Г. к. КЛЕЙН
 РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 9
 ЫСШАЯ ШКОЛА 1864

ПРЕДИСЛОВИЕ
 В последние годы теория давления грунтов и теория расчета чодпорных стен получили в Советском Союзе значительное развишс и уточнение в нескольких направлениях.
 1. На смену старой теории давления грунтов, основанной на щэубых допущениях Кулона, появилась строгая теория В. В. Соколовского, которая в настоящее время уже достаточно разработана £ используется во многих случаях практики.
 2. Установлены пределы практической применимости теории Кулона; в тех же случаях, когда она дает недопустимые погрешности (пологие стены и нижние грани ломаных стен), внесены необ-
 одимые уточнения, сближающие результаты этой теории с теми, оторые дает теория В. В. Соколовского.
 v 3. Взамен старой методики расчета подпорных стен по разруI ющим нагрузкам и общему коэффициенту запаса уже не только
 вменяется, но и получила официальное утверждение в Строительных нормах проектирования мостов (СН-200—62) методика расчетных предельных состояний с расчлененным на составные VacTH коэффициентом запаса.
 4. Разработана новая методика проверок устойчивости подпорной стены, учитывающая прочность и деформацию ее основания И соответствующая новой трактовке коэффициента запаса, f 5. Взамен применяемых в настоящее время формул теории ' других тел (теории «Сопротивления материалов») для определения апряжений в материале подпорной стены получили широкое рас ространение и официальное утверждение формулы, учитывающие ластичность таких материалов, как железобетон, бетон и каменья кладка.
 1 6. Разработана техника подбора. ширины профиля подпорной ггены исходя из существующих требований, и выявлена математиеская связь между результатами, вытекающими из различных < ребований.
 7. Массивные подпорные степы, расчет которых до сих пор только и рассматривался в курсах строительной механики, в значительной степени вытеснены более экономичными тонкоэлементными сборными конструкциями из железобетона.
 Все эти вопросы мало освещены современной учебно-технической литературой и, как правило, не находят должного отражения
 3

в курсах лекций по строительной механике, читаемых в строительных вузах.
 Настоящее пособие имеет целью восполнить указанный пробел и служить учебным пособием по курсам строительной механики и оснований и фундаментов, а также при курсовом и дипломном проектировании.
 Книга содержит 26 примеров расчета, которые окажутся полезными студентам, особенно вечерникам и заочникам, при выполнении расчетно-графических работ и проектов. Книга может быть также использована инженерами-проектировщиками.
 При ее написании использованы новейшие нормативные и литературные данные, а также собственные работы автора в данной области.
 Автор приносит благодарность профессору доктору технических наук И. А. Симвулиди и старшему научному сотруднику кандидату технических наук Д. Е. Полышшу, рецензировавшим рукопись, за сделанные ими полезные замечания
ГЛАВА 1
 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОДПОРНЫХ СТЕНАХ И МЕТОДАХ ИХ РАСЧЕТА
 § 1. ТИПЫ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Подпорной стеной называется сооружение, удерживающее грунт от обрушения в откосах насыпей и выемок.
 Подпорные стены находят широкое применение в промышлен¬
 а)
 УЛУ ZA
 т
 б)
 Рис. 1

ном, гражданском, дорожном, железнодорожном и гидротехническом строительстве, а также в горном деле и фортификации.
 Различные примеры применения подпорных стен пок;п;ты на рис. 1.
 Грань стены, обращенная в сторону засыпки, называется задн е й, а грань, обращенная в противоположную сторону,— п с р е дн е й (рис. 2).
 Основными геометрическими характеристиками подпорной стены (рис. 2) являются: ее высота гс, ширина поверху 60, ширина по¬
 низу ЬСУ а также угол а наклона задней грани стены к вертикалиДля фундамента стеньг такими характеристиками являются: его высота кф и ширина понизу Ь. Высота стены вместе с фундаментом обозначена через h. Горизонтальные линии, проекциями которых на вертикальную плоскость являются точки 0и Вх, О и В, называются соответственно нижним передним ребром стены, нижним задним ребром стены, нижним передним ребром фундамента и нижним задним ребром фундамента.
 Различают следующие формы свободной поверхности грунта за подпорной стеной (рис. 3): горизонтальную -а, откос (поднимающийся) — б, падающий откос —в, п о л у о ткос — г, ломаную — д, неспл анированную —■ е.
 Классификация подпорных стен может быть проведена по различным признакам.
 1. По назначению исчерпывающая классификация затруднительна, так как в настоящее время подпорные стены находят чрезвычайно большое и разнообразное применение в строительстве. Однако можно все же разделить подпорные стены на стены, поддерживающие насыпи, и стены, ограждающие выемки.
 6

2. По характеру работы нужно различать подпорные стены, отдельно стоящие и связанные с примыкающими сооружениями. Кроме того, следует различать подпорные стены, не подвергающиеся давлению воды, и гидротехнические.
 3. По высоте подпорные стены подразделяются на низкие — высотой до 10 ж, средние — высотой от 10 до 20 ж и в ы с ок и е — высотой более 20 м. Отметим, что самая высокая подпорная стена, сооруженная на Волжской ГЭС им. В. И. Ленина, имеет высоту более 40 м.
 4. По материалу подпорные стены могут быть железобетонными, бетонными, бутобетонными, бутовыми, кирпичными, деревянными или м еталлическими.
 5. По принципу работы различают подпорные стены:
 Массивные (рис. 4, а), устойчивость которых обеспечивается
 в основном их собственным весом и материал (бетон, бутовая или кирпичная кладка) испытывает преимущественно сжимающие напряжения.
 Полумассивные (рис. 4, б), устойчивость которых обеспечивается как собственным весом стенки, так и весом грунта, лежащего на фундаментной плите. Такие стены обычно представляют собой конструкцию из армированного бетона, в которой растягивающие усилия воспринимаются стальной арматурой.
 Тонкоэлементные (рис. 4, в), обычно состоящие из связанных друг с другом железобетонных плит. Устойчивость стен этого типа обеспечивается в основном весом грунта над фундаментной плитой и лишь в небольшой степени собственным весом.
 Тонкие, устойчивость которых обеспечивается защемлением их в основание (рис. 4, г). Для уменьшения глубины заложения таких стенок, а также для повышения их жесткости применяются анкеры.
 Массивные, полумассивные и тонкоэлементные подпорные стены в отличие от тонких можно отнести к категории гравитационных.
 7

6. В зависимости от наклона задней грани можно разделить подпорные стены на крутые (рис. 5, а и б), пологие (рис. 5, е) и лежачие (рис. 5, г). При этом крутые стены могут иметь прямой (рис. 5, а) или обратный (рис. 5, б) уклон.
 7. По способу возведения различают подпорные стены монолитные и сборные.
 Рис. 5
 Монолитные подпорные стены выполняются из бетона, бутобетона, бутовой или кирпичной кладок и железобетона. Их профили могут быть самые разнообразные. Некоторые из них показаны
 а о) 8) г) д)
 е) ж) з) и) о
 на рис. 6 и носят следующие названия: о) прямоугольный, б) трапецеидальный с наклонной передней гранью, в) трапецеидальный с наклонной задней гранью, г) трапецеидальный с наклонными гранями, 5) наклоненный в сторону засыпки, е) с выступающим передним нижним ребром, ж) ломаный, з) ступенчатый, и) с разгрузочной площадкой, к) уголковый.
 Монолитные железобетонные подпорные стены, как правило, делаются уголкового профиля и могут быть консольными (рис. 7, а) или контрфорс ными (ребристыми)
 8

а)
 рдадат
 wl
 £г
 777773 Рис. 7
 f£v777777.1
 (рис. 7, б). Первые состоят из фундаментной и лицевой плит, а вторые для увеличения жесткости всей конструкции имеют еще контрфорсы или поперечные ребра.
 Сборные подпорные стены чаще всего выполняются из железобетона, а по своей конструкции разделяются на следующие типы.
 Стены уголкового профиля могут выполняться из отдельных блоков или плит, собираемых на месте (рис. 8, а), а также в виде цельноперевозимых секций (высотой до 3 м).
 В последнем случае стены по конструкции отличаются от монолитных только тем, что состоят из отдельных коротких (1,S—2,5 м) звеньев.
 Заборчатые стены (рис. 8, б) состоят из отдельных опор, пролеты между которыми заполняются плитами.
 Опоры выполняют в виде столбов или контрфорсов различного очертания.
 Стены из пустотелых ящиков (рис. 8, в), устанавливаемых в один, два и более ярусов и заполняемых песчаным или крупнообломочным грунтом.
 Ряжевые (рис. 8, г), собираемые в виде клетки из отдельных продольных и поперечных элементов и загружаемые мелкозернистым или крупнообломочным грунтом.
 Фундаменты подпорных стен по степени их заглубления могут быть подразделены на два основных типа — неглубокого и
 ж
 ШШ
  Ш
 ж
 ж
 ж
 тш шх

глубокого заложения. К последним относятся такие фундаменты, глубина заложения которых превышает их ширину в 1,5 раза и более.
 Подпорные стены могут быть возведены на естественном основании — скальном или нескальном, на искусственном основании или на сваях (рис. 9).
 § 2. МАТЕРИАЛЫ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Выбор материала подпорной стены и ее фундамента должен быть сделан с учетом многих факторов и требований, среди которых основными являются: высота стены, требуемые долговечность, водонепроницаемость, сейсмостойкость и стойкость против химической агрессии, качество основания, наличие местных строительных материалов, условия производства работ, средства механизации и условия сопряжения с другими сооружениями.
 Железобетонные тонкоэлементные подпорные стены являются наиболее экономичными, по сравнению с массивными бетонными они требуют приблизительно в два раза меньше цемента при незначительном расходе арматуры. Существенным преимуществом железобетонных подпорных стен является возможность применения сборных конструкций и возведения их с непосредственной передачей давления на слабые грунты без устройства искусственного основания.
 При высоте до 6 м консольные железобетонные стены имеют меньший объем, чем ребристые (контрфорспые); для стен высотой от 6 до 8 м объемы примерно одинаковы, а для стен высотой более 8 м ребристая конструкция имеет меньший объем железобетона, чем консольная. Таким образом, для стен средней высоты и высоких наиболее целесообразна железобетонная ребристая конструкция.
 Бетон для железобетонных подпорных стсн должен быть плотным, марки от 150 до 600. Арматурой служат стальные стержни диаметром до 40 мм периодического профиля классов A-II и A-III, а для предварительно напряженных конструкций — высокопрочная проволока.
 Для монтажной арматуры, а также для нерасчетных второстепенных частей сооружений может применяться сталь класса A-I.
 Для сварки стержней арматуры применяются электроды с качественными покрытиями типа Э42, Э42А, Э50А и Э55 по ГОСТ 9467—60.
 Применение бетонных подпорных стси целесообразно только при высокой стоимости и дефиците арматуры, так как прочность бетона в массивных подпорных стенах используется далеко не полностью. По этой причине применение для них высоких марок бетона нецелесообразно, однако по условию плотности не следует применять бетон марки ниже 150. Для уменьшения объема кладки бетон¬
 10

ные подпорные стены могут быть сделаны с контрфорсами. Для бетонных подпорных стен постоянного профиля наиболее экономичным при высоте более 1,5 ж будет профиль с разгрузочной площадкой на уровне около XU высоты стены от обреза фундамента. Однако могут найти применение и профили с наклонной передней гранью, наклоненные в сторону засыпки, с выступающим передним ребром, с наклонной подошвой, а при высоте до 1,5 ж даже и прямоугольные. Применение профилей с наклонной задней гранью, прямоугольных и ступенчатых может быть обусловлено требованием вертикальности передней грани, напрртмер, для причальных стен. Однако надо иметь в виду, что строго вертикальная передняя грань подпорной стены производил впечатление наклонившейся, поэтому ее обычно делают с небольшим наклоном к вертикали (1 2о l-Vso). Наклонную переднюю грань делают с уклоном около 3:1.
 Подпор ные стены из бутовой кладки требуют меньшего расхода цемента по сравнению с бетонными, могут быть возведены в меньшие сроки при более простой организации работ. Применение стен из бутовой кладки целесообразно при наличии камня на месте.
 Бутовая кладка должна быть выполнена из камня марки не ниже 150—200 на портландцементном растворе марки не ниже 25—50, а лучше 100—200. Растворы, помимо прочности, должны обладать пластичностью и водоудерживающей способностью, для чего в их состав рекомендуется вводить пластифицирующие добавки. Для гидротехнических стен применяется бутовый камень марки не ниже 200, раствор портландцемента марки не ниже 50.
 При выборе профиля подпорной стены из бутовой кладки следует руководствоваться теми же соображениями, что и для бетонных стен, однако избегая его усложнения. Применяются подпорные стены с вертикальной или наклонной передней гранью и с разгрузочными площадками. Задняя грань делается вертикальной или уступами. Прямоугольный профиль целесообразен только для стен очень малой высоты или при наличии опоры у верха стены.
 Если на месте имеется рваный или мелкий бутовый камень, то взамен бутовой кладки может быть применена кладка из бутобетона.
 Кирпичные стены допускаются высотой до 3-—4 м. В этом случае рекомендуется применять контрфорсы. Чаще всего кирпичные стены прямоугольного или ступенчатого профиля применяются для небольших подземных сооружений (стенок каналов, колодцев и т. п.). Для наружных подпорных стен, подвергающихся атмосферным воздействиям, киргшчная кладка нежелательна, а для гидротехнических стен непригодна. Для кирпичных подпорных стен применяется хорошо обожженный кирпич марки не ниже 200, на растворе марки не ниже 25. Применение силикатного кирпича не допускается.
 Камень твердых пород, бетоны высоких марок и прочные облицовки применяются при необходимости предохранить стену от вы¬
 11

ветривания, от действия больших скоростей воды, а также и при требовании архитектурного оформления.
 Для бетона, облицовки или внешнего слоя кладки разрешается применять материал, выдерживающий стократное замораживание. Если же сооружение располагается в зоне, где среднемесячная температура наиболее холодного месяца выше минус 5° С, то материал должен выдерживать только пятидесятикратное замораживание.
 При воздействии агрессивной среды следует применять камень устойчивый против агрессии, специальный цемент для бетона и раствора, защитные обмазки или облицовки.
 Для стен, подвергающихся воздействию воды, следует применять гидротехнический бетон (ГОСТ 4795—56 «Бетон гидротехнический»), а также кладку на цементном растворе или гидроизоляцию (цементная затирка, железнение, торкрет, асфальтировка и пр.)
 Ряжевые конструкции могут найти применение для низких подпорных стен при отсутствии на месте камня и заполнителей для бетона, а также для временных сооружений.
 В сейсмических районах высокие и средней высоты подпорные стены следует делать только железобетонными..
 Ширина профиля массивной подпорной стены понизу при скальных и плотных грунтах основания составляет в среднем 1 3 высоты, при грунтах средней плотности — 1 2, при слабых грунтах —2 3, а при давлении воды — до полной высоты стены. Ширина фундаментной плиты тонкоэлементной подпорной стены уголкового профиля обычно составляет 1 2Н-2 3 высоты стены. Однако эти отношения зависят также и от других факторов — от профиля подпорной стены, ее материала и пр. Поэтому приведенные цифры должны рассматриваться как грубо ориентировочные.
 Толщина поверху должна быть не меньше:
 для железобетонных стен 0,16 м
 для бетонных стен 0,4 м
 для бутовых и бутобетонных стен 0,75 м
 для кирпичных стен 0,51 ж
 У бетонных и железобетонных стен фундамент, как правило, составляет одно целое с самой стеной. У кирпичных же стен фундамент выполняется в виде самостоятельной конструкции из бутовой или бетонной кладки, выступая за грани стены и образуя обрезы шириной не менее 15 см и не более высоты фундамента. Выступы фундамента могут быть сделаны ступенчатыми.
 § 3. ПРОИЗВОДСТВО РАБОТ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Способ возведения подпорной стены оказывает влияние на условия ее дальнейшей работы, поэтому при расчете подпорных стен необходимо знать, как будут производиться строительные работы.
 Для сооружения подпорной стены неглубокого заложения на естественном основании, а также для стен на свайном фундаменте
 12

устраивается котлован в виде сплошной продольной выемки (рис. 10). Ширина котлована определяется шириной подошвы сборной конструкции в плане, а для монолитных стен должен быть обеспечен некоторый запас, необходимый для установки подмостей и опалубки.
 Выемка грунта из котлована выполняется механизированным способом, и только зачистка котлована и небольшие выемки в стесненных местах производятся вручную.
 Для разработки грунта применяют одноковшовые экскаваторы с прямой или обратной лопатой, драглайны и гидромониторы.
 При глинистом основании устраивается подготовка из насыпного гравийного или песчаного слоя.
 При возведении подпорной степы на косогоре с уклоном более 1 : 5 ее сопряжение с основанием делается уступами.
 При слабых грунтах подпорная стена делается па свайном фундаменте.
 Для монтажа подпорных стен из сборного железобетона применяются самоходные стреловые краны на автомобильном, пневмоколесном и гусеничном ходу, а также экскаваторы, снабженные сменным крановым оборудованием. Монтаж стенок небольшого веса (до 5 Т) может быть произведен автопогрузчиками.
 В настоящее время стены набережных и других гидротехнических сооружений па участках, затопленных водой, обычно возводятся без ограждения котлована путем монтажа «в воду».
 При строительстве монолитных подпорных стен применяется товарный бетон, укладка которого производится с помощью ленточного транспортера.
 Обратная засыпка котлована за подпорной стеной обычно производится бульдозерами.
 Для обратной засыпки применяют местные крупнообломочные грунты, пески, супеси, а иногда и суглинки, которые уплотняются трамбовками, катками или вибраторами до достижения степени уплотнения 0 95—0,9. Глины, торфы, илы, плывуны и мерзлые грунты для обратной засыпки непригодны.
 § 4. УСЛОВИЯ РАБОТЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Подпорные стены находятся в очень сложных условиях работы, зависящих от многих факторов, одни из которых еще недостаточно хорошо изучены, а другие трудно поддаются математическому опи¬
 13

санию. Особенно сложным оказывается изучение всех факторов в их взаимодействии.
 Грунт, находящийся за подпорной стеной и удерживаемый ею, стремясь под влиянием силы тяжести прийти в движение и занять объем, ограниченный поверхностью естественного откоса, встречает сопротивление стены и оказывает на нее давление. Это давление зависит не только от механических свойств грунта и геометрических размеров стены и откоса, но также и от характера и величины перемещений стены, которые в свою очередь зависят от жесткости самой стены и се основания.
 Давление, оказываемое грунтом по прошествии достаточно большого промежутка времени на абсолютно жесткую и неподвижную стену, называется установившимся или давлеД 7 А нием состояния покоя. Это давление может отличаться от натурального давления грунта в нетронутом массиве, так как последнее сформировалось не только в течение весьма длительного периода, но и при определенных условиях образования, отличающихся от условий искусственного отсыпания грунта за подпорную стену. Сила давления на неподвижную стену обозначена на графике рис. 11 через Q0. При некоторой величине перемещения Д верха стены в ту или другую сторону в грунте образуются сплошные поверхности скольжения. При этом в случае движения подпорной стены в сторону от грунта сила давления его на подпорпую стену достигает своего нижнего предела Qa, называемого силой активного давления, распором или напором, ав случае движения подпорной стены в сторону грунта — верхнего предела Qn, называемого силой пассивного сопротивления или отпором.
 Примерный график, показывающий изменение силы давления Q на подпорную стену в зависимости от величины ее перемещения А, изображен на рис. 11.
 Перемещения подпорной стены носят сложный характер. Они складываются из перемещений стены как твердого тела, зависящих от деформации основания, и из упругих или пластических перемещений, связанных с деформацией самого тела стены. Последние имеют значение только для тонких (гибких) стен. Всякое сложное перемещение подпорной стены как твердого тела относительно основания может быть разложено на три составляющие: горизонтальное перемещение, вертикальное перемещение и поворот вокруг той или иной оси. При абсолютно жестком основании такой поворот
 14

возможен относительно нижнего переднего или заднего ребра, а при деформируемом основании — вокруг некоторой оси, расположенной ближе к середине ширины подошвы.
 При некоторых величинах нагрузок, действующих на подпорную стену, её перемещения могут достигнуть такой величины, что произойдет сдвиг (скольжение) стены по основанию (рис. 12, а)
 а7 5) 4)
 или ее опрокидывание (рис. 12, б). И в том и в другом случае стена теряет устойчивость и перестает выполнять свое назначение как инженерное' сооружение, т. е. наступает его предельное состояние. При недостаточно прочном основании потеря устойчивости стены может произойти при разрушении основания с возникновением в нем поверхностей скольжения, с выпиранием грунта из-под подошвы фундамента и даже с опрокидыванием стены в противоположную сторону (рис. 12, в).
 Предельным состоянием подпорной стены следует также считать развитие в ее основании недопустимо больших по условиям эксплуатации деформаций в виде осадок или кренов.
 Для гидротехнических подпорных стен на нескальном основании предельным состоянием считается также выход равнодействующей R всех сил, передающихся на основание, или ее нормальной составляющей из средней трети ширины подошвы фундамента, что влечет за собой передачу давления на основание не по всей ширине подошвы (рис. 13).
 Кроме этих случаев, предельными состояниями подпорной стены являются также случаи нарушения прочности или трещиностойкости материала самой стены, связанные с появлением недопустимых по величине напряжений или усилий.
 Рассмотренные предельные состояния относятся в основном к эксплуатационному периоду работы подпорной степы. В периоды строительства и ремонта сооружения представляют опасность другие предельные состояния, связанные со способами ведения работ.
 15

Так, например, при транспортировании элементов сборных железобетонных подпорных стен к месту установки и при монтаже может произойти разрушение этих элементов.
 § 5. ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ПОДПОРНЫХ СТЕН И ДЕЙСТВУЮЩИЕ НОРМЫ
 Задача расчета подпорной стены состоит в том, чтобы мм одно из предельных состояний не наступило в течение всего периода ее эксплуатации.
 При этом высота подпорной стены, ее материал, тип м форма профиля предполагаются предварительно выбранными в кшпеимости от тех или других конкретных местных условий.
 Исходя из указанных выше предельных состояний подпорных стен и их оснований должны быть произведены следующие расчеты:
 а) на устойчивость положения самой подпорной стены (имеете с фундаментом и без него) претив сдвига по шжерхности ос ионапин и против опрокидывания;
 б) на прочность грунта основания;
 в) на прочность самой конструкции подпорной стены;
 г) на деформацию грунта основания;
 д) на трещиностойкость элементов конструкции.
 Расчеты на устойчивость и прочность производятся при дейст вии расчетных нагрузок, а расчеты на деформацию — по нормативным нагрузкам.
 Расчет на трещиностойкость производится по нормативным или расчетным нагрузкам в зависимости от характера влияния трещин на условия эксплуатации подпорной стены.
 Во всех случаях расчеты производятся на наиболее невыгодное сочетание нагрузок и должны охватывать различные периоды работы подпорной стены — эксплуатационный, строительный, ремонтный и др.
 Ход расчета может быть прямым и обратным. Прямой ход расчета состоит в том, что по найденным предваритсльно нагрузкам находят минимальные требуемые размеры профиля, в частности ширину подошвы. Однако этот пуп. до сих нор оказывался в большинстве случаев затруднительным, так как для при меняемых на практике профилей, отличающихся от простейших геометрических фигур — прямоугольника, треугольника и трапеции, формулы для требуемой ширины профиля получались слиш ком громоздкими.
 В гл. IX и X приводятся общие формулы, позволяющие найти требуемую ширину подошвы подпорной стены люСн го профиля исходя из различных условий.
 Обратный ход расчета заключается в прожарю ел ьном назначении размеров профиля с последующим» 1П проверками Трудность в данном случае состоит именно в предварительном на 16

значении размеров профиля исходя из целого ряда предъявляемых к нему требований.
 Иногда применяется комбинированный ход расчета, при котором для предварительного назначения ширины профиля применяются приближенные формулы или составленные по ним графики с последующими окончательными проверками, в ходе которых могут быть внесены те или иные сравнительно небольшие изменения размеров профиля.
 Одной из основных нагрузок, действующей на подпорную стену и определяющей размеры ее профиля, является давление грунта.
 Расчет подпорных стен на нескальном основании принято производить на действие активного давления грунта, т. е. на давление, отвечающее состоянию его предельного равновесия, когда подпорная стена получила незначительное перемещение в сторону от засыпки. При этом считается, что такое перемещение будет обеспечено за счет деформации основания.
 Подпорные же стены на скальном основании, а также стены жестких подземных сооружений, испытывающих боковое давление грунта с обеих сторой, должны быть рассчитаны на действие установившегося давления в состоянии покоя.
 Расчет подпорных стен должен производиться в соответствии с общими указаниями Строительных норм и правил, ч. II, раздел
 А, гл. 10 «Строительные конструкции и основания. Основные положения проектирования» (СНиП II-A.10—62) и с указаниями специальных. технических условий.
 Для подпорпых стен гидротехнических сооружений взамен действующих Технических условий и норм проектирования гидротехнических сооружений «Подпорные стенки» (ТУ 16—51) Гидропроектом составлен проект новых Технических условий и норм, в котором методика расчетных предельных состояний почти не отражена. Для расчета оснований гидротехнических подпорных стен следует руководствоваться СНиП, ч. II, раздел Б, гл. 3 «Основания гидротехнических сооружений. Нормы проектирования» (СНиП П-Б.
 а-62).
 Подпорные стены, принадлежащие к конструкциям мостов (например, устои и их основания), должны рассчитываться в соответствии с «Техническими условиями проектирования железнодорожных, автодорожных и городских мостов и труб» (СН 200—62), которые полностью составлены на основе методики расчетных предельных состояний, а также СНиП П-Д. 7—62.
 Что касается подпорных стен промышленных и гражданских зданий и сооружений, то для них специальные указания отсутствуют, но при их расчете должны быть учтены указания Строительных норм и правил, ч. II, раздел Б, гл. 1 «Основания ний и сооружений. Нормы проектирования» (СНиП П-Б. 1—62), а также соответствующие главы, относящиеся к расчету кокет лкций из тех или других материалов.
 17

§ 6. НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
 Все нагрузки, действующие на подпорные стены, разделяются на постоянные и временные. Последние в свою очередь подразделяются на длительно действующие» кратковременно действующие и особые.
 При расчете по предельным состояниям возможное отклонение каждой из нагрузок в неблагоприятную (большую или меш.шую) сторону от ее нормативного значения вследствие изменчивости самой нагрузки или из-за отступлений от условий нормальной эксплуатации сооружения учитывается коэффициентом и (' р егрузки (я). При этом расчетные нагрузки получаются как произведение нормативных нагрузок на соответствующие ко:-х|м|>нцненты перегрузки.
 Значения коэффициентов перегрузки для различных нагрузок, которые могут действовать на подпорные стены, взятые из СН-200—62, приведены в табл. 1. При этом первое значение величины п относится к нагрузкам, увеличивающим расчетное воздействие, а второе — к нагрузкам, уменьшающим расчетное воздействие.
 T л < л и ц а 1
 Нагрузки, действующие на подпорные стены н коэффициенты перегрузки
 Нагрузки
 КОЭ<|И|Н1ЦИОЦТ1Л П1'1Х 1 |>у IKH п
 А. Постоянные
 Собственный вес подпорной стены Давление грунта Давление, передающееся через грунт от постоянных нагрузок, находящихся на его поверхности Давление воды при постоянном ее уровне 1.1 И.'Ш 0,9 1,1.? или 0,0
 1,1 млн 0,1)
 1.1 пли 0,0
 Б. Временные
 Давление, передающееся через грунт от подикжпой нагрузки:
 от автомобильной нагрузки от тяжелых колесных и гусеничных нагрузок от железнодорожного подвижного состава Давление, передающееся через грунт от различных
 неподвижных нагрузок Ледовая нагрузка и нагрузка от навала судна М
 1.1
 1,3
 1< м<чмч' 1,‘2 1,1
 Основные сочетания нагрузок составляются из постоянных, длительно действующих и одной кратковременно депп нующен временной нагрузки.
 Дополнительные сочетания состоят из постоянных, длительно действующих и двух или более кратковременно деГкчвующпх временных нагрузок.
 18

Особые сочетания составляются из постоянных, длительно действующих временных нагрузок, некоторых кратковременно действующих и особых нагрузок и воздействий. К последним относятся сейсмические, аварийные и подобные воздействия.
 При дополнительных сочетаниях коэффициенты перегрузки кратковременных нагрузок умножаются на коэффициент 0,9, а при особых сочетаниях — на 0,8.
 Динамическое действие от нагрузок, передающееся через грунт, обычно не учитывается.
 При определении усилий от собственного веса элементов подпорной стены при их транспортировании и монтаже вводится динамический коэффициент 1,5.
 Для гидротехнических подпорных стен согласно СНиП П-Б. 3— 62 до установления значений коэффициентов перегрузки, однородности и условий работы расчеты допускается производить с применением общего коэффициента устойчивости и с принятием расчетных нагрузок, равных нормативным.
 Для подпорных стен промышленных сооружений пока можно также придерживаться этого правила, так как указания, содержащиеся в СН-200—62, приводят к сильному утяжелению конструкций. Если же пользоваться СН-200—62, то следует принимать более высокие значения коэффициентов условий работы, чем для мостов.
 Нормативную нагрузку от собственного веса подпорной стены определяют исходя из геометрических размеров ее профиля и объемного веса материала.
 Данные об объемных весах ус различных материалов приведены в табл. 2.
 Таблица 2
 Объемные веса материалов
 I именование материалов
 Объемный вес y f 'с
 Г л»
 Железобетон марки не выше 400 2,5
 Бетон вибрироваимый : •
 . > •
 2,4
 Кладка из тесаных или грубоколотых камней:
 2,7
 гранита песчаника 2,4
 известняка Кладка бутовая н бутобетониая:
 М.
 на граните и базальте 2,4
 на песчаниках и кварцитах 2,2
 на известковом камне 2,0
 Кладка кирпичная 1,8
 Асфальтобетон:
 2,3
 среднезернистый песчаный 2,0
 Как указано выше, подпорные стены испытывают давление от грунтовой засыпки, которую они поддерживают. С другой стороны,
 19

основаниями подпорных стен также служат грунты, т. е. горные породы верхних слоев земной коры.
 Для определения давления засыпки необходимо прежде всего знать ее объемный вес и сопротивление сдвигу.
 Для расчета основания необходимо знать модуль деформации и коэффициент Пуассона грунта.
 Объемный вес грунта (вес 1 м3 в Т) зависит от удельного веса частиц, от пористости и от степени заполнения пор водой.
 Объемный вес грунта с порами, частично заполненными нодой и частично воздухом, выражается формулой
 V = -ьу." , (1.1)
 где 7Ч— удельный вес материала частиц грунта, который для большинства минералов, входящих в состав грунта, колеблется в пределах 2,65—2,75 Т м8> а для органических веществ —1,2—1,6 Т ж8; w — весовая влажность, т. е. отношение веса воды и порах грунта к весу его твердых частиц; е — коэффициент пористости, т. е. отношение объема пор к объему твердых частиц грунта.
 При отсутствии воды в порах При полном же заполнении их водой (грунтовая масса) Объемный веч: такого
 грунта определяется по формуле
 (1.2,
 При этом удельный вес воды ув принимается равным 1 Т1м .
 При погружении грунта в воду он взвешивается и передает часть своего веса на воду. Если грунт водопроницаем . , то вода вытесняется из занимаемого ею объема только твердыми частицами, поэтому объемный вес такого грунта с учетом взвешивании составляет
 Твзв - - В = Тек —Г Тзап Тв> (1- 3)
 где 7СК— объемный вес скелета грунта;
 Тск = 7"ПГ— = ТТГ— ■ О-4)
 iCK 1 Ш 1 -f е v 7
 Средние нормативные значения объемных весов, а также дру гие характеристики различных грунтов приведены в табл. 3.
 Необходимо иметь в виду, что приведенные в этой таблице значения объемных весов относятся к грунтам со значительной природной влажностью. Для маловлажных рыхлых грунтов объемные веса находятся в пределах от 1,3 до 1,7 77ж3, а для уплотненных — от 1,6 до 2,0 Т м3. Для грунтов же, насыщенных водой, объемные
 20

Средние нормативные и расчетные физико-механические характеристики грунтов
 Л 5-3
 ООО ООО
 СО О СО СО О со
 со со
 ООО ОО СО СМ СМ
 ООО
 Tf N о
 о
 со
 см
 <М
 С 3 си 2
 :J 1> о я <->
 III II
 о
 о
 I I
 СМ 4
 <=> <=> |
 о о
 • CD
 та о
 5С p. « о ж ж н
 И СО (О
 —< о о
 ООО
 ООО
 (-Н -
 2 > f 2С
 О X С; 'О
 £ си а с чади ?» J- Й «и
 ►р сх 55 ь
 со О оо со
 О0 со см со со со
 СО О со со со
 ш со (N СМ <М
 g. 8 а 5 с "
 VO VO О ООО
 VO VO о
 о о о
 СМ 4
 СМ СМ -ч
 СО CM VO
 СЛ см
 J,
 I I
 О со —I а
 оо см ю см см
 I I I
 ю о со —I см
 ОО см ю см см
 I I I
 ю о со
 со см ю см см
 I I I
 Ю О со
 —I —< CN
 ОО CM lO »—I CM Сч
 I I I
 Ю 0 N
 ООО
 Hi
 Ю СО ООО
 Ю СО N
 000
 1 1 i
 ю со
 ООО
 Й Ю N ООО
 Ю со ООО
 Ю Ю N
 000
 1 1 i
 Ю СО
 ООО
 Ю со
 0 о о
 1 1 1
 Ю со
 ООО
 г.
 > И Й8 к о
 СЗ
 « сх
 »s
 3
 д
 с
 >>
 °к
 3
 н
 PQ
 СЗ
 си
 о
 cq
 с;
 Ci д
 ■= о
 »s
 3
 fr¬
 ee
 5
 CD
 си
 си
 3
 г
 с
 V о
 о
 о
 о
 о
 си
 и
 с
 см
 V
 V
 VO
 аГ
 W
 о
 я
 к
 и
 21

Продолжение табл.
 22

веса могут быть больше тех, которые приведены в табл. 3. Так, объемные веса плотного гравелистого песка и утрамбованной глины доходят до 2,35 Т м8,
 При типовом проектировании согласно СН-200—62 можно принимать для дренирующих грунтов засыпки следующие нормативные значения характеристик грунтов засыпок:
 7=1,8 Т м3 и <р=35°, а в случае механизированного уплотнения грунтов 7=1,9 Т м3 и ср=40°.
 Расчетные значения углов внутреннего трения принимаются меньше нормативных: на 2° при расчете оснований и на 5° при определении активного давления засыпки.
 Определение давления грунта на подпорные стены производится исходя из расчетных значений объемных весов и углов внутреннего трения грунтов.
 Что касается сцепления, то следует иметь в виду, что данные табл. 3 относятся к ненарушенным грунтам оснований, поэтому для засыпок рекомендуется вводить в расчет значения удельного сцепления ниже расчетных.
 Для углов трения ср0 грунтов о грани подпорных стен принимаются следующие расчетные значения:
 а) при обратных засыпках из мелкозернистого, насыщенного водой песка и при действии на подпорные стены динамических
 нагрузок 0 ' <р0< у?;
 б) при относительно гладких гранях подпорных стен о<90<
 в) при весьма шероховатых гранях подпорных стен <р0=9, где 9 — угол внутреннего трения грунта.

Г Л А В А II
 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ГРУ И I ОН
 § 7. СОПРОТИВЛЕНИЕ ГРУНТА СДВИГУ
 Грунты, как и другие материалы, оказывают то или ш; >•' тпротивление при растяжении, сжатии и сдвиге. Прочности ip m:i к основном определяется его сопротивлением гднпгу, так i.«iv пш|ютивление сжатию, зависящее от сопротивлении материл.' .i члетпц смятию, лишь в редких случаях оказывается исчерплшилм, иесмотря на большую величину контактных давлений мс ьчу члетпцами, во много раз превышающих средние напряжения и силишной среде при данных нагрузках. Что касается расти,м-иия, то этот вид силового воздействия на грунт встречается о и ш. редко.
 Рис. 14
 Для испытания грунта на сдвиг применяется прибор. ехемл которого показана на рис. 14.
 Сдвигающей силе Q противодействует сил л сопротивления грунта сдвигу, которая зависит от сил внутреннего трения и ецшлепня. При этом, согласно закону Амонтона — Кулона, сила нпутреппего трения прямо пропорциональна величине силы N, нормлльион к поверхности сдвига, и коэффициенту внутреннего тренп я , который зависит от характера соприкасающихся частиц грунтл п рлвен тангенсу угла <р внутреннего трения грунта, т. е. Сила
 сцепления прямо пропорциональна площади сдвига F и нелнчппе удельного сцепления с.
 24

Таким образом, предельная сила сопротивления грунта сдвигу выражается формулой
 Tnp=Nf cF. (2. 1)
 Если отнести силу сопротивления грунта сдвигу к единице площади F сдвига, то мы получим удельное сопротивление сдвигу или, иначе говоря, предел прочности грунта при сдвиге:
 пр
 1 пр
 Т'
 N
 -у Ш9 С.
 (2. 2)
 Если не учитывать зернистого строения грунта, считая его сплошным и наделенным некоторыми средними механическими характеристиками по всей площади Ft то величина будет нор¬
 мальным сжимающим напряжением и тогда формулу (2.2) можно представить в виде
 пр =--ctg9 C =a'tg<pe
 (2. 3)
 где a'=a0-fa —приведенное нормальное напряжение, т. е. нормальное напряжение с учетом собственного напряжения грунта от действия сцепления;
 давление, обусловленное внутренними силами сцеп¬
 ления, называемое давлением связности.
 Зависимость (2.3) может быть изображена графически в виде диаграммы сдвига, как это показано на рис. 15. При этом, поскольку величина а0 отложена в сторону отрицательных значений 'нормальных напряжений, она определяет сопротивление грунта растяжению.
 Диаграмма сдиига строится для данного грунта по данным испытания его при разных значениях сил N и Q. Начальный участок диаграммы, покиданный на рис. 15 пунктиром, оказывается криволинейным, так как он соответствует неустановившемуся сдвигу. Однако для практических целей этот участок заменяется условным отрезком прямом, что позволяет определить величины угла внутреннего трения 9 и удельного сцепления с.
 Условие равновесия или условие прочности грунта против сдвига выражается неравенством
 Q<Tnp или г<Чпр, (2. 4)
 где т — действующее касательное напряжение, принимаемое равномерным по всей площади сдвига.

Произведя геометрическое сложение сил N и Q, как это сделано на рис. 14, б, найдем их равнодействующую Р, которая отклоняется от нормали к поверхности сдвига на угол 8. Этот угол будем называть углом отклонения.
 Тогда Q=Ntg 8, 'c atgB и условие (2. 4) можно представить в виде
 atgS<Tatgc'Р С.
 Разделив обе части этого выражения на а, получим
 tgS < tg9 — = — tg9-
 (2. 5)
 Для несвязного грунта с=О, и в этом случае о <9.
 Для состояния предельного равновесия (или предельного напряженногосостояни я) в выражениях (2.4) и (2.5) сохраняются только знаки равенстпл.
 Таким образом, для несвязного грунта, находящегося в предельном напряженном состоянии, угол отклонения равен углу внутреннего трения.
 Значения углов внутреннего трения и удельного сцепления различных грунтов приведены в табл. 3.
 Опыты с тем же прибором, снабженным индикатором для измерения перемещений, показывают, что до достижения касательным
 напряжением т его предельного значения тпр, зависимость между касательным напряжением т и перемещением сдвига А по площадке контакта (при постоянном нормальном напряжении а) носит характер, близкий к линейному, подобно тому, как это имеет место в отношении деформаций упругих тел, т. е.
 т = (2.6)
 где £т= tgp — коэффициент пропорциональности, выражающийся в кГ см3.
 Зависимость (2.6) показана графически на рис. 16.
 После достижения касательным напряжением т его предельного значения тпр происходит срыв верхней части прибора с грунтом, носящий характер пластической деформации.
 § 8. ПЛОЩАДКИ СКОЛЬЖЕНИЯ В ГРУНТЕ
 При совмещении осей координат z и х с направлениями приведенных главных напряжений а и а2' нормальное и касательное напряжения по площадке, наклоненной под углом а к оси х, выра¬
 26

жаются следующими известными из курса сопротивления материалов формулами (рис. 17):
 оа —Oj cos2 а а2 sin2a;
 sin 2 а.
 (2. 7)
 Угол отклонения 8 полного напряжения р, действующего по рассматриваемой площадке, от нормали к этой площадке выражается так:
 (oj — o') tga
 о„
 tg8=- - =
 ai °2 2га
 (2. 8)
 б,'=бг
 или
 с, - a9
 sin 8 = —
 о, |-0„
 2 с
 °1 °2 tg ■■(2-9) ,
 Для нахождения наибольшей величины угла отклонения по разным площадкам, проходящим через данную точку, приравняем нулю производную выражения (2.8) по а и из полученного уравнения найдем
 - i a
 Оо
 Рис. 17
 tga = ± у
 (2. 10)
 Наибольшим угол отклонения, который в предельном напряженном состоянии грунта равен углу его внутреннего трения <р, найдем, подставив найденное значение tga в выражение (2.8):
 tgSmax = tg? - ±
 (2. 11)
 2 °i °2
 После ряда преобразований из этого выражения получим:
 ±( 45° т (2.12)
 1.2
 = -°-v °г (1 ± sin 9);
 1 -I- sin 9
 1 ± sin 9
 (2. 13) (2. 14)
 27

Эти формулы показывают, что в каждой точке грунта, находящегося в предельном напряженном состоянии, имеются две площадки, называемые площадками скольжения, по которым угол отклонения имеет наибольшую величину и ни которым вследствие этого произойдет разрушение грунта. Эти площадки составляют с направлением большего главного напря>ы ими о углы 45°—y и углы 45° -|- с направлением меньшего i п.итого
 напряжения а2'.
 Кроме того, эти формулы дают величины главных напряжений и их соотношение при наступлении в данной точке грунта ирг цельного напряженного состояния.
 Подставляя выражения (2.13) главных напряжений ■ , и а2' через нормальные и касательные напряжения ах и xxz в формулу (2 9), получим условие предельного напряженного соапяпня в следующем виде:
 (° — °.v)2 4 = Sin2 <р J аг ох . ('.’.15)
 Если во всех точках грунта, лежащих на некоторой поверхности, наступает предельное напряженное состояние, то эта поверхность называется поверхностью скольжения. При этом весь объем, ограниченный этой поверхностью и отделенный ею от остального грунта, будет находиться в состоянии предельного равновесия.
 Если же предельное напряженное состояние наступает во всех точках какого-либо объема грунта, то этот объем будет на ходиться в предельном напряженном состоянии.
 Частными случаями поверхностей скольжения являются и л о скости скольжения.
 § 9. ИЗОБРАЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ГРУНТА
 Приведенные в предыдущем параграфе формулы могуч' быть также получены из графического построения, покаянного на рис. 18 и известного под названием круга напряжений или круга Мора.
 На оси а прямоугольных координат а их откладываются отрезки ОА и ОВ, изображающие величины главных напряжений ог и о2. На отрезке АВ, равном разности аг и а2, как на диаметре, строится окружность. Для нахождения нормального и касательного напряжений аа и та , действующих по площадке, нормаль к которой составляет с большим главным напряжением о, угол а, нужно построить при центре С центральный угол 2а (или угол а при точке В)у откладывая его положительные значения против часовой стрелки. Точка D, лежащая на окружности, соответствует данной площадке, а ее координаты — нормальному и касательному напряжениям аа и та 28

Угол отклонения 8 выражается на чертеже углом, образуемым секущей OD с осью а.
 При наличии сцепления к главным напряжениям прибавляется с
 давление связности °о= > что равносильно переносу начала координат из точки О в точку О
 Напряжения по площадкам скольжения а и т соответствуют координатам точек Dx и £> , являющихся точками касания прямых 0'DX и 0'£> , проведенных под уголом <р к оси о.
 Углы = 45°—и а2=45° -|-определяют направления площадок скольжения по отношению к направлениям приведенных главных напряжений а и а2'. Возникновение двух симметричных площадок скольжения выражается возможностью проведения из точки О' двух симметричных прямых под углом <р.
 Приведенные напряжения по площадкам скольжения равны между собой, «действительные напряжения по этим площадкам также равны между собой. При этом приведенные напряжения, действующие по площадкам скольжения, оказываются сопряженными, т. е. направление одного из них параллельно площадке, по которой действует другое, и наоборот.
 По всем остальным площадкам, проходящим через данную точку грунта и изображаемым другими точками окружности, например, точкой Д напряженное состояние будет непредельным.
 Для нахождения направления двух плоскостей скольжения,
 29

проходящих через концы данной плоскости, испытывающей заданное давление, более удобны характеристические круги С. С. Голушкевича. Эти круги строятся на прямоугольном треугольнике ABC, один из острых углов которого равен углу внутреннего трения ф грунта (рис. 19).
 Вершина С другого острого угла, равного 90°—9, принимается в качестве центра трех концентрических окружностей: круга полюсов, радиусом которого служит гипотенуза ВС треугольника; круга вершин, радиус которого равен катету АС, лежащему против угла 9; круга площадок, радиусом которого является отрезок CD гипотенузы, отсекаемый перпендикуляром AD, опущенным па нее из вершины прямого угла. Продолжив линию AD до пересечения с окружностью круга вершин в точке Еу получим его хорду АЕ, которая будет касательной к окружности круга площадок и разделит круг вершин на две неравные части.
 Взяв на большей из этих
 двух частей окружности точку М и соединив ее с точками А и Е, получим угол АМЕ, равный половине угла АСЕ, т. е. 90Р—?.
 Для точки М', лежащей на меньшей по длине части окружности круга вершин, угол АМ'Е будет равен 90° 9.
 Поэтому прямые МА и ME (или соответственно прямые М'Л и М'Е) дают направления одной пары плоскостей скольжения из бесчисленного множества таких плоскостей, проходящих через
 концы плоскости, совпадающей по направлению с хордой АЕ. Очевидно, что исходный треугольник ABC, определяющий соотношение между радиусами кругов, может быть построен в любом
 масштабе и ориентирован совершенно произвольно, а равный ему
 треугольник ВСЕ, построенный лишь для доказательства теоремы, при решении конкретной задачи не нужен.
 Эту теорему можно сформулировать следующим образом.
 Если какую-либо плоскость, проведенную в грунте, находящемся в предельном напряженном состоянии, изобразить параллельной ей хордой круга вершин, касающейся круга площадок, то любые две прямые, проходящие через концы этой хорды и пересекающиеся на окружности круга вершин, будут параллельны возможным направлениям плоскостей скольжения, проходящим через концы рассматриваемой плоскости.
 Пример 1. Требуется определить направление плоскостей скольжения, проходящих в грунте через концы плоскости (X, на кото¬
 30

рую действует давление р, составляющее с этой плоскостью угол
 о 15° (рис. 20, а). Угол внутреннего трения грунта ср—20°.
 Решение- Построив систему кругов С. С. Голушкевича, отвечающую заданному углу <р=20° (рис. 20, б), проводим хорду к1 круга вершен, касательную в точке п к кругу площадок и параллельную плоскости KL. От точки С через точку п проводится прямая до пересечения в точке Е с окружностью круга полюсов. Через точку Е проводится прямая, параллельная направлению давле¬
 ния р, пересекающая круг вершин в точках М' и М. Прямые кМ и 1М определяю' ' направление одной пары плоскостей скольжения, а прямые кМ' и Ш'—другой пары. Таким образом, задача имеет два решения-
 Сила P pKL должна быть разложена на составляющие, действующие на каждой из плоскостей скольжения. При этом сила, действующая по одной плоскости скольжения, оказывается параллельной другой плоскости. Такие силы называются сопряженными. Разложение силы Р на два направления сделано в двух возможных вариантах на рис. 20, в, а их действие на площадки в сыпучем теле показано на рис. 20, а иг.
 § Ю. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ПО ТЕОРИИ В. В. СОКОЛОВСКОГО
 Наиболее строгим и общим методом решения задач теории предельного равновесия грунта является метод члена-корреспондента АН СССР В. В. Соколовского, который рассматривает грунт как сплошную несвязную или связную сыпучую среду и принимает,
 31

что среда под влиянием незначительного перемещения подпорной стены приходит в некоторой области за подпорной стеной в предельное напряженное состояние, т. е. что в любой точке этой области, ограниченной некоторой объемлющей поверхностью скольжения, выполняется условие т=тпр, которое приводит к уравнению (2.15), т. е.
 (° —°J 4tL =s‘n2T z сх -
 Таким образом, в этой области появляется бесконечное множество поверхностей скольжения, образующих два семейства, из которых одно отвечает максимальному предельному состоянию, а другое — минимальному.
 Ввиду того, что подпорная стена по всей длине находится в одинаковых условиях работы, для расчета достаточно выделить участок длиной в 1 пог. му т. е. рассматривать задачу как плоскую относительно деформаций.
 Так как грунт, находящийся в предельном напряженном состоянии, находится также и в равновесии, то для него могут быть использованы дифференциальные уравнения равновесия плоской задачи сплошной среды, известные из курса теории упругости и пластичности:
 W = Т. (2-16)
 dzxz I dgy р
 dz dx u’
 где oz, ox и rZx=rxZ — составляющие полного напряжения по направлению координатных осей z их;
 Y — объемный вес грунта.
 Совместное решение уравнений (2.15) и (2.16), предварительно приведенных к канонической форме, в общем случае выполняется численным методом, который связан с трудоемкими вычислениями. Этим и объясняется то обстоятельство, что теория В. В. Соколовского до сих пор еще не получила на практике того широкого распространения, которое она заслуживает как самая строгая из всех теорий давления грунтов.
 В настоящее время благодаря появлению таблиц готовых коэффициентов давления сыпучего тела на подпорные стены, вычисленных по этой теории, во многих случаях отпала необходимость использования приближенной теории Кулона, которая почти безраздельно господствовала в расчетной практике на протяжении около двух столетий.
 В зависимости от наклона задней поверхности подпорные стены разделяются на крутые, у которых задняя грань служит одной из поверхностей скольжения (рис. 21, а)> и пологие, у которых обе поверхности скольжения проходят внутри сыпучего тела (рис. 21, б). При этом в случае горизонтальной поверхности засыпки к крутым
 32

относятся подпорные стены, у которых (при отсутствии сцепления) задняя грань составляет с вертикалью угол
 1 . sin со0 -тг- arc sin 2 БЩф
 2 ’
 (2. 17)
 где ф0— угол трения засыпки по подпорной стене.
 Переходные значения углов наклона задней грани подпорной стены к вертиотделяющие крутые стены от пологих, приведены в табл. -1.
 Таблица 4
 Переходные значения углов а
 <Р град
 <Ро град
 0
 5
 | 10
 15
 20
 - 25
 30
 35
 40
 45
 10
 0°
 12°30'
 ■Ш°00'
 15
 0°
 7°10'
 16°05'
 37°30'
 —.
 —
 —
 —
 —
 —
 20
 0°
 4°55'
 10° 15'
 17°00'
 35°00'
 25
 0°
 3°20'
 7°05'
 11°30'
 17°00'
 32°30'
 —
 —
 —
 —
 30
 0°
 2°30'
 5°05'
 8°05'
 11°40'
 16°20'
 30°00'
 —
 —
 —
 35
 0°
 1°50'
 3°50'
 5°55'
 8°20'
 1Г15'
 15°25'
 27°30'
 —
 —
 40
 0°
 1°25'
 2°50'
 4°25'
 6° 10'
 8°00'
 10°30'
 14°05'
 25°00'
 —
 45
 0°
 1°00'
 2° 15'
 3°15'
 4°30'
 5°50'
 7°30'
 9°35'
 12°40'
 22°30'
 Для частного, но наиболее часто встречающегося случая, когдз поверхность земли горизонтальна, а подпорная стена со сторонь засыпки плоская, нормальная а и касательная т — составляющие давления грунта в любой точке на глубине z от поверхности (рис. 22) выражаются следующими простыми формулами:
 а = Qy = g yZr т = Т y = т yz,
 (2. 18) (2- 19)
 33

Значения коэффициентов нормальной и касательной составляющих активного давления грунта
 по теории В. В. Соколовского
 34

где — расстояние от верха стены до рассматриваемого се¬
 чения;
 z — глубина рассматриваемого сечения от верха стены;
 7 — объемный вес грунта;
 Q и Т — коэффициенты, значения которых вычислены В. В. Соколовским 21 для пологих подпорных стен и
 3. Н. Буцко 5 — для крутых;
 О — Т
 а=-— и т=—-— коэффициенты, значения которых приведены в табл. 5.
 При этом жирная ступенчатая линия в этой таблице отделяет коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и к пологим стенам. _
 Для крутых подпорных стен коэффициенты а их связаны между собой зависимостью
 т = a ig ср0 = atgS. (2. 20)
 Таким образом, в этом случае полное давление отклоняется от нормали к поверхности стены на угол о=ср0.
 Для пологих же подпорных стен угол отклонения давления от нормали к стене меньше угла трения по ней:
 8 = arc tg < .
 С
 Полная интенсивность давления засыпки на глубине z составляет
 q° — с2 -f 2 = у } f Q2 -f Т2 = 72 }f o2-f т2 —
 -T zt, (2.21)
 i r- ——
 где £=к o2-j-rz2— коэффициент активного давления грунта на подпорную стену.
 Горизонтальная и вертикальная составляющие интенсивности полного давления на подпорную стену выражаются следующими формулами:
 сх = <jf° cos (a-f 8) = 7z£cos(a S) = 7z(acosa—
 — т sin а) = 72 , (2. 22)
 az = q° sin (a 8) = 7 z £ sin (a 8) = 4? (T cos a -f- a sin a) = z£z , (2. 23)
 где _ _
 £ v = cos (a 8) = о cos a — sin a;
 lz = sin (a -f £) = Tcosa 4-asina.
 35

Для этих коэффициентов составлены графики (рис. 23, 24 и 25— сплошные линии) при разных значениях углов а и 9 и при
 трех значениях угла 90, равных 0, и 9.
 К jr ,AZ 1,0
 0,9
 0,8
 0,7
 0,6
 0,5
 ол
 0,3
 0tz
 0,1
 о
 -0,1
 -о,г о,з
 -30° -20° -70° 0 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70" >У ° 30°
 Угол наклона задней грана стены п вертикали им)
 I i i I ) I I L I I I I—I I I I I I I I _J I
 -0.5 р 0,5 1,0 1,5 г з ' Л Woo
 Уклон задней грани стены y вертикали (i tyi )
 Рис. 23
 Для получения условных давлений, отнесенных к вертикальной проекции стены, нужно разделить результаты, пол учаемые по формулам (2. 21), (2. 22) и (2. 23), ка отношение высоты грани к ее
 длине по наклонной, т. е. на “=cos ос. Тогда для интенсивности
 полного давления на глубине г и для его составляющих получим следующие формулы:
 » = = = <2'24>
 36

COS О ' COS Ч (2. 25)
 = Йг = т гК (2. 26)
 где
 х = —i— • х = -£у ■ х = -£ cos a -r cos а ’ г COS а
 Равнодействующая давления (сила давления) на участок стены протяжением г и высотой z— rcos а
 п _ I111 - Tz26 _ JLz. _x (9 97 2 2 cos а — 2 ' 27)
 Равнодействующая давления на всю подпорную стену высотой h
 Q_yJlSC Jh4 __ ? ? о OOV
 V “ 2 “ 2 cos a “ 2
 W OJ 0,8
 0 7 0 6 0,5 0Л 0,3 0 0
 -OS -0.2
 _ -0,3
 -J0° -20° -10° 0 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70°
 наклона задней грана стены к вертикали ( )
 Рис. 24
 37

Горизонтальная и вертикальная составляющие этой силы выражаются соответственно следующими формулами:
 п — -
 Чх 2 cos а 2
 v i2 £ V h2
 Qz = 4r--- >-г.
 2 cos а 2 г
 (2. 29) (2. 30)
 Для идеально гладкой (фо 0) и вертикальной (а=0) подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки (£■=()) активное давление грунта и равномерной нагрузки на его поверхности интенсивностью р при учете сцепления с выражается формулой
 д = 3 = (Т Z р) tg ( 45° - -f) - 2с tg (45°- -?-) (2. 31)
 Пример 2. Требуется определить исходя из теории В. В.Соколовского активное давление грунта на 1 пог. м подпорной стены,
 -30° -20° -Я?° 2 fQ° 2С° JG° 40° 50° €0° 70° 60° 7°
 Угол наклона задней грана стены к вертикали (о?)
 „ _J 1 1- t t 1 _ J L. _ J 1 t I L I i 1 ,i 3 - .»—J
 -0,5 О 0,5 ?,0 f,5 2,0 З.ОЬО W'Ooo
 Уклон задней грана слекы к вертикала (с = tg ос)
 Рис. 25
 38

показанной на рис. 26. Высота стены 4 му угол наклона стены к вертикали а=20°, объемный вес грунта 1,8 Т м3у угол внутреннего трения грунта 9=30°, угол трения грунта о стену 90=15°, поверхность грунта горизонтальная.
 Решение. По графику, показанному на рис. 24, для заданных
 значений 9 = 30°, 90 = и а = 20° находим ?А. = 0,38 и z— 0,25. Горизонтальная и вертикальная составляющие интенсивности ак¬
 тивного давления на глубине h 4 м определяются по формулам (2.22) и (2.23):
 сх = ф х = 1,8 4-0,38 = 2,74 7Ул ;
 Cz = 1,8-4-0,25 = 1,80 Т м2.
 Чтобы отнести интенсивности давлений к вертикальной проекции стены, нужно разделить эти результаты на cos a —cos 20° = =0,94. Тогда получим:
 = "coscT = 0 )4 = 2,92 Т м2’
 r-=irS = 1.91 Т мК
 cos а 0,94
 Полная интенсивность давления у низа стены будет равна д = У (?x ql = j 924-1,91 = 3,49 Т М2.
 Эпюры интенсивностей давлений показаны на рис. 26, а—г. Равнодействующую активного давления грунта на стену можно определить по формуле (2.28) или по площадям эпюр интенсивностей давлений. Избираем последний способ.
 39

Горизонтальная составляющая равнодействующей давления aji -2, 2-4 с 0 .
 Qx -- —' '5’84
 вертикальная составляющая
 qz ЗА = = з,82 Т м,
 равнодействующая активного давления л ah 3.49-4

ГЛАВА III
 УПРОЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТОВ НА КРУТЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
 § 11. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
 Упрощенная теория давления грунтов на крутые подпорные стены, начало которой было положено еще в 1773 году Кулоном, дополненная л развитая Понселе (в 1840 г.), Кульманом (в 1866 г.), Ребханом (в 1871 г.), Леви (в 1883 г.), А. И. Прилежаевым (в 1908 г.),
 В. П. Скрыльииковым (в 1927 г.), И. П. Прокофьевым (в 1928— 1946 гг.), Н. II. Безуховым (в 1930—1939 гг.), В. В. Синельниковым (в 1946 1961 гг.) и другими, приводит к наиболее простому
 решению задами о давлении засыпки на подпорную стену, обеспечивая во многих случаях достаточную точность результатов.
 Эта теория, которую мы, следуя установившейся традиции, будем условно называть «теорией Кулона», основана на следующих допущениях (см. рис. 27).
 1. Принимается, что формой разрушения системы, состоящей из подпорной стены и удерживаемого ею массива грунта, является
 41

перемещение стены в сторону от грунта с одновременным сползанием некоторой призмы последнего по некоторой поверхности скольжения.
 2. Эта поверхность скольжения принимается в качестве плоскости.
 3. В качестве второй поверхности скольжения принимается сама задняя грань стены.
 4. Сползающая призма рассматривается как абсрлютно твердое тело, что позволяет заменить действующие на нее объемные и поверхностные силы их равнодействующими G, Q и R.
 ’ 5. Грунт рассматривается как сыпучее тело, лишенное сцепления.
 6. Система рассматривается в состоянии предельного равновесия, т. е. в состоянии, соответствующем начальному моменту перемещения стены и скольжению призмы грунта. Это позвачяет принять, что реактивные силы, действующие на сползающую призму со стороны стены и со стороны оставшейся неподвижной части грунта, отклоняются от нормалей к соответствующим плоскостям на углы 90 и 9, равные углам трения грунта по этим плоскостям, С другой стороны, поскольку рассматривается начальный момент процесса разрушения системы, оказывается возможным применить условия равновесия к ее первоначальному недеформированному состоянию.
 Кроме того, задача по-прежнему рассматривается как плоская.
 Сползающая призма находится в равновесии под действием трех сил: собственного веса G, реакции Q подпорной стены и реакции R остальной части сыпучего тела.
 Реакция подпорной стены равна искомому активному давлению на нее грунта, но направлена в противоположную сторону.
 Условия равновесия сползающей призмы будут выполнены, если силы G,, Q и R образуют замкнутый многоугольник сил (рис. 27, б), а на поле сил будут пересекаться в одной точке.
 Обозначив угол между вертикальной плоскостью и задней гранью стены через а, а неизвестный угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью скольжения через 0, найдем углы силового треугольника:
 1) ф 90° — а — 90; 2) G —9; 3) 180° — — 0 9.
 Проектируя все силы, действующие на сползающую призму, на ось Uу перпендикулярную к силе R. получим1:
 HU = — G sin (8 — 9) Q sin (ф 8 — 9) =
 отсюда
 п — п s n (в ф) Q 1 у и sin ty 0—ф) ' '
 1 Уравнения (3.1) и (3.2) могли быть получены и путем применения теоремы синусов к треугольнику сил.
 42

Точно так же, проектируя все силы на ось V, перпендикулярную к силе Q, найдем
 R = G , si- (3. 2>
 sin (d> j- о—<p) ' г
 Уравнения (3.1) и (3.2) содержат три неизвестные величины — силы Q и R и угол 0. Что касается силы С, то при данном объемном
 весе грунта она вполне определяется площадью основания сползающей призмы, которая в свою очередь зависит от направления плоскости скольжения, т. е. от угла 6.
 Исходя из теоремы А. А. Гвоздева, согласно которой истинная форма разрушения системы отвечает наименьшему значению разрушающей нагрузки, следует принять угол наклона плоскости скольжения таким, чтобы активное давление на стену было наибольшим. Тогда для опрокидывания или сдвига стены потребуется минимальная допапнительная разрушающая нагрузка.
 Это условие, принятое Кулоном, исходя из принципа экстремальности позволяет составить недостающее уравнение, которое для нахождения Q и R должно быть решено совместно с уравнением (3.1):
 § = 0. (3. 3)
 Производя дифференцирование выражения (3.1) по 0 и приравняв производную нулю, получим уравнение
 dQ dG sin(0 —ф) ,
 dO dfl sin (ф 4-6 — ф)
 -I- Г cos у) sin (< > -j- 6 — У) — sin (0 — ф) cos (ф -f- 6 — ф) _ sin2 (ф -f 0 — <р) При этом
 cos (6 — 9) sin (ф Ь — 9) — sin (6 — 9) cos (ф 6 — 9) = sin «р; поэтому
 отсюда
 dG ,д ч , sin<b л
 d<is,n'е ) G = ’
 п_ dG sin (0— <р) sin(<H-6 —ф) п
 dH? • (3- 4>
 Из рис. 27, на котором линия ЕН проведена под углом < > к линии ВН, видно, что:
 G = у (пл. ABE); dG = — yBEdb;

Подставляя эти выражения в формулу (3.4), получим
 Т(пл. АВЕ) = 4 т № g = -1- ELBH (3. 5)
 ИЛИ
 пл. АВЕ = пл. ВЕН.
 Эту теорему, известную под названием: первой теоремы Ребхана, можно сформулировать так:
 Наибольшее активное давление сыпучего тела на плоскую заднюю грань подпорной стены соответствует такому направлению п л о'с кости скольжения, при котором осно¬
 вание сползающей при зм ы АВЕ равновелико треугольнику ВЕН.
 Приняв точку Н за центр окружности, сделаем в точке засечку радиусом ЕН на линии ВС.
 Площади треугольников ВЕН и EHI, имеющих общую высоту EL относятся друг к другу, как их основания:
 пл. EHI HI ЕН
 пл. БЕН ВН “ ВН ’
 По доказанному ранее, площадь ВЕН равна площади АВЕ. Кроме того, замечаем, что треугольник ВЕН и силовой треуголь-
 ' ЕН Q ник, имеющие равные углы, подобны, поэтому .
 Подставляя эти данные в предыдущее уравнение, получим
 пл. EHI _Q_ Q_
 пл.' ABE G 7 (пл. АВЕ)
 Отсюда можно найти давление грунта на стену:
 Q = 7 (пл. EHI). (3. 6)
 В этом заключается вторая теорема Ребхана, которую сформулируем так:
 Активное давление сыпучего тела на плоскую заднюю грань подпорной стены равно весу призмы с основанием в виде треугольника EHI.
 Условие пересечения линий действия сил G, Q и R в одной
 точке, равносильное равенству нулю суммы моментов этйх сил
 относительно любой точки плоскости, допускает бесчисленное множество положений сил Q Hi?, имеющих заданное направление (рис. 27).
 Рассматривая любое из этих положений (рис. 27, а), составим уравнение моментов относительно точки В:
 44
 У МВ = Qr0 — Rr Gx0 = 0.

Силы Q, R и G, являющиеся сторонами силового треугольника, можно заменить в этом уравнении пропорциональными им синусами противолежащих углов:
 r0 sin (0 — 9) — г sin ф х0 sin (ф 8 — 9) = 0.
 Можно также заменить силы Q, R и G пропорциональными им сторонами треугольника ВЕН, подобного силовому:
 г0-ЕН — г BE-1- х0-ВН = 0.
 В этом уравнении две неизвестные величины г0 и г, которые не могут быть определены однозначно.
 Таким образом, уравнение моментов позволяет связать между собой величины плеч г0 и г, определяющих положение сил Q и R, но не дает возможности определить эти плечи без дополнительных допущений. Эти допущения, определяющие распределение давления по высоте стены, рассмотрены в § 14.
 § 12. ГРАФИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ
 СТЕНЫ
 Одно из таких построений (рис. 28), предложенное Кульманом, основано на графическом нахождении максимума силы Q как функции угла 0.
 Для нахождения опасной плоскости скольжения проводится несколько возможных плоскостей скольжения (ВЕг, ВЕ2... ВЕп) и для каждой из них вычисляются веса сползающих призм Glf G2 Gn. Эти веса в определенном масштабе сил откладываются от точки В на прямой внутреннего трения ВС.
 Через точку В проводится так называемая основная линия под углом 9 90 к задней грани стены и из концов отрезков Gl9 G2 Gn проводятся прямые, параллельные основной ли-
 Рис. 28
 45

«ии, до пересечения каждой из них с соответствующей плоскостью скольжения. Полученные точки соединяются плавной кривой. Все построенные таким образом треугольники оказываются подобными силовым и все линии, параллельные основной, выражают величину силы активного давления Q, соответствующую данной плоскости скольжения.
 Для нахождения наибольшего значения Q к кривой проводится касательная, параллельная линии ВС, и полученная точка касания
 определяет собой опасную плоскость скольжения и наибольшую величину Q.
 Это построение, непосредственно вытекающее из формул (3.1) и (3.3), справедливо при любом очертании поверхности засыпки. При этон силовые треугольники, кривая и касательная к ней иногда строятся отдельно.
 Другое равноценное построение (рис. 29), предложенное М. Г. Бескиным, основано на применении теорем Ребхаиа. В этом случае площади оснований сползающих призм S , S2 п, соответствую¬
 щие различным возможным плоскостям скольжения ВЕг, ВЕ2 ВЕп, откладываются в виде ординат графика, по горизонтальной оси которого отложены соответствующие значения отрезков х. Соединив концы ординат плавной кривой, получим кривую S.
 Точно так же строится кривая F площадей треугольников ВЕгНг, BE2H2j.„. BEnHtr Точка пересечения кривых S и F определит величину х, соответствующую равенству площадей АВЕ и ВЕН> т. е. соответствующую опасной плоскости скольжения.
 Для определения величины активного давления грунта достаточно провести через точку Е прямую EH || AD до пересечения с ВС в точке Н и отложить на линии ВС отрезок HI — EH; умножив площадь треугольника EHI на объемный вес у грунта, получим силу Q активного дааъения его на подпорную стену.
 Если поверхность грунта представляет собой плоскость, то основанием сползающей призмы будет треугольник АВЕ, который 5То первой из теорем Ребхаиа должен быть равновелик треугольнику ВЕН (рис. 30). Так как эти треугольники имеют общее основание BE, то, очевидно, должны быть равны их высоты t, с ледова-
 Рис. 29
 46

тельно, АК ЕН, поэтому КН АЕ и фигура АЕНК является параллелограммом.
 Из подобия треугольников ВЕС и ВКН можно составить пропорции
 ВС ВЕ ВН ВК из подобия треугапьников ВЕН и BKD
 BE __ ВН ВК BD Следовательно,
 — = — или ЯЯ2 = BC-BD. (3. 7)
 ВН BD
 Таким образом, отрезок ВН является среднепропорциональным между отрезками ВС и BD. Если в точке D восстановить перпендикуляр до пересечения с полуокружностью, построенной на ВС, как на диаметре, то хорда BF будет среднепропорциональной между диаметром ВС и прилегающим отрезком BD, следовательно, BF= =£Я.
 В соответствии с доказанным для определения активного давления грунта, ограниченного сверху плоскостью, на подпорную стену можно выполнить построение, предложенное Понселе, в такой последовательности:
 1) проводится линия ВС под углом внутреннего трения к горизонту до пересечения с поверхностью сыпучего тела;
 2) на отрезке ВС, как на диаметре, строится полуокружность;
 3) из точки А проводится прямая под углом (ср-|-ср0) к задней грани стены до пересечения с линией ВС в точке D;
 47

4) в точке D восстанавливается перпендикуляр до пересечения с полуокружностью в точке F;
 5) радиусом BF делается засечка на линии ВС в точке Н;
 6) через точку И проводится прямая, параллельная ADy до пересечения с поверхностью грунта в точке Е 7) т точки Н радиусом ЕН делается засечка на линии ВС в точке ;
 8) точки В в Е соединяются прямой, которая дает след плоскости скольжения, что позволяет определить угол 6;
 9) точки Ей соединяются прямой и находится площадь треугольника EHI; умножив эту площадь на объемный вес грунта, получим силу активного давления грунта на подпорную стену.
 Существует несколько особых случаев, когда данное построение невыполнимо или выполнимо только при некотором его видоизменении.
 1. Поверхность грунта наклонена к горизонту под углом, равным углу внутреннего трения, т. е. когда В—(рис. 31). Построение невыполнимо, так как точка С удаляется в бесконечность. Тем не менее треугольник EHI может быть построен в любом месте между двумя параллельными прямыми. Плоскостью скольжения является плоскость, проведенная через точку В под углом внутреннего трения, а сползающей призмой — весь бесконечно большой объем грунта, заключенный между двумя параллельными плоскостями.
 2. Линия Л А проведенная из точки А под углом ф ?о к поверхности стены, пересекается с линией ВС выше поверхности грунта (рис. 32).
 Построение оказывается выполнимым, но полуокружность нужно строить уже не на ВС, а на BD, так как отрезок ВН должен быть по-прежнему среднепропорциональным между ВС и BD. Треугольники АВЕ и ВЕН, равновелики.
 3. Поверхность сыпучего тела составляет с задней гранью стены угол 9 9о (Рйс- 33).
 Рис. 31
 Рис. 32
 48

Построение невыполнимо, но на основании первой из доказанных выше теорем для нахождения точки Е достаточно разделить А С пополам.
 4. gH-9o>90°.
 При этом линии AD и АС пересекаются с другой стороны напорной грани подпорной стены. Давление на нее не может быть найдено, так как угол ф=90°—а—<р0 оказывается отрицательным, т. е. лиловой треугольник не будет замкнут.
 Пример 3. Требуется определить графически силу давления грунта на подпорную стену высотой 6 м7 если угол наклона
 я Е с
 стены к вертикали а=10°, поверхность грунта горизонтальна, объемный вес грунта у=1,8 Т м3, угол внутреннего трения грунта 9=30° и угол трения грунта о стену ф0=15°.
 Решение. Произведя построение ГГонселе (рис. 34), найдем исходя из принятого масштаба длин размеры треугольника EHI, показанные на чертеже.
 Сила давления грунта на подпорную стену по формуле (3.6)
 Q - т(нл. EHI) = 1,8- -3’923’6 = 12,6 Т м.
 Результат получается в тоннах на 1 пог. м стены по ее длине.
 Плоскость скольжения BE составляет с горизонтом угол 6=60°.
 § 13. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
 Из общей формулы (3.1) для силы активного давления грунта ia подпорную стену можно вывести соответствующую развернутую формулу для случая, когда поверхность засыпки плоская. Для >того используем построение, показанное на рис. 30.

0-G sin(fl-9> -L-rBH-EL ■ s?n<6 9> -
 4 sla e —9} 2 4on sin(i| 9 q>)  VEH.EL -VE№ ч (3.8)
 EH AD. AB. sin.(9.°: tJL-yj gff ,
 CD sinf CD
 Л cos (9 — a) CH
 cos a sin CD ’
 (3. 9)
 ЁТУ
 Отношение gg может быть выражено следующим образом:
 СИ _ ВС — ВН ВС— У ВС- BD CD ' ВС-—BD BC--BD
 = Уя О ДС — УГДД) 3 {0ч
 Vj I ’
 Отношение может быть выражено из треугольников ABD
 к ABC через синусы их углов:
 BD BD-AB sin (9 9„) sin {9 — Р) ...
 ВС AB'BC siiT ' cos(a — g) llt
 Подставляя последовательно полученные значения величин и ЕН в формулы (3.10), (3.9),и (3.8), после преобразований получаем:
 r 1 г-1 г гъ • , I 1 о cos (ф — а) С 2 . .
 Q » -g-т.яЯ»япф « -3-тЛ» зТнИг • -ёог-япф «=
 1 СО»»(ф —а) 2 Г ■ ) sin(ф Фо)sin(ф-Д C0S2acos(а 9 )
 L г COs(a -{- фс) COS (a — Р) j 1 Т W
 или
 Q = i X, (3. 12)
 где a — коэффициент активного давления грунта на подпорную стену, который выражается формулой
 X =, — ■ . (3. 13)
 Г1 1 s£nff Sin -ф К ■Гсоз». -cos (, ф0)
 . L г COS (a -j— ф0) CCS (a-j ) J
 Формула- (3.32) по своему виду совпадает с формулой (2.28), однако коэффициенты активного давления, найденные по методу
 50

Кулона, несколько отличаются от соответствующих коэффициентов, подсчитанных по методу В. В. Соколовского.
 Формуле (3.12) можно придать вид
 ( 14
 2 COS а х 1
 При ЭТОМ
 osa= Г и_ 'l 'sin (д> -J- Фо) sin (9 Р) |2C0S e cos (а L Г cos (а Фо) cos (а — р) J
 - COS2 (9 a) (3 I5)
 l ' COS (a Фо) } sin(y .n P) 2 COSa
 Угол 6, который образует плоскость скольжения с горизонтом, можно определить из силового многоугольника, показанного на рис. 27. Для этого предварительно нужно определить вес сползающей призмы sin (ф I- Фо) cos(a JPo)cos(a-M Q ill2 _ Г sin (9 ф0) sin (9 — ft) ,g jg.
 2 cos2 а я я }
 В частном случае, когда поверхность грунта ограничена горизонтальной плоскостью (Р: 0), а задняя грань стены принимается идеально гладкой (<ро=0), формула (3.13) значительно упрощается и принимает кпд
 >.- tg (45J— 3 -j tga j2cosa. (3.17)
 В этом случае угол наклона плоскости скольжения к горизонту определяется выражением
 ctg о - tg? -|- Y (1 tg2 ф) (l - ) • (3. 18)
 Если, кроме того, стена еще и вертикальная (а=0),
 г i 9 лсо ф 1 — ЭШф COS ф 2
 A = ?-tg2 45°———= —— (3 19)
 2 1 -}- sin ф I -р sin ф v Это выражение совпадает с соответствующим решением В. В. Со¬
 коловского.
 При этом
 6 = 45° -|-
 При плоской поверхности грунта, наклоненной к горизонту под углом р—ф01 и ПРИ вертикальной задней грани стены
 51

X = cos p tg2 ( 45° — j, (3. 20)
 COb<p
 где v-arc coscoi|.
 Если, кроме того, <?0—f, то
 X = cos о; g = cos8 9; 6 = <p. (3. 21)
 Последние две формулы получены Ренкином.
 Горизонтальная и вертикальная составляющие давления грунта выражаются формулами:
 Qx-Q«» (а 9о) - (з. 22)
 Q2 = Q sin (а ) - Л хг. (3. 23)
 При этом в- общем случае коэффициенты лж и Хг выражаются формулами:
 Хдг = cos (а ?0) = ; (3. 24)
 1 У si si :-| Wa
 L г cos (а 9 ) cos (а — р>) j
 Хг = Xsin (а -j- 90) =5= iir- g(° -Pp)_ (3.25)
 | | Ё£ 1?1п (£zl3> 2cos 1 Г Г cos (к -f 9а) cos (а — р) j
 При a so>90° cos (а <?о)<0 и формула (3.13) приводит к мнимым значениям X, так как не удовлетворяются условия равновесия сползающей призмы.
 Увеличенные в 1000 раз значения коэффициентов ).х, вычисленные по формуле (3.24), приведены в табл. 6.
 Для получения величин X и Хг их нужно соответственно разделить на cos (а-)-ф0) и умножить на lg (й ф0).
 Для перехода к коэффициентам х табличные значения Ух должны быть умножены на cos a.
 Пример 4. Требуется определить аналитически силу давления грунта на подпорную стену, рассмотренную в примере 3.
 Решение. Коэффициент активного давления грунта исходя из теории Кулона определяется по формуле (3.13):
 Х =
 cos® (30° — 10°)
 1 у 'cos 10»cos(10° IS")
 1 ¥ cos 10 -f-15 ) cos 10—0 ) J ' '
 0„
 1 1 йте»-Г0-985 -в-906
 — =, 0,378.
 52

Таблицаб
 Коэффициенты Хх по Кулону (увеличение в 1000 раз)
 Уклон задней 1 ранн стены к вертикали i—tg а
 град
 0
 ? 2
 (3 = 0
 ?о — 0
 о -У2
 2
 >=3?
 <Ро = <р
 о
 I О-
 2
 9о= з? ■
 9-
 II
 о
 О-
 15
 523
 480
 469
 449
 589
 552
 542
 524
 835
 20
 417
 378
 367
 348
 482
 446
 435
 418
 762
 —0,2
 25
 330
 295
 286
 270
 388
 354
 345
 329
 675
 30
 257
 229
 221
 207
 306
 278
 270
 256
 587
 4 а = — 11 '20')
 35
 198
 175
 169
 158
 237
 214
 208
 195
 496
 40
 148
 132
 126
 118
 178
 160
 155
 146
 406
 45
 108
 96
 93
 86
 129
 116
 102
 95
 320
 15
 556
 510
 499
 475
 627
 587
 576
 556
 883
 20
 454
 409
 397
 376
 526
 485
 473
 453
 822
 —0,1
 25
 368
 327
 316
 296
 434
 396
 384
 365
 747
 ц <г = — 5°44')
 30
 295
 260
 250
 233
 353
 319
 309
 291
 666
 35
 234
 205
 196
 181
 282
 253
 245
 228
 580
 40
 182
 159
 152
 140
 220
 197
 190
 176
 492
 45
 139
 121
 116
 106
 168
 149
 140
 133
 405
 15
 588
 538
 524
 500’
 665
 621
 609
 587
 933
 20
 490
 440
 426.
 401,
 569
 523
 510
 486
 883
 и
 25
 406
 359
 345
 322
 482
 436
 423
 400
 824
 (а = 0)
 30
 333
 291
 279
 257
 402
 360
 334
 326
 750
 35
 271
 235
 224
 205
 330
 293
 283
 262
 672
 40
 218
 187
 183
 161
 267
 235
 226
 207
 587
 45
 172
 148
 145
 125
 210
 185
 177
 160
 500
 15
 619
 564
 549
 521
 701
 654
 640
 615
 983
 0,1
 20
 525
 469
 453
 424
 612
 561
 545
 518
 948
 (а = 5°44')
 25
 449
 389
 373
 345
 529
 477
 461
 434
 900
 30
 372
 321
 306
 280
 452
 402
 387
 359
 839
 35
 309
 264
 251
 226
 381
 335
 318
 294
 768
 40
 254
 216
 204
 180
 316
 275
 263
 237
 689
 45
 207
 174
 164
 143
 257
 223
 212
 188
 605
 п о
 15
 648
 588
 571
 541
 737
 684
 669
 642
 1036
 U, z 11С9П' 20
 559
 495
 477
 444
 654
 596
 579
 548
 1016
 ( 2 — 11 ZU )
 25
 479
 416
 398
 365
 576
 516
 498
 465
 982
 30
 409
 349
 332
 299
 502
 442
 424
 390
 933
 35
 347
 292
 275
 244
 432
 376
 360
 323
 872
 40
 292
 243
 229
 197
 367
 316
 300
 265
 800
 45
 243
 200
 186
 157
 307
 262
 247
 213
 720
 Сила активного давления грунта на подпорную стену по формуле (3.12)
 Q = = - ® .0,378 = 12,3 'Г м.
 х. 2 2
 От этой величины результат графического решения, паяученный в примере 3, отличается на 2,5 .
 Если исходить из теории В. В. Соколовского, то коэффициент
 53

активного давления можно найти, пользуясь графиком рис. 24. По этому графику находим £ =0,35, =0,15.
 Тогда
 х - —- ——V t t = тп г V 0.3502 0Д502 = 0,385.
 COS a COS а ' х 1 г 0,985 ’
 § 14. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА ПО ВЫСОТЕ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
 Давление грунта на подпорную стену определяется не только величиной и направлением, но также и законом распределения, от которого зависит положение равнодействующей этой нагрузки.
 Для получения закона распределения давления по высоте стены в теории Кулона приходится прибегать еще к одному допущению. Принимается, что при сдвиге стены высотой h (рис. 35, а) давление грунта на ее верхнюю часть, имеющую высоту г не зависит от того, сдвигается или нет нижняя часть стены, т. е. давление будет такое же> как на стену высотой zt.
 В общем случае, когда поверхность засыпки не плоская, для построения эпюры сил давления стена разбивается по высоте ка несколько частей (рис. 35, а) и для каждого горизонтального сечения определяется сила давления на вышележащую часть.
 Откладывая в определенном масштабе на каждой глубине zi соответствующую силу давления QL на всю вышележащую часть стены, получим эпюру сил давления, показанную на рис, 35, в. Ординаты этой эпюры выражаются в Т м или кГ см.
 Ду
 Среднее давление на каждом участке можно найти
 как приращение силы давления на этом участке, т. е.
 «н=- =7Г- <3-26>
 Соответствующая anfopa давлений, построенная на задней грани стены, показана на рис. 35, а. Ее ординаты, отложенные под
 54

углом фо от нормали к плоскости стены, выражаются в Т м2 или в кГ см2. Иногда эти ординаты откладываются нормально к плоскости задней грани стены (рис. 35, б).
 При плоской поверхности засыпки сила активного давления, как это следует из формулы (3.14), пропорциональна квадрату рассматриваемой части высоты стены. Поэтому эпюра сил давления представляет собой квадратную параболу (рис. 36, б).
 Давление на любой глубине z от верха стены можно найти как производную полных давлений по длине грани стены
 £ = "1Г “ = 4z ИгХcosa) = Т cosа = (3.27)
 где а — угол наклона задней грани стены к вертикали;
 X — коэффициент активного давления грунта, определяемый формулой (3.13).
 Таким образом, интенсивность активного давления грунта на стену возрастает пропорционально глубине z и эпюра давлений имеет вид треугольника с наибольшей ординатой на уровне подошвы стены (рис. 36, а):
 q° = cosa — (3. 28)
 Обычно ординаты эпюры давлений для удобства откладываются от вертикальной оси горизонтально. Они дают давление на единицу площади вертикальной проекции задней грани стены и выражаются также в Т м2 или в кГ1см2. Такую эпюру давлений называют условной (рис. 36, в).
 В этом случае вместо зависимости (3.27) будем иметь следующую:
 Ч- = Ч? = -Мт = т - f3-29)
 Площадь треугольной эпюры давлений равна силе активного давления грунта, т. е.
 п Qh _ q°h _ ih.4 Q опч
 — 2 2 cos а 2 • 55

Сила активного давления грунта приложена на уровне центра тяжести эпюры давлений. Так как при плоской поверхности грунта эта эпюра имеет вид треугольника, то ее центр тяжести находится
 на высоте от основания стены (рис. 36).
 В случае неограниченно простирающегося откоса, начинающегося на расстоянии а от верха задней грани стены (рис. 37), эпюра давлений строится следующим приближенным способом.
 Откос продолжается до пересечения с задней гранью стены и строятся две эпюры давлений: одна (с нижней ординатой q) для стены высотбй h при горизонтальной поверхности засыпки и другая (с нижней ординатой' ) для стены высотой кг при поверхности засыпки, ограничен» ной откосом. Обе эпюры' накладываются друг на друга и в качестве расчетной на любой глубине принимается большая из ординат.
 Эпюра давлений на подпорную стену при ломаной поверхности земли получается из трех эпюр: первая (с нижней ординатой q) строится для стены высотой h при горизонтальной поверхности засыпки, вторая (с нижней ординатой qj — для стены высотой hx при наличии откоса и третья (с нижней ординатой q2) — для стены высотой h- h0TK при горизонтальной поверхности засыпки. Эпюры совмещаются так, как это показано ка рис. 38.
 Равнодействующая давления в том и в другом случае определяется как площадь полной эпюры давлений.
 Пример 5. Для подпорной стены, рассмотренной в примерах 3 и 4, требуется построить эпюры давлений.
 Решение. Если исходить из аналитического решения, полученного в примере 4, то нижняя ордината условной эпюры давлений по формуле (3.29) будет равна
 56

д = ф=г 1,8 6 0,378 = 4,07 Т м2.
 Для получения соответствующей ординаты действительной эпюры давлений этот результат нужно умножить на cos a c.os 10°= 0,985. Тогда
 q° — qcosa — 4,07 0,985 = 4,0 Т м2.
 Если задача решается графически, то после определения силы давления грунта Q- 12,6 Т м (см. пример 3) нижняя ордината условной эпюры давлений определяется по формуле
 20 2-12,6
 q = -T= = 4,2 Г ж2.
 Пример 6. Требуется определить давление на подпорную стену от грунта, поверхность которого ограничена полуоткосом 1 : 1,5 высотой hmK = 2 м.
 Высота стены h=6 ж, характеристики грунта: ? — 1,7 Т м'3; <р=35 ?0 10°.
 Решение. Эпюра давлений, показанная на рис. 39, построена для случая, когда поверхность грунта ограничена полуоткосом при отсутствии бермы. Угол наклона иолуоткоса к горизонту
 8 arc tg — arc tg 0,667 - 33°40'.
 1,5
 Угол наклона сгены к вертикали a -arctg 0,333- 18°30'. Коэффициент активного давления грунта на стену при наличии откоса по формуле (3.13)
 cos2 (<р — а)
 t1 V 9о)
 cos2 (35е — 18° 30')
 i л _sin <35:
 L Г COS (18 30'
 Ю°) sin (35° — 33°40')
 10°) cos (18”30'— 33 40')
 0,920 (1 0,139)2 0,898-0,879
 cos2 18°30' cos 28° 30' 0,915.
 Коэффициент активного давления грунта на стену при горизонтальной его поверхности (' - 0) по той же формуле
 57

Нижние ординаты эпюры давлений:
 qx » yh = 0.915. ,7• 6 « 9,32 Т м q = хгТЙотк 4-й) — 0,403-1,7-8 — 5,48 Т лА
 Глубину г, на которой обе эпюры пересекаются между собой» определим из уравнения
 К ( отк 2)
 или после сокращения яа т п подстановки значений X,, Х4 и готк получим 0,915г--0,403 (2 г), отсюда г—1,575 и.
 Ордината эпюры давлений на этой глубине
 Vfz = 0,915-1,7-1,575 - 2,45 Т лА
 Равнодействующая давления грунта на подпорную стену
 „ п , л 2,45-1,575 . (2,45 Б.4ЙМ,425
 Ч-Ч1Т Va — 2 ' 2 ”
 - 1,925 -f 17,5 = 19,425 Т1м.
 § 16. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ КУЛОНА
 Теория Кулона, в основе которой лежит допущение о замене криволинейной поверхности скольжения плоскостью, получила широкое распространение ка практике благодаря своей простоте и возможности применения во многих частных случаях.
 В связи с наличием более строгой теории В. В. Соколовского, в соответствии с которой составлены таблицы коэффициентов активного давления грунта, естественно возникают следующие вопросы:
 1) каково расхождение в результатах по обеим теориям?
 2) какая из этих двух теорий лучше подтверждается данными опытов?
 3) какова область применения каждой из них?
 Эти вопросы в настоящее время приобретают особую- остроту в связи с составлением новых технических условий и норм проектирования подпорных стен взамен устаревших Инструкции Промстройпроекта, ТУ 16-51 Министерства электрос гаиций, Указаний Водгео и других ведомственных нормативов.
 Для ответа на первый вопрос достаточно сопоставить коэффи-

писнты активного давления по Кулону и по В. В. Соколовскому. г)го пока можно сдавать только для частного случая плоской задней поверхности стены, наклоненной под любым углом а к вертикали, при горизонтальной поверхности засыпки. Для других же случаев коэффициенты активного давления по теории В. В. Соколовского еще не вычислены. Сопоставление теорий В. В. Соколовского и Кулона целесообразно произвести отдельно для величин горизонтальных и вертикальных составляющих активного давления, так как на устойчивость подпорной стены эти составляющие оказывают противоположное действие.
 На графиках, показанных на рис. 23, 24 и 25, сплошными лиииями нанесены кривые коэффициентов и d2, вычисленных по методу С- В. Соколовского, а пунктирными — соответствующие кривые по Кулону, т. е. исходя из формул (3.24) и (3.25). Из сопоставления кривых можно сделать вывод, что наиболее значительны расхождения для пологих подпорных стен, обладающих бодь-
 шой шероховатостью (<р0= и особенно <р0=?). Однако и для крутых подпорных стен разница в давлениях может доходить до 15 . При этом для стен с обратным уклоном (а<0) теория Кулона приводит к преуменьшению (до 15 ) горизонтальной составляющей давления и к меньшим отрицательным значениям для вертикальной составляющем но сравнению с теорией В. В. Соколовского.
 При небольших прямых уклонах задней грани (до 40°) горизонтальные составляющие давления грунта по теории Кулона становятся больше, чем по В. В. Соколовскому на величину до 10 . При этом вертикальные составляющие по обеим теориям примерно одинаковы.
 Для больших положительных значений угла а (больше 40°— 50е) уже обнаруживаются значительные расхождения между результатами по Кулону и по В. В. Соколовскому.
 Наконец, для а >90°—<р0 величина cos (а-| 90)» стоящая под корнем в формулах (3.24) и (3.25), становится отрицательной и эти формулы приводят к мнимым значениям величин активного давления засыпки на подпорные стены.
 Резкие расхождения между результатами по теориям Кулона и В. В. Соколовского для больших значений а, т. е. для пологих подпорных стен, следует отнести за счет того, что в этих случаях задняя грань стены уже не служит второй поверхностью скольжения, которая так же, как и первая, образуется в самом грунте (рис. 21). Поэтому на задней грани такой подпорной стены условие предельного равновесия ке выполняется и зависимость между нормальными п касательными напряжениями выражается следующим неравенством:
 (3.31)
 Это обстоятельство при применении теории Кулона обычно не учитывается и ею пользуются без каких-либо ограничений, что
 59

.может привести к заметным просчетам, а иногда даже и к абсурдным результатам.
 Более мелкие расхождения между теориями В. В. Соколовского и Кулона относятся за счет замены криволинейной поверхности скольжения плоскостью, сделанной в теории Кулона в качестве одного из основных допущений этой теории.
 Как показано ниже, к неправильным результатам теория Кулона может привести в том случае, когда ее применяют для определения давления грунта на подпорную стену с ломаным очертанием задней поверхности. Это будет в случае, когда к допущениям Кулона добавляют еще допущение Резал я, сводящееся к тому, что давление на нижние грани ломаной поверхности стены определяется независимо от очертания верхних граней.
 Чтобы ответить на второй вопрос, надо иметь в виду, что специальные опыты, имеющие целью проверку теории В. В. Соколовского, до сих пор не ставились. Те же опыты, которые обычно приводятся в литературе в качестве подтверждения теории Кулона,, еще в большей степени могут служить и для подтверждения теории В. В. Соколовского, так как, во-первых, все эти опыты охватывали как раз ту область, в которой результаты обеих теорий практически совпадают, н, во-вторых, уже А. И. Прилежаевым в 1307 году на основании обработанных им опытов других исследователей и опытов, проведенных им самим, было установлено, что только верхние части поверхностей скольжения всегда близки к плоскостям.
 То обстоятельство, что согласно опытам нижние части поверхностей скольжения могут быть и не плоскими, говорит в пользу теории В. В. Соколовского, а не теории Кулона.
 Из изложенного выше следует, что никаких преимуществ, кроме большей простоты применения, теория Кулона перед теорией В. В. Соколовского не имеет.
 Это единственное преимущество теряет свое значение, если составить на основе теории В, В. Соколовского таблицы коэффициентов активного давления для случаев наклонной поверхности засыпки за подпорной стеной, для случаев ломаных стен и некоторых других.
 Вместе с тем указанные выше ошибки, к которым приводит в ряде случаев неправильное применение теории Кулона, не являются следствием основного допущения этой теории о плоскости скольжения. Эти ошибки, являющиеся следствием игнорирования других обстоятельств, имеющих важное значение для тех или иных частных случаев, могут быть устранены. Такими частными случаями оказываются прежде всего пологие я ломаные стены, которые рассмотрены ниже и для которых приведены решения, основанные на теории Кулона с введением в нее необходимых поправок.
 В настоящее время теорию Кулона следует применять лишь в тех случаях, для которых еще не составлены таблицы коэффициентов активного давления, вычисленных по теории В. В. Соколовского.
 во

Рассмотренные выше теории давления грунта Кулона и В. В. Соколовского наиболее известны и распространены в Советском Союзе. Однако допущения, на которых они построены, не являются единственно возможными, поэтому известный интерес представляют 1еории, построенные на других допущениях, не противоречащих данным опытов. В гл. VIII дается краткое изложение основ некоторых из этих теорий.

ГЛАВА IV
 ДАВЛЕНИЕ НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ОТ НАГРУЗОК, ПРИЛОЖЕННЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ
 § 16. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ
 Здесь мы рассмотрим только методы, основанные на применении теории предельного равновесия.
 Если на поверхность засыпки действует какая-либо вертикальная нагрузка (рис. 40), то опасная плоскость скольжения может быть иной, чем при отсутствии этой нагрузки.
 Однако для любой плоскости скольжения ВБ силовой треугольник при учете нагрузки оказывается подобным силовому треугольнику при отсутствии нагрузки, так как стороны первого G — 64-Р, Q и R остаются соответственно пзраллачьньгми сторонам G, Q h R второго.
 Из подобия этих треугольников следует, что
 (4.1)
 где Р — равнодействующая нагрузки, приложенной на поверхности сползающей призмы;
 Q — сила давления грунта при отсутствии нагрузка, соответствующая данной плоскости скольжения.
 Если найти угол 9, определяющий опасную плоскость скааьжения из условия максимума силы то из силового треугольника можно определить равнодействующую давления на стену от веса засыпки и нагрузки:
 р
 62

(4. 2)
 При этом силы давлений от одной нагрузки и от веса засыпки находятся в таком отношении:
 Р (л о Q G ' ' '
 Если на поверхности сползающей призмы приложена непрерывная нагрузка (рис. 41), то функция, выражающая силу G P, и ее первая производная будут также непрерывными.
 Приращение dG dP складывается из приращения веса сползающей призмы и приращения находящейся на ней нагрузки:
 dG dP = — - 4'BE2db—р0 • BEdQ,
 где р0 — интенсивность нагрузки в месте выхода плоскости скольжения рис 41
 на поверхность засыпки.
 В этом случае, приравняв нулю производную выражения (4.2), получим
 r, , D dG -f dP sin (0 — 9) sin (d> -f 0 — <p)
 So •
 Подставляя сюда вместо производных их выражения, взятые по рис. 41, получаем
 BH-EL '
 G P
 ВН ■ EL , 2 Ре 2 т
 2 BE EL
 (4.4)
 Из рассмотрения чертежа видно, что ВН= НМ, т. е. длине
 ВН • EL,
 перпендикуляра из Н на BE, а — — равно площади треугольна
 ника ВЕН. Если отложить на продолжении BE отрезок £W=—
 и соединить точку N с точкой Я, то площадь треугольника BUN будет равна выражению в скобках.
 Следовательно, в этом случае для отыскания опасной плоскости скольжения первая кривая (рис. 41, б) строится с учетом равнодействующих нагрузок, прибавляемых к весам сползающих призм (кривая G P), а вторая кривая — с учетом добавочных площадей
 треугольников EHN с основанием — кривая 7 ( )1.
 Сила активного давления, возникающего при совместном действии веса грунта и нагрузки, находится из уравнения (4.2), в которое подставляется величина G- -P=run. BHN, а также величины
 63

sin (б — 9)
 EH ВН ’
 sin (<f 0 — cp)
 После преобразований получим
 sin ,(6 — ф)
 Q
 EH-EL
 2P
 EH
 2
 EL
 BE
 9) (4-5)
 В этой формуле' первое слагаемое в скобках представляет собой площадь треугольника ЕШ; в котором HI—EH, и соответствует давлению засыпки при отсутствии нагрузки на поверхности. Второе слагаемое, учитывающее действие этой нагрузки, йыражается площадью дополнительного треугольника HIT, у которого стороны,
 образующие угол 6 — у, равны ЕН и
 Таким образом, при действии непрерывной нагрузки на поверхности засыпки вместо обычного треугольника давлений ЕНI строится четырехугольник EHTI, в котором сторона НТ параллельна
 BE и равна EN— Для построения эпюры давлений на подпорную стену в этом случае можно применить тот же способ, который приведен в § 14 для давления одной засыпки.
 § 17. СПЛОШНАЯ РАВНОМЕРНАЯ НАГРУЗКА
 Рассмотрим частный, но часто встречающийся случай, когда
 поверхность грунта плоская, а
 нагрузка — равномерная интенсивностью р по всей сползающей призме (рис. 42).
 зэг ы
 я
 В этом случае h
 АЕ
 2
 cos
 —cos (ft —р);
 Рис. 42
 Р = рАЕ cos р.
 Подставляя эти выражения в формулу (4.2), получим
 л -р fl • 2 р cos га cos S 1 sin (б — ф)
 L тЛсов(о —р) J
 sin (< > -f в — ср)
 (4.6)
 Так как выражение, стоящее в квадратных скобках, является
 dQ величиной постоянной, то оно в выражении производной =■= О может быть сокращено и тогда это уравнение не будет отличаться от уравнения Это означает, что максимальная величина
 64

Активного давления грунта на подпорную стену при налич сплошной равномерной нагрузки будет соответствовать той же юскости гкольжения, что и при отсутствии нагрузки.
 Исходя из формул (4.1) и (4.6) можно найти равнодейвующую давлений на стену
 о = х 7 2 Г1 4- 2 pcosa cos Р 1 =
 2 I Yh COS (а — р) J
 = xJ |l i£ ? 1. (4.7)
 2 L fh 1 tga tgp J V ’
 Интенсивность давления в любой точке на глубине зт верха стены можно найти, дифференцируя по dz выражение (4.7)тписаниое для части стены высотой z:
 1'. <4-8)
 Из этой формулы следует, что интенсивность давления зрастает
 по закону прямой и давление в каждой точке стены равншвлению qz=} z грунта при отсутствии равномерной нагрузки, которому прибавляется постоянная величина
 (4-9>
 Эпюра давлений показана на рис. 42. Она имеет видтпеции.
 Точка пересечения эпюры с вертикальной осью надится от верха стены на высоте
 Н’. £ Х- =Л0— , (4. 10)
 ° Y 1 tga tgp 0 1 tga tgp V ’
 где hQ= —высота слоя грунта, которым условно м(ет быть
 заменена нагрузка р, если исходить из равегва производимых ими давлений на горизонталью плоскость.
 Величина j а может быть больше или меньнвдиницы
 в зависимости от того, имеют углы аир одинаковые или рные знаки. Эта величина может заметно отличаться от единицыГак, например, п ри a -—20° и р=30° она равна 1,265. Поэтому 'норирование этого множителя допустимо лишь при небольших ачениях аир.
 Если поверхность засыпки — горизонтальная плосксь (Р=0) или если задняя грань стены вертикальная (а=0), то и формулы (4.7) и (4.8) имеют вид:
 д._ХЛ51(1 > (4.,1)
 65

? =--Чтz p)> (4 Л 2)
 Пример 7. Определить давление засыпки на подпорную стену, рассмотренную в примере 4, если на поверхности засыпки действует вертикальная равномерно распределенная нагрузка р—1,2 Т м2.
 Решение. Воспользовавшись результатами, полученными в примере 4, найдем равнодействующую давления сыпучего тела с расположенной на его поверхности нагрузкой по формуле (4.11)
 Q « X J l 2P1=0,378 16- fl s L TAJ 2 1,8-6 = 12,2(1 0,22) = 14,9 Т м.
 Интенсивность давления на уровне верха стены по формуле (4.12) при 2=0
 q0= p = 0,378 -1,2 - 0,454 Т м Интенсивность давления на уровне подошвы стены по формуле (4.12) при z— г—6 м
 q = р) = 0,378(1,8-6 1,2) = 4,54 77ж Центр тяжести трапецеидальной эпюры давлений (центр давления) находится на высоте от подошвы стены
 h(Я 2д0) 6(4,54 -f 2-0,454) _ о |q
 ° 3( <70) 3 (4,54 0,454) ' ’ ‘ § 58. ПОЛОСОВАЯ НАГРУЗКА
 Рассмотрим мучай полосовой неравномерно распределенной нагрузки, начинающейся на некотором расстояний от стены (рис. 43, а). Если плоскость скольжения проходит так, что эта нагрузка располагается за пределами сползающей призмы, то она не оказывает давления на стену. Если плоскость скольжения выходит на поверхность засыпки в пределах загруженного участка, то определение давления на стену производится так же, как в случае сплошной нагрузки, занимающей всю сползающую призму, но при соответствующей величине равнодействующей нагрузки.
 Если, наконец, плоскость скольжения выходит на поверхность за нагрузкой, то последняя целиком прибавляется к ве¬
 66

су сползающей призмы. Кривые, служащие для определения направления опасной плоскости скольжения в пределах расположения нагрузки, имеют дополнительный участок (рис. 43, б). Плоскость скольжения при учете нагрузки (BE) оказывается более крутой, чем при отсутствии нагрузки (BEJ. Однако это обстоятельство при использовании упрощенных методов расчета обычно не учитывается.
 Практически в случае плоской поверхности засыпки и равномерной нагрузки, начинающейся на некотором расстоянии с от верха задней грани подпорной стены и занимающей всю остальную часть сползающей призмы, эпюра давлений строится, как показано на рис. 44. Из точки е, от которой начинается равномерная нагрузка, проводятся линии еа и eb под углами <р и 0 к горизонту. Для части подпорной стены, лежащей выше точки а, эпюра давлений строится без учета нагрузки, а для той части, которая лежит ниже точки 6,—
 с учетом нагрузки. Для среднего участка аЪ подпорной стены на эпюре давлений проводится переходная прямая.
 Для определения угла О следует пользоваться формулами или построением Понселе. Если равномерная нагрузка, расположенная на расстоянии с от задней грани стены, занимает участок d и не доходит до конца сползающей призмы, то эпюра давлений строится согласно рис. 45. Из точек е и е19 в которых начинается и кончается участок нагрузки, проводятся линии ае и а±ех под углом <р к горизонту, а также линии be и bxe под углом 6 к горизонту. Для частей стены, лежащих выше точки а и ниже точки Ь19 эпюра давлений строится без учета нагрузки, для части стены между точками Ъ и ах—с учетом нагрузки. Для частей стены между точками а и Ъ и между точками ах и Ьг на эпюре давлений проводятся переходные прямые.
 Находит применение и еще более упрощенный способ построения эпюры давления — без проведения линий ае и ахех и без переход¬
 Рис. 45
 67

ных прямых на эпюре давлений, которая получает уступы на уровне точек Ь и by.
 Применение этого способа к случаю, когда поверхность стены за подпорной стеной образует полуоткос, показано на рис. 46.
 § 19. СОСРЕДОТОЧЕННАЯ НАГРУЗКА
 Если на поверхности грунта действует сосредоточенная, линейная. равномерно распределенная в направления длины стены нагрузка интенсивностью Р, то при выделении участка стены единичкой длины (рис. 47, а) эта нагрузка рассматривается как сосредото¬
 ченный груз и прибавляется к весу сползающей призмы. Что касается криращения полной нагрузки, то оно ограничивается одним приращением веса сползающей призмы dG. Поэтому при определении направления плоскости скольжения жраая кривая (G P) строится с учетом сосредоточенного груза и имеет под грузом уступ на величину Р, а зторая кризая — так же, как и при отсутствии нагрузки (рис. 47, б). Как видно из этого рисунка, действие сосредоточенного груза приводят к увеличению крутизны плоскости скольжения по сравнению со скучаем отсутствия нагрузки.
 Сила активного давления грунта определяется путем умножения площади треугольника ЕН на обтемный вес грунта. Изменение положения груза Р на поверхности сползающей призмы в пределах между подпорной стекой и точкой Е не оказывает никакого влияния ей на положение плоскости скольжения, ни на величину активного давления. Однако от положения груза Р будег зависеть распределение давления по высоте подпорной стены.
 Перемещение груза Р от точки Е до точки Ех сопровождается поворотом плоскости скольжения вокруг точки В и последовательно уменьшающимся апияянем груза от полной его величины Р до нуля а соответствии с законом изменения кризой yF на этом участке.
 68

При расположении груза Р правее точки Ег он уже не оказывает •влияния на подпорную стену.
 Пол ее простой способ определения давления на подпорную стену от линейной нагрузки, основанный на допущении, что груз Р не меняет направления плоскости скольжения, показан на рис. 48.
 I l:i точки приложения груза Р проводятся прямые ае и be, составляющие углы ср и 6 с горизонтом.
 К треугольной эпюре давлений на подпорную стену от одного носа грунта на участке ab добаачяется дополнительный треугольник, площадь которого, равная равнодействующей давления от силы Р на подпорную стену, определяется исходя т уравнения (4.2) по формуле
 sin (0 — ф)
 (4. 13)
 О =р sin (Ф - О — ф) где 6—угол наклона плоскости скольжения к горизонту без учета силы Р.
 После нахождения равнодействующей Qp дополнительная ордината qp эпюры давлений находится по формуле
 где hp— расстояние между точками а и b по вертикали, т. е. высота части подпорной стены, на которую передается действие силы Р.
 Иногда ординату qp откладывают посредине участка ab, что приводит к менее точным результатам.
 В случае вертикальной (а=0) гладкой (<р0= 0) подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки ((3=0) имеем
 (4. 14)
 в = 45° 2
 hp = с (tg 0 — tg«p)=c
 ф = 90°; К = ctg<p;
 sin (45- — -f)
 COS I
 sin (6 — ф) sin (< ; 6 — ф) 1
 (45° -j) COS(p in (45° --f-)
 «Яф
 (4. 15) (4. 16)
 Чр =
 2 Qp
 cos (45° —-f-)
 2 P tg 45‘ — cos <p
 Ptg(45°—I); (4.17)
 (4. 18)
 69

Пример 8. Требуется построить эпюру нормативных давлений «а подпорную стену, показанную на рис. 49, если на горизонтальной поверхности песчаной'засыпки на расстоянии с—2 м от подпорной стены действует линейная нагрузка интенсивностью Р— 4,5 Т м.
 Объемный вес грунта у—1,9 Т м9, угол внутреннего трения грунта Ф=35°- Угол трения грунта о стену 90=0. Высота подпорной стены h—6 м.
 Решение. По табл. бдлясе—0, ?=0, 9=35° и Фо 0 находим коэффициент активного давления грунта Х 0,271.
 Нижняя ордината эпюры давлений грунта, показанной на рис. 49, равна q =' fAX=l,9-6-0,271 =3,09 Т м . Сила давления грунта
 Q = = 9,27 Т м.
 2 2
 0,72 7 1 >,92 r „i
 В q-3,03 г Рис. 49
 Для построения эпюры давлений от нагрузки Р по формулам (4.15), (4.16), (4.17) и (4.18) находим:
 ц —ctgcp = 2ig35° — 2-0,7 = 1,4 м;
 к-
 cos 35° 0,819
 = 2,45 м;
 Qp — Ptg 45° |Л = 4,5 0,521 = 2,34 Т м-,
 Яр
 1£р. 2 34 = J>92 т м2' h„ 2,46
 Ордината эпюры давления от веса засыпки на этом уровне Ql = yhjk = 1,9-1,40-0,271 = 0,721 Т М». Равнодействующая давления на подпорную стену Q =Q Qp = 9,27 2,34 = 11,61 Т м.
 § 20. РАВНОМЕРНАЯ НАГРУЗКА,
 КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ
 При действии на плоской поверхности засыпки равномерно распределенной нагрузки, касательной к этой поверхности и имеющей интенсивность t (рис. 50, а), многоугольник- сил показан на рис. 50, б. Из рассмотрения нижнего треугольника следует,- что
 Q = AQ (G — hG)
 sin (6 — ф) sin (i}> -j- 0 — ф)
 (4. 19)
 70

Рассматризая верхний треугольник силового многоугольника, мпжио записать:
 (4. 20)
 Где T=t-AE — равнодействующая касательной нагрузки, приложенной к поверхности сползающей призмы. Кроме того, сохраняется
 )
 Л
 п силе условие максимума силы активного давления
 dQ 0.
 Проведя несколько возможных плоскостей скольжения под разиыми углами
 О и определив для каждой из них соответствующие величины G, Ту AG, AQ и Q , следует принять наиболь- Рис. 50
 шее значение Q .
 Для вертикальной гладкой стены при горизонтальной поверхности засыпки а- 0, Р—0, <ро 0, <|>=90°, ctg6,
 поэтому AG=0, AQ=T= Actg6.
 Из уравнения (4.19) имеем
 Q -- ctgG tg(G -9) -f = — К.
 (4. 21)
 Приравняв нулю производную этого выражения по 0, получим уравнение, из которого можно найти значение этого угла, отвечающее условию максимума силы активного давления грунта при действии касательной нагрузки на поверхности засыпки
 cos2 (G — ф) Для <р=30в получается:
 — tg(©— ?) = -г
 2£ 7 Г
 (4. 22)
 при f = 0
 » t = 0,057 1
 » = 0,1 7 1
 » t — 0,167 1
 » t = 0y2 h
 » t — 0,25 7 г
 е = 60°
 G = 55° е = 5о°зо' е = 42°30' е = зз°зо' е = 2о°
 t = 0,269 1 0=0°
 Х = 0,333, Х = 0,396, X = 0,472, А = 0,570, Х = 0,697, Х= 0,889, X = 1,000.
 Таким образом, угол наклона плоскости скольжения к горизонту тем больше отличается от величины 45° -|-» чем больше интен-
 71

сивность t касательной нагрузки по сравнению с величиной произведения (h. Оказывается, что при действии такой нагрузки скольжение может произойти даже по плоскости более пологой, чем плоскость угла внутреннего трения. Сила же давления грунта на подпорную стену значительно увеличивается от действия касательной нагрузки.
 Для определения давления на любой глубине г от поверхности засыпки следует продифференцировать выражение (4.21), заменив в нем ft на 2 и имея в виду, что угол 6 является функцией г.

ГЛАВА V
 ВЛИЯНИЕ РАЗН0СЛ0ЙН0СТИ ГРУНТА, ГРУНТОВОЙ ВОДЫ И СЦЕПЛЕНИЯ
 § 21. ВЛИЯНИЕ РАЗН0СЛ0ЙН0СТИ ГРУНТА
 Если грунт, удерживаемый подпорной стеной, имеет разнослойное строение, например, до некоторой глубины залегает песок, ниже '— суглинок, а еще ниже опять песок (рис. 51), то сначала, как описано выше, определяется давление на стену в пределах верхнего слоя и строится соответствующая эпюра давлений с нижней ординатой ql9 которая находится по формуле qx - Ki i’ (5-0
 При определении давления второго слоя вес верхнего слоя рассматривается в качестве нагрузки интенсивностью Pi=Y1ft1. Поэтому верхняя и нижняя ординаты эпюры давлений второго слоя будут соответственно равны
 Ях = (5. 2)
 Яг = (Ti i Тг г) 2 (5- 3)
 Верхняя и нижняя ординаты эпюры давлений третьего слоя будут равны
 Яг (TiAi Тг г) V» (5- 4)
 Яз = (Ti i "Ь Тз з) X.. (5 5)
 В этих формулах
 Ti Т2 и у3 — объемные веса грунтов в соответствующих слоях; Xlf Х2 и Х3 — коэффициенты активного давления соответствующих слоев, определяемые по теории В. В. Соколовского или по Кулону
 исходя из заданных значений углов внутреннего трения грунтов
 в разных слоях и углов трения грунтов о стену.
 Полная эпюра давлений составляется из эпюр для отдельных слоев. Если грунты смежных слоев отличаются друг от друга толь-
 73

ко объемным весом, то на границе между слоями на эпюре давлений будет перелом (рис. 52, 6). Если же грунты имеют разные углы внутреннего трения, то на границе между слоями будет уступ (рис. 52, в).
 При различных значениях у и <р для разных слоев эпюра давлений будет иметь уступ и перелом на границе между слоями (рис. 52, г).
 V у¥г Ь<9г
 Рис. 52
 При наличии сплошной равномерной нагрузки р на поверхности засыпки она войдет в качестве слагаемого в каждую из формул (5.1) — (5.5) и должна быть умножена на соответствующее данному слою значение X.
 Сила активного давления грунта каждого слоя равна гдоощади соответствующей части эпюры давления, а равнодействующая—площади всей эпюры.
 Следует иметь в виду, что рассмотренный выше способ определения давления в каждом слое независимо от давления, производимого другими слоями, может привести к некоторым неточностям при определении давлений на подпорную стену от нижних слоев.
 Впрочем, учет разнослойного строения засыпки может не потребоваться даже при наличии весьма неоднородных напластований грунтов за подпорной стеной, если при обратной засыпке эти грунты будут перемешаны.
 Пример 9. Требуется определить давление грунта на подпорную стену, показанную на рис. 53, при
 о)
 I
 у
 ввШа-п
 Q,
 fa -ГГЗО' зДл-
 Яа-0,51 г
 а,; 2,S5 т м 2
 q2 = 8,16Tj»t2 Рис. 53
 74

следующих данных: стена с вертикальной задней гранью высотой h=9му поверхность засыпки горизонтальная, нагрузка на поверхность засыпки интенсивностью р=2 Т ж2. Засыпка за подпорной стеной состоит из двух слоев. Верхний слой песчаный, для которого 71= 1,6 Т1м у ср=35°, hx=5 м; нижний — суглинистый с у2“ =2,0 T ms, 92=20° и 2=4 м. Углы трения грунтов о стену приняты равными половине соответствующих углов внутреннего трения.
 Решение. Коэффициенты активного давления для грунта верхнего слоя находятся по теории В. В. Соколовского с помощью графика рис. 24:
 ) = ,= Y = У 0,242 0,09й = 0,256;
 h = 1г 1Г 5 = Л0,4452 0,092 = 0,454.
 Ординаты эпюры давлений:
 на уровне верха стены по формулам (5.1), (5.2), (5.3)
 ?о = Р = 0 256 2 = 0,51 Т м2;
 непосредственно выше плоскости раздела между слоями ?i = 90 iTi i = 0,512 0,256-1,6-5,0 = 2,55 Т м2;
 непосредственно ниже этой плоскости
 Ях = >2(Р тЛ) = °>454(2,° 1,6-5,0) = 4,54 Т м2;
 на уровне подошвы стены
 ft = h(p тА ТгЛг) 0,454 (2 1,6-5,0 2-4) = 8,16 Т м2.
 Эпюра давлений показана на рис. 53, 6.
 Силы давления грунта верхнего и нижнего слоев с учетом нагрузки:
 = ±«L hx = 0,51 2,554 = 7>6g Q2 = hv = 4j54 8,16-4,0 = 25,20 Т м.
 2 2
 Равнодействующая давления грунта на подпорную стену Q = Qi Q2 = 7,68 25,20 = 32,88 Т м.
 § 22. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТОВОЙ ВОДЫ
 Свободная вода, находящаяся в порах грунта, может быть двух видов: а) гравитационная вода, находящаяся под действием силы тяжести, и б) капиллярная вода, находящаяся под действием силы тяжести и силы капиллярного натяжения вогнутого мениска.
 75

Грунтовая вода может находиться в двух состояниях — в статическом и динамическом.
 Гравитационная вода, находящаяся в статическом состоянии и заполняющая поры грунта, производит тройное действие: 1) непосредственно оказывает гидростатическое давление на подпорную сте¬
 ну; 2) взвешивает грунт, вследствие чего его эффективный объемный вес по закону Архимеда оказывается уменьшенным до величины Тдзвт определяемой по формуле (1.3); 3) для большинства грунтов снижает сопротивление сдвигу, что приводит к увеличению давления на подпорную стену.
 Давление, оказываемое грунтовой водой или воспринимаемое ею, называется нейтральным или п о р о в ы м давлением, а давление самого взвешенного грунтового скелета или воспринимаемое им — эффективным. Совместное нейтральное и эффективное давление на подпорную стену оказывается больше, чем одно давление маловлажного грунта. Условные, т. е. построенные на
 76

вертикальной плоскости, эпюры давлений на подпорную стену при наличии за ее задней гранью воды в статическом состоянии показаны на рис. 54 и 55.
 При этом условная интенсивность гидростатического давления на наклонную подпорную стену определяется формулой
 где тв— удельный вес воды, равный 1,0 Т м z — глубина данной точки от уровня воды.
 Следует иметь в виду, что давление воды направлено нормально к поверхности стены, а давление грунта составляет с ней угол <р0, поэтому алгебраическое суммирование эффективного и нейтрального давлений возможно только тогда, когда угол ср0 принимается равным нулю.
 Давление воды на подошву фундамента подпорной стены принимается распределенным по трапеции (рис. 54), а равнодействующая определяется по формуле
 где Ь — ширина подошвы фундамента.
 При скальном грунте основания в эту формулу вводится коэффициент 0,5 —1,0, учитывающий неполноту передачи давления воды на подошву фундамента стены.
 Если один из слоев грунта водонепроницаемый (например, глина), то при заполнении его пор водой он не приходит во взвешенное состояние и тогда эпюра нейтрального давления в пределах этого слоя отсутствует (рис. 56). Эффективное же давление должно определяться исходя из определяемого по формуле (1.2) объемного веса грунта, все поры которого заполнены водой.
 Движение, грунтовой воды при ее фильтрации в водопроницаемых слоях изменяет величины порового и эффективного давлений.
 (5. 6)
 w = ТвьА± 1
 (5. 7)
 1?
 Рис. 56
 77

При фильтрации, направленной вниз (рис. 57), нижняя ордината эпюры нейтрального давления уменьшается от потери напора на величину
 Тв Aft
 ДРв
 COS а
 (5.8)
 где ДА — потеря напора воды на пути фильтрации длиной Л2, определяемая из гидравлического расчета.
 В этом случае гидродиРис. 57 намическое давление также
 будет направлено вниз и будет уменьшать взвешивающее давление воды. Гидродинамическое давление выражается формулой
 п АЛ
 °=-к;ъ-
 Поэтому эффективный объемный вес грунта в конце рассматриваемого участка пути фильтрации, т. е. на глубине th от поверхности грунтд, будет
 Тэф = Tbsb л (Г-Н)- •
 При фильтрации, направленной вверх, гидродинамическое давление увеличивает взвешивающее действие воды и в этой формуле Перед вторым слагаемым должен быть поставлен знак минус. Соответственно уменьшается и нижняя ордината эпюры эффективного
 4
 д 1 CQSOL
 'ГЬ )П « Л2
 загт л)Лг
 №заяЬ ? 38'
 Рис. 58
 Рис. 59
 78

давления (рис. 58). Нижняя же ордината эпюры нейтрального давления увеличивается при этом на величину Дрр.
 Капиллярная вода, поднятая от уровня гравитационной воды силами капиллярного натяжения на высоту Лк, оказывает на подпорную стену отрицательное давление, как это показано на рис. 59. Кроме того, капиллярная вода, как бы подвешенная у поверхности менисков, создает дополнительную вертикальную нагрузку на грунт
 Рк = Тв к-
 В зоне капиллярного подъема поры грунта оказываются заполненными водой и объемный вес зап определяется по формуле (1.2).
 Пример 10. Построить эпюры давлений на Подпорную стену, показанную на рис. 60, й, высотой h= 10 м, если уровень гравитационной грунтовой воды находится на глубине Лх=6 ж, а высота капиллярного подъема воды ftK=2 м.
 Грунт супесь, для которого удельный вес частиц равен тч= =2,70 Т ж3, коэффициент пористости е=0,65, угол внутреннего трения 9=27° и природная влажность выше уровня воды w = 20 .
 Угол трения грунта о стену принят равным нулю.
 Решение. Объемный вес грунта, находящегося выше уровня капиллярной воды, определяется по формуле (1.1)
 у Тч (1 ) 2,70(1 0,2) | qn Т м3
 7 Г Т 1 0,65 ” А’уь 1 м •
 Объемный вес грунта в зоне капиллярного подъема с порами, заполненными водой, определяется по формуле (1.2)
 Тзап= -еТв = 2’70 0,65'1,-° = 2,03 Т м3.
 ,зап 1 е 1,65
 Объемный вес грунта, взвешенного в воде, определяется по формуле (1.3)
 Твзв = Таап — Тв = 2,03 — 1,0 = 1,03 Т М3,
 Коэффициент активного давления грунта
 X = tga 45° = tg2 (45°—= 0,375.
 Близкий к этому результат можно было найти путем интерполяции по табл. 6.
 На уровне капиллярного подъема воды (у. к. в.) ордината эпюры нейтрального давления будет отрицательной и равной Bhк= = 1,0 -2,0=2,0 Т м2. На уровне гравитационной воды (у. г. в.) нейтральное давление равно нуЛю. На уровне подошвы подпорной стены, т. е. на глубине 1ц от у. г. в., ордината эпюры нейтрального авления равна Тв 2=Ь0 4,0=4,0 Т м2.
 Эпюра нейтрального давления показана на рис. 60, б.
 79

Ординаты эпюры эффективного давления (рис. 60, в) непосредственно выше и ниже уровня капиллярной воды:
 qK = т (JНг -- hK) I = 1,95 4,0 - 0,375 = 2,92 Т м2;
 Як = Т (К — hK) 7 А1X = (1,95 • 4 2) 0,375 = 3,67 Т м ;
 на уровне гравитационной воды
 “ 1т ( 1 к) “Ь Тзап к X “
 (1,95-4 -}- 2,03-2) 0,375 = --4,45 Т м2; у подошвы подпорной стены
 <?2 = U (К — Ю Tfaan К Трзи X — (1 >95 • 4 -f-г 2,03 • 2 1,03 - 4) 0,375 —
 - 6,0 Т м2.
 Полная эпюра давлений грунта и воды на подпорную стену показана на рис. 60, г.
 § 23. УЧЕТ СЦЕПЛЕНИЯ В ГРУНТЕ
 Сцепление в грунте, обусловленное силами капиллярного натяжения воды и молекулярного притяжения частиц, а также цементацией, уменьшает активное давление грунта и увеличивает его пассивное сопротивление, поэтому до последнего времени влияние сцепления из осторожности не учитывалось. Некоторым оправданием этому служит то обстоятельство, что для обратных засыпок из песчаных и крупнообломочных грунтов влияние сцепления относительно невелико по сравнению с внутренним трением, а в засыпках из глинистых грунтов сцепление сильно снижается при их увлажнении. Кроме того, сцепление снижается также вследствие колебания температуры и возникновения в грунте пластических деформаций.
 В настоящее время расчетные величины удельного сцепления нормированы и силы сцепления учитываются при определении активного давления грунта на подпорные стены.
 Следует, однако, иметь в виду, что нормированные величины сцепления относятся в основном к грунтам, являющимся основаниями сооружений. Поэтому для обратных засыпок, имеющих нарушенную структуру, необходимо брать более низкие (например, в два раза) расчетные значения сцепления.
 Кроме того, необходимо иметь в виду, что в верхнем слое засыпки сцепление создает отрицательные давления, т. е. растягивающие напряжения, которые должны быть исключены из расчета,
 о)
 кы
 б)
 80

i;jk как они не могут быть восприняты грунтом, подвергающимся мри этом трещинообразонанню. Разрушение легче всего может промюпти по вертикальным или близким к ним плоскостям.
 Приняв такую форму разрушения, получим следующую схему действия сил на сползающую призму (рис. 61).
 Рис. 61
 При этом силы сцепления выражаются так:
 s = cl, Т = c°(h-h?L (5.10)
 ’ COS а 4 ’
 где с и с0 — удельное сцепление в засыпке и между засыпкой и подпорной стеной соответственно.
 Проектируя все силы, действующие на сползающую призму, на ось U, перпендикулярную к силе ?, получим
 £ U = — G sin (0 — 9) -f- Q sin (ф 0 — 9) Т sin (0 — 9 — а)  S cos 9 = 0,
 где ф=90°—а — 90.
 Отсюда
 q Gsin(G — 9) — Scos<p — Tsin(G — ф—а) jj
 sin (ф G — ф) 9 )
 Неизвестными величинами в этом уравнении оказываются сила Q и угол 0. Величины G и S выражаются через угол 0, а величина Т заранее задана. Поэтому, как и в случае отсутствия сцепления, для определения максимального активного давления достаточно составить еще одно уравнение
 В случае произвольного очертания поверхности засыпки аналитическое решение этих уравнений оказывается трудно выполни мым, поэтому целесообразно определять активное давление по фор¬
 81

муле ( Л1) для нескольких возможных плоскостей скольжения под разными углами 6Х, 6 ,...ел к горизонту. Расчетным будет наибольшее из различных значений активного давления, вычисленных по формуле (5.11), для разных плоскостей, скольжения.
 Глубину распространения трещин йт можно определить из следующих соображений. Сцепление можно рассматривать как некоторое всестороннее давление связности, имеющее во Bdex точках
 грунта постоянную величину pc==:nr Такое напряженное состоя-
 даваться на напорную грань стены в виде равномерного давления, направленного под углом <р0 к поверхности стены:
 где Е — коэффициент активного давления засыпки.
 Кроме того, на подпорную стену будет еще действовать отрицательное давление qc' = — рс и давление qc" от касательной составляющей.
 Алгебраическое сложение величин qc°, qc' и q” возможно только в случае, если угол <р0 трения грунта о стену равен нулю или близок к нему.
 Следует иметь также в виду, что наличие касательной составляющей у равномерной нагрузки, приложенной нормально к поверхности засыпки, приводит к изменению направления плоскости скольжения по сравнению со случаем, когда такая нагрузка отсутствует.
 В частном случае, когда поверхность засыпки горизонтальна, а задняя грань подпорной стены вертикальная и идеально гладкая, дополнительное давление на нее от сцепления грунта будет составлять
 Яг Следовательно, влияние
 Сцепления на сползающую призму можно заменить равномерной нагрузкой рс,
 I нормальной к поверхности
 засыпки (рис. 62). Вертикальная составляющая этой нагрузки будет пере-
 ние соответствует действию по любому замкнутому контуру засыпки равномерной нагрузки рс, перпендикулярной к этому контуру.
 Рис., 62
 Яс = рл cos = 4 - 5 COS а,
 82

цЭто давление, как показывает знак минус, направлено в сторону от Подпорной стены.
 Полная интенсивность давления на вертикальную грань стены на Глубине г от поверхности засыпки с учетом сцепления и заданной равномерной нагрузки р, приложенной на поверхности, определяется в рассматриваемом частном случае формулой, совпадающей с формулой (2.31), полученной по теории В. В. Соколовского:
 Верхняя часть стены будет испытывать отрицательное давление, Т. е. растягивающие напряжения, которые не могут быть восприняты и исключаются из расчета. Эпюра давления с учетом сцепления показана на рис. 62. Высоту z=hc вертикальной гладкой стены, в пределах которой возможны отрицательные давления, найдем, приравняв нулю выражение (5.12) и решив полученное уравнение относительно гс.
 Зта величина является в то же время предельной высотой, при которой связный грунт может сохранять вертикальный откос при отсутствии ограждения и при горизонтальной поверхности.
 Глубину трещинообразования А. Кезди 127 рекомендует принимать равной 4 3 величины, полученной по формуле (5.13):
 При этом нагрузка р не учитывается.
 Этот результат оказывается справедливым и для любой вертикальной плоскости, проведенной в грунте, поверхность которого плоская. Его можно с известным приближением распространить и на случай, когда поверхность грунта произвольна.
 После нахождения глубины распространения трещин в грунте можно определить силы сцепления и найти активное давление грунта на подпорную стену по формуле (5.11), как это указано выше.
 Для наклонной гладкой стены (рис. 62) условное давление с учетом сцепления на любой глубине z определяется по формуле, полученной И. А. Симвулиди:
 где X— коэффициент активного давления, определяемый по формуле (3.13).
 Наличие сцепления оказывает влияние на угол отклонения 8 полного давления Q от нормали к плоскости подпорной стены (рис. 63.)
 = (тг Р) tga (45°— —2 с tg (45° 1-). (5. 12)
 (5. 13)
 |- йс = 2,67 tg (45° (5. 14)
 С COS ф
 (5. 15)
 83

Если при отсутствии сцепления этот угол для крутой подпорной стены равен <р0, то при наличии сцепления угол отклонения определяется выражением
 teS = sln?° T —— . (5 16)
 ° Q COS Фо 0 Q COS a COS ф0 ’ Таким образом, чем больше сцепление, тем больше угол 8 по сравнению с углом <р0.
 При постоянной интенсивности сил сцепления по высоте стены (с0=const) угол отклонения 8 будет переменным, уменьшаясь с
 увеличением давления qy т. е. с высотой стены или с глубиной рассматриваемой точки подпорной стены от поверхности засыпки.
 Из формулы (5.11) следует, что сцепление уменьшает активное давление грунта. При этом сцепление пропорционально высоте стены, в то время как сила давления без учета сцепления пропорциональна квадрату высоты стены, поэтому относительное влияние сц плеРис 63 ния сказывается тем сильнее, чем мень¬
 ше высота подпорной стены.
 Пример 11. Определить давление суглинистого грунта на вертикальную подпорную стену (рис. 64) высотой Л= 10 м с учетом
 Рис. 64
 84

сцепления. При этом даны: у=2 TIm'j, 9=20°, 90=15°, с=2 Т м2,
 с0=1 Т м2.
 Решение. Предельная высота вертикального откоса и глубина распространения трещин от поверхности грунта определяются по формулам (5.13) и (5.14):
 К = -у tg(45° - -)= tg(45° 20 = 2,85 ж;
 hT = -±-hc= 1,33-2,85 = 3,82 м.
 Сила сцепления (прилипания) грунта со стеной
 Т =c0(h — hT) = 1,0(10 — 3,82) = 6,18 Т м. ила внутреннего сцепления грунта по плоскости ВЕг
 12,36
 ,_с(А —Лт)__ 2,0 6,18 __
 “ 01 “ sin 6 “ sin 6 “ sin 6
 Вес сползающей призмы
 u "r tge 2tge J
 T m.
 2 tgf
 2 (102 — 3,822) 2 tg 6
 j {h -h2T) 2 tge
 85,4
 tge ■
 Сила давления грунта по формуле (5.11)
 G sin (6 — ф) — S cos ф — Т sin (6 — ф)
 cos (ф Фо — 6)
 Для разных плоскостей скольжения, определяемых углами 6, полученные результаты сводим в табл. 7.
 Таблица 7
 6
 sin 0
 t£0
 sin (0—9)
 COS (0—9—
 —<Po)
 G T m
 S T M
 Q T m
 40°
 0,643
 0,839
 0,342
 0,996
 101,5
 19,20
 14,7
 45°
 0,707
 1,000
 0,423
 0,985
 85,4
 17,60
 15,1
 47°30'
 0,737
 1,091
 0,462
 0,972
 78,1
 16,75
 17,9
 50°
 0,766
 1,192
 0,500
 0,966
 71,5
 16,1
 18,2
 52°30'
 0,793
 1,303
 0,537
 0,954
 65,5
 15,6
 18,1
 55°
 0,819
 1,428
 0,574
 0,940
 59,8
 15,1
 17,6
 о
 О
 0,866
 1,732
 0,643
 0,906
 49,2
 14,3
 15,7
 Максимальная величина силы активного давления грунта на юдпорную стену оказывается равной Q=18,2 Т м и соответствует углу 6 = 50°.
 Для нахождения ординат эпюры давлений имеем два условия:
 I- I- he 0,97 1 q р- Уо = у(hT—hc) (h— hr) = q HQ7-Lfi 1Я = yjAooq 0,97 6,18
 85

q-2±±(h — hT)= 1Л|5<7 6,18 = <3=18,2 Т м.
 Отсюда
 q = 5,19 Т м и q0 = 0,7 Т м .
 Составляющие активного давления грунта на подпорную стену с учетом силы сцепления:
 Q = Qx = <3cos?0 = 18,2-0,966 = 17,55 Т м;
 Q = Qz -f Т = Qsin <Po T = 18,2-0,259 6,18 = 10,90 Т м.
 Сравним эти результаты с теми, которые получаются без учета сцепления. Для этого по табл. 6, интерполируя, найдем величину коэффициента активного давления X = 0,42.
 Составляющие активного давления
 Qx = К = 0,42-- - = 42 Т м;
 Qz = Qx tg ?о = 42 ■ 0-268 = 11,8 Т м.
 Сопоставляя эти результаты с теми, которые были получены при учете сцепления, можно обнаружить, что учет сцепления, почти не отразившись на величине вертикальной составляющей силы давления грунта, привел к огромному снижению (почти в 2,5 раза) горизонтальной составляющей.
 Учитывая, что опасность для устойчивости подпорной стены представляет именно эта сила, можно сделать вывод, что учет сцепления грунта, давая возможность облегчить конструкции подпорных стен и снизить их стоимость, должен в то же время производиться с величайшей осторожностью. Это означает, что учитываемые в расчете значения удельного сцепления должны быть значительно меньшими, чем те, которые приведены в табл. 3 в качестве расчетных.
 Так как капиллярное натяжение, воды является одной из причин, обуславливающих сцепление в грунте, то при учете последнего давление капиллярной воды вводить в расчет уже не следует.

ГЛАВА VI
 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
 § 24. АКТИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА ПРИ СПОЛЗАНИИ ЕГО ПО ОТКОСУ КОТЛОВАНА
 Если котлован за подпорной стеной ограничен откосом, как это показано на рис. 65, то возможны два случая образования плоскости скольжсиия: а) внутри засыпки и б) по откосу котлована. Из них расчетным будет тот случай, при котором активное давление больше.
 В первом случае, т. е. при 6 > активное давление Q на подпорную стену определяется как обычно, без учета существования откоса котлована.
 Во втором случае активное давление определяется по формуле
 (3.1), в которую вместо угла 6 подставляется уже заданный угол Pi, а вместо <р — <рх:
 где G — вес сползающей призмы, ограниченной подпорной стеной и откосом котлована;
 9i— угол трения между засыпкой и откосом котлована.
 а)
 ю
 Рис. 65
 87

Для вертикальной гладкой подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки а=фо=0; по формуле (6.1) получим
 Таким образом, случай сползания призмы засыпки по откосу, а не по плоскости скольжения внутри засыпки будет расчетным при выполнении неравенства
 где <р — угол внутреннего трения засыпки.
 Пример 12. Определить активное давление супесчаного грунта на вертикальную подпорную стену высотой 5 му для которой возможно сползание грунта по откосу котлована, имеющего уклон 1:1. Объемный вес грунта у=1,9 Т ж3, угол внутреннего трения засыпки 9=26°. Угол трения засыпки по поверхности откоса котлована срА=20°. Угол трения засыпки по задней грани стены принят равным нулю.
 Решение. Угол, составляемый откосом котлована с горизонтом, р1=45°. Равнодействующая давления на подпорную стену при скольжении засыпки по откосу котлована по формуле (6.2)
 То же, при образовании плоскости скольжения внутри засыпки:
 Расчетным оказывается давление грунта при скольжении его по откосу котлована, т. е. Q=ll,05 Т м.
 § 25. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОЛОГУЮ ПОДПОРНУЮ СТЕНУ
 Как указано выше, пологой называется такая подпорная стена, на задней грани которой не возникает предельного напряженного состояния и для которой обе поверхности скольжения, ограничивающие сползающую призму, проходят внутри самой засыпки (см. рис. 21, б).
 Графическое построение для определения давления грунта на пологую подпорнуш стену, поддерживающую плоский откос, предложенное С. С. Голушкевичем, показано на рис. 66.
 Поверхности скольжения при этом принимаются в качестве плоскостей, составляющих друг с другом угол 90°— <р (рис. 66, а)♦
 (6. 3)
 9i) '-if g (45° - 20°) =
 = 11,05 Т м.
 Q = ‘ tg2 (45° tg2 (45° — 13°) = 9,25 Т м.
 88

Положение этих плоскостей определяется при помощи характеристических кругов (рис. 66, в). После проведения плоскостей скольжения через нижнее заднее ребро стены вычисляется вес Gx сползающей призмы и вес С2 пристенной призмы.
 Сила уравновешивается силами S и ?, параллельными плоскостям скольжения и представляющими собой реакции неподвижных масс грунта, находящихся слева и справа от сползающей призмы (рис. 66, б). Сила, равная S, но направленная в противоположную' сторону, складывается с силой С2 и дает в результате силу Q, пред¬
 ставляющую собой равнодействующую активного давления сыпучего тела на пологую подпорную стену.
 Исходя из этого построения ниже дан вывод простой формулы для активного давления сыпучего тела на пологую подпорную стену.
 Обозначим угол, составляемый задней плоскостью скольжения BE с горизонтом, через 61? а угол между передней плоскостью скольжения ВА' и вертикалью — через 62. При этом 62=90°—<p fyr—9О°=01-9.
 Тогда угол между направлениями сил Gx и R будет равен Ьг— —ср=62, угол между Gt и S составит 90°—62—<р, а угол между R и S будет 90° <р. На основании теоремы синусов можно написать.
 о sin 69 л sin 02 ? » s = gi WTFW==G - (6-4)
 Исходя из величин сил S и С2 и заключенного между ними угла 90о 62 (р по теореме косинусов можно получить следующую формулу для равнодействующей давления сыпучего тела на пологую подпорную стену:
 Q = V 2SG cos 90°Te7 =
 : у С2 Sitffl, С2 2GG sinMin (fl, _yj_ | (6. 5)
 r 1 COS2 ф 1 2 1 1 z COS ф
 89

где
 Gy = у (пл. A'BE) — f
 А’в sin (90° —ф) sin (90° — р -
 2 sin (180° — ф |-Р —62)
 cos<pcos(G2—р) -у 2
 2 cos2 G2 sin (ф — р -f- 62) 2 cos а
 <?2 = Т (пл. ЛЛ'В) = -г — - sin(«-6g)sin(9 —q-1-р)
 2 sin (90° Р — 02)
 Здесь — объемный вес. грунта;
 <р — угол внутреннего трения грунта; h — высота подпорной стены;
 и = h cos (tt — Р) cos 02  COS (62 — Р) COS а COS2 (а — р) COS ф COS а COS (62 — р) sin (<р — Р 02)’
 sin (а — 62) COS (а — Р)
 Л,
 yh2
 2 COS а
 (6.6) : В. (6.7)
 Л =
 COS a COS (62 — Р)
 (6.8)
 (6.9)
 Угол, составляемый передней плоскостью скольжения с вертикалью, выражается формулой1
 В2 = arc tg
 cos ф sin (ф — Р)
 cos р -f- У sin2 ф — sin2 р—cos ф cos (ф—Р) При горизонтальной поверхности засыпки 3=0 и
 6, = 45° 9
 , = 45° —
 2
 (6. 10)
 (6. 11)
 В этом случае сползающая призма и действующие на нее силы оказываются симметричными относительно вертикальной плосhfqa кости, на которой отсутствуют сдви-
 гающие силы (рис. 67). На эту плоскость будет действовать только горизонтальная сила давления засыпки, такая же, как на вертикальную гладкую стену, т. е.
 Q, = tgs(45°- -). (6.12)
 Сила Qx будет передаваться и на рассматриваемую пологую подпорную стену. Кроме того, на нее будет еще действовать вертикальная сила, рав¬
 1 Подробный вывод е см. в статье автора «Определение давления грунта на пологую подпорную стену» в Сборнике «Исследования по теории сооружений». Вып. 12. Госстройиздат, 1963.
 90

ная весу вышележащего грунта в объеме пристенной призмы и половины сползающей призмьг
 ■1.
 Qz
 -|7г2
 tga.
 (6. 13)
 При этом равнодействующая давления грунта на пологую подпорную стену составит
 Q = Y tg2« tg4 (45°- -|-) • (6. 14)
 Для крутых подпорных стен формулы (6.12) и (6.14) неприменимы, так как для них сползающая призма оказывается несимметричной, однако для таких стен можно пользоваться формулой (3.12), основанной на теории Кулона.
 При поверхности сыпучего тела, ограниченной плоскостью естественного откоса, Р=ср, 02=0; при р=—ср 62=90°.
 График зависимости между углами 62, р и ср показан на рис. 68.
 Подставив выражения (6.6), (6.7) и (6.10) в формулу (6.5), можно привести ее к следующему виду:
 _ Tfft2 L
 2 COS a ’
 Q =
 (6. 15)
 где — коэффициент активного давления сыпучего тела на пологую подпорную стену, который выражается формулой
 = (л )2 В2 2 п(ег ?)| - • (6-16)
 t 1,0
 0,9
 0,8
 0,7
 0,6
 0,5
 ОЛ
 0,3
 цг
 О,Г о
 4
 f
 П
 .„л
 4
 f
 S 2>1
 .t-T
 Г У г
 j
 л 'W
 'А
 У
 ь
 У
 f f
 X
 9 f
 у"
 У
 Рис. 68
 10 20 зи to S0№ 70 80 90ex' Рис. 69
 1 Формулы (6.12) и (6.13) уже были указаны ранее профессором Г. А. Дуброва, который предложил также критерий для отнесения подпорных стеи к категории пологих в частном случае, когда поверхность засыпки горизонтальна. Этот критерий согласуется с тем, который дан В. В. Соколовским на основе более строгого решения формула (2.17) . Этому критерию удовлетворяет и формула (6.11).
 91

Параметры Л и В определяются по формулам (6.8) и (6.9).
 Значения коэффициента £ для частного случая, когда поверхность засыпки горизонтальна 0=0), приведены на рис. 69. Здесь же пунктиром нанесены соответствующие кривые по теории Кулона. При этом ясно обнаруживается большая неточность даваемых ею результатов для пологих стен.
 Направление силы Q определяется углом ф, который эта сила составляет с вертикалью и который можно найти из силового многоугольника, пользуясь теоремой синусов
 С? = arc sin sin (90° 68 ф) = arc sin -j- - (6.17)
 Для случая Р=0
 Ф = arc tg —1и - tga. (6. 18)
 1 sin ф
 Так как согласно формуле (6.15) равнодействующая активного давления грунта на пологую подпорную стену пропорциональна квадрату ее высоты, то эпюра давлений будет иметь вид треугольника и интенсивность давления на глубине z=r cosa составит
 9° = -ё cosa = ЗГрГ 5 ) = (6. 19)
 Если эпюра условных давлений относится к вертикальной проекции стены, то ордината на глубине г будет равна
 q = —= х. (6. 20)
 v COS a COS a 1 v 1
 Формула (6.5), строго говоря, будет справедлива только в том случае, если угол 8 отклонения силы Q от нормали к стене не превосходит угла трения <?<> сыпучего тела о поверхность стены.
 Однако, как показывают подсчеты, результаты получаются достаточно точными и при несоблюдении этого условия, так как ве¬
 личина равнодействующей давления на пологую стену по теории В. В. Соколовского очень мало зависит от величины угла <?0- Что касается направления равнодействующей, то оно существенно зависит от величины угла <р0 Для того чтобы отнести подпорную стену к категории пологих, угол а должен быть больше угла 62.
 Если на поверхности сползающей призмы приложена вертикальная равномерная нагрузка интенсивностью р, то ее равнодействующая Р прибавляется к весу Gx сползающей призмы на силовом многоугольнике и в формуле (6.5).
 Пример 13. Требуется определить активное давление грунта на подпорную стену (рис. 70) высотой г=6,5 м> наклоненную к вертикали под углом а—60°, если поверхность засыпки наклонена к горизонту под углом Р=15°, а объемный вес и углы трения засыпкн составляют соответственно у=1,8 Т м3, 9=30° и <р0=15°.
 92

Решение. Так как засыпка за подпорной стеной образует откос, то приходится непосредственно пользоваться формулами вместо графика. По формуле (6.10) находится угол наклона передней плоскости скольжения к вертикали
 cos 30° sin (30° —15°) 62 = arc tg
 = 21° 52'.
 cos 15° V sin2 30° — sin2 15° — cos30° cos (15°—30°)
 Этот же результат с несколько меньшей точностью можно было получить по графику рис. 68.
 Рис. 70
 По формулам (5.8) и (6.9) находятся коэффициенты:
 А =
 cos2 (60°— 15°) cos 30°
 cos 60° ccs (21° 52' — 15°) sin (30° — 15° 21° 52') R — sin (60° — 21°52') cos (60° — 15°) = Q ggg cos 60° cos (21°52' — 15°) ’
 = 1,46;
 По формулам 6.6) и (6.7) определяются веса сползающей и пристенной призм:
 с = _ 1,8-6,5»-1,46 j 10 Т 2-0,5
 г 1,8 6,52.0,886 г
 Q — = 65,5 Т м.
 2-9,5
 Коэффициент активного давления засыпки на подпорную стену определяется по формуле (6.16)
 { = l f 1,46 Sin21 --)2 0,8662 2 • 1,46-0,866-sin 5Г52' - -n21 g' -
 f V COS ol cos oU
 = 1,41 (вместо 1,79 по методу Кулона).
 93

Равнодействующая активного давления засыпки на подпорную стену определяется по формуле (6.15)
 Q = = 106 Т м.
 2-0,5
 Угол наклона этой силы к вертикали находится по формуле (6.17)
 110 sin 21°52' cos 51°52'
 ф = arc sin -
 16°.
 106 cos 30°
 Угол отклонения силы Q от нормали к стене составляет « = 90° — а— ф = 90° — 60° — 16° = 14° < ср0 = 15°.
 § 26. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНУЮ СТЕНУ С ЛОМАНЫМ ОЧЕРТАНИЕМ ЗАДНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
 На рис. 71 показан многоугольник агЬ1 Ь?е сил, действующих на сползающую призму за подпорной стеной ломаного очертания. В
 Рис. 71
 94

этом многоугольнике сила давления Q1 грунта на верхнюю грань может быть определена аналитически или графически независимо от очертания нижней грани. Известны также углы, которые составляют силы Qj и Qs, с вертикалью:
 (1)1 = 90о— aj — <р0 и ф2 = 90° — otjj — <р0.
 Для определения равнодействующей давления Q2 на нижнюю грань стены разложим силу Qx на составляющие Q и Q' , которые
 могут быть определены по теореме синусов:
 Q' = Qx= Qj cos<а»(6 21)
 4:1 Sin 4:1 COS (a2 <p0) Q" = Q. = Q -sinb "'>, (6. 22)
 4:1 Sin 4:1 COS (a2 <p0) ' '
 Между сторонами треугольника сил а2Ь2е существует зависимость, вытекающая также из теоремы синусов:
 Q = ft ft' — (с <?л (6.23)
 Вес G сползающей призмы AiBlBzI7, можно представить как разность веса Сг призмы А2В2Е и веса AG призмы т. е.
 G = Gj — AG,
 где
 Д(7 = . cos(p °i) sin (д2 — nt) 24
 2 COS2 dj COS (P — a2) 1 7
 Эта величина является постоянной, так же как и величины Q и Q'V Тогда
 a=Q_Q1' = (C1-iO a')-3 ff _-C1'. (6.25)
 Примем, что плоскость скольжения В2Е получит такой наклон, при котором величина Ог, а следовательно, и Qx будет наибольшей. При этом
 тг = °- I6-26)
 Уравнения (6.25) и (6.26) дают возможность найти две неизвестные величины — Q2 и 6. Произведя дифференцирование выражения (6.25) и приравняв производную нулю, получим после некоторых преобразований
 С,-ДС СУ = -1 • ■■<■«-« ;№ »- >. (62?)
 Здесь
 G — 7 (пл. АХВ1В2Е) dG i--r(£2£)2d0.
 95

Выражение (6.27) отличается от выражения (3.4) только тем, 'что в левой части вместо G имеем Gt—AG- Q"ly а в правой части вместо угла ф стоит фа. Поэтому здесь вместо уравнения (3.5) можно написать
 пл. А2В2Е — пл. AtA2Bt = пл. В2ЕН. (6. 28)
 Площади треугольников В ЕН и EHI, имеющих общую высоту EL, относятся друг к Другу как их основания: пл. EHI = IH __ ЕН пл. В2ЕН В2Н В2Н
 Так как треугольник В2ЕН подобен силовому треугольнику аф2е,
 то
 ЕН = Q2 Q1 В2Н G Qx” '
 Поэтому при пл. А1В1В2Е'}г =ил, В2ЕН
 пл. EHI Qz -f- Qi Q2 Qi пл. ЛАВаЕ G Ql" t(11Л Отсюда
 Q2 = т (пл. EHI) — Q . (6. 29)
 Соотношения (6.28) и (6.29) являются развитием теорем Ребхана для ломаной подпорной стены.
 Для нахождения положения опасной плоскости скольжения и силы давления на нижнюю грань стены может быть применено графическое построение, показанное на рис. 71.
 Прежде всего проводится несколько возможных плоскостей скольжения — B2EV ВгЕ2у...В2Еп и для каждой из них находятся величины площадей оснований сползающих призм—Sv S2,..., Sn. Отложив эти веса в виде ординат графика от горизонтальной оси,
 О п
 проведенной на расстоянии — от начала координат, и, соединив
 О ”
 концы ординат плавной кривой, получим кривую S
 Из верхней точки каждой плоскости скольжения проводится прямая под углом ф2=90°—а2 <р0 к линии В2С и находятся площади треугольников B2E±Hl9 В2Е2Н2,...уВ2ЕпНп. Величины этих площадей откладываются в виде ординат от оси х, и строится кривая F. Точка пересечения кривых определяет положение опасной плоскости скольжения. После этого обычным порядком строится треугольник EHI и по формуле (6.29) находится равнодействующая давления грунта на нижнюю грань. Если поверхность грунта ограничена плоскостью, то можно принять, что давление на нижнюю грань стены распределено по линейному закону, и определить интенсивности давлений в точках В± и В2 из двух уравнений (см. рис. 72):
 4i' 92 h = Q2; (—1—• (6.30)
 2 48 WJ Gi' Q.
 96

Уравнения (6.28) и (6.29) позволяют найти положение плоскости скольжения и силу давления грунта на нижнюю грань стены при помощи построения Понселе. Для этого прямая А1В1 должна быть заменена прямой А2'В2, проведенной так, чтобы пл. А А4ВХ=пл.
 О" 1
 АгА2Вх——. При этом исходной точкой для построения будет
 уже не точка А или Л2, а точка Л2' (рис. 72). Однако линия A2D проводится под углом <р <ро не к линии А2В29 а к линии А2В2.
 На практике находит применение и другой, более простой, способ, когда давление на грань ВХВ2 определяется, как давление на соответствующую нижнюю часть фиктивной грани независимо от очертания верхней грани. Однако, как это видно из примера 14, такой способ может привести к очень большим неточностям при определении давления грунта на нижнюю грань.
 Неточность данного приема состоит в том, что при определении давления на нижнюю грань ВХВ2 стены площадь основания сползающей призмы необоснованно преувеличивается на величину площади треугольника АХА2ВХ, которая фактически в основании сползающей призмы отсутствует (рис. 71). Кроме того, замена верхней грани стены более пологой плоскостью, служащей продолжением нижней грани, приводит к преувеличению вертикальной составляющей реакции верхней грани стены. Оба фактора действуют в противоположном направлении, но отнюдь не компенсируют друг друга.
 Для выпуклого профиля подпорной стены наоборот преуменьшаются вес сползающей призмы и вертикальная составляющая реакции верхней грани.
 8 Заказ 853
 97

пример iq . 1реоуется определить давление грунта на подпорную стену, показанную на рис. 73, при следующих данных: Лх=3 м; 2=2,25 м; аг=0, «2=— 30?; р=0; р=2 Т м2; т=1,6 Т м3; <р=35°; То=25°.
 Решение. Нагрузка р, действующая на поверхности засыпки,
 D 2
 заменяется эквивалентным слоем грунта толщиной А А Az
 = 1,25 м. Ординаты эпюры давления на верхнюю грань определяются по формуле (3.29):
 Яо = TVi = 6-1,25-0,245 - 0,49 Т м2;
 Яг т( о i) i = 1,6-4,25-0,245 = 1,67 Т м2.
 Здесь Х1=0,245 — коэффициент активного давления на верхнюю грань, взятый путем интерполяции по табл. 6.
 Сила давления грунта на верхнюю грань
 Q = _Уо±У1 = £.49 1,67 3 0 = 3 24 Tjm
 2 2
 = 90° — а2 — <р0 = 90° — 0° — 25° = 65°;
 = 90° — 02 — <р0 = 90° 30° — 25° = 95°.
 Qi = Qi 3,24. = 2,95 Т м 1 1 sin 2 0,996
 Q ” = Q sinIi M = 3,24 • °-5° = — 1,63 Т м.
 1 sin 2 0,996
 98

Соединив точки Ах и В2 прямой, проводим линию BtA параллельно АХВ2 и, соединив точки Л и В2 прямой, заменим ломаную граничную поверхность Л1В1В2сползающей призмы плоскостью А Вг, не изменив площади основания сползающей призмы, так как треугольники А В Вг и А1А'1В2 равновелики.
 Точку А'2 получим, уменьшив площадь основания сползающей призмы на величину
 = 1,02 м2.
 т 1,6
 Для этого расстояние между точками Л и Л2' должно быть равно yg==0,16 м.
 Производя обычным порядком построение Понселе, найдем силу давления на нижнюю грань по формуле (6.29)
 Q2 = T(пл. EHI) — QX' = 1,6-3,15 — 2,95 = 5,05 — 2,95 = 2,10 Т м.
 Ординаты нижней части эпюры давлений находятся из уравнений (6.30):
 VV oT = «■ VW - «
 0 S7bq _±J fk = Qi.
 q = - 2Qz = -2:2лю— = 1,05 Т м2;
 4 1,772 k2 1,772-2,25
 qt' = 0,772<72 = 0,81 Т м .
 По В. В. Соколовскому, из книги которого взято условие данного примера, получается соответственно: Q2=2,17 Т м; q'х= =0,84 Т м2 и <72=1,06 Т м2. Таким образом, расхождение очень мало. При определении же давления на нижнюю грань независимо от верхней имеем: Q2=l,49 Т м <7 =0,52 Т м2 и q2=0,81 Т м2.
 В этом случае расхождение в результатах доходит до 36 .
 § 27. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ С РАЗГРУЗОЧНЫМИ ПЛОЩАДКАМИ И С ФУНДАМЕНТНЫМИ ПЛИТАМИ
 Разгрузочные площадки или платформы применяются для уменьшения давления грунта на подпорные стены и для повышения их устойчивости.
 Рассмотрим определение давления грунта на подпорную стену, показанную на рис. 74.
 Давление на верхнюю грань стены будет таким же, как и при отсутствии разгрузочной площадки. Оно может быть определено по методу Кулона или по теории В. В. Соколовского независимо от очертания нижней грани и наличия разгрузочной площадки. Рав-
 99

яодействующая давления на верхнюю грань обозначена через Qt, а ее составляющие — Q x и Qiz Давление на горизонтальную разгрузочную площадку принимается вертикальным и равным весу вышерасположенного грунта. При плоской поверхности засыпки ординаты трапецеидальном эпюры давлений будут равны:
 ч = tV; q" = т К- (6.31)
 Рис. 74
 Равнодействующая же давления засыпки на разгрузочную площадку составит
 <2пл = q' q" ьпл= -2|и- (V V). (6.32)
 где пл — ширина разгрузочной площадки.
 При определении давления на нижнюю грань нужно исходить из наиболее опасных поверхностей скольжения, которые при применении метода Кулона заменяются плоскостями. Одной из них будет плоскость В2Е, а в качестве второй для крутой подпорной стены принимается ее задняя грань.
 Многоугольник сил, действующих на сползающую призму АВВХВ2ЕУ показан на рис. 74, б.
 В этом многоугольнике известны по величине силы Qx и QnJIf а также углы, составляемые силами Qx и Q2 с вертикалями. Если провести линию ахЬх параллельно линии аЬ, то многоугольник сил axbxb2e будет соответствовать ломаной поверхности АхВхВ2у в которой фиктивная грань АХВХ параллельна действительной грани АВ.
 Таким образом, определение давления на ломаную стену с разгрузочной площадкой сводится к определению давления на ломаную стену без разгрузочной площадки и к дополнительному уче¬
 100

ту давления на эту площадку, равному весу расположенного над «ей грунта.
 Если консольная разгрузочная площадка разделяет плоскую заднюю грань подпорной стены на два участка, как это показано иа рис. 75, а, то обычно принимается, что плоскости скольжения для верхнего и нижнего участков подпорной стены параллельны. Кроме того, принимается, что давление на участок стенки В'1 между платформой и прямой Вг1, проведенной под углом <р к горизонту
 Рис. 75
 от конца платформы, возрастает пропорционально глубине, считая от низа платформы. Давление на участок стенки 2 принимается таким же, как и при отсутствии платформы. Давление на промежуточном участке 1—2 принимается возрастающим по переходной прямой. Эти допущения приводят к эпюре давлений на стену, показанной на рис. 75, б.
 При этом в случае разгрузочной площадки доходящей до нижрей плоскости скольжения, как это показано на рис. 75, а пунктиром, эпюра давлений принимается по рис. 75, в.
 В действительности эффект от разгрузочной площадки будет не таким значительным, так как нижняя плоскость скольжения должна занять такое положение, при котором давление на нижний участок стены, а следовательно, и на всю стену окажется наибольшим., При этом нижняя плоскость скольжения будет более пологой, чем верхняя.
 Для более строгого решения задачи нужно исходить из веса сползающей призмы АфъВ'ВъЕ и силового многоугольника, показанного на рис. 75, б.
 Вес этой призмы составляет С=?(пл. АВ Е — пл. ЛА В').
 Для нижнего силового треугольника будет справедливо соотношение
 Q-Q, Q, = G ■ (6-33)
 101

Однако вес сползающей призмы в этом случае должен быть уже взят равным
 G = (пл. ABtE) — Quл. (6, 34)
 При определении давления грунта на заднюю грань лицевой плиты и на верхнюю грань фундаментной плиты подпорной стены уголкового профиля необходимо учесть возможность образования различных плоскостей скольжения засыпки и выбрать из них наи
 более опасную. Возможные слУчаи образования плоскостей скольжения показаны на рис. 76.
 Обычно ограничиваются рассмотрением только случаев а и б. В случае а в качестве одной из плоскостей скольжения принимается задняя грань лицевой плиты, давление на которую определяется так же, как на заднюю грань массивной крутой подпорной стены. При этом часто принимают угол трения <р0 засыпки о стену равным нулю.
 Давление на фундаментную плиту приниРис. 76 мается от веса засыпки,
 расположенной над фундаментной плитой. Равнодействующая QWi этого давления будет равна весу призмы АВВгЕг.
 Для случая б определяется давление засыпки на наклонную плоскость скольжения AXB При этом принимается <р0=ср, а вес G пристенной призмы АВВХАХ прибавляется к вертикальной составляющей давления грунта_или же относится к весу подпорной стены.
 Нетрудно показать что в случае вертикальной лицевой плиты и горизонтальной поверхности засыпки ((3=0), если принять ср0=<р, обе расчетные схемы образования плоскостей скольжения приводят к одинаковым результатам.
 Действительно, для случая а равнодействующие давлений на заднюю грань лицевой плиты и на верхнюю грань фундаментной плиты будут соответственно равны:
 Q = tg2 (45° - -|-j; Q„„ = тМпл.
 При этом сила Q направлена горизонтально, а сила Qnh— вертикально. В случае б обе плоскости скольжения окажутся симмет¬
 102

ричными по отношению к вертикальной плоскости на которой отсутствуют касательные напряжения, поэтому давление на -;ту плоскость будет таким же, как, на заднюю грань лицевой плиты в случае а. Не будет различия и в величине силы давления QI1(J на верхнюю грань фундаментной плиты.
 Что касается схемы г, то она может рассматриваться в качестве промежуточной между схемой а и схемой б9 а схема в является частным случаем схемы г, поэтому схемы еигне представляют особого расчетного интереса.
 q,-0M8T M2
 Аам т м2
 0.707 Т м <tf0.B30T M2
 Рис. 77
 Пример 15. Требуется определить давление грунта на подпорную стену с разгрузочной площадкой длиной Ьпл 3 м, показанную на рис. 77. При этом Л2=4 м, h2=b м, Р=15°, а=11°20' (tgct=0,2), 1=1,8 Т ж3, ср=30°, сро=0.
 Решение. По табл. 6 находим коэффициент активного давления грунта Х =0,502;
 ) — 0 502 0 5J2
 со s(a ?0) 0,98
 Размеры ц>=1,6 м и Ле 2,1 м определяются из решения косоугольных треугольников.
 Угол 0 проще всего определить графически — 6=58°.
 Ординаты эпюры давлений равны:
 дг = = 1,8 • 4 0,512 = 0,368 Г ж2;
 О, = 1,8
 <7з = 1,8 94=1,8
 1,60
 7,70
 9
 0,512 = 0,147 0,512 = 0,707 Г ле ; 0,512 ='0,830 Г ж2.
 На разгрузочную площадку будет действовать вертикальная сила, равная весу лежащего на ней грунта
 = 4’2 4’80-3,0.1,8 = 24,2 ТЫ.
 103

§ 28п ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ СО СПЕЦИАЛЬНЫМ ОЧЕРТАНИЕМ ГРАНЕЙ
 Уменьшение давления грунта на подпорную стену с целью ее удешевления может быть осуществлено путем придания соответствующего очертания задней поверхности подпорной стены.
 Если придать задней поверхности стены ломаное очертание, как это показано на рис. 78, а, то можно добиться, чтобы давление с глубиной нарастало только в пределах каждой грани.
 Для криволинейного очертания задней грани стены в пределе можно получить постоянную интенсивность давления по высоте, начиная от некоторой глубины г0 (рис.. 78, б).
 При этом можно поставить условие, тобы постоянными были давления, отнесенные к единице поверхности стены, или давления, отнесенные к единице площади ее вертикальной проекции.
 Будем исходить из первого условия и, кроме Того, примем для простоты, что поверхность засыпки горизонтальна и трение между засыпкой и подпорной стеной отсутствует. При этом интенсивность нормального давления на стену на любой глубине z =zQ z1 от поверхности засыпки выражается формулой (2.18)
 о = o-jz = о -j (г0 4- гх), (6. 35)
 где а — коэффициент активного давления засыпки, зависящий от угла ср ее внутреннего трения и от угла а — наклона стены к вертикали.
 Значения этого коэффициента могут быть найдены по теории В. В. Соколовского или по теории Кулона.
 Для определения а можно воспользоваться данными табл. 5. Но табл. 5 охватывает только небольшие отрицательные значения углов а. Поэтому выразим интенсивность давления на глубине z
 104

по теории Кулона и, кроме того, для простоты не будем учитывать поправок, рассмотренных в §26. Тогда из формулы (3.17) получим
 с = £ = tg 45°— j tg aj2cos2 а.
 Значения этого коэффициента для разных а и ср—30° приведены на графике рис. 79.
 Считая величины а, 20, у и ср заданными, решим уравнение (6.35) относительно а:
 (6-36>
 Найдя по этой формуле значения с для различных значений zlt можно затем по графику рис. 79 найти соответствующие значения а и построить искомый контур задней грани стены.
 Пример 16. Определить требуемые углы наклона задней грани подпорной стены на разных глубинах от поверхности засыпки, если, начиная от глубины Zq 1 м9 давление должно быть постоянным иравнымс=0,5 Т м2. Объемный вес и угол внутреннего трения грунта равны у = 1,8 Т м3 и ср=30°. Угол трения грунта о стену <ро=0.
 Решение. Для глубины zx 0 по формуле (6.36)
 = 0,278.
 y(z0 Zi) 1,8 1,0
 По графику рис. 79 находим соответствующее значение а=—8°. Точно так же находятся значения а для других глубин г.
 Полученные результаты сведем в табл. 8.
 Таблица 8
 г м
 а
 а град
 Z м
 а
 а град
 1
 0,278
 — 8
 6
 0,04164
 —45
 2
 0,139
 —28
 7
 0,0397
 —46
 3
 0,093
 —35
 8
 0,0347
 —47
 4
 0,0695
 —40
 9
 0,031
 —48
 5
 0,0556
 —43
 10
 0,028
 —50
 Построенный по этим углам контур задней гран(и стены показан на рис. 80.
 105

Подпорная стена, предложенная проф. Ю. Я. Штаерманом и инж. Н. Н. Глонти (рис. 81, а), состоит из контрфорсов, опирающихся на фундаментную плиту, и наклонных ограждающих плит, уложенных на контрфорсы.
 Эти плиты поддерживают среднюю часть засыпки, а верхняя и нижняя части образуют откосы. При этом верхний откос проходит над ограждающей плитой, а нижний — над фундаментной плитой в пролетах между контрфорсами. В другом варианте этой конструкции ограждающие плиты заменены пологими оболочками меньшей толщины.
 106

Давление на ограждающую плиту определяется, как на пологую стену, с учетом того, что поверхность засыпки образует откос или полуоткос.
 Давление на верхнюю грань фундаментной плиты принимается равным весу вышележащего грунта.
 Заложение нижнего откоса должно быть принято с учетом веса вышележащей засыпки.
 Необходимо, однако, учитывать возможность образования в засыпке за такой подпорной стеной поверхностей скольжения ABLBа и В2Е, вследствие чего нижняя часть BLB2 подпорной стены, состоящая из контрфорсов и засыпки между ними, будет испытывать полное давление грунта, соответствующее данной глубине. Таким образом, устройство нижнего откоса взамен соответствующей вертикальной лицевой плиты дает экономию только на стоимости этой плиты, но вместе с тем лишает стенку полезного для ее устойчивости веса грунта в объеме АВВг. Этот вес приходится компенсировать добавочным весом грунта над фундаментной плитой, которая для этой цели удлиняется.
 Подпорная стена, предложенная Н. И. Бардиным и А. Ф. Кабахидзе и сконструированная К. В. Харитоновым (рис. 81, б), состоит из фундаментной плиты, рамных контрфорсов и ограждающих плит, из которых верхняя и нижняя вертикальны, а средняя по высоте составляет угол с горизонтом, меньший, чем угол естественного откоса грунта.
 По замыслу авторов давление на среднюю по высоте плиту отсутствует, а давление на нижнюю плиту уменьшается благодаря наклону средней плиты.
 Однако, хотя это и дает возможность уменьшить толщину этих плит, но мало повышает устойчивость подпорной стены в целом, которая зависит от давления на плоскость А В. Правда, поскольку плоскость А В в основном проходит в засыпке и лишь частично по задним граням контрфорсов, при определении давления на эту плоскость может быть принято значение ср0, близкое к ср.
 Для определения силы давления на подпорную стену, поворачивающуюся вокруг верхнего ребра, можно пользоваться теорией Кулона. Однако центр давления лежит значительно выше, чем на
 h h высоте доходя до Взамен разгружающих плит П. И. Яковлевым 14 предложен и экспериментально исследован новый тип разгружающего устройства в виде горизонтальных консольных балок. При расстоянии между балками порядка 0,15—0,20 высоты подпорной стены и небольшом увеличении их вылета по сравнению с вылетом плиты, они благодаря сводообразованию в засыпке дают такой же разгружающий эффект, как и плиты. Давление на балки при этом повышается по сравнению с весом лежащего над ними грунта.
 Для разгрузки подпорных стен применяются также экрани¬
 107

рующие рамы и отдельные сваи, забитые в пределах сползающей призмы.
 С этой же целью увеличивается угол естественного откоса засыпки (до 46° на воздухе и до 39° в воде) путем добавления к ней отходов лесопиления — «реек».
 § 29. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ И НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ В ПЛАНЕ
 Если подпорная стена имеет длину I одного порядка с высотой, а соседние массы грунта не воздействуют на подпорную стену, будучи, например, ограничены откосами (устой моста), то задача может быть рассмотрена как пространственная.
 В этом случае сползающее тело по предложению Б. В. Бобрикова 14 принимается в виде полуцилиндра, усеченного снизу наклонной плоскостью, составляющей с горизонтом угол 6 (рис.82).
 Исходя из условия предельного равновесия сползающего тела и пренебрегая силами трения по цилиндрической поверхности, можно найти активное давление на верхнюю и нижнюю части вертикальной гладкой стены при горизонтальной поверхности засыпки:
 fc=0f392T tg(fl— 9); (6.37)
 ь-v ('—°’43т|г)- ,в-х>
 При этом ъ— tgS, а угол 6, как и в плоской задаче, находится из условия максимума силы давления, которое приводит к уравнению
 8,82 -у- cos2 6 — sin 2 6 = sin 2 (6 — ер). (6. 39)
 Если же общая высота стены A< tg6, т. е. если верхняя часть
 сползающего тела, имеющая форму полуцилиндра, отсутствует, то вместо уравнения (6.39) следует пользоваться уравнением
 I sin2(6 — <р)—sirt26 Q од 2sin2(6 —у) — sin2fl g
 h cos 0 7 sin 0
 Рис. 82
 108

В отличие от эпюры давлений для подпорной стены неограниченной длины в данном случае эпюра давлений оказывается криволинейной, а сила давления меньше, чем на соответствующий участок стены в первом случае.
 При этом разница тем больше, чем меньше длина стены I по сравнению с высотой Л. При > 1,5 решение для условий плоской
 задачи во всех случаях обеспечивает достаточную точность.
 Пример. 17. Определить силу давления грунта на подпорную стену высотой h=4 м и длиной 1=4 ж, если 7=1,7 Т ж3, <р=40° и сро=0.
 Решение. Предполагая, что ft<- tg6, найдем подбором из уравнения (6.40) угол 6=67°30 Ординату эпюры давлений найдем по формуле (6.38)
 1е(в-- ('-0.«-ег)=
 = 72-
 0,43г ‘ 2,414 tge Г ",w_tge ’ ХШ
 = 0,368 z (4 — 0,178 z) = 1,470 z — 0,0656 z2.
 Сила давления на всю стену шириной 4 м выражается интегралом:
 h
 Q — qzdz = 0,735ft2 — 0,0219Л3 = 11,75— 1,4 = 10,35 Т.
 О
 Сила давления на такой же участок, выделенный из стены неограниченной длины, составляет 11,8 Т.
 Другая важная пространственная задача состоит в определении активного давления грунта на круговую в плане стену, обращенную своей вогнутой стороной к засыпке.
 В этом случае по предложению В. И. Титовой 24 сползающее тело расчленяется меридиональными плоскостями на бесконечно малые элементы, один из которых показан на рис. 83.
 Для вертикальной гладкой подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки давление на глубине z выражается формулой
 т _ Уг
 2 tge
 ■(2- 5г) < -»>■ <6'41»
 где R—радиус задней поверхности стены Угол наклона образующей конической поверхности скольжения к горизонту определяется из условия максимальности силы давления, которое сводится к уравнению
 h
 1Г
 = 3-
 sin 2 6 — sin 2 (0 — ф) sin 2 0 — 2 sin 2 (0—ф)
 tg6. (6.42)
 109

Если высота подпорной стены h >jRtg©, то внутренняя образующая сползающего тела пересекает центральную, ось стены и тогда давление ниже глубины z= ?tg6 остается постоянным и выражается формулой
 <72 = tg(6-?). (6.43)
 При этом угол 6 определяется из уравнения
 h sin 2 6 sin 2 (6 — <p) « - .
 R 6cos2 0 '
 Для углов внутреннего Трения грунтов в пределах 25°—35° угол 6 близок к 75°, поэтому высота стены, при которой уже следует пользоваться формулами (6.43) и (6.44), составляет 3,73 R. Применить эти формулы для выпуклой стены нельзя.
 Пример 18. Определить давление грунта на круговую в плане стену высотой h=8 м и радиусом R=8m, если у=1,7 7Уж3, <р=40° и <р0=0.
 Решение. Так как - = =1 <3,73, то для определения угла 6
 нужно пользоваться уравнением (6.42). Оно удовлетворяется при 6=75°45 Подставляя это значение угла в в формулу (6.41), получим уравнение эпюры давлений
 Л = _Л£_ 2 — tg (в — ф)= —1—— (2 )о,72 =
 2 tg е Rtgbj 7) 2-3,936 8-3,936 = 0,216 2 (2 — 0,0318 z) 0,72 = 0,312 z — 0,0049 z2.
 Нижняя ордината эпюры давлений при z=h=8 м равна <7= =0,312:8—0,0049.82=2,49—0,32=2,17 Т м2.
 Сила давления на 1 пог. м. длины окружности стены
 h h
 Q= j (j Lz — j (0,312 z — 0,0049 z2) dz = 0,156 ft2 — 0,00163 Л» =
 0 0
 = 0,156.82 —0,00163-8s = 9,95 — 0,83 = 9,12 TIm.
 Для прямолинейной в плане стены при тех; же данных получим <7=2,95 Т м2 и Q=U,8 Т м.
 § 30. СЕЙСМИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
 Давление грунта на подпорные стены» возводимые в районах, подверженных землетрясениям силой от 7 до 9 баллов, должно быть определено с учетом сейсмической силы инерции S, вызванной весом G сползающей призмы.
 110

Эта сила инерции выражается через массу т сползающей призмы и через сейсмическое ускорение j следующей формулой:
 S = — GKC, (6. 45)
 где g— ускорение силы тяжести;
 — коэффициент сейсмичности, зависящий от расчетной
 сейсмичности, выраженной в баллах.
 При этом СНиП II-A.12—62 установлено:
 для 7 баллов Сс = 0,025;
 » 8 » Кс = 0,05;
 » 9 » Кс = 0,1.
 Так как во время землетрясения сила инерции может иметь любое направление, то следует принять наиболее невыгодное для устойчивости подпорной стены — горизонтальное.
 При этом многоугольник сил, действующих на сползающую призму, будет таким, как это показано на рис. 84.
 Если повернуть чертеж подпорной стены вместе с многоугольником сил на угол o>=arctg Cc против часовой стрелки, то равнодействующая сил G и S, равная окажется вертикальной,
 а задняя грань стены, плоскость скольжения и плоскость внутреннего трения составят углы ac=a-f-< > с вертикалью, 6c=6-f-o> и сРс=сР (0 с горизонтом. При этом должно быть соблюдено условие замкнутости треугольника сил, т. е.
 111

n — n sin(flc—ф) _G sin(6С —<р) ,fi 4fi.
 с sin (< С бс—ф) cos to sin(«J>c ec—ф) ' ‘ '
 где фс=90°—ас—<p0-
 Вместо формулы (3.13) для коэффициента активного сейсмического давления грунта при плоской его поверхности получим выражение
 Хс = (6 4?)
 f 1 -)- Л si-n Ф 2, -° sin р|1 cos <о cos2 ас cos (ас -f <р0)
 I 1 f COS (ас-f ф0) COS (а—g)J c v c 1 T0 Для вертикальной гладкой задней грани подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки получим формулу
 Хс = tg (45°- J cos ш (1  2 Кс tg <р) tg2 (45°- (6. 48)
 Для <р=30° и для расчетной сейсмичности 9 баллов множитель
 = l 2 Cctg<p, являющийся динамическим коэффициентом активного давления грунта, при землетрясении оказывается равным = 1,115.
 В действительности величина этого коэффициента может оказаться значительно большей за счет снижения углов трения грунта при встряхивании.
 Для подпорных стен, соприкасающихся с грунтовой водой, следует учитывать дополнительное инерционное давление воды, которое определяется по формуле1
 Рг = К V, (6. 49 )
 где — объемный вес воды;
 г — глубина воды относительно рассматриваемой точки.
 При расчете подпорных стен, возводимых в сейсмических районах, должна быть еще учтена горизонтальная сейсмическая сила инерции, вызываемая весом G0 сооружения, которая приложена на уровне его центра тяжести и определяется по формуле
 S0 = 1,5 G0KC- (6.50)
 Сейсмическая же сила, действующая на элементарный объем k сооружения, выражается как произведение веса GK этого объема на величину коэффициента сейсмичности с учетом положения объема:
 SK = GK Сс (1 0,5 GKКс, (6.51)
 1 Для гидротехнических сооружений, воспринимающих напор воды с открытой поверхностью, в СНиП II-A.12—62 приведена другая формула.
 112

где zt и г0— расстояния от подошвы сооружения до центра тяжести объема k и всего сооружения.
 Пример 19. Определить силу сейсмического давления грунта на подпорную стену, рассмотренную в примере 3, если расчетная сейсмичность сооружения 9 баллов.
 Решение. При h=6 м, а=10°, Р=0, т=1,8 Т мь, <р=30°, <р0= = 15° и Сс=0,1 имеем следующие величины углов:
 (в = arc tg Кс = arc tg 0,1 = 5°45'; ас = а ш = 10° 5°45' = 15°45'.
 Коэффициент сейсмического активного давления грунта по формуле (6.47)
 } = COS2 (30° — 15°45') Г11 1 f Sin (30° 15°) s‘n 300 2 cos 5°45' COS2 15°45'
 Г cos (15°45' 15°) cos 10° J C0s040 cos
 Х cos(15°45' 15°) = °’433'
 Сила сейсмического давления грунта
 Q = J -Xc = 0,433 = 14,0 Т м.
 2 с 2
 При отсутствии сейсмического воздействия в примере 4 было получено Х=0,378. Таким образом, р= - == 1,14.

ГЛАВА VII
 ПАССИВНОЕ И УПРУГОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
 § 81. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА
 При перемещении подпорной стены в сторону грунта, например, того грунта, с которым соприкасается ее передняя грань (рис. 85), возникает пассивное давление, вернее сопротивление или отпор этого грунта.
 Если заменить, как это делали, следуя Кулону, до появления работ В. В. Соколовского, поверхность скольжения плоскостью, то величины пассивного сопротивления грунта можно найти с помощью того же построения Понселе, которое служило для определения активного давления, но отложив углы <р и<р0в обратные стороны, так как при отпоре грунта силы трения, направленные в сторону, обратную движению, действуют на выпирающую призму в противоположные стороны по сравнению с тем, как они действовали на сползающую призму.
 При этом общую формулу для определения силы пассивного сопротивления грунта можно непосредственно получить из формулы (3.13) для активного давления, изменив на обратные знаки при углах <р и <р0.
 Однако необходимо иметь в виду, что неточность, связанная с заменой криволинейной поверхности скольжения плоскостью, ока-
 114

зывается значительно большей при определении пассивного сопротивления грунта, чем при определении его активного давления. Эта неточность быстро возрастает с увеличением угла внутреннего трения грунта и поданным С. С. Голушкевича и В. С. Христофорова при <р=16° достигает 17 , а при ср—30°— почти 100 . При <р=40° получается семикратное увеличение отпора грунта.
 Только для вертикальной гладкой подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки теории Кулона и В. В. Соколовского приводят к одной и той же формуле для силы пассивного сопротивления грунта:
 Q„ = Jf W45" (7.1)
 2 2 2 1 — sin ф
 При этом нижняя ордината эпюры интенсивности отпора оказывается равной
 Яп = тh tg2 (45° —) = т - 7 Sin<P • V' 2)
 2 I — sin 9
 Сопоставление формул (3.19) и (7.2) позволяет сделать вывод, что пассивное сопротивление грунта при одинаковых условиях много больше, чем его активное давление Q. Так, например, при <р=30°
 Qn = l sin<p 2= 1 0,5 у = 9
 Q 1 — sin ф 1—0,5 Это отношение будет тем меньше, чем меньше угол внутреннего трения грунта, и при 9=0, т. е. для жидкости, равно единице.
 В случае когда угол трения грунта о стену <р0 не может быть принят равным нулю, нормальная и касательная составляющие пассивного сопротивления грунта на глубине z от горизонтальной
 поверхности засыпки выражаются следующими формулами:
 (7. 3)
 (7.4)
 где о ит — коэффициенты пассивного сопротивления грунта, значения которых, вычисленные по теории В. В. Соколовского, приведены в табл. 9.
 При этом жирная ступенчатая линия отделяет в этой таблице коэффициенты, относящиеся к крутым (левая часть таблицы) и пологим стенам.
 Для крутых подпорных стен коэффициенты о и т связаны между собой зависимостью
 = °tg90
 Для пологих подпорных стен угол отклонения полного давления от нормали к задней грани стены меньше угла трения по ней, т. е.
 Ь =arctg- r < ?0.
 о = oyz, X = TYZ,
 115

Значения коэффициентов нормальной и касательной составляющих пассивного сопротивления грунта
 по теории В. В. Соколовского
 о
 О
 О 1,00
 0,00
 1,00
 0,00
 о о о о
 —Го
 1,00
 0,00
 1,00
 0,00
 1,00
 0,00
 о о оо
 JTo
 1,00
 0,00
 оо о о
 -Го
 о о о о о о О О 0 0 о о
 ' о —i о о
 о
 о о о
 СОЮ
 о о
 со со
 О О
 —» о
 О О
 СО
 о—»
 со
 О
 СО о о о
 СО 05 О см
 СО о со
 СОО
 ОО
 со о о 05 05
 0 со
 СО
 о
 —» о
 — о
 —» о
 — о
 —Го
 —Г о -Г о"
 —Го
 —Го"
 —Г сГ
 -Го
 о
 о
 1 -
 о8
 —Го
 1,05
 0,08
 1,05 1 0,15
 ю о о о
 —. о
 1,11
 0,20
 1Д1
 0,32
 1,08
 0,00
 см —• со
 •—Г о 1,22
 0,64
 1,11
 0,00
 1,31
 0,46
 со
 rh —'
 о
 88
 о о •—( —»
 о со
 04 О — О
 СО со 04 о о см о
 ОО СО
 со со
 О СО
 юоо_
 со о см о
 SS
 04 0
 05 Ю
 О
 —< О
 —1 о
 —» о
 —< О
 —i о
 —> о
 ' о
 —То
 Го"
 —Го"
 -Го"
 -Г-Г
 О
 ю
 1,10
 0,00
 1,15
 0,11
 оо о
 —»СЧ
 —Г о
 05 О —. О
 —Го
 1,35
 0,23
 СО 04
 ю —>» о
 040 СО о
 ' О
 1,60
 0,43
 1,91 1 1,10
 1,47
 0,00
 2,06
 0,75
 1 2,56
 ; 2,14
 о
 1,16
 0,00
 1,21
 0,11
 1,25
 0,22
 1,32
 0,00
 1,51
 0,26
 1,63
 0,59
 So
 ' 0
 05 —• О01Л
 -Го"
 2,25 1 1,30
 1,76
 0,00
 2,60
 0,94
 I 3,48 2,91
 о
 со
 1,20
 0,00
 1,27
 0,12
 1,32
 0,23
 1,45
 0,00
 1,68
 0,30
 1,88 0,68
 1,72
 0,00
 СМ СМ
 со СО см о"
 2,79
 1,61
 2,14 0,00
 3,44 I 1,24
 осм СО о
 Tj« ' Г
 о
 1,25
 0,00
 1,36
 0,12
 1,42
 0,25
 1,60
 0,00
 1,92
 0,34
 04 00 04" о
 2,02 1 0,00
 2,86
 0,77
 3,50 1 2,02
 2,66
 0,00
 I 4,70 1,71
 h- СО СО lO
 о
 о
 СО О СО О
 Ю СО —1
 ю см
 о о оо о
 05 05
 ' со
 to 05 т ОО
 COO О
 to
 Ю 05
 см ю
 иО
 см о
 тГ« О
 со Ю со
 ю о
 —Го
 —Г о"
 —Го
 —Го
 см о
 of 0
 СЧ О
 со о
 "04
 со О
 со см
 05 00
 о
 СМ о о
 LO
 Ю—1
 СО СЛ СО 04
 тр о о о
 Ю
 СО Tf
 00 0
 О О
 О о
 соо
 г .
 со см
 SS
 25
 о
 —Го"
 -Го"
 -То
 о?о"
 04 0
 04"-Г
 со" о"
 •—1
 Ю СО
 "о
 05 со"
 со—Г
 о
 о
 —«о ю о
 СО
 СО —<
 г- со
 со о со о
 со см
 С7>Ю
 см
 СО СЧ
 О о t o
 К
 о
 04
 Ю о см о
 О '
 сч 00
 о о СО со
 т
 —Го"
 -Го"
 —Го"
 см о
 оГо
 со"—Г
 со"о
 ю-Г
 h-TrjT
 со" О
 со
 CD r-Г 04 —'
 о
 §
 1
 см о СО О
 о со оо —1
 СГ) со
 05 О
 о
 со —• со
 см
 0 Tf
 о
 0
 S2
 05
 со О оо о
 оо to —•
 —< со
 ОО СО
 —Го
 —Г о"
 -Го
 см о
 СО о
 т}Г—.
 0
 1 "см
 оГю
 ООО 0>N
 -Гсо со см
 С
 S
 1
 СО О
 о
 СО Isо> оо
 —. со
 00 о о
 СО 05 00 ОО
 28
 ■—< см
 —1 N
 04 —'
 to 00
 0 0 0 0
 — сч
 00 см
 о о
 —Го"
 —Го
 СМ О
 со о
 TjTo"
 «ч}Г —
 со О
 о" 04
 co"tC
 1-Н
 со"о
 о —Г
 СО —1
 о" см
 Ю TJ в 1 Ь 1 >
 1 О 1 н
 1 ю|н
 |ojH
 1 ь f е 1 о J ь
 о 1 и
 > о|и Jo н |efe
 »Ь Н Jt5(e
 ® о
 о
 о
 ю
 о
 О
 о
 о
 о
 О
 о
 О
 см
 о
 О
 0
 Ю
 о
 о
 со
 о
 о
 0
 8
 0
 0
 э-
 о
 о
 о
 О
 о
 О
 0
 0
 16

Горизонтальная и вертикальная составляющие интенсивности пассивного сопротивления выражаются теми же формулами (2.22) и (2.23), как и при определении активного давления.
 Пример 20. Требуется определить пассивное сопротивление грунта при давлении на него передней грани фундамента стены высотой йф= 2,0 м. Поверхность земли горизонтальная, угол внутреннего трения грунта <р=30°, угол трения грунта о стену <р0=15°. Сцепление не учитывается. Объемный вес грунта 7 = 1,8 Т м3.
 Решение. По табл. 9 находим коэффициенты нормальной и касательной составляющих пассивного сопротивления грунта о= =4,46 и х=1,20 и вычисляем коэффициент пассивного сопротивления грунта
 Хп = £п = У о2 = V4,462 1,20 = 4,63.
 Нижняя ордината эгйоры пассивного давления
 <7n = TfV n = 1,8-2-4,63 = 16,7 Т м2.
 Сила пассивного сопротивления грунта
 Q = «вйф = 16,7-2,0 = 16,7 Т м. п 2 2,0
 Эта сила отклоняется от нормали к стене вниз на угол <р0= 15°.
 При определении пассивного давления грунта на подпорные стены ограниченной длины в плане может быть учтено также и сопротивление грунта, расположенного по сторонам. По предложению Г. И. Глушкова и Б. А. Урецкого форма тела выпирания, подтвержденная опытными данными, может быть принята согласно рис. 86. При этом об ьем тела складывается из объема призмы и объема двух пирамид, составляя
 у = J- 1—— (3 -L И).
 2 tg 6 6 tg 6 6 tg 0 '
 Примем, что угол б в этом случае такой же, как и при плоской деформации, и не будем учитывать силы трения по боковым граням
 117

тела выпирания. Тогда сила пассивного сопротивления грунта в рассматриваемом случае может быть определена путем введения в формулу (7.1) коэффициента, являющегося отношением общего объема тела к объему его средней призматической части, т. е.
 В условиях плоской деформации =оо и формула (7.5) переходит в (7.1).
 § 32. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ
 В некоторых случаях перемещения подпорных стен слишком малы для того, чтобы давление засыпки могло снизиться до величины активного давления. Примерами таких сооружений могут служить массивные подпорные стены на скальном основании, а также стены очень жестких подземных сооружений, испытывающих одинаковое давление с обеих сторон (рис. 87).
 Такие практически неподвижные стены испытывают непредельное давление засыпки, находящейся в состоянии упругого равновесия.
 При определении давления грунта на подпорную стену, которую можно считать абсолютно неподвижной, засыпку рассматривают как упругое тело. Если поверхность засыпки горизонтальна, а задняя грань стены вертикальная и трение по ней не учитывается (фо О) то граничные условия на задней грани стены в отношении горизонтальных перемещений и сдвигающих напряжений соответствуют условиям на вертикальной плоскости полупространства, являющейся плоскостью симметрии к заданной нагрузке и к ее зеркальному изображению (рис. 88).
 Если исходить из того, что вертикальное напряжение от собственного веса грунта на глубине z равно o —yz, то горизонтальное
 (7.5)
 Рис. 87
 Рис. 88
 118

Напряжение на этой же глубине можно определить из уравнения обобщенного закона Гука для плоского деформированного состояния и условия, что относительная деформация в направлении оси х равна нулю:
 ех = 1(1 — Н-") — И- (1 1 ) °z = 0.
 Отсюда
 °ЛГ = == (7. 6)
 1 fA
 где — коэффициент Пуассона грунта.
 Величина Е0 г -- является коэффициентом бокового давле1 р.
 ния грунта в состоянии покоя.
 Значения коэффициентов р и |0 для различных грунтов приведены в табл. 10.
 Таблица 10
 Значения коэффициентов р. и £0
 Наименование грунтов
 V-
 Ео
 уел
 Крупнообломочные 0,27
 0,37
 27°25'
 Пески и супеси 0,30
 0,43
 23°30'
 Суглинки 0,35
 0,54
 17°25'
 Глины , 0,42
 0,72
 9°20'
 При действии линейной нагрузки Р и ее зеркального изображения, параллельных заднему верхнему ребру подпорной стены, давление на нее исходя из формулы теории упругости (формула Фламана) будет равно
 АРхЧ 2Р— ( 7 п °х 7t ( 2 г2)2 г °х' ' Ч
 где х=а — расстояние от линии нагрузки до задней грани стены.
 При этом касательное напряженке iZx на задней грани стены будет равно нулю.
 Значения коэффициента ох в зависимости от отношения приведены в табл. 11.
 Для получения наибольшего давления на данной глубине z линия нагрузки должна быть отодвинута на расстояние x—z. р
 При этом ох =0,31-8—. При заданном расстоянии х от линии нагрузки наибольшее давление будет на глубине 2=0,578 х и составляет ож =0,238-.
 х Z
 При действии вертикальной сосредоточенной силы Р и ее зеркального изображения давление на вертикальную плоскость, сов-
 119

Значения коэффициента о х
 Таблица И
 X
 Z
 ®х
 X
 Z
 ° X
 X
 Z
 X
 Z
 ах
 0,00
 0,000
 0,55
 0,113
 1,2
 0,154
 2,3
 0,085
 0,05
 0,002
 0,60
 0,124
 1,3
 0,149
 2,4
 0,080
 0,10
 0,006
 0,65
 0,133
 1,4
 0,142
 2,5
 0,076
 0,15
 0,014
 0,70
 0,140
 1,5
 0,136
 3,0
 0,057
 0,20
 0,024
 0,75
 0,147
 1,6
 0,129
 3,5
 0,044
 0,25
 0,035
 0 80
 0,151
 1,7
 0,122
 4,0
 0,035
 0,30
 0,048
 0,85
 0,155
 1,8
 0,115
 5,0
 0,024
 0,35
 0,062
 0,90
 0,157
 1,9
 0,108
 6,0
 0,017
 0,40
 0,076
 0,95
 0,159
 2,0
 0,102
 7,0
 0,013
 0,45
 0,089
 1,00
 0,159
 2,1
 0,098
 8,0
 0,010
 0,50
 0,102
 1,10
 0,158
 2,2
 0,090
 9,0
 0,008
 падающую с задней гранью додпорной стены, выражается формулой Буссинеска с коэффициентом 2:
 = 3pr л X2Z
 1 —2 х
 I
 (2 R z)x  R(R z) (R г)2 R3
 R3
 -
 2Я o„,
 (7.8)
 где x — расстояние от сосредоточенной силы до задней грани стены по перпендикуляру;
 у — расстояние от сосредоточенной силы до взятой на поверхности стены точки по направлению, параллельному кордону стены;
 x2Jry2 z2.
 Напряжения ох в некоторой области рассматриваемой вертикальной плоскости могут оказаться отрицательными, т. е. растягивающими. Однако в большинстве случаев они будут погашаться сжимающими напряжениями от собственного веса грунта.
 Для облегчения использования формулы (7.8) Г. И. Глушковым 6 составлен график значений ах для коэффициента Пуассона =0,3 (рис. 89).
 Следует иметь в виду, что сила давления на подпорную стену в большой степени зависит от величины х. При =0,5, что соответствует материалу, сохраняющему при деформации постоянный объем, формула (7.8) упрощается и приобретает следующий вид:
 3 р x2z 2Р - п Q.
 — V (7.9)
 П ( 2 У2 22)’
 5 2
 х Для того чтобы в данной точке стены на глубине z давление было наибольшим, сосредоточенный груз должен быть установлен против этой точки ( =0) иа расстоянии я=0,816 z. При этом ох—
 = 0,1776 4.
 120

Коэффициент 5 0,08
 -Ц02 1 1— J. I—L1L I I t. I I—I 1— I 1 J-LJ
 0,Z 0,3 0,b 0,S 0,6 0,8 1,0 i,b 2,0 3,0 b,0 5,06,0 8,0 10,0
 Отношение
 Рис. 89

При заданном расстоянии х наибольшее давление будет на глу-
 Р
 бине z=0,5 х и составляет ад- 0,0684 .
 Изложенный метод определения давления грунта пока может иметь лишь ограниченное применение, так как он относится к частному случаю абсолютно гладкой жесткой и неподвижной стены при горизонтальной поверхности засыпки.
 Для определения давления грунта на подпорную стену в более общем случае (произвольная поверхность засыпки, наклонная стена и угол трения по ней засыпки <ро 0) примем допущение, что в сыпучем грунте отношение между главными напряжениями (точнее между их приращениями) равно коэффициенту бокового давления, т. е.
 a2 = ?oai- (7.10)
 Выражая главные напряжения через нормальные напряжения при помощи формулы (2.13)
 °г)2 4хх;
 1,2 2 2 у vк z) хг’
 после несложных преобразований получим
 (°г — °v)2 4 Т1 = (тТ о) П)
 Сравнивая это уравнение сусловием(2.15)предельного напряженного состояния, принятого В. В. Соколовским (при с 0), легко обнаружить, что они отличаются друг от друга лишь параметрами
 в уравнении (7.11) вместо sin<p в уравнении (2.15).
 Учитывая, что дифференциальные уравнения равновесия остаются одними и теми же в обоих случаях, можно свести решение задач, связанных с непредельным равновесием грунта, к использованию тех же формул и графических построений, которые применяются для решения задач предельного равновесия. Однако при этом придется принять угол отклонения полного давления от нормали к условной площадке скольжения равным некоторому условному углу внутреннего трения <русл, определяемому из уравнения
 «Русл = arc sin (7. 12)
 1 “Г Со
 отсюда
 1 sin Фусл ?о " . : —
 1 -f- Sin фусл
 tga 45°—(7- 13)
 Если исходить из значений коэффициентов бокового давления, приведенных в табл. 10, то углы отклонения (см. последний столбец этой таблицы) окажутся значительно меньшими, чем действительные углы внутреннего трения. Так, например, для песка, обладающего
 122

коэффициентом бокового давления £0—0,43, <руСл“23°30', в то время как действительные углы внутреннего трения песчаных грунтов лежат в пределах 30°—43°.
 Это означает, что непредельное давление грунта превышает его активное давление, что вполне согласуется с данными опытов.
 Пример 21. Построить эпюру давлений на подпорную стену, рассмотренную в примере 8, при услСвии, что она стоит на скальном основании и может быть принята абсолютно неподвижной. При этом h—6 м. Засыпка песчаная с у= 1,9 Т м?.
 Решение. Для песчаного грунта засыпки коэффициент бокового давления состояния покоя по табл. 10 равен £о=0,43 Нижняя ордината эпюры давлений на неподвижную стену по формуле (7.6)
 q = ox = 1,9-6-0,43 = 4,90 Г ж2,
 т. е. на 58 больше, чем соответствующая ордината эпюры активного давления при некотором смещении подпорной стены.
 Для построения эпюры давлений от линейной нагрузки Р= =4,5 Т м разобьем стену по высоте на 6 частей и для каждой точки деления найдем соответствующую ординату по формуле (7.7)
 2 Я — 2 4,5 — п п ах
 Яг = °хр=-г°х = 9-°-г’
 рис. 90
 Вычисления по этой формуле сведены в табл. 12. Эпюра давлений на подпорную стену показана на рис. 90.
 123

Таблица 12
 я м
 X
 г
 х
 °х. Т м 0
 оо
 0
 0
 0,5
 4
 0,035
 0,630
 1
 2
 0,102
 0,920
 2
 1
 0,159
 0,715
 3
 0,667
 0,135
 0,405
 4
 0,500
 0,102
 0,229
 5
 0,400
 0,076
 0,137
 6
 0,333
 0,058
 0,087
 Равнодействующая дополнительного давления на подпорную стену от силы Р подсчитывается как площадь эпюры, которая заменяется отдельными трапециями:
 (o.63-°,S 0,92.0,75 0,715-1 0,405-1  0,229-1 0,137-1 0,087-0,5) = 2,534 Т м.
 Эта величина превышает соответствующую силу активного давления грунта, Найденную приближенный способом, всего на 8 . Однако центр тяжести дополнительной эпюры, расположенной на высоте 4,08 м от низа стены, находится также на 8 выше, чем в предыдущем случае.
 § 33. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНУЮ СТЕНУ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЕЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
 Исходя изданных опытов можно принять следующую упрощенную диаграмму изменения давления q на подпорную стену в зависимости от величины ее горизонтального перемещения Д на данной глубине z, которое зависит от сдвига и поворота стены (рис. 91).
 Для наклонного прямолинейного участка этой диаграммы известны величины трех ординат, соответствующих активному давлению грунта, давлению его на неподвижную стену и пассивному давлению.
 При этом
 9а = 7Аха. <7о = ТАХо- <7п = 7 . (7- И)
 где Ха, X,, и Х„ — коэффициенты давления грунта активного, состояния покоя и пассивного соответственно.
 Для вертикальной идеально гладкой подпорной стены при горизонтальной поверхности засыпки эти коэффициенты выражаются формулами:
 к = tg (45°--f), = = Ч (45° ,
 124

где <р— угол внутреннего трения грунта;
 (л— коэффициент Пуассона для данного грунта.
 Если принять, что движение подпорной стены начинается лишь после засыпки и в соответствии с СН-200—62 23 исходить из простейшей теории деформации грунта по Фуссу—Винклеру, считая коэффициент постели k нарастающим пропорционально глубине, то на глубине z давление засыпки на гладкую вертикальную заднюю грань подпорной стены, переместившуюся и одновременно повернувшуюся в сторону засыпки, будет равно
 qz = — k zA — kz (h — z), (7. 15)
 где Д и 0 — горизонтальное и угловое (крен) перемещения подпорной стены;
 k — коэффициент, характеризующий изменение коэффициента постели с глубиной; для нескальных грунтов СН-200—62 установлены значения k в пределах от 100 до 2000 Т м4.
 Сила давления грунта на подпорную стену определяется путем интегрирования выражения (7.15):
 Q = j dZ = 2fxo-M.2A_ 0. (7.16)
 о
 Эпюра давлений складывается из трех эпюр, две из которых имеют треугольную форму, а третья — параболическую (рис. 91). При перемещениях стены в сторону засыпки второе и третье слагаемые в формулах (7.15) и (7.16) должны быть взяты со знаком плюс.
 В соответствии с принятой диаграммой давлений сила Q не может быть меньше фаи больше Qn. Формула (7.16), как это видно из рис. 92,
 хорошо согласуется с результатами опытов
 И. В. Яропольского со стенкой высотой 60 см и шириной =1,04 м. Засыпка из уплотненного мелкого сухого песка имела объемный вес ?=1,46 Т м6, угол внутреннего трения ср=32°. Если принять» учитывая уплотнение, коэффициент бокового давления состояния покоя Х0=0,70 и по СН-200 — 62 k = =800 Т м4, то сила давления на такую подпорную стену при горизонтальном поступательном перемещении будет
 Q ct
 80
 160
 по
 120 •
 00 •
 60 ■
 60 ьо -
 го -
 4)
 83 к»
 1
 т
  л
 i
 о-
 „ - Д0 - 0,83 мм ?
 -О
 г з 4 л Рис. 92
 в а
 А мм
 126

Q = i-¥A ) = )==
 = Q»6 '1’? (1,46• 0,70 — 800 Д) = 0,180 (1,02 — 800 Д).
 Сила давления на неподвижную стенку (Д=0) получается равной Qo=0,18.1,02=0,183 Т.
 Горизонтальная же сила активного давления по Кулону при
 <Ро = Ф
 Qa =1- h = -—£—-0,237 = 0,063 т.
 Перемещение Да, соответствующее снижению давления до величины активного, находится из уравнения
 Q =-- Qa или 0,180 (1,02 — 800 Да) = 0,063,
 отсюда
 Аа = 0,00083 м = 0,83 мм.
 Расхождение между сплошной ломаной линией, соответствующей этому расчету, и кривой, проведенной по опытным точкам (пунктирная линия), не больше чем, например, между действительной диаграммой растяжения упруго-пластического материала и упрощенной диаграммой Прандтля.
 Такое же хорошее совпадение дает формула (7.16) и с результатами опытов других исследователей.
 Теперь рассмотрим давление на подпорную стену в случае совместного ее перемещения с перемещениями основания и грунта у передней грани фундамента. Для этого найдем действующие на стену силы и их моменты.
 Момент, сопротивляющийся крену подпорной стены в случае, когда давление на основание передается по всей ширине подошвы, выражается формулой (см. рис. 91)
 (7. 17)
 где Ъ — ширина подошвы подпорной стены;
 0 — угол крена;
 k — коэффициент постели грунта в основании подпорной стены, принимаемый для нескальных грунтов равным kh (в Т м )у но не менее 10 k для скальных грунтов этот коэффициент принимается в пределах от 30000 до 1500000 Т м Силу Т сопротивления основания сдвигу подпорной стены примем пропорциональной величине перемещения А, т. е.
 = (7. 18)
 где Ъ — ширина подошвы подпорной стены;
 т — сдвигающее напряжение по поверхности основания;
 127

kT— коэффициент сопротивления грунта сдвигу подпорной стены по основанию ( сГ сж3), который можно принять равным 0,5—0,7 от величины коэффициента постели к. Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены не может превосходить предельной величины
 7 ф=Л7, (7 19)
 где N — сила нормального давления от подпорной стены на ее основание;
 — коэффициент трения между подошвой подпорной стены и поверхностью основания.
 Условия равновесия подпорной стены, заглубленной в основание на величину Аф и переместившейся в сторону от засыпки:
 Ш Л ШгЩ
 ТФлф —2 °Ф_
 2
 ’lL
 ЛМ-
 ЬфЛфЛ
 ТФ Ф
 Ш А
 kh Q
 12
 ■Ga— —
 12
 фАф®
 - = о.
 6 °Ф 6 12
 При составлении этих уравнений учтена возможность различных значений у, k и Х0 для задней и передней граней стены.
 Последние отмечены буквой ф. Третье уравнение равновесия при гладкой вертикальной задней грани подпорной стены дает возможность непосредственно найти среднюю величину осадки s:
 2Z = G — kbs = 0,
 где G — собственный вес подпорной стены, отнесенный как и все остальные силы, к 1 пог. м ее длины.
 Уравнения равновесия удобно представить в форме канонических уравнений метода перемещений:
 где
 'ллА е0 ?ЛО = О,
 гел А гее 0 -f- Reo 0;
 r = 3(fih2 k hl 2kIby,
 где = гел —khs - фАф
 гее= "5“ гФ 3j‘>
 Ядо “ (Л Тф гф '«ф| •
 е0 = — тА3 Тф Лф хоф 6 Ga.
 (7. 20)
 (7. 21)
 128

При этом линейное перемещение и угол крена будут выражаться Такими формулами:
 А= (7. 22)
 rLL гее— гел
 0 = (? 23)
 гее — 'ел
 После нахождения перемещений Д и 0 можно, пользуясь формулами (7. 15), (7. 16), (7. 17) и (7. 18), определить давление засыпки на заднюю и переднюю грани подпорной стены, величину эксцентрицитета е силы N и силу сопротивления Т основания сдвигу.
 Применение предлагаемых формул к расчету подпорной стены показано на числовом примере.
 Пример 22. Определить давление грунта на подпорную стену высотой h = 9,8 ж, с шириной подошвы Ь = 6 ж, с вертикальной задней гранью, заглубленную на высоту Лф = 1,8 ж. Поверхность засыпки горизонтальная (рис. 93). Грунт засыпки со стороны задней и передней граней — песок средней крупности рыхлый, для которого т = 1,8 Т ж8, 9 = 35°, <р0 = 0°, = 0,3, k — 250 Т ж4: Грунт основания — скала, для которой k = 50000 Т ж3, kT — = 35000Т ж3, = 0,6. Собственный вес стены вместе с грунтом на фундаментной плите составляет G — 90 Т ж, а плечо этой силы относительно середины цодошвы а = 0,42 ж.
 Все исходные данные являются величинами расчетными, т. е. уже содержат коэффициенты перегрузки и учитывают снижение механических характеристик грунтов.
 129

Решение. Коэффициент давления грунта в состоянии покоя
 Коэффициенты выражений (7. 22) и (7. 23) для определения неизвестных перемещений определяются по формулам (7. 21)
 гдд = 3 (k А2 h 2 kjb) = 3 (250 -9,82  250 -1,82 2.35000 6) = 1334000;
 где = гей= Ш h = 250 (9,83 1,83) =237000;
 гее = kb ) - 4 (250 • 9>84  250-1,84 50000-68) = 6550000;
 Ядо = - 3(т h - т £хо) = — 3-1,8-0,43 (9,82 - 1,82) = - 215;
 = — т г8Х0 Х„ 6 Ga = — 1,8 • 0,43 (9,83 — 1,83)  6.90-0,42 = —496.
 Линейное перемещением угол крена определяются по формулам (7. 22) и (7. 23):
 д _ гле ео — 'ееЯдо -237000-496 6550000-215 _
 Гдд ree — r 6 1 334 000 • 6 550 000 — 237 ООО2 =
 = 1,485-10"1 м и _ где до — '•дд ео _ — 237 000-215 1334000-496
 г». Гы —г2а = 1 334000-6550000 — 237 ООО2 =
 ДА 00 Д0
 = 7,04-Ю-5.
 Сила давления грунта на заднюю грань подпорной стены определяется по формуле (7.16). При этом перемещения Д и 0 считаются положительными:
 q = t£i0— д — = ь8- 8 -о,4з—
 _ 250 1485>10_4_ 250 8f_ 7)04>10_s _
 £ О
 = 37,1 — 1,78 — 2,77 = 32,55 Т м.
 130

Эта сила превышает силу активного давления
 <2а= tg8(45°—-f-j = 1>8з’82 -0,271 = 23,4 Т м
 на 39 и оказьюается расчетной.
 Сила давления (или, точнее, отпора) грунта на переднюю грань фундамента определяется по формуле (7. 16), причем перемещения А и 0 уже считаются отрицательными, так как они направлены в сторону грунта
 -250-‘1’82- (1,485- 10"4) 250'g’83 -7,04-10 5 = 1,25  0,0601 0,0171 = 1,33 Т м.
 Это превышает силу активного давления грунта на переднюю грань стены
 0 = = t,821,82- -0,271 = 0,79 Т м
 на 68 .
 Сила сопротивления основания сдвигу подпорной стены Т = kTbД = 35000-6-1,485- ИГ4 = 31,22 Т м. Предельная же величина силы трения оказывается равной Тпр = Nf = 90-0,6 = 54,0 Т м > 31,22 Т м.
 Силы Q, фф и Т уравновешивают друг друга.
 Действительно, ЕХ = 32,55 — 31,22—1,33=0.
 Это служит одной из проверок правильности определения значений Д и 0.
 Для построения эпюр давления используется формула (7. 15). Для задней грани
 qz = if2X0—kz — kz(h — z)0 = 1,8-2-0,43 —
 — 250-2-1,485-10"4 —250-2(9,8 —2) • 7,04-10- =
 = 0,566 2 0,0176 22.
 Для передней грани Яг ф = 2 (Аф — 2) 0 = 1,8-2-0,43 250-2-1,485-10“  250-2(1,8 —г) 7,04» 10-8 = 0,844 2 — 0,0176 22.
 Найденное значение угла крена позволяет определить величину эксцентрицитета силы N исходя из формулы (7. 17):
 131

M kb п. 50ОСЮ-68 ппплп,п, „ ппл
 е = jf — 12N 0 = —ПГэб—0.0000704 = 0,704м.
 Зная величину эксцентрицитета, можно построить эпюру реакций грунта основания, найдя ее крайние ординаты:
 Эйюры давлений, действующих на подпорную стену со стороны задней грани, передней грани и основания, показаны на рис. 93. Проверка устойчивости подпорной стены на опрокидывание
 Если произвести расчет этой же подпорной стены, считая основание нескальным и приняв для него k = 5000 Т м8 и kt = = 3500 Т м9, то сила давления на такую подпорную стену (Q = = 19,59 Т м) оказывается уже меньше силы активного давления Я расчетным будет последнее.
 В рассмотренном примере влияние сдвига и крена подпорной стены как факторов снижения давления на нее оказывается одного порядка. Произведенные подсчеты показывают, что относительное влияние поворота тем больше, чем выше подпорная стена и чем жестче ее основание.
 Предлагаемая методика расчета подпорных стен с учетом их перемещений может быть распространена и на случаи, когда стена не вертикальная и не гладкая и когда поверхность засыпки не горизонтальная. Легко решаются также и задачи, связанные с определением давления грунта на массивные сооружения типа шлюзов и сухих доков. Для таких сооружений большие реактивные давления засыпки возникают даже от температурных перемещений.
 Произведенные расчеты показывают, что для подпорных стен на нескальных основаниях перемещения обычно оказываются достаточными для того, чтобы давление засыпки снизилось до величины активного. Поэтому д ля таких подпорных стен принятие активного давления грунта в качестве расчетного может считаться обоснованным. Однако это оказывается неприемлемым для подпорных стен на скальном основании, а также для жестких подпорных стен, связанных с другими массивными сооружениями. В этих случаях следует определять расчетное давление грунта с учетом перемещений подпорной стены.
 дает

ГЛАВА VIII
 ДРУГИЕ ТЕОРИИ ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
 § 34. ТЕОРИЯ РЕНКИНА
 В настоящее время эта теория потеряла самостоятельное значение, так как вытекает в качестве частного случая из теории В. В. Соколовского.
 Ренкин рассматривал сыпучее тело, ограниченное наклонной плоскостью (рис. 94).
 Элемент, выделенный двумя вертикальными сечениями и двумя сечениями, параллельными поверхности, находится в равновесии под действием вертикальных сил
 Для нахождения напряжения ор Ренкин воспользовался свойством его сопряженности с напряжением о2, т. е. тем обстоятельством, что каждое из этих напряжений параллельно площадке, на которую действует другое напряжение. Это свойство позволяет с помощью круга Мора получить следующую формулу для случая предельного напряженного состояния сыпучего тела:
 Вертикальные напряжения можно найти, разделив силу Pz на величину площадки, т. е.
 на dF = 77 .- 3x0 Дает
 Рг = zdx от собственного веса и сил Рр, приложенных к вертикальным граням элемента. Последние должны действовать по одной прямой, параллельной поверхности сыпучего тела, так как в противном случае создавалась бы пара, вращающая выделенный элемент.
 d'x
 cosfT
 tijr
 Рис. 94
 133

где 9 — угол внутреннего трения сыпучего тела.
 При горизонтальной поверхности сыпучего тела (3 = 0:
 = <8'2>
 Если р = 9, то
 ср =Л =T2C0S9- (8-3)
 Верхние знаки в этих формулах соответствуют активному давлению, а нижние — пассивному.
 С помощью этих формул можно найти наряжения, действующие по наклонной плоскости, совпадающей с задней гранью стены.
 Однако при этом остаются без должного учета силы трения, возникающие между стенкой и засыпкой и определяемые углом трения <р0.
 Кроме того, по формуле Ренкина давление на подпорные стены, имеющие одинаковые по величине, но разные по знаку углы наклона (а и —а), получается одинаковым, что противоречит здравому смыслу и опыту. Если замена подпорной стены с прямым уклоном плоскостью в полубесконечном теле допустима, то для стены с обратным уклоном это неприемлемо. Правда, путем введения некоторых дополнительных допущений удается применять теорию Ренкина к подпорным стенам с обратным уклоном, но в этом нет необходимости, так как теория Ренкина является частным случаем теории В. В. Соколовского.
 § 35. ТЕОРИЯ БУССИНЕСКА
 По этой теории грунт или другое сыпучее тело рассматривается в качестве несжимаемой сплошной среды, модуль сдвига которой G принят пропорциональным среднему сжимающему напряжению ос.
 Эти допущения позволяют написать следующие уравнения в плоской задаче:
 g =0, (8.4)
 G = В ос = (аг <зх), (8. 5)
 где w и и —составляющие перемещений по направлению осей координат z их;
 az и ах — соответствующие нормальные напряжения;
 В — безразмерный коэффициент пропорциональности, фигурирующий в этой теории в качестве единственной упругой постоянной сыпучего тела.
 134

Зависимость между напряжениями и деформациями ez и ех была принята Буссинеском в такой форме:
 аг — ас0  = ос(1 2 Вех)  гх °с Вб2х.
 (8. 6)
 Эти уравнения вместе с условиями равновесия и геометрическими уравнениями Коши позволяет найти напряжения и деформации сыпучего тела в состоянии упругого равновесия при заданных граничных условиях. Таким путем Буссинеском решены некоторые частные задачи давления грунта на подпорные стены.
 Теория Буссинеска не получила распространения, так как не была понята современниками.
 Однако при подстановке В =— уравнения (8. 6) легко при-
 °с
 водятся к современным уравнениям, выражающим активную пластическую или нелинейную упругую деформацию твердого тела, с коэффициентом Пауссона ja = 0,5:
 Эти уравнения можно привести и к обычному виду уравнений обобщенного закона Гука, в которых модуль деформации £ является величиной переменной, а коэффициент Пуассона jx = 0,5:
 Допущение о несжимаемости, которое для сжатия без возможности бокового расширения приводит к равенству нормальных напряжений az и ах, — недостаток теории Буссинеска. В остальном эта теория довольно тонко учитывает физические свойства сыпучего тела.
 Исходя из двух дифференциальных уравнений равновесия сплошной среды в условиях плоской задачи и дополнительного условия, что касательное напряжение в любой точке
 °г °с = 2Gez;
 ax — ac = 2Gex; хгх = Gezx.
 (8. 7)
 (8. 8)
 Здесь
 егх Е •
 Е = 2G(1 fi) = 3G.
 § 36. ТЕОРИЯ н. п. пузыревского
 135

сыпучего тела зависит от угловой координаты, определяющей положение этой точки по отношению к началу координат,
 Н. П. Пузыревский вывел формулы, позволяющие определить давление земли на вертикальную подпорную стену при горизонтальной поверхности засыпки в состояниях покоя и предельного равновесия.
 В первом случае Во втором случае
 «.=-£ ; • <8-9>
 1 sin ?
 (8.Ю)
 2 па
 При этом величина п определяется из решения уравнения
 sin 9 = ctg (8. И)
 Например, для 9 = 32° п — 2,5 и
 Q0= -0,546, Qa = -0,320.
 Активное же давление по В. В. Соколовскому и по Кулону будет равно Qa = . 0,307.
 Хорошая сходимость результатов, даваемых формулами Н. П. Пузыревского, с результатами, получаемыми по В. В. Соколовскому и Кулону, а следовательно, и с данными опытов показывает, что произвольное на первый взгляд допущение, введенное
 Н. П. Пузыревским, в действительности хорошо отражает природу сыпучих тел.
 § 37. СПОСОБ С. С. ГОЛУШКЕВИЧА
 Этот способ, основанный на применении характеристических кругов, может рассматриваться в качестве уточнения теории Кулона, так как для крутых подпорных стен вместо плоскости скольжения С. С. Голушкевич принял поверхность скольжения состоящей из двух плоскостей и вставки между ними в виде цилиндрической поверхности с производящей по логарифмической спирали (рис. 95). При этом сползающая призма разделяется на три области: область наименьших напряжений — , особую область —II и область наибольших напряжений — III. Условия равновесия сползающей призмы сводятся к выполнению условия замкнутости многоугольника действующих на нее сил.
 Пусть требуется определить активное давление сыпучего тела на заднюю грань АВ подпорной стены, показанной на рис. 95, а,
 136

Рис 95

при наличии вертикальной равномерно распределенной нагрузки на поверхности сыпучего тела.
 Прежде всего по заданной величине угла внутреннего трения <Р построим в произвольном масштабе систему характеристических кругов, показанную на рис. 95, в.
 Для нахождения границ области III проведем хорду ab круга вершин, параллельную задней грани стены и касательную к кругу площадок. Из центра кругов с через точку касания проведем радиус и продолжим его до пересечения с кругом полюсов в точке п; этот радиус будет нормальным к задней грани стены. Из точки п под заданным углом <р0 (угол трения грунта о стену) проводится прямая пй до пересечения с кругом вершин. Полученная точка d соединяется с концами хорды аЪ прямыми db и da, которые дают направление линий скольжения, ограничивающих область III. Проведя на рис. 95, а из точек В и А линии, параллельные bd и ad, до их взаимного пересечения в точке D, получим границы области III.
 Для нахождения границ области I проводим хорду а'е круга вершин, параллельную поверхности грунта и касательную к кругу площадок. Из центра кругов с через точку касания к проводим радиус сп до пересечения с кругом полюсов; этот радиус будет перпендикулярен к поверхности грунта. Из точки ri проводим прямую п f параллельную равнодействующей нагрузки и весу призмы , которая в данном случае будет вертикальной. Эта прямая пересекает круг вершин в точке , которая соединяется с точками а и е, являющимися концами хорды круга вершин. Линии a'f и ef будут параллельны линиям скольжения, ограничивающим область . Одну граничную прямую этой области, отделяющую ее от области II, получим, проведя на рис. 95, а из точки А прямую, параллельную a'f. Что касается второй граничной прямой, параллельной EF, то она может быть построена лишь после того, как будет найдена принадлежащая ей точка 7, лежащая в то же время на прямой, разделяющей области и У.
 Так как линия DF является логарифмической спиралью, то, зная ее конечный радиус AD, можно вычислить начальный радиуо AF, измерив предварительно заключенный между ними угол 0. Для этого служи следующая формула, вытекающая из уравнения логарифмической спирали:
 AF = AD-e 'g'e. (8. 12)
 Найдя точку F, проведем через нее прямую FE, параллельную е, до пересечения с поверхностью грунта. Это даст нам недостающую линию границы области .
 Границу области II получим, соединив точки D и F плавной кривой, касательными к которой в этих точках являются прямые BD и FE.
 Для нахождения линии действия силы Re, уравновешивающей давления на плоскостях AD и AF, необходимо определить точку L,
 138

лежащую на пересечении прямых и Соединив точку А с точкой L, получим искомую линию действия силы ?2.
 Для построения силового многоугольника (рис. 95, б) необходимо вычислить веса отдельных частей сползающей призмы Gx, G2 и G3. При этом площадь области II, являющейся сектором логарифмической спирали, вычисляется по формуле
 F = — AF ). (8. 13)
 2 4 tg
 Вычисленные веса отдельных частей сползающей призмы прикладываются в центрах тяжести соответствующих областей. Кроме того, посредине отрезка АЕ прикладывается сила Р, являющаяся равнодействующей нагрузки, приложенной на этом участке.
 Для построения многоугольника сил в принятом масштабе сил откладываем силы Рийи уравновешиваем их равнодействующую силами и S-,, которые составляют с нормалями к плоскостям скольжения EF и AF углы ф и, следовательно, соответственно параллельны плоскостям AF и EF, которые образуют угол 90 9.
 Силу S' 1, обратную Slf представляющую силу давления на плоскость Л 7, сложим с силой G2 и ИХ равнодействующую уравновесим силами 2 и S2, параллельными направлениям Л£ и Ш Сила S' обратная S2, является силой давления на плоскость AD. Сложив эту силу с силой G3, уравновесим их равнодействующую двумя силами, из которых Rs параллельна AD, а сила Q отклоняется от нормали к задней грани стены на угол <р0 и является реакцией стены.
 Искомая сила активного давления грунта на стену равна силе О но направлена в обратную сторону.
 Найденную силу активного давления грунта на подпорную стену можно разложить на две составляющие, одна из которых Q представляет собой действие объемных сил веса грунта, а другая Qp действие нагрузки, приложенной на поверхности. При отсутствии последней вместо сил Rlt R2 и ?„ изображенных на силовом многоугольнике (рис. 95, б) сплошными линиями, нужно провести параллельные им линии, показанные пунктиром. При этодо сила активного давления на стену изображается вектором, обратным
 по направлению вектору Q.
 При наличии нагрузки на поверхности грунта пунктирная линия, параллельная разделяет вектор Q на две части, одна
 из которых является силой активного давления Q от одних только объемных сил собственного веса грунта, а другая, равная Q , силой активного давления на стену °т нагрузки, приложенной на поверхности.
 § 38. ТЕОРИЯ Е. А. ГАВРАШЕНКО И М. Е. КАГАНА
 Следуя Янсену, Е. А. Гаврашенко составил уравнения проекций для бесконечно тонкого горизонтального слоя, выделенного из сползающей призмы, при действии его собственного веса, давлении
 139

на него сверху и снизу и сил трения по боковым граням. Решив полученное дифференциальное уравнение, Е. А. Гаврашенко получил следующую формулу для нормального давления на стену:
 0 = l - (j)V (v 2)cos«X, (8. 14)
 где v — коэффициент активного давления грунта по теории Кулона; v — параметр, определяемый из опыта.
 Эпюры давлений для разных значений v показаны на рис. 96, а.
 Рис. 96
 При v — —1 результаты по этой теории совпадают с результатами по теории Кулона.
 Недостаток этой теории — отсутствие экспериментальных значений параметра v для разных грунтов и игнорирование уравнения моментов для сил, действующих на элементарный слой. М. Е. Каган использовал все три уравнения равновесия и получил из решения системы дифференциальных уравнений следующую формулу для горизонтального давления на вертикальную стену при глубине z от поверхности:
 — £х('—- -) ('-Т-Г’-1 ' (8'15)
 где 6К — отношение между горизонтальным и вертикальным давлениями, принимаемое М. Е. Каганом за постоянную величину для данного грунта;
 А — параметр, зависящий от угла внутреннего трения грунта и от угла трения его о стену.
 Равнодействующая давления выражается формулой
 (8. 16)
 Положение равнодействующей от низа стены определяется расстоянием
 ■У — 1 -)- Л О 1 У г0 — 3 ' 2 А ' ( )
 140

Значения параметров £к, А и Хк приведены в табл. 13
 Таблица 13
 Значения параметров А и Хк
 9 град
 Пара¬
 метры
 9о град
 0
 10
 15
 20
 25
 30
 35
 £,с
 0,490
 0,546
 0,571
 0,596
 20
 А
 0
 0,238
 0,358
 0,484
 Хк
 0,490
 0,442
 0,422
 0,402
 Ек
 0,404
 0,447
 0,470
 0,492
 0,514
 25
 А
 0
 0,222
 0,349
 0,462
 0,598
 К
 0,404
 0,366
 0,348
 0,337
 0,322
 С
 0,333
 0,366
 0,384
 0,400
 0,420
 0,439
 30
 А
 0
 0,204
 0,315
 0,432
 0,560
 0,708
 К
 0,333
 0,305
 0,292
 0,283
 0,269
 0,258
 С
 0,271
 0,295
 0,308
 0,321
 0,335
 0,353
 0,372
 35
 А
 0
 0,187
 0,287
 0,385
 0,512
 0,652
 0,812
 К
 0,271
 0,248
 0,240
 0,232
 0,221
 0,214
 0,206
 Эпюры давлений, построенные по формулам М Е. Кагана, по своему виду подобны эпюрам, полученным Е. А. Гаврашенко, и хорошо подтверждаются экспериментальными данными Г. П. Канканяна, В. И. Швея и самого М. Е. Кагана. Одна из таких эпюр и близко подходящие к ней экспериментальные точки показаны на рис. 96, б.
 Данная теория пока еще относится к частному случаю вертикальной стены при горизонтальной поверхности засыпки.
 Должна быть также отмечена теория Г. А. Спальвинга, в основу которой вместо условия предельного равновесия на контакте частиц положено условие равновесия в объеме самих частиц с учетом их сопротивления сдвигу, определяемого «углом упругого равновесия». Эта теория была применена П. М. Цимбаревичем для связных горных пород, но применительно к сыпучим телам распространения не получила.
 Оригинальную попытку создать новую теорию давления сыпучих тел сделал В. И. Тракало. Он принял определенный закон распространения давления от вышележащих масс на нижележащие и нашел таким путем давление на подпорную стену. Однако предложенные им выражения для напряжений не удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия.
 Уточнением теории Кулона являются методы Феллениуса и Рандулика, учитывающие кривизну поверхности скольжения путем принятия производящей этой поверхности в качестве дуги окружности или логарифмической спирали..
 Теории Резаля, Како, Хансена и В. А. Мейстера занимают в отношении их строгости и общности промежуточное положение между теорией Кулона и теорией В. В. Соколовского.
 141

Все эти теории приводят к результатам, мало 6тЛИч,а с от тех, которые дает теория Кулона, но оказываются более с Ны ми, поэтому широкого применения они не нашли.
 Для определения давления грунта следует пол 3р ться теорией В. В. Соколовского, прибегая к теориям С. С 0J кевича и Кулона в тех случаях, когда теория В. В. Сок< лс с ого не дает достаточно простого решения.
 § 39. ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ И ОПЫТОВ
 Для обоснования той или иной теории давления порные стены первостепенное значение имеют данные Первые опубликованные исследования в этой области тн°сятся к 1740 г., однако методика их была еще слишком примитИВ ДЛЯ того, чтобы можно было сделать какие-либо надежные В1?пГд этих исследований. Более поздние эксперименты (1807— У П0Гр подробно описанные и обработанные А. И. Прилежаевы 1’ 3 ° ляют сделать следующие выводы. шжн
 1. Поверхности скольжения всегда проходят через А заднее ребро подпорной стены. Они могут быть вогнутыми ’ лыми или плоскими.
 2. Сползающая призма целиком выделяется из сыпу ег сива.
 3. При одном и том же угле наклона задней грани стены' ГОВпЕи ности скольжения тем положе, чем круче поверхность f 4. Верхние части поверхностей скольжения очень
 плоскостям. ь п
 5. При наличии нагрузки, приложенной на повеРхнос шяЫНа
 ки, объем сползающей призмы и величина активного дав ограждение увеличиваются. по_
 6. При движении стены в сторону от засыпки происх'
 степенное уменьшение горизонтального давления на нее f ' е чение вертикального давления. всегда
 7. Угол отклонения давления от нормали к стене поч _
 дВИСИТ от
 меньше угла естественного откоса сыпучего тела и не заг угла наклона поверхности засыпки. шя за
 8. Объемный вес, угол внутреннего трения и угол тр сыпки о поверхность стены изменяются во время пере>м
 Произведенные И. П. Прокофьевым лабораторные 01 р Ылв?Р стенками высотой 72 см позволили установить, что харак "
 жения засыпки оказывается различным в зависимости от щается ли ограждение вокруг нижнего или верхнего ребр перемещается поступательно.
 В первом случае сползающая часть засыпки имеет на. Во втором случае происходит оседание всей засыпки с 1Р(1)оП нием ее нижних масс в сторону стенки. В последнем случа 6 мация засыпки носит промежуточный характер.
 142

И. П. Прокофьев подверг также экспериментальному исследованию стенки с ломаным очертанием задней грани и установил, что в этом случае при сдвиге стенки наблюдается разделение сползающей массы сыпучего тела на две части, из которых одна относится к наклонной верхней грани стенки, а другая, проходящая через нижнее ребро стенки и распространяющаяся на всю толщу сыпучего тела, относится к вертикальной нижней грани и ее продолжению.
 При перемещениях грунта, состоящего из двух разнородных слоев (песчаного и глинистого), поверхность скольжения имеет ясно выраженный выпуклый или вогнутый излом на границе слоев.
 На основании ряда опытов с вертикальной стенкой высотой 60 см И. В. Яропольский установил, что величина силы давления песчаной засыпки зависит от перемещения стенки и проходит три характерные стадии (см. рис. 11).
 Первая стадия соответствует упругому равновесию засыпки и характеризуется отсутствием сил внутреннего трения. При отсутствии перемещений подпорной стены сила давления на нее составляет
 Qo = 2f. (8. 18)
 где 7— объемный вес засыпки;
 h — высота стены.
 При перемещении стенки в сторону от засыпки давление последней уменьшилось.
 Вторая стадия соответствует перемещению стенки на величину порядка размеров песчинок. При этом в засыпке возникают силы внутреннего трения, сопротивляющиеся взаимному сдвигу частиц. Давление, действующее в этой стадии, соответствует активному давлению грунта.
 При больших перемещениях стены происходит разрыхление засыпки и давление ее стремится к нулю.
 Аналогичные опыты со стенкой высотой 2,18 м были произведены К. Терцаги. При этом было также выявлено большое влияние плотности засыпки за стенкой на величину давления.
 Опыты, поставленные в 1936 г. Г. П. Канканяном с моделью подпорной стены высотой 1,1 м, позволили установить, что положение поверхности скольжения, оказавшейся близкой к плоскости, зависит от угла внутреннего трения засыпки, от наклона ее поверхности и от наклона задней грани стены. Опыты позволили получить эпюры давлений, сходные с показанными на рис. 96, б. При этом центр давления находится от подошвы на высоте от 0,4 до 0,5 высоты стены.
 Произведенные В. И. Швеем в 1938—1939 гг. методом центробежного моделирования опыты с моделями стенок позволили сравнить давление сухого и намытого песка и выявить влияние способа отвода воды. При этом во всех случаях форма эпюры давлений песка оказалась близкой к треугольной.
 143

С целью выявления характера поверхности скольжения в зависимости от формы и величины перемещений удерживающей грани подпорной стены В. В. Синельниковым были проведены лабор аторные опыты с условной сыпучей средой, состоящей из множест ва алебастровых цилиндров диаметром 2 и 1 см при длине по образу юЩей 3,5 см. При таких размерах цилиндров их возможно было укладывать слоем толщиной до 1 м без какого-либо огражден ия с боков.
 Результаты опытов позволили сделать следующие выводы.
 При поступательном перемещении стенки поверхность скольжения близка к плоскости, отвечающей решению Кулона.
 При повороте стенки относительно низа возникает несколько плоскостей скольжения, положение которых плохо согласуется с теорией Кулона.
 При повороте стенки относительно ее верха поверхность скольжения криволинейна. При этом выявить резкую границу, отделяющую сползающую призму от остальной массы сыпучей среды, не удалось.
 В Одесском институте инженеров морского флота Р. В. Лубеновым и П. И. Яковлевым в 1982 г. проведено более 600 опытов по определению давления засыпки и многократно прикладываемой нагрузки на неподвижную вертикальную стенку высотой 109 см. Эти исследования показали, что как без пригрузки, так и с пригрузкой давление грунта на неподвижную стену процентов на 60 больше, чем активное давление по теории Кулона.
 После нагружения засыпки за подпорной стеной временной нагрузкой и последующей разгрузки сохраняются большие остаточные давления, которые при повторных приложениях той же нагрузки лишь незначительно увеличиваются по сравнению с давлениями от первого нагружения.

ГЛАВА IX
 РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН НА УСТОЙЧИВОСТЬ § 40. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОТИВ ПЛОСКОГО СДВИГА ПО ОСНОВАНИЮ
 1. Методика единого коэффициента запаса
 Поверочный расчет предварительно намеченного профиля по этой методике, еще применяемой для гидротехнических сооружений, сводится к вычислению коэффициента запаса как отношения удерживающей силы Ту к сдвигающей Тс (рис. 97, а):
 (9.1)
 К удерживающим силам относится сила трения, вызванная действием собственного веса подпорной стены, а к сдвигающим — сила
 Рис. 97
 145

давления грунта, уменьшенная силой трения, связанной с этим давлением. Это приводит к следующей формуле:
 _ fO
 (9. 2)
 с Qx — lQz ’
 где G — равнодействующая сил собственного веса стены;
 Qx и Qz — горизонтальная и вертикальная составляющие полного давления грунта на подпорную стену;
 —коэффициент трения материала подпорной стены о грунт основания.
 Для различных грунтов оснований рекомендуются следующие значения этого коэффициента:
 Для глин, глинистых известняков, глинистых сланцев
 Для крупнообломочных грунтов 0,5
 Для скальных грунтов с неомыливающейся поверхностью 0,6
 Если для каждого участка i по высоте стены силы (7., Qxi и Qzi определены отдельно, то нужно просуммировать эти силы, т. е.
 Таким образом, коэффициент запаса устойчивости по этой методике показывает, во сколько раз должно возрасти давление земли вместе с временной нагрузкой на ней, чтобы произошел сдвиг подпорной стены.
 При этом сила трения, вызванная вертикальной составляющей давления грунта, относится к сдвигающим силам, но берется со знаком минус. К сдвигающим силам относится также давление воды на заднюю и на переднюю грани стены, причем давление на переднюю грань берется со знаком минус.
 Противодавление воды, т. е. давление воды, взвешивающее подпорную стену и как бы уменьшающее ее собственный вес, относится к удерживающим силам, но берется со знаком минус. К положительным удерживающим силам относится реакция грунта, действующая на переднюю грань фундамента, а также сила сцепления по подошве фундамента подпорной стены.
 Применительно к силам, показанным на рис. 97, б, коэффициент устойчивости выражается так:
 Коэффициенты запаса устойчивости гидротехнических подпорных стен против сдвига принимаются в зависимости от класса капитальности сооружения и расчетного сочетания нагрузок и воздействий по табл. 14.
 влажных То же, сухих, а также для суглинков и супесей Для песков 0,25
 0,3
 0,4
 (9. 3)
 f(G1 G2 Gs)-Q Qi
 146

Таблицам
 Минимальные значения коэффициентов запаса устойчивости
 Расчетные сочетания нагрузок и воздействий
 Допускаемый коэффициент запаса устойчивости
 III
 IV
 Основные Особые 1,3
 1,1
 1,2
 1,1
 1; 15 1,05
 1,1
 1,05
 Формулы (9. 2) и (9. 3) при fQz>Qx приводят к отрицательным значениям гс, означающим, что давление земли вообще не создает сдвигающей силы.
 Собственный вес подпорной стены на единицу ее длины может быть выражен через объемный вес ее материала, через полную высоту стены h и через безразмерный параметр ш, зависящий от формы профиля подпорной стены, т. е.
 G = 7соЖ2. (9. 4)
 Значения параметра ш для разных профилей подпорных стен приведены в табл. 15.
 Подставив вместо G его выражение (9. 4) в уравнение (9. 2) и решив последнее относительно параметра ш, получим
 Тс 2
 (т-4
 (9. 5)
 При треугольной эпюре давления грунта Qx = 0,57 i2 и Qz =0,5уй2Хг, поэтому формуле (9. 5) можно придать следующий вид:
 _ fccir
 (9. 6)
 Требуемая ширина того или иного профиля подпорной стены может быть найдена в зависимости от величины о и отношения - по табл. 15.
 Применение коэффициентов оз позволяет заменить обратный, (поверочный) метод расчета прямым, т. е. непосредственным нахождением требуемой ширины подошвы фундамента по заданным нагрузкам.
 2. Методика предельных состояний
 По этой методике условие устойчивости подпорной стены против сдвига по основанию выражается следующим неравенством:
 Т < тсТир или
 < гас.
 1 пр
 (9. 7)
 14 Т

Таблица 15
 тры различных профилей подпорных стсн
 - ■ WT < ь ► д
 .» . -Д
 • ь- > то
 - г ° v Д
 ■- I
 it-то
 w-DJSOt
 п
 -0,905
 6 8
 с
 Ч:
 J P2Z
 У 3
 Л
 ь ти
 ф-0,572,(0,4 )
 eo--D,66B M23S ) п п 7
 СО 0,SI0 ,(OJ30- )
 Цифры в скобках вычислены без учета грунта на разгрузочной площадке. 148

Здесь Т — расчетная сдвигающая сила, равная алгебраической сумме проекций всех расчетных сил на плоскость скольжения;
 Тпр — предельная сдвигающая сила; пгс — коэффициент условий работы.
 Неравенству (9. 7.) можно придать более развернутый вид:
 '1qQ <mc. (9. 8)
 f(naG“ nQQ")
 При этом нормативные силы GH, Q” и Q” умножаются на соответствующие коэффициенты перегрузки nQ и nQi которые принимаются:
 больше единицы при tgo > , меньше единицы при tg о < ,
 где Ь — угол между направлением равнодействующей усилия от данной нагрузки и нормалью к подошве или проверяемому сечению стены.
 Для стены, показанной на рис. 97, б, расчетное неравенство должно быть написано так:
 Ci  < Пс-
 Q2 f(G1 G2 G3) Для подпорных стен, входящих в состав мостов, например для береговых устоев, значение коэффициента условий работы установлено в СН-200—62 равным пгс = 0,8 при одновременном введении в формулу (9. 7) коэффициентов перегрузки.
 Для подпорных стен промышленных и гражданских зданий и сооружений значение коэффициента условий работы нормами для данной методики расчета не установлено. Его следует принимать не больше 1,0 при одновременном введении коэффициентов перегрузки.
 Для гидротехнических сооружений значения коэффициентов перегрузки, однородности и условий работы пока ёще не установлены, но согласно СНиП П-Б.З—52 расчет гидротехнических подпорных стен допускается производить с применением общего коэффициента устойчивости и с принятием расчетных нагрузок равными нормативным. В этом случае могут быть использованы формулы (9. 7) или (9. 8), в которых вместо тс подразумевается величина, обратная kc по табл. 14.
 Подставив в уравнение (9. 8) выражение G по формуле (9. 4) и решив уравнение (9. 8) относительно параметра ш, получим
 Найдя по этой формуле значсмше параметра о> и воспользовавш ись табл. 15, можно найти требуемую ширину профиля.
 Устойчивость подпорной степы на сдвиг по поверхности осно¬
 149

вания может быть значительно увеличена путем придания подошве фундамента уклона, как это показано на рис. 98, а.
 В этом случае коэффициент запаса вместо формулы (9. 2) может быть определен по формуле
 ь = GtfcosB sinS) q
 с Qx (cos — f sin S) — Qz(f cos sin fc)" ' При расчете же по методу предельных состояний вместо неравенства (9. 8) следует пользоваться неравенством
 пп (Л (cos Б — f sin Ь) у
 QVx <mc. (9. 11 ( nG GH riQ Q") cos 8 sin о j
 При углах наклона подошвы фундамента к горизонту 8, превышающих 5°—10°, возникает повышенная опасность сдвига подпорной стены вместе с частью грунта основания. Впрочем такая опасность не исключена и при горизонтальной пЗДошве фундамента.
 Для повышения устойчивости подпорной стены применяется также устройство перед фундаментом шпунтового ряда или зуба в самом фундаменте (рис. 98, бив).
 При этом сила реакции верха шпунта прибавляется к удерживающей или к предельной сдвигающей силе. Это относится и к силе сопротивления грунта по передней грани зуба.
 § 41. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОТИВ ОПРОКИДЫВАНИЯ
 1. Методика единого коэффициента запаса
 Если основание подпорной стены считать абсолютно жестким то поворот профиля стены при ее опрокидывании должен произойти вокруг нижнего переднего ребра фундамента, проекцией кото рого на вертикальную плоскость является точка О (рис, 97).
 150

Расчет по методике «коэффициентов устойчивости» сводится к вычислению коэффициента запаса устойчивости против опрокидывания как отношения момента удерживающих сил (Муд) к моменту опрокидывающих сил (Мопр):
 ■Мопр
 К удерживающим силам, как указано выше, относится собственный вес стены, а к опрокидывающим — давление грунта с учетом грунтовой воды и находящейся на поверхности засыпки нагрузки.
 Таким образом, коэффициент запаса устойчивости показывает, во сколько раз должно возрасти давление земли вместе с временной нагрузкой на ней для того, чтобы произошло опрокидывание подпорной стены.
 Моменты вертикальных составляющих давления грунта на заднюю грань стены относятся к опрокидывающим моментам, но берутся со знаком минус.
 Тогда формула (9. 12) принимает следующий развернутый вид:
 К = - а : (9- 13)
 Qx Qz где G — равнодействующая сил "собственного веса подпорной стены;
 Qx — горизонтальная составляющая полного давления грунта на стену;
 Qz — вертикальная составляющая полного давления грунта на стену;
 a, г их — плечи этих сил (соответственно) относительно точки О (рис. 97).
 Если для каждого участка i по высоте стены силы Gi9 Qxi и Qzi определены отдельно, то нужно просуммировать их моменты, т. е.
 ь = -ЛЯ1В _ (9. 14)
 zl 2Qzi Х Применительно к стене, показанной на рис. 97, б, коэффициент запаса выражается формулой
 < G al f GgCfl -f 0за3 0.4 2
 k° QiZi
 Формулы (9. 13) и (9. 14) при Qxz < Qzx приводят к отрицательному значению k0. Это означает, что давление земли вообще не создает опрокидывающего момента относительно точки О.
 На практике часто перестраивают формулу (10. 13) и придают ей следующий вид:.
 К = (9. 15)
 151

Эта перестановка при одних и тех же величинах Ga, QgX и Qxz приводит к другому значению k0.
 Последняя трактовка коэффициента запаса, хотя и избавляет от возможности получения отрицательных значений k0, но не дает четкого Представления о величине коэффициента запаса, так как разложение силы Q давления земли на горизонтальную и вертикальную составляющие Qx и Qz делается только в целях упрощения расчетов и является одним из бесконечного множества способов разложения силы Q' на те или иные опрокидывающие и удерживающие составляющие. Коэффициенты запаса устойчивости против опрокидывания должны быть несколько выше, чем на сдвиг, так как в действительности из-за смятия грунта у нижнего переднего ребра фундамента опрокидывание может произойти относительно некоторой точки О', расположенной ближе к середине подошвы фундамента, чем точка О. Обычно берут k0 — 1,5.
 Плечо а силы G можно выразить как некоторую часть ф от полной ширины профиля Ъ:
 а = 4>6. (9. 16)
 Значения параметров ф для различных профилей, так же как и значения параметров ш, приведены в табл. 15.
 Тогда уравнение (9.13) можно решить относительно Ъ и получить следующий результат:
 Ь= (Qxz-Qzx). (9.17)
 При треугольной форме эпюры давления грунта получим
 h _ —Ы— _ х). (9. 18)
 2 ' '“Тс
 Решение у нения (9. 15) приводит к следующему результату:
 ь = k0Qxz Qzx (g j
 фсоТсЛ2 ' ' ' '
 2. Методика предельных состояний Условие устойчивости подпорной стены против опрокидывания должно удовлетворять следующему неравенству:
 М т0Мпр или (9.20)
 Мпр
 где М — расчетный опрокидьгоающий момент, равный алгебраической сумме расчетных моментов всех сил, действующих на стену, относительно центра тяжести подошвы ее фундамента;
 Мпр — предельный опрокидывающий момент относительно той же точки; то — коэффициент условий работы.
 Так как эти моменты могут быть выражены через вертикальную
 152

составляющую TV равнодействующей Всех сил и через расчетный (е) и предельный (е„р = ) эксцейтрицитеты силы N (М = Ale
 и 7Ипр = N-1), то неравенству (9. 20) можно придать более простой вид:
 - <т0 или 1— -<т0. (9.21)
 Здесь с = — е — плечо силы N относительно нижнего переднего
 ребра фундамента.
 Для стены, показанной на рис. 97, б, расчетное неравенство принимает вид
 2 (Oiei — 2g2 4 G 3 4 Qi?i — Q v) m b(Gl G2 G3)
 Для подпорных стен, входящих в конструкции мостов, коэффициенты условий работы т0 приняты в СИ-200—62 равными: в случае скального основания — 0,8; в случае нескального основания— 0,7.
 Для подпорных стен, относящихся к промышленным и гражданским сооружениям, можно рекомендовать несколько более высокие коэффициенты условий работы 0,9 и 0,8 соответственно.
 При этом коэффициенты перегрузки постоянных нагрузок принимаются большими единицы, если линия действия усилия проходит вне контура подошвы сооружения, и меньшими единицы, если линия действия усилия от данной нагрузки проходит внутри контура подошвы подпорной стены.
 Для гидротехнических сооружений коэффициенты условий работы должны соответствовать величинам, обратным коэффициентам устойчивости, приведенным в табл. 14.
 Для прямого подбора ширины подошвы стены найдем величину плеча
 где М0 — момент всех расчетных сил относительно нижнего переднего ребра фундамента стены; по— коэффициент перегрузки для собственного веса стены (пд <1);
 л<э—коэффициент перегрузки для давления грунта (hq > 1). Надстрочным значком н отмечены нормативные нагрузки. Подставив величину с из выражения (9. 22) в формулу (9. 21) и воспользовавшись параметрами ш и ф, получим
 2 пп ( о” г — ОЪс) и (9. 23)
 п0 Tcffi г2 (1 — mQ — 2 ) -f Пд (1 — т0) Q"
 153

Для того чтобы найти по формулам (9. 17) — (9. 19) или (9.23) ширину 6, нужно знать величины параметров ш и ф, которые сами зависят от Ь9 поэтому для начала приходится задаваться этой величиной, приняв ее, например, равной той, которая получилась из условия устойчивости против сдвига, и решать задачу далее при помощи последовательных приближений, дающих достаточно быструю сходимость. При этом для второго приближения можно взять среднее между первоначально взятым значением Ъ и полученным по формуле (9. 17) или (9. 23).
 § 42. РАСЧЕТ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОТИВ ОПРОКИДЫВАНИЯ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ ОСНОВАНИЯ
 В случае если основание подпорной стены сложено из легко деформируемых грунтов, допущение о том, что опрокидывание подпорной стены происходит вокруг нижнего переднего ребра, не будет соответствовать действительности.
 Для нахождения оси, относительно которой может произойти опрокидывание, рассмотрим подпорную стену произвольного профиля (рис. 99) на месгнодеформируемом, т. е. на Винклеровом, основании и составим условия ее равновесия в повернутом на малый угол 0=8 положении. При этом силу G собственного веса стены будем считать вертикальной, а все остальные силы — сохраняющими по отношению к стене свое направление и поворачивающимися вместе с ней в вертикальной плоскости. Значения сил считаются не зависящими от деформации основания.
 Уравнения равновесия составляются в форме уравнения проекций всех действующих сил на нормаль к переместившейся подошве и уравнения моментов всех сил относительно середины подошвы:
 О) 6)
 154
 Рис. 99

= °m“-— — G cos 0 — Qg ■= Oi EMC = (A_c)_Q <?л  G cos 0 | a— j — ze tg 0 = 0.
 По малости угла 0 можно принять cos© = 1 и tg0 = 0.
 Тогда из первого уравнения можно найти наибольшую интенсивность давления на основание, а затем и угол 0:
 W = -(С3 г), (9.24)
 © = fsa, (9. 25)
 з ko }
 где k — коэффициент постели грунта основания.
 Подставив эти выражения во второе уравнение равновесия, получим
 Q -Q 0{±— ffe. . (9.26)
 Левая часть этого выражения представляет собой сумму расчетных моментов всех активных сил относительно центра подошвы подпорной стены, поэтому предыдущее уравнение можно представить в вцде
 с
 Для нахождения наибольшей величины расчетного момента
 f I
 возьмем производную и приравняем ее нулю. Из получен ного при этом уравнения можно найти величину
 12 Gzu
 (9. 28)
 k
 Подставляя это выражение в уравнение (9. 26), получим Q -QSc с(- -я) = (G Правая часть этого уравнения представляет собой предельную величину реактивного момента при опрокидывании подпорной стены относительно некоторой точки 0 находящейся от середины подошвы стены на расстоянии
 <9-29>
 165

или, что то же самое, сдвинутой по отношению к точке О на вели чину
 Для абсолютно жесткого основания k =00 и d = 0, т, е. в этом случае опрокидывание происходит вокруг точки О Формула (9.27) показывает, что опрокидывание подпорной стены может быть вызвано даже одной вертикальной силой G, приложенной внецентренно, если линия ее действия выходит за пределы среднего участка подошвы шириной 2ецр. Однако и центрально приложенная на высоте г0 сила должна вызывать опрокиды
 вание подпорной стены, если с = и d =
 Критическое значение этой силы может быть найдено из уравнений (9. 28)
 При действии на подпорную стену нескольких сил их действие суммируется-1
 Следует иметь в виду, что деформационный расчет, при котором учитываются не только моменты действующих сил, но и вйриалы этих сил, особенно важен для сооружений большой высоты на слабых грунтах.
 1 Формулы этого параграфа были получены Я. Б. Львиным (15 приме антельно к расчету подпорных стен по старой методике и видоизменены автором данной книги применительно к расчету их по предельным состоя ниям. Расчет же по старой методике сводится к нахождению отношения между удерживающим и опрокидывавшим моментами относительно точки (У.
 (9. 30)
 -L,
 12 г0
 (9. 31)

ГЛАВА X
 РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 § 43. ДАВЛЕНИЕ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ НА ОСНОВАНИЕ
 Расчет подпорной стены по условию прочности ее основания производится упрощенным или, лучше сказать, условным способом и состоит в определении наибольшего давления (напряжения) на основание у нижнего переднего ребра фундамента по формуле сопротивления материалов для случая внецентренного сжатия бруса прямоугольного поперечного сечения (рис. 97, а). Давление, найденное по этой формуле, не должно превышать расчетного сопро' тивления R грунта основания.
 ‘"“=-г(| т)“т(2-3т)'
 где N — вертикальная составляющая равнодействующей всех расчетных сил, приложенных выше подошвы фундамента подпорной стены1; b — ширина подошвы фундамента подпорной стены; е — эксцентрицитет силы N по отношению к середине подошвы фундамента стены; с — плечо силы N по отношению к нижнему переднему ребру фундамента стены.
 При этом
 с. (10.3)
 N2
 Здесь Л4УД и Мопр— удерживающий и опрокидывающий моменты относительно нижнего переднего ребра фундамента;
 Мс — расчетный момент всех сил относительно середины подошвы стены.
 1 По СНиП И-Б. 1—62 расчет давлений на основание производится по нормативным нагрузкам, а расчетное сопротивление повышается на 20 .
 157

Для определения треоуемой ширины подошвы фундамента исходя из формулы (10.3) и заданной расчетного сопротивления R основания преобразуем эту формулу:
 о = 2N (2 3cW4Ar 6N - Mw-M™P °ma3C 6 6 6 6s N
 _ 4 farcft8 Qz) 6 (fc< h?tyb — Qxz QzX) _
 6 6s
 _ грг Ог) (2 — 3 ф) 4—6(Q Z > (10.4)
 Приравняв этот результат к величине R, получим уравнение, которое после умножения на Ъ примет вид
 Rb - 2 (Тсшй2 Qz) (2 - 3 ф) Ъ - 6 (Q z — Qzx) = 0.
 Решая это уравнение, найдем
 6 = {(Tc< 2 Qz)(2-3<M  V (Тс Л2 <?г) • (2 - 3 ф) 2 6 R (Q z - Q ) I (10. 5)
 Знак минус перед корнем отброшен как не удовлетворяющий условиям задачи.
 При треугольной форме эпюры давления грунта на подпорную стену формула (10.5) приводится к более простому для применения виду
 ь=т{(Тс(0 т-)(2_3ф)  У (тс® • (2 ■- 3 ф) 2 з (lxz - гх) }. (10.6)
 Если е > — (или с <-|-), то сила N выходит из ядра сечения по
 подошве фундамента и формулы (10.5) и (10.6) оказываются неприменимыми, так как соответствующая формула (10.7) для минимального давления на основание будет приводить к отрицательному результату, т. е. к растягивающим напряжениям, которые не могут быть восприняты площадью контакта между грунтовым основанием и опирающейся на него подпорной стеной:
 <10-7)
 Для этого случая необходимо вывести специальную формулу для определения стах. Это может быть сделано из условия, что часть подошвы разгружается совершенно и эпюра сжимающих напряжений работающей части ограничена прямой, т. е. имеет форму треугольника (рис. 97, б).
 158

Из условий равновесия следует, что площадь этой эпюры равна N и ее центр тяжести лежит на линии действия силы N, т. е.
 И С=А.
 2 3
 Тогда
 = (Ю.8)
 о С
 Если сила N приложена на расстоянии с — от переднего ребра фундамента, т, е. на границе ядра сечения, то формулы (10.1) и (10.8) давЬт один и тот же результат.
 Требуемая по формуле (10.8) ширина подошвы фундамента подпорной стены находится следующим образом:
 °шах
 2N 2N _ 2(G <?z)2 =
 3 с 3 Муд — Мопр 3 (Ga — Qxz Qzx)
 2(Tc< )2
 — Qxz Qzx) приравняв это выражение к величине ? и решив полученное уравнение, найдем
 Ч- <10-9)
 При треугольной эпюре давления грунта на стенку эту формулу можно привести к виду
 Формулы (10.3)—(10.10) остаются справедливыми и при расчете по методу предельных состояний, если пользоваться нормативными значениями нагрузок, умноженными на соответствующие коэффициенты перегрузки. При этом для собственного веса подпорной стены следует брать коэффициент перегрузки п ;> 1, так как это приводит к большему давлению на грунт.
 Величины расчетных сопротивлений (нормативных давлений) для различных грунтов установлены в СНиП II-Б. 1—62 и в СН-200—62 в зависимости от глубины заложения и ширины подошвы фундамента.
 Ориентировочные значения расчетных сопротивлений в кГ см2 следующие:
 Для крупнообломочных грунтов 3—6
 » песков гравелистых и крупных 3,5—4,5
 » » средней крупности 2,5—3,5
 » » мелких маловлажных 2,0—3,0
 » » » очень влажных и насыщенных водой 1,5—2,5
 » » пылеватых маловлажных 2,0—2,5
 159

Для песков пылеватых очень влажных > » » насыщенных водой
 насыщенных водой
 ъ супесей при е = 0»5 , » » » е 0,7 » су г лин кор при е = = 0,5 » » » е = 0,7
 » ». » е = 1,0
 » глин при с =s 0,5 з» » » £ = 0,6 , . .
 » » е=?0,8 . . .
 » » » е в 1,1 . . .
 2,0—2.6 2,5—3,0
 1,8-2,5 1,0—2,6
 4.0—6,0
 3.0—5,0
 2.0—3,0
 1.0—2,5
 При этом нижние пределы расчетных сопротивлений относятся к песчаным грунтам средней плотности н к глинистым грунтам с консистенцией В — 0, а верхние пределы — к плотным песчаным и к глинистым грунтам с В = 1.
 У гидротехнических подпорных стен давление на нескальный грунт основания должно передаваться по всей ширине подошвы фундамента. Для этого равнодействующая всех сил, передающихся на основание, не должна выходить за пределы средней трети ширины подошвы фундамента. Иначе говоря, эксцентрицитет силы N, являющейся суммой всех вертикальных сил, должен быть не более
 1 6 ширины подошвы фундамента, т. е. е <
 При выполнении этого условия, которое иногда называется «условием средней трети», плечо с силы N относительно нижнего переднего ребра фундамента должно быть больше или равно одной трети ширины подошвы фундамента, т. е.
 где Муд — 7Иопр— сумма моментов всех сил относительно нижнего переднего ребра фундамента.
 Учитывая формулу (9.4),, из выражения (10. 11) получим
 При расчете по методу предельных состояний в эту формулу вводятся нормативные значения нагрузок, умноженные на соответствующие коэффициенты перегрузки. При этом для собственного веса, учитываемого величиной fc, берегся По < 1.
 Величина Ъ определяется путем последовательных приближений, причем для второго приближения следует Взять среднее между первоначально взятым значением b и полученным по формуле (10.12).
 Для безнапорных сооружений допускается увеличение значения эксцентрицитета до 1 5 ширины подошвы фундамента.
 В некоторых инструкциях, например Промстройпроекта, ставится аналогичное, но несколько менее жесткое условие, чтобы
 Ь-
 QxZ-гОгХ
 (10. 12)
 160

давление передавалась на протяжении не менее 3 4 полной ширины фундамента, что соответствует прохождению равнодействующей всех сил в пределах средней полуширины подошвы фундамента, т. е. е < 0,25 Ь.
 Для устоев мостов на нескальных грунтах относительные экс-
 В 0
 центрицитеты — и равнодействующей ограничиваются пределами,
 Приведенными в табл. 16.
 Т блнца 16 е е
 Величины предельных относительных эксцентрицитетов— и -у
 Типы мостов
 Сочетания нагрузок
 постоянные
 дополнитель¬
 ные
 Железнодорожные ♦ Автодорожные и городаше:
 большие и средние , 0,5(0,083)
 0,8(0,133) 0,8(0,133)
 0,6 (0,1)
 1,0(0,167) 1.2 (0.2)
 Здесьр — радиус ядра сечения по подошве фундамента, который при прямоугольной ее форме равен -g-.
 € €
 Для этого случая величины приведены в таблице в скобках.
 Для устоев на скальных грунтах при дополнительных сочетаниях нагрузок принимается < 1,2 или 0,2 Таким образом, для мостовых подпорных стен ставятся еще более жесткие требования в отношении эксцентрицитета равнодействующей, чем для гидротехнических сооружений.
 § 44. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОСНОВАНИЯ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ НА СДВИГ
 Проверка подпорной стены на сдвиг по поверхности основания представляет расчетный интерес лишь в случае, когда само основание достаточно прочное, например скальное. В противном случае сдвиг подпорной стены может произойти вместе с грунтом основания по некоторой криволинейной поверхности скольжения.
 Эта поверхность для упрощения принимается круглоцилиндрической, проходящей через нижнее заднее ребро подпорной стены.
 Рассматривая сооружение вместе с грунтом как одно целое, примем,что сдвиг по дуге окружности произойдет тогда, когда расчетный момент М всех сил, действующих на сдвигаемое тело, относительно центра О производящей опасной цилиндрической поверхности достигнет величины предельного момента сил трения и сцепления относительно той же точки.
 161

При этом расчетное неравенство методики предельных состояний, выражающее условие прочности основания и устойчивости сооружения, записывается так:
 М ■< тсМп или тСУ (10. 13)
 Мпр
 где тс— коэффициент условий работы, принимаемый таким же, как и при плоском сдвиге подпорной стены по основанию.
 Разбивая сдвигаемое тело на четыре части, как это показано на рис. 100, и обозначая расчетные веса отдельных частей через Gly G2, Gs и G4, а их плечи относительно центра вращения О соответственно через хъ х2, xs и хй, можно выразить расчетный момент следующей формулой:
 М — 1 1 ""I- Gfj- 21 GgXg»
 Зная величину равнодействующей всех весовых нагрузок G = = Gx G2 G3 G4, можно найти плечо ее х0 относительно центра вращения
 д. М _ Gl l -f GyX2 3 3 jq j a
 0 G _ G1 G2 G3 Gi'
 Это позволяет выразить расчетный момент следующей формулой:

Тангенс угла В отклонения силы G от нормали к окружности
 Сила Gf передающаяся на основание, встречает равную ей реакцию, которая может быть разложена на составляющие:
 N = G cos Ь и Т = G sin 8.
 В состоянии предельного равновесия сила внутреннего трения грунта равна N tg<p = Gtg<pcos8.
 Предельный момент равен моменту этой силы плюс момент сил сцепления, действующих по всей длине дуги s:
 Подставляя выражения расчетного и предельного моментов в неравенство (10.13), приведем его к виду
 Умножив второе слагаемое и разделив его одновременно на
 приведем формулу для коэффициента запаса kc к следующему виду:
 Из бесчисленного множества круглоцилиндрических поверхностей скольжения с разными центрами О выбирается та, которая соответствует наименьшему значению kc. При этом нахождение точки О производится повторными испытаниями.
 Формула (10.18) является видоизменением формулы И. А. ТерАракеляна, но она учитывает сцепление, действующее по поверхности скольжения.
 По сравнению с известным методом Крея—Терцаги применение этой формулы оказывается более простым. При этом известный недостаток метода Крея—Терцаги (разделение сползающего тела на
 Мпр -= r{Ntgcp cs) = r(Gtg<pcos3 -j- cs). (10. 17)
 или
 tg у cs tg о G sin S
 1
 V'—(-г)”
 (10. 18)
 163

отдельные не взаимодействующие друг с другом элементы) переходит в данном методе в свою противоположность — сдвигаемое тело рассматривается в качестве абсолютно жесткого, а реакция основания принимается сосредоточенной. Что касается того, что в методе Крея — Терцаги используется только одно уравнение равновесия, то на использовании этого же уравнения основан и данный метод. Впрочем при данной форме разрушения никакого другого уравнения и не требуется.
 Этот метод может быть применен и в другом варианте, когда вместо вертикальной силы G2 учитывается наклонная сила Q давления грунта на заднюю грань подпорной стены нли составляющие этой силы 0 и Qz.
 § 45. ОСАДКИ И КРЕНЫ ФУНДАМЕНТОВ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Если исходить из гипотезы Фусса—Винклера о местном характере деформаций основания, справедливой для многих грунтов, то осадки и крены фундаментов подпорных стен могут быть определены по следующим формулам:
 1. В случае когда давление на основание передается по всей ширине подошвы фундамента (рис. 97, а).
 Средняя осадка
 Scp = “if" = bk ' где k — коэффициент постели грунта.
 Крен
 d °1Лах—°min 12 Ne 1П
 kb kb3 ’ '
 где «max и amin выражаются формулами (10.1) и (10. 7).
 2. В случае когда давление на основание передается по части ширины подошвы фундамента (рис. 97, б).
 Средняя осадка
 ц> = f = -37Р (1°- 21)
 Крен (см. формулу 9.25)
 3 ck 9 c2k
 в—= та- 00.22)
 Если исходить из расчетной модели грунтового основания в виде упругого полупространства, то расчет осадки подпорной стены должен производиться методом суммирования деформаций отдельных слоев, на которые разбивается сжимаемая толща основания. Этот расчет производится в соответствии с СНиПП-Б.1—62. Там же приведена и формула, по которой может быть определен крен подпорной стены.
 164

§ 46. РАСЧЕТ СВАЙНОГО ФУНДАМЕНТА ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
 В случае недостаточной прочности грунта основания подпорные стены устраиваются на свайном фундаменте (рис. 101, а). При большой величине горизонтальной нагрузки на подпорную стену, кроме вертикальных свай, применяются еще наклонные (козловые) сваи (рис. 101, б).
 Рис. 101
 Усилия в вертикальных сваях определяются в предположении, что они идеально упругие. Это позволяет применить формулу внецентренного сжатия для определения усилия в свае любого ряда
 р‘=Л,(т 5-} <10-23>
 где N — равнодействующая вертикальных сил, приходящаяся на данный участок подпорной стены; е — эксцентрицитет силы N относительно оси у, проходящей через центр тяжести свайного фундамента; п — общее число свай на 1 пог. м длины подпорной стены; х( — расстояние данной сваи от оси у;
 Ел:2 — сумма квадратов расстояний всех с вай от оси у. Усилия в сваях должны быть меньше или равны их расчетным сопротивлениям RB, умноженным на коэффициент условий работы т. При числе свай в ростверке более 10 принимается т = 1. Кро-
 12 заказ 853
 165

Me того, свайнйй фундамент должен быть проверен на действие горизонтальных сил по формуле
 -щг<т. (10.24)
 где Т — сумма горизонтальных составляющих всех сил, действующих на рассматриваемый участок I стенки.
 Нт — расчетное сопротивление сваи горизонтальной нагрузке, зависящее от ее материала и размеров поперечного сечения, а также от вида грунта.
 Эта величина для деревянных и железобетонных свай принимается по табл. 17.
 Усилия в наклонных сваях одностороннего козла определяются по формуле
 Рн = «„sinВ 2б)
 Усилие в вертикальной свае козла от горизонтальной нагрузки
 составляет
 р- = -яЛПГ- С0-26»
 В этих формулах пи и пв — общее число наклонных и вертикальных
 свай на рассматриваемом участке подпорной стены;
 о — угол наклона козловой сваи к вертикали.
 Так как усилие Рв выдергивающее, то оно считается отрицательным.
 Кроме того, в вертикальных сваях козла действует погружающее, т. е. сжимающее, усилие от вертикальной силы N, которое определяется по формуле (10.23).
 Таблица 17
 Расчетные сопротивления свай горизонтальным нагрузкам
 Требуемая
 глубина
 в T для свай г
 Грунт основания на глубину забивки
 деревянных диаметром dt см
 железобетонных размерами сечения» см
 дере¬
 вянных
 железо¬
 бетон¬
 ных
 28
 30
 | 32
 30X30
 35x35
 40x40
 Пески средней плотности, супеси, суглинки и глины тугопластичные , 4,5<f
 6 a
 2,6
 2,7
 2,8
 6
 7
 8
 Пески и супеси пылеватые, суглинки и глины мягкопластичные или слежавшиеся 5 d
 7a
 1,4
 1,5
 1,6
 2,5
 3
 3,5
 Илы, супеси, суглинки и глины текучепластичные 6 d
 8a
 0,50
 0,55
 0,6
 1,0
 1,5
 2,0

ГЛАВА XI
 РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН НА ПРОЧНОСТЬ
 § 47. ПРОЧНОСТЬ МАССИВНЫХ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Каждое горизонтальное сечение неармированной массивной подпорной стены, иногда называемое по старой терминологии «швом», испытывает внецентренное сжатие силой N, нормальной к сечению. При этом эксцентрицитет е силы может быть малым или большим.
 Малым считается эксцентрицитет, меньший 0,45 расстояния от центра сечения до его наиболее сжатого края, т. е. при е < 0,225 b (рис. 102, а).
 ,В этом случае, учитывая пластичность кладки и исходя из оправданного опытом допущения, что момент предельного усилия в кладке относительно менее напряженной грани сечения является
 а) 6)
 167

величиной постоянной, можно получить следующую формулу для наибольшего нормального напряжения в сечении кладки:
 Это напряжение не должно превосходить расчетного сопротивления Ясж кладки при осевом сжатии, умноженного на коэффициент условий работы т = 0,9.
 Расчетное нормальное усилие № равно весу подпорной стены и сумме вертикальных составляющих давления грунта, давления от наземной нагрузки и давлеййя воды, действующих выше рассматриваемого горизонтального сечения подпорной стены, умноженных на соответствующие коэффициенты перегрузки, большие единицы.
 Большим считается эксцентрицитет, равный или превышающий 0,45 расстояния от центра сечения до его сжатого края (е > 0,225 Ь). В этом случае расчет на внецентренное сжатие производится без учета сопротивления растянутой зоны, исходя из прямоугольной эпюры напряжений в сжатой зоне (рис, 102, б).
 При этом расчетное сжимающее напряжение определяется по формуле
 °тах=— = —(11.2)
 тах 2с Ь—2е ' ;
 Это напряжение должно быть меньше или равно расчетному сопротивлению кладки сжатию при изгибе 0RH)> умноженному на коэффициент условий работы т = 0,9.
 Формулы (11. 1) и (11. 2) по своей структуре сходны с формулами (10. 1) и (10. 8), но отличаются от них другими значениями коэффициентов и приводят к меньшим расчетным напряжениям в кладке.
 Для подпорных стен из неармированной каменной кладки поверка напряжений в растянутой зоне или, иначе говоря, поверка трещиностойкости кладки требуется при следующих эксцентрицитетах силы N:
 для основных нагрузок при е > 0,35 Ь; для дополнительных нагрузок при е > 0,4 Ъ.
 Наибольшие растягивающие напряжения в кладке по перевязанным сечениям определяются по обычной формуле сопротивления материалов, как для упругого тела, но с введением коэффициента условий работы (рис. 102, в):
 CTniin= mTpfc (1 г)’ О1-3)
 где тТр — коэффициент условий работы при раскрытии трещин, принимаемый равным: для стен, не подверженных давлению воды, 2; для стен, подверженных давлению воды при наличии гидроизоляционной штукатурки, 1,5.
 168

Расчетное растягивающее напряжение, найденное по формуле (11.3), не должно превосходить расчетного сопротивления кладки на растяжение при изгибе ( ?р.и)-
 Растягивающие напряжения в кладке по неперевязанным сечениям не допускаются.
 При проверке трещиностойкости кладки введение коэффициента перегрузки л=0,9 для собственного веса подпорной стены может привести к большим расчетным растягивающим напряжениям, чем при п = 1,1.
 Расчет бетонных подпорных стен с учетом сопротивления растянутой зоны производится исходя из прямоугольной эпюры напряжений в этой зоне и треугольной эпюры в сжатой зоне (рис. 102, г).
 В этом случае
 Здесь коэффициент 1,75 учитывает увеличение момента сопротивления сечения из-за неупругих свойств бетона.
 Напряжение, найденное по формуле (11. 4), не должно превосходить расчетного сопротивления бетона при растяжении ( ?р).
 Подробности расчета бетонных и каменных подпорных стен на прочность и трещиностойкость см. в СН и П II-В. 1 — 62 и II-B. 2 — 62.
 § 48. ПРОЧНОСТЬ ТОНКОЭЛЕМЕНТНЫХ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Консольные подпорные стены (монолитные или отдельные секции сборных), как об этом говорит само название, рассчитываются как консольные плиты, заделанные в общий жесткий узел (рис. 103, а).
 На лицевую плиту основная нагрузка от засыпки действует со стороны задней грани. Эта нагрузка может иметь не только горизонтальную составляющую, но и вертикальную. Kpoitfe того, на лицевую плиту действует небольшая нагрузка со стороны передней грани и собственный вес.
 На фундаментную плиту сверху вниз действует нагрузка от веса засыпки и собственного веса плиты, а снизу вверх — реактивное давление грунта основания, эпюра которого имеет вид трапеции или треугольника. При этом нагрузка от веса засыпки больше на тыльную часть плиты, чем на переднюю.
 По эпюрам расчетных нагрузок, находящихся между собой в равновесии, легко построить эпюру изгибающих моментов (рис. 103, б), а в необходимых случаях и эпюры поперечных и продольных сил. Из условия равновесия следует, что Мх = М2 М3.
 По найденным изгибающим моментам можно подобрать толщины плит и рабочую арматуру или проверить предварительно назначен¬
 'min
 (11.4)
 169

ные сечения. Некоторое снижение расхода материалов может дать учет продольной силы в лицевой плите. Этим не следует пренебрегать, особенно при расчете крупных сооружений. Для гидротехнических подпорных стен обязательна проверка сечений плит на трещиностойкость.
 Сборные подпорные стены уголкового профиля, состоящие из отдельных плит (рис. 104), рассчитываются на действие тех же нагрузок, что и монолитные,
 О)
 но узел В в этом случае следует считать шарниром и рассчитывать лицевую плиту как свободно опертую в точках С и В с консолью АС.
 Для фундаментной плиты принимается расчетная схема в виде балки с двумя консолями. Усилие в оттяжке определяется по формуле
 (U.5)
 Sin а 4 1
 Контрфорсные (ребристые) подпорные стены представляет собой про¬
 170

странственные конструкции, которые для расчета расчленяются на отдельные элементы: лицевую плиту, тыльную часть фундаментной плиты, передний выступ контрфорса и фундаментной плиты и контрфорсы (ребра).
 Если высота лицевой плиты или ширина тыльной части фундаментной плиты превышают расстояние между ребрами в два и более раза, то такие плиты рассчитываются как неразрезные, свободно опертые на контрфорсы. При этом число пролетов принимается равным действительному, но не более пяти. Учитывая различную интенсивность нагрузки, действующей на лицевую плиту, ее разбивают по высоте на ярусы, которые рассчитываются отдельно и армируются различно.
 Если расстояние между ребрами составляет не менее половины высоты лицевой плиты или ширины тыльной части фундаментной плиты, то такие плиты рассчитываются и армируются как жестко заделанные по трем сторонам со свободной четвертой.
 Передний выступ фундаментной плиты и контрфорса рассчиты: вается как горизонтальная консоль на разность давлений, действующих снизу и сверху.
 Контрфорс (ребро) рассматривается в качестве вертикальной консоли, жестко заделанной в фундаментную плиту и испытывающей нагрузку в виде опорного давления лицевой плиты и непосредственно от засыпки.
 При расчете элементов ребристой подпорной стены учитывается их собственный вес.
 Пример 23. Требуется подобрать и проверить размеры подпорной стены консольного типа, показанной на рис. 105, исходя из следующих данных: высота насыпи hc = 8 м, глубина заложения фундамента Лф =1,8 ж, объемный вес засыпки (песок средней крупности) у == 1,80Т м , угол внутреннего трения засыпки 9= 35°, угол трения засыпки о заднюю грань стены фо=17°30 интенсивность постоянной нагрузки на поверхности засыпки р = 2 Т м2> расчетное сопротивление супесчаного грунта в основании у края подошвы подпорной стены R = 3,0 кГ см2, коэффициент трения бетона по грунту = 0,4, k = 5 кГ см3.
 Решение. Определение нормативного активного давления засыпки производится на условную вертикальную плоскость в предположении, что эта плоскость является плоскостью симметрии по отношению к плоскостям скольжения и что касательные усилия на этой плоскости отсутствуют. Поэтому коэффициент активного давления берется по табл. 6 для а‘= 0, (3 = 0, <р0 = 0 и 9= 35° кх= 0,271. Интенсивность нормативного давления засыпки на уровне подошвы фундаментной плиты
 q" = т (hc Лф) = 1,8 (8 1,8) 0,271 - 4,78 Т м .
 Интенсивность давления, передающегося через засыпку от на грузки р, приложенной на поверхности засыпки,
 171

q« =» pkx=2-0,271 = 0,542 Г лА Соответствующие нормативные силы давления составляют:
 Qb = V = f..?8-9.8 _ 23Д y At;
 2 2
 Qp = q"P{hc Аф) = 0,542-9,8 = 5,31 Г At.
 Горизонтальное давление и сила давления на стену со стороны передней грани (если стену считать неподвижной):
 q = ХоТйф = 0,43-1,8-1,8 = 1,39 ТО;
 1,39-1,8
 — 1,25 ТI м<
 2 2
 Равнодействующая горизонтальных активных сил, приложенных к подпорной стене,
 172

7"=Q“=Qh Q" = 23,4 5,33 = 28,73 Т м.
 Плечо этой силы относительно подошвы
 И,«.».аб 5.М-4,9 =Д8 _366 28,73 28,73
 Предварительный подбор профиля подпорной стены
 Основываясь на методике предельных состояний и принимая коэффициенты перегрузки для собственного веса стены «'о = 1,1 и п'о — 0,9, а для давления грунта «о — 1,2 и h’q — 0,9, найдем требуемую ширину Ъ фундаментной плиты из различных условий. При этом будем пользоваться значениями параметров (о и ф, соответствующими данному профилю подпорной стены (профиль 9 в табл. 15).
 а) Из условия устойчивости протйв сдвига по основанию при коэффициенте условий работы тс — 1 имеем по формуле, приведенной в табл. 15,
 =0,4 ,е- = 5,88л,
 0,668 0,668
 параметр ш определяется по формуле (9. 9) „ Q" пн
 Q n Q Уф
 со =
 Q тс 1,2-28,73 - 0,9-1,25
 — п-о77П-о с7о-02 — .—-и, .
 n'Ghc№ 0,9-0,4-2,5-9,
 Для силы QXH взят коэффициент перегрузки, больший единицы, а для сил фф" и G — меньший единицы.
 б) Из условия прочности грунта. основания по формуле (10.5) при По= 1,1, ф = 0,572 и в) = 0,4
 6а= Н п°ic<nh2 (2—3  V п0ТсЛ2«в(2 — Зф) 2 6 (Q"nQz — Ql QZ )J =
 = JL J 1,1 • 2,5 • 0,4.9,82 • (2 — 3 • 0,572)  У11,1 • 2,5 • 0,4 • 9,82(2—3 • 0,572) 2 6 •30 (28,73 • 1,2 • 3,56—”
 ' —1 25 • 0,9 • 0,6 } = - -(30 6 "I" V 30,6« 21800 j = 6,05 л.
 He производя повторного пересчета, соответствующего второму приближению, принимаем окончательно b = 6 м, а длину передней консоли Ьп = 0,25 b = 1,5 м.
 173

Толщины лицевой плиты вверху и внизу принимаем равными:
 dB — —<=i 0,4 м и dH = — 0,8 м.
 в 24 24 "12
 Такими же принимаются и толщины фундаментной плнты.
 Проверка принятого профиля подпорной стены
 Так как профиль 9, приведенный в табл. 15, несколько отличается от принятого, то последний подвергается окончательной проверке. Кроме того, для построения эпюры изгибающих моментов Нужно предварительно построить эпюру реакций основания.
 Для упрощения расчетов исходим из средней толщины плит, равной 0,6 м. Тогда нормативные вертикальные силы, действующие на подпорную стену, будут равны:
 G? = 2,5-0,6-9,8 = 14,70 Т м;
 G” = 2,5- 0,6- 3,8 = 5,70 Т м;
 G = 2,5-0,6-1,6 = 2,39 Т м.
 Общий вес железобетонной конструкции составляет Gc = 2,39 5,70 -f 14,70 = 22,79 Т м.
 К силам собственного веса стены должен быть прибавлен вес грунта на передней и задней плитах с учетом постоянной нагрузки р = 2 Т м2:
 Gi = 1,8-3,8-9,2 = 62,8 Т м;
 Gt = 1,8-1,6-1,2 = 3,46 Т м;
 Ри = 2,0-3,8 = 7,6 Т м.
 Полная нормативная вертикальная сила
 Nн = 22,79 62,8 3,46 7,6 = 96,65 Т м,.
 Высота расположения центра тяжести стены и веса грунта с нагрузкой от подошвы стены
 _ 2,39-0,3 5,7-0,3 14,7-4,9 <62,8-5,2 4-3,46-1,2 7,6-10,35' _
 0 96,65
 483,37 - п
 96,65 — ’ М-
 Постоянная нагрузка условно приведена к эквивалентной вы¬
 соте:
 U Р 1 ,л
 А0 — — j g — 1,10 Горизонтальные силы уже определены ранее.
 174

Проверка устойчивости против сдвига по основанию производится по формуле (9. 8)
 поТЯ 1,2-28,73 34,50 апсо . 1П
 ;—— = = 0,963< tnc = 1,0.
 fn'GN« nQQl 0,4-0,9-96,65 0,9-1,25 35,92
 Проверка устойчивости против опрокидывания производится с учетом деформации основания. Для этого по формуле (9. 30) находится смещение оси вращения
 А 1 ,yi2A" 1 ,7 12-96,65-5,0 Л сок
 d= 2-V —k- -rV 5000 = 0,525 м
 и предельная величина эксцентрицитета
 enD= 0,525 = 2,475 м.
 р 2 2
 Расчетный момент всех сил относительно середины подошвы фундаментной плиты
 М = 0,9(2,39-2,2 — 5,7-1,1 14,7-1,1 — 62,8-1,1  3,46 - 2,2 — 7,6 • 1,1) 1,2 (23,4 • 3,26 5,31 - 4,9) —
 — 1,25 • 0,9 • 0,6 = — 49,2 123 — 0,67 = 73,13 Тм м.
 Расчетная вертикальная сила N = n0'NH — 0,9-96,65 = 87 Т м. Расчетный эксцентрицитет
 М 73,13
 N 87 Проверка на опрокидывание дает е 0,842
 0,842 м.
 £пр 2,475
 0,339 < ш0 = 0,8.
 Для построения эпюры давлений на основание и эпюры изгибающих моментов в плитах нужно исходить из коэффициентов перегрузки для вертикальных сил п = 1,2, так как это приводит к большим величинам давлений и изгибающих моментов.
 В этом случае расчетный момент всех сил относительно середины подошвы фундаментной плиты, расчетная вертикальная сила и ее эксцентрицитет будут следующие:

Краевые давления на основание под фундаментной плитой по формулам (10. 1) и (10. 7)
 °п,ах = (l )==i -(H- ia) = 28,8 Г ж2 =
 = 2,88 кПсль2 < ? — 3 кГ см2.
 “"■» = т (‘ -1Т) --т- (' -6- ) - W W > °-
 Изгибающий момент у основания лицевой плиты
 4.63.9; 0.542.9М, 0,_93.Ь21,09 = |00 8 Тя 1 V 6 2 } 6
 Изгибающий момент у основания тыльной части фундаментной плиты
 М2 = 1,8-3,7-9,2-1,85-1,2 2,5-0,6-3,7-1,85-1,2 2-3,7-1,85-1,2—
 (21,5-9,9)- =70,4 7Wjh.
 2 ' 6
 Изгибающий момент у основания переднего выступа фундаментной плиты
 М3 = — 1,8-1,5-1,2-0,75 1,52 (28,8 — 24,1) —
 2 3
 — 2,5-0,6-1,5-0,9-0,75 = 27,37 Тм м.
 Сумма моментов, действующих на узел,
 2 М = Mt — АГ2 — ЛГ3 = 100,8 — 70,4 — 27,37 = 3,03 7jw m.
 Эти изгибающие моменты не совсем точно уравновешивают друг друга, так как они подсчитаны не для теоретической точки узла сопряжения плит в линейной расчетной схеме, а для сечений по граням плит.

ГЛАВА XII
 МНОГОУГОЛЬНИК ДАВЛЕНИЙ И ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ТРЕБОВАНИЯМИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ РАЗМЕРЫ ПРОФИЛЯ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ
 § 49. МНОГОУГОЛЬНИК ДАВЛЕНИЙ
 Многоугольник давлений позволяет определить для каждого горизонтального сечения подпорной стены положение равнодействующей всех вышележащих сил. Величина и направление этой равнодействующей находятся на силовом многоугольнике.
 Для построения многоугольника давлений подпорная стена разделяется по высоте на отдельные части и для каждой части определяются действующие на нее силы (рис. 106, а). Сложив геометрически силы Gx и Qlt действующие на верхнюю часть подпорной стены, найдем на многоугольнике сил (рис. 106, б) их равнодействующую ?х, которая на чертеже стенки должна проходить через точку пересечения сил Gt и Пересечение силой линии I—I дает точку Сх, принадлежащую многоугольнику давлений.
 Для второго участка стены сначала находим равнодействующую i?'2 сил и Q2, а затем и равнодействующую i?2 сил R2 и G2, которые проводим на рис. 106, а через точки пересечения соответствующих сил. Пересечение линии действия силы i?2 с линией II—II дает точку (2 многоугольника давлений. Таким же путем находится и точка Кз- Точка Ко находится посредине ширины стены по верху.
 Соединив точки Со, К1} и Кз отрезками прямых, получим многоугольник давлений, который для каждого горизонтального сечения i—i позволяет найти эксцентрицитет нормальной составляющей Nl силы Rt.
 Таким же порядком может быть построен многоугольник давлений и для тонкоэлементной подпорной стены.
 Нормальная и касательная составляющие (NL и Tt) равнодействующей Rl для каждого горизонтального сечения i—i могут быть найдены на силовом многоугольнике. Так, на рис. 106, б они показаны для сечения III— , т. е. для подошвы подпорной стены.
 177

Зная величины N, Т и е для каждого горизонтального сечения, можно также произвести все необходимые проверки, пользуясь приведенными выше формулами старого или нового методов. В последнем случае на многоугольнике сил должны быть отложены расчетные силы.
 Рис. 106
 Величина отношения е : < гщ дает представление о степени устойчивости стены против опрокидывания, а величина tg ь __ Т Qx
 f Nf f(G Qz)
 < mc —
 о степени устойчивости против сдвига по основанию.
 Между параметрами, характеризующими различные профили подпорных стен, действующими на них нагрузками и степенью безопасности с точки зрения того или другого условия существуют зависимости, которые могут облегчить целесообразный выбор профиля подпорной стены и его размеров.
 § 50. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ НА СДВИГ И ОПРОКИДЫВАНИЕ
 Выразим отношение между силами, действующими на основание стены (см. рис. 106, б), следующими коэффициентами:
 178

Тогда коэффициент устойчивости против сдвига может быть выражен формулой
 кс — f-- = . (12.1)
 Qx-fQ JL_y v '
 f
 Каждому значению разности у — v соответствует определенная величина kc, не зависящая от положения сил.
 Коэффициент устойчивости на опрокидывание может быть выражен формулой
 Муд Иуд Go, 1
 0 Ж„„р Муд—М Ga — Nc , _ G Qz _£_ '
 G a
 = — • (12-2>
 i—(i v)
 a
 Здесь а и с — плечи сил G и N относительно точки О.
 Каждому значению произведения —(1 v) соответствует вполне
 определенная величина к0. При этом величина л;0 зависит только
 с Qz
 от двух отношении: от — и от v =
 Если давление грунта принимается горизонтальным, то v = О
 и тогда к0 = —1—. При этом для получения с0 > 1,5 должно
 1—JL
 а
 быть —>4". а о
 Для установления зависимости между коэффициентами устойчивости на опрокидывание и сдвиг выразим величину v из уравнения (12. 1) и подставим это выражение в (12. 2), тогда
 <12'3)
 Соответствующие кривые, построенные для кс = 1,2 и кс =1,5,
 показывают, что при больших значениях и j- коэффициенты
 устойчивости на опрокидывание получаются много большими, чем на сдвиг (рис. 107).
 Условие равенства этих коэффициентов получим, приравняв правые части выражений (12.1) и (12.2). После некоторых преобразований получим уравнение

0,2 ОЛ 0.6 0.8 1 £
 а
 Рис. 107
 § 51. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РЕЗУЛЬТАТАМИ ПРОВЕРОК НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СТАРОМУ И НОВОМУ МЕТОДАМ
 Расчетное неравенство (9. 8) для проверки устойчивости подпорной стены на сдвиг по методу предельных состояний можно представить в виде
 <тс, (12. 5)
 о
 где т) = — — отношение между коэффициентами перегрузки для подавления грунта и для собственного веса подпорной стены.
 Сохранив в выражении (12.5) только знак равенства, определим отношение у- и подставим его в (12. 1).
 Тогда
 «с = “7Т-Ч—• (12-6>
 Шс
 Если в соответствии с СНиП Н-Б.З—62 считать расчетные нагрузки равными нормативным, то т) = 1 и тогда при v = 0
 Кс = -L = -Ц = 1,25.
 С тс 0,8
 180

Если же исходить из СН-200—62, то nG =0,9, nQ = 1,2,
 т) = тс = 0,8 и тогда минимальное значение л;с оказывается
 равным 1,67.
 Из условия устойчивости против опрокидывания по новой методике (9. 21), приняв в нем знак равенства, можно найти плечо расчетной силы N
 с=±-( -щ). (12.7)
 С другой стороны, эта величина получается из формулы (12. 2)
 1
 1 —-
 с = а ■
 1 V
 (12. 8)
 Приравняв друг другу оба значения с и решив уравнение отосительно с0, получим
 0 = - (l v)(l-,n„) (12.9)
 1— 24-
 Параметр ф = у для каждого профиля подпорной стены различен, поэтому будет различным и соотношение между т0 и к0.
 График зависимости между к0 и щ для разных значений s = показан на рис. 108.
 о 02 0Л 0,6 0.7 0,6 1.0
 Рис. 108
 181

При щ 0,7, установлен ноьШ'СН-200—6 адя нескальюого основания и коэффициентах перешузки, равных единице , минимальное значение к0, соответствующее v = О и i = 1, будфг равно 1; 175.
 При отношении между коэффициентами перегрузки 'Ч — I минимальный коэффициент запаса составит 1,57.
 § 52. УСЛОВИЕ «СРЕДНЕЙ ТРЕТИ» И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕНЫ
 ПРОТИВ ОПРОКИДЫВАНИЯ
 _ А
 При выполнении этого условия с Величина плеча с силы N выражается формулой (12. 8), поэтому можно написать
 а-——— > —
 “ l-fv з •
 отсюда
 Ко>—г т- (12.10)
 1— Зф
 Зто означает, что для каждой пары значений ф и v выдолнейие «условия средней трети» требует обеспечения вполне определенной минимальной величины коэффициента устойчивости против опрокидывания, выражаемой формулой (V2. 10).
 Для каждого профиля подпорной стены параметр ф имеет вполне определенную величину (см. табл. 15), поэтому минимальные значения я0, гарантированные при выполнении условия «средней трети», будут различными для каждого профиля. Это значение к0 будет не ниже 1,5, если ф< 1, т. е. если сила собственного веса подпорной стены проходит через ее подошву.
 По методу предельных состояний выполнение «условия средней
 Ь „
 трети» (е<тт) соответствует такому коэффициенту условий работы
 2е 1
 ь < т0 — з •
 § 53. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РЕЗУЛЬТАТАМИ ПРОВЕРОК НА ОПРОКИДЫВАНИЕ С УЧЕТОМ И БЕЗ УЧЕТА ДЕФОРМАЦИИ ОСНОВАНИЯ
 В случае когда основание принимается абсолютно жестким» предельный эксцентрицитет силы N равен епр= , а в случае, когда
 учитывается деформация основания, е'пр = ■ — d.
 Расстояние d от нижнего переднего ребра фундамента стены до оси, вокруг которой происходит вращение сооружения при опрокидывании, определяется по формуле (9. 30).
 (82

Так как pac B£№ie эксцен'врдаитетьютлы ’ N будут одинаковыми в o6otfx случая to расчетнййёйкоэффшдаенты- усковий работы •’rttyjfi порной стены без учета и с дметом деформации Основания буд т находиться в таком отношейгй rftp _ Щ
 ИЛИ
 пр _
 ?Пр
 т' 0=
 6
 If
 m0
 1 —
 2d
 2d
 (12. 11)
 При этом достаточно, чтобы ось вращения сместилась на такую
 L
 малую величину, как d = тд, чтобы степень устойчивости подпорной стены понизилась на 25 .
 Это говорит о том, что при обычном для нескального основания значении коэффициента условий работы при опрокидывании вокруг нижнего переднего ребра т0 = 0,7 действительное отношение между расчетным и предельным эксцентрицитетами может быть недопустимо высоким.
 Пример 24. Проверить подпорную стену, показанную на рис. 109, если известны: G — 27,81 Т м, Qx = 9,6 Т м, Qz = 3,06 Т м, Ь = 2 ,jk, е = 0,425 м, = 2,93 м, k = 5 кГ см3 = 500077л18, f = 0,4. Силы G, Qx и Qz расчетные, поэтому коэффициенты перегрузки не вводятся и т = 1.
 Рис. 109
 183

Решение, Определяем исходные параметры и Проверяем устойчивость подпорной стены по методу предельных состояний.
 у ' 3,06 п 11 - и, Ф-r 9,6 п <здл
 G 27,81 — ’ ’ “ G 27,81
 Проверка стены на сдвиг по основанию производится по формуле (12. 5) при к = 1:
 f 0,344
 (1 ) 0,4(1 0,11)
 = 0,775 < тс = 0,8.
 Проверка стены на опрокидывание вокруг нижнего переднего ребра:
 Ц. = М25_ = 0>425 <т. = 0>7>
 Проверка стены на опрокидывание относительно оси вращения, переместившейся на величину
 1 12 GrD 1 ,3 " 12.27,81-2,93 п Оос м.
 2 У л = ТУ 5000 = 0.286 М.

ГЛАВА XIII
 РАСЧЕТ ТОНКИХ СТЕНОК
 § 54. НЕЗААНКЕРОВАННЫЕ СТЕНКИ
 Устойчивость незаанкерованных тонких (шпунтовых) стен обеспечивается только сопротивлением грунта, в котором они защемлены. Опыты Н. В. Лалетина показывают, что при действии горизонтальной силы Р на верхний свободный конец стены этот конец отклоняется в сторону действия силы при повороте стены вокруг некоторой точки С, лежащей на глубине zc от поверхности грунта (рис. 110). На защемленную часть стены высотой г2 действует реакция грунта, имеющая на участках ВС и CD противоположное направление. На этих же участках с обратной сторонк стены действует еще активное давление грунта, которое также направлено в разные стороны.
 Эпюра реакций при возрастании силы Р последовательно переходит стадии, показанные на рис. 110. При небольшой величине силы Р реакция грунта носит упругий характер, а эпюра реакций имеет криволинейное очертание (см. рис. 110, а).
 с Ь) Ь)
 Рис. 110
 185

основу расчёта может быть тяДО еяа одна од трек эпюр., Доказанный на рисунках 110 а, бив, га рвай из котррых соответствует |еонцу упругой стадии сопротивления грунта, а последняя достижению им состояния предельного равновесия. Эпюра 110, соответствует промежуточному состоянию, когда напряжения достигли предельного значения не только в верхней части эпюры, но и в нижней.
 Один из самых простых методов расчета свободной (незаанкеренной) шпунтовой стенки основан на допущении, что она, не де-
 Рис. 111
 формируясь, поворачивается в грунте вокруг некоторой точки С находящейся на глубине гс = 0 8 1ц от поверхности земли (ptfc, 111) При этом эпюра реакций принимается по рис. 110, в с заменой кри¬
 волинейной части прямолинейным участком. Ординаты прямых BDX и BD" соответствуют разности между пассивным сопротивлением и активным давлением грунта. На подпорную стену действует еще активное давление грунта, лежащего выше точки В. Соответствующая эпюра давлений показана на рис. 111, б.
 Равнодействующие активных давлений на верхний и нижций участки стенки длиной равные единице будут выражаться так:
 Ql = ср а» = ТА1
 Для всех сил, действующих на стенку, можно составить, следующие два уравнения равновесия:
 гу п п , (хМ <7д)№2 —гЕ)
 ЬЛ в — Qx — QH 2— §— ° 186

mD - - Qi A,)—<3.(v- x) (T V qD)(th — z£)2 ' 0
 Здесь Xa ■= ?5 -sjny; Xn=-| S?H; X=X—Xa;
 d l siny’ n 1—smy ц a 7—объемный вес грунта; 9—угол его внутреннего трения.
 Решение первого уравнения равновесия дает возможность найтв величину
 X - 2 ( Q2)
 2' ■—Л Г j Г 1 ’ 1;h qD
 Подставляя эту величину 30 второе уравнение равновесия, можно найти наибольшее реактивное давление у подошвы стены
 D ТЛ| X - а? » 3 га) - 3Qa(2Aa— гс ). '
 1> 4‘
 Для устойчивости подпорной стены, т. е. для предотвращения выпирания грунта, эта величина должна быть меньше предельного сопротивления груйта <7nPi определяемого {Разностью между тассивным и активный давлениями. Дъличю
 Ь<2
 9пр =Л kfta) n — h s > N (13. 2)
 Требуемая по условию устойчивости глубина" забивки шпунта может быть определена подбором исходя из равенства
 Яо = Япр Требуемое поперечное сечение шпунта или в простейшем случае его толщина находится расчетом на изгиб по максимальному изгибающему моменту, который действует в сечении Zq, определяемом из условия, что поперечная сила здесь равна нулю. Этот изгибающий момент оказывается равным
 ««-О, ( - 4)-ф" (13. 3)
 где
 Применяется и еще более упрощенный способ расчета, при котором эпюра предельного давления со стороны передней грани стенки дополняется до прямоугольного треугольника, а эпюра реак¬
 187

тивного давления со стороны задней грани заменяется одной сосредоточенной силой Qn (рис. 111, г).
 Тогда
 К
 Qi =ь —2 ; Оя =
 ЪХ = - Qx -q2 4 -<2п = 0;
 ЕМС = — (-|. 2cj_Q2. 4 = 0.
 Первое из этих уравнений позволяет найти величину Qn, а второе — zc. После этого можно найти и Л?тах.
 Минимальную глубину забивки в этом случае принимают равной 1ц = 1,2 .
 Пример 25. Проверить достаточность глубины забивки свободной шпунтовой стенки, если дано: hx = 2му = 2 л , 7 = 1,8 Т ж3,
 tp = 30°.
 Решение. Находим коэффициенты активного, пассивного давлений грунта для ф = 30°. По табл. 6 и 9 = 0,333, Хп = 3,0. Коэффициент, определяющий разность давлений,
 X = — Ха = 3,0 — 0,333 = 2,667 Предельная интенсивность давления у основания шпунтовой -стенки
 <7пР = Т №1 Ч К — h2 М = 1 >8 (4 ■ 3 — 2 • 0,333) = 20,4 Г ж2.
 Величины сил активного давления грунта на заднюю грань стенки при zc = 0,8 = 0,8-2 >= 1,6 ж
 Qx 0,333 = 1,2 7 ж;
 <?2 = Azc a = 1.8 2-16-0,333 = 1,92 Т м.
 Наибольшее горизонтальное давление нижнего конца шпунта на грунт по формуле (13. 1)
 _ 1,8-2,67-2= — 2(1,2 1,92) 1,8-2,67.23 — 2-1,2 (2 3-2) — 3-1,92(2-2 — 1,6)
 — 1,8-2-2,67 = 31,2 -9,64 = 21,58 Т м2.
 Эта величина превышает q„p = 20,4 Т м2 всего на 5 , поэтому глубина забивки Ла = 2 ж достаточна.
 Расстояние сечения, в котором действует наибольший изгибаю щий момент, от поверхности земли
 188

= 0,25(1 - 3) = 1,0 м.
 Наибольший изгибающий момент по формуле (13. 3)
 Mmax = 1,2 ( 1,0 i )) i- -1,8 • 2,667- 1,0 =
 = 2,61 —0,8 = 1,81 Тм м = 181 ООО кГсм м.
 Этот момент оказывается значительно больше момента, действующего у поверхности основания и составляющего
 Мв = = ''з '-0 = 0,8 Тм м.
 Толщину шпунта следует подобрать по наибольшему изгибающему моменту исходя из расчетного сопротивления R„ материала шпунта при изгибе. Если шпунт временный деревянный, то можно принять Rn = 150 кГ см2 и тогда требуемый момент сопротивления поперечного сечения
 w = AW = 181000 = 1205 см-
 ?И 150
 Отсюда требуемая толщина шпунта
 А 1 6 W -1 61205 q - Г b “Г 100 — ’
 Принимаются брусья толщиной 100 мм.
 § 55. ЗААКТИРОВАННЫЕ СТЕНКИ
 Стенку с опорой вверху в виде анкера при небольшой глубине забивки рассчитывают как шарнирно опертую в верхней точке. При этом со стороны задней грани учитывается активное давление, а со стороны передней — пассивное сопротивление. Схема действия сил на заанкерованную тонкую стенку показана на рис. 112.
 Требуемая глубина забивки определяется из условия, чтобы сила активного давления уравновешивалась силой пассивного сопротивления Q2» умноженной не некоторый коэффициент условий работы т. Для этого должно быть выполнено неравенство
 Ql -§- fh j— a j < mQ2 Aa — a j. (13. 4)
 Каждая часть неравенства дает момент соответствующей силы относительно точки Л', в которой действует, реакция анкерной тяги N. Последняя определяется из уравнения проекций на гори¬
 189

зонтаЛьную ось всех сил, действующих на стенку, и оказывается эавной
 N = QX — Q2, (13.5)
 где
 Ql — к (hi А2)2 Q2 — “ 2 “
 Величины Ха и Хп могут быть взяты теми же, что и в случае незайнкерованной стенки, однако в данном случае целесообразно учитывать силы трения между стенкой и грунтом.
 О) 6) б)
 А
 Рис. 112
 Для коэффициента условий работы т может быть принято значение от 0,7 до 1,0.
 Максимальный изгибающий момент в сечении z0 = j определяется по формуле
 (13. 6)
 Mmax = W(z0 —а) —1 Зпюра изгибающих моментов показана на рис. 112, б.
 Анкерная плита, передающая усилие анкерной тяги на грунт, должна быть закреплена за пределами плоскости, проведенной под углом естественного откоса к горизонту.
 Тонкая стенка может быть также рассчитана и как заделанная нижним концом. При этом наибольший расчетный изгибающий момент оказывается меньше, чем в предыдущем случае, но требуемая глубина забивки возрастает. Экспериментальные исследования показывают, что при деформации изгиба стенки происходит перераспределение давления грунта, которое в пролете уменьшается, а к опорам концентрируется (см. рис. 112, а—пунктирная линия).
 В данном случае максимальный изгибающий момент значительно уменьшается. Это обстоятельство можно учесть коэффициентом
 0,75.
 190

По данным опытов Ю. М. Гончарова 8 , йрдинаты эпюры давления грунта на уровнях анкера и поверхности основания оказываются близкими друг к другу по величине и могут быть определены как активное давление на глубине hlt т. е. по формуле
 Яг =ИКК- (13. 7)
 Между этими ординатами эпюра давлений грунта принимается параболической с наименьшей ординатой посредине (рис. 112, в)
 =0,35(13. 8)
 Нижняя ордината эпюры давлений определяется величиной пассивного давления грунта на глубине ц и выражается формулой
 <7п = Т п- (13.9)
 Глубиной забивки приходится предварительно задаваться.
 У низа стенки прикладывается сила QD, заменяющая отпор грунта с обратной стороны стенки. Эта сила, а также сила N, возникающая в анкерной тяге, определяются из двух уравнений равновесия. Первое из них, позволяющее определить усилие Qd, составляется в форме уравнения моментов относительно точки А', а второе—
 в виде уравнения проекций всех сил, действующих на стенку,
 на горизонтальную ось.
 Построив эпюру давлений, показанную на рис. 112, в, и определив силы N и Qd,можно построить эпюру изгибающих моментов в стенке.
 Все эти расчеты могут быть выполнены графическим способом с построением веревочного многоугольника, дающего непосредственно эпюру изгибающих моментов.
 В этом способе деформируемость стенки учитывается принятой формой эпюры давлений грунта, взятой по результатам опытов. Таким образом, этот способ полуэмпирический и не имеет теоретического обоснования.
 Существуют более строгие способы расчета тонких стенок как балок, заделанных в упругую среду. Эти способы позволяют определить и ограничить не только усилия, но и перемещения стены.
 Проблеме расчета и экспериментального исследования работы шпунтовых стенок было уделено большое внимание на IV и V Международных конгрессах по механике грунтов и фундаментостроению. При этом был сделан обобщающий вывод о необходимости учета также и вертикальных сил, действующих на тонкую стенку.
 Пример 26. Проверить достаточность глубины забивки заанкерованной шпунтовой стенки, если = 2 м, 1ц = 0,9 м, а = 0,5 м, Т = 1,8 Т м3, <р = 30°; т = 0,8.
 Решение. Коэффициенты активного и пассивного давлений грунта найдены в предыдущем примере: = 0,333, Хп = 3,0. Силы активного и пассивного давлений:
 191

4 « 4"т(Лх WK = 0,5-1,8(2 0,9)2• 0,333 = 2,52 Т м;
 Q> = = 0,5-1,8-0,92 3,0 = 2,22 Т м.
 Проверяем выполнение неравенства (13. 4). Для этого находим отдельно величины левой и правой частей:
 Qi -|-(Л1 Л2.)-а = 2,52 4-(2 0,9)-0,5 j =
 = 3,62 TmIm;
 mQ (fti -f- К a ) = 0,8-2,22 (2 0,9-0,5 ) =
 = 3,81 Tm m > 3,62.
 Расчетное усилие в анкерной тяге
 N = — Q2 = 2,52 — 2,22 = 0,3 Т м.
 Положение сечения, в котором действует наибольший изгибающий момент,
 -if 2N if 2-0,а 1П
 го — У тХа — У 1,8-0,333 — ,0 М'
 Максимальный изгибающий момент по формуле (13. 6)
 лл »г 1 0 . л о 1 л п с 1,8-1,03-0,333
 = W(Z0 —G) б- = 0.3 (1,0 — 0,5) :—у-5— =
 = 0,15 — 0,1 =0,05 Тм м.
 алим образом, анкеровка тонкой стенки, позволила уменьшить глубину забивки и снизить расчетный изгйбающий момент.
 ЛИТЕ РАТУРА
 1. А К Л а- - О Д JI. С. Городские набережные. Цзд-во Министерства Коммунального хозяйства РСФСР, 1952.
 2. Б Е 3 У X О В Н. И. Подпорные стенки. М., Л. Госиздат, 1930.
 3. БЕРНШТЕЙН М. С. Статика сыпучей среды. Расчетно-теоретический справочник проектировщика. Госстройиздат, 1960.
 4. БОБРИКОВ Б. В. Активное давление сыпучего тела на подпорные стенки ограниченной длины. Труды Московского института инженеров железнодорожного транспорта. Вып. 77 «Мосты и строительные конструкции». Траиожелцориздат, 1952.
 5. БУЦЬКО З.Н. Об определении давления засыпки на крутые подпорные стенки. АН СССР, Институт механики, Инженерный сборник, т. 23. Изд-во АН СССР, 1956.
 6. Г JI У Ш К О В Г. И. Определение горизонтальных напряжений в грунте. «Гидротехническое строительство», 1954, № 3,
 7. Г О JI У Ш К Е В И Ч С. С. Плоская задача теории предельногр равновесия сыпучей среды. М.,‘ JI. Гостехиздат, 1948 192

8. ГОНЧАРОВ Ю М. Расчет тонких, стенок с учетом перераспределения активного давления грунт ,ро высоте стенки, «Основания, фундаменты и механика грунтов», 1962, Ке 5. 9. ДУБРОВА Г. А. Методы определения распорного давления грунта при расчете гидротехнических сооружений. М.f Л. Изд-во«Морской транспорт», 1947.
 10. КАГАН М. Е. О давлении на подпорную стенку при нелинейном его распределении. «Строительная механика и расчет сооружений», I960, № 6.
 И. КЛЕЙН Г. К. Строительная механика сыпучих тел Госстройиздат, 1956.
 12. КИСЕЛЕВ В. А. Строительная механика М., Госстройиздат, 1960.
 13. Л И X А Ч Е В В. П., Л У 3 А Н С. В. и др. . Методы расчета устойчивости и прочности гидротехнических сооружений. Под ред. М. М- Гришина. Госстройиздат, 1961.
 14. Л У Б Е Н О В Р. В., ЯКОВЛЕВ П. И. Исследование давления грунта с равномерно распределенной нагрузкой на неподвижную стенку. Министерство Морского Флота СССР, Отдел учебных заведений. Научные труды. Гидротехника. Вып. 2, 1962.
 15. Л Ь В И Н Я- Б. Устойчивость жестких стен и колонн на упругом и упруго-пластическом основании. Инженерный сборник, Т« 7. Изд. АН СССР, 1950.
 16. ПРОКОФЬЕВ И. П. Давление сыпучих тел и расчет подпорных стенок. М., Л. Стройиздат, 1947.
 17. РОССИЙСКИЙ В. А. Сборные железобетонные подпорные стенки. Киев, Госстройиздат УССР, 1961.
 18. Р Я Б У X О А. И. Расчет и проектирование железобетонных и обыкновенных массивных подпорных стен. Изд. МКХ РСФСР, 1953.
 19. СИМВУЛИДИ И. А. Определение давления земли на подпорные стенк с учетом силы сцепления. «Советский метрополитен», 1934, №5 и 6«
 20. СИНЕЛЬНИКОВ В. В. Аналитический вывод формул давле-
 ния сыпучего тела на стенку. Труды МИЙТ. Вып, 69, 1946. 21. СОКОЛОВСКИЙ В. В. Статика сыпучей среды. Гостехиздат, 1954.
 22. С Н И Т К О Н. К- Статическое и динамическое давление грунтов и расчет подпорных стеиок. Госстройиздат, 1963..
 23. Технические Условия проектирования железнодорожных, автодорожных и городских мостов и труб (СН-200—62).
 24. Т И Т О В А В. И. Определение давления сыпучего тела на круговую в плане стену. «Гидротехническое строительство», 1951, № 3.
 25. Ц Ы Т О В И Ч Н. А. Механика грунтов. М. Госстройиздат, 1963.
 26. HUNTINGTON W. С. Earth Pressures and Retaining Walls, N. Y., 1957.
 27. К E Z D I A. Erddruckteorien. Springer Verlag. Berlin-GettingenGei del berg, 1962.
 Исторический обзор работ и подробный список литературы по теории давления грунтов и расчету подпорных стен, использованной автором, см. в книге «Строительная механика в СССР — 1917—1957» под ред. И. М. РАБИНОВИЧА (Госстройиздат, 1957, стр. 280—300).

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.
 Предисловие 3
 Г л а в а I. Общие сведения о подпорных стенах и методах их расчета
 § 1. Типы подпорных стен 5
 § 2. Материалы подпорных стен 10
 § 3, Производство работ по строительству подпорных стен . . .12
 § 4. Условия работы и предельные состояния подпорных стен ... 13
 § 5. Принципы расчета подпорных стен и действующие нормы ... 16
 6. Нагрузки, действующие на подпорные стены 18
 Г л а в а II. Основы теории предельного напряженного состояния грунтов
 § 7. Сопротивление грунта сдвигу 24
 § 8. Площадки скольжения в грунте 26
 § 9. Изображение напряженного состояния грунта 28
 § 10. Давление грунта на подпорные стены по теории В. В. Соколовского 31
 Глава III. Упрощенная теория давления грунтов иа крутые подпорные стены
 §11. Основные уравнения и теоремы 41
 § 12. Графические построения для определения сил активного давления
 грунта на подпорные стены 45
 § 13. Формулы для определения сил активного давления грунта на
 подпорные стены 49
 § 14. Распределение давления грунта по высоте подпорной стены . . 54
 § 15. Пределы применимости теории Кулона 58
 Глава IV. Давление на подпорные стены от нагрузок, приложенных на поверхности засыпки
 § 16. Общие уравнения 62
 §17. Сплошная равномерная нагрузка 64
 §18. Полосовая нагрузка 66
 §19. Сосредоточенная нагрузка 68
 § 20. Равномерная нагрузка, касательная к поверхности засыпки . 70
 194

Г л а в а V. Влияние разнослойности грунта, Стр.
 грунтовой воды и сцепления
 21. Влияние разнос лойиости грунта 73
 § 22. Давление грунтовой воды 75
 § 23. Учет сцепления в грунте 80
 Глава VI. Особые случаи давления грунта на подпорные стены
 § 24. Активное давление грунта при сползании его По откосу котлована 87
 § 25. Давление грунта на пологую подпорную стену 88
 § 26. Давление грунта на подпорную стену с ломаным очертанием
 задней поверхности 94
 § 27. Давление грунта на подпорные стены с разгрузочными площадками и с фундаментными плитами 99
 § 28. Давление грунта на подпорные стены со специальным очертанием
 граней ' 104
 § 29. Давление грунта на подпорные стены ограниченной длины
 и на подпорные стены криволинейные в плане 108
 §30. Сейсм ческоё давление грунта 110
 Г л а в а VII. Пассивное и упругое давление грунта
 §31. Пассивное давление грунта 114
 § 32. Давление грунта состояния покоя 118
 § 33. Давление грунта на подпорную стену в зависимости от ер перемещения 124
 Глава VIII. Другие теории давления грунта на подпорные стены
 § 34. Теория Ренкина 133
 § 35. Теория Буссинеска 134
 §36. Теория Н. П. Пузыревского 135
 §37. Способ С. С. Голушкевнча 136
 §38. Теория Е. А. Гаврашенко и М. Е. Кагана 139
 § 39. Данные наблюдений и опытов 142
 Г лава IX. Расчет подпорных стен иа устойчивость
 § 40 Устойчивость против плоского сдвига по основанию 145
 §4 . Устойчивость против опрокидывания 150
 § 42. Расчет подпорной стены на, устойчивость против опрокидывания
 с учетом деформации основания 154
 ГлаваХ. Расчет оснований подпорных стен
 rf43. Давление подпорной стены на основание 157
 ь 44. Несущая способность основания подпорной стены на сдвиг 161
 |§ 45. Осадки и крены фундаментов подпорных стен 164
 § 46. Расчет свайного фундамента подпорной стены 165
 Г л а в а XI. Расчет подпорных стен на прочность
 § 47. Прочность массивных подпорных стен 167
 § 48. Прочность тонкоэлементных подпорных стен 101)

Г л а в а XII. Многоугольник давлений н зависимости между Стр.
 различными требованиями, определяющими размеры профиля подпорной стены
 § 49. Многоугольник давлений 177
 § 50. Зависимость между коэффициентами запаса устойчивости на
 сдвиг и опрокидывание 178
 §51. Зависимость между результатами проверок на устойчивость по
 старому и новому методам 180
 § 52. Условие «средней трети» н устойчивость стены против опрокидывания 182
 § 53. Зависимость между результатами проверок на опрокидывание
 с учетом и без учета деформации основания —
 Г л а ва XIII. Расчет тонких стенок
 § 54. Незаанкерованные стенки 185
 § 55. Заанкерованные стенки 189
 Литература -• 192
 Георгий Константинович Клейн РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН
 Редактор И. И. Бородина Техн. редактор Л. А. Гарнухина Корректор И. Ф. Мистюкова
 Сдано в набор 9 XII-63 г. Индекс УС-14. Подп. к печати 16 IV-64 г
 Формат 60 x 90 16. Объем 12,25 печ. л. Уч.-изд. л. 11,35. Т-04175
 Заказ № 853. Тираж 7000 экз. Цена 40 коп.
 Ярославский полиграфкомбинат «Главполиграфпрома» Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Ярославль, ул. Свободы, 97.