Текст
В. С. КРАМОР
ПОВТОРЯЕМ
И СИСТЕМАТИЗИРУЕМ
АЛГЕБРЫ
И НАЧАЛ АНАЛИЗА
4е издание
Москва
ОНИКС
Мир и Образование
ШКОЛЬНЫЙ КУРС
УДК 512(075.3)
ББК 22.14я72
К78
Крамор В. С .
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа / В. С. Крамор. — 4$е изд. — М.: ООО «Издательство
Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008.
—
416 с.: ил.
ISBN 978$5 $488$01475$6 (ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978$5 $94666$432$5 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по
алгебре и началам анализа. В параграфах к каждому пункту теоретического
материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней
сложности для самостоятельного решения.
Пособие может быть использовано при подготовке к выпускным
экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.
УДК 512(075.3)
ББК 22.14я72
ISBN 978$5 $488$01475$6
(ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978$5 $94666$432$5
(ООО «Издательство «Мир и Образование»)
© Крамор В. С., 2008
© Оформление переплета.
ООО «Издательство Оникс», 2008
§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Результат сложения двух или нескольких чисел называет
ся их суммой, а сами числа - слагаемыми.
Например, а+Ь+с+ ... +k=p. Здесь р - сумма; а, Ь, с, ... ,
k - слагаемые.
2. Для любых натуральных. чисел а и Ь верно равенство
а+Ь=Ь+а. Это свойство называют переместительным (ком
мутативным) законом сложения, который формулируется так:
от перестановки слагаемых значение суммы не' изменяется.
3. Для любых натуральных чисел а, Ь и с верно равенство
(а+Ь)+с=а+(Ь+с).
Это свойство называют сочетательным (ас-
5
СПРАВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
1. Понятие натурального числа относится к простейшим,
первоначальным понятиям математики и не определяется через
другие, более простые понятия.
2. Натуральные числа возникли в результате счета предме
тов. В порядке возрастания их можно записать как ряд чисел
1,2,3,4, ....
3. Для натуральных чисел определены следующие действия:
сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень
и извлечение корня.
Заметим, что действия сложения и умножения выполнимы всег
да, т. е. в результате этих действий получаются также натураль
ные числа.
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕЧИС ЛА И ДЕйСТВИЯ НАД НИМ И
§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ
ЧИСЛА И ДЕйСТВИЯ НАД НИМИ
§ 2. СлОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ
§ 3. ВЫЧИТАНИЕ
§ 4. УМНОЖЕНИЕ И ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ
§ 5. ДЕЛЕНИЕ
§ 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
§ 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
§ 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
§ 9. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
§ 10. ПРОСТЫЕ
И СОСТАВНЫ Е ЧИСЛА
§ 11. НАИБОЛЬШИй ОБЩИй ДЕЛИТЕЛЬ
§ 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
ГЛАВА 1
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Разделить число а на число Ь - значит найти такое число х,
при умножении которого на число Ь получается число а, т. е.
а:Ь=х, если х·Ь=а.
6
§ 5. ДЕЛЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Умножить число а на число Ь - значит найти сумму Ь
слагаемых, каждое из которых равно а. Выражение аЬ назы
вается произведением, а числа а и Ь - множителями.
Например, а·3=а+а+а;
Ь·5=Ь+Ь+Ь+Ь+Ь.
2. для любых натуральных чисел а и Ь верно равенство аЬ = Ьа.
Это свойство называют перем.естительным ваконом умножения,
который формулируется
т ак: от перестановки множителей значе
ние произведения не изменяется.
3. Для любых натуральных чисел а, Ь и с верно равенство
(аЬ) с=а (Ь с). Это свойство называют
сочетательным законом
умножения, который формулируется
так: значение произведения
не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их
произведением.
4. При любых значениях а, Ь и с верно равенство (а+Ь) с=
= ас +Ьс. Это свойство называют распределительным (дистрибу
тивным) законом умножения (относительно сложения), который
формулируется
так: чтобы умножить сумму на число, достаточно
умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные
произведения.
Аналогично можно записать: (а-Ь) с=ас-Ьс.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ И эхкоиы УМНОЖЕНИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Вычесть 'из числа а число Ь - значит найти
такое
число х, которое в сумме с числом Ь дает а, т. е. Ь+х=а.
2. Число х называется разностью чисел а и Ь и обозначается
а- Ь; число а называют уменьшаемым, число Ь - вычитаемым.
3. Для натуральных чисел вычитание не всегда выполнимо.
Например, в результате вычитания 4 - 4, 2 -7, 17- 30 мы не полу
чим натуральное число.
§3.
ВЫЧИТАНИЕ
социативным) законом сложения, который формулируется
так:
значение суммы не изменится. если какую-либо группу слагаемых
заменить их суммой.
7
С ПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. На 2 деля тся числа, оканчивающиеся нулем или че тной
цифрой.
2. На 5 деля тся числа, оканчиваюшвеся нулем или цифрой 5.
3. На 4 (на 25) делятся
те
и только
те
числа, у которых две
последние
цифры - нули или выражают число, делящееся на
4 (или 25).
§ 6. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
А. 1) Докажите , что произведение
тр ех последоват ельных нату
ральных чисел делится на 6.
2) Докажите , что разность аЬ - Ьа кратна 9.
Б. Найдите
двузначное
число, равное
утроенной сумме его цифр.
В. 1) Докажите , что всякое
тр ехзначное
число, записанное
оди
наковыми цифрами, делится нацело на 37.
2) Какой цифрой оканчивае тся произведение 71· 72· ...• 78· 79?
Отв
е
т. Б.27. В. 2)о.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Доказать, что одно из двух последовате льных че тных чисел
делится на 4.
Реш
е
ние. Пусть пЕN.Тогда 2n- четное число, а 2n+2 -
следующее че тное число.
Если n=2k (че тное), где k EN , то число 2n=2·2k=4k делится
на 4.
Если n=2k-1 (неч е тное), где
kEN,
то
число 2n+2=
=2 (2k-l)+2=4k-2+2=4k
делится на 4.
2. Доказать, что сумма двузначного числа и числа, записан
ного те ми же цифрами в обратном порядке, кратна 11.
Реш
е
н и е. Имеем аЬ = 1Оа+Ь (двузначное
число, где а
цифра десятков, Ь -- цифра единиц); аналогично Ьа = 1ОЬ+ а;
следовате льно, аЬ+Ьа= 10а+Ь + 10Ь+а= lla+ Ilb= II (а+Ь)
делится на 11._
2. Число а называетс я
делимым (или кратным) числа Ь. чис
ло Ь - делителем числа а, число х - частным чисел а и Ь.
3. Для натуральных чисел дел ение нацело не всегда выпол
нимо, т.
е. результа т дел ения двух натуральных чисел не всегда
являе тс я натуральным числом.
.
4.При знак Делимос ти суммы:
ес ли каждое
из
слагаемых х и у делится на некоторое
число С, то и сумма х+у
делится на это число с.
8
Рис. 2
Рис. 1
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Пересечением множеств А и В называетс я множество С,
состо ящее из элементов, которые принадлежат каждому из данных
множеств А и В (рис. 2, а). Пересечение множеств обозначают
символом n и пишут: С =А n В.
§ 8. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВ А МИ
С_ПРАВОЧНЫА М АТЕРИАЛ
1. _Одним из фундаментальных пеняти й математики
является
понятие множества. Множество можно представить себе как сово
купность некоторых объектов, объединенных по какому-либо при
знаку. Множество - понятие неопределяемое.
2. Множество может состо ять из чисел, точек, прямых и т. д.,
называемых элементами множества. Так, множество однозначных
чисел состоит из элементов О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3. Множество, которое не содержит элементов, называют
пустым и обозначают символом g.
4. Из рисунка 1 видно, что каждый элемент множества М
принадлежит также и множеству К. Если каждый элемент мно
жества М являе тся элементом множества К, то говорят, что
множество М является подмножеством множества К. Это вы
ражаетс я записью М с К.
5. Если каждый элемент
множества А
являетс я одновре
менно элементом множества В (т. е. А с В) и каждый элемент
множества В - элементом множества А (т. е. ВсА),
то мне
жества А и В называют равными и пишут: А =В.
6. Различают конечные и бесконечные множества. Например,
множество всех трехзначных чисел конечное, а множество нату
ральных чисел бесконечное.
7. Множество натуральных чисел обозначают N.
§ 7. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВ А
~. На 3 (на 9) делятся
те и только те числа, сумма цифр
которых делитс я
на3(на9).
5. На 1О деля тся числа, оканчивающиеея
нулем.
1. Число а назы в ается простым, если его делителями являются
только единица и само число а. Например, числа 2, 3, 5, 13, 29
простые.
2. Число а, имеющее более двух натуральных делителей (кро
ме 1 и а), назы в а ется состав ным. Например, числа 4, 6, 15 соста в
ные.
Заметим, что число 1 не относят ни к простым, ни к соста в ным
числам.
3. Основн
а
ятеорема а риф метики.Любоесостав
ное натуральное число можно представ ить единственным образом
9
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 10. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Таким образом, эти дв а
множества
эквив алентны.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Если каждому элементу
множеств а
А можно постав ить
в
соответствие один и только один элемент множеств а
Ви,на
оборот, каждому элементу
множеств а
В можно постав ить
в
со
ответствие один и только один элемент множеств а
А, то такое
соответствие между множеств ами А и В назы ва ется вз аимно
однозначным.
2. Если между множеств ами А и В можно установить
вз а
имно однозначное соответствие, то такие множеств а
назы ва ются
экви ва лентными
(ра вн омощными ) .
3. Устано вление взаимно однозначного соответствия
дает воз
можность сра внив ать
множества
с бесконечным числом элемен
тов. Например, между множеством N натуральных чисел и мно
жеством
в сех четных натуральных чисел можно устано вить
в заимно однозначное соответствие:
12345
п ...
!1!!lo 1.:.
2. Если множеств а
А. и В не имеют общих элементов,
то
пересечением
таких множеств
является пустое множество
(рис. 2, 6).
3. Объединением множеств
А и В назы ва ется множество, со
стоящее из всех элементов
множеств А и В и только из них. Объе
динение множеств
обозначают символом U и пи шут: С =А U В
(рис. 2, 8). При этом если множеств а
А и В имеют общие элементы,
то каждый из этих общих элементов
в
объединение входит только
один раз.
§ 9. ВЗАИМН О
ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
126=2·з2.7
540=22 .33·5
630=2·з2·5·7
D (126; 540; 630)=2·3.3= 18.
§ 12. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Рассмотрим множество А чисел, кратных
4, и множество В
чисел, кратных
6, т. е. А:::;:{4; 8; 12; 16; 20; ... }, В={6; 12; 18;
24; ... }. Числа 12, 24, 36, ... являются кратными чисел 4 и 6.
Их называют общими кратными чисел 4 и 6. Множество С общих
кратных
есть пересечение множеств А и В, т. е. С=АПВ.
10
540 2
630 2
270 2
315 3
135 3
105 3
453
355
153
77
55
1
1
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Рассмотрим множество А делителей числа 45 и множест
во В делителей числа 60, т. е. A={l; 3; 5; 9; 15; 45}, B={l; 2; 3;
4; 5; 6; 1О; 12; 15; 20; 30; 60}. Общими делителями чисел 45 и 60
называются числа, являющиеся элементами
как множества А,
так и множества В, т. е. элементы
пересечения этих множеств"
АПВ={l; 3; 5; 15}.
2. Наибольший
из
этих
элементов (число 15) называется
наибольшим
общим делителем и обозначается так: D (45; 60)= 15.
3. Если наибольший
общий делитель чисел равен 1, то такие
числа называются взаимно простыми. Например, числа 16 и 25
взаимно простые, так как D (16,25)= 1.
4. При м е р. Найти D (126; 540; 630).
Реш ение.
126 2
633
213
77
1
§ 11. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕ ЛИТЕЛЬ
в виде произведения просты х
чисел. Например, 12=2·2·3. Го
ворят также, что число 12 разложено на простые множители.
4. При м е р. Разложить на простые множители число 525.
Реш ение. 525 3
175 5
35 5 525=3·5·5·7
77
1
11
Контрольные вопросы
1. Какие числа относятся к множеству N?
2. Какие операции (действия) всегда выполнимы на множест
ве N?
3. Является ли множество натуральных чисел конечным; беско
нечным?
4. Существует
ли наибольшее натуральное число? Существует
л и наименьшее натуральное число?
5. Сформул ируйте законы сложения.
6. Как изменится сумма, если: а) одно из слагаемых увеличить
на 6; б) первое слагаемое увеличить на 9, а второе - на 7;
в) первое слагаемое увеличить на 15, а второе уменьшить
на 8?
7. Что значит из числа а вычесть число Ь?
8. Всегда ли выполнимо вычитание на множестве N?
9. Как изменится разность, если: а) уменьшаемое увеличить на
7, а вычитаемое - на 5; б) уменьшаемое увеличить на 10,
а вычитаемое уменьшить на 7; в) уменьшаемое уменьшить
на 15, а вычитаемое увеличить на 10?
10. Что значит умножить число а на число Ь?
11. Всегда ли выполнимо умножение на множестве натуральных
чисел?
12. Сформулируйте
законы умножения.
13. Как изменится произведение,
если: а) один из множите лей
увеличить в 2 раза; б) один из множителей увеличить в 3 ра
за, а другой уменьшить в 3 раза?
14. В каких случаях произведение двух чисел
равно одному из
них; каждому из них?
270=2·33·5
300=22·3·52
315=з2 ·5· 7
К (270; 300; 315) =
= 22.з3.52.7= 18900
315 3
105 3
355
77
1
300 2
150 2
753
255
55
1
270 2
135 3
453
153
55
1
2. Наименьший элемент множества С называется наимень
шим общим кратным данных чисел и обозначается так: К (4; 6)=
=12.
3. При м е р. Найти К (270; 300; 315).
Реш
е ние.
15. Что значит разде лить число "а на число Ь?
16. Всег да ли выполнимо дел ение на множестве натуральных
чисел?
17. Как изменится частное,
если делимое увеличить в 1О раз,
а д елитель уменьшить в 2 раза?
18. В каких случаях частное двух чисел равно: а) одному из них;
б) каждому из них?
19,. Делимое увеличили в 4 раза. Как нужно изменить делитель,
чтобы частное уменьшилось в 3 раза?
20. Делимое уменьшили в 6 раз. Как нужно изменить делитель,
чтобы частное уменьшилось в 2 раза?
21. Сформулируйте признаки д елимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
22. Укажите множество трехзначных чисел, кратных 3; кратных 9.
23. Дайте опре дел ение наибольшего общего делителя и наимень-
шего общего кратного двух или нескольких чисел.
24. Разложите на простые множители числа: 1176; 5400.
25. Найдите: а) D (144; 72); б) D (120; 144; 324).
26. Найдите: а) К (25; 38); б) К (108; 216; 135); В) К (70; 35; 280).
13
Рис. 3
2
7'
се__
, :=?
1
5"
~---I/
§ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДРОБИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Одна или несколько равных частей единицы называется
обыкновенной дробь ю.
Например, дробь i-означает, что единица разделена на 5 рав-
ных частей и взята одна такая часть; дробь ~ означает, что
единица разделена на 7 равных частей и взяты две такие части
(рис. 3).
2 . Обыкновенная дробь записывается с помощью черты и
двух натуральных чисел. Число, стоящее под чертой и показываю
шее, на сколько равных частей разделена единица, называется
знаменателем дроби. Число, стоящее над чертой и показывающее,
СКОЛЬКО взято такиг равных частей, называется числителем дроби.
§ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
§ 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И НЕПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ
§ 3. ОСНОВНОЕ СВОйСТВО ДРОБИ
§ 4. СЛОЖЕНИЕ
И
ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕй
§ 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕй
§ 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОВЕй
§ 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОй ДРОБИ В ОБЫКНО
ВЕННУЮ И ОБЫКНОВЕННОй В ДЕСЯТИЧНУЮ.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ
§ 10. СВОйСТВА ПРОПОРЦИИ
§'ll. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
§ 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО И ОБРАТНО
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ
ГЛАВА 11
14
1. Две дроби
:
и
~ называются
равными, если ad = Ьс.
2
4
Например, 3=6' так как 2·6=3·4,
226
123
2. Сократить дробь: 1) 134;
2) 12345'
Реш е н и е. 1) Числитель и знаменатель данной дроби
четные числа. Следовательно, данную дробь можно сократить на 2,
226 113
Получим 134=67'
2) Сумма цифр числителя дроби 1+2+3 равна 6, следова-
§ 3. ОСНОВНОЕСВОЙСТВОДРОБИ
СПРАВОЧНЫ ЙМАТЕРИАЛ
§ 2. ПРАВИЛЬН Ы Е И НЕПРАВИJlЬНЫ Е ДРОБИ
.сПРА.80ЧН Ы Й МАТЕРИАЛ
1. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, назы
вается правильной. Например, : - правильная дробь.
2. Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше
о·
35
его, называется веправильнои. Например, 3' "2 - неправильные
дроби.
3: Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обра-
тить в неправильную дробь. Например 7..!_= 3· 7 + 1 =~. 82.-=
'3
3
3'
3
8·3+2
26
=-3-=3"
Вообще, чтобы записать число в виде неправильной дроби,
нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и
к произведению прибавить числитель дробной части. Полученная
сумма будет числителем дроби, а знаменателем будет знаменатель
дробной части.
4. Из любой неправнльной дроби можно выделить целую часть.
Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель.
Частное от деления
будет целой частью числа, остаток - числи-
26
2
гелем, а делитель - знаменателем. Например, з=8з,
3. Из определения
дроби
следует, что дробную черту можно
2
рассматривать как знак деления. Например, т= 2: 7.
Таким образом, дробь, у которой чисяигель равен знамена-
5
телю, равна единице. Например, 5= 1.
1. Произведение двух дробей : и ~ равно дроби, числитель
15
СПРАВОЧНЫй МА Т ЕРИАЛ
§ 5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ
§ 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАН ИЕ ДРОБЕЙ
СПРАВОЧНЫй МА Т ЕРИАЛ
1. При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаме
нателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй
дроби (из числителя первой дроби вычитают числитель второй
дроби) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если
757+5124
это возможно, сокращают. Например, g+g=-g-=T=T'
2. Наименьшим общим знаменателем двух или нескольких дро
бей является наименьшее общее кратное знаменателей этих дро
бей.
При сложении (вычитании) дробей е различными знаменате
лями нужно предварительно привести их к наименьшему общему
знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, ис
пользуя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми
знаменателями. Полученную дробь" если можно" сократить и
исключить из нее целую часть. Например,
.2..+.!..= 28+~=28+ '5 =~= 1!_
9123636
36 36 36.
3. При вычитании чисел, состоящих из целой части и дроб
ной, из це.т;ойчасти уменьшаемого вычитают целую часть вычитае
мого, а из дробной части уменьшаемого - дробную часть вычитае-
7
5
75
21- 10
11
мого. Например, 9T-412=5T-12=5~==5
24.
4. Если дробная часть вычитаемого больше дробной части
уменьшаемого, то одну из единиц целой части уменьшаемого нуж-
..
u
б
Н
15
29
55
9
но заменить равнои еи дро ью. апример.л 8- 10= 8-10=
=5 25-36 =4+ 40+ 25-36 =4 65-36 =4 29
40
40' 40
40
40.
Аналогично выполняется сложение смешанных чисел.
З аметим, что действие вычитания может привести к понятию
отрицательной дроби. Этот случай будет рассмотрен в главе III.
тельно, числитель дроби делится на 3. Сумма цифр знаменателя
дроби I + 2 + 3 + 4 + 5 равна 15, следовательно, знаменатель де
лится на 3. Поэтому дробь можно сократить на 3, т.
е.
123
41
12345= 4115.
16
ДИДАКТИЧЕСКИЯ МАТЕ РИАЛ
Найдите значение выражения:
А. 1) .2...,&_. 2) .!Q..l!. 3) .2...,&_. !Q..l!. 4) (_§_+2-) ..!1_.
106'
75'
10675'
12819'
5) _§_. (.!!. _
_§_). 6) _§ _ • .1.._.1...2-+1....
7 18 12.'
225
52211'
7) (3 _! _ _-2~) . (7 -61-)· 8) 1~.1 !",._.i_.21 -
14
7
5'
7
49
4'
Реш е н и е. 1) Выполним действия, .указанные в скобках:
3
3
3
1
.
1·1
5+2 -=7+-=7
- 4 -+ 10= 14+-:::::::14~
8
8
8'
6-
6
6'
Теперь перемножим два числа 7 ~ и 14i-. Для этого каждое
из чисел сначала nревратим в неправильную
д робь, а затем вы
полним умножение:
7 .1_.14 _ ! _= 56+3. 84+ 1=~.~=
59.85= 5015=104~
8
6
8
6
86.6·8
48
48.
2) (5-2 ~)•(4t-3)= (3- :)·1t=( 2++-:).1т=
=2 ~.1 _! _=~.!_= 49=3 _! _.
868616
16
У П Р А ЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Найти значение выражения:
которой равен произведению числителей, а знаменатель - про-
..
а
сас
изведению знаменателеи, т. е. т·([= bd •
2. При умножении чисел, состоящих из целой части и дробной,
их предварительно представляют в виде неправильиых дробей,
.
11119
а затем умножают согласно п. 1. Например, 23·36=3·6=
133 1
= "'i8= 718 .
3. Два числа называются взаимно обратными, если их произ-
ведение равно 1. Например, 3 и +, а и -;. - взаимно обратные
числа.
4. Любые две дроби вида : и : являются взаимно обрат
ными, так как их произведение равно 1.
11
5
11
5
115
Реш е н и е. 1) 812-612:;=212-12=2+12-12=2+
6
1 1.5
5.5
58
+12=22; 22·8=2·'8=2·5=4.
2) 1 _!__.!-=_3_.!-=15-4=l!... ~+ ~=9+10=.!!
Дан-
25.2
5
1010'461212.
ное выражение перепишем в виде 2 ~.: ~~+ ~;:3 Т. Числа 2 ~
1
311
119
И 3 Т заменим неправнльнымн дробями: 2 т= т' а 3 т= Т .
17
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
В ыполнить действия:
1) (8~~-6 152):;;2) 2 ~:(1t-t)+(~+~):3т·
§ 6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
СПРАВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
1. При делении дроби на дробь числитель делимого умножа
ют на знаменатель делителя, а знаменатель делимого - на чис
литель делителя. Первое произведение служит числителем, а вто-
.
363·77
7
рое - знаменателем частного. Например, Т:7= 4.6=4.2=8'
2. При делении чисел, состоящих из целой части и дробной,
нужно предварительно представить их в виде дроби и применить
б
бН
35•21 26.7
правило деления дро и на дро ь. апример, 7· '3=7.3'=
26.·3 78
=-::;-::т = 49.
3. Любое целое число можно представить в виде дроби. На-
пример, 5=+, 3=+ и т. д. Это позволяет производить умноже
ние и деление целого числа на дробь (или наоборот). Например,
3. .!..=~.~= 3·5=.!2..
•
5
1·5
4·1 4'
Б. 1)';6-(;5-;2)·C ~+ +);
2) (~+ ~ -~ ).(1-157);
3) L(!Q.+..2..). 4) (1 ..!..+2 ..2..-2.L). (2 _1 _ll).
1149 7'
964
2 14'
5);.(:_~) ·13.
Ответы.
А. 1)~; 2)16;3)12;4)2;5)6,6)~~.
Б. 1)т;2) т;3) ;~!';5) О.
3. Умножение десятичных дробей. Чтобы умножить одну де
сятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обр а
щая внимание на запятые, и в полученном произведении отделить
справ а з апятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в
обоих множителях вместе. Например, 12,27·0,021 =0,25767.
4. Деление десятичных дробей.
а) Разделим 4,46 на 2. Делим на 2 сначал а целую часть
числа, потом десятые и, наконец, сотые доли, т. е. 4,46: 2 =2,23.
18
16,200
4,752
11,448
9,871
7,320
2,55т
2. Сложение и вычитание десятичных дробей. При сложении
(вычитании) десятичных дробей числа записывают так, чтобы
одинаковые разряды были записаны один под другим, а запятая -
под запятой, и складывают (вычитают) как натуральные числа.
Например,
+0,132
2,354
2,4s6
§ 7 . ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 1О, 100,
3
1000 и т. д., называют десятичной дробью. Например, 10=0,3;
51'
7
100 =0,51; 1000 :::::0,007и т. д.
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
Найдите значение выражения:
А. 1)(~ •:;) :;0; 2) (~~:;8).~~;3) (3 1~+1152):1+;
4) .l_·2_+2 _!_.~-1 ·1 л.. 5) 7_! _·4.L, ·8.
4·6
23
·9'
8·4
3
1(1
3)
1 ('1 23),22
34:12"+ 12:34 .22+ 17-"49 :т .
В. 1)
1(1 )2(517)'18'
2:35"+ 34:13 :3- 218- 36 '65
(( 3~-2H+2~)'1
~-~( з++f))'1 +з
2) 19 (13
13 5),
2
l'4
.
84: ,5 42-228+24 +127--3"9
1
Ответы.А.1)2;2)2' В.1)16;2)5.
С учетом всех преобр азований данное выражение примет вид
23•1119.1111019651
4·10+12· 3 "6=4·11+12·19=2+"2=3.
19
7,0125
50 0,2'В
200
200
О
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, дос
таточно в числителе дроби записать число, стоящее после за
пятой, а в знаменателе -
единицу с нулями, причем нулей долж
но быть столько, сколько цифр справа от запятой. Например,
7
25
7
0,7=10; 0,25=100; 0,007=1000'
2 . Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, сле
дует разделить числитель на знаменатель по правилу деления
десятичной дроби на целое число. Например,
б) Разделим 1,2345 на 5. В целой части частного получим
нуль (так как единица не делится на 5), т. е. 1,23 45:5=0,2469.
в) Разделим 1,25 на 1,6. Увеличим делимое и делитель в
10 раз, получим 12,5: 16=0,78125.
5. Чтобы разделить число на десятичную дробь,
нужно в де
лимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе, а потом выполнить деление на
натуральное число.
3
а м е ч а н и е. При умножении (делении) десятичной дроби
на 1О, 100, 100О и т. д. достаточно перенести запятую вправо
(влево) на столько цифр, сколько нулей во множителе (делите
ле). Например,
3,576·100=357,6;
2,53: 10=0,25 3.
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Найдите значение выражения:
(
3
3)
5
1
5
.
1524-1488
·0,3
172'6-170З+312
А. 1)
0,2
;2)
0,8.0,25
(151)·
(3)
5
112+ 2
32+ 24 .9,6+2,13.
. 6,6-314 .5"6
3)
0,4
,4)
(21-1,25):2,5'
9
3
215'П г2О8'4+0,5
(2 1-1 965)'(12.0045)
Б. 1)
.2),,."
t :0,25
0,0001:0,005'
0,00325:0,013
1,6.0,625.
О
7
5
т в е ты. А. 1) 6,5625;2)
2912;
3) 84,075; 4) 2,5. Б. 1) 3658;
2) 6.
§ 8. ОБРАЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ В овыквоввннэю
И ОБЫКНОВЕННОй В ДЕСЯТИЧНУЮ.
П ЕРИОДИЧЕСКИЕ ДРОБИ
20
УПРАЖНЕНИЯ
С РЕШЕНИЯМИ
Обратить периодическую дробь в обыкновенную:
1) 0,(3); 2) 0,2(1); 3) 0,2(19); 4) 3,(73); 5) 2,2(41).
Реш е н и е. 1) Числитель искомой дроби равен периоду дан
ной дроби, т. е. 3, а энаменатеяь содержит цифру 9 столько раз,
сколько цифр в периоде, т. е. один раз. Итак, О, (3) = ~=+.
2) Числитель дроби есть разность между числом, стоящим
после запятой (включая период 1), и числом, стоящим до перио
да (после запятой). Знаменатель содержит цифру 9 один раз
(так как в периоде одна цифра) и один нуль (столько цифр меж-
..
)И
О2(1) 21--2 19
ду запятои и периодом. так"
=00-= 90 •
З) 02(19)=02191919 =219-2=217
,
,
... 990 990'
Заметим, что при этом может получиться бесконечная деся
тичная дробь. Например,
3,0 '''"':o:7~~-r---
-28 0,428571...
20
14
00
-56
40
-35
ьо
-49
10
7
3
3. Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с неко
торого разряда, цифры повторяются, называется периодической.
Например, 0,333 ...; 2,6777...; 4,0424242....
Любую обыкновенную дробь можно записать в виде либо ко-
нечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической дроби.
Правило перевода бесконечной периодической дроби в обык
новенную таково:
Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо
из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее
до первого периода, и записать эту разность числителем, а в зна
менателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде,
и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между за
пятой и первым периодом. Например,
45-0 5
3173-31 3142 1571
0,(45)=gg=тr;
3,1(73) 990
990 495'
21
СПРА ВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Произведение крайних членов пропорции равно произведе-
.
ах
Ь
..ию ее средних членов, т. е. если Т=У-' то ау= х.
§ 10. СВОЙСТВА ПРОПОРЦИИ
§ 9. ОТНОШЕНИЕ. ПРОПОРЦИЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Отношением числа х к числу у называется частное чисел
хиу,т.е.~ (илих:у).
у
2. Отношение ~ означает, во сколько раз х больше у или
у
какую часть числа у составляет число х.
3. В отношении ~ число х называется предыдущим членом,
у
у - последующим.
4. Пропорцией называется равенство двух отношений, т. е.
ах..
Ь
-ь =-; а и у называются краиними членами, х и - средними
у
.
членами пропорции.
ДИДАКТИЧЕСКИй
М АТЕРИАЛ
1. Обратите периодическую дробь в обыкновенную:
A.I) 0,(4); 2) 0,(44); 3) 2,(44); 4) 3,1(44); 5) 2,(123).
2. Найдите значение выражения:
Б. 1) 0,83зз... -0,4(6).1,125+1,75-0,41(6);
1~
0,59
6
( : +2,708333...) :2,5 1.
2)
пг г-
(1,3+0,7(6)+0,(36». 401
(381)8
3
24'5-15 : 139+3 65' 0,(26)
3)
1
.0,5.
(18,5-13,777 ...) 85
5
Ответы.2.Б.1)б;2) 1;3)9.
2219
990 •
990
373-3
370
4) 3,(73)=3,737373...=--gg-="i 9'
2241-22
5) 2,2(41)=2~2414141...
22
§ 11. ПРОЦЕНТ. ОСНОВНЫЕЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Процентом называется
с отая часть какого-либо чис л а. Про
цент обозначается знаком %. Например, 5%, 100%.
2. Ес ли данное числ о принять за 1, то 1% со ставляет 0,01 этого
числ а, 25% со ставляют 0,25 чис ла ( или -}- чис ла) и т. д.
Таким образом, чтобы чис ло процентов выразить в виде дроби,
достаточно числ о процентов разделить на 100. Например, 125%
=1,25; 2,3%=0,023.
3. Нахождение процентов данного числ а. Чтобы найти а% от
чис ла Ь, надо Ь умножить на 1~0.
Например, 30% от 60 со ставляют 6~~~0 = 18.
(
28 17)
3)
0,125x
t 63-21 ·0,7
(
1921)87
0,675·2,4-0,02
24 -.40
.
16.
1
Ответы.1)1;2) "'3";3)5.
х
2) 1,2:0,375-0,2
4
2
625: 155+0,8
2
31
37-14:6.
4123_4~
,
84
60
0,016:0,12+0,7 .
Найдите х из пропорции:
( 4- 3,5( 2 ~ - 1+)):О,16
1)
х
ДИДАКТИЧ ЕСКИй МАТЕРИАЛ
х
d
ad
-==-::>Х=-.
а
с
с
Ь
а
х
2. Обратно: числ а а, ,х, у со ставляют пропорцию Т=-У'
ес л и ау=Ьх.
3. Из пропорции
: = ~ вытекают
сл едующие пропорции:
а
ЬdсdЬ.
..
с --;Г''Ь=а' 7=а' т. е. в пропорции можно менять местами
крайние
и средние члены или те и другие одновременно,
4. Чтобы найти неиавествый
средний (крайний) член пропор
ции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на
U
U
(
U
")
а
Ь
ас
известныи
среднии краинии член пропорции: -=-:> х=-ь '
хс
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении 2: 3.
15'
15
Реш ение.5·2=6 см;5-3=9
см.
2. Числ о 27 разделить обратно пропорционально числ ам 4 и 5.
23
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Чтобы разделить некоторое чис ло пропорционально данным
числ ам (разделить в данном отношении), надо разделить это
числ о на сумму данных чисел и результат умножить на каждое
из них.
2. Чтобы разделить числ о на части, обратно пропорциональ
ные данным числ ам, достаточно разделить это числ о на части,
прямо пропорциональные числ ам, обратным данным.
§ 12. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НА ЧАСТИ, ПРЯМО
И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Сберегательные банки начисл яют по вкладам ежегодно
2% вклада. Вкладчик внес в
сберегательный банк 150 р. Какой
станет сумма вклада через 2 года?
Реш е н и е. Вклад к концу первого года составит 150+
+ 150·0,02 = 150· 1,02= 153 р., а к концу второго года
153+ 153·0,02= 153·1,02= 156 р. 6 к.
Вообще имеет место формула
с л ожных процентов: N =
=а (1 +О,Оlр)n, где а - первоначальная величина вклада, n-
срок вклада, N - величина вклада через n лет, р - числ о
про
центов.
4. Нахождение чис ла по его процентам. Есл и
известно, что а %
числ а х равно Ь, то числ о х можно найти по формуле Х=.!!_-100.
а
Например, есл и 3% вклада в сберкассу
со ставляют 150 р., то
этот вклад равен (l~O) -100=5000 р.
5. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти
процентное отношение двух чисел а и Ь, надо отношение этих
чисе л умножить на 100%, т. е. вычис л ить ( :) -100%.
Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день
завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил п лан на
(~~) -100%, т. е. на 110%.
24
7
7
Контр ольные вопр осы
1. Дайте определение о быкновенной дро би.
2. Сформулируйте основное свойство дро би.
11
8
3. Сравните дро би
по величине: а) 14 и 14; б)
3
5
в) 14и21·
4. Сравните выражения 87· (~~) • ( :~) и 87· C~)·(~:), не
производя вычислений.
5. Сократите дро бь ~~:. Какое свойство дро би вы применили?
На какое число надо сократить указанную дро бь, что бы по
лучить несократимую дро бь?
6. Какие операции (действия) возможны на множестве дро бных
чисел?
7. Можно ли применять к дро бным числам законы сложения и
умножения натуральных чисел?
8. Сформулируйте правило умножения и деления дро бей.
9. Какие дроб и
называются взаимно о братными? Приведите
пример.
ДИДАКТИЧЕСКИЯ МАТЕРИАЛ
А. t. Отрезок АВ длиной 70 м разделили на четыре части,
проп орциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих
частей.
2. Стор оны треугольника, периметр кот ор ого 30 м, пропор
циональны числам 5, 7 и 8. 'Найдите стор оны треугольника.
3. Число 196 разделите на части, проп орциональные числам:
14
а) 3,7, 11; б) 3' з,3.
4. Число 434 разделите на части,
о братно пропорциоиальны е
числам: а) 15и16;б) 2,3и5.
Б . t. Пло щади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем,
пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно
рожью и сколько ячменем, если известно,
что пшеницей за
сеяно 410 га?
2. Даны отрезки длиной 8,.5; 15 и 25 м. Найдите длины про
порциональных им отрезков, если бо льший из них равен 20 м.
Ответы.
А.1.10;15;20и25м.2.7,5;10,5и12м.
Б. 1.738и246га. 2.6,8;12;20м.
'Решение.Числа,
о братные данным,
о тносятся как +:т=
27
27
=.5:4.
Получим 9·5= 15; 9·4= 12.
10. Какая дробь
на зывается десятичной?
11. Обратите десятичные дроби в обыкновенные дроби и смешан
ные дроби: 0,5; 1,7; 3,75; 25,04; 0,08.
3
311
12. Обратите обыкновенные дроби в десятичные: 5' 15'4'
3142
2'7'9'
13. Выполните действия: а) 3,12·10; б) 0,14·100; в) 3,6: 10;
г) 0,4: 100.
14. Выразите в килограммах: а) 33 кг 246 г; б) 7 г.
Выразите вметрах: а)3м2дм;б)1м5см;в)3см.
15. Что называется пропорцией? Сформулируйте свойства пропор
ции.
16. Что называется процентом? Какие три основные задачи на
проценты вы зн аете?
17. Выразите в виде дроби: а) 5%; б) 20%; В) 72%; г) 100%;
д) 200%; е) 7,5%; ж) 0,75%.
18. Выразите данные дроби в виде числа процентов: а) 0,5;
б) 2,15; в) 1,75; г) 2,0.
19. Найдите процентное отношение чисел: а) 1 к 4; б) 3 к 5;
в)5к2;г)12,5к50;д)3,2к1,28.
_'
20.Найдите: а)4%от75;б) 15%от84кг;в)18+% от330м;
г)160%от82р.25к.
21. Найдите число, если: а) 40% его равны 12; б) 1,25% его рав
ны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) 15% его равны 1 р. 35 к.:
2
-
д) 16з% его' равны 2 ч 30 мин.
22. Найдите х, если: а) 7% ·х= 182; б) 60% ·х=32; в) 1 ~ % ·х=
=4,75; г) 7,5% ·х=3,3; д) 2,5% ·х=0,15; е) 0,8% ·х= 1,2;
ж) 10,75% ·х=8,6.
23. Является ли верной пропорция З,75:10,4=3~~:1O ~?
24. Найдите неи звестный член пропорции 0,3х: 3+= 6: 1,5.
Рис. 5
Рис. 4
23
-3-2-1О
о
•
II
IIII
СПРАВОЧНЫЙ МАТ ЕР ИАЛ
1. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком,
называются противоположными числами.
Например, числа 1 и
-1, 5 и -5 противоположные.
На координатной прямой проти
воположные числа расположены симметрично относительно на
чала отсчета.
2. Числа натуральные, им противоположные, а также число
нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается z.
3. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, назы
вают множеством целых неотрицательных чисел и обозначают zo.
4. Каждому целому числу можно поставить в соответствие
единственную точку координатной прямой (рис. 5).
§ 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
СПРАВОЧНЫЙ МАТ ЕР ИАЛ
1. Прямую линию с выбранными на ней началом отсчета, еди
ничным отрезком и направлением называют координатной прямой.
2. Каждому натуральному числу можно поставить в соответ
ствие единственную точку на координатной прямой (рис. 4).
§ 1. КООРДИНАТН АЯ ПРЯМАЯ
§ 1. КООРДИНАТ НАЯ ПРЯМАЯ
§ 2. МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
§ 3. МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА
§ 5. СРА~ЩЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 6. СЛОЖЕНИЕ
И
ВЫЧИТАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
§ 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИ
СЕЛ
§ 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
ГЛАВА 111
27
Рис. 6
а
о
-а
УПРАЖНЕН ИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
Записать выражение без знака модуля:
1) \х-2\; 2) 3 'х+21; 3) ,х2 -х\; 4) \х+2\-х.
Реш е н и е. 1) Здесь под \аl имеется в виду 'х-2\. По
определению модуля имеем:
'х-2\ ={ х-2, x-' -2~O,
или \x~2\ ={ х-2, x~2,
-(х-2), х-2<0,
-х+2, х<2.
2) Здесь под 'аl имеется в виду 'х+21. По определению
модуля имеем:
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕ Р ИАЛ
1. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа
а называется само это число, если а ~ О, и противоположное
число - а, если а <о. Модуль а обозначается \а \. Итак,
\а\-{ а, если a~O,
- (-I).а, если а<О.
2. Геометрически \а\ означает расстояние на координатной
прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.
3. Модуль нуля равен нулю.
4. Если а =1= О, то на координатной прямой существуют две
точки а и - а, равноудаленные от нуля (рис. 6), модули которых
равны.
§ 4. МОДУЛЬ ЧИСЛА
СПРАВОЧНЫЙ МАТ Е РИАЛ
1. Объединение множеств целых и дробных чисел (положи
тельных и отрицательных) составляет множество рациональных
чисел. Его обозначают Q. Любое рациональное число может быть
записано в виде .J!_, где рЕ z, q ЕN.
q
2. На множестве Q можно производить действия сложения,
вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль).
3. Каждому рациональному числу можно поставить в соответ
ствие единственную точку координатной прямой.
§ 3. МНОЖЕСТВО РА ЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
28
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИ А Л
ИЗ двух чисел то больше, которое на координатной прямой
расположено правее. Следовательно: а) всякое положительное
число больше нуля и больше отрицательного числа; б) всякое
отрицательное число меньше нуля; в) из двух отрицательных
чисел больше то, модуль которого меньше. Например, - 3,8>
> -5,1, так как 1-3,81 < 1-5,11.
§ 5. СРАВНЕНИЕ рАционАльныХ ЧИСЕЛ
ДИД АКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИ А Л
1. Запишите выражение без знака абсолютной величины:
А. 1) 'х+21; 2) 12+xl; 3) Ix+21 +х; 4) -3
Ix-41-x.
Б. 1) 16-xl;2) 16-2xl;3) 13х-21+х+2;4) -214-xl+4-x.
В. 1) Ix-Ixll; 2) Ix+2\xll+2x.
2~ Покажите на числовой прямой множество решений уравне
ний или неравенств:
В. 1) Ixl=2; 2) l-xl~2; 3)"lxl<5; 4) Ixl~5; 5) Ixl~2.
з. При каких значениях х верно равенство:
В. 1) Х=[х]; 2) -х=
I-xl; 3) -х=
Ixl?
4. Где на координатной прямой расположены числа Х, если:
В. 1) Ixl <2; 2) 'хl >3; 3) 2< Ixl <3? Назовите несколько
таких чисел и изобразите их на координатной прямой.
1 +21
{
2, x~ -2,
х
-х= -2х-2, х< -2.
или
I
2
1 {х2-х, x2_x~o,
Х-х
=
-(х2-х), x2-х<О.
4) Здесь под IаI имеется в виду Iх +21, выражение (- х) от
модуля не зависит.
Используем определение раскрытия модуля:
IX+21-x={ х+2-х, x+2~O,
-(х+2)-х,
х+2<О,
ление модуля:
3IХ+21={ 3 (х+2), x+2~O,
-1·3 (х+2), х+2<О,
или
31х+21 ={ 3х+6, x~ -2,
-З,х-6, х< -2.
3) Здесь под 1а 1 имеется в виду l.r - х 1. Используем епреде-
29
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Выполните указанные действия:
А. 1)32+(-6);2) (-13)+4;3) (-6)+(-3);4) 2+(-4)+(-б).
Б. 1) t-( +-- :)+( -2 ;2); 2) 1-71+1+41-б;
3) 1-7-31+151-4.
§ 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХЧИСЕЛ
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. Произведение двух чисел одного знака есть число
поло
жительное. Например, (-6)·( -2,3)= 13,8.
2. Произведение
двух чисел
с разными знаками есть число
отрицательное. Например, (+ 6)·(- 2,3)= - 13,8.
3. Аналогично производится деление. Например, (-18):(-9)=
=2; (+24):{-3)= -8.
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. Сумма двух чисел с одинаковыми знаками равна числу то
го же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.
Например, (-б)+( -5,3)= -(6+5,3)= -11,3.
2. Сумма двух чисел
с разными знаками равна числу , мо
дуль которого получается вычитанием из большего модуля мень
шего, а знак суммы совпадает со знаком слагаемого,
имеющего
больший модуль. Например, (+ 4) + (- 1О)= - (10- 4) == -.б.
3. Сумм а противоположных чисел равна нулю. Например,
(+6)+(-6)=0.
4. Чтобы вычесть из числа а число Ь, достаточно к умень
шаемому прибавить число , противоположное вычитаемому. На
пример, а-Ь=а+(-Ь); -5-(+3)=-5+(-3)=-8.
§ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХЧИСЕЛ
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАJ I
А. 1. Запишите числа , противоположные данным: 3,5; -7,2;
-0,4; 12,6;7,04;-2; х; О.
2. Чему равны модули
чисел:
-6; 10; -б,3; 5,2; -0,4;
-3,5б; О?
3. Следующие числа запишите в порядке их возрастания:
-б,3; -5,7; -10; 16,3;-0,1; -104; 23; О; 1--131.
зо
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
t. Вы числите:
.
2
А. 1) (-2)2.(-2?( _2)4.(_2)5; 2) (~3)2.( - ~) .(_6)2;
3) (~ (~ --4-)"-С-4)2·с-о,5)2,С-4);
4)( _.~).(
_~)3.(1,5?(
_~)3.
Число а называется основанием степени, а число k - показа
гелем степени.
2. Четная степень отрицательного числа есть число положи
тельное. Например, (- 3)21 >0.
Нечетная степень отрицательного числа есть число отрица-
(
з\17
тельное. Например, --;п <О.
Любая степень положительного· числа есть число положитель-
ное. Например, 12k>0.
.
3. При возведении нуля в любую натуральную степень k
получается нуль, т. е. Ok=O.
4. При возведении единицы в любую натуральную степень k
получается единица, т. е. 1k = 1.
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Степенью числа а с показателем k, где kEN, aEQ, называ
ется произведение k множителей, каждый из которых равен а:
ak=а•а·а•.... а.
,
,
k ;аз
ДИДАКТ.ИЧЕСКИ И МАТЕРИАЛ
1. Не производя вы чисдений, определите знак числового
выражения:
А. 1) (~2,3)·6,2.5,1.(-2,4).(-3,1); 2) 23·(-[5)·(-17).(-6)80.
2. Найдите неиэвестный компонент умножения или деления:
А. 1) (-2,6):х=-!
~~;2) х:(-2,6)=-l
~~;
3)
( -2 +) ·х= 1 172 ; 4) х.( -0,2)·0,2.4,2=3.( -2).
6. 1) 2( -3 ~) ~3:x=5; 2) 2( -t) +3:х=5;
3)
-2(5+)+38х=2; 4) 3:х-2=5:6+.
250
ОТветн, 2.А.1) 1,5;4) Т.6. 1) -0,25.
§ 8. ВОЗВЕДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
В СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКА3АТЕпЕМ
1+a+a2
3
2
1
Б. 1) 1+а-а2 при а=0,5; 2) 2а +3а -5а+6
при а=2, а=т;
3) 3а2-2Ь3
при а==-1, Ь= -2;
4) 5а2Ь3+4 (а-Ь) при а= -0,5,
Ь= -1;
5) х2+2ху+у2 при Х==--5, у . -4;
6) а2-3а+б
при а==-0,(3).
2. Из следующих выражений, где а *0 и Ь =1= О, выпишите
отдельно те выражения, которые при любых значениях входящих
в них букв: 1) будут принимать только положительные значения;
2) будут принимать только отрицательные значения; 3) могут
иметь и положительные, и отрицательные значения:
.
В. 1) а2+Ь2; 2) а2_Ь2; 3) _а2_Ь2;
4}
(а-Ь?; 5) д2+1;
6) а3+1; 7) ---a2---1;.8) 2а2+Ь2; 9) а2+Ь2+1; 10) а3-1;
11) а4+а2; 12) 2а2+3а4+ 1.
}
....
..., 2
9
Отпеты.
1.А.3)2;4)1,5.Б.f)15;2) 24;2;3)19;
4) 0,75;
5)81;6)7~..
Контрояьные 80ПРОСЫ
1. Дайте определение координатной прямой.
2. Какое соответствие существует между множеством натураль-
ных чисел и множеством точек координатной прямой?
.
3. Можно ли утверждать, что каждой точке координатной прямой
соответствует определенное натурально~ число?
4 . Какие числа составляют множество Z?
5. Как расположены на координатной прямой противоположные
числа? Чему равна сумма чисел а и --- а? Какое число проти
воположно нулю?
6. Какие числа составляют множество Q?
7. Дайте определение модуля числа и его геометрическое истол
кование.
8. Может ли быть отрицательным значение суммы .2+ 'Х I?
Может ли равняться нулю значение разности 2I x l-lxl?
9. Какое соответствие существует между множеством рациональ
ных чисел и множеством точек координатной прямой?
10. Как сравниваются два положительных числа, два отрицатель
ных числа, положительное и отрицательное числа?
11. Отметьте на координатной прямой и запишите целые числа:
а) большие - 8, но меньшие 3; б) меньшие О, но большие - 5;
в) меньшие - 2, но большие -7.
12. Сформулируйте правило сложения и вычитания положитель
ных и отрицательных чисел.
13. Сформулируйте правило умножения и деления положительных
и отрицательных чисел.
14. Всегда ли выполнимо действие деления на множестве Q?
15. дайте определение степени числа с натуральным показателем.
16. Чему равно значение: а) (_1)25; б) (_1?6; в) 015?
31
(abc) k=akb kc k ; kEN.
Например, (а.Ь?=а2Ь2•
32
Например, (а4)З=аI2.
4. Степень произведения равна произведению степеней мно
жителей:
ат:аn=ат-n; т, nEN.
Например, а5: 0,3 = а2•
3. При возведении степени в степень показатели степеней
перемнежаются, а основание остается прежним:
(ат)n=атn; т, n Е N.
СПРАВОЧНЫЙ
МАТ ЕРИАЛ
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями пока
затели складываются, а основание остается прежним:
ат.аn=ат+n;
т, nEN.
Например, а2·а3=а2+3=а5.
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями пока
затели степеней вычитаются, а основание остается прежним:
§ t. своиствх СТЕПЕН И
С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКА3АТЕЛЕМ
§ 1. СВОАСТВА СТЕПЕНИ С НАТУР АЛЬНЫМ ПОКАЗА·
ТЕпЕМ
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 3. ВЫРАЖЕНИЯ С П!РЕМЕННЫМИ
§ 4~ ТОЖдЕСТВЕННО РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 5. ОДНОЧЛЕНЫ
§ i. МНОГОЧЛЕНЫ
§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ МНО·
ГОЧЛЕНОВ
§ 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН И
МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
§ 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
ЗА СКОБКИ
§ 10; РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ГР УППИРОВКИ
§ 11. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
[ЛАВА IV
33
ДИДАКТИЧЕСКИЯ МАТЕРИАЛ
1. Запишите в виде степени с основанием х выражение:
А. 1) х2.х4; 2) х2.х4.х3;
3) _х3.хЗ;
4) (х2)4; 5) (х4)2;
6) (х2.х3?; 7) ((r?)3; 8) х2·ха;
9) (х2х)а; 10) r.(r)5;
11) (r)з.(x3?; 12) (х.х2?
2. Найдите значение выражения:
28.79 265.210
28.79 265
1410
1з6.84
Б. 1) ""'i'4i'O. 1з6.84 ; 2) }4iO: 1з6.84 ; 3) 28.79: 265 ;
125
125 105
125 105
105
125
4) 23.44; 5) 23.34: 26.57; 6) 23.34· ~;
7) ~: 23.з4 •
Ответы.2.Б. 1):1;2)59~;3)4~6.
=222-13·710-9.1з6-5=29·7.13=46592.
В данном примере были использованы первые четыре свойства
степени с натуральным показателем.
222·710·1з6
213·79·1з5
210+ 12.710.136
28+5. ~ .1з5
210·710·136·212
28•79.25. 1з5
1410·1з6·84
28·79·265
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Найти значение выражения:
1410 1з6.84
28·79 ·265·
Реш е н и е. В данном случае в явной форме ни одно из
свойств степени с натуральным показателем применить нельзя,
так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые
степени в дру гом виде:
141°=(2.7)1°=210.710 (степень произведения равна произве
дению степеней множителей);
84= (2.2.2)4 = (23)4= 212 (при умножении степеней с одинако
выми основаниями показатели складываются, а основание оста
ется прежним, при возведении степени в степень показатели сте
пеней перемножаются, а основание остается прежним).
265=(2.13)5=25.135.
Тогда получим:
(
а\4 а4
Например,
Т) =/Т.
делителя:
5. Степень частного
р авна частному степеней делимого
и
СПРАВОЧН ЫА МАТЕРИАЛ
1. Два выражения называются тождественно равными, если
при всех значениях входящих в них переменных, принадлежащих
общей области определения, соответственные значения этих выра
жений равны.
2. Равенства, верные при всех допустимых значениях пере
менных,называются тождествами. Например, (а - х)2 =а2 - 2ах +х2,
аЗ-8
а-2 =а2+2а+4 при a=F2- тождества.
34
§ 4. ТОЖДЕСТВЕННО
РАВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
СПРАВОЧНЫ А МАТЕРИАЛ.
1. Примерами выражений с переменными являются выраже
ния 5!а, х2 + у 2 - 1 и т. д. Значение выражения, содержащего
переменную, зависит от значения переменной.
2. При некоторых значениях переменных выражение с пере-
менными может не иметь смысла. Например, выражение X~5
при х =5 не имеет смысла, так
как
при х= 5 знаменатель дроби
обращ ается в нуль.
3. Множество значений переменных, при которых выражение
с переменными имеет смысл, называется областью определения
этого выражения.
§ 3. ВЫРАЖЕНИЯ
С ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 2•. числовыв ВЫРАЖЕНИЯ
СПРАВОЧНЫ Й
МАТЕРИАЛ
1. Из чисел, знак о в действий и скобок можно составить раз-
25-15
личные числовые выражения. Например, . 16 ; 5-(3+8·4):3.
2. Выполняя указанные в выражении действия, получим число.
25-15
5
5
Например,
16
8' число ""8 называется числовым значе-
нием или значением выражения.
3. Если в выражении встречается деление на нуль, то выраже-
5+6
ние не имеет смысла. Например, выражение 3,5.2-7 не
имеет
смысла, так
как
3,5·2- 7 =О, а н а нуль делить нельзя.
ДИДАКТИЧЕСКИ А МАТЕРИАЛ
Имеет ли смысл выражение:
1) 6,3:(2,5·9- 22,5);2) (15-2,5·6):4,2?
Зfi
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИ АЛ
t. Какова степень одночлена:
А. 1) 2х2ху3; 2) _2х3у4; 3) О,Вх2у2с3; 4) 7?
2. I1редставьте одночлен в стандартном виде и назовите его
коэффициент:
А. 1) 6хх3; 2) Зху (-I,5)y3; 3) ~x2y2 .6,5х3•
УПРА ЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Представить одночлен в стандартном виде и назвать его
коэффициент: 2а2Ьс2.( -ЗаЬ3с2).(4аЬс3).
Реш е н и е. Воспользуемся переместительным и сочетатель
ным свойствами умножения, сгруппируем числовые множители
и степени с одинаковыми основаниями: (2-(-3)-4)(а2.а-а)Х
Х (Ь - Ь3• Ь)( с2• с2 • с3). Перемножим числовые множители и сте
п ени с одинаковыми основаниями: (~-( -З)-4)(а2.а·а)(Ь-Ь3-Ь)Х
(с2.с2.с3)= -24а4Ь5с7•
Коэффициент одночлена равен (-24).
2. Возвести в степень одночлен: (-За2Ь3с?
Реш е н и е. Выражение ~-За2Ь3с)3 представляет собой тре
тью степень одночлена (- За Ь3 с). Для решения задачи восполь
зуемся правилами возведения в степень произведения и степени.
Имеем (-3а2Ь3с?=(-З?(а~3(Ь3?с3= -27а6Ь9с3•
Таким образом, мы преобразовали степень одночлена~_За2Ь3с)3
в одночлен стандартного вида: (-За2Ь3с?= -27а6Ь9с .
§ 5. ОДНОЧЛЕНЫ
СПРА В ОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Выражение,
представляющее собой произведение чисел,
п еременных и их степеней, называется одночленом. Например,
3ах4, -2Ь3,
О,5с3(-зЬ2) - одночлены. Выражения х+ 1, а2+Ь \
Зif
.
х не являются одночленами, так как предст авляют сумму или
частное переменных и чисел.
2. Стандартным видом одночлена называется произведение,
составленное из числового множителя (КОЭффициента) и степе
ней различных переменных. Например, -2, а, 54, у, _Ва3х2,
3
"5а - одночлены стандартного вида.
3. Степенью одночлена стандартного вида называется сумма
п оказателей степеней переменных. Например, 8х4у2 - одночлен
шестой степени, степень одночлена Зх равна единице, а степень
одночлена 5 равна нулю.
4. Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициен
том или равные между собой, называются подобными.
36
УПРАЖНЕ НИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Выяснить, какова степень многочлена 3а5 + 8аЬ- 2а5 - а5 +ба,
и привести его к стандартному виду.
Реш
е ние.
3а5 - 2а5 - а5+8аЬ+ба =8аЬ+ба.
Степень многочлена 8аЬ+ба равна двум, а поэтому и степень
многочлена 3а5 - 2а5 - а5 + 8аЬ+ ба равна двум.
ДИ ДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Приведите подобные члены многочлена и найдите значение
многочлена:
А. 1) -а4+2а3-4а4+2а2-3а2
при а= -3;
2) 2а3+а2-17-3а2+а3-а+80
при а= -3;
3) 12ax2-хЗ-бах2+3а2х-5ах2+2х3
при а= -3, Х= -1;
4) 2a2-ах3-а4-а2х3+ахЗ+2а4
приа=-3,Х=1.
Б.1)5х6- зх2+7- 2х6- 3х6+4r прих=- 1;
2) 4а2х-ах2-'-3а2х+ах2-ах+6
при а= -3, х=2;
3) баЗ-аIО+4аЗ+аIО-8аЗ+а
при а= -3;
§ ,6. МНОГОЧЛЕНЫ
СПРАВОЧН Ы Й
МАТЕРИАЛ
1. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.
Например, 2а2- 3ах5 - 3 - многочлен. Выражение
у
х-ху2+х+3
не является многочленом, так как оно не является суммой одно
членов.
2. Если в многочлене все одночлены записаны в стандарт
ном виде и приведены подобные члены, то полученный много
член
называется многочленом стандартного вида. Например,
2х2а3+ 1,8ха4- 3а +7 - многочлен стандартного вида.
3. Степенью многочлена стандартного вида называется наи
большая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Напри
мер, 1 + 2х2 - 5х2у3 - многочлен пятой степени.
4. Сумму подобных членов можно заменить одним членом,
сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Та
кое тождественное преобразование многочленов называют при
ведением подобных членов.
Например, в многочлене 5аЬ2сЗ+6аЬ2с3-аЬ члены 5аЬ2сЗ и
6аЬ2с3являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну
и ту же буквенную часть.
3. Возведите одночлен:
А. 1) 2х2у2 В квадрат; 2) (_2х2уЗ) В куб; 3) (-2а2ЬхЗ? в чет
вертую степень.
37
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Упростите выражение и найдите его значение при а= -1,
х=l, у=-I:
А. 1) (12а+16х)-(6а-7х); 2) (llx3-2x2)-(x3_x2);
3) (за3Х- 1 3х2)-(3а3х+6х2); 4) (4x2Y+8xy2)-(3х2у-5ху2);
5) (13х-llу+ 10а)-(
-15x+ 10у-15а);
6) (7а2-4ах
-
r)- (2а2- ах +2х2).
Б. 1) (4а2-2ах-у2)-(
-а2+х2-2ах)+(за2-ах+у2);
2) 3x-(5x-(2x-l)~;
3) 9a2+(7a2-2a~(a2-3a»;
4) (5а2-3х2)+( -(а
-2ах-х2)+(5а2-2аХ-3у2));
5) 3а-(2х-(6а-(х-у)+х+(а+8у-ху»).
Ответы. А. 1) 17; 2) 9; 3)
-19; 4)
12;5)24;6)5.
Б.1)8;2) -1;3)14;4)
4; 5) -20.
3 а м е ч а н и е. Если многочлен следует заключить в скобки,
то это делается по правнлу, аналогичному раскрытию скобок.
Например,
17 а4-8а3у_6а2у2 -ау3=(17а4 -8а3у)_(6а2у2 +ау3).
(5х2- 4х+3)- (3х2- х+2)=
=5x2-4х+З-Зх2+х-2=
=2х2-3х+ 1.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Для того чтобы преобразовать сумму или разность много
членов в многочлен стандартного вида, надо: а) раскрыть скобки;
б) привести подобные члены (слагаемые).
2. Раскрытие скобок. Если перед скобками стоит знак «плюс»,
то, раскрывая скобки, следует сохранить знак каждого слагаемо
го суммы, заключенной в скобки.
Если перед скобками стоит знак «минус», то, раскрывая скоб
ки, надо знаки слагаемых поменять на противоположные.
3. Приведение подобных членов (слагаемых). Чтобы привести
подобные слагаемые, достаточно сложить их коэффициенты (по
правилу сложения положительных и отрицательных чисел) и
полученное число умножить на буквенное выражение.
Например,
§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ
МНОГОЧЛЕНОВ
4) 4хбу3_3хбу3+2х2у2_х6у3_х2у2 при х= -3, У= -1 .
Ответы. А. 1) -4 68; 2)
-33~3) -31; 4) 90. Б. 1) 8;
2) 30;3) -57; 4) 9.
СПРАВОЧНЫЯ МАТЕРИА Л
Преобразование многочлена в произведение двух ми несколь
ких многочленов (среди которых могут быть
и
одночлены) назы
вается разложением многочлена на множители.
Например, 3ах4-6а7х7 + 12ах3=3ах3(х-2а6х4+4).
38
ДИ ДА КТИЧЕСКИ Я МАТЕРИАЛ
1. Выполните умножение:
А. 1) (а+х)4; 2) (3а-2х)х; 3) 5а(6а+3х);
4) -6f (5у-2х); 5) (2a-5xi6y) (-3);
6) (4х3+7х2-х)·(-5);
7) (2х -5х+3)(-4х).
Б. 1) (ak+2а).ak; 2) (зхk+ 11 - 2xk). 5х;
3) 8ak-1(0,5ak+1-O,75a); 4)
_6аХсХ(
_-}-а2-Х- ~ 4-Х).
2. Выполните действия
и
упростите:
А . 1) а (а+х)-х (а-х); 2) 3 (х+у)+5 (х-у);
3) 2 (а-3х)+3 (а-2х); 4) 7 (2а-3х)+3 (а+х);
5) -3(а-х)-2 (а+х)-(3а-2х)+5 (а-2х).
3. Упростите выражение
и
вычислите результат:
1) (a-4)(a-2)-(a-l)(a-3)
при а= 1,75;
2) (а-5) (а-l)-(а+2) (а-3) при а= -2.6;
3) (х-2)(х-3)+(х+6)(х-5)-2
(х2-7х+ 13) при
х=5.6;
4) (х+ 1) (х+2)+(х+3) (х+4) при х= -0,4;
5) (a-I) (а-2)+(а-3) (а-4) при а=0,2.
От в е ты. 1. Б. 1) a2k+2ak+1; 2) 15xk+12_10xk+1;
3) 4a2k_6ak; 4) 2a2~+3aXc4. 3. 1) 1,5; 2) 24; 3) 6; 4) 10,32;
5) 12,08.
§ 9. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ
ЗА СКОБКИ
СПРАВОЧНЫЯ МАТЕРИА Л
1. Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно каж
дый член многочлена умножить на одночлен и полученные произ
ведения сложить.
2. Деление многочлена на одночлен производится по анало
гичному правилу.
3. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый
член первого многочлена умножить на каждый член второго и
полученные произведения сложить.
Например, 5х (х-у)+(2х+у) (х-у)=5х2-5ху+2х2-2ху+
+ху-у2=7х2-6ху_у2.
§ 8. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
И МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
39
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
1. Разложите на множители:
А. 1) 7ах+7ау; 2) -15ax-20ay; 3) 3a2x+6ar;
4)
ах+Ьх+х; 5) а3-2а2-а;
6) 5x-15х'У+ 10ах;
7) 5r-IОху+51/; 8) i4+3x3-r;
9) 3ах+3ау-12а.
Б. 1) х(а-с)+у(с-а);
2) а(х-у)-с(у-х);
3) 2у (х-3)-5с (3-х); 4) a2(x-l)-y (l-х);
5) r(a-2)+y (2-а); 6) 5 (х-3)-а (3-х);
7) 3 (х+у)+(х+у)2;
8) (а+х)3-а (а+х)2.
В. 1) aX+tr+1; 2) _xD+c _ _xD; 3) ya+l_y;
4)
5ха+!+ 10r; 5) а3Х_а2Х ;
6) aCx2C+aCr;
7) 4_xD+2+20КZ;8) 15х2С+З-25хС+I.
2. В. Докажите, что если х - целое число, то r-х делится
на 2 нацело.
Приведите числовые примеры.
!
Ответы.
1. А. 5) a(a2-2a-I).
6. 1) (а-с)(х-у);
8) (а+х)2х. В.4) 5х2(ха+2); 5) a2X(aX_I). 2. В. Указание.
См. гл. 1,§5.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Вынести за ско бки о бщий множитель:
1) r+3r+4x4;
2) 4х4-8х3+2х2-6х.
Реш е н и е. 1) Каждый член многочлена 4x4+r+3x2
мож
но заменить произведением двух множителей, один из которых
равен х2: 4х4 +х3 +3х2 =х2 .4х2 +х2 .х+х2• 3.
..
Полученное выражение на основе, распределительног о свои-
ства умножения относительно сложения можно представить в
виде произведения двух множителей, один из которых - об щий
множитель х2, а втор ой - сумма 4х2+х+3:
х2 •4х2+ х2.Х+ х2 •3=х2(4х2+ х+3).
Итак, 4х4 +х3 + 3х2 =х2( 4х2 +х+3).
2) Данный мног очлен 4х4-8х3'+2х2-6х имеет об щий мно
житель 2х, вынесем его за ско бки:
4х4 - 8х3+2х2 - 6х= 2х (2х3- 4х2+х - 3).
2. Доказать, что значение выражения 257+ 513 кратно 30.
Реш е н и е. Требуется доказать, что выражение 257+513 де
лится нацело на 30. Прео б разуем данное нам выражение так:
257+513=(52)7 +513=514+513.
Вынесем за ско бки о бщий множитель 513, получим:
257+513=514+513=513(5+ 1)=6.513.
Число 6·513 делится на 30, так как 6·513=6·5·512=30·512.
Следовательно, 257+ 513 кратно 30.
40
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МА ТЕРИАЛ
Разложите на множители:
А. 1) 5а(х+у)-х-у;
2) 4х(а-у)-а+у;
3) х (а+у)+ау+у2; 4) х2-2х-ху+2у;
5) IOay-5су+2ах-сх; 6) 6cy-15cx-4aj+
lOax.
Б. 1) ах2-сх2-сх+ах-а+с;
2) ах2+сх -сх-ах+а+с;
3) ax2+vx2+ax+crj-Yx+cx; 4) 5ar-l0ax-yx+2y-x+2;
5) 12а2у -6аус+3ас -6а2ус-с+2ау.
Ответы. А. 1)(х+у) (5a-I);
6) (3с-2а) (2у-5х).
Б. 1) (a-c)(x2+x-I);
4) (х-2) (5ах- Y:-l).
1. Разложить многочлен на множители:
1) ах+2а-3х-6;
2) 3 (х-2у)2_3х+6у.
Реш
е н и е. 1) Объединим в одну группу первые два члена,
а
в другую - последние два члена: ах+2а-3х-6=(ах+2а)+
+(-3х-6).
Дальнейшие преобразования выглядят так:
а (х+2)-3 (х+2)=(х+2) (а-3).
\
Из первых скобок вынесли общий множитель а, из вторых
общий множитель - 3. Многочлен а (х +2) - 3 (х +2) имеет общий
множитель (х+2), который вынесли за скобки, а в скобках полу
чили двучлен (а-3).
2) 3 (х-2у)2_3х+6у.
Объединим -3х+6у в группу и вы-
несем за скобки общий множитель - 3. Получим 3 (х - 2у? -
- 3 (х- 2у). Далее выносим за скобки 3 (х- 2у): 3 (х- 2у)2-
-3 (х-2у)=3 (х-2у) (х-2у)-3 (х-2у)=3 (х-2у) (x-2y-I).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Если члены многочлена не имеют общего множителя, отлич
ного от 1, то следует попытаться разложить такой многочлен
способом группировки.
Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют
общие множители, и вынести за скобки общий множитель каж
дой группы. Если после такого преобразования окажется общий
множитель у всех получившихся групп, то его выносят за скобки.
Способ, с помощью которого предлаг ается разложить много
член на множители, называют способом группировки.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ
М НОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ
Г РУППИРОВКИ
41
Если эту формулу
зап исать
спр ав а н алево, то получим
х2_у2=(х-у)(х+у),
т. е. разность квадратов двух выражений
равна
п роизведению разности этих выражений и их суммы.
Например, 49х2- 9у2= (7х)2- (Зу? = (7х - Зу) (7х +Зу).
2. (х+у?=(х+у)(х+у)=х2+2ху+у2.
(2)
Тождество (2) называют формулой квадрата суммы. Квадрат
суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс
удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квад
рат второго выражения.
Например, (5+Зх?=52+2858Зх+(Зх?=25+ЗОх+9х2.
З. (х-у?=(х-у)(х-у)=х2-2ху+у2.
(З)
Тождество (З) называют- формулой квадрата р азности. Квад-
рат разности двух выражений равен квадрату первого выражения
минус удвоенное произведение первого и второго выражений
п люс квадрат второго выражения.
Например, (5- Зх? =52- 2858Зх+ (Зх? = 25- ЗОх+ 9х2•
4. (х+у)(х2_ху+у2)=хЗ+уЗ.
(4)
Если эту формулу
за писать
спр ав а налево, то, получим
хЗ+у3=(х+у) (х _ху+у2), т. е. сумма кубов двух выражений
равна
п роизведению суммы этих выражений и неполного квадра
та их разности.
При м е ч а н и е. Выражение х2- ху +у2 напоминает нам
трехчлен х2-2ху+у2, который равен квадрату разности х и у.
Однако в данном выражении х2 - ху +у2 вместо удвоенного про
изведения х и у стоит просто их произведение. Именно поэтому
выражение х2 - ху +у2 называют неполным квадратом разности.
Нап ример, 27аЗ+8=(За)З+2З=(За+2) (9а2-6а+4).
5. (х_у)(х2+ху+у2)=хЗ_у3.
(5)
Если эту формулу
записать
спр ава налево, то получим
хЗ_уЗ=(х_у) (х +ху+у2), т. е. разность кубов двух выражений
равна
п роизведению разности этих выражений и неполного квад
рата их суммы.
Например, 8- уЗ =~2- у) (4+2у+у2).
Выражение вида х + ху +у2 называют неполным квадратом
суммы.
Приведем еще четыре формулы:
6. (а+х?=(а+х) (а+х) (а+х)=аЗ+За2х+Зах2+хЗ.
(6)
Тождество (6) называют кубом суммы.
7. (a-х)З=(а-х) (а-х) (a-х)=а3-За2х+Зах2-хЗ.
(7)
Тождество (7) называют кубом разности.
8. (а+х+у?=а2+х2+у2+2ах+2ау+2ху.
(8)
9 . (а-х-у)2=а2+х2+у2-2ах-2ау+2ху.
(9)
Тождества (8) и (9) называют квадратом трехчлена.
(1)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. (х-у) (х+у)=х2_у2.
§ 11. ФОРМУЛЫ
СОКРАЩ ЕН НОГО УМНОЖЕНИЯ
(х+3?-16=(х+3)2-42=(х+3-4)
(х+3+4)=
(x-l) (х+ 7).
2) Объединим в одну группу последние три члена, вынеся - 1
за скобки. Получим
4а2_(х2 - 2ху + у2)=(2а)2 -(х- У?=
=(2а-х+у) (2а+х-у),
так как (2а)2- (х - у)2
м ожно разложить по формуле разности
квадратов.
3) Это выражение в явной форме
ни под одно тождество не
подходит. Анализируя прим е р, видим, что в каждом слагаем о м
м ожно вынести общий множитель 6 за скобки. Получим:
6х2+24ху +24у2 =6 (х2+4ху +4у2).
Выражение в скобках х2+4ху+4у2 представляет собой раз
ложенный квадрат суммы двух выражений: х2+ 4ху + 4у2=
=(х+2у?
Теп ерь наше выражение прим е т вид:
6х2+24ху+24у2=6 (х+2у? =6 (х+2у) (х+2у).
4) Представим данный многочлен х6 - 26 В виде разности
кубов двух выражений и, прим енив формулу, получим:
х6 _ 26=(х2)З_ (22)3=(х2 _ 22) (х4 +4х2 + 16)=
=(х-2) (х+2) (x4+4.r+ 16).
Этот прим ер
можно решить и вторым способом. Для этого
представим данный многочлен х6 - 26 В виде разности квадратов
двух выражений, получим:
х6 _ 26 =(х3)2 _(23? =(х3 _23) (~+ 23).
Теп ерь мы получили выражение, состоящее из двух сомно
жител ей: разности кубов двух выражений и суммы кубов двух
выражений. Первый из них разлагается
на множители по фор
муле (5), а второй - по формуле (4):
42
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
1. Разложить на множители:
1) (х+3)2-16; 2) 4а2-х2+2ху-у2;
3) 6х2+24ух +24у2;
4) х6 - 26; 5) 8+хзУЗ.
Реш
е н и е. 1) Выражение (х+3?-16
в явной форме
ни
одно из сем и тождеств не представляет, но число 16 можно пред
ставить в виде степ ени с основанием
4, т. е. 16=42. Тогда вы
ражение (х +з)2 - 16 примет иной вид:
(х+3)2 -16 =(х +3? - 42,
а это уже формула разности квадратов, и, прим е нив эту формулу,
получим:
43
дидхк тичвскив МАТЕРИАЛ
t. Разложите на множители:
А. 1) 4r-4y3;
2) 7x3+1ti; 3) 2х2-4х+2·
4) 36+24х+4х2; 5) х?:--у2_х-у; 6) i2-y2-x+y;
7) r-2хУ+!I-с2;
8) ~-x2+2x!/_y2;
9) (х-5)2-16; 10) I6-(х-5?; 11) 36-x'lif.
~-~=w-~~+~=~-~w+~+~~+~~-~+~=
=(х-2) (х+2) (х4+4х2+ 16).
5) данный многочлен лег ко можно представить в виде суммы
кубов двух выражений таким образом:
8+х3у 3 =23 +(ху)З.
Применив формулу суммы кубов, получим:
2З+(ху)З=(2+ху) (4-2xy+x2y~.
2. Сравнить числа: 244 и 18·21·25·28~
Реш
е
н и е. 18·21.25·28=(23-5) (23-2)(23+2)
(23+5)=
=(2з2 - 52)(2з2- 22)< 2з2.2з2 < 242. 24~.
Следовательно, 244> 18·21 · 25 . 28.
(811+1+8k)2
3. Найти значение выражения .
,гдеkЕN.
(4k _411-1)3
Реш
е
н и е. (8Н 1+8k)2
(8k(8 + 1))2
82k•92
2611• з4
(411_4k-I)3
(411-1(4_1»)3
43('
1).зЗ 26(k-I).з3
26k·з4
3
3.64= 192.
2611.2-6.з3
2-6
4. доказать, что при любом натуральном k значение выра
жения (3k+ 1?-(3k-l)2
делитея на 12.
Реш
е
н и е. Воспользовавшись формулой cr· - Ь2, упростим
данное выражение:
.
(3k+ 1)2-(3k-l)'l=
=(3k+ 1-3k+ 1) (3k+ 1+3k-l)=
=2·6k= 12k.
Полученное выражение 12k делится на 12. без остатка.
5. Доказать, что значение выражения (х+ 7)2 - (х- 5) (х+ 19)
не зависит от перем енной х.
Реш
е
н и е. Выполним указанные действия:
(х+ 7)2_(х-5) (х+ 19)=
=х2+ 14x+49-(.r+ 19х-5х-95)=
=х2+ 14х+49-х2 -14х+95=49+95=
144.
После преобразования данного выражения получили число
144, а это и означает, что выражение (х+7?-(х-5}(х+
19)
не зависит от пер ем енной х.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте правила умножения и деления степеней с
одинаковыми основаниями.
2. Сформулируйте правило возведения степени в степень, про
изведения в степень и частного в степень.
3. Что следует пони мать под значением данного выражения?
4. Всегда ли выражение, содержащее переменную, имеет число
вое значение? Приведите примеры.
5. Что называется областью определения данного выражения?
Приведите примеры.
6. В чем сходство и различие понятий «тождественно равные
выражения» и «тождество»?
7. Какие два выражения называются тождественно равными?
8. Какие равенства называются тождествами?
44
Б. 1) ах2-а-х2+х;
2) a.?(2+2a2-a3~2x2;
3) х2_у2_8х+ 16;4) 9r-c2 +a2+6a; 5) х"3+у3+2ху (х+у);
6) х3_у3_5х (х2+ху+у2); 7) х3+у3+2х2_2ху+2у2;
8) а4+ах3-а3х-х4•
В. 1) (х+ц)(х2+у2)_х3_у3;
2) (х_у)(х3+у3}(х2+ху+у2) _
_
(х'g_уб); 3) 36а2-(а2+9)2; 4) 8ХЗ_27у18.
2. Докажите, что при любом натуральном k значение выра
жения:
Б. 1) (k+1)2-(k
-1? делится на 4;
2) (2k +3?- (2k -
1)2 делится на 8;
3) k3-k делится на 6.
3. Найдите значение дроби:
382-172
3952-352
8562-442
А. 1) 722-162; 2) 57,52-14,52; 3) 406 .
712-232+94.42
632-232
Б. 1)
622-322 - ; 2) 712-152+86.24·
(4Н 1+ 6. 4k)З
В. (8k+1+2.8k)2 , где k - натуральное число.
4. Докажите, что данное равенство есть тождество:
Б. 1) (а-Ь?= -(Ь-а?; 2) 36а2-(а2+9/= -(а2-9?
В. 1) 3х4+ 1=~2+x?+(x2-x?+(x2-1~
;
2) (а+х+с) =(а+х-с)3+(х+с-а)
+(а+с-х?+24ахс.
5. В. Докажите, что сумма кубов трех последовательных це-
лых чисел делится нацело на 3.
6. В. Докажите, что если а+х+с=О, то а3+х3+с3=3ахс.
7. Что больше: 194 или 16·18·20·22?
Ответы.
1. А. 1) 4(x-y)(x2+xy+y~;
3) 2 (х-l)(х-l);
5) (х+у) (х-у-l);
7) (х-у-с)(х-у+с);
10) (9-х)(х-l).
Б. 1) (х-l)(ах+а-х);
5 ) (х+у)(х2+ху+у2). В. 1) (х+у)ху;
1
2) О; 3) -(х-3) (х-3) (х+3) (х+3). 3. А. 2) Т. Б. 1) 3. В. 10.
9. Какое выражение
называется одночленом; многочленом?
10. Что называется коэффиц иентом одночлена? Какие
одночле
ны называются подобными?
11. Что называется степенью одночлена
и
многочлена, заданных
в стандартном виде?
12. Каковы степени
одночленов: а) ху; б) х2; в) х2у2; г) 5ax3~
д) 7?
13. Какова степень многочлена Зх2 +ху +2х3у?
14. Сформулируйте правила раскрытия скобок, умножения много
члена на одночлен и многочлена на многочлен.
15. Что значит разложить многочлен на множители?
16. Перечислите и звестные вам способы разложения многочлена
на множители.
17. Напишите в общем виде формулу: а) квадрата и куба дву
члена; б) разности квадратов двух выражений; в) суммы и
разности кубов ДB~X вы~ажениЙ.
18. Что больше: а) 45 -31 или 442-302; б) 297·299 или 2982;
в) 263-243 ил и (26-24)3; г) (17+ 13? ил и 173+ lЗ3?
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕН ИЯМИ
1. Указать допустимые значения переменных дроби:
1) х-2.
2)2(5х-4).3) х+у
.4)_х_
х+ 1'
(х+2)(х-3) ,
х (3х-5у) ,
r+4 .
х-2
Реш е н и е. 1) Дробь х+ 1 не имеет смысла при значении
х= -1, так как при х= -1 знаменатель дроби обращается
в нуль. Областью определения данной дроби (или допустимыми
значениями) служит множество всех чисел, кроме х= -1.
Эта область есть объединение двух числовых промежутков
( -00; -1)U(-I; +00), или -оо<х<+оо,
х =#=-I.
2
Д
2 (5х-4)
2
) робь (х+2)(х-3) не имеет смысла при значениях х=-
и х=3.
46
4. Дробь : равна нулю тогда и только тогда, когда а=О
и Ь=#=О.
1. Дробью называется выражение вида : (Ь=#=О), где буква
ми а и Ь обозначены числовые выражения или выражения с пере
менными.
2.
Область определения дроби : - это множество чисел,
при которых эта дробь имеет числовое значение. Следовательно,
а
областью определения дроби т является множество пар чисел
(а; Ь), где ЬЕ(- 00, О)U(О; +00).
3. При умножении числителя и знаменателя дроби на одно
и то же выражение, отличное от нуля, значение дроби не меня
ется.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 1. ДРОБЬ
§ 1 ДРОБЬ
§2.
ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И
РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕй
§ 4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕй
§ 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ
ГЛАВА V
47
ДИДАКТИЧЕСКИЯ МАТЕРИАЛ
1. При каких значениях переменных имеет смысл выражение:
А.
1) ~; 2) x~ 1; 3) а~з; 4) 2~a; 5) lo2~x; 6) х2+х-3?
Б.
1) r~3; 2) r~9;
3) х-:-1+х~ 3; 4) х(:~ 2); 5) a~=~;
6) y2+~ +1 ; 7) x2~y2?
На основании основного свойства дро би сократим полученную
дро бь на общий множитель а+4:
(а-4) (а+4) а-4
Итак,
х (а+4)
х
а2-16 а-4
aX+4X=-Х-
2) 3r+ 15xy 3х (х+5у)
х+5у
х+5у
3Х.
3) Дро бь ~~;=~~
имеет смысл. если 2-х=FО.
Чтобы использовать основное свойство дро би, надо преобр а
зовать числитель (или знаменатель) дро би путем вынесения
общего множителя - 1 за скобки и тогда дро бь можно будет
сократить на общий множитель:
3(х-2)
-3 ~2-x)
3
7(2-х)
7 (2-х)
-т·
(а-4) (а+4)
х(а+4)
Реш е н и е. 1) Разложим числитель и знаменатель дро би
a2-16
ах+4х на множители, имея в виду, что ax+4x=FO, получим:
3) 3 (х-2)
7 (2-х)·
ответ.(- 00; -2)U(-2;
3)U(3;+ 00).
3) Дро бь X(;X~5Y) не имеет смысла при х=О, а также при
всех парах значений х и у, для которых выполняется условие
3х=5у.
5
О т в е т. Множество пар чисел (х; у), где X=FO и Х=Fзу.
4) Знаменатель данной дро би
р авен r +4. Выражение х2 +4
б ольше нуля при любом значении х,
Ответ. Х - любоечисло.
2. Сократить дро бь:
1) a2-16
2) 3r+ 15xy •
ах+4х'
х+5у'
48
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
2
2
rхз
1
1. Какие из выражений 3ху, 4а -х (а-3х), х-З' 4' 6Х-т
являются целыми, какие - дробными?
2. Найдите значение выражения:
А. 1) x+~l
при Х=-21 ; 2) х+З -_!_з при х= 1,5.
х-
х
х-
Ответы. 2.1)-15,5; 2)4.
'
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Целыми выражениями называются: а) все числовые выра
жения; б) выражения с переменными, содержащие операции сло
жения, вычитания, умножения и возведения переменных в нату
ральную степень.
П
в , 6-2,5+11
(+Ь)2
27
римеры целых выражении. --о:т- 3' а ,а-та.
Выражения 4ab-З, ..!_, х+-у не являются целыми, так как они
.
уху
содержат операции возведения в целую отрицательную степень и
деления на переменную.
2. Одночлены и многочлены являются целыми выражениями.
3. Если в выражении с переменными, кроме операций сложе
ния, умножения, вычитания и возведения в натуральную степень,
производится и операция деления на переменную, то такие выра
жения называются дробными выражениями.
3аЬ 4
(
2)
Например, а+Ь
' 7' Х 1+7 - дробные выражения.
§ 2. ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2. Сократите дробь:
А
х2-16
х2-16
3) Зх+12•4) r+lЬх+25
•1) 3х+12; 2) 3х-12
х2-16 '
(х+5)2
5) r+8. 6)
хЗ+8 ; 7) (х+2)З
8) х-у.
х+2'
х2-2х+4
х2+4х+4
у-х
Б 1) (х-2)2
; 2) (х-2)2
;3)
(х-2? . 4)
3-3х
•
2-х
(2-4
(2-4'
х2-2х+ 1
х6+х.
.
у6_ 11.
х7 _xIO•
х6-х·
В.
1) x.+r ' 2) y4_t'
3) x5-r'
4) хЗ+r'
Ответы. 1.А.6) Х- любоечисло.Б.1)Х- любоечисло;
6) Х и у-любые числа. 2. А. 2) xt4;
4) 1; 5) х2-2х+4.
В.
1) х2; 4) (x-I) х2•
49
36ху2 =9 2. 36ху2 =3х . 36ху2 =4
4х
у,
12у
у,
9ху2
•
Выражения 9у2. 3ху и 4 называются дополнительными
м ножите
лями соответственно для первой, второй и третьей дробей.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соот
ветствующий ей дополнительный множитель и преобразуем сум му
в
дробь:
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Упростить выражение:
1)а+5
с. 2)3 х-у+х+у•3)х-12а
4а
4х 12у-
9ху2
,
х- 2-х
-4-'
r-16a2+ 4ax-r •
Реш е н и е. 1) Наименьшее общее кратное коэффициентовзна-
u
бuа
5
с
36
б
менателеи дро еи 4х' 12у' 9ху2 равно
,а
в
качестве о щего
знаменателя можно взять выражение 36ху2.
Разделим общий знаменатель на каждый из знаменателей дро
бей:
СПРА ВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Пусть задана сумма двух дробей : +Т. Если переменным
а, Ь, с придавать числовые значения, причем Ь =#=0,то получится
сумма обыкновенных дробей, для которых равенство : +т=
а+с
=-ь- есть тождество.
2. Аналогично справедливо тождество : _т=а-;с ,где Ь*0
3. Пусть теперь даны две дроби ~ и ~ с различными
с
у
знаменателями. В этом случае поступают так. Умножив числитель
и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби, а чис
литель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой дро
би, получим д ве дроби, тождественно равные соответственно
дву м данным дробям, но имеющие одинаковые знаменатели. По
следовательность такова:
~+~= ау +~= ау+хс •
с
у
су су
су
Итак, при преобразовании
в
дробь суммы (или разности)
дробей с различными знаменателями предварительно приводят
дроби к общему знаменателю.
§ 3. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБР АЗОВАНИЕ СУММЫ
И РАЗНОСТИ ДВУХ ДРОБЕЙ
'
3)4а-a-t _ а+2.
4!
3'
6) а+х- a2+r •
а-х
а+х
2) -4--а+х;
5) с- (х+4
2х
50
А. t) а-;-2_ 1_ а;з ;
4) (a~x)2 +х;
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Упростите выражение:
r-16ax-16a2
х (X2-1 6 a2)
r-12ax-4ax-1 6 a2
х (x2-1 6a2)
х(х-4а)
х (х-12а)-4а (х+4а)
(х-4а) х (х+4а)
4а
(х-4а) (х+4а)
х-12а
x-12a
4а
x-12a
4а
х2-1 6 а2+ 4ax-r
(х-4а)(х+4а) +х (4а-х)
Эти рассуждения можно выполнить устно и решение записать
так:
х (х-4а) .
-х(х-4а)
4а
4а
х(4а-х)
4а
у'-а
Этим будем пользоваться при решении второго примера.
Представим выражение 3Х в виде дроби со знаменателем 1,
тогда общим знаменателем дробей будет выражение 4 (2 - х).
Выполним действия:
3х _ х-у + х+у 3х·4 (2-х)-(х-у).4+(х+у)
(2-х)
1 2-х
4
4 (2-х)
22х-lзх2+6у-ху
4 (2-х)
3) Разложим на мно жители знаменатели дробей: x2-16a2=
=(х-4а)(х+4а) и 4ах-х2=х(4а-х). Перепишем наше выра
ж ение в виде
x-12a
4а
x-12a
4~
х2-1 6 а2+ 4ах-х2 (х-4а)(х+4а) +х (4а-х)·
Перед тем как определить общий знаменатель для полученных
дробей, надо, произвести некоторые действия. со знаменателем
второй (можно и первой) дроби, после чего вторая' дробь примет
вид:
2) Целое число или выра жение можно представить в виде дро-
б
б
Н
5 5·х
х·3
2
и с лю ым знаменателем. апример,
=-;-; Х=Т; -2х =
9ау2+ 15ху-4с
36ху2
9у2.а+5.3ху-с.4
36ху2
51
(1)
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Упростить выражение
(_I_+~).(r+y2 х+у)
х-у
уЗ_хЗ· т_у2
2х-2у - •
Реш е н и е. Преобразуем выражение в первых скобках:
_1_+ 3ху __ 1__ ~_
х-у
!I-ХЗ _ х-у
r-y-
3ху
т+ху+у2-3ху
х-у
(х-у) (?+xy+Oif) (х-у) (х2+ху+ 1/)
(х_у)2
х-у
(x-Y)(T+XY+y~ Х2+ху+у2' если x-у=I=О.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
t. Произведение двух дробей тождественно равно дроби, чис
литель которой равен произведению числителей данных дробей,
а знаменатель - произведению знаменателей. Например, : · ~ =
= :~,Ь*О, d*O.
2. Аналогично для частного двух дробей верно тождество
::~=:·-~=:~,ь* О,d* О,с*0, т. е. частное двух дробей
тождественно равно произведению делимого на дробь, обратную
делителю.
§4. ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРА30ВАНИЕ ПРОИ3ВЕДЕНИЯ
И ЧАСТНОГО ДВУХ ДРОБЕй
61)а2
х
2) х2- 4ху
4у.
• ах-х2+-х=а;
2!l-xy
х-2у'
3)
х
4а.
4)-
4у
9х.
2а2-ах 2ах-х2'
зх2+2ху Зху+2х2'
5) :х-=.2;5 ::~~; 6) ::-=-:6 +6y~y2 .
В
1)
а2+За
а
_у__
Зу
.
• пх-5х+8а-40
х+8; 2) Зх-2 6ху+9х-4у-6'
3)
х2
_х_.
4) Зх+
х2+Зх
Зах-2-х+6а
3a- l'
'2у+З 4ху-З-2у+6х·
О
А
) а-6 -) 5х-За
41а-5)
а2+х2•
тветы.
.1
-6-; 2 -4-;
3) -12-; 4
2а'
5) _Т+с2•
6)2х2•
Б. 1) а+х. 2) 2у-х. 3) _2а+х. 5) х-5
2х'
х- ах'
у'
ах'
5х·
В
2х
)
7т
• 3) (1-3a)(x+2); 4 (2x- l)(2y+3)·
52
25a-125+2аЗ+ 10a2+50a-аЗ-25а2 а2+5а+25
(а-5) (а2+5а+25)
•
а-5
аЗ-15а2+75а-125 а2+5а+25
(а-5) (а2+5а+25)
а-5
(а-Б? (а2+Ба+25)
5
5О
(a-Б)(а2+Ба+25)(а-Б) а-, если а- =1= •
3. При ка ких натуральных значениях k дробь 5k2+~k+ 12 при-
нимает натуральные значения?
Реш ение. Имеем:
5k2+8k+12 Бk2 + 8k +~=5k+8+~
k
k
k
k
k
.
Очевидно, что 5k+8ЕN при любом kЕN, а lk2 ЕN при k= 1, 2, 3,
4,6, 12.
4. Сократить дробь:
1)
r3-1.
2) а lа-ЗI
X33+X22+XII,
а2-а-6·
Реш ение.
1 х33_1
(xll)3-1
(xll-l)(r2+xll+l)
xll-l
) X33+X22+XIl Xll (r2+x'l+l)
xll (X22+xll+l)
xll•
2) Так как знаменатель а2-а-6=а2-За+2а-6=
=а (а-З)+2 (а-З)=(а-З) (а+2), то а - любое число, кроме
а=З и а=-2.
Если а>З, то а \а-З\ =а (а-З) и получим:
а lа-ЗI
а (а-З)
а
а2-а-6
(а-З) (а+2) а+2·
~_
а:+25а2). (а-5+ 15a ).
5-а
а -125
а-5
(
25
а2+5а+25
Реш ение.
(
25
+2а
аЗ+25а2)
(а-5?+ 15а
а2+5а+25 а-5
(а-5) (а2+5а+25) •
а-5
25 (а-5)+2а (a2+5a+25)-аЗ-25аZ•
а2-10а+25+ 15а
(а-5) (а2+5а+25)
а-5
х-у
• х-у
(х-у) (х+у)·2
2 (х+у)
х2+ху+у2· 2 (х+у) (r+xy+if) (х-у) =r+xy+y2 .
2. Выполнить тождественные преобразования:
Нам осталось разделить выражение (1) на выражение (2).
Имеем:
Выражение же во вторых
скобках преобразуется так:
х2+у2 х+у
2 (x2+if)-(x+y)(x+y)
х-у
х2_у2-2(х-у)
2 (х-у)(х+у)
2 (х+у) •
(2)
53
16)
x2-хУ.L. 2) За .аЬ+Ь2. 3) x-y.~.
ух'
Ь2 9'
ху ху_у2,
4аЬ ах+Ьх. 5) ха-ху.
2х . 6) ах-ау
5ху
сх+Ьх 2аЬ
зс2
су-са'
5х2у2· Ьу-Ьх ;
kx+k2 Х
• 8) ах+ау
х2у
9) ху а+а2.
-х-2 -. x+k '
ху2· Зх+Зу
а2+а3• х2у2 ,
10) ~.
2х-2 . 11) r_y2.~.
12) ~.
За-ах
.
х2-х
З ах'
2ху х+у'
х2-9
4х'
13) b-a.~.
14) a2-1. 7а-7Ь . 15) 4а-4Ь. (а+х)2
а а2_Ь2'
а-Ь
а2+а'
За+Зх а2_Ь2
16 ) (х+З)2. х2-4 . 17) (х+З? Зх+9
~-4
~+9'
~-4·r-4·
Б. 1)(х~1+1) .;х;-!l ; 2)( 1~У - У) : if2~i/+\
3) аЬ+Ь2• За +а+Ь . 4) х-у .~_~.
З
fj3
Ь'
4у х2 -ху
х2'
5) (6a+l + 6a-l)
а2-З6. 6) (
а2+Ь2)
(1+2)
а2-6а а2+6а • а2+ 1 '
а-а+Ь • т а=ь
7) (~-a):
(2+а2+4).8)1+ 24 •4х-х2-4 .
2-а
а-2'
(х-2?
З (х+6)
,
9) (_а
__ Ь. ):(а+Ь _!!:.:::::: ..!!_)_.
а-Ь
а+Ь
Ь
а'
10)(2х+1- 1~2х):(2х- 2:~ 1);
11) (p_Q+ 4q2_p2): (_P_+_2_+_1_).
p+q
p2_q2 q-p
p+q ,
12)( 2
Зу)(у2
1).
2х+у 2х-у
у2_4х2 • 8х2 -т '
13) ( 5х+у + 5х-у
).
х2_25у2 •
х2-5ху
х2+5ху
х2+у2'
14) 9a2-16b2• ( ЗЬ-4а
З Ь+4а).
7а
4ь2-ЗаЬ
4ь2+ ЗаЬ '
15) 4ХУ.(
1
1)
y2_r• у2_х2 + х2+2ху+у2 ;
А.
1)
4)
7)
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1.- Упростите выражение:
а lа-ЗI
а (З-а)
а
а2-а-6
(а-З) (а+2) - а+2 .
Если а<-2 или -2<а<3, то а la-31=a(3-a), и,
следовательно,
54
Ковтроаьные вопросы
1. Дайте определение целого и дробно го рационально го выра
жения.
2. Укажите, какие из данных выражений являются целыми и ка-
кие - дробными: а) ~; б) 5х; В) ;; г) (а;Ь); д) ~,
)
2
а
е (5-а);
ж) 0,7х; з) Ь'
(а-l)4 (а+ 1)4
Ь4 (а+l)4
«а-l) (а+ 1»4
(Ь (а+ 1»4
Степень дроби то>Кдественно равна дроби, у которой числи
тель есть степень
числителя, а знаменатель - степень знамена
теля,
(
а2-1)4
Например, аЬ+Ь
§ 5. СТЕПЕНЬ ДРОБИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАJI
Упростите выражение
и вычислите:
В 1) 4а-5 + 9 (а-З) • 4а2-17а+ 15
7приа=1.
•
а2-9
15-7а-4а2
а-2
а+З
'
2)(2
2
2 +2 ). а+у-х
86
11 14
10.
а-у
-х
ху. а+у+х при а= , ,У= 15' х=з,
а2-1(х
1)
а- ах'-х4+х
-
1.
3) х2+ах' х-l -
• l-a2
прих-- ,
4)
х
2.
(1+Зх+х2 ) при а=О5.
ах-2а2
х2+х-2ах-2а
х+З
'
2. Сократите дробь:
В 1) х2-х+l
2) xi4_x7+1 3) х(у-а)-у(х-а)
• . х 4+х2+1;
х21+1;
х(у-а)2_у(х-а)2·
3. При каких натуральных значениях k дробь (k:_З)2 при
н имает натуральные значения?
О
А)(
)
.2 а(а+Ь).
6
а
.
1.
тветы.1..1Ух-у, ) ЗЬ' )-хуЬ'9)аху'
10) _±_. 14) 7а-7.
15) 4а+4х . 16) х2+5х+6.
17) x2+~X+6.
х2,
а'
3(а+Ь) ,
6'
Б. 1) l-x .,2) l-у·, 3) (а+Ь )2. 5) _!!. 6) 1· 8)
х-2 .
2х- 1
Ь
'
а'
,
х+6 '
аЬ.
.
2.
1•
зох2 + 6у2 - 16ху.
9)
2 Ь2 , 10)-2х,11)q-pq,12) --4'13)
(9+ 2)
,
а-
х
хх- у
14) 2; 15) 2х (х+у); 16) а-2.
В. 1) 7,375;2) О;3) -1; 4) 2.
1
1
а
2.В.1)2++1;2)-Т-+1;3)
2.3.1и9.
хх
х
ху-а
8. Преобразуйте сумму в дробь: а) х+...!...; б) b+~; в) 35 +х.
а
с
9. Преобразуйте дробь в сумму: а) -0/; б) 3 (aa-;-~)4+7
3. Что называется о бластью определения дроби?
4. Найдите области определения следующих выражений:
)1•б)3•)
а.)а+1•)2
а
х=6' s=a' в 2a-l' г 7-2а' Д х +х+3.
5. Сформулируйте свойства дроби.
6. При каком значении переменной у равно нулю значение дроби:
)
у-12 . б) у (у-3)
. в) (у-7)(у+2)
. г) у2+1?
а
у2+1'
8'
у'
3
7. Сократите дробь: а) 5 (а-х).
б) a-l
.
в) (х-2?
г) (2х-2у?
х-а'
(1-a)2'
2-х'
4r-4y2
,
д) r-2x+l . е) а6_а8 • ж)
у6_1
. з) ху-х+у_у2
1- х'
а4_ аб'
у4+у2 +1'
х2_ у2
•
1. Первоначально под числами понимали лишь натуральные
числа, которых достаточно для счета отдельных предметов. Мно
жество N ={1; 2; 3; ...} натуральных чисел замкнуто относи
тельно операций сложения и умножения - сумма и произведение
натуральных чисел также являются числами натуральными.
2. Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда яв
ляется натуральным числом. Так, результат вычитания двух одина-
56
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИА Л
§ 2. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ.
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИА Л
Иррациональным числом называют бесконечную десятичную
непериодическую дробь, например, 0 ,131331333125.... Известные
в математике число я, число е (основание натуральных логариф
мов) также являются числами иррациональными.
2. Другой пример, приводящий к понятию иррационального
числа, дает следующая теорема: «Не существует рационального
числа, квадрат которого равен двум». Иными словами, решение
уравнения х2 - 2 =О невозможно на множестве рациональных
чисел. Корнями такого уравнения являются иррациональные числа
-J2, --J2.
3. Любое рациональное число вида ..!!:!., где n:;60, может
п
быть представлено в виде конечной или бесконечной периоди
ческой десятичной дроби.
§ 1. ПОНЯТИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ
ГЛАВА VI
§ 1. ПОНЯ Т ИЕ ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОМ ЧИСЛЕ
§ 2. РАЗВИТИЕ
ПОНЯ Т ИЯ О ЧИСЛЕ. МНОЖЕСТВО
ДЕйСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 3. КОРЕНЬ k-й СТЕПЕНИ ИЗ ДЕйСТВИТЕЛЬНОГО
ЧИСЛА
§ 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ ЧИСЛА
§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕйСТВИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬ·
НЫМИ ЧИСЛАМИ
§6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕй
§ 7. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ И ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 3. КОРЕНЬ k-й СТЕПЕНИ ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Корнем k-й степени, где kEN и k=t= 1, из действитель
ного чи сла а называется действительное чи сло х, k-я степень
которого равна а.
2. Корень k-й степени из
ч исла а обозначается символом
VU. Согласно определению (VU)k =а.
3. Нахождение корня k-й степени из
числа а называется
57
ковых натуральных ч исел приводит к понятию нуля И введению
множества целых неотрицательных ч исел: Zo={O; 1; 2; 3; ...}.
Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отри
цательные целые числа и таким образом получают множество
целых чи сел Z={ ... -3; -2; -1; О;1; 2; 3; ...}.
3. Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое чис
ло, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых ч исел
присоедин ить множество всех положительных и отрицательных
дробей. В результате получается множество рациональных чис ел
Q= {: I mEZ, nEN}. Уравнение ах=Ь,
~дe a=t=O, имеет на
множестве рациональных чи сел корень х =- при любых рацио-
а
нальных а и
Ь.
4. Необходимость дальнейшего расширения множества чи сел
связана в основном с двумя при чинами. Во-первых, рациональ
ных чис ел недостаточно для выражения результатов измерений
(например, нельзя выразить рациональным числом длину диаго
нали квадрата со стороной 1). Во-вторых, такие
числовые выра-
жения, как ..уз, VБ, 192, sin 1о
и
т. д., не являются рациональ
ными чи слами.
Объединение множества рациональных чи сел и множества ир
рациональных чи сел (бесконечных десятичных непериодиче ских
дробей) дает множество R. действительных чи сел.
5. Действительные числа сравниваются по величи не анало
гично правилу сравнения рациональных чис ел (см. гл. 111,§ 5).
Например, -0,17...< -0,15; 3,1... > -5,6 ....
6. Для числовых промежутков вводятся следующие обозначе
ния:
[а; Ь]
или
a ~x~b
- замкнутый промежуток (ил и отрезок)
с началом а и концом Ь;
(а; Ь)
или а<х<Ь
- открытый промежуток (ил и
интервал);
(а; Ь]
или
a <x~b;
[а; Ь)
или
a~x<b
- полуоткрытые
промежутки (полуинтервалы) ;
[а; +00) ил и x~a,
(-00; Ь]
ил и х~Ь-лучи ;
(а; + 00) или х»:а, (- 00; Ь)
или
«<Ь
-
открытые лучи;
(- 00; + 00)=R - координатная прямая.
58
УПРАЖ НЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. При каких значениях х данное выражение имеет смысл:
1) -Г-::Х; 2) ,.jx+3; 3) ,.j(x-6??
Реш е н и е. 1) Из определения арифметического квадратно
го корня следует, что -x~O.
Умножим обе части этого нера
венства на - 1иполучимх~ о.
2) На основании определения арифметического квадратного
корня имеем x+3~O, или x~ -3.
3) (x-6)2~o для всех xE R , значит, выражение имеет смысл
при любом значении х.
2. При каких значениях х справедливо равенство .у(х-7)2 =
=х-7?
Реш е н и е. Так как.у(х-7?= 'х-7\, то исходное равенство
примет вид Ix-7\ =х-7. А это равенство справедливо только
при x-7~O, т. е . при x~7.
3. Упростить выражение:
1) -У7- 4-../3;2) -JГ-2+----;У;:=9
+=4=,;2::::::::2.
Реш ение. 1) Обратим внимание, что 7- 4-,JЗ=4- 4-,JЗ+
+3=(2--../3)2. Поэтому -V7-4 -УЗ=-V(2--{3)2= 12--УЗ1=2-
--../3, так как 2--УЗ>О.
2) Выражение 9+4,;2 представим так: 9+4,;2=(2,;2+ l?
Тогда -У9+4 -J2=-J(2 -YJ.+1)2= 12-J2+ I1 =2 -J2+ 1.
Теперь выражение -J2+y9+4 -J2 примет вид ';2+2,;2+ 1.
Упростим его:
';2+2 -J2+ 1=';3+2 -../2=,;(,;2+ 1?=,;2+ 1.
извлечением корня.
Число k называют показателем корня, число
а-
подкоренным выражением.
4. Заметим, что 2tVU, где nEN и а<О,
не существует. На
пример, выражения R,V 16 не имеют смысла. Корень нечет
ной степени извлекается и из отрицательного числа. Например
V=8= -2, так как (_2)3= -8.
5.
Ч тобы устранить двузначность корня k-й степени из числа а,
вводится понятие арифметического корня. Арифметическим кор
нем k-й степени из числа а (a~O)
называется неотрица
тельное число Ь, k-я степень которого равна
а, где н:»1-
натуральное число.
Например: а) W=lal; б) ~x2+2x+l+~x2-2x+l=
=Ix+ 11+ Ix-ll; в) V(
з)4= 1-31 =3; г) .у9=з (но не +3).
З.а м е ч а н и е. В школьном курсе рассматривается только
арифметическое значение корня, т. е. va имеет смысл лишь при
а;::: О и принимает только неотрицательные значения.
59
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
1. Какие из указанных
чисел являются иррациональными:
- 2; 1; О; -YI2; -flб; - 1.,5; -{l7; 0,7-{225?
2. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
А. 1) .ух; 2) -[Х2; 3) -VX2+4; 4) -v(x+ 4)2; 5) ~;
6) ~+2?
В..
1) ....;-.::::?; 2) -У1+2х+х2; 3) -Ух2-6х+9; 4) -Ух2+2х+2?
3. При каких значениях х справедливо равенство:
8. 1) -У(х-2?=х-2;
2) -У(х+3)2=х+3; 3) -У(х-2)2=2-х;
4) -У(х-2?=
Ix-21?
4. Упростите выражение:
А. 1) -[Х2, если х< -1; 2) -V(x-5?,
если x~5;
3 ) -У(Х+3?, если х< -3; 4) -..jl+4х+4?,
если x~ -0,5.
В.
1) -Ух2_8х+ 16+-Vx2-12x+36
при: а) х<4; б) 4~x~6;
в) х>6;
2) ~Г -- 4 х''''''''2---4-х-+-1
+-У9х2-6х+ 1 при: а) х<т; б) T~x~0,5;
1
в) х>т;
3) ~х2-2х+I+lх-31
при: а) x<l; б) I~x~3;
в) х>3.
В.
1)
а2-З
; 2) у2а+2 #=9 ; 3) у(а+2)2-8а
,!(а';;,3)' -3
-..j2a-2Va'-9
-..[o-~
5. Уп остите выражение:
В. 1) 3-2 -У2; 2) ..)9-4 -../5.
В.
1) -J13+ 30~2+-J9+4,;2;
2) V2+-../5+V2--../5;
3) V20+ 14-Y2+V20-14 -У2; 4)
-У2+-VЗ+2
-v'2 +-УЗ+ -v'6+V'В + 4
5) ..)В+-{4б+-.J2б+-УВ (представить в виде суммы трех ра
дикалов) .
Ответы. 2.А.6) О. Б.2),3),4)х- любоедействитель
ное число. 3. В. 1) x~2; 3) x~2. 4. А. 1) -х; 2) х-5;
3) -(х+3); 4) 2х+ 1. В. 1) а) 10-2х; б) 2; в) 2·x-lO;
2) а) 2-5х; б) х; в) 5х-2.
В.
1) 2а при а>-JЗ и --УЗ<
<а<О; -2а при О<а<-УЗ и а< --J3; 2) a+~;
3) .уа,
если а>2;
--Га, если 0<а<2. 5. В. 1) -/2-1; 2) -../5-2.
8.1) 5+3-/2; 2) 1; 3) 4; 4) ,;2-1; 5) 1+-/2+-../5.
в дальнейшем действия выполняются в той последователь
н ости, которая указана в алгоритме (корень можно извлекать
с нужной степенью точности).
60
1609 -J65'59'01 =809 ...
9 -64
--:1:-:="5~90"""'1
14481
1420
16 .у65'59'01 =8...
-64
159
4-й шаг. Отделяем в остатке (159) одну цифру справа,
слева получаем число десятков (оно равно 15). Затем делим
15 на удвоенную первую цифру корня, т. е. на 16, так как 15 на 16
н е делится, то в частном получается нуль, который записываем как
вторую цифру корня. Итак, в частном
получили число 80, кото
рое опять удваиваем, и сносим следующую грань (01):
160 -J65'59'01 =80 ...
-64
--:1:-:="5~90~'
1
(число 15901 - второй остаток).
5-й шаг. Отделяем во втором остатке одну цифру справа и
полученное число 1590 делим на 160. Результат (цифру 9) записы
ваем как третью цифру корня и при писываем к числу 160. Полу
ченное число 1609 умножаем на 9 и находим следующий оста
ток (1420):
(число 159 - первый остаток).
3-й шаг. Удваиваем найденный корень и пишем результат
слева:
=J65'59'01=8...
-64
159
Рассмотрим этот алгоритм
на
пр имере. Найдем .у655901.
l-й шаг.
Число под корнем разбиваем на грани по две цифры
(справа налево): .у65'59'0 1.
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани, т. е.
из числа 65, получаем число 8. Под первой гранью
пишем
квадрат числа 8 и вычитаем. К остатку приписываем вторую
грань (59):
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
§ 4. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧ ЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ ЧИСЛА
61
СПРАВОЧНЫй
М АТЕРИАЛ
1. Пусть даны действительные числа а и Ь. Обозначим через
a'k,at, b'k,ьг приближенные значения этих чисел соответствен-
но с нед о статком и с избытком с точн остью до l~k' т. е. а;;<a<at
и ьг -сь-сьг .
2. Суммой действительных чисел а и Ь называется такое дейст
вительное число р, котор ое при любом целом неотрицательном k
уд о влетворяет неравенству a'k+b'k <p <at
+bt.
Например, для чисел а =-/2 и Ь =-/3 имеем:
1,4+ 1,7<-У2+-/3< 1,5+ 1,8;
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Извлеките квадратный корень из числа: а) 32; б) 32,45;
в) 249,5; г) 0,9511:
А. с точностью до
0,1;
Б. с точностью до
0,01;
В. с точностью д о
0,001.
2. Извлеките квадратный корень из числа: а) 2; б) 3; в) 5:
А. с точностью до
0,1;
Б. с точностью до
0,01;
В. с точностью до
0,001.
3. Сравните числа:
А. 1)4и~; 2)2,7и-J7;3)-J3,26и1,8;4)-У18,49и4,3.
Б. 1) -v;ви 0,25VГSQ; 2) 2-.J2и 3VЗ.
4. Вычислите с точностью до
0,01:
В. 1) -.J2+ ~ ; 2) 0,75--/5; 3) -{2-"j3.
§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕйСТВИЯ
С ДЕйСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
3 а м е ч а н и е. Если по дкоренное выражение - десятичная
др обь, то ее целую часть разбивают на грани по две цифры справа
налево,
др обную часть - по две цифры слева направо
и извлекают
корень по указанному алгоритму.
Наприме~IГ::''-:-:-::=---с:-=-=
26 -{2'57,25'7 = 16,03... (приближенное значение корня)
6
-1
3203 ~15~'~7--
3
156
---
-~12~5=7~'O
9609
2961 (остаток)
62
Ih/З-{ ~, е~и Ь~ О,
-
--.:;зiJ2, если Ь ~ О.
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел
равен произведению корней той же степени из сомножителей:
vaь=vo,·vь, где a~O,
Ь ~O (правило извлечения корня из
произведения).
!~k
2.
Е сли a~O,
Ь >0, то V t =ri (правило извлечения корня
из дроби).
-vb
З.
Е сли a~O,
k, cEN, k> 1, с> 1, то Wa=kVQ, (правило
извлечения корня из корня).
4.
Е сли a~O,
то eya)m=vaт (правило возведения корня в
степень) .
5.
Е сли a~O, то W=n~, где mEN, nEN, т. е . показетель
корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на
одно и то же число.
6.
Е сли аl >а2>0. то va; >k.[ii; >0, т. е. большему положи
тельному подкоренному выражению соответствует и большее зна
чение корня.
7. Все указанные выше формулы часто применяются в обрат-
ном порядке (т. е. справа налево). Например,
-VЗ.-J2=~=-J6
(правило умножения корней);
~ ~ =-У2 (правило делеиия корней) ;
V5=V-{5 .
8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При
а ~ О, Ь;;;' О VfЮ!=а\[Ь.
9. Обратная задача - внесение множителя под знак корня.
Например,
1,41 +1,73<-Y2+~<
1,42+ 1,74;
1,414+ 1,732<12+~<
1,415+ 1,733.
З. Произведением действительных чисел а И Ь называется такое
действительное число q, которое при любом целом неотрицатель
ном k удовлетворяет неравенству ak -ь; <q<at -ьг .
Например, для чисел а =12 и ь = ~ имеем:
1,4·1,7 <-J2.~< 1,5·1,8;
1,41.1,73<-J2.-VЗ< 1,42.1,74;
1,414• 1,732<-J2.-{3< 1,415 .1,733.
4. Известные для рациональных чисел законы арифметических
действий (переместительный, сочетательный, распределительный)
сохраняются и для любых действительных чисел.
§ 6. ПРЕОБРА30ВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
63
УП Р АЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Упростить выражения:
1) .уlOО.49.64; 2) 'Ч27.Б4.16; 3) VЗ2а"&".
Реш е н и е. 1) Перемножать подкоренное выражение нет
смысла, так как каждый из сомножителей представляет квадрат
целого числа. Воспользуемся правилам извлечения корня из произ
ведения:
~lОО.49.64=,j}OO ..у49 ..уб4= 10·7·8.
В дальнейшем такие действия будем выполнять устно.
2) Попытаемся, если это возможно, представить подкоренное
выражение в виде произведения множителей, каждый из которых
является кубом целого числа, и применим правило О, корне из
проиэведения:
V27.54.16=V27. (27.2). (8·2) =V27.27.8.4=V27·V27·V8x
10. Уничтожение ирра циональности в знаменателе дроби.
Рассмотрим некоторые типичные случаи.
а)
т
тW=Т
тklar-т т4 Г(i !l =I
~
~
так как а>О.
ч: va·W=Т!Jf(li
а
Например, ~= 5·W =5V§ .
vз VЗ·W 3
б)т
т (-va+-{Ь)
т (-va+-{Ь)
-Уа±-{Ь
(-va±-{Ь) (-{О.+-{Ь)
а-Ь
Например, -J5~...J2 (-J5~~~-.j2)
3 (~!2-/2) ~ +-J2.
в)
т
т «;{а+-{ЬН-{i)
иТ.д.
-{О.+-{Ь --Ус «-{О.+-{Ь)--Ус) ( (-Га+-{ЬН-Ус)
11. Применение тождеств сокращенного умножения к действи-
ям с арифметическими корнями:
1) (-{а--{Б) (-va+-{Б)=а-Ь;
2) (Va±VЬ)(ViE+VёiБ+W)=а+Ь;
3) а,[а,±ь.[Б =(-..Га? ± (-{Б)3 =(.[а +- {Ь}( 0i+-J(iЬ + Ь).
12. Множитель, стоящий перед корнем, называется его коэф
фициентом. Например, з-1i. Здесь 3 является коэффициентом.
13. Корни (радикалы) называются подобными, если они имеют
одинаковые покаватели корней и одинаковые подкоренные выра
жения, а отличаются только коэффициентом. Чтобы судить о том,
подобны данные корни (радикалы) или нет, нужно привести их к
простейшей форме.
Например, v54 и vi6 подобны, так как V54=V27.2,=3V2.
а
Vi6=V8-2=2V2.
хv4 =3·3·2· v4=18V4.
3) w2cf =V"""'25"--.-а5"--.-а=V2!"·W·\Га=2аyQ.
2. Найти
значение выражения:
1) - fl2i . 2) ;/121.169 . 3) - / 3...!_.2...!_
-уtfg,
-Jl69'
v164·
Реш ение.1) Поправилу
из вл ечения корня из
дроби имеем:
- (;;1 = ,ff2f = .!.!.. •
-у fi9 -Jl69 13
2) .у121.169 ~9=-yТ2f=11.
~
169
3) Преобразуем подкоренные выражения
и
из вл ечем корень:
- /3_!_.2...!_ - ~
- гi9 .- г9 =!_.2_=~
v164:у~·i:у~~i428·
3. Упростить при а~ О, х ~ О:
1) ~;
2) ~;
3) V2-,j(iX5;4) ~2Vйxfj.
Реш е н и е. При извлечении корня из
корня показатели кор
ней перемножаются, а подкоренное выражение остается без
из
менения.
1) ~=VQXБ; 2) ~=vaxr'.
Если перед корнем, находящимся под корнем, имеется коэффи
циент, то прежде чем выполнить операцию
из вл ечения корня, вво
дят этот коэффициент под знак радикала, перед которым он стоит.
Извлечем на основании и зл оженных правил два последних кор
ня'
. 3) V2-,j(iX5=V.j4ах5 =\f4(iX5;
4) ~2VQ,XS"=-...jvвax'S=V8ах5•
4. Возвести
в степень:
1) (vaз)4 ;
2) ej2(7)5; 3) (-2аVЗ?)4;4) (-fj+2V2)3.
Реш е н и е. При во зведении корня в степень показатель корня
остается без
изменения, а показатели подкоренного выражения ум
ножаются на показатель степени.
1) (W)4=Vf?l= 'аЗ' =а3 (так как W определен, то a3~O);
2) (V2fE? =V(2a3)5 =wars = 2а3 V2fE.
Если данный корень имеет коэффициент,
то этот коэффициент
возводится в степень отдельно и результат
записывается коэффи
циентом при корне.
3) (- 2aV3?)4 = ( - 2a)4V(3x2)4 = 16а4vз?= 16а4,х' vз? =
= 16a4Ixl-\@ТXТ.
Здесь мы использовали правило, что показатель корня и пока
з атель подкоренного выражения можно умножать на одно и то же
1
число (мы умножил и на 2' т. е. разделил и на 2).
64
65
х.
(х +2+ -JX2=4? + (х -+-2 - -JX2=4)2
(х+ 2)2 - (-Jx2_ 4)2
3) Приведем дроби к общему знаменателю:
x+2+-R-4
x+2--JXC4
x+2--.f?--4 +x+2+-JX2=4
_ (x+2+-JX2=4) (x-+-2+-JXCi) + (х+2--р=4)
(x+2--JX2=4)
(x+2--Jx2-4)
(x+2+-Jx2-4)
(x+2+-Jx2-4) (x+2--Jx2-4)
а (Vlll +V2a+ :J{4)
а-2
а (Эу'О! +\l2a+V4)
еГа?-(V'i)З
а ( 3./-;7+Wa+V4)
-
(Уа -V2) (W- +V2a-+- У4)
а
__
Va-V2
5. Исключить иррациональность в знаменателе:
1) ~;
2)а
; 3) x+2+-.JXC"4 + x+2--f?=4
.
l--Va
Vёi-V2
x+2--Jx2-4
x+2+-Ji2 -4
Реш
ение.
Для исключения (уничтожения) иррациональ
ности в знаменателе дроби нужно подыскать простейшее
из выра
жений, которое в произведении со знаменателем дает рациональ
ное выражение, и умножить на подысканный множитель числитель
и знаменатель данной дроби.
Например, если в знаменателе дроби двучлен -{а+-{Х, то надо
числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопря
женное знаменателю, т. е. сумму надо умножить на соответствую
щую разность и наоборот.
В
более сложных случаях уничтожают иррациональность не
сразу, а в несколько приемов.
1) В выражении
а_ г: должно быть а~ Ои 1- -{Q,=I=о.
l--уа
Умножая числитель и знаменатель дроби на 1 +-{Q" получим:
а
а(! -t--Va)
a(l +-Га)
a(l +-va)
l--va (l-уГа) (l-t--va) 12-(-va)2 l-a
2) Умножая числитель и знаменатель дроби на неполный квад
рат суммы, получим:
Например, V24 = 2 или V2В= 22.
4) Выражение в скобках, представляющее сумму двух различ
ных радикалов, возведем в куб и упростим:
(-УЗ+ 2'4/2?= (-{3)3+ 3 (-{3)2.2'4/2+ 3-{3. (2'4/2?+(2'4/2)3=
=з-УЗ+ 18V2+ 12-{3.V4+ 16.
Поскольку -УЗ·V4=W·W=V27.16=\I432,
имеем:
(-УЗ+2V}}=3-{3+ 18\12+ 12.\1432+ 16.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Найдите значение выражения:
А. 1) -У4.144.0.25; 2) -У9.121.64; 3) -jlб . -[40; 4) -У72.32.
Б. 1) -У132-122; 2) -У3132-3122; 3) -У4,9.360; 4) -\/160.6,4.
В.
1) -У4410000;
2) -У435600;
3) -У7,29; 4) -УО,1521;
5) ';3136; 6) -.J6084; 7) -{4356; 8) .уб4аI4•
2. Найдите значение выражения:
А. 1) -va,-o§ + -УО,Т6; 2) vГoJб - VГO ,09; 3) 7-JO:oг- -{О:09 .
Б. 1) ~+З-У32+0,5·{f28-6-{f8-Р+W4;
2) 20 -.J245--Y5+-v'i25-2,5 .Ji8O+-V(х2-2? -V(2-X2)4.
3. Возведите в степень:
А. 1) (Ч4х!)2; 2) (2VЗ?>\ 3) (2+3-{3?; 4) (-{3-- .{i?
Б. 1) (а2хЗJ3а2х)4; 2) (-{3- 2V2)3; 3) (9.[2 -·fi}.
В.
1) (3.;2-2-J5--jlб?;
2) (-{ll+6 -у2 --{l1-6
./2)2.
4. Исключите
иррациональность в знаменателе:
2
2
2
2
2
А.1)~;
2) ~;
3)--J5 го:;4)~.j6;5)G.
.ух '
2-",з
2+-у3
5-..;6
.5+6
"а+ х
Б 1) _!___ 7_. 2) _3__ _2_ -2-fi·
.
.уп -3 .уп-2'
-If-2 -If+2
'
3) а;4)х-у; 5)l-a ;6)х+у.
JГа-vx
.ух+у
-V1-.ya
.ух-у
В.
1)
12 .2)
а
.
3)
1
•4)
47
3+-..!2--VЗ '
~.f2+VЗ '
.f2+VЗ ~ 2...j3-VЗ .
5. Найдите значение выражения:
1) _9_+~_
1 . 2) (_12 __ ~+___!__)
.(6--{3)
5--/f· 7+--J5 -/f +-../5 ' -../[5-3 -v'l5-1 2-$
.
ответы. 1.В. 8) 21а31~.
2. Б. 1) --J2,; 2) 129-У5.
3. А. 1) 21хl V21xl; 2) 24х2• В. 2) 8. 4. А. 1) 2 (2+,,13);
5) 2 (-Га-.ух) . Б.2) 10-5-/f;
4) (x-у)-Гх+У. В. 1) 3(5~-6+
а+х
3
(х+у)
+з-У6-4-у'3); 3) (~-VЗ)(-{3+2); 4) (2...j3+~(12+...j3). 5. 1) 6;
2) 33.
66
Решая данный пример,
мы должны
иметь в виду, что каждая
дробь имеет смысл, т. е. знаменатель каждой дроби отличен от ну
ля. Кроме того, х2 - 4~ О.
При преобразовании выражений, содержащих радикалы, часто
допускают ошибки. Они вызваны
неумение м правильно применять
понятие (определение) арифметического корня
и
абсолютной
величины.
..!. ~
..!.+~
1
3
Решение.
1) 64.64 =64
4 =6. Или 64.64 =Vбх
xW=vв:r;=w =6.
2
I
! __!_
4-1
...!.
..!. 4 ..!..
2) ]6"3:16"6=16з 6=166 =162=(24)2=2 2=22.
I4
14
4
4
16
3) (163)3 =]63'3" = 169 =(24)9 =29 = W"6=2V?!.
2
2
4
4) 253 =(52)3 =53 =w =5VБ.
(
27)~ ((3\\~ (3)3·~
3
5)64=4))=4 =4'
2. Вычислить:
1
1
2
1) С96)2+(; )-1; 2) (~.125-1) -3 3) (2~~) -\(:
)-2.
67
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Г. Упростить выражение:
13
2
1
14
2
t
]) 64" •64; 2) 163 :166"; 3) (163)"3; 4) 25"3; 5) (~) "3.
СПРАВОЧНЫй МАТЕР И АЛ
Рас смотрим степень аР, где pEZ.
1. Если р=О, то по определению аО= 1 (при а=#=О).Например,
50= 1.
1
2. Если р<О, то по определению aP=- -: :: ;, (при a=t=O). Напри-
а
1
1
1 (2)-1 3
мер, 2-1=2;5-2=52; (-3)-1=-з; 3 =2'
Р
3. Рассмотрим степень a-Q, где J!._;- рациональное число.
R
q
Выражение а q имеет в общем виде смысл только при а> О. Если
р
а>О, pEZt qEN, то по определению аЧ =VOf; oq=o.
2
I
3
Например, 53=V6l. Выражений (- 8)2 и (- 8)4 смысла не
имеют.
4 . Степень с рациональным показателем обладает теми же
свойствами, что и степень с натуральным показателем, а именно
если а>О и nEQ, mEQ, то:
а) а"»а"=аm+n; б) аm: аn=аm-n; в) (аn)m=аmn; г) (аЬ· ... Х
k)n nьn kn') (а)n а"
Х =а •...• ,д
Ь
=;;п.
§ 7. СТЕПЕНЬ С ЦМЫМ И ДРО Б НЫМ ПОКА3АТЕЛЕМ
68
(х-l) (х-З)
(x-l) (х-З)
2 (х-l)-(х-З)-(х+
1)
(х-l)(х-З)
2
х-з (х-l)
x+l
I
Х --з (х-З)
2
1
=х-З-х-l
I
2
2х--з
х-з
5)
2
I
5
2
Х-З -Зх --з
х-з_х-з
I
2
2х--з
х-з
2
2
1
I
1
1
1
1
4) аЗ _ь3 =(а3)2_(Ь3)2=(а3 _Ь3)(а3 +ьЗ).
(
22107)-3(З )-2
1
1
:"4
=(~~/C)' (:)з·':(:г
=(2-)2. (i_)2= (1-.)2. (1-)2= (1-)4 =~
4
•3
4
4
4
256 '
3. Примеры применения тождеств сокращенного умножения
к действиям над степенями:
1
1
1
I
1) (а2-ь2)(а2+ь2)=а_ь.
I
1
2
II
2
2) (аЗ +Ь3)(аЗ +аЗЬ3
+Ь3)=а+Ь.
3
з
1
1
1
1
11
3) а2 +ь 2=(а2)з+(ь2?=(а 2 +Ь2)(а+а 2Ь2'+ь).
10.
1
10
31
(/0) 'з
3) Освобо димся
от отрицательных показателей и упростим
данное нам выражение:
2
показателей и упростим
2) Освобо димся
от отрицательных
данное нам выражение:
1
1
( -}-. 125- 1)-3=(Т.1~5)- 3
Реш
е н и е. 1) Освобо димся от отрицательного показателя и
упростим данное нам выражение:
1
1
1
-
-
2·-
( 9)2 (2)-1 (9)21
(3)233391
16+3 =16+2=
4
+2=4+2=4=24'
з
69
I
2
2.х-З
хз
х+l
2.
2)2
I +-5--2
x2-4х+З -х-l
'
х3_Зх-3 х3_х3
x-l
хО,5+ 1
2
3) х+хО•5+ 1 : x1.5_1 +х-О,5 ;
4) (а.ао.5+х.хо.5 (ах)0.5\ .(ао.5+хо.5)2 ;
аo,s+хО.5
) а-х
5) (IX-:-ll +xlx-ll
+2- ~) :(х-2+х-')0.5.
В. 1)
4
4
3) аЗ х+ах 3 • 4) у_16уО,5
Vй+yx'
5уо,25 +20 .
-Гх+1•1•
х-Гх+х+-Гх' х2_-{Х ,
1. Вычислите:
I
I
3
3
4
I
3
-3
А. 1) 42 . 164 . 16- 42.32-"5 .23; 2) 273.81 4. ( 2;)
Б. (0,64)0,5.7°.(0,027)3:9-0.5.160:(0,25)-1.5-~~~.
2. Выполните указанные действия:
2332
7523
А. 1) а3.х"5.а4.хЗ;
2)аi2.х6:аЗ.х4.6°.
3
3
Б. 1) (а2 -х 2 ):(аО.5_хо,5);
2) (аО•5 + (ах)О.25+ хО.5). (аО•5 _ (ах)0.25 + хо,5);
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
2
2
7) (5-j5)-З
_8 1-0.25).«5-j5)-З +81-0.25)=
4
3
4
=(5-У5)-З
_ 81-0.5=(52)-З
_(92)-0.5=5-2_9-1=~_..!_=
16
2~
9
= -225'
х-у
х-у
2x-2-х+З-х-l
О
13
(х-l)(х-З)
О, гдех> ,x=l= ,x=l=
x-Гх+у-vY
: (х-у)+ -VY
~+-fY
~+-fY
= (-Гх+-{У)(x-{ХУ+у) + ~
(-Гх+-fY) (х- у)
-гх +-fY
x-{ХУ+у + ~
х-{ху+у+-/у(-Гх--{У)
х-у
~+-fY
х-у
x-{ХУ+у+-§-у
х
6)
70
Контрольные вопросы
1. Какие числа н азываются иррациональными?
2. Существует ли рациональное число, выраж ающее длину дна
гонали квадр ата
со стороной, равной 1?
3. Может ли быть выражено рациональным числом отношение
ДЛИНЫ окружности к диаметру?
4. Докажите, что нет такого рационального числа, кв адр ат
кото
рого равнялся бы 2.
5. В чем заключается взаимно однозначное соответствие между
множеством действительных чисел и множеством точек коор
динатной прямой?
6. Изобразите на координатной прямой точки, которым соответ-
ствуют иррациональные числа -[2, -.[3, -15.
7. Какие числа из множества Х, где Х ={-50; -13,5; -+; О;
т; ~ ; 10; 4°,5; 11°,5; 6,(б) }, являются: а) натуральными,
б) целыми; В) рациональными; г) иррациональными; д) дей
ствительными?
8. Может ли бесконечная десятичная дробь быть числом рацио
нальным; иррациональным?
9. Какие ЧИС.па называются действительными?
10. С помощью знака с запишите соответствие между мнежест
вамиN,г-;Z,Qия.
1
11. Сравните числа 0,333 и ""3'
123
б
u
u
б153
. апишите в виде есконечнои десятичнои дро и: 8; т ;
5; 2,7.
13. Дайте определение корня k-й степени из действительного чис
ла
а.
14. Сколько значений имеет кореньча, если: а) k=2n, nEN, а>О;
б) k=2n-l,
nEN, а>О;
в) kEN, k=F 1, а<О,
а=О?
15. Какой корень называется
а рифметическим? Верно ли, что
-/9= +3?
16. Сформулируйте правила:
а) извлечения корня ИЗ произведения
И умножения корней; б) извлечения корня из дроби и деления
17 19
Ответы.l.А.l)
1;2) 5зТ.2.А.l)
аi2 .х15.Б.l)
a+vГaX+x,
где a~O, x~O, a=Fx; 3) ах, где va+VX=FO;
4) уо,5 (уо,25_4):5.
В. 1) x-l, если Х>О, x=F 1; 2)
О,если Х>О, х=т'=1,x=F3; 3) х+l,
_х2+ 1
х21
если Х>О,
x=F1;5)--
прих> 1; _~ приО<Х< 1.
-ух
-уХ
корней; В) извлечения корня из корня и основное свойство кор
ня; г) сравнения корней с одинаковыми показателями.
17. Внесите множитель
под знак корня:
г;-
(_/2а
а) (I-Х)-У x-l ' если Х> 1; б) а-З) V а2-6а+9'
если
О<а<З.
18. Вынесите множитель
за знак корня: а) -V(l-a?,
если a~ 1;
б) ~аЗ (а-З?, если а~З; В) -Jx5 (х-7?, если 0<х<7.
19. Извлеките квадратный корень из числа (с точностью до 0,01):
а) ~З2,45; б) -'./249,5; В) -'./0,9541.
г.
20. дайте определение степени: а) аР, где а=т!=О и pEZ; б) а q ,
где а>О и pEZ, qEN.
21. Сформулируйте правила действия над степенями с рациональ
ным показателем.
72
ДИ ДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Является ли корнем уравнения 2х2-10х= 12 число:
1)-1; 2)1;3)6;4)-6?
2. Докажите, что каждое из чисел 1,3 и - 1,3 является кор
нем уравнения х2 = 1,69.
3 . Имеет ли корни уравнение;
1) 3х+3=3х+6; 2) 3х+3=3х+3; 3) 3х=х?
4. Имеет ли корни уравнение и если имеет, то сколько:
1) \х\=0; 2) \х\=1;3) \х\=-3; 4) \-х\ =2; 5) Ixl=1,2?
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Пусть заданы функции f (х) и ер (х). Если относительно
равенства f (х)=<р(х) поставлена задача отыскания всех значений
переменной. при которых получается верное числовое равенство, то
говорят, что задано уравнение с одной переменной. Значение
переменной, обращающее уравнение в истинное равенство, назы
вается корнем уравнения.
2. Решить уравнение - значит найти множество его корней
или доказать, что их нет. Это множество называют также реше
нием уравнения.
3 . Множество всех х, при которых одновременно имеют смысл
выражения f (х) и ер (х), называется областью определения урав
нения.
4. Для того чтобы установить область определения уравнения,
необходимо найти пересечение множеств, на которых определены
данные функции f (х) и ер (х).
Найдем, например, область определения уравнения -Ух+3=
= 1+-FX.
Здесь f (х)=.ух+3,
ер (х)= 1+-FX,
о, (f)=
=[-3; +00), D2(<p)=(-00;
О]; следовательно, D=D1ПD2=
=[ -3; О].
§ 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ "ЕРЕМЕННОЙ
§ 1. УРАВНЕНИЯ
С
ОДНОй ПЕРЕМЕННОй
§ 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИй
§ з. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РАВЕНСТВ И ТЕОРЕМЫ О
РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИй
§ 4. ЛИНЕйНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОй ПЕРЕМЕННОй,
СО ДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР
ГЛАВА УН
73
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Равносильны ли уравнения:
1)х=Оих(х2+1)=О·2) х2=Х И х2 +2=х2 +2.
3) х+1=О
,
х
х'
И (х+ 1?=0; 4) 2х= 10 и (х+ 1) (2х-l0)=0?
Решение.
1) Уравнения х=О и x(x2 +1 )=0 равносильны;
оба имеют единственный
корень х = О.
2
х2 +2
х2+2
2) Уравнения х =х и --=--
неравносильны: число
х
х
Х
=О является корнем первого уравнения, но не удовлетворяет
второму уравнению, та к
как
при х=О левая и прав ая ч асти вто
рого уравнения не определены.
3) Число х = - 1 является корнем первого уравнения и корнем
кр атности 3 второго уравнения.
З а м е ч а н и е. Если среди корней имеются совпадающие, то
говорят, что у многочлена есть кр атные
корни. Поэтому эти два
уравнения, имеющие одни и те же корни (без учета
кр атности),
считаются равносильными.
4) Уравнения 2х= 10 и (2х-l0) (х+ 1)=0 неравносильны:
первое из них имеет единственный
корень х =5, а второе, кроме
корня х =5, имеет еще корень х = - 1, который не служит реше
нием первого уравнения.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Если из истинности высказ ывания А следует истинность
выска зывания В, то употребляется знак
логического следова
ния*,т. е.А* В.
2. Если А => В и В => А, то таки е выска зывания (предложе
ния) называются равносильными. Это записывают та к: А-<=> В.
3. Аналогично два уравнения называются равносильными (или
эквивалентными) на данном числовом множестве, если каждое
решение (корень) одного уравнения является решением (корнем)
другого и наоборот.
4. Заметим, что если оба уравнения не имеют решений на
данном числовом множестве, то они та кже считаются равно
сильными на этом множестве.
5. Очевидно, что равносильные уравнения имеют одно и то же
множество решений, принадлежащих области определения этих
уравнений. Например, уравнения х2 - 1 =О и (х - 1) (х+ 1)=О рав
носильны, они имеют корни: Xl = -1, Х2= 1.
6. Уравнения х2 + 1=О и х4 + 2 = О равносильны на множестве
действительных чисел, та к
как
множество решений каждого из них
пустое.
§ 2. ПОНЯТИЕ О РАВНОСИ ЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение:
1) 6 (х+4}=З-2х;
2) 5~;22) 2;Х;зЗ) 3;
3) 2х+5=2 (х-7); 4) 3 (х+3)+х=9+4х;
5)
х2-1
2
1
6) у+5
у-5
у+25
-х-=х
-7; у2_5у
2y2-10y 2у2_50;
7) ~=~.
8) х3-7=х3-7.
х+5
х+5'
Реш
е
н и е. Заметим предварительно, что при решении урав
нения необходимо производить только такие операции, при кото
рых каждое следующее уравнение было бы равносильно пре-
74
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Числовое равенство не нарушится,
е сли к обеим его частям
прибавить или отнять одно и то же число.
2. Числовое равенство не нарушится,
если обе его части ум
ножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
На этих свойствах основаны теоремы о равносильности урав
нений.
3. Если к обеим частям уравнения
f (х) =tp (х) прибавить
одну и ту же функцию А (х), имеющую смысл при всех допустимых
значениях пер ем енного, то получится новое уравнение f (х)+
+А (X)=tp
(х)+А (х), равносильное данному.
4. Любое слагаемо е можно пер ен ести из одной части уравне
ния в другую с противоположным знаком.
5. Если обе части уравнения
f (x)=q>(х) умножить (или
разделить) на одну и ту же функцию А (х) =1= О, имеющую смысл
для любого х из области определ ения, то получится новое урав-
нение А (х) f (х)=А (х) tp (х) (или ~ \~) = ~~~), равносильное
данному.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
Равносильны ли уравнения:
А. 1) 7 (х-З)=49 и х-З=7;
2) 2х-7=О и 2х=7;
3) 2;=9 и 2х=27;
4) х=о и х2=о?
Б. 1) х2=5х-6
и
x2-5х+6=О;
2)
x+5=x-l
и
х (х-з)=х2+8-3х;
3) (х+2) (х2+ 1)=3 (х2+ 1) И х+2=3;
4) (х+З)(х-З)=О и х+з=о?
§ 3. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РА\ВЕНСТВ И твогвмы
О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (знамена
тель отличен от нуля), т. е. -4 (2х+9)=0. Так как -4:#=0, то
9
2х+9=О. Откуда х= -т.
3) Раскроем скобки, получим:
2х+5=2х-14.
(1)
Перенесем слагаемое 2х в левую часть уравнен ия (1), а сла
гаемое 5 в правую, измени в
при этом их знаки, получим:
О·х= -19.
(2)
В этом случае исходное уравнение не
и меет корней.
4) Уравнение 3 (х+3)+х=9+4х сводится к уравнен ию 3х+
75
(2)
о.
-4 (2х+9)
(х+2) (х+3)
Мы заменил и последовательно одно уравнение другим, равно
сильным ему, получил и л инейное уравнен ие, в котором коэффи
циент при х отличен от нуля. Теперь разделим обе части уравне
ния (3) на этот коэффиц иент, тем самым найдем корень уравнения:
21
5
х=-в=-2в·
Число -2 ~ является корнем уравнения 6 (х+4)=3-2х (в
этом можно убедиться проверкой ).
2) Корнями уравнения не могут быть числа - 2 и - 3, в про
тив ном случае девая часть уравнен ия не
и мела бы смысла (на
нуль делить нельзя).
Перенесем все члены уравнения
в левую часть и при ведем дро
би к общему знаменателю, получим:
5 (х--2) (х+З)-2 (х-З) (х+2)-З (х+2) (х+З)
(1)
(х+2) (х+3)
О,
пыдущему. В против ном случае может быть расширена область
определения уравнен ия
и
получены посторонние корни или, наобо
рот, сужена область определения уравнения
и
могут быть потеряны
корни.
1) Раскроем скобки
в
данном уравнен ии, получим:
6х+24=3-2х.
(1)
Перенесем слагаемое - 2х в левую часть уравнения (1), а сла
гаемое 24 в правую, изменив
при этом их знаки:
6х+2х=3-24.
(2)
При ведем подобные слагаемые
в
уравнен ии (2), получим:
8х= -21.
(3)
76
гдеа,Ь,с,...,k,
Х-
переменные величины.
Переменные а, Ь, с, ..., k, которые при решении уравнения (1)
(1)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Пусть дано уравнение вида
f(а,
Ь,с,... ,k, х)=ер(а,
Ь,с,...,k,х),
§ 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ,
СОДЕРЖАЩЕЕ ПАРАМЕТР
1
2
1
Записав данное уравнение в виде Х--=Х
--, после при-
х
х
ведения подобных членов получим уравнение
х=х2
(1)
Корни уравнения
(1) Xl=O и Х2=1.
НО корень Xl=O не
является корнем исходного уравнения ( + при Х = О не имеет
смысла) .
Это произошло за счет того, что множество допустимых значе
ний исходного уравнения не содержит Х =О, а полученного со
держит. Итак, Х= 1.
6) Имеем:
у+5
у-5
у+25
О;
y~-~
~~-~
2~-~~+~
{
2 (у+5?-(у-5)
( у+ 5)-у
( у+25)=О;
2у (у--5) (y+5)=I=O;
2у (у- 5) (y+5)=I=O=*" у =1=0,у =1= 5, у =1= - 5;
2у2+20у+50- у2+25- у2- 25у=О;
у=15.
Итак, получаем ответ: у = 15.
7) Имеем:
_E_-~=o.
х2-25 =0' { (х-5) (х+5)=О,
х+5 х+5
'х+5
'х+5=1=О.
х+5=1=О=*" x=l= -5.
(х-5) (х+5)=0, х=5, Х= -5.
Так как х = - 5 не является корнем уравнения, то получаем
ответ: х=5.
8) 0=0, х - любое действительное число.
+9+х=9+4х,
т. е. к уравнению о·х=о, и, значит, любое число
является его решением.
5) Упростим левую часть уравнения:
x2-1
х2
1
1
--=---=Х--.
х
хх
х
77
2
Итак, если а* 1, то Х=--'
если а= 1, то уравнение не
a-l'
имеет корней.
4) Данное уравнение является линейным относительно х. Оно
имеет смысл при любых действительных значениях параметра а.
Приведем его к виду (а-l) (а+ 1) х=(2а+3) (а-l).
Если а= 1, то уравнение примет вид о·х=о, его решением яв
ляется любое действительное число.
Если а= -1, то уравнение примет вид О·х= -2, это уравне
ние не имеет решений.
Если а =1= + 1, то уравнение имеет единственное решение х =
2а+3
=a+l.
Как понимать выражение «имеет единственное решение»? Это
з начит,
что каждому допустимому
з начению а соответствует
единственное значение х. Например, если а =5, то х = lOt 3= 1: ;
еслиа=О,тох=3ит.д.
2. Решить относительно х уравнение
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
1. Решить уравнение с параметром:
1) ах=О; 2) ах=а; 3) х+2=ах; 4) (а2-1) х=2а2+а-3 .
Реш е н и е. 1) Данное уравнение ах = О содержит параметр а
(переменную, которая в условии данного примера сохраняет одно
и то же значение). Если а=О, то О·х=О; х - любое действи-
тельное число. Если а*О, то x=~=O.
а
2) Данное уравнение также содержит параметр а. Если а=О,
то О·х=О, т. е. х - любое действительное' число. Если а*О, то
х=!:._, т. е. Х= 1.
а
3) Данное уравнение также содержит параметр а. Перенесем
ах в левую часть уравнения,
а слагаемое 2 в правую часть, и зме
нив при этом их
знаки, и упростим: х-ах= -2, т. е.
x(1-a)=-2.
Если l-а=О, т. е. а= 1, то получим уравнение х·О= -2, кото
рое не имеет корней.
Если l-а*О, т. е. а* 1, то уравнение имеет единственный
2
корень х= a-l .
считаются постоянными, называются параметр'ами, а само уравне
ние называется уравнением,
содержащим параметры.
2. Решить уравнение (1) - значит указать, при каких значе
ниях параметров существуют значения х, удовлетворяющие дан
ному уравнению.
78
ДИДАКТИЧЕ СКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите относительно х уравнение:
А 1) 0,75(8x-12)+x-5 О· 2) 0,75(12x-4)-x-l
О·,
.
4х-8
'
2x-l
3) З(9х-3) 2+Зх+1•
4) 3-7x=1,5-3,5x.
9х-б
Зх-2 '
2х+4 х+2
Б. 1) ах=х+3; 2) 4+ах=3х+ 1.
В 1) а=_!_+
а-l ·2) 2(a+l)x
7 +3(х+l);
.•
а
а (x-l) ,
а
а
3) а+3_ 2
5.
4) 1+х _.!!:...
а+2- х
(а+2)х '
1-х-с.
О т в е т ы. А. 1), 2) корней нет; 3) х - любое действительное
2
число, кроме х =3; 4) х - любое действительное число, кро-
ме х= -2. Б. 1) При а=1= 1 x=_l_l; при а= 1 корней нет;
а-
3ах-5 + За-ll = 2х+7 .
(1)
(a-l) (х+3)
a-l
х+З
Реш
е н и е. Из условия следует, что (а-l) (х+3)=;6 :0,т. е.
а =1= 1, х =1= - 3. Умножив обе части уравнения (1) на (а -
1)(х +3),
получим уравнение
3ах- 5+(3а-l1) (х+ 3)=(2х+ 7) (а-l), или х (4а-9)=31- 2а.
П
5
31-2a
. ри а=;6:2,2х= 4а-9 .
Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при
u
3 31-2а
3
04
которых наиденное значение х= - : 4а-9 = - при а=- , .
Таким образом, при а =;6: 1, а =;6: 2,25 и a=l= -0,4 уравнение (1)
имеет единственное решение х = З;а-=_2;.
При а=2,25 и при а= -0,4 решений нет, при а= 1 уравнение
(1) не имеет смысла.
Заметим, что если при каком-либо значении параметра а=ао
данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении пара
метра и не имеет решения. Обратное утверждение неверно. Нельзя,
например, утверждать, что при а = - 0,4 решенное выше уравне
ние (1') не имеет смысла. Если подставить в уравнение (1)
а= - 0,4, получим вполне определенное уравнение
бх+25 +~= 2х+7
(2)
7 (х+З) 7 х+З·
Значит, при а = - 0,4 уравнение (1) имеет смысл. Однако
корней это уравнение не имеет, так как корень х= -3 уравнения
53х= -159, к которому сводится уравне ние (2), является для
него посторонним.
Контрольные вопросы
1 . Какие из следующих высказываний истинны: а) число 975
кратно 75; б) сумма чисел 4204 и 36 кратна 3; в) сумма чисел
1 6 17 и 1078 делится на их разность без остатка; г} значение
выражения 752 + 3192 - простое число; д) з3 + 4 + 53 = 63?
2. Что называется уравнением с одной переменной?
3. Что называется корнем уравнения?
4. Что значит решить уравнение?
5. Сколько корней может иметь уравнение?
6. Сколько корней имеет уравнение Iх I =х?
7. Имеет ли корни уравнение: а} х= 10х; б} х4+5а2= -4?
8. Какие уравнения называются равносильными?
9. Какие преобразования могут привести к потере корней урав
нения?
10. Какие преобразования могут привести к появлению посторон
них корней уравнения?
1 1 . Если оба уравнения не имеют решений на множестве Q, то
можно ли утверждать, что эти уравнения равносильны на мно
жестве Q?
1 2. Сформулируйте свойства числовых равенств.
13. С формулируйте теоремы о равносильности уравнений.
1 4. Равносильны ли уравнения х+у!2=о и х2-2=0 на мно
жестве: а) рациональных чисел; б} целых чисел; в) действи
тельных чисел?
2) при a:f:3 Х=з~а ; при а=3 корней нет. В.
1) При a:f:±1,
a:f:O x=:t~
;приа=1 х
- любое действительное число, кроме
Х= 1;при а= -1, а=О решений нет; 2) при a:f:2, a=;i=OХ= 72+ За ;
-а
при а=О, а=2 решений нет; 3) при a=;i=-3, a:f: -2, a:f:0,5
х =2аа;з1 ; при а= - 3, а=0,5, а=-2 решений нет; 4) при
a+C:f:O, C:f:O х=а+-с ; при а= -с, с=О решений нет.
ас
80
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Зависимости одной переменной от другой называются функ
циональными зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называется функ
цией, если каждому значению х соответствует единственное
значение у. При этом используют запись у =f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргу
ментом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что
у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х,
называют значением функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная,
образуют область определения функции; все значения, которые
принимает зависимая переменная, образуют множество значе
ний функции.
6, Для функции f приняты обозначения: D (!) - область оп
ределения функции,
Е (!) - множество значений функции,
f (хо) - значение функции в точке Ха.
7. Если D (f)cR и Е (f)cR, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества
D (!) также называют значениями ар
гумента, а соответствующие им элементы Е (f) - значениями
функции.
9. Если функция задана формулой и область определения
функции не указана, то считают, что область определения состоит
из всех значений невависимой переменной. при которых эта фор
мула имеет смысл.
Например, область определения функции, заданной формулой
у=_2_, состоит из всех чисел, кроме числа -3.
х+3
10. Графиком функции называется множество всех точек, абс
циссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соот
ветствующим значениям функции.
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
§ 3. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 6. ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА И КОРНИ
ФУНКЦИИ
ГЛАВА VIII
81
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1.
Функция может быть задана аналитически в виде формулы
У =f (х), где переменная х - элемент множества значений ар
гумента, а переменная у - соответствующее значение функции.
Например, формула у = х2 определяет некоторую функцию,
где каждому значению переменной х, взятому из области опреде.пе
ния ?ункции, соответствует единственное значение переменной
у=х.
2. Функция f полностью определяется заданием множества
пар (х; f (х)), где х принимает все значения из D (f), а f (х) -
соответствующие значения функции.
3 . Функция может быть задана графически. Графиком функ
ции у =f (х) называется изображение на координатной плоскости
множества пар {(х; y) l y=f (х), где xE D (f)}.
4. Заметим, однако, что не всякое множество точек координат
ной плоскости является графиком некогорой функции. Например,
на кривой, изображенной на рисунке 7, значению х=хо соответст
вуют три значения У (YI, У2 И Уз), и, следовательно, такое
соответствие не является функцией.
5. Для того чтобы множество точек координатной плоскости
являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно,
чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекал ась с ука
занным графиком не более чем в одной точке.
§ 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ функции
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1.
Найдите область определения функции, заданной формулой:
)
х
2
1
1
А. 1 Y=-l; )У=-+2 ;3) У=-2 ;4) у=6.
х-
х
х
1
1
х
Б. 1)У х(x-l)
;2)Ух2(l-x);3)У=ы;
4) У= (х2+8)Х(Х_З?
В. 1) У=-{Х; 2) y=Fx;
3) У=_~;4) У=_~.
ух-
'УЛ +2
2 •. Формула У= -5х+6 задает некоторую функцию. Найдите
значение функции, соответствующее значению аргумента, равному
-1,2; 2,8.При каком значении аргумента значение функции рав
но 6; 8; 100?
Ответы.
1.
А. 1) Все числа, кроме числа 1; 4) все числа.
Б.
2) Все числа, кроме О и г. В.
1 ) Все неотрицательные числа;
2) x~O; 3) х*О; 4) все числа. 2 .
1 2 , -8; О; -0,4; -18,8.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Доказать, что функция, заданная формулой f (х) =Зх2, где
x~O, возрастающая.
Реш е н и е. Пусть X2>Xt, где Х2>0 и Хl ~O. Тогда
f (x2)-f
(Xl)=3~-3XI=3
(X~-XT)=3 (X2-Xt)
(X2+Xt»0.
Итак, из неравенства Х2 >Х l
~ O следует неравенство f (Х2) >
>f (Xl)' т. е. большему значению аргумента xED (f) соответствует
большее значение функции. Следовательно, функция f (х) воз
растающая на промежутке [О; (0).
82
СПРАВОЧНЫЙ МА Т ЕРИАЛ
1. Функция f (х) называется возрастающей на данном число
вом промежутке Х, если большему значению аргумента х Е Х соот
ветствует большее значение функции f (х), т. е. для любых хl и Х2 из
промежутка Х, таких, что Х2 >XI, выполнено неравенство
f(Х2) >f(Xt).
2. Функция f (х) называется убывающей на данном числовом
промежутке Х, если большему значению аргумента хЕХ соот
ветствует меньшее значение функции f (х), т. е. для любых хl и Х2
из промежутка Х, таких, что Х2 >Х\, выполнено неравенство
f (X2)<f (Xt).
3. Функция, только возрастающая или только убывающая на
данном числовом промежутке, называется монотонной на этом
промежутке.
4. О монотонности функции можно судить по ее графику.
Например, функция, график которой изображен на рисунке 8, воз
растает при всех значениях х. Функция, график которой изображен
на рисунке 9, убывает на промежутке (- 00 ; О] и возрастает на
промежутке [О; + 00 ).
§ 3. МО НОТ ОННОС ТЬ функции
Рис. 9
Рис. 8
Рис. 7
х
о
х
х
о
у
у
у
83
Рис. 11
Рис. 10
х
х
у
у
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Функция у =f (х) называется четной, если она обладает
следующими двумя свойствами:
1) область определения этой функ ции симметрична относи
тельно точки О (т. е. если точка а принадлежит области опреде
ления, то точка - а также принадлежит области определения);
2) для любого значения х, принадлежащего области опреде
ления этой функции, выполняется равенство f (х) =f (- х).
2. Функция у =f (х) называется нечетной, если:
1) область определения этой функции симметрична относи
тельно точки О;
2) для любого значения х, принадлежащего области опре-
деления этой функции, выполняется равенство f ( - х) = - f (х).
3. График четной функции у=х2 изображен на рисунке 10.
4. График нечетной функ ции у =х3 изображен на рисунке 11.
5. Заметим, что не всякая функция является четной или не
четной. Например, каждая из функций У= 12х+ 1, у=х4+х,
у=(х+3? не является ни четной, ни
нечетной.
§ 4. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ функции
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
Докажите, что функция, заданная формулой у=Зх2, где x~O,
убывающая.
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Установите четность или нечетность фу н кц ии:
А. 1) у=х4; 2) у=х5; 3) У= -2х2; 4) у=х7 +2хЗ•
Б. 1) y=xlxl; 2) y=(x-З?-(х+З?;
З) y=-V9 х2;
4) у=О,5хЗ-5х2•
х
х
3
ЗD
х-х3
В.1)У=х2_4 ;2)У= x~l;3)у=-ух; 4)У=1+x2 ;
84
Реш е н и е. 1) Дана функция у=х+_!_, где X=l=O. Найдем
у (-х):
х
У (-х)=( _x)+_l_= -х-_!_= -(х+_!_).
(-х)
х
х
Получили, что 1(--х)= -1 (х), следовательно, у=х+_!__
х
фу нкц ия нечетная.
2) Дана фу н кция y=(x-З?+(х+З)2, D (y)=R. Переменим
знак
у
аргуме нта фу н кц ии
и упростим:
у (-х)=( -х-З)2+( -х+З)2=( -(х+З)?+( -(х-З)?=
=( -1? (х+З?+( -1? (x-З?=(х-З?+(х+З?
Получили, что 1(- х) = f (х). Следовательно, У =(х - з)2 +
+(х+З? _ фу нк ция четная.
З) Дана
фу нк ция y=x2-х+З, D (y)=R. Переменим знак
у
аргумента данной фу нкц ии
и упростим:
У (-х)=( -х?-( -х)+з=х2+х+з.
Следовательно, фу н кция у = х2 - Х + З не является ни четной,
ни нечетной, поскольку, например, у (-I)=I=Y
(1)иу (-1)=1= - У (1).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Доказать, что фу нк ция У = Зх + 1 не является ни четной,
н и нечетной.
Доказательство.Областьюопределенияданной функ
ции у = Зх + 1 является вся координатная прямая, т. е. условие 1
в определении четной и нечетной фу нк ци й выполне но. Чтобы дока
зать, что фу нк ция у = Зх + 1 не является четной, мы должны до
казать, что условие 2 в определении четной фу нк ци и не выполне но,
т. е. что существует (хотя бы одно) значение х, для которого
1(х)=1=1(-х). Возьмем х= 1. Тогда 1(1)=4,.а 1(-1)= -2, т. е.
1 (1)=1=1 (-1). Таким образом, фу нк ция 1(х) не является четной.
Аналогично так как f (- 1)=1=- 1(1),то функция у = Зх+ 1не яв
ляется нечетной.
2. Выяснить четность или нечетность фу н кц ии:
85
Рис. 13
х
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1 . Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой
знак (т. е. остается положительной или отрицательной), называют
ся промежутками знакопостоянства функции.
2. О промежутках знакопостоянства функции легко судить по
ее графику. Рассмотрим, например, функцию у=х
( рис. 12).
Здесь f (х»О при xER+, f (х)<О при xER-.
В первом случае
график расположен выше оси Ох, во втором - н иже ее.
§ 6. ПРОМЕЖУТКИ 3НАКОПОСТОЯНСТВА
И КОРНИ ФУНКЦИИ
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ функции
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1 . Функция f называется периодической, если существует
такое число Т*О, что при любом х из области определения
функции числа х - Т и х + Т также, принадлежат этой области и
выполняется равенство f (х) =f (х - Т) =f (х +Т). в этом случае
число Т называется периодом функции f.
2. Если Т - период функции, то Tk, где kЕZ, k=1=О, также
период функции. Следовательно, всякая периодическая функция
имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рас
сматривают наименьший положительный период.
3. Значения периодической функции через промежуток, рав
ный периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при
построении графиков.
5) y=V(x-I)2-V(х+I?; 6) y=2~, где x~O;
7) у=хБ, где x~O.
Ответы.А. 1)
и 3) Четные функции; 2) и 4) нечетные функ
ции. Б. 1)
и 2) Нечетные функции; 3) четная функция; 4) функ
ция не является ни четной, ни нечетной. В. 1), 4) и 5) Функции
нечетные; 2) функция не является ни четной, ни нечетной; 3) функ
ция четная.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение функции.
2. Что называется областью определения функции и множеством
ее значе ний?
3. Функция f задан а
множеством пар( +-; 2),( ; ;6),( ~;12),
(2; 2). Укажите D (f) и Е (f).. Найдите f( +-), f( ~),
f (2).
4. Функция задан а
формулой у=5-х
на
множестве Х. Найди-
те множество У значе ний функции, если Х ={О; 1; 2; 3; 4; 5}.
5. Функция f задан а
графически (рис. 14). Укажите D (f) и Б (f).
6. Дайте определение возрастающей и убывающей функции.
7. Докажите, что функция, задан н ая формулой f (х)=2х+3, воз
растающая.
8. Докажите, что функция, задан н ая формулой f (х)= -0,5х+5,
убывающая.
9. Дайте определение четной и нечетной функции.
10. Дайте определение периодической функции.
11. Укажите промежутки знакопостоянства функции, график ко
торой изображен на
рисунке 15. Найдите по графику корни
функции.
3. Зн аче ния аргумента xED (f)~' при которых f (х)=О, называ
ются корнями (или нулями) функции. Зн аче ния аргумента, при
которых функция обращается в нуль,- это абсциссы точек пере
сечения графика функции с осью Ох (рис. 13).
Рис. 15
у
Рис. 14
о
-2
?~
"_---i2
3
у
87
Рис. 17
б)
а)
х
у
у
Рис. 16
в)
6)
а)
f (х)
у
у
СПРАВОЧНЫR МАТЕР ИАJI
Если известен график функции н=! (х), то с помощью не
которых преобразований плоскости (параллельного переноса, осе
вой и центральной симметрии и т. п.) можно построить графики
более сложных функций.
1. График функции f (Ьх) получается сжатием графика f (х)
в Ьраз косиОу приЬ> 1илирастяжением в-1;-раз отэтойоси Оу
при О<Ь<1 (рис. 16).
2. График функции f (х +с) получается параллельным пере
носом графика f (х) в отрицательном направлении оси Ох на Iс I
при с> Ои в положительном направлении на IсI при с <О (рис. 17).
3. График функции af (х) получается растяжением графика f (х)
§ 1. ГЕОМЕТ РИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
§ 1. ГЕОМЕТ Р ИЧЕСКИЕ ПРЕОВРА30ВАНИЯ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИй
§ 2. ЛИНЕйНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
§ 3. КВАДРА ТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
§ 4. ФУНКЦИЯ у=.! И ЕЕ ГРАФИК
х
§ 5. ДРОВНО-ЛИНЕйНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
ГЛАВА IX
Рис. 23
х
о
х
88
Рис. 22
Рис. 21
вдоль оси Оу вараз при а>1исжатием вдоль этой оси в_!_раз
а
при О<а< 1 (рис. 18).
4. График функции f (х) +k получается параллельным пере
носом графика f (х) в положительном направлении оси Оу на k
при k >О и в отрицательном направлении этой оси на Ik I
при k <О (рис. 19).
5. График функции у =f ( - х) получается симметричным отоб
ражением графика f (х) относительно оси Оу (рис. 20).
6. График функции у = - f (х) получается симметричным отоб
ражением графика f (х) относительно оси Ох (рис. 21).
Рис. 20
х
Рис. 19
б)
а)
у
В)
х
Рис. 18
б)
а)
89
Рис. 26
Рис. 25
Рис. 24
-2
у=-2
х
у
х
о
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Функция, заданная формуло й
y=kx+b, где k и Ь - неко
торые числа, называется линейной.
2. Областью
о пределения
л инейной функции служит множест
во R всех действительных чисел, так как выражение
kx +Ь имеет
смысл при любых значениях х.
3. График
л инейной функции у =kx + Ь есть прямая линия.
Для
построения графика, очевидно, достаточно двух точек, на-
пример А(О;Ь)иВ( - ~ ;О), если
k=l=O.
4. Коэффициент
k
характеризует уго л, кот орый образует
прямая y=kx с по л о жительным направлением оси Ох (рис. 24),
поэтому k называется угл о вым коэффициентом.
Если
k >O,
то этот уго л
о стрый; если
k <О - тупой;
если
k =О, то прямая
совпадает с осью Ох.
5. График функции
y= kx+b может быть также построен с
помощью
паралле льного
переноса графика функции у = kx
(см.§1,п.4).
6. Уравнение вида kx+ Ь =0 называется линейным. Для то
го чтобы решить линейное уравнение графически, достаточно
по
строить график функции
y= kx+b и найти точку его пересече
ния с осью Ох (на рис. 25 хl - корень уравнения).
§ 2. ЛИНЕЙНАЯ функция
И ЕЕ ГРАФИК
7. График функции у= If (х)1 по л учается из графика функ
ции н=! (х) следующим
о бразом: часть графика н=! (х), лежа
щая над осью Ох, сохраняется, часть его,
л ежащая под
осью Ох,
о тображается симметрично относительно
о си Ох (рис. 22).
8. График функции н=! (Ixi) пол учается из графика функции
н=! (х) следующим
о бразом: при x~O график н=! (х) сохраня
ется, а при х < О по л ученная часть графика от ображается сим
метрично относительно
о си Оу (рис. 23).
90
Рис. 28
Рис. 27
х
у
х
Построим график функции у =3х +5 при х ~ - 2 (рис. 29).
б) {x+2~O,
{x~ -2,
y=-3(x+2)-I;
у=-3х-7.
{x~ -2,
у=3х+5.
Реш е н и е. 1) Линейная функция имеет вид y=kx+b, где k
и Ь - заданные числа.
В данной функции у = - 2 k = о, х - любое действительное
число, Ь= -2, т. е. у=0-х-2.
Эта функция задана
на всей оси Ох и для каждого х при
ни мает одно и то же значение, равное
- 2. Следовательно, ее
график - прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее
на
2 едини цы вниз (рис. 26).
2) Данная функция У= -+х+ I линейная, где k= -Т,
b=l.
Для построения графика линейной функции достаточно двух
точек. Найдем их: если х=О, то У= 1; если' у=о, то х=2.
Соединяя прямой найденные точки, получим график данной функ
ц ии (рис. 27).
3) Дана функ ция y=.j3x-l. Здесь k=.j3, Ь= -1. Найдем
две точки, принадлежащие графику функции: при х =О у = - 1;
если у = О, то х = .}з . Соединяя прямой найденные точки, полу-
чаем график данной функции (рис. 28).
4) Для построения графика данной функ ции используем опре
деление модуля:
а) {X+2~O,
у=3 (x+2)-I;
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Построить график функции:
1) У= -2; 2) У= -+х+ 1; 3) y=-УЗх-l; 4) y=3Ix+2 1- 1.
91
СПРАвочнЫА МАТЕРИАЛ
1. Функция, заданная фор му лой у=ах2+Ьх+с,
где Х, у
переменные, а а, Ь и с - заданные числа, причем а =1= О, называется
квадратичной.
2. Областью определения квадратичной функции является
мно
жество R.
3. Графиком функции у =ах' + Ьх + с является парабола. Если
а>О,
то ветви параболы направлены вверх; если а<О,
то
ветви параболы направлены вниз. Осью симметрии
параболы
ь
служит прямая Х=- 2а .
4. Координаты вершины параболы определяются по фор му л а м
Ь
()4ас-Ь2
ХО=-2а'уо=ухо= 4а •
5. Квадратичную функцию у=ах2+Ьх+с
всегда можно при
вести к виду у=а (X+k)2+p путем выделения полного квадрата
следующим
образом:
сгруппировать два первых слагаемых и вынести коэффициент а
за скобки:
§ 3. КВАДРАТИЧНАЯ функция И ЕЕ ГРАФИК
Построим
график
ФУНКЦИИ У= -3х-7 при x~ -2 (рис. 30).
График функции у=31х+21-1 построен на рисунке 31.
Рис. 31
Рис. 30
х
Рис. 29
У ПР АЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Выделить из квадратного трехчлена полный квадрат:
1) х2-Зх-З;
2) 2х2-8х-l; '3) -зх2+4х-2.
Реш
е н и е. 1) Воспользуемся теоретическим материалом,
который излож ен в п. 5.
2
1) х2-3х-3=
( х2-Зх+
~-
~ )-3= (х-
~)-~-3=
= (х_%-)2_5+.
2) 2х2-8х-l =2 (х2-4х)-1 =2 (х2-4х+4-4)-I
=
=2 ((х-2?-4)-1 =2 (х-2?-8-1 =2 (х-2)2_9.
3) -зх2+4х-2= -3(х2_ ~) -2= -3(х2_ ~x +:- :) -
-2= -3(( х- ~)2 _ :) -2= -3( х- ~)2 +З~4_2=
=_з(х_~)2_~
.
2. Построить график функции:
1) у=х2-зх-з; 2) У= -зх2+4х-2;
3) y=xlxl-2x.
Реш
е н ие. 1) Выделимполный квадрат: У=х2- 3х _ 3=
=(х-l,5)2-5,25. Следовательно, А (1,5; -5,25) - вершина па
раболы. Найдем точку пересечения параболы с осью Оу. Если
х=о, то у=о2-з.0-з=
-3; (О;-3) - точка пер есечения па
раболы с осью Оу. Ветви параболы направлены вверх, так как
а= I >0 (рис. 32).
92
внутри скобок к выраж ению х2 + Ьх прибавить и вычесть
а
Ь
Ь2
квадрат половины 7' т. е. 4а2:
(
2Ьх
Ь2
Ь2)
у=а х +7+4а2-4а2
+с.
Три первых слагаемых в скобках образуют полный квадрат.
у=а(( х2+ ~ +:;2) - :;2) +с=
=а(( х+:а) 2 -:;2) +с=
=а(х+_!_) 2 _.!с+с=
2а
4а
_ ( +!!...) 2 л, 4ас-ь2
-ах2а
I
4а
.
Ь
4ас--,-Ь2
Здесь k=2а'р= 4а
Точка с координатами (- k; р) есть вершина параболы.
6. График квадратичной функции у=а (x+k?+p получается
из графика функции у = ах2 с помощью параллельного пер еноса.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Выд ел ите из квадратного трехчлена полный квадрат:
А. 1) х2-6х+8; 2) х2+6х+ 10; 3) х2-2х-2; 4) r-2x.
Б. 1) 4х2-6х+8; 2) -2х2+4х-12; 3) 2x2_~ + 1 ~ ; 4) х2+х.
93
Корни данной функции: { у=О,
Хl =0, Х2= -2.
Построим график функции у= -х (х+2) с учетом, что х<о
(рис. 34).
{
х<о,
у= -х (х+2).
б) {х<о,
у=-х2-2х;
2) Выде ли м полный квадрат:
2
(2)2 2
У= -3х +4х-2= -3 х-т -т.
Следовательно, точка А ( +; - ~)- вершина
параболы;
(О; - 2) - точка пересеч ения параболы с осью Оу, ветви параболы
направлены вниз, так как а = - 3 <О (рис. 33).
3) Воспользуемся опреде л ени ем модуля:
а)
{X~O,
{ x~O,
у=х2-2х;
у=х (х-2).
Корни данной функции: {~I 06, Х2=2.
Построим график функции У = х (х - 2) с учетом, что х ~ О
(рис. 34).
Рис. 34
Рис. 33
Рис. 32
х
2
3
х
у
у
у
Рис. 35
х
у
94
1. Если переменная у пропорциональна переменной х, то эта
зависимость выражается формулой y=kx, где k=l=O- коэффиц и
ент пропорциональности. График
этой функц ии мы рассмотрели
в§2.
2. Если переменная у обратно пропорциональна переменной х,
то эта зависимость выражается формулой у=.!;_, где k=l=O
х
коэффиц иент обратной пропорциональности.
3. Область определения функц ии у =.!;_ есть множество всех
х
чисел, отличных от нуля, т. е. (- 00, O)U(O;+ 00).
4. Графиком обратной пропорциональности у=.!;_ является
х
кр ивая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно
начала координат. Такая кр ивая называется гиперболой (рис. 35).
Если k> О, то ветви гипербо-
лы расположены в 1 и 111 коор-
динатных четвертях; если же
k <О, то во 11 и IV координат
ных четвертях.
5. Заметим, что гипербола
не имеет общих точек с осями
ко ординат, а лишь сколь угод
НО близко
к
ним прибл ижает
ся (объясните почему).
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 4. функция у=.!;_ И ЕЕ ГРАФИК
х
2. Постройте графи к
функции:
А. 1) у=х2-6х+8; 2) у=х2+6х+ 10; 3) у=х2-2х-2;
4) у=х2-2х.
Б. 1) у=4х2-6х+8; 2) У= -2х2+4х-12; 3) y=2x2_~ + : ;
4) у=х2-2х.
В. 1) y=2xlxl-3x+4;
2) у=2х2-31хl +4; 3) y=x-2xlxl.
О т в е ты. 1. А. 1) (x-3)2-1; 2) (х+3)2+ 1; 3) (x-I)2-3;
4)(x-l?-l.
95
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
ах+Ь
d
1. Функция вида У= cx+d' где а, Ь, с, - постоянные,
причем с =F О (иначе мы имели бы линейную функцию) и ad =F Ьс
(иначе получили бы функцию вида y=const).
d
Функ ция
определена всюду, кроме Х= --о
с
§ 5. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ функция И Е.Е ГРАФИК
ДИДАКТИ ЧЕСКИ R МАТЕР ИАЛ
Постройте на одном рисунке графики функций:
2
4
О5
025
1) У=-;- и У=-;-;
2) y=~ и У=-7;
3) У=-
~
иУ=-
~; 4)У=-O~5иУ=~~
.
Назовите в каждом случае значение k.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Построить график функ ции:
1)У==+;2) У=~.
Реш е н и е. 1) Для построения графика данной функ ции,
часто встречающейся на практике, установим сначала некоторые
ее свойства.
а) Функция
определена при всех действительных
X=FO. При
х=О функция
не определена (делить
на
нуль
не льзя!). Таким
образом, область определения функ ции состоит из двух промежут
ков: (- 00; О)и(О; +00).
б) Функция
нечетная, так как f (-х )=
=! (х). Следовательно,
ее график симметричен
относительно
начала координат. Поэтому
достаточно
рассмотреть
данную функцию только для х> О.
в) При х >О функция убывает. Действительно, пусть Х2 >Хl >
1
1
>0, тогда -<-, т. е. Y2<Yl.
Х2
х,
1
График функции У=- построен
на рисунке 35. Эта кривая
х
называется гиперболой. Она состоит из двух ветвей, располо
женных в 1 и 1II координатных
четвертях.
2) График функ ции у =}!_
имеет такой же вид, что и график
х
1
функции -; при k>O ветви гиперболы расположены в 1 и 111 ко
х
ординатных четвертях, при k < О ветви расположены во 11 и IV чет
вертях.
Рис. 37
х
м(1,5; 2)
96
Рис. 36
х
-т
-...... .... ,
,
\.\
\
\
,
I
I
2
у
.....
к
.....----у=х
n
у
Полагая
k=bc-ad m=!!_ n=!!:_ получаем что
дробно-
с2'
с'
с'
линейную функцию всегда можно привести к виду у=n+ +k •
х
т
3. Согласно правилам, данным в § 1, график функции
k
k
У = п +-+ можно получить сдвигом
гиперболы У =-
на 1тI
хт
х
единиц вдоль оси Ох и на I п I единиц вдоль оси Оу. В каком
направлении
выполняется сдвиг, завис ит от знаков т и п (рис. 36).
k
При этом сдвиге асимптоты гиперболы У=- (координатные
х
оси) перейдут в прямые у=n (У= ;), х=-m
(х=-
~).
Эти прямые будут асимптотами
дробно-линейной функции.
4. Для более точного построения
графика целесообразно найти
точки его
пересечения с координатными
осями.
Итак, график
дробио-линейной функции есть гипербола.
а( х+4)+(Ь- ~)
с(х+ ~)
a(x+~-~) +Ь
ах+Ь
сс
У=сх+d=
( .+d)
сх-
с
(
d)
ad
а х+-
Ь--
=
с+
с
с(х+~) с(х+~)
2. Для построения
графика преобразуем правую часть равен
ства, выделив целую часть:
97
Следовательно, сначала надо построить график функции
1
У =--2 ' затем переместить его вверх на. 2 едини цы, после
х-
этого часть графика, оказавшуюся в нижней полуплоскости,
отобразить в верхнюю полуплоскость (рис. 39).
у=1 2х-31 =12+_1_1 .
х-2
х-2
Отсюда следует, что прямые Х= 1,5 и у=2 являются асимпто
тами этой гиперболы.
Теперь находим точки ее пересечения с осями ОХ и Оу.
4·0+1 1
1
При Х=О У=2.0-З= -3= -3'
4х+l
1
Еслиу=о, то0= 2х-З'т.е.Х=-т.
Следовательно, гипербола пересекает ось ОХ в точке
А( -т;о), а ось Оу в точке с(о;-т).
Взяв еще
несколько контрольных точек, построим график
(гиперболу) (рис. 37).
3амеча ние.В отличие отграфика функцииУ=.!:_ график
х
дробио-линей ной функции может пересекать оси координат.
2) Построим график
функ ции у =~~~~
.
Поскольку
У= -~:~;,
то график данной функции симметричен графику
функции из упражнения 1 относительно оси ОХ (рис. 38).
3) Построим график функции У= I 2:-=-: I . Выделяя целую
часть, имеем:
4 (x-l,5)
7
2 (x-l,5) + 2 (x-I,5)
4( x-f) +4.-}+1
2(х- ~)
4(x-f+f) +1
2(х- ~)
р е,ш е н и е. 1) Построим график функции У =~::~.
Выделим целую часть:
4х+l
4х+l
У= 2х-З 2(х- ~)
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Построить график функции:
1) =4х+1•2) =4х+1•3) =\2х-3\
У2х-3'
У з-2х' У
х-2
Рис. 41
2
34
х
98
Рис. 40
ДИДАКТИЧ ЕСКИЙ
МАТЕР ИАЛ
Постро йте график функции:
121
3
А. 1)У=х-2;2) У=х+2;3)У=2-х ;4) у=2+х-4.
Б1)
2х-5
2)
2-х
)
2х-3
•
У=х-4;
У=3-х;3у=4х+1.
1
В. 1) У=Ix-21 .
О т веты.А.1) Рис.40;3) Рис.41;4) Рис.42.Б. 1)Рис.42;
2) Рис. 43. В. 1)Рис. 44.
у
Рис. 39
х
о t1,52
х
у
1.5
Рис. 38
-2
у
99
Контрольные вопросы
1. Какая
ф у нкция называется линейной? Каковы область ее оп
ределения и множество значений?
2. Что является графиком линейной ф у нкции?
3. Каковы частные случаи линейной фу нкции и как расположены
на координатной плоскости графики в этих случаях?
4. Каким преобразованием можно получить из графика ф у нкции
н=» графики ф у нкций: а) y=kx+b; б) y=k (х+а)?
5. Сколько точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
y=kx+b, достаточно иметь на плоскости, чтобы построить
график ф у нкции?
6. Как зависит расположение графика ф у нкции у = kx +- Ь от
величины Ь?
Рис. 44
Рис. 43
х
у
Рис. 42
х
у
19.
k
если xy=k, то у=-?
х
k
Дана функция у = -, где k > О, х> О. Покажите на частных
х
примерах, что с увеличением (уменьшением) значения х в не
сколько раз соответствующее значение у уменьшается (увели
чивается) во столько же раз.
Как называется кривая, являющаяся графиком
функции
y=..!:_(k-=/=O)?
Как расположены ее ветви?
х
21. В каких координатных четвертях расположен график функ-
ции: а) у= - ~; б) y=.i_?
х
х
22. Может ли гипербола пересекаться с осями координат? Поясни
те почему.
20.
7. Как влияет коэ ф ф ициент k на расположение графика функции
y=kx+b?
8. Функция задана формулой у = kx +6. При каком значении k
график этой функции параллелен графику функции: а) у=
= 100х-l ;
б) у= -8,2х;
в) у=х+3,7?
9. Какая функция называется квадратичной? Укажите ее область
определения.
10. По каким формулам вычисляются координаты вершины пара
болы?
11. Как зависит направление ветвей параболы
от первого коэ ф
фициента функции у=ах2+Ьх+с?
12. Преобразуйте функцию у=ах2+Ьх+с к виду у=а (x+k?+
+р с помощью выделения квадрата двучлена.
13. При каком условии функция у =(а + 3)х2 + 2х не является
квадратичной?
14. Как иллюстрируется на графике свойство четности функции
у=х2?
15. Как с помощью геометрических преобразований построить гра
ф ик функции: а) у=3 (х-2)2+ 1; б) у=(2х+3)2-1?
16. Функция задана формулой у=.!:_. Как называется эта функ
х
ция? Какие ограничения надо наложить на k, на х?
17. Какое множество является областью определения функции,
..Ф
.. k)
заданнои
ормулои у =-;-.
18. Из формулы у=.!:_следует,
что xy=k. Верно ли обратное:
х
101
р
-
г;;-
X1 , 2=-2+-Y4-q·
спвхвочиыв МАТЕРИАЛ
1. Уравнение вида ах' +Ьх + с = О, где х - переменная, а, Ь,
с - некоторые числа, причем а*О, называется квадратным.
2. В квадратном уравнении ах2+Ьх+с=0
коэффициент а на
зывают первым коэффициентом, Ь - вторым коэффициентом, с
свободным членом.
3. Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
-b± ~
Xl,2=
2а
'
4. Выражение Ь2 - 4ас называется дискриминантом квадратно
го уравнения и обозначается буквой D.
5. Если D = О, то существует только одно значение переменной,
удовлетворяющее уравнению ах' +Ьх +с = о. Однако условились
говорить, что В этом случае квадратное уравнение имеет два рав-
u
Ь
ных деиствительных корня, а само число - 2а называют корнем
кратности два.
6. Если D < О, то квадратное уравнение не имеет действитель
ных корней.
7. Если П;» О, то квадратное уравнение имеет два различных
действительных корня.
8. Пусть дано квадратное уравнение ах2+Ьх+с=0. Так как
а *О, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим
уравнение x2+.!!_x+~=0.
Полагая }!_=р и ~=q, приходим
К
а
а
а
а
уравнению х2 + рх + q =О, в котором первый коэффициент равен 1.
Такое уравнение называется приведенным.
9. Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет
вид:
§ 1. КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИ Я
§ 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА
§ 3. ГРАФИЧЕСКИй СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ
У РАВНЕНИй
§ 4. УРАВНЕНИЯ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИй
ГЛАВА Х
-5-7
-5+7
хl =-2-=
- 6, Х2=-2-= 1.
2) Найдем дискриминант: D=з2-4·2·1 = 1, D>O. Применим
Ф
u
з+-{f
от
ормулу корнеи квадратного уравнения: Х=-4.
сюда
1
Хl=Т' Х2=1.
3) Найдем дискриминант: D=з2-4·2·4=9-32,
D<O. Так
как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.
4) Уравнение можно решить двумя способами.
l-й с п о с о б. Преобразуем левую часть уравнения, получим:
(3х+ 1?=0, 3х+ 1=0,
х= -т.
2-й с п о с о б. Найдем дискриминант: D=62-4·9·l =36-
-36=0, D=O. Применим формулу корней квадратного уравне-
-6±-{б
-6+0
1
-6-0
1
ния х=
18
. Отсюда Х\ =-1-8- = -Т, x2=-18-
=
-т
Таким образом, уравнение имеет единственный корень: Х= -т.
5) Применим формулу корней для приведенного квадратного
уравнения: Хl.2=5+ 1.Отсюда х\ =5-1 =4, Х2=5+ 1=6.
2. Решить уравнение:
1) 2х2-х=0; 2) -2х2+5х=0; 3) Зх2+24=0.
Реш е н и е. 1) Чтобы решить данное неполное квадратное
уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим
2х2-х=х (2x-I).
102
Отсюда
Реш е н и е. 1) Найдем дискриминант: D =25 +24 =49, D >О.
-5±-У49
2
Применим формулу корней квадратного уравнения: Х
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решить уравнение:
1) r+5x-6=0; 2) 2х2-Зх+ 1=0; 3) 2х2-3х+4=0;
4) 9r+6x+ 1=0; 5) х2-10х+24=0.
10. Уравнения вида ах2+Ьх=0 (с= О), ах2+с=0 (Ь=О) и
ах2 = О (Ь = О, с = О) называются неполными квадратными уравне
ниями.
11. Уравнение вида ах4 + Ьх2+С = О
называется биквадрат
ным. С помощью замены пере мен ной по формуле х2 =У оно приво
дится К квадратному уравнению ау2+Ьу+с=0.
103
Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых
равны их числители, а знаменатель
отличен от нул я. Если энамена
гель равен ну л ю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет
смысла.
(1)
(5+2х).(7-х) 3(х+l)(4х-З)
(4х-3)·(7 -х)
(7-х) (4х-З) .
Произведение х (2х- 1) равно ну лю
тогда и только тогда, когда
хотя бы один из множителей
равен ну л ю: х=О или 2x-l =0. Ре-
1
шая уравнение 2x-l =0 находим х=у.
Следовательно, произведение х (2х- 1) обращается в нул ь
при
1
1
х=О И при х=у. Поэтому числа О и т являются корнями уравне-
ния 2х2-х=0.
2) Разложим левую часть на множители. Пол у чим:
5х-2х2=х (5-2х) ,
х (5-2х)=0.
Значит, х=О или 5-2х=0. Решая
у р авнение 5-2х=0, находим,
что х = 2,5. Числа Ои 2,5 являются корнями уравнения 5х - 2х2 = О.
3) Чтобы решить такое
у р авнение, перенесем в его правую
часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе
части уравнения на 3. Пол у чим уравнение х2 = - 8, равносильное
уравнению 3х2 +24 =О.
Так как х2 ~ О, то уравнение х2 = - 8 не имеет корней.
3ам еч ание.Данное
у р авнение можно решить иначе. Так
как 3х2 ~ О, 24> О, то сумма неотрицательного и положительного
чисел не может быть числом, равным ну л ю. Следовательно, урав
нение Зх2+24=0 не имеет корней ..
3. Решить уравнение:
1) 5-1-2х=3(х-/-1); 2) х+3+х- 3=.!..Q. +~ ;
4х-3 7 -х
х-3 х+3 3 х-9
30
13
18х+ 7
3) x2-1 х2+х+ 1 хЗ-l О.
Реш
е н и е. При решении дробных уравнений целесообразно
поступать следующим образом:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение,
если каждая дробь имеет смысл;
- заменить данное
ур авнение целым, умножив обе его части
на общий знаменатель;
- решить пол у чившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ну л ь
об-
щий знаменатель.
1) Воспользуемся основным свойством дроби и представим
л евую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинако
вым знаменателем:
104
Выполнив преобразования, придем к квадратному уравнению
х2-5х-36=0.
(3)
Корни уравнения (3): Хl = -4 и Х2=9.
Если XI=-4, то (x+l)(x-l)(х2+х+l)=I=О;
если Х2=9, то
(х+1)(х- 1) (х2+х+1)*О. Следовательно, числа - 4 и9 - кор
ни данного уравнения.
4. Решить уравнение:
1) 2х4-9х2+4=0;
2) (5х2--4?+б (5х2-4)-7=О;
(2)
(1)
30
13
18х+7
(х-l)
(х+ 1) х2+х+ 1 (x-l)
(х2+х+ 1) •
Общий знаменатель - выражение (х- 1) (х + 1) (х2 +х + 1).
Заменим уравнение (1) целым, умножив обе его части на общий
знаменатель, получим:
30 (х2+х+ 1)-13(x-l) (х+ 1)=(18х+ 7) (х+ 1).
11
Решим уравнение (3): хl = -7' Х2=2.
Найденн ы е
корни
не обращают знаменатель в нуль, поэтому
они являются корнями исходного уравнения.
2) Найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
х+3 х-3
10·
36
(
х-3 + х+3 =т+ (х-3) (х+3) •
1)
Общий знаменатель - выражение 3 (х - 3) (х +3). Заменим
уравнение (1) целым. Для этого умножим обе его части на общий
знаменатель, получим:
3 (х+3) (х+3)+3 (х-З)
(х-3)= 10 (х-3) (х+3)+3·36.
(2)
Выполним необходимые преоб~аЗ0вания в уравне нии (2), при
дем к квадратному уравне нию х -9=0. Его корни: Хl = -3 и
Х2=3.
Если Х= -3,
то 3(х-3) (х+3)=0;
если х=3, то
3 (х-3) (х+3)=0.
Следовательно, числа - 3 и 3 не являются корнями уравнения
(1), а потому данное уравнение решений не имеет.
3) Найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравне ние.
Для этого знаменатели дробей разложим на множители:
(3)
Таким образом, чтобы
найти корни данного уравнения, нужно
решить уравнение
(5 +2х) (7 -х)=3 (х+ 1) (~x-3).
(2)
Упростив уравнение (2), получим:
7х2-3х-22=0.
105
х2+2х-8
х2+2х-З
обозначив х2 + 2х - 3 = у. Получим уравнение с переменной у:
~-~=2
у-5
у
.
25
2
К о рни этого уравнения: Yl= -3, У2=Т, Значит, Х +2х-3=
= -3 или х2+2х-з=2: .
Из уравнения х2+2х-3=
-3 находим, что Хl = -2, Х2=О.
И
22
с
25
-2±- У66
з уравнения Х + Х- 3= 2"" находим, что ХЗ,4= 2
•
Итак, данное уравнение имеет четыре корня: Хl = -2, Х2=О.
-2±,f66
ХЗ.4=
2
•
2. Введем новую переменную,
15
24
3) (х2+2х)2_(х+ 1?=55; 4) x2+~:-8
x2+~~-3
2.
Реш
ение.1) Уравнение 2х4-
9 х2+ 4 = О является биквад
р атным. Для того чтобы решить его, выполним замену, обозначив
х2 через у. Получим квадратное
уравнение с переменной у
2у2_9у+4=О.
Решив его, найдем Уl =0,5, У2=4. Значит, х2=+или
х2=4.
И
2
1
1
1
З уравнения Х =тнаходим,
что Хl=- -:{2' Х2=-:;Д'
ИЗ уравнения х2 = 4 находим, что Хз= .- 2, Х4= 2.
Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
1
1
хг = - -/i' Х2= -/i' Хз= -2, Х4=2.
2) Пусть 5х2 - 4 =у. Тогда данное
уравнение
примет вид
у2+6у - 7 =О. Решив его, найдем, что Yl = - 7, У2= 1. Поэтому
5х2-4= -7 или 5х2-4= 1.
У р авнение 5х2- 4= -7, или 5х2= - 3, не имеет корней.
У р авнение 5х2-4= 1, или 5х2=5, имеет два корня: Xl= -1,
Х2=1.
Итак, данное
уравнение имеет два корня: Хl = - 1, Х2= 1.
3) Перепишем данное
уравнение в виде
(х2+2х?-(х2+2х+
1)=55.
(1)
Пустьх2+2Х=V, тогда уравнение (1) примет виду2_(у+ 1)
-55=0,
откуда у -у-56=О.
Решив его, найдем YI= -7, У2=8. Значит, х2+2х= -7 или
х2+2х=8.
Ур авнение
х2+2х+7=О корней не имеет, так как D<O.
Ур а внение х2+2х-8=0
имеет корни Хl= -4 И Х2=2.
Получили, что данное
уравнение имеет два корня: Xl = -4,
Х2=2.
4)
6) --х2+4х=3; 7)
3х-Н =1+x-l .
х+2
х-2'
2х-2
x-i-3
4
4
5
8) x-j-3 -- З-х =5; 9) 9y2-1 - 3у+1=1-3у ;
10) _4_+1=_1_+_5_. 11) ~ __ 4_= 5-х .
х+З
х-3 3-х'
х l-х x2-1'
1 2 ) Зх-~+_l_= 3х+4 . 13)
2
1 +2х-l .
х
2-х х2_.2х'
х2-
Х+1х+1х3+1'
14) 3
2
4.
15)
4
1
1
х+2 х3+ 8 х2-2х+4'
(х+ l? (x--l?
l-x2•
В. 1)
2х?-I + ~ . 2~+1., 2) _ЗЗ_~
1
/+3.
14х'+7х 12х-3 бх -3х
8х+1
2х+ 1
4х-2х+1'
32
1
1
3) х3-2х2-х+2 + (x-l) (х-2)
х+1'
.4)
1+1
1.
• 3 (х-4)
2 (х2+3) 12-3х+4х2-х3'
5) .х -,J3 +.J2 + х -{3--J2
lOx.
х-{3-.J2 х-[3 +,f2 3х2- 2 '
6) (х2-5х?-2 (x--3?=81; 7)
7 ( Х++) -2(х2+:2)
=9;
x2+I!
Х
8) -х-Т x2+1 = -2,5.
Ответы. А. 1) О;3;2) О;-3; 3) О;3;4) корней нет;
5) --12; -/2; 6) корней нет; 7)
-3; 3;8) -3; 3;9) -1; 5;
10) 6; 8; 11)
7; 15; 12) корней нет; 13) -7; -1; 14) О; 1;
15) 1; 16) 3--JI4; 3+-JI4; 17)
- ~;18)-2; :. Б.1)1;8;
2) -3; 2; 3) 0,5;0;75;4) 0,5; ~; 5) -1; 3;6) 1;3;7)
З ±-f5;
.
.
1
.
..
1 +-J97.
1 --{97.
с
.
8) -6,5, 9} -4з, 10) --9, 1, 11)
16
'
16
'12)4,
13) 2; 14) 5±-;Ш; 15) 5~N. В. I)Корней нет:; 2) -т; -т;
106
4) 2+_!_= л«,
Х
36'
ДИДАКТИЧЕСКИ И МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
А.
1)
х2=зх; 2) х2+зх=0; 3) 3х-х2=0; 4) 2х2+4=0;
5) 2х2-4=0;
6) 3х2+27=0;
7)
-Зх2+27=0;
8) ~2 =3; 9) х2-4х-5=0;
10) х2-14х+48=0;
11) 105+х2=22х; 12 ) 4х+х2+ 15=0; 13) х2+8х+7=0;
14) _L_=_x_. 15) х2-6х=_5_.
16 ) х2-6х __ 5_=0·
х+3 х+3'
х-5 5-х '
х-5 х-5
'
17) х2-4 = 3+2х . 18) ~=3x+2.
х
2'
х
Б. 1)
х2-9х+8=0;
2) х2+х-6=0;
3) х2_ 5:+~=0;
107
р= -(Хl +Х2)= -(4--V3+4+-V3)= -8,
q=XIX2=(4--V3) (4+-V3)= 16-3= 13.
Искомое уравнение х2 - 8х + 13=о.
р= -(Хl+Х2)= -( т-т) = -Т,
q=X10X2=+( -т) = -т·
Искомое уравнение х2-тх-+=О,
или 8х2-2х-l =0.
2) Так как Xl=4--V3, Х2=4+-У3
-
корни уравнения х2+
+рх +q = О, то по теореме, обратной теореме Виета, составим
уравнение:
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Составить квадратное уравнение по его корням:
1
1
_I'i
_I'i
а
Ь
1)2и-4;2)4--v3и4+-v3;3) l-b и l-a·
1
1
Реш ение. 1)Так как Хl=2'Х2=-4 - корниуравнения
x2+px+q=0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим
уравнение:
§ 2. ТЕОРЕМА ВИЕТА
СПРАВ О Ч НЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения х2 +
+рх + q = О равна второму коэффициенту, взятому с противо
положным знаком, а произведение корней равно свободному
члену, т. е. хl +Х2= -р, а XloX2=q.
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, Х" Х2 таковы,
что хl +Х2= -р,
X,·X2=q, то Хl И Х2- корни уравнения
x2+px+q=0.
3. Выражение вида ах2 + Ьх + с называется квадратным трех
членом. Корни этой функции являются корнями соответствующего
квадратного уравнения ах2 + Ьх + с =о.
4. Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то
этот трехчлен можно представить в виде ах2+Ьх+с=а (X-Хl)Х
Х(Х-Х2), где Х! и Х2 - корни трехчлена.
5. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю,
то этот т~ехчлен можно представить в виде ах2 + Ьх + с =
=а (Х-Хl)' где Хl - корень трехчлена. Например, зх2-12х+
+ 12=3 (х-2)2.
8) -1; -1.
2,2;
1; 6) 3; 3±2-j5; 7)
3) 2+-у'з5; 4) -1,5;
О;5)~,
108
6а2+ llа+3=6( а+ ~) ( а+т) ,
3+5а-12а2= -12( а+т) ( а- ~) .
Искомое уравнение
2
Ь2+а2-а-Ь
аЬ
Х + (l-b)(l-a) ОХ+ (l-a)(l-b)
о.
2. Не вычисляя корней ХI и Х2 уравнения
2х2+5х-3=0,
(1)
найти: 1) XI+X2+XtX2; 2) xT+x~; 3) x1+x~.
Реш
е н и е. 1) Преобразуем
уравнение
(1) в приведенное,
для э того разделим обе части уравнения (1) на 2, получим:
х2+2,5х-l,5=0.
(2)
Из уравнения (2) по теореме Виета следует, что ХI+Х2= -2,5,
а XloX2= -1,5. Тогда ХI+X2+XIX2= -2,5-1,5= -4.
2) Уравнение (l)
равносильно уравнению (2). Так как
xT+X~=(XI +X2)2_2xIX2, то xT+x~=( -2,5?-2.( -1,5)=
=6,25+3=9,25.
3) Уравнение
(1) равносильно уравнению (2). Так как
X1+X~=(XI +Х2) (Xi-XIX2+X~)=
=(Х! +Х2) «ХI +x2?-3ХtХ2),
то
X1+X~= -2,5 (6,25-3·(-1,5»= -2,5·10,75= -26,875.
6a2+11a+3
3. Сократи ть дробь 3+5а-12а2
Реш
е н и е. Найдем корни квадратных трехчленов, записан
ных в числителе и знаменателе:
6а2+ 11a+3=O а! = _.1_ а2=-_!_
,
2
'
3.
З+5а-12а2=о,
12а2-5а-3=О, а! = -т. а2= ~ .
Значит,
(l-b)(l-a)
.
а·Ь
3) Так как XI= l~b ' Х2= l~a - корни уравнения х2+рх+
+q=о, то по
теореме, обратной теореме Виета,
P=-(XI+X2)=-(_ a _ +_b _)
=
l-b
l-a
Ь2+а2_-а-Ь
(l-b)(l-a) ,
109
Рис. 46
Рис. 45
х
х
у
СПРАВОЧНЫЙ .МАТЕРИАЛ
1 . Квадратные уравнения можно решать и графическим спосо
бом. Решим графически уравнение ах -+ Ьх -+ с = О. Оно равносиль
но уравнению ах2= -(Ьх-+с). Построим графики функций у=ах2
и У= -Ьх-с
в одной системе координат
( рис. 45). В точках
Х,
и Х2 значения обеих функций rавны. Следовательно,
х,иХ2
являются корнями уравнения ах = -(Ьх-+ с) и равносильного
ему уравнения ах' -+Ьх -+ с =О.
2 . Если парабола и прямая касаются, то квадратное урав
нение имеет два равных корня.
§ 3. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
1 . Составить приведенное уравнение, имеющее корни ХI и Х2:
А. 1) xl=3, x2=-1; 2) х,=2,
Х 2=3; 3) Хl=-4,
Х 2=-5.
Б. 1) Xl=-{i,
Х 2=--{6; 2) xl=2a-b,
Х 2=а-2Ь; 3) xl=l,
а-Ь
Х2= а+Ь .
О т в е т Ы._ 1. ~. 1) х2-2х-3=О; 3) х2+9х+20=О.
Б. 1) x2+(-{6--V2) х-2 -VЗ=О; 2) х2-+3(Ь-а) x+2a2-5аЬ+
+2ь2=о.
2а+3
3-4а·
6а2+ lla+3
3+5a-1 2a 2
Получили
110
Рис. 48
Рис. 41
х
х
у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить графически уравнение:
1) 2r+6x-5=0; 2) r+2x+5=O;
3) 9х2+ 6х+ 1=0.
Реш е н и е. 1) При графическом спос обе решения квадрат
ног о уравнения часто бывает целесообразно записать его в виде
приведенног о уравнения. Данное уравнение примет вид:
х2+3х-2,5=0.
Представим это ур-авнение в виде х2 = - 3х+2,5. Построим
в одной и той же системе координат графики функций у.=х2
и У = - 3х+2,5 (рис. 47) . Найдем абсциссы точек пересе
чения параболы у=х2 и прям ой У= -3х+2,5. Приближенные
значения корней: -3,7 и 0,6.
2) Уравнение х2+2х+5-0 представим в виде х2= -2х,-5.
Построим в
о дной и той же системе координат графики функ
ций у =r и у = - 2х- 5 (рис. 48). Из рисунка видно, что' гра
фики функций y=r и У= -2х-5 не пересекаются. Следователь ..
но, уравнение r +2х+5 =О не имеет решений.
'
3. Если же парабола и прямая не пересекаются и не касают
ся, то квадратное уравнение не имеет корней.
4. Уравнение ах +Ьх+с=О можно решить иначе, построив
параболу у = ar +Ьх +с и найдя точки ее пересечения с
о сью
Ох, если D ~O (рис. 46).
111
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Яв ляется ли решением уравнения х2 - у = - 2 пара значений
переменных:
А. 1)х=1,у=3; 2)х=О,у=О;3)х=-2; у=2; 4)х=-1.
у=-3?
2. Найдите два каких- л ибо решения уравнения:
А. 1) х-3у= 1; 2) х (l-у)= 15; 3) (х-l) (у-2)=0;
4) (х2+1)у=0.
3. Докажите,
ч то уравнение:
6. 1) (x+5)2+(y-3)~= -1 не имеет решения;
2) (х -7? +(у + 3? = О имеет единственное решение.
4. Выясните,
что представляет
собой график уравнения, и
постройте этот график:
В. 1) (х-у) (х+у)=О; 2) (х-3) (у+ 1)=0.
5. Постройте график уравнения:
А. 1) х2+у2=16; 2) х2+(-у?=9; 3) х2+у2=0.
Б.
1) х2+у2= -1; 2) х2+у2=6+; 3) х2+у2=6.
6. В. Напишите уравнение окружности с центром 'в начале
координат, если известно, что она проходит через точку:
1) А (5; 12);2) В (-1; -2).
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Уравнение с двумя переменными х и у имеет вид f (х, у)=
=<р(х, у), где f и<р- выражения с переменными х иу.
2. Решением уравнения с двумя (тремя и т. д.) перемен
ными называют множество упорядоченных пар (троек и т. д.) зна
ч ений переменных, обращающих это уравнение в верное равенство.
3. Графиком уравнения с двумя переменными называется мно
жество точек, координаты которых служат решениями этого урав
нения. Например, график уравнения ах + Ьу+ с= О представляет
собой прямую, график уравнения у = ах2+ Ьх+ с - параболу, гра
фик уравнения xy=k (k*O) - гиперболу.
Графиком уравнения х2+у2=г2, где х и у - переменные, '
положительное
ч исло, является окружность с центром в начале
координат и радиусом,
равным '.
ДИДАКТИЧЕСКИЯ
МАТЕРИАЛ
Решите уравнения сначала графически, а затем аналити
ч ески.
А. 1) х2-1 =0; 2) х2+ 1=0; 3) 2х2-8=0; 4) х2-х=0.
Б.
1) х2+3х-4=0; 2) х2-2х-3=0; 3) 12х =6х-l;
4) 3х2+ 12х+ 10=0; 5) 7+3х-4х2=0; 6) (х+ 1)2=9.
§ 4. УРАВНЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
112
Е
а\
Ь\
сли -=I=-b ' т. е. ко эффициенты при х и У не пропорцио-
а2
2
нальны, то система имеет единственное решение. Это решение гра
фически иллюстрируется ка к точка
пересечения двух прямых
(рис. 49).
Если ~= ЬЬ\ =I=!J_, то система решений не имеет. В этом случае
а2
2
С2
{fl(х,у)=УI (х,У),
f2 (х,У)= У2 (х,У).
2. Число переменных может, вообще говоря, не равняться
числу уравнений.
3. Решить систему - значит найти все ее решения.
4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы
о дно решение, и несовместной, если она не имеет ни одног о
решения.
5. Система называется определенной, если она имеет ко нечное
число решений, и неопределенной, если она имеет беск о нечное
множество решений.
6. Две системы называются равносильными, если они имеют
о дно и то же множество решений.
7. Графическо е решение системы уравнений с двумя перемен
ными сводится к
о тысканию ко о рдинат общих точек графико в
уравнений.
8. Как известно, прямые на плоско сти могут пересекаться в
одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно
этому система линейных уравнений с двумя переменными может:
а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь
беско нечное множество решений.
9. Не решая системы линейных уравнений, можно определить
число ее решений по
ко эффициентам при соответствующих пере
менных. Пусть дана система
{
alx +bIY=CI,
а2Х +Ь2У =С2.
§5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕ РИАЛ
1. Если ставится задача найти множество общих решений
двух или неск о льких уравнений с двумя (или более) перемен
ными, то г ов орят, что надо решить систему уравнений.
Систему двух уравнений с двумя переменными будем записы
вать так:
7. Принадлежат ли о кружности х2+у2= 144 точки:
А. 1) А(6; 10);2) С(О;-12)?
Б. 1) А(-8; 4-{5); 2) С(4-{5; -8)?
113
х
Рис. 52
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решить графическим
способом систему уравнений:
1)
{ 2х+3у= -4, 2) {9X-15y=21,
3) { х+у=3,
3х+8у= 1;
6х-1Оу= 14;
2х+2у=4.
Реш е н и е. 1) Каждое уравнение системы
{
2х+Зу= -4,
Зх+8у= 1
является линейной функцией. Графиком линейной функции 'Явля
ется пряма я. Для построения
графика линейной функции доста
точно найти две точки графика и провести
через них прямую.
Построим
график линейной функции ЗУ+2х= - 4. Пусть
у=о, тогда З·О +2х=
-4, т. е. х= -2. Пусть х=о, тогда
4
3у+2·0= -4, т. е. У= -3' Через две точки с координатами
пря мы е, являющиеся графиками
уравнений системы, параллель
ны и не совпадают (рис. 50).
Если ~= ьы1 =.Е.!..., то система
имеет бесконечное множество
а2
2
С2
решений. В этом случае пря мы е совпадают друг с другом (рис. 51).
Рис. 51
Рис. 50
х
х
у
х
Рис. 49
( - 2; О) и (о; - ~) проведем прямую (рис. 52).
Построим график линейной функции 3х+ 8у= 1. Пусть х = О,
1
тогда 3·0+8у= 1, т. е. У=В' Если у=О, то 3х+8·0= 1, т. е.
х=+. Через точки с координатами ( О; +) и ( +; о) проведем
прямую (рис. 52).
Оба графика пересекаются в точке А ( - 5; 2). Следовательно,
система имеет единственное решение: х= -5, у=2.
2) Каждое из уравнений данной системы
{ 9x-15y=21,
(1)
6х-l0у= 14
является линейной функцией.
Графики этих функций построены на рисунке 53 - прямые
совпадают. Каждую их точку можно рассматривать как общую
точку обеих прямых. Это означает, что данная система уравне
ний имеет бесконечное множество решений. Решением является
любая пара чисел вида ( 5а:7 ; а) , где аЕя.
3)
Графики системы уравнений
{
х+у=3,
2х+2у=4
параллельны и не совпадают (рис. 54). Система не имеет ни од
ного решения.
2. Решить систему уравнений способом подстановки:
1) { 2х+3у= -4,
2) { х+у= -2,
3х+8у= 1;
х2+у2= 100.
Реш
е н и е. При решении способом подстановки сначала из
какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через дру
гую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в
114
Рис. 54
Рис. 53
х
у
115
З. Решить систему уравнений способом сложения:
1) { 2х+ 11y=15, 2) { 4х-7у= -12,
lOx-l1у=9;
6х+Зу= -18.
Реш
е н и е. При решении с истем этим способом, как и при ре
шении способом подстановки, мы переходим от данной системы к
другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений
содержит только одну переменную.
Из уравнения ( - у - 2)2+у2 = 100 найдем, что YI= - 8, У2= 6.
Поэтому данная система имеет два решения:
а) { ХI = -у-2, {XI-6,
YI=-8;
YI=-8 .
б) { Х2.= -. у-2, {Х2 -8,
У2=б;
У2=6.
(2)
результате чего прих одят к уравнению с одной переменной.
Решают это уравнение. Затем находят соответствующее
значение
второй переменной.
1) Выразим
и з первого уравнения 2х+ Зу = - 4 данной систе
мы у через х (можно наоборот), получим:
-4-2х
4+2х
У
3
--3-
Подставив во второе уравнение данной системы вместо у вы-
ражение - 4 ~ 2х , получим систему
{
2х+3у= -.4,
4+2х
1
3х-В·-з-= .
Данная и полученная системы равносильны.
В последней системе второе уравнение содержит только одну
переменную. Решим это уравнение:
3х-В. 4~2X = 1, 9x-32-16x=3, х= -5.
Соответствующее значение у найдем, подставив вместо х чис
ло -5 в выражение У= - 4~2X , откуда у=2.
Пара (- 5; 2) - решение системы.
2) Выразив
и з первого уравнения данной системы Х через
переменную У, получим Х= -у-2. Подставим во второе уравне
ние данной системы вместо переменной х выражение
-у-2,
и меем:
Решением системы (3), а следовательно, и системы (1) явля
ется пара чисел (- 3; О).
4. Решить систему ур авнений:
1) {х2_у2=24,
2) {х2+у2=25,
3) { 10 +_15_-8
2х+3у 4х-у
-
,
х-у=4;
ХУ= 12;
15
9
О.
2х+3у 4х-у
,
4) { ~+-fY=3,
5) { хи (х+у)=30,
6) {х2_хц+у2
7,
\ x+y--{ху=З;
хЗ"+у3=35;
x3+y'j=35.
Реш ение. При
р ешении систем, предложенных в этом пунк
те, лучше всего применять искусственные приемы, рекомендуемые
в ку рсе алгебры.
116
(3)
{
у=О,
4х-7у=-12.
Почленное сложение
у р авнений системы (2) приводит к у р ав
нению с одной переменной: 27 у = О. Из этого ур авнения находим,
что У = О. Получили
в ур авнениях системы (1) коэффициенты при у - противопо
ложные числа. Сложив почленно левые и правые части ур авнений,
получим ур авнение с одной переменной :
2х+ l1у+(10х-l1у)= 15+9, или 12x=24, х=2.
Заменим одно из у р авнений системы (1), например первое,
ур авнением Х = 2. Получим систему
{ х=2,
(2)
10x-l1y=9.
Решим систему (2). Подставив значение х=2
в у р авнение
10x-lly=9, получим
у р авнение с одной переменной у:
20-11у=9,
У= 1.
Пара (2; 1) -
решение системы (2). Она является также ре
шением системы ( 1), так как системы (1) и (2)
р авносильны.
2) Почленное сложение
у р авнений системы
{ 4х-7у= -12,
(1)
6х+3у=
-18
не приводит к исключению одной из переменных. Но если умно
жить все члены первого у р авнения системы (1) на - 3, а второго
у р авнения на 2, то коэффициенты при
Х в полученных у р ав
нениях будут противоположными
числами:
{ -12х+21у=36,
(2)
12х+6у= -36.
(1)
{
2х+ llу= 15,
10х-l1у=9.
1) Дана система
117
Умножим
второе уравнение системы (2) на -2 и сложим с
8
8
первым уравнением, получим 21В=8, В=21' Тогда А ='35' Сле-
довательно, имеем систему уравнений
(2)
{
IOA+ 15В=8,
5А-3В=0.
{
10А+ 15В=8,
15A-9B=O;
в =_1_. Тогда придем к системе
2х+3у ,
4х-у
Положим А
уравнений:
(1)
{
10
15_8
2х+3у+4х-у - ,
15
_9_=0 .
2х+3у
4х-у
откуда Х+У= +7 и Х-У= + 1.
Поэтому решения данной системы получатся из решений сле
дующих систем уравнений:
{ х+у=7, {Х+У=7,
{х+у= -7, {х+у. = -7,
х-у=l;
х-у=-I;
х-у=l;
х-у=-I.
Решая эти системы уравнений,
получим:
xl=4, YI=3; Х2=3, У2=4; Хз=-3, уз=-4; Х4=-4, У4=-3.
3) Дана система уравнений
{
( х+у?=49,
( х-у?=I,
{
х2+2ху+у2=49,
х2-2ху+у2= 1;
Разделив
первое уравнение системы (1) на второе уравнение,
получим уравнение перво й степени Х +У = 6, которое со вторым
уравнением системы (1) образует новую систему:
{ х+у=6,
(2)
х-у=4.
Решим эту систему: х=5, У= 1. Исходная система (1) имеет то
же решение.
2) Дана система уравнений
{ х2+у2 =25,
(1)
ХУ= 12.
Умножим
второе уравнение системы (1) на 2, результат
сначала сложим с первым уравнением, а затем вычтем из него.
Получим:
(1)
1) Дана система уравнений
{
х2_у2=24,
х-у=4.
118
{
х+у=5,
ху=6.
Для решения этой системы воспользуемся искусственным при
емом, основанным на теореме Виета. Составим квад ратное уравне
ние, корнями которого были бы -..[хи -{У: т2-3т+2=О, тl=2
и та= 1, или -УХ=2, х=4, У= 1; -Ух= 1, Х= 1, у=4.
Итак, Х! =4, Yl = 1; Х2= 1, У2=4.
5) Решим систему уравнений
{
ХУ(х+у)=зо,
(1)
х3+у3=3 5.
Умножим перв ое уравнение системы на 3 и сложим почленно
со вторым ура внением:
х3+3ху (х+у)+у3= 125.
(2)
Левая часть уравнения (2) представляет собой (Х+У?
(Х+ у)3=53.
(3)
Решая уравнение (3), получим Х +У = 5. Это ура внение пер вой
степени с пер в ым уравнением системы (1) определяет новую
систему, равносильную данной:
{
х+у=5,
~~+~=~
W
Так как х+у= 5 , то второе уравнение системы (4) прини
мает вид ху· 5 = 30, или ХУ=6. Полученное уравнение вместе с
пер вым уравнением системы (4) определяет новую систему урав
нений:
(2)
Преобразуем второе уравнение системы (1):
х+у--{ху=3,
х+у+2
-{ХУ-3 -{ху=3, (-VX+-YY)2-3 -{ху=3,
но -..[х+-УУ=3. Следовательно, 9-3 -{ху=3,
или -{ху=2.
Таким образом, получили равносильную систему уравнений
{
-..[х+-УУ=3,
-{ху=2.
{
2 x~3Y
:5' т. е. {16Х+24У=3 5,
1
8
32х-8у=21.
(3)
4х-у =21'
Умножим второе уравнение системы (3) на 3 и сложим с
7
7
пер вым уравнением, получим 112х=98, Х=В' У=В.
4) Решим систему уравнений
{
-Ух+-УУ=3,
х+у--{ху=3.
(1)
119
6) { х2_у2 =5,
ху=6.
5) { х+2у= 1,
х2-3ху-2у2=2;
В. 1) {x2+xy-y2=11,
2) {х2+ХУ=9+3У,
x -2y=1;
3x+2y=-1;
3) { х2+у2+3ху= -1, 4) { х+2у=4,
х+2у=О;
х2+ху=у-5;
3) { 1-3y _1-2х =~ 4', {y-I _2=х+l .
3
2
6'
4
3'
х +2у -4.
х+3 +4=у+l
2 з-,
4
3•
2 ) {Xty =2у-5,
зу_у~х =16;
Б
1)
{
4х +Зу=18
•
34
'
7х_5у=16.
38
'
2.
Решите систему уравнений способом подстановки:
А. 1) { у=х-5,
2) { 2х-3у= 16, 3) { 2х-3у= -3,
х+у=37;
х+2у=l;
х+3у=21;
4) { х+у= 14,
х=8+у.
5) { 4х-6у= 10,
6х-9у= 15.
1. Решите графическим способом систему уравнений:
А. 1) f 4х-у=0,
2) { 5х+3у= -6,
\ Х-У= -6;
2х-5у= 10;
3) {3х+6У=2,
4) { 3х+4у=6,
2х+4у=5;
х+у=О;
ДИДАКТИЧЕСКИR МАТЕРИАЛ
Систему уравнений (3) решим способом подстановки: Хl= 2,
Yl=3; Х2=3, У2=2.
(3)
{ х+у=5,
х2_ху+у2=7.
Так как х2_ху+у2=7,
то уравнение (2) примет вид (х+у)Х
х 7 =35, или х + у =5. Получили уравнение первой степени
х+у=5, которое с первым уравнением системы (1) определяет
новую систему:
(2)
(х+у) (х2_ху+у2)=35.
Левую часть второго уравнения системы ( 1) разложим на
множители:
(1)
Решив ее, получим хl = 2 , Уl= 3; Х2= 3, У2=2.
6) Решим систему уравнений
{
х2_хи+у2=7,
x3+y'J=35.
120
3) { xy_-.JХ2+у2=7,
xY+-VХ2+у2= 17;
2) { х+4у+2 ~= 12,
х+4у-2 ~=4;
4) {Х+У+_!_+__!_=5'
х
у
х +и- _!_- _!_=3;
~х
у
5) { х2+у2+х+у=32,
6) { х+у+ху=
11,
х2+у2_3х-3у=4;
х2у+ху2=30;
7) { х+у2=7,
8) { х2+у2=2,5ху,
ху2= 12;
x-у=О,25ху.
От веты. 1.А.1) (2;8); 2) (О;-2); 3) нет решений;
4) (-6; 6). 2. А. 1) (21; 16); 2) (5; -2); 3) (6; 5); 4) (11;3).
Б. 1) (9;8); 2) (10;5); 3) (4;3); 4) (5; 17). В. 1) (-3; -2),
(3; 1); 2) (3; -5), (5; -8); 3) (-2; 1), (2; -1); 4) (-2; 3),
(-3; 3,5); 5) (1+; -т), (-1; 1); 6) (-3; -2), (3;2).
3.А. 1) (2;5); 2) (1;-2); 3) (4;2); 4) (- 310; ;~~).
Б. 1) (4,4;1,72); 2) (*; -4 Э; 3) (3; -0,5); 4) ( -+; 2);
5) (-4; -3), (-4; 3), (4; -3), (4;3); 6) (-10; 8), (10;-8),
2) { 2x-3ху+4у=О,
х+3ху-3х=
1;
4) { у2+3х- у=1,
у2+бх-2у=
1.
2){
1
+2232,
x+y-l 3х+ у-
з+4
5'
x+y-l Зх+2у-З
t
4) { (х+у) (х-у)=о,
2х-у=
1.
2) {6 (х+у)-у+
1=0,
7 (y+4)-(у+2)=О;
4) {3 (х+у)-7 = 12х+у,
6
(y-2x)-1 +45х=0;
6) {х2+2у2=228,
3х2 _2у2 = 172.
4. Решите систему уравн ений:
А. 1){ ху+3х-4у=
12,
ху+2х-2у=9;
3) {x2+3X-4У=20,
х2-2х+у=
-5;
2
9
Б. 1) {-+ +-;:;--+ =2,
х
у
_х
у
4_
12
Г:
х+у- 2х+у - ,
3) { х2+у2= 100,
х (у+6)=0;
В. 1) {-[3у --Рх = ~,
х+у+ху=9;
3. Решите систему урав не ний способом сложения:
А. 1) {У-2Х-l =0, 2) {7Х-3У' 13, 3) {х+у= 6 ,
7х-у=9;
х-2у=5;
3х-5у=2;
4) {у-х=20,
х- у+20=О.
Б. 1) {3 (х-5)-1
=б-2х,
3 (х-у)-7у+4=0;
3) J 2 (3х-2у)+ 1 =7х,
l 12 (x+y)-15=7x+ 12у;
5) {х2_у2=7,
х2+у2=25;
121
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется квадратным?
с) Можно ли назвать квадратным уравнение: а)
ах2+с=0;
б) ах2+х=о; в) ах2=0?
3. Напишите формулы решения полных квадратных уравнений.
Целесообразно ли по этим формулам решать неполные квад
ратные уравнения?
4. Что такое дискриминант?
5. Не решая уравнения, установите по его дискриминант~, сколь
ко корней оно имеет: а) Зх2-14х+
16=0; б) 8х -4 х+
+0,5=0; в) x2-1Ох+ 3 4=О.
6. Какое уравнение называется биквадратным?
7. Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему. Дока
жите теорему Виета.
8. Используя теорему Виета, определите знаки корней урав
нения: а) x2+7x+l=0; б)
х2-7х +l=0;
в) 5х2 +17 х+
+16=0.
9. Составьте квадратное уравнение по его корням:
а) xl=3, Х2=10; б) xl=-7,
Х2=-4; в) x l=2--J3,
Х2=2+.[3.
10. В уравнении х2 + 8х - k =О найдите значение k, если Xl == 3Х2.
11. В уравнении 2х2 + kx + 2 5 = Онайдите значение коэффициента
k, если 2Xl =Х2.
12. Один из корней уравнения 5х2+7 х-с=0 равен -4. Найдите
значение с и другой корень.
13. Дайте определение квадратного трехчлена. Разложите на мно
жители трехчлен вида ах2 +Ь х+ с.
14. Используя разложение квадратного трехчлена на множители,
х-5
-2х2 +7х-З
сократите дробь: а) Зх2-1Зх-lО; б)
2x-l
.
15. С помощью введения вспомогательной переменной решите
уравнение: а) x2+6x+-v'x2+6x=20; б) -Гх+ ух= 12.
16. Какие два способа существуют для графического решения
квадратного уравнения вида ах2+Ьх+ с=0?
(-10; -8), (10;8). 4. А. 1) (-3;
-3), (4; 0,5); 2) ~!-; ~),
(1; -2);
3) (О;-5), (1; -4);
4) ( -т; -1), (т; 1).
Б. 1) (2; 2); 2) (1; 1); 3) (О;-10), (О;10), (-8;
-6), (8; -6);
4) ( т; -т), (1; 1). В. 1) (4;1); (1;4); (-9;~2,25); (2,25;-9);/
2)
(4; 1);
3) (+3; +4) или (+4; +3); 4) (2; 2); 5) (3; 4), (4; 3); 6) (5; 1),
(1; 5), (2; 3), (3; 2); 7) (4; -JЗ), (4; --jЗ), (3; 2), (3; -2);
8) (О;О),
(4; 2), с- 2; -4).
1. При сравнении двух действительных чисел х и у возможны
три случая: 1) х=у (х равно у); 2) х>у (х больше у); 3) х<у
(х меньше у). Число х равно числу у, если разность х-у равна
нулю; число х больше числа у, если разность х-у - положитель
ное число (например, 6> 2, так как 6- 2 = 4> О) ; число х меньше
числа у, если разность х-у - отрицательное число (например,
6<10, так как 6-10=-4<0).
2. Запись х;;::'у (y~x) означает, что либо х>у, либо х=у, и
читается так: «х больше или равно у» или «х не меньше у».
3. Запись, в которой два числа или два выражения, содержа
щие переменные, соединены знаком >, <'. ;;::.или ~, называется
неравенством.
4. Неравенства, составленные с помощью знаков > или <",
называются строгими; неравенства, составленные с помощью зна
ков ~ или ;;::., - нестрогими.
5. Два неравенства вида а> Ь и с> d называются неравенст
вами одинакового смысла, а вида а> Ь, с < d
-
неравенствами
противоположного смысла. Например, 5>2 и -3> -6 - нера
венства одинакового смысла, анеравенства 5> 3 и 6 < 1О являют
ся неравенствами противоположного смысла.
6. Вместо двух неравенств х < а,
а < у употребляется запись
х<а<у.
Такое неравенство называется двойным.
7. Неравенства, содержащие только числа, называются число
выми неравенствами.
8. Если неравенство представляет собой истинное высказыва
ние, то оно называется верным.
9. Если неравенство содержит буквенные выражения, то оно яв
ляется верным лишь при определенных значениях входящих в него
переменных. Например, неравенство (а+Ь?;;::'О верно при любых
значениях а и Ь, так как квадрат любого числа есть число неотри
цательное; неравенство х2 > О верно при любых значениях х, кроме
нуля.
122
СПРАВОЧНЫ Й
МАТЕРИАЛ
§ 1. НЕРАВЕНСТВА
§ 1. НЕРАВЕНСТВА
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОйСТВА НЕ РАВЕНСТВ
§ 3. ДЕйСТВИЯ СНЕРАВЕНСТВАМИ
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ
§ 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ
§ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕйНЫХ И КВАДРАТНЫХ
НЕРАВЕНСТВ
ГЛАВА XI
123
J
300.
...L_o 33=...L-
E....=100-99
3
'
3 100 300
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1
1. Сравнить числа "3 и 0,33.
Реш е н и е. Рассмотрим способ сравнения дробей, основан
ный на свойствах неравенств.
Вычислим разность
дробей:
СПРАВОЧНЫЯ МАТЕРИАЛ
1. Если а ;»Ь, то Ь<а.
2. Если а>Ь и ь »:с, то а»:«. (свойство
транзитивности).
3. Если к обеим частям верного неравенства прибавить
одно
и то же число, то получится верное неравенство,
т. е. если а з-Ь,
то а+с>Ь+с.
4. Если из одной части верного неравенства перенести в другую
какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то
получится верное неравенство,
т. е. если а+Ь>с, то а-с>
-Ь.
5. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то
же положительное число, то получится верное неравенство.
Напри
мер, если аз-Ь, то 5а>5Ь.
6. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то
же отрицательное число и изменить знак неравенства на противо
положный, то
получится верное неравенство.
Например, если
а>Ь, то а- (-l)<b· (-1), т. е. -а< -Ь.
7. Так как деление можно заменить умножением на число, об
ратное делителю, то аналогичные правила можно применитъ и к де-
1
1
1
1
лению.
Например, если а> Ь, то
та>зЬ; -Б"а< -Б"Ь'
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ
ДИДАКТИЧЕСКИЯ
МАТЕРИАЛ
t. Верно ли неравенство:
А. 1) 0~2; 2) 3~3; 3) 3~4; 4) 6;;::6; 5) 25~20; 6) 7;;::8?
2. Найдите наименьшее целое число х, удовлетворяющее не
равенству:
А. 1) х;;::-4; 2) х;;::5;3) х>3; 4) х> -4; 5) х;;::3,5.
3. Найдите наибольшее целое число х, удовлетворяющее не
равенству:
А.1)x~-3; 2)x~3;3)х<4;4)х<-5; 5)x~ -ОА.
5. 1) ~~1;2)
~~-2;3)
~;;::;;4)
~;;::1~'
124
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Неравенства одинакового смысла можно почленно скла
дывать. Например,
+
а>Ь
+а<m
c>d
Ь<n
а+с>ь+а
или
а+Ь<n+m
§ 3. ДЕЙСТВИЯ С "ЕРАВЕНСТВАМИ
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Пусть а-с.Ь, Сравните числа:
А. 1) а+х
и Ь+х;
2) а-5
и Ь-5;
3)
а-а2 и Ь_Ь2;
4) а+х2 и Ь+х2.
2
2
Б. 1) -2 (а+4) и -2 (Ь+4); 2) т(а-5,2) и з(Ь-5,2).
2. Умножьте обе части данного неравенства на указанное
число:
А.1)3,25<4 на3;2)3,4> 2,3на4;3)2а>1на0,5;4) -3<2 на
2; 5) -3<2 на -2; 6) -13< -7,5 на -3.
2
5
1
2
Б. 1) lз>fiна
-12; 2) -2з< -lзна -6; 3) -4а< -3 на
-0,25;4) 3х> -у на х2+3.
3. Докажите, что:
В. 1)
если х (х+2)«х-2) (х+3),
то х< -6;
2) если х (х+6»(х+ 1) (х+4), то х>4;
3) ес ли (х-з)2<х (x-5d, то х>9;
4) ес ли х (х+3)«х+2), то х> -4.
4. Раздел ите
обе части данного неравенства на указанное
число:
А. 1) -2<3 на 3; 2) -25> -30 на -5; 3) -3,9<2,7 на -3;
4) -20< -12 на -4.
Б. 1) 3х<9а-15Ь на 3; 2) -5х> 10а-5Ь на -5; 3) _2; <-f
2
1
на -3; 4) -0,75х>зна
-0,75.
В. 1) а3+2а< -2а2-4 на а2+2; 2) а3+а<2а2+2 на а2+ 1.
Так как разность чисел
} и 0,33 положител ьна, то } больше
1
0,33, т. е. верно неравенство з>0,33.
2. доказать, что ес ли 4а-2Ь>3а-Ь, то а з-Ь,
Д о к аз ат е л ьство.Рассмотримразность левой иправой
частей данного неравенства.
4а-2Ь-(3а-Ь)=а-Ь>0,
сл едовател ьно, а »-Ь,
125
Рис. 55
12·3< 13·4,36<52.
В
~.y
о
~
с·
ь
Д
14·2>6·1, 28>6.
3. Доказать, что
сумма
расстояний
от
любой точки,
лежащей внутри треугольника,
до его вершин больше полупе
риметра этого треугольника.
Пусть х, у, z - расстояния
от внутренней точки ~ до вер
шин треугольника Аве (рис. 55).
2) х12<13
3<4
х2+2х>2а+ 1-5, х2+2х>2а-4.
2. Выполн ить умножение неравенств:
1) 14>6 и 2>1; 2) 12<13 и 3<4.
Реш ение.
1) х14>6
2>1
5+8> -8+5, 13> -3.
2)+ -8<2
.
3<5
-8+3<2+5, -5<7.
3)+ 7>3
-4>-9
7-4>3-9,3> -6.
4)+ х2>а+ 1
2х>а-5
1. Выполн ить сложение неравенств:
Ч5>-8 и8>5;2)-8<2 и3<5;3)7>3и-4> -9;
4)х>а+1и2х>а-5.
Реш ение.
1)+5>-8
8>5
УПРАЖНЕНИЯ
С РЕШЕНИЯМИ
a-c>b-d
3. Неравенства
одинакового смысла с положительными чле
нами можно почленно умножать. Например, если
а>Ь>О и
c>d>O, то ас э-Ьа.
4. Обе части неравенства с положительными членами мож
но возводить в одну и ту же натуральную степень. Например,
если
а;»Ь, то ak>b\ где а>О, Ь>О,kEN.
Верно
и
обратное утверждение: если
а'":» Ь", а> О, Ь >О,
IlEN, то а з-Ь,
2. Неравенства противоположного смысла можно почленно вы
читать, оставляя знак того неравенства,
из
которого произ
водится вычитание. Например,
а>Ь
-c<d
126
С
а+Ь _с;:.
ледовательно, -2-~-vab.
Некоторые приемы доказательства неравенств.
1. Использование определения понятий «больше» и «меньше»
( т. е. рассмотрение разности между левой и правой част ями
неравенства) .
П
Д
a·~b
_ ct:.
Р и м е р. оказать, что ~г;;;:'-уаЬ, если a~O, Ь~O.
Реш е н и е. Рассмотрим разность
atb --ГаЬ а+ь-:/ -ГиБ (-.[а-;_-{Ь)2 ~O.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕРАВЕНСТВ
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
1. Выполните
сложение неравенств:
А. 1) 2<5 и -7<-3; 2) -2>-4
и 3>-2; 3) -5<-3
и
-7<-4.
Б.
1) 3а2<х+ 1 и 2a-a2<r-l;
2) 3х+у<2а+
1 и 3у-2х<
< 14-2а;
3) зх2+ 2у>4а-2 и 5у-2х2>8+3а.
В. 1) 2<з2 и 22<33; 2) 22·з2>5 и 22>2.
2. Выполните умножение неравенств:
А. 1) 2<х
и
3<у; 2) х> 1 и у>5; 3) 0,7>0,6 и 3,2>2,3.
Б.
1) а+ 1>а и а>5; 2) Ь<Ь+2
и
3<Ь.
В. 1) 2<з2 и 22<32; 2) 22·з2>52 И 22>2;
25
1
1.)з
1
I
3)4> и7>"25,4
<7 и 81<49'
3. В. Стороны треугольника меньше соответственно 73 см,
м 15 см и 1 м 11 см. Докажите, что его периметр меньше 3 м.
4. В. Докажите, что сумма рассто яний от любой точки, ле
жащей внутри прямоугольиика, до его вершин больше полу
периметра этого прямоугольника.
5. В. Куплены 4 общие тетради и 8 блокнотов. Цена те тради
меньше 45 к., а блокнота меньше 40 к. Покажите, что
стои
мость всей покупки меньше 5 р.
Из получввшнхся
тр ех треугольников АМВ, ВМС и АМС по
теореме о сумме длин двух сторон треугольника имеем:
х+у>с, x+z>b, z+y>a.
Складывая э ти неравенства, получаем:
2x+ 2y+2z>a+b+c,
или x+y+z>a+:+c.
5х2+4ху+у2+2х>
-5.
(1)
Дока з а тельство. Неравенство (1) равносильно
5х2+4ху+у2+2х+5>0;
(4х2+4ху+у2)+(х2+2х+
1)+4=(2х+у?+(х+
1)2+4>0. (2)
Полученное неравенство (2) верное, так как (2х +У? ~ О,
(х+ 1?~0 и 4>0.
!{оказательство неравенств путем преобразования очевидного
неравенства к вид у
до казываемого неравенства.
3. Доказать,
что если а, Ь, с - целые положительные
числа, то ab+bc+ac~3abc.
Доказ а тельство. При заданном условии задачи нера
венства аЬ ~ аЬс, Ьс~ аЬс, ас ~ аЬс очевид ны. Сложив
их почлен
но, получим
ab+bc+ac~3abc,
что
и
требовалось доказать.
127
венство
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
Доказательство неравенств с использованием определения по
нятия неравенства.
1. Доказать неравенство a2+b2+c2+3~2 (а+Ь+с).
Дока з а тельство. Рассмотрим разность между левой и
правой частями неравенства:
a2+b2+c2+3-2 (а+Ь+с)=
=а2+Ь2+с2+ 1 + 1 + 1-2a-2b-2c=
=(a-l)2+(b-l?+(c-l)2.
Выражение (a-I?+(b-I?+(c-I?~O,
так как сумма неот
рицательных чисел есть число неотрицательное. Следовательно
a2+b2+c2+3~2 (а+Ь+с).
2. Доказать, что при любых значениях х и у верно нера-
Итак, сумма двух взаимно обратных положительных чисел не
меньше 2.
аЬ
-{f1b аЬ2
-+-~2 -0- или -+-~ .
ь
а::::::-
Ьа'
Ь
а::::::-
го, т. е.
Это неравенство означает, что среднее арифметическое двух
неотрицателъных чисел не меньше их среднего геометрического,
причем равенство достигается только в том случае, когда
а=Ь.
2. Использование
и звестных неравенств.
П
а
Ь
р и м е р. Доказать, что b+a~2,
если а>О, Ь>О.
а
Ь
Реш ение. Так как числа Ь
и
а положительны, то
их среднее арифметическое не меньше среднего геометрическо-
128
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Докажите, что п р и любом значении а верно неравенство:
А. 1) 3(а+l)+а-4(2+а)<0;
2) (а-2?-а(а-4»0;
3) (7а-l) (7а+ 1)<49а ;
4) а2+ 15а+56>а (а+ 15).
Б. 1) (11a? ~2a;
2) a++~2 пр и а>О;
3) 4а2+ 1~4a;
4) a2+2a~ -1.
В. 1+2a4~a2+2a3.
2. Докажите неравенство:
1) a4+b4~a3b+ab3,
где a~O, b~O;
2) а4+2аЗЬ+2аЬ3+Ь4~6а2Ь2, где а и Ь одного знака;
3) a3tb3 ~(atb) 3, где а и Ь - неотрицательные числа;
4) 1~aa2~1, где а-неотрицательное число;
5) a2+b2+c2~ab+ac+bc,
где а, Ь, с - действительные
числа;
6) (а+l)(Ь+l)(а+с)(Ь+с»16аЬс,
где а>l,
Ь>l, с>l;
7) х2+2у2+2ху+6у+ 10>0;
8) х2+5у2+2ху+4у+3>0.
(а+Ь) (Ь+с) (a+c)~8abc.
Доказательство
неравенств п ри
помощи зависимости между
средним арифметическим и средним геометрическим двух неотри
цательных чисел.
4. а) J{оказать неравенство
а +ь+с~ -ГаБ +-{Ьс +-{ёiё,
если а, Ь, с - неотрицательные числа.
a +b~2 ~; b+c~2 -{Ьс; a+c~2.j(iC.
Сложим эти неравенства:
2a+2b+2c~2 ~+2 ~+2.j(iC.
Сократив обе части неравенства на 2, получим неравенство
а + Ь+ с ~ -ГаБ +-{Ьс +.j(iC.
б) Доказать, что
(а+Ь) (Ь+с) (a+c)~8abc,
если а, Ь, с - неотрицательные числа.
J{оказательство. Имеем а+Ь~2-JЬa; Ь+с~ 2-{Ьс;
а+ с ~ 2.j(iC. Перемножив эти неравенства почленно, получим
неравенство
129
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Линейным неравенств ом
называется
неравенств о вида ах +
+Ь>О (или ах+Ь<О). Если а>О,
то
неравенств о
ах+Ь>О
ь
равносильно
неравенству х> --;
если а<О,
то
неравенств о
а
Ь
ах+Ь >0 равносильно
неравенству Х< --о
а
2. Квадратным неравенством
называется
неравенство вида
ax2+bx+-с>О
(или ax2+bx+-с<О), где а=#=О.
3. Решить
неравенство,
содержащее переменную,- значит
найти множеств о значений переменной. при ко т орых это
нера
венство является верным. Элементы э то го множества называются
решениями неравенства.
4. Два неравенства
называются
равносильными, если мно
жества решений этих неравенств
совпадают.
Пусть
требуется решить
неравенство
ах' +Ьх+с>О. в зави
симос ти
от
знака дискриминанта D = Ь2 - 4ас могу т представиться
тр и случая.
1) Если D<О, то
график квадратного
трехчлена
f(х)=
= ах2 +- Ьх+ с не пересекает
ось Ох и лежит выше этой
оси при
а> Оиниже еепри а<о.впервом
случае множеств о реше
ний неравенства есть вся числовая прямая (рис. 56, а), а во в то
ром
о но является пустым (рис. 56, б) .
§ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
СПРАВОЧНЫR МАТЕРИАЛ
1. Решение неравенств
о с новано
на их свойствах (см. § 2).
2. Если к обеим частям неравенства fJ (х) > f2 (х) прибавить
(или вычесть)
о дну и ту же функцию q> (х), область
определе
ния ко то рой принадлежит
о бласти
о пределения данного
нера
венства, то
получится
неравенств о, равносильное данному.
(Здесь
и далее под
о бластью
о пределения неравенства будем понимать
пересечение множеств, на ко то рых определена каждая из функций
'1 И f2) входящих внеравенство.)
3. Любое
слагаемое, определенное для всех значений пере
менной. можно
перенести
из одной части веравеяства в другую,
изменив знак это го слагаемого
на про тивоп ол ожный.
4. Если обе части
неравенства f, (х) >f2 (х) умножить (или
разделить)
на одну и ту же функцию <р (х), определенную для
всех значений переменной
х из области
о пределения данного
неравенства, сохраняющую пос то янный знак и от личную о т
нуля,
то
при ер (х) >О получится
неравенств о, равносильное данному,
а при <р (х) <О равносильным данному является
неравенство про
тивопол ожного
смысла.
§ 5. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖА ЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ
130
Рис. 58
б)
а)
.х
у
у
Рис. 57
б)
а)
2)
Если D > О, то график квадратного трехчлена пересекает
ось ОХ в точках Х\ и Х2 (х\ <Х2), служащих корнями уравнения
ах2+ьх+с=0. Эти точки разбивают числовую прямую на три
промежутка (- СХ); х.), (XI; Х2)
и (Х2;
+ 00). При этом знак
квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента а во
всех точках промежутков ( - СХ); XI} и (Х2; + 00) и противоположен
знаку коэффициента а во всех точках промежутка (XI; Х2) (рис. 57).
3) Если D=O, то график квадратного трехчлена касается
оси ОХ в точке XI, являюшейся единственным корнем уравнения
ах2 + Ьх + с = О. Точка XI разбивает числовую прямую на два про
межутка (- 00; Хl) и (XI;
+ 00). Знак квадратного трехчлена
совпадает со знаком коэффициента а при всех x=FXl (рис. 58).
б)
Рис. 56
а)
х
о
о
х
у
131
Рис. 60
о
у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
1 ) 16-3x~O; 2) 2х2-х-l >0; 3) x2+3x+8~0;
4) -3х2+ lOx-3<0; 5) 4х2+4х+
1>0.
Реш
ение.
1 ) Чтобы решить неравенство 16- 3х~ О, пе
ренесем 16 в правую часть с противоположным знаком, получим
-3x~ -16. Теперь разделим обе части этого неравенства на
отрицательное число -3 и изменим знак неравенства на проти-
u
~
16
воположныи: х~з,
Таким образом, множеством решений данного неравенства слу
жит промежуток ( - 00; 1з6].
2) Рассмотрим функцию у = 2х2 - Х -
1 . Графиком этой функ
ции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как
а=2>0.
Решим уравнение 2х2 -х-l =0. Корни этого уравнения:
Хl=-0,5, X2=1.
Следовательно, данная парабола y=2x2-x-l
пересекает ось
Ох в точках с абсциссами -0,5 и 1.
Изобразив схематически параболу у=·2х2-х-I
(рис. 59),
найдем, что у>О, если хЕ( - 00; -0,5) и xE(l; + (0).
Множеством решений неравенства 2х2 - х + 1>О является
объединение промежутков ( - 00; - 0,5)и (1; + 00). Объединение
промежутков можно ааписать с помощью знака U следующим
образом: (- 00; -0,5)U(1; + 00).
3) Рассмотрим функцию у=х2+3х+8. Графиком этой фун
кции является парабола, ветви которой направлены вверх, так
как a=l >0.
Решим уравнение х2+3х+8=О. D=9-16= -7 <О, следо
вательно, это уравнение корней не имеет, поэтому парабола
y=r+3x+8
не имеет общих точек с осью Ох.
Изобразив параболу у =х2+ 3х+8 схематически (рис. 60),
найдем, что у ~ О при любом значении х.
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
1. Решите неравенство:
А. 1) х2-4х>0; 2) x2+4x~0; 3) x2-х<О; 4J x2+4x~0;
5) х2-4х-5>0;
6)
x2-4x-5~0;
7)
х -4х+6>0;
8) x2-4x+6~0;
9) x2+4x+4~0; 10) x2+4x+4~0.
Б. 1) -х2+х--2<0;
2) х-х2-2>0;
3) 3x-r-4<0;
4) -х2+3х-4>0;
5) Зх2_6х+8~0;
6) -2x2+4x-5~0;
2
•
r
7х.)х22х3х-1О
7) 4х-2х -5~0, 8) 10+2>10,9 3-3>-4-.
В. 1) х (х+ 1)<2 (1-2x-x2);
2) х (х+ 1»2 (1-2x-x2);
132
4) Р ассмотрим функцию У= -3х2+ 10х-3. Графиком этой
функции является пар абола, ветви которой направлены вниз, так
как
а = -3<0.
Решим уравнение - 3х2 + 1ОХ- 3= о, или 3х2- 1ОХ+3=0.
Корни этого уравнения Хl =+- и Х2 = 3.
Изобразив схематически пар аболу
У= -3х2+ 10х-3
(рис. 61), н айдем, что У<О в каждом из промежутков:
(- 00;+-),(3; +00).
5) Рассмотрим функцию у= 4х2+4х+ 1. Графиком данной
функции является пар абола, ветви которой направлены вверх,
так как
а = 4> о. Решим уравнение 4х2+4х + 1= о. Корень это
го уравнения х= -0,5. Значит, парабола касается оси Ох в точке
с абсциссой - 0,5.
Изобразив схематически пар аболу У = 4х2+4х + 1 (рис. 62),
найдем, что У> Опри любом х, не равном - 0,5.
Ответ. (-00; -0,5)U(-0,5; +00).
Рис. 62
Рис. 61
-3
х
х
о
у
у
Контрольные вопросы
1. Дайте определение неравенства.
2. Какие виды неравенств вы знаете?
3. Истинно ли высказывание: а) 11,~ 12; б) 11~ 11; в) х ~ у?
4. Сформулируйте свойства неравенств.
5.Докажите, чтоесли а> ЬиЬ> с,тоа> с.
6. Докажите, что если а> Ь их> О, то ах> Ьх.
7. Сформулируйте правила действий снеравенствами.
8. Что значит решить неравенство, содержащее переменную?
9. Какие неравенства называются равносильными?
10. Сформулируйте теоремы о равносильности неравенств.
11. При каких значениях а уравнение ах2 - 6х - 1 =О имеет два
различных действительных корня?
4) x2+2~3x-+.r;
6) 6х2+ 1>5х-;;
8) 2х (х-l»3
(х+ 1);
10) 4х2+ 12x+9~O;
3) х2+2<ЗХ-+~:
5) 6х2+ 1<5х-+х2;
7)
2х (x-l)<З (х+ 1);
9) х2+9<0;
11) (х- 5)2 > 37 -(х- 10)2.
2. В. Одн а сторона прямоугольника на 7 м больше другой.
Какой может быть эта сторона, если площадь прямоугольни
ка меньше 60 м2?
3. В. Длина прямоугольника на 5 м больше ширины. Какую
ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была
больше 36 м2?
Ответы.
t. А. 1) (-00; 0)U(4; +(0); 2) (-00; -4]U
U[O; + 00); 3) (О; 1); 4) [-4; О]; 5) (- 00; -1)U(5;
+ (0);
6) [-1; 5]; 7) (- 00; + (0); 8) нет решений; 9) -2;
10)(-00; +(0).6.1)(-00;
+00);3)(-00; +(0);4) нет реше
ний; 5) :нет решений; 6)
хЕР: - I 7) нет решений;
8)
(-
00; + (0); 9)
(-00;+(0).В.1) ( - 2; +);3)нет
решений; 4) ~; 5) нет решений; 6) 0,4; 7) (-0,5; 3); 9) нет
решений; 10) -1,5. 2. В. Больше 7 м, но меньше 12 м. 3. В. Боль
ше4м.
134
Рис.. 63
8)
~~)I
с1
Ь
а)
,, , , ,\ ,\ ,\~_I//4
....
~
а
Ь
~
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕР ИАЛ
1. Если ставится задача найти множество общих решений
двух или нескольких неравенств, то ГОВОРЯТ, что надо решить
систему неравенств.
2. Значение переменной. при котором каждое из неравенств
системы обращается в верное числовое неравенство, называется
решением системы неравенств. Множество решений системы не
равенств есть пересечение множеств решений входящих в нее не
равенств.
3. Неравенства, входящие в систему, объединяются фи гур
ной скобкой. Иногда системы неравенств записывают в виде двой
ного неравенства. Например, систему { 3x-l >2, можно аапи-
3x-l<8
сать так: 2<3x-l <8.
4. Решение системы линейных неравенств с одной переменной
сводится к следующим случаям. Будем считать, что а-с.Ь:
{ х>а,. (1) {x>a~ (2) {x<a~ (3) {.х-«;а; (4)
х>Ь,
х «:б:
х-с.Ь;
х>Ь.
В случае (1) решением системы служит промежуток (Ь; + 00 )
(рис. 63, а); в случае (2) - промежуток (а; Ь) (рис. 63, б); в слу
чае (3) - промежуток (- 00; а) (рис. 63, в); в случае (4) систе
ма не имеет решений (рис. 63, г).
5. Две системы неравенств называются равносильными, если
они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим
§ 1. СИСТЕ М Ы И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
§ 1. СИСТЕ МЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
§.2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕ М Ы НЕРАВЕНСТВ
С ДВУМЯ ПЕР Е МЕ ННЫМИ
§ З. РЕШ ЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. СОДЕРЖАЩИХ
ПЕР Е МЕ ННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
§ 4. РЕШ ЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
М ЕТОДОМ ПРОМЕ ЖУТКОВ
ГЛАВА хн
136
Рис. 65
Рис. 64
з
{
х>2,
x~3,6.
х<8.
{
3х>6,
-5x~ -18,
l,7х<13,6;
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Решить систему неравенств:
1) { 1-5х> 12, 2) { 3х-6>О,
3) { х<о,
6х-18>О;
18-5х~О,.
21х2+39х-6<О;
1,7x-13,6<O,
4) { х2+х-6<О,
5) { r+x-6>O,
-x2+2x+3~O;
r+x+6>O.
Реш
ение.
1) Имеем { -5х> 12-1, {х<
-1; ,
6х> 18;
х>3.
На координатной прямой изобразим множество чисел, удовлет
воряющих последней системе неравенств
(рис. 64). Из рисунка
видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют
решений.
2) Заменим каждое неравенство данной системы равно
сил ь ным ему неравенством, получим систему
неравенствам. Равносильность
систем неравенств обозначается
так же, как 'и равносильность
систем уравнений, т.
е.спо
мощью знака <:>.
6. Если ставится задача найти множество всех таких зна
чений переменной, каждое из которых является решением хотя
бы одного из данных неравенств, то ГОВОРЯТ, что надо решить
совокупность неравенств.
7. Значение переменной, при котором хотя бы одно из вера
венств совокупности обращается в верное числовое неравенство,
называется решением совокупности неравенства. Множество ре
шений совокупности неравенств есть объединение множеств ре
шений входящих в нее неравенств.
Неравенства, образующие совокупность, объединяют квад
ратной скобкой. Например, запись[3Х-5< 1, означает, что нера..
2х+3>4
венства образУ1ОТсовокупность.
о
-2
Рис. 67
136
Рассмотрим функцию у=х2+х-6.
Корни функции: ХI = -3,
Х2=2.
Изобр ажая схематически пара болу у =х2 +;с - 6 (рис. 68),
найдем, что y=r+x-6<0,
если хЕ( -3; 2).
Рассмотрим функцию у=х2-2х-3. Корни функции: ХI = -1,
Х2=3.
Изобр ажая схематически пара болу у=х2-2х-3
(рис. 69),
найдем,чтоу=х2- 2х- 3~ О,если хЕ (- 00; - 1]ихЕ[3; + 00).
Изоб р азим на координатной прямой множество чисел, удов
летворяющих данной системе неравенств (рис. 7.0).
1
'1
(1)
Изобр азим на координатной прямой множество чисел, удов
летворяющих этой системе неравенств (рис. 67). Множество
р еш ений этой системы есть промежуток (- 2; О).
4) Умножим обе части второго неравенства данной системы
на - 1, получим систему
{
х2+х-6<О,
x2-2x-3~0.
Х
-6
Изобр азим на координатной прямой
множество чисел, удовлетворяющих послед
ней системе неравенств (рис. 65).
Множество решений есть промежуток
[3,6; 8).
3) Рассмотрим функцию у=21х2+
+39х - 6. Графиком этой функции являет
ся парабола, ветви которой направлены
вверх, так как а = 21 >о. Решим уравне
ние 21х2+39х-6=0. Имеем D=392+
+4·6·21 =2025>0;
-З9±45, Хl = -2, Х
1
42
2=7'
х
Рис. 66
о1
7
-2
у
Следовательно,
пара бола
пересекает
1
ось Ох в точках с абсциссами -2 и т.
Изобр азив схематически эту пара болу
(рис. 66), найдем, что y=21x2+39x-6<O , если X~ -2; +) .
Теперь данная система неравенств примет вид:
{
Х<О,
-2<х<+.
137
о
х
Рис. 71
у
если хЕ( - 00; -3)
(1)
{
х2+х-6>0,
х2+х+6>0.
Неравенство х2 +х - 6> О справедливо,
и х Е (2; 00) (см. решение примера 4").
Найдем КОQ_НИ функции у=х2+
+х+6:
D= 1-24= -23<0. Так
как D<O,то уравнение х2+х+6=0
корней не имеет. Это означает, что
пар абол а у=х2+х+6 не имеет об
щих точек с осью Ох.
Изображ ая схематически пара
болу у=х2+х+6 (рис. 71), най
дем, что х2+х+6>0 при любом
значении х.
Изобразим на координатной пря
мой множество чисел, удовлетворя
ющих системе неравенств (1) (рис.
72).
Та ким образом, множество решений системы (1) есть проме
жуток (-3; -1].
5) Дан а система
з
2
Рис. 69
х
Рис. 70
-1
-3
Рис. 68
138
{3+2X~4,
3+2х> -1.
Решив ее, найдем, что оба неравенства верны при - 2 < х ~ 0,5.
При мечание. Этотпримерможнорешитьтак:
-1<3+2x~4,
-1-3<2x~4-3,
-2<x~0,5.
2) Запишем данное двойное неравенство в виде системы
неравенств
Таким
образом, множество решений системы (1) есть
(- 00; -3)U(2; + (0).
2. Решить совокупность неравенств
[ 0,2(2х-З)<х-2,
5х-7>х-6.
Реш е н и е. Преобразуем
каждое из неравенств, получим
равносильную совокупность:
[
Х> ~.
Х>'4'
ДЛЯ первого неравенства множеством решений служит про
межуток( ~;+00) , адлявторого- промежуток(т;+00) •
Изобразим на ко ординатной прямой множество чисел, удовлетво-
7
1
ряющих неравенствам Х >""3 ИХ> '4 (рис. 73).
Находим, что объединением этих множеств, т. е. реше
нием данной совокупности неравенств, является промежуток
(т;+00) •
3. Решить двойное неравенство:
1) -1 <3+2x~4; 2) 1~ -2х-3<4.
Реш е н и е. 1) Запишем данное неравенство в виде системы
~
~~~~~
-3,5 -2
Рис. 74
Рис. 73
-~~
-3
2
Рис. 72
139
2. Решите двойное
неравенство:
Б. 1) -З<2х-I<3;
2) -12<5-x<17; 3) 2<6-2у<5;
б
6-х 1
4) -1 <5у+4< 19;5) -1 ~ 15х+ 14<44; ) ~ l~-з-·~ ;
4x-l
7) -1,2<1-2y<2,4; 8) -2<-з-~0.
з. Укажите допустимые зн ачения переменной:
А.1).у2х 4;2).у4 ба;3)~
; 4) -у-з (1-5х).
Б. l).yз 2х+.yl х; 2) .уб х+ .узх+9; 3) -{?- .у3х 1;
4) -{?+-.[ХГ+3; 5) ;fX--JЗx=Т; б) ~'-.уб
4х.
В. 1)
1
• 2) ~16-24х+9Х2 . 3) "'~2--x+42
"'144-9Х2 '
х+2'
х-1l
2) {Х>О,
4х2+5х~б>0;
4) {..х2+5х-::0,
,х> -7,
6) { (х2+ 1)(х2+3) (x2-2)~0,
х<3.
В. 1) { 21х2+З9х-6<0,
х>О;
3) { x2-144 >0,
х-з<о;
5) { х2+4х-5>0,
х2-2х-8<0;
2) {5Х+7 _ Зх < llx-7
6
4
12'
l-Зх _ 1-4x :::;;:.!...-1'
2
З:::::--- 6
'
4) { 3х-4<8х+6,
2х-l>5х-4,
llx-9~ 15х+3.
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
1. Решите систему неравенств:
А. 1) {...3.Х-l ...8..>.О,
2) {. 7x-14~0,
4х-12>0;
2x~8;
3)
{ 3'-2x~0,
4) { 2x+4~0,
4х+8<0;
4-3х>0;
5) {.2x+5~0,
6) { 10-2x~0,
9х+ 18~0;
4x-8~0;
7) {.3x+3~2x+ 1,
8) { 4x+2~5x+3,
3x-2~4x+2;
2-3х<7-2х.
{
-2Х-3<4,
-2x-3~1.
Первое неравенство верно при х> - 3,5,второе - при x~. - 2.
Используя координа тную прямую,
находим, что решени
ем системы служат зна чения х, удовлетворяюшяе условию
-3Д<x~·-2
(рис. 74).
спвхвочныв МАТЕРИАЛ
1. Неравенство с двумя переменными имеет вид f (х, у) > <р (х, у),
где f (х, у) и <р (х, у) - выражения с переменными. Решением
неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара
чисел (Хо; уо), обращающая данное неравенство в верное
числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти мно
жество всех его решений.
140
§
2. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
4) -v'х;~б~~х] 5) -Jx2 (х-2); 6) -R (~-2)
При
решении следующих у пражнений использовать теорему
Виета, зависимость количества корней квадратного трехчлена от
знака дискриминанта и др.
4. В. Установите, для каких значений а корни уравнения
r-2 (a-l) х+а+5=0:
1) положительные; 2) отрицательные; 3) имеют разные знаки;
4) совпадают.
5. В. При каких значениях k уравнение (k - 1) х2 - 4х+k +
+,2 =О имеет равные корни?
6. В. Найдите все значения k, при которых
уравнение
(k-4)x2-2(k-3)x+k=0
имеет положительные корни.
7. В. Найдите все значения k, для которых
при всех дейст-
вительных значениях х выполняется
He raBeHCTBo:
1) x2-(2+k)х+4>О; 2) (k2-I)x
+2(k-l)x+2>0;
3) (k2-1) х2+2 (k-l) х+2<О; 4) kr+2x~;:~):~9k+4<о.
ответы: 1.А. 1) (6; +00);2)[4; +00);3) (- 00; -2);
8) (-5; -1]. Б. 1) [1,3;2,5];2) (2,1; 3,5];3) [5; + (0); 4) (-2; 1).
В. 1) (о; ~); 2) (0,75; +00); 3) (-00; -12); 5) (1; 4);
6) (- 00; -~JU(-J2; 3). 2. Б.l) (-1; 2); 2) (-12; 17);3) (0,5;2);
4) (-1; 3);5)[-1; 2);6)[3;9];7) (-0,7; 1,1);8)(- ~;+].
3.А.1)[2;+00);2)(-00;+]; 3)[-+; +00);
4)[~; 00). Б.1)(- 00; 1];2) [-3; 6];3)[+;00);
4) (-00; +00). В. 1) (-4; 4); 2)[:; +00); 3) (-00; -6]U
U[7; ll)U(ll; + 00); 4) (-5; 6); 5) х=о, [2; + 00); 6) (2; + (0).
4.В.1)[4;+ 00);2)(- 5;-1]; 3)(- 00;-5); 4)а= -1 иа=4.
5. В. k= -3 и k=2. 6. В.(- 00;0)U(4;i4,51 7. в. 1) (-6; 2);
2) (-00; -3)U(1; +00); 3) (-1; 1); 4) (0,25; +00).
141
Рис. 77
Рис. 75
х
Рис. 76
УПРАЖНЕНИЯ
С
РЕШЕНИЯМИ
Изобразить множество решений
системы неравенств на коор
динатной плоскости:
то решением системы называется упорядоченная пара чисел, удов
летворяющая каждому из неравенств этой с истемы. Поэтому мно
жество решени й с истемы есть пересечение множеств решени й вхо
дящих в нее неравенств.
2. Множество решений
неравенства с двумя переменными мож
но изобразить графически
на координатной плоскости.
Например,
геометрическим
изображением
множества решений
линейного не
равенства ax+by+c~O является полуплоскость, расположен
ная над прямой ах+Ьу+с= О,
и
сама эта прямая (рис. 75), а
геометрическим
изображением множества решений
неравенства
r +у2 ~,2 - круг С центром в начале координат и радиусом ,
(рис. 76).
3. Если задана система неравенств с двумя переменными
{
{1 (х,у)><рl(х,у),
f2 (х, у) ><р2 (х, у),
142
Рис. 80
Рис. 79
Рис. 78
ответы. А.1)Рис.78;2) рис.79;3) рис.80;4) рис.81;
5) рис. 82. Б. 1) Рис. 83; 2) рис. 84; 3) рис. 85; 4) множество
решений каждо г о
из неравенств системы геометрически изобража
ется полуплоскостью (рис. 86, а, б). Границы полуплоскостей -
параллельные прямые, пересечение указанных полуплоскостей пус
то, следовательно, система' несовместна (рис. 87). В. 1) Рис. 88;
2) рис. 89.
x+y-I~O,
y-x+4~O,
5x+4y-38~O,
2x-y+3~O,
x~O,
y~O.
2)
или
Изобразите множество решений линейног о
неравенства
системы неравенств на координатной плоскости:
А. 1) х-у+ 1 ~O; 2) x+y-3~O;
3) х+3у+ 1 ;;::0;
4)
x~O;
5) y~O.
6. 1) y+x2-2x-2~O;
2) { x+y~O, 3) {x~o,
x-y~O;
y~O;
4) { 3х-2у-l ~O,
3x-2y+3~O.
В. 1) { х-у+ 1~O,
x+y-3~O,
х+3у+l ~O;
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Реш
е ние.
Для перво го
неравенства множество
решений
есть ,круг с центрои
в начале координат и радиусом 2, а для вто
ро го
- полуплоскость, распол оженная над прямой 2х+3у=О, и
сама эта прямая. Множеством решений данной системы служит
пересечение указанных множеств, т. е. полукруг (рис. 77).
143
х
б)
Рис. 86
а)
Рис. 85
х
Рис. 83
х
Рис. 84
Рис. 82
Рис. 81
у
144
С ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком
модуля, используется определение модуля:
If (x)I-{
f (х) при f (x)~O,
.
- -{ (х) при f (х)<О.
Кроме того, иногда бывает полезно пользоваться геометричес
кой интерпретацией модуля числа, согласно которой Ixl означа
ет расстояние
от точки х числовой прямой до начала от
счета, а Iх - а I означает расстояние на числовой прямой между
точками х и а.
§
3. РЕШЕНИЕ НЕРДВЕНСТВ, С ОДЕРЖАЩИХ
ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ М ОДУЛЯ
Рис. 89
х
(6;2)
Рис. 88
Рис. 87
145
1. Решите неравенство:
А. 1) 'х-31 ~2x+ 1;
2)
13х+ 11~7x-5;
3) Ix+51 ~2x-4.
Б. 1) 12(х-3)I <9х-5;
2) 12(х+ 1)1 ~3x+3;
3) 'x!x~x.
х2+81хl +7~O;
В. 1) 2x-lхl-l~О;
2)
3) x2-6Ixl-7~O.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решить неравенство:
1)
Iх-
11<3;
2) Iх+11>2- х;
3) Ix-21 ~x-2;
4 ) х2-2 Ixl-8~0.
Реш
е н и е. 1) На основании определения модуля данное не
равенство запишем в виде системы неравенств:
а){x-l ~O, б){ х-l<О,
x-l <3;
-(x-I)<3.
Решая первую систему неравенств, находим, что 1 ~ х < 4.
Решая вторую систему неравенств, находим, что - 2 <х < 1.
Множество решений данного неравенства (- 2; 4).
2) Данное неравенство можно заменить двумя системами:
а){х+1~O,
б){х+1<О,
х+ 1 >2-х;
-(х+ 1»2-x.
Решая первую систему, найдем, что х> 0,5. Вторая система
решений не имеет. Решением данного
неравенства является
(0,5; .+ 00 ).
3) Решим неравенство Ix-21 ~x-2.
(1)
Если x-2~0. то Ix-21 =х-2 и неравенство примет вид
x-2~x-2.
Если х-2<0, то 'х-21 = -(х-2) инеравенство
примет вид -(х-2);;?3х-2. Таким образом, данное неравен
ство можно записать в виде совокупности двух систем:
а) {X-2~0,
{ x~2.
x-2~x-2;
O~O;
x~2.
б) {х-2<0,
{Х<2.
-(x-2)~x-2;
x~2; х<2.
Решением неравенства является х Е ( - 00; + 00 ).
4) Пусть Ixl =и, тогда данное неравенство примет вид
и2- 2и- 8~ О,решая которое находим, что и~ - 2 или и~ 4
(рис. 90). Неравенство 'хl ~ -2 не имеет решений, решени
ем
неравенства Iх I ~ 4 является объединение промежутков
(- 00; -4)U(4; + (0). Следовательно, данному неравенству удов
летворяют хЕ( - 00; -4)U(4; + 00).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
146
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Решение р ациональных нер а венств вида ~ ~~ >О (~ ~:~<О ) .
где Р (х) и Q (х) - многочлены, основано на следующем свойстве
непрерывной функции: если непрерывн ая функция обр а щается в
нуль в точках Х. и Х2 (хl <Х2) и между этими точками не
имеет других корней, то в промежутке (ХI; Х2) функция сохр а
няет знак.
Поэтому для нахождения промежутков ан акопостоянства
функции у =f (х) поступают так. На коо рдинатной прямой отме
чают все точкилв которых функция f (х) обр ащается в нуль
или терпит р азр ы в. Эти точки р азб ивают координатную прямую
на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция
f (х) непрерывн а и не обр ащается в нуль, т. е. сохр аня
ет знак. Чтобы определить этот зн ак, достаточно найти знак
функции в какой-либо точке р ассматриваемого промежутка ко
ординатной прямой.
Изменение знаков функции f (:х) удобно иллюстрировать с
помощью волнообр азной кривой, которую чертят спр а ва н алево.
На тех промежутках, где кривая проходит выше координатной
прямой, выполняется нера венство f (х) >О;на тех же промежутках,
где кривая проходит ниже,- нер авенство f (х) <о.
§ 4. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ
2. Решите ур а внение:
В. 1) .у(х+ l? =2x-l~.
2) .у(1-2Х?= 1-2х;
3) .у(х-з?=х-з.
Ответы.1.А.1)(-
00;
;];
2) (- 00; 1,5]; 3) (- 00; 9].
Б. 1) (1; +(0);.2)
(-00;
-1];
3) [- 1; O]U[1; +00).
В.1)(-
00; -1 ]U[l; + (0);
2) (-
00; +(0);3) [- 7;71
2.В.1)2;2)(- 00; 0,5];
3) [3; + (0).
u
Рис. 90
у
+
+
+
+
+
о
о
о
о
..
о
о
о
"х
-3--2
О
1
х
-1
,2
Рис. 91
Рис. 92
-5
+
+
++
о
о
о
"х
-1
О
Рис. 93
'14 1
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
1 ) (х+3) (х+2) х (x-IJ>O;
2) (х-2)3 (х+ l)(x-l) (х2+2х+5)<0;
3) (х-3)2(х-2)х >0' 4) 7x- 12-r
<О' 5) I ~.+_321 ~2.
(х+l)4(х+5)
,
2Х2-х-3
'
....
Решение.
1 ) Многочлен Р(х)=(х+3)(х+2)х(х-l) обра
щается в нуль в точках х= -3; х= -2, х=о, х= 1. Эти точки
разбивают координатную прямую на промежутки (- 00; -3),
(-3; -2), (-2; О), (О; 1) и (1; + 00) (рис. 91), внутри каж
дого из которых функция Р (х) сохраняет свой знак.
Так как в промежутке (1; + 00 ) все сомножители положитель
ны, то и их произведение положительно, т. е. Р (х»О; в проие
жутке (О; 1) последний сомножитель х - 1 отрицателен, а осталь
ные три положительны, т. е. Р (х) <О;далее, в промежутке ( - 2; О)
Р (х) >0, в промежутке ( - 3; - 2) Р (х) <О, наконец, в провежутке
( - 00; - 3) все четыре сомножителя отрицательны, т. ,е. Р (х) >О.
в результате получаем ответ: х< -3, -2<х<0,
х:» 1.
2) Трехчлен х2+2х+5 при всех xER принимает положи
тельныезначения (так kakD=22-4.5<0). Поэтому данное нера
венство равносильно неравенству Р (х)=(х+ 1)(x-l)2.(x-2)3<0:
(располагаем множители в порядке возрастания корней). Полу
чаем следующие промежутки знакопостоянства: (- 00; -1),
(- 1;
1), (1; 2) и (2; + 00) (рис. 92).
В промежутке (2; + 00) все три сомножителя положительны,
и, значит, Р(х»О.
в промежутке (1; 2) сомножитель (х - 2)3 отрицателен,
а остальные два положительны, т. е. Р (х) <О.
в промежутке (- 1;
1)
знак второго сомножителя (х -
1)2
не меняется и Р (х)<О по-прежнему.
Наконец, в промежутке (- 00; -1) два сомножителя отрица
тельны, а один положителен, т. е. Р (х»о.
Итак, получаем хЕ( -1; 1)Щ1; 2).
3) Нанесем на координатную прямую точки х = - 5, х = -1,
х=О, х=2, х=3 и исследуем изменение знаков левой части нера-
148
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
t. Решите методом интер валов н ерав енство:
А. 1) (x-l)(х+2»О;
2) (x-l)(х+2)~О;
3) x2-5x~O;
4);~~>0;5);~~~O;6)x~5~O.
Решая пер во е неравенство, находим, что х<2 или x~7;
из второго нераве нства имеем х ~ + или х> 2. Окончательно
1
получаем, что х~ 3илих~ 7.
Из пер вой системы получаем 0~:~ ~ ~2, из второй -2~
~:~~ <О. Объединяя полученны е р езультаты, заключаем, что
2х+32
- ~--2~
.
х-
Итак, данное н ерав енство равносильно систем е
{
;~~ ~2,
{ ;=~
~O,
х+З ~ -2'
3х-l ~O
х-2 ~
,
х-2~.
7x-12-r <О. (х-4) (З-х) <О. (х-З)(х....;..4)>0
2х2-х-З
'(х+
1)(2х-З) '(х+
1)(2х-З) .
Отметив на координатной прямой точки х = - 1, х = ~
,х =3
и х=4 и исследова в изменение знаков л ев ой части неравенства
(рис. 94), получаем отв ет: (- 00; -l)U ( ~ ; 3) U(4; + 00).
5) L{aHHoe нерав енство равносильно двум системам:
а) {х+з ~O б) {х+З<О
х-2~,
х-2'
X+3~2'
_X+3~2
х-2~,
х-2 -...::::
.
ве нства (рис. 93). Решением н ерав енства служит объединение
промежутков (-5; -l)U(-l;
0)U(2; 3)U(3; + 00).
4) Разложим квадратные тр ехчл ены в числителе и знаменател е
на линейные множители:
Рис. 94
х
3-4
1,5
-1
+
+
+
149
1. Что значит решить систему неравенств?
2. Какие системы неравенств называются равносильными?
3. Что значит решить совокупность неравенств?
4. Что является решением неравенства _il +у2 ~ а2?
5. Каково множество точек плоскости, координаты которых удов
летворяют неравенству у ~ 2х2?
6. Что представляет собой на плоскости решение системы
неравенств
Контрольные вопросы
{
r-6x+5
О
2)
-зх2+2х-7 > ,
х2< 16.
Б. 1) (x2_1) ~x+3)<0; 2) (l-х2) ~x+3»0;
з)(х-з)2(х
-25)~0; 4) (х+3) (х -9)<0; 5) (х+3) (x2-9)~0;
6) 2>з·
7) x2-x-12
>0· 8) х2-4х-12 <О·
х
,
х-]
,
х-2
'
9) x2-4x-12 ~O; 10) I х+21 >2; 11) I _x_1 > -2.
х-2
х-З
x-l
В. 1) ,х2-2х-81 >5; 2) :~~ > ~:=~
; 3) 2X::-~~~6 ~2;
4) (х2+1)(х2+х+l)(х+5?>0;
5) (х+4? (х+5? (х-6) (x+3)~0.
2. Решите неравенство:
6. 1) х2+х+ Ixl + 1~O; 2) х2-4 'хl +3>0; 3) 1~x2~ 1.
В. 1) -ух (х+2» 0;
2) -ух (х-2)<0; 3) -ух (x-2)~0;
(2х-З) (4-Х)З ·х2
.
I51I
I2
4) (х-6)(х2+4х+6) ~O, 5) 2х+ - 3х-4 ~ х-4.
3. Найдите целые значения х, удовлетворяющие системе не
равенств:
В. 1) {ЗХ2-5Х-l < 1
х2+4
'
9х-2 >2_!_'
3
3'
Ответы:
1. А. 1) (-00;
-2)U(I; +(0); 3) (-00; O]U
U[5; +00); 4) (-00;
-2)U(I; +00); 5) (-00;
-2)U[1; +(0);
6) (- 00; 0]U(5; + (0). Б. 1) (- 00; -3)U( -1; 1); 3) (- 00; -5]U
U[5; 00), х=3; 4) (-00;
3), x=F-3; 7) (-3;
I )U(4; +00);
9) [-2; 2)U[6; + (0); 10) ( ~ ; 3) U(3; 8); 11) любое число, кро
ме х=l.
В. 1) (-00; l--{f4)U(-I;
З)U(1+-{f4; +00);
2) (- 00;
-2)U(O,25; I)U(4; + 00); 3) [2; 2,75)U[4; + (0);
4) (-5;+00); 5) [-3; 6],"х=-5 и х=-4. 2. Б. 1) Не имеет
решений; 2) (- 00; -З)U( -1; l)U(З; + 00); 3) (- 00; + 00).
В. 1) (О; + 00); 2) (О; 2); 3) [2; 00), х=О; 4) [1,5; 4]U(6; 00), х=О;
5)[-5;
-
~]u[1:; +00).3.В.1)2,3;2)2,3.
150
Хn+l >Хn.
5. Последовательность (Хn) называется убывающей, если каж
дый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего. т. е.
если Хn+ I <Хn для всех натуральных п.
1
1
1
Например, последовательность (Хn): 1'2' 3' ...
, -;;:....убываю-
1
1
I
шая, поскольку Xn+l -Хn=--п =tТ--;;:=
n(n+1) <О, т. е.
Хn+1 <Хn.
1
n(n+l)
>0. т. е.
n
n-t
п
n+l
возрастающая, так как Хn+ 1 -
х;
2n-l
'
3. Последовательность (хn) называется ограниченной, если су
ществуют два числа т и М, такие, что для любого п Е N имеет
место неравенство т ~ ХN ~ М. Например, последовательность (Хn):
1
1
1
1,Т, З' ...
, 7' ...ограничена, так как O<Xn~ 1.
4. Последовательность (хn) называется возрастающей, если
каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего,
т. е. если Хn+ 1> ХN дЛЯ всех натуральных n.
1
2
n-l
Например, последовательность (Хn): О, 2' 3'
=г>
СПРАВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
1. Бесконечной числовой последовательностью называется
функция, определенная на множестве натуральных чисел. Число
вую последовательность принято обозначать (Хn), где n'EN.
2. Пусть числовая последовательность задана формулой. Х",=
1
= 2n-l
. Это означает, что каждому натуральному п соответству-
ет определенный член последовательности (Хn). Придавая n значе-
11
ния 1, 2, 3, ..., получим последовательность (Хn):
1,3'6'...
,
§ 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
§ 1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕД ОВАТЕЛЬНОСТЬ
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
§4. СУММА БЕСКQНЕЧНО2 ГЕОМЕТРИЧЕСКОй про
ГРЕССИИ ПРИ 1ч1 <1.
ГЛАВА ХН]
151
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии:
1) 3; 7; ...; 2) -5; -1; ....
8. Если в формулу (3) подставить вместо а« его выражение
по формуле (2), то получим соотношение
S
2аl +d (n-l)
(4)
.п
2
•n.
9. Из опред ел ения разности арифметической прогрессии сле
ду ет, что аl+аn=а2+аn-l = ...,т. е. сумма членов, равноудален
ных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
(3)
Sn =(аl taii) • п.
6. Формула п-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
аn=аl +d (n-I).
(2)
7. Формула суммы п п ервых членов арифметической прог
рессии имеет вид:
(1)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Числовая после до вательность, каждый член которой, начи
ная со второго, равен предш ествующему члену, сложенному с
одним и тем же числом, называется арифметической прогрес
сией. Обозначение: +аl, а2,аз, ..., аn, ....
2. Из определ ения арифметической прогрессии следу ет, что раз
ность меж ду любым ее членом и ему пред шествующим равна од
HoMy И тому же числу, т. е. а2-аl=аз-а2= ...=аk-аk-l= ....
Это число называется разностью арифметической прогрессии и
обычно обозначается буквой d.
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn),
д остаточно знать ее п ервый член аl и разность d.
4. Если разность арифметической прогрессии - положитель
ное число, то такая прогрессия является возрастающей; если
отрицательное число, то убывающей. Если разность арифмети
ческои прогрессии равна нулю, то все ее члены равны меж ду
собой и прогрессия является постоянной последо вательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
После до вательность (аn) является арифметической прогресси ей
тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго,
является средним арифметическим пре дшествующего и последую
щего членов, т. е.
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
П-РОГРЕССИЯ
Из первого уравнения системы найдем аl = 3n- 1. Подста
вив это выражение вместо al во второе уравнение, получим:
3n2+n-114=О.
Решив квадратное уравнение, найдем два значения n:
19
19
п, = -3 и n2=6. Значение n= -3 не удовлетворяет условию
задачи, так как п должно быть натуральным числом.
При n=6 находим аl = 3·6-1 = 17.
4. Между числами 17 и 32 вставить пять таких чисел, чтобы
они вместе с данными числами составили арифметическую про
грессию.
Реш
е н и е. Дано: аl = 17, а7=32. Задача сводится к опреде
лению разности прогрессии по формуле аn=аl +d (n-l),
3 2= 17+d·6, d=2,5.
152
{
2=al-3n+3,
114=n (аl +2).
{
2=al-3 (n-l),
57= Qt+2 .n·
2
'
Реш
е ние.
1) Дано: а) =3 , а2=7, n= 15.Найдем разность
арифметической прогрессии:
d=a2-at=7-3=4.
По фор
муле (2)
aI5=al+d (15- 1)= 3+4.14=59.
2) Дано: аl = -5, а2= -1, n= 15.Найдем разность данной
прогрессии: d=a2-al= -1-( -5)=4.
a15=al +d (15-1)= -5+4.14=51.
2. Разность арифметической прогрессии равна 4, сумма пер
вых ее семи членов равна 105.Найти первый и седьмой члены
этой прогрессии.
Реш
е ние. Дано: d=4, S7=105.
Подставив заданные значения переменных в формулы а« =
= аl +d (n-l) и Sn (йt~йn)
n получим а7=аl +4.6, 105=
(й! +2й1).7 • Составим систему:
{
а7-аl
.
24,
a7+at=30.
Сначала сложим почленно оба равенства, а затем вычтем
почленно из второго равенства первое. Получим 2а7 = 54, 2аl
=6,
аl =3, а7=27.
3 . Найти первый член арифметической прогрессии и количе
ство членов п, если d= --3, аn=2 и Sn=57.
Реш
е н и е. Подставив заданные значения из условия задачи
в формулы аn=аl +d (n-l) и Б« (й\ +2йn) n, получим систему
уравнений:
153
т. е. (уn)-
арифметическая прогрессия.
7. Найти арифметическую прогрессию, если
аl +а5=24,
а2-аз=60.
Реш е н и е. Согласно условию получаем систему уравнений:
{ al+a5=24,
{a1+a.+4d=24,
{a.+2d=12,
а2аз=60;
(а . +d) (а . +2d)=60;
(а . +d)-12=60;
{al+2d= 12, {d+5= 12, {d=7,
al+d=5;
al+d=5;
al=-2.
Получили прогрессию - 2, 5, 12, ... .
8. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел.
Реш ение. Дано: al= 10,d= 1,аn=99. Поформуле (2) Най
дем номер последнего члена: 99= 10+ 1 (n-l), т. е. n=90.
По формуле (3) найдем сумму всех двузначных чисел:
S90 (10+99)·90
4905.
2
9. Решить уравнение 1+7+13+ ...+х=280, xEN, и сла
гаемые являются последовательными членами арифметической
прогрессии.
Реш е н и е. Левая часть уравнения представляет собой сумму
членов арифметической прогрессии, в которой аl = 1, аn==х,
d=6. Найдем n: аn=аl +d (n-l),
х= 1+6 (n+ 1), откуда
n=х+5.
.
6
Исполь зуя формулу суммы членов арифметической прогрессии,
имеем:
2n-7+2n-З
2
Найдем искомые числа и
запишем прогрессию: 17; 19,5; 22;
24,5; 27; 29,5; 32.
5. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прог
рессии (аn), если a6+a9+a12+a15=20.
Реш е н и е. Согласно свойству арифметической прогрессии
(п.9) имеем аl +а20=а6+а15=а9+а12. Следовательно, al +а20=
20
=2"= 10. Теперь по формуле (3) находим:
S20= 120-20= 100.
6. Последовательность (Уn)задана формулой ее n-го члена:
уn=2n-5.
Доказать, что (уn)-
арифметическая прогрессия.
Дока з а тельство. Для доказательства воспользуемся
характеристическим свойством арифметической прогрессии. Име
ем Уn-l =2 (n-l)-5=2n-7,
Уn+l=2 (n+ 1)-5=2n-3,
поэ
тому
154
1
1
5) Докажите,
что если числа Ь+с' а+с' а+Ь образуют
арифметическую прогрессию, то числа а2, Ь2,
с2 также
образуют арифметическую прогрессию.
6)
Найдите сумму: 1 +2+3+ ...+ 18+ 19+20+ 19+18+
+ ...+3+2+1.
7) Сумма первого и пятого член о в
возрастающей арифмети
ческой прогреесии равна 14, а произвед ени е 'второго ее
чле на
на четв ертый равно 45. Сколько чле но в
прогрессии
надо взять, чтобы в сумме получить 24?
8) Сумма второго и пятого чле но в арифметической прогрес
сии равна 18, а произвед ени е второго чле на
на третий равно
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
А. 1) а=7, d=4, n=13. Найдите аn и Sn;
2) а=2, d=2, n=40. Найдите аn и Sn;
3) а=56, d= -3, n= 11.Найдите а n и Sn;
4) а=2, аn=87, Sn=801. Найдите d и n;
1» an=21, n=7, Sn= 105. Найдите а и d.
Б. 1) Найдите пятнадцатый чле н
и сумму пятнадцати члено в
прогрессии 2, 5, 8, ....
2) Найдите п ервый член
и разность арифметической прогрес
сии, если аз=25, alO=- 3.
З) Найдите сумму десяти член о в арифметической прогрессии,
если а4= 10, а7= 19.
4) Сколько нужно взять члено в арифметической прогрессии,
чтобы сумма их равнялась 54, если а4=9, ag= -6?
В . 1) Числа - 100 и - 78 являются соответствен но седьмым и де
вятым чле нами арифметической прогрессии. Найдите пят
надцатый чле н
этой прогрессии и сумму ее первых пятнад
цати чле но в.
2) Четыре числа являются последовательными член ами ариф
метической прогрессии. Сумма первых трех равна - 21, а
сумма трех последних равна - 6. Найдите эти числа.
3) В арифметической -прогрессии третий и 'пятый члены равны
соответствен но 11и 19.Найдите сумму первых десяти чле
нов
этой прогрессии.
111
4) Докажите,
что если числа -,
-Ь ' - образуют арифме-
а
с
тическую прогрессию, то верно раве нство:
а) аЬ+Ьс+ас=3ас; б) ~+~=2.
с
а
ХI =55,
Х2= -61
(не
удовлетворяют уравне нию, так как
d>O). Итак, х=55.
280 , х2+6х-3355=0 ,
Sn= 1+Х. х+5 (1 +х)(х+5)
2
б'
12
155
8. Если в формулу (3) подставить вместо Ьn его выраже
ние по формуле (2), то получится соотношение
(3)
bnq-b . (q=F 1).
q-l
6. Формула n-го члена геометрической п р о греесии имеет вид:
bn=b1qn-l, где nEN.
(2)
7. Формула суммы n первых членов геометрической пр о г рессии
имеет вид:
(1)
21. Найдите этх п ро грессию, если известно, что второй ее
член - натуральное число.
Ответы. А.1)55;403;3)26;451;4)5;18;5)9;2.Б.1)44;
345; 2) 33; -4; 3) 145; 4) 9 или 4. В. 1) -12; -1335; 2) -,.12;
-7; -2; 3;3)210;6)400; 7)4;8)-1; 3;7;....
§3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
СПРАВОЧНЫй МАТ Е Р ИАЛ
1. Числовая последовательность, первый член которой отли
чен от нуля, а каждый член, начиная со второго,
равен пред
шествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю
число) называется геометрической п р о г реесвей.
Обозн ачение: :7Ь" Ь2, Ьз, bll, ....
!
2. Из оп ределения геомстр ической п ро гресси и следует, что от ]
ношение любого ее члена к п редшествующему равно одному и
тому же числу, т. е. ь2:ы~ьз:ь2= •..
- ьn:ьn-I=ьn+i:ьn= •....
Это число называется знаменателем геометрической п ро г рессии
и обычно обозначается буквой q.
3. Для того, чтобы вадать геометрическую пр о г рессию (Ьn),
достаточно знать ее первый член Ь1 и знаменатель q. Нап р имер,
условиями Ь 1 = 4, q = - 3 (q < О) задается геометрическая пр о
грессия 4, - 12, 36, - 108... . Эта п р о г рессия не является ни
возрастающей, ни убывающей последовательностью.
4. Если' q>O (q=l= 1), то пр о г реесия является монотонной
последовательностью. Пусть, нап р имер, Ь1 = -2, q=3, тогда гео
метрическая п р о грессия - 2, - 6, - 18, ... есть монотонно убываю
щая последовательность.
Если q=1, то все члены
пр о г рессии равны между собой.
В этом случае п р о г рессия является постоянной последователь
ностью.
5. Характеристическое свойство геометрической пр о г рессии.
Последовательность (Ьn) является геометрической пр о г рессией
тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго,
есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
3. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прог
рессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше
четвертого на 4.
156
3069.
3.(21°_1)
2-1
т. е. 635= 127Ь1, откуда Ь1 = 5.
Найденное значение Ь 1 = 5 подставим в уравнение (1), полу
чим Ь7=64·5=320.
2. Сумма первого и третьего чле нов геометрической прогрес
сии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму
первых десяти членов.
Реш е н и е. Составим систему уравнений:
{ Ь, +Ьз= 15, {Ь1 (1 +q2)= 15,
(1)
Ь2+Ь4=30;
btq (1 +q2)=30.
Разделив почле нно второе уравнение системы (1) на первое
уравнение, получим q =2. Подставляя
н айденное значение q в пер
вое уравне ние, находим Ь 1 =3.
По формуле (4) найдем S10:
64Ь\·2-Ь\
2-1
(1)
Ьв=6·з7 = 13 122.
Для
нахождения S8 используем формулу (4):
S8 6.(38-1) 19680.
3-1
2) Для
н ахождения Ь7 используем формулу (2):
b7=b1·26=64b1•
Для
нахождения Ь1 используем формулу (3):
УПРА Ж Н ЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. В геометрической прогрессии:
1) Ь1=6, q=3, n=8; найти ЬN и Sn;
2) q=2, n=7, Sn=635;
найти Ь1 и ЬN•
Реш е н и е. 1) Для того чтобы найти Ь8, используем форму
лу (2):
9. Из определе ния
знаменателя геометрической прогрессии
следует, что Ь1Ьn = b2bn-1 = ...•т. е. произведение членов, равно
отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
(4)
157
Разделим почленно второе
у равнение системы (2) на первое
2
1
1
J
у равнение,
получим q =9"' откуда а, = -3' q2=з,
1
Если q= -З' то b1 =27, Ь2= -9, Ьз=3, Ь4= -1.
1
Если q=з, то bt=54, Ь2= 18, Ьз=б, Ь4=2.
Отв ет. 54;18;би2или27;-9;3;- 1.
4. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрес
сию, равна 15. Если к ним прибавить соответственно числа 1,4 и 19,
то получатся три числа,
составляющие геометрическую прогрес
сию. Найти эти числа.
Реш
е н ие. По условию аl +а2+аз= 15. Так как a2-al =
=аз-а2, то 2a2=al +аз. Из условия имеем а2+2а2= 15. Отсюда
3а2= 15, а2=5. Тогда аl =5-d, а2=5, аз=5+d.
По условию
b t=al + 1=6-d, Ь2=а2+4=9, Ьз=аз+ 19=
=5+d+19=24+d.
Используя формулу
(1), можно записать, что b~ = Ь1 • Ьз,
тогда имеем:
92=(6-d) (24+d).
(1)
Решим уравнение (1), получим d1=3, d2= -21.
Тогда аl =2 или а. =26. Получаем две тройки чисел: 2; 5; 8
и 2б; 5; -16.
5. Сумма трех чисел, являюшихся последовательными чле
нами арифметической прогрессии, равна 21. Если второе число
у меньшить на единицу, а третье
у в еличить на единицу, то полу
чатся три последовательных члена геометрической прогрессии.
Найти эти числа.
Реш
е ние. Пусть
a t, а2, аз - члены арифметической прог
рессии. Тогда al, а2- 1, аз+ 1 - члены геометрической прогрес
сии. В результате приходим к системе уравнений
{ аl+а2+аз=21,
(а2- 1?= а! (аз+1),
первое уравнение которой получается из условия задачи, а вто
рое - на основании характеристического свойства геометриче
ской прогрессии. Выразив все
величины через а1 и d, получим:
{ at+al+d+at+2d=21,
{al+d=7,
(а!+d-l?=at
(а1+2d+ 1); б2=аt '8+d);
{
al=7-d,
{at=7-d,
{a1=7-d,
3б=(7-d) (8+d); d2+d-20=·O;
[dt=4,
d2= -5;
(2)
{ ыl (l-q)=3б,
blq2 (1-q)=4.
Реш
е н и е. Согласно условию имеем Ь1 =Ь2+3б и Ьз=Ь.+4.
Составим
систему:
{
ыlьtq+3б,'
Ь1q2=Ь1qЗ+4;
158
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Найдите сумм у:
А. 1) Десяти первых членов прогрессии: 10; 20; 40; ...,
2) семи первых членов прогрессии: 5; 15; 45; ...;
3) семи первых членов прогрессии: - 4; 16; -64; ;
4) восьми первых членов прогрессии: 3; - 1; +;
.
6. 1) Пяти первых членов прогрессии: ~
;1;-v-4; ,
213
2) п первых членов прогрессии: ""3; 2""; "8; ...;
'3) п первых членов прогрессии: -У6; 3-{2; з-У6; ....
2. А. 1) ы~=5,
q = -Т, n=6. Найдите Ьn и Sn;
2) Ьn=128, q=2, n=7. Найдите Ь1 и Sn;
3) ы~=3,
q=2, Ьn=96. Найдите п и Sn;
4) ы~=81, Ьn=-10 ~ . Найдите q и Sn, если n=6.
6. 1) Первый член геометрической прогрессии равен 1, сумма
третьего и пятого членов 90. Найдите прогрессию.
2') Три числа, сумма которых равна 114, можн о 'рассматри
вать как три последовательных члена геометрической
прогресеии или как 1, 4, 25-й члены арифметической врог
россии. Найдите эти числа.
З) Числа, выражающие длину, ширину и высоту прямо у г оль
ног о параллелепипеда, образуют геометрическую прогрес
сию, объем параллелепипеда равен 216 м3, а диагональ
-.;f36-4 'м. Найдите 'измерения параллелепипеда.
4\) Между числами 1 и 16 вставьте три таких числа, чтобы
о ни вместе с данными числами образовали геометрическую
прогрессию.
5) Разность между первым и вторым членами геометрической
прогрессии равна 8, а сумма втор ог о и третьего ее членов
равна 12. Найдите прогрессию, если известно, что она явля
втся убывающей.
В. 1') Найдите прогреесию из шести членов, зная, что сумма
трех первых равна 112, а трех последних 14.
2) Три числа, составляющие геометрическую прогрессию, да
ют в сумме 26; если к этим числам прибавить соответственно
1, 6 и 3, то п ол учатся три числа, составляющие геометриче
скую прогрессию, Найдите числа, составляющие геометри
ческую прогреесию.
Итак, получаем ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.
или {аl = 1'2,
d=-5.
{
аl=3,
d=4
159
1. Найти сумму бесконечной прогрессии
2,-~ •.~., 2~,....
Реш ение. Поформулеs=I~q получимs- (1 ) =
з
1- -3'
=2'
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
СПРАВОЧНыА МАТЕРИАЛ
1. Пусть (хn) - геометрическая прогрессия
со знаменателем q,
где Iql < I и х, ,*0. Суммой бесконечной геометрической прогрес
с ии, знаменатель которой удовлетворяет ус л овию Iql < 1, назы
вается
предел
суммы п первых ее членов при п -+ 00.
2. Обозначим
сумму бесконечной геометрической прогрессии
через S. Тогда справедлива формула
S=~
I- q'
§ 4. СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ ПРИ Iql<l
3) Сумма трех чисел,
со ставляющих
арифметическую про
грессию, равна 30. Есл и
из второго члена этой прогрессии
вычесть 2, а остальные чис ла
оставить без изменения, то
получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числ а.
4) Сумма трех чисел,
со ставляющих геометрическую прогрес
сию, равна 93. Есл и
из первого числ а вычесть 48, а осталь
ные числ а
оставить без изменения, то получится арифмети
ческая прогрессия. Найдите эти чис л а.
5)
Есл и
из четырех чисе л,
со ставляющих
арифметическую
прогрессию, вычесть соответственно 2, 7, 9 и 5, то получатся
числа,
с о ставляющие геометрическую прогрессию. Найдите
числ а,
со ставляющие арифметическую прогрессию.
6) Четыре числ а
со ставляют геометрическую прогрессию.
Если
из первого числ а вычесть 11, из второго 1, из третьего 3,
а из четвертого 9, то получится арифметическая прогрессия.
Найдите эти числ а.
Ответы. 1.А. 1) 1О230; 3) - 1;3108;4) li;~.
Б. 1) 19:{б+30; 2) ~ (1 _ (]_ )n); 3) ;[6(-ff- 1) .
12
3
4
-../3-1
1
104
2 133
2.А.1)-625;4625;2)2;254;3).6;189;4)-3;"3'
Б. 1) q= +3; 2)2; 14;98; 3) 18Х6Х2 м;4) 1;2; 4.;8; 16;.5) 16;8;
4.В.1)64;32;16;8;4;2;2)2;6;18;3)4;10;16или 16;10;4;
4)3;15;75или 75;15;3;5)5;13;21;29;6)27;9;3;1.
160
0,58(3) = 15~+ l°!!.~~)=15~o+3~O= 172.
3. В равносторонний треугольник со стор он ой
а вписан новый
треугольник, вершинами которого служат середины стор он
дан
ного треугольника;
в эт от треугольник тем же спос об ом вписан
новый треугольник и т. д. (рис. 95). Доказать, что последо ва
те.ПЬНОСТЬплощадей полученных треугольников является геометри
ческой прогрессией. и найти сумму их площадей.
Реш
е н и е. Находим:
_
_а2 ./3.
_
_а2 -/3. _
_a2.j3
.
Sl-SAABC-4- '
S2-SAMNP-l"6""' SЗ-SI:l.КLF---М и т. д.,
_
a2.j3 .
_ a2.j3
S,,+ 1
a2.j3 4"
1
sn-4R, Sn+l- 4"+1 .
-g;-= 4,,+1· a2.j3=4'
т. е. это
о тношение есть величина постоянная. Следо вательно,
(Sn) - геометрическая прогрессия (по определению).
_1
XI
a2-J3
а 2-JЗ
Так как q-4<1, то S l-q
(1
3'
4 1-4)
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Найдите сумму:
1
1
1
1
1
1
А. 1)
1+2+4+"'; 2) 1+3+9+"'; 3) 1-3+9-"';
1
1
4) 1-2+4-'" .
Б. 1)~+-fiз+~=Л+ ...; 2) -I5+#+-!f+ ...;
-../2+1 1 1
. 2+-vГз
2-.;з
.
3) ~-~+-2
-, .., 4) ~-l
+----=-r.i-... ,
,,2-1
2-,,2
2-,,3
2+-,,3
5)~+_3_+2vГз-3+
..
-JЗ+ 1
2
р
Рис. 95
58
0,58333
... =iOQ+
+( 1~oo + 1О~oo +...).
Выражение в скобках пред
ставляет собой сумму беско
нечной геометрической прогрес
A'-------"Io.....-----c
сии, у котор ой Х\ =0,003, а
q=0,000з:о,оО3=О,1. Следо ва
тельно,
2. Обратить
перио дическую
др обь 0,58(3) в обыкновенную.
Реш
е н и е. Данную дробь
можно записать в виде
в
161
6 В. с. Крамор
Ко нтрольные вопросы
1. Какая
числовая последовательн о сть
н азывается
арифмети
ческой ПРQгрессией?
2. Как определяется разно сть арифметической прогрессии?
3. Какому условию удовлетворяет разн ость
арифметической
прогрессии, если эта прогреесия является возрастающей (убы ..
вающей) последовательн о стью?
4. Какими свойствами обладают
члены
арифметической прог
рессии?
5. Докажите, что в арифметической прогрессии
ak+ak±2 kEN
ak±l
2
'
•
6. Обоснуйте для члено в
арифметической прогрессии
справедли
вость следующих равенств:
а) ak±1 -ak=ak+2-ak±1; б) al +
+ak=a2-!-ak-l.
7. Напишите формулу суммы п первых членов арифметической
прогрессии. Докажите ее справедливость.
8. Дайте определение геометрической прогрессии.
9. Какой пос ..ледовательно стью является геометрическая прог
рессия, если: а) q>O; б) q<O; В) q= 1;г) O<q< 1;д) а;»l?
10. Сформулируйте характеристическое
свойство геометрической
прогреесии.
11. Докажите, что b~=bn-l· bn±l, п EN, п ~2.
12. Обос нуйте для член о в
геометрической прогрессии
справедли-
вость следующих равенств:
а) :2 = ~3 ; б) bI.bk=b2.bk-l,
kEN, k~2.
I
2
13. Чему равна
сумма k члено в
геометрической прогрессии, если
знаменатель прогрессии равен 1?
14. Напишите формулу суммы беско нечно й
геометрической прог
рессии.
15. Обратите периодическую дробь О, (6) в обыкновенную, исполь
зуя формулу суммы бескон ечно й
геометрической прогрессии
при Iql <1.
В. 1) В квадрат,
стор о на
которого равна
а, вписан
другой
квадрат, вершинами котор ого являются
середины
стор он
данно го квадрата; в этот квадрат
аналогично
вписан
но
вый квадрат и т. д. Найдите сумму длин сторо н
и сумму
площадей всех квадратов.
2) В круг радиуса а вписан
квадрат, в квадрат вписан
круг,
в этот круг - втор ой квадрат и т. д. Найдите сумму пло
щадей всех кругов и сумму площадей всех квадратов.
.
.
2
3-{6.
Ответы.
1. А. 1) 2,3) 0,75,4) 3' Б. 1) -2-'
3) 16+;l-Y2; 5) -JЗ+ 1. В. 1) (13 +13 ).а(2+Б );:2) 2л а2 и 4а2•
Рис. 97
в
162
Рис. 96
СПРА80ЧНЫЯ МАТЕРИАЛ
1. Фигура, состоящая из двух различных лучей с общим
началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом.
2. Если стороны угла образуют прямую, то такой угол на
зывается развернутым. Величина развернутого угла равна 1800.
3.
Отметим на оси Ох справа от начала координат точку А
и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 96).
Радиус ОА называется начальным радиусом.
4. у словились:
если повернуть начальный радиус около точки О по часовой
стрелке, то угол поворота считать отрицательным;
если повернуть начальный радиус около точки О против ча
совой стрелки, то угол поворота считать положительным.
На рисунке 96 показаны повороты на - 640 и на +64 О. В
первом случае начальный радиус перешел в радиус ОС, во вто
ром - в радиус ОВ.
5. За единицу измерения углов и дуг принимают соответст
венно угол в 1 градус и дугу в 1 градус (обозначают 1О) •
§ 1. ГРАДУС Н ОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1 ГРАДУС НОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
§2. РАДИАННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН
§ э. СИ НУС И КОСИНУС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
§ 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА.
СЕКАНС
И КОСЕКАН С числх а
§ 5. ОС НОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖдЕСТВА
§ б. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОйСТВА ТРИГОНОМЕТРИ
ЧЕСКИХ ФУНКUИй
ГЛАВА XIV
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Выразить 8 радианах величину угла А. если А = 150°.
Реш е н и е. 150°= 150·1~ paд=5~ рад.
2. Выразить в градусах величину угла <х. если <х =4.5 рад.
163
а·180 градусов.
(2)
n
7. Длина дуги в а радиан определяется по формуле
C=a·R (R - радиус окружности).
(3)
8. Длина дуги в А о определяется по формуле
nRAO
С= 1800 •
(4)
9. Из формулы 1800= n следует:
а)3600=2п;б)900=;; в)600=~; г)300=; ит.Д.
6. Из равенства (1) следует, что угол, равный а радианам,
содержит
(1)
Ап
а= 180.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Рассмотрим еще одну единицу измерения величины угла -
радиан.
2. Угол в 1 радиан есть центральный угол, опирающийся на
такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окруж
ности (рис. 97).
3. Если начальный радиус совершит один полный оборот, то
получится угол, равный 3600 или 2п радианам.
4Р
10
2п
~
.
адианная мера равна 360 = 180 •
5. Если угол содержит А О, то его радианная мера равна
§ 2. РАДИА ННОЕ ИЗМЕРЕН ИЕ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧ ИН
6.Уголв1о- этоугол,
который опишет начальный радиус,
совершив з~ часть полного оборота вокруг своей начальной
точки против часовой стрелки.
7.~
часть градуса называется минутой (обозначают 1').
1
8. 60 часть минyrы называется секундой (обозначают 1").
ДИДАКТИЧЕ СКИв МАТЕРИАЛ
1. Данные углы выразите в радианах:
A~ 1) 300; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°; 5) 120°; 6) 160°.
Б. 1) 17°; 2) 24°; 3) 315°; 4) 1000°; 5) 15°15'.
В. 1) 17°15'; 2) 10°5"; 3) 35'20".
2. Найдите угловую величину дуги в градусах, если ее ра
дианная мера равна:
А.1);; 2)2;3)125°?
Б.1)tg:;2)~л;3)1~; 4)7л;5)52л.
В. 1) cos О,5п;2) - О,75п;3) sin90°+cos0°- ctg : .
3. В какой четверти оканчиваются углы:
А. 1);; 2)2;3)125°?
Б. 1) 2160; 2) ъ« З) О,80?
В. 1) 2~Л; 2) 100; 3) -О,(3)?
4. А. 1) Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось
на 14 зубцов против часовой стрелки. Выразите в радианах
угол поворота колеса.
2) Определите радианную меру дуги, длина и радиус которой
равны соответственно 11 см и 20 см.
Б. Определите длину дуги окружности радиуса 25 см, если:
1) радианная мера дуги равна 1,25 рад;
2) градусная мера дуги равна 144°.
164
S
Зя 202
2
=4·2= 150п см .
С= 16·:=4п см.
4. Найти площадь сектора радиуса 20 см, если дуга сектора со-
3л
держит 4 радиана.
Реш
е н и е. Площадь сектора в k радиан определяется фор
kr2
мулой S=2' где , -
радиус круга. Поэтому площадь сектора
равна:
1800
Реш
е н и е. 4,5 paд=4,5.-~2580.
л
3. Найти длину дуги окружности радиуса 16 см, если дуга
л
содержит 4 радиана.
Реш
е н и е. Длина дуги в k радиан определяется формулой
C=kR. Поэтому
165
СПРА В О ЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Рассмотрим
единичную окружность, Т. е. окружность с
центром в начале координат и радиусом, равным 1 '(рис. 98).
На единичной окружности отметим точку РО (1; О). При повороте
начального радиуса около центра О на угол а радиан точка
РО (1; О) перейдет в некоторую точку Рае Обо значим координаты
этой точки Ха И Уа. (Заметим, что поворот можно осуществить
как в положительном, так и в отрицательном направлении.)
2. Определения:
а) Синусом угла а называется отношение ординаты точки
Р: К радиусу. Таким образом, sin сх= ~ .
б ) Косинусом угла а называется отношение абсциссы точ
х
ки Ра К радиусу. Таким образо м, cos a=/i.
3. Каждому
углу
а
соответствует единственная точка
Ра (Ха;
Уа.)
и, следовательно, единственное значение синуса и
косинуса этого числа. Таким о бразом, sin а и cos а являются
функциями числового а ргумента. (Заметим, что в курсе геометрии
мы рассматривали sin а и cos а как функции угловой величины а,
а не числа а.)
4. Основное соотношение между sin CL и cos а. Координаты
любой точки Р а. (Ха.; YI1.) единичной окружности удовлетворяют
уравнению: х2 +у2 = 1 (это следует из прямоугольного треуголь
ника, катеты которого Ixal и IYal, а гипотенуза равна 1; см.
рис. 98). Отсюда sin2 a+cos2 а=l, где aER.
Из этой формулы следует, что: а) sin а= ±-Vl-cos2 а;
б) cosа=±-V1- sin2 а.
5. Значения синуса и косинуса некоторых чисел. В практн
ческих вычислениях часто использу ются значения синуса и коси
нуса, приведеиные в таблице:
В. Найдите радианную
м еру угла сектора, длина дуги которого:
1) втрое меньше периметра сектора;
2) составляет половину периметра сектора.
5. А. Радиус сектора равен 5 см, а его площадь 75 см2•
Найдите радианную
меру дуги сектора.
Б. Радианная
мера дуги равна 2, а площадь сектора равна
256 см". Найдите радиус сектора.
В. Радиус окружности равен 36 см. Найдите периметр и
7
площадь сектора, дуга которого содержит 9 радиана.
Ответы.4. А.1) ~; 2)0,85. Б. 1)31,25см; 2) 62,83см.
В.1)1;2)2.5.А.6.Б.16см. В.100см.
§ 3. СИНУС И КОСИНУС числового АРГУМЕНТА
166
Рис. 100
6. Знаки значений функций синуса и косинуса. Знаки sin а
и cos а определяются знаками ординаты Уа.И абсциссы Ха.соот-
ветствующей точки единичной окружности. Если О<а< ; (Ра. В
первой координатной четверти), то числу а соответствует точка
окружности Рь, координаты которой Ха.>О и Уа.>О. Следова-
тельно, на числовом промежутке (о; ;) sin а> О и cos а> О
(рис. 99). Если ; <а<п (Ра.во второй координатной четверти),
то, рассуждая аналогично, получаем sin а> О,
сова<О
(рис.
1 0 0 ). Если п<а< ~ n (Ра. В третьей координатной
о
n
n
n
n
3п
2п
cz
6" 4"
32n2"
sin cz
О
1
-у2
..JЗ
1
О
-1
О
2'2"2
1
...j З
-у2
1
О
-1
О
1
cos cz
2"
2"2
167
УПРАЖНЕНИЯ
С
РЕШЕНИЯМИ
1. Определить знак произведения
sin 670 cos 2670 сов 3750 sin ( - 680) cos (- 680). sin 2.
Реш
е
и и е. sin 670> О, так как угол 670 является углом
первой ч е тв ерти, а синус в первой ч етв ерти положител ен.
сов 2670 <О, так как угол 2670 является углом третьей
чет
верти, а косинус 8 этой ч е тв ертя отрицателен.
че тв ерти), то имеем sin а.<0, сов а.<0 (рис. 101). Если : п<
<а.<2п (Ра. в ч ет вертой координатной ч е тв ерти), то sin а.<0,
cos а. >О (рис. 102). Схематич ес ки знаки sin а. изображены на
рисунке 103, а, а cos а. на рисунке Ю3, 6.
Рис. 103
б)
х
у
Рис. 102
х
8)
у
Рис. 101
cos 3750>0, так как угол 3750 является углом первой чет
верти, а косинус в этой четверти положителен.
sin (-680)<0, так как у г о л
-680 является у г л ом четвертой
четверти, а синус в этой четверти отрицателен.
cos (-680»0,
так как угол
-680 является у г л ом четвертой
четверти, а косинус в этой четверти положителен.
sin 2> О, так как у г о л, величина которого 2 радиана, является
у гл ом второй четверти, а синус во второй четверти положителен.
Следовательно, произведение положительно.
2. Сравнить значения выражений:
sin 450; cos (-900).; sin 2100;sin 1800;cos (-45°) ..
Реш е н и е. sin 450= f; cos (-900)=0; sin 210°= -+;
sin 1800=0; cos (-450)= f.
о т в е т. sin 2100<sin 1800=cos (-900)<sin 450=
=cos (-45°).
3. Доказать тождество
(sin a+cos a?+(sin a-cos a?+sin4 a-cos4 a+cos2 а=
=2+sin2 а.
Доказательство.Влевойчасти тождества произведем
у казанные действия и приведем подобные члены, получим:
2+sin4 a-cos4 a+cos2 a=2+sin2 а.
Левую часть равенства преобразуем так:
2+(sin2 a+cos2 а)~sin2a-cos2 a)+cos2 а=
=2+sin2 a-cos a+cos2 a=2+sin2 а.
Следовательно, 2+sin2 a=2+sin2 а. Тождество доказано.
4. Вычислить значение cos (х, если sin а= -Т, где n<a<
3
<т=
Реш е н и е. Найдем значение косинуса, используя формул у
сов а= ±.уl - sin2 а. Имеем
cos а = ±А= -+-vв;.
Выясним, какой знак надо оставить перед корнем. По усл овию
п<а< ~ Л, т. е. Ра. принадлежит III четверти, а косинус в этой
четверти отрицателен. Следовательно, перед корнем надо оставить
-{63
знак «минус». Итак, сов а = -в.
168
169
Определения:
1. Тангенсом числа а называется отношение ординаты точки
Рь К ее абсциссе (рис. 98). Таким образом, tg a=..!L.
х
2. Котангенсом числа
а
называется отношение абсциссы
точки Р« К ее ординате (рис. 98). Таким образом, ctg а=..!...
у
3. Значения тангенса
и котангенса
для чисел О; ~; :;
n11
321 2
..
Ф
t
sin а
О
-3;-2 ; п;-2; зt легко наитииз ормул gа=--,cos а..=1= и
cos а.
ctg a=C?S а,
sin a=;l=O (значения sin а и cos а возьмем из табли
вш а.
ЦЫ § 3 этой главы).
СПРА_ОЧНЫй МАТЕРИАЛ
§ 4. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА.
СЕКАНС И КОСЕКАНС ЧИСЛА а
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
1. Определите знак
произведения:
А. sin 50° cos 60° sin 188° сов 189°.
Б. sin 210° sin 465° cos 465° cos 540°.
В. sin 3650 cos 7250 sin а, если cos а> о.
2. Сравните значения выражений:
А. sin 30°; cos 30°; cos 180°; sin 90°.
Б. sin (-300).; cos 60°; cos (-180°).; sin 360°.
В. sin 00; cos 90°; cos 2700; sin 1800; sin 270°; cos 180°.
з. Упростите выражение:
А. 1) 1-sin2 х; 2) l-cos2 х; 3) sin2 3x+cos2 3х-l.
cos2 х
Б. 1) 5in2x-l+cos2x+(l-5inx)(1+sinx);
2) 1-sin2x.
В. 1) 2-sin2 6x-co52 6х;
2) 2 sin2 x+cos2 х-l +(I-sinx) (1+sin х).
4. Вычислите значение sin а, если:
А. 1) сов a=i-, 00<а<900; 2) co5 а= -i-, 900<а<1800.
Б. 1) cos a=i-, 2700<а<3600; 2) сое a=i-, -1800<а<00.
В. 1). cos a=i-, 5in а<О; 2) cos а= -+, sin а>О.
5. Докажите тождество:
А. sin4 а+5iп2 а сов" a+cos2 а= 1.
Б. (5iпЗ а+СО5З а): (5in a+co5 a)+5in а cos а= 1.
В. 5in4а+ со54а- 5in6а- сов"а= 5in2а сов"а.
Ответы.2. В.5in270°=cos1800<вгп00=сов900=
= cos 2700= sin 1800.
170
2) 6 соз%(-2400). ctg 210"
. s in (-300°)· сов" 1800
1. Найдите значение выражения:
А. 1). 2 sin 300cos 300tg 300ctg 300; 2). tg 450ctg 450- 1;
3). sin ( - 300).ctg 300+ sin 600; 4). tg 450 sin 600 ctg 300- 1,5.
6. 1). sin a+sin 2a+sin 3a-sin 4a+sin 5a+sin ба, при
а=300•
2) ( tg Т+tg ~.) 2 при а=900•
1)
sin2 3150cos 3000+ tg ( -3150) .
В.
,
sin (- 120°) соз 150°
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
4. Знаки значений функций тангенса
и котангенса. Знаки
значений тангенса
и котангенса можно определить по знакам
значений синуса и косинуса. Так как в 1 и 111четвертях знаки
значений синуса и косинуса одинаковые, а именно в 1 четверти
sin а>О и cos а>О, а в 111 четверти sin а<О и cos а<О, то
в этих четвертях tg а>О и ctg а>О.
Так как во 11и IV четвертях знаки значений синуса и косинуса
разные, а именно во 11четверти sin а> О,cos а < О,а в IV четверти
sinа<О,cosа> О,то в этих четвертях tgа<Ои ctgа<О.
Заметим, что знаки значений тангенса и котангенса можно лег
ко определить по знаку ординаты и абсциссы.
5 . Секансом числа а, называется величина, обратная cos а,
т. е. sec a=_I_. , cos a=FO.
cosа
6. Косекансом числа а называется величина, обратная sin а,
т . е. cosec a=_._l_, sin a=FO.
SIП а.
оnn
n
n
3
2п
а
6'т3
2'
л
"2П
Не су-
Не су-
tg
а
О
-УЗ 1 .уз
ществу-
О
ществу-
О
"3
ет
ет
Не су-
Не су-
Не су-
ctg а
ществу-
-УЗ l
.уз
О
ществу-
О
ществует
ет
"3
ет
.
л.
SIП"2 1
=--л-=О (не имеет с мысла).
cos2'
Приведем таблицу этих значений:
Аналогично
находим. ос тальные значения. Заметим, что для
некоторых чисел tg а и ctg а не сущест вуют.
Например, tg ; =
171
11. Разделив обе части равенства (1) на sin2 а, получим:
ctg2 а+ 1 =±=cosec2
а ( sin а*О).
(12)
вша
(8)
Добавим к ним следующие:
8. Из формул (4) и (5) следует, что
tg а.ctg а= 1, sinа* О,cosа* О.
9. Из формулы (8) следует, что
tg a=-t-1_, sin а*О, сов а*О:
(9)
cga
ctg a=-t-1-, sin а*О, cos а*О.
(10)
ga
10. Разделив. обе части равенства (1) на сов" а, получим:
tg2 а+ 1=~=sec2
а (cos а *0).
(11)
cos а
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
МЫ уже рассмотрели тождества:
1. sin2 a+cos2 а= 1, aER.
2. sin а= ±..yl -cos2
а.
3. cos а= +..yl-sin2 а.
sin а
4. tga=--,
cosa*O.
cos а
5. ctg а=C~S а , sinа*О.
S1П а
6. sec а=-·_1_, cos а*О.
cos а
7. cosec a=-.-I_, sin а*О.
SIП а
§ 5. ОСНОВНЫЕ
ТРИГОНО;,\ЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
2. Определите знак
произведения:
А. 1) sin 1000 cos 1000 tg 2300 ctg 3200 tg 3;
2) -siп 500 tg 1700 (--cos (-1000))ctg (-6400)sin 5300~
з. Какой знак
имеет произведение:
В. sinх tg3 Х cosх ctgх sec3х при:
а ) 00 <х<900; б) 900 <х< 1800;
в) 1800 <х<2700; г) 2700 <х<3600?
Ответы.1.А.1)f;2)О;3)0;4)О.Б.1)2.В.1)~;2)3.
2. А. 1) Отрицательно; 2) положительно. з. а) Положительно;
б) положительно; в) отрицательно; г) отрицательно.
172
-06
3
ctg a=o;t-=
-т·
з. дано: sin x+cos x=k. Найти sin4 x+cos4 х.
Реш е н и е. Доп олним выражение sin4 x+cos4 х до квадрата
двучлена:
sin4 x+cos4 x=(sin2 x+cos2 х?-2 sin2 х соз" х=
=1-2sin2 хcos2 х= 1-2(sin хcosх)2.
Возведем обе части равенства sin x+cos x=k в квадрат. По
лучим 1+2 cos х sin x=k2, откуда sin х cos x=k2;-1 . Тогда
1-2( sin х cos х?= 1-2( k2; 1) 2 =0,5+k2-O,5k4•
Следовательно,
t
сое ct
сgа=sinа. '
t
0,8
4
gа= -0,6=-3";
t а=sin а
.g
cosа'
2. Дано: cos а= -0,6,900 <а< 1800;вычислить значения ос
тальных триг он ометрических функций.
Реш е н и е. Используем тождество sin а = ±-,Jl - cos2 а. Пе
р ед радикалом
ос тавим знак «П.ПЮС1». потому что синус ВО вто р о й
четверти пол ожителен. Таким образ ом,
sin а=-../1-0,36=0,8;
- tg2а.sin2ct
-ctg2 а сов"ct
sin2а- tg2ct
сов" ct - ctg2 а.
sin2 Ct-tg2 ct
1. Упр о стить -;;----=-n
сов"ct- ctg2 ct •
Реш е н и е. Будем полагать, что данное выражение имеет
смысл при всех допустимых значениях а.
Упр о стим числитель:
sin2 a-tg2 a=tg2 а (сов" а-l)= __tg2 а sin2 <Х.
Упр о с тим знаменатель:
со 5 2 a-ctg2 a=ctg2 а (sin2 a-l)= -ctg2 а сов" С1..
Таким образом,
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
173
4. Дано: sin а + cos а =k. Найдите:
А. sinа.cosа.
Б. сов"а+sin3 С%.
В. sinа- cosа.
атветы. 1.А.2) о.Б.2)tg2а.В.1)_._1 -; 2)cos2а- sin21'%•
вша
2. А. 1) 2; 2) -.[3(1+-УЗ). Б. 1) --4; 2) 1;. В. 1) 9+;
2) 1.3.A~1)cosа=0,8,tgа=0,75,ctgа= ~.Б. 1)sinа= - ~,
cos а= --51, ctg а=0,5. В. 1) ctg a=k, sin а= -_,.; ,
-vk +1
k
k2-1
k (3-k~
_ rn-il
cosa=-
....Jl+k2• 4. А. -2-· Б. --2-·
В. ±-v2-k.
2)cosа
1. Упростите:
А1)
1 S i n~~ .ctg2 а; 2) (sin а-соз a)2+(cos a+sin а)2-2.
-SIП а
Б. 1) (tg x+tg y):( ctg x+ctg у);
2) (1+tg4 a):(tg2 a+ctgZ а).
В. 1) sin a-.yctg2 a-cos2 а, если 1800<а<3600;
2) -V l-sin2 ; +-V l-cos2
;,
если 3п<а<4п.
2. Вычислите:
А. 1) cos 600+ 2 sin 300++ tg2 600- ctg 450;
2) 3 cos 1800+5 ctg 2700-2 tg 00+3 tg 1800-tg 600.
Б1)
sinа+cosа
t
3
•
sin a-cos а' если g а=5;
2) sinаcosа
t
3
sin2 a-cos2 а ' если с g а=4·
В. 1) 3sin2а+12sinаcosa+cos2 а ,если tg а=2;
sin2a+sin а cos а-2 сов"а
2) sin 1500sin 2400- tg 3600cos 3150- ctg (- 300).sin2 3300+
+3 tg2 300.
3. Вычислите значения остальных тригонометрических функ
ций, если известно значение:
А. 1) sin а=0,6, 00<а<900;
2) sin а= -0,6, 2700<а<3600•
Б. 1) tg а=2, 1800<а<2700;
2) ctg а= -3, 2700<а<3600.
В. 1) tg a=k-I,
1800<а <2700;
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
Рис. 105
у,
174
Рис. 104
у
ctg (_а)=_Х_= _..!..= -ctg а,.Т. е. ctg (- а)= -ctg а.
-У
у
sin(- а)=
-;_у,=- ~= -sin а,т.е.sin(-а)= -sin а;
cos( - а)=
~ =cos а, т. е. cos(-a)=cos а;
tg (- а)=
-У =_JL=-tg а,Т.е.tg(-а)= -tg а;
Х
Х
§ 6. ДОПОIlНИТEJlЬНЫЕ СВОйСТВА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
СП Р АВОЧНЫй МАТЕРИAJI
1. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не из
меняются при прибавлении к данному углу целого числа обо
ротов.
2. При повороте радиуса ОА на угол а получим радиус ОВ
(рис. 104), тот же радиус получится и при повороте ОА на угол,
огличающийся от а на любое целое число оборотов. Этот факт
позволяет свести нахождение значений синуса , косинуса, тангенса
и котангенса любого угла к нахождению их значения дяя неотри
цательного угла, меньшего 3600.Например,
cos7850 =cos (2 ·3600+65°)=cos 650.
3. Формулы, выражающие зависимость между
синусами,
косинусами, тангенсами
и котангенсами противолежащих
у глов.
Пусть координаты точки В равны х и у (рис. 105). Тог
да координаты точки С равны х и -у. Пользуясь этим, най
дем:
175
Контрольные вопросы
1. Назовите единицы измерения величины угла.
2. Что принимаетс я
за 1о; за 1 радиан?
3. По каким формулам вычисл яется
длина дуги, выраженная в
градусах; в радианах?
4. По каким формулам вычисл яется
площадь сектора, дуга кото
рого выражена в градусах; в радианах?
5. Величина угла равна k градусов. Выразите величину этого уг
ла в радианах.
6. Величина угла равна k радиан. Выразите величину
этого
угла в градусах.
7. Выразите в радианах углы: 180°, 270°, 360°.
8. Дайте определение единичной окружности.
9. Что называется
синусом числа а?
10. Что называется
косинусом числа а?
11. Почему sin а и cos а являются
ф ункциями числового аргу
мента а?
12. Какая
формула выражает зависимость между функциями
sin а и cos а? Из чего она следует?
13. Докажите, что катет, лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы.
14. Укажите знаки значений sin а и cos а, если Р« принадлежит:
а) первой координатной четверти; б) второй координатной
четверти.
ДИДАКТИЧЕСКИй
МАТЕРИАЛ
t. Найдите значения
синуса, косинуса, тангенса и котангенса
угла а, если:
1) а=7500;
2) a~8100;
З) а= 1260°; 4) а=З900;
5) а=4200;
6) а=5400;
7) а, = 450°;
8) а,=4050•
2. Найдите значение выражения:
1) sin (-300); 2) cos (-60°); З) tg (-450); 4) ctg (-300);
5) cos(-900);
6) sin(-45°); 7) sin(-900);, 8) sin(-7200);
9) cos (-405°); 10) cos (-780°); 11) ctg (-1110°); 12) tg (-900°).
, з. Какой знак имеет:
1) sin 181О; 2) cos 280°; 3), tg 175°; 4) ctg 358°; 5) сов (-116°)?
Ответы. t. Значения
синуса данных углов: 1) +; 2) 1;
3) О; 4) 0,5; 5) -V:; 6) О; 7) 1; 8) ~. Значения косинуса данных
углов:1)f;2)О;3)-1; 4)~; 5)0,5;6) -1; 7)О;8)"'f.
2.1)-0,5; 2)0,5;3)-1; 4)-...J3;5)О;6) -~; 7)-1; 8)О;
9) if; 10) 0,5; 11) -...J3; 12) о. 3. 1), З), 4) и 5) отрицательный;
2) положительный.
15. Укажите знаки значений sin а. и cos а, если Ра, принадле
жит: а) третьей координатной
ч етверти; б) четвертой коорди
натной
ч етверти.
16. Верно ли неравенство: 1) sin а> 1; 2) cos СХ> 1; 3) sin а. < -1;
4) cosа<- 1;5) IsinаI~ 1; 6) IcosСХI~ 1?
17. Как вы понимаете выражения sin 1о и sin 1? В чем их раз-
личие?
18. Что больше: cos 20 или cos 2?
19. Дайте определение тангенса и котангенса числа сх.
20. Назовите какое-либо значение
а, при котором формула
~па
П
tg СХ= --
не имеет смысла. оясните почему.
cos а
21. Назовите какое-либо значение
сх, при котором формула
t
cos а
П
С g СХ=s i n а не имеет смысла. оясните почему.
22. Какие знаки. имеют tg сх и ctg а в каждой из координат-
ных четвертей?
23. Что называется секансом и косекансом числа а?
24. Назовите все известные вам тригонометрические тождества.
25. Верно ли, что: а) Iseca.l>l;
б) Iseca.l<l;
В) Icoseccxl>
>1; г) Icosec аI<1?
3. Для облегчения запоминания приведенных формул нужно
использовать следующие правила:
)
Ф"
п
Зл
Ф
а при переходе от ункции углов '2 -+- а, 2+ а к ункциям
угла а название функции изменяют: синус на косинус, тангенс
на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов п+сх, 2п±а к функциям угла
а название функции сохраняют;
б) считая а острым углом (т. е. О<а< ~) , перед функцией
177
Аргумент ct
Функция а.
л
:It
3л
Зп +а
т-а 2+а. л-а n+а "2-а
2п-а 2п+а
2
sin а
cos а. соз а s1nа -sin а -cosa -cosa -sina sin а
сов а
зше -sinа -cosa
-cos а -sina sinа cosа cosа;
tg а;
ctg а -ctg а. -tg а tg а ctga. -ctga -tga
tgа
ctg а.
tgа -tgа -ctga ctgа tgа -tg а -ctga ctgа;
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕР ИАЛ
1. Формулами приведения называются соотношения, с по
мощью которых значения тригонометрических функций аргумен-
л
з.n....L
2
тов т± (1., я ±(1"
2....!... (1"
Л +а, выражаются через значения
sinа,cos(1., tgаиctgа.
2. Все формулы приведения можно свести в следующую таб
лицу:
§1.ФОРМУЛЫ ПРИВ ЕД ЕНИЯ
§ 1. ФОРМУЛЫ ПРИ ВЕД ЕНИЯ
§2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
§ 3. ФОРМУЛЫ ДВОйНОГО УГЛА
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПРОИЗВ ЕД ЕНИЯ
ТРИГОНО
МЕТРИЧ ЕСКИХ ФУНКЦИй
В
СУММУ
§ 5. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМ ЕННЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧ ЕСК ИХ
ФУНКЦИЙ
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ ПОЛОВ ИННО
ГО АРГУМЕНТА
§ 7. ВЫРАЖЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧ ЕСКИХ
ФУНКЦИй
ЧЕР ЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
ГЛАВА ХУ
178
Функция
Аргу
О
п
п
п
п
2п
3n:
5п
"6
4"
з
23"Т6"
sin а
О
1
-12
.уз
1
.уз -12
1
222
222
l
.уз -12
1
О
1
-12
.уз
сов е
22"2
-2-2-2
.уз
Не су-
~
tga
О
3"
1
.уз щесгву- -.уз
-1
-з-
ет
Не су-
.уз
~
ctg а
ществу- .уз
I
3
о
-3 -1
-JЗ
ет
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
1. Привести к тригонометрической функции острого угла:
1) sin 1914°; 2) cos 1914°; 3) cos (-1560°); 4) sin (-1560°);
5) tg 23,7п.
Решен и е.
1) sin 1914°=sin (360°.5+114°)-sin 114°=sin (90°+24°)=
=cos 240 (у синуса период 360°, или 2п).
.
2) cos 1914°=cos (360°·5+ 114°)=cos 114°=cos (90°+24°)=
= -sin 24° (у косинуса период 360°, или 2п).
3) cos (-15600)=cos 1560°-cos (360°·4+ 1200)=cos 120°=
= cos (900+ 300)= - sin 300= - 0,5.
Здесь использовали соотношение соэ (- а) = cos а.
4) sin (-1560°)= - sin 1560° = - sin (3600. 4 + 120°)=
= -sin 1200= -sin (900+300)= -cos 300= -.уз.2
Здесь использовали соотношение sin (- а) = - sin а.
5) tg 23,7n~ tg (23n+0,7n)=tg (0,7n)=tg (п-О,3п)= -t g
О,3п.
2. Упростить выражение
tg (l800-a) cos (180°-а) tg ( 90°-а)
sin (90°+а) ctg (900+а) tg (900+а) •
угла а ставят такой знак, какой имеет приводимая функция углов
п
3п
т±а, п+а, -г±а.
4. Исходя из известных значений тригонометрических функций
некоторых углов (см. главу XIV), соответствия между градусной
и радианной мерой величины угла и формул приведения, можно
составить таблицу значений тригонометрических функций для
н аиболее часто встречающихся значений аргумента (см. ниже).
179
мент а
7п
5п
4п
3п
5п
7п
I1п
2п
n
"64"3
"2
34"""6
о
1
-J2
-..[3
-1
-J3 -J2
1
О
-2 -2" -2"
-"2 -2" -2
-1
-..[3 -J2
1
О
1
-J2 -J3
1
-2" -2" -2
22"
2"
,f3
Не су-
,f3
О
3
I
,f3
ществу- --J3
-1 -3
О
ет
Не су-
-JЗ
-JЗ
-JЗ
--J3
Не су-
ществу-
I
3
о
-3 -1
ществу-
ет
ет
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАJI
1. Замените тригонометрической функцией угла а:
А. 1) sin( ; -а) ; 2) cos(~n+a) ; 3) tg.(~n_a) ;
4) ctg( ~+a) ; 5) sin (я-а); 6) cos (п+а);
Реш
е ние.
tg (1800 -а) cos (1800 -а) tg (900 -а)
(-tg
а) (-c os
а)ctgа.I
sin (900+а) ctg (900 +а) tg (900+а)
c o s а (....:..tgа)( -ctg
а)= .
3. Упростить выражение
cos(a-900)+sin (a-1800)+tg2 (1800-a)+ctg2 (а-180°).
Реш
е ние.
co s(a-900)=c os (-(900-a»=co s (900-a)=sin а.
Здесь мы использовали соотношение cos(-a)=c os а.
sin (a-1800)=sin (-(1800-а»= -sin (1800-а)= -sin а.
Здесь мы использовали соотношение sin( - а) = - sin а.
tg2 (180°-a)=(tg (180°-а)? =( -tg
а)2=tg2 а.
ctg2 (a-1800)=(ctg (а -1800»2=(ctg (-(180° _а»)2 =
=( -ctg
(1800-a)?=(ctg {l800-a)?=( -ctg a)?=ctg2 а.
Здесь мы использовали соотношение ctg (- а) = - ctg а и свойст
во степени с четным показателем.
Теперь данное выражение можно записать в виде
sin a-sin a+tg2 a+ctg2 a=tg2 a+ctg2 а.
'80
(7)
(8)
4. Формулы котангенса суммы и разности двух аргументов:
(
)
t-tg аtgв
ctgа+13- tgа+IgJi '
ctg (а - (3) =....!..+tg а t~ .
tga-tg ~
(5)
(6)
tg a+tg ~
l-tg а tgf} ,
tg a-tg ~
1+tg аtgf}•
tg (a+~)
tg (a-~)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin (a+~)=sin а cos ~+cos а sin~,
(1)
sin (а- ~)=sin а cos ~-cos а sin ~.
(2)
2. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
cos (а+ ~)=cos а cos ~- sin а sin f},
(3)
cos (a-f})=cos а cos f}+sin а sin f}.
(4)
3 . Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов:
7) tg(n- а);8) ctg(n+ а);9)sin(360°+а);
10) cos(36 00-a); 11) ctg(36 00 -a); 12) tg(3 60 0+a);
13) sin (900-a)-cos (1800-a)+tg (l800-a)-ctg (2700+ а).
Б. 1) sin (а-900);
2) cos (а-л); 3) ctg (а-3600);
4) tg(-a+2700); 5) sin2(1800+a);
6) cos2(2700-a);
7) tg2 (900+ а); 8) ctg2 (3600
- а);
9) cos (а-900)
+tg (а-1800) cos(1800+а) sin (2700+а) .
sin (l800-a)
tg (2700+а)
,
10) sin2 (l800-a)+tg2 (1800+а) tg2 (2700+a)+sin(900+a)X
Х cos(а- 360°).
2. Вычислите:
В. 1) (sin 26001Sin6200 tg 185°tg 805°) (вес" 800°-1);
2) (sec 352°-sin 172°ctg 2620)(сов" 1000+cos2 3500)-cos 80;
3) sin 8100cos 9000+tg 585°ctg 1845°+cos 135°sin 405°;
4) cos 105°-sin 195°+sin(-135°);
5) tg 18°tg288°+sin 32° sin 148°-sin 302°sin 122°.
3 . В. Докажите, что если А, В и С - углы треугольника, то:
1).А+В
С•
А+В
С
вгп
2
cos"2' 2) tg 2
ctg"2 .
Ответы.
1. А. 13) 2cosa. Б.9) cos2a; 10) 2.2. В. 1) 1;
2)О;3) -0,5;4)-f;5)О.
§2.ФОРМУЛЫСЛОЖЕНИЯ
181
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Найдите значение выражения:
А. 1) cos 240 cos 31о - sin 240 sin 31о -cos 550;
2) cos 1070 соэ 170+ sin 1070 sin 170;
3) sin 630 cos 270+ cos 630 sin 270;
4) sin 51о cos 21о - cos 51о sin 21о.
Б. 1) ...f2 siп( ~ +а) -cos a-sin а;
2) 2 cos (600-а)-
--.j3 sjn a-cos а;
3) -!2 sin (а-450) -sin a+cos а;
4) -{3 cos а-2 cos (а-300) +sin а.
Реш
ение.Имеем:
tg а tg f3+tg. у (tg f3+tg a)=tg а tg 13+tg( т -(а+ 13») х
X(tg fJ+tg a)=tg а tg f3+ctg (a+~) (tg l1+tg а)=
=tgаtgf3+1- tgа;tgfJ(tgа+tg13)=
tga+tgfJ
=tg ct tg 13+ l-tg а tg 13=1.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Вычислить без таблиц: 1) sin 1050; 2) tg 150.
Реш
е н и е. 1) Представим 1050 в виде суммы 600+450. Тогда
sin 105°=sin (600+450) =sin 600 cos 450 +sin 450 cos 600=
=:1i . jj_ +jj_ .з, =-Ji(~ га+ 1)
22
22
4 --уй
•
2) Представим 150 в виде ра зности 450 -300. Тогда
tg 15°=tg (450-300) tg450-tgЗОО
2--v'3.
1 +tg 450tg ЗОО
2. Вычислить cos(а- 11), если cosа= -: ' sin~=-: и
ЗлЗлА2
п<а<т, 2<fJ< л,
Реш
е н и е. Находим зн ачения sin а и cos ~ с учетом четверти,
которой принадлежат
Ра И Pf'J.
sin а= -"fl-cos2 а= --J 1-( _: )2=- ~;
cos~="fl
SinГl3~
=:.
Подставляя
найденные зн ачения в соотношение (4), получим:
cos(а-1)=-: .:+(-~).(- ~)=-:s.
3. Док азать, что
tg а tg ~+tg fJtgy+tg у tg а= 1, если a+f3+y= ~ .
182
§ а ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО
УГЛА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1 . Из формул синуса и косинуса суммы получаются формулы
синуса и косинуса двойного угла. Если в соотношениях
sin (a+p)=sin
а cos~+sin рcosа,
cos (а+ ~)=cos а cos ~-sin
а sinр
положить а=р, то получим:
sin2а=2sin а cosа,
(1)
cos 2а =сов"а - sin2 а.
(2)
2. Выразив правую часть формулы (2) через одну тригоно
метрическую функцию (синус или косинус), придем к соотноше
ниям
л
5л
tg"9 +tg 36
4)
Вл 5л
1;
l+tg "9tg 36
В. 1) cos а sin (a-3)-sin
а cos (3-а) +~.
c os (3-30°)-0,5 sin 3
гз'
2) sin 900-tg (450+а) tg (450+~ +tg 4а;
tg (45°+a)+ctg (450-3а)
3) tg( i +") +tg( i -,,)-1;
l-tg( ~ +а) tg( ~ -а)
5) 1+tg а tg ~ cos (a-~).
cosаcos~,
6) ctga+ctg (900-а)- .1
;
вша cosа
7) tg (a+~)-tg a-tg ~-tg (а+М tg а tg ~;
8)tga+tg ~+tga-tg ~ 2
tg(a+~)
tg(a-M
.
Ответы.1.А.l)
0;2) 0;3) 1;4) 0,5. 6.1) 0;2) 0;3) 0;4) О.
77
36
84
В.l) 85; 2) 85"; 3)85"; 4) 1. 2. В. 1) О;2) О;3) О;4) О;5) О;6) О;7) О;
8) О.
В..1) sin(а+~),еслиsin а= 1~ ,cos ~=: ,а и~- углыпервой
четверти;
2) cos(а+ ~),еслиsin а= 1~ ,cos ~=:'а и~- углыпервой
четверти;
3) cos(а- ~),еслиsin а=187 ,cos ~=; ,а и~- углыпервой
четверти;
4) sin (a+~), если sin а= 491' sin ~= ~~O,
а - угол второй
четверти, ~ - угол четвертой четверти.
2. упростите.
183
=_
(sin 2a-cos 2а)2
sin 2a-cos 2а
(cos 2a-sin 2а.) (cos 2a+sin 2а)
sin 2(%+cos 2(% •
4. Доказать, что sin 100 sin 500 sin 700=t.
Реш е н и е. Умножив и разделив левую часть равенства на
2 сов )00, получим:
'2 ('os 100sin IОО sin 500 sin 700 sin 200 sin 500 sin 700
2 сов \()О
2 cos \00
2 sin 2а cos 2a-sin2 2a-cos2 2а
cos2 2a-sin2 2а
cos 4а
sin 4а
cos 4а
tg 4a-sec 4а
УП Р АЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Вычислить без таблиц: sin 75° sin 15°.
Реш ение.
sin750sin150 = sin(90° - 15°)sin 150=
=cos 15° sin 150 2 С05 15; sin 150 sin 2300
~.
2. Упростить l-cos (~ -зл) -cos2 : +sin2 : •
Ре шение. I-cos (~-Зл)
-cos2 ~ +sin2 ~ =1-
2
4
4
-cos (Зп-~) - (cos2 ~ -sin2~) = 1+cos ~ -cos.!!. . =1.
2
4
4
2
2
ЗД
t
4
4
sin 2a-cos 2а
.
оказать тождество g а - sec а sin 2а +С05 2(%•
Реш ение.
(6)
4. Полагая в формуле тангенса суммы а = I}, получаем форму
лу тангенса двойного угла:
t
2
2tg(%
(5)
gа
l-tg2 (%.
Эта формула справедлива при а =1= : +~k, где kEZ, и
a=t= ~ +пm, где mEZ.
5. Кроме перечисленных выше формул (1) - (5), полезно
знать и формулы
sin За=З sin а-4 sin3 а, cos За=4 сов" а-З cos а,
tg За
3 tga-tgЗ а
1-3
tg2а .
(4)
1 +С05 2а
2
cos 2а= 1-2 sin2а, cos 2а=2 сов"а-l.
(3)
3.
Из формул (3) можно выразить sin2а и cos2а через
cos 2а:
184
.tg;.
а
+cos"2
1+cos а+соз
;
2сов" ;
sin-i(2СО5i +J )
соs ; (2СО5 ; +1)
2.а
а+.а
SlП 2 cos2" S1П 2"
.+.а
~_
5l П2
7. Упростить выражение:
.+.а
51П а 51П'2
1) 2 sin2 (450+ 1,5а.)-1; 2) 1-8 sin2 а со в"а; 3)
.а
1+co5 a+cos2"
Реш е н и е. 1) Вынесем __:'1 за скобки и воспользуемся
формулой (З):
2 sin2 (450+ 1,5а)-1 = -(1-2 sin2 (450+ 1,5а.»=
= -(cos 2 (45°+1,5а»= -cos (90О+За)=siп За.
2) Воспользуемся формулой (1), получим:
1-8 сов" а sin2 а= 1-2·4 sin2a cos2 а= 1-2.(2 sin а cos а?=
=1-2 sin22а, а это
выражение по формуле (З) равно cos 4а.
Таким образом, 1- 2 sin2 2а = cos 4а.
3) Имеем:
sinа=2sin~cos~,1+cosа=2cos2~ •
Разложим
числитель и знаменатель данного
в ыражения на
множители:
6. Дано: sin а.= 0,8, 00<а.<900. Вычислить:
1) sin 2а.; 2) cos 2а.; 3) tg 2а..
Реш е н и е. 1) Найдем cos а.: cos a.=-Vl-sin2 а=
=-.../1-0,64=0,6.
Значения функций sin а. и cos а подставим
в формулу sin 2а =
= 2 cos а sin а. Получим sin 2а.= 2·0,6·0,8 = 0,96.
2) Значения дву х функций sin а и cos а подставим
в
формулу
cos 2a=cos2 a-sin2 а, получим cos 2а=(0,6?-(0,8)2= -0,28.
З) Значения sin 2а и cos 2а подставим
в
формулу tg 2а =
sin 2а
t2
0,96
24
=cos2a' получим g а= -0,28= =э:
sin 800
СОЗ' 100
=2.4 СОЗ 10°
8cos 100
8
5. Доказать тождеств о
З+4 cos 2a+cos 4а=8 со в"а.
Реш ение.
З+4 cos 2a+cos 4а=2+4 cos 2а+ 1 +
+cos 4а=2+4 cos 2а+2 сов"2а=2 (1+2 cos 2a+cos2 2а)=
=2 (1+cos 2а)2=2 (2 со в"а?=2.4 сов"а=8 сов "а.
sin 200 cos 200 sin 500 sin 400 sin 500 sin 400,cos400
2 cos 100
2·2 cos 100
4 сов
100
Б. 1)
cos2а , 2)
cos а
3)
~~:~O.
400·'
cos а-siп а
.а
а
cos
вш
вш 2"-cos"2
4) 4 sin ~sin(90° -~) sin (2700-а)' 5) sin2.a ctg а .
2
2
'sIП
2а'
6) (sina~cos а? 7)( cos~ + cos.a ) sin2а.
1 +вш 2а'
1+вш а
1-вша
'
8)
sin2a
.9)t(1
2
). 10) l+cos(l800+a)
1 +cos 2а'
сgа-cosа,
sin О800-а) .
В1)(tа t
а)
t 2а. 2) ctg(450-а).
•
С gз-
gз
gз,
ctg2 (45-а)-I'
3) './0 ,5-0,5-JO,5+0,5 cos а при OO~a~ 360°;
1+а.
а
cos -2 -slП -2
. (800+ )
4)
;5)
s1П
а
;
1
а.
а
.(
а).
(700 а)
-cos 2-SlП 2"
4 вш 200+4" вш
-4"
6) cos 20° cos 40° cos 800; 7) tg (a+45°)+tg(a-45°)-2tg2a.
2.1)Пусть sinа= 15з и ~<а<л.
Найдите: а) sin 2а;
б) cos 2а; в) ctg 2а.
2) Пусть tg а=: и n<а< 32зt • Найдите: а) sin 2а; б) cos 2а;
в) ctg 2а.
3) Пусть cos а= -0,6 и л<а<32зt.
Найдите: а) sin 2а;
б) соз2а;в)tg2а.
Ответы. 1.А.1) 2cosа; 2) sinа; 3) tg2а; 4) сов"а;
5) sin200; 6) 2sin500; 7) 1; 8) ctg~. Б. 1) cosa+sinа;
2) -( соз
~ +sin ~);3) cos400-sin 40°;4) -sin 2а; 5) 0,5;
6)1;7)4sinа; 8)tg а;9) sin2а;10)tg~.В.1) 2;
2) 0,5ctg2а;
3) sin :' ес ли OO~a~ 180°; cos:, есл и 1800~а~З600;
4) -ctg: ; 5) cos (400+ ~ ); 6) +;7) 0.2. 1) а) -~~~;б) ~~:;
В) -~~~; 2)а) 0.96;б)0,28;В):4;3)а) 0,96;б) -0,28; В)_2; .
185
1. Упро сти те выражение:
А
1) sin 2а.
2) sin2а . 3)
sin 2а
.
•
sina'
2cosa'
cos2a-sin2a'
4) cos 2a+sin2 а; 5) sin 400 . 6) sin 1000.
2cos200 ,
cos 500 ,
дилхкгичвскив МАТЕРИАЛ
186
)'ПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Представить сов" х COS 3х в виде суммы тригонометри
ческих функций.
Реш е н и е. Заменив сов" х выражением 1 +c;s 2х • получим'
I
I
I
2(1 +cos 2х) cos 3x=2cOS ЗХ+2СОS2х cos 3х.
Т еперь применим формулу (2):
(5)
ctg a+ctg tJ
tga+tg tJ.
ctgаctg13
(4)
4. Полезно также знать формулы преобразования произведе
ния тангенсов и котангенсов в сумму:
tt
tg a+tg tJ
gа gf} ctgа+ctgtJ'
(3)
cos (a-tJ)-соs
(а+tJ)
2
sinаsin~
3. Аналогично, вычитая из второго равенства первое, в резуль
тате получаем:
(2)
cos (a+tJ)+cos (a-tJ)
2
cosаcos13
cos(а+f})=cosаcos13-sinаsinf};
cos(а- 13)=cosаcosf}+sinаsin13.
Сложив почленно эти равенства и разделив результат на 2,
получим:
sin а cos 13 sin (a+tJ)+sin (а-р)
2
2. Запишем формулы дл я косинуса суммы и косинуса разности
углов а и 13:
sin (а+ f3)=sin а cos f3+cos а sin 13,
sin (a-f3}=sin а cos f3-cos а sin ~.
Сложив почленно эти равенства и разделив результат на 2,
получим:
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Формулы
дл я преобразования произведения синуса и
косинуса в сумму получаются из формул сложения
дл я синуса и
косинуса. Запишем формулы дл я синуса суммы и синуса разности
углов а и 13:
§ 4. ПРЕОБРА30ВАНИЕ
ПРОИ3ВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИ.П в СУММУ
187
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Выведем формулу, позволяющую преобразовать сумму
s in а + sin f} в произведение тригонометрических функций. Поло
жим а=х+у, f}=x-y и найдем
s in a+sin f}=sin (x+y)+sin (х-у)=
=sin х cos y+cos
х sin y+sin
х cos y-cos
х sinу=
=2sinхcos у.
§ 5. ФОРМУЛЫ
СУММЫ И
РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИй
2
1
1
1
COSх COS3x="2cos
3x+TCOS X+TCOS 5х.
2. Упростить: sin 40 sin 86°-co s
20 sin 6°+0,5 sin 4°.
Реш е н и е. Заменим sin 860 на cos 40 (по формуле sin а=
=Co s
(90°-а». Тогда sin 4°sin 86°=sin 4° cos 4°. По формуле си-
нуса двойного угла имеем sin 4° co s 40 =Sin280.
Произведение синуса на косинус преобразуем в сумму:
s in 6° cos 2° sin80~Sin40 . Теперь данное выражение примет вид:
1 • 80 sin8°+sin 40+ 1 sin 40-0
"2sm -
2
"2
-.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Вычислите, не пользуясь таблицами:
А. 1) sin 37030' sin 7°30'; 2) COS75° co s
15°; 3) sin 75° cos
150;
4) sin 75° sin 15°.
Б. 1) cos 50COS550cos 650;2) tg200tg400tg600tg800;
3) 2 cos 200cos 400-cos
200; 4) sin 2х+2 sin (750-х)Х
Хcos (750 + х);
5) cos2 50+ сов" 10_ cos 60cos 40; 6) cos 20° sin 500cos 800.
2. Преобразуйте в сумму выражения:
В. 1) sin 100COS8° cos 60; 2) cos 3х cos 5х COS7х;
3)sinХsin 2х sin3х sin 4х;4)8sin3Хcos Х.
Ответы. 1. А. 1) -У3-;Р; 2)0,25; 3)2~fЗ; 4)0,25.
Б. 1) /6(-/6+ -ф,); 2) 3; 3) 0,5; 4) 0,5; 5) 1; 6) 0,125.
2. В. 1) +(sin 24°+sin 12°+sin 8°-sin 4°); 2) t (co s
15х+
+co s
5x+co s
9x+co s
Х); З) t-(1 +COS 10x-co s
8x-cos 6х);
4) 2 sin 2x-sin
4х.
1
.
I
I
1
2COS 3x+"2cOS 2х co s 3 x="2cOS 3x+T(COS x+COS 5х).
Итак,
188
1 +sin a+cos а=(1 +cos a)+sin а=
=2сов"~ +2sin~cos ~ =
222
1)
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Преобразовать в произведение или частное:
1) 1+sin a+cos а; 2) -{3-2 sin а.; 3) 3 sin х+4 cos х;
4) cos а+УЗ sin а
сое а-УЗ sin а
Решения.
ctg a-ctg 13= ~in (f:!~a)(a=l=nk,
13=1=яп, kEZ, nEZ).
(8)
SIП а SIП f:!
5. Полезно также зн ать формулу для преобразован ия в
произведение выражения а sin а + ь cos а (а и Ь - любые дей..
стаительные числа,
не равные нулю). Эта формула имеет вид:
аsinа+ьcosа=rsin(а+ q»,
(9)
где г=.уа2+Ь2,
аргумент q> определяется из условий cos ср=
а
.
Ь
-y'a2+b""'l' вш q> ~.
т. е.
tg a+tg 13= sin (a+p~ (a,=I= 2~ +nk,
1 3=1=
'"'2 +пn,
kEZ, nEZ\.
соз а соз
:1(5)
4. Точно т ак же получаются следующие формулы:
tg n-tg 13 siп (а-р) (n-J- п +'"'k
A-J -
'"' +'"'n kEZ nEZ)
I.h
А I.h-Г--2
~'" I:I-Г --2
~'"
,
,
соз а сов 1'1
(6)
ctg a+ctg 13= ~in (a:-:)(a=l=nk,
Р=1=пn, kEZ, nEZ),
(7)
вшаSIП
Решив теперь систему
урав не ний а=х+у, 13=х-у относи
тельно х и у, получим x=atP, у=а-;р . Следовательно,
sin a+sin 13=2 sin atp cos а;р.
(1)
2. Ан алогичным образом выводят формулы
sin a-sin 13=2 sin a;f:! cos atf:!,
(2)
cos a+cos 13=2 cos atp cos а; р,
(3)
cos a-cos 13= -2 sin ettP sin <Х;Р.
(4)
3. Для суммы тан генсов имеем:
tg a+tg f3=sin а +~
sinаcosр+siп рсова,
cosа cosр
cosаcosр
189
= 2 cos .!!..( cos .!!.. + sin .!!..) =
222
==2cos ~ ( sin (900-
~
)+sin~)=
=2 cos ~ ·2sin 450cos(450- ~ )=
=2-У2cos~ cos(450- ~) .
2) -VЗ-2 sin a=2(f -sin а) =2 (sin 600-sin а)=
=4 sin( 300- ~ ) cos( 300++ ).
3) 3 sin х+4 cos x=-V32+42 sin (Х+<р)=5 sin (x+(J), где
3
•
4
cos (J)=T и SlП <Р=Т·
4) Разделив числитель и знаменатель дроби на 2, получим:
~+.узSiпа
2
2
cos600cosа+sin600sinа
cos (600 - а)
cosа .узsinа
cos 600 cos а- siri 600 sin а
cos (600 +а) "
2
2
2. Доказать, что
sinА+sin B+sin С=4 cos: cos: cos; ,
где А, В, С - углы треугольника.
Реш ение. Имеем:
sin C=sin (1800-(А+В»=siп (А+В)=2 sin A~B cos AtB.
Следовательно,
sin A+sin B+sin С=2 sin AtB cos А;В+2 sin AtB cos AtB=
=2 sinAtB (cosА;В +cos AtB) =4 sinА;В cos : cos : =
= 4sin 1800- Сcosд_cos!!_=4 cos..f._cosд_cos!!_
2
2
2
2
2
2"
ДИДАКТ ИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
1. Представьте в виде произведения:
А. 1) sin400+ sin 16°;
2) sin 2(1,+ sin а;
3) sin200- sin400; 4) sinа- sin3а;
5) cos150+ cos450; 6) cos2х+ cos3х;
1) cos200- cos300; .8) cosх- cos3х;
9) tg2x+tgx;
10) tg3x-tgx.
Б. 1) cos 180- sin 220; 2) cos а - .sinа; 3) cos 500+ sin 800;
4) cosa+sina;
5) tg4x+ctg2x;
6) sin2x-sin2у;
7) cos2a-cos2x;
8} 2sinx+l;
9 ) 1+2cosx.
В. 1) sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4х;
4., В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит
Й
•
х
от того, R како координатнои четверти находится угол ~.
190
(4)
t ~= ±-У l-cosx .
g
2
1+cos х
с ПОМОЩЬЮ формул (2) и (3) можно вычислять значения
синуса и косинуса половинного аргумента ; по заданному зна
чению косинуса аргумента х.
3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), полу
чим формулу
(3)
(2)
.х±_~
вш2= :у---т-'
S .:!_=±-~
со2
: y~.
cos х= 1-2 sin2 ; , cos х=2 сов" f-l.
(1)
2. Из формул (1) следует, что
СПРЛ80ЧНЫА МАТЕРИЛЛ
1. Если в формулах
cos 2а= 1-2 sin2 а, cos 2а=2 cos2 a-I (СМ. § 3)
ПОЛОЖИТЬ а=; , то ПОЛУЧИМ:
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ функции
ПОЛО ВИННОГО АРГУМЕНТА
ответы. 1. А. 1) 2sin280cos120; 3) --.J3 sin100;
5) -J3cos 15°; 7) 2 sin 250 sin 50; 9)
sin 3х2 • Б. 1) 2sin250Х
совх cos х
Xcos 470; 2) ~ sin (450-а); 3) -.J3cos 200; 4) ~ cos (а.-450)
или -у2 cos (450-а); 5)
ctg 42X;
6) sin (х+у) sin (х-у);
cos х
7) sin (х-а) sin (а+х); 8) 4 sin х~зоо -сов х-2зоо ;
9) 4 cos (300+0,5х) cos (300 -0,5х). В. 1) 4 sin 2,5х cos х cos 0,5х;
2) -4 cos 5х sin 2хsin х· 3) 2 -.f35i~ (2х-300).
4) -1.
,
51П 2х
'
2) cos 2x-cos 4x-cos 6x+cos 8х;
_г;; 2х 4) 4 sin2 5х-3
3)3--v~ct g ;
4251.
cos х-
.191
sin а=
- 2 sin2 2!..сов" 2!.._ 2 sin2 3п cos2 ~=
16
16
16
16
= sin4 2!..+ sin4 Зп + сов! 3п +сов" ...:!..=
16
16
16
16
(
•4 п+2.2П
2П+
4
п)+
= slЛ16 вш16cos16 cos16
+(sin4 Зп +2 sin2 Зп cos2 зп +cos4 Зп)_
16
16
16
16
приведения
формулу
Реш е н и е. Используя
=cos( ; -а) , получим:
sin42!..+ sin4Зп + sin4Бп+ sin4 7п =
16
16
16
16
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Упростить выражение 1-2 sin2 a+cos 2а .
Реш ение. l-й способ.(1+co~ 2а)-2 sin2 а=2 сов"а
-2 sin2 а=2 (сов" a-sin2 ai=2 cos 2а .
2-й с по со б. (1-2 sin a)+cos 2a=cos 2a+cos 2а=
=2 cos 2а.
2. Вычислить без таблиц: tg 112°30'.
Р
t 112030' l-cos 2250 l-cos (1800+450)
ешение. g
sin 2250
sin (1800+450)
1 +-.J2
1+cos 450
2
(-./2.)
-
_m2 =-1+2.
-siп 450
-V~
2'
3. Вычислить без таблиц:
.4П+
.4Зп+.45п+.47п
вш16вш16 SIП16вш16·
(5)
l-cos х
siп х
siп Х
tХ
__;;"";""';'-, g
l+cosx
2
tgх
2
Таким образом,
х
2 siп ~cos~
siП"2
2
2
siп х
х
2cos2 ~
1+cos х '
cos"2
х
Х·
siП"2
2 siп2"2
l-cos х
х
2siп~ cosг. sinх
СОЗ2"
2
2
tgх
2
5. Полезно знать следу ющие формулы:
192
ДИДАКТИЧЕСКИ А МАТЕРИАЛ
1. Вычислите без помощи таблиц:
А. 1) sin 15°; 2) tg 22,5°; 3) cos 15°. Б. 1) sin 75°; 2) cos 75°;
3) tg 750; 4) ctg 75°. В. сов" i-+COS4 5; +cos4 3; +cos4 7; •
2 '[.1u
•
а
а.tа
• I аидиге sш2' cos2 и g2' если:
12
1) COSа= -ТЗ, 1800<а<2700;
2
2) cos а=т,
2700<а<3600;
3) cos а=О,8, О<а<900.
3. Преобразуйте в произведение:
В. 1) 1+sin a+cos а; 2) l-sin a+cos а;
3) 1+sin a-cos а; 4) l-sin a-cos а.
Ответы.1.А. 1)O,5-V2--J3;2) -.J2-1. В. 1,5.2.1) ~;
" 'У26
__ 1_; _ 5; 3) -{O,f; -Jб-:9; 0,(3). 3. В. 1) 2-У2cos а2Х
-[26
Xcos (45°-;
); 3) 2-У2sin ~ cos (45°- ~ ).
Реш е н и е. Поскольку 900<а<180°, то 45°<}-<90°.
Чтобы воспользоваться формулами (2) и (3), надо знать
сов а. Найдем его: cos а= -,jl-sin2i=
--.../1-0,64= -0,6
(знак «минус» потому что 900<a<1800).
1) sin~=-
~=-1l+O,6=_108
2 -У --т- -V-Т-- У,.
2)
!!:__; ~
. - rt::O:б = - 'б'i2
cos2 -v~
:у ~ "V,~.
а
3) ctg!!:_= cos 2
гoi =J_.
2
_а '""V-O:S 2
SIЛ 2"
4) tg f=2.
4. Дано: sin а =0,8 и 90°< а < 180°. Найти:
1)sin~;2)cos~;3)ctg;;4) tg ~ .
2 1(.2:t+.2Зл)2
1(.2:t+
2Л)
15
=--
slП -
slП -
=--
s1П-
cos -
=
2
8
8
2
8
8
,.
193
2. Найти sin4 a-cos4 а, если tg ; = 0,5.
Реш е н и е. Упростим данное выражение:
sin 4а+cos4аctg 2а=
2tg2а
1- tg22а 1
1+tg2 2а+ 1+tg2 2а •tg2а=
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Вычислить sin 4а+cos 4а ctg 2а, если tg 2а=4.
Реш ение. Выразивsin4аиcos4а черезtg2апоформулам
(l), (2), получим:
l-t 2~
COS Х
g
2
г) ctg Х=-.-=.
(4)
ыпх
2 tg~
2
Третья формула имеет смысл при Х=i=i+Лk,
х=i=л+2лk,
kEZ, и четвертая - при х=i=:лk, kEZ.
(3)
функций:
(2)
(1)
х
2tg2"
2 siп~.соs~
2
2
а)sinх
sin2 ~+COS2 ~ 1+tg2 Х2 '
2
2
2Х
.2Х
2Х
COS "2-SIП"2
l-tg 2"
б)cosх
sin2 ~+ cos2 ~
1+tg2 Х2
2
2
Область определения рассматриваемых
дробей и
x=i=C2k+ 1) л, kEZ.
2t
~
в)t
sin х
g2
gx----
.
-cosх-1t2Х'
-g2"
СПРАВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
1. При решении тригонометрических уравнений, доказатель
стве тождеств и т. П.
часто возникает необходимость выразить
все
четыре тригонометрические функции (sin х, cos х, tg х, ctg х)
через какую-нибудь одну функцию f (х).
2. Воспользуемся тригонометрическими формулами двойно-
го аргумента:
§ 7. ВЫРАЖЕНИЕ
ТРИГОН ОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО
АРГУМЕНТА
194
Контрольные вопросы
1. На основании каких соотношений выводятся формулы тригоно
метрических функций двойного аргумента?
2. Докажите тождество: а) cos 2a=cos2 a-sin2 а; б) sin 2а=
=2 sin а cos а; В) cos2а= 1-2 sin2 а; г) cos2а=2 сов"a-l.
3. На каком множестве указанное равенство является тождеством:
2tgа.)t2_1-tg2а",)
а)tg2а1t2,бсgа.- 2t
.
-
gа
ga
63
4
343
Ол
в е г ы.лс Аг Г) 0,6;2) -65 ;3) 5;5;3;4· Б.l) -0,2;
2) 1,4.2. В. tg 2а>2. tg а, если ОО<а <450;
tg 2а<2 tg а, если
450<а<900•
3. В. 1) ~~~; 2) ~~~. 4. Б. -::g, -:~~.
1. Найдите:
А. 1) sin4а, если tg 2а= 3; 2) cos4а, если tg 2а= 8; 3) sinа,
а
cosа, tg а, ctg а, если tg 2= 0,5.
Б. 1)cosа+sin(х, если tg ~=3;2) sinа- cosа,если tg ~=3.
2. В. Что больше: tg 2а или 2 tg а, где 00<а<900,
а=#=450?
При каких значениях а имеет место равенство tg 2а=2 tg а?
3. В.Дано: tg х= -0,75, tg у=2,4, 9О0<х<1800,
ОО<у<900•
Определите: 1) siп (х - 2у); 2) cos(2х + у).
4.Б.Вычислите sinаиcosа,еслиtg~=- 2,4и90°<~<
< 135°.
Д ИД АКТ ИЧЕСКИЙ МАТЕРИ АЛ
соз 2а=2 сов"а-l =2.~-l = -!_ т е
25
25'..
•4
4
7
sш a-cos а =2'5 .
l-_!_
4
3
1 -5'
1+"4
l-tg25!:.. 2
cosa=----
1+tg2 ~
sin4 a-cos4 а= -(COS4 a-sin4 а)=
= -(COS2 a+sin2 а) (cos2a-sin2 а)= -cos 2а.
Далее находим:
tg За.
sin 2а- sin За+sin 4а
cos2а- cosЗа+cos4а
4. Выразите sin 2а и cos 2а только через: а) sin а; б) cos а.
5. Докажите тождество:
а) 1+cos а=2 сов"; ;б) l-cos а=2 sin2 ; ; в) 1+sin а=
=2 cos2( (450-;) ; г) l-sin
а=2 sin2( 450-;) .
6. Какие соотношения используются при выводе формул преобра
зования произведения тригонометрических функций в сумму?
7. Какие соотношения используются при выводе формул суммы
и разности одноименных тригонометрических функций?
8. Разложите на множители: а) -У2+2 cos х; б) -.JЗ-2 cos х;
в) sin x+cos у; г) -.JЗ-tg
х; д) 1+tg
х; е) 1+sin x-cos х;
ж) З-4 cos2 (2700-а).
9. Докажите тождество
наибольшее значение, равное 1, ;Е
от
до - 1 на промежутках
и) функ ция убывает
[; +2лk; З; +2лk] , kEZ;
к) функц ия принимает
точках х=; +2лk, kEZ;
л) функция принимает наименьшее значение, равное -1,
в
точках х= 3;+2лk, k ЕZ.
2. Используя свойства синуса, сначала строим его график
на промежутке
[ -л; л] т. е. на промежутке , длина которого
равна периоду функ ци и (рис. 106).
3. Используя периодичность функц ии у = sin х, строим график
функц ии на всей числовой прямой (рис. 107).
196
СПРАВОЧНЫЙ
МАТЕРИАЛ
1. Основные свойства функци и у = sin х:
а) область определения - множество всех действительных
чисел;
б) множество значений - отрезок [-1;
11 значит, синус
функц ия ограниченная;
в) функц ия нечетная: sin (-х)= -sin х для всех xE R;
г) функ ция периодическая с наименьшим положительным пе-
риодом 2л, Т. е. sin (х+2л)=siп х для всех xER ;
д) sin х=О при х=лk, kEZ;
е) sin х>О для всех хЕ(2лk; л+2лk), k EZ;
ж) sin х<о для всех хЕ(л+2лk; 2л+2лk), k EZ;
з) функция возрастает ОТ -1 до 1 на промежутках
[-; +2лk; ; +2лk] ,нег,
§ 1. СВОЙСТВА функции y=sin х и ЕЕ ГРАФИК
§ 1. СВОйСТВА Функци и y=sin-x И ЕЕ ГРАФИК
§ 2. СВОйСТВА Функции У =cos х И ЕЕ ГРАФИК
§ 3. СВОйСТВА ФУНКЦИИ y=tg х И ЕЕ ГРАФИК
§ 4. СВОйСТВА Функци и y=ctg х И ЕЕ ГРАФИК
§ 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕ-
СКИХ ФУНКЦИй
ГЛАВА XVI
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Построить г рафик функции: 1) y=sin ТХ; 2) y=sin 3Х.
ДЛ Я построения данных графиков будет использован прием
растяжения и сжатия графика по оси абсцисс. Этот прием часто
применяется при построении графиков тригонометрических функ
ций.
Реш е н и е. 1) У = sin ТХ, Область определения функции
вся числовая прямая. Множество значений функции -1 ~y~
1.
Функция нечетная, периодическая. Период данной функции
найдем из равенства siп ; =sin( ; +2п) =sin( Х~4 П ) , (I)=4л.
Следовательно, сначала достаточно построить часть
графика
на отрезке [О; 2п].
Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Если у=О, то
sin ; =0, откуда ; =nk, x=2nk, где k=O,I, т. е. на данном
полупериоде кривая пересекает ось Ох в двух точках (О; О) и (2п; О).
Максимум функции равен 1 при ; = ; , т. е. при х=п.
По этим данным построим график функции у = sin ; . Сна
чала график строим для положительного полупериода [О; 2п],
затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду
[О; -2л] (рис. 108), и, наконец, на всей области определения
(штриховая линия).
3 а мечание. График функцииу=sin ; можно построить
197
Рис. 107
х
Рис. 106
х
иначе, приняв за
исх о дный известный нам график функции
у =sin х, нанесенный штриховой линией на рисунке 109.
Замечаем, что период
ис х одной функции у = sin х равен
(1)0= 2п, а период заданной функции у = sin ; со ставляет (\)= 4п,
т. е. вдвое больше периода ис хо дной функции. Таким образом,
график, который требуется построить, получится
из
ис х одного
графика (штрихового, на рисунке 109) путем растяжения
его
вдоль оси Ох вдвое.
2) у = sin 3х. Область определения функции - вся числовая
прямая. Множество значений - отрезок [ - 1; 1].
Период функции находится
из
равенства
sin3х=
=sin (3х+2л)=siп 3( х+2;) , откуда период (1)=2;, полу-
1
л
период "2 (1)= З'
Найдем точки пересечения графика с осью Ох.
Если у=О, то sin зх=о, откуда 3x=nk, х=л: ' где k=O; 1,
т. е. на данном полупериоде кривая пересекает ось Ох в двух
точках (О;О) и(~;о).
Максимум функции равен 1 при 3х= ; , т. е. при Х= ~ .
По этим данным построим график у = sin 3х (рис. 11О).
Замечание. График функции у=sin3~можно построить
путем сжатия по оси Ох исх о дного графика у= sin х в 3 раза
(рис. 111), так как период 2; заданной функции в 3 раза мень
ше периода 2п исх о дной функции.
198
Рис. 109
у
Рис. 108
х
у
199
Таким образом, если известен график у = f (х), то график функ
ции у =f (kx) строится посредством сжатия по оси Ох исходного
графика пропорционально коэффициенту k при
аргументе
(см. гл. IX), а именно:
если k>l, то сжатие в k раз;
если 0< k < 1, то растяжение в т раз.
2. Построить график функции:
1) у=3 sin х; 2) y=ysin х.
Для построения данных графиков будет использован прием
растяжения и сжатия по оси ординат.
Реш е н и е. 1) у =3 sin х. Строить этот график методом
полного исследования функции, как это мы делали в предыдущих
примерах, нецелесообразно.
Нетрудно заметить, что ординаты графика у = 3 sin х в 3 раза
больше соответствующих ординат графика у = sin х. Поэтому гра
фик заданной функции строится путем увеличения всех ординат
исходного графика в 3 раза, т. е. путем растяжения
исходного
графика по оси Оу в 3 раза (рис. 112).
2) у =0,5 sin х, По тем же соображениям этот график строит
ся способом уменьшения всех ординат исходного графика в 2 раза,
т. е. путем сжатия
исходного графика по оси Оу в 2 раза
(рис. 112).
Таким образом, если известен график функции и=! (х), то
график функции у =kf (х) строится посредством растяжения вдоль
оси Оу исходного графика пропорционально коэффициенту k,
а именно:
Рис. 111
х
Рис. 110
х
Строим график функции У = - sin х.
Деформация
по оси абсцисс (сжатие втрое) обязательно
предшествует горизонтальному сдвигу оси ординат на ( + l~),
а
деформация по оси ординат (растяжение вдвое) должна пред
шествовать вертикальному сдвигу оси абсцисс на (- 1,5),так как
график весь поднимать сложнее.
Следовательно, порядок построения графика такой:
строим график функции У = - sin х;
этот график сжимаем по оси абсцисс в 3 раз а;
,
n
ось ординат переносим по горизонтали на 12 ;
график растягиваем по оси ординат в 2 раза;
ось абсцисс переносим по вертикали на - 1,5.
График функции построен на рисунке 113.
20.0
У= -2 Sin( 3( х+ ~~)+1,5.
если k> 1, то растяжение в k раз;
1
если O<k< 1, то сжатие в т раз.
3. Построить график функции У= 1,5-2 Sin( 3х+ ~)
Реш
е н и е. Запишем функцию так:
У= -2 Sin(3х+~)+1,5.
Преобразуем выражение в скобках таким образом, чтобы
выявить «добавок» к аргументу х:
Рис. 112
х
201
л;
графика: х= -3; У=
Общая
точка
для обеих ветвей
=-sin 101+2=2; точка (-: ;2).
4. Построить график
функцииу=2- sinIх+; I
Реш ение. l-й способ. Строим график
функции У=
=- sin 1х1.Осьординат переносимна + ; ,а ось абсцисс- на
-2 (рис. 114).
2-й с п о с о б. График имеет две ветви, уравнения которых
различны.
1) Если х+; ;::::0, т. е. х;::::-; , то Y=2-sin( х+ ;) .
2) Еслих+Т<О,т.е.х<-;
,Toy=2-sin(
-(х+;))=
=2+sin( Х+;) .
Область определения фун кции - вся числовая прямая.
Интервал изменения фун кции определяем из условия
-1~-sinlx+:1
~l, т. е. -1+2~y~1+2,
1~y~3.
Рис. 114
х
о
Рис. 113
202
Рис. 117
у
1
--
-11'
1L
О
11
'jf
-J(
-2"
2
Рис. 116
х
Рис. 115
х
ДИДАКТИЧ ЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
t. Постройте графи к
функции:
А. 1) y=sin2x;
2) y=-sin2x;
3) y=I-0,5sin2x;
4) у= 1-2 sin 2х.
Б. 1) у= 1+0,5 sin (2х + 600); 2) у= 1-0,5 cos (900-(2х-600».
В. 1) y=tgxctgx;
2) y= secx [совх]: 3) y=tgxcosx;
2 tg.!_
4) y=lsinxl; 5) у
2 ; 6) y=2sinx [совх]:
1+tg2 ~
7) y=sin х+ Isin х]; 8) y=(sin x-cos х?
Ответы. t.A.I) и2) Рис. 115;3) и4) рис. 116. 8.1) Рис.1l7;
2) рис. 118; 3) график
данной функци и - синусоида с ис клю-
203
СПРА80Ч НЫ А МАТЕРИАЛ
1. Основ ны е свойства функции У= cos х:
а) область определения - множество всех действительны х
чисел;
б) множество значений - отрезок [-1; 1], значит, косинус
функция ограниченная;
§ 2. СВОЯСТВА ФУНКЦИИ y=cos х И ЕЕ ГРАФИК
ченны м и точками Х=;+Лk,
kEZ; 6) рис. 119; 7) рис. 120;
8) после упрощения получите у = 1-sin 2х.
Рис. 120
х
у
Рис. 119
у
о
о
_эл
_К
о
п
э11'
х
2
2
"2
2""
о
о
о
о
Рис. 118
У
204
Рис. 122
х
Рис. 121
х
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Построить график функции:
1) y=3cos~ ; 2) y=cos [х]; 3) y=lcosxl;
4) y=2+cos( х+ ~) .
у
в) функция четная: cos (-x)=cos х для всех xER;
г) функция периодическая с наименьшим положительным пе-
риодом 2л, т. е. соs(х+2л)=соsх для всех xER;
д) cos х=О при х=i"+лk,
kEZ;
е) cos х>О для всех хЕ (- ~ +2лk; i"+2лk)
,
kEZ;
ж) cos х<о для всех хЕ ( i"+2лk; 3; +2лk) , kEZ;
з) функция убывает от 1 до - 1 на промежутках [2лk; л + 2лk],
kEZ;
и) функция возрастает
от
-1 до
на промежутках
[-л+2лk; 2лk], kEZ;
к) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точ
ках х=2лk,
kEZ;
л) функция принимает наименьшее значение, равное -1, в
точках х=л+2лk, kEZ.
2. Используя свойства косинуса, сначал а строим его график
на промежутке [- л; л], т. е. на промежутке. длина которого
равна периоду функции (рис. 121).
3. Перечисленные свойства функции у = cos х позволяют по
строить график этой функции на всей числовой прямой (рис. 122).
Реш
е ние.
1)у=3cos ; .Мызнаем,
как построить
график функции y=cos х (на рисунке 123 он изображен штрихо
вой линией). Растягивая график функции y=cos х вдоль оси аб-
сцисс в 2 раза, получим график функции У=С05;
(рис. 123).
Затем
полученный график растягиваем
еще раз, но теперь
по оси ординат в 3 раза, получим график функции у = 3 С05 ;
(рис. 123).
Заме
ч
а ние. В том,
что график функции у = С05; пере-
секает ось абсцисс,
м ожно убедиться так: у=О, т. е. СО5 ; =0,
откуда ; =Т+лk, или х=л+2лk, kEZ.
2) У=С05 [х].
С05 Ixl =С05 х, так как cos x=cos (-х). Следовательно, гра
фик данной функции тот же, что и график функции у = cos х
(рис. 122).
3) у= [сов х].
При cos x~O У=С05 Х. Следовательно, на участке, где cos х;:::
;:::0, график будет тот же, что и график функции y=cos х (на ри
сунке 124 эти участки показаны утолщенными линиями).
При cos Х<О у= -cos х. Следовательно, части графика функ
ции у = cos х, расположенные ниже оси абсцисс, зеркально
отобразятся и будут расположены в верхней полуплоскости
(как показано на рисунке 124 тонкими линиями).
4) Y=2+COS( х+ ;) .
Строим график функции У = cos Х. Потом ось ординат перено
сим на + ; . Затем ось абсцисс переносим на -2, т. е. на 2 еди
ницы вниз. График данной функции изображен на рисунке 125.
205
Рис. 123
у
206
Рис. 126
х
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. Основные свойства функции у = tg х:
а) область определения функции - множество всех действи-
тельных чисел, кроме чисел вида Х=Т+1t[ l , kEZ;
§ 3. СВОйСТВА функции g=tg х И ЕЕ ГРАФИК
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Постро йте график функции:
А. 1) y=cos 2х; 2) У= -cos 2х; 3) У= 1-0,5 cos (-2х);
4) у= 1-2 cos 2х.
6.1) y=I+0,5cos(-2x+600);
2) y=I-0,5cos(2x+600);
3) y=ctg х Isin х].
В. 1) y=4(cos4x+sin4x);
2) y=cos2 x;
3) y=sin2x;
4) y=cos х+ sin х.
О т в е т ы: Б. 3) Рис. 126. В. 1) После понижения степеней
и упрощения данная функция примет вид у =3 +cos 4х.
Рис. 125
х
о
Рис. 124
"'х
2
2·
207
УП Р АЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Построить график функции:
1) y=tg 2х; 2) y=+-tg (2х+ ~) ; 3) y=tg [х]; 4) у= Itgх].
Реш ение. 1)у=tg2х.
а) Область определения - х - любое число, кроме х =Т+
+1t2k, где k EZ, так как 2х*Т+.лk,
k EZ;
б) мно ж ество значений - вся числовая прямая, таким обра
зом, тангенс - функция неограниченная;
в) функция нечетная: tg (- х) = - tg х для всех х из области
о пределения;
г) функция периодическая с наименьшим пол о ж ительным
периодом л, т. е. tg (x+n)=tg х для всех х из области опреде
ления;
д) tg х=О при х=лk,
kEZ;
е) tg Х>О дЛЯ всех ХЕ( лk; ; +лk)
,
k EZ;
ж)
tgХ<О дЛЯвсех хЕ( -; +nk; л,k) , kEZ;
в) функция возрастает на промежутках( - ~ +л,k; ~ + л,k) ,
kEZ.
2. Все перечисленные свойства тангенса позв оляют построить
его график сначала на промежутке ( - ~ ; ~), т. е. на проме-
жу тке, длина котор ого равна периоду функции (рис. 127), и затем
на всей числов ой прямой (рис. 128).
Рис. 128
у
Рис. 127
у
208
х
у
Рис. 129
х
-Ш!.
4
у
б) область значений
(изменения) - вся числовая прямая, т. е.
(- 00; + 00);
в) функция не является ограниченной;
г) функция не принимает экстремальных значений ;
д) функция периодическая, главный период Т=; , так как
y=tg 2x=tg (2х+л)=tg 2 (х+ ~ );
е) функция не является монотонной на всей области определе
ния, но функция возрастает на каждом из промежутков
лk
л
31 31k
kZ
2--Т<Х<Т+Т' где Е ;
точки пересечения с осями координат -
точки (31; ; о) , где
kEZ, так как sin 2х=О при 2х=лk, т. е. х=л; .
Учитывая периодичность, построим график функции у = tg 2х
(рис. 129).
209
Ри с.
132
х
_ТС
2
-1(
у
Рис .
131
х
у
2) y=}-tg (2х +600). Для построен ия графика функции сна
чала представим ее в виде y=+-tg (2 (х+ ~ )) . Выполнив сжа
тие танг ен соиды у = tg х по оси абсцисс вдвое, получим график
функции y=tg 2х (рис. 130). Выполнив сжатие графика функции
1
y=tg 2х по оси ординат в 3 раза, получим кривую у=зtg 2х
(рис. 130).
Осуществив параллельный пере нос этой кривой влево на рас-
стояни е ~ , получим график данной функции (рис. 130).
3 ам е чани е. Функция не определена приcos(2х+600)=О,
nnk
kZ
т. е. в точках X=12+""2' где Е .
Функция обращается в нуль при sin (2х+600)=0, т. е. гра-
лnkk
фик пер есекает ось абсцисс в точках х = - 6+""2'
ЕZ.
3) y=tg [х]. Функция четная, так как tg I-xl =tg Ixl. При
х>О график искомой функции тот же, что и график функции
y=tg х. График искомой функции y=tg
Ixl изображе н
на
рис. 131.
210
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Построить график функции У= ctg х, используя формул у
приведения.
Реш е н и е. По формуле приведения ctg х= -tg( х+ ~) .
д) ctg х=О при х= ~ +nk, kEZ;
е) ctg х>О для всех хЕ ( nk; Т+пk) , kEZ;
ж) ctgх<О длявсехх(- ~ +nk; nk),kEZ.
з) функция убывает на каждом из промежутков (nk, n+nk),
kEZ.
2. Используя свойства котангенса, сначала построим его
график на промежутке (О; л), т. е. на промежутке, длина кото
рого равна периоду ф ункции (рис. 133), а затем на всей числовой
прямой (рис. 134).
ния;
СПРАВОЧНЫR МАТЕРИАЛ
1. Основные свойства функции у =ctg х:
а) область определения - множество всех действительных чи
сел, кроме чисел вида :лk, k Е Z;
б) множество значений - вся числовая прямая, таким обра
зом, котангенс - функция неограниченная;
В) функция нечетная: ctg (-х)= -ctg х для всех х из области
определения;
г) функция периодическая с наименьшим положительным пе
риодом Л, т. е. ctg (x+n)=ctg х для всех х из области определе-
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
М АТЕРИАЛ
Постройте график функции:
А. 1)y=tg;;2)У=-tg ;;3)у=3tg3х;4)У=-3 tg2х.
Б.1)у=тtg(~-:) ;2)у=3tg(:-2х);3)у=ItgIх11;
4) y=tg х+ 1; 5) у=2 tg 3х-2.
§ 4. СВОЙСТВА функции y=ctg х И ЕЕ ГРАФИК
4) у= Itg х]. График этой ф ункции получается из графика
функции у = tg х, если ту часть графика, которая расположена
в верхней полуплоскости. оставить без изменения, а часть графика,
расположенную в нижней полуплоскости. зеркально отобразить
относительно оси Ох (рис. 132).
211
Рис. 135
х
у
y=tg )(
л
расстояние 3'
Поэтому
график функции y=ctg х можно получить
из графика
функции у = tg х с помощью параллельного
переноса влево на
; (рис. 135) и симметрией относительно оси абсцисс. График
функции у = ctg х изображен на рисунке 136.
1
2. Построить
гр афик функции у=зсtg (2х-12 00).
Реш е н и е. На рисунке 137 изображен график функции
y=-}-ctg (2x-1200)=yctg 2( х- ~) , полученный посредством
1
сдвига
гр афика функции у=т ctg 2х вправо по оси абсцисс на
Рис. 134
х
х
у
Рис. 133
у
212
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
Построите график ФУНКЦ ИИ:
1
А.
1) У= -ctg 2х; 2) y=ctg 3х; 3) у=зсtg
3х.
Б. 1) y_:2ctg(x-300); 2) y=2ctg(300-x); 3) y=ctg(-x-600).
В. 1) y=ctg \х\; 2) У= \ctg (х-4,50)\;
3) у=3 ctg( ~+30' .
Рис. 137
х
я
\
\,,
У= -kctg (2х- 2:)
Рис. 136
х
у
213
2) y=sin 2x+tg ~.
Т ак как sin 2x=sin (2х+2n)=
=sin (2 (х+n), то период первого слагаемого функции равен л:
Т
2л
!=т=n,
Так как tg ~ =tg( ~ +л) =tg( X~2п) , то период второго
слагаемого равен 2л: Т2 =-1- = 2л.
2"
Периодом заданной функции будет наименьшее кратное перио
дов ее слагаемых, т. е. Т = 2n.
6 sin x+sin (х-л)+5 sin (х+л)=О.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
Найти период функции:
1) у=3 sin 4х+6 sin x+ sin (х-n)+5 sin (х+л);
2)y=sin 2x+tg ~;3)y=cos~+tg ~;
.3х5
2х
4) у=sIП 4+ cos 3'
Реш е н и е. 1) У простим данную функцию:
3 sin 4х+6 sin x + sin (х-n)+5 sin (х+л)=
=3 sin 4х+6 sin x-sin х-5 sin х=3 sin 4х.
Следовательно, у = 3 sin 4х. Период этой функции равен
2rr .1t
Т=.Т=У' Этот же период имеет и данная функция.
Периоды остальных слагаемых заданной функции не учиты
ваются, так как сумма этих слагаемых тождественно равна нулю,
т. е.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Периоды тригонометрических ФУНКЦИЙ.
Период функции y=sin х равен 2л.
Период функции у = сов х равен 2л.
Период функции у =tg х равен л,
Период функции y=ctg х равен л.
2. Период функции, представляющей собой сумму непрерыв
ных и периодических функций, равен наименьшему кратному пе
риодов слагаемых, если он существует.
§ 5. НАХОЖДЕНИЕ ПЕРИОДОВ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Контрольные вопросы
1. Перечислите основные свойства синуса.
2. Перечислите основные свойства косинуса.
3. Перечислите основные свойства тангенса.
4. Перечислите основные свойства котангенса.
ДИДАКТИЧ ЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
Найдите период функции:
1) y=sin x+cos
х;
2)
y=sin x+sin 2х; 3) y=tg x+sin х;
4) y=tg ;+sin ; +cos Зх;5)у=2 ctgЗх-4 tg2х;
6) y=cos2 х.
Периодом данной функции будет наименьшее кратное чисел
8;иЗл,т.е.Т_:_
2 4л.
период Т\ = 2з1t= 8з1t•
Т
cos 2;=cos( 2;+2л) =cos
~
(х+3л); период т2=2;=зп.
3
.Зх
•(ЗХ+2~ . 3( +ВЛ~
slП-= sш -
зt=sш- х -
4
4
4
3
3)Таккакcos; =cos( ;+2~
=cos( Х~6Л) ,то период пер
вого слагаемого функции бл: Т1 =21л =бл.
3
Так как tg ~ =tg( ~ +зt) =tg( Х~5Л) , то период этой функ-
ции равен 5зt: Т2 =т=бл,
5"
Чтобы найти период данной функции, найдем наименьшее
кратное чисел бзt и 5зt, т. е. Т = ЗОл.
.Зх
2х
4) У=SlПт+5соsз.
215
Рис. 139
Рис. 138
х
х
у= sinx
у
у
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕ РИАЛ
1. Т е о р е м а. Пусть функция f возрастает (или убывает)
на промежутке 1, а число а - любое из значений, принимаемых f
на этом промежутке. Тогда уравнение f (х)=а имеет единствен
ный корень на промежутке 1.
2. Функция синус возрастает на отрезке [ - ;; ;] и при
нимает значения от -1 до 1. Таким образом (по теореме), для
любого числа а, такого, что - 1~ а ~ 1, на промежутке
[ -;;
;] существует единственный корень Ь уравнения
si n х=а. Это число Ь называют арксинусом числа а и обозначают
arcsi n а (рис. 138).
3. Итак, арксинусом числа а называется такое число а из
отрезка [ - ; ; ;], что его синус равен а.
Математическая запись данного предложения такова:
arcsin а=а, если sin а=а, где -; ~a~ ; , -1~a~ 1.
4. Значение арксинуса можно найти по таблицам или поль
зуясь калькулятором.
5. Функция косинус убывает на отрезке [О; я] И принимает
все значения от - 1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого,
что - 1~ а ~ 1, на отрезке [О;п] существует единственный корень
уравнения cos х =а.
§ 1. АРКСИНУС
И
АРККОС ИНУ С
§ 1. АРКСИНУС
И
АРККОС ИНУ С
§ 2. АРКТ ЛНГЕНС
И
АРККОТАНГЕНС
ГЛАВА XVH
216
4).(
.5+.12)
sш агсвш lз агсзш 13
1) sin( arccos( - ~) -arcsin( - ~)) +cos( -3 arcsin+)
2)
.13
.(1\+
1+2
.1
агсsш т- агсsш -Т) arccos Т агсs1П-
-2 агссов (-1);
3) cos (arcsin х+2 arccos у);
Вычислить:
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
9. Функция у=агсsiп х является нечетной, т. е. arcsin (-х)=
= -arcsin х.
10. Функция у = атссов х не является ни четной, ни нечетной.
Например, arccos += ~ (cos ~ =+),
а arccos(-+) =
=2з.1t (cos 2з" = -у) .
Н
(
2")
(1)
2л
апример, arccos cos""3 = arccos -2 =- 3 .
б
л
Например, arcsin( siп ~) =arcsin ( +)
д) агесов (cos х)=х, когда О~х~л.
Это число Ь называют арккосинусом числа а и обозначают
arccos а (рис. 139).
6. Итак, арккосинусом числа а называется такое число а
из отрезка [О; л], что его косинус равен а.
Математическая запись данного предложения такова:
arccos а=а, если cos а=а, где О~а:::;;;;л, -1 ~a~ 1.
7. Значение арккосинуса можно найти по таблицам или поль
зуясь калькулятором.
8. При всех допустимых значениях аргумента х справедли-
вы тождества:
а) arcsinх+arccosХ= ; ,если[х]~ 1.
Н
.1+
1
л+л
л
апример, агсзш т arccos Т=6
з= -:Г'
б) sin (arcsin х)=х, если -1:::;;;;х:::;;;; 1.
Н
.(
. 1) .(л)
1
апример, S1П агсзш т =sш б =-2:.
В) cos(arccosx)=x, если -l~x~l.
Например, cos( arccos {-) =cos( ~ ) =+.
г) arcsin (sinx)=x, когда Ixl ~ ; .
217
3) Обозначая arcsin х=а,
агссоз У= 13, имеем sin а=х,
cos f3=y, где - ; ~a~
;,O~f3~л.
Таким образом, наша задача св о дится к отысканию cos (а + 2(3)
по известным значениям sin а и cos f3.
Раскрывая косинус суммы, нахо дим:
cos (a+2f3)=cos а cos 2f3-sin а sin 213=
=cos а (cos2f3-sin2 (3)-sin а·2 sin f3 cosf3,
(1)
где cos а =";1 sin2 а =";1 х2,
а sin f3=";1-cos2 f3 =-V1
у2•
Оба радикала берутся со знаком плюс, так как cos а> О и
sin 13>0.
Поэтому выражение (1) примет вид:
cos (a+2f3)=-{1-x2 (у2_1 +у 2 )-2ху";1
у2=
=(2у2
-1)-{[ х2-
2ху ";1
у2.
4) Об
.5
.
12А
•
5
о значая
агсsш 13=а,
агсsш 13=jJ, имеем sш а=13'
авш f3=~~, где O~a~
;-, O~f3~ ;. Таким образом, наша зада
ча св о дится к отысканию sin (а + (3) по известным значениям
sinаиsin13.
Раскрывая синус суммы нах о дим:
sin (a+f3)=sin а cos f3+sin 13cos а.
(1)
2) ..::_-з( _..::_) +"'::'_+2 ·"::_-2· л=О
б
б
3
2
.
sinС~Л:-(-~))+cos(-3о ~ ) =sinСзЛ:+~)+cos(;)=
=sin 5л: +cos 2!_=l+O=l
б
2
2
2.
л:
до в ательно, у =т.
Сделаем подстано в ку в данное
в ы ражение:
еле-
Реш
е ние. 1) Пусть атссов
(-т)=а, тогда cosа=- ~
Е[·0]С
2n
ИаL;
Л
.
ледо в ательно, а =-3"
Пусть arcsin( -т) =13, тогда sin f)= -i-и f3E[ - ; ; ~].
Следо в ательно, 13= - ~.
П
.
1
.
1
усть агсвш 2=1', тогда SlП У=2И
1. Вычислите:
А. 1) arcsin О; 2) атссов О; 3) arcsin 1; 4) arccos 1; 5 ) arcsin ( - 1);
6) атссов ( - 1); 7) arcsin т; 8) arccos +.
Б. 1) arcsin -v; ; 2) arccos f ;3) arcsin( - f) + arccos( - f)·
2. В. Докажите равенство:
1)arcsin(sin :) = : ;2) arcsin(cos :) =:;
3) sin (arcsin х)=х; 4) cos (arccos х)=х.
3. Найдите область определения функции:
А. 1) y=arcsin х; 2) y=arcsin (х-l); 3) y=arccos (2х-l).
Б1)
.x-l 2)
.2
. у=агсsIП-2-;
у=агсsш x-l;
3) у= arccos( x~.).
В. 1) y=arcsin(x2-2x); 2) y=arccos(x-l).
4. Вычислите:
В. 1) cos(arcsin(-+));2) cos(arcsin(- ~~)+ arcsin : );
3) sin( 2 arcsin +); 4) arcsin( sin( - ;));
5) arccos(cos6;);
6) arcsin(cos
;).
Отве
ты.1.А.1)О;2);; 3);;4)О; 5)-;;
6) л,
Б.1);;2)~;3);. 3.А.1)[-1; 1];2)[О;2];3)[О;1].
Б. 1)[-1; 3]; 2)(-00;
- 1]Щ3; (0); 3) (- 00; 0,5].
В. 1) [1--../2; 1+-../2]; 2) [О;2].
4.1)2f;2)~~;3)8-:;
n
4п6)7п
4) =э:5) 5;
18·
218
ДИД АКТИЧЕСКИЯ МАТЕРИАЛ
Выражение (1) примет вид:
•
5
5
12
12
25
144
SlП (а+f:})=ТЗ'13+ТЗ'ТЗ=169
+ 169= 1.
В выражении (1) нам неизвестны cos а и cos f:}.Найдем значе
ния этих функций. Нам известно, что а и f:}принадлежат первой
четверти, поэтому
-У1.2
~25
12
cos а= -sш а= --=-
169 13'
co s f:}=~1-sin2 f:} - ~4=~.
~ l-ii9 13
219
х
о
Рис. 142
у
f(
Рис. 141
х
х
у
Рис. 140
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕР ИАЛ
1. На интервале
(
- ~; ~) функция тангенс возрастает и
принимает все значения из R.
2. Для
л юбого числа а в интервале
(
- ;; ;) существует
единственный корень Ь уравнения tg х=а.
Это число Ь называют арктангенсом числа а и обозначают
arctg а (рис. 140).
3. Итак, арктангенсом числа а называется такое число а из
интервала
(
- ; ; ;). что его тангенс равен а.
4. Арккотангенсом числа а называется такое число а из ин
тервала
(О; п), что его котангенс равен а.
5. При всех допустимых значениях аргумента х справедливы
тождества:
а). arctg (tg х)=х, если Ixl < ; .
Например, arctg (tg :) = : .
у
§ 2. АРКТАНГЕНС И АРККОТАНГЕНС
220
1. Вычислить:
1) arctg ( -1);
2) arcctg (-1);
3) sin (arctg (--{3)+
arcsin (- 1)- arctg О);
4) tg( arctg (-1)+2 arcctg (-l)+агссtg(tз.)).
Решение.
1) Пусть arctg(-l)=a,
тогда tga=-1
и
аЕ ( - ~ ; ~). Отсюда следует, что а=- ~. Так'им образом,
arctg (-1)= - ~ .
2) Пусть arcctg ( -1)= а, тогда ctg (1,= -1 и а Е (О; л).
Следовательно, а = 3: . Таким образом, arcctg (- 1) =3: .
3) Пусть arctg (--УЗ)=а, тогда tg (1,= --УЗ и аЕ( - ; ; ;).
Следовательно, а = - ~ .
Пусть arcsin (-1)=~, тогда sin 13= -1 и f3E[ - ;; ;].
Следовательно, 13= - ; .
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
б) tg (arctg Х)=Х дЛЯ любог о действительного х.
Например, tg (arctg 1)= 1.
в) ctg (arcctg х)=х для любог о действительног о х.
Например, ctg (arcctg -у3)=-У3.
г) arctg (ctg х)=х, если О<х<п.
Например, arcctg (ctg ~) = ~ .
д) arctg х+ arcctg х= ; .
6. Функция y=arctg х является нечетной. т. е. Ш'сtg (-х)=
= - arctg (х).
7. Функция У = arcctg х не является ни четной, ни нечетной.
Например,
arcctg 1= ~(ctg ~ = 1),
а arcctg (-1)=
=3: (ctg 3: = -1).
8. График функции У= arctg х имеет две асимптоты: У= - ;
иу=; (рис. 141).
9. График функции У = arcctg х имеет две асимптоты: У = О
и у=п (рис. 142).
; <а < п. Таким образом, наша задача сводится к отысканию
221
где
2
COS а=-з,
тогда
3) Пусть arccos( - ; ) =а,
tg a-tg J3
1+tg аtgJ3
2. Упростить:
1) tg(arccos( -т)); 2) tg(arctg+-arctg+);
3) tg(2 arccos( - ; )); 4) arctg 2+arctg 3.
Реш е н и е. 1) Пусть arccos( -т) =а,тогда cos а=-Т,
~<а<л.Значит, sin a="/1-соs2а=N=+-/l5.
Сле-
_!_-{i5
sinа 4
_f1t:
довательно, tg a=~=-l-=
--y15.
-т
1
1
1
2) Пусть arctg 2=а, arctg 4"=~' тогда tg а=2'
11:
11: t~
1
11:
~
11:
-2<а<2'
g 1--'=4"'-2<1--'<2'
tg( arctg +-arctg+) =tg (а- ~)=
1
1
т-т 2
l+_!_._!_ =9'
24
tg(- ~ +2.3: + ~) = -ctg 15°= -ctg (450-300)=
_ 1+tg45°tg30°
-2--/3.
tg 45°- tg 30°
Пусть arctg 0=,\ " тогда tg ,\ ,=0 и '\'Е( - ~; ~ ). Следова
тельно, ,\ ,=0.
С учетом найденных значений данное выражение принимает
•(
11:
11: +0\
.( 511:)
• 511:
О5
вид: SIП -3-2 ~=SШ -6 =-sш6=- , .
4) Пусть arctg (-l)=a, тогда tg а= -1, а=- : .
Пусть arcctg (-1)=(3, тогда ctg ~=-1, ~=З:.
Пусть arcctg -Jз=,\" тогда ctg ' \ ' =.Jз' л= ; .
С учетом найденных значений данное выражение принимает
вид:
222
1. Вычислите:
А. 1) arccos( - "f) + arcsin( - "f) + arctg (--УЗ);
2) tg( arccos( - ,;;) +arcsin( - -V;) +arctg (--УЗ));
3) tg( arctg( - ~3) + arctg 1+ атссов 0+ arctg ~) ;
4) tg ( arcsin f + атссов ( - 0,5)+ arctg 1).
Б. tg( arcSin( - -V;) + arccos (-0,5)+ arcctg 1).
В. 1) sin (2 arctg 3); 2) sin (arcctg ( - 2»).
2. Вычислите:
А. 1) tg (arctg 1+ arctg (-1»; 2) tg( arctg ~ - агсtg,Гз);
3) tg (arctg О + arctg (-,Гз»; 4) tg( arctg O+arctg( - ~».
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
4) Обозначим arctg 2 + arctg 3 через а. Тогда
tg a=tg (arctg 2+arctg 3)=
tg(arctg2)+tg(arctg3)
2+3
1
l-tg(arctg2)tg(arctg3)
1-2·3=-'
Теперь остается найти а по заданному значению тангенса
этого аргумента. Для того чтобы эта задача была однозначной,
нужно указать пределы изменения а. Так как : < arctg 2 < ;
ппп
2
t3
я
.
И 4<arctg 3<2'
то 2<arctg
+агс g <Л, т. е. 2<а<л.
С
3п
ледовательно, а =4 .
1-~
4
t
2а= 2tgа
g
l-tg 2
а
-у'5
3"
-у'5
Найдем тангенс: tg а=-2-= -т.
-3"
По формуле тангенса двойного угла имеем:
2(-r)
4-У5.
tg2а,если;<а<л Иcos а =- ~.Найдемsinа=-V1- cos2a =
=- Г-;l 4 =-у'5
-у l-i-
3'
Контрольные вопросы
1. Что означает геометрически arcsin х?
2. Постройте график функции У= arcsin х. Укажите ее область
определения и множество значений.
3. Что означает геометрически агесов х?
4. Постройте график функции у = атссов х. Укажите ее область
определения и множество значений.
5 . Как изменяется функция у = атссов х на отрезке [-1; + 1]?
6. Эквивалентны ли выражения:
а) y=arccos х и cos у=х; б) y=arcsin х и sin х=у?
7. Эквивалентны ли выражения:
а) y=arctg х и tg у=х; б) y=arcctg х и ctg х=у?
8. Что называется:
а) арктангенсом; б) арккотангенсом?
9. Какой функцией, возрастающей или убывающей, является:
а) арктангенс; б) арккотангенс?
Б. 1) tg( 2 arctg 1+2 arctg( -
~));
2) tg ~4arctg (-
1)+3 arctg -{3).
В. 1) tg\ arctg ;); 2) tg (arctg 10);
3) tg( arctg(
-
~ )); 4) tg( arctg(
-
~ ));
5) ctg (arctg ~ ); 6) tg (arctg -}-+arctg т);
7) cos (arctg х).
3. Сравните числа:
В. 1) arctg -} - и arctg т; 2) arctg(
--} -) и arctg(
-+);
3) arctg( -} -) и arctg ; ; 4) arctg (-3) и arctg (-2).
n
1
_Г
Ответы. 1.А.1)6;2)-УЗ;3)-1; 4)1.Б.
-2 --уЗ.
з
1
1
_Г;;
1
В.1)5; 2)-{5' 2.А.1)О;2)-.;з;3)--у3; 4)--УЗ'
)
1
6.
1
Б.1_Гriз' В.6) -
7) --
~oJ
7'
~1-tXZ.
УПРАЖНЕНИЯ
С Р ЕШ ЕНИЯМИ
Решить уравнение
( cos 2х-+) ( cos 3х++) cos 2х( cos ~ -1)(cos 3;+1) Х
х( сов" 2х--}-) =0.
Реш е н и е. Область определения - х - любое действитель
ное число. Левая часть уравнения содержит шесть сомножите
лей. Правая часть уравнения равна нулю. Произведение равно
нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Следовательно, надо решить шесть уравнений.
224
(5)
х= +arccos -va+лk, kEZ.
(3)
(4)
сов"х=а, где O~a~ 1,
(2)
(1)
х= +-агссо э а+2лk, kEZ.
2. Частные случаи:
а) cos х= 1, х=2лk, kEZ;
б) сов х=О, х=i-+лk,
kEZ;
в) cos х= -1, х=л+2лk; kEZ.
3. Формула для корней уравнения
имеет вид:
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Формула для корней уравнения cos х е= а, где -1~a~ 1,
имеет вид:
§ t. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА cos х=а
§ 1. РЕШЕНИЕ УРАВ НЕНИй ВИдА cos х=а
§ 2. РЕШЕНИЕ УРАВ НЕНИй ВИдА sin х=а
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВ НЕНИй ВИдА tg х=а
§ 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВ НЕНИй
ПРИ ВОДИМЫХ К КВ А ДРАТНОМУ
§ 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВ НЕНИй
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВ НЕНИЯ,
РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ
ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
§ 7. РЕШЕНИЕ
СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВ НЕНИй
ГЛАВА XVIII
225
3х +2 k kC-Z' _21t+41tk
krZ
т=л Л,
...... '~-'з
3' с.
5) cos 3;+1=0, (5),cos 3;=-1. По формуле
(4)
Следовательно, x=4nk,
kEZ, являются корнями
у равнения
(4) и исходного уравнения.
Следовательно, х = ~+ :л:' k Е Z являются корнями уравнения
(3) и исходного уравнения.
4) cos ~-1 =0,(4), cos ~=1.По формуле
(2)
~ =2лk,
kEZ; х=4лk,
kEZ.
2х= ~ +nk,
kEZ; Х= ~ +1t2k , kEZ.
Следовательно, х = +2g1t+ ?з1t k, k Е: Z являются корнями урав
нения (2) и исходного уравнения.
3) cos 2х=О, (3). По формуле (3)
2зt
k
Z
2зt 2зt
k
Z
3х=+-з+2лk,
Е ; Х=+g+зk,
Е.
Так как arccos( - ;) =2; , то
2х= +; +2лk,
kEZ; Х= + ~+лk,
kEZ.
Следовательно, Х = +i-+ лk, k ЕZ, - корни уравнения ( 1)
и исходного уравнения.
.
1
1П
2) cos зх+2=о, (2), cos 3Х= -2' о формуле (1)
3Х= +arccos( - ~) +2лk,
kEZ.
Т
1п
ак как атссов 2=3' то имеем:
1
1
1) cos 2X-т=О (1), cos 2Х=2' ПО форм у л е
(1) ,
1
2х= +acccos 2+2лk,
kEZ.
3. Может ли синус (косинус) быть равным:
В.1)~; 2)а++; 3)\~;
4) ~:: (а>О, Ь>О)?
О
1А1)ллkkZ
л
2лk
тветы.
..
4+2' Е;2)лk,kEZ;3)3+3'
kEZ; 4) л:' kEZ.
Б. 1) +i-+лk, kEZ; 2) +~ +2~k, kEZ;
3)+л+kkEZ 4)
'"
В 1) .!!_+лk +.: .!._+2Лk
-12л,
;
корнеи нет..
6
З'-9
З'
kEZ; 2) ~ +Л2k, ±}arccos ++лk,
kEZ; 3) +2 (л-
-arccos +)+4лk,
kEZ; 4) 2+л+2лk, 2+4лk, kEZ.
2. В.
2) лk, kEZ; 3) л+2лk, kEZ; 4) 4-~ +лk, kEZ.
226
х
cos-
О' 3) -~=O' 4) cos Зх=о
,-
сов х
'
tgх
.
В. 1) 1+cos 2х о; 2) cos ~x-;
cos х
COS,-x
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Решите уравнение:
А. 1) cos2x=0; 2) cos2x=1; 3) cos3x=-1; 4) 2 cos4х=2.
Б. 1)cos2х=~2;2) cos3х=- ~ ;3)cos2х=-v;;4)cos; - 1,5.
В. 1) 2 сов" 3x-cos 3х=0; 2) cos 2х-3 сов" 2х=О;
3) cos( -; ) +0, (3) =0; 4) cos(_~-1) =cos2( 1- ~ ) .
2. Решите уравнение:
2х= + : +лk, kEZ; Х= + ~+~~,kEZ.
С
л
~
ледовательно, Х= +8+2' kEZ являются как корнями
уравнения (6), так и исходного.
Т
1л
ак как атсс ов -.,fi =4' то
.
_гt
2х= +arccos V т+лk, kEZ.
Следовательно, Х = 2зЛ+4~k , k Е Z, являются корнями уравне-
ния (5) и исходного уравнения.
.
6) сов" 2х- ; -о, (6), cos22x=}-. По формуле (5)
227
2) втп 3х+-}=О (2), sin 3х= -т. По формуле (1)
Следовательно, х =(- l)k l~ +ч. k Е Z являютс я
корнями
уравнения (1) и исходного уравнения.
Т
.
1n
ак как агсвш 2=6' то
2х=( _l)k ~ +лk, kEZ; х=( _l)k :; + ~k , нег.
УПРАЖНЕНИЯ
С
РЕШЕНИЯМИ
Решите уравнение
( sin 2х-т) ( siп 3х+}) sin 2х( sin ~ -1) (sin 1,5х+l)X
Х( sin2 2х-{-)
=0.
Реш е н и е. Область определения - х _,_любое действитель
ное число. Левая часть уравнения содержит шесть сомножите
лей, правая часть уравнения
равна нулю. Произведение
рцвно
нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Следовательно, данное уравнение распадается на шесть уравне
ний. Решим их.
1) sin 2x-т=О (1), sin 2х=т. По формуле (1)
2х=( _1)k arcsin Т+лk,
kEZ.
(5)
х =+arcsin -.га+лk, k ЕZ.
В) sin х= -1,х= - ~+2лk, kEZ.
(4)
3. Формул а для
корней уравнения
sin2 х=а, где О~ а~ 1,
имеет вид:
(2)
(3)
(1)
х=( _1)k arcsin а+лk, kEZ.
2. Частные случаи:
а) sin х=о, х=лk, kEZ;
б) sinх=1,х= ~+2лk, kEZ;
§ 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА sin х=а
С ПРАВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
1. Формула для
корней уравнения
sinх=а,где-1~а~1,
имеет вид:
228
~=- ~+2лk, kEZ; х= - ~+ 4~k " kEZ.
Следовательно, Х= - ~ + 4~k , kEZ, являются корнями урав
нения (5) и исходного уравнения.
6) sin22x-t-=0 (6), Siп22х=t. По формуле (5)
2х = +arcsin -v+ I лk,
k ЕZ.
Так
как
-J"i =2~'
ТО можно записать, ЧТО
x=(_l)k+l
~+31k
kEZ
18 3'
.
Следовательно, х =(-1)k+ 1 1~ + л; , k Е Z, являются корнями
уравнения (2) и исходного уравнения.
3) sin 2х=0
(3). По формуле (2)
2х=лk, kEZ; х=л: ' kEZ.
Следовательно, х = Л;, k Е Z, являются корнями уравнения
(3) и исходного уравнения.
4)sin~-1 =0 (4),siп~=1.Поформуле (3)
~ = ~ +2лk, не г, х=л+4лk, нгг.
3амечание.Множество корнейх= л+4лk,kЕZ,являет
ся подмножеством корней х = n; , k Е z. Поэтому эту серию кор
ней: х = л + 4лk - мы не включаем в окончательный ответ.
5) siп 1,5x+ 1=0 (5), sin 32Х = -1. По формуле (4)
получаем:
Учитывая, что (_l)k( - l~)=( _l)k.( -1) .
1 ~=( _1)k+1 l~,
Т
.(
г)
n
ак
как
агсsш -2 =-6' то
3х=( _l)k arcSin( --}-) +лk,
kEZ.
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИй ВИДА tgx=a
СПРАВОЧНЫR МАТЕРИАЛ
1. Формула для корней уравнения tg х = а им еет вид:
x=arctg а+:лk, kEZ.
(1)
229
ответы. А.
1)-~ +~,kЕZ;2)(-1)НI:+лk,
k ЕZ;
3)(-l)k~+~k, kЕZ; 4) ;+~!;_,kЕZ;5)(-l)k :+лk,
k ЕZ;
6) (_1)"+1 ~ +лk, kEZ; 7) лk и (_l)k : +лk, kEZ.
Б. 1)
(- 1(10°+ 1800k, kEZ; 2) +; +лk, kEZ; 3) 300+
+450+ 180of~,kEZ; 4) ~~<, kEZ. в. 1) f;+2~k, kEZ;
2)l~+
+~k , kEZ; 3)~k.нег;4)~k I kEZ; 5)-;n+2лk,kEZ; 6)±;+
+лk, kEZ; 7) корней нет.
7)~iПх=0.
вш Зх
6) si~ 3х =0'
sшх
'
5) sin2 3x+sin x+cos2 3х=О;
2х= +arcsin ~f(}+nk, kEZ;
2 -у2
1
.1
nk
kZ
х = +таГСSШ2-у'2+Т'
Е.
С
1
•1nk
ледовательно, х= =т агсsш 2-у'2+Т' kEZ, являются кор-
нями уравнения (6) и исходного уравнения.
ДИДАКТИЧЕСКИ А МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
А. 1)sin4х= -1; 2) sinХ=- f; 3)sin2х=+; 4)sin4х=1;
5) 2 sin х=-!2; 6) 2 sin2x= -1; 7) sin х (2 sin х--!2)=О.
Б. 1) sin-x=sin 10°; 2) sin2 х= ~; 3) sin2 (х-зоо)=+;
4) [вгп (450-х)1 == ~;
5) (sin x+sin 100)( sin2 х+:) Х
х ( sin2 (х-300) ++) =0.
В. 1) sin х cos2x+cos хsin2х= 1; 2) cos3хsin3х=т;
3) sin 2х cos 2х--2 sin 2х=О; 4) si1122х=3 sin 2х;
230
Рис. 145
Рис. 144
Рис. 143
х
Нанесем все исключенные точки
на одну един ичную окруж
ность (рис. 147).
Чтобы решить данное уравнение (1), надо приравнять каждый
сомножитель нулю и решить получившиеся уравнения.
1) tg 3х=0.
По формуле (2)
3х=лk,
kEZ; x=~k"
kEZ.
cos 3x=FO, 3x=F ~ +лk,
nnk
(рис. 143);
х=F6+з, kEZ
х
~ =F; +лk,
х=t-=л+2лk, kEZ
(рис. 144);
cos 2=FO,
cos х =1= О, x=F; +лk,
x=l= ; +лk, kEZ
(рис. 145);
cos 2x=FO, 2X=l=; +лk,
nnk
(рис. 146).
X=FT+2'
kEZ
Реш е н и е. Область определения
данного уравнения:
УПР АЖ НЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение
tg 3х( tg ~ + 1) (tg x-l)(tg 2х--УЗ)( tg2 х-т) =0.
(1)
(5)
Х= ±aгctg -{Q,+nk,
kEZ.
В)tgХ=-1,Х=-:+nk,
kEZ.
(4)
3. Формула для корней уравнения
tg2 х=а, где аЕ [о; 00), име
ет вид:
(2)
(3)
2. Частные случаи:
а) tg х=О, x=nk,
kEZ;
б) tgх= 1,х=:
+nk,
kEZ;
23}
Рис. 151
Рис. 150
х
у
у
РЗ Т(
2
Рис. 149
Нанесем
найденные корни уравнения на единичную окруж
ность (рис. 149).
3) tg x-l =0, tg Х= 1. По формуле (3)
Х= : +nk, kEZ.
Нанесем
найденные корни уравнения на единичную окруж
ность (рис. 1501.
4) tg2x--Y3=0, tg2х=vГз. По формуле (1)
2х = arctg vГз+nk, k Е Z.
Нанесем
эти точки на единичную окружность (рис. 148).
2) tg ~+1=0, tg ~=-1.По формуле (4)
~=- :+nk, kEZ;
х= - ; +2лk, kEZ.
Рис. 148
Рис. 147
Рис. 146
у
232
Д"ДАКТИЧЕСКИ8МАТЕРИАЛ
1. Решите уравнение:
А. 1) tg2x=0; 2) tg3x=0; 3) tg2x=1; 4) tgх=уГз.
Б. 1) tg(~ -300) =0; 2) tg
(3х+600)=уГз; 3) t g
4х=3.
В. 1) tg2x =0' 2) tgx
=0' 3)~ =0'4)tg2x =0.
sinx
'
sinx
'
tg2x
'
cosx·
Так как агсt g .уз = ; , то можно записать, что
2х= ; +лk,
kEZ;
пnk
k
Z
Х=б+2'
Е.
Нанесем найденные корни уравнения на единичную окруж
ность (рис. 151).
2
1
215
5) tg
x-з=О,
tg
Х=З' По формуле ( )
Х= +arct g
_~ +лk, kEZ.
-у3
Так как arct g
_Jз = ~ , то можно записать! что
Х= + ~+лk,
kEZ.
Нанесем найденные корни уравнения на единичную окруж
ность (рис. 152).
Теперь из множества полученных корней отберем корни дан
ного уравнения. Для этого нанесем все найденные решения н.а еди
ничную окружность и исключим из НИХ точки, нанесенные на ри-
сунке 147. Получим ответ: + ~+лk, 2лk, kEZ (рис. 153).
Рис. 153
х
у
Рис. 152
у
область
допустимых значений переменной не устанавливается.
2. Справедливы соотношения:
а) sin2a=1-cos2a
(1); б) cos2a=1-sin2a.
(2)
3. Формулы корней у~авнений:
а) sin х=а, х=( -1) arcsin a+nk, kEZ;
(3)
б) cos х=а) х= +arccos а+2лk, kEZ;
(4)
в) ах:+Ьх+с=О, х
- Ь2~~
(5)
233
1. Заметим, что если тригонометрическое уравнение целого ви
да содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы),
то область
допустимых значений переменной - множество дей
с твительных чисел, так как эти функции определены для любого
действительного значения. Поэтому в дальнейшем при рассмотре
нии таких уравнений, как
а sin2 f (х)+Ь sin f (х)+с=О или а соз" f (х)+Ь sin f (х)+
+с=о и т. п.,
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
§ 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,
ПРИВОДИМЫХ К КВАДРАТНОМУ
2. Решите уравнение:
А. 1)tgх-l =0;2)tg2х+ 1=0;3)2tg3х=2; 4)-2 tg3х=2.
Б.1)tg2хcosх=О; 2)tgхcos2х=0; 3)tg2х= 1.
В. 1) 3t g 23x=l; 2) tg x(3t g2x+l)=0;
3) tg x=2--y'5.
3. Решите уравнение:
В. 1)tg(-~) =-Jз;2)tg(-х+ ~)=-13;3)tg(~- :)=
=-/3,
ответы. г,
А. 1) ~k, kЕZ; 2) ~k, kЕZ; 3) ~+~k, kЕZ;
4) 600+ 1800k, kEZ. В. 1) ; +nk, kEZ; 2) и 3) нет решений;
4)nk,kEZ.2. А. 1) ~+nk,kEZ;2)-~ +~k,нег.3)l~ +
nk
n
nk
nk
+3' kEZ; 4) -12+3' нс г. Б. 1) 2' kEZ; 2) nk, kEZ;
:+~k,kEZ;3)+.:+nk, kEZ. В. 1)+l~+~k,kEZ;2)nk,
kEZ; 3) -arctg (-y'5-2)+nk,
kEZ. 3. В. 1) -; +3nk, kEZ;
2) nk, kЕZ; 3) 7~";+2лk, kEZ.
234
1
5
Корни уравнения (2):
У. = -Т, У2=Т. Следовательно, сов Х=
1
5
= -тили cos Х=т'
1
Решим уравнение cos Х= -2":
Х= +2з11 + 2nk, kEZ.
Решим уравнение сов Х= ~. Это уравнение корней не имеет,
так как cos Х не может быть больше единицы.
(1)
8 (1-cos2 х)+6 cos х-з=о,
8 сов" х-6 сов х-5=О.
Введем новую переменную. Обозначим cos х через У. Тогда
уравнение (1)
примет вид:
8у 2-6у-5=О.
(2)
3±7
1
5
у=-в-; Yl=-T' У2=Т·
С
.
1
.
5
ледовательно, зш Х= -тили вш Х=т'
Р
.
1·
ешим уравнение вш Х = -
Т.
x=(-l)k+l~ +nk, нег.
Р
.
5Э
..
ешим уравнение ып Х=т' то уравнение корнеи не имеет,
так как sin Х не может быть больше единицы.
2) 8cos2x+6sinx-3=O.
Заменяя cos2x через l-sin2x,
получим 8 (1-siп2 х)+6 sin х-з=о,
8 sin2 х-6 sin х-5=О.
Пришли к уравнению, рассмотренному в lпражнении 1 ).
3) 8 sin2 х+6 cos х-3=О. Заменяя sin Х через l-cos2 Х,
получим:
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
Решить уравнение:
1)
8 sin2 х-6 sin х-5=О; 2) 8 сов" х+6 sin х-3=О;
3) 8 sin2 х+6 сов х-3=О.
Реш
е н и е. 1) 8 sin2 х-6 sin х-5=О. Обозначим sin х через
у, тогда данное уравнение можно записать в виде
8у 2_6у-5=О.
мы получим квадратное уравнение относительно у. Решая его,
найдем:
называется однородным ур а внением второй степени относитель
но sin f (х) и cos f (х), если все три коэффициента а, Ь. k или какие-
235
2. Ур а внение вида а tg х+Ь ctg х+с=О приводится к квадр ат
ному ур ав нению одной тригонометрической функции путем замены
1
ctgx=tgх'
3. Ур ав нение вида а sin х+ь cos х=о (а =#=0,Ь=#=О)называется
однородным первой степени относительно sin х и cos х. Оно реша
ется делением обеих его частей на cos х =#=О, В результате получает
ся ур ав нение вида atgx+b=O,
4. Ур ав нение вида
а siп2 f (х)+ ь sin f (х)cos f (x)+k сов" f (х)=О
(l)
1. Спр аведливы соотношения:
1) tg a,·ctg а= 1; 2) tg a=-t 1_; 3) ctg a=t-I_;
cga
ga
4) 1+tg2 а =-12- ; 5) 1+ctg2 a=~
.
cos а
SlП а
СПРАВОЧНЫй
МАТЕРИАЛ
§ 5. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
дидхкгичвскив МАТЕРИАЛ
Решите ур а внение:
А. 1) sin2 х-2 sin х-3=О; 2) сов" х-2 cos х-3=О;
3) 2 sin2 х+3 соз" х+2 sin х=О;
4) 2 cos2 х+3 sin2 х+2 cos х=о.
Б.
1) 3cos2х=7 sinх; 2) 2cos2х=7 cosх;
3)
.
2Х
2
х
2
вгп 2-
cos2= - .
В.
1) sin4 ~ -cos4
~ =т; 2) сов" x-sin4
x_:1f;
3) соз" х+4 sin2 х=2 sin 2х; 4) sin2 х- f sin 2x=cos2 х;
5) 4 (1 +cos х)=3 cos ~ sin2 ~ ; 6) 4(I-cosx)=3sin
~cos~,
ответы. А.
1)
- ~ +2лk, kEZ;
2)
л+2лk, kEZ
Б.
1)
(_l)k arcsin т+лk, kEZ; 2) + (л-агссоs -{-) +2лk
.kEZ. В. 1) . ±2; +2лk, kEZ;2) +1~+лk,kЕZ; З) агсtgf+л~
kEZ;4)-~·+; k,kEZ;5)
л+2лk, kЕZ;+2IагссоsТ+4лk,·kЕ,
2y2-y-1 =0.
Корни этого уравнения Yt = 1, У2 = -т.
Если Yl=tgx=l,
то х= :+nk, kEZ.
1
1
Если Y2=tg х= -2' то х= -arctg 2+лk,
kEZ.
2) ·2 sin2 х-5 sin х cos х+3 cos2 х=о.
Значения
аргумента, при которых cos х = О, не являются ре
шениями этого уравнения, так как если cos х = О. ТО ДО..лжно выпал
няться равенство 2 sin2 х=о, но косинус
и синус не могут быть
одновременно равны н улю. Поэтому можно обе части данного
у равнения разделить на сов'' х или sin2 х и при этом получить рав
носильное уравнение.
Разделим обе части на cos2.x, получим равносильное уравнение
2 tg2 х-5 tg х+з=о.
Решим его:tgх= 1,поэтому Xt=:+лk, kEZ, иtgх=~,по
этому Х2 =arctg ~ +nk, kЕ z.
236
1
Поскольку ctg Х= tg х ' а tg х обозначим
через у, то получим
1
новое уравнение 2y---1=0, которое приводится к квадратно
у
му уравнению
{
x:i=; +nk,
х:i=лk;
x=l= ; k, kEZ.
{
cos X:i=O,
sin X:i=O;
УПРАЖНЕНИЯ
С
РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение:
1) 2tgx~ctg х= 1; 2) 2sin2х-5 sinхcosх+3 cos2х=О;
3) 22 сов"х+8 sin х cos х=7; 4) 2 sin х cos х-2 сов"х=О.
Реш е н и е. 1) 2 tg x-ctg х= 1. Область определения этого
уравнения:
либо два из них отличны от нуля. Считая, что a:i=O, разделим обе
части уравнения на сов" f (X):i=O, тогда получим:
atg2f(x)+btgf(x)+k=O.
(2)
Уравнение (2) равносильно уравнению (1), так как корни урав
нения cos2 f (х) = О не являются корнями
у равнения (1).
Однако если а =О, то уравнение (1) принимает вид Ь sin f (х) Х
Х cos f (х) +k сов" f (х) =О, которое решается разложением левой
части на множители: сов f (х) (Ь sin f (x)+k
cos f (х)) =0.
237
ДИДАКТИЧЕСКИЯ
МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
А. 1) tgx+-t5 =6; 2) l+tgx=2tg2x;
3) 7tg2x-8tgx=15.
gx
Б. 1) ctg2x+ctgx=2; 2) 4cos2x+sinx=1;
3) 2 sin2 x+cos2 х=5 sin х cos х;
4) 2sin2х- sinхcosx=cos2 х.
В. 1) cos 2х=5 sin х+3; 2) cos2 х+3 sin2 х+2 vГз sin х cos х=3;
3) 22cos2x+4sin2x=7;
4) 2(cos4x-·sin4x)=I;
5) 2 cos2(270О+х)+3Sin(x+
;)
=0;
6) siпЗх+с о sЗх=О.
Ответы.А.1) : +лk, kEZ;arctg 5+лk, kEZ;2) : +лk,
kEZ; arctg( --}-)
+лk, kEZ; 3) лk- : ' kEZ; лk+агсtg 1,; .нг г.
Б. 2)
; +2лk, kEZ; 4)
(-1) 1'+lагсsil1 (%) + nk. н-.г.
3) 22 cos2 х+8 sin х cos х=7.
Так как sin2 а + сов " а = 1, то данное уравнение можно заме
нить равно сильным ему уравнением
22 со в" х+8 sin х cos х=.1 (sin2 x+cos2 х).
Раскроем скобки, перенесем все члены из правой части урав
нения в левую, сделаем приведение под обных членов. Получим:
7 sin2 х-8 sin х cos х-15 cos2 х=о.
Это -
од нородн ое уравнение втор ой
с те пени. Разделив обе части
этого уравнения на с ов '' х, найдем:
7 tg2 х-8 tg х-15=О ,
о ткуда tg х= -1, значит, х= - : +лk, kEZ, или tg х=l; , зна-
15
чит, x=arctg т+лk, kEZ.
4) 2 sin х cos х-2 со з" х=о. Вынесем общий множитель за
ск обки, получим 2 cos Х· (sin x-cos х)=О. Решим это уравнение.
cos х=о, значит, х= ; +лk, kEZ. sin x-cos х=О. Разделив обе
части на cosx, получим tgx=l, значит, х=: +лk, kEZ.
3амечание. Если бы мы как впримерах 2и3,раздс
лили обе части данного уравнения на cos2 х, то получили бы урав-
нение 2 tg х=2. К орни этого уравнения: х= : +nk, kEZ. Как
видно, мы потеряли бы серию корней - х = ; + лk, k ЕZ.
238
cos2а= соз"а- sin2 а,
2tgа
tg2а 1_tg2а'
sin а+siп J3=2 sin a;-~cos a;-fi ,
•
•А.2.a-fi
a+~
sш а-sш 1-'= sш -2- cos -2-'
cos a+cos J3=2 cos a;-~ cos a;-~ ,
cos a-cos J3= -2 sin a-;~sin a~~ ,
l-cos а=2 sin2 ; ,
1+cos а=2 сов" ; ,
sin 2а=2 siп а cos а,
(7)
(8)
(9)
( 10)
(11 )
( 12)
( 13)
(14)
( 15)
( 16)
l-cos а
sin а
sin а
1+cos а
(6)
tg a-tg ~
1+tg аtg~,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
siп (а+J3)=siп а cos J3+siп J3cos а,
t (а )_ tgа+tg~
g +~- 1- tgаtg~,
cos(а- ~)=cosаcosJ3+ sinаsinJ3,
cos (а+ f3)=cos а cos J3- sin а sin J3,
sin (а- J3)= siп а cosJ3- sin J3cos а,
Формулы:
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
гвш ьвмыв С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ,
понижвния СТЕПЕНИ
В. 1) (-I)HI ~+лk, не г. 2) ~ +nk, нгг. ~ +nk, kEZ;
3)
см. А.
3);. 4) ±~ +лk, не г. 5)'
+ 1 20o+360ok, kEZ;
6) -: +лk, kEZ.
239
2х
"х
5 tg 2+8 tg 2-7 =0. Корни уравнения:
х=2лk+2 arctg -4~-y'5Т .
3) sin x-sin 2x+sin Зх-siп 4х=0. Преобразуем это уравне
ние следующим образом:
(sin x+sin Зх)-(siп 2x+sin 4х)=0.
Преобразуем каждую из сумм по формуле (1о) в произведение:
2sin2хcosх-2 sinЗхcosх=о.
Вынесем общий множитель 2 cos х за скобки:
2 cos х (sin 2x-sin 3х)=О.
2 cos2 x+cos х=о.
Это уравнение разложим на множители:
cos х (2 cos х+ 1)=0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей
равен нулю, т. е. cos х=о или 2 cos х+ 1 =0. cos х=о, следова-
л
kkZ
1
2л
тельно, Х=2+Л'
Е ; cos х= -2' следовательно, х= +3 +
+2лk, kE·Z.
2) 4 sin х-6 cos х= 1. Переходя к аргументу ~ , имеем:
4·2 sin .!_cos .!_-6(cos2.!_- Sin2.!_ ) =cos2~+Sin2..!_
2
2
2
2
2
2·
После преобразования этого уравнения получим:
5sin2~+8sin~cos~- 7сов"~=О.
Это уравнение однородное. После деления на сов" ~ получим
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение:
1)
1+cos x+cos 2х=0; 2) 4sinх-6 cosх= 1;
3) sin x-sin 2x+sin 3x-sin 4х=0;
4) cos 2x+cos 8x-sin x-cos 6х= 1 на промежутке [о; ; ];
5) sin2x+cos2 2x+sin2 3х= 1,5; 6) sin4 x+cos4 х= ~ ;
7) 2 sin l1х+-VЗ sin 5x+cos 5х=0'
8) sin4 x+cos4 х-З sin 2х+2,5 sin~ 2x~0.
Реш
е н и е. 1) 1+cos x+cos 2х=0. По формуле (15) выра
жение 1 +cos 2х заменим выражением 2 сов" х. Уравнение примет
вид:
у
'i
'i
P1r
2
Р1Т
4"
РО
х
Рзтr
-2"
Рис. 154
Рис. 155
Рис. 156
240
Разность sin 2x- sin Зх преобразуем в произведение. тогда
уравнение примет вид:
2 cos х·2 sin( - ~~ cos5;=0.
Решим это уравнение: cosх=О, значит, х= ; + л,k, k ЕZ;
sin( - ~) =0, -sin ~ =0, значит, ~ =л,k, x=2nk, kEZ;
5х
.
О5х
n+k
п2nkkZ
cos2= '2=2
л" Х=5+Т'
Е.
'0
л
k2kn2nkkZ
т вет, 2+л" л"5+5'
Е.
4) Найти корни уравнения cos 2x+cos 8x-cos 6х= 1, принад-
лежащие промежутку [о; ;] . Имеем:
cos 2x+cos 8х= 1 +cos 6х.
Преобразуем левую часть уравнения по формуле (12), а пра
вую по формуле (15), получим:
2 cos бхcos 3х=2 сов" Зх,
2 cos 3х (cos 5x- cos 3х)=0.
Преобразуем разность по формуле ( 13) в произведение:
2 cos3х(-2
sin 4х sin х)=О.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей
равен нулю. Поэтому cos 3х=0, значит, х= ~ +;k, kEZ (рис.
154); sin х=О, значит, x=nk, kEZ (рис. 155); sin 4х=О, x=:k ,
kEZ (рис. 156).
Нанесем полученные корни на единичную окружность. Заме-
241
1-2 si112х соэ" х= ~t 2 sin2 х сов" x=i-.
Умножим обе части последнего у равнения
на 2, получим:
2 sin х cosx·2.sin х cos x=t, sin22x=t-,
sin 2х= ++, 2х= + ~+nk, kEZ;
Х= +l~ +; k, kEZ.
откуда
l-й с п о с о б решения. Воспользуемся равенством
sin4 x+cos4 x=(sin2 x+cos2 х?-2 sin2 х cos2 х,
тим, что множество корней х =nk является подмножеством мно-
..
1tk
жества корнеи Х=т'
Об
1t
1tk
1tk
т ирая из множеств Х=6+З
и х=т значения Х, при-
надлежащие промежутку [о; ;], получаем следующие эначе-
"О
1t1t1t
ния корнеи: ; 6; 4; т·
5) sin2 x+cos2 2x+sin2 3Х= 1,5. Решим это уравнение спосо
бом понижения степени. Используя формулы (14) и (15), пере
пишем данное уравнение в виде
l-cos 2х + 1+cos 4х + l-cos 6х =l..
2
2
2
2'
l-cos 2х+ 1+cos 4х+ l-cos 6х=3,
cos 2x+cos 6x-cos 4х=0.
Сумму преобразуем в произведение по формуле (12), получим:
2 cos 4x·cos 2x-cos 4х=0.
Вынесем общий множитель за скобки:
cos 4х (2 cos 2х-l)=0.
Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомно
жителей
р авен нулю:
1t
1tkkZ
cos 4х=О, значит, х=в+т'
Е
;
2 cos 2х= 1, cos 2Х=+, значит, х= + ~+nk, kEZ.
6) sin4 x+cos4 х= ~ .
242
Так как 2 sin2 х сов" Х=}.4 sin2 х cos2 x=}sin2 2х, то последнее
уравнение примет вид:
1-+
sin2 2х-3 sin 2х+ ~ sin22x=0.
2 sin2 2х-3 sin 2х+ 1=0.
Полученное уравнение
я вл яется квадратным относительно
sin 2х. Решив его, получим:
Х= ~ +лk,
kEZ, и х=( _I)k l~ +~k , kEZ.
sin Ilx+cos ; sin 5x+sin ; cos 5х=0,
sin Ilx+sin( 5х+ ;) =0.
Заменим сумму произведением по формуле (10):
11x+5x+~
ll x -5x-~
2.
6
6О
SШ
2
COS
2
'
X=9~ (12k-l) и Х=;6 (12k+7), kEZ.
8) sin4 x+cos4 х-3 sin 2х+ ~ sin22x=0 .
Имеем:
(sin2 x+cos2 х)2-2 sin2 х сов" х-3 sin 2х+ ~ sin22x=0.
вид:
2-й способ решения.
Понизим степень синуса и косинуса:
sin4 x+cos4 x=(sin2 x?+(cos2 х?=
=(1- cos 2Х) 2+(1+cos 2х ) 2.
2
2
После преобразования получим:
2+2 cos2 2х 7
2
3
-J3
4
8 ' cos 2Х=т, cos 2х= ±Т'
2
11:
k
11:
1I:k
k
значит, х=+""6+Л'
х=+Т2+Т'
EZ.
7) 2 sin Ilх+-УЗ sin 5x+cos 5х=0. Разделим левую и правую
части этого уравнения на 2, получим:
sin llх+ -v; sin 5x+t-cos 5х=0.
Т
-УЗ
11:
1
. 11:
ак как 2= cos ""6' а 2= sш ""6' то это уравнение примет
243
(2)
(1)
(1),
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1.
При решении систем тригонометрических уравнений послед
ние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо
к системе уравнений относительно самих аргументов или функций
этих. аргументов.
2. Рассмотрим лишь некоторые типы систем тригонометриче
ских уравнений и наиболее употребительные методы их решения.
3. Решим систему вида
{
sin х sin у=а,
cos х cos у=Ь.
Реш
е н и е. Складывая и вычитая уравнения системы
получаем равносильную систему
{
сов
(x-у)=а+Ь,
cos (x+y)=b-а.
§ 7. РЕШЕ НИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕ НИЙ
ДИДАКТИЧ ЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
А.
1)
siп x+sin 3х=0; 2) sin 5x-sin х=О; 3) cos 2x-cos 6х=0;
4) cos 4x+cos 2х=0.
Б. 1) siпх+siп3х=siп5х-siпх;
2) cos(3x+45°)+cos
15°=0;
3) tg (45°-x)=tg 2х; 4) sin (2x+300)+cos (2х+300)=0.
в.1) l-tgх ctg2х; 2)
cosx+sin х ctg х;
1+tg х
cosx-sin х
3) 2sin2 х+-v'3sin2х=1+2cosх;
4) sin2 х+О,5 sin 2х-2 сов" х=О;
5) сов? x+cos2 2x+cos2 3x+cos2 4х=2;
6) sin х sin 2х sin 3х=0,25 sin 4х;
7) 2 sin 17x+vf3 cos 5х+ sin 5х=О.
О
А
'Лk
лkллk
,tk
тветы ..
1)
2' нег.2) 2' 6+3' kEZ; 3) 4'
kEZ; 4) ~ +Лзk , не г. Б. 1) ~k, kEZ; 2) 40°+ 1200k, 50°+
+ 1200k, kEZ; 3) 15°+600k, kEZ; 4) -37°30' +900k, kEZ.
11: (k
)kZ
ллkk
221
k
2л
В.1)-,г4+1, Е;2) 8+2' EZ;3)з+2лk,
EZ;9+
+2;k, kEZ; 4) : +лk, аrсtg(-2)+лk,
kEZ; 5) ; +лk, ++л: '
ллkkZ6)лkл(2k1)kZ
n:'
лk
ллk
10+5' Е;
2' 8" + , Е;7)- 66i+lТ' 9+6'
нс г.
244
(3)
УПРА ЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить систему уравне ний:
1){sinхcosУ=-0,5, 2){x-у=ЗООО, 3){tgx+tg У=1,
cos х sin у=0,5;
sin х=2 sin У;
х+ у=450;
4) { sin Х sin у=0,75, 5) { sin2 x+cos2 у=0,5,
tgхtgу=3;
х+у=450•
Решение.
1){sinхc~sу= - 0,5,
(1)
cosхSlП У=0,5.
Складывая
и вычитая уравне ния системы (1), получаем равно
сильную систему
{ sinxcosy+co. sxsiny=O, {sin(x+y)=o,
(2)
cos х sin y-sin х cos У= 1; sin (у-х)=
1.
Решая систему (2), получаем:
{
х+у=лn,
у-х= ~ +2л~, k, nEZ.
4. Аналогич но решается система вида.
{sinхcosу=а,
cos х sin у=Ь.
где k и п - любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.
Пусть атссов (а+Ь)=а, атссов (b-a)=~.
Таким образом, формулы (3) определяют четыре серии реше
ний:
1) {x-y=a+2nk,
2) { Х-У= -a+2nk,
х+у=~+2пn;
.х+у=~+2пn;
3) {x-y=a+2n k,
4) {x-y=-a+2 nk,
х+у=-~+2пn;
x+Y=-t1+2пn.
Решая эти системы, находим:
{
х=+-(а+~)+п (k+n),
{х=+-(~-а)+п (k+n),
у=+-(~-а)+n
(n-k);
у=-}-(а+~)+п (n-k);
{
х=+-(а-~)+л
(k+n), {х= ;+(0;+11)+" (k+n),
У= -+-(а+~)+п (n-k);
У=2(а--~)+л
(n-k);
(3)
Система (2), а значит, и система (1) имеют решения в том
и только в том случае, когда выполняются условия - 1~ а +Ь ~ 1
и - 1~ Ь- а~ 1. Если эти условия выполнены, то
Х-У= +arccos (a+b)+2n k,
Х+У= +arccos (Ь-а)+2п n,
245
(2)
Применяя способ подстановки, получаем:
(2)
.
2.(5n)
sшх= sш х-з .
Упростим правую часть уравнения (2):
2.(
5n)2(.
5n
.
5n)
sш х-з = sшхcosз-соs хslП"3 =
= 2( sin x.++"f cos х) =sin x+-J3 cos х.
Таким образом, уравнение (2) примет вид sinx= sinx+-y'3cosx,
откуда cos х=О, Х= ~ +nk, kEZ.
Бл
n+k
n
k5n
Так как
у=х-з, а х=т п, то у=т+п --з=
=nk-7:
' kEZ.
От вет.х-
~ +nk, y=nk-7:,
kEZ.
3) {tg x+tg:= 1,
Х+У=т'
(1)
Область определения
с ис темы (1):
{ cos х,*0,
{х* ~ +nk, k,EZ,
cos у*О;
n
у*т+пn, nEZ.
Из первого уравнения
си стемы (1) находим у=х_5; • Тогда
второе уравнение
системы примет вид:
(1)
Складывая уравнения
с истемы (3), получаем 2у=пn+: +
+2nk, ил и у=: +n;+nk.
Вычитая из первого уравнения
с истемы (3) второе, получаем
2x=nn- ~- 2nk
или x=-~+~-nk
2
"
4
2
•
ОТВет.Х= -
: +n;-nk, kEZ, nEZ; У= : +n;+nk, kEZ,
nE,Z.
2){ х_у=5;,
sin х=2 sin у.
(3)
{
sin х sin y=Oi75,
cos Х cos У=т'
равносильную си сте ме
(1).
246
Заменив второе уравнение
с истемы (1) уравнением
(2). полу
чим
систему
(2)
I
cos Х cos У=Т.
Разделив почленно первое уравнение
си сте мы (1) на второе,
получим
уравнение
Об~асть определения
системы: {х* ~+"П, nЕ г,
Y=1=T+nk ,
k EZ.
(1)
Ответ.
xl=nk ,
Yl=: +nk,
kEZ;
Х2= : +nk,
У2= -nk,
k EZ.
4) { sin Х sin у=0,75,
tgхtg У=3.
Решение второй системы: {х = : + nk,
.
У=:-( :+nk),
k EZ.
Решение первой си сте мы: {х =nk,
У= : -nk,
kEZ.
б) { tgx:-l =0,
У=Т-Х•
Решая второе уравнение
си сте мы
(2), имеем:
tg~ -tgx
tg Х+
4
1.
n
l+tgTtgx
В результате упрощений получаем:
tg r-tg х=о. tg х (tgx-l)=О.
Теперь си сте му (2) заменим
двумя
си сте ма ми:
241
n
Так как Х+У=т' то имеем:
{
2 sin (х+у) sin (х-у)= -1,
х+у=: .
(3)
(2)
1
2'
{
1- сов 2х+1+соз 2у
2
2
х+у=: ;
{-2 . 2у-2х . 2xfta;j
1
вит 2
вш
2
'
х+у= :.
{
cos 2y-cos
2х= 1,
х+у=: ;
1+cos а=2 cos2 ~ и I-cos а=2 sin2 ~ •
Тогда система (1) равносильна системе
(1)
о т в е т. xl=~ +n(k+n), Уl= ~+n(k-n),
kEZ,
n EZ;
Х2=- ~ +n(k+n), У2=- ~ +n(k-n) , kEZ, n EZ .
5){ sin2 X+~OS2у=О,5 ,
Х+У=т·
Используем формулы
Из первого уравнения системы (5) находим х-у=2пn,
nE Z.
Второе уравнение системы (5) равносильно двум уравне ниям
x+y==2;+2nk , x+y=_2;+2nk, kEZ.
Таким образом, система (5) равносильна двум системам:
а) { х-у=2пn,
б) {. х-у=2пn,
x+y=2;+2nk;
. х+у= _2;+2nk.
(5)
(4)
{
cos.x cos у+ s!nхs!nу=1, 1
cos хcos y-slП Х вшУ=-2;
{
cos (х-у)= 1,
cos (х+у)= -т.
Складывая и вычитая уравнения системы (3), получаем равно
сильную систему
248
2. Реш ите систему уравнений:
А. 1){ tgХ=О'п 2) { tgУ=О'п 3){ cos(x~y)= 1, 1.
х+у=т;
Х+У=т;
cos (Х+У)= -т.
Б. 1){.tgХtg"; О, 2){COSХ cosу=+,
Х+У=т;
sinхsiny= :.
В. 1){ siпХsinУ=:~2){ tgх+tgУ 1,
tgхtgу=3;
Х+У=:;
3) { х+у=750,
sin2 x+sin2 У= : ..
В.{ sin2 x+sin2 у=0,75,
x+y=~~, если значения х, У принадлежат интервалу
(О;;).
и поэтому
Х= ; (1 +( _1)k+I)+n: ' У= ; (1 +( _1)k)_n: ' kEZ.
ДИ.ll.АКТИЧЕСКИR МАТЕРИАЛ
J. Реш ите систему уравнений:
А .{ CO.s (Х+У) }з
cos (Х-У)=2'.
~
&.{ cos Х соэ У=А"'
..
~
S1П Х S1П У=4".
Ре шая систему уравнений (4), находим:
{
Х-У==(:.. 1)Н 1:
+nk, kEZ,.
Х+У=т'
(4)
{
SiП(Х-У~=--1,
Х+У=т·
{
2 sin : ~п (х-у)= -1,
х+у=т;
249
Контрольные вопросы
1. Решите уравнение cos Х = а. При каких эначениях а данное
уравнение будет иметь корни, а при каких нет?
2. Отметьте на единичной окружности и на числовой прямой точ-
ки, соответствующие числам: а)' a=nk; б) а=; (2k+ 1);
в) а . ~k, k Е z. Сколько таких точек на числовой прямой и
СКОЛЬКО' на единичной окружности?
3. Исключите повторяющиеся углы в формулах а =90° k и а. =
=60° k+30°, kEZ.
4. Постройте угол а, если cos а=+. Сколько таких углов со-
держится в интервале (0°; 360°)?
.
5. При каких значениях на промежутке [О; 2п] функция cos х:
а) возрастает;
б) убывает;
в) принимает положительные
значения;
г ) принимает отрицательные значения; д) прини
мает значение, равное нулю; е) принимает наибольшее и наи-
меньшее значения?
.
6. Что больше: cos 1 или cos 1О?
7. Что больше: sin 1 или sin lOO?
В. При каких значениях Х на промежутке [О; 2п] функция sin Х:
а) возрастает;
б) убывает;
в) принимает положительные
значении;
г ) принимает отрицательные значения; д) прини
мает значение, равное нулю; е) принимает наибольшее и
наименьшее значения?
9. Какие области изменения имеют функции: а) sin а; б) cos а;
в) tgа; г) ctgа?
10. В каких границах может изменяться каждая из следующих
функций:
а) 1+sin а; б) l-cos а; в) sin [ее]; г ) Icosal?
11. Какие тригонометрические уравнения называются однород-
ными? Как они решаются?
Ответ.
t. А и Б. Xl=; +; (k2+2kl)'
YI=:;:
~ +;х
X(k2-2k.), k., k2EZ; Х2= ~ + ; (k2+2kl)' У2= : + ; (k2-2k.),
kt, k2EZ. В. Xl=: н.= ~; X2=~' У2=: .. 2. А. 1) x=nk,
у= : -nk, kEZ; 2) x=-i--nk,
y=nk, kEZ, 3) XI,2= ± ; +
+п(n+k), п, kEZ, У1,2=±;+п(n-k), п, kEZ. Б. 1) СМ. А 1)
и2)одновременно;2)См.А3).В. 1) См.А3);2)См.А1)
и 2) одновременно; 3) xt=45°+1800k, Уl=ЗОО-1ВООk, нег.
Х2=300+ 180° k, У2=450--1ВОО k, k EZ.
12. Верно Ли равенство: а) ctg ~ tg а= 1; б) ctg a=-t1 ?
ga
13. В справочном материале к § 6 написаны 16 формул.
а) Дайте
словесное описание каждой фор муле.
б) Некоторые формулы называют формулами понижения. Ка
кие из данных 16 формул являются
т аковыми?
14. В каких четвертях синус: а) отрицателен; б) положителен?
15. Может ли синус принимать значения, большие 1 или меньшие
( -1)?
16. В каких четвертях косинус: а) отрицателен; б) положите
лен?
11. Может ли косинус принимать значения, большие 1.или мень-
, шие (-2)?
18. В каких четвертях тангенс: а) положителен; б) отрицателен?
19. При каких значениях а тангенс не существует?
20. Что называется решением уравнения с двумя переменн:Ы:ми?
21. Что называется решением си стемы двух линейных уравне
ний с двумя переменными?
22. Что значит решить
сис тему двух уравнений?
23. Объясните решение си стемы линейных уравнений способом:
а) подс тановки; б) сложения уравнений.
Реш ение. 1)
sin x>i-.
l-й с п о с о б. На единичной окружности строим дуги' А С и
251
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
РеlllИТЬ неравенство:
1) sin x>i-; 2) sin x<i-; 3) sin x~ -i-;
4)
sin 3хсоэ х+соэ 3xsin x~i-;
5) 6 sin2 х-5 sin х+ 1~O;
6) . 15+ 1<11-2sinх.
SlП Х
1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком
тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
2 .. При решении тригонометрических неравенств используют
свойство монотонности тригонометрических функций, а также
промежутки их знакопостоянства.
3. Для решения простейших тригонометрических неравенств
вида sin х> а (sin х < а) используют единичную окружность или
график функции у =sin х.
4. Важным моментом является знание, что:
sin х=О , если х=л.k, kEZ;
sinх= -1,еслих=-
; +2л.k,. kEZ;
sin х= 1, если х=;
+2л.k, kEZ;
sin х>О, если 2л.k<х<л.+2л.k, kEZ;
sin х<О, если -~+2л.k<х<2л.k,
kEZ.
§ _. РЕШЕНИЕ ТР"Г ОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
ВИДА sin х>а, sin х «;а
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
f 1. РЕШЕНИЕ
ТР ИГОНОМЕТР ИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
ВИДА sin х>а, sin х-с;а
§ ~; РЕШЕНИЕ
ТР ИГОНОМЕТР ИЧЕСКИХ
НЕ РАВЕНСТВ
ВИДА cos х »:а, cos х «;а
§ з. РЕШЕНИЕ
ТР ИГОНОМЕТР ИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
ВИДА tgх»-а; tgх«;а
§ 4. РЕШЕНИЕ
ТР ИГОНОМЕТР ИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
ГЛАВА XIX
Рис. 158
х
252
у :s·j.nx
у
2) sin х<+. Используя рисуно к
157, приходим к заключе
нию, что ко нцы иск омых дуг должны лежать на дуге C1B1C, т. е.
711:
1t
-т<х<"'6'
Общее решение данног о неравенства имеет вид:
-
761t+2'Jtk<X< ~ +2'Jtk, kEZ.
2-й с п о с о б. Для решения ванного неравенства строим гра
фики функций y=sin хн у=+ (рис. 158).
1
Из рисунка видно, что прямая у=?: пересекает синусоиду
в беско нечном числе точек.
На рисунке выделены неск о льк о
премежуткев значений аргу
мента, увсвлетворяюшвх данному неравенству, один из
них
( ~.; 5611:). Воспользовавшись периодичностью синуса, аапишеь
ок о нчательный ответ:
~ +2'Jtk<x<561t+2'Jtk, kEZ.
х
АС., синус ко торых равен + (рис. 157).
Из рисунка видно, что данному неравен
ству удовлетворяют все дуги, начало
ко
торых находится в точке А, а конец
в любой внутренней точке, дуги CBCt,
т. е. ~ <х<5611:.
Чтобы получить все
решения данног о неравенства, достаточ-
но к ко нцам этого промежутка прибавить
2'Jtk. (Почему?)
Око нчательно имеем:
~ +2'Jtk<x<5i11: +2'Jtk, kEZ.
8,
Рис. 157
д
1
ув
253
Рис. 160
1
2
3
.n.nk
5.n.nk
k
о ткуда 24 +2~X~24
+2'
EZ.
5) 6 sin2 х-5 sin х+ 1 ~o. Введем новую переменную ~=
=~in х. Тогда данное неравенство м ожно записать в виде 6у -
- 5у + 1~ о. Мы получили квадратное неравенство. Корнями
1
1
трехчлена служат Yl=T и У2=З.
Разложим трехчлен 6у2 - 511 + 1 на линейные множители, по
формуле ах2+Ьх+с=а (X-Xl) (Х-Х2)
имеем:
.
6y2-5У+l=6(У-+) (У-+) ~o.
Решим это неравенство метод ом интервалов. Его решением
1
1.'
будет объединение промежутков У~З И
Y~2
(рис. 160). Тогда
получаем, что sin X~+
(1) и sin X~+
(2).
3 а м е ч а н и е. В отличие от предыдуших примеров концы
это й
дуги входят в иском ое множество. (Почему?)
4) sin 3Х cos x+cos 3Х sin x~+. Левая часть этог о неравен
ства представляет собо й синус суммы, т. е. sin (3x+x)t или sin 4х.
Следовательно, данное неравенство примет вид 'sin 4x~+.
Пользуясь рисунком 157, находим:
~ +'2 л k~4х~~3t
+2лk, нсг.
81
Рис. 159
ув
- ~ +2лk~х~7;+2лk,
kEZ.
3) sin X~ -t-. На единично й
о круж
ности построим дуги, синус которых ра
вен --}-(рис. 159). Из рисунка видно, что
данному неравенству удовлетворяют все
дуги, начало которых находится в точ
ке А, а конец- в любой
точке дуги
CBC1, т. е. -~
~x~7;.
Общее решение данног о неравенства
имеет вид:
254
Решим неравенство:
_!L-l1 +2 <О 15-11 (у+ 1)+2у(у+ 1) <о
у+l
у,
y+l
'
15-11у-ll+2у2+2у
<о 2у2_9у+4 <о.
у+l
'у+l
Найдем корни квадратного трехчлена в числителе:
21/2_9у+4=0, Yt=4 и У2-Т.
Решением данного неравенства являются значения х, удов
летворяющие неравенствам (4) и (5).
6) . 15+•.< 11- 2 sin х. Введем новую переменную у =sin х,
SlП Х
тогда данное неравенство можно записать в виде
15
y+l<11-2y.
Чтобы получить все решения неравенства (1), достаточно к
концам указанного промежутка (3) прибавить 2nk. (Почему?)
Окончательно имеем:
- n- arcsinт+2nk~ х~ arcsinт+2nk, kЕz. (4)
Для решения неравенства (2) используем также единичную
окружность (рис. 162). Из рисунка видим, что неравенству (2)
удовлетворяют следующие значения х:
~ +2nk~x~ ~n+2nk, kEZ.
(5)
(3)
.1_.._..
.1
-п-агсs1П з~х~агсsш
3.
Для реше ния неравенства (1) используем единичную окруж
н ость (рис. 161). Из рисунка видим, что неравенству (1) удовлет
воряют такие значения х:
Рис. 162
Рис. 161
ч
3) sin x+cos х<'-у'2; 4) ( sin ~ ~cos ~) 2 <sin х.
2. Решите неравенство:
А. 1) sin х( sin x-i-) <О; 2) sin х( sin x-i-) ~O.
Б. 1) sin 3х cos x-cos 3х sin х>0,5; 2) sin2 X~T'
В. 1) 4 sin2 х-2 (-y'2-I) sin x--у'2<О; 2) sin x-cos2 х>О;
3) sin 2x+cos2 2х<9.
От веты. 1. А. 1) 2nk+: <х<34Л+2пk, kEZ; 2) 2nk+
л
.2л2k
5л
".
+т<Х<т+
яя, kEZ; 3) 2пk-4~х~т+2пk,
kEZ.
255
ДИДАКТИ ЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите неравенство:
. -..12. 2) . .._-уз. 3) . ---..12 . 4)'
-../3
sIПХ>т,
sIПХ:;:::::::;т, sIПХ~т,
slПХ<т·
sin 2х+ f<o; 2) sin 3x~ 1; 3) sin 2x~ -т.
sin (2х-300)<0,2; 2) sin х cos ~ +cos х sin ~ >+;
1.
А. 1)
Б. 1)
В. 1)
Решим неравенство методом интервалов. Из рисунка 163 ви
дим, что решением являются у< -1 и +<у<4. Следователь
но, sin Х< -1 и у< sin х<4. Нам известно, что функция синус
ограничена, т. е. -1~sin X~ 1, поэтому неравенство sin x<-I
решений не имеет.
Осталось решить неравенство +<sin х<4. Учитывая огра-
ниченность функции синус, имеем +< sin х ~ 1.
Решением этого
неравенства, а
следовательно, и данного
неравенства будет ~ +2пk<х<56л +2nk, kEZ.
<О.
2 (у-4)( y-i- )
у+l
Тогда
Рис. 163
w%
~4%8fWP~
-,1
4
2
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств
вида cos Х>.4, cos х-с;а используют единичную окружность или
график функции у = cos х.
2. Важным моментом является знание, что:
cos х=О, если х=; +nk,
kEZ;
cos Х= -1, если x=n+2nk,
kEZ;
cos Х= 1, если x=2nk,
kEZ;
cos Х>О, если 2nk- ~ <х< ~ +2nk,
kEZ;
cos Х<О, если 2nk+ ; <х< ~ n+2nk,
kEZ.
)'ПРА)I(НЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенетво:
1
1
2
1) cos3x~ -т; 2) cos2х< -т; 3) 6cos х-5 cosх+ 1~O;
15
4)
+ 1< 11-2 cosх.
cosx
Реш е н и е. 1) cos 3x~ -т. Обозначим 3х через а, тогда
1
данное неравенство примет вид cos a~ -т. Этому неравенству
удовлетворяют все точки Р а. единичной окружности, абсциссы
256
§ 2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
ВИДА COSX>4, сosх<а
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
Б. 1) nk- 3вП<х< -; +nk,
kEZ; 2) ~ +2;k , kEZ.
В. 1) ; (2k -1)+ l~ --tarc sin 0,2<x<nk
+ l~ +-tar csin 0,2,
kEZ; 2): nk+ ~ arcsin +<х< - ~ arcsin ++ ~ n (2k+ 1),
kEZ; 3) xER, кроме чисел вида : +2nk, kEZ; 4) 2nk+~ <х<
<56п+2nk, kЕZ.2.А.1)2nk<х< ~+2nk и 2nk+5;<х<
<n+2nk,
kEZ; 2) 2nk+~ ~x~56n+2nk
И 2nk-n~x~2nk,
kEZ. Б. 1) nk+l~<x<~;+nk,
kEZ;
2) 2nk+~ ~х~56П+
+2nk
и 2nk- 56П~Х~ - ~ +2nk,
kEZ.
В. 2) arcsin-У5;1+
+2nk<x<n-a rc sin
-Y52-1+2nk, kEZ; 3) «ея.
257
Д ля решения данного неравенства можно было использовать
графики функций y=cos а и У= -т.
1
2) cos 2х< -"2' Обозначим 2х через а, тогда данное нера-
венство примет вид cos а< -т. Этому неравенству удовлетворя
ют все точки единичной окружности, абсциссы которы х
меньше
1·
.
-"2 (рис. 165). Из рисунка видно, что эти точки лежат левее
v
1
прямои Х= -2'
1
которы х
больше или равны -"2 (рис. 164). Из рисунка видно,
u
1
v
что эти точки дуги лежат правее прямои х= -"2 или на самои
этой прямой. Следовательно, множество всех точек, удовлетворяю
щих данному неравенству есть дуга, выделенная на рисунке 164.
Концы этой дуги входят в искомое множество, так как их абсцис-
1
сы равны -"2 и, значит, удовлетворяют данному неравенству.
Т
211:
211:
аким образом, -з~а~з.
Учитывая периодичность косинуса, запишем множество всех
v
~
1
решении неравенства cos а ~ -"2:
- 2з11:+2nk ~ а ~ 2з11:+2nk, k ЕZ.
Переходя снова к переменной Х, получаем искомый ответ:
- ~11:+2nk ~ 3х~ 2з11:+2nk, k Е Z;
_ 2n +211:k ~
& 211:+2зт.k kЕZ
9
3 -...;::::Х-...;:::: 9
3'
.
Рис. 165
Рис. 164
х
х
у
у
Решим это неравенство методом интервалов. Из рисунка 166
1
1
с ледует, что T~Y~T'
Как видно из рисунка 167, все искомые точки лежат правее
u
1
v
1
прямои Х=з
И
левее прямои х=т'
Получим ответ:
~ +2 nk~x~arccos
t+2nk,
kE Z;
-arccos ++2nk~x~
- ~ +2nk, kEZ.
4) cos ~+ 1<11-2 cos х. Введем новую переменную y=cos х,
тогда данное нер авенство примет вид:
15
y+l<H-2у,
После преобразований получаем:
258
1t
k
2л·
Z
т+п <X<T+nk, kE '
3) 6 cos2 х-5 cos Х+ 1~O, Введем новую переменную У=
=cos х. Тогда данное неравенство можно записать так:
6у2_5у+ 1 ~O,
1
Получили квадратное неравенство, корни трехчлена Уl ='2 И
1
У2=з'
Разложим
квадратный трехчлен на линейные множители пс
формуле ах' +Ьх+с=а (Х - Хl) (Х - Х2), получим
Теперь перейдем снова к переменной х, получаем иско мый
ответ:
Следовательно, иско мое множество точек есть дуга, выделен
ная на рисунке 165, Концы этой дуги не входят в ис ко м ое мно
жество, так как мы решаем строгое неравенство.
Ограничиваясь рассмотрением углов а, лежащих в промежут-
(О'2) .
2:n;
4:n;
ке , я), получаем т<а<т,
Учитывая периодичность
ко синуса, запишем множество всех
решений неравенства cos а< -т:
2з1t+2пk<а<~+2пk,
kEZ ..
2.50
ДИДЛКТИ'IЕСКИА МАТЕРИАЛ
1. Решите неравенство:
А.1)COSх~1;2)COS2х~1;3)COSХ~ - 1;
4) COS 2х~- 1;5) 2еоэх> 1;6)2соэ2х~1;
7) cos 2x~0; 8) СОЭ2x~O.
6. 1) cos 2х<т; 2) cos (-2x)~+;
3) 2 COS (-х-300) <
-1;
4) cos2 2х-2 COS 2x~O; 5) [сов хl ~O; 6) [сов Зх] ~O;
7) соэ х (2+cos·x) (cos x-l). (соэ х- ~.)( cos x+Yf) ~O .
...J3
1
2
В. 1) -2~СОЭХ<-2;
2) 2cos х+3соэх-2~О;
3) sin х~соэ2 х,
2 (У-4{ у- ~)
у+l
<О.
Решим это неравенство методом интервалов (рис. 168). Ре-
1
шение неравенства: у< -1 и т<у<4.
Неравенство cos Х < - 1 решения не имеет.
Так как
-1 ~cos x~ 1, то неравенство ~ <соэ х<4 надо
1
заменить неравенством т< СОЭХ ~.1. Решением этого нерввен-
ства (рис. 169) является 2nk- ; <Х< ;.+2л:k, kEZ.
Рис. 169
р
-аrССО$ 1/3
Рис. 167
х
1
1
3"
2'
Рис. 166
х
-1
1
4
"2
Рис. 168
У
у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
213
1) tg 2x~ 1;'2) tg x-Ttg x-т>О; 3) tg x~
-1.
Реш е н и е. 1) tg 2x~ 1. Введем новую переменную, т. е.
обозначим 2х через а, тогда данное неравенство примет вид
tga~"
Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов,
которая является касател ь ной к окружности в точке (1; О).
Т ак как а - решение неравенства tg а ~ 1, то ордината точ-
260
§ 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
ВИДА tgx>a, tgx<a
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. Для решения простейших тригонометрических неравенств
вида tg х> а, tg х <а испол ь зуют единичную окружность
или
график функции у =tg х.
2. Важно знать, что:
tg Х>О, если nk<x< ; +nk, kEZ;
tg Х<О, если nk-; <x<nk, kEZ;
Т ангенс не существует, если х= ; +nk, kEZ.
2. Найдите наибол ь шее и наименьшее значения функции:
В. 1) 2sinа+3; 2) 1-4 cos2а; 3) sin2а; 4) сов"а'
5) 0,25+2 сов" а; 6) 10-9 sin2 За; 7) cos2 a+sin~ а.
Ответы. 1. А. 1) 2nk, kEZ; 2) nk, kEZ; 3) n+2nk, kEZ;
4) ; +nk, kEZ; 5) 2nk-~
<х< ~ +2nk, kEZ;
7) nk+:
~
~ x~ ~1t+nk, kEZ.
Б. 4) nk+:
~ x~ ~1t+nk, kEZ; 5) xER;
6) ~ +~k, kEZ; 7) 2nk, 2nk+:
~x ~ ; +2nk, 2Пk+2з1t~х ~
~ 4 з 1 t+2пk, kEZ. В. 1) - 5:+2nk~x< - 2з1t+2Пkи 2nk+2;<
<x~ ~1t+2nk, kEZ; 2) 2nk-
~ ~x~
~ +2nk, kEZ; 3) 2nk
-n-arcsin
-../5;1 ~x~arcsin
-../5;1 +2nk, kEZ. 2. В. 1) 5 и 1;
2)5и-3; 3)1иО;4)1иО;5)2,25и0,25;6)10и 1.
261
Рис. 171
Решим это неравенство методом интервалов. Решением явля
ются у< -:
и у> 1 (рис. 171).
2
У
3О
У -т-т> .
~ы получили квадратное неравенство. Корнями квадратного
трехчлена являются Уl = 1 и У2= -
:
.
Тогда по формуле разло
жения квадратного трехчлена на множители имеем:
(у-l)( у+ :) >0.
Так как а=2х, то
1tk п
1t
1tk
k
Z
T+8~X<T+T'
Е.
2) tg2 x-+tg х- : >0. Функция y=tg х определена, если
cosx=#=O,т. е. х=#=; +nk, kE Z.
Это обстоятельство надо учитывать при окончательной записи
ответа неравенства, которое решается.
Введем новую переменную у = tg х. Тогда данное неравенство
можно записать в виде
Рис. 170
nk+ : ~a< ; +nk, kEZ.
ки Та линии тангенсов, равная tlt а, долж
на быть больше или равна 1. Все такие
точки лежат на луче АТ (рис. 170).
Точки Р а единичной окружности, соот
ветствующие точкам Т а, образуют дугу, вы
деленную на рисунке 170. Для точек Р а этой
дуги и выполняется неравенство : ~ а < ; .
Чтобы получить все решения
неравен
ства tg a~ 1, достаточно к концам указан-
ного промежутка : ~ а <; прибавить пе
р иод тангенса, получим:
Возвр ащ аясь к функции y=tg х, получим: 1) tg х-с; - : ;
2) tgх> 1.
Эти два нера венства нам и предстоит теперь
р ешить. Нер а
венство tgх> 1 мы уже решили в предыдущем примере. Огвет
его известен.
Чтобы решить нер авенство tg х< - : ' воспользуемся еди-
ничной окружностью (рис. 172). Нашему нер авенству tg х< - :
удовлетворяют все точки линии тангенсов, ординаты которых
меньше - ~ . Этому условию удовлетворяют все точки дуги еди
ничной окружности, выделенной на
р исунке 172. Для точек РХ
этой дуги выполняется нер авенство
п
t3
-T<x<-arc gT'
В· силу периодичности функции у = tg х, чтобы получить все
р ешения нер авенства tg х< - ~ ,достаточно к концам этого про
межутка прибавить период тангенса. Получим:
nk- ~ <х< -arctg ~+nk, kEZ.
Решением данного нер авенства являются:
nk- ~ <х< -arctg ~ +nk;
nk+ : <х< ; +nk, kEZ.
3)tgx~
-1 (1). Построим на единичной окружности дуги,
тангенс которых ра вен - 1 (рис. 173).
Концы искомых дуг - точки дуги C1AB, за исключением точ-
262
Рис. 173
Рис. 172
у
263
УПРАЖНЕНИЯ С Р ЕШ ЕНИЯМИ
РеUIИТЬ неравенство:
1) sin x>cos х; 2) cos2 x+sin х cos x~ 1;
§ 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
С ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
В этом параграфе
будем пользоваться
сп равочным материалом
и примерами решения неравенств § 1-3 данной главы.
Решите неравенство:
А. 1) tgx<l; 2) tg2x~l; 3) tg2x-+tgx-~
~O;
4)tgx.~ -1; 5)tgx~O.
Б.1)tg(х+;)~-УЗ;2)tg(х+;)~-УЗ;
3)tg(х- ;)~--УЗ;4)tg3х<1;
5) tg3x~ 1;б)tg2 х-l >0; 7)7tg2х-8 tgх+ 1<О.
В. 1) (tg х-l)( tg2 x-+tg х- ~) ~O;
2) (tg2 х-l)( tg2 Х-Т) ~O.
ответы.А.1)nk-;<х<:+nk,
k ЕZ;2)~я-
:
<х~
~; +~k, нег. 3) nk-arctg ~ ~x~: +nk,
kEZ; 4) nk
-;<x~ -:+nk,
kE Z;
5) nk~x< ; +лk,
kEZ. Б. 1) nk
_~n<x~nk,
kE Z; 2) nk~x<; +лk,
kEZ;
3) nk~x<56n+
k
k
Z)пяn.
..n
я.k
k
Z5)nk
n
п
+п, Е ; 4 Т-"6<Х<Т2+Т'
···Е;
T+12~X<"6+
+Пзk,
kEZ.
В. 1) nk-; <x~-arctg
:+nk и : +nk,
kEZ.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
n
n
но, -4~X<2'
Учитывая периодичность функции у = tg хответ неравен ет
ва (1) запишем в виде
nk-
:
~x< ; +nk,
kE Z.
киВ,так как при х= ; функции tg хне
суще ствует. Следователь-
264
2nk~2x~;
+2nk, kEZ; nk~x~
: +nk, kEZ.
3)sin(х+ ~)cos(х+ ~)>+.
(1)
Умножив обе части неравенства (1) на 2 ,
получим:
sin( 2х+ ;) >+.
(2)
откуда
2
Л+·2·
л-...l
cos х cos 4 SlП Х SlП 4:;::::::::'-{2'
cos( 2х- :) ~.~.
К ак видно из рисунка 174,
- : +2nk~2x-
:~:+2nk,
Отсюда
2nk <х- : <n+2nk, kEZ;
2nk+: <х<54Л+2nk, kEZ.
2) сов" x+sin х cos x~ 1. Имеем:
sinхcosх~ 1- сов"х, sinхcosx~ sin2 х.
Умножив обе части последнего неравенства на 2 ,
получим:
2 siп х cos x~2 sin2 х, sin 2x~ l-cos 2х,
cos 2x+sin 2x~ 1.
Теперь применим к этому неравенству тот же прием, что в
предыдущем примере 1, получим:
-Y2(lcos 2x+lsin 2х) ~ 1.
-.j2
-.j2
Отсюда
-{2 sin( х- :) >0,
sin(х-:)>0.
3) sin (х+300)
сов (х+300»
0,25; 4) sin 2x+-.J3 cos 2x~ -1.
Реш ение.
1) sin x>cos х,
sin x-cos х>О. Так как sin x-cos х=
= -у2(~ sin х - ~ cos х ) , то последнее неравенство примет
вид:
265
Возвращаясь к переменной х, получим:
:
+2nk<2x+; <5;+2nk, kEZ; -l~+nk<x<:
+nk, kEZ.
Это - решение неравенства (2), а значит, и неравенства (1).
4) sin 2Х+-VЗcos 2x~ -1.
(1)
Умножим обе части неравенства (1) на -4-, получим:
1.
-,f3
1
тsш 2x+TcOS 2x~ -т.
(2)
Ilреобразуем это неравенство так:
. П·2+
n
2~
1
SШ"6SlП Х cos"6cos X~-T'
cos( 2х- :) ~ --4-.
(3)
Решим неравенство (3). Положим 2х- : =:= а, тогда получим
1
неравенство cos a~ -Т, решение которого находим с помощью
единичной окружности (рис. 176):
-
2ззt+2nk~ а ~
2ззt+2nk.
Возвращаясь к переменной х, получим:
_2ззt+2пk~2х-:
~2;+2nk, kEZ;
(3)
:
+2nk<a<5;+2nk, kEZ.
Положив 2х+ ; =а, получимнеравенство sin a>-t. С помощью
единичной окружности (рис. 175) находим решение неравенства
•
1
sша>т:
Рис. 176
х
Рис. 175
Рис. 174
Ко нтрольные вопросы
1. Какими способами можно
р ешить простейшее тригонометри
ческое неравенство?
2. Какому условию должно удовлетворять а, чтобы имело реше
н ие неравенство: 1) sin х <а;
2) sin х;;:::: а;
3) cosх<а;
4) cos х;;:' а?
дндьктячвскиа
МАТЕ.РИАЛ
Решите неравенство:
А. 1) sinx~cos х; 2) соз" x+sin х cosx~ 1;
3) Siп( х+ :) cos( х+ ;) ~T; 4) sin 2х'+-уз-сов 21х<-1.
Б. 1) siп х<О,4; 2) -т<siп X~T; 3) 2 cos2 х+3 cos х-2<О;
4) sin х сов х>О.
В. 1) [сов х] ~ f; 2) siп X~COS2 х, 3) sin x+cos x<-v'2;
4) sin x+cos 2х> 1; 5) ~. sin2 x+Tsin2 2x>cos 2х.
О т в е т ы. А. См. приведенные в параграфе . решения.
Б. 1) -агсsiп О,4-л (1-2k)<x<arcsin О,4+2лk, kEZ; 2) 2лk-
- ~ <x<arcsin ++2лk, kEZ; n-arcsin T+2nk<x< 76,n+
+2nk, kEZ; 3) ; +2nk<x<~n+2nk, kEZ; 4) nk<x<; +
\
+nk, kEZ. В. 1) -: +nk~x~ : +nk, kEZ; 2) 2nk+
+arcsin -[5;1 ~х~п-агсsiп ~;-1+2nk, ьег.
3) X=l=: +2nkt
kEZ; 4) 2nk<x< ~ +2nk; 56'n+2nk<x<n+2nk, kEZ; 5) nk+
+ ~<х< 56,n+nk, kEZ.
,n
k
5,n
-4+n ~x~12+nk, нег.
267
Рис. 177
х
4. Приращение функции f в
данной точке хо кратко обозна
чают через Af или l1y (рис. 177).
5. Понятия приращения функ
ции и приращения аргумента поз
воляют сформулировать признаки
возрастания и убывания функ-:
ций.
Функция f (х) возрастает на
промежутке Х тогда и только
3. Разность между новым значе:нием функции f (хо +I1x) и пер
во:начальным ее значением f (хо) называется приращением ФУНКЦИИ
в точке хо и обозначается символом Af (хо) (читается «дельта
эф В точке хо»), т. е.
.
М (xo)=f (xo +l1x)-
f (хо).
(4)
СПРЛВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
1. Пусть н=! (х) - функция, х и хо - два значения незави
симой переменной из D (f); тогда разность х-хо называется при
ращением независнмой переменной (или приращением аргумента)
и обозначается I1x (читается «дельта икс»). Таким образом,
Ax=X-Хо (1).
2. Из равенства (1) следует, что x=xo+l1x
( 2), т. е. перво
начальное значение переменной получило приращение I1x. Соот
ветственно значение функции изменится на величину
f (х)-' (хо)=' (xo +l1x)-f (хо).
(3)
§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА
И ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПРИРАЩЕНИЕ
ФУНКЦИИ
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОй
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТ
НОГО
§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОй И СЛОЖНОй ФУНК
ЦИИ
§ 7. ПРОИ3ВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕ ТРИЧЕСКИХ ФУНК
ЦИй
ГЛАВА хх
268
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
А. 1. Дана функция у =2х + 5, найдите:
1)хиАу, еслиХо=3иАх=О,2;2)хиАу, еслихо=4и
Ах=0,06; 3) Ау, если хо=4 и Ах=О,I; 4) Ау, если хо=7
и Ах=О,ОI.
Б. 2. Дана функция у=х2, найдите Ах и Ау, если: 1) х=2,б и
хо=2; 2) х=3,9 ихо=3,75; 3) х= -1,2 и хо==-1; 4) Х= -2,7
и хо= -2,5.
В . 3. Даны функции: 1) у= -~; 2) У=-21 ; 3) y=.L-х. Найдите
х
х
х
приращение Ау при Х= 2 и Ах = 0,8.
1
1 x-(х+Ах)
l'!J.y=y(x+Ax)-у (х)= х+Ах -
х
х(х+Ах)
-Ах
-0,2
1
х(х+Ах) 1(1+0,2) -6'
)'ПРАЖНЕНИ Я С РЕШЕНИ ЯМ И
1. Для функции y=r найти Ау, если х=2,б, хо=2.
Реш е н и е. Имеем Ау=у (xo+Ak)-у (хо)=у (2,б)-у (2)=
=6,2б-4=2,2б.
,
2. Найти приращения Ах и Ау в точке хо ,
если у=х2,
хо=2 и а) х= 1,9;б) х=2,1.
Реш е н и е. а) Ak=X-Хо= 1,9-2= -0,1, Ау=у (1,9)
-у (2)= 1,92-22= -0,39.
б) Ax=x-xo=2,1-2=0,1,
Ау=у (2,1)-у (2)=2,12-22=
=0,41.
3. Дана функция у = х2 +2х - 4. Найти приращение Ау при
х=2 и Ах=О,б.
Реш е н и е. Найдем приращение функции:
l'!J.y=y(x+Ax)-у (х)=(х+Ах?+2 (x+Ax)-4-х2-2х+4=
=2хА х+2I'!J.х+(Ах?=2.2.0,б+2.0,б+(0,5?=3,25.
4. Дана функция y=J_. Найти приращение Ау при х= 1
х
и Ах=0,2.
Реш ение.
тогда, когда для любых
зн ачений хо и хо+ Ах (Ах=1= О)из проме
жутка Х выполняется неравенство Afto) >О.
Функция f (х) убывает на промежутке Х тогда и только тогда,
когда для любых зна чений хо и хо+ Ах (Ах =1= О) из промежутка Х
выполняется неравенство А'1.;0)<О.
269
где 1im g (x)=I=O.
х-+а
=Втf(х) limg(х);
х-+а
х-+а
х
Iim f (х)
х_а
Iim g(х) ,
х-+а
3) Нтf(х)
я-в-а g (х)
у
2) Вт(f(х)g(х))=
х-а
СПРАвочн ЫR МАТЕРИАJI
1 . Число Ь называется пределом функции f (х) при х, стремя
щемся к а, если для любого положительного числа е найдется
такое положительное число б, что при всех х,*а, удовлетво
ряющих неравенству Iх - а I < б, справедливо неравенство
If (х) - Ь I < е. При этом употребляют запись Нт f (х) =Ь.
х -+а
2. Так как неравенство Iх - а I < б равносильно двойному
неравенству а-б<х<а+б,
анеравенство
If (х)-ы~ <е
двойному неравенству Ь- е <, (х)< ь +е, то определение предела
функции в точке можно дать в такой форме: число Ь есть предел
функции f (х) при х-+а, если, какова бы ни была е-окрестность
точки Ь, найдется такая б-окрестность точки а, что для любого
значения х,*а, принадлежащего б-окрестности точки а, значе
ние f (х) принадлежит е-окрестности точки Ь (рис. 178).
3. Из определения предела функции следует, что функция
должна быть определена на промежутке (а-б, а+б), кроме,
возможно, самой точки а.
4. Теорема. Если функция f(х) имеетпредел прих-+а,
то этот предел единственный.
5. Практически предел функции в точке находят не на основа
нии определения предела функции, а на основании теорем о преде
ле функции, аналогичных теоремам о пределе числовой последо
вательности.
6. Т е о р е м ы о пределе суммы, произведения и частного.
Е сли при х ~ а существуют пределы функций f и g, то:
1) lim (f (х)+g (х))= Нт f (х)+ Вт g (х);
х-+а
х-+а
х-а
§ 2. ПРЕДЕЛ функции
В. 4. Даны функции:
1) у =-{2Х; 2) y=vx. Найдите приращение
Ау при х= 1, Ах=0,2.
Ответы. А. 1.
1)
3,2; 0,4; 3) 0,2. Б. 2. 1) 0,5; 2,25; 2) 0,15;
1 , 1475; 4) -0,2; 1,04. В.3.
1);;2)-/4;3)-:.
В.4.
1)
~O,135; 2) 0,06.
§ 3. НЕПРЕРЫВН ОСТЬ ФУНКЦИИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Функция f (х) называется непрерывной в точке хо, если
она определена в некогорой окрестности этой точки и если предел
функции при Х -+ ХО равен значению функции в этой точке, т. е.
Нгп f (х)=! (Ха).
х-хо
2. Функция f (х), непрерывная в каждой точке заданного про
межутка, называется непрерывной на всем промежутке.
270
2) Здесь при х = - 1 и числитель, и знаменатель обращаются
в нуль, поэтому теоремой о пределе частного пользоваться нельзя.
Заметим, что :3:/ {r-x:~;(х+ 1) •
Так как при вычислении пре-
дела при Х -+ - I предполагается, что Х =F - 1, то дробь МОЖН'О
сократить на х + 1. В результате получаем lim х3 + 1 =
х ......-I x+l
. х4+2.
. х3+1
11т 33 l' 2) 11т-+1.
х-+ -!
х-
х ......-I Х
Реш ение. 1)
Т ак как lim (х4+2)=( -2)4+2= 18, а
х-
-2'
Пгп(3х3- 1)=3(- 2?- I=-25,то потеореме определе част-
х- -2
,.
.
х4+2
18.
ного получаем, что 11т 3 3 t
- 2•.5.
х_-2х-
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Доказать, что Вт (2х - 1)= 3.
х-+ 2
Реш е н и е. Зададим произволь вое 8>0 и покажем, что су
ществует 6> О, такое, что из неравенства \х - 2\ <6 вытекает
неравенствоJ(2x-I)-31 <е. Имеем t(2x-l)-31 <8,2 tx-21 <
s
.
8
<8, lx -2\ <2' Значит, если положить 6='2' то выполнение
неравенства Ix-2t <б влечет за собой выполнеяие неравенства
\(2х-l)-31 <е. Таким 'Образом, согласно определению заключа
ем, что lim (2x-l)=3.
х-+ !
2. Найти: 1)
СлеДствие. limkf(х)=Нm k·lim f(x)=k.Hm
f(x), где
х-+а
х-+ .
Х-+4
х-+а
k - постоянный множитель.
Из этих теорем вытекает, в частности, что предел многочлена
р(х) при х -+хоравенР(хо),т.е. НгпР(х)=Р(хо).
х-+ хо
Функция .ух+4+ 1 определена в точке Х= ---3 и, значит, не
прерывна в этой точке. Поэтому ее предел при х ~ - 3 равен
271
= Нпт (х+З)(-УХ+4+1) = Нгп (-Ух +4 + 1).
х- -3
х+3
х --3
1· (х+3)(-Гх+4+ 1)
пп (х+4) 1
х- -3
1•
(х+3) (-v'x+4+ 1)
[П]
.
х- -3 (-v'x+4-1) (-Ух + 4 + 1)
УПР АЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Дана функция
f (х)={ х+3
при х>О,
x-l при x~O.
Найти точку разрыва и значение функции в этой точке.
Реш е н и е. Функция терпит разрыв в точке х =О, так как
при х ~ О предел этой функции не существует (рис. 179). Зна
чение функции при х = О равно f (О)=0- 1= - 1.
2. Вычислить предел Нгп ~3
•
х- -3 x+4-1
Реш е н и е. Здесь при х= -3 и числитель , и знаменател ь
обращаются в нул ь , значит, применить теорему о пределе частного
нель зя. Умножим числител ь
и знаменател ь
дроби на выражение,
сопряженное энаменагелю:
Рис. 179
о
-1
з
з. Любая рациональ ная функ
ция непрерывна при всех значе
ниях
независимой переменной,
при которых она определена. Лю
бая иррационал ь ная функция не
прерывна в любой точке области
определения, кроме крайних то-
чек, если они существуют.
Например, функция у = х' не
прерывна в любой точке число-
вой прямой, а функция у=.ух не
прерывна в любой точке х>о.
4. Если функция, определен
ная в некогорой окрестности точ
ки хо, в точке хо не определена или
ее предел в точке хо не равен
значению функции в этой точке,
то говорят, что функция имеет разрыв в точке хо, а точку хо назы
вают точкой разрыва.
Например, функция у =~ непрерывна в любой точке х =1= о)
х
а в точке х=о терпит разрыв.
272
~'
f (x+tu)-f
(х) .
tu
~x
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕР ИАЛ
1. Производной функция {(х) в точке хо называется предел
отношения приращения d{ функции в точке ХО к при ращению
Ьх аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно за
~' (х)
писать так: Нт --л:-= {' (хо) (читается «эф штрих от Хо») .
.1х_...
О
L.U .
2. Из определения производной следует, что функция может
иметь производную в точке ХО только в том случае, если она
определена в некогорой окрестности точки ХО, включая эту точку.
3 . Необходимым условием существования производной функ
ции В данной точке является непрерывность функции в этой точке.
Заметим, что обратное утверждение является неверным.
Например, функция {(х)= Ix-ll непре рывна
на(- 00, +00),но
в точке хо= 1 производной не имеет: можно
показать, что
lim ~f(xo) ={ 1 при dX>O,
.1х-+о tu
-1 при dX<O,
т. е. данная функция не имеет предела при Ьх, стремищемся
к нулю.
4. Нахождение
производной функции {(х)
называется диффе
ренцированием этой функции.
5. Вычисление
производной функции У ={(х)
производится В
соответствии с правилом дифференцирования:
а) фиксируют значение аргумента х и находят { (х);
б) дают аргументу х при ращение dx и находят {(х +dX);
в) находят при ращение функции M=f (x+dx}-f
(х);
г) делят приращение функции М на при ращение аргумента
Ьх, т. е. составляют отношение
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ
О
)1 _М
7
2
1
1
тветы.l
7-,,2;2)-;3)-3;4)6;5)-;
6)-3•
4
2,f5
. VX-l
6)11т--1.
х-l х-
ДИДАКТИЧ ЕСКИЯ
МАТЕРИАЛ
I:Iайдитез пред~:
.
. (х-4) (х+3) .
1) 11т (-х +9х +х-l),
2) 11т
2+2
3
'
x--..fi
х--3
хх-
.
зr-.8x+4.
.
9- х.
.
-Гх--{5.
3) 11т 8-14 +5х2 ' 4) 11т ---:г... , 5) 11т -5'
х-2
х
x-93--vx
х-+-5 х
значению функции
при х=- 3.
В результате получаем
Нгп (-JX+4+ 1)=-J-3+4+
1=2.
х- -3
~s=s (t+bl)-s (t)=3 (t+M?-2 (t+M)+5-3t2+2t-5=
=6tbl+3 (Ы)2-2Ы.
As бtЫ+З(Ы)2-2Ы
6t+3bl-2.
-м= At
Найдем истинную скорость движения точки в момент времени t,:
273
2. Прямолинейное движение точки задано уравнением
s=3t2- 2t +5, где t дано в секундах, а s - в метрах. Найти
скорость движения точки в момент t =5с.
Реш е н и е. Найдем среднюю скорость движения точки:
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти среднюю скорость изменения функции у =3х2 - 6
при изменении х от ХI= 3 до Х2= 3,5.
Реш е н и е. 1-й с п о с о б. Найдем приращение аргумента:
!1Х=Х2-ХI =3.5-3=0,5;
Вычислим приращение функции:
!1У=У2-УI =3x~-6-3XT+6=3
(x~-xT)=9,75.
_,
~9~
Найдем среднюю скорость изменения функции: Ах =0:5 = 19,5.
2-й с п о с о б. Вычислим среднюю скорость изменения функции
у=зх2-6
при любом значении аргумента по общему правилу:
!1у=у (x+~x)-y
(х)=3 (х+~х?-6-Зх2+6=
=6x~x+3 (~X?
Ау бхАх+3 (А4
6х+3Лх.
Vcp=~
Ах
u
Найдем приращение аргумента: ~X=X2-XI =3,5-3=0,5.
Определим среднюю скорость при Х= 3, !1х=0,5:
vc p=6x+3~x=6·3+3·0,5=
19,5.
Найденный предел и есть производная функции у =f (х).
6. Производная постоянной функции равна нулю: с' =0, где
c=const.
7. Пронаводная функции у =х равна 1: х' = 1.
8. Проиэводная функции y=-vx равна ~c:
2 -уХ
(-{Х)' =_1_, где х>о.
2.ух
д) находят предел этого отношения при !1х.......о:
lim ~= lim f (x+~)-f (х)
LU_,.ОАх' ~x-+О
Ах
274
ДИДАКТИЧЕСКИR
МАТЕРИАЛ
t. Найдите среднюю скорость изменения функции у=2х2+5х
приизменениихотхl=2до
Х2=3.
2. Закон движения точки задан формулой у=4х2-2. Найди
те среднюю скорость движения точки за промежуток времени
от Хl =4 до Х2=6.
3. Прямолинейное движение точки задано уравнением
у =2х2- 8х- 1О (х в с, у в м). Найдите скорость движения точки
в момент времени t =8 с.
4. ДЛЯфункцииу=-/Хнайдите:
1) у' (1);2) у' (49);3) у' (а).
5. Пользуясь
определением, найдите производную функции:
1) 3-2х; 2) х2; 3) х2+2х.
Ответы,t.15.2.40.з.24м/с.
3 а м е ч а н и е. Решая данный пример, мы вывели формулу,
что производная функции у=-/х равна _1 _
(х>О).
2-..{х
,1·
Ау
1·
~х+Ах--{Х
у=1т-= 1т
.
!J.x_O Ах !J .x-+O
Ах
= Нгп (-{Х Н х-{i) (-{хнх +{Х)
! J .x-+o
Ах (,jx+Ax+-VX)
= lim x+Ax-х
!J.x-+o Ах (,jx+Ax+-!Х)
1
.
1
1
1
•
=1т
! J .x-о.ух+Ах+-!Х
,jx+O+-{Х 2-{Х'
у' (4)=_1_=..!....
2-../4 4
-Гx+Ai--Гx.
Ах
'
v=6t-2=6·5-2=28
м/с.
3. Дана функция y=-VX. Найти у' в точке х=4.
Реш
е ние.
Найдем теперь ск орость движения точки в момент времени
t=5 с:
v= lim ~St = Нт (6t+3L\t-2)=6t-2.
! J.t_O L1
! J.t-O
215
)'ПРЛ)КНЕНИ. С РЕW ЕИИ"МИ
На йти " (х), если:
1) f (х)=х+5; 2) f (х)=(2х-З)(3х+ 1);
3+5х
з-{Х
3) '(х)=--; 4) у=-.
1-3x
2+-Гх
(7)
(
1 :\'
1
х") =-7·
(6)
(~)'=-7'
(5)
( .~\ .. '=..!...... и' ,
сJ
с'
5. Частные случаи:
(4)
u'v- ио'
v!
( :)'
I1роuзводная частного
40 Если функции и и 'о имеют в точке х производные и если
'о (х) =1= О, то в этой точке существует провзводная их частного
и-, которая вычисляется по формуле
v
(3)
(kf
(х»)' =kf' (х),
в предположении, что пронаводные и' и 'О' существуют.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак производ
ной:
(2)
(ии)' =и' о +ио'
Производная симмы
1. Пусть U и о - две функции, определенные на одном и том
же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна
сумме их производных, если они существуют, то ео
(и (х)+ v (х»)'= и' (х)+ и' (х).
(1)
Эта формула справедлива для любого конечного числа слагаемых:
(UI +"2 +000+Uk)' =ur+и~+...+uk.
производная произведения
2. Производная произведения двух функций и и v вычисляется
по формуле
СПРАВО'lНЫА МАТЕРИАЛ
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, ПРОИЗ8ЕД ЕНИЯ, ЧАСТНОГО
276
Б.З)3X~l;5) x+l ;'б)
1-2x
2 У'х
2х -УХ
2...[Х(2х+ l? .
ДИ ДА КТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Найдите производную функции:
5
х-5
А. 1) х-5; 2) 2х-5; З) 5-7х; 4) (х-5)(2х-5);
) 2х-5.
Б. 1) 1+2-..[X; 2) (l+2-..[X)(3-5-..[X); 3) (x+l)vГx; 4) (2x-l)-{X;
х-l
-ух
5)-УХ;б)2х+l.
Ответы. А. 1)
1;2) 2;З)-7;4)4х-15; 5)
5
(2x-5~ •
Здесь мы использовали формулы (1)-(4) и формулу (-..[Х)'=
=
~r= из предыдущего параграфа.
2 -vx
6+3-{i-3-{f
3
2 -{i (2 +-{i)2 ...[х (2 +-Гх)2.
3 (2 +V'X) 3-..[х
2-Гх
2-{i
(2+-Гxi
5(1-Зх)-(3+5х) (-3)
14
(1-3x)2
(l-зх)2 .
Здесь мы использовали формулу (4).
4) у' =( ..ь!i_\'
(з...[Х)' (2+-VX)-З...[X (2 + -..[х)'
2+{Х J
(2 + -..[х)2
Реш
е н ие. 1) f' (х)=(х+5)' =(х)'+(5)' = 1+0=
1. Здесь мы
использовали формулу (1).
2) f' (х)=«2х-3) (3х+ 1»' =(2х-З)' (Зх+ 1)+(2х-З)Х
Х (Зх+l),=2(Зх+l)+(2х-З).З=12х-7.
Здесь мы использова-
ли формулу (2).
.
Этот же пример можно решить и иначе: у=(2х-3)(3х+
1)=
=6х2-7х-З.
Теперь можно использовать формулы (1), (2)
и (3).
З) f' (х)=( 3+5Х)'
(3+5хУ (1-3х)-(3+5х) (1-3х)'
1-3х
(1-3xi
(3' +(5х)')(1-3х)-(3+ 5х) (1' -(3х)') _
(1-3х?
-
277
При условии u = qJ (х)
При условии и=х
с'=о
~5)
x'=l
(6)
(uk),=kuk-I.U'. kER
(7)
(xk)' =kxll-I• k ER
(7а)
(~)' =-~.и'
(8) (~ )'=-j
(8а)
1
1
(-JU)' = -Yи~Ц'
(9) (-{ i)=-
(9а)
2и:
.
2-{ i
производнQЯ степ еннойфункции
1. Пронаводную с тепенной функции xk, где kER, х>О, вы
числяют по формуле
(xk)' =kXk-1•
(1)
2. Заметим, что е сли kEZ, то формула (1) справедлива при
всех значениях хЕ( - 00; + 00), кроме х=о. Если же при этом
k> 1, то формула (1) справедлива при любом х.
3. Из формулы (1) вытекают, в час тности, формулы для на-
хождения производных функций у=..!.. и у=- { Х.
х
При k = - 1 получаем:
(+)' =(x-1Y=(-I)x-2=
-
~2
(х*О).
(2)
При k =+ имеем:
I
I
1
(- { Х),=(х2),=..!..х 2 -1=..!..х-2 =_1_ (х>О).
(3)
2
2
2-{ i
Производная сложной функции
4. Если у есть функция от и: н=! (и), где и в свою очередь
ес ть функция от аргумента х: u=q> (Х), т. е. если у зависи т от х
через промежуточный аргумент
и, то у называетс я
сложной
функцией от х (функцией от функции): и=! (q> (х».
5. Производная сложной функции равна произведению ее про
изводной по промежуточному аргументу на пронаводную этого
аргумента по независимой переменной:
y~=y~.и~.
(4)
6. При м е р. Найти производную функции у=(3_5х+х2)100.
Реш ение.у' =100(3- 5х+х2)99 •(3- 5х+х2)' =
= 100 (3_5х+х2)99.(
- 5+2х).
7. Формулы дифференцирования.
С ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 6. ПРОИ3ВОДНАЯ
СТ ЕПЕННОА И СЛОЖНОА ФУНКЦИИ
278
9.r
(хЗ _,. 1)4 •
2-й с п о с о б. Применим последовательно формулы (8) и (7),
получим:
у' =( (хЗ ~ 1)3)' = «х3 ~·lП •3(хЗ- 1)2 (x~- 1)'=
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти п~оизводн у ю функции:
--
.
23
1)у=5х 5;2)у=5 W;
З) у=2_; 4) у=зх2 VX.
ух
2
"
Реш е н и е. 1) у=5х -"5. По формуле (сu)'=си' и по форму
ле (7а) найдем:
У'=5( -:-;) "x-i -.= -2х -{.
з
2) у=5VXЗ=5.х 7,. Найдем производн ую по тем же форму
лам, которые были примевены при решении первого примера:
а
з
2
у' ==(5х"5)' ==5. : хт -1=3х- l'.
I
8
2з 2_х3
з--
-
3) у-2----2.х
а-2ха•
-VX-/з-
-,
885
у'=(2х3)'=2. ~ х"3-1= 1; х"3.
...!.
2+...!.
2...!.
4) .y=зr VX=3rха=3х 3 =3х з;
2...!.
2...!.-I
1...!.
i
у' =(3хз)' =3.2 _1 х а ==3•.!_ха=7.ха•
3
3
2. Найти производ ну ю функции:
1) у=(хЗ-2х2+5)6; 2) Y==(X3~1)3;
3) У f~+$·
Реш е н и е. 1) у=(хЗ_2х2+5)6. Пусть х3-2х2+5=и, полу
ЧИМJI=u6• По формуле (7} имеем у'=6u5 • .u'=6(хЗ-2х2+5)5х
Х(х -2r+5}'=6(хЗ-2r+5)5·(3х2-4Х).
2) у (х 3 ~ 1)3 • Данный пример можно решить двумя спосо
бами.
l-й с п о с о б. Запишем функцию с помощью отрицательного
покаватедя и прнменим формулу (7). Тогда у . (ХЭ~ ~3
(хЗ_l)-З,
у'=«хЗ _l)-З)'= -3 (хЗ_l)-З-l (хЗ-l)'= -3 ( х
_1)-4 Зх 2=
9х2
-
(хЭ~1)4·
Получили один и тот же результат.
3) у ~;:~ $ . Применим последовательно правило дифферен-
цирования частного, а затем дифференцирования сложной функ
ции, получим:
, _ «x3_1)<t)' (х2+ lt-(x3-l)4 «х2+ 1)3) '
у-
«(х2+1'п
6х (х3_1)3 (х3+2.м+ 1)
(х2+ 1)'4
3. Найти производную функции:
1) y--V?-2x; 2) y=(2x+l)2-y'1
2х; З) y=V{x2 - 1?
Реш е н и е. 1) y=-Vx3_2x. Заменим х3-2х=u, получим
у =-vи. По формуле (9) имеем:
У'
1
(х3-2х)'
з r-2.
2 .yxi -2х
2 -./х3-2х
2) у=(2х+ l? .уl 2х. По формуле производной произведе
ния получим:
у' = «2х + 1)2)' -Уl 2х+(2х+ 1)2 (.jl 2х)'.
Найдем провзводные в каждом из СЛагаемых и выполнив
преобразования, получим:
у'=2 (2х+ 1) (2х+ 1)' -Уl 2х+(2х+ 1)'-. 1(1-2x)' .
2 -J1-2x
=2 (2х+ 1).2 -v1
2х+ (2х+1)2(- 2)
2 .y1-2x
=4(2x+l)-Jl
2х (2x+lY'
4(2X+l)(1-2x)-(2x+l)!
.yl-'lix
...j1--2x
4- (1-4x2) -(2x+ 1)2 З-4х-20х2
...j1-2x
-. J1-2x
3 ) y=V(x2-1? Заменим кубический корень 'дробным пока
зателем и по формуле (7) найдем пронаводную степени: У=
2
=(х2_1)3;
2
I
,
2(..2 1)3-I(2 1)' 2(2 1)-"32' 4х
1
У =-х
-.
х-
=-х
-..
.х=-·-.-=
3..
З
3. Vx!-l
4х
з\!хZ-l •
ДИДАКТИЧЕСКИ А МАТЕРИАЛ
1. Найдите провзводную функции:
t
2
А. 1) у=зх2; 2) У= -6х3; 3) У= -2х-б;
4) у=4х 3'; 5) у==5х-'5
27'
Б. 1)
1.
2) 3~;
3) 3,5х2 -УХ; 4)
-зхW' ~
4. Най дите производную функции:
А. 1) y=~; 2) у=з.у5х
1; 3) y=-2-V1 х; 4) y=~.
Б. 1) y=-.J4=?; 2) у=(х2+6).ух2
3; 3) y=.y(x4_1)-i;
4) y=V(x3 + I?.
В.1)У ~;
2) y=(.j3X)-I_.j3X; 3) У= ~+2.X •
-уах+с
1-2х
7
Ответы. 1. А. 1) 6х; 3) 10' x-6j4) з~; 5) -2х-Б
2) y=_4,?_...L+..!.+.l_.
-ул vx х2
Х
3. На йдите производную функции':
А. 1) у=(х2 - 5х+8)6 ; 2) у=(х3 __ 1)6; 3) У= (x2~ 1)4.
Б. 1) y=(ax2+bx+c)k; 2) у=( a+x)k .
а-х
Б. 1) y=~;
2) Y=2~;
3) У= :;; 4) y=2f:
2х3
--y~
В. 1) у=х-I
~·W ;
2) У= -Vxз·э;; ; 3) y=!_~ .
2 -уХ
Vхз
2. Най дите производную функции:
А. 1) у=4х3-2х2+х-5;
2) У:::;:-хЗ+9х2+х-l.
На йдите
У' (-1).
Б. 1) у=О,25х4+0,(3) x3+O,5x2-1; 2) У= -зх-5+
15х-4-
-2х-3+х-I
+2; 3) y=(x3_1) (х2+х+ 1); 4) y=~~: .
2
3.1
8. 1) у=3ГХ--+---+4·
-УА -ух
х2 5х3
,
п
-{2
у/( ~)
2СО'4
2."2
2р
(l-sin : у (1-"f у 3-2-{2·
2) y=../sin 2х. По формулам (9) из § 6 и (1) из § 7 получим:
у' 2~·(Sin
2х)',
у' = cos2х (2х)' 2соз2х ctg 2х -Ysin 2х.
2sin2х
2 ';sin 2х
Здесь мы уничтож или
ир рациональность в знаменателе дроби.
281
Теперь найдему'(:):
2 cosx
(l-sin х)2 •
(1+ sin х)' (l-sin x)-(l +sin х) (l-sin х)'
(l-sin xi
у'(х)
(5) из§6и(lа) из§7получим:
1+s~nх • По формулам (4) и (1) из § 5,
l-sшх
Реш
ение. 1)у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти
производную функции:
1) у ~+s!nx, вычисли ть
у,( П4) ; 2) y=../sin 2х;
-SlПх
3) у=2х+3,6 sin5 (п-х);
4) y=sin (2х2-З);
5) y=sin4 ах.
При условии и = ер (х)
При условии и=х
~sinu)'=cos и-и'
(1)
~Sinх)' =cos х
(lа)
cos и)'= -sin и-и'
(2)
cos х)'= -sin х
(2а)
1
(3)
1
(3а)
(tg и)' =--.
и'
(tgx)'=--
cos2 и1
cos2 х
(ctg и)'= ---и'
(4) (ctgх)' = __ 1_
(4а)
sin2 и
sin2 х
Каждая нзэтих формул справедлива в любой точке области
определения соответствующей функции.
.
2. Формулы дифференцирования.
СПРАВОЧНЫЙ МАТ ЕРИАЛ
1. Пронаводные тр игонометр ических функций находятся по
следующим формулам: (sin х)' =cos х, (cos х)' = -sin х, (tg х)' =
=_1_ (ctgx),= __ I-
сов"х '
sin2х .
§ 7. ПРОИ3ВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
у '=(t+siп 3хУ cos 3x+(1+sin 3x)(cQSЗх)'.
Далее, применив правило дифференцирования суммы и формулы
(2) и (1) из § 7, получим:
у' =3 cos 3х cos 3х-3 sin 3х (1+sin 3х)=3 (сов6x-sin 3х).
3. Найти пронаводную функции:
1) y=tgt;~l'
вычислить У'(;); 2) y=tg (3x2-1);
3) y=tg -./6Х; 4) y=tg х cos2 х.
282
2.sifl ~
Вычислиму'(;):у'(;)=
3n24f.
(I+СОSз)
2)
у = cos (х3 - 3). Использу я формул у (2) 'Из § 7, получим:
у' = - siп(хз- 3)(х3- 3)'; у' = - sin(х3__ 3).3х2=
= -3х2 sin (х3-3).
3) у=(1 +sin 3х) cos 3х. Использу я формул у (2) из § 5, полу
чим:
251Пх
(1+СО54 .
(5)из§6,(2а) из§7получим:
у' =(I-cos х)' (1+cos х)-(I -cos х) (1+cos х)'
(1+cos х)2
3) у=(l +sin 3х) cos 3х.
l-СО5Х
П
Реш ение.1)у 1+
..оформулам (4)и(1)из§5,
cosх
!I =4 sin3 и ·(sin и)';
у' =4siпЗи-cosи-и' = 4sin3ах-cosах(ах)';
у' = 4а· sin3ах cosах.
2. Найти производную функции:
1) у ~o-:~~~,
вычислить у'( ;) ; 2) y=cos (х3-3);
3) у=2х+3,6 sin5 (n-х).
Использ у я правила дифференци
рования, имеем:
у' = (2х)' +(3,6 sin5 (n-х»)'
=2+(3,6 sin5 х)' =
=2+3,6·5 siп4 х (siп х)' =2+ 18 sin4 х cos х.
4) у = sin(2х2- 3). Положим 2х2- 3= и, получим у= siпи.
Теперь по формуле (1) из § 6 имеем:
у'= cosи-и' = cos(2х2"- 3)(2х2 - 3)'= 4хcos(2r --3).
5) у =sin4 ах. Сделаем замену ах= и, получим у = siп4 и, Т. е.
у =(siп и)4. Нам следует выполнить дифференцирование степени.
Применяя последовательно формулы (7) из § 6 и (1) из § 7,
получим:
sin (Х3-1) ,
283
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
1. Найдите производную функции:
А.1) у ~~5~ПХ,
вычислите у' (450); 2) у = sin 3х;
slП х
.
3) у=
sin (4х-1).
Б. 1) y=sin (2х2+3); '2) y=sin х2; З) у=~з
;4)у
вшХ
3) y=ctg х4• По формуле (4) из § 1получим:
,= __ 1_(x4)'=_~
у
sin2 х·
sin2 х· .
1
.(ax-k)'= _ а
sin2 (ax-k)
sin2 (ax-k) .
у'=
2) y=ctg (ax-k). По форм у ле (4) из §.1 получи м:
l+sin2x
sin2х .
-1-sin2 х
sin2 х
,
1
1
У = -:-::2::
SIП х
З)y=tg~. Поформулам (3)из§7и(9)из§6получим:
у'
cos21,j6X+/6xY, у'
cos21-{БХ. 2~·{6X)'
-{6х c~2,j6X '.
4) y=tg х сов" х. Заметим, что y=sin х cos x=tsin 2х. Зна
чит, у' =( t-sin 2Х)' = cos 2х.
4. Найти производную функции:
1) y=ctg х-х; 2) y=ctg (ax-k); 3) y=ctg х4•
Реш
е ние.
1) y==ctg х-х. По формулам (1) из § 5, (4а) из § 7 имеем:
cos2 x(tgx-lf •
-4
2
2 (2--{3) -./3-2·
-1
§ 7 получи м:
1
(!
1) tgх
У
' tg' х (tgx-l)-tg х (tgх-1У ёОТХ gх- -~
(tgх-l)2
(tgX-l)2
Вычислим у'
(
:): у'
(
~)==1-12
-(...j3-1)
4
2) y=tg (3х2-1). По формуле (3) из § 1 имеем:
у'
1.(зr-lУ ,
6х
со!2 (З?-l) ,у
С062(3?-1)•
Реш
е ние. 1)н=; tgx 1.Поформулам(4)из§5и(3а)из
gx-
284
3 . Найдите производную функции:
А. 1) у = tgt;-: 1 , вычислите у' (600);
2) у=1tgtX
; 3) y=tg х-х; 4) ,y==tg 3х.
-gx
Б. 1) у = sin х+tg х, вычислитеу' (1800);
2) y=tg (2х2+ 1); 3) y=tg (ax+k); 4) y=tg
~
; 5) y=tg х2;
6) y=tg-Y2X,
В. 1) у=tg2зх; 2) y=tg2 -{Х;
3) y=tg х sin2x; 4) y=tg
;+
+
1tз х
зg 2'
4. Найдите производную функции:
А. 1) y=ctg х+х; 2) у l~ctgx;
3 ) y=ctg x-tg х, вычислите
cgx
,
у' (450).
Б. 1) y=ctg (ax+k); 2) y=ctg х3;
3) y=ctg ~
; 4) y=ctg~,
В. 1) y=ctg -У2Х; 2) y=ctg 3 х;
3) y=-Vctg 2х; 4) у= ct;
2х;
5)
1
6)
t
х
1t3х
Y=Vctg
х;
У= -.с g2-ЗС g 2'
В. 1) y=-Vcos 2х; 2) y=-Vcos хз; 3) y=-Vcos -У2Х;
4) _~;
5) y=Vcos х; 6) y=cos2 V;.
-ycos А.
3 ) у=2 sin x-cos х+4; 4) у=3 sin x+cos х-х;
5) y=cos (х2-3).
,
1
Б. 1) y=cos х3; 2) y=cos 7; 3) y=cos-Y2X;
4)
=cos3 х: 5) =_1_. 6) =_1_
У
"
У cos2х' У cos2Х•
l-sin
х
,
(450)
1+
' вычислите у
;
cos х
2)у
5) y=-Vsinx2; 6) y=Vsin25x; 7) y=-Vsin-{X; 8) y=V\.'
.
slП Х
2. Найдите пронаводную функции:
А. 1) у = 1+cos х вычислите у' (600).
cos х-l '
,
5) у= . lг.:; 6) y=_._l_. 7) y=sin3
ах.
вш -ух
sш2Х'
285
Контрольные вопросы
1. Пусть х ц хо - два значения независимой переменной из
D (f). Как называется и как обезначается разность х - хо?
2. Как называется разность между новым значением функции
f (хо +Ах) и первоначальным ее значением f (хо)? Каким сим
волом обознач~ется эта разность?
З. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции,
используя понятия приращения аргумента и приращения
-функции.
В. 1)
2
4) 1 •4.А.1)-ctg2 х;2)_1_2 ;З)-4.
2.Х
cosx
cos '2
r1)
а.
2)_зх2.З)__х_.4)
о.
sin2 (ax+k) ,
sin2~ ,
• х2'
sш2 -
x3sin2 j_
2
х2
3cos2Х
4sin2х
2
-.J2x sin2 -.J2x'
2) - sin4х ;4) cos32х ' 5) 3sin2х3...fClgX•
xtgr .5) sin{-х} ;6)
VXsin 2VX . 3. А. 1) .i...
-{ёO"S? ,
3Vcos2 Х
3х
3'
1
З)tg2х; 4)
3
l-sin 2х
,
cos23x .
4)
2)
Б1)о·2)
4х
•5)
2х
.
•
,
сов" (2х2+ 1) ,
cos2r'
6)
1
• В. 1) 6s~ззх; 2) sin.yx ; 3) tg2 х+2 sin2х;
-.J2x соsЧ2Х
cos х
-ух cos vx
x-Jcos 2х; 2) ~ 1,5х2 tg хЗ ;./cos х3; З) _ tg....j2x-v~:cos;l2i;
В.l) 30х sin2 5х2 cos 5х2; 2) -_!_sin.!_· 3) 3 siп-..jX.siп 2.ух.
х2
х'
4 :.)Х
'
4) 6cos3x.
5)
xcosx2 • 6)
10cos5x;
7) -{Xcos-Гx.
sin3 3х '
.ysin х2'
3 Vsin 5х
6х 'Vsin2 .ух
2.А. 1)4-{3;2)4.;2-6; З) 2cosx+sin х; 4) Зcosx-sin х-l;
5) --2х sin (.г-З). Б. 1) -3х2 sin хЗ; 2) 4- sin +; З) _Si~jf
х
.х
,,2х
4)-3sinхсов"х; 5) 2sin2х '·6) 2sinх. В.1)-tg2хХ
cos2 2х '
сов" Х
ответы.
1.А.1) 8-·6 -{2; 2) 3cos3х; 3) 4cos(4х-l).
Б.1)4хcos(2х2+3);2) 2хcosх2; 3} 3cos3х.4) 3rcos(хЗ-1) .
sin23x '
sin2 (х3 -1) ,
5)
cos-{х . 6)
sin 2х.
7)3.2
-
_r: 2_r:'
--.-4-,
аsш ахcosах.
2"хsin'{х
.вшХ
4. Что означает запись
Ау=! (Х2)-! (хl)?
5. Сформулируйте определение предела функции f (х) при х -+- а.
6. Дайте геометрическую интерпретацию предела функции f (х),
используя понятие окрестности точки.
7. Сформулируйте теоремы о пределе суммы, произведения и
частного функций.
8. Чему равен предел многочлена Р (х) при х ~ хо?
9. Дайте определение непрерыв~ости функции в точке.
10. Почему рациональная функция непрерывна в любой точке, где
она определена?
11. В каком случае в данной точке. функция терпит разрыв? Как
называют такую точку?
12. Постройте график функции _{ 0,5х - 1 при x~.
1,
у- 1-3х
при х<
1.
Найдите значение функции. в точке разрыва.
13. Дайте определение производной функции в данной точке.
14. Какие существуют обозначения для производной функции
н=! (х)?
15. Сформулируйте необходимое условие существования произ
водной в данной точке.
16. Если некоторая функция f не является непрерывной в точке
хо, то она в этой точке не имеет производной. Верно ли обрат
ное утверждение: если функция непрерывна в точке ХО, то
она имеет в этой точке производную? Если неверно, то при
ведите пример.
17. Что называется дифференцированием?
18. Назовите по порядку все операции, которые сдедует произвес
ти при вычислении производной по общему правияу диф
ференцирования.
19. Найдите область определения
с ложной функции: а) у=
=~;
б) y=-vx (9-х 2); в) y=-V4-,[x; 2) у (З-:}2_1 '
20. Как находится пронаводная сложной функции h (х)=<р (f (х»?
287
Рис. 181
Рис. 180
х
х
у
у
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Т е о р е м а. Если производная функции f в точке x~ поло
жительна, то функция возрастает в векоторой окрестности этой
точки. Если производная функции f в точке хо отрицательна,
то функция уб ывает в некогорой окрестности этой точки.
2. На рисунках 180 и 181 графически иллюстрируется воз
растание и убы вание функции в зависимости от знака ее произ
водной в окрестности данной точки хо. Функция, график которой
изображен на рисунке 180, возрастает в окрестности точки хо,
так как f'(xo) =tg а>
О; функция, график которой изображен
на рисунке 181, убы вает в окрестности точки хо, поскольку
f'(xo)=tg а<О.
3. т е о р е м а. Достаточное условие возрастания (уб ывания)
функции на интервале. Если функция f имеет положительную
производную в каждой точке интервала (а; Ь), то функция воз
растает на этом интервале. Если функция f имеет отрицательную
производную в каждой точке интервала (а; Ь), ТО функция
уб ывает на этом интервале.
4. Отметим также, что если функция f монотонна на интерва-
§ 1. ПРИМЕНЕ НИ Е ПРОИЗВОДНОR к НАХОЖДЕНИЮ
ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОй К НАХОЖДЕНИЮ
ПРОМЕЖУТКОВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ
§ 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ,
ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
§ 3. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
§ 4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО
И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
глхва.ххт
288
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Найти промежутки монотонности функции:
1)
f(x)=5x2-3x+l;
2) f(x)=. !. .;
3) у=у .. .--х-----.,? . ..- .
х
Реш
е ние. 1)
данная функция определена на всей число
вой прямой. Находим производную: f'(x) = 1Ох- 3. Так ка к
{'(х)<О при х <0,3 и f'(x)>О при х >0,3, то в промежутке
(- 00; 0,3] функция убывает, а в промежутке [0,3; + 00) возрас
тает (точка х=0,3 включается в промежутки монотонности, по
скольку в этой точке
функция определена и непрерывна;
см. п. 4).
2) Область определения функции - вся числовая прямая, за
2
исключеннем точки х=о. Находим f'(x) = -"""2. Очевидно, что
х
{'(х)<О при всех х=;ЬО,т. е. данная функция убывает/в проме
жутках (- 00; О) и (О; +00).
3) Найдем область определения данной функции: x-x2~o,
x2-x~0
(1).
Квадратное уравнение х2-х=0 имеет корни Хl =0 И Х2= 1.
Неравенство (1) справедливо при всех действительных значени
ях х в промежутке [О; 1]. Следовательно, функция у=х-х2
определена в промежутке [О; 1].
Найдем пронаводную функции у =-vх х2: у' = 1-2х
.
В ин-
2.ух-х2
1-2x
тервале возр.астания функции пронаводная _г.:---:д. > О. Знаме-
2- vx-x
натель 2ух . х2 > О, следовательно, числитель 1- 2х > о. Имеем
{
1-2х>0
..
1
2ух х2;'О. Решив систему, наидем Х<""2. Учитывая, что
область определения функции [О; 1], имеем О ~ х <+.
Знаменатель 2-Jx х2>0 . НО при х=о и х= 1 знаменатель
обращается в нуль, поэтому х может принимать лишь значения
1
О<Х<т·
Следовательно, на промежутке [О; 0,5] функция у=ух х2
возрастает.
В интервале убывания функции производная
~;.;.:; <о. (2)
Решим неравенство (2), получим:
2"х-""
{
O<xI<. 1,
{
2-Jx х2>О,
1
1-2х<О;
х>т,
T<x<l.
ле (а; Ь) и непрерывна в точках а и Ь, то она монотонна и
на отрезке [а, Ь].
289
Х·
оах.Х2ХЭ.Х.. Ь
Рис. 182
1. Внутренние точки области определения фун кции. в которых
производная фун кции равна нулю или не существует, называются
критическими.
2. Точка хо из области определения фун кции f называется
точкой минимума этой функции, если найдется б-окрестность
(хо-б, хо+б) точки хо, такая, что для всех x=l=xo из этой
окрестности выполняется неравенство f (х) > f (хо).
3. Точка хо из области определения фун кции f называется
точкой максимума этой фун кции, если найдется такая б-окрест
ность (хо - б, хо +б) точки хо, что для всех х =1= хо из этой окрест
ности выполняется неравенство f (x)<f (хо).
4. Точки минимума и максимума называются точками эк ст
ремума данной фун кции, а значения функции в
э тих точках
соответственно минимумом и максимумом функции (или эк стре
мумом самой фун кции).
5. Функция У = f (х), график
кото
рой изображен на рисунке 182, в точ- У
ках хl и хз имеет минимумы (Ymin)'
а
вточках Х2 иХ4
- максимумы (Уmах).
Заметим, что точки а и Ь не счита
ются точками экстремума фун кции f,
так как
у
этих точек нет окрестности,
целиком входящей в область опреде- --t-a......&.__.j..___,__......_-.__~
ления функции.
6.Теорема Ферма. Необходи-
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 2. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ,
ЕЕ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
ДИДАКТИЧЕСКИ Й МАТЕРИАЛ
Найдите промежутки монотонности функции:
А.
1)
у=3х+ 1; 2) у=х2; 3) у=х2-2х+5.
Б.
1)
у=хЗ' -27х; 2) у=х2 (х-3); 3) у=хЗ+3х2-9х+ 1.
В.
1)
у=х4-4х+3;
2) У= ;х ; 3) у=-Ух2_2х.
Ответы.А. 1) Возрастает на R; 2) убывает на (- 00; 01
возрастает на [О; 00). Б. 1) Возрастает на (- 00; - 3~ и на
[3; 00), убывает на [- 3; 3]; 2) возрастает на (- 00; о и на
[2; 00), убывает на [О; 2];·3) возрастает на ( - 00; - 3] и на 1; 00),
убывает на [- 3; 1]. В. 1) Возрастает на [1; 00) и убывает на
(- 00; 11; 2) фун кция убывает всюду,
кроме х==О; 3) возраста
ет на [2; (0), убывает на (- 00; О].
Следовательно, функция у=-Ух. х2 убывает на промежутке
[0,5; 1].
Рис. 185
Рис. 184
.)(
290
Рис. 183
УПРА Ж НЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Дана функция: 1) у=4х2-6х; 2) у=х3-3х2•
Найти ее кри
тические точки, промежутки монотонности, точки экстремума.
Построить график функции у =х3
-
Зх2•
У
у
J
мое условие существования
э кстречума функции. Если точка хо
является точкой экстремума функции f (х) и в этой точке сущест
вует производная, то она равна нулю, т. е. " (хо)=О.
Например, функция f (х)=х2-2х+ 1 в точке х= 1 имеет ми
нимум, следовательно, по теореме Ферма производная функции
в этой точке равна. нулю: " (1)=0.
7. Отметим, что теорема Ферма выражает лишь необходимое
условие существования
экстремума: из. того, что пронаводная
обращается
в нуль или не существует в данной точке хо, не
следует, что хо - точка экстремума.
Так, производная ~ункции f (Х)=Х3 (рис. 183) в- точке х=О
равна нулю: f' (х).=3х , f' (0)=0. Однако в этой точке функция
не имеет экстремума.
Производная функции f (х)=2х+ Ix\ (рис. 184) в точке х=о
не существует. В этой точке функция не имеет экстремума.
8. Достаточные условия существования
экстремума. Пусть
функция f (х) непрерывна в точке хо и имеет производную f' (х)
в некогорой окрестности (а; Ь)
э той точки. Тогда:
если f' (х)<О на интервале (а; хо) и f' (хо»О
на интервале
(хо; Ь) (т. е. производная меняет знак с минуса на плюс), то
хо ~ точка минимума функции f (х);
если f' (х)> О на интервале (а; хо) и f' (хо)<О на интервале
(Ха; Ь) (т. е. производная меняет знак с плюса на минус), то
хо - точка максимума функции. f (х).
291
ДИ ДАК ТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экст
ремумы:
А. 1) y=4r+6x; 2) У= ~ -3х; 3) y=r-4x; 4) y=r-x;
5) у=х2+зх; 6) у= -х2+2х.
6. 1) y=XJ+3r; 2) у=0,5х4; 3) у=2х4-х; 4) у=О,25х4+8х;
5) y=2XJ-9х2+ 12х-8.
в.1)y=3x-1.2)=х-3.3)
(X-2~8-X)
8
1-4хt
У
2х+4t
У
,
Кр оме того, функция у =х3 - 3r возрастает на промежутках
( - 00; о] и [2; 00) и убывает на промежутке [о; 2} Постр оим
график функции у=х3 -3х2 (рис. 185).
х
О
2
3
у
О
-4
О
Максимум
Минимум
Точка пересечения с осью Ох
функции
функции
3
Ре ше н и е. 1) Имеем у'=8х-6, 8х-6=0, х=т-
крити-
ческаяточка.Таккаку'<она( - '00;t)иу'>она( : ; +00),
ТО В промежутке ( - 00; :] .функция убывает, а в промежутке
[:;
+,(0) возрастает.
в точке х=: функция непре рывна,
а производная в этой точке меняет знак с минуса ва плюс.
Таким образом, х=: - точка минимума. Находим значение
393
9
функции при Х=Т: Ymin=4816-68T=-T'
2) Имеем у' =Зх2- 6х=3~ (х- 2). Приравняем найденную
производную нулю и решим уравнение 3х(х....,..2)=О,
т. е. найдем
кри тические точки функции: Х. =0, Х2=2.
Определим промежутки анакопостоянства производной: у' >0
при х<о, х>2; у' <о при 0<х<2. Значит, х=О -
точка
максимума, х=2 - точка минимума.
Найдем экстр емумы функции. Для этого вычислим значения
функции в точках максимума и минимума: у(0)==03....,..3·02=о;
у (2) = 23 - 3 822 = - 4. Теперь найдем точки пересечения гра9>ика
с осями координат.
При равняв у нулю, получим х3-3х -о,
r (х-з)=о, откуда х=о и х=3, т. е. имеем точки (о; о) И (3; О).
Составим таблицу:
§ з. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
СПРАВОЧНЫА МАТЕРИАЛ
Общее исследование функции и построение ее графика реко
мендуется выполнять по следующей схеме:
1. Найти обл асть определения функции.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной;
проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика
функции с осями координат и промежутки знакопостоянства
функции. Иногда для уточнения построения графика следует
найти две-три дополнительные точки.
4. Найти производную функции и ее критические точки.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, используя полученные резуль
таты исследов~ния.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
1. Исследовать функцию и построить ее график:
х4
хЗ
2
х
1) У=т-т-Х;
2) У= r-4; 3) y=sin x-0,5sin
2х.
Реш е н и е. 1) 1. Обл асть определения - множество R.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периоди
ческой.
3. Найдем точки пересечения графика с осью Ох (т. е.
нули функции):
+-х4_+х3_х2=О,
3х4-4х3-12х2=0,
х2 (3х2-4х-12)=0, Х1,2=О,X3~ -1,4, X4~2,8.
292
4) У X(41~x2); 5) у=х4 (х-12)2; 6) у= i~
..
э:
Ответы.А. 1) Убывает на промежутке (- 00; - 0,751 воз
растает на промежутке [- 0,75; 00), минимум в точке - 0,75;
3) минимум в точке 2, убывает на промежутке (- 00; 2] и возрас
тает на промежутке [2; 00); 6) максимум в точке 1, убывает на
промежутке [1; 00) и возрастает на промежутке (- 00 ; 1].
6. 1) Возрастает на промежутках (- 00; - 2] и [О; 00), убывает
на промежутке [- 2; 01 максимум в точке - 2, минимум в точке О;
2) возрастает на промежутке [О; 00) и убывает на (- 00; О),
минимум в точке О; 5) максимум в точке 1, а минимум в точке 2;
возрастает на промежутках (- 00; 1] и [2; 00), а у бывает на
промежутке [1; 2]. В. 1) Убывает на промежутках (- 00; 0,25)
и (0,25; 00), критических точек нет; 3) убывает на промежутках
(- 00; О) и [3,2; 00), возрастает на промежутке (О; 3,2], макси
мум в точке 3,2; 5) возрастает на [О; 8] и на [12; 00), убывает на
(- 00; О] и на [8; 12]; х=о и Х= 12 - точки минимума, х=8-
точка м аксимума.
Рис. 186
у
В первой строке таблицы в порядке возрастания распо ложены
критические точки функции и ограниченные ими промежутки,
во
второй
отмечены знаки производной
в
этих промежутках.
В третьей строке записаны выводы об изменении функции, вы
числены значения функции в точках экстремума и указано, какая
из точек является
точкой минимума, а какая - точкой мак
симума.
6. Испо льзуя результаты исследования, строим график функ
ции (рис. 186).
2) 1. Функция определена при всех значениях х, кроме х = - 2
и х=2,
т. е. D(f)=(-oo; -2)U(-2;
2)U(2;+00). Отметим,
х (-00;-1) -1
(-1; О)
О
(О; 2)
2
(2; (0)
" (х)
-
О
+
О
-
О
+
<,
5
~
<,8.>
f (х) убывает -12 возрастает
о
убывает -3" возрастает
min
тах
min
Возьмем также
две допо лнительные точки, например:
13
9
f (1)=-12 ' f (3)=4'
4. Находим производную:
" (х)=х3_;_х2-2х=х (х2 -х-2)=(х+
1) (х-2) х.
Приравняв
производную нулю, получим критические точки:
х= -1, х=о,
Х=2.
5. Найденные критические точки разбивают числовую прямую
на четыре промежутка :(- 00; - 1),(- 1;О),(о; 2)и(2; +00).
Составим
таблицу:
f()
r-4- x·2x
х2+4
4. Находим производную ' х
(х2-4? = - (х2_4)2 .
5. Очевидно, что
/' (х) < О при всех значениях х Е D (f). Сле
довательно, функция убывает на промежутках (-- 00 ; - 2),
(-2;
2) и (2; + 00). Экстремумов функция не имеет.
6. На основании полученных сведений стр оим график функции
(рис. 187).
3) Находим D (f)=R. Имеем f (-x)=sin (-х)-0,5 sin (-2х)=
= -sin х+0,5 sin 2х= -(sin х-О,б sin 2х)= -/
(х). Следова-
тельно, функция нечетная.
Функция периодическая с основным периодом Т =2п. По
скольку период функции равен 2п, дос тато чно провести исследо
вание только о т
-п до Л, постр оить график функции на
о тр езке
[-- я; n J и прод олжить его, пользуясь периодичностью. Но
так
как функция является нечетной. то доста то чно исследовать функ
цию и постр оить ее график на о тр езке [О; п1 затем, пользуясь
симметрией о тносительно начала координат,
о тразить его на
294
что
у-+О при х-++00 и при х-+- 00; кроме того, у-+± 00 при
х-+2 и х-+-2.
2. Функция является нечетн ой, так как f (-х)= -f (х). Сле
довательно, ее график симметричен о тносительно начала коор
динат и дос тато чно исследовать функцию лишь на промежут
ке [О; + (0).
З, Если х=О, то у =О, т. е. точка (О; О) принадлежит графи
ку функции. Возьмем также две дополнительные то чки, напри-
1
мер: f (1)= -3' f (3)=0,6.
Рис. 187
х
з
-2
295
Теперь, пользуясь полученными результатами, построим
график функции сначала на отрезке [О;n;1а затем и на всей число
вой прямой (рис. 188).
Можно составить таблицу значений функции
для
некоторых
значений аргумента:
О
2п
n
х
3"
2"
n
у
О
3-../3
О
-4-
отрезок [~п; О} и
д алее уже воспользоваться период ичностью
да нной функции.
Итак" дальнейшее исследование проведем для
отрезка [О; п].
Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого
решим уравнение sin х-0,5 sin 2х=0, имеем sin x-sin х cos х=О,
sin х (l-cos х)=О. На отрезке [О; п] последнее уравнение
и меет
два
корня: хl =а и Х2=П. Следовательно, график функции не
пересекает оси абсцисс ни в какой внутренней точке отрезка
[О; я]
В интервале (О; п) функция прин имает только положительные
значения.
Функция непрерывная и перио дическая, следовательно, асимп
тот график функции не имеет. Найдем значения функции на кон-
цах отрезка [О; л] имеем f (0)=0, f (11)=0.
Найдем точки экстремума. Так как у' =cos x-cos 2х, то,
приравняв производную нулю, получим cos x-;-cos 2х=0. Далее
последнее уравнение преобразуем так:
cos х-(l +cos 2х)+ 1=0,
2 c os2x-cos х-l
=0,
cos х= 1 cos х= -_!_.
,
2
Решим полученные уравнения. Из первого уравнения наход им
хl = О, из второго Х2= 2; (напомним, что мы ограничиваемся пока
отрезком [О; п]).
Таким образом, внутри отрезка [О; я] имеется только одна
2п
Я
точка х=""3, которую надо проверить. сно, что эта точка мак-
симума, поскольку, как мы отметили уже, на концах отрезка
[О; п] функция обращается в нуль, $1 всюду внутри отрезка она
положительна.
Найдем значение Функции в точке максимума:
f(2П)
•2пО5.4п3.;3
Уmах -
""3 =sш3- ,sш3=4 .
296
Рис. 190
Рис. 189
х
х
о
з4
у
ДИдАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Исследуйте
функцию и постройте ее график:
А. 1) у=·х2-2х+8;
2) у=5х-х2-4;
3) у=х2+х+
1;
4) у=х2-6х+9.
х3
Б. 1) у=3х-х3-2; 2) у=3х2-х3; 3) у=х3+3х+2; 4) У=Т+
+х2-3х.
в. 1) у=х4-2х3+3; 2) у=х4-2х2-3; 3) у=зх5-5х3;
4) у=9х5+зхЗ• 5) Y=~·
6) у 6(х-l).
7) У=Х-'2Х·
,
1+r '
х2+3 '
-v",-.л,
8 ) У=х2-Ух+ 1; 9) у=2 sin x-cos 2х.
ОТветы. А. 2) Возрастает на (- 00;2,5]и убывает на
[2,5; 00); х =2,5 -
точка максимума. Б. 1) Убывает на ( - 00; - 1]
и на [1;00), возрастает на[- 1;1];х=- 1-
точка минимума,
х=1-
т очка максимума; 2) рис. 189; 3) возрастает всюду.
В. 1) Рис. 190; 4) возрастает всюду; 5) рис. 191;6) возрастает
на[- 1;31убываетна(- 00;- 1] ина[3;00];х=-1-
точка
минимума, х =3 -
точка максимума, график изображен на рисун-
Рис. 188
х
у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у (х) =
=-2хЗ-3х2+ 4
на промежутке: а) [~2; -0,5]; б) [1;3).
Реш е н и е. Находим критические точки функции. Так как
у' (х)= -6х2-6х . -6х (х+ 1), то имеются две критические точ
ки: х=О и х=;::-1.
а) В промежутке [~2; -0,5] лежит одна из критических
точек: х= -1. Так как у (-2)=8, У (-1)=3, 9.( -'0;5)=3,5,
то наименьшее значение функции у (х)= -2хЗ-Зх2+4
достига-
297
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. На рисунке 193 изображен график некоторой функции "
определенной на отрезке [а; Ь]. В точке Х2 функция имеет максимум,
а в точках хl и хз - минимумы. Своего наименьшего значения,
как это видно из рисунка, функция достигает в точке Хз - точке
минимума. Наибольшее значение функция принимает на конце
отрезка в точке Ь, в которой функция не имеет экстремума (так
как справа от точки Ь функция не определена).
2. Для отыскания наименьшего и наибольшего значения функ
ции, дифференцируемой внутри отрезка и непрерывной на его кон
цах, следует найти все критические точки функции, лежащие
внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на
концах отрезка, а затем из всех полученных таким образом чисел
выбрать наименьшее и наибольшее.
§ 4. ЗАДАЧИ НА НАХ ОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО
И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
ке 192; 7)
возрастает на(- 00; ~], убывает на[~ ;2]; х =~-
точка максимума; 8) возрастает на [ - 1; - :] и на [О; 00),
убывает на [ - : ; о]; Х= - : - точка максимума, х=о
точка минимума.
Рис. 192
Рис. 191
х
у
у
ется в 'точкех=- 1иравно 3,анаибольшее- в точкех=- 2
и равно 8. Кратко это м ожно записать так:
min у (х)=у (-1)=3,. тах у (х)=у (-2)~8.
[-2; -0.5]
[-:-2;-0,5]
б) В промежутке -[1; 3) данная функция убывает. Поэтому
тах у (х)=у (1)= :-1. Наименьшего значения в промежутке [1;3)
p;~
..
функция не достигает, так как точка х=3 не принадлежит
этому промежутку.
2. Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшеи пло
щади.
Реш е н и е. Обозначим длину одной из стор он прямоуголь
ника через х (рис. 194), тогда длина другой стор оны равна
.j4R2-х2•
Заметим, что 0< x<2R, так как х - длина хорды ок
ружности радиуса R, отличная от диаметра. Следовательно, пло-
щадь прямоугольника выразится равенством
S (х)=х .j4R2-Х2.
Найдем наибольшее значение функции S (х) на отрезке [О; 2R].
Имеем S' ( х)=О, т. е. .j4R2-Х2-
r О, 4R2-2r=0,
о ткуда
-../4R2-X2
x=R·.y2 (значение Х= - R.y2, очевидно, не удовлетворяет усло-
ВИЮ)'. Значит,' надо сравнить значения функции при x=R.y2
(В точке экстремума), х=о и x=2R (на концах отрезка).
Так как S (O)=S (2R)= О, а S (R Y2)=2R~, то функция принимает
наибольшее энвчение на [О; 2R) при x=R.y2. Поскольку наиболь
шее значение функции S (х) на отрезке [О; 2R]достигается во внут
ренней точке отрезка, то наибольшее ее значение S (х) на интер
вале (О; 2R) также достигается в точке x=R -12. При этом длина
другой стор оны прямоугольника равна -../4R2-х2=R -j2, т. е. ис
комым прямоугольником служит квадрат.
298
Рис. 194
Рис. 193
299
Знаменатель дроби (1) положительный, поэтому достаточно
а
исследовать только числитель: у' <О, если х <2"; у' >О, если
а
Х>2".
Производная меняет знак
с
минуса на плюс,
с ледовательно,
а
функция при Х =т имеет минимум.
Таким образом. из всех прямоугольников данного периметра
наименьшую диагональ имеет квадрат.
(1)
2( x-f)
-,j2? - 2ах+ а' •
2х-а
у'
.."J2x2- 2ах + а2
кв адрат.
О, 2х-а=0,
х=;,
значит, прямоугольник -
2х-а
3амечание.
1) При отыс кании наибольшего значения
ФУНКЦИИS (х) удобно 'записать ее в виде S (x)=-V4R2х2_Х4.Далее
найти наибольшее значение функции f (x)=4R2x2 _х4 на заданном
интервале (О; 2R). Наибольшее значение фуНКЦИИ S (х) будет
достигаться в той же точке, что и дЛЯ ФУНКЦИИf (х), так
как функция y=,[i возрастает на [О; 00).
2) Данную задачу
можно решить и без использования произ
водной. Пусть величина угла между диагоналями прямоугольника
равна сх.Тогда площадь прямоугольника равна половине произве
дения длин диагоналей на синус угла между ними, т. е.
S (CX)=ydld2 sin cx=Y·2R.2R.sin
cx=2R2 sin сх.
Очевидно, что наибольшее значение функции S (сх) достигается,
если sin СХ= 1, т. е.
сх=900•
Значит, прямоугольник является
кв адратом.
3. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот,
у которого диагональ наименьшая. .
Реш е н и е. Пусть периметр прямоугольника равен 2а и одна
из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет
2а-2х
--2-=а-х.
Диагональ прямоугольника - переменная величина: обозна
чив ее через, у, получим по теореме Пифагора у2=х2+(а_х)2,
или у2=2х2-2ах+а2,
откуда y=-V2x2-2ax+a2, где О<х<а.
Исследуем ФУНКЦИЮy=-V2x2-2ax+a2
с
помощью первой
производной:
У
'
1
(222+2)'
2х-а
-:--;;::::;=::::===::::::;;-.
х-аха=
.
2 .."J2X2- 2ах + а2
.."J2x2- 2ах + а2 '
ДИДАКТИЧЕСКИ Я МАТЕРИАЛ
1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
1) f(x)=x4-8x2-9
на отрезке: а) [-1; 1];б) [О;3];
2
2)
f(x)-x3 (х-2) н а отрезке: а) [-8; -1]; б) [-1; 1].
2. В. Представьте число 12 в виде суммы двух положительных
слаг аемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
3. В. Найдите такое число, чтобы его сумма со своим квадра
том имела н аименьшее значение.
4. Имеется проволока длиной а метров. Требуется огр адить
этой проволекой прямоугольный участок земли, одна сторона ко
торого примыкает к стене заводского здания, так, чтобы площадь
огороженного участка была н аибольшей.
зоо
сторонний.
2
Найдем значение аЕ(О; л), при котором функция S (а) дости
г ает наибольшего значения:
S' (а)=а2 (cos a+cos 2а)=а2 (2 сов"a+cos а-l)=
=а2 (cos а+ 1)(2 cos а-l).
Так как cosa+l>O
(аЕ(О;п)), то S'(a)=O при cosa=
1
л
=2' откуда а=т·
Если О<а< ~, то S' (а»О, т. е. S (а) возрастает на
(о; ~J Если ~ <а<п, то S' (а)<О, т. е. S (а) убывает на
[~ ;п).
Итак, тах S (a)=S( зЛ). Если а = зЛ , то треугольник ра вно-
(О; п)
.
а2 sin а (1+cos а)=а2 (siп а +}sin 2а ).
4. В круг р адиуса а вписан равно
бедренный треугольник. При каком соот
ношении сторон треугольник будет иметь
наибольшую площадь.
Реш ение. Пусть
LACB=a.
(рис. 195),тогда ПО теореме синусов име
ем АВ=2а sin а. Далее из AADC сп=
=АDctg ~=аsinаctg ~=
=а sinа 1+.cos а а(1+cos а.).
вша
Рассмотрим площадь треугольника как
функцию переменной а (О< а < л):
AB·CD
S (а)
Рис. 195
с
Контрольные вопросы
1. Верно ли, что: а) если " (хо) >О, то функция f во зрастает
в
некогорой окрестности точки хо; б) если f' (хо) <О, то
функция убывает в некоторой окрестности точки хо ?
Поясните
это графически.
2. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие
во зрастания (убывания) функции на интервале.
3. Какие точки назы ваются критическими?
4. Дайте определение точки минимума и точки максимума
функции.
5. В чем различие понятий «точка экстремума функции» И
«экстремум функции»?
6. Можно ли утверждать, что если произв одная в данной точке
равна нулю (или не существует), то эта точка является точкой
максимума или минимума? Приведите пример.
7. Сформулируйте достаточное условие существо вания экстре
мума функции.
8. Как следует понимать наибольшее и наименьшее значения
функции?
9. Можно ли утверждать, что если в какой-либо точке, ВЗятой из
области определения, функция имеет максимум, то значение
функции в этой точке является наибольшим на всем промежут
ке, где функция определена?
10. Как найти наименьшее и наибольшее значения функции, диф
ференцируемой на данном промежутке?
5. Покажите, что из
всех прямоугольных треугольников с
заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедрен
ный треугольник.
ат в е т ы. 1. 1)а) min 1(х)=1 (-1)=1 (1)=-16, шах f (х)=
[-1;1)
[-1;1)
=1 (0)=-9; б) min f (х)=! (2)=-25, тах f (х)=! (3)=0;
~~
~~
2) а) min f (х)= -40, тах f (х)= -3; б) min 1(х)=' (-1)=
[-8; -1]
[-8; -1]
[-1; 1]
а22
= -3, тах у (х)=у (0)=0.2.6 и 6. 3. -0,5.4. -8 м.
[~1;1)
302
УПРАЖН ЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
1. Вычислить приближенно значение: 1) ~;
2) -J0,999;
3) -{S7; 4) -У8,84.-
Реш е н и е. 1) ~. Воспользуемся формулой (1): ~=
_7
1
13
3
3
= V 1 +0,03~ 1+2·0,03= 1+2'100= 1+200= 1200'
2) -J0,999. Воспользуемся формулой (1): -V0,999=-JI-0,009 ~
1
11
1
1999
~ 1+2·( -0,001)= 1-2·1000 = 1- 2000= 2000.
3) -{S7. Воспользуемся формулой (2): -{S7=-J36+ 1~
1
1
1
~6+2.6.1 =6+12=612 .
4) -vs;в4. Воспользуемся формулой (2): -Y8,84=-J9-0,16~
1·
116
2
73
.
~3-2.3.0,16=3-6·100=3-7Б=275
~
2. Вычислить приближенно значение: 1) V26,19; 2) VЗЗ.
Реш е н И е. 1) V26,19. Здесь у=ух, а у'= з~. Полаг ая
хо=27, .1х= -0,81 и используя формулу (2), получим
V26,19='4.127-0,81 ~V27 - з~=3-
i~~=2,97.
2) VЗЗ. Здесь у =Vx, а у' = ~ , следовательно, vзз =
1. -Jl +.1x~ 1+Т.1Х.
(1)
2. 'УХо+.1х~VXo +
VXo • .1x при Xo= FO , где V[o=f' (Хо). (2)
kxo
ХО
3. (1 +.1X)k~ 1+k.1x, где k - целое число.
(3)
4. (х+.1х/~хk+kхk-l.1Х.
(4)
5. f (х)~ f (Ха)+f' (ха) .1х.
(5)
§ 1. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖ ЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
§ 1. ФОРМУ ЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИй
§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ Ф УНКЦИИ
§ 3. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ДАННЫй МОМЕНТ
ВРЕМЕНИ
§ 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИй
ГЛАВА ХХII
303
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Найдите приближенные значения:
А. 1) .y1,004; 2) .у0,994; 3) -у'2&; 4) .y15,84; 5) -YL06; 6) ~;
7) 1,001100;8) 1,002100;9) 0,99820; 10) 1,000320; 11) 2,99750;
1
1
1
12) (1,003)20;13) 0,99810; 14) ~.
6. 1) sin 31О; 2) sin 290; 3) cos 61О; 4) cos 590; 5) tg 31О;
6) tg290; . 7) tg440;
8) tg 460;
9) sin (450-0,04);
10) cos (300+0,02).
Ответы. А. 1) 1,002; 2) 0,997J 3) 5,5; 4) 3,92; 5) 1,03;
6) 2,04; 7) 1,1; 10) 1,006; 11) з5 ·0,95; 12) 0,94; 13) 1,08;
14) 0,98. Б . 1) 0,5+t:;; 3) 0,5-~;
5) _}з+l;5; 7) l-~;
9) 0,48-12.
=\132+ I =\125+1 ~2+5~32· t =2+0,0125~2,013.
Здесь 'мы
воспользовались формулой (2).
3. Вычислить приближенное значение: 1) 1,003100;2) 0,99820;
3) 2,998200;4) 0,9;930.
Реш е н и е. 1) 1,003100.Для решения применим формулу (3).
Положим в этой формуле LU=0,003, а k= 100, тогда
1,00з100=(1 +0,003)IOO~ 1+ 100·0,003= 1,3.
2) 0,99820. Используем формулу (3):
0,9982°=(1-0,002)20~ I+20·( -0,002)= 1-0,04=0,96.
3) 2,998200.Используем формулу (4), получим:
2,998200= (3 - О,ОО2?00~ з200+ 200. 3199(- 0'002)
=з20°(1 +200.3-1.( -о 002»=32ОО( 1_200._2_.
=
,
.
3 1000
=з200. (1-..!.)
=32О0•. ! .!
15
15.
4) 0,9~930.
Ни одну из предложенных формул в явном виде при-
менить нельзя. Данную дробь упростим так:
0,9~30= (0,999)-30.
Теперь применим формулу (3) при k = - 30, получим:
(0,999)-30=(1-0,001)-30~ 1+( -30).( -0,001)=
= 1+0,03= 1,03.
Р ис.
197
х
у
304
Рис .
196
где (хо; Уо) - координаты точки касания, (х; У) - текущие коорди
наты, т. е. координаты любой точки, принадлежащей касатель
ной, а " (xo)=k=tg а - угловой коэффициент касательной.
(2)
Y-Yo=f' (хо) (х-хо),
Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику
функции равен значению производной этой функции В точке каса
ния. В этом заключается геометрический смысл производной.
3.
Уравнение касательной к кривой У = f (х) в заданной точке
имеет вид:
(1)
k=tg <р=Нт ~ : =f' (х).
Ах-о LU
СПРАВОЧНЫй
МАТЕРИАЛ
1. Касательной к кривой в данной точке М называется пре
дельное положение секущей NM, когда точка N приближается
вдоль кривой к точке М (рис. 196).
2. Используя это определение, найдем угловой коэффициент
касательной к кривой в данной точке. Пусть через точку М (х; у)
кривой, представляющей собой график функции У =f (х), непре
рывной в некогорой окрестности этой точки (включающей точ
ку М), проведена секущая MN\, образующая с положительным
направлением оси Ох угол а (рис. 197). Тогда из треугольни
ка MN\N можно найти угловой коэффициент этой секущей:
tg а = ~ . При стремлении точки N 1 ПО кривой К точке М секу
щая М N 1 поворачивается вокруг точки М, причем угол а стре
мится к углу q> между касательной МТ и положительным направ
лением оси Ох. В соответствии с определением касательной
получаем:
§ 2. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФ ИКУ функции
305
=(3)3 9
т.е.х
3у - у =3- 4. Остается
найти ординату точки касания:
=(
9)I 3
(93)
У 3-4 т =3-4. Итак, искомая точка К 3-4; 3-4 .
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Составить уравне ние касательной к графику, функции
у=r-2х в точке с абсциссой хо- 3.
Реш
е
н
и е. Из уравнен ия кривой найдем ординату точки
касания: уо = з2- 2·3 = 3. Затем
найдем пронаводную и вычислим
ее
значение вточке хо=3,имеем у'- 2х- 2,"(3)=2·3- 2=4.
Теп ерь, зная
точку (3; 3) на
кривой и угловой коэффициен т
" (3) = 4 касательной в этой точке, получаем искомое уравнен ие:
у-3=4 (х-3), или у-4х+9= 0.
2. Дана
кривая у = - r + 1. Найти точку ее графика, в ко
торой касательная параллельна
прямой у =2х +3.
Реш
е
н
и е. Так как касательная параллельна
прямой
у=2х+3, то их угловые коэффицие нты
равны, Т. е. k=y' (хо)= 2.
Следовательно,
-2хо=2, т.
е.
хо= -1,
а
нь=! (-1)=
= -( -1?+ 1=0. Итак, (-1; о) - искомая точка.
3. На параболе у=х2-2х-В
найти точку М, в которой
касательная
к ней
параллельна
прямой 4х+у+4=0.
Реш
е
н
и е. Определим угловой коэффициен т
касательной
к параболе у=х2-2х-В: k у,=(х2-2х-В)'=2х-2.
Найдем
угловой коэффицие нт
прямой 4х+У +4 =о:
у=-4х-4, k=-4.
Касательная
к параболе и данная прямая 4х+у+4=0
по
условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффицие нты
равны
2х- 2=- 4, откуда абсцисса точки касания х=- 1.
Ординату точки касания М вычислим из уравне ния данной
параболы у=х2-2х-В,
т. е. у (-1)=( _1)2-2 (-I)-В= -5,
М(-I; -5) (рис. 19В).
4. Найти координаты
точки, в которой касательная
к парабо
ле у=х2-х-12
образует с осью Ох угол 450.
Реш
е
н
и е. Найдем танге нс угла наклона
касательной, про
вед енн ой в искомой точке, к оси Ох: tg а=у,=(х2-х-12)'=
=2х-l. Угол а по условию раве н
450, следовательно, tg 450=
=2х-l, или 1 =2х-l, откуда х= 1.
Определим ординату искомой точки: у (1)= 1-1-12=
-12;
искомая точка М (1; - 12).
5. В какой точке кривой у=ух касательная
наклон ена
к оси
абсцисс под углом 600?
,1
2
Реш
е
н
и е. Находим у' (x)=(VX) =ТХ -"3". Таккак по усло-
1_2
_2
_2
3
вию у' (x)-k=tg 600, то эх -g- =-.JЗ;' х "3" =3-.JЗ; .х "3" =зУ,
Рис. 199
х
у
306
Рис. 198
6. Найти угол ме жду прямой х=з
и
параболой у=х2
(рис. 199).
Реш
е
н и е. Углом ме жду прямой и кривой называется угол
ме жду этой прямой и касательной к кривой в точке их пер ес е-
чения. Очевидно, что искомый угол fP=t-а. Найдем
у' =(х2)' =2х. Так как tg а;=у' (3)=2·3=6,. то а;=arctg 6. Сле
довательно, q> = ; - arctg 6 = arcctg 6.
7. Найти, под каким углом ось Ох пер есекает параболу
у=х2+х.
Реш
е
н и е. Найдем точки пер ес ечения параболы у =r +х
с осью ох. Для этого нам следует решить систему уравнений
{
у-х2+х
=0
' Корни этой системы: Х! = -1, Х2=0. Таким образом,
у-.
парабола пересекает Ох в точках А ( -1; о) и О (о; о) (рис. 200),
Найдем теперь угловые коэффициенты касательных к параболе
у=х2+хВточкахА(- 1;О),О(О;О):
у' =(х2+х)' =2х+ 1;
у'(-I)=2(-I)+I--1;
у'( 0)=2·0+1=1; kl=-I,
k2=1.
Теперь вычислим углы аl и а2, образованные касательными
в точках пересечения параболы с осью Ох: tg <Ха = -1, а;1 = 1350;
tg а2= 1, а2=450•
~
1
307
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной
к параболе:
1) У =2х2 В точке, абсцисса которой равна 1;
2) У= -х2+х
В точке Х= -2;
3) y=.r-3x+2
в
точке Х-З.
2. Найдите угол наклона параболы:
1) у=х2-х+ 1 к оси ОХ в точке Х= --1;
2) у=х2-2х к оси ОХ в точке х=2.
3. В. Найдите координаты точки, в которой касательная
к параболе y=.r+3x-l0 образует угол 1350.
4 . В. Найдите, под какими углами парабола y=r+2x-8
пересекает ось, ОХ.
5. На пар;~,боле у . -r+7x-IO найдите точку, в которой
касательная=й ней параллельна прямой x+y-l =0.
8. Составить уравнение касательной к графику y=cos х в
точке с абсциссой х=- ; ;х=2п.
Реш е н и е. Уравнение касательной к кривой У=У (х) в точке
(хо; Уо) имеет вид н+яь=н' (хо) (х-хо). Подставив
в
это уравнение
значения Yo=cos(-; )=0,
хо=-;, Y'=-Sin(-; )-1,
получим y-o ~
1.(х+;),илиу=х+ ;.
Аналогично, подставляя в уравнение касательной соответст
вующие значения для точки хо = 2п, получим У - 1= о·(х - 2п),
т. е. y=l.
Рис. 200
х
у
а (t)=v' (t)=(s' (t»'.
Производную от производной f' (х) мы будем называть произ
водной второго порядка или второй производной И обозна
чать f" (х).
Итак, ускорение точки в данный момент времени равно зна
чению второй производной от закона движения а (t)= в" (t).
В этом состоит физический смысл второй. производной.
308
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Пусть точка движется прямолинейно по закону s=s (t),
где s - перемещение точки за время t, отсчитываемое от на
чаль но г о момента времени. Этот закон называют законом движе
н ия. Выберем какой-либо момент времени to и рассмотрим про
межуток времени Ы от момента to· до момента t = to +М. За
этот промежуток времени точка переместится на величину
As=s (to+At)-s (to).
С редняя скорость точки за промежуток
времени [to; to + At] составляет:
!:1s s (/0+ M)-s (to)
Vcp= М
I:1 t
С умень шением Ы средняя скорость все точнее характеризует
скорость точки в данный момент времени to. Поэтому целесообраз
н о о пределить мгновенную скорость. V (to) в момент времени to как
предел средней скорости Vcp при условии, что At· стремится к
нулю, т. е. v (to)=
Нm s (to+~~-s (to) в' (to).
ы-+о
Итак, мгновенная скорость' точки в данный момент времени
равна значению производной от закона движения. В этом состоит
физический смысл пронаводной.
2. Очевидно, что мгновенная скорость v (t) также является
функцией времени. Поэтому можно рассмотреть скорость изме
н ения скорости движения, т. е. .ускорение прямолинейного дви
жения точки:
§ 3. СКОРОСТЬИ УСКОРЕНИ Е
В ДАННЫЙ МОМЕ НТ ВРЕМЕНИ
6. В. В какой точке касательн ая к параболе У= -.r+4
перпендикулярна прямой х - 2у +2 = О?
7. Б. Найдите угол наклона к оси ОХ касатель н ой, проведеиной
ккривойу=siп хвточке:1)Х=;;2)х=2;.
8. Б. Найдите, под каким углом кривая у = sin х пересекает
ось Ох в точке: 1) х=п; 2) х=о.
Ответы. 1.1) k=4;2) k=5;3) k=3.2.1) a.=arctg(-3);
2) 63026'.3. (-2; -12).4. arctg (-6) и arctg 6.5. (4; 2). 6. (1; 3).
7.1) a.=arctgO,5; 2) 153026'.8.1)
1350; 2) 450.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Построить
график функции у=2 cos (3х-2).
Реш
е
н и e~ График функции f (х) =2 сое 3( х - ~) получает
ся из графика функции y=cos х в рез ультате следующих пре
ЗО9
§ 4. ГРАФИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
СПРАвоч'НЫА МАТЕРИАЛ
1. График гармонического колебания у=А сов (oot+ <р) можно
построить двумя способами:
а) последовательностью простейших преобразований - сжати
е м или растяжением по отношению к координатным осям ипарал
лельным пер е носом (эти преобразования подробно описаны в об
щей теории построения графиков функций; см. главу IX, § 1 игла
ву XVI);
б) исследованием функции с помощью производной по стан
дартной схем е (см. главу XXI, § 3).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти скорость и ускорение
точки, движение
которой про
исходит по закону х (t)=kt+b.
Реш
е
н и е. Находим v (t)=x' (t)-k , а (t)=v' (t)=O, т.
е.
скорость движения постоянна, а его ускорение
равно нулю. Такое
движение
называется равномерным пря молинейным.
2. Найти скорость и ускорение
точки, движущейся по квадра
тичному закону х (t)=pt2+qt+r.
Реш
е
н и е. Имеем v (t)=x' (t)=2pt+q, а (t)=v'(t)-2p, т. е.
у скорение
при движении по квадратичному закону является
постоянным.
Можно доказать и обратное
у тв ерждение:
если при п рямоли
нейном движении точки ускорение
постоянно, то движение
про
исходит по квадратичному закону х (t)=pt2+qt+r,
где коэффи-
циент при t2 численно равен половине
у с корения, т. е. р=;.
Рассмотрим такой пример.
Пусть тело свободно падает под действием силы тяжести. Из
вестно, что это движение
происходит с постоянным ускорением g
у скорением свободного падения, Тогда пройденное телом расстоя-
ние
является квадратичной функцией
врем ени: s=s (t)=g~2+
+vot+ вь, причем скорость и ускорение
в момент t определяются
соотношениями v (t)=s' (t)=gt+Vo и а (t)=v' (t)=g. При t=O из
этих соотношений находим s = so, а v = vo. Отсюда становится
понятным смысл постоянных So и vo: это - начальное положение
и
начальная скорость точки.
310
Контрольные вопросы
1. Дайте определение касательной к кривой в данной точке.
2. Что
такое угловой коэффициент касательной?
З. В чем заключается геометрический смысл производной
функции?
4. Напишите уравнение касательной к кривой в данной точке.
5. В чем заключаетс я физический смысл: а) производной; б) вто
рой ПРОИЗ80ДНОЙ?
ДИ ДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
1. Определите амплитуду, период и начальную.фазу гармони
ческого колебания:
1)у=3sin(2х- :) ;2)у=2cos(~-4Х).
2. Представьте формулу в виде уравнения гармонического
колебания:
1)у=2( sin: sin2x+cos : cos2х);
2) у=3 sin 2х; 3) у=4-8 сов" х.
3. Постройте график функции:
1) у= -2 cos (2х-600);
2) у=2 cos( ~ +600) .
Ответы.
1.1) 3;
я;
S4Л' 2) 2; ;; 9sл. 2.1) у=
=2cOS(2x+7:); 2) У=3соs(2х+З2П);
3) У '4cos(2x+n).
Рис. 201
образований: сжатия по оси Ох в отношении 3: 1 ( значит, Т = ~я) ;
параллельного переноса на векТор;(~ ; о ) ; растяжения по оси Оу
в отношении 1: 2 (рис. 201).
х
\
311
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. В двух теоремах § 3 главы VH говорилось о том, какие
действия над уравнениями не нарушают их равносильности.
2. Рассмотрим теперь такие операции над уравнениями, кото
рые могут привести к новому уравнению, неравносильному исход
ному уравнению. Вместо общих рассуждений ограничимся рас
смотрением лишь конкретных примеров.
3. При м е р 1. Дано уравнение 3х (х- 1)=5 (х-1). Раскро
ем скобки в данном уравнении, перенесем .все члены в левую
часть и решим квадратное уравнение. Его корнями являются
Xt=l, Х2= ~.
Е сли сократить обе части уравнения 3х (х - 1)== 5 (х -- 1) на
общий множнтель (х - 1), то получится уравнение 3х = 5, которое
неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень
5
Х=з·
Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множи
тель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней
уравнения.
4. При м е р 2. Дано уравнение 2х-3=5.
Данное уравнение
имеет единственный корень х=4. Возведем обе части этого урав
нения в квадрат, получим (2х-3?=25.
Р ешая это уравнение,
найдем два корня: х. = -1, Х2=4.
Усматриваем, что новое уравнение (2х- з)2 = 25 неравносильно
исходному уравнению 2х - 3 = 5. Корень XI = -1 является кор
нем уравнения 2х - 3 = - 5, .которое после возведения в квадрат
обеих частей приводит к уравнению (2х-з)2=25.
5. Посторонние корни могут появиться также при умножении
обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное,
если этот множитель при действительных значениях х обращается
в нуль.
§ 1. ПОТЕРЯННЫЕИ ПОСТОРОННИЕКОРНИ
ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ)
§ 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ
Р Е Ш ЕНИИ УРАВНЕНИй (НА ПРИМЕ Р АХ)
§ 2. ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕР АХ)
§ 3. Р Е Ш ЕНИЕ ИР РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИй
§ 4. Р ЕШ ЕНИЕ ИР РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕР АВЕНСТВ
ГЛАВА XXIII
СПРАВОЧНЫй МАТЕ РИАЛ
1. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикал а,
называется иррациональным; н апример, -ух+ 6 = 2, Vl ЗХ=3 -
иррациональные уравнения.
2. Рассмотрим на примере появление посторонних корней при
решении иррационального уравнения.
Пусть дано иррациональное уравнение -.Jx 1 =2х-З. Возве
дем обе его части в квадрат, получим:
312
§
2. ПОСТО РОННИЕ КОРНИ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ (НА ПРИМЕРАХ)
(4)
(5)
(6)
(7)
(3)
(2)
(1)
При м е р 3. Если обе части уравнения 2х- 1=3 умножим
на х+2, то получим новое уравнение- (2x-l)(x+2)=3
(х+2),
которое после переноса члена 3 (х + 2) из правой части в левую и
разложения на множители дает уравнение (х+2) (2х-4)=О, отку
да Х= -2 либо х=2.
Корень Х= -2 не удовлетворяет уравнению 2x-l =3, которое
имеет единственный корень х - 2.
Отсюда делаем вывод: при возведении обеих частей уравне
ния в квадрат (вообще в четную степень), а также при умноже
нии на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в
нуль при действительных значениях неизвестного, могут появлять
ся посторонние корни.
Все соображения, высказанные здесь по вопросу о потере и
появлении посторонних корней уравнения, в одинаковой мере от
носятся к любым уравнениям (алгебраи ческим, тригонометричес
ким и др.).
6. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над не
известным выполняются только алгебраи ческие операции - сло
жение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и
извлечение корня с натуральным показателем (причем число таких
операций конечное).
Ta~ например, уравнения
х3 (х-2)=6-4х,
-.j2 +x2=ln2
х+2
'
_:ii_='J..fx-4 =3+х
x-l х+-Гх
являются алгебраическими, а уравнения
x+sin х cos х=о,
ЗХ=6х+2,
x-Vx+2х=О,
x-х2+х3_х4+
... =О
неалгебраи ческими (почему?).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение:
1) -v'?+5x+ 1+ 1-2х=0; 2) -У2х з=-{jх 2; 3) -Ух 1 =
=3-х; 4) -У5х l--VЗх 2--Гx=f =0; 5) 4 -vз=x +6=5х;
6) vs=:x +Vx+5 =1; 7) -Ух2+х+4 +-Vx2+x+1 =
=-V2Х2+2х+9;8) -Ух2+ах-2а=х+ 1; 9) -Ух 2=х-8.
Реш
е н и е. 1) данное уравнение содержит всего один ради
кал; оставим его в левой части, а все остальные члены уравнения
перенесем в правую часть, получим -Ух2+5х+1=2х-l; воз
ведем обе части в квадрат:
х2+5х+ 1=(2х-l?, х2+5х+ 1=
=4х2 - 4х + 1; после переноса всех членов в левую часть и при
ведения подобных членов имеем:
х(х-3)=0, Xl=O,Х2=3.
Проверка.
Если Xl=O, то -Уо2+5.0+1 +1-2-0*0.
Следовательно, первый корень х=О не удовлетворяет уравнению.
Второй корень х=3 удовлетворяет данному уравнению.
2) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 2х-3=
=х-2,
откуда x-I. Проверка показывает, что этот корень по
сторонний (при Х= 1 обе части уравнения не имеют смысла).
313
СПРАВОЧНЫ Й
М АТЕРИАЛ
1. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком
корня, называются иррациональными.
2. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от
иррационального к рациональному уравнению путем возведения в
степень обеих частей уравнения или замены переменной.
3. При возведении обеих частей уравнения в четную степень
возможно появление посторонних корней. Поэтому при использо
вании указанного метода следует проверить все найденные корни
подстановкой в исходное уравнение.
§ З. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
х-l =4х2-12х+9.
(1)
Корни этого уравнения:
Xl = ~И Х2=2.
Проверим, удовлетворяют ли эти корни данному уравнению:
5
_г;:-. 5
5
если Xl =4" то '1"4-1 *2 .т-3, Корень Xl =т уравнению не
удовлетворяет, следовательно, он является посторонним.
Второй корень Х2=2 удовлетворяет уравнению.
Как видим, корни, полученные при решении иррационального
уравнения, необходимо проверять подстановкой в данное уравне
ние.
314
Снова возводим
о бе части в квадрат:
49х2-28х+4=4
(5x-l) (3х -2), llx2-24х+4=О,
2
о ткуда XI=Il' Х2=2.
Число Х2=2 принадлежит области определения заданног о
уравнения, проверкой убеждаемся, что х =2 является его корнем.
Число ХI = 121 не принадлежит области определения данног о
уравнения, поэто м у не м о жет быть его корнем.
5) Область определения уравнения 3-x~O, т. е. x~3.
Уединим радикал и возведем
о бе части уравнения в квадрат,
получим квадратное уравнение 25x2-44x-12=O. Корни этог о
6
уравнения: ХI = - 25 и Х2=2.
Оба. корня принадлежат области определения данног о уравне-
6
ния, но удовлетворяет ему только Х2= 2; корень Xl = - 25 посто-
ронний.
Действительно, левая часть данног о уравнения при всех допус-
6
тимых значениях неизвестног о, в частности при ХI = - 25' пол о-
жительна, а правая часть этог о уравнения при ХI = - 2~ отрица
тельна. Следовательно, число Ха = -2~ не является корнем дан
ног о нам уравнения.
6) Возведя обе части уравнения в куб и используя тождество
(а+Ь)З=а3+Ь3+ 3аЬ (а+Ь), получим:
.
(5-х)+(х+5)+3
V(5-x) (х+ 5)·N5="X+3.Jx +5)= 1.
дел~:::;;~в~:~:~~iXкузм о я: ;~о
B~:~';:
:~:[~?JI+c:r~п;:~
как 1f[2; +00), то х =1 - посторонний корень.
3) Возведем
о бе части lравнения в квадрат: х-I =
=(з-х)2, x-~=9-6x+x2,
Х -7х+IO=О, корни уравнения:
Xt=2, Х2-5. Проверкой убеждаемся, что х=5 - постор онний ко
рень, а х-2 удовлетворяет уравнению.
4) Допустимые значения неизвестног о удовлетворяют условиям
{
5x-I~O,
3 x-2~O,
x-l~О, т. е. x~l.
Уединяя один из радикалов и возв одя обе части уравнения
в квадрат, получаем:
(.у5х I-.yзx 2?=(.ух 1)2,
или 7х-2=2 .у5х I •.yзx 2.
315
(1)
(2)
{
х-2 (x-8f,
x -8~O.
При а=2 первое уравнение системы имеет вид 0·х=5, т. е.
не имеет решений. При а=#:2 х=2а+21 .
а-
Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлет-
воряет неравенству Х ~ - 1: 2а+21 ~ -1, За -21 ~ О,
откуда
а-
а-
1
а~зили
а>2.
Таким образом, при a~+,
а>2 x=2aa~21, при +<a~2
уравнение решений не имеет.
9) Решение данного уравнения заслуживает особого внимания,
так как при его решении часто допускают такую ошибку.
Исходя из определения арифметического корня, напишут:
x-2~0, т. е. x~2.
Потом решают данное им уравнение -Ух 2=х-8, находят
его корни: XI =6 и Х2= 11. Из того, что 6~2 и 11 ~2, делают
вывод, что их. =6, и Х2= 11 являются корнями уравнения. Однако
проверка показывает; что один из корней в данном случае являет
ся посторонним. Таким образом, и в этом случае нужно делать
проверку.
Рассмотрим другой способ решения данного уравнения.
По определению квадратного корня уравнение -VX. 2 =Х - 8
равносильно системе
10 +З V25-x2= 1, или ЭV25-х2= -з.
Снова возводим обе части уравнения в куб, имеем 25 - r =
= -27, х2=52; корни данного уравнения: -.J52 и --.J52.
7) Введем новую переменную у=х2+х.
Тогда получим урав-
нение -Vy+4+-Vy+
1=-V2y+9, область определения которого за
дается условиями y+4~O, у+ 1 ~O, 2y+9~O, т. е. y~
-1. Воз
ведя обе части этого уравнения в квадрат, имеем:
у+4+у+
1+2 -Уу2+5у+4=2у+9,
-Уу2+5у+4=2, у2+5у=0.
Отсюда находим у' =О, У2=- 5. Значение У2=- 5 не входит
в область определения уравнения. Следовательно, х2+х=0, т. е.
х.=О, Х2= -1. Итак, получаем ответ: Х= -1, х=о.
8) -Ух2+ах - 2а=Х+1.
(1)
По определению арифметического квадратного корня уравне
ние (1) равносильно системе
{
(а-2) х=2а+ 1,
x+l~O.
Так как по условию V5
Х+\!Х+5=
1 , то приходим К урав
нению
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
Неравенства, в которых переменная содержится под знаком
корня, называются иррационал ь ными. Основным методом решения
таких неравенств является .метод возведения в степень. При этом
решение иррациовалвных неравенств сводится к решению рацио
нал ь ных неравенств или систем рациональ ных неравенств.
316
§
4. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
ДИДАКТИЧЕСКИ Я МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
А. 1) -Yx2+x-1 =х;
2) ~Х2+х-1 =-vx;
3) ~(Х+6)(Х+ 1)=6;
4) Vx3-19=x-l;
5) -У3 х=5Х;6;
6) -Гх=х-2;
7) -../х2 2=-Vx;
8) -Ух 6=-../4 х.
6. 1) -Гх+6--../х+
1=~;
2) -Ух
1+...j2x+6=6;
3) ~х2+х-5+-VХ2+8х-4=5;
4)х+ ';/-1 =~~;
5)...jx 2=8-х.
В. 1) 2х2 + 6 - 2 v'r-"2X2--..----3-x
-+-2=3х + 12;
2)
-../Х 5--../2х
1 = 3+х2; 3) -Vx+5--.J2~ 3 -../4Х 1;
4) Vl:+X +Vx~ 12=6; УХ; 5) Vx+ 1-Vx
1 =vxcт;
6)-!iii +-!iii = X:2-Ym; 7) ~Зх
2+-Vx+2=a.
Ответы.
А.1)1;2)1;3)-10;3;4)---2;3;5)2;6)4;
7) 2; 8) .уравнение. не имеет корней. Б. 1) 3; 2) 5; 3) 2;
55
4) 3; 4; 5) 6. В. 1) - 2; 3,5; 2) ур~внение не имеет корней;
3) 2~-17
;4) -&;~;5) ±~; 6) 6; 7) при a~2t
х=О,5 (2а2+4-а -../3а2+ 16), при а<2-{6 корней нет.
3
.
Уравнение (1) равносил ь но уравнению x2-17х+66_:О,
кор
нями которого являются 6 и 11, но условие (2) выполняется
только для х = 11. Поэтому уравнение -Ух 2 =х - 8 имеет только
один корень х = 11.
317
Рис. 202
5
з
2
Решим первую систему:
{
1 ~x~3,
{ 1 ~x~3,
х-l >(3-х?;
(х-2) (х-5)<О.
Из рисунка 202 усматриваем решение первой системы:
2<x~3.
Решим вторую систему
{
х>з,
.ух 1>3-х.
Решением этой системы являются все х из промежутка (3; 00), так
как правая часть (3--х) отрицательна, а левая часть -Ух 1 по
ложительна.
Ответ.(2;(0).
б) { х>3,
-Ух 1 >3-х.
а) { 1~x~3,
-Ух 1 >3-х;
т. е. решением неравенства служит промежуток [1; 2).
3) -Ух 1 >3-х (1). Область определения неравенства зада
ется условием х - 1~ О, т. е. х ~ 1. В этой области определения
и будем находить решения неравенства (1).
Правая часть неравенства (1) обращается в нуль при х=3, в
результате чего неравенство (1) равносильно совокупности двух
систем:
l~x<2,
{
X~I,
х<3,
(х-2) (х-5»0;
{
X-l~О,
3-х>0,
(х-l)< (3-Х?;
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
1 ) -Ух>-3; 2) -.Jx 1<3-х;
3) -Ух 1>3-х.
Реш
ение. 1)
- Ух> - 3. Допустимые значения переменной
должны удовлетворять условию х ~ О. А так как правая часть дан
ного неравенства отрицательна, то решением будет [О; (0).
2) -Ух 1 <3-х. Область определения неравенства задается
условием х-l ~O. Далее, по смыслу неравенства должно .выпол
няться условие 3-х>0.
При этих условиях обе части неравенства
неотрицательны, и поэтому можно использовать метод возведения
в квадрат. В результате данное неравенство сводится к следующей
системе неравенств:
Контроаьвые вопросы
1. Найдите область определения функци и: a)y=-Vx 5; б) у=
=vx 1; в) y=V4 х; г) у=--{="?
2. Постройте график функц ии: а) y=-VX; б) y=-Vx
1;
в) y=-V1 х; г) у= --vx
1; д) y=-Vx 2+3; е) у=
= --vx 2+з0; ж) y=-V2 x~3.
3. Какое уравнение называется иррациональным?
4. Почему при решении иррациональных уравнений необходимо
делать проверку? Каким образом ее можно ynростить;=?~~
5. Объясните, почему не имеет решений уравнение: а) -yx~ 15-
--V12 х=3; б) ~з+-vx=I = 1; В) -Ух З+-Vx+ 3=
-1.
6. Решите уравнение: а) -.J7--Ух 3 =2; б) -У4 x+-V5+x~3.
ДНJl.AI(ТIII4fЕ'С1(ИА МЛ'fE"АJI
Решите. неравенства:
А.
1)
~;;:::2; 2) -[Х<2; 3) -...R>2; 4) vfX2+ 3x>2;
5) -Ух2_7х> -2; 6) -JЗX=1 <2.
Б. 1) -УЗХ=Т<-VX;2) ,jX2-3х-I.О>х-2;
3) -V2x+1<2;'::;
4) -Ух2-х-12<х; 5) ~х2-зх+2>Х+ 3;
6) -Ух+2>х;
7) -Vx+2+-Vx 5 ;;::-V5 х.
В. 1) l-~
<1; 2) х2-зх+-JХ2-зх+5>7.
Ответы.А.
1 ) [4.;. 00); 2) [О; 4); 3) (- 00; -2)Щ2; oo~;
4) (-00; -4)U(I; 00); 5) (-0о;0]Щ7; 00); 6) [~; :)\.
Б. 1) [т;0,5); 2)( - 00; -2]U (14; 00); 3) [-t;ll-~/Щ) u
uф;2);4) [4; 00);5) (- 00; --.-~); 7) 5. В.1)- 2~~X<
1
<О, О<х<т; 2) х< -1 и х>4.
319
Рис. 204
Рис. 203
Х
у=аХ
0<а<1
Х
у
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Функция, заданная формулой вида у = а", где а - некоторое
положительное число, не равное единице, называется покаватель
ной.
2. Функция у=аХ
при а> 1 обладает следующими свойст
вами (см. рис. 203):
а) область определения - множество всех действительных
чисел;
б) множество значений - множество всех положительных
чисел;
в) функция возрастает;
г) при х=о значение функции равно 1;
д) если х>О, то а'>»1;
е) если х<О, то О<аХ< 1.
3. Функция у=аХ при О<а< 1 обладает следующими свойст-
вами (см. рис. 204):
а) область определения D (f) =R;
б) множество значений Е (f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х=О значение функции равно 1;
д) если х>О, то О<аХ< 1;
е) если х<О, то а':» 1.
§ 1. ПОКА3АТЕЛЬНАЯфункция,
ЕЕ СВОЙСТВАИ ГРАФИК
§ 1. ПОКА3АТЕЛЬНАЯ
функция. ЕЕ СВОйСТВА И
ГРАФИК
§ 2. ПОКА3АТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИ Я
§ 3. ПОКА3АТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 4. СИСТЕМЫ ПОКА3АТЕЛЬНЫХ УРАВНЕ НИй И
НЕ РАВЕНСТВ
ГЛАВА XXlV
Рис. 206
х
I
I
,,
•, y=2~
I
х
320
Рис. 205
2
у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Изобразить схематически график функции: 1) У =2Х; 2) У =
=-3.2Х;
3) y=2Ixl; 4) y=(tg 608) I-X; 5) у=з1Х-11•
Реш
е н и е. 1) у=2Х• Так как а=2> 1, то функция возрас
тающая. Если х=о,
то у=20= 1. График функции у=2Х
изобра
жен на рисунке 205.
2) у= -3·2\ Так как а=2> 1, то функция у=2Х воз
растающая. График ее изображен штриховой линией на рисун
ке 206. График функции у = - 3· 2Х симметричен относительно
оси Ох графику функции у =3· 2Х• Поэтому сначала строим
график функции у=3·2Х
(см. рис. 206), а затем получаем график
функции у= -3·2Х
(рис. 206).
3) y=2Ixl• Если x~O, то у=2Х• График функции у=2Х при
x~O построен на рисунке 207.
Поскольку функция у=2lхl
четная, то ее график симметричен
относительно оси Оу. График функции у=21хl
изображен на ри
сунке 208.
4) y=(tg 600)I-X. Здесь a=tg 60° =vIЗ.
З апишем
данную
функцию в виде
.
y=(v!3)I-Х=-{3+!3)-Х=v!3._l =v!3i_l )Х.
.
<-./ЗУ'
\
-./З
32)
1
Зд есь а = -..[3 < 1. Следовательно, функция убывающая. График
функции y=-vз(~)Х
изображен на рисунке 209. Если х=о,
то Y=-J3(~) о =-J3.
5) у=з1 х-1I. Пусть х-I ~o, тогда у=зIХ-II=ЗХ-1
=3Х .З-1=
1
.1
=з·3Х. График функции У=з·3Х при x~
1 изображен на ри-
сунке 210.
Пусть x-l::::;;;О; тогда y=3IX-II=3-(Х-I)=3-Х+I=3.~~
=
{ 1)X
1
{ l)X
=3 3 . Здесь а=з<l.
График функции у=3 3 при
х::::;;;1 изображен на рисунке 211 (при х=о' y=3~ ( t) о =3}.
График функции у=з1Х- 11
изображен на рисунке 212.
Рис. 212
Рис. 211
Рис. 210
о
у
у
Рис. 209
Рис. 208
Рис. 207
х.
х
у
322
З) Положим 5Х=у. Тогда 52t . {51=11
и данное, уравнеиве примет виду2 -бу+
+5 =0. Корни этого уравнения: Уl = 1;
Рис. 213
оХI
У=Ь
У
5
1) зх2-7Х=V§;
2) з2%+2+з2%=30;
3) 52Х-6,.5%+5=0;
4)·3.16%+2.81%=5.36%;
5) (х+З(-'-3=(х+3)2%.
~
2
5
.~
Реш
е н и е. 1) Представи в 1../9 как 37, получим '3Х -7%=з7 ,
т. е. левая и правая части уравнения вриведены к одному основа
нию. Следовательно, данное уравнение
равносильно квадратному уравнению
2
5
2
2
•
х =э =»: откуда XJ=-Y, Х-2=I.
2) 'Представим з2%+2 Е&К з2х• а2 и по
ложим з2Х=у. Тогда данное уравнение
примет вид:
9у+у=ЗО, lОу=зо, у=3; з2%=з, 2х=l,
I
%-:2· .
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение:
§
2. ПОКА3АТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. V равнение, содержащее переменную в показателе степени,
называется показагельным. Простейшим примером покаватель
ного уравнения служит уравнение аХ = Ь (где а> О, а =F .1). Это
уравнение можно решить графически (рис. 213).
2) Решение пеказательного уравнения вида af(%)=ag(x)(где
а> О, а =F 1) основано на том, что это уравнение равносильно
уравнению f (х) = g (х).
3. Уравнение вида Аа2% + Ва' -1- С =О с помощью подстановки
а%=у св одится к квадратному у;равнению Ау2+Бу+С=:О.
ДИДАКТИЧЕСКИ й МАТЕРИАЛ
·1. Изобразите сх ематически график функции:
А. 1) у=2 (-У2у; 2) У= _2%; 3) y=(sin 90°)%; 4) У= 17%-1.
Б. 1) y=21%1-); 2.. >
У= _2IX~-'~ 23) .y=(sin2 X+COS2 ху.
В. 1) y=(tg 1..35°)%;2) у=2 -slП %.
2. Укажите область значений функции: 1) 2%; 2) 0,4%; 3) 1%;
4) 0,65%; 5) зJХ1; 6~ 0%;7) 2%-2; 8) 3 -·0,4%.
323
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Решите уравнение:
А 1) 4Х=64' 2) 3Х=81· 3) 25-X~_!_' 4) 8x=16' 5) (О5)Х=_!_.
•
,
,
5'
"64'
6) 27= (i-)X; 7) (t)X =217 ; 8) 2Х=I; 9) з6- х=зЗХ-2;
10) пх =.1.
6. 1) (.Jz)'ч, =1; 2) -Р=9; 3) .уZ'.З'=З&, 4) (Э'=(: }':
5) ( +)Х. ( : )]С =~~ ; 6) ~8x-I =w==x; 7) 2x.5x=O,1(lOX-1)5;
4-VX+1
8) 2,56-Гх-1= ( ~) ; 9)' 4Х+ 1,5 +2х+2 =4; 10) э=+ 1_
-4 .27х- 1 +91,5x-l=8 0.
В. 1) 4X+-Jx2-2_5.2x-l+-Jx"-2=6; 2) 62х+4=2х+8.зЗх;
3)~
5-Гх-4; 4) зх-5+зх-7
+зх-9=45,5+22,75+
+11,375+ ...;
У2=5. Следовательно, 5Х= 1, т. е. х=О" и 5Х=5, т. е. х= 1. Итак,
получаем ответ: О; 1.
4) Разделив
обе части уравнения на 36Х :;l=0, получим:
{
16)Х
{81)Х
{4)Х'
{9)Х
336~236=5,39"+2Т=5.
Положим (.:) Х =у, тогда имеем:
3у+ ~ =5, 3у2;_5у+2=0,
Yl=l, У2=: .
(
4)Х
(
4)]С 2
1
Следовательно, 9" =1, Хl=О; "'9 =3' Х2=Т·
Ответ.О;0,5.
5) Выражение в левой части уравнения представляет собой
функцию, содержащую переменную как в основании, так и в пока
вателе степени .
Для .решения такого показательно-степенного
уравнения нужно рассмотреть три случая: когда основание сте
пени равно 1, О и когда оно отлично от указанных значений .
Если х+3= 1, т. е. Х= -2; то получаем 11= 1-4 - верное
равенство; значит, Х= -2 - корень уравнения.
Если Хт 3=О, т. е. Х =- 3, то в левой части уравнения
получаем О , а в правой 0-6 - выражение, не имеющее смысла.
Поэтому х = - 3 не является корнем уравнения.
Наконец, приравняв показатели,
и меем х2 - 3 =2х, откуда
Х= -1, х=3. При этих значениях Х получим соответственно
2-2=2-2 и 66=66 - верные равенства, т. е. х= -1 и
х=3-
корни уравнения.
Итак, получаем ответ: - 2; .; 1; 3.
324
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Р
1) 3Х 1 2) (0,25)6х-х2> 0,255.,
ешить неравенство:
. <"9;
3) 4Х-6·2Х+8<0; 4) (х_з?х2-7Х> 1.
Реш е н и е. 1) Замечая, что -t-=3-2, перепишем данное не
равенство в виде зх<з-2. Так как основание степени больше 1,
то х < - 2. Итак, получаем ответ: (- 00; - 2).
2) Поскольку 0< 0,25< 1, заданное неравенство равносильно
неравенству 6x-х2<Б, т. е. (х-l)(х-5»0.
Решая последнее.
получаем ответ: (- 00; 1)U (5; + 00 ).
3) Положим 2Х=у, тогда 4Х=(2Х?=у2 и данное неравенство
примет вид у2- 6у + 8 <о. Решая это неравенство, находим
2<у<4. Возвращаясь к переменной х, получаем 2<2Х<22, от
куда 1 <х<2. Итак, интервал (1; 2) - решение данного нера-,
венства.
4) Здесь надо рассмотреть два случая: х - 3 > 1 и
СПРАВОЧНЫЙ МА Т ЕРИАЛ
1. Неравенство, содержащее переменную в показателе степе
ни, называется показательным.
2. Решение показательных неравенств вида af(X)<а' (х)
(г де
а> О, а=1= 1) основано на следующих утверждениях:
если а> 1, то неравенства а' (х) < а' (х )
и f (х) <g (х) равно
сильны;
еслиО< а< 1,тонеравенства а'(х) < ag(х) иf(х)>g(х) равно
сильны (это следует из того, что при а> 1 показательная функция
возрастает, а при О<а< 1 убывает).
i
§ 3. ПОКА3 АТ ЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВ А
5) зх+'+зх-'+зх-2=5Х+5Х-'+5х-2;
6) V4-2V6+V9=0;
7)· 62х'2-х'2=8·
8) _4 _+\Гх+3 =2·
-y~ -y~
, . \Гх+2
5
'
9) з2х+4+45·6Х_9.22х+2=0; 10) ы,......2----vз-=3у+N2
+-VЗУ =4;
11) (х-зу2=(х-зу;
12) (х2-х-l(-'=
1;
13) 3·4Х-5·6Х+2·9Х=0.
2. В. Определите х, если tg а= 3Х, tg f3= 3-х а- f3= 300.
4
Ответы. 1.А.1)3; 2)4;3)0,5;4) 3;5)6;6) -3; 7)1,5;
1
8)О;9) 2;10)о.Б.1)-3; О;3; 2)4;3)4;4)-4; 8)36 ;9)-1;
10) 1.В.1)1,5;2)4;3) 25;4)9;5) 2;6) неткорней;7)неткор
ней; 8) 8; 27; 9) -2; 10) ±2; 11) 0;1;2;3;4; 12) -1; 1; 2; 13) О; 1.
2. В...0,5.
325
О 5х(х+3)
2
2
.
4) 2-2х-2,5< '20,5 ; 5) 2Х ·5Х < 10-3 (103-Х)2;
6) 0,2%-0,5>5.0,04%"";1;7) (4х2+2Х+ ly2-x>
1;
-{5
.
8) (1,2)IX+7I«1,2)lr-3х+21; 9) (х2-8х+ 15У-6< 1.
Ответы.
А. 1) [3; 00); 2) (-00; 4]; 3) (-00; 0,5); 5) х>
>6. Б. 1) (-00; -3) U (О;3); 2) -3~x~0,
x~3; 3) [;6 ; 00);
4) -4<х<5;
5) 2 +<х<4,6.
В.1)х> 1;2) (1;2);3) х<3;
4) -2<x<l;
5) -3<x<l;
6) х>3; 7) (-00; -0,5) U
U(1; 00); 8) (- 00; - 1)U(5; 00); 9) (- 00; 4_;..,,;2)u
u (4 +.,,;2; 6).
х-3
В. 1) 4%_::~zl+8<8x; 2) Ixlx2-x-2<1;
3) 6,зх2+6Х+ll<l;
2х+l
I
4) 0,4x2_X-20> 1; 5) 163х-7_643 (0,25)-2>0.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
.Решите неравенство:
А. 1) 4X~64; 2) ЗХ~81; 3) 25-Х>+; 4) 8Х<16; 5) (0,5)X<~ ;
6) 27> (+)Х; 7) (t)X <217 ; 8) 2Х<I; 9) з6-х>з3х-2.
Б. 1) 29х-х3> 1; 2) 29х-х2 S;I; 3) 2,5в-Гx-l~(; )4-Гх+\
{
х>4,
{ 3<х<4,
2х (х-3,5»0;
2х (х-3,5)<0.
Решением первой служит открытый луч (4; + (0), а решени
ем. второй - интервал (3; 3,5). Объединяя эти множества, по
лучаем ответ: (3; 3,5)U(4; + (0).
т. е. систем
0<х-3< 1. В первом случае показ атель 2r-7x должен быть
положителен, а во втором отрицателен. Таким образом, задача
сводится к решению совокупности двух систем:
а) {х-з>
1,
б) { 0<х-3<
1,
2х2-7х>0;
2х2-7х<0,
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить свстему ураввеннй н неравенств:
1) { 2Х.ЗУ, =24, 2) { (х-у) О,5У-Х=5·2Х-У,
2У·ЗХ=54;
х+у,
(х_у)-7 =125;
з){(;)х-(:)-х>:,
4) 1 <31%2-Х'<9.
~2-6Х-З,5<8 -{2;
Реш е н и е. 1) Запишем данную систему в виде
{
2Х.ЗУ=23.3,
(1)
2У·3Х=2·33•
(2)
Перемножив уравнения
(1) и (2), получим:
2%+У.3Х+У=24.З4; 6Х+У=64; х +у=4.
Разделим
почленно уравнение (1) на уравнение (2):
2Х- у
22(2)х-у (2)2
2Х-У.ЗУ-Х=22·3-2; зх-у=ЗГ;
3' ='3 ;х-у=2.
Решив теперь систему х+у=4,
х-у=2,
получаем ответ:
(3; 1).
2) Перепишем
первое уравнение системы в виде (х - у) 2Х-У =
=5·2Х-У;
разделив обе части этого ураввенвя
на
'2 Х-У=#=О,
получим х - у =5.
Подставим теперь во второе уравнение системы вместо раз
ности х-у ее значение, равное 5:
х+у х+у
Б-7-= 125; 5-7-=53; Х"iУ=з; х +у=21.
Остается решить систему уравнений х - у = 5, х +у = 21; в
результате получаем ответ: (13; 8).
,3) Имеем:
§ 4. С'ИСТЕМЫ покхаягвльных 'УРАВ tI'Ен'И'R
и
НЕРАВЕН'СТВ
спрАвочны~A MATEPH,AJI
1. Известные способы решения
систем алгебраических урав
нений применяются
и
к решению
систем, содержащих вокава
тельные уравнения
и
неравевства.,
327
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется показательной?
,
2. Что является областью определения и множеством значений
показательной функции?
3. Перечислите свойства функции у =аХ при а> 1.
4. Перечислите свойства функции у=аХ при О<а< 1.
5. Почему функция у = 2Х является возрастающей?
6. Постройте графики функций: а) y=(~)X
И y=I,5X; б) у=
=0,75Х и у=(
:
)Х. Каково их взаимное расположение?
7. Используя график функции у=( +-)Х, найдитега) значение у,
соответствующее значению х, равному - 2; 1,5; О; 1;
(1; -1); З) (1; -1); (-0, 8; 2); 4) O<x~; .
3){.32Х-I.27Х+II=3,
(5x-у?=З6;
4) t..O,2"'''~. 1,
x- I+ O,5>0.
-х
Ответы. А. 1) (2; 1); 2) (3; 0,5); 3) (2; О). Б. 1) (1; 2);
2) (4; 1); 3) (4; 2); (5; 1); (3; 3). В. 1) (2; 2); 2) (-1,28;
2,8);
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Решите систему уравнений, неравенств:
А. 1) {2X.3Y=12, 2) {53Х=54У+7, 3) {,2.3X=18,
2У.ЗХ=18;
2Х.4У=16;
4Х·5У=16.
Б. 1) {ЗХ.5У=75, 2) {3Х-22У=77, 3) {Х+У=6,
3У·5Х=45;
зо,5Х_2У=7;
yx2-7X+12= 1.
{(
_!_
2) {32X.-t.2.7У+Х=9О,5,
В. 1)
х+у)Х =2,
.(х+у).4Х=64;
3х+у2=4;
{ х<3,
{ х<3,
.{ х<3,
х2-6х-З,5<З,5;
r-6x-7<0;
. (х+l)(х-7)<0.
Ответ. (-1, 3).
4) Имеем: 1<зlх2-хl<9; 0< ,х2-хl <:2;
а) {х2-х>0,
{X(X-l»О,.
-1<х<О и l<x<2.
r-x<2;
(х+ 1) (х-2)<0;
б) {r-x<o,
{х (x-l)<О,
-(х2-х)<2;
х2-х+2>0;
о<х< 1.
Ответ. (-1; О) и(о; 1) U,(I; 2).
б) показатель степени ,
в которую надо возвести число 2'
1
чтобы получить 4; 3; 4; 0,8.
8. С помощью какого преобразовани я плоскости можно получить
график функции у=(0,5У
из графика функции у=2Х?
9. Сколько точек пересечени я
и меют график и функций у =2Х и
у=О,28Х?
10. Какое заключен ие можно сделать о знаке числа .х, если
3 Х=О,9?
11. Какое уравнен ие
н азывается показательным?
12. Почему при решени и показательных уравнен ий
полагают, что
а>О, а=#=l?
13. Дано уравнени е вида а! (Х) = 1. Можно ли утверждать, что
f (х)=О?
14. Дано уравнен ие вида a!(x)=ak• В каком случае можно ут
верждать, что f (x)=k?
15. Дано уравнени е вида Аа2х + БаХ+ С =О. с помощью какой
подстановки о но сведется к квадратному уравнен ию?
Х
Х
16. Уравнен ие вида АаХ+Ба2 .ь2 +СЬХ=О преобразуйте к квад
ратному уравнен ию.
17. Решите графически уравнени е: а) 2Х=6; б) 2Х=3Х; в) 0,2Х=
=0,7\
18. Какое неравенство называется показательным?
19. Дано
н еравенство вида af(x)<a g (x ). Можно ли утверждать,
что: а) f (x)<g
(х); б) f (х»
g
(х) ?
20. Какие свойства показательной функции применяются при ре-
шени и
н еравенств: а) 2Х>2n; б) (+)Х< (+ )n?
21. Используя свойства показательной ф~ нкции:'
( 1)~
-
-~
а) ,срав~и те с еди ни цей: 3"" ; (-J3)2; (0,9)--v'5; '31 3;
(+)4;
_~ .I+~
б) сравните значения выражений: k-~ и ( т) . ;(: )
и
(:)\(~)1+~И(
~
) 12+~;
в) установите, равносильны ли
н еравенства: аХ>а4 и х>4;
5х2<5Х их2<х;(т6)Х>(+)Х"71 И 2х<х-1.
§ 1. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
СПРАВОЧНЫR МАТЕРИАЛ
1. Пусть функция и=! (х) монотонна в своей области опре
деления D (f). Тогда каждому значению xeD ({) соответствует
единственное значение уеЕ (f) и обратно: каждое зна
чение уеЕ (f) соответствует единственному xeD (f). Зна
чит, в этом случае можно построить новую функцию, определен
ную на Е (!) и такую, что каждому у е Е (f) ставится в соответ
ствие х е D ({), удовлетворяющее уравнению у = f (х). Эта но
вая функция называется обратной по отношению к функции
н=! (х).
2. Для нахождения функции, обратной данной у = f (х), надо
выразить х через у: х -:- g (у), а затем записать полученную функ
цию в общепринятой форме у = g (х).
3. Отметим, что если функции и=! (х) и н=я (х) являются
взаимно обратными, то область определения функции f совпадает
с множеством значений функции g и, наоборот, область опреде
ления функции g совпадает с множеством значений функции {,
т.е.D(f)=E (g)иD(g)=E (f).
4. Графики взаимно обратных функций симметричны относи
тельно прямой у=х (рис. 214).
5. Рассмотрим, например, функцию у=х2,
заданную на про
межутке (- 00; 01 На этом промежутке функция убывает и при
нимает все значения из множества [О; + 00). Следовательно, для
данной функции существ,Уетобратная. Из уравнения у = х2 нахо
дим х="-{У или х= --уу; так как переменная х может прини
мать только неположительные значения, то искомая обратная
функция имеет вид х= --{У. Поменяв обозначения х на у и у на х,
получим формулу у = -~, где x~ О, с помощью которой и за
дается обратная функция.
Если же рассматривать функцию у=х2, заданную на проме
жутке [О; + 00), то обратной для нее служит функция y=-vx, где
329
§ 1. ОБРАТНАЯ ФУНК ЦИЯ
§ 2. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА
§ 3. СВОйСТВА ЛОГАРИФМОВ
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦ ИЯ, ЕЕ СВОйСТВА
И ГРАФИК
§ 5. ТЕОРЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ,
ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА
К
НОВОМУ ОСНОВАНИЮ
§ 6. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ И ИХ СВОйСТВА
§ 7 ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ
ГЛАВА ХХУ
330
ДИДАКТIfЧЕС~ИЙ МАтеРИАЛ
Выведите формулу" вадающую функцию g. обратную данной
функции (. Укажите область определения и область значений
функции g:
1)у=2х+ 1; 2)У= __1;
3) У'= -2х+l;
4) у=х+Х.2;
х
5) у=2х2 (x~O).
Ответы. 1)g(х)=х-; 1; Е(g)=D(g)=R; 2) g(х)= -+;
Е (g)= D (g)={ - 00; О) Н (О; (0); 5) g (х)=-/f; Е (g)=D (g)=
= [0; (0).
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Задать формулой функцию, обратную [, Построить графи
ки данной и обратной ей функции, если функция f задана фор-
мулой у=5х+4, где х<о.
х
•
4
4
Реш е н и е. Выразив х через у, имеем у=5+-, -=у-5,
хх
..З
,4
Най
х =--5. аменив х на у, а у на х, получим' У=--5. . аидем
у-
х-
о бласть определения обраевой фувквви, она совпадает с мно
жеством значений заданной функц ии. Этим множеством служит
промежуток (- 00; 5) (рис. 216). Итак, У= .x~5 ' х<5 - ФУНК
ЦИЯ, обратная данной.
х~ о.
На
рисунке 215 изображены график функции у -:- х2 при
Х ~ О и график обратной ей функции.
Рис. 215
Рис. 214
х
Y=f (х)
у
331
Вычислить:
1)I
I 2)I
I . 3) lfl3-2Ig5.
оgзиз ; , оg-!vз243'
'
и-
,
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ Е,Н,ИЯМИ
§2. ПОНЯТИЕЛОГАРИФМА
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕР ИАJI
1. Логариф мом положительного числа Ь по основанию а (где
а> О, а=1= 1) называется показатель степени, в которую надо
возвести а, чтобы получить число Ь.
Логариф м числа Ь по основанию а обозначается символом
logab.
2. Если а> О, а =F 1, Ь> О, то logab по определению есть
показатель степени" в которую надо возвести число а, чтобы
получить число Ь. Поэтому равенство a1egoЬ= Ь есть тождество,
которое называют основным логариф м ическим тождеством.
Например, з1оg36=6, зюgз7 =7.
,
3. Для обозначения десятичных логариф мов принята специ
альная запись: вместо log1,()b,. ГАеЬ - проиевольвое положитель
ное число, пишут Ig Ь.
'5
х
Рис. 216
1<5
х-е О
у
5
СПРАВОЧНЫй
МАТЕРИАЛ
1. Логарифмы существуют только для положительных чисел,
Т. е. logaN (где а>О и a=l=l) существует, если N>O.
2. При основании а> 1 логарифмы чисел N> 1 положитель
ны, а логарифмы чисел 0< N < 1. отрицательны. Например,
1
log25> О, lоgrз< о.
332
§ 3. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
4
Таким образом, наше уравнение примет вид З-О Х =з-5 .
4
25
Так как а>О, а =1= 1, то -ТХ= -5, Х=Т.
125
Таким образом, log-} \гз 243=4·
Для решения остальных примеров используем основное ло
гарифмическое тождество.
3) lOЗ-2Ig5= 10З .l0-2Ig5= 10 З .(lо,g5)-2= 103.(5)-2=40.
)(1}2+21og16_( 1}2( l}2log16_ 1(( 1)log16)2_ 1 62_ 4
4-
-:r -
-
•-
-:r --
-
-:r _-о -
3
33
93
9
.
5) 4910g72- t IOg49
64=491og7 2. 49 - t IOg49
64=721og72{ 491og4•69 - ~ _
= ( 710g 72)2.(64)- ~ =22 .(26)-о,5=22.2-З=22-3=2-1
=т.
(
1 \ 2+2log16.
4910g 72
-i- IOg4964
4) з}
-g-,5)
Реш е н и е. 1) Нам известно, что логарифмом числа Ь по
основанию а (где а> О, а =1= 1) называется показатель степени,
в которую надо возвести а, чтобы получить число Ь.
Таким образом, lоgз 2~3 есть показатель степени. Обозначим
1
1
этот показатель степени через х. Тогда lоgз 243= х, или 3Х = 243 .
Решим уравнение 3X=2~3: зх=з-5,
т.е.Х=-5.
1
Таким образом, lоgз 243= -5.
1
(1вFi)X
1
2) Пусть 10g-!-\Гз243=Х'тогда ·з--v3 =243.
Чтобы решить полученное уравнение, необходимо упростить
основания степеней, т. е. привести их к одному основанию:
333
3) 310g210g416+10g0.52; 4) gЗ-lоgз2-10gвI4.
2. Сравните по величине х и у, если:
1) 10g0•6зх<lоgО.6ЗУ; 2). lоgЗ,\х>10gз.\у.
3. Что больше:
1) log67 или log76; 2) logo.40,5 или log-..j2sin ; ?
.4. Найдите х, если:
1)logxт= -1,5; 2)logfo;=-0,5; 3)logx6~=- ~;
4) logx 25 -v'5= - ~..
Ответы.
1. А.l) 2;2) 1;3) 3;4) 5;5) 6;6) -2;10)
2;
9
25
11)50. Б. 1)т;2)4; 3) 1;4) 160;5)4.В. 1) 1;J2) 144;
729
3) 2;4) 8.2.1) х>у;2) х>у.3 . 1 )
log76<log67;2)
lQgQ,40,5.
1
4.1)4;2)8;3)512;4)625.
Б. 1)
4)
В. 1)
1. Вычислите:
А. 1) log24; 2) log44; 3) log28; 4) log232; 5) log264;
6) logo.54; 7) logo.58; 8) logo.532; 9) logo.50,5;
10) logo.50,25; 11) 6\Og650.
ДИДАКТИЧЕС КИЙ
МАТЕРИАЛ
3. При основании О<а< 1 логарифмы чисел N> 1 отрица
тельны, а логарифмы чисел 0< N < 1 положительны.
1
Например, log \ 5<0, log \-3 >0.
2"
2"
4. Равным положительным числам соответствуют и равные
логарифмы, т. е. если N\ = N2, то logaN\ = logaN2.
5. Если а> 1, то большему числу
соответствует и больший
логарифм, Т. е. если N1> N2, то logaN\ > logaN2.
Например, 10gз7> lоgз5.
6. Если О < а < 1, то большему числу соответствует меньший
логарифм, т. е. если N\ > N2, то logaN. < logaN2.
Например, log \9<log .7.
3"
3"
7. Логарифм единицы по любому основанию (а>О, а* 1)
равен нулю, т. е. logal =0.
8. Логарифм
самого основания равен 1, т. е. logaa = 1.
Рис. 218
х
у
3М
Рис. 217
у
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕР ИАЛ
1. Так как покавателъная функция у=аХ (где а>О, а*l)
является монотонной {возрастающей при а> 1 и убывающей
при 'О<а< 1), то она имеет обратную функцию. Чтобы найти
эту обратную функцию, нужно из формулы .у = аХ выразить х
через у: x=lo gaY, а затем поменять обозначения х на.у -Н У на х;
тогда получим у= ..10gлх. Функция y=l ogax (где а>О, а*l)
называется логарифмической.
Итак, показательная и логарифмическая функции при одном
и том же основании являются взаимно обратными функциями.
2. График логарифмической функции у =logaX можно по
строить, воспользовавшись тем, что функция У= 10ga х обратна по
казательной функции у =а', Поэтому достаточно построить гра
фик функции У = а", а затем отобразить еге симметрично относи
тельно прямой у =х. На рисунке 217 изображен график функции
y-loga х при а> 1, а на рисунке 218 - график функции y=lo g ax
при О<а< 1.
3. Свойства функции у -loga х при а> 1:
а) D (f)=R+;
б) Е (f)=R;
в) функция возрастает;
г) если х= 1, то loga х=О;
д) если О<х< 1, то loga х<О;
е) если х> 1, то loga х>о.
4. Свойства функции y=l oga х при С)<а< 1:.
а) D (f)=R+;
б) Е (f)=R;
в) функция убывает;
г) если х= 1, то loga х=О;
д) если О<х< 1, то loga х>О;
е) если х> 1, то loga Х<О.
§ 4. JlОГАРИ'ФМИЧЕСКАЯ Ф'УИКЦИЯ,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
ЗЗ5
Рис. 221
-1
х
-4
х
Рис. 219
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Найти область оп р еделения функции: 1) у = 10gз (4 - 5х);
2) y=Iogo,1 (х2-3Х -4); 3) y=lg /t4X 4 •
х- х-
Реш е н и е. 1) Область оп р еделения логарифмической ФУНК
цИИ -- множество положительных чисел, т. е. R +, значит, задан
ная функция будет опр е делена только для таких х, п р и которых
4-5х>0, т. е. п р и х<0,8. Таким образом, областью опр е деле
ния заданной функции является интервал (- 00; 0,8).
2) Как и в первом п р имере, логарифмическая функция f
оп р еделена для таких х, п ри которых r-3 x-4>O.
Решая это
квадратное неравенство методом интервалов, получаем, что
D (f) -:- объединение интервалов (- 00; -1) и (4; (0) (рис. 219).
3) Решая методом интервалов неравенство i~_tx4~4> О,
(X~i~t~4»0'
находим
(рис. 220), что D (f)=(- 00; -4)U
U( -1; О)Щ4; (0).
2. Построить график ФУНКЦИИ: 1) У= IOg23x; 2) у= log2( -3х);
3) у-lоgз (4-5х); 4) y=log2 (х2-3 х-4); 5) y=210g2(Z:-ЗХ-4);
6) y=logo•1 'х+ 11.
Реш е н и е. 1) Так как область оп р еделения данной функ
ции - множество положительных чисел, поэтому должно выпол
няться неравенство 3х>0. Таким образом, областью опр е деления
функции служит п р омежуток (О; 00).
(1
)
Кривая пе ресекает ось Ох в точке "'3; О., так как п р и
.
1
у=о получаем 20=зх, т. е. х=з.
График функции изображен на рисунке 221.
2) Должно выполняться неравенство -3х >О, т. е. х<О.
Следовательно, областью оп р еделения функции служит п р омежу-
ток (- 00; О).
.
Кривая пересекает ось Ох в точке ( - +; О), так как п ри
-
1
у=О получаем 20= -3х, т. е. Х= -т.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МА ТЕРИДЛ
1. Найдите область определения функции:
А. 1) y=loga(x+l);
2) y=loga(x--l);
3) y=loga(-2x);
336
Граф ик функции изображен на рисунке 222.
3) Должно выполняться неравенство 4-5х>0,
т. е.
х < : = 0,8. Следовательно, областью определения данной
функ
ции является промежуток (- 00; 0,8). Найдем точки пересечения
гра фика с осями координат.
Полаг ая у=о, получим зО=4-5х, откуда х=0,6. При х=о
имеем у=lоgз 4.
Граф ик функции изображен на рисунке 223.
4) Должно выполняться неравенство х2-3х-4>0,
т. е.
(х+ 1) (х-4»0. Следовательно, областью определения данной
функции является (- 00; -1)U(4; 00).
Найдем точки пересечения граф ика с осью Ох. Полаг ая у = О,
получим 20=х2-3х-4,
откуда Xl=3-~' x2=3+f29.
Граф ик функции изображен на рисунке 224.
5) Здесь мы используем основное логарифмическое тождество.
Должно быть
{
х2-3х-4>0,
{(х+ 1) (х-4»0,
у=х2-3х-4;
у=(х+ 1) (х-4).
Граф ик функции изображен на рисунке 225.
6) Искомый граф ик (рис. 226) получается пар аллельным 00-
реносом гра фика
функции y=logo,l Ixl
на вектор а( -1; о).
Для построения граф ика
ф ункции y=logo,l Ixl
построим гра фик
функции logo,l х при х> О и отобразим его относительно оси Оу.
Рис. 223
х
Х·
Рис; 222
у
337
СПРАВО Ч НЫЙ МАТ ЕР ИАЛ
1. Логарифм произведения двух или нескольких положитель
ных чисел равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.
loga(N1N2 ••• Nk)=loga N1+loga
N2+ ... +1ogaNk, где а>О, а=;61,
Ni>O.
.
Например, loga (3·4 ·б·7)= loga 3+ loga 4+ loga б+ loga 7.
§ 5. ТЕ ОР ЕМЫ О ЛОГАРИФМЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ,
ЧАСТНОГО И СТЕПЕНИ.
ФОРМУЛА ПЕР ЕХОДА К НОВОМУ
О СНОВАНИЮ
4) У=loga r;5) У=loga (зх2 +1);б) У=loga (1
х) ..
Б. 1) y=log a(4-x2); 2) y=log a
[х]; 3) y==log a-\!X+l;.
4) y=logo,4 (5х-х2-б);
5) y=log2 (х+6)+lоgз
(б-х).
2. Постройте график функции:
А. 1) у=lоgз(х-I);
2) y=log2(x+l); 3) y=log4(I-x).
Б. 1) У= logo,4 Ixl; 2) y=log2 х (1O-5x); 3) У= lоg'о,З(9-х2).
В. 1) y=log2Ix+31;
2) y=logo,2Ix2-xl;
3) у=llоgз(х-l)l.
Ответы. 1. А. 1) х>-I; 2) х>l; 3) х<О; 4) х-лю
бое действительное число, кроме х=О; 5) xER;
6)х<1.
Б, 1) -2<х<2; 2) xER, кроме х=О; 3) х> -1; 4) 2<х<3;
5) -б<Х'<б.
Рис. 225
у
Рис. 226
х
Рис. 224
у
VПРАЖUЕИ:И.SIС Р'ЕШЕНИЯМИ
1. Найти: 1) lоgзо8, если 19 5=а и 193=c;
2) 10gs4-168,если log712=a и 10g1224=c.
Реш е н и е. 1) Имеем, 10gзо8= l.оgз023= 3 lоgзо2 =~~~ ;
ш
19 2=lg T=lg Ш-lg 5=I-а; 'lg ЭО=lg (2 ..15)=lg 2+1g 15=
=lg 2+1g (3·5)=lg 2+1g 3+1g5=1--,a+c+a= 1+с.
Итак, lоgзо8 3 ~l;ca).'
2) Раэложим числа 1' 68" 54, 24 й 12 па множители:
168=23.3.7, 54=2.33, 24=23.3, 12=22.з. Полагая log~::::f:x
и log27=y, выразим через х и у все логарифмы, содержашвеся
в условии:
338
log N=logaN
ь logaЬ'
где N>O, а>О, a:;z!= 1, Ь>О, b:;z!= 1.
Н
1 7 log47 ш.z.
апример, Og2=log42=Ig2ит. д.
5. Если a=N, то формула перехода примет вид: 10gba=
1
=-1 Ь' или 1=10gba.1ogab" где а>О, a:;z!=l, Ь>О, b:;z!=l.
oga
Например, 1= 10g2 7 .10g1 2.
6. Если основание логарифма и число, стоящее под знаком
логарифма, возвести в одну и ту же степень" отличную от
нуля,
то значение логарифма не изменится, т. е.
loga N=loga< NC, где N>O, а>О, a:;z!=l;
1
logai N=loga N1i =lOgakN• где а>'О, a:;z!= 1, N>O, k+O.
Например, log2 4=10gza 43, iog8 64=logz:t 26=; 10g22=2.
2. Логарифм частн ого положительных чисел равен
разности
логарифмов делимого и делителя, т. е. loga Z: = loga N1-loga N2,
где а>О, a:;z!= 1, N1 >0, N2>0.
3
Например, loga т= loga 3-10ga 4.
з. Логарифм степени равен произведению показателя степени
на
логарифм ее основания, т. е. loga NC=c 10ga N, где N>O,
а>О,. a:;z!= 1.
3амечание.ЕслиN<О,а с -
четн ое число, то справед
лива формула 10ga NC=c 10ga INI, где а>О, a:;z!=1.
Например, 10ga(-3)4=410ga 1-31.
4. Формула перехода от основания Ь к основанию а имеет
вид:
t. Найдите:
А. 1) 10gз 6, если 10gз 2=а; 2) log124+10g12,3;
3) 19 13-1g 130.
Б. 1) log~ VБJ5, если 10I,3=a;, 2). log$12." если logs 2=а,
logs 3=с; 3) log51,5, если log52=a, 10g53=c;
4 ) log572,
если log52=a, log53'=c;
5) IOg6 16, если 10g1227 =а.
-В. 1) log56, если' log23=a,
log2 lО-:-с; 2) lоgзо 8, если
lоgзо 3= а, lоgзо 5= с; 3) IOg53,38, если 19 13= а, 192==а;
'339
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
=.( bt-510gS4) .4=(44)
·4'=3+ 16= [9~
з10g•4
4
I
I
2) (81т -VJоgg4+2510g'Z1i8).
4 910g72=(31-210gЗ24'+5210gsо-8J.
721og12=
= (',_3_ +510g5364 ), • iog7 4 =
зl0gЗ216
{
2;Х=а,
3+Х= с
2+х
'
3-2с
1
решая которую находим х= .с-l ' у= a(c-l). Подставляя най-
денные значения х и у в paBe~CT BO
для определения log5 4 168,
получим ответ: log5 4 168 а ~~~c)
•
_G
1 1104
2. Упростить: 1) -lоg21оg2'J V2,; 2) (814'-~ g9 +25\оgш8)х
X4910g72.
Реш е н и е. 1) -iog21og2#=
-I Qg21оg22-t=
= -log2( т.,1оg-2 2). = -log2+= -log2 2-З==310g2 2·=3.
. Саг ласно условию для определения х и у получаем систему
уравнений
10 12=log212 log2(22.3) 2+х.
g7
log27
У
У
,
10g1224 log224 log2(23.3) 3+х.
log212 log2(22.3) 2+х'
log5 4 168 log2 168 log2(23.3.7} 3+х+у
log254
log2(2.33)
1+3x
СП РАВОЧ НЫ Й МАТЕРИАЛ
1. Логарифмирование - это преобразование, при котором ло
гарифм выражения с персменными приводится к сумме ил и
разности логарифмов переменных.
340
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Десятичный логарифм числа - это логарифм с основанием,
равным 10; например, 19 а, Jg 5, 19l. Десятичные логарифмы
обладают теми же свойствами, что и логарифмы чисел с любым
положительным основанием.
-2. Десятичные логарифмы чисел находят по специальным
таблицам (рекомендуется использовать «Четырехзначные мате
матические таблицы» В. М. Брадиса).
3. Целая часть десятичного логарифма числа называется его
характеристикой, а дробная часть - мантиссой. Пусть, например,
19 х==2,7536. Здесь 2 - характеристика, а 0,7536 -
мантисса.
4. Известно, что любое положительное число можно записать
в стандартном виде: а- 1ОП, где 1~ а < 1О, п Е Z. Показатель
п называют порядком данного числа.
5. Характеристика десятичного логарифма числа а·l ОП ~aB
на п, а мантисса равна 19 а. Например, 19 4650=lg (4,65.10 )=
=3+1g 4,65; 19 46,5=lg (4,65.101)= 1+lg 4,65; IgO,0465=
=lg (4,65.10-2)=
-2+1g 4,65. Таким образом, логарифмы чи
сел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну
и
ту же мантиссу.
6. Из у казанных выше свойств следует, что 19 1_:._О, 19 1О = 1,
19I00-2, ..., 19 10n=n (nEZ); 19 0,1 = -1, 19 0,01 = -2, ...,
1910-n= -n.(nЕZ).
§ 7. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ
4) lоgш 60, если logl2 5=а, logl2 11 =с;
5) 1956, если 192=a, log2 7 = с.
2. Упростите:
з-Ig5
1) (lg72-1g9):(lg28-lg7);
2) 2Iog49+1;3) 5)g25;
IgIgа
4) а Тg""a; 5) log2 3·1оgз 4.1og4 5· ... ·1og9 10.
i
Ответы.
1.А.1)а+l; 2)1; 3) -1. Б.1)т(а-2);
2)
2 а+с; 3) с-а; 4) 3а+2с; 5)4.)~~~.
В. 1) ~~~;
)
(
)
.)
а+2с-2.
а+1.5
)
5' '.
2 3 l-а-с,
31
'4) -2+')ас+3а.2.
1 1,,2) 6,
-а
ас
3) 10-J2;4) 19а; 5) log2 10.
§ 6. ДЕ С ЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ' И ИХ СВОЙСТВА
341
Контрольные вопросы
1. Дайте определение логарифма данного числа по данному осно
ванию.
1. Прологарифмируйте выражение по основанию 10 (все пе
р еменные положительные):
2ck
а2 [5
А. 1) х=3ас; 2) х=-; 3) х=
.
а
с
Б. 1) х=4(а+с); 2) х=а+с; 3) х sinacosa
а-с
ack
В. 1) х=5 а ЗJа' (a-c)~ 2) х=( ~~5
•
2. Выполните потенцирование выражения:
А. 1) 19x=31g a+lg 6; 2) 19x=lg a-41g с;
3) 19х=2 Ig a-31g k+4 19с.
2
Б. 1) 19x=21g (a+c)-0,51g (а-с); 2) 19х=з1g а+ 1,51gс;
2
3) 19Х=з(lg a-lg c)-lg (а-с).
Ответы. 1. А. 1)19x=lg 3+1g a+lg с; 2)19x=lg 2+
+lgk+lgc-lga;
3) 19x=21ga+51gk-31gc.
В. 1) 19x=
7
2
5
5
51
~lg5+зlgа+зlg(а-с);
2) 19х=зlgа+Т21gс-т
g3.
3) x=a:~'. 6. 3) a~cМ.
ДИДАКТИЧЕ СКИЙ МАТЕРИАЛ
2. Необходимо четко
р азличать сумму. логарифмов 19а + 19Ь
и логарифм суммы 19(а+Ь). Сумма логарифмов равна лога
рифму произведения, т. е. 19a+lg b=lg(a.b), а для логарифма
суммы 19(а+Ь) формулы нет.
3. При м е р. Дано х c~~1f5, а>О, Ь>О, с>о. Най
ти 19х.
Реш е н и е. Логарифмируя, получим:
Ig x=lg 3+lg a2+Ig w- Ig c4-Ig (a+b)=lg 3+2 Ig а+
+ ~ 19b-41g c-Ig (а+Ь).
4. Потенцирование - это преобразование, обратное, логариф-
мированию.
3'
5. При м е р. Дано 19x=21g а-5 Ig b+Tlg с, а>О, Ь>О,
с> О. Найти выражение для х.
l.
Реш ение. Потенцируя,получим19х= 19а2- IgЬ5 + 19с7 =
2. Запищите основное логарифмическое тождество. Из чего 'оно
следует?
3. Имеет ли смысл
в ыражение: loga (- 5); 10~ О?
4. Почему логарифмы существуют только для положительных
чисел?
5. Сформулируйте с войства
л огарифмов чисел при основании
а>l; О<а<l.
6. Упростите выражение (пельзуяеь основвыи логарифмическим
тождеством)': а) 10tgо;э; б) lO2+lgM; В) lоlgЗ-1g2; г) ~lоgЗ9.
7. Запишите данное равенство с помощью логарифма: а) 22=4;
б~ 33'=27;. в) 2-2=+; г) 70_:1..
8. Сравните выражения: а) log5 ( ~) И log5( t);
б)logI2 иlog14.
3"
3"
9. Какие из' Данных чисел являются положительными и какие -
отрицательными: а) logj 5; б) log2 т; в) log-! +; г) logk 3?
10. Какая функция называется логарифмической?
11. Сформулируйте свойства
л огарифмической функции при а> 1
и при О< а < 1. Поясните' их на графине.
12. Что яв л яется обл астью определения и множеством значе-
ний функции У= loga х?
13. Докажите теорему о логарифме произведения.
14. Докажите теорему о логарифме частного.
15. Докажите теорему о логарифме степени.
16. Верно ли равенство Ig x2=21g х?
17. Верно ли равенство loga xk=k foga х, где а>О, а:#= 1?
343
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Решить уравнение: 1) logW4(х - t)= 6; 2) 10gз (х2 -
4х-5)=
=lоgз(7 -3х); 3) 19(x-6)-O,51g 2=},g 3+1g .ух
10.;
4) logx&v'5-1,25=log~-v'5;
5) x-v x= (-{i)Х; 6) xIOg2X+2=8;
7) 6Iog~x+xlog6x=12;8) logo.2(4x)+log5(x2+75)=I;
9) ;togaX=a2 х, где а>О, a=J=l; 10) Jogx9x2.1og~x=4.
§ 1. ЛОГАРИФМИЧЕС КИЕ УРАВНЕН,ИЯ
СПРА80ЧНЫ,А МАТЕРИАЛ
1. Уравнение, содержащее переменную под знаком логариф
ма, называется логарифмическим. Простейшим примером лога
рифмического уравнения служит уравнение log a х'=Ь (где а>О,
a=J= 1).
2. Решение логарифмического уравнения вида log a f (х)=
= log a g (х) основано на том, что такое уравнение равносильно
уравнению f (х) =g (х) при дополнигеяьвых условиях .f (х) >О,
g(x»O.
3. Отметим, что переход от уравнения log a f (х) = log a g (х)
к уравнению f (x)=g
(х) иногда првеоднт к появлению посторон
них корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подста
новки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение,
либо с помощью нахождения области определения исходного.
уравнения (эта область задается системой веравеяств f (х»0,
g
(х»О).
4. При решении .логарвфмвческих уравн.ениЙ часто бывает
полезен метод введения новой переменной.
5. При решении уравнении, содержащих переменную и в осно
вании, и в показетеле степени, исаояьауетея метод лwа'риф'МRpО
вания. Если при ЭТОМв показателе степени содержится .логарифм,
то обе части уравнения надо вроеюгарифмиреватъ по ОСН0ВЗИИЮ
этого логарифма,
§ 1. ЛОГАРИФ МИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 2. ЛОГАРИФ МИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФ МИЧЕСКИХ УРАВНЕНИй
И
НЕРАВЕНСТВ
§ 4. ПРОИ3ВОДНЫЕ ЛОГАРИФ МИЧЕСКОй И ПОКА3А
ТЕЛЬНОй ФУНКЦИй. ЧИСЛО е.
ГЛАВА XXVI
344
Реш
е ние. 1)Должно быть х-l >0, т.е.х> 1.Согласно
определению логарифма имеем х-l =(W)6, х-
1=42, х= 17.
2) Данное уравнение сводится к уравнению х2- 4х - 5 =7 - 3х,
откуда получаем r- x-12=0,
т. е. хl =4, Х2= -3. Проверим
выполнимость условий r-4x-5>0,
7-3х>0. Значение х=4
этим условиям не удовлетворяет (и, значит, является посторон
ним корнем), а значение Х= -3уДовлетворяет. Итак, Х= -3-
единственный корень данного уравнения.
3) Умножая обе части уравнения на 2 и используя свойства
логарифмов, имеем 21g(x-6)-lg2=21g3+2Ig.yx
10,
19 (x-6)2=lg 2+1g 32+1g (x-lO),
19 (x-6)2=lg 18 (х-l0).
В результате данное уравнение сводится к уравнению (х - 6)2=
= 18 (х-l0), или х2-30х+216=0,
откуда хl = 12, Х2= 18. Для
проверки полученных значений найдем область определения дан-
ного уравне..ния, она задается системой неравенств J х - 6 > О,
,
\t-l0>0.
Оба найденных значения этой системе удовлетворяют и, значит,
служат корнями исходного уравнения.
4) Преобразуем данное уравнение:
3
I
logx5""2"- ~ =(logx5""2")2, ~ logx5- ~ =(+Iogx5)2.
Полагая Iogx 5=у, получаем 3:- ~ = ~, или у2-6у+5=0,
откуда YI = 1, У2=5. Таким образом, приходим к совокупности
двух уравнений: Iogx 5= 1, Iogx 5=5. Из первого уравнения нахо-
дИМXI =5, а из второго Х2=VБ..
5) Логарифмируем
обе части уравнения по основанию 10:
- vx 19 х=х Ig.yx, -vx 19 х=+х 19 х, +-{i( 2--VX) 19 х=о.
Так как из условия следует, что Х>О, то последнее уравне
ние равносильно совокупности уравнений 2--VX=0,
19х=о.
Первое из них имеет корень XI=4 , а второе - корень Х2=1.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют данному
уравнению.
6) Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2:
получим:
Iog2 (x!og2x+2)=log2 8, (log2 х+2) log2 х=3.
Теперь положим log2 х = У; тогда уравнение примет вид
у2+2у-3=0,
откуда YI = 1, У2= -3. Из уравнения log2 х= 1
находим XI =2, а из уравнения log2 Х= -3 находим x2=i-.
7) Должно бы ть х>о.
Считая, что х принадлежит этой области, выполним следую
щие преобразования: (6!ogOjlog6x+xlogex=12. Так как 6Iog,x=x,
345
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите уравнение:
А. 1) lоgз х=lоgз 1,5+10gз 8; 2) 10g7 x=10~7 12-log7 3;
3) 10gо.з х=210g0•з
6-lоgо.з
12; 4) 10g2(х +4х+3)=3;
5) 10g5(х+ 1)+10g5 (2х+3)= 1; 6) 10gax=loga 5+10ga 3;
7) 192x=l.
1О) logx 9х2 .log~ Х = 4.
Из условия следует, что х> О, x=l= 1. Имеем:
(logx 9 + 10gx х2) ·IO~ з=4,
(2 logx 3 + 2) ·IO~~ з=4,-
10gx 3=У, 2у+2=4у2, 4у2_2у-2=0,
YI= 1,У2=- ~;
logx 3= 1, ХI =3, logx 3= -t,Х2=-}.
Х2=15.
Проверка подтверждает, что значения
Хl=5
и Х2= 15-
корни данного уравнения.
9) Х log.x=a2x, где а>О, а =1= 1. Логарифмируя по основанию
а, получим:
loga x·loga х=2 loga а+ loga х, 10g~x-loga х-2=0,
loga х=2, loga Х= -1,
х
-а2х_1
1-
, 2-7'
х2-20х+75=0,
то получим Xlog6x+Xlog6x=12, или 2x'Og6X=12, т. е. x'og6x=6. По
следн ее уравнение содержит перем енную и в основании степ ени, и
в покавател е степени, следовательно, для его реш ения надо исполь
зовать метод логарифмирования, получим log~ Х= 1, 10g6Х= ± 1,
откуда х, =т и Х2=6. Оба значения Х входят в область опреде-
1
ления. Проверка подтверждает, что значения Хl ="6 и Х2=6-
корни данного уравнения.
8) Данное
уравнение имеет разные основания логарифмов.
Пер ейдем к одному основанию:
~Og5 ~1+ 10g5(х2 + 75)= 1.
ogli ,
Так как JOg50,2=10g5 5-1 = -1, то получаем:
-10g5 (4x)+10g5 (х2+75)= 1, или 10gБx2t75=log5 5.
1. Неравенство, содержащее переменную только под знаком
логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства
вида loga f (х»
loga q>{x), loga f(x)<loga q> (х) при а>О, -a=;l=1
являются логарифмическими.
2. Неравенство loga f (х»
loga ~ (х) равносильно системе! (х) >
>ер (х) >0 при «Е (1;.' +'00 ) и системе 0<1 (х)< ер (х) при аЕ (О; 1).
3.. При решении логарифмических неравенств следует учиты
вать общие свойства неравенств, свойство монотонности.логариф
мической функции и область ее определения.
346
§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕ РАВЕНСТВА
спвхвочныв МАТЕРИАЛ
4) 2 19 Ig x=lg (7-21g x)-lg 5; 5) 19х у<а+с) ig(a с).
(d-c) 19(a+c) ,
6) ';2 l.g(-х) = 19.y?; 7) logx 2.log е.2= log~2;
16
'64
8) (0,4ygx2+1 =(6,25) 2-1gхЗ;
9)
log4 (log2 x)+log2 (log4 х)=2;
10) ~1ogх...Jf)X.lоgr,х= -1; 11) 51gx=50_xg5;
12) logx(125x).log~5x=1; 13) log8 (х+2?log2x 2=1;
14) 41gx-32+Хlg4=О.
г "f4! 9Г;-- -
Ответы. А.1)12;2)4;3)3;4)-5 и1; 5)":·4 ;<\
4'.
.
..-------~-~ --,.1
6) 15; 7) 0,1 и 10. Б. 1) 0,211 .125; 2) 3; 3) 0,2; :25; 4) 0,01; 100;
5) 0,5и8;6)100и10';7)6;14;8)1;2;9)6;14;10)3;
1
1·.-
11)9И9;12)2;13)9И9.В.1)2;2),1; 104;3)0,1;10;4) 10;
5:
\
5)10;6) -100; -1; 7) 4;8;8) юТ;\9) 16;10)~; 11) 100;
12)5и
5 -4; 13) 2; 14) 100.
Б. 1) log~ x-,]ogyl 5x-3=O; 2} Joga x=log.ya 2+IQga-.3;
3) log~ x+10g0,2 х=2; 4) х 19«= 10 000; 5) xlog2 X-2~8;
1
5
6) Ig х-6 +lg х+2= 1; 7) Ig (х+6)-О,5 .1g(2x-3)=2-1g
25;
8) log2(9X-'l+7)=2+1оg2
(зх-I+ 1); 9) Ig.yX+6 =lg4;
2х....:3
10) log2(3x-l)-log2
(4-x)=4-1og2 (х-l);
11) 3 logix+х lоgзх= 162; 12) r Jog.x27 .log9 х=х+4;
2
13) lоgз x.logg х log27 X.lOg81Х=3.
В. 1) log2 Х+-1 4 2=5; 2) ~=Ig-VX;
3) 19(х Ig~= 1;
ogx
347
Решение последней системы вриведено
на рисунке 227. В
.
.(38)
результате получаем ответ:
s: -; g;-.' .
2) log2o. х+ ]Og20{х+ 1)~ log2o (2х+6). Имеем;
{~t?>o,
{х>о,
2х+6>0,
х (х+ 1)~2x+6;
log2o х (х+ 1)~log2{) (2х+6);
{ х>о,
{х>о,
x2-x -6~0;
(х-3 )
(x+2)~0.
Ответ. (о;3].
первое неравенство которой характеризует область, определения
логарифмической функции, а второе -
ее убывание при основании
0<0,5< 1. Далее имеем:
{
5х-З >0
{5Х-З>0
х+2'
х+2'
5х-З -О.5 (х+22<0.
4,5х-4<0
х+2
'х+2'
logO.5 ~;2З> logo.5 0,5.
Это неравенство равносильно системе
{
5Х-З>0
х+2
'
~<05
х+2
"
УПРАЖНЕНИЯ С, РЕШЕНИЯМИ
Решить неравенство:
1)
logo.5 ~X;2a > 1; 2) log,2o Х +tog20 (х + 1) ~ log2o (2х +6);
3) log2 (2X-l).Iоg2 (2x+I_2)<2; 4) lоgо.зLоg6:::<О;
5) logx2 (3- 2x»1~
1
5х-З
В
Реш е н не. 1) OgO.5 х+2 > 1". ыраэ ив правую часть нера-
венства через логарифм, получим:
{
[~~~1,
{ [:~~1,
х< 1,5,
х< 1,5, .
х2+2х-3<О;
-3<х<l,
т. е. ее решением служит интервал (- 3; - 1).
348
{
х2> 1
{
0<х2< 1,
3-2х'>О,
(*) .и
3-2х>0, (**)
3-2х>х2
3-2х<х2.
Для системы (*) имеем:
ответ. (-4; -3) U (8;+00).
5) logx2(3-2х» 1. Перепишем неравенство в виде
logx2 (3-2х» logx2х2. Здесь нужно рассмотреть два случая:
r> 1 и 0<х2< 1. В первом случае, освободившись от логариф
мов, получим, что 3-2х>х2, а во втором, что 3-2x<r. Таким
образом, задача сводится к решению совокупности двух систем
неравенств:
х2+х
log6 х+4 >0,
х2+х>0
х+4 '
х2+х .
log6 х+4 > 1,
х2+Х>6 х2-5х-24>0
(х+3)(х-8»0.
х+4 'х+4
' х+4
Полагая log2 (2Х-l)=у, получим неравенство у (1 +у)<2,
или у2+у-2<0, откуда -2<у< 1. Возвращаясь к перемен-
ной х, получим 2-2<2Х_l <2, ~ <2Х<3, IOg2( ~) <х<
<log23.
Итак, решением данного неравенства служит
интервал
(log2 ~ ; log2 3).
3) log2 (2X-l).log2 {2x+I-2)<2. Так как 2х+1 "'-2=2 (2X-l),
то данное неравенство моясно записать в виде
349
СПРАВОЧНЫЯ МАТЕРИАЛ
Известные спос обы решения систем алгебраических уравне
ний инеравенств применяются и к решению систем, содержащих
логарифмические уравнения и неравенства.
§ 3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЯ
ИНЕРАВЕНСТВ
Зх-I
2
log:;r-
log (х;_ 1)
4) logo.5 Х > logo,s 3х; 5) 3
х <1;6)
2Х-l
<О;
7) (5х-2) lоg о,(з)х<О; 8) logs (х2 -4х-3)<0.
В. 1) logo,slog8x:~~x<0; 2) lоg2х+зх2<1; 3) xlgx<100x;
4) log2sin(2x-300»-I;
5) 10g0,5.х>lоg о,(з)х;
6) lоg о,(з)log2 ~~: < О.
о тветы.А.1)(-3; 1);2)(О;1);3)(3;28);4) (2;3);5) (4; (0).
Б. 1) (- 00; -3); 2) (- 00; -1); 3) (0,5;3); 4) (О;3); 5) (т;
т); 6) (1; 2); 7) (О; 0,4) U (1; 00); 8) (2 +-11; 2+-VВ) U (2.;_-VВ;
2--{i) .
В. 1) (3; (0); 2) (-1,5; 3), x=F-l, X=FO; 3) (0,1; 100);
4) (nk+~ ; ~+~k) ;5) (О;1);6) (-0,5; 2).
Решите неравенство:
А. 1) lоgз (12-2х-х2»2;
2) log4 (х+ 1)+log4 x<log4 2;
3) logs (х-3)<2; 4) logo.s(2х-4» -1; 5) log4 (6х-8»2.
Б. 1) log6.7х~з>о; 2) logo.4::~~ <О; 3) lоgз 2х2<lоgз (7х-3);
ДИДАКТИЧЕСКИАМАТЕРИАЛ
Для системы (**) имеем:
{(
-1<х<О,
О<х<l,
х<I,5,
х2+2х-3>0;
\
[.0~;:;:0,
х<I,5,
[
х<-з,
х>l,
т. е. мно жество ее решений является пустым. Итак, (-3; .;_1)
решение данног о неравенства.
_1__+_' ..--1_
logo,5X logo,5Y
Так как logo,5y=l=O (у =1= 1), то последнее ура внение рав н осильно
урав нению log0.5XY = 3, Или ху ==0,125:при уеловин х >0' Н' 11> о.
Итак, данн ая система, раВНОСИЛЬН.асистеме { ~~ уD,lf.5"
Решая ее, находим Хl==О,5.(1 +-.JOl)), ,11 =Оt5'(I--JQЛ") и
Х2=0,5 (1--уОЛ), У2=0,5 (1 +-У0,5).
2. Решить нера венство 19T-.I@(-8x--x'" >0 ..
.
Ig(x+3)
Реш е н и е. Данное неравевегво
рав нФеи~ьно·С()ВОI<y,ПИФc:ml
двух систем:
.
{ 197-lg (-8х-х2};>о,. (*~ 1.,1~7.-
...1.g:(.,\-8х-х2)<О,. (.. )~
19(х+3»0;
'. 11'g(x+~"<O~
.с
Решаем систему (*):
\
. Ig7..>
т . 1g..(..-8Х. -х2), { 7 >: -. 8.Х.-.. х2,{ ' .(..Х ..+. 7)..(х..+. 1..»0,
19 (х+З»lgl,
х+3> 1,
': Х>.-.2,
-8х-х2>о,
. 8х+х2<0,
х(х+8}<О.
х+3>О;
. х>-3;
1
lDgn~5 y~ или "'i"'1
__
og~O~;5;;;,..Y
~:..;..t~оgg~!;ш:5)У~
3
.
logO.5 ху
3
УПРАЖНЕНИЯ·С
РЕШЕНИЯМИ
1. Решить систему урав нений:
1){Xgу=1.00, 2){..'
logs 0,5
19yх =2;
....logz 0,.5+ logg 0,5 logg 0,125 '
Х+11=I.
Реш е н и е. 1) Логарифмируя первое урав нение при усло
виях х>О, н>», у =1= 1, получим Igy'.lgx=2. Из- второго: урав
нения находим у2=х.
Решаем теперь полученную систему урав нений:
{
х=у2,
{' х=у2,
{' х=у2,
19 y.lg х=2; 19 y~lg у2= 2; 21g у=2.
Последняя система р аспад ается на д ве:
а) {x=!I, {.Х1 = 100,
19у=1; .У1=1О;
б) {х=у2,
{. x2=O,OI,
19 У= -1; Y2=0,1.
Ответ. (100; 10); (0,01; 0,1,).
2) Выразив из второго урав нения ОАОО' из неиа вествыя че
рез другое, можно свести систему к одному ура внению. Однако
проще первое ура внение заменить аагебревчееввм ура внением.
Преобразуя каждый логарифм к основ ан ию- 0,5, имеем:
1
351
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Решите систему уравнений, неравенств:
Б. 1) {,2[ogZ(3х - 4)=,8
1oggi(X2_у 2) ~ logg (х +у) = 0,5;
2) {з(qgэ (Зу-х+24) = 27.,
log2 (2х -2y;}-log2 (5 _у2)= 1;.
3) {O,5X-2.4Y+1 = 1.6(},15,
IOg2(2х- у)2 .2;
4) { ~~gx (l~~tIl.(2X+l + l)<'lg (7.2.\1+12),
.Олв езы. 1).(4; 1}; 2) {3;'2}; 3)( -:-; .;....: ),(1;0);4) (1;2).
§ 4. ПРОИ'ЗВОДНЫЕЛОТ:АРИФМИЧЕСКОй
И ПОКА3АТЕЛЬНОЙ ФУНКЦий.
ЧИСЛО е
СПРАВОЧНЫЙМАТЕРИАЛ
1. Приближ енное значение числа е таково: е ~2,7.
2. Показательная функция у =е% в точке ,о имеет вронзводвую,
равную 1.
3. _Показательнав функция ех диффер евцнруева в каждОЙ
точке, причем (~Y=e~.
_
4. Логарифм с основанием е называется натуральным ло
га рифмам и обозначается ln.
Множ еством решений сиcreмы (•• ) служит' проие ж утек
(- 3; - 2); (рис. 229). Таким образом, получаем
очвет:
(-3; -2)U(-1; О).
Множе ством решений системы (*) служит промеж уток
( - 1; ·0) (рис. 228).
Решаем теперь сист.ему (**)=
{
l~(x..1-1~~.1:~-:-x»' '·x~~.<~~-r.{.(хЧ~:.2)~~·
-8x-r'>f),
. &x+.r<O,
х(х+В,<О.
х·+3>1O;
х+3>,0;
-8 -7
-3 -2: -1
О
Рис. 229
~~\.~~.'
.
.
···х
-8 -7
-2-1·О
Рис. 228
352
1. Найти производную функции:
1) y=x+ln х; 2) y=51nx; З) y=ln (ах3 +с); 4) y=lg (5х2+ 1);
5) y=ln -$i; 6) y=ln2 (х2-1); 7)' у=2·5Х+ЗеХ; 8) y=~~:
;
2
~ -e-%
9) у=з2х; 10) у=е2Х; 11) у
~+e
%•
Реш
е
ние.
1) у' =(х+ lnх)' =1+l;
х
2) y'=(51n x)'=~ ;
3) Y'=(ln(ax2+c»'=~+
(ах2+с),=±+
.2ах
;х+а;
ах
с
ах
с
ах: с
4) у' ==(lg (5х2+1»' (5х2+~) 1п 10 (5х2+ 1)' (5х2~~;ln 10 ;
5) у' =(ln -$i)' =( t-1n(2х»)' =т· 2~ .(2х)' '2~;
6)
у' =(ln2 (х2 -1»'-2 ln (х2 -1) (In(х2 -1»' =2 ln (х2 -1) Х
Х _!_(х2 -1)' =2 ln (х2 _1)_1_ .2х 4х In (r-l) .
х2- 1
х2- 1
х2- 1
'
7)
у'=(2.5Х+ЗеХ)'=2·5Х
[п 5+ЗеХ;
8) у' =(~+ 1)' =(~+ 1)'(~-1)-(~-1)'
(еХ+ 1) =
2~
е%-1
(e%-li
(~-li
9) у,=(з2х2)'=з2х2 InЗ.(2х2),=4х.З2х21п 3;
10) у' = (е2х)' =е2х (2х)' =2е2Х;
11.) у' =(~-e-%),
(е%-е-')' (~+e-~-(e%+e-%)' (е%-г') =
е%+е %
(~+e %)2
4еО
4
(е%+е %)2 (~+e %)2'
2.Под каким углом кривая y=ln х пер есекает ось Ох?
Реш'ение.
Найдем. точку пересече ния логарифмической
кривой с осью Ох. В этой точке ln х-О, откуда х= 1. Вычислим
угловой коэффицие нт
касательной в точке х= 1: у' =(In х)' =
=_1 ,y'(I)=l=
1.
х
.
1
УПРА Ж Н ЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
При условии и= у (х)
Номер
При условии и=х
Номер
формулы
формулы
(In и)'=..!.. . и'
(1)
1
(2)
(In х),=-
и
х
(Iogn и)' =_1_. и'
(3)
,1
(4)
(Ioga x)=-I-
'и 1па
хпа
(а"),=а" ln а-и'
(5)
~a~'=a% In а
(6)
(fl")' =е"· и'
(7)
~)'=e%
(8)
5. Формулы диффер е нцирования.
353
15) eX(I-lп2). 16) 5
Х
В1)2t
.
2)4
•
2'<
,
-;- +е. '.
-
gх,
16х2...:....1 '
3)
__ 1_; 4) 31п2 ЗХ;
5) 4ln (2х+1); 6) ctgхIn-Vsinх;
-Уl +х2
х
2х+ 1
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Найдите производные:
А. 1) у=31п х-х2•
Найдите у' ( I); 2) ln х+х3, найдите у/( -1);
3) y=x21nx;
4) y=(1-1nx)x;
5) y=x3-31nx,
найди
те у' (3);
6) у=1пх-2.
7)у
lпх+l. 8) y=ln3x' 9) y=ln 10х'
lnх
'
lnх
'
,
,
10) y=ln х·е\ 11) у=х2ех, найдите y'(l).
Б. 1) y=ln
(2х2-3);
2) y=ln~;
3) y=lg (2х+ 1); 4) у=
а+х
=ln .j2x-l;
5) y=ln ..}х2_а2; 6) y=lg-J7 +4;
7) ln-~'
~Т+х '
8) y=lnsinx; 9) y=lncosx;
10) y=lntgx;
11) y=lnctgx;
12) y=ln sin ~ ; вычислите у'(
~ ) ; 13) y=eX-хеХ;
еХ
14) у=3ХеХ;
15) у= 2Х;
16) y=5ln x+~, найдите y' (l)..
В. 1) y=lncos2x;
2) y=ln- ~;
3) y=ln(x--Jf+?);
V'i+"4x
4) ln33x=y; 5) y=ln2
( 2х+ 1); 6) у=1п2 -Vsin х;
7)
5-еХ 8)
l-еХ
9) 5ХЗ
у
2+~;
у=-;;г;
у=;
10) y=2-Vx; 11) у=31пх;
12) у=2-СОSХ;
13) у=е-х2;
14) y=e-Vx; 15) y=e1nx; 16) y=eSinx, найдите у' ( n).
2. Найдите, под каким углом кривая y=lg х пересекает
ось Ох.
3. Вычислите острый
угол, обра зованный при пересечении
кривой у= 19 х и прямой у= 1.
Ответы.
1. А. 1) 1; 2) 2; 3) x(21nx+l);
4) -lnx; 5) 26;
6)-122 ;7)
~2 ; 8) _!_; 9) _!_; 10) ~(_!_ +ln х);11)3е.
хпх
хпх
х
х
х
Б. 1) 2)-:__З.; 2) x2~a2;
3)
( 2X+~)ln 10; 4) 2:-1;
5) .х.2:_а2;
6) (X2+~)lnlO; 7)2(\,~\);8) ctgx; 9) -tgx; 10) S i~ 2X;
11) __ ._2_. 12) ~. 13) -хеХ'
14) 3XeX(ln 3+1);
SlП2х'
3'
,
Найдем угол, образованный касательной в точке пересечения
кривой y=ln х с осью Ох: tg а= 1, а=450•
7) - (e:~2)'; 8) -~ ; 9) зх'.8' tn 5;
10j 2:~2; 11) 3": 1п3;
.,,(х
12) 2-c o sx·sin х ln '2; 13) _2хе"","х2;
14) ~;
15) 1; 16) -1.
2.ух
Конгрольвые в;опросы
1. Какие уравнения называются логарифмическими?
2. Является ли уравнение 19 5+х 19 6=3 логарифмическим?
3. Существует ли хотя бы одно значение х, при котором верна
равенство Ig (х+3)=
Igх+ Ig3?
4. Запишите область определения логарифмического уравнения
loga f (х) = 10gb <р (х) В виде системы неравенств.
5. Как решается уравнение, содержащее нензвестное и в основа
нии, и в покавагеле степени, например Xlg Х= 10?
6. Нужна ли проверка полученных корней при решении логариф
мических уравнений? Почему?
7. Какие неравенства называются логарифмическими?
8. Чем следует руководствоваться при решении логарифмически)!
неравенств?
9. Можно ли утверждать, что неравенство loga f (х) > loga <р (х)
равносильно системе: а) {(х»<р(х»О
при аЕ(l; 00); б) 0<
<! (х)<<р (х) при аЕ(О; l)? Почему?
355
СП РАВОЧ НЫ А МАТЕРИА Л
1. Под дифференцированием функции f (х) мы понимаем
нахождение ее пронаводной {/(х).
Например, если f (х)= cos 2х, то [' (х)= - sin 2х· (2х)' =
= -2sin 2х ДЛЯ, всех xER.
2. Нахождение функции f (х) по заданной ее производной
" (х) называют операцией интегрирования.
3. Таким образом, операция интегрирования обратна операции
дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования
состоит в том, что по заданной производной {' (х) находят (вос
станавливают) функцию f (х).
Например, пусть " (х)=4х 3• Следует найти f (х). Опираясь на
правило дифференцирования, негрудно увидеть, что f (х)=х4•
Действительно, (х4)' = 4х3•
Легко догадаться, что f (х) находится
неоднозна чно.
В качестве f (х) могут быть использованы и такие функции, как
f (х)=х4+ 3, f (х)=х4-6, f (x)=x4+-v'8 и др., так как производная
каждой из данныхфункций равна 4х3• Все эти функции отличаются
друг от друга только постоянным слагаемым. Общее решение
задачи можно записать в виде t (х)=х4+С, где С - произволь
ное действительное число. Любую из найденных функций f (х)
называют первообразной для функции " (х)=4х 3•
4. ОпРеДеление. Функция F называется первообразной
для функции f на заданном промежутке. если для всех х из этого
промежутка Р' (x)=f (х).
Так, функция F (х) =х4
есть первообразная для функции
f (х)=4хЗ на промежутке (- 00; 00)"таккакдля всех xER справед
ливо равенство Р' (х) = (х4)' = 4хЗ•
5. Множество всех первообразных для функции f (х) можно
представить в виде F (х)+С, где CER •.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
1. Доказать, что функция F (х) есть первообраэная для функ
ции f (х) на заданном промежутке. если:
1) Р(х)=3х4, f(x)=12x3, (-00; (0);
,
§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРА3НОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕР ВООБРА3НОй ФУНКЦИИ
§ 2. ОСНОВНОЕ СВОйСТВО ПЕ Р ВООБРАЗНОй
ФУНКЦИИ
§3.ТРИ
ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ
ПЕ Р ВООБРАЗНЫХ
§ 4. КРИВОЛИНЕйНАЯ ТРАПЕЦИЯ
И
ЕЕ
ПЛОЩАДЬ
ГЛАВА XXVII
356
ДИД АКТ ИЧЕСКИЙ МАТЕРИА Л
1. Докажите, что функция F (х) есть первообразная для функ
ции f (х) на заданном промежутке, если:
А. 1) F (х)=4х5, f (х)=20х4,
(-
00;
00);
2) F (х)=х5 ,
f (х)=5х4, (-
00;
00); .
З) F (х)=0,5х2,
f (х)=х,
(-
00;
00);
4) F (х)- -0,4х-2,
f (xJ=0,8x-З,
(О; 00);
Б. 1) F(x)-2VX, f (х)= зС ' (О; 00);
з",х2
2) F (x)=-Fx, / (х)= - _~ ~(-
00; О);
2",-х
3) F(х)=l-sin х,/ (х)= -cos х, (-
00;
00);
4) F(х)=2 ctgx, / (х)= -+,(О; л);
SlП Х
5) F (x)=tg x--.j2, / (х)= co~2 х'
(~
;
,
;);
6) F (х)= 4х-{Х, 1 (х)= 6-.jX, (О; 00);
7) F (х)= -_~, 1 (x)=_~ .~(О; 00).
",х
"х3
В. 1) F (х)= :-..' 1 (x)=_~,
(-
00; О);
' "-х
' "Ixl
2) F(x)=sin 3х, f (х)=З cos Зх, (-
00;
00);
З) F (х)=2 sin 2х-З. f (х)=4 cos 2х, (-
00; 00);
2) F (х)= ~ -{ХЗ, / (х) =-{Х. [О; 00);
З) F (х)=З tg
х, f (х)= со:2 х'
(-
;
;
;);
4) F (х)=О,Зх-З,
f (х)= -0,9х-\
(-
00; О);
5) F (х)= Ixl, {(х)· 1, (О; 00).
Реш ение. 1) Так как F (х)=Зх4, ТОF' (х)=(Зх4)' = 12хЗ=
=f (х) для всех х Е R, что и требовалось доказать.
2) Так как F(х)=~-{Х3=+.х %, то F' (х)=(~ х%) '=
23
.
=т ·2xo.5=xO.5=-{Х=/ (х) для всех хЕ[О; 00), что и требо-
валось доказать.
З) Так как F (х)=З tg
х, то F' (х)=(З tg
х)' =+=1
(х) для
всех х на промежутке ( - ; • ; )' , что и треБОВ;~~(Ь доказать.
4) Так как F (х)=О,Зх-З,
то F' (х)=(О,Зх-З)' = -3·0,зх-4
=
= -0,9х-4 =! (х) для всех х на промежутке (-
00; О), что и тре
бовалось докаЗатЬ.
5) Согласно определению модуля имеем F (x)-Ixl =х, так
как х((О;
00). Следовательно, F' (х)=х' = 1 =! (х), что и требо
валось доказать.
357
Фу нкция
Общий вид первообразных
k (постоянная)
kx+C
х" (aER. а =1= -1)
х..+1
a+l+C
1
2 -{Х+С
-{Х.
sin х
-cos х+С
cos х
sin х+С
СПРАВОЧНЫЙ
МАТЕРИАЛ
1. Т е о р е м а. Если функция F есть первообразная для
функции f на промежутке Х, то при любой постоянной С функция
F (х) + С (1) также является первообразной для функции f на
промежутке х. Любая первообраэная функции f на промежутке
Х может быть записана в виде F (х) + с.
2 . Какую бы постоянную в формуле (1) ни подставить вместо
С, получится первообразная для функции {. Выражение F (х)+ С
называют общим видом первообразных для функции {.
3. Какую бы первообразную для функции f ни взять, ее можно
получить из формулы (1) при соответствующем подборе постоян
ной с.
4. Геометрически основное свойство первообразных можно
интерпретировать так: графики всех первообразных данной
функции
f
(х) получаются из любого из них путем параллель
ного переноса вдоль оси Оу (рис. 230).
5. Таблица первообразных для некоторых функций:
§ 2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРА3НОЙ Ф УНКЦИИ
2 . Является ли функция -;- первообразной для функции - xl2
на промежутке: 1) (О; 2); 2) (~2 ;
2)?
3. Найдите одну из первообразных для каждой из следующих
функций: 1) f (х)=4;
2)
f(х)= -1;3) f (х)=хЗ; 4) f (х) cosх;
5) f (х)=х2+з cos Х.
Ответы. 2. 1) Является; 2)
не является. 3. 1) 4х; 2)
-х;
3)1.4.4)..5)хЗ+3.
тХ,
sшх,
3 sшх.
5) F (x)=log2
Х, f(х) хl~
2
' (О; 00).
4) F (x)=ln
(-х), f (х)=..!_, (- 00; О);
х
х
Рис. 231
358
Рис. 230
х
у
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
1. Для функции f (х) =-12- найти первообразную, график ко-
cos х
торой проходит через точку М ( : ; о).
Реш
е
н и е. Общим видом первообразных для f
является
функция
F
(х)= tgх+С. Решая
уравнение 0= tg( :) + С отно
сительно С, находим С= -1. Таким образом, tg х-l
есть иско
мая первообразная.
2. Для функции -Jx найти первообразную, график которой
проходит чер ез точку А (9; - 2).
1
Реш
е
н и е. Любая первообразная функция ~ записывается
в виде
2 -УХ + С. Графики этих первообразных изображ ены на
рисунке 2 31.
~+C
111 а
lп !xJ+C
х
-cfg х+С
19x+C
Общий вид в ервообразных
Функция
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Найти общий вид первообразных для функции:
1) у=хЗ+~; 2) y=sin (3х-4); 3) У=+5 ; 4) y=2sin Х5+
х
COS х
+3 cos 6х.
Реш е н и е. 1) Так как для функции хЗ одна из перво-
х4
1
образных есть 4'"' а для функции '7" одной из первообразных
1
является функция - -, то по правилу 1 находим, что для функции
х
х3 ++ одной из первообразных будет ~-_!._, а общий вид перво-
х
4х
х·1
образных будет 4-7+ С.
2) Одна из первообразных f (х) есть функция F I (х) =
359
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Если F есть первообразная для f, а G - первообразная
для g, то Р+а есть первообразная для f+g, т. е. (F+G)'=f+g.
2. Если F есть первообразная для f, а k - постоянная,
то kF есть первообразная для kf. т. е. (kF)' =kf.
3. Если F (х) есть первообразная для функции f (х), а k и Ь -
1
постоянные, k =1 = О, то т F (kx + Ь) есть первообразная для функции
f (kx+b), т. е. ( "';;-Р(kx+b))' =f (kx+b).
§ з. ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРА3НЫХ
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАJr
Найдите для функции f первообразную, график которой
проходит. через заданную точку М:
А. 1) у=хЗ, М(2;1);2) у= -Jx, м(4;4); 3) у=-..[х,м(9; 10).
1
Б. 1) y=cos х, М (900; О); 2) у=хг, М (-0,5; 3).
Ответы. А. 1) х: -3; 2) 2-..[х;3) ~ х-..[х-В. Б. 1) sinx-l;
1
2) -2х2+5.
Координаты точки А (9 ;
- 2) графика искомой первообразной
должны удовлетворять уравнению 2 -..j9+ с = - 2. Отсюда нахо-
дим, что С= -2 -..j9-2= -В .. Следовательно, искомая перво
образная такова: F (х)=2 -{Х-В.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниче н
н ая графиком
неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь]
функции {, осью Ох и прямы ми х=а и х-Ь.
2.Теорема.Пустьf-
непрерывная и неотрицательная на
отрезке [а; Ь]
функция, а S - площадь соответствующей криво-
360
§ 4. КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ
ДИДАКТИЧЕ С КИЙ
МАТЕРИАЛ
Найдите мно жество первообразных функции:
А. 1) У= -7х+4; 2) у=Зх2+4; 3) y-2Х2+Зх-8; 4) у=ах+Ь.
Б. 1) у=ах2+Ьх+с; 2) у=ахЗ+Ьх2+сх+k;
3) У=~
-4sinx; 4) y=l-соsЗх; 5) у=8(11-зх)5; 6) у=х2+-Гх.
2
2)
3
3)
.х
2
В. 1) У=--'
У=--'
у=7sIП-+--'
5in2 Зх'
С052 5х'
3 С052 4х'
156
4) У= у3х-2 ; 5) У= у2х+7 ; 6) У=(5Х-7)3;
7) у=е2х-з. 8) y=2o,5x+l. 9) у=_2_
,.
,
4x-l'
Ответы.
А. 1) -fх2+4Х+С;
2) хЗ+4х+С; 3) ~ хз+
З
2
•
ах2
ах3
Ь2
•
+ТХ -8х+С,
4) т+Ьх+С.
Б.
1)
з+тх +cx+k,
ах4ЬХЗс2
1
1
.
2) 4+З+ТХ
+kx+H; 3) --;-+4 cos х+С; 4) x-тslП ЗХ+
+С; 5) -~ (11-Зх)6+С; 6) TX3+~ х-Гх+с.
2
З
х
1
С
В. 1) -Tctg Зх+С; 2) stg 5х+С; 3) -21 cos T+Ttg 4х+ ;
4) t-VЗх 2+С; 5) ~2х+7+С; 6) -5(5}_7)2+С; 7) O,5e2X-З+
20,5х+2
+С; 8) t;"2+C; 9) 0,5 In (4x-l)+С.
1
- -TCOS (Зх-4). А
мно жество всех первообразных данной
1
функции имеет вид F (х)= -TCOS (Зх-4)+С.
1
З
3) F (х)=З.stg
5х+ C=stg 5х+ С.
4) F (х)= - 2·5 cos __.:_+3 ._!_sin 6х+ С= - 10 cos __.:_+
5· ·65
++sin 6х+С.
361
хЗ
2) Для функции у=х2 первообразная F (Х)=3' а для функ-
ции у= 2х первообразная р (х)=х 2•
Найдем координаты
точек пересечения заданных линий:
{ у=х2, {х2=2Х,{ Х (х-2)=0, {х=о, или{ х=2,
у=2х;
у=2х;
у=2х;
у=о
у=4.
Искомая площадь равна разнос ти площадей треугольника ОАВ
и криволинейной трапеции ОnВА, т. е. S=SOAb-SОnВА' Так как
SOAB=р (2)-Р (0)=4-0=4, SOnBA=F (2)-F (0)=
23
8
84
=з-0=з,
то
S=4-з=з,
УПРА ЖН Е НИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у=2х-х2
и у=О (рис. 233); 2) у=х2
и у=2х
(рис. 234);
3) у =-12_ ,у=О, х=О, Х= 4n ; 4) y=cos Х, у=О, 2n ::;;;;Х::;;;;
32n;
cos х
5) y=j_, Х= 1, х=2, у=О.
х
Реш е н и е. 1) Для функции у=2х-х2
первообразная есть
F (х)=х 2_+хЗ•
Найдем т очки пересечения кривой 2х-х 2
с осью
абсцисс: 2х-х2=0, х=О, х=2,
т. е. (О;О) и (2; О). Значит,
а=О, Ь=2.
Искомую площадь находим по ф ормуле (1):
8
4
S=F (b)-F (a)=F (2)-F (0)=4-з-0+0=з,
линейной
трапеции (рис. 232). Если F есть первообразная для f
на интервале, содержащем о трезок [а; Ь], то
S=F(b)-F(а) (1).
Рис. 234
Рис. 233
Рис. 232
х
ь
х
y=f(x)
у
)(
у
362
у
y=lх
х
\
2х
Рис. 236
Рис. 235
у
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Постройте криволинейную трапецию, ограниченную линиями,
и вычислите ее площадь:
А. 1) у=х2,
у=о, х=2; 2) у=х3, н=ч. х=2; 3) у=х2,
у=О,
х=3; 4) у=х3, у=о, х=3; 5) у=х2, у=О, х= -2; 6) у= _х2,
у=о, х=2.
Б. 1) у=-Гх, у=о, х= 1, х=4; 2) у= --Гх, у=о, х= 1, х=9;
3) y=~, х= 1, х=3; 4) y=sin х, у=О, O~x~п; 5) y=cos х,
х
у=О,- ;~x~ ;;6)у=хl~2'у=О, х= 1,х=4;7)у=2Х,
S=F (2)-Р (1), S=ln 2-ln 1=In 2~0,7.
5) Криволинейная трапеция изображена на рисунке 236. Од-
1
на из первообразных для функции у =- есть F (х)= lп х.
х
S=F( 3;) -р(
;) = -( sin3; -sin ;) =2.
S=F( ~)-р (O)~tg ~ -tg
0=
1.
4) Криволинейная трапеция изображена на рисунке 235.
Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной
линиями у= -cos х, у=О, ; ~x~ 32'"'•
Одна из первообразных функции у = - cos х есть F (х) =
= -siп х.
довательно,
3) На промежутке
[о; ~] значения f (х) положительны. Одна
1
из первообразных для функции f (Х)=-2- есть F (x)=tg х, еле
cos х
Контрол.ные вопросы
1. Дайте определение первообразной.
2 . Первообразная определяется неоднозначно. Как вы это по-
нимаете?
3. Сформулируйте признак постоянства функции.
4. Докажите теорему об основном свойстве первообразных.
5. Что подразумевают под С в записи F (х) + С? Имеет ли С
произвольное значение или конкретное?
6. Дайте геометрическое истолкование основного свойства пер
вообразных.
7. Для функции f найдите первообразную, график которой про
ходит через заданную точку: а) f (х)_хЗ, м (2 ; Ч ; б) f (х )= -2,
М (3; 5); в) f (x)=sin х, М (О;3); г) f (х)=х- , М (-0,5; 3).
8. Какие правила нахождения первообразных вы знаете?
9. Докажите одно из правил нахождения первообразных.
10. Какая фигура называется криволинейной трапецией?
11. Сформулируйте теорему о вычислении площади криволиней
ной трапеции.
12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у =х2,
у=О, х=3; б) у=х-2,
у=О, х= 1, х=2; в) y=sin х, у=О,
О~х~л;
г} у=(х+2?, у=О, х=О.
у=О, х=О, х=2; 8) у=зх, У= О, Х= -1, Х= 1.
8
4
ОТВеты.А.1)3";
2)4.Б.1)3"; 3)21n3;4)2;
5)3;6)2;
7) 1:2
;
8) 31~3 .
Формула (2) верна для любой функции f, непрерывной на
отрезке [а; Ь].
364
а
(2)
Это равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.
5. Для удобства записи приращение первообразной F (Ь)-
-р (а) сокращенно обозначается так: F (х) 1:, т. е. F (ь)-р (а)=
=р (х) 1:.
6. Формулу для вычисления площади криволинейной трапе
ции (см. предыдущую главу, § 4) с помощью интеграла можно
записать таким образом:
ь
S=~ f (х) dx=F (ь)-р (а).
а
(1)
ь
~f (х) dx=F (ь)-р (а).
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Интегралом от а до Ь функции f называется приращение
первообразной F этой функции, т. е. F (ь)-р (а) (очевидно, что
это приращение не зависит от выбора первообразной}.
2. Интеграл от а до Ь функции f обозначается так:
ь
~f (x)dx
(читается: «Интеграл от а до Ь эф ОТ икс дэ икс»).
а
Числа а и Ь называются пределами интегрирования,
а - нижним,
Ь - верхним пределом. Знак ~ называется знаком ин
теграла, функция f - подынтегральной функцией, х - переменной
интегрирования. Отрезок с концами а и Ь называется отрезком
интегрирования.
3. Заметим, что верхний предел интегрирования необязательно
больше нижнего предела; может быть а з-Ь, а=Ь.
4. По определению интеграла: если Р' = f, то
§ 1. ФОРМУЛА
НЬ ЮТОНА - ЛЕЯБНИЦА
§ 1. ФОРМУЛА НЬЮ Т ОНА - ЛЕйБНИЦА
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕй С ПОМОЩЬЮ
ИН·
Т ЕГРАЛА
§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
гЛАВА XXVIII
365
11
"4
1'1
3
.::
5) ( -#!-= -ctg х I з = _ (ctg ...:!_c..-ctg...:!_)
=3--jЗ.
Jsш2Х
11
3
4
3
"4
2
~ Х З dx=E.12
=_r__(-1)4 = 4-...!_=~
-1
4-1
4
4
4
4'
2
2
2) ~ x2dx=~1 =~ -_f_=2 з..
1
313
3
3
3) Пользуясь введенными обозначениями,
получим:
2~
211
~ sinxdx= -cos х I =-cos 2л-( -cos л)= -1-1 =-2.
11
1t
11
1t
4"
4"
4) ~ cos 2xdx=...!_sin 2х I =_!_(sin(2.~)
-sin (2.0)\ =0,5.
о
2
о2
4
'}
1t
"2
Ре ш е н и е. 1) Для функции f (х) = хз первообразной служит
х4
ФУНКЦИЯ
т'
Следовательно, по формуле Ньютона - Лейбница
получаем:
б
1t
13) ~ _Е.!_; 14) ( СОS(2х+Л4-) ах.
1 ~х+З
J
з
з
11) ~е2х dx; 12) ( ~x,
1
J ~2x+3
-1
1
10) ~ (х2-2х+з)
dx;
-2
б
2
9) ~ 2~~X
;
1
1'1
3
-1
4
6) ( (-1-2 --.1-2) dx; 7) r (х-З-х)dх;
8) (ху? dx;
J
cosх вгпХ
_)2
J '9_J7
1'1
1
Вычислить
интеграл:
11
222л
Т
1) ~ хз dx;2) ~х2 dx; 3) ~sinxdx; 4) ~cos2xdx; 5) ~Si~:х ;
-1
1
1t
О
4"
УПРАЖНЕНИ Я
С
РЕШЕНИ ЯМИ
х
7. Интеграл вида
~ f (t) dt называется интегралом с персменным
а
верхним пределом. Этот интеграл есть такая первообразная ФУНК
цИИ {, которая в точке х = а обращается в нуль, и, следовательно,
х
справедлива формула (~ f (t) dt)' = f (х).
а
366
6
= 2-..)х+з1=2 (-..)6+3--..)1+3)=2 (3-2)=2.
1
_.!.+I
16
(х+3) 2 I 6=(х+3) 21 =
1
1
_!_
1
-2'+1
2
3
(
dx
)
-У2х+3 =
-1
Следовательно,
+.2 (2х + 3)0.5= -У2х+3.
=-..)2х+зl з =2.
-1
1
-2'+1
1
функции _1_ =(2х+3)-"2' первообразной является
функция
-У2х+3
n
n
6) ("3" (-1-2 _.~)
dx=(tg X+ctg х) 1"3"= (tg з11: +ctg 2!-.)_
.)
cosх SlПХ
3
n
n
о
о
-( tg~+ ctg~)=О.
-1
-1
7) ~ (х-З-х)dх=(-О,5х-2-О,5х2)
I=
-2
-2
=O,5(1+1-(T+4))=~
.
4
4
4
4
8) ( хУ! dx=~ Xl+O.4-0.9dх=~xO.5dx=XI•5 1
= ~(41.5_11.5)=
) 19...[7
1
1
1,5 1
3
1
2
=4з ,
9)i~=_ltn 12-3xl 12=_l(ln 4-ln 1)=-~ ln2.
2-3х
3
1
3
3
1
10) ~ (х2-2Х+3)dх=(~-х2+зх)11
=l-1+3-
-2
3
-23
-( -%--4-6) =15.
з
з
11) ~ e2xdx=.]_e2X I =.]_(е2.З _e2'1)=~(e4 -1).
1
2
12
2
хр+1
1
12) Для хр первообразная равна Р+l(Р* -1). При Р=-"2
получаем: первообразная для функции ..!..=х-о.5 равна
1
-гх
х-О•5+1
-
2х 2. По правилам нахождения первообразных для
367
3. Справ едлива следующая формула замены
пе рем енной:
СПРАВОЧНЫй МАТЕРИАЛ
1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
ь
ь
~ kf (х) dx= k~f (х) dx, где k - постоянная.
(1)
а
а
2. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
ь
ь
ь
~ (f(x)+q(x))dx=~f(x)dx+~q.(x)dx.
(2)
n
Г
n
8) ~ sin (2х+600)
dx; 9) ~ c os (3х-450)
dx.
о
л
"4
Ответы. А.1)ОА;2)О;3)-2; 4)-81. Б.1)-20; 2)11;
3) -6. В.2) 89,5;4) ~; 7) О;9)-/Z-;2 .
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2
-1
2
Б. 1) ~ (2х-3) dx; 2) ~ (5-4х) dx;
3) ~ (I-Зх2) dx;
-3
-2
-1
2
4) ~ (3х2-4х+5) dx.
о
-
4
9
2
В. 1) ~ (x-2-jX)dх;
2) ~(Зх-_i_) dx;
3) ~ x(3-x)dx;
1
4
~
-2
n
1
-1
2
Т
4) ~ (х+ 1?dx; 5) ~ -Ух+ldx; 6) ~еЗХdх;7) ~ cos4xdx;
-1
о
О
о
1
2
О
О
А.1)~ x4dx; 2)~хЗdх;3)~ sinxdx; 4) ~
-1
-2
-n
-3
ДИДАКТИЧЕСКИй МАТЕРИАЛ
Вычислите интеграл:
n
'2
=+sin( 2х+ : ) I~ =+( sin( 2п+
;
) -siп(
п+
;
)) =if.
2
n
~ COS(2х+:)dx=
Следовательно,
-}-sin (2х + : ).
14) Для функции COS х пе рвообразная равна sin х, поэтому
для .функции
COS (2х + : ) п ер вообразной является
368
=3•х;1~+2.~З 1~- 5х1~=~(25- 1)++(23- 1) - 5(2- 1)
274
=15·
2) На основании формул (l) и (2) определенного интеграла
и формулы Ньютона - Лейбница получаем:
( (2Х +_I_)dX=~(
xdx+( _l-dx=~.':':'_
19 +-.fX 19 = 14.
)52-[Х
5)
J2-[X
524
4
444
3) Вычислим этот интеграл с помощью замены переменной
по формуле t=2x+;.
Подставив в эту формулу х= - ~ ,
находим t=2 (- ~ ) + ; =0; это новый нижний предел интегри
р ования. Аналогично получаем новый верхний предел интегриро
вания t = ; . Следовательно,
n
-g
~
'( 1 ,,) dx=-H co~;I =
_-6сов
2х+з
о
11:
1
131
11:
1
;f3
=Ttg t о ="2tgз-"2tgО="2'
УПРАЖНЕНИЯ
С РЕШЕНИЯМ И
Вычислить интеграл:
2
9
1) ~ (3х4+2х2-5)
dx; 2) ~(2; + lг.:) dx;
I
4
2-уХ
n
о
2
"4
3) ~ cos2 (2dХХ+БОО); 4) .~ ';2X:_~.5X; 5) ~ tg2 xdx.
n
-4
л
-6
6
Реш е н и е. 1) На основании формул (1) и (2) определенного
интеграла и формулы Ньютона - Лейбница находим:
2
222
~(3х4+2х2-5)
dx=3 ~x4dx+2 ~x2dx-5 ~dx=
1
1
1
1
где t=kx+p, k и р - постоянные, причем новые пределы ин
тегрирования получаются из формулы t = kx +р заменой х на
аинаЬ.
(3)
ь
kb+p
~' (kx+р) dx=_!_ ~
f (t) dt,
а
k ka+p
Зб9
n
~
(8 5-х
(2
В. 1) .}.:. /
dx; 2) .} ctg2xdx.
03У1+=
2.f
Ответы. А. 1) -2; 2) -24; 3)2.Б. 1)47,5; 2) ~5 (16-../2-
-3-~).
В. 1) ---1356· 2) _l__ _::_
-y~,
"
2уз 12·
2
3) ~(5-2х) dx.
1
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Вычислите интеграл:
1
1
А. 1) ~ (хз+2х- 1) dx; 2) ~ (2хЗ+3х- 4) dx;
.-1
-2
4
О
Б. 1) ~(1 +5х+Зf)dХ;
2) ~-V3 5хdx.
1
-1
n
n
1
4 ·14
л
л (зt
зt)
-J3 л
=tgx -х
-tg--tg--
---
=1--=-.
n
n
4
б
4
б
312
6"
"6
л
l)
n
l)
n
l)
ппп
"4
"4
"4
=( (_1_, -1)dx=(
_l_dx_(
l.dx=
.)
сов"х
Jсов"Х
.}
n
l)
n
l)
n
1)
l-соsZ х
---:;--dx=
COS2 Х
ппп
"4
"4
'4
~
t
2d
~sin2х d
~
gхх=
--2
-
х=
COS х
5)
2
2
= -2 г -V2-O, 5xdx+4( ~
.)
.} 2-0, 5х
-4
-4
(4)
1512
0512
8
= -2· -т .(2-0, 5х)· _4+4.( -4).(2-0,5 х)·
-4= -т·
-4
2
-2 (2-0,5х) dx+ f 4dx
.у2 - О,5х
.} .у2- О,5х
-4
2
f х-4+4 dx=
) .у2-0,5х
-4
xdx
2-
~
-4
2
=~
4) Видоизменим запись
в числителе, и применим формулы
(1-2) :
370
Рис. 239
Рис. 238
Рис. 237
х
а
Ь
х
х
у
у
а
а
(4)
ь
ь
S=~ 11 (х) dx-~ f2 (х) dx.
4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерыв
ных функций f1(х) И f2(х) И двумя прямыми х= а и х=Ь,
где 11 (х);;;;:: f2 (х),
на отрезке
[а; Ь] (рис. 240)" находится по
формуле
(3)
с
Ь
S = -~1(х) dx+~ f (х) dx.
а
3. Пусть функци я f (х) непрерывна
на отрезке [а; Ь] и прини
мает на этом отрезке
ка к положительные, так и отрицательные
значения. Тогда
нужно разбить отрезок [а; Ь] на такие части, в
каждой из которых функци я
не изменяет свой знак, затем
вычислить по приведенным выше формулам соответствующие
этим частям площади и эти площади сложить. Например, пло
щадь фигуры, изображенной
на рисунке 239, равна:
(2)
ь
S= -~ 1(х) dx.
а
2. В том случае, когда
непрерывная функци я 1 (x)~O
на отрезке [а; Ь], дЛЯ вычисления площади соответствующей
кр иволинейной трапеции (рис. 238) следует использовать
формулу
(1)
1. Пусть функц ия 1(х) непрерывна и неогрицательна
на от
резке [а; Ь]. Тогда, ка к иввестно площадь
соответствующей
кр иволинейной трапеции (рис. 237)
находится по формуле
ь
S=~J(x)dx=F(x)
I Ь =Р(Ь)-Р(а).
а
а
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
§ 3. 8.ЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАД ЕЙ С ПОМОЩЬ.Ю ИНТЕГРАЛ А
371
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШ ЕНИЯМИ
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (предва
рительно сделав рисунок):
1) у= -2х, у=О и х=3; 2) y=4x-r "y=0
и х=5; 3) у=l-х и
у=3-2х-х2; 4) у=~и у+х=7; 5) у=х2-4х+6, у=2 и х=4;
х
6) y=r, y=~, у=о, х=2, x~O; 7) у= _еХ,
х=о, x=ln 0,5,
х
у=О; 8) y=sin х, у=2 sin х, х=54,"" х=О; 9) y=-VX, у= Ix-21;
10) у=х2. при x~O, у= 1, у=4, х=О.
Реш е н и е. 1) На отрезке [О;3] функция f (х)= - 2х отри
цательная (рис. 241). Поэтому для вычисления площади искомой
фигуры следует воспользоваться формулой (2):
3
3
s= -~ (-2х) dx=2 ~xdx=x2\ ~=9.
о
о
2) Парабола у = 4х - х2 пересекает ось абсцисс в точках
х=О и х=4. Фигура, площадь которой требуется найти,
заштрихована на рисунке 242. Пусть SI И S2 -площади частей
этой фигуры, соответствующих отрезкам [О;4] и [4; 5], а S - иско
мая площадь; тогда S = SI + S2.
Используя формулу (1), находим:
4
S1=~(4х- х2)dx=(2х2- х;)\:=32_6з4=3: '
а по формуле (2) полу чаем:
5
S2= -~ (4х-х2) dx=( х; -2х2) \ : =
4
Рис. 242
Рис. 24t
х
у
х
Рис. 240
у
х
40
Рис. 245
о
372
Рис. 244
Рис. 24 3
хО
у
1
1
Так как SBAC=2AB.BC=2·3.3=4,5,
то искомая площадь
S= SBAB,C-SBAC=4,5.
4) Найдем точки пересечения графико в
заданных линий
(рис. 244): .!!_= 7 -х,
х2 -7х+6= о, Х1= 1, Х2= 6.
х
Искомая площадь равна разности трапеции ABCD и крив о
линейной трапеции ABnCD. Следо ва тельно,
6
6
S=~(7- х)dx- 6~~x=(7х- х;)I~- 61пх I~=
1
1
= 17,5-6 lп 6~6,75.
5) Построим заданные линии (рис. 245). Убедимся, что точ
ка В общая у параболы
и прямой у=2:
х2-4х+6=2,
х2-4х+4=0, (х-2) =0, х=2. Искомая площадь S равна раз-
{ У=I-Х,
у=3-2х-х2,
откуда
l -х=3-2х-х2,
т. е. х= -2, х= 1. Искомая площадь
равна разности площадей крив о линейной трапеции BAB1C и
треугольника
ВАС
(рис. 243).
По ф ормуле (2) находим:
58А8,с= \ (З-2х-х') dx=( Зх-х'-;)
I ~,=9.
-2
32
7
Следо в ательно, S=SI +S2=з+з= 13.
3) Найдем абсциссы точек пересечения графиков
заданных
линий:
=(1~5_ 50)-( 6з4-
32)=т.
373
Рис. 247
х
х
Рис. 246
у
8) Искомая площадь S равна сумме площадей S 1 И S2 двух
фигур, первая из
которых ограничена линиями у = sin х,
7) Данная фигура симметрична относительно оси Ох кр и
волинейной трапеции, ограниченной
линиями у = е', х= о,
х= ln 0,5, у=О (рис. 247). Симметричные фигуры имеют равные
площади. Следовательно,
о
S= r ~dx=~lo
~0,5.
)
lп 0,5
1п 0,5
По формуле (1) найдем искомую площадь:
2
I
2
S=~ f (х) dx=~ x2dx+~ ~: =т'
О
О
I
6) Кривые у =r и у = ~ при условии х ~ Опересекаются
в точке с абсциссой х= 1. Заданная фигура (рис. 246) является
кр иволинейной трапецией,
ограниченной сверху графиком функции
f (х)= {~2,если O~x~ 1,
х2 , если 1 ~x~2.
S=( х; -2r+4x ) 1:=( 6з4-32+ 16)-( +-8+8) =2 Т.
4
4
4
S=~ (х2-4х+6) dx-~ 2dx=~ (х2-4х+4 )
dx,
2
2
2
ности площадей
кр иволинейной трапеции Аве D и прямоугольника
ABED:
374
Тогда S=SI+S2=з-f.
9) Функцию у = I х - 21 можно переписать
так:
_{ х-2
при х;::::2,
у-
2-х при х<2.
Ее график изображен
на
р ису нке 249, а.
Гр аф ик функции y=-VX изобр а же н
на
р ису нке 249,6, а фигу
ра , площадь которой требуется найти,- на
р ису нке 249, 8.
S= SABCD- SABE- SCDE'
4
SABCD= ~
~ dх= ~ x-Гxl; = ~(4.2-1)= 1з4 ,
n
n
SI =~ (2 sin x-sin х) dx=~ sin xdx= -cos х 1:=2,
о
о
5n
5n
"4
"4
5n
S2= ~ (sin х-2
sinх)dx= - ~sinxdx=cos xl; =-f+1.
n
1t
а
~(g (х) -
f (х))dx:
ь
у=2 sin х, х=о, х=л, втор ая
- линиями y=sin х, у=2 sin х,
х=л и х= 54л (рис. 248).
Для вычисления площадей S 1 и S2 применим формулу
Рис. 248
х
о
51l·
4
2
у
375
Рис. 250
б)
х
у
2
а)
у
Д ИД А КТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
А. 1) у=х2-7х+ 10, у=О; 2) у=4-х2,
у=О; 3) у=х, у=2х,
х=4; 4) у=х2-3х-4,
~=O, х=5; 5) у= -х, у=2-х,
х= -2, х=4; 6) у=9-х, х= -1, х=2.
Б. 1) у=х2+2х+2, у=О, х=О, х= -3; 2) у= -х2+7х-l0
(2,~х~З), у=О, х=3; 3) y=r-2, x~O, у= -1, у=7, х=О;
141
13
Итак
S=----2=-
,
3
2
6.
10) Данная фигура симметрична относительно прямой у=х
криволинейной трапеции, ограниченной прямым и х= 1, х=4, у=о
и графиком функции y=-jX, обратной y=r,
x~O (рис. 250).
Поэтому эти фигуры имеют равные площади:
4
r _с:
2x1.5\4 14
S=) -yxdx=-
=-.
I
3I3
б)
Рис. 249
4
х
у
376
(3)
ь
P=pg ~xf (х) dx,
а
равна:
3. Если в жидкость
плотностью
р вертикально
погружена
пластинка ABCD (рис. 251), то сила давления жидкости на нее
а
(2)
ь
A=~ F(x)dx.
а
ь
Если v (t) ~ О на промежутке [а; Ь], то интеграл ~ о и) dt равен
а
пу ти, пройденному точкой.
2. Если материальная точка движется вдоль оси Ох под дей
ствием переменной силы, проекция F (х) которой на ось Ох есть
функция от координаты х, то работа силы по перемещению точки
из положения х=а в положение Х= Ь равна:
(1)
ь
x=~vи)dx.
СПРАВОЧНЫR МАТЕРИАЛ
1. Если v (t) - скорость
прямолинейно движущейся точки в мо
мент времени t, то перемещение точки, т. е. приращение ее коор
динаты, за промежуток времени [а; Ь] равно:
4) y=-jx
1, у= 1, у=о, х=о; 5) у=х2+
1, у=х+ 2;
6) у=х2, у=2-х; 7) у=3-2х-'-х2,
у= l-х; 8) у=х, у=5-
-х, х= 1, х=2; 9) y=cos2 x-si n 2
х, O~x~ : ' у=о, х=о.
В. 1) у=х2,
у=2х2 -1;. 2) у= 1+sin
х, х=о, у=О, х=2п;
3) y=cos х, у=О, --; ~x~
3 2зt; 4) у=х-2,
у=х2-4х+2 ;
5)
у= 1, y=J.__, х=о, х=е, у=О; 6) у=хЗ, у=О, х=5,
х
у= ~ , x~O; 7) у=2 sin О,5х,у=О, х= ; , х=3п; 8) у=3Х,
у=2\ х=1;9)у=хЗ- Зх,у=х.
Ответы. А.1)4,5;2)3;;3)8;4) 2{-; 5) 12;6)24.
Б.1)6;2)l}; 3)5;;4) ~;5)5'; 6)4,5;7)4,5;8)2;9)0,5.
В.1)т;2)2л; 3)
4; 4) 4,5; 5) 2; 6) 1210; 7) 8+2-у2;
2
1
8) j;З-!;2 ; 9) 8.
§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
377
2. Скорость движения тела в момент времени t задается форму
лой v= 15-3t, где v - скорость (в м/с), t - время (в с). Какой
путь пройдет тело от начала отсчета времени
до
остановки?
Реш е н и е. Так как в момент остановки тела скорость его
равна О, то нам нужно определить путь, пройденный телом от мо
мента
времени /1 =0 до t2=5. Согласно формуле (1) получим:
5
5
S =~(15- 3t) dt = ( 15t_/3~2)\ 0=37,5 м.
о
3. Два тела' начали двигаться в один и тот же момент из
одной точки в одном направлении по прямой. Одно тело двигалось
со скоростью v=(6t2+2t) м/с, другое - со скоростью V=
=(4/+5) м/с. На каком расстоянии они будут друг от друга че
рез5с?
Реш е н и е. По формуле (1) в ы числим пути, пройденные
перв ы м и вторым телом:
5
5
SI =~(6t2+2t) dt=(2t3+t2) 10=275 м,
О
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Путь, пройде н ный
телом
1. Скорость движения
тела задана уравнением
v=
=(3t2+2t-l)
(в м/с). Найти путь, пройденный телом за 10 с от
начала движения.
Реш е н и е. В условии задачи
дано: t1 =0, t2= 10, f (t)=
= 3t2 + 2t - 1. По формуле (1) получим:
10
10
S=~ (3t2+2t-l)dt=(t3+t2_t)\o
=1090 м.
О
где у =f (х) - функция,
в ы ражающая зависимость длины
попе
речного сечения пластины от уровня погружения х, g - ускорение
свободного падения.
378
2. Материальная точка М движется по координатной прямой
под действием
силы, вел ичина которой меняется пропорциональ
но расстоянию точки до начала координат О. Известно, что
направл ение си лы совпадает с направл ением
оси и что она равня
л ась 1 Н, когда расстояние МО было 3 м. Вычислить работу
этой силы по пер еносу точки на расстояние
1 5 м от начала коор
динат.
Реш
е
н и е. Из условия задачи сл ед ует, что сила F (х), дейст
вующая на точку, меняется по закону F (x)=kx, где коэффициент
пропорциональности k находится из уравнения 1 =k·3, k=T'
Таким образом, F (х) = ~ и работа силы на пройденном пути
согласно (2) равна:
15
fх
х2 115
А= J тdХ=б о =37,5 Дж.
о
3. Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить
Работа силы
1. Пружина растягивается на 0,02 м под действием
силы в
60 Н. Какую работу она производит, растягивая ее на 0,12 м?
Реш
е
ние. При F=60 Н х=0,02
м. По формул е
F=kx
(закон Гука для пружины) найдем
k: 60=k-0,02, откуда
60
k=0,02=3000 Н/м.
Подставив найденное значение k в формулу F =kx, получим
F =3000х, т. е. f (х) =3000х.
По формул е
(2), взяв пред ел ы
интегрирования от О до 0,12,
вычислим работу:
0,12
х2 0,12
А= ~ 3000хdх=зооо-тlо =21,6 Дж.
о
s,-s2=200
м.
4. Те ло брошено с поверхности земли вертикально вверх со
скоростью v = (39,2 - 9,8t) М!с. Найти ванбольшую высоту подъема
тела.
Реш
е
н и е. Те л о достигает наибольшей высоты подъема в
момент времени t, когда v=O, т. е. 39,2-9,8t=0, откуда t=4 с.
По формул е
(1) находим:
4
4
S =~(39,2 - 9,8t) dt = (39;2t- 4,9t2) 1 0=78,4 м.
о
5
5
s2=~(4t+5)dt=(2t2+5t)'O= 75
м,
о
379
Рис. 252
х
у
в
о
так как плотность воды 1000 кг/м3 И g~9,8 м/с2•
2
80
16
4
откуда х.= 12500=2500' х.= 50=0,08М.
Сила
д а вления ~идKOCTи
Вычислить силу давления воды на вертикально погруженную
треугольную пластину АВС
с основанием АС=9 М и высотой
BD = 2 м, если вершина
В
лежит на свободной поверхности
жидкости, а АС - параллельно ей (рис. 252).
'
Реш е н и е. Пусть М G - поперечное сечение пластины на
уровне ВЕ =х.
Найдем зависимость длины М G от х.
Из по
добия треугольников мва и АВС имеем MG:AC=BE:BD,
или
ма:9=х:2, откуда MG=f(x)=4,5x.
На основании формулы (3)
получим:
2
P=pg~4,5x2dx=4,5pgX;
1: 12pg~I,2.105 Н,
О
(
х2 IX1
.2
80= J 25 000xdx=25
ООО·т о = 1:2500хт,
о
ХI
Теперь поk иАнайдем х: А=~kxdx, где х.- длина, на ко
о
торую растянута пружина при совершенной работе в 80 Дж:
откуда k= 0,~g08 = 25 000 Н/М.
0,04
,
х2 (,0,04
20= J kxdx=k Т о =0,0008k,
(}
работу 20 Дж. На каку ю длину МОЖНО' растянуть пружину, совер
шив работу в 80 Дж?
Реш е н и е. По длине растяжения вруживы на 0,04 М и совер
шенной работе 20 Дж по формуле (2) найдем k:
Контрольные
вопросы
1. Дайте определ ение
интеграла.
2. В чем заключается геометрический
смысл интеграла?
3. В чем заключается разница меж ду понятиями «перемещение
точки»
И «путь, пройденный точкой»?
4. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а) у=4-х2,
у=О ; б) у=х2-Зх, у=О.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ
МАТЕРИАЛ
1. Скорость движ ения тела задана уравнением v = (6t2 + 4) м/с.
Найдите путь, пройденный за 5 с от начала движ е ния.
2. Скорость движ е ния тела задана уравнением v=(9t2-8t) м/с.
Найдите
е го путь за четвертую секунду.
3. Сжатие
х винтовой пружины пропорционально прилож ен
ной силе Р. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на
0,04 м, если для сжатия
ее
на 0,01 м нужна сила 1О Н.
4. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила
в 50 Н растягивает
ее
на 0,01 м. Какую работу надо совершить,
чтобы растянуть ее от длины 0,22 м до длины 0,32 м?
Ответы. 1.270м.2.83м.3.0,8Дж.
4. 35 Дж.
381
(указанные величины должны быть в одной системе единиц, напри
ме р: если путь в километрах, а время в часах, то скорость в кило
м етрах
в час).
(1)
s=vt· v=~'
t=~
,
t
'
v
Введение
В настоящее
время на экзаменах предлагаются задачи. реше
ние которых требует составления уравнения (или неравенства), а
также их систем на основании
условия задачи.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов.
Однако прежде всего необходимо научиться различать основные
типы задач и уметь решать простейшие из них. В связи с этим
считаем целесообразным
р ассмотреть типовые задачи и их реше
ния, а также дать дидактический материал на указанные типы
задач.
Предлагаемые задачи можно условно разбить на следующие
типы задач:
1) задачи «на движение»;
2) задачи «на совместную
р аботу»;
3) задачи «на планирование»;
4) задачи «на зависимость между компонентами
арифмети-
ческих действий»;
5) задачи «на проценты»;
6) задачи «на смеси»;
7) задачи «на разбавление»;
8) задачи «с буквенными коэффициентами»;
9) задачи «на оптимальное решение» (Т. е. на нахождение
экстре му ма
функции);
1О) другие виды задач.
t. Задачи на движение
Некоторые указания к задачам
на «движение»:
1. Основными компонентами
этого типа задач являются:
а) пройденный путь (s); б) скорость (v);
в) время (t). Зависимость
м ежду указанными
величинами
выражается известными форм у
лами:
ПРИЛОЖЕНИЕ
* Если указан номер к задаче, то она взята из сборника конкурсных задач
под редакцией М. И. Сканави.
382
1;1
1,5
Рис. 253
n_.
D
1ч
в
1,5ч
Ar__...
Рассмотрим теперь примерное
решение некоторых задач.
Движение из одного п у нкта в другой в одном направлении
З а Д а ч а (N!? 13.079*). Первый турист, проехав 1,5 ч на вело
сипеде со скоростью 16 кн]«, делает остановку на 1,5 ч, а затем
продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя
после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает
на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км]«. Какое расстоя
ние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
Реш ение.
1. Из условия задачи ясно, что первый турист вышел в путь на
4 ч раньше второго. В точке В (рис. 253) он сделал остановку
на 1,5 ч. Второй турист догнал первого в точке D. Чтобы
проехать
Vno теч. = Vсоб. + Vтеч.;
Vпротив теч. = Vсоб. - Vтеч.;
V по теч. + v против теч.
Vсоб. =
2
2. План решения обы ч но сводится к следующему:
а) Вы бираем одну из величин, которая по условию задачи
является неизвестной, и обозначаем ее через х, у или z и т. д.
б) Устанавливаем, какая из величин является по условию зада
чи известной.
в) Третью (из оставшихся)
величину выражаем через не
известную (х) и известную с помощью одной из формул (1).
г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в кото
ром указано,
как именно изменил ась (уменьшилась, увеличилась
и т. д.) третья величина.
3. Заметим, что если два каких-либо
тела начинают движение
одновременно,
то в случае, если они встречаются, каждое с мо
мента выхода и до встречи затрачивает,
очевидно,
одинаковое
время. Аналогично обстоит дело и в случае, если одно тело догоня
ет другое.
4. Если же тела выходят в разное время, то до момента встре
чи из них затрачивает времени больше то, которое выходит рань
ше.
5. В задачах на движение по реке необходимо помнить следую
щие формулы:
383
(х + 15) КМ/Ч
12мин
Рис.
254
хкм/ч
с
60км
в
А
ответ. 56км.
Решите задачи:
1.3адача(N!?
13.077). Старший брат на мотоцикле. а
младший на велосипеде совершили двухчасовую безостановочную
поездку в лес и обратно. При этом мотоциклист проезжал кажды й
километр на 4 мин быстрее. чем велосипедист. Сколько километ
ров проехал кажды й
из братьев за 2 ч, если известно. что путь.
проделанны й
старшим братом за это время. на 40 км больше?
2.3адача (N!?
13.078). Турист ехал на автомобиле ~ все
го пути. а остальную часть - на катере. Скорость катера на
20 км/ч меньше скорости автомобиля. На автомобиле турист ехал
на 15 мин дольше. чем на катере. Чему равны скорость автомобиля
и скорость катера. если весь путь туриста равен 160 км?
О т в е ты. 1.10 КМ, 50 KM.1 2. С корость автомобиля 100 км]« или
80 км/ч: скорость катера 80 кмjч или 60 кн]«.
Движе н и е из одного пункта в другой с остановкой 8 пути
3адача (N!?
13.083). Товарны й
поезд был задержан в пу
ти на 12 мин. а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное
время. увеличив скорость на 15 км]«. Найти первоначальную ско
рость поезда.
Реш ение.
1. Из условия задачи следует. что если бы поезд после оста
новки в пункте В (рис. 254) продолжал двигаться с ирежней ско-
ростью. то затратил бы на 12 мин (12 мин=+ч)
больше. чем пре
дусмотрено расписанием.
t1-t2=2.5 ч.
Составим и решим уравнение:
l~-;6 =2.5. х=56 км.
это расстояние AD. первый
турист затратил больше времени, чем
второй. на 2.5 ч (4-1.5=2.5 ч).
2. Пусть х - расстояние (в км) от точки А до точки D. Тогда
tХ
u
1=16ч-
время. за которое первыи турист проезжает расстоя-
ниеAD; t2=5Х6ч-
время. за которое второй
турист проезжает
расстояние AD.
384
Рис. 255
...,.._ в
9ч
м
к
8ч
D
60
60
1
3. Составим и решим уравнение: -;-- х+ 15 =5· Хl =60,
Х2 = -75 - не удовлетворяет условию задачи, так как скорость -
величина
н еотрицательн ая.
Ответ. 60 км/ч.
Решите задачи:
1. Задач а
(N2 13.081). Мотоциклист
отправился
из
пункта
А
в пункт В, отстоящий от А н а
120 км. Обратно он выехал
с той же скоростью, но через час после выезда должен был остан о
виться на
10 мин. После этой остановки он продолжал путь до А,
увеличив скорость
на
6 км]«. Какова была первона ч альна я ско
рость мотоциклиста, если известно, что на
обрат ный путь он з атра
тил столько же времени, сколько
на
путьот Адо В?
2.З аД
а
ч а (N2 13.222) .. Расстояние между ста нци ями А и В
равно 103км.ИзАв
В
вышел поезд и, пройдя некоторое расстоя
ние, был задержан,
а
потому оставшийся путь до
В
проходил
со скоростью, на
4 км/ч большей прежней. Найти первона ч альную
скорость поезда, если известно, что оставшийся путь до В был н а
2'3 км длиннее пути, пройденного до задержки, и на
прохождение
пути после задержки было затрачено
на
15 мин больше, чем на
про
хождение пути до задержки.
Ответы. t. 48кы]«. 2.80км]».
Д в ижение из разных пинкхов навстречу друг другу
ЗаД ач
а
(N2 13.101). в один и тот же час
на встречу друг
другу должны были выйти А из поселка М и В из поселка К. Но
А
задержался и вышел позже на
6 ч. При встрече выяснилось,
что А прошел на
12 км меньше, чем В. Отдохнув, они одновремен
но покинули место встречи и продолжили путь с прежней ско
ростью. В результате А пришел в К через 8 ч, а В пришел в М через
9 ч после встречи. Определить расстояние МК и скорости пе
шеходов.
Реш ение.
1. Пусть VA=X (км /ч}, SKD=8x (км); VB=Y (км /ч}, SMD=
=9у (км) (рис. 255).
Тогда /А=9у ч - время, которое затратит А на
путьизМвD;
х
2. Пусть Х - первон ач альн ая скорость поезда (в км/ч). Тогда
/1 =60
t2=~
t1-t2=..!_
х' х+15'
5·
{
8х-9у=12,
[
аl = 1,5,
.
аа= -: (не удовлетворяет условию, так как ; >0).
{
~X-~~= 12, {8. ~ у-9у= 12, {У=4,
2'
3
х=6.
у
Х =-У'
2.'
Расстояние МК-8·6+9·4=84 км.
ОтВет.84км;6кмjч; 4кмjч.
Решите задачи:
1: 3 а д а ч а (.N'g 13.098). Пешеход и велосипедист отправля
ются одновременно
н австречу друг другу из городов А и В, рас
стояние между которыми 40 км, И встречаются спустя 2 ч после
отправления. Затем они
продолжают путь, причем велосипедист
прибывает в А на 1 ч зо мин раньше, чем пешеход в В. Найти ско
рости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все время двига-
лись с неизменными скоростями.
.
2. З а Д а ч а (.N'2 13.112). Два тела движутся навстречу друг
другу из двух мест, расстояние между которыми 390 м. Первое тело
п рошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило
н а 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равно
мерно со скоростью 12 MjC и начало движение спустя 5 с после
первого. Через сколько секунд
после того, как начало двигаться
п ервое тело, они встретятся?
Ответы. 1.4кмjч И 16кмjч. 2.Через 10с.
Основные компонензы движения заданы в общем виде
(задачи с параметрами)
3 а д а ч а (.N'2 13.111). Поезд был задержан на
t
ч. Увеличив
скорость на а кмjч, машинист на
п ерегоне в s км ликвидировал
опоздание. Определить, какую скорость должен был иметь поезд
на этом перегоне, если бы
не
б ыло задержки.
Решение.
1. Полагая, что скорость поезда по расписанию Х кмjч, имеем:
385
8х
tB =- Ч - время, которое затратит
Вна
путьизКвD(см.
у
рис. 255).
2. Из условия задачи следует, что 8х-9у= 1'2. Так как пеше
ход В вышел раньше, чем А, на 6 ч, то на основании этого составим
второе Уp11!iне ние:8х _ 9у =6.
у
х
3. Составим систему уравне ний и решим ее:
{
8Х-9У= 12, {. 8х-9у= 12,
8х _9У. =6;
8a-J!..=6, где ~=a.
у
х
а
у
2. Теперь
следует выяснить, оба ли корня уравнения удов
летворяют условию задачи:
Хl
-at--V;;t2+4ats <О, так как а>О, t>O, s>O.
Х2 -at+-J;;t2+4ats >0, так как -Va2t2+4ast>at.
О т в е т -Ja2t2+4ats-ta
/
.
2t
км ч.
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а (N'g 13.099). Расстояние между поселками А и В
равно Ь км. Из А отправились в В одновременно и по одной и той же
дороге два автотуриста, которые должны были прибыть в В в одно
и то же время. В действительности первый турист прибыл в В на
k часов раньше срока, а второй на 3k часов опоздал, так как
последний проезжал за каждый час в среднем на а км меньше пер
вого. Определить с реднюю часовую скорость каждого автотуриста.
2. 3 а Д а ч а (N'Q 13.217). Дорога между поселками А и В сна
чала имеет подъем, а потом спуск. Велосипедист, двигаясь
на
спуске со скоростью на а км/ч больше, чем на подъеме, затрачи
вает напуть отАдоВровноk часов,анаобратныйпуть отВдоА
половину этого времени. Найти скорость велосипедиста на подъеме
и на спуске, если расстояние между поселками Ь км.
Ответы. 1. -ka+1~a(ka+b) км]«; ka+-V2~(ka+b) км]«.
2. 4ь±заk+i~6Ь2+9а2k2 км/ч, 4b>3ak.
Движ ен ие по водному пути
3адача (N'Q 13.129). В9чсамоходная баржа вышлаизА
вверх по реке и прибыла в пункт В; 2 ч спустя после прибытия в В
эта баржа отправилас ь
в обратный путь и прибыла в А в
19 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость тече
ния реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоян
на, определить, в котором часу баржа прибыла в пункт В. Рас
стояние между А и В равно 60 км.
Реш ение.
1. Для решения этого типа задач следует использовать указа
ние 5.
2. Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч. Тогда
время, затраченное на движение по течению реки, со ставляет
х:з часов, а против течения реки х~з часов.
386
_ -at±-Ja2t2+4sat
откуда х -
2t
•
_!___ s_ =t
х х+а
'
3. Всего было затр ачено времени (в' ч) 1*-9-2=8+.
На основании этого составим уравнение и решим его:
60
60
1
х+з + х-з =8тз-.
xl=15, Х2= -0,6 (не удовлетворяет условию).
4. Время, затр аченное на движение про тив течения реки,
15~З =~ =5 ч. Следовательно, баржа прибыла в пункт В в 14 ч.
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а (N2 13.130). Два приятеля в одной лодке прока
тились по реке вдоль берега и вернулись по той же речной тр ассе
через 5 ч с момента о тплытия. Весь рейс составил 1О км. По их
подсчетам получилось, что на каждые 2 км про тив течения в сред
нем требовалось им столько же времени, сколько тр ебовалось на
каждые 3 км по течению. Найти скорость
течен ия и время проезда
ту да и обратно.
2. 3 а д а ч а (N2 13.145). Сначала катер шел а км по течению
реки, а затем вдвое большее расстояние по озеру, в которое река
впадала. Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость
катера, если скорость
течен ия реки с
к н]».
О
5 /'.
3a-c+~9a2+2ac+c2
/
т
веты.1.Т2кмч,2чи3ч.2.
2
км ч.
Определение скорости при встречном прямолинейном
движении
тел
3 а д а ч а (N2 13.278). Пассажир поезда знает, что на данном
участке пути скорость этого поезда 40 км]». Как только мимо
окна начал проходить встр ечный поезд, пассажир пустил се
кундомер и заметил, что встр е чный поезд проходил мимо окна в
течен ие 3 с. Определить скорость встр ечного поезда, если из
вестно, что его длина 75 м.
Реш ение.
1. Пусть скорость встречного поезда Х м/с. Скорость поезда,
40000 100
В кото ром ехал пассажир, 40 км/ч =3'600=9
м/с.
2. Встречный поезд за 3 с прошел 3 Х м, а поезд с пассажи
ром - з,~оо=зз +м.
3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно,
33 ..L+3x=75
Х= 13 ~M/C
125·3600 50 (км/ч).
3
'
9
9.1000
Ответ.
50 ки]«,
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а (N2 13.284). Найти скорость и длину поезда,
зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвиж-
387
388
Рис. 256
д
с
1ч
В
х2+16x- 720~ О (х- 20)(х+36)~ О
х(х+4)
~,
х(х+4)
~.
Следовательно, 0<x~20.
Ответ.0<v~20
км/ч,
Решите задачи :
1.3адача (Н2 13.367).Взаезде наоднуитужедистанцию
участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю
ного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы
проехать с. той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
2. 3 а д а ч а (Н2 13.370). На расстоянии 199.5 м от окна буд
ки параллельно плоскости окна проходит горизонтальный же
лезнодорожный путь. Обходчи к, находясь в будке на расстоя
нии 0,5 м от окна, видит в течение 20 с, как проходит весь поезд
(от локомотива до последнего вагона). Длина поезда 100 м, и
и дет он с постоянной скоростью. Вычисл ить скорость поезда.
Ответы. 1.75,6км/ч; 147м.2.25м/с.
Составление неравенств
3 а д а ч а (Н!! 13.360). Велосипедист отправляется из А в В.
Расстояние от А до В равно 60 км; скорость велосипедиста пос
тоянна. Не задерживаясь в В, он едет обратно с той же скоростью,
но через час после выезда из В делает остановку на 20 мин.
После этого он продолжает путь, увели чи в скорость на 4 хн]«.
В каких границах заключена скорость v велосипедиста. если
и звестно, что на обратный путь от В до А он потратил времени не
более, чем на путь от А до В?
Реш ение.
1. Пусть х (в км/ч) - первоначальная скорость велосипе
диста.
60
60-х+
Из условия задач и
следует, что tA b = -;-ч, а
tBA= х+4
1
+lзч
(рис. 256).
2. Особенность задач и
в том, что для решения требуется
составить неравенство.
Т
60-х
1
60Р
эк как tBA~tAB' то х+4 + lз ~7' ешая это неравенство,
получи м
389
на всю дистанцию потребовалось минутой больше, ч ем первому
автомобилю. Первый автомобиль
двигался в 4 раза
быстрее
мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй
автомобиль, если он проходил в минуту на + часть дистанции
б ольше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию быстрее
чем за 10 мин?
2. 3 а д а ч а (N!? 13.369). Расстояние м ежду станциями, А и В
равно 360 км. В одно И то же время из А и из В навстречу друг
другу выходят два поезда. Поезд, вышедший из А, прибывает на
станцию В не ранее чем через 5 ч. Если бы
его скорость была
в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй
поезд раньше чем чер ез 2 ч после своего выхода из А. Скорость
какого поезда больше?
2
Ответы.1.т.2.Вышедшего из В.
Пройденн ый путь принимаехся за 1J а единственной данной
величиной является вре~я
3 а д а ч а. Два пешехода вышли одноврем енно навстречу
друг другу и встретились чер ез 3 ч 20 мин. Сколько врем ени
понадобится каждому из
них, чтобы пройти все
расстоя -
ние,
е сли первый пришел в то место, из которого вышел второй,
на 5 ч позже, чем второй пришел в то' место, откуда вы
шел первый?
Реш
е ние.
1. Особен ностью этой задачи является то, что в ней нет ни
каких данных о пройденном расстоянии. В таких случаях удоб-
но все расстояние принять за 1, тогда скорость Vl =_!_, а V2=..!...
х
'у
(где х часов - время в пути первого пеш ехода, а у часов
время второго пешехода).
2. Из условия задачи составим систему уравнений:
{
З л, _!_+ 3 ...!.... _!_= 1
3х
3У
,
х-у=5.
3. Решая эту систему, получим у=5, х= 10.
Ответ.10ч;5ч.
Решите задачу:
3ад ач а (N2 13.317). Один турист вышел в 6 ч, а второй
навстречу ему в 7 ч. Встретились они в 8 ч и, не останавливаясь,
продолжили путь. Сколько врем ени затратил каждый из них на
весь путь, если первый пришел в то место, из которого вышел
второй, на 28 мин позже, чем второй пришел в то место, откуда
вышел первый? Считается, что каждый шел
бе з остановок с
постоянной скоростью.
Ответ.3ч40мин и2ч12мин.
Скорость. выражен а
косве н но чер ез время
3 а д а ч а. Два велосипедиста выехали одновременно ИЗ двух
п унктов В третий, куда они договориянсь прибыть одновременно.
Первый прибыл на место встречи через 2 ч, а второму, чтобы
прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на
1 мин быстрее первого, так как его путь 'был длиннее на 6 км. Ка
кова скорость каждого велосипедиста?
Реш ение.
1. Особенностью этой задачи является не прямое, а косвен
ное указание скорости велосипедистов.
2. Пусть
п ервый велосипедист п роезжал каждый километр за
х мин, т. е. его скорость была 6~ ки]«. Тогда скорость второго
.2Q_ ки]«.
х-l
3. Составим уравнение и решим его:
60
60
--1·2--.2=6; xl-5~ Х2=-4 (посторонний корень).
х-
х
60
60
4. Следовательно, Vl =5= 12 км/ч, v2=T= 15 км/ч.
От в е т.12кн]«, 15ки]».
Решите задачи:
1.3адача(Н!!
13.096). Велосипедист каждую минуту
п ро
езжает на 500 м меньше, чем мотоциклист,
поэтому на пу ть в
120 км он затрачивает времени на 2 ч больше, чем мотоциклист.
Вычислить скорость каждого из них.
2.3аД ач а(Ng'13.221).Из пунктовА ИСв пунктВ выехали
одновременно два всадника и, несмотря на то что
пункт С от
стоял от
пу нкта В на 20 км дальше, чем пункт А от
пу нкта В,
прибыли в пункт В одновременно. Найти расстояние от
п ункта С
до пункта В, если всадник, выехавший из С, проезжал каждый
километр на 1 + мин скорее, чем всадник, выехавший из пункта
А, и всадник, выехавший из А. приехал в пункт В через 5 ч.
От в еты. 1. 30кмfч И60кмfч.2.80км.
Тела движутся по OICРУЖНОСТU
3 а д а ч а (Н! 13.302). По 'Окружности длиной 60 м равно
мерно и в одном направлении движутся две точки, Одна из них
делает
п олный оборот на 5 с скорее другой. При этом совпадения
точек происходят каждый раз через 1 мин. Определить скорости
точек.
Реш ение.
1. Пусть
первая точка проходит
полный оборот за х с, а
60
3600
вторая
точка-за
у с. Тогда VI=- м/с=--.
м/мин, оя=
х
х
= 60 м/с=3600 м/мин.
у
у
390
391
2. Задачи на совместную работу
Некоторые указания к задачам на совместн у ю
работу:
1. Основными компонентами этого типа задач являются:
а) работа; б) время;. в) проиэводительность
труда (работа, вы
полне нная в единицу времени).
2. План
решения задачи обычно сводится к следующему:
а) Принимаем всю работу, которую
н еобходимо выполнить,
за 1.
б) Находим производительность
труда каждого рабочего в
отдельности, Т. е. Т, где t - время, за которое указанный рабо
чий может выполнить всю работу,
работая отдельно.
2. Бу дем полагать, что х <у, тогда из условия задачи сле
дует уравнение у - х =5.
3. Так как точки встречаются каждую мину ту и первая дви
жется быстрее, то она должка за 1 мин пройти полный круг 60 м
и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая
точка, Т. е.
3600 м.
У
4.
5.
Отсюда имеем второе уравнение: 3600 =3600 +60.
.
х
у
Составим систему
и решим ее:
{
У-Х=5.
{У=Х+5,
{Х=15,
3600 . 3600+60.
.60=~ Г:
у=20.
х
у
,
х
У"
.
60
60
Тогда V1=15=4 м/с, v2=20=3 м/с.
Ответ.4м/с; 3м/с.
Решите задачи:
1. 3 а Д а ч а (Н2 -13~298),Два спортсмена бегают по одной
замкну той дорожке стадиона. Скорость. каждого постоянна, но
на пробег всей дорожки первый тратит
на 10 с меньше, чем
второй. Если начну т они пробег с общего старта в одном направ
лении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей
дорожки пробегает в секу нду каждый бегу н?
2. 3 а д а ч а (Н2 13.126). По двум концентрическим окруж
н остям равномерно вращаются две точки. Одна из них соверша
ет полный оборот на 5 с быстрее, чем другая; и поэтому успевает
сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов в ми
н ут у совершает каждая точка?
3. 3 а д а ч а (.M~ 13.251). Часовая и мину тная стрелки совпа
дают в полночь, и начинается новый день. В котором часу этого
н ового дня впервые вновь совпадут
часовая и мину тная стрелки,
если допустить, что стрелки часов движутся без скачков?
115
Ответы.1.80;90•2.4 и 6.3. чи511мин.
~.18+_!_.18= 1.
х
у
4. Далее из условия задачи
сл едует, что первая бригада
выполнила ~ всей работы, следовательно, она затрати~а на это'
392
в) Находим ту част ь в сей работы, которую выполняет каж
дый рабочий отдельно, за то время, которое он работал.
г) Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы
(т. е. 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть част ь в сей
работы, выполненная отдельно каждым из рабочих (если, разу
меется, в условии сказано, что при совместной работе всех ра
бочих выполнен вес ь
объем работы).
3. Следует заметить,
что в указанных задачах не всегда
сравнивается выполненная работа. Основанием для со ставления
уравнения может служить также указанное в условии соотноше
ние затраченного времени или производительно сти
труда.
Рассмотрим решение некоторых задач.
Вычисление неизвестного
времени работы
З а Д а ч а (N2 13.107). Две бригады, работая вместе, должны
отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней.
В действительно сти же получилос ь
так; что сначала работала
только одна первая бригада, а заканчивала ремонт участка до
роги одна вторая бригада, производительно сть труда которой бо
лее высокая, чем первой бригады. В результате ремонт задан
ного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бри-
гада в свое рабочее время выполнила -%- всей работы. За сколько
дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой
отдельно?
Реш ение.
1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой
захдней,авторой- заудней.
2. Принимая всю работу за 1, имеем:
1
..б .
-;- - производительно сть первои ригады,
_!_- производительно сть второй бригады,
у
_!_.18 - часть работы, которую могла выполнить первая бри
х
гада за 18 дней,
_!_.18 - часть работы, которую могла выполнить вторая бри
у
гада за 18 дней.
3. Составление уравнения.
Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить
всю работу за 18 дней, то на основании этого имеем
{
_!_.18+_!_.18= 1
х
у
,
2
I
тх+ту=40.
Имеем Х.=24, Х2=4 5; у. =72, У2=30.
7. Так как пр о изводительность вто р о й
бригады была выше,
чем первой, то условию задачи удовлетворяют Х =45 и у = 30.
Про
верка.
Пусть известно, что первая бригада может выполнить всю
работу за 45 дней, а вторая бригада - за 30 дней, тогда первая
б
1
1...
б
р игада за
день выполнит 45 часть всеи ра
оты, а вторая
бригада - ;0 всей работы, и, следовательно, вместе за 1 день
II5I
...
о ни выполнят '45+ 30 = 90 =18 всеи работы. Значит, им пона-
добится на выполнение всей работы 18 дней, что со ответствует
условию задачи. Рассуждая аналогично, получим, что первая
бригада выполнит ~ всей работы за ~ ·45 = 30 дней, а вто р ая
бригада выполнит + всей работы за +.30=10 дней, т. е.
всего будет затрачено 30 + 10= 40 дней, что
соответствует
условию.
Отв ет.45дней,30дней.
Решите задачи:
1. З а Д а ч а (N!! 13.135). Бригада. слесарей может выполнить
некото р о е задание по обработке деталей на 15 ч ско р ее, чем
бригада учеников. Если бригада учеников
о тработает 18 ч, вы
полняя это задание, а потом бригада слесарей пр о должит выпол
нение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только
~ всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников
для самостоятельног о выполнения данног о задания?
2. З а Д а ч а (N2 13.138). Два рабочих, из которых второй
начал работать полуто р а днями позже перв ого,
р аботая незави
симо один от другог о,
о клеили обоями несколько комнат за
7 дней, считая с момента выхода на работу первог о
рабочего.
Если бы эта работа была пор учена каждому отдельно, то перв ому
393
2...
б
I
u
б
ТХ днеи, а вто рая ригада выполнила 3"' всеи ра
о ты, следова-
I
...
тельно,
она затратила на это тУ днеи.
5. Так как всего было затрачено 40 дней, то м ожно составить
2
I
вто ро е уравнение: тх+ту=40.
6. Составим систему уравнений и решим ее:
394
для ее выполнения понадобилос ь
бы тремя днями больше, чем
второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнил бы
эту же работу?
Ответы. 1.45ч.2.За14и11дней.
Пигь, пройденный движищимися зелами,
рассмазриваехся как совмесгная работа
3 а д а ч а (Н2 13.110). Два поезда отправляются из пунктов
А и В навстречу друг другу. Они встретятся на половине пути,
если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В. Если же
оба поезда выйдут одновременно, то через 2 ч расстояние между
ними со ставит + расстояния между пунктами А и В. За какие
промежутки времени каждый поезд проходит вес ь
путь?
Реш ение.
1. На первый взгляд эта задача кажется типичной задачей
на движение. Однако следует обратить внимание на то, что в ней
нет никаких данных о пройденном пути. Поэтому будем рассмат
ривать эту задачу как задачу на совместную работу, где всю
работу (пройденный путь) примем за 1.
2. Полагая, что первый поезд пройдет весь
путь за х часов,
а второй - за у часов, и учитывая, что первый вышел на 2 ч
раньше, со ставим уравнение Т·х-Т·у=2.
3. Скорость каждого поезда будет соответственно + и у'
следовательно ..!...2+..!...2=.L.
,х
у
4
4. Составим си стему уравнений и решим ее:
{ +Х-+У=2,
..L.2+..L.2=.L.
х
у
4
Получим х=8, у=4.
Ответ.8ч,4ч.
Решите задачу:
3 а д а ч а (Н2 13.330). Два грузовых автомобиля должны
были перевезти некоторый груз в течение 6 ч. Второй автомобиль
задержался в гараже, и, когда он прибыл на место погрузки,
первый перевез уже ~ всего груза; остальную часть груза пере
вез второй автомобиль, и вес ь груз был перевезен, таким образом,
за 12 ч. Сколько времени нужно было каждому автомобилю
в отдельности для перевозки груза?
Ответ.10чи15чили по12ч.
395
[
.. {Х=4,
у=6.
{
Х=6,
у=4 .
{
[.
JL=1....
х2'
JL=L
х3'
12у+ 12х=5ху;
{
6а2-13а+6=0,
12у+ 12х=5ху.
5. Полагая _!_= а, имеем:
у
{
6а+:=13,
1
15
~+-у=Т2;
{
[ а,=~'
1:;+ 1~~=5xy;
{
L.6+.!_ .6= 13
х
у
,
115
~-у=Т2.
{
л, .л,у +.l.. Х • .l..= 11.
х
4
4
У
24'
(
11)
2
-+- ·2-=1·
х
у
5
'
I
113
+ТХ·-У=24
.
3. Так как обе трубы при одновременной работе наполняют
весь бассейн за 2 ч 24 мин, то (+++).2 ~= 1.
4. Составим систему и решим ее:
Задачи на «бассейн»,
к о торый одновременно
наполняется разными трубами
3 а д а ч а (Ng 13.290). Если две трубы открыть одновремен
но, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же
сначала была открыта только первая труба в течение одной чет
верти времени, которое необходимо второй трубе, чтобы напол
нить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая тру
ба также в течение одной четверти времени, которое необходимо
первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось,
что остается наполнить ~~ полной вместимости бассейна. Сколь
ко времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой
в отдельности?
Реш ение.
1. Пусть первая труба наполняет бассейн за Х часов, а вто
рая наполняет бассейн за у часов, тогда производительность
каждой трубы будет cooTBeTcTBeHHo.l.. и .l..·B час (примем объем
.
х
у
воды в бассейне за 1).
2. Из условия следует, что первая труба наполнила +·Ту часть
бассейна, вторая труба i-·Tx часть бассейна,
а
вместе
11 13
.. От
11
они наполнили 1- 24 = 24 части бассеина. сюда -;-. "4у +
з. Задачи на планирование
К задачам этого раздела относятся те задачи, в которых
выполняемый объем работы известен или его нужно определить
(в отличие от задач на совместную работу). При этом сравнива
ется работа, которая должна быть выполнена по плану, и работа,
которая выполнена фактически. Так же как и в задачах на сов
местную работу, основными компонентами задач на планирова
ние являются:
а) работа (выполненная фактически и запланированная);
б) время выполнения работы (фактическое и запланирован ..
ное);
в) производител ь ность труда
(фактическая и запланирован
ная).
З а м е ч а н и е. В некоторых задачах этого раздела вместо
396·
Очевидно, результ аты однозначны. Будем полагать,
что пер-
вая труба работала быстрее.
Ответ.4ч; 6 ч.
Решите задачи:
1. З а Д а ч а (N!l 13.142).. Чан наполняется двумя кранами
А и В. Наполнение чана только через кран А длится на 22 мин
дол ьше, чем через кран В. Если же открыть оба крана, то чан
наполнится за 1 ч. За какой промежуток времени каждый кран
отдель но может наполнить чан?
2. З а Д а ч а (N!l 13.289). Из автоцистерны сливали бензин
в подземное хранилище по двум шлангам разного сечения. Пер ..
воначал ьно а мин бензин поступал через оба шланга, затем
первый шланг был отключен, и весь оставшийся бензин прошел
через второй шланг за Ь мин. Но если бы после первоначал ь ных
а мин был отключен не первый, а второй шланг, то весь остав ..
шийся бензин прошел бы. через первый шланг за с мин. Скол ько
времени продолжалось бы переливание всего бензина из авто
цистерны в хранилище тол ь ко через один первый шланг?
3.ЗаДача
(N'!l 13.132). В лабораторной установке некото
рая жидкость поступает в сосуд через три входных крана. Если
открыть все краны одновременно, то сосуд наполнится за 6 мин.
Если же наполнять сосуд тол ь ко через второй кран, то на это
потребуется ~ того времени, за которое может наполнится сосуд
тол ь ко через один первый кран. Через один третий кран этот
сосуд наполняется на 10 мин дол ьше, чем через один второй
кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдел ь
ности для наполнения сосуда?
Ответы. 1. За 132 мин и 110 мин. 2. а+с+а; мин.
56
з. 3" мин, 14 мин, 24 мин.
Задачи, в которых требуется найзи проиэводигельносль труда
3 а д а ч а (N!! 13.328). Бригада рыбаков намеревалась выло
вить в определенный срок 1800 ц рыбы. Треть этого срока был
шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно недовыпол
нялось на 20 ц. Однако в остальные дни бригаде удавалось еже
дневно вылавливать на 20 ц больше дневной нормы, и плановое
397
{
х =240,
у=6 .
{
~__х=10
у у+2
'
..Е...-_Х_=16·
у у+4
'
4. Так как на каждый комплект нужно 16 пешек, то число
комплектов равно 240: 16 = 15.
Ответ. 15.
Решите задачу:
3ад ач а. Бригада
рабочих должна
была в определенный
срок изготовить 272 детали .. Через 10 дней после начала рабо ты
бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже
за один день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей
изготовит
бригада к сроку?
Ответ. 300.
времени выполнения рабо ты дается количество участвующих. в ее
выполнении рабочих.
Задачи, в которых требуетсяопределить
объем выполняемой работы
3 а д а ч а (N!! 13.062). Ученик токаря вытачивает шахмат
ные пешки для определенного числа комплектов шахмат. Он хо
чет научиться изготовлять ежедневно на 2 пешки больше, чем
теперь, тогда такое же задание он выполнит на 1О дней быстрее.
Если бы ему удалось научиться изготовлять ежедневно на 4 пеш
ки больше, чем теперь, то срок выполнения такого же задания
уменьшился бы на 16 дней. Сколько комплектов шахмат о беспе
чивает пешками это т токарь, если для каждого комплекта нужно
16 пешек?
Реш ение.
1. Пусть
токарь вытачивает
х
пешек для определенного числа
комплектов шахмат. Будем также полагать, что в день он выта-
чивает у пешек. Тогда задание он выполнит за .;_ дней.
у
2. Соответс твенно если он будет вытачивать в день (у+2)
пешки или (у+4) пешки, то выполнит задание за Y~2 дня или
х
у+4 дня.
3. На основании условия задачи составим систему уравнений
и решим ее:
398
ответ. 100 ц.
Решите задачи:
1 . 3 а д а ч а (N2 13.055). На вагоноремонтном заводе в опре
деленный срок должно. быть отремонтировано. 330 вагонов. Пере
выполняя план ремонта в среднем на 3 вагона в неделю, на за
воде уже за две недели до срока отремонтировали 297 вагонов.
Сколько вагонов в неделю ремонтировали на заводе?
2. 3 а д а ч а (N!! 13.250). Бригада леСОfубов должна была
по
плану заготовить за несколько дней 216 м древесины. Первые
3 дня бригада
выполняла ежедневно установленную планом нор
му, а затем каждый день заготовляла 8 м3 сверх плана,
поэтому
за день до срока было заготовлено 232 м3 древесины. Сколько
кубических метров древесины в день должна была бригада заго
то.влять по. плану?
Ответы. 1.33.2.24.
Задачи, в которых требуетсяопределизь время,
затраченное на выполнение предисмохренного объема работы
3ад ача (N!!
1 3.177). Планом было предусмотрено, что.
п редприятие на
п ро.тяжении неско.льких месяцев изго.ТQВИТ
6000 насосов, Увеличив
производительностъ труда,
предприятие
стало. изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было.
п редусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока
перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких
месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
Реш ение.
1 . Пусть за Х месяцев было предусмотрено. выполнение пла ..
Получим у = 100 ц.
(11)
(у-20)
~
+(у+20)( ~ х-l) = 1800.
7. Решим систему уравнений:
{
ху= 1800,
(у-20)
~
+(У+20)( ~ х-l) = 1800.
задание было. выполнено. за
1
день до. срока. Сколько центнеров
рыбы намеревалась
вылавливать бригада рыбако.в ежедневно.?
Реш ение.
1.Хдней-
п ланируемый сро.к лова рыбы.
2. у ц планировалось
вылавливать в день.
3. Составим уравнение: ХУ= 1800.
(1)
4. Так как +планируемого срока был шторм, то. за это. время
бригада
выловила (у - 20) t·х (ц) .
5. Воставшееся время бригада
выловила (у+20)С: -1) (ц).
6. Составим уравнение:
нового задания.
Тогда за (x-I) месяцев было выпущено
6030 насосов.
2. В мес яц по плану предприятие планировало выпускать
6O~0 насо сов, а фактиче ски выпустило в месяц :~~ насо сов.
Из условия задачи сл едует уравнение: 60301- 6000 = 70.
х-
х
60
Решая уравнение, получим ХI = 1О, Х2 = - т (не удовлетво-
ряет условию задачи).
О т в е т. На протяжении 1О месяцев.
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а. Бригада рабочих должна была изготовить
8000 одинаковых деталей в· определ енный срок. Фактически эта
работа была окончена на 8 дней раньше
срока, так как бригада
делала еж едневно на 50 деталей больше, чем было намечено по
плану. В какой срок должна была быть окончена работа?
2. 3 а д а ч а. Две бригады рабочих должны были изгото
вить к некогорому сроку по 240 деталей. Первая бригада, изго
товляя в день на 8 деталей больше, чем вторая бригада, выпол
нила задание за 3 дня до срока, опер едив вторую бригаду
на I день. Каков был срок выполнения работы?
Ответы.1.40 дней.2.8дней.
Задачи, в ко то рых вмест о времени выполнения некоюрой
рабо ты дано число рабочих, участвующих в выполнении рабо ты
3адача
(Ng 13.186). Бригада
каменщиков взялась уло
жить 432 м3 кладки, но в действительности на работу вышло
на 4 человека
меньше. Сколько
все х каменщиков
в брига
де,
е сли известно, что каждому работавшему каменщику при
шлось укладывать на 9 м3 больше, чем первоначально предпо
лагалось?
Реш
е
ние.
1. Пусть в бригаде' х каменщиков. Тогда по условию задачи
на работу вышло (х - 4) каменщика.
2. Каждый каменщик должен был по плану уложить ~ м3
х
кладки, фактиче ски же каждый уложил x4~24 м3•
3. Из условия следует уравнение 4324 - ~= 9, решая ко-
х-
х
торое находим Х=
16.
Ответ. 16.
Решите задачи:
1.3адача
(Ng 13.181). Бригада рабочих электролампо
вого цеха должна была сд елать за см ену 7200 деталей, причем
каждый рабочий делал одинаковое количество деталей. Однако
в бригаде заболело трое рабочих, и поэтому для выполнения
399
4. Задачи на зависимос ть между компонентами
арифметических действий
Составление уравнений в задачах данного раздела вытекает
непосредственно из условия задачи.
Задачи, в кото рых т р еб уетсянайти сумму слагаемых ..
каждое из которых составляет ту или иную часзь искомой суммы
3 а д а ч а (Ng 13.040). Трое изобретателей получили за свое
изобретение премию в размере 1410 р., причем второй получил
1- того, что получил первый, и еще 60 р., а третий получил
1- денег второго и еще 30 р. Какую премию получил каждый?
Реш ение.
1. 'Пусть первый изобретатель получил х рублей.
2. Тогда- второй получил ( -}-х+60) рублей, третий получил
}( +х+60) +30= ( ~ +50) рублей.
3. Из условия следует х++х+60+ = +50= 1410, откуда
х=900; +.900+60=360;
9~O +50= 150.
Ответ. 900р., 360р., 150р.
Решите задачи:
1.\3 а д а ч а (N2 13.015). Турист проехал расстояние между
д вумя городами за 3 дня. В первый день он проехал + всего
пути иеще 60 км, во второй+всего пути и еще 20 км И
В третий день ~~ всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстоя
ние между
городами.
2. 3 а д а ч а (N2 13.018). Вкладчик взял из сберкассы сна-
всей нормы каждому из оставшихся
рабочих пришлось
сделать
на 400 деталей больше. Сколько рабочих было в бригаде?
2. 3 а д а ч а (Ng 13.325). Можно изготовить 9000 деталей
Qa нескольких новых станках одинаковой конструкции и одном
станке старой конструкции, работающем вдвое медленнее каж
дого из новых станков. А можно и этот старый станок заменить
новым станком той же конструкции, что и остальные. Тогда по
второму варианту на каждом станке изготовлялось бы на 200 де
талей меньше, чем на одном новом станке по первому варианту.
Сколько всего было станков?
Ответы. 1.9.2.5.
Задачи, в кото рых используется
формула двузначного числа
3 а д а ч а (13.027). Сумма квадратов цифр двузначного чис
ла равна 13. Если от этого числа отнять 9, то
п олучим число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти
число.
Реш ение.
1. Пусть х - цифра десятков,
у - цифра единиц,
10х+у -
искомое двузначное число.
2. Из условия задачи следует:
{ x2+if=13,
{Х=3,
10х+у-9=
10у+х; 'у=2
(х= - 2 - не подходит, так как х - цифра).
От вет. 32.
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а (Н2 13.119). Произведение цифр двузначного
числа в 3 раза меньше самого числа. Если к искомому числу
прибавить 18, то
п олучится число, написанное теми же цифрами,
но в обратном порядке. Найти это число.
2. 3 а д а ч а (.N'2 13.160). Если двузначное число разделить
на сумму его цифр, то
получится в частном 4 и в остатке 3. Если
же это число разделить на произведение его цифр, то
получится
в частном 3 и в остатке 5. Найти это число.
Ответы.1.24.2.23.
Задачи, в которых слагаемые пропорциональны некоторым
числам (или дано их отношение)
3 а д а ч а (.N'2 13.028). Числители трех дробей пропорцио
нальны числам 1, 2 , 5 , а знаменатели соответственно пропор-
401
чала + своих денег,
потом : оставшихся и еще 64 р. После
этого у него осталось на сберкнижке 230 всех его денег. Как
велик был вклад?
3.3ад ач а (Н2 13.092).Денежная
п ремия была распреде
лена между тремя изобретателями:
п ервый получил половину
всей премии без ;2 части того, что получили двое других вместе;
второй получил + часть всей премии и 515 часть денег,
п олу
ченных вместе с остальными двумя; третий получил 300 р. Как
велика была премия и сколько денег получил каждый изобре-
татель?
.
Ответ. 1. 400 км. 2. 240 р. З. 950 р., 400 р., 250 р.,
300 р.
циональны числам 1,
3,
7. Среднее арифметическое этих дробей
200Н..
б
равно 441. аити эти дро и.
Реш ение.
1. Числители дробей: х, 2х, 5х (по условию задачи).
2. Знаменатели дробей: у, 3у, 7у (по условию задачи).
Дб
х2х5х
3. рои:-, -З'-7•
у
у
у
4. Из условия задачи следует:
(~+ 2х + 5Х) :з=200.
50х 200
у
Зу 7у
441' 6Зу -ш .
; = ~- первая дробь;
~;= 281
- вторая дробь;
5х 20
б
7у =49 - третья дро ь.
4820
Ответ.Т, 2Т' 49 •
Решите задачи:
1. З а д а ч а (Н2 13.042). Площади трех участков земли на-
ходятся в отношении ~1: ~ : 1; . Известно, что с первого участка
собрано зерна на 72 ц больше, чем со второго. Найти площадь
всех трех участков, если средняя урожайность составляет 18 ц с
1 га.
2. З а Д а ч а (Н2 13.048). Длина Дуная относится к длине
Днепра как 6 +:5, а длина Дона относится к длине Дуная как
6,5:9,5. Найти протяженность каждой из рек, если Днепр длин-
нее Дона на 300 км.
.
ОТВеты.t. 26га..2. 2850 км, 2250 км, 1950 км.
За да чи, где неизвестные являются членами прогреесии
(или пропорции)
З а Д а ч а (Н2 13.061). Для оплаты пересылкн четырех банде
ролей понадобились 4 различные почтовые марки на общую
сумму 2 р. 80 к. Определить стоимость марок, приобретенных
отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую
прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой
дешевой.
...
Реш ение.
1. Пусть х рублей - стоимость самой дешевой марки.
2. Тогда 2,5х рублей - стоимость самой дорогой марки.
3. Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма чле-
нов арифметической прогресснн, Т. е. Х+:,5Х.4=2,8, х=0,4.
402
403
Рис. 257
хН
I
I
I
I
I
I
I
~------------------~C
в
д
Задачи, компоненгами которых являются геометрические
величины
3 а д а ч а (N'!! 13.057). Дв е силы приложены к одной точке и
направлены под прямым углом. Величина одной из них на 4 Н
больше в еличины другой, а величина равнодействующей на 8 Н
меньше суммы величин данных сил. Найти величины данных
сил и их равнодействующей (рис. 257).
Реш
е ние.
1.1сила- хН.
2. 11 сила - (х+4) Н.
3. Равнодействующая сил:
х+х+4-8=(2х-4)
Н=2 (х-2) Н.
4. Из формулы обще го
члена прогрессии имеем: а.=аl +3d,
2,5x=x+3d, 1 =0,4+3d, d=O,2.
а2=0,4+0,2=0,6, аз=0,6+0,2=0,8.
Ответ.0,4;0,6;0,8;1.
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а (N'2 13.144). Сумму всех четных двузначных чи
сел разделили на одно из них. Остатка не было. Получившееся
частное только порядком цифр отличается от делителя, а сумма
ег о цифр равна девяти. Какое двузначное число являлось дели
тел ем?
2. 3 а д а ч а (N'2 13.211). Цифры некоторого трехзначного
числа составляют геометрическую прогрессию. Если в этом числе
поменять местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное
число будет на 594 меньше искомого. Если же в искомом числе
зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе п ер е
ставить его цифры, то новое двузначное число будет на 18 мень
ше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого
числа. Найти это число.
3. 3 а д а ч а (N'!! 13.29~). Найти четыре числа, образующих
пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14,
сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четы
рех чисел равна 221.
Ответы. 1.54.2. 842.3.12;8;3;2.
Задачи, решаемые арифметическим способом
ЗаДача (Н2 13.007).
Це ну товара сперва снизили
на
20%,
затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерас
чета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов
всего снизили первоначальн ую цену товара?
404
Задачи этого раздела
входят как составная часть в решение
других типовых задач. Заменяя
проценты соответствующим ко
личеством сотых долей числа, легко свести данную задачу на
проценты к аадаче на части.
5. Задачи на проценты
4. Из прямоугольного треугольника ове следует
r+(x+4)2 =(2 (х-2) )2, Xl =0, Х2= 12.
Xl =0 - не удовлетворяет условию задачи.
5. Следовательно, 12 Н - 1 сила,
16Н- 11сила,
20 Н - равнодействующая сила.
Ответ.12Н; 16Н;20 Н.
Решите задачи:
1. З а Д а ч а (Н2 13.059). По обе стороны улицы длиной
1200 м во вновь разбиваемом поселке лежат прямоугольные по
лосы земли, отведенные на участки: одна шириной 50 м, а дру
гая - 60 м. На сколько участков разбит весь поселок, если
более узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем ши;окая,
при условии, что на узкой полосе каждый участок на 1200 м мень
ше, чем каждый участок на широкой полосе?
2. З ад а ч а (H~ 13.147). Имеется лист жести в форме пря
моугольника, у которого отношение длины к ширине равно 2: 1.
Из этого листа изготовлена открытая сверху коробка таким
образом, что по углам листа вырезано по квадрату со стороной
3 см и получившиеся края загнуты. Определить размеры листа
жести, если объем коробки оказался равным 168 см",
3. З а Д а ч а (H~ 13.191). к материальной точке приложены
две силы, угол между которыми равен 300. Величина одной из
приложенных сил в 7 -{3 раза больше
величины другой, а ве
личина равнодействующей силы на 24 Н больше, чем величина
мен ьшей силы. Определить
величину мен ьшей силы и равнодей
ствующей силы.
4. З а Д а ч а (Н2 13.344). Величины двух сил, действующих
на материальную точку под прямым углом, и величина их равно
действующей составляют арифметическую прогрессию. Опреде
лить, в каком отношении
н аходятся
величины сил.
Ответы. 1.На45.2. 10Х20 см",3.2 Ни26 Н.4. 3:4:5.
405
3 а Д а ч а (Н!! 13.049). Первое из неизвестных чисел состав
ляет 140% второго, а отношение первого к третьему равно
~~ . Найти эти числа, если разность между третьим. и вторым на
40 единиц "меньшечисла, составляющего 12,5% суммы первого и
второго чисел.
Реш
е ние.
1. Пусть второе число - х. Тогда первое число - 1,4х, третье
11
число -14·1,4х= 1,lx.
2. Из условия задачи следует уравнение
1,lx~x=0,125 (l,4x+x)-40.
3. Решая уравнение, получим х= 200.
Задачи, в которых извеСТНО1 сколько процентов одно число
составляет от другого
ответ. На 38,8%.
Решите задачу:
3адача (Н!!
13.013). В январе завод выполнил 105% ме
сячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал
пр одукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов
завод
перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Ответ.На7,1%.
38,8%.
% _0,388x.IOO%
Уо-
х
Реш
е ние.
Эту задачу
п роще решить чисто арифметически, .не состав
ляя уравнения.
1. Пусть первоначальная цена товара х рублей, что соответ
ствует 100%.
2. Тогда после первого снижения цена товара будет х-О,2х=
=0,8х (р.).
3. После второго снижения
0,8х-О,15·0,8х=0,68х (р.).
4. После третьего снижения
0,68x-О,68х·О,1 =0,612х (р.).
5. Всего цена товара снизилась на
х-О,612х=0,388х (р.).
х-l00%,
0,388х-у%;
6. Решая систему уравнений, получим х=О,8, у=0,12.
Ответ.80К.,12К.
Решите задачи:
1.ЗаД ач а (Н213.075).Двоерабочих за
смену вместе из
готовили 72 детали. После того как первый рабочий повыeи n:
производительность труда н а 15%, а второй - на 25%, вместе за
смену они стали ИЗГОТОВ.лять
86 деталей. Сколько деталей изго
товляет каждый рабочий за
смену после повышения производи-
тельности труда?
.
2. З а Д а ч а (N2 13.108). На полях, выделенных агролабора
тории для опытов, с двух земельных участков собрали 14,7 ц
зерна. На следующий год после применения новых методов агро-
техники урожай на первом участке повысился на 80%, а на
406
За дачи, в которых иэвесгно, на сколько процентов одно число
больше (илн меньшел другого
3 а д а ч а (.N'2 13.154). За килограмм одного продукта
и
10 кг другого з аплачено 2 р. Если при сезонном изменении цен
первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на
25%, то за
такое же количество этих продуктов будет заплачено
1 р. 82 к. Сколько стоит килограмм каждого продукта?
Реш ение.
1. Пусть стоимость 1 кг первого продукта х рублей.
2. Стоимость 1 кг второго продукта у рублей.
3. Стоимость 1 кг первого продукта после подорожания
x+O,15x= 1,15x.
4. Стоимость 1 кг второго продукта после снижения
у-О,25у , 0,75у.
5. Из условия зад ачи следует:
{
х+ 10у=2,
1,15х+О,75·10у= 1,82.
1,4х=280, 1,lх=220.
Ответ.280,200,220.
Решите зад ачи:
1. З а Д а ч а (Н2 13.017). Найти сумму трех чисел, зная, что
третье относится к первому как 4,5: 1: и составляет 40% второго,
а
сумма первого и второго равна 400.
2. З а Д а ч а (.N'2 13.036). Свежие грибы содержат по массе
90% воды, а сухие - 12% воды. Сколько получится сухих грибов
из 22 кг свежих грибов?
Ответы. 1.520.2.2,5кг.
0,3х+О,lу=90.
Составим систему и решим ее:
. {Х+У=600,
0,3х+О, 1 У = 90;
{
Х+У=600,
3х+у=900.
х= 150, у=600-150=450.
Ответ. 150г, 450г.
Решите задачи:
1. 3 а д а ч а (Н!! 13.090). Имеется кусок сплава меди с оло
вом общей массой 12 кг, содержащий 45% ·меди. Сколько чис
того олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полу
чившийся новый сплав содержал 40% меди?
2. 3 а д а ч а (N!! 13.234). Имелось два сплава меди.с разным
401
откуда следует
6. Задачи' на смеси (сплавы)
Задачи этого раздела вызывают наибо льшие затруднения.
Очень важно разобраться в самом тексте задачи. Необходимо
научиться расчленять такую задачу на ряд простейших.
Задачи, в которых отношение компоне нтов смеси задано в
процентах
3 а д а ч а (Н!! 13.041). Смешали 30%-ный раствор соляной
кислоты с 10%-ным И получили 600 г 15%-ного раствора. Сколь
ко граммов каждого раствора бы ло взято?
Реш ение.
1. Пусть 30%-ного раствора взято х граммов, а 10%-ного
раствора взято у граммов.
2. Тогда из условия ясно, что х+у=6ОО. Так как первый
раствор 30%-ный, то в х граммах этого раствора содержится
0,3х граммов кислоты.
3. Аналогично в у граммах 1O%-ного раствора содержится
O,ly граммов кислоты.
4. В полученной смеси по условию задачи содержится
600ХО,15=90 г кислоты,
втором - на 24 %,
бл агодаря чему с этих же участков бы ло
собрано 21,42 ц зерна. Сколько центнеров зерна собирают
с каждого участка после применения новых методов агротех-
ники?
.
Ответы. 1.460и40.2. 10,26ци11,16ц.
408
Отве т.8л,7л.
7.
(64-8).8
64
Х. =8, Х2= 120 (не удовлетворяет условию).
В о второй раз отлили
Откуда
7. Задачи на разбавление
3ад
а
ч а. Из бак а, наполненного спиртом, отлил и часть
спирта
и долил и до прежнего объема водой, затем из бака отли
ли столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спир
та, после чего в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько
литров спирта отлили
из бака в первый и во второй раз, если в
баке содержалось 64 л?
Реш ение.
1. Будем полаг ать, что Х литров спирта отлили в первый раз.
Тогда (64-х) литров спирта осталось в баке.
2. После того как бак долили водой, в нем стало 64 л смеси.
Следовательно, в 1 л смеси содержалось ~~-х литров спирта.
3. Так как во второй раз отлили Х
литров смеси, то спирта
отлили во второй раз (6~~X) Х литров.
4. Из условия следует, что из бака всего отлил и 64-49= 15 л
спирта.
5. Составим уравнение
и
решим его:
+(64-х)х 15
Х
64
.
процентным содержан ием меди в каждом. Число, выраж ающее
в процентах содержан ие меди в первом сплаве, на 40 меньше
числа, выраж ающего в процентах содержан ие меди во втором
сплаве. Затем оба эти сплава сплав ил и вместе, после чего содер
жание меди составило 36 %. Определить процентное содержание
меди в первом и во втором сплав ах, если известно, что в первом
сплаве меди было 6 кг, а во втором - 12 кг.
3.3ад
а
ч а (N2 13.045). Кусок сплав а меди и цинк а м ас
сой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно доба
вить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал
60% меди?
4.3ад
а
ч а (N2 13.310). Имеется лом стал и двух сортов с
содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металл а
каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стал и с содержа
нием 30% никеля?
Отве ты.1.1,5кг.2.20%и60%.з.13,5кг.4.40т и 100т.
Решите задачи:
1. З а Д а ч а. Сосуд объемом 8 л наполнен воздухом, содер
жащим 16% кислорода. Из сосуда откачали х литров воздуха
и добавили такое же количество азота. Затем откачали х питров
смеси и опять добавили такое же количество азота. В итоге в
сосуде оказалось лишь 9% кислорода. Определить х.
2. 3 а д а ч а (Ng 13.023). В сосуде было 12 л СОЛЯНОЙ кисло
ты. Часть кислоты отлили и сосуд долили ВОДОЙ.
З атем снова
отлили столько же и опять долили ВОДОЙ.
Сколько жидкости
отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-ный раствор
кислоты?
3. З а Д а ч а (Ng 13.341). Из сосуда, наполненного кислотой,
вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили
столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24 л чистой
кислоты. Емкость сосуда 54 л. Сколько кислоты вылили в первый
и второй раз?
Ответы.1.2л.2.6л.3.18ли12л.
26
Глава /ll •
§
1.
Координатная прямая
410
Глава Il
13
§
1 . Обыкновенные дроби .
§
2. Правильные и неправильные дроби •
14
§
3. Основное свойство дроби .
§ 4. Сложение и вычитание дробей •
15
§
5. Умножение дробей
§
6. Деление дробей .
17
§
7. Десятичные дроби .
18
§
8. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в де-
сятичную. Периодические дроби .
19
§
9. Отношение. Пропорция
21
§ 10. Свойства пропорции
§ 11.
Процент. Основные задачи на проценты .
22
§ 12 . Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным
числам
23
Контрольные вопросы .
24
Глава /
5
§
1.
Натуральные числа и действия над ними
§
2. Сложение и законы сложения
§
3. Вычитание .
6
§
4. Умножение и законы умножения •
§
5. Деление
§
6. Признаки делимости чисел
7
§
7. Понятие множества
8
§
8. Операции над множествами •
§
9. Взаимно однозначное соответствие •
9
§ 10 . Простые и составные числа
§ 1 1. Наибольший общий делитель
10
§ 1 2. Наименьшее общее кратное •
Контрольные вопросы •
11
Предисловие
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII
72
§ 1. Уравнения с одной переменной
; 2. Понятие о равносильности уравнений
73
§ 3. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений 74
§ 4. Линейное уравнение с одной переменной. содержащее параметр .
76
Контрольные вопросы •
79
411
Глава V/ .
56
§ 1. Понятие об иррациональном числе
§ 2. Развитие понятия о числе. Множество действительных чисел •
§ 3. Корень k-й степени из действительного числа
•
57
§ 4. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа .
60
§ 5. Арифметическиедействия с действительными числами •
61
§ 6. Преобразования арифметических корней
62
§ 7. Степень с целы м и дробным показателем
6f
Контрольные вопросы .
70
Глава V
46
§ 1. Дробь
§ 2. Цел ые и дробные выражения
48
§ 3. Тождественное преобразование суммы и разности двух дробей.
49
§ 4. Тождественное преобразование произведения и частного двух дробей 51
§ 5. Степень дроби .
54
Контрольные вопросы
§ 1. Свойства степени с натуральным покааатеяем
§ 2. Числовые выражения •
34
§ 3. Выражения с переменными
§ 4. Тождественно равные выражения
§ 5. Одночлены •
35
§ 6. Многочлены
36
§ 7. Преобразование суммы и разности многочленов •
37
§ 8. Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен •
38
§ 9. Разложение многочлена на множители способом вынесения общего
множителя за скобки .
§ 10. Разложение многочлена на множители способом группировки •
40
§ 11. Формулы сокращенного умножения •
41
Контрольные вопросы .
44
Глава /V .
32
§ 2. Множество цел ых
чисел
26
§ 3. Множество рациональных чисел .
27
§ 4. Модуль числа
§ 5. Сравнение рациональных чисел
•
28
§ 6. Сложение и вычитание рациональных чисел
29
§ 7. Умножение и деление рациональных чисел
§ 8. Возведение рациональных чисел в 'степеньс натуральным воказателея
30
Контрольные вопросы
31
412
Глава XlII
150
§ 1. Числовая последовательность
§ 2. Арифметическая прогрессия
151
§ 3. Геометрическая прогрессия
155
§ 4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при Iql < 1
159
Контрольные вопросы •
161
Глава XII
134
§ 1. Системы и совоку пн о сти неравенств •
§ 2. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными .
140
§ 3. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
144
§ 4. Решение рациональных неравенств методом промежутков .
146
Контрольные вопросы .
149
Глава ХI •
122
§ 1. Неравенства
§ 2. Основные свойства неравенств •
123
§ 3. Действия снеравенствами
124
§ 4. Доказательства неравенств
126
§ 5. Неравенства, содержащие переменную .
129
§ 6. Решение линейных и квадратных неравенств
Контрольные вопросы
133
Глава Х
101
§ 1. Квадратные
уравнения
§ 2. Теорема Виета .
107
§ 3. Графический способ решения квадратных уравнений .
109
§ 4. Уравнения со многими переменными •
111
§ 5. Системы уравнений
112
Контрольные вопросы •
121
Глава IХ •
87
§ 1. Геометрические преобразования графиков фун кций
§ 2. Линейная функция и ее график •
89
§ 3. Квадратичная фун кция и ее график .
91
k
§ 4. Функция у=- и ее график •
94
х
§ 5. Дробно-линейная
функция и ее график
95
Контрольные вопросы •
99
86
81
82
83
85
80
Глава VIII
§ 1. Понятие функции •
§ 2. Способы задания фун кции
§ 3. Монотонность фун кции
§ 4. Четные и нечетные функции .
§ 5. Периодические. фун кции
§ 6. Промежутки знакопостоянства и корни фун кции •
Контрольные вопросы .
413
Глава XIX
251
§ 1. Решение
тригонометр ических
неравенств вида sin х;».«, sin х «;«
Глава XVIII •
224
§ 1. Решение
уравнений вида cos х=а
§ 2. Решение
уравнений вида sin х= а
227
§ 3. Решение
уравнений вида tg х=а
229
§ 4. Решение
тригонометр ич еских уравнен ий , пр иводимых к квадратному
233
§ 5. Решение
однородных тригонометрич еских уравнен ий
.
235
§ 6. Тригонометрич еские
уравнения, решаемые с помощью формул сло-
жения, понижения степени
238
§ 7. Решение систем тригонометрических уравнений •
243
Контрольные вопросы
249
Глава XVIl
215
§ 1. Арксинус и арккосинус
§ 2. Арктангенс и арккотангенс
219
Контрольные вопросы .
223
Глава ХУI
196
§ 1. Свойства функции у =sin х и ее график
§ 2. Свойства функции у =cos х и ее график
203
§ 3. Свойства функции у =tg х и ее график •
206
§ 4. Свойства функции y=ctg
х
и
ее график
210
§ 5. Нахождение
периодов тригонометр ических функций
213
Контрольные вопросы .
214
Глава ХУ
177
§ 1. Формулы проведения
§ 2. Формулы сложения
180
§ 3. Формулы двойного угла
182
§ 4. Преобразовани е
произв ед ения тригонометрич еских функций в сумму 186
§ 5. Формулы суммы и ра зности одноименных тригонометр ических функ-
ций
187
§ 6. Тригонометрич еские
функции половинного аргумента •
190
§ 7. Выражение
тригонометрич еских функций чер е- з тангенс половинного
аргумента
193
Контрольные вопросы
194
Глава XIV
162
§ 1. Градусное
и змерение
угловых вел ич ин
§ 2. Радианное
и змерение
угловых велич ин
163
§ 3. Синус и косинус числового аргумента
165
§ 4. Тангенс и котангенс числового аргумента. Секанс и косеканс числа <Z
169
§ 5. Основные тригонометр ич еские
тождества
171
§ 6. Дополнит ельные свойства тригонометрич еских функций
174
Контрольные вопросы
175
302
304
308
309
310
311
при-
312
313
316
318
319
322
324
326
327
329
414
Глава XXV
§ 1. Обратная функция
Глава XX/V
§ 1. Покаэательная функция, ее свойства и график
§ 2. Покаэательные уравнения
§ 3. Покаэательные неравенства
§ 4. Системы показательных уравнений инеравенств
Контрольные вопросы
Глава ХХ///
§ 1. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений (на
м ерах)
§ 2. Посторонние корни иррационального уравнения (на примерах)
§ 3. Решение иррациональных уравнений
§ 4. Решение иррациональных неравенсгв
Контрольные вопросы
Глава ХХ//
§ 1. Формулы приближенных вычислений
§ 2. Касательная к графику функции
§ 3. Скорость и ускоренне в данный момент времени .
§ 4. Графики гармонических колебаний •
Контрольные вопросы
Глава ХХ/
287
§ 1. Применение производной к нахождению промежутков монотонности
функции
§ 2. Критические точки функции, ее максиму мы и миниму мы
289
§ 3. Общая схема исследования функции
292
§ 4. Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции 297
Контрольные вопросы
301
Глава ХХ
267
§ 1. Приращение аргумента и приращение функции
§ 2. Предел функции
269
§ 3. Непрерывность функции
270
§ 4. Определение производной
272
§ 5. Проиэводная суммы, проиэведения, частного
275
§ 6. Проиэводная степенной и сложной функций
277
§ 7. Проиэводные тригонометрических функций •
281
Контрольные вопросы
285
§ 2. Решение тригон о метрических неравенсгв вида cos х>а, cos х<а 256
§ 3. Решение тригонометрических неравенств вида tg х> а, tg х <а
260
§ 4. Решение тригонометрических неравенств
263
Контрольные вопросы
266
Глава XXVII
§ 1. Понятие первооб р азной функции
§ 2. Основное свойство первооб разной функции .
§ 3. Три правила н ахождения первооб разных
§ 4. Криволинейная
трапеция и ее площадь .
Контрольные вопросы
Глава XXVI
§ 1. Логарифмические уравнения
§ 2. Логарифмические неравенства
§ 3. Системы лога р ифмических уравнений инеравенств
§ 4. Производные лога р ифмической и покав ательной функций.
Контрольные вопросы
341
343
346
349
Число е 351
354
355
357
359
360
363
364
Глава XXVIlI
§ 1. Формула Ньютона - Лейбница
§ 2. Основные правила интегр и ров ания
367
§ 3. Вычисление площадей с помощью интегр а ла
370
§ 4. Механические и физические приложения определенного интег р а ла
376
Контрольные вопросы
380
Приложение
381
337
340
ре хода к новому основанию
§ 6. Десятичные лог а рифмы и их свойства
§ 7. Лога р ифмиров ание и потенцирование
Контрольные вопросы
§ 2. Понятие лога р ифма
331
§ 3. Свойства лога р ифмов
332
§ 4. Логарифмическая
функция, ее свойства и график
334
§ 5. Теоремы о лога р ифме произведения, частного и степени. Формула пе-
Учебное издание
Крамор Виталий Семенович
ПОВТОРЯЕМ
И СИСТЕМАТИЗИРУЕМ
ШКОЛЬНЫЙ КУРС
АЛГЕБРЫ
И НАЧАЛ АНАЛИЗА
Подписано в печать 21.02.2008. Формат 60х90
1
/16.
Гарнитура «Литературная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 26,00. Тираж 5000 экз. Заказ No
.
Общероссийский классификатор продукции
ОК$005 $93 , том 2; 953005 — учебная литература
ООО «Издательство Оникс».
127422, Москва, ул. Тимирязевская, д . 38/25.
Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26.
Отдел реализации: тел. (499) 619$02 $20 , 610$02 $50 .
Internet$магазин: www.onyx.ru
ООО «Издательство «Мир и Образование».
Изд. лиц. ИД No 05088 от 18.06 .2001.
109193, Москва, ул. 5 $я Кожуховская, д. 13, стр. 1 .
Тел./факс (495) 120$51$47 , 129$09$60, 742$43$54.
E$mail: mir$obrazovanie@onyx.ru
Издание осуществлено при техническом содействии ООО «Издательство АСТ»