Автор: Григорьев Б.А. Цветков Ф.Ф.
Теги: тепловые двигатели в целом получение, распределение и использование пара паровые машины паровые котлы теплоэнергетика теплотехника
ISBN: 978-5-383-00563-7
Год: 2011
Текст
Ф.Ф.Цветков, Б.А.Григорьев
ТЕПЛОМАССООБМЕН
Учебник для вузов
Допущено Учебно-методическим объединением вузов России
по образованию в области энергетики и электротехники
в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся
по направлению подготовки "Теплоэнергетика"
дг
Москва
Издательский дом МЭИ
2011
УДК 621.1.016
ББК 31.31
Ц274
Рецензенты:кафедра теоретических основ теплотехники
Казанского государственного технологического университета;
А.Ф. Поляков, главный науч. сотр. ОИВТ РАН, доктор техн. наук
Цветков Ф.Ф.
Ц 274 Тепломассообмен: учебник для вузов / Ф.Ф. Цветков, Б.А.
Григорьев. — М: Издательский дом МЭИ, 2011. — 562 с, ил.
ISBN 978-5-383-00563-7
Изложены основы теории и методы расчета процессов теплопроводности в
твердых телах, конвективного теплообмена в однофазной среде, теплообмена при
конденсации и кипении, теплообмена излучением между телами, разделенными
прозрачной или поглощающей и излучающей средой. Рассмотрены
теоретические основы совместных процессов массо- и теплообмена применительно к
задачам теплоэнергетики, в том числе и промышленной. Приведены основные
положения теплогидравлического расчета теплообменных аппаратов. Теоретический
материал дополнен большим количеством примеров решения задач.
Настоящее издание книги, выпускаемое как учебник, кардинально
переработано по сравнению с предыдущим, вышедшим в Издательском доме МЭИ
в 2006 г. в качестве учебного пособия, — отдельные главы существенно
дополнены, некоторые параграфы сокращены или изъяты.
Для студентов теплотехнических специальностей вузов.
УДК 621.1.016
ББК 31.31
© Цветков Ф.Ф., Григорьев Б.А., 2011
ISBN 978-5-383-00563-7 © ЗАО «Издательский дом МЭИ», 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Список основных обозначений 11
Введение 13
Часть первая. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Глава первая. Математическое описание процесса теплопроводности 17
1.1. Общие положения 17
1.2. Температурное поле. Градиент температуры 18
1.3. Тепловой поток. Вектор плотности теплового потока 19
1.4. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности 24
1.5. Уравнение теплопроводности 27
1.6. Условия однозначности 31
Краткие итоги гл. 1 33
Глава вторая. Стационарная теплопроводность 35
2.1. Передача теплоты через плоскую стенку 35
2.2. Передача теплоты через цилиндрическую стенку 42
2.3. Передача теплоты через сферическую стенку 50
2.4. Температурное поле при действии источников теплоты в пластине
и круглом стержне 54
2.5. Двухмерное температурное поле и тепловой поток в плоском ребре 59
2.6. Теплопроводность стержня (ребра) при малых значениях числа Био 62
2.7. Передача теплоты через круглое ребро 66
2.8. Теплопередача через ребристую стенку 69
2.9. Численный метод решения стационарных задач теплопроводности 70
2.10. Задачи с решениями 85
Краткие итоги гл. 2 88
Глава третья. Нестационарная теплопроводность 90
3.1. Предварительные замечания 90
3.2. Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины 91
3.3. Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) бесконечно
длинного цилиндра и шара 101
3.4. Нестационарное температурное поле в полуограниченном массиве 107
3.5. Охлаждение (нагревание) тел, имеющих форму параллелепипеда
или цилиндра конечной длины „..,.. 111
3.6. Регулярный режим 112
3.7. Численный метод решения нестационарных задач теплопроводности .. 114
3.8. Задачи с решениями 122
Краткие итоги гл. 3 124
3
Часть вторая. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Глава четвертая. Уравнения теории конвективного теплообмена 126
4.1. Общие положения 126
4.2. Два способа наблюдения за движущейся жидкостью.
Субстанциональная производная. Вектор плотности потока энтальпии 128
4.3. Уравнение неразрывности. Понятие несжимаемой жидкости 131
4.4. Силы, действующие в движущейся жидкости. Закон внутреннего
трения Ньютона. Вязкость 132
4.5. Уравнения движения 136
4.6. Уравнение энергии 138
4.7. Безразмерные параметры (числа подобия), характеризующие
процессы конвективного теплообмена 141
4.8. Ламинарный и турбулентный режимы течения. Уравнения
Рейнольдса 145
Краткие итоги гл. 4 148
Глава пятая. Ламинарный пограничный слой 149
5.1. Понятие пограничного слоя 149
5.2. Теоретический анализ динамического пограничного слоя 154
5.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании пластины.
Задача Блазиуса 158
5.4. Теоретический анализ теплового пограничного слоя 161
5.5. Тепловой пограничный слой при обтекании пластины. Задача
Польгаузена 164
5.6. Автомодельные решения уравнений пограничного слоя 168
5.7. Пограничный слой при обтекании тела сжимаемым газом 173
5.8. Интегральные соотношения импульсов и энергии 179
5.9. Задачи с решениями 184
Краткие итоги гл. 5 186
Глава шестая. Турбулентный пограничный слой 188
6.1. Развитие пограничного слоя при продольном обтекании пластины 188
6.2. Структура турбулентного пограничного слоя 192
6.3. Уравнения турбулентного пограничного слоя. Турбулентная
вязкость и турбулентная теплопроводность 196
6.4. Аналогия Рейнольдса 200
6.5. Теплообмен в турбулентном пограничном слое при обтекании
пластины 202
6.6. Метод Кутателадзе—Леонтьева 211
6.7. Задачи с решениями 214
Краткие итоги гл. 6 217
Глава седьмая. Свободная конвекция 219
7.1. Общие сведения о свободной конвекции 219
7.2. Теплоотдача при свободной конвекции жидкости около
вертикальной пластины или вертикальной трубы 222
4
7.3. Свободная конвекция около горизонтальной пластины или
горизонтальной трубы. Конвекция в ограниченном пространстве 228
7.4. Задачи с решениями 234
Краткие итоги гл. 7 236
Глава восьмая. Течение и теплообмен в трубах. Общие сведения 239
8.1. Режимы течения. Начальный гидродинамический участок 239
8.2. Гидравлическое сопротивление при течении в трубе 243
8.3. Первый закон термодинамики для течения в трубе 244
8.4. Местный и средний коэффициенты теплоотдачи. Начальный
термический участок 246
8.5. Расчет температур стенки трубы, жидкости и теплового потока 248
Глава девятая. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в трубе 251
9.1. Основные особенности процесса теплообмена в трубах
при ламинарном течении теплоносителей 251
9.2. Теплообмен при ламинарном течении в круглой трубе.
Задача Гретца—Нуссельта 253
9.3. Теплообмен в круглой трубе при постоянной плотности
теплового потока на стенке 256
9.4. Вязкостный режим. Режим смешанной конвекции 259
9.5. Задачи с решениями 264
Краткие итоги гл. 9 265
Глава десятая. Теплообмен при турбулентном течении в трубах 267
10.1. Предварительные замечания 267
10.2. Интеграл Лайона 269
10.3. Теплообмен при турбулентном течении в круглой трубе 270
10.4. Теплообмен при турбулентном течении в кольцевом канале 276
10.5. Теплообмен при смешанной (вынужденной и свободной)
турбулентной конвекции ? 278
10.6. Особенности теплообмена в около- и сверхкритической области
параметров состояния вещества 281
10.7. Задачи с решениями 284
Краткие итоги гл. 10 287
Глава одиннадцатая. Теплообмен при поперечном обтекании трубы
и пучка труб 289
11.1. Зависимость характера обтекания цилиндра от числа Рейнольдса 289
11.2. Теплоотдача при обтекании цилиндра 292
11.3. Конструктивные особенности пучков труб, теплоотдача
при их обтекании, а также характер течения жидкости в этих пучках ... 295
11.4. Задачи с решениями 298
Часть третья. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЯХ
Глава двенадцатая. Теплообмен при конденсации пара 301
12.1. Виды конденсации. Термические сопротивления в процессе
конденсации пара на охлаждаемой стенке 301
5
12.2. Теория пленочной конденсации на охлаждаемой вертикальной
стенке (теория Нуссельта). Влияние различных факторов
на теплоотдачу при ламинарном течении пленки 305
12.3. Конденсация пара на вертикальной стенке при смешанном
режиме течения пленки 312
12.4. Конденсация пара на наружной поверхности горизонтальных труб 316
12.5. Теплообмен при конденсации пара в трубах 321
12.6. Капельная конденсация 325
12.7. Задачи с решениями 327
Краткие итоги гл. 12 332
Глава тринадцатая. Теплообмен при кипении 334
13.1. Основные сведения о механизме парообразования 334
13.2. Кривая кипения 343
13.3. Теплоотдача и критические тепловые потоки при кипении
в большом объеме 347
13.4. Общие сведения о кипении при вынужденной конвекции в трубах 352
13.5. Теплоотдача при кипении в трубах 356
13.6. Кризисы теплоотдачи при кипении в трубах 360
13.7. Задачи с решениями 365
Краткие итоги гл. 13 369
Часть четвертая. МАССООБМЕН
Глава четырнадцатая. Уравнения теории массо- и теплообмена 371
14.1. Основные понятия 371
14.2. Закон Фика. Коэффициент диффузии 374
14.3. Уравнения диффузии и неразрывности 377
14.4. Уравнения движения смеси 379
14.5. Уравнение энергии. Число Льюиса 381
14.6. Уравнения баланса массы и энергии для межфазной границы 384
14.7. Диффузионный пограничный слой. Уравнения теории
пограничного слоя при наличии массообмена 387
14.8. Коэффициент массоотдачи. Аналогия процессов
переноса массы, теплоты и количества движения 390
Краткие итоги гл. 14 398
Глава пятнадцатая. Массо- и теплообмен при испарении,
конденсации и химических реакциях 400
15.1. Стефанов поток массы 400
15.2. Массо- и теплообмен при испарении в парогазовую среду 402
15.3. Массо- и теплообмен при конденсации из парогазовой смеси 408
15.4. Тепломассоперенос при химических реакциях 410
15.5. Задачи с решениями 418
Часть пятая. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
Глава шестнадцатая. Основные понятия и законы теплового излучения 425
16.1. Общие сведения о тепловом излучении 425
16.2. Интенсивность излучения и плотность потока излучения.
Вектор плотности потока излучения 428
6
16.3. Закон Кирхгофа 431
16.4. Законы излучения абсолютно черного тела 434
16.5. Поглощательная и отражательная способности тел. Степень черноты .. 437
16.6. Задачи с решениями 441
Глава семнадцатая. Теплообмен излучением между телами,
разделенными прозрачной средой 445
17.1. Два метода изучения процессов теплообмена излучением.
Классификация потоков излучения 445
17.2. Лучистый теплообмен между двумя безграничными пластинами 447
17.3. Лучистый теплообмен в системе, состоящей из двух
концентрических сфер или двух коаксиальных цилиндров 450
17.4. Угловые коэффициенты излучения 452
17.5. Расчет теплообмена излучением в произвольной системе тел.
Зональный метод 458
17.6. Теоретическое обоснование зонального метода.
Интегральные уравнения теории теплообмена излучением 462
17.7. Метод Суринова 465
17.8. Задачи с решениями 467
Краткие итоги гл. 17 471
Глава восемнадцатая. Инженерный метод расчета лучистого теплообмена
в системе тел, заполненной излучающей и поглощающей средой 472
18.1. Поглощательная способность и степень черноты среды 472
18.2. Расчет теплообмена излучением в системе типа
«газ в черной оболочке» 480
18.3. Обобщенные угловые коэффициенты излучения 482
18.4. Зональный метод расчета теплообмена излучением
в замкнутой системе тел, заполненной поглощающей средой 486
18.5. Теплообмен излучением в системе типа «серый газ
в серой оболочке» и «несерый газ в несерой оболочке» 489
18.6. Задачи с решениями 490
Краткие итоги гл. 18 491
Глава девятнадцатая. Перенос энергии излучения в поглощающей,
излучающей и рассеивающей среде 493
19.1. Уравнение переноса энергии излучения и его решение 493
19.2. Интенсивность и плотность потока излучения в плоском слое среды.... 498
19.3. Оптически тонкий и оптически толстый слои 505
19.4. Сложный тепломассообмен 508
Часть шестая. ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
Глава двадцатая. Общие сведения о теплообменных аппаратах 512
20.1. Основное назначение теплообменных аппаратов..*. 512
20.2. Рекуперативные теплообменники 514
20.3. Регенеративные теплообменые аппараты 516
20.4. Аппараты смешивающего типа 517
7
Глава двадцать первая. Расчет теплообменных аппаратов 521
21.1. Уравнение теплового баланса. Уравнения баланса массы 521
21.2. Средний температурный напор 522
21.3. Уравнение теплопередачи 528
21.4. Поверочный расчет теплообменного аппарата. Сравнение
прямотока с противотоком 529
21.5. Гидравлический расчет аппаратов 533
21.6. Тепловой расчет регенеративных теплообменников 535
21.7. Задачи с решениями 537
Краткие итоги гл. 21 543
Приложения 545
Список литературы 555
Алфавитно-предметный указатель 557
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга предназначена для студентов, обучающихся по
направлению «Теплоэнергетика» и представляет собой учебник по курсу
«Тепломассообмен» — составной части дисциплины «Теоретические основы
теплотехники». В книге подробно излагаются такие задачи теории
тепломассообмена, которые характерны для условий работы тепловых и
атомных электрических станций и тепломассообменных аппаратов
промышленных предприятий.
В основном книга рассчитана на то, что будет использована при
подготовке бакалавров. Однако объем изложенного здесь материала превышает
перечень тех вопросов, которые можно изучить в рамках отводимых в
учебном плане часов на дисциплину «Теоретические основы теплотехники».
Поэтому книгу можно рекомендовать студентам, обучающимся в
магистратуре, аспирантам и использовать в системе подготовки, переподготовки и
повышения квалификации персонала энергетических компаний. Книга
будет полезна также для начинающих преподавателей.
Современный этап развития техники и промышленности, широкое
внедрение компьютеров в инженерную практику требуют повышения уровня
знаний инженеров в области фундаментальных наук, и в частности в
области теории тепломассообменна. Именно на основе этих знаний можно
разрабатывать и совершенствовать методы расчета процессов
тепломассообмена и создавать новое технологическое оборудование.
Авторы настоящего учебника учитывали специфику
теплоэнергетических специальностей вузов и свой опыт преподавания указанного курса на
кафедре теоретических основ теплотехники Московского энергетического
института.
В подготовке специалистов-теплоэнергетиков важную роль играют
практические занятия, учебные научно-исследовательские работы,
индивидуальные расчетные задания, курсовое проектирование. С этой целью
авторами кафедры ТОТ МЭИ написано учебное пособие [51]. Имеется
также и другая учебная литература [8]. Однако в настоящее время
практически отсутствует руководство по решению типовых задач инженерного
расчета элементов тепломассообменных аппаратов. В связи с этим авторы
сочли необходимым привести примеры решения задач по всем основным
разделам курса «Тепломассообмен». По мнению авторов, усвоение этих
примеров должно способствовать лучшему пониманию теории
тепломассообмена, развитию умений и навыков в решении практических задач.
9
В книге достаточно подробно излагаются примеры решения задач
с применением компьютеров. В список литературы включены практически
все имеющиеся в настоящее время справочники и справочные пособия.
При подготовке учебника ряд глав был частично переработан в целях
более ясного изложения теории; при этом некоторые параграфы были
отброшены, а менее существенный для начального обучения материал
напечатан петитом. Дополнены главы, посвященные совместным
процессам массо- и теплообмена. В конце большинства глав даны краткие
итоги. Ряд задач с решениями перенесен в [51].
В заключение авторы выражают благодарность преподавателям кафедры
ТОТ МЭИ, принявшим участие в обсуждении рукописи учебника и
оказавшим помощь при подготовке ее к изданию. Также авторы искренне
благодарят В.Ю. Демьяненко, написавшего в книге два больших параграфа
(§ 2.9 и 3.7).
Авторы будут признательны за все замечания и пожелания по
улучшению книги, которые следует направлять по адресу: 111250, Москва,
Красноказарменная ул., 14, Издательский дом МЭИ.
Авторы
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
2/
а — температуропроводность, м /с;
2
ат — турбулентная температуропроводность, м /с;
А — поглощательная способность;
Ь — параметр проницаемости;
с — массовая концентрация;
сг — коэффициент трения (при внешнем обтекании тела);
с — удельная теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кг • К);
d — диаметр, м;
2
D — коэффициент диффузии, м /с; пропускательная способность;
2
Е — плотность потока излучения, Вт/м ;
2
Е0 — плотность потока излучения абсолютно черного тела, Вт/м ;
2
F — площадь поверхности теплообмена, м ;
2
g — ускорение свободного падения, м/с ;
G — массовый расход, кг/с;
h — высота, м; энтальпия, Дж/кг;
2
/ — интенсивность излучения, Вт/(м • ср);
2
j — плотность потока массы, кг/(м • с);
к — коэффициент теплопередачи, Вт/(м • К);
/ — длина, м;
/н г — длина начального гидродинамического участка, м;
/н т — длина начального термического участка, м;
/q — характерный размер, м;
Р — давление, Па;
Ар — перепад давлений, Па;
2
Я — плотность теплового потока, Вт/м ;
4V — мощность источников теплоты, Вт/м ;
Q — тепловой поток, Вт;
г — радиус, м; теплота парообразования, Дж/кг;
Я — термическое (тепловое) сопротивление, м • К/Вт; отражательная способность;
<Г 2
^ — площадь сечения, м ;
t — температура, °С;
Т — температура, К;
ДГ — температурный напор, К;
v — скорость, м/с;
11
у* — динамическая скорость, м/с;
х — координата, м; массовое расходное паросодержание;
у, z — координаты, м;
2 —1
а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м • К); коэффициент поглощения, м ;
2
Р — коэффициент массоотдачи, кг/(м • с); коэффициент объемного расширения,
объемное расходное паросодержание;
у — коэффициент перемежаемости;
8 — толщина, м; толщина динамического пограничного слоя, м;
5Т — толщина теплового пограничного слоя, м;
dD — толщина диффузионного пограничного слоя, м; ^
е — степень черноты;
6 — разность температур, К;
0 — безразмерная температура;
X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м • К); длина волны излучения, м;
ц — динамическая вязкость, Па • с;
цт — турбулентная динамическая вязкость, Па • с;
2
v — кинематическая вязкость, м /с;
2
vT — турбулентная кинематическая вязкость, м /с;
£ — коэффициент трения (при течении в трубах);
р — плотность, кг/м ;
а — напряжение, Па; поверхностное натяжение, Н/м;
<т0 — постоянная Стефана—Больцмана, Вт/(м • К );
ас — касательное напряжение на стенке, Па;
т — время, с.
Bi = al0/Xc
Fo = ат//0
Gr = gPA27o/v2
Grq = gVq/0/(v\)
Ra = GrPr
Le = D/a
Nu = а10/Хж
NuD = p/0/(pD)
Pe = v0l0/a
?v = v/a
?rD = vID
Re = v0l0/v
St = a/(pu0c )
Числа подобия:
— число Био;
— число Фурье;
— число Грасгофа при Тс = const;
— число Грасгофа при qc = const;
— число Ре лея;
— число Льюиса;
— число Нуссельта;
— диффузионное число Нуссельта;
— число Пекле;
— число Прандтля;
— диффузионное число Прандтля;
— число Рейнольдса;
— число Стантона.
ВВЕДЕНИЕ
Самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в
пространстве с неоднородным полем температуры называется теплообменом.
Пространство может быть заполнено многокомпонентной смесью веществ.
Если концентрации компонентов в различных точках пространства разные,
происходит необратимый процесс переноса массы компонентов из одной
области в другую. Этот процесс называется массообменом. Совместно
протекающий процесс переноса теплоты и массы вещества называется
тепломассообменом.
Как любой реальный самопроизвольный процесс тепломассообмен
является необратимым и продолжается до тех пор, пока в системе не
установится термодинамическое равновесие.
Перенос теплоты при непосредственном контакте более нагретых
элементов тела (или среды) с менее нагретыми, осуществляемый посредством
хаотического движения и взаимодействия микрочастиц (молекул, атомов,
электронов, ионов), называется теплопроводностью. В движущихся
жидкостях и газах происходит конвективный теплообмен. В этом случае
распространение теплоты в пространстве осуществляется одновременно
двумя способами: за счет теплового движения микрочастиц и посредством
перемещения макрочастиц (элементов жидкости или газа) из одной точки
пространства в другую. Последний способ называется конвективным
переносом теплоты.
Движение называют вынужденным, если оно происходит за счет
действия внешних сил, приложенных на границах системы (например, за счет
перепада давления, создаваемого насосом или вентилятором), и свободным,
если оно обусловлено действием неоднородного поля массовых сил (сил
тяжести, сил инерции), приложенных к частицам среды (жидкости или газа)
внутри системы. Типичным случаем свободного движения является
термогравитационная конвекция, когда более нагретые частицы среды
архимедовой силой выталкиваются вверх, а менее нагретые опускаются вниз. В ряде
случаев вторичные токи свободной конвекции оказывают существенное
влияние на процесс переноса теплоты при вынужденном движении среды.
Эти случаи называют теплообменом при смешанной конвекции.
На процесс конвективного теплообмена оказывает влияние скорость
движения среды и ее распределение в пространстве. В ^движущейся
неравномерно нагретой среде с неоднородным распределением скорости
происходит как перенос теплоты, так и перенос количества движения (импульса).
Интенсивность переноса теплоты зависит от интенсивности переноса
13
импульса, поэтому первый процесс невозможно рассматривать в отрыве от
второго. С этим связан тот факт, что некоторые положения гидродинамики
или механики жидкости широко используются в теории тепломассообмена.
Конвективный теплообмен между движущейся средой и омываемой ею
поверхностью твердого тела называется теплоотдачей. Изучение этого
процесса имеет большое практическое значение, так как нагревание или
охлаждение жидкостей или газов в технике и быту часто происходит либо
при внешнем обтекании твердой поверхности теплообмена (например,
поверхности трубы), либо при внутреннем обтекании (например, при
движении жидкости внутри трубы).
В общем случае под процессом теплоотдачи понимается конвективный
теплообмен между движущейся средой и поверхностью на границе ее
раздела с другой средой; причем под границей раздела понимается не только
твердое тело, но и жидкость или газ, отличные от движущейся среды.
Последний случай характерен для совместно протекающих процессов
массо- и теплообмена.
Массообменом называется процесс переноса массы вещества в
пространстве с неоднородным распределением концентрации этого вещества
(в общем случае — неоднородным распределением химического
потенциала вещества, являющегося функцией температуры, давления и
концентрации). Явления массопереноса объясняются диффузией компонентов в
смеси веществ. Механизмы диффузии и теплопроводности идентичны: оба
процесса обусловлены хаотическим тепловым движением молекул.
Распространение массы вещества в движущейся смеси веществ, т.е.
конвективный массообмен, происходит одновременно как за счет молекулярной
диффузии, так и за счет конвективного переноса вещества.
В практике важными являются процессы переноса массы при
химических реакциях, протекающих в объеме смеси или на границе раздела фаз,
а также процессы переноса при фазовых переходах — испарении
жидкости в парогазовую среду или конденсации пара из парогазовой смеси.
Теплообмен излучением включает в себя совокупность процессов:
превращение внутренней энергии вещества в энергию излучения (энергию
электромагнитных волн или фотонов); перенос излучения; поглощение
излучения веществом. Перенос теплоты одновременно излучением и
теплопроводностью называется радиационно-кондуктивным теплообменом, а
перенос теплоты излучением, теплопроводностью и конвекцией — радиа-
ционно-конвективным теплообменом.
Для теоретического изучения процессов тепломассопереноса на основе
общих законов физики составляется их математическое описание. При этом
среду, в которой протекают эти процессы, считают сплошной. Это значит,
что в физически бесконечно малом элементе AV (элементарном объеме)
содержится очень большое число микрочастиц. Под А V понимается такой
объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерным
14
геометрическим размером, приведенным в изучаемой задаче (например, с
диаметром трубы). Тогда можно говорить о локальном (т.е. в пределах
элемента AV) термодинамическом равновесии в любой момент времени в
любой точке материальной среды и рассматривать параметры состояния
среды (температуру, давление, плотность, концентрацию компонентов
смеси и др.) как непрерывные функции координат точки и времени.
Понятие сплошной среды позволяет распространить уравнения термодинамики
и законы теплового излучения на термодинамически неравновесные
процессы переноса теплоты, импульса и массы вещества.
Понятие локального термодинамического равновесия применимо
к большинству реальных процессов тепломассообмена. Исключение
составляют сильно разреженные газы и такие особые случаи, как ударные
волны, переход газа через скачок уплотнения и др. В этих особых случаях
характерное время изменения состояния системы весьма мало. При этом
совокупность большого числа микрочастиц в элементе AV за это время не
успевает придти в состояние термодинамического (статистического)
равновесия.
Состояние сплошной среды можно считать полностью определенным,
если в каждой точке пространства в любой момент времени известны
значения следующих величин: температуры, концентраций компонентов
смеси, давления и скорости. Другими словами, из математического
описания процессов тепломассообмена должны быть найдены поля указанных
величин. Знание этих полей позволяет (в этом мы убедимся в дальнейшем)
найти количества теплоты и вещества, переносимые через поверхность
системы, гидравлическое сопротивление и другие величины,
представляющие практический интерес.
Заложив в основу теории тепломассообмена модель сплошной среды,
мы тем самым пользуемся термодинамическим методом изучения явлений
переноса, т.е. отвлекаемся от внутреннего физического механизма этих
явлений и никак не учитываем свойства конкретной среды. Как показывает
опыт, интенсивность процессов переноса в различных средах разная.
Поэтому наряду с общими законами физики при составлении
математического описания процессов тепломассообмена должны привлекаться
эмпирические законы (законы Фурье, Фика, Ньютона), в которых свойства
среды учитываются соответствующими коэффициентами переноса. Эти
коэффициенты переноса, а также коэффициенты, характеризующие
излучение реальной среды, получают либо экспериментально, либо с помощью
молекулярно-кинетической или электромагнитной теории, либо методами
статистической и квантовой физики.
Процессы тепломассообмена широко распространены на практике.
Знание их закономерностей имеет первостепенное значение для тепловой
и ядерной энергетики, промышленной теплоэнергетики,
энергомашиностроения, авиации, космонавтики, ракетостроения и др.
15
Наука о тепломассообмене имеет давнюю историю. Основы теории
тепломассообмена были заложены трудами ученых многих стран мира.
В связи с практическими потребностями ее интенсивное развитие началось
в начале XX в. и продолжается в настоящее время.
Сложность явлений тепломассопереноса приводит к тому, что многие
практически важные задачи не могут быть решены аналитическими
методами. Тогда прибегают к численным методам с их реализацией на мощных
быстродействующих компьютерах.
Наряду с теорией важную роль в изучении процессов
тепломассообмена играет эксперимент, с помощью которого проверяют гипотезы и
результаты теории, а также получают информацию о механизме явленийч В
ряде случаев только опытным путем можно получить формулы,
необходимые для расчета тепло- и массообменных аппаратов, широко
распространенных во многих отраслях промышленности.
Часть первая
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Глава первая
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1.1. Общие положения
Теплопроводность — это процесс переноса теплоты от более нагретой
части тела к менее нагретой за счет движения и взаимодействия
микрочастиц тела. Он происходит в твердых телах, неподвижных или движущихся
жидкостях и газах, а также в многофазных и многокомпонентных средах.
Процесс теплопроводности возникает самопроизвольно, если
различные точки тела имеют разные температуры, и продолжается до тех пор,
пока не произойдет выравнивание температур во всех точках тела.
В первой главе приводится математическое описание
теплопроводности, которое без каких-либо оговорок (кроме допущения об
изотропности тел) справедливо для твердых тел. Оно справедливо также для
жидкостей и газов, но только в том случае, когда они неподвижны с
макроскопической точки зрения. Последнее выполняется далеко не всегда.
При неоднородном распределении температуры в жидкости или газе
различные части среды имеют разные плотности, вследствие чего возникает
свободная конвекция, обусловленная действием архимедовой силы. Однако
бывают случаи, когда эта сила мала (например, жидкость или газ находится
в очень тонком зазоре) и среда остается в недвижном состоянии, несмотря
на разные температуры в разных ее точках.
Интенсивность процесса теплопроводности в различных телах разная.
Наибольшей способностью проводить теплоту обладают металлы. Их
теплопроводность при не очень низких температурах в основном объясняется
тепловым движением электронов. Чем меньше удельное электрическое
сопротивление металла, тем выше его теплопроводность.
Газы — плохие проводники теплоты. Теплопроводность газов
обусловлена хаотическим тепловым движением молекул. Она возрастает с
повышением температуры, так как при этом увеличивается скорость теплового
движения. При не очень высоких давлениях теплопроводность газов от
давления не зависит из-за того, что с увеличением давления, хотя и
увеличивается число молекул в единице объема, но одновременно уменьшается
длина свободного пробега.
17
Передача теплоты в твердых телах — диэлектриках происходит
посредством колебаний кристаллической решетки, в узлах которой находятся
атомы, а в жидкостях — за счет упругих колебаний молекул и их перескока
из одной области в другую.
Следует указать на то, что вводимые в следующих параграфах такие
понятия, как температурное поле, градиент температуры, тепловой поток,
вектор плотности теплового потока, а также закон Фурье будут
использоваться во всех разделах курса тепломассообмена.
1.2. Температурное поле. Градиент температуры
Совокупность значений температуры во всех точках изучаемого
пространства в данный момент времени называется температурным полем.
Аналитически температурное поле можно представить в виде функции
температуры от координат точек пространства и времени.
В зависимости от конфигурации изучаемой области пространства
(т.е. от формы тела) выбирают декартову (рис. 1.1, а), цилиндрическую
(рис. 1.1,6) или сферическую (рис. 1.1, в) системы координат. Если
соответственно этим системам координат известны функции Т = Т(х, у, z, т),
Т = Т(г, ф, z, х) или Г(г, ф, 0, т), то, фиксируя в них момент времени т,
получаем температурное поле при данном значении т. Если с течением
времени поле температуры не изменяется, оно называется стационарным;
в противном случае — нестационарным.
Могут быть случаи, когда температура не зависит от одной из координат.
Тогда поле называют плоским или двухмерным: Т = Т(х, у) или Т = Т(г, ф).
Если к тому же дТ/ду = О или дТ/ду = О, то получаем: Т = Т(х) или Т = Т(г).
Этот частный случай представляет одномерное температурное поле.
Поверхность, во всех точках которой температура одинакова,
называется изотермической. В плоскости пересечения тела эти поверхности
оставляют следы в виде изотерм — линий одинаковой температуры.
Рис. 1.1. Декартова (а), цилиндрическая (б) и сферическая (в) системы координат
i, j, k, ег еф, eG, ez — орты
18
Скорость возрастания температуры в данном направлении
определяется значением производной от температуры по направлению 10 дТ/д\0,
где 1q — единичный вектор. Если направление 10 совпадает с
направлениями i, j, к, то производные по этим направлениям равны частным
производным дТ/дх, дТ/ду и dT/dz.
Наибольшее значение имеет производная по направлению нормали п0
к изотермической поверхности. Пусть ф — угол между векторами п0 и 10.
Тогда
Градиент температуры (обозначается grad Т или VT) — вектор,
направленный по нормали к изотермической поверхности (в сторону увеличения
температуры) и имеющий длину, равную производной по этому
направлению. Проекция градиента температуры на произвольное направление 10
есть производная дТ/д\0.
В декартовых координатах
дТ. дТ. дТ. . ч
gradr=^, + ^J + ^k' (1Ла)
в цилиндрических координатах
._, дТ 1 дТ ^дТ ,. ,,,
v*T-Tr*r + -rd?* TS" (Мб)
в сферических координатах
gradr= — е + —— — е + - —е0. (1.1в)
дг r rsinG дф <Р г дв w
Наряду со скалярным полем температуры в неравномерно нагретом
теле имеется векторное поле grad Т.
1.3. Тепловой поток. Вектор плотности теплового потока
Тепловым потоком Q, Вт, называется количество теплоты, проходящее
через произвольную поверхность площадью F в единицу времени.
2
Плотность теплового потока q, Вт/м , — это отношение теплового
потока Ag, проходящего через элементарную площадку AF, к площади AF:
АО
*-■£• (1.2)
19
Различают местную (локальную) плотность теплового потока, которая
определяется по формуле (1.2) и среднюю по поверхности плотность
теплового потока
9 = Р- (1-2а)
Рассмотрим понятие: вектор плотности теплового потока q. Вектор
q — это вектор, в направлении которого интенсивность переноса теплоты
наибольшая. В направлении, перпендикулярном q, переноса теплоты нет.
Численно вектор q равен местной плотности теплового потока,
проходящего через элементарную площадку, перпендикулярную к q.
Разберем более подробно понятие вектора q. В неравномерно нагретом
теле выделим элементарный (бесконечно малый) объем в форме
параллелепипеда (рис. 1.2).
Примем, что температуры заштрихованных на рис. 1.2 оснований равны
Tj и Т2 (7\ > Г2), а вектор q перпендикулярен к основаниям, а также к
элементарной площадке AF' в середине параллелепипеда. При этом теплота
передается вдоль направления прямой, проходящей через центры
оснований и центр площадки AF'. Через боковую поверхность данного
параллелепипеда тепловой поток не передается.
Пусть AF — элементарная площадка, для которой единичный вектор п0
составляет угол с вектором q (рис. 1.2). С учетом того, что AF' = AFcoscp,
имеем
AQ = |q|AF' = |q||n0|cos(pAF= q„AF,
где q — проекция вектора q на направление нормали п0, и так как qn =
= AQ/AF, то qn — местная плотность теплового потока, проходящего через
AF, причем qn = qnQ.
Рис. 1.2. К определению понятия вектора q
20
Следовательно, q — это вектор, проекция которого на произвольное
направление, есть местная плотность теплового потока, проходящего
через площадку, перпендикулярную к этому направлению.
Например, если направления совпадают с i, j, к, то для оси Ox qn = qx,
для оси Оу — q для оси Oz — q2 и
Математически тепловой поток представляет собой поток векторного
поля q (поток вектора q). По определению поток векторного поля q есть
поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора q и
единичного вектора нормали п0 к элементарной площадке поверхности. Тогда
тепловой поток
e = jqn0dF = j^
dF.
(1.3)
Распространение теплоты в теле наглядно можно представить в виде
таких линий теплового тока, в каждой точке которых вектор q направлен
по касательной к ним. Для изотропных тел (в природе их большинство)
теплопроводность не зависит от направления и вектор q перпендикулярен
к изотермической поверхности. На рис. 1.3 показана картина
распределения линий теплового тока в случае плоского температурного поля. На
рис. 1.4 дано сопоставление линий теплового тока в пластинке,
изготовленной из изотропного (например, из стали) или анизотропного (например, из
поваренной соли, исландского шпата или другого какого-то
монокристалла) материала .
>Ч
Линия теплового тока
Ис- 1.3. Изотермы и линии теплового
°Ка в случае плоского температур-
Ного поля
а)
б)
Рис. 1.4. Линии теплового тока в плоском
слое изотропного (а) и анизотропного {б)
материалов
Далее будем считать тела изотропными.
21
Рис. 1.5. К формуле (1.4)
Важно подчеркнуть, что в (1.3) Q — поток
вектора q через ориентированную
поверхность. Тогда, если угол ф между векторами q
и п0 острый, qn > О, если угол ф тупой, qn < 0.
На рис. 1.2 угол ф острый (qn > 0), и через
площадку AF теплота отводится из той части
объема параллелепипеда, которая заключена
между площадкой AF и правым основанием.
Получаем, что AQ = qnAF, т.е. AQ > 0. Но по
определению, принятому в термодинамике,
отводимая теплота — отрицательна, а
подводимая — положительна. Для приведения в
соответствие с данным определением следует
записать AQ = -qnAF, причем эта формула
будет справедлива и в том случае, когда угол
ф тупой (qn < 0). Следовательно, при
подсчете количества теплоты, которое в единицу времени подводится к телу
объемом К, ограниченному замкнутой поверхностью F (здесь п0 —
внешняя нормаль) (рис. 1.5), перед интегралом в (1.3) надо поставить знак
«минус».
Для вывода уравнений теории тепломассообмена в дальнейшем
необходимо знать то количество теплоты AQ , Дж, которое за время Ат путем
теплопроводности подводится к элементарному объему А К Найдем AQ ,
предполагая, что векторное поле q известно.
Используя (1.3), для теплового потока, подводимого к объему V через
поверхность F, получаем
F
Ту же самую величину можно записать через дивергенцию вектора q:
e = -j"divqdF.
При написании последней формулы использована теорема
Остроградского—Гаусса. Заменяя объем V на AV и учитывая, что после этого div q
можно вынести за знак интеграла, получаем
Ag = -divq AV,
а подводимое к элементарному объему А К за время Ат количество теплоты
будет равно
AQ =-divqAFAT. (1.4)
22
Формула типа (1.4) будет использоваться при выводе большинства
уравнений теории тепломассообмена, в которых рассматривается приток
какой-либо величины (массовой скорости, плотности потока энтальпии,
плотности потока импульса и др.) к элементарному объему AVза время Ат.
Выведем формулу (1.4) другим способом. Пусть М(х, у, z) — произвольная точка
в неравномерно нагретом теле (рис. 1.6). Она находится в центре элементарного
объема в форме параллелепипеда со сторонами A/j = 2Дх, А/2 = 2А>>, А/3 = 2Az. Объем
ДК= A/jA/2A/3. В точке М вектор q имеет проекции qx(x, у, z); q (х, у, z) и qz(x, у, z).
Рассмотрим две грани параллелепипеда, перпендикулярные к оси Ох. Подсчитаем
количество теплоты AQX, которое за время Ат через эти грани поступает в объем AV.
Центр одной грани имеет координаты х + Ах, у, z. Плотность теплового потока здесь
qx(x + Ах, у, z), причем qx = qn. Следовательно, через эту грань подводится количество
теплоты, равное - qx(x + Ах, у, z)A/2A/3Ax. Для второй грани плотность теплового
потока будет qx(x - Ах, у, z), здесь qx = - qn. Отсюда подводимое количество теплоты
равно qx(x - Ах, у, z)A/2A/3Ax. Согласно формуле Тейлора, с учетом того, что Ах малая
величина,
dqx
q(x + Ах, у, z) = qx(x, у, z) + — Ах ;
q(x - Ах, у, z) = qx(x, y,z)-—Ax.
Рис. 1.6. Элементарный объем твердого тела. К выводу формулы (1.4)
23
Теперь легко получить AQ =—— АКАт. Аналогично АО =-—^АКАт и
х дх ^У ду
AQ2 = --^AVAz.
dz
В целом подводимое к А V количество теплоты
~ - ~ ~ fdQr дя„ дал
AQ = AQ +AQ +AQ =- -^ + --^ + -^ AFAx = - divqAFAx .
х У z \ох ду ozJ
Формула (1.4) доказана.
Запишем формулы для вычисления дивергенции вектора q:
в декартовых координатах
dqx dq dqz
dlvq = ^ + ^ + rf; (L5)
в цилиндрических координатах
divq = - —(rq) + - —* + —- ; (1.5а)
г or r г dip dz
в сферических координатах
divq = 1 rl(r2 }] + i £* + i гA(sine,e)l. (1.5б)
1.4. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности
Основываясь на результатах наблюдений, Фурье высказал гипотезу
о том, что вектор плотности теплового потока в данной точке изотропного
тела пропорционален градиенту температуры в той же точке. За
исключением особых, редко встречающихся случаев эта гипотеза была
подтверждена экспериментально, а для газов — и теоретически. В настоящее
время гипотеза Фурье формулируется в виде закона:
q = -A,gradr. (1.6)
Знак «минус» в (1.6) объясняется тем, что векторы q, Вт/м , и grad Г, К/м,
направлены противоположно друг другу (см. рис. 1.2).
Коэффициент пропорциональности X, Вт/(м#К), в (1.6) называется
коэффициентом теплопроводности вещества. Он является физическим
параметром вещества, который характеризует интенсивность процесса
теплопроводности в веществе и численно равен плотности теплового потока
при градиенте температуры, равном единице.
Закон Фурье позволяет найти плотность теплового потока, а
следовательно, и тепловой поток через произвольную поверхность [см. (1.3)], если
известно температурное поле в изучаемой области пространства. В теории
24
теплопроводности закон Фурье привлекается при выводе основного
уравнения теории — уравнения теплопроводности (см. § 1.5). Закон Фурье,
наряду с другими подобными законами (о них пойдет речь ниже),
позволяет получить замкнутое математическое описание процессов
конвективного тепломассообмена, а также сложных (с учетом переноса энергии
излучения) процессов тепломассообмена.
Коэффициент теплопроводности веществ, как правило, находится
экспериментально либо рассчитывается методами молекулярно-кинетической
теории, статистической и квантовой физики. Значения X приводятся в
таблицах теплофизических свойств веществ (см. табл. П.1—П. 10).
Коэффициент теплопроводности зависит от температуры вещества.
В табл. 1.1 приведены значения X для отдельных представителей
различных веществ и материалов в обычных условиях. При сверхнизких
(криогенных) температурах теплопроводность некоторых металлов может
достигать очень больших значений. Например для чистой меди при Г* 10 К X «
* 104Вт/(м-К).
Таблица 1.1. Теплопроводность Я. некоторых веществ и материалов
Вещество или материал
Серебро
Медь
Алюминий
Латунь (67 % Си, 33 % Zn)
Натрий
Сталь 20
Нержавеющая сталь X18H9T
Бетон сухой
Кирпич красный
Вода (состояние насыщения)
Водород
Гелий
Кирпич диатомитовый
Трансформаторное масло
Кирпич пеношамотный
Котельная накипь, богатая силикатом
Воздух
Водяной пар (состояние насыщения)
Хлор
Г, К
273
273
273
273
573
273
273
273
273
373
273
273
273
273
273
373
273
373
273
X, Вт/(м • К)
420
395
207
101
71
55
14
0,84
0,70
0,683
0,172
0,143
0,113
0,112
0,100
0,080
0,0244
0,0237
0,0089
25
На теплопроводность сталей помимо их состава, температуры, наличия
примесей и других показателей оказывает влияние «тепловое старение»,
которое проявляется в появлении хрупкости и потере прочностных свойств.
Теплопроводность охрупченных сталей заметно ниже, чем обычных.
Строительные и теплоизоляционные материалы, как правило, имеют
пористую структуру. За счет того, что в порах находится воздух, который
является плохим проводником теплоты, эти материалы обладают низкой
теплопроводностью. Для пористых, а также других неоднородных
материалов под X следует понимать некоторую «эффективную» теплопроводность.
Теплопроводность влажных теплоизоляционных материалов выше, чем
сухих.
Для многих материалов в нешироком диапазоне температур
зависимость X = X(t) можно описать линейной функцией вида
Ь = Ао(1+РО, (1.7)
где Х0 и (3 — постоянные, определяемые опытным путем.
Значения Х0 и Р для некоторых материалов приведены в табл. 1.2.
Наибольшей теплопроводностью обладают металлы. Примеси
существенно снижают X.
Теплопроводность газов, как указывалось во введении, не зависит
от давления. Из элементарной молекулярно-кинетической теории,
основанной на модели идеально упругих твердых шариков, следует X ~ 4т .
Эта зависимость приближенно выполняется при высоких температурах,
превышающих 2000 К. Из теории, более детально учитывающей взаимо-
0 75
действие молекул, вытекает, что X ~ Т ' . Последняя зависимость
согласуется с опытными данными при умеренных температурах.
Таблица 1.2. Значения Х0, (3 для некоторых теплоизоляционных материалов
Материал
Асбест:
р = 500 кг/м3
р = 800 кг/м3
Диатомит молотый, р =
450 кг/м3
Минеральная стеклянная вата, р = 200 кг/м
з
Совелит, р = 500 кг/м
Шлаковая вата (сорт 0)
р = 200 кг/м3
Я,0,Вт/(м •
0,107
0,14
0,091
0,0052
0,0901
0,06
К)
р, 1/°С
0,00177
0,00136
0,00308
0,0123
0,00096
0,00242
26
*/ = V—- (1-9)
Теплопроводность газовых смесей не подчиняется закону аддитивности. В этом
случае X находят по экспериментально полученным таблицам, а при их отсутствии —
вычисляют по одной из теоретических формул, например по формуле Мейсона—
Саксена:
N X,
Х=у '• , (1.8)
h N хк
'-11 + 1,065 ZGikf
к=\ Л/
где N — число компонентов смеси;
CJM;
*i N
^к/мк
к=\
(здесь ct — массовая доля /-го компонента (массовая концентрация), Mi —
относительная молекулярная масса);
[1+(ц/|иЛ1/2(М./М.)1/4]2
Gik = - z к к . ' (1.10)
'* V8(l+M/M,)1/2
Здесь \xi — динамическая вязкость /-го компонента.
Коэффициент теплопроводности большинства жидкостей с повышением
температуры уменьшается (углеводороды, одноатомные спирты,
органические и неорганические соединения, нефтепродукты и др.). Для глицерина,
некоторых многоатомных спиртов, сплава натрий—калий X возрастает
с повышением температуры. Зависимость коэффициента теплопроводности
от температуры для обычной и тяжелой воды имеет сложный характер.
Сначала он возрастает, при некоторой температуре t = fmax достигает
максимального значения, а затем уменьшается. Для обычной воды в состоянии
насыщения А,тах = 0,679 Вт/(м • К) при t= 100... 105 °С. С повышением давления X
жидкостей возрастает. Однако зависимость слабая. Так, для воды при t =
= 20 °С и давлении /7 = 0,101 МПа X = 0,599 Вт/(м • К), а при р = 200 МПа
А, = 0,684 Вт/(м • К), т.е. рост составляет 13 %.
1.5. Уравнение теплопроводности
В основе теории теплопроводности лежит дифференциальное
уравнение, которое служит для отыскания температурного поля в твердом теле,
а также в неподвижной жидкой или газообразной среде. Это уравнение,
называемое уравнением теплопроводности, получено Фурье в 1814 г.
Уравнение теплопроводности можно вывести, применяяотервый закон
термодинамики к бесконечно малому элементу тела объемом АК(см. рис. 1.5).
Будем считать, что процесс теплопроводности протекает при р = const. Это
Условие обычно выполняется на практике.
27
Учтем, что в теле может происходить выделение теплоты за счет
действия внутренних источников (например, теплота может выделяться в
результате ядерных реакций или прохождения электрического тока по
проводнику). Эту теплоту зададим в виде непрерывной функции
qv = qv(x,y, z, т), где qv — мощность источников теплоты, равная
отнесенному к единице объема тела количеству теплоты, которое выделяется
в единицу времени, Вт/м .
К элементу тела AV за элементарный промежуток времени Ах путем
теплопроводности подводится следующее количество теплоты (см. § 1.3):
А2тепл =-divqAFAT,
где q — вектор плотности теплового потока в точке М.
Выделяемое за счет источников количество теплоты в АКза Ах
А2ист=^А^-
Масса выделенного элемента тела равна рАК (р — плотность); его
энтальпия в момент времени т определяется как pAVh(x, у, z, т), а в момент
х + Ах — как pAF/z(x, у, z, х + Ах).
На основании первого закона термодинамики для изобарических
процессов запишем равенство
pAF [h(x, y,z,x + Ах) - h(x, у, z, х)] = - div q AV Ax + qvAV Ax.
После сокращения на A V выражение разделим на Ах и при Ах —> 0 в его
левой части будем иметь
lim h(x, y,z,x + Ах) - h(x9 у, z, х) = dh
Ат->0 Ах дх
Поскольку энтальпия h = h(T, р), а Т = Т(х, у, z, х) и р = р(х, у, z, х), то
по правилу дифференцирования сложной функции
dh (dh\ дТ ^(дК\ dp п 1П Л
Далее учтем, что в нашем случае (р = const) второе слагаемое в правой
части (1.10а) выпадает, а удельная теплоемкость при постоянном давлении
определяется по формуле
(dh\
Тогда первый закон термодинамики для бесконечно малого объема тела
А V приобретает вид
л т
РСР1Й = ~ diV4 + Я» ' (1'П)
28
В (1.11) имеются две неизвестные функции — температура и плотность
теплового потока. Применяя закон Фурье (1.6), получаем уравнение
теплопроводности:
pc/,|^=div(A.gradr) + ?i;. (1.12)
В (1.12) Л, — заданная функция: X = Х(х, у, z, т) или X = Х(Т).
При X = const (1.12) упрощается:
|1=ау2Г+-^-. (1.13)
дх рср
2
Оператор Лапласа V Т = div gradr. В декартовых координатах
дх ду dz
в цилиндрических координатах
^T=i±(^+lil+il, (1.14а)
^гУдг) гд(2 dz2> * >
в сферических координатах
V2T=ll+2d_T+_^dh+1lT+1 д_Т
д? г дг r2sin29 <)ср2 г2 Э02 г2 g д* ^ }
2
В (1.13) дг, м /с, — коэффициент температуропроводности, который
определяется по формуле
а = —. (1.15)
РСР
Коэффициент температуропроводности — физическое свойство
вещества, от которого зависит скорость изменения температуры в
нестационарных процессах теплопроводности. Чем больше а, тем быстрее тело
охлаждается или нагревается. Значения а для некоторых веществ приведены
ниже:
а, 10"5м2/с
Медь (Т= 273 К) 11,6
Воздух (Т= 273 К, р = 0,101 МПа) 1,88
Сталь 20 (Т= 273 К) 1,164
Нержавеющая сталь Х18Н9Т 0,363
Вода (Т = 373 К, р = 0,101 МПа) 0,0169
29
Аналогично коэффициенту диффузии вещества
температуропроводность можно трактовать также как коэффициент диффузии теплоты. Как
мы увидим ниже (см. § 5.4), а характеризует также и процессы
конвективного тепломассообмена (как нестационарные, так и стационарные).
Для стационарных процессов теплопроводности скорость изменения
температуры равна нулю, и температуропроводность выпадает из (1.13).
Тогда при qv = О уравнение теплопроводности будет иметь вид
У2Г=0. (1.16)
Уравнение теплопроводности является дифференциальным уравнением v
с частными производными. В конкретных случаях его решение находится
с привлечением начальных и граничных условий (см. § 1.5), которым
должна удовлетворять искомая функция Т = Т(х, у, z, т).
Аналитические методы решения задач теплопроводности достаточно
сложны. Они подробно рассматриваются в специальных курсах
математической физики [13, 23].
В сжатом виде они приводятся в [5].
Применение классического метода Фурье к решению задач
теплопроводности в телах простой геометрической формы будет дано в гл. 2 и 3.
В некоторых случаях стационарной теплопроводности уравнение (1.11)
значительно упрощается и становится обыкновенным дифференциальным
уравнением, решение которого не вызывает затруднений (см. гл. 2).
Температурное поле может быть найдено также одним из численных
методов. Эти методы [30, 31] достаточно универсальны, и с их помощью
может быть решена практически любая задача теплопроводности.
При изучении процессов теплопроводности иногда используется первый закон
термодинамики, записанный для конечного объема тела. Пусть V — объем
интересующей нас области пространства, a F — площадь поверхности, ограничивающей
этот объем. Уравнение (1.11) почленно умножим на dVu проинтегрируем по V.
Учтем, что по теореме Остроградского—Гаусса
JdivqdF=J^dF,
V F
где qn — проекция вектора q на направление внешней нормали к поверхности F.
В результате получим
\pcpfdV=-\q„tF+\qvUV. (1.17)
V F V
Из первого закона термодинамики, записанного в виде (1.17), в частности
следует, что для стационарных процессов теплопроводности при отсутствии в теле
источников теплоты (qv = 0) должно выполняться условие
jqndF=0. (1.18)
F
30
1.6. Условия однозначности
При решении конкретных задач теплопроводности считаются
известными физические свойства тела (р, с и А,) и должны быть заданы
геометрическая форма и размеры тела или интересующей области пространства,
в котором протекает процесс теплопроводности. Дополнительно к этому
надо задать начальное и граничные условия.
Начальным условием задается распределение температуры внутри тела
и на его границах в момент времени т = 0:
T(x,y,z,T)\z = 0=f(x,y,z), (1.19)
где f(x, у, z) — заданная функция.
Граничным условием первого рода задается температура поверхности
тела (при т > 0) как функция координат точек его границ.
Граничным условием второго рода задается плотность теплового
потока qc на границах тела . При этом договариваются, что qc > 0, если
тепловой поток направлен от тела в окружающую среду, и qc < 0, если
наоборот. Тогда qc = qn, где qn — проекция вектора q на направление
внешней нормали п (п — единичный вектор) к поверхности тела, и
дп
Чс, (1-20)
где X — теплопроводность при температуре в данной точке границы
тела. Для установившегося температурного поля должно выполняться
условие (1.18).
Для определения температурного поля при заданном распределении
плотности теплового потока по поверхности тела необходимо знать
температуру тела в какой-либо точке.
Граничным условием третьего рода задается температура среды Тж,
окружающей тело, и зависимость qc от температуры поверхности тела Тс и
Тж. Обычно эта зависимость задается в виде закона Ньютона—Рихмана:
<7С = а(Гс - Гж)„ (1.21)
где а — заданный коэффициент теплоотдачи, который характеризует
интенсивность процесса конвективного теплообмена между поверхностью
тела и окружающей средой, Вт/(м • К).
Более подробно коэффициент теплоотдачи будет рассмотрен при
изучении конвективного теплообмена.
Индекс «с» происходит от слова «стенка».
31
С учетом (1.20) граничное условие третьего рода записывается в виде
= <х(Гс-Гж). (1.22)
дп
В (1.22) температура Тс — неизвестная величина. Значение ее
соответствует искомой функции Т{х, у, z, т) на границе тела:
Тс = Т(х, у, z, х)\х = х^ у=Ус, z = zc, т>0>
где хс, ус, zc — координаты точки поверхности тела.
Если помимо конвективного теплообмена происходит теплообмен
излучением между данным и окружающими телами, то в правую часть (1.22)
надо включить qmjl, Вт/м , — величину, равную разности плотностей
потоков собственного (Есо6) и поглощенного (£погл) излучений, т.е.
#изл — ^соб ~~ ^погл*
Величина qmjl рассматривается при изучении теории теплообмена
излучением. Если поверхность окружающих тел представить в виде оболочки
с температурой Т0 , то
—8 2 4
где а0 = 5,67* 10 Вт/(м *К ) — постоянная Стефана—Больцмана; 8 —
степень черноты данного тела (0 < е < 1).
Значение 8 зависит от материала, состояния поверхности тела и других
факторов. Для окисленной и загрязненной поверхности стали
приближенно можно считать 8 = 0,8...0,9.
Таким образом, с учетом теплообмена излучением граничное условие
третьего рода можно записать в виде
дп
= а(Тс-Тж) + ео0(Т4с-Т4окр). (1.24)
пов
Уравнение (1.22) будет линейным, если коэффициент теплоотдачи
а = const или является заданной функцией точки. При свободной
конвекции жидкости около тела а зависит от разности температур Тс и Тж.
Встречаются и другие случаи конвективного теплообмена, когда а зависит от Гс.
При этом уравнение (1.22) становится нелинейным. Уравнение (1.24)
является нелинейным всегда. Задача нахождения температурного поля с
нелинейным граничным условием решается численным методом.
На рис. 1.7 дана графическая интерпретация граничного условия
третьего рода, записанного в виде (1.22). Так как
дт\ (тс-тж)
дп\ L
шов и
32
рис. 1.7. Графическая интерпретация граничного
условия третьего рода
то, как это следует из (1.22), значение отрезка
/0, показанного на рис. 1.7, определяется по
формуле
'° а"
(1.25)
т
Ш/,
/ууХ/
^ZZZ
Т 1
'ж
Поверхность
твердого тела
Л
\_Л
/0=Va
Точка А называется направляющей точкой.
Ее название объясняется тем, что при X = const
и a = const все касательные к температурным
кривым в процессе охлаждения тела пересека- п
ются в этой точке (она как бы направляет эти
касательные).
Краткие итоги гл. 1
1. Самопроизвольный процесс переноса теплоты в неравномерно
нагретом теле микрочастицами тела (молекулами, автоматами, электронами) при
их движении и взаимодействии называется теплопроводностью.
2. Температурное поле в общем случае описывается функцией Т =
= Т(х, у, z, т). Если температура не зависит от времени, то Т = Т(х, у, z)
и процесс называется стационарной теплопроводностью, в противном
случае — нестационарной теплопроводностью.
3. Тепловой поток Q, Вт, — количество теплоты, проходящее через
поверхность F в единицу времени. Плотность теплового потока q, Вт/м —
тепловой поток, отнесенный к единице площади поверхности.
4. Вектор плотности теплового потока q — это вектор, направленный по
нормали к изотермической поверхности (для изотропных материалов) в
сторону уменьшения температуры. Если п0 — единичный вектор нормали к
поверхности F, то Q = \ qn0 dF.
5. Вектор q в данной точке тела в данный момент времени
пропорционален градиенту температуры в той же точке и в тот же момент времени
(закон Фурье), т.е. q = - X grad Г.
6. Коэффициент теплопроводности X, Вт/(м • К), является физическим
параметром вещества и характеризует способность этого вещества
проводить теплоту. Он зависит от природы вещества (металл, диэлектрик,
жидкость, газ) и температуры. Наилучшие проводники теплоты — металлы,
наихудшие — газы. Низкая теплопроводность теплоизоляции в первую
очередь объясняется пористостью материалов изоляций, заполненных плохо
проводящим теплоту воздухом.
33
7. Математическое описание процесса теплопроводности состоит из
дифференциального уравнения теплопроводности и условий
однозначности. Существует несколько простейших случаев (например, перенос
теплоты через тонкую плоскую стенку или охлаждение тонкой пластины в
среде с постоянной температурой), когда математическое описание
значительно упрощается и можно получить достаточно простые решения
аналитическими методами. В сложных случаях используются численные методы
и задача решается на компьютере. В результате того или иного способа
решения получают температурное поле в теле и рассчитывают тепловые
потоки, проходящие через поверхность тела.
8. Дифференциальное уравнение теплопроводности, записанное в
общем виде, т.е. в виде рс дТ/дт = div (к grad Т) + qv, представляет собой
первый закон термодинамики для бесконечно малого объема тела AV,
который прир = const можно сформулировать следующим образом: сумма
подводимого в единицу времени к А V количества теплоты за счет
теплопроводности и выделяемого в АКв единицу времени количества теплоты за счет
внутренних источников равна изменению в единицу времени энтальпии
тела. Все величины в уравнении теплопроводности отнесены к единице А К
9. Многие процессы теплопроводности протекают при граничных
условиях третьего рода. Законом теплового взаимодействия поверхности
тела и жидкости, входящим в граничное условие третьего рода, является
закон Ньютона—Рихмана qQ = а(Тс - Тж).
2
10. Коэффициент теплоотдачи а, Вт/(м • К), зависит от многих
факторов, главными из которых являются: скорость и характер движения
(вынужденное, свободное) жидкости, физические свойства жидкости,
форма и размеры тела.
Глава вторая
СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
2.1. Передача теплоты через плоскую стенку
Рассмотрим стационарный процесс переноса теплоты через плоскую
стенку (рис. 2.1), толщина которой 8 много меньше ширины Ъ и высоты h.
Источники теплоты в стенке отсутствуют (qv = 0). Задан ее коэффициент
теплопроводности X либо в виде функции X = Х(Т), либо как постоянная
величина.
Возможны различные способы подвода теплоты к одной поверхности
стенки и его отвода через другую: за счет конвекции горячей или холодной
жидкости около поверхности стенки, теплообмена излучением с другими
телами, непосредственного контакта с другими более (или менее)
нагретыми твердыми стенками и др. Предположим, что в любом случае подвода
(отвода) теплоты температуры двух поверхностей стенки постоянны:
Гс1 = const и Тс2 = const.
При этом изотермические поверхности в стенке будут представлять
собой плоскости, перпендикулярные к оси Ojc. Таким образом, в нашем
случае дТ/ду = 0, dT/dz = 0 и дТ/дх = 0. С учетом всех допущений
уравнение теплопроводности (1.12) приобретает вид
djc V dxJ
(2.1)
Рис. 2.1. Плоская стенка
35
Искомая функция Т = Т(х) должна удовлетворять дифференциальному
уравнению (2.1) и граничным условиям:
Дх)|х = 0=Гс1; Т(х)\х = 5 = Тс2. (2.2)
Сначала рассмотрим случай постоянного коэффициента
теплопроводности стенки. При X = const в (2.1) X сокращается, тогда путем
двухкратного интегрирования (2.1) находим
Т = Схх + С2.
Определив постоянные с помощью (2.2), получим
Гс2 - Гс1
Т= Тс1+ с28 х. (2.3)
Таким образом, при X = const температура в плоской стенке изменяется
по линейному закону.
Вектор плотности теплового потока в изотропном теле
перпендикулярен к изотермической поверхности. Поэтому в нашем случае q = О и
qz = 0. Тогда из (1.11) получаем
df = °' (2'4)
откуда следует, что qx = const. Мы доказали, что в стационарном процессе
переноса теплоты через плоскую стенку плотность теплового потока не
зависит от координат точки. Значение qx можно найти с помощью закона
Фурье:
^-^Н^-7^- (2-5)
По аналогии с электрическим сопротивлением введем понятие
термического сопротивления. Термическим сопротивлением называется величина,
численно равная отношению разности температур двух поверхностей к
плотности теплового потока. Это сопротивление, обусловленное
внутренним механизмом процесса теплопроводности, обозначим R^. Кроме
того, здесь и в дальнейшем индекс <ш> в обозначении проекции вектора q
на ось Ох опустим, т.е. qx = q. Из (2.5) получим
Rx = -^-^ = --. (2.6)
Тс\ ~ Гс2 _ 6
С учетом сказанного формулу (2.5) представим в виде
В задачах температура задается в градусах Цельсия. Тогда в (2.7) Г надо просто заменить
на / (Т= t + 273). Это замечание относится ко всем формулам, в которых используется разность
температур.
36
[cl
[с2
ИЛИ,
что то
же
ч -
самое
Я =
'*
8
X
-**
8 '
X
(2.7)
(2.7а)
Таким образом, плотность теплового потока,
проходящего через плоскую стенку, прямо
пропорциональна разности температур ее
поверхностей и обратно пропорциональна термическому
сопротивлению.
Для многослойной плоской стенки q = const.
Тогда, например для двухслойной стенки
(рис. 2.2) можно записать
Ч =
Lcl
[с2
Рис. 2.2. Распределение
температуры в двухслойной
стенке с постоянными тепло-
проводностями слоев
Т*~Т*
Перенеся термические сопротивления в левую часть этих выражений, а
затем их сложив, получим
Я =
1 1
Если стенка состоит из п слоев, коэффициенты теплопроводности
которых Xl9 Х2> •••' ^л» а толщины 61? 52, ..., 5Л, то
[cl
[ с, п + 1
М-
(2.8)
Анализируя с помощью закона Фурье изменение температуры в
трехслойной стенке (рис. 2.3), нетрудно качественно предсказать зависимость Т= Т(х)
в однослойной стенке, если теплопроводность ее зависит от температуры.
37
Рис. 2.3. Распределение температуры в трехслойной стенке (а, б) и вид температурных
кривых (в) при различных зависимостях X = Х(Т)
Задачу по определению температурного поля в стенке при X = Х(Т) можно
решить следующим образом. Преобразуем (2.1) и (2.2) посредством подстановки
и= \XdT,
(2.9)
где Г0 — произвольная температура.
Такое преобразование математического описания стационарных процессов
теплопроводности называется преобразованием Кирхгофа.
Из (2.2) получим граничные условия для функции и = и(Т) = и[Т(х)]:
и(Т)\х=0 = и{= jXdT;
(2.10)
и(Т)\х=ь = и2= \XdT.
(2.11)
Уравнение (2.1) приводится к виду
А2
dx2
Решение этого уравнения с учетом граничных условий (2.10) и (2.11) можно
записать как
M="i+—
(2.12)
Выражения (2.12) и (2.3) отличаются друг от друга только обозначениями величин.
38
Плотность теплового потока
AT Ли Wi - W?
cbr dx о
Имея в виду (2.10) и (2.11), получаем
ux-u2= \ XdT + \ XdT= J XdT.
Т0 Гс2 Гс2
Среднеинтегральное значение X определяется по формуле
1 у иу-и7
\XdT=r -Т ' (2Л4)
ус2
Тогда вместо (2.13) можно записать
q = ^-y^. (2.15)
X
Таким образом, мы получили обобщение формулы (2.7) на случай X = Х(Т).
Расчет температур стенки по формуле (2.12), а также X облегчается, если
имеется таблица значений и(Т) для конкретного материала . Такую таблицу несложно
получить с помощью компьютера. Из нее можно найти значения Wj и w2 по
заданным температурам Гс1 и Тс2, а с помощью этих значений по (2.14) рассчитать X и
по (2.12) и в любой точке 0 < х < 8. По найденному значению и в таблице можно
отыскать температуру в данной точке стенки.
В частном случае линейной зависимости X = Х0(\ + р7) среднеинтегральная
теплопроводность
^ = ^o[l+f(7'cl + 7'c2)].
а температура как функция х описывается формулой
r-$+rc)2-grJ- <2Л5а)
Формула (2.15а) является решением квадратного уравнения
аТ2+ЬТ+с = 0,
гдеа=ф0р; р = Х0; с = qx-XQTcl - ^0Р7^ .
Это уравнение получается из (2.12) после подстановки в него результатов
вычисления интегралов (2.9) и (2.10) при линейной зависимости X = Х0(\ + Р7).
Для U02 см. табл. 2.1 в § 2.4. В одной из задач § 2.4 приводится пример использования
Этой таблицы.
39
Мы рассмотрели стационарную теплопроводность плоской стенки при
заданных температурах поверхностей Гс1 и Тс2 (или Тс п + х — для
многослойной стенки), т.е. при граничных условиях первого рода. Практически
важным является процесс, в котором известными считаются величины,
входящие в граничные условия третьего рода: температуры жидкостей Гж1
и Тж2 с двух сторон стенки, а также коэффициенты теплоотдачи со
стороны первой (Xj и со стороны второй а2 жидкостей.
Процесс переноса теплоты от одной жидкости к другой через
разделяющую их стенку называется теплопередачей. В этом процессе существуют
три термических сопротивления: одно внутреннее R^ = 8/А, (для
многослойной стенки оно равно сумме термических сопротивлений слоев, т.е.
п
R^ = V 8t/X.) и два внешних Ral и Ra2. Последние определяются как
i=l
= — = — ; (2.156)
U1 п а.
^ж1
Т<2
~
Я
-
То1
Т*2
К2 = -1— = -- (2.15.)
Здесь Гс1 — температура поверхности стенки, соприкасающейся с первой
жидкостью, а Тс2 — температура поверхности, соприкасающейся со второй
жидкостью. Выражения для i?al и Ra2 записаны на основании закона
Ньютона—Рихмана (1.21) с учетом того, что единичные векторы внешней
нормали к двум поверхностям стенки направлены в противоположные
стороны. Если, кроме (2.156) и (2.15в), еще записать:
Ry =
Гс1 - Гс2 5
Х q Г
то получим систему трех уравнений с неизвестными Гс1, Тс2 и q.
Неизвестные Гс1 и Тс2 сокращаются, если эти три уравнения сложить. В результате
получим формулу
q = /'" Ж\ • (2.16)
ах X а2
Отношение плотности теплового потока к температурному напору
фициенто.
k = q/AT.
2
AT = Гж1 - Тж2 называется коэффициентом теплопередачи, Вт/(м • К):
40
Из (2.16) следует, что для однослойной плоской стенки
*- 1
1
°ч
+
S
к
+
1
а2
(2.17)
Для многослойной плоской стенки
1
(2.17а)
1 п °i 1
— + У -i + —
а1 £xh а2
Коэффициент теплопередачи характеризует интенсивность процесса
теплопередачи. Он численно равен плотности теплового потока,
передаваемого через стенку при температурном напоре, равном единице. Как
видно из (2.17) и (2.17а), он представляет собой величину, обратную сумме
всех термических сопротивлений. Если одно из сопротивлений
значительно больше всех остальных, то практически оно одно и будет
определять значение коэффициента теплопередачи. Чтобы увеличить
коэффициент теплопередачи, надо уменьшить наибольшее термическое
сопротивление.
Внешние термические сопротивления можно трактовать следующим образом.
В процессах конвективного теплообмена между первой жидкостью и одной
поверхностью стенки, а также между другой поверхностью и второй жидкостью
температура жидкостей вблизи стенки может изменяться так, как показано на
рис. 2.4, а. Введем условные толщины 5а1 и 5а2 (рис. 2.4) такие, что 1/ctj — §а|/А,Ж|,
'ж2
а) б)
Рис. 2.4. К понятию внешнего термического сопротивления
41
а 1/а2 = 5а2/^ж2, где ^ж1 и ^-ж2 — теплопроводности первой и второй жидкостей.
Тогда получим трехслойную стенку, состоящую из данной твердой стенки и двух
условных неподвижных жидких слоев толщиной 5а1 и 8а2. Термические
сопротивления этих слоев (пленок жидкостей) и являются внешними термическими
сопротивлениями. Внешнее термическое сопротивление будет мало, если у жидкости
большая теплопроводность и малая толщина ба. Уменьшение 5а можно получить
путем увеличения скорости жидкости, турбулизацией пристенного слоя и другими
способами, которые называются способами интенсификации теплоотдачи.
Тепловой поток через стенку можно увеличить также путем оребрения
поверхности. Площадь ребристой поверхности больше площади гладкой.
Пусть, например Fx — площадь гладкой поверхности со стороны al5 a
F2 — площадь ребристой поверхности со стороны а2. Тогда из (2.6),
(2.156) и (2.15в) с учетом того, что Q = qxFx = q2F2, легко получить
где коэффициент теплопередачи
*= тг- (2.176)
-L + * + -L^
ах X oc2Fj
Из (2.176) видно, что при а2 « oij (со стороны газа будет а2, а со
стороны воды — а^ и малом значении 8/А, оребрение поверхности
значительно увеличивает коэффициент теплопередачи.
При выводе (2.176) предполагалось, что температура ребристой
поверхности Тс2 постоянна. Это приближенно выполняется для коротких ребер
с большой теплопроводностью. В общем случае надо учитывать
изменение температуры по высоте ребра (см. § 2.5 и 2.6).
2.2. Передача теплоты через цилиндрическую стенку
Рассмотрим процесс передачи теплоты через цилиндрическую стенку
(стенку трубы, слой тепловой изоляции, наложенной на трубу, слой
электрической изоляции на проволоке и др.) радиусами гх и г2 (рис. 2.5). Длина
цилиндрической стенки много больше ее радиусов, в ней отсутствуют
источники теплоты, а на ее внутренней поверхности поддерживается
постоянная температура Гс1 (на внешней — Тс2). Для изучения
температурного поля выберем цилиндрическую систему координат (см. рис. 1.1,6).
При заданных граничных условиях температурное поле в стенке — осе-
симметричное: дТ/ду = 0 и dT/dz = 0. В стационарном тепловом состоянии
температура зависит только от г: Т = Т(г), вектор плотности теплового
потока направлен по нормали к произвольной цилиндрической поверхно-
42
сти, а #ф = 0 и qz = О. В этом случае из (1.11) с
учетом (1.5 а) получаем
d^ = °'
(2.18)
откуда следует, что rqr = const, т.е. плотность
теплового потока через цилиндрическую
поверхность радиусом г обратно
пропорциональна радиусу этой поверхности, она
наибольшая на внутренней поверхности стенки и
наименьшая на внешней.
Для цилиндрических стенок удобно
использовать величину #/> Вт/м, — тепловой
поток, отнесенный к единице длины трубы:
0 <ir2nrl „
1 = —Г = 2^
ь
(2.19)
Так как rqr = const, ТО qj = const, Т.е. эта Рис. 2.5. Цилиндрическая стенка
величина от г не зависит.
Допустим, что X = const. Найдем температурное поле в стенке при
заданных граничных условиях:
Т(г)\г = гГТс]; Т(г)\г = Г2 = Тс2.
(2.20)
Из уравнения теплопроводности в виде (1.16) получаем, что в нашем случае
Двукратным интегрированием (2.21) находим общее решение:
Т = Сх In г + С2.
Постоянные Сх и С2 находятся из граничных условий (2.20). В
результате получим
г=гс1 +
42
In-?
cl л г
In—.
(2.22)
Температура в цилиндрической стенке изменяется по
логарифмическому закону (рис. 2.6). Найдем qr при использовании закона Фурье:
qr = -X—
r ar
Чтс,-тс2)
r In-?
(2.23)
43
г г
а) б)
Рис. 2.6. Вид температурных кривых для цилиндрической стенки
"-Тс1<Тс2;б-Тс1>Тс2
Величина qr представляет собой проекцию вектора q в данной точке
изотермической поверхности стенки на направление единичного вектора ег
(см. рис. 1.1,6). Она положительна, если Гс1 > Тс2 (т.е. теплота
распространяется от внутренней поверхности стенки к внешней), и отрицательна в
противоположном случае.
Плотности теплового потока на внутренней поверхности стенки ^и^
определяются по формулам:
(2.24)
qx = 2nrqr
ТсХ
1 г\
X
*<Гс1 -
к1г
~Тс2
тсг)
(2.25)
Для цилиндрической стенки относительно малой толщины 8 « rl9 где
5 = r2 - rj. При этом
1пГ2 = mf! +*)m*
и формула (2.24) переходит в формулу (2.7) для плоской стенки (при
условии, что qx « q).
44
Термическое сопротивление цилиндри- _|
ческой стенки запишем в виде
= -£i с-± = -i In—. (2.26)
Наряду с термическим сопротивлением
R^9 м • К/Вт, используется понятие:
линейное термическое сопротивление R^ /, м • К/Вт:
\l~
= -^ In -^. (2.26а)
Для двухслойной цилиндрической
стенки (рис. 2.7) можно записать
«1 =
Я\ =
Тсх
^2
г1
"^02
In-^
г1
-^сЗ
,.гз
Рис. 2.7. Двухслойная
цилиндрическая стенка
Исключая из этих двух уравнений Тс2, получаем
<?! =
Тс1~Та
Для многослойной стенки
4\
Тс\ Тс, п + 1
я г,
1=1 z
/•+1
(2.27)
(2.28)
где и — число слоев многослойной стенки, внутренний радиус которой
равен г1? а внешний — гп+ \-
Зная qx для многослойной стенки и учитывая, что ql = 2nrxqx, можно
записать
_"(Гс1-Гс,И+1)
<7/
1
(2.29)
i+ 1
£l2x' ri
45
Из формулы (2.29) видно, что линейная плотность теплового потока
через многослойную цилиндрическую стенку прямо пропорциональна
разности температур внутренней и внешней поверхностей стенки и обратно
пропорциональна сумме линейных термических сопротивлений слоев.
С помощью преобразования Кирхгофа таким же образом, как и для плоской
стенки, можно доказать, что формулы (2.24), (2.25) будут справедливы в случае
переменных теплопроводностей X = Х(Т), если в них заменить значения X на средне-
интегральное значение, определяемое по (2.14).
Для нахождения температуры цилиндрической стенки при этом вместо (2.22)
будем иметь
и = и^— Мп-, (2.30)
М
1п12
г
где w, их и и2 определяются по формулам:
т
и= \XdT;
ux=u{r)\= \XdT;
2 Т0
Метод расчета температур при переменном X описан выше (см. § 2.1).
В частном случае X = А,0(1 + Р7) температурное поле в цилиндрической стенке
описывается формулой
1 , гп У Я1 л г 1
Р J ™0р г\ Р
Рассмотрим процесс теплопередачи от одной жидкости с температурой
Гж1 к другой — с температурой Тж2 через разделяющую их
цилиндрическую стенку трубы. Пусть первая жидкость находится внутри трубы,
а вторая — снаружи. Соответственно заданы коэффициенты теплоотдачи
aj и а2.
Внешние термические сопротивления (см. § 2.2) определим следующим
образом:
ч\ ai
46
Тс2 ~ ^ж2 1 г1
Я 9 = — — = — - . (2.33)
Я\ ос2 г2
Внутреннее термическое сопротивление находится по формуле (2.26).
Рассматривая систему трех уравнений (2.32), (2.33) и (2.26) с
неизвестными Гс1, Тс2 и^и исключая Гс1 и Тс2 путем сложения этих уравнений,
получаем
= ж] ж2
— + - In— +
а1 ^ г1 а2 г2
Аналогично можно вывести формулу для определения q^ для
многослойной цилиндрической стенки:
?! = : «H_«2 • (2.35)
1 ri ri +1 1 ri
J_+ у-1 in_L±i +J L_
al ;=Л ri a2^+l
С учетом того, что ql = 27ir1^1, для однослойной и многослойной стенок
2^(Гж1-Гж2)
q, = — — ; (2.36)
+ - In- +
a^j л, rj ct2r2
9/ = — • (2.37)
а1Г1 jtXXi ri а2Гп+\
Коэффициент теплопередачи для цилиндрической стенки
#1
*l = т -г ' (2'38>
1 ж1 2ж2
При сопоставлении (2.34) с (2.38) получаем
*! = . (2.39)
1/1/2 1^1
— + — In— +
al ^ г\ а2 г2
Если толщина стенки 5 « rl9 то формула (2.39) вырождается в
формулу (2.17) для плоской стенки. Для многослойной цилиндрической стенки
&! есть величина, обратная знаменателю (2.35).
47
Рассмотрим трубу с наложенной на нее тепловой изоляцией (рис. 2.8).
Здесь
*i =
1
1 г\
(2.40)
— + ^ 1П- + Г-5- 1п- + — -
а,
а2г3
' 1 "-из г2
Наряду с коэффициентом теплопередачи к^ Вт/(м • К), используется
понятие линейного коэффициента теплопередачи kh Вт/(м • К). Для
многослойной цилиндрической стенки
*/ =
я(Гж1 - Гж2)
1
Ч2а1г1
П 1 у
1
2а2г«+1У
-1
. (2.40а)
Зафиксируем в правой части (2.40) все величины, кроме г3. С
увеличением г3 увеличивается внутреннее термическое сопротивление
изоляции (третье слагаемое в знаменателе (2.40)), но уменьшается внешнее
термическое сопротивление (последнее слагаемое). Следовательно,
возможен минимум функции /(г3), которой мы будем обозначать
знаменатель (2.40). При этом производная
Кггг
а2г\
Рис. 2.8. Труба с тепловой изоляцией
Рис. 2.9. Зависимость qx = /(г3) при
различных значениях критического радиуса
тепловой изоляции
48
Значение г3, при котором имеет место минимум, называется
критическим радиусом изоляции г из.
Полагая /' (г3) = 0, находим
Критический диаметр изоляции
2 А,
Критический радиус (или диаметр) изоляции представляет собой число,
измеряемое в единицах длины. Так, например, если А,из = 0,5 Вт/(м • К), а
а2 = 10 Вт/(м • К), то это число равно 50 мм. Если наружный радиус
изолируемой трубы г2 меньше указанного выше числа, то минимум функции/(г3) и
соответственно максимум теплового потока q^ будет иметь место при г3 > г2,
так как/(г3) существует при г3 > г2. Пусть г2 = 20 мм. Тогда для нашего
примера максимум qx будет при толщине изоляции 30 мм. При увеличении
толщины изоляции тепловой поток будет слабо уменьшаться, и при
некоторой достаточно большой толщине он будет равен тепловому потоку без
изоляции. Если же г2 > г из, то максимум #i будет за пределом
существования функции /(г3), и тепловой поток будет уменьшаться с увеличением
толщины изоляции. На рис. 2.9 показано, как будет изменяться тепловой
поток с ростом толщины изоляции при различных значениях d из и
постоянном значении г2.
Критический радиус (или критический диаметр) изоляции имеет
практическое значение. Если при данных ХИЗ и а2 окажется, что диаметр
изолируемой трубы d2 < d из, то тепловые потери с ростом толщины
изоляции будут увеличиваться и при диаметре изоляции d3 = d из
достигнут максимума. Чтобы уменьшить тепловые потери, надо взять
изоляцию с меньшим А,из.
Коэффициент теплопередачи используется в тепловом расчете теплообменного
аппарата. Зная к, можно найти площадь поверхности теплообмена F при известном
тепловом потоке Q или определить Q при заданном значении F. Уравнение,
связывающее между собой Q, F, к и температурный напор AT = Гж1 - Гж2, называется
уравнением теплопередачи:
Q = kxFxAT. (2.43)
Здесь (2.43) записано для трубчатого теплообменного аппарата, при этом Fx —
площадь внутренней поверхности, а. кх — коэффициент теплопередачи, отнесенный
к этой поверхности. Для тонкостенных труб кх « к, F\ « F, где к — коэффициент
теплопередачи, вычисляемый по формуле для плоской стенки (2.17); F— площадь
49
поверхности, рассчитываемая по среднему
диаметру стенки трубы. Обычно температуры Гж1 и
Тж2 изменяются вдоль поверхности теплообмена
(рис. 2.10). Если это изменение не слишком
большое (АГВХ/АГВЫХ < 1,5), то AT в формуле (2.43)
приближенно можно найти как
среднеарифметическое значение от A7nY и ArnUTY.
ВЛ выл
Формулы для коэффициента теплопередачи
выведены в предположении, что температуры
стенки трубы и жидкости не изменяются вдоль
поверхности теплообмена. Они сохраняют свою
силу и при изменении указанных температур,
если можно пренебречь второй производной по
координате z в стенке трубы. Тогда
дифференциальные уравнения (2.18) и (2.21) применительно
к теплообменному аппарату сохраняют свой вид за исключением того, что в них
будут частные производные по текущему радиусу г.
Рис. 2.10. Схема изменения
температур жидкостей в теплооб-
менном аппарате
2.3. Передача теплоты через сферическую стенку
Рассмотрим сферическую стенку, представляющую собой часть шара,
ограниченную двумя сферическими поверхностями с радиусами г^ и г2
(рис. 2.11). Предположим, что на внутренней поверхности стенки
температура во всех точках одинакова и равна Гс1, на наружной — Тс2 (Гс1 = const,
Тс2 = const). Ясно, что при этом на любой сферической поверхности внутри
стенки температура также одинакова во всех точках, т.е. задача поставлена
таким образом, что температура в стенке является только функцией
радиуса. Найдем температурное поле и
тепловой поток в этой сферической стенке при
^ = 0.
Пусть X — постоянная величина. В
дифференциальном уравнении теплопроводности,
записанном в сферической системе координат
(см. рис. 1.1, в), следует положить
4Г-0; £ -0; § .0.
дх дц> дд
При этом нахождение температурного
поля Т = Т{г) в сферической стенке при X =
= const сводится к решению следующей задачи:
Рис. 2.11. Сферическая стенка
50
dr2 r dr
(2.44)
Т\г = гГТс1; Т\г = Г2 = Тс2. (2.45)
В (2.44) сделаем замену из условия и = dT/dr. Тогда это уравнение
запишется в виде
dr г
Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое имеет
следующее решение:
иг = Ц.
Возвращаясь теперь к производной dT/dr, будем снова иметь
уравнение с разделяющимися переменными:
dT 2
dr
решение которого имеет вид
— г = с\ >
Т=-Сх1г+ С2.
Следовательно, в сферической стенке температура изменяется по
гиперболическому закону. Постоянные Сх и С2 находим из граничных
условий (2.45). При этом получим систему двух уравнений:
Тс2 Cj /г2 + С2.
При решении этой системы найдем
Ci=^£Ll!k; c^ = T^Tcl-Tc2\
l ! ц > -2 'cl ■ ц !
1
Го Г,
С учетом найденных С! и С2 получим
ГЛ0 - Г,
Г=Гс1 + Т111(^-Э- (2'46)
r2 rj
Плотность теплового потока (проекцию вектора q на направление
единичного вектора ег) найдем по закону Фурье:
aj С1 Х(Тс1 - Г2)
,="^=_^=дм- <2'47)
Из (2.47) следует, что величина q обратно пропорциональна квадрату
радиуса сферической поверхности, через которую проходит тепловой
51
2
поток, a qr = const. Последний вывод получается также из уравнения
(1.11), записанного применительно к рассматриваемой задаче.
Термическое сопротивление сферической стенки
Гс1 " Гс2 г\ (\ 1
где qx — плотность теплового потока на внутренней поверхности стенки.
Из (2.47) получим
b = lsizl^. (2.49)
W
2
Так как тепловой поток Q = 4яг1^1, то
4яЦГс1-Гс2)
С = 1 % • (2.50)
Г1 Г2
Для стенки, состоящей из п слоев (внутренний радиус первого слоя
равен г1? а наружный последнего — rn + 1? соответственно температуры
поверхностей стенки составляют Гс1 и Гс w + j), будем иметь
г - г
Л - cl с, п+\ (Ъ цл\
Ч\ 2 * ^ ^
^ А.Лг, г.. . J
. лЛг-
z=l ' « < ' А
Если X, сферической стенки зависит от температуры, то для нахождения
зависимости Т = Т(г) вместо (2.44) следует взять уравнение
Применяя к этому уравнению преобразование Кирхгофа (см. § 2.1), получаем
С помощью (2.52), пользуясь методом, описанным в § 2.1, можно найти
температуру в любой точке сферической стенки.
Плотность теплового потока qx находится по формуле (2.48), при этом X надо
заменить на X [см. (2.14)].
52
Если X = Х0(\ + Р7), то зависимость Т= Т(г) описывается уравнением
где тепловой поток Q следует определять по (2.50) при Х = Х.
Введем внешние термические сопротивления:
Rn] = ж1~ с1 =—; (2.53)
9\ а\
_^2 ж2 = ± 1 (254)
а2 ?1 а2 г^
Здесь Гж1 и Тж2 — температуры жидкостей внутри сферы и снаружи.
Коэффициенты теплоотдачи относятся к внутренней (aj) и внешней (а2)
поверхностям стенки.
Соотношения (2.53) и (2.54) совместно с (2.48) образуют систему трех
уравнений, из которой можно найти Гс1 и Тс2 (если заданы граничные
условия третьего рода), а также qx. Из этой системы получим
Я1=к{(Тж1-Тж2), (2.55)
где к\ — коэффициент теплопередачи;
1 (2.56)
*1
2
1 ^Г1
— Н
oij X,
М
Ц
п
^
2
1 _l. 1 Г1
+
OU 2
2 г2
Для многослойной сферической стенки
*, = J " Г • (2'57)
Анализируя знаменатель (2.56), замечаем, что с ростом г2 второе
слагаемое увеличивается, а третье — уменьшается.
Используя правило нахождения экстремума функции, легко доказать,
что при г2 = 2X1 а2 коэффициент теплопередачи будет иметь наибольшее
значение. Этот факт необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции
сосудов сферической формы. Например, если наружный радиус сосуда
гх = 25 мм и известно, что а2 = 10 Вт/(м • К), то, выбрав тепловую
изоляцию с X = 0,2 Вт/(м • К), получим 2X1 а2 = 0,04 м. Следовательно, при тол-
53
щине, равной 7,5 мм, тепловой поток при наличии изоляции будет больше,
чем без нее. Поэтому в криогенной технике используются
высокоэффективные тепловые изоляции, к которым, в частности, относится ЭВТИ —
экранно-вакуумная тепловая изоляция. Для них «эффективное» значение X
невелико (около 0,04—0,05 Вт/(м • К)).
Укажем еще на одно применение формулы (2.49). При очень медленном
движении в жидкости нагретой сферической частицы с малым радиусом гх около нее
наблюдается неподвижный слой жидкости, толщина которого много больше гх. Тогда
из (2.49) получим
X
г\
где Тс — температура частицы; Тж — температура жидкости на большом
расстоянии от нее.
По закону Ньютона—Рихмана
Ч\ = а(Гс - Гж).
Из сопоставления двух формул вытекает
a = X/rv (2.58)
Полагая диаметр частицы d=2rx и обозначая безразмерный комплекс adIX = Nu
[Nu — число Нуссельта (см. ч. 2)], получаем
Nu = 2.
2.4. Температурное поле при действии источников теплоты
в пластине и круглом стержне
Пластина. Тонкая пластина толщиной 25 с постоянно действующими
источниками теплоты охлаждается так, что температура ее поверхностей
постоянна и равна Тс. Задана мощность источников теплоты qv, Вт/м ,
либо в виде постоянной величины (qv = const), либо в виде симметричной
функции qv = qv(x), где координата х отсчитывается от середины пластины
в сторону ее поверхности. Тогда изотермические поверхности в пластине
являются плоскостями, перпендикулярными к оси Ох; при этом q = qz = 0;
qx = qx{x) и T = Т(х). Далее будем обозначать: qx = q.
В середине пластины
д(х)\х = 0 = 0, (2.59)
так как в противном случае в этой точке существовал бы вектор, который
был бы направлен к одной из сторон пластины, чего не должно быть при
симметричных охлаждении и распределении мощности источников теплоты.
Для нахождения q = q(x) имеем уравнение
54
которое вытекает из (1.11). Интегрируя (2.60), с учетом (2.59) получаем
X
q(x) = \qvdx. (2.61)
0
На поверхности пластины
5
о
Искомая функция Т = Т(х) находится в результате решения уравнения
с граничными условиями
Т(х){
\х = 8
Т *1
с' dx
0.
(2.64)
х = 0
Второе граничное условие вытекает из (2.59) и закона Фурье.
Температуру Тс можно считать заранее известной и в том случае, когда
заданы температура окружающей среды и коэффициент теплоотдачи в
виде Тж = const и а = const, так как qc находится по (2.62), а
ТС=ТЖ + qja. (2.65)
Допустим, что X = const и qv = const. Тогда при двукратном
интегрировании (2.63) с нахождением постоянных с помощью (2.64) получим
Г=Гс + ^(82-Л
Изменение температуры в пластине
происходит по параболическому закону (рис. 2.12).
Максимальное ее значение наблюдается при х = 0:
(2.66)
Гп = Т + — + -^—
0 ж - 2Х
а
(2.67)
При записи (2.67) мы учли (2.65) и (2.62).
Так же просто решается задача, если qv = const, а
X = Х(Т). В этом случае, применяя преобразование
Кирхгофа (см. § 2.1), вместо (2.63) и (2.64) получаем:
dx2
; = -*„;
du
u[T(x)]x = b = Ul; —
= 0.
(2.68)
(2.69)
х=0
Рис. 2.12. Изменение
температуры в пластине с
источниками теплоты
55
Здесь
т тс
u=jXdT; u}=jXdT. (2.70)
Интегрируя (2.68) два раза и учитывая (2.69) при нахождении постоянных,
будем иметь
и = и1+^(д2-х2). (2.71)
Чтобы найти температуру в какой-либо точке пластины, необходимо задать
зависимость X = Х(Т). В частном случае X = Х0(\ + р7) решение получим в явном
виде, так как при этом легко вычисляются интегралы в (2.70). Если результаты
т
Таблица 2.1. Значения и(Т) для U02, найденные по формуле и(Т)= \ Х(Т) dT
при Г0 = 500 К
тук
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
и, Вт/м
0
332
648
946
1229
1497
1751
1991
2219
2435
2641
2836
3021
3198
3366
3527
3681
3829
3971
4108
4241
Т/К
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2350
2400
2450
2500
и, Вт/м
4370
4495
4618
4738
4856
4972
5088
5203
5318
5432
5548
5664
5781
5900
6020
6143
6268
6395
6525
6658
56
вычислений подставить в (2.71), придем к квадратному уравнению (вывести
самостоятельно), решение которого имеет вид
Для сложной зависимости X = Х(Т) целесообразно заготовить таблицу значений
и(Т) (например, табл. 2.1 для U02). Зная Тс (или Тж и а), из этой таблицы выбираем
щ, а затем при заданном значении х (О < х < 5) по (2.71) вычисляем и и обратным
путем находим температуру.
Задача несколько усложняется, если qv = qv(x) иХ = Х(Т). В этом случае,
интегрируя (2.68), с учетом второго условия (2.69) получаем
А Х
О
Если интеграл выражается в элементарных функциях, второе интегрирование
с учетом (2.69) может дать явную зависимость и(х). Дальнейший путь нахождения
Т(х) такой же, как и при qv = const. Если интеграл не берется, то придется
использовать компьютер.
Круглый стержень. Длинный стержень круглого поперечного сечения
с радиусом г0 охлаждается так, что Тс = const. Мощность источников
теплоты задана в виде qv = qv(r) или qv = const. В этом случае q = qz = 0;
qr = qr(r) и T = Т(г). Далее будем обозначать: qr = q.
На оси стержня
<7(г)|г = 0 = 0. (2.72)
Из (1.11) при использовании цилиндрической системы координат
получим
±±(rq) = qv. (2.73)
Интегрируя (2.73) и учитывая (2.72), находим
1 г
q(r) = -jqvrdr. (2.74)
0
На поверхности стержня
1 Г°
q(r)\r=r =<7С = - jqvrdr. (2.75)
0 ° о
Искомая функция Т = Т(г) должна удовлетворять уравнению
57
Рис. 2.13. Изменение температуры в цилиндрическом стержне
с источниками теплоты
и граничным условиям
T(r)\r = ro = Tc, f
0.
(2.77)
r = 0
Допустим, что X = const и qv = const. При
двукратном интегрировании (2.76) с учетом (2.77) найдем
Т=Тс + ^-(г20-г2). (2.78)
На оси стержня температура имеет
максимальное значение (рис. 2.13). Из (2.65), (2.75) и (2.78)
получим
Формула (2.79) записана для случая, когда Тж = const и а = const.
Если сохранить условие qv = const, но учесть X = Х(Т), то, аналогично случаю
с пластиной, будем иметь
г dArdrJ 4v'
du
и[Т(г)]г = Го = щ; —
= 0.
r=0
Решение этой задачи сводится к следующему:
Яи, 2
u = ux + j(r0-r ).
Здесь и и щ выражаются формулами (2.70). При X = Х0(\ + рГ) получаем
(2.80)
(И)
43 ^J 2Х^° } Р'
При сложной зависимости X = Х(Т) при qv = const задача решается так же, как и
для пластины. Если qv = qv(r) иХ = Х(Т), то для нахождения температур в стержне
будем иметь
du If л
(2.81)
Условия Тс = const, Тж = const, a = const, которые использовались при выводе
формул, далеко не всегда выполняются на практике. Например, при охлаждении
цилиндрических тепловыделяющих элементов ядерных реакторов температура теп-
58
доносителя Тж возрастает с увеличением координаты z. Однако если при этом
по-прежнему выполняется условие дТ/ду = О и к тому же dqjdz « dqrldr
(т.е. можно пренебречь изменением плотности теплового потока вдоль оси стержня),
то полученные выше формулы сохраняют свою силу. В них достаточно заменить
постоянные значения Гж и а на текущие (при данном z).
2.5. Двухмерное температурное поле и тепловой поток
в плоском ребре
Рассмотрим задачу о распространении теплоты в плоском ребре
(рис. 2.14). Толщина ребра 25 « / и 25 « h. Допустим, что температура
основания ребра (оно лежит в плоскости yOz) постоянна и равна Г0. Это
условие может, например, выполняться тогда, когда основание ребра
соприкасается с жидкостью, температура которой постоянна, и при этом
а -> °° (см. закон Ньютона — Рихмана). Примем, что теплопроводность
ребра X = const, оно находится в среде с Тж = const, коэффициент
теплоотдачи в окружающую среду а = const. Для определенности примем, что
Tq > Тж. Тогда в установившемся состоянии тепловой поток, входящий
в ребро через его основание, будет равен тепловому потоку, выходящему
из ребра через его боковую поверхность. При этом теплота передается
окружающей среде.
Найдем температурное поле в ребре. Из постановки задачи ясно, что
в нашем случае dT/dz = 0 и достаточно изучить температурное поле
в плоскости хОу (рис. 2.14 и 2.15).
Уравнение теплопроводности (1.16) запишем для температуры 0 = Т- Тж:
ЦЩ-*. (2.S2)
дх ду
Для основания ребра задано граничное условие первого рода:
9 = 0О = Т0 - Тж при х = 0, 0 <у < 5. (2.83)
На боковой поверхности задано граничное условие третьего рода:
- X— = а0 при х > 0, у = 5. (2.84)
Запишем еще условие симметрии температурного поля:
— = 0 при>> = 0. (2.85)
Кроме того, надо учесть, что
0^0 при х -> оо. (2.86)
Сформулированную задачу можно решить методом Фурье (методом
разделения переменных). Подробно метод Фурье рассматривается в § 3.2
59
— <L_
X
1»Ъ
Рис. 2.15. К постановке задачи о
нахождении температурного поля и теплового
потока в плоском ребре
Рис. 2.14. Плоское ребро
Решение нашей задачи записывается в виде
В (2.87) значения гп являются корнями уравнения
6 / Bi = ctg 8,
где число Био
и-И.
(2.87)
(2.87а)
(2.876)
а коэффициент Ап определяется по формуле
2sineM
А„ =
гп + sin гп cos гп
Температурное поле в плоском ребре при различных значениях числа
Bi показано на рис. 2.16, а линии теплового тока при Bi = 10 — на
рис. 2.17. Видно, что кривизна температурных кривых тем больше, чем
больше число Био. Этот безразмерный параметр можно рассматривать как
меру отношения двух термических сопротивлений RjJR^ причем R^ = 5/А.,
а/?а= 1/а. Если Ra » R^, т.е. термическое сопротивление переносу
теплоты в окружающую среду велико (мал коэффициент теплоотдачи), то
тепловой поток распространяется преимущественно вдоль ребра (qx » q ).
60
Наоборот, если Ra « R^, то интенсивность теплоотдачи велика, и вблизи
поверхности ребра qx « q . В этом случае тепловой поток быстро
рассеивается в окружающую среду.
Формально характер изменения температуры по сечению ребра
объясняется зависимостью координаты направляющей точки А (см. рис. 1.7) от
числа Био. Действительно, так как /0 = Х/а, то
L0 = /0/5= 1 /Bi, (2.88)
и точка А на графике в безразмерных координатах занимает положение,
показанное на рис. 2.18. При Bi -> оо £0 -> о и кривизна температурных
кривых наибольшая. С уменьшением числа Bi значение L0 увеличивается,
у
0,8
0,6
0,4
0,2
i ш
А •
1 Л 7
1 028 1
10=0,91
mi
1 1
1
1
5 0|
Г
4 °.
3
ц
о,
1—
1
0=0,1
2 |
* 1 1
4
а)
У
0,8 ■
0,6 ■
0,4 ■
0,2 ■
0 ■
\\\\\ \
\\\\\
\ \\ °\
0.8 \ \ \
Т1, \ \
^\
\
0,4
\
\
Л
N
\
0,3
\
\
\
-1
\
0,2
\
\
\
—1-
х
0=0,1
\
\
\
. \
0,5
1,5
б)
2,5
X 3
Рис. 2.16. Температурное поле в ребре при различных числах Bi
а — Bi = 0,1; б — Bi = 1; в — Bi = 100
61
Y
0,8
0,6
0,4
0,2
0
J \ \
— T "
J \
1 0,9
V "\
0,8
4:
\ X*
0,7
^s/
/ X
\ 0,5
0,6 \
0,4
N
v
"^^"0=0'1 --JLJ
""^0,2 ^/
"wx^
/4
\/ X
ij
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 2.17. Линии теплового тока (пунктирные линии) и
изотермы в ребре при Bi = 10
Рис. 2.18. К объяснению
влияния числа Био на
кривизну температурных
кривых в плоском ребре
при этом температурные кривые распрямляются, а при Bi -» 0 они
вырождаются в прямые линии, параллельные друг другу.
Рассчитаем тепловой поток через основание ребра площадью S = 25/г. В
(1.3) положим n0 = i. Тогда тепловой поток, входящий в объем ребра через
его основание, определяется как
Л/2 5 8
Q = \qndS = -AX I J f\ dydz = -2Xh J g
s z = 0 y = 0 *S y = 0
dy =
x = 0
2кк00^Ая8шгп.
n=\
(2.89)
2.6. Теплопроводность стержня (ребра) при малых значениях
числа Био
Выше (см. § 2.5) мы сделали вывод, что при очень малых значениях
числа Био температура незначительно изменяется по толщине плоского
ребра. Тогда приближенно можно считать температуру функцией только
продольной координаты х. Т = Т(х). Это справедливо не только для
плоского ребра, но и для ребра или стержня другой геометрической формы.
При этом площадь сечения ребра (стержня) может быть как постоянной,
так и изменяться по координате jc.
Рассмотрим ребро или стержень постоянного поперечного сечения
площадью S при условии, что число Bi —» 0 (Bi « 1), где
Bi-?-0.
(2.90)
62
В (2.90) /0 — характерный размер сечения ребра или стержня. Для
плоского ребра характерным размером является его толщина 8 (в § 2.5 б —
половина толщины ребра), т.е. здесь /0 = 5. Для круглого сплошного
стержня /0 = d, где d — диаметр стержня, для полого стержня
(тонкостенной трубки) /0 = 5, где 8 — толщина стенки и т.д.
Предположим, что известны температура стержня (ребра) TQ при х = 0
(рис. 2.19), температура окружающей жидкости Гж, коэффициент
теплоотдачи а и теплопроводность X. Примем, что Тж = const, а = const, X = const.
Найдем зависимость 0 = Т - Тж от координаты х. Составим
дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция 0 = 0(х).
В произвольном сечении на расстоянии х выделим элементарный объем
SAx (рис. 2.19). В этом сечении плотность теплового потока равна qx(x), а в
сечении на расстоянии х + Ах она составляет qx(x + Ах).
Запишем уравнение теплового баланса для выделенного элемента
объема стержня:
- qx{x)S + qx(x + Ax)S + clPAx 0=0. (2.91)
Первое слагаемое в левой части (2.91) характеризует тепловой поток
через сечение на расстоянии х (теплота поступает в элемент стержня),
второе — тепловой поток через сечение на расстоянии х + Ах (теплота уходит
из элемента стержня), третье — приток теплоты через боковую поверхность
элемента (Р — периметр сечения стержня). Последнее слагаемое записано
на основании закона Ньютона—Рихмана с учетом того, что средняя
температура 0 в данном сечении и температура поверхности ребра мало
отличаются друг от друга. Полагая Ах бесконечно малой величиной, будем иметь
qJx + Ах) = qJx) + ^Ах.
Ах
Рис. 2.19. К постановке задачи о теплопроводности стержня при малых значениях
числа Био
63
Ho qx является проекцией вектора q на ось Од:. По закону Фурье
qx = - tal9/dx и, следовательно,
,d29
Ях = ~ 72'
ах
Из (2.91) теперь получаем
^-т20 = О, (2.92)
dx
la? -l
где т = — , м .
Общее решение (2.92) известно:
е = С1еш + С2е~тх. (2.93)
Для определения постоянных Сх и С2 необходимо задать два граничных
условия. Одно из них вытекает из постановки задачи:
e(*)u0 = e0, (2.94)
где % = Т0- Тж.
Возможны три случая назначения второго граничного условия.
Первый случай. Длина ребра / бесконечно велика. Тогда 0(х)\х = / = О,
откуда следует Сх = 0, и с учетом (2.94) из (2.93) получаем
Q = %e~mx. (2.95)
Второй случай. Длина стержня / конечна, но она настолько большая,
что теплота, подводимая к его основанию, практически полностью
рассеивается в окружающую среду только через его боковую поверхность. Тогда
qx(x)\x = i = 0, откуда следует
dx
= 0. (2.96)
■*=/
Для нахождения Сх и С2 имеем два уравнения, которые получим после
подстановки (2.94) и (2.96) в (2.93):
Сх + С2 = 0О;
е Сх- е С2 = 0.
Постоянные Сх и С2 определяются как
-ml
С, = 0 е
1 0 ml -шГ
+ е
64
ml
с, = е. е
2 0 ml , -w/'
в + в
Найденные значения Cj и С2 подставляем в (2.93) и получаем
т(1 - х) -т{1 - х)
9 = 90- ——. . (2.97)
u ml , -ml
е + е
В другом виде
0= ch[^)J
и ch(m/)
Третий случай. Считаем, что / — конечная величина и теплота к
жидкости передается не только через боковую поверхность стержня, но и через
сечение ребра при х = I. Тогда по закону Ньютона—Рихмана
qx(x)\x = l = alQ(x)\x = h (2.98)
где а{ — коэффициент теплоотдачи с торца стержня.
Граничные условия (2.94) и (2.98) после их подстановки в (2.93)
позволяют найти соответствующие им значения Cj и С2 и в результате получить
формулу
9 = 80- — — . (2.99)
ml , -ml , а1, ml -mL
е + е + —г(в ~е )
тк
При ах « тк и ет «1 из (2.99) получается формула (2.97).
Тепловой поток Q можно найти при использовании закона Фурье для
сечения х = 0 или закона Ньютона—Рихмана для поверхности стержня.
Применительно ко второму случаю граничных условий будем иметь
f р ml -ml
Q = aP\Qdx = 0О^ е ~е
J и т ml , ~т1
О е + е
Последнюю формулу можно представить в виде
Q = (aPl%)E, (2.100)
где
Е = ^. (2.101)
ml
В (2.100) выражение в скобках представляет собой тепловой поток,
который отводился бы от поверхности ребра при его постоянной
температуре, равной 90. Это максимально возможный тепловой поток, так как в
65
действительности средняя температура 0 стержня меньше Э0. Очевидно,
что коэффициент Е равен отношению действительного теплового потока
к максимально возможному:
г в 1 [ е А
Выше рассмотрена теория процесса теплоотдачи от стержня.
Естественно, что все остается в силе для любого ребра постоянного поперечного
сечения. В последнем случае Е называют коэффициентом эффективности
ребра. Для плоского ребра высотой h и толщиной 8 (h » 5) Р « 2/z, S = А8, а
т=М> <2ло2)
W АО
ml= 72Bi [. (2.103)
о
2.7. Передача теплоты через круглое ребро
Трубы с круглыми ребрами (рис. 2.20) применяются, когда внутренний
коэффициент теплоотдачи, характеризующий процесс теплообмена между
стенкой и жидкостью внутри трубы, гораздо больше внешнего. В этом
случае оребрение внешней поверхности теплообмена дает значительное
увеличение теплового потока через стенку трубы. Оребренные трубы имеют
преимущества по сравнению с гладкими в процессах передачи теплоты
от газового теплоносителя (малые а) к воде (большие а).
Выведем формулы для расчета теплового потока через круглое ребро и
температуры ребра.
Пусть имеется круглое ребро (рис. 2.21) толщиной 5 с радиусами гх и
г2. Поверхность при г = г^ поддерживается при постоянной температуре
Г0. Температура жидкости, омывающей ребро, Тж = const. Задана
теплопроводность ребра X = const. Коэффициент теплоотдачи а = const. Будем
считать, что Ь/Х « 1/а. Изменением температуры по толщине ребра
можно пренебречь. Обозначим 0 = Т - Тж.
Подобно тому, как это мы делали в § 2.6, составим уравнение теплового
баланса для элемента ребра в виде тонкого кольца с радиусом г, толщиной
Дг и высотой 5. Введем qj(r) = 2nrqr(r). Аналогично (2.91) запишем
-q£r)b + q£r + Аг)5 + а4тггАг0 = 0.
По формуле Тейлора, учитывая малое значение Аг, находим
q{r+ tsr) = q{r) + q'lbr9
66
Рис. 2.20. Труба с круглыми ребрами
Рис. 2.21. К выводу уравнения
теплопроводности круглого ребра
где q) = 2n±(rqr) = ~2nx£(rf) .
Теперь уравнение баланса теплоты принимает вид
d20 1 d0 2ап _ п
dr2 г dr ХЪ
(2.104)
Комплекс величин 2а/(А,8) = т . Обозначим z = тг. После простых
преобразований (2.104) получим уравнение
dz2 z iz
которое относится к классу специальных дифференциальных уравнений,
называемых уравнениями Бесселя. Его решение можно записать как
е = cxi0(z) + c2k0(z\
где /0(z) = 1ц(тг) — модифицированная функция Бесселя первого рода
нулевого порядка; K0(z) = К0(тг) — модифицированная функция Бесселя
второго рода нулевого порядка; постоянные Cj и С2 находятся из граничных
условий:
в(и1г)|г = Г1 = в0; fr
= 0.
67
Для функций Бесселя справедливы соотношения вида
d/0(z)
dz
dK0(z)
dz
= -/,(*);
= ~Kx{z)9
(2.105)
(2.105a)
где Ix(z) и Kx(z) — функции Бесселя первого порядка (соответственно
первого и второго рода).
Окончательно решение задачи получается в виде
0 = 9,
I0(mr)Kl(mr2) + Il(mr2)K0(mr)
°I0(mrl)Kl(mr2) + Ix(mr2)K0(mrx)'
Таблицы функций Бесселя содержатся в справочниках по математике.
Графики функций /0, Ix, К0, Кх изображены на рис. 2.22 и 2.23.
Тепловой поток, проходящий через ребро,
Q = -Х2кг}д —
* l dr
= 2nrxXSmQ0\\f,
Ix (mr2)Kl (mrx) - Ix (mrx )KX (mr2)
где vi/ = ——■
I0(mrx)Kx(mr2) + Ix(mr2)KQ(mrx)'
Для приближенного учета теплоотдачи с внешней боковой поверхности
ребра можно условно увеличить г2 на значение, равное 0,58.
-2 -\У
/
/
/
/
/
/
/
/
68
-1 +
~2Т
-3 +
-4 +
1,5
1,0 н
0,5
0
2 л:
Рис. 2.23. Графики функций Бесселя
<-
Рис. 2.22. Графики функций Бесселя
/« и Л
2.8. Теплопередача через ребристую стенку
Рассмотрим процесс теплопередачи через плоскую стенку толщиной 8'
(рис. 2.24). Заданы температуры жидкостей с двух сторон от стенки ТжХ и
Тж2. Со стороны первой жидкости площадь поверхности стенки равна F^ а
коэффициент теплоотдачи составляет а^ На другой стороне стенки
имеются плоские ребра высотой /, шириной Ъ и толщиной 8. Оребрение
поверхности сделано в целях увеличения теплового потока, так как
известно, что со стороны второй жидкости а2 значительно меньше о^.
Выведем формулу для расчета Q через данную стенку.
Обозначим температуры одной и другой поверхностей стенки
(соответственно со стороны первой и второй жидкости) через Гс1 и Тс2, площадь
поверхности ребер через F , а площадь поверхности стенки между
ребрами через Fc. Поверхности площадью F соответствует коэффициент
теплоотдачи а , а поверхности площадью Fc — ас.
Коэффициент эффективности ребра
Е _ th(m/)
ml
где для плоского ребра при условии 8 « Ъ
[2о~
(2.106)
(2.107)
Здесь А, — теплопроводность ребра.
Тепловой поток от ребристой поверхности ко второй жидкости
Q = acFc(Tc2 - Тж2) + apFpE(Tc2 - Тж2) = a2npF2(Tc2 - Тж2),
где F'2 = F + Fc, а приведенный коэффициент
теплоотдачи
F F
Кроме того, известно, что
Q = ai^i(^i - rd);
e = t>i(rcl-:rc2),
где X' — теплопроводность стенки; часто Рис 2 24 к расче^ тепловоп)
МОЖНО принять V = X. потока через ребристую стенку
69
/
н-
\
■+'*~
f
{-]
^^
\
Pv
ил
ч
*v
_^*s
\
/,
ч'э
а)
Рис. 2.25. Схемы к расчету /экв
а — для прямоугольного ребра; б — для пластинчатого ребра при коридорном расположении
труб; в — то же при шахматном расположении труб
Исключая из трех уравнений для Q неизвестные величины Гс1 и Гс2,
получаем
Q =
(^ж1 ^ж?)^
а,
1
а2„р F2
Из последней формулы видно, что даже при малом значении а2пр
последнее слагаемое в знаменателе будет иметь небольшое значение, так
как Fj < F 2.
Рассмотренную методику расчета теплового потока через стенку с
плоскими ребрами постоянного поперечного сечения применяют также для
цилиндрических стенок с круглыми и пластинчатыми ребрами. При этом
коэффициент эффективности ребра толщиной 5 рассчитывают по (2.106)
и (2.107), причем в (2.106) величину / заменяют эквивалентной длиной
(высотой) /экв. Для круглого ребра с наружным D и внутренним d2 диаметрами
/3KB = ^(l+0,351n(Dp/^2)),
где h = 0,5(Dp - d2).
Для пластинчатых ребер (рис. 2.25) высоту h подбирают таким образом,
чтобы площадь поверхности прямоугольного ребра была такой же, как
площадь поверхности круглого ребра. Аналогично поступают и в случае,
когда ребра расположены на коридорном или шахматном пучке труб.
2.9. Численный метод решения стационарных задач
теплопроводности
В предыдущих параграфах рассматривались аналитические решения
задач теплопроводности, которые имеют очень большое значение, в
особенности, если удается получить привычные формулы, удобные для
использования и анализа. К сожалению, получить простое и наглядное ана-
70
литическое выражение удается далеко не всегда. Зачастую решение задачи
представляется в виде ряда со специальными функциями, работа с
которым достаточно трудоемка. Если же приходится решать нелинейное
уравнение, то аналитическое решение получается лишь для весьма
ограниченного круга задач.
Численные методы решения позволяют существенно расширить этот
круг. Можно утверждать, что задачи, имеющие аналитическое решение,
могут быть решены также и численно, но многие из них могут быть
решены только с помощью численных методов.
Основным недостатком численного решения является то, что результат
представляет собой набор (таблицу) чисел, что, безусловно, снижает
наглядность и затрудняет анализ решения. Однако аналитические и
графические возможности современных компьютеров в большой степени
снимают остроту этой проблемы. Следует отметить, что именно появление во
второй половине XX в. быстродействующих ЭВМ позволило состояться
численным методам, ибо сама по себе идея численного решения известна,
по меньшей мере, со времен Ньютона, и лишь большая трудоемкость
массовых вычислений служила основным препятствием ее реализации на
практике.
Кратко рассмотрим лишь один из многих численных методов решения
дифференциальных уравнений теплопроводности — метод контрольного
объема [31].
Основная идея численного решения состоит в том, что оно
записывается не для всей области интегрирования сразу, а для дискретной, малой ее
части — контрольного объема (имеется в виду трехмерное пространство).
В частности, если контрольный объем мал, то в его пределах искомая
величина (у нас — температура) практически не изменяется и, следовательно,
характеризуется численным значением, которое приписывается
фиксированной точке внутри этого объема — узлу или полюсу. Связь же между
численными значениями искомой величины в соседних контрольных
объемах устанавливается через дискретный аналог дифференциального
уравнения теплопроводности, что позволяет охватить всю область
интегрирования. Как было отмечено выше, уравнение теплопроводности отражает
закон сохранения энергии. Применительно к контрольному объему при
стационарном температурном поле этот закон может быть сформулирован
так: «Изменение во времени энтальпии контрольного объема равно нулю,
так как в любой момент времени количество теплоты, выделившейся в
контрольном объеме в связи с действием в нем внутренних источников
(стоков) теплоты, плюс количество теплоты, поступившей в контрольный
объем через часть его границ, равно количеству теплоты, покинувшей
контрольный объем через другие его границы в процессе теплообмена с
окружающими телами (соседними контрольными объемами)».
71
Таким образом, для каждого контрольного объема записывается
алгебраическое уравнение, связывающее значение температуры в нем со
значениями температуры в соседних контрольных объемах. Общее число таких
уравнений равно числу контрольных объемов, составляющих область
интегрирования уравнения. Очевидно, что решение такой системы
уравнений дает приближенные значения температуры во всех контрольных
объемах. В пределе, если число контрольных объемов устремить к
бесконечности, приближенное решение переходит в точное.
Рассмотрим метод контрольного объема на примере ранее рассмотренной
простой задачи о теплопроводности ребра постоянного сечения (см. § 2.6).
Применение метода включает шесть шагов: постановку задачи,
дискретизацию области интегрирования, дискретизацию дифференциального
уравнения, дискретизацию граничных условий, решение системы
алгебраических конечно-разностных уравнений, анализ решения.
Постановка задачи. Ребро (стержень) длиной / с постоянной
площадью поперечного сечения f, на левом торце (границе) которого
поддерживается постоянная температура t0, отдает теплоту (со своей боковой
поверхности и правого торца) жидкости, имеющей более низкую
температуру 7Ж. При заданном коэффициенте теплоотдачи а от поверхности ребра
к жидкости рассчитать изменение температуры по его длине.
Теплопроводность материала ребра X задана. Опустив все допущения (см. § 2.6),
сформулируем задачу математически.
Найти на отрезке х е [0, /] решение 0(jc) стационарного
дифференциального уравнения теплопроводности
Л
—2<д-т2Ъ = 0 (2.108)
dx
при следующих граничных условиях:
0(0) = 60 прих = 0;1
d -а (2-109)
— 0 = — 0 при X = /.
dx X ^ J
Дискретизация области интегрирования. Разобьем область
интегрирования — отрезок [0, /] на п равных частей, разместим узлы Pt, обозначим
границы контрольных объемов, как это показано на рис. 2.26. Способ разбиения
области на контрольные объемы определяется, в основном, предварительной
информацией о скорости изменения температуры внутри области
интегрирования. Там, где ожидается большое изменение температуры в зависимости от
изменяющейся координаты, узлы располагают чаще.
72
О Ф-
Рис. 2.26. К постановке задачи
о нахождении температуры в ребре
w Т р
4-^4
6Х,
5*.
Ах
п=5
Узлы нумеруются, координаты узлов Xt и их границ xi вычисляются и
хранятся в памяти компьютера в виде массивов чисел {Х(} и {xz}, где / = О,
1, ..., п.
Для точности решения важно, чтобы соблюдалась ортогональность
границ контрольного объема осям координат. В нашем случае это требование
выполняется.
Для дальнейших рассуждений рассмотрим три соседних внутренних
контрольных объема с узлами W, Р, Е. Индекс «/» для удобства опустим.
Дискретизация уравнения теплопроводности. Для перехода от
дифференциального уравнения к алгебраическому дискретному аналогу
необходимо проинтегрировать (2.108) в пределах контрольного объема с узлом
Р (рис. 2.26). Из физического смысла задачи следует, что
Л А
f —- dx = т \ 0 dx.
х dx Y
(2.110)
Если предположить, что вследствие малости контрольного объема
значение 0 не изменяется в пределах Лх = хе - х^ то интеграл в правой части
(2.110) легко вычисляется. Тогда имеем
dx) е \dx) w
Теперь предположим, что от узла к узлу значение 0 изменяется линейно
(более правильным был бы выбор экспоненциальной функции), тогда
можно записать
±(QE-eP)-^(QP-dw) = m2epAx.
дх
8л;
Отметим, что в рамках метода допускается выбор любой функции:
ступенчатой, степенной, экспоненциальной. Предположение о малости
контрольного объема делает это допущение обоснованным, а удачно
выбранная функция увеличивает точность решения. Более того, метод допускает
различные функции при интегрировании правой и левой частей уравнения
(2.110), чем мы уже воспользовались.
73
После простых алгебраических преобразований получаем
окончательное выражение для конечно-разностного аналога:
aPQP = aEQE + awQw+b, (2.111)
где аЕ = 1 /Ъхе\ aw = 1 /dxw; b = 0; аР = аЕ + aw+ т Ах.
Как говорилось выше, уравнения вида (2.111) должны быть записаны для
всех внутренних контрольных объемов, они образуют систему из п - 1
уравнений. Эта система не замкнута, так как число неизвестных равно п + 1.
Недостающие уравнения получим из граничных условий.
Дискретизация граничных условий. Так как на левой границе ребра
задано значение искомой функции (граничное условие первого рода), то
коэффициенты уравнения (2.111), очевидно, таковы: ар = 1, аЕ = aw = 0,
b = %.
Для правого граничного контрольного объема придется записать особое
уравнение. Формальная дискретизация граничного условия третьего рода
не учитывала бы отвод теплоты через боковую поверхность правого
граничного контрольного объема.
Итак, тепловой поток, прошедший через левую границу контрольного
объема w, покидает его через правую границу — торец Р с площадью
поверхности /и через боковую поверхность площадью иАх/2 благодаря
конвективному теплообмену с жидкостью, что в терминах метода
контрольного объема выглядит так:
-x[±-(Qp-ew)]f=afQp + au^ep. (2.112)
Отсюда получаем выражения для коэффициентов уравнения (2.111) для
правого граничного объема (для узла Рп): аЕ = 0; aw = 1 /&cw; b = 0;
2
ар = аЕ + aw+ т Ах 12 + а/Х.
Таким образом, благодаря описанной выше процедуре дискретизаций
уравнения и граничных условий нам удалось записать для наших п + 1
узлов п + 1 уравнений вида (2.111) и вычислить коэффициенты при
неизвестных. Если записать полученную систему уравнений в матричном виде
AQ = В, то будет видно, что матрица А коэффициентов уравнения —
ленточная, т.е. все ее коэффициенты, за исключением тех, которые стоят на
главной диагонали и двух ближайших к ней, равны нулю. Это понятно, так
как каждое уравнение вида (2.111) связывает лишь три узла, а состоит
формально из п + 1 членов.
Решение системы конечно-разностных уравнений. Из математики
известны самые разнообразные методы решения систем алгебраических
уравнений, многие из которых реализованы в программном обеспечении
ЭВМ.
74
Для решения линейной системы алгебраических уравнений с ленточной
матрицей коэффициентов используют чаще всего специальный метод —
так называемый метод прогонки, являющийся частным случаем известного
метода Гаусса. Воспользуемся возможностями программного продукта
компании Mathsoft—Mathcad, который позволяет работать с
алгебраическими выражениями, различными функциями и матрицами, причем их
можно записывать в почти привычном математическом виде.
Итак, вернемся к нашей задаче. Присвоим числовые значения всем
исходным данным. Единицы величин опустим, но надо иметь в виду, что
используются базовые единицы системы единиц СИ и только температура
измеряется в градусах Цельсия.
Поскольку область интегрирования разбита на равные объемы, за
исключением приграничных, и узлы размещены в их центрах, то 8jc = Ах =
= \ln = h — шаг разбиения сетки. Символами 5 и Р обозначим толщину и
ширину ребра. Результаты ввода исходных данных и необходимые
предварительные вычисления имеют вид:
/: = 0,05; 8: = 0,005; р: = 0,2; X: = 100; л: = 5; /0: = 120;
/у: =20; а: = 10; и: = 2(5 + (3); /: = 8(3; %: = t0-tf;
m: = JM; h: = l/n; и = 0,41; /= 1 • 10"3;
00=100; m = 6,403; h = 0,01.
Теперь заполним матрицу коэффициентов при неизвестных А и вектор-
столбец В правых частей системы уравнений вида (2.111). Формулы для их
вычисления были получены выше. Очевидно, что вследствие постоянства
шага h для всех уравнений, записанных для внутренних узлов,
коэффициенты ai t = аР и atj _ j = atj + j = - aE = - aw одинаковы.
Имеем для / = 0
aP0: = U aE0: = 0; b0: = 00;
для 0 <i<n
aE: = 1 lh\ aw\ = 1 /h; b: = 0; aP: = aE + aw+ m h\
a£=100; а^=100; яР = 200,41.
Наконец, для последнего уравнения при i = п получаем
aWn: = \/h; bn: = 0; аРп: = aWn + - + т -;
aWn = 100; аРп = 100,305.
75
hj
B;\ =
e0 if /=o
bn if i = n
0 otherwise
Этими числами мы и заполним матрицы. С помощью маленьких
программок
*poif(i = 0)(/ = 0)
apif(i=j)(ij>0)
аРп if (« = «)(/ = «)
-aw\fj = i- 1
-*£if(/ = i+l)(i*0)
0 otherwise
заполняем матрицы А и В значениями коэффициентов уравнений и их
правых частей. Приведем результат этой работы:
100
0
0
0
0
0
1 0 0
100 200,41 -100
0 -100 200,41
0 0 -100
0 0 0
0
0
-100
200,41
-100
0
0
0
-100
200,41
0
0
0
0
-100
о
о
о
о
в =
-100 100,305J
Функция обращения матриц является внутренней процедурой Mathcad,
поэтому окончательное решение задачи получается в виде 0 = А~ В.
Вектор-столбец 0 содержит значения избыточной температуры в ребре,
в шести точках по его длине /.
Анализ решения. Приведем результаты численного решения в
сравнении с результатами расчета по аналитической формуле, учитывающей
теплоотдачу с торца ребра:
е,(*): = е0-
mch(m(l-x)) + -sh(m(l-x))
А,
mch(ml) + -sh(ml)
А,
Аналитическое решение имеет вид
Urp —
100
98,131
96,664
95,594
94,916
94,628
76
Численное решение записывается
0 =
100
198,132
96,666
95,596
94,918
[94,629j
Температурное поле в пластине с неравномерным подводом
(отводом) теплоты на границе. На практике часто бывает, что поверхность
теплообмена нагревается или охлаждается неравномерно, т.е. плотность
теплового потока не постоянна, а меняется вдоль поверхности теплообмена от
точки к точке. Так, например, работают экранные трубы в топке котла,
обращенные наполовину к факелу и продуктам сгорания, а наполовину к
стенке топки. Более того, тепловой поток изменяется не только по
периметру трубы, но и вдоль ее оси. Таким образом, в стенке трубы возникает
трехмерное температурное поле.
Рассмотрим упрощенную задачу: двухмерную (пренебрежем
распространением теплоты вдоль оси трубы) и вместо цилиндрической будем
использовать декартову систему координат, т.е. будем искать решение
задачи не в полукольце, а в прямоугольной полосе длиной 1Х (развертка по
полупериметру) и шириной / (толщина стенки трубы).
Уточним формулировку задачи. Рассчитать стационарное поле
температуры в полосе /д.*/, к верхней границе (у = /) которой подводится
теплота, плотность теплового потока изменяется по заданному закону q(x). От
нижней границы (у = 0) теплота отводится жидкостью с температурой /ж
при постоянном коэффициенте теплоотдачи а. На левой (х = 0) и правой
(х= 1Х) границах тепловой поток равен нулю. Теплопроводность X
материала полосы считать известной функцией температуры: X(t).
Рассмотрим математическую постановку задачи. Решить уравнение
дх\ dxJ ду\ ду)
в прямоугольной области {0 < х < 1Х, 0 < у < I' } при следующих граничных
условиях:
при х = 0, 0 < у < I
при х = 1Х9 0 < у < \у
при у = 0, 0 <х < I-X
при у = I 0 < х < 1-Х
dtldx = 0;
dt/дх = 0;
(dt/ду) = a(t(x, 0)
(dt/ду) = q(x).
■О;
На трех границах области интегрирования заданы граничные условия
второго рода, а на четвертой — третьего рода.
77
Дискретизация области интегрирования. На рис. 2.27 показано
примерное разбиение нашей области на контрольные объемы, которые теперь
представляют собой прямоугольники. По двум осям выбраны равномерные
шаги: hx = Ах, h = Ay. Если принять число разбиений по оси х равным т, а
по оси у равным п, то hx = lxlm, h = I In. Таким образом, вся область
разбита на (т + Х)(п + 1) контрольных объемов, в состав которых входят (т -
- 1)(« - 1) внутренних объемов А V = hxh I (их узлы обозначены черными
точками и латинскими буквами); 2(т + п) - 4 внутренних граничных объемов
hxh 111 и четыре угловых граничных объема hxh 114 (серые точки).
Дискретизация уравнения. Процедура дискретизации уравнения не
отличается от той, которая выполнялась выше, за исключением того, что
теперь нужно брать уже двухкратный интеграл с пределами
интегрирования хе - xw, уп - уу Конечно-разностный аналог дифференциального
уравнения, записанный для контрольного объема Р, имеет следующий вид:
аР tP = aEtE + awtw +aNtN+ asts + b, (2.113)
где aE = hy Xe /&ce; aw = hy Xw ldxw; aN = hx Xn /Syn; as = hx Xs lbys\ b = 0;ap =
= aE + + aw+ aN+ as\ здесь bxe = xE-xp, bxw = xp-xw, byn = yN-yP, bys =
= yp~ys-
Проведем аппроксимацию X. Индексы «e», «w», «и», <ш> при X в
выражениях для аЕ, aw, aN, as показывают, что формально значение его
относится к соответствующей границе контрольного объема Р с соседним
контрольным объемом и зависит как от теплопроводности объема Р, так и от
теплопроводности соседнего объема. Наиболее удачной формулой
аппроксимации X является следующее выражение (оно записано для границы е\
для других границ его можно записать по аналогии):
И--+—1-^-1—I-—\-
Ау
у
V
\wm
Ьь-+—!-•-*
и—+-.-
N
• Р
Ах
—[-
1 h-
Р
У-
Рис. 2.27. Дискретизация области интегрирования. Внутренние и граничные
контрольные объемы
78
Очевидно, что Ьхе1Хе представляет собой термическое сопротивление
теплопроводности на участке РЕ, равное сумме термических
сопротивлений участков Ре и еЕ.
Дискретизация уравнения теплопроводности выполнена. Мы записали
уравнения для всех внутренних узлов области интегрирования. Перейдем к
ее границам.
Дискретизация граничных условий. На левой и правой границах
полосы задано условие теплоизолированности, т.е. qx = 0. Однако
плотность потока q не равна нулю. С учетом этого интегрирование
дифференциального уравнения теплопроводности по граничным контрольным
объемам приводит к следующим конечно-разностным уравнениям:
на левой границе
aptp = aEtE + aNtN + asts + Ь,
где аЕ = hyXJbxe\ aN= hxXnlbynl2\ as = hxXs/8ys/2; b = 0;aP = aE + aN+as;
на правой границе
aptP = awtw+ ciNtN+ asts+ b,
где aw = hyXw/8xw; aN = hxXnl8ynl2\ as = hxXs /8ys/2; b = 0; aP = aw +
+ aN+ as.
Перейдем к нижней и верхней границам. На нижней границе
происходит теплоотдача к жидкости, имеющей температуру /ж, при коэффициенте
теплоотдачи а. Поступая так же, как в задаче для ребра, и учитывая
дополнительно теплообмен между объемами в направлении х, получаем
aptP = aEtE + awtw + aNtN + b,
где aE = hyXelbxel2\ aw = hyXw/8xw/2; aN = hxXnlbyn\ b = Шжкх\ ap = aE +
+ aw+ aN+ ahx.
На верхней границе к полосе подводится теплота с заданной
плотностью теплового потока q{x). При интегрировании уравнения с учетом
граничного условия получаем
aptp = aEtE + awtw+asts + b,
где aE = hy Xelbxe/2; aw = hy Xw/8xw/2; as = hx Xs lbys\ b = q{xp)hx\ ap = aE +
+ aw+ as.
Аналогично получаются коэффициенты уравнений для оставшихся
четырех угловых контрольных объемов.
Решение системы уравнений. Выше для решения системы уравнений
использовалось обращение матрицы коэффициентов уравнений. Теперь
рассмотрим два метода, один из которых (метод Зейделя) будет применен
как основной, второй (метод прогонки) — как вспомогательный.
Метод Зейделя — один из методов последовательных приближений
(итераций). Суть метода проста.
79
Заданная система уравнений
ai,0*0 + au'l + '•• +aijj+ '" + ai,/Ai = 6/> гДе' = °> Ь ••-,«; 7 = 0, 1, ..., л,
записывается в виде, удобном для итераций: каждое из уравнений решается
относительно неизвестного ti при диагональном коэффициенте at t.
Задается начальное приближенное решение системы уравнений —
вектор-столбец /°.
Решение задачи в к-м приближении находится путем подстановки
результата t ~ предыдущего к - 1-го приближения в правую часть
каждого из уравнений системы. Это метод простой итерации.
Особенностью метода Зейделя является то, что в процессе подстановки
при вычислении / i используются значения неизвестных, уже вычисленные в
к-м приближении при решении предыдущих / - 1 уравнений, что ускоряет
сходимость итераций:
'* = (6«-*,\ о'о" --*и- l'f-i" fli,i + i'?+i ' -~аипг kn~l)/aw
Процесс итераций завершается по достижении заданной точности.
Скорость сходимости зависит также от удачного задания начального
приближения.
В качестве начального приближения возьмем решение нашей задачи
в одномерной постановке. Пренебрежем распространением теплоты
в направлении оси х и будем считать, что теплота передается только
в направлении оси у. Тогда из уравнения выпадает вторая производная по х,
а из уравнений дискретного аналога — члены, содержащие tE и tw.
Уравнение (2.113) приобретает вид уравнения с ленточной матрицей
коэффициентов:
аР ^Р = aN ^N + aS *S + ^'
где aN = Хп 1Ъуп\ as = Xs lbys\ b = 0; aP = aN+ as.
Аналогично преобразуются уравнения для граничных узлов.
Найдем решение системы уравнений с ленточной матрицей методом
прогонки. Для этого сначала запишем систему в индексной форме: ai ti =
= bt // + i + сt tl-, _ j + dt, а затем — в так называемом прогоночном виде:
'i = ai'i+l + Pi>
выразив температуру в точке / через температуру в следующей точке / + 1.
Тогда температура в предыдущей точке * - 1
'/-1 =ai-i'i + Pi-i-
80
Подставляя это выражение в систему, записанную в индексной форме,
после простых преобразований получаем
я,--а.
*f-+i+ "' ' • (2.114)
Сравнивая (2.114) с прогоночным уравнением, видим: дробь при tt+ х
есть ни что иное, как коэффициент at, а вторая дробь — коэффициент (5/?
которые не содержат неизвестных, так как выражены через известные
коэффициенты at, bt, ct, dt /-го индексного уравнения и а,_ 1? Pz_ х (/ - 1)-го
прогоночного уравнения. Коэффициенты первого прогоночного уравнения
вычисляются из граничного условия
а0 = Va0' Ро = d0,aQ'
Таким образом, последовательно (начиная с первого уравнения) могут
быть вычислены прогоночные коэффициенты для всех п + 1 уравнений
(узлов, контрольных объемов). Это прямой ход алгоритма прогонки.
На второй границе и-е прогоночное уравнение (считаем от нуля) имеет
вид, позволяющий вычислить температуру tn:
п п^п- 1
/ = в =
п гп
ап
Теперь, используя прогоночное уравнение и вычисленные в прямом
ходе прогоночные коэффициенты, вычисляем последовательно tn _ 1? tn _ 2,
..., t0 — обратный ход прогонки. Задача решена.
Для нашей области интегрирования процедура прогонки должна быть
выполнена вдоль каждой из т + 1 полос контрольных объемов, получим
(п + \){т + 1) значений температуры начального приближения.
Решим конкретную задачу. Как и прежде, используем Mathcad, вновь
опустим единицы величин.
Имеем исходные данные:
1Х: = 0,18; / : = 0,005; X: = 20; tfl: = 20; а,: = 2400;
q(x): = 100 000(l-^-).
2/,
Возьмем сетку с равномерными шагами, равными 1 см по оси х и 1 мм
по оси у. Параметры сетки таковы:
/и: =18; hx: = lx/m; п: = 5; hy: = lyln\ Ах: = 0,01; hy\ = 1 • 10~3.
Вычислим коэффициенты конечно-разностных уравнений.
1. Рассмотрим внутренние узлы:
/: = 1,2, ...,и-1; j: = 1,2, ...,w-l;
an.
ij:=hxb asiJ:=hxb ae^=hyb awiJ:=hyb
hy' 1>J hy' "W" "'hx* ""и' "'hx1
bxUj: = 0; byUj: = 0; apxUJ\ = aetJ + awtJ; apyUj: = antJ + astJ.
Коэффициенты заранее записаны с расщеплением по направлениям х и
у, чтобы применить метод прогонки.
2. Рассмотрим внутренние граничные узлы:
а) нижняя полоса:
/: = 0; j: = 0, ..., т\
an
hj'
Jj£ if (/=0)+ (/=«);
hx — otherwise;
hy
as
Xr = °'
aeu:
0 if j = m;
-£■ — otherwise;
2 hx
aw
hj
0 if 7 = 0;
-r — otherwise.
2 hx
Этот случай соответствует нижней полосе половинных контрольных
объемов, включая угловые: у = 0.
На нижней границе происходит теплоотдача между стенкой и
жидкостью с коэффициентом теплоотдачи а, поэтому коэффициент ар и
свободный член Ъ содержат дополнительные члены:
Ьхи: = 0; bytj: =
apxUj: = aeuj + awtJ\ apytJ:
a^jjhx otherwise;
hx
antj + as.j + al — if (/ = 0) + (j = m)\
antj + ast j + afix otherwise;
б) верхняя полоса, включая угловые объемы:
/: = п\ j:= 0, ..., т\
antJ: = 0;
as- .: =
hx 1 .^
~lhy lf <J = 0) + U = m);
hx — otherwise;
.J „ hy П u'i,j
frx,- .•:
82
apxUj: = aetj + awiy
ъУиГ
4J ■ -"/,/'
аРУ^/: = an; i + asi
q(Xj)j if 0" = 0) + (/ = w);
2
|g(X.)/z* otherwise.
На верхней границе (у = ly) происходит подвод теплоты при граничных
условиях второго рода (зависимость q{x) задана);
в) левая и правая границы (половинные контрольные объемы за
исключением угловых):
j: = О, т, ..., т\ /: = 1, ..., п - 1;
hx 1 их 1
**«-,/= if (y=w'o? hy £); ™w: = if G"0, o? ^ й;
bxtj: = 0; 6ду-: = 0; apxtJ: = aetJ + awtJ\ apytj\ = antJ + astJ.
Вдоль левой и правой границ выполняется условие теплоизолированно-
сти — плотность теплового потока при х = 0 и х = xl равна нулю.
Вычисленные коэффициенты хранятся в памяти ПЭВМ.
Программа вычисления начального приближения в соответствии с
изложенным выше алгоритмом прогонки приведена на рис. 2.28. Результат
ее работы — массив значений температуры // для одномерного
распространения теплоты.
Уточнение решения по алгоритму Зейделя реализовано программой,
приведенной на рис. 2.29. Результатом работы этой программы является массив
В, первый элемент которого — массив значений искомой температуры /,
второй — фактическая точность выхода из процесса итераций 85, третий —
число приближений.
На рис. 2.30 и 2.31 показаны результаты решения вспомогательной и
основной задач.
Нанесенные на графики изотермы — линии постоянной температуры —
позволяют судить об асимметрии температурного поля в пластине, что
приводит к возникновению дополнительных скручивающих усилий в
конструкции. Поверхность нагрева деформируется, коробится. На практике
температурное поле изменяется и во времени. Элементы конструкции то
расширяются, то сжимаются. Со временем материал конструкции
«устает», происходит усталостное разрушение поверхности нагрева.
Сравнение графиков показывает, что решение одномерной задачи дает
бульшую асимметрию температурного поля, чем это имеет место в
реальности, из-за распространения теплоты за счет теплопроводности в
направлении оси х.
83
-1.. n+lj :=-!.. mt-1
Рис. 2.28. Решение системы конечно-разностных
уравнений. Метод прогонки
tl:=
6 := 0.02
В :
55<- 10000
к«-1
while (65>е)
for ie 0.. n
for j € 0.. m
for ie 0.. n
for j e 0.. m
; apxjj + apyifj i
for j e 0,1 •• m
for ie 0,1.. n
a^apyjj
l+awij\j-i*(Kj + l*i,j)
«irl^j-^l
55«-max(81)
k<-k + 1
tl
55
к
t := B.,
B0 = 0.018
B, =2
4
drbyiJ
a0
J0"
for ie 1,2.. n- 1
bi
*W
ai
<»i
«i
V
-c
+ c
-°i
V
"ai-
•Pi-
•«i-
Pn-
1
1
1
1
an"
^nun-l
for ien- l,n- 2.. 0
V-VUlj'Pi
Рис. 2.29. Решение системы конечно-разностных уравнений. Метод Зейделя
84
Рис. 2.30. Температурное поле в полосе Рис. 2.31. Температурное поле в стенке
(одномерная задача, начальное прибли- при неравномерном подводе теплоты
жение)
2.10. Задачи с решениями
Задача 1. Температура воздуха в аудитории /ж1 = 20 °С, а снаружи
гж1 = -10 °С. Стена здания выполнена из красного кирпича, 5 = 650 мм.
Найдите тепловой поток Q через стену аудитории (стена без окон) площа-
2 2 2
дью F = 30 м , если известно, что с^ = 5 Вт/(м • К), а а2 = 15 Вт/(м • К).
Чему равны температуры на внутренней /с1 и наружной tc2 поверхностях
стены?
Решение. Для красного кирпича X = 0,77 Вт/(м • К). Плотность
теплового потока через стену аудитории
В теоретических формулах температура обозначена Т. В задачах здесь и далее
температура будет задаваться в градусах Цельсия и обозначаться /. Так как T=t + 273,15, то разность
температур в Кельвинах и градусах Цельсия одна и та же. Если в формулах используется разность
температур, которые выражены через Т, то в них Т можно заменить на /. Например, равенство
q = a(Tc- Тж) можно записать в виде q = а(/с - /ж).
85
20+10 2
4 = 1/5 + 0,65/0,77+1/15 = 2? BT/M "
Тепловой поток (тепловые потери) Q = 27 • 30 = 810 Вт. Температуры
поверхностей стены составляют:
fcl = 20 - 27/5 = 14,6 °С;
/с2 = -10 + 27/15= -8,2 °С.
Ответ. Q = 810 Вт; tcl = 14,6 °С; /с2 = -8,2 °С.
Задача 2. Температура внешней металлической поверхности
сушильной камеры tcl = 150 °С. Сушильная камера изолирована матами из
минеральной стекловаты. Толщина мата 8 = 60 мм. Температура воздуха в поме-
щении *ж2 = 15 °С и коэффициент теплоотдачи а2 = 10 Вт/(м • К). Найдите
температуру наружной поверхности тепловой изоляции tc2.
Решение. Для минеральной стекловаты X = 0,052 + 0,00064*. Для
нахождения tc2 можно воспользоваться равенством
^/8(/с1-/с2) = а2(*с2-/ж2),
в котором X = 0,052 + 0,00032(/cj + tc2). Методом подбора находим tc2 « 28 °С.
Ответ. Температура tc2 = 28 °С.
Задача 3. В трубчатом теплообменнике средняя температура жидкости
7Ж1 =200°С,а 7ж2 = 100 °С. Коэффициенты теплоотдачи а\ =2000Вт/(м2 • К),
— 2
а2 = 100 Вт/(м • К). Наружный диаметр латунных труб равен 20 мм, толщина
стенки составляет 1 мм. Найдите коэффициент теплопередачи к, среднюю
плотность теплового потока q от горячей жидкости к холодной, а также
Решение. Так как толщина стенки много меньше радиуса трубы,
то можно воспользоваться формулами для плоской стенки. Для латуни X =
= 100 Вт/(м • К). Термическое сопротивление стенки трубы R^= 10" /100 =
= 10" м • К/Вт. Термическое сопротивление Яа1 = 1/2000 = 5*10 м • К/Вт,
—2 2
a Ra2 = 1/100 = 10 м • К/Вт. Средний коэффициент теплопередачи
* = —1— = 95,1 Вт/(м2 • К).
5-10+10+10
86
Находим:
q = Юж\ ~ 'ж2> = 95,1(200 - 100) = 9510 Вт/м2;
7с1 = 7ж1 - #- = 200 - 9510 • 5 • 10"4 = 195,2 °С;
ai
' с2 = 'ж2 + #■ = ЮО + 9510 • 10~2 = 195,1 °С.
а2
Ответ, к = 95,1 Вт/(м2-К); q = 9510 Вт/м2; 7ci = 195,2 °С; 7с2 =
= 195,1 °С.
Задача 4. Целесообразно ли использовать минеральную стекловату для
тепловой изоляции трубы, наружный диаметр которой равен 30 мм?
Предполагаемая средняя температура изоляции 50 °С, а коэффициент
теплоотдачи а2 = 12 Вт/(м • К).
Решение. Предварительно находим значение Хиз и критический диаметр
изоляции:
Хиз = 0,052 + 0,00064 • 50 = 0,084 Вт/(м • К);
, 2 - 0,084 ЛП1. лл
^кр.из = —12— = М = ММ'
Так как наружный диаметр трубы больше d у то Данную изоляцию
использовать целесообразно и наложение ее на поверхность трубы
приведет к уменьшению тепловых потерь.
Ответ. Минеральную вату использовать целесообразно.
Задача 5. Найдите максимальную температуру в топливном (U02)
сердечнике твэла ядерного реактора. Радиус сердечника г0 = 6 мм, а температура его
8 3
поверхности 1027 °С. Мощность источников теплоты ^ = 3,015 • 10 Вт/м .
Решение. Из табл. 2.1 по температуре поверхности 1300 К находим wj =
= 3681 Вт/м.
По формуле (2.80) при г = 0 определяем
g
и0 = 3681 + 3?015' 10 0,0062 = 6395 Вт/м.
Из табл. 2.1 находим Т0 = 2400 К или /0 = 2127 °С.
Ответ. Максимальная температура в твэле равна 2127 °С.
87
Краткие итоги гл. 2
1. Стационарная теплопроводность — такой процесс теплопроводности,
при котором температура в любой точке тела не зависит от времени. Из
закона Фурье следует, что при этом и вектор q также не будет зависеть от
времени.
2. К простейшим примерам стационарной теплопроводности относятся
процессы переноса теплоты через безграничную плоскую стенку,
бесконечно длинную цилиндрическую стенку, сферическую стенку. Во всех этих
случаях температура является функцией только одной координаты (х или г).
При X = const в плоской стенке зависимость Т = Т(х) — линейная, в
цилиндрической стенке Т = Т(г) — логарифмическая, а в сферической —
гиперболическая.
Во всех указанных случаях тепловой поток Q не зависит от координаты,
а плотность теплового потока q не зависит от х для плоской стенки,
обратно пропорциональна радиусу для цилиндрической и квадрату радиуса
для сферической стенок.
Для цилиндрической стенки используется понятие — линейная
плотность теплового потока qb Вт/м, которая от радиуса не зависит.
3. Тепловой поток через указанные стенки прямо пропорционален
разности температур Гс1 и Гс2, площади поверхности и обратно
пропорционален термическому сопротивлению. Для цилиндрической стенки R^ =
2
= (\/2X)\nd2/dl, для сферической — R^ = rx(\lrx - \/г2)/Х, а для
плоской — R^ = 8/Х.
4. Термическим сопротивлением теплоотдачи называется величина,
обратная коэффициенту теплоотдачи: Ra = 1/а — для плоской стенки;
Ra = l/(<Xid\) или 1/(а2^2) — Для цилиндрической. В последнем случае
термическое сопротивление называется линейным.
5. Если стенка многослойная и известны температуры Гж1 и Гж2, то для
плоской стенки
Тж\ ~ ^ж2
Ч= 1 "5;. , ;
— + у- + —
«1 ;=Л' а2
для цилиндрической стенки
<Тж\-Тж1)
6. В цилиндрической стенке (стенке трубы), покрытой тепловой
изоляцией, термическое сопротивление трубки с ростом толщины изоляции
увеличивается, а сопротивление теплоотдачи уменьшается. Исследуя формулу
для #/ на экстремум, можно доказать, что если d2 < 2^из/а2, то сумма
сопротивлений будет иметь минимум, a ql — максимум. Если d2 > 2Хш1а2,
то увеличение 8ИЗ приведет к уменьшению q^ Критический диаметр
изоляции dKpm = 2^из/а2. Следовательно, при выборе тепловой изоляции надо
ориентироваться на то, чтобы d2 > dKpm.
7. Если X = Х(Т), то в формулах для q и #/ ^,- = X / — среднее
интегральное значение X в интервале температур (Г/9 Ti + {). Для однослойной
стенки находится Х( в интервале (Гс1, Тс2). Если Х(Т) — линейная
функция, то для нахождения X / в данную функцию просто подставляется
средняя арифметическая температура слоя.
8. При наличии равномерно распределенных источников теплоты в
пластине и сплошном цилиндрическом стержне температура изменяется по
закону параболы, а на поверхности qc = qvd (5 — полутолщина пластины) и
Яс = Яиг0/2-
9. Температура по длине прямого ребра постоянного сечения
уменьшается с ростом х по закону экспоненты (/ —> оо) или по закону
гиперболического косинуса (ребро конечной длины). Тепловой поток, передаваемый
через ребро, зависит от разности температур Г0 и Гж, геометрических
размеров и коэффициента эффективности ребра, который равен Е = th (ml)/(ml).
10. При оребрении поверхности следует учитывать, что увеличение
теплового потока будет только в том случае, если с той стороны, где
устанавливаются ребра, коэффициент а значительно меньше, чем с другой.
]Глава третья
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
3.1. Предварительные замечания
Напомним, что нестационарная теплопроводность — это такой процесс
переноса теплоты в теле, при котором температура изменяется с течением
времени. Приведем несколько примеров встречающихся на практике
нестационарных процессов теплопроводности.
Нагревание или охлаждение тел в среде с постоянной температурой
(термообработка изделий, заготовок и продуктов питания, отжиг кирпича,
производство стекла и др.) характеризуется скачкообразным изменением
температуры среды, окружающей тело, причем самопроизвольный процесс
распространения теплоты в теле происходит здесь до тех пор, пока
температура во всех его точках не станет равной температуре среды.
Переход от одного стационарного температурного поля к другому
стационарному вследствие изменения температуры окружающей среды
наблюдается при переходных режимах работы тепломассообменных
устройств, в частности, во время их пуска и останова.
Еще одним примером нестационарного процесса теплопроводности
является периодическое изменение температуры в каждой точке тела из-за
колебания температуры окружающей среды.
Во всех этих примерах для нахождения нестационарного
температурного поля в теле служит дифференциальное уравнение теплопроводности,
а отличие одного случая от другого характеризуется начальными и
граничными условиями. Для решения задачи используются методы решений
уравнений с частными производными, причем сложность решения зависит
от геометрических, физических, начальных и граничных условий. Эти
методы (метод Фурье, метод собственных функций, метод Дюамеля, метод
преобразования Лапласа и др.) подробно рассматриваются в [5, 13, 23].
Можно отметить, что проще всего решаются задачи нахождения
одномерного температурного поля (безграничная пластина, бесконечно
длинный цилиндр, шар) при постоянных физических свойствах, постоянном
коэффициенте теплоотдачи и отсутствии теплообмена излучением.
Именно такие задачи будут рассматриваться в этой главе. Результаты,
которые при этом будут получены, с одной стороны, имеют самостоятельное
практическое значение, а с другой — позволяют достаточно просто
выяснить основные закономерности, присущие также нестационарным
процессам теплопроводности в телах более сложной геометрической формы.
90
В этой главе будут приведены решения указанных выше простых задач
методом Фурье. Кроме того, здесь также будут кратко изложены
численные методы решения задач нестационарной теплопроводности и их
реализации на компьютерах.
3.2. Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания)
пластины
Постановка задачи. Пусть имеется тонкая пластина толщиной 25
(рис. 3.1). Термин «тонкая пластина» означает, что ее толщина значительно
меньше двух других ее измерений. Во всех точках пластины температура
одна и та же и равна Т0. В момент времени, принимаемый за начальный,
пластина помещается в жидкость с температурой Гж, отличной от Г0. Если
Тж < Т0, пластина будет охлаждаться (если Тж> Т0 — нагреваться) за счет
теплообмена между пластиной и жидкостью. Примем, что физические
свойства пластины (А,, я), коэффициент теплоотдачи а и Тж постоянны.
Требуется найти температуру как функцию координаты х и времени т.
Обратим внимание на то, что как начальное, так и граничные условия
справедливы для симметричных относительно середины (оси) пластины
областей. Значит решение должно быть симметричной функцией, поэтому
достаточно рассмотреть решение только в области 0 < х < 8. Симметрия
температурного поля имеет следствием равенство нулю производной
температуры по х на оси (х = 0). При х = 8 задано граничное условие третьего рода.
Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности,
начальное и граничные условия запишем так:
дТ
дх
дТ д2Т
т = а —ч'<
Т\х = 0 = то>
= 0 (т > 0);
(3.1)
(3.2)
(3.3)
х = 0
дх
х = 8
= а(Т\х=5-Тж) (т>0).
(3.4)
Введем «избыточную» температуру 0 = Т - Тж и
заменим Г на 0 в (3.1)—(3.4). Тогда с учетом того, что
0О = Т0 - Тж будем иметь
Рис. 3.1. К постановке задачи при рассмотрении нестационарной
теплопроводности пластины
91
* '**• (3-5)
Qlx = o = 0o; (3.6)
= 0; (3.7)
dQ
дх
-xTx
x = 0
= 5
Метод Фурье. Сформулированную задачу можно решить методом
Фурье. Этот метод называется также методом разделения переменных.
Сущность его состоит в том, что частные решения отыскиваются в виде
произведений двух функций, каждая из которых зависит от одного
аргумента. Общее решение находится в виде суммы этих решений.
Произвольные постоянные, появляющиеся в ходе решения, определяются из
начального и граничных условий. Представление общего решения в виде суммы
частных вытекает из линейности и однородности самого уравнения и
граничных условий. При этом, если некоторые функции удовлетворяют
уравнению (3.5) и условиям (3.7) и (3.8), то и любая их линейная комбинация
также удовлетворяет им.
Отметим, что в нашей задаче выражения (3.5), (3.7) и (3.8) являются
линейными (а = const, Х/а = const) и однородными. Последнее легко
обнаружить, если записать (3.7) и (3.8) в виде
д2в дв Л
а —;-т- = 0,
дх2 дх
^ + 0 = 0.
а дх
Решение задачи методом Фурье. Пусть \j/ = \|/(х) — функция только
координаты, а ф = ф(т) — функция только времени. В соответствии с
методом Фурье
9 = \|фс)ф(т). (3.9)
Если функция 0 является решением уравнения (3.5), то в результате ее
подстановки в это уравнение получим тождество
ф'\|/ = Яф\|/" .
Разделим переменные в этом тождестве:
!£.£ (зло)
а ф \|/
Выражения, стоящие в обеих частях (3.10), не зависят ни от х, ни от т.
Действительно, левая часть не зависит от х, а так как это равенство явля-
92
ется тождеством, то и правая часть его не может зависеть от х. Правая
часть равенства не зависит от т, следовательно, и левая также не зависит
от т. Обе части равенства равны одному и тому же постоянному числу.
Поэтому можно записать
1ф:^ = _*2, (зло
а ф ц/
причем знак «минус», так же как и показатель степени (квадрат),
постоянной к взяты для удобства дальнейшей записи.
Из (3.11) следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения
ф' + я£2ср = 0; (3.12)
у" + £2\|/= 0. (3.13)
Чтобы записать решение (3.13), составим характеристическое уравнение
2 + к2 = 0,
откуда гх = ik, г2 = - ik. Так как корни мнимые,
\|/ = Acos(kx) + 2?sin(fec), (3.14)
где А и В — две произвольные постоянные.
Из граничного условия (3.8) получим следующее трансцендентное
уравнение:
ctge = e/Bi, (3.15)
где г = кЪ\ Bi — число Био, представляющее собой безразмерный комплекс
(см. § 2.5);
Bi = a5/^. (3.16)
Найти корни уравнения (3.15) можно одним из численных методов,
известных в математике. На рис. 3.2 показан графический способ
нахождения корней этого уравнения. Видно, что (3.15) имеет бесконечное
множество корней, которые могут быть расположены в виде возрастающей
последовательности
8j < 82 < ... < гп < ....
Значения первых шести корней приведены в табл. 3.1.
Задача о решении уравнения (3.13) с граничными условиями для
функции \|/, которые можно получить после преобразования (3.7) и (3.8) с
учетом (3.9), называется задачей Штурма—Лиувилля. В этой задаче корни гп
называются собственными числами; каждому собственному числу еп
соответствует собственная функция vj/w, которую можно записать в виде
уп=Апсо*(г„Х)9 (3.17)
где £п = кпЪ\ Х= х/Ъ — безразмерная координата.
93
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
к>'2
vl
^^Pv^7t/2 я
« ч
\
■ ^=ctge \
■ ^
I !
£2
^2
^ 371/2 8
\1
\
\
\
Рис. 3.2. Графический способ нахождения корней уравнения (3.15)
Определим теперь функции (р, соответствующие найденным значениям
8 (или к). Уравнение (3.12) для п-й функции запишем в виде
8
(3.18)
Оно является уравнением с разделяющимися переменными, так как его
можно представить в виде
<Ч а 2 А
Введем число Фурье (безразмерное время):
„ ах
Fo = -.
8
(3.19)
(3.20)
Тогда, интегрируя (3.19), получаем
2
-s„Fo
Ф„ = С„е . (3.21)
Таким образом, частные решения нашей задачи найдены, а общее имеет вид
9= £ D'ncos(enX)e
Л=1
-£ Fo
(3.22)
где £>; = Л„С„.
94
Таблица 3.1. Корни характеристического уравнения ctge = (1/Bi)e
Bi
0
0,001
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
15,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
80,0
100,0
оо
е1
0,0000
0,0316
0,0447
0,0632
0,0774
0,0893
0,0998
0,1410
0,1987
0,2425
0,2791
0,3111
0,4328
0,5218
0,5932
0,6533
0,7051
0,7506
0,7910
0,8274
0,8603
0,9882
1,0769
1,1925
1,2646
1,3138
1,3496
1,3766
1,3978
1,4149
1,4289
1,4729
1,4961
1,5202
1,5325
1,5400
1,5451
1,5514
1,5552
1,5708
е2
3,1416
3,1419
3,1422
3,1429
3,1435
3,1441
3,1448
3,1479
3,1543
3,1606
3,1668
3,1731
3,2039
3,2341
3,2636
3,2923
3,3204
3,3477
3,3744
3,4003
3,4256
3,5422
3,6436
3,8088
3,9352
4,0336
4,1116
4,1746
4,2264
4,2694
4,3058
4,4255
4,4915
4,5615
4,5979
4,6202
4,6353
4,6543
4,6658
4,7124
е3
6,2832
6,2833
6,2835
6,2838
6,2841
6,2845
6,2848
6,2864
6,2895
6,2927
6,2959
6,2991
6,3148
6,3305
6,3461
6,3616
6,3770
6,3923
6,4074
6,4224
6,4373
6,5097
6,5783
6,7040
6,8140
6,9096
6,9924
7,0640
7,1263
7,1806
7,2281
7,3959
7,4954
7,6057
7,6647
7,7012
7,7259
7,7573
7,7764
7,8540
е4
9,4248
9,4249
9,4250
9,4252
9,4254
9,4256
9,4258
9,4269
9,4290
9,4311
9,4333
9,4354
9,4459
9,4565
9,4670
9,4775
9,4879
9,4983
9,5087
9,5190
9,5293
9,5801
9,6296
9,7240
9,8119
9,8928
9,9667
10,0339
10,0949
10,1502
10,2003
10,3898
10,5117
10,6543
10,7334
10,7832
10,8172
10,8606
10,8871
10,9956
е5
12,5664
12,5665
12,5665
12,5667
12,5668
12,5670
12,5672
12,5680
12,5696
12,5711
12,5727
12,5743
12,5823
12,5902
12,5981
12,6060
12,6139
12,6218
12,6296
12,6375
12,6453
12,6841
12,7223
12,7966
12,8678
12,9352
12,9988
13,0584
13,1141
13,1660
13,2142
13,4078
13,5420
13,7085
13,8048
13,8666
13,9094
13,9644
13,9981
14,1372
Ч
15,7080
15,7080
15,7081
15,7082
15,7083
15,7085
15,7086
15,7092
15,7105
15,7118
15,7131
15,7143
15,7207
15,7270
15,7334
15,7397
15,7460
15,7524
15,7587
15,7650
15,7713
15,8026
15,8336
15,8945
15,9536
16,0107
16,0654
16,1177
16,1675
16,2147
16,2594
16,4474
16,5864
16,7691
16,8794
16,9519
17,0026
17,0686
17,1093
17,2788
95
Из начального условия следует, что
оо
0о= Е^С08ад- (3-23)
/1=1
Для нахождения коэффициентов D'n умножим обе части (3.23) на
cos (гтХ) dX и проинтегрируем от 0 до 1. Можно доказать, что
JcosCe^cosCe^dJf^ ° Ч»/!**!;
О 1*0 при п = т.
Тогда после указанного интегрирования
1
enfcos(sMX)dX
D, = о = 29Qsin(8„X)
f ,2mv e/i+sinenCOse/
Jcos(8^X)d^
о
Введем безразмерную температуру
0 = 6/9о. (3.24)
Окончательное решение задачи будет иметь вид
оо
0 = £ ^cos(8^exp(-E^Fo), (3.25)
п=\
где коэффициенты Dn = D'/0О и
2sineM
D„ = : . (3.26)
" 8^ + Sin 8^ COS 8^
Прежде всего отметим, что решение нашей задачи оказалось
представленным в безразмерном виде. И это не случайно. Дело в том, что решение
любой задачи, соответствующей какому-либо физическому явлению,
всегда можно преобразовать так, чтобы оно было безразмерным. Объясняется
это тем, что физические явления от выбора системы единиц не зависят,
поэтому если в математическом описании явлений есть размерные
величины, то они обязательно должны сгруппироваться в безразмерные
комплексы.
Наша задача характеризуется следующими безразмерными
величинами: 0, X, Fo, Bi. При этом 0 — зависимая переменная, X, Fo —
независимые переменные, Bi — постоянная величина (параметр задачи).
Функциональную зависимость между ними можно записать так:
0 = F(X, Fo, Bi). (3.27)
96
Зависимость (3.27) выведена при анализе решения (3.25). Однако то же
самое можно было бы сделать и не решая задачу, а лишь представив ее
математическую постановку в безразмерном виде. Легко доказать, что
исходные уравнения нашей задачи тождественны следующим уравнениям:
w-Ч- (3'28)
dFo дх2
дХ
0Ifo = o=i; (3.29)
= 0 (Fo > 0); (3.30)
х=о
= -Bi0|^=1 (Fo>0). (3.31)
x=\
дв
дХ
Для доказательства надо подставить в эти уравнения безразмерные
величины в том виде, как они определены выше. При этом мы придем
к (3.5)—(3.8). Из рассмотрения (3.28)—(3.31) непосредственно следует
(3.27). Решение, представленное в виде зависимости между
безразмерными величинами, более удобно для анализа, чем решение, не
преобразованное к безразмерному виду. Кроме того, если бы мы решали нашу задачу
численно, то нам пришлось бы задавать (и просчитывать) следующие
параметры: я, 5, 0О, XIа. В представленной задаче существует всего один
безразмерный параметр: число Био. Следовательно, возникает принципиально
важный вывод о целесообразности предварительного преобразования
математического описания уравнений и условий однозначности физического
процесса к безразмерному виду. Особое значение это имеет для тех
физических задач, найти решение которых аналитическими методами
затруднительно. Отмеченное обстоятельство мы будем иметь в виду в § 4.7, где
будет также дан метод приведения математического описания процесса
к безразмерному виду.
Рассмотрим теперь частные случае решения (3.25).
Малые числа Био (Bi -> 0). В этом случае гх -> 0, е2 -> л,..., гп -> (п - \)п.
Записав D„ в виде
sine
2
D„ =
п sine cose
1 +
97
убедимся, что Dx -> 1, D2 -> 0, ..., £>w —> 0. Из (3.15) следует, что при 6j —» О
e j « Bi и, так как cos(e1JQ —> 1, для первого частного случая
приближенное решение нашей задачи будет иметь вид
0 = *fBiFo. (3.32)
Анализ показывает, что условие Bi —> 0 практически выполняется, если
Bi < 0,1.
Характерная особенность первого частного случая: температура не
зависит от координат, а является только функцией времени (рис. 3.3).
Большие числа Био (Bi -> оо). В этом случае
_ я _ Зя _ (In - 1)тг
8] " 2'82 " 2' '••'8"" 2
Коэффициенты Dn при этом определяются по формуле
D _4(-l)*+1
и ти(2л-1)"
Характерная особенность второго частного случая: безразмерная
температура на поверхности пластины ©|^= \ = 0, и, следовательно, Т\х = 5 -^ Гж.
Этот случай на практике соответствует высокоинтенсивному охлаждению
тела (а —> °°). При а —> °° температура поверхности пластины Гс —► Гж,
что следует также из закона Ньютона—Рихмана. Необходимо отметить,
что строгое равенство Тс = Тж при Bi —> оо физически не обосновано, так
как при равенстве температур отсутствует тепловой поток от поверхности
пластины к жидкости (в этом случае пластина охлаждаться не может).
Поэтому можно лишь говорить, что при Bi -> оо Тс -» Тж, но все же разность
температур Тс и Тж всегда существует, хотя в данном случае она может
быть очень мала.
Если в решении отбросить все члены ряда, кроме первого, то
2
0=^sGHexp(-TF°
откуда следует, что температурные кривые в такие моменты времени,
когда Fo > 0,3 (почему — об этом будет сказано ниже), описываются законом
косинуса (рис. 3.4). Условие Bi —» оо практически выполняется, когда Bi >
> 100.
Из граничного условия (3.31) следует, что
ebr-i 1
d©| Bi'
дх\х-1
98
о=0
-X
0,
0
к
Fo,
Fo2
Fo3
Fo4
0=1
X
Fo=0
Рис. 3.3. Температурное поле при Bi -+ 0 Рис. 3.4. Температурное поле при Bi -> 00
Рис. 3.5. Определение координаты точки A (Fo3 > Fo2 > Foj)
В то же время
0
■tgcp
х=\
X.
Учитывая геометрический смысл производной, получаем
Х0 = 1 /Bi.
Отсюда следует важное свойство касательных, проведенных к
температурным кривым в точке X = 1. Все касательные пересекают ось X в одной
точке А (рис. 3.5), координата которой равна Х0 + 1. Поскольку касатель-
99
ные как бы «направляют» температурные кривые, эту точку можно назвать
направляющей. Очевидно, что рассмотренные выше частные случаи
соответствуют Х0 —» оо и Х0 —> 0.
Таким образом, анализ показывает, что от числа Био существенно
зависит вид температурного поля. Число Био играет роль безразмерного
параметра, определяющего характер распределения температуры в теле в
процессе его охлаждения или нагревания. Этот вывод мы получили из
рассмотрения нестационарной теплопроводности пластины, но он
справедлив и для тела произвольной формы. Число Био можно трактовать как
отношение внутреннего термического сопротивления к внешнему,
поскольку можно записать
Bi = ^.
а
Вернемся к (3.25). Сколько же членов ряда надо брать для вычисления
суммы ряда при нахождении 0? Ответ на этот вопрос зависит от значения
Fo. Анализ показывает, что при Fo > 0,3 ряд очень быстро сходится и
первый член его много больше суммы всех остальных. При этом
0 = DjCosCSjJOexpC-ejFo). (3.33)
Как видно из (3.33), температура 0 во всех точках тела изменяется с
течением времени по закону экспоненты.
Если Fo < 0,3, приходится учитывать и другие члены ряда, причем их
число тем больше, чем меньше Fo. При малых числах Фурье (Fo « 1), т.е. в
начальный период охлаждения пластины, изменение температуры
происходит только в пределах тонкого поверхностного слоя 5^ а в остальной части
пластины Т = Т0. При этом толщина пластины 8 при условии, что 5 » 8^
не играет никакой роли в процессе охлаждения, а вместе с тем должен
измениться вид зависимости (3.27), так как физически решение не должно
зависеть от 5, а X, Fo, Bi зависят от 8. Переменные X и Fo следует
скомбинировать таким образом, чтобы параметр 8 исчез. Такой комбинацией будет
Л =X/jYo =x/J^z. (3.34)
Умножая Хна Bi, получаем отношение а/Х, не зависящее от 8.
Более детально начальный период охлаждения пластины будет
проанализирован ниже (см. § 3.4).
Определим количество теплоты, передаваемое от пластины к жидкости
во время ее охлаждения. Решить эту задачу можно, подсчитав изменение
энтальпии пластины за данный отрезок времени. За все время охлаждения
пластины от т = 0 до т = °° количество теплоты, переданное жидкости,
Q0_oo = mcp(T0-TyK), (3.35)
где m — масса пластины.
100
Если Т — средняя температура пластины в момент времени т, то за
отрезок времени [т, °о] переданное количество теплоты
Qz-oo = rncp(f-TJ. (3.36)
За данный отрезок времени [0, т]
бо-х = Qo-oo - йг-оо = 6о-оо( 1 " ®) . (3-37)
где 0 — средняя безразмерная температура пластины в момент времени т,
которая, например при Fo > 0,3 находится путем интегрирования (3.25), т.е.
- \ D\ "eiFo
®=[®&Х = — sine,*? . (3.38)
о [
Отметим, что формула (3.37) справедлива и для процесса нагревания
с той лишь разницей, что при этом в скобках (3.35) надо поменять знаки.
Приведенный способ расчета количества теплоты справедлив для тел
любой геометрической формы.
3.3. Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания)
бесконечно длинного цилиндра и шара
Бесконечно длинный цилиндр. Постановка задачи для бесконечно
длинного цилиндра аналогична предыдущей, только вместо 8 возьмем
радиус цилиндра г0. Дифференциальное уравнение теплопроводности,
начальное и граничные условия запишем в безразмерных переменных:
**=l±(R**\. (зз9)
dFo R dRV dRJ ' K >
©Ifo = 0=1; (3-40)
= 0 (Fo>0); (3.41)
d®
dR
d®
dR
R=l
л=0
= -В10|Л=1 (Fo>0). (3.42)
В этих уравнениях
0 т ~~ Тж г ах аго
% Т0~Тж r0 r\ Х
Решая эту задачу методом Фурье, получаем
2
-e:fo
® = Z DM*nR)e • (3.43)
101
В (3.43) У0(8^) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Числа гп являются корнями уравнения
^о(е)
(3.44)
Bi ^(е)'
где У] (е) — функция Бесселя первого рода первого порядка, причем
J'0(x) = -Jx(x). (3.45)
Вид функций J0(x) и Jx(x) показан на рис. 3.6.
Шесть первых корней уравнения (3.44) приведены в табл. 3.2.
Коэффициенты Dn определяются по формуле
£> =
e„(-4(£»)+^K))
(3.46)
При Fo > 0,25 решение упрощается аналогично случаю,
рассмотренному для пластины. Тогда
2-
e = DlJ0(elR)e
В частном случае Bi ^ 0 (практически Bi < 0,1)
При Bi -> оо (практически Bi > 100)
-2BiFo
0=Z
n = XZnJ^n)
J0(snR)e
2_
-s„Fo
(3.47)
(3.48)
(3.49)
Для вычисления температуры в цилиндре следует воспользоваться
таблицами функций Бесселя (табл. 3.3).
0,5-
Рис. 3.6. Графики функций Бесселя J0(x) и Jt(x)
102
Таблица 3.2. Корни характеристического уравнения ч = р:£
ii
оГо
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,15
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
15,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
80,0
100,0
оо
£1
0,0000
0,1412
0,1995
0,2814
0,3438
0,3960
0,4417
0,5376
0,6170
0,7465
0,8516
0,9408
1,0184
1,0873
1,1490
1,2048
1,2558
1,4569
1,5994
1,7887
1,9081
1,9898
2,0490
2,0937
2,1286
2,1566
2,1795
2,2509
2,2880
2,3261
2,3455
2,3572
2,3651
2,3750
2,3809
2,4048
£2
3,8317
3,8343
3,8369
3,8421
3,8473
3,8525
3,8577
3,8706
3,8835
3,9091
3,9344
3,9594
3,9841
4,0085
4,0325
4,0562
4,0795
4,1902
4,2910
4,4634
4,6018
4,7131
4,8033
4,8772
4,9384
4,9897
5,0332
5,1773
5,2568
5,3410
5,3846
5,4112
5,4291
5,4516
5,4652
5,5201
е3
7,0156
7,0170
7,0184
7,0213
7,0241
7,0270
7,0298
7,0369
7,0440
7,0582
7,0723
7,0864
7,1004
7,1143
7,1282
7,1421
7,1558
7,2233
7,2884
7,4103
7,5201
7,6177
7,7039
7,7797
7,8464
7,9051
7,9569
8,1422
8,2534
8,3771
8,4432
8,4840
8,5116
8,5466
8,5678
8,6537
е4
10,1735
10,1745
10,1754
10,1774
10,1794
10,1813
10,1833
10,1882
10,1931
10,2029
10,2127
10,2225
10,2322
10,2419
10,2519
10,2613
10,2710
10,3188
10,3658
10,4566
10,5423
10,6223
10,6964
10,7646
10,8271
10,8842
10,9363
11,1367
11,2677
11,4221
11,5081
11,5621
11,5990
11,6461
11,6747
11,7915
е5
13,3237
13,3244
13,3252
13,3267
13,3282
13,3297
13,3312
13,3349
13,3387
13,3462
13,3537
13,3611
13,3686
13,3761
13,3835
13,3910
13,3984
13,4353
13,4719
13,5434
13,6125
13,6786
13,7414
13,8008
13,8566
13,9090
13,9580
14,1576
14,2983
14,4748
14,5774
14,6433
14,6889
14,7475
14,7834
14,9309
е6
16,4706
16,4712
16,4718
16,4731
16,4743
16,4755
16,4767
16,4797
16,4828
16,4888
16,4949
16,5010
16,5070
16,5131
16,5191
16,5251
16,5312
16,5612
16,5910
16,6499
16,7073
16,7630
16,8168
16,8684
16,9179
16,9650
17,0099
17,2008
17,3442
17,5348
17,6508
17,7272
17,7807
17,8502
17,8931
18,0711
103
Таблица 3.3. Функции Бесселя J0(x) и ^(д:)
X
ojo
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
W
1,0000
0,9975
0,9900
0,9776
0,9604
0,9385
0,9120
0,8812
0,8463
0,8075
0,7652
0,7196
0,6711
0,6201
0,5669
0,5118
0,4554
0,3980
0,3400
0,2818
0,2239
0,1666
0,1104
Л(х) [
0,0000 [
0,0499
0,0995
0,1483
0,1960
0,2423
0,2867
0,3290
0,3688
0,4059
0,4400
0,4709
0,4983
0,5220
0,5419
0,5579
0^5699
0,5778
0,5815
0,5812
0,5767
0,5683
0,5560
X
23
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
Зьм
0,0555
0,0025
-0,0484
-0,0968
-0,1424
-0,1850
-0,2243
-0,2600
-0,2921
-0,3202
-0,3440
-0,3643
-0,3801
-0,3918
-0,3992
-0,4026
-0,4018
-0,3971
-0,3887
-0,3766
-0,3610
-0,3423
-0,3205
J&)
0,5399
0,5202
0,4971
0,4708
0,4416
0,4097
0,3754
0,3391
0,3009
0,2613
0,2207
0,1792
0,1374
0,0955
0,0538
0,0128
-0,0272
-0,0660
-0,1033
-0,1386
-0,1719
-0,2028
-0,2311
Шар. Постановка задачи для шара такая же, как и для пластины и
цилиндра. Характерным размером при этом является радиус шара г0. В
безразмерных переменных отыскание температурного поля сводится к
решению задачи:
дв
dFo
dR
д2в | 2 дв
dR2 R-dR>
©Ifo=o = !;
= 0 (Fo >0);
(3.50)
(3.51)
(3.52)
104
дв
dR
= -Bi0
R=\
R=\
(Fo > 0).
(3.53)
В этих уравнениях
T-T„
агл
Решая эту задачу методом Фурье, получаем
я sin{enR) -e^Fo
©= z^„
П=\
гЯ
Значения гп являются корнями уравнения
е
в Bi- 1
Первые шесть корней уравнения (3.55) приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4. Корни характеристического уравнения tg е = -£/(Bi -
(3.54)
(3.55)
1)
Bi
0,0
0,005
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,15
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
1
0,0000
0,1224
0,1730
0,2445
0,2991
0,3450
0,3854
0,4217
0,4551
0,4860
0,5150
0,5423
0,6609
0,7593
0,9208
1,0528
1,1656
1,2644
£2
4,4934
4,4945
4,4956
4,4979
4,5001
4,5023
4,5045
4,5068
4,5090
4,5112
4,5134
4,5157
4,5268
4,5379
4,5601
4,5822
4,6042
4,6261
е3
7,7253
7,7259
7,7265
7,7278
7,7291
7,7304
7,7317
7,7330
7,7343
7,7356
7,7369
7,7382
7,7447
7,7511
7,7641
7,7770
7,7899
7,8028
Ч
10,9041
10,9046
10,9050
10,9060
10,9069
10,9078
10,9087
10,9096
10,9105
10,9115
10,9124
10,9133
10,9179
10,9225
10,9316
10,9408
10,9499
10,9591
е5
14,0662
14,0666
14,0669
14,0676
14,0683
14,0690
14,0697
14,0705
14,0712
14,0719
14,0726
14,0733
14,0769
14,0804
14,0875
14,0946
14,1017
14,1088
£б
17,2208
17,2210
17,2213
17,2219
17,2225
17,2231
17,2237
17,2242
17,2248
17,2254
17,2260
17,2266
17,2295
17,2324
17,2382
17,2440
17,2498
17,2556
105
Окончание табл. 3.4
Bi
0,70
0,80
0,90
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
16,0
21,0
31,0
41,0
51,0
61,0
81,0
101,0
оо
£1
1,3525
1,4320
1,5044
1,5708
1,6320
1,6887
1,7414
1,7906
1,8366
1,8798
1,9203
1,9586
1,9947
2,0288
2,1746
2,2889
2,4557
2,5704
2,6537
2,7165
2,7654
2,8044
2,8363
2,8628
2,9476
2,9930
3,0406
3,0651
3,0801
3,0901
3,1028
3,1105
3,1416
£2
4,6479
4,6696
4,6911
4,7124
4,7335
4,7544
4,7751
4,7956
4,8158
4,8358
4,8556
4,8751
4,8943
4,9132
5,0037
5,0870
5,2329
5,3540
5,4544
5,5378
5,6078
5,6669
5,7172
5,7606
5,9080
5,9921
6,0831
6,1311
6,1606
6,1805
6,2058
6,2211
6,2832
£3
7,8156
7,8284
7,8412
7,8540
7,8667
7,8794
7,8920
7,9046
7,9171
7,9295
7,9419
7,9542
7,9665
7,9787
8,0385
8,0962
8,2045
8,3029
8,3914
8,4703
8,5406
8,6031
8,6587
8,7083
8,8898
9,0019
9,1294
9,1987
9,2420
9,2715
9,3089
9,3317
9,4248
е4
10,9682
10,9774
10,9865
10,9956
11,0047
11,0137
11,0228
11,0318
11,0409
11,0498
11,0588
11,0677
11,0767
11,0856
11,1296
11,1727
11,2560
11,3349
11,4086
11,4773
11,5408
11,5994
11,6532
11,7027
11,8959
12,0250
12,1807
12,2688
12,3247
12,3632
12,4124
12,4426
12,5664
е5
14,1159
14,1230
14,1301
14,1372
14,1443
14,1513
14,1584
14,1654
14,1724
14,1795
14,1865
14,1935
14,2005
14,2075
14,2421
14,2764
14,3434
14,4080
14,4699
14,5288
14,5847
14,6374
14,6870
14,7335
14,9251
15,0625
15,2380
15,3417
15,4090
15,4559
15,5164
15,5537
15,7080
Ч
17,2614
17,2672
17,2730
17,2788
17,2845
17,2903
17,2961
17,3019
17,3076
17,3134
17,3192
17,3249
17,3306
17,3364
17,3649
17,3932
17,4490
17,5034
17,5562
17,6072
17,6567
17,7032
17,7481
17,7908
17,9742
18,1136
18,3018
18,4180
18,4953
18,5497
18,6209
18,6650
18,8496
106
Коэффициенты Dn определяются по формуле
2(sin£ - е cose„)
Dn = - "—^—JlL. (3.56)
При Fo > 0,25 имеем
2(sin8i - б, cosei) sinCe^) -EiFo
в = - l—± ! X—e . (3.57)
8j - sinejcosej zxR
При Bi -> 0 (практически Bi < 0,1) приближенная формула для
температуры имеет вид
0 = 6f3BiFo (358)
При Bi —> 00 (практически Be > 100)
00 1 2
0 = У 2(-1) —-sin(«7i^)e . (3.59)
/1=1
3.4. Нестационарное температурное поле в полуограниченном
массиве
Начальный этап охлаждения или нагревания тел. Рассмотрим
особенности процесса нестационарной теплопроводности пластины (см. § 3.2)
на начальном этапе ее охлаждения или нагревания. Решение этой задачи
методом Фурье, как нам известно, представляется в виде бесконечного
ряда частных решений. При очень малых числах Fo и больших числах Bi
ряд сходится настолько медленно, что нахождение температурного поля
становится практически не реализуемой задачей. Физически это
объясняется тем, что толщина пластины (или ее половины), которая используется
во всех частных решениях, в самом начале охлаждения не влияет на
изменение температуры в поверхностном слое. Можно было бы рассмотреть
частный случай решения для поверхностного (пограничного) слоя малой
толщины, однако методом Фурье этого сделать нельзя. Получить
физически обоснованное решение можно, если вместо пластины рассматривать
полуограниченный массив. Рассмотрим решение задачи об охлаждении
такого массива.
Пусть имеется полуограниченный массив, температура Г0 которого
во всех точках постоянна. В начальный момент времени за счет
интенсивного охлаждения температура его поверхности скачкообразно уменьшается
до Тс, которая в дальнейшем сохраняется постоянной. Дифференциальное
уравнение теплопроводности, начальное и граничные условия в нашем
107
случае при условии, что физические свойства материала массива (А,, р, с )
постоянны, будут иметь вид:
дд д 0
Т = а —о;
дх дх2
91т = 0"90
Ijc = 0
01
0<Х< ОО;
= 0, т>0;
(3.60)
Здесь 0 = Т - Тс, 0О = Г0 - Тс. Математическая формулировка нашей задачи
не содержит ни одного характерного размера. Если в качестве него взять
произвольно некоторый отрезок длины /0 и ввести безразмерные темпера-
2
туру 0 = 0/0о, координату Х=х/10 и время Fo = ах/10, то решение задачи
сведется к функциональной зависимости
® = F(X, Fo). (3.61)
Однако физически температурное поле не должно зависеть от
произвольно выбираемых величин. Следовательно, в решение (3.61) X и Fo
должны входить в виде такой комбинации, чтобы размер сократился. Такой
комбинацией будет безразмерная переменная т\:
X
Vfo
(3.62)
ах
где двойка введена ради удобства при дальнейших преобразованиях
математического описания задачи.
Нетрудно получить, что
дд = _ 1 ц 6)0.
дх 2 х дг\'
d2Q
1
Аах
dh
Подставляя последние соотношения в (3.60), получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка:
dn2 d"
Граничные условия для функции 0(г|) будут следующими:
. ОО _ V
(3.63)
(3.64)
108
Уравнение (3.63) можно записать в виде
Откуда следует, что
2
d0 = Се~Ц dr| .
Интегрируя последнее равенство на отрезке [0, г|] и учитывая первое
граничное условие в (3.64), получаем
Л _ 2
0 = С\ец Ат\.
о
Постоянную С находим из второго граничного условия (3.64):
с = е0
v0
(3.65)
Интеграл в (3.65) определяется по таблице. Он равен л/я/2.
Следовательно,
l = 2-te-4 ёл = erf л , (3.66)
где erf г| — табличная функция (табл. 3.5), называющаяся интегралом
вероятности.
Пусть 8(т) — область поверхностного (пограничного) слоя, в пределах
которой температура 0 изменяется от 0 до О,990о. Так как erf г| = 0,99 при
г| « 1,85, то с учетом (3.66) получаем
5 = 3,7 Т^х. (3.67)
Распределение температуры в пограничном слое для различных
моментов времени показано на рис. 3.7.
Важным является тот факт, что рассмотренный нами анализ начального
этапа охлаждения (нагревания) пластины можно распространить на тело
любой формы при условии, что толщина теплового пограничного слоя
много меньше радиуса кривизны поверхности этого тела.
Если при т = 0 скачком изменяется плотность теплового потока на
поверхности тела, а при т > 0 q = const, то 5 « 3,2л/от . При этом
распределение температуры будет иметь вид, показанный на рис. 3.8.
109
Таблица 3.5. Значения интеграла вероятности erf ti = — \е dt|
л
одю
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
erf г|
0,00000
0,05637
0,11246
0,16800
0,22270
0,27633
0,32863
0,37938
0,42839
0,47548
0,52050
0,56332
0,60386
0,64203
0,67780
0,71116
0,74210
0,77067
0,79691
0,82089
0,84270
| Л
Г05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
erf г\
0,86244
0,88020
0,89612
0,91031
0,92290
0,93401
0,94376
0,95228
0,95970
0,96610
0,97162
0,97635
0,98038
0,98379
0,98667
0,98909
0,99111
0,99279
0,99418
0,99532
Рис. 3.7. Температурное поле в полуогра- Рис. 3.8. Температурное поле в полу-
ниченном массиве в различные моменты ограниченном массиве при постоянной
времени при скачкообразном изменении плотности теплового потока
температуры на его поверхности
110
При скачкообразном изменении температуры жидкости температура
поверхности Гс, как показывает теоретический расчет, будет подчиняться
закону
ТС~ТЖ = (Т0 - Гж)(1 - erf Fo')/0', (3.68)
2
где Fo' = ах/10; здесь /0 = А,/а.
3.5. Охлаждение (нагревание) тел, имеющих форму параллелепипеда
или цилиндра конечной длины
Чтобы найти температуру в произвольной точке М (ее координаты х, у, z)
параллелепипеда (рис. 3.9) в произвольный момент времени, поступают
следующим образом. Сначала рассматривают безграничную пластину тол-
2
щиной 25х. Вычисляют Bi^ = адх/Х и Fo^ = ах/6х. Принимают Х= х/8х,
где х — координата заданной точки М, и при полученных значениях ¥ох и
Bix находят безразмерную температуру 0Х в этой точке по формулам,
приведенным выше (см. § 3.2). Затем рассматривают безграничную пластину
2
толщиной 25^ Вычисляют Bi = аЪ IX, Fo = ах/Ъ и Y = у1Ъу
Аналогично предыдущему случаю находят 0 . Наконец, рассматривают безгра-
2
ничную пластину толщиной 28z. Вычисляют Biz = adz/X9 Foz = ax/8z,
Z = z/dz и 0Z. Искомую безразмерную температуру 0 в точке М находят
Рис. 3.9. К расчету температурного поля
в параллелепипеде
Рис. 3.10. К расчету температурного поля
в цилиндре конечной длины
111
как произведение 0 = 0Х0Д. Размерная температура определяется по
формуле
Г(х,^,7,т) = Гж + 0(Го-Гж),
где Г0 — температура параллелепипеда в начальный момент времени;
Тж — температура жидкости, в которой происходит процесс охлаждения
или нагревания.
Если тело имеет форму цилиндра конечной длины (рис. 3.10), то сначала
рассматривают безграничную пластину толщиной 28z (28z = / — длина
2
цилиндра), вычисляют Biz = a8z/A,, Foz = ax/5z. Полагают Z = z/8z, где
z — координата заданной точки, и вычисляют 0Z по формулам,
приведенным в § 3.2. Затем рассматривают бесконечно длинный цилиндр радиусом
2
г0, вычисляют Bir = аг0/Х и For = ах/г0. Полагают R = г/г0 и по
формулам § 3.3 вычисляют 0Г Искомую безразмерную температуру 0 в данной
точке в данный момент времени находят как произведение 0 = 0z0r
Размерную температуру T(r, z, х) определяют так же, как и в случае
параллелепипеда.
3.6. Регулярный режим
Если в процессе охлаждения или нагревания температура 0 = Т - Тж во
всех точках тела с течением времени изменяется по одному и тому же
закону, режим нестационарной теплопроводности называется регулярным.
Укажем на два случая, когда может наблюдаться регулярный режим
теплопроводности. Первый случай соответствует условию Тж = const. При
X = const, а = const и a = const в этом случае, начиная с некоторого
момента, температура 0 со временем изменяется по закону экспоненты. Во
втором случае температура Тж возрастает (или убывает) по линейному
закону. Здесь температура 0 в стадии регулярного режима также
изменяется по линейному закону.
Рассмотрим известную нам задачу об охлаждении пластины (см. § 3.2).
При Fo > 0,3 для температуры 0 справедливо выражение
20Osin8l ( х\ -£iFo
0 = —— coslel5Je
6j + sinеj cosej V 16/
Показатель экспоненты запишем в виде
2
2 гха
ejFo = ——т = шх .
8
112
2 2
Величина т = г^а/Ъ называется темпом регулярного режима
(темпом охлаждения или нагревания). Таким образом, в нашем случае 9 ~ е~ тт.
Зависимость такого же типа характерна в случае регулярного режима и для
тел другой формы (бесконечного цилиндра, шара, цилиндра конечной
длины, параллелепипеда и др.).
Темп регулярного режима не зависит от координат точек тела и от
времени, а зависит от интенсивности охлаждения или нагревания (от значения
а), физических свойств, формы и размеров тела. Для пластины 8j = VBi
при Bi -> 0 и 8j = я/2 при Bi -> °о. Поэтому максимальное значение
величина т приобретает при Bi -> °°:
-т-
Если число Bi мало (Bi -> 0), то мал и темп регулярного режима:
т = tfBi/5 . С увеличением числа Bi значение 8j возрастает, в связи с чем
возрастает также и т, асимптотически приближаясь к т^.
Нетрудно получить выражение для т^ в случае нагревания или
охлаждения параллелепипеда или цилиндра конечной длины. Рассмотрим второй
случай. Из § 3.5 следует, что в стадии регулярного режима
0 - exp(-8{njlFonjI)exp(-£iUHJlFoUHJI),
где FonjI и FoUHJ1 — числа Фурье для безграничной пластины толщиной /
и бесконечно длинного цилиндра радиусом г0.
9
Величина 81пл = я/2, а е1цил = 2,405. Так как ¥ош = 4ax/l , а
роцил = ат/го>то
т™ =
2
о
A2 + (W
Гп J J
Обозначим
К
(тг//)2 + (2,405 /г0)2
Тогда получим формулу, с помощью которой можно экспериментально
найти температуропроводность материала:
а = КгПж.
Метод определения а простой. Исследуемому образцу из данного
материала придают форму цилиндра конечной длины, внутрь цилиндра
помещают датчик температуры (термопреобразователь) и в процессе нагрева-
113
ния (или охлаждения) образца (в условиях Bi -> оо) регистрируют
изменение 0 со временем. В стадии регулярного режима In 0 изменяется со
временем по линейному закону. Отсюда следует, что, зафиксировав два
момента времени tj и х2 и измерив в эти моменты времени температуры
0j и 02, значение т^ можно найти по формуле
lnGj - 1п02
w°°= ~~;—;—•
Т2"Т1
Методом регулярного режима определяют также теплопроводность
материала. Условия охлаждения или нагревания в этом случае таковы, что
коэффициент теплоотдачи — конечная величина. Образец можно
изготовить в виде шара. Тогда из теории нестационарной теплопроводности
имеем
1 _ £1
ctg6j Bi - 1 '
где для шара Bi = аг0/Х (г0 — радиус шара).
Из последнего соотношения получаем
1 - rQ Jm/a ctg(r0Jm/a)
Температуропроводность а должна быть известна. Ее можно измерить
рассмотренным выше способом. Чтобы найти а, необходимо изготовить
образец с известным значением X (эталонный калориметр) и
воспользоваться последней формулой.
3.7. Численный метод решения нестационарных задач
теплопроводности
Ранее (см. § 2.9) мы рассмотрели численный метод решения
стационарных задач теплопроводности — метод контрольного объема. Этот же метод
применим для решения нестационарных задач.
Рассмотрим задачу о симметричном нестационарном охлаждении
пластины в среде с постоянной температурой и при постоянном
коэффициенте теплоотдачи.
Тонкая пластина толщиной 8, имевшая в начальный момент времени
постоянную температуру /0, помещена в среду, температура /ж которой
ниже /0 и остается постоянной в течение всего периода охлаждения. На
обеих сторонах пластины происходит конвективный теплообмен с
постоянной интенсивностью а. Необходимо рассчитать температурное поле в
пластине как функцию координат и времени t(x, х).
114
Приведем математическую формулировку задачи. Найти на отрезке х е
е [-5, +5] решение t(x, т) нестационарного дифференциального уравнения
теплопроводности
начальном
условии t(x
< ■
dt
, 0) = f0
а(>(-8,
■ £(0
и граничных условиях
0 - *ж) при X =
-8;
- X(t)^ = <x(f(6, t) - t) при x = + 5.
Используя симметрию температурного поля относительно оси ординат
у, будем, как и прежде, искать решение задачи для правой полуплоскости
декартовой системы координат хОу. Тогда вместо граничного условия
третьего рода для левой поверхности пластины х = -5 можно записать
граничное условие симметрии температурного поля для х = 0:
г-°-
ох
Время, в течение которого пластина охлаждается, как правило, задается
конечным: т е [0, тм]. Если же время не ограничено, то счет ведется до
наступления нового стационарного распределения температуры в пластине
(счет на установление).
Процедура дискретизации области интегрирования остается такой же,
какой она была приведена выше (см. § 2.9). Дискретизация же уравнения
отличается тем, что интегрировать его нужно не только по контрольному
объему А V, но и по времени в пределах заданного временного шага Ах =
= хк+ 1 ~хк-
Интеграл от левой части уравнения берется легко, в правой части нам
знакома процедура интегрирования по AV от xw до хе. Предварительно
получаем
р^.-.-'.>-Тк$.-(*й)>-
хк
Интеграл по времени в правой части можно, в частности,
аппроксимировать выражением, представляющим собой линейную комбинацию
115
подынтегральной функции для предыдущего хк и последующего тк + j
моментов времени:
& ]>,
дх).
где у — коэффициент, принимающий значения от нуля до единицы;
индексы «е» и «w» относятся к координатам границ контрольного объема.
Выразим производные в правой части через конечные разности, как это
делалось раньше, и получим
1 -i*+l
РУЧ.А+I ,к
Дх
<h
tp)
£?Е-h)-■£?*■
V)
+ (1-у)
А
*р)-^(*р-**г)
8х
(3.69)
Если в (3.69) положить у = 1, то получившееся уравнение можно в
к+ 1
явном виде решить относительно tp : температура в узле Р в
последующий момент времени хк + х выражается через температуру в нем и соседних
узлах в предыдущий момент времени хк. Такой конечно-разностный аналог
называют явным. В этом случае решение системы уравнений сводится к
последовательному вычислению искомой температуры в узлах. Алгоритм
легко программируется.
При нулевом значении параметра у получается неявный аналог. В этом
к+\
так как значения
случае не удается решить уравнение относительно tp
температуры в соседних узлах также отнесены к последующему моменту
времени и, следовательно, неизвестны. Решение системы уравнений
неявного аналога при большом числе узлов достаточно трудоемко. Наконец,
при промежуточных значениях у получается явно-неявный аналог.
В практических расчетах можно использовать любое значение
параметра у. Следует иметь в виду, что явный аналог дает наиболее точное
решение задачи, но весьма чувствителен к соотношению шагов по времени
и по координате. Если это соотношение выбрано неудачно, то в процессе
решения возникает неустойчивость, проявляющаяся в том, что
вычисляемые в процессе счета поля температуры не только не соответствуют
решаемой задаче, но и не имеют физического смысла. Для одномерной линейной
2
задачи условие устойчивости имеет вид аАх/Ах < 1/2, где а —
температуропроводность материала пластины. Так как для повышения точности шаг
по пространственной координате выбирается мелкий, то, чтобы выполнить
условие устойчивости, приходится сильно измельчать шаг по времени, а
это приводит к увеличению продолжительности процесса решения.
116
Неявная схема является абсолютно устойчивой (по крайней мере для
линейных задач). В дальнейшем мы опробуем обе схемы.
Перейдем к обозначениям, которые были рассмотрены в § 2.9. Опустим
также временной индекс «к + 1», а индекс «к» заменим нулем. Тогда наше
конечно-разностное уравнение примет следующий вид:
для явной схемы
tp = (aEtE + awtw-(aE + aw)tp + Ъ)/ар\ (3.70)
для неявной схемы
aptp = aEtE + awtw+ b, (3.71)
где ,
^xe = XE~ XP> ^xw = xp~ XW> aE = "^J^x& aW = ^w^xw> I /3 jj)
b = aptp\ ap = aE + aw+ap; ap=pc AV/Ax. )
Еще раз отметим, что верхний индекс «0» при t показывает, что это
значение относится к предыдущему моменту времени.
Напомним, что по существу уравнения (3.70) и (3.71) являются
системами алгебраических уравнений, записанных для внутренних узлов сетки:
полюс Р перемещается по всем контрольным объемам (как внутренним,
так и граничным).
Теплопроводность на границах е и w контрольного объема
рассчитываем по формуле, приведенной выше (см. § 2.9). Граничные условия
записываются в виде (3.70), (3.71) соответственно с учетом изложенного в
§2.9.
Аппроксимация начального условия сводится к вычислению массива
значений температуры в узлах для момента времени, равного нулю:
t°P = t(P,0).
Так как начальное поле температуры задано, то дальнейшее решение
задачи заключается в последовательном вычислении значений
температуры во всех узлах для следующего момента времени 0 + Ат по (3.70) для
явной схемы, либо в решении системы (3.71) и уравнений для граничных
контрольных объемов методами, изложенными в § 2.9. Полученное поле
является начальным условием для нового продвижения во времени на один
Шаг. Процесс вычислений заканчивают по истечении расчетного интервала
времени задачи тм.
Перейдем к конкретным вычислениям. Имеем следующие исходные
Данные:
5: = 0,25 м; X: = 20 Вт/(м • К); тм: = 6125 с; р: = 7300 кг/м3;
ср: = 537 Дж/(кг • К); а: = 100 Вт/(м2 • К); Тж: = 293,15 К; Г0(;с): = 1273,15 К.
117
Обозначения в программе Mathcad будут несколько отличаться от
принятых ранее, но понятны из контекста. В частности, в формулах для
определения коэффициентов конечно-разностных уравнений шаг hx
вычисляется как разность координат узлов X и (или) границ х.
Разбиваем отрезок [0, 5] на т равных частей с шагом hx:
w: = 20; hx\ = blm\ hx = 0,013
и вычисляем массивы координат узлов и границ контрольных объемов.
Зададим временной шаг из условия устойчивости явной схемы:
\ h 2
а: = —; hx: = ^; Ах =15,313; а = 5,102 - \0~*\ hx: = 25;
рс_ 2а
пх: = flooA 7^1 ; пх = 245.
Примем шаг hx равным 25 с, число шагов по времени составит 245.
Дискретизируем начальное условие:
/: = 0, 1, ...,т; 7} = Г0(^-); TpOf= Tt.
Коэффициенты в уравнениях конечно-разностного аналога не зависят
от выбора схем (явная, неявная) и вычисляются по формулам (3.72) с
учетом граничных условий для граничных контрольных объемов (см. § 2.9).
Приведем только те коэффициенты, которые изменяются в связи с
временным членом дифференциального уравнения:
для внутренних контрольных объемов при i = 1,2, ..., т - 1
aP°r = Pcp(xi + 1 " *i)j" ; bi- = aP°iTP°i'> Щ'- = Щ + awt + apOf,
для левой границы (х = 0) при / = 0
awt: = 0; арО.: = рср(х( + { - xt)— ; b{. = apO^pOf, ар-. = aet + awt + apOt;
для правой границы (х = 8)
i: = т; aet: = 0; ар0(: = pcp(Xf - xt)— ;
bf. = apOjTpOj + аТж; apt: = aet + awt + ap0t + a.
Коэффициенты уравнений вычислены и находятся в памяти ПЭВМ в
виде одноименных массивов (векторов) ае, ар и др. Приступим к решению
системы уравнений.
Рассмотрим неявную схему. Решать систему (3.71) будем методом
прогонки (см. рис. 2.29) с шагом по времени 25 с.
Результаты этого расчета в сравнении с результатами аналитического
решения (см. § 3.1) приведены на рис. 3.11, а. На графике приняты
следующие обозначения кривых: 90 — начальное распределение температуры в
118
9; Т
2 1087
,87
110'
-Ы087|-
-210'
-3-Ю1
,87
87
-410
,87
\
у •
[
1
•
оЛ
• •
Э50'
•
—1 ■ i
тУт .
/ / /IX
•
•
г
•
•
1
•
•
т—
J
-1
\
m
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 X
а)
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 X,z
б)
Рис. 3.11. Результаты расчета температурного поля в пластине
Туо := ТрО
к := 1..пт
Тук "•=
ТрО <г- Тук-,
for ie 0,1 ..m
bi <- apOj-TpOi + а (Тж - TpOj) if i = m
bj <r- apOj-TpOi otherwise
Si<--^-[ani-(Tp0i+,-Tp0i) + bi] if i = 0
apOi
l
ap0n
{asm-(Tp0m_, - Tp0m) + Ъ^\ if i = m
Si < —-[ani-Tp0i+, + asi-TpOi-, - (an; + asi)-Tp0i + b]] otherwise
apOj
Is
Рис. 3.12. Расчет температурного поля в пластине по явной схеме
пластине; 95о — распределение температуры через 50 временных интервалов
счета, т.е. через 1250 с; 0^. — конечное распределение температуры в
момент тм; Tt — конечное распределение температуры, вычисленное по
аналитической формуле (с помощью ряда Фурье). Из рисунка видно хорошее
совпадение результатов численного и аналитического решений.
Рассмотрим явную схему. Нет смысла решать наши уравнения по явной
схеме с целью проверки точности неявной схемы: априори известно, что
первая точнее. Проведем решение в области неустойчивости явной схемы.
119
Итак, зададим для явной схемы тот же шаг по времени 25 с (условие
устойчивости давало шаг 15 с). Программа вычислений по явной схеме
приведена на рис. 3.12. Она весьма проста, вычисления проводятся по
(3.70). Результаты работы программы приведены на рис. 3.11, б в виде
зависимости Tym(xt). Из рисунка видно, что решение по явной схеме
(черные точки) сильно «расходится». Температура принимает большие по
модулю то положительные, то отрицательные значения, что никак не
соответствует физическому смыслу задачи.
В заключение приведем еще один пример численного расчета —
охлаждение пластины за счет конвекции и излучения. Влияние
дополнительного отвода теплоты излучением особенно заметно при умеренных
значениях конвективного коэффициента теплоотдачи. Аналитическое решение
такой задачи сопряжено с большими трудностями. Нам же практически не
нужно переделывать программу расчета.
Охлаждение пластины с учетом излучения. Пусть, как и прежде, пластина
охлаждается жидкостью, имеющей постоянную температуру Гж, при том же самом
коэффициенте теплоотдачи а. Естественно, она участвует и в радиационном
взаимодействии с окружающими ее телами, имеющими температуру, равную,
например Тж. Результат этого взаимодействия — плотность теплового потока
результирующего излучения можно записать так:
^з = 8^а(Г(5>т)4-Гж)>
где б — приведенная степень черноты обменивающейся излучением системы;
а — постоянная Стефана—Больцмана.
Присвоим числовые значения этим параметрам:
а: = 5,67 • 10"8 Вт/(м2 • К4); &eq: = 0,7; Тг: = Тж.
В математической постановке задачи изменится только граничное условие при
х = Ь:
-M7)g=a(r(5,T)-rj + V3.
При дискретизации это скажется на коэффициентах конечно-разностного
уравнения, записываемого для правого граничного объема, а также на алгоритме
решения. Проблема состоит в том, что граничное условие, содержащее искомую
температуру в четвертой степени, не линейно. Не хотелось бы отказываться от метода
прогонки в пользу чисто итеративных методов, а прогонка — метод решения
линейных систем уравнений. Попробуем совместить итерации с прогонкой.
Итак, при интегрировании для правого контрольного объема получаем
где qs — плотность теплового потока, передаваемого теплопроводностью через
левую границу s приграничного контрольного объема; qp — плотность теплового
120
ТрО := Т 60 := ТрО
к:= 1,2.. ПХ
в,
к -
тро<-ек_1
Tpi«-0
while |Tpi- Tm|>0.5
Яге*
eq
-и
Я rv4-'8 eq'a'TPi
for ie 0,1- m
aj<- ((arij + asj + apOA) if i= 0
^«-[(anj + asj + apOj) - q ^] + a if i
aj*-apj otherwise
Cj«-asj
Ь^арО-ТрО} if i=0
bj<-q rc + apOj-TpOj-h a-T ж if i^m
bj<-apOj-TpOj otherwise
drbi
о ^
for ie 1,2.. m- 1
6i
У
1 ai
di
4 ai
-c
1-C
"ci
•Pi
'У\
•Pi
-
-
_
1
1
1
^ dm+Vm-l
Tm*~
am~ cm'Pm- 1
for ie m - 1 ,m - 2.. 0
Ti-PiTi+l + Yi
T
Рис. 3.13. Расчет температурного поля с учетом излучения. Программа прогонки
121
в; Г
1200
1000'
800
600
400
>•.
950
' ""\"
е
пх
1 1
\
во
ч^
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч I
_| 1
Рис. 3.14. Температурное поле в пластине с
конвективно-радиационным охлаждением
потока, отводимого (подводимого) конвекцией и
излучением от правой границы пластины;
Яя =
Х„-Х,
т-\
<TP-TS);
0 0,05 0,1 0,15 0,2
и переменной частей:
ЯР = а2(Тр-Тж) + еедо(Т4р-Т4г).
X Линеаризуем второе слагаемое уравнения
для qP. Представим его в виде суммы постоянной
Ь = Яге + <lrv = - (£egGTt) + £eqG(TpfTP >
где TPi — приближенная в итеративном смысле температура поверхности пластины.
Если приближенное значение TPi близко к истинному значению ТР, то
погрешность в определении qr невелика. В то же время выражение для qr линейно
относительно температуры Тр, следовательно, возможен метод прогонки.
После простых преобразований получаем коэффициенты уравнения для правого
граничного объема:
/: = m\ aw
Xm
-aem: = 0; ap0m: = pct
PKlJhx'
bf. = qrc + ap0iTP0i + аГж;
apf. = awi + ael + ap0t + а - qrv.
Эти коэффициенты должны быть вставлены в программу прогонки. Сам же
блок прогонки вставляется в итеративный цикл. С помощью итераций разность
между значениями ТР и TPi становится меньше заданной погрешности.
Программа прогонки, вставленная в итеративный цикл, показана на рис. 3.13.
Результат расчета представлен на рис. 3.14. Интересно сравнить кривые Qm(x)
(результаты численного решения) и Tt(x) (результаты теоретического расчета без учета
излучения). Видно, что совместное охлаждение более эффективно.
3.8. Задачи с решениями
Задача 1. Начальная температура листа стали (его толщина 10 мм)
з
t0= 100 °С. Физические свойства стали: X = 45 Вт/(м • К); р = 7900 кг/м ;
с = 0,46 кДж/(кг • К). Найдите температуру листа через 1 мин после
2
начала охлаждения в воздухе и в воде. Для воздуха а = 8 Вт/(м • К), для
2
воды а = 500 Вт/(м • К). И в том, и в другом случае t = 20 °С.
122
Решение. Температуропроводность стали
45 s ?
о = * АГ« = 1,24 • 10"5 м2/с.
7900 • 460
Определим числа Био при охлаждении в воздухе (Вц) и в воде (Bi2):
Bil = Lm* - 0,000555;
1 45
500_М05 =
z 45
Так как Bij « 1 и Bi2 « 1, то в двух случаях в любой момент времени
температура будет одинакова во всех точках листа. Число Фурье
Fo=l,24.10-5-60=30
0,0052
Найдем безразмерные температуры в заданный момент времени при
охлаждении в воздухе (0j) и воде (02):
в{ = ехр(-5,55 • 10"4 • 30) = 0,983;
02 = ехр(-5,55 • 10"2 • 30) = 0,189.
Температура листа в первом случае tx = *ж + ©i(/0 - *ж) = 20 + 0,983 • 80 =
= 98,6 °С, во втором t2 = 20 + 0,189 • 80 = 35,1 °С.
Ответ. При охлаждении в воздухе температура листа tx = 98,6 °С, а при
охлаждении в воде t2 = 35,1 °С.
Задача 2. В печь с температурой газов Гж = 800 °С помещен длинный
стальной вал диаметром 120 мм. Физические свойства стали таковы: X =
—5 2
= 42 Вт/(м • К); а = 1,22 • 10 м /с. Начальная температура вала /0 = 30 °С.
В процессе нагревания вала а = 140 Вт/(м • К). Определите время, по
истечении которого температура на оси вала станет равной 780 °С.
Решение. Число Био
Bi - 140 • °'06 - 0,2.
42
Из табл. 3.2 находим ej = 0,6170 и вычисляем
2J, (0,6170)
Dx = 5—! 1 = 1'048'
0,6170[4(0,6170) + 77(0,6170)]
123
В заданный момент времени безразмерная температура на оси вала
&К_0=Ж^Ж =о,026.
R - ° 30-800
Находим время нагревания вала:
0,026 = 1,048<Г°'3807Ро;
Fo = 9,7045;
2
т = 9,7045 0,°6 = 2863 с = 0,795 ч.
1,22 • 10
Ответ. Время нагревания составляет 0,795 ч.
Краткие итоги гл. 3
1. При охлаждении или нагревании тел температура зависит от времени,
и такой процесс называется нестационарной теплопроводностью.
Простейшие случаи нестационарной теплопроводности: охлаждение
(нагревание) пластины, длинного сплошного цилиндра, шара. В этих
случаях Т = Т(х, т) или Т = Т(г, т).
2. В математическую постановку задачи для указанных случаев входят
дифференциальное уравнение теплопроводности, начальные и граничные
условия. Решение задачи можно получить методом Фурье. Решение обычно
записывают в безразмерном виде. Для пластины 0 = F(X, Fo, Bi), где 0 —
безразмерная температура (0 < 0 < 1); X— безразмерная координата; число
Фурье Fo — безразмерное время; число Био Bi — параметр задачи,
составленный из величин, входящих в граничные условия.
3. Для пластины решение задачи имеет вид:
оо
0= £D„cos(e^exp(-e*Fo),
п=\
где Dn и гп — коэффициенты, зависящие от Bi. Если Fo > 0,3, то
температура 0 будет описываться только первым членом ряда.
4. Число Био можно трактовать как отношение внутреннего
сопротивления (5М,) к внешнему (1/а). При Bi —> 0 температура по
толщине пластины в данный момент времени изменяется мало, а при Bi —> °°,
наоборот, температура резко изменяется по толщине от максимальной
в середине пластины до значения 0 « 0 на поверхности. При этом
температура поверхности очень мало отличается от температуры
жидкости.
5. При очень малых значениях Fo толщина пластины не оказывает
влияния на процесс охлаждения, так как все изменение температуры сосредо-
124
точено в очень узком пограничном слое. В этом случае число Био перестает
существовать как параметр задачи, а толщина пограничного слоя 8 ~ J~ax .
6. Для расчета процессов охлаждения (нагревания) тел, имеющих
форму параллелепипеда или цилиндра конечной длины, используется
метод перемножения решений, полученных для безграничной пластины и
длинного цилиндра.
7. Частный случай нестационарной теплопроводности — регулярный
режим, когда температура во всех точках тела изменяется по закону
экспоненты (при Тж = const), а относительная скорость изменения
температуры (темп охлаждения ш) во всех точках одинакова и не зависит от
времени. Величина m зависит от а, физических свойств тела, его формы и
размеров. По методу регулярного режима экспериментально можно
определить коэффициенты а и X.
Часть вторая
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Глава четвертая
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
4.1. Общие положения
Теплообмен при совместном действии конвективного (при движении
макрочастиц жидкости или газа) и молекулярного (при движении
микрочастиц) переносов теплоты называется конвективным теплообменом.
Физически перенос теплоты от одной более нагретой макрочастицы
жидкости к другой менее нагретой и находящейся в непосредственном
контакте с первой объясняется явлением теплопроводности, причем
интенсивность процесса теплопроводности зависит от градиента температуры и
коэффициента теплопроводности жидкости.
На практике наибольший интерес представляет конвективный
теплообмен между поверхностью твердого тела и омывающей его жидкостью. Этот
процесс называется теплоотдачей. Интенсивность этого процесса
характеризуется коэффициентом теплоотдачи, входящим в закон Ньютона—Рих-
мана [см. (1.21)]. Если в первой части курса тепломассообмена
коэффициент а считался заданной величиной (входил в граничное условие третьего
рода), то теперь он является искомой величиной. Именно изучение
коэффициента теплоотдачи и получение расчетных зависимостей для его
определения представляют собой одну из главных задач теории конвективного
теплообмена.
Различают местный и средний коэффициенты теплоотдачи. Местный
коэффициент теплоотдачи — это отношение местной плотности
теплового потока qc (в данной точке поверхности тела) к местному
температурному напору AT = Тс- Тж\
126
Средний коэффициент теплоотдачи — это отношение средней
интегральной плотности теплового потока qc, проходящего через данную
поверхность F, к среднему интегральному температурному напору А Г :
й = 4 = -^-. (4.2)
AT Тс-Тж
В формуле (4.2) qc = X-\qc dF; AT = ±/ДГdF = Х-\ТС dF - Х-\ТЖ dF.
F F F F
Так как скорость жидкости на поверхности твердого неподвижного тела
равна нулю, то очень тонкий слой жидкости, примыкающий к стенке,
неподвижен, и по закону Фурье
^с = ^,пов = -М^:) > (4-3)
46,11 у пов
где qn пов — проекция вектора q на направление внешней нормали
(направлена от стенки к жидкости) к стенке; X — коэффициент теплопроводности
жидкости.
Если температурное поле в потоке жидкости известно, то по формуле
(4.3) находится местная плотность теплового потока qc и далее по формуле
(4.1) определяется местный коэффициент теплоотдачи, т.е.
— Гт(£) ■ <4ЭД
AT vdn/n0B
Формула (4.3а) лежит в основе теоретического определения а в случае,
когда граничным условием на поверхности тела является заданная функция
температуры поверхности от координат точки поверхности и времени. При
заданном граничном условии второго рода (задано qc как функция
координат точки поверхности) знание температурного поля позволяет найти
температуры Тс и Гж, а затем и а.
В движущейся жидкости поле температуры зависит от поля скорости,
которое описывается уравнениями гидродинамики. Поэтому решение задач
конвективного теплообмена сводится к решению системы
дифференциальных уравнений: уравнения неразрывности, уравнения движения, уравнения
энергии. Система состоит из пяти уравнений. Они служат для нахождения
пяти неизвестных функций: Г, vx, v , v2, р, где vx, v , v2 — компоненты
вектора скорости v в данной точке пространства.
4.2. Два способа наблюдения за движущейся жидкостью.
Субстанциональная производная. Вектор плотности потока
энтальпии
При изучении процессов переноса энергии, количества движения
(импульса) и массы в движущейся жидкости используются два способа
наблюдения.
Первый способ заключается в наблюдении за движущейся частицей
сплошной среды фиксированной массы (индивидуальной частицей). При
этом координаты х, у, z индивидуальной частицы зависят от времени. Кроме
того, каждая частица характеризуется еще начальными координатами,
например, а^ а2, а3. Тогда
x = x(ava2, а3, т);
у=у(аьаъ а3,т);
z = z(a^ а2, #3' т)-
Первый способ наблюдения называется точкой зрения Лагранжа, а
координаты tfj, а2, #з и вРемя т — переменными Лагранжа. Здесь изменение
какой-либо физической величины во времени определить просто.
Например, для температуры это будет частная производная температуры по
времени при фиксированных значениях я1? а2, аъ.
Второй способ наблюдения называется точкой зрения Эйлера. В этом
случае фиксируются точки пространства, неподвижные в данной системе
координат, и ведутся наблюдения за тем, как изменяются интересующие
нас величины при переходе от одной точки к другой и с течением времени.
В декартовых координатах переменными Эйлера будут х, j>, z и т.
В теории тепломассообмена используется точка зрения Эйлера. Для
того чтобы найти изменение температуры в единицу времени, в этом
случае надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа и
применить правило дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим температуру, заданную в переменных Эйлера:
Т = Т(х, у, z, т).
Пусть нас интересует изменение во времени температуры какой-либо
частицы, выраженное в переменных Эйлера. Для решения поставленной
задачи надо записать
Т = T[x(al9 а2, а3, т), y(ah а2, аъ, т), z(ax, а2, я3, 0> *]• (4.4)
Таким образом, мы осуществили переход от переменных Эйлера к
переменным Лагранжа. Теперь воспользуемся правилом дифференцирования
сложной функции (4.4). Производную, полученную таким образом, обозначим
Индивидуальную частицу можно представить в виде «меченой» в совокупности частиц-
128
d77dx. Она называется субстанциональной производной по времени.
Осуществляя дифференцирование (4.4), получаем
^=^+дТдх + дТду + дТдг
dx дх дх дх ду дх dz дх'
Для данной движущейся частицы частные производные составляют:
дх ду dz
— = v : — = i; : — = v .
дх *' дх У9 дх z
Поэтому
dT дТ ^ дТ ^ дТ ^ дТ дТ ^
Тх=Ух+^Ух^уУУ^^ = Ух^'^Т' (4'5)
Производная дТ/дх характеризует изменение температуры частицы
в данной точке с координатами х, у, z, обусловленное нестационарностью
процесса теплообмена. Эта часть субстанциональной производной
называется локальной производной. Вторая часть v • gradr называется
конвективной производной. Поясним смысл конвективной производной с помощью
рис. 4.1. На этом рисунке условно изображены две изотермические
поверхности. В момент времени х частица находится в точке М1? а в момент
времени х + Ах — в точке М2. Разность температур в этих точках составляет
AT. Путь, пройденный частицей за время Ат, определяется по формуле А/ =
= уАт, причем А/ = Аи/cosa, где An — расстояние между
изотермическими поверхностями, отсчитываемое по нормали к изотермической
поверхности (она направлена в сторону увеличения 7), а a — угол между v
и grad Т. Рассмотрим предел (он является определением производной):
lim — = v lim —cosa = \v\ IgradTl cosct = v • gradT. (4.6)
At -> 0 Al Д«^оА«
Следовательно, скалярное произведение i; • gradr — производная,
которая характеризует скорость изменения температуры в процессе
перемещения частицы из одной точки пространства в другую, близко расположенную
к первой. Эта производная отлична от нуля и в случае стационарного
процесса теплообмена, когда температура жидкости не зависит от времени.
Во втором способе наблюдения фиксируется неподвижный физически
бесконечно малый объем А К (контрольный объем). Для контрольного
объема составляются уравнения баланса массы, количества движения
(импульса) и энергии жидкости.
Изменение массы, обусловленное втеканием в объем АКи вытеканием
из него жидкости, рассчитывается с помощью вектора плотности потока
2
жидкости pv, кг/(м • с). Поясним это понятие. В потоке жидкости
зафиксируем площадку AS (рис. 4.2), перпендикулярную к вектору v. Масса
жидкости, которая проходит через AS за элементарный промежуток времени
Ах, равна pASvAx, где v — значение вектора скорости в данной точке.
Отношение указанной массы жидкости к AS и Ах равно значению вектора
плотности потока жидкости. Его направление совпадает с направлением
129
Рис. 4.1. К понятию
конвективной производной
Рис. 4.2. К понятию векторов pv и phv
вектора v. Умножая значение вектора плотности потока жидкости на
единичный вектор v/v, получаем pv.
Аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы (1.4),
можно доказать, что - div риДКДт, кг, определяет приток массы жидкости
в контрольный объем АКза элементарный отрезок времени Ат.
Изменение энтальпии, обусловленное втеканием в AV и вытеканием
из него неравномерно нагретой жидкости, рассчитывается с помощью век-
тора плотности потока энтальпии phv, Дж/(м • с). Выясним смысл этого
вектора. Внутренняя энергия жидкости, переносимая через площадку AS
за время Ат, равна pASvAxu, где и — удельная внутренняя энергия, Дж/кг.
За то же время сила давления совершает работу, равную pAS(vAx)
(площадка AS как бы выдавливается жидкостью на расстояние vAx). Таким
образом, через AS переносится внутренняя энергия и энергия в форме
работы силы давления. Их сумма, отнесенная к AS и Ат, равна значению
вектора плотности потока энтальпии, так как
pASvAxu pASvAx _
ASAx ASAx
pi и + -)v
phv,
где h — удельная энтальпия жидкости.
Умножая значение вектора плотности потока энтальпии на единичный
вектор v /v, получаем phv.
В общем случае следует учитывать также перенос кинетической энергии через
площадку AS. Тогда вектором плотности потока энергии будет pi h + — jv .
Иногда в переносимую энергию включают еще работу вязких напряжений.
130
Аналогично выводу формулы (1.4) можно доказать, что приток
энтальпии жидкости в контрольный объем АКза элементарный отрезок времени
Ат определяется как - div phvAVAx.
Понятие вектора плотности потока энергии j3H введено Н.А. Умовым в виде
(4.7)
Зэн = ®Ч
где со — объемная плотность энергии, Дж/м .
В гидродинамике иногда используется понятие вектора плотности потока /-й
компоненты (/ = 1, 2, 3) импульса жидкости pv-v, где pvi — объемная плотность
/-й компоненты импульса. Приток импульса в контрольный объем АКза Ат
определяется как -div pv-uAVAx. Если х = хх, у = х2, z = jc3, to vt = vx при / = 1, vt = v
при / = 2 и vt = vz при / = 3.
Рассмотренные два способа наблюдения далее мы будем применять при
выводе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена.
Каждое из этих уравнений записывается в двух формах, соответствующих тому
или иному способу наблюдения.
4.3. Уравнение неразрывности. Понятие несжимаемой жидкости
Применим закон сохранения массы для контрольного объема AV,
выделенного в потоке жидкости (рис. 4.3).
В момент времени т масса жидкости в AV равна р(х, у, z, т)А^ а в
момент времени т + Ат — р(х, у, z, т + Ат)АК Баланс массы имеет вид
р(х, y,z,x + Ат)АК = р{х, у, z, x)AV- div pvAVAx. (4.7a)
Второе слагаемое в правой части определяет приток массы в АКза Ат (см.
§ 4.2).
Сократив на AV и разделив на Ат (4.7а), устремим Ат к нулю. Так как
lim
р(х, у, z, т + Ат)-р(х, у, z, т) _ др
дх'
Дт->0 Ат
то в результате получим уравнение
(4.8)
AV
дх v
Уравнение (4.8) называется
уравнением неразрывности. Его можно записать
в другой форме. Легко доказать, что
div pv = pdiv i; + i; • grad p.
Кроме того, по аналогии с (4.7)
dp = ^Р + v . gradp .
dx дх
м
Рис. 4.3. Элементарный
контрольный объем AV
131
В результате уравнение (4.8) приобретает вид
- ^ + divi; = 0. (4.8а)
р ат
Пусть Am = pAV— масса данной (индивидуальной) частицы жидкости.
Допустим, что во все время ее движения AV = const (по определению
индивидуальной частицы Am = const). Жидкость, удовлетворяющая этому
условию, называется несжимаемой. Для несжимаемой жидкости первое
слагаемое в (4.8а) равно нулю, так как
1 dp = _J_ d(pAF) = _l_ d(Am)
р dx pAV dx Am dx
Следовательно, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
имеет вид
div » = 0. (4.86)
При скоростях, меньших одной четверти скорости звука1, потоки газов
ничем не отличаются от потоков «капельных» жидкостей (за исключением
того, что для газов существуют свои зависимости р, ц и X от температуры).
Тогда под термином «жидкость» подразумевают как «капельную»
жидкость, так и газ. При больших дозвуковых и тем более сверхзвуковых
скоростях потоки газа рассматриваются отдельно.
Закон сохранения массы в интегральной форме можно вывести из (4.8). При
интегрировании (4.8) получаем
JdivpudF=- ffidV.
V V
Если F — площадь граничной поверхности контрольного объема V, то,
применяя формулу Остроградского—Гаусса, получаем
jpvndF = -\dfxdV, (4.8в)
F V
где vn — проекция v на направление внешней нормали.
Для стационарных потоков правая часть (4.8в) равна нулю, откуда следует
\pvndF=0. (4.8г)
F
4.4. Силы, действующие в движущейся жидкости. Закон внутреннего
трения Ньютона. Вязкость
В земных условиях на каждую частицу движущейся жидкости
действует сила тяжести, равная произведению массы частицы Am = рАКна
ускорение свободного падения g. В гидродинамике и теории тепломассообмена
эта сила относится к категории массовых сил.
1
Отношение М= v/a, где v — скорость газа; а — скорость звука, называется числом Маха.
132
Массовыми силами являются также силы инерции (сила инерции
поступательного движения, центробежная сила инерции, сила Кориолиса), которые вводятся
при изучении движения в неинерциальной системе координат. Силы инерции
действуют на жидкость, например, в системе охлаждения двигателя движущегося с
ускорением автомобиля, в ракете — на этапе ее вывода на космическую орбиту и
др. Сила инерции равна взятому со знаком «минус» произведению Am на ускорение
движущейся системы координат (связанной с автомобилем, ракетой и др.). Кроме
силы тяжести и сил инерции могут быть и другие массовые силы. Все массовые
силы (кроме силы тяжести) в дальнейшем исключаются из рассмотрения .
Другими силами, действующими в жидкости, являются поверхностные
силы, которые обнаружим, если в жидкости выделим контрольный объем и
будем его рассматривать в отдельности. Действие остальной массы
жидкости на выделенный объем при этом заменяется силами, непрерывно
распределенными по всей его поверхности (поверхностными силами).
В идеальной жидкости силы внутреннего трения отсутствуют и
поверхностная сила — это сила давления, не зависящая от ориентации
элементарной площадки, на которую она действует. В данной точке поверхности
выделенного объема она характеризуется вектором напряжения
о = -/?п0, где п0 — единичный вектор внешней нормали к элементарной
площадке поверхности.
Всем реальным жидкостям присуще свойство вязкости. Оно проявляется
сразу же после того, как жидкость приводится в движение. Тогда между ее
слоями возникают силы трения, обусловленные молекулярным переносом
количества движения (импульса) от одного слоя к другому. Рассмотрим
случай «простого сдвига», когда все слои жидкости перемещаются параллельно
друг другу вдоль оси Ох (рис. 4.4). Пусть а — касательное напряжение (его
называют также вязким напряжением) на элементарной площадке,
перпендикулярной к оси Оу. По закону внутреннего трения Ньютона
где ц — динамическая вязкость, Па • с.
Значения ц для некоторых жидкостей и газов приведены в табл. 4.1.
С повышением температуры вязкость жидкостей уменьшается, а
вязкость газов увеличивается. Вязкости жидкостей и газов практически не
Действие массовой силы характеризуется ее вектором плотности f, равным силе,
отнесенной к единице массы. В уравнениях, приведенных ниже, путем замены вектора g на вектор f
всегда можно учесть любую массовую силу или равнодействующую нескольких таких сил.
133
Ах
Ay
i
~* H
Рис. 4.4. Касательное напряжение при «простом сдвиге»
Таблица 4.1. Вязкость ц для некоторых жидкостей и газов
Вещество
Трансформаторное масло
Вода (состояние насыщения)
Водяной пар (состояние насыщения)
Воздух
ц, 10"f
Г=273К
6298
179
0,922
1,72
'Па
Т
•с
= 373 К
213
28,2
1,23
2,19
зависят от давления. Наряду с \х в расчетах используется также v — кине-
машическая вязкость, м /с:
у = ц/р.
В общем случае поверхностная сила, действующая на произвольной
элементарной площадке, выделенной в потоке вязкой жидкости,
характеризуется вектором напряжения ап, где индекс «и» указывает на единичную
нормаль к площадке. Для площадок, перпендикулярных к осям Ох, Оу и Oz,
векторами напряжения будут <т , ст и ст_ соответственно. Можно доказать
х у z
существование следующего векторного равенства:
где /, т и п — направляющие косинусы, т.е. косинусы углов, образованных
направлением указанной нормали с положительными направлениями осей
координат.
В проекциях на оси координат указанное векторное равенство имеет вид:
а« = Gxxl + <v"+ <*«*;
°пУ = V + <v" + v;
CT«z = °zxl + °zym + <V*-
134
Величины gxx, Gyy, gzz называют нормальными напряжениями, а
давлением называют величину
Р = "1/3 Кс + *уу + aj.
Величины оху> gxz, oyz и другие, имеющие аналогичную запись,
называются касательными напряжениями. Первый индекс здесь указывает на
ориентацию площадки (например, а действует на площадке,
перпендикулярной к оси Ох), а второй индекс обозначает ось, на которую спроектировано
это напряжение. Используя закон сохранения момента количества
движения, можно доказать, что а = а , gxz = <jzx, Gyz = ozx. Для идеальной
жидкости касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения
Gxx=Gyy = Gzz=:-P-
По закону Ньютона—Навье—Стокса (обобщенному закону Ньютона)
(2 \ dvx
(2 \ dvv
(2 \ dv
G*y ^\ду дх)'
(dvx . dvz]
yz
v dz dyJ '
Обозначим x = jtl5 у = jc2, z = jc3, vx = ul9 v■ = v2 и т.д. Тогда приведенные выше
шесть формул кратко можно записать так:
^•4H^d4v^S'+S'
где i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, а 5,у = 1, если / =j, и 6,у = 0, если / *у.
С точки зрения молекулярно-кинетической теории <зх, а и az определяют
молекулярный перенос импульса соответственно через площадки,
перпендикулярные к осям Ojc, Оу и Oz. Величина -diva^AFAx определяет молекулярный приток
в AV за Ат х-компоненты импульса, величина -diva АГАт —
притока-компоненты, а величина -divazA VAx — приток z-компоненты.
135
4.5. Уравнения движения
Запишем уравнения движения (уравнения Навье—Стокса) в двух формах:
dvi dv 2
pd7 = pg<-^. + ^Vu<-; (410)
—, + divpi;I.0 = pgJ.-^ + JiV v.. (4.11)
Эти уравнения справедливы для несжимаемой жидкости при \\. = const.
В них / = 1, 2, 3; хх = х, х2 = у,х3 = z; vx = vx, v2 = v 9 v3 = vz. Три скалярных
уравнения (4.10) эквивалентны одному векторному:
р— = pg - grad/? + ^iV и, (4.12)
dx
2 2 2 2
где V v — символический вектор с компонентами V их, Vu.V vz.
Пусть / = 1, т.е. jcj = х. Тогда будем иметь уравнение движения в
проекции на ось Ох. В (4.10) и (4.11) di^/dx и div pvxv в развернутом виде
запишутся так:
dvY dvY dvY dvY dvY dvY
dx дх ё x дх x дх у ду z dz '
.. dPvxvx M dPVxVy ^ dPVxVz
divpi; v = 1 н .
x дх dy dz
Уравнение (4.12) выражает второй закон Ньютона для движущейся
частицы жидкости. Имея в виду, что все члены уравнения (4.12) отнесены
к единице объема, можно сказать, что его левая часть — произведение
массы на ускорение частицы, первое слагаемое в правой части — сила
тяжести, действующая на частицу, второе — сила давления, третье — сила
вязкости. Левую часть (4.10) иногда называют инерционной силой
(отнесенной к единице объема). Объясняется это тем, что входящая в левую
часть (4.10) плотность (как и масса) является мерой инерции тела.
Уравнение движения в виде (4.11) в проекции на ось Ох можно вывести
следующим образом. Воспользуемся вторым способом наблюдения (см. § 4.2). На
основании теоремы об изменении импульса запишем:
д(рАКих)
г Дт = - divpi> uAFAx + di\GYAVAx + pAVgAx .
OX ххх
Левая часть этого уравнения определяет изменение за Дт импульса жидкости
в элементарном контрольном объеме AV, первое слагаемое в правой части —
приток импульса через поверхность AV (см. § 4.2), второе слагаемое — импульс
136
поверхностных сил (оно же определяет молекулярный отток импульса из объема
А V через его поверхность), третье слагаемое — импульс силы тяжести. Сокращая
на АКАт и расписывая diva^, получаем
Это уравнение справедливо для любой движущейся сплошной среды.
Напряжения gxx, a , gzx для ньютоновской жидкости определяются законом Ньютона—
Навье—Стокса (см. § 4.4). Используя этот закон и полагая р = const, divu = 0, после
преобразований получаем
^ + <bvpuxi; = pgx--£ + d—+ —+ — .
а* d* Ux ду1 dz)
При изотермическом течении жидкости в отсутствие свободных
поверхностей сила тяжести исключается из уравнений Навье—Стокса заменой рх
= р - р0, где р0 — гидростатическое давление, определяемое уравнением
pg - gradp0 = 0.
Заменяя в (4.12) pg на grad/?0, получаем
:r =- -grad/?, + vV2». (4.13)
ах р L
При Р(Г- Г0) « 1 имеем
р-Ро = -рР(Г-Г0), (4-14)
где Tq — произвольно взятая температура жидкости; р0 — плотность при
Т= Г0; Р — коэффициент объемного расширения;
Р pW/
Преобразуем первые два слагаемых в правой части (4.12):
pg - grad р = pg - p0g - grad p + grad p0 = (p - p0)g - grad px =
= -pp(r-r0)g-grad/71.
Здесь p0 — гидростатическое давление в изотермической (Г= Г0) жидкости.
Выражение - Рр(Г - T0)g определяет отнесенную к единице объема
термогравитационную силу — равнодействующую сил тяжести и Архимеда.
Иногда эту силу называют подъемной.
137
Уравнение движения с учетом действия термогравитационной силы
имеет вид:
^ = -(3(r-r0)g-igradi?1+vV2l;. (4.15)
4.6. Уравнение энергии
Для относительно медленных течений жидкости и газа при составлении
уравнения энергии можно пренебречь теплотой внутреннего трения и
считать р = const. Тогда на основании первого закона термодинамики для
выделенной в потоке частицы жидкости, масса которой рА^ можно записать
^20дт = -йуЧДКДт. (4Л6)
ах
Левая часть этого уравнения определяет изменение энтальпии частицы
жидкости за элементарный отрезок времени Ат, правая — подведенное
к частице за Ат количество теплоты (от окружающей жидкости) . При записи
уравнения (4.16) использовался первый способ наблюдения (см. § 4.2).
Массу частицы в (4.16) вынесем за знак производной. Сокращая на
АКАт, получаем уравнение энергии в виде
р<^ =-divq. (4.17)
ат
При р = const
dh = dT
dT °Pdx'
Тогда вместо (4.17) будем иметь
dT А.
pS_=_dlVq.
Распишем субстанциональную производную dT/dx и учтем, что q =
= - A,grad Г:
рс (— + v • gradr) = div(Xgradr). (4.18)
При X = const уравнение (4.18) приобретает вид
— + i;-gradr= яУ2Г, (4.19)
дт
X
где а — температуропроводность жидкости, а = .
Внутренние источники теплоты не учитываются.
138
В декартовой системе координат в развернутом виде (4.19)
записывается так:
д7\ дТ ^ д7\ дТ
\- v 1-и 1-и — — а
дх хдх Уду zdz
/2 2 2 Л
,2 2 2
\дх ду dz J
(4.19а)
Уравнение энергии в другой форме можно получить при использовании второго
способа наблюдения (см. § 4.2). В неподвижном элементарном объеме А V
изменение энтальпии АЯ = Я(х + Ах) - Я(х) за время Ах происходит за счет ее притока
через поверхность АГи подводимого количества теплоты:
<НрЛ^)Ат = _ divp/ггА VAx - divqAVAx .
ox
Здесь AV = const. Сокращая на AFAx, получаем
^ + divp/ш = - divq . (4.20)
ox
Уравнение (4.20) запишем в виде
-£— = -div(q + phv).
ox
Уравнение (4.20) называется уравнением Фурье—Остроградского.
Уравнения (4.17) и (4.20) преобразуются друг в друга с помощью
уравнения неразрывности.
Из (4.20) можно получить уравнение баланса энтальпии (или уравнение
теплового баланса) для контрольного объема V, ограниченного
неподвижной поверхностью F:
jU£h dV+ Jdivp/w dV=- Jdivq dV. (4.20a)
V V V
Для стационарных процессов первый интеграл в левой части (4.20а)
равен нулю. Преобразуя по формуле Остроградского—Гаусса оставшиеся
интегралы в поверхностные, получаем
-\q„dF= \phvndF. (4.21)
F F
Здесь qn и vn — проекции векторов q и v на направление внешней к
поверхности F нормали.
Левая часть (4.21) определяет подводимый к объему V тепловой поток,
правая — изменение энтальпии втекающей и вытекающей из него жидко-
139
сти. Уравнение (4.21) используется при составлении теплового баланса
в различных теплообменных устройствах.
Вывод общего дифференциального уравнения энергии сложен из-за
громоздкости расчета работы поверхностных сил в вязкой жидкости. Чтобы была ясна
структура общего уравнения энергии, сначала предположим, что жидкость идеальная. Для
идеальной жидкости на основании первого закона термодинамики можно записать
- divqA VAx = рA К^ Ат - A V&Az ,
ат ат
откуда следует уравнение
p^ = -divq + £. (4,2)
Для реальной жидкости в правую часть (4.22) следует добавить слагаемое,
учитывающее работу вязких напряжений. В простейшем случае движения слоев жид-
dvx
кости вдоль оси Ojc (см. рис. 4.4) сила трения на площадке AxAz равна ц——AjcAz .
ду
Относительная скорость слоев составляет "т-Ду. Работа, совершаемая силой тре-
авляет
ния за время Ат, определяется так:
/ dvx \dvx fdvxV
^—AxAz)—AyA. = »{—) АКАт.
Обозначим
:=,f^2.
Величина 8, Вт/м , определяет теплоту трения и называется диссипативной
функцией. В общем виде
-W4(34$43>
Введя диссипативную функцию в (4.22), получим
p~ = -divq + <^ + 8. (4.23)
ат ат
Это и есть общее уравнение энергии. Возможны и другие формы его
представления.
140
4.7. Безразмерные параметры (числа подобия), характеризующие
процессы конвективного теплообмена
В математическое описание процессов конвективного теплообмена
входит большое число размерных величин: независимые переменные
(координаты и время), зависимые переменные (температура, скорость жидкости и
давление), а также параметры (физические свойства жидкости) и
величины, входящие в условия однозначности (характерный размер /0,
характерная скорость v0, характерный температурный напор между средой и
поверхностью твердого тела Э0 и др.). Единицы величин выбираются
произвольно. Явления природы, к числу которых относится процесс
конвективного теплообмена, от единиц величин не зависят. Следовательно, если
получено решение какой-либо задачи конвективного теплообмена, оно
всегда может быть записано в безразмерной форме. При этом параметры
задачи группируются в безразмерные комплексы. Примером такого
комплекса, оказывающего влияние на температурное поле в твердом теле,
может служить число Bi.
Число и структуру безразмерных параметров можно получить либо
методом размерностей, либо путем приведения математического описания
процесса к безразмерному виду. Знание этих безразмерных параметров имеет
особое значение для изучения процессов конвективного теплообмена.
Рассмотрим следующую задачу (рис. 4.5): твердое тело с постоянной
температурой поверхности Тс омывается потоком жидкости, температура
которой вдали от тела равна Гж, скорость потока составляет i>0.
Характерный размер тела обозначим /0.
Сначала будем считать, что физические свойства жидкости постоянны и
влияние свободной конвекции пренебрежимо мало. Запишем уравнения
гидродинамики и уравнение энергии:
div и = 0;
р— = - grad/7 + |liV 0;
dx
dx
В уравнении движения давление р
есть разность между истинным
давлением и гидростатическим, в уравнении
энергии 0 = Т - Тж.
Искомые функции должны удовле- /
творять следующим условиям. На боль- *
ШИХ расстояниях ОТ тела СКОрОСТЬ равна рИс. 4.5. Внешнее обтекание тела
141
v0, причем вектор v0 параллелен оси Оу, а температура 0 = 0. На
поверхности тела скорость равна нулю, а температура 0 = 60 (0О = Тс - Тж).
В качестве масштаба измерения переменных примем: для координат —
2
/0, для скорости — 1>0, для времени — /q^O' для давления — pi>0, для
температуры — 0О. Путем деления размерных переменных на масштаб
получим безразмерные переменные: х\ у\ z\ х', v\ р\ 0'. Тогда старые перемен-
ные запишутся так: х = *70, у = y'l0, z = z70, v = v'v0, x = х70/и0, p = p'pv 0 ,
0 = 0'0O. В таком виде эти переменные подставим в уравнения
гидродинамики и уравнение энергии. Приведем некоторые примеры преобразования
производных, входящих в уравнения:
дих d(v'xv0) v0 dv'x
дх
л2
д и
X
дх
dv _
д(х'10)
дх\дх)
d(v'v0)
/q дх'
Л2 f
_ V0 д Vx
2 2
Г0 дх'
= ^о йхУ_
dx d(x70/u0) /0 dx''
Окончательно уравнения будут иметь вид:
div v' = 0; (4.23а)
Re^J = - Re gradp' + V2»'; (4.236)
dx
НА' 9
Pe^; = Ve'. (4.23b)
dx
Символами Re и Ре обозначены комплексы следующих величин:
Re = pL>0/0/|u = i;0/0/v;
Ре = v0l0/a.
Первый комплекс называют числом Рейнольдса, второй — числом
Пекле. Граничные условия безразмерных параметров не содержат: вдали
от трубы скорость и' = 1, температура 0' = 0; на поверхности трубы v' = 0,
а0' = 1.
Проанализируем полученные результаты. Так как мы приняли, что
физические свойства жидкости постоянны, гидродинамическую задачу
можно рассматривать отдельно от тепловой. В этой задаче один
безразмерный параметр — число Re. Он полностью определяет картину обтекания
твердого тела. При фиксированном значении Re безразмерные переменные
142
v' и// зависят от координат х\ у\ z' и времени т', а в стационарных
условиях — только от координат. Следовательно, во всех случаях, которые
характеризуются различными значениями и0, /0 и v и одним и тем же
числом Re, распределения скорости и давления вблизи тела будут подобны
друг другу. В связи с этим число Re называют числом (или критерием)
подобия. Коэффициент гидравлического сопротивления при обтекании тел
одной и той же формы зависит только от числа Re.
Число Пекле запишем в виде
n *Vo v 0 п
Ре = = RePr.
v а
Безразмерный комплекс физических величин, равный отношению v /я,
называется числом Прандтля:
Pr = via.
Из предыдущего следует, что для температурного поля в стационарных
процессах справедливы две равнозначные зависимости:
0'=/}(*',/, z', Re, Ре);
0'=/2(x',/,z',Re,Pr).
Приведем к безразмерному виду формулу, с помощью которой
определяется коэффициент теплоотдачи:
/0 дп'
Введем число Нусселыпа Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи):
Nu = al0IX.
Тогда
NU = -—;
дп'
Если х'с, у'с, z'c — безразмерные координаты точек поверхности, то
Ku=f3(x'c,y'c,z'c,Re,?r). (4.24)
Среднее число Нуссельта, определяемое как
Nu = al0/X,
будет зависеть только от Re и Рг:
Nu =/4(Re, Pr). (4.25)
В виде зависимостей (4.24) и (4.25) представляют результаты
экспериментальных и теоретических исследований конкретных процессов конвективного
143
теплообмена при вынужденном движении жидкости. Эти зависимости
(формулы) далее используются для определения коэффициентов теплоотдачи,
с помощью которых выполняются расчеты теплообменных аппаратов.
Рассмотрим теперь случай смешанной конвекции. При этом уравнение
движения надо взять в виде (4.15). Проведя преобразования, аналогичные
предыдущим, придем к следующему безразмерному уравнению:
Re^ = _ 9l g8' _ Re gradp' + V V . (4.25a)
dx' Re g B y v J
Здесь Gr — число Грасгофа:
Gr = gp90/o/v2.
Числом Грасгофа учитывается действие в потоке жидкости
термогравитационной силы. Для смешанной конвекции
Nu =f5(x'c9y'c,z'C9 Re, Pr, Gr/Re); (4.26)
NU =/6(Re, Pr, Gr/Re). (4.27)
Если вынужденное движение отсутствует, то около нагретого тела
будет иметь место свободная конвекция. Все преобразования уравнений
конвективного теплообмена остаются в силе, но теперь v0 — величина,
которую невозможно задать граничными условиями. Другими словами, v0 —
некоторая условная величина, принятая в качестве масштаба скорости
только для того, чтобы привести уравнения к безразмерному виду.
Зависимости (4.26) и (4.27) являются решениями системы безразмерных
уравнений конвективного теплообмена. При свободной конвекции число Re
не может входить в эти решения, так как оно теперь содержит
произвольную заданную скорость Vq. Следовательно, из зависимостей (4.26) и (4.27)
число Re должно исчезнуть. Это значит, что Re и Gr/Re войдут в решение
в виде произведения. Таким образом, для теплоотдачи при свободной
конвекции будем иметь:
Nu=/7(x;,^,z;,Gr,Pr); (4.28)
Nu =/8(Gr, Pr). (4.29)
Рассмотренные выше безразмерные функциональные зависимости
следует считать решениями безразмерных уравнений конвективного
теплообмена с соответствующими безразмерными условиями однозначности. При
равенстве в двух процессах безразмерных параметров математические
описания этих процессов будут тождественны, а сами процессы будут
подобны друг другу. Это означает, что по известным характеристикам
одного процесса можно найти характеристики другого путем простого
пересчета — умножением на некоторую постоянную величину.
Сформулируем условия подобия процессов. Во-первых, процессы
должны описываться одинаковыми по форме и содержанию дифференци-
144
альными уравнениями. Во-вторых, должны быть подобны условия
однозначности (геометрические, начальные и граничные условия). В-третьих,
безразмерные параметры (определяющие числа подобия) должны быть
равны друг другу, т.е. Rej = Re2 = ... = Rew; Prj = Pr2 = ... = Pr^ и т.п.
Отметим, что число и структуру безразмерных параметров процесса
можно получить методом размерностей.
В основе метода размерностей лежит я-теорема: зависимость между п
размерными величинами, с помощью которых описывается данное
физическое явление, может быть представлена в виде зависимости между
безразмерными комплексами, число которых т = п - к (к — число величин,
имеющих независимые размерности).
4.8. Ламинарный и турбулентный режимы течения.
Уравнения Рейнольдса
Движение жидкости, при котором возможно существование
стационарных траекторий частиц, называется ламинарным. При этом, например, при
течении в трубе струйки жидкости не перемешиваются друг с другом, и при
неизменном перепаде давления на концах трубы скорость жидкости в любой
точке не зависит от времени. Ламинарный режим течения в трубе имеет
место при числах Рейнольдса, меньших Re (Re < 2300). При Re > Re
течение теряет устойчивость, струйки жидкости перемешиваются друг с
другом, а траектории частиц хаотически изменяются во времени (рис. 4.6, а).
В потоке возникают нерегулярные пульсации скорости (рис. 4.6, б), и при
стационарных граничных условиях на концах трубы не зависит от времени
только усредненное за относительно большой промежуток времени
значение скорости в данной точке. Такой режим течения называется
турбулентным. Этот режим течения наиболее часто встречается на практике. Течение
теплоносителей в теплообменных аппаратах, установленных на тепловых
и атомных электрических станциях, как правило, является турбулентным.
Из-за хаотичности траекторий частиц теоретическое изучение
турбулентных потоков значительно усложняется. До недавнего времени
считалось, что без привлечения дополнительных гипотез и опытных данных
с помощью уравнений гидродинамики вообще невозможно рассчитать поле
скорости и гидравлическое сопротивление при турбулентном режиме
движения жидкости. В настоящее время это мнение можно считать
устаревшим. Для некоторых простейших случаев (течение жидкости в трубах и
каналах на участках, значительно удаленных от входа, и др.) численным
моделированием с помощью сверхмощных компьютеров получены решения
уравнений Навье—Стокса и для турбулентных потоков: рассчитаны
напряжения в жидкости, подтверждены эмпирические законы гидравлического
сопротивления, установлено критическое число Рейнольдса (Re « 2300)
и т.п. Тем не менее, основным методом изучения турбулентных потоков
145
а)
Vxt
б)
Рис. 4.6. Траектория частицы (а) и изменение во времени скорости в данной точке
турбулентного потока (б)
U 2 — начальное и конечное положения частицы
в настоящее время остается метод, предложенный в XIX в. английским
ученым О. Рейнольдсом.
По методу Рейнольдса мгновенные значения переменных, входящих
в уравнения конвективного теплообмена (скорость, температура, энтальпия
и др.), представляются в виде суммы средних значений и пульсаций,
являющихся случайными функциями времени. Средние значения величин — это
усредненные за достаточно большой интервал времени (по сравнению
с периодом пульсаций) мгновенные значения. В то же время интервал
усреднения должен быть малым по сравнению с характерным временем
изменения параметров процесса. За исключением особых случаев
последнее условие на практике всегда выполняется.
Пусть vi9 Т и h — мгновенные значения компонентов скорости,
температуры и энтальпии в данной точке, a i>z, Т и h — их средние значения.
Тогда v. = vl., + v\,, T=f + T\h = h+h\ где v'i9 Т' и h — пульсации.
Можно также записать: v = v + v', где v' — вектор пульсации скорости
146
жидкости. Считая жидкость несжимаемой, пульсации плотности, давления,
вязкости и теплопроводности учитывать не будем. Записанные в виде
суммы средних значений и пульсаций мгновенные величины подставим
в (4.86), (4.11) и (4.20) и проведем почленное усреднение этих уравнений.
Для напорного течения (свободные поверхности отсутствуют) при
пренебрежимо малом влиянии термогравитационной конвекции после этого
получим систему усредненных уравнений конвективного теплообмена
(уравнений Рейнольдса) для турбулентных течений жидкости:
divu = 0;
-V—* + divpu.u + divpu'i/ = - -^ + \iV v.;
дх l l dxt l
-7— + divp/zu + divph'v' = - divq .
ox
В этих уравнениях появившиеся слагаемые divpi^.u' и divp/zV
учитывают перенос импульса и энтальпии жидкости турбулентными
пульсациями. Первое слагаемое, которое фигурирует в уравнении движения
в проекции на ось Ох, запишем в виде
,. — dPV'xv'x , dPV'xV'y , dPV'xV'z
И x dx dy dz
Умноженные на p усредненные значения произведений двух пульсаций
скорости (и взятые со знаком «минус») называют напряжениями
Рейнольдса. В усредненных уравнениях движения эти напряжения
представляют собой новые неизвестные функции координат. В трех уравнениях
движения таких неизвестных шесть (так как v' и' = v' v'x и т.п.).
Пульсацию энтальпии можно записать так: Ы = с Т'. Тогда
дх ду dz
Умноженные на рс усредненные значения произведений пульсаций
температуры и компоненты скорости (т.е. рс T'v' рс T'v' или
рс T'v'z) называют плотностями турбулентного теплового потока.
В уравнении энергии три плотности турбулентного теплового потока
представляют собой новые неизвестные функции координат.
Таким образом, в полной системе усредненных уравнений
конвективного теплообмена содержится девять новых неизвестных. Для замыкания
системы приходится привлекать гипотезы и разрабатывать модели
турбулентности.
147
Краткие итоги гл. 4
1. Теплообмен, осуществляемый при совместном действии
молекулярного и конвективного переносов теплоты, называется конвективным
теплообменом. Он происходит при движении (свободном или вынужденном)
неравномерно нагретой жидкости или газа. От гидродинамических
характеристик процесса (скорости, режима течения и др.) существенно зависит
распределение температуры в потоке жидкости и, в частности, вблизи
стенки. Так как согласно гипотезе «прилипания» скорость жидкости на
поверхности тела равна нулю и по закону Фурье qn0B = -кж(дТ/ду)П0Ъ.
Коэффициент теплоотдачи а = ^пов^лов ~ ^ж)- Если ^ — толщина области
вблизи стенки, в которой резко изменяется температура жидкости, то qn0B ~
~МГпов-Гж)/5иа~ Vs-
2. Зависимость а ~ ^ж/8 позволяет проанализировать влияние
различных факторов на а. Например, при увеличении скорости уменьшается
толщина 8 и а увеличивается. При турбулентном режиме происходит
интенсивное перемешивание жидкости в ядре потока, что также способствует
уменьшению 8 и увеличению а. Другими факторами являются физические
свойства жидкости, форма и размеры омываемого тела.
3. Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена
между поверхностью тела и жидкостью. Математическое описание процесса
конвективного теплообмена включает в себя систему дифференциальных
уравнений (движения, неразрывности, энергии), начальные и граничные
условия. При выводе этих уравнений используются основные законы
физики, а также гипотезы (закон Фурье, закон внутреннего трения Ньютона).
4. Путем приведения к безразмерному виду математического описания
процесса конвективного теплообмена получаются безразмерные
комплексы: число Нуссельта Nu, число Рейнольдса Re, число Прандтля Рг,
число Грасгофа Gr (или родственное ему число Релея Ra). Определяемым
числом подобия является число Nu, остальные числа подобия —
определяющие (или критерии подобия).
5. Для вынужденного движения Nu = Fj(Re, Рг); для свободного Nu =
= F2(Gr, Рг) или Nu = F2(Ra, Рг).
При совместном действии вынужденного и свободного движений Nu =
= F3(Re, Gr,Pr).
6. Физические процессы (в частности, процессы конвективного
теплообмена) будут подобны:
1) если описывающие их уравнения одинаковы (при этом постоянные
могут иметь разные численные значения);
2) если их начальные и граничные условия совпадают с точностью до
постоянных;
3) если их одноименные определяющие критерии подобия численно
равны.
148
Глава пятая
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
5.1. Понятие пограничного слоя
Краткая история возникновения теории пограничного слоя.
Уравнения движения вязкой жидкости были получены в середине XIX в.,
а уравнение энергии в его простейшей форме (уравнение
Фурье—Остроградского) — в 1836 г. С помощью этих уравнений составляется
математическое описание конкретных задач конвективного теплообмена и
рассчитываются гидравлическое сопротивление, тепловой поток и коэффициент
теплоотдачи.
До начала XX в. теоретическое решение многих практически важных
задач теплообмена и гидродинамики было затруднительно. Это
объясняется тем, что аналитическое решение полных уравнений движения
(уравнений Навье—Стокса) невозможно, а численное решение требует
применения мощных компьютеров.
В XIX в. были решены лишь некоторые частные задачи, в которых
полагались равными нулю конвективные производные (инерционные
силы) в уравнениях Навье—Стокса. К таким задачам относятся задачи
Хагена—Пуайзеля (определение гидравлического сопротивления при
ламинарном течении жидкости в области, удаленной от входа в трубу) и
Гретца (расчет в этой области чисел Нуссельта). Однако в то время не было
получено решение одной из самых простых задач гидродинамики —
задачи об определении поля скорости и силы трения при продольном
обтекании тонкой пластины. Понятно, что без знания поля скорости
невозможно было в этом случае провести расчет конвективного теплообмена.
Вместе с тем в XIX в. были достигнуты большие успехи в изучении
движения идеальной (лишенной свойства вязкости) жидкости. Большой
вклад в развитие теории движения идеальной жидкости внесли акад. РАН
Л. Эйлер и Д. Бернулли. В частности, уравнения движения идеальной
жидкости были получены Л. Эйлером (1755 г.). С помощью уравнений Эйлера
можно рассчитать гипотетическое поле скорости в окрестности
омываемого тела и определить силы давления на поверхность тела, а силы трения
найти нельзя. Теория движения идеальной жидкости не объясняла также
причину возникновения вихрей в кормовой части плохо обтекаемых тел.
В случае поперечного обтекания цилиндра она приводила к парадоксу
Даламбера: ввиду симметричного распределения давления по окружности
цилиндра (см. § 11.1) сила сопротивления равна нулю.
149
Внешний Пограничный
поток слой
Рис. 5.1. Обтекание клиновидного тела
а — схема обтекания; б — компоненты скорости vx и v в пограничном слое
В 1904 г. немецкий ученый Л. Прандтль опубликовал работу «О
движении жидкости при очень малом трении», в которой обратил внимание на
то, что при обтекании твердого тела влияние сил вязкости может быть
существенным только в области тонкого пограничного слоя, а за его
пределами им можно пренебречь. Другими словами, весь поток жидкости он
разбил на две части: внешний поток и пограничный слой. Для внешнего
потока справедлива теория движения идеальной жидкости (т.е.
справедливы уравнения Эйлера). Для пограничного слоя справедливы уравнения
Навье—Стокса, причем посредством такого допущения, как малая толщина
пограничного слоя, эти уравнения удалось существенно упростить. Таким
образом, были заложены основы теории пограничного слоя, которая
сыграла большую роль в изучении процессов тепломассообмена . Достижения
в развитии авиации и ракетно-космической техники неразрывно связаны
с успехами в решении проблем теории пограничного слоя.
Пограничный слой называется динамическим (когда изучается
гидродинамическая задача) и тепловым (когда изучается температурное поле).
Динамический пограничный слой. Это понятие разберем на примере
обтекания клиновидного тела (рис. 5.1, а). Фундаментальным является
следующий постулат: скорость жидкости на поверхности твердого тела
равна нулю. В области пограничного слоя (0 < у < 5) продольная
составляющая вектора скорости их (рис. 5.1, б) изменяется от нуля до v{ —
скорости внешнего потока в точке с координатой у = 5 (рис. 5.2). Для
ускоренного (как в нашем случае) или замедленного внешнего потока v{ зависит
от координаты х. Иначе, i^ зависит от х тогда, когда вдоль потока
существует градиент давления. При продольном обтекании тонкой пластины гра-
1 Теория пограничного слоя подробно излагается во многих книгах, посвященных
механике жидкости и газа, в частности в [34, 53].
150
А
1/
5
/
V/
у
<-<г^////////////////////////
'о
Vx
X
Рис. 5.2. Образование пограничного слоя при обтекании плоской поверхности тела
диент давления равен нулю ии^ = vOQ = const (v^ — скорость набегающего
потока).
В основу своей теории Л. Прандтль заложил допущение о том, что
толщина пограничного слоя 5 мала по сравнению с продольным размером тела
/0 (8 « /0). Ввиду малости 5 в направлении оси Оу наблюдаются большие
градиенты vx, поэтому даже при малой вязкости ц в пограничном слое
силы вязкости могут быть большими (что вытекает из закона трения
Ньютона). Они будут иметь тот же порядок, что и инерционные силы в
уравнениях Навье—Стокса.
Можно доказать (см. § 5.2), что отношение 8//0 пропорционально Re~1/2,
где число Рейнольдса
Re = Uoo/q/v.
(5.1)
Отсюда следует, что понятие пограничного слоя справедливо в том
случае, если при внешнем обтекании тела число Re -> оо.
В движущейся реальной жидкости при наличии градиентов скорости
всегда осуществляется перенос импульса от одних частиц к другим. В
пограничном слое в силу малости его толщины vx « v перенос импульса
к стенке происходит так, как будто все слои перемещаются параллельно ей.
Другими словами, перенос импульса (передача импульса от одного слоя к
другому) осуществляется только в направлении, перпендикулярном стенке.
В теории пограничного слоя переносом импульса (диффузией импульса) в
продольном направлении пренебрегают.
С увеличением координаты х возрастает сила трения на поверхности
продольно омываемого тела. За счет этого уменьшается кинетическая
энергия пристенных слоев жидкости и возрастает толщина пограничного слоя
(рис. 5.2).
Тот факт, что б « /0, приводит к тому, что давление в пограничном слое
такое же, как и на его внешней границе. Значит при решении уравнений
пограничного слоя его можно считать известным. Это обстоятельство
имеет большое значение, так как число искомых функций уменьшается на
151
единицу. Само же распределение давления можно найти либо
теоретически, решая более простые уравнения Эйлера, либо экспериментально.
Резкой границы между пограничным слоем и внешним потоком не
существует. Обычно в качестве 6 принимают то значение координаты уъ
при котором vx = 0,991?!.
Для нахождения напряжения трения на стенке ас используется закон
Ньютона:
r i\
~С [iVdyJy = 0'
Тепловой пограничный слой. Предположим, что температура
набегающего потока Гоо больше температуры поверхности тела Гс (Гс = const).
Температура внешнего потока будет равна Гоо, а в области толщиной 5Т
температура будет изменяться от Гс до Г^ (рис. 5.3). Эта область
называется тепловым пограничным слоем. В теории пограничного слоя
принимается, что 8Т « /0. Можно показать (см. § 5.4), что отношение 8т//0
пропорционально Ре~ , где число Пекле
(5.2)
Ре = v^/a.
Отсюда следует, что понятие теплового пограничного слоя справедливо
тогда, когда при обтекании тела выполняется условие Ре —> оо.
Резкой границы между тепловым пограничным слоем и внешним
потоком, в котором Г = Гоо, не существует. Обычно за толщину 5Т принимают
то значение у, при котором
Г-Гс = 0,99(Гоо-Гс).
С увеличением координаты х количество теплоты, отданное телу,
увеличивается, в связи с чем растет толщина 5Г
Ввиду малости 8Т в направлении оси Оу наблюдаются большие
градиенты температуры, и в пограничном слое qx « qy (qx и q — проекции
вектора q на оси Ох и Оу).
v J У
1
1
1
1
=/
\-^///////////////х//////,
о
/ X
Рис. 5.3. Тепловой пограничный слой
152
Перенос теплоты в пограничном слое происходит так, как будто все
слои перемещаются параллельно стенке и температура каждого слоя вдоль
координаты х не изменяется. Другими словами, перенос теплоты
осуществляется только в направлении, перпендикулярном стенке. В теории
пограничного слоя переносом теплоты (диффузией теплоты) в продольном
управлении пренебрегают.
Для нахождения плотности теплового потока на стенке qc (qc = q при
У = 0) используется закон Фурье:
?=-А,
дуК=о
(5.3)
При росте 5Т производная в (5.3) с увеличением х уменьшается, a qc
падает. При этом уменьшается и а (рис. 5.4), так как
a = qJ(Tc-T00).
Распределение температуры и скорости в пограничном слое показано
на рис. 5.5.
Рис. 5.4. Зависимость 6Т и а от координаты х
Рис. 5.5. Распределение температуры и скорости в пограничном слое
а — Рг« 1; б — Рг» 1
153
Чем больше вязкость v (коэффициент диффузии импульса), тем больше
толщина б; чем больше температуропроводность а (коэффициент
диффузии теплоты), тем больше 5Г Отношение 5т/б зависит от отношения v/a,
т.е. от числа Прандтля. Из рис. 5.5 видно, что при Рг > 1 5 > Ът а при
Рг<1 5Т>5.
5.2. Теоретический анализ динамического пограничного слоя
Рассмотрим случай обтекания плоской поверхности (см. рис. 5.2).
Полученные результаты будут справедливы и для искривленной
поверхности твердого тела, если радиус кривизны много больше толщины
пограничного слоя.
Вывод уравнений Прандтля. Будем считать жидкость несжимаемой,
ее свойства постоянными (р = const, \i = const) и полагать, что выделение
теплоты вследствие трения практически не сказывается на изменении
энтальпии жидкости.
Компоненты скорости vx, v и давление р удовлетворяют уравнению
неразрывности и уравнениям Навье—Стокса. Запишем эти уравнения
в безразмерном виде (см. § 4.7):
dv'Y dv'
+ т^ = 0; (5.4)
дх' ду'
дх' Vxdx' иУду' дх' Re
dv' dv' dv'
fd2v' d2v'^
x
дх' ~хдх' 'Уду' ду' Re
-Z + v>—j: + v>.
Удх'2 ду'2)
'dV„ d2v'^
Удх'1 ду'2.
(5.5)
(5.6)
Здесь Re — число Рейнольдса [см. (5.1)]; х' = х //0, у' = у/10, %' = v^x/Iq,
2
v'x = vx/vOQ, v'y = VylVoQ, p' =p/(p^oo) — безразмерные переменные.
Следуя Прандтлю, принимаем условие: Re —> со. Тогда для внешнего
потока слагаемые, учитывающие действие сил вязкости в (5.5) и (5.6),
обратятся в нуль, а уравнения Навье—Стокса превратятся в уравнения
Эйлера. Во внешнем потоке завихренность отсутствует; он называется
потенциальным потоком, так как вектор скорости выражается как градиент
некоторого потенциала аналогично вектору напряженности в
электростатике.
Рассмотрим уравнение (5.5) для пограничного слоя. Чтобы производные
в слагаемом, учитывающем силы вязкости, были одного порядка (порядка
единицы), координату у будем измерять в масштабе, равном толщине 5:
154
г = у.Лу
У 8 8 У
Из (5.4) следует, что масштабом измерения у будет Uoo8//0, а
безразмерная компонента скорости
у Уоо 5 '8
В (5.5) последнее слагаемое запишем в виде суммы:
1 *К , 1 М2 д *х
2 2 2 2
Производные д v'x/dx' и д v'x/ду" одного порядка. Так как по
определению /0 » 5, то при Re -> °° первая часть представленной суммы
исчезает, а вторая будет порядка единицы [как и другие слагаемые (5.5)].
Отсюда получаем
5//0~ 1/VRe.
Таким образом, 8 ~ Jv и 5 ~ v^
Рассмотрим уравнение (5.6). Производная др1 /ду' имеет тот же порядок,
что и последнее слагаемое в левой части (5.6):
, dv'y , dv"y
v —L = v —- .
у ду' У ду"
Но dv" /ду" — величина порядка единицы, a v ' — порядка 8//0.
Следовательно,
д£ 1
При Re —> °° можно принять др/ду = 0: давление в пограничном слое
равно давлению на его внешней границе, а его в первом приближении
можно принять таким, какое получится в результате решения задачи об
обтекании тела идеальной жидкостью. Таким образом, давление
исключается из числа неизвестных функций в уравнениях гидродинамики,
записанных для пограничного слоя. Для стационарного потока с учетом того, что
на внешней границе пограничного слоя dvx/dy = 0, из уравнения Эйлера
получим
_ 1 dp = ^1
р dx l dx '
155
В частном случае vx = vQO = const (случай тонкой пластины в неограни-
ченном потоке жидкости) dp/dx = 0.
В результате проведенного анализа приходим к тому, что при Re -» оо
система уравнений (5.4)—(5.6) упрощается и приобретает вид:
dvx dv"y
х OVx 0Vx do' ° ьх
—- + v' —- + v" —- = - 2£- +
дт' хдх' Уду" dx' д „2
(5.66)
Граничными условиями являются:
v'x = 0; v"y = 0 при у" = 0;
v'x = vx Ivoo = f{xf) при у -> оо.
При изучении нестационарных течений должно быть задано начальное
условие для vx и vy Для стационарных потоков ди'х/дх' = 0, при этом
начальное условие отпадает.
Уравнения (5.6а) и (5.66) называются уравнениями Прандтля [обычно
они записываются в размерном виде (см. § 5.2)]. Уравнения Прандтля
(уравнения ламинарного пограничного слоя) справедливы не только для
плоской, но и для искривленной поверхности тела.
Зависимость коэффициента трения от числа Реинольдса. Для
стационарных течений из (5.6а) и (5.66) и соответствующих граничных
условий следует, что
v'x=fx{x\y"), (5.7)
v"y=f2(x',y"). (5.8)
Введем коэффициент трения:
Р^оо
где ас — касательное напряжение (напряжение трения) на поверхности тела.
fdv\ dv'x dfx ду»
Имея в виду, что аг = ш ^— и —- = — —, из (5.7) легко
с \дууу = о ду ду ду
получить зависимость Сг от числа Реинольдса, справедливую для всех
ламинарных пограничных слоев:
cf=q>(f)Re-W2. (5.9)
Функция ф зависит от формы обтекаемого тела.
156
Явление отрыва пограничного слоя. На участках поверхности тела
с замедленным движением жидкости (ф/dx > 0) может возникнуть отрыв
пограничного слоя (рис. 5.6). Слои жидкости, примыкающие к стенке,
обладают небольшой кинетической энергией, и эта энергия уменьшается
по мере продвижения жидкости в область более высокого давления. В
некотором сечении пограничного слоя (рис. 5.6, точка А) скорость
жидкости вблизи стенки становится равной нулю. Далее под действием перепада
давления жидкость вблизи стенки движется в сторону, противоположную
внешнему течению. Точка А, разграничивающая области прямого и
возвратного течений, называется точкой отрыва пограничного слоя.
Оторвавшийся пограничный слой оттесняет поток от поверхности тела.
Толщина слоя при этом резко возрастает, в связи с чем положения теории
пограничного слоя теряют силу. Следовательно, теория пограничного слоя
справедлива только до точки отрыва. Отрыв его влияет на распределение
давления вверх по потоку, оно иногда не соответствует случаю обтекания
Рис. 5.6. Отрыв пограничного слоя
а — схема обтекания с отрывом пограничного слоя в точке А; б — линии тока в окрестности
точки отрыва; в — профили скорости до и после отрыва пограничного слоя
157
*У ду1
Рис. 5.7. Профиль скорости при замедленном внешнем потоке
тела идеальной жидкостью. Тогда для решения уравнений пограничного
слоя обычно привлекают данные эксперимента.
Профиль скорости в пограничном слое в случае замедленных течений
имеет вид, показанный на рис. 5.7. Во внешней части пограничного слоя
напряжения трения (аух = [i дих/ду) с ростом координаты у уменьшаются,
2 2
поэтому здесь д vx/dy < 0. Однако во внутренней части при dp/dx > 0
2 2
д vx/dy > 0, что легко доказать, записав уравнение движения для точки
у = 0:
'д\л
Уду^у=о dx
В результате такого анализа приходим к тому, что в области
замедленного внешнего течения профиль скорости в пограничном слое имеет точку
2 2
перегиба (рис. 5.7, точка Р), в которой д vxldy = 0.
В точке отрыва (dvx/dy) = 0 = 0. Из (5.7) следует, что положение этой
точки на поверхности тела не зависит от числа Рейнольдса.
Отрыв пограничного слоя приводит к увеличению гидравлического
сопротивления. Для предотвращения отрыва иногда применяют
отсасывание пограничного слоя внутрь тела. Турбулизация этого слоя приводит к
смещению точки отрыва вниз по потоку и к уменьшению силы
сопротивления.
5.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании пластины.
Задача Блазиуса
Рассмотрим обтекание пластины (рис. 5.8), расположенной в потоке
несжимаемой жидкости параллельно вектору скорости v^. Процессы
течения и теплообмена будем считать стационарными, а свойства жидкости —
постоянными. Для пластины dp/dx = 0, и скорость внешнего потока ил = 1>оо-
В нашей задаче компоненты скорости в пограничном слое будут зависеть
158
ту//////////////?/////;/////;/;///;//////
Рис. 5.8. Динамический пограничный слой при обтекании пластины
только от х и у. Передняя кромка пластины соответствует х = О и у = 0. Поток
направлен вдоль оси Ох. Примем, что в этом направлении длина пластины
/0 —> оо. Так как в теории пограничного слоя процесс переноса импульса
в продольном направлении не учитывается, то распределение скорости
в данном сечении х не будет зависеть от состояния жидкости вниз по потоку
(за пределами данного сечения). Длина /0 не должна входить в решение
задачи. Это возможно тогда, когда переменные х( и у" (см. § 5.2) образуют
такую безразмерную переменную л (переменную Блазиуса), что
Л =
У"
У
4х~' х
где Re^ — местное число Рейнольдса;
Rex = v00xlv.
Запишем уравнения Прандтля в размерном виде:
дх ду
dvx dvx д vx
v 1- v = v .
Х ^ Уду ду2
(5.10)
Граничные условия имеют вид:
vx = vy = 0 при у = 0, х > 0;
^ = ^00 при>> = оо.
Поставленная задача (нахождение vx, v и коэффициента трения су)
была решена Блазиусом в 1908 г. Уравнения Прандтля он преобразовал в
одно обыкновенное дифференциальное уравнение для такой функции ф(л),
что ф'Сп) = vxlvOQ. Уравнение Блазиуса имеет вид
2ф'" + фф" = 0. (5.11)
При этом можно записать следующие граничные условия:
ф' = ф = 0 при г) = 0;
ф' = 1 при л = оо.
159
Уравнение (5.11) можно получить следующим образом. Введем такую функцию
тока y(jc, у), что
„ = *К, v = _*К.
х ду9 у дх
Переходя к переменной т\, получаем
„ ч 1 fv^v, ,
vx = Уооф (л); vy = - J—Ol Ф - ф)>
где ф — безразмерная функция тока;
Jul
ух
Подставив выражения для vx и v в (5.10), получим (5.11).
Решение уравнения (5.11) — нелинейного уравнения третьего порядка
можно получить численным методом. В результате будем иметь таблицу
значений ср, ср', ср" (табл. 5.1).
График зависимости vxlvOQ =J(r\) показан на рис. 5.9, где теоретические
расчетные значения сопоставлены с опытными данными.
Из табл. 5.1 следует, что при ц = 5 ф'(л) = yj/uoo ~ 0,99. Отсюда
Ъ/х = S/jRsx. (5.12)
Видно, что 8~л/хи5~1>00 . Теперь можно рассчитать коэффициент
трения:
V /v
1,0
0,8
0,6
0,4
0,1
_J
И
р—с
f°~°~1
с—
*>—
12 3 45б
Рис. 5.9. График зависимости vx/Vqo =Дц)
7 Л
160
Таблица 5.1. Некоторые значения (р, ср' и ф"
Л
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
4,6
Ф
0
0,00664
0,02656
0,05974
0,10611
0,16557
2,88826
ф'
0
0,06641
0,13277
0,19894
0,26471
0,32979
0,98269
ф"
0,33206
0,33199
0,33147
0,33008
0,32739
0,32301
0,02948
1 Л
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
Ф
3,08534
3,28329
3,48189
3,68094
3,88031
4,07990
4,27964
Ф'
0,98779
0,99155
0,99425
0,99616
0,99748
0,99838
0,99898
Ф"
0,02187
0,01591
0,01134
0,00793
0,00543
0,00365
0,00240
Примечание. Значения (р, ср' и ф" при т| от 1,2 до 4,4 не приведены.
сг
2^
2
Р"оо
= 2
2
Р^оо
д_^х]
dyJy=o Jtex
[Ф"(Л)]„=0-
Воспользовавшись табл. 5.1, окончательно получим
0,664
(5.13)
-1/2
Видно, что Су уменьшается с ростом х и скорости v^: су ~ х и
-1/2 „
cf~ уоо • Напряжение трения ас с ростом скорости увеличивается:
3/2
<*с~*>оо •
Положения теории пограничного слоя справедливы, если 8 « х.
Сравнение с результатами решения полных уравнений Навье—Стокса
показывает, что это условие выполняется, если Rex > 1500. Если Re^ > ReXKp
(Rex — критическое число Rex), то режим течения в пограничном слое
нарушается (ламинарное течение переходит в турбулентное) и полученные
здесь формулы теряют силу.
5.4. Теоретический анализ теплового пограничного слоя
Преобразование уравнения энергии. Будем рассматривать плоский
пограничный слой (см. рис. 5.3). Предположим, что температура
поверхности (Гс = const) отличается от Т^. Пренебрегая теплотой трения и
считая X = const, записываем уравнение энергии в безразмерном виде
(см. § 4.7):
161
дд' ,dQ' tdQ' 1
h v \- v — = —
дх' хдх' Уду' Ре
Г .2
ч2лЛ
д в1 | a er
(5.14)
Здесь число Пекле
Ре = 1>оо/01а, а 9' = (Т - Тс) /(Г» - Гс).
В качестве масштаба измерения по оси Оу выберем толщину теплового
пограничного слоя 8Г Тогда правая часть (5.14) будет выглядеть так
1 дУ | _
дх'2 Ре
1 (loYd2V
Ре
V6x/
<М
2'
(5.14а)
У Л
где^ = -=у-
Т Т
2 2 2 2
Производные d Q' /дх' и d Q' /ду'[ одного порядка. Так как /0 » 6V
то при Ре -» со первая часть суммы (5.14а) исчезает, а вторая будет иметь
порядок единицы [как и другие слагаемые (5.14)]. Отсюда
6т//0= 1/ЛРе.
Так как Ре = RePr, то
5т/8= 1/л/Рг.
Тогда .у" = у" л/Рг. Учитывая все эти преобразования, получаем
уравнение энергии для пограничного слоя:
дв' ^ ,<№' , „дв'
— + v г- v — = —
дх' хдх' Уду" Рг
1 d2Q'
ду"
(5.15)
Граничные условия будут иметь вид:
9' = 0 при/'= 0, 0<jc'< 1;
6'= 1 при у" -> со.
При решении нестационарных задач теплообмена необходимо задать
начальное условие для температуры. Для стационарных задач из (5.15) с
учетом (5.7) и (5.8) следует, что 6f = F(x\ у", Рг).
Для коэффициента теплоотдачи имеем с учетом того, что 0 = Т - Тс,
а
Т - Т
1 с °°
дв
^оо - Тс ду
у = 0
10ду'
_ X дв'
ду" =
= ф1(х', Pr)^7R^.
162
Введем число Нуссельта:
а/0
Nu = —-.
X
Для всех ламинарных пограничных слоев справедлива зависимость
Nu = ф/рРг)л/Йё. (5.16)
Из (5.16) видно, что коэффициент теплоотдачи а пропорционален Jv^ .
Этот вывод мы получили, не обращаясь к решению уравнения энергии.
Функцию фх(х'? Рг), а также введенную ранее функцию ф(х') можно
получить при решении уравнений пограничного слоя (или экспериментально).
Аналогия процессов теплообмена и гидродинамики. Рассмотрим
частные случаи динамического и теплового пограничных слоев при
продольном стационарном обтекании изотермической пластины (Гс = const).
В безразмерном виде математическое описание гидродинамической
задачи (см. § 5.2) имеет вид:
dv'x dV
—* + —* = 0;
дх' ду'
dv'x dv'x х d2v'x
~d? + V'y~dy =Ri^/;
>/x = 0, v'y = 0 при у
Ух = \ при у'
= 0;
= ОО
Для тепловой задачи имеем
'££+ ><№ = JL i^L.
Vxdx' "Уду' RePr д ,2'
Э' = 0 при У = 0;
0' = 1 при/ = оо.
Далее положим Рг = 1. Тогда уравнение энергии будет отличаться от
уравнения движения только обозначением неизвестной функции (в
уравнении энергии 6', а в уравнении движения v'x). Такое же замечание можно
сделать и для граничных условий.
Отсюда следует, что при обтекании изотермической пластины в случае
Рг = 1 безразмерные профили температуры и скорости совпадают:
v„ Т-Т^
(5.17)
Т - Т
1 оо ■* с
163
Равенство безразмерных величин одинаковой физической природы
является признаком подобия явлений, а равенство безразмерных величин
различной физической природы — признаком аналогии. Таким образом, в
данном случае имеет место аналогия процессов переноса импульса и
теплоты. Следует, однако, иметь в виду, что физическая сущность указанных
процессов одна и та же — движение микрочастиц жидкости или газа.
Аналитическое решение задачи о переносе теплоты в пограничном слое
(см. § 5.5) полностью доказывает справедливость равенства (5.17). Чтобы
убедиться в этом, следует взять формулу (5.19) и положить в ней Рг = 1.
Имея в виду, что
ас = ^1._Л; *с = -*(;£)
<>f = —y ; яс = а(гс - гоо);
Р^оо
[ic = X, из (5.17) нетрудно получить
St = су/2, (5.17а)
где число Стантона
st= а
PVcoCp
2
Считая, что а = qcl(Tc - Т^), a cJ2 = ос/(ри00), формулу (5.17а)
можно записать в виде равенства
Р^оо^с-^оо) р^
(5.176)
откуда следует, что qc/<Jc = const. Формулы (5.17а) и (5.176) называются
аналогией Рейнольдса. В данном параграфе они выведены для ламинарного
пограничного слоя. Далее (см. § 6.4) аналогичные формулы будут получены
и для турбулентного пограничного слоя.
5.5. Тепловой пограничный слой при обтекании пластины.
Задача Польгаузена
Температурное поле в пограничном слое находится в результате
решения уравнения энергии:
vxT~+ vvT~ = а~;>
дх УдУ ду1
где 9 = (7-7^)7(7;-7^).
164
Граничные условия будут иметь вид:
в|^ = 0 = 1; 9|, _>«, = <).
Поставленная задача была решена Э. Польгаузеном (1921 г.).
Уравнение энергии преобразуется в обыкновенное дифференциальное
уравнение, если производные, входящие в него, выразить через
производные по переменной г| и учесть вытекающие из решения
гидродинамической задачи соотношения для vx и и :
vx = Уооф'(л);
В результате получается дифференциальное уравнение
Из (5.11) найдем
е" + ^Ргф0' = 0. (5.18)
0Ф
Ф = - 2х— .
Подставляя последнее соотношение в (5.18), получаем
■\'"
£-"£• <5Л8а>
После интегрирования (5.18а) с учетом граничных условий найдем
л
J(9")PrdTi
в=1-£ . (5.19)
J (Ф")РГ <h
При Рг = 1
•-'-^-'-♦w.
откуда следует (5.17). При этом 5 = 5Г
Результаты вычисления 0 по (5.19) в графической форме приведены
на рис. 5.10. Из решения задачи вытекает, что 5Т < б при Рг > 1 и 8Т > 8
при Рг < 1.
165
о
V-30(i
NT
^50 Ч
^Рг
= 0,6
<^
<7
1
0,8
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 г\
Рис. 5.10. Распределение температуры в пограничном слое при различных значениях
числа Прандтля
Для локального числа Нуссельта Nux нетрудно получить
Здесь F(Pr) = - 6'|л = 0. При Рг = 1 и л = 0 9' = - <р" = - 0,332 и
Nux = 0,332 Jjtex.
Для чисел Рг = 0,6...500 получена формула, аппроксимирующая
результаты вычисления F(Pr):
В этом случае
Nux = 0,332 JJtexWr.
5 /5*1/УРг.
(5.20)
(5.21)
Коэффициент теплоотдачи прямо пропорционален Jv^ и обратно
пропорционален Jx. Уменьшение а с увеличением х объясняется ростом
толщины 5Г
Предположим, что / — длина пластины (/» 8, /» 8Т). Найдем средний
коэффициент теплоотдачи а. При АГ = const
a = ifadx = 0,332^^VPrf^,
/J A/ v J /I
0 0«x
Здесь Nux = ах/Х; Rex = u^/v.
166
откуда получаем
Nu = 0,664 VRe VJPr, (5.22)
где Nu = al/X; Re = v^l/v.
При Pr -> oo можно получить аналитическое решение задачи. В этом случае
5 » 8Т («утопленный» тепловой пограничный слой). Скорость в пределах
теплового пограничного слоя по оси Оу изменяется линейно, и
Ф"(Л) = Ф"(Л)1Л = 0 = 0'332. (5.22а)
Интегрируя дважды (5.22а), находим
Ф = ±0,332л2.
Это соотношение подставим в (5.18), в результате чего получим уравнение
0" + 0,083 Ргл2е' = 0. (5.226)
При интегрировании (5.226) получаем
eVo =
г -0,02767л Рг ,
\е ' dn
о
(5.23)
Обозначим t = 0,02767г| Рг, откуда
/1/3
0,02767 w Рг w
л 1 .-2/3 Лл
3-0,02767 'Рг
Тогда интеграл в (5.23) будет представлять собой табулированную гамма-функцию:
оо
Г(х)= Je"V_1dr.
о
В нашем случае х = 1/3. Из таблиц гамма-функций Д1/3) = 2,6801. Так как
х л/ х 1г|=0'
окончательно имеем
Nu =0,339 Л^ё"3^"г.
Важно подчеркнуть, что приведенные в этом параграфе формулы для
числа Нуссельта справедливы для жидкости с постоянными свойствами
при температуре пластины Тс = const. Кроме того, они теряют силу, если
Re* > 14 кр = 5 • 105.
Если перепады температуры в пограничном слое невелики, то в первом
приближении свойства жидкости можно считать постоянными и относить
167
их к температуре, равной средней температуре пограничного слоя Г ,
причем Гср = 0,5(ГС + Гоо).
Теоретическое решение задачи о теплообмене при продольном
обтекании пластины в случае qc = const приводит к формуле
Nux = 0,46 jRex УРг . (5.24)
5.6. Автомодельные решения уравнений пограничного слоя
Рассмотрим плоскую задачу гидродинамики и теплообмена при
стационарном внешнем обтекании тела несжимаемой жидкостью с постоянными
свойствами. Задана форма тела, его характерный размер /0 и скорость
набегающего потока у0. Пусть требуется теоретически найти коэффициенты
трения и теплоотдачи. Эти коэффициенты найдем, если будут известны
поля скорости vx(x, у) и температуры Т(х, у).
Для нахождения поля скорости при малых числах Re = v0Iq/v
необходимо численно решить систему трех уравнений с частными производными:
уравнение неразрывности и два уравнения Навье—Стокса. После этого
можно найти поле температуры при различных значениях числа Рг. В
целом решение этой задачи является сложным и дорогостоящим.
Для больших чисел Re можно воспользоваться более простыми
уравнениями пограничного слоя. Численное решение задачи упрощается, так как
при этом вместо четырех переменных величин (x/l0,y/l0, Re, Рг) имеем три
(х//0, у/IqJRq , Рг), а зависимости коэффициента трения и числа Nu от Re
известны (см. § 5.2):
су-Re"172; Nu~Re1/2.
Наконец, задача еще более упрощается, если уравнения Прандтля
и уравнение энергии удается свести к обыкновенным дифференциальным
уравнениям. То, что это возможно сделать, мы видели на примере задач
Блазиуса и Польгаузена (см. § 5.3 и 5.5). В этих задачах независимые
переменные х, у и постоянные v^ и v сводятся к одной независимой
переменной г] = y/xjRex.
Такое решение, при котором задачу, содержащую несколько независимых
переменных (например, две), удается свести к задаче с одной независимой
переменной, называется автомодельным, а сама переменная называется
автомодельной переменной. Таким образом, решения гидродинамической
и тепловой задач при обтекании пластины, когда dp/dx = 0, являются
автомодельными.
168
Автомодельные решения имеют место и при наличии градиента
давления вдоль потока, когда скорость внешнего потока зависит от координаты х
в соответствии со степенным законом: и^(х) = Сх , где Сит —
постоянные величины. Случай т = О соответствует продольному обтеканию
пластины; случай т = 1 — обтеканию пластины, поставленной поперек потока
(рис. 5.11), или области течения в непосредственной близости от передней
критической точки круглого цилиндра, а также любого другого
притуплённого цилиндрического тела.
Изменение скорости во внешнем потоке в соответствии со степенным
законом наблюдается в окрестности передней критической точки при
обтекании клиновидного тела (рис. 5.12) с углом раствора 7г(3, причем
p = 2m/(w + 1).
Если ввести новую переменную г) и безразмерную функцию тока ф,
определяемые как
Л =У
1т+ 1 v\(x)
VX
(5.25)
Ф
V
2vx
(5.26)
vJx)
то для функции ф из уравнений Прандтля получим уравнение Фолкнера—Скэн:
ф'" + Фф" + р(1 - ф'2) = 0. (5.27)
Граничные условия имеют вид:
ф = 0, ф' = 0 при г] = 0;
ф' = 1 при г] = оо.
Рис. 5.11. Обтекание пластины,
поставленной поперек потока
Рис. 5.12. Обтекание клиновидного тела
169
Уравнение (5.27) переходит в уравнение Блазиуса, если положить р = О
или т = 0 и учесть, что новая переменная г) в V2 раз меньше переменной
Блазиуса.
Решив задачу Фолкнера—Скэн, можно получить представление о том,
как влияет параметр Р на распределение продольной составляющей
скорости по толщине пограничного слоя 8, и найти значение 8. Оказывается
(рис. 5.13), что при ускоряющемся течении во внешнем потоке (Р > 0)
профили скорости более заполнены, чем при обтекании пластины (Р = 0). При
замедленном течении (Р < 0) в профиле скорости наблюдается точка
перегиба, а при р = - 0,199 градиент скорости на стенке равен нулю, что
соответствует состоянию потока перед отрывом пограничного слоя.
Следовательно, безотрывное обтекание тела возможно лишь при очень малом
замедлении внешнего потока. Как видно из рис. 5.13, безразмерная
толщина пограничного слоя уменьшается с увеличением р. При р = 1
8 = 2,47v7c.
Для круглого цилиндра с диаметром d С = 41^ Id и (если Re = v^d/v)
8/d= 1,2/VRe.
В § 5.2 было доказано, что для любого ламинарного пограничного слоя
—1/2 /
коэффициент трения су ~ Re . Для пластины CsjRex = 0,664, а для
клиновидного тела CfjRex = ЛР) (рис. 5.14).
Располагая результатами расчета динамического пограничного слоя,
можно провести анализ процесса теплообмена для случая изменения
скорости иj по степенному закону: v^(x) = Схт.
Рис. 5.13. Распределение безразмерной скорости _о}2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Р
по толщине пограничного слоя при различных
значениях 0 Рис. 5.14. Зависимость cfJfbTx=f(?>)
170
При постоянной температуре поверхности тела уравнение энергии
преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое
имеет такой же вид, как в задаче Польгаузена (см. § 5.5). Следует только
иметь в виду, что в данном случае г| и ф(л) — величины, рассчитываемые
по формулам (5.25) и (5.26). Функцию ф(л) можно определить численным
интегрированием ф'(л) ПРИ данных значениях р. Результаты расчета
показывают, что в частном случае Рг = 1 толщины 5Т и б совпадают только при
Р = 0, при р > О 8Т > 8, а при р < О 5Т < 6. В случае р < 1 качественно
зависимость а = а(х) имеет такой же характер, как и при продольном
обтекании пластины. Однако в случае р > 1 коэффициент теплоотдачи растет
с увеличением х, а при х = 0 а = 0.
В § 5.4 было доказано, что для любого ламинарного пограничного слоя
число Нуссельта Nu ~ JRq . Для пластины было получено: Nu^/ jRex =
1/3
= 0,332Pr . Для клиновидного тела решение тепловой задачи дает:
Nu
—==F(Pr,m)9
где
Re^. = Ujjc/v; Nu^ = ax/X;
(2-РГ2
В результате расчета получено, что вблизи передней критической точки
цилиндра а — постоянная величина, а в диапазоне 0,7 < Рг < 500
Nu = ^=U4Pr0'364VR^. (5.28)
А,
Если температура поверхности тела изменяется по степенному закону
Т - Т = Ахп
1 с ioo лл ?
распределение температуры в пограничном слое зависит от р, п и числа Рг.
На рис. 5.15 показано изменение профиля температуры в пограничном
слое на пластине при изменении п в частном случае Рг = 0,7. Из рисунка
видно, что при п = -0,5 производная (дТ/ду) = 0 = 0 и, следовательно,
qc = 0, хотя при этом температурный напор Тс(х) - Т^ не равен нулю. При
п > 0 с увеличением п градиент температуры у стенки возрастает, что
приводит к увеличению числа Нуссельта по сравнению со случаем
изотермической пластины. При некотором значении п (п < 0) qc < 0, т.е. тепловой
поток направлен от жидкости к стенке, хотя Тс > Т^. Отмеченные эффекты
объясняются тем, что при быстром изменении температуры стенки на
формирование температурного поля оказывает влияние предыстория потока
171
т-т
4 Л
Рис. 5.15. Распределение безразмерной
температуры в пограничном слое на
пластине при степенном законе
изменения температуры поверхности и Рг = 0,7
Nux
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
^х
~
-
-
1—1
Р =
' f i
= 1,6/^ ^^
l$yS
/ ^^^^
/ -ЪЛЮ^——
1 1 1 .
-3 -2
3 п
Рис. 5.16. Зависимость NuxjRex=f(n)
при различных значениях (3
и профиль температуры успевает перестроиться только вблизи стенки. Для
числа Нуссельта в случае р = 0 (обтекание пластины) получена формула
Nur 0 37 1/3
-± = 0,33(2л+ 1) ' Рг .
5ё"
Если - п > 0,5, то Nux < 0 (а < 0). В этом случае тепловой поток от
жидкости к стенке можно рассчитать, зная зависимость qc(x).
На рис. 5.16 показана зависимость Nu^/ jRex от параметра п и Р в
случае Рг = 0,7.
Мы рассмотрели некоторые автомодельные решения для плоского
пограничного слоя. Согласно теореме Степанова—Манглера, существуют
такие преобразования переменных, что задачу изучения осесимметричного
пограничного слоя (например, в случае обтекания снаряда или ракеты)
можно свести к задаче изучения плоского пограничного слоя.
Автомодельные решения возможны и тогда, когда через пористую
стенку осуществляется вдувание и отсасывание газа из пограничного слоя.
Вдувание газа в пограничный слой проводится для защиты поверхности
тела от чрезмерного повышения температуры. Отсасывание газа позволяет
сохранить течение в пограничном слое ламинарным при более высоких
числах Re, чем в случае непроницаемой поверхности. С помощью этого
способа можно также избежать отрыва пограничного слоя при
положительных (dp/dx > 0) градиентах давления.
При вдувании газа толщина пограничного слоя растет, и в
определенных условиях в профиле скорости наблюдается точка перегиба, что при
172
обтекании пластины (dp/dx = 0) приводит к более раннему переходу к
турбулентному течению в пограничном слое, а при dp/dx > 0 — к его отрыву.
Коэффициенты трения и теплоотдачи с увеличением скорости вдувания
уменьшаются.
Отсасывание газа из пограничного слоя приводит к уменьшению
толщин динамического и теплового пограничных слоев и к увеличению суй а.
Наконец отметим, что посредством таких преобразований, как
преобразование Дородницына, Иллингворта—Стюартсона, Хоуарта—Лиза,
уравнения пограничного слоя в случае переменных свойств жидкости удается
свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям [22, 34, 53].
5.7. Пограничный слой при обтекании тела сжимаемым газом
При значении числа Маха М < 0,25 течение газа практически не
отличается от течения несжимаемой («капельной») жидкости (см. § 4.3). Газ
называется сжимаемым, если его скорость такова, что М > 0,25. Для
сжимаемого газа характерными являются следующие особенности. Во-первых,
при натекании газа на поверхность тупоносого тела (ракеты, космического
корабля и др.) в окрестности лобовой точки вследствие его сжатия
происходит выделение значительного количества теплоты, в связи с чем в этой
области потока температура достигает высоких значений. Например, если
температура набегающего потока воздуха Т^ = 300 К, а число Моо = 5, то
в пристенном слое температура равна приблизительно 1800 К. С
увеличением числа М эта температура возрастает и может достигнуть значения,
при котором возникает диссоциация молекул газа и имеют место другие
физико-химические превращения. Во-вторых, при больших числах М в
пограничном слое наблюдаются большие градиенты скорости, в связи с
чем оказываются большими силы внутреннего трения. Из-за действия сил
трения происходит диссипация кинетической энергии газа, т.е. эта энергия
превращается в теплоту. Выделение теплоты приводит к повышению
температуры газа. В этом случае в уравнении энергии (см. § 4.6) нельзя
пренебрегать диссипативной функцией е. В-третьих, из-за больших перепадов
температуры (в общем случае и давления) в пограничном слое физические
свойства газа нельзя считать постоянными. Такие свойства газа, как
плотность р, вязкость ц, теплопроводность X, могут сильно изменяться при
переходе от одной точки пограничного слоя к другой. Отмеченные
особенности учитываются в теории пограничного слоя сжимаемого газа.
В расчетах процессов теплообмена в сжимаемом газе используется
такое понятие, как энтальпия торможения /г0оо, определяемая по формуле
^0oo = ^oo + ^L/2, (5.29)
где h^ и i>oo — энтальпия и скорость набегающего потока.
173
Температура, соответствующая /z0oo, называется температурой
торможения Т0оо. Часто для газа можно принять с = const. Тогда /г0оо - h^ =
= ср(Т0оо - Гоо) и
i0oo °° ?^ *
(5.29а)
Имея в виду, что для идеального газа скорость звука а^ = JkRT^ , где
к = с lcv\ R = с — Су, из (5.29а) получаем
yQoo = 1 £-
Т 2
м:
Здесь Mqo = ^оо/^оо- При значении числа Рг = 1 температура Г0оо равна
температуре теплоизолированной поверхности тела (доказательство см.
ниже), которая называется адиабатной температурой стенки Гах.
Следовательно, если Рг = 1, то Гас = Г0оо. Величина г, определяемая как
г =
Т — Т
1 Ооо -1 оо
называется коэффициентом восстановления температуры. Теоретически
получено, что при существовании ламинарного пограничного слоя на
пластине в области изменения числа Рг от 0,5 до 2
г = 7Рг.
Теплота трения существенно сказывается
на распределении температуры в
пограничном слое. Изменяя температуру пластины,
омываемой потоком газа с высокой
скоростью, можно получить кривые, показанные
на рис. 5.17. Оказывается, что, если темпера-
(T-TJ/(Tac-TJ
3
h\2
i
о
Т-Т
С оо
Т -Т J
а.с ©о
\W -°>445
Г111 _J 1
тура пластины Тс >
тепловой поток
Л =y<vj(yx)
направлен от стенки к газу (qc > 0). Когда Тс =
= Га с, градиент температуры на стенке равен
нулю и qc = 0, хотя при этом температура Тс
больше температуры набегающего потока
Рис. 5.17. Изменение температуры в пограничном
слое при различных значениях безразмерной
температуры пластины (Гс - ГооМГ^ - Т^) и числе
Рг = 0,7
174
газа Tqq. Наконец, в случае Тс < Тас градиент температуры на стенке
больше нуля, что говорит о том, что тепловой поток направлен от газа к
стенке, хотя при этом стенка может иметь температуру Тс> Т^.
Очевидно, что если бы мы пытались вычислять qc по обычной формуле
qc = а(Тс - Гоо), то пришли бы к результатам, противоречащим
действительности. Поэтому при высоких скоростях движения газа, когда
существенна диссипация кинетической энергии, коэффициент теплоотдачи
следует относить к разности между температурой стенки и ее адиабатной
температурой, т.е. считать
а = И~г~ • (530)
с а.с
Для адиабатной температуры стенки справедлива формула
1 _L к~ 1 АЛ2
1 + г—— Мп
Га.с , , к - 1 w2
из которой следует, что при Моо —> 0 Гас = Т^. Тогда формула (5.30)
соответствует обычному (справедливому при малых скоростях движения газа)
определению коэффициента теплоотдачи.
Формула (5.30) применяется также для расчета процесса теплообмена при
обтекании тела «капельной» жидкостью, если ее скорость такова, что нельзя
пренебрегать теплотой трения. В этом случае адиабатная температура стенки вычисляется
по формуле
где Ее — число Эккерта;
2
и V°°
Ес = -—
срт«
Для теоретического анализа процессов переноса теплоты и импульса
при продольном обтекании пластины сжимаемым газом возьмем уравнения
стационарного пограничного слоя, которые запишем в следующем виде:
с
1- р
хдх н
>pvx
—- +
дх
+ Р»у
dh .
иУду
ду
ду ду\
= dfc$
dvx\
ду)'
д\
ду
(5.31)
(5.32)
(5.33)
175
Уравнение (5.31) является уравнением неразрывности; уравнение
(5.32)— уравнением движения в проекции на ось Ох, которая направлена
так же, как в задачах Блазиуса и Польгаузена (см. § 5.3 и 5.5); уравнение
(5.33) — уравнением энергии. В этих уравнениях учтено, что р, X и [х —
функции температуры. Последнее слагаемое в правой части (5.33) — дис-
сипативная функция для пограничного слоя.
Рассмотрим случай обтекания изотермической пластины (Гс = const)
при значении числа Рг = 1. Уравнение энергии (5.33) преобразуем так,
чтобы в нем вместо h фигурировала энтальпия торможения
h0 = h + v2x/2,
причем h, hQ и vx — функции координат х и у.
Уравнение движения (5.32) почленно умножим на vx. Затем правую
часть этого уравнения запишем так:
2ч
vxT-\ и
dv.
дуУ ду
д_
ду
д
-кг]
V 2УУ
ду)
Преобразуем первое слагаемое в правой части (5.33):
ду\ ду) ду\с_ ду) ду
ду
9Р дУ сРдУ
2ч-,
/-„*\
v2y
Преобразованное уравнение движения сложим с преобразованным
уравнением энергии. После простых выкладок получим новое уравнение
энергии, справедливое для Рг = 1:
dh
дК
У ду ду\ ду
dh,
(5.34)
В общем случае, когда число Рг * 1, уравнение энергии для пограничного слоя
в сжимаемом газе имеет вид
dh.
оп0 dhQ д / „ dh0\ д
OV г- QV — = — -^ — н
р хдх ^ у ду dvVPr ду) ду
1 П д
/.Л
v2y
(5.35)
' ду dy\?v ду) ду\
Уравнение (5.35) превращается в (5.34), если принять Рг = 1.
При Тс = const энтальпия газа на стенке hc = const. Тогда можно ввести
текущую избыточную энтальпию торможения й'0 = h0 - hc и h 'Ооо = h0oo - hc,
где h0oo определяется по (5.29).
Теперь запишем граничные условия для vx и h'0:
vx = 0, й'0 = 0 при у = 0, х > 0;
vx = l>oo, h'0 = /г'0оо при у -> оо.
176
Видно, что граничные условия для скорости и избыточной энтальпии
отличаются только обозначениями функций (vx или h'0). Так, уравнение
энергии (5.34) (с заменой в нем h0 на h'0) аналогично уравнению движения
(5.32), можно утверждать, что в безразмерном виде
ho ~ hc Vx
0 с - —. (5.36)
^Ооо-^с
Здесь й0 = h0(x9 у) и vx = vx(x, у). Положим ср = const и продифференцируем
(5.36) по у. Учтем, что qQ = -\т~) > ас = V^Jj = ' a Х/^ = СР (так
; в нашем случае Рг =
Тогда получим
1).
<?с
тс - т0оо
стс
CPv
(5.37)
Для теплоизолированной стенки (пластины) qc = 0. Из (5.37) следует, что
в этом случае Тс = Т0оо. Таким образом, мы доказали, что в случае Рг = 1
адиабатная температура стенки Га с = Г0оо.
Выражая ас через коэффициент трения су и учитывая, что левая часть
(5.37) — коэффициент теплоотдачи а, формулу (5.37) представляем в виде
St = су/2. (5.38)
Выше (см. § 5.4) формула (5.38) была выведена для случая медленного
движения газа. Эта формула указывает на аналогию процессов
теплообмена и трения в пограничном слое. Оказывается, что она имеет место и при
высокой скорости движения газа, когда р, ц и X — переменные величины.
—2/3
При постоянных свойствах газа St ~ Рг . Расчеты показывают, что
зависимость числа St от числа Рг сохраняется и для переменных свойств
газа при условии, что
st = а *'
Роо^оо^оо <ТС - 7'а.с)Роо^оо^оо '
Иначе говоря, при р = р(7), ц = ц(7), X = Х(Т), ср = const, Рг = const
cf -2/3
St = ^Pr J (5.39)
или
хт q*X - Cf r» «1/3
N"''(^-^)^2Re»P' •
177
Если все свойства газа постоянны, с^= 0,664/ jRex. Решение
уравнений пограничного слоя приводит к тому, что коэффициент трения cf
в (5.39) описывается формулой
/ г- 2 0,5(и-1)
cfJJtex = 0,664 [1 + 0,365 ТРг^-ОМ^]
где п — показатель степени в формуле
Для воздуха в интервале температур от 273 до 1273 К п = 0,683. С
увеличением температуры значение п уменьшается, при высоких
температурах п = 0,5.
Расчет теплоотдачи при обтекании изотермической пластины
сжимаемым газом можно проводить, пользуясь методом определяющей
температуры Г*, которая вычисляется по формуле Эккерта:
Г* = ^ + 0,5(ГС - Гоо) + 0,22(Га с - Г*,).
Зная температуру Г*, находим р, ц, с и число Рг. Найденные таким
образом величины обозначим р*, ц*, с * и Рг*. Коэффициент трения су*
рассчитывается по формуле
0,664
а число Стантона
су*-
St*
Qt
Vp*1
_ cf*
2
УооХ/ц*
о ~2/3
Рг*
а
По определению
P*VI>oo
После вычисления коэффициента теплоотдачи а плотность теплового
потока qc находят как
°с = <*(ГС - Га с).
Адиабатную температуру стенки Га с определяют с помощью
коэффициента восстановления г*:
г* = 7^"* >
2ср*(Та.с-Тоо)
где г* = — .
178
Указанный метод справедлив, если ср и Рг незначительно зависят
от температуры.
Если все свойства газа сильно изменяются с изменением температуры,
используется метод определяющей энтальпии h*, которая находится как
Ы = к00 + 0,5(ЛС - /О + 0,22(/*а с - *«,).
Коэффициент восстановления энтальпии rh, вводимый вместо коэффициента
восстановления температуры, определяется с помощью уравнения
2(/*а.с-/*оо)
2
-fi^.
Отсюда следует выражение для адиабатной энтальпии на стенке:
Коэффициент теплоотдачи относят не к разности температур, а к разности
энтальпий, т.е.
При этом число Стантона
sv = -^=cf рг;2/3.
Коэффициент трения су* вычисляется так же, как и в методе определяющей
температуры. Свойства газа р*, ц*, с * и Рг* находят по температуре, которая
соответствует /г*.
5.8. Интегральные соотношения импульсов и энергии
В сложных случаях тепломассообмена (обтекание тела при сложном
изменении скорости внешнего потока, вдувание охлаждающего газа через
пористую стенку и др.) применяется приближенный метод расчета
коэффициентов теплоотдачи и сопротивления трения. В основе метода,
называемого «интегральным», лежат обыкновенные дифференциальные уравнения
(интегральные соотношения), которые можно получить, проинтегрировав
по толщине пограничного слоя уравнения движения и энергии. Этот метод
является приближенным потому, что здесь приходится привлекать
некоторые дополнительные условия, основываясь либо на аналогии с простыми
задачами (например, с задачей обтекания пластины), либо на данных
эксперимента.
179
Интегральное соотношение импульсов получено Т. Карманом в 1921 г.
Это соотношение выводится следующим образом.
По закону Ньютона выразим напряжение трения в ламинарном
пограничном слое в виде
<ч
а в турбулентном пограничном слое в виде
ду
где |iT — турбулентная вязкость (см. далее § 6.3).
Запишем уравнения динамического пограничного слоя, считая
жидкость несжимаемой:
ди dv
pv^ + pvy^ = -fx + Yy- (5-41)
ст = (ц + цт)^,
Далее учтем, что
dp dui
'£lL + "J?£2.,v£± + k°JL. (5.42a)
где i>j — скорость внешнего потока.
С учетом (5.40) и (5.42) уравнение (5.41) запишется в виде
d(VxVx> , d(VxVy) dv\MldG
1 — = u1 1 ,
дх dy l dx p dy
Уравнение неразрывности (5.40) умножим на vx и из полученного
уравнения почленно вычтем (5.42а). Тогда имеем
£[»хО. -«,)]+ уущ»1 -«,)] = - с. - »/£ -\fy (5-43>
В рассмотренной в данной главе теории пограничного слоя мы
принимаем, что vx = vl при у = оо. Теперь положим, что vx = vx при _у = 5, где
8 — конечная толщина пограничного слоя, удовлетворяющая условию
а = 0 при у = 8.
Уравнение (5.43) проинтегрируем от нуля до 8. После простых
преобразований получим интегральное соотношение Кармана в следующем виде:
6 * 5
£К(»1 - *х>d' + -£ J<ui - "*> *у = 7 • (5-44)
о о
180
Уравнение (5.44) можно записать более просто, если ввести толщину
вытеснения 5* и толщину потери импульса 8**, где
1--
dy = j
l-^|d,;
Pvv
(5.45)
ov v l о
V У1У
dy.
(5.46)
Замена верхнего предела интегрирования 8 на оо практически не
скажется на значениях 8* и 5**.
Рассмотрим смысл 5* и 5**. Так как скорость жидкости в пограничном
слое меньше, чем во внешнем потоке, то расход жидкости, протекающей
8
через данное сечение jc, уменьшается на величину JpC^j - vx) dy. Пусть
о
теперь 8* — толщина слоя жидкости, в котором скорость уменьшается
от l>j до нуля (рис. 5.18), причем
5
р^Зф = Jp(u1 -vx)dy.
о
Из последнего равенства следует (5.45). Таким образом, 8* —
расстояние, на которое внешний поток оттесняется от поверхности тела из-за
существования пограничного слоя. Аналогично, 8** — условный слой
жидкости, в котором при уменьшении скорости иг до нуля поток импульса
уменьшается на то же значение, что и в действительном пограничном слое.
С учетом (5.45) и (5.46) уравнение (5.44)
записывается в виде
(18**
dx v
8** dv^
dx
8*Л
о**
—г (5.47)
pv{
Интегральное соотношение энергии было
выведено Г.Н. Кружилиным в 1936 г. Оно
получается в результате интегрирования
следующего уравнения энергии:
P°PVxdx' РСРиУ~дУ "дх9 ( } РИС* 5Л8* К опРеД^ению тол-
у щины вытеснения 8*
181
где плотность теплового потока в ламинарном пограничном слое
,дТ г дТ
q = - А,—, а в турбулентном пограничном слое q = - (X + X )— ; здесь
оу т ду
Хт — турбулентная теплопроводность.
Уравнение неразрывности умножим на температуру внешнего потока
Тх и полученное уравнение вычтем из (5.48). Затем преобразованное
уравнение энергии проинтегрируем по у от нуля до 8Т, где 8Т — конечная
толщина теплового пограничного слоя, удовлетворяющая условию q = О при
у = 8Г Окончательно получим интегральное соотношение Кружилина:
±jVx(T-Tl)dy^, (5.49)
Уравнение (5.49) можно записать проще, если ввести толщину потери
энтальпии 8Т*:
rvx Т~Т\
Ьт.= -f—-ydy. (5.50)
0 ' с '
В (5.50) Тс — температура поверхности тела, причем Тс = Тс(х). С
учетом выражения (5.50) соотношение Кружилина можно записать в виде
d5
—+ 5 «
dx т*
1^1 + _L_ d{TQ-T0'
i>j dx Tc-Tx dx
Pcpvi(Tc-t0
(5.51)
В соотношениях Кармана и Кружилина не учитывается процесс вдувания или
отсоса газа через пористую стенку. Для расчета процессов трения и теплообмена при
наличии вдувания или отсоса и высокой скорости газа используются обобщенные
интегральные соотношения импульсов и энергии. Первое соотношение имеет вид
d5** 1 dtfi i dp, pcvn с
— + - -г(25,* + 8») + - -^8** - ^ = —c- , (5.52)
dx vx dx P! dx pxvY pii;2
где pj и v{ — плотность и скорость газа при у = 8; рс — плотность газа при у = 0;
uw — поперечная составляющая скорости на поверхности тела (скорость вдувания).
Толщины 8* и 8** определяются выражениями:
б
8* = f(i-—I**; (5-53)
J0V Pi*V
в^Р^З)*, (5.54)
182
Интегральное соотношение энергии записывается в виде
d5T* г 1 dux i dPl i d(/tc-/i01)-| pcvn__
ir+8^
vY dx pj dx hc-h0l dx
P\v\ Pi^i^c-^Ol)'
(5.55)
где hcn h0l — энтальпии газа соответственно на стенке и торможения в точке у = 6;
8Т
Т JQPlyl VA01
При р = const, с = const и малой скорости газа формула (5.56) превращается
в (5.50).
Чтобы понять, как практически используются выведенные
соотношения, рассмотрим основные положения интегрального метода Кармана—
Польгаузена. В этом методе принимается, что распределение безразмерной
скорости vx/Vi в пограничном слое подчиняется зависимости вида vxlv^ =
= fiy/Ъ). С подобного типа распределением скорости мы ранее имели дело
при изучении автомодельных решений уравнений пограничного слоя.
Обозначим r\ =у1Ь. По Польгаузену,
2 3 4
vxlvx = а0 + ахч\ + а2г\ + а3г\ + а4Г[ ,
где коэффициенты а0—а4 находятся с помощью граничных условий.
Очевидно, что при r\ = 0vx/vl = 0. При г\ = 1 vxlvx = 1; d(vx/vl)/dx = 0
2 2
и д (vxlvx)ldx = 0 . Последние три условия являются условиями
сопряжения скорости в пограничном слое со скоростью внешнего потока.
Недостающее пятое условие (у нас пять неизвестных коэффициентов) можно
получить, применив (5.41) к условиям на стенке. Тогда при г| = 0
д2(»х) 52 d"i
dy2\vi) v dx
VV\J
2
где Х(х) = (б /v)/(dvl /dx) — формпараметр, с помощью которого
учитывается изменение скорости внешнего потока вдоль оси Ох.
После нахождения постоянных получают профиль скорости в виде
зависимости vx/vl = ф(г], А,), а также выражения для 5*, 5** и ас. Подставив
все эти величины в (5.47), получим обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка для определения 5 = 8(х). Зная 8(х), можно
рассчитать сопротивление трения. Можно также находить не 8, а 6**. Тогда
вместо Х(х) используется второй формпараметр
8** dUj
х(х) = — —.
v dx
Отметим, что при определенном значении формпараметра (X = -12 для
профиля Польгаузена) в определенной точке поверхности тела дих/ду = 0
183
при у = 0. В этой точке происходит отрыв пограничного слоя. За пределами
этой точки теория пограничного слоя теряет силу.
Для нахождения коэффициентов теплоотдачи методом Кармана—Поль-
гаузена—Кружилина распределение температуры в пограничном слое
задают в виде зависимости (Т- Т00)/{ТС - Т^) = \|/(у/8т), где обычно
функция \|/(у /8Т) представляет собой полином четвертой степени. Имея в виду,
что распределение скорости и формпараметра вдоль оси Ох найдено в
результате решения гидродинамической задачи, a qc может быть выражено
через дт из (5.51) находят толщину теплового пограничного слоя, qc и а.
Важно подчеркнуть, что интегральные соотношения Кармана и
Кружилина (и их обобщения) справедливы не только для ламинарного, но и для
турбулентного пограничного слоя. Для расчета трения и теплообмена,
наряду с рассмотренными методами, используются и другие методы,
которые излагаются в монографиях по теории пограничного слоя.
5.9. Задачи с решениями
Задача 1. Используя соотношение Кармана, найдите толщину
динамического пограничного слоя 5 и коэффициент трения су при продольном
обтекании пластины несжимаемой жидкостью. Скорость жидкости i^, ее
кинетическая вязкость v. Начало координат поместите на переднюю
кромку пластины, ось Ох расположите вдоль течения, а ось Оу —
перпендикулярно к пластине.
Решение. Для профиля скорости возьмем полином третьей степени:
vx/vOQ = а0 + агх\ + а2х\ + аъц,
где г\ = у/8.
Постоянные а§—а3 найдем из граничных условий:
,2 ( „ Л
при Г] = 0 VJC/voo = 0 и —-
Vx
при Г| = 1 vx/vOQ = 1 и —
ЧЛ
= 0;
= 0.
Постоянные составляют: а0 = 0; а1 = 1,5; а2 = 0; а3 = - 0,5. Следовательно,
vx/vOQ = 1,5т| — 0,5г| .
В нашем случае i>j = v^, duj /dx = 0, a
°c = 4djrJ„-o " 1>5-8- •
184
После подстановки в соотношение Кармана (см. § 5.8) полученных
выражений для vx/v00 и ас оно приобретает следующий вид:
5 d8 = — dx.
13 ито
Интегрируя это уравнение, с учетом того, что при х = О 5 = 0, получаем
5 _ 4,64л; _ 4,64х
Находим
с
коэффициент
с/
JV^X/V
трения:
_ 2СС
2
Р^оо
3v
^оо8
Л'
_ 0,646
лАч
Полученные результаты для 8 и су незначительно отличаются от
результатов точного решения (см. § 5.3).
Задача 2. Используя соотношение Кружилина, выведите формулу для
числа Nux при продольном обтекании пластины (см. задачу 1).
Температура пластины Тс = const при х > £ и равна температуре внешнего потока
Гоо в области 0 < х < £.
Решение. Для профиля температуры возьмем полином третьей степени:
ft 9 4
— = a'Q + a\r\' + a'2t\' + а'3л' ,
и0
где9 = Гс-Г; 90 = Тс - 7^; л' =у1Ът
На поверхности пластины их = v = 0. Из уравнения энергии для погра-
2 2
ничного слоя следует, что при этом д Tidy . Тогда граничные условия
будут иметь вид:
при л' = 0 9/е0 = 0и^ = 0;
дг\
г)2й
прип/ = 1 е/е0 = 1 и ^ = о.
дг\
Постоянные <я'0 = я0, а\ = ах, а'2 = «2, я'з = а3' где ао—^з —
постоянные, найденные в задаче 1.
Следовательно,
е/е0= 1,5л'-о,5л'3.
185
Будем считать, что 5Т < 5. В нашем случае Тх = Т^, а
Обозначим к = 8т/5. Зависимости 0/0о =/1(т]') и vx/vOQ =f2(r\)
подставим в интегральное соотношение Кружилина (см. § 5.8). После
преобразований получим уравнение
28V^ + *35^=10^-,
dx dx v^
где а — температуропроводность жидкости.
Толщина динамического пограничного слоя 5 была найдена в задаче 1.
Имея это в виду, получаем уравнение для определения к:
,3 _,_ Л12 dk 13 1 ,„„ч
* + 4* дг — = 77 5" • (5-57)
dx 14 Pr J
Динамический пограничный слой нарастает с самого начала обтекания
пластины (х = 0), а тепловой — с сечения х = £. Поэтому А: = 0 при х = £.
Интегрируя (5.57), находим
73 -3/4 , 13 1
А: = Сх + -7 — ,
14 Рг
откуда следует, что
1/3 win /&\3/4-,1/3
Так как
*=(Г"-1/3МГТ
_ 9с _ х_
то
1*,-К.ода2<Ъ"»[|-(5П
3/4-.-1/3
Задача решена. Видно, если £ = 0, то полученная формула имеет такой
же вид, как и в задаче Польгаузена (см. § 5.5).
Краткие итоги гл. 5
1. Область потока жидкости, примыкающая к поверхности обтекаемого
тела, в которой скорость изменяется от нуля до скорости набегающего
потока, называется динамическим пограничным слоем толщиной 5.
Область потока, в которой температура жидкости изменяется от
температуры стенки до температуры набегающего потока жидкости, называется
тепловым пограничным слоем толщиной 8Т.
186
2. Наиболее простой случай пограничного слоя имеет место при
обтекании тонкой пластины. Режим течения в пограничном слое может быть
ламинарным или турбулентным. Если Re^ < Re^. , то режим ламинарный,
если Re^. > Rex — турбулентный. Значение Re зависит от степени
турбулентности набегающего потока, шероховатости пластины и других
факторов. Для практических расчетов Re^ = 5 • 10 .
3. Теория пограничного слоя базируется на упрощенных
дифференциальных уравнениях конвективного теплообмена. Упрощение основано на том,
что 5 « /0 (или 8 « jc) и 5Т « /0 (5Т « х). Другими словами, толщины 8 и
8Т должны быть малы по сравнению с продольной координатой х. Из
теории следует, что для ламинарного пограничного слоя 8/jc = 5Rejc и, сле-
1/2
довательно, 8 ~ х . Так как толщина 8 (или Ых) обратно пропорциональна
-1/2
числу Rex , то 8/jc « 1 тогда, когда Rex -> °о. Таким образом, теория
пограничного слоя справедлива при больших значениях Rer
Из теории также вытекает, что отношение толщин теплового и динами-
—1/3
ческого слоев зависит от числа Рг, причем 8т/8 = Рг
4. Так как а « ^ж/§т> то Nu^. = CRex Рг . Теоретическое решение
дает С = 0,332 (при Тс = const) и С = 0,46 (при qc = const). Видно, что ах
-1/2
уменьшается с ростом х по закону ах ~ х и увеличивается с увеличением
1/2
скорости по закону ах ~ v^ .
При Тс = const средний коэффициент теплоотдачи ос = 2ах = /? т.е. Nu =
= 0,664 Re1/2Pr1/3.
5. Простой способ получения данных по гидродинамике и теплообмену
заключается в использовании интегральных соотношений Кармана и Кру-
жилина. Однако при этом приходится задавать распределения скорости и
температуры по толщине пограничного слоя. Обычно они задаются в виде
полиномов, коэффициенты которых определяются из граничных условий.
При решении уравнений пограничного слоя находятся поля скоростей и
температур и далее сопротивление трения на стенке и коэффициент
теплоотдачи. Естественно, что строгое теоретическое решение дает более точные
результаты, чем методы Кармана и Кружилина. Вместе с тем последние
методы могут быть применены для решения задач со сложными
геометрическими условиями, когда аналитически решить задачу затруднительно.
Следует, однако, отметить, что практически любая задача ламинарного
течения и теплообмена в настоящее время может быть решена численно на
компьютерах.
187
Глава шестая
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
6.1. Развитие пограничного слоя при продольном обтекании
пластины
При обтекании тонкой пластины в начальной ее части образуется
ламинарный пограничный слой, для которого справедлива теория,
рассмотренная в гл. 5. Из этой теории, в частности, следует, что толщина
динамического пограничного слоя 5 зависит от продольной координаты х, скорости
потока Vqo и вязкости v, причем
5 = —: = 5 —х .
1/2
Таким образом, толщина 8 ~ х . Как было показано выше (см. § 5.5),
—1/2
коэффициент теплоотдачи для изотермической пластины (Тс = const) а ~ х
Опыты доказывают, что указанные законы изменения 5 и а
справедливы лишь до определенного (критического) значения числа Rqx = Rex 1?
™eRe*,KPl = yoo*Kpl/v-
Точка, соответствующая координате х = х j, является точкой перехода
к турбулентному режиму течения в пограничном слое. В точке х = х 2
переход заканчивается, и далее имеет место турбулентный пограничный
слой. Таким образом, область потока вблизи поверхности пластины в
общем случае можно разбить на три подобласти: ламинарный (0 < х <
< хкр1), переходный (хкр1 < х < х 2) и турбулентный (х > хкр2) пограничные
слои (рис. 6.1). Координаты критических точек х х и х 2 можно
определить, зная ReXKpl и Re 2- Из опытов следует, что значения ReXKpl и
Rex 2 изменяются в довольно широких пределах и зависят от значения
Ти — степени турбулентности (степени возмущения) набегающего потока:
и'2 + v'2 + и'2
х у z
'оо
где их', v' и vz' — пульсации составляющих скорости v^; v^ —
усредненная по времени скорость потока.
188
Рис. 6.1. Развитие
пограничного слоя при обтекании
пластины
1—3 — ламинарный,
переходный и турбулентный
пограничные слои; 4 — вязкий подслой
1
1
v0
*
^
*-
J
2
^^^ V TV ^ С* 1 г
— wix-^s.
s—- ■ ^-\. —
*кр1
*кр2
г*
V° ,
►■
•l ( >i
^ V/
i^
3
/
v^ „
i>c
>^- —
/
'
X
Рис. 6.2. Влияние степени
турбулентности внешнего потока на
Re*,Kpl и Re*,Kp2
Кех,кр
4-Ю6
3
2
1
■ i i i i i i i i i i i i i i i i I
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 Ти,%
Зависимости Re^^ и Rex 2 от ^ показаны на рис 6.2.
Критические значения чисел Рейнольдса зависят также от
шероховатости пластины, причем для шероховатой пластины критические числа
Рейнольдса меньше, чем для гладкой. При обтекании пластины с недостаточно
острой передней кромкой с самого начала может иметь место
турбулентный пограничный слой (ламинарная и переходная зоны в этом случае
отсутствуют).
Переходная зона пограничного слоя отличается перемежаемостью
течения: в данной области потока оно может быть либо ламинарным, либо
турбулентным. По мере приближения к точке х = х 2 время существования
ламинарного режима течения стремится к нулю. Коэффициент
перемежаемости у, характеризующий долю времени существования турбулентного
режима течения, в области х j < х < х 2 изменяется следующим образом:
О < у < 1.
В инженерных расчетах, не требующих большой точности, область
перехода от ламинарного пограничного слоя к турбулентному можно
стянуть в одну точку х = х и считать, что
Re.
v^x
^ = 5-105.
х,кр v
Тогда в области 0 < х < х коэффициенты теплоотдачи и трения
рассчитывают по формулам справедливым для ламинарного пограничного слоя,
а в области х > х — по формулам, справедливым для турбулентного
пограничного слоя.
189
Для определения толщины турбулентного слоя служит формула
^р ' w х • (6Л)
Из (6.1) видно, что турбулентный пограничный слой растет быстрее
ламинарного.
Изменение режима течения в пограничном слое можно объяснить
следующим образом. При относительно малых числах Rex ламинарное
движение вязкой жидкости устойчиво к малым и конечным возмущениям. При
этом возникшие в потоке возмущения за счет действия сил вязкости
затухают. С увеличением координаты х растет толщина пограничного слоя,
уменьшается градиент скорости, в связи с чем действие сил вязкости
ослабевает. Роль же инерционных сил, стремящихся дестабилизировать поток
жидкости, возрастает. При определенном значении Re = Rex j движение
становится неустойчивым и нестационарным. Потеря устойчивости
сопровождается появлением возмущающего (пульсационного) движения,
которое накладывается на стационарный поток жидкости. Вначале пульсацион-
ное движение — периодическое. Однако с ростом Rex амплитуда первого
появившегося возмущающего движения возрастает, и оно само становится
неустойчивым. На него накладывается новое (второе) возмущающее
движение, на второе — третье и т.д. В конце концов движение приобретает
сложный и запутанный характер, что соответствует турбулентному
пограничному слою.
Турбулентное движение в грубом приближении можно представить в виде
множества вихрей различных масштабов. Масштаб наибольших вихрей порядка
толщины пограничного слоя. Эти вихри, характеризующие пульсационное движение, как
и другие, черпают энергию из усредненного движения, а затем передают ее вихрям
меньшего масштаба. Последние передают энергию еще меньшим вихрям и т.д. В
самых мелких вихрях энергия жидкости превращается в теплоту. Говорят, что в этом
случае происходит диссипация кинетической энергии жидкости вследствие работы
сил вязкости. Отмеченный каскадный процесс передачи энергии является
характерной чертой турбулентного движения. Другой его особенностью является
трехмерность пульсационных движений (мгновенные значения скорости в произвольной
точке турбулентного потока всегда зависят от трех координат х, у и z).
В турбулентном пограничном слое профиль скорости более заполнен,
чем в ламинарном (см. рис. 6.1). Вследствие интенсивного перемешивания
в основной части турбулентного пограничного слоя скорость жидкости
изменяется незначительно. Резкое изменение скорости наблюдается лишь
в области, примыкающей к поверхности пластины. Так как здесь градиент
скорости больше, чем в ламинарном пограничном слое, переход к
турбулентному режиму течения сопровождается ростом напряжения трения
на стенке ас. Другими словами, гидравлическое сопротивление при турбу-
190
лентном режиме выше, чем при ламинарном. Увеличение силы
сопротивления имеет своим следствием тот факт, что кинетическая энергия потока с
ростом х быстро уменьшается. В результате оказывается, что толщина
турбулентного пограничного слоя, как указывалось выше, растет быстрее, чем
толщина ламинарного.
Рост толщины пограничного слоя (как ламинарного, так и
турбулентного) приводит к уменьшению градиента скорости в пристенной области
и падению напряжения трения ас с увеличением координаты х. Если для
ламинарного пограничного слоя ас ~ х , то для турбулентного ас ~ х~ .
Указанные особенности турбулентного пограничного слоя отражаются
на процессе конвективного теплообмена. Вследствие интенсивного
перемешивания в основной части слоя распределение температуры по нормали
к пластине близко к равномерному. Большие градиенты температуры
наблюдаются лишь в пристенной области потока. В целом профиль
температуры (при Рг « 1) подобен профилю скорости. Отсюда следует, что
плотность теплового потока qc (или коэффициент теплоотдачи а) ведет себя
так, как показано на рис. 6.3. В области ламинарного пограничного слоя
местный коэффициент теплоотдачи при обтекании пластины (Гс = const)
можно рассчитать по формуле (см. § 5.5)
Nu;c = 0,332Re]/2Pr1/3,
а в области турбулентного пограничного слоя — по формуле
Nu = 0,0296 Re?'8 Рг0'4.
(6.2)
(6.3)
Формула (6.3) будет выведена ниже (см. § 6.5). Если задано условие
qc = const, то вместо (6.2) следует взять формулу
NU;c = 0,46Re]/2Pr1/3.
(6.3а)
\
\ ^ атЗ
\ -1/2 >>
! i
^^^^а-^1/5
*-
Рис. 6.3. Зависимость а =ЛХ) ПРИ обтекании пластины
191
Для турбулентного пограничного слоя при Рг > 0,5 граничное условие
на стенке слабо влияет на значение а, поэтому приближенно можно
считать, что формула (6.3) справедлива как при Тс = const, так и при qc = const.
В переходной области пограничного слоя (х { < х < х 2) теплоотдачу
можно рассчитать, учитывая коэффициент перемежаемости у, который
равен нулю, если х = хкр1, и равен единице, если х = хкр2. Приближенно
можно считать, что в области х j < х < х 2
х ~ Хкр1
у = —£— .
•*кр2 хкр1
Тогда в переходной области
<*(*) = ал(х)(1 -у) + ат(х)у,
где ал(х) рассчитывается по (6.2) или (6.3а) при данном значении х, а
ат(х) — по (6.3) при том же значении х.
Значения хкр1 и хкр2 определяются по ReX)Kpl и Re^ кр2, которые должны
соответствовать заданной степени турбулентности набегающего потока.
6.2. Структура турбулентного пограничного слоя
Турбулентный пограничный слой можно разбить на две части:
внутреннюю и внешнюю. Если во внешней части наблюдать за режимом движения,
то можно обнаружить, что он является турбулентным только в течение
времени тт а в остальное время хл — ламинарным. Это явление (см. § 6.1)
характеризуется коэффициентом перемежаемости у:
у = .
Т + X
т л
Опыты показывают, что у практически равно единице при у < 0,45 (у —
расстояние от стенки; 5 — толщина пограничного слоя) и равно нулю при
у > 1,28 (рис. 6.4). Явление перемежаемости можно уяснить рассматривая
рис. 6.5, на котором показана картина пограничного слоя при обтекании
пластины в произвольно взятый момент времени. На течение во внешней
части пограничного слоя существенное влияние оказывают возмущения,
которые могут быть в набегающем на пластину потоке жидкости. Вязкость
жидкости v не оказывает влияния на формирование профиля скорости во
внешней части пограничного слоя, которая называется также
турбулентным ядром слоя.
Рассмотрим внутреннюю часть пограничного слоя. Турбулентные
пульсации на поверхности пластины существовать не могут, т.е. здесь vx' = v ' =
= vz' = 0. Эти пульсации резко уменьшаются до нуля в очень тонкой при-
192
1 ;
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
с
°°fl
о
о,
о <
2 0,
^
\
4 0,
{
К
\
\
\
\
6 0,1
>
^
V
N
^
* 1,0 1,2
У/Ъ
Толщина
пограничного
слоя
Граница между
турбулентным и
безвихревым потоками
Рис. 6.5. Турбулентный пограничный слой в
произвольно взятый момент времени
Рис. 6.4. Опытные данные по коэффициенту
перемежаемости в турбулентном пограничном
слое
стенной области потока, в которой влияние сил вязкости велико. Эта
область пограничного слоя называется вязким подслоем.
Между вязким подслоем и турбулентным ядром располагается
«буферный» слой, состояние которого определяется влиянием как сил вязкости,
так и пульсаций скорости. Другими словами, в «буферном» слое вязкие
напряжения того же порядка, что и напряжения Рейнольдса (см. § 4.8).
Из опытов и теории турбулентности следует, что во внутренней части
пограничного слоя (0 < у < 0,25) распределение скорости по нормали к
поверхности пластины зависит только от координаты у, касательного
напряжения на стенке ас, плотности р и кинематической вязкости v, а в
безразмерном виде
vx
(6.4)
где ц = yv*/v; v* = J<Jc/p — динамическая скорость.
Зависимость типа (6.4) имеет универсальный характер. Она
справедлива как при отсутствии, так и при наличии градиента давления во
внешнем потоке, в частности, для течения в трубах. Профиль скорости,
описываемый зависимостью (6.4), называется универсальным (иногда эту
зависимость называют «законом стенки»).
Если обозначить r\=yv* /v, то для вязкого подслоя 0 < л < 5, a vx/v* = л.
В «буферном» слое безразмерная скорость описывается двумя формулами:
— = 51пг|-3,05 (5<л <30);
— = 2,5 In л + 5,5 (г[> 30, у/Ъ < 0,2).
у*
193
1 5 10 30 102 103 104 ц
Рис. 6.6. Универсальный профиль скорости в пограничном слое
/— вязкий подслой; //— «буферная» зона; а — vx/v* = г\; Ь — vx/v* = 2,51nr) + 5,5
Область значений г] > 30 (но у lb < 0,2) называется областью
логарифмического профиля скорости. Зависимость (6.4), т.е. «закон стенки»,
подтверждается опытными данными, приведенными на рис. 6.6. Следует
обратить внимание на то, что на этом рисунке по горизонтальной оси
безразмерная координата г] откладывается в логарифмическом масштабе, а
по вертикальной оси безразмерная скорость — в обычном (равномерном)
масштабе. В таком случае логарифмический профиль скорости
изображается в виде прямой линии, а линейная зависимость vx/v* = г\ в вязком
подслое — в виде кривой линии. Отметим также, что на этом графике (как
и в приведенных выше формулах) их — усредненная горизонтальная
компонента скорости турбулентного потока.
5 7
Если 5 • 10 < Rex < 10 , профиль скорости в пограничном слое
приближенно соответствует «закону одной седьмой»:
причем толщина 5 связана с Rex соотношением (6.1).
В указанном интервале изменения Re^ коэффициент трения
cf= 0,0592 Re;°'2. (6.5)
194
В широком интервале изменения числа Rex (при Re^. > 6 • 10 ) профиль скорости
описывается формулой
^ = 0,411п(1+0,41 Л) + °Л19Т]2 2 + Т^-Ы-^-^
v* 1+0,0157л2 1+0'41т1(Л ^
где г|0 — безразмерная толщина пограничного слоя;
4o = 5u*/v.
Так как ас = cf/2 pv^, то динамическая скорость
v*= l— = v0
]CJ
Плотность теплового потока на стенке однозначно определяется
теплопроводностью жидкости X и поперечным градиентом температуры
[производной (дТ/ду) = 0]. Последняя величина существенно зависит от
движения жидкости в непосредственной близости к стенке. Поэтому изучение
внутренней части турбулентного пограничного слоя представляет большой
практический интерес.
На рис. 6.7 показано, как изменяются по нормали к поверхности пла-
стины безразмерные пульсационные характеристики потока Jv' /и*,
Vy/V*
v'z /v*. Кривые на этом рисунке получены в результате
многочисленных экспериментов.
Видно, что пульсации скорости равны нулю только на самой стенке.
Во внутренней части пограничного слоя указанные пульсационные
характеристики достигают максимальных значений и уменьшаются по мере
продвижения к его внешней границе. В области вязкого и «буферного»
слоев производится наибольшая часть энергии, расходуемой на
турбулентные движения объемов жидкости.
Наблюдения показывают, что течение в вязком подслое носит
перемежающийся (ламинарно-турбулентный) характер. Оно сопровождается
выбросом заторможенной части жидкости и
вторжением в подслой турбулентных вихрей из
смежной области потока. Таким образом,
Рис. 6.7. Зависимость безразмерных пульсаций ско- 1>5
рости Jej во внутренней части пограничного слоя
от переменной ц 0,5
v'2 /v*; 2 -
v' /и*; 3 ■
Jv'y2/v*
195
вблизи вязкого подслоя наблюдаются
явления, называемые «вспышками
турбулентности». Толщина же вязкого
подслоя изменяется со временем. Когда
полагают г| = 5, то подразумевают, что
Гс~^ щ^^уУГ/ это значение безразмерной координаты
////%^^ является наиболее вероятным. О
характере течения жидкости вблизи
Рис. 6.8. Характер течения жидкости в П0верХН0СТИ пластины МОЖНО Судить
пристенной области пограничного слоя , _
Из-за достаточно высокой степени турбулентности потока вблизи стенки
толщина вязкого подслоя оказывается малой по сравнению с общей толщиной
турбулентного пограничного слоя. Это видно из следующего примера. Пусть Re^ = 10 .
Тогда
cf= 0,0592/(106)0'2 = 0,0037,
а отношение толщины вязкого подслоя 5В к координате х
^=5^ji=л. га:=1,16.ю-4.
х v^x^cj 10Ч 0,0037
Для толщины турбулентного пограничного слоя имеем:
8 = _24- = 2,33-10-2.
х (106)0*2
Следовательно, дв/8 « 0,005. Число Re^ = 10 соответствует скорости воздуха
l>oo = 15 м/с и координате х = 1 м (при температуре Т^ = 293 К). Тогда 8 = 23,3 мм,
а 5В = 0,116 мм.
Нетрудно подсчитать, что толщина вязкого подслоя незначительно возрастает
с увеличением х: 5 ~ х ' . Этим объясняется в первую очередь тот факт, что
коэффициент теплоотдачи в области турбулентного пограничного слоя уменьшается
более медленно, чем в области ламинарного (см. рис. 6.3).
6.3. Уравнения турбулентного пограничного слоя.
Турбулентная вязкость и турбулентная теплопроводность
Будем рассматривать течение несжимаемой жидкости и считать, что
усредненные параметры (скорость, температура, давление и др.) не зависят
от координаты z. Как известно, такое течение называется плоским. Как
и в гл. 5, ось Ох направим вдоль потока, а ось Оу — перпендикулярно к
поверхности тела.
Турбулентные потоки изучают с помощью уравнений Рейнольдса
(см. § 4.8). Численное моделирование турбулентных потоков с использова-
196
нием полных (не усредненных) уравнений Навье—Стокса и уравнения
энергии в настоящее время возможно лишь для ограниченного круга задач
(например, для стабилизированного течения в трубах). Решение даже
простых задач такого типа является дорогостоящим и требует больших
затрат времени.
Упрощая уравнения Рейнольдса аналогично тому, как это был сделано
в гл. 5 с уравнениями Навье—Стокса, для турбулентного пограничного
слоя получаем следующую систему уравнений, которым должны
удовлетворять усредненные значения компонентов скорости их, v , давления р
и температуры Т :
dv dv
* + *=0; (6-6)
—dv„ _ди_ лп л( dv
-ov -ovx др д
ov 1- ov — = — —*- н
F x dx p у ду дх ду
v~t:-pvxv
v
ду Г~Х~У
(6.7)
^ + Р<)=0; (6.8)
-дТ , -дТ д („дТ
9cpvx~x + pcpv- = -[Х- - Pcpv>T>) . (6.9)
Уравнение (6.6) представляет собой усредненное уравнение
неразрывности, а (6.7) — уравнение движения в проекции на ось Ох. Уравнение (6.8)
получается в результате упрощения уравнения движения в проекции
на ось Оу, а (6.9) есть усредненное уравнение энергии.
В (6.7) v'xv' — усредненное произведение пульсаций скоростей vx и vy\
в (6.9) v[' Т' — усредненное произведение пульсаций v и температуры Т.
Физический смысл напряжения Рейнольдса - pv'xv' состоит в том, что
оно учитывает турбулентный перенос импульса в пограничном слое, а
слагаемое рс v' Т' определяет турбулентный перенос теплоты.
Основываясь на опытных данных, далее будем считать, что
Мри' )ду « др /ду и др /ду = 0. Следовательно, как и в случае
ламинарного пограничного слоя, давление в турбулентном пограничном слое
оказывается таким же, как и во внешнем потоке, т.е. р = р(х).
197
Мы получили, что уравнения турбулентного пограничного слоя
отличаются от уравнений ламинарного слоя только наличием дополнительных
слагаемых в правых частях (6.7) и (6.9).
В 1877 г. французский ученый Ж. Буссинеск для объяснения
увеличения гидравлического сопротивления при переходе от ламинарного режима
течения к турбулентному высказал гипотезу, что турбулентным потокам
присуще особое свойство — турбулентная вязкость \хТ По Буссинеску в
обобщенный закон Ньютона (см. § 4.4) вместо обычной (молекулярной)
вязкости \i следует подставлять сумму ji + \хт Однако вопрос об
определении (1т оставался открытым. Несмотря на то, что турбулентную вязкость
теоретически рассчитать невозможно, понятие этой вязкости, введенное
Буссинеском, в дальнейшем стало использоваться при изучении
турбулентных течений. Более того, наряду с \лт была введена турбулентная
теплопроводность Xv которая учитывает турбулентный перенос теплоты. При
этом в закон Фурье вместо обычной (молекулярной) теплопроводности X
подставляют сумму X + ХТ
По аналогии с законами трения Ньютона и теплопроводности Фурье
можно записать, что
QV V
4^-; (6.10)
dv /ду
ХТ=Р-^^. (6.11)
дТ /ду
Уравнения (6.10) и (6.11) представляют собой не что иное, как
определение \iT и А,г Видно, что при введении jit и ^т одни неизвестные
(турбулентное напряжение и турбулентный тепловой поток) заменяются другими
(цт и Хт — неизвестные величины).
Следует отметить коренное отличие цт и ^т от ц и X. Последние
величины определяют физические свойства жидкости, в то время как jlit и Хг
зависят от характера ее движения (распределения скорости в пространстве,
интенсивности пульсаций) и других факторов, в частности, цт и А,т
являются функциями точки в потоке жидкости.
Наряду с цт и Хт в расчетах используются кинематическая турбулентная
вязкость vT = jlxt /р и турбулентная температуропроводность ат = Хт/(рср),
а также турбулентное число Прандтля PrT = vTlar Так как механизм
турбулентного переноса импульса аналогичен механизму переноса теплоты,
значение Ргт близко к единице. В первом приближении Ргт = 1.
Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что более точно
198
v=/2
PrT = 0,88, причем при числах Рг, близких к единице, эту величину можно
принять постоянной для всего пограничного слоя.
При Рг » 1 в области вязкого подслоя Ргт уменьшается, а при Рг « 1 —
увеличивается по мере приближения к поверхности тела (при у —> 0).
Так как турбулентную вязкость теоретически рассчитать невозможно, для ее
нахождения приходится привлекать результаты опытов и разрабатывать различные
модели турбулентности (гипотезы), которые оказываются справедливыми лишь
для определенных классов течений. Так, например, согласно гипотезе Прандтля
I—*1
\ду\'
где / — длина пути смешения, аналогичная длине свободного пробега молекул.
Вблизи стенки / « 0,4у. По гипотезе Прандтля —Колмогорова
где С — постоянная; / — величина (линейный размер), характеризующая масштаб
турбулентности в данной точке; Е — кинетическая энергия турбулентности;
1 2 2 2
E = -(vf + v' +v' ).
2 у
Составляя уравнение баланса турбулентной энергии (оно приводится во многих
книгах, например в [5, 36]), с использованием гипотезы Прандтля—Колмогорова,
эмпирических постоянных и уравнений Рейнольдса получают замкнутое описание
турбулентных течений. В настоящее время существует и много других
полуэмпирических теорий турбулентности.
Для процесса теплоотдачи особый интерес представляет поведение
турбулентной вязкости во внутренней части пограничного слоя. Важно
подчеркнуть, что в вязком подслое отношение vT/v не равно нулю (хотя оно
много меньше единицы). Закон изменения vT/v (а также ат/а) в области
вязкого подслоя оказывает существенное влияние на точность
теоретического расчета теплоотдачи при больших числах Рг. Получено, что при этом
3 4
vT/v ~у , а ат/а ~ у (при Рг » 1). Тот факт, что именно при больших
числах Рг турбулентная вязкость существенно сказывается на процессе
теплоотдачи, легко доказать, составив следующее соотношение:
4 = ^T = V^r^T=Pr^T
X a a vT v PrT v '
Как указывалось выше, значение Ргт близко к единице. Если даже
vT/v « 1, при Рг —> °° отношение Хт/Х не равно нулю.
199
При обтекании пластины dp/dx = 0. Тогда, опуская знаки усреднения,
из (6.6)—(6.9) можно получить следующие уравнения турбулентного
пограничного слоя:
дх ду
dvx+ dvy dr. ^ .dvxl
дТ_,_ дТ а г.. х . .дГ1
pcpvxTx + pcpvyTv = d-v\-(X + x*)Tv\-
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Полагая в этих уравнениях цт = 0 и ^т = 0, приходим к уравнениям
ламинарного пограничного слоя.
Рассмотрим случай обтекания пластины сжимаемым газом, т.е. тот
случай, когда число Маха М > 0,25. Анализ уравнений неразрывности, движения
и энергии показывает, что для турбулентного пограничного слоя уравнение
неразрывности имеет вид (6.12), если p'v' « pv , при этом же допущении
уравнение (6.13) сохраняется, а уравнение энергии записывается так:
г
dh
о
dh
ov г- OV
р х дх р у
о
ду ду
LPrv
дк
ду
ду
(l-^i
ду
1 -—} А
Pr J ЦтЭ;у
Л,Л
Ч2У
(6.15)
В (6.15) /г0 — энтальпия торможения (см. § 5.7). При цт = 0 (6.15)
переходит в уравнение (5.35). Следует обратить внимание на то, что при Рг = 1
и Ргт = 1 уравнение энергии (6.15) аналогично уравнению движения (6.13).
6.4. Аналогия Рейнольдса
В 1874 г. О. Рейнольде высказал предположение, что в турбулентном
потоке процессы переноса теплоты и количества движения (импульса)
аналогичны, в связи с чем плотность турбулентного теплового потока
qT = рс v' Т' должна быть связана с турбулентным касательным
напряжением ат = — pvxv соотношением типа (5.176), выведенного ранее для
200
ламинарного пограничного слоя. В турбулентном пограничном слое qT/oT
= Я^°с = const> причем
Яг °т
РУоо^Гс-Гоо) р^'
(6.16)
где Uqq, Tqo — параметры набегающего потока; Тс — температура тела.
Полагая ас = Cj-pv^ /29qc = aiT^ - Гс), число Стантона St = a/ipv^c),
из (6.16) получаем
St = су/2. (6.17)
Соотношение (6.17), связывающее число Стантона с коэффициентом
трения, называется аналогией Рейнольдса. Формула (6.17) является
универсальной в том смысле, что она применима как к турбулентному, так и к
ламинарному пограничному слою (см. § 5.4).
Выясним условия справедливости аналогии Рейнольдса. Рассмотрим
уравнение энергии (6.14). Допустим, что с = const. Тогда
Х + X.
т _ \Х
ср Рг
Если Рг = 1 и Ргт = 1, то
ц Рг J
СР
и + цт
С учетом этого (6.14) примет вид
дв . дв д г. _,_ .дв-i „1вЛ
pv^x + pvyTy = d-y[^ + ^Ty\- (6Л8)
Здесь мы приняли Тс = const и 0 = Г- Тс. Уравнения (6.18) и (6.13)
аналогичны, как и граничные условия для ^иб:
i^ = 0, 0 = 0 при у = 0, vx = l>oo;
6 = Qoo = ^oo-7; при.у = оо.
Поэтому
~ 1г = —• (6-19)
Т - Т v
1 ОО ■* с ОО
Дифференцируя (6.19) с учетом законов Фурье и Ньютона, после
простых преобразований получаем (6.17).
Таким образом, мы доказали, что аналогия Рейнольдса справедлива для
обтекания тела потоком жидкости без градиента давления (обтекание
пластины) при условии, что Рг = 1, Ргт = 1, ср = const и Тс = const.
201
Рассматривая случай сжимаемого газа, на основании того, что при
указанных выше условиях уравнение энергии (6.15) аналогично уравнению
движения (6.13), получаем, что аналогия Рейнольдса справедлива и в этом
случае. Следует только иметь в виду, что, как и для ламинарного
пограничного слоя (см. § 5.7), в этом случае коэффициент теплоотдачи относится
к разности Тс - Га с, где Га с — адиабатная температура стенки.
О 2
Формулу (6.16) можно записать в другом виде. Так как су= 0,0592/Re^' , то
St = 0,0296 Re~°'2,
или
Nux = 0,0296 Re°'8 (Pr = 1).
Установим, как изменяется отношение qlo в турбулентном
пограничном слое, если справедлива аналогия Рейнольдса. Дифференцируя (6.19),
получаем
^ = ^-A (6.20)
ду v^ ду
Далее учтем выражения для плотности теплового потока и напряжения
трения:
ду
dv
_х
ду
Имея в виду последние формулы, из (6.20) получаем
я = -& + К)—>
(Н'+1хт)~'
q Яс
— = — = const.
Интересно отметить, что проведенный в этом параграфе теоретический
анализ теплообмена и трения не требует знания ^т и jir Единственным
условием, связанным с турбулентным переносом как теплоты, так и
количества движения, является Ргт = 1. Если это условие выполняется (что
приближенно соответствует данным опыта), то в случае обтекания
изотермической пластины при Рг = 1 аналогия Рейнольдса не вызывает сомнений.
6.5. Теплообмен в турбулентном пограничном слое при обтекании
пластины
Как указывалось в § 6.4, аналогия Рейнольдса справедлива, если для
жидкости число Рг = 1. Для расчета теплоотдачи в других условиях
Л. Прандтль (1910 г.) предложил рассматривать турбулентный погранич-
202
ный слой состоящим из двух зон: турбулентного ядра и вязкого
ламинарного подслоя. Позже (1916 г.) эту идею высказал Дж. Тейлор.
Выше (см. § 6.2) мы говорили о том, что турбулентный пограничный
слой можно разбить на три области: вязкий подслой, «буферная» зона
и турбулентное ядро. Однако такая схема была предложена Т. Карманом
лишь в 1939 г.
Рассмотрим теорию Прандтля. В этой теории предполагается, что в
вязком подслое толщиной 8В (рис. 6.9) течение ламинарное. Ввиду малости 8В
здесь q = qc и а = ас, причем
удТ.
q = -XTy>
<Ч
ду
При А, = const и |i = const температура жидкости Г и ее скорость vx
в вязком подслое изменяются по линейному закону, и
(6.21)
где Гвиув — температура и скорость на границе раздела между вязким
подслоем и турбулентным ядром.
За пределами вязкого подслоя интенсивность процессов переноса
теплоты и количества движения определяется турбулентным перемешиванием
объемов жидкости и не зависит от X и ju.
Рассмотрим турбулентное ядро пограничного слоя с точки зрения Рей-
нольдса. Пусть в точке у = ух (рис. 6.10) усредненные значения скорости
и температуры равны vxl и Tl9 в точке у = у2 они составляют vx2 и Г2.
у=5 6
Рис. 6.9. Схемы изменения скорости и температуры в турбулентном пограничном слое
согласно модели Прандтля
/ — вязкий подслой; // — турбулентное ядро
203
У
Уг>
Рх(У>
их2
1 "(2
т
777777777777777777777-*- 777777777777777777777^^
v Т
Рис. 6.10. К выводу формулы (6.22)
2
Допустим, что т\ — масса жидкости, кг/(м • с), которая вследствие
турбулентного перемешивания переносится с одного уровня (у = ух) на другой
(у=у2), а масса т'2 переносится в противоположном направлении.
Очевидно, что т\ = т'2 = т\ Согласно теореме об изменении количества
движения, турбулентное напряжение трения (напряжение Рейнольдса) ат =
= m'(vx2 - vx{). Одновременно с переносом количества движения
осуществляется перенос теплоты. При этом плотность турбулентного теплового
потока qT = т'с (Тх - Т2). Исключая т' из выражений для qT и av получаем
тх-т2
— = с„
о, р v~ - v
(6.22)
'т "х2 vx\
Согласно аналогии Рейнольдса, дт/стт = qc/oc - const. Тогда вместо
(6.22) можно записать
'оо
Vn
Из (6.21) и (6.23) найдем
С в ^ас в Ср Сс в
(6.23)
(6.24)
(6.25)
Избавляясь от Т путем сложения (6.24) и (6.25), получаем
СР СТс
в
1 + —(Рг- 1)
(6.26)
204
Имея в виду, что а = qc/(Tc - Т^), из (6.26) получаем формулу Пран-
дтля—Тейлора:
1
а
GcCp
(6.27)
1 + —(Рг- 1)
При Рг = 1 формула (6.27) превращается в формулу Рейнольдса
(см. § 6.4). В (6.27) отношение vB/vOQ является пока неизвестной
величиной. Располагая универсальным профилем скорости (см. § 6.2), ее можно
найти стыковкой линейного профиля скорости в вязком подслое с
логарифмическим профилем в турбулентном ядре (рис. 6.11). В вязком подслое
vx/v* = г]. Из рис. 6.11 видно, что на границе вязкого подслоя г|в = 11,7.
Но v* /l>oo = Jcf/2 • Таким образом,
^=11,77^2.
U ОО
Формулу (6.27) нетрудно привести к безразмерному виду. Для этого
2
следует учесть, что ас = Cfpv^/2, и ввести Nux = ах/Х и Rqx = v^x /v.
В результате получается формула
Nu = -1 ■
х 2
Re^Pr
1 + 11,77у2(Рг-1)
5 7
Коэффициент трения с г зависит от числа Rex. При 5*10 < Rex <10
(6.28)
cf= 0,0592/Re
В широком интервале изменения Re
0,2
-2,3
cf= (0,87 lnRex- 0,65)
Сравнение результатов, полученных по (6.28), с опытными данными
показало, что формула (6.28) качественно правильно учитывает влияние
числа Рг на число Nux, однако ее нельзя
использовать в практических расчетах
теплоотдачи. Так, например, из (6.28) следует,
что при Рг —> °° Nux ~ Рг, в то время как по
Рис. 6.11. Схема определения безразмерной
толщины вязкого подслоя в модели Прандтля
/ — профиль скорости в вязком подслое; 2 —
логарифмический профиль скорости в турбулентном ядре
v /v 4
х1 * Т
опытным данным Nux ~ Рг . Расхождение объясняется тем, что в теории
Прандтля постулируется существование резкой границы между областями
ламинарного и турбулентного течений в пограничном слое, а
в действительности такой границы нет, т.е. турбулентные пульсации
наблюдаются и в вязком подслое. Они резко уменьшаются по мере
приближения к стенке и равны нулю на ее поверхности. Ввиду малости
турбулентных пульсаций в вязком подслое, они практически не сказываются на
профиле скорости в непосредственной близости к стенке, однако
существенно отражаются на профиле температуры при Рг > 1. Последнее легко
понять, если учесть, что на профиль температуры оказывает влияние
турбулентная теплопроводность, а
т1 = Рг- . (6.29)
к \х
Хотя в вязком подслое цт/ц « 1, отношение Хт/Х не является малой
величиной, если Рг > 1.
Использовав модель Прандтля, оценим вклад вязкого подслоя в общее
термическое сопротивление переносу теплоты в турбулентном
пограничном слое. Обозначим: RBn = (Гс - TB)/qc — термическое сопротивление
вязкого подслоя, a Rz = (Тс - T^lq^ — полное термическое
сопротивление. Из (6.24) и (6.26) получаем
Лв.п U°o
*1 V
(6.30)
1 + —(Рг-1)
Из (6.30) следует, что отношение RBYl/R^ увеличивается с ростом числа
Рг. В пределе Яв n/i?s -> 1, когда Рг —> оо. В последнем случае термическое
сопротивление практически полностью сосредоточено в вязком подслое.
При этом температура жидкости практически постоянна в турбулентном
ядре и равна Т^, а в вязком подслое резко изменяется от Гоо до Тс. При
Рг= 1 RBn/R% = vB/vOQ = 11,1 Jo,/2. Если принять Re^ = 10 , то можно
получить RBn /Rz « 0,5, т.е. в случае Рг = 1 50 % общего термического
сопротивления приходится на вязкий подслой. Уменьшая толщину вязкого
подслоя тем или иным искусственным способом (например, сделав
поверхность теплообмена шероховатой), можно существенно увеличить
коэффициент теплоотдачи.
Более точную оценку термического сопротивления вязкого подслоя и
соответственно уточненную формулу Прандтля—Тейлора при Рг > 1 можно
получить, если учесть турбулентный перенос теплоты следующим образом.
206
Как указывалось выше, в вязком подслое \лт/\х « 1 , и соответственно
отношение турбулентной кинематической вязкости к молекулярной
кинематической вязкости vT/v « 1. Здесь скорость жидкости с ростом
координаты у линейно возрастает от нуля до vB.
Аналогично толщине вязкого подслоя 5В введем толщину подслоя
молекулярной теплопроводности 8В', внутри которого Хт/Х « 1, и
соответственно отношение турбулентной температуропроводности к
молекулярной температуропроводности ат Iа« 1. В этом подслое температура по
нормали к пластине линейно изменяется от Тс до Тъ (рис. 6.12).
Следует подчеркнуть, что vT/v « 1 и ат/а « 1 внутри вязкого подслоя
и слоя молекулярной теплопроводности, а при у = 8В vT и v — величины
одного порядка; при у = 8В ати а — также представляют собой величины
одного порядка. Принимая турбулентное число Прандтля Ргт = 1 и
учитывая полученный эмпирически для невысоких значений чисел Рг (Рг < 200)
закон затухания турбулентных пульсаций в вязком подслое, положим
.. з 3
vT~>> \ат~У •
Тогда при у = 5В vT ~ 5В , а при у = 8В ат ~ 5В .Из сказанного следует,
что 5_ ~ v и 8 ~ а. Тогда
fR'\3
v§By
рис. 6.12. К оценке влияния Хт на термическое сопротивление вязкого подслоя
207
Из последнего соотношения для оценки отношения бв/5в получаем
формулу:
8'в -1/3
:Г = Рг ! . (6.31)
Так как в пределах 0 < у < 5В скорость vx изменяется по линейному
закону, то
К К р-1/з
— = — = Рг
ув 8В
Далее следует учесть, что
ив ив У'в fif -1/3
— = — - = 11,7 МРг .
^оо »»«, А/ 2
Рассмотрим случай Рг > 1. Для турбулентного ядра пограничного слоя
используем тот же подход, что и при выводе формулы (6.23). Имея в виду,
что турбулентное число Прандтля Ргт = цтс /X, получаем
ас Ттйу CPdy-
Умножим обе части равенства на dy и проинтегрируем по vx от v'B до
i>oo, а по Гот Гв' до Too (см. рис. 6.11):
с К т'
Интеграл в левой части разобьем на два. Тогда
Первый интеграл в левой части можно отбросить, так как при
5В < у < 5В (iT = 0 и, следовательно, Ргт = 0. Во втором интеграле полагаем
Ргт = 1. В результате получаем
К-Тоо = У~^- (6.31а)
ас ср
208
Для слоя молекулярной теплопроводности q = -X dT/dy и а - fi dvx/dy.
Отношение
£ = ^с = с_р Тс ~ Тв 5в
откуда следует, что
°с Рг ув 5;'
Тс-К =-?rf±vB. (6.316)
ас 5в Ср
Складывая левые и правые части (6.31а) и (6.316), получаем
тс-т00 =
/ Т, R' 7, Л
1Л
51 »
1 - — + Рг -=■ —
Так как а = qc/(Tc - 7^), а для величин vjv^ и 5В /8В соответствующие
формулы были получены ранее, окончательно будем иметь
а = L ■ — . (6.32)
иоо 1 + 11,7^^72 (Рг -1)
При Рг = 1 (6.32) переходит в формулу Рейнольдса а = осс /v^-
Формулу (6.32) можно привести к безразмерному виду аналогично тому,
как это было сделано с формулой (6.27).
В результате будем иметь
cf RePr
Nux = j ' 2/3 • (6'32a)
z 1 + 11,7 Jcf/2 (Pr -1)
Из (6.32, а) при Рг -> oo следует, что Nu^ ~ Рг . Это не соответствует
1/4
опытным данным, которые указывают на то, что Nux ~ Рг . Данное
несоответствие объясняется тем, что при не слишком высоких значениях числа
Рг закон затухания турбулентных пульсаций мы принимали в виде vT ~ у , а
при Рг -> оо (Рг > 200) vT - /.
1/4
При этом 5'/5 =Рг , а
cf Re^Pr
2 \ ^ лл п I ТТ/п 3/4
Nux = ^ * . (6.326)
1 +11,7^^72 (Рг -1)
Рассмотрим теперь случай Рг < 1, когда 5В > 6В. Повторяя вывод
формулы (6.32а), убеждаемся в том, что она оказывается справедливой и в этом
209
случае. Отличие в выводе формулы (6.32а) для Рг < 1 состоит в том, что в
турбулентном ядре пограничного слоя интегрирование по vx надо
проводить в пределах orvx=v' novx = v^, а интегрирование по температуре —
от Т = Тв до Т = Гоо. Интегрирование в области 0 < у < 8'в для
температуры проводится так же, как для Рг > 1, а для скорости интеграл
разбивается на сумму двух интегралов, причем интеграл в области vB < у < ив
(v'B — скорость при у = Ь'в ) оказывается равным нулю, так как Хт = 0.
Формула (6.32а) представляет собой уточненную формулу Прандтля—
Тейлора. Она достаточно хорошо подтверждается опытными данными.
Число Нуссельта можно рассчитать также по трехзонной модели пограничного
слоя (см. § 6.2). Этот расчет был выполнен Карманом (1939 г.). В этом случае
плотность теплового потока q и напряжение трения а в произвольной точке
пограничного слоя записываются как
dvx
Тогда, полагая q/o = qc/oc, можно получить уравнение
дТ_ ?сРг1+^^1
ду стс с 1 + Хт/Х ду
(6.33)
В вязком подслое, по Карману, цт/ц = 0 и Хт/Х = 0, а в «буферной» зоне
(5 < г| < 30) а = ас и
ц |а vdy>
Приняв в качестве профиля скорости в «буферном» слое зависимость
корости в «буфер]
можно получить
И 5
В результате интегрирования (6.33) после преобразований приходим к формуле
Кармана:
%ехРг
Nu, = = . (6.34)
.♦,£[»<Рг-1>*5ь2Ш]
210
В частном случае Рг = 1 из (6.34) получаем формулу Рейнольдса. Формула
(6.34) лучше соответствует опытным данным, чем формула Прандтля—Тейлора.
Она все же недостаточно точна из-за того, что при ее выводе не учитывался
турбулентный перенос теплоты в вязком подслое, а в турбулентном ядре слоя не
учитывались процессы молекулярного переноса, которые существенны при Рг « 1.
Для практических расчетов числа Нуссельта при Рг > 0,6 можно
использовать формулы
NUjc = 0,0296RefPr°'48T; (6.35)
Nu = 0,0376Re°'8Pr°'48T. (6.35а)
При определении чисел подобия физические свойства выбираются по
температуре Т^. Для жидкости: £т = (|1с/|Лоо)~ ' — при нагревании,
ет = (^/ц^)- ' 5 — при охлаждении; для газов: ет = (Тс/Тоо)~ ' — при
охлаждении и ет = (7^/Гоо)" ' — при нагревании. В приближенных расче-
0 25
тах а для жидкости можно принять ет = (Рг^ /Ргс) ' . Индексы «с» и «°°»
указывают на то, что данное свойство жидкости или газа относится к
температуре соответственно стенки и набегающего потока.
6.6. Метод Кутателадзе—Леонтьева
С.С. Кутателадзе и А.И. Леонтьев разработали приближенный метод решения
сложных задач теории пограничного слоя. Преимущество этого метода состоит в
том, что с его помощью можно относительно просто проанализировать влияние на
теплоотдачу и трение таких факторов, как граничные условия на стенке, высокая
неизотермичность пограничного слоя, сжимаемость газа (число Маха), градиент
давления, химические реакции в потоке газа, вдувание или отсос газа через пористую
стенку и др. Рассмотрим основные положения метода Кутателадзе—Леонтьева.
Подробно он излагается в [19, 46].
Запишем выражения для толщин вытеснения 5*, потери импульса 5** и
энтальпии 8Т* (см. § 5.8):
оо
~ ч Коо^осг
оо
s"=ir7-(1-7L)dj;; <б-37>
ft Роо^оо ч ^со'
ST-lr-T-U—^—rlty- (6.38)
'0Рсо»Д t„-tJ
* *
В выражении (6.38) величины Т и Т^ находятся из уравнений:
211
2
2
cpToo = cpT+-.
Характерные числа Рейнольдса для динамического и теплового пограничных
слоев можно записать, приняв в качестве линейного размера 8** и 5 *:
♦* _ Роо^оо0*** **_РооУоо5т*
Re ; R^T —~ •
Теперь рассмотрим случай плоского пограничного слоя. Жидкость, омывающую
поверхность тела, будем считать несжимаемой. Интегральные соотношения
импульсов и энергии (см. § 5.8) можно преобразовать к виду:
+/ReL( 1 + Я) = Re^+ £z£i) . (639)
dX J LK ' L\2 p
dX ДГ dX LK PooVoo.
Э' (6-40)
где X= xlL (L —характерный размер обтекаемой поверхности); ReL — число
Рейнольдса, определяемое по характерному размеру L; АТ= Тст - 7*; рст и vCT —
плотность газа и поперечная составляющая скорости газа (при вдувании или отсосе газа
через проницаемую поверхность); число Стантона
st = ^-г^;
Роо^ооУооДТ1
Сг— коэффициент трения; /— формпараметр, характеризующий кривизну
обтекаемого тела;
6** dUoo
Уоо dx '
Я = 8* /8** — формпараметр пограничного слоя.
Соотношения, аналогичные (6.40), могут быть записаны для случаев химически
реагирующего газа и процесса массообмена в пограничном слое [19, 46]. Для
непроницаемой поверхности в (6.39) и (6.40) следует принять vCT = 0.
Интегральные соотношения вида (6.39) и (6.40) справедливы как для
ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. Для их решения необходимо
знание зависимостей коэффициента трения с, и числа Стантона St от
определяющих факторов (Re , ReT , /, Т^/Т^, dp/dx, М^ и др.). Указанные зависимости
называются законами трения и теплообмена. Оказывается, что законы трения и
теплообмена консервативны к изменению граничных условий. Другими словами,
можно получить законы трения и теплообмена некоторого стандартного
(эталонного) процесса, а затем распространить их на более сложные случаи. В качестве
стандартного процесса можно выбрать обтекание изотермической пластины
несжимаемой жидкостью. Пусть Сг — коэффициент трения, a St0 — число Стантона.
212
полученные для стандартного процесса при одних и тех же числах Re и ReT .
**
Авторы рассматриваемого метода ввели относительный закон трения при Re =
** _
= idem: \|/ = с J cf и относительный закон теплообмена при ReT = idem: \\fs -
= St /St0. С учетом этого они преобразовали (6.39) и (6.40) к виду
4gL- +/ReL( 1 + Я) = ReLy°(v|/ + b); (6.40а)
где Ъ = 2рстУст /(PooVqoCj- ) — параметр проницаемости, отнесенный к Су ; ЬТ =
= pCTyCT/(pooi;ooSt0) — тепловой параметр проницаемости, отнесенный к St0.
Рассмотрим случай обтекания несжимаемой жидкостью непроницаемой
поверхности в ламинарном пограничном слое. Для обтекания пластины (AT = const, v^ =
= const) интегральное уравнение энергии запишется в виде
**
dReT
где (см. § 5.5)
St0 = 0,332/(7Re>2/3). (6.42)
Подставляя (6.42) в (6.41) и интегрируя, получаем закон теплообмена для
ламинарного пограничного слоя:
0 22
st0= :: 4/3- (6.43)
ReT Рг
В случае произвольного распределения скорости на внешней границе
пограничного слоя и произвольного изменения температуры стенки (или AT) локальные
значения коэффициента теплоотдачи можно найти следующим образом. Во-первых,
можно принять, что продольный градиент давления слабо влияет на относительный
закон теплообмена и \\fs « 1. Во-вторых, можно записать интегральное уравнение
энергии
** **
dReT ReT dAT_
~dJT + ^F dY"St°Re^'
в котором St0 определяется по (6.43).
**
Для нахождения ReT имеем линейное дифференциальное уравнение
dRe!* **/ 1 алт\ 0,22Re,
—г^^)-^
йХ ^ КАТ АХ J Re**Pr4/3 '
213
Решением этого уравнения (с учетом того, что при X = 0 ReT = 0) является еле-
дующее соотношение:
X ч 1/2
Re'=X7l
1 [ 0,44 .
\п 4/3
VPr о
Re^v^AT dX\ , (6.44)
где Re0 = Роо^ооо^/Цоо — число Рейнольдса, рассчитанное по скорости
набегающего потока vQoo; v^ = Voq/vq^ — относительная скорость на внешней границе
пограничного слоя; значения AT и v^ должны быть заданы функциями
продольной координаты X.
**
Вычислив ReT по (6.44) и подставив результат в (6.43), получим значения
локальных чисел St. Таким образом, можно найти распределение а вдоль
обтекаемой поверхности вплоть до точки отрыва пограничного слоя.
Для турбулентного пограничного слоя законы трения и теплообмена не могут
быть получены аналитически. Их определяют либо экспериментально, либо с
помощью полуэмпирических теорий турбулентности. Как известно, теории
турбулентности всегда содержат некоторые постоянные, которые находятся на основании
опытных данных. С.С. Кутателадзе и А.И. Леонтьев доказали существование пре-
** **
дельных относительных законов трения и теплообмена (Re -> °о, ReT -> °°),
которые не зависят от эмпирических констант турбулентности. Физически это
объясняется тем, что с увеличением числа Re толщина вязкого подслоя стремится к
нулю быстрее, чем толщина области турбулентного ядра потока. Предельные
зависимости Кутателадзе—Леонтьева, учитывающие влияние сжимаемости газа и
неизотермичности на относительный закон теплообмена в турбулентном
пограничном слое, имеют вид
ъ=а)ъг=^*> (б45)
где
Ум:
arctgM00VK^-l)/2f
M^Jr(k-W2
здесь у = ТСТ/ТСТ.
В последней формуле г = 0,9 — коэффициент восстановления, ak = cp/cv.
Уравнение (6.45) получено для области Re -> °°, однако оно удовлетворительно
согласуется с опытными данными и при конечных значениях числа Re.
6.7. Задачи с решениями
Задача 1. Пластина длиной / = 1,2 м продольно обтекается потоком
воздуха (l>oo = 50 м/с, tOQ = S °С, роо = 0,202 МПа). Из-за наличия перед ней
214
рбулизирующей решетки течение в пограничном слое турбулентное.
Температура пластины tc= 12 °С. Найдите средний коэффициент теплоот-
ачи, а также толщины пограничного слоя и вязкого подслоя на задней
кр0мке пластины.
решение. Средняя температура пограничного слоя t = 0,5(8 + 12) = 10 °С.
При этой температуре и р = 0,101 МПа для воздуха v = 14,16 • 10 м/с,
Л, = 2,51 • Ю~2 Вт/(м • К), Рг = 0,705. Прир = 0,202 МПа v = 0,5 • 14,16 • 10"6 =
—(\ э
= 7,08 • Ю м/с. Число Рейнольдса
Re= 50'1Д = 8,47-106.
7,08 • 10
Местное число Нуссельта можно определить по формуле Nux =
v \0,8
= 0,0296 Re^'8Pr0'4. Обозначим С = 0,0296А,(—) ' Рг0'4. Тогда а = Сх
Средний коэффициент теплоотдачи
/
_ 1 г , С ,-0,2
а среднее число Нуссельта Nu = 0,037Re°'8Pr0'4.
Найдем среднее значение а :
0 0251 6 °>8 04 ?
- = ;j2i!^io,037(8,47 • 10 ) • 0,705 ' = 234,7 Вт/(м2 • К).
Определим местный коэффициент трения при х = /:
_ 0,0596 _245.10-з
7 6 о,2 2'45 ш •
(8,47 • 10 )
-0,2
Динамическая скорость
„, = 50 Г'45 ' 10 = 1,75 м/с.
Толщина вязкого подслоя по схеме Кармана
8 = 57'08 ' 10 = 20,2 • 10"6 м = 20,2 мкм,
в 1,75
215
а по схеме Прандтля
5В = 11,7 7?081 '?*° = 47,3 • 10~6 м = 47,3 мкм.
Толщина пограничного слоя
_ 0,37* _ 0,37- 1,2 _ -2
о — — - 1,83 -10 м = 18,3 мм.
Re; (8,47 • 106) '
Ответ, а = 234,7 Вт/(м2 • К); 8 = 18,3 мм; 8В = 20,2 мкм.
Задача 2. Как изменится средний коэффициент теплоотдачи в задаче 1,
если скорость воздуха уменьшить в 8 раз при сохранении остальных
условий?
Решение. Так как средний коэффициент а пропорционален скорости в
степени 0,8, то во втором случае
234 7 ?
а = =тгг- = 44,46 Вт/(м -К).
Задача 3. Найти среднее значение а для условий задачи 2 при
отсутствии турбулизирующей решетки.
Решение. В данном случае на начальном участке пластины в
пограничном слое будет ламинарный режим течения. Если длина пластины / > хкр,
то на пластине будет как ламинарный, так и турбулентный режим течения
воздуха. Условно будем считать, что в точке х = хкр ламинарный режим
скачкообразно перейдет в турбулентный.
Найдем значение х-
кр
. 1Л57,08-10~6 -АЛ-
*кр = 5 • 10 ^—§ = °'442 М'
Средний коэффициент теплоотдачи на участке ламинарного
пограничного слоя (0 < х < х ) рассчитаем по формуле (5.22):
1/2
«лам = 0>664 ^ (5 • 105) • 0,71/3 = 23,65 Вт/(м2-К).
Средний коэффициент а на участке 0 < х < х в том случае, если бы
здесь существовал турбулентный режим течения, будет составлять
"тб1 = 44'46(5^2")°'2 = 54'28 Вт/(м2'К)-
216
Средний коэффициент теплоотдачи для всей пластины
а = (44,46 • 1,2 - 54,28 • 0,442 + 23,65 • 0,442)/1,2 = 33,18 Вт/(м2 • К).
Ответ, а = 33,18 Вт/(м2 • К).
Краткие итоги гл. 6
1. Если Re^. > Rex кр, то, начиная с точки х = хкр, при обтекании
пластины будет существовать турбулентный пограничный слой. Толщина
пограничного слоя 5тб ~ х ' , в то время как для ламинарного пограничного
слоя 5 ~ jc0,5.
Скорость в турбулентном пограничном слое в основной его части слабо
зависит от координаты у и лишь в тонкой пристеночной области резко
уменьшается до нуля. В ламинарном пограничном слое градиент скорости
при у = 0 меньше. Все это приводит к тому, что касательные напряжения на
стенке ас = \x(dvx/dy)y = Q при ламинарном слоя меньше, чем при
турбулентном. Увеличение ас при переходе режима от ламинарного к
турбулентному объясняется тем, что в последнем случае изменение
количества движения жидкости на каком-либо произвольном участке Ах
пограничного слоя больше, чем в первом (больше масса заторможенной
жидкости).
2. Турбулентный пограничный слой имеет сложную структуру Он
состоит из внутренней (0 < у < 0,45тб) и внешней (0,4бтб < у < 8тб) частей.
Во внешней части течение перемежающееся: то ламинарное, то
турбулентное, причем процесс смены режима происходит непрерывно.
Внутренняя часть состоит из турбулентного ядра и вязкого подслоя. В
турбулентном ядре вязкость vT » v, а в вязком подслое главенствующую
роль играют силы вязкости; здесь vT « v, причем vT -» 0 при у -> 0.
Вообще говоря, резкой границы между турбулентным ядром и вязким
подслоем нет и существует некоторая область («буферный» слой), в
которой vT ~ V.
В теоретических расчетах часто турбулентное ядро и внешнюю область
пограничного слоя объединяют в одно целое.
3. Толщину вязкого подслоя 8В приближенно можно найти по формуле
5Bt>*/v =11,7, где и* = v^Jcj/2 , a cf= 0,0592 Re~°'2.
Наряду с толщиной 8В рассматривается толщина слоя молекулярной
теплопроводности 8В , внутри которого ат « а. При Рг » 1 от отношения 5В /Хж
в наибольшей степени зависит термическое сопротивление переносу теп-
217
лоты в турбулентном пограничном слое. Отношение 5В /5В « Рг , а при
t -1/4
Рг > 200 бв /5В « Рг .С учетом приведенных здесь соотношений легко
0 9 1/4
получается формула Nu^ = 0,015 Re^' Рг . Однако она приближенно
справедлива лишь при Рг —> оо.
4. В 1874 г. Рейнольде высказал гипотезу о том, что перенос теплоты в
турбулентном пограничном слое аналогичен переносу количества
движения. Он считал, что отношение qlo не зависит от у и q/a = qc/o .
Записав qc и ас по законам Фурье и Ньютона соответственно, он получил
знаменитую формулу St = Су/2. Анализ системы уравнений для
турбулентного пограничного слоя показал, что аналогия Реинольдса справедлива
лишь для обтекания пластины (здесь dp/dx = 0) при Гс = const, Рг = via = 1
и PrT = Vj/Oj. = 1. Формально аналогия Реинольдса объясняется тем, что при
указанных условиях уравнения энергии и движения, а также граничные
условия различаются только обозначениями неизвестной функции. При
этом безразмерная скорость равна безразмерной температуре, откуда и
следует формула St = cJ2.
5. Для расчета местного а и среднего а коэффициентов теплоотдачи
при 0,5 < Рг < 200 рекомендуются формулы: Nu^. = 0,0296 Rex' Рг ' и
Nu = 0,037 Re ' Рг ' . В качестве определяющей температуры следует
брать среднюю температуру пограничного слоя гж = 0,5(7С + ^оо). Если на
пластине существует как ламинарный, так и турбулентный пограничный
слой, то средний коэффициент теплоотдачи для всей пластины длиной /
й = [ах, ламхкР + ах, тр(* " хкР)]/- ' где а*, тб рассчитывается по
написанной выше формуле для Nu^, в предположении, что х > х .
Глава седьмая
СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ
7.1. Общие сведения о свободной конвекции
Вынужденное движение происходит под действием сил, приложенных
к жидкости вне рассматриваемой системы. Например, движение жидкости
по трубам происходит за счет перепада давления, создаваемого насосом.
Свободное движение обусловлено неоднородным распределением
массовых сил, приложенных к частицам жидкости внутри системы. К массовым
силам относятся сила тяжести, центробежная сила инерции и некоторые
другие. Наиболее распространенным случаем свободного движения
является термогравитационная конвекция в неравномерно нагретой жидкости,
когда легкие частицы всплывают вверх, а тяжелые опускаются вниз.
Горизонтальные слои жидкости будут находиться в состоянии устойчивого
равновесия, если тяжелый слой расположен внизу, а легкий — вверху.
Например, конвекция отсутствует в том случае, если нижний слой воды
находится при температуре 4 °С, а верхний — при О °С, а также тогда,
когда вода нагревается сверху. Вода вверху может закипеть, а внизу она
останется холодной. При нагревании воды снизу холодные и,
следовательно, более тяжелые слои будут наверху, а легкие (более нагретые) —
внизу. Под действием силы тяжести холодные слои опускаются вниз и
вытесняют нагретые вверх, в результате чего происходит перемешивание и
нагревание воды во всем объеме. Работу по перемешиванию частиц
жидкости совершает сила тяжести.
Скорость свободного движения зависит от разности температур
нагретых и холодных частиц жидкости. Ее можно оценить исходя из теоремы о
кинетической энергии: работа равнодействующих сил, приложенных к
телу, равна изменению кинетической энергии тела.
Рассмотрим элементарную частицу жидкости, масса которой рсАК Эта
частица находится вблизи нагретой вертикальной стенки (в пограничном
слое); температура стенки Гс, а температура жидкости вдали от стенки Tqq .
Примем, что температура частицы равна Гс, а ее плотность рс < р^.
Частица движется вверх под действием термогравитационной силы -Ррс(Тс-
~" 7оо)£;сЛК(см. § 4.5). Действующую на частицу силу вязкости учитывать
не будем.
Направим ось Ох снизу вверх. Пусть при х = О скорость частицы равна
нулю, а при данном расстоянии х она равна vx.
219
С учетом того, что gx = -g, получим
PcAVvl
Ppc(rc-roo)gAK=^-^,
откуда следует, что vx = JlgfiATx , где AT = Тс - Т^. Отбросив в
подкоренном выражении множитель 2 (как несущественно влияющий на
оценку скорости), для характерной скорости свободного движения будем
иметь:
v0 = JgfiATx . (7.1)
Из (7.1) видно, что Vq увеличивается с ростом AT и координаты х.
Рассмотрим свободную конвекцию воздуха вдоль нагретой вертикальной
трубы (рис. 7.1). Как и при вынужденном обтекании, около трубы имеется
пограничный слой. Вначале толщина слоя и скорость воздуха малы, течение
ламинарное. Коэффициент теплоотдачи а в этой области по мере
продвижения вверх уменьшается. Далее, при определенной толщине слоя ламинарное
течение теряет устойчивость, струйки воздуха испытывают поперечные
колебания и течение становится волновым (локонообразным). В верхней
части трубы упорядоченное движение нарушается, воздух интенсивно
перемешивается, образующиеся вихри систематически отрываются от
поверхности трубы, т.е. здесь имеет место турбулентный режим движения воздуха.
Таким образом, как и при вынужденном обтекании пластины, в случае
свободной конвекции около вертикальной трубы (или вертикальной плоской
стенки) наблюдаются ламинарный, переходный и турбулентный режимы
течения в пограничном слое. В соответствии с этим находится и характер
изменения а по высоте стенки (рис. 7.1). В области турбулентного
пограничного слоя значение а практически постоянно, так как оно в значительной
степени зависит от толщины вязкого подслоя, которая (в отличие от
вынужденного обтекания пластины) не возрастает, а остается постоянной. В
первую очередь это объясняется тем, что по мере продвижения к верхнему краю
стенки скорость свободного движения воздуха увеличивается, в то время как
при вынужденном обтекании пластины скорость постоянна. Согласно
теоретическим оценкам, толщина вязкого подслоя
5В = 3,9x(GrxPr)~1/3,
откуда следует, что 8В не зависит от продольной координаты х.
Характер изменения температуры и скорости vx, типичный для
пограничного слоя при свободной конвекции жидкости около тела,
находящегося в большом объеме жидкости, показан на рис. 7.2. Скорость на стенке
равна нулю, затем она быстро увеличивается, достигает максимума, после
чего постепенно уменьшается до нуля на большом расстоянии от стенки.
Область изменения температуры жидкости от температуры стенки Тс до
температуры вдали от стенки Т^ называется тепловым пограничным
слоем. При свободной конвекции тепловой и динамический пограничные
220
я
1
4
Рис. 7.1. Свободная конвекция
и изменение а вдоль оси
нагретой вертикальной трубы
Рис. 7.2. Изменение температуры и
скорости жидкости в пограничном
слое при свободной конвекции
слои взаимозависимы и их следует рассматривать совместно. Увеличение
AT приводит к увеличению скорости свободного движения и уменьшению
толщины динамического пограничного слоя. В свою очередь, увеличение
скорости является причиной уменьшения теплового пограничного слоя
и увеличения коэффициента теплоотдачи. В турбулентном пограничном
слое увеличение скорости приводит к уменьшению толщины вязкого
подслоя.
Для описания средней теплоотдачи при свободной конвекции жидкости
используются следующие безразмерные комплексы (числа подобия):
— а/0
Nu = —- — число Нуссельта;
А
Gr =
gVATi;
— число Грасгофа;
Рг
число Прандтля;
а
Ra = GrPr
gVATi;
va
число Релея.
Здесь /0 — характерный размер тела, около которого происходит
свободная конвекция. Для вертикальной плоской стенки или вертикальной
221
трубы /0 = /г, а для горизонтальной трубы /0 = d, где d — внешний диа~
метр трубы. Разность температур АТ= Тс- Т^ называется температурным
напором.
Из анализа уравнений конвективного теплообмена (см. § 4.7) следует,
что при «ползущем» свободном движении (Рг » 1), когда инерционными
силами можно пренебречь,
Nu" =/(Ra).
В другом частном случае (Рг « 1) толщина теплового пограничного
слоя значительно больше толщины динамического.
Вследствие того, что резкое изменение скорости жидкости происходит
лишь в очень тонкой области, примыкающей к стенке, в основной части
теплового пограничного слоя силы внутреннего трения малы и жидкость
ведет себя как идеальная, а вязкость не играет никакой роли. Поэтому два
комплекса, содержащие вязкость, Gr и Рг должны входить в решение в
такой комбинации, чтобы вязкость сократилась. Такой комбинацией явля-
ется произведение GrPr . Следовательно, при Рг « 1
Nu =cp(GrPr2).
В общем случае
Nu" =/!(Gr, Рг).
Вместо последней зависимости обычно принимают
Nu" =/2(Ra, Рг).
Предварительное рассмотрение процесса свободной конвекции
показывает, что основными факторами, влияющими на а , будут: физические
свойства жидкости, температурный напор, форма и размеры тела, его
расположение в пространстве.
7.2. Теплоотдача при свободной конвекции жидкости около
вертикальной пластины или вертикальной трубы
В случае вынужденного обтекания пластины теория пограничного слоя
справедлива при Rex —> оо, а в случае свободной конвекции — при Grx —» °°
(или Rslx -> оо). при малых значениях Gr^ (или Rax) необходимо решать
полную систему уравнений конвективного теплообмена. Для получения
решения используют численные методы, а трудоемкий процесс вычислений
выполняют компьютеры. Результаты расчета сравнивают с
экспериментальными данными, и при этом уточняют решение. Таким образом получают
формулы, пригодные для практического использования. Эти формулы
приводятся ниже. Ссылки на оригинальные работы можно найти в [34, 36, 53].
222
Рассмотрим процесс теплообмена при свободной конвекции с точки
зрения теории пограничного слоя. Для ламинарного пограничного слоя
(см. гл. 5) справедлива зависимость
Kux=f(Pr)Jtex. (7.2)
Здесь х — продольная координата; Nux = ах/Х; Rqx = VoqX/v. При
свободной конвекции скорость v^ следует заменить на v0 = JgfiATx (см. § 7.1).
При этом
Re.
V0X _ JgfiATxx _ fgJ3A7£A
V V
Здесь Gr^ — местное число Грасгофа:
1/2
= Gr
1/2
0', = ^
1/2
Заменяя в (7.2) Rex на Gr^ , получаем
Nux = 9(Pr)Grx
1/4
(7.2а)
Полученная зависимость числа Нуссельта от числа Грасгофа типична
для всех ламинарных пограничных слоев при свободной конвекции. Из
(7.2а) следует, что а ~ х~ и а ~ AT . Увеличение а с ростом AT
объясняется повышением скорости движения и соответственно уменьшением
толщины теплового пограничного слоя 5Т, связанного с толщиной
— 1/2
динамического слоя 8 соотношением 8^8 ~ Рг . Коэффициент
теплоотдачи а ~ А/8Т.
При свободной конвекции поле температуры зависит от поля скорости
и наоборот. Поэтому для нахождения теплоотдачи уравнения
конвективного теплообмена рассматриваются совместно.
Рассмотрим кратко теорию пограничного слоя при свободной
конвекции жидкости вдоль вертикальной плоской стенки (рис. 7.3). Запишем
уравнения пограничного слоя:
v \- v —
хдх Уду
Э20
ду
д vv
dvY dv
x дх У ду ду2
dv„ dv
У -
дх ду
= 0.
(7.26)
223
Рис. 7.3. К постановке задачи о теплообмене в пограничном
слое на вертикальной пластине (свободная конвекция)
Приведенные уравнения записаны для
стационарного процесса теплообмена. В них 0 = Т - Т^.
Предположим, что температура вертикальной
пластины Тс = const. Тогда граничные условия для
полуограниченной пластины (0 < х < оо) имеют вид:
"х\у
= 0
иу\у = 0
0; е|
у-
= 0; 91
Польгаузен преобразовал уравнения
пограничного слоя к двум обыкновенным дифференциальным
уравнениям:
ф'" + Зфф" - 2ф'2 + 0 = 0;
Здесь
введены следующие обозначения:
Т-Т„
0 =
AT
0" + ЗРгф0' = 0.
ф
у
ACvx
3/4'
где \|/ — функция тока; А Г = Т - Т0
с = АШ.
4v
Безразмерные величины 0 и ф являются функциями переменной
Vx
Граничные условия для функций ф(г|) и 0(г|) имеют вид:
9^ = 0 = 0; ф'|л = о = 0» 01л = о=1;
Ф'1л^оо = 0; 0^^00 = 0.
Результаты численного решения задачи представлены на рис. 7.4. Из
этого решения следует, что толщины 5 и 5Т являются функциями Рг. При
Рг = 1 8 « 5Т толщина пограничного слоя может быть найдена из условия
Л I = § = 5. Легко видеть, что 8 ~ х .Из результатов расчета числа Нус-
сельта следует, что
Nu =/(Pr)Ra
1/4
(7.3)
224
0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
V
Ч 1 п^
\100\
liooo\
6 1 ^ ~
Г10
■W
г=0
ч
,73-
^
о
0,8
1,6 2,4
а)
3,2 л 4,0
3,2 л 4,0
Рис. 7.4. Влияние числа Рг на безразмерные профили температуры (а) и скорости (б)
1/4
где Rax = Re^Pr, а/(Рг) = 0,503[^(Pr)] ;
^(Pr) =
В окончательном виде
1 +
0,492 Л 9/16
Рг )
-16/9
1/4
Nii^ = 0,503 [Яа^(Рг)]
ПриРг->0 4/(Рг) = 0,492/Рги
Nux = 0,600(Gr Рг2)1М
(7.3а)
(7.36)
При Рг -> оо vp(pr) = i и
Nux = 0,503(Gr„Pr)
1/4
-1/4
Так как а ~ х , то среднее значение а на отрезке [0; h] будет равно
4
3
а = —- ах = h, а число Нуссельта
^Г~ ah 4 XT I
Nu = —- = — Nu
X 3 '* = А'
или
Nu = 0,670 [Ra^(Pr)]
1/4
(7.3в)
Формула (7.3в) справедлива при 10 < Ra < 10 . При Ra > 10 наступает
4
переход от ламинарного пограничного слоя к турбулентному, а при Ra < 10
не выполняются условия теории пограничного слоя (толщина б становится
соизмеримой с х). В последнем случае приходится решать систему
дифференциальных уравнений. Результаты решения [34] показывают, что при
малых значениях Ra (кривая 1 на рис. 7.5) числа Nu могут быть сущест-
225
венно выше тех, которые получаются при использовании формулы (7.3в) --.
кривая 2 на рис. 7.5.
В формулах (7.36) и (7.3в) определяющая температура равна 0,5 (Гс + 7^).
Если на стенке задано граничное условие qc = const, но Rax и Ra
содержат заранее неизвестный температурный напор (для его нахождения
следует взять закон Ньютона—Рихмана), то расчетные формулы будут иметь
вид:
,1/4
Nux = 0,563 [RaxO(Pr)]J
Nu = 0,670 [RaO(Pr)]
1/4
Ф(Рг) =
1 +
0,437 Л9П6
Pr J
-16/9
(7.3r)
(7.3д)
(7.3e)
Определяющая температура та же самая, что при Тс = const, но так как
Тс заранее неизвестно, здесь используется метод последовательных
приближений.
Переходный режим течения при свободной конвекции вблизи
вертикальной плоской стенки занимает значительную область по числу Ra^.
9 12
(10 < Rax < 10 ), причем как начало, так и конец переходного режима
точно определить затруднительно. Опыт показывает, что в области турбу-
1/3
лентного пограничного слоя а не зависит от х, и поэтому Nu ~ Gr . При
этом местный и средний коэффициенты теплоотдачи совпадают, а
расчетная формула имеет вид
Nux = 0,15[RaJcvF(Pr)]
1/3
(7.4)
Nux/NuX)I1JI
10
Рис. 7.5. Средняя теплоотдача
вертикальной изотермической пластины при Рг =
= 0,72
Рис. 7.6. Влияние кривизны
вертикального цилиндра на местную теплоотдачу
при Тс = const
226
Для практических расчетов наибольший интерес представляет средний
коэффициент теплоотдачи. В том случае, когда на пластине существуют
ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения в пограничном
слое, средний коэффициент теплоотдачи определяется следующим образом:
^~1/2 по^с , 0,38711а1/6 ,_
Nu = 0,825 + !_Q/1,g/17 . (7.5)
[•♦(^"'Т'
При свободной конвекции около вертикального цилиндра
дополнительным параметром является радиус цилиндра г0. Степень влияния кривизны
цилиндра зависит от отношения 5/г0 (или 5т/г0).
Если 5т/г0 « 1, то влияние кривизны незначительно и для а
справедливы формулы для вертикальной пластины.
-1/4 -1/4
Поскольку толщина 5 ~ xGrx , то 8/r0 « (x/r0)Grx . В
теоретических расчетах вместо указанного сотношения для 8/г0 используется
параметр кривизны
^ = 2j2(x/r0)Gv~xU4.
Зависимость отношения чисел Нуссельта для цилиндра и пластины
Nu^/Nu^ пл от параметра £ при различных числах Рг показана на рис. 7.6.
Для воздуха (Рг = 0,7) значения отношения Nu^/Nu^m, приведены ниже:
5 0 0,50 1,06 2,1 3,36 4,00 5,03
Шх/ШХзПЛ 1,00 1,15 1,31 1,59 1,91 2,06 2,29
Как указывалось выше, значения физических свойств жидкости, входящих в
расчетные формулы, выбирают по определяющей температуре Т = 0,5(ГС + Гоо).
Этот метод учета переменности физических свойств является приближенным. Он
справедлив, если температура в пограничном слое меняется мало, а сами свойства
в области этой температуры изменяются незначительно. При давлениях, близких
к критическому (в области термодинамической критической точки), свойства
жидкости изменяются сильно и немонотонно. Тогда метод определяющей температуры
теряет силу. При этом уравнения пограничного слоя, записанные в приближении
Буссинеска (в уравнении движения учитывается лишь зависимость плотности
от температуры в слагаемом, определяющем массовую силу), необходимо
обобщить на случай реальной зависимости свойств от температуры. Вследствие
сложной зависимости физических свойств от температуры и давления теоретический
расчет теплоотдачи проводится для конкретных жидкостей при фиксированных
значениях давления, Тс (или qc) и Т^. Путем численного интегрирования системы
227
уравнений пограничного слоя, записанных для переменных свойств жидкости, для
Н20, С02, N2 и Не получена формула Попова—Янькова:
Nu*o = Nu*o
\Срс,
0,45/.
An
\К;
(7.6)
В (7.6) Nu^Q — число Нуссельта, вычисляемое с помощью уравнения для
постоянных свойств жидкости:
( ~— М/4
(7.7)
V5 + 10Pr~ + 10Рг^
где
Nux0 = 4Ra^
2Pr
^5 + 10Pr1/2+10Pr^
see/ p-r=^;
Pc Tc~
-Pc. - _V^°o
. т » P т T
1 oo J с oo
Здесь 6C = Гс - Гоо (Гс = const); индекс «с» указывает на то, что значение данного
свойства выбирается по температуре Гс, а индекс «°о» — по температуре Т^.
В (7.6) показатель степени п = 0,32 при ср /с < 1 и п = 0,1 при ср /с > 1.
Формула Попова—Янькова описывает результаты расчета в области значений
105 < Rax < 1010; 0,59 < Рг < 28; 0,08 < ср /Срс < 4,0 и 0,2 < XJX^ < 2.
В случае qc = const в правую часть (7.7) следует ввести поправочный
коэффициент 1,15.
7.3. Свободная конвекция около горизонтальной пластины или
горизонтальной трубы. Конвекция в ограниченном пространстве
Рассмотрим особенности свободного движения около горизонтальной
пластины, горизонтальной трубы и в ограниченном пространстве, а также
приведем расчетные формулы для теплоотдачи.
Горизонтальная пластина. Пластина (или плита) может быть
обращена нагретой поверхностью вверх или вниз. Характеры свободного
движения в этих двух случаях отличаются друг от друга. Если пластина
обращена нагретой поверхностью вверх, то на ней в начале обтекания
образуется ламинарный пограничный слой. На некотором расстоянии от
кромки течение становится неустойчивым, появляются нерегулярные вихри
и турбулентность, и в центральной части пластины происходит отрыв
пограничного слоя с образованием струй нагретой жидкости (рис. 7.7). Для
пластин больших размеров ламинарное течение наблюдается только около
кромок, на остальной части поверхности течение турбулентное.
Если нагретая поверхность пластины обращена вниз, то под ней
возникает ползущее течение жидкости, направленное от центра к кромкам
пластины. Течение такого же типа будет и тогда, когда более холодная, чем
228
Рис. 7.7. Течение жидкости вблизи нагретой горизонтальной пластины
жидкость, поверхность пластины обращена вверх (при условии конечных
размеров пластины).
При свободном движении вблизи вертикальной пластины на частицы
жидкости действует термогравитационная сила, проекция которой на ось
Ол: равна pg$(T - Т^), а дрх /ду = О (р\= р - рс, где/?с — гидростатическое
давление в неподвижной жидкости с плотностью р^). Для горизонтальной
пластины (рис. 7.7) проекция термогравитационной силы на ось Ojc равна
нулю, а движение происходит из-за наличия градиента давления др^ /дх.
Докажем, что такой градиент в этом случае существует. Из уравнения
движения в проекции на ось Оу в приближении пограничного слоя следует
дрх
Т )
1 оо/ •
Знаки «плюс» и «минус» относятся к случаям Тс > Т^ и Тс < Т^
соответственно.
Проинтегрируем последнее уравнение по у в пределах от 0 до оо:
При интегрировании мы учли, что/?! |
руем (7.7а) по х. Получим
Pl(x9y) = T\pgfi(T-T00)dy. (7.7а)
о
= 0. Теперь продифференци-
£-*£ipgKT-T~)dy-
(7.76)
Интеграл является функцией х, причем с увеличением х его абсолютное
значение возрастает. Из (7.76) видно, что градиент давления возникает
вследствие изменения вдоль пластины термогравитационной силы. Для
нагретой пластины дрх /дх < 0 и течение имеет направление от кромки к
229
середине пластины. Для холодной пластины дрх /дх > 0, т.е. происходит
течение от середины к кромкам пластины.
Приведем формулы для расчета среднего коэффициента теплоотдачи
горизонтальной пластины с нагретой поверхностью, обращенной вверх,
в случае Тс = const:
при Ra < 105
0,766Ra1/5
Nu = - ^-11/20,4/11; <7-8)
1 +
0,322
Рг
при Ra> 105
Ш = - °'15Ral/3 . (7.9)
Г1+^О322у1/20120/33
В (7.8) и (7.9) определяющий размер /, входящий в формулы для чисел
Nu и Ra, находится по площади пластины F и ее периметру П:
I = F/П,
i.
а определяющая температура Т = 0,5(ГС -Н Т^).
Для воздуха (Рг « 0,7) формулы (7.8) и (7.9) упрощаются:
при Ra< 105
при Ra> 105
Nu = l,10Ra1/5; (7.9а)
Nu = 0,203Ra1/3. (7.96)
Горизонтальная труба. Наблюдения показывают (рис. 7.8), что около
нагретой горизонтальной трубы образуется пограничный слой, толщина
которого незначительно растет с увеличением угла ф. Течение
в пограничном слое ламинарное, но в кормовой части трубы пограничный
слой отрывается от поверхности и образуется восходящая струя нагретой
жидкости. Толщина пограничного слоя зависит от числа Релея:
Ra = GrPr=£Mi4r,
V
где AT = Тс - Гоо.
При малых числах Ra толщина пограничного слоя соизмерима с
радиусом трубы, с увеличением числа Ra она уменьшается. Ввиду большой
толщины пограничного слоя и образования струйного течения теория
пограничного слоя здесь не всегда справедлива. Достоверные данные для
230
Рис. 7.8. Свободная конвекция около нагретых горизонтальных труб
теплоотдачи можно получить экспериментально или путем численного
решения полной системы дифференциальных уравнений конвективного
теплообмена. Результаты расчета показывают, что число Нуссельта
монотонно убывает с ростом ф.
Для свободной конвекции около горизонтальной трубы число Нуссельта
Nu = ad IX,
где а — местный (соответствующий данному углу ф) коэффициент
теплоотдачи.
В результате численного решения и эксперимента получают таблицу
значений местных Nu и средних Nu чисел Нуссельта при разных числах
Ra и Рг. Оказывается, что из-за влияния кривизны поверхности цилиндра
обобщение этих данных с помощью простого уравнения, справедливого
в широком диапазоне чисел Ra и Рг затруднительно. Чтобы получить
универсальное уравнение, был предложен следующий способ определения
Nu. Во-первых, в основу расчета закладывается формула, полученная при
вычислении в приближении пограничного слоя, т.е. при толщине пограничного
слоя 8 « d:
— a'd 1/4Г ^0 559Л3/51~5/12
Nu' = х = °>518Ra L1 +1 pTJ J • (7Л0)
Во-вторых, рассматривается цилиндрический слой жидкости толщиной
5 на поверхности цилиндра и считается, что через этот слой перенос
теплоты происходит путем теплопроводности. Тогда
2Х(ТС-Т00)
*с = —7Т2Г- (7Л1)
d\n —
231
В-третьих, считается, что
8/А,= 1/а'. (7.12)
Так как средний коэффициент теплоотдачи при Тс = const
а = т % . (7.13)
i с оо
то с учетом (7.10)—(7.13) легко получить формулу
Ш = 2 _ . (7.14)
ln(l + 2/Nu')
Формула (7.14) для всех чисел Рг > 0,1 с погрешностью не более 6,5 %
подтверждается опытными данными.
Для воздуха (Рг = 0,7) формула (7.14) имеет вид
Ш = — 2— (7.15)
In 1+ Ц-)
v 0,399Ra J
Значения физических свойств в (7.14) и (7.15) выбираются по
7,опр = 0Д7,с + 7,оо).
Наряду с указанным методом средний коэффициент теплоотдачи на
горизонтальном цилиндре можно определить по следующим формулам:
при Ra = 10~2 ... 102 Nu = 1,02Ra0'15;
при Ra= 102 ..
при Ra= 104 ..
при Ra= 107 ..
,. 104
,. 107
,. 1010
Nu
Nu
Nu
= 0,85Ra0'19;
л с r> 0,25
= 0,5 Ra ;
= 0,125Ra0'33
При расчете чисел подобия Ra и Nu определяющий размер —
наружный диаметр цилиндра, а определяющая температура равна 0,5(ГС + Т^).
Для расчета а при свободной конвекции воздуха около горизонтальных
электрически обогреваемых проводов (qc = const) рекомендуется
пользоваться следующими данными:
Ra 10^ 10"3 10"2 10"1 10° 101 102
Nu 0,463 0,525 0,596 0,800 1,07 1,51 2,11
Конвекция в ограниченном пространстве. Самым простым случаем
здесь является конвекция жидкости в зазоре между двумя
горизонтальными безграничными пластинами. Если температура нижней пластины
меньше, чем верхней, жидкость в зазоре находится в устойчивом равно-
232
Рис. 7.9. Ячейки Бенара при свободной конвекции
в горизонтальном слое жидкости
ш
ш
а)
т б)
{
в) ус2
ЛСП
г)
рис. 7.10. Различные случаи свободной конвекции в щелях и зазорах
а—г — плоские зазоры; д—ж — кольцевые зазоры
2з:
весии и перенос теплоты осуществляется «чистой» теплопроводностью,
причем
Ч-^jf, (7.16)
где Гс1 и Тс2 — температуры пластин; 8 — толщина зазора; X —
теплопроводность жидкости.
Однако, если температура нижней пластины больше, чем температура
верхней, равновесие будет неустойчивым и при определенном числе Релея
gP(rcl-rc2)83^
Ra = Pr
v
жидкость приходит в движение. При этом образуются ячейки (рис. 7.9),
которые называются ячейками Бенара (по имени ученого, впервые
наблюдавшего это явление). С увеличением Ra ячеистая структура нарушается.
В зависимости от конфигурации зазоров или щелей картина конвекции
в них может быть различной (рис. 7.10).
Приближенно расчет плотности теплового потока через узкий зазор,
плоскую или кольцевую прослойку можно проводить, используя
эквивалентную теплопроводность:
А,экв = 0,1Ш1а1/4. (7.17)
3 3
Формула (7.17) справедлива при Ra > 10 . Если Ra < 10 , А,экв = X.
Подсчитанное по (7.17) значение А,экв подставляется в (7.16) для определения q.
7.4. Задачи с решениями
Задача 1. Рассчитайте тепловые потери за счет свободной конвекции
воздуха около боковой поверхности теплообменника — подогревателя
питательной воды, установленного на тепловой электрической станции.
Высота подогревателя равна 10 м, диаметр — 3,5 м, а температура
поверхности составляет 55 °С. Температура воздуха 25 °С.
Решение. Средняя температура воздуха в пограничном слое равна
— f\ 7
0,5(55 + 25) = 40 °С. При этой температуре для воздуха v = 16,9 • 10 м /с,
X = 2,75 • 10" 2 Вт/(м • К), Рг = 0,7, а р = 1 /(273 + 40) = 3,19 • 10"3 К"1.
Вычисляем число Релея:
Ra = 9>8 • 3,19 • Ю-3(55 -25) • IQ3^ = ^ . {Qn
(16,9- 10 6)
234
Среднее число Нуссельта
12 I/6
— I/2 „^ 0,387(2,3 • 10 ) _.
NU = °>825 + ^9/16 8/27 = 36'4 >
откуда
и^п
Nu = 36,42 = 1325.
Средний коэффициент теплоотдачи
_2
2 75 • 10 7
а = 1325А/Э = 3,6 Вт/(м2-К).
Тепловой поток, отводимый воздухом от боковой поверхности
подогревателя,
Q = 3,6тг • 3,5 • 10(55 - 25) = 11 870 Вт.
Ответ. Тепловые потери составляют 11,87 кВт.
Задача 2. Около вертикальной трубы (d = 70 мм, h = 0,87 м) происходит
свободная конвекция воздуха. Известно, что tc = 25 °С, a t^ = 15 °С.
Найдите средний коэффициент теплоотдачи.
Решение. Определяющая температура равна 0,5(25 + 15) = 20 °С. При
этой температуре v = 15,06 • 10~6 м2/с; X = 2,59 • 10~2 Вт/(м • К); Рг = 0,7,
а р = 1/293 = 0,00341 К"1. Число Грасгофа
Gr_ - ^'0,00341-(25-15)'0,873_0971Q9
х -6 2 '
(15,06- 10 )
Среднее число Нуссельта для пластины
— Г 9 Г Л)492Л9/161"16/911/4
NUjc,njI = 0,67 0,97 • 109 • 0,7 [1 + [^J ] = 82,8 .
Параметр кривизны
<->Л(® (W-.*y"'-W.
При этом значении £ Nu^/ Nux?im = 1,12, и для трубы Nil* = 82,8 • 1,12 =
= 92,7. Коэффициент теплоотдачи
_2
- = 92J в 2,59 - 10 = 343 Вт/(м2 и к)
70-10
Ответ, а = 34,3 Вт/(м2 • К).
235
Задача 3. В учебной лаборатории имеется установка для изучения
теплоотдачи при свободной конвекции воды около горизонтальной
электрически обогреваемой трубы. Диаметр трубы d = 20 мм, ее длина / = 300 мм,
а температура воды /ж = 25 °С. При какой мощности электронагревателя
средняя температура наружной поверхности трубы будет равна 35 °С.
Решение. Средняя температура пограничного слоя составляет 0,5(25 +
+ 35) = 30 °С. При этой температуре для воды X = 0,618 Вт/(м • К);
v = 0,805 • 10~6 м2/с; Рг = 5,42; р = 3,21 • 10~4 К"1.
Число Релея
Ra = 9,8 • 3,21 • 10-4(35 - 25) • 0,023> 5,42 = 2Л0>106
(0,805 • 10 6)
Находим
6 1/4Г Г0 559\2/51-$/п
Nu' = 0,518(2,1 • 106) [l + (^J ] = 17,9.
Определяем число Нуссельта:
2 2
Nu = = = 18,9.
V NuV V 17,9/
Средний коэффициент теплоотдачи
а = NiA = 18,9^ = 584 Вт/(м2 • К).
а 0,02
По другому способу Nu = 0,5 (2,1 • 10 ) = 19,0, что практически
совпадает со значением числа Nu, полученным выше.
Мощность электронагревателя
Q= аксН(1с-^) = 58471- 0,02 -0,3(35 -25) = ПО Вт.
Ответ. Мощность равна 110 Вт.
Краткие итоги гл. 7
1. Свободным называется движение вследствие разности плотностей
нагретых и холодных частиц. Например, при соприкосновении воздуха с
нагретым телом воздух нагревается, становится легче и поднимается вверх.
Если, наоборот, тело холоднее воздуха, он охлаждается, становится
тяжелее и отпускается вниз.
236
Движущей силой свободного движения является термогравитационная
(подъемная) сила — равнодействующая сил тяжести и Архимеда. Она
равна pgp(T - Гоо), откуда следует, что подъемная сила пропорциональна
разности температур частиц жидкости около нагретой поверхности и вдали
от нее.
2. Характерной скоростью (масштабной скоростью) свободного
движения является величина v0 = Jgfi(Tc- T^h . Как видно, скорость
повышается с увеличением АТ = Тс - Т^ и высоты стенки (или координаты х).
3. Число Рейнольдса в данном процессе не является определяющим
критерием, так как скорость движения заранее задать невозможно.
3 2
Критерием подобия вместо числа Re будет число Грасгофа Gr = gfiATx /v ,
которое может быть получено из числа Re^ путем подстановки записанного
выше выражения для v0. В результате получим, что Re^. = Gvx .
4. Свободное движение около вертикальной стенки может быть
ламинарным или турбулентным. Понятие пограничного слоя
(и соответственно теория пограничного слоя) справедливо при Grx —> °о
(для вынужденного движения при Rex —> оо).
1/2
Учитывая, что в случае вынужденного движения Nu^. = F(Pr)Re;c ,
1/4
для свободного движения получаем Nux = F1(Pr)Gr;c . Видно, что при
свободной конвекции коэффициент теплоотдачи зависит от физических
свойств жидкости, координаты х и температурного напора. Для
-1/4 -1/4
ламинарного режима а ~ х и а ~ AT . Указанные зависимости можно
объяснить тем, что а ~ ^-ж/8.
5. Как и при вынужденном движении, толщины теплового и
динамического пограничных слоев различны и на их соотношение влияет
число Прандтля. При Рг > 1 5Т < 5, а при Рг < 1 5Т > 5. Динамический
пограничный слой имеет ту особенность, что скорость vx равна нулю как
на поверхности, так и на его внешней границе.
6. В частном случае, когда ускорениями в движущемся слое можно
1/4
пренебречь (левая часть уравнения движения равна нулю), Nu = CRa
1/4
Если пренебречь силами вязкости, Nu = Cj (Ra Рг) . Значения С и Cj
зависят от граничных условий.
В общем случае Nu = F2(Ra, Рг).
237
7. Ламинарный пограничный слой ограничен числом Rax < 10 . Когда
12 9
Rax > 10 , имеет место развитое турбулентное движение. При 10 < Ra^ ^
12
< 10 существует переходная область между ламинарным и турбулентным
режимами.
8. Основными факторами, влияющими на а при свободной конвекции,
являются: физические свойства жидкости, температурный напор, форма
тела, его размеры и расположение в пространстве.
Глава восьмая
ТЕЧЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН В ТРУБАХ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
8.1. Режимы течения. Начальный гидродинамический участок
Течение в трубе может быть ламинарным или турбулентным. Для
определения режима течения необходимо найти число Рейнольдса:
V
где v — средняя скорость жидкости; d— внутренний диаметр трубы; v —
кинематическая вязкость.
Скорость v можно выразить через массовый расход жидкости G, кг/с:
G = р v S,
где S — площадь поперечного сечения трубы, а плотность жидкости
р = const.
Выразив скорость жидкости через расход G, для круглой трубы
получим формулу
Для стационарного потока расход жидкости, протекающей через любое
сечение трубы, один и тот же: G = const.
При критическом значении числа Рейнольдса (ReKp = 2300) ламинарное
(параллельно-струйчатое) течение переходит в турбулентное.
Переход к турбулентному режиму начинается с возникновения
пульсаций скорости (рис. 8.1, а) и образования нестационарных областей течения
в виде «турбулентных пробок». При этом на начальном участке трубы
имеет место перемежающийся режим течения (ламинарный режим
сменяется турбулентным). Коэффициент перемежаемости у, характеризующий
долю времени, приходящуюся на турбулентный режим течения, с
увеличением продольной координаты возрастает (рис. 8.1, б).
Путем численного решения нестационарных уравнений Навье—Стокса
доказано, что на выходном участке очень длинной трубы течение
жидкости турбулентное при значениях числа Re, незначительно превышающих
239
k^V
,/УуЛ|\ л/иу_| r«U{№* ^pl/\/^
a)
Рис. 8.1. Пульсации скорости (а) и зависимость коэффициента перемежаемости от
продольной координаты (б) при числах Re, близких к Re
Re . Однако на практике длины труб таковы, что развитое турбулентное
течение в круглой трубе имеет место при Re > 4000.
При установившемся ламинарном течении жидкости с постоянными
свойствами (р = const, ц = const) вдали от входа в трубу ускорения равны
нулю, в связи с чем профиль скорости не зависит от числа Рейнольдса
и для круглой трубы он описывается законом Пуайзеля:
где vx — продольная компонента скорости; г — текущий радиус; г0 —
радиус трубы.
В турбулентном потоке ускорения существуют всегда, поэтому
профиль скорости вдали от входа в трубу, хотя и не очень сильно, но зависит
от числа Re. Он описывается законом
vx = Ч1" 7
\/п
где и0 — скорость на оси трубы; п — функция числа Re: при Re = 4 • 10
п = 6; при Re = 2,3 • 104 п = 6,6; при Re = 1,1 • 105 п = 7; при Re = 3 • 106
п= 10.
240
1,0
If
1
A-Re=4,0103
• -Re=2,3104
x-Re=l,1105
A-Re=l,1106
o-Re=2,0106
n-Re=3,2106
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1 0,8 0,6 0,4 0,2 r/r0 0
Рис. 8.2. Профиль скорости при развитом турбулентном течении в трубе
Следующее соотношение связывает между собой v0 и v :
In1
0 (л+ 1)(2и+ 1)'
При турбулентном течении в ядре потока скорость изменяется
незначительно; резкое падение ее до нуля наблюдается в узкой пристенной
области трубы (рис. 8.2). При больших числах Re для пристенной
области справедлив «закон стенки» (см. § 6.2). За исключением случая,
когда Рг « 1 (жидкие металлы), интенсивность процесса теплопереноса
на границе раздела между потоком жидкости и стенкой трубы сущест-
венно зависит от толщины вязкого подслоя, которую можно оценить
По формуле
65 d
Ки =
0,9'
Re
Характерной особенностью течения в трубах является наличие участка
ГиДродинамической стабилизации (начального гидродинамического уча-
СТка). На этом участке происходит перестройка профиля скорости
Фис. 8.3, а), а пограничный слой (рис. 8.3, б) нарастает до размера, равного
Радиусу трубы.
241
^£
^ч
а)
Рис. 8.3. Формирование
профиля скорости (а) и
пограничный слой (б) на
начальном
гидродинамическом участке трубы
1 — внешний поток; 2 —
пограничный слой; 3 —
область
стабилизированного течения
Сделаем грубую оценку длины начального гидродинамического
участка /н г для ламинарного течения в трубе. Полагая 8 = г0, х = /н г, vOQ= v ,
из формулы Ых = 5//s/Re^. (см. § 5.3) получаем
/
vdl
н.г
7
Отсюда следует, что lnTld = 0,01 Re. Точное решение приводит к формуле
/Hr/t/=0,065Re.
Видно, что длина /нг зависит от Re. При Re = 2000 /нг = 130J. Если
<i=0,05 м, то /нг = 6,5 м. Для турбулентного режима /нг значительно
0,2
меньше. Используя формулу Ых = 0,37/Re^
оценки /н г, получаем
(см. § 6.1) для грубой
0,37
/„
fvd [на
V v d
I \ 0,2
1"Т\
1/4
Отсюда следует, что lnTld= l,45Re . При Re = 10 /нг = 26d.
Если вход в трубу с уступом, то с самого начала пограничный слой
турбулентный. При плавном входе (через сопло) на стенке сначала образуется
ламинарный пограничный слой, который затем переходит в турбулентный.
Когда толщина турбулентного пограничного слоя станет равной радиусу
трубы, наступает область развитого турбулентного течения. Установлено,
что при x/d > 60 и Re > 4 • 10 условия входа в трубу не сказываются на
профиле скорости.
242
Для определения режима течения в трубах некруглого поперечного
сечения в формулу для расчета числа Re вместо диаметра d можно
подставить эквивалентный диаметр
d =-
экв р '
где Р — периметр сечения, a S — площадь поперечного сечения канала.
8.2. Гидравлическое сопротивление при течении в трубе
При установившемся течении жидкости с постоянными свойствами
(область потока х > /н г) профиль скорости не изменяется по длине трубы.
Следовательно, напряжение трения на стенке <тс = const.
Выделим в трубе контрольный цилиндр, ось которого совпадает с осью
трубы, длина равна Ajc, а радиус — г. Разность давлений, действующих
на основания, равна Ар. Баланс сил имеет вид:
Арпг = а2пгАх,
(8.1)
где а — касательное напряжение на поверхности цилиндра радиусом к
Если г = г0 (текущий радиус равен радиусу трубы), то а = ас. Так как
ас = const, то Ар/Ах = const: давление с ростом х уменьшается по
линейному закону. Если Ар — перепад давления на участке трубы длиной /, то
где \ — коэффициент трения, зависящий от числа Re (рис. 8.4).
Ю5
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,5
2,0
1,5
1,2
1,0
103 2 4 6 8 104
W
106 Re
107
Рис. 8.4. Зависимость \ = /(Re) для стабилизированного течения в трубе
243
Для ламинарного режима течения
^ = 64/Re,
а для турбулентного режима течения в диапазоне 4*10 < Re < 10
3 5
При 4*10 < Re < 10 справедлива формула Блазиуса:
- _ 0,316
Re
1/4
Указанные формулы справедливы для гидравлически гладких труб,
у которых выступы шероховатости стенки не выходят за пределы вязкого
подслоя.
Значение Ар/Ах не зависит от текущего радиуса г, поэтому из (8.1)
можно сделать вывод о том, что касательное напряжение а линейно
изменяется от нуля на оси трубы до ас на стенке:
г_
'с '0
При изучении турбулентных потоков часто используется динамическая
скорость:
Используя (8.2), находим
v* = 7ас/р-
и* = v 7^/8.
8.3. Первый закон термодинамики для течения в трубе
Рассмотрим общий случай течения жидкости в произвольном канале,
поперечное сечение которого изменяется вдоль оси Ох. Представим себе
контрольный объем V, ограниченный твер-
по дыми стенками канала площадью F (F —
r^i^/y I F площадь поверхности теплообмена) и двумя
^^^&UzzX////// сечениями с площадями S± и S2 (рис. 8.5).
Запишем уравнение Фурье—Остроградского:
d_2h +
дт
divphv = -divq.
Проинтегрируем это уравнение по объему V:
I^T dV+ ldivPvh d^=-fdivq dV.
Рис. 8.5. К выводу уравнения (8.3)
244
Использовав теорему Остроградского— Гаусса, преобразуем интегралы:
jdivpvhdV= jpvnhdS+ \ pvnh dS+\pvnh dS = -\ pv'nh dS + \pvnhdS;
V S, S2 F Sx S2
-\diwqdV=-\qndS-\qndS-\qndF = -Qs + Qs +Q.
V Sx S2 F 12
Здесь v , qn — проекции вектора скорости v и вектора q на направление
внешней нормали к поверхности объема V, a v'n — проекция вектора v на направление
внутренней (к S^) нормали. В преобразованиях учтено, что поверхность площадью
F непроницаема для жидкости (здесь vn = 0). Считается также, что движение
жидкости происходит вдоль оси Ojc, температура в сечении S2 больше, чем в сечении
S\> а Qs = [я'п^, где q'n — проекция вектора q на направление внутренней
si П
нормали.
Среднемассовые энтальпии потока в сечениях с площадями S\ и S2 имеют вид:
-h,=s-±
\pV„hdS
i G
*,-Ь.
J pvnh dS
2 G '
где G — массовый расход жидкости.
С учетом этих преобразований получаем
Q+Qs1-Qs, = G(h2-hl). (8.3)
Тепловой поток Qs определяет количество теплоты, вносимое в объем V через
сечение площадью S2 вследствие теплопроводности жидкости, a Qs — количество
теплоты, отводимое через сечение площадью S^ таким же способом. Обычно
разность значений Qs и Qs мала по сравнению с Q. Далее vn и v'n заменим на vx —
проекцию вектора v на ось Ох (рис. 8.5).
Для часто встречающихся стационарных процессов теплообмена
уравнение первого закона термодинамики имеет вид
Q=G(h2-hl), (8.4)
где Q — тепловой поток от стенки канала к жидкости; hx и h2 —
среднемассовые энтальпии жидкости в сечениях с площадями Sx и S2
соответственно, причем для произвольного сечения площадью S
245
jpvxh dS
Среднемассовой энтальпии h соответствует среднемассовая
температура Т .
При с = const
Т = ;2_
jpvxTdS
jpvxdS
Из (8.4) получаем, что
Q = Gcp(T2-Tx). (8.5)
В теплотехнических расчетах среднемассовую температуру часто
обозначают Тж. Тогда
е=Ос_(Гж2-Гж1). (8.5а)
В общем случае при записи первого закона термодинамики необходимо
учитывать изменение кинетической и потенциальной энергий потока. С учетом этого для
стационарных процессов теплообмена будем иметь
е=Ф+т\гИ
cplj
+ Gg(z2-zx).
2 2 2 2
Здесь v =vx + v+vz\zxylz2 — координаты сечений с площадями Sx и S2
относительно горизонтальной плоскости отсчета, а
о I V>uv\ п " — \ d*3
_. S_
2/ср
jpvxdS
s
Индекс «ср» указывает на то, что данная величина усреднена по массе
жидкости, протекающей через сечение трубы площадью S.
8.4. Местный и средний коэффициенты теплоотдачи. Начальный
термический участок
По определению местный коэффициент теплоотдачи (коэффициент
теплоотдачи для данного сечения трубы) имеет вид
а =
AT Гс-Гж'
246
где qc — местная плотность теплового потока, представляющая собой
проекцию вектора q на направление нормали к внутренней поверхности трубы
(она направлена в сторону жидкости); Тс и Тж — соответственно
температура стенки и среднемассовая температура жидкости в данном сечении
трубы; АГ— местный температурный напор (АГ = Гс - Гж).
Средний коэффициент теплоотдачи
а =
АГ
Здесь а и А Г
л с
среднеинтегральные значения плотности теплового
потока и температурного напора:
/
*с =
= тК
dx;
АГ =
7 fATdjc,
О
где / — длина трубы.
Ось Ох направлена вдоль трубы; координата х = О соответствует началу
обогрева или охлаждения жидкости.
Рассмотрим случай, когда на входе температура жидкости больше
температуры стенки трубы Гс. Пусть Гс = const. По мере продвижения по
трубе сначала охлаждается только та часть жидкости, которая находится
ближе к холодной стенке, а в центральной области ее температура равна
температуре во входном сечении (рис. 8.6). На входном участке трубы
образуется тепловой пограничный слой, толщина которого возрастает, и
при определенном значении координаты х (х = I т) она становится равной
радиусу трубы (5Т = г0). Участок в трубе, на котором тепловой
пограничный слой возрастает до значения, равного радиусу трубы, называется
начальным термическим участком. За пределами начального термического
участка жидкость охлаждается во всей области потока.
Рис. 8.6. Формирование профиля температуры при нагревании жидкости в трубе
247
t
a)
6)
Рис. 8.7. Соотношение между /н г и /н т при
Рг > 1 (а) и Рг < 1 (б) в случае ламинарного
течения в трубе
Из-за роста 8Т коэффициент
теплоотдачи на участке 0 < х < /
уменьшается. Теоретические
расчеты показывают, что при Тс = const
для жидкости с постоянными
свойствами в области х > /нт а = const.
Здесь qc и температурный напор с
ростом х уменьшаются по одному и
тому же закону, что и объясняет
постоянство коэффициента
теплоотдачи.
Из теории пограничного слоя
следует, что отношение 5т/8 зависит от
числа Рг. Если Рг < 1, 5Т > 5, а если Рг > 1, 8Т < 5. Имея это в виду, легко
понять, что в первом случае /н т < /н г, а во втором /н т > /н г (рис. 8.7).
8.5. Расчет температур стенки трубы, жидкости и теплового потока
Рассмотрим следующую задачу. Пусть на внутренней поверхности
трубы задано распределение плотности теплового потока qc(x). Известна
также зависимость а(х). Требуется найти температуру стенки и среднемас-
совую температуру жидкости в произвольном сечении трубы.
Для элементарного участка трубы длиной dx запишем:
qcPdx = Gdh.
При х = О Тж= Тж1 и h = h j. Интегрированием получаем
X
h(x) = hl + ~lqcdx.
Из этого уравнения определяем h в данном сечении х. Зная
зависимость h(T, р) для данного теплоносителя (можно воспользоваться
таблицами), по найденному значению h определяем Тж и далее Тс:
Тс = Тж+дс/а.
248
Если можно принять с = const, то
w^i + ^Rd*-
Р о
В частном случае qc = const среднемассовая температура жидкости
изменяется по линейному закону:
ТЛх) = т.+ —
т*1+ц,х-
При х > /н т а = const (если свойства жидкости не зависят от
температуры) и в случае qc = const температурный напор AT = const, откуда
следует, что здесь температура стенки также изменяется по линейному закону
(рис. 8.8).
Пусть теперь задано распределение температуры стенки по длине
трубы Тс(х). Тогда для элемента трубы длиной dx будем иметь
Gdh = аР(Тс - Тж) дх. (8.6)
При сложной зависимости h(T, р) (например, в околокритической
области параметров состояния) и влиянии Тс и Тж на а решение этого
дифференциального уравнения можно получить численным методом. Простое
решение имеет место в случае Тс = const, с = const. Тогда dh = с <1ГЖ и
из (8.6) интегрированием получаем
ТМ)
Тс~ТжХ
= е
—— Га djc
Gc)
р0
Т{
AT
rc=const
У
\г т
Рис. 8.8. Изменение
температур стенки и жидкости по
длине равномерно
обогреваемой трубы
Рис. 8.9. Изменение
температуры жидкости по длине трубы
при Тс = const, а = const
249
Полагая в первом приближении а = const, получаем экспоненциальный
закон изменения температурного напора AT по длине трубы (рис. 8.9):
аР
Ос/
АТ=АТвхе р ,
™ьтвх = тс-тж].
В случае постоянной температуры стенки нетрудно вывести формулу
для теплового потока, передаваемого от трубы к жидкости на участке
длиной /:
Q = a'F
1П_£ ^
Тс ~~ Тж\
где F = Р1; Тж2 — температура жидкости в сечении х = /;
X
а' = - fa d*.
Глава девятая
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ
В ТРУБЕ
9.1. Основные особенности процесса теплообмена в трубах
при ламинарном течении теплоносителей
В промышленных и энергетических установках обычно наблюдаются
турбулентные режимы течения теплоносителей. Объясняется это тем, что
существуют некоторые оптимальные значения скорости жидкости,
которые обеспечивают достаточную компактность теплообменного аппарата и
допустимое значение гидравлического сопротивления. Эти значения
скорости соответствуют большим числам Рейнольдса. Так, например, для
воды оптимальными считаются скорости, лежащие в пределах 0,1—5 м/с.
Задаваясь значениями v = 1 м/с, v = 0,2 • 10 м/с, получаем, что при
диаметре трубы d = 20 мм Re = 10 > ReKp.
Сказанное вовсе не означает, что изучение теплоотдачи в условиях
ламинарного режима течения не имеет практического значения. При
течении вязких жидкостей (технических масел) и в других случаях числа Re
часто не превышают Re . Следует отметить, что для жидкометаллических
теплоносителей коэффициенты теплоотдачи достигают высоких значений
и при ламинарном течении. При этом гидравлическое сопротивление
может быть очень мало.
Как указывалось выше (см. § 8.1), при Re < ReKp длина начального
гидродинамического участка /н г при определенных условиях может быть
большой и превышать длину (высоту) теплообменного аппарата. Для
теплоносителя с числом Рг « 1 /нт = /н г. Для жидких металлов Рг « 1, для
технических масел Рг » 1. В первом случае /нт « /нг, во втором /нт »
»/н г. Эти оценки показывают, что на практике процесс теплообмена в
трубах может происходить в условиях постоянного нарастания теплового и
динамического пограничных слоев, т.е. в отсутствие гидродинамической и
тепловой стабилизации. При этом коэффициент теплоотдачи изменяется на
всем протяжении трубы, а его среднее значение даже для длинной трубы
(в отличие от турбулентного режима течения) существенно зависит от lid.
При расчете гидравлического сопротивления необходимо также учитывать
зависимость коэффициента сопротивления трения от продольной (осевой)
координаты трубы.
251
При ламинарном течении значение а зависит от граничных условий на
стенке трубы. Так, например, в случае Тс = const а меньше, чем в случае qc =
const. Объясняется это своеобразием формирования температурного поля
при различных граничных условиях и влиянием «предыстории» потока на
теплоотдачу в данном сечении трубы. Если течение турбулентное, то
«предыстория», за исключением случая Рг « 1, практически не сказывается на
значении а, тогда оно определяется только локальными условиями.
Физические свойства жидкости зависят от температуры, вследствие
чего профиль скорости в трубе в условиях теплообмена может сильно
отличаться от профиля скорости в случае изотермического течения. Так
как гидродинамика потока влияет на распределение температуры,
изменение профиля скорости сказывается на теплоотдаче. При ламинарном
режиме (малые скорости течения) зависимость плотности жидкости от
температуры является причиной появления в трубе интенсивных токов
свободной конвекции, существенно изменяющих картину течения.
При этом теплоотдача зависит от направления теплового потока
(от стенки к жидкости или наоборот), от расположения трубы в
пространстве (вертикальное или горизонтальное), а при вертикальном
расположении еще и от того, куда движется жидкость (вверх или вниз). Если
термогравитационные силы в потоке жидкости соизмеримы с инерционными
силами, то переход к турбулентному режиму произойдет при значении
числа Re, отличающемся от его значения в изотермических условиях.
Отмеченные особенности необходимо учитывать в тепловых расчетах
ламинарных режимов. Из сказанного должно быть ясно, что единой
(универсальной) формулы для определения а быть не может. Однако для
некоторых частных случаев с помощью расчетно-теоретических и
экспериментальных исследований получены надежные соотношения для числа
Нуссельта, которые можно закладывать в расчет теплообменных
устройств, если условия их работы близки к условиям, при которых
справедливы указанные соотношения. Теория теплообмена при ламинарном
течении в трубах обстоятельно изложена в [32, 35]. С некоторыми
результатами этой теории мы познакомимся в следующих параграфах.
Наиболее просто теоретически решаются задачи теплообмена в трубах
при постоянных свойствах жидкости. В этом случае распределение
скорости в ламинарном потоке не зависит от температурного поля, и это
распределение можно найти, решая уравнения гидродинамики. Результаты
решения гидродинамической задачи используются при нахождении
температурного поля и теплоотдачи с помощью уравнения энергии.
Задача расчета теплообмена упрощается, если принять, что профиль
скорости не изменяется по длине трубы. В этом случае справедлив
параболический закон Пуайзеля (см. § 8.1). Иногда для упрощения решения
полагают, что скорость не зависит как от радиуса трубы, так и от ее длины
(модель стержневого течения).
252
Изучение теплоотдачи при течении жидкости с постоянными свойствами
имеет смысл потому, что, во-первых, при этом проще выяснить основные
закономерности теплообмена и, во-вторых, этот случай является предельным
случаем пренебрежимо малого влияния переменности свойств. Внося
соответствующие поправки в полученные результаты, можно получить
расчетные формулы, удобные для практического применения.
9.2. Теплообмен при ламинарном течении в круглой трубе.
Задача Гретца—Нуссельта
Допустим, что в круглую трубу диаметром d = 2г0 поступает жидкость
с развитым параболическим профилем скорости. Это значит, что участку
теплообмена (участку охлаждения или нагревания жидкости)
предшествует участок гидродинамической стабилизации. Будем считать свойства
жидкости постоянными, а Тс = const. Требуется рассчитать поле
температуры в трубе и число Нуссельта. Поставленная задача называется задачей
Гретца—Нуссельта. Для ее решения записывается уравнение энергии,
которое имеет вид
^ + 1^ = (1_^)^. (9Л)
dR2 R dR У } дХ к }
В (9.1) введены следующие безразмерные величины: 0 = (Т- Гс)/(771 - Гс),
где Tj — температура жидкости на входе в участок теплообмена; R = г/г0;
X=2x/(?Qd).
Граничные условия будут иметь вид:
0=1 при^=0 и 0<Д<1;
0 = 0 приЛГ>0 и Д=1;
-^ = 0 при!>0 и i? = 0.
oR
Задача решается методом разделения переменных. Решение получается
в виде суммы ряда, составленного из частных решений. Распределение
температуры жидкости по радиусу и длине трубы показано на рис. 9.1. При
малых значениях приведенной длины температура вблизи оси изменяется
слабо, а вблизи стенки — значительно. Распределение температуры в ядре
потока на входном участке трубы однородно. Температура в этой области
приблизительно равна температуре жидкости на входе. Толщина области
прогретой жидкости (толщина пограничного слоя) с ростом координаты х
(О < х < /нт) увеличивается до тех пор, пока не станет равной радиусу
трубы. Далее (х > /н т) процесс теплообмена охватывает все сечение трубы.
253
J-^-=0,0125
0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Fed
0,05
0,14A
0,02
0,2
^П
лЛ
1,0 0,6 0,2 0,2 0,6
0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
V
г
V
ч*
ч^
^=0
<
sA6
0,8
0,05
0,10
0,15
Ре d
Рис. 9.1. Распределение температуры жидкости по радиусу и длине трубы в задаче
Гретца—Нуссельта
Таблица 9.1. Значения гп и Вп в формуле (9.3)
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ея
2,7044
6,6790
10,673
14,671
18,670
22,670
26,669
30,668
34,668
38,668
в„
0,74877
0,54383
0,46286
0,41542
0,38292
0,35869
0,33962
0,32406
0,31101
0,29984
Найдя температуру Т = Т(х, г), можно рассчитать число Нуссельта.
В результате получается зависимость вида
I^exp(-4s^')
ш = ^=л^ ;
*• °° Вп 2
2£^ехр(-2е>')
(9.2)
где X' = x/(PeJ) — безразмерная координата (приведенная длина); гп и
Вп— коэффициенты, зависящие от п (табл. 9.1).
При п = 0 80 = 2,7044. При Х'> 0,055 выражение (9.2) упрощается, так
как существенными становятся только первые члены рядов (п = 0) в
числителе и знаменателе. При этом
Nu = Nuoo = е20/2 = 2,70442/2 = 3,658 * 3,66. (9.3)
254
IlpnXf< 0,03
Nu
* ■< э
1 *V1/3
(9.4)
Значение X'= 0,055 соответствует безмерной длине начального
термического участка. Полагая в X' х = /н т, получаем
/нт/ J =0,055 Ре.
(9.4а)
Из (9.4) видно, что на начальном термическом участке местный коэф-
1/3
фициент теплоотдачи пропорционален х . Для среднего коэффициента
теплоотдачи из рассмотренной теории получим формулу
*=-¥-■< 'Г
(9.5)
справедливую приХ< 0,05. Вдали от входа (приХ> 1,375) Nu = Nu^ = 3,66.
На рис. 9.2 представлена зависимость местного числа Nu от
безразмерной продольной координаты для круглой трубы и плоского канала
высотой h (для трубы h = d).
На участке стабилизированного теплообмена (х > /нт) как плотность
теплового потока qc = -Х(дТ/ду) = 0, так и температурный напор АТ= Тс-Т
с ростом х уменьшаются по одному и тому же экспоненциальному закону.
Поэтому здесь а не зависит от х (а = а^).
Число Нуссельта на гидродинамическом начальном участке трубы
(динамический и тепловой пограничные слои развиваются одновременно)
выше, чем при стабилизированном течении. Это объясняется тем, что в
этом случае скорость потока около стенки выше и, корме того, существует
конвективный перенос теплоты в радиальном направлении (здесь радиаль-
Рис. 9.2. Зависимость числа
Нуссельта от приведенной
координаты при ламинарном течении в
плоском канале (/) и круглой
трубе (2)
6
Nu
11
ч
А
1\
\\
ч
\\
\\
^
w
V
2
1
~т~
NUoo=
=3,770
NuM= 3,658
0,04 0,08 0,12 0,16
0,20 0,24
У(РеА)
255
ная компонента скорости не равна нулю). Среднее число Nu при Тс = const
приближенно описывается уравнением
Здесь Nuo — среднее число Нуссельта в задаче Гретца—Нуссельта.
9.3. Теплообмен в круглой трубе при постоянной плотности теплового
потока на стенке
Примем те же условия, что и в § 9.2, но допустим, что на внутренней
поверхности трубы qc = const. В этом случае среднемассовая температура
жидкости линейно изменяется по длине трубы:
_ (Т-ТХ)Х 4 х
0 = j— = £--j9 (9.6)
qcd Ре d к J
где 0 — безразмерная среднемассовая температура; Ре = v dla.
Запишем уравнение энергии и граничные условия:
д2е \дв_ 2d©.
~2+R~dR-(l-R)dX>
0 = 0 приЛГ=0, 0<Д< 1;
|| = 0 приХ>0,Л = 0;
|| = 1 при^0,*=1.
2 х
Здесь X = _. В нашем случае
Ре d
дТ= dT
дх dx
На участке стабилизированного теплообмена температура во всех
точках потока линейно изменяется вдоль оси трубы:
@ = AX + f(R)9 (9.7)
где А — постоянная; f(R) — неизвестная функция.
Подставив (9.7) в уравнение энергии, с учетом граничного условия
найдем А = 2, а
f(R) = R2/2-R4/8 + С.
256
Среднемассовую температуру можно рассчитать по формуле
1
0 = 4j0(l -R2)RdR.
о
Сопоставив последнюю формулу с (9.6), получим С = -7/48. После
этого находим распределение температуры по длине и радиусу трубы:
= (Т-Т{)Х =4х+1 2_1 4_1
qd Ре d 2 8 48'
Безразмерная температура стенки
0=9
= .1 * + п
R=l Ре rf 48'
Число Нуссельта на участке стабилизированного теплообмена
Nur
1 48 А 1И
(ТС-Т)Х 0с-0
Длина начального термического участка
/нт/ d =0,07 Ре.
Заметим, что число Nu^ значительно проще вычисляется с помощью
интеграла Лайона (см. § 10.2). Опустив выкладки, запишем окончательное
выражение для числа Nu, справедливое для всего участка теплообмена:
л=1
(9.7а)
Здесь гп, Ап и \\fn — постоянные, зависящие от п (табл. 9.2).
Характер изменения температуры по радиусу и длине трубы показан
на рис. 9.3.
Таблица 9.2. Значения еи, \\in и Ап в формуле (9.7а)
«
1
2
3
4
5
6
7
2
25,680
83,862
174,17
296,54
450,95
637,39
855,85
Уп
- 0,49252
+ 0,39551
-0,34587
+ 0,31405
-0,29125
+ 0,27381
-0,25985
Л
+ 0,20174
-0,087555
+ 0,052797
- 0,036640
+ 0,027518
-0,021742
+ 0,017799
257
о о
1,0 0,5 0 0,5 1,0 ° 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
Рис. 9.3. Изменение температуры жидкости по радиусу и длине трубы в случае qc = const
На начальном термическом участке 0 < х < /н т (/н т = OfildPe) местное
значение а падает с ростом х. Наиболее резкое изменение а происходит
при Х< 0,001. Здесь результаты теоретического расчета приближенно
описываются уравнением
( 1 х\~х/ъ
Nu=l,3l(-J) . (9.8)
Зная формулу (9.8) для числа Nu на начальном термическом участке,
можно рассчитать Тс(х) следующим образом:
1 Сс-П* (I ,у/з
№ " ~^Г ~ °'761^ d) ■
Разность Тс- Т равна нулю в сечении х = 0 и далее увеличивается про-
1/3
порционально х . Среднемассовая температура, как мы уже отмечали,
при qc = const изменяется линейно по длине трубы, причем
(Т-ТХ)Х_ ! х
qcd Ре d'
При любых значениях X местная теплоотдача в случае qc = const
описывается формулой
Nu = 4,36+ \,Ъ\Хе~иХ.
Рассмотренная теория справедлива только при относительно больших
значениях числа Пекле. В случае Рг « 1 числа Ре могут быть малыми и на
процесс теплообмена оказывает влияние перенос теплоты вдоль оси трубы
за счет теплопроводности жидкости. Оказывается, что в этом случае жид-
258
-2-1 0 1 X значениях числа Ре
1*ис. 9.4. Влияние числа Пекле на характер изменения безразмерной среднемассовой
температуры по длине трубы
1 — Ре = 1; 2 — Ре = 2,5; 3 — Ре = 10; 4 — 0 = 4Х
кость нагревается еще до поступления в обогреваемый участок (т.е. в
пределах участка гидродинамической стабилизации), и это явление проявля-
*
ется тем больше, чем меньше число Ре (рис. 9.4). Зависимость числа Nu
от безразмерной координаты Х= x/(?ed) показана на рис. 9.5.
9.4. Вязкостный режим. Режим смешанной конвекции
Вязкостный режим. Этот режим характеризуется тем, что на
распределение скорости и температуры в потоке жидкости оказывает влияние
зависимость вязкости от температуры. Влияние же свободной конвекции
пренебрежимо мало.
Вязкостный режим имеет место при малых значениях числа Релея:
Ra = GrPr = lM|^pr.
2
V
Установлено, что указанный режим ограничен условиями: Re < Re и
Ra < 3 • 10 . Обычно эти условия соответствуют вязким жидкостям
(маслам) при их течении в трубах малого диаметра. Для вязких жидкостей
Рг » 1; при этом длина /н т велика и обычно больше длины трубы тепло-
обменного аппарата. При нагревании жидкости ее температура у стенки
больше, чем в ядре. Так как вязкость жидкости с увеличением Т падает, то
Рис. 9.4 и 9.5 взяты из статьи: Петухов Б.С, Цветков Ф.Ф. Расчет теплообмена при
ламинарном течении жидкости в трубах в области малых чисел Пекле // ИФЖ. 1961. Т. IV. № 3.
259
V
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
и
I
II
I
/
L
4
1
/
i
V
*
/
f
^
^'
0,9
' ^
•10"
"7
4-1C
\
4\
.
^
r3
x=
\
s
^
=0
С
\
4
^
\\
w
\1
4
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 R
a)
Vx
V
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
J
I
)
IL
i
я
ш
\
/
>
/
/
/
/
'/
у
/
>v
N
0,910""*
11
}
**~
^4i
>
7
</
\
V
\
\
\
^
л
x=
\
\
\
\
\
410
\
\\
\
-3
\
\\
\\
3
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 R
6)
Рис. 9.6. Деформации профилей скорости при нагревании (а) и охлаждении (б) жидкости
(вязкостный режим)
у стенки она меньше, чем в ядре. За счет этого происходит увеличение
скорости у стенки, приводящее к деформации параболического профиля
скорости, существующего при постоянных свойствах жидкости (рис. 9.6, а).
При охлаждении наблюдается обратная картина (рис. 9.6, б). Профили
скорости зависят от приведенной координаты X, что объясняется изменением
температурного поля от одного сечения трубы к другому. Кривые на
рис. 9.6 получены Б.С. Петуховым в результате теоретического расчета.
Теоретически и экспериментально установлено, что теплоотдачу при
вязкостном режиме можно описать зависимостью вида
Nu
ЧЛ""
Ч^ж/
(9.9)
В (9.9) Nu0 — число Нуссельта при постоянных свойствах жидкости
[см. (9.4)]; (ic и \хж — вязкости при Тс и среднемассовой температуре Т (ее
обозначают также Гж). Показатель степени п
260
0,14 при Тс = const. Значе-
ния физических свойств, входящих в формулы для Nu и Ре (число Ре
входит в формулу для Nu0), выбираются по Г = 0,5(ГС + Т). Формула (9.9)
справедлива при Х< 0,01 и 0,07 < цс/цж < 1500 и применима для Nu/Nuq,
где Nuo рассчитывается по (9.5). Значения физических свойств
выбираются по Т = Тс ± 0,5АГЛОГ (знак «+» используется при охлаждении, знак
«-» — при нагревании жидкости), здесь АТЯ0Г — среднелогарифмическая
разность температур стенки и жидкости.
Режим смешанной конвекции. При числах Ra > 3 • 10 на течение
жидкости в трубе оказывает влияние неоднородное распределение
плотности в потоке жидкости. В этом случае на вынужденное ламинарное течение
накладывается свободная конвекция, которая приводит к деформации
профиля скорости и возникновению вторичных течений в трубе.
Результирующее течение зависит от расположения трубы в пространстве
(горизонтальное, вертикальное, наклонное) и от направления теплового потока
(от стенки к жидкости или наоборот).
Основные особенности смешанной конвекции можно выяснить,
рассматривая течение жидкости около вертикальной пластины. Пусть
вынужденное течение направлено снизу вверх, а температура пластины Тс > Т^
(рис. 9.7, а). В этом случае плотность жидкости около пластины меньше,
чем вдали от нее. На частицы жидкости действуют термогравитационные
силы, направленные вверх. Поскольку при этом ускорение направлено в ту
же сторону, то скорость жидкости в
пограничном слое возрастает. То же
самое будет и в том случае, если
вынужденное движение направлено сверху
вниз, а Тс < Too.
При движении снизу вверх и
условии Тс < Too (охлаждение жидкости)
действие термогравитационных сил
приводит к тому, что жидкость в
пограничном слое тормозится (рис. 9.7, б).
При определенных условиях градиент
скорости при у = 0 может стать равным
нулю и произойдет отрыв пограничного
слоя с образованием вихрей. Тогда
течение станет турбулентным.
Рис. 9.7. Смешанная конвекция при
совпадающем (а) и противоположном (б)
направлениях свободной и вынужденной конвекции
а)
б)
261
V
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
-0,4
II /л
Ra=0
/Ъ4,14
£>-^-
\ 256
\б25
>
\
—<s
/l
7
J
10000
i^W
т-тс
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Ra=0
64,14
\C '256
10000
,625^/
1,0
0,5
0,5
0 0,5 £ 1,0 0,5 0
a) 6)
Рис. 9.8. Профили скорости (а) и температуры (б) при смешанной конвекции
Очевидно, что в первом рассмотренном случае теплоотдача будет
больше, чем в отсутствии влияния свободной конвекции, а во втором —
меньше.
Отмеченные явления наблюдаются и при течении в вертикально
расположенных трубах. Разница состоит в том, что в замкнутом объеме согласно
закону сохранения импульса при вынужденном движении снизу вверх и
Тс > Тж в ядре потока будет наблюдаться уменьшение результирующей
скорости.
Из рис. 9.8 можно получить представление о влиянии свободной
конвекции (оно характеризуется числом Ra) на профили скорости и
температуры при подъемном движении в обогреваемой трубе.
На развитие смешанной конвекции в обогреваемых трубах оказывают
влияние граничные условия на стенке. При Тс = const с ростом продольной
координаты Тж растет, а АГ = Тс - Тж уменьшается, вместе с тем
уменьшается и число Gr. Поэтому вдали от входа влияние свободной конвекции
меньше, чем на начальном участке. При qc = const AT увеличивается,
достигая максимального значения за пределами начального термического
участка. В этом случае влияние термогравитационных сил будет
наибольшим в области стабилизированного теплообмена.
Влияние свободной конвекции в горизонтальных трубах проявляется
втом, что из-за возникновения вторичных течений происходит
образование двух вихрей (спиралевидных шнуров), симметричных относительно
262
вертикальной плоскости, проходящей через ось канала. При подводе
теплоты через стенку жидкость поднимается вдоль боковой поверхности
трубы и опускается в ядре потока. В случае охлаждения жидкости в трубе
(отвод теплоты через стенку) направление вторичных течений
противоположное. Теоретически и экспериментально установлено, что поток со
вторичными течениями в виде отмеченных шнуров в горизонтальной трубе
более устойчив к возмущениям и переход к турбулентности происходит
при Re > 2300. В обогреваемой горизонтальной трубе при qc = const на
основании опытных данных получено:
ReKp = 2300 + 1740 ln(l + 10~5Ra). (9.10)
Формула (9.10) справедлива при Ra < 108 и 0,6 < Рг < 10. Из (9.10)
видно, что Re зависит от Ra. При Ra = 10 ReKp = 14 300. При том же
граничном условии (qc = const), как показывают теоретические расчеты,
свободная конвекция начинает оказывать влияние на теплоотдачу при числе
Gr, большем его предельного значения:
Gr„„ = ^^
ПР PrNuJl - ехр(-ЮОХ)]3 '
где Кил соответствует постоянным свойствам жидкости; при Рг = 10 и
№1Л = 4,36 Gr = 25 (при этом число Ra = 250).
При существенном влиянии свободной конвекции в горизонтальной
трубе происходит деформация как профиля скорости, так и профиля
температуры. Все это приводит к тому, что в обогреваемой трубе коэффициент
теплоотдачи изменяется по периметру сечения, причем а на нижней
образующей может быть значительно больше, чем на верхней. При отводе
теплоты через стенку (жидкость охлаждается) картина обратная. Средний по
периметру коэффициент теплоотдачи при больших значениях приведенной
длины (при X > 1) можно рассчитать по формуле Петухова—Полякова:
-10,045
Nu = 4
L 1,8 • 10 J
Последняя формула справедлива при 50 < Re < ReKp, Ra < 4* 10 и
0,6 < Рг < 10. Из этой формулы следует, что при Ra = 4 • 10 значение Nu
отличается от NUqq = 4,36 на 15 %. Как видно, средняя теплоотдача за счет
влияния свободной конвекции изменяется незначительно, однако
оказывается, что на нижней образующей в случае нагревания жидкости при
Ra = 4 • 10 местный коэффициент теплоотдачи приблизительно в 4 раза
больше, чем на верхней. Последнее приводит к тому, что температура
стенки на верхней образующей обогреваемой трубы значительно больше,
чем на нижней.
263
Результаты теоретических решений и экспериментальные данные для
местной теплоотдачи в обогреваемых трубах при подъемном течении
жидкости показывают, что
NiL = f1 + jGLf27,
Nu, V RtBJ > <9Л1>
где В = 5АХ~1 + 3\2Хт при Х< 0,07; В = 240 при Х> 0,07.
Формула (9.11) справедлива при 250 < Re < 2 • 103, Gr/Re < 2,6- 104,
0,6 < Рг < 10 и наличии предвключенного изотермического участка
(на входе в участок обогрева жидкость имеет параболический профиль
скорости). При условии, что Gr/Re = 2,6 • 10 и В = 240 из этой формулы
следует, что Nu/N^ = 3,5.
9.5. Задачи с решениями
Задача 1. Рассчитайте средний коэффициент теплоотдачи при течении
трансформаторного масла по трубке диаметром d= 8 мм и длиной / = 1,2 м.
Температура стенки tc = 60 °С, а 7Ж =40 °С. Скорость течения масла
v = 0,6 м/с.
Решение. При средней температуре / = 0,5 (*ж + tс) = 50 °С для
—fi 7
трансформаторного масла v = 7,58-10"° м7с; X = 0,108 Вт/(м-К);
а = 6,80-10"8 м2/с; Рг = 111; р = 7,05 • Ю-4 К-1. При 7С = 60 °С
цс = 49,5 • 10"4 Па • с, при 7Ж = 40 °С цж = 89,4 • 10^ Па • с.
Для определения режима течения масла находим число Рейнольдса:
Re = 0,6 . 0,008 = 633
7,58 • 10 6
Режим течения масла в трубке ламинарный. Для того чтобы установить,
оказывает ли влияние на теплоотдачу свободная конвекция, вычисляем
число Релея:
Ra = gP^Pr = 9,81-7,05-Ю-4-20-0,008^^ 5
2 _6 2
v (7,58 • 10 )
Так как Ra < 3 • 10 , то влияние свободной конвекции мало и режим
течения масла вязкостный. Вычисляем комплекс:
1L = _! У. = 213 • 1о"3
Ре d 633 • 111 0,008 ' "
264
Находим среднее число Нуссельта и а :
— (\ А-1/3Г^Л_0'14 _3 -1/3^49 5Л~0'14
Ш=1'55ЙЭ [fj = Ь55(2,13 • 10 3) (^ =13,08;
« = 13'08ь^1 = 176Вт/(м2-К)-
— 2
Ответ. Коэффициент теплоотдачи а = 176 Вт/(м -К).
Задача 2. В трубе диаметром d = 14 мм движется вода. Ее средняя
температура tm = 50 °С, а число Re = 1500. Вычислите отношение lHT/d и
значение а за пределами /нг Физические свойства воды считайте
постоянными, tc = const.
Решение. При tc = const
/н Tld * 0,05RePr = 0,05 • 1500 • 3,55 = 266.
Число Pr = 3,55 и X = 0, 648 Вт/(м • К) при /ж = 50 °С. В области х > /н т
число Nu = 3,66. Следовательно,
а = 3'66(Ш4 =170Вт/(м2'К)'
Ответ. lHT/d = 266; а = 170 Вт/(м2 • К).
Краткие итоги гл. 9
Различают несколько случаев теплообмена при ламинарном течении
жидкости в трубах.
1. В первом случае физические свойства жидкости считаются
постоянными (т.е. не зависящими от температуры). Если на входе в обогреваемый
(охлаждаемый) участок круглой трубы профиль скорости —
параболический, Тс = const или qc = const, то число Нуссельта зависит
только от одного комплекса X = х/(Рес/). Эту зависимость можно разбить
на два участка 0 < х < /н т и х > /н т. На первом участке а уменьшается с
ростом х от теоретического значения ос = °о при х = 0 до а = а^ при х = /н т.
На втором участке а = а^. Значения /нт и а^ зависят от граничных
условий. При Тс = const lHT/d = 0,055 Ре и а^ = 3,66 XI d, а при qc = const
lHT/d = 0,07 Ре и oioo = 4,36 X/d.
2. Во втором режиме на распределение скорости и температуры по
сечению трубы оказывает влияние зависимость вязкости от температуры, а
плотность считается постоянной величиной. Последнее означает, что
возможным влиянием свободной конвекции пренебрегается.
265
Указанный режим называется вязкостным. Условия его существования
таковы: Re < 2300 и Ra < 3 • 10 . Если при постоянных свойствах
направление теплового потока (от стенки к жидкости или наоборот) никак
не сказывается на величине а, то здесь в случае нагревания жидкости а
больше, чем в случае охлаждения, а расчетная формула имеет вид Nu/Nu0 =
= (цс/|1ж)~ ' , где Nu0 — число Нуссельта при постоянных свойствах.
3. Третий режим является режимом смешанной конвекции (иначе:
вязкостно-гравитационным). Он характеризуется совместным действием
вынужденной и свободной конвекции и имеет место при Re < 2300 и Ra >
>3-105.
Свободная конвекция приводит к существенной деформации профиля
скорости и возникновению вторичных течений в трубе, причем на
коэффициент теплоотдачи влияет как расположение трубы в пространстве, так и
направление теплового потока.
В горизонтальной трубе при вязкостно-гравитационном режиме
возникают вторичные течения в виде спиралей, а сам поток жидкости
становится более устойчивым к возмущениям, так что здесь Re > 2300.
Глава десятая
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБАХ
10.1. Предварительные замечания
Рассмотрим область течения х > /н г и х > /н т. Выше было доказано
(см. § 8.2), что здесь напряжение трения линейно изменяется по радиусу
трубы:
^ = ^. (10.1)
Запишем уравнение энергии в виде
pCPV'?x = ir£™- (1°-2)
При больших числах Re в турбулентном ядре потока vx слабо зависит
от г, приближенно vx « const. Будем считать, что на стенке qc = const. Тогда
производная дТ/дх = df / dx постоянна, а при рс = const будет
постоянна (не зависит от г) и левая часть (10.2).
Отсюда следует, что плотность теплового потока q линейно зависит
от г, т.е.
-2- = -. (10.3)
Сопоставляя (10.3) с (10.1), получаем q/o = const. Это условие при
Рг = 1 и Ргт = 1 обеспечивает подобие полей скорости и температуры, т.е.
T—F = f> (ia4)
где Тс — температура стенки; Г0ии0 — температура и скорость жидкости
на оси трубы.
Пусть v — средняя скорость, а Г — среднемассовая температура
жидкости в данном сечении. В (10.4) Т0 и v0 заменим на Т и v .
267
Тогда получим
Т~То Vx
= - = =. (10.5)
Т-Тс v
Равенство (10.5) продифференцируем по у (у = г0 - г). Учтем, что в
нашем случае \хс = X, а
В результате получим
а = -^-£, (10.6)
v
где коэффициент теплоотдачи
а =
тс-т
Напряжение стс выразим через коэффициент трения %:
с 8 р
а также введем число Стантона
PVCP
Преобразуя (10.6), окончательно приходим к формуле, называемой
аналогией Рейнолъдса:
St = 5/8. (Ю.7)
Несмотря на ряд допущений, сделанных при выводе формулы, (10.7)
удовлетворительно согласуется с опытными данными. Полагая Nu = —,
Re = —, St = , Pr = 1, из (10.7) получаем
Nu = ^Re. (10.8)
8
—0 2 0 8
При больших числах Re приближенно £ ~ Re ' , тогда Nu ~ Re ' . Если
число Рг Ф 1, теплоотдачу находят путем численного интегрирования
уравнения энергии, а результаты расчета аппроксимируют зависимостью типа
Nu= \ Re/(Re, Pr),
8
причем /(Re, Pr) существенно зависит от Pr и слабо — от Re.
268
10.2. Интеграл Лайона
Для удобства численного интегрирования и расчета чисел Нуссельта
уравнение энергии (10.2) целесообразно преобразовать к интегральному
виду. Отметим, что уравнение (10.2) записано в приближении
пограничного слоя, т.е. молекулярный и турбулентный переносы теплоты вдоль оси
трубы не учитываются. Кроме того, не учитывается теплота трения. Эти
допущения во многих практически важных случаях оказываются
справедливыми.
При qc = const вдали от входа в трубу
^dT_J*s_. (Ш9)
дх ах рс vr0
Введем безразмерный радиус R = г/г0. Производную дТ/дх в (10.2)
заменим выражением (10.9). После этого получим обыкновенное
дифференциальное уравнение:
&R\ a J
v d/?V qc,
В точке R = 0 в силу симметрии температурного поля q = 0. Интегрируя
последнее уравнение, находим
3- = 1\v4rar.
Но плотность теплового потока
Тогда
,.(х + Ч)£.<1 + Ь)£
R
rVx
\=RdR
дТ _ 1cd Q v
1 + t-TU
откуда интегрированием в пределах от R до I получим
R
rvx
! \=RdR
<lcd г n v
^с-^уГ ^ cUt. (10.9а)
«(■♦з«
269
Для среднемассовой температуры имеем
1
Tc-f = 2J(Tc-T)-^RdR.
О
и
(10.96)
Далее (10.9а) следует подставить в (10.96) и преобразованное
уравнение проинтегрировать по частям. В результате нетрудно получить
выражение для числа Нуссельта:
яг2/
j^RdR
K0V
1+£L_T
PrTvy
dR.
(10.10)
'R
Соотношение (10.10) называется интегралом Лаиона. Для ламинарного
режима течения vT
0, avx/v =2(1 -Л2). Тогда
±'Ч
J2(l -R)dR
uo
Nu
R
dR
=*i{«3-«54.
dR
11
48"
0 0
Следовательно, для ламинарного течения в трубе в случае постоянных
свойств жидкости и qc = const предельное число Нуссельта (х > /н т)
Nu = 48/11 =4,36.
Ранее (см. § 9.3) это значение Nu было получено другим способом.
Выражение типа (10.10) может быть получено и для течения в
кольцевом канале (в пространстве между двумя коаксиальными трубами). Наряду
с интегралом Лаиона для нахождения чисел Нуссельта используют метод
непосредственного интегрирования уравнения энергии, а при переменных
свойствах жидкости и для условий течения на начальном
гидродинамическом участке — полную систему уравнений конвективного теплообмена.
Для замыкания системы применяют различные модели турбулентности
(составляют уравнение баланса турбулентной энергии, вводят гипотезы
для vT и др.). Иногда привлекают методы теории пограничного слоя.
10.3. Теплообмен при турбулентном течении в круглой трубе
Для нахождения числа Nu по (10.10) необходимо располагать данными
по профилю скорости, турбулентной вязкости и числу Ргг Так как при
умеренных и больших числах Рг пристенная область потока оказывает
наибольшее влияние на общее термическое сопротивление переносу теплоты,
270
200 Г
Vv
1001
0 0,5 y/r0 1,0
Рис. 10.1. Характер
изменения турбулентной
вязкости по радиусу трубы при
Re * 105
—»
Рис. 10.2. Распределение
температуры по радиусу
трубы при Re = 10 и
различных значениях числа Рг
точное знание указанных характеристик в этой области имеет
первостепенное значение.
Как показывают опытные данные, турбулентная вязкость сложным
образом изменяется по сечению трубы (рис. 10.1), а профиль скорости
вблизи ее поверхности подчиняется «закону стенки» (см. § 6.2). По методу,
изложенному в § 10.2, можно не только рассчитать числа Nu, но и
получить графики распределения температуры жидкости и плотности
теплового потока по радиусу трубы. Эти графики, полученные Б.С. Петуховым,
приведены на рис. 10.2 и 10.3. Из рис. 10.2 видно, что число Рг
существенно влияет на профиль температуры в трубе. При очень малых
значениях Рг (Рг < 0,01) профиль температуры напоминает параболу, а при
больших Рг (Рг > 100) температура жидкости приблизительно постоянна во всех
точках сечения трубы за исключением области вязкого подслоя. Рис. 10.3
показывает, что зависимость плотности теплового потока q от текущего
радиуса близка к линейной.
В условиях стабилизированного теплообмена при турбулентном
течении жидкости с постоянными свойствами число Nu зависит только от Re и
Рг. С увеличением Re уменьшается толщина вязкого подслоя, а с
увеличением Рг — толщина слоя молекулярной теплопроводности. Термическое
сопротивление последнего слоя велико при умеренных и больших
значениях Рг. В результате получаем, что с увеличением Re и Рг число Nu
возрастает (рис. 10.4). Термическое сопротивление пристенной области
потока относительно мало при Рг « 1 (жидкие металлы). В этом случае
число Nu зависит от числа Ре.
271
Рис. 10.3. Изменение плотности
теплового потока по радиусу трубы
/ — линейная зависимость; 2 —
зависимость для ламинарного течения
10>
Nu
10*
103
102
10
/
/
/I
/ /
.g^3
/
/
/ I
/ /
/
/
/ 1
Re=5 10^
/
105
104
/
10"3 1(T2 КГ1 10° 101 102 103 104 105 Pr
Рис. 10.4. Зависимость числа Nu от числа Pr при
различных значениях Re
Значения интеграла в (10.10) находят численным методом с помощью
компьютера. В частном случае Рг -> °о формулу для определения Nu можно получить
аналитически.
Переходя от переменной R к переменной л. = v*y/v и полагая в (10.10) Я = 1, а
cVx 1
\^RdR = j-,
получаем
^о
Nu 2т1о J0 1 ч- рРгЛ4
(10.11)
В (10.11) учтено, что при больших числах Рг (Рг > 200) в вязком подслое Хт ~у .
Эта зависимость, предложенная С.С. Кутателадзе, подтверждается опытными
данными. В (10.11) Р — постоянная величина, а г|0 = v*r0/v.
J/4ol/4
Введем новую переменную z = Pr р г). Тогда формула (10.11) примет вид
Nu"
J—
-> о 1/4^ 1/4 J л 4'
2ri0p Pr 0\+z
(10.12)
J/4ol/4.
где z0 = Pr1/4P Ло' ПРИ Pr "> °° z0 -> °°; интеграл
dz _тс
ol+z
4 2
?л/5.
272
Учтем, что
^о" v 2VfRe'
а (согласно опытным данным) 20 /(тс 72 ) = 0,099.
В результате из (10.12) получаем формулу Кутателадзе, пригодную для
определения коэффициента теплоотдачи при турбулентном течении теплоносителей
с числами Рг > 200:
Nu = 0,035 .Д Re Рг1/4. (10.13)
При обобщении данных теоретического расчета и эксперимента для
газов и жидкостей для 0,5 < Рг < 200 и 4 • 10 < Re < 10 • 10 получена
формула Петухова:
1
Nu = ?RePr
1+900 + 12,7/1(рг^_1)'
Re V8
(10.14)
где Nu — число Нуссельта при стабилизированных течении и
теплообмене, а также постоянных свойствах жидкости или газа; коэффициент
трения
5 = Го,791п—1" .
Поведение коэффициента теплоотдачи на начальном участке зависит
от условий на входе в трубу. На практике чаще всего встречается вход
в трубу со скачкообразным изменением поперечного сечения (вход с
уступом). Тогда за острой кромкой образуется небольшая область вихревого
течения (рис. 10.5), а затем имеет место турбулентный пограничный слой,
который довольно быстро нарастает, так что уже при xld > 20 (х —
координата, отсчитываемая от входа в трубу) наступает стабилизация теплооб-
^ис. 10.5. Изменение теплоотдачи
на начальном участке трубы
1 — опытные данные; 2 — данные,
Полученные по (10.15)
Nu/Nu0
2,6
2,2
1,8
1,4
1,0
tr
I
\\
\
У—
\
2
1
1^.
Г—
///////////// 1
i^
2з
г
^^
2jt—
4\\\\\\\W
—
"" ~~— -■
ч
x/d
273
мена (а = const). Теплоотдача на входном участке трубы выше, чем вдали
от входа, а число Nu приближенно описывается формулой
^ = 1 + 1,2*,
Nu0 х
(10.15)
где Nuq — число Нуссельта вычисляемое по (10.14).
Для длинных труб {lid > 50) влияние входного участка сказывается
мало и среднее значение Nu = Nu0.
Для учета зависимости физических свойств теплоносителя от
температуры (10.14) необходимо ввести поправку ет и тогда
Nu = NuqS^
где для капельной жидкости
8т = — >
причем в диапазоне 0,08 < ЦС/|1Ж < 40 п = 0,11 при нагревании жидкости
(Гс > Гж), и п = 0,25 при ее охлаждении.
Число Nu0 рассчитывают по (10.14), выбирая значения физических
свойств жидкости по определяющей температуре, равной среднемассовои
температуре Гж. Значения цс и цж в формуле поправочного коэффициента
8Т соответствуют температурам Тс и Тж.
Для газов
£т =
i т ,
причем в диапазоне 0,4 < Тс/Тж < 4 п = 0,36 при охлаждении газа и п = 0,5
при его нагревании. Расчет по формуле Петухова дает наиболее точные
значения коэффициентов теплоотдачи в широком интервале изменения Re
и Рг. Для более узкого диапазона 10 < Re < 10 значения а можно
получить по формуле Михеева:
Nu = 0,021 Re>°;43
'Pr„
V РГ ,
0,25
(10.16)
Здесь индексы «ж» и «с» указывают на то, что значения физических
свойств жидкости при определении чисел подобия следует выбирать
соответственно по Тж или Тс.
Так как жидкие металлы отличаются своеобразием процесса
теплообмена, для них указанные выше зависимости несправедливы. При Рг « 1
длина начального термического участка мала и практически вся длина
трубы является областью стабилизированного теплообмена. В отличие от
274
газов и обычных жидкостей при турбулентном течении жидких металлов
оказывают влияние граничные условия на стенке. При равномерном
обогреве (qc = const)
Nu = 7 + 0,025Ре0'8, (10.17)
а при постоянной температуре стенки (Гс = const)
Nu = 5 + 0,025Ре0'8. (10.17а)
Наличие в металле нерастворенных оксидов, которые концентрируются
вблизи стенки, приводит к значительному снижению коэффициента
теплоотдачи.
В изогнутых трубах (змеевиках) наблюдаются более высокие, чем
в прямых трубах, коэффициенты теплоотдачи. Это объясняется
дополнительным перемешиванием жидкости вследствие закрутки потока и
вторичных течений. Для приближенного расчета числа Nu в изогнутой трубе
используют формулу
*Н. = 1+35^
Nu0 'Я'
где Nu0 — число Nu для прямой трубы; г0 — радиус трубы; R — радиус
изгиба (для круглого змеевика R — радиус змеевика).
Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при Re =
= ReKp = 2-loVo^)°'32.
На теплоотдачу при турбулентном течении оказывает влияние
шероховатость стенки трубы. Для шероховатой трубы а больше, чем для гладкой.
Однако это имеет место только тогда, когда выступы шероховатости
выходят за пределы вязкого подслоя. Теплоотдача в технических трубах, как
правило, подчиняется закономерностям, справедливым для гладких труб.
Создание искусственной шероховатости стенки трубы является одним
из методов интенсификации теплообмена. Основная идея этого метода —
разрушение вязкого подслоя, который представляет собой основное
термическое сопротивление переносу теплоты при Рг > 0,5. На теплоотдачу
в шероховатой трубе влияют высота и форма выступов элементов
шероховатости, а также расстояние между ними. Поскольку коэффициент трения £,
для шероховатой трубы больше, чем для гладкой, при использовании
шероховатости как метода интенсификации теплообмена необходимо учитывать
дополнительные затраты мощности на прокачку теплоносителя.
Из опытов следует, что оптимальными являются следующие
показатели: высота шероховатости 8Ш ~ 108в (5В — толщина вязкого подслоя)
и расстояние между выступами s « 165ш. При этом за счет шероховатости
а можно увеличить в 2 раза, при умеренном (в 3 раза) увеличении затрат
мощности на прокачку теплоносителя.
275
10.4. Теплообмен при турбулентном течении в кольцевом канале
Кольцевые каналы (кольцевые трубы) достаточно часто встречаются
в конструкциях теплообменных устройств. Примером может служить
теплообменник типа «труба в трубе» (рис. 10.6). Здесь одна горячая жидкость
с температурой 7у на входе в теплообменник движется по внутренней
трубе, а другая (ее температура на входе Т{) — в зазоре между трубами
(кольцевом канале). Внешняя труба обычно хорошо теплоизолирована, и
поэтому теплообменной поверхностью является только поверхность
внутренней трубы. Пусть dl — внутренний диаметр кольцевого канала, a d2 ~
его внешний диаметр. Расчет теплоотдачи в кольцевом канале
рассмотренного типа можно проводить по эмпирической формуле Исаченко—Галина:
Nu = 0,017Re°'8Pr0'4
d^
\uv
0,18
(10.18)
Формула (10.18) справедлива при 1,2 <d2/dl< 14 и 0,7 < Рг < 100.
Определяющей температурой является температура жидкости, а определяющим
размером, входящим в формулы для нахождения чисел Nu и Re, —
эквивалентный диаметр d3KB = AS IP (S — площадь сечения кольца, а Р —
«смоченный» периметр), причем d3KB = d2-dv Поправочный коэффициент
£т =
'Рг ^
ж
Рг
0,25
с/
где Ргж и Ргс
числа Прандтля для данной жидкости при температуре
жидкости и стенки соответственно.
Теоретический анализ задачи о теплообмене в кольцевом канале
(кольцевой трубе) показывает, что в общем случае необходимо рассматривать
^#
"Щ
-*
Рис. 10.6. Теплообменник типа «труба в трубе»
276
два числа Нуссельта — для внутренней и внешней стенок канала.
Обозначим Niij — число Нуссельта для внутренней стенки, Nu2 — для внешней.
Тогда
Nu,
(10.18а)
Nuj =
МО
1+t4Nu10
#cl
Nu
Nu2 =
20
#с1
1 +— Д,в Nu90
qc2 l a 20
(10.186)
где Nu10 — число Нуссельта на внутренней стенке канала при отсутствии
теплообмена на его внешней стенке (т.е. qc2 = 0, а #с1 ф 0); Nu20 — число
Нуссельта на внешней стенке при #с1 = 0 и qc2 Ф 0; R^ = d± ld2\ 0а —
безразмерная адиабатическая температура внутренней стенки, когда qcX = 0.
Значения Nu10, Nu20, 0а можно рассчитать по формулам Петухова—
Ройзена:
Nu
ю
Nun
Nu
20
Nu.
1 -
0,45 Л
2,4 + ?rJ
0,45
2,4 + Pp
(d{yn
^°'6
\du
(10.18b)
(10.18r)
en = 22
0,27
^У
\d?J
- 1
0 -0,87 _ -1,05
Re Pr
Здесь Nu0 — число Нуссельта для круглой трубы (рассчитывается по
формуле Петухова с учетом того, что определяющим размером является
эквивалентный диаметр <^экв); п = 0,16Рг~ ' . Указанные формулы справедливы
при 0,2 < dx ld2 < 1, 0,7 < Pr < 100, 104 < Re < 106.
При вычислении Nuj и Nu2 следует иметь в виду, что qcl и qc2 —
проекции вектора q на направления внешних нормалей к стенкам канала.
В обоих случаях нормали направлены в сторону жидкости, протекающей
по кольцевому каналу. Например, если qc\ > 0, то внутренняя стенка
обогревается и от нее тепловой поток направлен к жидкости, если же
<7С1 < 0, то от внутренней стенки теплота отводится, т.е. эта стенка
охлаждается.
277
Таким образом, последовательность расчета теплоотдачи при
турбулентном режиме течения в кольцевом канале, внутренний диаметр которого dh
а внешний d2, состоит в следующем.
Из таблиц физических свойств жидкости по ее температуре выбираются
значения v, X, Рг. Вычисляют эквивалентный диаметр d3KB = d2 - dx и число
Рейнольдса Re = v d3KB/v. По формуле Петухова (10.14) или Михеева (10.16),
справедливой для круглой трубы, считая ее диаметр d = d3KB, находят Nu0
(поправка ет = 1). Вычисляют адиабатическую температуру стенка 0а.
Если имеет место обогрев (или охлаждение) только внутренней
поверхности канала (заданное значение qcl Ф 0), а на внешней qc2 = 0, то по формуле
(10.18в) определяется числ Nu10, равное, согласно (10.18а), числу Nuj.
Средняя массовая температура жидкости Т в данном сечении трубы на
расстоянии х от входа находится из уравнения теплового баланса. Зная
значение Nu1? вычисляем otj = NiijA,/^^ и далее Гс1 = Т + qQXlav
Аналогично проводится расчет в случае, когда обогревается (или
охлаждается) только внешняя поверхность канала. При этом используются
формулы (10.186) и (10.18г).
При двустороннем обогреве определяются как число Nul9 так и Nu2 и
температуры Гс1 и Тс2.
10.5. Теплообмен при смешанной (вынужденной и свободной)
турбулентной конвекции
Свободная конвекция может оказывать существенное влияние на теплоотдачу
не только при ламинарном (см. § 9.4), но и при турбулентном режиме движения
жидкости в трубах (Re > ReKp). Последний случай влияния конвекции подробно
излагается в [36]. Рассмотрим кратко результаты, полученные авторами [36].
О влиянии свободной конвекции на местную теплоотдачу в вертикальной трубе
можно судить по рис. 10.7, на котором представлены опытные данные, полученные
для восходящего турбулентного движения
воздуха (Рг= 0,7) при равномерном обогреве стенки
трубы. Видно, что при больших значениях числа
Грасгофа зависимость числа Нуссельта от xld
резко отличается от случая, когда влияние термо-
Рис. 10.7. Изменение теплоотдачи вдоль трубы при
Рг = 0,7; Re = 5100
1 — Gvq -> 0; 2 — Gr^ = 4,7 • 106; 3 — Grq= 1,1 • 107;
4 — Grq= 1,5 • 107; 5 — Grq = 3,0- 107; 6 — Grq ^
0 20 40 60 x/d =7,6-10
278
8^ I I L
I I I L_J 1 1 1 1 1
104 105 106 107 108 109 1010 1011 Gr
Рис. 10.8. Зависимость отношения Nu/Nu0 (Nu0 соответствует Gr^ -> 0) от числа Грасго-
фа для ламинарного (/) (Re = 2 • 103) и турбулентного (II) (Re = 10 ) режимов при
восходящем и нисходящем течениях жидкости в вертикальных обогреваемых трубах при
практически постоянных физических свойствах жидкости (Рг = 0,7)
7, 2 — восходящее и нисходящее течения; 3 — свободная конвекция вдоль вертикальной
поверхности; стрелками показано взаимное направление вынужденного и свободного движения
гравитационной силы не сказывается на коэффициенте теплоотдачи (Gr -> 0, здесь
Gr = gfiqcd /(A.v )). Резкий спад теплоотдачи на начальном участке трубы
объясняется ламинаризацией потока. При увеличении тепловой нагрузки qc теплоотдача
вдали от начала обогрева начинает интенсивно увеличиваться за счет развития
свободной конвекции. Провал («яма») в зависимости Nu =f(xld) для восходящего
движения жидкости в обогреваемых трубах наблюдается не только при относительно
малых числах Re (Re > ReKp), но и при больших числах Re (Re « 10 ), что следует
из результатов опытов при сверхкритических давлениях теплоносителя. Последнее
объясняется тем, что вблизи псевдокритической температуры Тт (температуры,
соответствующей максимуму теплоемкости) коэффициент объемного расширения р,
а следовательно, и локальная термогравитационная сила имеют очень большие
значения. Например, для воды при Т = 633 К р = 0,0109 К"1, а при Тт = 647 К р » 28 К"1.
Следует отметить, что зависимость р от температуры, как и зависимость
теплоемкости с , вблизи точки, соответствующей Тт, имеет пикообразный характер. Таким
образом, если Тж<Тт< ТС(ТЖ — сред немассовая температура, а Тс — температура
стенки) из-за локального возмущения потока жидкости термогравитационными
силами, которые при восходящем потоке жидкости приводят к резкому снижению
ее скорости у стенки, происходит уменьшение интенсивности теплоотдачи и
увеличение Тс. Указанное выше условие на практике обычно реализуется на
относительно коротких участках трубы, поэтому ухудшение теплоотдачи носит местный
характер, и это сопровождается «пиком» температуры стенки. В случае
нисходящего течения в обогреваемой трубе теплоотдача практически такая же, как и при
отсутствии массовых сил.
В условиях течения сверху вниз в обогреваемых трубах (или снизу вверх — в
охлаждаемых) ламинарный режим сохраняется лишь при небольшой степени влия-
279
ния архимедовых сил, а теплоотдача при этом локально уменьшается (рис. 10.8, I). В
противоположность этому, при турбулентном режиме в том же случае теплоотдача
монотонно растет (рис. 10.8, II), и при очень больших числах Gr порождение
турбулентности определяется, в основном, термогравитационными силами, а не
напряжениями сдвига в усредненном течении.
В этом предельном случае режим теплоотдачи описывается формулой Полякова:
Nu = 0,5Pr1/2Gr^/4(l + Pr1/2)_1. (Ю.19)
Из (10.19) следует, что а не зависит от диаметра трубы, как и в случае
теплообмена в турбулентном пограничном слое при свободной конвекции около
вертикальной пластины (см. § 7.2).
Для практических расчетов теплоотдачи важно знать, когда следует учитывать
влияние термогравитационных сил, а когда ими можно пренебречь. Детальное
изучение этого вопроса А.Ф. Поляковым показало, что граница начала влияния
термогравитации при турбулентном течении жидкости в трубах может быть определена с
помощью предельного числа Грасгофа
Grw = 9 • 10"5PrU5Re2'75. (10.20)
Для горизонтальных труб на среднюю по периметру теплоотдачу при
турбулентном течении жидкости гравитационное поле практически не влияет. Это
объясняется тем, что в обогреваемой трубе степень уменьшения теплоотдачи вблизи ее
верхней образующей компенсируется увеличением теплоотдачи вблизи нижней
образующей. Согласно А.Ф. Полякову, граница начала влияния термогравитации на
вынужденное течение и теплообмен в горизонтальных трубах соответствует
предельному числу Грасгофа
Gr^np = 3 • 10"5Pr°'5Re2'75[l + 2,4(Рг2/3 - 1)/Re"l/8]. (10.21)
Формулы (10.20) и (10.21) справедливы при практически постоянных свойствах
жидкости. Как показывают опытные данные, даже при относительно малом
влиянии термогравитации (Gr /Gr « 10) теплоотдачи на верхней и нижней
образующих при xld > 30 отличаются более чем на 20 %. При увеличении Gr изменение
теплоотдачи по периметру становится более существенным, и в случае, когда Gr «
«10 , коэффициенты теплоотдачи на верхней и нижней образующих могут
различаться в 2—3 раза. Влияние поля силы тяжести на теплоотдачу в горизонтальных
трубах проявляется при сверхкритических давлениях теплоносителя, причем это
влияние более значительно, чем в обычных условиях.
Таким образом, результаты исследования показывают, что при смешанной
турбулентной конвекции наблюдается совершенно различный характер изменения
теплоотдачи в вертикальных и горизонтальных трубах, однако границы начала
влияния термогравитации близки, о чем можно судить по зависимостям (10.20) и
(10.21).
Следует отметить, что неучет влияния термогравитации в гидравлических и
тепловых расчетах труб большого диаметра для теплотрасс может быть причиной
их разрушения из-за деформации, обусловленной резким изменением температуры
по периметру трубы.
280
j0.6. Особенности теплообмена в около- и сверхкритической области
параметров состояния вещества
Знание закономерностей теплообмена в около- и сверхкритической области
параметров состояния вещества имеет особое значение для теплоэнергетики в
связи с применением воды при сверхкритическом давлении в качестве рабочего
тела на тепловых электрических станциях. Известно также, что на АЭС
эффективно использовать воду при сверхкритических параметрах в первом контуре
реакторов с естественной циркуляцией. Напомним, что для воды/? =22,12 МПа, Т =
= 547,3 К, а в критической точке энтальпия /* =2150 кДж/кг. Специфика
гидродинамики и теплообмена в около- и сверхкритической области параметров состояния
вещества состоит в том, что здесь своеобразно и немонотонно изменяются
физические свойства теплоносителей в зависимости от температуры и давления
(рис. 10.9). Теплоемкость с , число Прандтля Рг имеют максимум при
псевдокритической температуре Тт. Как указывалось выше (см. § 10.5), при Т= Т
коэффициент объемного расширения р также имеет максимальное значение. Изменение
свойств теплоносителя по радиусу и длине обогреваемой (или охлаждаемой) трубы
приводит к тому, что внутри потока из-за разности плотностей в различных точках
среды развивается свободная конвекция (см. § 10.5), изменяется характер
турбулентных переносов теплоты и количества движения, деформируется профиль
скорости, что в конечном счете сказывается на интенсивности теплоотдачи. Кроме
того, в той части потока, где температура близка к Тт, вследствие резкого
изменения плотности среды происходит ускорение теплоносителя (это ускорение
называется термическим) при его нагревании и замедление при его охлаждении. Таким
образом, термогравитационная конвекция и термическое ускорение — два фактора,
которые могут оказывать существенное влияние на гидродинамику и теплообмен в
случае применения теплоносителей при около- и сверхкритических параметрах. Эти
факторы необходимо учитывать в расчетах процессов теплообмена в области
изменения Иж— среднемассовой энтальпии теплоносителя hm < Иж < hm (hm и hm
показаны на рис. 10.9). В области жидкого состояния вещества Нж < hm для расчета
теплоотдачи можно пользоваться зависимостями, справедливыми для капельной
жидкости, а в области Нж> hm — формулами, справедливыми для газов, учитывая
при этом зависимость физических свойств от температуры. Особое внимание
следует уделять тем случаям, когда пределы изменения температуры среды частично
или полностью захватывают область, примыкающую к псевдокритической
температуре Тт, так как в этой области возможно резкое уменьшение коэффициента
теплоотдачи, а при нагревании теплоносителя — повышение температуры стенки
трубы.
Основными величинами, которые следует учитывать при анализе процесса
теплообмена при течении теплоносителя со сверхкритическими параметрами,
являются: энтальпия /гж, тепловая нагрузка на поверхность нагрева qc и массовая
скорость ру, которая равна отношению расхода теплоносителя к площади сечения
трубы. На основании опытов приближенно можно считать, что для котлов исполь-
281
зующих воду со сверхкритическими параметрами, при кж < 850 кДж/кг теплоот-
дача подчиняется зависимости
Nu = 0,021Re°'8Pr0'4,
откуда следует, что при /гж = 800 кДж/кг, диаметре трубы d = 30 мм и изменении pv от
1000 до 3000 кг/(м2-с) значение а меняется от 8000 до 20 000 Вт/(м2 • К). При
таких значениях а температура стенки лежит в допустимых пределах. Если кж >
> 850 кДж/кг, существенное влияние на теплообмен^ оказывают значения величин
— -3 — 2
pv и qc. В том случае, когда qc • 10 /(3,6pi>) < 0,4 кДж/кг (qc, Вт/м ), наблюдается
повышенная интенсивность теплоотдачи, при этом температура стенки находится в
2 — 2
допустимых пределах при qc = 600...700 кВт/м и pv = 2000...2500 кг/(м *с).
Резкое снижение теплоотдачи имеет место при qc • 10" /(3,6ри) > 0,84 кДж/кг. В этом
случае возможно значительное увеличение температуры стенки трубы. Режимы,
сп> Р> h> К
1
1т
т\
п0
0
—4
, 1
1 ]
//!
/
' 7
V
{
\\
^.-н
ч
—СР
Т
Рг,цД|
рис 10.9. Характер изменения физических
свойств теплоносителей в
околокритической области параметров состояния
вещества при р>Рк
"кр
а)
x/d
б)
Рис- Ю.10. Изменение температуры сте
ки тРУбы вдоль ее оси в ухудшенном I
■ Пшенном {б) режимах теплообм*
282
для которых значения qc • 10 /(3,6ри) лежат в пределах 0,42—0,84 кДж/кг,
характеризуются тем, что здесь возможно как увеличение, так и уменьшение
интенсивности теплообмена. В последних режимах температура стенки Гс > Тт, а сред-
немассовая температура жидкости Тж < Тт. Изменение температуры стенки вдоль
оси трубы для ухудшенного и улучшенного режимов теплообмена показано на
рис. 10.10. Следует отметить, что, несмотря на значительное число расчетно-теоре-
тических и экспериментальных исследований теплообмена в около- и
сверхкритической области параметров состояния вещества, изучение этого сложного вопроса
нельзя считать законченным. Так, например, ясно, что при сильном изменении
плотности жидкости влияние термогравитации проявляется более сильно, чем в
обычных условиях. Этот эффект, естественно, связан с расположением трубы в
пространстве, однако имеются многочисленные экспериментальные данные о
развитии местного ухудшения теплоотдачи в трубах малого диаметра при
произвольном их расположении. В связи с этим можно рассматривать две возможные
причины ухудшения теплоотдачи при сверхкритических давлениях теплоносителя:
подавление турбулентности термогравитационными силами при восходящем
движении жидкости в вертикальных обогреваемых трубах; подавление турбулентности
за счет «эффекта термического ускорения потока», обусловленного сильным
уменьшением плотности жидкости вдоль трубы при интенсивном нагревании. Последний
эффект проявляется при любом расположении трубы. Он аналогичен эффекту
подавления турбулентности в конфузорных каналах, когда имеет место сильное
ускорение потока жидкости.
Согласно А.Ф. Полякову, область отсутствия ухудшения теплоотдачи
определяется неравенством
|(±Gr^ + J)/(Re2'8P"r)| < 4 • 10"4, (10.22)
где модифицированное число Грасгофа
<Л = (Рж - Pc)qcd41 [р (Тс - TJуж AJ;
здесь рж и рс — плотности при температуре жидкости и стенки; р выбирается по
температуре Т = 0,5(ГЖ + Гс); уж и Хж — кинематическая вязкость и
теплопроводность жидкости (следует выбирать по температуре Гж).
Величина J определяет влияние термического ускорения потока, причем
ГРж-Рс MP*
Рг
V с ж ^ЖР
где Рг — модифицированное число Прандтля [35].
При J < 2Gr ухудшение теплоотдачи имеет место при восходящем движении
жидкости; оно отсутствует при нисходящем движении. В (10.22) знак «плюс»
относится к восходящему движению в обогреваемых трубах, а знак «минус» — к
нисходящему.
283
10.7. Задачи с решениями
Задача 1. Найдите коэффициент теплоотдачи от стенки трубы
диаметром 32x6 мм к воде в экономайзере парового котла. Давление воды равно
30 МПа, а ее температура и скорость на входе в экономайзер составляют
соответственно 270 °С и 1,5 м/с. Температура на выходе из экономайзера
равна 320 °С. ^
Решение. Рассчитаем коэффициент теплоотдачи на входе в
экономайзер. При / = 270 °С р = 767 кг/м3; v = 0,127 • 10~6 м2/с; I = 0,594 Вт/(м2 • К);
Рг = 0,84.
Число Рейнольдса
Re=l,5-20-10-3 = 2)36.1()5
0,127 • 10
Коэффициент трения
4 = (o,791n2'35' 10 j = 0,0151 .
Число Нуссельта находим по формуле Петухова (см. § 10.3):
= 0,0151 - 2,36 -105- 0,84 =
900 2/3 ^
1 + —Z}^__ + ^j . 0,0435(0,84 - 1)1
2,36 • 10
Коэффициент теплоотдачи
а- = 397^=11790Вт/(м2,К)'
При / = 320 °С р = 667 кг/м3; v = 0,117 • 10*6 м2/с; X = 0,511 Вт/(м • К);
Рг = 1,01. Число Рейнольдса
Re=l,5-767>20-10-3 = 295,105
667-0,117- 10
Далее находим: Nu = 559 и авых = 14 288 Вт/(м • К). Средний
коэффициент теплоотдачи равен 0,5(11 790+14 288) = 13 050 Вт/(м2 • К).
Расчет проведен в предположении, что гт = 1. Оценим температуру
стенки трубы, приняв, что средняя температура продуктов сгорания равна
450 °С и а = 114 Вт/(м2 • К). Тогда
450 - 295 п„7СП/2
q = = 17 527,8 Вт/м .
1 6 • 10 , 1
114 50 13 050
284
Температура внутренней поверхности трубы
Следовательно, поправка ет = 1.
Если свойства воды отнести к температуре /опр = 0,5(270 + 320) = 295 °С,
— 2 —
то можно получить а = 12 470 Вт/(м • К). Это значение а практически
совпадает с тем, которое мы рассчитали выше другим способом.
— 2
Ответ. Коэффициент теплоотдачи а = 13 050 Вт/(м • К).
Задача 2. Найдите средний коэффициент теплоотдачи при движении
дымовых газов по трубам воздухоподогревателя парового котла. Средняя
температура дымовых газов /ж1 = 265 °С, а средняя температура воздуха
^ж2 = 145 °С. Трубы стальные, их внутренний диаметр d = 50 мм, толщина
стенки 5 = 1,5 мм. Коэффициент теплоотдачи от стенок труб к воздуху
а2 = 76 Вт/(м • К). Скорость дымовых газов составляет 14 м/с.
Решение. При / = 265 °С для дымовых газов (13 % С02, 11 % Н20)
v = 41,2 • КГ6 м2/с; X = 0,0454 Вт/(м • К); Рг = 0,66. Число Рейнольдса
Re = Jilo^ 000
41,2- 10
Для расчета числа Nu и а возьмем формулу Михеева:
Nu = 0,021 • 17 0000'8 • 0,660'43 = 43,5;
0 0454 1
а = 43,5 ^р = 39,5 Вт/(м2 • К).
В расчете а не учитывалась температурная поправка ег Оценим
значение 8Г Коэффициент теплопередачи
" = j_ + ok + -L = 26BT/(M2'K)-
39,5 40 76
Плотность теплового потока от газов к воздуху q = 26(265 - 245) =
= 3120 Вт/м . Температура стенки
3120
/ =265- ^^ = 186 °С.
с 39,5
Найдем значение поправки:
= П86 + 273У0'36 =
8т V265 + 273^
1,06.
285
С учетом ет искомый коэффициент теплоотдачи
а = 39,5 • 1,06 = 41,2 Вт/(м2 • К).
2
Ответ. Коэффициент теплоотдачи а = 41,2 Вт/(м • К).
/
Задача 3. По кольцевому каналу (dx = 12 мм, d2 = 22 мм) движется воздух
со скоростью i; = 18,3 м/с. Температура воздуха на входе t'B = 49,87 °С. Обе
поверхности канала обогреваются так, что q х = 10" Вт/м", qc2 = 5 • 10J Bt/mz.
Найдите температуры /с1 и tc2 на расстоянии х = 1 м от входа.
Решение. Находим температуру воздуха /в в данном сечении канала:
, = 49?87 + 104-3,14.0,012 + 5- 103> 3,14 ■ 0,022 = SQ OQ
5,34- 10 3- 1,005- 103
где необходимый для расчета tB расход воздуха
GB = 1,093 • 18,3 ^(222 - 122) • 10~6 = 5,34 • 10"3 кг/с.
При tB = 50 °С для воздуха р = 1,093 кг/м3; v = 17,95 • 10~6 м2/с; X =
= 0,0283 Вт/(м • К); Рг = 0,7.
Число Рейнольдса (при d3KB = 0,022 - 0,012 = 0,010 м)
Re = iMlMl =Ш195
17,95 • 10
По формуле Михеева
Nu0 = 0,021 • 101950'8 • 0,70'43 = 29,05.
Температура внутренней поверхности при qcl = 0
.22 >
0а = 22[о,27 №\ - l] • 10 149 °'87 • 0,7 1,0S = -0,0009 .
Отношение Rx = dxld2 = 12/22 = 0,545, а п = 0,16 • 0,7 °'15 = 0,169. Тогда
0,45 Л ,А^Г-0Л69
2,4 + 0,7У
Nuio = 1 1 ~ * / nJ * 0>545 ' 29>5 = 27>9 ^
2,4 + 0,7^
Nu20 = I 1 - ,л\кн) ' 0,545^ = 17,5 .
286
Определяем числа Нуссельта на внутренней и внешней поверхностях
Канала:
27 9
Nuj = —^ = 30,0;
5 • 10
1 - —^- • 0,0009 • 27,9
10
17 5
Nu2 = ^ = 17,6.
1 - -^— • 0,0009 • 0,545 • 17,5
5- 10
Вычисляем коэффициенты теплоотдачи о^ и сс2 и температуры /с1 и /с2:
а1.20£^ = 84,9Вг/(^.К);
~ - !M^o,Q283 = 49(8Вт/(м2.к);
0,01
*~84,9
ю4
tel = 50 + ^ = 167,8 °С;
з
?с2 = 50 + ^= 150,4 °С.
Ответ. Температуры поверхностей /с1 = 167,8 °С; tc2 = 150,4 °С.
Краткие итоги гл. 10
1. Согласно опытным данным (см. рис. 8.4) начало развитого
турбулентного режима течения в трубе соответствует числу Re = 4000. При
турбулентном режиме происходит интенсивное перемешивание жидкости в
ядре потока, занимающего большую часть сечения трубы. Перемешивание
приводит к выравниванию скорости и температуры в этой зоне потока.
Вблизи стенки турбулентные возмущения (пульсации) резко уменьшаются,
так как на самой стенке пульсации существовать не могут. Как уже
указывалось в § 6.2, тонкая пристеночная область называется вязким подслое.
2. Термическое сопротивление теплоотдачи при турбулентном режиме
можно разбить на две части: сопротивление турбулентного ядра и
сопротивление вязкого подслоя. Соотношение между этими сопротивлениями
зависит от числа Re (так как оно определяет толщину вязкого подслоя) и
числа Рг. Увеличение скорости (или числа Re) приводит к уменьшению
толщины вязкого подслоя, и коэффициент а увеличивается.
287
3. Для анализа процесса теплообмена кроме толщины вязкого подслоя
бв вводится толщина подслоя молекулярной теплопроводности 5В, а
соотношение между ними имеет вид 5В/5В = Рг~ (см. § 6.5). Если Pr » 1
(Рг > 200), то 5В/8В = Рг~ . Таким образом, при очень больших числах Рг
толщина области, в которой наблюдается резкое изменение температуры,
очень мала, и именно на эту область приходится наибольшая часть
термического сопротивления. При этом а ~ ^Ж/8В .
4. Для жидких металлов (Рг « 1) в турбулентном ядре потока
термические сопротивления, возникающие за счет турбулентного и
молекулярного перемешивания, соизмеримы, т.е. А,т ~ Хж, и вязкий подслой не играет
такой большой роли, как при больших и средних значениях Рг.
5. Хотя аналогия Рейнольдса строго обоснована для пограничного слоя
при обтекании изотермической пластины, ее можно также использовать для
течения в трубах в виде St = £/8 или Nu = (£/8)Re. При этом Рг = 1, Ргт = 1.
6. Расчет коэффициента теплоотдачи можно проводить по формуле Михе-
ева Nu = 0,021 Re ' Pr ' или в широком интервале изменения числа Re и
0,5 < Рг < 200 — по формуле Петухова St = (£/8)£, где Е = [1 + 900/Re +
1/2 2/3 —1
+ 12,7(^/8) (Рг - 1)] . И в ту, и в другую формулу следует вводить
поправки sT (на переменность свойств жидкости) и в/ (на длину начального
термического участка).
7. Согласно Михееву, при течении жидкости в каналах некруглого
поперечного сечения и в кольцевом канале следует пользоваться формулой,
справедливой для круглой трубы с заменой d = d3KB. Однако этот метод
является приближенным, и более точные результаты для кольцевого канала
можно получить по современным формулам, приводимым в § 10.4.
Глава одиннадцатая
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ОБТЕКАНИИ ТРУБЫ
И ПУЧКА ТРУБ
11.1. Зависимость характера обтекания цилиндра от числа
Рейнольдса
Рассмотрим трубу (круглый цилиндр) диаметром d, омываемую
потоком несжимаемой жидкости с кинематической вязкостью v. Набегающий
поток, движущийся со скоростью Vqo, перпендикулярен к диаметральной
плоскости цилиндра. Безразмерным параметром, определяющим поток
жидкости в окрестности цилиндра и силу гидравлического сопротивления,
является число Рейнольдса:
Re = .
v
При очень малых значениях числа Re (около единицы и меньше) в
кормовой части цилиндра образуется застойная зона (рис. 11.1, а). Размеры
застойной зоны увеличиваются с ростом числа Re. Благодаря сдвиговому
действию внешнего потока жидкость в застойной зоне приводится во
вращение. При этом в кормовой области образуются два симметричных вихря
(рис. 11.1, б), размеры которых в направлении течения увеличиваются
с ростом Re. Точки отрыва линий тока от поверхности цилиндра
соответствуют углу ф « 82° при Re « 150.
При Re « 150 один из вихрей отрывается (рис. 11.1, в) и плывет вниз по
течению вместе с жидкостью, а на его месте возникает новый вихрь. Вихри
поочередно отходят от цилиндра, образуя процессию вихрей [дорожку
Кармана (рис. 11.2, а)]. Экспериментально установлено, что частота
выброса вихрей /» O^u^/d.
Процессия чередующихся вихрей создает периодическую поперечную
силу, действующую на цилиндр и стремящуюся вызвать его поперечные
колебания (этим объясняется «гудение» проводов в линиях электропередачи).
Дорожка с регулярным движением вихрей наблюдается вплоть до Re « 10 .
При дальнейшем росте Re в вихревой дорожке сначала образуются
турбулентные пятна (рис. 11.2, б), затем поток в дальнем следе становится
турбулентным. При Re « 10 граница турбулентности достигает кормовой
точки цилиндра, а при Re « 10 турбулентность охватывает всю кормовую
часть цилиндра (82 < <р < 180°, где угол ф отсчитывается от передней
критической точки). При критическом числе Re = 2 • 10 турбулентный след сужа-
289
Рис. 11.1. Обтекание цилиндра
при Re < 150
1 — застойная зона; 2 —
вращающийся вихрь
а)
б)
б)
Рис. 11.2. Дорожка Кармана (а) и турбулентные пятна в дальнем следе (б)
290
Рис. 11.3. Распределение безразмерного давления
по окружности цилиндра
1 — по теории обтекания идеальной жидкостью; 2 —
опытные данные для больших чисел Re
2W
ется, а точка отрыва потока смещается
вниз по течению, достигая угла ф « 120°.
При Re > 2- 105 размер области
турбулентности увеличивается, а точка перехода
ламинарного течения в пограничном слое в
турбулентное смещается в лобовую область
обтекания цилиндра. Распределение
давления по окружности цилиндра при больших
числах Re показано на рис. 11.3.
На рис. 11.4 приведена зависимость коэффициента сопротивления
Цилиндра cD от числа Re. Пусть Fc — сила сопротивления цилиндра
длиной / и диаметром d, a S = dl. Тогда по определению
2F
_ сопр
"-D
pvc
Кривую на рис. 11.4 можно разбить на четыре части: первая (Re < 40)
соответствует области безотрывного обтекания; вторая (150 < Re < 10 ) —
области вихревой дорожки Кармана; третья (10 < Re < 2 • 10 ) — области
J.UU
60
40
20
10
6
4
2
1
0,6
0,4
0,2
0.1
N
г
г
-Lo
*Г
т*
$о<
4q
FPMfl
*т
>Ьи
S^
г"
Jn^RQ
Г^П
Л
и
ш
щ
10_2 2 4 6 8шо 2 4 6 8Ш 2 4 6 8^2 2 4 6 8шз 2 4 6 8^4 2 4 6 8^5 2 4 6 8lft6
Мо-5
°10э
°10°
Re
Рис. 11.4. Зависимость коэффициента сопротивления круглого цилиндра от числа Re
291
докритического обтекания; четвертая (Re > 2 • 10 ) — области закритиче-
ского обтекания. Как видно из рис. 11.4, при Re = 2 • 10 наблюдается резкое
снижение силы сопротивления цилиндра, что объясняется турбулизацией
пограничного слоя.
Турбулентный пограничный слой по сравнению с ламинарным обладает
большей кинетической энергией. Это приводит к тому, что точка отрыва
потока смещается вниз по течению, сужается след за цилиндром,
происходит улучшение обтекания и снижение сопротивления. Улучшения
обтекания цилиндра можно добиться и искусственным путем, сделав его
поверхность шероховатой или увеличив турбулентность набегающего потока.
11.2. Теплоотдача при обтекании цилиндра
Интенсивность процесса теплообмена между цилиндром и потоком
жидкости характеризуется коэффициентом теплоотдачи
1 с оо
или в безразмерном виде числом Нуссельта
Местное число Нуссельта зависит от угла ф, а также чисел Re и Рг, т.е.
Nu=/(Re, Рг, ф).
Характер изменения коэффициента теплоотдачи (или числа Нуссельта)
для данной жидкости (Рг = const) качественно иллюстрирует график ,
приведенный на рис. 11.5. Прежде всего, отметим, что число Nu, как и при
обтекании пластины, растет с увеличением Re. Кривая 1 соответствует
числам Re < 40, т.е. случаю, когда отрыва потока еще нет. Кривая 2
отвечает обтеканию с отрывом потока (40 < Re < 150). Эта область называется
областью ламинарного обтекания (рис. 11.6). Кривые 3 и 4 (рис. 11.5)
соответствуют большим числам Re, когда происходит переход режима течения
в пограничном слое от ламинарного к турбулентному.
На этих кривых сначала режим течения ламинарный, далее следует
участок перехода от ламинарного режима к турбулентному. Турбулентный
пограничный слой начинается приблизительно при ф = 100° для кривой 3
и при ф = 80° для кривой 4. Точка минимума в кормовой области
соответствует отрыву пограничного слоя. Последняя часть кривых — область
пограничного слоя с возвратным течением.
1 Рис. 11.5, 11.12, 11.13 заимствованы из [7].
292
(11.1)
(11.2)
О 30 60 90 120 150 ф
Рис. 11.5. Зависимость локального числа Нуссельта от угла ф
#
Ш
Ис- П.6. Линии тока и распределение скоростей в пограничном слое при обтекании
Цилиндра ламинарным потоком (отрыв в точке А)
Таким образом, уменьшение а в начале обтекания (лобовая часть
Цилиндра) объясняется ростом толщины гидродинамического и теплового
Пограничных слоев. С этим же эффектом было связано изменение а по
Ине пластины (см. гл. 5). Но при обтекании пластины пограничный слой
Пинается с нуля, а при обтекании цилиндра с конечной толщины (в лобо-
°и точке). Этим объясняется разница в поведении а для цилиндра
293
и пластины в самом начале обтекания. Так как в области передней части
цилиндра скорость внешнего потока увеличивается, пограничный слой
растет медленнее, чем при обтекании пластины, и а уменьшается медлен-,
нее (рис. 11.7). Для числа Нуссельта в окрестности лобовой точки (ф « 0)
справедлива формула
Nu = l,14Pr°,364VRe. (11.3)
Для среднего по периметру цилиндра числа Нуссельта опытным путем
получены следующие формулы:
Nu = 0,76Re°'4Pr°'37eT при 1 < Re < 40;
Nu = 0,52Re°'5Pr°'37eT при 40 < Re < 103;
Nu = 0,26Re°'6Pr°'37eT при 103 < Re < 2 • 105;
Nu = 0,023Re°'8Pr°'48T при 105 < Re < 107.
Определяющей температурой при выборе значений \х, X, Рг является
^оо» а 6 т учитывает зависимость свойств жидкости от температуры:
Рг
\0,25
VPrc/
(11.4)
Приведенные формулы используются при числах Рг > 0,6, т.е. они
несправедливы для жидких металлов.
Nu/VRe
2,0
0,2 0,4 0,6 х/1
£Р
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
А*
Л
Uoo
v
ч
90 80 70 60 50 40 30 20 Ю
Р, град
Рис. 11.7. Распределение теплоотдачи по Рис. 11.8. Зависимость поправочного коэф'
поверхности цилиндра (7) и пластины фициента £п от угла (3
(2) (характерным размером в
выражениях для Nu и Re является / — длина
пластины, / = d при обтекании цилиндра)
294
Существенное влияние на теплоотдачу оказывает степень
турбулентности набегающего потока. Для учета этого влияния в расчетные формулы
вводят поправку
г 0,15
гТи = Ти> ,
где Ти — измеряется в процентах.
Для шероховатой поверхности цилиндра значение а больше, чем для
гладкой. Например, коэффициент теплоотдачи при обтекании шероховатой трубы
диаметром 50 мм (высота выступов шероховатостей равна 0,2—0,4 мм)
примерно в 2 раза выше, чем для трубы с гладкой поверхностью. Следует
отметить, что коэффициент cD при переходе от гладкой трубы к шероховатой
увеличивается значительно меньше.
Если вектор скорости набегающего потока составляет угол |3 с осью
цилиндра, то в расчетные формулы вводят поправку 8р (рис. 11.8).
Приближенно можно считать, что
/ • о\1/2
8р = (SHI Р) .
11.3. Конструктивные особенности пучков труб, теплоотдача при их
обтекании, а также характер течения жидкости в этих пучках
Примером теплообменного устройства, выполненного в виде пучка
труб, может служить водяной экономайзер парового котла. В
экономайзере происходит подогрев питательной воды от Т2 до Т2 потоком
горячего газа — продуктов сгорания топлив, температура которых
уменьшается от Т{ до Т". Экономайзер можно сделать в двух вариантах: с
коридорным или шахматным расположением труб. На рис. 11.9 показан
экономайзер с шахматным расположением труб. Как в том, так и в другом
случае геометрическими характеристиками пучка являются: диаметр труб,
поперечный s^ и продольный s2 шаги (рис.11.10). Пучки характеризуются
также числом рядов и числом труб в ряду. Предельными случаями пучков
являются коридорный пучок с s2 = d и система труб с s2 » d. В первом
случае сверхтесного пучка течение жидкости напоминает течение в канале
с изменяющимся по длине сечением, а во втором — обтекание одиночной
трубы с той лишь разницей, что труба находится в стесненных условиях.
В технических устройствах обычно применяются пучки с относительно
небольшими шагами (s/d = 1,2...2,5). В отличие от одиночной трубы в
пучке трубы второго, третьего и далее рядов находятся в следе за
предыдущими рядами. Качественно поведение потока в коридорных и шахматных
пучках показано на рис. 11.11.
Теплоотдача при обтекании пучков труб. Как и при обтекании
одиночной трубы, коэффициент теплоотдачи изменяется по периметру трубы
в глубинном ряду пучка. Если в передней части одиночной трубы максимум
295
Рис. 11.9. Водяной
экономайзер с шахматным
расположением труб
I г*-52-*Г(-'52-П "*1 d р-
ф--фкф-%-фГ
-ф-ф-ф-ф-ф
Ряды 12 3 4 5
а)
Ф-Ф-Ф-Ф-Ф
Ф-Ф-Ф-Ф-Ф-
*Ф-
^Ф-'
-Ф-
-Ф-"
-Ф-
-Ф"^
"-Ф-'
-Ф-
Л2"Ч
ДГ
, -ф-т -Ф-
Ряды 12 3 4 5
б)
Рис. 11.10. Геометрические
характеристики коридорного (а) и
шахматного (б) пучков
=.|
k37
^]^С;^^зД^^^^
^^3-
0
Рис. 11.11. Характер течения жидкости в коридорном (а) и шахматном (б) пучках труб
296
«сегда в точке ф = 0, то при обтекании трубы в глубинном ряду
распределив теплоотдачи по углу ф зависит от компоновки пучка (рис. 11.12).
Опыты показывают, что начиная с третьего ряда средний коэффициент
еплоотдачи трубы практически не зависит от номера ряда, т.е. имеет
место стабилизация теплообмена. Объясняется это тем, что в пучке
устанавливается собственная турбулентность, слабо зависящая от состояния
набегающего потока. Обычно в первых двух рядах теплоотдача ниже, чем
в глубинных рядах (рис. 11.13). При этом приближенно можно считать, что
для коридорного пучка а{ = 0,6а3, а2 = 0,9а3; для шахматного пучка
otj = 0,6а3, а2 = 0,7а3.
Для пучков число Re находится по скорости жидкости в узком сечении
пучка и наружному диаметру трубы:
Re = -^-,
v
у
к
\
1'
3
\
л
^2
V
Об
-7=Z
г
J
Nu/VRe
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0 30 60 90 120 150 ф
"Ис« 11.12. Изменение теплоотдачи по
периметру трубы
одиночная труба; 2 — труба в глу-
Инн°м ряду шахматного пучка; 3 — то
Же коридорного пучка
с- П.13. Зависимость а = /((р) при
Текании воздухом коридорного (а) и
^хматного {б) пучков труб (пучки
2^*е = М.104)
соответственно первый, второй
ГлУбинный ряды пучка
70
50
30
10
ГЧ
и
L/
1
зЛ
2
/
/А
-у
0 30 60 90 120 150 ф
а)
а
70
50
30
10
^N
\
Л
\
"Ч
3
\у
-/ >
/Л
1
0 30 60 90 120 150 ф
б)
297
а число
X
В технических устройствах, как правило, 10 < Re < 2 • 105. В этом
случае средний коэффициент теплоотдачи а трубы в глубинном (начиная с
третьего) ряду коридорного пучка при (3 = 90° находится по формуле
Nu = 0,27Re°'63Pr°'36eT. (11.5)
Для шахматного пучка
при jj ls2 < 2
Nu = 0,35
Re°'6Pr°'368T; (11.6)
при Sj /s2 > 2
Nu = 0,4Re°'6Pr°'36eT.
Поправка ет здесь такая же, как и в случае одиночной трубы. Если угол
натекания потока на пучок не равен 90°, то следует вводить поправку г».
11.4. Задачи с решениями
Задача 1. В теплообменнике «газ — газ» разреженный пучок труб
омывается дымовыми газами. Температура набегающего потока гж1 = 800 °С, а
скорость i>oo =15 м/с. Для газов, протекающих внутри труб, £ж2 = 300 °С и
2
а2 = 90 Вт/(м • К). Трубы с диаметром и толщиной стенки d2*b = 32x5 мм
изготовлены из стали 12Х1МФ, допустимая рабочая температура которой
550 °С. Найдите среднюю температуру наружной поверхности трубы и
температуру в первой критической (лобовой) точке и сопоставьте
найденные значения с допустимой рабочей температурой стали.
Решение. При /ж1 = 800 °С для дымовых газов X = 0,0915 Вт/(м • К);
v = 131,8 • 10 м /с; Рг = 0,60. Расчет теплоотдачи проводим по формулам,
справедливым при обтекании одиночной трубы. Число Рейнольдса
Re = ШШк 3641.
131,8- 10
Среднее число Нуссельта
Nu = 0,26 • 36410,6 • 0,60'37 = 29,4,
и коэффициент теплоотдачи
а, =29,4 |^ = 84,2 Вт/(м2-К).
298
Вычисляем число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи в первой
критической точке трубы (ф = 0):
Nu = 1,14 • 36410'5 • 0,600'37 = 56,9;
0 0915 2
а = 56'9 ост 162,7 Вт/(м к)*
Теплопроводность стали X = 40 Вт/(м • К). Средняя плотность теплового
потока
800-300 _ _ „с т, , 2
Я =
1 | 0,005 | 1
90 40 84,2
21 645 Вт/м".
Местная плотность теплового потока при ср = 0
800 - 300 _ Q_ _ , 2
а = ——: — = 28 825 Вт/м .
JL + °>005 | 1
90 40 162,7
Средняя температура стенки
7= 800- ^-^ = 543 °С.
с 84,2
Температура стенки в критической точке
tc = 800 - j£j = 623 °С.
Ответ. Средняя температура стенки трубы меньше, а температура в
лобовой точке больше допустимой.
Задача 2. Найдите средний коэффициент теплоотдачи при поперечном
обтекании дымовыми газами пакета труб экономайзера парового котла.
Экономайзер собран из плоских змеевиков с шахматным расположением труб
с диаметром и толщиной стенки 32x6 мм, причем sxld = 2,4, a s2ld= 1,8,
а число рядов равно 40. Скорость газов в узком сечении v = 14 м/с. Их
температура на входе в пакет труб 520 °С, а на выходе из него 380 °С.
Решение. Средняя температура газов равна 0,5(520 + 380) = 450 °С. При
этой температуре для газов v = 68,3 • 10 м /с; X = 6,13 • 10" Вт/(м • К);
Рг = 0,63.
Вычисляем число Рейнольдса:
Re = 14 ■ 32 • КГ3 _ 656 , шз
68,3 • 10
Число Нуссельта для глубинных рядов пучка труб
/"у л\ 0,2 -1 0,6 о о/;
Nu = 0,35^ (6,56 • 103) • 0,63°>36 = 61,2 .
299
Для многорядного пучка труб влияние первых двух рядов
незначительно. Поэтому коэффициент теплоотдачи
_2
а = 61,2 6,П * 10 = 117 Вт/(м2-К).
32-10
— 2
Ответ. Средний коэффициент теплоотдачи пакета труб а = 117 Вт/(м • К).
Задача 3. Как изменится а в задаче 2, если шахматный порядок
расположения труб заменить коридорным?
Решение. Используя формулу (11.5), получаем
Nu = 0,27(6,56 • 103)0'63 • 0,630,36 = 58.
Коэффициент теплоотдачи
_2
а = 58 6,П ' 10 = 111 Вт/(м2-К).
32-10
2
Ответ. Коэффициент теплоотдачи а = 111 Вт/(м • К).
Часть третья
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЯХ
Глава двенадцатая
ТЕПЛООБМЕН ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА
12.1. Виды конденсации. Термические сопротивления в процессе
конденсации пара на охлаждаемой стенке
В природе и технике встречаются различные виды конденсации пара.
Конденсация может происходить внутри объема пара или парогазовой
смеси. Например, образование тумана или выпадение дождя — это
объемная конденсация водяного пара из влажного воздуха. Аналогичный процесс
может наблюдаться при расширении пара в последних ступенях проточной
части паровых турбин. Для объемной конденсации необходимо, чтобы пар
был перенасыщен, т.е. его плотность должна превышать плотность
насыщенного пара при данном давлении. При этом степень перенасыщения,
при которой начинается конденсация тем больше, чем чище пар.
Чтобы происходил процесс объемной конденсации, в паре должны
присутствовать центры конденсации (аэрозольные частицы, ионизированные
атомы и др.). Особенностью объемной конденсации является то, что
вследствие действия поверхностного натяжения небольшие капли жидкости
(диаметром около 10 мкм) могут находиться в состоянии
термодинамического равновесия с паром при давлении, меньшем давления насыщения,
соответствующего плоской поверхности раздела фаз.
В промышленных теплообменных аппаратах конденсация
осуществляется либо при прямом контакте с холодной жидкостью [жидкость
направляется в объем пара в виде струй (капель), или струя пара — в объем
жидкости], либо при соприкосновении пара с холодной стенкой (обычно
стенкой трубы). При конденсации выделяется теплота фазового перехода
(теплота парообразования). Чтобы происходил стационарный процесс
конденсации, эту теплоту необходимо непрерывно отводить от поверхности
охлаждения. Если, например, полностью конденсируется сухой
насыщенный пар, массовый расход которого Gn, кг/с, то отводимый тепловой поток
(без учета теплоты переохлаждения конденсата)
Q = Gnr, (12.1)
где г — теплота парообразования.
Очевидно, что если GK — расход конденсата, то GK = Gn.
301
При выпадении конденсата на поверхности охлаждаемой стенки
возможны два вида конденсации: капельная и пленочная. В первом случае
конденсат осаждается в виде отдельных капель, которые занимают лишь часть
поверхности теплообмена (остальная часть при этом покрыта тончайшим
слоем жидкости), а во втором — на охлаждаемой поверхности образуется
сплошная пленка конденсата. Эта пленка стекает вниз под действием силы
тяжести или увлекается в ту или другую сторону потоком пара.
Капельная конденсация происходит в том случае, если конденсат
не смачивает твердую поверхность. Смачиваемость характеризуется
краевым углом 0 (углом между поверхностями жидкости и твердого тела). Если
угол 0 острый, жидкость смачивает поверхность; если тупой, не смачивает.
При капельной конденсации наблюдаются очень высокие значения
коэффициентов теплоотдачи, однако искусственно ее трудно поддерживать в
течение длительного времени.
В промышленных установках, конденсаторах паровых турбин,
подогревателей питательной воды и других теплообменных аппаратах на ТЭС и
АЭС обычно имеет место пленочная конденсация пара. Она происходит
либо на наружной, либо на внутренней поверхности горизонтальных или
вертикальных труб.
Допустим, что внутри вертикальной трубы протекает охлаждающая
жидкость, а снаружи находится сухой насыщенный пар, содержащий некоторое
количество воздуха (если давление ниже атмосферного, воздух может
проникнуть в пар через неплотности в теплообменном аппарате). Рассмотрим
процесс теплопередачи от пара к охлаждающей жидкости. Интенсивность
этого процесса характеризуется коэффициентом теплопередачи
где q — плотность теплового потока; Ts и Тж — температуры насыщения
при давлении пара вдали от пленки и охлаждающей жидкости.
Коэффициент теплопередачи — величина, обратная сумме термических
сопротивлений. В общем случае (когда на стенке имеются отложения
примесей веществ) в процессе теплопередачи могут быть семь термических
сопротивлений. При этом
*Т=Т3-ТЖ= ^ДГ,,
i=\
где ATt — частные перепады температуры (рис. 12.1);
AT^qRt (i=l...7).
Рассмотрим первое (диффузионное) термическое сопротивление R^ =
= АТХ /q. Механизм возникновения диффузионного сопротивления состоит
в следующем. Когда порция паровоздушной смеси достигает поверхности
302
Рис. 12.1. Теплопередача от конденсирующегося пара к охлаждающей жидкости
Л 3 — отложения; 2 — стенка; 4 — пленка конденсата; 5', X' — толщина и теплопроводность
пленки
пленки, пар конденсируется. При этом вблизи пленки образуется слой
с повышенной концентрацией воздуха, и парциальное давление пара здесь
меньше, чем в остальном объеме. Следовательно, температура пара в
тонком слое вблизи пленки ниже, чем вдали, что и объясняет существование
Разности температур АТ\. Так как концентрации пара и воздуха
оказывайся различными в разных областях данного пространства, то в
паровоздушной смеси происходит диффузия компонентов (пар диффундирует
к поверхности пленки, а воздух — наоборот). Наличие воздуха в паре
Резко снижает интенсивность процесса конденсации. Для чистого пара
*1 = 0 и АТ{ = 0.
Термическое сопротивление R2 называется сопротивлением фазового
еРехода или молекулярно-кинетическим сопротивлением на границе раз-
303
дела фаз. Дело в том, что при конденсации поток молекул к границе
раздела фаз превышает поток молекул в противоположную сторону,
вследствие чего в тонком слое (порядка нескольких длин свободного пробега
молекул) имеет место перепад давления, которому соответствует «скачок»
температуры АТ2 = qR2.
Для оценки термического сопротивления R2 и значения ДГ2 примем, что
нормальная к поверхности пленки скорость молекул
v = Щ-= RT
п Ц2пт 42nM'
где к — постоянная Больцмана; т — масса молекулы; М— масса одного киломоля
(для Н20 М= 18 кг/кмоль); R = 8314 Дж/(кмоль • К) — универсальная газовая
постоянная.
Пусть рп1 — плотность пара, соответствующая потоку молекул, падающих на
пленку, а рп2 — плотность пара для потока молекул, вылетающих из пленки
конденсата. Величины рп1 и рп2 пропорциональны давлениям насыщенного пара
соответственно рп1 и/?п2. Принимая, что все молекулы пара захватываются пленкой,
запишем выражение для плотности потока конденсирующегося пара
М [Щ I М
/ - (P„i - рп2К - wiPnx -РлЦгш- ^Шт^т ~р^'
С учетом уравнения Клапейрона—Клаузиуса
Таким образом, скачок температуры АГ2 определяется по формуле
2
Г
где q =jr.
Дс
Тогда
5 2
Допустим, что конденсируется пар с атмосферным давлением, a q = 10 Вт/м .
/2-3,14-8314 3733/2(1,672-0,001) 4
2 V 18 2,2572-1012
Оценочный расчет показывает, что термическое сопротивление
фазового перехода мало, поэтому обычно при конденсации чистого пара
температуру внешней поверхности пленки принимают равной температуре
насыщения в объеме пара, а при конденсации паровоздушной смеси —
температуре насыщения при парциальном давлении пара вблизи пленки.
Однако при капельной конденсации и конденсации паров жидких металлов
сопротивление R2 может быть значительно. Для расчета этого сопротивле-
304
ния прибегают к более строгой молекулярно-кинетической теории
фазового перехода.
Термическое сопротивление R^ — это сопротивление конденсата,
зависящее от режима течения пленки (ламинарное или турбулентное). Теплота
фазового перехода, выделяющаяся на границе раздела фаз, передается
далее к охлаждающей жидкости путем теплопроводности и конвекции в
стекающей пленке.
Обозначим через 5'0ТЛ и 6"отл толщины слоев отложений на стенке со
стороны конденсата и охлаждающей жидкости соответственно, а через
^'отл и ^ отл теплопроводности этих отложений. Тогда термические
сопротивления отложений определяются так: R4 = 8'0ТЛ /^'отл и Re = 8"отл IX"0ТЯ,
а термическое сопротивление стенки R$ = b /К где 8и^ — толщина и
теплопроводность стенки. Термическое сопротивление R7 зависит от
интенсивности отвода теплоты охлаждающей жидкостью, т.е. от коэффициента
теплоотдачи. Если ап
коэффициент теплоотдачи, то R7 = 1/а0
12.2. Теория пленочной конденсации на охлаждаемой вертикальной
стенке (теория Нуссельта). Влияние различных факторов
на теплоотдачу при ламинарном течении пленки
Пусть имеется вертикальная стенка (рис. 12.2), температура которой
Тс = const. Около стенки находится неподвижный сухой насыщенный пар,
температура которого Ts > Тс. Предположим, что течение пленки
ламинарное; инерционные силы, вызываемые ускорением пленки, пренебрежимо
малы по сравнению с силами вязкости и силами тяжести; конвективный
перенос теплоты незначителен по сравнению с
переносом теплоты поперек пленки (вдоль пленки
перенос теплоты не учитывается); силы трения на
границе «пленка — пар» пренебрежимо малы;
физические свойства конденсата (рж, Хж и цж) от
температуры не зависят. В такой постановке задача
о теплообмене при конденсации была решена Нус-
сельтом (1916 г.).
Режим течения пленки зависит от числа Рейнольдса.
Для пленки
4 у" 5
Re =
(12.2)
где v — средняя (в данном сечении х) скорость течения
пленки; уж — кинематическая вязкость жидкости
(конденсата); 5 — толщина пленки.
Рис. 12.2. К теории
Нуссельта
305
В качестве характерного размера, входящего в формулу для определения числа
Re, принят эквивалентный диаметр, который равен 48.
Так как vx и б — заранее неизвестные величины, то по (12.2) невозможно
определить Re и установить режим течения. Обычно соотношение (12.2) преобразуют
таким образом, чтобы число Re содержало одну из следующих величин: Gx —
расход конденсата, приходящийся на единицу ширины стенки (в случае вертикальной
трубы — на единицу длины периметра); q — среднюю плотность теплового
потока на участке стенки 0 < х < h , где h — высота стенки; Тс — среднюю температуру
стенки на указанном выше участке. Учтем, что
°1 = Рж^5; qh = Gir = a(Ts-Tc)h.
Тогда получим
4G, 4ah 4U(T-Tc)h
Re = —l = l£5 = _Li £L. (12.3)
Опытами установлено, что критическое число ReKp = 1600. Теория Нуссельта
справедлива (с учетом поправок, о которых будет сказано ниже) при Re < Re .
Согласно теории Нуссельта, при пленочной конденсации пара теплота,
выделяющаяся на границе раздела «пар — жидкость», отводится к стенке
за счет теплопроводности жидкости в поперечном направлении. Уравнение
теплопроводности и граничные условия записываются в виде:
d/
= Т :
=0 с
Т1
= т
Решение этой задачи дает линейное распределение температуры по
толщине пленки (рис. 12.3). При этом
т.)-
Так как q = a(Ts - Тс), то
а = Х/5. (12.4)
Для нахождения 8 в данном сечении х составим
уравнение теплового баланса:
X
jq dx = ржУх5г. (12.5)
Дифференцируя это уравнение, находим
Рж' dx
V~8)-
(12.6)
Рис. 12.3. Распределение температуры и скорости в
стекающей пленке конденсата
306
Из (12.6) можно определить б, но предварительно необходимо
рассчитать vx. Для этого следует решить уравнение движения для пленки. С
учетом принятых допущений это уравнение записывается в виде
*\
£(Рж-Рп) + Иж—= 0- (12.6а)
ду
Граничные условия будут иметь вид
vx = 0 при у = 0;
<Ч
—— = 0 при v = 8.
ду
Второе граничное условие является следствием того, что при у = 6 силы
трения равны нулю. В уравнении движения рж и рп — плотности жидкости
и пара в состоянии насыщения (при Т = Ts).
Интегрируя уравнение движения и учитывая граничные условия при
нахождении постоянных, получаем параболический закон распределения
скорости их по толщине пленки (рис. 12.3):
vx = g——(yb--b. (12.7)
Средняя скорость
о ^ж
В (12.6) положим q = Хж/дАТ, где AT = Ts - Тс. Тогда получим
3 КужАТ
5 d5= ж ж ч djc. (12.9)
(Рж - Рп)^г
При х = 0 8 = 0. Интегрируя уравнение (12.9), получаем
4ЧсУжА7*
5 = 4 . ч - (12-10)
^(Рж-Рп^г
Из (12.10) следует, что толщина пленки 6 ~ AT и увеличивается с
ростом х: 5 ~ х . Используя (12.4), получаем формулу Нуссельта для мест-
н°го коэффициента теплоотдачи:
307
Так как в нашем случае Тс = const, то средний коэффициент
теплоотдачи а с учетом (12.11) имеет вид
h
а = - fос dx = -а| ,,
О
где ос | = — коэффициент теплоотдачи в точке х = h.
Полагая в (12.11) л: = /г, окончательно получаем формулу Нуссельта для
среднего а:
а = 0,943 4РРж"Р^Г. (12.12)
Теория пленочной конденсации при переменной температуре Тс была
предложена Д.А. Лабунцовым .
Проанализируем вопрос о влиянии неизотермичности стенки на а . Обозначим
через Тс среднюю температуру стенки:
h
h
тА\Т^х-
О
Этой температуре соответствует среднеинтегральный температурный напор А Г
= Ts- Т . Введем фактор неизотермичности \\t(x) = ATI AT, где AT = Ts- Tc; здесь
Тс — местная температура стенки. Очевидно, что
h
- Jv|/(x) d* = 1 .
о
В уравнении (12.9) положим, что АТ= AT\\f(x), а затем это уравнение
проинтегрируем. В результате получим
5 =
4Xv Д7^1/4'х >1/4
ж ж
JV(x) d*
О
1(Рж-Рп)^
Запишем уравнение теплового баланса:
где значения v и 8 соответствуют сечению х = h
(12.13)
См. статью: Лабунцов Д.А. Обобщение теории конденсации Нуссельта на условия
пространственно-неравномерного поля температур теплообменной поверхности // Тр. МЭИ. 1965.
Вып. 63.
308
Имея в виду, что
h
\\\f(x) dx = h ,
О
a d = q/AT , после простых преобразований находим
й - 0,943 рРж1Рп)^ (]214)
Таким образом, мы получили, что формула Нуссельта для а справедлива и
в том случае, когда температура стенки не постоянна, а зависит от х.
Дальнейшее изучение теории пленочной конденсации (Г.Н. Кружилин,
Д.А. Лабунцов) показало, что принятые Нуссельтом допущения в обычных
условиях не дают большой погрешности при определении коэффициента
теплоотдачи, если безразмерная величина К = г/(с AT) > 5 и число Рг > 1.
Это видно из рис. 12.4, на котором дано сопоставление уточненного
значения а со значением aNu, рассчитанным по теории Нуссельта.
Влияние зависимости свойств жидкости от температуры, согласно
Д.А. Лабунцову, можно учесть с помощью поправки
a
aNu
a.
с
v4c/
3/8
_
1/8
где aNu — коэффициент теплоотдачи, вычисляемый по формуле Нуссельта
(при этом все значения свойств выбираются по Ts)\ Хсн [ic —
теплопроводность и вязкость жидкости при Т = Гс; Хж и цж — то же, но при Т = Ts\ для
воды при AT < 50 К ет незначительно отличается от единицы.
Формула Нуссельта (12.12) справедлива не только для вертикальной
пластины, но и для вертикальной трубы. При Re > 4 она дает заниженные
результаты, так как в этом случае наблюдается не чисто ламинарное, а
ламинарно-волновое течение пленки (рис. 12.5). При этом оказывается, что
средняя во времени толщина пленки и ее термическое сопротивление
меньше, чем это получается по теории Нуссельта. По Д.А. Лабунцову,
поправка, учитывающая развитие волнового течения, при Re > 4
ev = (Re/4) .
Последняя формула показывает, что по мере увеличения расхода
жидкости (т.е. с увеличением Re) интенсивность волнового возмущения
возрастает, а при Re = 1600 е^ = 1,27.
309
а/а!
1,6
1,2
0,8
0,4
Nu
V "
Ч XS.
V2
L^0,01
^Pr-100
^
-^
_^^0Л
од
10
100
К 1000
Рис. 12.4. Влияние конвективного переноса теплоты, инерционных Л
сил в пленке и сил трения между пленкой и паром на теплоотдачу
при конденсации на вертикальной стенке
Рис. 12.5. Ламинарно-волновое течение пленки конденсата
Для удобства практических расчетов формулу (12.12) с учетом поправки
на волновое течение преобразуют к безразмерному виду. При заданном
температурном напоре А Г в качестве безразмерного параметра принимают
KATh
Z =
где
1г
rVyJg
Ж
Ж
S Рж-Р
1/3
(12.15)
Легко доказать, что при этом формула (12.14) с поправкой на волновое
течение имеет вид
^ = 0,95Z-°'22.
^ж
С учетом (12.3) формулу (12.16) можно представить как
.0,78
(12.16)
Re = 3,8Zw''°. (12.17)
Если задана плотность теплового потока q или расход конденсата Gj, то
число Re — известная величина, а коэффициент теплоотдачи находится так:
ос/
Т^ = l,38Re
-0,28
(12.18)
При конденсации перегретого пара расчет а можно проводить по тем
же формулам, что и для сухого насыщенного пара, если заменить в них г
на г' = г + (hn - /*"), где hn и h" — энтальпии перегретого пара и пара в
310
состоянии насыщения, a AT оставить без изменения, т.е. АГ = Тс - Тг Хотя
# при конденсации перегретого пара несколько выше, при заданной
температуре Тс конденсата образуется меньше, так как
r + {hn-h-y
Коэффициент теплоотдачи для влажного пара (при влажности менее
20 %) рассчитывается по тем же формулам, что и для сухого насыщенного
пара без внесения каких-либо изменений в них.
Если скорость пара мала, то он не оказывает заметного влияния на сте-
кание пленки конденсата, и коэффициент теплоотдачи подчиняется
закономерностям, справедливым для неподвижного пара. Однако при больших
скоростях влияние пара на пленку становится существенным, причем оно
зависит от того, в каком направлении движется пар. Если пар движется
сверху вниз, то за счет действия сил трения на поверхности пленки
скорость ее течения увеличивается, а толщина уменьшается. Это приводит
к увеличению коэффициента теплоотдачи. Кроме того, при больших
скоростях пара критическое значение числа Re уменьшается и переход к
турбулентному режиму течения пленки происходит раньше, чем в случае
неподвижного пара. Если пар движется снизу вверх, то при постепенном
увеличении скорости сначала силы трения тормозят течение пленки, а
затем, когда силы тяжести уже становятся меньше сил трения, пленка
потоком пара увлекается вверх и частично срывается с поверхности стенки. В
соответствии с этим коэффициент теплоотдачи с ростом скорости пара
сначала уменьшается, а затем, пройдя через минимум, увеличивается.
Сделаем теоретическую оценку влияния на а сил трения на границе «пар —
пленка». Рассмотрим случай, когда пар движется сверху вниз и его скорость такова,
что силы трения много больше сил тяжести. Тогда уравнение движения пленки
примет вид
dV
d/
Граничные условия представляются как
а,
2=0. (12.19)
dvx
v | =о- —-
х\у=о dy
\у=д ^я
(12.20)
где ап — касательное напряжение на поверхности пленки.
Интегрируя дважды (12.19), с учетом (12.20) получаем линейный закон
изменения их по толщине пленки:
v = — у .
Х ^ж
311
Средняя скорость пленки
2и
5.
(12.21)
Подставим (12.21) в (12.6) и проинтегрируем полученное уравнение.
Окончательно имеем:
,ЗХжАГйжЛ1/3
Ржгстп
ХжРЛ
у
ЗДГцждгу
Значение оп приближенно можно найти, зная коэффициент сопротивления cf
при обтекании плоской поверхности:
Рпуп
где рп и vn — плотность и скорость пара.
Отметим, что как в рассмотренном примере, так и ранее мы не учитывали
напряжения, обусловленные существованием плотности поперечного потока массы
на границе раздела фаз. Обычно эти напряжения малы, однако в случае «сильной»
конденсации (при больших значениях у) они могут играть существенную роль.
12.3. Конденсация пара на вертикальной стенке при смешанном
режиме течения пленки
При стекании пленки конденсата скорость v и ее толщина 8 с
увеличением координаты х возрастают, следовательно, возрастает и число Re.
При больших числах Re ламинарно-волновое движение пленки становится
неустойчивым, и при Re = Re оно переходит в турбулентное. Смена
режимов сказывается как на дальнейшем росте 8, так и на поведении а.
При х > х толщина пленки растет быстрее, чем при ламинарном течении,
а а при этом увеличивается (рис. 12.6).
Основная причина увеличения а при
х > xvn заключается в том, что значи-
кр
тельная часть общего термического
сопротивления (за исключением малых
чисел Рг, что характерно для жидких
5, а
Ламинарный
режим
\ а
5
Турбулентный
режим
^Вязкий подслой
►
Рис. 12.6. Характер изменения толщины
пленки и коэффициента теплоотдачи при
конденсации пара на вертикальной стенке, высота ко-
х торой h > jc,
кр
312
металлов) сосредоточена в вязком подслое, а его толщина бв с ростом Re
уменьшается.
Рассмотрим особенности определения толщины пленки 5 и 5В при
турбулентном течении. В непосредственной близости к стенке распределение скорости в
турбулентном потоке подчиняется «закону стенки», согласно которому vx зависит
только от локальных условий (координаты у), касательного напряжения на стенке
ас и вязкости v. Если ввести динамическую скорость
то для «закона стенки» справедлива функциональная зависимость
их/и*=/(л),
где безразмерная координата
ц = v*y/v. (12.22)
Для двухслойной схемы Прандтля координате у = 5В соответствует г|в = 11,7.
Обобщим уравнение движения пленки (см. § 12.2) на тот случай, когда в ней
существует турбулентность. Это уравнение можно записать в виде
где а = (ц + цт) —г— ; здесь цт — турбулентная вязкость.
Интегрируя последнее уравнение при условии, что пар движется медленно, для
напряжения трения о получаем
a=gip-p")(8-y),
где р и р" — плотности жидкости и пара.
При у = О а = ас. Следовательно,
w,= £5(Р-Р").
а/ р
Подставляя последнее соотношение в (12.22) (с учетом >> = 5В), получаем
2/ЗГ
2
JL
1/3
2/3,
Lp(p-p")gJ
Безразмерная толщина пленки r|5 = i>*8/v однозначно связана с числом Re,
так как
. vx& vx v*d vx
Re = 4 — = 4 — = 4 — ть .
v и* v v* °
Если принять, что распределение скорости в пленке подчиняется
логарифмическому закону, то для определения г|§ можно получить формулу
Re = r|5(12 + In Т15)- 160.
313
Пренебрегая теплотой переохлаждения конденсата, можно записать
формулу для плотности теплового потока q в турбулентно стекающей
пленке:
ч = (х + К)— ■
Ау
Здесь X — теплопроводность жидкости, а Хт — турбулентная
теплопроводность. В нашем случае q не зависит от у.
Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя его на отрезке от О
до 8, с учетом того, что при у = О Т = Гс, а при у = 8 Т = Ts, получаем
б
_dy_
, + А
Поскольку а = ql{Ts - Гс), то при X = const будем иметь
'■•-'■•-'jrfv
О т
а = g - . (12.23)
г &У
[\ +Х/Х
О т
Так как мы уже знаем, как найти 8, то вся сложность определения а
теперь заключается в вычислении интеграла в знаменателе (12.23).
Поскольку отношение Хт/Х сложным образом зависит от>>, получение
формулы для а возможно только численным методом.
Формула Лабунцова, аппроксимирующая результаты численного
интегрирования (12.23) в диапазонах 1<Рг<25и6*10 <Re<3*10, имеет вид
а/
—^ = 0,023 Re0'25 Рг0'5. (12.24)
Л,
В (12.24) а — местный коэффициент теплоотдачи, который можно
найти, если задано число Re. При этом должны быть известны либо
средняя плотность теплового потока на участке стенки, расположенном выше
рассматриваемого сечения, либо расход сконденсировавшегося пара.
Обычно на практике наблюдается смешанный режим течения пленки.
В этом случае в верхней части стенки (0 < х < х ) течение ламинарное
и ламинарно-волновое, а в нижней — турбулентное. Вообще говоря,
турбулентные возмущения в пленке развиваются постепенно, поэтому
существует некоторая переходная зона, закономерности теплообмена в которой
изучены недостаточно. Для инженерных расчетов важно знать средний
коэффициент теплоотдачи а при смешанном режиме течения пленки.
Метод расчета а был предложен Д.А. Лабунцовым (1957 г.). Рассмотрим
сущность этого метода.
314
В уравнении (12.6) произведение v 5 выразим через число Re с
помощью (12.2):
vwRe
v д ~
4 '
а также учтем, что q = аДГ, где AT = Ts - Тс представляет собой местный
температурный напор. Тогда (12.6) запишется в виде
lAId, = dRe. (12.25)
П*ж а
Теперь введем \\>(х) = АТ/АТ, где AT - Ts - Тс. С учетом этого
проинтегрируем (12.25) по х от нуля до к.
— h h
^U(*)d;t=f^. (12.26)
Интеграл в левой части равен h. Верхний предел интегрирования в
правой части следует заменить на число Re в сечении х = h. Так как
то
вместо
(12
.26) будем
4 A Th _
иметь
Re
а
Aqh =
г\хжа
Re
г dRe
J а
0
Re
а
(12.27)
Для того чтобы найти а из (12.27), область интегрирования следует
разбить на две части. При этом в первой части (0 < Re < 1600) интеграл
в (12.27) можно не вычислять, так как известно, что для а справедлива
формула (12.18), т.е.
^ = 0,725-^Re1'28 = 0,725 • 1600U8-£ = 9150-^. (12.27а)
а Лж ^ж Хж
Примем, что для второй части (Re > 1600) справедлива формула (12.24).
Следовательно,
/ Re /
^ = 43,5^Pr-°'5 J Re-1/4dRe = 58-W°'5(Re3/4-253). (12.276)
а X J X
ж 1600 ж
315
Складывая (12.27а) и (12.276), получаем формулу Лабунцова для
смешенного режима стекания пленки:
Ы2 Re
Г^ = =05 3/4 • (1228)
Лж 9150 + 58Pr ' (Re - 253)
Формула (12.28) используется в расчетах теплообменных аппаратов
при Re > 1600. Если Re < 1600, то для расчета а применяется формула
(12.18). Значения физических свойств жидкости при этом выбираются по
температуре Ts. Число Re определяется по расходу конденсата, который
можно найти из уравнения теплового баланса.
В некоторых случаях считается известной температура Гс,
следовательно, задана величина Z. Тогда формулу (12.28) следует преобразовать
с учетом того, что
^g = Re
Избавляясь от комплекса а/г/Хж в левой части (12.28), получаем
формулу, в которой число Re является искомой величиной:
Re = [253 + 0,069Pr°'5(Z - 2300)]4/3. (12.29)
Формула (12.29) справедлива при Z> 2300. Зная число Re, можно
получить a, q или расход конденсата, воспользовавшись (12.3).
12.4. Конденсация пара на наружной поверхности горизонтальных
труб
Теория пленочной конденсации неподвижного пара на одиночной
трубе. Рассмотрим длинную горизонтальную трубу диаметром d = 2г0,
находящуюся в пространстве, занятом сухим насыщенным паром, температура
насыщения которого 7^. Примем, что температура стенки трубы Тс = const,
причем Гс < Ts. Так как толщина пленки 5 « г0, то аналогично случаю
плоской стенки а = Х/8. В цилиндрических координатах 5 = 8(ф) (рис. 12.7).
Уравнение для определения 8 имеет вид (12.6) с той лишь разницей, что
х = фг0, a vx = v , где уф — проекция i; на направление еф (рис. 12.7).
С учетом сказанного выше толщину 5 будем находить в результате
решения уравнения
уА^о = Рж^(%5)- (12-30)
316
Рис. 12.7. К постановке задачи
о конденсации пара на
поверхности горизонтальной трубы
Скорость v определяем после решения уравнения движения для
компоненты скорости v . Так как 5 « г0, то это уравнение будет иметь вид
(12.6а), где у — координата, отсчитываемая от поверхности трубы, a g равно
£ф — проекции вектора g на направление еф, причем g = g sin ф. Граничные
условия будут такими же, как и в задаче Нуссельта, поэтому (см. § 12.2)
сразу можно записать
1 (Рж-Рп)^ф R2
V = - ~ О .
ф 3 а
где
Подставляя полученное выражение для v в (12.30), получаем
5d(53 sin ф) = A dcp, (12.31)
3^wv Л7УЛ
А =
го
(12.31а)
(Рж-Рп)гЯ
Обозначим / = /(ф) = sin ф и введем новую неизвестную функцию
и ~f 38. После умножения левой и правой частей (12.31) на/ получим
Зм3 дал = Afm dq>.
При ф = 0 и = 0. Интегрируя (12.32), приходим к выражению
( Ф \1/4
A\fW3dJ ,
(12.32)
317
откуда следует формула для 8:
д = {-зА) Jul
/Ф
1/4
J/1/3d9
v0
(12.33)
Можно найти 5 при ф = 0. Для этого следует учесть, что
Г • I/3 Л \ f */3 А
I sin ф аф J ф аф
lim -2-
. 1/3
sin ф
1/3
3у/4
Л/4
Из (12.33) получаем 5ф = 0 = А . Зависимость 8 = 8(ф) можно найти
численным интегрированием (12.33). Расчеты показывают, что заметный
рост 8 наблюдается при ф > я/2.
Местный коэффициент теплоотдачи
1/4
/Ф
1/3 г А/3
, -1/4
а = 1 = Щ f W d(p
Средний коэффициент теплоотдачи
1 г *--*{ з \W4
<x = Madq> = — (у-) В, (12.34)
тс J тс \4А/
где
7U /ф
-1/4
/•1/3 А
f dq>.
* = J J/ Ч
Ф
Пусть 2 = j/ ёф. Тогда dz =/ ёф, а (если Zj = 2 при ф = тс)
В = \ 2 Q2 = z 2
о
4 3/4
Вычислим 21? предварительно заметив, что
71 71/2
f . 1/3 , „ г . 1/3 ,
2j = J sin ф ёф = 2 I sin ф аф.
о о
Последний интеграл можно найти с помощью гамма-функций, так как
известно, что
318
f,.2a+lw 2P+1 , . Да+ 1)ДР+ 1)
J(sm *)(cos x)dx = ——-^-.
0
В нашем случае a = - (1/3), а p = - (1/2).
Тогда
г(1УШ
г. = = 2,5874.
Теперь из (12.34) с учетом (12.31а) получается формула для среднего
коэффициента теплоотдачи при конденсации пара на наружной
поверхности горизонтальной трубы:
Яж(рж-рп)£г
a = о,728 4 ж ж" . (12.35)
Ч ужлг^
Формула (12.35) (но с коэффициентом 0,725) получена Нуссельтом.
Значение коэффициента 0,728 является более точным. Это значение
получено Д.А. Лабунцовым (см. сноску в § 12.2). Им же показано, что при
Яс = const
a = 0,693 4 М^—=^- , (12.36)
где Тс — средняя интегральная температура стенки.
Напомним, что, вычислив а по (12.36), можно определить q =
= а(Г5 - Тс). Физические свойства жидкости, входящие в формулы (12.35)
и (12.36), рекомендуется относить кГ^и при этом учитывать поправку ет
(см. § 12.2), т.е. a = ocNueT, где aNu рассчитывается по (12.35) или (12.36).
Конденсация на пучке горизонтальных труб. Случай конденсации
на одиночной горизонтальной трубе на практике встречается редко.
Обычно теплообменный аппарат состоит из большого числа труб.
Например, в конденсаторе паровой турбины насчитывается 10 000—15 000
горизонтально расположенных труб. Коэффициент теплоотдачи для трубы,
находящейся в пучке, зависит от места ее расположения. Если труба
находится внутри пучка, то на нее попадает конденсат, образующийся на
трубах, находящихся выше. На данной трубе образуется также «собственный»
конденсат, в результате чего с увеличением номера ряда труб происходит
Увеличение толщины пленки конденсата (рис. 12.8, а), что приводит к
319
Рис. 12.8. Упрощенная (а) и действительная (б)
картины стекания пленки конденсата в
элементе пучка горизонтальных труб
уменьшению коэффициента теплоотдачи. Однако конденсат стекает не
непрерывно, а каплями (рис. 12.8, б), что создает возмущения в пленке на
трубе нижестоящего ряда и увеличивает интенсивность теплообмена.
Как для одиночной трубы, так и для пучка труб существенное влияние
на конденсацию оказывает скорость пара. В теплообменниках с
цилиндрическим корпусом скорость пара при его движении сверху вниз изменяется
как за счет уменьшения расхода пара (пар постепенно превращается в
жидкость), так и за счет изменения проходного сечения. В результате
теплоотдача для труб нижних рядов оказывается ниже, чем для труб,
расположенных в верхних рядах.
Выше рассматривался вопрос о том, как влияет наличие воздуха в паре
на теплообмен при его конденсации. Напомним, что, чем больше
концентрация воздуха, тем меньший тепловой поток отводится через поверхность
охлаждения. При движении паровоздушной смеси сверху вниз
концентрация воздуха больше (следовательно, интенсивность теплообмена меньше)
для труб нижних рядов пучка.
Коэффициент теплоотдачи при конденсации практически неподвижного
пара на горизонтальном пучке труб приближенно можно определить
следующим образом [45].
Сначала формулу Нуссельта для одиночной трубы преобразуем к
безразмерному виду. Для этого учтем, что расход конденсата, приходящийся
на единицу длины трубы,
qnd
г
G, =
Тогда температурный напор
АТ =
nda
Подставляя последнее соотношение для AT в формулу Нуссельта,
получаем
-1/3
а/
т
= 1,52
MG^
И
(12.37)
320
Согласно некоторым опытным данным, соотношение (12.37) можно
применить к любой трубе в пучке, если под Gx понимать расход конденсата,
стекающего с данной трубы. Последний нетрудно рассчитать путем
последовательного определения расхода конденсата, стекающего с каждой трубы.
Для пояснения метода расчета теплоотдачи рассмотрим случай, когда
температура поверхности всех труб задана. В действительности эта
температура неизвестна, ее находят, рассматривая процесс передачи теплоты
от пара к охлаждающей жидкости с учетом термических сопротивлений
стенки и теплоотдачи на внутренней поверхности трубы.
Сначала по формуле Нуссельта определяем a j для труб первого ряда,
а затем находим расход конденсата
(1) axnd(Ts-TQX)
Сг .
Г
Расход конденсата, образующегося на трубе второго ряда, определяется
аналогично:
GK } = — — . (12.38)
Теперь в (12.37) следует подставить значение а, найденное по (12.38).
При этом в (12.37) Gj = G\ + G\ . В результате получаем уравнение,
(2)
из которого легко найти G\ . Таким же образом решаем задачу для
третьего и всех последующих рядов.
Если скорость пара, входящего в теплообменный аппарат высока, то
надо вводить поправку
е„ = 1,4
,_ 2/ГГ7 ^ чл _,0,05
v (Т -Т )Х
nv S с' я
ж
gdr\i„
(12.39)
Если обозначить коэффициент теплоотдачи для неподвижного пара
через а0, а для движущегося пара через а, то а = a0ev. Скорость пара vn
в (12.39) соответствует самому узкому сечению потока; эта формула
применима, если а/а0 < 1,7.
Отметим, что существуют и другие методы расчета процесса
конденсации на горизонтальном пучке труб.
12.5. Теплообмен при конденсации пара в трубах
Качественное описание процесса. Рассмотрим случай, когда в
охлаждаемую вертикальную трубу поступает перегретый пар. Пусть в результате
процесса теплопередачи от пара к охладителю на входном участке устано-
321
Рис. 12.9. Схема изменения температур пара, стенки
и охлаждающей жидкости при конденсации в трубе
вится такое распределение температуры
стенки трубы, что во всех точках этого
участка Тс > Ts. Тогда это будет участок
однофазного потока. Конденсация начнется
тогда, когда температура Тс станет равной
(или несколько ниже) температуре Ts.
Начиная с точки А (рис. 12.9) на стенке трубы
будет образовываться пленка конденсата, а
в точке В температура пара станет равной Ts. На пленку действуют как
сила тяжести, так и сила трения на границе раздела фаз. Сила трения,
которая характеризуется касательным напряжением на поверхности раздела
фаз ап, зависит от скорости движения пара. Поскольку расход пара Gn по
мере продвижения по трубе уменьшается (расход конденсата GyK
соответственно растет), то ап =/(z), где z — продольная координата.
Отношение расхода пара Gn в данном сечении трубы к расходу смеси
G= Gn + Сж называется расходным массовым паросодержанием х, т.е.
х = GnIG. При полной конденсации пара на выходе из трубы х = 0, при
частичной конденсации х > 0. Касательное напряжение ап (т.е. скорость пара)
оказывает существенное влияние на характер поведения пленки конденсата
на стенке трубы. Если силы тяжести, действующие на пленку, соизмеримы с
силами трения, то движение конденсата будет зависеть от ориентации трубы
в пространстве, а в случае вертикального расположения и от того, в какую
сторону (сверху вниз или снизу вверх) движется пар. Если пар движется
снизу вверх с малой скоростью, конденсат свободно стекает вниз по стенке
трубы. С повышением скорости пара наступает момент, когда стекание
конденсата периодически задерживается потоком пара, и часть конденсата
отделяется от поверхности трубы. При определенной скорости пара конденсат не
вытекает из нижнего сечения трубы, а остается в ее объеме. С повышением
скорости возникает восходящий поток смеси пара и конденсата.
Если пар поступает в вертикальную трубу сверху, то в верхней части
трубы течение пленки ламинарное, а начиная с точки z = z (z —
продольная координата) оно переходит в турбулентное. Координата точки
перехода зависит от критического числа Рейнольдса пленки конденсата ReKp-
Если для неподвижного пара Re = 1600, то с увеличением ап Re резко
снижается. Имеются данные [45], которые говорят о том, что при
значениях безразмерного касательного напряжения
G
[p(p-p")ngr/3
322
Рис. 12.10. Режимы течения парожидкостной смеси в горизонтальной трубе
а — расслоенный; б — волновой; в — пузырьковый; г — снарядный; д — эмульсионный; е —
Дисперсно-кольцевой
больших 9, число Re = 50, а в области 0 < стп < 9 Re уменьшается,
причем
г л3
ReKp = 1600 - 226 а* + 0,667(а„ J .
При конденсации пара, движущегося в горизонтальной трубе, в
зависимости от его скорости могут иметь место различные режимы течения паро-
Жидкостной смеси: дисперсно-кольцевой, кольцевой, расслоенный
и Другие (рис. 12.10). Если скорость входящего в трубу пара высока, то
а начальном участке трубы наблюдается кольцевой или дисперсно-коль-
^ев°й режим течения. При этом конденсат на стенке образует кольцевую
Ленку, а в ядре потока движется пар, в котором содержатся капли конден-
323
сата, оторвавшегося от поверхности пленки. С увеличением координаты z
скорость пара, как отмечалось выше, падает, что приводит к преобладаю-
щему влиянию на пленку силы тяжести: пленка по внутренней
поверхности трубы стекает вниз, где и накапливается конденсат, образуя ручей,
который движется в продольном направлении совместно с потоком пара.
Образование зоны медленно движущейся по нижней части трубы
жидкости является причиной появления асимметричного изменения а по
периметру и уменьшения среднего а .
Теплоотдача при конденсации в трубах. Если на поверхности трубы
задана средняя плотность теплового потока, то с инженерной точки зрения
задача сводится к отысканию расхода пара, который конденсируется в
трубе. Эта задача решается просто. Действительно, запишем уравнение
теплового баланса для элемента трубы длиной dz:
-qnddz = rdGn, (12.40)
где q — местная плотность теплового потока; знак «минус» указывает
на то, что теплота отводится.
Проинтегрируем (12.40) по z от 0 до / (/ — длина трубы), а по Gn
0Т <^п.вх = хвх° Д° ^п.вых = *BbixG' Tor^a ПОЛУЧИМ
qndl = rG(xBX-xBUX).
При полной конденсации поступающего в трубу сухого насыщенного пара
qndl = rG.
Однако на практике ни q , ни Тс заранее не известны, поэтому для
решения задачи нужно рассматривать процесс теплопередачи в целом, т.е.
учитывать термическое сопротивление стенки и интенсивность
теплоотдачи на наружной поверхности трубы (там, где находится охладитель).
В этом случае нужно знать коэффициент теплоотдачи на стороне
конденсата. В принципе, располагая данными по ап и формулами,
учитывающими влияние ап на а (см. § 12.2), можно найти локальные значения а
внутри трубы. Касательное напряжение ап можно определить либо по
гидравлическому сопротивлению парожидкостного потока, либо по
коэффициенту трения на межфазной границе.
Расчетную формулу для а можно получить также, опираясь на
аналогию Рейнольдса . Пусть, например, имеется случай, когда влияние силы
тяжести не сказывается на парожидкостном потоке и на большей части
длины трубы режим движения пленки конденсата турбулентный. Если
к тому же скорость пара такова, что происходит интенсивный срыв конден-
1 См. статью: Бойко Л.Д., Кружилин Г.Н. Теплопередача при конденсации пара в трубе //
Изв. АН СССР. Сер. энергетика и транспорт. 1966. № 5. С. 113—128.
324
сата в ядро потока и обратный процесс переноса капелек жидкости
к стенке, т.е. наблюдается интенсивное перемешивание конденсата в
пленке, то при этом в результате теоретического анализа можно получить
где а0 — коэффициент теплоотдачи для однофазного турбулентного
потока жидкости в данной трубе, причем расход этой жидкости
(конденсата) равен G; р' и рсм — плотность жидкости и средняя плотность паро-
жидкостной смеси в данном сечении трубы.
При известном расходном массовом паросодержании
Рем Р
Средний коэффициент теплоотдачи (усредненный по всей длине трубы)
а0 2LVPcm;bx VPCM;BbixJ
Соотношение (12.41) подтверждено опытами на трубе длиной 2,5 м при
давлении пара от 1,2 до 9 МПа как при полной (jcbx = 1, хвых = 0), так и при
частичной (хвх = 1, хвых = 0,2...0,5) конденсациях, а также опытами на
трубе длиной 12 м при давлениях 6 и 9 МПа при полной конденсации пара.
Тепловые потоки в опытах изменялись от 1,6-10 до 1,6-10"Вт/м".
12.6. Капельная конденсация
Капельная конденсация происходит в том случае, когда жидкость плохо
смачивает поверхность охлаждения (краевой угол 0 > 90°). Интенсивность
теплообмена при капельной конденсации гораздо выше, чем при
пленочной, поэтому разрабатываются методы получения капельной конденсации
в технических устройствах. К таким методам относится покрытие
поверхности особыми веществами — гидрофобизаторами (например, покрытие
тефлоном), которое обеспечивает плохую смачиваемость поверхности.
Подобные вещества можно добавлять также непосредственно в паровое
пространство (или в поток пара).
Капелька жидкости, появившаяся в объеме пара, будет находиться в
состоянии неустойчивого равновесия, если ее радиус равен критическому
радиусу, определяемому по формуле
_ 2*Ts
R*v " грЛГ
325
где АТ= Ts- Гп; здесь Ts — температура насыщения при данном давлении,
а Ти — температура пара.
Если радиус капельки R < R ее существование в объеме пара
невозможно; если R > RKp, она растет. Центрами конденсации на охлаждаемой
поверхности обычно являются микронеровности (впадинки). В первом
приближении значение переохлаждения пара, необходимое для начала
конденсации, можно найти из условия, что радиус устья впадинки должен
быть больше R . В более точных расчетах необходимо учесть поправку
на расклинивающее давление [10]. Расчеты показывают, что при переохла-
ждении поверхности на 0,1—0,3 °С на площади 1 см число образующихся
ft 8
капелек составляет около 10 —10 . Капли быстро растут как за счет
конденсации, так и за счет слияния с другими каплями. Достигнув большого
размера, они скатываются по поверхности, отрываются или уносятся
потоком пара.
Для обобщения опытных данных по теплоотдаче при капельной
конденсации В.П. Исаченко [10, 11] предложил следующие комплексы:
Nu= Р; Re, = —; Рг = -; Пк = —^; $ = ~{^
ж ^ж ж ГО V
^ж ж
При Re* = 3,3 • Ю-3...3,5 • 10~2
Ки = 5-10^Ке*-1'57Як1'16Рг,/3,
а при Re, = 8 • 10^...3,3 • 10~3
Nu = 3,2-10^Re^84^u6Pr1/3.
Ha коэффициент теплоотдачи при капельной конденсации
существенное влияние оказывают такие факторы, как наличие в паре
неконденсирующихся газов и теплопроводность стенки (при конденсации на медной
поверхности а в 2—3 раза больше, чем на стальной).
Для приближенной оценки интенсивности теплообмена при
конденсации чистого водяного пара на медной поверхности (ts = 100 °С) можно
принять а « 250 000 Вт/(м2-К). При 20 < ts < 100 °С а « 50 000 + 2000/,
(см. [45]). Ввиду больших значений а в процессе капельной конденсации в
теплообменных аппаратах значение теплового потока определяется
термическим сопротивлением со стороны охлаждающей жидкости, а также
сопротивлениями стенки и возможных оксидных пленок. Следует
учитывать также сопротивление фазового перехода.
326
12.7. Задачи с решениями
Задача 1. На вертикальной стенке (tc = 80 °С) конденсируется сухой
насыщенный водяной пар (р = 0,101 МПа). Определите х — координату
точки перехода от ламинарного течения пленки конденсата к
турбулентному. Найдите также толщину пленки 8, коэффициент теплоотдачи а,
среднюю скорость пленки vx в сечении х = х и количество
образующегося в единицу времени (в расчете на единицу ширины стенки) конденсата
на участке 0 < х < х
Решение. В точке х
xv„Z= 2300. Обозначим
кр
А
"£(РЖ ~ Рп)'
УжРж
1/з X
ж
При ts = 100 °С для воды рж = 958 кг/м ; Хж = 0,677 Вт/(м • К);
6 2,
цж = 2,82 -10 Па • с; уж = 0,295 -10 м/с. При той же температуре рп =
= 0,597 кг/м ; г = 2257 кДж/кг. С учетом этих данных А = 51,69 1/(м • К).
Так как Z = AAtx (At = t - tc), то
x„» =
2300
= 2,22 м.
KP 51,69(100-80)
Толщину пленки найдем по теоретической формуле Нуссельта:
8 =
/ _4 \1/4
г 4 • 0,677 • 2,82 -10-20 -2,22
= 2,02 • 10 4 м.
^2257 • 10 • 958(958 - 0,597) • 9,8^
эе знг
0,677
Определим теоретическое значение а при х = х'
а =
2,02 • 10
Скорость течения пленки
= 3352 Вт/(м" • К).
.-4 2
v = (9Д«-0^)-9>8(2,02-10 ) = 0?45 м/с
х -4
3 -2,82- 10
Теоретический расход конденсата рассчитаем двумя способами:
G = рж vx 5 = 958 • 0,45 • 2,02 • 10"* = 0,087 кг/(м • с);
aAtx 4 3352 - 20 - 2,22 Пй_
G = = - — = 0,087 кг/(м • с).
r 3 2257 • 10
Действительный расход конденсата G = 1600цж/4 = 0,113 кг/(м • с).
327
Ответ. 6 = 0,202 мм; а = 3352 Вт/(м2 • К); vx = 0,45 м/с; G = 0,087 кг/(м • с) —
теоретическое значение и G = 0,113 кг/(м-с) — действительное значение
с учетом поправки на волновое течение пленки.
Задача 2. Снаружи вертикальной трубы диаметром 25x1 мм и длиной
1,8 м находится сухой насыщенный водяной пар с давлением 0,101 МПа.
Внутри трубы протекает вода. Тепловой поток, отводимый водой,
составляет 17 500 Вт. Найдите среднюю температуру наружной поверхности
трубы.
Решение. Средняя плотность теплового потока на наружной
поверхности трубы
- 17 500 л-л 1Л5 та , 2
q = — = 1,24 • 10 Вт/м .
тс • 25 - 10 -1,8
Определяем число Re пленки конденсата:
Re = 4 1>24-105-1,8 = 1403.
2257 • 10 • 2,82 • 10
Режим течения пленки ламинарно-волновой. При этом
',=
_4 2 ч1/3
(2,82-10 ) ) _ -з
958(958-0,597)-9,8] " °'78 10 М'
а = 1,39 °'677 • 1403 °'29 = 3260 Вт/(м2 • К).
3,63 • 10
Температура стенки
7С = 100 - 1,2А' 10 = 62 °С.
3,26 • 10
Ответ. Температура стенки t = 62 °С.
Задача 3. Дана труба с наружным диаметром d= 30 мм и длиной / = 2,22 м.
Найдите а, и а, — коэффициенты теплоотдачи при конденсации водяного
пара (р = 0,101 МПа) в случае горизонтального и вертикального
расположений трубы. Температура tc = 80 °С.
Решение. По формуле Нуссельта
а, =0,728
328
/0,6773 • 958(958-0,597) • 2257 • 1Q3 • 9,8^ '/4
2,82 • 10"4 • 20 • 0,03 j
= 13 900Вт/(м2-К).
Из задачи 1 следует, что в нашем случае Re = ReKp = 1600. Тогда
= 1600 • 2257 • 103 • 2 82 • 1(Г4 = 5Ш 2.
2 4-20-2,22 v '
Ответ. При горизонтальном расположении трубы а{ = 13 900 Вт/(м • К),
_ 2
а. при вертикальном а2 = 5734 Вт/(м • К).
Задача 4. В вертикальной трубе (d = 30 мм) конденсируется водяной
пар при давлении рп = 2,32 МПа. На входе скорость пара vn = 28 м/с, а
расходное массовое паросодержание хвх = 1. Средняя температура стенки
7 =180 °С. При какой длине трубы будет обеспечена полная конденсация
пара? Найдите скорость конденсата на выходе из трубы.
Решение. При рп = 2,32 МПа ts = 220 °С. При этой температуре
р =840,6 кг/м3; р" = 11,62 кг/м3; г = 1856 кДж/кг; X = 0,65 Вт/(м • К);
р = 1,334 • 10"4 Па • с; Рг = 0,86.
Вычисляем расход пара на входе в трубу:
Gn = 11,62 • 28 J • 0,032 = 0,228 кг/с.
Следовательно, для расчета а0 G = Gn и число Рейнольдса для воды
Re = 4-0,228 ,104
я-0,03 • 1,334- 10
По формуле Петухова находим, что при Re = 7,76 • 104 а0 = 3686 Вт/(м2 • К).
Вычисляем отношение (р' /р)вх:
& =1 + 840,6-11,62
Р^вх 11,62
На выходе хвых = 0 и (р'/р)вых = 1. Вычисляем средний коэффициент
теплоотдачи при конденсации пара в трубе:
а = - • 3686(^7^3 + 1) = 17 500 Вт/(м2 • К).
С учетом того, что q = a(ts - 7), искомая длина трубы
/= 0,228 - 1856 - 103 _
17 500тг-0,03(220-180) " 6'4 М'
329
Скорость конденсата на выходе из трубы
4 • 0,228 лоо ,
ик.вых = 2 = °'38 М/С-
840,6тг • 0,03
Ответ. Длина трубы / = 6,4 м. Скорость конденсата ^квых = 0,38 м/с.
Задача 5. На наружной поверхности вертикально расположенной
латунной трубы с диаметром и толщиной стенки d2x8 = 19x1,5 мм
конденсируется сухой насыщенный водяной пар (ps = 1,55 МПа, ts = 200 °С).
По трубе сверху вниз протекает вода, расход которой G = 0,12 кг/с.
Давление воды р = 2,0 МПа, ее температура на входе в трубу t0 = 120 °С, а на
выходе из нее /вых = 180 °С. Найдите высоту трубы.
Решение. Для расчета среднего коэффициента теплоотдачи а2 со стороны
пара воспользуемся формулами, вьшеденными в § 12.2 и 12.3. С помощью этих
формул можно найти среднюю плотность теплового потока q2 = OL2(ts - 7с2),
где 7 с2 — средняя температура наружной поверхности трубы. Со стороны
воды ^1=а1(7с1-7в),где 7в — средняя температура воды. При этом
qxndx = q2nd2 = ql и, кроме того, ql = 2nl(~tc2 - 7с1 )/\n(d2/dl). Так как
закон изменения температуры воды вдоль оси трубы неизвестен, то 7В
рассчитать невозможно. Тогда мы имеем четыре неизвестные величины: /с1,
/с2, ql и /в. Число написанных выше уравнений равно трем.
Следовательно, система уравнений не замкнута. Однако приближенно можно
считать, что на небольшом участке трубы температура воды изменяется
по линейному закону. Заданную разность температур tBblx - /0 разобьем на
п равных частей. Обозначим tn = /вых. Тогда для малого участка трубы Л/ =
= (tn - t0)/n. Пусть hx — длина первого (начиная отсчет сверху) участка;
h2 — сумма длин первого и второго участков; h3 — сумма длин первого,
второго и третьего участков и т.д. Тогда hn = h, где h — искомая высота
трубы. Соответственно 7 j — средняя температура воды на первом
участке; ^в2 — то же на суммарной длине первого и второго участков и т.д.
При этом 7 j = 0,5(70 + /j), где tx — температура воды в конце первого
участка. Если произвольное число малых участков равно к, то
h
330
Будем последовательно находить hl9 /z2, ..., hn. Для воды при ее средней
температуре /в = 0,5(120 + 180) = 150 °С ср = 4,309 кДж/(кг • К); X =
= 0,682 Вт/(м • К); ц = 1,82 • 10"4 Па • с; Рг = 1,15. Число Re = 52 466, а число
Нуссельта (по формуле Петухова с учетом поправки ет) Nu = 132,9. Тогда
для воды а = 5664 Вт/(м • К). Принимая для латуни X = 100 Вт/(м • К),
находим
1 ■ ±Ы% + ± = 0,0107 + ^-6.
ср* = + rrln-f + = 0,0107
где ак — средний коэффициент теплоотдачи при конденсации пара.
Величина qlk = n(ts - ~*вк)/<Рк, а Qk = qlkhk. В то же время
££ = 0,12-4309Ш = 517Ш (* = 1,2, ...,«).
Обозначим vj/^. = 0,5(fy _ j + ^). Для расчета /?£ получаем формулу
где & > 2.
Значение hx определяем из уравнения 517А/ = я(200 - 1 х) hx/yv
Для расчета а^ из таблиц свойств воды и водяного пара находим (при
ts = 200 °С):
р' = 864,8 кг/м3; р" = 7,865 кг/м3; ц = 1,334 • 10"4 Па • с; v = 0,1543 • 10"* м2/с;
X = 0,665 Вт/(м • К); Рг = 0,9; г = 1938 кДж/(кг • К).
С учетом этих данных / = 1,348 • 10"5 м, а для пленки
Если Rek< 1600, то
а* = l,38^Re-°'28 = 68 079 • Re"0'28.
ЕслиЯеА> 1600, то
а. = т
X *>* 49 332Re,
к lg 9200 + 58Рг 0,5(ReJ'75 - 253) 9200 - 60,9(ReJ'75 - 253)
Принимаем п = 30. С помощью компьютера находим h = 3,77 м.
Ответ. Высота трубы h = 3,77.
331
Краткие итоги гл. 12
1. Конденсация пара на гидрофильной поверхности твердого тела, при
которой образуется сплошная пленка конденсата, называется пленочной
конденсацией, а на гидрофобной поверхности — капельной. На практике в
большинстве случаев встречается пленочная конденсация. Тепловой поток,
отводимый при конденсации Q — GKr.
2. При конденсации пара на охлаждаемой стенке, при наличии
отложений на двух ее поверхностях, могут быть семь термических сопротивлений.
Четыре из них (термические сопротивления стенки и двух отложений, а
также сопротивление теплоотдачи) рассматривались в гл. 2. Диффузионное
сопротивление, сопротивления фазового перехода и пленки конденсата
относятся к процессу конденсации. При заданной разности температур
отводимый тепловой поток и, следовательно, количество
конденсирующегося пара обратно пропорциональны сумме всех термических
сопротивлений. При конденсации чистого пара (без примесей воздуха) на чистой
стенке будут лишь три термических сопротивления. Исключение
составляют случаи конденсации пара при очень низких давлениях и конденсации
паров расплавленных металлов. В этих случаях следует учитывать еще
сопротивление фазового перехода.
3. Основные факторы, влияющие на теплообмен при конденсации:
физические свойства жидкой и паровой фаз вещества, температурный
напор AT = Ts - Тс (или плотность теплового потока), форма и размеры
твердого тела, его расположение в пространстве, скорость пара и др. В
теплообменных устройствах ТЭС и АЭС конденсация пара происходит
либо на наружной поверхности вертикальных или горизонтальных труб,
либо при движении пара внутри труб.
4. При конденсации практически неподвижного пара на вертикальной
плоской стенке (или трубе) и на горизонтальной трубе могут быть как
ламинарный, так и турбулентный режимы стекания пленки конденсата. Для
ламинарного режима Нуссельтом получены формулы:
аверт = 0,943 4JS- ;
где С = я4(рж-рп)£г/уж.
С учетом поправки на волновое течение в безразмерном виде для
0 78
вертикальной стенки будем иметь Re = 3,8 Z ' . Число Рейнольдса пленки
конденсата Re = 4а Д Гй/(гцж), a Z = AATh (А — комплекс физических
332
свойств); критические значения, при которых происходит переход от
ламинарного режима к турбулентному, Re = 1600, Z = 2300.
Конденсация на горизонтальной трубе обычно происходит при
ламинарном режиме течения конденсата.
5. Для смешанного режима стекания конденсата (вверху —
ламинарный, внизу — турбулентный) на вертикальной стенке (трубе) справедлива
формула Лабунцова
Re = [253 + 0,069 Pr°'5(Z - 2300)]4/3.
6. Средний коэффициент теплоотдачи при конденсации пара,
движущегося по трубе, можно рассчитать по формуле
JL = I
ап 2
[(£)♦(£)]■
причем
Рем Р
где х — массовое расходное паросодержание (отношение расхода пара к
расходу пароводяной смеси); а — коэффициент теплоотдачи для
однофазной жидкости, расход которой равен расходу смеси.
Глава тринадцатая
ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ
13.1. Основные сведения о механизме парообразования
На практике встречаются два случая кипения: кипение в большом
объеме (в условиях свободной конвекции парожидкостной смеси) и кипение
при вынужденном движении (кипение жидкости в трубах). Первый случай
широко распространен в быту, в промышленности и энергетике он
соответствует условиям работы различных испарителей и некоторых типов
парогенераторов АЭС. Кипение при вынужденном движении осуществляется в
процессе преобразования воды в пар в области экранных поверхностей
нагрева топок паровых котлов, работающих при докритических давлениях.
Способ отвода теплоты из активной зоны ядерного реактора с помощью
двигающейся по каналам кипящей воды используется также на АЭС.
На интенсивность теплообмена при кипении оказывает влияние целый
ряд факторов, не поддающихся строгому теоретическому анализу.
Основными факторами являются: физические свойства жидкости, температурный
напор AT = Тс- Ts (или плотность теплового потока q), состояние
поверхности нагрева (чистая или окисленная, гладкая или шероховатая и т.п.),
чистота жидкости, давление.
Закономерности теплоотдачи при кипении в основном получают
опытным путем. Чтобы распространить результаты экспериментов на возможно
большее число процессов кипения, при получении обобщающих формул
часто используются различные гипотезы (модели), основанные на
физических представлениях о кипении.
Условия, необходимые для образования пара в объеме жидкости. Из
курса термодинамики известно, что если имеются две фазы какого-либо
вещества и они вступают в контакт друг с другом, то вещество будет
переходить в ту фазу, химический потенциал которой меньше. У перегретой
жидкости, т.е. жидкости, находящейся в метастабильном состоянии,
химический потенциал больше, чем у пара. Поэтому перегретая жидкость
стремится превратиться в пар. Важно отметить, что это превращение возможно
только тогда, когда жидкость соприкасается с паровой фазой. Другими
словами, чтобы перегретая жидкость закипела, в ней должны быть зародыши
паровой фазы (центры парообразования).
В идеальных условиях жидкость можно значительно перегреть
относительно температуры насыщения, и при этом она кипеть не будет. Этот
334
перегрев не безграничный, и максимальное его значение зависит от рода
жидкости и от давления. В конце концов жидкость вскипает
самопроизвольно: центры парообразования возникают в результате флуктуации
плотности из-за теплового движения молекул. Температура предельного
перегрева Гпе может быть найдена [45] из эмпирической формулы
Гпе0 = 0,905 + 0,0957;*,
где Гпе0 = Гпе/Гкр, К; Ts0 = Ts/TKp, К (здесь Гкр — критическая
температура, К).
Для воды при атмосферном давлении из этой формулы получим:
Гпе « 583 К = 310 °С. Ясно, что в реальных условиях вода закипает не за
счет образования центров кипения из-за флуктуации плотности, а
вследствие наличия таковых в объеме (пылинки, растворенный газ) или на
поверхности нагрева. Вскипание жидкости в объеме возникает при резком сбросе
давления, под которым находится жидкость. Однако наиболее
распространен тот случай, когда зарождение паровой фазы происходит на
поверхности нагрева. Это объясняется тем, что на поверхности практически
всегда имеются готовые центры парообразования и, кроме того, около
поверхности жидкость больше всего перегрета.
Таким образом, наличие центров парообразования и перегрев жидкости
относительно температуры насыщения являются необходимыми
условиями кипения жидкости.
Критический радиус пузырька. Радиус пузырька пара Якр,
находящегося в состоянии неустойчивого термодинамического равновесия с
окружающей жидкостью, называется критическим. Если радиус пузырька
R > R , пузырек растет, если R < R , его существование в объеме
жидкости невозможно, т.е. если он каким-то образом и возник, то тут же
исчезнет (сконденсируется). Следовательно, критический радиус есть
минимально возможный радиус жизнеспособного пузырька.
Как известно из курса физики, на каждую молекулу жидкости со стороны
окружающих молекул действуют силы притяжения, которые быстро убывают с
расстоянием. Если выделить молекулу внутри жидкости, то силы со стороны молекул,
заключенных в сфере молекулярного действия, оказываются в среднем
скомпенсированными (результирующая сила равна нулю). Если же молекула находится на
расстоянии от поверхности, меньшем радиуса сферы молекулярного действия, то
равнодействующая сил, приложенных к молекуле, не равна нулю и направлена внутрь
жидкости. Это объясняется тем, что концентрация молекул в паре (или газе)
меньше, чем в жидкости. В результате поверхностный слой оказывает на жидкость
давление, называемое молекулярным. Молекулы, перемещающиеся в поверхностный
слой за счет своей кинетической энергии, совершают работу против сил
молекулярного давления. Уменьшение кинетической энергии этих молекул
сопровождается увеличением их потенциальной энергии. Следовательно, молекулы поверхност-
335
ного слоя обладают дополнительной
потенциальной энергией (она называется
поверхностной энергией), которая
пропорциональна площади слоя.
Равновесное состояние, как известно,
характеризуется минимумом
потенциальной энергии. Поэтому поверхность
жидкости (при отсутствии внешних сил) бу-
Рис. 13.1. К выводу формулы Лапласа Дет стремиться к сокращению.
Поскольку при заданном объеме поверхность
шара минимальна, этим объясняется тот факт, что пузырьки пара имеют сферическую
форму.
Поверхностная энергия характеризуется поверхностным натяжением а, Н/м, —
силой, приходящейся на единицу длины контура, ограничивающего поверхность.
Силы поверхностного натяжения направлены по касательной к поверхности и
перпендикулярно к участку контура, на который они действуют. Значение а различно
для разных жидкостей; оно уменьшается с увеличением температуры и давления.
Примеси поверхностно-активных веществ значительно уменьшают а.
Если поверхность жидкости не плоская, а выпуклая, то поверхностное
натяжение приводит к появлению избыточного давления поверхности на жидкость. Если
же поверхность вогнутая, то избыточное давление направлено в противоположную
сторону.
Представим теперь в объеме жидкости пузырек пара радиусом R. Отсечем
мысленно шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиусом г = R since (рис. 13.1).
На каждый элемент окружности длиной d/ действует сила поверхностного натяжения
df= ad/, которую можно разложить на две силы: d/j и df2. Геометрическая сумма сил
d/j равна нулю, поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения
перпендикулярна плоскости сечения и направлена внутрь пузырька. Избыточное давление
Ар легко рассчитать. Сила df2 = a d/ sina = a d/ - . Для всего контура^ = ~Б~пг • P33-
R R
л f2
делив на площадь основания шарового сегмента, с учетом Ар = —- получим
кг
Ap = 2o/R. (13.1)
Формула (13.1) является частным случаем формулы Лапласа, определяющей
избыточное давление для произвольной поверхности двоякой кривизны:
где R^ и R2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных
сечений поверхности жидкости (R > О, если центр кривизны находится внутри
жидкости, и R < О, если он вне жидкости).
Для сферической поверхности R{ = R2 = R, для цилиндрической R^ = R и
R2 = оо? для плоской i?! = R2 = °° (силы поверхностного натяжения избыточного
давления не создают).
336
Рассмотрим теперь случай, когда рп = рж + 2а /R, пузырек будет
находиться в состоянии равновесия с окружающей жидкостью. При этом
жидкость должна быть перегрета относительно Ts при ее давлении (здесь Ts
соответствует плоской поверхности раздела фаз). Действительно, в
условиях равновесия, когда Тп = Гж, число молекул, падающих в единицу
времени на плоскую границу раздела фаз, равно числу молекул, вылетающих
из жидкости за то же время. Так как в пузырьке давление больше, чем в
жидкости, то поток молекул из жидкости должен быть больше того,
который имел бы место для плоской поверхности. Это возможно только путем
увеличения Тж сверх 7^. Другими словами, перегрев жидкости обусловлен
тем, что Тп = Ts (рп), а для равновесия необходимо, чтобы Тж = Тп.
Обозначим радиус пузырька при равновесии фаз через R , , a AT =
= Ts(pn) - Т5(рж). Тогда при малом значении AT в формуле (13.1)
причем (dp/dT)s определяется формулой Клапейрона—Клаузиуса.
Уточненное значение Ар найдем по формуле
Если учесть, что v' = 1 /р', и" = 1 /р", то из совместного рассмотрения
(13.1), (13.2) и формулы Клапейрона—Клаузиуса
*«Р = pVA?- (133)
_з
Оценим RKp для пузырька водяного пара при/? «1,2-10 МПа (^=10 °С)
и/?«21 МПа (^ = 370 °С), AT = 10 К:
2-741,6- Ю-4 • 283 18,10-6м.
9,39 • 10 • 2477 • 10
2-4,71-Ю-4-643 =6>8.10-Юм
203 • 438,4 • 10 • 10
Равновесие пузырька пара в перегретой жидкости неустойчиво.
Малейшие отклонения Т и р от равновесных значений приводят либо к росту,
либо к исчезновению пузырька. Действительно, пусть, например, слегка
337
возрастет, а затем быстро вернется к прежнему значению температура Тж.
Тогда за отрезок времени, когда температура жидкости повышалась,
давление пара в пузырьке (вследствие дополнительного испарения) увеличится,
что приведет к нарушению механического равновесия. Пузырек начнет
расти, а давление в нем (в соответствии с формулой Лапласа) будет
уменьшаться. При более низком давлении температура пара в пузырьке будет
ниже той, которая была ранее в состоянии равновесия. Хотя температура
Тж уже вернулась к прежнему значению, пар в пузырьке уже не тот: его
температура ниже. Перепад температур Тж - Тп приведет к следующему
акту испарения, в результате пузырек будет неограниченно расти.
Рассуждая аналогично, легко доказать, что при незначительном
отрицательном всплеске температуры Тж (т.е. при ее уменьшении) наш пузырек
сконденсируется. Сконденсируется также случайно возникший пузырек
с радиусом R < R (в нем Ти > Тж), в то время как случайно возникший
пузырек, у которого R > R , будет расти.
Неустойчивость равновесия пузырька пара в перегретой жидкости можно
объяснить с позиции термодинамики, используя понятие химического потенциала.
В самом деле, при равновесии, когда R = RKp, у(рп, Т) = Фж(рж, 7), где рп и рж —
давления пара и жидкости; срп и срж — соответствующие химические потенциалы.
Если в результате малого возмущения окажется, что R < RKp, то, как это следует из
формулы Лапласа, давление пара в пузырьке повысится, химический потенциал
паровой фазы станет больше. Так как более устойчива та фаза, у которой ср меньше,
то начнется конденсация пара, которая приведет к дальнейшему отклонению от
состояния равновесия и в конечном счете к исчезновению пузырька. Если окажется,
что R > RKp, процесс фазового перехода пойдет в другую сторону, и пузырек будет
неограниченно расти.
Температуру перегрева жидкости, необходимую для существования пузырька
радиусом R , как указывалось выше, можно определить по формуле (13.3). При
выводе этой формулы предполагалось, что AT — малая величина. Для невысоких
давлений можно вывести формулу, которая будет справедлива и для больших значений
AT При малых давлениях г± — приблизительно постоянная величина, а пар можно
считать идеальным газом. Тогда уравнение Клапейрона—Клаузиуса примет вид
dp _ *фР
dT TSRTU'
где гх — теплота фазового перехода (теплота парообразования); 7^ — температура
насыщения при давлении рж; R — газовая постоянная (для пара).
Разделяя в последнем уравнении переменные р и Т и интегрируя, получаем
Рж TsRTn п *>
338
Из уравнения Лапласа имеем
Рж КкрРж
Тогда соотношение, связывающее между собой критический радиус пузырька
с ^п ~ -Ту будет иметь вид
Гп_Г8 = ^п1п(1+^).
" S >ф V RKPPJ
При выводе последней формулы зависимость ps от радиуса кривизны
поверхности раздела фаз (ввиду ее малости в рассматриваемом случае) не учитывалась.
Скорость роста пузырька. Если радиус пузырька R = R , то, как
указывалось выше, пузырек находится в состоянии механического
равновесия. Если радиус R > RKp, механическое равновесие нарушается и пузырек
растет под действием перепада давлений рп - рж, который расходуется на
преодоление инерции жидкости и сил поверхностного натяжения. В
процессе роста пузырька температура Ти и давление пара рп в пузырьке
изменяются с течением времени, причем, как показывает анализ, в
большинстве случаев зависимость между рп и Гп подчиняется уравнению
Клапейрона—Клаузиуса. Другими словами, температура пара в пузырьке
во всех точках равна температуре насыщения при давлении рп. Так как
давление рп во время роста пузырька меньше, чем в том случае, когда его
радиус R = R , то Ти < Тж и в области жидкости, примыкающей к
пузырьку, возникает градиент температуры, за счет которого происходит
подвод теплоты, расходуемой на испарение жидкости.
В общем случае скорость роста пузырька в неограниченном объеме
жидкости должна определяться в результате решения уравнения движения
поверхности раздела фаз и уравнения энергии с учетом уравнения
теплового баланса.
Предположим, что Тп « Тж. Это условие приближенно выполняется для
пузырьков малых размеров при низких давлениях, когда процесс испарения протекает
с большой скоростью и не требуется больших градиентов температуры для
испарения жидкости. Эта модель роста пузырька называется динамической (задача о
росте пузырька является чисто механической, так как отпадает необходимость
нахождения Гп, а давление рп(Тп) = рп(Тж), т.е. является постоянной величиной). Чтобы
решить указанную задачу, можно воспользоваться теоремой об изменении
кинетической энергии, применив ее для движущейся жидкости. Если предположить, что
объем жидкости не ограничен, и считать, что в начальный момент времени радиус
пузырька R = О, то изменение кинетической энергии жидкости за отрезок времени
R
[О, т] будет равно рж/2 \v dV, где R — радиус пузырька в момент времени т;
о
339
2
dV = 4кг dr (г — текущий радиус); v — скорость движения жидкости. При г = R
v = dR /dx. Из уравнения неразрывности нетрудно найти, что
dR (R\2
Таким образом, изменение кинетической энергии Екин за отрезок времени [0, х]
определяется по формуле
^--Ш®Ъ'*--^&>-
.Ржг RLR (К\2Л2Л_2
R
Из теоремы об изменении кинетической энергии следует:
dx
2(РП-Рж)11/2
. Зрж J *
(13.4)
Из (13.4) видно, что в рассмотренном частном случае скорость роста пузырька
постоянна, а его радиус возрастает прямо пропорционально времени. Формула (13.4)
была получена Релеем (1917 г.). Отметим, что разность давлений в (13.4) может быть
представлена как Ар =/?Д7т00) -роо, гдер^Т^) — давление насыщения при
температуре жидкости Гоо вдали от пузырька; р^ — действительное давление в жидкости
вдали от пузырька. Обозначим AT = Т^ - ^(р^). Тогда на основании уравнения
Клапейрона—Клаузиуса с учетом того, что давление мало, можно записать
Ар = ГЛЕ*АТ, (13.5)
t]r
Области высоких давлений приближенно соответствует энергетическая
(тепловая) модель роста пузырька. В этом случае скорость роста пузырька относительно
мала, вследствие чего инерция жидкости вносит незначительный вклад в динамику
роста пузырька. Поэтому можно принять, что рп « рж. Скорость роста пузырька
находится из уравнения теплового баланса:
^МЗ^/^р"4^^^-
где R = R (х) — радиус пузырька; г — текущий радиус.
Из последнего уравнения получим
dR_ К ГдТ\
340
Для нахождения производной (dT/dr)r=R необходимо решить уравнение
энергии. Решение показывает, что
где Ja — число Якоба;
гфсри
При Ja « 1
R/Ja~z = j2Ta,
а при Ja » 1
ЯЛ/^ = 2 /-Ja.
v ж л/тг
Зарождение и рост пузырьков на поверхности нагрева. Явление
смачиваемости оказывает влияние на образование паровой фазы на
поверхности нагрева. Обычно центрами парообразования являются
микронеровности (впадинки) поверхности. Во впадинках практически всегда
находится газ или пар. Данная впадинка будет активным центром
парообразования только в том случае, если при заполнении жидкостью сосуда
содержащийся в ней газ не растворится в жидкости, а останется во
впадинках. Как видно из рис. 13.2, а, если стенки впадинки смачиваются
жидкостью, то поверхностное натяжение способствует проникновению
жидкости. Впадинка на рис. 13.2, б при нагреве поверхности, когда давление
пара, находящегося в ней, повысится, будет представлять собой активный
центр парообразования. В этом центре будут возникать пузырьки, если
радиус его устья больше R . Активными центрами парообразования могут
быть также микронеровности «резервуарного» типа (рис. 13.2, в).
При наличии воздуха в паровом пузырьке значение температуры
перегрева жидкости АГ, необходимое для образования паровой фазы,
уменьшается. Это непосредственно следует из того, что температура перегрева
жидкости в (13.3) пропорциональна разности парциального давления пара
и давления жидкости.
**ис. 13.2. Центры парообразования
а — жидкость смачивает впадинку; б, в — жид-
Кость не смачивает впадинку (в — центр «ре-
3еРвуарного» типа); стрелкой показано направ-
Ление действия лапласового давления
а) б) в)
341
Наблюдения показывают, что под растущим пузырьком существует
тонкий микрослой жидкости. Д.А. Лабунцов теоретически обосновал тот
факт, что именно испарение этого микрослоя и обеспечивает (за
исключением небольших давлений) рост пузырька. На основании анализа
размерностей с учетом того, что теплоемкость жидкости, а также ее вязкость
не существенны для роста пузырька на поверхности, он вывел формулу
R=A —— х, (13.6)
где числовой коэффициенте = 3,5 получен на основании опытных данных.
Формулу (13.6) можно представить в виде
R/ Ala~z = J\2J
а.
При малых давлениях существенным становится подвод теплоты к
растущему пузырьку от всей окружающей пузырек жидкости. Формула
скорости роста пузырька, справедливая в широком интервале изменения
давлений (или чисел Ja), была получена В.В. Яговым:
/~2 2
/у Ja + 12Ja,
2 2—1
где у = sin 0[(1 + cos0) (2 - cos0)] ; здесь 0 — краевой угол.
Рост пузырька, образовавшегося на поверхности, продолжается до
момента его отрыва. В зависимости от давления форма растущих
пузырьков различна. При высоких давлениях, когда скорость роста и ускорение
относительно малы, преобладающей формой пузырька является
сферическая; при атмосферном давлении наблюдаются сферические, сплющенные
и полусферические пузырьки; в области низких давлений —
преимущественно полусферические.
Как было показано Д.А. Лабунцовым, при достаточно высоких
давлениях отрыв пузырька аналогичен отрыву газового пузырька, медленно
вдуваемого через отверстие диаметром d. Тогда диаметр пузырька,
отрывающегося от поверхности,
,1/3
i <->«~
D * 1,8
О
.£(Р«-РП).
где d0 — характерный размер микрошероховатостей поверхности нагрева.
Согласно опытным данным, отрывной диаметр пузырька при кипении
воды с увеличением давления уменьшается. При р « 0,1 МПа D0 « 2 мм,
при р « 10 МПа D0 « 0,2 мм, а при р « 0,02 МПа D0 « 10 мм.
Как видно, при низких давлениях отрывной диаметр пузырька велик
(имеется в виду диаметр сферы, объем которой равен объему пузырька).
Характерно также, что при этом, как указывалось выше, форма отрываю-
342
рис. 13.3. Схема изменения радиуса
пузырька, растущего в центре
парообразования
Т] — время роста; т2 — время ожидания;
R0 — радиус пузырька в момент отрыва
щегося пузырька — полусферическая. Эти явления объясняются
динамической реакцией жидкости на быстрый рост пузырька, действие этой
реакции приводит к задержке отрыва и деформации пузырька.
Как показывают наблюдения, частота отрыва пузырьков зависит от
тепловой нагрузки на поверхности нагрева. При умеренных перегревах
жидкости частота отрыва обратно пропорциональна D0. С момента отрыва
пузырька до появления другого проходит некоторое время, называемое
временем ожидания (рис. 13.3). Это время необходимо для повышения
температуры поверхности до прежнего значения, так как рост пузырька
сопровождается отводом теплоты от стенки и локальным понижением Тс.
С увеличением перегрева жидкости (с увеличением q) время ожидания
уменьшается, и частота отрыва будет практически обратно
пропорциональна времени роста.
13.2. Кривая кипения
Кривой кипения называется зависимость q = f(AT), где q — плотность
теплового потока на поверхности нагрева; AT = Тс - Ts — температурный
напор. Кривую кипения получают опытным путем. Поскольку она
охватывает большой диапазон изменения q и АГ, ее обычно строят в
логарифмических координатах. Для кипения воды при атмосферном давлении кривая
кипения приведена на рис. 13.4.
Рассмотрим процесс кипения жидкости в большом объеме при
постепенном повышении температуры поверхности нагрева. Этот способ обогрева
поверхности соответствует граничным условиям первого рода. Практически
он реализуется в том случае, когда поверхность, на которой кипит жидкость,
с противоположной стороны обогревается горячим теплоносителем (напри-
Мер, паром), температуру которого постепенно увеличивают.
Область ЛВ на рис. 13.4 отличается малыми значениями
температурного напора. Здесь перегрева пристенного слоя жидкости недостаточно для
образования значительного количества пузырьков, и отвод теплоты
осуществляется путем свободной конвекции жидкости. При свободной кон-
343
Ri
Ro
х1
т2
х1
q, Вт/м2
107
106
105
104
103
1 10 102 103 AT, К 104
Рис. 13.4. Кривая кипения (граничное условие первого рода)
векции коэффициент теплоотдачи а ~ АТп, где п = 0,25 для горизонтальной
трубы; п = 0,2... 0,33 для горизонтальной пластины. Следовательно,
в области АВ q ~ АТп
Точка В на кривой кипения является точкой начала кипения. Ей
соответствует температурный напор АГНК, который зависит от состояния
поверхности (размера и числа активных центров парообразования).
Область АГНК < AT < АГ 1? где АГ j — первый критический
температурный напор соответствует пузырьковому режиму кипения. В этой области
сначала в центрах парообразования образуются паровые пузырьки,
которые быстро растут и, достигнув отрывного диаметра D0, всплывают вверх.
Так как жидкость перегрета, то по мере движения пузырьков происходит ее
интенсивное испарение и размер пузырьков многократно увеличивается.
Поскольку частота отрыва велика, то с начала образования пузырьков
происходит интенсивное перемешивание пристенного слоя жидкости, что
приводит к резкому увеличению коэффициента теплоотдачи. Как только
началось пузырьковое кипение, незначительное повышение температуры
Гс приводит к существенному росту отводимого теплового потока
(расходуемого в конце концов на образование пара).
С повышением АГ частота отрыва пузырьков и число работающих
центров парообразования увеличиваются.
Дальнейший рост АГ приводит к образованию около поверхности нагрева
областей с повышенным паросодержанием. Однако и в этом случае на
стенке, как показывают наблюдения, еще имеется очень тонкая пленка жид-
344
кости, толщина которой периодически изменяется с течением времени.
Средняя статистическая толщина этой пленки 5эф определяет значение а.
Поскольку значение 5эф составляет порядка десятков микрометров, то в этой
области коэффициенты теплоотдачи достигают больших значений.
Когда температурный напор приближается к AT' l9 скорость роста
теплоотдачи уменьшается, что связано с началом образования «сухих» пятен —
паровых областей, вытесняющих пленку жидкости с нагреваемой поверхности.
Точка С на кривой кипения называется первой критической точкой. Ей
соответствует первая критическая плотность теплового потока q j.
Начиная с этой точки при повышении AT кипение уже имеет качественно
другой характер. Поверхность нагрева в этом случае частично отделена от
жидкости нестабильной паровой пленкой, эта пленка периодически
разрушается, позволяя жидкости контактировать с поверхностью. Жидкость,
оказавшаяся на стенке, очень быстро вскипает, а образовавшийся пар сливается с
тем паром, который уже имеется в пристенной зоне. С увеличением AT все
большее количество жидкости около стенки превращается в пар, и при АТ =
= AT 2 доступ жидкости к поверхности вообще прекращается.
Кипение жидкости при наличии на поверхности нагрева как паровой
пленки, так и пузырькового кипения называется переходным режимом
кипения. На кривой кипения он соответствует участку CD.
Если температурный напор больше ATк 2, то режим кипения называется
пленочным. Он характеризуется тем, что на поверхности нагрева
существует пленка пара. При пленочном кипении перенос теплоты через паровую
пленку осуществляется путем теплопроводности, конвекции и излучения.
Поскольку теплопроводность пара мала, то интенсивность переноса
теплоты при пленочном режиме кипения значительно ниже, чем при
пузырьковом. Поэтому отводимые от стенки тепловые потоки могут быть
большими только при высоких температурах стенки.
Роль переноса теплоты излучением возрастает с увеличением
температуры Гс, и при Тс « 1000 К для кипения воды (р = 0,1 МПа) коэффициент
теплоотдачи излучением становится соизмеримым с конвективным
коэффициентом теплоотдачи.
При пленочном кипении периодический отрыв пузырьков уже
происходит не от поверхности нагрева, а от поверхности пленки. Периодический
отрыв пузырьков и их перенос в объеме жидкости имеет место тогда, когда
кипение происходит на горизонтально расположенной поверхности. Если
поверхность нагрева вертикальная, то образовавшийся пар движется вверх
вдоль стенки, образуя при этом на стенке паровую пленку, толщина
которой увеличивается с высотой.
345
При пленочном кипении на горизонтальных трубах пар движется вверх
по периметру трубы и удаляется от нее в виде отрывающихся пузырьков.
Обычно при этом наблюдается ламинарное движение пара около трубы.
Если труба расположена вертикально, то, как правило, течение пара
турбулентное.
Мы рассмотрели смену режимов кипения при постепенном увеличении
температурного напора, что обеспечивается таким же изменением
температуры стенки Тс. Кривая кипения останется такой же, если идти в
обратном направлении, т.е. за начальную точку принять точку Е (рис. 13.4).
Плавно уменьшая Гс, мы придем в точку D, в которой устойчивое
пленочное кипение прекратится и начнется переходный режим кипения, который
продлится до точки С, после чего будет пузырьковый режим. Таким
образом, как при прямом, так и при обратном ходе кривая выглядит одинаково.
В процессе кипения при постепенном увеличении плотности
теплового потока (тепловой нагрузки) на кривой кипения будет отсутствовать
участок CD (переходный режим кипения), а прямой и обратный ходы
процесса кипения будут отличаться друг от друга (рис. 13.5). Указанный выше
способ обогрева поверхности соответствует граничному условию второго
рода (на стенке задано q). Зависимой переменной в этом случае является Тс
(или AT).
При втором способе обогрева линии ЛВС на рис. 13.4 и 13.5 ничем
не отличаются. Однако в точке С (q = q х) пузырьковый режим кипения
практически мгновенно переходит в пленочный. Объясняется это тем, что
максимальная плотность теплового потока, который можно отвести от
поверхности нагрева при пузырьковом кипении, равна q {. При
незначительном увеличении q нарушается
баланс между подводимым и
отводимым количеством теплоты. Так
как теплоты отводится меньше, чем
подводится, то ее избыток идет на
нагревание стенки. Поскольку при
повышении Тс интенсивность тепло-
отвода уменьшается (рис. 13.4,
участок CD), то разность между
подводимой и отводимой теплотой
увеличивается, что приводит к
очень быстрому разогреву стенки.
Когда нестационарный процесс
разогрева стенки закончится, баланс
теплоты (q0TB = qU0JXB)
восстановится, но уже при пленочном
ю3 at, к 104
Рис. 13.5. Кривая кипения (граничное
условие второго рода)
346
режиме кипения. Условно этот практически мгновенный переход от одного
режима кипения к другому на рис. 13.5 показан прямой СС При q > q «
процесс пленочного кипения пойдет по линии СЕ.
При обратном ходе, начинающемся от точки Е, процесс кипения
протекает следующим образом. Ход зависимости q = f(AT) на линии ED такой
же, как на рис. 13.4. Однако, рассуждая аналогично тому, как это было
сделано для прямого хода, нетрудно убедиться, что при снижении q
произойдет переход от пленочного режима кипения к режиму, который на кривой
кипения (см. рис. 13.5) условно показан линией DD'. При дальнейшем
снижении тепловой нагрузки процесс пузырькового кипения будет протекать
по линии D'BA.
Подчеркнем, что при кипении в большом объеме имеют место две
критические плотности теплового потока q х и q 2 и соответственно два
критических температурных напора ATх и Л7' 2- Величина #кр1
представляет собой максимальную плотность теплового потока, который можно
отвести от поверхности при пузырьковом режиме кипения. В случае
обогрева при граничном условии второго рода (на поверхности задано q) q х
называется также первой критической тепловой нагрузкой. Величина q 2
является минимальной плотностью теплового потока, который можно
отвести от поверхности при пленочном режиме кипения. Она называется
также второй критической тепловой нагрузкой.
Величины AT' ^ и AT 2 связаны с q х и q 2 соотношениями q х =
= акр1ЛГкР1 и ?кР2 = акР2Л77кр2> гДе акР1 и акР2 — коэффициенты теплоот-
дачи в критических точках на кривой кипения.
13.3. Теплоотдача и критические тепловые потоки при кипении
в большом объеме
Теплоотдача при пузырьковом кипении. Физические представления
о механизме парообразования (см. § 13.1) и опытные данные указывают
на то, что интенсивность теплоотдачи при пузырьковом режиме кипения
зависит от физических свойств жидкости и пара, температурного напора
(или тепловой нагрузки поверхности нагрева), а также от давления. В
самом деле, с увеличением температурного напора уменьшается
критический радиус пузырька, включается в работу все большее число активных
центров парообразования, увеличиваются скорость роста пузырьков и
интенсивность перемешивания более и менее нагретых слоев жидкости
около поверхности нагрева. Ясно, что при всем этом должен возрастать
коэффициент теплоотдачи. Повышение давления влияет таким же образом,
так как величина R в этом случае уменьшается и, несмотря на то что ско-
347
cxlO"
34
20
15
12
■3, Вт/(м2К)
oX
<Pr
ъ
/
/
i
о
о/
rPO
^00
/
/
/
/
r,
? 1
i
i
f
—d\
0
10 12
?-10"5, Bt/m2
Рис. 13.6. Зависимость a =f(q) при кипении
воды в большом объеме (р = 0,101 МПа)
рость роста пузырьков тоже
снижается, уменьшается и отрывной
диаметр, а следовательно, увеличивается
частота отрыва пузырьков.
Повышение тепловой нагрузки приводит
к увеличению перегрева пристенного
слоя жидкости, поэтому влияние q
на коэффициент теплоотдачи
аналогично влиянию AT
Следует подчеркнуть, что рост
коэффициента теплоотдачи с
увеличением AT и q происходит только
тогда, когда AT < Гкр1 и q < qKpl.
Превышение температурного напора и
тепловой нагрузки сверх их первых
критических значений приводит к
резкому уменьшению а, так как при
этом пузырьковый режим кипения
переходит в пленочный. График зависимости a = f(q) приведен на
рис. 13.6.
Опытные данные показывают, что при пузырьковом кипении
где показатель степени п незначительно изменяется в зависимости от
состояния поверхности и рода жидкости; приближенно можно считать, что п
не зависит от давления, а численное значение и * 2/3.
На теплоотдачу при пузырьковом режиме кипения оказывают влияние
такие факторы, как чистота жидкости, наличие в ней растворенных газов,
состояние поверхности нагрева (шероховатость, однородность,
смачиваемость, адсорбционные свойства и др.). Поэтому опытные данные,
полученные на разных установках при одних и тех же значениях р и д, могут
отличаться друг от друга.
Приближенная теория процесса теплообмена при развитом кипении
предложена Д.А. Лабунцовым. Модель Лабунцова основана на том, что
при развитом кипении, когда объемное содержание пара около
поверхности нагрева велико, на ней существует тонкая пленка жидкости,
сохраняющаяся вплоть до значений q, близких к значениям qKp\. Малое термическое
сопротивление этой пленки и определяет высокую интенсивность
теплоотдачи при кипении.
Толщина пленки различна в разных точках поверхности, и, кроме того,
она изменяется с течением времени. Однако если ввести эффективную
348
(усредненную по времени и поверхности) толщину такой пленки 5эф, то
можно предположить, что
а = Х/5эф, (13.7)
где X — теплопроводность жидкости.
Согласно Д.А. Лабунцову, значение 8эф зависит от вязкости жидкости v,
интенсивности движения парожидкостной смеси у границы пленки и
плотности действующих центров парообразования. Поскольку с увеличением q
объем генерируемого пара возрастает, интенсивность беспорядочного
движения двухфазной среды при этом также растет. Характерной величиной,
определяющей эту интенсивность, может быть приведенная (условная)
скорость парообразования vn, которую можно найти из уравнения
теплового баланса: Q = Gnr, где Gn — полный расход образующегося пара,
пересекающего условную поверхность площадью F, параллельную
поверхности нагрева. Учитывая, что Gn = p"vnF, a Q = qF, получаем
"--£■ (13-8)
Чем меньше R , тем на большем числе активных центров
парообразования возникает паровая фаза. Другими словами, плотность центров
парообразования характеризуется значением R . Пленка жидкости испытывает
периодическое движение с периодом т ~ R /vu. Из анализа размерностей
следует, что толщина пленки 8эф ~ Vvx. При этом
5эф
кр
V vnJ
(13.9)
Подставляя в (13.9) соотношения (13.3) и (13.8) и имея в виду (13.7),
после преобразований получаем
а = b
™tsJ
q2/\ (13-10)
где b — безразмерный коэффициент, который зависит от отношения р'Ур, и
на основании опытных данных
» = 0,075[1 + 10(^)2/3].
Формула Лабунцова (13.10) подтверждается опытными данными при
кипении различных жидкостей за исключением условий низких давлений
(р < 10 Па), когда процесс кипения отличается возникновением
значительных перегревов жидкости, нерегулярным вскипанием и сопровождается
звуковыми эффектами (стуками). В последнем случае значения а ниже тех,
349
которые получаются из (13.10). При расчете а по (13.10) все значения
физических свойств выбираются при температуре 7^. Для удобства расчета
а при кипении воды из (13.10) можно получить зависимость,
справедливую при 105 < р < 200 • 105 Па:
о л 0,18
где р, бар; #, Вт/м .
Первая критическая плотность теплового потока. Для расчета q х
на основе гидродинамической модели кризиса кипения на горизонтальной
и обращенной вверх поверхности нагрева С.С. Кутателадзе (1950 г.)
получил формулу
4кР1 = ^Vp7' Vag(p' - р"), (13.12)
в которой, согласно опытным данным, постоянная к « 0,14.
Гидродинамическая модель Кутателадзе состояла в том, что при опре-
деленном значении динамического напора пара р и наступает такой
момент кипения, когда доступ жидкости к поверхности нагрева становится
затрудненным. Этот момент и принимался за начало смены режимов
кипения. Результаты, полученные по формуле Кутателадзе, удовлетворительно
согласуются с опытными данными для воды (рис. 13.7) и других
жидкостей, за исключением условий низких давлений.
Сущность модели В.В. Ягова (1985 г.) заключается в анализе состояния
пристенной пленки жидкости при повышении тепловой нагрузки
поверхности нагрева до значений, близких к q х. Вследствие ухудшения условий
отвода больших паровых образований при больших q на поверхности
нагрева появляются «сухие» пятна и сама жидкая пленка в некоторых
местах поверхности периодически пересыхает, при этом ее средняя толщина
уменьшается. Можно рассчитать среднюю плотность теплового потока,
приходящегося на одно «сухое» пятно в жидкой пленке, и, приравняв
полученное значение к тепловой нагрузке на поверхности нагрева, можно
определить q j. Формулы Ягова имеют вид:
при р /ркр > 0,05
,кр1=0,06,(р")°^М[2(£^)]0'2; (13.13)
при р/ркр< 0,001
81/55, „ЛЗ/110 9/11.7/110 21/55^4/33
q ,=0АГ- ^ 2 ± S. Р£ . (13.14)
^*ф1 ' 1/2 3/10~79/110^21/22 v
v сп к Т0
Р s
Здесь р — критическое давление для данной жидкости.
350
<?кр110 'Вт/м
20
°9
бо
о
^ ■
0—1
<
>
>л
о
О*
L
60 100 140 180 220 />, 105 Па
Рис. 13.7. Зависимость qKpl от давления
для кипящей воды
Ь= —= :
—— —1
/■""^"^
W
ird
/хШЁ^
-\
Пар
Жидкость
Поверхность
нагрева
Рис. 13.8. Схема пленочного
кипения на горизонтальной трубе
Во всем диапазоне изменения давлений
^кр1 = [(^кр1)3 + (^кР1)3]1/3'
(13.15)
где q'Kpl вычисляется по (13.13), а #"кр1 — по (13.14).
При р/р > 0,05 значения q 1? найденные по (13.13), (13.15) и по
формуле Кутателадзе, практически совпадают друг с другом.
Теплоотдача при пленочном кипении. Переход к пленочному
кипению, как указывалось выше, сопровождается снижением интенсивности
отвода теплоты. Существенное влияние на толщину паровой пленки,
которая создает основное термическое сопротивление переносу теплоты,
оказывает форма и расположение в пространстве поверхности нагрева.
Формулу для среднего по периметру а при пленочном кипении на
горизонтальных трубах (рис. 13.8), когда движение пленки ламинарное,
можно получить таким же методом, как в случае пленочной конденсации.
Она имеет следующий вид:
а
0,62
^")3г*£(Р-Р'')У/4
(13.16)
v"d(TQ-Ts)
В (13.16) г* = г + 0,5с "(Гс - Г5), а значения свойств пара выбираются
при средней температуре перегретого пара Т = 0,5 (Гс + Ts).
При пленочном кипении на вертикальных поверхностях течение пленки
пара, как правило, турбулентное. Как и при свободной конвекции
однофазной жидкости, коэффициент теплоотдачи здесь практически не зависит от
высоты поверхности, причем
а = 0,25
(^)Чг(р-Р")У/3
(13.17)
351
Входящие в (13.17) свойства выбираются так же, как и при расчете
по (13.16).
Вторая критическая плотность теплового потока. Если при
пленочном режиме кипения уменьшать температуру поверхности, то, как
показывают наблюдения, при температуре поверхности, несколько меньшей, чем
температура предельного перегрева жидкости, паровая пленка становится
нестабильной и жидкость начинает периодически смачивать поверхность.
Плотность теплового потока при этом
4кр2 = аАГкр2> (13-18)
где АГкр2 « 0,9(Гпр - Ts); здесь Т — температура предельного перегрева
(см. § 13.1).
Коэффициент теплоотдачи а в (13.18) следует определять по формулам
для пленочного кипения.
13.4. Общие сведения о кипении при вынужденной конвекции
в трубах
При пузырьковом режиме кипения в большом объеме и трубах
термическое сопротивление переносу теплоты мало, а коэффициенты
теплоотдачи достигают высоких значений. Поэтому способ отвода теплоты при
кипении жидкости, движущейся в трубе, применяется в технических
устройствах с большими тепловыми нагрузками на поверхности нагрева
(например, в атомных реакторах). Процесс генерации пара на тепловых
электрических станциях осуществляется за счет кипения воды, которая
движется по трубам, расположенным в топке парового котла.
Однако следует иметь в виду, что так же, как и в случае большого
объема, при кипении в трубах наблюдаются кризисы теплоотдачи,
приводящие к резкому снижению а. Интенсивность теплоотдачи и возникновение
кризисов кипения связаны со структурой двухфазного потока и его
скоростью. Двухфазные потоки характеризуются параметрами, определения
которых приводятся ниже.
Параметры двухфазного потока. Параметры двухфазного потока
подразделяются на расходные и истинные.
Расходное массовое паросодержание определяется как отношение
массового расхода пара в данном сечении трубы Gn, кг/с, к массовому расходу
смеси G, кг/с:
х - Gn/G.
Массовый расход смеси
G=Gn + Сж,
где G — расход жидкой фазы, кг/с.
352
Для потока жидкости, находящейся в состоянии насыщения, Q = Gnr. В то же
время Q = G(hCM - h'), где hcw h' — энтальпии смеси и жидкости на линии
насыщения. Отсюда следует, что
х = ,
г
т.е. величина х представляет собой относительную энтальпию потока.
Очевидно, что если понятие относительной энтальпии распространить на
поток насыщенного пара (вся жидкость испарилась), то х = 1, а если на поток
недогретой до Ts жидкости, то х < 0. Отметим, что в термически
неравновесном (Гп Ф Тж) двухфазном потоке относительная энтальпия смеси не
характеризует ее действительный состав. Например, при поверхностном
кипении, когда ядро потока еще не успело нагреться до температуры 7^,
х < 0, хотя на самом деле паровая фаза в данном сечении трубы имеется.
Расходное объемное паросодержание определяется так:
V + V
п ж
Здесь Vn и Уж — объемные расходы паровой и жидкой фаз, причем
G G
у = — • у = —2£
п рг > ж р" •
Истинное объемное паросодержание ср характеризуется отношением
площади поперечного сечения Sn, занятой паром, к полной площади
поперечного сечения трубы S:
<p = Su/S.
Соотношение, связывающее между собой |3 и х9 имеет вид
Если в данном сечении трубы истинная скорость пара vn не равна
истинной скорости жидкости иж, то
Ф
' п" V 1 YYl
V г ж
Р v»
Скорости vu и иж следует определять по формулам
vn=V'/Sxi vM=V"/Sn,
^Sx = S-Sn.
Разность vn - иж называется относительной скоростью фаз.
353
В практических расчетах истинные скорости обычно заранее
неизвестны. Поэтому часто пользуются расходными характеристиками,
которые могут быть определены из материального и теплового балансов.
Например, зная расходную плотность смеси
р = р"р + р'(1 - р),
можно найти и отношение р'/р :
которое используется в некоторых расчетных формулах, относящихся
к двухфазным потокам.
При изучении двухфазных потоков часто применяются два понятия:
приведенная скорость смеси (иногда ее называют скоростью циркуляции)
G
"° = ^
2
и средняя массовая скорость, кг/(м • с),
pv = G/S.
Режимы течения. Как показывают наблюдения, в зависимости от х,
pv и р паровая фаза по-разному распределена в объеме вертикально
расположенной трубы. При этом различают шесть режимов течения парожид-
костной смеси (рис. 13.9), для которых используются следующие термины.
Если пар распределен в жидкости в виде небольших по сравнению с
радиусом трубы пузырьков (рис. 13.9, а), то режим течения называется
пузырьковым. Он характерен для начальной стадии парообразования в
трубе. Когда расход пара увеличивается, то пузырьки сливаются друг с
другом с образованием больших пузырей. При этом режим течения может
быть либо снарядным, либо эмульсионным.
Такая форма течения смеси, при которой пар движется в форме крупных
пузырей, напоминающих форму снаряда, называется снарядным (рис. 13.9, б).
Если пар распределен в потоке в виде небольших объемов, разделенных
жидкостью, то режим называется эмульсионным (рис. 13.9, в).
Дисперсно-кольцевой режим течения соответствует такой форме движения
смеси, при которой пар образует ядро потока, а жидкая фаза движется в виде
пленки по поверхности трубы, а также в виде капель в паре (рис. 13.9, г).
Кольцевой режим течения (рис. 13.9, д) представляет собой предельный
случай дисперсно-кольцевого режима. От последнего он отличается тем, что
в ядре потока капли жидкости отсутствуют. Второй предельный случай —
дисперсный режим течения: по стенке движется пар, а жидкость движется
в виде мелких капель (рис. 13.9, ё).
354
- о
0-1
о
о-
СМ}
- о
_2
-о
о
"*1
<^
0*1
0-сЬ0-
<Я-
*а
о^О
а)
\-\ О
я о
щ
0 А,
°0 '
Й0б
,0:
оо
Ов0«
Q°0
Ио
oQK°0
о"^
01 0й
о
о
0^
оо
Оо
О
0.
г) д) е)
Рис. 13.9. Схемы режимов течения парожидкостной смеси в вертикальной трубе
В горизонтальных или наклонных трубах при низких скоростях и
больших значениях х наблюдается расслоенный режим течения, когда в
верхней части поперечного сечения трубы движется преимущественно пар, а
в нижней — жидкость. Однако при больших скоростях в этом случае
отмечаются те же режимы, что и для вертикальной трубы, но с нарушением
симметрии (паровая фаза стремится занять верхнюю часть трубы).
Расслоенный режим движения опасен для обогреваемой трубы.
Вследствие резкого изменения а по периметру трубы и соответствующего
изменения Тс в ее стенке возникают температурные напряжения. Так как
граница раздела фаз периодически изменяется со временем, температурные
напряжения будут переменными. Они приводят к медленному разрушению
стенки и последующему ее разрыву по продольному сечению.
Развитие процесса кипения по длине обогреваемой трубы. Пусть
в равномерно обогреваемую трубу поступает жидкость, температура
которой Тж меньше температуры насыщения Ts (рис. 13.10). В случае длинной
трубы можно выделить пять характерных участков.
Первый участок соответствует течению однофазной жидкости.
Закономерности теплообмена здесь описываются зависимостями, приведенными
выше (см. гл. 9 и 10).
355
Т,
Рис. 13.10. Изменение температур Тс и Тж при движении жидкости в равномерно
обогреваемой трубе
Второй участок характеризуется тем, что в пристенной зоне потока
температура жидкости больше температуры насыщения, а в ядре —
меньше. Это зона кипения недогрешой жидкости (кипение с недогревом
или поверхностное кипение). В этом случае парообразование происходит
не во всем объеме жидкости, а только вблизи поверхности. Пузырьки пара,
образующиеся на стенке, попадая в ядро потока, где температура меньше
Ts, конденсируются.
Третий участок — это участок кипения насыщенной жидкости. В этой
зоне трубы генерируется основное количество пара, причем расход его
увеличивается по мере продвижения от начала зоны к концу. Расход
жидкости при этом соответственно уменьшается. В зависимости от массовой
скорости, давления и паросодержания здесь реализуется пузырьковый,
снарядный или эмульсионный режим течения. Третья зона ограничена
критическим сечением, в котором наблюдается смена режима кипения:
контакт жидкости со стенкой нарушается, в результате чего резко
повышается ее температура.
Четвертая зона — закризисная. Парообразование в этом случае
происходит при повышенной температуре стенки Гс.
Пятая зона — это зона перегретого пара. Здесь, как и в первой зоне,
закономерности теплоотдачи соответствуют однофазной жидкости.
13.5. Теплоотдача при кипении в трубах
Кипение недогретой до температуры насыщения жидкости.
Рассмотрим случай поверхностного кипения в трубе при qc = const. При
малых перегревах температуры стенки относительно температуры
насыщения образующиеся пузырьки пара оказывают слабое влияние на а и тем-
1 /
\---р^
II
Тс
Т
ж
III
1, /г.|.
1 1
1 1
1 ^-^ 1
7 '
1 \/
1 1
V
/\
/ 1
/ 1
356
рис. 13.11. К расчету значения
температуры недогрева
жидкости, необходимой для начала
развитого поверхностного
кипения
Т I
пература стенки изменяется по длине трубы так же, как и для однофазной
жидкости. Однако с началом развитого поверхностного кипения
(рис. 13.11, точка А) теплоотдача становится более интенсивной и ход
кривой Tc(z) изменяется. Далее будем приближенно считать, что начиная с
точки А температура Тс изменяется аналогично изменению 7^.
Найдем значение температуры недогрева АГне = Ts - Гж, при котором
начинается развитое поверхностное кипение. Из рис. 13.11 видно, что
АГне = АГК0НВ - ЛГКИП, где температурный напор при конвективном
теплообмене однофазной жидкости АГК0НВ = #/аконв, а температурный напор
при кипении насыщенной жидкости АГКИП = #/акип. Таким образом,
т*-тж = <1
1
1
ос¥/
осг.
Коэффициент теплоотдачи аконв в случае турбулентного режима
течения можно рассчитать по формуле Петухова. Зная температуру Гж,
соответствующую точке А, из уравнения теплового баланса легко рассчитать
координату точки начала кипения в трубе.
Теплоотдача при кипении насыщенной жидкости. Интенсивность
теплоотдачи при кипении в трубах так же, как и в большом объеме,
определяется в основном турбулизацией пристенного слоя жидкости. Поэтому
коэффициенты теплоотдачи в трубах практически такие же, как и при
пузырьковом режиме кипения в большом объеме. Однако в ряде случаев на
а оказывают влияние скорость циркуляции и паросодержание потока.
Влияние последнего фактора объясняется тем, что с ростом паросодержа-
ния вследствие уменьшения плотности двухфазной среды увеличивается
скорость жидкости у стенки.
Коэффициенты теплоотдачи в том случае, когда влияние паросодержа-
ния мало, можно рассчитать по формуле
ос„
1/2
ос = а„
1 +
а
КОНЕ/
357
где акип находится по формулам (13.10), (13.11), справедливым для
кипения в большом объеме.
Для нахождения а используются также формулы Рассохина:
акип = 3,lp0a5q2/3 при 1 <р < 80 бар;
акип = 0,027/?1,3У/3 при 80 <р < 200 бар,
где q, Вт/м .
Как показывают опыты, паросодержание практически не влияет на
теплоотдачу, если
К =
'^"'&)'<,.М'1
qc ) V а )
где v — средняя скорость смеси, которая связана со скоростью
циркуляции v0 соотношением
"«р-'ФЧё-1)]-
Если К > 5 • 10 , то коэффициент теплоотдачи с учетом влияния паросо-
держания можно определить по формуле
0^=01(1 +7-10"V)1/2,
полученной В.М. Боришанским и справедливой при 0,2 < р < 17 МПа,
0,08 < q < 6 МВт/м2 и 1 < vCM < 300 м/с.
Теплоотдача при кольцевом режиме течения парожидкостной
смеси. В случае кольцевого режима течения кипение в пленке практически
отсутствует и парообразование происходит вследствие испарения
жидкости с поверхности пленки. При этом основным фактором, влияющим на
интенсивность теплоотдачи, является скорость двухфазной смеси. Оценку
значения коэффициента теплоотдачи можно сделать с помощью так
называемого параметра Мартинелли—Локкарта, который используется при
изучении двухфазных потоков. Параметр Мартинелли—Локкарта X
определяется по условным гидравлическим сопротивлениям Арж/1 и Ари/1, которые
имели бы место при движении в трубе жидкости (с расходом Сж) или
только пара (с расходом Gn), причем
/А" /Д1/2
Х =
'*Рж'*\
К*Рп'Ь
358
Тогда, как это следует из литературных данных,
а = 3,5
аконв ХХ/Г
Таким образом, если известно, что в трубе реализуется кольцевой
режим течения, то достаточно знать паросодержание потока (т.е. G)K и Gn),
поскольку расчет гидравлического сопротивления однофазной среды
затруднений не вызывает. Так как Д/?п > Д/?ж, то а > аконв.
Теплоотдача в закризисной зоне парогенерирующего канала. Закри-
зисная зона характеризуется ухудшенным теплообменом, поскольку
контакт внутренней поверхности трубы с жидкостью нарушен, т.е. здесь имеет
место дисперсный режим течения: капли жидкости распределены в паре.
Теплота от нагретой стенки отводится в основном путем вынужденной
конвекции перегретого пара. При высоких тепловых нагрузках труба может
иметь недопустимо высокую температуру стенки. Однако, если, например,
в топке парового котла закризисная зона окажется в области малых
тепловых потоков, то работа парогенерирующей трубы будет безопасной.
Формулы для расчета а в закризисной зоне получают на основании
опытных данных. Теплоотдача в закризисной зоне зависит от рода
кипящей жидкости, давления и массовой скорости. В диапазоне изменения
4 < р < 22 МПа и 1000 < pv < 2000 кг/(м • с) расчет а можно проводить
по следующей эмпирической формуле:
Nu = 0,023 7[RePrc(jc + ^(1 - jc))] ' , (13.19)
где
r=l-0,l(^-l)0,4(l-x)°'4; (13.19a)
Prc — число Прандтля для сухого насыщенного пара при Т = Гс;
D pvd хт ad
Здесь \x" и X" — динамическая вязкость и теплопроводность пара при Т = Ts.
Коэффициент теплоотдачи а в (13.19) относится к температурному
напору AT = Тс- Ts. Следовательно, зная тепловую нагрузку q, после
расчета а по формуле (13.19) находим Тс:
Тс = Ts + q/a. (13.196)
359
— 2
Если pv < 1000 кг/(м -с), то для расчета Тс формула (13.196) не
годится, так как в этом случае оказывается существенным тот факт, что
температура капель жидкости Тж = Гс, а температура пара Ти > Ts и поток
не является термодинамически равновесным.
13.6. Кризисы теплоотдачи при кипении в трубах
Особенности кризисов теплоотдачи в трубах. В тех случаях кипения,
когда жидкость омывает внутреннюю поверхность трубы, интенсивность
теплоотдачи высокая и температура стенки незначительно отличается
от температуры насыщения. При определенных условиях контакт
жидкости со стенкой может прекратиться и стенка будет омываться паром. Так
как теплопроводность пара много меньше теплопроводности жидкости, то
интенсивность отвода теплоты от стенки при этом резко снизится, что при
сохранении тепловой нагрузки приведет к увеличению ее температуры.
Рост температуры стенки может быть настолько высоким, что произойдет
разрушение (пережог) ее материала. Описанное явление, наблюдающееся
при кипении в трубах, принято называть кризисом теплоотдачи (или
кризисом теплообмена).
Знание условий, при которых наступает кризис теплоотдачи,
необходимо для обеспечения надежной эксплуатации парогенерирующих труб и
каналов в тепловой и ядерной энергетике. Если превысить допустимую
тепловую нагрузку, то ядерный реактор либо придет в аварийное
состояние, либо (в благоприятном случае) резко уменьшится срок службы его
тепловыделяющих элементов. Аварийное состояние из-за кризисов
теплоотдачи может наступить и при кипении воды в трубах, расположенных в
топке парового котла, особенно при большом выделении теплоты, которое
имеет место, например, при сжигании мазута.
В случае кипения в большом объеме момент наступления кризиса
теплоотдачи при увеличении тепловой нагрузки выяснить просто. Для этого
достаточно вычислить значение дкр\, которое для данной жидкости зависит
только от давления. При этом кризис теплоотдачи однозначно связан
с изменением механизма парообразования вблизи поверхности нагрева
(кризисом кипения), т.е. переходом от пузырькового режима к пленочному.
Изменение механизма парообразования является причиной кризиса
теплоотдачи и при кипении в трубах, однако здесь (помимо давления) его
наступление зависит еще от таких факторов, как структура и паросодержание
потока в данном сечении трубы, массовая скорость, диаметр трубы и др.
Поэтому универсальную формулу для расчета кризиса теплоотдачи
в трубах получить затруднительно, и условия его наступления наиболее
надежно можно выяснить с помощью экспериментально полученных
данных, которые обычно сводятся в таблицы.
360
Основные механизмы кризиса теплоотдачи. Значения параметров,
при которых наблюдается кризис теплоотдачи при кипении жидкости
в трубе, можно зафиксировать в следующем опыте.
Возьмем тонкостенную длинную трубу небольшого диаметра.
Расположим ее вертикально и снизу вверх будем пропускать через нее воду.
Зафиксируем давление воды/? и массовую скорость pv . Нагревая трубу
электрическим током (q = const), будем следить за изменением температуры Гс по
длине трубы (см. рис. 13.10). Зафиксируем координату z = zKp, при которой
наблюдается резкое повышение Тс (кризис теплоотдачи). Нетрудно
вычислить относительную энтальпию в сечении, где наступает кризис. Считая,
что опытное значение q = qKp, и обозначая энтальпию воды на входе в
трубу через hBX и энтальпию пароводяной смеси в критическом сечении
через h , получаем
Хкр г
^кр^кр
r pvncfr
При высоких тепловых нагрузках кризис теплоотдачи наступает и
тогда, когда вода еще не догрета до температуры насыщения, а
образование пара происходит только в поверхностном слое жидкости. При этом
*кР<0-
Опытным путем можно получить зависимость q = f(xK), которая
схематично показана на рис. 13.12. Она наблюдается при кипении воды в диа-
пазонах 3 <р < 16 МПа и 500 < pv < 2500 кг/(м -с). Кривую,
приведенную на рис. 13.12, можно разбить на три участка. Первый соответствует
области кипения недогретой жидкости и малых паросодержаний
насыщенной жидкости (пузырьковому режиму течения). Кризис теплоотдачи в этом
случае объясняется тем, что при большой плотности теплового потока
вследствие интенсивного парообразования в пристенном слое объемное
содержание пара становится настолько
большим, что приток жидкости к стенке
становится затруднительным. На стенке начинают
появляться «сухие» пятна, а в определенный
момент рост числа этих пятен становится
неуправляемым, мгновенно появляется пленка
пара, что и приводит к кризису теплоотдачи.
Рис. 13.12. Влияние паросодержания на кризисы
теплоотдачи при кипении в трубе
/ — кризис при х < 0 и пузырьковом режиме; // —
кризис при дисперсно-кольцевом режиме; /// — область
кризиса второго рода
Отметим, что механизм образования кризиса здесь аналогичен тому,
который имеет место при смене пузырькового режима пленочным в случае
кипения в большом объеме.
Второй участок кривой на рис. 13.12 соответствует повышенному
содержанию пара в двухфазном потоке (дисперсно-кольцевой режим
течения). В этом случае кризис теплоотдачи также связан с переходом от
пузырькового режима кипения к пленочному, однако по сравнению с
первым участком этот кризис наступает при меньших тепловых нагрузках.
Поскольку механизм образования кризиса теплоотдачи на первом и
втором участках кривой один и тот же, эти два участка часто объединяют
в один и называют участком кризиса первого рода.
Дисперсно-кольцевой режим течения постепенно переходит в
дисперсный. При интенсивном кипении в жидкой пленке наблюдается вынос влаги
с ее поверхности в ядро потока, который возникает вследствие разрыва
поверхности отрывающимися пузырьками. Одновременно происходит
осаждение капель из ядра потока на поверхности пленки. По мере роста паро-
содержания наступает момент, когда испарение и унос влаги из пленки
не компенсируется выпадением капель из ядра потока, пленка высыхает.
Высыхание пленки приводит к резкому снижению q , а на графике
(рис. 13.12) этот момент отмечается точкой излома кривой q = f(x)
(рис. 13.12, точка /). Значение х , которое соответствует области резкого
снижения q , называется граничным паросодержанием, а кризис
теплоотдачи вследствие высыхания жидкой пленки называется кризисом второго
рода. Процесс высыхания пленки является неустойчивым, так как на нее
продолжают выпадать капли из ядра потока. Полное высыхание пленки при
этом происходит при значении паросодержания, несколько большем хгр.
Точка 2 на рис. 13.12 называется точкой начала кризиса орошения.
— 2
При р > 16 МПа и pv > 2500 кг/(м -с) резкого излома кривой не
наблюдается и кризис теплоотдачи объясняется недостаточным
орошением каплями стенки жидкости.
Значения критических плотностей теплового потока q (кризисы
первого рода) в зависимости от относительной энтальпии х при некоторых
значениях/? и ру для трубы диаметром d0 = 8 мм приведены в табл. 13.1.
Для труб других диаметров qKp/qKp = (d0/d) ' .
В табл. 13.2 даны граничные паросодержания при кипении воды в
трубе диаметром dQ = 8 мм.
362
Таблица 13.1. Критические плотности теплового потока ^р» МВт/м » ПРИ кипении
воды в трубе диаметром d0 = 8 мм
Давление, МПа
ПТ8
13,8
15,7
17,7
19,6
Массовая ско-
2
рость, кг/(м • с)
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
Массовое паросодержание
0,1
2^0
2,65
2,50
2,40
2,35
2,15
2,15
2,15
2,05
2,00
1,95
1,95
1,95
1,90
2,05
2,20
1,50
1,55
1,60
1,75
1,80
1,85
2,10
2,40
1,10
1,15
1,30
1,45
1,65
1,80
2,05
2,40
1,05
1,05
1,20
1,35
1,45
1,50
1,70
2,20
0,2
2^25
2,20
1,90
1,75
1,50
1,30
1,30
1,35
1,70
1,60
1,45
1,30
1,10
1,15
1,30
1,50
1,20
1,20
1,15
1,25
1,25
1,30
1,45
1,65
0,80
0,85
0,90
1,10
1,20
1,35
1,55
1,70
0,60
0,65
0,85
1,00
1,10
1,20
1,45
1,70
0,3
U90
1,75
1,45
1,15
1,05
0,80
0,80
0,90
1,40
1,30
0,90
—
0,75
0,80
0,90
1,05
0,95
0,90
0,80
0,85
0,85
0,85
1,00
1,20
0,60
0,65
0,65
0,75
0,80
0,95
1,15
1,20
0,45
0,50
0,55
0,70
0,80
0,90
1,10
1,25
0,4
U60
1,45
—
—
—
—
0,55
0,60
1,20
1,05
—
—
0,50
0,55
0,65
0,75
0,80
0,65
0,45
0,45
0,50
0,55
0,70
0,80
0,45
0,40
0,40
0,45
0,55
0,65
0,80
0,85
0,40
0,30
0,40
0,45
0,55
0,65
0,80
0,90
0,5
Гзо
—
—
—
—
—
0,40
0,45
—
—
—
—
0,30
0,35
0,45
0,50
0,60
0,40
0,30
0,30
0,40
0,40
0,45
0,55
0,35
0,20
0,30
0,30
0,35
0,40
0,50
0,60
0,35
—
0,25
0,30
0,35
0,40
0,50
0,60
363
Таблица 13.2. Граничные паросодержания * при кипении воды в трубе диаметром
Массовая скорость,
кг/(м • с)
750
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
Давление, МПа
2,94
0,75
0,65
0,55
0,45
0,40
0,35
0,30
0,30
4,9
0,75
0,65
0,55
0,45
0,40
0,35
0,30
—
6,9
0,70
0,60
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
—
9,8
0,60
0,50
0,40
0,30
0,30
0,30
—
—
11,8
0,55
0,45
0,35
0,30
0,30
—
—
—
13,8
0,45
0,35
0,30
0,30
—
—
—
—
Для труб другого диаметра jc' находится по формуле
гр
гр _
гр
<Л°>25
Опытные данные показывают, что х слабо зависит от
неравномерности распределения теплового потока по длине трубы.
Коэффициенты запаса до кризиса. Если требуется, чтобы
парообразование в трубе происходило без кризисов теплоотдачи, необходимо найти
значение предельно допустимой тепловой нагрузки на поверхности трубы.
Этот вопрос решается с помощью коэффициента запаса до кризиса. Чтобы
найти коэффициент запаса, поступают следующим образом.
Во-первых, в координатах q—х для данных значений р и pv наносят
кривую q =f(x) и отмечают значение х = хгр (рис. 13.13). На этот же
график наносят точку а (или Ь), которая соответствует qa (или qb) на выходе
из трубы. Чтобы узнать, когда наступит кризис при повышении #, сначала
из уравнения теплового баланса выражают энтальпию двухфазного потока
в выходном сечении трубы:
7 Aqndl
квых = Авх + =—2 '
pvncT
(13.20)
Вычитая из левой и правой частей энтальпию жидкости на линии
насыщения Ы и деля затем на г, получают
+ Лрё1 (1320а)
puna г
*вых Хвх
364
зап Яа
зап Яс
Рис. 13.13. Схема расчета коэффициентов запаса до кризиса
Из (13.20а) видно, что связь между q и хвых линейная. Следовательно,
можно провести прямую через точку а (или точку Ь) и точку, лежащую на
горизонтальной оси (ее координата хвх). Прямая пересечет линию
q =f(x) или вертикальную прямую х = х (см. рис. 13.13).
Коэффициенты запаса определяются как отношения qclqa или q^lq^ т.е.
t'» = «i4; (13-21)
Ь"ж = Яа/Чс. (13-22)
Формула (13.21) определяет запас до кризиса первого рода, а (13.22) —
до кризиса второго рода.
13.7. Задачи с решениями
Задача 1. Найдите коэффициент теплоотдачи а и температуру
поверхности нагрева tc при пузырьковом кипении воды в большом объеме. Дав-
2
ление р = 5,5 МПа, а тепловая нагрузка q = 0,2 МВт/м .
Решение. Коэффициент теплоотдачи
.0,18
а =
3,4 - 55
1 - 0,0045 • 55
При р = 5,5 МПа ts = 270 °С. Температура
ч5
(2- 105) =31 760 Вт/(м2 • К).
tc = ts + q/a= 270 +
2- 10
3,176- 104
276,3 °С.
Ответ, а = 31 760 Вт/(м2 • К); tc = 276,3 °С.
365
Задача 2. Температура поверхности нагрева парогенератора /с = 268 °С.
Давление пара р = 4,7 МПа. Найдите расход производимого пара в расчете
на 1 м поверхности нагрева.
Решение. При р = 4,7 МПа ts = 260 °С и At = tc - ts = 8 °С. Так как а =
= q /At, то по формуле Лабунцова
о л 0,18
q_ = Ъ,Ар 2/3
At 1 - 0,0045/? q '
Подставляя в эту формулу заданные значения величин, получаем q =
= 2,54 • 105 Вт/м2. При р = 4,7 МПа г = 1661 кДж/кг. Таким образом, G =
= q/r = 2,54 • 105/( 1,661 • 106) = 0,15 кг/(м2 • с).
Ответ. Расход образующегося пара равен 0,15 кг/(м • с).
Задача 3. Плотность подводимого к поверхности нагрева теплового
2
потока q = 6 МВт/м . Возможен ли теплоотвод при пузырьковом кипении
воды (р = 4,7 МПа)?
Решение. Максимальная плотность теплового потока при пузырьковом
3 3
кипении равна q х. При р = 4,7 МПа р" = 23,7 кг/м ; р' = 784 кг/м ; \х' =
= 1,06 • Ю-4 Па • с; а = 2,37 • 10"2 Н/м; г = 1,66 • 106 Дж/кг.
По формуле Кутателадзе
qKpl = 0,14 • 1,66 • 106723^7 fy(>,0237 • 9,8(784 - 23,7) = 4,13 • 106 Вт/м2.
По формуле Ягова
лл* мт in6 о^0'6 а ,у^0,4Г9,8(784-23,7)~10'2 ... in6D , 2
qKr>i = 0,06-1,66 • 10 '23,7 -0,0237 -2-1 1д =5,53 40 Вт/м.
L 1,06-10 J
Значение q х по формуле Кутателадзе получилось на 33 % ниже, чем по
формуле Ягова. Поскольку кипение является сложным процессом
теплообмена, на который влияют факторы, трудно поддающиеся учету
(например, состояние поверхности нагрева), отмеченное несовпадение
результатов расчета можно считать нормальным. Кроме того, при низких
давлениях формула Кутателадзе дает результаты, плохо согласующиеся
с экспериментом.
Ответ. Так как q > qKV\, то теплоотвод возможен только при пленочном
кипении воды.
Задача 4. Рассчитайте температуру поверхности нагрева
(горизонтальная трубка диаметром d= 12 мм) для двух случаев: а) режим кипения воды
пузырьковый; б) режим кипения пленочный. Для обоих случаев q =
= 1,54- 105 Вт/м2,/? = 0,101 МПа.
366
Решение. Коэффициент теплоотдачи а = qIAt. При пузырьковом
режиме кипения
q_ = 3,4- 1,010'18 2/3
At 1 -0,0045- 1,01 q '
Отсюда At = 15,7 °Си/с= 100 + 15,7 = 115,7 °С.
Для расчета At при пленочном режиме кипения задаемся температурой
/ = 900 °С. Тогда средняя температура паровой пленки будет составлять
500 °С. При этой температуре и данном давлении для перегретого пара [1]
рп = 0,281 кг/м3; Хп = 6,69- 10~2 Вт/(м-К); цп = 28,58- 10"6 Па-с; срп =
= 2,135 кДж/(кг-К). При ts = 100 °С г = 2257 кДж/кг и плотность воды
рж = 958,4 кг/м3.
Эффективная теплота парообразования
г* = 2257 + 0,5 • 2,135(900 - 100) = 3111 кДж/кг.
При пленочном режиме кипения
^ = Q,62/"(P*-Pn)gr*.
Подставляя в последнюю формулу известные величины, получаем А/ =
= 800 °С и tc « 100 + 800 = 900 °С. Так как полученное значение tc совпадает
с принятым в первом приближении, повторного расчета не потребуется.
Найденная температура (tc = 900 °С) является приближенной, так как в
расчете не учитывался перенос теплоты излучением через паровую пленку.
Ответ. При пузырьковом кипении tc =115,7 °С (а = 9800 Вт/(м • К)), a
при пленочном кипении tc « 900 °С (а = 192 Вт/(м2 • К)).
Задача 5. В испарителе ядерной энергоустановки с натриевым
теплоносителем происходят нагревание воды в трубе до температуры ts, ее
испарение и частичный перегрев пара. Найдите длину участка испарения воды /, на
котором паросодержание 0 < х < х . Трубы с диаметром и толщиной стенки
16x2,5 мм изготовлены из нержавеющей стали (к = 18 Вт/(м • К)). Скорость
воды в них на входе в испарительный участок составляет 1,56 м/с, а
давление — 12,86 МПа. Температура натрия, омывающего наружную поверхность
труб, на участке испарения изменяется от 450 до 380 °С. Коэффициент теп-
лоотдачи от натрия к поверхности труб составляет 35 000 Вт/(м • К).
Решение. При р = 12,86 МПа ts = 330 °С; г = 1137 кДж/(кг-К). Для
воды р = 640,4 кг/м3; jli = 0,745 • 10"4 Па • с; X = 0,480 Вт/(м • К); Рг = 10.
367
Массовая скорость pv = 640,4-1,56 = 1000 кг/(м2 • с). При pv =
= 1000 кг/(м2-с) ир= 12,86 МПа ;сгр« 0,41.
Вычисляем число Рейнольдса для воды:
Re = looo^oii = М7. Ш5
0,745 -10
По формуле Петухова находим Nu = 295, откуда аконв = 295 • 0,480/0,011 =
= 13 000 Вт/(м2 • К).
Выражаем коэффициент теплоотдачи к кипящей воде через плотность
теплового потока q:
0 18
3,4 • 128,6 ' 2/3 .... 2/3 ,.„,,
°™= 1 - 0,0045 • 128,6 q =l9Mq ■ (1323)
Принимаем оскип/аконв >3. Тогда при кипении в трубе а = акип. Пусть qx
и q2 — плотности теплового потока в начале и конце искомого участка
испарения. Составим формулу для отыскания qx\
= 380 - 330 = 50
^1 -3 -4 -2 -2/3 '
1 + 2,5 - 10 + 1 1,69 • 10 + 5,17 • 10 q
35 000 18 l934qyi
Отсюда получаем: qx = 2,7 • 10 Вт/м ; ак = 8,1 • 10 Вт/(м • К) и ак/ав =
= 6,2 >3 (ранее принятое допущение выполняется).
Найдем температуру натрия /Na в том сечении, где х = х . Из балансных
соотношений следует, что
fNa = 380 + (450 - 380)0,41 = 408,7 °С.
Примем, что на всем участке 0 < х < х внутри трубы коэффициент
теплоотдачи определяется формулой (13.23). Тогда q2 можно найти таким же
5 2 —
образом, как и qx\ q2 = 4,4 • 10 Вт/м . Среднее значение q = 0,5(270 + 440) =
2
= 355 кВт/м . При этом / = 3,6 м.
Ответ. Искомая длина / = 3,6 м.
Задача 6. В трубку диаметром d = 8 мм поступает вода с температурой
— 2
ts (давление/? = 13,8 МПа). Ее массовая скорость pv = 1000 кг/(м • с).
Найдите такие значения q, при которых в трубке не будет кризиса теплоотдачи
первого рода. Определите также длину участка кипения без кризиса.
368
— 2
Решение. При pv = 1000 кг/(м • с) ир = 13,8 МПа из табл. 13.2 находим
х° =0,35. Из табл. 13.1 видно, что при х = 0,35 и тех же значенияхр и ри
0 7 2
q =1,15 МВт/м . Следовательно, искомые значения q < 1,15 МВт/м .
При q = const и хвх = 0
* = 2^ = 4^-. (13.24)
При р = 13,8 МПа г * 1970 кДж/кг. Полагая в (13.24) q= 1,15 МВт/м2,
получаем
0,35 • 1000 • 1970 - 0,008 , 0
Z= 4^ =1'2М'
2
Ответ. Значения g < 1,15 МВт/м , а искомая длина участка трубы
равна 1,2 м.
Краткие итоги гл. 13
1. Различают кипение в большом объеме (в условиях свободного
движения парожидкостной смеси) и кипение при вынужденном движении
(кипение в трубах).
Коэффициент теплоотдачи при кипении жидкости зависит от
физических свойств жидкости, температурного напора АГ = Гс - Г5,
плотности теплового потока на поверхности нагрева (тепловой нагрузки),
давления, состояния поверхности (чистая, окисленная, шероховатая). Для
кипения в трубах дополнительными факторами, влияющими на а,
являются: массовая скорость смеси, массовое расходное паросодержание,
диаметр трубы и ее расположение в пространстве.
2. Для кипения в большом объема на основе опытных данных можно
построить кривую кипения — зависимость q = /(АГ). Различают
пузырьковый, переходный и пленочный режимы кипения, каждому из
которых соответствует часть кривой кипения.
3. При пузырьковом кипении величина q с увеличением AT возрастает,
при переходном — уменьшается, при пленочном — возрастает, но более
медленно, чем при пузырьковом. Максимальная плотность теплового
потока при пузырьковом кипении называется первой критической тепловой
нагрузкой дкр1, а минимальная при пленочном — второй критической
тепловой нагрузкой qKp2 (qKp2 < qKp]).
Если задаваемой величиной является АГ (в этом случае плавно
изменяется температура Тс), a q — искомая величина, то на кривой
369
кипения будут все три указанных режима как при «прямом ходе» (AT
растет), так и при «обратном ходе».
Если задаваемой величиной является q (например, при электрообогреве
поверхности), а АГ — искомая величина, то на кривой кипения
переходного режима не будет. При «прямом ходе» при значении q = q х
произойдет скачкообразный переход от пузырькового режима к
пленочному, а при «обратном ходе» при q = q 2 — от пленочного к пузырьковому.
4. Радиус пузырька пара, находящегося в состоянии
термодинамического равновесия с окружающей жидкостью, называется критическим (или
минимальным). В простейшем виде R = 2а/(р^АТ), откуда следует, что
R уменьшается с ростом АГ и давления. На данном центре
парообразования возможно зарождение паровой фазы в случае, если его условный
радиус (характерный размер) больше R .
5. Коэффициент теплоотдачи при пузырьковом режиме кипения зависит
от q и р (для данной жидкости). Для воды в интервале изменения давления
от 0,1 до 20 МПа а = 3,4 /ЛУ/3/(1 - 0,0045/?).
6. При кипении в трубах возможны два кризиса теплоотдачи. Первый
кризис, называемый кризисом первого рода, наблюдается при высоких
тепловых нагрузках, когда пузырьков пара на стенке трубы становится так
много, что они образуют сплошную паровую пленку. Кризиса первого рода
не будет, если q < q . Величина q зависит от массовой скорости,
массового паросодержания, давления, диаметра трубы и рода жидкости.
Кризис второго рода может иметь место и при невысоких значениях q.
Этот кризис называют кризисом «высыхания» пленки жидкости на
внутренней поверхности трубы. Кризис второго рода не наступит, если паросо-
держание х меньше граничного х . Величина х зависит от массовой
скорости и давления (для данной жидкости).
Часть четвертая
МАССООБМЕН
Глава четырнадцатая
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МАССО- И ТЕПЛООБМЕНА
14.1. Основные понятия
Процессы массообмена происходят как в однокомпонентной, так и
в многокомпонентной среде. В технических приложениях часто
встречается случай двухкомпонентной среды. Смесь двух веществ
называется бинарной. Обогащение воздуха кислородом, выделяемым
листьями растений, рассматривается как процесс массообмена в бинарной
смеси газов. Широко распространенные процессы испарения в
паровоздушную среду и конденсации пара из смеси «пар—воздух» также
относятся к случаю массообмена в бинарной смеси.
Перенос массы вещества из одной области пространства в другую
может осуществляться как в неподвижной (с макроскопической точки
зрения), так и в движущейся многокомпонентной среде.
При наличии массопереноса в движущейся среде скорость движения
отдельных компонентов вследствие диффузии может не совпадать со
скоростью движения смеси в целом. В качестве последней скорости можно
принимать как среднюю объемную, так и среднюю массовую скорость.
По определению средняя массовая скорость смеси
v = ^; • (14.1)
I*
В (14.1) п — число компонентов смеси; р, — масса /-го компонента,
содержащаяся в единице объема (парциальная плотность); и- — скорость
движения /-го компонента. Ясно, что плотность смеси
Р= £р;- (14.2)
371
Величина J = pv называется вектором плотности потока массы
2
смеси, кг/(м • с). Иначе эта величина называется импульсом единицы
объема смеси. Для /-го компонента Jt = ptvt, и в соответствии с (14.1) и (14.2)
Различают конвективный и диффузионный процессы переноса массы.
Вектором плотности конвективного переноса массы /-го компонента
называется величина, равная произведению р-и, а разность плотностей полного
и конвективного потоков массы представляет собой вектор плотности диф-
фузионного потока /-го компонента, кг/(м • с):
jf. = J.-P/.i> = p.(i;.-i;). (14.3)
Диффузионный поток массы не зависит от выбора инерциальной
системы отсчета координат, а конвективный — зависит. Важным является то,
что всегда
£j, = 0. (14.4)
i=l
Равенство (14.4) доказывается просто. Действительно,
th= tJi-tpiv = J-vtpi = J-Pv = 0-
i=i i=i i=i j=i
Состав смеси можно охарактеризовать различными способами.
Отношение парциальной плотности /-го компонента к плотности смеси
называется массовой концентрацией (массовой долей) компонента:
с; = р/р. (14.5)
П
Так как V pi = р, то
j=i
X ct = 1 • (14-6)
/=1
Для бинарной смеси
с1+с2=1. (14.6а)
При наличии химических реакций количество участвующего в реакции
вещества обычно измеряется в молях. Для удобства расчетов вводится
понятие молярной массы вещества М, г/моль (кг/кмоль). Если т — масса
вещества, кг; v — количество вещества (число киломолей), то М = т /v.
Молярная масса — величина постоянная для данного вещества.
372
Молярная концентрация — это число киломолей /-го компонента,
содержащихся в единице объема смеси, кмоль/м :
Ct = v/V. (14.7)
Так как vz = mt/Mi9 pt = тДа ct = р,/р, то Ct = рс^М^
Состав газовой смеси можно описать с помощью парциальных
давлений компонентов. Пустьpi — парциальное давление /-го газа, а/? — давле-
п
ние смеси. Для идеально-газовой смеси по закону Дальтона р = \pi9
1=1
причем, согласно уравнению Клапейрона—Менделеева,
где R = 8314 Дж/(кмоль • К) — универсальная газовая постоянная.
Очевидно, что
С = — . (14.7а)
i рт v J
Нетрудно доказать, что
Pi
RT
( п сЛ"1
E=RTY-L. (14.8)
Уравнение состояния (14.8) входит в математическое описание
процессов тепло- и массообмена в газовой смеси.
Объемная доля /-го компонента газовой смеси равна отношению
парциального давления компонента к давлению смеси:
г.=р./р. (14.8а)
Содержание водяного пара во влажном воздухе характеризуется
относительной влажностью
где рп — парциальное давление пара во влажном воздухе; ps — давление
насыщенного пара при температуре воздуха; температура, при которой
значение рп становится равным значению ps, называется точкой росы.
373
При изучении совместных процессов тепло- и массообмена
используется понятие энтальпии смеси. Для смеси идеальных газов
h= £с.к.9 (14.9)
i=\
где hi — энтальпия /-го компонента (относится к массе этого компонента),
кДж/кг.
Если пренебречь теплотой смешения, то соотношение (14.9) можно
использовать не только для смеси идеальных газов, но и в других случаях.
При наличии химических реакций следует учитывать энтальпию
образования z-ro компонента hi (см. § 15.4). При этом удельная энтальпия при
произвольной температуре Т
т
hi= lcPidT+h°i> (14Л°)
где Г0 — температура, при которой п. = hi .
Теплоемкость смеси постоянного состава называется «замороженной»:
~cP=tcpicf <14-п)
/=1
Теплоемкость с в процессах тепломассообмена является функцией
координат точки. При наличии химических реакций ci может быть
функцией времени, а в стационарных процессах без химических реакций она
зависит только от координат точки.
14.2. Закон Фика. Коэффициент диффузии
Диффузионные потоки вещества возникают вследствие неоднородного
распределения концентрации компонентов смеси в пространстве.
Диффузия, обусловленная градиентом концентрации компонента, называется
концентрационной диффузией. Для бинарной смеси справедлив закон Фика:
]х =-pDgradc1; (14.12)
j2 = -pDgradc2, (14.12а)
где р = pj + Р2 — плотность смеси; D — коэффициент диффузии, м /с.
По формуле записи закон Фика аналогичен закону теплопроводности
Фурье. Знак «-» в (14.12) указывает на то, что векторы \х и grad сх в данной
точке среды направлены в противоположные стороны. Такой же смысл
имеет знак «-» и в (14.12а). Согласно закону Фика, чем больше градиент
концентрации, тем больше диффузионный поток вещества.
374
Для многокомпонентной смеси закономерности процессов
концентрационной диффузии сложны. Поэтому часто, допуская не очень большую
погрешность, все компоненты смеси разбивают на два сорта (тяжелые и
легкие) и рассматривают как бы бинарную смесь с единым для смеси
коэффициентом диффузии D, а вектор j^■ (i = 1, 2, ..., п) рассчитывают по
формуле
j. = -pZ)gradc.. (14.13)
Коэффициент диффузии для газовых смесей и растворенных веществ
в жидком растворителе различный, он практически не зависит от
концентрации. Для смеси «пар—воздух» (воздух рассматривается как газ
постоянного состава) при Т0 = 273 К ир0 = 0,101 МПа D0 = 0,216 • 10"4 м2/с, а при
других значениях Тир
1,8 Рп
D = DJir) -• (14.14)
Коэффициент диффузии для жидких растворов значительно ниже, чем
для газовых смесей, и существенно зависит от температуры. При Г0 = 293 К
—9 2
для кислорода, растворенного в воде, D0 = 1,8 • 10 м/с. Для разбавленных
растворов (концентрация растворенного вещества Cj < 0,1)
где |!0, (I — динамические вязкости растворителя при температурах Т0 и Т.
Значения коэффициентов диффузии содержатся в справочниках (см.,
например, [47]).
Из элементарной молекулярно-кинетической теории газов следует, что D « lvm,
где / — длина свободного пробега; vm — скорость теплового движения молекул.
При этом оказывается, что коэффициенты диффузии, температуропроводности и
кинематические вязкости равны друг другу (D = а = v).
Более точная теория диффузии в бинарной смеси газов при р = const, Т = const
дает следующие выражения для проекций плотностей потоков массы первого и
второго компонентов на ось Ojc:
Jx — Dmx—;
Jl = -Dm2—,
где Hj, n2 — число молекул первого и второго сорта в единице объема; т^ т2 —
массы молекул первого и второго сорта.
375
При р = const и Т = const пх + п2 = п = const и dwj/dx = - dw2/dx. Так как
оказывается, что сумма Jj + J2 * 0, то диффузия вызывает движение газа в целом
(направленное движение) со скоростью
Jx+J2 D(m2-mx) dttj
р р dx
Если из Jj и У2 вычесть конвективные потоки компонентов, равные pxv и р2и, то
можно получить диффузионные потоки в виде
А-».«2£>£(?); 04-15)
h = -m^D^). (14.5а)
Нетрудно доказать, что
d fwA w2 dci
f -= -^--г- (14Л56)
djcvw/ WjA^ djt
Здесь m = p/n. Подставляя (14.156) в (14.15), получаем закон Фика (14.12),
записанный в проекции на ось Ох. При этом для коэффициента диффузии из теории
вытекает формула
D = —2_ р*1. (14.16)
87ша12 V2^12
В (14.16) к — постоянная Больцмана; а12 = 0,5(ох + а2), где aj и а2 —
эффективные диаметры молекул первого и вторго сорта;
р12 = m]m2l(mx + m2).
Следует подчеркнуть, что если считать среднюю массу молекул m (m = p/n)
постоянной величиной (что логично), то оказывается, что закон Фика в виде (14.12)
и (14.12а) справедлив при р = const.
В общем случае процесс переноса массы данного компонента
происходит тогда, когда в пространстве существует неоднородное поле
химического потенциала этого компонента. Для бинарной смеси теоретически
выводятся следующие выражения для плотностей диффузионных потоков:
( 742 р12
jj = -pZ^gradcj + —-gradT + -^grad/?
j2 = -pD[gradc2 + —-gradT+ -J^gmdp
В последних формулах D — коэффициент диффузии бинарной смеси
(иногда обозначается D]2, причем D]2 = D2X\ в однокомпонентной среде
D = Z)n, где Dn — коэффициент самодиффузии); кТХ2 и kj^x — безразмер-
376
Abie коэффициенты термодиффузии; к_12 и к 2\ — безразмерные
коэффициенты бародиффузии. В силу (14.4) кп2 + &J21 = 0 и Л: 12 + ^21 = О-
Коэффициенты термодиффузии и бародиффузии зависят от Cj и с2 и
обращаются в нуль при Cj —> 1 ис2^ 1.
Влияние бародиффузии на массоперенос настолько мало, что им можно
пренебречь. Термодиффузия существенно сказывается лишь тогда, когда
массы молекул двух компонентов газовой смеси резко отличаются друг
от друга и велики градиенты температуры и средние концентрации
компонентов. На практике влиянием термодиффузии пренебрегают и считают,
что диффузионный поток массы обусловлен только градиентом
концентрации компонента.
Для отыскания функций ct(x, у, z, т) составляют уравнения диффузии,
неразрывности и движения, а для совместных процессов массо- и
теплообмена еще и уравнение энергии. В случае бинарной смеси задача
тепломассообмена упрощается, так как сумма Cj + с2 = 1 и достаточно найти поле
концентрации одного компонента.
14.3. Уравнения диффузии и неразрывности
Рассмотрим многокомпонентный поток смеси, в которой происходят
химические реакции. Выберем систему координат Oxyz (рис. 14.1). В точке
М с координатами х, у, z в произвольный момент времени х скорость /-го
компонента равна vt, скорость /-го компонента — v •, а средняя массовая
скорость — v. Приток массы /'-го компонента через поверхность
неподвижного контрольного объема АКза время Ах равен — divp^AFAx. Массу
/-го компонента, образующегося в единицу времени в единице объема в
результате химических реакций, обозначим х/9 кг/(м • с). Составим
уравнение баланса массы:
Pt(x, у, z, х + Ах)AV= рДх, y9z9x)AV-
- divp^-AKAx + Xj.AFAx .
Сократим его члены на AV и
положим Ах —> 0. Тогда получим уравнение
диффузии в виде
—-■+ divpf.w. = %.. (14.17)
ОТ i i i
В (14.17) можно произвести замену:
J,- = pf.i>.. Уравнение (14.17) записано х
^ЛЯ *-ГО компонента (/ = 1, 2, ..., п). рис. 14.1. К выводу уравнения диффузии
377
Согласно основному закону химических реакций, V х.. = 0. Складывая п
уравнений вида (14.17), получаем уравнение неразрывности для смеси:
-t- + divpi; = 0.
ох
(14.18)
Видно, что (14.18) совпадает с уравнением неразрывности для
однородной среды.
Преобразуем (14.17). Учтем, что р, = ср\
дх дт 1дт '
divp^. = divpyi; + divjz- = Cydivpi; + pi? • gradc{- + divjz.
Последние соотношения подставим в (14.17) и получим другую форму
уравнения диффузии:
(дс;
р( — + v • gradczJ = - divj; + х.
(14.19)
Выражение в скобках в левой части (14.19) — субстанциональная
производная dCj/dx. Тогда (14.19) может быть записано в виде
dc
P^-dvJ^V
(14.19а)
Далее заметим, что в (14.17)
pvt = Jp а в (14.18) pv = J. Умножая
(14.17) и (14.18) почленно на dV и
интегрируя эти уравнения, с учетом
формулы Остроградского—Гаусса
получаем уравнения баланса массы /-го
компонента и баланса массы смеси в
целом для контрольного объема V,
ограниченного замкнутой поверхностью
площадью S:
ljzdV+\jrn0dS=lxidV;(U20)
vox S V
:др
J|edF+Jj-n0d5= 0, (14.21
Рис. 14.2. К выводу уравнений (14.20) и
(14.21)
378
V
где п0
нормали (рис. 14.2).
единичный вектор внешней
14.4. Уравнения движения смеси
Рассматривая составляющие баланса импульса смеси в элементарном
объеме AV за время Ах, аналогично тому, как это было сделано в § 4.5,
можно получить три уравнения движения (в проекциях на оси координат
Ox, Оу, Oz). Например, для оси Ох приток импульса в расчете на единицу
объема в единицу времени
п
где средняя массовая скорость v определяется по формуле (14.1), а
Z Ptvix
v =i=i .
Р
Составляющая баланса импульса, обусловленная нестационарностью
процесса движения, запишется как
Av -dpv*
i= 1
Проекция силы тяжести, действующей на компоненты смеси,
п
У ptgx = pgx. Учитывая также напряжения gxx, а и ozx, окончательно
/=1
получаем уравнение движения в проекции на ось Ох:
dPVX dGXX dGVX dG2X
—^ + divpu^w = pg + —£f + —^ + —«. (14.22)
ox x x ox oy oz
Напряжения в движущейся смеси описываются обобщенным законом
Ньютона (см. § 4.4), в котором \х — динамическая вязкость, зависящая
от концентрации и вязкости компонентов.
Для газовых смесей приближенные значения ц можно получить по формуле
Уилке:
п и,
\x=Y ^ , (14.23)
•л п Хк
к=\ xi
где
х''&)/(&")''
379
Gik =
[1+(ц/й*)1/2(Л4/Л/,.)1/4]2
2j2jl+M/Mk
Для бинарной газовой смеси
^1С1
\х2с2
г- х - (14.23а)
В (14.23а) jij и ц2 — динамические вязкости чистых газов при температуре
смеси; сх и с2 — массовые концентрации газов; vj/12 и vj/21 — коэффициенты,
которые следует находить по формулам:
ГЦл1/2/М2у/4п2
4*12 =
мх/м2
J%(\ + mx/m2)x/1
^2\
м2/мх
Л(1+мх/м2)1/2
1 +
1 +
^v/2f^iV/4"
С учетом обобщенного закона Ньютона и уравнения неразрывности
(14.22) запишется в виде
dv
dx
?g
dvv
— = 02 - — + — LI 2-
:div
•)]
*&№*'$]*&№+%]■ <■««>
d^L^V^ dxJj dzV\dz dx;
Уравнение (14.24) и аналогичные уравнения в проекциях на оси Оу и Oz
по форме записи и содержанию ничем не отличаются от уравнений
движения однородной жидкости.
В компактной форме три уравнения движения записываются в виде
di;,
Pdx"
da..
?gt
ji
дх.
где
°ji = °ij = -(*
р + -Lidivi;j5/7+ li
dv. dv^\
KdXj
дх,
здесь 5Z = 1 при i = j и 8 = 0 при / ^у.
Преобразуем два первых слагаемых в правой части (14.24). Введем
гидростатическое давление /?0, причем др0/дх = p^gx (здесь р0 — плотность
смеси в некоторой точке пространства, например, вдали от поверхности
раздела фаз). Тогда
где// =р-р0.
380
Величину (р - Po)gx можно рассматривать как равнодействующую двух
сил: силы тяжести и силы Архимеда. В уравнении движения этой
величиной учитывается свободная конвекция, возникающая из-за разности
плотностей смеси в различных точках пространства.
14.5. Уравнение энергии. Число Льюиса
В моногокомпонентной среде выделим неподвижный контрольный
объем АК(см. рис. 14.1). Будем считать, что перенос энергии происходит
при условии р « const, а теплотой трения можно пренебречь.
Приближенное уравнение энергии, которое мы получим при этих
допущениях, будет соответствовать течению среды с относительно малой
скоростью (число Маха для газа должно быть меньше 0,25).
Пренебрегая теплотой смешения, можно утверждать, что энтальпия
п
смеси в объеме AV в момент времени х составляет V/z.p.AK =
i = l
п
= V h.cfiAV = phAV, а ее изменение за элементарный промежуток вре-
i=l
мени равно —[--АКАх •
от
Приток энтальпии в АКза Ах
-div
(» л
^•=1 >
АКАх =
- div
' п \ ( п ^
£РА» AKAx-div\Yt4i
) \=\ .
AFAx.
S=i
Здесь мы учли, что vt = v + jf-/р.. Подведенное к АКза Ат количество
теплоты (путем теплопроводности и излучения) равно -divq^AKAx, где
qs = - A,gradT+ q^, здесь X — теплопроводность смеси; q^ — вектор
плотности потока излучения (см. § 19.1).
Учитывая рассмотренные выше составляющие баланса энтальпии, на
основании первого закона термодинамики получаем уравнение энергии для
смеси компонентов:
^ + divpAw = - divqz - div £ /г-j •. (14.25)
/=i
Уравнение (14.25) справедливо как при отсутствии, так и при наличии
химических реакций в многокомпонентной среде. В последнем случае в ht
следует учитывать энтальпию образования. О том, как определяется q^,
381
будет сказано ниже (см. гл. 19). Если перенос энергии излучением
отсутствует, то q^ = 0.
С учетом (14.18) уравнение (14.25) можно представить в виде
dA п
Р^ = - <iivqz - div £ A.j.. (14.25а)
i = l
Далее положим q^ = 0. Тогда qs = q = -A,gradr. В общем виде (условие
р « const не выполняется, существенна теплота трения) уравнение энергии
записывается следующим образом:
р^р = div(^gradr) - div £ A.j. + & + 6. (14.256)
/ = l
Величина 8 представляет собой диссипативную функцию (см. § 4.6).
Теплопроводность смеси X определяется экспериментально и в (14.256)
считается известной величиной (она зависит от концентраций компонентов). Для
газовых смесей X можно найти по теоретическим формулам (см. § 1.3).
В уравнение (14.256) входят энтальпия А и температура Г, но А зависит
от Г, поэтому (14.256) целесообразно преобразовать так, чтобы в него
входила только энтальпия. Это можно сделать следующим образом. Запишем
п п п
gradA = grad V cihi = V c.gradh. + V Aggrade • =
i=l i=i /=l
n n
= ZS^gradr+ XA/8radCl..
i=i i=i
n
Здесь V с •ci = с — «замороженная» теплоемкость смеси (она соответ-
i=i
ствует теплоемкости при неизменном составе смеси). При этом
X X п
XgradT = —gradА - — ^ ^.grade..
СР cpi=^
Последнее соотношение следует подставить в (14.256). Предварительно
разобьем компоненты на две группы (легкие и тяжелые) и используем
закон Фика: \i = -рDgradei (i = 1, 2, ..., п). Введем также для смеси число
Прандтля и число Льюиса (последнее иногда называют числом Льюиса—
Семенова):
_ ^ср
v
?г = —£ = -- (14.26)
X а
382
Le = ££££ = £.
A, a
(14.27)
После всех преобразований вместо (14.256) получим следующее
уравнение энергии:
р— = divf -^grad/zj - div
thi?D{i-Bg™dc
■i= 1
+ ^ + 8.(14.28)
dx
Число Льюиса можно представить в виде
Рг
Le =
Рг
D
где диффузионное число Прандтля
^D pD D'
(14.29)
В прикладных задачах тепломассообмена двумя последними
слагаемыми в (14.28) можно пренебречь. Уравнение (14.28) при Le = 1
значительно упрощается. В этом случае оно может быть записано в форме
уравнения Фурье—Остроградского:
р^ = div(^gradr).
di
(14.30)
Для газовых смесей v « а « D и число Le « 1. Для удобства анализа
процесса тепломассообмена в жидких смесях уравнение (14.25а) с учетом
того, что q^ = 0, преобразуют к виду
-AT п
?с— = div(A,gradr) + pD £ cpigmdct • gradr. (14.31)
/=1
Для бинарной смеси grad с2 = - grad с{ и (14.31) упрощается:
— А Т
рср— = div(^gradr) + pD(cpl - c/?2)gradc1 • gradr. (14.31a)
Для жидких смесей часто можно принять, что с { « с 2- К тому же
коэффициент диффузии D имеет малое значение. Поэтому второе слагаемое в
правой части (14.31а) может быть исключено.
Уравнение (14.31) получается в результате следующих преобразований слагае-
п
мых, входящих в (14.25а). Величина h = ^сД и
i=i
d/z d п п d/ь п dc, п at п dc, - at п dc,-
383
Рис. 14.3. К выводу уравнения энергии для
контрольного объема V
В то же время
i=\ i=\ i=\
n n
= X A/divJ/+ PDZ cP£™dci' gradr.
Преобразованные таким образом
соотношения подставим в (14.25а), учтем
уравнение диффузии (14.19а) при %, = 0 и
в результате получим (14.31).
Уравнение баланса энергии для
конечного контрольного объема V,
ограниченного замкнутой поверхностью
площадью S, можно получить интегрированием (14.25). С учетом формулы
Остроградского—Гаусса получим
dS
_ rdph
(14.32)
где un, qZn wjin — проекции векторов и, qz и \i на направление внешней
нормали п0 (рис. 14.3).
Сумма слагаемых в скобках левой части (14.32) представляет собой
проекцию вектора плотности полного потока энергии:
E = pAi> + qz+ j^hfo.
/=l
Последнее соотношение справедливо для относительно малых скоростей
движения смеси. В общем случае в формулу для определения Е необходимо
включить кинетическую энергию потока и работу вязких напряжений.
14.6. Уравнения баланса массы и энергии для межфазной границы
На практике часто встречаются случаи тепломассообмена в
двухфазных системах (например, испарение, конденсация, сублимация и др.). При
этом перенос вещества через граничную (межфазную поверхность)
обусловлен фазовыми переходами. Уравнения, выведенные выше (см. § 14.3—
14.5), справедливы для каждой фазы. На границе раздела фаз потоки
вещества, энергии и импульса должны удовлетворять определенным условиям,
иногда именуемым условиями совместности [47]. При этом используется
собственная система отсчета координат, «привязанная» к данному участку
или точке межфазной поверхности.
384
Ay
Ay
'/А////////?////////}///, I
На межфазной границе выделим точку М
(рис. 14.4) и вокруг нее опишем малую
замкнутую поверхность. Эта поверхность будет
ограничивать элементарный контрольный
объем AV = 2 AS Ay, охватывающий две фазы.
Для определенности допустим, что одна
фаза — жидкость, другая — газ.
Характеристики первой фазы будем обозначать
верхним индексом «один штрих», а второй
фазы — индексом «два штриха».
Применительно к элементарному
объему AV (14.20) будет иметь вид
АУ ±
2 AS f -р dy - J'.AS + J"AS = 2AS f %. dy,
J дх У У
-Ay -Ay
где J', и J". — проекции вектора Ji на ось 0y для первой и второй фаз.
Устремляя Ау к нулю, получаем условие неразрывности потока массы
/-го компонента при прохождении границы раздела фаз:
AS
Рис. 14.4. Элементарный
контрольный объем вблизи межфазной
границы
Ау
Л. = л
(14.33)
iy гу
Из (14.21) аналогично получаем условие неразрывности полного потока
массы смеси:
J'y=J"r (1433а)
которое представляет собой уравнение баланса массы смеси. Оно
справедливо как при отсутствии, так и при наличии химических реакций.
В случае бинарной смеси J\ + J'2 = J* и J'\ + J"2 = J" . Тогда
будем иметь два балансных уравнения. Одно — (14.33а), а другое имеет
вид
J\y J\y'
(14.336)
Если один компонент (например, воздух, который практически не
растворяется в воде) отсутствует в какой-либо фазе (в жидкости), то поток
этого компонента не пересекает границу и межфазная поверхность
называется полупроницаемой. Тогда J'\ = J", a J'\y = j'\y + Р'\ = J"\y + C'W
\у
'Ь"
откуда следует уравнение материального баланса для полупроницаемой
границы в случае бинарной смеси:
ГУ =
(14.34)
Если задана массовая концентрация первого компонента (например,
Н20 в случае паровоздушной смеси) и найдена плотность диффузионного
385
потока массы, то по (14.34) можно рассчитать плотность полного потока
массы, проходящего через межфазную границу. Значение j'[ можно найти
по закону Фика после того, как в результате решения дифференциальных
уравнений тепломассообмена будет определено поле концентрации
компонента. Однако решение этой задачи является сложным. Поэтому в
инженерных расчетах применяются упрощенные методы, основанные на
аналогии процессов тепло- и массообмена (см. § 14.8).
Уравнение энергетического баланса для межфазной границы
записывается в виде
t=\ 1=1
Уравнение (14.35) выводится из (14.25) таким же образом, как (14.33) —
из (14.20). В (14.35) q' и q" — проекции вектора q на ось Оу в жидкой и
газообразной фазах соответственно. Значения q' и q" рассчитываются по
закону Фурье с учетом теплопроводности смеси в жидкой и газообразной
фазах. Иногда (например, в процессах радиационно-конвективной сушки
материалов) необходимо принимать во внимание результирующий поток
излучения через межфазную границу. Тогда в правую часть (14.35) следует
ввести я"цу = Е" у9 где E"pQ3y — проекция вектора q^ на ось Оу;
Е"резу = Е погл ~ ^'соб (3Десь Е погл — плотность потока излучения,
поглощенного межфазной поверхностью; Е"со§ — плотность потока собственного
излучения поверхности в газообразную фазу). Значение Е"погя можно найти,
зная плотность потока падающего излучения со стороны газообразной фазы
и поглощательную способность межфазной поверхности. В первом прибли-
4
жении можно принять, что Е"погл = Е"иад, а Е"со6 = о0Тс (Тс — температура
—8 2 4
межфазной поверхности, а0 = 5,67*10 Вт/(м • К ). При облучении
Солнцем значение Е" равно плотности потока солнечного излучения.
Для бинарной смеси уравнение (14.35) упрощается. Следует учесть, что
h = cxhx + c2h2 и Jj =j\ + cxJ. Тогда из (14.35) получается уравнение
■V'l + Wl + 4'у = J"\yh"\ + J2yh2 + Я"у • (14-35а)
Обозначим гj = h'\ - h\, r2 = h"2 - hf2. Величины rx и r2 представляют
собой индивидуальные теплоты фазового перехода первого и второго
компонентов смеси. С учетом этого (14.35а) запишется в виде
Я'у = АУг\+Г2уг2 + <1"у О4-356)
386
рис. 14.5. Определение концентраций с\ и с'\
бинарной смеси на поверхности раздела фаз
Т
Для полупроницаемой границы J"2 = О, а
в отсутствие теплообмена излучением будем
иметь
q'y = rb>r* + q"y (1435в)
Уравнения (14.356) и (14.35в), в частности,
используются для определения температуры межфазной границы. При
этом в часто встречающемся случае низкой интенсивности фазовых
переходов полагают, что скачок температуры на межфазной границе
отсутствует и Т' = Т" = Ts(p"), причем//' =р' (лапласовым скачком давления
пренебрегают). При не слишком высоком давлении для парогазовой смеси
температура полупроницаемой межфазной поверхности равна температуре
насыщения при парциальном давлении пара р", а массовая концентрация
с\ легко определяется при известном значении р".
Если оба компонента пересекают границу и присутствуют в обеих фазах, то
концентрации с\ и с'[ определяются так, как показано на рис. 14.5.
14.7. Диффузионный пограничный слой.
Уравнения теории пограничного слоя при наличии массообмена
Понятие пограничного слоя, рассмотренное в § 5.1, применяется также
при изучении процессов массообмена. Перенос массы какого-либо
компонента смеси осуществляется под действием градиента концентрации этого
компонента. В том случае, когда поперечная составляющая градиента
концентрации много больше продольной составляющей (иначе, когда
продольным переносом массы в продольном направлении можно пренебречь),
область процесса переноса вещества называют диффузионным
пограничным слоем. Обычно эта область наблюдается вблизи поверхности раздела
фаз (случаи испарения, конденсации и др.). О диффузионном пограничном
слое говорят также при рассмотрении процессов искусственно
организованного вдува—отсоса инородного газа через пористую поверхность,
омываемую потоком основного газа. Изучение процесса массообмена при
вдувании или отсосе газа имеет самостоятельный интерес, так как таким
образом можно, например, защитить поверхность тела от
высокотемпературной внешней среды. При вдувании газа растет толщина пограничного
слоя и уменьшается коэффициент теплоотдачи. При его отсосе
наблюдается обратная картина. В то же время закономерности тепломассообмена,
387
Рис. 14.6. К определению понятия
диффузионного пограничного слоя
полученные для процессов вдува—отсоса, можно использовать для
анализа влияния поперечного потока массы на распределения скорости и
температуры в задачах массопереноса, касающихся процессов испарения,
конденсации и др.
Понятие диффузионного пограничного слоя поясним на примере
обтекания воздухом влажной пластины (рис. 14.6). Концентрация паров воды на
поверхности пластины равна с1с, а в потоке воздуха — с1оо. В пределах
тонкого слоя толщиной dD величина сх изменяется от с1с до сх « с1оо
(обычно принимают с^ = 0,99с1оо). Толщина 8^ и представляет собой
толщину диффузионного пограничного слоя для первого компонента (паров
Н20).
При отсутствии химических реакций уравнение диффузии аналогично
уравнению энергии (в форме Фурье—Остроградского). Поэтому так же,
как это было сделано в § 5.1, можно оценить толщину 5D: dD ~ /0/ д/Ре^,
где /0 — характерный размер тела (для пластины — ее длина); Ре^ = RePr^,
— диффузионное число Пекле. Толщина теплового пограничного слоя
5Т ~ /0/ л/Ре, а толщина динамического пограничного слоя 8 ~ /Q/ Vile.
Отсюда видно, что 8^ ~ 4Ъ; 8Т ~ 4~а и 8 ~ Jv. Таким образом,
8^/8т ~ л/Le, 8^/8 ~ 1 / ^Рг^. Для газовых смесей число Le « 1 и число
Pi£> « 1, поэтому dD « 8Т и bD « 8.
В основе теории пограничного слоя лежит допущение, что толщины 8,
8Т и bD малы по сравнению с характерным размером тела /0. Оценки
показывают, что это условие выполняется при больших числах Re, Ре и Ре^.
Тогда молекулярные переносы импульса, энергии и вещества существенны
только в пограничном слое, а за его пределами ими можно пренебречь.
Часто приближением теории пограничного слоя называют такой способ
изучения явлений переноса, когда пренебрегают продольными
диффузиями импульса, энергии и вещества и считают, что процессы переноса
осуществляются только в поперечном направлении (в направлении,
перпендикулярном к поверхности тела или межфазной границе).
388
Дифференциальные уравнения совместных процессов массо- и
теплообмена слоя упрощаются, если используется приближение теории
пограничного слоя. Ограничимся рассмотрением стационарного плоского
пограничного слоя (направим ось Ох вдоль поверхности, ось Оу перпендикулярно
к ней). Тогда в приближении теории пограничного слоя уравнение
диффузии будет иметь вид
дс- дс>
о v 1- V
*Л х л„ v
ду\ ду
+ X;
(14.36)
'хдх Уду J
Для динамического пограничного слоя др /ду = 0, а уравнение движения
смеси и уравнение неразрывности записываются следующим образом:
dvv dvv
P^ + V^7
dx
dpv dpv
у _
0.
(14.38)
дх ду
Для пограничного слоя уравнение энергии получается в результате
упрощения (14.28). Оно имеет вид
dh , dh\
v — + v — :
хдх Уду)
_ д f\i dh\ д
dy\Vr ду) ду
fdVx\2
±hiPD{\-
4=1
*\дх)'
l\dcf
hJ ду_
(14.39)
Обычно два последних слагаемых в правой части (14.39) весьма малы
по сравнению с другими слагаемыми и их исключают. Для течений газовых
смесей с высокими скоростями вводят полную энтальпию /г0 (см. § 5.7) и
уравнение энергии записывают в виде
dh.
dh<
dh,
_о + v —1 = —(Ь —1 - —
Vjc дх Vy ду) ду\?х ду) ду
п ( 1 \ дс1
4=1 -
ду
2^
И1
Рг/ dj> 2
(14.39а)
Несмотря на то что уравнения теории пограничного слоя проще полных
уравнений процессов тепломассообмена, их решение представляет собой
сложную задачу. Оно возможно только с применением численных методов.
Поэтому в инженерных расчетах в настоящее время используются
приближенные методы, среди которых основным является метод аналогии
процессов тепло- и массообмена. Наряду с этим применяются интегральные
методы, например метод Кутателадзе—Леонтьева (см. § 6.6).
389
14.8. Коэффициент массоотдачи. Аналогия процессов переноса массы,
теплоты и количества движения
Конвективный массообмен между движущейся средой и межфазной
поверхностью называется массоотдачей. Ее интенсивность
характеризуется коэффициентом массоотдачи (3, который равен отношению
плотности диффузионного потока массы данного компонента на границе раздела
2
фаз [обозначается ус, кг/(м • с)] к разности массовых концентраций этого
компонента в потоке среды и на поверхности раздела.
В данном параграфе мы будем рассматривать бинарную смесь, для
которой достаточно определить поток массы одного компонента (поток
массы второго находится из условия, что \х + j2 = 0). Обычно индексом «1»
обозначают характеристики того компонента смеси, массовый поток
которого представляет наибольший интерес. В процессах испарения и
конденсации этим потоком будет массовый поток пара, зная который, всегда
можно найти массовый поток другого компонента (например,
неконденсирующегося газа). Часто пар называют активным компонентом, а
конденсирующийся газ (воздух) — пассивным. Газ, практически не
растворяющийся в жидкости, также называется пассивным компонентом смеси.
2
По определению, коэффициент массоотдачи, кг/(м • с),
Р = Г£, (14-40)
где Acj = с1оо - с1с; здесь с1оо и с1с — массовые концентрации первого
компонента вдали от границы раздела фаз и на ее поверхности.
При этом предполагается, чтоу1с — проекция вектора \х на
внутреннюю нормаль к поверхности раздела фаз (она направлена в сторону
жидкости или твердого тела). На практике часто используется внешняя
нормаль к межфазной поверхности, и тогда
;1с = р(с1с-с10О). (14.41)
Соотношение (14.41) аналогично закону Ньютона—Рихмана.
Теоретически значение у1с для концентрационной диффузии можно найти по
закону Фика:
'•с-рЧ^Х' (14-42)
где индекс «с» указывает на то, что производная берется в точке, лежащей
на поверхности раздела фаз.
Если используется формула (14.41), то дсх1дп — производная по
направлению внешней нормали.
390
В случае газовой смеси вместо массовой концентрации компонента можно
использовать его парциальное давление. Тогда коэффициент массоотдачи,
отнесенный к разности парциальных давлений, определяется следующим образом:
VP=Jp (14.43)
вместо (14.41) для расчета плотности диффузионного потока массы применяется
формула
J\c = $p(P\c-P\oo).
Парциальное давление и массовая концентрация однозначно связаны друг с
другом, так как известно, что
В прикладных задачах массообмена коэффициент массоотдачи находят,
используя аналогию процессов переноса массы, энергии и импульса. Для
нахождения условий справедливости аналогии анализируют
математическое описание процессов тепломассопереноса. При этом различают
случаи малой (или умеренной) и высокой интенсивности массообмена.
Рассмотрим случай малой интенсивности массообмена. Он отличается
тем, что поперечный поток массы вещества практически не оказывает
влияния на течение смеси. Это условие выполняется, если во всей области
потока концентрация активного компонента невелика (практически Cj < 0,1)
или слабо изменяется по нормали к межфазной поверхности (например,
с\с~ с\оо < 0Л)- Оценку малости искажения течения вследствие
массообмена можно также сделать с помощью понятия параметра проницаемости
поверхности:
Ъ = — , (14.44)
С/пРоо^оо
где Jlc — плотность полного (диффузионного и конвективного) потока
массы активного компонента на межфазной границе; с^0 — коэффициент
трения, рассчитанный при условии, что поперечный поток массы
отсутствует; роо иУоо — плотность и скорость смеси вдали от поверхности.
Значение Ь > 0, поэтому в (14.44) У1с — абсолютная величина
плотности потока массы. Считается, что если Ь < 0,1, то влиянием поперечного
потока вещества можно пренебречь.
Случай теплообмена, когда влиянием процесса массопереноса на
гидродинамические характеристики потока (скорость, давление) можно
пренебречь, будем называть случаем «чистого» теплообмена. При малых
разностях массовых концентраций активного компонента и малых разностях
температур в потоке смеси уравнения гидродинамики в двух случаях
(«чистого» теплообмена и массообмена) ничем не отличаются друг от друга.
391
Тогда (если граничные условия для скорости подобны) распределение
скорости в потоке смеси можно принять таким же, каким оно было бы при
течении однородной среды (например, однокомпонентного газа). Важно
подчеркнуть, что, по существу, мы говорим о трех случаях течения среды.
Первый случай относится к «чистому» массообмену (изотермическое
течение смеси компонентов). При этом требуется найти только потоки массы
компонентов. Второй случай — «чистый» теплообмен. Он соответствует
совместному процессу тепло- и массообмена (при этом массообмен
не влияет на теплообмен). Третий случай — теплообмен без всякого
массообмена, т.е. тот вид теплообмена, который мы рассматривали в
предыдущих главах. Согласно принятым допущениям, для первых двух случаев
вязкость смеси ц « const. Предполагается, что и в третьем случае \i « const.
Свободная конвекция, возникающая из-за того, что равнодействующая сил
тяжести и Архимеда отлична от нуля, в уравнении движения учитывается
величиной (р - p0)g (см. § 14.4), которая в указанном третьем случае равна
взятой со знаком «минус» величине pg$(T- Г0), где Р — коэффициент
объемного расширения. Так как мы приняли, что изменения температуры
и концентрации малы, то Ар « р и AT « Т.
Уравнение энергии для третьего случая и уравнение диффузии при xt = О
записываются аналогично. Входящие в оба уравнения компоненты скорости
vx и v описываются одними и теми же функциями. Если граничные
условия для температуры и концентрации подобны, то будут подобными и
решения двух уравнений. Это положение лежит в основе метода аналогии
процессов тепло- и массообмена.
Пренебрегая в уравнении энергии для смеси (см. § 14.5) диффузионным
переносом энергии, убеждаемся в том, что это уравнение во втором случае
«чистого» теплообмена будет иметь такой же вид, как и в третьем случае.
Введем диффузионное число Нуссельта:
NuD = ^ = -^-^, 04.45)
PD с1с-с1оо р£>
где у1с — плотность диффузионного потока массы первого компонента
на межфазной границе, причем
Для процесса конвективного теплообмена число Грасгофа
Or —
2
V
где АТ= |ГС-Г0
392
Для процесса массообмена вводится диффузионное число Грасгофа:
GrD^4' 04.46)
где Ар = | рс - Poo I; здесь рс и р^ — плотности смеси на межфазной
границе и вдали от нее.
Уравнения конвективного тепломассообмена можно привести к
безразмерному виду (см. § 4.7) и получить следующие соотношения:
NuD =/(Re, Ргд, GrD); (14.47)
Nu=/(Re, Pr, Gr). (14.47a)
Соотношение (14.47a) справедливо как для третьего из рассмотренных
выше случаев, так и для второго. При выполнении условий аналогии вид
функции/в соотношениях (14.47) и (14.47а) одинаков, в них число Рей-
нольдса одно и то же:
Re = -, (14.476)
где Уоо — скорость набегающего потока.
При вынужденной конвекции, когда влияние свободной конвекции
пренебрежимо мало,
Шй = <p(Re, PrD); (14.48)
Nu = cp(Re, Pr). (14.48a)
Если зависимости (14.47a) или (14.48a) известны, то с их помощью
можно рассчитать коэффициент массоотдачи. Для этого достаточно в
формулах, справедливых для процесса теплообмена, заменить обычные числа
Прандтля и Грасгофа на диффузионные. Так, например теплоотдача при
продольном обтекании пластины в случае ламинарного пограничного слоя
рассчитывается по формуле
Nux = 0,332Re^/2Pr1/3 . (14.49)
Для расчета аналогичного процесса массообмена будем иметь
NuD;c = 0,332Re]/2Pr]/3 . (14.49а)
Если используется формула (14.49а), то при определении числа Рей-
нольдса по (14.476) следует взять кинематическую вязкость смеси.
Если течение смеси турбулентное, то обычно принимается, что
турбулентные числа Прандтля для процессов тепло- и массообмена равны.
Поэтому соотношения (14.48) и (14.48а) справедливы как для ламинарных,
так и для турбулентных течений.
393
Рассмотрим теперь случай, когда, кроме указанных выше условий,
коэффициент диффузии, вязкость и температуропроводность равны, т.е. Рг = 1,
?rD = 1 и Le = 1. Предположим также, что влиянием свободной конвекции
можно пренебречь и справедливо приближение теории пограничного слоя,
причем продольная составляющая градиента давления равна нулю (ф/dx =
= 0). Последнее условие выполняется при обтекании пластины.
Анализ уравнений пограничного слоя показывает, что уравнения
движения, диффузии и энергии в этом случае отличаются только
обозначениями величин. Если, например, в уравнении диффузии сх заменить на vx,
то оно совпадет с уравнением движения. При подобных граничных
условиях (например, с1с = const, TQ = const) распределения температуры,
концентрации и скорости будут подобны, а в безразмерном виде
тождественны, т.е.
Т - Т
± * оо
т - т
1 с °о
(14.50)
Продифференцируем равенство (14.50) по у и затем положим >> = 0. Так как
*c=-^fU; /1с=_р/)(Д=о; ct<=^W
то в результате получим
М^-Гоо) pZ)(clc-cl00) [XVC
(14.50а)
Равенство (14.50а) умножим на X и разделим на произведение р с v^ .
Учтем, что в нашем случае Рг^ = 1, Рг = 1. Введем число Стантона St,
диффузионное число Стантона St^ и коэффициент трения су0:
st= а Чс
Р<^оо P^oofTc-^oo)
st --В-- ^ •
D Р^оо P^oo(Cic-C1oo)'
2ст
с
/0 2 •
Р^оо
Тогда вместо (14.50а) получим соотношение, называемое тройной
аналогией между процессами переноса теплоты, вещества и импульса:
St= StD = c/0/2. (14.51)
394
Следует подчеркнуть, что (14.51) справедливо при отсутствии влияния
поперечного потока массы на характеристики процесса тепломассопереноса.
Из (14.51) видно, что при условии справедливости тройной аналогии
тепло- и массоотдачу можно рассчитывать, зная коэффициент трения с™.
Соотношение (14.51) имеет место как для ламинарного, так и для
турбулентного течения. Для ламинарного пограничного слоя при обтекании
пластины C^Q = 0,664 /Jtex.
Экспериментально и теоретически доказано, что тройную аналогию
можно распространить на случай Рг Ф 1 и PrD Ф 1, записав вместо (14.51)
следующее равенство:
StPr" = StDPr£ = cf0/2. (14.51а)
Для ламинарных течений « « 2/3, а для турбулентных п « 0,6.
Так как в основе тройной аналогии лежит допущение ф /dx = 0, то для
течений с отрывом она непригодна.
Соотношение (14.51) часто называют аналогией Рейнольдса.
Идея об аналогии процессов переноса импульса и теплоты была высказана
О. Рейнольдсом в 1874 г. при изучении им турбулентного течения жидкости в
трубах. Аналогия Рейнольдса была рассмотрена выше (см. § 6.4). В. Нуссельт (1916 г.)
распространил аналогию Рейнольдса на процессы массообмена.
Выведем соотношение (14.51), используя понятие рейнолъдсова потока. Пусть
2
т' — поток жидкости, направленный перпендикулярно к стенке, кг/(м • с).
Основной поток жидкости направлен вдоль стенки. Величина т' и представляет собой
рейнольдсов поток. Пусть Т^, v^ и с1оо — соответственно температура, скорость
и массовая концентрация первого компонента смеси вдали от межфазной границы,
а Гс, ус и с1с — то же на границе раздела фаз (обычно можно считать, что vc = 0).
С помощью потока т' осуществляется процесс переноса теплоты, импульса и
вещества, т.е. для этих трех процессов т' одно и то же. Основное свойство рей-
нольдсова потока состоит в том, что с его помощью однотипно записываются
выражения для плотности теплового потока qc, касательного напряжения стс и плотности
Диффузионного потока массы у1с, причем
Яс = ^Vr- " Тс), (14.52)
ас = w'(^oo - ис), (14.52а)
J\c = m,(c{oo-c]c). (14.526)
Так как в трех уравнениях т' имеет одно и то же значение, то (полагая vc = 0)
будем иметь
— —*— -*С- Лс (14.53)
CpiT^-TJ V^ С1оо-С1с'
Разделив каждую составляющую равенства (14.53) на pv^, получим (14.51).
395
Рейнольдсов поток является фиктивным (воображаемым) потоком. Его смысл
можно уяснить из рассмотрения примера переноса теплоты от жидкости к стенке.
Из (14.52) видно, что т' — это такое количество жидкости, проходящее в единицу
времени через единицу площади поверхности стенки, которое, будучи
приведенным в тепловое равновесие со стенкой, передает ей количество теплоты (в единицу
времени в расчете на единицу площади поверхности), равное действительной
плотности теплового потока. В случае Тс > Т^ нагретый рейнольдсов поток выходит из
стенки, приходит в равновесие с основным потоком, при этом передается такое
количество теплоты, которое равно действительному.
Из (14.52) видно, что т'с = а, где а — коэффициент теплоотдачи. В то же
время, как это следует из (14.526), т' = р, где р — коэффициент массоотдачи.
Таким образом, из аналогии Рейнольдса вытекает формула Льюиса:
Р = а/ср.
Модель рейнольдсова потока использована в [43].
Рассмотрим теперь случай высокой интенсивности массообмена.
Допустим, что число Le = 1 и смесь состоит из двух компонентов. Если в
правой части (14.39) отбросить как несущественные два последних
слагаемых, то уравнение энергии будет иметь такой же вид, как и для «чистого»
теплообмена; причем оно будет аналогично уравнению диффузии (если
Le= l,ToPr = PrD).
В рассматриваемом случае плотность потока массы через граничную
поверхность Jc может быть значительной, она считается величиной,
заданной граничными условиями.
Если граничные условия для энтальпии и концентрации подобны, то
при Le = 1 поля относительных энтальпий и относительных концентраций
также подобны, т.е. в безразмерном виде они тождественны:
Равенство (14.54) продифференцируем по у и в полученном
соотношении положим j; = 0. Преобразуем производную dh/dy следующим образом:
dh д < и 4- ил ~ дТ +идС\ +и д°2
ду дуУ х х 2 v Рду х ду 2 ду
*> jbjx{hx -hJ = - jb[q +yi(/2i "*2>] = ~ jb*
IE
где е = q + j\(h\ - h2) представляет собой плотность потока энергии,
переносимой молекулярным путем; здесь q — плотность теплового потока,
j\(h\ - h2) определяет перенос энтальпии компонентов смеси вследствие
диффузии.
396
Введем St^
число Стантона:
St, = —
э^с-^оо)'
(14.55)
где индекс «с», как обычно, указывает на то, что данная величина
относится к поверхности раздела фаз.
С учетом математического описания совместных процессов тепло- и
массообмена, записанного в безразмерном виде, из (14.54) после простых
преобразований получаем
StA = StD = /[Re, Рг, Ус/(роо1>оо)]- (14.56)
Величина ^/(роо^оо) характеризует влияние поперечного потока
вещества на тепло- и массоотдачу. Это влияние можно также учитывать с
помощью параметра проницаемости Ь, который записывается в виде
»-^_-
1_
(14.57)
где St0 — число Стантона, справедливое для случая Jc = О [его можно
найти по формулам для «чистого» теплообмена (или «чистого» массообмена)].
От значения параметра Ъ зависит отношение числа Стантона,
учитывающего влияние поперечного потока массы, к числу St0. Это отношение
обозначается
Ч =
St,
St
D
St
'Л о
St
(14.58)
DO
где St
•АО
St
DO
Stn
О характере зависимости Ч7 = Ч'(б) можно судить по графику,
приведенному на рис. 14.7.
Для турбулентного пограничного слоя приближенное значение *¥
можно получить по формуле
и/ = Ъ
ъ 1 '
е - 1
а для нахождения более точных значений *¥ следует использовать метод
Кутателадзе—Леонтьева [19].
Мы рассмотрели частный случай Le = 1. В ч*
другом частном случае с х = с 2 = с уравне- ' Р
ние энергии (14.31а) аналогично уравнению °'8
диффузии. 06
0,4
0,2
Рис. 14.7. Влияние поперечного потока вещества на
теплообмен в условиях продольного обтекания
пластины при ламинарном пограничном слое
Рг = 0,7
^
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Ъ
397
Из анализа математического описания процесса тепломассообмена
в этом случае получаем:
St=/[Re,Pr,Jrc/(p00i;00)]; (14.59)
StD =/[Re, PrD, ^/(PooUoo)]. (14.59a)
В (14.59) число Стантона определяет тепловой поток, отводимый (или
подводимый) от поверхности за счет теплопроводности:
Отличие последнего частного случая от ранее рассмотренного (Le = 1)
состоит в том, что Рг Ф ?rD.
В отличие от первого частного случая, который приближенно
соответствует газовой смеси, во втором случае, как это видно из (14.59) и (14.59а),
расчет теплообмена необходимо проводить отдельно от расчета массооб-
мена. Вид функций (14.59) и (14.59а) один и тот же. Способ учета влияния
поперечного потока вещества остается таким же, как и в первом случае.
Если числа Рг = 1, Рг^ = 1, dp/dx = 0 и влиянием гравитационных сил
можно пренебречь, то при высокой интенсивности массообмена
существует тройная аналогия:
St = StD = су/2, (14.60)
где коэффициент трения находится с учетом влияния поперечного потока
вещества:
с/2 = ч/(Яе, Ус/(Роо"оо)) • (14.60а)
Зависимость (14.60), как и приведенные ранее зависимости,
справедлива для сходственных точек межфазной поверхности.
Краткие итоги гл. 14
1. Некоторая жидкая или газообразная среда может содержать
несколько компонентов. Если концентрация компонентов в различных
точках пространства различна, то возникает процесс переноса массы из одной
области пространства в другую. Этот процесс называется массообменом,
если же ему сопутствует еще теплообмен, то процесс называется
тепломассообменом.
На практике часто встречается случай бинарной смеси. Иногда массооб-
мен протекает и в однокомпонентной среде.
2. Согласно закону Фика, вектор плотности диффузионного потока
массы пропорционален градиенту концентрации. Коэффициентом
пропорциональности является произведение плотности смеси и коэффициента
диффузии.
398
3. Математическое описание процесса тепломассообмена является
сложным и включает в себя (п + 6) дифференциальных уравнений, где п —
число компонентов, которые включают в себя п уравнений диффузии,
уравнение неразрывности, три уравнения движения, уравнение энергии,
уравнение состояние, зависимость энтальпии от температуры.
4. Практический расчет массо- и теплообмена основывается на
аналогии процессов массо- и теплообмена (по формулам конвективного
теплообмена определяют коэффициент массоотдачи) и уравнениях баланса массы и
энергии на межфазной границе.
5. Применительно к бинарной смеси баланс массы таков: j! = J" и
j' = J" Для полупроницаемой поверхности (например, для смеси пар—
воздух) имеем j" = j" /(1 -с"). Индекс «1» относится к жидкой фазе, а
индекс «2» — к газообразной (т.е. к пару).
Уравнение энергетического баланса имеет вид
J\yh\ +J2yh'2+4y=J\yh"\+J2yh2 + b-
Для полупроницаемой границы J? = 0 и тогда
. tr
6. Процессы конвективного тепломассообмена в общем случае
описываются зависимостью типа Nu^ =/(Re, Pr^, Gr^), а при отсутствии
свободной конвекции NuD =/1(Re, PrD).
7. При Pr = 1, ?rD = 1 имеет место тройная аналогия переноса теплоты,
массы и количества движения St = St^ = Су/2.
Глава пятнадцатая
МАССО- И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ИСПАРЕНИИ, КОНДЕНСАЦИИ
И ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯХ
15.1. Стефанов поток массы
Если для некоторой части компонентов смеси межфазная поверхность
является непроницаемой (например, какие-либо компоненты не
конденсируются или не адсорбируются поверхностью), то это приводит к
возникновению общего течения смеси в направлении, перпендикулярном к
поверхности. Возникновение конвективного потока смеси в процессах
массообмена, протекающих вблизи полупроницаемой поверхности (для
одних компонентов проницаема, для других — не проницаема), впервые
(1882 г.) было отмечено австрийским физиком И. Стефаном, в связи с чем
этот поток смеси называется стефановым потоком.
Обычно стефанов поток массы наблюдается в газовых смесях,
например, в процессах конденсации пара из паровоздушной смеси или его
испарения в парогазовую среду. Компонентом смеси, для которой межфазная
поверхность не проницаема, является воздух, который практически не
растворяется в воде.
Рассмотрим процесс испарения воды, находящейся на дне пробирки
(рис. 15.1). Температура воды равна температуре окружающего воздуха
(Т = const). Над поверхностью воды присутствует смесь водяных паров
с воздухом. Давление этой смеси в пробирке постоянно, однако
парциальные давления водяных паров рх и воздуха р2 по высоте пробирки изменя-
Рис. 15.1. Испарение воды, находящейся на дне пробирки
400
ются, причем рх + р2 = р = const. Очевидно, что парциальное давление
на поверхности воды рХс > рХоо (рХоо — парциальное давление водяного
пара в окружающем воздухе) и массовая концентрация сХс > с1оо. Для
воздуха — картина обратная (рис. 15.1).
Из-за наличия градиентов концентраций компонентов смеси при любом
значении координаты у (О < у < И) имеют место диффузионные потоки
водяных паров и воздуха: jx = - pD dcxldy\j2 = - pD dc2/dy, причем jx и
j2 — проекции векторов \x и j2 на ось Oy. Так как dc2/dy > 0, тоу2 < 0, т.е.
диффузионный поток воздуха направлен к поверхности воды, которая для
него не проницаема. В стационарном процессе испарения дс21дх = 0, т.е.
при любом значении координаты у концентрация воздуха не зависит от
времени. Это означает, что диффузионный поток воздуха к поверхности
воды должен компенсироваться потоком смеси, направленным в
противоположную сторону. Таким вторым потоком и является конвективный поток
Стефана. Его скорость обозначим vc п. Тогда J2 =j2 + p2vc п = 0, откуда для
скорости стефанового потока получаем
Далее напишем закон дляу^ иу2 в виде
jx = -Ddpx/dy и j2 = Ddp2/dy.
Значения pj и р2 выразим через парциальные давления рх и р2: рх =
= pxMx/(RT); р2 = р2М2/(RT). Из (15.1) следует, что
Теперь найдем плотность полного потока массы паров воды. Так как
Jl=J\ +Pluc.n>T0
л = -
DMX
w
DMX dpx Р\МХ
~RT ~dy RT
i Pi)
v Pi йУ,
=
dP\ _ P\M\ D йР\ 53)
dy RT p-px dy '
Перейдя в (15.3) от парциального давления рх к объемной доле гх = рх1р,
гучим
^ = -J
PMX d
RT \-rx
dr,
dy'
(15.4)
401
В (15.4) разделим переменные и проинтегрируем первый раз от у = О
до текущего значения у, а второй раз от у = 0 ло у = h. В результате
получим зависимости:
1_^ = /'; (15.5)
1 -
1 v
pMxD 1-г1оо
■'■"-is-'-n^;- <156)
где Г|с и г1оо — мольные доли активного компонента на межфазной
границе и вдали от нее; К = JxRTI(pMxD).
Формула (15.6) называется формулой Стефана. Чтобы воспользоваться
(15.5) для нахождения г{(у), предварительно по (15.6) надо рассчитать
значение Jx. Формулы (15.5) и (15.6) справедливы и для процесса
конденсации парогазовой смеси. В этом случае г1оо > г1с, J^ < 0 и стефанов поток
направлен к межфазной границе.
15.2. Массо- и теплообмен при испарении в парогазовую среду
В § 15.1 мы рассмотрели простой случай испарения при Т= const. Если
можно принять, что процесс массопереноса осуществляется только в
направлении, перпендикулярном к межфазной поверхности (одномерная
диффузия), то по формуле Стефана можно рассчитать скорость испарения.
Моделью одномерной диффузии является испарение в пробирке. К этой
модели также можно применить приближение теории пограничного слоя,
согласно которому диффузионные переносы массы, теплоты и импульса
в продольном направлении пренебрежимо малы по сравнению с
переносами в поперечном направлении. Указанное допущение справедливо при
малой толщине пограничного слоя. В формуле Стефана под толщиной
пограничного слоя можно подразумевать расстояние h от поверхности
воды до верхнего края пробирки (см. рис. 15.1). Чем меньше толщина
пограничного слоя, тем больше плотность потока массы, проходящего
через межфазную поверхность, и больше скорость испарения. Основная
проблема, возникающая при использовании формулы Стефана, —
нахождение толщины пограничного слоя 8.
Простой способ расчета толщины 8 состоит в следующем. Сначала
рассмотрим неподвижную пленку, через которую проходит тепловой поток q,
2
Вт/м . Разность температур поверхностей пленки, ее толщина и
теплопроводность соответственно равны ДГ, 8' и X. Тогда q = аДГ, где а = Х/8'.
Пусть теперь Ас — разность концентраций, а р, D и 8 — соответственно
плотность смеси, коэффициент диффузии и толщина неподвижной пленки
в процессе диффузии, причем J = РАс, где (3 = р£>/8.
402
Процесс теплопроводности аналогичен процессу диффузии (5' = 5),
тогда Р = apD/X. Для газовых смесей число Le = 1. В этом случае
получаем формулу Льюиса:
Р = ^, (15.7)
СР
так как р = apD/X = apDcp/(Xcp) = aLe/cp. Здесь ср—
теплоемкость смеси. При Le=l d = pD/$ = pDcp/a = X/a. Таким образом,
зная коэффициент теплоотдачи, можно найти 5. Например, для
сферической частицы диаметром d при условии, что перенос теплоты
осуществляется теплопроводностью, Nu = ad IX = 2, откуда a = 2X/dnd = d/2. Видно,
что с уменьшением диаметра частицы (например, диаметра капли)
уменьшается 8 и, следовательно, возрастает интенсивность испарения.
На практике часто встречаются такие процессы испарения, в которых
осуществляется подвод теплоты к границе раздела фаз, т.е. имеет место
совместный процесс тепло- и массообмена. В частности, такие процессы
происходят в градирнях ТЭС и АЭС, при сушке изделий, испарении капель
воды в заключительной стадии кипения в трубах парогенераторов и др.
В последнем из указанных случаев испарение воды осуществляется в
поток собственного пара, т.е. имеет место тепломассообмен в однокомпо-
нентной среде. Если над межфазной поверхностью присутствует
нейтральный газ (например, воздух), то такая поверхность является
полупроницаемой, и на интенсивность испарения влияет (часто незначительно) стефанов
поток массы.
Расчет совместных процессов тепло- и массообмена можно провести
с помощью дифференциальных уравнений, которые приведены выше
(см. гл. 14). Однако решение этих уравнений найти чрезвычайно сложно,
особенно в том случае, когда поток, омывающий межфазную границу,
турбулентный. Поэтому в инженерных расчетах прибегают к приближенному
методу, в котором используются аналогия процессов переноса массы,
энергии и импульса и уравнения материального и энергетического балансов
для межфазной границы. На основе гипотезы о неподвижной пленке в ряде
случаев массообмен можно рассчитать по формуле Стефана.
В качестве примера рассмотрим адиабатное испарение воды в
паровоздушную среду. В этом процессе подвод теплоты со стороны воды к
межфазной поверхности отсутствует. Задана температура потока среды Гоо,
требуется найти температуру поверхности Тс и плотность потока массы
паров воды У1с. Индексом «с» мы обозначаем величины, которые соответ-
403
ствуют межфазной границе. В нашем случае Jlc = Jc (так как J2c = 0) и
справедливо соотношение (14.34), т.е.
J =-^-.
С 1-^с
Плотность диффузионного потока j'[c = р(с'{с - с"1оо). Величина с'[с
полностью определяется температурой Гс, а с1оо задано (известна
влажность потока воздуха). В уравнении энергетического баланса (14.35в)
положим q'y = 0 и q" = qc = а(Тс - Т^). Так как для газовой смеси Le *
« 1, то в первом приближении можно использовать формулу (15.7), т.е.
а = Р ср. Поскольку число Nu ~ Рг", то по аналогии Nup ~ Рг^ и более
точно а = рс Le . Показатель степени п зависит от режима течения
среды. Для ламинарного режима п = 1/3, для турбулентного п « 0,4.
В результате уравнение (14.35в) принимает вид
С-Т^ = 7и"-1(Г~-Гс)- (15'8)
Из (15.8) можно определить температуру Тс. Видно, что при Le = 1 она
не зависит от скорости потока среды. Уравнение (15.8) справедливо
не только для воды, но и для других жидкостей. Температура адиабатного
испарения Тс называется температурой «мокрого» термометра.
После того, как с помощью (15.8) определим температуру Гс, будет
известно значение с1с. Затем, найдя р по методу аналогии, можно
определить значения 71с и У1с. Решение поставленной задачи на этом
заканчивается. Аналогично решается задача в том случае, когда дополнительно задан
тепловой поток q'Q. Однако в уравнении энергетического баланса
необходимо рассчитывать и а, и р.
Рассмотрим задачу [44, 50] об испарении капли в атмосферу какого-либо
газа (например, воздуха). Будем считать, что капля и газ неподвижны,
температура капли Гс1 и температура газа вдали от капли Т2оо известны. Число
Био для капли (ее радиус равен г0) много меньше единицы, поэтому
температура во всех ее точках одна и та же. Требуется найти плотность потока
паров жидкости на поверхности капли У1с, распределение концентрации
паров с1с =f(r) и время испарения капли.
Для решения задачи воспользуемся уравнениями (14.20) и (14.21).
Поскольку процесс испарения протекает относительно медленно, будем
считать состояние парогазовой среды квазистационарным и пренебрегать
частными производными по времени. Кроме того, учтем, что в нашем слу-
404
рис. 15.2. К решению задачи об испарении капли:
/ — капля; 2 — парогазовая смесь
чае X; = О, а объем К(рис. 15.2) представляет собой
сферический слой, ограниченный поверхностями
2 2
5] = 4пг0 и S2 = 4кг , где г — текущий радиус
(г0 < г < оо). Внешняя нормаль п0 в уравнениях
(14.20) и (14.21) для поверхности Sx направлена к
центру капли, а для S2 — в противоположную сторону. Тогда для паров
жидкости и парогазовой смеси будем иметь соответственно: Jxr = JXcrQ и
J г = Jcr0 , где все плотности потоков массы — проекции векторов на
направление орта ег (см. рис. 1.1 и 15.2). Так как для газа поверхность
капли практически не проницаема, то J2 = 0 (см. § 15.1), J = Jx и Jx =j\ +
+ cxJx. Следовательно, можно записать, что
J\ = -pd_57 + c*Ji;
dc
-PZ)-JT + ciyi)r2 = Ji
dr
откуда после раскрытия скобок в левой части последнего уравнения и
разделения переменных будем иметь
dO-ci) _ J\ cr0 dr
2 '
1
pD
(15.9)
1 к- г
Далее допустим, что pD не зависит от г. Интегрируя (15.9) по г от г0 до
текущего значения г и по сх от сХс до текущего значения с1? получаем
формулы для Jx си сх = сх(г):
J
1 с
1 -с
= р£(1_г1
ro V
In
1
'l
1
1 -с
1 с
^[-^•(■-7*)]
1 С
(15.9а)
(15.96)
При г—>°° Cj—>с1оои формула (15.9а) приобретает вид
1 +
'1 с
' 1 оо
\ с )
(15.9в)
405
Величина ci с однозначно определяется температурой капли (так как на
поверхности капли давление рх = рх s) и давлением р = р{ + р2 = Роо-
Изменение радиуса капли со временем можно найти, составив
уравнение баланса массы за время dx:
рж4яг0с1г0 = -У1с471г0(1т,
из которого следует
о>о
dx
J
l_c = _ р£>
Ржг0
In
1 +
с1 с С1оо
1-С
1 С )
После интегрирования этого уравнения получим
>о(т)-;
2р£)
In
1 +
1-е
1 С J \
(15.10)
Время испарения капли соответствует ^о(тисп) = 0. Из (15.10) вытекает, что
(15.11)
Ржг0
исп 2р£>1п[1+(с1с-с1оо)/(1-с1с)]'
Из формулы (15.11) следует важный вывод о том, что тисп
нологических процессах необходимо добиваться наиболее мелкого
дробления (распыления) капель жидкости.
Второй способ решения задачи по испарению капли основан на
уравнении баланса энергии для объема V, ограниченного замкнутой поверхностью
S. При этом используется уравнение (14.32). Рассмотрим решение
поставленной выше задачи вторым способом. Предварительно преобразуем
подынтегральное выражение в (14.32) с учетом того, что J2 - 0. Полагая
qR= 0 и подразумевая под J, Jx, J^yj^il и Я проекции соответствующих
векторов на направление внешней нормали к поверхности S,
последовательно получаем
Jh +j\h\ +У2^2 + Я. = J\c\h\ + ^2С2^2 +^l^l +J2^2 + Я =
= U\ + cxJx)hx + (/2 + с2У2) *2 + 9 = J\h\ + 9-
Из (14.10) с учетом того, что с х = const и Т0 = Гс, находим
Теперь на основании уравнения (14.32) можно записать уравнение
энергетического баланса для объема К ограниченного поверхностями S{ и S2'.
406
Далее сократим левую и правую части полученного уравнения на 4тг, в
левой его части раскроем скобки и второе слагаемое перенесем в правую
2 2
часть. Учтем, что J^r = J^ crQ . После простых преобразований получим
2.dT 2Т
r b-£=Vlccpl
(т-тс)
Pi 1 с
Разделив переменные в последнем уравнении и проинтегрировав по Т
от Т = Тс до Т = Гоо, а по г от г = г0 до г = °°, получим
In
Too-Tc-qJ(JlccDl) JlccDlr{
/c'Wi cVl
1 с^ГО
-^lc^l)
Из последнего выражения, положив а = Х/(рс ■ j), найдем плотность
полного потока массы паров жидкости на поверхности капли:
Л =^1п
'1 С
\ , Ср\(Тоо-ТсУ
(15.12)
Величина qJJ\ с = -г±, где Гф — теплота преобразования при
температуре Тс.
Соотношение между массовой концентрацией паров жидкости и
температурой капли можно получить, приравняв правовые части формул (15.9в)
и (15.12):
1 +
1 -с
1 с
{ | cpi(Too-Tcy
PC„\D
"pi*
(15.13)
Очевидно, что Х/(рс XD) = Le . Как известно, число Льюиса для
газовых смесей близко к единице. Формула (15.13) вместе с зависимостью
с\ с = /(^с) позволяет найти сх с и Тс. Для удобства расчетов формулу
(15.13) можно преобразовать к виду
1 -с
^1 с = 1
1 ОО
\ + ср1(Тоо-тсу
1/Le"
(15.14)
407
Время испарения капли можно найти таким же образом, как это было
сделано при решении задачи первым способом. При этом получается
формула
2
и- 2ра1п[1+с/?1(Г00-Гс)/гф]' V1^
При использовании формулы (15.15) и других надо помнить, что в
основе модели Сполдинга [44] заложены условия: D = а = const; с л = const.
15.3. Массо- и теплообмен при конденсации из парогазовой смеси
Совместные процессы массо- и теплообмена осуществляются в
подогревателях и конденсаторах паровых турбин на ТЭС и АЭС, в контактных
теплообменниках промышленных предприятий и других случаях. Чаще всего
процесс массообмена возникает из-за наличия в паре
неконденсирующегося газа. Таким газом обычно является воздух, который проникает в
теплообменник, работающий под разряжением. Конденсация геотермального
пара на ГеоТЭС происходит в присутствии смеси нейтральных газов.
В указанных случаях конденсация поддерживается в основном за счет
отвода теплоты от межфазной границы в объем жидкости. Например,
в конденсаторах паровых турбин конденсат образуется на наружной
поверхности труб, а выделяющаяся теплота фазового перехода отводится
через пленку конденсата охлаждающей жидкостью (водой), протекающей
по трубам.
Возможна также конденсация при отсутствии отвода теплоты в объем
жидкости (например, конденсация на каплях, находящихся в потоке
пересыщенного пара, или конденсация пересыщенного пара на
теплоизолированной поверхности). Совместные процессы тепло- и массообмена имеют
место как при конденсации пересыщенного пара из парогазовой смеси, так
и при конденсации чистого пересыщенного пара.
Особенностью конденсации смеси пара с нейтральными газами при ее
течении в охлаждаемой трубе является то, что чем дальше от входа в трубу,
тем больше конденсация газов в потоке смеси.
Теоретическое решение задачи тепломассообмена при конденсации
можно получить с помощью дифференциальных уравнений (см. гл. 14).
Однако даже в простейших случаях (например, конденсация на
вертикальной плоской стенке при ламинарном течении пленки) решение оказывается
сложным [10]. В инженерных расчетах используется метод аналогии
совместно с уравнениями материального и энергетического балансов.
При конденсации бинарной смеси концентрация газа с2с у межфазной
поверхности больше, чем вдали от нее (с2с > с2оо)- Поэтому газ диффунди-
408
рует в сторону от поверхности конденсации, а стефанов поток массы смеси
направлен к стенке. При конденсации скорость стефанова потока больше,
чем при испарении, что объясняется наличием больших градиентов
концентрации (или парциального давления) в первом случае. Таким образом,
влияние поперечного потока вещества на характеристики тепломассопереноса
при конденсации может быть более существенным, чем при испарении.
Важно отметить, что из-за снижения парциального давления пара
вблизи поверхности конденсации температура поверхности пленки
оказывается меньше, чем при конденсации чистого пара. Это является основной
причиной уменьшения отводимого теплового потока и снижения
интенсивности конденсации. Следовательно, чтобы воздух, попадающий в
конденсаторы паровых турбин, не оказывал слишком сильно свое отрицательное
влияние на теплоотдачу, его необходимо постоянно отводить из
конденсатора.
Температура межфазной границы Тс в случае конденсации
определяется из уравнения энергетического баланса:
с СГ1+9Нс = Я'е, 05.16)
1 ~С\с
где q', например, в случае ламинарного течения пленки может быть
рассчитано по теории Нуссельта, a q"c = а,"(7^ - Гс), здесь Т^ —
температура смеси вдали от поверхности (она равна температуре насыщения при
парциальном давлении/?1оо). Коэффициент теплоотдачи а" можно
рассчитать, если известны условия движения потока смеси около межфазной
границы. Для этого следует взять формулы, справедливые для конвективного
теплообмена. При интенсивной конденсации необходимо вносить
поправку, учитывающую влияние поперечного потока вещества. Как правило,
значение q"c можно рассчитать лишь приближенно.
Коэффициент массоотдачи р в соотношении (15.16) определяется с
помощью аналогии процессов тепло- и массообмена.
Уравнение (15.16) справедливо для случая конденсации пересыщенного
пара на каплях жидкости, но в этом уравнении следует учитывать, что q' =
-О. В (15.16) q"c представляет собой проекцию вектора q" на
направлении внутренней нормали к поверхности жидкости. Так как первое
слагаемое в левой части (15.16) больше нуля, то q"c < 0 и тепловой поток
направлен в сторону пара.
409
15.4. Тепломассоперенос при химических реакциях
Напомним основные сведения о кинетике и термодинамике химических
реакций. Химические реакции, протекающие в объеме смеси веществ, называются
гомогенными, а реакции на межфазной границе — гетерогенными. Примером
гомогенной реакции может служить горение капли жидкого топлива, а примером
гетерогенной — горение частицы угля. Большинство химических реакций происходит
при постоянном давлении, поэтому их тепловой эффект оценивают изменением
энтальпии.
Химические реакции, при протекании которых происходит уменьшение
энтальпии системы (АН < 0) и во внешнюю среду выделяется теплота, называются
экзотермическими. Реакции, в результате которых энтальпия возрастает (АН > 0) и
происходит поглощение теплоты, называются эндотермическими.
Скорость химической реакции представляет собой изменение концентрации
вещества, прореагировавшего в единицу времени (т.е. она равна взятой со знаком
«минус» частной производной от концентрации по времени). Скорость реакции —
положительная величина. Она зависит от природы реагирующих веществ, а также
от их концентраций, температуры, присутствия катализатора. Скорость
гетерогенной реакции зависит от площади поверхности соприкосновения между
реагирующими веществами.
Согласно закону действующих масс, скорость химической реакции при Т = const
пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Пусть в
какой-либо химической реакции А и В — реагенты, а [А] и [В] — их концентрации.
Тогда скорость реакции
v = k[A]vA [B]VB,
где vA и vB — постоянные числа, называемые показателями порядка реакции по
реагентам А и В (для обратимой реакции vA и vB равны стехиометрическим
коэффициентам); к — константа скорости реакции, которая определяется по формуле
Аррениуса:
k = k0e~E/RT, (15.17)
где Е — энергия активации; R — универсальная газовая постоянная; к0 — предэкс-
поненциальный множитель.
В обратимых реакциях скорость прямой реакции вначале имеет максимальное
значение, а затем уменьшается вследствие уменьшения концентрации исходных
веществ. Для обратной реакции все происходит наоборот. Состояние, в котором
скорость обратной реакции становится равной скорости прямой реакции, называется
химическим равновесием.
Предельный случай течения смеси химически реагирующих газов,
когда скорости реакций настолько велики, что в каждой точке среды
существует химическое равновесие, называется химически равновесным
потоком, а пограничный слой при этом является равновесным пограничным
слоем. Поток (а также пограничный слой) называется «замороженным»,
если скорости химических реакций настолько малы, что состав смеси
в каждой точке среды определяется только процессами диффузии и
конвекции.
410
Из (15.17) видно, что скорость реакции зависит от температуры, причем
при относительно низкой температуре она оказывается меньше, чем
скорость диффузии окислителя к поверхности реагирования. Тогда скорость
горения в основном определяется кинетикой химической реакции на
поверхности. С увеличением температуры скорость химической реакции
резко возрастает до тех пор, пока не будет соизмерима со скоростью
диффузии. При больших значениях температуры скорость химической реакции
настолько велика, что процесс горения зависит в основном от поступления
окислителя к поверхности реагирования. При этом окислитель
незамедлительно вступает в реакцию с горючим, а концентрация его на поверхности
близка к нулю.
Пусть тдиф — характерное время протекания диффузионного процесса
(тдиф ~ 8 /Д где 5 — толщина диффузионного пограничного слоя), ах —
характерное время протекания химической реакции. Отношение тдиф /т
называется числом Дамкеллера. Оно используется при анализе потоков
химически реагирующей смеси газов. Если число Дамкеллера много больше
единицы, поток будет химически равновесным; если же оно очень мало,
поток считается «замороженным». Для последнего случая в уравнении
диффузии х- = 0. В общем случае концентрации компонентов должны
рассчитываться как с учетом диффузии, так и с учетом кинетики химических реакций.
Значение х7, входящее в уравнение диффузии, можно определить, если
известны скорости химических реакций:
*/ = MiZviawa>
a=l
где Mi — молярная масса /-го компонента смеси (/ = 1,2, ..., N, здесь N — число
компонентов); г — число одновременно происходящих независимых реакций (при
этом a = 1,2, ..., г); va — скорость реакции; v/a — стехиометрические
коэффициенты (они отрицательны для исходных веществ и положительны для продуктов
реакции при условии, что va > 0).
Уравнение энергии (см. § 14.5) справедливо и при наличии в потоке
химических реакций, но при этом необходимо учитывать энтальпию
образования компонента h{ , кДж/кг. В таблицах приводится стандартная
энтальпия образования одного моля Н( = h( М{ из соответствующих
простых веществ, называемых элементами. По определению, энтальпия
образования простых веществ равна нулю. Стандартные условия соответствуют
температуре Гст = 278,15 К (/ст = 25 °С) и давлению рСТ = 0,101 МПа.
411
Для установившегося процесса гетерогенного горения количество
окислителя, прореагировавшего на поверхности горючего, равно количеству
окислителя, подводимому к поверхности путем диффузии. Для реакции
первого порядка скорость горения, кг/(м2 • с), j = кспов, где к — константа
скорости реакции, спов — массовая концентрация окислителя на
поверхности реагирования. В то же время у = Р(соо - спов). Таким образом,
выполняется равенство
J = кспо* = Р(соо - спов),
из которого следует, что
J l/jfc+l/p'
Величины 1 Ik и 1 /р представляют собой кинетическое и диффузионное
сопротивления процессу горения.
Рассмотрим задачу о горении капли жидкого топлива (рис. 15.3). При
этом будем использовать модель Сполдинга простой химически
реагирующей системы [44]: химическая реакция является реакцией соединения
между двумя реагирующими веществами (горючим и окислителем в
заданной пропорции по массе). В результате реакции образуется единственный
продукт. Например, если масса горючего составляет 1 кг, то масса
окислителя равна R, кг, а масса продукта (1 + R), кг. Вторым допущением модели
является равенство теплоемкости всех компонентов смеси и их
независимость от температуры. Третье допущение состоит в том, что все коэффици-
2
енты переноса (они имеют единицу измерения м /с) равны друг другу во
всех точках объема смеси.
Как ранее в задаче с испарением капли (см. § 15.2), будем считать процесс
горения капли квазистационарным, что позволяет записать уравнение баланса
массы /-го компонента для контрольного объема У(см. рис. 14.2) в виде
JjJ.n0dS=fx.dF. (15.18)
S V
Контрольный объем представляет собой
сферический слой, ограниченный двумя
2
сферическими поверхностями: S^ = 4пг0 и
2
S2 = 4яг , где г0 — радиус капли, а г —
текущий радиус (рис. 15.3).
Рис. 15.3. К решению задачи о горении капли
жидкого топлива
1 — капля топлива; 2 — пары топлива; 3 — фронт
горения; 4 — смесь продуктов сгорания и окислителя
412
Далее индексом «1» будем обозначать величины, относящиеся к
топливу, а индексом «2» — к окислителю. С учетом того, что внешняя нормаль
По к Sx направлена в сторону, противоположную направлению орта ег
(см. рис. 1.1 и 15.3), а нормаль к S2 — в ту же сторону, что и ег, можно
записать Jx CS{ = JXS2 и J2 CSX = J2S2 и JSX = JS2.
Так как Jt = jz- + ctJ (i = 1, 2), то на основании (15.11) будем иметь:
- pD^ + cx?j4nr2 + [pD-^ - сх^4пг\ = jxx dV\ (15.19)
v
p£>-p + c2j)47ir2 + (p#-p - c2JJ4nr20 = Jx2dF. (15.19a)
v
Учитывая стехиометрическое отношение, получаем
%{=x2/R. (15.20)
Уравнение (15.19а) почленно делим на R и затем вычитаем его из
уравнения (15.19). В результате получаем
-I>£('..-t)+(«..-tKF.- <15-21>
Обозначим W = с, - — . Тогда уравнение (15.21) запишется как
R
где индекс «с» соответствует г = г0. Далее в левой части (15.22) раскрываем
2 2
скобки и второе слагаемое переносим в правую часть. Учтем, что Jr = Jcr0.
После простых преобразований приходим к следующему
дифференциальному уравнению:
d*F Jcr0 dr
— = -^ — (\5 23^
Ч - ¥с - pD(d*¥/dr)c/Jc pD Г У ' )
Полагая W = 4*^ при г -^ оо и интегрируя (15.23) по г от г = г0 до г = оо5
получаем
—;г = m
1+ с °°
pD(d4/dr)JJ
(15.24)
413
Поскольку реакция протекает очень быстро, то окислитель не может
проникнуть через фронт горения и с2с = 0. При этом VFC = сх с, а Ч^ = -с2 oo/R,
так как пары топлива быстро сгорают и они отсутствуют в объеме
продуктов сгорания (cj оо = 0). Следовательно,
В результате формула (15.24) приобретает вид
(15.25)
Jcr0 ,
—г- = m
pD
\ + С1 с + С2 оо/Л"
1-^1с
Теперь выведем формулу для Ус, исходя из уравнения энергетического
баланса (14.32). Из этого уравнения получаем
(Jh + q + Ajy'j + h2j2)4nr2 = (JCAC + <7C + Alcylc + A2cy2c)4rcrJ. (15.26)
Используя (14.9) и (14.10), а также принимая во внимание основные
положения ПХРС, для энтальпии смеси газов будем иметь
h = с (Т- Г0) + CjAj + c2h2.
Далее следует учесть, что теплота сгорания равна разности энтальпий
исходных веществ и продуктов реакции. В нашем случае
H=h\ + Rh\-{\ +R)h\.
Последнее соотношение получим после того, как формулу для Н
запишем в виде
H=hx+Rh2-(\ +R)h3.
В последних двух формулах А3 и А3 представляют собой энтальпии
продукта сгорания. Так как Г0 — произвольно взятая температура,
положим Г0 = 0. Кроме того, будем считать hx = 0 и А3 =0. Тогда h2 = H/R,
а энтальпия смеси
h = cpT+c2H/R. (15.27)
Преобразовав выражение в скобках в левой части уравнения (15.26),
последовательно получим
Jh + q + hxjx+h2j2-j{cpT+c2f)--kfr+cpTjx+{cpT+f)j2 =
414
При преобразованиях учтено, что в нашем случае J2 = 0, коэффициент
температуропроводности а = D и Ч7' = с Т + c2H/R. Теперь уравнение
(15.26) записывается в виде
Л^'-pD^rlr
•Лс^с-РД
dr Л
го-
(15.28)
Уравнение (15.28) аналогично уравнению (15.22), поэтому можно сразу
записать его решение в виде (15.24) с учетом того, что Jlc = Jc.
Так как Ч'с = срТс, Ч^ = с^ + с2оо- и дс = - pd[—)^to
J\cr0
pD
= ln
м
СЛТоо-Тс) + С2оо —
1 +
-Ч*"и
(15.29)
В формуле (15.29) величина -qJJ\c = т* или в общем случае -qJJ\ с =
температура кипения; Гн
начальная
гф + с/7ж^кип ^нач/' где ^кип "
температура капли.
Для вычисления времени горения капли топлива можно воспользоваться
тем же методом, что и при испарении капли (см. § 15.2). В результате
получим
Ржг0
гор
2р£>1п
1 +
cJT^-TJ + c^H/R
(15.30)
Рассмотрим задачу о горении твердой частицы углерода. Возможны два
варианта реакций окисления углерода:
С + 02 = С02;
2С + 02 = 2СО.
В первом варианте R = 2,667, во втором R = 1,333. Продукт реакции в
виде С02 образуется при более низкой температуре, а в виде СО — при
более высокой температуре. Количество выделяющейся теплоты во втором
случае меньше, чем в первом. Далее будем считать, что реакция окисления
происходит по первому варианту, хотя результаты решения очень просто
обобщаются на реакцию второго варианта.
Особенность процесса горения твердой частицы углерода состоит в том,
что концентрация паров углерода пренебрежимо мала.
415
При расчете скорости горения частицы углерода определение Ус, кг/(м • с),
можно провести таким же образом, как и для горения капли жидкого
топлива. Пусть индекс «1» относится к топливу, а индекс «2» — к окислителю.
Для расчета Jc можно взять формулу (15.24), в которой Ч7 = сх - c2l R.
С учетом того, что сх « c2/R, в нашем случае имеем Ч* = -c2/R. Тогда
(15.24) запишется в виде
—=г = In
pD
1 +
С2с С2оо
- pD(dc2/dr)JJc
(15.31)
где г0 — радиус сферической твердой частицы.
Далее преобразуем знаменатель в правой части (15.31). Представим
себе тонкий сферический слой, ограниченный двумя поверхностями Sx =
2 2
= 4я(г0 - 5) и S2 = 4я(г0 + 8) , где 5 — малая величина (5 « г0). Реакция
2
горения протекает в объеме слоя АК«4тгг025.
Из (14.20) для квазистационарного процесса получим
J2nS\+J2nS2 = ,*2AV> (15.32а)
где f и J" относятся к Sx и S2 соответственно.
Уравнение (15.32а) почленно разделим на R и вычтем его из уравнения
(15.32). При этом учтем, что на поверхности Sx J2n = 0, на поверхности S2
J\n = ® и чт0 х1 = х2^- ^ результате получим JXn = -J2nIR• Но J[n =
= -JXc (JXc — проекция вектора Jx на направление орта еД a J2n =
= -J2c> так как движение кислорода направлено в сторону поверхности
частицы. Таким образом, J2c = -Jx CR. По закону Фикау2с = -pD(dc2/dr)c.
Кроме того,у2с = У2с - с2сJx с = -Jx CR - c2cJx с = -Jx C(R + c2c). В
результате формула (15.31) приобретает вид
J~r(\ ( с2°о С2с
= In
pD
1 + n
v R + c2c;
(15.33)
По формуле (15.33) можно рассчитать скорость горения частицы
углерода при известной концентрации кислорода на ее поверхности. Обычно
416
кислород быстро реагирует с углеродом, поэтому с2с = 0. Тогда (15.33)
упрощается:
Так как с2оо * 0,232, а Д = 2,667, то In (1 + c2oolR) « c2oo/R и
(15.336)
ЛГ0 С2оо
pZ) 7?
При выводе формул (15.33а) и (15.336) мы принимали с2с = 0. Однако
это условие выполняется не всегда. На значение с2 с влияет как химическая
кинетика, так и процесс диффузии. При низких температурах и малых
размерах частиц с2с « с2оо> и тогда формула (15.33) не годится для расчета
скорости горения, которая в этом случае в основном определяется
химической кинетикой. Напротив, при высоких температурах и достаточно
крупных частицах с2 с —» 0 (кислород мгновенно вступает в реакцию, как только
достигнет поверхности частицы). В этом случае значение Jc определяется
по формуле (15.33).
Найдем время горения частицы углерода. Из уравнения баланса массы
следует, что
dx Pl*
Использовав для определения Jc формулу (15.336), получим
dr^ = рРс2оо
dx Р1Дг0 '
откуда после разделения переменных и интегрирования по г0 от начального
радиуса частицы г^ до г0 = 0, а по времени т от т = 0 до т = т будем иметь
('о')2Р.л
2
Как видно из (15.34), время горения пропорционально (г0') . Этот
вывод соответствует высокой температуре частицы. Так как при этом
продуктом реакции является СО, то R = 1,333. Если температура не слишком
высока и не очень мала, то может образовываться С02, и тогда R = 2,667.
При низких температурах, когда скорость реакции определяется
химической кинетикой, формула (15.34) теряет смысл, а тго ~ rj .
417
15.5. Задачи с решениями
Задача 1. Плоское влажное изделие длиной /0 = 0,5 м продольно
омывается потоком сухого воздуха, для которого температура t^ = 20 °С,
давление р = 0,202 МПа, скорость v^ = 1 м/с. Температура изделия постоянна
по всей длине (tQ = 20 °С).
Найдите коэффициент массоотдачи при х = /0.
Решение. Для нахождения коэффициента массоотдачи воспользуемся
аналогией процессов тепло- и массообмена. Для процесса теплообмена
при вынужденной конвекции жидкости
Nu =/(Re, Pr),
где Nu = al0/X — число Нуссельта; Re = v^Iq/v — число Рейнольдса;
Pr = v la — число Прандтля.
Коэффициент массоотдачи определяется соотношением
С1с С\оо
гдеу'1с — плотность диффузионного потока массы водяного пара; с1с и с1оо —
массовые концентрации водяного пара на поверхности и вдали от тела.
Для массообмена вводятся диффузионное число Нуссельта
и диффузионное число Прандтля
PrD = v/D.
Согласно аналогии, функциональная зависимость для числа NuD имеет вид
NuD =/(Re, PrD).
Найдем число Рейнольдса при х = 0,5 м с учетом зависимости
коэффициента v от давления
уоо* 1-0,5-2 ,,. 1Л4
Rex = = — = 6,64 • 10 .
v 15,06 • 10
Так как течение в пограничном слое ламинарное, то для процесса
теплообмена
Nu =0,332Re]/2Prl/3,
1 Здесь и в дальнейшем индекс «с» относится к межфазной границе.
418
а для процесса массообмена
1/2 1/3
Ыидх = 0,332Re, Ргд .
Коэффициент диффузии
-аП93\ 1>80 101 -4 ?
D = 0,216- 10 \Щ) ^ = 0,123 • 10 м2/с
Диффузионное число Прандтля
Рг0 = ^,06-ИГ6 = 0,61.
2-0,123- 10
Диффузионное число Нуссельта
NuD;c = 0,332(6,64 • 104)1/2 • 0,611/3 = 72,55,
и коэффициент массоотдачи
а хт pD ^сс1,205-2-0,123- 10"4 л- 1П-3 „ 2 ч
Р = Nun„c— = 72,55 — -4 = 4,3 • 10 кг/(м -с).
их х 0,5
—3 2
Ответ. Коэффициент массоотдачи Р = 4,3 • 10 кг/(м • с).
Задача 2. Найдите плотности диффузионного потока массы парау1с,
полного потока массы пара J\ с, теплового потока, подводимого к
межфазной границе со стороны жидкой фазы, q* и теплового потока от
межфазной границы в паровоздушную среду q"c для условий задачи 1 с той лишь
разницей, что температра изделия tc = 30 °С. Найдите также скорость сте-
фанового потока массы vc п на поверхности пластины.
Решение. При температуре 30 °Cplc =ps = 4241,7 Па и р1с = 0,03 кг/м3.
Парциальное давление воздуха
Р2с =Р ~Р\с = 202 - 4>24 = 197>76 кПа>
и его плотность
1 1/:с 197,76 ООС1 , з
р2с = 1,165 = 2,281 кг/м .
Плотность смеси
рс = 2,281 +0,03 = 2,311 кг/м3.
Массовая концентрация водяного пара
= Р1£= 0,03.
рс 2,311
419
В нашем случае с1оо = 0, (3 = 4,3 • 10 3 кг/(м2 • с), а
jx с = 4,3 • 10~3 • 0,01298 = 5,581 • 10~5 кг/(м2 • с).
Плотность полного потока массы
^lc^'lc + Plc^cri'
где vcn — скорость стефанового потока массы на межфазной границе.
Для полупроницаемой межфазной границы
/ - 7lc - 5>581 ' 10~5 - с «л ,л-5 „ 2 ,
■Л с " ГТ^с " 1 _ 0,01298 " 5'654 ' 10 КГ/(М 'С)-
Находим коэффициент теплоотдачи аи^ по закону Ньютона—Рихмана:
2 59 • 10~2 4 1/2 1/ч о
а = 0,332 Q5 '(6'64 ' 10 ' ' 0,703 = 3,94 Вт/(м2-К);
q\ = a(tc - О = 3,94(30 - 20) = 39,4 Вт/м2.
Для определения q* воспользуемся соотношением энергетического
баланса для межфазной границы:
•Л ^1 +<?'; = <?;,
где гх — теплота парообразования.
При ts = 30 °С гх = 2430,2 кДж/кг. Таким образом,
q'c = 5,654 • 10~5 • 2430,2 • 103 + 39,4 = 176,8 Вт/м2.
Скорость стефанового потока массы
5,654- 10"5-5,581 • 10"5 -л 1Л-5
и = — ■ = 2,4 • 10 м.
сп 0,03
Ответ. у1с = 5,581 • 10~5 кг/(м2-с); У1с = 5,654 • 10~5 кг/(м2-с); q\ =
= 176,8 Вт/м2; я'; = 39,4 Вт/м2; vcn = 2,4 • Ю-5 м.
Задача 3. Термометр, обернутый влажной тканью, поперечно омывается
потоком воздуха, параметры которого: t^ = 20 °С;р = 0,101 МПа; ф = 70 %.
Найдите температуру термометра.
Решение. Процесс испарения влажной ткани в данном случае можно
считать адиабатным, т.е. q'c = 0. Тогда соотношение энергетического
баланса будет иметь вид
420
Найдем Jj с с учетом того, что j\ с = $(с{ с - с1оо), a q"c - a(tc - t^).
Получим
Р clc-cloo
При поперечном обтекании цилиндра Nu = CRe"Prw, a NuD = CRe Pr^,
причем га = 0,38.
Тогда
p = iLe'- = iLe°.62.
a cP cP
В результате будем иметь следующее уравнение для нахождения tc:
т 0,62 с1с ~ С1оо 'оо ~ *с
Le — = сп .
!-clc Р ГХ
Для наших условий (см. задачу 1) Le = 1,16, с = 1,018 кДж/(кг*К),
С\оо = 0,0101. Значения с1с и гх однозначно определяются температурой tc.
Решая последнее уравнение графически, получаем tc = 15,3 °С.
Ответ. Температура термометра равна 15,3 °С.
Задача 4. На вертикальной плоской стенке, температура которой
/ст = 78 °С, происходит пленочная конденсация водяного пара из
паровоздушной смеси. Давление смеси равно 7*10 Па, парциальное давление
воздуха вдали от стенки составляет 2,264* 10 Па. Паровоздушная смесь
движется сверху вниз относительно пленки конденсата со скоростью 8 м/с.
Пренебрегая динамическим воздействием потока смеси на стекающую
пленку, найдите для сечения х = 0,1 м температуру поверхности пленки tc,
плотность отводимого стенкой теплового потока q'c.
Решение. Найдем массовые концентрации водяного пара и воздуха
вдали от стенки. Парциальное давление водяного пара р1оо = р - р2оо =
= 1 • 104 - 2,264 • 104 = 4,736 • 104 Па. При этом давлении ts = 80 °С и р1оо =
= 0,293 кг/м3. Для воздуха при / = 80 °С и р = 2,264 • 104 Па р2оо = 0,224 кг/м3.
Плотность смеси Poo = Pioo + Р2оо = 0,293 + 0,224 = 0,517 кг/м . Вычислим
массовые концентрации:
0 293
с2оо= 1-с1оо= 1-0,566 = 0,434.
421
Определим теплопроводности X и вязкости ц для паровоздушной смеси
при / = 80 °С.
Из таблиц находим:
Хх = 2,151 • 1(Г2 Вт/(м-К); щ = 11,09- 10"6 Па-с;
Х2 = 3,05 • 10~2 Вт/(м • К); ц2 = 21,1 • 10~6 Па • с.
Определим \|/12 = 0,5676; \|/21 = 1,7435. Значение X = 0,02426 Вт/(м • К).
Значение ц рассчитаем по формуле
\ixcx \х2с2
Ц =
+
с\ +C2VI/12 С2 + С1^21
После вычислений получим ц= 14,17-10 Па• с.
Коэффициент диффузии
д = 0,216Ч0-^У'8^ = 0,49.10-4м2/с.
V273^ 0,07
Найдем теплоемкость смеси. Предварительно из таблиц получим с х =
= 2,064 кДж/(кг • К), ср2 = 1,009 кДж/(кг • К). Тогда ср = 1,606 кДж/(кг • К).
Вычислим числа Рг и Рг^:
рг = 14,17 -Ю-6- 1,606 -Ю3,^.
2,426 -10
Ргд = 14'17'10"6 =0,559.
0,517-0,49- 10
Обтекание пленки паровоздушной смесью будем рассматривать так же,
как продольное обтекание пластины. Найдем число Рейнольдса:
Re = 0,517-8-0 1=292()9
14,17- 10
Рассчитаем коэффициенты аир:
_2
а = 0,3322,42^'10 29 209172 • 0,937*/3 = 13,47 Вт/(м2-К);
Р=0,332°'517 ' Of ' 10""429 2091/2 • 0,5591/3= 1,185 • 10"2 кг/(м2-с).
Для нахождения температуры поверхности пленки воспользуемся
соотношением энергетического баланса, в котором q' рассчитаем по теории
Нуссельта:
^ = C(tc-tCT)3/\
All
где
/g3rpg\1/4 = f 0,673 3 • 2,64 • 106 • 972 • 9,8Л
^ 4vx ' I 4 • 0,375 • l(f6 • 0,1 .
1/4
= 15 035 Вт/(м2 • К3/4).
С учетом найденных значений С, а, Р и с1оо уравнение баланса примет вид
0,0185(0,566 - с1с)г{
1"с1с
+ 13,47(80-д= 15 035(?с-78).
Значения с1с и г^ являются функциями температуры tc, которая равна
температуре насыщения при парциальном давлении пара р1с. Решая
последнее уравнение графически, находим tc = 78,1 °С.
Плотность теплового потока
q'c = 15 035(78,1 - 78)3/4 = 1503,5 Вт/м2.
Ответ. Температура поверхности пленки tc = 78,1 °С; q'c = 1503,5 Вт/м .
Задача 5. Капля воды испаряется в атмосфере сухого воздуха (р =
= 1,01 • 105 Па).
Температура капли tc = 90 °С, температура воздуха t^ = 80 °С. Радиус
капли г0 = 0,5 мм. Считая, что температура капли одинакова во всех ее
точках и она не изменяется со временем, найдите плотность потока массы
паров воды У1с и время испарения капли.
Решение. При /с = 90 °С парциональное давление водяного пара/?1с =
= 0,7011 • 105 Па, а рх с = 0,4232 кг/м3. Для воздухар2с = 0,3089 • Ю5 Па, а
р2 с = 0,2972 кг/м3. Тогда Рс = Р1с + р2с = 0,7205 кг/м3; сх с = 0,4232/0,7205 =
= 0,5874. Коэффициент диффузии D = 0,216- 10~4(363/273)1'8 = 0,360х
х10~4м2/с.
По формулам (15.9в) и (15.11) получаем:
0,7205 -0,360- 10~4 , (л 0 5874 Л „ 2 л.
.-3 2
965,3- (0,5 -ИГУ = 525 с
2 • 0,7205 • 0,360 • 10" ч In [1+ 0,5874/(1 - 0,5874)]
Ответ. Плотность потока массы паров воды J, = 0 0459 кг/(м2 * с); 'исп :
■■ 5,25 с.
423
Задача 6. Капля спирта горит в атмосфере сухого воздуха, t^ = 20 °С.
Диаметр капли равен 1 мм, ее температура tc = ts = 78 °С. Найдите значение
2
У1с, скорость горения, кг/(м • с), и время горения.
Решение. Запишем уравнение химической реакции горения этилового
спирта:
С2Н5ОН + 302 = ЗН20 + 2С02.
Из уравнения реакции следует, что R = 96/46 = 2,09.
Для этилового спирта теплота сгорания Н = 2,8 • 10 Дж/кг; теплота
парообразования Гф = 8,5 • 10 Дж/кг. Для воздуха с = 1006 Дж/(кг • К).
Коэффициент диффузии паров спирта D = 0,105* 10~ м /с, а плотность р =
= 1,59кг/м3.
Использовав формулу (15.29), получим
1,59*0,105* 10 ,
J\c = 1з 1п
0,5 • 10
.7 ,
х [ 1006(20 - 78) + 0,232 * 2,8 * 1072,09
8,5 • 105
= 0,0315 кг/(м2*с).
Время горения рассчитаем по формуле (15.30):
-з 2
790(0,5 • 10 )
х^« =
гор
2- 1,59-0,105- 10~41п
' | 1006(20 - 78) + 0,232 - 2,8 - 107/2,09
8,5 • 105
Ответ: Jlc = 0,0315 кг/(м2 • с); т = 6,2 с.
= 6,2 с.
тор
Часть пятая
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
Глава шестнадцатая
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
16.1. Общие сведения о тепловом излучении
Сопоставление процессов переноса теплоты за счет излучения и
теплопроводности. Теплопроводность обусловлена движением
микрочастиц тела; теплообмен излучением осуществляется посредством
электромагнитных волн или фотонов. Теплопроводность в пустоте отсутствует.
Теплообмен излучением между телами осуществляется как при наличии,
так и при отсутствии вещественной среды. Если среда не поглощает
излучение, то ее температура никак не влияет на процесс переноса теплоты.
Например, можно поджечь деревянный предмет, сфокусировав солнечные
лучи с помощью линзы, изготовленной из льда.
Тепловой поток через произвольную элементарную площадку,
выделенную в неравномерно нагретом теле, полностью определяется вектором
q, который, в свою очередь, зависит только от значения X и grad Т в данной
точке. Чтобы рассчитать интенсивность переноса теплоты в окрестности
данной точки тела или среды в процессе теплообмена излучением,
необходимо учесть энергию, переносимую всеми лучами, проходящими через
данную точку. При этом на тепловое состояние любого малого элемента
тела или среды непосредственно влияют все другие элементы излучающей
системы. Таким образом, интегральным характером процесса теплообмен
излучением отличается от теплопроводности.
Тепловое излучение. Известны различные виды излучения. Тепловое
излучение — это излучение нагретых тел; оно определяется только
температурой и свойствами этих тел. Чтобы атом начал излучать
электромагнитные волны или фотоны, ему надо сообщить определенное количество
энергии. В процессе излучения атом эту энергию теряет: она переходит
в энергию электромагнитных волн. Для непрерывного излучения
необходим приток энергии извне. При тепловом излучении потери энергии
компенсируются за счет энергии теплового движения атомов или молекул, т.е.
за счет внутренней энергии вещества. Таким образом, здесь имеет место
постоянный переход внутренней энергии в энергию возбуждения атомов,
а затем энергия возбуждения преобразуется в энергию электромагнитных
волн или фотонов (энергию излучения). Чем выше температура, тем
425
больше энергия теплового движения частиц и, следовательно, больше
энергия излучения. Согласно закону Стефана—Больцмана, энергия
излучения абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в
четвертой степени. Ясно, что роль теплообмена излучением в процессах
переноса теплоты возрастает с увеличением температуры тела или среды.
Излучение характеризуется длиной волны X или частотой v, причем эти
две характеристики связаны зависимостью
Xv = с,
где с — скорость света.
Как известно, скорость света в данной среде зависит от коэффициента
преломления п и связана со скоростью света в пустоте с0 соотношением
с = с0/п.
Частота излучения не зависит от физического состояния той среды,
в которой распространяется излучение, а длина волны зависит.
Спектр излучения различных тел. Спектры излучения всех тел
можно причислить к одному из трех типов: линейчатому, полосатому или
сплошному.
Рассмотрим спектр излучения. Чтобы судить о спектре поглощения,
вспомним из курса физики закон Кирхгофа в виде: всякое вещество
поглощает те лучи, которые само может испускать (см. § 16.3).
Линейчатый спектр характерен для газов в атомарном состоянии, когда
атомы практически не взаимодействуют друг с другом. Излучение таких
газов в спектре дает линии очень узкой (но конечной) ширины. Используя
квантово-механические представления, можно сказать, что линейчатый
спектр излучения газов обусловлен переходом атома с одного
электронного уровня энергии на другой. Каждому газу присущ вполне
определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или
групп. При больших давлениях атомы взаимодействуют друг с другом,
поэтому спектральные линии расширяются. При очень высоких
температурах атом газа распадается на положительные ионы и электроны, которые
находятся в свободном состоянии и при своем ускоренном движении
образуют сплошной спектр излучения.
Полосатый спектр — спектр излучения молекул. Это более сложный
спектр, в котором каждая полоса состоит из множества линий. Энергия
молекулы
Е ~ ^эл + ^кол + ^вращ'
где Еэл — энергия движения электронов относительно ядер; £кол —
энергия колебания ядер (периодическое изменение относительного положения
ядер); £вращ — энергия вращения ядер (изменение ориентации молекул
в пространстве).
Известно, что Еэл » £кол » £вращ. Расстояние между вращательными
уровнями энергии гораздо меньше расстояния между колебательными, а
426
в свою очередь, расстояние между колебательными уровнями гораздо
меньше расстояния между электронными. Следовательно, наименьшую
энергию надо затратить на возбуждение вращательного уровня энергии.
Поскольку излучение — это переход с одного уровня энергии на другой,
то сложный спектр излучения молекул объясняется многообразием
переходов с одного энергетического уровня на другой. При таких переходах
в спектре излучения появляются полосы, называемые колебательными,
вращательными, электронно-колебательными,
колебательно-вращательными и др. Колебательные и вращательные полосы наблюдаются у
многоатомных молекул. Поэтому в инфракрасной и ближней видимой части
спектра наиболее сильно излучают (и следовательно, поглощают) такие
газы, как Н20 (пар) и С02. Именно этим можно объяснить существенное
поглощение атмосферой излучения Земли (парниковый эффект
атмосферы). Энергия излучения газов Н20 (пара) и С02 составляет
значительную часть энергии излучения продуктов сгорания топлив в топках паровых
котлов.
Двухатомные газы с симметричными молекулами (02, N2)
колебательных и вращательных полос не имеют, поэтому они не излучают энергию
в инфракрасной области спектра. Объясняется это отсутствием у них
дипольного момента. Несимметричные двухатомные молекулы (СО, N0)
обладают дипольным моментом, поэтому имеют полосы излучения в
инфракрасной области спектра, хотя интенсивность излучения в этих
полосах гораздо меньше, чем для трехатомных газов С02 и Н20 (пар).
Сплошной спектр излучения характерен для жидких и твердых тел.
В жидких и твердых телах, где частицы сильно взаимодействуют друг
с другом, энергия каждой из них включает в себя и энергию ее
взаимодействия с другими частицами, которая может иметь самые разнообразные
значения. Поэтому вместо отдельных энергетических уровней,
характерных для газов, здесь образуются сплошные полосы возможных
энергетических состояний. При этом значение квантов излучения может быть самым
различным. В результате спектр излучения получается сплошным.
Поглощение излучения. Французским ученым П. Бугером (1698—
1758) был установлен закон, согласно которому уменьшение
интенсивности излучения при прохождении света через вещество происходит по
закону экспоненты, т.е. интенсивность излучения на выходе из слоя погло-
—out / ч
щающего вещества в е (х — толщина слоя) раз меньше, чем на входе
в него. Коэффициент а называется коэффициентом поглощения, который
зависит от длины волны и др. На опыте можно убедиться в том, что
коэффициент а мал для газов и велик для металлов. Действительно, луч света,
хотя и с большим ослаблением, проходит через толстый слой водяного
пара (тумана), а даже через тонкую металлическую пластину не проходит.
Физически большой коэффициент поглощения металла объясняется тем,
427
что в металлах из-за наличия свободных электронов, движущихся под
действием электрического поля световой волны, возникают быстроперемен-
ные токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты. При этом
энергия световой волны быстро уменьшается, превращаясь во внутреннюю
энергию. Таким образом, в металлах, а также и во многих диэлектриках
поглощение (а также и излучение) энергии происходит в пределах тонкого
поверхностного слоя. Энергия излучения, исходящая от таких тел,
пропорциональна площади поверхности. Газы, если они в данной области спектра
не прозрачны для теплового излучения, поглощают и излучают во всем
объеме. Поэтому энергия излучения газа пропорциональна занимаемому
им объему. Поглощение или излучение газов называется объемным.
Объемным оно будет также называться и в том случае, если газ содержит
во взвешенном состоянии мелкие твердые частицы (например, частицы
сажи, золы или кокса в продуктах сгорания топлив).
16.2. Интенсивность излучения и плотность потока излучения.
Вектор плотности потока излучения
Различают интегральные и спектральные (монохроматические)
характеристики излучения. Интегральные характеристики соответствуют
энергии излучения во всем спектре длин волн от 0 до °°, а спектральные —
предельно узкому интервалу длин волн [А,, X + dX]. И те, и другие
характеристики будут рассматриваться применительно к поверхностному
излучению, будь то поверхность твердого тела или поверхность газового объема.
Интегральные характеристики энергии излучения. Поток
излучения — количество энергии излучения, переносимой в единицу времени
через произвольную поверхность. Поток излучения обозначается Q, Вт.
Этим понятием характеризуется как собственное излучение тела, которое
зависит только от его температуры и радиационных свойств, так и
падающее на произвольную поверхность излучение, поглощенное, отраженное
и другие потоки излучения.
Плотность потока излучения (точнее, поверхностная плотность потока
излучения) — поток излучения, проходящий через единицу площади
элементарной площадки поверхности по всевозможным направлениям в
пределах полусферического телесного угла со = 2тг. Эта величина обозначается
Е, Вт/м . Если плотность потока излучения для всех точек поверхности F
одинакова, то Q = EF, где F — площадь поверхности.
Интенсивность излучения — отношение потока излучения,
распространяющегося в данном направлении в пределах элементарного
телесного угла, к единице телесного угла и к единице площади поверхности,
расположенной в данной точке перпендикулярно к направлению излуче-
2
ния. Интенсивность излучения обозначается /, Вт/(м • ср). Интенсивность
428
излучения иначе называется
яркостью излучения.
Рассмотрим элементарную
площадку dF на поверхности
площадью F (рис. 16.1). Пусть п —
нормаль к площадке di% а 0 — угол
между нормалью и произвольно
выбранным направлением s. Через
точку М в пределах
полусферического телесного угла проходит
бесчисленное множество лучей.
Энергия всех этих лучей, переносимая в
единицу времени, равна dQ. Малая
часть этого излучения d Q в
пределах элементарного телесного угла
da) распространяется в
направлении s. По определению интенсивность излучения
do
Рис. 16.1. К определению интенсивности
излучения
/ =
&.
dcodFcosO' ( ' '
Из трех рассмотренных характеристик излучения последняя наиболее
детально характеризует излучение. Если известна функция / = I(M, s), то
dfi= J d20= J /dcocos0dF,
со = 2я со = 2я
откуда (с учетом того, что Е = dQ/dF) следует формула
Е- J
/cos 0 dco.
(16.2)
со = 2я
В теории теплообмена излучением используется закон Ламберта,
согласно которому интенсивность излучения в данной точке поверхности
не зависит от направления. Следствием этого утверждения является закон
косинусов: d Q ~ cos 0. Другим важным следствием является соотношение
Е = п1, (16.3)
которое вытекает из (16.2) при условии / = const. Действительно,
элементарный телесный угол (рис. 16.2)
dco = -| = sin0d0dcp.
г
Подставив (16.4) в (16.2), получим
2я я/2
E = I J dq> | sin0cos0 d0 = nl.
ф=о e=o
(16.4)
429
Рис. 16.2. К выводу формулы (16.3)
Интенсивность излучения диэлектриков постоянна в области 0 < 0 < я/6
и уменьшается до нуля при 0 > я/6. Для металлов в диапазоне 0 < 0 < я/4
интенсивность излучения практически постоянна, далее с ростом 0
увеличивается и имеет максимум при значениях угла, близких к 0 « я/2. Для
шероховатых поверхностей / « const.
Тела, для которых выполняется закон Ламберта как для собственного,
так и для отраженного излучений, называются диффузными. Для
диффузных тел расчет теплообмена излучением значительно проще, чем для
реальных.
Спектральные характеристики энергии излучения. Спектральная
интенсивность излучения 1^ — отношение интенсивности излучения,
взятой в бесконечно малом интервале длин волн [X, X + dX], к этому интервалу:
(16.5)
Если излучение характеризуется не длиной волны X, а частотой v, то
спектральная интенсивность излучения
v dv
Величины /^ и Iv связаны соотношением
,l-/v-
(16.6)
430
Из (16.5) следует, что
оо
/= \lxdX.
О
По определению спектральная плотность потока излучения
*, = -\ (16.7)
Интегральная и спектральная плотности потока излучения связаны
между собой соотношением
оо
Е = JExdX. (16.8)
о
16.3. Закон Кирхгофа
Равновесное излучение. Тепловое излучение — это единственный вид
излучения, который может быть равновесным. Предположим, что какое-
либо нагретое тело помещено в полость, ограниченную идеально
отражающей оболочкой. В результате непрерывного обмена энергией между телом
и излучением в конце концов наступит равновесие, т.е. тело в единицу
времени будет поглощать ровно столько энергии, сколько и излучать. Другими
словами, тело в единицу времени теряет какое-то количество своей
энергии (она переходит в энергию излучения), и в ту же единицу времени
эта энергия к нему возвращается. Тело эту энергию поглощает, и она снова
превращается в энергию излучения. Следовательно, процесс излучения
поддерживается за счет собственной энергии тела, которую оно получило
каким-то образом (например, в процессе нагревания от источника теплоты)
в начальный момент времени. Это и есть равновесное излучение. Отметим,
что рассмотренный пример соответствует равновесию между излучением и
веществом.
Используя второй закон термодинамики (в изотермической системе
самопроизвольно разность температур возникнуть не может), легко
доказать, что излучение в полости не зависит ни от материала стенок полости,
ни от физического состояния тел, которые в ней находятся. Таким образом,
равновесное тепловое излучение имеет место в любой замкнутой
изотермической системе тел. Энергия этого излучения зависит только от
температуры.
Абсолютно черное тело. Кирхгофом впервые введено понятие
абсолютно черного тела, которое ничего не отражает и не пропускает через
себя, а полностью поглощает все падающее на него излучение независимо
от его направления, спектрального состава и поляризации. Моделью абсо-
431
лютно черного тела может служить маленькое отверстие в стенке
замкнутой полости. Излучение, заполняющее эту полость, при условии, что
температура стенки полости постоянная, является равновесным тепловым
излучением. Следовательно, равновесное тепловое излучение — это
излучение абсолютно черного тела. Излучение, выходящее из маленького
отверстия в стенке полости (маленького потому, чтобы выход излучения не
нарушил равновесия), представляет собой излучение абсолютно черного
тела.
Формулировка закона Кирхгофа. Опираясь на второй закон
термодинамики, для случая равновесного теплового излучения Кирхгоф установил
закон, который формулируется так: «отношение спектральной плотности
потока собственного излучения тела к его спектральной поглощательной
способности не зависит от природы тела» и является универсальной
функцией длины волны и температуры, т.е.
Е,Л\, Т)
-ffijf-ЛКП. (.6.9)
Для абсолютно черного тела А^(Х, Т) = 1, откуда следует, что /(А,, Т)
есть не что иное, как спектральная плотность потока излучения абсолютно
черного тела, которую мы обозначим Ехо. Тогда закон Кирхгофа можно
записать в виде
АХ(К Т)
= Е,0(КТ). (16.10)
Таким образом, закон Кирхгофа устанавливает связь между
собственным излучением любого тела и излучением абсолютно черного тела
(равновесным излучением). Теперь изучение равновесного теплового
излучения сводится к отысканию универсальной функции Кирхгофа E^0(k, Т).
Как известно, полное решение этой задачи было найдено Планком в 1901 г.
Этот год стал годом рождения квантовой физики.
Из закона Кирхгофа вытекают два следствия. Первое — из всех тел в
природе наибольшей излучательной способностью обладает абсолютно черное
тело. Второе — если тело в каком-то интервале длин волн не поглощает
энергию излучения, то оно в этом интервале длин волн и не излучает ее.
Закон Кирхгофа можно записать и для интегрального излучения.
Перепишем (16.10) в виде
^соб(^ Т) = МЪ Т) Ем(К П (16.11)
1 Под поглощательной способностью А понимается отношение потоков поглощенного
и падающего излучений.
432
Теперь умножим левую и правую части на (R и проинтегрируем по X
от 0 до оо, затем разделим на Е0 — интегральную плотность потока
излучения абсолютно черного тела:
сю
Е0 = J ЕХ0 dX '
О
В результате получим закон Кирхгофа в виде
-& = Е0=ДТ), (16.12)
где А — интегральная поглощательная способность;
сю
\EX0dX
О
Локальное термодинамическое равновесие. В условиях равновесного
теплового излучения собственный поток излучения любого тела можно
определить по закону Кирхгофа, используя (16.10) и (16.12). На практике
мы имеем дело с неравновесным тепловым излучением, т.е. с переносом
энергии в неизотермических системах. Возникает вопрос: имеет ли тогда
закон Кирхгофа практическое значение? Оказывается закон Кирхгофа
можно распространить и на неравновесное тепловое излучение. Для этого
используется гипотеза локального термодинамического (статистического)
равновесия. Смысл этой гипотезы сводится к допущению, что излучатель-
ная способность тела (или любого его элементарного объема) определяется
только его температурой и физическими свойствами. Другими словами,
при отсутствии термодинамического равновесия во всей системе тело
испускает такие же лучи и той же интенсивности, которые имели бы место
при равновесном тепловом излучении в системе тел, температура которых
равна температуре данного тела. Но как излучает тело в условиях
равновесия, мы знаем [см. (16.11)]. Теперь по формуле (16.11) мы можем найти
/^соб по температуре тела и значению А^9 которое, согласно указанной
гипотезе, не зависит от того, какое излучение (равновесное или
неравновесное) падает на это тело.
Физическую сущность гипотезы локального термодинамического
равновесия можно пояснить на примере излучения газа. При равновесном
тепловом излучении в любом элементарном объеме газа одинаковы в среднем
распределения молекул по энергиям и энергии по уровням (вращательным,
колебательным, электронным). Если в некоторой области пространства
433
равновесие нарушается (например, газ охлаждается, и тогда он будет
отдавать больше энергии, чем получать), то какое-то время некоторые
молекулы будут иметь меньшую энергию, чем другие, однако благодаря их
хаотическому движению (молекул много, они интенсивно обмениваются
энергией друг с другом) произойдет восстановление равновесного
распределения энергии, которое будет соответствовать другой температуре.
Из сказанного должно быть ясно, что гипотеза локального
термодинамического равновесия не оправдывается для сильно разреженных газов и в
случае высокоинтенсивных процессов теплообмена, протекающих с
большой скоростью.
16.4. Законы излучения абсолютно черного тела
Закон Планка. Используя статистические методы и гипотезу о
квантовом характере теплового излучения, Планк вывел формулу для
спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела:
ЯУо(*.Г) = — hv/(kT) , (16-13)
с0 е -1
где h = 6,6262 • Ю-34 Дж • с — постоянная Планка; к = 1,3807 • 10~23 Дж/К —
постоянная Больцмана; с0 = 2,9979 • 10 м/с — скорость света в пустоте.
Используя (16.5а), 2sv(v, Т) можно заменить на Е^(к, Т) и вместо (16.13)
получить
2псЛ 1
^(А Т) = —f- ^гттт^^ • (16ЛЗа)
.5 hC()/(kTX)
Х е -1
Изменение £^0 в зависимости от X и Т показано на рис. 16.3.
Закон Релея—Джинса. Если hv « кТ (энергия кванта очень мала
по сравнению с энергией теплового движения кТ), то с учетом того, что
при этом
hv/(kT) л , hv
е ~ 1 + 7"^>
кТ
формула Планка переходит в формулу Релея—Джинса:
Е =^LkT
с0
434
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
а)
2510
2010
k,MKM
10 20 30 40^,мкм
в)
Рис. 16.3. Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела в различных интервалах изменения температуры
а — Т= 3000...10 000 К; б — Т= 800...2000 К; в — Т= 200...300 К
которая была выведена с использованием методов классической физики.
Закон Релея—Джинса можно записать в другом виде:
= СЛ Т$ = сл L
hX0 г 4 г 4'
С2 (XT) С2 X
где сх = 2nhc20 = 3,74183 • 10~16 Вт- м2; с2 = hc0/k = 1,43879 • 10~2 м • К.
При X = const значение Е^0 линейно возрастает с увеличением Т.
с2/(ХТ)
Закон излучения Вина. Если hv » кТ (или /гс0 » кТХ), то е » 1
и в знаменателе (16.13а) можно отбросить единицу. Умножая и деля правую
часть (16.13а) на Т , получаем закон излучения Вина:
С,Т -с0/(ХТ)
Ехо = ~1—5е ' (16Л4)
(XT)5
При XT < 3000 мкм • К значения £^0, вычисленные по (16.13а) и (16.14),
отличаются друг от друга не более чем на 1 %.
Закон смещения Вина. Чтобы установить зависимость от температуры
длины волны Хтах, при которой функция Е^0(Х, Т) достигает
максимального значения, найдем производную от Е^0 и приравняем ее к нулю:
дЕХ0 2ncoh
дХ хЬ(еИс°/(кТХ) _ !
hcQ hc0/(kTX)
kfx е
hcQ/(kTX)
е - 1
= 0.
Если обозначить
hc0
max
(16.15)
то в результате получим уравнение
хе -Ъ{е - 1) = 0. (16.16)
Решая это трансцендентное уравнение, получаем х = 4,965. Подставим
найденное значение х в (16.15). После вычислений получим
^тахГ=2898 мкм-К. (16.17)
Формула (16.17) носит название закона смещения Вина (значение
величины ^-тах смещается в сторону более коротких длин волн с ростом Т).
436
Закон Стефана—Болыдмана. Австрийский физик Й. Стефан в 1879 г.
экспериментально и Л. Больцман в 1884 г. теоретически установили закон,
которому подчиняется интегральное излучение абсолютно черного тела:
Е0(Т) = и0Т4 (16.18)
Этот закон можно вывести из формулы Планка (16.13). Обозначим
x = hv/(kT).
Тогда
h dv , кТ л
ах = ——■; dv = — djc.
кТ h
Используя (16.6) и (16.13), получаем
Е,=
Г 4 °° 3
Г2ък 3
х djc
v 2,3 J х
Vc п о е ■
У
Из таблиц интегралов
Тогда
uu 3
г х dx
J х 1
О е - 1
15
_ 2п к
ао Гз"
15с А
—8 2 4
С учетом значений всех констант получим а0 = 5,668 • 10 Вт/(м • К ).
16.5. Поглощательная и отражательная способности тел.
Степень черноты
Поглощательная способность А — это отношение потока излучения,
поглощенного телом, к потоку излучения, падающему на него, т.е.
погл пад *
Отражательная способность R — отношение потока излучения,
отраженного поверхностью тела, к потоку излучения, падающему на эту
поверхность, т.е.
R "^отр/^пад-
Пропускательная способность D — отношение потока излучения,
пропущенного телом, к потоку излучения, падающему на поверхность этого
тела, т.е.
проп пад *
Л. Больцман рассматривал цикл Карно, который совершается тепловым двигателем,
приводимым в движение за счет давления излучения.
437
Из закона сохранения энергии следует, что
A+R + D=l. (16.19)
Поглощательная, отражательная и пропускательная способности тел,
относящиеся к монохроматическому излучению, т.е. к излучению,
соответствующему узкому интервалу длин волн, называются спектральными и
обозначаются Ах, Rx, Z\. Таким образом, имеем
АХ = ЕХиот/ЕХпад > RX = EXovp/ЕХиац ; DX = ЕХпрои/ЕХшд •
Согласно закону сохранения энергии,
Ax + Rx + Dx=l. (16.20)
Рассмотрим частные случаи (16.19) и (16.20).
Пусть Dx = 1 и D = 1. Это значит, что тело (среда) полностью
пропускает тепловое излучение. Среда, для которой Z\ = 1 для всех длин волн,
называется прозрачной.
Пусть D^ = 0 и D = 0. Тогда A^ + R^=lnA+R=l. Этот случай
характерен для металлов и многих диэлектриков. Для абсолютно черного тела
Ах= 1иА = 1.
Сделаем замечание, касающееся понятия поглощательной способности.
Спектральная поглощательная способность является действительной
характеристикой поверхности тела (в том смысле, что она не зависит от
падающего излучения), в то время как интегральная поглощательная
способность зависит от спектрального состава падающего на поверхность
излучения, так как
J Лпогл J А. Хпад
Л = £ = ■S3S • (16-21)
о о
Поэтому величина А является неопределенной характеристикой до тех
пор, пока не сказано, какое тело является источником падающего излучения.
В случае равновесного теплового излучения падающим является
излучение абсолютно черного тела, температура которого равна температуре
данного тела.
Если спектральная поглощательная способность тела не зависит от
длины волны падающего излучения, то из (16.21) следует, что Ах = А.
Такое тело называется серым. Серое тело при данной температуре имеет
непрерывное распределение энергии в спектре собственного излучения,
подобное распределению энергии в спектре абсолютно черного тела при
той же температуре. Вообще говоря, реальные тела не являются серыми
438
I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ I ■ I
2 4 6 8 X, мкм 0
a)
4 6
6)
8 X, мкм
Рис. 16.4. Зависимость ex от длины волны для различных материалов
а — алюминий (7 — полированный, 2 — промышленный, 3 — анодированный); б —
диэлектрики (4 — белая эмаль, 5 — гипс, б — шамот)
(рис. 16.4), поэтому серое тело — это теоретическая модель, которая
вводится для облегчения расчета теплообмена излучением между телами.
Степень черноты. Отношение плотности потока собственного
излучения данного тела Есоб к плотности потока излучения абсолютно черного
тела Eq называется степенью черноты:
8 = ЕсоЬ/Е0'
Аналогично вводится понятие спектральной степени черноты е^.
Из закона Кирхгофа следует, что
гХ ЛХ ЕХсо6/ЕХ0'
(16.22)
Следовательно, в условиях равновесного теплового излучения
(излучения в изотермической системе тел) степень черноты и поглощательная
способность равны друг другу. На основании гипотезы о локальном
термодинамическом равновесии (16.22) распространяется и на неизотермическую
излучающую систему.
Для интегрального излучения равенство е = А выполняется только для
равновесного теплового излучения, так как
J гхЕхо dX
г = ^
I Ехо dX
и в общем случае Ехо Ф £Хпад.
439
Таблица 16.1. Значения интегральной степени черноты металлов
Металл, состояние поверхности
Алюминий:
полированный
технический листовой
сильно окисленный
Железо:
слиток
окисленное
Золото чистое, хорошо отполированное
Латунь:
полированная
окисленная
Медь:
полированная
сильно окисленная
Серебро:
полированное или осажденное
окисленное
Сталь:
полированная
прокат
окисленная при 600 °С
нержавеющая полированная
Хром полированный
Температура, °С
200—600
100
100—500
40
40—250
100—600
40
40—250
100
40
40—550
40—550
40—250
40
250
40
40—250
Степень черноты £
0,04—0,06
0,09
0,2—0,33
0,70—0,80
0,57—0,66
0,02—0,035
0,03—0,07
0,46—0,56
0,02
0,76
0,01—0,03
0,02—0,04
0,07—0,10
0,66
0,79
0,07—0,17
0,08—0,27
Таблица 16.2. Значения интегральной степени черноты неметаллов
Материал, состояние поверхности
Асбест:
лист
асбоцемент
асбокартон
Бетон грубый
Бумага:
белая
цветная
Вода (слой толщиной 1 мм и более)
Глина огнеупорная
Кирпич:
красный грубый
огнеупорный шамотный
магнезитовый
Температура, °С
40
40
40
40
40
40
40
100
40
1000
1000
Степень черноты е
0,96
0,96
0,93—0,95
0,94
0,95—0,98
0,92—0,94
0,96
0,91
0,93
0,59—0,75
0,38
440
Рис. 16.5. Интегральная поглощательная
способность поверхностей при комнатной температуре
по отношению к излучению черного или серого
тела при температуре Т
1 — алюминий; 2 — шамот; 3 — дерево; 4 — пробка;
5 — асбест; 6 — фарфор; 7 — цемент; 8 — графит;
9 — черепица
Л
1,0
0,6
0,4
0,2
0
ЩИ III
J_^Wl Vrs.\\
\Ш
1 \9\ \
1 IJHh
чКч1л
шА
\\\Щт
|1Ш]7
300 400 600 1000 2000 4000 Т, К
Для серого тела е^ = А^ = const,
поэтому равенство е = А справедливо и
для неравновесного теплового излучения.
Следует отметить, что радиационные
свойства поверхностей реальных тел
зависят не только от длины волны (рис. 16.4),
но от направления излучения. Последнее
также влияет на отражательную
способность. Опыты показывают, что в
зависимости от длины волны падающего излучения
поверхность металла может быть близка либо к диффузно, либо к зеркально
отражающей поверхности. Увеличение шероховатости приводит к
приближенно диффузному отражению при малых длинах волн.
Так как для реальных тел А^ зависит от X, то интегральная
поглощательная способность А зависит от температуры источника падающего
излучения (рис. 16.5).
Значения интегральной степени черноты некоторых металлов
приведены в табл. 16.1, а неметаллов — в табл. 16.2.
Из таблиц видно, что для чистых полированных металлических
поверхностей значения 8 малы. Шероховатость, загрязненность, наличие
оксидных пленок на поверхности приводят к увеличению 8. С повышением
температуры значение 8 для металлов увеличивается. Это объясняется тем,
что с ростом Т доля энергии излучения, приходящаяся на короткие длины
волн, возрастает и увеличивается 8^ с уменьшением X. Кроме того, для
металлов е^ возрастает при повышении Г.
Для диэлектриков характерны высокие значения 8 в инфракрасной
области спектра.
16.6. Задачи с решениями
Задача 1. Найдите плотность потока солнечного излучения Ес вблизи
Земли за пределами атмосферы. Известно, что излучение поверхности
Солнца близко к излучению абсолютно черного тела при Т = 6000 К,
расстояние от Земли до Солнца / = 149,5 • 10 км, а диаметр Солнца D =
= 1,391 • 106 км.
441
Решение. Поток энергии излучения Солнца
Q = g0T4kD2 = 5,67 • 10"8 • 60004ти(1,391 • 109)2 = 4,46 • 1026 Вт.
Так как поток солнечной энергии равномерно распределен по
поверхности сферы радиусом /, то искомая величина
.26
Е --£-
с 2
4тг/
4,46 - 10
4тс( 1,495- 1011)
= 1,59 • 103 Вт/м2.
Ответ. Ес= 1,59-103 Вт/м2.
Задача 2. Найдите температуру серого излучающего тела, если А,тах =
= 1,6 мкм.
Решение. Для серого тела спектр излучения подобен спектру излучения
абсолютно черного тела, поэтому справедлив закон смещения Вина.
Тогда
2898
1,6
1811 К.
Ответ. Т = 1811 К.
Задача 3. Чему равны степень черноты серого тела и значение £соб при
температуре Т = 800 К, если £пад = 60 кВт/м2, Епош = 48 кВт/м2?
Решение. Поглощательная способность данного тела
Степень черноты 8 = А, а
Есо6 = zg0T^ = 0,8 • 5,67 • 10"° • 800ч
Ответ, в = 0,8; Есо6 = 1,86 • 104 Вт/м2.
1,86-104 Вт/м2.
Задача 4. На рис. 16.6 показана схема пирометра — прибора для
измерения высоких температур. Нить лампы пирометра нагревается до такой
Рис. 16.6. Схема оптического пирометра
1 — объект измерения; 2 — объектив; 3 — корпус прибора; 4 — пирометрическая лампа; 5 —
окуляр; б — наблюдатель; 7 — красный светофильтр; 8 — поглощающее стекло; 9 — реостат;
10 — источник питания; 11 — измерительный прибор
442
температуры, при которой ее яркость совпадает с яркостью данного тела.
Степень черноты тела при X = 0,65 мкм е^ = 0,8. Чему равна температура
тела, если по шкале прибора, отградуированной по излучению абсолютно
черного источника, Т= 1900 К?
Решение. В нашем случае XT = 0,65*1900 = 1235 мкм* К. Так как
А,Г<3000 мкм*К, то можно воспользоваться законом излучения Вина.
Яркость излучения данного тела при температуре Т' совпадает с яркостью
излучения абсолютно черного тела при температуре Т, поэтому
справедливо равенство
е е-с2/№) = е-с2/(ХТ)^
Отсюда следует, что
1 J^^i 1 ■ °>65 * 10~6 1 а о *пм 1П-4 rr-i
— = - + — Ine^ = 77^7 + — 3 ^ = 6Д03 • 10 К ,
Т Т с2 1900 ! 43 879 • 10
аГ = 1612 К.
Ответ. Температура тела равна 1612 К.
Задача 5. В пустыне на подложке из теплоизоляционного материала
находится слой воды толщиной 5 = 2 мм. К моменту наступления темноты
температура воды Тх = 300 К. Такая же температура воздуха сохраняется
в течение ночи. Проанализируйте изменение температуры воды ночью.
Решение. Можно принять, что степень черноты воды 8 = 0,96 (см. табл. 16.2).
Потери теплоты за счет излучения воды в единицу времени в расчете на еди-
4
ницу площади поверхности в начальный момент времени q'mjl = е<з0Т{ =
= 0,96 • 5,67 • 10"8 • 3004 = 441 Вт/м2.
Потери теплоты приведут к уменьшению температуры воды и к
возникновению свободной конвекции воздуха около поверхности воды.
Коэффициент теплоотдачи при свободной конвекции воздуха около
горизонтальной холодной поверхности можно найти по формуле П.М. Брдлика,
приведенной в [34]:
Nux = 0,0826Ra]/3.
Полагая температуру поверхности воды Тс = 21Ъ К, для воздуха имеем:
X = 0,0244 Вт/(м • К); v = 13,28 • 10"6 м2/с; р = 3,66 • 10"3 К"1; Рг = 0,707.
При этом а = 3,17 Вт/(м • К). Когда температура воды станет равной
273 К, плотность подводимого к ее поверхности теплового потока будет
а" = 3,17 • 27 = 85,6 Вт/м2
^ конв '
443
(в начальный момент времени д'конв = 0), а плотность отводимого потока
за счет излучения
q"mjl = 0,96 • 5,67 • 10"8 • 273 4 = 302 Вт/м2.
Приближенно считаем, что в среднем за период охлаждения воды от 27
до 0 °С qmjI = 0,5(441 + 302) = 371,5 Вт/м2, а qK0HB = 0,5 • 85,6 = 42,8 Вт/м2.
Время охлаждения воды найдем из уравнения теплового баланса, полагая
3 3
для воды р = 10 кг/м , с■ = 4,19 кДж/кг:
2-10~3-103-4190-27 _с „.
То- = 371,5-42,8 = Ш С = П'5 МИН-
Следовательно, через 11,5 мин после наступления ночи вода начнет
замерзать. Далее находим время замерзания воды (теплота плавления
равна 34- 105 Дж/кг):
2 • 10~3 • 103 • 3,4 • 105
Тзам = Щ-^-6 = 3142 С = °'87 Ч-
Ответ. В течение 11,5 мин вода будет охлаждаться до 0 °С, а через 1,06 ч
вода замерзнет.
Глава семнадцатая
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ТЕЛАМИ,
РАЗДЕЛЕННЫМИ ПРОЗРАЧНОЙ СРЕДОЙ
17.1. Два метода изучения процессов теплообмена излучением.
Классификация потоков излучения
Теплообмен излучением (иногда используется термин «лучистый
теплообмен») включает в себя несколько одновременно протекающих
процессов. Первый процесс — испускание излучения. Возникновение излучения
происходит за счет превращения внутренней энергии тела в энергию
электромагнитных волн или фотонов (энергию излучения). Второй процесс —
распространение энергии излучения в пространстве. Третий процесс —
поглощение излучения. В этом процессе энергия излучения превращается
во внутреннюю энергию тела. Все реальные тела лишь частично
поглощают падающую энергию. Часть непоглощенной энергии пропускается
через тело и отражается от его поверхности. Далее мы будем считать, что
пропускательная способность тел равна нулю. Тогда последним
(четвертым) процессом будет отражение излучения. Отраженная энергия
распространяется в окружающее пространство. Конечным результатом
рассмотренных процессов является передача энергии от более нагретых тел к
менее нагретым. Расчет количества энергии, передаваемой от одних тел к
другим, и составляет предмет теории теплообмена излучением.
Метод многократных отражений. Исторически первым методом
исследования теплообмена излучением был метод, предложенный Христиан-
сеном (1883 г.). Позже (1916 г.) этот метод использовал Нуссельт. Обобщение
метода многократных отражений на случай произвольной системы частично
поглощающих и частично отражающих тел было дано Ю.А. Суриновым
(см. § 17.7).
Сущность метода заключается в регистрации последовательных актов
поглощений и отражений энергии излучения, испускаемой телом, и в
подсчете количества поглощенной (или отраженной) энергии.
Результирующий поток излучения находится как разность между поглощенным и
собственным потоками излучения данного тела. С помощью указанного
метода достаточно просто можно рассчитать значение плотности
результирующего потока излучения Е лишь в простейших излучающих системах:
две параллельные пластины, две концентрические сферы и два
коаксиальных цилиндра. В произвольной системе тел непосредственный учет много-
445
кратных актов отражении—поглощений сводится к сложной задаче
нахождения сумм бесконечных функциональных рядов.
Метод полных потоков излучения. Значительно проще решается
задача лучистого теплообмена, если за основу взять полный поток
излучения, который складывается из собственного и отраженного потоков
излучений. Полный поток, исходящий от поверхности тела, называется
эффективным потоком излучения. Падающий на данное тело поток излучения
представляет собой эффективные потоки излучения, исходящие от других
тел, а результирующий — разность между падающим и эффективным
потоками излучения тела.
Метод полных потоков для решения задач теплоэнергетики впервые
использовал О.Е. Власов (1929 г.). Этот метод лежит в основе современной
теории теплообмена излучением между телами, разделенными прозрачной
средой. Расчет лучистого теплообмена по этому методу сводится к
нахождению решения интегральных уравнений (см. § 17.6).
Классификация потоков излучений. Рассмотрим замкнутую систему
серых, диффузно излучающих и диффузно отражающих тел (рис. 17.1).
Для произвольной площадки dFM поверхности излучающей системы
можно записать следующие формулы для потоков излучений:
поток собственного излучения
£соб = Л£0; (17.1)
поток поглощенного излучения
^погл = ^пад' (17.2)
поток отраженного излучения
£отр = Я£„ад = (1-Л)£паД; (17.3)
поток эффективного излучения
£эф = ^соб + Яотр = Щ + (1 - Л)£ПаД; (17.4)
поток результирующего излучения
^рез = ^погл ~ ^соб = ^(^пад ~ ^о)> 0^.5)
£рез = £пад-£эф; (17'5а)
поток падающего излучения
(определяется интегралом от
интенсивности падающего излучения)
= J /nafl(M,*)coseMdco. (17.6)
(0 = 271
Если известны два каких-либо
Рис. 17.1. Замкнутая излучающая система тел потока излучения, ТО остальные
446
четыре находятся элементарно по формулам, приведенным в
классификации. Если тела несерые, классификация потоков справедлива для
монохроматического излучения.
С использованием (17.5а) выразим Епад:
^пад = ^рез + ^эф
и в таком виде подставим в (17.5). В результате получим
£рез = |(^эф-£0)- (17-7)
Формулу (17.7) Г.Л. Поляк (1935 г.) положил в основу расчета
теплообмена излучением методом «сальдо». Эту формулу часто называют
формулой Поляка. Метод «сальдо» (метод результирующих потоков) является
разновидностью метода полных потоков.
В замкнутой системе «п» тел, заполненной прозрачной средой, сумма
потоков результирующего излучения равна нулю.
Действительно, так как QpQ3 = Qnom - gco6, то
п п п п
i=l i=l 1=1 /=1
поскольку в стационарных условиях в замкнутой системе тел поглощается
ровно столько энергии, сколько излучается (закон сохранения энергии).
Если система состоит из двух тел (например, одна труба меньшего
диаметра находится внутри другой трубы большего диаметра), то брез1 =
= - бРез2 • В случае двух безграничных пластин ввиду равенства площадей
поверхностей £рез1 = -EpQ32.
17.2. Лучистый теплообмен между двумя безграничными пластинами
Серые пластины. Пусть даны две безграничные (расстояние между
пластинами много меньше их размеров) изотермические пластины,
разделенные прозрачной средой. Температура и поглощательная способность
первой составляют Тх и А 1? второй — Т2 и А2. Требуется найти Е ^ и Е' 2.
Рассмотрим решение задачи методом многократных отражений. Ввиду
безграничности пластин локальные потоки излучения одинаковы для всех
точек отдельно взятой пластины. Будем характеризовать их плотностью
потока излучения Е. Схема последовательного затухания пучка лучей,
выходящих из первой пластины, показана на рис. 17.2.
Плотность потока излучения, падающего на первую пластину, состоит из
Двух частей:
^пад1 = ^падЫ + ^пад1-2>
447
TVAVRX
TyAj, ^ где £падМ и £пад1_2 — соответственно
плотности потоков излучения от первой пластины
на первую и от второй на первую (с учетом
многократных отражений от двух пластин).
Схема расчета Епад1_х показана на рис. 17.2.
На этом рисунке Ех = Есо$х. После первого
акта отражения на первую пластину падает
энергия излучения, равная R2EX; после второго
акта отражения — энергия излучения, равная
2
R\R2E\ и т.д.
С каждым последующим актом отражения
(вследствие того, что часть энергии
поглощается) значение падающего потока уменыпа-
Рис. 17.2. к выводу формулы ется- ПУтем суммирования потоков излучения,
(17.8) падающих на первую пластину в процессе
всех актов отражений, получаем
ч2
(17.8)
W2 = £соб2П + ЗД + (W + •••]• ^17'8а)
бесконечно убывающие
Числовые ряды в скобках (17.8) и (17.8а)
геометрические прогрессии.
Обозначим
^соб!
Ф12 =
^пад!-2
^соб2
Тогда, учитывая формулу для суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, получаем
До
ФИ = Г
^1^2
Ф12 =
1
1 -RXR2
Далее находим Е { по формуле (17.5):
^рез! =^l(^
1V-co61°11+^co62°12)-^i^i =
AlA2(EQ2 - E0l)
Учтем, что R{ = 1 - Ах и R2 = 1
1^01 i
А2. Тогда получим
RXR2
Е02 " ^01
"рез!
°о(А-тЪ
\/Ах + \/А2-\ \/л + 1/А--1'
(17.9)
448
Формула (17.9) называется первой формулой Христиансена—Нус-
сельта. Заметим, что, согласно закону сохранения энергии,
^рез1 = ~ ^рез2*
Формулу (17.9) можно вывести и методом «сальдо». Из (17.7) вытекает, что
^эФ1 =^рез1+^01' 07-Ю)
£Эф2 = ^рез2 + £02- (17Л0а)
Результирующий поток излучения
_ ^2 ^1
Решая последнее уравнение относительно Е х и учитывая, что R = 1 - А,
получаем
Е02 - Е01
Е, ~
Рез1 \/А1 + 1/А2-\
Несерые пластины. Для несерых пластин в (17.9) следует заменить
интегральные характеристики на монохроматические. Тогда
Е
^P«l l/Au + l/AX2-l
Интегральный поток результирующего излучения находим путем
интегрирования по всем длинам волн от 0 до °°:
оо оо
_ f Е\т.d^ с Ещ<**■ П71П
P«l h/Axl + l/AX2-l JoWAxl + WAX2-l-
где Еш и ЕХ02 определяются по (16.13а) соответственно при Тх и Т2.
Две пластины с экранами между ними. Рассмотрим сначала случай,
когда между двумя данными пластинами находится еще одна пластина
толщиной 8 с теплопроводностью X. Если в последней пластине нет
внутренних источников или стоков теплоты, тогда в установившемся состоянии
теплота, полученная излучением от первой пластины, будет передаваться
теплопроводностью от одной поверхности к другой, а затем излучением ко
второй пластине. Согласно закону сохранения энергии Еэ1 = Еэ2 = д, где Еэ1
и Еэ2 — результирующие потоки излучения для одной и другой
поверхностей экрана; q — тепловой поток в пластине, причем
X
449
Здесь Гэ1 и Тэ2 — температуры поверхностей, обращенных к первой и
второй пластинам. Если термическим сопротивлением можно пренебречь, то
Гэ1 = Тэ2 = Тэ. Тогда можно записать следующие два уравнения для Е х\
Epes\
£рез2 =
<*<>(А-тЪ
1/А] + 1/Аэ1-1
1/Аэ2+1/А2-1
Примем, что поглощательная способность двух сторон пластины
одинакова: АэХ = Аэ2 = Аэ. Тогда преобразовывая написанные уравнения так,
чтобы в правой части остались только температуры, а затем складывая их,
приходим к формуле
Рез1 \/Ах + \/А2-\ +{2/А3- 1)'
Если между пластинами расположено п одинаковых экранов, то таким
же образом можно вывести формулу
4 4
а0(Т2-Тх)
Е?ез1 " \/Ах + \/А2-\ +(2/А3-\)п' (ПЛ2)
Роль экранов сводится к уменьшению значения результирующего
потока излучения. Уменьшение будет тем больше, чем меньше
поглощательная способность экранов (больше их отражательная способность).
17.3. Лучистый теплообмен в системе, состоящей из двух
концентрических сфер или двух коаксиальных цилиндров
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 17.3. Требуется найти бРез1
и еРез2-
Сначала рассмотрим случай, когда поверхности данных тел серые, а
затем — несерые.
Серые тела. Выведем формулу для 6рез1 методом «сальдо».
Предварительно заметим, что брез2 = ~ брез1-
Формулы (17.10) и (17.10а) с заменой плотности потока излучения Е на
поток излучения Q запишем применительно к первому и второму телам:
^i^^i+Vi; 07.13)
450
_R2
бЭ(Ь2 ~ ~бпез2 + £()2F2 *
^эф2
-рез2
(17.13а)
В нашем случае падающий на
первое тело поток излучения (в отличие от
двух пластин) представляет только
часть потока эффективного излучения
второго тела, так что
2пад1 = Ч^бэфг»
где величина <р2\ учитывает ту долю
излучения второго тела, которая
попадает на первое.
Тогда
брез1 = бпад1 ~ 2эф1 = Ф21Йэф2 " 8эфГ
Умножим (17.13а) на ф21 и затем из
полученного выражения вычтем (17.13). После простейших
преобразований получим
Рис. 17.3. Излучающая система,
составленная из двух концентрических сфер
или двух коаксиальных цилиндров
е,
^21^02^2 '
^01^1
рез!
R{ R2
(17.14)
Уравнение (17.14) применим для случая, когда 7^ = Т2 (равновесное
[ловое излучение). При эг
Окончательно получаем
6рез1 = ' "„ "" ' • (17-15)
тепловое излучение). При этом брез1 = ^> откуда следует (р2\Е2 = Е\-
(E02~E0l)F{
-U^if-L-i
А{ F2\A2
Формула (17.15) называется второй формулой Христиансена—Нус-
сельта. В частном случае Fx « F2 (17.15) переходит в (17.9).
Если Fx « F2, то
--рез!
AAE^-E.AF^A.gJT
t\)f
\Н 1-
(17.16)
Несерые тела. Как и в случае двух пластин, формула (17.15) будет
справедлива для монохроматических характеристик. Для интегрального
излучения она записывается аналогично (17.11).
Проанализируем случай, когда Fj « F2. Запишем
451
Рис. 17.4. Излучающая система с двумя экранами
между сферами или цилиндрами
Умножив последнее уравнение на dX и
проинтегрировав по X от 0 до °°, получим
где 8 j — степень черноты первого
(внутреннего) тела;
_ о
1епЕш dX
'01
А\2 — поглощательная способность первого тела по отношению к
падающему излучению от абсолютно черного тела, имеющего температуру Т2\
\ЛХ\ЕХ^2^
Аи
"02
Теплообмен излучением при наличии экранов. Рассматриваемая
излучающая система показана на рис. 17.4. Таким же образом, как и в
§ 17.2, можно вывести следующую формулу для п экранов с одинаковыми
поглощательными способностями Аэ:
4 4
v0{T2-Tx)Fx
^рез!
Mi-O^Hf-Oi?
Ах КА2 ~JF2 КАЭ -J.^F3i
(17.18)
17.4. Угловые коэффициенты излучения
В случае теплообмена излучением между двумя безграничными
пластинами (см. § 17.2) поток собственного или отраженного излучения от одной
пластины целиком попадает на вторую. Однако если излучающая система
состоит из нескольких тел, произвольно расположенных в пространстве, то
только часть потока излучения от одного тела попадает на другое. Доля
потока излучения от одного тела, попадающая на другое, зависит от формы
и размеров этих тел, их взаимного расположения и расстояния между ними,
т.е. от геометрических особенностей системы. Для учета той части потока
излучения от поверхности одного тела (или элементарной площадки),
которая попадает на поверхность другого тела, используют понятие — угловой
452
коэффициент излучения. Когда рассматривают поток излучения от
элементарной площадки, находящейся на поверхности одного тела, на всю
поверхность другого тела, угловой коэффициент излучения называется локальным,
а когда — от всей поверхности одного тела на всю поверхность другого,
угловой коэффициент излучения называется средним.
Угловые коэффициенты излучения характеризуют только
геометрические особенности излучающей системы, т.е. ими учитывается только
«прямое» попадание энергии излучения от одного тела на другое, а попадание
посредством отражения от других тел никак не учитывается. Поэтому
далее при выводе выражений для угловых коэффициентов излучения для
простоты будем полагать, что тела, которые участвуют в теплообмене
излучением, являются абсолютно черными.
Локальный угловой коэффициент излучения. В излучающей системе
произвольно выберем два тела с площадями поверхностей Fi и Fk
(рис. 17.5). Пусть Mi — произвольная точка на первой поверхности; dFt —
элементарная площадка, внутри которой находится эта точка; Nk и dFk —
точка и элементарная площадка, соответствующие второй поверхности.
Локальным угловым коэффициентом излучения называется отношение
потока излучения от dF- на Fk к потоку собственного полусферического
излучения, выходящего с dFt. По определению можно записать
dQ(Mt, Fk)
*(M^) = -de^ (ПЛ9)
где (p(Mz, Fk) — локальный угловой коэффициент излучения, который
зависит от места расположения точки М- на поверхности Fz, а также от формы,
размеров Fk и расположения этой поверхности в пространстве.
Рис. 17.5. К определению угловых коэффициентов излучения
453
Величина dg(Mz) в (17.19) в общем случае, когда температура
изменяется по поверхности Ft, является функцией точки Mt. При этом
d2(M,.) = £0(M,.)dF,..
Числитель в (17.19) запишем в виде
dQ(MpFk)= J d2Q(MpNk),
со(М., Fk)
где интеграл берется по телесному углу (о(М;, Fk), в пределах которого
поверхность Fk видна из точки Mt. На основании определения интенсивности
излучения будем иметь
d2Q(Mt, Щ) = /0(М,.) cosG,. dco(^, Nk) dFt.
Учтем, что по определению телесного угла
dco(M,., Nk) = 2
а по закону Ламберта
dF^cosGj.
rik
С учетом приведенных формул после преобразований получим
выражение для локального углового коэффициента излучения в виде
cos 0;cosб^
(p(Mz, Fk) = J l-j-^ dFk. (17.20)
Fk nrik
Под знаком интеграла в (17.20) стоит функция двух точек
(геометрическая функция), которую обозначим
COS0-COS0,
K(Mj,Nk) = 1-1—к-. (17.21)
nrik
Эта функция является симметричной, так как, если поменять местами
точки Mi и Nk, значение ее не изменится. Следовательно,
K(Mi,Nk) = K(NhMi).
Таким образом, локальный угловой коэффициент излучения (р(М/? Fk)
представляет собой интеграл по поверхности от геометрической функции
двух точек K(Mi9 Nk), т.е.
Ф(М/5 Fk) = I K(Mt, Nk) dFk. (17.22)
Fk
454
Средний угловой коэффициент излучения. Аналитическое
выражение для средних угловых коэффициентов излучения можно вывести только
при допущении, что поверхности тел излучающей системы являются
изотермическими.
Средний угловой коэффициент излучения (обозначается ф/А:) есть
отношение потока излучения от поверхности Ft на поверхность Fk к полному
потоку собственного полусферического излучения, выходящему с Fi9 т.е.
Qik
Ф/*=^- 07.23)
Запишем Qik и Qt в следующем виде:
Qik = J ШМ, Fk) = E0i J Ф(Л/, Fk) Щ;
Fi Fi
Qi = E0iF,
Тогда окончательно получим
Ьк = J \ Ф(^> Fk) *Fi = J J \ KWt> Nk) dFk*Ft ■ d7-24)
iFi iFiFk
Свойства угловых коэффициентов излучения. Свойство взаимности
состоит в том, что для любой произвольно взятой пары тел с
поверхностями Ft и Fk имеет место равенство
ф^ = фЛ О7-25)
Это свойство вытекает из (17.24). Можно записать, что
%kFi = HK(MpNk)&Ft,
FiFk
Ф*Л= JiK(Nk,Mi)dFj.
Правые части этих выражений равны, следовательно, равны и левые.
Свойство замкнутости можно записать как для средних, так и для
локальных угловых коэффициентов излучения. Формулируется оно
следующим образом:
t у* = i; (17.26)
^9(M/,Fp= 1, (17.26a)
k=\
где n — число тел, образующих замкнутую систему.
455
Чтобы убедиться, что, например, равенство (17.26) действительно
имеет место, запишем
к=\ к=\ *1 *1
Методы определения угловых коэффициентов излучения. Угловые
коэффициенты излучения можно найти, используя (17.20) и (17.24). При
этом задача сводится к вычислению интегралов. Этот метод называется
методом непосредственного интегрирования. Для иллюстрации этого
метода рассмотрим следующий пример. Пусть имеются элементарная
площадка dFj на поверхности некоторого тела и круг с площадью поверхности
F2 (рис. 17.6). Направление центральной нормали к кругу совпадает
с направлением нормали к dFj. Радиус круга равен г0, а расстояние между
dFl и F2 — h.
Локальный угловой коэффициент излучения
ф(А/р F2) = J
COS0JCOS02
КГ
d/s,
dr
где dF2 = R dRdy = rsinQ, . ёф = r &r&<$
sin 0i
\\\\\\\v
-s:
4\\\\\\\\\\\\W
dfl
/M
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
r /у
V//
r + ur
Рис. 17.6. К выводу формулы (17.27)
456
Далее учтем, что cosGj = cos02 = h/r.
Тогда
2л
р.
2 о. Ь2
0 + h
Ф(М15 F2) = A2 J dcp J ^
Ф = 0
и1 ^ 2'
h +г0
(17.27)
В частном случае г0 —> оо (/^2 — площадь безграничной плоской
пластины) ф(М1? F2) = 1.
Для поверхностей, бесконечно протяженных в одном направлении [в
направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа (рис. 17.7)],
локальный угловой коэффициент излучения ф(М1? F2) рассчитывается по формуле
ф(М1? F2) = -(sinGj + sin02).
Средний угловой коэффициент излучения в этом случае можно легко
определить по методу натянутых нитей. Применительно к схеме,
приведенной на рис. 11.1,6, следует рассмотреть пересекающиеся нити с
длинами АС и BD, а также непересекающиеся нити с длинами AD и ВС.
Тогда
f>n = ^[(AC + BD)-(AD + BC)], (17.28)
где АВ — длина стороны, соответствующей поверхности Fj.
Если длина одной из непересекающихся нитей (например, AD) равна
нулю (рис. 17.8), то вместо (17.28) будем иметь
Ф12 =
2F,
(17.28а)
Аналогичные выражения получаются для ф13, Ф23 и Т-Д-
а)
^7777777777777777^\
Рис. 17.7. К определению локального (а) и среднего
(б) угловых коэффициентов излучения для двух
поверхностей большой протяженности в направлении,
перпендикулярном к плоскости чертежа
Рис. 17.8. К определению
углового коэффициента
излучения по формуле (17.28а)
457
Следует отметить, что в настоящее время имеется большая база данных
по угловым коэффициентам излучения [4, 9, 42].
Приведем некоторые формулы для таких излучающих систем, которые
часто встречаются на практике.
1. Два параллельных круга с одинаковыми радиусами г, с центрами на
одной общей нормали к их плоскостям и расстоянием h между ними:
<Pl2 = ;lZ-
^,
(17.29)
^2W2
rneZ= 1 +(1 +JT)7 ; здесьX=rlh\ Y=hlr.
2. Два квадрата со стороной а, расположенные в параллельных
плоскостях друг против друга на расстоянии h:
Ф12=;
-ыа +h arctg — - 2-arctg-+ - - In-* —
а ь П 2 a bh 2\aJ ,2,- 2, .2,
7a
h (la +h )J
(17.30)
3. Неограниченная плоскость (тело 1) и однорядный пучок труб (тело
2), параллельный плоскости:
Ф12= 1
2 + ",v
S У s A/ \d-
(-3
1;
(17.31)
Ф21="
l+arctgjl-
(17.31а)
где d — диаметр труб; s — шаг между ними (расстояние между осями).
17.5. Расчет теплообмена излучением в произвольной системе тел.
Зональный метод
F» Tk
Ft> Tt
Рассмотрим два случая:
а) все тела, образующие произвольную замкнутую систему, абсолютно
черные;
^ б) тела произвольной замкнутой системы
серые, диффузно излучающие и диффузно
отражающие.
. Система абсолютно черных тел. Пусть дана
/ замкнутая система из абсолютно черных тел с пло-
2' 72 / щадями изотермических поверхностей Fj, F2, ..., Fn
(рис. 17.9). Требуется найти gpe3/ (/ = 1,2, ...,«).
Рис. 17.9. К расчету тепло- т/ак как тела абсолютно черные, то поглощен-
обмена излучением в
произвольной системе тел ное каждым телом излучение равно падающему.
458
Поток излучения, падающий от k-го тела на /-е, равен 2о£Ф/Ь-
Следовательно,
п
^погл/ ^пад/ = YQokVki-
к=\
Поток результирующего излучения
Срез/ = бпогл/ " бсоб* = Z Со*Ф« " Go/• (17'32)
£=1
я
С учетом того, что V ср^. = 1, уравнению (17.32) можно придать вид
/=1
ерез/= Z^Oifc-GoMi-
Таким образом, для нахождения Q 3/ надо знать средние угловые
коэффициенты излучения данной излучающей системы.
Если значения ф^ найдены, то значения g при заданных
температурах тел определяются по следующей формуле:
к=\
Система серых, диффузно излучающих и диффузно отражающих
тел. В этом случае поток излучения, падающий от А>го тела на *-е,
представляет собой часть потока эффективного излучения к-то тела. Запишем
выражение для бпад/ в виде
Q™*i= ЕбэфЛг О7-33)
к=\
Как мы увидим дальше, выражение (17.33) является точным лишь при
определенном условии, в общем же случае оно приближенное.
С учетом (17.4) и (17.33) получим следующую систему п линейных
алгебраических уравнений для Q3^t (i = 1,2, ..., п)\
еэф/-^хеэфЛ/ = еСоб/' (17-34)
к=\
где Rt — отражательная способность /-го тела, постоянная для всех точек
поверхности.
459
Систему уравнений вида (17.34) можно записать и для Еэ^, если
каждый член /-го уравнения разделить на Ft и учесть, что ykiFk = <pikFt. При
этом будем иметь
E*i-RitE**k*ik = E„*r (17-34а)
к=\
Поток результирующего излучения gpe3/ или плотность потока Е' •
находятся по формулам Поляка:
Q^r ■£&*&-Qoi)> (17.35)
E^i = jiE^i-EQi), (17.35а)
где 2эф/ и Яф считаются теперь известными величинами, найденными
в результате решения системы (17.34) или (17.34а).
Если (Тф- и Яф выразим из (17.35) и (17.35а) и подставим в (17.34)
или (17.34а), то получим систему уравнений для определения Qpe3i или
Еры(1= !>2, ••-,«):
jCpes/ " I f брезЛ/ = I боЛ/ " Со/' (17'36)
' к=\ к к=\
7£рез/ " Z ТЕрезкЧ>1к = Z £0*Ф/* - £(Н• (17'36а)
1 £=1 * £=1
Выше рассматривался случай, когда для каждого тела была известна
температура его поверхности. Но задача может быть поставлена так, что
температура считается заданной величиной лишь для некоторых тел, а для
других известной величиной является поток результирующего излучения.
Такая постановка задачи называется смешанной. Обобщим системы (17.34)
и (17.34а) на случай смешанной постановки задачи.
Запишем два выражения: первое по определению эффективного
излучения, а второе по определению результирующего излучения:
еэ^-лйвд^бсоб/; <17-37)
еэф/-епад/ = -еРез;- (17.37а)
* *
Введем обобщенные характеристики Я. и Qi :
* Г R{ для тел с заданной температурой Tt\
Ri -\
I 1 для тел с заданным потоком бре3/>
460
* f бсоб/ для тел с заданной температурой Г^.;
I -брез/ ДЛЯ ТеЛ С заДанным ПОТОКОМ брезГ
Тогда вместо (17.37) и (17.37а) можно рассматривать одно обобщенное
уравнение
Q^i-RiQnw = Qi- О7-38)
Подставив (17.33) в (17.38), получим систему уравнений для
нахождения бэ<ы> обобщенную на случай смешанной постановки задачи:
к=\
Аналогично можно получить систему
Яэф*-Л*1*эф*Ф* = **- <17-4°)
к=\
Рассмотрим теперь вопрос о степени точности выражения (17.33),
положенного в основу расчета теплообмена излучением в данной системе тел.
На основании понятия локального углового коэффициента излучения
[см. (17.19)] запишем элементарный поток излучения от dFk на
поверхность Ft в виде
dQ(Nh F} = Яэф(^М^, F;.) dFk.
Поток излучения от Fk на Ft
Qki= l^iNkMN^F^dF,. (17.41)
Fk
Если ф(Л^, F;) не зависит от положения точки на поверхности Fk, т.е.
Ф(Л^, F;) = const = Фь,
то
Fk
или
Qkt= бЭф*Ф*1-
Суммируя излучения от всех поверхностей на Fi9 получаем (17.33).
Таким образом, можно записать условие, при котором выражение (17.33)
является точным: локальный угловой коэффициент излучения должен быть
равен среднему для любой пары зон (/ = 1, 2, ..., п\ к = 1, 2, ..., п). Если это
равенство не выполняется, то использование (17.33) для расчета теплооб-
461
мена излучением обеспечивает лишь приближенное решение задачи.
Степень точности зависит от отражательной способности тел. Чем меньше
отражательная способность, тем более точным будет решение.
Действительно, в частном случае абсолютно черных изотермических тел E3JNk) =
= Eok = const, тогда из (17.41) вытекает, что
Для бпад/ будем иметь формулу
п
к=\
которая совпадает с (17.33) при замене Q3^k на Qok.
Метод расчета теплообмена излучением, когда поверхность
излучающей системы разбивается на конечное число зон с постоянными
оптическими (поглощательной и отражательной способностью) и
энергетическими (температурой или плотностью потока результирующего излучения)
характеристиками, называется зональным. Точность расчета в общем
случае будет тем выше, чем больше число зон. В некоторых частных случаях
нет необходимости разбивать излучающую систему на большое число зон.
Для двух параллельных пластин больших размеров, двух концентрических
сфер или двух коаксиальных цилиндров выполняется равенство локальных
и средних угловых коэффициентов излучения, поэтому можно считать, что
система состоит из двух зон. Однако если сферы неконцентричны или
цилиндры некоаксиальны, то разбиение на две зоны (например, первая
зона — внутренняя сфера, вторая — наружная сфера) может дать лишь
приближенные значения результирующих потоков излучения.
17.6. Теоретическое обоснование зонального метода.
Интегральные уравнения теории теплообмена излучением
Интегральные уравнения излучения. Пусть имеется произвольная
излучающая система тел (см. рис. 17.1). На одной части поверхности F этой системы задана
температура как функция точки М, а на другой — плотность потока
результирующего излучения тоже как функция точки М. Будем называть Т{М) и EpQ3(M)
энергетическими характеристиками системы. Таким образом, ставится задача с
непрерывным распределением энергетических характеристик по поверхности системы.
Кроме этого, в основу анализа положим также непрерывное распределение оптических
характеристик R(M) и А(М).
462
Локальные плотности потоков излучения Е (Ad), E3^(Ad), Epe3(Ad) являются
функциями EnaR(Ad), причем
W*0 = 1 Inm(M,s)cosQMdo(M,N). (17.42)
со=2я
Вывод интегрального уравнения для Е3^(М). Так как среда прозрачна для
излучения, а каждая элементарная площадка dFM излучает и отражает диффузно, то
/пад(М,*) = /эф(]У) = ^
Элементарный телесный угол
^2. (17.43)
(IFyv COS 0дг
с!о)(М,Л0 = -^ -• (]7-44)
Подставляя (17.43) и (17.44) в (17.42), получаем
где К(М, N) — геометрическая функция точек;
К(М, N) =
cos9Mcos0^
2 '
яг.
rMN
Запишем выражение для E3JAd) двумя способами:
£эф(М) = Есоб(М) + Я(М)Епад(М); (17.46)
Яэф(М) = - Ерез(М) + £пад(М). (17.46а)
Два уравнения (17.46) и (17.46а) можно записать в виде одного обобщенного:
Еэф(М) = Е\М) + ЯЕпад(М), (17.47)
где Е (Ad) nR — обобщенные энергетические и оптические характеристики системы;
* Г Есо6(М) для той части поверхности, для которой задана температура Т(М);
Е (Ad)=<
[ -Е (Ad) для той части поверхности, для которой задано Е (Ad);
R*(Ad) = \ ^(^0 в пеРВ0М случае;
[ 1 во втором случае.
Подставляя (17.45) в (17.47), получаем интегральное уравнение для E3JAd):
E^(A4)-R*(Ad)JE^(N)K(M,N)dFN = E*(Ad), (17.48)
F
которое для заданной геометрической системы позволяет найти поле E3JAd) при
заданных полях энергетических E(Ad) и оптических R(Af) характеристик системы.
Уравнение (17.48) называется интегральным потому, что неизвестная функция
£Эф(М) находится здесь под знаком интеграла. Оно является интегральным
уравнением типа Фредгольма второго рода.
463
Зональный метод. Уравнение (17.48) служит для теоретического обоснования
зонального метода расчета теплообмена излучением, сущность которого состоит
в следующем. Поверхность излучающей системы разбивается на конечное число
зон (см. рис. 17.9) таким образом, что в пределах каждой зоны энергетические и
оптические характеристики постоянны, т.е.
Е\М,) = Е*; RW^R*. (17.49)
Интеграл в (17.48) представляется в виде суммы интегралов
|£эф(Л0ВД ЛО dFN = ± \ Еэф(Мк)К(М, Nk) dFk.
F k=\Fk
После этого мы получаем систему интегральных уравнений
ЩЩ-ЪЪ \Е*ФкШЩЩ) dFk = E\Mt). (17.50)
k=\Fk
Умножая почленно (17.50) на dF,- и интегрируя по Fi9 вместо системы уравнений
для локальных потоков излучения E3JM^) получаем
W/-*/Z J \Е*Фк>К(Щ*к) dFkdFrE*Fr (17.51)
k-\FiFk
Далее учтем, что
J | Е^ЩЩМ, Nk) UFkdFt = J E^Nk) J K(Nk, Ц) dF,dFk .
FiFk Fk Fi
Внутренний интеграл в последнем выражении — локальный угловой
коэффициент излучения
^(NktFi)=\K(Nk>Mi)dFr
Fi
Допустим, что для любой пары зон локальный угловой коэффициент излучения
равен среднему, т.е.
Ф(Л^ Fi) = <Pfc-
Тогда вместо системы интегральных уравнений (17.51) будем иметь систему
линейных алгебраических уравнений:
еэф,-<1{?эфЛ; = £>«• (17-52)
к=\
Разделим (17.52) на Ft и учтем свойство взаимности угловых коэффициентов
излучения. Тогда будем иметь систему уравнений для нахождения средних
плотностей потоков излучения:
£эф/-<££эф^ = £/- (17.53)
к=\
464
Решая (17.52) или (17.53), определяем Q3^ или Еэ^ (/ = 1, 2, ..., я), после чего
находим Е' • для зон с заданной температурой:
^рез/~ d (^эф/~^01)
и £0/ для зон с заданным значением Е t.
Зная £0/, находим 7} как
Таким образом, в основе зонального метода лежит допущение о равенстве
локальных и средних угловых коэффициентов излучения. В общем случае это
равенство выполняется тем точнее, чем меньше поверхность зоны (больше число зон).
17.7. Метод Суринова
Ю.А. Суринов ввел в рассмотрение локальный и средний разрешающие
угловые коэффициенты излучения. От обычных (геометрических) угловых
коэффициентов излучения они отличаются тем, что при их определении
учитываются многократные отражения излучения от поверхности системы.
Разрешающие угловые коэффициенты излучения. Локальный
разрешающий угловой коэффициент излучения есть отношение потока
излучения, падающего от элементарной площадки поверхности одного тела на
поверхность другого с учетом многократных отражений в системе, к
потоку собственного излучения, выходящему с элементарной площадки
первого тела по всевозможным направлениям в пределах
полусферического телесного угла.
Локальный разрешающий угловой коэффициент излучения при
фиксированной площади поверхности Fk k-vo тела является функцией точки Mt
на поверхности /-го тела и обозначается так:
Ф(М„ F0.
Средний разрешающий угловой коэффициент излучения
Oa-UvWrFtWr
Угловые коэффициенты Ф(М/5 Fk) (i = 1, 2, ..., п, где п — число зон,
на которые разбивается граничная поверхность системы) находятся в
результате решения системы линейных алгебраических уравнений, для
смешанной постановки задачи имеющей вид
ф(Щ> Fk) - Z Я; Ф(Ч> Fj)%k = Ф(М;> Fk) > (17-54>
7=1
где ф(М/? Fk) и фд — геометрические угловые коэффициенты (см. § 17.4).
465
Аналогично записывается система уравнений для средних обобщенных
разрешающих угловых коэффициентов излучения:
ф/*-1Луф//Ф/л = Ф/*- О7-55)
7=1
Определение локальных и средних энергетических характеристик
зон по методу Суринова. Локальная и средняя плотности потока
падающего излучения находятся по формулам:
к=\
к=\
пад/ 2^ ^k^ik'
(17.56)
Для зон с заданной температурой формулы для определения Е (Mf)
или Е t имеют вид:
Е^Щ=ЧЕ^{М1)-Е,1\Л
(17.57)
^рез/ ~ Ai(Enwi ~ Еод' J
Для зон с заданным Е' • сначала находится E0(Mt), а затем
температура T(Mt):
Ео(Щ) = Епы(Щ)-}ЕР^
Т(М() = 4 ° l)
°0
Для теоретического обоснования этого зонального метода Ю.А. Суринов
методом итераций построил решение интегрального уравнения (17.48),
которое выражается через резольвенту — разрешающее ядро интегрального
уравнения. В свою очередь, резольвента также должна находиться в
результате решения интегрального уравнения. Система уравнений (17.54) — это
аппроксимация интегрального уравнения для резольвенты, которая
справедлива при условии, что геометрические угловые коэффициенты, взятые
для любой пары зон, равны средним. Однако это условие должно
выполняться только для тех угловых коэффициентов, которые в (17.54) стоят под
знаком суммы.
Отметим, что по существу метод Суринова является обобщением
метода многократных отражений Христиансена—Нуссельта для
произвольной системы диффузно излучающих и диффузно отражающих тел.
466
Пример применения метода Суринова. Для иллюстрации метода Сури-
нова выведем первую формулу Христиансена—Нуссельта (см. § 17.2).
В нашем случае локальные и средние угловые коэффициенты
(геометрические и разрешающие) равны друг другу. С использованием (17.55)
запишем систему уравнений:
фп -^1фпФп -^2ф12Ф21 = Фп^
Ф12 - Rx<bn<f>i2 ~ Д2Ф12Ф22 = Ф12-
У нас фи = ф22 = 0, ф12 = Ф21 = 1. Решая эту простую систему, находим
R2 !
Фи = : =—г-; Фп =
11 l-Rfiz' п \-RxR2
*
Теперь обратимся к (17.56) и (17.57). Учтем, что ЕХ=АХЕ^Х
*
Е2 = А2Е02. Тогда
^рез! =А\
A{R2E0l А2Е02 )
1 -RXR2 1 -R\Rzi
■AxE0l.
После простых преобразований получим
А1А2(Е02 - Е0{) Е02 - Е01
Е
Рез1 l-R{R2 J_ + J_ _ "
Ах А2
Первая формула Христиансена—Нуссельта выведена.
17.8. Задачи с решениями
Задача 1. По трубе перемещается горячий воздух. Температура воздуха
измеряется термопреобразователем, помещенным в трубку (чехол) с
наружным диаметром d= 3 мм (рис. 17.10). Термопреобразователь
зарегистрировал температуру Тт = 773 К. Температура стенки трубы Гс = 723 К.
Оцените погрешность измерения температуры воздуха за счет
теплообмена излучением, приняв для чехла термопреобразователя е = 0,8, а коэф-
фициент теплоотдачи от воздуха к чехлу а = 100 Вт/(м • К).
Решение. Для установившегося состояния справедливо уравнение
теплового баланса: количество теплоты, передаваемое излучением от чехла
термопреобразователя к стенке трубы, равно количеству теплоты,
получаемому чехлом за счет конвективного теплообмена. Для расчета Qmjl —
первой составляющей уравнения теплового баланса воспользуемся формулой
В § 17.2 Фц и Ф12 определялись по методу Христиансена—Нуссельта.
467
/
Рис. 17.10. К расчету погрешности измерения температуры
газа из-за теплообмена излучением между чехлом
термопреобразователя и стенкой трубы
(17.16), полагая QmjI = -6pe3i, а Ах = е. Вторая
составляющая QK0HB = аГх(Тж - Гт), где Fx —
площадь поверхности чехла термопреобразователя;
Тж — температура воздуха.
Из уравнения теплового баланса следует, что
F 4 4
Т^-Т^ = -о„(Г*-77) =
Ж Т q, Uv Т С7
0£
100
5,67 • 10"
*(7734 - 7234) = 38 К.
Истинная температура Тж = 773 + 38 = 811 К.
Ответ. Погрешность измерения равна 38 К, а температура воздуха
составляет 811 К.
Задача 2. Как изменится погрешность измерения температуры воздуха
в задаче 1, если между чехлом термопреобразователя и стенкой трубы
соосно с чехлом поместить цилиндрический тонкостенный экран
диаметром d3 = 5 мм с отражательной способностью R3 = 0,8?
Решение. Запишем уравнение теплового баланса для чехла:
«(Гж-Гт)
8 flfЛ8Л /
где 8Э = 1 - R3 = 0,2; Тэ — неизвестная температура экрана.
Второе уравнение получим, составив баланс теплоты для экрана:
С0С1(Т4Т-ТЛЭ) 4 4
2<Ч(ГЖ - Тэ) + ° т э = еэ</эа0(Гт ~ То) ■
Считаем, что Тж = 811 К. Подставив в написанные уравнения исходные
данные, получим Тт = 806 К. Погрешность измерения Тж - Тт = 5 К.
Ответ. Для экранированного термопреобразователя погрешность
измерения равна 5 К.
Задача 3. Выполните расчет теплообмена излучением между
поверхностями плоской ребристой стенки (рис. 17.11). Размер ребер, перпендику-
468
рис. 17.11. К зональному методу расчета теплообмена
излучением между поверхностями ребристой стенки
лярных к плоскости чертежа, значительно больше /. Температура стенки
(та же, что и температура основания ребра) равна 373 К, а температура
воздуха на стороне ребристой стенки составляет 293 К. Вдоль ребра
температура изменяется по закону:
Т = 293 + 80
ch[15,8(/-x)]
ch(15,8/)
где х — координата, отсчитываемая от основания ребра, м; / = 0,08 м.
Размер а = 0,04 м. Степень черноты поверхности ребер и неоребренной
поверхности стенки 8 = 0,8.
Решение. Длину ребра / разобьем на три равных части и замкнем
межреберное пространство условной поверхностью 4 (рис. 17.11). В результате
получим излучающую систему, состоящую из восьми зон. Для зоны 4
Г4 = 293К; А4=\.
По формуле, приведенной в условии задачи, находим средние
температуры зон: Т{ = Т7 = 361,9 К; Т2 = Т6 = 344,7 К; Т3 = Т5 = 336,9 К. Угловые
коэффициенты излучения ф.д. находим методом натянутых нитей
(см. § 17.4). Совокупность рассчитанных значений <pik оформляем в виде
матрицы:
0,0000 0,0000 0,0000 0,0729 0,0784 0,1972 0,3028 0,3486
0,0000 0,0000 0,0000 0,1514 0,1972 0,3028 0,1972 0,1514
0,0000 0,0000 0,0000 0,3486 0,3028 0,1972 0,0784 0,0729
0,0486 0,1009 0,2324 0,0000 0,2324 0,1009 0,0486 0,2361
0,0784 0,1972 0,3028 0,3486 0,0000 0,0000 0,0000 0,0729
0,1972 0,3028 0,1972 0,1514 0,0000 0,0000 0,0000 0,1514
0,3028 0,1972 0,0784 0,0729 0,0000 0,0000 0,0000 0,3486
0,2324 0,1009 0,0486 0,2361 0,0486 0,1009 0,2324 0,0000
Ф/*
469
Для нахождения E^t (7 = 1, 2, ..., 8) воспользуемся (17.34а). Матрица Л
коэффициентов системы восьми уравнений и столбец В известных величин
в правых частях этих уравнений будут иметь вид:
А=\
1,0000
0,0000
0,0000
-0,0005
-0,0157
-0,0394
-0,0606
v-0,0465
0,0000
1,0000
0,0000
-0,0010
-0,0394
-0,0606
-0,0394
-0,0202
0,0000
0,0000
1,0000
-0,0023
-0,0606
-0,0394
-0,0157
-0,0097
-0,0146
-0,0303
-0,0697
1,0000
-0,0697
-0,0303
-0,0146
-0,0472
-0,0157
-0,0394
-0,0606
-0,0023
1,0000
0,0000
0,0000
-0,0097
-0,0394
-0,0606
-0,0394
-0,0010
0,0000
1,0000
0,0000
-0,0202
-0,0606
-0,0394
-0,0157
-0,0005
0,0000
0,0000
1,0000
-0,0465
-0,0697
-0,0303
-0,0146
-0,0024
-0,0146
-0,0303
-0,0697
1,0000.
В =
778,537
640,782
584,122
414,551
584,122
640,782
778,537
i, 879,441
.-1;
Систему уравнений решаем в среде MathCAD: £эф = А В. Значения
£рез вычисляем по (17.7). В результате получаем
£эф
957,648
799,452
718,786
422,880
718,786
799,452
957,648
1034,690 j
рез
-62,090
-6,105
-45,467
409,997
-45,467
-6,105
-62,090
-258,448
470
Краткие итоги гл. 17
1. Основные допущения, лежащие в основе теории радиационного
теплообмена, таковы: тела — серые, диффузно излучают и диффузно
отражают. Основным понятием в теории является интенсивность излучения / =
2
= I(M, s), измеряемая в Вт/(м • ср). Зная интенсивность как функцию точки
2
и направления, можно найти плотность потока излучения Е, Вт/м , и поток
излучения Q, Вт.
2. В классификацию потоков излучения входят шесть величин: Есо&
£погл> £отр> £эф> £рез и £пад> пРичем ^пад = J 7пад C0S 0 dc0 ■
со =2я
Если задана температура данного тела и каким-либо образом (как
правило, с помощью зонального метода) найдена величина £эф, то Е
находится по формуле Поляка:
Ерез = (Ш)(Еэф-Е0).
3. В системе, состоящей из двух концентрических сфер и двух
коаксиальных цилиндров,
о0(Т24-Т*)
Е„ ~
A, f\a, .
При FXIF2 = 1 получается формула для двух безграничных
параллельных пластин.
4. Зональный метод заключается в том, что поверхность излучающей
системы разбивается на конечное число зон п с постоянными для каждой
зоны температурами и поглощательными способностями. Геометрические
особенности системы в зональном методе учитываются с помощью
угловых коэффициентов излучения, равных отношению потока излучения от
поверхности площадью Ft на поверхность площадью Fk к потоку
излучения, выходящему из поверхности площадью Ft.
п
Свойства угловых коэффициентов: (pi/cFi = ^>fciFk и V ср^ = 1 .
к=\
5. Система линейных алгебраических уравнений зонального метода
имеет вид:
п
Еэф( - Ri Z ЕэфкЧ>1к = Eco6i •
к=\
Заменяя E3^i на Е' ., после простых преобразований можно получить
систему уравнений для Е t.
471
Глава восемнадцатая
ИНЖЕНЕРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА
В СИСТЕМЕ ТЕЛ, ЗАПОЛНЕННОЙ ИЗЛУЧАЮЩЕЙ
И ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДОЙ
18.1. Поглощательная способность и степень черноты среды
В парогенераторах, котлах-утилизаторах, нагревательных печах и
других технических устройствах в объеме излучающих газов, как правило,
наблюдается неоднородное температурное поле.
В этом случае для расчета потоков излучения используется объемно-
зональный метод [4, 9], согласно которому топка котла или какая-либо
другая камера разбивается на конечное число объемов (зон) с постоянной
температурой газа. Если же распределение температуры газа не задано, то его
находят с помощью уравнения теплового баланса. Тогда расчет
усложняется, и его выполнение требует больших затрат времени.
В инженерных расчетах часто упрощают действительную картину
распределения температуры газа и считают, что она постоянна во всем объеме
камеры. Эта модель оправдана в том случае, когда газ хорошо перемешан,
температура в основной его массе изменяется мало, а резкое изменение
наступает только в пристенной области камеры. Если толщина
пристенного слоя мала, его излучением можно пренебречь и приближенно
принять, что температура газов Тг = const.
В модели изотермической среды используются понятия, называемые
поглощательной способностью и степенью черноты среды.
Поглощательная способность среды — это отношение потока
излучения, поглощенного средой, к потоку излучения, падающему на среду.
Рассмотрим элементарный слой среды толщиной ds (рис. 18.1). Пусть IV(P) —
спектральная интенсивность излучения в точке Р в направлении луча s.
На выходе из элементарного слоя интенсивность излучения меньше, чем
на входе, и равна IV(P) + dIv(P). Согласно
закону Бугера,
dIv(P) = -av(P)Iv(P)ds, (18.1)
где av(P) — спектральный коэффициент
поглощения среды, м~ , который в общем
случае зависит от частоты v и координат
Рис. 18.1. К закону Бугера ТОЧКИ Р.
472
M,dFM
Рис. 18.3. Полусферический объем среды
<-
Рис. 18.2. К определению поглощатель-
ной способности среды
Формулу (18.1) можно записать в виде
ds
= -a(P)I(P).
Из (18.1а) интегрированием находим (рис. 18.1):
Iv(N) = Iv(M)e-\
(18.1а)
(18.2)
'MN
где hv = J av(P) ds.
Соотношение (18.2) представляет собой закон Бугера в интегральной
форме. Если можно считать, что коэффициент поглощения не зависит от
координат точки, то hv = av гш. Величина hv называется оптической
толщиной слоя. Для серой среды (газа) коэффициент поглощения не зависит от
частоты v. Тогда hv = h = агш и
I(N) = I(M)e~h. (18.2а)
Доля поглощенного средой излучения в слое толщиной гш равна А(М, N):
I(M) -I(N) ~h*
A(M,N) =
I(M)
1 -e
lMN
(18.3)
Локальная поглощательная способность A(M, V) — это отношение
потока излучения, поглощенного средой в объеме V, к потоку излучения,
падающему на среду от элементарной площадки dFM (рис. 18.2):
-и
A(M,V) = - \ [1-е MAjcos9MdcD.
со = 2тг
(18.4)
473
Для полусферического объема (рис. 18.3) с площадкой dFM в центре
основания полусферы
А(М, V)=l-e~hMN, (18.5)
где /г^дг равно радиусу полусферы (кш = R).
Средняя поглощательная способность среды A(F, V) — это отношение
потока излучения, поглощенного средой в объеме V, к потоку излучения,
падающему на среду от поверхности F:
A(F,V) = ^A(M,V)dFM9 (18.6)
F
где F — площадь полной граничной поверхности излучающей системы
или ее части (например, поверхности отдельно взятого тела, входящего
в систему).
При записи выражений (18.4)—(18.6) учитывалось, что граничная
поверхность абсолютно черная.
Степень черноты среды — это отношение потока собственного
излучения среды, падающего на граничную поверхность, к потоку излучения
абсолютно черного тела, имеющего ту же температуру что и среда,
падающего на ту же поверхность.
На основании закона Кирхгофа для локальной е(М, V) и средней e(F, V)
степеней черноты среды с учетом (18.4) и (18.6) получим
е(М, V) = - J (\-е M^cos0Mdco; (18.7)
e(F,V) = Ue(M,V)dFM. (18.8)
F
Для слабопоглощающей среды пш -> 0 и 1 - е" ш « кш. Тогда для
полусферы е(М, V) « Нш = aR. Пусть теперь /эф — длина, равная радиусу
полусферы, при которой средняя степень черноты среды в произвольном
объеме V
e(F, V) = е(М, V) * а/эф.
Величина /эф называется эффективной длиной луча. Докажем, что
4V
'эФ = у- О8-9)
Обратимся к рис. 18.4. Пусть гМР — расстояние между точками Ми Р;
dco(P, М) — элементарный телесный угол с вершиной в точке Р,
опирающийся на площадку dFM; dVP = dFP ds — элементарный объем среды. Так
474
Рис. 18.4. К выводу формулы (18.9)
dFM 2
как dco(P, М) = -j— и discos 0M = гмр dco(P, М), то cos 0М dco dFM =
rMP
= dco(P, M) dFp. Кроме того, для слабопоглощающей среды в подынте-
rMN
-h
тральном выражении (18.7) 1-е « hMN = o.rMN = а \ ds .
Тогда
о
'MN
£(F'F)=^I J J cose^dF^dcod^^ J d<z{P,M)\dVp = aA-£.
F co = 27i о
со = 4л
Соотношение (18.9) доказано. В практических расчетах в формулу
(18.9) вводится поправочный коэффициент 0,9, учитывающий тот факт, что
излучение одних элементов среды частично поглощается другими
элементами. При этом
'эф = Ц-
(18.9а)
Формулу (18.9) можно вывести проще, если рассмотреть термодинамическое
равновесие в среде и учесть закон Бугера. Излучаемая в единицу времени в направ-
лении s энергия, Вт/м (отнесенная к единице телесного угла и к единице объема),
в соответствии с (18.1а) равна а/0, а излучаемая по всевозможным направлениям
в пределах со = 4л; энергия составляет 4тга/0 = 4а£0. Величина 4а£0 d V
представляет собой энергию, излучаемую элементом среды объемом dV. В случае слабопогло-
475
щающей среды эта энергия поступает к граничной поверхности F. Объем V состоит
из бесчисленного множества элементов dV. Таким образом, излучаемая средой на
поверхность F энергия равна 4а£0 V. По определению степень черноты среды
4aE0V 4F
г EoF F
В то же время ег = 1 - е~ ЭФ « ос/эф. Отсюда следует формула (18.9).
В продуктах сгорания природного газа, мазута и твердого топлива
излучающими компонентами являются сажистый углерод, частицы золы и
кокса (эти компоненты дают сплошной спектр излучения), а также газы
Н20, С02, СО и др. Наибольший вклад в энергию излучения газов вносят
Н20 и С02. Спектр излучения газов — полосатый (см. § 16.1). На рис. 18.5
показан спектр поглощения С02 при температурах газа 300 К (сплошные
линии) и 830 К (пунктирные линии). Из рисунка видно, что в области
спектра длин волн от 1,9 до 15 мкм С02 обладает четырьмя полосами
поглощения. В инфракрасной области спектра для Н20 (пара) имеют место шесть
полос поглощения, соответствующих длинам волн 1,14; 1,38; 1,87; 2,7; 6,3
и 20 мкм. Наиболее важную роль в излучении С02 играет полоса,
соответствующая длине волны 4,3 мкм, а в излучении Н20 — полосы,
соответствующие длинам волн 6,3 и 2,7 мкм. В промежутках между полосами
поглощения газы являются практически прозрачными средами. В топочных
газах в этих промежутках излучают энергию твердые компоненты
продуктов сгорания, имеющие сплошной спектр поглощения и излучения.
Степень черноты газа зависит от его парциального давления, толщины
излучающего слоя, температуры и полного давления смеси газов р.
Влияние парциального давления и толщины слоя объясняется тем, что от этих
Рис. 18.5. Спектральная поглощательная способность С02
476
величин зависит число молекул газа, находящихся на пути луча. С
повышением полного давления происходит уширение полос поглощения.
Из опытных данных следует, что есо — интегральная степень
черноты С02 при атмосферном давлении/? = 0,101 МПа зависит от
произведения рсо /эф (рсо — парциальное давление С02) и температуры газа. В
инженерных расчетах есо определяется по номограммам (рис. 18.6).
Степень черноты Н20 (пара) ен 0 зависит не только от температуры и
произведения /?н 0'эф' но и от отдельно взятых значений /?н 0 и р.
В практических расчетах по номограммам (рис. 18.7) находят е'н 0 и
вводят поправочный коэффициент (Зн 0 (рис. 18.8), т.е.
8н2о = 8н2оРн20'
где е'н 0 при р = 0,101 МПа определяется по рис. 18.7.
Если давление р > 0,101 МПа, в расчет ен 0 и гсо вводятся
дополнительные поправки (см., например, [4]).
При расчете излучения смеси газов С02 и Н20 следует учитывать тот
факт, что полосы поглощения этих газов частично перекрывают друг друга.
Тогда
8со2 + н2о = 8со2 + 8н2о " Ле'
где Ае « 8Ш2 е^ .
Интегральные поглощательные способности Асо и Ан 0 находятся
также с помощью номограмм (рис. 18.6—18.8). Пусть Тт и Тст —
температуры газа и стенки. Если Гг = Гст, то Асо = есо и Ан 0 = ен 0. Для
нахождения Асо и Ан 0 в случае, когда Тг Ф Tcv предварительно
вычисляют приведенные значения парциальных давлений С02 и Н20:
Т Т
~ _ ст ~ _ ст
Рсо2~ Pco2J~> Ри2о~Рн2от •
Затем по номограммам находят в и 8 н о в зависим°сти от
произведений рсо /,/?но/иГсг
477
О 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 /, °С
Рис. 18.6. Зависимость есо от температуры газа при различных значениях рсо /Эф
Окончательно принимают:
^со2(^г> ^ст)
К1 стУ
^о^со/.^ст);
0,45
478
ен2о
к
к^
к.
^>
1
к>
KvN
I
К
^
^
О*4
Ч
SN
vV
<
^
^
<;
\
s
§v
^
s^4
у_
N
ч%
V
%
чЧ
ч«*
ч
г
^■ч
>..
^
л
\
v,N
^
*ч
!°>os;
ю-ог:
*0 7 -
ГЧ/ ~
Ч.
5^
^
'0,2^
т2^
Ч|
Wa*
N
^J
\
s^N
\ 1
Г^п
^ Л
^]
1
]
ччН
4i
О 200 600 800 1000 1200 1400 1600 1700 /, °С
Рис. 18.7. Зависимость е'н2о от температуры газа при различных значениях Рн2о'эф
479
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
^н2о/Л)
Рис. 18.8. Поправочный коэффициент рн 0 для определения степени черноты sH 0
Для смеси С02 и Н20
А
со2 + н2о ^со2 + ^н2о ^
y*qM*aco2ah2o-
18.2. Расчет теплообмена излучением в системе типа «газ в черной
оболочке»
Пусть температура граничной поверхности системы равна Tcv площадь
этой поверхности — Fcv а температура газа — Тг. Заданы средняя степень
черноты газа ег и его поглощательная способность Аг, причем
J 8vr(v, rr)£v0(v, Тг) dv
8 = 8 (т ) = х
г rv г^ оо
j£v0(v,rr)dv
АГ = АГ(ТГ,ТСТ)
lAVT(v,Tr)Ev0(v,TCT)dv
о
оо
Ko(v,rCT)dv
о
Для серой среды 8vr = Avr и ег = Аг. Для несерой среды выполняется
только первое равенство, а в подынтегральных выражениях числителей
ev(v, Tr)=Av(y, Гг).
480
Поток излучения, поглощенный газом,
4
^погл.г г^пад.г — г ст^О ст *
Поток собственного излучения газа
4
бсоб.г = erFcra0Tr •
Поток результирующего излучения
2ре,г = бпогл.г " 2соб.г = V^r7! " «Л • О^О)
Для оболочки брез.ст = ~ брез.г- Степень черноты гг и поглощательная
способность Аг для С02 и Н20 определяются в соответствии с § 18.1. Если
принимается модель серого газа, то ег = Аг и
£г = 1_е-«ч>,
гдеа — коэффициент поглощения;/эф — эффективная длина луча (см. § 18.1).
Величина Q ст равна изменению энтальпии входящего и выходящего
из оболочки газа.
В общем случае следует учитывать конвективный теплообмен между
газом и оболочкой. Тогда изменение энтальпии газа равно сумме 6резст
и бконв> г^е 2конв = аконв(Гг - rcT)FcT (аконв — коэффициент теплоотдачи).
Важно подчеркнуть, что рассмотренный метод расчета потока
результирующего излучения может привести к неправильному результату, если
оптическая толщина а/эф велика, а в объеме газа имеет место неоднородное
распределение температуры. Тогда холодные слои газа, примыкающие к
поверхности оболочки, будут интенсивно поглощать излучение, исходящее
из центральной части объема, и значение Q ст будет зависеть от
температуры этих слоев и Тст Так как указанные температуры мало отличаются
друг от друга, то возможен случай, когда 2рез.ст ~ 0 («запирание»
излучения).
Отметим еще, что средняя плотность потока результирующего
излучения для поверхности оболочки
£п^,т = ап(егГ*-Л И ). (18.10а)
рез.ст 0V г г г ст' v '
Если оболочка представляет собой сферу, то локальные значения Е
совпадают со средними, так как в этом случае равны друг другу локальные
и средние степени черноты среды. В общем же случае последнее условие
не выполняется, поэтому Е = EpQ3(M), где М — точка на поверхности
оболочки. Нетрудно доказать, что
£рез(М) = сто[ММ> У)Т\-АТ{М, V)T4ct]. (18.106)
481
Для серого газа ег(М, V) = АГ(М, V). В некоторых простейших случаях
(например, излучение газа, заключенного в камеру цилиндрической
формы, падающее на центр основания цилиндра) можно получить простое
выражение для локальной степени черноты (см. § 18.3).
18.3. Обобщенные угловые коэффициенты излучения
Угловые коэффициенты излучения для прозрачной среды
рассматривались выше (см. § 17.4). Обобщенные угловые коэффициенты излучения
отличаются тем, что в них учитывается ослабление интенсивности
излучения поглощающей средой.
Разобьем граничную поверхность излучающей системы на конечное
число зон. Будем считать, что граничная поверхность — абсолютно
черная. Пусть Mt и Nk — точки на поверхностях /-й и к-н зон (см. § 17.4). Для
прозрачной среды интенсивность излучения, выходящего из площадки dF(9
равна интенсивности излучения, достигающего площадки dFk:
I(Nk) = I(Mt). В случае поглощающей среды на основании закона Бугера
можно записать:
I(Nk) = I(Mi)e~arik,
где а — коэффициент поглощения (для серой среды а не зависит от длины
волны); I(Mt) = Е0(М1)/п.
Формулы для определения обобщенных угловых коэффициентов
излучения можно вывести так же, как и формулы § 17.4. Они будут отличаться
от формул для обычных (геометрических) угловых коэффициентов только
~arik
наличием множителя е в подынтегральных функциях.
Локальный обобщенный угловой коэффициент излучения — это
отношения потока излучения от dFz, падающего на поверхность Fh с учетом
ослабления излучения средой, к потоку собственного полусферического
излучения, выходящего из dFf.
У(М,, Fk) = J е~аГ(кК(М^ Nk) dFk. (18.11)
Fk
Средний обобщенный угловой коэффициент излучения — это
отношение потока излучения от dFt, падающего на поверхность Fk с учетом
ослабления излучения средой, к потоку собственного полусферического
излучения, выходящего из F-:
482
Vik=wJ4(Mt,Fk)dFr, (18.12)
Vik 4)1 е~°Г,кК(Мр Nk) AFkUFi. (18.12a)
iFiFk
Свойство взаимности записывается так же, как и для обычных угловых
коэффициентов излучения:
Ул^УЛ (18ЛЗ>
Свойство замкнутости имеет вид:
п
Zvik + A(FpV)=l; (18.14)
k=\
п
£ v(A/f, Fk) + A(Mi9 V)=\. (18.14a)
k=\
Здесь A(Mi9 V) — локальная, a A(Fi9 V) — средняя поглощательные
способности. Последняя величина относится к излучению, падающему на среду
от поверхности зоны Ft.
Обобщенные угловые коэффициенты излучения находят аналитическим или
численным интегрированием выражений (18.12) и (18.12а). Таким же способом, как
и в примере, рассмотренном выше (см. § 17.4), можно рассчитать 1|/(М15 F2) и
\|/(М15 F3) — угловые коэффициенты излучения элементарной площадки dFj в
центре нижнего основания цилиндра (рис. 18.9), падающего на верхнее основание
площадью F2 и на боковую поверхность площадью F3:
y(MvF2) = 2h2 J е~агЦ; (18.15)
r=h r
V(MltF3) = 2rl J е~агЦ. (18.15a)
r=r0 r
2
Преобразуем формулу (18.15). Введем |i = cos 0 = hlr. Тогда dr = - /zdji/|i ;
ar = ah/[i и
y(Mv F2) = 2 J e~ah/ V (1ц, (18.156)
где [i0 = h/Jh2 + r2Q.
483
[1 I
Рис. 18.9. К нахождению
обобщенных угловых коэффициентов
излучения V|/(M|, F2) и \\f(M2, F3)
\L
»
г м
cA\\\\
a iJ_LLii
\////////A
^ о
1
/2
d
/
Рис. 18.10. К нахождению обобщенных
угловых коэффициентов излучения \\fAB и уАС
в камере, имеющей форму параллелепипеда
В частном случае двух безграничных пластин (h « г0)
\|/12 = \y(Ml9 F2) = 2£3(<хА). (18.16)
Значения £3(х) приведены ниже (см. табл. 19.1). Угловые коэффициенты
\j/(M1,F2) и v|/(M1? F3) можно найти с помощью функции Е3(х). Например, после
преобразования (18.156) получаем
2h2 /~2 2
\|/(M1,F2) = 2£3(aA)-— zE3(aJh + г0).
Соответствующие преобразования (18.15а) дают
М/(М15 F3) = 2£3(ar0) - -^E^ajh2 + г*).
,2 , 2
Из (18.14а) следует, что
A(MV V)=\-\^(Ml,F2)-\^(MvF3)=\-2E3(ah)-2E3(ar0)+2E3(aJh2^ r\). (18.17)
Поглощательная способность плоского слоя газовой среды Л(М15 F) = Аг = 1 -
- 2E3(ah).
Для расчета лучистого теплообмена в камере, имеющей форму
параллелепипеда (рис. 18.10), достаточно вывести формулы для средних обобщенных угловых
коэффициентов излучения \\fAB и \\fA£. Остальные могут быть получены из
найденных формул просто соответствующей заменой величин, а также с помощью
свойства взаимности. Кроме того, шесть угловых коэффициентов здесь равны нулю.
484
Таблица 18.1. Значения средних угловых коэффициентов излучения \\fAB для
параллелепипеда
н=
= hla
0,1
0,5
1,0
2,0
5,0
10
0,1
0,5
1,0
2,0
5,0
т0 = 0,1
А = Ь/а
0,1
0,3810
0,0659
0,0224
0,0060
0,0008
0,0001
0,5
0,7410
0,2695
0,1047
0,0295
0,0038
0,0006
1,0
0,8118
0,3902
0,1788
0,0557
0,0075
0,0012
2,0
0,8539
0,4765
0,2542
0,0941
0,0144
0,0023
5,0
0,8814
0,5343
0,3167
0,1412
0,0291
0,0053
10
0,8870
0,5581
0,3392
0,1616
0,0399
0,0087
т0 = 0,5
0,3617
0,0527
0,0147
0,0027
0,0001
0,6971
0,2133
0,0683
0,0130
0,0005
0,7612
0,3452
0,1149
0,0243
0,0010
0,7994
0,3570
0,1595
0,0400
0,0019
0,8241
0,4071
0,1934
0,0569
0,0036
0,8287
0,4239
0,2053
0,0634
0,0045
т0 =1,0
А = Ыа
0,1
0,3392
0,0399
0,0087
0,0010
0,5
0,6465
0,1595
0,0400
0,0047
1,0
0,7035
0,2242
0,0662
0,0086
2,0
0,7375
0,2663
0,0896
0,0138
5,0
0,7592
0,2925
0,1062
0,0187
10
0,7630
0,3039
0,1119
0,0204
т0 = 2,0
0,2986
0,0230
0,0030
0,0001
0,5576
0,0896
0,0138
0,0006
0,6032
0,1225
0,0221
0,0011
0,6306
0,1423
0,0287
0,0017
0,6478
0,1544
0,0330
0,0021
0,6504
0,1600
0,0346
0,0023
Таблица 18.2. Значения средних угловых коэффициентов излучения \\iAD для
параллелепипеда
н=
= hla
0,1
0,5
1,0
2,0
5,0
10
0,1
0,5
1,0
2,0
5,0
10
т0 = 0,1
А = Ыа
0,1
0,0237
0,0456
0,0522
0,0555
0,0565
0,0567
0,5
0,0394
0,1122
0,1423
0,1577
0,1631
0,1637
1,0
0,0431
0,1405
0,1894
0,2176
0,2281
0,2292
2,0
0,453
0,1598
0,2264
0,2705
0,2893
0,2916
5,0
0,0466
0,1730
0,2536
0,3138
0,3459
0,3511
10
0,0470
0,1781
0,2637
0,3304
0,3695
0,3773
т0 = 0,5
0,0228
0,0416
0,0463
0,0480
0,0484
0,0484
0,0373
0,0982
0,1191
0,1275
0,1292
0,1292
0,0405
0,1204
0,1539
0,1690
0,1723
0,1723
0,0424
0,1348
0,1793
0,2023
0,2080
0,2081
0,0435
0,1443
0,1968
0,2269
0,2359
0,2361
0,0438
0,1479
0,2033
0,2359
0,2463
0,2466
т0 =1,0
А = Ь/а
0,1
0,0218
0,0374
0,0405
0,0413
0,0414
0,5
0,0349
0,0841
0,0975
0,1015
0,1018
1,0
0,0377
0,1008
0,1218
0,1289
0,1297
2,0
0,0393
0,1111
0,1383
0,1487
0,1501
5,0
0,0402
0,1177
0,1491
0,1622
0,1642
10
0,0404
0,1202
0,1532
0,1671
0,1694
т0 = 2,0
0,0198
0,0311
0,0324
0,0326
0,0310
0,0639
0,0695
0,0704
0,0331
0,0739
0,0824
0,0840
0,0343
0,0796
0,0902
0,0924
0,0350
0,0832
0,0951
0,0977
0,0351
0,0845
0,0969
0,0997
485
Выражения для \\fAB и \\tAC получаются путем преобразования подынтегрального
выражения (18.12а).
Выберем правую тройку координат с началом в точке 0. Тогда будем иметь:
0 < х < а; 0 < у < Ъ\ 0 < z < h. Видно, что \\fAB = fx(a, b, h, а) и \\fAC =/2(а9 b, /z, a).
Пусть точка Mfxt, yt, z;) находится на «полу», а точка Nk(xk, ук, zk) — на «потолке».
Тогда dFi = dxjdy;, а dFk = dxkdyk. После простых преобразований получим
2 2 2 1/2
аЪаЪ -а[(хк-х.) +{yk~yi) +h ] 2
члв=^ JJJJ£ 1 г~Г2&у*d**d^ d*<- • (18Л7а)
oooo n[(xk-x() +{yk-yt) +h ]
Пусть теперь точка Mt{xh yt, zt) по-прежнему находится на «полу», а точка
Nk(xk, ук, zk) — на «фронтальной» стенке. Тогда dFt = dx^dy^ а dFk = dxkdzk. После
простых преобразований получим
abah -a[(**-*,)2 + (*-^)24]1/2 ,, ,
VAC=j-b ЯЯ 2 2 22 ^дх^бх,. (18.176)
0000 n[(xk-xi) +(b-yt) +zk]
Из формулы (18.176) можно получить формулу для \\fAD («пол—боковая стена»):
babh -viitk-xf + ia-yf + zb , ч
1 rrrr е 2к\а-Уд
VAD = ^ ЯЯ 2 2 22 ^ ^ ^ ^ • ^18Л7В)
oooo n[(xk-xt) +{a-yt) +zk]
В табл. 18.1 и 18.2 приведены значения \\fAB и \\!А£>, взятые из [4]. В таблицах
обозначено: т0 = аа; А = Ыа и Н = hi а.
18.4. Зональный метод расчета теплообмена излучением в замкнутой
системе тел, заполненной поглощающей средой
Граничную поверхность системы разобьем на конечное число зон п, так
п
что F = V Ft.. В пределах каждой зоны температура 7} или плотность
i=l
потока результирующего излучения Е' ■ постоянны. Будем считать
поверхности зон серыми, а их поглощательные способности Ai
постоянными. Заполняющая систему среда (газ) также серая с постоянной во всем
объеме температурой Тг.
В случае абсолютно черной граничной поверхности плотность потока
излучения, падающего на /-ю зону,
*пад/= I*0*V* + ^/*0r> 08.18)
к=\
486
4 4
где Е0г = а0Гг ; Eok = &0ТК; Л(п — поглощательная способность газа для
потока излучения, выходящего из i-й зоны, т.е. ATi = A(Ft, V).
Для абсолютно черной поверхности i-й зоны
Ерез1 = Ешд1-Е01- (18.19)
Если поверхность серая, то вместо (18.19) будем иметь
Eve3i = AfEiaal-EQl). (18.19а)
Значение £пад z можно найти по методу Суринова:
£пад/= IVV^ + ^Vor' (18.20)
£=1
где *F^ — средний разрешающий обобщенный угловой коэффициент
излучения, равный отношению потока излучения от поверхности Fi9
падающего на поверхность Fk с учетом ослабления излучения средой и
многократных отражений от граничной поверхности, к полному потоку собственного
излучения, выходящему из i-й зоны (площадь ее поверхности Ft).
*
Средняя разрешающая поглощательная способность Аг • — это
отношение потока собственного излучения i-й зоны, поглощенного средой после
многократных отражений от границы системы, к потоку собственного
излучения i-й зоны. В частном случае абсолютно черной поверхности
Система уравнений для нахождения разрешающих угловых
коэффициентов (см. § 17.7) имеет вид
Вместо (18.21) можно записать
7 = 1
Для разрешающих обобщенных угловых коэффициентов излучения
справедливы свойства взаимности и замкнутости:
ВД = ВДь (18-22>
Е^^ + ^г,= 1- (18.22а)
487
Для смешанной постановки задачи величины, входящие в (18.20),
(18.21), £соб£ = ^/fiok и R/ слеДУет заменить на обобщенные энергетические
и оптические характеристики (см. § 17.7).
Аналогично тому, как это было сделано выше (см. § 17.7), можно ввести
локальный разрешающий обобщенный угловой коэффициент излучения
*F(A^., Fk) и локальную разрешающую поглощательную способность среды
*
Ar(Mf, V). С учетом этого по методу Суринова можно определить
локальные значения Е (Mt) или T(Mt) для произвольно взятой i-й зоны. Тогда
для смешанной постановки задачи будем иметь:
^пад(^) = IW^*)+W V)EQr; (18.23)
к=\
£ (1 -ЯктМр Fk)+AT(Mp V) = 1 ; (18.24)
k=\
^(Щ' Fk) - £ RjVjkVWp Fj) = vf{Mp Fk). (18.25)
7=1
Для несерой среды указанный метод следует использовать при
определении монохроматических характеристик излучения. Если в
определенных участках спектра газ прозрачен для излучения, то для них
^1к = ^1ки^1к = ф1к-
Кроме метода Суринова, для расчета теплообмена излучением
используется метод, рассмотренный ранее (§ 17.5) для случая прозрачной
среды. Тогда
п
Е . = У Е ,.vi/., л-А .Еп (18.26)
пад* Z^i Щ1^ ik rrOr vx,J-x-vv
к=\
£эф/ = ^соб/ + Л^ВДд,- (18-26а)
Подставив (18.26а) в (18.26), получим систему линейных
алгебраических уравнений
*эф/ - Ri £ ЕэфкУ1к = Eco6i + * АЛ)г • (18.266)
к=\
Значения Epe3i могут быть найдены по формуле (17.35а). Систему
(18.266) можно обобщить на случай смешанной постановки задачи.
488
18.5. Теплообмен излучением в системе типа «серый газ в серой
оболочке» и «несерый газ в несерой оболочке»
Обозначим температуру и поглощательную способность оболочки Гс и Ас,
а температуру и поглощательную способность газа Тг и Аг (см. § 18.1),
обобщенный угловой коэффициент излучения от оболочки на оболочку v|/c _ с,
поглощательную способность газа Аг, причем Аг = A(F, V), где F и V —
площадь поверхности и объем оболочки. Из свойства замкнутости
получаем х|/с_с = 1 - Ат. Воспользуемся системой (18.266). Учтем, что в нашем
случае п = 1. При этом условии система (18.266) вырождается в одно
уравнение:
^эф.с - ^с * ^эф.сУс - с = ^с^Ос + КсЛтЕЪт>
откуда следует, что
Я,Лг = \ п • О8-27)
эфс 1-ЛсУс-с
Формулу (18.27) подставим в (17.35а) и после преобразований получим
АгАс(Е0г-Е0с)
с^с-с
Записав Е0г и Е0с по закону Стефана—Больцмана, будем иметь
4 4
£~-tM^r- (1828а)
Если несерый газ находится в несерой оболочке, то при использовании
(18.28) для монохроматического излучения и интегрировании по всему
спектру частот v (или по всем длинам волн X) получим
оо оо
Г f АЛ/ш Л. г Л\тЛ\сЕ\Ъс л. /10™ч
В случае серой оболочки, но несерого газа при условии Яс\|/^ с _ с « 1
из (18.29) можно получить
^рез.с = есМ£г^-^г:Гс)- (18'3°)
Очевидно, что, пренебрегая Rc\\rx с_с в (18.29), мы занижаем
действительное значение EpQ3 с. Поэтому в инженерных расчетах в случае Rc < 0,2
обычно пользуются формулой
£рез.с = £-^-°о(*Уг - АгТЬ ■ О8-30а)
Значения величин 8Г и Ат находятся по формулам, приведенным выше
(см. § 18.1).
489
18.6. Задачи с решениями
Задача 1. Найдите плотность потока собственного излучения смеси
газов Н20 и С02 (рн 0 = 8 кПа; рсо = 12 кПа) на поверхность стен
нагревательной печи, которая имеет объем V= 12 м3 и площадь
поверхности стен F = 28 м2. Температура газов Тг = 1473 К.
Решение. Эффективная длина луча
'эф = 3'6£ = 3'бЦ = 1,54 м.
Вычисляем произведения:
ри 0 /эф = 8 • 103 • 1,54 = 1,24 • 104 Па • м;
Рсо 7эф= 12-Ю3-1,54= 1,85-104Па-м.
По номограммам (см. рис. 18.6 и 18.7) находим: е'н 0 = 0,10; есо =
= 0,11. Из рис. 18.8 определяем (3 = 1,05. Тогда ен 0 = 0,10 • 1,05 = 0,105.
Следовательно (см. § 18.1),
8Н О + СО =0,105 + 0,11 -0,105-0,11 =0,203;
^соб.г = О»203 ' 5>67 '10"8 "147э4 = 5>42 " 1q4 Вт/м2-
Ответ. Есобг = 54,2 кВт/м2.
Задача 2. Камера в форме куба со стороной Ь заполнена серым газом.
Коэффициент поглощения газа равен а. Величина т0 = ab = 0,1. Найдите
поглощательную способность газа Аг.
Решение. В нашем случае А = alb = 1; Н= h/b = 1. При этих значениях
А, Н и т0 = 0,1 из табл. 18.1 находим \\fAB = 0,1788, а из табл. 18.2 —
Vac = 0Д894. Обозначим через Fx площадь поверхности основания камеры.
Из (18.14) следует, что
A(FV V)=l-^Vn=l- (Vab + 4^с) =
к=\
= 1-(0,1788 + 4-0,1894) = 0,0636.
Так как Fx = F2 = ... = F6, то средняя поглощательная способность газа
Ar = A(Fl9 V), т.е. Ат = 0,0636.
490
Рассчитаем поглощательную способность среды по методу
эффективной длины луча (обозначим ее через А'г):
А> = 1-е ^*а11- = ±аЬ = 0,0667.
г 6FX 3
Найдем поправочный коэффициент т = /эф//'эф, где ^>ф — эффектив-
~а^э<Ь
ная длина луча с учетом самопоглощения среды. Так как Аг = 1 - е «
» а/эф = 0,0667т иАг = 0,0636, то т = 0,95.
Ответ. Поглощательная способность А'Т = 0,0667, а Аг = 0,0636.
Задача 3. Температура плоского слоя газа толщиной h = 0,5 м равна Тг =
= 1500 К, а его коэффициент поглощения а = 0,1 м~ . Температура и
поглощательная способность граничных стенок равны соответственно Тс = 800 К
и Ас = 0,8. Считая газ серым, найдите Е с.
Решение. Поглощательная способность плоского слоя газа Аг = 1 -
- 2E3(ah), a vj/c _ с = 2Еъ(аИ). Величина х = ah = 0,05. Тогда Е3(х) = 0,4549
(см., например, табл. 19.1); \|/с _ с = 0,9098 и Аг = 0,0902. Подставив
полученные результаты, а также исходные данные в (18.28а), будем иметь
,, 0,0902 - 0,8 • 5,67 • 10"8(150Q4 - 80Q4) _ _, _ . 2
£ , = ——т~г^: = 22 236 Вт/м .
Резс 1 - 0,2 • 0,9098
Ответ. £ = 22 236 Вт/м2.
Краткие итоги гл. 18
1. В основе расчета радиационного теплообмена в системе тел,
заполненной поглощающей средой, лежит закон Бугера: dl = -a/ ds или в
~arMN
интегральной форме I(N) = 1(М)е . С помощью закона Бугера
формулируются понятия поглощательной способности и степени черноты
среды.
2. В системах сложной геометрической формы поглощательную
способность можно найти, использовав понятие эффективной длины луча:
/эф = 4V/F. Для серой среды A(F, V) = e(F, V) = 1 - ехр (-а/эф).
3. Степень черноты газов Н20 и С02, содержащихся в атмосфере и в
продуктах сгорания, определяется по номограммам. Поскольку указанные газы
не являются серыми, для них не выполняется равенство A(F9 V) = e(F, V).
4. В основе инженерного метода расчета теплообмена излучением лежит
понятие об обобщенном угловом коэффициенте излучения, при определении
491
которого используется условие, что поток излучения, исходящий от
поверхности площадью Fi9 до попадания на поверхность площадью Fk
частично поглощается средой. Таким образом, \\tik < cpik.
Свойства обобщенных угловых коэффициентов имеют вид:
к=\
5. Система линейных алгебраических уравнений зонального метода
может быть записана в виде
^эф | - Ri t Еэф kVik = ^соб / + RAF» ^Оср •
к=\
Результирующие потоки излучения могут быть найдены по формуле
Поляка.
6. Для серого газа, заключенного в серую оболочку, плотность потока
результирующего излучения на поверхности оболочки определяется по
формуле
АгАсу0(Т4г-Т4с)
Р«с 1-ДсУс_с '
7. В случае серой оболочки, но не серого газа при условии Ясц/С_с« 1
будем иметь
£рез.с = 8сао(8гГ?-ЛГс)'
Глава девятнадцатая
ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ,
ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ
19.1. Уравнение переноса энергии излучения и его решение
Вектор плотности потока излучения. Этот вектор обозначается q^
и вводится для математического описания явления переноса энергии
излучения. Вектор q^ указывает направление, в котором в данной точке
пространства перенос энергии осуществляется с наибольшей интенсивностью.
Численное значение q^ равно разности плотностей потоков излучения,
падающих на различные стороны элементарной площадки, расположенной
перпендикулярно к вектору q^. Таким образом, вектор q^ характеризует
плотность потока результирующего излучения. Зная q^ как функцию
точки излучаемой области пространства, можно найти поток
результирующего излучения через произвольную поверхность F:
Q = \qRn0dF. (19.1)
F
Здесь п0 — единичный вектор нормали к элементарной площадке.
Перенос энергии излучения в поглощающей среде всегда сопровождается
переносом энергии за счет теплопроводности из-за наличия разности
температур в объеме среды. Величиной, характеризующей в данной точке
интенсивность этого суммарного переноса, будет вектор q2 = q^ + q, где
q = - ^gradr.
Пусть E (M) и Е~(М) — плотности потоков излучений, падающих
соответственно на «изнанку» и лицевую сторону элементарной площадки dF
(рис. 19.1). На основании (16.2) запишем
Е+(М) = J /(М, s)cosЭ dec;
Е~(М)= J ДМ, s)cos0' dco =- J /(M,5)cos9do).
co = 27i co = 2ti
По определению
EpQ3(M) = E+(M)-E (M)= J /(M5)r1-n0d© = qJ?.n0 = ^
со = 4я
493
Лицевая
сторона
где вектор плотности потока излучения
<\R(M)
J I(M, s)rx dco. (19.2)
Здесь Ti
«Изнанка»
Рис. 19.1. К определению
вектора плотности потока
излучения
! — единичный вектор,
характеризующий направление луча s.
Из изложенного выше следует, что по
определению вектор q^ — это такой вектор, проекция
которого на произвольное направление есть
плотность потока результирующего излучения,
проходящего через элементарную площадку,
перпендикулярную к этому направлению.
Выражение типа (19.2) справедливо и для
вектора спектральной плотности потока
излучения в точке М, т.е.
4*,v(M>v)= I /v(M,^,v)r1d(D, (19.3)
со = 4я
где Iv = /V(M, s, v) — спектральная интенсивность излучения в точке М в
направлении s. Интегральное значение вектора q^ определяется в виде
qR(M)= \ J ^(M^v^dcodv.
(19.3а)
= 0 со = 4тс
Задача о теплообмене излучением считается решенной, если для
заданной системы, заполненной излучающей, поглощающей и рассеивающей
средой, найдено поле вектора q^. Если поглощательная способность среды
не зависит от частоты v, то такая среда называется серой. На практике
чаще встречаются случаи теплообмена излучением, когда излучающую
среду серой считать нельзя. В первую очередь это относится к излучению
газообразных продуктов сгорания (см. § 18.1). Для определения
спектральных характеристик излучения реальных газов и твердых частиц
применяются различные модели [3, 4, 29, 42].
В (19.3) /V(M, s, v) — спектральная интенсивность излучения в точке М
в направлении s, a i^ — единичный вектор (направлен вдоль луча s). Зная
Iv как функцию частоты v, координат точки Ми направления s, по (19.3а)
можно найти qR(M). Чтобы найти выражение для спектральной
интенсивности излучения, предварительно составляют уравнение переноса энергии
излучения, а затем находят решение этого уравнения.
Коэффициенты излучения, поглощения и рассеяния. Свойства
среды, в которой осуществляется процесс переноса энергии излучения,
описываются коэффициентами излучения, поглощения и рассеяния.
494
Рис. 19.2. К определению коэффициента излучения среды
В излучающей среде выделим элементарный объем dV, внутри которого
находится точка Р (рис. 19.2). Обозначим через dQv монохроматический
поток собственного излучения среды, выходящий из объема dV. Часть
этого потока d Qv в пределах элементарного телесного угла dco
распространяется в направлении s. Коэффициентом излучения ev называется
величина, имеющая вид
8у dFdco*
Обычно коэффициент ev не зависит от направления s, а зависит от
частоты v и является функцией точки: ev = ev(v, Р).
Коэффициент поглощения ctv — это доля падающего в данном
направлении излучения, поглощенная элементарным слоем среды ds, деленная на
толщину ds\
a^-ris- (19-4)
Коэффициент поглощения av входит в качестве коэффициента
пропорциональности в дифференциальную форму закона Бугера (см. § 18.1).
В общем случае ослабление интенсивности излучения происходит
не только за счет поглощения, но и за счет рассеяния энергии в различных
направлениях. Суммарный эффект учитывается коэффициентом
ослабления kv = av + Pv, где pv — коэффициент рассеяния.
495
Рис. 19.3. К определению
индикатрисы рассеяния
Рис. 19.4. Индикатриса релеев-
ского рассеяния
Теория и опыт показывают, что интенсивность рассеянного излучения
зависит от направления. Функция распределения рассеянного по различным
направлениям излучения называется индикатрисой рассеяния: у (Д s, s'), где
s — выбранное направление луча (условно назовем этот луч «своим»); s' —
направление «чужого» луча (рис. 19.3), проходящего через точку Р. Если
рассеянное излучение равномерно распределяется по всевозможным
направлениям (изотропное рассеяние), то его доля в направлении s' равна (1со7(4л),
а при анизотропном рассеянии она составляет yv(P, s, s')dco' /(4л). Вид
индикатрисы рассеяния зависит от отношения диаметра частицы к длине волны
излучения. Для частиц, диаметр которых d « X, интенсивности рассеяния
вперед по лучу и назад одинаковы и в 2 раза выше, чем в перпендикулярном
направлении (закон рассеяния Релея). Индикатриса релеевского рассеяния
приведена на рис. 19.4. Если же d » X, то вследствие дифракции рассеяние
вперед значительно превышает рассеяние назад и индикатриса рассеяния
вытянута по направлению луча.
Уравнение переноса энергии излучения. Изменение интенсивности
излучения происходит как за счет ее уменьшения вследствие поглощения и
рассеяния, так и за счет увеличения вследствие собственного излучения
среды и рассеяния энергии «чужих» лучей в данном направлении s.
Составляя уравнение баланса энергии для элемента среды dV (рис. 19.3),
получаем следующее уравнение переноса энергии излучения:
dIv(P, s)
ds
- kv(P)Iy(P, s) + £V(P) +
+ Ц^- j JV(P, s, s')Iv(P, s') dco'.
со' = 4я
(19.5)
496
Рассмотрим случай термодинамического равновесия в излучающей
системе, при котором IV(P, s) = Iv0 = const. Из (19.5) получаем
-=/v0=/(v,r). (19.6)
Функция /v0 описывается законом Планка. Соотношение (19.6)
представляет собой закон Кирхгофа для объемного излучения. На основании
гипотезы о локальном термодинамическом равновесии закон Кирхгофа
распространяется на неравновесное тепловое излучение, т.е.
предполагается, что ev(/>) = av(P)/v0(P).
При этом уравнение переноса энергии излучения в поглощающей,
излучающей и анизотропно рассеивающей среде будет иметь вид
dIv(P, s)
ds
= - kv(P)Iv(P, s) + av(P)Iv0(P) +
f yv(P, s, s')Iv(P, s') do'. (19.7)
4л , .
со =4я
Так как искомая функция входит в производную, а также находится
в подынтегральном выражении, уравнение (19.7) — интегродифференци-
альное. При отсутствии рассеяния fiv(P) = 0 и (19.7) будет
дифференциальным уравнением:
d/v(P, s)
ds + av(P)/v(P, s) = av(P)Iv0(P). (19.8)
Решение уравнения переноса энергии излучения. Далее для
простоты полагаем: av(P) = const; (3V(P) = const {kv = const); yv(P, s, s') = 1
(изотропное рассеяние).
Обозначим:
GV(P)= j Iv(P,s')d(o';
со' = 4я
Pv
Jv(P) = av(P)Iv0(P) + ^Gy(P).
Уравнение (19.7) запишется в виде
dIv(P, s)
ds + КЦР, s) = JV(P). (19.9)
Будем считать, что JV(P) — известная функция точки Р. Тогда (19.9) —
дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого можно
V*
получить с помощью интегрирующего множителя jn = е , где г* — коор-
497
Рис. 19.5. К выводу формулы (19.10)
дината точки Р (рис. 19.5). Умножая левую и правую части (19.9) на ц,
получаем
Последнее равенство проинтегрируем на отрезке [0; г]. При г = 0
I(P, s) = I(M, s), а при текущем значении г I(P, s) = I(N, s). В результате
интегрирования получаем решение уравнения (19.9) в виде
г
IV(N, s) = /V(M, s)e~ v' + \jv(P)e~ v"~^ ds . (19.10)
0
Как видно из (19.10), интенсивность излучения в точке N зависит от
интенсивности излучения, выходящего из точки М, и процесса ослабления
последнего излучения (за счет поглощения и рассеяния) слоем среды тол-
- V
щиной г (фактор ослабления учитывается множителем е ). Второе
слагаемое характеризует приток энергии в точку N вследствие собственного и
рассеянного излучения точками Р, находящимися между точками М и N.
-kv(r-rt)
Множитель е учитывает тот факт, что собственное и рассеянное в
направлении s излучение точки Р ослабляется слоем среды толщиной г- г*.
При анализе уравнения (19.10) мы условно считали, что излучает
и рассеивает точка, а не элементарный (но конечный) объем среды.
19.2. Интенсивность и плотность потока излучения
в плоском слое среды
Пусть имеется слой однородной среды, заключенной между двумя
безграничными пластинами (рис. 19.6). Допустим, что среда изотропно
рассеивает излучение, ее температура изменяется только вдоль координаты z,
498
Рис. 19.6. К постановке задачи о переносе энергии излучения в плоском слое
а коэффициенты ocv и Pv постоянны (не
зависят от z). Посмотрим, как будут
выглядеть уравнения (19.10) и (19.3) в
данном случае.
Произвольная точка Р в слое среды
характеризуется координатами jc, у, z, а
направление луча s, проходящего через
эту точку, — углами 0 и ф (рис. 19.7).
Таким образом, IV(P, s) = /v(x, у, z, 0, ф).
Из постановки задачи следует, что
dlv /дх = 0; dlv /ду = 0; dlv /дер = 0.
Следовательно, в нашем случае /V(P, s) =
= /v(z,0).
Рис. 19.7. Координаты, определяющие
Обозначим через /v(z, 0)
интенсивность излучения при 0 < 0 < я/2, а
J г ' направление луча s
через /v(z, 0') интенсивность
излучения при я/2 < 0 < я (см. рис. 19.6). Проекция вектора q^v на ось Oz (см.
§ 16.2) имеет вид
Як
v(z) = J /*(z, 0)cos0 dco - J /v(z, 0')cos0' dco
(0 = 271
CO = 27l
In 71/2
2rc тс/2
= J <1ф I /*(z, 0)sin0cos0 d0- J с!Ф J /~(z, 0')sin0'cos0' d0'.
Ф=о e=o ф=о э=о
499
Обозначим jli = cos 0 = cos 0'. С учетом того, что sin 0 d0 = - dcos 0 = - dji,
для qRv получим
l 1
qRv(z) = 2njl*(z, ц)ц d^i - 2njQz, \i)\i d\x . (19.11)
0 0
Введем оптическую координату xv = kvz и оптическую толщину слоя
xv0 = kvh. Тогда вместо (19.11) можно записать
1 1
**v(Tv) = 27lJ7v(V И)Ц djLi - 2ttJ/;(xv, ц)|1 dji. (19.11а)
О о
Используя (19.10), получаем выражения для /v(xv, ju) и /v(xv, |i).
Так как (рис. 19.8, a) kvr = kvz/cos0 = xv/|i; kv(r - r*) = kv(z - z')/cos0 =
= (xv - /v) /\i; /V(M, s) = /v(0, |Л), то
+ + -\УМ- lr -(\"0/Ц<Ц,
/v(xv, ц) =/v(0, ц)* +JK(^ —' (19Л2>
0 ^
где /=ivz';
5v('v) = f [<*v£vo('v) + JGv(^v)] • (19Л2а)
У/////////////*'////////////////// ZZZ-
7777777777777^777777777
^j^Uy^UJL
T777 ///J//S//S/J//////////>//J//V///
6)
Рис. 19.8. К выводу формул (19.12) и (19.13)
500
Из рассмотрения рис. 19.8, б можно заключить, что для лучей,
направленных в сторону нижней границы слоя,
К г = (Tv0 ~ Tv)^' kv(r - г*) = Су ~ xv)!^ 7v(M' s) = 7y(TvO' V) •
Тогда
/;(vц) - /;(tv0,„)/"•""V/M + ^..И-"'-"" £• о».")
Далее примем, что граничные поверхности слоя излучают и отражают
энергию в соответствии с законом Ламберта. Тогда
/>, ц) = £уэф(0)/7г; /;(ту0, ц) = £уэф(ту0)/л.
Выражения (19.12) и (19.13) подставим в (19.11а) и выполним
преобразования. В результате получим
?Яу(Ту) = 2^уэф(°)^з(ту) - ^УэфКо^зКо - Tv) +
Tv Tv0
^2JSv(ty)E2(xv-tv)dtv-2J Sv(tv)E2(ty-xv)Atv. (19.14)
0
В (19.14) введены интегроэкспоненциальные функции:
1
-х/ \i
Е2(х) = \ех ^djLi;
О
Е3(х) = je х ^|id|i.
О
Значения функции Е3(х) приведены в табл. 19.1.
Общее выражение для интегроэкспоненциальной функции Еп(х) имеет вид:
1
г-, , ч Г -х/и. п - 2 ,
^/iW = Je ^ d'Ll-
о
501
Таблица 19.1. Значения интегроэкспоненциальной функции Еъ{х)
X
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
Е3(х) ~~1
0,5000
0,4903
0,4810
0,4720
0,4633
0,4549
0,4468
0,4388
0,4311
0,4236
0,4163
0,3519
0,3000
0,2573
0,2216
X
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
2,75
3,00
3,25
3,50
Е3(х)
0,1916
0,1661
0,1443
0,1257
0,1097
0,0786
0,0567
0,0412
0,0301
0,0221
0,0163
0,0120
0,0089
0,0066
0,049
Значение функции Еп(х) при х = 0 можно определить по формуле
1
Яи(0) = /ц"-2<1ц = ^т.
0
Дифференцируя Еп(х) по параметру х, при п > 1 получаем
Е'п{х) = -Еп_х{х).
Для Е2(х) и Е3(х) справедливы следующие разложения:
2 3
£2(*)=1+(у-1 + 1п*)*-^ + ^ + ... (19.15)
ЕзМ=\-х+\{1-у-1пх)х2+т^. + '-' (19Л6)
В приведенных формулах постоянная Эйлера у = 0,5772.
Если среда не рассеивает излучение фу = 0), то Sv(tv) = Ev0(tv) = Ev0(v, 7),
где Т — температура в точке с оптической координатой tv. Для
рассеивающей среды необходимо знать функцию Gv(tv), называемую
пространственной плотностью падающего излучения. Она находится в результате
решения интегрального уравнения:
v о о
1 , 2a Lv0
+27rJ/;(xv0,^)e"Tv0"'v Ц ёц' + -^! J ^(^^(l^-^pd^. (19.17)
0 v 0
Уравнение (19.17) получим после того, как функцию Gv(tv) представим
в виде
1 1
Gv(fv) = 2tcJ/J(/v, ц') dji' + 2n\l-(tv, ц') d^i',
0 0
учтем (19.12), (19.13) и выполним преобразования.
При решении задач сложного теплообмена (см. § 19.4) требуется знать
производную dqRv/dxv. Ее можно получить из (19.14) с использованием
теоремы о дифференцировании интеграла по параметру, когда пределы
интегрирования сами зависят от параметра. Окончательное выражение имеет вид
" 7РГ = 22?уэф(0)£2(ту) + 2Яуэф(ту0)£2(ту0 - ту) +
Lv0
+ 2 J S^tJE^ - tv\) d/v - 4Sy(xy). (19.18)
о
503
Для серой среды формулы (19.12)—(19.14), а также интегральное
уравнение (19.17) упрощаются. Для абсолютно черных граничных
поверхностей слоя среды £уэф(0) = £v0(0); Яуэф(ту0) = ^v0(tv0), где Ev0 определяется
по закону Планка при температуре границы слоя.
Предположим, что горизонтальный слой среды ограничен серыми, диффузно
излучающими и диффузно отражающими стенками, температуры которых равны 7^
(нижняя стенка) и Т2 (верхняя стенка). Поглощательные способности стенок Ах и
А2, а плотности потока эффективного излучения Е^ и Еэ±2. В этом случае,
используя (19.14), нетрудно получить уравнения для определения Е3^х и Еэ±2\
£эф1 = ^ i*oi + Щ
Еэф2Ез(ч)+ jS(t)E2(t)dt
о
(19.19)
*эф2 ^2*02 + ^2
E^{E3(4)+\S(t)E2(4-t)dt
о
(19.19а)
4 4
В приведенных уравнениях Е01 = о0Т} ; Е02 = g0T2; R{ = 1 - Ах и R2 = 1 - А2.
После того как будут найдены Еэ^ и Еэ±2, можно будет определить Е j и Е 2.
В качестве примера применения изложенной теории рассмотрим слой серой
среды с абсолютно черными граничными поверхностями. Температуры стенок Тх = Т2,
а температуру среды Т = Г(т) зададим в виде одного из двух уравнений:
na_1+fi»
2тЦ1/8
)[--i
(19.20)
Hi).
i +
1,5-11,6
■)[■-№
(19.21)
где Тт — температура среды при т = т0/2.
Температурная кривая, описываемая формулой (19.20), справедлива в том
случае, когда среда интенсивно перемешивается (например, при турбулентном течении
в канале), а кривая (19.21) соответствует распределению температуры в топках
некоторых паровых котлов. Если в первом случае температура в основной массе слоя
изменяется незначительно, а лишь в пристенной зоне — резко, то во втором
существенно неоднородное распределение температуры наблюдается во всем слое.
Влияние оптической толщины слоя на q^(x0) иллюстрирует рис. 19.9. Обращает
на себя внимание тот факт, что при распределении температуры в слое по закону
504
Tm'Tl=^
12 xn
Рис. 19.9. Зависимость плотности потока результирующего излучения на граничной
поверхности слоя от оптической толщины слоя при различных значениях Тт/Т1
распределение температуры в слое по закону (19.20); то же по закону (19.21)
(19.21) с повышением т0 увеличение количества переносимой к стенкам теплоты
наблюдается лишь при т0 < 1,5, а при больших значениях т0 значение ^(tq) -* 0-
Другими словами, в последнем случае в пределе т0 -> °° (практически т0 > 100)
наблюдается эффект «запирания» излучения.
19.3. Оптически тонкий и оптически толстый слои
Слой среды называется оптически тонким, если xv0 « 1. В этом случае
длина «свободного пробега» фотона lv^ = \/kv много больше толщины слоя
h и каждый элемент среды непосредственно взаимодействует с
граничными поверхностями слоя (самопоглощение в среде пренебрежимо мало).
При tv0 « 1 формулы (19.14) и (19.18) упрощаются и приобретают вид:
Яц\
^уэф ^УЭф:
d^v_2avr/r(l) +/г(2)
-д7~ " ~[^эф + Ауэф " 2£vo(Tv>] '
(19.22)
(19.23)
505
В (19.22) и (19.23) Е% = £уэф(0), а Е% = £уэф(ту0). Из формул
(19.19) и (19.19а), записанных для спектральных величин, следует, что
„(1) _ ^vl^vO + ^vl^v2£v0
V34> l-RvlRv2 '
Е(2) = лу2ду0 + Лу2лу1ДуО
УЭФ l-*vl*v2 '
где Ev0 и Еу0 — спектральные плотности потока излучения абсолютно
черного тела при Т = Тх и Т = Т2 соответственно. Величины EVJ, и EV3<
имеют такой же вид, как и в случае прозрачной среды.
Уравнение (19.23) можно представить в виде
- ^Г = 2*ЛЕ% + £уэф - 2£у0(*)]> (19'23а)
отсюда следует, что в случае оптически тонкого слоя перенос энергии
излучения от одних элементов среды к другим не зависит от коэффициента
рассеяния и, следовательно, отпадает необходимость решения
интегрального уравнения (19.17).
Слой среды называют оптически толстым, если xv0 » 1. В этом
случае /уф « h и каждый элемент среды взаимодействует только с соседними
элементами. Перенос энергии излучения осуществляется подобно
процессу теплопроводности.
Функцию Sv(tv) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки tv = xv:
J2<
SV0V) = Sv(xv) + tt(/v - xv) + J -7(>v - xvr + .-
и в таком виде подставим в (19.14). Введем обозначения: zv = xv - /v; z'v =
= fv - xv. Учитывая, что при xv0 -> oo, Ху _> 00 E3(xv) = 0, £3(xv0 - xv) = 0,
в результате преобразования (19.14) получаем
Jzv£2(zv)dzv = ---
"v0
506
9*v<4) = " V I Zv£2(-y) «4 - " 3 57 • (1924)
Преобразовывая интегральное уравнение (19.15), находим, что
Gv(xv) = 45v(tv) f £,(z) dz = 4Sv(xv) .
Из (19.12a) следует, что при этом Sv(tv) = Еу0 и
, . 4 d£v0(xv) 4 Mvp(y) ,10„Л
Формула (19.25) аналогична закону Фурье. Для серой среды
4 d(aoT ) _ 16 стог ёГ_ dT
?* 3fc d>> 3 * dj; *d>>'
где радиационная теплопроводность
В случае оптически тонкого слоя, ограниченного абсолютно черными стенками,
при условии, что коэффициент поглощения av не зависит от температуры, из
(19.23а) следует соотношение
- "§ = 2а0ар(Г)[Г* + т\ - 2T4(z)],
где планковский коэффициент поглощения
оо
Jav£v0(r»dv
а^(Г)=0 W •
Для оптически толстого слоя, используя (19.25), можно получить
4 d£p
507
где росселандов коэффициент ослабления
1 _ Г 1 d*vO, _J*v *У
kR [К dEo dE0/dy
Для серой нерассеивающей среды а^ = aR (aR — росселандов коэффициент
поглощения, определяемый по последней формуле, в которой kR = aR).
19.4. Сложный тепломассообмен
Сложным теплообменом часто называют радиационно-кондуктивный
или радиационно-конвективный теплообмен. В первом случае в
неподвижной среде осуществляется совместный перенос теплоты излучением и
теплопроводностью, а во втором (в движущейся среде) — излучением,
теплопроводностью и конвекцией. Если перенос теплоты излучением,
теплопроводностью и конвекцией сопровождается переносом массы
вещества (диффузией), то такой процесс тепломассопереноса называют
сложным тепломассообменом.
Процесс сложного тепломассообмена описывается системой уравнений,
в число которых входит уравнение энергии. Это уравнение можно
получить, если учесть, что в любой точке сплошной излучающей среды наряду
с вектором теплопроводности q, который по закону Фурье определяется
как q = -A-gradT, существует еще вектор излучения q^. Подводимое
к элементу среды объемом А К за время Ат количество теплоты равно
-divq^AKAx, где qz = q + q^. Уравнение энергии при отсутствии переноса
теплоты излучением было выведено выше (см. § 14.5). Заменяя в этом
уравнении вектор q на вектор qs, получаем уравнение энергии для
процесса сложного тепломассообмена:
р|р = div(^gradr) - div £ jjA. + ^ + s - divq^ . (19.27)
Обозначения величин в (19.27) те же, что были введены выше (см. § 14.5).
Кроме уравнения (19.27), в математическое описание сложного
тепломассообмена входят уравнения движения, неразрывности и диффузии.
Дополнительно задаются начальные и граничные условия, уравнение
состояния смеси компонентов, зависимость энтальпии компонентов от
температуры. Кроме того, для среды должны быть известны коэффициенты
508
поглощения и рассеяния, а для стенок канала, в котором движется среда, —
поглощательная способность. Если в состав смеси входят п компонентов,
то неизвестными функциями будут: концентрации компонентов (с учетом
уравнения неразрывности их число равно п - 1); скорости vx, и у, vz;
плотность р; давление р\ энтальпия h и температура Т. Задача усложняется,
если течение среды турбулентное. Как видно, сложный тепломассообмен
описывается сложной системой уравнений. Если массоперенос
отсутствует, в правой части (19.27) следует отбросить второе слагаемое, а при
малых скоростях движения газа — третье и четвертое слагаемые.
Важно отметить, что в общем случае процессы переноса энергии
излучением и теплопроводностью взаимосвязаны. Это объясняется тем, что для
нахождения векторного поля q^ необходимо знать температуру во всех
точках изучаемого пространства. Но величина div q^ входит в уравнение
энергии, и, следовательно, от нее зависит температурное поле в среде и
векторное поле grad Г, т.е. величина q.
При течении излучающей среды в длинных каналах часто можно
пренебречь переносом энергии излучения в продольном направлении. Тогда для
плоского канала divq^v = dqRv/dz, значение этой величины может быть
рассчитано по (19.18). При этом зависимость qRv{z) можно найти по (19.14).
При течении газа в круглой трубе с радиусом г0 в случае, когда радиационный
перенос энергии в аксиальном направлении пренебрежимо мал, а рассеяние
энергии отсутствует, коэффициент <xv не зависит от координат, значения qRv(r) и div q^v
могут быть рассчитаны по формулам Хислета—Уорминга:
Яяу(\) = -4Tv0£vO J 2 dy + 4 J ^vo('v)'v d'v J " dy ~
1 V 0 1
Tv0
У
- 4 \ Ev0(tv)tv d/v J oivrjn vr; dy. (19 28)
1
oo
- —^— = 4tvO£vo J ~ dy +
wv v о
Tv0
+ 4 J *(tv, 'v)£v0('v)'v d'v - 4^оЮ. (19-29)
0
509
где AT(tv, tv) ■■
J KQ(xvy)I0(tvy) dy при tv < tv;
J K0(tvy)I0(xvy) dy приту
<K,.
В формулах (19.28) и (19.29) tv = ocvr; /v = avr' (гиг' — текущие радиусы);
xv0 = av r0; Ev0 , Ev0(tv) и Ev0(zv) — спектральные плотности потока излучения
абсолютно черного тела соответственно при температуре стенки трубы и
температурах в точках с координатами г' и г; К0(х), К{(х), 10(х) и 1{(х) — функции Бесселя.
Предполагается, что стенки трубы абсолютно черные.
Простые решения задач радиационно-кондуктивного теплообмена могут
быть получены в случаях оптически тонкого и оптически толстого слоев.
В первом случае, как было доказано выше (см. § 19.3), перенос энергии
излучения от одной стенки к другой не зависит от распределения
температуры в серой среде и
«R
4 4
а0(Т1-Т2)
Л1 Л2
Кроме того, в стационарном процессе теплообмена dg^/dz = 0, откуда
с учетом закона Фурье следует, что
ЭД - т2)
Чх
?д.
где h — толщина слоя; Ту и Т2 — температуры граничных поверхностей.
Видно, что общий тепловой поток является суммой независимых друг от
друга потоков вследствие теплопроводности и излучения. Если же имеет
место радиационно-конвективный теплообмен в плоском канале, то dgE/dz *
О и закон аддитивности тепловых потоков в случае оптически тонкого слоя
не выполняется.
Для оптически толстого слоя можно записать
Тогда имеем
4r
Чъ = -
16<7ог dj
ЗА: dy'
Х +
16а0Т
Ък
\
йТ
dy'
510
В плоском слое q% = const. В последнем уравнении разделим
переменные, а затем проинтегрируем его. В результате получим
ЧТ{-Т2) 4ст0 4 4
Таким образом, в двух рассмотренных частных случаях два различных
процесса переноса энергии не зависят друг от друга.
Часть шестая
ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
Глава двадцатая
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТАХ
20.1. Основное назначение теплообменных аппаратов
Во многих отраслях промышленности используются устройства, в
которых осуществляется теплообмен между двумя или несколькими
теплоносителями или между теплоносителями и твердыми телами (стенкой,
насадкой). Такие устройства называются теплообменными аппаратами.
Устройства, в которых осуществляется процесс массообмена (т.е. имеет
место взаимное проникновение веществ), называются массообменными
аппаратами. В тепломассообменных аппаратах процессы массо- и
теплообмена протекают одновременно.
По своему назначению теплообмен-
ные и тепломассообменные аппараты
разнообразны и часто имеют специальные
названия (подогреватель, испаритель и
др.). На ТЭС и АЭС одним из
теплообменных аппаратов является
подогреватель питательной воды. В нем требуется
подогреть воду от Т'2 до Т"2. Вода
нагревается паром, отбираемым от
турбины. Температура перегретого пара на
входе равна Т\, а на выходе — Т'[.
Как видно из Т—g-диаграммы
(рис. 20.1, а), в подогревателе происходит
°хлаждение пара до температуры
насыщения (при этом к воде подводится тепловой
512
Рис. 20.1. Т— (^-диаграмма
а ~~"~- для подогревателя питательной воды; / — зона
?Хлаждения пара; // — то же конденсации пара;
то же охлаждения конденсата; б — для
испарителя; / — экономайзерный участок; II — участок
воды; /// — то же перегрева пара
поток Qx), его конденсация (подводится Q2) и охлаждение конденсата
(подводится Qt). Подогреватель выполняется из труб, собранных в герметичном
корпусе (кожухе).
На рис. 20.1, б изображена Т—(^-диаграмма теплообменного аппарата,
предназначенного для получения перегретого пара с помощью
высоконагретого теплоносителя (например, жидкого металла). Как и в предыдущем
случае, на диаграмме имеются три участка: подогрева воды, ее испарения
и перегрева пара. Соответствующие тепловые потоки, подводимые к воде,
равны Ql9 Q2 и Qy
Как в первом, так и во втором рассмотренном случае требуется
определить площадь поверхности теплообмена F (при заданном диаметре труб
требуется найти их число и длину). Для расчета F необходимы данные о
термических сопротивлениях переносу теплоты. При этом для нахождения
коэффициентов теплоотдачи используется теория теплообмена,
изложенная в предыдущих главах книги.
Тепловой расчет теплообменного аппарата, целью которого является
определение площади F, называется конструкторским. Допустим, что
имеется готовый теплообменный аппарат (например, серийно
выпускаемый заводом), требуется узнать, будет в нем обеспечен подогрев или
охлаждение теплоносителя до заданной температуры. Тепловой расчет,
выполняемый для решения указанной задачи, называется поверочным. Его целью
является нахождение конечных температур теплоносителей, а также
температуры поверхности при заданных начальных температурах
теплоносителей. Массовые расходы теплоносителей в любом типе расчета считаются
заданными величинами.
От значения площади поверхности тепло- и массообмена зависят
значения потоков теплоты и массы вещества. Поэтому в технологических
установках часто используется метод распыления жидкости (ее дробление
на мелкие капли) и применяются тепломассообменные аппараты с псевдо-
ожиженным («кипящим») слоем твердых частиц. В последнем случае
скорость газа, подаваемого в нижнюю часть слоя частиц, подбирается таким
образом, чтобы частицы не были неподвижными и в то же время не
уносились из слоя потоком газа. Частицы, находящиеся во взвешенном
состоянии, интенсивно перемешиваются с газом, что обеспечивает
высокую интенсивность процессов тепло- и массопереноса.
Следует отметить, что тепломассообменные аппараты отличаются
разнообразием и их можно классифицировать по различным признакам.
Подробное изложение конструкций и принципов действия тепломассообмен-
ных аппаратов входит в программу специальных, изучаемых студентами
курсов. Применительно к тепловым электрическим станциям
конструктивные характеристики и другие вопросы, связанные с работой теплообмен-
ных аппаратов, подробно излагаются в учебном пособии [27]. Сведения
о тепломассообменных аппаратах можно получить из [38, 45].
513
Теплообменные аппараты подразделяются на: рекуперативные,
регенеративные и смешивающего типа. Несмотря на особенности, присущие теп-
лообменным и тепломассообменным аппаратам, они работают таким
образом, что в любом случае для них выполняются законы сохранения энергии,
массы вещества и количества движения. Эти законы необходимо
учитывать в любых тепловых и гидромеханических расчетах аппаратов.
20.2. Рекуперативные теплообменники
Рассмотренные в § 20.1 теплообменные аппараты относятся к
рекуперативным (рекуператорам). Передача теплоты от одного теплоносителя
к другому в них происходит через разделяющую стенку (например, стенку
трубы). Возможны различные схемы движения теплоносителей:
прямоточная (теплоносители движутся вдоль поверхности нагрева в одном
направлении); противоточная (теплоносители движутся в противоположных
направлениях); сложная (например, перекрестный ток).
На рис. 20.2 схематично показан конденсатор паровой турбины. В нем
осуществляется процесс фазового перехода, в котором температура
остается постоянной, а охлаждающая вода имеет два хода (один ход слева
направо, в второй — в противоположном направлении). Наличие
нескольких ходов позволяет сократить габаритные размеры аппарата.
На рис. 20.3 приведена схема аппарата с U-образными трубами. Схема
движения теплоносителей в нем близка к противоточной.
Теплообменным аппаратом со сложной схемой потоков теплоносителей
является кожухотрубный теплообменник с перегородками в межтрубном
пространстве (рис. 20.4).
Выход
охлаждающей
воды _
Вход
охлаждающей
воды
Конденсат
Рис. 20.2. Конденсатор паровой турбины
->
Рис. 20.3. Теплообменный аппарат с U-образными
трубами
514
Рис. 20.4. Кожухотрубный теплообменник с перегородками в межтрубном пространстве
А-А
*Чк.
ГпР.сг | d^j
ф
а
3
п
эк-*-
з*-г"
Рис. 20.5. Водяной экономайзер парового котла
яш, Ьш — размеры конвективной шахты; S\, s2 — продольный и поперечный шаги
шахматного пучка труб
Водяной экономайзер (его схема приведена на рис. 20.5) не имеет
отдельного корпуса. Он расположен в конвективной шахте парогенератора. В
экономайзере подогрев питательной воды осуществляется продуктами сгорания
(дымовыми газами). Схема движения близка к перекрестному току. Трубы
экономайзера могут располагаться как в коридорном, так и в шахматном
порядке (на рис. 20.5 трубы расположены в шахматном порядке).
В данном теплообменнике значение теплового потока зависит от
разности температур теплоносителей и коэффициента теплопередачи. Как
известно, коэффициент теплопередачи — величина, обратная сумме
термических сопротивлений. Наибольшее из всех термических сопротивлений
определяет интенсивность процесса теплопередачи. Поскольку при течении
воды в трубах коэффициенты теплоотдачи велики [а > 10 Вт/(м • К)], а при
2 2
омывании газами трубных пучков а « 10 Вт/(м • К), то основное
термическое сопротивление находится на газовой стороне экономайзера. Габаритные
515
'^7777777^777777*/
Рис. 20.6. Радиационный
рекуператор
7 — поверхность нагрева; 2 —
огнеупорная кладка
размеры экономайзера можно уменьшить,
заменив гладкие трубы на оребренные.
Наряду с оребрением для интенсификации
процесса теплопередачи в рекуператорах
используются различные методы, о которых будет
сказано ниже (см. гл. 21).
На рис. 20.6 схематично показан
рекуператор, использующийся для регенерации теплоты
отходящих газов высокотемпературной
технологической установки. В нем можно подогреть
воду от Т в до Г"в. Особенностью этого
аппарата является то, что поверхностью нагрева
служит не стенка трубы (что чаще всего встречается
в теплообменниках), а обечайка, также то, что
перенос теплоты от газов к обечайке
осуществляется преимущественно за счет излучения.
20.3. Регенеративные теплообменные аппараты
На рис. 20.7 показан воздухоподогреватель вращающегося типа
(воздухоподогреватель Юнгстрема). В данном случае теплота передается с
помощью набивки, выполненной из тонких металлических листов. В тот период
времени, когда набивка находится на стороне горячих газов, она
нагревается и аккумулирует теплоту, которая затем передается воздуху.
Вращающийся воздухоподогреватель служит примером теплообменника
регенеративного типа.
В другом случае теплоносители протекают в одном и том же канале, но
попеременно. Когда через аппарат протекает горячий теплоноситель, он
омывает неподвижную насадку, аккумулирующую теплоту. Период
нагревания насадки сменяется периодом ее охлаждения, когда она омывается
холодным теплоносителем. В регенеративном подогревателе имеет место
нестационарный процесс теплопередачи.
В качестве насадочной поверхности часто используется кирпичная
кладка (рис. 20.8, а—в). В течение первого цикла работы аппарата
поверхность кирпичной кладки омывается высокотемпературным потоком
продуктов сгорания, а в течение второго цикла — холодным воздухом или другими
компонентами горения, использующимися в технологических установках.
Насадка не обязательно должна быть неподвижной. Пример подвижной
насадки рассмотрен выше. Насадку, выполненную в виде шаров, можно
перемещать из одной области в другую. В последнем случае для
увеличения теплоаккумулирующей способности насадки ее можно изготовить
в виде гранул (рис. 20.8, г) с ядром из плавящегося материала. При омыва-
нии гранул горячими газами от потока отбирается дополнительное коли-
516
Рис. 20.7.
Регенеративный вращающийся
воздухоподогреватель
1 — ротор; 2 — кожух; 3 —
пакеты «горячей» набивки;
4 — секторная плита
радиального уплотнения; 5 —
пакеты «холодной» набивки;
6 — опорная балка
а)
б)
в)
Рис. 20.8. Различные насадки в регенеративных
теплообменных аппаратах
а—в — кирпичные насадки; г — гранула; 1 — обо-
г) л очка; 2 — ядро
чество теплоты, равное скрытой теплоте плавления ядра. При
перемещении гранул в область холодного теплоносителя происходит процесс
затвердевания ядра с выделением теплоты плавления.
20.4. Аппараты смешивающего типа
В смесительных аппаратах осуществляется непосредственный контакт
двух или более веществ, находящихся в жидком или газообразном состоянии.
На ТЭС и АЭС применяются подогреватели смешивающего типа, в
которых подогрев питательной воды происходит вследствие ее смешения
517
Рис. 20.9. Градирня с естественной тягой и прямым контактом воды и воздуха
1 — выход воздуха; 2 — горловина; 3 — вытяжная башня; 4 — водораспределительные
трубы; 5, 8 — водоотделитель; 6 — разбрызгиватель; 7 — опорные колонны; 9 — насадка; 10 —
вход воздуха; 11 — бортик водосборного бассейна; 12 — водосборный бассейн
а)
б)
в)
Рис. 20.10. Насадки
а — кольца Рашига; б — седла Берля; в — кольца с
перегородками; г — кольца Палля
518
Рис. 20.11. Газожидкостные смесительные теплообменники
а — полый форсуночный; б — пенный; в — барботажный тарельчатый каскадного типа; г —
водоподогреватель с погружным трубчатым барботером; д — насадочный; Г — газ; Ж —
жидкость; 7 — решетка (тарелка); 2 — насадка
с паром, отобранным от турбины (обычно пар отбирается от цилиндра
низкого давления турбины). Ввиду отсутствия твердой поверхности
теплообмена стоимость подогревателя смешивающего типа меньше, чем
подогревателя поверхностного типа. Кроме того, из-за отсутствия разности температур
теплообменивающихся сред на выходе рассматриваемые подогреватели
имеют меньшие энтропийные потери, поэтому они более экономичны.
Смесительным аппаратом является градирня (рис. 20.9), в которой
вода, циркулирующая по трубам конденсатора паровой турбины,
охлаждается атмосферным воздухом.
Для эффективной работы смесительного аппарата важное значение
имеет площадь соприкосновения рабочих сред, для увеличения которой
519
часто используются различные насадки в виде колец или другой формы
(рис. 20.10). Жидкость стекает вниз по поверхности насадки, а газ в
противоположном направлении движется вверх. Газожидкостные смесительные
аппараты (скрубберы) применяются как для охлаждения или нагревания
газов (или воды), так и для очистки их от вредных примесей. Различные
типы смесительных аппаратов приведены на рис. 20.11.
Отличительной особенностью смесительных аппаратов является то, что
в них часто осуществляются совместные процессы тепло- и массообмена.
Например, в градирне происходит процесс испарения воды в
паровоздушную среду, в скруббере вредные примеси, содержащиеся в газе,
диффундируют в слой жидкости и т.д.
Глава двадцать первая
РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
21.1. Уравнение теплового баланса. Уравнения баланса массы
Далее будем рассматривать аппараты с двумя теплоносителями.
Нижние индексы «1» и «2» будут характеризовать параметры соответственно
горячего и холодного теплоносителей. Верхний индекс «один штрих»
будет соответствовать условиям на входе, а «два штриха» — на выходе.
Рассматривая контрольный объем, граничная поверхность которого
совпадает с граничной поверхностью теплообменного аппарата, на основании
первого закона термодинамики можно записать:
Gx(h\ -h\) + G2(h"2 - А'2) = 0; (21.1)
Gl(h[-hnl) = G2(hn2-h'2)9 (21.1a)
где Gx и G2 — массовые расходы теплоносителей, кг/с; А — удельная
энтальпия, кДж/кг. В уравнениях (21.1) и (21.1а) изменения кинетической и
потенциальной энергий считаются малыми по сравнению с изменением
энтальпии.
Уравнение (21.1а) представляет собой уравнение теплового баланса.
Оно справедливо в случае стационарного режима работы аппарата и в том
случае, если можно пренебречь потерями теплоты в окружающую среду
и изменением кинетической энергии теплоносителей.
Количество теплоты, передаваемое в единицу времени через
поверхность теплообмена от горячего теплоносителя к холодному (тепловая
мощность аппарата), равно изменению энтальпии теплоносителей, т.е.
Q=Gx(h\-h\)- (21.2)
Q=G2{h"2-h'2). (21.2а)
Если срХ = const и ср2 = const, то вместо (21.2) и (21.2а) будем иметь
Q=GxcpX(T\-T"x); (21.3)
Q=G2cp2(T"2-T'2). (21.3а)
Для удобства будем обозначать: Сх = Gxc х\ С2 = G2c 2. Величины Сх и
С2 иногда называют водяными эквивалентами. В приведенных уравне-
При использовании (21.3) и (21.3а) для решения задач температура может быть выражена
в градусах Цельсия, так как разности температур, измеренные в Кельвинах и градусах Цельсия,
совпадают.
521
ниях h — средняя массовая энтальпия; Т— средняя массовая температура
(см. § 8.3).
Если в аппарате происходит массообмен между теплоносителями, то,
согласно закону сохранения массы,
G\ + G'2 = G\ + G"2. (21.4)
Соотношение (21.4) является уравнением баланса массы
теплоносителей. Оно справедливо и в том случае, если в аппарате происходят
химические реакции. Следует подчеркнуть, что при наличии массообмена
G\* G\ и G'2 * G 2, но справедливо равенство
G\-G'\ = G2-G'2 = TGn-2> (21-5)
i
где Gzi_2 — масса /-го компонента, перешедшая в единицу времени из
первого теплоносителя во второй (через межфазную поверхность).
Очевидно, что
IGn-2 = IG,2-l- (21-5а)
i i
Цз (21.5) и (21.5а) получаем уравнения баланса массы для первого и
второго теплоносителей:
G'\+ IGn-2 = G\; (21-6)
G'2 + XGn-\=G"2- (21-6а>
/
Пусть с\. и с'[. — массовые концентрации /-го компонента в первом
теплоносителе соответственно на входе в аппарат и выходе из него, а с^- и с'^. —
то же, но для второго теплоносителя. Тогда можно записать уравнение
баланса массы компонента в виде
G\c'u + G'2c'2i = G'[c"u + G'^r (21.7)
Соотношение (21.7) справедливо при отсутствии химических реакций.
Оно следует из уравнения (14.20).
21.2. Средний температурный напор
На рис. 21.1 показана расчетная схема к выводу формулы усредненного
по поверхности температурного напора для прямотока.
Выделим на расстоянии Fx элемент поверхности теплообмена dFx.
Запишем для него уравнение теплопередачи
dQ = КТ\ ~ Т2) dFx = kATdFx (21.8)
522
и уравнение теплового баланса
dQ = -GlcpldTl = G2cp2dT2, (21.9)
где dQ — количество теплоты,
передаваемое от горячего теплоносителя
холодному в единицу времени через
элемент dFx.
Из (21.9) следует
dQ
dr>=-G,c
ш
с,
d7\
1>1 *-1
dQ _UQ
G2cp2 С2
<
1
т*
Л
,
N^ *
к.
<
ч
Fx
■+ - ►
^
-*—
_ 71"
2
Y
1
F
' ' Рис. 21.1. Изменение разности
температур теплоносителей вдоль поверхности
Тогда изменение температурного теплообмена
напора
d(r, - Т2) = d(AJ) = dr, - dT2 = -(± + ±-)dQ = -m dQ, (21.10)
где m = 1 / С j + 1 / C2 .
Подставляя в (21.10) значение d£) из (21.8), получаем
d(AT) _
AT
- mk dF
(21.11)
Принимая для упрощения, что вдоль поверхности теплообмена к = const,
m = const, и интегрируя (21.11), получаем
AT
AT'
Д(АГ)
АГ
-muJdF^
Откуда
или
In— =-mkFY,
AT' х
- mkFv
(21.11а)
АТ=АТ'е \ (21.12)
Из (21.12) видно, что вдоль поверхности теплообмена Fx
температурный напор уменьшается по экспоненциальному закону.
Усредненный температурный напор
Xf = UATdF= ^]imkFUFx = -^-(e-mkF- 1). (21.13)
FJ F J x - mkF
о о
523
При подстановке в (21.13) mkF и е mkF из (21.11а) и (21.12) получим
— AT" - AT' AT' - AT"
AT = _£i ai = _ai aj
1п(ДГ"/Д7") ln(AT'/AT")' У '
или
(Т\-Т'2)-{Т'\-Т"2)
АТ = —! ^-—j L, (21.14а)
1 1 7 2
где А Г — среднелогарифмический температурный напор.
Для противотока уравнение (21.10) примет вид
d(Tx - Т2) = d(AT) = dTl-dT2 = -(±-±)dQ = -mdQ,
где m = \/Сх - 1/С2.
При этом формула (21.12) сохраняет свой вид, а для среднелогарифми-
ческого температурного напора будем иметь
AT = 2 ] L. (21.15)
IniL—1
Т\ - Ц
Если Cj = С2, то в случае противотока m = 0 и из (21.12) следует, что
АТ= АГ', т.е. средний температурный напор постоянен вдоль поверхности
теплообмена:
АТ= AT' = Т\ -Т\ = Т\ -Т'2.
Формулы (21.14а) и (21.15) можно свести в одну формулу, если
независимо от направления движения теплоносителя и конца теплообменника
через АГб обозначить большую разность температур, а через АТМ —
меньшую.
Тогда
AT = б
1п(АГб/А7м)
В ряде случаев температуры теплоносителей вдоль поверхности
нагрева изменяются незначительно. Тогда средний температурный напор
можно вычислить как среднеарифметическое от АГб и АГМ:
{ АГб ( А7\Л
АГ = -(АГб + АГм)
1+—*
524
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
^
\
щ
iV
г*'
о
\>
\\
\
у
X
\
1
Yd? \
^ X
\\
\
^Г"
о
U
К
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Р
Рис. 21.2. К определению еАТ
Среднеарифметический температурный напор больше среднелогариф-
мического. Однако при АТМ /АГб > 0,6 они различаются меньше чем на 3 %,
что допустимо в приближенных технических расчетах.
Для сложных схем температурный напор можно выразить как среднело-
гарифмический температурный напор для противотока AT т,
соответствующий наиболее эффективному теплопереносу, умноженному на
поправочный коэффициент гАТ, являющийся функцией параметров R и Р, т.е.
AT
eAr^^npoT еАГ
аг6-а:гм
1п(ДГб/Д7м)'
где едг = f(P, R); здесь
Р =
R =
Щ
АТ6
т"2-т'2
1 1 ~ i 2
Т t rp ff
1 1 ~ L 1
T rr T f
l 2- 1 2
Аналитические выражения едг = f(P, R) для разных схем движения
теплоносителей довольно сложные. Поэтому на практике для нахождения еД7.
пользуются графиками гАТ = f(P, R), при этом R берется в качестве
параметра. На рис. 21.2 изображен график определения гАТ для
теплообменника, показанного на рис. 20.4.
Для определения значения А Г при сложном движении теплоносителей
используется метод, основанный на понятиях эффективности или КПД теплообменника е,
525
числа единиц переноса N и отношения меньшего значения водяного эквивалента
См к большему Сб (со = См/Сб). Согласно этому методу,
КПД теплообменника представляет собой отношение фактически переданного
количества энергии к предельному, соответствующему полному использованию
располагаемого температурного напора AT = Т\ - Т'2, которое может иметь место
лишь в теплообменнике с бесконечно большой поверхностью теплообмена:
_с,(г;-г",) _с^т\-г2)
6 С2(Т[-Т'2) С2(Т\-Т'2)-
Число единиц переноса определяется соотношением
F
N=^\kdF=^. (21.16)
Между е и N существует взаимосвязь, форма которой определяется характером
относительного движения теплоносителей.
Нетрудно доказать следующее соотношение:
с
-(Ю'-"'
^f7; = e . (21.17)
Предположим, что См = Cj и Сб = С2, тогда левую часть уравнения перепишем
в виде
тии-П
Для числителя и знаменателя этого выражения справедливы тождества
Тяы-Т'б = Т^-Т"б-(Т^-Т'б),
К-Т"б=Т^-Гб-(Т-6-Ц).
Последнее соотношение на основании теплового баланса представим в виде
К-П = К-г,-%гы-т"и).
Тогда левая часть (21.17) перепишется в виде
sT' Т"\
1
т1-т'б KTL-n-
\т, _т,)
Выражения, стоящие в правой части, представляют собой эффективность е,
определенную при условии, что См = Сх. Тогда уравнение (21.17) можно
преобразовать к виду
526
1 См
х"сг
8
-е
.-£
I^L-^O-), (21.18)
1 -С08
~kF ~kF
где TV = — = — по (21.16), так как См = С1 и со = См/Сб .
См с1
Решая (21.18) относительно 8, имеем
1-сое
Для случая, когда См = С2, получается такой же результат.
Из анализа зависимости е от N для противоточного теплообменника следует,
что для всех со значение е -> 1 в области высоких значений N. При N = const 8 тем
выше, чем меньше со. Значение со = 0 соответствует случаю, когда один из
теплоносителей имеет постоянную температуру (кипение или конденсация одного из
теплоносителей, либо при Сб(воды) » См(газа). Тогда
e=\-e'N. (21.20)
В случае, когда Сгаз « Своз (теплообменники газотурбинных установок), со = 1 и
е = тЬ- (2L21)
Для прямоточных теплообменников формулы (21.19)—(21.21) соответственно
принимают вид:
г=\-е
1 +со
N
8= 1 -е
1 -е
е =
2
Обобщенная характеристика для любых схем движения теплоносителей имеет вид
{-ЛГ2[1+со2(1-2/)]}
1 -е
1+со2(1-/ф)-со2/фв
ЪТ2 С2 \р
где 82 = —- ; со2 = —- ; N2 = — ; /ф — характеристика схемы тока (0 < ф < 1).
Для прямотока ф = 0, для противотока ф = 1.
527
21.3. Уравнение теплопередачи
Для элемента поверхности теплообмена площадью dFx уравнение
теплопередачи имеет вид
dQ = kATdFx,
где к — коэффициент теплопередачи; АГ— местный температурный напор.
Тепловая мощность теплообменника
F
Q = \kATdFx. (21.22)
о
Коэффициент теплопередачи в случае плоской стенки представляет
собой величину, обратную сумме термических сопротивлений:
*= Ц . (21.23)
1 п °i \
— + у -U —
а1 ~Л а2
Как коэффициент теплопередачи, так и температурный напор
изменяются вдоль поверхности теплообмена. В простейшем случае (при
относительно малом изменении к) можно принять к « const.
Тогда из (21.22) получаем уравнение теплопередачи:
Q = kATF, (21.24)
где AT — средний интегральный температурный напор;
F
Af=1-JATdFx.
о
Формулы для вычисления А Г получены в § 21.2. В случае прямо- или
противоточной схемы движения теплоносителей
АГ= б.т М- (21.25)
Если коэффициент теплопередачи сильно изменяется вдоль
поверхности теплообмена и к тому же зависит от разности температур AT,
уравнение (21.24) теряет смысл. В ряде случаев значение к существенно зависит
от температуры стенки. Тогда для расчета площади поверхности
теплообмена необходимо использовать поинтервальный метод расчета (т.е.
разбивать всю искомую поверхность на достаточно большое число участков)
или прибегать к методу «шаг за шагом» (см. § 12.7).
528
Уравнение (21.22) можно также представить в виде
Q = kATF, (21.26)
где к AT — среднее интегральное значение произведения кАТ
Из (21.26) видно, что от значения коэффициента теплопередачи
существенно зависит площадь поверхности теплообмена. Чем больше к, тем (при
одном и том же среднем температурном напоре) меньше F. Уменьшая
термические сопротивления процессу теплопередачи, можно уменьшить F,
т.е. сократить габаритные размеры теплообменника. Поскольку с
увеличением скорости течения теплоносителя коэффициент теплоотдачи
возрастает, уменьшение площади проходного сечения теплообменника (при
заданном расходе) способствует увеличению значения к. Однако всегда
надо иметь в виду, что с увеличением скорости возрастает (причем более
резко) гидравлическое сопротивление и увеличиваются затраты мощности
на прокачку теплоносителя (см. § 21.5). Увеличить коэффициент
теплоотдачи можно искусственным путем с помощью методов интенсификации
[12], используя специально изготовленные трубы с шероховатостью или
иной поверхностью, применяя закрутку потока и т.п. Задачи, связанные с
интенсификацией теплопередачи и выбором оптимальной скорости
течения теплоносителя в теплообменном аппарате, решаются путем анализа
результатов технико-экономических расчетов.
21.4. Поверочный расчет теплообменного аппарата.
Сравнение прямотока с противотоком
Прямоточная схема движения теплоносителей. Температурный
напор на выходе из теплообменника
AT" = AT'e~mkF.
Имея в виду, что /и=1/С1 + 1/С2,а АГ' = Т\ - Г^, запишем это
уравнение в виде
Т\-Т\ ~\cl*cjkF
т\-т'2 =е
Преобразуем последнее уравнение:
Т'\-Т"2 УС1 C^Kt
1 ~ т\ - ц = 1'е
529
или
{Т\ -Т\) + (Т"2 - Т'2) = (Т\ - Т2)
Далее учтем, что
1-е
С,
Ы]к1Л
T'z-T^m-T'l)-^.
После простых преобразований получим
- 1 + -
шю
1-е
5^ = 7", -Т'\ = (Т\ -T^^-jj
сх/с2
= {Т\-Т'2)П. (21.27)
Уравнение (21.27) показывает, что изменение температуры горячего
теплоносителя равно некоторой доле П располагаемого температурного
напора Т\- Т'2. Эта доля зависит от двух безразмерных параметров СХ1С2
vikF/Cx:
П=/
уС2 Cxj
1-е
■♦а©
1 + сх/с2
Для холодного теплоносителя аналогичным образом получаем
С,
ьт2=т»2-т2 = (ц-т^ /с
с_1 1 -е
'2
- 1 +
Ш
С
= (Т\-Т'2)-±11. (21.28)
j/ ^2 С2
Из выражений (21.27) и (21.28) легко определить конечные
температуры теплоносителей:
Т\ = Т\-(Т\-Т^)П;
Т\ = Т^(Т\-Т^)-^П.
с2
Тепловой поток Qn, передаваемый через поверхность теплообмена при
прямотоке, определяется с учетом (21.27) по формуле
бп = СХЪТХ = СХ(Т\ - Т'2)П. (21.29)
530
Противоточная схема движения теплоносителей. Для противотока
расчетные формулы выводятся так же, как и для прямотока. Они имеют
следующий вид:
дТ{ = Т\ -Т\ = (Т\-Т'2)-
1 -е
-щщ
1 -
cf®
= {Т\-Т'2)Х;(2\.Ъ0)
ЪТ2=Т"2-Т'2={Т\-Т'2)
„С1 1-е
'-Щ
с,
с.
-Ш
■=(Т\ - T'2)-±Z; (21.30а)
где Z = /
'£l. kF
уС2 Cxj
Qz=CxbTx = Cx{T\-T2)Z,
(21.306)
1-е
1 -
■ш%
вспомогательная функция
для расчета конечной температуры и количества теплоты при противотоке.
Из выражений (21.30а) и (21.306) находятся конечные температуры
теплоносителей:
Т'\ = Т\-(Т\ -T'2)Z;
•41 — т'
сл
T^(T\-T^Z
(21.31)
(21.31а)
В случае необходимости расчета промежуточных значений температур
теплоносителей в приведенные формулы (21.30)—(21.306) вместо F
следует подставлять текущее значение Fx. В частном случае, когда СХ1С2 = 1,
т.е. Сх = С2 = С, эти формулы упрощаются:
STj = г, _г, = (г, _т^
1
С '
1 + —
kF
531
ЪТ2 = Т"-Т' = (Т\ -Т')
1
2> г '
1 + —
kF
Qz = (T\-Ti)
С
kF
Сравнение прямотока с противотоком. Если разделить количество
теплоты, переданное при прямотоке, на количество теплоты, переданное
при противотоке при прочих равных условиях, то получим новую
безразмерную функцию от СХ1С2 и kF/C{ (рис. 21.3), показывающую, какая
доля теплоты противотока передается при прямоточной схеме движения
теплоносителей:
бп (С\ kF
5ГФ
уС2 cXJ
Как следует из рис. 21.3, прямоточные и противоточные схемы могут
быть равноценны только при очень больших и очень малых значениях Сх /С2
(Cj /С2 > 10 и Cj /С2 < 0,05) или очень малых значениях kF/ Сх. Первое
условие соответствует случаю, когда изменение температуры одного
теплоносителя мало по сравнению с изменением температуры другого. Второе
условие равнозначно случаю, когда средний температурный напор
значительно превышает изменение температуры теплоносителей, так как
Ъ/Qz
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
\
V
N
ki
ч с
0,5
-2
/
И
L=0,l
1
//
1
1
0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1,0 2 5 10 С{/С2
Рис. 21.3. Сравнение прямотока с противотоком
532
kF/Cx = ЪТХ/AT (либо kF/Cx = ЪТ2/ AT). Во всех остальных случаях
при прочих равных условиях противоток предпочтителен по сравнению
с прямотоком. Однако надо иметь в виду, что температурные условия для
конструктивных материалов при противотоке более жесткие, чем при
прямотоке.
21.5. Гидравлический расчет аппаратов
Целью гидравлического расчета является определение потерь давления
при прохождении теплоносителя через теплообменный или тепломассооб-
менный аппарат. Потери давления в первую очередь обусловлены
сопротивлением трения, возникающим из-за вязкости жидкости. Это
сопротивление существенно зависит от скорости теплоносителя. В первом
приближении можно принять, что при турбулентном течении жидкости в
трубе (см. § 8.2) перепад давлений Ар на ее концах пропорционален
квадрату скорости. От Ар зависит значение мощности, необходимой для
перемещения жидкости, так как
JV=^£, (21.32)
Р
где N — мощность, Вт; G — массовый расход жидкости, кг/с; р — плот-
з
ность жидкости, кг/м ; Ар — гидравлическое сопротивление, Па.
Зная значения N и G, можно подобрать насос или вентилятор, который
будет обеспечивать прокачку теплоносителя через аппарат. При этом надо
учитывать также КПД насоса или вентилятора.
Так как расход G пропорционален скорости, а гидравлическое
сопротивление Ар — приблизительно скорости в квадрате (для турбулентного
режима течения, который наиболее часто встречается на практике), то
в первом приближении мощность N пропорциональна скорости в кубе.
В связи с этим расчет гидравлического сопротивления и выбор
оптимальной скорости теплоносителя имеет большое значение.
Полное гидравлическое сопротивление складывается из трех частей.
Первая часть — это сопротивление трения, которое для течения в каналах
рассчитывается по формуле
Рт S d 2 '
где \ — коэффициент сопротивления, зависящий от числа Рейнольдса
(см. § 8.2); / и d— длина и диаметр трубы; и — скорость теплоносителя.
Вторая составляющая потерь давления обусловлена местными
сопротивлениями (на входе в трубу или в межтрубное пространство, повороте
потока и др.). Она рассчитывается по формуле
533
2
где £м — местный коэффициент сопротивления.
Для конкретных условий значения £м выбираются из таблиц или
номограмм, которые имеются в специальной литературе. Для приближенного
расчета £м можно воспользоваться следующими данными:
См
На входе в трубу из коллектора или барабана 0,5
На выходе из трубы в коллектор или барабан 1,0
На входе в межтрубное пространство или на выходе из него 1,5
На повороте на 180° в межтрубном пространстве 1,0
При наличии нескольких местных сопротивлений для расчета местных
потерь давлений берется сумма всех сопротивлений, т.е. в общем случае
АРм= ЕЛ^м/>
j = i
где Д/?ш — конкретное местное сопротивление; п — число местных
сопротивлений.
Третья составляющая гидравлических потерь связана с ускорением
потока:
Л 2 - 2
Руск Р вых вых Рвх вх'
где индексы «вх» и «вых» соответствуют условиям на входе в теплообмен-
ный аппарат и выходе из него.
Если аппарат сообщается с атмосферой, при расчете Ар следует
учитывать гидростатические потери. Для замкнутых систем они равны нулю.
При ламинарном стабилизированном течении в трубе
$ = 0,64/Re.
При турбулентном стабилизированном течении в технически гладкой
трубе
5 = (0,790 ln(Re/8))"2.
Если высота шероховатости стенки трубы 5Ш соизмерима с толщиной
вязкого подслоя, то оказывается, что гидравлическое сопротивление этой
трубы больше, чем гладкой. При этом
£ = 0,ll(5m/J+68/Re)0'25,
если bjd> 15/Re и Re < 120<//5ш;
$ = [1,74 + 0,868 1п(<//(25ш))Г2,
если 5Ш Id > 15 /Re и Re > 120<//8ш.
534
При неизотермическом течении в формулы следует вводить поправку
ct= (Ргс/Ргж) , где Ргс и Ргж — числа Прандтля при температуре стенки
и средней температуре жидкого теплоносителя.
Гидравлическое сопротивление при поперечном обтекании пучка труб
где v — скорость в узком сечении пучка;
Сп = [3,2 + 0,66(1,7 - ср)1'5]^ + l)Re^27,
если sx Id > 1,44 и 0,1 < (р = (sx - d)/(s'2 - d) < 1,7, а расположение
труб шахматное;
если sx < s2 и 0,06 < ф = (sx - d) l{s2 - d) < 1, а расположение труб
коридорное;
г aoo^I iV°'5/ ллм-0,59 0 -0,2/Ф2
Сп = 0,38(^- - 1J (ф - 0,94) zRe
если sx > s2 и 1 < ф = (sx - d)/(s2 - d) < 8, а расположение труб
коридорное.
В этих формулах z — число рядов; sx — шаг труб в поперечном
направлении; s2 — шаг тРУб в направлении потока; d — наружный диаметр
2 2 1/2
трубы; s2 = (s^/4 + s2) — диагональный шаг труб. Указанные
формулы справедливы для газа с постоянными свойствами.
21.6. Тепловой расчет регенеративных теплообменников
Рассмотрим регенеративный теплообменник с неподвижной насадкой
из керамических или огнеупорных материалов. Введем следующие
обозначения: Tj — период нагрева насадки горячим газом; т2 — период
охлаждения насадки нагреваемым воздухом; Tj'H, Г2н, Т"к и Т2к —температуры
горячего и холодного теплоносителей в конце регенератора в начале и
конце циклов нагрева и охлаждения; Гс1 и Тс2 — температуры поверхно-
сти насадки в начале цикла нагрева и конце цикла охлаждения; Гс1 —
температура поверхности насадки в конце цикла нагрева.
535
Наиболее точные расчеты регенеративных теплообменников можно
провести с помощью уравнений конвективного и радиационного
теплообмена (для потока газа) и уравнения теплопроводности в насадке. Такие
расчеты сложны; выполнить их можно только численными методами с
применением компьютеров.
В приближенных инженерных расчетах используют уравнение
теплового баланса, которое записывают в виде
Q = Gicpx(T\ - П)*1Л = G2cp2{f"2 - Т'2)т2,
где Q — тепловая нагрузка, т.е. количество теплоты, передаваемое газами
воздуху за цикл; 7"j и Г^ — средние во времени значения температур
газа и нагреваемого воздуха на выходе из регенератора; причем
rptt _ rp ff
rp ff rp f IK 1 H
1 1 т' T" '
1 1 ~ l Ik
In-
rp ff rp ff
rp ff ZH ZK
2 Г' -273
In- 2H
T"2k-273
Для расчета площади поверхности насадки F используется уравнение
теплопередачи:
Q = kFAT,
где средний температурный напор за цикл (время цикла тц = Tj + т2)
имеет вид
АТ= —■ zr5 — .
rp I rp ft
Inil^-l
rp It rp t
1 1 1 2
Средний коэффициент теплопередачи рассчитывают по формуле
a^ а2т2
где aj и а2 — коэффициенты теплоотдачи соответственно для газа и
воздуха; R — термическое сопротивление насадки.
При расчете ctj следует учитывать радиационный перенос теплоты
от газов к насадке. Формулы для расчета а1? а2 и R приводятся в
литературе (см. [38]).
536
21.7. Задачи с решениями
Задача 1. Выполните тепловой расчет и определите площадь поверхности
теплообмена противоточного водо-водяного теплообменника (см. рис. 20.3)
для охлаждения потока горячей воды от t[ = 80 °С до t'{ = 60 °С с расходом
Gx = 2 кг/с. Температура охлаждающей воды на входе в теплообменный
аппарат t'2 = 10 °С, ее расход G2 = 0,75 кг/с. Известно, что ctj = 2000 Вт/(м • К),
а2 = 4000 Вт/(м2 • К), 5СТ/А,СТ = 2 • 10"3/100.
Решение. Тепловой расчет теплообменного аппарата и определение
площади поверхности теплообмена проводятся по уравнению
теплопередачи (21.24), из которого следует
кАТ kkt
т.е. решение поставленной задачи заключается в последовательном
определении Q, к, At (рис. 21.4).
Из уравнений (21.1а), (21.3) и (21.3а) следует
Q = GxcpX{t\ -t'i) = G1cpl{t"2-t'1).
Подставляя исходные данные, получаем
Q = °\СР\(*\ " '?) = 2 • 4187(80 - 60) = 167 480 Вт.
Среднелогарифмическую разность температур между теплоносителями
определяем по формуле (21.25):
(f\-t'2)-(t\-f2)
- А'б-А'м
At =
1»^
At,.
In
\t\-t"2)
При этом неизвестную температуру t"2 найдем из уравнения (21.3а):
* О I О '
Q— = 10 + _167480
30,4 °С.
G2Cp2
после чего получим
- = (60-10)-(80-63,3) =
In (60-Ю)
(80 - 63,3)
Рассчитаем коэффициент
теплопередачи по формуле (21.23):
1 1
0,75 • 4191
= 63,3 °С,
* =
-1 + § +
Clj А,
-L 1 , 0,002 , 1
сц 2000 100 4000
= 1299Вт/(м -К).
Рис. 21.4. К задаче 1
537
Определим площадь поверхности теплообмена:
F= Q_ = 167 480
kXt 1299 • 30,4
= 4,24 м .
Чтобы выполнить проверку, пересчитаем температурный перепад на
выходе из теплообменника по формуле At" = Af'exp(- mkF), использовав
полученное значение F = 4,24 м , где
1 1 1
т
G\CP\
G2Cp2
1
2-4187 0,75-4191
= -0,000199.
Таким образом,
At" = (80 - 63,3)ехр(0,000199 • 1299 • 4,24) = 16,7 • 2,99 = 49,9 °С.
Это значение At" = 49,9 °С практически совпадает с заданной
разностью температур At" = (/{' - t'2) = (60 - 10) = 50 °С.
Ответ. Площадь поверхности теплообмена противоточного водо-водя-
ного теплообменника F = 4,24 м .
Задача 2. Проведите поверочный расчет конструируемого
теплообменника (см. задачу 1) при изменении схемы движения теплоносителей с
противотока (см. рис. 20.3) на прямоток и перекрестный ток (см. рис. 20.4).
Решение. В такой постановке при решении задачи следует определять
температуру охлаждаемого теплоносителя на выходе из теплообменного
аппарата t'{, так как охлаждение горячего потока теплоносителя — это
назначение теплообменника.
Будем считать, что известны площадь теплообменной поверхности
F = 4,24 м , температуры теплоносителей (горячего и холодного) на входе
t [ = 80 °С и t92 = 10 °С, их расходы Gx = 2 кг/с и G2 = 1 кг/с (рис. 21.5).
При изменении схемы движения теплоносителей в теплообменном
аппарате с известной площадью поверхности теплообмена F изменятся
средняя разность температур между теплоносителями At и переданный
тепловой поток Q = kFAt.
Рассмотрим прямоточную схему. По зависимости At" = Д/'ехр(- mkF)
определим температурный перепад At" на
выходе из теплообменного аппарата при
известных к = 1299 Вт/(м2 • К), F = 4,24 м2 (см.
решение задачи 1) и
= 0,000437.
т =
__!__
G\cp] G2cp2
- + I =
2-4187 0,75-4191
Рис. 21.5. К задаче 2
538
Таким образом,
д," = (go - 10)ехр (-0,000437 • 1299 • 4,24) = 70 • 2,99 = 6,29 °С и Л/ =
_ (80-10)-6,29 =9.4оГ
" 1п(80^10) "2М С'
6,29
Тепловой поток рассчитаем по уравнению теплопередачи:
Q = kFAt = 1299 • 4,24 • 26,4 = 145 405 Вт.
Найдем температуру охлаждаемого теплоносителя t'{ на выходе из теп-
лообменного аппарата:
Q = GxcpX{f{-t\),
откуда
t» - ,' -2- - ЯП 145405 = 63 3 °с
1"1"G1c/,180 2-4187 63'3 С'
Чтобы выполнить проверку, пересчитаем температурный перепад на
выходе из теплообменника по формуле для At". Для второго теплоносителя
02 = 02*р2('2-'2)>
тогда
отсюда
Г =f +-g- = io+ 145405 =563°С
2 2 G2CP2 0,75-4191 56'3 С'
Af = (t'{ - t"2) = (62,6 - 56,3) = 6,3 °С.
Полученное значение At" = 6,3 °С практически совпадает со значением
At" = 6,29 °С, найденным ранее.
Рассмотрим схему перекрестного тока.
Определим температурный напор при перекрестном токе
теплоносителей в виде произведения А* т на поправочный коэффициент ед,, т.е.
At = £д/А/прот, где ед, является функцией параметров Р и R.
На рис. 21.2 представлен график этой функции. Определим Р и R:
Р= *"2 ~ *'2 = 63,3 - 10 _ 53,3 _
R
t\-t'2 80-10 70 °,761;
<w; 8о-бо аа =0?375^
t\-t\ 63,3-10 53,3
По рис. 21.2 найдем, что еД/ = 0,8. В связи с этим средний температурный
напор при перекрестном токе будет меньше, т.е. At = 0,8 • 30,4 = 24,3 °С.
Рассчитаем тепловой поток и температуру охлажденного теплоносителя.
Из уравнения теплопередачи и теплового баланса для горячего
теплоносителя получим:
Q = kFAt = 1299 • 4,24 • 24,3 = 133 839 Вт;
539
Qx = GxcpX(t[-t'i),
тогда
Ответ. Полученные результаты позволяют увидеть, что для охлаждения
потока воды подходит только противоточная схема движения
теплоносителей, так как прямоток и перекрестный противоток не позволяют при
заданных расходах теплоносителей (Gx = 2 кг/с и G2 = 0,75 кг/с) и одинаковой
2
площади поверхности теплообмена F = 4,24 м охладить поток горячей
воды от t[ = 80 °С до t'{ = 60 °С.
Задача 3. Проведите конструктивный тепловой расчет кожухотрубного
горизонтального теплообменника (см. рис. 20.2), в котором насыщенным
паром с давлением ри = 0,6 МПа проходящая по трубам вода нагревается от
t2 = 10 °С до t "2 = 70 °С. Объемный расход воды V2 = 1 л/с = 1 • 10~3 м3/с.
Для труб из латуни А, = 106 Вт/(м • К). Внутренний dBH и наружный dH
диаметры труб составляют соответственно 16 и 18 мм.
Скорость течения воды в трубах теплообменников v2 обычно
принимается равной около 1 м/с. Теплофизические свойства найдите из
справочника: для воды при средней температуре t2 = 40 °С, а для конденсата при
температуре насыщения t^ = tH = 158,8 °С.
Решение. Для нагревания воды необходим тепловой поток
Q2 = p2V2(c"2t"2 - c'2t'2) = 992,2 • 10"3(293 - 46,2) = 245 • 103 Вт.
Средний перепад температур Af можно рассчитывать по разности
средних температур (рис. 21.6):
At = T{-T2 = 158,8 - 40 = 118,8 °С,
поскольку отношение А/б/А/м = 148,8//88,8 < 2.
Суммарная площадь сечения труб для прохода воды
STp= F2/u2=10"3/l = Ю"3м2.
Площадь внутреннего сечения одной
трубы S^ = nd2BH/4 = 3,14(16 • 10"3)2/4 =
= 2,0140 м, следовательно, число
параллельно включенных труб п =
о р р =STp/^ = 103/(2,01-104)*5.
Рис. 21.6. К задаче 3
540
Уточненное значение скорости течения воды в трубах v2 = ^(^тр) =
= 10~3/(5 • 2,01 • 10"4) = 0,995 м/с.
Для расчета коэффициентов теплоотдачи в первом приближении
температуру стенки трубы принимаем равной средней температуре
теплоносителей tcl = tc2 = 0,5(f~ + Т2) * 100 °С.
Рассмотрим теплоотдачу при конденсации.
Теплофизические свойства конденсата и воды следующие: при tH = 158,8 °С
X = 0,683 Вт/(м • К), р = 909 кг/м3, ц = 172 • 10"6 Па • с, г = 2086 кДж/кг; при
/с= 100 °С Хс = 0,683 Вт/(м • К), \ic = 282 • 10~6 Па • с.
По формуле Нуссельта находим
-,1/8
а = 0,728 4/
.3 2
|И('н-'сЧ
Vn
1/8
= 8980Вт/(м -К).
гч-6 2/
= 0728 0,683 -909 -9,81 -2086» 10 [?0,683Л 3172-10
\ 172-10"6(158,8-100)0,018 Ш683' 282-Ю"6
Рассмотрим конвективную теплоотдачу.
Для воды при /~ = 40 °С Хж = 0,634 Вт/(м • К), уж = 0,659 • 10"° mz/c,
Ргж = 4,3; при tc = 100 °С Ргс = 1,75.
Рассчитаем число Яеж:
Яеж = (р^т)/\ж = 0,995 • 0,016/(0,659 • КГ6) = 24 200.
Поскольку Яеж > 10 , режим течения турбулентный.
Для определения Ыиж воспользуемся формулой Михеева:
Nib
0,021Ке^РГГ(Рг,/Рг,)№
= 0,021(2,42 • 104)0,8(4,3)°'43(4,3/1,75)0'25 = 158.
Тогда коэффициент теплоотдачи на участке стабилизированного течения
ШжК _ 158-0,634
аст =
0,016
= 6260 Вт/(*Г • К).
Учитывая, что dH/dBH < 1,5, будем пользоваться формулой
теплопередачи через плоскую стенку, причем площадь боковой поверхности трубы F
будем считать по среднему диаметру d = 0,5(dBH + dn) = 0,5(16 + 18) = 17 мм,
поскольку otj « ot2.
541
Рассчитаем коэффициент теплопередачи:
* = Г^Т " _A_ + oJoi+J_ =3560 Вт/<м2 • к>-
ах X а2 8980 106 6260
Согласно уравнению теплопередачи, площадь теплообмена
F = Q2l(kKt) = 245 • 103/(3560 • 118,8) = 0,58 м2.
Уточним температуры поверхностей стенки трубы:
со стороны пара (по уравнению теплоотдачи)
'cl = h ~ Q2/(<*lF)= 158,8-245-\03/(S9S0-0,58) = 111 °С;
со стороны воды (по формуле для теплопроводной стенки)
'с2 = *cl - Q25/(XF) = HI - 245 • 103 • 10~3/(106 • 0,58) = 107 °C.
Повторив расчет (начиная с коэффициентов теплоотдачи) с
использованием уточненных значений температур /с1 и tc2, получим F = 0,567 м2.
Так как расхождение уточненного и ранее полученного значений F
менее 10 %, то дальнейших расчетов можно не проводить.
Ответ. Если задаться коэффициентом использования поверхности
теплообмена ri^ = 0,8, то площадь поверхности теплообмена реального
теплообменника F' = F/r\F = 0,567/0,8 = 0,71 м2, а длина труб L = F'l(nnd) =
= 0,71/(5-3,14-0,017) = 2,66 м.
Рассчитывать (или выбирать) все размеры теплообменника обычно
не имеет смысла, поскольку на специализированных предприятиях можно
заказать лишь теплообменник, соответствующий тем стандартам, которые
определяют их основные типоразмеры. Проще всего после расчета
площади поверхности теплообмена выбрать в каталогах и заказать
подходящий серийно выпускаемый теплообменник. Обычно заказывают теплооб-
менник с большей площадью поверхности. В нашем случае F = 0,8 м .
Задача 4. Определите площадь поверхности теплообмена регенератора
с металлическим вращающимся ротором (см. рис. 20.7) при следующих
условиях.
Расход дымовых газов Vx = 36 000 м /ч, его начальная и конечная
температуры t[ = 700 °С и t" =140 °С, расход нагреваемого воздуха V2 =
= 30 000 м3/ч, начальная температура t2 = 20 °С. Примите следующие
коэффициенты теплоотдачи:
а! = 120 Вт/(м2 • К); а2 = 70 Вт/(м2 • К).
Средние теплоемкости газов сх = 1,354 кДж/(м3 • К), с2 = 1,4 кДж/(м • К).
542
Решение. Количество теплоты, передаваемое дымовыми газами воздуху,
Q = у\с\«\ -'" )Л = ^f1-354*700 - 14°)°'95 = 6003 кВт-
Температура воздуха на выходе из регенератора
,» = t> + -Q- = 20 + 6003 = 534 5 °С
2 2 К2С2 30Ш,4
3600 '
Фронтальное сечение ротора (насадки) регенератора делим на две
неравные части так, чтобы
«lXi = а2Х2-
Следовательно, %х = 0,37 и %2 = 0>*>3. Действительно,
a^^ajCl.O-Zi),
откуда
= a2/ai = 70/120
%i l+a2/a, 1+70/120 ' '
Коэффициент теплопередачи
'- - ! + —!— = 1ЛЛ * „ + „ * = 22,1 Вт/(м2 • К).
alXi <*2Х2 120-0,37 70-0,63
Средний температурный напор (принимаем противоточную схему)
(*'i - <"2) - (Г) - /2) (700-534,5)-(140-20) =
Л/ Л-Л , 700-534,5 141'5 С'
,»-/' 140-20
Площадь поверхности теплообмена ротора
F=_6_= бооз-ю3 =1919м2
kAt 22,1 • 141,5
Ответ. Площадь поверхности теплообмена вращающегося металличе-
ского ротора насадки F = 1919 м .
Краткие итоги гл. 21
1. Различают конструкторский и поверочный расчеты рекуперативных
теплообменных аппаратов. В первом расчете целью является нахождение F,
а во втором — температуры теплоносителей на выходе из теплообменного
аппарата.
543
2. Для расчета используют уравнение теплового баланса и уравнение
теплопередачи:
е1 = е1(л;-л;'); Q2 = G2(hZ-h'2).
Если потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь, то
Q\ = Qi = е.
При отсутствии фазовых переходов в теплообменном аппарате и не
слишком больших разностях температур Ql = Gxc Х{Т[ - Т"), Q2 =
= С2ср2(Г2"-Г2').
3. Средний логарифмический температурный напор
АТ = _б м
лог Ат
'"дГ
м
4. Уравнение теплопередачи имеет вид
0 = кАТлогЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица ПЛ. Плотность р, теплопроводность X, теплоемкость с
некоторых материалов
Материал
Асбошифер
Асфальт
Бетон с каменным щебнем
Бетон сухой
Бумага обыкновенная
Вата хлопчатобумажная
Гипс сухой
Глина
Глина огнеупорная
Дерево:
дуб поперек волокон
дуб вдоль волокон
сосна поперек волокон
сосна вдоль волокон
Картон
Кожа
Котельная накипь:
богатая гипсом
богатая известью
богатая силикатом
Кварц кристаллический:
поперек оси
вдоль оси
Ламповая сажа
Лед
Льняная ткань
Мел
Мрамор
Песок речной (сухой)
Песок речной (влажный)
Плексиглас
Пробковые плиты
°С
20
30
0
0
20
30
20
20
450
0
10
0
20
20
20
100
100
100
0
0
40
0
—
50
0
0
20
20
80
кг/м
iioo
2120
2000
1600
—
80
1250
2000
1845
825
825
546
546
—
—
2000
1000
300
—
—
165
917
—
2000
2800
1520
1650
—
150
Вт/(м • К)
0^64
0,74
1,28
0,84
0,14
0,042
0,43
0,90
1,04
0,20
0,35
0,14
0,35
0,14
0,15
0,7
0,15
0,08
0,72
1,94
0,10
2,2
0,088
0,9
3,5
0,30
1,13
0,184
0,044
кДж/(кг • К)
—
1,67
0,84
—
1,51
—
0,85
0,84
1,09
2,39
2,39
2,72
2,72
1,51
—
—
—
—
—
—
—
2,26
—
0,88
0,92
0,80
2,09
—
1,76
545
Окончание табл. П.1
Материал
Резина:
твердая обыкновенная
мягкая
Сахарный песок
Сланец
Снег:
свежевыпавший
уплотненный
Стекло:
обыкновенное
термометрическое
кварцевое
Текстолит
Фанера клееная
Фарфор
Эбонит
Шлак котельный
Штукатурка:
известковая
цементно-песчаная
/,
°С
0
20
0
94
—
—
20
20
800
20
0
95
20
0
0
0
Р.
кг/м
1200
—
1600
—
200
400
2500
2590
—
1300
600
2400
1200
1000
1600
1800
Вт/(м • К)
0,157
0,13
0,58
1,49
0,10
0,46
0,74
0,96
2,40
0,23
0,15
1,04
0,16
0,29
0,70
1,2
кДж/(кг • К)
1,38
1,38
1,26
—
2,09
2,09
0,67
—
—
1,46
2,51
1,09
—
0,75
0,84
0,84
Таблица П.2. Плотность р, теплопроводность X и предельная температура t применения
теплоизоляционных и огнеупорных материалов, изделий и некоторых металлов
Материала или изделие
р, кг/м
К Вт/(м • К)
/,°С
Материалы
Асбест
Асбозонолит
Асбозурит
Асбослюда
Асботермит
Диатомит молотый
Зонолит (вермикулит)
500
800
520
700
600
560
450
200
0,107 + 0,000 19/
0,140 + 0,00019/
0,143 + 0,00019/
0,162 + 0,000169/
0,120 + 0,000148/
0,109 + 0,000145/
0,091+0,00028/
0,072 + 0,000262/
700
700
700
300
600
550
800
1100
546
Окончание табл. П.2
Материала или изделие
Минеральная стеклянная вата
Новоасбозурит
Ньювель
Совелит
Ферригипс (паста феррон)
Шлаковая вата (сорт 0)
р, кг/м
200
600
450
500
500
200
X, Вт/(м • К)
0,052 + 0,00064/
0,144 + 0,00014/
0,087 + 0,000064/
0,090 + 0,000087/
0,101+0,000015/
0,06 + 0,000145/
/, °С
500
250
350
450
600
750
Альфоль гофрированный, сегменты
Асбоцементные сегменты
Вермикулитовые плиты
Вулканитовые плиты
Войлок строительный
Кирпич:
диатомитовый
динасовый
красный
магнезитовый
пе но шамотный
пенодиатомитовый
хромитовый
шамотный
Минеральный войлок
Пенобетонные блоки
Торфяные сегменты
Шлаковая и минеральная пробка
Сталь 15
Сталь 30
Сталь нержавеющая (1Х18Н9Т)
Медь (99,9 %)
Латунь (67 % Си, 33 % Zn)
Нихром (Ni + Ci + Fe + Mn)
Изделия
200
400
380
400
300
550
1500
1800
2700
600
230
3050
1850
250
500
425
270
Металлы
7800
7900
7950
8900
8500
8200
0,0535 + 0,000221/
0,0919 + 0,000128/
0,081+0,00015/
0,080 + 0,00021/
0,05 при 0 °С
0,113 + 0,00023/
0,9 + 0,0007/
0,77 при 0 °С
4,65-0,0017/
0,10 + 0,000145/
0,07 при 70 °С
1,3 + 0,00041/
0,84 + 0,0006/
0,058 при 50 °С
0,122 при 50 °С
0,0686 + 0,000116/
0,064 при 50 °С
58,7 - 0,0423/
54,6 - 0,0422/
14,4 + 0,016/
392 - 0,0685 /
101 +0,165/
11,6 + 0,003/
547
Он
-?
• Д
О
U
г\
о
- 2
О
«^ £
0Q
О
2
^
Ъ
ъ
m
а!
а
о
Г-
—
Tf
VO
•Л)
г^
СО
vo
On
00
J>
Ш
Ш
CN
CN
^t
ON
ON
ON
ON
О
CN
in
on"
VO
•«■
r^
о
©"
+
VO
о
CO
^t
1^
in
ON
^""
r^
ON
ON
ON
О
CN
©^
Г-"
ON
v©
<N
r-
CN
00
vo
О
о
ON
ON
m
CO
oo
4t
CN
OO
ON
ON
О
CN
CN
^t
in
CN
CN
r^
CN
CO
in
о
00
о
oo
vo
^t
r-
^t"
r-
in
ON
ON
о
со
CO
Tf
in
vo"
ON
vo
f^
oo
CO
ON
in
vo
о
in
CO
VO
^f-
r-
•*■"
CN
CN
ON
ON
О
^t
-3-
in
со"
ON
vo"
r-
VO
ON
Tf
■*■
vo
«n
in
о
oo
Tf
VO
■«■
r-
^f
oo
oo
ON
о
in
oo
°\
CN
CN
CN
VO
vo
^
in
00
t-
^t
©"
ON
•n
vo
ON
r-
Tf"
CN
CO
oo
ON
о
ЧО
in
in
CN
in
со"
"*■
VO
о
r-
in
in
Tj-
o"
oo
VO
vo
Г-*
oo
^t"
oo
r-
г-
ON
о
Г-
CN
CN
On
in"
CN
vo
CN
CO
VO
in
VO
CO
o"
^
Г-"
VO
in
ON
^f
00
Г-»
ON
О
00
in
°\
CN
r~-"
о
vo
in
ON
VO
VO
CN
co^
о"
о
00
VO
oo
о
CN
•*■"
CO
in
VO
ON
О
ON
in
r-^
VO
oo"
oo
m
CN
in
r-
m
ON
CN
o"
CO
oo
vo
О
CN
CN
^fr
^fr
oo"
in
ON
О
О
О
ю
о
ON"
vo
in
00
о
oo
CN
Г-
CN
o"
in
oo
VO
CO
CO
CN
"fr
о
in
ON
о
r-
'ф
Tt
oo"
-*■
in
"*■
VO
oo
CN
in
CN
o"
vo
oo
vo
о
in
CN
^f
CO
4t
ON
О
CN
VO
сол
00
oo"
CN
in
ON
^
ON
CO
CO
CN
o"
VO
00
VO
VO
vo
CN
Tt
00
-*■
CO
ON
О
CO
VO
CN
CN
Г-"
О
in
CN
r-
ON
r»
CN
o"
in
00
vo
r-
oo
CN
Tf"
VO
CN
ON
О
"*■
r-
VO
vo"
OO
4t
CO
o"
CO
о
CN
o"
^r
oo"
VO
CO
CO
^■"
©^
Г-"
ON
о
m
о
о
vo"
vo
4*
r^
o"
ON
о
co^
oo"
vo
VO
^t
CO
Tt"
rf
Г-"
О
ON
о
VO
in
<o
Tt
co"
^f
"*-
co^
00
о
°\
Г-"
vo
о
oo
CO
4t
CO^
Г-"
ON
oo
о
r-«
о
©^
°°~
CN
CN
"*■
°\
CO
r^
о
^t
Г-"
VO
r-
Ti-
^t-"
°\
vo"
oo
00
о
oo
VO
°\
o"
CN
o"
о
"*-
vO^
CN
in
VO
О
ол
Г-"
vo
ON
in
Tt
^r
©^
vo"
Г--
oo
о
ON
CO
ON
o"
r»
vo
r-
co
co^
со"
00
in
о
CO
VO
VO
in
о
in
Tf"
<3
со"
vo
oo
о
о
CN
ON
o"
-4-
in
CO
-Ч-"
CO
in
о
in
»n
VO
in
in
in
^■"
oo
CN
in
oo
о
CN
ON
00
о
Ю
CO
CO
oo
ТГ
ON
-«■
о
m
^t
VO
-*
vo
^-"
CO
o"
тГ
00
о
CN
CN
oo
00
о
о
о"
со
°\
in"
in
^t
о
r-
co
VO
oo
VO
■*r
co^
Г-"
CN
oo
о
CO
CN
r-
00
о
in
in
oo
CN
СЮ
vo"
5-
о
oo
CN
VO
VO
m
r^
^
Ю
со"
oo
о
^t
CN
VO
oo
о
°\
VO
CN
oo"
Г*-
co
о
oo
vo
•41-
-<fr
00
^■"
o^
On"
ON
r-
о
m
CN
r-
oo
о
^t
Г-"
CO
CN
t>
ON"
in
CO
о
in
о
VO
ON
-"3-
ON
Tf"
o^
Tf"
00
r^
о
ЧО
CN
oo
oo
о
00
-«4-
CN
VO
^r
CN
CO
CO
о
о
On"
in
о
r--
o^
m"
°\
Г-"
vo
r-
о
r^
CN
о
ON
о
CO
ON
Г-;
со"
CN
CO
о
^
Г-"
in
о
CO
CN
m"
r^-
o"
m
r-
o
oo
CN
CO
ON
о
r-
oo
vo
CN
vo"
CN
ON
CN
о
oo
in
in
in
00
■^
in
co^
CN
CO
r^
о
ON
CN
r-
ON
о
CN
Tt
^r
CN
On"
CN
oo
CN
о
о
^t
in
vo
CO
l>
in"
in
CN
r^
о
о
со
со
о
г-
о
CN
ON
CN
со
oo
CN
о
со
CN
in
r^
o^
vo"
ON
vo
о
CO
_
о
oo
ON
CN
oo"
CO
oo
CN
о
VO
О
m
■*■
r-
in
vo"
r^
VO
VO
О
(N
CO
CN
CN
r^
vo"
r-
co^
со"
>^-
r^
CN
О
^f
oo"
Tf
■*■
^f
CN
Г-"
CN
o"
^t
VO
о
CO
CO
ON
CO
О
r>
vo"
in
тГ
со"
in
r-
CN
о
l>
in
■t
in
VO
oo"
о
VO
о
^1-
co
о
vo
vo
00
CO
00^
vo"
vo
VO
CN
О
О
CO
Tf
^f
о
«n
On"
^
Tf"
r^
«n
о
in
CO
in
CO
CN
(N
o"
CN
ON
О
VO
CN
О
in
ON
CO
00
со"
©^
oo"
CN
m
©
vo
CO
On
r-
vo
r-
"*"
"^
VO
CN
VO
CN
©
Г-
CO
CO
CN
co^
in
©"
•n
■*■
©
l>
CO
ел
чо
U)
"-J
о
to
о
ел
К)
о
-р*
оо
-р*
ел
Я4
ел
to
о
о
о
Os
Os
н-
О
ео
о\
о
оо
ON
"-О
4^
-Р*
О
-о
чо
-о
to
LO
О
ео
tO
-J
VO
О
К)
о
to
ел
К)
ео
U)
ел
о
ел
ел
U)
-о.
U)
On
00
ЧО
On
К)
4*.
О
-О
О
о
К)
-Р*
4^
О
ео
ео
-^
о
On
"о
оо
чо
К)
-J
On
О
ы
^J
К)
ео
ел
ЧО
ео
о
4^
О
К)
-о
К)
U)
ео
ел
ео
ео
о
К)
00
ел
-J
-J
о
ео
чо
-«J
чо
00
оо
оо
К)
ел
-о
о
о
ю
00
Os
ео
К)
о
ы
"чо
о
Os
-Р*
<1
К)
to
ео
оо
00
ю
о
Os
-J
ел
U)
р
ел
ео
to
ел
о
U)
о
чо
оо
-о.
о
ел
-Р*
ел
00
U)
ю
ел
tO
-о.
оо
Os
оо
ео
оо
о
о
ео
ю
К)
чо
ео
о
о
00
ел
ЧО
to
4^
Os
to
4^
О
4^
ео
Os
ю
оо
о
Os
К)
Os
00
О
OS
to
ео
К)
ЧО
о
4*.
4^
ел
ео
чо
ел
4^
-о
Os
ео
ел
Os
чо
4^
ел
оо
to
о
о
ел
to
Os
to
о
ю
оо
о
Os
4ь.
^
ео
ео
чо
ел
-Р*
to
ЧО
ел
К)
ео
4^
ел
4^
оо
чо
р
Os
о
о
ЧО
о
К)
-J
о
ел
ел
о
ел
ю
00
о
ЧО
Os
О
4^
4^
4^
00
ел
ел
о
Os
О
о\
оо
оо
оо
К)
К)
Os
о
4^
Os
ЧО
-Р*
М
ео
-J
to
Os
Os
4^
-Р*
4^
Os
00
4^
оо
о
ео
р
"-о
чо
4^
-J
ел
to
ел
о
ео
чо
-О
ОО
ЧО
ЧО
ОО
-0
ел
00
4^
^
ел
00
4^
ел
to
р
"чо
ео
Os
оо
to
4*>
О
ео
ео
4^
ОО
Os
-о
Os
-J
Os
ел
Os
ео
оо
оо
-рь
ю
ЧО
О
Os
Os
К)
ео
О
ЧО
оо
ео
ЧО
ЧО
ОО
ео
о
ео
Os
ео
4*.
4^
О
ЧО
4^
То
-Р*
ел
-Р*
К)
to
о
ео
ю
о
^
Os
to
оо
ел
--J
00
ео
4^
о
оо
ео
00
ЧО
Os
ел
■Р*
-о
ю
о
ЧО
о
оо
чо
ел
оо
00
чо
о
о
ел
ео
^
чо
ЧО
ео
-J
ю
to
"-J
4^
ю
о
о
ел
ел
ел
~о
оо
Os
to
чо
4*.
О
^1
ео
о
to
ео
ео
ел
4^
«о
о
ео
ео
Os
ЧО
О
to
ел
ел
Os
ео
ЧО
-J
ЧО
-о
оо
оо
to
оо
ел
Os
ео
4^
ЧО
to
-Р*
ео
о
оо
о
о
о
ео
ел
^-
ел
-о
to
о
ел
to
to
-J
о
ЧО
ео
ю
Os
00
JO
"чо
ео
to
ел
-о
о
-о.
ЧО
to
4^
К)
Ю
to
О
4^
ЧО
ел
to
ел
оо
ео
ео
to
00
ео
ел
-о.
to
Os
О
Os
ОО
ео
to
ел
оо
to
о
чо
to
Os
to
4^
■-J
ЧО
ео
о
to
4^
"ео
чо
ОО
ел
о
-Р*
Os
to
ел
4^
-0
to
-Р*
ео
ю
ео
чо
ел
to
00
оо
4^
ел
"4^
Os
4*.
О
ео
Os
ЧО
Os
о\
to
-р*
ел
о
to
ео
ел
to
-о
ЧО
Os
ОО
ЧО
to
ео
О
to
о
4^
ЧО
Os
ю
<1
4^
ео
to
to
ел
-о
to
Os
00
Os
оо
ел
to
О
,
ЧО
ОО
~^
to
ю
К)
о
to
оо
to
to
о
Os
to
ел
ЧО
ео
Os
о
ЧО
О
4^
ео
О
оо
to
Os
to
to
ео
О
о
to
^
•-J
-J
К)
-р*
00
ЧО
ел
"о
-о
о
чо
о
о
"о
ео
о
ел
ЧО
00
to
to
ел
Os
ОО
to
^
ео
ел
to
ео
~о
ю
to
о
о
to
о
00
ЧО
о
р
"о
о
о
-Рь
ю
ео
to
to
to
оо
ео
чо
ЧО
~о
to
4^
о
-о
to
00
"to
Os
о
ЧО
ЧО
00
о
о
-о
ео
Os
о
to
чо
ео
ю
to
ео
о
чо
чо
Os
-о
to
ео
о
ЧО
ео
Os
ео
о
ЧО
ЧО
^J
О
р
"ео
On
О
ЧО
00
to
ео
ео
ео
чо
-Р*
to
to
to
4^
ел
Os
"чО
О
О
ЧО
ЧО
Os
О
О
ЧО
ЧО
to
о
ео
О
to
to
ео
ел
оо
чо
to
ео
to
to
to
оо
ео
"оо
00
о
чо
чо
ел
о
р
to
ео
ео
о
"о
оо
ео
о
ео
to
ео
оо
to
чо
О
^J
to
о
ео
4^
to
jO
"ел
о
ЧО
ЧО
£»
О
О
"о
-о
ео
оо
р
"о
ел
-о
to
4^
о
Os
ОО
ЧО
ел
ЧО
ел
ео
to
о
р
"-J
о
о
ео
О
р
"о
4^
to
-р*
р
"о
ео
О
ео
to
4^.
ео
о
оо
оо
ел
оо
оо
ео
ео
to
00
"ЧО
о
о
to
о
р
"о
К)
ео
4*
О
"о
^J
to
чО
to
-р*
ел
ео
00
о
-о
оо
ю
4^
ел
Os
ео
"-J
О
о
, ,
о
р
"о
to
ео
р
"о
о
чо
ео
чо
to
4*>
-J
О
ОО
Os
ЧО
-о
-о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Os
р
"о
о
4^
00
ел
to
ел
о
о
оо
Os
Os
ЧО
-J
ОО
оо
оо
о
о
а "
я
^ -о
2 "
U)
ft
Я-"*
я
ч
-3
о
ГО
н^ >»
2
о"
43
Таблица П.5. Физические свойства перегретого водяного пара при р = 0,1 МПа
>, °с
~200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
530
3
V, м /кг
2,172
2,219
2,266
2,313
2,359
2,406
2,453
2,499
2,546
2,592
2,639
2,685
2,732
2,778
2,824
2,871
2,917
2,964
3,010
3,056
3,103
3,149
3,195
3,242
3,288
3,334
3,380
3,427
3,473
3,519
3,565
3,612
3,658
3,704
Л, мВт/(м • К)
ш
34,2
35,2
36,2
37,2
38,2
39,2
40,2
41,3
42,3
43,4
44,5
45,6
46,7
47,8
49,0
50,1
51,3
52,4
53,5
54,8
55,9
57,1
58,3
59,5
60,8
62,0
63,2
64,5
65,7
67,0
68,2
69,5
70,8
ц, мкПа • с
16Л8
16,58
16,99
17,40
17,81
18,22
18,63
19,04
19,46
19,87
20,29
20,70
21,12
21,53
21,95
22,37
22,78
23,20
23,61
24,03
24,44
24,86
25,27
25,69
26,10
26,51
26,93
27,34
27,75
28,16
28,57
28,98
29,38
29,79
ср,кДж/(кг-К)
U974
1,976
1,978
1,981
1,984
1,988
1,992
1,996
2,001
2,006
2,011
2,016
2,021
2,026
2,032
2,038
2,044
2,050
2,056
2,061
2,068
2,074
2,080
2,086
2,093
2,099
2,106
2,111
2,119
2,125
2,132
2,139
2,146
2,152
550
Окончание табл. П.5
/,°С
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
и, м /кг
3,750
3,797
3,843
3,889
3,935
3,982
4,028
4,074
4,120
4,166
4,213
4,259
4,305
4,351
4,397
4,444
А., мВт/(м • К)
72,1
73,4
74,6
75,9
77,3
78,6
79,9
81,2
82,4
83,9
85,2
86,6
87,9
89,8
90,6
92,0
ц, мкПа • с
30,20
30,60
31,01
31,41
31,81
32,22
32,62
33,01
33,41
33,81
34,20
34,60
34,99
35,39
35,77
36,16
ср,кДж/(кг-К)
2,159
2,166
2,173
2,180
2,187
2,194
2,200
2,206
2,213
2,220
2,227
2,234
2,241
2,248
2,255
2,262
Таблица П.6. Физические свойства сухого воздуха (р = 0,101 МПа)
/,°С
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
120
р, кг/м
1,395
1,342
1,293
1,247
1,205
1,165
1,128
1,093
1,060
1,029
1,000
0,972
0,946
0,898
Ср,кДж/(кг-К)
1,009
1,009
1,005
1,005
1,005
1,005
1,005
1,005
1,005
1,009
1,009
1,009
1,009
1,009
Я., 10"2Вт/(м-К)
2,28
2,36
2,44
2,51
2,59
2,67
2,76
2,83
2,90
2,96
3,05
3,13
3,21
3,34
ц, Ю-6 Па-с
16,2
16,7
17,2
17,6
18,1
18,6
19,1
19,6
20,1
20,6
21,1
21,5
21,9
22,8
V, 10^м2/с
12,79
12,43
13,28
14,16
15,06
16,00
16,96
17,95
18,97
20,02
21,09
22,10
23,13
25,45
Рг
0,716
0,712
0,707
0,705
0,703
0,701
0,699
0,698
0,696
0,694
0,692
0,690
0,688
0,686
551
Окончание табл. П.6
/,°С
140
160
180
200
250
300
350
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
р, кг/м
0,854
0,815
0,779
0,746
0,674
0,615
0,566
0,524
0,456
0,404
0,362
0,329
0,301
0,277
0,257
0,239
ср, кДж/(кг • К)
1,013
1,017
1,022
1,026
1,038
1,047
1,059
1,068
1,093
1,114
1,135
1,156
1,172
1,185
1,197
1,210
А., 10"2Вт/(м-К)
3,49
3,64
3,78
3,93
4,27
4,60
4,91
5,21
5,74
6,22
6,71
7,18
7,63
8,07
8,50
9,15
ц, Ю^Па-с
23,7
24,5
25,3
26,0
27,4
29,7
31,4
33,6
36,2
39,1
41,8
44,3
46,7
49,0
51,2
53,5
v, IO^rAc
27,80
30,09
32,49
34,85
40,61
48,33
55,46
63,09
79,38
96,89
115,4
134,8
155,1
177,1
199,3
233,7
Рг
0,684
0,682
0,681
0,680
0,677
0,674
0,676
0,678
0,687
0,699
0,706
0,713
0,717
0,719
0,722
0,724
Таблица П.7. Физические свойства дымовых газов
(р = 0,101 МПа; гСОг = 0,13; гщо = 0,11; гщ = 0,76)
/,°С
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
р, кг/м
1,295
0,950
0,748
0,617
0,525
0,457
0,405
0,363
0,330
0,301
0,275
0,257
0,240
ср, кДж/(кг • К)
1,042
1,068
1,097
1,122
1,151
1,185
1,214
1,239
1,264
1,290
1,306
1,323
1,340
X, 10"2Вт/(м-К)
2,28
3,13
4,01
4,84
5,70
6,56
7,42
8,27
9,15
10,0
10,90
11,75
12,62
v, Ю^мЬс
12,20
21,54
32,80
45,81
60,38
76,30
93,61
112,1
131,8
152,5
174,3
197,1
221,0
Рг
0,72
0,69
0,67
0,65
0,64
0,63
0,62
0,61
0,60
0,59
0,58
0,57
0,56
552
Таблица П.8. Физические свойства трансформаторного масла в зависимости
от температуры
°с
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
Р.
кг/м
892,5
886,4
880,3
874,2
868,2
862,1
856,0
850,0
843,9
837,8
831,8
825,7
819,6
кДж/(кг • К)
1,549
1,620
1,666
1,729
1,788
1,846
1,905
1,964
2,026
2,085
2,144
2,202
2,261
Вт/(м • К)
0,1123
0,1115
0,1106
0,1098
0,1090
0,1082
0,1072
0,1064
0,1056
0,1047
0,1038
0,1030
0,1022
10"* Па -с
629,8
335,5
198,2
128,5
89,4
65,3
49,5
38,6
30,8
25,4
21,3
18,1
15,7
V,
10^м2/с
70,5
37,9
22,5
14,7
10,3
7,58
5,78
4,54
3,66
3,03
2,56
2,20
1,92
Р.
10"* К"1
6,80
6,85
6,90
6,95
7,00
7,05
7,10
7,15
7,20
7,25
7,30
7,35
7,40
Рг
866
484
298
202
146
111
87,8
71,3
59,3
50,5
43,9
38,8
34,9
Таблица П.9. Физические свойства масла МК в зависимости от температуры
°с
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
Р.
кг/м
911,0
903,0
894,5
887,5
879,0
871,5
864,0
856,0
848,2
840,7
838,0
825,0
817,0
809,2
СР>
кДж/(кг • К)
1,645
1,712
1,758
1,804
1,851
1,897
1,943
1,989
2,035
2,081
2,127
2,173
2,219
2,265
Вт/(м • К)
0,1510
0,1485
0,1461
0,1437
0,1413
0,1389
0,1363
0,1340
0,1314
0,1290
0,1264
0,1240
0,1214
0,1188
10"* Па -с
35 414
18 560
6180
3031
1638
961,4
603,3
399,3
273,7
202,1
145,2
110,4
87,31
70,34
V,
3883
1514
691,2
342,0
186,2
110,6
69,3
46,6
32,3
24,0
17,4
13,4
10,7
8,70
Р,
10"* к-1
8,56
8,64
8,71
8,79
8,86
8,95
9,03
9,12
9,20
9,28
9,37
9,46
9,54
9,65
Рг
39 000
15 800
7450
3810
2140
1320
858
591
424
327
245
193,5
160,0
133,3
553
Таблица П. 10. Физические свойства масла МС-20 в зависимости от температуры
°с
~А0
0
+10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
150
Р.
кг/м
990,3
903,6
897,9
892,3
886,6
881,0
875,3
869,6
864,0
858,3
852,7
847,0
841,3
835,7
830,0
824,4
818,7
кДж/(кг • К)
U951
1,980
2,010
2,043
2,072
2,106
2,135
2,165
2,198
2,227
2,261
2,290
2,320
2,353
2,382
2,420
2,445
Вт/(м • К)
0,136
0,135
0,135
0,134
0,132
0,131
0,130
0,129
0,128
0,127
0,126
0,126
0,124
0,123
0,122
0,121
0,120
И,
Ю-4 Па-с
—
—
—
10 026
4670
2433
1334
789,5
498,3
336,5
234,4
171,7
132,4
101,0
79,76
61,80
53,17
V,
—
—
—
1125
526
276
153
91,9
58,4
39,2
27,5
20,3
15,7
12,1
9,61
7,50
6,50
Р,
1<Г* к-1
6^24
6,27
6,31
6,35
6,38
6,42
6,46
6,51
6,55
6,60
6,64
6,69
6,73
6,77
6,82
6,87
6,92
Рг
—
—
—
15 400
7310
3890
2180
1340
865
588
420
315
247
193
156
123
108
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А.А., Григорьев Б.А. Теплофизические свойства воды и
водяного пара. М.: Издательство МЭИ, 1998.
2. Аметистов Е.В., Клименко В.В., Павлов Ю.М. Кипение криогенных
жидкостей. М.: Энергоатомиздат, 1995.
3. Блох А.Г. Теплообмен в топках паровых котлов. Л.: Энергоатомиздат. Ленигр.
отд-ние, 1984.
4. Блох А.Г., Журавлев Ю.А., Рыжков Л.Н. Теплообмен излучением:
справочник. М.: Энергоатомиздат, 1991.
5. Галин Н.М., Кириллов П.Л. Тепломассообмен (в ядерной энергетике):
учебное пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1987.
6. Дорощук В.Е. Кризисы теплообмена при кипении воды в трубах. М.:
Энергоатомиздат, 1983.
7. Жукаускас А.А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука, 1982.
8. Задачник по технической термодинамике и теории тепломассообмена:
учебное пособие для вузов / под ред. В.И. Крутова и Г.Б. Петратицкого. М.: Высшая
школа, 1986.
9. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением: пер. с англ. М.: Мир, 1975.
10. Исаченко В.П. Теплообмен при конденсации. М: Энергия, 1977.
11. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача: учебник для
вузов. — 4-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоиздат, 1981.
12. Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Интенсификация теплообмена в
каналах. М.: Машиностроение, 1990.
13. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых
тел: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1985.
14. Кириллов П.Л., Юрьев Ю.С., Бобков В.П. Справочник по теплогидравличе-
ским расчетам (Ядерные реакторы, теплообменники, парогенераторы). М.:
Энергоатомиздат, 1990.
15. Краснощекое Е.А., Сукомел А.С. Задачник по теплопередаче: учебное
пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1980.
16. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи: пер. с англ. М.: Мир, 1983.
17. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.
18. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление:
справочное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1990.
19. Кутателадзе С.С, Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном
пограничном слое. М.: Энергоатомиздат, 1985.
20. Кутепов A.M., Стерман Л.С., Стюшин Н.Г. Гидродинамика и теплообмен при
парообразовании: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1986.
21. Лабораторный практикум по термодинамике и теплопередаче: учебное
пособие для вузов / под ред. В.И. Крутова, Е.В. Шишова. М.: Высшая школа, 1988.
22. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: учебник для вузов. М.: Наука, 1987.
23. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.
24. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М.: Энергия, 1978.
555
25. Машиностроение. Энциклопедия / под общ. ред. К.С. Колесникова,
А.И.Леонтьева. М.: Машиностроение, 1999. Т. 1, 2: Теоретическая механика.
Термодинамика. Теплообмен.
26. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977.
27. Назмеев Ю.Г., Лавыгин В.М. Теплообменные аппараты ТЭС: учебное
пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1998.
28. Осипова В.А. Экспериментальное исследование процессов теплообмена. М.:
Энергия, 1979.
29. Оцисик М.Н. Сложный теплообмен: пер. с англ. М.: Мир, 1976.
30. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование
процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.
31. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкости: пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1984.
32. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости
в трубах. М.: Энергия, 1967.
33. Петухов Б.С. Вопросы теплообмена: Избранные труды. М.: Наука, 1987.
34. Петухов Б.С. Теплообмен в движущейся однофазной среде: Ламинарный
пограничный слой / под ред. А.Ф. Полякова. М.: Издательство МЭИ, 1993.
35. Петухов Б.С, Генин Л.Г., Ковалев С.А., Соловьев С.А. Теплообмен в ядерных
энергетических установках: учебное пособие для вузов. — 3-е изд., перераб. и
доп. М.: Издательство МЭИ, 2003.
36. Петухов Б.С, Поляков А.Ф. Теплообмен при смешанной турбулентной
конвекции. М.: Наука, 1986.
37. Практикум по теплопередаче: учебное пособие для вузов / под ред.
А.П. Солодова. М.: Энергоатомиздат, 1986.
38. Промышленная теплоэнергетика и теплотехника: справочник / под общ. ред.
чл.-корр. РАН А.В. Клименко и проф. В.М. Зорина. — 4-е изд. М.:
Издательский дом МЭИ, 2007. Кн. 4: Теплоэнергетика и теплотехника.
39. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и
вычислительные методы: пер. с англ. М.: Мир, 1987.
40. Седов Л.И. Механика сплошных сред. В 2 т. М.: Наука, 1973.
41. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.
42. Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением: пер. с англ. Л.: Энергия, 1971.
43. Сполдинг Д.Б. Конвективный массоперенос: пер. с англ. М.: Энергия, 1965.
44. Сполдинг Д.Б. Горение и массообмен: пер. с англ. М.: Машиностроение, 1985.
45. Справочник по теплообменникам. В 2 т.: пер. с англ. / под ред. Б.С. Петухова,
В.К. Шикова. М.: Энергоатомиздат, 1987.
46. Теория тепломассообмена: учебник для вузов / под ред. А.И. Леонтьева. М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.
47. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент:
справочник / под общ. ред. чл.-корр. РАН А.В. Клименко и проф. В.М. Зорина. — 4-е изд.
М.: Издательский дом МЭИ, 2007. Кн. 2: Теплоэнергетика и теплотехника.
48. Теплообменные аппараты холодильных установок / под ред. Г.Н. Даниловой.
М.: Машиностроение, 1986.
49. Теплоэнергетика и теплотехника. Общие вопросы: Справочник / под общ. ред.
чл.-корр. РАН А.В. Клименко и проф. В.М. Зорина. М.: Издательский дом МЭИ,
2007. Кн. 1: Теплоэнергетика и теплотехника.
50. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике.
М.: Наука, 1987.
51. Цветков Ф.Ф., Керимов Р.В., Величко В.И. Задачник по тепломассообмену:
учебное пособие для вузов.— 3-е изд., стер. М.: Издательский дом МЭИ, 2010.
52. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена: пер. с англ. М.: Мир, 1988.
53. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: пер. с нем. М.: Наука, 1974.
556
АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно черное тело 431
Автомодельная переменная 168
Адиабатная температура стенки 174
Адиабатное испарение 403
Аналогия Рейнольдса 201, 268, 395
Бародиффузия 377
Бинарная смесь 371
Буферная зона пограничного слоя 193
Вектор плотности диффузионного
потока массы 372
потока массы 372
теплового потока 20
Внешний поток 150
Вынужденное движение 13
Вязкий подслой 193
Вязкостный режим 259
Вязкость динамическая 133
— кинематическая 134
—турбулентная 198
Гетерогенная химическая реакция 410
Гидравлическое сопротивление 243, 533
Гидрофобизатор 325
Гипотеза локального
термодинамического равновесия 433
Гомогенная химическая реакция 410
Градиент температуры 19
Граничное условие 31
Динамическая скорость 193
Дисперсно-кольцевой режим 354
Дисперсный режим 354
Диссипативная функция 140
Диффузионный поток массы 372
Жидкость несжимаемая 132
Задача Блазиуса 158
— Гретца—Нуссельта 253
— Польгаузена 165
Закон Бугера 472
— Вина 436
— внутреннего трения Ньютона 133
— Кирхгофа 432
— Ламберта 429
— Ньютона—Рихмана 31
— Планка 434
— Релея—Джинса 434
— Стефана—Больцмана 437
— Фика 374
— Фурье 24
Замороженная теплоемкость 382
Замороженный поток 410
Изотермическая поверхность 18
Индикатриса рассеяния 496
Интеграл Лайона 270
Интенсивность излучения 428
Интенсификация теплоотдачи 42
Кипение в большом объеме 343
— насыщенной жидкости 356
— пленочное 345
— пузырьковое 344
Кольцевой режим 354
Конденсация из парогазовой
смеси 408
— капельная 302, 325
— пленочная 302
Коридорный пучок труб 295
Кризис теплоотдачи при кипении 360
Критическая плотность теплового
потока 350
— тепловая нагрузка 346
Критический радиус пузырька 335
557
Коэффициент восстановления
температуры 174
— диффузии 374
— излучения 496
— массоотдачи 390
— объемного расширения 137
— ослабления 496
— перемежаемости 192
— поглощения 427, 472, 496
— рассеяния 496
— сопротивления 291
— температуропроводности 29
— теплоотдачи 32
— теплопередачи 40, 528
— теплопроводности 24
— трения 156
— эффективности ребра 66, 69
Ламинарный режим течения 145
Линия теплового тока 21
Массовая концентрация 372
Межфазная поверхность 384
Минимальный радиус пузырька 335
Молярная концентрация 373
Монохроматическое излучение 438
Мощность источников теплоты 28
Направляющая точка 33
Напряжения Рейнольдса 147
Начальный гидродинамический
участок 241
— термический участок 247
Объемная доля компонента 373
Объемное паросодержание 353
Оптическая толщина слоя 473
Относительная влажность 373
Отрывной диаметр пузырька 342
Параметр проницаемости 391
Перемежаемость течения 189
Плотность турбулентного теплового
потока 147
Пограничный слой динамический 150
диффузионный 387
ламинарный 149
Пограничный слой тепловой 152
турбулентный 188
Поверхностное кипение 356
Поглощательная способность
интегральная 438
спектральная 438
Полупроницаемая поверхность 385
Поток излучения 428
Равновесное тепловое излучение 431
Радиационно-конвективный
теплообмен 14
Радиационно-кондуктивный
теплообмен 14
Расходное массовое
паросодержание 352
Регулярный режим 112
Рейнольдсов поток 395
Свободная конвекция 144
Серое тело 438
Серый газ 473
Сложный теплообмен 508
Смешанная конвекция 13
Смешанный режим течения
пленки 314
Снарядный режим движения паро-
жидкостной смеси 354
Сопротивление фазового
перехода 303
Средняя массовая скорость 354, 371
температура 246
энтальпия 245
Степень турбулентности 188
— черноты 439
Стефанов поток массы 400
Темп регулярного режима 113
Температура торможения 174
Температурное поле 18
Температурный напор 524
Тепловой поток 19
Теплообменный аппарат 512
регенеративный 516
рекуперативный 514
Теплоотдача 14
Теплопередача 40
558
Термическое сопротивление 36, 302
Термогравитационная сила 137
— конвекция 13
Термодиффузия 377
Толщина вытеснения 181
— потери импульса 181
— потери энтальпии 182
Точка отрыва пограничного слоя 157
Тройная аналогия 394, 398
Турбулентный режим течения 145
Угловой коэффициент излучения 452
обобщенный 482
разрешающий 465, 466
Уравнение диффузии 377
— Навье—Стокса 136
— неразрывности 131, 378
— Прандтля 154, 156
— Рейнольдса 147
— теплового баланса 521
— теплопередачи 528
— теплопроводности 27
— Фолкнера—Скэн 169
— Фурье—Остроградского 139
— энергии 138, 381
Число Био 60, 61, 100
— Грасгофа 144
Число Грасгофа диффузионное 393
— Дамкеллера 411
— единиц переноса 526
— Льюиса 382
— Маха 132
— Нуссельта 143
— Нуссельта диффузионное 392
— Пекле 142
— Прандтля 143, 382
— Прандтля диффузионное 383
турбулентное 198
— Рейнольдса 142
— Релея 221
— Стантона 164
— Стантона диффузионное 394
— Фурье 94
— Эккерта 175
Центры конденсации 301
— парообразования 334
Шахматный пучок труб 295
Шероховатость стенки 275
Эквивалентный диаметр 243
Энтальпия образования 411
— торможения 173
Эффективная длина луча 474
Учебное издание
ЦВЕТКОВ Федор Федотович
ГРИГОРЬЕВ Борис Афанасьевич
ТЕПЛОМАССООБМЕН
Учебник для вузов
Редактор Н.Н. Сошникова
Технический редактор Т.А. Дворецкова
Корректор В. В. Сомова
Компьютерная верстка Н.В. Пустошновой, В.В. Пак
Подписано в печать с оригинала-макета 03.02.2011 Формат 60x90/16
Бумага офсетная Гарнитура Times Печать офсетная
Усл. печ. л. 35,5 Уч.-изд. л. 33,75
Тираж 1000 экз. Заказ № 3671
ЗАО «Издательский дом МЭИ», 111250, Москва, ул. Красноказарменная, д. 14
Тел/факс: (495) 361-1681, адрес в Интернет: http://www.mpei-publishers.ru,
электронная почта: publish@mpei.ru, publish@mpei-publishers.ru
Отпечатано в ППП «Типография «Наука», 121099, Москва, Шубинский пер., д. 6