М.Я ВЫГОДСКИЙ
ГЕОМЕТРАМ
ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ

КЛ ВЫГОДСКИЙ
ГЕОМЕТРИЮ
ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 50 ЛЕНИНГРАД

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие ............ . , . • . 7
Введение 9
§ 1. Что изучает геометрия? 9
§ 2. Геометрическое тело. Поверхность и линия 9
Глава первая. Прямая линия 14
§ 3. Прямая линия, отрезок, луч 14
§ 4. Линейка. Проверка линейки 15
§ 5. Построение отрезков с помощью масштабной линейки .... 17
§ 6. Перенос отрезка циркулем 18
§ 7. Действия пад отрезками ', . 19
§ 8. Проведение линий и измерение расстояний на земле 21
Упражнения и задачи • 24
Глава вторая. Окружность; угол . . . 27
§ 9. Окружность и круг 27
§ 10. Сравнение дуг на одной окружности 28
§ 11. Перенос дуги по окружности • * 29
§ 12. Углы - . . 30
§ 13. Измерение углов 31
§ 14. Транспортир 32
§ 15. Дуговой градус . 33
;§ 16. Центральный угол 34
§ 17. Действия над углами . . 34
§ 18. Прямой, острый и тупой угол. Развёрнутый угол 36
§ 19. Перпендикуляр и наклонная 37
§ 20. Чертёжный треугольник и построение перпендикуляра .... 33
§ 21. Проверка угольника . 39
§ 22. Смежные углы 40
§ 23. Вертикальные углы * 41
§ 24. Построение прямых углов на местности. Экер 42
Упражнения и задачи 45
Глава третья. Параллельные прямые 47
§ 25. Какие прямые называются параллельными? 47
§ 26. Простейший признак параллельности. Построение параллель-
ных прямых с помощью угольника * 48
§ 27. Общие признаки параллельпости 49
§ 28. Построение параллельных прямых с помощью линейки и уголь-
ника 50
Упражнения и задачи 52

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава четвёртая. Треугольник 53
§ 29. Миогоугольпик. . 53
§ 30. Треугольник 54
§ 31. Построение треугольника по трём сторонам 56
§ 32. Первый признак равенства треугольников 57
§ 33. Построение треугольника по двум сторонам и углу между
пими. Второй призпак равепства треугольников 60
§ 34. Построение треугольника по стороне и двум углам. Третий
признак равенстпа треугольников , 61
Упражнения и задачи 62
§ 35. Сумма углов треугольника 64
| 36. Аксиомы, теоремы, доказательства 65
§ 37. Свойства равнобедренного треугольника 66
Упражнения и задачи . 67
§ 38. Построение прямоугольного треугольника по его элемен-
там 69
§ 39. Признаки равенства прямоугольных треугольников 70
Глава пятая. Основные геометрические построения циркулем
и линейкой 71
§ 40. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляра .... 71
§ 41. Перенос угла 73
| 42. Делепие угла пополам 73
§ 43. Построение параллельных линий 74
Упражнения и задачи . 75
Глава шестая. Многоугольники • 77
§ 44. Параллелограмм 77
§ 45. Свойства сторон, углов и диагоналей параллелограмма ... 77
§ 46. Построение параллелограмма по его элементам 79
§ 47. Прямоугольник 79
§ 48. Ромб 80
§ 49. Квадрат 80
| 50. Делепие отрезка на равные части • 81
§ 51. Трапеция • 82
§ 52. Средняя линия трапеции и треугольника 83
Упражнения и задачи 84
§ 53. Правильные многоугольники 87
§ 54. Построение некоторых правильных многоугольников линей-
кой и циркулем . . 88
Упражнения и задачи . 90
Глава седьмая. Подобие фигур 91
§ 55. Понятие о подобных фигурах 91
§ 56. Построение подобных фигур 91
§ 57. Определение подобия. . . . 93
§ 58. Построение подобных фигур с помощью квадратпой сетки . 97
Упражпепия и задачи 99
Глава восьмая. Простейшие случаи решения треугольников. . . 101
§ 59. Синус угла 101
§ 60. Косинус угла 102

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 61. Отыскание синуса и косинуса заданного угла по таблице. . 103
§ 62. Отыскание угла по синусу или косинусу 104
§ 63. Тангенс угла 105
§ 64. Решение прямоугольных треугольников 103
§ 65. Применения решения треугольников 108
§ 66. Понятие о предмете тригонометрии. Котангенс 111
Упражнения и задачи . . 112
Глава девятая. Площади простейших фигур 115
§ 67. Измерение площадей 115
§ 68. Площадь прямоугольника 113
§ 69. Площадь квадрата 117
§ 70. Примеры 117
§ 71. Равновеликие фигуры. Площадь параллелограмма 119
§ 72. Площадь треугольника 120
§ 73. Площадь трапеции 121
§ 74. Площадь многоугольника. Примеры 122
§ 75. Площади подобных фигур 124
Упражнения и задачи 125
§ 76. Теорема Пифагора 127
§ 77. Применения теоремы Пифагора 129
Упражнения и задачи 131
Глава десятая. Длина окружности и площадь круга . 133
§ 78. Пропорциональность длины окружности и диаметра 133
§ 79. Число «пи» 134
§ 80. Вычисление длины окружности 134
§ 81. Площадь круга 136
§ 82. Площадь сектора 139,
Упражнения и задачи 140
Глава одиннадцатая. Основные сведения из стереометрии.
Простейшие многогранники 142
§ 83. Плоскости и прямые в пространстве 142
§ 84. Двугранны? углы 144
§ 85. Многогранник 146
§ 86. Прямоугольный параллелепипед (брус) 147
§ 87. Измерение объёмов 147
§ 88. Объём прямоугольного бруса 148
§ 89. Объём куба : 149
§ 90. Примеры 150
§ 91. Поверхность прямоугольного бруса 151
Упражнения и задачи 152
§ 92. Прямая призма ... 152
§ 93. Изготовление модели призмы. Развёртки 153
§ 94. Поверхность и объём прямой призмы 151
§ 95. Пирамида 156
§ 98. Поверхность и объём пирамиды 157
Упражнения и задачи 159
§ 97. Угол между прямыми в пространствэ 160
§. 98. Проекции 161
§ 99. Угол между прямой и плоскостью 162

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава двенадцатая. Круглые тела 164
§ 100. Тела вращения. Цилиндр 164
§ 101. Развёртка цилиндра 165
§ 102. Поверхность цилиндра 166
§ 103. Объём цилиндра 167
Упражнения и задачи 169
§ 104. Конус 170
§ 105. Развёртка конуса 170
§ 106. Поверхность конуса 171
§ 107. Объём конуса 172
Упражнения и задачи 173
§ 108. Шар 175
§ 109. Поверхность шара 176
§ ПО. Объём шара 177
Упражнения и задачи 178
Ответы и решения 180
Приложения:
I. Таблица тригонометрических величии 195
II. Таблица квадратных и кубических корней 196
III. Список формул . 197
IV. Латинский алфавит 198

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Эта книга обращается к читателю, не имеющему законченного
среднего образования. Она будет полезна и тому, кто не сохранил
в памяти геометрических сведений, полученных в школе.
Здесь выясняются основные геометрические факты, знакомство
с которыми необходимо каждому. В изложении их автор старался
достичь наибольшей наглядности и доступности.
Общеизвестно, какую большую роль играют в геометрии рас-
суждения и доказательства. Они тоже не забыты в этой книге.
Однако, многие свойства, доказываемые в нынешних школьных учеб-
никах, даны здесь без доказательства. Это сделано не только в тех
случаях, когда доказательства трудны (таких случаев сравнительно
немного, и они оговорены). Доказательство не даётся и там, где
читателю всё ясно и без рассуждений.
Вместе с тем автор стремится постепенно развивать у читателя
потребность в рассуждениях; лишь по мере развития этой потреб-
ности даются доказательства.
Книга не требует от читателя почти никаких сведений по алгебре.
Во всяком случае, лицам, не знакомым с алгеброй, она будет вполне
Доступна.
Как бы понятным ни казалось прочитанное, учащийся должен
непременно проверить себя. Для этой проверки служат многочи-
сленные упражнения и задачи; их нужно решить, если не все, то
бблыиую часть. Решение упражнений служит не только проверкой;
оно развивает навыки в рассуждениях и умение практически при-
менять геометрические знания. В этой книге задачи составляют не-
отъемлемую её часть. В конце книги даны ответы и пояснения
к упражнениям. Настоятельно рекомендуется не торопиться загляды-
вать в ответ, если задача не выходит сразу. Пусть читатель прибе-
гает к помощи ответа лишь после нескольких неудачных попыток.
Выражаю глубокую признательность Е. Д. Загоскиной (Москов-
ский Институт усовершенствования учителей), М. И. Иванову,
А. Ф. Сычикову (Калининский пед. институт), А. И. Фетисову (Ин-
ститут методов обучения АПН РСФСР) за критические замечания,
сделанные ими в рецензиях на рукопись этой книги.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Особенно многим обязан я проф. Д. И. Перепёлкину, который
с исключительным вниманием прочёл рукопись и, помимо очень под-
робного письменного отзыва, поделился со мною своими замечаниями
в устной беседе.
Сердечно благодарю И. Н. Бронштейна, А. П. Полозкова,
А. П. Семёнова, Г. Н. Хорунжую и Д. И. Ясинскую за помощь в ра-
боте над книгой.
Заранее выражаю благодарность всём лицам, которые пожелают
сообщить мне свои замечания и пожелания по адресу: Москва, 120,
4-й Сыромятнический пер., д. 3/5, кв. 105, Марку Яковлевичу Выгод-
скому.
22 июля 1950 г.
Автор*

ВВЕДЕНИЕ.
§ 1. Что изучает геометрия?
Слово «геометрия» — греческое и в переводе означает «земле-
мерие». Это название берёт начало из глубокой древности, когда
геометрия изучала способы измерения земельных площадей. При
этом нужно было учитывать форму и размеры земельных участков.
Другим источником геометрии была потребность рассчитать
вместимость амбаров, сосудов, бочек и иных предметов. Для этой
цели также нужно учитывать форму и размеры предметов, иначе
говоря, их пространственные свойства. Остальные же свойства пред-
метов для определения вместимости не имеют значения. Например,
безразлично, из какого материала сделан сосуд, какого он цвета
и т. д.
Поэтому уже более 2000 лет назад люди стали изучать простран-
ственные свойства предметов (их форму, размеры, а также взаим-
ное расположение), отвлекаясь от всех других их свойств. Геомет-
рия стала наукой о пространственных свойствах предметов. При
этом мы мысленно лишаем предметы всех прочих их свойств.
Геометрия, — говорит т. Сталин, — «.„даёт свои законы,
абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая пред-
меты, как тела, лишённые конкретности, и определяя отно-
шения между ними не как конкретные отношения каких-то
конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишён-
ные всякой конкретности»1).
§ 2. Геометрическое тело. Поверхность и линия.
Предмет, от которого мысленно отняты все его признаки, кроме
формы и размеров, называется геометрическим телом.
Пример. На рис. 1 мы видим мяч и ядро. Они во многом отли-
чаются друг от друга. Ядро — чугунное, а мяч — резиновый. Ядро —
серое, а мяч — разноцветный. Мяч намного легче ядра. Но, как
геометрические тела, они сходны: и мяч и ядро имеют
*) И. В. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат,
1950 г., стр. 24.

10
ВВЕДЕНИЕ
одинаковую форму, именно — форму шара. Говоря слово «шар», мы
представляем себе геометрическое тело.
Граница геометрического тела называется поверхностью. На
рис. 2 изображено геометрическое тело, называемое кубом; грани-
цей, отделяющей куб от внешнего пространства, служит шесть
Рис. 1. Резиновый мяч и чугунное ядро имеют
одинаковую форму — форму шара.
квадратов; они расположены спереди, сзади, сверху, снизу, справа
и слева. Эти шесть квадратов составляют поверхность куба.
Часть геометрического тела есть тоже геометрическое тело;
поэтому поверхность может также отделять одну часть тела от
других его частей.
Рис. 2. Поверхность куба со-
стоит из шести квадратов.
На рисунке ввдны только
три из них.
Рис. 3. Границей меж-
ду двумя полушари-
ями служит плоская
поверхность, имею-
щая форму круга.
Например, шар можно разделить (рис. 3) на два полушария
(представьте себе яблоко, разрезанное пополам). Полушарие есть
геометрическое тело. До разрезания оно составляло часть шара.
Границей, отделявшей одно полушарие от другого, служила плоская
поверхность, имеющая форму круга.
Поверхность не имеет толщины; она простирается лишь в длину
и в ширину.

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. ПОВЕРХНОСТЬ И ЛИНИЯ й
Рис. 4. Общей границей
между маслом и водой
служит поверхность, име-
ющая форму круга.
Пример. В стакан с водой налит слой масла (рис. 4). Масло
целиком плавает поверх воды. Общей границей между маслом я
водой служит поверхность, имеющая форму круга. Ясно, что эта по-
верхность не имеет толщины.
Все окружающие нас предметы имеют толщину, и ни один из
них не может быть поверхностью. Но имея дело с очень тонкими
предметами, мы часто мысленно отвлекаемся
от их толщины. Тогда эти предметы рас-
сматриваются, как поверхности. Так, напри-
мер, лист бумаги или жести мы предста-
вляем себе как поверхность.
Поверхности бывают плоские и кривые.
Поясним это на примерах.
Пример 1. Оконное стекло имеет
плоскую поверхность.
Пример 2. Поверхность воды в со-
суде— плоская.
Пример 3. Поверхность шара — кри-
вая.
Пример 4. Поверхность куба, взятая
в целом, не плоская, но каждый из шести
её квадратов является плоской поверхностью.
Пример 5. Поверхность ведра — не плоская, но часть её,
а именно поверхность дна, является плоской поверхностью; стенка
же ведра имеет кривую поверхность.
Плоскую поверхность короче называют плоскостью.
Граница поверхности называется линией. Линии бывают прямые
и кривые. Поясним это на примерах.
Пример 1. Два смежных квадрата на поверхности куба от-
делены друг от друга прямой линией.
Пример 2. У консервной банки поверхность крышки гра-
ничит с поверхностью стенки по кривой линии.
Пример 3. Тень от человека, падающая на поверхность земли
в яркий солнечный день, граничит с освещенной частью земли по
кривой линии.
Линия не имеет ни толщины, ни ширины, а лишь одну длину.
Например, при ярком солнце линия, отделяющая тень на земле от
освещенной части земли, не имеет ни толщины, ни ширины.
Ни один из окружающих нас предметов не может быть линией,
так как нет предметов без ширины и толщины. Но это не мешает
нам, мысленно отвлекаясь от длины и ширины некоторых предметов,
рассматривать их, как линии.
Так, например, растянутую тонкую проволоку или нить мы часто
называем линией. Сделав черту палкой по песку, мы говорим, что
на песке проведена линия. Эта черта, как бы тонка она ни была,
имеет и толщину, и ширину, но их мы не принимаем в расчёт.

12
ВВЕДЕНИЕ
Линию (как и поверхность, и тело) можно разбивать на части. Если
непрямую линию можно разбить на прямолинейные части, она назы-
вается ломаной; прямые линии, составляющие ломаную, называются
её звеньями. На рис. 5 изображена ломаная линия, состоящая из
четырёх звеньев.
Граница линии называется точкой. На рис. 6 отмечены две точки
А и D, служащие крайними границами линии, а также две точки
В и С, которые служат границами между
прямолинейными частями линии и её криво-
линейной частью. Точки принято обозначать
большими буквами латинского алфавита (ла-
тинский алфавит помещён в приложении IV
в конце книги).
Точка не имеет ни длины, ни ширины,
ни толщины.
Ясно, что ни один предмет не является точкой. Однако след
карандаша, прикоснувшегося к бумаге, мы называем точкой, так как
мысленно лишаем этот след всяких размеров. Мы можем себе пред-
ставить также точку, не связанную ни с каким телом. Возьмём,
например, пустой внутри шар. Мы представляем себе точку в самой
середине шара или, как говорят, центр этого шара, хотя эта точка
не скреплена ни с каким телом.
Рис. 5. Ломаная линия,
состоящая из четырёх
звеньев.
Рис. 6. Точки А и D — крайние гра-
ницы линии; точки В и С — границы
между прямолинейными частями линии
и её криволинейной частью.
Мы начали наше изложение с геометрического тела и пришли
к точке. Пойдём теперь обратным путём.
Линию можно рассматривать как след движущейся точки.
Пример 1. След карандаша, прикоснувшегося к бумаге, есть
точка. След карандаша, движущегося по бумаге, есть линия.
Пример 2. Возьмём тлеющий уголёк и будем быстро двигать
его в темноте. Мы увидим огненную линию — след движущейся
точки.
Поверхность можно рассматривать как след движущейся линии.
Пример 1, При быстром движении велосипедного колеса мы
не различаем его спиц и видим сплошной круг. Каждая спица
(прямая линия) оставляет в виде следа плоскую поверхность.
Пример 2. Кусок мыла можно разрезать пополам натянутой
ниткой (прямая линия). Поверхность разреза есть след движущейся

§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. ПОВЕРХНОСТЬ И ЛИНИЯ 13
прямой линии (эта поверхность может быть плоской, а может быть
и кривой).
Пример 3. Кольцо, сделанное из проволоки (окружность),
будем быстро вращать на гладком полу наподобие волчка. Мы
увидим тогда поверхность шара — след вращающейся окружности.
Геометрическое тело можно рассматривать как след движу-
щейся поверхности.
Пример 1. Когда пропеллер самолёта приходит в движение,
мы перестаём различать его лопасти и вместо них видим сплошное
тело.
Пример 2. Вертикально поставленный металлический кружок
можно «закрутить» на гладком столе — сообщить ему вращательное
движение. Мы увидим тогда шарообразное тело — след вращаю-
щегося кружка. Этот опыт может проделать каждый с пятикопееч-
ной монетой.

ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ПРЯМАЯ ЛИДИЯ.
§ 3. Прямая линия, отрезок, луч.
Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий.
На рис. 7 через точку А проведено четыре прямые линии.
Через две данные точки можно провести только одну прямую
линию. На рис. 8 через две точки Е и К проведена прямая линия;
никакой другой прямой линии через эти две точки провести нельзя.
Рис. 7. Через одну
точку А можпо про-
вести сколько угодпо
прямых линий.
£
-о-
к
—о—
Рис. 8. Через две точки Е и К
можпо провести только одну
прямую линию.
Рис. 9. Жирная прямая линия
на этом рисунке может быть
названа «прямая ЛЯ» или «пря-
мая ВА» или «прямая АО», или
«прямая ОВъ.
Чтобы отличить эту линию от других, её называют «прямая £А».
Вообще, название прямой линии составляется из названий каких-
либо двух точек, лежащих на ней. Так, например, прямая линия,
изображённая на рис. 9 жирной чертой, может быть названа «пря-
мая Л5». Ту же прямую можно назвать ещё В А или АО или ОВ.
Прямую линию можно продолжить как в одну, так и в другую
сторону. Практически её удастся довести только до некоторой гра-
ницы, например, до краёв листа бумаги. Мысленно же мы предста-
вляем себе, что прямую линию можно продолжить безгранично.

§ 4. ЛИНЕЙКА, ПРОВЕРКА ЛИНЕЙКИ
15
Рис. 10. Жирный отрезок на
этом рисунке может быть на-
зван «отрезок АМъ или «отре-
зок МАъ.
В геометрии словами прямая линия или, короче, словом прямая
называют прямую линию, не ограниченную ни с одной, ни с дру-
гой стороны. Если речь идёт о прямой линии, имеющей концы, то ев
называют отрезком прямой или, ко- д у
роче, просто отрезком. —————— >
Название отрезка составляется из
названий двух точек, служащих его
концами. Так, жирный отрезок на
рис. 10 называется «отрезок AM» или
«отрезок МА».
Если прямая линия ограничена только
с одной стороны, в другую же сторону
продолжается неограниченно, её назы-
вают лучом. Наглядное представление
о луче даёт свет, бросаемый прожек-
тором в прозрачное ночное небо. На-
чалом этого луча служит прожектор,
а конца у него нет.
Луч обозначается двумя буквами:
первая буква обозначает точку, из
которой луч выходит; вторая — любую
другую точку луча.
На рис. 11 изображён луч ВК.
Каждому известно, что кратчайшим путём между двумя точ-
ками является путь прямолинейный.
Иными словами, отрезок АВ короче всякой линии, проведённой
между точками А и В.
Рис. 11. Луч ВК* Первдя
буква (В) — точка, из ко-
торой луч выходит, вторая
(К) — любая другая точка
луча.
§ 4. Линейка. Проверка линейки.
Для черчения прямой линии на бумаге пользуются линей-
кой (рис. 12). Часто один из краёв линейки снабжается деления-
Рис. 12. Чертёжная линейка (не размеченная).
ми (сантиметровыми и миллиметровыми). Такая линейка назы-
вается измерительной или масштабное (рис. 13 и 14). С её помощью?
Ъюжно не только, чертить прямые линии, но и измерять длины от-
резков.

16
ГЛ. 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Линейки делаются из различного материала: из пластмассы, из
металлических сплавов (такая линейка изображена на рис. 13); школь-
ные линейки обычно изготовляются из дерева.
Всякая линейка, а особенно деревянная, от времени и от не-
брежного хранения портится. Поэтому линейку приходится прове-
рять. Это делается так. Лист бумаги кладётся на гладкую плоскую
23456789 10
К РАС И
Инстр. I киГВ
miliinmiilin
им
20°Ш ост
^и| ^ 52ЮЗ
iiiiliiiiliinlim
HllllHllllllHIlllHllllHIIII
Рис. 13. Измерительная (масштабная) линейка — инструмент для измерения
отрезков. (На этом рисунке изображена металлическая линейка, деления на
которой правильны при температуре 20° по Цельсию.)
поверхность (например, на чертёжную доску, к которой он прика-
лывается кнопками, чтобы бумага лежала гладко). Остро отточенным
карандашом проводят черту вдоль одного из длинных краёв линейки
(рис. 14).
Рис. 14. Проверка линейки, Вдоль верхнего края линейки проведена черта,
так что линейка — снизу от черты. Затем (см. рис, 15).
Рис. 15. линейку перевёртывают на другой бок; теперь она лежит
сверху от черты, но касается её тем же краем.
После этого линейку перевёртывают на другой бок (рис. 15),
так что если сначала она была обращена размеченной стороной
наружу, то теперь наружу будет обращена неразмеченная сторона.
При этом линейку нужно положить так, чтобы она касалась прове-
дённой черты, тем же. краем, что и раньше: если прежде она лежала
снизу от черты, то теперь окажется сверху.

§ 5. ПОСТРОЕНИЕ ОТРЕЗКОВ С ПОМОЩЬЮ МАСШТАБНОЙ ЛИНЕЙКИ 17
Если при новом положении линейки удаётся полностью совме-
стить её край с чертой, то линейка верна. Если же* край линейки,
частично совпадая с чертой, где-нибудь отступает от неё, то ли-
нейка неверна.
§ 5. Построение отрезков с помощью масштабной линейки.
Пользуясь масштабной линейкой, можно решить следующую за-
дачу:
Задача 1. На прямой АВ (рис. 16) от данной точки С отло-
жить отрезок длиной 18 мм.
Рис. 17. Решение задачи, данной на предыдущем рисунке.
Прикладываем масштабную линейку к прямой АВ (рис. 17) так,
чтобы начальное (нулевое) деление пришлось против точки С. Про-
тив деления, обозначающего 18 мм, делаем карандашом пометку;
на рис. 17 она обозначена буквой D. Отрезок CD есть искомый.

18
ГЛ. 1. ПРЯМАЯ ЛИНИ»
Таким же образом можно построить ещё один отрезок такой же
длины, но расположенный по другую сторону от точки С.
Замечание. Так как узкие края линейки, особенно деревян-
ной, быстро изнашиваются, то начальное (нулевое) деление обычно
помещается не с самого края линейки (как на рис. 17), а с отступом
на 2—3 мм вправо. Это нужно иметь в виду при всех измерениях
и построениях.
§ 6. Перенос отрезка циркулем.
Задача 2. На прямой АВ (рис* 18) отложить от точки С вправо
отрезок, равный данному отрезку MN.
Для решения этой задачи можно тоже воспользоваться масштаб-
ной линейкой. Тогда придётся сначала измерить отрезок MN, а
потом поступить, как в задаче 1. Но гораздо точнее, и притом, проще,
можно решить эту задачу с помощью циркуля (циркуль изображён
на рис. 19).
Рис. 18. Задача: па прямой АВ отло- рис# \дг Циркуль,
жить от точки С вправо отрезок, рав-
ный данному отрезку MN.
Остриё циркуля устанавливаем в точке М; растворяем циркуль
так, чтобы другая ножка циркуля с карандашом достигла точки N.
Переносим растворенный циркуль на прямую АВ, упираем его остриё
в точку С и делаем карандашом другой ножки циркуля засечку
на прямой АВ справа от С. Получаем точку D. Отрезок CD равен
отрезку MN. В этом случае говорят: «Мы сняла циркулем отре-
зок MN и перенесли его на прямую АВ». Это решение будет ещё
более точным, если заменить в циркуле ножку с карандашом нож-
кой со вторым остриём.

§ 7. ДЕЙСТВИЯ НАД ОТРЕЗКАМИ
19
Задача 3. Сравнить отрезки АВ и CD, изображённые на рис. 20,
т. е. узнать, равны ли эти отрезки, и если не равны, то какой больше.
По глазомеру ответить на этот вопрос нельзя. Поэтому поступим
следующим образом. Снимем циркулем отрезок АВ и перенесем его
на отрезок CD так, чтобы левое остриё циркуля попало в точку С.
Если правое остриё совпадает с точкой D, то отрезки АВ и CD
равны (AB = CD). Но в нашем примере этого не случится: правое
остриё окажется внутри отрезка CD, хотя и вблизи от точки D.
Д ВС D
1 1 \ \
Рис. 20. Сравнение отрезков АВ и
CD. На-глаз не видно, какой из
них больше. С помощью циркуля
находим, что CD>AB.
Поэтому отрезок АВ меньше отрезка CD (записывается так: AB<CCD\
знак <[ заменяет слово «меньше»). Если же в другом случае ока-
жется, что правое остриё выйдет за пределы отрезка CD, то отре-
зок АВ будет больше отрезка CD (запишется так: AB^>CD\ знак >
заменяет слово «больше»).
Таким образом:
Два отрезка равны, если один из них можно совместить
с другим так, чтобы они целиком совпали.
Два отрезка не равны, если один из них можно уместить
внутри другого; первый из них меньше второго.
§ 7. Действия над отрезками.
Сложение отрезков.
Задача 4. Сложить отрезки АВ, CD и EF (рис. 21).
На произвольной прямой берём какую-либо точку L и от неё
откладываем отрезок LM, равный отрезку АВ. От точки М в том
Д В С D Е F
L М N К
i 1 i i '
Рис. 21. Задача: сложить отрезки АВ,
CD и EF. Ответ: AB+CD + EF = LK.
же направлении откладываем отрезок MN, равный CD; от точки N
в том же направлении откладываем отрезок NK, равный EF. Отре-
зок LK есть сумма отрезков АВ, CD и EF. Записывается это так:
LK = AB + CD-\-EF.

20 ГЛ. 1. ПРЯМАЯ линия
Данные отрезки можно складывать в любом порядке: сумма их
всегда будет равна отрезку L/C. Вместо произвольной прямой можно
взять один из данных отрезков и, продолжив его, прикладывать к
нему другие.
Вычитание отрезков.
Задача 5. Вычесть отрезок АВ (рис. 22) из отрезка PQ (при
этом отрезок PQ должен быть, конечно, больше отрезка АВ).
На отрезке PQ откладываем отрезок QR, равный АВ. Отрезок
PR есть разность между PQ и АВ (PR = PQ — AB).
А В
PR а
i 1 1
Рис. 22. Задача: вычесть отрезок АВ
из отрезка PQ. Ответ: PQ — AB=PR,
Умножение отрезка на целое число.
Задача 6. Увеличить отрезок АВ (рис. 23) в четыре раза.
На продолжении отрезка АВ (или на другой произвольной пря-
мой) откладываем в одном направлении друг за другом отрезки,
Я В С D Е
»——i 1 1 1—,
Рис. 23. Задача: увеличить отрезок
АВ в четыре раза (т. е. умножить
отрезок АВ на 4). Ответ: 4АВ = АЕ.
равные АВ. На рис. 23 AB = BC = CD = DE. Отрезок АЕ есть
учетверённый отрезок АВ. Таким же образом
Я L М N В получим произведение отрезка на любое другое
1 * > * * целое число.
Рис. 24. Задача: Деление отрезка на целое число.
разделить отрезок г
АВ на четыре рав- Задача 7. Разделить отрезок АВ на четыре
иые части. r г
Ответ:AB:4 = AL. Равные части.
Измерив отрезок АВ (рис. 24) масштабной
линейкой, найдём, что его длина — примерно
26 мм (небольшое превышение отбрасываем). Производим деление:
26 мм : 4 = бу мм.
Пользуясь масштабной линейкой, откладываем отрезок AL длиной
в 6-^- мм (полмиллиметра берём на-глаз). Пользуясь циркулем,

§ 8. ПРОВЕДЕНИЕ ЛИНИЙ И ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ НА ЗЕМЛЕ 21
отложим на прямой АВ ещё три отрезка, равных AL: LM, MN и NB.
Конец последнего отрезка должен совпасть с точкой В. На практике
может совпадения не получиться, если длина АВ измерена неточно
и отрезок AL неточно нанесён. Тогда делаем на-глаз поправку,
несколько удлиняя или укорачивая отрезок AL.
Замечание 1. Для деления отрезка на равные части есть более точ-
ные способы. Один из них будет описан позднее.
Замечание 2. Умея делить отрезок на любое число частей, мы можем
множить и делить отрезок не только на целое, но и на дробное число. Если,
например, отрезок АВ требуется помножить на 2 -^ , то мы сначала удвоим АВ,
затем разделим АВ на 4 части и полученные отрезок утроим. Наконец, сло-
3
жим 2 АВ и ~г АВ.
4
Если отрезок требуется разделить, например, на 2-~-, то дело сводится
к умножению этого отрезка на обратную дробь, т. е. на -=г.
§ 8. Проведение линий и измерение расстояний на земле.
Точки на земле отмечаются кольями длиной примерно в 30 см,
которые забиваются в почву. Чтобы точка местности была хорошо
видна издали, вместо кола или рядом с ним ставят жердь длиной
в 2—4 м, называемую вехой. Для лучшей видимости веха окраши-
вается в два цвета, а сверху к ней прикрепляют флажок (рис. 25).
Прямые линии на местности обозначаются рядом .вех, отстоя-
щих друг от друга на 100—200 метров, если местность ровная. На
холмистой местности вехи ставят на меньших расстояниях. Уста-
новка вех называется «вешением» или «провешиванием» прямой
линии.
Если требуется провешить прямую линию между данными точ-
ками А и В (рис. 26), то поступают следующим образом.
Съёмщик! ответственный за выполнение работы, помещается за
вехой А (рис. 26) на расстоянии 4—5 шагов от неё и становится
так, чтобы веха А заслонила от него веху В. Рабочий, помогающий
съёмщику, неся веху С в вертикальном положении, медленно дви-
жется, пересекая линию АВ. Съёмщик останавливает рабочего в тот
момент, когда веха А заслоняет переносимую веху С. Рабочий оста-
навливается и втыкает веху С в землю. Распоряжение даётся на
небольшом расстоянии — словами, на большом расстоянии — услов-
ными сигналами рук.
Таким же образом выставляются следующие вехи D, Е и т. д.
Начинают расстановку вех с дальнего от съёмщика конца, чтобы
прежде поставленные вехи не мешали наблюдать за постановкой
следующих вех. Если местность неровная, стараются ставить вехи
на возвышенностях.

22
ГЛ. 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Рис. 25. Веха.
Рис. 26. Провешивание прямой линии.

§ 8. ПРОВЕДЕНИЕ ЛИНИЙ И ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ НА ЗЕМЛЕ 23
Вехи нужно ставить строго отвесно. Правильность постановки вехи про-
веряется с помощью отвеса (т. е. нити с грузиком; верхний конец нити при-
кладывается к верхнему концу вехи), либо на-глаз. При проверке на-глаз
нужно отойти от вехи на несколько шагов вдоль линии АВ и посмотреть,
нет ли отклонений вправо или влево. Затем нужно ртойти в сторону и по-
смотреть, нет ли отклонения по направлению линии АВ.
Если требуется продолжить прямую линию АВ за точку А, то
съёмщик отступает назад на 100—200 м и ставит новую веху так,
чтобы она закрыла одновременно и веху А и веху Е. Затем съём-
щик снова отступает на 100—200 м и ставит ещё одну веху и т. д.
Нис. 27. Слева — стальная лента для измерения расстоя-
ний на местности; справа — шпильки к ленте.
После того, как провешивание сделано, можно произвести точ-
ное измерение расстояния между точками А и В. Для этого поль-
зуются 20-метровой стальной лентой (рис. 27, слева), на которой
имеются метровые и дециметровые деления.
К ленте прилагается 10 железных шпилек (рис. 27, справа). Измерение
производится двумя рабочими. Задний укладывает начало ленты против на-
чала измеряемой линии. Придерживая рукой или ногой ручку ленты, задний
рабочий направляет, переднего по провешенному направлению. Передний рабо-
чий, у которого находятся все 10 шпилек, удалившись на расстояние 20 м,
натягивает ленту и втыкает шпильку в землю против пометки в конце ленты.
Затем передний рабочий тянет ленту вперёд. Задний следует за ним. Дойдя
до шпильки, он зацепляет за неё конец ленты, снабжённый крючком. Перед-
ний же рабочий втыкает в землю вторую шпильку. Тогда задний рабочий
вынимает первую шпильку, и измерение продолжается.
Когда у переднего рабочего выйдут все шпильки, т. е. когда лента будет
отложена 16 раз, он протягивает ленту ещё один раз и наступает на конец
её ногой. Тогда задний рабочий вынимает десятую шпильку и, подойдя к пе-
реднему, передаёт ему всю связку из 10 шпилек. Съёмщик отмечает, что

24
ГЛ. 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
произведена одпа передача, а передний рабочий втыкает одну шпильку у
конца ленты.
Так продолжается до тех пор, пока до конца линии останется менее 20 м.
Теперь ленту укладывают последний раз и делают на ней отсчёт. Положим,
этот отсчёт дал 12,4 м\ при этом у заднего рабочего на руках имеется 7
шпилек, а у съёмщика отмечено 6 передач. Тогда измеряемый отрезок
имеет длину
6.200 + 7.20+12,4= 1352,4 (м).
Для измерения небольших расстояний (не превышающих 50 м)
пользуются рулеткой (рис. 28). Лента рулетки имеет в длину 10
или 20 метров. Она снабжена сантиметровыми делениями. С по-
мощью рукоятки, показанной на рис. 28, лента рулетки наматы-
вается на ось, заключённую в кожаном или металлическом чехле.
Рис. 28. Рулетка.
Самодельный инструмент для измерения длин можно изготовить
из верёвки, завязав на ней узлы на равных расстояниях друг от
друга, скажем, через каждые полметра. При последнем измерении
расстояние, меньшее полуметра, отсчитывается на-глаз.
Упражнения и задачи.
1. Начертите с помощью масштабной линейки горизонтальные отрезки
длиной в
8 мм,
17 мм,
103 мм,
49 мм,
28,5 мм.
24 см,
9,3 см,
1,8 см,
0,6 см,
А 1
4 4" см>
1,4 дм,
1,26 дм,
0,5 дм,
0,05 дм,
\jdM,
0,13 м,
0,03 м,
*"4 *>
li*>
1
"^" м •
2. Начертите шесть отрезков — два в горизонтальном, два в вертикаль-
ном и два в косом положении. Обозначьте их буквами. Определите на-глаз
их длины; запишите найденные результаты (например, АВ = 20 мм)*

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
25
Те же отрезки измерьте масштабной линейкой, запишите результаты и
определите ошибку измерения на-глаз в процентах к длине отрезка. Какие
отрезки — горизонтальные, вертикальные или косые — были измерены на-глаз
точнее?
3. Начертите на-глаз горизонтальные отрезки длиной в
1
1 см,
12 мм,
2 см,
3 см,
4 см,
5 см,
3 j см,
А 1
4 g- см,
. 1
1-j см,
1 дм,
12 см,
15 см.
Под каждым из этих отрезков начертите отрезок нужной длины с по-
мощью масштабной линейки.
4. Начертите произвольный отрезок АВ. Постройте два равных ему
отрезка CD и EF: а) с помощью масштабной линейки, б) с помощью
циркуля.
5. Начертите два произвольных отрезка. Сложите их с помощью мас-
штабной линейки. Проверьте с помощью циркуля.
6. Найдите циркулем сумму и разность отрезков MN и NK, данных на
рис. 29.
7. Найдите длину ломаной линии, изображённой на рис. 30.
И
Рис. 29. Найти при помощи
циркуля разность отрезков
MN и ЛИГ.
Рис. 30. Найти длину лома-
ной линии ABCDE.
8. Начертите отрезок АВ; перенесите его циркулем в другое положе-
ние CD. Разделите АВ пополам на-глаз; разделите CD пополам с помощью
масштабной линейки. Проверьте правильность того и другого деления цир-
кулем.
9. Разделите отрезок длиной 8,5 см на три равные части с помощью
масштабной линейки. Проверьте правильность деления циркулем. Если обна-
ружится неточность, исправьте её.
10. Разделите отрезок длиной 8,5 см на три равные части на-глаз,
после проверки циркулем исправьте неточность на-глаз. Проверьте вто-
рично.
***~- 11. Какова толщина листа бумаги в этой книге?
12. Какова средняя длина вашего шага?
13. Измерьте шагами длину и ширину вашей комнаты. Проверьте ру-
леткой.
14. Отрезок АВ длиной в 12 м разделён точкой С на два отрезка, при-
чём i4C = 4 м. Точка D делит пополам отрезок АС; точка Е делит пополам
отрезок СВ. Найти длину отрезка DE (сделайте чертёж в уменьшенном
масштабе).

26
ГЛ. 1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
15. Отрезок АВ = 12 м разделён точкой С на две части, причём АС = 5 м.
Точки D и Е, как в предыдущей задаче, делят пополам отрезки АС и СВ.
Найти длину DE.
16. В предыдущих двух задачах длина DE оказалась одной и той же.
При всяком ли делении отрезка длиной в 12 я расстояние между середи-
нами обеих частей будет одним и тем же?
17. При измерении расстояния АВ 20-метровой лентой передний рабочий
передавал заднему шпильки 4 раза, на руках у переднего рабочего осталось
8 шпилек; последний отсчёт показал 5 м. Определить расстояние.
18. Расстояние АВ равно 854 м. Сколько шпилек имеется на руках
у заднего рабочего в момент окончания измерения. Каково показание по-
следнего отсчёта?
19. При самой тщательной проверке постановки вехи неизбежно некото-
рое её отклонение от отвесного положения. От этого происходит неточность
в постановке следующей вехи. Когда эта неточность больше: если съёмщик
стоит во весь рост, или если он наклоняет туловище?

ГЛАВА ВТОРАЯ.
ОКРУЖНОСТЬ; УГОЛ.
§ 9. Окружность и круг.
Воткнув остриё циркуля в бумагу, будем вращать другую его
ножку, снабжённую карандашом. Карандаш опишет на бумаге
замкнутую кривую линию — окружность.
Окружностью называется замкнутая линия, все точки ко-
торой находятся в одной плоскости и отстоят на равном рас-
Рис. 31. Окружность. Точка О —
центр, отрезки О А и ОВ — ради-
усы, часть окружности АпВ —
дуга, АтВ — другая дуга, отре-
зок АВ— хорда.
стоянии от некоторой точки, лежащей в той же плоскости.
Эта точка называется центром окружности (точка О на рис. 31).
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точ-
кой, называется радиусом. На рис. 31 изображены два радиуса:
ОА и ОВ.
Ясно, что все радиусы одной окружности равны между собой.
Часть окружности (например, АпВ на рис. 31) называется её
дугой. Для точного указания дуги приходится пользоваться не двумя,
а тремя буквами. Если, например, дугу АпВ мы обозначим просто
АВ, то неизвестно будет, о какой из двух дуг (АпВ или^ АтВ)
идёт "речь. Если же такого недоразумения не приходится бояться,

28
гл. 2. окружность; угол
можно обозначать дугу и двумя буквами. Но чтобы отличить дугу
АВ от отрезка АВ> дугу обозначают ^ АВ или АВ.
Отрезок (АВ на рис. 31), соединяющий какие-либо две точки
окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На
рис. 32 отрезки MN и LK — диаметры окружности.
Рис. 34. Сек-
тор другого
вида.
Рис. 32. Диаметр окруж-
ности — хорда, проходящая
через её центр. Отрезки
MN и LK—диаметры ок-
ружности.
Рис. 33. Сектор — часть
круга, ограниченная ду-
гой и двумя радиусами,
проведёнными к концам
этой дуги.
Рис. 35. Сегмент.
Ясно, что всякий диаметр вдвое больше радиуса и что все диа-
метры одной окружности равны.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведён-
ными к концам этой дуги, называется сектором (рис. 33 и 34).
Часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой, назы-
вается сегментом (рис. 35).
§ 10. Сравнение дуг на одной окружности.
Окружность можно повернуть около центра наподобие того,
как колесо поворачивается около оси. Отметим на окружности
какую-нибудь дугу АтВ (рис. 36). После поворота она будет пере-
несена в новое положение. Пусть прежде это положение занимала
дуга CnD. Тогда дуги АтВ и CnD совместятся , и мы можем ска-
зать, что дуги АтВ к CnD равны.
Напротив, дуги АтВ и CDE не равны между собой; дуга CDE
больше, потому что дугу АтВ можно с помощью поворота совме-
стить с дугой CnD, которая составляет только часть дуги CDE.
Таким образом мы получаем:
Две дуги одной и той же окружности равны, если одну из
них можно совместить с другой.
Две дуги одной и той же окружности не равны, если одну из них
можно совместить с частью другой] тогда первая меньше второй.

§11. ПЕРЕНОС ДУГИ ПО ОКРУЖНОСТИ
29
При переносе дуги АтВ на дугу CnD вместе с движущейся
дугой движется и .ее хорда АВ (рис. 37). После совмещения дуги
АтВ с дугой CnD хорда АВ совмещается с хордой CD. Таким
образом, хорды АВ и CD равны, т. е. равные дуги стягиваются
равными хордами.
Рис. 36. Дуга АтВ равна
дуге CnD и меньше ду-
ги CDE.
Рис. 37. Равные дуги (АтВ
и CnD) стягиваются равны-
ми хордами (АВ и CD).
§ 11. Перенос дуги по окружности.
Перенос дуги, данной на чертеже, можно выполнить с помощью
листка прозрачной бумаги (кальки). Наложив его на чертёж и про-
ткнув кнопкой над центром О, мы можем переснять на него дугу
АтВ, а затем совершить поворот около
проколотой точки. Но гораздо проще и
притом гораздо точнее можно перенести
дугу с помощью циркуля. Это делается
следующим образом.
Задача 8. На заданной окружности
(рис. 38) отложить от точки С, влево от
неё, дугу, равную данной дуге АтВ той
же окружности.
Снимаем циркулем отрезок АВ, т. е.
хорду, стягивающую данную дугу. Затем
остриё циркуля помещаем в точку С, а
карандашом другой ножки делаем засеч-
ку слева от С. Получаем на окружности
точку D. Хорда АВ оказывается при
этом перенесённой на хорду CD, а дуга АтВ — на дугу CnD.
Замечание 1. На рис. 38 хорды АВ и CD проведены лишь
для лучшего понимания решения. Их можно и не чертить.
Замечание 2. Переносить дугу можно только на ту же
окружность, где она взята, или на другую окружность того же
радиуса. На окружность другого радиуса переносить дугу нельзя.
Рис. 38. Задача: на задап-
лой окружности отложить
от точки С влево от неё
дугу, равпую дуге АтВ.

30
пь 2. окружность; угол
одной вершине имеется
тремя буквами: первая
§ 12. Углы.
Два луча (ОА и ОВ на рис. 39), исходящие из одной точки (О),
образуют угол. Лучи, образующие угол, называются сторонами
угла. Точка, из которой исходят стороны, называется вершиной
угла. Слово «угол» записывается часто знаком ^. Угол, данный на
чертеже, часто обозначается одной буквой, поставленной у вершины;
так, угол на рис. 39 обозначается буквой О. Запись £ О мы чи-
таем «угол О». Этот способ обозначения непригоден, если при
несколько углов; тогда угол обозначают
и третья ставятся где-либо на сторонах,
а вторая — у вершины. Так, угол на
рис. 39 можно обозначить £ АОВ или
1_ВОАу но нельзя этот угол обоз-
начать /, АВО или £, В АО.
Всякие два угла можно сравнивать друг
с другом, тщ е. узнать, равны ли эти углы,
и, если нет, то какой больше. Напомним,
что стороны угла это — лучи, а не от-
резки; поэтому длины сторон не оказы-
вают никакого влияния на величину угла. Так, стороны угла ЛЯС на
рис. 40 изображены более длинными, чем стороны угла LMN. Однако
угол ABC меньше, чем угол LMN, т. е. раствор лучей В А и ВС меньше,
чем раствор лучей ML и MN. В данном случае это видно на-глаз.
Чтобы точнее сравнить величины углов, можно поступить так:
переснимем угол ABC на плотную прозрачную бумагу (кальку). За-
С
Рис. 39. Угол.
Рис. 40. Угол LMN больше угла ABCf
хотя стороны угла ЛВС изображены бо-
лее длинными, чем стороны угла LMN,
Углы ABC и LMM
равны.
тем сдвинем кальку так, чтобы нанесённая на ней вершина В по-
крыла вершину М и чтобы сторона ВА пошла по стороне ML.
Если сторона ВС пойдёт внутри угла LMN, то угол LMN больше
угла ABC (записывается: /_LMN^>£ABC). На рис. 40 мы имеем
именно такой случай. Если сторона ВС совладает со стороной MN,
то углы ABC и LMN равны (^ LMN= £ ABC). Этот случай мы
имеем на рис. 41. Если же сторона ВС пойдёт вне угла LMN, то
угол LMN меньше угла ABC (£ LMN< £ ABC).

§13. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
31
Итак, два угла равны между собой, если их можно путём
перенесения совместить.
Два угла не равны, если путём перенесения можно совместить
их вершины так, чтобы один оказался внутри другого; тогда
первый угол меньше второго.
В столярном деле для перенесения углов пользуются малкой.
Этот инструмент изображён на рис. 42. Его устройство сходно
с устройством циркуля. Различие
состоит в том, что ножкамет мал-
ки являются линейки.
При черчении на бумаге для
перенесения углов предпочти-
тельно пользоваться транспор-
тиром (см. ниже § 14).
Рис. 42. Малка — инструмент для пе-
ренесения углов, употребляемый в
столярном деле.
§ 13. Измерение углов.
На рис. 43 изображена в уве-
личенном виде секундная стрел-
ка часов. Каждую секунду она по-
ворачивается на один и тот же
угол, а конец её пробегает по циферблату дугу одной и той же
длины. На различных часах циферблаты имеют различные размеры, так
что и дуга, пройденная концом стрелки в 1 секунду, имеет неоди-
наковую длину; но угол, на который поворачивается при этом
стрелка, на всех часах в мире один и тот же. Он составляет 1/6f
часть полного оборота стрелки. Этот
угол можно было бы принять за единицу
измерения углов, и тогда, например,
угол, изображённый на рис. 43, изме-
рялся бы числом 10, т. е. соответству-
ющим показанием циферблата. Всякий
другой угол мы также могли бы изме-
рить в этих единицах. Для этого было
бы достаточно перенести измеряемый
угол так, чтобы вершина его упала в
центр циферблата.
В геометрии для измерения углов
пользуются именно таким способом. Толь-
ко за единицу измерения принимается не
7бо полного оборота луча, а 7зво его часть.
Угол, составляющий Vaeo часть полного оборота луча, называют
градусом. Таким образом, полный оборот составляет 360 градусов.
Слово «градус» записывается знаком °, так что запись 360° чи-
тается «360 градусов». Число градусов, содержащихся в данном
угле, называется его градусной мерой.
Рис. 43. Секундная стрелка
часов. За десять секунд
она повернулась на угол 60°.

32
гл. 2. окружность; угол
Пример 1. Градусная мера угла, на который поворачивается
секундная стрелка за одну секунду, есть 6°, так как 1/60 часть от
360° равна 6°. Градусная мера угла, на который секундная стрелка
поворачивается за 10 сек. (рис. 43), есть 60°.
Пример 2. Градусная мера угла, на который поворачивается
часовая стрелка за один час, равна 30°, так как этот угол состав-
ляет 1/12 часть полного оборота:
360°: 12 = 30°.
Пример 3. Колесо имеет 16 спиц; какой угол образуют две
соседние спицы?
Решение: 360°: 16 = 22 1°.
Угол в 1° настолько мал, что во многих случаях технической
практики нет нужды учитывать его доли.
В более точных работах приходится учитывать и доли градуса.
Принято делить градус на 60 равных частей, именуемых минутами.
Минута в свою очередь
делится на 60 секунд1).
Слово «минута» запи-
сывается знаком', «секун-
да» — знаком ". Запись
13°23'30" означает «13
градусов 26 минут 30
секунд».
§ 14. Транспортир,
Для измерения уг-
лов, начерченных на бу-
маге, пользуются транс-
портиром (рис. 44).
Этот инструмент устроен
на подобие циферблата.
Дуга транспортира соответствует половине окружности цифер-
блата. Она разделена на 180 равных частей, и на неё нанесены де-
ления, а также цифры, указывающие число делений.' На линейке
транспортира, представляющей диаметр полуокружности, отмечен её
центр. Транспортир нужно наложить на бумагу так, чтобы этот
центр совместился с вершиной измеряемого угла (рис. 45). Край
Рис. 44. Транспортир — инструмент для изме-
рения углов. Дуга транспортира разделена на
180 равных частей; каждое деление соответ-
ствует одному градусу.
1) Слово «минута» — латинское и означает «малая доля» — подразуме-
вается «шестидесятая». Этим объясняется, что шестидесятая доля часа тоже
называется минутой. Латинское слово «секунда» означает «вторая» — под-
разумевается «малая доля», т. е. секунда —это вторичное подразделение на
60 частей.

§ 15. ДУГОВОЙ ГРАДУС
линейки, от которого на-
чинается отсчёт делений,
нужно направить по од-
ной стороне угла. Вто-
рая сторона угла пройдёт
через одно из делений
дуги транспортира. Проч-
тя это деление, мы по-
лучим меру угла.
На рис. 45 измеряе-
мый угол ЛОВ равен 110°.
На рис. 46 измеряемый
угол COD равен 25°.
Чтобы линейку можно
было прикладывать к лю-
бой из двух сторон угла,
.на дуге транспортира
обычно наносят две шка-
лы (рис. 47). Они идут в
противоположных направ-
лениях. Употребляя такой
транспортир, нужно ос-
-терегаться, чтобы во вре-
мя измерения не сбиться
и не перейти с одной
шкалы на другую.
С помощью транспор-
тира можно не только
измерить данный угол,
-но и построить угол дан-
ной величины. Как это
сделать — понятно без
объяснений. Ясно, что
транспортиром можно
пользоваться для. перене-
сения углов. Это проще,
чем с помощью кальки;
однако точность обоих
способов примерно одна
и та же.
§ 16. Дуговой градус.
Для измерения углов
полуокружность транс-
портира, как мы видели,
Рис. 45. Измерение угла при помощи транс-
портира. Угол, изображённый на этом рисун-
ке, равен 110°.
Рис. 46. Измерение угла при помощи транс-
портира. Угол, изображённый на этом рисун-
■ ке, равеп 25°.
Рис. 47. Обычно на дуге транспортира нанесены
две шкалы, идущие в противоположных на-
правлениях»

34
гл. 2. окружность; угол
делится на 180 равных частей. На это же число частей при-
нято делить и всякую полуокружность, т. е. % вся окружность под-
разделяется на 360 равных частей. Каждая такая часть называется
градусом или, точнее, дуговым градусом — в отличие от углового
градуса, о котором говорилось в параграфе 13,
Дуговой градус есть дуга, составляющая 1/ш часть окружности.
Дуговой градус имеет длину, которая зависит от размеров окруж-
ности. Так, на полуокружности транспортира, имеющей диаметр 174 мм
(такие транспортиры очень распространены), дуговой градус соста-
вляет 1!/з мм, а на транспортире вдвое меньших размеров (по диа-
метру) дуговой градус составляет 3Д мм.
Угловой же градус есть угол, а величина угла не зависит от
длины сторон. Ни о какой ъдлинеъ углового градуса не может
быть речи, как не может быть речи о длине килограмма.
Дуговой градус подразделяется на 60 равных частей, называе-
мых дуговыми минутами. Дуговая минута при очень точных изме-
рениях подразделяется на 60 дуговых
секунд.
§ 16. Центральный угол.
Угол, образованный двумя радиусами
окружности, называется центральным уг-
лом. На рис. 48 /_ АОВ есть центральный
угол для изображённой окружности. Так
как окружность мы делим на 360 дуговых
Риа 48. Митральный П>адусов, а полный оборот е<* радиуса-
угол АОВ; он измеряет- на столько же угловых градусов, то цен-
ся дугой АВ. тральный угол АОВ содержит столько же
угловых градусов, сколько дуга АВ ^ содер-
жит дуговых. Короче говорят так: центральный угол измеряется
соответствующей дугой.
Ясно, что в одной и той же окружности равным центральным
углам соответствуют равные дуги; это верно и для двух окружно-
стей с одинаковыми радиусами. Но в окружностях с разными ра-
диусами равным центральным углам соответствуют неравные дуги; на
окружности большего радиуса дуга будет длиннее.
§ 17. Действия над углами.
Сложение углов.
Задача 9. Сложить углы ABC и DEF (рис. 49).
Пристроим к углу DEF угол FEM (рис. 50), равный углу А ВС,
так, чтобы у обоих углов оказалась общая вершина Ё и общая
сторона EF и чтобы углы DEF и FEM были расположены по раз-

§ 17. ДЕЙСТВИЯ НАД УГЛАМИ
35
ные стороны от общей стороны EF. Угол DEM будет суммой углов
ABC и DEF:
Z DEM= Z АВС+ L DEF.
Если требуется сложить не два, а несколько углов, то скла-
дываем сначала какие-нибудь два, #
потом прибавляем третий и т. д.
Рис. 49. Задача: сложить углы ABC и
DEF (см. рис. 50).
Рис. 50. Решение задачи,
данной на рис. 49.
L ЛВС + L DEF=L DEM
Слагаемые можно брать в любом порядке — сумма будет одна
и та же.
Вычитание углов:
Задача 10. Вычесть угол ABC из угла DEF (см. рис. 49).
Решается подобно предыдущей, только углы размещаются по
одну сторону от совмещённых сторон. На рис. 51 угол ABC пере-
несён в положение FEK
(сторона ВС совмещена с
ED). Угол KED есть раз-
ность между углом DEF и
углом ABC:
Z. KED= L DEF— L ABC.
Умножение угла
на целое число.
(см. рис.
L DEF — L АВС =
= L KED.
Рис. 52. Задача:
утроить угол ABC.
Решение:
3 A ABC =ABN.
Рис. 51. Решение за-
дачи: вычесть угол
о 11 xr ABC из угла DEF
Задача 11. Утроить (ст ^ис. т.
угол ABC.
Решение сводится к сло-
жению (аадача 9). Угол
ABC берётся слагаемым три раза. Угол ABN (рис. 52) равен утроен-
ному углу ABC. Записывается это так:
3 Z АВС= Z. ABN или £ ABC • 3 = Z ABN.
Таким же образом можно умножить угол на любое целое число.
Чтобы умножить угол на дробное число» например на 2/з* нужно
предварительно разделить его на равные части (в нашем примере —
пополам).

36
гл. 2. окружность; угол
Деление угла на равные части*
Задача 12. Разделить пополам угол ABC (рис. 53).
Измерив угол ABC, найдём, что в нём 123°, Выполняем деление:
123°:2 = 61-i°.
При стороне ВА и вершине В строим
£ ABD = 6\ -J0 (лолградуса берём
на-глаз). Теперь угол ABC разделён
на два равных угла (£ ABD и /, DBC),
так что
Z АВС\2= L ABD.
или
JL ABC\2 = £DBC\
Прямая, делящая угол пополам, называется биссектрисой этого
угла. Таким образом, BD есть биссектриса угла ABC»
Тем же способом можно разделить угол на любое число равных
частей.
Рис. 53. Задача: разделить по-
полам угол ABC. Решение:
L АВС\2= LABD=LDBC
§ 18. Прямой, острый и тупой угол. Развёрнутый угол.
Угол в 90°, составляющий, следовательно, -j- полного оборота,
называется прямым углом. Йрямые углы чаще других встречаются
в окружающих нас
предметах. Так, углы В
переплёта книги, стен-
ки спичечной коробки,
пбла в комнате — пря-
мые.
Угол, меньший пря-
мого угла, называется
острым. Угол, больший
прямого, называется
тупым. В четырёх-
угольнике на рис. 54
оба верхних угла ост-
рые, оба нижних —
тупые.
Если мы сложим два прямых угла (АОВ и ВОС на рис. 55), то
в сумме получим угол, образованный лучами ОА и ОС, идущими
по одной прямой в противоположных направлениях. Такой угол на-
зывают развёрнутым. Он составляет половину полного оборота и
содержит 180 градусов.
Рис. 54. В этом
четырёхуголь и и ке
оба верхних угла —
острые, оба ииж-
пих — тупые.
Рис. 55. Угол ЛОЛ —пря-
мой; угол ВОС — тоже пря-
мой. В сумме они состав-
ляют развёрнутый угол, об-
разованный лучами ОА и ОС,

§19. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ 37
§ 19* Перпендикуляр и наклонная.
Если стороны прямого угла ВОС (рис. 56) продолжить за его
вершину, то получим две прямые АВ и DC, образующие четырз
угла:
£ВОС, Z.COA, LAOD, £DOB.
Все эти углы — прямые.
Прямые линии, пересекающиеся под прямыми углами, называются
взаимно перпендикулярными или просто перпендикулярными.
Говорят также «АВ есть перпендикуляр к CD». Слово «пер-
пендикуляр» может означать всю прямую линию, а также ее от*
Рис 56. Прямые липии АВ и
CD образуют четыре пря-
мых угла: А ВОС, L СО А,
/. AOD, JL DOB, Такие пря-
мые линии называются пер-
пендикулярными.
М
Рис. 57. Прямая LM — паклонная к
EF. Прямая LK — перпендикуляр к
EF. Перпендикуляр короче наклон-
ной. Точка К—основание перпенди-
куляра.
резок или луч. Так, можно сказать: «Луч О В есть перпендику-
ляр к прямой CD» или «отрезок ОК есть перпендикуляр к пря-
мой CD».
Слово «перпендикулярный» или «перпендикуляр» записывает-
ся знаком JL- Например, запись ABAJ2D читается: «прямая АВ
перпендикулярна к прямой CD» или «АВ есть перпендикуляр
к CD».
Прямая, луч или отрезок, не перпендикулярные к данной прямой,
называются наклонными к ней. На рис. 57 ML есть наклонная к
прямой EF.
Если из точки L, не лежащей на прямой EF (рис. 57), проведены
перпендикуляр LK и наклонная LM до встречи с этой прямой, то
перпендикуляр короче наклонной.
Когда говорят о расстоянии от точки (L на рис. 57) до прямой
(EF), то понимают под этим кратчайшее расстояние, т. е. расстоя-
ние по перпендикуляру (LK).
Точка К называется основанием перпендикуляра LK*

38
гл. 2. окружность; угол
§ 20. Чертёжный треугольник
и построение перпендикуляра.
Для черчения прямых углов на бумаге употребляется чертёжный
треугольник, изображённый на рис. 58; он называется часто уголь-
ником*
Пользуясь линейкой и угольником можно решить следующую
задачу:
Задача 13. Провести перпендикуляр к данной прямой АВ
(рис. 59), проходящей через данную точку С.
Прикладываем к прямой АВ линейку LM, а к линейке — уголь*
ник DEK, как показано на рис. 59.
Рис. 58. Чертёж- Рис. 59. Решение задачи: пользуясь линейкой и
ный треугольник угольником, провести к прямой АВ перпенди-
(угольник). кул яр через точку С.
Придерживаем линейку одной рукой, а другой ведём уголь-
ник вдоль линейки. Когда край ЕК угольника дойдёт до точ-
ки С, проводим прямую ЕСК. Это и будет искомый перпенди-
куляр.
Точка С может быть задана и на самой прямой АВ. Задача и
в этом случае решается так же.
Когда точка С лежит на прямой АВ, то говорят, что перпенди-
куляр нужно «восставить» к прямой АВ\ когда же точка С лежит
вне прямой, то говорят, что перпендикуляр нужно «опустить» на
прямую (хотя бы точка С лежала снизу от АВ).
Из данной точки к данной прямой всегда можно провести
перпендикуляр, но только один.

§ 21. ПРОВЕРКА УГОЛЬНИКА
39
§ 21. Проверка угольника»
Угольник, как и линейку, приходится проверять. Сначала про-
веряются края угольника: они должны быть прямолинейными. Про-
верку краёв угольника можно делать так же, как проверку линейки
(§ 4). Но для небольших угольников этот способ нехорош: чёрта
получается короткая, и потому её неправильность трудно обнару-
жить. Тогда лучше проверять края так: прикладываем край уголь-
Рис. 60, Проверка угольника, а) Угольник прикладывается к линейке. Вдоль
края ВС проводится черта. Придерживая линейку рукой, перекладываем
угольник, б) Угольник в новом положении тоже касается линейки. Край ВС
точно совпал с чертой, в) Равные углы ЛВС и А'В С в сумме дают развёр-
нутый угол; значит L ABC = 90°.
ияка к краю выверенной линейки и смотрим на свет. Если край
угольника неправильный, то мы увидим между угольником и линей-
кой щель. Если же щели не обнаруживается, то край хорош.
Теперь проверяем прямой угол угольника. На лист гладкой бу-
маге кладём линейку DE и прикладываем к ней угольник ЛВС,
квас показано на рис. 60, а. Вдоль края ВС проводим черту острым

40
гл. 2. окружность; угол
и очень твёрдым карандашом» Затем перекладываем угольник в но-
вое положение А'ВС, как показано на рис. 60, б.
Линейку нужно придерживать рукой, чтобы она оставалась
неподвижной. Угольник и в новом своём положении касается линейки.
Если при этом край ВС точно совпадает с проведённой чертой,
то прямой угол ABC угольника верен, потому что в сумме с рав-
ным ему углом ABC (рис. 60, в) он даёт развёрнутый угол (с вер-
шиной В и сторонами ВА, ВА');
значит, £АВС=180°:2 = 90°.
В плотничьих и столярных
работах для черчения и про-
верки прямых углов употребляет-
ся инструмент, изображённый на
рис. 61. Он состоит из двух
перпендикулярных планок. Этот
инструмент тоже называют уголь-
ником.
Рис. 61. Угольник — инструмент для
черчения и проверки прямых углов,
употребляемый в плотничьих и сто-
лярных работах.
§ 22. Смежные углы*
Если из какой-нибудь точки
В прямой АС (рис. 62) провести
произвольный луч BD, мы получим два угла ABD и DBC, назы-
ваемые смежными.
Другими словами, смежные углы— это такие два угла, у
которых есть общая вершина (В) и общая сторона (BD), две же дру-
гие стороны (ВА и ВС) составляют
продолжение одна другой.
Сумма двух смежных углов, как
видно на рис. 62, равна развёрнутому
углу, т. е. составляет 180°.
Так как прямой угол равен 90°,
то можно сказать, что сумма двух
смежных углов равна двум прямым
углам. Ясно, что если один из смежных
углов — острый, то другой — тупой.
Если из точки В прямой АС про-
вести сколько угодно лучей по одну
сторону от АС (лучи BD> BE, BF на рисунке 63), то сумма примы-
кающих друг к другу углов A BD, DBE, EBF и FBC также равна
180°. Действительно, в сумме мы получаем развёрнутый угол, обра-
зованный лучами ВА и ВС, которые идут по одной прямой в про-
тивоположных направлениях.
Если из какой-либо точки О провести любое число лучей, обра-
зующих углы вокруг точки О, то сумма всех этих примыкающих
С В А
Рис. 62. Смежные углы.
L ABD и L DBC—смежные;
LABD + LDBC=\W>.

5 Zd. вертикальный углы
<*Х
друг к другу углов будет всегда равна 360° (рис. 64). В этом убе-
димся, если будем вращать какой-либо луч, например ОА, около
Рис. 63. L ABD + L DBE +
+ L ЕВЕ + L FBC = 180°.
Рис. 64. /, ЛОВ + L ВОС +
+ L COD+ L DOE+ L ЕОА=
= 36(г\
точки О. Он последовательно повернётся на углы АОВ, ВОС, COD,
DOE, ЕОА и тогда придёт в начальное положение, сделав полный
оборот, т. е. 360°. Поэтому сумма упомянутых
углов равна 360°.
§ 23» Вертикальные углы.
Две пересекающиеся прямые (рис. 65) обра-
зуют друг с другом четыре угла. Если измерена
величина одного, то остальные можно найти и
без измерений.
Измерим, например, угол ВОС; в нём 140°.
Он образует с углом BOD пару смежных углов.
А так как смежные углы дают в сумме 180°, то
£ BOD = 180° — 140° = 40°.
Рис. 65. Вертикаль-
ные углы. Углы
АОС и BOD —
вертикальные;
£ АОС= L BOD.
Углы AOD и
СОВ—также вер-
тикальные;
Z. AOD = L СОВ.
Точно так же смежными будут углы АОС и
ВОС\ значит, и угол АОС тоже равен 40°. Нако-
нец, /_AOD — смежный с £ АОС, равным 40°;
поэтому он равен 180° —40°= 140°.
Два угла называются противоположными
или вертикальными, если стороны одного со-
ставляют продолжение сторон другого. При
пересечении двух прямых получаются две пары вертикальных углов.
На рис. 65 одну пару вертикальных углов составляют £,АОС и
£BOD\ другую пару /_AOD и £СОВ.
Два вертикальных угла равны между собой. Действительно,
как ^DOB, так и £АОС получаются вычитанием одного и того
же угла СОВ из 180°. Значит, они одинаковы.

42
гл. 2. окружность; угол
§ 24. Построение прямых углов на местности» Экёр.
Для построения прямых углов на местности применяется инстру-
мент, называемый экером.
На рис. 66 изображён простейший экер, называемый крестооб-
разным (такой инструмент нетрудно изготовить). На каждой из двух
взаимно перпендикулярных горизонтальных планок имеется две иглы.
Прямая АВ должна быть строго перпендикулярна к прямой CD.
Если требуется восставить перпендикуляр в точке М к прямой
LN (рис. 67), то съемщик, помещаясь, скажем, слева от Ж, втыкает
палку с экером вертикально в точку М так, чтобы иглы А
и В покрыли веху N. Затем съёмщик
^-J^ становится за иглой С так, чтобы эта
Aj^^^r=J^2^___ | игла закРыла ИГЛУ D* По его указанию
fc^^~^^^^^^3H35c (см- § 8) провешивается прямая МК
^ууШ ^--^^ по направлению CD.
C^fM ^сли же тРебуется опустить пер-
III пендикуляр из точки К (рис. 68) на
||| прямую LN, то сперва на этой пря-
^* мой намечают основание перпендику-
Рис. 66. Крестообразный экер, ляра на-глаз. Укрепив в этой точке
(точка М на рис. 68) экер и направив
линию АВ по прямой I/V, проверяют, покрывает ли прямая CD веху
К. Если нет, то передвигают экер в надлежащую сторону (при рас-
положении, изображённом на рис. 68 — влево) по прямой LN и по-
вторяют испытание. Так поступают до тех пор, пока не будет най-
дено правильное положение основания.
Перед употреблением всякий экер, а в особенности самодельный,
нужно прозерить. Проверка делается так. Установив экер верти-
кально (с помощью отвеса или на-глаз, как объяснено в § 8), ста-
вим веху N по направлению АВ и веху К—по направлению CD
(рис. 69а). Затем поворачиваем экер на четверть оборота так, чтобы
прямая CD прошла через точку N (игла А займёт положение D;
игла D— положение В). Если прямая В А в новом своём положении
пройдёт через веху К (рис. 696), то экер годен, если же не прой-
дёт, то неисправен.
В самом деле, угол BED (сш. рис. 66; на рис. 69 буква Е не про-
ставлена) по построению совпадает с углом NOK (рис. 69а). После по-
ворота экера прямая CD прошла через веху М Если при этом прямая
В А прошла через веху К (рис. 696), то и угол DEA (в новом поло-
жении) совпадает с углом NOK* Значит, углы BED и DEA равны.
Но эти углы — смежные; следовательно, в сумме они составляют
180°. Значит, каждый из этих углов — прямой, и экер годен к упо-
треблению.
Если же прямая ВА не прошла через веху К* то угол DEA
не равен углу NOK] значит, смежные углы BED и DEA не равны

§ 24. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМЫХ УГЛОВ НА МЕСТНОСТИ. ЭКЕР 43
* *' А
Рис. 67. Построение перпендикуляра на местности. В точке М требуется
восставить перпендикуляр к LN. Буквы А, В, С, D обозначают иглы
экера (см. рис. 66).
щр^ ^^Tir -btg&L ^% /^^у^Ь*
Рис. 68. Из точки К требуется опустить перпендикуляр на LN. Точка М
взята на-глаз. В ней поставлен экер (А, В, С, D — его иглы). Проверка пока-
зывает, что экер нужно перенести влево.

44
глава 2. окружность; угол
Рис, 69. Проверка экера, а) Первоначальное положение, б) положение после
поворота.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
45
между собой. Тогда один из них тупой, a ipyroft острый, т. е.
линии АВ и CD не перпендикулярны, и экер неисправен.
На рис. 70 изображён экер более совершенного типа. В нём
вместо игол имеется четыре щели (они называются диоптрами):
две узкие (щель А и невидимая на ри-
сунке щель D) и две широкие (С и В). /^
Посреди каждой широкой щели натянут nfrrrS^
волосок. Наблюдатель прикладывает глаз ~ '
к узкой щели («глазной диоптр»); воло-
сок в широкой щели («предметный
диоптр») служит для наведения на на-
блюдаемую веху.
Упражнения и задачи.
20. Определите на-глаз диаметр пятико- Рис. 70. Другой тип экера,
пеечной монеты. Проверьте измерением. Вы-
числите радиус этой монеты.
21* Расстояние Луны от Земли составляет (округлённо) 380 000 км. Луна
обращается около Земли почти по круговому пути. Найдите диаметр этого
круга.
22. Точка А лежит в 30 см от центра О окружности, радиус которой
22 см. Найти расстояние точки А до ближайшей к пей точки окружности.
Найти расстояние точки А до самой далёкой от неё точки окружности.
23. Кратчайшее расстояние от точки В до окружности—20 м; наиболь-
шее —100 м. Найти радиус окружности (эта задача имеет два решения).
24. Обведите на бумаге окружность пятикопеечной монеты остро отто-
ченным карандашом; отметьте на-глаз центр начерченной окружности. Про-
верьте циркулем.
25. Начертите окружность и проведите два взаимно-перпендикулярных
диаметра её АВ и CD. Сколько градусов в дуге АС? Сколько градусов
в дуге ACBD? Равны ли дуги АС и BD? Равны ли дуги ACBD и
BDAC1 Равны ли дуги АСВ и CBD? Можно ли насчитать девять различ-
ных секторов на этом чертеже? Сколько всего здесь секторов?
26. Начертите два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD какой-
нибудь окружности. Разделите дугу АС на-глаз пополам. Проверьте правиль-
ность деления циркулем и, если требуется, исправьте результат. Дугу СВ
разделите на-глаз на три равные части точками Е, F. Проверьте циркулем.
Сколько градусов в дуге CEF1
27. Земной меридиан содержит 40000 км. Морская миля составляет
1 минуту дуги меридиана. Определить длину морской мили в метрах.
28. Начертив окружность, постройте циркулем хорду KL, равную поло-
вине радиуса. Дуга, стягиваемая этой хордой, составляет примерно у~ часть
окружности. Проверьте это с помощью переноса дуги KL.
29. Начертив окружность, постройте циркулем хорду АВ, равную радиусу.
Длина окружности ровно в шесть раз больше длины дуги АВ. Проверьте
это с помощью переноса дуги АВ. Сколько градусов в дуге АВ?
30. Колесо имеет 8 спиц. Какова величина угла между соседними спи-
цами?
31. Какой угол составляют между собой направления на юг и на северо-
восток, на северо-запад и юго-восток?
32. Какой угол образуют направления часовых стрелок в 3 часа? в 5 ча-
сов? в 13 часов? в 20 часов?

46 г л, 2. окружность; угол
33. На какой угол ^поворачивается минутная стрелка за 25 минут? За
45 минут? За 30 минут? За \-^ часа? За 10 секунд? За 2 секунды?
34. Маховое колесо делает 40 оборотов в минуту. Сколько градусов
содержит дуга, описываемая точкой колеса в 1 секунду?
35. На какой угол поворачивается земля около своей оси за 1 час?
36- Начертите с помощью трапспортира углы в 60?, 40°, 1209, 175°, 180°,
23°, 117°, 30^30', 25°30'.
37. Начертите с помощью транспортира углы в 200°, 240°, ЗОСР.
38. Начертите на-глаз углы в 30°, 60°, 90°, 120°. Проверьте транспортиром.
39. Можете ли вы удалить указательный палец от среднего так, чтобы
они образовали тупой угол? А указательный палец от большого?
40. Начертить окружность и построить центральный угол в 60°. Окруж-
ность разделится на две неравные дуги. Сколько градусов в большей дуге?
41. Разделите окружность с помощью транспортира на две части, отно-
сящиеся как 2:3.
42. Постройте два неравных острых угла. Найдите сумму и разность их.
43. Начертите угол в 75°. Проведите его биссектрису.
44. Начертите угол в 40°; разделите его на три равные части.
45. Начертите два произвольных угла а и Ь. Постройте угол 9 .
46. Один из углов, образованных пересечением двух прямых линий,
содержит 70°. Определить остальные углы.
47. Угол в 4GP разделён на два неравных угла. Один из них содержит
3(Р. Найти угол между биссектрисами этих неравных углов.
48. Угол в 40° разделён на два равных угла. Найти угол между их бис-
сектрисами.
49. В предыдущих двух задачах получился один и тот же результат.
При всяком ли делении угла в 40° на две части результат будет тот же?
50. Гвоздь, торчащий в доске, составляет со своей тенью угол в 50°.
Какой угол составляет этот гвоздь с продолжением тени в другую сторону?
51. Какой угол образуют между собой биссектрисы двух вертикальных
углов?
52. Один из смежных углов втрое больше другого. Найти их градусную
меру.
53. Один из смежных углов больше другого на 25°. Найти эти углы.
54. Какой угол образуют биссектрисы двух смежных углов (сравните с
задачей 49).
55. Возьмите листок бумаги и перегните его по любой прямой. После
этого снэва перегните его так, чтобы одна половина старого сгиба совпала
с другой. Теперь расправьте листок; у вас будут четыре угла. Объясните,
почему все эти углы —прямые?

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ.
§ 25. Какие прямые называются параллельными?
Прямые линии, изображённые на рис. 71, не пересекаются на
нашем чертеже; но если их продолжить вправо на достаточное рас-
стояние, они пересекутся. Прямые же линии, изображённые на
рис, 72, не пересекаются не только на нашем рисунке, но и за
его пределами. Такие прямые называются параллельными.
Две прямые, которые лежат на одной плоскости и нигде не
пересекаются, называются параллельными.
Для записи «параллельный» употребляется знак (, так что
AB\CD
означает: «прямая АВ параллельна прямой CD».
С параллельными линиями мы встречаемся в жизни очень часто:
вид параллельных прямых имеют рельсы железнодорожного пути,
Рис. 71. Эти прямые линии не Рис. 72. Эти прямые пе пере-
пересекаются на чертеже, но секаются нигде. Они парал-
пересекутся, если их продол- лельны.
жить.
противоположные края чертёжной линейки, две строки линованной
бумаги и т. д.
Если две прямые порознь параллельны какой-нибудь третьей
прямой у то они параллельны и между собой.
Пример. Справа от прямой дороги параллельно ей посажен
ряд деревьев. Другой ряд деревьев посажен также параллельно
дороге слева от неб. Эти два ряда деревьев параллельны между
собой.

48
ГЛ. 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Если провести прямую EF (рис. 73), перпендикулярную к одной
из параллельных (например к АВ), то она будет перпендикулярна
и к другой CD.
Пара параллельных прямых (АВ и CD на рис. 74) отсекает на
всех прямых, перпендикулярных к ним, отрезки одинаковой длины.
Длину любого из этих отрезков мы называем расстоянием между
параллельными прямыми.
/7
С
\Е
В
Г
D
й
С
В
D
Рис. 73. Если провести EF пер-
пендикулярно к одной из парал-
лельных, например к АВ, то она
перпендикулярна и к другой CD.
Рис. 74. Пара параллельных пря-
мых АВ и CD отсекает на всех
прямых, перпендикулярных к ним,
отрезки одной и той же длины.
Заметим, что не всякие непересекающиеся прямые параллельны. Так,
прямая, проведённая на полу наискость из угла в угол, и прямая, проведён-
ная на потолке по карнизу, не параллельны, хотя они нигде не могут пере-
Рис. 75. Скрещивающиеся прямые. Два ка-
рандаша, изображённые на этом рисунке,
не пересекаются, но они не параллельны,
а скрещиваются.
сечься. Дело в том, что эти прямые не лежат в одной плоскости, т. е. нет
такой плоскости, которая проходила бы через обе эти прямые.
Непересекающиеся, но и непараллельные прямые называются скрещи-
вающимися. На рис. 75 изображены два скрещивающихся карандаша.
§ 26. Простейший признак параллельности. Построение
параллельных прямых с помощью угольника.
Если две прямые (АВ и CD на рис. 76) перпендикулярны к одной
и той же третьей прямой (АС), то они параллельны между собой.
Задача 14. Через данную точку К провести прямую, параллельную
даипой прямой LM.

§ 27. ОБЩИЕ ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ 49
С помощью угольника (изображённого пунктиром на рис. 77) проводим
через точку К перпендикуляр NP к прямой LM, как объяснено в § 20. За-
тем с помощью того же угольника (на рис. 77 он нарисован в новом поло-
Рис. 76. Простейший
признак параллельно-
сти: две прямые (АВ
и CD), перпендикуляр-
ные к прямой А С, па-
раллельны между со-
бой.
Рис. 77. Проведение прямой линии,
параллельной данной, с помощью
одного угольника.
жении) восставляем перпендикуляр KR к прямой NP. Прямая KR парал-
лельна прямой LM, потому что обе они перпендикулярны к одной и той же
прямой NP.
Это решение очень просто, но оно имеет следущие два практических
неудобства: во-первых, параллельная прямая KR строится только в одну
сторону от точки К) во-вторых, угольник
приходится прикладывать дважды, а от у£
этого и погрешность может удвоиться.
Вскоре мы познакомимся с более удобным ^^**J/7
решением. ^**с/
§ 27. Общие признаки
параллельности.
Если две какие-нибудь прямые (АВ
и CD на рис. 78) пересечь третьей
прямой EF, то эта прямая (её назы-
вают «секущей») образует с первыми
двумя восемь углов — они обозначены
на рис. 78 цифрами.
Эти углы, попарно взятые, назы-
ваются:
углы / и 5, а также 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 — соответственными;
углы 4 и 6, а также 3 и 5 — внутренними накрестлежащими*)*
Рис. 78. Секущая EF образует
с прямыми АВ и CD восемь
углов. Углы 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7,
4 и 8 — соответственные. Углы
4 и 6, 3 и 5 —внутренние на-
крестлежащие.
1) Внешними накрестлежащими называются углы / и 7, а также 2 и &
Заметим ещё, что углы 3 и 6, а также 4 и 5 называются внутренними
односторонними; углы 2 и 7, а также 1 и 8 называются внешними одно-
сторонними.

so
ГЛ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Если прямые АВ и CD (рис. 79) параллельны, то соответ-
ственные углы равны, т. е.
£1=£5; £2= £6; £3=£7; £4= £8.
Кроме того, если прямые АВ и CD параллельны, то и вну-
тренние накрестлежащие углы равны, т. е.
£3=£5; £4= £6.
Проверьте эти свойства на рис. 79. Проведите на линованной
бумаге косую прямую и измерьте углы, которые эта прямая образует
/Е
1/2
С Тр D
5/6
1 Тп 'в
'F
Рис. 79. Признаки параллельности: 1) если соот-
ветственные углы равны (L 1 = L 5 или Z 2 = L&
или Z.3=Z,7 или Z,4=Z#), то прямые АВ и
CD параллельны. 2) Если внутренние накрестле-
жащие углы равны (Z3=Z5 или L4=z L6),
то прямые АВ и CD параллельны.
с двумя линейками. Вы снова убедитесь, что соответственные, а
также внутренние накрестлежащие углы равны.
Только параллельные прямые обладают этими свойствами. Ни
одно из них не выполняется для непараллельных прямых (так, на
рис. 78 углы 1 и 5 не равны, углы 4 и 6 не равны и т. д.). По-
этому каждое из этих свойств может служить признаком парал-
лельности.
Первый признак параллельности. Если при пересечении двух
прямых третьей прямой какие-нибудь соответственные углы рае-
ны, то первые две прямые параллельны.
Второй признак параллельности. Если при пересечении двух
прямых третьей прямой какие-нибудь внутренние накрестлежа-
щие углы равны, то первые две прямые параллельны.
§ 28, Построение «параллельных прямых с помощью линейки
и угольника.
Положим на бумагу линейку DE (рис. 80), а к линейке прило-
жим угольник ABC каким-нибудь его ребром. Одной рукой при-
жмем линейку к бумаге, а другой рукой заставим угольник сколь-
зить вдоль линейки. Тогда во всех положениях угольника каждая

§ 28» ПОСТРОЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
51
из двух свободных сторон его будет параллельна первоначальному
когда
ЛгВг
угольник ABC займёт положение
будет параллельна прямой АВ, а
Bf
Рис. 80. При скольжении угольника вдоль линей*
ки каждая сторона угольника остаётся пары*
дельной своему первоначальному положению.
своему положению. Так,
AxBxCi (рис. 80), прямая
прямая Bifix—прямой ВС.
О параллельности пря-
мых ВС и ВХСХ свиде-
тельствует простейший
признак (§ 26): ведь в
угольнике ABC угол С —
прямой. Поэтому две пря-
мые ВС и ВХСХ перпен-
дикулярны к одной и той
же прямой DE. Значит,
они параллельны между
собой.
О параллельности же
прямых АВ и Л1В1 свиде-
тельствует первый из
общих признаков (§ 27):
ведь угол ВАС перене-
сён нами в положение
BiAiCi. Значит, углы
ВАС и BiAfix равны. А
они являются соответ-
ственными при пересече-
нии двух прямых АВ и
АгВх третьей прямой DE.
Значит, прямые АВ и
АхВх параллельны.
Опираясь на первый
признак, можно устано-
вить также и парал-
лельность прямых ВС и
ВхСх.
Постепенно передви-
гая угольник по линейке
(рис. 81) и проводя каж-
дый раз черту вдоль од-
ной его стороны, можно
получить параллельную
штриховку. Этим же спо-
собом удобно графить
бумагу (рис. 82).
Наконец, с помощью линейки и угольника можно точнее выпол-
нить решение задачи 14 (стр. 49) через данную точку К провести
прямую, параллельную данной прямой LM*
Рис. 81. Параллельная штриховка.
Рис. 82. Графление бумаги.

52
ГЛ. 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
К прямой LM (рис. 83) мы прикладываем угольник одной его
стороной (лучше всего самой длинной). К другой стороне (лучше все-
го средней по длине) прикладываем линейку. Затем двигаем угольник
вдоль линейки до тех пор, пока сторона NP угольника, раньше
Рис. 83. Проведение прямой линии, параллельной
данной, с помощью линейки и угольника.
прилегавшая к LM, не пройдёт через точку К* А теперь вдоль этой
"стороны проводим черту Л/Р. Прямая NP проходит через данную
точку К и параллельна данной прямой LM.
Упражнения и задачи.
56. Начертите какую-нибудь прямую и проведите другую прямую, парал-
лельную первой, на расстоянии 3,5 см от неё.
57. Начертите две параллельные прямые и проведите секущую под уг-
лом 20° к одной из них. Найдите величину всех образовавшихся углов.
58. Внутренние накрестлежащие углы при параллельных прямых в сумме
составляют 50°. Чему равен каждый из них?
59. Начертите две параллельные прямые на расстоянии 30 мм друг от
друга и проведите секущую так, чтобы отрезок её между параллельными пря-
мыми имел длину 40 мм.
60. Даны две параллельные прямые; проведите третью, параллельную им
и отстоящую от первой на то же расстояние, что и от второй.
61. Как можно провести на местности прямую, параллельную данной?
62. Начертите пару параллельных прямых с помощью линейки и транс-
портира.
63. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных
третьей прямой, втрое больше одного из остальных. Найти все углы.
64. Могут ли пересечься биссектрисы соответственных углов при парал-
лельных прямых?
65. Могут ли пересечься биссектрисы внутренних накрест лежащих углов
при параллельных прямых?
66. Точка пересечения двух непараллельных прямых лежит за пределами
чертёжного листа. Как найти угол между этими прямыми?

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ.
ТРЕУГОЛЬНИК.
§ 29. Многоугольник.
Ломаная линия, у которой конец совпадает с началом, называется
многоугольником. По числу звеньев, составляющих ломаную линию,
многоугольник называется треугольником, четырёхугольником,
пятиугольником и т. д. На рис. 84 изображён пятиугольник, на
рис. 85 — шестиугольник. Точки излома ломаной линии называются вер-
шинами многоугольника. Число вершин одинаково с числом звеньев;
С
ф
Рис. 84. Пятиугольник Рис. 85. Шестиугольник
(выпуклый). (невыпуклый).
например, пятиугольник имеет пять вершин и пять звеньев. Отрезки,
заключённые между соседними вершинами, называются сторонами
многоугольника. Отрезки, соединяющие две вершины, не прилежа-
щие к одной стороне, называются диагоналями. На рис. 84 изоб-
ражены тонкими линиями две диагонали пятиугольника. Укажите
другие диагонали; всего их пять.
Многоугольник, у которого все диагонали лежат внутри него,
называется выпуклым. На рис. 84 мы имеем выпуклый пятиуголь-
ник. У шестиугольника на рис. 85 диагональ АЕ (она не начерчена)
не лежит внутри него. Поэтому этот многоугольник невыпуклый.
Выпуклый многоугольник располагается всегда по одну сторону от лю-
бой своей стороны. Невыпуклый многоугольник не имеет этого свойства.

54
ГЛ. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
Например, сторона EF многоугольника, изображённого на рис. 85, будучи
продолженной, разрежет многоугольник на две части, которые расположатся
по разные стороны от EF,
Сумма длин всех сторон многоугольника называется его пери-
метром.
§ 30. Треугольник.
Треугольники различаются по своей форме следующим образом.
Треугольник называется разносторонним, если в нём нет равных
сторон (рис. 86); он называется равнобедренным, если в нем есть
две равные стороны (рис. 87), и равносторонним, если равны все
его три стороны (рис. 88).
Рис. 86. Разносторон- Рис. 87. Равно- Рис. 88. Равносто-
ний треугольник; у бедренный тре- ронний треугольник,
него нет равных сто- угольник. Две его Все три его сторо-
рон. стороны равны. ны равны.
Треугольник называется остроугольным, если в нём все углы
острые (рис. 89); он называется прямоугольным, если в числе его
углов имеется прямой угол (рис. 90), и тупоугольным, если в числе
его углов есть тупой угол (рис. 91).
Рис. 89. Остроуголь- Рис. 90. Прямоуголь- Рис. 91. Тупоугольный
ный треугольник; у ный треугольник. Одип треугольник. Один из его
него все углы—ост- из его углов — пря- углов — тупой,
рые. мой.
Пример. Проведите в каком-либо квадрате диагональ. Она
разобьёт квадрат на два треугольника. Каждый из этих треуголь-
ников будет прямоугольным и вместе с тем равнобедренным.

§ 30. ТРЕУГОЛЬНИК
.55
Одну из сторон треугольника (вс£ равно какую) можно назвать
основанием этого треугольника. Перпендикуляр, опущенный из
вершины треугольника, лежащей против основания, на это основа-
ние, называется высотой треугольника. Так, если сторону MN
треугольника, изображённого на рис. 92, принять за основание, то
L — вершина треугольника, a LK—его высота.
В треугольнике три высоты. Они обладают замечательным свой-
ством: все высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Проверьте это свойство на опыте.
Отметим, что в остроугольном треугольнике каждая из трёх
высот падает внутрь основания; в тупоугольном же треугольнике
лишь одна высота падает внутрь основа-
ния. Каждая из двух других падает на про-
Рис. 92. Прямая Щ —
высота треугольника
LMN (за основание при-
нята сторона MN).
Рис. 93. В тупоугольном
треугольнике ABC две
высоты (изображена
только одна из них—CD)
падают не внутрь осно-
вания, а на его продол-
жение.
Рис. 94. Отрезок AD —
одна из медиан треуголь-
ника ЛВС, Она соединяет
вершину А с серединой D
противоположной сторо-
ны ВС.
должение основания. На рис. 93 показана одна такая высота тупо-
угольного треугольника ABC (высота CD). Укажите другую.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сто-
ронами треугольника. Так, в прямоугольном треугольнике ЛВС на
рис. 90 стороны АВ и ВС являются также и высотами треугольника.
В равнобедренном треугольнике вершиной обычно называют ту
из трёх его вершин, где сходятся равные стороны. Сторону, лежа-
щую против этой вершины, называют основанием равнобедренного
треугольника; высоту, опущенную из этой вершины, называют вы-
сотой равнобедренного треугольника *).
Отрезок, соединяющий какую-либо вершину треугольника с сере-
диной противоположной стороны, называется медианой треугольника.
В треугольнике три медианы. Одна медиана AD треугольника ABC
(рис. 94) изображена на чертеже тонкой линией.
х) К числу равнобедренных треугольников принадлежит также и равно-
сторонний треугольник: ведь у него есть две равные стороны (а сверх того
и третья сторона равна двум остальным). За основание равностороннего тре-
угольника можно принять любую его сторону.

56
ГЛ. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
Отметим замечательное свойство медиан: все три медианы пере-
секаются в одной точке внутри треугольника. Проверьте это свой-
ство на опыте.
Отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины этого угла до
пересечения с основанием называется биссектрисой треугольника.
На рис. 95 отрезок MP есть одна из
биссектрис треугольника LMN. Всего их три.
Отметим, что все биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке. Проверьте это
на опыте.
На рис. 96 изображены биссектриса, ме-
диана и высота в одном треугольнике, выхо-
дящие из одной вершины В. Эти три пря-
мые совпадут лишь в том случае, когда сто-
роны АВ и ВС будут равны.
В прямоугольном треугольнике стороны
получили особые наименования. Именно, сто-
роны, образующие прямой угол, называются
катетами, а сторона, лежащая против прямого
угла, — гипотенузой (рис. 97).
Стороны треугольника часто обозначаются малыми (строчными)
буквами латинского алфавита, а вершины противоположных углов —
L Р N
Рис. 95. Отрезок MP—
одна из биссектрис
треугольника LMN;
прямая MP делит по-
полам угол М.
Рис. 96. Медиана, биссектриса и
высота треугольника.
Катет
Рис. 97. Стороны прямо-
угольного треугольника.
соответствующими большими (заглавными) буквами. Вместо слова
«треугольник» пишут часто знак Л или сокращённо: «тр-кк
§ 31. Построение треугольника по трём сторонам.
Задача 15. Построить треугольник по данным трём его сто*
ронам а} Ъ, с.
Стороны а, Ь, с могут быть заданы либо на чертеже (рис. 98),
либо своими размерами, например а= 15 мм, Ь = 20 мм, с = 30 мм.
При этом наибольший из заданных отрезков должен быть меньше
суммы двух других; в нашем примере это требование соблюдено:
30 мм<^ 15 мм -J- 20 мм. Это требование вытекает из того, что

§ 32. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 57
сторона треугольника должна быть короче, чем две другие вместе
(так как прямолинейный путь короче всякого другого). Если ука-
занное требование не
соблюдено, то задача не
имеет решения. Если
оно соблюдено, решаем
задачу следующим обра-
зом.
Рис. 98. Задача: построить Рис. 99. Решение задачи, данной на предыду-
треугольник по данным щем рисунке,
трём его сторонам а, Ь, с.
На произвольной прямой откладываем с помощью циркуля или
масштабной линейки одну из данных сторон, например с (рис. 99).
Получаем отрезок АВ. Из одного конца его В, как из центра,
описываем окружность радиуса а. Из конца А описываем окруж-
ность радиуса Ь. Эти окружности пересека-
ются в двух точках С и Cv Возьмём одну
из них, например С, и соединим её с концами
отрезка АВ. Получим треугольник ABC. Его
стороны равны данным отрезкам а, Ь, с. Дей-
ствительно, мы отложили отрезок АВ, равный
с; далее, сторона ВС есть один из радиусов
первой окружности; значит, она равна а; точ-
но так же АС=Ь.
Очевидно, и треугольник АВСХ имеет сто-
роны той же длины. Очевидно также, что
если чертёж 99 перегнуть по линии АВУ то
треугольники ABC и АВСХ совпадут. Иначе
говоря, эти треугольники одинаковы или, как говорят в геометрии,
равны (см. ниже § 32).
Замечание. Нет нужды полностью вычерчивать две окруж-
ности; достаточно взять небольшие их дуги с таким расчётом, чтобы
они пересеклись (рис. 100).
ЧХ"
Рис. 100. Замеча-
н и е. Нет нужды пол-
иостью вычерчивать
окружности рисунка
99. Достаточно засечь
их небольшие дуги.
§ 32* Первый признак равенства треугольников.
Две плоские фигуры называются равными, если их можно пол-
ностью совместить.
Примеры. Два квадрата с равными ^сторонами равны между
собой; два круга с равными радиусами равны между собой; два

58
ГЛ. 4, ТРЕУГОЛЬНИК
круга с различными радиусами не равжы. Треугольники ABC и
АВСХ на рис. 99 были равны, так как совмещались при перегиба-
нии чертежа.
Проделаем ещё несколько раз построение треугольника по трём
сторонам а=15 мм\ £ = 20 мм; с = 30 мм (рис. 101). Получен-
ные треугольники будут отличаться от треугольника ЛВС только
своим положением. Любой из них можно совместить с треуголь-
ником ABC либо лицевой стороной (как треугольник на рис. 101
справа) либо изнанкой (как тре-
угольник на рис. 101 слева). По-
стройте такие треугольники на
бумаге, вырежьте их и проверьте
равенство треугольников нало-
жением.
Рис. 101. Каждый из этих двух тре- „ Проделайте ещё такой опыт,
угольников можно совместить" с тре- Возьмите три палочки любых раз-
угольником ЛВС на рис. 99: правый— меров (лишь бы наибольшая из
лицевой стороной, а левый—изнанкой. них была меньше суммы осталь-
ных двух). Составляйте из них
треугольники, и вы увидите, что всякий раз получается один и
тот же треугольник в разных положениях.
Эти опыты приводят нас к такому признаку равенства треуголь-
ников:
Первый признак равенства треугольников. Если три стороны
одного треугольника соответственно равны1) трём сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Или короче: треугольники равны по трём сторонам»
Замечание 1. Если у двух треугольников ABC и AiB1Ci
соответственно равны стороны, то отсюда следует, что и углы их
соответственно равны. Но если у двух треугольников ABC и А1В1С1
соответственно равны углы, т. е.
LA=LAU LB=LBly LC=LCVy
то отсюда ещё не следует, что равны и их стороны. На рис. 102
изображены треугольники ABC и AXBXCV Они имеют разные раз-
меры, но одинаковую форму: три угла одного треугольника соот-
ветственно равны трём углам другого, но стороны этих треуголь-
ников не равны. Значит, не равны и сами треугольники.
*) Выражение «стороны треугольников соответственно равны»
означает, что для двух треугольников ЛВС и AiBtCi имеют место сле-
дующие равенства: сторона АВ первого треугольника равна стороне AtBt
второго треугольника, сторона ВС равна стороне В£х и сторона СА равна
стороне CiAlt Если пропустить слово «соответственно» и сказать «стороны
треугольников равны», то это выражение можно понять и в том смысле,
что как в треугольнике ABC, так и в треугольнике A^fii все три стороны
треугольника равны между собой, т. е. оба треугольника — равносторонние*.

§ 32. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 59
Замечание 2. Два четырёхугольника с тремя и даже с
четырьмя парами соответственно равных сторон % могут быть не
С,
Рис. 102. Углы этих двух треуголь-
ников соответственно равны, но тре-
угольники не равны.
Рис. 103. Стороны этих четырёхугольни-
ков соответственно равны (АВ=АХВХ;
ВС = ВХСХ\ CD^QDl) DA^DiAJ,
но четырёхугольники не равны.
Рис. 104. Шарнирный четырёхуголь- Рис. 105. Шарнирный четырёхугольник,
пик — нежёсткое соединение четырёх изображённый на рис. 104, изменил
планок (см. рис. 105). свою форму: углы стали другие.
равны друг другу. На рис. 103 изображены четырёхугольники
ABCD и AiBfiiDx с четырьмя парами
соответственно равных сторон:
АВ = А1В1, ВС=В1С1
и т. д. Эти четырехугольники не равны:
соответственные углы в них не оди-
наковы.
Четырёхугольник, составленный из
шарнирно сочленённых планок (рис. 104),
можно преобразовать в четырёхуголь-
ник другой формы (рис. 105), не ме-
няя длины планок. Для этого доста-
точно изменить один из углов; осталь-
ные углы изменятся сами собой. Рис юб. Шарнирный треуголь-
Если же вместо четырёхугольника ник—жёсткое соединение.
взять треугольник, то и при шарнир-
ном соединении планок (рис. 105) форму его изменить невозможно.

60
ГЛ. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
Говорят, что треугольник представляет собой жёсткое, а четырёх-
угольник — нежёсткое соединение.
Пример 1. На рис. 107 изображён подъёмный кран, состав-
ленный из металлических стержней. Решётка, образуемая этими
стержнями, состоит сплошь
из треугольников. Если ре-
шётку составить из четырёх-
угольников, прочность со-
оружения будет гораздо
меньшей, так как в ме-
стах склёпки стержней
станут возможны изменения
углов.
Пример 2. Рама муж-
ского велосипеда состоит
из пяти трубок. Из них
четыре образуют четырёх-
угольник, а пятая служит
диагональю четырёхуголь-
ника. Хотя эта пятая трубка
увеличивает вес велосипеда,
но зато рама становится
гораздо прочнее.
Рис. 107. Подъёмный крап, изображённый
на этом рисунке, прочен, потому что ме-
таллическая решётка состоит только из
треугольников.
§ 33. Построение треугольника по двум сторонам и углу
между ними. Второй признак равенства треугольников.
Задача 16. Построить треугольник по данным двум его сторо-
нам a, b и заключённому между ними углу /.
I 1
Рис. 108. Задача: по-
строить треугольник
по двум его сторонам а
иди углу 1, заключён-
ному между ними.
С а В
Рис. 109. Решение задачи, дан-
ной па предыдущем рисунке.
Стороны и угол могут быть заданы на чертеже (как на рис. 108)
или своими размерами, например: а = 29 мм\ Ь = 26 мм; Z. 7 = 35°.
Построим с помощью транспортира угол С, равный заданному
углу 1 (рис. 109); на сторонах его откладываем отрезки СА = Ь и

§ 34. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 61
СВ = а. Концы их А и В соединяем, и мы находим треуголь-
ник ABC, удовлетворяющий условию задачи. Опыт показывает,
что всякий другой треугольник, удовлетворяющий условию задачи,
можно совместить с треугольником ABC либо лицевой стороной,
либо изнанкой (как треугольник А1В1С1 на рис. ПО). Это приво-
дит нас ко второму признаку равенства треугольников.
Второй признак равенства треугольников. Если две стороны и
заключённый между ними угол одного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам и заключённому между ними углу
другого треугольника, то такие треугольники равны.
С С,
с g 4
Рис, 110. Треугольник ЛхВ^!
тоже удовлетворяет условию
задачи, даипой иа рис. 108.
Его можно совместить с тре-
угольником ЛВС (рис. 109),
но для этого нужно поло-
жить его паизпаику.
Или короче:
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Замечание. Слова «между ними» существенны; если соот-
ветственно равные углы двух треугольников лежат не между
соответственно равными сторонами, а против соответственно
равных сторон, то треугольники могут быть и не равны.
Так, треугольники ABC и Аф^Сх на рис. 111 не равны. Однако
две стороны одного треугольника соответственно равны двум сто-
ронам другого (СА^С^; СВ = С1В1), и угол В, лежащий про-
тив САУ равен углу Ви лежащему против С^АХ.
§ 34. Построение треугольника по стороне и двум углам.
Третий признак равенства треугольников.
Задача 17. Построить треугольник по данным двум его
углам ^/ и /,2 и стороне а, соединяющей вершины этих углов
(рис. 112).
На какой-нибудь прямой BD строим отрезок ВС=а (рис. 113).
При концах его В и С строим углы C£F = £ 1 и ВСЕ =£2
по одну сторону от прямой BD. Пусть А есть точка пересечения
В,
а.
д
Рис. 111. В этих двух тре-
угольниках две стороны соот-
ветственно равны (CA = CiAt
и СВ = CiBi), и углы, лежащие
против одной пары соответст-
венных сторон, равны (L В=.
= L Вх), но треугольники не

62
Г Л* 4. ТРЕУГОЛЬНИК
лучей BF и СЕ1). Тогда треугольник ABC удовлетворяет усло-
виям задачи.
Опыт показывает, что всякий другой треугольник, удовлетворяю-
щий условию задачи (например треугольник А1В1С1 на рис. 114),
равен треугольнику АВС*)> Это приводит нас к третьему признаку
равенства треугольников.
Третий признак равенства треугольников. Если сторона и
два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно
Рис.112. Задача: пост роить тре- Рис. 113. Решение задачи, Рис. 114. Тре-
угольник по двум его углам 2 / данной на предыдущем угольник AiB^d
и /.2-й стороне а, соединяю- рисунке. тоже удовлетво-
щей вершины этих углов. ряет условию
этой задачи.
равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого тре-
угольника, то такие треугольники равны.
Или короче:
Треугольники равны по стороне и двум прилежащилс углам.
Упражнения и задачи
67. Возможен ли треугольник со сторонами:
а) а = 25 см, Ь— 30 см, с = 40 см;
б) с = 35 мм, £ = 60жж, с = 22 мм;
в) а = 5,4 м, £ = 2,3 м> с -=3,1 л?
68. Построить треугольник со сторонами я = 6 см, # = 4 см, с = 3 см.
Какой это треугольник — остроугольный, тупоугольный или прямоугольный?
69. Возможен ли равнобедренный треугольник, у которого основание
в 2 у раза больше боковой стороны; в 1 -^- раза?
*) Эта задача имеет решение только в том случае, когда сумма углов 1
и 2 меньше, чем 180°. В случае, когда сумма углов 1 и 2 больше 180°
(сделайте чертёж), лучи BF и СЕ не пересекутся (противоположно напра-
вленные лучи прямых BF и СЕ пересекутся по другую сторону прямой
BD, но углы полученного треугольника не будут равны углам 1 и 2, а бу-
дут дополнять их до 180°).
В случае, когда L 1 + L 2= 18D0 (сделайте чертёж), лучи тоже не пере-
секутся, потому что прямые BF и СЕ будут параллельны. Действительно,
соответственные углы FBD и ECD будут в этом случае равны, так как
каждый из них вместе с углом АСВ=/т2 будет составлять 180°.
2) Для совмещения треугольников ЛВС и i4151Ci один из них нужно
положить изнанкой.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
аз
70. Построить, если возможно, какой-нибудь равнобедренный треуголь-
ник, у которого боковая сторона в 2 -^ раза больше основания.
71. Периметр равностороннего треугольника содержит 22 м. Найти
длины его сторон,
72. Начертив два отрезка, примите один за периметр равнобедренного
треугольника, а другой за боковую сторону. Постройте, если возможно,
этот треугольник циркулем и линейкой (не размеченной).
73. Возможен ли равнобедренный треугольник с периметром 18,4 м,
у которого основание длиннее боковой стороны на 2,2 м! Если возможеп,
то каковы его стороны?
74. Возможен ли равнобедренный треугольник с периметром 20 м,
у которого основание длиннее боковой стороны на 5,3 м7 Если возможен,
то каковы его стороны?
75. Постройте треугольник со сторонами я = 30 мм; # = 40 мм, между
которыми заключен угол С =110°. Измерьте третью сторону с. Можно ли
построить другой треугольник, удовле-
творяющий условию задачи, но имею-
щий третью сторону иной длины?
76. Постройте, если возможно, тре-
угольник со сторонами а = 30 мм,
Ь = У2 мм, у .которого против сторо-
ны Ь лежит угол # = 40^ Измерьте
третью сторону с. Можно ли построить
другой треугольник, удовлетворяющий
условию задачи, но имеющий третью
сторону иной длины?
Указание. Сначала постройте
угол В, потом сторону а.
77. Тот же вопрос при условии:
£=?40°, я = 30 мм, £=16 мм.
78. Чтобы измерить расстояние
между точками А и В, разделёнными
непроходимым пространством (рис. 115),
можно поступить следующим образом.
Из некоторой точки С провешиваем
прямые BCD и АСЕ, промеряем рас-
стояния АС и ВС и откладываем рас-
стояния CD —С В и СЕ=СА. Наконец,
измеряем расстояние DE. Найденная дли-
на равна длине АВ. Объясните, почему,
Будут ли прямые АВ и DE при описанном здесь построении парал-
лельны? Ответив «да» или «нет», приведите ваши доводы.
Замечание. Нет необходимости откладывать расстояния, равные
расстояниям СВ и СА. Можно уменьшить их в одно и то же число раз.
Тогда DE даст расстояние АВ, уменьшенное во столько же раз.
79. Можно ли для решения предыдущей задачи отложить СЕ = СВ и
CD = CA и считать, что DE = AB1 Будут ли прямые АВ и DE параллельны
и при этом построении?
80. Чтобы на местности восставить перпендикуляр к данной прямой
в данной точке А, можно поступить так. На данной прямой на равных
расстояниях от точки А вбиваем в землю два кола В и С. К ним при-
цепляем .концы верёвки, которая длиннее, чем ВС, и на которой лосре*
Дине завязан узел. Взявшись за этот узел, туго натягиваем верёвку. Пря-
уая, соединяющая узел натянутой верёвки с точкой А, должна быть
~ [дикулярной к данной прямой. Объясните, почему.
Рис. 115. Чтобы измерить расстоя-
ние АВ, проведём прямые АС, СВ,
продолжаем их и откладываем
CD= СВ, СЕ= С А. Тогда DE=AB.

64
ГЛ. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
§ 35. Сумма углов треугольника.
Начертите несколько треугольников различного вида. Измерьте их
углы и найдите для каждого треугольника сумму трёх его углов.
Вы будете, вероятно, удивлены тем, что каждый раз получится
либо ровно 180°, либо почти 180°, с небольшим недостатком
или избытком. Происходят ли эти отступления от неточности
наших чертежей и измерений? Или, может быть, сумма углов
треугольника не всегда составляет 180°, а колеблется, скажем,
от 179°59' до 180°Г? А может быть лишь у малых треугольников
сумма углов составляет около 180°, а у больших, которые не поме-
В щаются на чертёжном листе, сумма углов
D 1 /уА 7/ Е может оказаться значительно меньшей
\г V/ или значительно большей?
/ \ На эти вопросы нам даст ответ сле-
/ \ дующее рассуждение.
/\ (f\ Возьмем какой-нибудь треугольник
а с ABC (рис. 116) и через одну из его
~ lte п вершин В проведём прямую DE, парал-
Рис. 116. Сумма углов вся- r v L л^
кого треугольника равна 180°: лельную противоположной стороне АС.
LA+ L В + L С = 18(Р. Мы получим у вершины В три угла:
угол Ву принадлежащий треугольнику
ABC, и два угла, обозначенные цифрами 1 и 2. Эти три угла, как
мы знаем (§ 22), в сумме составляют в точности 180°;
L 1+L £.+ Z2 = 180°.
Учтём теперь, что угол А и угол / — это внутренние накрест-
лежащие углы при параллельных АС и DE и секущей АВ. Точно
так же угол С и угол 2 — внутренние накрестлежащие углы при тех
же параллельных, но при секущей ВС. Значит, угол / равен углу А>
а угол 2 равен углу В.
Заменим теперь в равенстве ^ / -f- Z. В-{- L 2=180° углы / и 2
равными им углами Л и С. Мы получим равенство
L А+ Z.B+/. С=180°.
Это рассуждение можно дословно повторить для треугольника
любого вида и любых размеров. Поэтому теперь мы можем утвер-
ждать, что
сумма углов всякого треугольника равна 180°.
Пример 1. Один угол треугольника содержит 24°, дру-
гой— 110°. Найти третий угол.
Решение. Сумма двух даннных углов 24°-f-110°= 134°.
Значит, третий равен 180°—134° = 46°.
Пример 2. В треугольнике может быть только один прямой
угол. Действительно, два прямых угла составляли бы 180°, и на
долю третьего ничего не осталось бы. По этой же причине в прямо-

§ 36. АКСИОМЫ, ТЕОРЕМЫ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 65
угольном треугольнике не может быть ни одного тупого угла,
а двух тупых углов не может иметь никакой треугольник.
Пример 3. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых
углов составляет 90°, так как вместе с прямым углом (90°) она
должна быть равна 180°.
§ 36. Аксиомы, теоремы, доказательства.
Рассуждение, устанавливающее какую-нибудь истину, называется
в математике доказательством. Доказываемая истина называется
теоремой. В предыдущем параграфе, например, мы доказали такую
теорему: сумма углов всякого треугольника равна 180°.
При доказательстве всякой теоремы нам приходится ссылаться
ка некоторые ранее известные свойства. Так, при доказательстве те-
оремы о сумме углов треугольника мы ссылались на то, что внут-
ренние накрестлежащие углы при параллельных равны.
Свойства, на которые мы ссылаемся при доказательстве, в свою
очередь могут быть теоремами, г. е. устанавливаться с помощью
рассуждения. Но некоторые утверждения мы должны положить
в основу дальнейших рассуждений, приняв их без доказательства.
Эти утверждения нам подсказывает опит. Истины, принимаемые
без доказательства, называются аксиомами.
Так, например, равенство внутренних накрестлежащих углов при
параллельных не было нами доказано. Мы приняли его за аксиому.
Многие другие утверждения (например, «через две точки можно
провести только одну прямую линию», «перпендикуляр короче на-
клонной», «соответственные углы при
параллельных равны» и др.) мы также
приняли за аксиомы.
Однако число аксиом можно было бы
значительно уменьшить, так. как многие
свойства, принятые нами без доказатель-
ства, можно было бы установить с по-
мощью рассуждений. Так, например, в § 27
мы привяли за аксиомы 1) равенство
соответственных углов при параллельных, п? Внутоенние накоестле-
2) равенство ввутренних накрестлежа- рис*11 '• мУтРенние накрестле
щих углов при параллельных. Но можно ™* ^"«Р? ?ар/ал?!^ь1!ь?
было бы лишь первое свойство принять Равны- Z. <* — z. a, z. * — z. о.
за* аксиому, а второе доказать, рассуждая
так: углы 1 и 3 (рис. 117)—-вертикальные; значит (§ 23) они равны:
Углы 1 и 5 — соответственные при параллельных; значит (согласно принятой
аксиоме) они тоже равны:
Н[о. так как оба угла L 3 и L 5 равны углу /, то они и между собой рааиы:
L3=£5.

66
ГЛ. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
Таким же образом можно доказать равенство внутренних накрестлежащнх
углов 4 ъ 6.
В подробных учебниках геометрии даётся лишь небольшое число аксиом;
все остальные геометрические свойства (многие из которых очевидны не
меньше, чем аксиомы) доказываются. Делается это для того, чтобы выяснить
не только сами свойства, но и их взаимную связь.
Чтобы доказательства были вполне точными, нужно дать точное
объяснение всех вновь вводимых геометрических понятий. Эти объ-
яснения называются определениями. Так, в § 25 мы дали определе-
ние параллельных прямых (две прямые, которые лежат в одной пло-
скости и нигде не пересекаются, называются параллельными); в § 22
было дано определение смежных углов, в § 23 — определение вер-
тикальных углов и т. д.
Некоторые геометрические попятия по необходимости принимаются без
определения. Это — начальные понятия; они выясняются из опыта. Таково,
например, понятие прямой линии. Во введении мы пояснили его на примерах,
но определения не дали. Можно, конечно, какое-либо свойство прямой линии
принять за её определение, но тогда нужно без определения ввести какое-
либо другое понятие. Например, если сказать, что прямая линия — это такая,
которая даёт кратчайшее расстояние между двумя точками, то без опреде-
ления остается слово «расстояние».
§ 37* Свойства равнобедренного треугольника.
Теорема 1. Во всяком равнобедренном треугольнике {ABC на
рис. 118) углы при основании равны (£ А = Z. С).
Это можно доказать следующим образом. Разделим основание
АС пополам в точке D. Проведя прямую BD (отрезок BD является
медианой), получим два треугольника: ABD и
CBD. Три стороны одного из них соответствен-
но равны трём сторонам другого, именно:
1) АВ = ВС, потому что треугольник ABC —
равнобедренный, 2) AD = DC, потому что АС
мы разделили точкой D пополам; 3) сторона
BD — общая у обоих треугольников.
По первому признаку равенства треугольни-
ков (§ 32) треугольники ABD и CBD равны *).
Значит, их углы А и С (они заключены между
соответственно равными сторонами двух тре-
угольников) равны друг другу. Теорема доказана.
Замечание 1. Только равнобедренный тре-
угольник обладает доказанным свойством. Иными
словами, если в каком-нибудь треугольнике ABC
углы А и С равны, то стороны АВ и ВС тоже равны, т. е. тре-
угольник ABC—равнобедренный.
Замечание 2. Так как равносторонний треугольник принад-
лежит к числу равнобедренных и любую его сторону можно при-
Рис. 118. В равно-
бедренном тре-
угольнике углы
при основании рав-
ны: Z А = L С.
1) Их можно совместить, перегнув чертёж по линии BD*

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
67
нять за основание, то все три его угла равны друг другу. Но сумма
их составляет 180°. Значит, в равностороннем треугольнике каждый
угол содержит по 6(Р.
Равнобедренный треугольник обладает еще таким замечательным
свойством:
Теорема 2. Во всяком равнобедренном треугольнике медиана,
биссектриса и высота, проведённые из вершины, совпадают dpvz
с другом. И*
Это можно доказать следующим образом. Проведём медиану
BD равнобедренного треугольника ЛЯС (рис. 118) и, как в теореме 1,
докажем равенство треугольников ABD и CBD. Из равенства этих
треугольников следует:
1) что углы ABD и CBD равны; значит, медиана BD есть также
биссектриса треугольника ABC при вершине В\
2) что смежные углы ADB и CDB равны; в сумме они соста-
вляют 180°; значит, каждый из них ^-прямой, т. е. медиана BD есть
также высота треугольника ABC.
Упражнения и задачи.
81. Угол при вершине равнобедренного треугольника содержит 20°. Найти
остальные углы. Начертить такой треугольник:
82. Кровля дома (рис. 119) наклонена к горизонтальной линии под углом 30°.
Какой угол составляют между собой J '
стропильные ноги ЗА и ВС1
83. Докажите, что в равнобедренном
прямоугольном треугольнике каждый
острый угол содержит 45°.
84. Для измерения расстояния между
точками А и В (рис. 120), лежащими
на противоположных берегах реки, при-
меняется такой способ. Из точки В
--?в
Рис. 119. Найти угол между стро-
пильными ногами А В и ВС.
Рис. 120. Измерение расстояния
АВ (упражнение 84).
спомощью экера провешивают прямую ВС, перпенликуляпную ir йл н*
с острымHwSS Тi£™£ Я 9Т0Г0 можно воспользоваться угольником
WKyKS £^££?%2£ ВА РаВН° РаС"°ЯНИЮ ВС' -
Докажите равенство этих расстояний.

68 гл. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
85. Как можно, пользуясь угольником с острым углом в 45°, измерить
высоту дерева, растущего одиноко или на опушке леса?
86. Постройте без транспортира угол в 60°, а также угол в 30°.
87. От бумажного треугольника оторваны три его угла, вершины этих
углов совмещены, а стороны вплотную приложены друг к другу. Тогда две
оставшиеся свободными стороны углов (крайние) образуют прямую линию.
Объясните, почему.
88. Может ли при основании равнобедренного треугольника лежать тупой
угол?
89. В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 20° больше
другого. Найти эти углы.
90. В треугольнике один угол на A(f больше другого и на 25° меньше
третьего. Найти все углы. Начертить такой треугольник.
91. В равнобедренном треугольнике основание вдвое больше высоты.
Найти углы такого треугольника.
92. Один угол равнобедренного треугольника втрое больше суммы двух
других. Найти все углы. Начертить такой треугольник.
93. Один угол равнобедренного треугольника втрое меньше суммы двух
других. Найти все углы.
Указание. Эта задача имеет два решения. Найдите оба и начертите
соответствующие треугольники. Предыдущая задача имеет только одно реше-
ние. Объясните причину этого различия.
Рис. 121. Внешние углы треугольника.
94. Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника (или много-
угольника), называется внешним углом треугольника (или многоугольника).
Гак, углы САЕ, BCD,ABF на рис. 121—внешние углы треугольника ABC.
В отличие от внешних углов, углы самого треугольника (или многоуголь-
ника) называются внутренними. Сколько градусов содержит внешний угол
равностороннего треугольника?
95. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не
смежных с ним (так, на рис. 121 L BCD— L Л+ L В). Проверьте это для
частных случаев. Докажите эту теорему для любого треугольника.
96. Докажите, что во всяком выпуклом четырёхугольнике сумма углов
составляет 360°.
Указание: разбейте четырёхугольник на треугольники диагональю.
97. Чему равна сумма углов в выпуклом пятиугольнике, в шестиуголь-
нике? Напишите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника
с п сторонами.
98. Сколько градусов содержит сумма внешних углов равностороннего
треугольника? Докажите, что в любом треугольнике она имеет ту же
величину.
Указание. Можно применить теорему, приведённую в упражне-
нии 95.

§ 38. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 69
99. Сколько градусов содержит сумма внешних углов четырёхугольника?
Указание, внешний угол при вершине А равен 180° — Z. А; внешний
угол при вершине В равен 180°—L В и т. д. Сложите эти выражения и
учтите, что сумма внутренних углов четырёхугольника составляет ЗбО3.
100. Сколько градусов содержит сумма внешних углов пятиугольника,
шестиугольника?
Указание. Можно применить рассуждение, указанное в предыдущем
упражнении. Другой способ: обойдём границу многоугольника в каком-нибудь
направлении и отметим на каждой стороне стрелкой направление обхода.
Из произвольной точки О проведём лучи, параллельные этим направлениям.
Они образуют углы, равные внешним углам многоугольника.
101. Один угол треугольника равен 30°. Какой угол составляют друг с
другом биссектрисы двух других углов?
§ 38. Построение прямоугольного треугольника
по его элементам.
Задача 18, Построить прямоугольный треугольник по гипоте-
нузе а и катету Ь.
Замечание. Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда
больше катета. Поэтому задача не имеет решения, если a<CJ> или
если а = 6. Если же а^>Ъ> то задача может з
быть решена следующим образом. •
Решений. Построим с помощью угольника
прямой угол А (рис. 122). На одной стороне его
откладываем катет АС = Ь. Из точки С, как из
центра, описываем дугу радиусом а. Эта дуга
пересечёт другую сто-
рону прямого угла в а
точке В. Проведяотре-
зок СВ, находим тре-
угольник ЛВС, удов-
летворяющий условию
задачи.. Опыт показы-
вает4, что всякий дру-
гой треугольник, удов-
летворяющий условию
задачи, будет равен
построенному тре-
угольнику ABC.
Задача 19. Построить прямоугольный треугольник по гипоте-
нузе а и одному из острых углов 1.
Решение. Построим (рис. 123) с помощью транспортира угол В,
равный данному углу /. На одной стороне угла В откладываем
отрезок ВС=а. Из точки С проводим с помощью угольника пер-
пендикуляр С А к прямой В А. Треугольник ABC удовлетворяет усло-
вию задачи. Опыт показывает, что всякий другой треугольник,
удовлетворяющий условию задачи, будет равен построенному тре-
угольнику ABC,
Рис. 122. Построение пря-
моугольного треугольни-
ка но гипотенузе а и ка-
тету д.
Рис. 123. Построение
прямоугольного тре-
угольника по гипоте-
нузе и острому углу.

70
ГЛ. 4. ТРЕУГОЛЬНИК
§ &9. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Рис. 124. Прямоугольные
треугольники равны по
гипотенузе (ВС=BtCi)
и катету (С А = С^),
Решение задачи 18 предыдущего параграфа приводит нас к сле-
дующему признаку равенства прямоугольных треугольников:
Если гипотенуза (ВС на рис. 124) и катет (АС) одного прямо-
угольного треугольника соответственна равны гипотенузе (В%СХ)
и катету (АхСг) другого прямоугольного
треугольника, та такие треугольники
равны.
Или короче;.
Признак а). Прямоугольные тре-
угольники равны по гипотенузе и катету.
Зам-ечание. Таким же образом решение
задачи 19 приводит к следующему признаку ра-
венства прямоугольных треугольников:
Если гипотенуза (ВС) и острый угол (L В)<
одного прямоугольного треугольника соответ-
ственно равны гипотенузе (BtCt) и острому углу
(/. Bt) другого треугольника, то такие треуголь-
ники равны.
Или короче:
Признак б) Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и
острому углу.
Но, в отличие от признака а), признак
Ведь вследствие равенства углов В и В\
как ZC = 90o—Z.5 и L d = 90° — BJ,
АуВхСх равны по стороне (ВС = Bvd) и
(третий признак равенства треугольников).
Можно было бы указать ещё два. признака равенства прямоугольных
треугольников, а именно:
Признак в). Прямоугольные треугольники равны по катету и
острому углу.
Признак г). Прямоугольные треугольники равны по двум катетам.
Но и эти признаки не содержат ничего нового: признак в), как и признак
б), вытекает из третьего признака равенства треугольников; признак же г)
следует из второго признака равенства треугольников (по двум сторбнам
и углу между ними; ведь углы между катетами — прямые).
В противоположность этому, признак а) не вытекает из второго признака.
Правда, и в признаке а) две стороны и угол одного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам и углу другого треугольника (катет, гипоте-
нуза и прямой угол). Однако этот угол лежит не между соответственно
равными сторонами, а против одной из них. А в этом случае, как мы видели
в § 33, непрямоугольные треугольники могут быть и неравны.
6) не является для нас новым;
равны также углы С и Сл (так
Значит, треугольники ABC и
двум прилежащим, к ней углам

ГЛАВА ПЯТАЯ.
ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ
И ЛИНЕЙКОЙ.
§ 40. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляра*
Решая ряд задач на построение, мы пользовались, кроме циркуля
и линейки, также угольником, транспортиром и масштабной линей-
кой. Но три последние инструмента (особенно транспортир и мас-
штабная линейка) вносят в построение значительные погрешности.
Поэтому при более точной работе во многих случаях предпочти-
тельно обходиться без них и пользоваться только
циркулем и линейкой. Линейка должна быть вы-
верена, графит на пишущей ножке циркуля дол-
жен быть остро отточен. Точно так же должно
быть остро отточено остриё карандаша. Каран-
даш не должен быть мягким и все линии нужно
проводить как можно тоньше. Тогда построения
циркулем и линейкой будут обладать большой
точностью. В этой главе основные задачи на
построение решены с помощью циркуля и ли-
нейки.
Задача 20. Разделить пополам данный от-
резок АВ.
Решение. Из центров А и В опишем две
дуги (рис. 125) произвольным, но одним и тем
же радиусом, ббльшим чем -~ АВ *).. Эти дуги пересекутся в двух
точках (L и М на рис. 125) 2). Соединим точки L и М. Прямая
LM пересечёт АВ в точке D, которая и разделит АВ пополам.
Проделайте это построение и проверьте результат циркулем.
Сравнив это решение и решение с помощью масштабной линейки,
«й убедитесь, что решение циркулем и линейкой много точнее.
М
Рис. 125. Решепие
задачи: разделить
данный отрезок АВ
пополам.
1
*) Если этот радиус будет меньше чем -д- АВ, дуги не пересекутся.
*) Йа практике нет нужды вычерчивать две дуги полиостью; достаточно
сделать небольшие засечки возле точек L и М.

72 ГЛ. 5. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ построения циркулем и линейкой
Докажем теперь, что это построение теоретически обла-
дает полной точностью. Проведём вспомогательные отрезки AL,
LB, ВМ, МА (рис. 126).
Рассмотрим треугольники LAM и LBM. Они равны по трём
сторонам (AL = LB; АМ=.МВ\ LM — общая). Значит, Z^=Z.2,
т. е. LD есть биссектриса угла ALB. Рассмот-
рим теперь равнобедренный треугольник ALB.
Прямая LD является в нём биссектрисой угла
при вершине; значит (§ 37, теорема 2) она
является также и его медианой, т. е. D есть
_^ о середина отрезка АВ.
Задача 21. Провести перпендикуляр к дан-
ному отрезку АВ через его середину.
Эта задача решается как предыдущая; прямая
LM, как мы доказали, проходит через середину
отрезка АВ. В то же время она является пер-
пендикуляром к прямой АВ, потому что бис-
сектриса LD равнобедренного треугольника яв-
ляется также и его высотой.
Задача 22. Из данной точки N прямой PQ
восставить к этой прямой перпендикуляр.
Решение. Отложим на прямой PQ (рис. 127) по обе стороны
от точки N равные отрезки NA и NB (произвольной длины). Тогда
точка N станет серединой отрезка АВ, и задача решается как
две предыдущие. Именно, из точек А и В описываем две дуги
ж
Рис. 126. Доказа-
тельство правиль
ности решения пре-
дыдущей задачи.
N
В
ж
Рис. 127. Решение задачи: из
данной точки N прямой PQ
восставить к этой прямой пер-
пендикуляр.
Рис. 128. Решение задачи: из
данной точки L опустить на
данную прямую PQ перпенди-
куляр.
одним и тем же радиусом (ббльшим чем AN). Эти д£ги перет
секутся в двух точках I и М. Прямая LM пройдёт, как мы до-
казали в задаче 20* через середину отрезка АВ, т. е. через дан-
ную точку N. Кроме того, как доказано в задаче 21, прямая LM
будет перпендикуляром к прямой АВ.

§ 42. ДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОПОЛАМ
73
Замечание. Можно не находить двух точек L и М, а ограничиться
одной, например L. Соединив её с N, получим искомый перпендикуляр. Но
при этом построении погрешность будет больше, так как мы лишаемся тре-
тьей «контрольной» точки М.
Задача 23. Из данной точки L опустить на данную прямую
PQ перпендикуляр.
Решение. Из точки L (рис. 128) опишем какую-нибудь дугу,
пересекающую PQ в двух точках (Л и В на рис. 128). Из этих
точек тем же раствором циркуля описываем две дуги. Они пересе-
кутся в некоторой точке М (а также, ко-
нечно, и в L). Соединяя точки L и М, _\ ^А
получим искомый перпендикуляр LM.
Доказательство — то же, что в задаче 20.
§41. Перенос угла.
Задача 24. При данной вершине К
и данном луче КМ построить угол, равный
данному углу ABC.
Решение. Из вершины В данного
'угла ABC (рис. 129) описываем произволь-
ным радиусом дугу PQ, пересекающую сто-
роны угла в точках Р и Q. Тем же ра-
диусом описываем из центра К дугу RS,
пересекающую луч КМ в точке R. Из точ-
ки R проводим дугу ab радиусом, равным
хорде PQ (при построении нет нужды
проводить эту хорду). Точку пересечения
Т дуг ab и RS соединяем с точкой К- Мы получим угол TKR>
равный углу ABC.
Доказательство. Треугольники PBQ и TKR равны по трём
сторонам. Именно, BQ = KR, так как дуги PQ и RT описаны од-
ним и тем же радиусом; по той же причине ВР — КТ\ наконец,
PQ = RT, так как дуга ab была проведена радиусом, равным PQ.
Из равенства треугольников PBQ и TKR следует равенство углов
TKR и ABC.
Рис. 129. Решение задачи:
при данной вершине К
и данном луче КМ по-
строить угол, равный дан-
ному углу ЛВС.
§ 42. Деление угла пополам.
Задача 25. Разделить пополам данный угол ВАС.
Решение. Из вершины А (рис. 130) проводим дугу произволь-
ным радиусом. Эта дуга пересечёт стороны угла в точках D и Е.
Из точек D и Е описываем две дуги ab, cd одним и тем же про-
извольным радиусом, ббльшим чем -к DE (удобнее всего сохра-
нить прежний раствор циркуля). Точку пересечения F дуг ab, cd

74 ГЛ. 5. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ построения циркулем и линейкой
Ряс. 130. Решение задачи: раз-
делить пополам данный угол
ВАС.
соединяем с точкой А прямой АР. Эта прямая и делит пополам
угол ВАС. ,„
Доказательство. Треугольники ADF и AEF равны по трём
сторонам (AE = AD\ EF = DF, AF — общая сторона). Из равенства
треугольников ADF и AEF следует
равенство углов 1 и 2, т. е. прямая
AF делит пополам угол ВАС*
Этим же способом можно разде-
лить данный угол на А равные части;
для этого сначала делим пополам дан-
ный угол, а затем —каждую из поло-
вин. Идя далее, можем разделить угол
на 8, 16 и т. д. равных частей.
Замечание. Для того чтобы разде-
лить произвольный угол на три в точно-
сти равные части, линейки и циркуля
недостаточно. Нельзя также циркулем и
линейкой разделить произвольный угол
на 5, 6, и 7 в точности равных частей.
В противоположность этому, всякий отрезок циркулем и линей-
кой можно разделить на любое число равных частей. Как это сде-
лать, будет объяснено в следующей главе.
§ 43. Построение параллельных летний.
Задача 2G. Через данную точку С провести прямую, парал-
лельную данной прямой АВ.
Решение. Из точки С (рис. 131) описываем произвольным ра-
диусом дугу MN, пересекающую прямую АВ в точке М. Из точки
М тем же раствором циркуля опи-
сываем дугу CL, пересекающую АВ
в точке L.
Теперь измеряем циркулем рас-
стояние CL и этим раствором циркуля
описываем из центра М небольшую
дугу ab, пересекающую дугу MN в
точке К- Соединяем точки С и К»
Прямая С К будет параллельна АВ.
Для доказательства проведём
вспомогательные прямые CL, СМ,
МК. Треугольники LMC и КСМ
равны по трём сторонам (СК^= i
=ML; CL = MK; СМ — общая). Значит, внутренние накрестлежа-
щве углы 1 и 2 равны, и потому прямые СК и АВ параллельны.
Другой способ построения параллельных линий объяснён в упраж-
нении 116.
Рис. 131. Решение задачи: через
данную точку С провести пря-
мую, параллельную данной пря-
мой АВ.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 75
Упражнения я задачи.
102. Построить циркулем и линейкой угол в 60°,
103. Разделить линейкой и циркулем прямой угол на три равные
част
104. Построить линейкой и циркулем угол в 45 ° и в 22 ^- °.
105. Построить циркулем и линейкой угол в 7у0.
106. Циркулем и линейкой построить треугольник ABC по следующим
данным: но стороне Л5 = с и углам Л= Li и5 = L2 (отрезок с, а также
углы 1 и 2 задайте сами на чертеже).
107. То же по стороне АВ = с и углам А= £1 и С= Z&
108. То же по углу А и сторонам АВ = с и ВС=а, причём а>с.
Замечание. Если а<с, то задача может оказаться невозможной;
убедитесь в этом.
109. Циркулем и линейкой построить какой-нибудь равнобедренный (не
равносторонний) треугольник и провести медианы из вершин, лежащих про-
тив боковых сторон.
с \
аЛ
Sb-
\к
А ' 'Рд ПВ
Рис. 132. Построение параллельной
прямой.
110. Циркулем и линейкой построить какой-нибудь прямоугольный тре-
угольник и провести три его медианы.
111. Циркулем и линейкой построить какой-нибудь тупоугольный тре-
угольник и провести три его высоты.
112. Построить равнобедренный треугольник по основанию а и вы-
соте Л.
113. Построить равнобедренный треугольник по высоте Л и боковой
стороне Ь (6>Л).
114. Построить равнобедренный треугольник по основанию а и высоте/,
опущенной на боковую сторону (я>/).
115. Построить треугольник по основанию а, высоте Л, опущенной на
это основание, и стороне Ь (b>h\f
Замечание. Эта задача име%т два решения.
116. Чтобы через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ,
Можно поступить так.
Из точки С описываем (рис. 132) произвольным раствором циркуля дугу
DE, пересекающую АВ в точке D. Тем же раствором циркуля откладываем
на прямой АВ отрезок DF. Тем же раствором циркуля описываем из центра
г дугу аЬ\ она пересечёт дугу DE в точке А?. Прямая СК будет параллель-
яд АВ. Докажите это.
Замечание. Этот способ удобен тем, что здесь не приходится сни-
жать циркулем никакого отрезка. Вследствие этого достигается большая
точность.

76 ГЛ. 5. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
117. Для построения биссектрисы угла ABC (рис. 133) можно поступить
так. От вершины откладываем на сторонах угла две пары равных отрезков:
BD = BE и BK = BL. Прямые КЕ и DL пересекутся в точке О. Проводим
ьрямую ВО. Она и будет биссектрисой угла ABC* Докажите это.
В Е L С
Рис. 133, Построить биссектрисы угла
(упражнение 133).
Указапие. Докажите равенство треугольников BDL и ВЕК, затем ра-
венство треугольников DOK и EOL и, наконец, равенство треугольников
BOD и ВОЕ.
Замечание. Этим способом удобно делить пополам угол, данный на
местности.

ГЛАВА ШЕСТАЯ.
МНОГОУГОЛЬНИКИ.
в
§ 44. Параллелограмм.
Среди всех четырёхугольников наиболее важным для практики
является параллелограмм. Параллелограммом называется всякий че-
тырёхугольник, противоположные сто-
роны которого попарно параллельны.
Так, четырёхугольник ABQD (рис. 134),
у которого АВ || CD и AD || ВС, есть
параллелограмм.
Любая из сторон параллелограмма
может быть названа его основанием;
тогда расстояние между этой стороной
и стороной, лежащей против неё, на-
зывается высотой параллелограмма. На
рис. 134 EF, а также CG — высбты
параллелограмма ABCD. Основаниями
здесь служат стороны AD и ВС.
Рис. 134. Параллелограмм.
АВ || CD и AD \\ ВС Если AD
принять за основание паралле-
лограмма, то EF(a также СО) —
его высота.
§ 45. Свойства сторон, углов и диагоналей параллелограмма.
Теорема 1. Во всяком параллелограмме противоположные
стороны попарно равны.
Доказательство. Проведём в параллелограмме ABCD (рис.
135) одну из диагоналей, например BD. Получим два треугольника
ABD и CDB; у них общая сторона BD; кроме того, Z^=Z^
как накрестлежащие при параллельных прямых ВС и AD, а £2 =
= /, 3 как накрестлежащие при параллельных прямых CD и АВ.
Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по стороне и
двум прилежащим к ней углам. Значит, AB = CD и BC=AD.
Доказанную теорему можно иными словами высказать так:
Отрезки параллельных между параллельными равны.
Теорема 2. Во всяком параллелограмме противоположные
углы равны, а соседние составляют в сумме 18СР.

78
ГЛ. б. МНОГОУГОЛЬНИКИ
Доказательство. Равенство противоположных углов А и С
(рис. 135) следует из равенства треугольников ABD и CD В, дока-
занного в предыдущей теореме. В этих же треугольниках, как мы
установили, Z^=Z4 и ,/3=^/2. Значит, равны также проти-
воположные углы В и £), так как они
представляют собой суммы равных углов:
Z#=Z/+Z2; Z£=Z3+Z4.
Докажем теперь, что соседние углы
параллелограмма А и D составляют в
сумме 180°. Для этого продолжим с?л-
рону AD (рис. 136) за точку D. Мы по-
лучим угол 5, смежный с углом D.
Значит,
Z5 + Z^=180°.
Но углы А и 5 — соответственные при
параллельных АВ, DC и секущей AD.
Значит,
^5 = LA.
Заменим в предыдущем равенстве
угол 5 равным ему углом D; тогда ока-
жется, что
Z4+Z£ = 180°.
Рис. 135. Свойства парал-
лелограмма: 1) противопо-
ложные стороны равны
(AB = CD и ВС=АО))2)
противоположные углы рав-
пы(АА=А C\LB=£D).
В С
Я
Рис. 136. Свойства парал-
лелограмма:3)соседние углы
в сумме составляют 180?
U Л+Z Д=180°;
LB+L А= 180° и т. д.).
С
Так же докажем, что и всякие два
соседних угла параллелограмма в сумме
составляют 180°.
Теорема 3. Диагонали параллело-
грамма в точке их пересечения взаимно
делятся пополам*
Доказательство. Пусть О
(рис. 137) есть точка пересечения диагона-
лей АС и BD параллелограмма ABCD. Рас-
смотрим треугольники AOD и ВОС. Эти
треугольники равны по стороне и двум
прилежащим углам. Именно, BC = AD,
как противоположные стороны паралле-
лограмма; Z^=Z,2, как внутренние
накрестлежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей BD;
L%= L4> как внутренние накрестлежащие при тех же параллель-
ных и секущей АС. Из равенства треугольников следует, что
АО = ОС и BO = ODt т. е. точка О делит каждую диагональ
пополам.
А
Рис. 137. Свойство диагона-
лей параллелограмма: они
взаимно делятся пополам
(А0=0О, BO=OD).

§ 47. прямоугольник
79
§ 46. Построение параллелограмма по его элементам.
Задача 27. Построить параллелограмм по однохму из его углов
(^,7 на рис. 138) и двум непараллельным сторонам а и Ь.
Строим (рис. 139) угол ABC, равный данному углу / (§ 41).
На сторонах его откладываем отрезки В А —а и ВС = £.
Рис. 138. Задача: построить
параллелограмм по углу 2
и двум сторонам а, Ь.
Рис. 139. Решение задачи,
данной на предыдущем ри-
сунке.
П D
Рис. 140. Прямоугольник.
Теперь достаточно провести через точки А и С прямые, соответ-
ственно параллельные прямым ВС и ВА. Но гораздо проще сделать
так: из центра А проведём дугу радиусом Ь, а из центра С — дугу
радиусом а. Точку D пересечения этих дуг соединяем с Л и С.
В С Получаем четырёхугольник ADCB. До-
кажем, что он является параллелограммом.
Проведём диагональ АС. Получим два
треугольника CD А и ABC, которые равны
по трём сторонам. Значит, внутренние на-
крестлежащие углы 5 и 2 равны. Следова-
тельно, прямые AD и ВС параллельны.
Так же докажем параллельность прямых
АВ и DC (рассмотреть углы 3 и 4).
§ 47. Прямоугольник,
Если в параллелограмме ABCD один
изуглоз, например £А, прямой (рис. 140J,
то и остальные — прямые. В самом деле,
в параллелограмме противоположные углы
равны; значит, £С=;£А —90°. Соседние
же углы параллелограмма составляют в
сумме 180° (§ 45, теорема 2); зна-
чит, Z. 5=180°— Z Л=180° — 90° =
д={Ю°. Так же убедимся в том, что £D = 90°.
Оараллелограмм, у которого все углы прямые, называется иря-
Щдугольнижом. Кроме свойств, которыми обладает всякий паралле-
лограмм, прямоугольник имеет и своё особое свойство.* Именно, в
Щнтоугольште диагонали равны. Это следует из равенства прямо-
угольных треугольников ACD и DBA (рис. 141) по двум катетам.
Рис. 141. Диагонали прямо-
угольника равны (AC=BD).

80
гл. 6. МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 48. Ромб,
Если в параллелограмме равны две непараллельные стороны,
то все его стороны равны между собой (это следует из теоре-
мы 1 § 45).
Параллелограмм, у которого равны все стороны, называется
ромбом. На рис. 142 изображён ромб ABCD.
Кроме свойств, которые имеются у всякого параллелограмма,
ромб обладает своими особыми свойствами, а именно:
1. Диагонали ромба делят его углы пополам.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Оба свойства вытекают из равенства треугольников СВО и АВО,
у которых ВО — общая сторона, СО = АО (так как во всяком
параллелограмме диагонали взаимно делятся пополам) и ВС = ВА
(по определению ромба). Из равенства треугольников следует:
1) Z.CBO= Z. АВО, т. е. угол В делится диагональю BD по-
полам. Подобным же образом можно доказать, что и другие углы
ромба делятся пополам соответствующими диагоналями.
2) /_СОВ= /_ АОВ\ но эти углы, будучи смежными, в сумме
составляют 180°. Значит, каждый из них равен 90°, т. е. диагонали
BD и АС взаимно перпендикулярны.
В С
Д D
Рис. 142. Ромб — парал-
лелограмм, у которого
равны все стороны; диа-
гонали его перпендику-
лярны (AC±BD) и делят
его углы пополам.
§ 49. Квадрат.
Параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы
прямые, называется квадратом (рис. 143). Квадрат одновременно
является и прямоугольником (так как его углы прямые) и ромбом
(так как его стороны равны). Значит, квадрат обладает и общими
свойствами всякого параллелограмма, и особыми свойствами прямо-
угольника *и ромба. Поэтому диагонали квадрата равны, взаимно
делятся пополам, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата
пополам, т. е. образуют со сторонами квадрата углы в 45°.
Рис. 143. Квадрат —
параллелограмм, у ко-
торого все стороны
равны и все углы
прямые.

§ 50. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА РАВНЫЕ ЧАСТИ 81
§ 60. Деление отрезка на равные части.
Задача 28. Разделить данный отрезок АВ на данное число
равных частей.
Способ, который здесь приводится, пригоден для деления от-
резка на любое число равных частей, но для большей ясности мы
показываем его на примере, когда АВ требуется разделить на 3
равные части.
Через один из концов отрезка АВ, например через А (рис. 144),
проводим произвольную прямую АС. На этой прямой, начиная от
точки Л, откладываем в нужном числе равные отрезки произволь-
ной длины; в нашем случае откла-
дываем три отрезка AD = DE =
= EF. Крайнюю точку F соеди-
няем с В. Через промежуточные
точки Ё и D проводим прямые
EL и DK, параллельные FB.
Они пересекут отрезок АВ в
точках L и К* Эти точки де-
лят отрезок АВ на три равные
части.
Для доказательства равенства
отрезков АК, KL и LB проведём
через точки D и Е вспомога-
тельные прямые DM и ENy
параллельные АВ. Получим три
треугольника AKD, DME и ENF, которые все равны между собой.
Рассмотрим, например, треугольники AKD и DME.V них AD = DE
(по построению), L1 = L<Z и /а3==/я4(как соответственные
при параллельных прямых). Следовательно, треугольники AKD и
DME равны. Так же можно доказать равенство треугольников
AKD и ENF.
Из равенства треугольников вытекает, что AK=DM=EN.
Но DM — KL и EN=LB (как противоположные стороны парал-
лелограммов). Следовательно,
AK=KL = LB.
Замечание. На практике не нужно проводить все прямые,
параллельные BF. Достаточно провести одну параллель DK и затем
откладывать на АВ отрезки, равные Л/Г. Но если отрезок делится
на большое число частей, полезно, кроме того, провести ещё не-
сколько прямых, параллельных BF. Мы получим на АВ несколько
контрольных точек, и это помешает накоплению погрешностей.
Если проводят несколько параллельных, то предпочтительно поль-
зоваться линейкой и угольником (§ 28).
Рис. 144. Задача: разделить данный
отрезок АВ на три равные части.
Решение: AK = KL=LB.

82
ГЛ. 6. МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 61. Трапеция.
Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны
параллельны, называется трапецией. Параллельные стороны трапе-
ции называются её основаниями, две другие — боковыми сторо-
нами или боками. Расстояние между основаниями трапеции назы-
вается её высотой. На рис. 145 и 146 изображены трапеции ABCD.
У них ВС и AD — основания; АВ и CD — бока, EF — высота.
В £ С S Г С
А Г D А
Рис. 145. Трапеция: AD || ЬС. Рис. 146. Трапеция дру-
AD и ВС — её основания, гого вида.
АВ и CD—бока, EF— высота.
Замечание. Может случиться, что в трапеции параллельны
не только основания, но также и боковые стороны. Такая трапеция
является параллелограммом.
Трапеция, бока которой равны, но не параллельны, называется
равнобочной. На рис. 147 изображена равнобочная трапеция ABCD.
У неё боковые стороны АВ и CD равны, но не параллельны.
Рис. 147. Равнобочная тра-
пеция. Её боковые стороны
равны (АВ = CD), но не
параллельны.
Г D
Рис. 148. В равнобочной
трапеции углы при основа-
нии равны (L Л = L D;
L ABC = L DCB).
Теорема. В разнобойной трапеции углы при основании равны.
Доказательство. Пусть трапеция ABCD (рис. 148) — рав-
нобочная, т. е. AB = CD. Проведём высоты её BE и CF через
вершины В и С. Так как эти высоты равны (BE = CF) и сверх
того по условию AB = CDf то прямоугольные треугольники ABE
и DCF равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, Z^=ZA
т. е. углы при основании AD равны. Углы ABC и DCB при осно-
вании ВС также равны, так как они получаются из равных углов
ABE и DCF прибавлением прямого угла.

§ 52. средняя линяя трллеции и треугольника ЭЗ
§ 52. Средняя линия трапеции и треугольника.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции* на-
зывается её средней линией. На рис. 149 EF— средняя линия тра-
неци» ABCD.
ВС
L
Д D
Рте. 149. Отрезок EF —
средняя линия трапеции.
Свойства средней линии:
l)EF\\AD;
2) EF=±-(AD + BC).
У \
А
Рис. 150. Отрезок EF—сред-
няя линия треугольника AKD*
Свойства её:
1) EF\\AD;
2) EF=±AD.
Точно так же отреаок EF, соединяющий середины сторон АК
и DK треугольника AKD (рис. 150), называется средней линией
треугольника.
При этом стороны АК и KD получают название боковых сторон,
а сторона AD принимается за основание. #
Средняя линия трапеции всегда па-
раллельна её основаниям и равна ах
полусумме. Так, на рис. 149 средняя ли-
ния BF параллельна основаниям AD и ВС
и равна их полусумме, т. е.
EF = j(AD + BC).
Проверьте это на опытах. Доказательство
мы опускаем.
Подобными же свойствами обладает
средняя линия треугольника. Именно, она
параллельна основанию треугольника и
равна его половине. Так, на рис. 150
EF\\AD и EF = :\AD.
Рис. 151. Основание ВС
трапеции ABCD смещает-
ся кверху; когда ВС дости-
гнет вершины К, средняя
линия (EF) трапеции станет
средней линией (Е^) тре-
угольника AKD.
Замечание. Эти свойства средней линии треугольника можно вы-
вести из указанных свойств средней линии трапеции.
Для этого проведём в треугольнике ADK (рис. 151) прямую В С, парал-
лельную основанию. Получим трапецию ABCD.. Её средняя линия EF равна
полусумме AD и ВС, т. е. EF = —(AD-^ ВС), Представим себе теперь, что
верхнее основание ВС удаляется от нижнего основания AD, приближаясь

84
ГЛ. 6. МНОГОУГОЛЬНИКИ
к вершине В. Вместе с тем будет удаляться от AD и средняя линия EF.
Когда отрезок ВС дойдёт до вершины К, его длина станет равной нулю.
Средняя же линия EF займёт положение Е^х и станет средней линией тре-
угольника AKD. Тогда равенство EF^=-^-(AD + В С) обратится в равенство
EtFt = ±AD.
Упражнения и задачи.
118. Один из углов параллелограмма содержит 45°. Найти остальные
углы. Начертить такой параллелограмм циркулем и линейкой.
119. Один из углов параллелограмма вдвое больше другого. Найти все
его углы. Начертить такой параллелограмм циркулем и линейкой.
120. Периметр параллелограмма 80 см. Одна сторона 10 см. Найти осталь-
ные стороны.
121. Периметр параллелограмма 220 см. Одна сторона длиннее другой
на 20%. Найти все стороны.
122. Построить параллелограмм по двум сторонам и диагонали.
123. Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны по-
парно равны. Докажите, что из всех четырёхугольников только параллело-
грамм обладает этим свойством.
124. На рис. 152 изображён чертёжный инструмент, называемый «парал-
лельными линейками». Он состоит из^двух линеек, соединённых планками
д г АВ и CD равной длины. Расстоя-
ц ния АС и BD одинаковы. Планки
соединены с линейками шарнир-
но, так что линейки можно при-
ближать и удалять друг от друга.
Докажите, что линейки всегда ос-
таются параллельными друг другу.
125. Построить параллело-
грамм, у которого диагонали
имеют длины 60 мм и 50 мм, а
угол между ними составляет 135°.
126. Построить циркулем и
линейкой параллелограмм по ос-
нованию а, высоте h и диаго-
нали d.
127. Если диагонали четырёх-
угольника в точке их пересече-
ния взаимно делятся пополам, то этот четырёхугольник является парал-
лелограммом. Докажите это.
128. Через точку пересечения 'диагоналей параллелограмма проведена
прямая. Доказать, что отрезок её между параллельными сторонами делится
в этой точке пополам.
129. Мы знаем, что в прямоугольнике диагонали равны. Однако не только
прямоугольник, но и другие четырёхугольники обладают этим свойством.
Начертите циркулем и линейкой четырёхугольник с равными диагоналями,
у которого один из углов содержит 60°.
130. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм
является прямоугольником. Докажите это.
131. Если в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и парал-
лельны, то ABCD—параллелограмм. Докажите это.
132. Прямая АВ, провешенная на местности (рис. 153), упирается в зда-
ние. Чтобы продолжить её, поступают так: проводят ВС±АВ; CD±BC;
DE±CD и откладывают DE=CB. Затем проводят EF ± CD. Докажите,
что EF есть продолжение прямой АВ.
д D
Рис. 152. Параллельные линейки —
инструмент для проведения параллель-
ных прямых.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
85
133. Построить прямоугольник, у которого диагональ вдвое больше ос-
нования. Доказать, что в таком прямоугольпике диагонали пересекается под
углом в 60°. Какие углы составляет диагональ этого прямоугольника с его
сторонами?
134. Построить прямоугольник, одна сторона которого равна 3,8 см, а
угол между диагоналями содержит 20°.
135. В ромбе точка пересечения диагоналей одинаково удалена от всех
четырёх сторон. Докажите это.
136. Постройте квадрат, диагональ которого равна 40 мм,
137. Если диагонали параллелограмма ABCD взаимно перпендикулярны,
то ABCD—ромб. Докажите это.
138. Вырезанный из бумаги четырёхугольник согнут по диагонали.
При этом противоположные вершины совпали. Можно ли на осповании
этого утверждать, что наш четырёхугольник есть квадрат?
В
С
г—
F
С D
Рис. 153. Провешивание прямой через препятствие.
Рис. 154. Деление доски на части равной
ширины при помощи масштабной линейки.
139. Бумажный четырёхугольник был согнут по одной диагонали; при
этом противоположные вершины совпали. После этого четырёхугольник
был разогнут и вновь согнут по другой диагонали. Противоположные вер-
шины вновь совпали. Можно ли на основании этого утверждать, что наш
четырёхугольник есть квадрат?
140. Начертив произвольный отрезок, разделите его на пять равных
частей циркулем и линейкой. Докажите правильность построения.
141. На рис. 154 показан способ, которым пользуются в столярном деле
для деления доски на части равной ширины. Здесь доска делится на 5 ча-
стей. Линейка с делениями накладывается на доску так, что начальная точка
падает на один край доски. Затем линейка поворачивается, пока пятое её
деление не упадёт на другой край. Через деления 7, 2, 3, 4 проводятся пря-
мые, параллельные краям доски. Докажите правильность этого построения.

86
ГЛ. 6. МНОГОУГОЛЬНИКИ
143?. Начертите произвольный параллелограмм ABCD (рис. 155). Вер-
шину В соедините с серединой F стороны AD, а вершину D — с се-
рединой Е стороны В-С. Диагональ АС разделится на три равные части.
Докажите это.
143. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
Указание. Провести через середину F стороны CD (рис. 156) прямую
PQ || АВ. Доказать равенство треугольников CFQ и DFP. Отсюда следует,
что
PF = ± PQ = ~ АВ =.АЕ.
Значит, четырёхугольник AEFP — параллелограмм (ср. упражнение 131).
A F й
Рис. 155. Деление диагонали
параллелограмма па три рав-
ные части.
а
Р D
Рис. 156. Свойства средней
линии трапеции: 1) EF \\ AD;
2) EF=±(AD + BC).
144. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме осно-
ваний.
Указание. Из равенства треугольников CFQ и DFP (тот же рис. 156)
следует PD=CQt т. е. что AD настолько же длиннее средней линии, на-
сколько ВС короче её. Возьмите сумму оснований.
145. Боковая сторона трапеции АВ (рис. 157) разделена на три равные
части (BL = LN—NA). Через точки деления проведены прямые, параллель-
ные основаниям. Доказать, что
" с сторона CD разделится тоже
на равные части (СМ =М/С=
= KD).
Указание. Провести
CP\\MQ\\KR\\AB.
146. При условиях преды-
дущей задачи найти длины
LMt NK, если известно, что
AD = 60 см; ЯС = 36 см.
Напишите формулы, выра-
жающие LM и NK через осно-
вания трапеции а и b (a=AD,
Ъ=ВС).
147. Из произвольной точ-
ки основания равнобедрен-
ного треугольника проведены
Периметр получившегося па*
г
Рис. 157. Боковая сторона трапеции АВ
разделена на три равные части. Прове-
дены LM, NK параллельно основаниям.
Доказать, что CM=MK=KD.
прямые, параллельные боковым сторонам;
раллелограмма всегда равен сумме боковых сторон треугольника. Дока-
жите это.

§ 53. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Н7
§ 53. Правильные многоугольники.
Рис. 158. Правильный
шестиугольник.
Рис. 159. Правиль-
ный восьмиуголь-
ник.
Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равна,
называется правильным многоугольником.
На рис. 158 изображен правильный шестиугольник, на рис. 159 —
правильный восьмиугольник. Правильный треугольник есть ничто
иное, как равносторонний треугольник; квадрат является правильным
четырехугольником.
Форму правильных многоугольников имеют многочисленные
изделия и детали механизмов: гайки, головки болтов, отверстия
гаечных ключей, плиты пар-
кета, донья гранёных ста-
канов и др.
Задача 29. Построить
правильный многоугольник.
Способ, который здесь
приводится, пригоден для
построения правильного
многоугольника с любым
числом сторон; мы рассмат-
риваем его на примере пра-
вильного пятиугольника.
Решение. Начертим какую-нибудь окружность PQR (рис. 160)
и разделим её точками Л, В, С, D, Е на пять равных дуг.
Для этого поступим так. Построим с помощью транспортира
центральный угол АОВ, равный 360°: 5= 72°; дуга АВ будет пятой
частью окружности. Раствором циркуля,
равным АВ, проводим из центра В не-
большую дугу тп и засекаем на окруж-
ности точку С. Тем же способом на-
ходим точки D и Е. Для проверки из
точки Е проводим ещё дугу kl\ если
она не пройдёт через А, значит, угол
АОВ был построен недостаточно точ-
но или неточно был взят раствор цир-
куля.
После того, как точки Л, В, С,
D9 Е построены, соединяем их прямы-
ми и получаем пятиугольник ABCDE.
Этот пятиугольник правильный. Дейст-
вительно, его стороны по построению
равны; углы его тоже равны, потому
что при повороте всей фигуры около точки О на 72° угол А совпа-
дает с углом В, угол В — с углом Сит. д.
•По отношению к окружности PQR многоугольник ABCDE на-
вивается вписанным в неё; в свою очередь окружность PQR назы-
Рис. 160. Построение правиль-
ного многоугольника ABCDE.

88
ГЛ. 6. МНОГОУГОЛЬНИКИ
вается описанной около многоугольника ABCDE. Центр О окруж-
ности PQR называется также центром правильного многоуголь-
ника ABCDE.
Замечание. Если соединить точки А, В, С, D, Е через одну,
т. е. провести прямые АС, СЕ, ЕВ, BD, DA (рис. 161), то мы получим
пятиконечную звезду ACEBD. Эта
фигура входит в состав нашего госу-
дарственного герба. Заметим, что пяти^
угольник abode правильный.
§ 54. Построение некоторых
правильных многоугольников
линейкой и циркулем.
Для построения правильных много-
угольников, вписанных в окружность,
мы делим окружность на равные части.
Рис. 161. Пятиконечная звезда. Для этой цели можно пользоваться
транспортиром. Но при этом полу-
чается заметная погрешность. В ряде случаев можно выполнить
построение гораздо точнее, не прибегая к помощи транспортира.
Важнейшие из этих случаев мы сейчас рассмотрим.
Задача 30. В данную окружность вписать правильный четы-
рёхугольник (т. е. квадрат).
Решение. Проведём (рис. 162) два взаимно перпендикулярных
диаметра АВ и CD. Для этого точнее всего будет провести диа-
Рис. 162. Задача: в данную окруж- Рис. 163. Задача: в данную ок-
пость вписать квадрат. ружность вписать правильный
восьмиугольник.
метр АВ, а затем построить перпендикуляр через его середину
по способу § 40. Данная окружность разделится на четыре равные
дуги по 90° каждая. Значит,, четырёхугольник ACBD — правильный.

§ 54. ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 89
Задача 31. В данную окружность вписать правильный восьми-
угольник.
Решение. Проведя два взаимно перпендикулярных диаметра АВ
и CD (рис. 163), разделим пополам углы между ними (по способу
§ 42). Получим ещё два диаметра EF и LK* Каждая из дуг ADf
DB, ВС, СА разделится пополам, так что окружность разделится на
восемь равных дуг (AEf ЕС> СК и т. д.) по 45 градусов в каждой.
Значит, восьмиугольник AECKBFDL— правильный.
Замечание. Если разделить пополам углы между диамет-
рами А В и LK\ KL и DC и т. д., то окружность разделится на 16 рав-
ных дуг, и мы получим правильный 16-угольник. Тем же порядком
получим правильные многоугольники с 32, 64 и т. д. сторонами.
Задача 32. В данную окружность вписать правильный треугольник.
Решение. Из какой-нибудь точки А данной окружности ради-
усом, равным радиусу окружности, проводим дугу тп (рис. 164)
Рис. 164. Задача: в данную Рис. 165. Задача: в данпую
окружность вписать пра- окружность вписать пра-
вильный треугольник. вильный шестиугольник.
и засекаем на окружности точку В. Дуга АВ будет составлять одну
шестую часть окружности (т. е. будет содержать 60°). Действи-
тельно, треугольник АОВ — равносторонний по построению. Сле-
довательно, угол АОВ, а значит и дуга АВ, содержит 60°.
Повторив это построение, получим точки С, D, Е и/7, и окруж-
ность разделится на шесть равных дуг, по 60° в каждой. Значит,
точки А, С, Ё делят окружность на 3 равных дуги по 120° в каж-
дой. Поэтому, соединяя точки Л, С и Е, получаем правильный (т.е.
равносторонний) треугольник АСЕ*
Задача 33. В данную окружность вписать правильный шести-
угольник.
Решение. Поступая, квк в предыдущей задаче, делим окруж-
ность на шесть равных частей (рис. 165). Проводя прямые АВ, ВС,
CD и т. д., получаем правильный шестиугольник ABCDEF.

90
гл. 6. МНОГОУГОЛЬНИКИ
Задача 34. В данную окружность вписать правильный 12-угольник.
Решение. Как в предыдущих двух задачах, делим окружность
точками Ау В, С, D, Е, F на шесть равных дуг по 60° в каждой
(рис. 166). Эти дуги делим пополам точками а, Ъ, с, d, е, /, как
в задаче 31. Теперь окружность разделена на 12 равных дуг по
30° в каждой. Значит, 12-угольник AaBbCcDdEeFf—правильный.
Замечание. Таким же способом можно построить правиль-
ные многоугольники с 24, 48 и т. д. сторонами. Линейкой и цирку-
д лем можно разделить окружность также
на 5 (а значит и на 10) равных частей.
Но точное деление окружности на 7,
на 9 и на 11 равных частей линейкой
и циркулем выполнить нельзя.
Упражнения и задачи.
148. Найти величину углов правильного
шестиугольника.
149. Найти величину углов правильного
пятиугольника.
150. Построить с помощью транспор-
тира правильный девятиугольник.
151. Построить циркулем и линейкой пра-
вильный 16-угольник и правильный 24-уголь-
ник, вписанные в окружность с радиусом
25 мм.
152. Построить восьмиугольную звезду.
153. Построить правильный восьми-
угольник со стороной, равной 2 см.
154. Если через точки А, В, С, D, Е, лежа-
щие на окружности PQR (рис. 167), провести
прямые, перпендикулярные к радиусам О А,
ОВу ОС, ODyOE, то эти прямые образуют
многоугольник abcde, называемый описан-
ным около окружности PQR. В свою оче-
редь окружность PQR называется впи-
санной в многоугольник abcde.
Если точки A, By С, D, Е делят окруж-
ность на равные части, то описанный много-
угольник — правильный.
Перпендикуляр, опущенный из центра
правильного многоугольника на его сторону,
называется апофемой этого правильного
многоугольника. На рис.167 отрезок О А есть
апофема правильного многоугольника abcde.
155. В окружность радиуса 15 мм вписать правильный шестиугольник,
а в этот шестиугольник вписать окружность.
156. Около окружности радиуса 22 мм описать правильный 8-угольник,
и около этого 8-угольника описать окружность.
157. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность,
равен 42 см. Найти диаметр окружности.
158. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 36 см*
Найти радиус окружности.
Рис. 166. Задача: в данную ок-
ружность вписать правильный
12-угольник.
Рис. 167. К упражнению 154.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 56. Понятие о подобных фигурах*
В жизни мы часто встречаемся с предметами и фигурами, имею-
щими одну и ту же форму. Размеры их могут быть одинаковы (такие
фигуры равны друг другу), но могут быть и различными. На рис. 168
мы видим две пятиконечные звезды. Размеры их различны, но
форма — одна и та же. Два плана одного
и того же здания имеют одну и ту же
форму; размеры их могут быть одина-
ковы, но могут быть и разными. Модель
машины всегда имеет меньшие размеры,
чем сама машина, но непременно должна
иметь ту же форму. Тела или фигуры,
имеющие одну и ту же форму, в геомет-
рии называют подобными. Подобные фи-
гуры могут быть равными, но могут быть
и неравными.
§ 56. Построение подобных фигур.
В предыдущем параграфе было дано
понятие о подобии фигур. Но оно недо-
статочно, и вот почему. Конечно, на-глаз
видно, когда фигуры имеют одинаковую,
а когда — различную форму. Но мы не
установили ещё точйых признаков по-
добия, а геометрия требует точности.
Чтобы лучше уяснить, каковы точные
признаки подобия, покажем, как можно
строить фигуры одной и той же формы.
Задача 35. Дана фигура ABCD (рис. 169). Построить фигуру,
имеющую такую же форму и вдвое большие размеры.
Решение. Возьмём какую-нибудь точку О и проведём из нее
прямые ОА, ОВ, ОС, OD. Продолжив эти прямые, отложим на них
Рис. 168. Эти две звезды —
подобные фигуры. Хотя раз-
меры их различны, но фор-
ма— одна и та же.

92
ГЛ 7. ПОДОБИЕ ФИГУР
отрезки ОАл> OBlt OClt OD,, вдвое ббльшие, чем отрезки О А, ОВ>ОС%
OD. Соединив точки Аи Blf Clt Du получим фигуру AiByCxD^
Она имеет такую же форму, как ABCDy и вдвое большие размеры.
Чтобы судить об этом не на-глаз, а точно, мы можем поступить
следующим образом. Измерив- отрезки АВ и AtBly мы убеждаемся,
что расстояние AtBt вдвое больше, чем АВ. Так и должно быть,
потому что А В есть средняя линия треугольника ОА^В^ По той
же причине расстояние В1С1 вдвое больше, чем ВС и т. д.
Рис. 169. Решение задачи: дана фи- Рис. 170. Расстояние между любыми
гура ABCD. Построить фигуру той двумя точками фигуры AiBidDt (см.
же формы, по имеющую вдвое боль- предыдущий рисунок) вдвое больше
шие размеры. расстояния между соответственными
точками фигуры ABCD (BlD1 = 2BD;
А^ = 2 Л С; Х& == 2ХВ; Х^ = 2XY
и т. д.).
Вообще, расстояние между любыми двумя точками фигуры
«4,Z?,C,Di вдвое больше расстояния между соответственными
точками фигуры ABCD* Возьмем, например* точки В^ и Dx. В фи-
гуре ABCD им соответствуют точки В и D, и измерение покажет,
что расстояние ВгО{ вдвое больше расстояния BD. Точно так же
расстояние между At и Сх вдвое больше расстояния между соот-
ветственными точками А и С.
Возьмём ещё какую-нибудь точку Xt на стороне AlDl (рис. 170). Сто-
роне AtDi соответствует сторона AD, и потому в пересечении AD с пря-
мой ОХЛ мы получим точку X, соответствующую точке Хг. Расстояние
между Xi и В\ окажется вдвое больше расстояния между соответственными
точками X и В.

§ 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБИЯ
93
Если на стороне Did мы возьмём какую-нибудь точку Yx и построим
соответственную ей точку У, то снова окажется, что Х1У1 вдвое больше,
чем ХУ.
Мы можем продолжать построение соответственных точек (так, для
точки Ux найдём соответственную точку U), и всякий раз расстояние между
двумя какими-нибудь точками фигуры AiB\CiDi окажется вдвое больше, чем
расстояние между соответственными точками фигуры ABCD.
Эти измерения подтверждают, что фигура AiB1C1D1 имеет та-
кую же форму, как ABCD, и вдвое ббльшие размеры.
Замечание 1. Сходство формы фигур ABCD и AlB1C1Dl
проявляется не только в том, что в первой все расстояния вдвое
меньше, чем во второй. Сразу бросается в глаза, что сверх того
все углы этих двух фигур соответственно равны. Так, угол D1AlBl
на рис. 169 равен углу DAB, и угол AtBxCt равен углу ABC.
Если провести прямые AtC{ и АС (они не показаны на рис. 169),
то угол DXA1C1 окажется равным углу DAC, и угол DXCXAX будет
равен углу DCA.
Замечание 2. Тем же способом можно построить фигуру,
подобную ABCD и изменённую (увеличенную или уменьшенную)
в любом отношении (например, в отношении 2:3). Для этого нужно
изменить длины ОА, ОВ и т. д. в требуемом отношении (в нашем
примере укоротить в полтора раза). Тогда все расстояния изменятся
(увеличатся или уменьшатся) в том же отношении. При этом снова
окажется, что соответственные углы двух фигур равны между собой.
Замечание 3. Вместо выражений «соответственные точки»,
«соответственные отрезки» употребляются часто выражения «сход-
ственные точки», «сходственные отрезки».
§ 57. Определение подобия.
В предыдущем параграфе мы построили фигуру A^^C^D^ имею-
щую ту же форму, что данная фигура ABCD, и установили, что
все расстояния в фигуре AlB1CxDi имеют одно и то же отношение
к соответственным расстояниям в фигуре ABCD, Этот точный
признак можно принять за определение подобия.
Определение. Две фигуры называются подобными, если
расстояние между любыми точками одной фигуры имеет одно и то
же отношение к расстоянию между сходственными точками другой
фигуры. Это отношение называется коэффициентом подобия или
численным масштабом.
Или, короче: две фигуры называются подобными, если у них
все сходственные отрезки пропорциональны.
В подобных фигурах сходственные углы всегда равны между
собой (см. замечание 1 § 56).
Иными словами, можно доказать такую теорему: если все сход*
швенные отрезки двух фигур пропорциональны, то все сходствен-
ные их углы равны.

94
ГЛ. 7. ПОДОБИЕ ФИГУР
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Замечание. В выражении «все сходственные отрезки» слово
«все» очень существенно. Чтобы оценить важность этого слова,
рассмотрим рис. 171; здесь изображены квадрат ABCD и
ромб AiBfitDi (сходственные вершины обозначены одинаковыми
буквами). Сходственные стороны этих фигур пропорциональны:
АВ : А1В1 = ВС: В1С1 = CD : C1Dl = DA : D^i = 1:2.
Однако фигуры ABCD и A^^Di не подобны, так как у них н е в с е
сходственные отрезки имеют то же отношение 1:2. Например,
отношение отрезка АС к сходственному отрезку АХС{ равно 1:2 -*-•
В
Рис. 171. Сходственные стороны фи- Рис. 172. Пятикопеечная и трёхкопе-
гур ABCD (квадрат) и AiBiCiDt ечная монеты имеют подобные рисун-
(ромб) пропорциональны; но эти ки. Все сходственные отрезки про-
фпгуры не подобны: отношение порциональны; все сходственные уг-
ACiAtd не равно АВ: АХВ^ Соот- лы равны,
ветственные углы этих фигур не
равны.
Отсутствие подобия ещё нагляднее проявляется в том, что
у квадрата^все углы прямые, а у ромба — тупые и острые.
Чтобы лучше уяснить понятие подобия, рассмотрим следующие
три примера.
Пример 1. На рис. 172 изображены в натуральную величину
две монеты: пятикопеечная и трёхкопеечная. Их рисунки являются
подобными фигурами. Буквы СССР на той и на другой монете
изображены сходственными линиями. Рукоятка молотка на пятикопееч-
ной монете имеет в длину 5 мм, а на трёхкопеечной — 4,5 мм. Отно-
шение этих длин равно 5 : 4,5 = 10 :9 = 1 -д.
В таком же отношении находятся все отрезки на пятикопеечной
монете к сходственным отрезкам на трёхкопеечной. Коэффициент
подобия равен 1 -^. Все сходственные углы чна обоих рисунках
равны. Так, острые углы при вершинах пятиконечной звезды на
обоих рисунках содержат по 36°; тупые углы той же звезды на обоих
рисунках содержат по 72°.
Пример 2. На рис. 173 и 174 даны два плана части по*
с^лка, сделанные в разных масштабах: на верхнем плане з одном

§ 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБИЯ
95
зо
Масштаб
30 60 90 120 м
Рис. 173. План части посёлка в масштабе! : 3000.
<L
М а с ш 1 а 6
40 80 120 160м
Условные обозначения
■■■ wi' Железная дорога
r—jrjrLr. Шоссейная дорога
-*—•—•- Деревянный забор
-*—*—*- Проволочная сеть
стр. | Строящееся здание
ин Здание каменное, нежилсе
2ж 2-этажное, жилое
н •• нежилое
*«- Столб электролинии
hi.i,,,,,,,!. Насыпь
fccffieol Лес лиственный
. Изрытое место
Мост
Рис. 174. Тот же план в другом масштабе 1 :4000.

96
ГЛ. 7. ПОДОБИЕ ФИГУР
сантиметре 30 м, на нижнем — 40 м. Эти два плана являются
подобными фигурами; коэффициент подобия равен 30: 40 = 3 : 4.
Сходственными точками являются изображения одного и того
же пункта. Все сходственные отрезки находятся в отношении 3:4.
Так, на рис. 173 часть Новой улицы от угла улицы Ленина до
угла Школьной имеет в длину 22 мм (округлённо); на плане же
рис. 174 та же часть Новой улицы имеет в длину 17 мм. Отноше-
ние этих длин равно 17 :22 ^0,77. Небольшое отклонение от отно-
шения 3:4=--0,75 объясняется неточностью измерений (более точ-
ные измерения дали бы 22,3 мм и 16,7 мм и мы нашли бы
16,7:22,3^0,75).
Сходственные углы на обоих планах равны. Так, угол, образуе-
мый улицей Ленина и Новой, на обоих планах содержит по 79°.
Под этим же углом эти две улицы сходятся и на самом деле.
По каждому из планов можно определить истинную величину
измеряемого расстояния. Именно, на первом плане в одном санти-
метре 30 м, значит, в одном миллиметре — 3 м9 а в 22 миллимет-
рах— 3*22 = 66 (м). На втором плане в одном миллиметре 4 му
значит, в 17 миллиметрах 4*17 = 68 (м). Таким образом, измеряе-
мое расстояние составляет примерно 66—68 м. Если на обоих
планах произвести более точные измерения (см. вьпйе), то окажется,
что измеряемая длина составляет 67 м.
Так как на первом плане 1 см изображает 30 ж = 3000 см, то
численный масштаб первого плана равен 1 :3000; численный масштаб
второго плана равен 1 :4000.
Обычно наряду с численным масштабом в плане даётся также
его линейный масштаб.
Линейный масштаб — это отрезок, на котором нанесены де-
ления с числовыми отметками. Отметки указывают истинную ве-
личину соответствующих расстояний.
Так, на линейном масштабе плана рис. 173 справа от начальной
точки, помеченной нулём, имеются деления с пометками 30, 60, 90,
120. Это значит, что отрезок 0—30 изображает расстояние 30 м;
отрезок 0—60 — расстояние 60 м и т. д.
Слева от начальной точки изображены длины 6 м, 12 м, 18 му
24 м и 30 м. Длины меньшие, чем 6 м> прочитываются на-глаз.
Чтобы возможно точнее измерить расстояние с помощью линей-
ного масштаба, поступают следующим образом. Снимают расстояние
на плане циркулем, у которого на обеих ножках — иглы. Затем
одна игла («правая») ставится на подходящем делении справа от на-
чальной точки; именно, это деление выбирается так, чтобы другая
игла («левая») попала на отрезок с мелкими делениями. Например,
сняв на плане рис. 173 расстояние по Новой улице от угла улицы
Ленина до угла Школьной, мы должны поставить правую иглу на де-
ление 60, потому что тогда левая игла попадает на отрезок с.мелкими
делениями.

§ 58. ПОСТРОЕНИЕ ПОДОБНЫХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ СЕТКИ 97
Теперь число, указываемое правой иглой (60), складывается с
числом, прочитанным под левой иглой (7); сумма этих чисел 60-f-
—[— 7 = 67 даёт истинную величину измеряемого расстояния.
Линейный масштаб даёт возможность находить истинные
расстояния без всяких вычислений.
Пример 3. Рукоятка молотка на гербе 3-копеечной монеты
(рис. 172) имеет в длину 4,5 мм. Какую длину будет она иметь
на увеличенном фотоснимке, если диаметр монеты, в натуре рав-
ный 22,5 мму в изображении будет равен 36 мм?
Решение. Рисунок на монете и рисунок на её снимке — по-
добные фигуры, т. е. их сходственные отрезки пропорциональны.
Диаметр монеты и диаметр её изображения являются сходствен-
ными отрезками. Их отношение равно 22,5:36. Оно должно рав-
няться отношению. 4,5 :х, где через х обозначена неизвестная длина
рукоятки на изображении. Из пропорции
22,5:36 = 4,5:*
находим:
х = 225 = 7,2 (мм).
§ 58. Позтроэние подобных фигур*с помощью квадратной
сетки.
Построение подобных фигур, объяснённое в § 56, не всегда
применимо на практике, потому что не всегда можно поместить ко-
пию в одной плоскости с оригиналом. В таких случаях можно поль-
зоваться другим способом, который обычно применяется при копи-
ровании картин и портретов. Мы объясним этот способ на следую-
щем примере.
На рис. 175 изображён Химкинский вокзал канала имени Мо-
сквы. Желая сделать копию этого рисунка, мы покрываем его «па-
леткой»/ т. е. плотной прозрачной бумагой с нанесённой на ней
прямоугольной сеткой. Здесь взята квадратная сетка. На листе, где
будет делаться копия, чертится квадратная сетка, которая по окон-
чании работы будет стёрта. Сторона квадрата этой сетки больше,
меньше или равна стороне квадрата на палетке, смотря по тому,
желаем ли мы увеличить, уменьшить или сохранить размеры ори-
гинала. На рис. 176 мы уменьшили стороны квадратов в отноше-
нии 3:5. Это отношение будет коэффициентом подобия.
Теперь мы копируем отдельные точки рисунка.
Правый угол крыши вокзала находится на пересечении 6-й гори-
зонтали и 7-й вертикали. Сообразно с этим и на копии мы берём пере-
сечение 6-й горизонтали и 7-й вертикали, и там изображаем угол
крыши. Таким же образом выполняется изображение других частей
рисунка, покрываемых вершинами квадратной сетки. Для тех частей,
которые падают внутрь квадратов, отсчёт делается на-глаз. Так,

ГЛ. 7. ПОДОБИЕ ФИГУР

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
99
нижняя точка циферблата башенных часов лежит в оригинале на 5-й
горизонтали; вертикальная же отметка 5,9 прочитывается на-глаз. Для
головы человека на переднем плане прочитываем на-глаз вертикаль^
ную пометку 7,6 и горизонтальную 8,2. На копии делаются изо-
бражения в точках с теми же пометками.
Так получается изображение, подобное оригиналу, с коэффициен-
том подобия 3:5.
Упражнения и задачи.
159. Укажите на рис. 175 и 176 несколько пар сходственных точек, сход-
ственных отрезков, сходственных углов. Измерьте длины шпиля на обоих
рисунках и найдите отношение этих длин. Измерьте угол между линией флаж-
ков и вертикальным направлением на обоих рисунках.
160. Найдите длину Школьной улицы по планам, изображённым на ри-
сунках 173 и 174.
181. Найдите длину забора, которым обнесён земельный участок, выхо-
дящий на улицы Ленина, Новую, Школьную и Мостовую.
162. Найти длину и ширину строящегося здания, обозначенного на плане
рис. 174.
163. Сколько метров электропровода затрачено на соединение столба, стоя-
щего на углу улиц Ленина и Новой, со столбом на углу улиц Мостовой и
Школьной?
164. Начертите равносторонний треугольник и постройте фигуру, подоб-
ную ему с коэффициентом подобия 2:1. Будет ли эта фигура равносторон-
ним треугольником?
165. Начертите правильный шестиугольник и постройте подобную фигуру
с коэффициентом подобия 1 :2. Будет ли эта фигура правильным многоуголь-
ником ?
*■* 186. Могут ли два ромба не быть подобными? Два прямоугольника? Два
квадрата?
167. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершине содержат
по 40°. Могут ли они не быть подобными?
168. Основание равнобедренного треугольника ЛВС равно 12 см, а вы-
сота 7 см. В треугольнике LMN, подобном ABC, основание равно 7 см.
Найти его высоту.
189. Начертите окружность радиуса 20 мм. Взяв точку О в центре,
постройте по способу § 56 подобную фигуру с коэффициентом подобия 3:2.
178. Повторите то же построение, взяв точку О вне окружности.
171. Начертите круг с -диаметром 30 мм и постройте подобную фигуру
в масштабе 4: 3.
172. Всякие ли два сектора подобпы?
173. Постройте несколько треугольников, у которых один из углов ра-
вен 40°, а другой 30°. Измерьте стороны этих треугольников. Все ли начер-
ченные треугольники подобны друг другу? Какое свойство обнаруживает
этот опыт?
174. Начертите два треугольника так, чтобы три стороны одного были
пропорциональны трём сторонам другого. Подобны ли начерченные треуголь-
ники?
175. Всегда ли подобны два треугольника с тремя пропорциональными
сторонами? Два четырёхугольника с четырьмя пропорциональными сторонами?
176. Можно ли построить два неподобных четырёхугольника так, чтобы
четыре стороны и одна диагональ первого были пропорциональны сходствен-
ным отрезкам второго?

100
ГЛ. 7. ПОДОБИЕ ФИГУР
177* Чтобы измерить расстояние между двумя точками А и В (рис. 177),
разделёнными водным пространством, можно поступить так. Из удачно вы-
бранной точки Е провешиваем прямые ЕА и ЕВ. Измерим длины ЕА и ЕВ.
Пусть, например, ЕА = 700 м, ЕВ = 620 л*. Отложим расстояния ЕС =70 м9
Ей = 62 м и измерим расстояние CD. Пусть оказалось, что CZ> = 54 м.
Чему равно АВ7
178. Длина солнечной тени от дерева 22,5 м. В тот же момент отвесный
шест высотой в 1,5 м отбрасывает тень длиной 1,2 м. Найти высоту дерева.
179. В тёмной комнате перед лам-
почкой электрического фонаря поме-
щён вертикально карандаш длиной 18 см
на расстоянии полуметра от лампочки
и 2 м от стены. Какова длина тени от
карапдаша?
180. Вдали стоит высокий дом. Что-
бы приблизительно определить рассто-
яние до него, можно поступить так.
Взяв в руку размеченную линеечку, вы-
тягиваем руку вперёд и замечаем длину
отрезка, покрывающего здание. Высота
здания определяется приблизительно,
скажем, по числу этажей. Пусть она
составляет 15 м, а покрывается отрез-
ком в 1 см. Тогда, зная расстояние ли-
нейки от глаза (у взрослого человека
оно составит приблизительно 70 см),
можно найти расстояние до дома (оно
составит около 1 км). Произведите
расчёт.
181. Вдали стоит поезд. Чтобы опре-
делить приблизительно расстояние до
него, человек вытягивает руку вперёд
и смотрит на выставленный палец
сначала одним глазом, затем другим. Первый раз палец покрывает конец
поезда, второй раз — начало пятого от конца вагона. Считая, что расстояние
между зрачками глаз равно 7 см, а расстояние от глаза до пальца 70 см и
что длина вагона равна 8 м, определить расстояние до поезда.
182. Для измерения высоты дерева или другого предмета можно посту-
пить так. Возьмём высокий размеченный шест и воткнём его в землю от-
весно. Отойдя за пего на расстояние вытянутой руки, заметим, какое деле-
ние шеста покрывает перхушку дерева и измерим расстояние до подножья
дерева. Пусть рост наблюдателя 160 см, длина руки —70 см, замеченное де-
ление шеста 190 см и расстояние от наблюдателя до подножья 30 м. Най-
дите высоту дерева.
Рис. 177. Измерение расстояния
между точками, разделёнными вод-
пым пространством.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
§ 69. Синус угла.
Рассмотрим какой-нибудь острый угол LMN (рис. 178). На од-
ной стороне этого угла возьмём несколько точек Ри Р2, Р3 и т. д.
и из них опустим перпендикуляры PxQlt P2Q2» P3Q3 и т« Д- на ДРУ*
гую сторону угла.
Мы получим прямоугольные треугольники MPtQu MP2Q2 и т. д.
Все эти треугольники подобны
шения катета PiQi к гипотенузе
MPlf катета P2Q2 к гипотенузе
ЖР2, катета Р3<23 к гипотенузе ЖР3
и т. д. выражаются одним и тем
же числом.
Если, например, угол LMN со-
держит 30°, как на рис. 178, то
каждое из этих отношений равно
0,5, т. е. катет PjQ, вдвое меньше
гипотенузы МР1% катет P2Q2 вдвое
меньше гипотенузы УИР2 и т. д.
Отношение катета, противолежа-
щего острому углу, к гипотенузе,
называется синусом этого угла.
Таким образом, синус угла в 30°
равен 0,5.
Слово «синус» пишется сокра-
щённо sin (первые буквы латин-
ского слова sinus). Запись sin 30° читается: «синус угла в 30°» или,
короче, «синус тридцати градусов». Запись sin 30° = 0,5 читается
«синус тридцати градусов равен 0,5».
Подчеркнём ещё раз, что величина синуса угла не зависит от
размеров прямоугольного треугольника, в который входит этот угол.
Но различные острые углы имеют различные синусы.
Величину синуса данного угла можно приближённо найти из чер-
тежа. Найдём, например, синус угла в 55°. Для этого построим
друг другу. Поэтому отно-
Рис. 178. Во всех треугольниках
MPiQu MP2Q29 MPZQS отношения
катета PiQi к гипотенузе МРи ка-
тета Ра(?2 к гипотенузе МРа и т. д.
выражаются одним и тем же
числом. Это число называется
синусом угла М,

102 ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
какой-нибудь прямоугольный треугольник ABC (рис. 179) с острым
углом В = 55°. Измерим катет АС, противолежащий углу В, и гипо-
тенузу ВС. Выполнив измерения на рис. 179, мы найдём (с точно-
стью до 0,1 см) АС =4,1 см, ВС = 5,0 см.
Так как
то
sin В = АС:ВС9
sin 55° = 4,1:5,0 = 0,82.
Рис* 179. Приближен-
ное вычисление сину-
са угла £= 55° из чер-
тежа! >4С=4,1 см;
ВС— 5,0 см; sin 55° =
=4,1:5,0=0,82.
Деление здесь выполнено с полной точностью,
однако величина синуса найдена лишь прибли-
жённо. Ведь пр» построения треугольника ABC
и при, измерении его сторон мы совершаем
некоторую погрешность. Впрочем, в данном
случае эта погрешность невелика, так как с
точностью до 3-го десятичного знака мы имеем:
sin 55° = 0,819.
Этот результат можно найти без всяких
измерений, путём одних вычислений. Спо-
собы этих вычислений, однако, не простые,
и объяснять их мы здесь не будем. Отметим
только, что путём вычисления можно найти си-
нус всякого угла с любой степенью точности. Такие вы-
числения сделаны раз навсегда, и результаты их сведены в таблицы.
Так как катет всегда меньше гипотенузы, то
синус всякого острого угла меньше единицы,
§. 60* Косинус угла.
Отношение катета, прилежащего к ост-
рому углу, к гипотенузе, называется косинусом
этого угла.
Слово «косинус» (cosinus) сокращённо обо-
значается cos. В треугольнике ABC на рис. 180
cos В = АВ: ВС.
Величина косинуса угла, так же как и величина
синуса, не зависит от размеров прямоугольного
треугольника, в который: входит этот угол.
Косинус угла, как и синус, можно найти по
чертежу, но точность будет невелика. Таблица ко-
синусов даёт гораздо'более точный результат. Со»
ставление такой таблицы не требует никаких новых
вычислений,, так как разыскание косинуса можно всегда свести к
разысканию синуса. Действительно, катет АВУ прилежащий: к углу В
Рис. 180; Отноше-
ние катета АВ,
прилежащего Кост-
рому углу В, к ги-
потенузе ВС есть
косинус угла В:
со&В = АВ:ВС.

§ 61. ОТЫСКАНИЕ СИНУСА И КОСИНУСА ЗАДАННОГО УГЛА ПО ТАБЛИЦЕ 103
О&ис. 180), является в то же время противолежащим для угла С.
Поэтому отношение АВ: ВС, которое является косинусом угла В,
в то же время является синусом угла С. А мы знаем, что /, С= 90°—В,
Таким образом,
cos 5 = sin (90° — В).
Или, словами: косинус всякого острого угла равен синусу допол-
нительного угла (т. е. угла, дополняющего его'до 90°). Например,
cos 60° = sin (90° — 60°) = sin 30° = 0,5,
cos 35° = sin (90°— 35°) = sin 55° = 0,819.
§ 61. Отыскание с«нуса и косинуса заданного угла
ло таблице.
Величину синуса и косинуса для любого угла, содержащего це-
лое число градусов, можно с точностью до 4-го десятичного знака
найти по таблице, приложенной в конце этой книги (стр. 195).
Пусть требуется найти sin28°. В левом столбце с обозначе-
нием «градусы» отыскиваем строку с числом 28. В этой же строке,
в столбце, озаглавленном сверху sin, находим значение синуса 0,4695.
Получаем:
sin 28° =0,4695.
Так же найдём cos 28°. В столбце, озаглавленном сверху cos, най-
дём в той же строке число 0,8829:
cos 28° = 0,8829.
Таким же образом находятся синусы и косинусы других углов,
до 45° включительно.
Для углов, больших 45°, значения синуса и косинуса можно
найти так. Пусть, например, требуется найти sin 60°. Мы знаем, что
он равен косинусу угла, дополняющего его до 90°, т. е. cos 30°.
Поэтому в строке 30 и в столбце, озаглавленном сверху cos,
находим число 0,8660, и получаем
sin 60° = 0,8660.
Чтобы избавить вычисляющего от подсчёта дополнительного угла,
в таблице введены добавочные обозначения, позволяющие сразу
видеть, что 0,8660 есть не только cos 30°, но также и sin 60°.
Именно, справа в таблице имеется ещё один столбец градусов,
а. снизу — пометки sin и cos. Разыскивая sin60°, мы находим
в правом столбце градусов строку с числом 60° и в этой же
строке, в столбце, озаглавленном снизу sin, находим 0,8660.
Вообще всякий раз как в левом столбце градусов нет нужного
нам угла (т. е. когда этот угол больше 45°), нужно пользоваться

104 ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
правым столбцом. При этом наименования sin и cos нужно брать
снизу, а не сверху. Это нужно твёрдо усвоить.
Пример 1. Найти cos62°.
В левом столбце градусов числа 62 нет. Поэтому наименование
cos берём снизу, и против числа 62, стоящего в правом столбце,
находим:
cos 62°= 0,4695.
Пример 2. Найти sin 53°.
Наименование sin берём снизу; против числа 53, стоящего в пра-
* вом столбце градусов, находим:
sin 53° = 0,7986.
Замечание. В верхней строке таблицы
можно прочитать, ч£0
sinO^O, cosO°=l
и также (если пользоваться нижними наиме-
нованиями), что
cos 90*=: 0, sin 90° =1.
Это нужно понимать следующим образом. Когда в прямоугольном тре-
угольнике ABC угол В невелик (на рис. 181 он содержит 6°), отношение
АС: ВС, т. е. sin В, тоже невелико (например, sin 6° = 0,1045), а отноше-
ние АВ.ВС, т. е. cos В, близко к 1 (например, cos 6° = 0,9945). Чем меньше
угол В, тем ближе к нулю его синус и тем ближе к единице его косинус.
Если мы представим себе, что точка С совпала с точкой Л, то катет АС
станет равен нулю, катет АВ совпадёт с гипотенузой, угол В станет рав-
ным нулю, а угол С станет равным 90°. Синус угла В станет равным
0.BC, т. е. нулю, а косинус угла В,т. е. АВ:ВС, станет равным ВС:ВС9
т. е. 1. Поэтому считают, что smO° = 0 и cos0°=l, и точно так же, что
cos9(T = 0 и sin90°= 1.
§ 62. Отыскание угла по синусу или косинусу.
Пример 1. Найти угол А, если известно, что
sin А = 0,4384.
Пробегая глазами столбцы синусов, видим, что число 0,4384
находится в том столбце, где наименование sin поставлено сверху.
Поэтому число градусов ищем в левом столбце и находим
£ Д = 26°.
Пример 2. sin Л = 0,8290. Найти угол А.
Пробегая глазами столбцы синусов, видим, что число 0,8290
находится в том столбце, где наименование sin стоит снизу. По-
этому число градусов ищем в правом столбце и находим:
В А
Рис. 181. У малого угла си-
нус (АС : ВС) близок к ну-
лю, а косинус (АВ : ВС) бли-
зок к единице.
/.А = 56°.

§ 63. ТАНГЕНС УГЛА
105
Пример 3. cos В = 0,6820. Найти угол В.
Число 0,6820 находится в том столбце, где наименование cos
стоит снизу. Поэтому число градусов ищем справа и находим*
£ Л = 47°.
Пример 4. cos В = 0,8600. Найти угол В.
Число 0,8600 не содержится ни в одном из столбцов 'cos. Но
в столбце, помеченном cos снизу, имеются два ближайших к нему
числа 0,8660 и 0,8572. Прочитывая справа число градусов, находии:
0,8660 = cos 30°, 0,8572 = cos 31°.
Значит, искомый угол содержит более 30° и менее 31°. В качестве
приближённого результата лучше взять 31°, так как данное
число 0,8600 ближе к 0,8572, чем к 0,8660.
Для более точного определения угла В можно воспользоваться
более полными таблицами; там даны синусы и косинусы углов,
содержащих не только целое число градусов, но также и минуты
(см„ например, В. Б р а д и с, «Четырёхзначные математические таб-
лицы»),
§ 63. Тангенс угла.
Отношение катета, противолежащего острому углу, к катету,
прилежащему к нему, называется тангенсом этого угла. Слово
«тангенс» (tangens) сокращённо записывается tg. q
В треугольнике ABC на рис. 182
tg В = АС :АВ>
tgC = AB:AC.
Величина тангенса угла не зависит от размеров
прямоугольного треугольника, .в который этот угол
входит.
В той же таблице, по которой мы находили си-
нус и косинус, помещены также тангенсы всех острых В
углов, содержащих целое число градусов. Как ими Рис 182 От-
пользоваться, видно из следующих примеров. ношение ка-
Пример 1. Найти tg28°. тетаЛС,про-
В левом столбце градусов находим число 28; тиволежаще-
против него в столбце, помеченном tg сверху, на- ™ катету АВ
ходим: есть тангенс
tg 28° =0,5317. угла В:
tg В =
Пример 2. Найти tg67°. Этот угол превышает =АС:АВ.
45°, и в левом столбце градусов его нет. Находим
в правом столбце градусов число 67; против него в столбце,
помеченном tg снизу, находим
tg 67° = 2,356.

{06 ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАЙ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Пример 3. tgВ—1,881. Найти угол В.
Число 1,881 находится в том столбце, где наименование tg стоит
снизу. Поэтому число градусов, ищем в правом столбце, и нахо-
дим Z^ = 62°.
Пример 4. tgC = 0,8135. Найти угол С.
Число 0,8135 не содержится ни в одном из столбцов tg. Но
в столбце, помеченном tg сверху, имеются ближайшие к нему
числа 0,8098 и 0,8391. Первое ближе к дан-
ному числу 0,8135; поэтому приближённый ре-
зультат прочитываем в левом столбце против
числа 0,8098. Находим Z,C = 39°.
Замечание 1. Часто по недосмотру
данное значение тангенса ищут не в столбце
tg, а в столбце sin или cos. Предостерегаем
учащегося от этой ошибки!
Замечание 2. Если острый угол В (рис.
183) содержит 45°, то угол С тоже содержит
45° и, значит, АС = СВ, т. е. АС:СВ=1.
Рис. 183. Тангенс уг-
ла 45° равен 1.
Следовательно, tg45°=l. Тангенсы углов,
меньших 45°, меньше единицы, а танген-
сы углов, больших 45°, больше единицы.
Замечание 3. Чем меньше острый угол, тем меньше его тангенс.
Поэтому (сравнить замечание к § 61) тангенс угла в 0° считается равным
нулю. Когда же острый угол приближается к 90°, его тангенс ни к какому
числу не приближается, а становится всё больше и больше. Поэтому
запись tg90° = oo, которая часто встречается в книгах и таблицах и которую
выражают словами «тангенс 90° равен бесконечности», не нужно понимать
буквально. Она выражает только то, что с приближением угла к 90° его тан-
генс неограниченно увеличивается.
Замечание 4. О котангенсе угла см. § 66.
§ 64. Решение прямоугольных треугольников.
Если нам известна гипотенуза а прямоугольного треугольника ABC
и один из его катетов Ъ (рис. 184), то мы можем построить этот
треугольник (§ 38). После этого можно измерением найти его
острые углы В и С, а также другой катет с.
Этот способ, однако, практически не удобен, потому что как при
построении, так и при измерении возникают погрешности, не говоря
уже о том, что очень большие и очень малые расстояния нельзя
изобразить на чертеже в натуральную величину. Гораздо точнее,
и вместе с тем гораздо легче найти неизвестные элементы треуголь-
ника, т. е. углы В} С и сторону с, с помощью вычисления. Разыска-
ние неизвестных элементов треугольника по другим, данным эле-
ментам с помощью вычисления называется решением треугольника*
Пусть, например, известно, что
а = 70 мм, £ = 53 мм

§ 64. РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ш/
и требуется решить треугольник ABC, т. е. найти £ В, £> С и
сторону с.
Находим сначала угол В из уравнения
sin 5 = -=-^.
53
Обращаем дробь -~г- в десятичную (если угол В нужно вычис-
лить с точностью до 1°, достаточно взять два десятичных знака).
Получаем:
sin 5 = 0,76 *).
По таблице находим: ^/£ = 50°.
Теперь находим угол С.
£ С = 90° — 50° = 40°.
Сторону же с находим из уравнения
cos B = ^f которое даёт:
с = a cos В = 70 cos 50°.
С помощью таблицы находим:
с = 70- 0,64 = 45 (мм).
Так же выполняется решение
прямоугольных треугольников по
другим их элементам.
Пусть, например, известно, что
Рис. 184. Задача: даны а = 70 см,
# = 53 мм. Требуется решить тре-
угольник, т. е. найти L В, L о и
сторону с.
<? = 27,0 м и ,/£ = 20°
и требуется решить треугольник ЛВС, т. е. найти at b и ^ С.
Угол С находится сразу:
ZC=90°—Z^ = 70°.
Сторона Ъ находится из уравнения
которое даёт:
£ = ctg £ = 27.tg20°.
По таблице находим, что tg 20° = 0,3340. Значит,
Ь = 27 -0,3340 = 9,83 (*).
1) Это равенство, конечно, приближённое. Тем не менее принято вместо
sin £==^0.76 писать sin 5 = 0,76. В этой записи подразумевается, что цифры
десятых и сотых долей верны, так что погрешность может выразиться лишь
в тысячных долях. В данном случае она составит около 0aQ04,

108
ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Сторона а находится из уравнения
с = а cos В,
которое даёт:
а
По таблице находим:
cos 20° = 0,9437.
Значит,
_с _27_
cos В cos~20°'
§ 65. Применения решения треугольников.
Решение треугольников имеет многочисленные практические при-
менения. В этом параграфе мы разберем несколько примеров.
Пример 1. Пусть требуется найти высоту заводской трубы
(рис. 185). Непосредственно измерить её трудно. Но очень легко
измерить расстояние до основания трубы от какой-нибудь точки
Рис. 185. Измерение высоты заводской трубы.
на земле. В этой точке устанавливают угломерный инструмент и
измеряют угол ВСА между направлением от глаза к вершине трубы
и горизонтальным направлением. Пусть мы нашли, что СА = 27 м
и 21 #СЛ = 30°. Тогда из прямоугольного треугольника ABC мы
находим:
^igL ВСА,
т. е.
АВ
= tg30°

§ 65. ПРИМЕНЕНИЯ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 109
Отсюда находим:
АВ = 27 • tg 30° = 27 . 0,577 = 15,6 (м)*
Нужно ещё учесть, что сам угломерный прибор возвышается
над землёй; если, например, высота его равна 1,2 м, то высота
трубы составляет
15,6+1,2=16,8 (м).
В этом примере сразу видно, какой прямоугольный треугольник
нужно взять для решения задачи. Но во многих случаях приходится
выполнять вспомогательные построения, чтобы выделить из данной
фигуры прямоугольный треугольник. Рассмотрим простейший пример.
Пример 2. В равнобедренном треуголь-
нике ЛВС (рис. 186) известно основание
АС= 12,4 м и боковая сторона АВ— 15,0 м.
Найти угол В при вершине.
Здесь нужно решить треугольник ABC,
который не является прямоугольным. Но его
можно разбить на два прямоугольных тре-
угольника. Для этого проведём высоту BD.
Эта высота будет и медианой, так что
AD = AC:2= 12,4:2 = 6,2 (м).
Теперь мы имеем прямоугольный треуголь-
ник ABDy в котором известна гипотенуза
АВ= 15,0. м и катет Л£) = 6,2 м. Угол ABD,
противолежащий катету AD, мы найдём по
его синусу
sin Z ABD = AD: АВ = 6,2 :15,0 = 0,413.
Рис. 185. Задача: ре-
шить равнсбздреиный
треугольник по осно-
ванию АС= 12,4 м и
боковой стороне АВ =
= 15,0 ж.
Из таблицы находим, что угол ABD приближённо равен 24° (эта
величина меньше истинной) или 25° (эта величина больше истинной).
Точнее будет взять 24 -^°.
Так как высота BD треугольника ABC является и биссектрисой
этого треугольника, то угол В при вершине вдвое больше угла
ABD, т. е. составляет примерно 49°.
Пример 3. Найти периметр правильного 12-угольника, вписан-
ного в окружность радиуса /?=11,0 см.
Возьмём одну из сторон 12-угольника и соединим её концы А
и В с центром О окружности (рис. 187). Получим равнобедренный
треугольник АО В, у которого известна боковая сторона ОА= 11,0 см
и угол при вершине О
£АОВ = 360°: 12 = 30°.

110 ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Рис. 187. Найти периметр правиль-
ного 12-угольника, вписанного в
окружность радиуса /?= 11,0 см.
Как и в предыдущем примере, нам придётся разбить треуголь-
ник АОВ на два прямоугольных треугольника. В прямоугольном
треугольнике AOD угол при вершине О составляет 30°: 2 =15° и
AD: АО = sin 15°.
Значит,
AD = AO-sln 15° =
= 11,0. sin 15°.
Из таблицы берём
sin 15° = 0,259
и находим:
AD =11 -0,259 = 2,85 см.
Сторона АВ будет вдвое
больше, чем AD; значит,
периметр р 12-угольника
будет в 24 раза больше,
чем AD. Итак,
/? = 2,85. 24 — 68,4 (см).
В заключение рассмот-
рим более трудную задачу.
Пример 4. Найдём,
каковы должны быть внут-
ренний и внешний диаметры
шарикового подшипника,
чтобы в него уложились
20 стальных шариков диа-
метром 16 мм. При этом
для упрощения задачи пред-
положим, что шарики лежат
вплотную друг к другу.
Рассмотримкакие-нибудь
два соседних шарика. Рас-
стояние AD между их цен-
трами (рис, 188) равно сумме
радиусов DK и АК> т. е.
диаметру каждого из ша-
риков.
Итак,
AD =16 мм.
Если же мы соединим центры шариков ЛиВс центром обоймы О,
то угол AOD будет равен ^ части угла в 360°, т. е.
Z.AOD=l8°.
Разрез обоймы подшипника.

§ 66. ПОНЯТИЕ О ПРЕДМЕТЕ ТРИГОНОМЕТРИИ, КОТАНГЕНС 1 I I
Разбив равнобедренный треугольник AOD на два треугольника,
как мы делали это в предыдущих примерах, мы получим прямо-
угольный треугольник АОК> у которого катет КА = 8 мм и проти-
волежащий острый угол АОК равен 9°.
Найдём гипотенузу ОА
ОА= .. *Алп„ — J^—Shl (мм).
sxa^AOX sin 9° i ч /
Из чертежа видно, что внутренний радиус обоймы ОС меньше, чем
ОАу на радиус шарика, т, е. на 8 мм. Следовательно,
ОС=ОА — АС=о\, 1 — 8 = 43,1 (мм).
Внешний же радиус обоймы равен
ОЕ=ОА + АЕ= 51,1 +8 = 59,1 (мм).
Следовательно, внутренний диаметр шарикового подшипника ра-
вен 86,2 мм, а внешний—118,2 мм.
§ 66. Понятие о предмете тригонометрии* Котангенс.
В этой книге решение треугольников рассматривалось только для про-
стейших случаев. В других случаях (когда треугольник не прямоугольный и
не равнобедренный) приёмы решения сложнее. Они изучаются в особом раз-
деле математики, называемом тригонометрией — это название образовано из
греческих слов и в переводе означает «измерение треугольников». При реше-
нии треугольников всегда приходится пользоваться таблицами синусов, коси-
нусов и тангенсов. Эти величины называют «тригонометрическими величи-
нами» или «тригонометрическими функциями». Изучение свойств тригоно-
метрических функций есть основная задача тригонометрии.
В этом кратком учебнике мы рассмотрели три тригонометрические вели-
чины: синус, косинус и тангенс. Они вполне достаточны для решения тре-
угольников. Но для упрощения выкладок часто вводят ещё одну величину:
котангенс угла (сокращённая запись ctg). Так называют отношение катета,
прилежащего к острому углу, к противолежащему катету.
На рисунке 182 (стр. 105)
ctg В = АВ: АС,
ctgC = AC:AB.
Мы видим, что ctg В есть ничто иное, как tgC (a ctg С есть ничто
ипое, как tgB), т. е.
ctgS = tg(90°-£).
Это последнее свойство даёт возможность не составлять специальпой
таблицы для котангенсов: котангенс угла можно найти из той же таблицы
на стр. 195. Для углов, написанных слева, котангенс находится в столбце

112 ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
с надписью ctg сверху, а для углов, написанных справа, — в столбце с
надписью ctg снизу.
Между тангенсом и котангенсом одного и того же острого угла В суще-
ствует простая зависимость, именно:
tg£.ctg£ = l.
Действительно, мы имеем:
. т> АС . D АВ
АС АН
Перемножая дроби ~~дп'и~аг > мы после сокращения получаем!. Эту
зависимость легко проверить и по таблицам.
Упражнения и задачи.
183. Найти с точностью до третьей значущей цифры:
а) sin 42°, д) sin 5(Р, и) tg 76°, н) tg 30°,
б) sin 24°, е) cos 76°, к) tg 24°, о) tg 60°,
в) sin 36°, ж) cos 33°, л) tg 45°, п) tg 2°.
г) cos 50°, з) sin 76°, м) sin 45°,
184. Найти (с точностью до полградуса) угол А, если известно, что
а) sin А = 0,50, д) sin А = 0,81, и) tg А = 0,50,
б) cos А = 0,50, е) cos А = 0,86, к) tg А = 0,89,
n) sin А = 0,89, ж) cos А = 0,14, л) tg А = 3,5,
г) cos А = 0,89, з) sin А = 0,993, м) tg А = 1,0,
н) tg/l = 0,l,
о) tg Л = 0,35,
п) tg/l=10.
185. Найти острые углы прямоугольного треугольника, у которого гипо-
тенуза равна 40 см, а один из катетов 20 см.
186. В равнобедренном треугольнике основание равно 28 см, а боковая
сторопа 20 еж. Найти угол при вершине.
187. Боковая сторона равнобедренного треугольника содержит 24 см; угол
при основании 13°. Найти основание.
188. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 23 см. Найти
его острые углы.
189. В равнобедрепном треугольнике основание содержит 80 см, а вы-
сота—50 см. Найти угол при основании.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 113
190. В равнобедренном треугольнике основание равно 38 см, а угол при
основании содержит 60°. Найти высоту.
191. Решить прямоугольные треугольники (а — гипотенуза, Ь, с ^- ка-
теты).
а) а = 12 см, b = 7 см;
б) £=130 мм, с = 384 мм)
в) а = 3,0 ж, Zfi = 25°;
г) £ = 51 с*, Z£ = 72°;
д)с = 40,к, £В = 5±°.
192. Радиус круга равен 10 см. Найти длину хорды, стягивающей дугу в 36°.
193. Периметр правильного восьмиугольника, вписанного в окружность,
равен 80 см. Найти диаметр окружности.
194. Диагональ прямоугольника содержит 122 см. Один из углов между
диагоналями содержит 134°, Найти длины сторон.
195. Два равных круга, радиусы которых 58 см, помещены так, что
центры их находятся на расстоянии 83 см друг от друга. Сколько граду-
сов в дуге, стягиваемой их общей хордой?
Рис. 189. На дощечке указан уклон
железнодорожного пути: на протя-
жении 1 000 м высота увеличивается
на 8 м.
196. Автомобиль поднимается в гору по шоссе, составляющему с гори-
зонтом угол 3°. На какую высоту поднимется он, пройдя 0,8 км от начала
подъёма?
197. Уклон (или подъём) дороги измеряется отношением h: 1000, где h
есть выраженная в метрах высота подъёма на протяжении 1 км горизонталь-
ного пути. Так, надпись 8/юоо на дощечке (рис. 189) указывает, что на протя-
жении 1 км железнодорожный путь поднимается в гору на 8 м.
Найти уклои дороги, поднимающейся под углом 4° к горизонту.

114 ГЛ. 8. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
188. Мачта укреплена тросами длиной 40 м, прикреплёнными на высоте
25 м. Какой угол составляют тросы с мачтой?
199. Двускатная кровля наклонена к горизонтальной линии под углом
в 35°. Длина сё стропильной ноги (АВ на рис. 190) равна 2,8 я. Найти про-
лёт кровли (АС на рис. 190) и её высоту.
Рис. 190. Найти пролёт кровли по длине стро-
пильной ноги и наклону.
200. Высота двускатной кровли равна 1,2 м, а пролёт — 3,6,1*. Найти
длину её стропильной йоги.
201. Железнодорожная насыпь высотой в 5,8 м должна иметь угол
ската 32°. Ширина полотна (при двух путях) составляет 9,8 м. Найти ши-
рину насыпи у её основания.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР.
67, Измерение площадей.
Желая узнать длину отрезка, мы сравниваем измеряемый отре*
зок с другим отрезком, принимаемым за единицу измерения. Можно
принять за единицу измерения длины метр, сантиметр, миллиметр,
дюйм, милю и т. д.; всякий раз это будут отрезки. При изме-
рении угла мы сравниваем измеряемый угол с другим углом, приня-
тым за единицу измерения.
Точно так же при измере-
нии площади мы сравниваем
измеряемую площадь с не-
которой площадью, при-
нимаемой за единицу изме-
рения. Метрами или санти-
метрами площадь измерять
нельзя, как нельзя измерять
её градусами или граммами.
За единицу измерения
площади принимается пло-
щадь квадрата, сторона
которого равна единице
длины, например 1 см; эта
единица измерения площади
называется квадратным сан-
тиметром.
Площадь фигуры, начер-
ченной на бумаге, можно
измерять с помощью палетки; это — прозрачная бумага, разделённая
на маленькие квадраты; стороны этих квадратов обычно равны 1 мм,
так что площадь каждого квадрата есть 1 квадратный миллиметр.
Наложив палетку на фигуру ABCD, площадь которой нужно изме-
рить (рисунок 191), мы подсчитываем число квадратов, целиком
попадающих внутрь фигуры. Те чгхти квадратов, которые лежат у
границы фигуры, оцениваются на-глаз, и соответствующая поправка
прибавляется к результату подсчёта.
I
i illi II
ш
1 1 1 гггг
iifiiii
4tH+W:
ЙЕ
4i 11111 [ 1
ЖпуНу
iiiiLLLLL
iftttHTttft
I 1! 1 i i i гггг.
'ШшШш
щ^Ш
Рис. 191. Измерение площади при помощи
палетки.

116
ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
Такой прямой способ измерения площади довольно утомителен;
к тому же он применим только к площадям небольшого размера.
Поэтому площадь измеряют чаще всего косвенными способами: не-
посредственно измеряется не самая площадь, а длины некоторых
отрезков, связанных с ней/. После этого производится вычисление,
результат которого даёт искомую площадь быстрее и точнее, чем
непосредственное её измерение.
§ 68. Площадь прямоугольника.
Если хотят измерить площадь комнаты, то не укладывают на
полу квадратный метр, а измеряют в метрах длину и ширину ком-
наты, а затем перемножают полученные числа.
Этот хорошо известный способ основан на следующей теореме:
Площадь прямоугольника равна произведению его основания на
высоту.
Это значит, что число единиц площади, содержащихся в
площади прямоугольника, равно произведению числа единиц дли-
н ы, содержащихся в основании, на
число единиц длины, содержа-
щихся в высоте.
Пусть, например, основание содер-
жит 4 см, а высота — 3 см. Ясно (рис.
192), что квадратный сантиметр укла-
дывается вдоль основания 4 раза, обра-
зуя полосу, заштрихованную на рис. 192;
3 таких полосы заполняют наш прямо-
4 см угольник, так что общее число квад-
Рис. 192. Площадь этого прямо- Ратных сантиметров равно 4X3=12.
угольника равна 4.3=12(еж2). Это рассуждение можно повторить
применительно к любым целым числам.
Если же стороны прямоугольника (одна или обе) содержат дроб-
ное число единид длины, то наше рассуждение нужно дополнить
следующим образом.
Пусть основание прямоугольника содержит 4,2 см, а высота —
3,4 см. Если взять более мелкую меру длины, скажем, 1 мм, то
длина каждой стороны выразится целым числом; именно, основание
равно 42 мм, а высота — 34 Мм. Площадь прямоугольника состав-
ляет 42X34 = 1428 квадратных миллиметров. Переведём эту меру
в квадратные сантиметры. Так как в одном квадратном сантиметре
содержится 100 квадратных миллиметров *), то площадь нашего пря-
моугольника равна 1428:100=14,28 квадратных сантиметра. А это
число есть произведение чисел 4,2 и 3,4.
*) Напоминаем, что квадратный сантиметр — это площадь квадрата со
стороной 1 см =10 мм. Она составляет 10-10=100 квадратных милли-
метров.
ш
ж
ш
У

§ 70. ПРИМЕРЫ
117
Это рассуждение можно повторить применительно к любым дроб-
ным числам.
Выведенное нами правило мы можем записать в виде формулы.
Обозначим длины сторон прямоугольника буквами а (основание) и
Ь (высоту), а площадь прямоугольника — буквой S. Тогда наше пра-
вило запишется так:
S=ab. (1)
В дальнейшем площадь всегда будем обозначать буквой 5.
§ 69. Площадь квадрата.
Так как квадрат является частным видом прямоугольника, то пло-
щадь квадрата тоже равна произведению основания на высоту. Но
все стороны квадрата равны. Поэтому в данном случае основание
равно высоте. Значит, площадь квадрата равна произведению сто*
роны на самоё себя, т. е. второй степени стороны квадрата.
Пример 1. Площадь квадрата со стороной 1,6 м равна
1,6 X 1,6=1,б2 = 2,56 {кв. м).
По этой причине умножение какого-либо числа на самого себя
называется «возведением в квадрат» этого числа, а число, которое
получается в результате, — «квадратом» заданного числа. Так, напри-
мер, при возведении в квадрат числа 3 получаем 9, иначе говоря:
9 есть квадрат числа 3.
Но этой же причине наименования «квадратный метр», «квадрат-
ный сантиметр» и т. п. сокращённо записывают: м*, см* и т. п.
Обозначив площадь квадрата через 5, а сторону квадрата через а,
получим формулу:
S=a\ (2)
Если сторону квадрата увеличить в два раза, то площадь квад-
рата увеличится не в два, а в 2*2 = 4 раза. Точно так же, если
сторону квадрата увеличить в три раза, то площадь увеличится в
3*3 = 9 раз. Вообще, если сторону увеличить или уменьшить в k раз,
то площадь увеличится или уменьшится в k*k, т. е. в № раз.
Пример 2. Площадь квадрата со стороной 10см равна 10» 10=
= 100 (см*). Увеличим сторону вдвое. Тогда каждый из сомножи-
телей произведения 10*10 увеличится в два раза; значит, произве-
дение увеличится в 4 раза. В самом деле, сторона станет равной
20 см, и площадь будет равна 20*20 = 400 (ел*2).
§ 70. Примеры.
Пример 1. Найти площадь фигуры, изображённой на рис. 193
Слева.
Разбиваем нашу фигуру на два прямоугольника, как показано на
правом рисунке 193. Промеряем длины сторон этих прямоугольников;

118 ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
для этого нужно сделать только 4 измерения, результаты которых
также даны на правом рисунке.
Находим площади двух прямоугольников;
пл. /=40X9 =360 (мм2),
пл. //= 17 X 22 = 374 (мм2).
Складывая эти площади, находим, что площадь всей фигуры
равна 734 мм2.
Рис. 193. Площадь фигуры, изображённой слева,
можно найти, разбив фигуру на два прямоугольника
(правый рисунок).
Можно вести вычисление ещё так: дополним нашу фигуру до
прямоугольника, как показано на том же рисунке. Тогда площадь
её найдётся вычитанием площади 23X22 из площади 40X31:
40.31—23*22 = 734 (мм2).
Пример 2. Комната имеет 5,4 м в длину, 4,0 м в ширину и
3,2 м в высоту. В ней одна дверь размерами 1,0*2,0 метра и одно
окно размерами 2,0*2,0 метра. Побелка 1 кв. метра обходится
в 52 коп. Во что обойдётся побелка комнаты?
Площадь потолка равна 4,0*5,4 = 21,6 (м2).
Площадь одной стены1) равна 5,4-3,2 -=17,3 (м2).
Площадь другой стены равна 4,0*3,2 = 12,-8 (м2).
Общая площадь четырёх стен равна
2 (17,3+ 12,8) = 60,2 (м2).
Площадь окна и двери равна 6,0 (м2).
1) См. сноску на стр. 107.

§ 7L РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 119
Таким образом, площадь, подлежащая побелке, равна
21,6 л*2-(--60,2 м* — 6,0 л*2 = 75,8 м\
Стоимость побелки равна
62X76,8 = 3942 (коп.),
т. е. 39 рублей 42 копейки.
§ 71. Равновеликие фигуры. Площадь параллелограмма.
Фигуры-, имеющие одинаковые площади, нааываются равновели-
кими. Равные фигуры всегда равновелики, но равновеликие фигуры
могут быть и не равными. Так, параллелограмм ABCD (рис. 194)
и прямоугольник KLMN, имеющий то же основание и ту же высоту,
не равны, так как их
М
Рис. 194. Параллелограмм
ABCD и прямоугольник
KLMN не равны, но
равновелики.
Рис. 195. Найти пло-
щадь этого паралле-
лограмма.
нельзя совместить.
Однако они равнове-
лики, т. е. имеют оди-
наковую площадь.
Чтобы доказать это,
достаточно в паралле-
лограмме ABCD про-
вести высоты BE и
CF. Получим два пря-
моугольных треуголь-
ника ABE и CDF.
Эти треугольники рав-
ны (почему?). Поэто-
му, если треугольник
ABE отнять от парал-
лелограмма ABCD и
переместить его в по-
ложение CDFy то мы получим фигуру BCFE той же площади.
Эта фигура — прямоугольник, имеющий то же основание (ВС)
и ту же высоту (BE), что параллелограмм ABCD. Значит, всякий
параллелограмм равновелик прямоугольнику с тем же основанием
и той же высотой.
Отсюда вытекает следующее правило измерения площади парал-
лелограмма:
Площадь параллелограмма равна произведению его основания
на высоту.
Если обозначить основание параллелограмма буквой а, а вы-
соту — буквой Ну то правило наше выразится формулой
S = ah. (3)
Пример. Найти площадь параллелограмма, изображённого на
рис. 195.

120
ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
Измерив основание и высоту, найдём:
а = 24 мм, h = 33 мм.
Подставляя эти значения в формулу (3), находим:
24^33 = 792 (мм2).
§ 72. Площадь треугольника»
Как мы знаем, диагональ параллелограмма (ABCD на рис. 196)
разбивает его на два равных треугольника (ABD и BDC). Поэтому
площадь одного из этих треугольников, например, ABD, составляет
половину площади параллелограмма ABCD. При этом основание
(AD) и высота (BE) треугольника ABD те же, что основание и
N
ЛЕО
Рис. 196. Диагональ парал-
лелограмма делит его па
два равпых треугольника.
Рис. 197. Всякий треугольник
можно рассматривать как
половину параллелограмма.
Рис. 198. Найти
площадь этого
треугольника.
высота у параллелограмма ABCD. Вспоминая правило предыдущего
параграфа, мы заключаем, что площадь треугольника ABD равна
половине произведения основания на высоту.
Это правило применимо ко всякому треугольнику, потому что
всякий треугольник (KLM на рис. 197) можно рассматривать, как
половину параллелограмма с тем же основанием и той же высотой
(KLNM на рис. 197). Для этого достаточно провести MN\\KL и
LN\\KM.
Площадь треугольника выражается формулой
S=-IaA.
(4)
Пример. Найти площадь треугольника, изображенного на
рис. 198.
Измерив основание и высоту, находим:
а = 2,3 см, h = 2,8 см.
Подставляя эти значения в формулу (4), находим:
1
5=^.2,3.2,8 = 3,22 {см2).

§ 73. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
121
§ 73» Площадь трапеции
А^—— a -~—~^D Г
Рис. 199. Площадь трапеции:
Чтобы вывести формулу площади трапеции, преобразуем трапе-
цию (ABCD на рис. 199) в равновеликий ей треугольник. С этой
целью проведём прямую BE через вершину В (рис. 199) и через
середину Е боковой стороны CD. Эта прямая пересечёт продолже-
ние основания AD в точке F> и мы получим треугольники ВСЕ н
EDF. Они равны друг другу (по-
чему?). Отнимем треугольник ВСЕ
от трапеции и поместим его в по-
ложение EDF. Тогда из трапеции
ABCD получится треугольник
ABF той же площади.
Основание AF этого треуголь-
ника равно сумме отрезков AD
и DF:
AF=AD+DF.
Отрезок AD есть нижнее основа-
ние трапеции, а отрезок DF равен
её верхнему основанию ВС (вследствие равенства треугольников
ВСЕ и EDF). Таким образом, основание AF треугольника ABF
равно сумме оснований трапеции:
AF = a + Ь\
в этой формуле через а обозначено основание AD, а через £ —
основание ВС.
Обозначим через h высоту ВК треугольника ABF* Тогда пло-
щадь этого треугольника равна у AF*h— -к (a-\-b)h. Ту же вели-
b чину имеет и площадь 5 трапеции
ABCD. Следовательно,
S=Ua + b)h
ИЛИ
(5)
Рис. 200. Найти площадь этой
трапеции.
А так как высота h треугольни-
ка ABF та же, что у трапеции
ABCD, то формулу (5) можно словами выразить следующим об-
разом:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её основа-
ний на высоту.
Пример. Найти площадь трапеции, изображенной на рис. 200.
Измеряя основания и высоту, находим а = 44 мм, b = 24 мм,

122
ГЛ. 9. ПЛОЩ\ДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
Л= 19 мм. По формуле (5) находим:
5=(l+^)A = ^t-19=646(^).
Замечание. Так как полусумма оснований равна средней ли-
няв трапеции (см. § 52), то площадь трапеции равна произведению
ее средней ланий на высоту.
§ 74. Площадь многоугольника, примеры.
Чтобы найти площадь многоугольника, можно разбить его на
треугольники, вычислить площадь каждого такого треугольника и
результаты сложить. Разбивку можно производить разными спосо-
бами; два способа разбивки одного и того же многоугольника
Рис. 201.Площадь многоугольника можно Рис. 202. Найти площадь этого пя-
найти, разбивая его на треугольники. тиугольника.
Здесь даны два способа разбивки.
показаны на рис. 201. В каждом случае нужно подыскивать наибо-
лее удобную разбивку. Иногда легче отыскать площадь много-
угольника, разбивая его не на треугольники, а на части иной формы.
Пример 1. Найти площадь пятиугольника, изображённого на
рис. 202.
Разбиваем пятиугольник на треугольники. Проводим высоты BL,
CM, EN. Измерения дают: АС = 40 мм, AD = 50 мм, BL = 11 мм,
СМ = 8 мм, EN= 12 мм. Вычисляем площадь каждого треуголь-
ника:
пл. A ABC=^ACBL =1.40.11=220 (мм2)
+ пл. Ai4CD = l^D.CAf=1.50.8 =200 (мм2)
пл. Д 4D£=1^D.£W=1-50-12 = 300 (мм*)
пл. ЛВС£>£ = 220 + 200 4-300 = 72Э (мм*).

§ 74. ИЯОЩДДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА, ПРИМЕРЫ
123
Пример 2. Найти площадь поверхности головки болта, изо-
бражённой на рис. 203.
Нашу площадь в данном случае можно разбить
на шесть одинаковых треугольных частей, как пока-
зано на рисунке.
Измеряем;
ЛО —9 мм,
BC — S мм.
Находим: пл. д AOB=z j АО-ВС = 36 (мм2);
Рис. 203. Го-
ловка болта.
Требуется
пайти пло-
щадь её по-
верхности.
площадь поверхности головки равна
36 • 6 = 21Л (мм*).= 2,16 (см2).
Пример 3. Найти- площадь восьмиугольника, изображённого
на рис. 204.
Этот восьмиугольник можно разбить на квадрат ACEG и .4 оди-
наковых треугольника. Измерением находим:
Ж? = 23 мм, RL = S мм.
Вычисляем:
пл. ЛСЕ(/ = ЛС2 = 26* =676 (мм*)
4 пл. АВ£ = 4 . у AC- BL = 2.26 • 5 = 2&0 (мм2)
пл. ABCDEFGK
= 936 (мм2).
Можно дополнить данный восьмиугольник до квадрата, как пока-
зано на рис. 205. Искомая площадь есть разность между площадью
В
Г
Рис. 204. Площадь этого 8-уголь-
ника можно найти, разбив его на
квадрат и четыре треугольника.
1
i :>*
~'i
Рис. 205. Ту же площадь
можно пайти, дополнив
8-угольник до квадрата.
этого квадрата и четырёхкратной площадью одного из треугольни-
ков, отрезаемых от углов. Проделайте измерения и вычисления.

124
ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
§ 75. Площади подобных фигур.
На рис. 206 изображены два квадрата ABCD и Л^С^. Отноше-
ние сторон А1В1: АВ равно 3:2=1-2» т- е. сторона АХВХ в 1 ^- раза
д cf больше, чем сторона АВ. Мы знаем
"~ (§ 69), что площадь квадрата
AiBlCiDi больше площади квадрата
В
ABCD в 1~.1~=2 j раза. Ины-
ми словами, отношение площадей
равно
(4)1.
т. е. квадрату отно-
шения сторон.
* и **1 Di Вообще, если отношение с т о-
Рис. 206. Если сторону квадрата P о н двух квадратов выражается
увеличить в 172 раза, то площадь числом k (в нашем примере k =
его увеличится в (17s)a = 2l/4pa3a. 3 l N
= -2=1-2), то отношение пло-
щадей тех же квадратов выражается числом А2 (в нашем при*
мере ft» = 1 = 2-1).
Такому же закону под-
чинены площади двух лю-
бых подобных фигур. На
рис. 207 изображены две
подобные фигуры (гаечные
ключи). Коэффициент подо-
бия k — тот же, что в пре-
% Till 1 1 11
\Jn\ H>
Ml
v NJ U*n /
N Ж И
\\\W Ml/
rWJM^kn
M ТЧ 1/1
1 ° \ I \
*i M
1 ill LU-4^J-4J III
a)
S)
Рис. 207. Коэффициент подобия фигур, изображённых на этих рисунках,
равен 3 ; 2. Отношение их площадей равно З3; 2а или 9 : 4.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
125
дыдущем примере: к = -~. Отношение же площадей 5 и St на
9
рис. 207, а и 207,5 (до волнистой линии) равно № = -^m
Чтобы убедиться в этом, покроем фигуру 207, а густой квад-
ратной сеткой, после чего увеличим рисунок 207, а в отноше-
нии 3:2. Тогда мы получим фигуру 207,5, покрытую квадратной
сеткой. При этом сторона каждого квадрата увеличится в отно-
шении 3:2; значит, площадь квадрата увеличится в отношении 9:4,
Число же квадратов остаётся неизменным. Значит, площадь фигу-
ры 207, а увеличится во столько же раз, во сколько увеличилась
площадь одного квадрата, т. е. в отношении 9:4.
Это рассуждение применимо ко всяким подобным фигурам с лю-
бым коэффициентом подобия. Значит:
Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату
коэффициента подобия.
Иными словами:
Площади подобных фигур относятся, как квадраты сходствен-
ных отрезков.
Пример. Правильные многоугольники с одинаковым числом
вершин всегда подобны. Поэтому площади двух правильных много-
угольников с одинаковым числом вершин пропорциональны квадра-
там их сторон.
Упражнения и задачи.
202. Найти площадь прямоугольника, стороны которого равны:
а) 8 еж и 6 см, г) 4,3 см и 2£ см, ж) 2 м и 50 см,
б) 12 мм и 19 мм, д) 0,8 м и 1,4 м, з) 3 дм и 22мм,
в) 5 м и 2 м, е) 5 м и 0,7 м, и) 0,4 м и б см.
203. Найти площадь квадрата, сторона которого равна
а) 3,4 м, б) 1,2 км, в) 11,5 мм.
204. Найдите площадь пола в комнате.
205. Найдите площадь вашей квартиры.
206. Начертите треугольник и измерьте его площадь.
207. Начертите трапецию и измерьте её площадь.
- v 208. Разбейте трапецию диагональю на два треугольника, напишите фор-
мулы для площади этих треугольников. Выведите отсюда формулу (5) для
площади трапеции.
209. Найдите площади фигур по их уменьшенным чертежам, изображён-
ным на рис. 208 а, б, в, г. Истинные размеры указаны на чертежах в милли-
метрах.
210. Периметр прямоугольного участка 120 м. Длина больше ширины на
20 м. Найти площадь участка.
211. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого
д= 12 см, £ = 16 см.
212. Найти площадь прямоугольного треугольника ABC, у которого ка-
тет АВ = 30 см, а угол В содержит 20°.
Указание. Предварительно найти катет АС*

126
ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
213. Найти площадь прямоугольного треугольника АВС} у которого ги-
потенуза ВС = 25 см и LB ■= 62°.
214. Найти площадь прямоугольника, у которого одна из диагоналей
равна 12,0 см, и угол между диагоналями содержит 70°.
215. Обойная бумага.имеет в ширину 1,2 м. Сколько метров такой бу-
маги требуется для оклейки стен в комнате длиной 5 м, шириной 4 м и
высотой 3 ж?
5
ш^ж
■45-
щ.
Ш
1
1
I
1
70
-А*
Рис. 208.
216. Треугольный участок, основание которого—-65 м, а высота — 143 м,
заменить равновеликим прямоугольным участкогл, у которого одна сторона —
38 м. Найти другую сторону.
217. Квадратный участок со стороной 60 м заменить равновеликим тре-
угольным участком с основанием 240 м. Найти высоту треугольного участка.
218. Парус треугольной формы имеет высоту 3,6 м и основание 3,3 лс.
Найти площадь паруса.

§ 76. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
127
Маек 1200
219. Сторона треугольника разделена на 3 равные части; одна из точек
деления соединена с противоположной вершиной прямой линией Эта линия
делит треугольник на две части. Найти отношение их площадей.
220. Найти площадь фигуры, изображённой на рис. 209.
221. Длина модели корабля в 80 раз меньше длины корабля» Во скодысо
ра» площадь палубы на модели меньше
площади палубы ид корабле?
222. Во сколько раз площадь герба
на пятикопеечной монете больше пло-
щади герба на трёхкопеечной мо-
нете?
223. В треугольнике проведена сред-
няя линия. Во сколько раз отрезаемый ею
треугольник меньше данного?
224 Из квадратного, листа картона
со стороной 15 им вырезан каадрат,.
площадь которого на 175 см" меньше
площади обрезков. Найти сторону вы-
резанного квадрата.
225. Ошибка при измерении длины
шагами достигает 3% измеряемой дли-
ны. Какой- процент площади квадратного участка, обмеренного шагами, со-
ставляет возможная ошибка?
Рис. 209.
§ 76. Теорема Пифагора.
Построим прямоугольный треугольник с катетами b—Зсм, и
с = 4 ежи измерим его гипотенузу а. Мы найдём а = 5 см. По-
строим квадраты на сторонах
этого треугольника (рис. 210; раз-
меры на рисунке уменьшены). Пло-
щади их составляют; &2 = 9 см2,
с2 = 16 см2s а2 = 2.5 см2у так что
площадь квадрата, построенного
на гипотенузе, равна сумме пло-
щадей квадратов, построенных на
катетах.
Тем же свойством обладают
все прямоугольные треугольники.
Проверьте это на ряде опытов,
подобных вышеописанному. Сей-
час мы докажем это свойство.
Теорема. Во всяком прямо-
угольном треугольнике площадь
квадрата, построенного на ги-
потенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на ка-
тетах.
Доказательство. Опустим из вершины прямого утла (рис.
21'1) лертгендикул-яр AD ва гипотенузу СВ. Продолжив этот пер-
пендикуляр, мы разобьём квадрат CBNM, построенный на гипоге-
JT а
Рис. 210. Теорема Пифагора: площадь
квадрата,, построенного на гипотену-
зе, равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах. На этом ри-
сунке: 16 + 9 = 25.

128
ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
нузе а, на два прямоугольника; они обозначены цифрами / и 11.
Докажем, что прямоугольник / равновелик квадрятуХЙС/fZ,, постро-
енному на катете Ьу а прямоугольник // равновели*. квадрату ABEF,
построенному на катете с.
Возьмём сначала прямоугольник /. Его площадь равна произве-
дению основания CD на высоту СМ = а. Основание CD меньше
стороны b квадрата ACKL, а вы-
сота СМ больше, чем Ь\ Оказы-
вается, что CD во столько же раз
меньше Ь, во сколько СМ больше
Ь. Действительно, из треугольни-
ка ACD, в котором b — гипоте-
нуза, a CD — катет, находим:
CD = b cos С.
(1)
Из треугольника же ЛВС, где
b — катет, а а — гипотенуза, на-
ходим:
я = ;А*. (2)
Таким образом, основание CD
прямоугольника / получается из
b умножением на cos С (эта вели-
чина меньше единицы, так что
CD<^b), а высота СМ —а по-
лучается из b делением на ту же величину cos С. Значит, СМ
больше b во столько же раз, во сколько CD меньше, чем Ь. А отсюда
следует, что прямоугольник / имеет ту же ь.-ощадь, что квадрат ACKL.
В самом деле, площадь прямоугольника / равна
CD-CM=CD-a.
Подставляя сюда вместо CD и а их выражения (1) и (2), находим:
Рис. 211. Доказательство теоремы Пи-
фагора.
CD-САГ =6 cos С
cos С
= Ь\
Следовательно, прямоугольник / имеет ту же площадь, что квадрат
ACKLy построенный на катете Ь. Совершенно так же докажем, что
площадь прямоугольника // равна площади квадрата ABEF, постро-
енного на катете с.
Значит, площадь квадрата CBNM, построенного на гипотенузе
прямоугольного треугольника ABC (он составлен из прямоугольни-
ков / и //), равна сумме площадей квадратов ACKL и ABEF, по-
строенных на катетах.

§ 77. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
129
Доказанная нами теорема носит название теоремы Пифагора ')•
На рис. 212 показано, как можно составить квадрат CBNM из квадратов
ACKL и ABEF.
Точку О нужно взять в пересечении диагоналей квадрата ACKL (они не
показаны на рис. 212, чтобы не загромождать чертежа). Через О проводим
две прямые — одну параллельно ги-
потенузе СВ, другую — перпендику-
лярно к ней. Четыре части, на кото-
рые разбивается квадрат ACKL, нужно
поместить в углах квадрата CBNM,
как показано на рисунке 212. По-
средине останется место для квадра-
та ABEF. Выполните это преобразо-
вание, сделав выкройку из бумаги.
Прямоугольпый треугольник возьми-
те другой формы.
§ 77. Применения теоремы
Пифагора.
Если обозначить длину гипо-
тенузы буквой а, а длины кате-
тов — буквами b и с, то площадь
квадрата, построенного на гипо-
тенузе, будет равна а2, а площа-
ди квадратов, построенных на
катетах, будут равны #2 и с2. В
силу теоремы Пифагора, между
числами а, Ь, с существует зави-
симость, выражаемая формулой
а2 = £2 + с2. (1)
Разумеется, длины гипотенузы i
одной и той же единицей длины.
Формула (1) читается так: квадрат числа, выражающего длину
гипотенузы, равен сумме квадратов чисел, выражающих длины
катетов
или короче:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула (1) позволяет найти одно из чисел а, Ь, с, когда из-
вестны два других.
Пример 1. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника,
катеты которого равны 8 см и 15 см.
*) Пифагор — греческий философ, живший около 2 500 лет назад. Ему
приписывалось открытие и доказательство этой теоремы. Теперь мы знаем,
что свойство, устанавливаемое «теоремой Пифагора», было известно вавилон-
ским архитекторам и землемерам больше чем за тысячу лет до Пифагора.
М N
Рис. 212. Квадрат CBNM можно со-
ставить из квадратов ACKL и ABEF.
Четыре части, на которые разбит
ACKL> помещаются в углах квадра-
та CBNM; квадрат AFEB — посре-
дине.
катетов должны быть измерены

130
ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
Подставляя в формулу (1). значения ft = 8, с =15^ находим:
а2 = 64 +225 = 289. (2)
Этому уравнению удовлетворяет значение а =17. Поэтому, гипоте-
нуза равна 17 см.
Число, квадрат которого равен некоторому числу N, называется
квадратным корнем из числа N. В нашем примере 17 есть квад-
ратный корень из 289. Для записи слов «квадраглмй
корень» в формулах употребляют знак у, так что ]^289
означает «квадратный корень из 289». Пользуясь этим
обозначением, мы можем записать, решение уравнения
(2) так:
а =/289=17.
Рис.213.Диа- Способы извлечения (т. е. отыскания) квадратного
гональ квад- корня объясняются в алгебре. Квадратные корни из
рата со сто- небольших чисел (не превышающих 1000) можно нахо-
роиой 1 см дить по таблице> приложенной в конце этой книги,
{^блнжёи- Пример 2. Найти длину d диагонали квадрата
ы-1$4см). со стороной а = 1 см.
Диагональ AC = d (рис. 213) разбивает квадрат
ABCD на два прямоугольных треугольника. Возьмём
один из них, например ACD. В нём гипотенузой служит диагональ
АС, а катетами — стороны AD и DC, равные по 1 см каждая. Сле-
довательно (§ 77):
Значит,
rf=/2.
Из таблицы находим, что j/2 = 1,414.
Следовательно, диагональ квадрата равна 1,414 см. Последний
знак, конечно, не имеет практического значения. Теоретически же
и 1,414 см не является точной длиной диагонали, потому что квад-
рат числа 1,414 равен не 2, а 1,999396. Вообще, нет такой
дроби, ни десятичной, ни простой, квадрат которой в точности
равнялся бы двум.
Несмотря на это в математике считают, что "|/2 есть точное чисдо, а
числа 1,41 или 1,414— это его приблизительные значения (второе более точ-
ное, чем первое). К такой мысли люди пришли не сразу; долгое время У~2
не считали числом. Но тогда приходилось принимать, что диагональ квадра-
та не имеет точного числового выражения, если за единицу длины принята
сторона.
На первых порах трудно свыкнуться с мыслью, что точное число У 2
пельзя точно выразить дробью. Трудность эта происходит от того, чпо в
обыденной жизни мы обходимся целыми числами и дробями; поэтому скла-
дывается представление, что кроме этих чисел (они называются в матема-
тике рациональными) никаких других быть не может.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
131
Однако такого же рода трудности испытывали люди в прошлом, когда
они были знакомы лишь с целыми числами и встретились с необходимостью
точно выполнить деление целых чисел, например, числа 38 на 5. Для этой
цели пришлось придумать дроби.
Позднее, в связи с теоремой Пифагора, явилась необходимость точно
извлекать квадратные корни. Для этой цели придумали новые числа — их
называют иррациональными. К числу иррациональных чисел принадлежат
/2, "|/*3 и многие другие.
Пример 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
23 см; один из катетов равен 17 см. Найти другой катет.
Подставляем в формулу (1) а = 23, 6=17; находим:
23*= 17*-f А
са = 23* — 172 = 529 — 289 = 240.
с= /240^15,5 (см).
Пример 4. Столб «гигантских шагов» имеет высоту 8 м. На
какое расстояние бегающий на этих шагах может отойти от столба,
если верёвка имеет длину 9 м?
При наибольшем удалении от столба верёвку можно принять
за гипотенузу, а столб — за один из катетов прямоугольного тре-
угольника* Искомое расстояние есть другой катет. Он равен
/9* — 8* = / 81 — 64 = /17 = 4,1 м.
Упражнения и задачи.
226. Найти гипотенузу треугольника, если его катеты равны 15 см и
20 см\ 5 еж и 12 см\ 20 мм и 21 мм\ 14 ж и 24 лг, 5,3 м и 9,2 м\ 2 м и 8 дм.
227. Найти катет с по другому катету b и гипотенузе а в следующих
трёх случаях:
а
Ь
17 см
6 см
43 см
39 см
15 м
12 м
228. Стороны прямоугольника равны 56 мм и 48 мм. Найти диагональ.
229. Найти высоту и площадь равнобедренного треугольника, основание
которого 15 ж, а боковая сторона 19,5 м.
230. Найти высоту и площадь равностороннего треугольника со стороной
53 см.
231. Написать формулу для высоты и площади равностороннего тре-
угольника со стороной а.
232. Найти сторону равностороннего треугольника, площадь которого
80 см*.
233. Основания равнобочной трапеции 18 см и 13 см. Высота 8 см.
Найти длину боковых сторон.
Отсюда
Значит,

132 ГЛ. 9. ПЛОЩАДИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
234. Ров имеет глубину 2,2 м; ширина его вверху 8 ж, ширина дна £,6 ж.
Найти площадь поперечного сечения.
235. Начертите два квадрата и постройте третий так, чтобы его площадь
равнялась сумме площадей первых двух.
236. Начертите два квадрата и постройте третий, площадь которого
равнялась бы разности площадей первых двух.
237. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторо-
нами 12 см и 15 см,
238. Написать формулу для боковой стороны равнобедренного треуголь-
ника, .имеющего площадь 5 и основание а.
239. Катеты прямоугольного треугольника равны а = 15 см, £ = 25 см.
Написать формулу для высоты, опущенной на гипотенузу, и вычислить эту
высоту.
Указание. Найти площадь треугольника и его гипотенузу.
240. Два дерева растут ва ровной местности на расстоянии 42 м одно
от другого. Высоты их 31 м и 18 ж. Найти расстояние между их верши-
нами.
241. Телефонная проволока протянута от столба к дому. Высота её
у столба 6,2 ж, у дома 8,7 ж. Расстояние столба от дома 7,5 ж. Найти длину
проволоки.
242. Сосна надломилась на высоте б ж; верхушка, опустившись до земли,
отстоит от ствола на 10 м. Найти высоту сосны.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА.
§ 78. Пропорциональность длины окружности и диаметра.
Научившись измерять площади различных многоугольников, мы
теперь перейдём к измерению площади круга. Предварительно нам
надо познакомиться с измерением длины окружности.
Две окружности всегда подобны друг другу. Поэтому их длины
.имеют то же отношение, что длины диаметров:
Cl:Ci = Dl:Dv (1)
В этой формуле Cj и С2—длины окружностей, a DL и D^ — их
диаметры.
Формулу (1) можно записать ещё так (переставив средние члены
пропорции):
C1:Dl = C2:D2) (2)
т. е. у любых двух окружностей длина окружности имеет одно
и то же отношение к длине диаметра.
Короче:
Длина окружности пропорциональна длине диаметра.
Из опыта отношение окружности к диаметру можно найти так:
начертим на куске картона окружность, диаметр которой D равен,
например, 100 мм. Вырежем полученный круг и обведём его бу-
мажной лентой, которая несколько длиннее окружности. При этом
будем наблюдать, чтобы лента плотно прилегала к окружности.
Затем сделаем булавкой прокол в каком-нибудь месте, где один
конец ленты покрывает другой. Развернув ленту, измерим расстоя-
ние между проколами. Оно составит примерно 315 мм> а если этот
опыт мы сделаем более тщательно, то окажется, что точнее будет
взять 314 мм. Приняв эту величину за длину С окружности, мы
лолучим:
С:£ = 314: 100 = 3,14.
Если увеличить диаметр, например, вдвое (D = 200 мм), то и
длина окружности увеличится вдвое (С = 628 лем), так что отно-
шение C:D попрежнему составит 3,14.

134 гл. 10. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
§ 79. Число «пи».
Число 3,14 дабт отношение окружности к диаметру лишь при-
ближённо. На самом деле это отношение несколько больше. Точ-
ное отношение окружности к диаметру принято обозначать гре-
ческой буквой тс («пи») *). Как мы видели, число я приблизительно
равно 3,14, что записывается так:
тся^3,14.
Ещё точнее будет значение
* ^ 3,142.
Столь большая степень точности на практике требуется редко.
Во многих же случаях можно довольствоваться и более грубым
приближением
Ещё менее точно, но удобнее для вычислений, приближение
ти^3,1.
Замечание. Значение я^3,142 и другие более точные при-
ближения можно найти теоретически, не прибегая к опытам. В более
подробных учебниках геометрии рассказывается, как это можно
сделать2).
§ 80. Вычисление длины окружности.
Длину окружности принято обозначать буквой С, длину диа-
метра— буквой Д а длину радиуса — буквой R.
Так как отношение C:D равно я, то величина С (делимое)
равна величине D (делителю), помноженной на я (частное):
С = тг£>. (1)
В этой формуле берут для числа я такое приближение, которое
достаточно для требуемой точности.
*) С этой буквы (она читается как русское «п») начинается слово «пе^
риферейя», которое в переводе на русский язык значит «окружность».
8) Число я в настоящее время известно с такой точностью, которая пре-
восходит всякую практическую потребность (вычислено более 700 десятич-
ных знаков). Приведём здесь первые его шесть цифр:
те=3,14159.
Доказано, что никакой дробью (ни десятичной, ни простой) число те точно
выразить_иевозмож1ю, ток же как невозможно точло выразить дробью числа
у 2, У^З и т. п. Но для практики этого и не нужно; если бы даже число я
можно было точно выразить, скажем, десятичной дробью с 1000 знаками,
мы всё равно брали бы лишь несколько первых знаков.

§ 80. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ
135
Пример 1. Диаметр пятикопеечной монеты равен 25 мм.
Найти округлённую величину длины окружности монеты.
Формула (1) даёт *):
С — пП^ЪЛ -25^80 (мм).
Пример 2. Диаметр колеса у паровоза серии Э равен
/Э = 1320 мм. Найти длину окружности колеса.
Взяв тг^3,14, находим:
C = ir. 1320 ъ 3,14- 1320 ъ 4145 (мм).
Замечание. Если бы мы взяли кя^3,1, то получили бы
С = 4092 мм; ошибка составила бы около 50 мм, и результат был
бы слишком груб. Если же взять тс ^3,142, то первый результат
уточнится только на 3 мм, в вычисление значительно усложнится.
Формула (1) позволяет также найти диаметр по данной длине
окружности.
Пример 3. Длина окружности шкива равна 1540 мм. Найти
диаметр шкива.
Из формулы (1) получаем:
D = - ^1^^499 (мм).
Пример 4. Сколько оборотов в минуту сделает паровозное
колесо диаметром 1,65 м при скорости поезда 48 км в час?
48
В минуту поезд проходит ™ = 0,8 (км), т. е. 800 м.
При каждом обороте колеса паровоз продвигается вперёд на
длину окружности колеса C = t:D ^ 3,14 • 1,65^5,18 (м). Следо-
вательно, когда паровоз продвинется на 800 м, колесо сделает
800:5,18 ъа 154 оборота.
Пример 5. При сверлении медного изделия точка окружности
сверла должна двигаться со скоростью от 15 до 20 метров в ми-
нуту. Сколько оборотов в минуту может делать сверло, имеющее
в диаметре 22 мм?
Сверло, диаметр которого D = 22 мм, имеет окружность, рав-
ную С = я • 22я^69 мм. При одном обороте сверла точка его
окружности проходит путь в 69 мм. Если в минуту она пройдёт
путь 15 л*=15 000 мм, то число оборотов сверла в минуту будет
равно 15 000:69*^217. Если в минуту она пройдёт 20 м, то число
оборотов в минуту будет 20 000:69 я^ 290. Таким образом, сверло
может делать от 217 до 290 оборотов в минуту.
1) Для умножения на тс и на 2тг, а также для деления на эти числа со-
ставлены таблицы, дающие результаты с большим числом знаков; такие таб-
лицы помещаются во всех математических и многих технических спрдооч-
никах.

136 ГЛ. 10. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
Часто приходится вычислять длину окружности, зная её радиус*
Так как D = 2R> то формула (1) принимает вид
С = 2*/?. (2)
Пример 6. Определить длину окружности махового колеса,
радиус которого 1,40 м.
Формула (2) даёт С = 2тт. 1,4^2 • 3,1 • 1,4*^8,7 м.
Если положить тс = 3,14, то получим более точный результат:
_^^ С = 8,79 м.
WffiZfr^ Пример 7. Обхват столба со-
ставляет 1,6 м. Найти радиус его
поперечного сечения.
Формула (2) даёт:
* —"2к —6,3'
<0,25 (м).
§ 81. Площадь круга.
Площадь круга равна площади
прямоугольника, у которого осно-
ванием служит полуокружность*
а высотой—радиус.
Эту теорему мы не будем дока-
зывать, но поясним наглядно сле-
дующим образом.
Начертим круг какого-нибудь.
радиуса (удобнее всего 8—10 ему
Вырежем его и перегнём по диаметру; получим полукруг. Согнём:
полукруг вдвое; получим сектор в 90°. Согнём этот сектор вдвое;
Рис. 214. Разбив круг на секто-
ры, можно превратить его в фи-
гуру (см. рис, 215).
Рис. !215. . . . мало отличающуюся от прямоуголь-
ника (основанием служит полуокружность, а высо-
той — радиус).
получим сектор с углом в 45°. Произведём ещё один такой сгиб
и затем сделаем по сгибам разрезы. У нас будет 16 равных секто-
ров по 22 у ° в каждом (рис. 214). Один из них разрежем пополам
и полученные 17 секторов расположим так, как показано на рис. 215.

§81. ПЛОЩЛДЬ КРУГЛ
137
Из них составится фигура, мало отличающаяся от прямоугольника.
Если разрезать круг не на 16, а на 32 сектора, то получим фигуру,
которую уже трудно отличить от прямоугольника.
Итак, круг можно превратить в фигуру, очень похожую на пря-
моугольник; основанием этого «прямоугольника» служит полуокруж-
ность, а высотой — радиус.
Теперь ясно, что площадь круга 5 можно найти, помножив длину
полуокружности (-R-С) на радиус (/?):
Чс'
R.
О)
А так как длина окружности выражается формулой
C=r-2nR,
то мы находим:
или
5=у- 2nR.R
S=-xR*
(2)
(3)
Так как радиус R составляет половину диаметра Д то, под-
ставляя R = -<y D в Фор-
мулу (3), получим:
D\2
или
S=*
S= ■!*/)•.
(4)
Рис. 216. Площадь
круга в три с лишним
раза больше площади
квадрата О ABC.
Рис. 217. Площадь
круга немногим боль-
ше трёх четвертей
площади описанного
квадрата.
Формулы (3) и (4)
следует запомнить.
Формула (3) показы-
вает, что круг по пло-
щади в три с лишним
раза больше, чем квад-
рат, изображённый на рис. 216; формула (4) показывает, что круг
по площади составляет немногим больше трёх четвертей описанного
квадрата (рис. 217).
Пример 1. Найти площадь круга, радиус которого равен
У? = 50 мм.
По формуле (3) находим:
S=*.бО*я« 3,14- 2500 = 7850 (мм*)
или
5 я^ 78,5 (см*).

138
ГЛ. 10. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
Пример 2. Найти площадь круга, диаметр которого равен
26 мм.
Формула (4) даёт *):
S=l*.262^4-'3,14-262^531 (мм*).
4 4 '
Пример 3. Найти диаметр круга, площадь которого 5750 мм.
Формула (4) даёт:
D* = 4S:*rv4- 5750:3,14^7325 (мм2).
Отсюда
D=/7325я^85,6 (лл).
Пример 4. Найти площадь фигуры, изображённой на рис. 218.
I
Рис. 218. Найти площадь этой фигуры.
Измерением находим: /=60 мм, D = 20 мм, d=10 мм. Если бы
не было отверстий, то данную фигуру можно было бы составить
из двух полукругов диаметра D общей площадью -^ я/}2 и из пря-
моугольника с основанием /—D и высотой D. Следовательно, пло-
щадь равнялась бы (/ — D) D -|- -j- тс/)2. Отсюда нужно вычесть пло-
щадь двух отверстий. Таким образом, находим:
S=(l— D)£> + -*£>* — 2» ^xctf2 = 40.20-f
-f-j. 3,14 -400 — у. 3,14- 100 = 800 + 314—157 = 957 (мм*).
Площадь круга увеличивается с увеличением радиуса или диа-
метра. Однако она пропорциональна не радиусу (или диаметру),
а квадрату радиуса (или диаметра). Действительно, круги
тЮ*
') Во многих справочниках помещены таблицы, дающие площадь круга
-j- для различных значений D. Эти таблицы позволяют по данному диа-
метру найти площадь круга и, обратно, по данной площади круга найти
диаметр.

§ 82. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА
139
являются подобными фигурами, а их диаметры — сходственными от-
резками (см. § 75). Также и из формулы (3) видно, что площадь
круга пропорциональна квадрату его радиуса. Таким образом, с уве-
личением радиуса, скажем, в 7 раз, площадь круга увеличивается
в 49 раз.
Пример 5. Вода течёт по двум трубам с одинаковой скоро-
стью. Первая труба имеет в диаметре D1 = 20 см; вторая D%— 15 см.
Во сколько раз подача воды в первой трубе больше, чем во второй?
При неизменной скорости течения количество воды, подаваемой
трубой, пропорционально площади её кругового сечения. Но пло-
щадь круга пропорциональна квадрату диаметра; поэтому количе-
ство воды, подаваемой первой трубой, относится к количеству воды,
подаваемой второй трубой, как D^ к £>22, т. е. как 202 к 152:
20»: 15е = 400:226 я** 1,8.
Подача первой трубы примерно в 1,8 раза больше, чем второй,
§ 82. Площадь сектора.
Площадь сектора (АОВ на рис. 2\9)равна площади прямоугольника, у ко-
торого основанием служит половина дуги сектора, а высотой—радиус.
Эту теорему можно пояснить так же, как теорему о площади круга.
Именно, сектор АОВ разрежем на более мелкие секторы, как показано на
Рис. 219. Разбив.сектор АОВ па
более мелкие секторы, можно
превратить его в фигуру
(см. рис. 220).
Рис.220. . , , мало отличаю-
щуюся от прямоугольника,
основанием которого служит
половина дуги АВ, а высотой
радиус О А.
рис. 219. Из них составим фигуру, изображённую на рис. 220, похожую на
прямоугольник. Основание этого «прямоугольника» есть половина дуги сек-
тора, а высота — радиус сектора.
Отсюда ясно, что площадь 5 сектора АОВ можно найти, помножив длину
половины дуги АВ на радиус ОА сектора. Если длину дуги АВ обозначить
через с, то получим формулу
5=4 <*.

140 ГЛ. 10. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
Упражнения и задачи.
24& Найти длину окружности и площадь круга, радиус которого равен:
а) 60 см; б) 114 см; в) 1 м; г) 24,8 см; д) 0,24 м.
244. Найти длину окружности и площадь круга, диаметр которого равен:
а) 34,2 см; б) 0,6 см; в) 5 мм; г) 0,525 м; д) 2,3 м.
245. Найти диаметр круга, окружность которого составляет:
а) 75 мм; б) 46 см; в) 70,4 дм; г) 3,18 м; д) 0,216 м.
246. Найти радиус круга, окружность которого составляет:
а) 2,56' м; б) 60 мм; в) 36,6 см.
247. Найти радиус круга, площадь которого равна:
а) 36 см*; б) 18,4 смг; в) 2,4 м2; г) 0,36 м\ д) 6,3 дм*; е) 160 мм\
248. Найти диаметр круга, площадь которого равна:
а) 49 см2; б) 6,4 дм*; в) 174 мм2; г) 0,22 дм2.
249. Найдите площадь кружка пятикопеечной монеты.
250. Окружность арены цирка составляет 286 м. Как велика её площадь?
251. Поперечное сечение столба имеет площадь 1000 см2. Найти диаметр
столба.
252. Зрачок человеческого глаза в зависимости от яркости освещения
изменяет свой диаметр от 2 до 9 мм. Во сколько раз площадь расширен-
ного зрачка больше, чем площадь суженного?
253. Во сколько раз увеличится площадь круга, если окружность его
З'величить в 5 раз?
а) 6) в)
Рис. 221. К задаче 258.
254. Круглый металлический диск диаметром 20 см весит 2,4 кг. Сколько
весит вырезанный из него диск диаметром 10 еж?
255. Население Голландии составляет 8,2 миллиона, а Швейцарии —
4,1 миллиона. Численность населения Швейцарии изображена на диаграмме
кругом с диаметром 10 см. Каков должен быть диаметр круга, изображаю-
щего численность населения Голландии?
256. Две кадки с квашеной капустой покрыты лежащими на капусте
деревянными кругами с камнями. В одной кадке круг имеет в поперечнике
24 см и нагружен 10 кг; в другой кадке поперечник круга равен 32 см,
а груз—16 кг. В какой кадке капуста находится под ббльшим давлением?
257. Разделите площадь данного круга пополам окружностью, центр ко-
торой совпадает с центром данного круга.
258. Найти площадь фигур, изображённых на рис. 221,

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
111
259. Доказать, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе
(рис. 222) равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.
260, Будет ли равна площадь равностороннего треугольника, построен-
ного на гипотенузе, сумме площадей равносторонних треугольников, по-
строенных на катетах.
Рис. 222. Площадь полу-
круга / равна сумме пло-
щадей полукругов // и ///.
261. Построить круг, вдвое превосходящий данный круг (по площади).
262. Две водопроводные трубы с одинаковыми диаметрами нужно заме-
нить одной трубой с той же пропускной способностью, В каком отношении
нужно увеличить диаметр трубы?

ГЛАВА аДИННАДЦАТАЯ.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ;
ПРОСТЕЙШИЕ МНОГОГРАННИКИ.
Геометрию делят »а две части: планиметрию и стереометрию.
Планиметрия изучает свойства плоских фигур; ею мы занимались
в предыдущих главах. Стереометрия изучает свойства таких фигур,
которые не помещаются на одной плоскости. В настоящей главе
даны первоначальные сведения до хгхереометрии.
§ 83. Плоскости и прямые в пространстве.
Две плоскости могут пересекаться друг с другом; линия их
пересечения — прямая. Так, плоскость стены и плоскость пола пе-
ресекаются по прямой линии.
Две плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их ни про-
должать. Непересекающиеся плоскости называются парал-
лельными.
Примеры. Плоскость пола и плоскость потолка — параллельны.
Лицевая и оборотная сторона монеты — параллельные плоскости.
Поверхность воды в стакане и поверхность воды в блюдце парал-
лельны.
Плоскость и прямая линия, не лежащая на ней, также могут либо
пересекаться (только в одной точке), либо не пересекаться (сколько
бы их ни продолжать). Непересекающиеся плоскость и
прямая называются параллельными.
Примеры. Если на полу провести какую-нибудь прямую линию
она будет параллельна плоскости потолка. Если провести прямую
на стене, она будет всегда параллельна плоскости противоположной
стены; двум другим стенам эта прямая будет параллельна только
в том случае, если она вертикальна.
Прямая ЛВ, пересекающая плоскость Р в точке О (рис. 223),
может составлять с различными прямыми, проведёнными на пло-
скости Р через точку О, углы различной величины. В частности,
через точку О на плоскости Р всегда можно провести одну пря-

§ 83. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ 143;
мую, перпендикулярную к АВ. Проверьте это на опыте, поставив
карандаш в наклонное положение на плоскость стола*
Если же прямая АВ перпендикулярна к двум прямым, прове-
дённым на плоскости Р через точку О, то она перпендикулярна и ко
всем остальным прямым, проведённым на плоскости Р через точку О.
Рис. 223. Прямая/Iff —наклон- Рис. 224. Прямая АС перпеидикуляр-
пая к плоскости Р. на к ММ'; прямая АСХ перпендику-
лярна к ММ\ к NN- и ко всякой
прямой, лежащей в горизонтальной
плоскости, например, к UU\
Пример 1. Начертим на листе бумаги две пересекающиеся
прямые ММ и AW (рис. 224). Возьмём угольник ABC и приложим
его катет АВ к прямой ММ так, чтобы вершина А прямого угла
оказалась в точке пересечения прямых ММ и AW. Если мы будем
вращать угольник около края АВ, то катет АС всё время остаётся
перпендикулярным к прямой ММ\ Но
к прямой AW он будет перпендикулярен
лишь, в одном своём положении АСХ
(вертикальном). А в атом положении
он перпендикулярен и ко всем осталь-
ным прямым, проведённым на листе
бумаги через точку А (например, к
прямой UU на рис. 224).-
Прямая- KL (рис. 225), пересекаю-
щая плоскость Р, в точке L и пер-
пендикулярная ко веем прямым плос- Рис. 225. Прямая KL перпеп-
кости Р, проходящим через L, назы- дикулярна к плоскости Р.
вается перпендикулярной к плос-
кости Р. Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная.
к< ней: (рис. 223), называется наклонной.
Пример 2, Электрическая?лампа с массивным, абажуром висит
над столом на шнуре. Прямая линия, по которой провисает шнур*
перпендикулярна к плоскости потолка*

141 ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Если прямая CD (рис. 226) перпендикулярна к одной из двух
параллельных плоскостей (Р), то она перпендикулярна и к другой (Q).
Пример 3. Прямая линия, по которой свешивается шнур
электролампы (см. пример 2), перпендикулярна не только к плос-
кости потолка, но и к плоскости пола.
/ , s
/ '
~7
7
/ с £
/л Л..Л....
/ у \ : т/
Л ь М/
У
/у
/
Рис. 226. Прямая CD, перпен-
дикулярная к одной из парал-
лельных плоскостей, перпен-
дикулярна и к другой.
Рис. 227. Пара параллельных
плоскостей отсекает от всех
прямых, перпендикулярных к
ним, отрезки одной и той же
длины.
Параллельные плоскости Р и Q (рис. 227) отсекают от всех
прямых, перпендикулярных к ним, отрезки одной и той же длины
(AB = CD=EF = KL). Длину любого из
этих отрезков мы называем расстоянием
между плоскостями Р и Q.
§ 84. Двугранные углы.
Часть плоскости, лежащая по одну сто-
рону от какой-либо прямой, лежащей в этой
плоскости, называется полуплоскостью.
Две полуплоскости (ЛВС и ABD на
рис. 228), исходящие из одной прямой (АВ),
образуют двугранный угол. Плоскости
ABC и ABD называются гранями, а пря-
мая АВ— ребром двугранного угла.
Двугранный угол обозначается двумя
буквами, поставленными у его ребра (дву-
гранный угол АВ), или четырьмя буквами,
записанными в таком порядке, что буквы,
обозначающие ребро, стоят между двумя
другими, обозначающими грани (двугранный угол CABD или
DBAC).
Равенство и неравенство двугранных углов устанавливается так
же, как равенство и неравенство углов в планиметрии (§ 12). Дву-
гранные углы можно складывать, вычитать, умножать и делить на
равные части так же, как углы плоские.
Рис. 228. Двуграпный
угол. Плоскости ABC и
ABD — грани, прямая
АВ — ребро.

§ 84. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ
145
Двугранные углы можно измерять так же, как в планиметрии изме-
ряются, плоские углы (§13). Повернув полуплоскость ALB (рис. 229)
около ребра АВ на 7зво часть полного оборота, приведем её в поло-
жение АКБ и получим градус двугранного угла. Двугранный
угол в 90° называется прямым
другранным углом. Две плос- д\
кости Р и Q (рис. 230), которые,
Рис. 229. Градус двугран-
ного угла.
Рлс. 230. Перпендикулярные пло-
скости.
пересекаясь, образуют четыре прямых двугранных угла, называются
взаимно перпендикулярными или просто перпендикулярными.
Пример. Стена комнаты и её пол образуют двугранный угол
в 90°, т. е. они взаимно перпендикулярны. Две соседние стены
тоже взаимно перпендикулярны.
Проведём в грани Р двугранного угла PABQ (рис. 231) из
какой-либо точки О ребра АВ луч ОС, перпендикулярный к ребру.
Будем теперь вращать грань Р около
ребра АВ. При этом луч ОС будет
вращаться около точки О и своим
движением образует плоскость /?.
Эта плоскость перпендикулярна к
ребру АВ, так как АВ перпендику-
лярно ко всем лучам ОС, OD и т. д.,
представляющим различные положе-
ния вращающегося луча. Когда пло-
скость Р поворачивается на 7збо>
2/360 и т. д. полного оборота, луч
ОС поворачивается тоже на '/'збо*
Vaeo и т- Д« полного оборота. По-
Рис. 231. L COD — линейный угол
л 4. „ тл л*г>^ , двугранпого угла PABQ.
этому двугранный угол PABQ содер-
жит столько же градусов двугранного угла, сколько угловых гра-
дусов содержит плоский угол COD.

146 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Плоский угол COD, получаемый в пересечении' двугранного
угла PABQ с плоскостью, перпендикулярной к его ребру A3, назы-
вается линейным углом двугранного угла PABQ. Из сказанного
выше ясно, что двугранный угол содержит столько же градусов,
сколько его линейный угол. Для краткости говорят: двугранный
угол измеряется его линейным углом.
В планиметрии, когда мы говорили об угле между двумя пря-
мыми, мы имели в виду один из четырёх углов, образуемых соот-
ветствующими лучами; точно так же, когда в стереометрии говорят
об угле между двумя плоскостями, при этом имеют в виду один
из четырёх двугранных углов, образуемых соответствующими полу-
плоскостями. Если эти углы не прямые и нет никаких дополнитель-
ных указаний, то берётся обычно острый угол.
§ 85. Многогранник,
Геометрическое тело, поверхность которого состоит из много-
угольников, называется многогранником. Многоугольники, ограни-
чивающие многогранник, называются гранями, стороны этих много-
угольников — рёбрами, а вершины — вершинами многогранника.
С
Рис. 232. Четырёхгранник. Рис. 233. Пятигранник. Рис. 234. Пятигранник
другого вида.
По числу граней многогранник именуется четырёхгранником,
пятигранником и т. д. Меньше четырёх граней многогранник не
может иметь.
На рис. 232 изображён четырёхгранник ABCD. Его четыре
грани — треугольники. Он имеет четыре вершины и шесть рёбер.
На рис. 233 изображён пятигранник. Он имеет пять вершин и во-
семь рёбер. Четыре из пяти его граней — треугольники,. Пятая
грань — четырехугольник. На рис. 234 изображён пятигранник дру-
гой формы. Он имеет шесть вершин и девять, рёбер. Две его
грани—треугольника, три- остальные — четырёхугольники. Спичеч-
ная коробка имеет форму шестигранника. Этот шестигранник имеет
восемь вершин и двенадцать рёбер; все его грани — прямоуголь-
ники.

§ 87. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЁМОВ
147
-§ 86. Прямоугольный -параллелепипед (брус).
Спичечные коробки, всевозможные ящики, кирпичи и разнообраз-
иые другие изделия имеют форму шестигранника, у которого все
грани — прямоугольники. Такой шестигранник в геометрии назы-
вается прямоугольным лара^глелепипедом (рис. 235). Вместо этого
трудно произносимого греческого слова иногда употребляется -на-
звание «прямоугольный брус». Таким образом, прямоугольный парал-
лелепипед (или прямоугольный брус) есть такой шестигранник*
see грани которого—прямоугольники.
Каждая грань прямоугольного бруса параллельна грани, лежащей
против неё, и перпендикулярна к остальным четырём граням. Так,
дно ящика параллельно его крышке
и перпендикулярно к четырём его
стенкам. Прямоугольный брус име-
ет восемь вершин (А, В, С, D,
Е, F, К, L на рис. 235) и двенадцать
рёбер (АВ, ВС, CD, DA, EFyFK9
KL, LE, AE, BF, CK, LD на рис.
235). Каждая лара параллельных
граней бруса перпендикулярна к
четырём ребрам. Так, дно и крышка
ящика перпендикулярны к четырём
вертикальным его рёбрам.
Любую грань прямоугольного бруса можно назвать «го основа-
нием. Тогдасрасстояние между этой гранью и гранью, параллельной ей,
называется высотой бруса. В 'частности, длина любого ребра, пер-
пендикулярного к основанию прямоугольного бруса, равна его вы-
соте. Если за основание ящика принять его дно, то высотой будет
вертикальное ребро. Если за основание прямоугольного бруса, изоб-
ражённого на рис. 235, принять грань ABFE, то ребро AD будет
высотой.
Три ребра прямоугольного бруса, сходящиеся в одной вершине,
например, рёбра AD, DC, DL (рис.235), называются его измере-
ниями; одно «из -«их -можно-принять за длину, другое — за ширину,
третье — за ^высоту.
Прямоугольный брус, у которого »все три измерения равны, есть
куб; у куба все грани—* квадраты.
Рис.
D
235. Прямоугольный парал-
лелепипед (брус).
§ £7. Измерение объёмов.
За единицу измерения объема принимается абхвм куба, ребро
которого равно единице длины, например 1 см\ эта единица изме-
рения объёма называется кубическим сантиметром. Обягём одного
кубичеекопо дециметра жидкости называется .литром. Например,

148 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
литр керосина есть такое количество керосина, которое может
заполнить сосуд, имеющий форму куба с ребром 1 дм.
Объвм пустого тела можно измерить, наливая в него жидкость
литровой посудой или какой-нибудь другой меркой. Объём твёрдого
тела можно измерить, погружая его в жидкость, наполняющую
какой-нибудь сосуд до краёв. Вылившаяся жидкость собирается,
и объём её измеряется заранее приготовленной меркой. Однако эти
приёмы далеко не всегда применимы практически. Деревянный ящик
или жилое помещение нельзя наполнять водой, и не всякое твёрдое
тело можно погружать в жидкость. Поэтому важно уметь находить
объёмы тел различной формы косвенным способом, т. е. с помощью
измерений и последующих вычислений.
§ 88. Объём прямоугольного бруса.
Объём прямоугольного бруса равен произведению площади осно-
вания на высоту.
Это значит, что число единиц объёма, содержащихся в объёме
прямоугольного бруса, равно произведению числа единиц площади,
содержащихся в основании, на число единиц длины, содержащихся
в высоте. Вывод этого правила дан ниже.
Пример. Найти объём ящика, имеющего длину 4 дм, ширину 2 дм
и высоту 3 дм.
Площадь основания этого ящика равна 4X2 = 8 (дм*). По-
множая число 8, выражающее площадь основания в квадратных де-
циметрах, на число 3, выражающее вы-
соту в дециметрах, получаем число
24, выражающее объём в кубических
дециметрах:
8X3 = 24 (куб. дм).
Как видно из этого примера, пра-
вило для измерения объёма прямо-
угольного бруса можно высказать ещё
в таких словах: объём прямоугольного
бруса равен произведению трёх его
измерений.
Рис. 235. Вывод правила объ- в самом Деле:
ёма прямоугольного бруса. 4У2У 3 = 24*
Указанные нами правила можно вывести так. Пусть длина ящика,
как в нашем примере, равна 4 дм, ширина — 2 дм и высота — 3 дм.
Тогда дно ящика можно разделить на 4X2 = 8 квадратов со сто-
роной 1 дм (рис. 236). Возьмем 24 куба с рёбрами, равными 1 дм,
и будем укладывать их в наш ящик. На каждый из квадратов,
начерченных на дне ящика, поместится по одному кубу, так что

§ 89. ОБЪЁМ КУБА
149
нижний слой заполнится восемью кубами. Над каждым из этих кубов
можно поместить ещё два куба; на рис. 236 изображена одна такая
стопка, состоящая из трёх кубов. Восемь таких стопок заполнят
ящик, так что всего в ящике поместятся 8*3 = 24 куба с ребром
1 дм. Значит, объём ящика равен 24 кубическим дециметрам. Это
рассуждение можно повторить применительно к любым целым числам.
Если же рёбра прямоугольного бруса (одно, два или все три)
содержат дробное число единиц длины, то наше рассуждение нужно
дополнить следующим образом.
Пусть длина ящика содержит |,2 дм, ширина — 2,5 дм
и высота — 3,4 дм. Если взять более мелкую единицу длины, ска-
жем, 1 см, то длина каждого ребра выразится целым числом; в са-
мом деле, длина содержит 42 см, ширина — 25 см и высота — 34 см.
Объём прямоугольного бруса составляет 42 X 25 X 34 = 35 700 ку-
бических сантиметров. Так как в одном кубическом дециметре
содержится 1000 кубических сантиметров, то объём ящика составляет
35 700:1000 = 35,7 кубических дециметров1). А это число есть
произведение чисел 4,2; 2,5 и 3,4.
Это рассуждение можно повторять применительно к любым
дробным числам.
Обозначим длину прямоугольного бруса буквой а, ширину —
буквой Ь, высоту — буквой А, площадь основания — буквой S, объём
прямоугольного бруса — буквой V. Тогда приведённые нами правила
можно записать такими формулами:
V=Sh, (1)
V=abh. (2)
В дальнейшем объём мы всегда будем обозначать буквой V.
§ 89. Объём куба.
Так как куб является частным видом прямоугольного параллеле-
пипеда, то его объём тоже равняется произведению трёх его изме-
рений. Но все рёбра куба равны между собой. Поэтому объём
куба равен произведению трёх равных чисел, каждое из которых
выражает длину ребра, т. е. объём куба равен третьей степени
ребра куба.
Пример 1. Объём куба с ребром 20 см равен 20-20-20 =
= 8000 {куб. см).
По этой причине перемножение трёх одинаковых множителей,
равных какому-нибудь числу а, называется «возведением в куб»
этого числа, а число, которое йолучается в результате, — «кубом»
числа а.
') Напомийаём,* что' кубический1 дециметр —:это объём куба с ребром
1 дм =10 см. Он составляет 10 X 10 X 10=1000 кубических сантиметров.

150 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
По этой же причине наименование «кубический метр», «кубический
сантиметр» и т. д. сокращённо записывают: мв, смъ и т. д.
Обозначив объём куба буквой V, а ребро его — буквой а, полу-
чим формулу:
V = a\ (3)
Если ребро куба увеличить в два раза, то объём куба увели-
чится в 2 • 2 • 2 = 8 раз. Точно так же, если ребро увеличить в 3 раза,
то объём увеличится в 3*3 «3 = 27 раз. Вообще, если ребро уве-
личить или уменьшить в k раз, то объём увеличится или умень-
шится в k • k • ky т. е. в kz раз.
Пример 2. Объём куба с ребром 10 см равен 10 • 10 • 10 =
= 1000 (см'А). Увеличим ребро вдвое. Тогда каждый* из сомножите-
лей произведения 10 ♦ 10 * 10 увеличится вдвое, значит, произведе-
ние должно увеличиться в 8 раз. В самом деле, ребро станет рав-
ным 20 см, и объём будет равен 20 * 20 • 20 = 8000 {см3).
§ 90. Примеры.
Пример 1. Медный прут с квадратным поперечным сечением
имеет 50 см в длину и 4 мм в ширину. Найти его вес. Удельный
вес *) меди — 8,9.
Найдём сначала объём прута. Для этого все его измерения выра-
зим в сантиметрах. Длина а = 50 см; ширина # = 0,4 см, высота
ft = 0,4 см. По формуле (2) находим:
У=аМ = 50.0,4.0,4 = 8 (см%
1 смъ меди весит 8,9 г. Так как объём стержня равен 8 смг, то
стержень весит
8,9-8 = 71,2 (г).
Пример 2. Вместимость ящика должна составлять 0,9 м*.
Длина ящика должна равняться 1,20 м, а ширина — 80 см. Какова
должна быть высота?
Площадь основания ящика равна
5=1,20-0,8 = 0,960 (л2).
Формула (1) даёт:
0,9 = 0,960- h;
отсюда находим:
h = 0,9: 0,960 я^ 0,94 (м),
т. е.
h = 94 (см).
*) Удельный вес есть число, дающее вес одного кубического саптиметра
вещества в граммах (или вес одного кубического дециметра в килограммах
или вес одного кубического метра в тоннах). 1

§ 91. ПОВЕРХНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО БРУСА
151
Пример 3. Лист картона (рис. 237) имеет в длину 72 см, в ши-
рину— 60 еж. По углам его вырезаны четыре квадрата со сторонами
8 см. Заштрихованные на рисунке 237 четыре прямоугольника заги-
баются, и получается открытая
коробка. Найти её объём.
Длиной коробки будет от-
резок АВ> он составляет
72 —2 .8 = 56 {см).
Шириной коробки будет
отрезок ВС; он составляет
60 — 2 • 8 = 44 (см).
Высотой коробки будет
отрезок CD; в нём 8 см.
По формуле (2) находим:
l/=a.&.ft = 56.44'8 =
= 19 712 (еж3) я^ 19,7 (дмъ),
т. е.
V** 19,7 (дм*).
у,>жттщ
]дсл\
Рис. 237. Задача: найти объём открытой
коробки, изготовленной из этого куска
картона.
§ 91. Поверхность прямоугольного бруса.
Обозначим три измерения прямоугольного бруса буквами а, Ь, с
>*^^^ (рис. 238), а через Р — его полную по-
jt ^^^^-«.^ верхность, т. е. общую площадь всех его
' ^^Й граней. Величину Р можно найти по
ПТГТтггт^ ^ifflJll! формуле
|Ш Р= 2 *<аЬ + acJrbc\ (4)
111 гllillrlliK Пример. Найдём общую площадь
^^^ЩЦи IIIШч) всех гРаней закрытого ящика, длина ко-
а ^*дцщр^ торого а = А дм> ширина Ь = 2 дм и
высота с = 3 дм.
Формула (4) даёт:
Р=2-(4-2 + 4.3 + 2.3) = 52 (дм*).
Эту формулу можно вывести так. Площадь крышки ящика со-
ставляет:
а. £ = 4 -2 = 8 (дм*).
Площадь передней стенки составляет:
а-с = 4-3=12 (дм*).
Площадь правой боковой стенки составляет:
&.<; = 2.3 = 6 (дм*).
Рис. 238. Полная поверх-
ность прямоугольного бру-
са: Р = 2 (ab + ac + bc).

152 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Общая площадь этих трёх граней составляет:
аЪ -f ас -f be = 8 -j-12 -f б = 26 (дм*).
Общая же площадь Р всех шести граней ящика вдвое больше,
так как дно имеет ту же площадь 8 дм*, что крышка; задняя стенка —
ту же площадь 12 дм*, что передняя, и левая боковая стенка — ту
же площадь 6 дм*, что правая боковая.
Поэтому
P = 2(ab + ac + bc) = 2. 26 = 52 (дм)*.
Упражнения и задачи.
263. Найти объём прямоугольного бруса, измерения которого составляют:
а) а = 4 см, Ь = 5 см, с = 8 см,
б)я=1,8ж, £ = 0,9 м, с = 48 еж,
в) а'=. 110 см, £ = 9,5 дм, с = 55 лш.
284. Найдите объём спичечной коробки.
285. Сколько литров воды вмещает аквариум, длина которого 50 см,
ширина 20 см и высота 28 еж?
266. Класс имеет 12 ж в длину, 7,2 ж в ширину и 3,4 ж в высоту. На
каждого учащегося должно приходиться не менее б ж3 воздуха. Сколько
учащихся могут учиться в этом классе?
267. Кирпич, имеющий в длину 27 см, в ширину 12 см ив толщину
5,6 см, весит 4 кг. Найти удельный вес кирпича.
268. Найти поверхность кирпича, размеры которого указаны в преды-
дущей задаче.
269. Лис г железа длиной и шириной по 2 ж весит 124,6 кг. Найти
толщину листа (удельный вес железа 7,8).
270. В аквариум длиной 0,75 ж и шириной 0,5 ж влито ведро воды. На
сколько поднялась вода в аквариуме (вместимость ведра—12 литров)?
271. У квадратного листа картона со стороной 60 см отогнуты по краям
полоски шириной 10 см, по углам вырезаны квадраты и сделана открытая
коробка. У другого листа тех же размеров отогнуты полоски в 6 еж, у треть-
его—в 15 см. Какая из трёх коробок имеет наибольшую вместимость?
272. Найти поверхность куба, ребро которого 24 см.
273. Напишите формулу для поверхности куба с ребром а.
274. Поверхность прямоугольного бруса составляет 1,3 дм2. Длина
бруса —20 см, ширина— 1,5 см. Найти высоту.
275. Поверхность куба равна 30 жа. Найти его ребро.
§ 92» Прямая призма.
Прямой призмой (рис. 239) называется многогранник, обладаю-
щий следующими двумя признаками:
1) две его грани (ABCDE и AiBxCiDxEx на рис. 239) — равные
многоугольники с соответственно параллельными сторонами
(AB\\A%BV ВСЦВ&.п т. д.);
эти многоугольники называются основаниями прямой призмы;

§ 93. ИЗГОТОВЛЕНИЕ МОДЕЛИ ПРИЗМЫ. РАЗВЁРТКИ 153
2) все остальные грани — прямоугольники (АА&В, ВВ&Сит.я.),
плоскости которых перпендикулярны к плоскостям оснований; эти
прямоугольники называются боковыми гра-
нями прямой призмы.
Рёбра ЛЛ„ ВВ{У ССг и т. д., соеди-
няющие соответственные вершины основа-
ние называются боковыми рёбрами.
Плоскости оснований прямой призмы па-
раллельны друг другу и перпендикулярны
ко всем боковым рёбрам. Боковые рёбра
равны и параллельны друг другу.
Расстояние между основаниями (т. е.
длина бокового ребра прямой призмы) на-
зывается высотой прямой призмы. По числу
углов в основании прямоугольная призма
называется треугольной, четырёхугольной
и т. д. Прямая призма на рис. 239 — пя-
тиугольная. Заметим, что пятиугольная
призма есть не пятигранник, а се-
мигранник (пять боковых граней и два
основания).
Прямоугольный брус является частным видом прямой призмы;
именно, прямоугольный брус есть прямая призма, основанием кото-
рой служит прямоугольник.
Правильной призмой на-
зывается такая прямая приз-
ма, основание которой
есть правильный многоуголь-
ник1).
§ 93. Изготовление модели
призмы. Развёртки.
Чтобы лучше предста-
вить себе форму призмы,
полезно иметь её модель.
Такую модель можно сде-
лать из картона или толстой
бумаги, вырезав грани приз-
мы и склеив их по рёб-
Рис. 239. Прямая призма.
МногоугольпикЛЯыЭЯ—
основание; AAi — высота.
Рис 240. Развёртка треугольной призмы.
рам. Чтобы модель была прочнее, лучше всего вырезать сплош-
ную фигуру (рис. 240); её нужно потом согнуть по начерченным
линиям и склеить вдоль рёбер. Такая фигура называется развёрткой
призмы. На рис. 240 изображена развёртка треугольной призмы.
^Правильная шестиугольная призма изображена на рис. 248(стр.ЛЩ.

154 ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Прямоугольники ABKL, BDGK, DEFG после склеивания модели
станут боковыми гранями, а треугольники BCD, KHG — основаниями
призмы. На рис. 240 показаны также отвороты, которые уйдут
внутрь модели; по ним модель будет склеиваться.
При вычерчивании развёртки отрезок AL (будущую высоту
призмы) можно взять по произволу; произвольную длину могут
иметь и отрезки АВ, BD, DE (будущие грани основания), лишь
бы наибольший из них был меньше суммы двух других. Но от-
резки ВС и CD (а также КМ и HG) должны быть соответственно
равны отрезкам АВ и DE.
Такую же соразмерность нужно соблюдать и при вычерчивании
развёртки четырёхугольной, пятиугольной и т. д. призм.
§ 94. Поверхность и объём прямой призмы.
Полная поверхность прямой призмы составляется из площади
двух её оснований и из боковой поверхности, т. е. общей площади
боковых граней. Боковая поверхность призмы покрывается прямо-
угольником AEFL её развёртки (рис. 240). Площадь этого прямо-
угольника равна произведению основания АЕ на высоту AL. Но
отрезок АЕ есть сумма отрезков АВ, BD и DE, а эта сумма равна
СВ -(- BD -|- CD, т. е. сумме сторон основания. Отсюда вытекает
следующее правило:
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению пери-
метра её основания на высоту.
Это правило выражается формулой
5бок==М» (5)
в которой буквой р обозначен периметр основания, т. е. сумма длин
всех сторон основания.
Периметр основания удобно измерять сантиметровой лентой,
опоясывая ею прямую призму в поперечном сечении.
Пример 1. Основание прямой треугольной призмы имеет сто-
роны а =12 см, Ь = 8 см, с = 7 см. Высота равна 16 см. Найти
боковую поверхность этой прямой призмы.
Периметр основания равен:
/> = a-f-* + c=12 + 8-f7 = 27 (сму
По формуле (5) находим:
S5oK=ph = 27 • 16 = 432 (смъ).
Чтобы найти полную поверхность прямой призмы, нужно сло-
жить боковую поверхность и площади двух её оснований. Поэтому
полная поверхность Р прямой призмы находится по формуле
P=S6oK + 2S, (6)
где 5 — площадь основания призмы.

§ 94. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ
Используя формулу (5), находим:
P = ph + 2S.
155
(7)
Пример 2. Найти полную поверхность правильной шестиуголь-
ной призмы, у которой сторона основания 6 см, а высота 10 см.
Найдём площадь основания 5. Она составляется (рис. 241 *)) из
шести равносторонних треугольников. Площадь каждого из них,
например треугольника ЛОВ,
равна туАВ * OD, значит,
S = 6*±AB.OD = bAB'OD.
По условию АВ = 6 см. Вы-
сота OD треугольника АОВ
найдём согласно формуле § 77:
OD2 = ОВ* — DB2= 6 — 32=
= 27 (см2).
Значит,
0£>=/27^*5,2 (см).
Теперь находим:
S=3AB*OD^3-6.5,2 =
= 93,6 (см2).
Полную поверхность призмы находим по формуле (7), подставляя
туда /; = 6.6 = 36 (см), А =10 (см), 5=93,6 (см2).
Получаем:
Р= 36. 10 + 2-93,6^547 (см2).
Объём прямой призмы находится по тому же правилу, как
и объём прямоугольного бруса. Именно:
Объём прямой призмы равен произведению площади основания
на высоту.
Это правило выражается формулой
V=Sh.
<«>
Здесь буквой V обозначен объём призмы, буквой S—площадь
её основания и буквой А — высота.
Вывод этого правила указан в задачах 287, 288, 289 на стр. 59.
Пример 3. Найти объём правильной шестиугольной призмы,
у которой сторона основания 6 см, а высота 10 см.
*) На этом рисунке размеры уменьшены вдвое.

156 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Как в предыдущем примере, находим:
5=93,6 см*,
и по формуле (8) вычисляем объём:
V =93,6- 10 = 936 (см%
§ 95. Пирамида.
Пирамидой называется такой многогранник, у которого одна грань
есть какой-нибудь многоугольник {ABCDE на рис. 242), а остальные
грани — треугольники с общей вершиной S(SAB, SBC, SCD и т. д.).
Многоугольник ABCDE называется основанием пирамиды; тре-
угольники SABy SBC, SCD и т. д. называются боковыми гранями;
их общая вершина 5 называется вершиной пирамиды. Сходящиеся
в вершине стороны боковых граней (SA, SB и т. д.) называются
Рис. 242. Пятиугольная Рис. 243. Треугольная Рис. 244. Правильная
пирамида. Многоуголь- пирамида. пирамида SO—-ось,
ник ABCDE — основание; SK — апофема.
SO — высота.
боковыми {рёбрами пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из
вершины на плоскость основания пирамиды, называется её высотой.
Обозначая пирамиду буквами, обыкновенно пишут в начале ту букву,
которая поставлена у вершины. Так, пирамида, изображённая на
рис. 242, обозначается SABCDE. По числу боковых граней пира-
мида называется треугольной, четырёхугольной и т. д. Пирамида,
изббражённая на рис. 242, — пятиугольная. Заметим, что пяти-
угольна я пирамида есть не пятигранник, а шестигран-
ник (пять боковых граней и одно основание). Треугольная пира-
мида (рис. 243) есть четырёхгранник. Любая её грань Может быть
принята за основание.
Пирамида, у которой основание есть правильный многоугольник,
а боковые рёбра равны между собой, называется правильной пира-
мидой. На рис. 244 изображена правильная пятиугольная пирамида.

§ 96. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ
157
У правильной пирамиды боковые грани являются равнобедрен:*
ными треугольниками; все эти треугольники равны друг другу.
Высота SO правильной пирамиды всегда падает в центр основашиг»-
Высота правильной пирамиды называется также её осью. Высоте
же SK какой-либо боковой грани называется апофемой правильной
пирамиды.
На ркс. 245 изображе-
на развёртка правильной пя-
тиугольной пирамиды. После
склеивания модели пятиуголь-
ник ABCDE станет основа-
нием, а равнобедренные тре-
угольники AGB, ВИС и т. л.—
боковыми гранями. Высота
GM треугольника ЛОВ будет
апофемой.
§ 96. Поверхность и объём
пирамиды.
Рис. 245. Развёртка правильной пяти-
угольной пирамиды.
Полная поверхность пира-
миды составляется из площади
её основания и из боковой
поверхности, т. е. из общей
площади боковых граней. Боковую поверхность правильной
пирамиды можно вычислить по следующему правилу.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на апофему. Это правило (вывод
его дан ниже) выражается формулой
5бок = -^рК
(9)
где р есть периметр основания, а А, — апофема пирамиды.
К пирамиде неправильной формы это правило неприменимо.
Чтобы найти боковую поверхность такой пирамиды, приходится
вычислять по отдельности площади всех боковых граней, а затем
складывать найденные площади.
Пример. Найдём боковую поверхность правильной пятиуголь-
ной пирамиды, у которой сторона основания а = 20 см, а апофема
hx = 30 см.
Основанием нашей пирамиды является пятиугольник, каждая сто-
рона которого содержит 20 см. Значит, периметр основания р
равен
/> = 5а = 5'20=100 {см*).

188 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Формула (9) даёт:
&■« = ^.phf = ± • 100 .30= 1500 (см%
Формулу (9) можно вывести следующим, образом. Обозначим vepes п
число граней правильной пирамиды и через а — сторону её основания. Пло-
щадь одной из боковых граней, например, равнобедренного.треугольника AQB
(рис. 245), выражается формулой
S = ±aht
(на рпс. 245 АВ = а; hx—GM).
Боковая поверхность правильной пирамиды равна сумме площадей тре-
угольников AGB, ВНС и т. д., а так как все они равны между собой, то
5бок = *S = п - у пНг =-у (ntf'hi.
Но па — это периметр основания, который мы обозначили через /?. Поэтому
Объём вся/сой пирамиды втрое меньше, чем объём прямой
ъриамы с тем же основанием и moij, оке высотой. Значит, объём
пирамиды равен одной трети произведения площади .основания на
высоту.
.Это правило выражается формулой
V = ~Sk <10)
(V — объём пирамиды, 5—площадь основания, Ь—высота).
Вывод этого правила можно найти в подробных учебниках; мы
©пускаем его, так как он требует сложных рассуждений. Впрочем,
правило легко проверить таким образом: изготовим два жестяных
сосуда, имеющих один *форму пирамиды, .другой — прямой приамы
с таким же основанием и той же высотой. Наливая воду первым
сосудом во второй, убедимся в том, что вместимость второго-втрое
больше.
Пример. 'Найти объём правильной четырёхугольной .пирамиды,
у которой сторона основания 12 см, а высота 10 см.
Основание нашей пирамиды есть квадрат. Значит, площадь ^осно-
вания равна
12.12 = 1.44 {см%
По формуете (Ш) находим:
V = |U 444 .rW = 480 £см*±

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
159
Упражнения и задачи.
276. Начертить развёртку куба с ребром 8 см и склеить куб.
277, Начертить и склеить развёртку прямоугольного бруса, измерения
которого 10 см, 8 см, 5 см.
* 278» Начертить и склеить развёртку правильной четырёхугольной призмы,
у которой сторона основания 5 см, а высота 12 см. Найти полную поверх-
ность и объём этой призмы.
279. Начертить и склеить раззёртку призмы, основание которой — прямо-
угольный треугольник с катетами 7 см и \0см, а высота 12 см. Вычислить
полную поверхность и объём этой призмы.
280. Начертить и склеить развёртку правильной треугольной пирамиды,
у которой сторона основания 9 см, а боковое ребро 8 см. Найти полную
поверхность этой пирамиды.
281. Начертить и склеить развёртку правильной четырёхугольной пира-
миды, у которой сторона основания 8 см, а высота 7 см. Найти объём
и полную поверхность этой пирамиды.
282. Куб можно разбить на шесть равных пирамид с общей вершиной
» его центре (основаниями будут шесть граней куба). Объём каждой из этих
пирамид составляет -тгЛ3 (а — ребро куба). Проверить этот результат по
формуле (Щ.
283. Начертить развёртку одной4 из шести равных пирамид, вместе соста-
ваншщих куб с ребром^ 6,5 см. (см. предыдущее упражнение).
284. Требуется проложить- железнодорожную насыпь длиной 300 м;
в поперечном сечении она должна иметь форму трапеции с основаниями
60 м и 43 м. Высота насыпи 6Г4 м* Сколько земли нужно заготовить для
этого строительства?
285.. Стог соломы имеет форму прямо угольного параллелепипеда с пира-
мидальной верхушкой. Основание стога имеет в длину 6 ж, в ширину 4 м;
высота от земли до основания пирамиды 4 м; от земли до верхушки стога —
6 м. Какой вес соломы в этом стоге, если кубический метр соломы весит
100 кг.
286. Величайшая пирамида древнего Египта, пирамида Хеопса (она до
1889 года была самым высоким сооружением в мире), имеет в высоту около
150 м;, сторона её квадратного основания составляет около 230 м. Какой
высоты стену толщиной в полметра и длиной от Москвы до Ленинграда
(650 км) можно было бы сложить из её камней?
287. Доказать, что объём прямой призмы, в основании которой ле-
жит параллелограмм, равен произведению площади основания на вы-
соту.
Указали е. Превратить данную призму в прямоугольный параллеле-
пипед того же объёма Это превращение можно сделать тем же спосо-
бом, каким параллелограмм мы превращали (§71) в равновеликий прямо-
угольник.
288v Прямую, призму, основания которой параллелограммы, разрежем
надвое плоскостью, проходящей через диагонали оснований*. Получим две
треугольные прямые призмы равного объёма. Опираясь на это, дока-
ж-ите> что объём треугольной прямой* призмы равен произведению пло-
щади основания» на высоту (использовать результат предыдущей за-
дачи).
289. Доказать, что площадь всякой прямой призмы равна произведению
площади основания на высоту.
У к а аан те. Разбить данную призму па треугольные призмы и исполь-
зовать результат задачи; 288.

16fr
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 97. Угол между прямыми в пространстве.
Нужно различать три случая взаимного расположения двух прямых АВ
и CD в пространстве:
1. Прямые АВ и CD пересекаются.
2. Прямые АВ и CD — параллельны.
3. Прямые АВ и CD—скрещивающиеся (см. § 25).
О
Z37
Рис. 243. Угол между скрещивающимися пря-
мыми АВ и CD равен /. NOM.
Рлс. 247, Угол между пря-
мыми CD и АВ равен 90°.
1. Если прямые АВ и CD пересекаются, то через них можно провести
плоскость, и угол между ними измеряется так же, как в планиметрии.
2. Если прямые ABn CD параллельны (через них и в этом случае можно
провести плоскость), то угол между ними считается равным нулю (или 180°,
смотря по тому, как выбрать направления лучей
на прямых АВ и CD).
3. Если же прямые АВ и CD скрещиваются
(рис. 246), то угол между ними определяется
так: через любую точку О пространства
проводятся прямые ОУ\\АВ и OM\\CD.
Угол между прямыми АВ и CD считается рав-
ным углу NOM. Другими словами, прямые АВ
и CD переносятся в новое положение парал-
лельно самим себе до их пересечения друг с
другом. В частности, можно точку О взять на
одной из прямых АВ или CD; тогда эта прямая
останется неподвижной.
Замечание. Прямые ON и ОМ (при их
продолжении за точку О) образуют четыре угла.
Если все опи — прямые, то линии АВ и CD пер-
пендикулярны. В противном случае имеем два
острых и два тупых угла. Тогда угол между скре-
щивающимися прямыми обычно считается рав-
ным острому углу.
Пример 1. Рёбра АВ и CD прямоуголь-
ного бруса, изображённого на рис. 247, являются
скрещивающимися прямыми. Взяв ребро BE, па-
раллельное CD, получаем угол ABE. Угол между АВ и CD считается равным
углу ABE, т. е. он составляет 90°; иными словами, скрещивающиеся прямые АВ
и CD взаимно перпендикулярны. Скрещивающиеся прямые АВ и ED также
перпендикулярны.
Пример 2. Угол между рёбрами АВ и Bfii правильной шестиуголь-
ной призмы (рис. 248) равен углу ABC между ребром АВ и ребром ВС,
параллельным В{С^ Угол ABC — тупой, он содержит Г20°. Поэтому острый
угол между АВ и Bid составляет 60°.
Рис. 248. Угол между
прямыми АВ и BxCi ра-
вен 120°.

§ 98. проекции 161
§ 98. Проекции.
Прямоугольной проекцией (или, короче, проекцией) точки А на пло-
скость Р (рис. 249) называется основание а перпендикуляра, опущенного из
точки А на плоскость Р.
Пример. Проекция вершины 5 правильной четырёхугольной пира-
миды SABCu (рис. 250) на плоскость основания ABCD есть точка О — центр
квадрата ABCD.
Рис. 249. Точка а — проекция точ- Рис. 250. Проекция вершины
ки А на плоскость Р. 5 правильной пирамиды на
плоскость основания ABCD
есть точка О — центр осно-
вания.
Если точка А движется по какой-либо прямой MN, наклонной к пло-
скости Р (рис. 251) или параллельной к ней (рис. 252), то её проекция а
движется тоже по прямой (тп на рис. 251 и 252). Прямая тп называется
(прямоугольной) проекцией прямой MN на плоскость Р.
Рис.251. Прямая т п — проекция Рис. 252. Прямая /юя — проекция пря-
наклонной MN. мой MN, параллельной плоскости Р,
Если прямая MN параллельна плоскости Р (рис. 252), то она параллельна
и своей проекции тп.
Если прямая MN— наклонная (рис. 251) и О —точка её пересечения
с плоскостью Р, то проекцию прямой MN на плоскость Р можно получить,
соединив точку О с проекцией ах какой-либо точки At прямой MN.

162 ГЛ. 11. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
Пример. Проекция бокового ребра SA правильной четырёхугольной
пирамиды SABCD (рис. 250) на плоскость основания ABCD есть пря-
мая АО; она соединяет точку А, где ребро SA пересекает основание, с
точкой О — проекцией вершины 6\ Иными словами, проекция прямой SA есть
диагональ АС квадрата ABCD.
\М
Г
l
Рис. 253. Проекция прямой ММ,
перпендикулярной к плоскости Р,
обращается в точку.
Если прямая MN перпендикулярна к плоскости (рис. 253), то проекцией
всех её точек служит точка О, где MN пересекается с Р. В этом случае
проекцией прямой MN на плоскость Р является точка О.
§ 99. Угол между прямой и плоскостью.
Углом между плоскостью Р и наклонной прямой АХА2 (рис. 254) назы-
вается угол, образуемый AXAZ и её проекцией ага2 на плоскость Р.
Рис. 254. Углом между прямой
AiA2 и плоскостью Р называется
угол AiCat (прямая аха2 — проек-
ция прямой AtA2 на плоскость Р).
Замечание. Прямые А^А* и а^ образуют друг с другом четыре
угла — два острых угла (равных между собой) и два тупых (тоже равных
друг другу); за угол между прямой и плоскостью обычно принимают острый
угол (AiCat или AsCas). Этот острый угол меньше всех других углов>
образуемых наклонной АХСА2 с прямыми плоскости РЛ

§ 99. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью 163
Угол между плоскостью Р и прямой ММ, параллельной этой плоскости
(рис. 255), считается равным нулю.
Угол между плоскостью Р и прямой МО, перпендикулярной к плоско-
сти Р (рис. 256), считается равным 90° (так как прямая МО перпендикулярна
ко всем прямым, проведённым на плоскости Р),
М
N
Рис. 255. Угол между прямой MN
и плоскостью Р (МЫ || Р) равен 0°.
Рис. 256. Угол между прямой МО
и плоскостью Р равен 9(Р.
Пример. Высота SO правильной чстырсосугольпой пирамиды SABCD
(рис. 257) вдвое мепыне диагонали АС основания ABCD. Найти угол между
боковым ребром пирамиды и плоскостью основапия.
Рис. 257. SABCD— правильная че-
тырёхугольная пирамида; если
SO = -у АС, то каждое боковое
ребро составляет с плоскостью
основания угол 45°.
Проекция ребра AS на плоскость основания есть прямая АО (см. при-
мер § 98). При этом отрезок АО равен половине диагонали АС, т. е. высоте
OS. Следовательно, в прямоугольном треугольнике AOS катеты АО и OS
равны. Поэтому угол SAO равеп 45°. Итак, ребро пирамиды SA образует
с плоскостью осповапия ABCD угол в 45°. Остальные боковые рёбра обра-
зуют с плоскостью основания углы той же величины.

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ»
КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
§ 100. Тела вращения. Цилиндр.
Тело, образуемое вращением какой-нибудь плоской фигуры около
неподвижной прямой линии, называется телом вращения или круг-
лым телом. Неподвижная прямая называется осью вращения.
Вырежем из картона или жести прямоугольник ООхМхМ
(рис. 258), насадим его на ось ООх и будем быстро вращать его около
этой оси. Наш глаз примерно в течение -гх- секунды удерживает
зрительные впечатления. Поэтому, если пря-
моугольник сделает 15—20 оборотов в се-
кунду, мы перестанем различать отдельные
его положения, а увидим сплошное круглое
тело.
Круглое тело, образуемое вращением пря-
моугольника около одной из его сторон, назы-
вается круглым цилиндром. Для краткости
слово «круглый» обычно опускается.
Тела, имеющие форму цилиндра, встре-
чаются очень часто. Оси колёс, стержни, ва-
лы, колонны, столбы, обтёсанные брёвна и
многие другие предметы имеют форму ци-
линдра. Также трубы, банки, стаканы, вёдра
часто имеют форму цилиндра (пустого внутри).
Поверхность, образованная вращением пря-
мой MMV параллельной оси OOv называется
круглой цилиндрической поверхностью. Для краткости слово
«круглая» обычно опускается.
Площадь этой цилиндрической поверхности называется боковой
поверхностью цилиндра. Сама прямая ММХ называется образующей
цилиндрической поверхности или образующей цилиндра. Ось
вращения OOt называется осью цилиндра.
Основания вращающегося прямоугольника ОМ и 01М1 описы-
вают круги. Эти круги называются основаниями цилиндра. Осно-
Рис. 258. Круглый ци-
линдр; OOi — ось ци-
линдра-

§101. РАЗВЁРТКА ЦИЛИНДРА
165
вания цилиндра равны: они параллельны друг другу и перпендику-
лярны к оси цилиндра. Все сечения цилиндра, перпендикулярные
к оси, — тоже круги, равные основанию.
Радиус (и диаметр) основания называется также радиусом (и
диаметром) цилиндра. Расстояние между основаниями цилиндра
называется высотой цилиндра. Высота цилиндра равна длине его
образующей.
§ 101. Развёртка цилиндра*
На рис* 259 изображена развёртка цилиндра. При вычерчиваний
её нужно соразмерить диаметры НО, EF кругов (после склеивания
они станут основаниями цилиндра) с длиной отрезков AD = BG
вшт
ШШс
Рис. 259. Развёртка цилиндра.
(они станут окружностями оснований). Именно, отношение AD: EF
должно равняться тс, т. е. примерно 3-у,
При вырезывании не нужно отделять кругов от прямоуголь-
ника. Склеить нужно сначала стороны АВ и CD. Отвороты вдоль
ВС и AD приклеиваются к наружной стороне оснований, так
что круги входят внутрь модели. После этого для крепости мо-
дели на верхнее и нижнее основание наклеивается ещё по одному
кругу.

166
ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
§ 102. Поверхность цилиндра.
Полная поверхность цилиндра составляется из площади двух его
оснований и боковой поверхности.
Боковая поверхность цилиндра покрывается прямоугольником
ABCD её развёртки (рис. 269). Площадь этого прямоугольника
равна произведению основания AD на высоту АВ. Но основание
AD становится после склеивания цилиндра окружностью его осно-
вания. Отсюда вытекает следующее правило:
Боковая поверхность цилиндра равна площади прямоугольника,
основание которого равно окружности цилиндра, а высота — вы-
соте цилиндра. Это правило выражается формулой
5бок = С'А. (1)
Здесь буквой С обозначена длина окружности основания, а
буквой h — высота цилиндра.
Так как длина окружности выражается формулой
C=2*R
или формулой
C = vD
(D — диаметр, R — радиус окружности), то вместо формулы (1)
можно написать такие формулы:
S6oK = 2nRh (2)
или
S6oK = KDk. (3)
Полную же поверхность Р цилиндра мы получим, если к боко-
вой поверхности прибавим площади нижнего и верхнего оснований:
P=S6oK + 2S. (4)
Здесь через 5 обозначена площадь круга, являющегося основанием
цилиндра.
Так как площадь круга выражается формулой
или формулой
то вместо формулы (4) можно написать следующие формулы:
P=2tc/?A + 2ic#2 (5)
или
Я=*Я/г + 1*Д2. (6)
Напомним, что число те приближённо равно 3,14.

§ 103. ОБЪЙМ ЦИЛИНДРА
167
Пример 1. Найти боковую и полную поверхности цилиндра,
диаметр которого равен 5 см, а высота 15 см.
Боковую поверхность находим по формуле (3):
S6oK=T.Dhp&3,14-5.15^235 (см*).
Площадь основания 5 равна
S=±*D*ъ± - 3,Ы - 5* ъ 19,6 (с^9)-
Полную поверхность находим по формуле (4)
P=S6oK +25=235 + 2.19,6^274 (см*).
Пример 2. Сколько листовой жести пойдёт на изготовление
трубы длиной 4 м и диаметром 20 см?
Для грубого подсчета не будем учитывать припуска на швы.
Искомое количество жести составляет тогда боковую поверхность
цилиндра, диаметр которого равен Z) = 20 см = 0,2 м и высота
h = \ м. По формуле (3) находим:
5бок =*Dh ъ 3,1 • 0,2 • 4я« 2,5 (м*).
§ 103. Объём цилиндра.
Объём цилиндра вычисляется по тому же правилу, что и объём
прямой призмы. Именно:
Объём цилиндра равен произведению площади основания на
высоту.
Эту теорему мы поясним наглядно следующим образом. Ра-
зобьём основание цилиндра (рис. 260) на секторы ЛОВ, ВОС
и т.д., как объяснено в § 81. Затем рассечём цилиндр на «клинья»
плоскостями АООгА19 BOOtBlt С001С1 и т. д., проходящими через
ось OOt и радиусы ОА, ОВ, ОС и т. д. Поступая так же, как
в § 81, мы составим из этих частей тело (рис. 261), мало отличаю-
щееся от прямоугольного бруса. Основанием этого «бруса» служит
фигура, равновеликая основанию цилиндра, а высотой «бруса» слу-
жит высота цилиндра.
Теперь ясно, что объём цилиндра V можно найти, помножив
площадь основания (S) на высоту (h):
V=Sh. (1)
Так как основание цилиндра есть круг, то площадь 5 выражается
формулой

168 ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
или формулой
Здесь R — радиус цилиндра и D — диаметр цилиндра.
Подставляя эти выражения в формулу (1), получаем для объёма
цилиндра следующие формулы:
V=nR% (2)
V= \ icD'A. (3)
Пример 1. Найти ёмкость цилиндрического ведёрка, внутрен-
ний диаметр которого составляет 20 см, а высота — 25 см.
Рис. 260. Разбив цилиндр на Рис. 261. ... мало отличающееся от пря-
клинья, можпо превратить его моуголыюго бруса,
в тело (см. рис. 261).
В этом примере D = 20 см, /? = 10 см, h = 25 см. Формула (2)
даёт:
V = nR*k^ 3,14-102-25 = 7850 (см%
V^7,85 дм\
Таким образом, ёмкость ведра равна 7,85 литра.
Пример 2. Найти вес 30 метров медной проволоки диамет-
ром в 1 мм.
Находим объём цилиндра, диаметр которого равен £>=1 мм =
= 0,1 см, а высота h = 30 л* = 3000 см.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ 169
Формула (3) даёт
V=±vD*h** j -3,14-0,Г2.3000=: 23,5 (см*).
Удельный вес меди равен 8,9. Поэтому проволока весит
8,9-23,5^209 (г).
Пример 3. Моток медной проволоки весит 2 кг. Диаметр
проволоки D=l,5 мм. Найти длину проволоки.
Чтобы найти объем проволоки в кубических сантиметрах, нужно
вес проволоки в граммах разделить на удельный вес меди. Выпол-
нив деление, найдём:
2000 : 8,9 ^ 225 (см6).
Подставляя значения
V = 225 (см*), 0=0,15 (см)
в формулу (3), получаем равенство
225 = ^.3,14. 0,15*. /г,
из которого находим:
А=з;шщ>~12739(™>'
т. е. длина проволоки составляет 127 м.
Упражнения и задачи.
290. Начертить развёртку цилиндра, у которого диаметр основания
jD = 6 сму а высота h = 10 см; склеить цилиндр и найти его полную поверх-
ность и объём.
291. Та же задача при D = 9 см и h= 15 см.
292. Подобны ли цилиндры, заданные в предыдущих упражнениях? Ка-
ково отношение их высот; их полных поверхностей; их объёмов?
293. Во сколько раз увеличится полная поверхность цилиндра, если ра-
диус основания и высоту его увеличить вдвое? Во сколько раз при этом
увеличится объём цилиндра?
294. Диаметр цилиндра равен его высоте. Во сколько раз полная его по-
верхность больше боковой?
295. Полная поверхность цилиндра в два раза больше боковой. Найти
отношение радиуса основания к высоте цилиндра.
296. Полная поверхность цилиндра составляет 220 см*. Диаметр основа-
ния составляет 5,4 см. Найти высоту цилиндра.
297. Площадь основания цилиндра составляет 65 см2, а высота — 9,6 см.
Найти объём и полную поверхность цилиндра.
298. Объём цилиндра — 820 смг\ радиус основания — 8 см. Найти боко-
вую поверхность цилиндра.
299. Объём цилиндра—1,5 мг> а высота — 2 м. Найти полную поверх-
ность цилиппра.
300. Консервная банка имеет в диаметре 10 еж, а в высоту — 5 см.
Сколько жести идёт на её изготовление?

ПО
ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
301. Если изготовить банку той же вместимости, что в предыдущей за-
даче, но с диаметром 8 см, то какую высоту будет иметь банка?
302. Два цилиндра имеют одинаковый объём. Отношение их высот равно
9:4. Найти отношение диаметров основания.
303. Сколько весит 100 м железной проволоки, толщиной в 4 мм! Удель-
пый вес железа 7,8.
304. Сколько метров медной проволоки диаметром в Ъ мм идёт на 1 кг!
Удельный вес меди 8,9.
305. Сколько весит железна* цилиндрическая, труба- длиной 3 м> если
наружный её диаметр 5 см, а толщина 2 мм! Удельный вес железа 7,8.
306. Сколько литров воды подаёт ежеминутно труба, внутренний диаметр
которой —8,4 см, а скорость течения воды — 1 м в секунду?
Э0Г. Одно бревно вдвое тоньше другого, но втрое- длиннее. Оба бревна
сделаны из одного и того же материала. Какое тяжелее?
308. Нужно окрасить круглую печь диаметром 1,2 м и высотой 2,8 м.
Сколько потребуется для этого олифы, если па покраску 1 м* идёт 250 г
олифы?
309. На покраску печи высотой 3 м ушло 3,5 кг олифы. Каков попе-
речник этой печи?
§ 104. Конус.
Круглое тело, образуемое вращением прямоугольного треуголь-
ника (SOA на рис. 262) около его катета (SO) называется круглым
конусом. Для краткости слово «круглый»
обычно опускается.
Поверхность, описанная прямой SA при
её вращении около оси OSy называется круглой
конической поверхностью или, короче, кони-
ческой поверхностью.
Площадь конической поверхности называет-
ся (Токовой поверхностью конуса. Прямая SA
называется образующей конической поверх-
ности или образующей конуса. Ось враще-
ния OS называется осью конуса.
Катет О А вращающегося треугольника SOA
описывает круг, называемый основанием ко-
нуса.. Длина h неподвижного катета OS на-
зывается высотой конуса. Неподвижная верши-
на-:S острого угла)называется вершиной конуса.
Всякое сечение конуса, перпендикулярное к оси, — круг. Радиус
этого круга возрастает по мере удаления от вершины пропорцио-
нально расстоянию сечения от вершины.
А
Рис. 262. Круглый
конус. SO — высота;
«S — вершина.
§ 105, Развёртка конуса.
На рис. 263 изображена развёртка конуса. Она состоит из сек-
тора OxMLK и круга LPNQ. Круг LPNQ после склеивания модели
станет основанием конуса. Из сектора OxMLK образуется боковая
поверхность конуса; при этом дуга KLM обратится в окружность
LPNQ. Поэтому размеры сектора* и круга должны быть согласованы

§ 106. ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА
171
Рис. 263. Развёртка конуса.
между собой. Именно, внутренний угол КОхМ сектора KLM (на
рис. 263 он содержит 210°) должен относиться к 360°, как радиус
02L круга к радиусу O^L сектора:
Л JCQtM: 360°= Q3L: OtL. (1)
Сообразно с этим на рис. 263 отно-
шение O^L; O^L равно
210:360 = 7:12.
Вот из какого расчёта получается про-
порция (1). Обозначим через CL всю длину
окружности кругаТ из которого вырезан
наш сектор. Через С2 обозначим длину ок-
ружности LPNQ. Отношение Сз: Ci равно
отношению радиуса 0а7- к радиусу OxL
(§ 78):
C^d^OiLiOtL (2)
Но дуга KLM сектора должна равняться
длине окружности LPNQ, т. е. она равна
С2. Поэтому пропорцию (2) можно про-
честь ещё так: дуга KLM (ей отвечает центральный угол КО\М) относится
к длине всей большой окружности (ей отвечает центральный угол в 360°),
как OsL к OtL. Отсюда и вытекает пропорция (1).
Склеивать модель конуса следует так же, как модель цилиндра
(§ Ю1).
§ Ю6. Поверхность конуса*
Полная поверхность конуса составляется из боковой поверхности
и площади основания.
Боковая поверхность конуса покрывается сектором OJ^LM её раз-
вёртки (рис. 2-63). Площадь этого сектора равна произведению поло-
вины дуги KLM на радиус ОхК (§ 82).
Но дуга KLM после склеивания ко-
нуса становится окружностью его ос-
нования, а радиус. ОхК — образующей.
Отсюда вытекает следующее правило:
Боковая поверхность конуса равна
произведению половины длины ок-
ружности основания (АВСЕ на рис.
264) на образующую (SA на рис. 264).
Если образующую конуса обозна-
чить буквой /, а окружность основа-
ния — буквой Ct то это правило мож-
но выразить формулой
Se0K=~CL (1)
Рис. 264. Боковая поверхность
конуса равна произведению по-
ловины окружности АВСЕ па
образующую SA.
Так как длина окружности равна 2я#=-яО, то вместо фор-
мулы (1) можно написать формулу
S6ok = t:RI (2)

172
ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ИЛИ
S6oK=l*Dl. (3)
Полная же поверхность Р конуса выражается формулой
Р=5бок + 5, (4)
где буква 5 обозначает площадь основания конуса.
Так как площадь основания S выражается формулой
то вместо формулы (4) можно написать формулу
Я=*#/-}-*/?2 (5)
или
P=-l*Dl+±*D*. (6)
Пример. Найти боковую и полную поверхность конуса, у ко-
торого диаметр основания равен 13 см, а образующая равна 20 см.
Формула (3) даёт:
S6oK = ±*Dl^ ^--3,14. 13-20 = 408 (см*).
Площадь основания равна
5 = 1 *£>*я«-[. 3,14- 132= 133 (см*).
Полная поверхность конуса равна
Р=5бок + 5я«408+ 133 = 541 (см2).
,§ 107. Объём конуса.
По своей форме конус имеет близкое родство с пирамидой: пра-
вильная пирамида с большим числом боковых граней с трудом от-
личима от конуса. Таким же образом цилиндр имеет близкое родство
с призмой.
Мы знаем, что объём всякой пирамиды втрое меньше, чем объём
призмы с тем же основанием и той же высотой. Таким же образом
объём конуса втрое меньше, чем объём цилиндра с тем же осно-
ванием и с той же высотой. Коническая воронка, изображённая на
рис. 265 справа, имеет втрое меньший объём, чем цилиндрическая
банка, изображённая на том же рисунке слева. Этот факт тем бо-
лее замечателен, что площадь осевого сечения воронки, т. е. тре-

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
173
угольника KSL, лишь вдвое меньше площади осевого сечения
банки, т. е. площади прямоугольника АВСЕ (площадь треугольника
KSL равна -^ОН, а площадь прямоугольника АВСЕ равна DK),
Для проверки указанного свойства можно наливать воду кони-
ческой воронкой в банку с тем же основанием и той же высотой.
Мы убедимся, что вместимость банки втрое больше вместимости
воронки.
Так как объём цилиндра равен произведению площади основа-
ния на высоту, то объём конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту. Это выражается формулой:
V=±Sht
(1)
где 5 — площадь основания
конуса и h — его высота.
Так как
то вместо формулы (1) можно
написать формулы:
V^ — r^h.
(2)
(3)
Рис. 265. Объём банки втрое больше
объёма воронки, но осевое сечение бан-
ки только вдвое больше осевого се-
чения воронки.
Здесь D—диаметр основания конуса, a R — радиус этого осно-
вания.
Пример. Найти ёмкость конической воронки, высота которой
равна 30 см, а диаметр отверстия — 20 см,
В этом примере h = 30 см, D = 20 см, /?=10 см. Формула (2)
даёт:
V= \ w/?*A ъ 1. 3,14 . 102 . 30 = 3140 (смг).
Следовательно, ёмкость воронки равна 3,14 литра.
Упражнения и задачи.
310. Начертить развёртку конуса, у которого диаметр основания — б см,
а образующая — 4,5 см; склеить конус и найти его полную поверхность.
311. Найти полную поверхность конуса, у которого диаметр основа-
ния — 12 см, а образующая —96 см. Сравнить ответ с результатом преды-
дущей задачи.
312. Окружность основания конуса —31,4 см, а образующая — 10 см.
Найти полную поверхность конуса и угол между его осью и образу-
ющей.

174
ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
313. Найти объём конуса, заданного в предыдущем упражнении.
314. Найти объём конуса, у которого высота — 2,4 дм, а окружность
основания — 12 дм. х
315. Цилиндр и конус имеют равные основания. Высота конуса в 2-$
раза больше высоты цилиндра. Какое тело имеет больший объём?
316. Образующая конуса равна диаметру его основания. Найти отноше-
ние боковой поверхности к площади основания.
317. Полная поверхность конуса в 1-г-раза больше боковой.Найти отно-
шение образующей к диаметру основания.
Рис. 266. Сколько литров
керосина входит в этот би-
дон?
Рис. 267. Какова вме-
стимость этой рюмки?
318. Угол между осью конуса и образующей равен 45°. Площадь осно-
вания составляет 100 см2. Найти объём конуса.
319. Объём конуса составляет 420 смг; высота составляет 10 см. Найти
угол между осью и образующей.
320. Куча песку имеет форму конуса, окружность основания которого —
14 му а высота — 2 л*. Вес 1 л*3 песку составляет 2 тонны. Сколько полутора-
тонных грузовиков требуется для перевозки этого песка?
321. Деревянный конус весом б кг распилен на половине высоты парал-
лельно основанию. Сколько весят полученные части (вес опилок в расчёт не
принимается)?
322. Сколько листовой жести идёт на изготовление бидона, размеры ко-
торого указаны на рис. 236?
323. Сколько литров керосина входит в бидон, изображённый на
рис. 266?
324. Определить вместимость рюмки, изображённой на рис. 257.

§ 108. шар
175
§ 108. Шар.
Круглое тело, образованное вращением полукруга (ЛМВ на
рис. 268) около его диаметра (A3 на рис. 268), есть шар.
- Поверхность шара называется шаровой или сферической поверх-
ностью.
Центр О вращающегося полукруга отстоит от всех точек ша-
ровой поверхности на одно и то же расстояние, равное радиусу
полукруга. Отрезок ОМ, соединяющий центр шара О с какой-либо
точкой М его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок,
Д
Рис. 268. Шар. О — центр
шара. ОМ — его радиус.
Рис. 269. Всякое сечение
шара плоскостью есть круг.
DEF— большой круг;ЛВС-
малый круг.
соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через
центр, называется диаметром шара. Для шара, как и для круга,
диаметр вдвое больше радиуса.
В отличие от всех других круглых тел шар имеет не одну,
а бесчисленное множество осей; именно, любой диаметр может слу-
жить осью шара.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая пло-
скость проходит через центр, в сечении получается круг (DEF на
рис. 269), радиус которого равен радиусу шара. Такой круг назы-
вается большим кругом. Круг, плоскость которого не проходит
через центр шара (ABC на рис. 269), называется малым кругом.
Меридианы земного шара — большие круги, а параллели (кроме эк-
ватора)— малые круги. Экватор — большой круг.
Поверхность шара, даже если её разрезать на части, нельзя раз-
вернуть на плоскость, не прибегая к растяжению. Поэтому шар
нельзя склеить из листа бумаги'),
*) Матерчатую или кожаную оболочку (оболочка воздушного шара, по-
крышка футбольного мяча) на шар надеть можно, но только за счёт растя-
жения кожи или материи (материя легко растягивается в диагональном на-
правлении).

176
ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
§ 109. Поверхность шара»
Поверхность шара ровно в четыре раза больше площади его
большого круга.
Доказательство этой теоремы даётся в более подробных учеб-
никах геометрии. Здесь мы не приводим вывода ввиду его труд-
ности.
Так как площадь круга равна я/?2 или -j kD2, то поверхность 5
шара выражается формулой
S=4*/?2, (1)
или формулой
S = *D\ (2)
Пример 1. Найти поверхность шара, диаметр которого равен
12 см.
Формула (2) даёт:
S = *.12*^3,14. 144^452 (см2).
Пример 2. Сколько квадратных метров материи идёт на изго-
товление оболочки воздушного шара диаметром в 10 л, если при-
пуск на швы составляет 5% поверхности
оболочки?
Поверхность шара равна
*D2^3,14. 102 = 314 (л*2).
Находим 5% этой величины:
314- 0,05 е& 16 (л*2)-
Всего требуется 314+16 = 330 (л*2).
Пример 3. Сравнить поверхность
шара с боковой и полной поверхностью
цилиндра, основание которого равно
большому кругу шара, а высота — диа-
метру шара.
Если шар положить внутрь цилиндри-
ческого сосуда указанных размеров
(рис. 270), то шар коснётся стенок ци-
линдра, его дна и покрышки. Такой ци-
линдр называется описанным около шара.
Так как диаметр описанного цилиндра равен диаметру шара D и
высота также равна D, то боковая его поверхность равна
S6ok = kD. D = *D*.
Сравнение с формулой (2) показывает, что поверхность шара
в точности равна боковой поверхности описанного цилиндра.
Рис. 270. Цилиндр, описан-
ный около шара. Поверх-
ность шара ровно в иол-
тора раза меньше полной
поверхности этого цилинд-
ра; объём шара ровно в
полтора раза меньше объ-
ёма описанного цилиндра.

§ 1 10. ОБЪЁМ ШАРА
177
На-глаз может показаться, что поверхность шара меньше, чем боко-
вая поверхность описанного цилиндра. Это впечатление обманчиво.
Боковая поверхность описанного цилиндра, как и поверх-
ность шара, вчетверо больше площади большого круга EF. Чтобы
получить полную поверхность цилиндра, нужно к боковой его по-
верхности прибавить площади кругов АВ и CD, т. е. удвоенную
площадь большого круга EF. Значит, полная поверхность описан-
ного цилиндра вшестеро больше площади большого круга EF. От-
сюда следует, что поверхность шара в полтора раза меньше полной
поверхности описанного цилиндра.
Между объёмом шара и объёмом описанного цилиндра сущест-
вует совершенно такая же связь (см. следующий параграф).
§ 110. Объём шара.
Объём шара роено в полтора раза меньше объёма описанного
цилиндра.
Эту теорему мы тоже примем без доказательства. Её можно
проверить на опыте следующим образом.
Возьмём какой-нибудь сосуд, имеющий форму полушария (для
этой цели можно использовать половник, а также чашку, имеющую
форму подходящего вида). Изготовим по развёртке, как объяснено
в § 101, цилиндрический сосуд, у которого как диаметр, так и вы-
сота имеют ту же длину, что диаметр полушария. Будем теперь
наполнять полушарие сухим песком (или мелко истолчённой солью)
и пересыпать этот песок в изготовленный цилиндрический сосуд.
Тогда мы увидим, что цилиндрический сосуд заполнится после трёх
насыпаний.
Так как площадь основания описанного цилиндра равна гс#*
(R— радиус шара), а высота равна D = 2/?, то объём описанного цилин-
дра равен 2тс/?3. Разделив эту величину на 1 у, найдём для объёма
шара V следующую формулу:
V = ^*R\ (1)
где R — радиус шара.
Если сюда подставить R = ~ t то получим:
V = ±*D\ (2)
где D — диаметр шараг
Пример 1. Найти объём шара, диаметр которого равен 20 см.
По формуле (2) находим:
y = l*D3^-^3,14.20*^4187 (см*)
или
1/^4,2 дмК

178 ГЛ. 12. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Тот же результат можно получить по формуле (1), подставляя
туда /?= 10 см:
К=|-7г/?8я«-1.3,14-103я«4187 (см*).
Пример 2. Сколько дробинок диаметром 3 мм можно сделать
из I кг свинца (удельный вес свинца 11,3)?
Сделаем сначала грубый подсчёт, взяв к я^ 3, т. е. объём одной дро-
бинки примем равным у Dz = -^ «33 = 13,5 (ммг). Тогда вес её будет
равен 11,3- 13,5 я« 153 (жг) = 0,153 <г). Значит, из 1 #г = 1000 г
свинца получится примерно 1 000:0,153^*6536 дробинок.
Взяв к =3,14, найдём, что число дробинок будет несколько
меньше (6260).
Пример 3. Сравнить объём шара с объёмом куба, грани кото-
рого касаются шара (рис. 271). Такой куб называется ояисанным
около шара.
Рис. 271. Куб, описанный око-
ло шара. Объём шара при-
мерно вдвое меньше объёма
этого куба.
Ребро описанного куба равно диаметру D шара, так что объём
куба равен D3. Формула (2) показывает, что отношение объёма
шара к объёму описанного куба равно -тггся^ ^-# 3,14 я« 0,52. Число
0,52, конечно, даёт не точное, а приближённое значение искомого
отношения (относительная погрешность не превышает -yVo)- Округ-
лённо можно принять, что объём шара вдвое меньше объёма опи-
санного куба.
Упражнения и задачи.
325. Найти поверхность и объём шара, радиус которого 4 дм.
326. Найти поверхность и объём шара, диаметр которого 7 см.
327. Сколько весит железный шар диаметром в 3 см1 Удельный вес
железа 7,8.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
179
328. Во сколько раз увеличится поверхность шара, если его диаметр уве-
личится втрое? Во сколько раз увеличится при этом объём шара?
329. Основание конуса совпадает с экватором шара, а вершина — с по-
люсом. Во сколько раз объём этого конуса меньше объёма шара?
330. Если в кубический ящик вложить шар, диаметр которого равен
ребру куба, то шар займёт примерно половину объёма ящика (см. пример
3 § 110). Какая часть объёма этого ящика будет занята, если ящик запол-
нить тысячью шариков (диаметр каждого из пих будет в десять раз меньше
ребра)?
331. Какие яблоки дешевле: поперечником в 60 мм и ценой по рублю
штука или поперечником в 80 мм и ценой по 2 руб. штука?
332. Сколько олифы требуется на покраску полушарового купола окруж-
ностью в 30 ж? На покраску 1 квадратного метра идёт 250 г олифы.
333. Средний диаметр дождевой капли при обыкновенном дожде соста-
вляет около 2 мм. Сколько капель нужно собрать, чтобы получить литр
воды?
334. Сплошной металлический шар перелит в цилиндр, высота которого
равна диаметру шара. Каково точное отношение радиуса цилиндра: к радиусу
шара?

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
К главе I (стр. 24—26).
11. Измерить общую толщину всех листов книги и разделить на число
листов.
14. 6 метров.
15. 6 метров.
16. При всяком делении отрезка АВ длина отрезка DE будет б м. Дей-
ствительно, DE есть сумма отрезков DC и СЕ. Первый из этих отрезков
есть половина отрезка АС, второй — половина отрезка СВ. Значит, их сумма
есть половина суммы АС-\-СВ, то есть половина отрезка АВ (длина кото-
рого равна 12 м).
Это рассуждение кратко записывается так:
DE= DC + СЕ= -^АС + -д- СВ = 1 (АС + СВ) = -^ АВ.
17. 845 метров.
18. 2 шпильки; 14 метров.
19. Чем выше взять точку на вехе, тем больше эта точка отойдёт от
отвесной линии. Значит, чем ниже глаз съёмщика, тем меньше неточность.
Поэтому съёмщик должен наклонить туловище.
К главе II (стр. 45—46).
20. 12,5 мм.
21. 760 000 км.
22. 8 см\ 52 см.
23. Точка В может лежать пне окружности или внутри неё. В первом
случае диаметр окружности равен 100 м — 20 м=-80м, а радиус 40 м. Во
втором случае радиус окружности равен 60 м.
25. Дуга АС содержит 90 (дугозых) градусов, дуга ABD равна 270°;
Аб= BD; ABD = ВАС; At В = CBD. Всего здесь 12 секторов (четыре сектора
составляют но -j- круга каждый, четыре — по половине круга каждый, че-
3
тыре — по -j круга каждый).
26. Дуга CEF содержит 60°.
27. 1852 метра (округлённо).
29. 60°.
30. 45°.
81. 135°; 180°.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
181
32. 90°; 150°; 30°; 120°.
33. 150°; 270°; 180°; 510°; Г; 12'.
34. 240°.
35. 15°.
40. 300°.
41. Вся окружность содержит 330°. Если её разделить в отношении 2:3,
то меньшая дуга будет содержать 144° (2 + 3 = 5; 360:5 = 72; 72* 2=144).
Эту дугу и нужно построить с помощью транспортира.
45. Удвоить угол а, прибавить угол Ь\ получим угол 2а + Ь\ разделить
этот угол пополам>
46. 70°, 110°; 110°.
47. 20°.
48. 20°.
49. При всяком делении получим тот же результат 20° (половина вели-
чины дапного угла). Сравпить решение упражнения 16.
50. 130°.
51. 180°.
52. 135°; 45°.
53. 102°30' и 77°30\
54. 93°.
55. До разгибания листа все четыре угла совмещались друг с другом;
значит, все они равны между собой. Все вместе они составляют 360° (§ 22).
Следовательно, каждый содержит по 90°.
Другое объяснение. Два угла, лежащих по одну сторону от пер-
вой линии сгиба, — смежные. Значит, сумма их составляет 180°. Следователь-
но, каждый содержит по 90°.
К главе Ш (стр. 52).
59. Одну из параллельных прямых (АВ) проводим произвольно. С по-
мощью угольника (с делениями) проводим перпендикуляр АС длиной 30 мм.
Через точку С проводим прямую CD \\ АВ (как объяснено в § 26).
Поперёк прямых АВ и CD кладём масштабную линейку. Поворачиваем
её до тех пор, пока отрезок между АВ и CD станет равным 40 мм (вме-
сто этого для большей точности можно воспользоваться циркулем; придав
ему раствор 40 мм, поставим остриё в какой-либо точке М прямой АВ
и сделаем карандашом засечку N на прямой CD; теперь проводим секу-
щую MN).
60. Разделим пополам отрезок секущей, перпендикулярной к двум па-
раллельным прямым. Через точку деления проведём третью параллельную
прямую,
61. Можно применить способ § 26, заменив угольпик экером.
62. Применить транспортир для построения равных соответственных
углов.
63. 135°; 45°.
Пояснение. Из восьми полученные углов четыре равны между собой
(§ 27). Каждый из остальных углов в сумме с любым из первых четырёх
даёт 180°.
64. Не могут.
Пояснение. Данные параллельные прямые образуют с секущей рав-
ные соответственные углы. Значит, биссектрисы этих углов образуют с се-
кущей тоже равные соответственные углы (вдвое меньшие). Поэтому (пер-
вый признак параллельности) биссектрисы соответственных углов при па-
раллельных прямых параллельны друг другу.
65. Не могут (сравнить пояснение к предыдущему ответу).
66. Провести прямую, пересекающую одну из данных параллельных пря-
мых и параллельную второй.

1.82
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
К главе IV. §§ 29—34 (стр. 62—63).
67. а) Возможен, так как наибольший отрезок (с = 40 мм) меньше суммы
двух других, б) Невозможеп, так как наибольший отрезок (6 = 60 мм) больше
суммы двух других, в) Невозможен.
68. Тупоугольный.
69. В первом случае — невозможен, так как оспавание равнобедренного
треугольника должно быть меньше суммы боковых сторон, т е. меньше чем
удвоенная боковая сторона. Во втором случае — возможен, так как наиболь-
шая сторона (основание) меньше суммы двух других стороп.
70. Построение возможно.
71. Каждая сторона 7-х-м.
о
72. Первый отрезок (р) должен быть больше удвоенного второго (а):
р > 2а, так как р есть общая длина трёх стороп, а 2а —сумма длин двух
сторон треугольника. Вместе с тем отрезок р должен быть меньше учетве-
рённого отрезка а (р < 4д), так как осповапие должно быть меньше чем 2а.
При выполнении обоих этих условий построение возможно: вычитая 2а
из р, находим основание и выполняем построение, как в задаче 15 (стр. 5Q).
73. Основание 7,6 м\ боковая сторона 5,4 м.
.Пояснение./Если укоротить основание на 2,2 м, а длину боковых
сторон не изменять, то периметр будет 16,2, а все стороны станут равными.
Зпачит, каждая сторопа будет равна 16,2 дс:.3-=.5,4 м.
Алгебр а и ч е с к о е р ешеиие. Обозначив через х боковую сто-
рону, получим уравнение х + х + (лг + 2,2) = 18,4. Решая его, пайдём #= 5,4.
74. Невозможен.
П о я с н е п и е. Рассуждая, как в пояснении к предыдущей задаче,
найдём, что боковая сторона должна иметь длину 4,9 м, а основание
10,2 м. Но одна сторона треугольника (основание) не может быть больше
суммы двух других.
75. Невозможно. Сторона с всегда имеет длину 58 мм (округлённо).
76. Возможно (см. замечапие на стр. 61). Сторона с может иметь длину
34 мм или 12 мм (округлённо).
Пояс не н и е. Строим угол CBL = 40° (рис. 272), откладываем ВС =
= а = 30 мм. Из точки С, как из центра, описываем окружность радиусом
Вас
Рис. 272.
22 мм. Она пересечёт ВL в двух точках, А и А\ Треугольники ABC и А'ВС
оба удовлетворяют условию задачи. Измерение даёт: ЯД =^34 мм, В А ^
*& 12 мм.
77. Построение невозможно.
Пояснение. Если повторить построение предыдущей задачи, то окруж-
-ность радиусом 16 мм не пересечёт прямой ВЦ

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
*83
78г. Длины DE и АВ равны* так как треугольники АС В и ВСЕ равны
(по второму признаку). Прямые АВ и D£ параллельны, так как из равенства
треугольников АСВ; и ПСЕ следует также равенство углов В и. Z) (внутрен-
них накрестлежащих).
79. Длины BE и i4£ равны (вследствие равенства треугольников ЛСВ
и ВСЕ). Однако BE будет параллельна А5 только в том случае, если тре-
угольник ABC равнобедренный (АС = ВС). В противном случае внутренние
накрестлежащие углы не равны; значит, BE и АВ не параллельны.
80. Обозначим узел верёвки буквой D. Треугольники ABD и A€D равны
(по первому признаку). Значит, углы CAD и BAD равны, а в сумме они
составляют 180° (§ 22).
§§ 35—37 (стр. 67—69).
81. 80° и 80р. Одной стороне треугольника можно дать произвольную
Д1ИНу.
82. 120°.
83. См. пример 3 § 35*.
84. См. § 37, замечание 1.
85. См. предыдущую задачу.
86. Построить по способу § 31 равносторонний треугольник. Провести
в нём по способу § 20 высоту (§. 37, теорема 2).
Рис. 273.
87. Углы 1У 2, 3 (рис. 273) всякого треугольника в сумме составляют
угол, равный 180°. Поэтому одна из крайних сторон углов составляет про-
должение другой.
88; Не может.
89. 35°; 55°.
90. 65°; 25°; 90°.
91г. 45°; 45?; 90°.
Пояснение. Из условия следует, что каждый из двух треугольни-
ков^ на) которые разбивается данный треугольник высотой, — равнобед-
ренный.
92; 22°30'; 22°30'; 135°.
93. П е р в ы й случай: угол В при вершине втрое меньше суммы
углов Л и С при основании. Тогда LA + Z С—3 L В, значит, LA + LB +
-f ^C^^LB, значат, 4/,£?=180°. Отсюца сразу находим: ^# = 45°;
L A=LC= 180°-45° = 67P3Q'.
В то рой с л у ч а й: угол А втрое меньше суммы L В + L С Тогда
L Л:=45°: Значит, Z С =45° и L #= 180° - Z A— L С = 90°.
В предыдущей задаче второй случай невозможен, так как угол А, бу-
дучи равен углу С, не может быть больше суммы L &-\- L С.
Другое решение (алгебраическое). Обозначим через х угол при
основании. Тогда угол при вершине будет 18.6° — 2дг. Для первого случая
получим уравнение 3(180°— 2х)—х + х. Решая его, найдём х = &1°МУ. Для

18 t ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
второго случая получим уравнение Зж=1£0э — 2х + х. Решая его, найдём
х =45°.
В предыдущей задаче для второго случая получили бы уравнение, ко-
рень которого отрицательный.
64. 120°.
95. Внутренний угол А в сумме со смежным внешним углом А состав-
ляет 180° (§ 22); в сумме с двумя другими внутренними углами (В и С)
угол А тоже составляет 180° (§ 35). Следовательно, внешний угол А равен
сумме углов В и С.
97. 540°; 720°; 180°. (/г —2).
Пояснение. Проведём из одной вершины многоугольника все диаго-
нали. Пятиугольник разобьётся на три треугольника, шестиугольник — на че-
тыре и т. д. Сумма углов пятиугольника равна 180° • 3 = 540°; шестиуголь-
ника 180° • 4=720° и т. д.
98. 360°.
Пояснение. В силу теоремы, приведённой в упражнении 95 (стр. 68),
сумма трёх внешних углов треугольника равна
UB + АС) + (АС + LA) + (АЛ + АВ) = 2(АА + АВ + АС) =
= 2- 180° = 350°.
99. 300°.
!00. 360°.
101. 105° (или 75°).
Пояснение. Если А Л = 30°, то АВ + ZC= 180° — 30°= 150°. Сумма
углов, образуемых биссектрисами ВОиСО углов В и С со стороной ВС, равна
150°: 2 = 75°. Из треугольника ВОС находим, что искомый угол равен
180° — 75°= 105° (или 75°, если взять внешний угол).
К главе V (стр. 75—76).
102. См. пояснение к упражнению 86.
103. Построить внутри прямого угла угол в 60°, имеющий общую вер-
шину и общую сторону с прямым углом. В остатке получим угол в 30°.
Перенесём его надлежащим образом внутрь угла в 60° (§41).
104. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник; разделить
его острый угол пополам (§ 42).
105. Построить углы А = 45°, В = 30°, А — В = 15°, ^Ц=-^ = 71.
107. Предварительно построить угол В= 180°-— А — С.
108. См. решение упражнения 76.
112. Провести перпендикуляр через середину отрезка я(§ 40, задача 21);
от основания отложить отрезок Л.
113. Провести прямую MN\ через некоторую её точку D провести к ней
перпендикуляр. На перпендикуляре отложить отрезок DC = h. Из точки С
радиусом Ь делаем две засечки А и В на прямой МЫ. Искомый треугольник
есть ЛВС.
114. Построить прямоугольный треугольпик ВАС с гипотенузой ВС = а
и катетом ВА' = 1 (§ 38, задача 18). При точке В построить угол CBL,
равный углу ВСА1 (по ту же сторону от прямой ВС). Продолжить СА' до
пересечения с BL в точке А. Треугольник ABC — искомый.
115. Построить отрезок ВС = а. Провести прямую МЫ\\ВС на расстоя-
нии h от прямой ВС. Из точки В, как из центра, описать окружность ра-
диусом Ь. Она пересечёт прямую МЫ в точках А и А\ Треугольники ЛВС
и А'ВС удовлетворяют условиям задачи.
116. Провести отрезки CD и КГ- Треугольники FDK и KCD равны (по
трём сторонам). Значит, AADC= AFDK- Эти углы —внутренние накрест-
лежащие для прямых АВ и СК (при секущей D/<). Следовательно, AD\\CK.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
185
К главе VI. §§ 44—52 (стр. 84—86>.
118. 45°; 135°; 135°.
119. 120°; 60°.
120. 10 см; 30 см; 30 см.
121. 50 см; 60 см.
122. Задача сводится к построению треугольника по трём сторонам.
123. Пусть в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны по-
парно равны (AB = CD; AD = BC). Проведём диагональ АС. Треугольники
ABC и ACD равны (по трём сторонам). Значит, LBAC — £ACD. Эти углы —
внутренние накрестлсжащие для прямых АВ и CD (при секущей АС). Сле-
довательно, АВ [| CD, Таким же образом докажем, что AD || ВС (из равен-
ства углов ВСА и CAD).
124. См. решение предыдущего упражнения.
125. Задача сводится к построению треугольника по дзум сторонам (по-
ловины диагоналей; см. § 45) и углу между ними (угол между диагоналями).
126. См. решение упражнения 115.
127. Пусть О есть точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.
Доказать равенство треугольников АОВ и COD. Отсюда следует (см. реше-
ние упражнения 123), что AB\\CD. Таким же образом из равенства треуголь-
ников ВОС и AOD следует, что AD\\BC.
128. Треугольники АОМ и CON (рис. 274) равны (LOAM— LOCN, как
внутренние на крест лежащие при параллельных AD, ВС; LAOM— LCOM,
как вертикальные; АО = ОС в силу § 45).
Рис. 274.
129. Построим какой-нибудь треугольник ABC с углом В =. 60°. Из центра
В радиусом, равным АС, опишем окружность. На ней возьмём произволь-
ную точку D. Четырёхугольник ABCD удовлетворяет условию.
130. Доказать равенство треугольников ACD и ABD (рис, 275). Отсюда
следует равенство углов DAB и ADC. А в сумме опи составляют 180° (§ 45).
Рис. 275.
131. Провести диагональ BD. Доказать равенство треугольников ABD
и CBD. Параллельность прямых ВС и AD следует из равенства углов ADB
и CBD.

186
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
132. Доказать, что BCDE— прямоугольник. Отсюда следует, что ВЕестъ
продолжение прямой АВ и что EF есть продолжение BE.
133. 60° и 30°.
Поясне ни е. Построить прямоугольный треугольник ADC (рис. 276)
с катетом AD произвольной длины и гипотенузой АС = 2AD (§ 38* задача 18).
Затем строим прямоугольный треугольник ADB (BD=2AD)i Доказать,
что ABCD— прямоугольник. Опираясь на теорему 3 § 45, доказать, что
треугольник. ADD — равносторонние.
Замечание. Основываясь на доказанном свойстве, можно проще
построить прямоугольник ABCD. Именно, строим равносторонний треуголь-
ник AOD и продолжаем DO и АО на равные расстояния.
134* Угол, образуемый диагональю со стороной, равен (180° — 20°): 2 == 80°.
Построить равнобедренный треугольник с основанием 3,8 см и углом 80°
при основании. Продолжить боковые стороны за вершину и отложить отрезки,
равные боковым сторонам.
135. Принять во внимание свойство 1 § 48 и применить признак равен-
ства прямоугольных треугольников (§ 39).
137. Доказать равенство треугольников AOD и COD (О — точка пересе-
чения диагоналей).
138. Наш опыт показывает, что диагональ BD (рис. 277) делится диаго-
налью АС (вдоль которой производится сгиб) пополам и что диагонали АС
и BD перпендикулярны. Действительно, высота ВО треугольника ABC на-
ложится на высоту DO треугольника ACD. Если вновь разогнуть бумаж-
ный четырёхугольник, то ОВ составит продолжение OD; и вместе они со-
ставят диагональ BD.
Но диагопаль АС может не делиться пополам диагональю BD; тогда
четырёхугольник ABCD не будет не только квадратом, но даже паралле-
лограммом.
139. Нет. Наш опыт показывает (см. решение предыдущей задачи), что
диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны и взаимно делятся
пополам. Этими свойствами, наряду с квадратом, обладает и всякий иной
ромб. Кроме ромба никакой другой четырёхугольник не обладает одно-
временно этими двумя свойствами. Это вытекает из теорем, приведённых
в упражнениях 127 и 137.
140. См. § 50.
141. Если начальное деление совместить с углом доски, то этот способ
совпадёт со способом, объяснённым в § 50.
142. В четырёхугольнике BEDF противоположные стороны BE и FD
равны и параллельны. Поэтому (упражнение 131) BEDF — параллелограмм,
т. е. BF\\DE. Затем доказав, что в треугольниках AUF и CVE (с равными
сторонами AF и ЕС) углы соответственно равны, мы установим равенство
отрезков AU и VC. Чтобы доказать, что и каждый из этих отрезков равен

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 187
отрезку UV, достаточно лровести через точку V (или U) прямую, параллель-
ную AD.
146. Ш=44 см; Л7С = 52 см.
пит f. I я — Ь а-\-2Ь „кт , . 0а— # 2а+ Ь
LM = b + —g— = --I_; /<-7V=^ + 2 —g— = —X-.
T47. Доказать, что треугольник ADF (рис. 278) равнобедренный. Отсюда
следует, что сумма сторон CF и FD равна CF -f- /"Л = СЛ. Точно так же
С£+ ED = CB. Значит, периметр параллело-
грамма равеп АС + СВ. С
§§ 53-54 (стр. 90).
148. 120°.
149. 108°.
151. См. § 54, задачи 31 и 34.
152. Разделим окружность на восемь равных
частей. Пусть Аи А2, AZt ... , As — подряд иду-
щие точки деления. Соединяем точку At с точ-
кой А4 (пропуская точки А2, Аъ), точку Л4 — с Л7
(пропуская Аь и А6); точку А7 — с А2 (пропуская
точки Аь и Ах), точку А2 — с Аь и т. д.
153* Сумма внутренних углов восьмиуголь-
ника равна 1080°; следовательно, каждый угол
равен 135°. Строим угол в 135° и на его сторо-
нах откладываем отрезки по 2 см; к этим от-
резкам пристраиваем углы по 135°, откладываем
отрезки по 2 см и т. д.
155. Из центра окружности провести перпендикуляр к одной из сторон
вписанного шестиугольника.
157. 14 см (сторона правильного вписанного шестиугольника и радиус
окружности равны; см. задачу 32 § 54).
158. 4,5 см (сторона описанного квадрата равна диаметру).
К главе VII (стр. 99—МО).
160. 135 м.
161. 240 м.
162. 32 м, 24 м.
163. .240 м (учесть, что электролиния имеет два провода).
164. Да.
165. Да.
166» Два ромба, два прямоугольника могут не быть подобными. Дза
квадрата всегда подобны.
167. Такие треугольники всегда подобны; один из них можно получить
из другого построением, указанным в § 56, задаче 35 (взяв точку О в вер-
шине).
168. 4y^<Mf.
172. Не всякие, а только те, у которых центральные углы равны.
173. Всякие два треугольника с соответственно равными углами подобны.
174. См. ответ к следующей задаче.
175. Всякие два треугольника с соответственно пропорциональными сто-
ронами подобны (один из них воспроизводит другой в увеличенном или умень-
шенном масштабе). Два четырёхугольника с четырьмя соответственно про-
порциональными сторонами могут не быть подобными (см. § 57, замечание).

188
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
176. Нельзя. Такие четырёхугольники всегда подобны.
177. 540 м.
178. 28,1 м.
179. 90 см.
181. 400 м.
182. ^14,5 м.
Пояснение (рис. 279). По условию ЕЕ = 1,60 м, KE=z АЕ = 30 м,
Рис. 279.
LF=CE=0,7 му CD=1,90 м. LD = CD — CL= CD —EF = 0,S0 м. Из по-
добия треугольников КЕБ и LED находим:
Отсюда
KB:LD = KE:LF.
** = °^^ 12,86 (л*).
Теперь находим АВ = А К + KB = ЕЕ + KB = 1,60 + 12,86 = 14,45 (м).
К главе VIII (стр. 112—114).
183. а) 0,669; б) 0,407; в) 0,588; г) 0,643; д) 0,766; е) 0,242; ж) 0,809;
з) 0,970; и) 4,011; к) 0,445; л) 1,000; м) 0,707; н) 0,577; о) 1,732; п) 0,035.
184. а) 30>; б) 60°; в) 63°; г) 27°; д) 54°; е) 31°; ж) 82°; з) 83°; и) 27°; к) 42°;
л) 74°; м) 45°; н) 6°; о) 19°; п) 84°.
185. 30° и 60°.
186. 89°.
187. 46,8 см.
188. 55° и 35°.
189. 51°.
190. 32,9 см.
191. а) В = 36°,
б) В =19°,
с = 9,7 см;
а = 399 мм;
С = 54°,
, С = 71°,
в) С =64°, c = 2Jm, &=\,3м;
г) С = 18°, с= 17,6 см, а = 56,8 см;
д)С = 35°, д = 55 м, а=68лс.
192. 6,2 см.
193. 25,8 см.
194. 47,7 см и 112,4 см.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
189
195. 88°.
Пояснение. В дуге АВ (рис. 280) столько же градусов, сколько в угле
BOiA, т. е. вдвое больше, чем в угле СО^А. Этот угол определяется из пря-
Рис. 280.
моугольпого треугольника СОхА, где COi = -тг Oi02 = 41,5 см и ОИ -=■ 58 см.
Значит, cos /.COiA =
__41,5
58
: 0,716; L СО.А = 44°.
196. 41,8 м,
197. 70: 1000.
198. 49°.
199. Пролёт 4,6 м; высота 1,6 м,
200. 2,16 м.
201. 28,4 м.
Пояснение. Из прямоугольного треугольника ABE (рис. 281) пахо-
В 9,дм С
дим: АЕ=-
BE 5,S м
Рис. 281.
9,3 м. Теперь находим: /Ш = EF-\- АЕ + FD =
tg LA tg32°
= EF + 2Л£== ЯС + 2Л£= 9,8 лс + 2 . 9,3 м = 28,4 м.
К главе IX. §§ 67—75 (стр. 125—127).
202. а) 48 еж2; б) 228 мм*; в) 10 ж2; г) ^ 11,2 см*; д) 1,12 ж2; е) 3,5 ж2;
ж) 1 ж2; з) 66 сжа; и) 240 см\
203. а) 11,56 ж2; б) 1,44 кгж2; в) ^ 132 лш2.
208. Оба треугольника имеют одинаковую высоту h (высота трапеции);
основаниями треугольников служат основания трапеции а и Ь. Площади
треугольников: -=■ ah и ^ М. Значит, площадь трапеции -^ ah + -^ ЬН =

190 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
209*). а) 580 мм*; б) 2120 мм*; в) 2800 мм*; г) 9500 мм*.
210. 800 л».
211. 95 см*.
212. «а 164 см*.
213. е» 130 см\
214. 67,6 слса.
215. 45 л.
216. 122 л.
217. 30 м.
218. 5,94 м*.
219. 2:1.
Пояснение. Примем отрезки разделённой стороны за основания тре-
угольников. Тогда высоты этих треугольников одинаковы. А площади тре-
угольников с одинаковыми высотами* относятся, как основания. Действи-
тельно, площадь треугольника равна половине произведения основания на
высоту; когда один из сомножителей (высота) остаётся неизменным, а дру-
гой (основание) увеличивается во сколько-нибудь раз, то и произведение
увеличивается во столько же раз.
Алгебраически: St = ^ QiK $з = -я- a*h'' ^ : ^' = о" aih \^-aJi=.al\ as.
220. «=3015 м*.
221. В 6400 раз.
Пояснение. Здесь мы имеем подобные фигуры; см. § 75.
222. В 1 -? раза.
Пояснение. Коэффициент подобия рисунков на монетах (равный
отношению диаметров монет) есть 10:9 (см. стр. 94).
223. В 4 раза.
224. 5 см.
225. 6,1%.
Пояснение. Если истинная длина стороны квадрата равна я, а при
измерении шагами будет сделана ошибка в 3% в сторону превышения, то
измерение длины даст 1,03я. Вычисление даёт площадь (1,03я)3= 1,0609 а8,
т. е. округлённо 1,061 а*. Ошибка составит 0,061 а*; в процентах к площади
а* она составит 6,1%. Тот же результат получится, если ошибка в 3% будет
сделана в сторону преуменьшения.
К §§ 76—77 (стр. 131-132).
226. 25 см; 13 см; 29 мм; ^27,8 м; «в 10,6 м; ^21,5 дм.
227. 15,9 см; ^ 18,1 см; 9 м.
228. 73,7 мм.
229. 18 му 135 м*.
230. ^45,9_слс; «а 1216,3 см*.
*1/3 . а* УЗ
2<И. —2—» I "
232. =^ 13,6 см.
Пояснен
нения) находим:
вг =
j/T
4
4 • 80 320
Пояснение. Из условия —^ =80 (см. ответ предыдущего упраж-
'--ут-йй*185^
*) Результаты здесь и в некоторых следующих ответах округлены в со-
ответствии с правилами приближённых вычислений.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
191
25
233. я» 8,4 см,
234. % 15 ж2.
235. Сторона искомого квадрата равна гипотенузе прямоугольного тре-
угольника, катеты которого — стороны данных квадратов.
236. Сторона искомого квадрата равна катету прямоугольного треуголь-
ника, гипотенуза и второй катет которого равны сторонам данных квадратов.
237. 13,4 ^лс.
Пояснение. Из формулы S = -^ ah находим h = -^-. Обозначая бо-
ковую сторону через Ь, получаем по теореме Пифагора:
239. h= г— ^12,8.
У<г2 + Ь2
Пояснение. Если за основание прямоугольного треугольника принять
гипотенузу с, то площадь представится формулой S = -^ch. Если же за
основание принять катет а, то высотой будет катет Ь, и площадь предста-
вится формулой S=.-K-ab. Значит, ^ch = -^ аЬ, т. е. й =—.
240. «=:44 м.
241. 7,9 м.
242. =» 17,7 м.
К главе X (стр. 140—141).
243. а) 377 см, 11 304 слс2; б) 716 см, 40 800 см2; в) 6,28 м, 3,14 м*;
г) 156 см, в» 1930 см2\ д) 1,51 м, 0,181 м2.
244. а) 107,4 сму 918,17 см2; б) 1,9 см, 0,28 см2; в) 15,7 мм, 19,6 мм2;
г) 1,65 м, ^0,22 ж2; д) 7,23 м, 4,15 м2.
245. а) 23,9 мм; б) 14,6 еж; в) 22,4 дм; г) 1,01 м; д) 0,068 ж.
246. а) 0,408 м; б) 9,6 мм; в) 5,8 слс.
247. а) 3,4 см; б) 2,4 см; в) 0,874 ж; г) 0,33 м; д) 1,41 дж; е) ^7 мм.
248. а) 7,9 см; б) 2,8 &к; в) =« 15 мм; г) 0,53 дж.
249. 491 мм2.
250. ^ 6500 м2. Пояснение. Найти сначала диаметр или радиус
арены.
251. 35,7 см.
252. В 20 1 раз.
253. В 25 раз. Пояснение. Увеличив окружность в 5 раз, мы увели-
чили и её радиус в 5 раз.
254. 0,6 кг. Пояснение. Отношение веса одного диска к весу другого
равно отношению их площадей.
255. 14,11 см.
256. В первой кадке капуста находится под большим давлением, хотя
груз и меньше, чем во второй. Дело в том, что давление на единицу
площади (напр., на 1 см2) в первой кадке больше, чем во второй. В этом
можно убедиться, разделив 10 на 3,14 • 24- и 16 на 3,14 . 322. Но это видно
и без деления. Достаточно сравнить отношение грузов (10: 16) и отношение
площадей (24s: 322 = З2:42 = 9:16).

192 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
257. Площадь искомого круга вдвое меньше площади данного круга.
Значит, квадрат радиуса данной окружности вдвое больше квадрата радиуса
искомой окружности. Значит, радиус искомой окружности есть сторона
квадрата, диагональ которого равна радиусу данной окружности.
259. Площадь полукруга диаметра D равна -g %D*> т. е. составляет
/ 3\
всегда одну и ту же часть примерно -g-J площади квадрата, построенного
на диаметре. Но площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме
площадей квадратов, построенных на катетах. Поэтому и площади полукру-
гов I, II, III связаны той же зависимостью: 1 = 11 +III.
Алгебраически: 5j^-^-тсс2; Su = -^ па*; Sm==-^b*.
Следовательно, Sn + $ш= -«- па* + -^ %Ь* = -~ те (а* + Ь*) = -«- ъс\
260. Будет, потому что площадь равностороннего треугольника имеет
всегда одно и то же отношение к площади квадрата, построенного на сто-
роне этого треугольника. См. решение предыдущего упражнения.
261. Радиус искомого круга равен диагонали квадрата, построенного на
радиусе данного круга. См. решение упражнения 257.
262. В отношении "|/Т: 1 ^ 1,41.
Пояснение. Площадь, а значит, и квадрат диаметра, нужно увели-
чить в отношении 2:1.
К главе XI. §§ 83—91 (стр. 152).
263. а) 160 см*\ б) ^0,8 м\ в) ^57,5 дм\
265. 30,8 литра.
266. 48 учащихся.
267. 1,9.
268. 1155 см*.
269. 4 мм.
270. 3,2 см.
271. Первая, ср. § 90, пример 3.
272. 3355 см*.
273. 6а2.
274. 1,6 см.
275. 2,24 м.
92—£6 (стр. 159).
278. 290 см*, 300 см*.
279. яв 420 еле2, 420 см*.
280. «= 124 см*.
281. 149 см\ 193 см*.
284. Около 100000 м\
285. 11,2 т.
286. 8,1 м.
равно
К главе Xlk §§ 100—103 (стр. 169—170).
283 смг (округлённо).
«at. ил им-, 951 см* (округлённо).
292. Цилиндры подобны (коэффициент подобия 3:2). Отношение высот
ею 3:2. Отношение поверхностей равно 551: 245 «» 2,25 = 9:4 (= З8:28).
290. 245 см\ 283 см9 (округлённо).
291. 551 см\ 951 см* (округлённо).

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 193
Отношение объёмов равно 27:8 (=33:28). ""аким образом, поверхности от-
носятся как квадраты сходственных отрезков (см. § 75), а объёмы — как
кубы сходственных отрезков.
Так как последний результат установлен лишь на одном примере (и при-
том при округлении результатов), то докажем его для любых подобных
цилиндров.
Пусть D и D'— диаметры, h и Ы — высоты подобных цилиндров и
к — коэффициент подобия, так что D' = £D, Л' = £Л. Тогда V = — KD*hf
V'=~izD^h,^~^(kDy{kh) = k^ .i zD-h, то-есть
V'\V=k\
Вообще объёмы любых подобных тел относятся как кубы сход-
ственных отрезков. В этом можно убедиться, рассуждая так же, как
в § 75. Только вместо квадратных ячеек нужно взять кубические.
293. Полная поверхность увеличится в 4 раза; объём —в 8 раз. См.
решение предыдущего упражнения.
294. В полтора раза.
Пояснение. Основание цилиндра равновелико (§ 81) прямоугольнику,
у которого основание есть -^ С (полуокружность цилиндра), а высота R
(радиус цилиндра). Значит, оба основания вместе равновелики прямоуголь-
нику, у которого основание есть С, а высота R (т. е. у Л , Сопоставляя
с правилом § 102, видим, что площадь обоих оснований составляет половину
боковой поверхности цилиндра.
Алгебраически: площадь основания равна тсЯ*, площадь обоих основа-
ний равна 2kR\ Боковая поверхность равна 2%Rh = 2izR . 2/? = 4rc#s. Полная
поверхность равна (ж/?2. Отношение полной поверхности к боковой есть
&с/г»:4*Я»=1 1.
295. 1:1.
Пояснение. Из условия следует, что боковая поверхность равна
сумме площадей оснований (т. е. удвоенной площади одного основания).
Превращая основания в равновеликие прямоугольники, находим (см. преды-
дущее пояснение), что высота цилиндра равна радиусу основания.
Алгебраически: боковая поверхность равна 2т:/?Л, площадь обоих основа-
ний 27с/?2. Значит, 2%Rh = 2it/?a, откуда Л = /?.
296. «в 10,3 см.
297. 624 смг\ ^ 404,5 смК
298. 205 смК
299. 7,7 м\
300. 314 см*.
301. 7,8 см.
302. 2:3.
Пояснение. Чтобы объёмы цилиндров были равны, отношение пло-
щадей основания должно равняться 4:9.
303. ^ 9,8 кг.
304. 5,72 м.
Пояснение. Найти вес 1 метра медной проволоки.
305. я» 7 кг.
Пояснение. Найти объёмы двух цилиндров, у одного из которых
диаметр равен наружному диаметру трубы, а у другого — внутреннему диа-
метру (высота обоих цилиндров равна длине трубы).
306. «в 332,5 литра.

194
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЕ
397. Толстое бревно тяжелее.
Пояснение. От уменьшения диаметра вдвое объём уменьшите*
в 4 раза, а от увеличения длины в 3 раза объём увеличивается во столько
же раз, так что в общем он уменьшится в отношении 3:4,
308. ^ 2,64 кг.
309. =^ 1,48 м.
К §§ 104—107 (стр. 173—174).
310. ^ 70,7 см*.
311. ^283 см2. Этот конус подобен конусу, рассмотренному в преды-
дущем упражнении. Коэффициент подобия 2:1. Поэтому полные поверх-
ности относятся как 4:1 (сравнить пояснение к упражнению 292, стр. 192).
312. 236 см2; 30°.
313. 227 смК
314. 9,1 дм\
315. Цилиндр имеет больший объём.
316. 2:1. Сравнить упражнение 294 (стр. 169 и 19а).
317. 1:1. Сравнить упражнение 295 (стр. 169 и 193).
318. 533 см\
319. 32°.
320* 13—14 грузовиков.
321. 0,75 кг и 5,25 кг.
По я с н е н и е. От уменьшения высоты в два раза объём уменьшается
тоже вдвое; от уменьшения радиуса основания вдвое площадь основания,
а значит, и объём, уменьшаются в 4 раза. В итоге объём уменьшается
2 . 4=8 раз. Сравнить пояснение к упражнению 292 (стр. 192).
322. 8370 см\
323. 57,7 литра.
324. 35,9 см\
Пояснение. Продолжив боковую поверхность рюмки, получим конус.
Отнимая от этого конуса другой конус (лежащий под дном этой рюмки),
получим внутренность этой рюмки. Основания конусов известны, высоты
можно найти из подобия треугольников.
К §§. 108-110 (стр. 178—179),
325. 201 дм* 268 дм\
326. 154 см*; 180 смК
327. 110,2 г.
328. Поверхность увеличится в 9 раз, объём в 27 раз.
Пояснение. Это следует из примера 3 § ПО, а также из пояснения
к упражнению 292 (стр. 192).
3£9. В 4 раза.
330. Примерно половина объёма ящика.
Пояснение. Ящик можно представить разбитым на 1000 кубических
ячеек с рёбрами, в 10 раз меньшими ребра ящика.
331. Яблоки с поперечником в 80 мм.
Пояснение. Объёмы двух яблок относятся как кубы их поперечников.
332. 71,86 кг.
333. Четвертыми л л иона.
334. V2:у&9

приложения Г95
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Таблица тригонометрических величин.
| Градусы
1 °
1
2
з
4
5
6
7
8
9
10
М
12
13
14
15
16
17
18
19
20
.21
22
23
24
25
.26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
| Градусы
sin |
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0Д392
' 0,1564
0,1736
0,1906
0,2079
0,2250
0,2419
0,2586
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4225
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5445
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6426
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
cos
COS
1,0000
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0;9703
0,9659
0,9613
0,9563
0*9511
0*9455
0£897
0,9335
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
одао
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
sin
*g
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0399
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3339
0,4040
0,4245
0,4452
0,4653
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0J265
0,7535
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
ctg
ctg
со
57,290
28,636
19,081
14,301
11,430
9,514
8,144
7,115
6,314
5^671
5,145
4,705
4,331
4,011
3,732
3,487
3,271
3,078
2;904
2,747
2,605
2,475
2,356
2,245
2,145
2,050
1,953
1,881
1,804
1,732
1,664
1.600
1,540
1,483
1,428
1,376
1,327
1,280
1,235
1,192
1,150
1,111
1,072
1,035
1,000
tg
Градусы 1
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
76
77
76
75
7-4
73
72
71
70
69
68
67
65
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
45
45
Градусы

196
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ П
Таблица квадратных и кубических корней.
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
23
27
28
29
30
31
32
33
34
35
35
37
38
39
40
41
42
43
44
45
43
47
48
49
50
\Vn
1,000
1,414
1 1,732
2,000
2,235
2,449
2,646
2,828
3,000
3,162
3,317
3,454
3,606
3,742
3,873
4,000
4,123
4,243
4,359
4,472
4,583
4,590
4,793
4^99
5,000
5,099
5,196
5,292
5,385
5,477
5,568
5,657
5,745
5,831
5,916
6,000
6,083
6,164
6,245
6,325
6,403
6,481
6,557
6,633
6,708
6,782
6,856
6,928
7,000
7,071
\У\0п
3,162
4,472
5,477
6,325
7,071
7,746
8,357
8,944
9,437
10,000
10,488
10,954
11,402
11,832
12,247
12,649
13,038
13,416
13,784
14,142
14,491
14,832
15,166
15,492
15,811
16,125
16,432
16,733
17,029
17,321
17,607
17,889
18,166
18,439
18,708
18,974
19,235
19,494
19,748
20,000
20,248
20,494
20,736
20,976
21,213j
21,448
21,679
21,909
22,133
22,361
fa
1,000
1,260
1,442
1,587
1,710
1,817
1,913
2,000
2,080
2,154
2,224
2,289
2,351
2,410
2,456
2,520
2,571
2,621
2,668
1 2,714
2,759
2,802
2,844
2,884
2,924
2,952
3,000
3,037
3,072
3,107
3,141
3,175
3,208
3,240
3,271
3,302
3,332
3,362
3,391
3,420
3,448
3,476
3,503
3,530
3,557
3,583
3,609
3,634
3,659
3,684
f^lOrt frlOOn
2,154
2,714
I 3,107
3,420
3,684
3,915
4,121
4,309
4,481
1 4,642
4,791
j 4,932
! 5,056
5,192
5,313
5>429
5,540
5,64(5
5,749
5,848
5,944
6,037
6,127
6,214
6,300
6,383
6,463
6,542
6,619
6,694
6,768
6,840
6,910
6,980
7,047
7,114
7,179
7,243
7,306
7,368
7,429
7,489
7,548
7,606
7,663
7,719
7,775
7,830 1
7,884 1
7,937
4,642
5,848
1 6,694
7,368
7,937
8,434
8,879
9,283
9,655
10,000
10,323
10,627
! 10,914
11,187
11,447
11,695
11,935
12,164
12,386
12,599.
12,806
13,006
13,200
13,389
13,572
13,751
13,925
14,095
14,250
14,422
14,581
14,736
14,888
15,037
15,183
15,326
15,467
15,505
15,741
15,874
16,005
16,134
16,2311
16,385 j
16,5101
16,631!
16,751
16,869
16,985
17,100
\ n
i
| 51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1 61
1 62
63
64
65
66
1 67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77!
78 j
! 79 j
! 80
81
82
83
84
85
86
87
88
891
90
91
92
93
94
95
95
97
98
99
100 1
Vn
7,141
7,211
7,280
7,348
7,416
7,483
7,550
7,616
7,681
7,743
7,810
7,874
7,937
8,000
8,062
8,124
8,185
8,245
8,307
8,367
8,426
8,485
8,544
8,602
8,660
8,718
8t775
8,832
8,888
8,944
9,000
9,055
9,110
9,165
9,220
9,274
9,327
9,381
9,434
9,487
9,539
9,592
9,644
9,695!
9,747
9,798
9,849
9,899
9,950
10,000
YlQn''irn ! 1/10/z
22,583; 3,708
22,804
23,022
i 23,238
23,452
23,664
23,875
24,083
24,290
24,495
24,698
24,900
25,100
25,298
25,495
25,690
25,884
26,077
26,268
26,458
26,645
26,833
27,019
27,203
27,386
27,568
27,749
27,928
28,107
28,284
28,460
28,636
28,810
28,983
29,155
29,326
29,493
29,665
29,833
30,000
30,166
30,332
30,493
30,659
30,822|
30,984
31,145
31,305
31,464!
31,623
3,733
1 3,756
3,780
3,803
3,826
3,849
3,871
3,893
3,915
3,936
3,958
3,979
4,000
4,021
4,041
4,062
4,082
4,102
4,121
4,141
4,160
4,179
4,198
4,217
4,236
4,254
4,273
4,291
4,309
4,327
4,344
4,362
4,380
4,397
4,414
4,431
4,448
4,465
4,481
4,498
4,514
4,531
4,547
4,563
4,579
4,595
4,610
4,626
4,642
7,990
8,041
8,093
8,143
8,193
8,243
8,291
8,340
8,387
' 8,434
8,481
8,527
8,573
8,6181
8,662
8,707
8,750
8,794
8,837
8,879
8,921
8,963
9,004
9,045
9,086
9,126
9,166
9,205
9,244
9,283
9,322
9,360
9,398
9,435
9,473
9,510
9,546
9,583
9,619
9,655
9,691
9,726
9,761
9,796
9,830
9,865
9,899
9,933
9,937
10,000
\Г\Ш
17,213
17,325
17,435
17,544
17,652
17,758
17,853
17,957
18,070
18,171
18,272
18,371
18,469
18,566
18,663
18,758
18,852
18,945
19,038
19,129
19,220
19,310
19,399
19,487
19,574
19,661
19,747
19,832
19,916
20,000
20,083
20,165
20,247
20,328
20,408
20,488
20,567
20,646
20,724 1
20,801
20,878
20,954
21,029
21,105
21,179
21,253
21,327
21,400
21,472
21,544
1

ПРИЛОЖЕНИЯ
197
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
СПИСОК ФОРМУЛ
(через 5 всюду обозначена площадь; через V—объём).
Название формулы
Формула
Обозначения
Площади многоугольников.
Площадь прямо-
угольника
Площадь квадрата
Площадь параллело-
грамма
Площадь треуголь-
ника
Площадь трапеции
Площадь трапеции ]
(другой вид формулы)
S = ab
S = ah
S==ch
a, b— стороны
a — сторона
a — основание,
h — высота
a — основание,
h —■ высота
a, b — основания,
h — высота
с —средняя линия,
h — высота
Окружность и круг.
7.
8.
9.
Длина окружности
(в зависимости от
её диаметра)
Длина окружности
(в зависимости от её
радиуса)
Площадь круга
(в зависимости от
его диаметра)
С = ъй
C=2tz/?
S = -j *D8
Z> — диаметр окруж-
ности, С — длина
окружности
/? — радиус окруж-
ности, С —длина
окружности
D —диаметр круга
134
136
137

198
ПРИЛОЖЕНИЯ
Продолжений
Ко
п/п
10.
11.
Название формулы
Площадь круга
(в зависимости от
его радиуса)
Площадь сектора
Формула
Обозначения
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
R— радиус круга,
С — длипа окруж-
ности
с — длина дуги сек-
тора, /? — радиус
Призма и цилиндр.
Боковая поверхность
прямой призмы
Боковая поверхность
круглого цилиндра
Полная поверхность
цилиндра
Объём призмы
Объём прямоуголь-
ного бруса
(параллелепипеда)
Объём куба
Объём цилиндра
S*ok = M
S6oK=TzDh=_2nRh
= 2nRh+2r.R*
V=Sh
V = Sh = abh
V=a*
V = Sh = KR*h=
= 4- %D*h
4
p — периметр осно-
вания, h — высота
D — диаметр осно-
вания, h — высота,
R — радиус основа-
ния
D — диаметр основа-
ния, h — высота,
Р — полная поверх-
ность, R — радиус
основания
5 — площадь основа-
ния, h — высота
5 — площадь осно-
вания, h — высота,
а> Ъ — длипа и ши-
рина
а — ребро куба
R — радиус основа-
ния, h — высота,
D — диаметр осно-
вания

ПРИЛОЖЕНИЯ
199
Продолжение
п/п
19.
20.
21.
22.
; 23.
24.
Название формулы
1
Боковая поверхность
правильной пирамиды
Объём пирамиды
Боковая поверхность
конуса
Объём конуса
Поверхность шара
Объём шара
Формула
Пирамида и конус
s6o* = Yphl
V=±Sh
5бок = ~2 Ci==
= -« t,DI = kRI
V = ±Sh =
= 1*Я*Л =
3
1
^^-U-D8/*
12
Шар.
' S = 47U#2=:rc£>2
1
-7«D.
Обозначения
.
/? — периметр осно-
вания, hi — апофема
«S — площадь основа-
ния, h — высота
С — окружность
основания, / — обра-
зующая, D—диаметр
основания, R — ра-
диус основания
/?.'— радиус основа-
ния, h — высота,
Ш—диаметр основа-
ния
/? — радиус шара,
D — диаметр шара
R — радиус шара,
D — диаметр шара
Стра-
ница
книги
157
158
171 1
173
176
177

ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ
А а — а
В b — бэ
С с — из
D d — лэ
Ее — е
Ff — эф
Gg — же
Н h — aiu
1 i —и
J j — ЖИ i
К к — ка
L1 — эль
М m— эм
(ге)
(йот)
N п — эн
Оо — о
Рр — пэ
Q q — \<у
Rr —эр
Ss —эс
Tt — тэ
U и — у
V v — вэ
W w— дубль-вэ
Хх — икс
Yy — игрек
Z г — зэт

11-2-5
АННОТАЦИЯ.
Книга рассчитана на самые широкие слои чита-
телей, не имеющих законченного среднего образова-
ния или не сохранявших в памяти геометрических
сведений, полученных в школе. С большой нагляд-
ностью и доступностью выясняются основные геоме-
трические факты, знакомство с которыми необходимо
каждому.
Многие, в особенности очевидные факты даны без
доказательства; доказательства появляются постепен-
но, по мере развития у читателей потребности в
рассуждениях.
Кроме геометрических чертежей, в книге имеется
много рисунков из обыденной жизни и практики.
Много примеров взято из практической деятельности.
В книге имеется более 300 упражнений и задач
для самостоятельной работы с ответами и с указа-
ниями наиболее трудных задач.
Редактор И. Н. Бронштейн. Техн. редактор С. И. Ахлаиов.
Подписано к печати 8/XII 1950 г. Бумага 60X92Vie* б.25 бУм- л> 12»& печ- л- 13»81 уч.-изд. л.
44 170 тип. зн. в печ. л. T-09t7& Тираж 50 000 экз. Цена: книг» 4 руб. 85 коп. Переплёт 1 руб.
Заказ. № 843.
2-8 типография «Печатный Двор» им. A. NL Горького Главполиграфиздата при Совете Минист-
ров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.