последовательность которых
представляет собой функцию comb (ж), может быть установлено
ФИГ. 19.1.
Функция comb (ж).
путем произвольного выбора масштабного фактора с и ввода сх
в качестве аргумента в (19.1). Тогда можно написать
ОО
comb (сх) = 3 6 (сх — т),
7П=—оо
что с помощью (4.13г) можно представить в виде
ОО
сотЬ(сж) = -р|- 2 б(ж—v)’ (19-3)
771= —ОО
Применяя теорему подобия (4.22) к соотношению (19.2), получаем
соотношение для фурье-преобразования
comb (сж) zd -jij- comb . (19.4)
Применим эти соотношения для разъяснения смысла теоремы
отсчетов. Предположим, что мы производим отсчет функции
а (х) регулярно в последовательности точек, отстоящих на рас-
стояние Дж единиц, как показано на фиг. 19.2 для действительной
616
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
функции а (ж). Очевидно, математическим представлением опера-
ции отсчета является умножение непрерывной функции а (ж)
ОО
на функцию 3 6 (х — тпАх). Выразим последнюю функцию
771== —ОО
ФИГ. 19.2. Непрерывная функция а (ж) и функция
отсчетов ag (ж), состоящая из матрицы
S-функций.
через гребенчатую функцию вида (19.3), положив с = 1/Дж.
Тогда
ОО
2 6(z-TnAz) = ^-comb(^-).
m=— оо
Отсчетная функция as (х) может быть записана либо в виде
а»(а;) = а(а;)-^-соп1Ь(-^-). (19.5а)
либо в виде
ОО
as (х) = а (х) 3 6 (х — игДж) =
771= —ОО
= 3 а(игДж)6(л:— пгДж) (19.56)
771=—ОО
Каждый отсчет функции а (х) в формуле (19.56) представляет собой
6-функцию, сила которой определяется величиной а (х) в точке,
соответствующей данной 6-функции. На фиг. 19.2 6-функции
показаны в виде стрелок, длины которых пропорциональны
их силам.
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
617
Для синтеза голограмм на вычислительной машине необходимо
произвести вычисление фурье-образа As (£) отсчетной простран-
ственной функции as (ж). Покажем, что если отсчеты были взяты
с соблюдением требований теоремы отсчетов, то точный фурье-
образ А (5) непрерывной функции а (ж) может быть получен
из As (5). Обратное преобразование в этом случае восстанавливает
функцию а (ж). При преобразовании выражения (19.5а) произведе-
ние а (ж) на (1/Дж) comb (ж/Дж) в пространстве координат переходит
в свертку их фурье-образов А (£) и comb (Дж£) в пространстве
частот [см. теорему о свертке (4.11)], так что
ОО
А8© = Аф*сотЪ(Дж£) = А(£)*[-А_ s(g--£)]. (19.6)
т=—оо
Здесь было использовано соотношение (19.4) и вместо ж в (19.3)
подставлена величина Учитывая определение операции свертки
[см. (4.11)] и используя свойства симметрии 6-функций [см. (4.136)]
и ее фильтрующее свойство (4.13д), получаем
ОО оо
з j A(u)»(l-^-u)du=
т——оо и=—оо
оо оо
= 5 J A(u)6(u-g + ^)du =
т~—оо и——оо
оо
3 а(е-^).
?п=—оо
(19.7)
На фиг. 19.3 показан фурье-образ As (5) как регулярная последо-
вательность сдвинутых фурье-образов (1/Дж) А (£ — т/кх), каж-
дый из которых пропорционален фурье-образу исходной непре-
рывной функции а (ж) и отделен от соседних образов интервалом
5 = НДж. Предположим, что исходная функция а (ж) имеет огра-
ниченный спектр частот, так что значения А (£) отличны от нуля
только в области —£Макс/2 5 £макс/2. Перекрытия сдвину-
тых образов (НДж) А (£ — пг/Дж) не происходит, если
1 1
дГТ^^макс, ИЛИ ДжСу .
ймакс
(19.8)
Неравенство (19.8) определяет интервалы отсчетов, удовлетво-
ряющие условию теоремы отсчетов. Из фиг. 19.3 видно, что, когда
соблюдается неравенство (19.8), фурье-образ А (£) может быть
618
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
A (g) = As (g) Дж rect (
(19.9)
восстановлен по фурье-образу As (£) отсчетной функции посред-
ством простого умножения As (£) на прямоугольную функцию
вида Дж rect (£/£Макс)- Таким образом,
Вмакс
Если неравенство (19.8) не соблюдается, сдвинутые фурье-образы
(1/Дж) А — m/Дж) перекрываются и восстановление А (5) ста-
новится невозможным. Умножение As (5) на прямоугольную функ-
цию в этом случае дает функцию, отличающуюся от А (£). Возни-
кающая погрешность носит название «переименования» (англ,
aliasing).
ФИГ. 19.3.
Фурье-образ Ag (5) функции отсчетов,
состоящий из бесконечного ряда функ-
ций, пропорциональных исходному
фурье-образу А (|) и расположенных
на расстоянии 1/Аа:.
Умножение As (£) на прямоугольную функцию
Ax rect (£/£мя„„) дает фурье-образ А(() исход-
ной функции
Получив значение А (£) из дискретных отсчетов функции а (ж),
перейдем теперь к построению обратного фурье-образа А (£) и,
следовательно, к восстановлению исходной пространственной
функции а (ж). Обратное фурье-преобразование произведения
As (5) на Дж rect (£/£Макс) в соотношении (19.9) эквивалентно опе-
рации свертки в пространстве обратных фурье-образов этих
функций. Из соотношения (4.31) для обратного фурье-образа пря-
моугольной функции получаем
Дж rect
Вмакс
с Джсмакс
sin л|макс х
л1макс х
(19.10)
ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ
619
Следовательно, учитывая (19.56) и фильтрующее свойство (4.13д),
можно написать
а (ж) = [А (£)] = as (х) * [Д^макс ] =
= [ а(шДж)6(ж-шДж)]*[Ммакс^|^£] =
оо
Аймаке а (шДж)
т=—оо
sin [ломаке (ж —
Ломакс (х— шЛж)
(19.11)
Если выбран максимально допустимый интервал отсчетов Дж =
ФИГ. 19.4.
Восстановление исходной функции а(ж)
по отсчетной функции ag (х) в простран-
ственной области.
= 1/5Макс> то выражение (19.11) упрощается, и мы получаем
следующее весьма полезное выражение:
*<*>- 2 а(-&)
т=—оо
sin (л|макс х — "”»)
Ломаксх пт
(19.12)
На фиг. 19.4 представлено восстановление функции а (ж) с помо-
щью суммы функций вида (sin z)/z. Показаны только два члена
суммы (19.12). Следует отметить, что выражение
Sin (ломаке х — лиг)
Ломаксх пт
620
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
принимает значение, равное единице для т-то отсчета, х =
= пг/£макс, и равно нулю для всех других позиций. Если учесть
все члены суммы (19.12), считая как положительный центральный
максимум, так и положительные и отрицательные боковые макси-
мумы, то можно точно восстановить непрерывную функцию а (х).
Чтобы распространить теорему отсчетов на двумерное простран-
ство, гребенчатую функцию comb (х) в (19.5а) следует заменить
двумерной матрицей 6-функций.
§ 2. Дискретное фурье-преобразование
и быстрое фурье-преобразование
Как отмечалось выше, машинные методы расчета фурье-голо-
грамм сопряжены с вычислением очень большого количества
отсчетов фурье-образа предметной функции. Поскольку вычисли-
тельная машина в состоянии запоминать координаты только огра-
ниченного числа отсчетов предметной функции, представляет
интерес рассмотреть форму, которую принимает их фурье-образ.
Как и ранее, мы ограничимся анализом одномерного случая.
Вспомним, что в соответствии с (4.9) фурье-образ функции а (х)
определяется как
A(g)= j а (х) ехр (2лг£а;) dx. (19.13)
— ОО
Подставляя вместо а (ж) выражение (19.12), получаем
ОО оо
A®=J S « Ш -КР №) 1*. (19.14)
— ОО 771= —ОО
Из соотношений (4.20) и (4.31) имеем
ОО
( sin (Л|макс х-пт) ехр (2яг^.) dx =
J льмакс
— оо
=-=-^—rect ) ехр (2лг ) . (19.15)
бмакс \ ъмакс / ' бмакс /
Подстановка (19.15) в (19.14) дает, что при 5, лежащих в интер-
вале ( 5макс/2 С 5макс/2),
ОО
= 2 а (у-—) ехр (2лг-г^—) ,
бмакс х бмакс / ' бмакс /
т=-оо (19.16)
А (5) = 0 для всех остальных
? 2.
ДИСКРЕТНОЕ ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
621
При выводе (19.12) мы предполагали, что функция а (ж) имеет
ограниченную полосу частот. Теперь сделаем дополнительное
предположение, а именно будем считать, что она ограничена
в пространстве интервалом —жмакс/2 х жмакс/2. (Строго го-
воря, это неверно, так как функция, ограниченная по полосе
частот, не может одновременно быть ограниченной в простран-
стве; это допущение ведет к некоторой погрешности вычисления
фурье-образа А (£). Однако, когда величина произведения
жманс£макс намного больше единицы, что всегда соблюдается для
голограмм, эта ошибка пренебрежимо мала [19.3].) Если функция
а (ж) ограничена в пространстве интервалом ±жмакс/2, то из тео-
ремы отсчетов следует, что А (5) — фурье-образ функции а (х) —
может быть восстановлен из отсчетов фурье-образа, взятых через
интервалы Д£ = 1/жмакс, что аналогично соотношениям (19.8).
При машинном расчете голограммы можно сократить машинное
время путем вычисления А (£) только в точках отсчета £ = га/жмакс,
где п — целое число. Следовательно, для единичного отсчета функ-
ции A (g) в (19.16) можно написать
М/2
А(-^— У а j ехр (2ш^——----------------), (19.17)
\ жмакс / ъмакс \ ъмакс / ' ъмакс ^макс /
т=—М/2
где М — общее число отсчетов ограниченной в пространстве
функции а (ж). Соотношение (19.17) называется дискретным
фу ръе-прео бразеванием.
Теперь оценим число ступеней вычисления, время и стоимость
вычисления дискретного фурье-образа функций некоторых объек-
тов. Для каждого отсчета А (п/жмако) фурье-образа мы должны
вычислить М произведений, соответствующих М отсчетам пред-
метной пространственной функции, хранящимся в памяти вычис-
лительной машины. Если в соответствии с теоремой отсчетов эти
дискретные значения берутся с пространственным интервалом
Дж = 1/^макс и если предметная пространственная функция
характеризуется протяженностью жмакс, то общее количество
вводимых в запоминающее устройство дискретных данных равно
М = ^ = жмакс£макс. (19.18)
Аналогично получаем общее число дискретных отсчетов фурье-об-
раза
А = -^ = £макс*макс. (19.19)
Мы видим, что М = N, т. е. как исходная пространственная
функция, так и фурье-образ требуют одинакового числа отсчетов.
Для вычисления всех дискретных значений одномерного фурье-
622
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
образа необходимо вычислить общее количество MN = N2, членов.
Для двумерного фурье-образа, состоящего из матрицы N X N
дискретных отсчетов, требуется Ni членов.
Предположим, что мы ввели в запоминающее устройство вычис-
лительной машины матрицу из 100 X 100 отсчетов предметной
пространственной функции и что для вычисления одного члена
суммы формулы (19.17) и прибавления его к остальным необходи-
мо 30 мкс. (Последняя величина типична для современных боль-
ших вычислительных машин.) В этом случае матрица фурье-обра-
за, состоящая из 100 X 100 отсчетов, может быть вычислена
за 3000 с, т. е. менее чем за час. Такой матрице соответствует
довольно примитивная картина. Поскольку стоимость часа
машинного времени большой вычислительной машины может
достигать нескольких сотен долларов, перспективы машинного
синтеза фурье-голограмм кажутся довольно сомнительными.
К счастью, в последнее время получил широкое распространение
позволяющий сэкономить время метод вычисления, называемый
быстрым фуръе-преобразованием', это существенно улучшает пер-
спективы машинного синтеза.
Быстрым фурье-преобразованием назван алгоритм для вычис-
ления фурье-образа. При больших значениях N этот алгоритм
характеризуется существенно меньшим числом операций вычис-
ления, чем следует из соотношения (19.17). (Поскольку объясне-
ние этого алгоритма выходит за рамки настоящей книги, мы реко-
мендуем обратиться к работе [19.3].) Машинные программы быст-
рого фурье-преобразования широко доступны. Для успешного
применения алгоритма предпочтительно, чтобы число N представ-
ляло собой степень двух. В этом случае для вычисления фурье-
образа матрицы из N X N отчетов требуется всего 4№ 1ог2 N
операций умножения и сложения [19.3]. В табл. 19.1 приведены
некоторые оценки [19.4] машинного времени, необходимого для
вычисления матриц из N X N отсчетов прямым методом {Ni чле-
нов) и методом быстрого фурье-преобразования. Эти данные
с очевидностью доказывают преимущества метода быстрого фурье-
Таблица 19.1
Сравнение машинного времени при использовании метода
прямого вычисления и метода быстрого фурье-преобразования
Размер
матрицы
Прямое
вычисление
Быстрое
фурье-пре-
образование
Размер
матрицы
Прямое
вычисление
Быстрое
фурье-пре-
образование
64x64
256x256
8 мин
30 ч
3 с
1 мин
512x512 20 дн 5 мин
1024X1024 1 год 20 мин
§ 3.
ДВОИЧНЫЕ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
62В
преобразования с точки зрения сокращения машинного времени.
Таким образом, с использованием алгоритма быстрого преобра-
зования практически возможно вычисление фурье-образов матриц,,
содержащих примерно до 1000 X 1000 отсчетов.
§ 3. Двоичные фурье-голограммы
Рассмотрим команды, которые вычислительная машина долж-
на дать выходному устройству (графопостроителю) для записи
двоичной фурье-голограммы. Предположим, что отсчеты фурье-
образа, хранящиеся в памяти вычислительной машины, были
получены для всех точек регулярной квадратной матрицы, а рас-
стояние между этими точками было выбрано в соответствии с тео-
ремой отсчетов. Точки отсчетов занимают конечную площадь
на гипотетической плоскости £т], соответствующей фурье-плоско-
сти объекта и плоскости голограммы. Чтобы изобразить голо-
грамму в двоичной форме, графопостроитель должен нанести отсче-
ты на реальной поверхности в виде матрицы, содержащей прозрач-
ные и непрозрачные участки. Из-за ограниченного разрешения
графопостроителя интервалы между отсчетами и соответствующие'
им площади увеличены в масштабе, чтобы получить увеличенную
голограмму. Последующее оптическое уменьшение дает голограм-
му нужных размеров. Сведение всех значений пропускания
к бинарной форме упрощает запись голограммы. Многие графо-
построители, стоящие на выходе вычислительных машин, в состоя-
нии записывать лишь два предельных значения пропускания —
единицу и нуль. Поскольку отсутствуют промежуточные значения
(полутона), для фотографического уменьшения может быть исполь-
зована простая высококонтрастная обработка. (Синтезированные
на вычислительной машине голограммы записывались также
с помощью полутонового графопостроителя [19.5].) Хотя наше
обсуждение ограничивается только фурье-голограммами, оно
с соответствующими поправками относится и к голограммам;
Френеля.
Прежде чем переходить к количественному анализу процесса
записи голограммы, рассмотрим его качественно. (В обоих вари-
антах мы не будем говорить о необходимой на практике стадии
уменьшения увеличенной голограммы.) На фиг. 19.5 представлено
одномерное сечение голограммы, расположенной в плоскости £
фурье-образа объекта и освещенной внеосевой плоской волной.
Часть этой волны восстановит изображение. Фаза волны в пло-
скости голограммы, 2л£л:0, изменяется линейно с изменением £
и возрастает на 2л радиан в интервале = 1/ж0, где х0 — коор-
дината освещающего источника в координатной плоскости. В пло-
скости фурье-образа (или в плоскости голограммы) треугольники
624
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ- 1Й.
обозначают регулярно расположенные точки отсчетов, в которых
должен вычисляться фурье-образ. Расстояние между ними рав-
но 1/^мако где х макс — полная пространственная протяженность
объекта (±яМакс/2). Мы положили, что 1/жмакс = 1/^о-
Предположим, что плоскость голограммы первоначально
непрозрачна. Чтобы закодировать вычисленные значения ком-
плексной амплитуды фурье-образа на голограмме, мы пробиваем
ФИГ. 19.5. Внеосевая плоская волна, освещающая
одномерную фурье-голограмму, синте-
зированную на вычислительной машине.
Голограмма представляет собой ряд малых
отверстий в непрозрачном экране.
в этой плоскости малые отверстия. Каждому отверстию соответ-
ствует своя точка отсчета, а площадь отверстия пропорциональна
(действительной) амплитуде фурье-образа, вычисленной для этой
же точки. Фаза отсчета фурье-образа закодирована в расположе-
нии отверстия на плоскости относительно точки отсчета. Предпо-
ложим, что фаза освещающей волны в точке отсчета А точно равна
вычисленной фазе отсчета фурье-образа объекта в этой точке.
Тогда мы можем в точке А проделать в плоскости отверстие необ-
ходимых размеров. В точке отсчета В, находящейся от точки А
§ 3.
ДВОИЧНЫЕ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
625
на расстоянии 1/жмакс единиц пространственных частот, фазы
•освещающей волны и отсчета фурье-образа, вычисленного для
точки В, не обязательно совпадут. Если справедливо предположе-
ние о том, что фаза фурье-образа, являющегося непрерывной функ-
цией, меняется плавно и медленно между точками А и В, то для
кодирования фазы фв отсчета фурье-образа в точке В может быть
применен следующий приближенный метод. Положение отверстия,
площадь которого соответствует величине отсчета в точке В,
смещается по плоскости голограммы от точки В на такое расстоя-
ние, что фаза освещающей волны становится равной фв. В этой
точке и прокалывается отверстие. Аналогичным образом нано-
сятся все отсчеты фурье-образа. При освещении полученной таким
•образом голограммы внеосевой плоской волной дифрагированный
волновой фронт будет аппроксимировать фурье-образ распреде-
ления пропускания по объекту. Степень точности этого воспро-
изведения, разумеется, зависит от того, были ли отверстия рас-
положены достаточно часто, т. е. удовлетворялись ли условия
теоремы отсчетов, а также от погрешностей, вносимых прибли-
женным методом кодирования фазы. В результате оптического
фурье-преобразования дифрагированной волны получается изоб-
ражение объекта.
Проведем теперь количественное рассмотрение двумерных
голограмм. Предположим, что область, в которой комплексная
амплитуда объекта а (х, у) не равна нулю, ограничена в простран-
стве:
жмакс
2
.. I Унаке жмакс
2 2
(19.20)
Освещая голограмму, записанную соответствующим образом,
мы хотим получить волновой фронт, комплексная амплитуда кото-
рого А (5, ц) является фурье-образом амплитуды а (ж, у). По-
скольку необходимо восстановить А (5, ц) по вычисленным
дискретным значениям этой функции, следует указать это в нашем
математическом представлении А (£, ц). С этой целью можно видо-
изменить выражение (19.12). В приведенном выше виде оно отобра-
жает пространственную функцию, фурье-образ которой ограни-
чен по спектру. Если заменить £ на х и т] на у, то эта формула
будет описывать пространственно-частотную функцию, простран-
ственный образ которой ограничен в пространстве. Итак, прост-
ранственный двумерный аналог выражения (19.12) имеет вид
Д Л _ у у д / т п \ sin (ломаке—лтп)
^—1 \ хмакс ®макс ' ломаке лтп
т п
sin (лт]Жмакс — ли)
л Ломакс — л л
(19.21)
40-0 990
626
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
где (т, п) обозначает точку отсчета в плоскости пространственно-
го спектра. Для выполнения обратного фурье-преобразования
функции А (5, т]) применяется объектив, в задней фокальной пло-
скости которого получается изображение исходной пространст-
венной функции объекта а (х, у). С помощью соотношений (4.31)
и (4.21) мы получаем для а (х, у) = ^7-1[А (5, т])1 следующее
выражение:
• <*’s) - (^Ы2 r“‘ (^)rKl )х
xVVA(_2_, ехр Г-2я<(-2£-+—3!—) 1.
\ жмакс ^макс / L \ #макс ^макс / J
т п
(19.22)
Функцию а (х, у) в (19.22) можно рассматривать как комплексную
амплитуду изображения объекта, восстановленную идеальной
фурье-голограммой, синтезированной на вычислительной машине.
ФИГ. 19.6.
Небольшой участок голограммы, синте-
зированной на вычислительной машине.
Синтезированная голограмма, которую качественно можно1
описать как непрозрачный экран с проделанным в нем множест-.
вом малых отверстий, математически описывается двумерной мат-
рицей 6-функций Н (£, ц). Предположим, что Н (£, ц) освещается
внеосевой плоской волной, фаза которой зависит только от
как показано на фиг. 19.5. Представим 6-функции через матрицы
точек отсчетов, для которых было вычислено значение фурье-обра-
за объекта. Точки отсчетов на плоскости пространственных частот
находятся на равных расстояниях Д£ = Дц по осям £ и ц .
§ 3.
ДВОИЧНЫЕ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
627
Поскольку фаза освещающей волны меняется только по направ-
лению фазовое кодирование эффективно только по направле-
нию и выполняется посредством смещения данного отверстия
от связанной с ним точки отсчета (тД£, пД£) на малое расстояние
Ртп в направлении оси 5 (фиг. 19.6). Следовательно, для мат-
рицы отверстий Н (5, т]) можно написать
Я(£, Т])=ЗЗВт»6^-(т + рт»)Да*6(Т1-пДЭ. (19.23)
т п
Попытаемся установить условия, при которых комплексная ампли-
туда изображения, восстановленного голограммой*# (5, т]), экви-
валента амплитуде а (х, у), описываемой выражением (19.22).
ФИГ. 19.7.
Схема освещения фурье-голограммы,
синтезированной на вычислительной ма-
шине, и восстановления изображения
в задней фокальной плоскости линзы
L2.
Если отверстия малы по сравнению с Д£, то справедливо при-
ближенное описание их как совокупности 6-функций. Сила 6-функ-
ций Втп в таком случае пропорциональна площади отверстия.
Освещение голограммы Н (£, ц) внеосевой плоской волной, исхо-
дящей от точечного источника, расположенного в точке с коорди-
натами (х = х0, у = 0) в пространственной плоскости (фиг. 19.7),
создает в плоскости голограммы комплексную амплитуду
W (£, т]) = ехр (2nix0g) Н (£, т]) =
= ехр (2лгх0£) 2 3 Втпб Ц — (иг + ртп) Д£] 6 (ц — пД£).
m п
(19.24)
В задней фокальной плоскости линзы Ь2 (фиг. 19.7) получаем
обратный фурье-образ амплитуды W. С учетом соотношений (4.20)
40*
628
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
и (4.30) имеем
w (х, у) = [W (g, Т])] =
= 33 Втп ехр [ — 2л г (т + ртп) (х — х0) Д£] ехр (— 2тупД%).
т п
(19.25)
Если дискретные значения фурье-образа вычисляются при мак-
симальном интервале Д£, определяемом теоремой отсчетов, то по-
лучаем
д^-1-. (19.26)
•‘'макс
При подстановке последнего значения в формулу (19.25) простран-
ственная функция w приобретает вид
w (х, у) = У У Бтп ехр Г —2лг (пг+р™п) (ж~жо) 1 х
L •плакс J
т п
X ехр (-2лг-^-). (19.27)
\ -^макс /
Голограмма обладает нужными свойствами, если амплитуда света
w(x, у) дифрагированного ею в плоскость изображения, совпадает
с комплексной амплитудой исходного объекта а (х, у) описы-
ваемой выражением (19.22).
Величина функции w (х, у) [выражение (19.27)] равна величи-
не функции а (х, у) [выражение (19.22)], если
Втп= (—!—VIА ) I, (19.28)
\ жмакс / I \ жмакс жмакс / I
т. е. если площадь малого отверстия пропорциональна абсолютно-
му значению амплитуды фурье-образа. За исключением прираще-
ния фазы 2п,ртп (ж/а:Макс) в (19.27), фазы функций w (х, у) в (19.27)
и а (х, у) в (19.22) равны, когда
2л (т + ртп) ------arg Г А (. (19.29)
v жмак0 6 L \ ямак0 Ямакс / J 4 '
Соотношение (19.29) упрощается при
= М, (19.30)
•^макс
где М — положительное целое число. Тогда можно пренебречь
величинами, кратными 2л радианам, т. е. 2лт.7И, в левой части
(19.29). В результате получаем
2npmnM = arg|~A (——, ,
L \ •чиакс •плакс / J
§ 3.
ДВОИЧНЫЕ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
629
или
_ _ аг8 [А (ш/а:мак0, ге/жмакс)1 «п смч
Ртпп-----------2ЙЙ---------•
Выражения (19.28) и (19.31) определяют условия, необходимые
для синтеза голограммы: они задают площадь и положение каж-
дого малого отверстия или прозрачной точки на голограмме.
Если мы выберем значение М = 1, так что х0 = хмакс, то
задается и положение освещающего источника, как это показано
на фиг. 19.7.
Фазовая ошибка —2лртп (я/ямакс) = —2л (ртпД£) х, кото-
рой мы выше пренебрегли при рассмотрении выражения (19.29),
возникает из-за смещения ртп (в пространственно-частотной
плоскости) отверстий относительно соответствующей точки отсче-
та. При попытке кодирования фазы дискретных значений фурье-
образа, вычисленных для данной точки отсчета, мы молчаливо
предположили, что фаза фурье-образа, являющегося непрерыв-
ной функцией между точками отсчета, не зависит от £, а в точках
отсчета изменяется скачком. Поскольку фазовые характеристики
фурье-образа не совпадают с принятыми, неизбежно возникают
ошибки фазы дифрагированной волны. Более соответствует дей-
ствительности предположение, что фаза фурье-образа медленно
меняется в интервалах между отсчетами. В этом случае можно
аппроксимировать изменение фазы непрерывной функции фурье-
образа между точками отсчета гладкой кривой, интерполирующей
значения фазы в точках отсчета. Отверстие пробивается в той
точке, где фаза интерполяционной кривой равна фазе освещаю-
щей волны [19.2], что уменьшает фазовые ошибки.
Голограммы, состоящие из отверстий, малых по сравнению
с интервалом отсчета, используют малую долю освещающего
света, поскольку большая часть площади голограммы непрозрач-
на. Голограммы с наибольшей эффективностью обычно имеют
пропускание около 50%. Предположим, что вместо малого круг-
лого отверстия мы взяли прямоугольное отверстие, площадь
которого пропорциональна амплитуде отсчета фурье-образа в дан-
ной точке, а размеры уже не являются малыми по сравнению
с интервалом отсчета. Каждую 6-функцию в выражении (19.24)
для W следует заменить прямоугольной функцией; вследствие
этого экспоненциальные множители, входящие в каждый член
выражений (19.25) и (19.27) для фурье-образа функции W, долж-
ны быть умножены на произведение вида (sin х/х) (sin у /у). Изме-
нение последних функций с изменением х или у приводит к тому,
что амплитуда изображения w (х, у) отличается от амплитуды
исходной предметной функции. Эти отступления особенно резко
выражены при больших значениях х и у, т. е. на краях изображе-
ния. По мере увеличения размеров отверстия падение амплитуды
630
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
становится более заметным. Однако оно может быть скомпенсиро-
вано при машинном синтезе голограммы. Для такой компенсации
исходная функция объекта, хранящаяся в запоминающем устрой-
ФИГ. 19.8. Двоичная фурье-голограмма, синтези-
рованная на вычислительной машине.
(По Брауну и Ломану [19.2].)
стве вычислительной машины, должна быть умножена на функ-
ции, обратные функциям вида sin xlx, соответствующим отвер-
стию средних размеров. Таким образом можно выбрать размер
и форму отверстия, обеспечивающие максимальную эффективность
голограммы при хорошей совместимости с параметрами графопо-
строителя.
§ 3.
ДВОИЧНЫЕ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
631
Двоичные голограммы аналогичны обычным голограммам,
записанным на весьма нелинейном регистрирующем материале.
Выше было показано, что восстановленное изображение может
ФИГ. 19.9. Фотоснимок изображения, восстанов-
ленного двоичной фурье-голограммой,
синтезированной на вычислительной ма-
шине. (По Брауну и Ломану [19.2].)
быть свободно от ложных изображений, обычно связанных с нели-
нейностью записи (см. гл. 12, § 1, п. 2). Дискретность отсчетов,
разумеется, ведет к появлению спектров высших порядков, как
это показано на фиг. 19.3. Однако эти порядки не перекрываются,
если соблюдается теорема отсчетов [см. формулу (19.8)].
На фиг. 19.8 показана синтезированная на вычислительной
машине двоичная фурье-голограмма, а на фиг. 19.9— изображе-
ние, восстановленное этой голограммой. Качество изображения
632
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
типично для сегодняшнего уровня метода. В данном случае рас-
чет голограммы был выполнен для объекта, освещенного сквозь
рассеивающий экран, чем и объясняется зернистый характер
изображения.
§ 4. Применения
Вопрос о применении синтезированных голограмм стал рас-
сматриваться совсем недавно, и сейчас еще не ясно, где их лучше
всего использовать. Было предложено использовать их для отоб-
ражения трехмерной информации, хранящейся в памяти вычис-
лительной машины. Поскольку объект, записанный на синтези-
рованной голограмме, может и не существовать в виде физической
реальности, синтезированные голограммы могут использо-
ваться для трехмерного отображения проектов изделий до построе-
ния их макетов. Однако оценка такого применения синтезирован-
ных голограмм может несколько охладить энтузиазм, так как для
синтеза голограммы диффузно отражающего объекта при широ-
ком угле зрения требуется выполнить гигантское количество
вычислительных операций. Поскольку существуют другие спо-
собы решения этой проблемы (см. гл. 18, § 5), маловероятно, что
для достижения этой цели лучшим способом окажется именно
метод синтезированных голограмм.
Пространственная фильтрация, по-видимому, является более
перспективной областью применения синтезированных голограмм.
В гл. 14, § 6, мы рассмотрели некоторые голографические методы
улучшения испорченных изображений с помощью фильтра вида
Н*/| Н |2 [см., например, (14.32)]. Для изготовления такого
фильтра необходимо последовательно осуществлять несколько
процессов точной химико-фотографической обработки, а получен-
ные результаты оставляют желать много лучшего. Вычислительная
машина, однако, в состоянии синтезировать весь голографический
фильтр сразу и существенно улучшить результаты, получаемые
с его помощью. Демонстрировались также синтезированные голо-
графические фильтры для превращения фазовых объектов в ампли-
тудные; действие этих фильтров эквивалентно действию теневой
системы или фазово-контрастных фильтров Цернике [19.6].
Другим перспективным применением голограмм, синтезиро-
ванных на вычислительной машине, является проверка асфери-
ческих оптических поверхностей [19.7]. Давно известно, что
использование асферических поверхностей в оптических системах
во многих случаях имеет определенные преимущества. Однако
Такие поверхности применяются редко из-за трудностей их изго-
товления и проверки. С помощью синтезированных голограмм
можно преодолеть трудности, связанные с процессом проверки.
§ 5. КИНОФОРМ 633
Производится вычисление голограммы волнового фронта, пре-
ломленного или отраженного асферической поверхностью мате-
матически заданной формы; эта голограмма освещается нужным
образом. Дифрагированный волновой фронт можно интерферо-
метрическим путем сравнить с волновым фронтом, преломленным
или отраженным изготовленной асферической поверхностью, т. е.
осуществить проверку этой поверхности, используя, например,
метод, описанный в гл. 15, § 1.
§ 5. Киноформ
Опишем теперь синтезированную на вычислительной машине
регистрограмму, способную производить восстановление волно-
вого фронта; создатели назвали ее киноформом [19.8]. (Прообразом
киноформа можно считать фазовую линзу Френеля [19.9].) Как
и голограмма, киноформ может восстановить трехмерное изобра-
жение. Однако он отличается от голограммы в том отношении, что
в состоянии дифрагировать в один из порядков дифракции весь
падающий на него свет.
Основное допущение состоит в том, что комплексная амплитуда
предметной волны а (х, у) в плоскости регистрации постоянна
по модулю. В этом случае комплексная амплитуда имеет вид
а (ж, У) = const -ехр [г'ф (х, у)]. (19.32)
Наилучшее подтверждение правомерности такого допущенияг
состоит в том, что оно позволяет получать изображения, который
мы в состоянии опознать. Для реализации метода необходимо запи-
сать вычисленную фазовую функцию ф (х, у). Однако перед запи-
сью вычисленное значение фазы обрабатывается таким образом,
чтобы его отклонение от начальной фазы лежало в интервале от-
О до 2л радиан по всей плоскости ху. Величины, кратные 2л ради-
ан, вычитаются из относительного значения фазы, вычисленной
для любой точки (х, у) на плоскости. Фазовая запись — киноформ
представляет собой тонкую прозрачную пластинку, оптическая
толщина которой меняется от точки к точке в соответствии
с вычисленной величиной фазы ф (х, у) предметной волны, где-
О ф (х, у) 2л. При освещении плоской волной киноформ
накладывает фазовую функцию ф (х, у) на плоский волновой
фронт, превращая его в волну с комплексной амплитудой а (х, у).
Методы, применяемые для получения киноформа, становятся
очевидными из рассмотрения простой сферической предметной
волны
а (х, у) = ехр [-g- (ж24-у2)] .
(19.33)
€34
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
В гл. 6, § 1, мы показали, что тонкая сферическая линза
превращает плоскую волну в сферическую волну а (х, у), описы-
ваемую выражением (19.33). Простая линза, показанная
на фиг. 19.10, а, хотя и имеет признаки киноформа, таковым
не является. Чтобы изготовить из нее киноформ, нужно устра-
нить весь материал, который только сдвигает фазу падающей
волны на величину, кратную 2л радиан. [Здесь мы рассматриваем
плоскую волну, нормально падающую на плоскую поверхность
линзы. Волна, исходящая из киноформа, типа волны а (ж, у)
(19.33) аналогична волне, выходящей из линзы, при условии
монохроматического освещения.] На фиг. 19.10, а слои материала
ФИГ. 19.10. Тонкая сферическая линза (а) и соот-
ветствующий ей киноформ для случая
осевого освещения плоской волной (б).
Фаза плоеной волны, падающей на линву
а в вертикальном направлении, изменяется
на 2л при прохождении через слои материд-
ла, заключенного между горизонтальными
линиями.
линзы между горизонтальными линиями, пересекающими линзу,
только сдвигают фазу плоской волны на 2л радиан.
На фиг. 19.10, б приведен контур киноформа, дающего волну
а (х, у) [см. (19.33)].
На практике киноформ получают, сначала вычисляя дискрет-
ные значения фазовой функции предметной волны <р (х, у),
а затем кодируя значения этой функции в виде значений яркости
в многоградационной шкале. Эта информация вводится в выход-
ное устройство с фотографической печатью, производящее экспо-
нирование светочувствительного материала в соответствии с зако-
дированной картиной. Полученная регистрограмма подвергается
уменьшению в масштабе, необходимом для восстановления,
КИНОФОРМ
635
и конечный фотоснимок отбеливается в дубяще-отбеливающем
растворе (см. гл. 10, § 8, п. 5) с превращением градаций фотогра-
ФИГ. 19.11.
Стадия процесса получения киноформа —
картина на выходе управляемого вычис-
лительной машиной отображающего уст-
ройства. (По Лезему и др. [19.8].)
фического почернения в соответствующее распределение значений
оптической толщины. Если процесс отбеливания тщательно кон-
тролируется с тем, чтобы оптическая толщина участков умень-
636
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА МАШИНЕ
ГЛ. 19.
шейной копии была пропорциональна фотографическому почер-
нению, то получаемый киноформ будет налагать фазовую функ-
цию ф (х, у) на падающую монохроматическую плоскую волну.
На фиг. 19.11 показана картина на выходе управляемого вычис-
ФИГ. 19.12.
Изображение, восстановленное кино-
формом. (По Лезему [19.8].)
В центре изображения видно остаточное яркое
пятно нулевого порядка дифракции.
лительной машиной выходного фотоустройства перед отбелива-
нием. Фотоснимок изображения, восстановленного киноформом,
приведен на фиг. 19.12.
Киноформы представляют собой внеосевые оптические эле-
менты, обладающие способностью дифрагировать 100% падаю-
щего монохроматического светового потока в волну, создающую
изображение. Однако для их создания требуется многоградацион-
ЛИТЕРАТУРА
637
пая шкала яркостей и высокая точность при отбеливании. Если
при записи фазового сдвига допущены ошибки, часть света дифра-
гирует в нулевой порядок (см., например, яркое пятно в центре
фиг. 19.12). Это, разумеется, приводит к падению дифракционной
эффективности и ухудшению качества изображения.
ЛИТЕРАТУРА
19.1. LOHMANN A. W., PA-
RIS D. Р., Appl. Opt., 6,
1739 (1967).
Бинарные голограммы Фра-
унгофера, синтезированные
на вычислительной машине.
19.2. BROWN В. R., LOH-
MANN A. W., IBM Journ.
Res. Develop., 13, 160 (1969).
Бинарные голограммы, син-
тезированные на вычисли-
тельной машине.
19.3. COCHRAN W. Т., COO-
LEY J. W., FAVIN D. L.,
HELMS Н. D., КАЕ-
NEL R. A., LANG W. W.,
MALING G. С., Jr.,
NELSON D. Е., RA-
DER С. М., WELCH Р. D.,
Proc. IEEE, 55, 1664 (1967).
Что такое быстрое фурье-
преобразование?
19.4. GOODMAN J. W., в книге
Acoustical Holography, ed.
A. F. Metherell, H. M. A. El-
Sum, L. Larmore, vol. 1,
New York, 1969, p. 173.
Восстановление изображений
с помощью цифровой вычис-
лительной машины из заре-
гистрированной голографи-
ческой информации.
19.5. LEE W. Н., Appl. Opt., 9,
639 (1970).
Дискретная фурье-голограм-
ма, синтезированная на
вычислительной машине.
19.6. LOHMANN A. W., PA-
RIS D. Р., Appl. Opt., 7,
651 (1968).
Пространственные фильтры,
синтезированные на вычис-
лительной машине, для ис-
пользования в когерентной
обработке оптической инфор-
мации.
19.7. PASTOR J., Appl. Opt., 8,
525 (1969).
Голографическая интерферо-
метрия и оптическая техно-
логия.
19.8. LESEML. B.,HIRSCHiP. М.,
JORDAN J. A., Jr., IBM
Journ. Res. Develop., 13,
150 (1969).
Киноформ — новое устрой-
ство для восстановления вол-
новых фронтов.
19.9. MIYAMOTO К., Journ. Opt.
Soc. Amer., 51, 17 (1961).
Фазовая линза Френеля.
19.10* . СОРОКО Л. М., Основы го-
лографии и когерентной оп-
тики, М., 1971.
19.11* . ПАПУЛИС А., Теория си-
стем и преобразований в оп-
тике, изд-во «Мир», 1971.
Глава 20
ТРИ ТЕМЫ,
КОТОРЫМ НЕ НАШЛОСЬ МЕСТА
В ДРУГИХ ГЛАВАХ
§ 1. Копирование голограмм
Если необходимо получить большое число голограмм одной
и той же сцены, то можно либо сделать много копий с одного ори-
гинала, либо изготовить много оригинальных голограмм. Копи-
рование более удобно, так как объект требуется только для полу-
чения одной оригинальной голограммы. Кроме того, для копиро-
вания голограмм можно использовать нелазерный источник света
и очень простые оптические схемы. Установки для копирования
не нуждаются в стабилизированных массивных оптических столах.
Соответствующие методы позволяют получать копии, которые
восстанавливают изображения, мало отличающиеся от тех, кото-
рые дает оригинальная голограмма.
Следует различать непосредственное копирование, под которым
мы понимаем процесс, близкий к контактной печати, от получе-
ния вторичной голограммы, когда волна, восстановленная ориги-
нальной голограммой, интерферирует с независимо направленной
опорной волной [20.1]. Последний метод не будет здесь рассма-
триваться, поскольку он практически не отличается от обычного
способа получения голограмм и требует соблюдения всех предосто-
рожностей, свойственных голографии.
1. Копирование плоских абсорбционных голограмм
с помощью нелазерных источников
Копирование плоских голограмм можно осуществлять путем
контактной печати с оригинальной голограммы на другую фото-
чувствительную поверхность [20.2]. Будем считать, что как исход-
ная голограмма, так и ее копия регистрируются на фотослое. Для
идеальной контактной печати расстояние от фотослоя оригинальной
голограммы до фотослоя копии должно быть не более длины вол-
ны. В этом случае можно пренебречь дифракцией света на голо-
грамме [см. выражение (5.25) для d < X]. Поэтому для освещения
исходной голограммы и экспонирования копии можно использо-
вать обычный (нелазерный) свет. Полученная копия является
негативом исходной голограммы. Однако даваемое ею изображе-
ние является позитивным и идентично изображению, восстанавли-
ваемому оригиналом (см. гл. 2, § 2, § 6, п. 1).
1.
КОПИРОВАНИЕ ГОЛОГРАММ
639>
На практике нелегко добиться того, чтобы расстояние между
фотослоями оригинала и копии по всей их площади не превосходи-
ло длины волны [20.3]. Если это расстояние больше длины волны,
то необходимо рассматривать дифракционные эффекты и когерент-
ные свойства освещающего источника. На фиг. 20.1 представлена
общая схема копирования голограмм путем контактной печати.
Сначала будем считать, что оригинал и копия освещаются светом
небольшого теплового источника S, расположенного на расстоя-
нии s от оригинальной голограммы Между голограммой Н±
и фотослоем копии Н2 имеется конечное расстояние р $. Волны,,
дифрагирующие на Hi, при прохождении от Hi до Н2 приобре-
тают фазовый сдвиг. Для того чтобы копия зарегистрировала всю
информацию, записанную на исходной голограмме, необходимо!
зарегистрировать комплексные амплитуды этих волн. Это можно-
сделать, если степень когерентности освещающего излучения
достаточна для получения на всей поверхности Н2 высококон-
трастных полос при интерференции между недифрагированным
и дифрагированным светом.
Рассмотрим факторы, определяющие требования к степени
пространственной когерентности освещающего излучения. Пусть
максимальный угол, на который дифрагирует свет, равен
Будем считать, что свет от S падает на голограмму Hi под углом,
близким к нормали. В соответствии с (1.11) дифракция от пло-
ской голограммной решетки при нормальном падении на нее света-
640
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
(г = 0) описывается соотношением
d sin 6М = А.. (20.1)
где d — минимальное расстояние между интерференционными
полосами на Hi и % — средняя длина волны излучения.
Из фиг. 20.1 следует, что для того, чтобы весь дифрагированный
свет интерферировал в плоскости Н2 с недифрагированным све-
том, источник S должен обладать высокой степенью простран-
ственной когерентности в конусе с углом
0 = у= ptg6M . (20.2)
В гл. 7, § 1, п. 1 [см. (7.4)1, было показано, что степень простран-
ственной когерентности является функцией произведения 0го, где
0 определяется соотношением (20.2) и где г0 — радиус источника
S. На практике угол 0 настолько мал, что мощность и простран-
ственная когерентность почти любого источника умеренных раз-
меров достаточны для регистрации копии Н2.
Теперь рассмотрим требования к временной когерентности
источника S. Длина когерентности ALH источника S должна пре-
вышать максимальную оптическую разность хода между дифраги-
рованным и недифрагированным светом. Как видно из фиг. 20.1,
максимальная разность хода равна [(p/cos 6М) — р], поэтому
win
<20-3>
Голограмму, образованную на фотослое, можно считать плоской,
только если угол 8М мал, поэтому мы можем положить sin 8М
« 8М и cos 8М w 1 — 6W2.
Воспользовавшись таким приближением сначала в (20.1)
п затем в (20.3), получим, что 8М » K/d и что
p<\LH [2 (|)2-1]. (20.4)
В гл. 7, § 1, п. 2, было показано, что длина когерентности излу-
чения с длиной волны 5461 А, испускаемого ртутной дуговой лам-
пой высокого давления, равна 8 мкм. Для плоских голограмм
обычно <//% » 3, откуда получаем р 8 X 17 мкм = 136 мкм.
•Это условие нетрудно выполнить, и, таким образом, ртутная дуго-
вая лампа высокого давления вполне пригодна в качестве источ-
ника для контактного способа копирования голограмм.
§ 1.
КОПИРОВАНИЕ ГОЛОГРАММ
641
2. Двойные изображения, даваемые копиями голограмм,
полученными с помощью лазерного света
Если для копирования голограмм используется лазер, то
благодаря высокой степени когерентности его излучения Hi и Н2
могут быть разнесены на большое расстояние, порядка несколь-
ких сантиметров. Однако, как мы увидим, такое большое расстоя-
ние между голограммами нежелательно, так как получаемые
в этом случае копии дают двойные изображения (два мнимых и два
действительных) [20.4].
Пусть голограмма Hi, находящаяся в плоскости z = z1( обра-
зована внеосевой предметной и осевой опорной плоскими волнами
единичной амплитуды. При освещении такой же плоской аксиаль-
ной волной голограмма восстанавливает волну, комплексная
амплитуда которой в глоскости голограммы описывается соот-
ношением
w («1, z/t) ~ 1 + а («!, z/t) a* («i, z/t) -I- a («t, z/t) + а* (ж1( z/t),
(20.5)
где а («!, z/t) — комплексная амплитуда исходной предметной
волны в плоскости голограммы Hi и а* («1( z/t) — амплитуда ком-
плексно-сопряженной волны. (Использование аксиальной опор-
ной волны значительно упрощает анализ, не ограничивая общ-
ности результатов.) Предположим теперь, что объектом является
диффузный рассеиватель, так что величина аа* практически
постоянна на поверхности голограммы или в любой другой пло-
скости. Тогда мы можем записать
W («1, 1/1) ~ Ci + а («!, г/i) + а* («!, г/±), (20.6)
где Ci — постоянная величина. Фотослой т) копии Н2 распола-
гается в плоскости z = z2, на небольшом расстоянии от Hi
(фиг. 20.2). Он освещается излучением, представляющим френе-
левское преобразование от w («t, z/t), т. е. волной, комплексная
амплитуда которой соответствует прохождению волной w рас-
стояния р = z2 — Zi. -Запишем френелевское преобразование
W («2, Уг) ~ с2 + Ау (х2, у2) + Ас (х2, у2), (20.7)
где с2 — постоянная; Ау — френелевское преобразование от а,
Ас — френелевское преобразование от а*. (Заметим, что Ас и Ау
не равны друг другу, за исключением случая z2 — zt = р = 0.)
Как а, так и Ау представляют собой комплексные амплитуды
(в разных плоскостях) одной и той же волны, исходящей из мни-
!) Хотя светочувствительный слой Н2 может быть нанесен на стеклянную
подложку, более экономично использовать ацетатную пленку.
41 —0990
642
ТРИ ТЕМЫ
гл. 20
мого изображения V\, расположенного в плоскости z = vt
(фиг. 20.2). Мнимое изображение V1 находится на расстоянии
Zi — Vi от Hi. Аналогично а* и Ас представляют собой амплитуды
волны, сходящейся к действительному изображению 7?i, образую-
V[ V2 Н[(Х[,У[) Н2^2’У2^ R[ R2
1 1 1 1 1 1 I 1 i i i i i i
iV| iVz i i i i zi z2 |l-| | ' 2 1 1 1 1
ФИГ. 20.2. Расположение вдоль оси двойных изоб-
ражений, даваемых копией плоской
голограммы.
щемуся в плоскости z = rt, расположенной на расстоянии rt — zt
от Hi. Согласно (3.35), в случае, когда опорная и освещающая
волны плоские, мнимое и действительное изображения симмет-
ричны относительно плоскости голограммы, т. е.
ri — Zi = Zi — v^ (20.8)
Фотоэмульсия копии после освещения излучением с комплекс-
ной амплитудой W (х2, у2) и проявления будет иметь пропускание
2—(с2 + Ау Ас) (с2 Ау Ас) — Члены нулевого порядка +
+ с2 (Ау Ау) с2 (А-с Ас) + Члены высших порядков. (20.9)
Соотношение (20.9) имеет вид, соответствующий двум голограм-
мам, одна из которых образована в результате интерференции
аксиальной плоской волны с волной с индексом V, а другая —
при интерференции той же самой плоской волны с волной, имею-
щей индекс С. Когда копия Н2 освещается плоской волной, мни-
мое изображение образуется волной с амплитудой Ау в пло-
скости z = vlt т. е. на расстоянии z2 — vt от Н2. Как следует
из (3.35), соответствующее действительное изображение R2, обра-
зуемое волной с комплексной амплитудой Ау, расположено сим-
метрично относительно Н2- Поэтому его координата z = г2 опре-
деляется соотношением
z2 — = r2 — z2. (20.10)
Аналогично волна Ас дает действительное изображение в пло-
скости z = rt на расстоянии rt — z2 от Н2. Мнимое изображение
§ 1.
КОПИРОВАНИЕ ГОЛОГРАММ
643
V2, образованное волной Ас, должно быть симметрично отно-
сительно Н2, и его координата дается равенством
z2 — и2 = П — z2. (20.11)
Комбинируя (20.11) и (20.8), получаем
v2 — = 2 (z2 — Zj) = 2р, (20.12)
а комбинация (20.10) и (20.8) дает
r2 — rt = 2 (z2 — zt) = 2р. (20.13)
Как видно из (20.12), два мнимых изображения находятся на рас-
стоянии, в два раза превышающем промежуток р между фото-
ФИГ. 20.3. Фотография двойных изображений, вос-
становленных копией плоской голо-
граммы.
слоями оригинальной голограммы и копии. На таком же рас-
стоянии располагаются и действительные изображения. Если
р = 0, двойные изображения сливаются в одно. На фиг. 20.3 при-
ведена фотография двойного изображения, восстановленного копи-
41*
644
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
ей голограммы. В этом случае р = 2,5 мм. Объектом служил тран-
спарант, наложенный на матовый экран. Контраст почти на всем
изображении оказался заниженным из-за наложения прозрач-
ных участков на непрозрачные. В результате того, что аа* пред-
ставляет собой не постоянную интенсивность, а быстро меняющуюся
пространственную функцию с постоянным средним значением,
на восстанавливаемое копией изображение накладываются шумы.
3. Копирование плоских фазовых голограмм
Плоской фазовой голограммой называют голограмму, струк-
тура которой зарегистрирована в виде пространственных вариа-
ций рельефа поверхности. Примером таких голограмм являются
ФИГ. 20.4. Фотографии изображений, восстанов-
ленных голограммой на термопластике
(а) п ее копией, полученной механиче-
ским способом (б).
голограммы на термопластике. Если фазовая голограмма осве-
щается плоской волной, то на поверхности голограммы интенсив-
ность света остается немодулированной, и только на достаточ-
ном расстоянии за голограммой могут проявиться интерферен-
ционные эффекты и модуляция интенсивности. Таким образом,
контактная печать (р = 0) для плоских фазовых голограмм
непригодна, поскольку для печати необходимы вариации интен-
сивности. Для копирования фазовых голограмм с поверхностным
§ 1.
КОПИРОВАНИЕ ГОЛОГРАММ
645
рельефом больше подходят не оптические, а механические спо-
собы. Прижимая деформируемую пластиковую пленку к поверх-
ности оригинальной голограммы или к более прочному металли-
ческому шаблону, изготовленному по оригинальной голограмме,
можно получать копии таким же методом, как граммофонные
пластинки.
На фиг. 20.4 показаны два изображения: восстановленное ори-
гинальной голограммой и копией, изготовленной методом механи-
ческой штамповки.
4. Копирование объемных голограмм
Несмотря на высокую пространственную частоту интерферен-
ционной структуры, удовлетворительные копии объемных про-
пускающих голограмм можно получить, используя оптическое
устройство, аналогичное изображенному на фиг. 20.1. Существен-
ное отличие, однако, состоит в том, что световой пучок, освещаю-
щий Hi, должен иметь такие же направление, длину волны и
кривизну волнового фронта, как и опорный пучок, использован-
ный при получении голограммы Hi [20.5]. В этом случае с макси-
мальной эффективностью восстанавливается неискаженная пред-
метная волна, освещающая Н2. Как известно, объемная голо-
грамма не восстанавливает одновременно с предметной волной
сопряженную ей волну. Поэтому даже при больших расстояниях р
двойные изображения не возникают. Конечно, длина когерентно-
сти источника должна превосходить максимальную возможную
оптическую разность хода дифрагированных и недифрагирован-
ных волн на пути от Hi до Н2.
Для того чтобы копия Н2 характеризовалась высокой дифрак-
ционной эффективностью, зарегистрированная на ней интерфе-
ренционная структура должна обладать высоким контрастом.
Высокий контраст достигается, если отношение R интенсивностей
недифрагированной и восстановленной голограммой Hi волн близ-
ко к единице [см. (7.31)]. Допустим сначала, что эти волны пло-
ские. Предположим также, что голограмма Hi была оптимальным
образом проэкспонирована (с отношением интенсивностей R = 1)
и проявлена, так что ее оптическая плотность D = 1g (1/J) да 1,0
и пропускание по интенсивности 3 да 10% (см. гл. 9, § 6, п. 2).
При этом интенсивность недифрагированной волны составляет
примерно 10% интенсивности освещающего пучка. Как было
показано в гл. 9, § 6, п. 2, максимальная дифракционная эффек-
тивность объемных пропускающих абсорбционных голограмм рав-
на 3,7%, т. е. интенсивность восстановленной волны составляет
3,7% интенсивности освещающего пучка. При отношении R =
= 10/3,7 = 2,7 контраст V интерференционной картины, обра-
зующейся на Н2, согласно соотношению (7.31), равен 0,89 (если
646
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
| jir | = cos Q = 1). Дифракционная эффективность в соответ-
ствии с (7.38) пропорциональна V2. Таким образом, максимальная
эффективность ц2, которую может иметь копия Н2, выражается
через эффективность тц голограммы следующим образом:
тц И 1
На фиг. 20.5 представлены фотографии двух изображений, вос-
становленных абсорбционной пропускающей голограммой и ее
ФИГ. 20.5. Фотография изображений, восстанов-
ленных оригинальной объемной абсорб-
ционной пропускающей голограммой (а)
и ее копией (б).
копией. Обе голограммы зарегистрированы на фотопластинках
Кодак 649F. При копировании эмульсия одной пластинки при-
легала к непокрытой поверхности другой пластинки. Для уравни-
вания показателей преломления промежуток между пластинками
заполнялся несколькими каплями ксилола, в результате чего
интерференция отраженных лучей сводилась к минимуму.
Дифракционная эффективность копии почти такая же, как и
у оригинальной голограммы.
Если поменять местами голограммы Hi и Н2 на фиг. 20.1,
можно получать копии отражательных голограмм. Так же, как
и в случае объемных пропускающих голограмм, освещающий
пучок должен воспроизводить кривизну волнового фронта, направ-
§ 1.
КОПИРОВАНИЕ ГОЛОГРАММ
647
ление и длину волны опорного пучка, использованного при реги-
страции голограммы Освещающий пучок проходит сначала
через среду копии Н2 и затем, дифрагируя на Hi, распростра-
няется обратно к Н2. На Н2 регистрируется картина интерферен-
ции падающей освещающей волны и дифрагированной в обратном
направлении предметной волны, восстановленной голограммой
Н^ Если Hi — абсорбционная голограмма, интенсивность дифра-
гированной волны в лучшем случае составляет несколько про-
центов от интенсивности падающей волны (см. табл. 9.1).
ФИГ. 20.6. Фотография изображения, восстанов-
ленного копией фазовой отражательной
голограммы.
Копия освещалась лазерным светом.
При взаимодействии этой волны с падающим на голограмму све-
товым пучком на голограмме Н2 образуется низкоконтрастная
интерференционная картина, и полученная копия обладает низкой
дифракционной эффективностью. Если в качестве оригинала
используется фазовая отражательная голограмма, например заре-
гистрированная на хромированном желатине, то интенсивность
дифрагированной волны сравнима с интенсивностью падающего
света. В этом случае копии могут иметь достаточно высокую
дифракционную эффективность и давать высококачественные
изображения. Качество изображения, восстановленного копией
отражательной голограммы, оригинал которой был зарегистриро-
ван на хромированном желатине, иллюстрируется фиг. 20.6.
Копия была зарегистрирована на том же материале. Восстанов-
ление изображения, показанного на фиг. 20.6, осуществлялось
с помощью лазерного излучения.
648
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
§ 2. Передача голограмм по телевидению
Поскольку голографическим способом можно получать трех-
мерные изображения, естественно возникает мысль об осуществле-
нии трехмерного (объемного) телевидения на основе передачи
голограмм [20.6]. В принципе можно получать голограмму непо-
средственно на экране передающей телевизионной трубки, пере-
давать распределение интенсивности в интерференционной кар-
тине по телевизионным каналам и получать копию голограммы
на принимающей станции. Копия должна получаться на прозрач-
ной поверхности, которая при освещении ее лазерным светом
позволила бы восстановить волну и получить желаемое изобра-
жение. Если такой процесс хотят использовать для воспроизве-
дения трехмерных движущихся сцен, то все три стадии процесса
(образование голограммы, ее передача и копирование) должны
допускать получение новой голограммы через каждые 1/30 с. Как
показано в гл. 18, § 2, если не применять методов уменьшения
количества информации, то для передачи широкоугольной голо-
граммы трехмерного объекта по используемым сегодня телеви-
зионным каналам потребовалось бы несколько часов. Для осуще-
ствления телевизионной передачи голограмм нужно, кроме того,
еще решить много проблем, относящихся к обоим концам пере-
дающего канала. Передающая трубка имеет ограниченную разре-
шающую способность. Следствием этого является либо ограниче-
ние поля зрения, либо ухудшение разрешения изображения (см.
гл. 8, § 4, п. 1). Существующие лазерные источники характери-
зуются ограниченной когерентностью, что налагает определенные
пределы на пространственную протяженность сцены. На конце,
где находится приемное устройство, голограмма должна воспро-
изводиться на светочувствительном материале и затем стираться
за промежуток времени между кадрами, т. е. за время, меныпе,е
1/30 с. Таким образом, трехмерное телевидение, основанное
на образовании и передаче голограммы, представляет собой в дей-
ствительности чрезвычайно сложную проблему.
Менее сложной является задача передачи голограммы двумер-
ного нерассеивающего транспаранта. Цель таких исследований
состоит в выяснении, является ли информация, закодированная
на голограмме, более устойчивой к шуму передающего канала,
чем та же информация, переданная обычным способом. Такие
исследования привели к созданию передающих схем, которые
сами по себе представляют интерес.
В первых экспериментах голограмма с несущей частотой (вне-
осевая голограмма) получалась непосредственно на экране пере-
дающей телевизионной трубки [20.7]. Из-за ограниченной разре-
шающей способности передающей трубки угол между предмет-
§ 2.
ПЕРЕДАЧА ГОЛОГРАММ ПО ТЕЛЕВИДЕНИЮ
649
ным и опорным пучками был очень мал. Голограмма получалась
по схеме, показанной на фиг. 8.5, где объектом служил транспа-
рант, а фотопластинка была заменена экраном передающей труб-
ки. Голограмма передавалась по замкнутому телевизионному
каналу, воспроизводилась на кинескопе и фотографировалась.
Поскольку пространственная частота, несущая информацию
об объекте, очень низка, в процессе восстановления приходилось
осуществлять пространственную фильтрацию для отделения вол-
ны, образующей действительное изображение, от недифрагиро-
ванного света (см. гл. 8, § 1, п. 1). Этот метод прямой передачи
имеет ряд недостатков, к числу которых относится необходимость
регистрации передающей трубкой пространственных частот, в че-
тыре раза превышающих максимальные частоты, присутствующие
в исходном транспаранте (см. гл. 8, § 1, п. 1). Кроме того, полез-
ная информация об объекте находится почти на краю полосы
пропускания пространственных частот.
1 Метод осевой голограммы
На фиг. 20.7 показана схема устройства, позволяющего снизить
требования к разрешающей способности передающей трубки до
значения, не превосходящего величины, необходимой для разре-
шения самого транспаранта [20.8]. В этом случае голограмма,
регистрируемая передающей трубкой, получается по осевой
схеме.
Опорный пучок нормален к экрану передающей трубки, его
направление совпадает со средним направлением предметного
пучка. Максимальная пространственная частота осевой голограм-
мы равна максимальной пространственной частоте объекта (см.
гл. 8, § 4, п. 1). Конечно, осевые голограммы имеют ряд недостат-
ков, в частности они дают двойниковые изображения (см. гл. 2,
§ 5). Однако устройство, изображенное на фиг. 20.7, позволяет
воспроизводить на принимающем кинескопе внеосевую голограм-
му (с несущей частотой) при передаче только осевой голограммы.
Для этого нужно последовательно передать три осевые голограм-
мы. Первая голограмма образуется на передающей трубке с помо-
щью аксиальной плоской опорной волны. Распределение интен-
сивности сканируется, преобразуется в электрические сигналы
и передается. В приемном устройстве принимаемые электрические
сигналы используются для амплитудной модуляции синусоидаль-
ного электрического несущего сигнала. Результат воспроизво-
дится на кинескопе. Предположим, что эта картина сохраняется
на кинескопе в течение времени, необходимого для передачи еще
двух осевых голограмм. Перед образованием второй голограммы
фаза оптической опорной волны на передающей трубке увеличи-
вается на 120° по сравнению с фазой, используемой при получении
650
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
первой голограммы. Эта голограмма сканируется, преобразуется
в электрические сигналы и передается. На этот раз переданный
электрический сигнал модулируется электрической несущей, сдви-
нутой на 120° относительно несущей, использованной при полу-
чении первой голограммы. Полученная таким образом вторая голо-
грамма воспроизводится на кинескопе вместе с первой. Наконец,
ФИГ. 20.7. Система для передачи голограмм по те-
левидению.
фаза оптической опорной волны на передатчике увеличивается
еще на 120°, синусоидальный электрический несущий сигнал еще
раз смещается на 120° по фазе и на кинескопе на две предыдущие
голограммы накладывается третья голограмма. Если сложить
интенсивности трех голограмм на кинескопе (предполагая линей-
ность передачи и регистрации интенсивности), то результирующая
картина распределения интенсивности будет соответствовать про-
пусканию голограммы с несущей частотой. Кроме того, отсутст-
вуют нежелательные члены нулевого порядка, полоса простран-
ственных частот которых равна удвоенной полосе частот объекта.
Если пространственная частота предметной волны £s на передаю-
S 2.
ПЕРЕДАЧА ГОЛОГРАММ ПО ТЕЛЕВИДЕНИЮ
651
щей трубке находится в пределах — £т Ь + £т, то в каче-
стве несущей частоты на кинескопе можно использовать частоту
= ?т- При этом максимальная пространственная частота, вос-
произведенная на кинескопе, равна 2£т. Таким образом должна
воспроизводиться частота, равная удвоенной пространственной
частоте объекта. На фиг. 20.8 приведена фотография изображения,
ФИГ. 20.8. Изображение, восстановленное голо-
граммой, переданной с помощью систе-
мы, изображенной на фиг. 20.7. (По Бер-
рану [20.9].)
восстановленного голограммой, переданной по телевизионному
каналу описанным выше методом. Вместо того чтобы сохранять
три голограммы на экране кинескопа, голограмма многократно
экспонировалась на фотопластинку [20.9].
2 . Метод гетеродинного сканирования
На фиг. 20.9 представлена схема регистрации распределения
интенсивностей в картине, образующейся при интерференции пред-
метного светового пучка и сканирующего опорного пучка. Послед-
ний фокусируется в точку на поверхности фотодетектора с боль-
шой площадью [20.10, 20.11]. Особенность этого метода состоит
в том, что временная круговая частота со8 предметного пучка
не равна частоте опорного пучка йг. Представим комплексное
электрическое поле предметной волны в плоскости голограммы
(на поверхности фотодетектора) в виде
vs (ж, у, t) = а (х, у) ехр {I [cosZ 4- tp8 (ж, у)]}, (20.14)
где t — время и <р8 — не зависящий от времени фазовый член.
Комплексное электрическое поле сканирующей опорной волны
652
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
запишем в виде
vr (ж, у, t) = г (х, у, t) ехр {г [<М — — фг]}, (20.15)
где § — средняя пространственная частота и срг — постоянный
фазовый член. При записи выражения (20.14) предполагалось, что
среднее направление предметного пучка нормально к поверхности
детектора, т. е. совпадает с осью. Наоборот, среднее направление
опорного пучка составляет с осью угол, равный arcsin (£%)
(фиг. 20.9). При интерференции волн vs и vr образуется картина,
интенсивность которой
I = (Vs + Vr) (Vs + Vr)* =
= «2 (x, y) + r2 (x, y, t) +
+ 2a (x, y) r (x, y, f) cos [(<os — ar) t + <ps (ж, у) + фг-|-2лЕж].
(20.16)
Если опорный пучок фокусируется в точку на поверхности
детектора и сканируется в направлении х со скоростью Ъ, то можно
записать
г (х, у, t) = 6 (х — bi) 6 (у — уп), (20.17)
Где уп — высота сканируемой линии по вертикали. Меняющаяся
во времени компонента тока фотодетектора i (t) получается
при интегрировании интенсивности I по поверхности детектора.
Подставляя (20.17) в (20.16), используя фильтрующее свойство
6-функции [см. (4.13д)] при интегрировании по поверхности фото-
детектора и сохраняя только члены, зависящие от времени, полу-
§ 2.
ПЕРЕДАЧА ГОЛОГРАММ ПО ТЕЛЕВИДЕНИЮ
653
чаем
i (Z) — 2Ка{Ы,уп)со& [(<os — <or + 2ng6) t + cps (bt,yn) + cpr],
(20.18)
где К — постоянная процесса регистрации. Отметим, что нежела-
тельные члены нулевого порядка отсутствуют в (20.18), поскольку
их пространственное среднее значение по поверхности детектора
ФИГ. 20.10. Схема совмещения сфокусированного
сканирующего опорного пучка с пред-
метным пучком, позволяющая получать
осевые голограммы.
не является функцией времени. Кроме того, амплитуда a (bt, уп)
модулирована только временной несущей круговой частотой и =
= 00s — + 2л£6. Когда сигнал передается и затем воспроиз-
водится на кинескопе, несущая частота со преобразуется в про-
странственную частоту. Выбирая <os =£= <ог (гетеродинирование),
мы можем получить на кинескопе голограмму с несущей частотой,
даже если исходная голограмма была осевой (£ = 0). Оказывает-
ся, гетеродинный метод увеличивает разрешающую способность
в два раза по сравнению с получаемой без гетеродинирования,
т. е. когда (о8 = и 0. Детальный анализ метода гетеродин-
ного сканирования приводит к следующим интересным резуль-
татам [20.11].
1. Сканирующее пятно опорного пучка может разрешать фазо-
вые вариации предметного пучка только в том случае, когда пред-
метный пучок распространяется в пределах конуса сканирующего
опорного пучка (фиг. 20.10). Таким образом, опорный и предмет-
ный пучки нужно сводить с помощью оптического светоделителя,
как показано на фиг. 20.10.
654
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20-
2. Детектор не обязательно должен располагаться в фокаль-
ной плоскости опорного пучка. Он может находиться в любом
положении, где он пересекает всю общую площадь обоих пучков.
Положение вне фокуса является более выгодным, потому что
ФИГ. 20.11.
Фотография изображения, восстанов-
ленного голограммой, переданной с по-
мощью системы гетеродинного скани-
рования. (По Ларсену [20.11].)
в этом случае уменьшается максимальная интенсивность на фото-
чувствительной поверхности и сводится к минимуму действие
пылинок на этой поверхности.
На фиг. 20.11 приведено изображение, полученное с помощью
голограммы, переданной через описанную выше систему. Горизон-
тальное и вертикальное отклонение опорного пучка осуществля-
лось двумя сканирующими зеркалами. Для того чтобы получить
разность угловых частот <os — аг, опорный пучок отражался
от вибрирующего зеркала. В результате этого его временная
частота получала допплеровский сдвиг относительно частоты пред-
метного пучка.
§ 3.
ГОЛОГРАММЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ НЕКОГЕРЕНТНЫМ СВЕТОМ
655
§ 3. Голограммы, образованные пространственно-
некогерентным светом
Начав с превознесения достоинств когерентного света, мы
завершаем книгу кратким рассмотрением попыток получения голо-
грамм с помощью пространственно-некогерентного света (в про-
цессе восстановления по-прежнему используется когерентный
свет). Желаемое разрешение изображения определяет размеры
поверхности, на которой должны образовываться интерферен-
ционные полосы. Это в свою очередь определяет временную коге-
рентность, необходимую для получения полос по всей этой поверх-
ности. Хотя в отдельных работах в качестве источника использо-
валась ртутная дуговая лампа, в большинстве экспериментов голо-
граммы получались в лазерном свете, проходившем через движу-
щийся рассеиватель. В последнем случае степень временной коге-
рентности может быть высокой и удается зарегистрировать боль-
шие голограммы с большим числом полос. Тем не менее при про-
хождении через движущийся рассеиватель лазерный пучок ста-
новится пространственно-некогерентным. В течение времени, необ-
ходимого для экспонирования голограммы, разность фаз свето-
вой волны в двух любых точках пучка быстро меняется. Прежде
чем продолжить обсуждение методов и соответствующих проблем,
следует заметить, что достижения голографии в не когерентном
свете пока еще ограниченны.
Основной принцип некогерентной голографии состоит в том,
что предметный волновой фронт подвергается амплитудному деле-
нию на две части. Затем эти две волны, которые кажутся исходя-
щими из пары соответственных точек на поверхности объекта,
интерферируют друг с другом [20.12, 20.13]. Поскольку свет,
идущий от одной пары точек, некогерентен со светом от любой
другой пары, мы получим М независимых наложенных друг
на друга голограмм, соответствующих М точкам предмета. Отме-
тим, что интерференция света, идущего от одной и той же точки
предмета, не дает информации о фазе световой волны относитель-
но фазы волны, приходящей из других точек. В этом случае нет
опорной волны, с которой можно сравнивать фазу. Однако можно
осветить когерентным излучением ряд наложенных друг на друга
голограмм и восстановить волны, которые фокусируются в М
точках на трехмерном изображении предмета.
Для иллюстрации одного из методов регистрации рассмотрим
образование голограммы прозрачной буквы R, освещенной про-
странственно-некогерентным светом [20.14]. Был использован
интерферометр, который направлял на голограмму свет, идущий
не только от нормально ориентированной буквы R, но также свет,
656
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ. 20.
как бы исходящий от перевернутой и смещенной буквы R, рас-
положенной в той же предметной плоскости (фиг. 20.12). Любая
пара соответственных точек формирует безлинзовую фурье-голо-
грамму, образуя на поверхности, параллельной предметной пло-
скости, интерференционные полосы, идущие под прямым углом
к линии, соединяющей две точки. Частота этих полос пропорцио-
нальна расстоянию между точками пары (см. гл. 3, § 1, п. 3).
Как видно из фиг. 20.12, нет таких двух пар точек, которые могли
ФИГ. 20.12. Вид объекта в плоскости голограммы,
бы дать полосы с одинаковой ориентацией и пространственной
частотой. Каждая из полученных таким образом без линзовых
фурье-голограмм отличается от других. Каждая голограмма, если
ее поместить перед линзой и осветить плоской волной от когерент-
ного источника, восстановит действительное изображение точеч-
ного источника, образовавшего эту голограмму. Так же как
в случае фурье-голограммы, освещенной, как показано
на фиг. 8.23, в задней фокальной плоскости линзы образуются
два действительных изображения. На фиг. 20.13 приведено изоб-
ражение, восстановленное фурье-голограммой, полученной в неко-
герентном свете [20.15]. Объект во время получения голограммы
освещался ртутной дуговой лампой.
Имеется большое количество оптических схем и интерферо-
метров, пригодных для получения голограмм в некогерентном
свете. В некоторых из них сохраняется информация о глубине
объекта, в других не сохраняется. Подробности о свойствах и при-
менении этих интерферометров можно найти в работах [20.12—
20.16].
Низкая дифракционная эффективность каждой из наложенных
друг на друга голограмм точечных источников является основной
причиной неудач голографии в некогерентном свете. В гл. 17, § 5,
п. 5 [см. (17.29)], было показано, что максимальная эффективность
амплитудной голограммы, состоящей из М эквивалентных нало-
женных друг на друга голограмм, в Мг раз меньше максимальной
эффективности отдельной голограммы. Для получения оптималь-
ной дифракционной эффективности как в случае многократного,
§ 3. ГОЛОГРАММЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ НЕКОГЕРЕНТНЫМ СВЕТОМ 657
так и однократного экспонирования среднее пропускание реги-
стрирующей среды должно равняться половине максимально воз-
можного пропускания данной среды. Свет, падающий на проявлен-
ную голограмму, не только дифрагирует на ее структуре, но и
рассеивается на зернах серебра, создавая шум, дающий вклад
в среднюю величину пропускания. Поскольку и среднее пропу-
скание, и шумы одинаковы как для многократно наложенных,
так и для отдельных голограмм, можно провести сопоставление
ФИГ. 20.13. Изображение, восстановленное голограм-
мой, зарегистрированной с помощью
пространственно-некогерентного света.
(По Уортингтону [20.15].)
отношения сигнал — шум в этих двух случаях, сравнивая диф-
ракционные эффективности. Рассмотрим сначала однократно
экспонированную голограмму, образованную с помощью излу-
чения с высокой временной и пространственной когерентностью.
Максимальная дифракционная эффективность такой голограммы
равна тц. Предположим, что восстанавливаемое голограммой
изображение состоит из М разрешимых точек. Если голограмма
освещается излучением с мощностью Ро, то мощность, приходя-
щаяся на каждую точку изображения, равна
Рс=^- (20.19)
Для голограммы, полученной с помощью пространственно-некоге-
рентного излучения, мощность, дифрагированная в каждую точку,
определяется эффективностью каждой из наложенных друг на дру-
га голограмм. В соответствии с (17.29) имеем
Т]1
Тогда для мощности, приходящейся на каждую точку изображе-
ния, получим
П -Рр1! М ТрТ] 1 сугу.
М № ' (^U.ZU)
42—0990
658
ТРИ ТЕМЫ
ГЛ- 20.
Сравнивая (20.19) и (20.20), мы видим, что отношение сигнал —
шум для голограммы, полученной в не когерентном свете, сни-
жается в М2 раз по сравнению с голограммами в когерентном све-
те. Таким образом, чем больше число разрешимых точек, тем
больше различие в отношении сигнал — шум. Даже для картины
с разрешением, равным разрешению телевизионного изображе-
ния, это отношение убывает в 6 -Ю10 раз.
Предложены методы уменьшения шума путем исключения
постоянной составляющей экспозиции голограммы. Один из мето-
дов связан с использованием сложных электронных схем [20.16].
Могут быть использованы такие регистрирующие материалы, как
термопластики, которые обладают частотной избирательностью
(фиг. 10.18) и в силу своих свойств подавляют низкочастотные
компоненты в экспонируемой картине. Однако все другие источ-
ники шума, свойственные регистрации, не устраняются. Возмож-
но, фазовые материалы с низким уровнем шума, такие, как хро-
мированный желатин, смогут дать лучшее отношение сигнал —
шум, чем фотографические эмульсии. Другое предложение состоит
в том, чтобы цилиндрической линзой формировать изображение
на голограмме только в вертикальном направлении, образуя
серию горизонтальных одномерных голограмм [20.17]. Вклад
в структуру каждой одномерной голограммы вносит только огра-
ниченное число точек в горизонтальной полоске объекта, и отно-
шение сигнал — шум, таким образом, улучшается.
ЛИТЕРАТУРА
20.1. ROTZ F. В., FRIESEM А. А.,
Appl. Phys. Lett., 8, 146
(1966).
Голограмма с непсевдоскопи-
ческим действительным изо-
бражением.
20.2. HARRIS F. S., Jr., SHER-
MAN G. C., BILLINGS В. H.,
Appl. Opt., 5, 665 (1965).
Копирование голограмм.
20.3. BRUMM D. В., Appl. Opt., 5,
1946 (1966).
Копирование голограмм.
20.4. BRUMM D. В., Appl. Opt.,
6, 588 (1967).
Двойные изображения, да-
ваемые копиями голограмм.
20.5. LANDRY М. J., Appl. Opt.,
6, 1947 (1967).
Влияние двух параметров при
копировании голограммы на
качество копии.
20.6. LEITH Е. N., UPATNI-
EKS J., HILDEBRAND В. Р.,
HAINES К., Journ. Soc. Mo-
tion Pict. Telev. Eng., 74,
893 (1965).
Требования к голографиче-
ским телевизионным системам
передачи изображений.
20.7. ENLOE L. Н., MUR-
PHY J. A., RUBIN-
STEIN С. В., Bell Syst. Tech.
Journ., 45 , 335 (1966).
Передача голограмм по теле-
видению.
20.8. BURCKHARDT С. В., EN-
LOE L. Н., Bell Syst. Tech.
Journ., 48, 1529 (1969).
Передача голограмм по теле-
видению с пониженными тре-
бованиями к разрешающей
способности передающей труб-
ки.
20.9. BERRANG J. Е., Bell Syst.
Tech. Journ., 49, 879 (1970).
Передача голограмм по те-
левидению с использованием
узкополосного видеосигнала.
ЛИТЕРАТУРА
659
20.10. ENLOE L. H., JAKES W. C.,
Jr., RUBINSTEIN С. B.,
Bell Syst. Tech. Journ., 47,
1875 (1968).
Гетеродинное сканирование
голограмм.
20.11. LARSEN A. В., Bell Syst.
Tech. Journ., 48, 2507 (1969).
Система гетеродинного ска-
нирования для передачи го-
лограмм.
20.12. LOHMANN A. W., Journ.
Opt. Soc. Amer., 55, 1555
(1965).
Восстановление волнового
фронта некогерентных объек-
тов.
20.13. COCHRAN G ., Journ. Opt.
Soc. Amer., 56, 1513 (1966).
Новый метод осуществления
преобразования Френеля в не-
когерентном свете.
20.14. STROKE G. W., RES-
TRICK R. С-, Appl. Phys.
Lett., 7, 229 (1965).
Голография в пространствен-
но-некогерентном свете.
20.15. WORTHINGTON Н. R., Jr.,
Journ. Opt. Soc. Amer., 56,
1397 (1966).
Получение голограмм при не-
когерентном освещении.
20.16. KOZMA A., MASSEY N.,
Appl. Opt., 8, 393 (1969).
Уменьшение среднего уровня
пропускания некогерентных
голограмм.
20.17. BRYNGDAHL О., LOH-
MANN A., Journ. Opt. Soc.
Amer., 58, 625 (1968).
Одномерная голография в про-
ст ранственно-некогерентном
свете.
42*
Приложение I
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛА
ФРЕНЕЛЯ —КИРХГОФА И ДИФРАКЦИОННОЙ
ФОРМУЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ
ОБЛАСТИ
В этом приложении мы докажем эквивалентность дифракцион-
ной формулы (5.26) и интеграла Френеля — Кирхгофа (5.31). Оба
выражения могут быть использованы для нахождения комплекс-
ной амплитуды световой волны на расстоянии d от объекта,
на котором волна испытывает дифракцию. Приводимое ниже дока-
зательство заимствовано нами из неопубликованной работы Рауэ
[1.1]. (Другие способы доказательства можно найти в работах
[1.2, 1.3] 1).)
Согласно формуле (5.26), спектр распределения комплексных
амплитуд на расстоянии d от объекта, вызывающего дифракцию,
можно представить как произведение фурье-образа амплитудного
пропускания объекта и функции
Ht (£, ц) = ехр [ - ikd (1 - X2g2 - Vr]2)1^], к = . (1.1)
В интеграле Френеля — Кирхгофа [формула (5.31)] распределение
комплексных амплитуд на расстоянии d от объекта получается
с помощью свертки амплитудного пропускания объекта и функ-
ции 1^ (ж, у).
Из фиг. 5.4 мы видим, что cos 0 в (5.31) определяется следую-
щим образом:
cos 0 = d [d2 + («2—«i)2 + (Уг — !/1)2Г1/2- (1-2)
Подставляя (1.2) в (5.31), получаем
ЬЦж, y)=^exp[-^(d2+^y)1/2]----------------d_--- (I 3)
X (j/2 ж2 2) /2 ((72-|_ж2_|_ ^2) /2
х) В работах [1.2, 1.3] доказывается эквивалентность выражения (5.26)
и интеграла Рэлея. Нашу формулу (5.31) можно получить из интеграла
Рэлея, если под знаком интеграла выполнить дифференцирование и поло-
жить d > X.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
661
Согласно соотношению (4.11), умножению в области простран-
ственных частот соответствует операция свертки в координатной
области.
Чтобы доказать эквивалентность формул (5.26) и (5.31), мы
должны показать, что hi (ж, у) является обратным фурье-образом
функции Ht (L ц).
Обратный фурье-образ функции Hi (£, ц) определяется инте-
гралом
[Hi (£, ц)] = j j ехр [ —гЫ(1 —%2g2 —Vr]2)1/2] X
— ОО —оо
X ехр (— г2л^г) ехр ( — г2лцу) etc dx\. (1.4)
Теперь запишем £ и ц в полярных координатах:
£ = р cos а, (1.5)
ц = р sin а. (1.6)
Тогда соотношение (1.4) принимает вид
[Hi (£, т])] = ехр [ — ikd (1 — А2р2)1/2] р dp х
о
2л
X j ехр [ — г2лр («cosa-j-y sina)] da. (1.7)
о
Если, кроме того, выразить х и у через полярные координаты
х = —г cos ф, (1.8)
у = —г sin ф, (1.9)
то (1.7) запишется следующим образом:
ОО
J7-1 [Hl (I, ц)] = f ехр [ — ikd (1 — А^р2)1/2] р dp х
о
2л
X j ехр [i2nprcos (а —ф)] da =
о
= 2л j ехр [ — ikd (1 — А2р2) V2] J0 (2лгр) р dp. (1.10)
о
Здесь Jo означает функцию Бесселя нулевого порядка, а для на-
хождения интеграла по а использован справочник [1.4]. Введем
662
ПРИЛОЖЕНИЕ I
новую переменную
s = 2лр
и тогда вместо (1.10) получим
(1-11)
ОО
.F’1 [Hi (g, n)] = ^- J exp [-d (s2-k2)^\ Jo (rs) sds. (1.12)
о
Согласно принятому нами правилу для знака фазы распростра-
няющейся волны, величина, извлеченная из-под квадратного корня
выражения (1.2), считается положительной. Теперь воспользуем-
ся формулой 52 из книги Эрдейи [1.5]. Она имеет вид
ОО
j Jo (bt) ехр [-а (t2-y2)1/2} (t2-y2)~1/2 t dt -
о
= exp [ — iy (a2 + 62)1/2] (a2-j-62) 1/2,
arg(Z2 —z/2)1/2 = -^-', если t<_y.
Дифференцирование этой формулы по параметру а дает (в обозна-
чениях Эрдейи [1.5])
j Jo (bt) ехр [—a (t2 — у2)1/2] t dt =
о
= ехр [ — iy (а2 62)1/2]
а2 + Ь2 L (а2 + &2)1/2
(1.13)
Подставляя (1.13) в (1.12) и производя соответствующую замену
переменных, получаем
.F’1 [Ht (В, n)l
___ ik exp [ — ik (d2 r2)1^2]
~ ”2n~ (d2-|-r2)1/2
-------------- 1 J-----------!________
(dZ + ^/a L jfc(d2 + r2)1/2
(1.14)
Для расстояний, значительно превышающих длину волны, второй
член, стоящий в последних квадратных скобках, пренебрежимо
мал. Подставляя г2 = х2 + у2 в соответствии с (1.8) и (1.9), полу-
чаем, что формулы (1.14) и (1.3) эквивалентны и
Т1)1=МЖ, у). (1.15)
Таким образом, эквивалентность дифракционной формулы (5.26)
и интеграла Френеля — Кирхгофа (5.31) доказана.
ЛИТЕРАТУРА
663
ЛИТЕРАТУРА
1.1. ROWE Н. Е., неопубликован-
ная работа.
Угловой спектр плоских волн
и интеграл Френеля — Кирхго-
фа для скалярного волнового
уравнения.
1.2. SHERMAN G. С., Journ. Opt.
Soc. Amer., 57, 546 (1965).
Применение теоремы свертки
к формулам интеграла Рэлея.
1.3. OSTERRERG Н., Journ. Opt.
Soc. Amer., 55, 1467 (1965).
Интеграл Рэлея в ближней
области Френеля.
1.4. JAHNKE Е., EMDE F., Tab-
les of Functions with Formulae
and Curves, 4th ed. New York,
1945. (Имеется перевод немец-
кого издания: Е. ЯНКЕ,
Ф. ЭМДЕ, Таблицы функций
с формулами и кривыми, М.,
1949.)
1.5. ERDfiLYI A., Higher Trans-
cendental Functions, vol. 2,
New York, 1953.
1.6* . ЯНКЕ E., ЭМДЕ Ф., ЛЕШ Ф.,
Специальные функции. Фор-
мулы, графики, таблицы, М.,
1968.
1.7* . БЕЙТМЕН Г., ЭРДЕЙИ А.,
Высшие трансцендентные
функции, М., 1965.
Приложение II
КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В гл. 1, § 3, мы отмечали, что аналитическое рассмотрение
синусоидальных сигналов, соответствующих монохроматическо-
му абсолютно когерентному свету, упрощается при введении ком-
плексных обозначений. Здесь мы распространим комплексное
представление на случай волн, которые уже не являются просты-
ми синусоидами. Ими могут быть, например, волны частично коге-
рентного света.
Прежде всего введем временную пару преобразований Фурье:
ОО
•F-1[g(*)l = G(/)= j g(Z)exp( — 2mft)dt (П.1)
— oo
И
oo
& [G (/)] == g (i) = j G (/) exp (2ni/Z) df, (П.2)
— oo
где g (£) — функция времени t, a G (/), ее спектр,— функция
временной частоты /. Следует обратить внимание на то, что знаки
в экспонентах выражений (II.1) и (II.2) обратны знакам в экспо-
нентах аналогичных им выражений (4.9) и (4.10) для простран-
ственных переменных. Предположим, что g (£) в (II.2) описывает
комплексное электрическое поле световой волны. Тогда
G (/) ехр 2mft в соотношении (П.2) представляет фурье-компоненту
функции g (i), и мы видим, что выбор знаков согласуется с форму-
лой (5.7).
Временную пару преобразований Фурье (II.1) и (П.2) симво-
лически запишем в виде
g (Л CZ G (/). (П.3)
Обозначим электрическое поле монохроматического света частоты
Л через vm (Z) и запишем его следующим образом:
ип (t) = a cos (2n/jZ + ф0) —
= у [ехр (2лг/^гф0)ехр (—2лг/^ — г<р0)1- (Н.4)
Как и в гл. 2, § 4, п. 1, мы считаем, что фаза ф = 2л ft света, испу-
ПРИЛОЖЕНИЕ II
665
щенного непрерывно колеблющимся излучателем, линейно воз-
растает со временем, так что частота / может принимать только
положительные значения. Выражение для комплексного электри-
ческого поля мы можем найти, рассматривая сначала выраже-
ние (П.4) как сумму двух функций, которые описывают комплекс-
ные электрические поля, причем одна из них имеет положитель-
ную частоту /1; а другая — отрицательную частоту —Д. Учиты-
вая, что приращение фазы во времени положительно, мы отбро-
сим компоненту с отрицательной частотой, оставив только
(а/2) ехр (2ni/jZ + 'i<p0).
При таком выборе фазы мы видим, что электрическое поле
vm (t) можно представить как вещественную часть комплексного
электрического поля vm (£). Этого можно достичь, выбрав vm (£)
в виде
vm (t) = 2 ехр (2лг/^ + г<р0) ] = ® ехР + г<р0) • (И-5)
Тогда
vm (£) = Re [vm (i)l = a cos (2л/^ + <p0)- (П.6)
Подобным же образом, ограничиваясь положительными часто-
тами и требуя, чтобы электрическое поле v (£) являлось вещест-
венной частью комплексного электрического поля v (£), мы можем
получить определение комплексного электрического поля, спра-
ведливое для общего случая частичной когерентности [II.1]. С по-
мощью единичной ступенчатой функции Н (f), определяемой как
Н (/) = 1 для / > О, Я (У) = О для / < О, (II.7)
выразим v (2) через фурье-преобразование
v (Z) cz V (/) = 2Я (У)УЛ (У), (П.8)
где
VB(y)^p(i). (П.9)
Из (II.8) видно, что поле v (Z) определено только для положитель-
ных частот. Это определение имеет смысл при условии v (t) =
= Re [v (£)]. Покажем, что последнее действительно так. В книге
[11.11 (см. также [II.2*1) показано, что фурье-образ функции
Я (У) есть
b«)-|ew+^-. (П.Ю)
С помощью теоремы свертки [соотношение (4.11)1 запишем (11.8)
в виде
v (0 = 2h (*) * ^ (О = 2 [j 6 (0 + -^] (i).
666
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Используя фильтрующее свойство 6-функции (4.13д), для верх-
него выражения получим
•v(t) = v
Jl/lf
(11.11)
откуда видно, что функция v (t) является действительной частью
функции v (£).
ЛИТЕРАТУРА
II.1. BRACEWELL R., The Fourier II.2*. СНЕДДОН И., Преобразова-
Transform and Its Applications, ния Фурье, ИЛ, 1965.
New York, 1965.
Приложение III
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЕМКОСТИ
НА БЫСТРОДЕЙСТВИЕ АКУСТИЧЕСКОГО
ОТКЛОНЯЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
Акустическая волна, проходящая через ячейку, заполненную
оптико-акустическим материалом, вызывает синусоидальное изме-
нение показателя преломления среды вдоль ячейки, как пока-
зано на фиг. III.1. По отношению к световому потоку, падающему
на ячейку, это изменение играет роль медленно движущейся
ФИГ. III.1. Отклонение светового луча акустичес-
кой ячейкой, основанное на брэггов-
ской дифракции.
диэлектрической объемной дифракционной решетки. (Скорость
акустической волны мала по сравнению со скоростью света.)
При освещении решетки под углом Брэгга свет может дифрагиро-
вать на этой решетке с высокой эффективностью (см. гл. 9). Вслед-
ствие брэгговской дифракции падающий пучок света отклоняется
от первоначального направления на угол ф = 20о, где 0О — угол
Брэгга, определяемый по формуле
2А sin 0О = %. (III.1)
В последней формуле расстояние между плоскостями решетки А
равно длине акустической волны, а % — длина световой волны
668
ПРИЛОЖЕНИЕ III
в ячейке. Поскольку % Л, можно переписать формулу (III.1)
в виде
тогда для угла отклонения имеем
Ф=т=т-’ (ш-2>
где / — акустическая частота, as — скорость распространения
акустической волны. При изменении акустической частоты в диа-
пазоне А/ диапазон углов отклонения составляет
Аф = уА/. (III. 3)
Зная угловую ширину отклоненного пучка, можно использовать
формулу (III.3) для определения максимального числа разреши-
мых направлений, по которым можно адресовать луч.
Прежде чем перейти к этому расчету, рассмотрим более деталь-
но процесс отклонения. Лазерный пучок входит в акустическую
ячейку под фиксированным углом. Предположим, что акустиче-
ская волна коллимирована, так что вдоль ячейки распростра-
няется один цуг плоских волновых фронтов. Тогда при фиксиро-
ванных длине волны и угле падения лазерного пучка одна и толь-
ко одна пара значений периода решетки и угла дифракции будет
удовлетворять условию Брэгга. В этих условиях отклонение
частоты акустических колебаний от оптимального значения f
приведет к ослаблению, а не отклонению луча. Однако на практи-
ке акустические волны создаются в ячейке с помощью электро-
акустического преобразователя конечных размеров (фиг. III. 1).
Поэтому в ней образуется не единичная плоская волна, а сумма
волн, распространяющихся в некотором диапазоне направлений.
Величины интенсивности этих волн определяются распределением
интенсивности акустических колебаний вида (sin ж/ж)2, излучае-
мых преобразователем. При данной частоте акустических коле-
баний / период диэлектрической дифракционной решетки, обра-
зованной одной из этих волн, и величина угла между плоско-
стями решетки и падающей световой волной могут удовлетворять
условию Брэгга. При другой частоте акустических колебаний
другая решетка с новым значением периода и новой ориентацией
будет составлять брэгговский угол с падающим светом. Каждому
подобному случаю соответствует новое значение угла дифракции
и новое значение угла, под которым световой пучок выходит
из ячейки. Так достигается изменение угла отклонения света. Диа-
пазон углов, в котором пучок света отклоняется с высокой эффек-
тивностью, ограничивается угловой шириной центрального мак-
симума диаграммы излучения акустического преобразователя.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
669
Акустические потери и рассеяние тепла определяют минимально
допустимый размер преобразователя и ограничивают ширину
этого максимума.
Направление отклоненного луча лежит в плоскости, содержа-
щей направление падающего света и вектор распространения аку-
стической волны (см. гл. 9, § 5). На фиг. III.1 это плоскость xz.
Для преобразования углового отклонения в линейное смещение
луча по направлению х могут быть использованы линзы. Чтобы
получить дискретные значения смещения, соответствующие адре-
сам голограмм в плоскости блока оптической памяти, частота аку-
стических колебаний должна изменяться дискретными ступенями.
Количество адресов Nx в направлении х, по которым пучок может
быть отклонен без перекрытия, определяется дифракционным
угловым размытием пучка 8. Следовательно,
Nx = ^-, (III.4)
где Афж для отклонения по оси х определяется соотношением,
аналогичным (II 1.3).
Для определения 8 рассмотрим одномерный пучок с гауссовым
распределением. Мы можем выразить его интенсивность и ампли-
туду через диаметр пучка D. Пусть D/2 представляет собой радиус,
на длине которого интенсивность падает в е2 раз по сравнению
с центром пучка при х = 0. Тогда
I (х) « ехр [ - 2 = ехр ( - *g-) (III.5)
и амплитуда а (х) равна
а (ж) ~ ехр ( —jf-) • (III.6)
Как показано в гл. 5, § 5, угловое размытие амплитудного рас-
пределения а (ж) выражается через пространственную частоту £
картиной дальнего поля или фурье-образом функции а (х). В соот-
ветствии с (4.27) фурье-образ А © имеет вид
А© «ехр (-^-). (Ш.7)
Угловое размытие 8 определяется диапазоном пространственных
частот от +£г Д° —%т, для которых интенсивность картины даль-
него поля падает в е2 раз по сравнению с значением в центре пуч-
ка при £ = 0.
Интенсивность в дальнем поле описывается формулой
[А©]2«ехр(-^)
и становится равной е“2 при = ±2/n,D. Для малых значений
670
ПРИЛОЖЕНИЕ III
угла 0i
t _______________________ sin 0i _ 0i
ёг— X ~ X ’
так что
Тогда угловое размытие
8 = 2|01| = ^-«А. (Ш.8)
Количество неперекрывающихся направлений адресований лу-
ча, управляемого набором дискретных частот акустических коле-
баний в диапазоне А/, в этом случае составляет
= = (IIL9>
Поскольку т = D/s есть время, в течение которого акустическая
волна распространяется на расстояние, равное диаметру свето-
вого пучка, выражение
= (Ш-10)
называется произведением емкости на быстродействие для устрой-
ства отклонения пучка по оси х. Для каждого адреса в «-направ-
лении вторая акустическая ячейка, расположенная вслед за пер-
вой и ориентированная для отклонения по оси у, дает
Ny = тА/
адресов в у-направлении. Общее число адресов определяется
произведением
N = NXNV.
При постоянном значении А/ из формулы (III.10) вытекает,
что число адресов можно увеличить, повышая время считывания
(определяемое значением т). Для этого увеличивают D, т. е.
поперечное сечение акустической ячейки. Использование круп-
ных синтетических оптико-акустических кристаллов а-иоднова-
той кислоты позволяет довести число адресов до величины, пре-
вышающей 104 [16.13]. Близкими свойствами обладает и другой
прекрасный материал — молибдат свинца. Кроме того, он нерас-
творим в воде, и в отличие от растворимой в воде а-иодноватой
кислоты его поверхности не нуждаются в защите от воздействия
обычной атмосферы [II 1.1].
ЛИТЕРАТУРА
III.1. PINNOW D. A., VAN UI-
TERT L. G., WARNER
A. W., RONNER W. А.,
Appl. Phys. Lett., 15, 83
(1969).
Молибдат свинца — выращи-
ваемый из расплава кристалл,
с высоким коэффициентом доб-
ротности для использования
в оптико-акустических устрой-
ствах.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аббе (Abbe Е.) 51
Александров Е. Б. 482, 491
Андерсон (Anderson L, К.) 541, 543,
544, 545
Баэз (Baez А. V.) 56
Бельво (Belvaux Y.) 457
Беркхард (Burckhardt С, В.) 596
Бонч-Бруевич А. М. 482, 491
Браун (Brown В. В.) 630, 631
Брукс (Brooks R. Е.) 365
Брэгг (Bragg W. L.) 6, 26, 50
Вандеваркер (Vandewarker R.) 408,
409
Вандер Люгт (Vander Lugt А.) 142,
237, 436, 443, 436
Ван Лигтен (van Ligten R. V.) 407
Ван Хирден (van Heerden Р. J.) 6,
34, 344, 440, 517, 521
Вильямсон (Williamson S. R.) 540
Винер (Wiener О.) 16
Винтроп (Winthrop J. T.) 83
Вортингтон (Worthington С. R.) 83
Вюркер (Wuerker R. F.) 479
Габор (Gabor D.) 6, 11, 33, 49, 50,
53, 54, 58, 62, 89, 315
Гудмен (Goodman J. W.) 387, 420,
421, 422
Дадерар (Dudderar T. D.) 476
Дайсон (Dyson J.) 90
Денисюк Ю, H. 6, 34, 35
Зеленка (Zelenka J. S.) 386
Зиберт (Siebert L. D.) 369
Келлстром (Kellstrom G.) 56
Кинг (King M, C.) 604, 610
Киркпатрик (Kirkpatrick P.) 56
Клейн (Klein W. R.) 294
Когельник (Kogelnik H.) 265, 280,
284, 285, 291, 292, 293, 296, 418
Кольер (Collier R. J.) 432, 441, 442
Котельников В. A. 614
Лабейри (Labeyrie A. E.) 34
Ларсен (Larsen A, B.) 654
Лезем (Lesem L. B.) 635, 636
Лейт (Leith E. N.) 6, 11, 33, 68, 206,
223
Лин (Lin L. H.) 34, 290, 584
Липпман (Lippmann G.) 6, 34, 57,
517, 607
Ловенталь (Lowenthal S.) 457
Ломанн (Lohmann A. W.) 67, 630,
631
Лукош (Lukosz W.) 249
Майкельсон (Michelson A.) 43
Максвелл (Maxwell J. C.) 15
Малви (Mulvey T.) 54
Мейер (Meier R. W.) 76, 95, 249
Молин (Molin E.) 493
Найт (Knight G. R.) 387
Остерберг (Osterberg H.) 407
Пауэлл (Powell R. L.) 493
Пеннингтон (Pennington K. S.) 34,
432, 441, 442, 584
Пинноу (Pinnow D. A.) 540
Роджерс (Rogers G. L.) 57, 67
Сноу (Snow K.) 408, 409
Стетсон (Stetson K. A.) 493
Строук (Stroke G. W.) 34, 83, 442
Томпсон (Thompson В. J.) 68, 412,
413
Упатниекс (Upatnieks J.) 6, 11, 33,
68, 206, 223
Урбах (Urbach J. C.) 249
Фризем (Friesem A. A.) 386
Хамасаки (Hamasaki J.) 422
Хейн (Haine M. E.) 54, 90
Эль-Сам (El-Sum H. M. A.) 56, 67
Энсли (Ansley D. A.) 336
Юнг (Young T.) 14, 83
предметный указатель
Аберрации 95
— изображение, свободное от абер-
раций 95
— третьего порядка 95
Автокорреляция 111
Акустическое отклоняющее устрой-
ство 540—542, 665—668
— — — диапазон углового откло-
нения 542
— — — оптико-акустическая среда
540, 542, 668
— — — отклонение пучка без пере-
крытия 667
— — — произведение емкости на
быстродействие 542, 668
— — — процесс отклонения 666,
667
Амплитуда 18
— вектор 20
— — комплексный 20
Анализ аэрозольных частиц 411—414
Аттенюатор 193
Брэгга голограмма 34
— закон 26, 263, 264, 273, 527
— угол 272, 273, 279—283, 527
Вандер Люгта форма записи опера-
ций 142
Ван Циттерта — Цернике теорема
46, 47, 161
Вектор Пойнтинга 18
— решетки 266
Видность интерференционных полос
43, 46, 175—180
Визуальное ощущение 564
Волна восстанавливающая 85
— восстановленная 28, 37
— — идеальная 307
— — интенсивность 184
— недифрагированная 53
— опорная 63, 429
— — кодированная 460, 461
— — пространственно-модулирован-
ная 429—431
Волна плоская 22, 23, 117
— — интерференция 260—263
— — распространение и дифракция
118
— — — с затуханием в однородной
среде 270
— расходящаяся 78, 88, 89
— сопряженная 38, 39, 65
— сферическая 77, 78, 87, 136
— сходящаяся 78, 88, 89
Волны монохроматические 18—21
— поверхностные 124, 424
— световые 14—17
— скалярные 22
Волновая нормаль 23
Волновое число 119
Волновой фронт 23
Восстановление волнового фронта 11,
13, 28—31, 36, 54
— — — в белом свете 35
— — — идеальное 307—310
— с помощью точечного источника
85-87
— — — пространственно-модули-
рованной волны 433
Габора голограмма 58—60, 63
Гаусса функция 103
Голограмма 11, 29
— бинарная (двоичная) 614
— Брэгга 34
— внеосевая 33, 68—73
— — контраст 71
— — получение 207—232
— — — при диффузном освещении
222—232
— — — — недиффузном освещении
207—222
— — — разделение дифрагирован-
ных волн 208—216
— — — спектры дифрагированных
волн 209—212
— — с точечным источником 79—82
— — — — — восстановление изо-
бражений 91—95
— — — — — частота полос 92
— — требование к временной коге-
рентности 220—222
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
673
Голограмма Габора 58—60, 63
— Лейта — Упатниекса см. Голо-
грамма внеосевая
— Липпмана — Брэгга 34
— масштабное увеличение 49
— негативная 66
— объемная 28
— — нижний предел толщины
294
— — отражательная 34, 286—294
— — — абсорбционная 292—294
— — — — амплитуда дифрагиро-
ванной волны 292, 293
— — — — оптимальная плотность
294
— — — — эффективность 293, 294
— — — влияние усадки фотослоя
на цвет изображения 587, 588
— — — освещение белым светом
588
— — — фазовая 289—291
— — — — селективность по отно-
шению к длине волны 290, 291
— — — — эффективность 289—291
— — — — — зависимость от угла
падения 290
— — пропускающая 277—286
— — — абсорбционная 283—286
— — — — амплитуда дифрагиро-
ванной волны 283
— — — — оптимальная плотность
286
— — — — эффективность 284—286
— — — фазовая 279
— — — — эффективность 279—283
— — — — — зависимость от угла
падения 281—283
— — —------изменение при откло-
нении длины волны 281—283
— — элементарная, отклик 260—
296
— осевая 33, 62—68
— — контраст 66
— — с точечным источником 79, 80
— — — — — восстановление то-
чечных изображений 88—91
— — — — — частота полос 79, 80
— отбеленная 15, 324—328
— — шум 328
— — экспозиционные характеристи-
ки 327
— — эффективный процесс отбели-
вания 325—327
— плоская 28, 185, 186
— — абсорбционная 36
— — анализ 206—258
— поглощающая (абсорбционная,
амплитудная) 27
43-0990
Голограмма позитивная 65, 66
— пропускающая 277—286
— размер, влияние на качество изо-
бражения 254—256
— составная 577, 591—612
— — для многоцветных изображе-
ний 577, 578
— — — синтеза изображений 605—
611
— — — широкоугольных изображе-
ний 602—605
— — получение гипер- и гипосте-
реоскопических изображений 601,
602
— — размеры элемента 591—594
— — уменьшение информационной
емкости 594—601
— — устранение эффекта экрани-
ровки 595—597
— — элементы 591
— сфокусированного изображения
233—236
— — — для получения ахромати-
ческих изображений 566
— — — запись с помощью состав-
ной голограммы 611
— термопластическая 554—557
— точечного источника 62, 74—
95
— фазовая 27
— — максимальная эффективность
301
— Фраунгофера 246—249
— Френеля 233
— — роль разрешающей способно-
сти 252—254
— Фурье см. Фурье-голограмма
— элементарная 31
— — образование 260—263
Голограммы, видность полос 175—
183
— в некогерентном свете 655—658
— — — — отношение сигнал —
шум 658
— наложенные 521
— — запись на фотохромном мате-
риале 536, 537
— — — с несколькими длинами
волн 582, 583
— — ухудшение свойств при много-
кратном экспонировании 536
— образование 26—28
— — геометрия 32—35
— — желательная поляризация све-
та 183
— — источники 159
— — материалы см. Материалы для
записи голограмм
674
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Голограммы, получение стабильной
интерференционной картины 194,
195
— — с помощью пространственно-
инвариантной системы 255
— — схемы различного типа 233—
241
— — техника простейшего экспери-
мента 200—204
— — требования к временной ко-
герентности 165—168
— — — — пространственной коге-
рентности 161—164
— синтезированные 613—637
— — кодирование комплексной
амплитуды 624—632
— — применения 632, 633
— с кодированной опорной волной
461—466
— — — — — многократное экспо-
нирование 461—463
— — — — — получение много-
цветных изображений 570—589
— — — — — хранение числовой
информации 461—466
— — — — — шум 464—466
Голография 11, 13, 21
— оптическая 13, 14, 57
— основные уравнения 35
— рентгеновская 56, 83
— с импульсными лазерами 349—377
— — — — защита оптических эле-
ментов 362—364
— — — — схема получения порт-
ретов 366—370
— цветная 559—590
— — выбор первичных длин волн
564
— — изображения ахроматические
566-570
— — — многоцветные 570—589
— — — монохроматические 566
— — лазерные источники 562, 563
— — регистрирующие материалы
565
Дальнее поле, условие 129
Деление амплитудное 159
— фронта волны 159
Дирака 6-функция 107
Длина волны 23
— когерентности излучения 40—42,
163
— — — газового разряда высокого
давления 168
— — — — — низкого давления
168
Длина когерентности излучения для
голографии 166
— — — лазера аргонового много-
модового 200
— — — — гелий-неонового 181
— — — — многомодового 169—174
— — — — одночастотного непре-
рывного действия 169
— — — теплового источника 42
Дифракция 24—26, 116, 121—131
— двойная 51, 53
— на объемных голограммах 260—
296
— — периодических структурах 121
— общая задача 104
Дифракционная картина Фраунго-
фера 129
Дифракционно-ограниченная линза
156
Диффузный экран 225
Диэлектрическая проницаемость, пе-
риодическая 268, 269
Закон Брэгга 26, 263, 264, 273, 527
— взаимозаместимости 375
— Снеллиуса 260
Запись линейная 183—188, 308
— — плоской голограммы ампли-
тудной 186
— — — — фазовой 187
— — условие 185
— нелинейная 379—388
— — дифракция высоких порядков
383, 384
— — ложное изображение 384
— — ореол 387, 388
— — перекрестная модуляция 384—
388
Зонная пластинка 60—62
— — изготовление 60, 68, 79
Изображение гиперстереоскопиче-
ское 601
— гипостереоскопическое 601
— двойниковое 68
— — устранение 67, 68
— действительное 29, 65, 66, 88
— — применение 405—426
— — формирование 217—220
— — — без использования линзы
219
— исправление 466—469
— мнимое 29, 37, 66, 88
— негативное 66
— ортоскопическое 232
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
675
Изображение перевернутое 89
— псевдоскопическое 39, 228—232
— — при использовании линзового
растра 607
— трехмерное 227—232
— фантомное 431—433
— — полученное с фурье-голограм-
мы 440—443
Изображения ахроматические 566
— многоцветные 570—589
— — с объемных голограмм 582—
589
— — — — — критерий отсутствия
перекрестной модуляции 583
— —----------усадка эмульсионного
слоя 588, 589
—------плоских голограмм 570—581
— — — — — метод кодирования
опорного пучка 574—577
— — — составных голограмм 577
— — — — — дифракционная эф-
фективность 579—581
— — — — — мозаичный свето-
фильтр 578
— — — — — перекрестная моду-
ляция и ложные изображения
571—573
— — — — — пространственная
дискретизация 577, 578
— — — — — разделение спектров
573, 574
— широкоугольные 602—605
Изопланарный участок 100
Импульсный отклик 108
Интеграл Френеля — Кирхгофа 126
— — — эквивалентность дифрак-
ционной формуле 660—662
Интенсивность 18—20
Интермодуляция 211
Интерференционная картина 15, 17—
23
— — от плоских волн 30
Интерференционные полосы 15, 23,
76, 263
— — в виде системы колец 60
— — локализации поверхность 480
— — — точка 481
— — — условие 486
— — локализация 480—491
— — — при повороте 487—490
— — — — поступательном смеще-
нии 486, 487
Интерференция волн монохромати-
ческих 17
— — различной частоты 43
— — с хаотически изменяющейся
разностью фаз 44
Интерференция двух волн 21—23
— при частичной временной коге-
рентности 176—183
Интерферометрия голографическая
— — вибрирующих поверхностей
493—501
— — в реальном времени 473—477
— — двухэкспозиционная 477—480
— — — с импульсным лазером
478—480
— — определение смещения поверх-
ности 491, 492
— — стробоскопическая 499—501
— — с усреднением во времени
494—498
Информационная емкость, уменьше-
ние 594—601
Источник опорный 38
— — диффузный 433
— — — допустимые смещения
433—435
— тепловой 42
— точечный 39, 58
— — для восстановления 85—87
— — опорный 75
— — предметный 32, 75
— — характеристики изображений
87—94
— электронный 55
Источники для восстановления вол-
нового фронта 195—200
— осевое расположение 89
Картина стоячих волн см. Интер-
ференционная картина
Квази-фурье-голограмма 241—243
Киноформ 633—637
Когерентность 39—47
— временная (продольная) 40—44
— — абсолютная 39
— — излучения газового лазера
168—173
— — — нелазерного источника 166
— — — степень комплексная 165
— — — — для многомодового ла-
зера 169—173
— пространственная (поперечная)
46—48
— абсолютная 39
— — степень 47
— — — для нелазерного источника
162, 163
— — комплексная 44—46, 160, 1621
— частичная 43—47
Когерентный свет 13, 17
Контраст голограммы 66, 71
43*
676
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Координатная (пространственная)
область 97
Координаты цветности 561
— — для трех спектральных цветов
565
Копирование голограмм объемных
645—647
— — плоских абсорбционных 638—
644
— — — — двойные изображения
638—644
— — — фазовых 644, 645
— — — — методом механической
штамповки 645
Корреляция 111
Коэффициент поглощения 270
Кривая видности 563
— Хертера и Дриффилда 63, 64
Кросс-корреляция 111
Лазер 159
— аргоновый 173, 175
— гелий-неоновый 173, 175, 181
— генерирующий несколько про-
дольных мод 199, 200
— непрерывного действия газовый
168
— — — — длины воли 562
— одночастотный 169, 173
— получение одночастотного режи-
ма 173—175
— пространственная когерентность
161
— рубиновый 352—355
— — длина когерентности 355—358
— — многомодовый 352, 353
— — модуляция частоты 356
— — одночастотный 353—355
Лейта — Упатниекса голограмма см.
Голограмма внеосевая
Линейность отклика 71
— системы 99, НО
Линза, влияние конечных размеров
149—157
— — — — на выбор системы 150—
155
— — — — — разрешение изобра-
жения 155, 156
— — — — — спектр пространст-
венных систем 149, 150
— дифракционно-ограниченная 156
— сферическая 133
— тонкая 134
— условие формирования изобра-
жения 144, 145
— — — фурье-образа 146—149
Липпмана — Брэгга голограмма 34
Магнитные тонкие пленки 375
— — — запись и стирание инфор-
мации 375, 376
Майкельсона интерферометр 180, 181
Максвелла уравнения 267
Материалы для записи голограмм
298—346
— — — — с амплитудной модуля-
цией 299—300
— — — — — импульсными лазера-
ми 373—377
— — — — — фазовой модуляцией
299, 301, 302
— — — — фотохромные 343, 344
— — — — чувствительность 309,
313, 314
Метод двух голограмм 67
— — экспозиций см. Интерферомет-
рия голографическая
— проекции 54, 89
— — увеличение 89
— пропускания 54—56, 90
Микроскопия голографическая 405—
— — интерференционная 409—411
— — — дифференциальная 410
— — разрешение 406
— — фазовых объектов 407
— электронная 53
— — разрешающая способность 49
Мультипликация изображений 425,
426
Негатив 64, 65
Ниобат лития, запись голограмм 531,
532
Объект, максимально допустимая ско-
рость движения 370, 371
Операция сдвига 111
Опознавание образов 443—460
— — одновременная обработка 452
— — практические проблемы 455—
458
— — прямой метод 458—460
— букв на странице 452—454
— отпечатков пальцев 458
Опыт Юнга 14, 15
Освещение безопасное живых объек-
тов 371—373
— диффузное 225
— — нелокальная регистрация ин-
формации 227
Отклоняющее устройство см. Акусти-
ческое отклоняющее устройство
Отношение интенсивностей пучков
176, 181
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
677
Память ассоциативная 430
— голографическая стираемая 553—
557
— — — регистрирующие материа-
лы 553, 554
— — — — — термопластические
553—557
— оптическая 553—557; см. также
Система памяти
Передача голограмм по телевидению
594, 595, 648—654
— — — — методы снижения тре-
бований к разрешающей способ-
ности 649—654
— — — — уменьшение информа-
ционной емкости 595
— изображения методом голограм-
мы сфокусированного изображе-
ния 414—416
— — одинаковые искажения опор-
ной и предметной волн 418—422
— — через движущиеся рассеивате-
ли 422
— — — среду, вносящую фазовые
искажения 414—422
Переименование 618
Плотность оптическая 63, 300
Показатель преломления, периодиче-
ские изменения 271
— — средний 270
Поле световой волны 15
— — — магнитное 15
— — — электрическое 15, 16
— — — — вектор 17, 20
— — — — комплексное 20
— — — — — частично когерент-
ного света 633, 634
— — — — энергия на единицу
объема 17
Полное внутреннее отражение 423,
Получение контуров рельефа 501—
— — — метод двух длин волн 502—
504
— — — — иммерсионный 504—508
Поляризация 182, 183
— при интерференции двух волн 21,
176
Помехи взаимные 529
Правило Рэлея 126
Преобразование Фурье 97
— — быстрое 622
— — временная пара 633
— — дискретное 621
— — обратное 98
— — оптическое 136, 137, 146—149
Преобразование Фурье оптическое
с переменным масштабным множи-
телем 149
— — — точное 140, 148
— — суммы функций 112
— — функции двумерной 98
— — — инвертированной 112
— — — комплексно-сопряженной
111
— — — одномерной 103
— — — с постоянным множителем
112
Приближение параболическое 126
— параксиальное 135
Проводимость 269
Проецирование высокоразрешенного
изображения 422—424
— — — источники шумов 423
— — — методом полного внутрен-
него отражения 423
Пропускание амплитудное 36, 64, 65,
71, 300
— зависимость от экспозиции, кри-
вая 71, 72, 319—321
— по интенсивности 63, 300
— разложение в ряд Тейлора 184
Пространственно-частотная область
97
Пространственно-частотное мульти-
плицирование 460
Пространственный фильтр 429,
443
— — для обработки изображения
466—469
— — — опознавания производных
456, 457
— — пропускающий высокочастот-
ные компоненты 456
Пучок лазерный гауссовский 188—
194
---интенсивность, радиальное рас-
пределение 188
— — метод пространственной филь-
трации 189, 190
— — ослабление 191
— — равномерное освещение 191
— — разделение 191, 192
— — расширение 188, 190, 192
— опорный 26
— — внеосевой 72, 73
— сопряженный 29
Пятнистая структура 232 , 388— 395
— — зависимость размера пятен
от апертуры 390, 391
— — интенсивность, средний квад-
рат флуктуаций 392, 393
— — ослабление 393—395
678
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разрешающая способность регистри-
рующего материала 303—305
— — — — влияние на разрешение
изображения 249—254
— — — — для отражательной го-
лограммы 304
— — — — — пропускающей голо-
граммы 304
Разряд газовый 168
Ракурсный фотоснимок 606
— — получение на вычислительной
машине 611
Распределение Рэлея 392
— — плотность вероятности 392
— — среднее значение 392
Распространение света, векторы 273
— — в однородной среде 270
— — направление 118
— — уравнение в области прост-
ранственных частот 126
Рентгеновский микроскоп 50—53
Решетка абсорбционная 276
— дифракционная 25, 123
— — плоская 25
— — объемная 25
— фазовая 276
Рэлея распределение см. Распреде-
ление Рэлея
Свертка 105—НО
Световая отдача 565
Светоделитель 192, 193
Светочувствительная среда 26, 27
— — толстая 27
— — тонкая 27
Сегнетоэлектрические кристаллы
344—346
Синтез трехмерного изображения
605—611
— регистрация составной голо-
граммы 607—611
Система линзово-растровая 515
— — голографическая 425
— — для синтеза трехмерного изо-
бражения 607
— памяти, голограммы объемные
520—537
— — голограммы объемные ампли-
тудные наложенные 532—537
— — — — фазовые, угловая шири-
на полосы 526—528
— — — — — динамический диапа-
зон 524—526
— — — — — дифракционная эф-
фективность 528—530
— — — — — наложенные 523—
532
Система памяти, голограммы объ-
емные фазовые, свойства реальных
сред 531, 532
— — оптическая со стоячей волной
517—520
— — с бегущим пятном 514
— — — — — голографическая 538
— — — — — диаметр голограммы
— — — — — запись голограмм
546—552
— — — — — общая емкость 542
— — — — — «почти фурье-образ»
549
— — — — — работа 542—546
— — — — — размер страницы 539
— — — — — фотоприемник 545,
— — — — — фурье-голограмма с
маской, имеющей хаотическое рас-
пределение фазы 550, 551
— — — — — число бит на стра-
нице 539
— — — — — — страниц 540
— — с микроизображениями 514—
516
— пространственно-инвариантная
99—110
— — линейная 99—102, 108
Согласованный фильтр 444—446, 451
— — импульсный отклик 446, 447
— — получение фантомного изобра-
жения 447—450
— — сигнал опознавания 450
Соответственные точки 481, 483
Сохраняемость записи 305, 306
Спектр излучения 166
---разряда высокого давления 167
— — — низкого давления 166
— функции 101
— энергетический (винеровский)
397—399, 445
Стирание 305, 306
— записи голограмм на магнитных
пленках 376
— — — — сегнетоэлектрических
кристаллах 345, 346
— —--------фотополупроводниково-
термопластических слоях 336—
339
—------— фотохромных материа-
лах 343
Теорема Ван Циттерта — Цернике 46,
47, 161
— отсчетов 614
— подобия 111
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
679
Теория связанных волн 265
— Френеля — Кирхгофа, допущения
130, 131
Термопластический слой см. Фото-
полупроводниково-термопластиче-
ские слои
Увеличение изображения, анализ 90,
95
— голограммы 49
— поперечное 88
— угловое 88
Угол Брэгга 272, 273, 279—283, 527
— дифракции 92
Уравнение волновое 116
— — для периодических неоднород-
ностей 265—270
— — решение, удовлетворяющее за-
кону Брэгга 272—277
Уравнения Максвелла 267
— связанных волн 275
Усилитель рубиновый 358—361
— — сдвиг частоты 360
Фаза 19
Фазовый множитель сферической
волны 138
Формула линзы 135
Формулы соответствия 102—105
— — для некоторых функций 112—
114
— преобразования Фурье 102—105
Фотополупроводниково-термопласти-
ческие слои 335—342
— — голографические свойства
340—342
— — запись, стирание 336—339
— — — — и считывание in situ
553—557
— — приготовление 339, 340
— — экспонирование, проявление и
стирание 340
Фотослои промышленные, свойства
_______3^8
Фотослой 27, 315—328
— запись голограмм 314
— —• интерференционной картины
от плоских волн 30
— зернистость, отношение сигнал—
шум для когерентного света 399—
402
— — шум 396—399
— — — голограммы Френеля 399
— — — — Фурье 396—399
Фотослой, обработка триэтанолами-
ном 323
— отбеленный см. Голограмма от-
беленная
— отклик 63—65
— проявление, сушка, фиксирова-
ние 322
— усадка 322—324
— — влияние на систему оптической
памяти со стоячей волной 520
— хромированного желатина 328—
335
— — — запись голограмм 329, 330
— — — изготовление 330, 331
— — — проявление и обработка
333—335
— — — чувствительность и разре-
шающая способность 331, 332
— — — экспозиционные характе-
ристики 332, 333
Фраунгофера голограмма 246—249
— дифракционная картина 129
Френеля голограмма 233
Френеля — Кирхгофа интеграл 126,
660—662
— — теория 265
Функция Гаусса 103
— гребенчатая 614, 615
— круговой апертуры 104
— — — фурье-образ 104
— передаточная когерентная 155—157
— — модуляционная 158
— — оптическая 158
— — частотная 101
— прямоугольная 109
— рассеяния 108
— с ограниченной полосой 614
Фурье-голограммы 236—241
— безлинзовые 243—246
— двоичные синтезированные 623—
632
— запись высоких пространствен-
ных частот 252
— нечувствительность положения
изображения к перемещению 239
— ограничение размера предмета
252
— разрешение 84
— составные 597—601
— с пространственно-модулирован-
ной опорной волной 435—443
— — точечным источником 82—85
— формирование точечных изобра-
жений 94
— частота полос 83
Хранение информации 512—557
— — избыточная запись 522
680
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Хранение информции, нелокальная
регистрация 227
— — постраничная запись 522
Хертера и Дриффилда кривая 63, 64
Цвет 561
Цветность 561
— диаграмма МСК 561
Частота 19
— пространственная 97, 119
Чувствительность голографическая
см. Материалы для записи голо-
грамм
Ширина линии допплеровская 166,
168
— — лоренцева 167
Шум, зернистость фотослоя 396—403
— — — энергетический спектр
397—399
— источники 306, 307
Экспозиция 18, 183, 302, 303
— длительность 302
— предельная практическая 303
Экспозиционные характеристики
идеального фотоматериала 309
характеристики
фотоматериалов
фотоматериалов
225
автокор р еляции
Экспозиционные
промышленных
319, 320
— — реальных
310—314
Экран диффузный
— — функция
438—439
Эффективность голограмм объемных
абсорбционных наложенных 534—
536
— — — — — снижение 588, 589
— — — — отражательных 294
— — — — пропускающих 284, 285
— — — фазовых отражательных
289, 291
— — — — пропускающих 284, 285
— — плоских 256—258
— — — амплитудных, максималь-
ная 256
— — — — с прямоугольным про-
пусканием 257
— — — наложенных, снижение
579-581
— — — фазовых, максимальная
257, 258
— дифракционная, определение 224,
309
— максимальное значение 295
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ................................. 5
Предисловие к русскому изданию ................................. 6
Предисловие авторов к американскому изданию..................... 8
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Оптическая голография.................................... 13
§ 2. Световые волны........................................... 14
§ 3. Интерференционные картины................................ 17
§ 4. Дифракция ............................................... 24
§ 5. Образование голограмм.................................... 26
§ 6. Восстановление волнового фронта.......................... 28
§ 7. Геометрия образования плоских и объемных голограмм .... 32
§ 8. Основные уравнения голографии ........................... 35
§ 9. Частичная когерентность.................................. 39
Литература.................................................... 48
Глава 2
РАННИЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ГОЛОГРАФИИ
§ 1. Рентгеновский микроскоп Брэгга........................... 50
§ 2. Голография в электронной микроскопии..................... 53
§ 3. Рентгеновская голография................................. 56
§ 4. Первые опыты по оптической голографии.................... 57
§ 5. Осевые голограммы........................................ 62
§ 6. Внеосевые голограммы .................................... 68
Литература ................................................... 73
Глава 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ ТОЧЕЧНОГО
ИСТОЧНИКА
§ 1. Расчет разности фаз между предметной и опорной волнами ... 75
§ 2. Восстановление с помощью точечного источника.......... 85
§ 3. Свойства изображений ................................. 87
§ 4. Аберрации третьего порядка ........................... 95
Литература................................................. 96
682
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Линейные пространственно-инвариантные системы и преобразо-
вание Фурье .................................................. 99
§ 2. Формулы соответствия и преобразования Фурье............ 102
§ 3. Операция свертки........................................ 105
§ 4. Другие виды соответствия операций........................ 110
§ 5. Некоторые соответствия функций........................... 114
Литература.................................................... 115
Глава 5
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
§ 1. Волновое уравнение и его решение для монохроматической
волны....................................................... 116
§ 2. Решение волнового уравнения для случая плоской волны . . . 117
§ 3. Дифракция на периодических структурах................. 121
§ 4. Постановка общей задачи о дифракции.................... 125
§ 5. Связь с интегралом Френеля — Кирхгофа.................. 126
Литература.................................................. 131
Глава 6
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЛИНЗАМИ
§ 1. Сферическая линза..................................... 133
§ 2. Простейшая оптическая система......................... 136
§ 3. Оптическая система более общего вида.................. 141
§ 4. Влияние конечных размеров линзы....................... 149
§ 5. Когерентные и некогерентные передаточные функции...... 157
Литература................................................. 158
Глава 7
ИСТОЧНИКИ СВЕТА И ТЕХНИКА ОПТИЧЕСКОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
§ 1. Источники света для получения голограмм................ 159
§ 2. Видность (контраст) интерференционных полос при регистрации
голограмм................................................... 175
§ 3. Расширение лазерного пучка............................. 188
§ 4. Разделение и ослабление лазерного пучка................ 191
§ 5. Роль механической стабильности в получении голограмм . . . 194
§ 6. Источники света для восстановления волнового фронта .... 195
§ 7. Техника простейшего голографического эксперимента...... 200
Литература.................................................. 204
Глава 8
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ ГОЛОГРАММ
§ 1. Получение голограмм с наклонным опорным пучком при, недиф-
фузном предметном пучке................................... 207
§ 2. Голографирование с наклонным опорным пучком при диффузном
освещении предмета........................................ 222
ОГЛАВЛЕНИЕ
683
§ 3. Схемы получения голограмм различного типа............. 233
§ 4. Роль разрешающей способности регистрирующей среды и раз-
меров голограммы............................................... 249
§ 5. Максимальная эффективность плоских голограмм............. 256
Литература..................................................... 258
Глава 9
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА ОБЪЕМНЫХ ГОЛОГРАММАХ
§ 1. Голограмма, образованная двумя плоскими волнами........ 260
§ 2. Закон Брэгга .......................................... 263
§ 3. Теория связанных волн.................................. 265
§ 4. Волновое уравнение..................................... 265
§ 5. Решение волнового уравнения............................ 272
§ 6. Пропускающие голограммы ............................... 277
§ 7. Отражательные голограммы............................... 286
§ 8. Обсуждение свойств объемных голограмм.................. 294
Литература.................................................. 297
Глава 10
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММ
§ 1. Изменения оптических свойств светочувствительных материалов 299
§ 2. Экспозиция и чувствительность............................ 302
§ 3. Разрешающая способность регистрирующего материала .... 303
§ 4. Сохраняемость и стирание голограммной записи............. 305
§ 5. Шумы и линейность записи................................. 306
§ 6. Идеальное восстановление волнового фронта и идеальный реги-
стрирующий материал............................................ 307
§ 7. Сравнительные экспозиционные характеристики реальных реги-
стрирующих материалов.......................................... 310
§ 8. Галоидосеребряные фотографические слои................... 315
§ 9. Слои хромированного желатина............................. 328
§10. Фотополупроводниково-термопластические слои.............. 335
§ И. Фотохромные материалы..................................... 343
§12. Сегнетоэлектрические кристаллы............................ 344
Литература..................................................... 346
Глава 11
ГОЛОГРАФИЯ С ИМПУЛЬСНЫМИ ЛАЗЕРАМИ
§ 1. Многомодовый рубиновый лазер.......................... 352
§ 2. Одночастотный рубиновый лазер ........................ 353
§ 3. Длина когерентности одночастотного лазера............. 355
§ 4. Рубиновый усилитель................................... 358
§ 5. Защита оптических элементов........................... 362
§ 6. Установки для получения голограмм с импульсными лазерами 364
§ 7. Максимально допустимая скорость движения объекта...... 370
§ 8. Безопасное освещение живых объектов................... 371
§ 9. Материалы для импульсной голографии................... 373
Литература................................................ 377
684
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 12
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ, ПЯТНИСТАЯ СТРУКТУРА
И ШУМЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ЗЕРНИСТОСТЬЮ ФОТОСЛОЯ
§ 1. Влияние нелинейности записи........................ 379
§ 2. Пятнистая структура................................ 388
§ 3. Шум, обусловленный зернистостью фотослоя........... 396
Литература.............................................. 403
Глава 13
ПРИМЕНЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
§ 1. Микроскопия........................................ 405
§ 2. Анализ аэрозольных частиц.......................... 411
§ 3. Передача изображения через среду, вносящую фазовые иска-
жения ................................................. 414
§ 4. Проецирование высокоразрешенного изображения....... 422
§ 5. Мультипликация изображений......................... 425
Литература.............................................. 426
Глава 14
ГОЛОГРАММЫ И ГОЛОГРАММНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ФИЛЬТРЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ
С ПРОСТРАНСТВЕННО-МОДУЛИРОВАННЫМИ ОПОРНЫМИ
ВОЛНАМИ
§ 1. Ассоциативная память............................... 430
§ 2. Фурье-голограмма с пространственно-модулированной опорной
волной ................................................. 436
§ 3. Несколько экспериментов с фурье-голограммами....... 440
§ 4. Опознавание образов................................ 443
§ 5. Мультипликация и кодирование ...................... 460
§ 6. Обработка изображения.............................. 466
Литература.............................................. 469
Глава 15
ГОЛОГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
§ 1. Интерферометрия в реальном времени................. 473
§ 2. Двухэкспозиционная интерферометрия................. 477
§ 3. Локализация интерференционных полос и их интерпретация 480
§ 4. Интерферометрия вибрирующих поверхностей........... 493
§ 5. Получение контуров рельефа......................... 501
§ 6. Применения и усовершенствования описанных методов .... 509
Литература.............................................. 509
Глава 16
ХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
§ 1. Система хранения информации, основанная на постраничной ,
записи микроизображении................................. 513
§ 2. Система оптической памяти со стоячей волной........ 517
ОГЛАВЛЕНИЕ
685
§ 3. Голографическая запись информации в толстых регистрирую-
щих средах.................................................. 520
§ 4. Голографическая система памяти с бегущим пятном........... 538
§ 5. Запись, считывание и стирание информации in situ.......... 553
Литература .................................................... 557
Глава 17
ЦВЕТНАЯ ГОЛОГРАФИЯ
§ 1. Смешение цветов с использованием лазерного излучения . . . 559
§ 2. Регистрирующие материалы............................. 565
§ 3. Монохроматические изображения........................ 566
§ 4. Ахроматические изображения........................... 566
§ 5. Многоцветные изображения, восстановленные с помощью пло-
ских голограмм........................................... 570
$ 6. Восстановление многоцветных изображений с помощью объем-
ных голограмм 582
Литература..................................................... 589
Глава 18
СОСТАВНЫЕ ГОЛОГРАММЫ
§ 1. Разрешение изображения и размеры элемента................. 591
§ 2. Уменьшение информационной емкости голограммы.............. 594
§ 3. Гипер- и гипостереоскопические голографические изображения 601
§ 4. Широкоугольные голографические изображения ............... 602
§ 5. Синтез трехмерного изображения по фотоснимкам............. 605
Литература..................................................... 611
Глава 19
ГОЛОГРАММЫ, СИНТЕЗИРОВАННЫЕ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАШИНЕ
§ 1. Теорема отсчетов.......................................... 614
§ 2. Дискретное фурье-преобразование и быстрое фурье-преобразо-
вание....................................................... 620
§ 3. Двоичные фурье-голограммы................................. 623
§ 4. Применения................................................ 632
§ 5. Киноформ.................................................. 633
Литература .................................................... 637
Глава 20
ТРИ ТЕМЫ, КОТОРЫМ НЕ НАШЛОСЬ МЕСТА
В ДРУГИХ ГЛАВАХ
§ 1. Копирование голограмм..................................... 638
§ 2. Передача голограмм по телевидению......................... 648
§ 3. Голограммы, образованные пространственно-некогерентным
светом...................................................... 655
Литература..................................................... 658
686 ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение I
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛА ФРЕНЕЛЯ - КИРХГОФА
И ДИФРАКЦИОННОЙ ФОРМУЛЫ
В ПРОСТРАНСТВЕННО-ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ ... 660
Приложение II
КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 664
Приложение III
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЕМКОСТИ НА БЫСТРОДЕЙСТВИЕ
АКУСТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЯЮЩЕГО УСТРОЙСТВА 667
Именной указатель .............................. 671
Предметный указатель............................ 672
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании
книги, ее оформлении, качестве
перевода и другие просим
присылать по адресу:
Москва, И-110, ГСП,
1-й Рижский пер. д. 2
Издательство «Мир».
Р. Кольер
К. Беркхарт,
Л. Лин
Оптическая
голография
Редактор И. Г. Нахимсон
Художник А. М. Ясинский
Художественный редактор Е. Н. Урусов
Технический редактор И. К. Дерва
Корректор Т. П. Пашковская
Сдано в набор 30/Ш 1973 г.
Подписано к печати 19/IX 1973 г.
Бумага тип. № 1 60x901/18=21,63 бум. л.
43,25 печ. л. в т/ч 2 цв. вкл. 40,16 уч.-изд. л.
Изд. № 2/6718. Цена 3 р. 61 к. Зак. 0990
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного знамени
Московская типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли,
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9