Ф.П.Васильев
А. 3. Ишмухаметов
М.М.Потапов
ОБОБЩЕННЫЙ
МЕТОД МОМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ
ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1989

УДК 519.6
Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Потапов М. М. Обобщенный метод,
моментов в задачах оптимального управления. — М.: Изд-во Моск. ун-та,.
1989. — 142 с. — ISBN 5—211—00339—X
В монографии излагается новая методика исследования и численного
решения задач оптимального управления с квадратичными функционалами
качества при наличии ограничений на управление. Дается систематическое
изложение обобщения классического метода моментов на квадратичные задач»
оптимального управления.
Для широкого круга специалистов, занимающихся решением задач
оптимального управления.
Библиогр.: 106 назв.
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук М. С. Никольский,
доктор физ.-мат. наук Л. А. Муравей,
доктор физ.-мат. наук А. И. Мороз
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
1402060000—024
В 68—89
077(02)~89
© Издательство Московского
ISBN 5—211—00339—X университета, 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 4
Глава 1. Обобщенная проблема моментов 7
§ 1. Обобщенная проблема моментов как задача на экстремум . 7
§ 2. Задача без ограничений 22
§ 3. Задача с ограничением на норму 41
§ 4. Задача с линейными ограничениями 49
§ 5. Другая схема обобщенного метода моментов .... 58
Глава 2. Применение метода моментов к задачам с обыкновенными
дифференциальными уравнениями 64
§ 1. Задача, с терминальным функционалом и управлением в
правой части уравнения v 64
§ 2. Задача с интегральным функционалом 79
Глава 3. Задача оптимального управления параболической системой . 88
§ 1. Постановка задачи. Свойства оптимальных управлений . 88
§ 2. Сходимость аппроксимирующих задач 98
Глава 4. Задача оптимального управления гиперболической
дифференциально-операторной системой 103
§ 1. Постановка задачи. Сведение к проблеме моментов.
Существование решений 103
§ 2. Условия управляемости. Задача быстродействия . . . . 121
§ 3. Аппроксимирующие задачи. Сходимость 127
Заключительные замечания 131
Литература 137

ВВЕДЕНИЕ
Важный класс в теории оптимального управления
составляют задачи минимизации квадратичных функционалов на
решениях линейных дифференциальных уравнений при наличии
ограничений на управляющую функцию. Этот класс охватывает
многие практические задачи управления различными
механическими, тепловыми, диффузионными, волновыми и другими
процессами, включая, в частности, задачи перевода систем из
заданного начального в заданное конечное состояние.
Одним из эффективных методов решения задач
оптимального управления является метод моментов. Впервые он был
применен Н. Н. Красовским [1—4] к задачам перевода систе^
мы в заданную точку для систем, динамика которых
описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Метод моментов сводит такую задачу оптимального управления
к так называемой /-проблеме моментов [1—8]: определить
функционал и&В* из условий
<«. фа>=/л. 6=1» 2,...,ue=t/,
(1)
[/«{и€=В*:||и||</},
где В — некоторое банахово пространство с нормой ||-||; <pfc>,
&=1, п, — некоторая система элементов из В; J3* —
сопряженное пространство; (и, щ) — значение функционала и на
элементе щ, называемое моментом функционала и относительно
элемента ф&; неравенство в (1) представляет собой ограничение
на управление, 0</<оо. Соотношения (1) выводятся из
условий совпадения правого конца траектории управляемой
системы с заданной целевой точкой.
В дальнейшем метод моментов был развит и применен для
решения задач оптимального управления системами с
распределенными параметрами в работах А. Г. Бутковского,
А. И. Егорова, Т. К. Сиразетдинова, Д. Л. Рассела, В. Крабса
и др. Из весьма обширной литературы, посвященной проблеме
моментов и ее приложениям к задачам оптимального
управления, упомянем работы [1—78]. Отметим, что условия (1) и в-
случае систем с распределенными параметрами выводятся и&
условий точного попадания системы в целевую точку.
4

Во многих практических задачах точный перевод в
заданное конечное состояние невозможен. В таких случаях
естественно ставить задачу о переводе системы, как можно ближе к
заданному конечному состоянию. При этом оказывается, что
задача оптимального управления сводится к более общей, чем
(1), задаче минимизации: определить ией* из условий
'(«) = £ l(",<P*)-/*l2 + inf, ueU, (2)
где U является, например, шаром, как в (1) или представляет
собой пересечение конечного числа полупространств:
U={uezB* : (w, c/><py, /=l7m}.
Задачу (2) в отличие от классической проблемы моментов (1)
назовем обобщенной проблемой моментов. Решение задачи (2)
может быть истолковано как квазирешение задачи (1) {79—
84]. В том случае, когда нижняя грань в (2) достигается и
равна нулю (это соответствует случаю управляемости), то
квазирешение превращается в решение задачи (1).
В гл. 1 настоящей книги проводится исследование вопросов
существования решений задачи (2), управляемости,
корректности постановки задачи по А. Н. Тихонову в случае, когда В =
= # — гильбертово пространство. Для решения задачи (2)
строятся численные методы, дается обоснование сходимости и
выводятся оценки скорости сходимости этих методов.
Далее, в гл. 2, 3, 4 на основе проведенных в гл. 1
исследований обобщенной проблемы моментов разрабатывается метод
решения задач оптимального управления с квадратичными
функционалами. Этот метод естественно называть обобщенным
методом моментов.
В гл. 2 обобщенный метод моментов применяется в
задачах оптимального управления процессами, описываемыми
системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В гл. 3
и 4 с помощью обобщенного метода моментов изучаются
задачи для уравнений с частными производными соответственно
параболического и гиперболического типов. Читателю,
желающему сразу иметь общее представление о методе моментов,
советуем предварительно ознакомиться с заключительными
замечаниями, в которых на эвристическом уровне строгости
излагается достаточно общая схема этого метода, охватывающая
схемы гл. 1—4.
В данной книге нумерация формул, теорем, лемм,
определений в каждом параграфе самостоятельная; ссылки на
материалы, расположенные в пределах данного параграфа, нумеруются
одним числом, вне данного параграфа, но в пределах данной
главы — двумя числами, вне данной главы — тремя числами.
5

Так, например, теорема 4 из § 2 гл. 1 в пределах этого
параграфа именуется просто теоремой 4, в других параграфах гл. 1 —
теоремой 2.4, в других главах — теоремой 1.2.4. Аналогично
параграфы при ссылках на них в пределах данной главы
нумеруются одним числом, а вне этой главы — двумя числами; первое
число означает номер главы, второе — номер параграфа в этой
главе.
Авторы выражают глубокую благодарность А. И. Морозу,
Л. А. Муравью, М. С. Никольскому, Д. В. Першееву, А. В. Раз-
гулину за полезные дискуссии по содержанию книги.

Глава 1
ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
§ 1. ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ КАК ЗАДАЧА
НА ЭКСТРЕМУМ
1. Постановка задачи. Пусть Я— действительное сепара-
бельное гильбертово пространство со скалярным
произведением (ы, v) и нормой ||м|| = (и, ы>1/2, {фь}°°ь=1с:Я — некоторая
заданная система его элементов, UczH — заданное выпуклое
замкнутое множество из Я, a {fk}°°k=i— заданная числовая
последовательность. Обобщенной проблемой моментов назовем
задачу
°°
7(и) = 2 К", <P*)-/*l2-+inf, ueJ/. (1)
Случай конечных систем не исключается; можно считать, что
тогда фА>=0, /fc=0 при k>N. Относительно системы Ф=
= {фй}00А=1 и последовательности {fk}°°h=^i предположим, что
оо
J («. Ф*>*<«>. "е#> (2)
£/*2<оо. (3)
ft—1
Обобщенную проблему моментов (1) при условиях (2), (3)
можно интерпретировать как задачу минимизации невязки
линейного операторного уравнения Au=f на множестве UczH:
J(u) = \\Au—/l^-Mnf, и ez U. (4)
Здесь /2— гильбертово пространство числовых
последовательностей со скалярным произведением
оо
<*.»>/. = £ ЧУ*
ft=i
элемент f={/ft}°°A===1 в силу (3) принадлежит /2, оператор А:
:Я->/2 действует по правилу Аи = {(и, ^h)}°°hss=i. Значения Аи
принадлежат /2 в силу (2). Линейность оператора А очевидна,
а непрерывность следует из теоремы Банаха—Штейнгауза [85,
86], так как оператор А можно поточечно на всем пространстве
7

Н приблизить последовательностью линейных непрерывных
операторов Ап:Н-+12,
Лпы=((ы, ф!>, (и, ф2>,...,<и, Фп), 0, 0,...), л=1, 2,,.. .
2. Вспомогательные предложения. Условия оптимальности*
Для дальнейшего изложения полезно рассмотреть задачу
минимизации
/(u)^inf, ш=£Л (5)
Эту задачу будем исследовать в предположении, что U —
выпуклое замкнутое множество из Я, функционал (функция)
J (и)—выпуклый и дифференцируемый по Фреше на Я.
Нетрудно видеть, что задачи (1) и (4) являются частными
случаями задачи (5). Обозначим через /* = inf/(w) нижнюю грань
функционала J (и) на множестве U9 через U*={u^U: /(и) =
= /*} множество точек минимума (оптимальных элементов)
задачи (5). Приведем критерий того, когда U*¥=0. С этой целью
введем строго равномерно выпуклый [87, 88]
дифференцируемый на Я функционал Q{u). Свойство строгой равномерной
выпуклости означает, что
\Q(au+ (l~a)v)^aQ(u) + (l—a)Q(v)—a(l—a)\i(\\u—v\\)f
(6)
0<а<1, и, иеЯ,
где ц,(0)=0, а при t>0 функция [i(t)>0 строго возрастает,
стремится к 0 тогда и только тогда, когда £->0. Примером
строго равномерно выпуклой и дифференцируемой функции
является 0(и)Н1и||2—Я2.
При сделанных предположениях функция Тихонова {79, 88]
2?{иу у) =J(u) +yQ(u) при всех y>0 строго равномерно
выпукла и дифференцируема по и на Я. Зафиксируем y>0 и
обозначим через и(у) ее единственную на U точку минимума
и (у)е С/, Ц (и (у), Y) = min % ("> Y)> (7)
которая характеризуется вариационным неравенством [87—90]
U'(u(y))+yQ'(u(y)), u—u(y))>0, и<==иу (8)
где /' {и), Q'(u)—производные (градиенты) функционалов
J (и) и Q(u). Единственную точку минимума на U функции
Q(u) обозначим через й:
useU, Q(M) = minQ(M). (9)
Изучим характер зависимости от ?>0 элементов и(у) и
соответствующих значений функционалов J (и (у)) и Q(u(y)).
s

Лемма 1. Отображение у->и(у) непрерывно из (0, оо) в Я,
функция J (и (у)) непрерывна и не убывает, а функция Q(u(y))
непрерывна и не возрастает на (0, оо). При -у-^оо
1И?)-61К0, (Ю.)
/ (к (Y) )->/(£), (10б)
Q(u{y))->nQ{u). (10в)
Следующие три равенства при уи Y2>Q эквивалентны:
U(yi)*=u{y2), (Па)
J(u(yi))=J(u(y2))y (Цв).
Q{u(yi))=Q(u{y2)). (Ив)
Последнее утверждение справедливо и в том случае, если одно
из у формально равно оо, а значение и(оо) доопределено по
непрерывности в соответствии с (10а): и(оо)=й.
Доказательство. Из (7) имеем
J{u(yi))+yiQ{u(yl))^J(u(y2))+yl\Q(u(y2))y (12а)
J(u(V2))+V2Q(u(y2))^J(u(yl))+y2\Q(u{yl)). (12б)
Сложив эти два неравенства, получим
(Y2—Yi) ^("(Yi))>(Y2—yi)Q(u(y2))9
Q(m(Y2)XQ(«(Yi))4Y2>T>>°- (13>
Отсюда и из (12а) вытекает монотонность функции J (и (у)):
/(и(Т2))>/(и(?1)), Y2>Yi>0. (14)
Докажем эквивалентность условий (11а) — (Ив). Пусть
J(u(yi)) =J(Ufa)). Тогда из (12а) и (13) получаем Q(u(yi)) =
= Q(w(72)). При этом само неравенство (12а) превращается в
равенство
i?("(Yi)t Yi) = i?("(Y»). Yi) = niinJ?(tt, Yi)>
из которого в силу строгой равномерной выпуклости функции
Лагранжа следует, что и(у\)=и(у2). Равенство (11а) можно
получить и исходя из (Ив), если предварительно вывести
равенство (11б) из (12б) и (14).
Получим предельные соотношения (10а) — (10в). В силу (7)
и (9)
Hu(y))+y{Q(u)^J(u(y))+yQ(u(y))^J(u)+yQ(u), y>0.
(15)
Функция Q(u) выпукла и дифференцируема, поэтому
•0(аи(т) + (1—а)й)>0(й)+(0'(й), а(и(у)—й)), 0«а<1.
9

Отсюда и из (6) получаем оценку
li(\\u(y)-u\\)^Q(u(y))—Q(u)-(Q'(u), и{у)-й\ Т>0.
(16)
Поскольку й — точка минимума функции Q(u) на множестве
£/, для нее имеет место аналогичное (8) вариационное
неравенство
<Q'(w), и—й>>0, uzeU. (17)
Продолжим оценку (16) с учетом (15) и (17):
М\\и{у)-й\\)<гЧЦй)-1(и(у)). (18)
Как следует из (14), при 7-^°° величина J {и)—J (и (у)) в
правой части (18) ограничена сверху, поэтому
и^М1Иу)-«11)<о,
и с учетом свойства модуля \х строго равномерной выпуклости
функции Q получаем (10а). Предельные соотношения (10б) и
(10в) следуют из (10а) и непрерывности функционалов /и й.
После доопределения и(оо)=й эквивалентность условий
[(11а) — (Ив) сохранится и при 72=°°. Действительно, если
исходить из равенства значений Q(u(y\)) = Q(u), то равенство
элементов u(yi)=u следует из единственности точки минимума
функции Q на множестве U. Если же совпадают значения
^(и(Т1))=^(й), то из (12а) получаем неравенство Q(w(vi))^
^Q(u), которое не может быть строгим, и поэтому
Q(w(Yi))=Q(w).
Покажем непрерывность отображения у-+и(у). Пусть у->-
*яй)-7о>0. Тогда в силу (13) и равномерной выпуклости функции
Q(u) элементы и{у) ограничены при -у-^То» и их можно считать
слабо сходящимися в Я к некоторому элементу щ. Выпуклое
замкнутое множество является слабо замкнутым, поэтому и0^
^U. Функции / и Q слабо полунепрерывны снизу,
следовательно,
3 («о> Yo) < Hm % {и (у), y) < Hm J£ (и (Yo), 4) - -#(" (Yo)> Yo).
Отсюда в силу единственности точки минимума функции 9?{и\
7о) заключаем, что и0=и(у0). Извлечем из неравенства
J(u(y))+yQ(u(y))^J(u(y0))+yQ(u(yo))
оценку
Q(u(y))<rl(Hu(yo))-J(u(y))) + Q{u(yQ))
и перейдем в обеих ее частях к пределу при у-^То» еще раз
10

воспользовавшись слабой полунепрерывностью снизу
функционалов / и Q:
Q(M(Yo)Xlim Q(«KY))<Hm Q(M(Y))<Q(a(Yo))-
Таким образом, наряду со слабой сходимостью в Я и(у)->и{у0)
имеет место сходимость значений Q(u(y))-*Q(u{y0))t а вместе
с ней и сильная сходимость элементов и {у) [88]:
II"(y)—"Ы1М>, у^7о>0. (19)
Непрерывность по y функций J (и (у)) и Q(u(y)) является
очевидным следствием (19) и их непрерывности по и. Лемма
доказана.
Следствие 1. Пусть в задаче (5) ограничения отсутствуют,
т. е. U = H. Тогда функции J {и (у)) и Q(u(y)) будут являться
строго монотонными при y>0. Лишь в случае совпадения точки
й с глобальным минимумом функционала / имеют место
равенства
и(у)=й, J(u(y))=J(u)t Q(u{y))=Q(u), y>0-
Доказательство. Предположим, что Y2>Yi>0- Как показано
в лемме 1, условия (11а) — (Ив) эквивалентны, поэтому
возьмем за исходное одно из них, например равенство элементов
w(Yi) и и(у2). Поскольку [/=Я, то необходимое и достаточное
условие (8) минимума функции &{и\ у) примет вид 9?ги{и{у),
у) = 0, и мы имеем
&'u(u(yl),yl)=J'(u(yl))+ylQ'(u(yl))=0,
(20)
&'u{u(yi), Y2)=/,("(Yi))+Y2Q/(«(yi))=0.
Отсюда, в силу того, что Y2>Yi> получаем Q'(u(y\)) = 0, т. е.
и(у\)=й, но тогда из (20) вытекает равенство /'(ы)=0,
означающее, что в точке и функционал / достигает своего
минимального значения на всем пространстве Я.
Если случай совпадения точек глобального минимума
функционалов / и Q исключить, то при Y2>Yi>0 окажутся
невозможными и равенства (11а) — (Ив), а значит, функционалы /
и Q строго монотонны.
Как известно [88], если нижняя грань /* выпуклого
непрерывного функционала / на выпуклом замкнутом множестве U
конечна и множество U* непусто, то оно обязательно выпукло и
замкнуто. Это позволяет выделить на £/* единственный элемент
«о*, доставляющий минимум функционалу Q:
Иа.ег/„ Q (и0J = min Q (и) = Q,. (21)
Этот элемент и0* назовем Q-нормальным оптимальным
решением задачи (5).
И

Хорошо известными достаточными условиями непустоты
множества U* для слабо полунепрерывного снизу функционала
/ является слабая компактность множества U [88]. Приведем
для задачи (5) критерий существования точки минимума в
терминах введенного в (7) отображения и (у) : (0, оо)-># без
предположения об ограниченности множества U.
Теорема 1. Для того чтобы в задаче (5) множество U* было
непусто, необходимо и достаточно, чтобы
supQ(a(Y)) = limQ(a(Y))<oo. (22)
При этом
Hm!|a(Y)-tteJI=Of (23.)
lim/(«(Y)) = /., (23e)
limQ(«i(v)) = Q.. (23.)
V-й)
Доказательство. Необходимость. Пусть и*Ф0 и wQ*e(/*—
—iQ-нормальное решение задачи (5). Тогда из (7) и
неравенства [79, 88] /(kq*)</(#(?)), y>0» следует оценка Q{u(y))^
^5Q(^o*) ==Q*, у>Ъ, которая с учетом монотонности функции
Q(u(y)) дает (22). Функция Q строго равномерно выпукла,
поэтому ограниченность значений £1(и(у)) влечет за собой
ограниченность элементов и{у), y>0- Используя свойство слабой
полунепрерывности снизу функционалов / и Q, нетрудно
проверить, что любая слабая предельная точка семейства {и(у)} при
Y—*0 совпадает с Q-нормальным решением ы0* и выполняются
предельные соотношения (23б), (23в). Из слабой сходимости
h(y)-*Mq* и (23в) следует (23а).
Достаточность. Пусть выполняется условие (22). Тогда
элементы и(у) равномерно ограничены по y>0 и Для любой
слабой предельной точки и0 семейства {^(y)} при y~^0
/ (и0) < lim J (и (у)) = lim_ j? (и (Y), y) <
^lim {J (и)+ yQ (11))== J (и), u<=U,
т. е. множество и*Ф0 и Uq^U*. Как и при доказательстве
необходимости, отсюда получаются предельные соотношения
(23а) — (23в). Теорема доказана.
Рассмотрим выпуклую задачу минимизации
/(tt)-vinf, ueEU={ue^V:Q(u)^0} (24)
на непустом множестве U с явно выделенным ограничением
типа неравенства, заданным с помощью строго равномерно
выпуклой функции й. Множество V предполагается выпуклым и
12

замкнутым, поэтому множество U выпукло, замкнуто и
ограничено, что обеспечивает конечность нижней грани /* и непустоту
множества U* точек минимума задачи (24). Лемма 1 и
теорема 1 позволяют получить для задачи (24) критерий
оптимальности, представляющий собой уточнение теоремы Куна—Так-
кера, и выразить оптимальное значение множителя Лагранжа
через элементы и{у), определяемые из условий,
аналогичных (7):
и (у) €sV,2(u (у), y) = min X (и, у), у > 0. (25)
uev
Теорема 2. Для оптимальности элемента и* в задаче (24)
необходимо и достаточно, чтобы существовало y*>0 такое, что
JK(K.fYJ = minJ№Y.). (26)
yjQ{u.)=0, £2(u.)<0. (27)
Множитель Лагранжа v*>0 определяется из условий
[0, limQ(u(Y))<0,
Y =1 v"° (28)
Ь Ye, HmQ(«(Y))>0,
где Yo>0 — корень уравнения £l(u(y)) = 0.
Доказательство. Достаточность. Из (26), (27) и
неотрицательности y* с учетом неравенства Q(w)<J0 имеем
J(u*)=2'(u*, Y*)^P(«» y*)^J(u), uzeU,
т. е. м*е£/*.
Необходимость. Пусть u*^U* — решение задачи (24).
Определим y*>0 согласно (28). При y* = 0 условие уМ(и*)=6 в
(27) выполняется тривиально, а при у*>0 с учетом того, что
Q(w(y*))=0 и Q(w*)^0, оно следует из включения u(y*)^U и
неравенств
J(u(y*))=2>(u(y*), y*) <24«*. т.)</(и(т*))+Т*0("*).
исключающих возможность комбинации y*>0> Q(^*)<0.
Проверим условие (26). По лемме 1 функция £1(и(у)) при
Y>0 непрерывна, не возрастает и
lim Q (и (у)) = min Q (и) < 0.
Поэтому в случае lim Q(w(y))>0 корень yo уравнения
Q(^(y))=0 существует и обязательно положительный: yo>0-
Тогда y*=Yo>0, iQ(w(y*))=0, u(y*)^U, и поэтому с учетом
(25) лолучим
i?(и*. 7*)=^(и*)+у*Й("Ы)^("Ы» V*X&{u> Y*), «eV.

Если же выполняется условие HmQ(w(Y))^0, то y* — ^ и п<>
v-»o
теореме 1 имеем
Нт||а(у)—tta.|| = 0, lim/(tt(Y)W(ita.)> НтО(и(у)) = 0(^),(29)-
V->0 у-*0 7-+-0
где иа*— Q — нормальное решение задачи
/(*/)->inf, иеК, (30);
причем, как видно из (29), uQ*e[/. Но тогда uQ*et/* и
справедливы соотношения
5Чы*, y* = 0) = /(и.) =/(1>о.)</(и) = 2>(ы, y* = 0), «eV.
Теорема доказана.
Когда множество V* оптимальных решений задачи (30)
непусто, отображение и (у) естественным образом в соответствии
с (23а) доопределяется в точке y=0 следующим образом:
w(0)=uQ*. Тогда на основании теоремы 2 нижнюю грань
функционала / можно выразить через оптимальное решение y* и
выяснить в зависимости от y* структуру множества С/*
оптимальных решений задачи (24), которое, как отмечалось выше,
всегда непусто. Действительно, непосредственно из (26) — (28)
получаем
/. = /(иЫ). (31)
* \V.{\U = {u.eV.:Q(u,)^0}9 Y. = 0.
Заметим, что в случае, когда V* = 0, значение y* обязательно*
положительно и множество £/* состоит из единственного
элемента w(y*).
3. Квадратичный функционал. Изучение свойств исходной
задачи (I) продолжим на уровне постановки вида (4) задачи:
минимизации квадратичного функционала. По сравнению с (4)
рассмотрим несколько более общий случай, заменив
конкретное пространство /2 на абстрактное гильбертово
пространство F:
J(u) = \\Au-f\\2F-+ml u^U, (33)
где множество U предполагается выпуклым и замкнутым,
оператор A-.H-+F — линейным и непрерывным, /&F— некоторый
заданный элемент [79—84, 91—104].
Воспользуемся следующими общепринятыми
обозначениями: ||Л|| = sup ||i4u||F— норма оператора A\H->F\ R{A) —
IMKi
область значений или образ оператора Л, N(A)—ядро
оператора Л; А* : F-+H — оператор, сопряженный к оператору Л;
Ж — замыкание множества М по норме пространства Я; Lx —
ортогональное дополнение к подпространству L; / — единичный:
оператор.
14

Покажем, что задачу (33) можно записать в виде (1). Для
этого в F возьмем ортонормированный базис еи... ,ehi... .
Пользуясь равенством Парсеваля [105], имеем
оо оо
J{u) = \\Au-f\\j, = Y, <^"-А^)2 = Е \{u,A*ek)-(f,ek)\:
Тем самым задача (33) записана в виде (1), где <рл=Л*ел,
/* = </, ек)г, k=l, 2,... .
Прямым следствием квадратичности функционала является
Лемма 2. Функционал J(u) = \\Au—/||2f непрерывно
дифференцируем на всем пространстве Я, его градиент
J'(u)=2A*(Au-f) (34)
и удовлетворяет условию Липшица
\\J'(u)-I'(v)\\^nA\\*\\u-v\l и, v<=H. (35)
Справедливо тождество
J(u)=J(v) + {J'(v), u—v)+\\A{u—v)\\\ и, v<=H. (36)
Следствие 2. Пусть множество U* оптимальных решений
задачи (33) непусто, u*^U* — произвольный оптимальный
элемент, /* = /(ы*)—нижняя грань функционала невязки на
множестве U. Тогда для произвольного u^U справедлива оценка
\\A(u-u*)PF^J(u)-J*. . (37)
Оценка (37) вытекает непосредственно из равенства (36) и
формулировки критерия оптимальности элемента и*:
</'(м.). и—«•>>0, и€=1/. (38)
Если множество £/« оптимальных решений задачи (33)
непусто, в нем существует единственный элемент ы* с
минимальной нормой:
«,el/„ ||aJ| = min|N|. (39)
Назовем такой элемент нормальным оптимальным решением
задачи (33).
Замечание 1. Элемент множества U* называют также
квазирешением, а нормальный оптимальный элемент м* —
псевдорешением операторного уравнения Au = f на множестве U [84].
Минимум в задаче (33) заведомо достигается в случае
ограниченного множества О. Если же множество U неограниченно,
существование оптимального элемента может зависеть от
свойств оператора Л, множества £/, а также от конкретного#це-
15

левого элемента /ef. Разложим гильбертово пространство Я к
F в ортогональные суммы [86]:
H=-RiA^)®N(A), F=T(A)@N(A*)y (40>
и обозначим через Р и Q операторы ортогонального проекта-
рования соответственно на подпространства R(A*) и R(A):
P.H^RW), Q:F-,RjA). (41)
Если в задаче (33) ограничения отсутствуют, т. е. U=JHf> то,
как видно из представления J(u)=\\Au—Qf\\2+\\Qf—/||2,
множество £/* = 0 тогда и только тогда, когда Qf^R(A)y причем
U* = {u<=H:Au=Qf}. (42)
Требование Qf^R(A) автоматически выполняется при любом
f&F для класса задач типа (33) с так называемым нормальна
разрешимым оператором А. Напомним, что оператор А : H->F
называется нормально разрешимым, если область его значений
замкнута в пространстве F:R(A)=R(A).
В случае произвольного выпуклого, замкнутого, но
неограниченного множества U достаточным условием для U*^=0 в
задаче (33) является замкнутость множества AU={v=Au^F :
:u^U} значений оператора А на множестве U. Данное условие
является естественным обобщением условия нормальной
разрешимости оператора А на случай, когда имеются ограничения.
Другое приведено ниже в теореме 7.
Остановимся несколько подробнее на рассмотрении хотя к
специального, но достаточно распространенного в приложениях
случая, когда множество
U=UR = {ueH:\\u\\^R). (43)
Обозначим через UR* множество оптимальных решений задачи
(33), (43), а через uR*— ее нормальное оптимальное решение.
Считаем, что R>0. Случай # = оо, когда £/=Я, здесь не
исключается. Нормальная разрешимость оператора А не
предполагается. Выясним структуру множества UR* оптимальных
решений задачи (33), (43).
Теорема 3. В случае £/<»* = 0 для всех 0</?<оо, а в случае
Uoo*¥=0 при R<\\Uoo*\\ множество UR* состоит из единственной
точки
£/** = {"**}> Ил.€=/?(Л*), ||ил#|| = Д. (44)
В случае 11оо*ф0 и /?>||Иоо*|| множество URit имеет вид
£/й*=(Иоо*е#(Л))П£/*, 0<#<оо, (45)
причем в R(A*) других оптимальных решений, кроме и«>*, нет.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай jR = oo, когда
в (33) £/=Я и и<зо*:Ф0. Покажем, что ы<х>*е/?(Л*). Согласна
16

(40) существуют единственные щ^#(А*), u2^N(A) такие, что*
Uoo* = ui + u2. Так как Auoo*=Aui = Qfy то в силу (42) Ui^Uoo*.
Тогда ||Woo*ll2=ll"ill2+Hw2ll2>ll«ill2>ll"oc*ll2 согласно
определению нормального решения задачи (33) при £/=#, поэтому ы2=
= 0. Это значит, что Uoo* = Ui^R(A*). Далее, возьмем
произвольный элемент а0е£/«>*, который наряду с Uoo* принадлежит
R(A*). Тогда Uoo*—u0<=R{A*). С другой стороны, А{им—*
Wo) =Q^—Q/=0, т. е. Woo*—Uo<=N(Л).. Согласно (40) это
возможно лишь при Uoo*—и0=0. Таким образом, R{A*)(]Uoo* =
=;{uoo*}. Отсюда и из (40), (42) следует, что
U^^iueEH :Au = Qf}={Uoo*}®N(A). (46)
Равенство (45) при R = oo установлено.
Пусть теперь 0<R<oo. Запишем задачу (33), (43) в форме
(24), приняв У=Я, Q(u) = \\u\\2—R2. Функционалы / и Q
дифференцируемы: Q'(u)=2u, по лемме 2 градиент J'(u) =
= 2А*(Аи—f), a V=H, поэтому из теоремы 2 для задачи (33),.
(43) можно извлечь следующий критерий оптимальности.
Элемент и* является оптимальным решением задачи (33),.
(43) тогда и только тогда, когда при некотором y*>0
выполняются условия
A*Au* + y*u*=A*f, (47)
Т*(1Ы1-#)=0, ||и.||<Я, (48)
причем y* = 0 при ||ttoo*IK/?, а в случае £/оо* = 0 либо £/<х>*=^=0г
\\Uoo*\\>R значение y*>0- Отсюда видно, что утверждения (44)
теоремы сформулированы при условиях, обеспечивающих
положительность значения у*у но тогда соответствующее решение
u* = uR* операторного уравнения (47) существует, единственно и
принадлежит R(A*)9 а из (48) следует равенство \\uR*\\ = R.
Утверждение (45) следует из (32) и (46) с учетом того, что>
7* = 0. Теорема доказана.
Замечание 2. В том случае, когда Иоо*ф0 и ||Ысо*||=#,
множество оптимальных управлений UR* так же, как в (44),
вырождается в точку uR*t которая в отличие от (44), вообще
говоря, принадлежит не самому множеству R{A*), а лишь его
замыканию: uR* = Uoo*^R(A*).
Исследуем вопрос корректности постановки задачи (33),.
(43) по А. Н. Тихонову.
Определение 1 [79, 88]. Задача минимизации функционала
J (и) на множестве U гильбертова пространства Н называется:
корректно поставленной по А. Н. Тихонову, если
Л-inf У(И)>—оо, U9 = {ut=U:J(u) = J9}=£0
17

-и любая минимизирующая последовательность uk^U, £ = 1, j
2,..., lim J(uk) = J^ сходится к множеству U* по норме про- I
странства Я, т. е. Ц
p(ukf Um)= inf \\ик—иф\\-+0, k-+oo. I
и*еи* "1
л
Если нарушено хотя бы одно из условий данного определения, щ
задачу называют некорректной. Я
В случае, когда множество U допустимых элементов яв- j
ляется шаром, удается провести достаточно полное исследова- \щ
ние постановки задачи (33) на корректность. .щ
Теорема 4. В случае £/«>* = 0 при любом конечном /?>0, а 1
когда Uоо*Ф0, то при всех Ж Им*,* II задача (33), (43) кор- 1
ректно поставлена по А. Н. Тихонову. ,1
Доказательство. По условию R>0 конечно, поэтому множе- 1
ство U=UR ограничено, нижняя грань /#* функционала конеч- 1
на, достигается, а множество URic оптимальных решений по 1
теореме 3 состоит из единственной точки Ыя*е#(Л*), ||мя*||=/?. I
Возьмем произвольную минимизирующую последовательность: %
uk^URy k~ 1, 2, ... , Umjfafrj — JR*. Из слабой компактно- 1
сти UR и слабой полунепрерывности снизу функционала / еле- I
дует слабая сходимость {"J^Lj к uR* в пространстве Н. Отсюда 1
и из включений Uk^UR получаем сильную сходимость к тому 1
же пределу: |
lim \\uk—uR.\\*=\im (IM2-2<Mfc> м*.>+ ||и*.||а)< 1
</?2—2R2 + R2 = 0. 1
Теорема доказана. I
Теорема 5. Задача (33), (43) с нормально разрешимым |
оператором Л корректно поставлена по А. Н. Тихонову для всех I
0</?<оо. I
Доказательство. Как отмечалось выше, в задаче (33), (43) 1
с нормально разрешимым оператором минимум достигается и Я
при R = oo. Предыдущая теорема была доказана для произволь- -1
ного линейного непрерывного оператора A:H-*Fy поэтому ]
здесь мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда ч
\\Uoo*\\<R и множество -UR* оптимальных элементов имеет вид \
(45). Нормально разрешимый оператор Л, если его рассматри- 1
вать не на всем пространстве Я, а на /?(Л*), является взаимно |
однозначным отображением из /?(Л*) на R(A)=R(A)y и по 1
теореме Банаха об обратном операторе [105] обратный к нему I
оператор А~\ действующий из R(A) на /?(Л*), также непреры- 1
вен. Это позволяет продолжить оценку (37) из следствия 2: |
18

\\Pu-ur.\\h = IIP («-«ОНя < 1И II 1И («-«Oil <
<||Л"",||У/(и)—«^л*. "ef;*> u*EzUR<. (49>
Здесь, как и в (41), Р - ортопроектор из Я на #(Л*), a ы**=
= и *^R{A*)—нормальное оптимальное решение, которое с
учетом (45) является ортогональной проекцией на R(A*)
любого другого оптимального элемента: uR* = Pu*, и*<=£/л*. Пусть
//_ k= 1, 2, ... , lim J(uk) = JR*, —произвольная ми-
/г->оо
нимизирующая последовательность. Представим элементы uk к
u*^UR* в виде ортогональных разложений:
uk = Puh+{I—P)uk, ы* = Ры* + (/—P)w*
и оценим расстояние
р1 (и*, */*.)= min \\uk-uJ\% = \\P(uk-u.)\\% +
+ min ||(/-Р)(и1к-и.)||2я<|И-,||»(У(ык)-/я.) +
+ ||(/-Р) (**-(«*. + % (/-Р) ик))||*,. (50)
Первое слагаемое в правой части (50) стремится к нулю, так
как последовательность {щ}^\ минимизирующая.
Минимальное значение второго слагаемого мы заменили значениями на
элементах u* = u*k = uR* + ah(I—?P)uu9 подобрав множители 0<
<аь<1 так, чтобы ||м**1К#. Точнее, если ||wH*||2+|| (/—Р)и&||2<
^R29 то полагаем а*=1, а если ||«д*||2+|| (/—P)uk\\2>R2y
определяем а^(0, 1) из условия ||ыя*||2 + аь2)| (/—P)uh\\2 = R2. Из;
(49) следует
\\Puk-uR*\\2H=\\P(uh—и.)Н2н->0, ft-^oo.
В то же время
11а*112н=11Р«*112н+И(/-Р)иЛ112н<Л2.
поэтому из определения коэффициентов ak видно, что аь-И прнг
Л->-оо. Теперь с учетом того, что (/—P)uR* = 0 и (/—Р)2= (/—
—Р), второе слагаемое в правой части (50) можно оценить
сверху величиной (1—аь)2||(/—2?)иа||2я, стремящейся к нулю
при &->оо. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть область значений оператора А
незамкнута, т. е. R(A)=£R(A), а множество £/«>* непусто. Тогда задача
минимизации (33), (43) при всех R>\\u00*\\ некорректно
поставлена по А. Н. Тихонову.
Доказательство. Поскольку непустота множества £/«>*
предполагается, достаточно указать некоторую минимизирующую
последовательность {м*}^, не сходящуюся по норме про-
19*

ж
странства Я к множеству оптимальных решений UR*. Незамк- Щ
нутость множества R{A) означает, что оператор A"1 :R{A)-*lm
~*R(A*)y обратный к оператору А : R(A*)-+R(A), не является Я
непрерывным. Но тогда в подпространстве R(A*) найдется по- щ
следовательность элементов {^}ь=ь лежащих на единичной НИ
сфере: ||рл11н=1, *=1, 2,.. , и таких, что ЦЛр^Ц^-^О при £->оо. Щ
По условию \\iioo*\\<R> поэтому найдется такое достаточно ма- щ
лое 8о>0, что для всех &=1, 2,... элементы uh = u<x>* + eopk при- Я
надлежат допустимому множеству UR. Последовательность щ
iuk)kLi минимизирующая: щ
J (uk) = \\Auk-f\\% = \\(Au^-f) + B9APk\\*Fl^r+ I
-+\\Au00.—f\\2P = Jo0* = JR.. I
С учетом (45) щ
P2(uk,UR.)= min \\uk—uJ\ji==\\(u00,^e0pk)—Uoo.\\2H+ 1
+ min ||(/_P) Mj|^ . eg !|рл||» = e» > 09 1
U**UR* I
т. е. {^}^=1 не сходится к множеству UR*. Теорема доказана. I
Приведем еще одно достаточное условие непустоты множе- I
ства оптимальных решений задачи (33). 1
Теорема 7. Пусть в задаче (33) оператор А нормально раз- 1
решим, а проекция PU = {p = Pu\u^U} множества U (не обяза- 1
тельно выпуклого, замкнутого и ограниченного) на подпро- I
странство R (А*) замкнута. Тогда множество U* оптимальных 1
элементов непусто для любого f^F. I
Доказательство. Как отмечалось выше, для непустоты £/* 1
достаточно замкнутости множества AU={v = Au\u^U}. Мы же ]
по условию имеем замкнутость множества PU, которое являет- 1
ся прообразом множества AU при линейном непрерывном отоб- I
ражении А: R(A*)r-+R(A). Но тогда и множество AU в свою |
очередь является прообразом замкнутого множества PU при 1
линейном и непрерывном в силу нормальной разрешимости one- 1
тора А отображении A~l: R(A)-+R(A*), и поэтому само замк- j
нуто. Теорема доказана. 1
Следующее утверждение определяет класс множеств U, для |
которых проекция PU замкнута. J
Следствие 3. Пусть оператор А нормально разрешим, мно- |
жество U слабо замкнуто и проекция P\U множества U на ор- I
тогональное дополнение к подпространству R(A *) ограничена. I
Тогда проекция PU слабо замкнута и множество 11*Ф0 для |
любого f^F. 1
Доказательство. Покажем, что PU слабо замкнуто. Пусть 1
Pun-+Vie=R(A*), п-+оо, un = u0n + uln^Ut mP^PxU, uxn = rPun. 1
•20 I

В силу ограниченности PXU существует ^^(Л*)1 и
подпоследовательность 4*с:{ип}Г, k=l, 2, ... , такая, что u2*-^0, k-+
-><х>, слабо в Я. Тогда unk=:UQb + u4k-+v0 + vv fc-^oo, слабо.
В силу слабой замкнутости U элемент vq+v\^U. Следователь-
н0> Vi==p(Vo+Vl)(=PU и по теореме 7 £/*#0.
Отметим, что при выполнении условий этой теоремы всякая
минимизирующая последовательность является слабо
сходящейся к множеству [/*. Так как если ип^Ц, п=1, 2,...,
= 1, 2,..., то u0n, я=1, 2,..., ограничена, а из (37) следует
ограниченность щп, п=1, 2,... . Тогда существует v = u0 + u1
такая, что и& + ur{b-+u0 + u1&U, k ->• оо, слабо в Я. В силу
слабой полунепрерывности функционала J (и) элемент v^U*.
Условие теоремы 7 о замкнутости проекции PU заведомо
выполняется, если множество U замкнуто и PUczU, или, что
то же самое, PU=U(]R(A*). К таким множествам относится
все пространство Я, а также шары U=UR любого радиуса R
с центром в нуле. Укажем еще один важный класс множеств, у
которых проекции на замкнутые подпространства также
замкнуты.
Теорема 8. Пусть LczH — замкнутое подпространство, Р:
:H-+L — оператор ортогонального проектирования из Я на L,
а множество UczH непусто и имеет вид
1Г={иеН\{сь и)<Р«, t=lf m}, (51J
где ci^H — заданные элементы из Я, а р* ■— заданные числа.
Тогда проекция PJJ множества U на подпространство L
замкнута.
Доказательство. Пусть Rm—m-мерное евклидово
пространство, элементами которого являются векторы-столбцй х={х\9...
...Ухт)т. Под записью х*>у для элементов х, y^Rm понимаем
покоординатное выполнение данного неравенства. Определим
оператор С: H-+Rm по правилу Си= ((сь ц), ...,(ст, и))т,
введем обозначение {$= (рь..., рт)Т и запишем множество U из
(51) в виде
U={ugeH\Cu^$.
Возьмем произвольную последовательность элементов pk^PU,
сходящуюся при &-^оо в пространстве Я к некоторому
элементу Ро, и убедимся в том, что p0^PU.
Представим проекцию множества U на подпространство L
в виде
P£/={p€=L| (р®Ц-)с\иф0). (52)
Отсюда видно, что каждому из pu^PU соответствует
некоторый элемент qk^L1- такой, что uk = pk + qk^U, k=l, 2,... .
Попробуем подобрать элементы q^L1- таким образом, чтобы по-
21

следовательность {qk)Z=\ была ограниченной. Возможность» 1
выбора для qk ограничивается множеством
Qk = {q^L^-1 Cq^-Cpk=«*}.
Пусть С — сужение оператора С на подпространство L\
У оператора С область значений R(C)czRm конечномерна,
поэтому он сам и операторы С: ZA->7?m, C*:Rm-^L±t нормально
разрешимы, а множества R(C), R{C)y R(C*) замкнуты.
Множество Qk непусто, значит в силу представления £Х = /?(С*)Ф
®N(C) непусто и множество
Qh = {q<=L±r)R(C*) \Cq = Cq^8ky
Если теперь область определения оператора С в свою очередь
сузить до L^flR(<?*), то у него существует обратный
непрерывный оператор C~l :R(C)-^-L^R(С*), а множество Qh является
образом множества
Vk = {veER™\veER{C)t v^6k}
при этом непрерывном отображении С~К Согласно [120, с. 156>-
теорема 1] существуют последовательности Vk^Vkt qk^C^v^^
^//-П#(С*), которые ограничены соответственно в Ет и в Я,
причем
11^||£«<||в1к||< const.
Итак, мы имеем последовательность uh=pk + qk^Uy причем
Pk^Lt \\рь— Ро11н-^0, ^eL1, H?AllH<const. В силу
ограниченности последовательность {Qk}kL\ можно считать слабо
сходящейся к некоторому элементу q0. Тогда последовательность
{ц*}£=1 слабо сходится к u0=po+qo- Подпространство L1- и
выпуклое замкнутое множество U слабо замкнуты,
следовательно, #0^£Л щ^и и в силу (52) p0^PU. Теорема доказана.
Теорема 9. Пусть оператор А: H-+F нормально разрешим.
Тогда в задаче (33), (51) £/*=£0.
Доказательство. Согласно теореме 8 проекция PU
множества (51) на пространство £=/?(Л*)=7?(Л*) замкнута. Отсюда и
из теоремы 7 следует, что U*=£0.
§ 2. ЗАДАЧА БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ
1. О нахождении нижней грани функционала. Рассмотрим
задачу (1.1) в случае, когда множество U совпадает со всем
пространством Я:
/(n)-f \(u,<f>k)-fk\*->ini,u^H. (1),
Условия (1.2) и (1.3) предполагаются выполненными.
Напомним следующее
22

Определение 1 [106—108]. Система Ф = {ф/г}^=1 элементов
гильбертова пространства Н называется минимальной, если
для каждого номера fe=l, 2,... yk^Hk, где Нк = \т(Ф\щ) —
замыкание линейной оболочки остальных элементов системы.
Свойство минимальности системы Ф = {ф^}^=1
эквивалентно наличию биортогональной к ней системы Ф* = {ф^со==1сЯ:
/as с*\ я ( 1 при £ = т,
1 0 при кфт,
0 при кфт,
причем в подпространстве £ = НпФ биортогональная система
Ф* определяется единственным образом.
От самой системы {^ = {4,k}kL\ из проблемы моментов (1)
мы не требуем минимальности, однако считаем известной одну
из ее минимальных подсистем Фх = {ф/г}^°€/ ^ I\czl = {k=l9
2,...}, эквивалентную системе Ф в смысле совпадения
натянутых на них подпространств:
Li = linOi = linO=L. (2)
Тогда остальные элементы системы Ф могут быть
представлены в виде пределов сходящихся в Н линейных комбинаций
элементов из Фь
<р, - lim V о4/}Ф/, k €= /0 = /\/г (3)
Мы будем предполагать, что условия (3) выполняются в
усиленном варианте:
Ф* = Х а*''ф/' Е а*'' < °°> * е 7о- (4)
/e/i /€/i
Коэффициенты akj определяются с помощью элементов
биортогональной к Ф1 системы Ф* = {щ}ке11-
с^ = (фь, Ф5*>, fce/о, /е/ь (5)
Для каждого фиксированного /e/i из (1.2) и (5) следует
сходимость ряда
£4<°о, /е/г (6)
fe€/o
Как и в предыдущем параграфе, введем связанный с задачей
(1) линейный ограниченный оператор Л: #-^/2, Аи={(и,
Чкпь^у Сопряженный к нему оператор А* : 12-+Н действует по
правилу
{ME.i6/t-£ Р*Ф*е=Я. (7)
23

Отсюда видно, что L = lmQ) = R(A*). Представим функционал Г
в виде
J(u) = \\Au-Qf\\l + \\(I-Q)f\\l
где Q — оператор проектирования из 12 на R(A), a f = {ft}kLv
Ясно, что нижняя грань функционала 1(и) = \\Au—Qf\\ft на
_всем пространстве Н равна нулю. Поэтому нижняя грань функ- Щ
ционала /
J.*=inlJ(u) = \\{I-Q)f\\*
иен 2
Введем элемент -ф = — (/—Q)f, который в случае Uoo*=£0
равен вектору невязки
Дадим его конструктивное описание. Оператор I—Q
осуществляет ортогональное проектирование из /2 на ядро N(A*) =
= (R(A))x, следовательно, ^=={%}£L, e=N(A*) и в силу (7)
i4*t = J 11)^ = 0. (8)
Последовательно умножая (8) скалярно на элементы <р/* биор-
тогональной к G>i системы Ф* = {ф/Wi > с учетом (4)
получим
*/+Е «*/** = 0, /е/г (9)
Учитывая равенство Qf=/—(/—Q)f=f+fy9 представим
функционал / в виде J(u) = \\Au—(/ + ^)||?t и возьмем
некоторую минимизирующую последовательность
ийбЯ,л = 1,2 такую, что ||Лия—(/ + t|>)||?f->0.
Умножим равенство из (4) скалярно на ип:
<Фл» "«) = У4 aki (Ф/> ">п)> ke= /0,
/e'/i
и перейдем к пределу при л->оо:
/ik + Ф* = J «л/ (// + */). * е /0. (10>
/€/i
Итак, г|з является решением бесконечной системы линейных
алгебраических уравнений (9), (10).
Обратно, всякое решение if>^/2 системы (9), (10) совпадает
с ортогональной проекцией элемента —f на N(A*) :>[?==—(/—
24

Q)f9 если оно единственно в /2. Для этого в дальнейшем
всегда будем предполагать, что система (9), (10) при fs=0 имеет
только нулевое решение. Это предположение выполняется, если
дополнительно к (4) коэффициенты a^j, &е/0, /е/!э
удовлетворяют условию
fe€/0 /€Л
Примером, когда (11) не выполняется, а единственность есть,
служит задача, рассматриваемая в § 2.2.
Получим оценку нижней грани функционала (1) через
коэффициенты а*,-, /е/ь &^/о, предполагая, что выполнено
условие (11). Умножим (9) на -ф,,. (10) на г|^ и сложим полученные
равенства, предварительно просуммировав их по j^I\ и &е/0:
Е uvi* + Е (Е «w**)*/* 2 |^|2~
- £ (I ««♦/) **=E (E ««&-/*) **• (i2)
fc€/o /€/i feG/a /€/i
Условие (11) и включение -фе/2 обеспечивают абсолютную
сходимость ряда
поэтому второе и четвертое слагаемые в левой части (12)
взаимно сокращаются. Оценивая правую часть (12) сверху
величиной
hi1.
получим
'~.нж|?.= S (E a*///-/*)**< EIE «kifi-fk\\ (i3)
fr€/. /€Л ^6/e /€/i
откуда следует непрерывная зависимость от f решения »ф
системы (9), (10).
Другая, более простая оценка для <ф через f очевидна в
силу того, что ip является проекцией элемента —f:
J~ = \\Wia<\\f\\l " (14)
Если /оо* = 0, то 1^=0, fc=l, 2,..., и из (10) получаем условия
согласования для элементов последовательности {fk)kLi '•
/*=£««//. *в/в- (15)
25

Обратно, если выполняются условия согласования (15), то ра~\
венство /оо* = 0 следует из единственности решения системы (9)/
(10). Таким образом, доказана следующая |
Теорема 1. Пусть система Ф = {ф^}^=1 удовлетворяет уело--|
виям (1.2), (4). Тогда в задаче (1) для любой
последовательности {/J~=1 eE /2
где г|)е/2 — единственное решение (9), (10). Для того чтобы
/оо*=0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия. |
согласования (15). Если дополнительно выполнено (11), та
справедливо неравенство (13).
Замечание. Если сама система Ф = {Фй}^!=1 минимальна, то
J <х>* ==: vJ.
Следствие 1. Пусть выполнены условия (1.2), (4). Тогда,
для того чтобы R(A)=l2i или, другими словами, для плотной.
разрешимости классической проблемы моментов в 12
<ы, q>k)=fh, £=1,2,..., ы<=#,
оо
необходимо и достаточно, чтобы равенство V РйФй = 0, {pfe, k =
k=\
= 1, 2, ...} е /2, могло выполняться только при Рь = 0, & = 1„. |
2,....
Доказательство. В силу представления
l2=R(A)@N(A*)
равенства R(A)~t2 и N(A*)=0 равносильны. По определению*
(7) сопряженного оператора А* его ядро N(A*) состоит из тех
элементов $ = {$k}kL\^ ^> для которых \
*-i ]
поэтому условие N(A*)=0 означает, что равенство (17) воз- i
можно только при р^ = 0, £=1,2,.... \
2. Существование оптимальных элементов и их
представление. В п. 3 предыдущего параграфа для квадратичного
функционала, записанного в операторном виде (1.33), приведены
некоторые условия, при которых нижняя грань достигается, дано<
описание множества оптимальных элементов. Уточним эти
результаты для обобщенной проблемы моментов (1), учитывая:
специфику соответствующего оператора А:Н-*12, Аи = {\и^
•Ф*)}£=1> и дополнительную информацию о системе Ф = {ф^}|1г
содержащуюся в условиях (1.2), (4), (11).
26

Так, условие Qf^R(A), необходимое и достаточное для
достижимости нижней грани /оо* функционала / на всем
пространстве Я, с учетом введенного в п. 1 обозначения я|) = — (/—
Q)f может быть представлено в виде f+ty^R(A) или в
покоординатной записи
<и, Ф*>=/*+Ч>*. *=1, 2, ..., (18)
тде ty~{tyk}kL\^h—решение системы (9), (10), которое
находится независимо от и. Из (4) и (10) видно, что множество
U^* точек минимума задачи (1) непусто тогда и только тогда,
когда существует решение классической проблемы моментов
(U, <pk)=fk+tyk, k£Elu (19)
в котором присутствуют только элементы ф& из подсистемы Фх.
Введем обозначения
/f = {fte/1|ft<JV}, Ф? = Ыьв „, L" = linO>f.
«fe/t
Рассмотрим соответствующую задаче (19) усеченную проблему
моментов: найти uN из условий
и"€=1Л <и", cpfe> = ffe+a|)fe, Й€=/,". (20)
Так как система <Di минимальна, любая ее конечная
подсистема, в частности Ф^, линейно независима. Поэтому при каждом
фиксированном N решение uN усеченной прроблемы моментов
(20) обязательно существует и; единственно. Поведение uN при
N-+oq зависит от того, разрешима или нет проблема моментов
(19). Если у задачи (19) есть решение, то Uoo*¥=0 и по
теореме 1.3 (см. (1.46))
£/ос* = Ыоо*е/Л Uoo*<=L = lm<bi = R{A*), 1Л=ЛГ(А).
Поэтому ее решением является и нормальный оптимальный
элемент и,оо*\
(Woo*, (ph) = fk+^k, Ae/i. (21)
Из (20) и (21) получаем
(г/со*—uN, фь) = 0, k<=IiN,
т. е. uN — ортогональная проекция элемента Uoo*^L на
конечномерное подпространство LN. Отсюда и из предельной
плотности в L подпространств LN следуют ограниченность uN:
II^IKHiicoJL (22)
и их сходимость к и»*:
lim \\uN—Woo*||=0. (23)
27

Если известно, что последовательность {wN}~el решений:
усеченных задач (20) ограничена, то любая ее слабая
предельная точка и0 — решение задачи (19), т. е. и<х>*ф0.
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 2. Пусть в задаче (1) система Ф = {ф/г}^=!
удовлетворяет условиям (1.2), (4). Тогда минимум в задаче (1) при
заданном / = {fk)Z=\ e h достигается в том и только в том
случае, когда решения uN усеченных задач (20) ограничены я
совокупности:
sup ||u"||<oo. (24>
Условие (24) в свою очередь равносильно каждому из условий
(22), (23).
Вопросы разрешимости проблемы моментов (19) можно
исследовать с помощью вспомогательной задачи минимизации
(см., например, [13, 62, 28]):
*i(е) = ||£ ^q>fe|2->inf, ceCxczll (25>
где l2l — гильбертово пространство, аналогичное 12 и состоящее
из числовых последовательностей вида c = {c£keil, а
множество
гиперплоскость в kl. Рассматривается нетривиальный
случай, когда fl+tyl¥*0. Через fl и -ф1 обозначим подпоследова-
тельности {/febe/i и Wkbe/i соответственно. Изучим
возможность явного представления нормального решения */,«>*
проблемы моментов (19) через решения задачи (25) в
предположении, что в дополнение к условиям (1.2), (4) система Ф1 = {флг}л€/Г.
является базисом Рисса в L = lin<Di = linO.
Определение 2 [107, 109]. Система {*h}Z=i элементов
гильбертова пространства Н называется базисом этого
пространства, если каждый элемент х^Н можно представить
единственным образом в виде сильно сходящегося ряда
х =
£ ад*-
Определение 3 [107, 109]. Система Ф = {ф^}^=:1
называется базисом Рисса гильбертова пространства Я, если
НпФ=# и существуют постоянные vi, V2>0 такие, что для
любого натурального N и любых чисел хи •.. , xN
vxf 1^12<|Е **9*r<v, J \xk\\ (26>
k=\ /2=1 k*=\
28
.**

Теорема 3. Пусть выполнены условия (1.2), (4), система
ф ={9^^ образует в подпространстве L = lin<X>i базис
Рисса и 1\ + ^1ф0. Тогда у задачи (25) существует
единственное решение с^ = {c**}*e/t,
с.еСр a1(cj = °i*=mino1(c)>0,
а в задаче (1) f/«>* непусто, и ее нормальное решение и«>*
представимо в виде ряда
сходящегося по норме пространства Я, и
||ttoo.|| = l/ai.. (28)
Доказательство. Система Ф1 является базисом Рисса в L,.
ПОЭТОМУ ДЛЯ ЛЮбЫХ C = {Cfc}fe€/ie/2 РОД Vcjffft СХОДИТСЯ
сильно в Я и выполняется двусторонняя оценка
с теми же самыми постоянными vi, V2>0, что и в (26).
Соотношения (29) означают, что ||с||ф = | V ck<fkl эквивалентна
fee/»
обычной норме 1И1.1 пространства 12К и поэтому функция
2
ai (с) == ||с|1Ф2 на гиперплоскости Сь являющейся выпуклым,,
замкнутым в У множеством, достигает своей нижней грани
ai* в единственной точке с*^С\. Значение 0i*>O, поскольку
Q^Ci, а <Di— базис пространства L. Точка минимума с¥ =
= {^*fe}fe6/i принадлежит У, поэтому ряд
сходится сильно в Я и его сумма u0^L = R(A*).
Покажем, что tio = tioo*. Для этого воспользуемся теоремой
Куна—Таккера для задачи (25). Заметим, что функционал
cri(c) выпуклый и дифференцируемый на 12\ ограничение (с, fl+
-f •ф1)=1 аффинно. Поэтому функция Лагранжа
U(u, X) =ai(с) + X(1—(с, /1 + ф,>), иеЯ, ^€=jR,
имеет седловую точку (с*, А,*), причем [87—90, 110—114]
а/Ы—^(Г+^^О.. (30)
2^

ГУмножая (30) скалярно в 12х на с* и учтывая явный вид
производной
eiW = {2(J]^9m,9*) } . се/1
тел
жаходим
^ = 21 V c^JP =2<т1(О = 2<Ти>0.
I *» \\п
Условие (30) после деления на 2<7i* = A,* в точности превра- А
шается в (19) с и=ио в левой части. Таким образом, и0 1
является решением проблемы моментов (19), и, в силу того что |
в подпространстве L такое решение единственно, имеем
совпадение элементов: ы0 = Иоо*. Равенство (28) следует из (27) и
определения функции Oi(c). Теорема доказана.
При выполнении условий теоремы 3 и условия (11)
проблеме моментов (18)
и<=#, (и, фл> = /а+'Фа, *=Л, 2,...,
с полным набором заданных элементов ф& можно сопоставить |
вспомогательную задачу
а (с)=IIЕ вд>* II2 -*inf'с е с> <25') 1
II 4wrf ||/7 'J
тде С =г {с = (q, c2, ...) е /21 (с, / + ф)/, = 1} — гиперплоскость в
пространстве /2. С учетом (4), (11), (10) функцию о (с) и 1
множество С можно представить в виде
а(сН1Е (с*+Га/*с/)Ч^
С =={се/2| £ (ск + £ а/Л) (/, + ♦,)( = 1}.
Сравнение <т с <ri и С с С\ приводит к выводам о совпадении
нижних граней функционалов в задачах (25) и (25/): a* = ai* =
=ft,*/2>0, одновременном их достижении и наличии следующей
связи между оптимальными значениями аргументов с*еС и
• c.eCi:
/€/•
^справедлива формула
оо
Woo*=Cf7 J] С*£фл.
:30
J

Убедимся, что задача (25/) тесно связана с двойственной
задачей к задаче поиска Woo*, которую можно сформулировать в^
виде
-L|HI2^inf, <M,q>fc)=/fc+tfc, Л=1Э 2 (18>
функция Лагранжа этой задачи запишется как
оо
Ми, |»)=-у ||и||« + ]£МЛ+ *!-<". Ф<», иеЯ,ц =
1 = 1
При каждом [хе/2 функция L2(a, jli) достигает своей нижней:
грани на Н при
оо
и = 2 ИМ.
причем
г|> (ц) - inf L2 (и, и) = (|i, / + я|)> -II V |i,q>, ||а.
Тогда двойственная к (18') задача запишется в виде [88]
i|?(|i)->sup, \x^l2. (31)
Покажем, что задача (31) может быть получена из задачи
(25') заменой переменных с = Я,*цУ2, где Х* = 2а*>0 —
множитель Лагранжа задачи (25'). По определению седловой точки,
(с*, А,*) функции Лагранжа задачи (25') имеем
а(с*)+^*(1—<2*. /+-ф»<а(с)+Я*(1—(с, /+t|>», cge/2.
Положим в этом неравенстве с=—- Введя элемент \i* = 2cic['k*»,
получим
||£(1*фг|Ч^-(1_Г<^,/ + г|>))
4 -,=
=с
<(-T1||EH^|f + ^(l-r(ti,/ + ^)), це/,
Отсюда после деления на (к*)2/2 имеем
оо оо N
112
Yi II +
' i=i " " ;=i
?г—((*./ +Ф>. и^2>
ЗЕ

что равносильно неравенству t|)(|Li*)>4|?(^), це/^. Это значит,!
что элемент ц* = 2с*/Х* является решением задачи (31), причем •
оо
i|)* = sup iKfi) = ip(|i*)f «*«,.=£ |*ХФл-
Таким образом, показано, что задача (25') является некоторой
модификацией двойственной задачи (31).
Интересно отметить, что функция if(|Li) вогнута на 12 и точка
fjx*e/2 — решение задачи (31) тогда и только тогда, когда
градиент ty (\i*) = 0, что равносильно системе уравнений
оо
£>;<ФьФ*> = /* + **, £=1,2 (32)
.Для задачи (25) запишем аналогичную систему:
£ \£ (Фм Ф*> =/fe + fe*e /r (32')
Ряд (27) через решение системы (32') перепишется в виде
«оо* = V |лГф£ -
Далее покажем, что такие разные на первый взгляд
достаточные условия разрешимости обобщенной проблемы моментов
(1), как нормальная разрешимость оператора А (см. § 1, п. 3)
и предположение теоремы 3 о том, что система Фх является
базисом Рисса в L, на самом деле тесно взаимосвязаны.
Теорема 4. Пусть выполнены условия (1.2), (4),
подсистема Ф1 = {ф^е/1 системы Ф = {ф^=1 образует базис в L —
= НпФ. Тогда для нормальной разрешимости оператора А:
:H-+l2, Au^={(u, фб)}^, необходимо и достаточно, чтобы
система <Di была базисом Рисса в L.
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор А
нормально разрешим, т. е. R(A)=R(A). Тогда у его сужения на
L = R(A*) =НпФ существует обратный непрерывный оператор
A"1 :R(A)-+L такой, что
оо
М"!&<1И<=£ <и,ф*>*,<М"112г. "sl (33) I
Система <Di образует базис L, следовательно, биортогональная
к ней система Ф*1={щ}ке^* составленная из элементов про-
:32

странства L, также будет базисом в L [107, 109] и, в частности,
ЦгГФ1* = £- Подставим в (33) линейную комбинацию
с произвольными коэффициентами {xk}k£iN :
*€/? k£l" k£l"
\\И'
Отсюда видно, что уОовие (26) для системы Ф1* выполняется с
лостоянными vi = l/[i2 и V2=l/|ii, следовательно, она является
базисом Рисса в L. Но тогда и исходная система Ф1 как биор-
тогональная к базису Рисса Ф1* сама будет базисом Рисса в L.
Доказательство достаточности сводится к почти дословному
повторению в обратном порядке рассуждений из
доказательства необходимости. Теорема доказана.
3. Аппроксимация. Обсудим вопрос аппроксимации задачи
{1) конечномерными задачами минимизации
м
JN(u) = Y K"><Pfe>-/*l2-*inf' "eL^, ДГ=1,2, ..., (34)
где LN=НпФ^, Фм = {<(k}kL\. Оказывается, даже в случае,
когда у системы Ф имеется подсистема Фь являющаяся
базисом Рисса в Ь = НпФ, задача (34) может не приводить к
сходимости не только по аргументу, но и по функционалу.
Пример. Пусть в задаче (1) система Ф = ф1иФь где Фх =
= {q>fc}£L2— ортонормированный базис пространства Я, а %==
оо
= 2J—Ф^. Пусть также /i^O, /&=0, k=2, 3, ... . Тогда /о={1},
/i = {2, 3,...} и система (9), (1Q) принимает вид
#/ + 4-*i = 0, / = 2,3, ...,
/i+*i=2t*
1
/=2
откуда находим
4-л
2 Зак. 358 33

оо г2 оо
Joo*=^f =-~ >0, «-=2*^'в
/=1 V — 'в2
/=1
В усеченных задачах (34) из условия, аналогичного (8),
и линейной независимости системы Ф^ = {cpfe}£Li имеем
N
i|£ = 0, k=U N, т. е. JL = Y |^|2-0длявсехЛ^=1,2,...
fc=i
и сходимость по функционалу отсутствует. Нет здесь и
сходимости по аргументу. Действительно, коэффициенты UbN
разложения
N
""=£<Ф* (35);
решения Un задачи (34) по базису Ф^ = {ф^}^!
подпространства LN определяются из условий, аналогичных (18):
~N
(Фх. Фх>< Н-J-f < = /i.
k=2
Поэтому
N
fe=2 k=2 &=2
fe=2 ' *=#+l
/?=2 fc=W+l
34

N
1 \2
(У-
.'--1 ► оо.
/=1 /=ЛЧ-1
-т. е. последовательность (35) даже не является ограниченной.
Изменим постановку задачи (34) на следующую:
/>)=£ \(u,y»)-fk\*^ini, u<=LN, Л^= 1, 2, ..., (36)
/2=1.
где <р^, Л=1, N, определяются по правилу
Ф^ =
Е а,/Ф/, Ае/в. /f ^ПЛ /" = {* = О}-
(37)
Отметим, что задача (36) превращается в задачу (34), если
выполнено следующее
Условие 1. Система ср&, k = l, 2,..., такова, что в
разложении (4) для всякого k^I0 число ненулевых коэффициентов a&j,
je/i, конечно. Причем в силу возможности перенумерации
элементов / можно считать, что максимальный номер j^I\ в этих
ненулевых коэффициентах меньше k.
При выполнении условия 1 подсистема ф&, k^I\Ny
максимально линейно независима в системе щ, k^IN, и фь2УГ = ф&, k =
= Т7Ж
Введем следующие обозначения: / = {fk}k=\— усечение
заданной числовой последовательности f = {/fe}£Lr Л^:#~>
-+EN, ^Nu=={(u^k)}k^\— линейный оператор, соответ-
А N
ствующий задаче (36), A*N :EN^HfiN = (Pi,..., р„) _*!->]£ pfeX
X ф^, — сопряженный к нему оператор, QN — ортопроектор
лз EN на R(AN). Тогда оператор /—QN осуществляет
ортогональное проектирование из EN на N(A^N)=R(AN)±y и
функционал JN можно представить в виде
JN (и) = \\ANu-QNfN\\%N + \\(I-QN) /w|||n =
= II^«-(/n + ^)II2^ + ||^|||n,
*где г|}^ = ~(7—QN)p — проекция на N(A*N) элемента —fN.
*• ■ 35

При этом нижняя грань функционала JN на LNt совпадающая'
с его нижней гранью на всем пространстве Я, равна
а оптимальное решение uN^LN задачи (36) существует и
является решением операторного уравнения
ANuN = fN+<tyN9 (38>
или, что то же самое, усеченной проблемы моментов. Отсюда, а
также из (37) и включения г|)^еМ(Л%) для г|Л = {tyk}kLi
получается аналогичная (9), (10) система линейных
алгебраических уравнений
V+ £ «*/*? = 0, /e=/f, (39>.
fk + tf = Y я« {fi + ^}> ^e /0W = {A:«= /0 |/г<JV}. (40)
/e/f
Эта система так же, как и (9), (10), имеет единственное
решение г|А для которого справедлива оценка, аналогичная (13),.
(14):
/». = II*Ye"< £ I £ «*///-/* Г, (41>
/»/=ll*JV|||A'^ll/JV||2£*<li/llt (42>
После отождествления ф^ с элементами пространства 12 вида
(^>1^, i^, • • •» ^NNy 0, 0) оценка (42) означает ограниченность
последовательности {V}//=i в /2. Более точную
информацию о предельных свойствах ф^ содержит
Теорема 5. Пусть системы Ф = {ф^}ь=1 и Ф == {Ф* }Т=\ в
задачах (1) и (36) удовлетворяют условиям (1.2), (4), (37).
Тогда при N-+oo решения tyN системы уравнений (39), (40)
сходятся по норме пространства 12 к решению г|э системы (9), (10)
и имеет место сходимость по функционалу: lim Ло* = /оо*,
а при выполнении условия (11) справедливы оценки скорости:
сходимости
k£l0\lQ keh\I$ /€/f
36

+ ( £ <//+♦/)■)( £ I «&)+ £ ♦Jtk^o.
/€W? iew? k*i% *-"+* (43)
|/co*-/^co*|<C6^1/2, (44)
где постоянная С>0 не зависит от N.
Доказательство. Последовательность tyNy N=l9 2,...,
ограничена
Если ty^k— слабо предельная точка для {tyN}> то, переходя к
пределу в (39), (40), в силу единственности имеем o|?=i|). При
выполнении условия 1 сильная сходимость в 12 является
следствием неравенств
JL = min JN = min JN < min /*+1 - min JN+l = j£+! < /„.,
LN H H t-N+l
а в общем случае — следствием представления для |№—гр^Ня*,
которое выводится ниже. Вычитая (39) из (9), а (40) из (10),
получим
(**-*^)= £ ^ (%-*") + £ «*/(// + */). *е/0\
/«/? /бЛх/f
Первые равенства умножим на (apj—tyjN) и просуммируем по
j^IiNt вторые умножим на (*рЛ—tykN) и просуммируем по fee
^IoN. Сложив результаты суммирования, получим
Н*-^Н^ = - £ (*/-*Г) £ «*/+* +
+ £ (**-+if) £ <*„(/,+4v)f
fee/*' /€/»v?
откуда и следует оценка (43), правая часть которой при N->oo
стремится к нулю в силу условия (11) и включений fefe, г|?е/2.
Теорема доказана.
Оптимальное решение и* задачи (36), (37) в силу (38) —
(40) является единственным решением каждой из следующих
37

двух эквивалентных между собой усеченных проблем
моментов:
u*szLN, (и*, q>hN) = fk+^kN, к=ТЖ (45)
u»ZELNi (u"t Фл> = /а+^, Л = Л". (46)
Ограниченность последовательности {и1*}^^ в пространстве
U влечет ее слабую сходимость в Я к £/«,*— нормальному
решению проблемы моментов (19) и задачи (1), поскольку
любая слабая предельная точка этой последовательности, с одной
стороны, принадлежит L (любое замкнутое подпространство в
Н слабо замкнуто), а с другой стороны, оказывается решением
проблемы моментов (19) в результате предельного перехода в
(46). Приведем критерий сильной сходимости uN к Woo*.
Теорема 6. Пусть выполняются условия (1.2), (4) и
множество i/oo* оптимальных решений задачи (1) непусто. Тогда, для
того чтобы
lim \\uN —Иоо*||// = 0,
N->oo
необходимо и достаточно, чтобы
Пт У и? (♦?-♦*) = <>, (47)
*6/f
где UkN, k=l9 N, — коэффициенты разложения элемента uNz
&LN = lmOiN по системе Ф? = {щ )Л6/лНФ*}Л€/1П/л:
'Г
«"=£u*V, (48)
*€/f
а -ф, у1*, iV=l, 2,..., — соответственно решения (9), (10) и
(39), (40).
Доказательство. Необходимость. Вычтем (46) из (19),
умножим полученные равенства на ukN и просуммируем их по &е
<и--^, и") = £ и*"(+*-^). (49)
Если известно, что ||ы^—Woo*ll~^0, то левая часть (49)
стремится к нулю и выполняется (47).
Достаточность. Пусть выполняется (47). Тогда из (49) в
пределе получается оценка
lim Н^Н <llwoo.ll, (50)1
38

т е. последовательность {w^}aLi ограничена и, как
отмечалось выше, слабо сходится к £/«,*, но из слабой сходимости и
свойства (50) следует сильная сходимость uN к «оо*. Теорема
доказана.
Следствие 2. Если наряду с условиями теоремы 6
выполнены условия согласования (15) или сама система ® — {4k}kL\
минимальна, то г|^=г|) = 0, uN = prLNUoo. и \\uN—uM\\ NmM > 0.
Следствие 3. Пусть выполняются соотношения (1.2), (4) и
и<х>*^0у а коэффициенты. UkN разложений (48) решений uN
усеченных проблем моментов (46) ограничены в следующем
смысле:
sup У |^|2<оо.
Тогда \\uN—Uoo*\\->0 при ЛГ->оо.
Укажем еще одно важное достаточное условие сильной
сходимости UN К Woo*.
Теорема 7. Пусть система Ф = {ф/г}£=1 удовлетворяет (4),
(1.2), а подсистема <3)1 = {q>k}keil образует базис Рисса в
L=linO. Тогда множество Uoo* оптимальных решений задачи
(1) непусто и решения uN конечномерных задач (36), (37)
сходятся к нормальному решению */«>* задачи (1) по норме
пространства Я. Если, кроме того, выполнено (11), то
справедливо неравенство
\\un—u^\\^\\^LnUoo.—Uoo*||+8j/2.
Доказательство. Непустота множества U^* установлена в
теореме 3. Пусть pN = pr£,iVH00*— ортогональная проекция
на LN нормального оптимального решения Ыоо*:
pN<=LNy <pN, q>h) = (Uco*, Фа>=/а+*л, ke=IiN. (51);
Тогда
причем \\pN—ttoo*||->0 при N->oo, так как пространства LN
предельно плотны в L. Покажем, что \\uN — pN\\ н^—>-0.
Вычтем (46) из (51):
(pN_uNi Фь>=^_yhN9 kezh*. (52)
Представим разность pN—uN в виде линейной комбинации
базисных элементов пространства LN:
pn-un= j р*^-
39

Умножим (52) на р*. и просуммируем по k^h*:
<I £ pk9*Ii№-*%w=iipJV-«A'iiii*-*wiii
,ЛГ
Здесь при оценке суммы V Р* мы воспользовались левым!
неравенством (26) из определения базиса Рисса. Таким обра-|
зом,
\\Pn-*n\\h<\№-4n\\rn
и по теореме 5 имеем сильную сходимость (pN—uN)-+0 при]
N-+OQ. Теорема доказана.
В заключение кратко обсудим вычислительные аспекты ре-j
шения задачи (1), наметим вычислительную схему ее решения.
Один из путей ее решения, как показано выше, состоит в пере-]
ходе к задаче (36), (37). Основная трудность при
формулировке задачи (36), (37) заключается в определении множеств ин-|
дексов /0, /ь составлении линейных комбинаций (4). К счастью,]
во многих прикладных задачах оптимального управления часто]
удается получить задачу (1) с системой {qp/J, которая
минимальна (тогда /о = 0, Фл^ = фл, k=l, 2,...) или удовлетворяет!
условию 1. Некоторые соображения о построении множеств /0,|
1\ обсуждены ниже при рассмотрении конкретных классов за-]
дач оптимального управления.
Для решения задачи (36), (37) можно предложить
следующую вычислительную схему. Сначала, решая систему линейных'
алгебраических уравнений (39), (40), определяем г|)я= (-ф^,... 1
..., ^nn) • Затем оптимальный элемент задачи (36), (37) ищем J
в виде ~^
uN= % «?V (53)
Для определения неизвестных коэффициентов и*?, k^I\N9
имеем систему
£ ""(Ф<.Ф*>=/* + <. *e/f\ (54)
*s/f
которая получается из (46) при подстановке выражения (53).
Можно искать и"нв виде
= £ «W. (55)
и»
i=l
40

тогда для определения коэффициентов UiNt..., uNN из (45)
получаем систему
£и?Чф"ф"> =/* + *". *=1,2, ...,М (56)
м
При решении систем линейных алгебраических уравнений (39)у
(40), (54), (56) применимы известные методы [115—119]. Для
вычисления нижней грани функционала (36) можно
воспользоваться равенством
Заметим, что задача (36) является задачей выпуклого
квадратичного программирования в конечномерном пространстве
LN, и для ее решения можно использовать и другие методы
(см. [87, 110—114]). Например, если здесь подставить
выражение (55) в (36) и для минимизации получающейся при этом
квадратичной функции относительно переменных U\N,..., и^**
приравнять ее частные производные по этим переменным нулю,
то в результате придем к системе линейных алгебраических
уравнений
Yl((uN>O-fb)W>4>i)=0> /=l,2,...,tf. (57)
Имея решение uN системы (57), вектор невязки yjpN~ (ty\N,...
..., tyNN) находим по формуле tyhN = {uN, <phN)—/ft, k= 1, 2,..., N.
§ 3. ЗАДАЧА С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА НОРМУ
1. Свойства решений. Рассмотрим обобщенную проблему
моментов на множестве UR = {u^H: 1М1<1/?}, 0<jR<oo,:
00
'(")=£ К"> <P*>-/*.l2-+inf, ueUR. (1)
Предполагается, что f = {fk)Z=iG l*> а система Ф = {ф^}^!=1
oo
удовлетворяет условиям V (и, Ф^)2< оо,
fc=l
Vk= £ «*уф/, k<=E /0, £ о|/< оо, k<= /0, (2)
/ел /€/i
где^ф1 = {ф^ £e/i}—минимальная подсистема такая, что
1щф1==НпФ.
41

t
В § 1 задача (1) рассматривалась как задача минимизации 1
выпуклого дифференцируемого функционала, а также как за- я
дача минимизации квадратичного функционала: Щ
/(и) = ||4и—fll^inf, ue=UR, I
с оператором A:H-+l2, Au = {(u, ф*г)}£1р и речь шла в основ-лЯ
ном о существовании оптимальных элементов, их описании и щ
корректности постановки задачи по А. Н. Тихонову. Здесь мы щ
воспользуемся результатами § 1, 2 и на их основе докажем щ
сходимость, и получим оценки скорости сходимости решений щ
усеченной конечномерной задачи. 1
Применим к задаче (1) теорему 1.2, полагая V=#, Q(u)= I
= ||м||2—R2t и получим для нее критерий оптимальности в фор- М
ме (1.47), (1.48). Вводя $ = Аи—f, заменим уравнения (1.47) я
системой j
A*ty+yu = 09 Au—ty = f 1
и перейдем от задачи (1) к эквивалентной задаче определения I
тройки (yt Ф, и) из условий 1
7>0, г|)=(фь ..., фЛ> ...)е=/2, «еЯ, (3) 1
£4Wfc + V = 0, (4) I
Ш, №)—tyk=fh, *=1, 2,..., (5) -1
т(1М1-*)-о, цикл (6) I
Ввиду эквивалентности (3)—(6) исходной задаче (1) ее также 1
будем называть обобщенной проблемой моментов. Тройки (у, щ
t|?, и), удовлетворяющие всем условиям (3) — (6), назовем огс- 1
тимальными. I
Пусть (yiy o|?i/ Ui), i=l, 2, — две оптимальные тройки. Тогда 1
оба элемента щ и и2 оптимальны в задаче (1), т. е. /(^i)= 1
= J(u2) = inf J(u) = JR*y и из теоремы 1.37 следует равенство i
uR I
i4wi=y4w2, которое в силу (5) приводит к совпадению компонент |
•ф, г|)1=г|)2. Из (4) имеем 7i"i =W2- Тогда из (6) вытекает 'щ
yiR = y2R. Следовательно, первые компоненты в оптимальных 1
тройках также совпадают: Yi=/Y2- Компоненты щ, и2 в силу (4) а
и доказанной единственности ф, у совпадают при 7>0, а при Й
7 = 0 равны их проекции на подпространство Ь = НпФ : pvLu\= Ш
=ргь"2, которые также являются оптимальными элементами, щ
Тем самым доказана 1
Лемма 1. Пусть (yu tyu ui)> '=1, 2,— две оптимальные 1
тройки. Тогда Yi=72» ifi = 4fc> ргь"1 = ргь^2. Если vi==Y2>0, то 1
U\=U2. _ 1
42

Согласно § 1, а именно формулам (1.31), (1.32),
множество оптимальных элементов U* в задаче (1) можно представить
в виде U* = u* + {v^L±:\\v\\^R*-\\u*\\2},
где u*^L — нормальное оптимальное решение. Из этого
представления видно, что U* состоит из единственной точки и*
тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из трех
следующих условий: <рЛ, £=1, 2,..., полна в Я, ||ы*||=#, y>0.
Как было показано в лемме 1.1, при 0(и)=||и||2—R2
функция 1I"(y)H» Y>0, является непрерывной, монотонно
убывающей и при у-+оо \\и{у) ||-^0. При v = 0 тройка (0, г|з(0), и{0))
может не существовать.
Пример. Положим щ^ун/г1, k=l9 2,..., где ^ —
некоторая ортонормированная система в Я, а последовательность
fk=zk~l. Тогда нормы усеченных решений uN записываются в
виде
и по теореме 2.2 оптимального элемента в задаче (1) при R =
= оо нет.
Если тройка (0, -ф(О), и(0)) существует, то ы(0) может быть
неединственным. В последнем случае под и(0) понимаем
нормальный оптимальный элемент из L, который является
глобальным оптимальным элементом w<x>*.
Отметим вытекающую из (4), (5) оценку
II"(У)1Г<Г-111/11?. = ^ ^(0), Y>0. (7)
Если <pfe, k=\y 2,..., — ортонормированная в Я система, то
вместо (7) имеем ||«(Y)|| ^(1-у)-1 !1/1|/,.
На основе отмеченных свойств задачи (1) можно
предложить следующую схему определения оптимальной тройки (у,
•ф, и). Для произвольного v^O (при 7 = 0 решения может не
быть) определяются i|?(y)> w(y)> удовлетворяющие условиям
(4), (5). Затем, учитывая монотонность ||h(y)II» подбираем
число 7^0 так, чтобы выполнялось условие (6). Это искомое у
можно представить в виде
Y =
0, sup||H(Y)||</?,
v>o
Yo, sup||w(Y)!!>/?,
v>o
(8)
где yo — единственный корень уравнения
\\u(y)\\=R. (9)
в (8) вместо sup||tt(Y)|j можно подставить значение ||н(0)||,
v>o
если оно существует.
43

В случае, когда выполнено условие (2) и система q4, k^Iu
является базисом в L, для поиска элементов ty(y)^l2, и(у)^
eL, при фиксированном у^О можно использовать следующую i
линейную систему, вытекающую из (4), (5) и аналогичную \
(2.9), (2.10), (2.19):
/€/о
£ МФ/.Фл)—♦* = /*. Ae5/i. (Ю)
/6Л /€/i
где ^, &е/ь — коэффициенты разложения
Если система <р&, k=ly 2,..., является базисом в L, то
последовательности 1|)&, Uk, fe=l, 2,..., удовлетворяют линейной
системе
% = — yma, *=1, 2,...,
00
J]«/ <Ф/. Ф*> + Y"ik = /*» *=1,2,.... (12)
/-1
Покажем, что пару (о|?(у), и(у)), являющуюся решением
(4), (5) при 7^0» можно представить в виде пределов i|)^(y),
uN(y), получаемых из усеченных соотношений
2>4 + Y"w = 0, (13)
Условия, при которых -ф^(О), uN{0) сходятся к о|э(0), и(0), были
рассмотрены в § 2. Докажем сходимость при у>0, а именно
lim ||ф"_ф||/2 = Нт \\uN—u\\=0. (15)
Пусть (<ф*, uN), ЛГ=1, 2,..., —решения (13), (14), а 0ф, |
и)—решение (4), (5) для некоторого v>0- Вычитая из (5)
при k=l9 N соответственно равенства (14) и умножая на «ф&—
—tykN, Л=1, N, получаем
(«-и", £ (ф,_ф^)ФЛ_£ |^_ф^|2==0.
44

/£)тсюда,\читывая (4) и (13), имеем
N
Применяя неравенство Коши—Буняковского, убеждаемся в
справедливости соотношений (15).
2. Аппроксимация. Рассмотрим для исходной задачи (1)
последовательность усеченных, аппроксимирующих задач:
кх (16)
Эта задача конечномерна, и для ее решения можно
использовать схему, описанную в предыдущем пункте данного
параграфа, т. е. определять оптимальную тройку (yN> tyN> uN),
удовлетворяющую следующим условиям:
Y">0, ^=(^,...,11)^)^^, u*<=LN, (17)
N
Y№k + yN"N = 0, (18)
(и», Vh)^h»=fk, Л=1, TV, (19)
yN(\\u»\\-RN)=0, \\uN\\<RN. (20)
Существование и единственность оптимальной тройки (yN, -ф^,
uN)9 удовлетворяющей системе (17) — (20), следует из
теоремы 1.3.
Теорема 1. Пусть выполнено условие (1.2). Тогда
справедливы оценки
||г|)»-г|>||22 <С6„, (21)
\Jr*-Jnr*\<C8nv\ (22)
iT-Y^KCe*1'2. (23)
Последовательность {uN} при y>0 также сходится, и имеет
место оценка _
Ни—и*||<С6*1/2. (24),
Здесь константа С>0 не зависит от 7V, а величины
6n = 6n(R;V) = \R-Rn\+( £ я|)|)1/2.
k=N+\
45

Доказательство. Вычитая из равенств (5) при кФ\у N ран
венства (19), умножая на tyhN—tyh> 6=1, N, суммируя и
учитывая (4), (18), имеем /
N оо
Отсюда, перенося в правую часть первое слагаемое в левой
части равенства и используя (6), (20), получаем
li^-*ll/, <-yR2 + yNRRN + yRRN~yNR* +
Из этого соотношения следует сходимость и оценки (21), (22)„
Оценка (23) следует из условий (4), (18) и (6), (20):
<С[|!^~^а+|7?-/?Л|]<Сб^.
Аналогично при -у>>0 получаем оценку
<с[\\Г-Ш+\у"-у\]<С8№.,
Пусть 7 = 0. Следующее утверждение дает достаточное
условие сходимости и в этом случае.
Теорема 2. Пусть для {фа}^ выполнены (1.2), (2),
условие 1 § 2 и в исходной задаче (1) 7 = 0- Тогда при выполнении
условия
sup V |^|2<оо, /? = /,(!/", (25)
где UkN — коэффициенты разложения
и* = £ и£Ч>,
*6/f
последовательность uN сходится в норме Я к нормальному оп-
46

•тимальнбму элементу ы.. Если q>h, &<=/ь является базисом Рис-
са, то (25\ выполнено и, более того, справедлива оценка
v ||«W-",IK \K-prLNu,\\ +C . W, (26)
где константа С>0 не зависит от N.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из
следующих соотношений:
£ uZ{uN,<pk) = \\uN\\* = (u„uN) +
<<Ы„«">+С6#2, lim ||«w!|a<||«.|i2.
Л/-МО
Пусть <pA, kezh, — базис Рисса. Тогда для vN = prLjvw, =
= \* VkVk можно записать
*6/f
|UN_^|,2= £ («Г-^КИ^-И.ф*)
*<
- т («f-^)(^-^)= S <""-Л ф*> (*r-^<
k€l? *€/?
Отсюда следует оценка (26)
Н^-иЛ < \K-W*U + !I^-"N[I < \\u.-prLNuJ\ + C6 jv/2.
Теорема доказана.
Остановимся еще на одном случае, когда
последовательность решений (16) сходится к ы* в норме Я.
Теорема 3. Пусть выполнено (1.2), и в исходной задаче (1)
не только 7 = 0> но и it> = 0> а в задаче (16) считаем, что Rn>
монотонно убывая, стремится к R при N-+oo. Тогда
uN = prLNUoot9 \\uN—Иоо.Ц-^0, N-+oo.
Доказательство. В силу монотонного убывания /?#
последовательность нижних граней /** должна быть монотонно
неубывающей:
/? = min ^(м) = т1п^(и)<тт^+1(м) = ^+1<
UNC\LN UN uN+\
<у. = ,/„. = О,
4?

и поэтому /"==0,^=0, ЛЛ=1, 2, ... . Тогда из (5) и (ЯЭ) полу-
чаем, что uN = prLNu^ w* = #<*>*, uN = u<x>*N. Теорема/доказана.
Покажем, что задачу (1) можно заменить другой равно-]
сильной задачей, для которой последовательность решение
соответствующих аппроксимирующих задач (16) £ходится в Hi
к нормальному оптимальному элементу без дополнительных]
условий, данных в теоремах 1—3. С этой целью запишем
функционал в (1) в виде
'(«)=£ \(и.ъ)-Ги\*+£ \Jk-fk\2> "ея,
TAef.=Qf=Ju ...,/*, .. .)^/2 — проекция элемента, /е/2 на
множество достижимости R(A). Отметим, что Q/=f+^, где
вектор г|)е/2 может быть при выполнении условий (2)
определен из системы (2.9), (2.10). Вместо задачи (1) рассмотрим
задачу
00
/(и) = £ \(u, cp,>-/,|^inf, «£ UR. (27>
Множество оптимальных элементов UR* в задаче (27) совпадает
с множеством оптимальных элементов в задаче (1), кроме того,
/оо* = 0.
Пусть (у, *ф, и) — оптимальная тройка задачи (27),
получаемая из соотношений, аналогичных (3) — (6). Если 7 = 0» т0> как
было показано при доказательстве теоремы 1.3, Ьоо*ф0,.
lkoo*||^i?. Поэтому из 7оо* = 0 следует г|) = 0.
Для задачи (28) аппроксимирующая задача, аналогичная
(16), здесь имеет вид
A") = £ \(u><Pk)-fk\2'-»ini, ueUN(]LN. (28>
Пусть uN— решение задачи (27). Тогда {uN}-+uRit в норме И
при всех 7^0. В самом деле, если в задаче (27) v>0, т0 эта
следует из теоремы 1, если у=0, — из теоремы 3.
В заключение кратко наметим вычислительную схему
получения приближенного решения задачи (1). Сначала определяем
решения г|з*(0), uN(0) системы (13), (14) при v^O; это можно
сделать так же, как в § 2 (см. системы (2.39), (2.40), (2.53) —
(2.56)). Затем проверяем выполнение неравенства \\uN(0)||<7?.
Если оно выполнено, то тройка (y*=0, г|)л'(0), uN(0)) будет
решением (17) — (20) с Rn — R, a uN(0) — оптимальным решением
задачи (16), Если \\uN(0)\\>R, то решаем систему (13), (14>
48

относительно i|^(y), и"(у) при фиксированном y>0* С этой-
целью поставим выражение
N
и"(?)=2>"ф/ (29>
в (13), (14) и умножим (13) скалярно на q^. В результате
получим систему линейных алгебраических уравнений:
£(я|>? + т<)<Ф,,Ф*>==0, (30>
1=1
2>?<Ф*.ф*>-<-=/*. *=L2 JV, (31)
относительно неизвестных ^ = ^(7), и^=щм(у), t=l, 2, ...
...9 N. Из (29) —(31) находим г|)^(\), ^(y)- Далее, определяем
Y^ как решение уравнения
Ии'МИ-Я. (32>
Уравнение (32) можно решать приближенно с некоторой
точностью 8#>0 в смысле выполнения неравенства |||^(y^)II—
—#|^е#, что равносильно точному решению уравнения
\\uN(y)\\=^RN при некотором RN, \Rn—/?|^е#. Как вытекает из.
леммы 1.1, следствия 1.1, примененных к задаче (16), функция
Цм^(7)|| строго монотонно убывает, непрерывна и lim \\uN (y)\\ =■
= 0. Эти и другие свойства функции ||^(y)II полезно учесть
при использовании конкретных численных методов (например,
метода Ньютона) решения уравнения (32) [118, 119]. Отметим,,
что в работе [75] применялся метод Ньютона. Тройка
{у1*, tyN(yN)y tiN(yN)) является оптимальной в задаче (17) —
(20), uN(yN) — оптимальное решение задачи (16).
Отметим, что задача (16) является выпуклой конечномерной
задачей математического программирования и для ее решения
могут быть использованы и другие методы [87, 110—114].
§ 4. ЗАДАЧА С ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
1. Описание множества оптимальных элементов. Рассмотрим
обобщенную проблему моментов на множестве, заданном
линейными неравенствами:
оо
./(") = £ |<u,q>ft)-/ft|2-*inf, ueU,
ft=i
(1)
U = {ve=H : (и, с/ХР/, / = 1, m}, int t/# 0 .
49-

Как и прежде, предполагается, что /
f = (/i Лк. ...)e/lf £ (и9ук)*<оо/ (2J
d
Используя правило множителей Лагранжа [87, 88], полу^
чаем, что для оптимальности u^U в задаче (1), (2) необходи
мо и достаточно, чтобы существовали вектор 7=(7ь ••., V»)»
Т/^0» /=1» т» и элемент t|?= (-фь • •> ф*, . ..)е*2 такие, что
оо m
£ф*ф*+£>,*/=о, (3)
(и, фл>—** = /*, *=1, 2, ..., (4)
Т/«и, с/)-р/)=0, <и, с/ХР/, /=1, т. (5)
Рассмотрим некоторые свойства, вытекающие из соотношений
(3) — (5)_и__характеризующие оптимальную тройку (у, -ф, и).
Пусть (у, if, и) — вторая тройка, удовлетворяющая условиям
(3) — (5). Тогда, вычитая равенства (4) для (-ф, и) и (г|>, и),
затем умножая на ф*—ф* fe = l, 2, ..., и суммируя, получаем
' оо оо
Отсюда, учитывая (3) и (5), приходим к неравенству
1М>-ф||1 = — J 7/ <"-". с,> + J у,- (и-и, с,) <
/=| /=1
wi m #i m
<-£ тА + Е туР/+Е тА-£ ?/Р/=о,
/=1 /«1 /=1 /=1
из которого следует, что г|э = ф.
Достаточным условием единственности у является линейная
независимость элементов с/, /=1, ш. Это вытекает из
равенства (3) в силу доказанной единственности -ф. В случае, если
в оптимальной тройке (у, г|э, и) у^О» то согласно § 2 и является
и глобальным оптимальным элементом tt^t/00* = Woo*-f-L-L, где
V- — ортогональное дополнение к подпространству L =
= lin{<p*, k=l, 2, ...} в Я. Множитель Лагранжа заведомо в
(3) — (5) равен нулю, если элементы сД /=1, т, взятые из
разложения
50 , >

линейно^независимы. Это вытекает из эквивалентности условия
(3) двум равенствам:
оо т
5>й>*+!>/<$=о, (за>
т
£?/*/=о. (зб)
В силу единственности *ф из равенств (4) следует
совпадение проекций элементов и, и на подпространство L : pr lu =
— pTLU = th. Для описания множества оптимальных элементов
в задаче (1), (2) £/* введем конечномерное подпространство
LioCiL-1-, являющееся линейной оболочкой системы сД /=1, т;
подпространство, получающееся пересечением />юх и L-1,
обозначим через Ln = Lio"Ln^'L- Тогда в силу инвариантности
соотношений (3) — (5) относительно Ьц получаем, что если
оптимальные элементы существуют, то найдется и*е£/* в
подпространстве Li=L©Lio. Достаточным условием непустоты U*~
в задаче (1), (2) в силу теорем 1.9 является нормальная
разрешимость оператора А : H-+l2, Au = {(ut <Pfc)}£Lr Это условие
согласно теореме 2.4 выполняется, если полная и минимальная
в L подсистема Ф1 = {ф^Ье/1, I\czl = {k=l9 2, ...}, является
базисом Рисса. Множество оптимальных элементов в задаче^
(1), (2) можно представить в виде равенства
U. = U.r\{L®Lu>)®Llu
а всякий оптимальный элемент u*^U* имеет вид
т
M, = "o+J] V/ + 0' "o«=L, i>e=Lir (6>
Выясним структуру элемента и0 в предположении, что
выполнены условия (2.4):
/e/i /ел
где фЛ, йе/ь — полная в L минимальная подсистема.
Используя (7), из равенств (3), (4) получаем линейную сие- '
тему уравнений
т
Ук + £ М>,- = — £ у/ (с/, Ф*>, * s /lt (8)
Е «*///+Е «*/*/=л+ф*. * е /„ (9>
('€/. /е/,
("с Ф*> = /* + Ф*> *е=/„ (Ю>
51

аде {q>l}keit— некоторая биортогональная к {cp^/i
система. Пусть 1|?/=(я|)1/, ..., tyk', . ..)^2> / = 0, т, — решения
следующих линейных систем:
♦2+Е «/**/ = 0. kel19
/б/о
/€/» /G/i
/6/о
Е«а/Ф/ = -||4. *е/0, /=1,т.
(11)
(12)
Здесь г|)°е/2 согласно § 2 определяет нижнюю грань
функционала (1) при £/ = #:
Joo. = Y 1**1
Тогда в силу линейности (8), (9) элемент г|э можно представить
в виде
т
* = V + J*yrf. (13)
!=-л
Подставляя (13) в равенство (10), приходим к линейной
системе для элемента w0eL:
т
(uo><pk)=fk+rk+Y,Vi% <14>
/=i
Пусть ы', / = 0, т, — соответствующие решения (14) при правых
частях fk + tyk°, tykf, k^I\, /=1, тп. Тогда и0 = и<х>* и элемент,
удовлетворяющий (14), можно представить в виде
m
uo = u° + Yy*Ui' (15)
/=l
Из (6) и (15) вытекает
г/,=и».+Е y/";+Е v1+Ln>
/-1 /=**
где параметры у/>0» ^л /=li m* удовлетворяют системе
соотношений
52

\
£ Y/<7=0, Y/*/(Y. *) = 0. ?/(тД)<0, Y/>0, /=T7m, (16)
/-1
m m
(17)
Нормальный оптимальный элемент можно выделить с помощью
задачи минимизации функционала
т 2 Ш 2
а (тЛ)=|и«. + J Y^'l +|Е V?| (18)
/=1 1 = 1
при условиях (16), (17).
Покажем, что решение задачи (16) — (18) существует. Для
этого воспользуемся теоремами 1.7, 1.8. Положим
Н = Е*т9 F = #X#, /=(—tw, 0),
т т
A:H^F, Л(тД) = (5>«',£ VI).
Тогда оператор А нормально разрешим и проекция множества,
заданного соотношениями (16), (17), на любое замкнутое
подпространство Е2т замкнуто. Отсюда и из теоремы 1.7 следует
существование решения задачи (16) — (18).
В качестве иллюстрации приведем решения (16), (17) в
некоторых частных случаях. Пусть система с/1, /=1, т, линейно
независима. Тогда, как отмечалось, Y/^O» /==1> m» a
величинами Xi, i=l, w, являются решения невырожденной системы
т
1=4
при условиях
Л/<Р/—<"«»*, С/>, /=1, т. (19)
Так как с помощью биортогональной системы ctl, t'=l, m,
можно записать
т т
;=«i i=i
то задача определения нормального оптимального элемента
53

свелась к определению rj/, /=1, m, минимизирующих функцио- 1
нал I
т 1
(Gr\, Л>= £ ЧЛ/<^, */>• G = «3> 3), *■ /=Ь m) (20>1
i.V-i I
при условиях (19). I
В силу правила множителей Лагранжа [87] для задачи |
(19), (20) получаем следующий критерий оптимальности: I
(Gt|)/<0f (бт|)/(л/—Р/ + (Моо., с,»=0, 1
(21)
Пусть с/1, f=l,-m, кроме того, ортогональны. Тогда Я/, /= 1
= 1, т, соответствующие нормальному оптимальному элементу,. 1
записываются в виде |
X/=|c/1|-2min{p/—<Moe.f c/>; 0}.
Пусть в задаче (1), (2) т=1, т. е. U является полупростран- 1
ством в Я. Если С\1Ф0, то Яь соответствующее оптимальному j
элементу, определяется неравенством 1
k\<\Cll -2(Pl —(Woo*, Cl», I
а для нормального оптимального элемента |
^i=|ci1|-2min{0; pi—(*w, a)}. 1
Если Ci1 = 0, то с учетом (и\ С\)<0 имеем i
( 0 при (Иоо*, q)—Pi<0,
1 Yo при (Не*., сА>— Р3>0, |
где yo = <w1, ^^(Pi—(woo*, ci». I
В общем случае для определения (у, Я) из (16), (17) можно» |
воспользоваться задачей минимизации, например, функции ]
т |
Q (Т. ^) = £ (?М (?. Я) + [min (0, у/)]2 +
/=i 1
+ [тах(0;ёг/(ТД))]2}+Щ;тЛ'||2.
/=1 . j
Эта функция выпуклая, дифференцируемая, ее нижняя грань* I
равна нулю, и для ее минимизации можно использовать раз- j
личные известные методы конечномерной минимизации. ]
Для определения (у, Я) могут быть использованы также? 3
различные свойства линейных неравенств [120]. j
54 I

2. Аппроксимация. Исходной задаче (1), (2) поставим в
соответствие последовательность аппроксимирующих, усеченных
задач
Л") = £ \(uf<pk)-fk\*^iniy uzEUN[\LlNaE\
Si (22)
UN = {ueH:(u,cf)K:tf, /=T7m}, tf=l,2, ... ,
где L\n = Ln(&Li0i LN = Ym{(pk, fe=l, #}, последовательность РД
монотонно убывая, стремится к Р/, /=1, т, при N-+oo.
Предположим, что полная и минимальная в £ = Нп{ф£, k =
= 1, 2, ...} подсистема Oi = {q)fc, £e/i} является базисом Рисса
и выполняется условие 1 § 2, а именно в разложении (7) для
всех k^I0, /о = /\/ь число ненулевых коэффициентов а*/, /е/ь
конечно и их максимальный номер / меньше k. Это
предположение, которое выполняется во многих практических задачах,
для усеченной задачи (22) выделяет линейно независимую
подсистему ср*, £<=/Д IiN^I\{]INf IN = {k=l, N}.
Соотношения (3) — (5) для аппроксимирующей задачи (22)
.имеют вид
N т
£<ф*+£т;Ч=о, (23)
feel /»1
(u*9 <pk)-^kN=fk, k=l, N9 u»^LlNy (24)
?/"«"". ^/>-P/^)=0, 7/">0, <и\ с/ХРЛ /=1, m. (25)
Обозначим через (yN, \$N, uN) оптимальную тройку,
удовлетворяющую (23) — (25), причем считаем, что uN — нормальный
оптимальный элемент.
Теорема 1. Пусть элементы с/, /=1, гп, линейно независимы,
(у, -ф, и) — оптимальная тройка в исходной задаче (1), (2).
Тогда при N-+oo
Iy"-yI +1№лг-ФН/. + р(""; £/.)->о.
Доказательство. В силу монотонного стремления Р/^ к Р;
при N-+oo имеют место включения UczUN+\czUNt N=1, 2, ... .
Тогда для последовательности нижних граней имеем
соотношения
■С= min JN(u) = mmJN(u)^mm - JN+l (u) = J^+l^Jm9
ш которых следует равномерная ограниченность tyN= (ty\N, ...
•••> фИ, 0, ...)e/2 в норме 12 и существование предела
^-lim /"
55

Из ограниченности -ф^, (24), в силу линейной независимости!
£/> /==1, т, и равенств
Т/^ = (Е*^ '/). /=1. ^ (26>1
fe=i
где си /=1» /w — биортогональная к с/, /=1, т, система, следу-j
ет, что уД /=1, ту также равномерно ограничены сверху.
Обозначим через uN проекцию элемента uN на подпростран-
т
ство L„, и" = ы" + £ЛГс*!,
t=i
77^ «t. „#
И = PrLtf" -
Тогда в силу вытекающих из (24) неравенств
н^н1» £ Vk+tf)<u">Vk)<c\\u%
где С>0 не зависит от N, а <рЛ, &€/i, — биортогональная к <р* |
система, получаем равномерную ограниченность
последовательности uNy N=l, 2, ... .
Покажем сходимость ipN. Пусть M>N. Рассматривая
соотношения (23), (24) для номеров М и N и учитывая для им и:
uN соотношения (25), имеем
N М М
Е W-W+ Е '^i^ii^-^i!?^ Е №2+
*=1 fe=AM-l £=#+1
m m _ __ М
/el /=1 k=N+l
N т т т
<J?~Y юг-Е vfPf+E ^f+E rW-
/e=l /=1 /=l /«l
т М
-ЕЛ*+С( Е wi*),/2<^-^+
/=i л=#-н
m
Следовательно, существует t|>e/2 такое, что \\fpN—M\it->Q, N-

Из (26) вытекает сходимость yN:
оо
Последовательность uN, Af = l, 2, ..., также фундаментальна.
Для доказательства рассмотрим йм и й1*, M>N. Из (24) имеем -
\им-й»\» = J (%M-%W)<hm-Uw, %) +
+(«M-«\ j <«м, Ф;>ф4) <си**1-V'lk +
+ci £ (/й+^)Ф;ц<с(!!г-^||/а+
м
+ (£ /l)1/2 + (^-^),/2)-0, AI.JV-oo.
Следовательно, существует элемент u^L такой, что и— lim m*\
N-►00
m
Рассмотрим последовательность vN = V X, c\, N— 1, 2,
Векторы A,^=(Ai, ..., Ят^) удовлетворяют соответствующим
условиям (16), (17) для аппроксимирующей задачи (22) и
минимизируют функционал
т
1=1
Условия (16), (17) можно записать в виде совместной системы
неравенств, в которых yN фиксировано. Если эта система имеет
ранг г, то [120] существует XN=&iN> -.••» ^mN)9 который
удовлетворяет этим неравенствам, причем обращает в равенства г
линейно независимых неравенств. Тогда в силу равномерной
ограниченности правых частей получаем, что W также
равномерно ограничены, а следовательно, ограничены и элементы
vN9 Af=l, 2, Используя предельный переход в соотношениях
(23) — (25), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть система с/, /=1, т, линейно независима
и содержится в L. Тогда дополнительно к утверждениям
теоремы 1 \\uN—u*\\-*0, N-+00, где u*<=L — нормальный
оптимальный элемент в задаче (1), (2).
Следствие 2. Пусть система с/1, /=1, ту линейно независима.
Тогда в задачах (1), (2) и (22) -у=7^ = 0 и дополнительно к
57

утверждениям теоремы 1 \\uN—w*||-^0, где и* — нормальный
оптимальный элемент задачи (1), (2).
Доказательство. Записывая соотношения (19) — (21) для:
аппроксимирующей задачи и используя предельный переход;
в них, получаем, что № сходится к параметру А,, сответствукк
щему нормальному оптимальному элементу.
В заключение наметим вычислительную схему
приближенного решения задачи (1). Сначала решаем вспомогательную
задачу
/"(lO-nnf, uzeLn. (27)
Обозначим ее решение (единственное) через Uoo*N и
соответствующую невязку через ty0N. Для определения Uoo*N можно
воспользоваться вычислительной схемой § 2, примененной к задаче
(27). Далее, решая линейную систему, получаемую усечением
системы (12), находим г^'Л /=1, 2, ..., т. Из системы
определяем щ№9 /=1, ..., т. Далее, из системы (16), (17) прк
P/ = PA и1 = иш, Uoo* = Uoo*N находим (yiNy ..., ymN), {hNy -.-
..., XmN). Тогда оптимальное решение uN задачи (22)
запишется в виде
т т
§ 5. ДРУГАЯ СХЕМА ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА МОМЕНТОВ
1. Описание метода. Вернемся к задаче
J(u) = \\Au-f\\F*-+miy u^URi (1)
UR = {u€zH:\\u\\^R), 0<i?<oo,
которая уже рассматривалась в § 1—3 (см. задачу (1.33)).
Здесь мы сведем задачу (1) к другому варианту обобщенной
проблемы моментов и опишем метод ее решения. Как была
показано в § 1 (см. (1.47), (1.48)), для того чтобы u^UR*t
необходимо и достаточно существования такого у^О, что
А*Аи+уи=А% uzeH, (2)
Y(NI-*)=Of ||а||<Д, 7>0; (3>
в случае /? = оо здесь рассматривается лишь условие (2) с у = 0-
Пусть h\y •.., hky ... — некоторая полная в Н система. Тогда
равенство (2) можно записать в следующем эквивалентном
виде:
(и, A*Ahk) + y(u, hk) = (fy Ahk\ иеЯ, ft =1, 2, ... . (4)
58

Если Y^O» то Условие (4) Для определения оптимального
элемента может быть записано в виде классической проблемы
моментов
(и, Ф*>=/ь *=1. 2> •••» щ=А*Акк, /*=</> Ahk\ ft=l, 2, ... .
Задачу определения пары (у, и), удовлетворяющей
соотношениям (3), (4), также назовем обобщенной проблемой моментов
для задачи (1), а ее решение (у, и) — оптимальной парой.
Лемма 1. Пусть (yt, щ), 1=1, 2, — две оптимальные пары
системы (3), (4). Тогда Yi=Y2, pvLUi = prLu2y где L = R(A*)t
pVLu — проекция элемента и на L. Если Yi==Y2=Y>0> то Щ = и2.
Доказательство. Согласно теореме 1.3 Ащ = Аи2, поэтому
A*!Au\= А*Аи2. Отсюда и из (2) следует y\Ul = y2u2. Тогда из (3)
вытекает y\R=y2R, т. е. Yi=Y2- Поэтому из (2) имеем
(А*А + у1) (Щ—и2) = 0. Если y>0> то оператор (А*А+у1)
является положительно определенным и обратимым [121] и поэтому
щ = и2. Если y = 0> то» учитывая, что их—u2^N(A)t N(A)x = Ly
имеем prL(Ui—ы2)=0, т. е. prLUi = pTLu2.
Для каждого натурального N=1, 2, ... обозначим через
##, FN и ##+ линейные оболочки конечных систем {hu ..., /*#},
{Ahu ..., ЛЛ^} и {ЛМЛь •••» ЛМЛ^} соответственно. Задаче
(3), (4) сопоставим аппроксимирующую задачу: определить
пару (yN, uN) из условий
(и»9 A*Ahk)+y»{u\ hk) = (f, Ahk), u^HN+, k=lf 2, ..., N9 (5)
yN(\\u»\\-RN)=0, \\u»\\^RN, y»>0, (6)
где RN — некоторое приближение к R.
Сформулируем задачу вида (1), для которой условия (5),
(6) являются критерием оптимальности. Для этого определим
оператор ортогонального проектирования PN, который
проектирует элементы из F в подпространство FN. Используя самосбп-
ряженность ортопроектора PN: PN*=PNf равенство PNAhk=
— Ahk, k = l, 2, ...., и полноту системы hk, k=l, 2, ...,
преобразуем равенства (5) к эквивалентному виду
A*PNAu»+y*u» = A*PNf, uzeHn+. (7)
Поскольку PN* = PNt то из (7) имеем
(PNAyP„Au» + y»u»={PNAyf, u"zeHn+. (8)
Ааким образом, соотношения (6), (8), а следовательно, и
условия (5), (6) являются критерием оптимальности для задачи
J»(u) И|РПи"-/11 A+inf, и€=С/*П#*+,
(9)
Un = {uzeH:\\u\\^Rn}.
Оператор PNA в задаче (9) нормально разрешим, поскольку
область его значений R(PNA) конечномерна в F. Поэтому сог-
59

ласно теореме 1.5 в задаче 9) при всех RNi 0<Rn^°°9 опти- щ
мальное решение uN существует. Но тогда и в соответствующей: I
усеченной задаче (5), (6) при всех RNt 0<Rn^°°, существует Я
оптимальная пара (yN, uN). I
Покажем единственность решения задачи (5), (6). Пусть 1
(yiNy Щм), i=l, 2, — два решения этой задачи. Применив лем- 1
му 1 к этой задаче, заключаем, что 7i^ = Y2* = 7^- Воспользуем- I
ся представлениями uxN=A*Avu u2N=A*Av2, Vi^HN, /=1, 2. 1
Сравнивая для них равенства (5) и подставляя на место hk 1
разность v\—v2, получаем 1
(щя—щ", A*A(vl—v2)) + yN(ul^—u2^ vx—v2)= I
= \\uxN-u2Nr+y4A (vx-v2) ||2=0. I
Отсюда следует, что UiN = u2N, причем в отличие от задачи (3),. 1
(4) это равенство верно и в том случае, когда 7^=0. 1
Для поиска оптимальной пары (7*, uN) задачи (5), (6) мож- 1
но предложить следующую вычислительную схему. Решая сие- ]
тему линейных алгебраических уравнений 1
YuN(A*Ahi9A'Ahk) + y£ u*i(Aht,Ahk) = (ffAhk)9 *= 1, 2,..-, iV. I
(io> 1
при фиксированном y^Q определяем величины uxNy ..., uNN к. 1
элемент 1
и»(у)=*£и»А*АЬк. I
л-i I
Если 11^(0)||<i?, то полагаем 7^=0, RN=R- Если же I
\\uN(0)\\>R, то 7^ находим, решая уравнение I
1К(т)Н=Я, (П) 1
причем 7^ может быть приближенным решением уравнения I
(11): 1
\\u»(y»)W=RN. I
Существование решения уравнения (11) следует из того, что-I
функция II ^(7) II непрерывна, строго монотонно убывает, 1
lim ||м^ (7)||=0 (см. лемму 1.1 и следствие 1.1 применительно к I
задаче (9)). Пара [yN, uN(yN)) оптимальна для задачи (5), (6). Щ
2. Сходимость. Исследуем поведение оптимальных пар щ
(yNt uN) при N-+oo. Щ
Теорема 1. Пусть в задаче (1) при i? = oo множество» ■
Uoo*=£0. Тогда оптимальные пары (yN, uN) задачи (5), (6) при щ
60 1

всех 0<R^°° сходятся при N-+oo к оптимальной паре (-у, и}
задачи (3), (4):
lim y^=v, lim \\uN — uRm\\ = 0, (12>
здесь ur* — нормальное решение задачи (1).
Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая: -у>0 и
1) Пусть y>0. В этом случае в исходной задаче (1)
значение R конечно. Поэтому последовательности и1*, N=1, 2, ...,.
и A*PnAun, N=1, 2, ..., ограничены в Я. Правые части A*PNf
в (7) при каждом фиксированном f^F также ограничены в Я,
следовательно, из (7) имеем ограниченность произведений
yNuN, а из (6) и (7) — ограниченность числовой
последовательности yN, N=l, 2, В силу ограниченности
последовательности uN, N=1, 2, ..., и yN, N==l, 2, ..., можно считать
сходящимися: uN-+u0 слабо в Я, y^-^Yo> N-+00.
Линейные непрерывные операторы А и А* переводят слабо
сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся, а ортопро-
екторы PN : F-+FN слабо сходящиеся в F последовательности,
из R(A) переводят в последовательности слабо в F сходящиеся
к тому же пределу.
Докажем последнее утверждение. Пусть gN^R(A), gN-*g
слабо в F, N-+oo. Произвольный элемент p^F представим
в виде
Р = Ро + Ри PoZeN(A*), px*ER(A).
Тогда можно записать
(PNg\ p) = (gN, PNp) = (gN, PnPo+PnPi) =
= (g", PNPl—Pl)+(gN, Pi).
Отсюда в силу соотношений
\\PnPi—Pi 11-^0, (g\ pO-^ig, pi), N-+00,
получаем
(PNgN, P)-+(g, P) = (g, P0 + Pl>, N-+OO.
Таким образом, имеем A*PhAun-+A*Au0 слабо в Я, N->oo„
Кроме того, \\A*PNf—A*f\\F-+0, N-+00. Поэтому, переходя в (7)
к пределу при N-+oo, получим уравнение
A*Au0 + y0u0 = A*f. (13).
К нему можно добавить условия
и0€=Д(Л*), То>0, (14)
и неравенство ll^olK/?, которое следует из (6) и слабой
полунепрерывности снизу нормы. Из этого неравенства и (13)
заключаем, что Vo>0, иначе у задачи (1) были бы оптимальнымй-
611

сразу две пары: (у, и) и (70, и0) с различными компонентамщ
7>0 и 7о = 0, что невозможно в силу отмеченной выше единств
венности первой компоненты. щ
Вычтем (13) из (7) и умножим полученное равенство ска*
лярно в Я на uN—и0: щ
(A*PNAuN—A*Au0 + yKu"—y0u0, u"—u0) = (A*PNf—A*fy uN—и0)Ш
После несложных преобразований имеем ■
\\PN(Aufi—Au0)\\* + {PN(Au0)— Auq, A(u»—u0))+ 1
+ y0\\u"—u0\\2+ (yN—yo)(uN, uN-u0)= (15)1
= W-/, А (и»—щ)) = (PNf—Qf, A (u*—u0)). I
Лервое слагаемое в левой части (15) неотрицательно, втором
стремится к нулю в силу сильной сходимости PNAu0-+Au0 щ
ограниченности в F последовательности AuN. Четвертое слагав
емое стремится к нулю в силу ограниченности в Я uN, N=m
= 1, 2, ..., и сходимости 7^ к 7- Сходимость к нулю правойи
части (15) следует из предельной плотности в R(A) подпрост-Я
ранств FNy в силу которой ||/V/-~QfWr-^0, и из ограниченности!
в F последовательности AuN. В результате из (15) с учетом»
того, что 7о>0, получим сильную сходимость uN к uq: 1
II и"—ИоН-^0, N-+oo. 1
Сильная сходимость uN к щ позволяет перейти к пределу!
и в первом соотношении из (6): 1
7о(Ы-/?)=0. (16)1
Собирая вместе (13), (14), (16) и неравенство НмоН^Я, можно!
-заключить, что,пара (70, ti0) наряду с (7, и) является опти-1
мальной для задачи (1) и 7==7о, и = щ. 1
2) Пусть 7 = 0. Рассмотрим пары (0, vN), где vN удовлетво-1
ряют условию (5) или (7): 1
A*PNAv* = A*PNf. (17)1
Вычтем (2) с 7 = 0 из (17) и умножим полученное равенство!
скалярно на произвольный элемент ЛеЯ#: 1
(A*P„AvN—A*Au, h) = (A*PNf—A*f, h\ he=HN. 1
Левую часть преобразуем к виду I
(PNAvN—Au, Ah) = (AvN, PNAh)—(Au, Ah)= 1
= (vN—u9 A*Ah), I
-а правая часть оказывается равной нулю, так как 1
(A*PNf, h) = (PNf, Ah) = (f, PNAh) = {f, ЛЛ) = (Л*/, А). 1
€2 1

В результате получим тождество
(vN—и, v) = Qy уеЯД
оторое в совокупности с условием vn^Hn означает, что
элементы vN = prH+u являются ортогональными проекциями
элемента и на подпространство ##+. По предположению
подпространства Hn предельно плотны в Я, следовательно, подпростран-
ства HN+ предельно плотны в R(A*A), но R(A*A) =R(A*), а
u^R(A*)y поэтому имеет место сильная сходимость vN к и:
ц^—ин-^о, N-+00. (18)
Возьмем теперь усеченную оптимальную пару (yN, uN). Если бы
значение yN было положительным: y^>y==0, to в силу
определения yN получаем противоречивое неравенство i?<||t^||^||tt||^
^R. Таким образом, y^^Y^O- Но тогда uN =vN = ргя+м, к
предельное соотношение (18) выполняется для uN. Теорема.
доказана.
Обозначим через г|) и tyN невязки соответственно для задач.
(1) и (9):
ty=Au—/, tyN = PNAu—f.
Тогда в силу доказанной сходимости uN к и соответствующие
невязки также сходятся:
U-^N\\F=\\Au-f-PNAuN+f\\<\\Au-PNAu\\+
+ \\PNAu-PNAu4^\\PNAu-Au\\ + \\A\\\\u-v"\\.
Как было показано, при y = 0 Для всех N=1, 2, ... y^ = 0 ц
uN является проекцией элемента и на подпространство Hn .
В случае у>0 можно показать, что справедливы следующие-
оценки скорости сходимости:
\y-y»\ + \\u-u»\\^C&N,
где константа С>0 не зависит от N, а величина
6* = \R—RN\ + \\Au-PNAu\\ + WPtf—Qfl
При R = oo задача (1) превращается в хорошо известную»
задачу поиска квазирешения операторного уравнения
Au = f.
Устойчивые методы решения такой задачи исследовались
многими авторами (см., например [79—84]). При 0<R<oo зада-
ча (1) и система (3), (4) исследовались в [25] в
предположении, что оператор А вполне непрерывен и известна полная в Н
°ртонормированная система hu ..., hki ... собственных
элементов оператора А*А.
6£

Глава 2
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОМЕНТОВ К ЗАДАЧАМ
С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ
§ 1. ЗАДАЧА С ТЕРМИНАЛЬНЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ 1
И УПРАВЛЕНИЕМ В ПРАВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ 1
1. Постановка задачи. Обобщенная проблема моментом
"В данном параграфе рассмотрим задачу минимизации функция
онала Я
J(u) = \x(T, u)-y\* (1|
на решениях х (t) = х {t\ и) уравнения 1
x=A(t)x + B{t)u + f{i), t0<t^T, *(/0)=*o, (21
управление u(t) выбирается из некоторого множества 1
UczL2r(t09 Г). (3|
Здесь A{t) — матрица пХп с элементами из Lco(t0y T)\ B(t) -■
матрица пХг с элементами из Loo(t0y T)\ f(t) — векторя
•столбец с элементами из Ьг(/о, Т)\ to, T — моменты вреЯ
мени; точки х0, у^Еп\ L2w(/o, Т) — гильбертово пространстве
вектор-функций l=l(t) = (l\ (t), ..., lm{t)) с измеримыми щ
интегрируемыми с квадратом по Лебегу на (t0t Т) компонентам
ми, в котором скалярное произведение и норма введены шя
правилу Я
2 °' 2 п 1
H^Il^o.t-) == "^2 = ^' ^i%{t0jy 1
В тех случаях, когда из контекста ясно, о каком именно про!
странстве идет речь, будем опускать в обозначениях норм щ
скалярных произведений элементов этого пространства соотЯ
ветствующие индексы. Я
Система (2) при каждом u(t)^L2r(t0y T) имеет единственЯ
ное решение x{t)=x(t; u)<=Cn[t0f Г], x(t)^L2n(t0>T ), причем 1
тах\х^)\^Сх(\\и\\ + \\П+\Хо\)9 (4|
где константа Ci = Ci(£0, T, А, В)>0. Я
Введем систему Я
р+Атр = 0, to^t^T; (5|
множество всех ее решений обозначим через Р. Я
ы я

Лемма 1. Для того чтобы выполнялось равенство
х(Т; и)-у = У,
\jr — некоторый вектор из Еп, необходимо и достаточно,
чтобы
{и, BTp)Lr2-(V, P(T)) = а(р), ре=Р, (6)
а(р) = (у, р(Т))-(х0, p(t0))-(f, p)Ln.
Доказательство. Необходимость. Пусть выполняется
равенство х(Т; и)—у=Ч и p=p(t)^P. Тогда
(y + V,p(T)) = {X(T;u),p{T)) =
Т
to
Отсюда с учетом уравнений (2), (5) получаем тождество (6).
Достаточность. Пусть выполняется (6). Умножая (2) на
p(t)^P скалярно в L2n(t0f T) и преобразуя слагаемое
{х, p)l2 по частям, получаем
(х(Т)9 р(Т))ЕП-(х0, p(t0))^=(uf В*р)^ + (/, p>L„.
Складывая это равенство с (6), имеем (х(Т) — у—ЧГ, р(Т))£п=0.
Пользуясь произволом в выборе p{t)^P, можем взять р(Т) =
=х(Т)—у—Ч?. В результате придем к равенству х(Т)—у = у¥.
Лемма доказана.
Определим базисную систему решений (6) р*(0, А=1, 2, ...
..., п, условиями
pk(T)=ek, Л-1, 2 л, (7)
где еь ..., еп — какой-либо ортонормированный базис в Еп.
Нетрудно видеть, что тождество (6) эквивалентно равенствам
(и, BTpk)~a(pk)=(V, pk(T)) = (x(T; и)—у, ek\
(6')
А>=1, 2, ..., л.
Так как
x(T)-y = J]<x(T)-»felk>elk>
то с учетом (б7) имеем
'<и) = |*(Г;и)-у|««^
65
3 Зак. 358

' 'Ц
Таким образом, получаем эквивалентную формулировку зада- |
чи (1) — (3) в виде обобщенной проблемы моментов: |
^(") = E \(u,BTpk)L-ak\*^inl uesU, (8)1
где числа 1
<tk = <*(pk) = (y, fik(T))^—(x0f pk(t0))En—(fy pk)Lz9 (9) J
k= 1 2, ..., n. 1
Отметим вытекающие из 6*) и (9) равенства
ak = (y-x(T; 0), ek), {и Втрк)1,= (хг(Т), ek)9 k=T7Ty
I
где x\(t) — решение (2) при х0=0, fz=0. 3
Применяя к задаче (8) теорему 1.1.7, получаем, что если I
проекция множества U на подпространство lin{BTpk, fe=l, n} \
замкнута, то множество оптимальных управлений U* в задаче |
(1) — (3) непусто. |
Рассмотрим случай U = L2r(t0t Г). Тогда и* = иоо*ф0 и 1
согласно теореме 1.1.3 нормальное оптимальное управление ]
Woo* представимо в виде ]
п \
Uoo* = J] ukBTpk. \
Получим коэффициенты и\9 ..., ип. Согласно § 1.2 задача (8) \
эквивалентна системе (см. (1.2.8), (1.2.18))
п
Y,*kBTPk = 0, (10)
fe=l
(и, BTpk)Lr2—^k = akt k^YTn, (11)
относительно неизвестных
п
Т=Е*А = (*р ...,♦„), u<=Lr2(to> T).
Пусть система BTpk, k=l, л, линейно независима. Тогда
в силу (10) г|?* = 0, й=1, л, и, следовательно, /оо* = 0, а
нормальное оптимальное управление имеет вид
п п
uoo.=£ ukBTPk= £ «л(о. (12>
где sk(t), £=1, n, — биортогональная к BTPky &=1, n, система, •
66

коэффициенты uk, k=lt n, определяются из уравнения (11)
при ^ = 0» k=ly п. В частном случае г = п и невырожденной1
матрицы B(t), *e[f0, T] имеем
п
«со. = (T-toyl £ (у-х(Т; 0), ek) ЕГХ (t)~sk =
П
= (T-torX £ «J/, **>-<*<>> ft('o)>-</. Pk)Ln)BTl{t)sk(t)y
где 5^(0» А=1, л, — решения уравнения
s*=>4sfc, sk(T)=ek, k=l, n.
Линейная независимость функций BTpk, fe=l, п, является
необходимым и достаточным условием полной управляемости
системы (2), т. е. для любых лг0, у^Епу f^L2n(t0i T) существует
управление u(t)^L2r (/0, T) такое, что решение x(t)=x(t\ и)
удовлетворяет условию х(Т)=у. Если матрицы А, В не зависят
от времени, то этот критерий эквивалентен известному условию
[4, 17, 24] rangB = n, где матрица В=(В; АВ\ ..., Ап~хВ). Для
матриц А и В, зависящих от времени, различные достаточные
условия полной управляемости при дополнительном
предположении о гладкости или периодичности элементов матриц А и
В приведены в [4, 17, 24].
Рассмотрим случай, когда BT(t)pk(t), £=1, п> линейно
зависимы. Пусть BTpky k=ltm, m<n, — одна из максимальных
линейно независимых подсистем системы BTPk, &=1, п, а
остальные линейно выражаются через нее следующим образом (см.
(1.2.4)):
m
BTpk = £ akfBTpf9 k = m + 1, п. (13)
Если sj(t), /=1, m, — биортогональная к BTpk> k = l, m,
система, то akj = (BTpkj s/>, /=1, m, k = m+ly n.
Согласно § 1.2 с учетом (13) if»*, fe=l, /г, и и,
удовлетворяющие (10), (11), определяются единственным образом из
системы равенств (см. (1.2.9), (1.2.10), (1.2.19)):
п
*л+ S */«/* = °» k=Y~my (14)
tfc+Ea*/ S «*/*< = J «««/—«n. * = m + l, ", (15)
/=1 £=m+l y=l
3* 67

Из равенств (15), полагая 1^ = 0, ft=l, я, и вспоминая опреде- 1
ления pk, ak, k=l, /г, получаем описание множества
достижимости {z=x(T\ и), ue=L2r(t0 Т)} для заданных х0(=Еп и f(t)^
^Ь2пЩо, Т). Это множество состоит из таких ге£", что
тп
(*—х(Т; 0), ек—^к^)=0, k = m + TTn.
Если #o=0 и f(t)^0t то множество достижимости имеет
простой вид:
m
(*» ek)= Ц «*/(*. */>. * = m+l, n.
Если \pk, &=1, m, определены по (14), (15), то из (16)
получаются представления для tioo* и /«>*:
m m n
&=1 /г=1 *=1
В данном рассмотрении предполагалось, что известны
коэффициенты а*/, /=1, m, k=m+l, n, из (13). Если
коэффициенты неизвестны, то можно г|^, £=1, л, и*, £ = 1, п, определять
из эквивалентной (10), (11) системы
п
Yyk(BTPki втР/) =0, /=ТГй.
^=1 2
Отметим, что представления (12), (17) нормальных
оптимальных управлений дают возможность определять их глад- I
кость, которая зависит только от гладкости элементов матриц |
A{t), B[t). Например, если A(t), B(t) не зависят от ty то
Woo* (0 — аналитическая функция; если элементы матриц Л, 5|
принадлежат Cnp[to, Г], то Woo*(O^CV>|7o, T]. ]
Отметим также, что из теоремы 1.1.5 следует корректность
задачи (1)—(3) при £/=L2r{/o, T), причем справедливо
неравенство (см. 1.1.49)
п
р2(«. £/«•)= inf II"—о Ik = 11 л*— "—Hi,;
<С(/(и)-/о„), ue=Lr2(*o> T),
2 <
68

где Ри — проекция и на подпространство \m{BTpky &=1, n}f a
константа С = тах J] {sk, v)Lr
Рассмотрим задачу (1) —(3), когда множество допустимых
управлений
U = UR = {vel£(t0, T):\\v\\Lr2^R}y 0<R<oo. (18)
Согласно § 1.3 для оптимальности u^Ur необходимо и
достаточно, чтобы существовали у, г|)^, &=1, л, удовлетворяющие
условиям
п
1>Л + У" = 0. (19)
(". BTpk)Lr—qk = ak, k = u~n, (20)
. Y(ll"ll,r-^) = 0, ||«|L, < Я, Y>0. (21)
L2 L9
причем 7, г|)й, &=1, /г в (19) — (21) определены однозначно, а
при 7>0 и управления и однозначны (см. лемму 1.3.1).
Для решения (19) — (21) можно применить схему,
изложенную в § 1.3. Описание решения (19), (20) при 7 = 0 было дано
выше. При 7>0 (19), (20) является невырожденной линейной
системой, и ее можно записать в виде
п
Е (** + Y"ft) (ВТрк, ВГР/) = 0, у = й~п,
(22)
П
£wt(BTft, BTpk) r—% = ak, k=rTny
t=i 2 • -
где ukt k=ly n, — коэффициенты разложения
Если воспользоваться разложением (13), то система (22)
принимает вид
п
69

%— E «*/♦/ = £ ak/af—ak, k = m + 1, n, (23)
S "ft {fi^ft. BTpj) . — $; = Of, j =1, til.
fe=l
Определив из (22) или (23) ¥{у), h(y) при фиксированном!
7^0, полагаем
0, если ||м(0)||<#,
V*: lYo, если ||и(0)||>Я,
где Yo — решение уравнения ||h(y)||—/?. Полученная тройка■
(Y*, ^(y*)> и(у*)) оптимальна для (19) — (21), и(у*) — нор-|
мальное оптимальное управление задачи (1) —(3), (18).
Обозначая через й=(ии ..., tin) a=(au ..., ап) векторы, через В
матрицу с элементами {(BTph BTpf)Lr}nitj=u задачу (8), (18)1
можно записать в виде конечномерной квадратичной задачи
математического программирования
/„(«) = \Вй—a\2Enr+ml (Ей, u)^i^R2 (24)
и для ее решения использовать различные численные методы *
[87, ПО—114]. Применяя к (24) правило множителей Лагран-
жа, получаем, что для оптимальности й^Еп в задаче (24)
необходимо и достаточно, чтобы существовало число y>0»
удовлетворяющее соотношениям
{В2 + уВ)й = Вау
у((Ви, u)^-R2)=0, (B£u)En^R\ (25)
равносильным (21), (22).
Отметим вытекающую из (5), (19), (20) оценку для функ-j
ции и {у)
п
\\»ml'2<j^ai = -~\y-x(T; 0)\2ЕПг
у И у
где константа C2==C2(fo T; А, В)>0 (см. (1.3.7)). Из теоремы
,1.1.5 вытекает корректность задачи (1) — (3), (18). Остаются
справедливыми утверждения относительно гладкости
оптимального управления и* = и(у), отмеченные выше для глобального
оптимального управления и<х>*.
70

В случае, когда множество U задано линейными
неравенствами
U = {veli(t0, T):(v, ^>Lr<p„ к==1~й}>
согласно § 1.4 для оптимальности u^U необходимо и
достаточно, чтобы существовала тройка (у, -ф, и) такая, что
п
т
/=1
(и> BTpk)Lr2—qk = ak, k^\7ny
у,-((и, су>-Р/) = 0, у/>0,
(и, с/ХР/, /=1, т.
Решение задачи в этом случае дается общей схемой § 1.4.
2. Конечноразностная аппроксимация. Построим разностный
численный метод решения задачи (1) — (3), (18), обладающий
сходимостью по управлению в среднем квадратичном и
основанный на аппроксимации исходной задачи разностными
задачами, для решения которых используется конечномерный
обобщенный метод моментов. Введем на отрезке [t0, T]
последовательность сеток {tt9k}^Q9 k=h 2, ..., с узлами ^,* = й (здесь
и ниже для краткости в обозначениях номер &, как правило,
опускается), U<t\<.. .<tu = T и, используя для аппроксимации
системы (2) простейшую явную схему Эйлера, заменим задачу
Ш—(3), (18) на задачу
•Ми*) =!**(#; uN)—y\&-+inl9 uneeUn, (26)
JCN(i)=-xN(i-l) + [AN{i)xN(i~l) + BN{i)ui+fN(i)]Miy i=T~N,
(27)
XN У®) — X0,
UN = {uN(t)<=L2N(t0, T):\\uN №<!&}, ДЛ-*-/?, N-+oo,(28)
где
L2N{tQ> Г) = К(/)бД(/0) T)\UN(t)=Ut, tt-i^t<tt, i=UV},
71

и
Av(0 = -^- J A(t)dt, BN(i) = -±~ ^B(t)dt, fN(i) =
t.
i
1 i
K.im
dt, Atc = it — ti-U /=1, iV.
't-x
Если элементы матриц Л(/), 6(0» /(0 кусочно-непрерывны, то
в качестве их аппроксимаций можно взять
AN(i)=A(ti + 0), BN(i)=B{tt + 0), fN(i)=f(ti + 0), t=l, N.
Будем отождествлять сеточные функции g# (0> t = 0f N, с их |
кусочно-постоянными продолжениями gv(t) =gN(i), ti~\^.t<ti>
f=l, N. Определим дискретную сопряженную систему
Pn{1— l)=pN(i)+ANT(i)pN(i)Atiy *=1, N9 (29)
и сформулируем утверждение, аналогичное лемме 1.
Лемма 2. Для того чтобы решение системы (27)
удовлетворяло условию
xN(N; uN)—y=^N, (tyN^En)y
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
(uNt BTNpN)Lr2—(ypN, pNW)^{y, pN(N))En—(x0> pN(0))En—(fN,
где PN — множество всех решений сопряженной системы (29).
Пусть {р%}"=\— базисные решения (29), удовлетворяющие
конечным условиям
pNs(N)=eSy
где es — s-й столбец единичной матрицы размерности пХпу а
числа
ам = ам(Рм) = (У> Рм(Ю)Еп—(х0> РмФ))^ — (fN> PN)ty Pn^Pn'
Тогда задачу (26)—(28) можно записать в виде обобщенной
проблемы моментов, аналогичной проблеме (8):
п
Jn("n)=Y\(un> B%)r-aN(ttN)\* + ltd, unze UN. (30)
s=l L2
Согласно § 1.3 для оптимальности управления uN в задаче Щ
(26) — (28) необходимо и достаточно, чтобы при некоторых
Y*>0, VN = №n1> • • • > W) ^£n (31)
72

выполнялись условия
(uN, B'spPN)Lr2—% = aN(psN), s=l, n, (32)
П
Y*%B"PkN + yNU" = 0> (33>
fe=l
Y^(II^ILr-^) = Oi uNeUN. (34>
Компоненты yN и ф# оптимальной тройки (y#, *флг, "#)
согласно лемме 1.3.1 определяются однозначно, а при у#>0
единственно и оптимальное управление uN. Для произвольного у>0
задача определения tyN и *% из условий (31) — (33) имеет
решение, причем
п
uN = uNty = uNty(i)= £u*N Bj/ (i)pN(i).
S=:l
Числовая функция y-HI^w.vIIl'' является непрерывной на
полуоси 7^0» стремится к нулю при у-^+оо, а в
предположении, что управление uN(t)==zO не является оптимальным, строго
убывает на множестве у^О. Компонента ум оптимальной
тройки (ум, ^лг, и#) определяется из условий
(0, ||и*,о||,г</?*.
yN~~\yN.O,\\UNto\\Tr>RN*
Ч\
2
где yN) о — единственный положительный корень уравнения
II "tf.vlLr ==#//•
L2
Соответствующее этому yN управление u,N*=iiN,y является
нормальным оптимальным управлением задачи (26) — (28)ь
единственным в линейной оболочке
LN = lin({q'N}2Li)9 qsN = BTNp*N,
а множество UN* всех оптимальных управлений задачи (26)—
(28) имеет вид
UN*=(uN* + LN±)[\UNy
гАе Ln-1- — ортогональное в L2N(to, T) дополнение к линейной
оболочке LN.
На основании вышесказанного можно предложить
следующую схему вычисления нормального оптимального управления
un* задачи (26) — (28). Сначала понижаем размерность задачи,,
исключив -фдг и формулируя проблему моментов (31) — (34) как
73;

задачу определения у>0 и коэффициентов и= (щ, ..., ип) из
условий __ _ _ L
В2й+уВй=Ва, (ЗШ
_ i
у((Ви, u)En—R2N)-=0, {Ви, u)^</?^, (36||
где В — матрица порядка пХп с элементами
Bs/=(5^ BNpfN)Lr2, s, /=1, л,
а а — вектор-столбец с компонентами aN(pNs), s=l, п. ДалееД'
решаем при различных у^О систему линейных алгебраических!)
уравнений (35) относительно й, выберем у из условия (36)J
Поиск по у ведем с учетом свойства монотонности числовой!
функции
V-*\\UN,v\\lr2=(Bu, u)En. I
п I
Соответствующеенайденньму и й управление uN=*uNty= J]ws XJ
X qsN — искомое нормальное решение задачи (26) — (28).
Пусть размерность линейной оболочки
I=Iin(fo«(OZ-i), qs(t)=BT(t)ps(th
где ps(t)y 5=1, n, — решение задачи (5), (7), равна т, т^я. |
Без ограничения общности можно считать, что базис L
составляют первые т векторов qs(t), s=l, т. Дальнейшие рассмот-1
рения проводятся в предположении, что для всех достаточно]
больших номеров N размерность линейной оболочки
Lw = lin({<7^U)
также равна т. Это условие заведомо выполняется в случае!
линейной независимости системы функций {qs(t)}'i=s=\t а также]
в случае, когда элементы матриц Ли В не зависят от t.
Действительно, в первом случае совпадение размерностей
dim LN=4imL=n
при достаточно больших N следует из сходимости qNs(t)-+qs(t)
при N-+oo в L2n{to, T). Во втором случае размерности
пространств LN и L совпадают, поскольку они равны одному и тому;
же числу — рангу матрицы (В, АВ, А2В, ..., Ап~1В). Отметим,
что при достаточно больших N из равенства dimLN = dimL я\
сходимости q%~->qs при N-+oo в l^(t^ T) элементы]
{qsN (0}S=i образуют базис в LN.
74

Лемма 3. Для всех uNi vN^LN справедлива оценка
\\uN—vN\\2Lr2^C0(JN(uN)—JN(vN) — {fN(vN)1 uN—vN)Lr^ (37)
где константа
т т
С0= max £<^, t;)2,<£!|^1|2Lr<||Q^MI2 = IIQ^II2.
L2
Здесь qsNy s==l, m,—биортогональная система к qsN> s=l, m,
Qn> Qn—матрицы Грама соответственно для систем qsN, s= l,m,
и Ijfr, s=l, m.
Доказательство. Применяя тождество (1.1.36) к
функционалу (30), получаем
JN(UN) — JN(VA) — (J'N(VN)t UN — VN)r =
*-2
п тп
s=l ^2 Sa:sl L2
Для оценки последней суммы воспользуемся неравенствами,
-справедливыми для всех xN^LN:
m m
^ s=l * s==l * z
m m
•1141 ^1 s=l ^2 2 s=l 2
tn m
<(E<*.ft>!s)",(Eii*«y"*<
s=l s,/=l
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть разбиения {^}£Lo отрезка [to, T] таковы,
что
max Afj^C, min Д^-^0, N-+oo, Сг = const >0.
75

Тогда нормальные оптимальные решения uN* задач (26)—(28)
при Л/->оо сходятся в ^2^0» Т)к нормальному оптимальному-
управлению и* в задаче (1) —(3), (18):
IIи*.—и. Lr-*0. #->оо,
L2
причем справедлива следующая оценка скорости сходимости:
II **.- иЛЬ2 < С2 (\\BT-BTN\\ +1| f~fN \\Ln + \\A-AN\\ +
+ max Д/,+ \R—RN\). (38>
Доказательство. Нормальное оптимальное управление и* как
элемент линейной оболочки L допускает представление
s=l
Определим вспомогательные управления
m
М0 =
s=l
UmN (t), U*N e [/#,
#Af II". tf!|7r "*N (t), U*N S t/jy,
L2
M0 = t „„.. „-1
Воспользуемся неравенством (37) при vN = uN*t */#=*/*# и
критериями оптимальности {«/#(*/#*), 6^—имФ)ьг^0, (У (wj, и—
—"•),/■;>0 для всех $N^UNi u^UR в следующей цепочке
неравенств:
11*%*—и*лг||2<Со(/лг(«*лг)— Jn{un*)— (Jn'{un*), u*n—un*))^
<С0 ((/*'.(«**). u*n—Un*)—(Jn'(un*), u*n—vh))<.
<C0((JУ (u*N)-J''(u*), w*jv~^*>+(/,("*), «*лг-ы*>+
+ </'(м*)» и#—uv>+,</'{"*)» vN—uNi,)+
+ II//(и*.)II 1Ы (l-lltt^lh1^)X
<C0(||/i/(m^)—/'{tt.)ll Н"*лг—^.|Ц-Л/;(и*)11 Н"*лг-«.|| +
+ ||/,(^)||||^*||(1-||^.||-1л) +
+ HV(ttiir.)ll(ll«^-w*ll+l^-/f|)-
7e

Обозначая сумму последних трех слагаемых в правой части
неравенства через р# и оценивая левую часть с помощью
неравенства
||или—u.n\\2>— \\un*— aji2—\\u,N—uj\2,
получаем
\\u*-un42<2C0(\\J'n(u*n)-J'{u*)\\X
Х||и^-«лгЛ+Рлг)+2||и*+и^||2.
Отсюда, используя^ вытекающее из х2-—2рх—<7<Ю, <7>0,
неравенство x^2p + yq, приходим к оценке
II" -Или||2<С(||/; (u.s)—J\uJ\\* + Pn+\\u.n-u*\\*)- (39)
Оценим первый член в правой части последнего неравенства
\Wn(u.n)—J'(u.)\\ =[V «и.*, qsN)LrqsN-(u^ qs) qs) +
B.-i *
5=1 S=l
/1
+11 «* W («7s -<fN) | + ||E («(P.) -«* (p**)) <7S [ +
S=l S=l
л n
s=l s=l
+|E <«.*-«., <7S><7S I + (£ <".". ^>»),/f (£ ||flV-^ll,)l/> +
s=l s=l s=l
+ (E(«(Ps)-aw(^))a)1/2(E ll<7sll2)1/2+(£ 1^(^)12),/2Х
s=l s=l s=l
x (S 1^-^112)1/2<[""^||(Е м2)1/2+(Е <«.*• <4>2)1/2+
s=*l s=l s=l
+(t ^wi'HCE ii^-^ii2),/2+||"'jv-"-11£ll<?s|!2+
S=sl S=l S—1
+ (£ \m\2)l/2(^(a(Ps)-aN(ffN)r)
1/2
5=1 ' S^l
77

1/2 _j_
Так как для третьего члена в (39) справедливо
s=l s=l s=l ■
то приходим к неравенству
||и.-и*.||<С{[||и.а,||(Е 1И12)1/2 + (Е (".а/, <78д,>2)1/2 +
S^l S=l
+(Е \а»м\*)т+Т, n?s!ia(E i"sJ2)1/2](E ii^-^н")
S=l S=l S=l S=sl
+(E ihi2)1/2(E (a(ps)-^W)2)l/2+
s=l s=l
+(ii^(«*.) и/' ooii)1/2(E i"sj2)1/4(E ii^-9sii2)1/4-b
s=l s=l
. + (P'(«.)I! \R-RN\+\Wn(UN.)\\X
x\RN-R\f2 + (fl l"s.ia)1/2(E H«?S-^H2)1/2}-
Оценивая выражения
J ll4s-^li2 = X \\втр9-вш\ш<
<2£l|Br||*IIPs-Ptf|l2 + 2 J \\Вт-ВтМПр%\\\
s=\ s=l
rt rt
E (a (Ps)~aN(Ps„))2< E «*o- P% (0)-Ps Со)>в» +
S=l S—l
n
+ Vn, PsN)Ln~(f, P.)Ln)'<2 Е|*вГ1/^(0)-Л('о)1^ +
2 2 s==5j
rt
s=l 2 2
n n
^ 2 [д:012 X1^ sa. (°)—Л (^o) i^ + 4 || f—^ ||^n J] IIP^ II2-b
s=l s=l
rt
+4ii/i!aEn^-ftiii?.
S=l
78

убеждаемся в справедливости оценки
1К-"ли||2<С (\\B*-BL\\ + \\f-fN\\Ln +
+ max max \p*N (i)-ps(t)\ + \R—RN\).
Оценивая третий член в этом неравенстве, приходим к (38).
Теорема доказана.
§ 2. ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ
1. Постановка задачи. Обобщенная проблема моментов.
Рассмотрим задачу минимизации
т
J(u) = \\x-y\\ln = $ \X(t)-y(t)\lndt^ini (I)
при условиях x(t)=x(t\ u),
x=A(t)x+B{t)u{t)+f{t), t0<t^T, x(tQ)=xa. (2)
Матрицы A (t)y B(t) с измеримыми ограниченными элементами»
вектор-функция f(t)^L2n(t0, Г), начальное состояние х0^Еп,
целевая траектория y(t)^L2n(t0, Г), а также величины to, Тг
T>t0 считаются заданными. Управление u(t) выбирается из
некоторого множества
tt(f)e=t/c:L2'(*o, T). (3)
Наряду с (2) нам понадобится однородная.и сопряженная
системы
x = A(t)x+B(t)u{t), t0<t^Tt x(t0)=0, (4)
p+ATp=v{t)9 t0^t<T, р(Г)=0. {5>
Множества их решений, отвечающих всевозможным u(t)^
^L2r(t0y Т) и v(t)^L2n(t0t Г), обозначим через X и Р
соответственно. Для исследования задачи обобщенным методом
моментов воспользуемся следующим утверждением.
Лемма 1. Пусть задана функция x¥(t)^L2n(t0i Г). Для того
чтобы для решения x{t\ u) задачи (2) выполнялось равенство
*(0—0(0=440» необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
тождество
(и, BTpk)Ln — (V, v)Ln = a(p),
а(Р) = {У> v)Ln—(*o> P(to))En—{f, p)Ln,
Для всех р^Р и v^L2nt удовлетворяющих (5).
Доказательство проводится так же, как в лемме 1.1. Введем
истему функций pk^P с помощью условий (5) при v(t)=ek(t)i
79*

где ek(t), k=ly 2, ..., — некоторый ортонормированный бащл
L2n(to, Г). Тогда тождество из леммы 1 эквивалентно равен1|
ствам
(и, BTpk)Lr2—a(pk) = (Vy ek)Ln = (x{t; u)—y(t), ek(t))Ln9
k=lf 2, ....
Отсюда с учетом разложения
со
x(t; u) — y(t)= £ (*(*> и)—У(*)> ek) nek
м равенства Парсеваля
oo
11*0; u)-y(t)\\2Ln=Y\{*Vl »)-y(t), e<k)\)n
имеем
J(u)=\\x(-l u)-y(.)\\ln= £ (V, ek))n= t \(u, BTpk)L-a{pk)\\
-2 CZ
Jfe= 1 z *=1
Тогда задачу (1) — (3) можно переформулировать в виде сл^|
дующей обобщенной проблемы моментов:
оо
^(")=ГК". 5rpfe).-aJ2->inf, u€=U, (Щ
*=1 L2 M
где последовательность
«* = e(ft) = — (*о. Pk(to))E"—(f> Рк),п + {У, ек) п, й=1, 2, ...
В силу представлений
<«» BTPk)Lr2'-=(xv ek)Ln2> *k = {y—*%> *k)i*' Щ
где *i=*i(f) — решение системы (4), а *2=*2(0 =*(*; 0) -Ц
решение системы (2) с u(t)=0, последовательности
{{и, BTpk)Lr}kL\ и {afe}feLi являются элементами гильбертова npciB
странства /2, и справедливы равенства
00 ОО
£ (к, B4>%HI*ill?n. £ \ak\2 = \\x2-y\\2n.
В общем случае система BTPk, k = lt n, может быть неминад
мальной, поэтому согласно общей схеме исследования обоб|
80

.еНным методом моментов введем множества индексов /о, /ь
/ll/i*7^*1, 2' •'' *' /оП/1=:0* Тогда {В7^}*^ —
минимальная подсистема, которую нельзя расширить другими
элементами системы {BTpk}kL\ с сохранением свойства
минимальности. Элементы Втрк, £е/0, можно представить в виде
BTf>k=YakiB% ^7«. (9)
/6/i
Обсудим возможность конструктивного выделения в задаче
(1) —(3) минимальной подсистемы {BTp^keit и построения
к ней биортогональной системы {s/}/e/f Предварительно
докажем следующие свойства системы функций Pk(t), k =
= 1,2,....
Лемма 2. Система Pk(t), &=1, 2, ..., полна в L2rt(^o, T)y a
для ее минимальности достаточным условием является
выполнение для ортонормированного базиса ek(t), k = l, 2, ...,
соотношений
ek(t)e=H4t0f Г), М*о)=0, (Ю)
где Hl(t0y T) — пространство Соболева [122, 123, 126]. Причем
при выполнении (10) биортогональной является следующая
система:
Pk(t)=-e*(t)+A(t)ek(t)9 £=1,2,.... (11)
Доказательство. Пусть Q(t)^L2n(t0f Т) такая, что
<Л> в> =0, Л=1, 2, ....
Рассматривая решение c(t) для уравнения
—с(0+^(0с=в(0, *о<*<7\ c(t0)=0,
получим равенства
0 = (Pfc. 9>l2 = (—^ + Лс» Pk)L* = {c> Pk) +
+ (c9 ATpk)={ct pk + ATpk) = {c, ek), *=l, 2, ....
Отсюда в силу полноты ek(t), fe = l, 2, ..., следует c(/)s=0, а
следовательно, и 8(0=0, т. е. pk(t), fc = l, 2, ..., полны в
L2n(to,T).
Для доказательства оставшейся части утверждения леммы 2
Достаточно убедиться, что функции (11) биортогональны
КМ*), *=1, 2, ...,:
<Р*, Pm) = (pky —em+Aem)=(pk, em) + (ATpk> em) =
= (pk+ATpky em) = (ekj em) = 8km, К m=l, 2, —
Лемма 2 доказана.
4 Зак. 358 31

В случае г=/г и невырожденности матрицы BT(t)y t^[t0, T]
свойства полноты и минимальности системы Pk(t), k=ly 2, . .J!j
переносятся на систему BT(t)pk(t)y k=l, 2,
Пусть {G^^i— столбцы единичной матрицы порядка %
a {r\k(t)}kL\— ортонормированный базис в скалярном прост,
ранстве L2(t0, Т). Тогда система {е%(0 = r\k (t) 0т}~Дт==1 яв.
ляется ортонормированным базисом векторного пространства!
L<2n(to, T). Соответствующие решения сопряженной системы (5jj
обозначим через pkm{t), а максимальную линейно независимую
подсистему столбцов матрицы Вт -г- через {fy}/Li, s^/f!
Пусть остальные столбцы Ьи / = 5+1, пу линейно выражаются)
через них следующим образом:
I
h=Y *iPh i=s+l ,\п. (I2)j
I
Лемма 3. Пусть матрица В не зависит от t и выполнен!
хотя бы одно из двух условий: I
1) тМОбЕЯЧ'о, Т), т|а('о)=0, k = lf 2, ..., A(t)B = BA(tf
r=n\
2) Y)k(t) — аналитические функции, if]k(to)—Oy k = ly 2,
матрица А не зависит от t и ATKev BTczKer Вт.
Тогда:
1) система BTpkm, (ky m)<=Ix={k=\y 2, ..., m=l, 5}, мини|
мальна, причем биортогональной к ней является система
Skm{t)=r)k(t)am—ч*(*)Рт, (13)f
где am, $m^Er определяются условиями
-<&/, am>=6/m, /, m=l, s, 5рт=Л5ат, т=1, 5; (14Ш
2) для функций BTpkm, (kt т)е/0={£=1, 2, ..., m = s+l, n\
имеют место равенства
s
BTPi(t)=YouBTpi(t), (*,об/0. (И
Доказательство. Докажем биортогональность системы (13)
Предварительно отметим, что вектора —am^£r, m=l, 5, в (14)
являются биортогональными к линейно независимым вектораг
bm, m=lf 5, а вектора §m^Ery m=l, 5, в (14) существую!
в силу разложения £,,г=1гп5+Кег Вт [117] и условие
ЛгКег57'с=КегВ7', которое выполнено и в случае 1) при пер*
становочности матриц А и В. Вычислим скалярные произве^
дения:
82

{BTpf, sp4 = (Вrp£, ij,(0a, -t|,(t)&> =
= -(BT$, I\,(t)at)-(BTPS, r,/P\> =
= (BTATpZ-BTr]kQm, %.щ)-(Втр%, i\fi,) =
= Skfimt + (Pk> 4/ (ЛВа,—Bp,)) = 6jy6m„ (ft, m), (/, 0 s /r
Установим справедливость разложений (15).
Продифференцируем по * функции BTpkl{t), где
s
й(о=/*(0-5>*//*<о-
Тогда, учитывая равенства (5) и (12), получаем
S
Я^ + Д^=ЛЛ(0(б*- 5>Л)=0. *о<'<Г. (16)
При выполнении 1) отсюда в силу условия р^(Т)=0 и единст-
венности решения (16) имеем Втрк1Щ=0у i = s+l9 nt k =
= 1, 2, ... . При выполнении условия 2), используя
аналитичность pkm(t) [124, 125] и возможность дифференцирования (16)
любое число раз, из условия pkl(T)=0 и инвариантности ядра
Вт относительно матрицы Ат последовательно получаем
В /?|(Г)=0 — =0, .... (17)
Тогда из (17) в силу аналитичности функций BTpkl{t) имеем
Втрк1^)===0, а это и есть (15). Лемма доказана.
Отметим, что при выполнении условий леммы 3 система
BTpkmy (ky m)e/i, является максимальной линейно
независимо^ подсистемой системы BTpkmy (£, m) =/={£= 1, 2, ..., гп =
5=51» я}, и подмножество индексов k^I0y для которых число
ненулевых коэффициентов a*/, /e/i, бесконечно, пусто, поэтому
выполнено условие 1 из § 1.2.
Используя результаты § 1.2 для задачи (1) — (3) при £/ =
^г(^0, Г), получаем следующее представление для нижней
оо
'-.= Eitf. (18)
4*
83

-Ж-
где i|?^, &е/={£=1, 2, ...}, определяются из условий (смЛ
(1.2.9), (1.2.10))
/€/i /€/i
Если имеют место равенства (12) и условия леммы 3,то
соотношения (18) — (20) принимают вид
л..= Ё 5>*i2.
Л=1 *=1
s
(21>f
(22>;
(23>
Я
^ = — Е а/^> i=l7s, *=1, 2, ....
Причем здесь а£, i = l, n, |ft=l, 2, ..., записываются как
**=—<*о. Pi(tQ)) — (f> Pi)Ln + (y> ef)L„ =
т
= {х2 — У> Ф=\(х*—У> Qc)Enr\k(t)dt,
и
а для нижней грани справедлива оценка
оо п Т S
'-.<XI S |Jh-^'-I^7(4-^)]%W^r. (24>|
Учитывая (21) — (23), приходим к следующему утверждению.
Теорема 1. Для равенства /оо* = 0 в задаче (I) — (3) при
U = L2r(to, T) и выполнении условий леммы 3 необходимо я
достаточно, чтобы были выполнены следующие условия
согласования для координат функций X2l{t)9 *Л(0> ^Ь п:
s
4(0-1/40= £*„(*£(0-у/(*)), f-s+1, /г.
/=1
Используя то, что сходимость ряда
"».(') = Е <** + <%)**> (25)]
где S*, £=1, 2, ..., биортогональна к системе {BTpki &=1, 2, ...},.
84

является достаточным условием достижимости /ос*, докажем
следующую теорему существования оптимального управления
в задаче (1) —(3) при U = L2'(t0, T).
Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 3 и f/(0e
еЯЧ'о, т)> У(*о)=Хо, у(Т)=х2(Т). Тогда Uoo*¥=0, а именно
ряд (25) сходится и содержится в £/«>*, причем выполняется
неравенство
'\\^Ц^С\\х%—у\\нц,тт)9 (26)
где константа C = C(t0, Ту А> В)>0.
Доказательство. В рассматриваемом случае ряд (25) имеет
вид
оо s
"». (О = Е £ W + а (/£)) (ч* (*) am-r,ft (/) pm). (27)
Докажем его сходимость. В силу неравенств § 1.2 для о|)*, &е/,
и равенств (8) получаем
N s
1ЕЕ w+«G0)4*<oftJ!r-
fe=l m=l L2
T г N s
=J EIS E (^+«(р?))рЫ')Гя=
r N s N n
= E E (E (^+«адрт)2<с E E №)!a<cii*2-</ii%.
/=1 ^== 1 m=l £=lm=l 2
Оценим оставшуюся часть ряда в (27). Для этого возьмем в
качестве базисных функций
%(0=y^sin *"('г~Ц , 7\, = Т-*0, *=1, 2
Тогда в силу ортогональности на [£0> Г] системы
^(0=^/^со5Г^^ = й,(0, АГ1. 2
получаем неравенство
N s N
IЕ Е (с+«№)) л» (о «т ||2Г < с Е {х,-у> ы%=
bl m=l 5S L2 *=1 2
TV
=с2<*2-*/*, ^n^ciii.-j/ii»
85

Отсюда с учетом предыдущей оценки получаем (26). Теорему
доказана.
В заключение пункта отметим, что в случае квадратной
невырожденной матрицы В (t) для выполнения условий и<х>*Ф0
и /оо*=0 необходимо и достаточно, чтобы y(t0)=x0 и y(t)^
€=ЯЧ*о, Т).
2. Аппроксимация задачи с ограничением на норму. Для за*!
дачи (1) —(3), когда
[/ = (/^{«eL2r(/0) T):\\u\\Lr2^R}, 0<#<oo, (28)
рассмотрим вопрос аппроксимации ее конечномерной задачей.
Для этого воспользуемся результатами § 1.5.
Задачу (1) — (3), (28) запишем в виде |
J(u) = \\Du-g\\ln~+ml tif=URc:H = LUto, Т), (29),
0</?<оо,
1
-II
где оператор D:L2r(t0, T)-+L2n(t0, T) ставит в соответствие уп^
равлению u(t)<=L2r(t0, T) траекторию X\(t\ и) уравнения (4)Д
а элемент g^L2n(t0, T) равен y(t)—x2(t)y где x2(t) — решение.,
системы (2) при u(t)=0. Тогда сопряженный оператору
D*:L2n{t0, T)->L2r(tQ, Т) определяется так: D*v = BTp{t), гдеЦ
p(t) — решение уравнения (5), v<=iL2n(to, T). *
Пусть Ль •••, hk, ... — некоторая полная в L2r(t0> T) сис-JL
тема, pk(t) — решения (5) при v(t)=vk(t)=Xi(t; ft*),j|
*\{t\ hk) — решение (4). Тогда D*Dhk=BTpk, k=l9 2, ..., щ
соотношения (1.5.3), (1.5.4) при 0<R<oo принимают для
рассматриваемой задачи следующий вид:
(и, BTpk)Lr + у (и, hk) = (g, vk)y k = 1, 2, . .., (30)]
(yN|-/?)=0, ||и||<Я, Y>0, «sL2r(/o, T). (31)|
Пусть последовательность Rn-+R, N->oo. Тогда аппроксими^З
рующая задача согласно § 1.5 строится простым усечением за-|
дачи (30), (31) (см. (1.5.5)/ (1.5.6)): 1
{и*, ВтРк) + у»{и», hk)=(g, vk)y uneeHn+9 ft=l, 2 ЛГ, (32)|
yN(\\u»\\-RN)=0t \\u"\\<Rn, yN>Q- (33):
Здесь HN+ — линейная оболочка системы элементов!
N I
{Втри ..., BTpN}. Схема определения у">0 и UN = £ ^Втрй
fc=i ?■
из (32), (33) описана в § 1.5. Я
Теорема 3. Пусть пара (у, uR*) — решение системы (30)|"
[(31), причем Ur* — нормальное оптимальное управление зада.**1
86

чй (О — (3), (28); пара {yN, uN) — решение усеченной задачи
(32), (33). Тогда
lY-Y"l + ll""-"**ll,r-*0, N-+CO.
Если /? = оо, то теорема 3 сохраняет силу при 1]оо*Ф0 (см.
теорему 2). В этом случае в (30), (32) 7 = 7^ = 0, условия (31),
(33) опускаются.
Без доказательства отметим, что если в исходной задаче
(1) — (3), (28) величина у из (30), (31) строго больше нуля и
коэффициенты матрицы B(t) более гладкие: ba^Hl(t0t Т),
f=l, л, /=1, г, то имеет место более сильная сходимость:
\\и1*—и&\\нчи.т)-+0> N-+oo9
и справедлива следующая оценка скорости сходимости:
где константа С>0 не зависит от Nt a Hn и Fn —
соответственно линейные оболочки {hu ..., hN}f {vu ..., vN}t g=pr*g.

Глава 3
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СВОЙСТВА {
ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИИ ■]
1. Постановка задачи. В данной главе рассматривается за-:
дача минимизации функционала
J(u) = l\w(x, T\ u)-y(x)\2dx (l>;
Q
на решениях w = w(x, t, и) следующей начально-краевой задачи^
для параболического уравнения: [
= (Fu)(x, t)+f(x, t)9 (x, f)eQ, (2)|
w\s = 09 w(x, <0)=ф(х), xeQ, (3)!
J
Здесь Q — ограниченная область в En с гладкой границей dQ;^
Q=iQX(/o, Г) — цилиндр в Еп+1 с боковой поверхностью i
i
S = dQX {to, Г); i/W, ?WsL2(Q), f€=L2(Q), ^C(Q)f ||
i, / = 1, n,
c„ ceC(Q) — заданные функции, причем
dxk dxk
и для некоторого a0>0 и всех (х, t)^Q> £e£rt
п п
Е аи{х, *)Ь6/>«оЕ&
£,/=1 f=l
Управление
u<=Uc:Hu, (4)
где £/ — некоторое множество гильбертова пространства Ни со*
скалярным произведением (•, ->м, действует на систему (2) npirfL
помощи некоторого линейного ограниченного оператора F: Ни-*Щ
88

_^^2(Q). Управляющее воздействие может, например,
задаваться в виде распределенного управления
п
Fu (•) = £ Ft (х, t) щ (х, t), и = («fp ..., ит) <=#U = L? (Q), (5)
;—1
Ft(x, /)eL2(Q), i=U т,
в виде управления, зависящего только от времени:
т
Fu(-) = YFi (*• 0 "•• (0. -Р.' (*> 0 е Ьа(Q), * = Т~й, (6)
1=1
или в виде управления, зависящего только от пространственных
переменных:
m
W)=S><(*. W). « = («! t(j6ffB = tf(Q), (7)
t=*l
Fi{x9 t)<=L2(Q), *=1, m.
При каждом и^Ни решение w(xt t)=w(x, t\ и) системы
(2), (3) понимаем в смысле обобщенного решения из энергети-
о
ческого класса [126, 127], а именно w(x, t)^V2l>°(Q)
удовлетворяет интегральному тождеству
Q t,/==l t=l
+ с(х, t)wp]dxdt = —tw(xt T)p(x9 T)dx +
+ [<р(х)р(х9 tu)dx+[[(Fu)(xy t)+f(x9 t)]p(x, t)dxdt
Q Q
0 0
Для всех p(x, t)<=W2l(Q). Здесь W2l(Q) — гильбертово
пространство, получающееся замыканием в норме, определенной
скалярным произведением
<^lil,-J(» + j.|L-£ + 1№)(b*
Q i=l
множества гладких функций, равных нулю в окрестности S;
V21'°(Q) — пространство функций, получающееся замыканием
в норме
89

n
||и||(1.0|=^тиг1|о(.| OII«e>+ (J (°* + XJ|"^ J") ЛсЛ)
множества гладких функций, равных нулю в окрестности S. ■
При сделанных предположениях для каждого и^Ни задача|
j(2), (3) имеет единственное обобщенное решение w(x9 t)s
о
^VV'0(Q), причем оно удовлетворяет неравенству [126]
Цю||(1.о|<С(||ф| ^(в,+ ||/1к«» + ||Л!|^,) (8)|
с постоянной С>0, не зависящей от выбора cp^L2(Q)9 /€
g=L2(Q), и<Е=ьНи.
Наряду с системой (2), (3) нам понадобится сопряженная!
задача
(*, f)€=Q,
4>|s = 0, $(*> Т)=ц{х), *eQ. (10)
При всех r\^L2(Q) и при условиях (10) уравнение (9) также
о
имеет единственное обобщенное решение *|>eVy,0(Q), которое
удовлетворяет неравенству
«♦ll(i.4<C||4||WQ)> (11)
где константа С>0 не зависит от r\^L2(Q).
2. Сведение к обобщенной проблеме моментов. Обозначим
через Р множество решений задачи (9), (10) при
всевозможных функциях t)(x)^L2{Q).
Лемма 1. Решение w[x9 t\ и) задачи (2), (3)
удовлетворяет условию w(x9 T\ и)—у(х)='Ч?(х) при некоторой функции
4F[x)eL2(Q) в том и только в том случае, когда ||
(Fu9 p>l,(q,—<Tf p(-f T))UQ) = a(p),
(12)1
я(Р) = (</(-)> P('> T))LzW—(<p(-). p(% t0))Lz{Q)—(f, p)lM), p<=P*§
Доказательство проводится так же, как в лемме 2.1.1.
Пусть £*(*), £=1, 2, ..., — некоторый ортонормированный
базис пространства L2(Q). Тогда любую функцию реР можно
единственным образом разложить в сходящийся по норме||
V2l>4Q) ряд
оо
р(*> о = Е tkPk(*> о>
90

где pk(x, t)y k=l, 2, ..., - решения (9), '(10) при ц(х)=*
^pk(xt T)=ek(x)y &=1, 2, ..., а равенство (12) можно
записать в эквивалентном виде
{и, F*pk)u—a(Pk) = (4>> ek)L2iQ) = \w{-; T; u)-y(-), ek{-))Lm,
й=1, 2, .... (12')
00
Отсюда с учетом разложения w(x, Т; и)—у[х) =%(№(-, Т\ и) —
—y(m)> еь>еъ и равенства Парсеваля
оо
||а»(-; Т; «)-y(-)lllio> = Е <«»(•. Т; и)-у(-), еьУ
имеем
J{u) = \\w{-, Т; и)-у(.)Нмв>=Е {Y, ekY =
ОО
/г=1
Тогда задачу (1) —(4) можно переформулировать в виде
следующей обобщенной проблемы моментов:
оо
J{u)=^Y\^ rPk)u~4\2^ml ue=UczHu, (13)
где последовательность
afe = a(Pfe) = (#> ejk>Lt(Q)—(ф('). Pk('> 'о)>1,(0) —</. Pfc>«Q),
£=1, 2, .... (14)
Отметим вытекающие из (12) и используемые в дальнейшем
равенства
оо
ы
|2
= \\w0(-,T)-y(.)\\iaiQ), (15)
(и. ГРди^Ы-. Т), eh(-))U0), *=1, 2
оо
J (и, fp*>£=ll«M-, Г)Н!.(о). (16)
гДе w0(x$ t) — решение (2), (3) при ы=0, a wx\x, t) -
решете (2), .(З).рри <р(*)—О, /(*, 0—0.
91

Для управляющих воздействий, заданных соотношениям^
3(5) — (7), базисные функции F*Pk, k=\, 2, ..., имеют вид
F'pk = {F1(x, t)pk(x, t), ..., Fm(x, t)pk{x, /)}е=Яа =
= L?(Q), k=\, 2 (17)
*>* = {$ M*. 0P*(*. ')<**> •••> jX(*. t)pk(x, t)dx}<=Hu^
a a
= I?(t0,T),'k=l,2,..., (18);
т т Л
fpk^F^x, t)pk(x, t)dt, .... $Fn(x, t)pk(x, t)dt}eHu = j
= IS*(Q), k=\, 2 (19)"
Пусть в системе (2) коэффициенты удовлетворяют уело-*
виям
ац-шац(х) =afi(х), i, } = \,п, с,-(х, *)'=О, i= 1, п,
,<20)
с(х, t)=c(t)+c(x), c(*)>0, lx, OeQ.
Тогда оператор
имеет полную ортонормированную в L2(Q) систему собствен-1
ных функций zk<=W22(Q), k=l, 2, ..., [122]. Отвечающие им?
собственные числа Kh таковы, что Kk+\>Kk>0, £=1, 2, .../Г
limA,fc = oo, а система {kJl/2zk}kLi полна и ортонормирована"
Л-*оо О
в энергетическом пространстве W2l{Q) со скалярным
произведением .Л
п
В "этом случае в качестве базиса ek(x)y £=1, 2, ..., можно А|
взять функции £*(*), &=1, 2, ... . Тогда pk(x, t), £=1, 2, ...,
представимы в виде произведений ■$
pk(x, t)=qkit)zkix)y k=lt 2, ..., 121) §
где <7*(0> £=1, 2, ..., являются решениями уравнения
qk-Xkqk-cWqk^ ^(7,) = 1, &=1, 2, ,.., -L
92

я допускакгК явное представление
\ т
bk(t-T)-fi(T)dx
qk(t)=e < , te=[t0l T], Л=1, 2, .... (22)
3. Свойства решения задачи. Свойства .функций F*/?*, £ =
==1, 2, ..., зависят от свойств pk(xt t), k=ly 2, ... . Поэтому,
прежде чем рассматривать систему F*pk, k=l, 2, ...,
остановимся на некоторых свойствах р*(я, /), £=1, 2, ...,
ограничившись случаем, когда они определяются формулами (21), (22).
При этом они ортогональны и, следовательно, являются
минимальной системой. Биортогональными к этой системе
являются следующие функции:
т_
Pkix>t) = qh{t)Zk(x)> 1k(t) = (T-torle * , (23)
k=l9 2, ....
Непосредственным интегрированием, используя
ограниченность c(t) на отрезке i[*0, Т], для функций pkt pk, &=1, 2, ...,
нетрудно получить неравенства
|*1^1<||р^|Ь<» = 1!^|1м/..г)<^Г1, *=1, 2,..., (24)
^^Г1 ^ II Pli£2(Q) = II ^llt(^r) ^И4^Г^2^Г, *=1, 2, ..., (25)
где константы ц,*, i=l, 4, не зависят от номера k. Воспользуем-.
«ся этими неравенствами.
Рассмотрим обобщенную проблему моментов (13) при £/=
—Ни. Согласно § 1.2 в случае минимальности системы F*pk,
£=1, 2, ..., в задаче (1) —(4) при U=HU имеем /оо*=0, а
критерием непустоты f/oo* является существование решения
лилейной системы
<и, F*pk}=aki k=l, 2, ... . (26)
-Достаточное условие существования решения (26) в случае,
когда оператор J7* сохраняет свойство ортогональности, а
также неравенства (24) дают следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть система F*pk, k=l9 2, ..., ортогональна и
\\Fp't\\l>№71. *=1, 2, .... (27)
_, о
Тогда в задаче (1)-(4), (20 )при [/=#„, y(=W2l(Q)
множество Uco^0y нормальное оптимальное управление
оо
и^=^ак\\Р*рк\\и2ГРк . (28)
93

и справедливо неравенство /
l"oo.L<C(||y|| 1) + 1|ф||х,(0) + ||/||«д^ (29)
где константа С>0 не зависит от у, ср, /.
Доказательство. Пусть uN, N=l, 2, ..., - решения (26) при
£=1, N, причем uN<=\in{F*pk, k=l, N}. Тогда в силу ортого-
нальности F*pk, k=ly 2, ..., имеем
N N
II и" II» = \\Yak \\F*pk И"2 F*pk f < И~5 £ M2- (30)
Воспользуемся определениями afe, &=1, 2, ..., в (14) и pk(x> t)\
£=1, 2, ..., в (21), (22), а также правой оценкой в (24). Тогда
г
М| = Ь*|Ы-). ^(.)>l,(0)-<9(-)' zk(.))uwe ^ —
r _ JL
-J J/(*. t)qk(f)zk(x)dydtf^C((y(-)y zkU 2)<21) +
+ M2X*(W)(9(.). гл(.)>«0) + (/, ^)L(Q)l|pftIIZ;(2Q)).
Подставляя это неравенство в (30), приходим к оценке
ll^ll'<c(i|f/ii(21) + ii9i!i2W + iifiiL(Q)),
из которой согласно теореме 1.2.2 следует (28), (29).
Теорема доказана.
Согласно схеме, изложенной в гл. 1, если F*pk, k^I={k=*
= 1, 2, ...}, не минимальна, то для исследования обобщенной -
проблемы моментов из базисной системы F*pk, йе/, выделяет-J
ся некоторая полная в L минимальная подсистема, замыкание
которой совпадает с замыканием линейной оболочки исходной
системы. Выделить полную минимальную подсистему в
конкретных задачах иногда сложно. При определенных условиях
в задачах (см. условие 1 § 1.2) полная минимальная
подсистема может совпадать с максимальной линейно независимой
системой. Поэтому рассмотрим вопрос выделения из системы
F*pk, fee/, максимальной линейно независимой подсистемы
F*pk, fee/', для управлений, заданных формулами (5) — (7). ".
Для управляющих воздействий, заданных условиями (5), в |
силу (17), получаем, что система F*pk, k=lt 2, ..., всегда ли- I
нейно независима, если хотя бы одна из функций Fi(xy t)¥=0 i
для почти всех (х, t)<^Q. Более того, эта система минимальна, I
если существует вектор-функция P(x9t) = (P\(x9t), ..., Pm(x,t)) fj
такая, что
m
£?,(*. цел*, o=i, (x,tmQ.
94

гистема Рр\ Л=1, 2, ..., в этом случае биортогональна к
f*pk~F(x,t)bk(x,t)9k=l929....
рассмотри^ случай управлений, заданных по (6). Тогда
f*pk9 &=1, 2, ..., имеют вид (18). Так как для линейной
независимости произвольной подсистемы <7&(0> £е/', необходимо
й достаточно, чтобы Хи^кт, k¥=m, k, т^Г, то для линейной
независимости системы F*pk, k^I\ в случае F = F(x)
необходимо и достаточно, чтобы векторы
4 = f F (*) zk (*)dx = (J fi (x) zk (*) dx, ..., j Fm (x) zfe (x) dx)
были линейно независимы в Ет для всех k, т^Г таких, что
Xk=bm. Если система qk(t), k^I\ минимальна, векторы du
линейно независимы для равных значений Xk и Й* —
соответствующие им биортогональные векторы, то система dkqk(t), k^
^Г, минимальна, а &М0» k^I', биортогональна к ней.
В случае управлений вида (7) при F(x, t)=F(t) для
линейной независимости
т
F'pk=\F(t)qk(t)dtzk(x), kel',
■lF(t)qk(t)
to
необходимо и достаточно, чтобы векторы
т
dk=-\F(t)qk(t)dt^E-
и
<5ыли ненулевыми. Причем тогда система dhZk(x), k&I',
минимальна и Ukzk{x), k^I't где Uk — векторы, удовлетворяющие
условию <ctk, d*>=l, является системой, биортогональной к
dkZk(x), &€=/'.
Пусть из системы F*pk, k^I выделена ортогональная и
минимальная подсистема F*Pk, k^Ih Это соответствует,
например, случаю распределенного управления (5) при m=l, F{=
=^i(^)¥=0, fe[/0, T] или случаю управлений, зависящих
только от пространственных переменных (7) при F = F(t) , (^(-J,
Як{-))ьгФ0, /г^Г. Тогда согласно § 1.2 в задаче (1) —(4) при
оо
k=\
* Для существования Uoo*^Hu необходима и достаточна
сходимость ряда
"~* =1К + ♦*) II F*pk If2 FmPk9 (31)
95

/
/
где \pk, k^I, определяются из линейной системы /
/€/о
(32)
Фа— У <*л/Ф/ = ak~Y akflh k<=I0 = I\Iv
/ел /ел
в которой коэффициенты a/*, /s/o, £^Л> взяты из соотношений
F*Pk=YL*klF*Ph k^Jo- (33)
/6/1
Приведем достаточное условие сходимости ряда (31).
Теорема 2. Пусть F*pk> k^Iu ортогональна, для F*pk, k&*
е/о, выполняются равенства (33), имеют место неравенства
vJ*l<\\F'pk\\liQ>, *e/lf (34)
£ М{< Е М2» (Зб>
О
исходная функция #(-)е1#У(£2). Тогда в задаче (1) —(4) при
и=Ни множество Uoo*^0 и нормальное оптимальное
управление определяется рядом (31), где г|)л, k^Iu удовлетворяв,
ют (32).
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству
теоремы 1.
Для системы (2), (3), (20) при c(t)zs=0 с управлением, за-,
данным соотношениями (5) — (7), рассмотрим несколько
простых примеров.
Пример 1. Пусть в (5) m=l, Fx(xt /) = 1. Тогда из мини* х
мальности F*pk=qk(t)Zk(x) следует t|?*=0, £=1, 2, ..., и /«>*=*
=0. Нормальное оптимальное управление выражается равен- |
ством
00
Uoo. = 2 £ ХГ!/( 1 -e2W'-T))akqk (t) zk (*).
Пример 2. Пусть в (6) m=l, Fi(x, t)=Fx(x). Тогда
F'Pk = $F1(x)zk(x)dxqk(t) = Flkqk(t), k=ly 2, ....
Соотношения для определения оптимального управления
принимают вид
оо
Fik (и. «7ft (О)ыа,. г»—% = a*, £=1,2,....
96

Отсюда если Л*=0, то tyk = -ak. Обозначим IQ={k:Flk=0}t Л=
^{fcFik^O}. Тогда г|^=-аь ke=I0t a если система qk(t), k<=Iw
минимальна, то г|^=0, k^Iu и нижняя грань
Вопрос существования и<х>* сводится к вопросу существования:
решения системы
(и, qk(t))L2(t0tT)=akFTk\ k<=Iv
Если qk(t)y b^I\, — биортогональная система к qk(t), k^I^
то достаточное условие существования и<»* — сходимость ряда
и—= Т akF7kqk(t),
а критерий существования — сходимость ряда
где iz*^, &e7b — коэффициенты, определяемые из системы
keif
Пример 3. Пусть в (7) m=l, Fx(xt t)=Fx(t), t0=0. Тогда
F'Pk = J ^i (0 <7* (0 dt zk (x) = Flftzft (x).
0
Обозначим
70={^i*=0}, /i={4:F^0}.
Система F*Pk=sFikZh(x), fee/i, минимальна, поэтому
kei*
Из равенства
получаем в случае сходимости ряда
Ыоо.= ]£ 0*7^4- (36>
Пусть Fi(0 = l, /e[0, Г]. Тогда F^^XT1 (\—e"KkT)y £=1,2,...
..., ^ = 7. Если взять (p(*)=0, f(x, t)=0, то cikF^kl = (yt zk)L2X
97

ХМ1— е-Чт)-1. При ye=W22(Q) ряд (36) сходится. Есл8
взять Xk=k2, a
~Ёт **<*>■
у
то видно, что ряд (36) может расходиться.
§ 2. СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ЗАДАЧ
1. Постановка аппроксимирующей задачи. В данном
параграфе на основе обобщенного метода моментов рассмотрим
вопрос построения численного метода решения задачи (1.1) —
IIА) при ограничении
U=UR = {v<=Hu:\v\u<R}9 0<R<oo. (1)
Обозначим через XaL2(Q) множество достижимости
системы (1.2), (1.3) при ф(*)=0, f(x, 0=0, а через Х-1 — его
ортогональное дополнение в L2(Q). Тогда функционал (1.1) можно
представить в виде
J(u) = \\w(-, Т)-у(-)\\1ю+\\Щ-, T)-y(.)\\lw, (2)
где
»(-, T)-W{; T)+W(; T), y(-)=9(-)+9(-),
w, у^Х, и>, у^Х1-.
Множество оптимальных управлений задачи минимизации
функционала (2) и задачи
J(u) = \\w(.9 T)-y(-)\\lm + irA, u^UR , (3)
совпадают, причем /оо*=0. Обозначим через Р+ множество ре-
о __
шений р(х, t)^V2l>°(Q) задачи (1.9), (1.10) при tj(x)gI
Лемма 1. Пусть в(х)^Х. Тогда, для того чтобы решение
(1.2), (1.3) удовлетворяло условию w(x, T)=Q(x), необходимо
л достаточно, чтобы выполнялось тождество
(и, F'p)u = a(p) = {Q(-), р(., T))Ltm-
— (Ф(-). Pi-> *о)>*.«») — (A P)lM), Р^Р+-
По аналогии с § 1 с помощью этой леммы задачу (3)
можно записать в виде обобщенной проблемы моментов
J(u)=Y\(u> F*Pk)-ak\*-+M, u&U*. (4)4
в8 '
4-1 М

Здесь последовательность
fl*=—(ф(-)> Л(". <о))вд-(/. Pk)UQ) + {y> рк(-> Т)), (5>
Л=1, 2, ...,
а pft> Л== 1, 2, ... — функции из Р+ с условиями
Р*(". Г)=<М'Ь *=1, 2, ..., (6)
^(•). *=1» 2» •••» ~ некоторый ортонормированный базис в X.
Согласно § 1.3 для оптимальности u^UR необходимо и
достаточно, чтобы существовали у, ^, £=1, 2, ...,
удовлетворяющие условиям
оо
2*Л + Т" = 0, (7)-
/г=1
(и, F*pk)u-% = aki ft=l,2f ..., (8)
Т(1М1а-Я) = 0, |М|в<Я, т>0. (9)
Равенства (7), (8) эквивалентны условиям
ГЧ|)+уы = 0, г|?е=Р+, (Ю)
(^/7>)«-<^(-,^,p(.,r))L2(Q)=={y(-),p(-,T))L2(Q)-
"(9(')iP('»'o))l.(Q)~(/.Pk(Q). РеР+. (11)
Для того чтобы вместо условий (9) —(11) записать
конечномерные аналоги, введем последовательность предельно
плотных в Ни пространств HuNczHUi множество достижимости XN
системы (1.2), (1.3) при cp=0, fsO, ы€=#<Д XNaX, а также
множество решений (1.9), (1.10) P+NaP+ при i\(-)^XN.
Запишем задачу, являющуюся аппроксимирующей для исходной
задачи (1.1) — (1.4), (1):
FY + yNuN = 0, ^ <= P+n, uN € S+n, (12>
(u»t Fp»)u-W(.9 Г), р"(-, 7)>z.2<Q) = <*/(•), />"(-, T)>«o,-
-<9(').PJV(-^e)>i.(0)-</,PJV)i.(Q).PjVeP+N> (13>
?"(1«1.-Я*) = 0, |«|</fo, Y*>0, #„-*#. (14>
Здесь множество S+N={v^HuN:v = F*pN, p"^P+N}.
Задача (12) —(14) эквивалентна задачам
— N _ _
/*(") = £ К", ^ft>-*kl -►inf. аб1/Л,, (15>
^N(u) = \\prx"w('> T)~Ртх"У (-JIlLw-^inf, u&UHn. (16>
99»

Пространства P+N, S+N конечномерны, поэтому г|^еР+л, щ
mn^S+n можно искать в виде линейных комбинаций базисных
элементов этих пространств с неизвестными коэффициентами
относительно которых соотношения (12) —(13) являются систе|
мой линейных алгебраических уравнений.
2. Сходимость и оценка скорости сходимости. Докажем слё-1
дующее утверждение.
Теорема 1. Последовательность решений задачи (12) — (14)
(yN, tyN, uN) сходится при N-+oo к решению (y, *ф, и), u=uRlii I
.задачи (9) —(И), причем справедливо неравенство
lT"-Yl + \\Г~Щт + ll^-w|l«<
■<С(||и-ргhnu\\u+ \RN-R\\\y-prxNlj\\)x/2+\u-prs+Nu\u, (17JLI
где константа С>0 не зависит от номера N (при /?=оо пред-,
полагается, что имФ0).
Доказательство. Подставим в (13) pN=—tyN. Тогда,
учитывая (12) и неравенство (1.11), приходим к соотношениям
у»\и»\1 + \\Г(-,Т)\\1а)^-(у(.),Г(-,Т))иа) +
<C(||y|U,(e) + ||T|iL,(0, + ||/||L,(C))ll*JV(-, Т)\\Ц{а),
где константа С>0 зависит только от to, T и коэффициентов
уравнения (1.2). Отсюда вытекает равномерная ограничен-
0 1 о
«ость у" и tyN в норме V2' (Q). Так как P+NczP+, то,
вычитая из (11) равенство (13), имеем
(u-uN, FpN)u-(y(-, Т)-Г(-, T),pN(-, T)>l2,q, = 0,
pN(=P+N. '"
ПустьpN(• ,T)==prxNty(-,T). Тогда, подставляя в последнее
равенство pN=tyN—pN и учитывая (10), (12), получаем
(u—uN, — yNuN + yu)u + (u—uN, F*q—F*~pN)u+ \
+ж-. т)-^(; T)\\Lm=(*(-. т)-п-, т), ::
у(.,Т)-р%,Т))иа).
Воспользуемся ограниченностью и", ■§**, условиями (9), (14),л
(1.11) и неравенством Коши — Буняковского ;'
1Ж-, Т)-Г(-- T)\\lw<yNRRN-yR2-yNR9N +
+ yRRN + \\F\\ ii«-«w||B H4>-p"lk,(Q» + \
+ №(-, Т)-Г(.-, Л1к(0)1№(-. Л-р2(-> T)\\liW< \
<yNRN\R-RN\+yR\R-R»\+C№(,-,T)-'p~N(-,T)\\Ua), (i«t
где константа C>0 не зависит от N. :*
100 Ч

I
Определим через tyN решение (1.9), (1.10) при ti(*) =
^w(x>T)—PrXNy> гДе w(x> t)e=XN — решение (1.2), (1.3) при
^0, fs=Q,u = pTH%UR: Тогда в силу неравенств (1.11) и (1.8)
Ш',Т)-~р"(-Л\\ит= min ||я|)-у|и2(й)<|№-^|к2(й)<
vexN
<CeNt QN=\\y—prxNy\\ + \\и—pr Nи\\и.
и
Подставляя эту оценку в (18), получаем неравенство
\№->T)-VN(..mim^C(\R-RN\+0N)9
?где константа С>0 не зависит от N. Отсюда в силу (1.8) и
плотности HUN в Ни вытекает сходимость
II*" —ФН<1.0!-*0, N-+oot
причем
ll^-*ll(2i,o3<C(l^-^l+e^)» (19)
тде константа С>0 не зависит от N.
Из (10), (12) получаем аналогичную (19) оценку для у, у":
Iy-y"I = I \\F*r\\L2{Q)R^-\\F^\\UQ)R^\ <
^R^R-1 (R \\r^\\UQ)-R ||f*lk(Q) +/? HPtll^Q,-
-Rn \\ГУ\)Ш) <С (||ip-^||L.(Q, + I R-RN\) <
^C(\R~RN\+QN)V\
тде положительная константа С не зависит от N;
Покажем сходимость uN-*~u в Ни. Если у>§, то это следует
«з соотношений
\*"-Au=\r*tf-F*rx\u<
^Y^Y"1 Iv^V—yF*q + yF*ty—Y^**L<
<C(\\^-r\\L2{Q)+\y-yN\)^C(\RN-R\+QNy^9
ЗДе константа ОО не зависит от N.
При y=0
\uN—u\u=]u—prs+Nu\u^09 W->oo, (20)
в силу равенств S+=S и предельной плотности S+N в S+. Здесь
*+^{v<=Hu:v=Fp9 p(=P+l S={ve=Hu:v=Fp, ре=Р}. Теорема
доказана.
101

У
Для определения тройки (у^, г|Л uN) из (12) — (14) можно,
воспользоваться вычислительной схемой, аналогичной схемек
описанной в гл. 1, а для численного решения возникающих
здесь краевых задач — различными численными методами
[115, 116, 118, 119, 129-132].

Глава 4
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ОПЕРАТОРНОЙ СИСТЕМОЙ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. СВЕДЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ
МОМЕНТОВ. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ
1. Гиперболические системы. Краевые задачи для
гиперболических уравнений, описывающих различные процессы
колебаний, например колебания струн, стержней, мембран,
пластин и т. п. [132—142], можно рассматривать как задачу Коши
для дифференциально-операторного уравнения второго
порядка. Пусть W0 — гильбертово пространство со скалярным
произведением <•, •><). Рассмотрим задачу Коши для уравнения
£w=w"(t)+b(t)w'(t)+A{t)w{t)+C{t)w{t)=f(t),
t0<t<T9 (l)
с начальными условиями
ш(*о)-Ф°, <(ад=Ф!. (2)
Здесь функции w(t), f(t), te[/0, Т] имеют значения из W°9
скалярная функция b(t)^C[t0y Г], а операторы A(t), С(0, te
^[to, Т] рассматриваются при следующих предположениях:
1) A(t) при всех t^[t0l T] являются линейными
самосопряженными операторами в W0 с независящей от / плотной в
W0 областью определения D(A) и таковы, что при всех te
€ф0, Т]
<A(t)v, t;>o>C0|t;|o2, veD{A)9
где константа С0>0 не зависит от v и t\
2) линейныд оператор C(t), t^[t0, Г], задан на области
определения оператора Al/2(t), te[£0, Г], и удовлетворяет
включению
C(t)A-v*{t)€=&(W°; W°).
Здесь и ниже &(ХУ У) — пространство линейных непрерывных
операторов, действующих из X в У, Л1/2 — квадратный корень
из Л.
Из условий 1) и неравенства Гайнца [136] следует, что
область определения оператора Al^2(t) не зависит от t. Поэтому
£сли обозначить через W2y Wl гильбертовы пространства,
которые получаются при определении соответственно на D(A),
£)(Д1/2) скалярных произведений
<Ф, г>2=0ВДФ, Л(*0)£>о, <<Р, г>1 = М1/2(^о)ф, AW(t0)g)0,
103

то в силу свойств положительных, самосопряженных
операторов [121] получаем, что для всех t^[t0, T] справедливы сле~
дующие включения:
A{t)zE3?(W2\ W°)t A-l(t)€=&(W°; W2),
Al'2(t)e=&(W*; W°), A^2(t)<=g(W\ Wl),
a 2) эквивалентно условию C[t)^3?(Wl; W°).
Введем обозначения:
НфНцгл.оз^ max V |ф^>(^)|2-ь
i
Mvj-ц max У |Ф<1>(01/-., / = 0,1,
<«<«r to
— нормы в пространствах функций соответственно
С (to, T; W, W\ Г)={ФеС(/„, Т; И7»):Ф«>(*)е
€=С(*0| Т; W»-'), i-1, 2},
С {to, T; WI, 1УН)-{феС(/ь, Т; Wi):<p'(t)e-C(to, T; Wt-*)}r
/=0, 1;
11ФН?0=||Ф(01?Л, ' = 0,2,
о
<;./-i,=I J i*0 (oik*, /-о. i
i=0 t0
— нормы в пространствах соответственно L2{t0, T; W*), /=0, 2,
М'о. T; W\ W\ Г)Чфе12(/0, Г; W2) :q><0(f) eL2(f0, Г; W^Or
/-1, 2}, L2(*o, Г; V/f W'-'Mq^M'o, Г; fl7/):<p'(*)e
gL2(/0, Г; ТР'"1)}, /=0, 1; С°°(г0, ^; W2) - пространство
бесконечно дифференцируемых функций со значениями
производных в W2.
Решение задачи (1), (2) будем рассматривать в классе
обобщенных решений из энергетического пространства. Это
решение, назовем его сильным обобщенным, удовлетворяет
уравнению (1) в смысле выполнения интегрального тождества
104 :*

|«Л1/2 (t)w9 Am (t)p)0-(wf + b(t)w, p')0+(C(t)w-
-b'(t)w-fiP)0)dt = (^ + b(t0)^9p(t0))0-
-{w'(T) + b(T)w(T),p(T))0
для всех функций p{t)e=L2{t0, T; W\ WQ). Если b(t)*=Cl[t0, T]y
операторы A(t), C(t) непрерывно дифференцируемы на [/0, Т\,
удовлетворяют условиям 1), 2), а исходные данные (ф°, ф!,/)е
&WlXW°xL2(t0, Т\ W°)t то существует [132-137] единственное
сильное обобщенное решение задачи (1), (2) w(t)<^C(to, T\
W\ W°), и оно удовлетворяет неравенству
11»11ц,о]<:Сз(|1Л1<о)+1ф0|1+1ф1|о), (3)
где константа С3=С$(А9 Ь, С, t0, Г)>0. Существует
последовательность pk(t)^C°°(tQi T\ W2)y такая, что при £->-оо
ll^p*—f II (о)+1Р* (^о) -Ф° 11+1 P*z (^о) -Ф11 о+ Нрл-ш|1сьо1—
=oft(l)+0.
Здесь и далее под непрерывной дифференцируемостью на
|/0, Т] оператора G(t) :Н\-*Н0 понимается существование для
любого ue#i производной
G'(t)v={G(t)v)'€=C(t09 Т;Н0).
В сопряженной системе
5>*ф=г|/'_ (ft (t) ф) '+А (* )*+С* (0 г|)=0, *0<*< Т, (4)
*(Г)-Ф°. *'(7)-Ф1 (5)
решение -ф(£)еС(£0, Т\ W°, W~l) понимаем в слабом
обобщенном смысле, а именно в смысле выполнения интегрального
тождества
J (Ъ р" f Ър* + Ар + Ср)0dt = <ф°, р* (Т) + Ь(Т)р(Т))0-
- <«'о). р' (Q+ь (д р W>o + (♦'«о), р ('<>)>-
-<<?, р(Г)>, р(0 s L2 (f0, Т; Щ W*. Щ.
Здесь под <ф, v} понимается значение непрерывного
линейного функционала <peW4 на элементе t/eF, a W-1 —
пространство непрерывных линейных функционалов над Wl (Wlcz
^WtbczW^1)^ лолученное пополнением W0 в норме [140]
\^^=max(\v\T'('tv)).
105

Если b(t)<=C2[t0, T], операторы A(t), C(t), С*(/) удовлет^
воряют условиям 1), 2), область определения сопряженного
оператора C*(t), t^[t0t T] в W0 удовлетворяет включению*
D(C*(t)) = Wl, A(t), C(t)9_C*{t) непрерывно
дифференцируемы и исходные данные (ф°, (pl)^W°XW~\ то существует
единственное слабое обобщенное решение (4), (5) ty(t)^C(t0i T\
W°, W~l), и оно удовлетворяет неравенству
^Ik-n^QlVlo+kM-i), (6J
где константа С4=С4(/0, Т, А> Ь, С)>0. Существует
последовательность рй(^еС°°(/о, Т\ W2) такая, что при £->оо
1|Х./7л, Ц(-1)-Ь | /7л, (^о) —Ф° I о-Ь | /^^^ (^о) —с^71 _!-+- Ц/7^—гр Цса, —и=
= о*(1)-й).
Будем также использовать для уравнения (1), (2) более*
гладкие решения с непрерывной второй производной, т. е.
ш(/)еС(/0, Т\ W2, W\ W°). Для существования такого реше-
иия [138] достаточно потребовать выполнения следующих
условий: b(t)^C2[t0, T], операторы A(t)y C(t) дважды
непрерывно дифференцируемы на [t0, Г], удовлетворяют условиям 1),
2), а исходные данные (ф0, ф1, /)еГх^Х^2(^ Т\ W°t W°U
Это решение удовлетворяет неравенству
11^11[2,Ь0]<С5(|1Л1(О,0)+|ф0|2+|ф1|1), (7)
где константа С5=С5(Л, Ь, С, tQ, T)>0, причем существует
последовательность pk(t)^C°°(tQt T; W2) такая, что при k-+o&
||.^Р*—/||<0, 0)+ | Р* (^о) —Ф° | 2+ | Р*' (^0) | 1 + IIPfc—t£l||[a. !, oi«=
=о*(1)->0.
В качестве краевых задач, которые охватываются
абстрактным уравнением (1), приведем задачи, связанные с
колебаниями струны, мембраны, стержня, пластины и т. п.
Например, рассмотрим смешанную задачу для гиперболического
уравнения второго или четвертого порядков:
+ £ С (х, t) -0- = / (х, t), (x, t) «= Q = (О, О X [t0, T], (8)
~дхГ
= 0, i = 0, m—U te[t0,T], (9)
\x=0,l
w(x, t0)=<p°{x)9 wt(x, t0)=tf(x), 0<x<:/, (10)
где целое число m равно 1 или 2.
106

Если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям
дта
-го, полагая
-, c^CiQ), f = 0,711, а(х, t)^a0>0, (11)
W°=L2(0, /), ^2={Фе^22-(0, /):ф<'>(*)|*_0./=0, *=0, m-l},
(12)
ашжно убедиться, что задача (8) — (11) является частным
случаем задачи (1), (2) при условиях 1), 2) и для нее
пространство
W*={<p:W2m{09 /):q><'>(x)U=o,/=0, i=0, m-l}. (13)
Отметим, что скалярные произведения в пространствах
^22т(0, /), W2m{0, l) на W2, W\ определенных соответственно
по формулам (12), (13), эквивалентны <•, ->о, <•, ->ь а
также скалярным произведениям [123]
С ф(2«) (х) g<2™> (x) dx, ф, ge W2, С ф(«) (*) g<*> (x) dxy
Ф, jGr, m== l, 2.
Для задачи (8) — (10) выполняются условия разрешимости
в классах сильного и слабого обобщенных решений, если
коэффициенты a, b, c\ t'=0, m, кроме (11) удовлетворяют еще
следующим условиям:
dtdx»
, clt€=C(Q)y t-0, m,
, — е C(Q), *=0, m,
дРдх»
, 6„, c«eC(Q), f = 0, m.
Интегральное тождество для сильного обобщенного решения
принимает вид
I [а{х' 0|?г-5£-<'* + 6Ю»>л<*' 0 +
Q
я»
107

= j (Ф1 (х) + b (t0) ф» (*)) p (x, t0) dx-§ (wt (x, T)
о о
+ b(T)w(x,T))P(x,T)dx,
p(x,t)<=L2(t0,T;W\W<>),
а для сопряженного уравнения
♦f«-(ft(0*)< + (-l)--gr(e(x./)^) +
m
+
1=0
интегральное тождество слабого обобщенного решения имеет
вид
J *(*.')
а*/?
Л<+£С' ^
t=0
= J */ (*Л) [Л (*, Г) + 6 (Г) р (*, Т)] dx—
о
—J Ф (*Л) [Л (*, /о) + * Со) Р (*. 'о)1 dx + (Ь (*Л)> Р (•. 'о» —
о
-<?(*), р(-, Г)>, р(*. t)<=L2(t0, T\ W\ WK Г>),
где Н7', *=0, 2, определено равенствами (12), (13), а <ф, g} —
значение линейного функционала y^W-{ на элементе gG^r,
Многомерное уравнение второго порядка
t=i
с краевыми условиями
а>|*€Г = 0, Г = дЙ
108

[ гаКже охватывается уравнением (1), если симметричная
матица {ali(x, t)y iy /=1, n} удовлетворяет соотношениям
t а функции Ь, с0, с1 таковы, что
| b°eCb°(Q), С0, ^eC(Q).
Двумерными уравнениями четвертого порядка описываются8
[ различные колебания пластин. В качестве примера можно при-
I вести уравнение колебаний круглой однородной пластины с по-
[ стоянной толщиной h и плотностью на единицу площади р>
S [122, 141]:
I pwtt(ty r, Q)+Dtfw{t, r, Q)=f(t, г, 9),
| t0<t<T, 0<r<r0y 0<6<2jt,
\ tfw=(J^+±JL + ±JL.VW}
\ дг* г дг г2 аб2 /
Z)=£/i3/[12(l-v2)]
с краевыми условиями жесткого закрепления
w(t, r0y e)=wr(t, r0, 6)=0, t0^t<T, 0<9<2jt.
Отметим также систему двух дифференциальных уравнений
| четвертого порядка:
(EIyxx)xx+pAytt-pAeQtt=fl(xy t)y
(EGwexx)xx-(GCe)xx~pAeytt+pIoBtt42(x9 t), (xy ()eQ,
[ которая описывает связанные поперечные и крутильные коле-
{ бания стержня. Обозначения, физический смысл
коэффициентов, а также возможные краевые условия для этой системы
даны в работах [20, 141]. Она приводится к виду (1) с
помощью замены w = (wu ^2), Wi=y—eQy w2=6.
2. Постановка задачи оптимального управления. Пусть
гиперболическая система (1), (2), описанная в предыдущем-
пункте, содержит управляющее воздействие в правой части
Уравнения
! &w=w"+b(t)w'+A{t)w+C(t)w=(Fu)(t)+f°(t)y (14)'
| t0<t^Ty
I ИА>)=Ф°, ю'М-Ф1. (16).
[ Здесь заданы время t0y Ty T>t0y элементы (p°^W\ ф1^!^0-
I Функции b(t)<=C2[t0y Т] и f°(t)e±L2(t0y Г; W°)y операторы Л (О,
[ с(0» te[^o, Т], которые удовлетворяют условиям 1), 2), и^
I 1»

тсроме того, A(t), C(t), C*(t) дважды непрерывно дифференци-
руемы на [t0f Т].
Управление и выбирается из условия
ueeUczHu, (16)
тде U — множество из гильбертова пространства Ни со
скалярным произведением (•, -)Ut и действует на систему (14) с
помощью некоторого линейного ограниченного оператора F\Hur+
->L2(^0, T\ W°). В данной главе рассматриваются задачи
определения управления и из условия (16) такого, чтобы
соответствующее сильное обобщенное решение (14), (15) w(t)=±
=w(t; и) было как можно ближе к некоторому заданному
состоянию (у0, yl)eW*xW° в момент времени t=T. Математи-,
чески это можно сформулировать как задачу минимизации
функционала
J{u) = \w{T)-y*\*+\w'{T)-yiU2 (17)
при условиях (14) —(16). Здесь индекс х в первом члене
функционала (17) обозначает норму пространства W0 или W1 и
равен соответственно 0 или 1. При х=1 предполагается, что
y°^W\ функционал (17) характеризует отклонение системы
(14), (15) от заданного состояния в энергетической норме.
Например, для системы (8) —(10) при х=1, a(t, х)=а(х)
i
+ \wt{x,T)-yx{x)\2)dx,
о
т=1,2,
а при х=0
J(u) = $(\w(*> Т)-У°(х)!2 + \Щ(х, T)-t?(x)|2)dx.
о
Управляющее воздействие на систему (14) в конкретных
^системах может быть так же, как и в параболическом случае,
распределенным:
m
Fu^) = yFi{xyt)ui{x4t)i u(.)*=Hu = I2(Q), (18)
Ft(xy /)e=L2(Q), t=l, m,
зависящим только от времени:
Fu(-)=£ Ft(x, t)ut{t), f,e=L2(Q), /=1, m, Hu = Lf(t0, T), (19)
i=l
r(«0 = J(«(*)|
dmw(x,T) rdmii*{x)
dxm
dx"
J10

йЛи только от пространственных переменных:
т
Fu(-) = Y,Ft(x,t)ut(x), Fi^L2(Q), i=l,tn, Hu = l£(Q). (20)
1=1
3. Обобщенная проблема моментов. Для решений w\t\ и)
(14), (15) справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть задано (6°, 8l)eFx^0. Тогда, для того
чтобы решение (14), (15) удовлетворяло условию "4?"=
= (в°, Ql) = (w(T)— yc, w'(T)—yl), необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось тождество
<u, F*p>«+<e°. f/<LT)-b-(T)p'{T)>0-W9 p(T)>=alp),
а(р)=<Ф°, Р/('о)-6('о)Р('о)>о-<Ф1, р('о)>о-</°, Р><о>-
-<Л р'(Г)-б(Г)р(Г)>0+<у1, р(Г)>0
для всех p=p(t)^P, где Р — множество решений системы (4)г
(5) при произвольных ф0^^1, ф^Р.
Доказательство проводится так же, как в лемме 2.1.1.
Предположим, что пространство W1 компактно вложено в W0.
Тогда оператор A(t0) имеет положительный дискретный спектр
[122], т. е. существуют последовательности zk^W2, Xh^E1, k—
= 1, 2, ..., такие, что
Azk=XkZk, Xk+\>hk>0, &=1, 2, ..., Xk-^ooy &->oo,
причем системы zk, Xk~lj2zk, kk~lZk, &=1,2,..., ортонормированы
соответственно в W°> Wl, W2. Определим систему ^-(iJGP,
/==0, 1, £=1, 2, ..., с помощью условий
iPkMT), p'k.o(T)) = {Xirx'*zh9 0),
(Pk.i(T)9p'ktl(T))-(0, zk), A=lf 2, ....
Тогда из леммы 1 для решения w(t; и) следуют равенства
<е°, 2*>o=5*f!-<«*, f*p*^>u, е°=^(Г)-у°,
(22>,
(в1, гк)0+Ь(Т)(в°9 zk)0=XkV2((u, F*pk,o)u-aM)9
W = w'(T)-y\ A«l, 2, ...,
гДе величины
ak,i=a(pk)i)y i=0, 1, £=1, 2, ... . (23У
Извлекая из (22) равенства для б1, с учетом <0°, z*>o=^
ГЛ*Х<8°» 2*>н. О1» 2*>о—Я*1/2<^, F*p*.o>a-^|/2a*i0-6(7,)a*fi+
^ь{Т)(и, F*pk,\)u, k=l9 2, ..., приходим к обобщенной пробле-
ме моментов для задачи (14) —(17):
ill:

oo 1
J(W)==S E \^F^i)u-^ti\\ u<==UczHu> (24)
***,о=Яь1/2а£, о+Ь (У)а^, ь
■а*, 1в^2ал.ь (25)
Pk,o=Xkl/2Pk,o+b(T)pklU Pk,i=bk"/2Pk.u *==1, 2, ... .
Из (22) при и=0 и первых двух равенств в (25) следует,
"что K^e/j, *=0, 1, причем
"£ <i= К(Г)-»°1*. J *£„ = КСП-уЧЪ (26).
где a;0(/)=oio(/; 0) — решение (14), (15) при и=0. При ф°=0,
чр! = 0, f»s0 из (22) получаем, что «и, F*pkti)u}%Ll е /я, f = 0, 1,
причем
£ (", Грм>* = K(r)|g,f (и, fp*.,>2= 1^(7)1», (27)
где t^i(^)=z^i( t\ u) — решение (14), (15) при <р°===0, ср^О,
f°=0. На основании сказанного заключаем, что ряд в (24)
сходится, если ф1, j/^F, ф0^^1, */°e=IP, f°(t)<=L2(t0, T; W°),
Xl^Hu.
Отметим, что если вместо (17) рассмотреть функционал
J(u)=Oo\w(T)-ti°\f+oi\w'{T)-yi\0*9 о*>0, *=0, 1, (28)
где Gif /=0, 1, одновременно не равны нулю, то (24) имеет вид,»
оо
J(u) = Y°o\ <"> fXi)«-fl*,i I2 + °i I <"> Грм)—a*.ol2. (29)
4. Существование оптимальных управлений. Рассмотрим
задачу (14) —(17) в более частной постановке:
J(u) = \w(T)-y<>\f+\w'(T)-yi\0>-+mf, (30)
w"+b{t)w'+Aw+c(t)w=(Fu){t)+P(t)y t0<t<.T, (31)
«>('о)-Ф0, «'(«-Ф1. (32)'
us=U^Hu, (33)
где оператор Л не зависит от £, скалярные функции b(t),
e(t)(=C2{t0, Г]. Тогда функции р*,*(0. i=0, 1, й=1, 2r ...,
имеют вид
Pk,i{t)=qk,i{t)zk, f=0, 1, £=1, 2, ..., (34)_
312 ^

«где <]k,i(t), t=0, 1, &=1, 2, ..., — скалярные функции,
удовлетворяющие уравнению
rk,i(t)-(b(t)qkii(t)Y+Xkqkti(t)+c(t)qk>i(t)==Of
t0<t<.T9 (35)
£ условиями
(36)
^*,1(Г)-0, 9^1(П = 1, *-1,2
Система pk,i(t), *=0, 1, &=1, 2, ..., определенная по (25),
(34), (36), является минимальной, причем она неполна в
1*2 (*о, Т; W0). Биортогональной к ней является следующая
система:
Ам(9«Чм(9г*, '==0.1. k=\, 2 (37)
Qk,o{t)=&h-l>>irll2{\\qk, ill29*,o-<?*. ь Як, оУЯк, i),
(38)
^.i(0-^A**^*'4/"(llflf*.ells^.i-<^*.i, ?*.*>?*. о), k=\, 2, ....
где функции Цн, о (/). £=1, 2, ... , и последовательность Д*,
Л=1, 2, ..., записываются в виде
?*.о(9-?*.о(9+**-1/2*(Г)?*.1(0,
A^H^tPll^oll2-^,!. ?*,o)2>0, *=1, 2
Лемма 2. Функции qkj(t), q~k,o(t), i=0, 1, fc=l, 2, ...,
удовлетворяют неравенствам
Сь<К\Ы*<К(Т—Ъ) max |?м(012<Св, / = 0, 1, (39)
С7 < Я, ||^,о||а < кк (T—U) max | qkfi (t) |2 < С8, (40)
I Я3/2 <?w,flu) I <С„ Я3/2 | (?м, 9*.i)I <С10, (41)
max |fc(/)|<Cu, max \q'k,o(t)\ ^Cn, / = 0,1, £=1,2
(42)
где константы C/=Ci(T0, T, A, b, c)>0, /=5, 12.
Доказательство. Так как ph,i{t)*=qk,i(t)zk, i=0, 1, &=
^l, 2 удовлетворяют неравенству (6), то получаем
max (\qk,i(t)'\2 + Xl-liq"k.i(t)\2)= max (\pk,i(t)\l +
+ IaL* (01-0 ^ (43)
Отсюда следует первое неравенство в (42) и третье
неравенство в (39).
*5 Зак. 358 ИЗ

Умножая уравнение (35) для t=0 на qk,o(t) и интегрируй
его по t от некоторого 5 до Г, приходим к равенству
— — т — т _
I = \qk,o(s)\2 + Xk\qk,o (s)\2 +^c' (t) qUdt + 2 $ b \q'kt0\2 dt-
s s
T _ -
- ^ b"qlodt-c (T) XIх + с (s) qt,o (s) + b" (Т) X^ -
s
-b"(s)qto(s), £=1,2, .... (44>
Отсюда, еще раз интегрируя по s и оценивая правую часть
равенства сверху с учетом ограниченности Ь", с', при больших^)
Xk получаем
т _ г_
1 < С; J | ^,o|2 dt + СъХк $ qlt0dt, (45> |
и и :'
где положительные константы Сь,С$ зависят лишь от Л, Ьг
с, to, Т. Далее, оценим первое слагаемое в (45) через второе.
Умножая уравнение (35) при /=0 на (jk, о(0 и интегрируя^
имеем
г _ г _ т _ т _ _
^ Iq'k.o\2dt = Xk^ ql.odt — ^ b'ql.odt— ^ bq'k,oqwdt +
*0 t0 t0 ^0
+ f ^I,o dt—qkto (t0) qk,o (t0)-
to «I
Отсюда, оценивая правую часть с помощью (43) неравенства
2аЬ<^еа2+г~1Ь2, е>0, и подставляя в (45), получаем
справедливость неравенства
Я*1|£*,о112>Сб.
Аналогично доказывается неравенство (39) для функций
qk,i(t)f &=1, 2, ...; равенство (44) для них имеет вид
- т _ _ т _
1 = 1^(5)1'—5^Йл«—64s)9M(s) + 2j6|^.il,*+ ;:
Для доказательства первого неравенства в (41)
воспользуемся соотношением ^
114 Ц-

J gKo W + bq* + Xkq + cq) dt = qkt0 (T) (q' (T) + b(T)q (T)) -
to
— 9k,o (Q (?' (t0) + b (t0) q (t0)) + ?M (t0) Я (tQ),
справедливым для всех q(t)^C2[t0f T]. Возьмем функции
4^(0» которые являются решением следующего уравнения:
qk"+b(t)qk'+Xkqk+c(t)qk=:qk)i, £=1, 2, ...,
>с условиями
?*('о)=<7*'(М=0, k=l, 2, ...,
м подставим их в последнее интегральное тождество
т
т т _
7kt\ (bqk + q'k) dt + ХТХ/2 f 9>,i [ql + (bqk)']dt •■
J qktoqk,i dt = XTi/2 q'k,i (T) (q'k (T) + b(T) qk(T))
и
T
= ^Г*/2 J [ФЯклУ—КЯК\ —cqk,\] (bqk + qk) dt +
Г T _
+ ЯГ1/2 $?*>V#—*i"1/2 J qiUKQk + cqk) dt —
to to
™^1/2l?*,i('o)!2.
Интегрируя по частям, имеем
К \ Qktoqkti dt = — <7л,1 (66'</fe + 62<7* + % + 6"^ +
+ b'q'k-c'qk + 'kkbqk + bcqk) dt-±- \qkA(t0)\* =
т
= -J ?M ФЪл + bb'qk + b"qk + b'q'k-c'qk) Л--L1qkl (t0)\\
to
/v I, <Z , . • • «
Тогда, используя неравенства (3) для qk{t)zk и (43) для
^k, \(t)y приходим к справедливости первого неравенства в (41).
Оставшиеся неравенства (40), вторые неравенства в (41) и
(42) для функций cjk,o(t), &=1, 2, ..., вытекают из
доказанных неравенств. Лемма доказана.
'5* 115

Лемма 3. Для системы pk,u t = 0, l, k=l, 2, ..., и биортого-
нальной к ней системы pk,и *=0, 1, £=1, 2, ..., справедливы*"
следующие неравенства:
Cia^llp^olW^Cu, C15<||^,oll(o)2<C16, Cl7<Kkl-x\\pk, ill(o)2<
<С18, C19<Kk*-i\\pktl||<С20, Л=1, 2, ..., (46)-
где константы С}=С}(А, Ь, с, £0, Т)>0У /=13, 20, причем систе-.
ма pk,i, i=0, 1, £=1, 2, ..., является базисом в замыканит
своей линейной оболочки L, а при >с=1 — базисом Рисса.
Кроме того, справедливо включение
L^C(t0y Г; W\ W-i). (47)
Доказательство. Неравенства (46) следуют из определение
(25), (38) с учетом оценок (39) —(42) с помощью неравенства^
для определителя
Cls"Kir*< CbC7Xk-2-Cl0Xk-*<£k< СвС6Хг2+С10Хг* < С13%-2.
Базисность pk,u *=0, l, k=ly 2, ..., вытекает из критерия
базисное™ системы i[109]
| y (v> л.°) pk>°+& ^) ^ to) ^ Си>
Базисность по Риссу следует из неравенств
N N
которые эквивалентны определению базиса Рисса [107].
Докажем справедливость включения (47). Для этого
достаточно показать, что нормы пространств £2(^0, Т\ W0) к
C(t0y T\ W°y W~l) эквивалентны на системе pky и *=0, 1, £=^
= 1,2,...,:
C1B,llp*|i|l(o)<IIPik^ll[o.-i]<C16/,llp*,ill«)b *=0, 1, А-1, 2, ... . !
(48> !
Левое неравенство в (48) очевидно. Правое неравенство
следует из (39), (40), (42) леммы 2:
||Рл,1||ё),-11 = яг max (|p*,i(Olo+ |0m(OI-i) =
' = tf max (|^,i(0l2 + |^л(/)|2^1)<Св(Г-/0ГЧГ1 +
+ С\\Х%~~ <Ci6A,fe"" ^C16CIiXfe ||9fe,ill2===^i5||P^ill(o); ,«.
116 Я

11Р*.0|11О.-!1 = 1|Л»/2?(02*11|0.-1| = ^ ШаХ (l?M(Olo +
+ «Г1 \%.о (О I2) < С8(T-torl + С12<С';5Л* ||9М||2 = С;5 ||р.,о||(0).
Лемма доказана.
Существование решения задачи (30) —(33) рассмотрим для
следующих двух классов операторов F:
1) линейный непрерывный оператор F переводит Ни в
£2(Аь Т\ ^°) и имеет непрерывный обратный, например, в слу-^
чае распределенного управления:
(Fu)(t)=F0u(t), u(t)<==Hu=L2(t0, T; W>), (49)'
Fq — линейный, имеющий ограниченный обратный оператор
F<Tl:L2(t0)T; W°)-+L2(t0y Г; W>);
2) сопряженный к Z7 оператор F* удовлетворяет условию
ортогональности на базисных функциях pk,i, t=0, l, 6=1, 2, ...,
<F*pM, f*P//>(0)=0, U /=0, 1, *, /-1, 2, ...,
£¥=/. (50)
Этот случай имеет место, например, при
Fu(t)=f{t)u, uzeHu=W°, f(t)eEL2(tQt T). (51)
Предположим, что pk,i^lmF, t'=0, 1, 6=1, 2, .... Тогда в
случае 1) вся система F*pk,i, i=0, 1, &=1, 2, ..., является
минимальной, так как система Sk,i=F-lPkti, *=0, 1, А=1, 2, ...,
биортогональна к ней. Более того, как следует из оценок
лемм 2 и 3, система F*pk,i, 1=0, 1, &=1, 2, ..., является
базисом в замыкании своей линейной оболочки L, а при я=1 —
базисом Рисса.
В случае 2) система F*ph,i, 1=0, 1, £=1, 2, ..., может быть
неминимальной, но из нее можно выделить минимальную
подсистему F*pk,i, (k, i)&I\. Обозначим через 1\х пары (k, /)е/ =
= {£=0, 1, £=1, 2, ...}, которые соответствуют линейно
независимой паре F*/?fc,0, F*ph,u через /0° — пары (&, f)eA которые
соответствуют паре F*pk,o=F*pk,i=0; оставшиеся пары (k, i)&
e/\(/11U/0°) разделим по множествам 1{° и 10\ относя первую
из (к, 0), (А, 1) с условием F^pk.t^O к множеству V, а
оставшуюся — к множеству /о1, обозначим через Ii=I\l[)I\°> /o=/o0U
U/o1. Тогда система функций, записывающаяся при (&, /Je/j1
в виде
skt0(t)=Ak-1 (\F*pk, i\u2F*pk)0-<F*Pk,a, F*pk, x>F*pkt i),
sk, i (0 -A*"1 (| F*pk, о I u2F*pk, i-<F*pk> 0, F*p*, 1>F*pfc, o),
где величины
A*-|f*P*.iU2|f*P*.oU2-<f*P*.o, ^*/>*,Л>0, A=l, 2, ..., •
117

а при (k, i)&I\° - в виде
является биортогональной к системе F*pk, и (£> i)^I\.
В случае 2) система F*pk,i, (&, i")e/i, является базисои
при Л1=0.
Теорема 1. Если в задаче (30) —(33) при x=1(j/°gF) для
оператора F: #w-^L2(^o, У; ^°) выполнено условие (1) и
множество £/ таково, что PLU замкнуто, то £/*¥=0.
Доказательство. Введем оператор Ф:Фи={(и, F*pk,i>, t=
«0, 1, £=1, 2, ...}. Так как {F*pk,i, t=0, 1; fc=l, 2, ...} в
случае 1), как было показано выше, являются базисом Рисса,
то в силу теоремы 1.2.4 оператор Ф нормально разрешим. От- -
сюда и из теоремы 1.1.7 следует утверждение теоремы 1.
Отдельно рассмотрим случай U=HU. При выполнении
условия 1) в силу минимальности F*pkti, *'=0, 1, 6=1, 2, ..., и
/оо*=0 вопрос определения оптимального управления сводится
к решению равенств
<к, F*pktiyu**aktt, t=0, 1, k=ly 2, ..., иеЯм. (52)
Для существования решения (52) достаточным условием
является сходимость ряда
оо
"со. = J] ak>0 skt0 + ak,\ sk,\. (53)
Покажем, что в данном случае это условие является и
необходимым. Заметим, что ряд (53) сходится при всех*
{0Ju}£Lltlss0Aе 1г> €СЛИ F*Ph,u *==0, I, £=1, 2, ..., является
базисом Рисса. Следовательно, для задачи (30)— (33) с £/=*
=ЯМ При УСЛОВИИ 1) И Х=1 РЯД (53) СХОДИТСЯ И Uoo*ef/oo*.
При х=0 и y°^Wl ряд (53) также сходится. Это следует из
того, что для a*,i=a*,i(x), s^tl=s^,i(>c), fe=l, 2, ...,
выполняются равенства
Ам(0)5М(0)«ам(1)5Ы(1), *«1, 2, ... .
При х=0, ^efi^XlF1 ряд (53) не является сходящимся, так
как иначе возникло бы противоречие, вытекающее из теоремы
существования сильного обобщенного решения W(T; uoo*)^W*~
и из равенства нулю нижней грани функционала (30):
W(T\ йоо*)=у°. Отметим, что оптимальные управления и<х>* при
х = 0 и х=1 (y°^Wl) совпадают, а при sk,i^Lf i=0, 1, оно яв-
ляется нормальным оптимальным управлением.
Рассмотрим случай 1), когда в (49) F0=/, /— тождествен->
ный оператор в W°9 что соответствует случаю распределенного,
управляющего воздействия. Для этой задачи справедливо ра*
венство
118

]
(55)
Woo* = #oo* = V CLk,iSk,i:= Y\ uktiPk,i, /54)
где коэффициенты
Uk, 0==Ал5~1 (llPfe, lll(0)2^, 0-(Pk, 0> Ph, 1>(0)Л*, l),
uk, i=Afe""1(Hp^oll(o)2^, \-<Pk,o, ph, i>(o)^,o), A=l, 2, .
A*=llp*. ill(o)2llp*.oll(o)2-<Pik.o, Ph,i>2>0.
В силу леммы 3 нормальное оптимальное управление tioo*&
&C(t0, T; W°, W~l), ряд (54) сходится в норме пространства
С (to, T; W°, W~l) и справедливо неравенство
где С17=С17(Л, Ь, с, ft,, Г)>0.
Если исходные данные задачи более гладкие: ф°, y°^W2t
<р\ y*eW*9 f°€EL2(t0, T; W*)t то wsCffo, Г; Щ V0). ряд (54)
сходится в норме С {to, T\ Wl, W0) и справедливо неравенство
ll«ll[i.o]<Cie(|q^|a+|^b+k4i+|y1li + ll/°ll(i)).
где С18=С18(А, Ъ, с, t0, Г)>0.
Отметим, что так как система pk,o(t)=kkxl2qk,o{t)zk,
Pk,i(t)=Xk*/2qk,i(t)zk, £=1, 2, ..., неполна в L2(t0, T; W0), то
Uoo*(t) неединственное оптимальное управление в данной
задаче и
t>'oo*==Woo*~i х> .
Задача (30) — (33) с U=Hu при условии 2) сводится к
равенствам
оо
£ *к.оРл.о + +*.i^*P*.i = 0, (56)
<«, F*pk,i>u-$kti-aktt9 k=\, 2, ..., 1=0, 1. (57)
При (&, i)^I\ из (56) получаем
♦*.о|^*Р*.о|а2+**, x(F*pk. и F*pktO>u=0,
^k,o<F*pk, о, F*pk, !>«+!!>*, 11 F*p*,i I u2=0. (58)
Отсюда для (k, ijg/i1 вытекает ^,/=0, а для (k, /)e/0° из
(57) следует ф*,/=-ам. Пусть F*pkj=ajikF*pk,i, (k, i)&Ii°,
(К /)e/0!, F*pkfi¥=0. Тогда из (57), (58), записывая
а//* (а*,*+1|>/м) —♦*./ = fl*/, ifA.i+a/^tfA/^O,
приходим к равенствам
♦*/« (a//*a«-a*/) (1 +1 a/** 12)-J,
119

yt>ki = cLiik{ak,—aji*aki) (1+ja/i*!2)-1 (59)
и к выражению для нижней грани функционала
Л,.= £ а\л+ £ (l+l4l2r4^/-«W)2.
(M)€/g №.0C/?
<M)€/J
Оптимальное управление в рассматриваемом случае
удовлетворяет равенствам
(60)
<ы, F*ph,ди-tyk,i=ak,i, (ky i)e/i°,
где -ф*. t, определены по второму равенству (59). Так как sk,u
(k, i)^I{ содержатся в L, то для существования решения (60)
необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды
: й<х>* = Woo* = £ aktiskti+ £ (aM + фм) | F*pk,i |~~2F*pkti =
(M)G/J (M)e/?
= £ uktiF*Pk,i,
где коэффициенты и*,,- при (£, 0), (&, 1)^/^
и*, о^А^"1 (I F*Pkt 11 «2a*. o-(F*pk, o, ^/^p^, i>wa*, i),
иЛ|1= А^-1 (| F*p*. о I u2afe, 1-<F*pfe, o, ^*P*, 1>*я*. 0), J
bk=\F*P*.i\u2\F*pkt0\u2- <F*p*.o, F*phtl>u*>0, >'w
а при (&, 1)еЛ°
w*, »•= | F*p*,,•1 -2 (a&, £+фЛ, /).
Остановимся на случае 2) при условии (51). В конкретных
системах это соответствует управлению, зависящему только от
пространственных переменных. Для такой задачи функция
F*pk, iy i=0, 1, fe=l, 2, ..., имеют вид
т т
F*Pk0=^/2\f(t)qk0dtzk) F*pkA=%r[l{t)qkAdtzky *=0, I,
и и
? к = I, Z, . . .,
а множество /i1 пусто. Обозначим
т т
fk.o = ^/2J 7^i0 Л, ?*, 1 = X£/2J /</\t Л, """* =1,2,....
t0 и
f120

Если f/oo*^0, то
(k,i)£I°i
= I 7w fat + *% (akl-djflktt) (1 + la* I»)"1] zh9
<*kii = lk,\-Ikr (*. Oe/i, (ft, /)e/J.
§ 2. УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ. ЗАДАЧА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
1. Управляемость. Из теоремы 1.1 вытекает управляемость
системы (1.31), (1.32) в случае распределенного управления
при U=Hu=L2(t0y T\ W0) и всех (у\ ^)еГх^. Если
множество U не совпадает со всем пространством, например при
U=U(T), заданных следующими равенствами:
U=UR={u<=L2(t0, Т\ W0) : |И(0)<Л}, 0<#<оо, (1)
f/={weL2(^o, Т\ W0) :<и, *><р*, i==T7m}, intf/¥=0, (2)
l/ = {usC(/0, Г; W°):"max И01©<Я}. 0<#<оо, (3)
то может не существовать управления uet/, при котором
система (1.31) при фиксированном [t0, T] переходит из
заданного состояния (1.32) в заданное состояние (у0, у1). В данном
параграфе изучим вопрос управляемости для более частной
системы:
W"+Aw+cw=u(t)y t0<t<.T, c=const, X*+c>0, (4)
где %k, ft=l, 2, ..., — собственные числа оператора А.
Управление, при котором система (4) переходит из (ф°, ф1)
в (У°> У1) у является оптимальным управлением для задачи
(1.30), (4), (1.32)-(1.33) при U=Hu=L2(to, T\ W0) и имеет вид
«■/* -
«»• (0 = Zj К (Uh.oqk о (0 + «л. 19* 1 (0)**.
i
где коэффициенты «*,«, i=0, 1, £=1, 2, ..., определены по
.(1.55), (1.25), (1.34)-(1.36). В данном случае
Як.о (0 = W!/a cos [(Ч + с),/2 (t—T)],
_jt—T, Кк + с = 0,
^^-{(h+cr^sinUK^cfUt-T)], %к + с>0. (5)
Щ

Лемма 1. Для любого T'ef^o, Т) существует константа
Ci8=Cis(A, с, t0, T')>0 такая, что
max |м-(01о<С1в(Г-д-1(|я^|1+|фЧ0+|^|1+|^|0). (6)
Доказательство. Воспользуемся следующими формулами
для функций, заданных равенствами (5):
~ ,о "^2:
II <7*.о Ik
l-T-(T-t0). h+c = 0,
2k,
( 1
1 !T f sin[2(Xk + c)1/2(t0-T)) ) . n
к\Т-*« 2(^ + 0'/» )' ^ + C>0'
11^,1^ =
\J-{T-t0)\ Kk + C=0,
Ll —1—It t i sin[2(?ife+c)1/2(v-;r)n . , _.n
К12
^(Хь+с)
Тогда для величин
„,1/2 - ^ + C-U,
{cos[2(4 + c)l/2 (*0-T)]-l>, kk+c>0.
bk=m\qk,0\\L\\qktl\\U-(Qk.o' Якл)1), *=1, 2, ....
получаем
12
A* =
(т-g*. xk+c=o,
±.%k(%<k+C)-} {(T-g
sin4(^ + c)'/2(<,-r)]
2 am- n<vfe ~r t; \tp — i ;j 1
** + С j '
bft + c>0.
Пусть выбрано произвольно T'<^.(t0, Т). Тогда из
неравенства
— 1<с(*)<-^<с(х)<1, *>*>0,
At
вытекает оценка для всех номеров k таких, что Я*+с>0,
Ak>Cl8'(%b+c)-i%k(T-t0)2,
где С18' зависит лишь от Ки с, Т. Из формул для биортого-
нальной системы 4k,i(t), i=0, l, k—l, 2, ....
Qk, o(0 =Я^2А*-' (11$*, ill'r,,^*, o(0-<9*. o, 9*. !>?»■ i (0).
122

с помощью оценки для величин Д*, fe=l, 2, ..., следует
неравенство
\qk,i(t)\ ^Cl8'"(T-to)-1, i=0,l, Л=1, 2 •
где положительная константа CV" зависит лишь от %и с, Т\
Отсюда, используя определение последовательности а&, /, /=
*=0, 1, k=l, 2, ... (см. (1.23), (1.25)), получаем
оо
!«~.(Olo<3£(a£J<7ft0(0|24Xi!?M(Ol2)<
оо
^зс;8(т-д-2 F(<o+"ii)<
<c;;'(r-g-2(i9ei?+iq>*|g+i^i?i-iyi|g).
Лемма доказана.
На основании леммы 1 получим следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть множество U=U(T) удовлетворяет
условию: найдется время T">U такое, что для всех Г>Г"
существует семейство управлений v(t\ T)^mtPLU(T), которое
равномерно по Т ограничено в L2(t0, T\ W0) (здесь под intX
понимается внутренность множества XczL относительно
подпространства L в норме L2(t0, T\ W0)). Тогда для любых («р°, ф1),
(У0, yl)^WlxW° существует достаточно большое время Т,
при котором система (4) управляема на отрезке [/0, Т] из
(ф°, ф1) в (у0, у1) на множестве U.
Следствие 1. Пусть множество U определяется одним из
трех равенств (1), (2), (3). Тогда для любых (ф°, ф1),
(у0, yl)^WlxW° существует достаточно большое время Т,
при котором система (4) управляема на отрезке [t0, Т] из
(ф°, ф1) в (у0у у1) на множестве £Л
Вопросы управляемости гиперболических систем
исследовались также в [54, 58—61, 143, 145].
2. Быстродействие. Если задача перевода из одного
заданного (начального) состояния в другое заданное (конечное)
состояние имеет решение при некоторых Г, то может быть
поставлена задача о нахождении минимального времени Г*, при
котором этот перевод возможен.
Пусть заданы (ф°, ф1), (у0, yl)^WlxW° такие, что
(ф°, ф1)=5^(г/°, у1). Управление u(t) выбирается из
множества (1). Как показано в теореме 1, следствии 1, для любого R
существует время Т такое, что систему (4) можно перевести
из (ф°, ф1) в (у0, у1). Рассмотрим задачу определения Г* й
«*(0, fe[fo, Г*], таких, что u*(-)^UR и соответствующее
решение уравнения (4) удовлетворяет условиям
И'о)=Ч>°. ^('oW, ИГ*)=У°, w'(T*)=y\ (7)
123

причем время Г* наименьшее, т. е., если некоторые Т и u(t)^
^UR также удовлетворяют (1), (4), (7), то 7,>Г*. Докажем
существование и единственность решения задачи быстродейст-
вия, т. е. существование времени Г* и u*(t)^UR, где u*(t)^
eC(t0, Г; W°).
Для того чтобы решение (1), (4) при некотором Т
удовлетворяло (7), необходимо и достаточно, чтобы существовало
управление u(t)^Ux такое, что
<и, Рь 1>(о)=<Ух, Pk. i(T)>o-<y°, p'k. i(T)>0+
+(Ф°, P'k,i{to))o-<41, Pk,t{to)>o, i=0, 1, ft-1, 2, ..., (8)
где функции Pkj^hkWqkjZk, a qkti определены равенствами (5).
Обозначим
oo
и (t; T) = и», (t) = Y Кор2 о (0 + и*. iP»., (0) =
oo
= £ (fl*. oS*. о (0 +"flft, iSfe, i (0), (9)
fe-i
где skti(t), t'=0, 1, fe=l, 2, ..., — биортогональная к Pk,i(t),
>=0, 1, &—1, 2, ..., система, a uk,u /=0, 1, 6=1, 2, ...,
определены согласно формулам (1.55).
Лемма 2. Функция u(t; T) обладает следующими
свойствами:
IM-; 7")||(о) — непрерывна по Т при T>t0;
!!«(-; Т)\\(0)->оо при T~+t0, ||и(.; Г) ||(о)^0 при Г->оо.
Доказательство. Пусть произвольно задано Tf&(tQ, 7*).
Для всех й=1, 2, ... из формул (5) следует
max{|!^t.||i; K<W £.i>*J'. '' = °> *) ST'^Cig Xk(T-tor\
где
^=11^,0 lit'H^,l IlL—(^.о' ^.i>L,
а константа Ci9/s=Ci9'.(*(b ^ Л c)>0. Отсюда и из (1.55)
получаем
\Uk,i\<Cl9'(T-t0)-i(\akt0\ + \ak9l\)Kk9 t=0, 1, *-l, 2, ....
Тогда в силу справедливости неравенств
|а*.М<С19,,Я*-^(|ф°*| + |^*| + |^| + |у1*|), t=0, 1, Г
ft-1, 2, ...,
124

приходим к 01*енке
I max \uktoPk0(t)+ukApk t (0 |o<Ci'9(T — *0)~2X
х(|ф^|2+|^|2+1фЛ2+1^12), *=!• 2 (10)
Здесь положительные константы С19', Ci/, C19", Ci9" зависят
лишь от Л, с, f0, 7\ а -срА yk°, W> У^ - коэффициенты Фурье
по ортонормированным системам соответственно X*~1/22fe, z*,
i=l, 2, ..., в пространствах W1 и Н7°.
i Из (10) следует, что
? м
; max |tt„(f; Г)-«*('; Л |2<C* |*0-Г|"2 £ (1ф°*12 +
i +I»2li+I9ili+I»ili).
i
| где константа Ci9///=C19,,/(y4, с, t0, T')>0, ы# — частичная сум-
j ма ряда (9). Отсюда вытекает равномерная сходимость на лю-
! *бом отрезке [Т\ Т"] функций uN{t\ T) к u(t\ T) в норме
| C(t0, Т; W0). Следовательно, так как \\uN{*\ T)\\(0) непрерывны
! по Г, то \\и(-; Г)||(о) также непрерывн"ая функция по Г, T>t0.
\ Покажем, что она стремится к бесконечности при Т-*4&
; Допустим, что "существуют константа М>0 и
последовательность Tn-+t0y п->оо, такие, что ||ы(-, Гя)||(о)<А1. Тогда получаем
! т
IJ {u{t; Тп), /£,),л|<||и(.; Г„)||01|р".||{0><
<^ll/^.,l!(0)-»-0, n-*oo, i = 0, 1, 6=1,2
"Учитывая это в (8), приходим к равенствам ц>к°=Ук°, ф*1=Уй1,
<k=l, 2, ..., которые противоречат предположению (<р°, ф1)^
^(У°, У1).
Последнее утверждение леммы вытекает из
неравенства (10). Лемма доказана.
Из леммы 2 следует, что для любого R>0 существует
минимальный корень уравнения
И-; ЭДо-Я, (И)
и тем самым обосновано следующее утверждение.
Теорема 2. Для задачи быстродействия (1), (4), (7) при
любом /?>0 существует ее решение, т. е. время
быстродействия Г* и управление u*(t)<^C(to> Г*; W0), причем u*(t)
единственно в L2(^o, T\ W0), а время Г* является наименьшим
корнем уравнения (11).
125

Можно предложить следующую схему вычислений решена*
рассматриваемой задачи быстродействия. Пусть TN —
наименьший корень уравнения
ИМ»; Г)||(о)=/?.
Так как точное решение этого уравнения затруднительно, вме^
сто Tn определим TN из соотношений
\Tn-Tn\<*n, IIM-; ?V)II(o)</?jv, N=lt 2, ..., (12>
где 8jv, Rn — последовательности чисел, характеризующие
погрешности вычислений
глг>0, е#-*0, #->оо, RN>R, Rrr-^Ry N-+00.
Величины TN и un(-; fN) при достаточно больших номерах ЛГ
можно принять в качестве приближенных решений задачи бы*
стродействия, считая, что un(-\ Tn) доопределены нулем при:
t>TN. ,J
Теорема 3. Для описанных выше последовательностей TN »
Un(-) Tn) справедливы следующие соотношения:
TN~+T*, \\un(.; Tn)-u{-; 7\>)11<ог*0. N-+oo.
Доказательство. Из неравенства
#H|tttf+i(s riV+i)||(0)>||^(-; Глг+1)||(о)
следует, что Tn+\>Tn. Из леммы 1 вытекает ограниченность,
Т ' I
Г„<гМ-С2о'^ |<рЧ i2+1№+1 фЧоНЧ#Чо2),
где С'2о=С2о'(Л, с, /0. 7\)>0. Поэтому существует преде*
T=V\mTN.
N-*oo |
Пусть u(t) — слабо предельная функция к Un(-\ Tn). Бе$
ограничения общности можно считать, что un-^u слабо в^
L2(to, T\ W0). Из (8) при £=1, N9 N-+ooy получаем
(ю(Г;а); аК(Г; й)) = (</°, У1)-
Следовательно, Г>Г*. ]
Учитывая, что при каждом Af величины 7V являются вре-, |
менем быстродействия, можно показать, что Г=Г*. Из (12)
вытекает Tn-+T*, JV-^oo. Сходимость uN(-', Tn) следует из (8)
и условий (12). Теорема доказана.
Для отыскания величин TN, удовлетворяющих условиям
(12), можно использовать различные методы поиска
минимального корня уравнений [88, 115, 118].
Задачи быстродействия описаны в работах [146—161]. :
126 :^ы;

§ 3. АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ЗАДАЧИ. СХОДИМОСТЬ
Рассмотрим задачу (1.14) —(1.17) в случае, когда
U=UR={v<=Hu:\v\u<R}, 0<Я<оо. (1)
Х1усть X\XX0cWlxW° множество (подпространство)
достижимости системы (1.14), (1.15) при и^Нщ ф°=0, ср^О, /°(0^
ввО, т. е. (w(T)9 w'(T))<==XlxX0, где w(t)^C(t0t Г; W\ IP) -
решение уравнения
w"+b(t)w'+A(t)w+c(t)w=(Fu) (t)9
(2)
w(t0)=0, w'(t0)=0.
Представим функционал (1.17) в виде
J(u)=J(u) + \w(T)-g°\x2+\w'(T)-yi\0*9
w(T), P<=XX\ w'{T), g*€=X0\ (За)
T(u)-\w(T)-p\n*+\w'{T)-y*\t9 w(T)9 д°е=Яи
w'{T)9 д*е=Х0. (36)
Здесь Х0Х, Xi1- — ортогональные дополнения к Х0 и Хь взятые
соответственно относительно скалярных произведений <•, ->о,
<•, ->х в W0 и W*. Множества оптимальных управлений для
системы (1.14) —(1.16^, (1) в случае функционалов (За) и (36)
совпадают, причем /<х>*=0.
Обозначим через P+c:C(tQ9 T\ W°t W~l) множество слабых
обобщенных решений p(t) уравнения (1.4) при р(Т)^Х0у
^(Г)~Ь(Г)р(Г)еХ1.
Лемма 1. Пусть (8°, G^geX^Xq. Тогда, для того чтобы
решение (1.14), (1.15) удовлетворяло условию (w(T)9 w'(T)) =
= (0°, б1), необходимо и достаточно, чтобы для всех p(t)^P+
выполнялось тождество
<и, F*p>M=<<p°, P'(t0)-b(t0)p(t0)>o-<<pl9 p(*o)>o-
-</°, Р)о-<е°, p'(T)-b(T)p(T)}0+<Q\ р(Г)>0. (4)
Градиент функционала (Зб) равен J'(и) =2F*i|)(0> гДе
t>(0 —слабое обобщенное решение (1.4) при
W)=w'{T)-y\ ^{T)=b(T){w'(T)-p)-{w{7)~y*). (5)
Тогда в задаче (1.14) —(1.16), (Зб) для оптимальности u^UR
необходимо и достаточно, чтобы существовали у и г|?е/5+ та"
кие, что
F*q+yu=09 г|)б=Р+, y>0, (6)
<и, F*p>u-W(T)-b(T)ib{T)9 p'(T)-b(T)p(T)>0-
-<1>(Г), p(7)>0=V, p*(to)-b(to)p{to)>o-<<pl9 p(W>o-
-</°, P>(o)-<*/°, р'(Т)-Ь(Т)р{Т)У+(У\ Р(Т)>о, P^P+> (7)
Y(|u|u-#)=0, |м|и</г. (8)
127

Аппроксимируем соотношения (6), (8) конечномерными..
Для этого определим последовательность конечномерных про-,
странств HuNczHu, Af=l, 2, ..., предельно плотных в Ни.
Пусть XiNxX0NaWlxW° — множества достижимости при и^
^HuNy а Р+м — множество решений (1.4) при p(T)^X0Nri
pt(T)—b(T)p(T)^XiN. Заменим (6)-(8) условиями
F*^N+yNuN = 0f y<=EP+N, y">0> (9>
<UNf Р*р»>и-<Ъ*{Т)-Ь(Т)ъ»(Т)9 PtN(T)~b{T)p"(T)y-
-<Г(Т), Р*(П>о=<Ф°, PtN(to)-b(to)p"{to)>-<v\ PN(t0)>o-
-</°, PN)(o)~<y°, PtN(T)-b(T)p»(T)>+(y\ р»(Т)У0у
pn^p+n, (io>;
yN(\u\u-RN)=0, \u\u<RN, RN-+R, N-+CO. (ll>
Условия (9) —(И) являются условиями оптимальности для
задачи минимизации функционала
lN{uN)= |pr Mw(T)-f)\l+ \WxN{m{T)-yi)\l \
при условиях (1.14), (1.15), u^URn f\HuN. Эта конечномернаяг
задача при всех 0<i?#<o° имеет оптимальное управление и*
и 7лгоо*=0, \|>"=0.
Теорема 1. Пусть (y*, ф*, uN)y N=ly 2, ..., — решения
(9) — (11), a (y, if, и) — решение (6) —(8). Тогда при ЛГ->оо»
Iy^yI+II^^II[o,-i]+I^-"!^o.
Доказательство. Подставляя в (10) p^=—-ф^, учитывая
(9) и оценку (1.6) для слабого обобщенного решения, получа-.
ем ограниченность ^N9 Af=l, 2, ...,: Н
11^11[о^п<С(|фО|1+|ФМо+11^1(о)+|уЧх+|1/1|о),
где С=С(А, fc, cy to> T)>0. Тогда из (9) следует ограничен*
ность уы. Так как P+uczP+t то, вычитая (10) из (7), приходим I
к равенствам ■■, ]
<и-и", Р*р">и-ШТ)-№{Т)-Ь(Т) (Ц(Т)-
-*»(Т))9 PtN(T)-b(T)p»(T)>-<^(T)-Y(T), PN(T)>0=0, *
Обозначая р"(-, Т) = ргхм г|>(., Т), pf (., Т) = pr** i[>'(•, Г)
и подставляя pN=tyN—pN, приходим к равенству I
<и-и", Р*^-Р*р^>и+1ф;(Г)-^(Г)-6 (Г) fa(Г)- I
128 J

-V(T)),fy(T)-ptN(T)-b(T)(4(T)-p»(T)))+(q(T)-
-Г(Т), 4>(T)-pN(T)}0.
Отсюда, обозначая zN (t) *=ty (t)—tyN (t) и учитывая равенствам
(6) и (9), получаем
<и-и", -yNuN+yuyu+\ztN(T)-b{T)zN(T)\2+\zN{T)\<?=
= W(T)-b(T)z»(T)9 ty(T)-pt»-b{T) to(T)-P*(T))>+
+<г»{Т), ф(7)-р"(Г)>-<ы-ц", F**-F*p»>u.
Воспользуемся соотношениями (8) и (11):
\г? (T)-b(T)z» (T) |2 + \г» (T)\l = y"RRN-yR*-
-YnRn + yRRN + С (|z" (T)-b(T)z" (Г) \ + \г*(Т)\)х
xQN + C"\u-u»\u\\F*\\QN^yNRN\R-
~RN\+yR\R-RN\+C'(\z?(T)-b(T)x
xz»(T)\ + \z»(T)\)eN + c-oN,
"и Л1 л0
Используя вытекающую из неравенства *2<2ajH-p, a, P>0r
оценку #<;a + Va2 + P» а также оценку для слабого
обобщенного решения (1.6), получаем
И^-^||[о,-1]-*0, ЛГ-*оо.
Тогда из (9) с учетом (11) вытекает сходимость
Покажем сходимость uN-*-u, N-+00, в норме Ни. Пусть 0<
<#<оо. Если y>0» то из (9) следует
«at=y^""1^*^jv"~>Y~1^*^==s"-
Пусть y=0. Рассмотрим элемент vN^HuN, являющийся
решением (9), (10) при y"=0. Так как y"=y=0 и i|>=ip"=0, to из
(7) и (10) получаем
Следовательно, t^ = prSl и, S+N=F*P+N. Так как S+лг плот-
Но в S+=F*P+, то vN-+uy N-ь-оо. Таким образом, если yN=0,
то uN=vN и uN->u, N-+00. Пусть y^>0- Тогда в силу
монотонности \uN(y)\
Rn=\u"\u<\v*\u<\u\<R
й uN-*~uy N->oo. Последнее утверждение очевидно. Теорема
Доказана.
129

Для определения тройки (yN9 $Ny uN) из (9) —(11) можао
воспользоваться вычислительной схемой, аналогичной схеме
описанной в гл. 1. Для решения возникающих здесь краевых
задач применимы различные численные методы [115, 116, 118
J19, 129-132].

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изложенные выше схемы обобщенного метода моментов
можно включить в одну несколько более общую схему.
Поясним это на примере задачи (1.1.33), (1.1.43)
■ /(и)И|Ли-Я1А^п!, «€=J7, (1>
£/={ш=#:Ы1</?}, 0<#<оо, (2>
| предполагая, что Um = {u^H: J (u) = inf J (v) = J J Ф 0. Си-
I стему (1.1.47), (1.1.48), выражающую необходимые и доста-
[ точные условия справедливости включения u^U*y с помощью*
| вектора невязки Чг=Лг/—/ перепишем в виде
А*Ч+уи=0, (3)
Т-Ли-Д (4>
Y(IM|-*)«0, \\u\\<R, Y>0. (5)
I При R—oo условие (5) опускается, а в (3) полагается y=0.
I Пусть ft*e#, e^F, &=1, 2, ..., — какие-либо полные систе-
I мы в Я и F соответственно. Умножая скалярно уравнение (3)
[ на hky уравнение (4) на е* и пользуясь равенством
(Аи, z}f=(u, A*z}h, u^Hy z^F,
I систему (3) —(5) можно записать в эквивалентном виде
OF, Ahk>F+y<u9 А*>=0, £=1, 2, ..., (6)
OP, e*>F-<tt, Л*е*>=-</, e*>, A—1, 2 (7)
Y(MI-#)=0, IMI</?, v>0. (8)
Если в (1), (2) /*=0, то W=Au—f=0 при всех u^U*. Сле-
Довательно, y=0> и из (6) —(8) для определения u^U* получа-
ем классическую проблему моментов
<«, ф*>=/*> Ф&=Л*е*, /*=</, eky, £=1, 2, ..., Nl</?.
Поэтому систему (6) —(8) относительно неизвестных (7, 4я, м)
г естественно назвать обобщенной проблемой моментов. Эта си-
131
к

стема имеет решение тогда и только тогда, когда в задаче (\\
(2) и*Ф0. '•
Поиск решения системы (6) —(8) можно провести по схеме
изложенной в гл. 1: сначала, решая систему (6), (7) при фн^!
сированном y>0» можно определить элементы Ч^Ч^у), ц^
=w(y) и затем величину y подобрать так, чтобы пара (y, "(у))
удовлетворяла условиям (8). Приближения для элементов
*F(y)» u(y) можно искать в виде конечных сумм
N N
им (?) = Е Wt > 4n (y) = Е * А' (9)
тде CLi^H, bi^F, i=l, 2, ..., — какие-либо системы из Н и-f
соответственно. Предполагая, что Un{\), ^(y)
удовлетворяют равенствам (6), (7) при £=1, 2, ..., N, подставим (9) в
(6), (7) и получим систему линейных алгебраических
уравнений:
N N
Е Ь Фо *к)р—Л "i <<**. A*ek) = — <Л ек)р,
(10)
N N
относительно неизвестных ии ..., и#, -фь ..., флг. Имея tt#(v)»
^(y), Для определения приближения yN параметра y системы
(6) —(8) можно воспользоваться соотношениями
yHHMy")II--/?)=0, \\uN(yN)\\<R9 y^>0, (И)4
получающимися из (8) при u=uN{y). Как показано в § 1.1,
функция ||ылг(у)11 переменной у>>0 строго монотонно убывает
и стремится к нулю при y~^+°°- Поэтому для yN из (11)
имеем формулу
/о при циЛ(0)ц</г,
У"\Ъ при НМ0)||>Я,
аналогичную (1.1.28); здесь yo — решение уравнения
\\uN(y)\\=R.
Намеченную здесь схему сведения задачи (1), (2) к
системе (6) —(8) и поиска приближенного решения этой системе
можно назвать обобщенным методом моментов решения зада*
чи (1), (2). По-разному выбирая элементы {ek}, {hk}> {ak}> {W
ъ (6) — (11), можно получить различные варианты этого
метода. При выборе {Л*}, {ek}> {ak}> {bk} нужно стремиться к тому»
чтобы матрица системы (10) обладала свойствами, облегчав'
132 *щ

^дими численное решение этой системы (симметричность,
положительная определенность, близость к диагональному,
треугольному или клеточному виду и т. п.). Подчеркнем, что в
Обобщенном методе моментов необязательно, чтобы наборы
элементов {eh}, {hk}, {ak}, {bk} образовывали полную систему в
tf или F\ как мы видели выше, в ряде случаев достаточно,
зтобы некоторые из этих наборов образовывали полные
системы лишь в областях значений операторов А или Л*. При
составлении этих наборов часто полезно использовать
собственные элементы операторов А; А* или других операторов,
.связанных с краевой задачей, описывающей динамику
конкретной системы. v
В рамках изложенной общей схемы (6) —(11) метода
моментов нетрудно указать такие наборы {hk}, {ек}, {я*}> {bk},
когда из системы (10) удается выделить подсистемы меньших
размерностей, содержащие лишь переменные -фь .. -, ^n или
т, ..., uN. Так, например, если в (9), (10) взять {ek} —
полную систему в F, Нк=:1ак:=А*ек, Ь^=^, £=1, 2, ..., то получим
N
£
^(?)=ЕМЧ, ^(Т)=£*Л. (12)
тде неизвестные коэффициенты ии ..., uNy -фь ..., ф#
определяются из системы
N N
£ ♦* (**, ek)F—£
N
Е ** <*<■ €k)F — E Ut(A*et* ^Ч)я=— (Л Ck)F>
(13)
Х*«<^4. А*ек)н + у^Щ(А%9 A*ek)H = 0t k= 1, 2, ..., N.
i=i i=i
Бели первое уравнение (13) умножим на y и сложим со
вторым уравнением, то получим подсистему
Х^(ИЧ-, A*eJH+y(el9 ek)F)=—y(f, ek)P, *=1, 2, ..., N9
4 = 1
(14)
содержащую лишь переменные -фь ..., tyN. Матрица системы
(14), составленная из матриц Грама систем {^}» {А*Ск}9
симметрична при всех y>0, а при y>0 она положительно
определена. Таким образом, для определения решения системы (13)
сначала можно найти из подсистемы ("14) величины я|?ь ...
♦-., tyN, подставить их, например, в первое уравнение (13) и
^з получившейся системы определить ии ..., un-
133

Заметим, что если {ek} — ортонормированный базис в F\
qh=A*ek, /*=</, ek>, то систему (13) можно записать в виде
1=1
(15>
N
£ (Ь + УЩ)(<9и Ф*)я = 0, £=1, 2, ..., N.
i=i
Как видим, система (15) полностью совпадает с системам^
(1.3.30), (1.3.31 ) (см. также системы (1.2.39), (1.2.40),
(1.2.54)). Это значит, что аппроксимационная схема
обобщенного метода моментов, исследованная в § 1.2, 1.3, является ча^
стным случаем схемы (9) —(11).
Покажем, что схема обобщенного метода моментов,
рассмотренная в § 1.5, также может быть получена из общей
схемы (9) — (11). В самом деле, положим в (9), (10) ek=bk*s
=Ahk, ak=A*Ahk, &=1, 2, ..., где {hk} — полная система •*
Н. Получим
N N
i=i t=i
где неизвестные коэффициенты ии ..., им, <фь . •., 'флг
определяются из системы
N N
2>1<ЛА„ Акк)р-£щ(А*А1г1у ЛМЛ,)Я =-</, Ahk)F,
t=l t=l
N.N
Y,4>i{Ahit Ahk)F + yY*ui{Ahi> Ahn)F = 0> *=!, 2, ..., N. '
f=i t=i
Вычитая из второго уравнения (17), первое, получим
подсистему
N
Y>,«i4MA,f A*Ahk)H + y(Ahi9 AhJP = (f, Ah,), ft-1, ..., N',\
i=i r
(Й
содержащую лишь переменные щ, ..., uN. Матрица системе
(18), составленная из матриц Грама систем {Ahk}, (ДМА*)»
симметрична, неотрицательна при всех у>>0. Определив вели*
чины ии ..., Un из (18), затем можно подставить их в одно г№
уравнений (17) и из получившейся системы при необходимо^
сти найти величины \|>i, ..., i|)#. Нетрудно видеть, что систем^
(18) полностью совпадает с системой (1.5.10). Это значит, чт*
134 t

^.дяроксимационная схема обобщенного метода моментов в
i 1,5 является частным случаем схемы (9)— (11).
* Таким образом, приведенная аппроксимационная схема
zg) — (11) обобщенного метода моментов охватывает
рассмотренные выше схемы и применима для численного решения
задачи (1), (2) как при /*=0, так и при /*>0. При написании
^равнений (3) и (7) для конкретных задач оптимального
управления, как мы видели в гл. 2—4, может быть использована
^а же техника, которая применяется при выводе формулы
градиента целевого функционала и достаточно хорошо
разработала (см., например, [88]).
Аналогично можно описать общую схему метода моментов
для задачи (1) в случае, когда множество U задается
линейными неравенствами в виде (1.1.51). Если U выпуклое
замкнутое множество, необязательно совпадающее с множествами
(2), (1.1.51), то здесь можно воспользоваться необходимым и
достаточным условием оптимальности для задачи (1),
записанным в виде вариационного неравенства
{Г(и), v-u)H=2(A*(Au-g)t v-u>h>0, ve=U (19)
(см. формулу (1.1.34) для градиента функционала (1)).
Введем вектор невязки (4). Учитывая равносильность (4) и (7),
неравенство (19) можно записать в виде системы
<Л*^, и-ы>>0, ve=U,
(20)
<^, екуР-(щ Л*е*>я=-</, е*>, £=1, 2, ...,
| яз которой определяются неизвестные u^U, W&F. Если в (1)
Л=0, U*¥=0, то y¥=Au—f=0 при ые£/* и из (20) для
определения и получим классическую проблему моментов. Таким
образом, система (20) представляет собой некоторое обобщение
проблемы моментов и может быть использована при
разработке различных схем метода моментов для достаточно общих
задач вида (1).
Всюду в книге широко использовались термины «проблема
моментов», «метод моментов». Это связано с тем, что авторы
пришли к задаче (1), рассматривая конкретные классы задач
оптимального управления и при этом, естественно,
пользовались терминологией, широко распространенной в теории
оптимального управления (4, 13, 20, 21]. Читатель, хорошо
знаковый с теорией операторных уравнений и методами поиска их
Решений и квазирешений [79—84] может сказать, что
элементы uN(y)y y¥N(y) из (9) естественнее интерпретировать как
приближения Галеркина для решения системы операторных
Уравнений (3), (4), а всю схему (9) —(11) назвать обобщен-
НЬ1м методом Галеркина для решения системы (3) —(5) или
Задачи (1), (2).
135

t\ -1
В рамках данной книги внимание авторов было
сосредоточено на вопросах сведения конкретных классов задач опти..
мального управления к обобщенной проблеме моментов, а
также на теоретических и алгоритмических аспектах предлагаемой
методики. Ограниченный объем книги не позволил
сколько-нибудь подробно остановиться на исследовании важных с
вычислительной точки зрения вопросов влияния погрешностей в
задании исходной информации на устойчивость метода. Авторы
ограничиваются констатацией того, что при наличии
погрешностей обобщенный метод моментов, вообще говоря, нужно
сочетать с методами регуляризации и по этим вопросам отсылаю^
читателя к [79—84].

«ЛИТЕРАТУРА
I. Кр асовский Н. Н. К теории оптимального регулирования//Автома-
тика и телемеханика. 1957. Т. 18, № 11. С. 960—970.
:2. К р а с о в с к и й Н. Н. Об одной задаче оптимального регулирования//
/7 Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, № 5. С. 670—677.
3. Кр асовский Н. Н. Теория оптимальных управляемых систем.
Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. Общая и прикладная механика. М.:
Наука, 1968.
4. Кр асовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
5. А х и е з е р Н. И., К Р е й и М. Г. О некоторых вопросах теории моментов.
Харьков: ГОНТИ, 1938.
6. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы
анализа, связанные с ней. М.: Физматгиз, 1961.
7. К р е й н М. Г., Н у д е л ь м а н А. А. Проблема моментов Маркова и
экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.
.& Карлин С, Стадден В. Чебышевские системы и их применение в
анализе к статистике. М.: Наука, 1976.
9. М и х л и н С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.:
Гостехтеориздат, 1952.
10. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.:
ГИТТЛ, 1957.
II. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.:
Наука.
12. Бутковский А. Г. Теория оптимального уцравления системами с
распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.
13. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными
параметрами. М.: Наука, 1975.
14. Бутковский А. Г. Структурная теория распределенных систем. М.:
Наука, 1977.
15. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными
параметрами. М.: Наука, 1979.
16. Будак Б. М., Васильев Ф. П. Приближенные методы решения
задач оптимального управления. Вып. 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969.
17. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Качественная теория
оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.
18. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Оптимизация линейных систем.
Минск: Изд-во БГУ, 1973.
19. Бублик Б. Н., Кириченко Н. Ф. Основы теории управления. Киев:
Вища школа, 1975.
20. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными
параметрами. М.: Наука, 1977.
21. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными
процессами. М.: Наука, 1978.
22. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука,
1982.
23. Потапов М. М. Аппроксимация экстремальных задач в
математической физике (гиперболические уравнения). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
24. Мороз А. И. Курс теории систем. М.: Высшая школа, 1987.
ia7

25 Иванов В. К. О линейных некорректных задачах//ДАН. 1962. Т. ц* 1
№ 2. С. 270—272. ** 1
26. Г а л ь ч у к Л. И. О некоторых задачах на оптимальное управление с^ I
стемами, описываемыми параболическим уравнением//Вестн. Моек, у»" ]
та. Сер. Математика, механика. 1968. № 3. С. 21—33. ' 1
27. Плотников В. И. Об одной задаче оптимального управления стащ^ 1
нарными системами с распределенными параметрами//ДАН. 1966. Т. 17ft 1
№ 2. С. 290-293. и* I
28. Плотников В. И. О сходимости конечномерных приближений (в за- 1
даче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной фол" I
мы)//ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8, № 1. С. 136—157. JT I
29. П л о т н и к о в В. И. Энергетическое неравенство и свойство переопре^ I
деленности системы собственных функций//Изв. АН СССР. Сер. мате- I
матика. 1968. Т. 34, № 4. С. 743—755. I
30. Плотников В. И. Теоремы существования оптимизирующих функций: 1
для оптимальных систем с распределенными параметрами//Изв. Ак I
ООСР. Сер. Математика. 1970. Т. 34, № 3. С. 689—711. I
31. Касьянюк С. А. К методу моментов в теории оптимального управе- 1
ния//Автоматика и телемеханика. 1970. № 8. С. 169—171. '\ I
32. К а с ь я н ю к С. А. К методу моментов в теории оптимального управ- 1
ления при входных воздействиях с различными энергиями//Автоматика; I
и телемеханика. 1978. № 5. С 5—9. 1
33. Наконечный А. Г. Минимаксное оценивание функционалов от реше- I
ний вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. Киев: Изд- 1
во Киевск. ун-та, 1985. 1
34. Е г о р о в А. И., К а р а б а к и р о в Р. Об управлении с минимальной: 1
энергией нелинейным процессом теплоцроводимости//Математические ме- 1
тоды оптимального управления системами с распределенными параметра* 1
ми. Фрунзе: Илим, 1973. С. 24—38. 1
35. Егоров А., К и р ь я н С В. Об оптимальной стабилизации упруги! I
поперечных колебаний//Приближенное решение задач оптимального уп- I
равления системами с распределенными параметрами. Фрунзе: Илим, 1
1976. С. 51—57. 1
36. Егоров А. И., Л е л е в к и н а Л. Г. Определение сингулярного и нор- 1
мального управления в задаче индукционного нагрева//Некоторые зада* 1
чи теории интегрально-дифференциальных уравнений и оптимального уп* I
равления. Вып. III. Фрунзе: Изд-во политехнического ин-та, 1979.. 1
С. 35—46. 1
37. Егоров А. И., Фоменко А. В. Оптимальный синтез в задаче уя- *"■
равления системой, описываемой уравнением гиперболического типа// 1
//Оптимизация и устойчивость систем с распределенными параметрами. 1
Фрунзе: Илим, 1980. С. 76—85. . 1
38. Егоров А. И., Ш а к и р о в В. Н. Оптимальное управление колебания- I
ми проводника с током//Оптимизация и устойчивость систем с распре- 1
деленными параметрами. Фрунзе: Илим, 1980. С. 59—75. I
39. Е г о р о в А. И., Капустин В. Е. Точечное управление колебаниями// I
//Математические исследования. Вып. 63. Кишинев: Штиинца, 1981* .1
С. 34—41. Г
40. Егоров А. И. Об устойчивости и оптимизации систем с распределен- |
ными параметрами//Прикладная математика. 1984. Т. 20, № 4. С. 95—-
100.
41. Лелевкина Л. Г. Приближенное решение одной задачи оптимально- j
го индукционного нагрева//Математические методы оптимального управ- 1
ления системами с распределенными параметрами. Фрунзе: Илим, 1973^
С. «59—51. j
42. Ш е н ф е л ь д Г. Б. Оптимальное управление полной энергией изгибны*
колебаний балки//Математические методы оптимального управления
системами с распределенными параметрами. Фрунзе: Илим, 1973. С. 63—
76.
43. Шенфельд Г. Б. Оптимальное управление изгибными колебаниям*
балки с ограниченной энергией управления. Математические методы ои--ч
138

[ тимизации систем с распределенными параметрами//Фрунзе: Илим,
1975. С. 121—136.
[ 44. Абдикеримов Т., Евсеенко Т. П. Решение задачи оптимального
' управления процессом теплопроводности при наличии последействия//
I //Математические методы оптимизации систем с распределенными па-
v раметрами. Фрунзе: Илим, 1975. С. 59—77.
► 45. Алиферов В. В., Каимкулов Ы. О приближенном решении
задачи с точечными и граничными управлениями//Математические методы
оптимизации систем с распределенными параметрами. Фрунзе: Илим,
1975. С. 32—48.
46 Б ей ко И. В., Гнатюк В. А., Мойко В. В. Обобщенная L-проблема
' моментов и метод ее решения//Укр. МЖ. 1978. Т. 30, № 2. С. 147—154.
.47. Данилов В. Я-, ФедорченкоМ. С. Оптимальное по
быстродействию управление упругими объектами//Вычислительная и прикладная
математика. Вып. 28. Киев, 1976. С. 120—123.
48. Данилов В. Я., Фоменко А. В. Об оптимальном управлении в
задаче демпфирования периодических колебаний распределенных систем//
//Вычислительная и прикладная математика. Вып. 47. Киев, Г982.
| С. 122—125.
49. Ко р о бей н и к Ю. Ф. Проблема моментов, интерполяция и базис-
ность//Изв. АН ССОР. Сер. Математика. 1978. Т. 42, № 5. С. 989—
1020.
50. Каимкулов Ы. Двусторонние оценки минимума функционалов
квадратичного типа. Математические методы управления системами с
распределенными параметрами. Фрунзе: Илим, 1978. С. 14—28.
51. Давыдов Э. Г., Ринго Н. И. Некоторые вопросы L-проблемы мо-
ментов//Изв. АН GGCP. Сер, Техническая кибернетика. 1981. № 2.
С. 40—48.
52. Шакиров В. Н. Задачи гашения энергии упругих колебаний при
помощи зависящего только от времени управления. Деп. в ВИНИТИ. 1981.
№ 2794—81.
53. Кирьян С. В. К вопросу об управлении в колебательных системах
с ограниченным возбуждением//Оптимальная стабилизация систем с
распределенными параметрами. Фрунзе: Илим, 1983. С. 29—38.
| 54. Авдонин С. А., Иванов С. А. Серийные базисы из экспонент и
задача об успокоении системы струн//ДАН. 1984. Т. 275, № 2. С. 355—
358.
■55. Рахимов М. Р. О некоторых методах решения задачи
линейно-квадратичного программирования для систем с распределенными параметра-
ми//ЖВМ и МФ. 1986. Т. 26. № 12. С. 1797—1812.
■56. Рахимов М. Р. О применении методов спектрального разложения и
динамического программирования к задачам линейно-квадратичного про-
I граммирования//ДАН. 1987. Т. 292, № 4. С. 818—821.
; 57. К г a b s W. Optimization and approximation//,!. Wiley sons. 1979. P. 220.
58. R u s s e 1 D. L. Nonharmonie Fourer series in the control theory of distri-
: buted parameter system//J. Math. Anal. Appl. 1967. V. 18, N 3. P. 542—
560.
59. К г a b s W. On boundary controllability of one dimensional vibrating sys-
tem//Math. mech. in the Appl. Sci. 1979. N 1. P. 322—345.
$0. Chen G. Control and stabilization for the wave equation a bonded do-
main//SIAM J. Control and Optim. 1981. V. 19, N 1. P. 114—122.
'61. Narukawa K. Admissable controllability of vibrating system with cost-
rained controls//SIAM J. Control and Optim. 982. V. 20. N 6.
$2, Обобщенный метод моментов в задаче управления параболической сис-
темой/Ф. П. Васильев, А. 3. Ишмухаметов, М. М. Потапов, М. С.
Соло дкая//Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1984. С. 96—107.
*>3. Разностный аналог обобщенного метода моментов в линейной задаче
оптимального управления с квадратичным функционалом/Ф. П. Васильев,
А. 3. Ишмухаметов, Л. А. Мратова, М. М. Потапов//Математические
139

вопросы нелинейного анализа и управления динамическими система^
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. С. 115—121.
64. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. 3. Обобщенный метод
моментов в задачах оптимального управления. Тезисы докладов пятой
Всесоюзной конференции по управлению в механических системах. Казаны.
Изд-во Казанского авиационного института, 1985.
65. В а с и л ь е в Ф. П., Ишмухаметов А. 3., Уварова О. Е.
Применение обобщенного метода моментов к задаче оптимального управление
гиперболической системой с линейными ограничениями//Вестн. Mocie
ун-та. Сер. 15, Вычисл. математика и кибернетика. 1986. № 2. С. 3—8.
66. Обобщенная проблема моментов в задаче управления интегральным*
квадратичным функционалом на решениях линейной системы/Ф. П.
Васильев, А. 3. Ишмухаметов, М. М. Потапов, М. Ячимович//Прикладные
методы нелинейного анализа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С. 72—86.
67. Ишмухаметов А. 3. О методе моментов в задаче управления
гиперболической системой. Деп. в ВИНИТИ, 1983. № 4588—83.
68. Иш м у х а м ето в А. 3. Обобщенная проблема моментов в задаче
управления квадратичным функционалом на решениях линейной системы//1
//Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: Изд-во Моск..
ун-та, 1983. С. 59—70.
69. И ш м у х а м е т о в А. 3. Задача оптимального управления начальным
состоянием системы, описываемой гиперболическим уравнением//Опти~
мизация и управление. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. С. 5—14.
70. Ишмухаметов А. 3. Регулярный метод решения одного класса
выпуклых задач//Современные проблемы математического моделирования^
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С. 23—28.
71. Ишмухаметов А. 3. Корректность задачи минимизации энергии длят
волновых процессов. Современные проблемы математического'
моделирования. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С. 16—22.
72. И ш м у х а м е т о в А. 3. Синтез оптимального управления для систем,
описываемых гиперболическими уравнениями//Дифференц. уравнения*
1985. Т. 21, № 4. С. 597—604.
73. Ишмухаметов А. 3. Обобщенный метод моментов в задаче с
управлением, зависящем от пространственных переменных//Стандартные
программы и численные решения задач волновой физики. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1986. С. 43—51.
74. Иш м у х а м ето в А. 3., Першеев Д. В., Потапов М. М.
Аппроксимация проблемы моментов в параболической задаче оптимального уп\9
|равления//Численные методы решения краевых и начальных задач для?
дифференциальных уравнений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 117—
122.
75. Ишмухаметов А. 3., Першеев Д. В. Вычислительные аспектй
обобщенного метода моментов в задаче управления колебаниями пла-
стин//Численные методы решения краевых и начальных задач для
дифференциальных уравнений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 123—129.
76. Солодка я М. С. Обобщенный метод моментов в задаче управление
параболически-гиперболической системой. Деп. в ВИНИТИ. 1986.
№ 2865—1386.
77. Ш а м е е в а Т. Ю. Обобщенный метод моментов в задаче
оптимального управления для уравнения типа Шредингера//Численные методы *
математической физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 50—53.
78. Ш а м е е в а Т. Ю. Применение обобщенного метода моментов к задаче
управления для уравнения типа Шредингера. Деп. в ВИНИТИ. 1986-
№ 931—В86.
79. Тихонов А. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных за-
дач. М.: Наука, 1986.
80. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация/А. Н. Тихонов,.
А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола//М.: Наука, 1983.
81. Иванов В. К., Васин В. В., Т а н а н а В. П. Теория линейных некор-
ректных задач и его приложения. М.: Наука, 1978.
140 <

g2. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач-
Минск: Наука и техника, 1981.
g3 Т а н а н а В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука^
' 1981.
g4. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-
во Моск. ун-та, 1987.
g5. Л юс т ер н и к Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального
анализа. М.: Наука, 1965.
86. К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П. Функциональный анализ. М.:.
Наука, 1977.
87. В а с и л ь е в Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач..
М.: Наука, 1980.
88. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука,.
1981.
89. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом-
пространстве. М.: Мир, 1974.
90. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное-
управление. М.: Наука, 1979.
91. Л а вр ен ть ев М. М. О некоторых некорректных задачах
математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд. АН СССР, 1962.
92. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П.
Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
93. Приближенное решение операторных уравнений/М. А. Красносельский,,
Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко//М.:
Наука, 1969.
94. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми
уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
95. Ч е р н о у с ь ко Ф. Л., Б а н и ч у к Н. В. Вариационные задачи механики*
и управления. М.: Наука, 1973.
96. К и р и н Н. Е. Методы последовательных оценок в задачах
оптимизации управляемых систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.
97. Л у р ь е К. А. Оптимальное управление в задачах математической
физики. М.: Наука, 1975.
98. К у р ж а н с к и й А. Б. Управление и наблюдение в условиях
неопределенности. М.: Наука, 1977.
99. Б а к у ш и н с к и й А. Б. Методы решения монотонных вариационных
неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации//ЖВМ к*
МФ. 1977. Т. 17, № 6. С. 1350—1362.
00. Чер ноусько Ф. Л., А кул ен ко Л. Д., Соколов Б. Н.
Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.
01. Чечкин А. В. Начала общей теории систем и ультрасистем (начала
информатики). М.: Изд-во Министерства обороны СССР, 1985.
02. Чечкин А. В. Начала общей теории систем и ультрасистем
(применение). М.: Изд-во Министерства обороны СССР, 1985.
03. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры
в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.
04. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.г
Изд-во Моск. ун-та, 1987.
05. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1976.
06. Качмаж С, Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физ-
матгиз, 1958.
07. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986..
08. Кашин Б. С, Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984..
09. Гохберг И. И., Крейн М. М. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.
Ю. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в
экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.
И. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их
применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.
14£

vV^
312. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М*
Наука, 1974.
113. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986
114. Сухарев А. Г., Тим охов А. В., Федоров В. В. Курс методов on*
тимизации. М.: Наука, 1986.
115. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Наука
1966. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962. *
116. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1972.
117. В о ев о дин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. ;'
118. Б а х в а л о в Н. С, Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные
методы. М.: Наука, 1987.
119. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных
уравнений. М.: Наука, 1978.
120. Чарин В. С. Линейные преобразования и выпуклые множества. Киев:
Вища школа, 1978.
121. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.
122. М их лин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Вые*
шая школа, 1977.
123. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных цроизвод-
ных. М.: Наука, 1983.
124. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.
125. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г.
Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
126. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М,:
Наука, 1973.
127. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.
Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука,
1967.
128. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию..
М., Наука, 1970.
129. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные
методы. М.: Наука, 1981.
130. Самарский А. А, Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
131. С а м а рс ки й А. А., Л аз ар о в Р. Д., Макаров В. Л. Разностные
схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.:
Высшая школа, 1987.
132. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи-^,
зики. М.: Наука, 1972.
133. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического
уравнения. М.: Гостехтеориздат, 1953.
134. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения. М.: Мир, 1971.
135. Г а е в с к и й X., Г р ё г е р К., Захариас К. Нелинейные операторные
уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
136. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. М.: Наука, 1967.
137. Л о м о в ц е в Ф. Е., Ю р ч у к Н. И. Задачи Коши для гиперболических
дифференциально-операторных уравнений второго порядка//Дифференц.
уравнения. 1976. Т. 12, № 12. С. 2242—2250.
138. Ишмухаметов А. 3. О гладкости решений гиперболического диффе
ренциально-операторного уравнения второго порядка//Дифференц. урав
нения. 1987. Т. 23, № 3. С. 493—499.
139. Ишмухаметов А. 3. Об аппроксимации гиперболических
дифференциально-операторных уравнений второго порядка//ЖВМ и МФ. 1987.'
Т. 27, № 8. С. 1154—1165.
140. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.
141. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием
колебаний простых упругих систем. М.: Мир, 1975. *
142 1

f ?
J j42. Дзюба А. П., Левитина Л. Д. Оптимизация формы круглых пла-
j стин и оболочек вращения. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского*
I ун-та, 1985.
I 143. Б е й к о И. В., К о п е ц М. М. О нуль-управляемости линейных стацио-
I нарных систем в банаховом пространстве//Укр. МЖ. 1976. Т. 28, № 1~
С. 70—72.
144. Самборский С. И. О множествах достижимости для линейных
управляемых систем в банаховом пространстве. Ч. I, И//Кибернетика. 198L.
№ 1. С. 141; № 2. С. 135—136.
i 145. Беликов С. А., Самборский С. Н. Области достижимости для си-
f стем, описываемых уравнениями с частными производными//Сиб. МЖ-
\ 1983. Т. 24, № 4. С. 3—12.
5 146, Математическая теория оптимальных процессов/Л. С. Понтрягин„.
» В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М.: Наука, 1976»
147. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.г
Наука, 1971.
i 148. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука^
[ 1975.
I J49. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
150. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального
управления. М.: Наука, 1978.
| 151. Васильев Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач.,
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.
I 152. Васильев Ф. П. Об итерационных методах решения задач быстродей-
1 ствия, связанных с параболическими уравнениями//ЖВМ и МФ. 1970.
Т. 10, № 4. С. 942—957.
153. Васильев Ф. П., Иванов Р. П. Некоторые приближенные методы
i решения задач быстродействия в банаховых пространствах при наличиш
фазовых ограничений//ДАН. 1970. Т. 195, № 3. С. 526—529.
154. Васильев Ф. П., Иванов Р. П. О приближенном решении задачи
быстродействия в банаховых пространствах при наличии ограничений на
фазовые координаты//ЖВМ и МФ. 1971. Т. И, № 2. С. 328—347.
155. Иванов Р. П. Об одном итерационном методе решения задачи быст-
h родействия//ЖВМ и МФ. 1971. Т. 11, № 4. С. 1031—1037.
156. Иванов Р. П. Об одном критерии оптимальности и связанном с ним*
итерационном методе решения задачи быстродействия//ЖВМ и МФ.
1971. Т. 11, Mb 3. С. 597—610.
[ 157. Васильев Ф. П. Численный метод решения задачи быстродействия
при приближенном задании исходных данных//Вестн. Моск. ун-та.
Сер. 15, Вычисл. математика и кибернетика. 1977. № 3. С. 26—36.
158. Б л а г о д а т с к и х В. И. Линейная теория оптимального управления. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1978.
I 159. Григоренко Н. Л. Дифференциальные игры преследования
несколькими объектами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
160. Никольский М. С. Первый прямой метод Л. С. Понтрягина в
дифференциальных играх. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.
161. Киселев Ю. Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями. М.::
Изд-во Моск. ун-та, 1986.

Научное издание
Васильев Федор Павлович,
Ишмухаметов Альберт Зайнутдинович,
Потапов Михаил Михайлович
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МОМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Зав. редакцией С. И. Зеленский
Редактор Е. Д. Егорушкина
Художественный редактор Ю. М. Добрянская
Технический редактор К. С. Чистякова
Корректоры И. Л. Мушникова, Т. И. Алейникова
ИБ № 327 I
I
Сдано в набор 28.03.88. Подписано в печать 09.01.89. Л-14005*
Формат 60X90/16. Бумага тип. № 1. Гарнитура литературная. J
Высокая печать. Усл. печ. л. 9,0. Уч.-изд. л. 9,14^ Тираж 3260 экз|
Заказ 358. Изд. № 282. Цена 1 р. 30 к. а
Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы