Автор: Арутюнян Е.   Левитас Г.  

Теги: общее школьное образование   общеобразовательная школа   учебные пособия и учебники по математике   математика   детская литература  

ISBN: 5-7805-0279-Х

Год: 1999

Похожие

Занимательная математика

Нестандартные задачи по математике в 7-11 классах

Математика 3 класс. Непрерывный вкус математики

Сказки по математике

Текст
                    р
�4-1=(


СЕР И Я «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ УРОКИ»
Е. Арутюнян, г. Левитае
�ci!J]!ШШci!rп'�cI[IЬШci!Ш
ША�JEША�IИI�А
Книга
для учащихся, учителей
и роди телей
Москва
«АСТ-ПРЕСС »
1 999


УДК 3 73 .167.1
ББК 22.1я72
А86
ХУДОЖНИКИ
Татьяна Галанова, Андрей Кузнецов
Арутюнян Е. Б., Левитае г. г.
А 86 Занимательная математика . - М.: АСТ-ПРЕСС , 1999,
368 с.: ил . - (<<Занимательные уроки») .
ISBN 5-7805-0279-Х
в этой книге математика изложена весело. Авторы старались, чтобы
все, открывшие эту книгу, полюбили математику. Ведь ребенок не мо­
жет не любить то, что он понимает и что у него хорошо получается.
Для учащихся l-б -х классов, учителей и родителей.
А 4306020500-064
8Ш9(03)-99
ISBN 5-7805-02 79-Х
УДК 373.167.1
ББК 22.1я72
© .АСТ-ПРЕСС., 1999


Предисловие
Перед вами книга, в которой матема­
тика изложена весело. Нет, это не
сказки, в которых используются ма­
тематические сюжеты. И здесь нет историй
о Карлсоне или о гномах, которые почему­
то занимаются математикой. Просто у авто­
ров мнение: математика - наука веселая.
Вот и стараются они рассказывать о ней без
излишка серьезности. Хотя в основном ав­
торы согласны с Львом Толстым. При чем
тут Лев Толстой? Очень при чем. Толстой
был великим педагогом, лично обучавшим
крестьянских детей математике и другим
наукам. Он обнаружил важную истину: ес­
ли ребенок понимает, как работать с числа­
ми, его эта работа увлекает больше, чем сю­
жет задачи. То есть для детей математика
занимательна и интересна сама по себе.
Наш замечательный педагог с. Л . Соло­
вейчик однажды получил письмо от девоч­
ки, которая раньше не любила геометрию,
а потом полюбила ее. Она рассказала, как
это у нее получилось. «Когда Я теперь са­
жусь за геометрию, я говорю сама себе:
«Ах ты, любимая моя геометрия! Как я ра­
да, что наконец могу заняться тобой!.)
И это самовнушение оказалось очень силь­
ным средством для того, чтобы действи­
тельно полюбить геометрию.
5


Авторы старались, чтобы все, открывшие эту книгу, по­
любили математику. Над этим потрудился и художник.
Но без труда души самого читателя все это может оказать­
ся тщетным. Все-таки это не роман и не приключенческая
повесть! Все-таки - математика!
Книга состоит из отдельных рассказов на разные темы
и предназначена в основном для учеников 1-6 -х классов.
Самые первые рассказы - для самых маленьких, но и в них
есть кое-что интересное для старших детей. Некоторые рас­
сказы начинаются совсем просто, будто для дошкольни­
ков, но потом оказывается, что речь идет о сложных про­
блемах математики. Поэтому не обязательно читать эту
книгу подряд, с первой до последней страницы. И не надо
пугаться, если что-то непонятно. Просто к непонятному
хорошо бы вернуться немного погодя.


rлава п ер вая
натуральnьtе числа
Умеешь ли ты считать?
(Числа и цифры)
ак дети уч атся считать?
Сначала они запоминают слова:
раз , два, три , четыре , пять . Для это­
го часто используется считалка:
Раз, два, три, четыре, пять,
Вышел зайчик погулять.
Потом выучиваются следующие пять слов этого
ряда. Для этого удобно такое продолжение :
UПесть, семь , восемь, девять, десять ,
Начал зайчик куролесить .
Хорош и такой стишок :
Или :
Раз , два, три , четыре ,
Сосчитаем дырки в сыре .
Если в сыре много дыр ,
Значит , вкусным будет сыр .
Если в нем одна дыра,
Значит, вкусным был вчера .
Пять, шесть , сеМЬ , восемь , девять, десять ,
Этот сыр нам надо взвесить.
Если в сыре килограмм,
Ни кусочка вам не дам ,
Если много килограммов ,
Угощу я сыром маму .
Раз , два, три , четыре ,
Жили мошки на квартире .
7


Глава первая. Натуралькые числа
К ним повадился сам-друг
Крестоног - большой паук .
Пять , шесть, семь , восемь,
Паука мы все попросим :
«( Ты К нам больше не ходи,
Твоя очередь - води! »
Потом человек начинает понимать , что означают
эти слова: один , два, три , четыре , пять , шесть, семь,
восемь, девять, десять; он начинает ими пользовать­
ся. Родители помогают ему в этом , показывая много­
численные примеры употребления чисел дома,
на улице, вообще - в жизни .
Постепенно ребенок привыкнет к такому набору
слов и приучится говорить не «( раз » , а «один ».
Числа 1,2,3 ... называются натуральными числами.
Дома
Пора завтракать!
00
Вот одии пакет молока - его возьмет Света.
Вот два яйца - мама сейчас их сварит .
Три чашки - их расставит Аня .
Четыре кусочка хлеба - сейчас Петя их поджарит.
Пять апельсинов - их почистит папа.
8


Глава первая. Натуральnые числа
Пора завтракать!
Что больше?
Две тарелки или пять тарелок?
Два цветка или четыре?
Три сковороды или пять?
Что больше?
Четы ре апельсина - это больше , чем три.
Сосчитай - и увидишь.
9


Гл ава перв ая. Натуральн,ые числа
/�.0\
в тарелке три апельсина.
Петя берет один .
Аня берет один .
Света берет один .
Сколько осталось?
Ответ : нуль ! Проверь, если хочешь.
Надо вымыть посуду, вытереть ее и убрать на мес­
то . Мама моет стаканы , чашки, блюдца, тарелки, но­
жи, вилки и ложки. Сколько их?
Сколько стаканов , чашек , блюдец, тарелок , но­
жей , вилок , ложек ? Сосчитай хорошенько. Один или
. два? Три или четыре? Пять или больше?
10


Глава первая. Натуральн ые числа
На веревке сушится белье : рубашки и майки, плат-
ки, полотенца, юбки и платья .
Сосчитай майки .
Сосчитай рубашки .
Сосчитай платья .
Сосчитай юбки.
Полотенца развеваются на ветру. Три - больших ,
два - маленьких . Это мама их выстирала.
Сколько больших платков?
Сколько маленьких?
Сколько больших цветков?
Сколько маленьких?
Вот четыр е платья для Ани и Светы : два -
побольше , два - поменьше .
11


rлава первая. Натуральн,ые числа
ПЯТЬ пар ботинок . Одна пара для папы . Одна -
для мамы . Две - для двух сестер . Одна - для брата.
Три часа! Мама закончила свои дела , и теперь она
со Светой смотрит книжки .
Четыре часа! Петя и Аня прибежали из школы .
ПЯТЬ часов! Мама, Петя , Аня и Света ждут . Сейчас
придет папа!
ф
12


Гл ава первая. Наmуральн,ые ч,исла
в лесу
Со всех сторон деревья. Под ногами - трава. А как
много цветов!
Аня сорвала два цветка. Но она видит еще два. Как
ты думаешь , если она их сорвет, сколько будет всего?
Две огромные стрекозы летают вокруг Светы. Она
собирает шишки: их уже пять . Две белки бегают п о
стволу сосны: вверх - вниз! А вот еще одна! Теперь
их будет три.
Мама сорвала пять ягод земляники . Хватит ли
всем по ягодке: папе, маме , Пете, Ане и Свете?
Папа достал три яблока. Но ведь нужно пять яб­
лок, а не три. Сколько же не хватает? И где их найти?
13


Глава первая. Натуральные ч.исла
Три бабочки сидят на цветах . А еще две порхают
в воздухе . Сколько всего?
На краю большой канавы - п ять лягушек . Они
испугались ребят и - раз, два, три , четыре , пять! -
все попрыгали в воду . Три ежика бегут по тропин­
ке. Увидели т р и гриба. Вот хорошо : зимой приго­
дятся .
�.
14


Гл ава первая. Натуралькые числа
у реки
Как здорово провести весь день на пляже у реки! Здесь
солнце , свежий ветерок и много песка.
� ::.:
.
.
. '.''
.
.,',.
11-"
.
.
,
I
'
'у
Чуть подальше папа ловит рыбу. Мама прячется от
солнца под большим зонтиком . Ребята плавают и за­
горают . Вот трое детей входят в воду. А другие трое -
выходят .
Над водой летают стрекозы. Иногда они садятся на
песок . Вот сидят две маленькие стрекозы. А вон
там - еще две большие . Две и две - это четыре.
15


Глава первая. На mуралькые ч.uсла
Мама прячется от солн­
ца под зонтиком - совсем
о дна под большим зон­
тиком .
Мама под зонтиком
играет со Светой . Теперь
их дво е под зонтиком .
Аня вылезла из воды и прибежала под зонтик.
Теперь их тро е.
16


Глава первая. Натурал ьные числа
Петя тоже залез под зонтик и смотрит на реку. Те­
перь их четверо .
Под большим зонтиком мама, Света, Аня и Петя
ждут папу . С ним их будет пятеро под большим зон­
тиком .
17


Гл ава первая. Натуральные ч,исла
дома шnuе жuвоmnь"е
ПЯТЬ цыплят с мамой курицей ходят возле загород­
ки . А за загородкой - поросята . Поросята толстые
и розовые. Трое - едят, трое - спят, а трое - ката­
ются по земле .
.. ф...
.
. ....,с-
-.;.
�::,.. .
�::.:�
На лугу пасутся ПЯТЬ коров . Три - черные ,
а две - белые с черными пятнами .
Телята резвятся на свободе : два - бегают, два -
прыгают, два - едят , два - бодаются.
Сколько щенят у собаки?
18


Глава пер вая. Натурал ьные числа
Сколько петухов сидят на заборе?
Сколько цыплят у курицы?
Сколько поросят за загородкой?
Сколько котят на солнышке?
Сколько уток плавают в пруду?
19


Гл ава первая. Натуралькые числа
Света пришла в огород. Там грядки с морковью.
Моркови много . Света сорвала три морковки. Вот
у Светы три морковки . Она дает одну Белянке. Теперь
у нее осталось две морковки.
.\\'\"
\\\,\"�..
.
",,,..
..
,,�\...
.
, ""\'\'1 IJ)/.,
С дерева упали две груши. Потом еще одна. Теперь
их три . К двум прибавить один будет три.
Три груши желтеют в траве . Упала еще одна . Те­
перь их четыре . К трем прибавить один будет четыре .
20


Глава первая. Наmуралькые числа
Дв е груши большие, две - маленькие. Петя сей­
час съест все!
На холме отдыхают овцы . Один ягненок прижался
к маме . Дв а ягненка спят рядышком . Три овцы стоят.
Четыре - лежат под дубом . Пять - отдыхают в тени
под холмом . Они устали.
21


Глава первая. Натурал ьные ",иела
в цирке
Сегодня все идут в цирк . Там столько интересного!
Вот пятеро детей фотографируются: трое - с обе­
зьянкой , двое - с попугаем . Все пятеро очень до­
вольны .
Вот два билета для взрослых : одии - для мамы ,
одии - для папы.
А вот три билета для детей : для Светы , для Ани
и для Пети.
22


Глава первая. Наmуральн,ые числа
Еще есть время , давайте подкрепимся . В буфете
продают бутерброды . Папе - п ять . Свете - ОДИН.
Ане - Д ва. Маме - ТрИ. Пете - четыре. Вот бутер­
броды и исчезли . Их больше нет .
На арене - медведи! Они выходят по очереди . По­
считаем их. Вот первый . Он совсем ОДИН, и ему так
грустно ...
r-------����1
ОДИН и ОДИН - Два . Они ходят на двух ногах не ху­
же нас.
23


Глава первая. Натуральн,ые ч.исла
Два и ОДИН - три. Они умеют кататься на велосипеде .
в городе
Два автобуса, два грузовика и три легковые машины
останавливаются на красный свет , чтобы другие ма­
шины могли проехать перекресток . Вот едут мото­
цикл , грузовик, такси. Шесть больших автобусов ве­
зут детей на экскурсию .
24


Глава первая. Натуральн,ые числа
�.
�.
11,�i-'
��
,
��
��
�
1-
1\��
�
k:
:
��
I!o-.
1\
��
11
L\t\К�II'
I"-�i-'
•
f'.
f"'I
14
--.
..
.
I���� �
�
1"-
n�
��t�JV ��� �
•
1-
��t-I�
ruu�
tJ}..
..
I��
�r-
..
..
..
.
1-1-1-
-
I�'"
i'I"
.
�
�>""
�
,-
--
7'
�
/
i-'
�t
..
.
��
-
-
•
..
..
А это зоомагазин . О н очень нравится детям.
Вот четыре щенка. А вот котенок .
Два великолепных попугая яростно орут .
В этой клетке - шесть канареек .
Вот три белых кролика. В клетке под ними
шесть белых мышек .
В аквариуме - блестящие рыбки. Их очень мно­
го - всех не сосчитать.
25


Гл ава первая. Натуралькые числа
На детской площадке играют ребята .
Сколько детей качаются на качелях?
Сколько детей катаются на роликах ?
Сколько малышей съезжают с горки?
А сколько мальчиков мчатся на велосипедах?
26


Глава первая. Натуральн,ые чu сла
в этом магазине продаются фрукты .
Одна большая дыня . Она так хорошо пахнет .
Два колючих ананаса - спелые и сладкие .
Три груши - нежные и мягкие .
Четыре больших банана.
Пят ь прекрасных яблок .
Шесть золотистых апельсинов .
27


Гл ава первая. Натуральн,ые числа
Есть что посчитать в зоопарке.
Один слон - он ест ветки, собирая их хоботом.
Два льва - они бегают по клетке и сердито рычат .
Три оленя ходят по загону: два больших и один
с о всем маленький .
Три львенка спят. Еще один - играет. Всего их
че тыре .
28


Глава первая. Наmуральн,ые числа
Пингвины такие забавные! Сосчитай-ка: их четы­
ре или пять?
Обезьян ы кувыркаются в клетке . Даже н е разбе­
решь: их пять или шесть?
в аэропорту
12 .�.. .... �
в аэропорту много самолетов . Одни стоят под кры­
шей , другие готовятся взлететь .
Вот большой грузовой самолет . Он уже взлетает.
Он полетит далеко-далеко , через океан .
А вот вертолет. У него два пропеллера: большой -
сверху и маленький - на хвосте.
29


Глава первая. Натуральн ые числа
Вот один самолет . У н его два крыла. Семь пасса­
жиров еще ждут посадки. Погода хорошая - скоро
взлет .
Семь парашютистов прыгают из летящего само­
лета. Они нажимают кнопки - и парашюты рас­
крываются .
на вокзале
Весь ден ь н а вокзале полн о н ароду. Одни приезжа­
ют, другие уезжают . Поезда привозят пассажиров
и разные грузы . А еще одни привозят почту для
всех нас.
Рядом стоянка такси и автобусов . О ни забирают
или выгружают пассажиров и багаж .
30


Глава первая. Наmуралькые числа
Одии электровоз - это он тянет поезд .
Два багажных вагона - они перевозят почту и то-
вары.
Сосчитай пассажирские вагоны .
Сколько пассажиров бегут к поезду?
Сколько пассажиров идут от поезда?
Сколько тележек повезут багаж ?
31


Глава первая. Натуралькые числа
Вот товарный поезд . Он проходит без остановки .
Первым идет электровоз . Машинист дает свисток .
Вторым идет еще одии электровоз . Поезд очен ь
тяжелый , его тянут два электровоза .
Третий - вагон для перевозки животных. Сейчас
в н ем едут лошади.
Четвертая - платформа. Он а н агружен а бревн ами.
Пятый - холодильник . В н ем хорошо сохраняют-
ся овощи и фрукты .
Шестой вагон везет автомобили.
Седьмой вагон н аполнен углем .
Восьмой - вагон для рабочих поезда. Там они мо­
гут поесть и отдохн уть .
Внимание! Внимание! На вокзал прибывает цирко­
вой поезд!
Приходите в цирк! Приходите к н ам! Вы увидите
парад и большое представление!
Два тигра ворчат и бросаются на двери.
Шесть медвежат играют на полу .
32


Глава первая. Натуральн,ые числа
Три лошади в вагон е фыркают и ржут .
В соседн ем вагоне четыре льва рычат изо всех сил .
Семь красавцев попугаев кричат и летают по клетке.
«Дай Гоше сахар-рок! » - просит ОДИН из них . Это попу­
гай жако.
Семь дрессированных пуделей прыгают , бегают
и ходят н а задних лапках . Они думают, что представ­
ление уже н ачалось.
Приходите в цирк! Приходите к н ам! Вы увидите
парад и большое представление!
2-2Ц2
33


Глава первая. Наmуральн,ые числа
на лодочкой сmакцuu
Вот подплывает рыбачья лодка. Четыре мальчи­
ка ждут у причала. Прибегают еще п ят ь. Всего их
девять .
Коля поймал шест ь рыб . Сережа поймал т ри . Хва­
тит ли рыб на всех этих мальчиков?
34


Глава первая. Наmуральн,ые числа
Что больше ?
Восемь рыб или дев ять?
Семь рыб или шесть?
Пять рыб или четыре?
Что больше?
35


Глава первая. Натуралькые ч,uсла
Миша поймал восемь рыб . Две он отдал . Сколько
у него осталось?
Одна лодка идет н а веслах . В ней плывут спасатели.
Вторая лодка - байдарка. Он а верткая и быстрая .
Третья лодка - кан оэ. Он а очень легкая .
Четвертая лодка - это плавучий дом , в нем живут
и работают люди .
Пятая лодка летит как стрела. Эта лодка - го­
ночная.
36


Глава первая. Натуральные числа
Ш естая лодка - парусная . Ее гонит ветер .
Седьмая лодка предназначена для рыбаков . Это ре­
зиновая н адувн ая лодка.
Восьмая лодка - китайская джонка.
Девятая лодка медленно плывет по реке. У н ее сза­
ди водяное колесо, которое заставляет ее двигаться .
На стан,ции техобслужuван,uя
Здесь очень много машин . Здесь можно подкачать
шины и заправиться бензином . Здесь машину почи­
нят и вымоют, чтобы она сверкала, как новая .
Сколько машин ты видишь здесь и на следующей
странице?
37


Глава первая. Натуральн,ые числа
МЕБЕЛЬ
мострднс АГЕНТСТВО
Как ты думаешь, как они используются ?
1. Хлебные фургоны развозят по магазинам хлеб
и пирожные .
2. Мясные фургоны доставляют мясо и колбасу .
3. Молочные - молоко и сметану.
4. Овощные - картошку и капусту .
5. Бакалейные фургоны - крупу и сахар .
6. Мебельные - столы и шкафы .
7. Бензовозы возят бензин.
8. Бульдозеры ремонтируют дороги .
9. Экскаваторы роют землю.
10. Рейсовые грузовики перевозят грузы из города
в город .
38


Глава первая. Натуральные числа
Числа встречаются везде , и наш н арод сочинил
м н ого поговорок и загадок , в которых говорится о чис­
лах . Вот такие загадки :
Стоит Ан тошка
На одной н ожке .
Где солн це встан ет,
Туда он и глянет.
(xfill1fO;)(!Oп)
Два кольца, два кон ца,
А в середине гвоздик .
(1qnnllЖОН)
Три лампочки стоят ,
По очереди горят.
(dофОШЭ9;)
Четыре брата под одн ой крышей живут .
(V1fОШ;) n:нжон)
Пять братьев в одн ом домике живут .
(э:нжэdV991qnq1fVП)
Сидит дед
Во сто шуб одет,
Кто его раздевает,
Тот слезы проливает .
(V'nn90:нfiп)
39


Глава первая. Натуральн,ые числа
А вот очен ь запутанная загадка.
Вышел старик-годовик , махнул рукой - полетели
двенадцать птиц . У каждой птицы - четыре крыла,
в каждом крыле - семь перьев , а каждое перо - напо­
ловину черное , н аполовину белое .
0(%011 n qllae :n:ншfi:J - 1J'qdau
'mraeall - 1J'q1f1qd" '1Qn1J':Jaw - 1QnnШП)
Корней Иван ович Чуковский сочинил вот такую
замечательную загадку.
Две ноги на трех ногах,
А четвертая в зубах .
Вдруг четыре прибежали
И с одною убежали.
Подскочили две н оги ,
Ухватили три ноги ,
Закричали н а весь дом -
Да тремя по четырем!
Но четыре завизжали
И с одною убежали .
(v:нvgО:J :vгОll 1J'vllndfi"
:шаdfif)VШ ::НnМ1fVw)
Есть у Чуковского и такая загадка, в которой чис­
ла только запутывают отгадчика.
40


Глава первая. Натуральные ч.uсла
Шел Кон драт
В Петроград ,
А н австречу - двенадцать ребят.
у каждого по три лукошка,
В каждом лукошке - кошка,
у каждой кошки - двенадцать котят,
у каждого котенка
В зубах по четыре мышон ка.
И задумался старый Кондрат :
«Сколько мышат и котят
Ребята н есут в Петроград ? »
Кажется, что посчитать всех мышат и котят очен ь
трудн о: их так м н ого . Но оказывается , что их считать
и н е н ужн о. Вот какая разгадка у этой загадки:
Глупый, глупый Кондрат!
Он один и шагал в Петроград .
А ребята с лукошками ,
С мышами и кошками
Шли н австречу ему -
В Кострому .
Числа запутывают отгадч ика и в следующей загад­
ке. Представь себе , что ты водитель трамвая . На первой
остановке в трамвай вошли три женщин ы, н а второй -
41


Глава первая. Натуральные ч,исла
двое мужчин , одна женщина и трое детей , а на треть­
ей - вышли один мужчина и од на женщина. Опреде­
ли, сколько лет водителю трамвая .
Обычно отгадчик , сосредоточившись на подсчете
пассажиров, забывает начало загадки и не может ее
разгадать. А ведь водителю столько лет , сколько от­
гадчику!
Очень много есть и разных поговорок о числах . О со­
бенно любимое число в народе - семь . Возможно, что
раньше это число означало « много.) .
Вот семь поговорок о числе семь .
Семь раз отмерь , один - отрежь
(это значит, что надо хорошенько по­
думать, прежде чем принять оконча­
тельное решение).
42


Глава первая. натурал ыf,еe ч.исла
у семи нянек дитя без глазу (без глазу - значит
без пригляда, без присмотра; если за какое-нибудь де­
ло отвечает слишком мн ого л юдей - дело н е будет
сделан о).
Семь бед - один ответ (так говорит человек, кото­
рый , уже много всего н атворив , собирается сделать
еще какую -нибудь глупость) .
На семи ветрах (зн ач ит , н а открытом , уязвимом
месте).
43


Глава первая. Натуральnые числа
За семью печатями (означает глубокую тайну) .
Семь потов сошло (очень устал).
Один с сошкой , а семеро с ложкой (сошка - соха,
ею пашут землю; так говорят , когда один работник
кормит многих лодырей) .
До этого самого места в нашей книги мы все числа
записывали словами , с помощью букв. Но для записи
чисел с давних пор люди использовали специальные
знаки - цифры.
В Древнем Риме , две с половиной тысячи лет на-
зад , числа записывали так :
один - 1,
два - 11,
три - 111,
44


Глава первая. Натуральн,ые числа
четыре - IV,
пять - У,
шесть - VI,
семь - УН,
восемь - VHI,
девять - IX,
десять - Х,
тринадцать - XHI,
четырнадцать - XIV,
девятнадцать - XIX,
тридцать - ХХХ ,
сорок - XL,
пятьдесят - L,
восемьдесят - LXXX,
девяносто - ХС ,
сто-С,
четыреста - CD,
пятьсот - D,
восемьсот - DCCC,
девятьсот - СМ,
тысяча -М.
Как видно, римских цифр всего семь:
I,У,Х,L,С,D,М.
Если одинаковые цифры стоят рядом - их значе­
ния складываются : СС - значит «два раза по сто »
(двести).
Так же поступают, если меньшая цифра стоит
справа от большей : DC - значит «пятьсот И сто »
(шестьсот).
Если же наоборот - ббльшая цифра стоит справа
от меньшей , то от большей меньшую отнимают: CD­
значит «пятьсот без ста » (четыреста) .
Вот как можно записать римскими цифрами даты
рождения и гибели А. С. Пушкина:
MDCCXCIX - MDCCCXXXVH.
45


Глава первая. Натуралькые числа
Первые три римские цифры легко выложить из
спичек . Вот какие интересные задачи из этого получа­
ются.
1. Переложи одну спичку , чтобы равенство стало
верныМ, :
)LjЦ
(Это можно сделать двумя способами!)
2. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало
верным :
3. Переложи две спички, чтобы равенство стало
верным :
''-.-
-
'
•
Сейчас римские цифры почти забыты. Этому есть
много причин . Во- первых , записи чисел получаются
очень длинными и их трудно читать. Во-вторых,
очень трудно складывать, вычитать, а тем более
...•_..
..
46


Глава первая. Натурал ьн,ые ч uсла
умножать и делить числа, записанные римскими циф­
рами. Может быть , поэтому в Древнем Риме наука
о числах почти не развивалась. Мы можем увидеть
римские цифры на циферблатах старинных часов ,
в нумерации томов и глав книги , на фронтонах зда­
ний (так обозначается год их постройки), иногда
ими обозначают месяцы года (I - январь, II - фе­
враль и так далее) и четверти учебного года. Рим­
ские цифры используются нами скорее для красоты ,
чем для дела.
47


Глава первая. Натуральн ые чuсла
Не только римляне имели в древности свои собст­
венные цифры (кстати говоря , они их не придумали,
а заимствовали у другого древнего народа - этрус­
ков). Например , наши предки - славяне - поступа­
ли очень просто : для записи чисел они использовали
те же буквы , что и для записи слов . Первая славянская
азбука - кириллица (из нее получились наши совре­
менные буквы) содержала сорок три буквы . Двадцать
семь из этих букв обозначали также и числа:
Буква Название Числовое
Буква Название Числовое
значение
значение
Ааз
один
а кси
шестьдесят
1\ веди
два
Оон
семьдесят
r глагол
три
n покой восемьдесят
А добро
четыре
'J червь
девяносто
t есть пять
, рцы
сто
S зело
шесть
, слово
двести
3 земля
семь
Jf твердо
триста
" иже
восемь
а.ук
четыреста
е фита
девять
Ф ферт
пятьсот
I
и
десять
Х хер
шестьсот
К како
двадцать
V
"
пси
семьсот
люди
тридцать
'"
W омега
восемьсот
мыслете
со рок
N
U,цы
девятьсот
наш
пятьдесят


Глава первая. Наmурал ькые числа
Чтобы было понятно , что написанные буквы обо­
значают не слово, а число , над буквами ставили с пе-
циальный знак __
__
_
-
титло . Например , число три-
..
..
..
..
..
..
надцать записывалось так : ГI (интересно, что в этой
записи ббльшая цифра после меньшей).
Если н ужно было записать число больше тысячи,
использовали еще один знак : 1. Его ставили слева
внизу от цифры - и она начинала обозначать число
тысяч: Ф - пятьсот, а IФ - пятьсот тысяч.
А для совсем огромных чисел использовались бук­
вы в рамках различной формы :
миллион обозначался 0 и назывался «тьма» ;
тьма тем обозначалась :
.
А" .� и называлась «легион »;
.
.
.
..
.
легион легионов обозначался
« леондр» ;
и назывался
"+,,
)1..1't
леондр леондров обозначался +� + и назывался
't
)(
«ворон » ;
)I.+'t
,.-
--,
десять воронов обозначались А и назывались
1.
..-
-1
«колода» .
Колода - это число , которое сейчас мы бы записа­
ли так:
10000000000000000000000000000000000000000000000000.
В этом числе сорок девять нулейI Наши предки
считали, что «боле сего несть человеческому уму разу ­
мевати ».
Эта система записи чисел - вовсе не такая уж
древность , особенно по сравнению с римской . Приду­
манн ая примерно тысячу двести лет назад , она повсю­
ду применялась в России еще каких-нибудь триста
лет назад .
49.


Глава первая. Натурал ьные числа
Как ни странно , но те цифры , которые мы исполь­
зуем сейчас , гораздо старше. Им не меньше полутора
тысяч лет . Их придумали индийцы в V веке . Потом их
переняли арабы . А с Х по ХIII век европейцы, читая
книги арабс ких ученых , постепенно привыкли поль­
зоваться этими цифрами. В России «арабские цифры »
используются с ХУIII века. В первом русском учебни­
ке арифметики Леонтия Филипповича Магницкого ,
изданном при Петре Великом , в год основания Санкт­
Петербурга, используются арабс кие цифры .
у нас сейчас цифр всего на три больше, чем у древ­
них римлян . Но зато насколько короче запись чисел!
Римская запись MDCCX CIX- MDCCCXXXVII араб­
скими цифрами переводится так : 1799-18 37 - во­
семь знаков вместо девятнадцати .
Наш способ записи чисел отличается от римского не
только краткостью . Самое главное - в другом . Возь­
мем , например , то же самое число 1799. В его римской
записи MDCCXCIX есть повторяющиеся цифры : три
раза встречается С, два раза Х. Все три раза С обозна­
чает одно и то же число - сто ; оба раза Х обозначает од­
но и то же число - десять . В арабской записи 1799 то­
же есть повторяющиеся цифры : 9 и 9. Но обозначают
они вовсе не одно и то же число! Та девятка, которая
стоит с правого края , обозначает число девять , а ее со­
седка - число девяносто . Значение цифры зависит
от места, которое она занимает в записи числа, от ее по­
зиции . Поэтому наша система записи чисел называет­
ся позиционной . Этим она отличается и от римской ,
и от славянской записи . Мы используем ровно десять
цифр , поэтому наша система называется десятичной .
Пришел черед разобраться , как она устроена.
Вэтойсистемедесятьцифр:О,1,2,3,4,5,7,8,9.
Каждая следующая цифра на единицу больше преды­
дущей:1-О =1,2-1 =1,3-2 =1,4 -3 =1,5 -4 =1,
6-5 =1,7-6 =1,8-7 =1,9-8 =1.
50


Глава первая. Натуралькые числа
Если число записано несколькими цифрами, то
каждая цифра означает в 1 О раз больше единиц, чем та­
Kaя же соседняя цифра справа. В числе 777 вторая се­
мерка означает в 10 раз больше единиц, чем ее соседка
справа: не 7 ед иниц, а 10 · 7=70 единиц. А третья спра­
ва цифра этого числа означает еще в 10 раз больше еди­
ниц: не 7 и не 70, а 10 · 70=700 единиц. Все число 777
получается сложением: 100· 7 + 1О• 7 + 7.
Число, записанное в десятичной системе счисле­
ния , очень удобно располагается в разрядной сетке.
Миллионы
Единицы
Чтобы не ошибиться, л учше записывать числа
справа налево, начиная с разряда ед иниц . Запишем
в разрядной сетке число 8 403 279. Сначала запишем
цифру единиц:
Разряды
Миллионы Сотни Десятки Тысячи Сотни Десятки Единицы
тысяч
тысяч
9
А теперь запишем цифру десятков , цифру сотен и
все остальные цифры :
Разряды
Миллионы Сотни Десятки Тысячи Сотни Десятки Единицы
тысяч
тысяч
8
4
О
3
2
7
9
Каждая цифра в записи числа 8 403 279 вносит
в это число свой вклад :
восьмерка - восемь миллионов,
четверка - четыре сотни тысяч ,
тройка - три тысячи,
двойка - две сотни ,
семерка - семь десятков ,
девятка - девять ед иниц .
51
в сумме эти
вклады и со­
ставляют чис­
ло 8 403 279.


Глава первая. На mурал ькые числа
И только цифра О никакого вклада не вносит: ведь
нуль десятков тысяч - это ничто . Именно поэтому
такой цифры нет ни в римской , ни в славянской запи­
си : там записывают только те цифры , которые вносят
вклад в число . Зачем нужен нуль в нашей записи чис­
ла 8403 279? Он играет роль газеты , оставленной
на кресле в зрительном зале в знак того , что место за­
нято . Не будь его , цифры в числе сразу бы сдвину­
лись И получилось бы совсем другое число , почти
в дес ять раз меньше : 843 279. Значения цифр 9, 7, 2
и 3, правда, при этом бы не изменились, зато цифры
4 и 8 стали бы сразу легче в десять раз каждая . Вось­
мерка стала бы значить не восемь миллионов , а во­
семь сотен тысяч , а четверка - не четыре сотни ты­
сяч , а всего-навсего четыре десятка тысяч . Так что
нуль в десятичной записи влияет на значение цифр ,
стоящих лев ее его .
Любопытно , что само слово (<Цифра » произошло
от арабского слова «( сифр », которое означает букваль­
но «( пустое место » , «( нуль »! Этим словом арабы назы­
вали знак , обозначавший отсутствие разряда в числе .
Так что в самом названии знаков, которыми мы поль­
зуемся для записи чисел , заложено уважение к нулю.
Малеnькая сказка про Нулuк
Жил-был в Числовом госу­
дарстве маленький Нулик. Был
он страшный проказник и все
время приставал к другим, серь­
езным и положительным чис­
лам . Больше всего любил Нулик
баловаться со знаками арифме­
тических действий . Как-то раз
взял он с собой все четыре зна-
ка: плюс , минус , точку и двоето-
52


Гл ава первая. Натуралькые чuсла
-
-
чие - и побежал на ул ицу. По ул ице торопливо шагали
числа, не обращая на Нулика внимания . «Ну, сейчас вы
меня заметите! » - подумал обиженный малыш , вы­
тащил плюс и подскочил к числу Семнадцать. Ну­
лик поставил плюс между этим числом и собой -
но на Семнадцать это не произвело никакого впечат­
ления . Малыш подбежал к числу Восемь - то же
самое . И с другими числами так же . Нулик и так ,
и сяк - не замечают его , и все тут . Рассердился он
и забросил плюс подальше, там его какая -то хозяйст­
венная Единичка подобрала.
-
-
Нулик посидел-посидел и взялся за минус . И опять
то же самое : поставит Нулик между каким-нибудь
числом и собой - а числу хоть бы что. Так что и ми­
нус пришлось малышу выбросить .
-
-
53


Глава пер вая. Натурал ькые числа
-
-
А вот с точкой - со знаком умножения - ему го­
раздо больше повезло . Подошел Нулик с этой точкой
к числу Тысяча - глядь , а оно пропало! Нулик испу­
гался и отскочил - Тысяча снова появилась . «Ты что
делаешь? - закричала она . - Ты что , хочешь и меня
в н уль обратить?» Нулик - бежать. По дороге на­
ткнулся на число Сто Двадцать Три - и оно тоже исчез ­
ло! Тут уж числа заметили Нулика, а поймать-то его
не могут . Никому ведь не хочется на нуль умножать­
ся. Наконец две Четверки-близнецы с двух сторон
подбежали к Нулику, и, пока он соображал , к какой
бы из них приставить свою точку, хитрый Миллион
подкрался сзади и выхватил у него эту точку. Нули­
ка, конечно, хорошенько отшлепали, а точку отнесли
в Государственный банк и положили в сейф с надпи­
сью: «Нулям н е выдавать ».
54


Глава первая. Наmуральн,ые числа
Осталось у Нулика
только двоеточие - знак
деления . И тут случилась
просто страшная история .
Шла по ул ице толстоще­
кая Восьмерка. Нулик
тут как тут . Приставил
к Восьмерке свое двоето­
чие - и вдруг она как
начнет расти! Растет , рас­
тет , уже голова в тучах
скрылась, а она все рас­
тет . Заплакала Восьмер­
ка: «( Помогите! » Числам
показалось, что это гром с неба загремел . Но тут они
увидели Нулика с двоеточием . Еле-еле , но удалось от­
тащить его от выросшей Восьмерки . Та снова стала
своего роста, а понять ничего не может. Сколько раз
ее делили на разные числа: и на четыре , и на два,
и даже на единицу - и всегда благополучно . А тут та­
кой ужас!
Пришлось спросить у старого мудрого Миллиона.
«( Видишь ли, - сказал Миллион , - ты ведь знаешь,
что чем меньше делитель, тем больше частное . Если
Восемь разделить на Два - результат будет больше,
чем если Восемь разделить на Четыре. А Нуль мень­
ше всех наших чисел . Значит, частное должно быть
больше их всех . Вот ты и выросла до бесконечности!
Поэтому и запрещено делить на Нуль . А Нулик , пар­
шивец, нарушил этот закон . Правда, что с него
взять - маленький еще » •
В общем , не осталось у Нулика ни одного знака: од­
ни он сам забросил - не интересно, а другие у него
отобрали, чтоб не наделал беды . Но пошалить-то хо­
чется! Стал Нулик просто бегать по ул ицам . И вдруг
оказался рядом с хорошенькой Семеркой . А она возь-
55


Глава первая. Натуральн ые числа
ми и вырасти . Не так , конечно , как бедная Восьмер­
ка, но все-таки очень заметно . «Ах, - расплакалась
Семерка, - я иду на конкурс красоты, а из-за этого
хулигана я стала в десять раз тяжелее . Что мне теперь
делат ь? » И она изо всех сил оттолкнула Нулика. Он
смотрит : все в порядке , Семерка снова стала строй­
ной . «Прости , пожал уйста, - сказал он издали.
-
Но мне так хочется идти рядом с тобой » . - « Ну лад­
но, - сжалилась Семерка. - Пойдем вместе , только
стань слева от меня . Тогда ты мне не повредишь ». Так
Нулик наконец научился дружить с другими числа­
ми . Оказалось, все очень просто : надо только всегда
стоять слева от своих друзей , тогда с ними ничего
не случится .
-
-
Но однажды Нулик отыскал на чердаке какой-то
странный знак - запятую . Ничего подобного он в
Числовом государстве еще не видел . Он даже поду­
мал, что это знак скорее всего иностранный -
из Страны Грамматики . Решил он его показать друзьям.
56


Глава первая. Натурал ьн,ые 'f,uсла
Вышел на улицу и сразу увидел знакомую Семерку.
Подошел к ней, как всегда, слева - и показывает
свою находку. И вдруг (опять вдруг!) Семерка стала
такой маленькой , что на нее чуть не наступил прохо­
дивший мимо Миллиард. Нулик заплакал : опять из­
за него несчастье . А Миллиард засмеялся: «Ничего ,
малыш . Не надо только подходить к числам слева,
если у тебя в руках запятая . С нею ты можешь при­
ближаться к нам только справа» . - «Но почему? -
удивились Нулик И Семерка. - Что это за знак та­
кой?» - «Много будете знать - скоро состаритесь.
Этот знак попал к нам из отдаленной числовой обл�с­
ти - удельного княжества Десятичных дробей. Ког­
да-нибудь ты , Нулик , там побываешь обязательно.
Но это будет уже совсем другая сказка» .
Задачи
1. На листе бумаги написано число шесть . Можно
ли, ничего не записывая , прибавить к нему число три?
2. Нужно сделать календарь из двух кубиков, что­
бы можно было выложить любое число от 1 до 31. Ка­
кие цифры нужно нанести на каждую грань кубиков?
57


Глава первая. Натурал ьн,ые числа
Какую особенность цифр 6 и 9 придется при этом ис­
пользовать?
3. Если поставить зеркало сбоку от буквы А - ты
увидишь в зеркале точно такую же букву. Какие араб­
ские цифры обладают таким свойством? А римские?
4. А если поставить зеркало снизу от буквы А -
отражение выглядит совсем по-другому : оно перевер­
нутое . А вот буква В в этой ситуации не изменится .
Какие арабские и римские цифры обладают таким же
свойством ?
58


Глава первая. Натурал ькые ч.исла
5. А какие цифры обладают обоими этими свойст­
вами?
6. Цифра 7 стояла в таком разряде , что обозначала
число семьдесят тысяч . Ее сдвинули на три разряда
влево . Какое число она обозначает теперь?
7. Цифра 3 стояла в таком разряде , что обозначала
число тридцать тысяч . Ее сдвинули на три разряда
вправо. Какое число она обозначает теперь?
8. Какая цифра обозначает одно и то же в любом
разряде?
9. Какое самое большое число можно записать,
используя по одному разу все десять цифр? А какое
самое маленькое?
10. Когда шофер посмотрел на счетчик спидометра
своей машины , на нем было число 15951. Ему понра­
вилось, что число симметрично: его можно читать
одинаково и справа нал ево , и слева направо .
(I595/]
«Да, - подумал шофер , - такое число теперь
встретится на счетчике не скоро ».
Но ровно через два часа счетчик показал новое сим­
метричное число. С какой скоростью ехал автомобиль
эти два часа?
Свободный счет до 10 и до 100
Вася и Люба - брат и сестра и часто ходят в школу
вместе . Только Вася ходит в восьмой класс, а Люба
в первый.
Люба - маленькая . Она ходит по лестнице, насту­
пая на каждую ступеньку. И так как она любит счи­
тать, то каждая ступенька у нее имеет номер . Люба
59


Глава первая. Натуральные чuсла
ЧlI�,.
..
..
..
..
..
..
.:I
I
12.
идет вверх по лестнице и считает : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12. А когда она идет вниз, то считает наобо­
рот: 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.
12
А Вася - большой . Он ходит через ступеньку и на­
ступает только на четные ступеньки.
Однажды Люба спросила Васю :
-
А ты не можешь шагать через две ступеньки
на третью?
60


Глава первая. Натуралькые чuсла
'1
1
11/r-.
..
..
.
12.
-
Конечно, могу! - И Вася поднялся по лестни­
це, наступая на третью, шестую , девятую и двенад­
цатую ступеньки . А потом спустился по тем же сту ­
пенькам: 12, 9, 6, 3.
- я могу и через три перешагивать, если ты мне
заранее скажешь, на какие ступеньки мне придется
наступить .
Взяла Люба лист бумаги , на­
рисовала лестницу и отметила
ступеньки через три на четвер­
тую . И сказала Васе :
-
Четвертая , восьмая и
двенадцатая . И обратно те же
самые : двенадцатая , восьмая
и четвертая .
Однажды Вася увидел ста­
pый дом с пожарной лестницей
и показал его Любе .
-
Смотри, сколько пере­
кладин!
61


Глава первая. Натуральн ые числа
Люба сосчитала:
-
100 перекладин!
-
А теперь смотри . На третьей перекладине сидит
голубь . Если прилетят еще пять голубей и сядут так ,
что между каждыми двумя голубями будет по четыре
свободные перекладины , то какие перекладины будут
заняты ?
Люба - умная девочка. Она ОПЯ'fЬ н::ч:�ис овала ле­
стницу (но не всю , а только начало), поставила около
А>.
Ff<t15
{2.
4,
#.
9
В
1
,
r
z
4
..
.-.
3
2.
1
•
•
"t'.--
'-
�
перекладин числа, а потом на­
рисовала точками всех голу­
бей : того , который уже был
на лестнице , и тех пятерых ,
о которых сказал ей Вася .
-
А если первый голубь си­
дит на 56-й перекладине, а че­
рез каждые 6 ступенек вниз
сидят еще голуби , то сколько их
может поместиться и на каких
перекладинах они сидят?
И тут для ответа Любе по­
надобился рисунок .
�Авуменеможешь?
спросил Вася .
-
В уме трудно , - ответила Люба.
И стал Вася уч ить Любу считать в уме . Идут они
вместе в школу, а он и говорит :
-
Ну-ка, считай от Двух , прибавляя по три , до
двадцати .
И Люба считает :
-
2,5,8,11,14,17,20.
-
А теперь от 33, отнимая по 5!
-
33, 28, 23, 18, 13, 8, 3.
-
Считай от 7 через 8 не дальше 40!
-
7, 15, 23, 31, 39.
И настал день , когда Люба сказала Васе :
62


Глава первая. Натуральnые числа
-
Спасибо тебе! Мы начали проходить сложение и
вычитание . И наши игры мне очень помогли.
И верно , чтобы быстро складывать или вычитать
небольшие числа, нужно уметь ходить по числовой
лестнице .
Задачи
1. В семье 4 сына. Каждый моложе другого на два
года, причем старшему 8 лет . Сколько каждому лет?
2. Найди десятое число в таком ряду, который на­
чиHaeTcя с 3, а каждое последующее число в нем
на 1 больше предыдущего .
3. Найди десятое число в таком ряду, который на­
чинается с 5, а каждое последующее число в нем
на 2 больше предыдущего .
4. Окно открыли в 2 часа дня . За первый час в ком­
нату влетели 3 комара, за второй час - 5 комаров ,
за третий час 7 комаров и т. д . В 9 часов окно закры­
ли , но спать в этой комнате было невозможно . Сколь­
ко в ней было комаров ?
5. Можно ли сосчитать ступеньки на лестнице ,
изображенной на рисунке?
63


Глава первая. Натуралькые числа
6. В комнате 4 угла. В каждом углу стоит один на­
казанный озорник. Против каждого озорника стоят
по три озорника. Сколько озорников в комнате?
7. У папы и мамы родились две девочки-близнецы .
у каждой из них по три сестры . Сколько всего девочек
в этой семье?
8. у папы и мамы родились два мальчика-близне­
ца. у каждого из них по одной сестре . Сколько всего
девочек в этой семье?
9. В день рождения Оли мама разложила на блю­
де пирожные и, показав Оле это блюдо, сказала: «( Вот
видишь, если начинать считать пирожные с левого
конца, с верхнего конца или с правого конца и до­
считать до низу, всегда получится шесть пирож­
ных - как раз столько, сколько тебе исполняется
лет » . Мама ушла готовить салат , а Оле и ее брату
Володе очень захотелось съесть по пирожному .
И Володя придумал , как расположить оставшиеся
пирожные , чтобы выполнялось мамино правило.
Как он это сделал ?
1 О. Шесть девочек играют в мяч . Каждая девочка
бросает мяч соседке слева, и в игре уч аствуют все .
Будут ли уч аствовать в игре все девочки, если бросать
мяч через одного , через двух , через трех , через четы­
рех , через пятерых? А если девочек восемь?
64


Глава первая. Натуральн ые числа
11. Можно ли перечеркнуть все эти девять точек
четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша
от бумаги :
••
••
12. Коту Мурлыке приснилось, что вокруг него
расположилось 7 мышей : шесть серых и одна белая .
Но есть он их может , соблюдая два условия : отсчиты­
вать по часовой стрелке от съеденной мыши по равно­
му числу мышей и закончить ужин обязательно на
белой мыши. С какой мыши должен начать Мурлыка?
3-2442
65


Глава первая. Натуральные числа
13. Перед отъездом из летнего лагеря вожатый объ­
яснил ребятам , что из 20 птиц живого уголка в шко­
лу можно будет взять только двух . Он предложил по­
ставить все 20 клеток с птицами в круг и открывать
каждую пятую клетку, начав с соловья и не считая
уже открытых клеток , пока не останется только двух
закрытых . Расставить клетки поручили Оле и Коле,
которым очень хотелось взять в школу чижа и мали­
новку. На какие места от соловья они должны поста­
вить клетки с чижом и малиновкой?
14. В названиях каких чисел столько
букв, сколько ед иниц в самих числах ?
15. В названиях каких чисел столько
букв, сколько цифр в их записи?
16. Когда уч астники школьной мате­
матической оли мпиады пришли на со­
ревнование, их попросили по очереди
написать на доске числа 1, 2 и так да­
лее . Всего их было 30 человек . Сколько
чисел они написали ? А сколько они на­
писали цифр?
66


Глава первая. Натуральн,ые чuсла
Сложение прямым счетом
Сложение обозначают знаком + . Этот знак образовал­
ся из латинского слова et (означающего «и » ). С помо­
щью этого слова когда-то записывали сложение . На­
пример , «2 et 3» означало «к двум прибавить три» .
Потом стали для скорости вместо et писать t (2 t 3),
а потом буква t потеряла хвостик и превратилась в + .
Знак назвали «плюс » , что по-латыни значит «больше » .
Но почему сложение обозначили именно словом
«и» ? Да потому , что сложение означает присоедине­
ние , которое в речи обозначается союзом «и » . Мы так
и говорим : «Сколько будет 32 и 53? » Здесь 32 - пер­
вое слагаемое, 53 - второе слагаемое , а то , что полу­
чится , - их сумма.
Чтобы складывать, нужно уметь считать . В одной
сказке на паруснике служили четверо : петух , баран ,
кот и пес . А к ним прибежали еще шестеро: козленок ,
теленок , корова, бык , конь и свинья . Чтобы узнать,
не потонет ли парусник , нужно было убедиться, что
всего на нем не более десяти зверей . Для этого надо бы
67


Глава первая. Натуралькые числа
сложить 4 и 6. Но никто из них не умел складывать.
Зато козленок умел считать! И этого оказалось доста­
точно . Он просто пересчитал всех зверей на паруснике :
-
Один - это я, два - это теленок, три - это ко­
рова, четыре - это бык , пять - это олень, шесть -
это свинья , семь - это петух , восемь - это баран ,
девять - это кот , десять - это пес . Всего десять .
И все успокоились: не потонем!
Умения считать достаточно для того , чтобы скла­
дывать небольшие числа.
А вот другая история .
Однажды серые мыши позвали в гости белых мы­
шей . Серых мышей было девять , а гостей должно было
прийти восемь. Хозяева решили заранее узнать, сколь­
ко тарелок ставить на стол для угощения . Но во всем
лесу не нашлось зверей, которые умели бы складывать
числа. И тогда серые мыши вспомнили про Барсука,
который умел считать . Барсук спросил :
-
Сколько вас самих , серые мыши?
-
Девять.
Барсук отсчитал 9 еловых шишек и положил их так :
-
А сколько придет белых мышей?
-
Восемь.
Барсук отсчитал 8 сосновых шишек и положил так :
••••••••
Потом он пересчитал все шишки и сказал :
-
Всего вас будет семнадцать .
Барсук действовал правильно . Всегда можно
1) отсчитать столько шишек (или нарисовать
столько точек ), сколько единиц в первом слагаемом;
68


Глава первая. На mурал ькые ч.uсла
2) отсчитать столько шишек (или нарисовать
столько точек), сколько единиц во втором слагаемом ;
3) пересчитать все отложенные шишки (или нари­
сованные точки) .
Для этого нужно только уметь считать.
I
Задача. Сосчитай этим способом , чему равно 7 + 2
и2+7.
I
Но не успел сообщить Барсук серым мышам о ре­
зул ьтатах своих подсчетов , как прилетела Сорока и
объявила, что у белых мышей началась эпидемия
гриппа, три из них уже больны и в гости не придут .
-
Так сколько тарелок готовить? - спросили мы­
ши Барсука.
Барсук взял свои семнадцать шишек и выбросил
три из них , а оставшиеся пересчитал .
-
Четырнадцать , - сказал он .
Для вычитания небольших чисел тоже достаточно
уметь считать. Нужно только
1) отсчитать столько шишек (или нарисованных
точек ), сколько единиц в уменьшаемом ;
2) выбросить из них столько шишек (или зач ерк­
нуть столько точек ), сколько единиц в вычитаемом;
3) пересчитать все оставшиеся шишки (или точки).
I
Задача. Сосчитай этим способом , сколько будет
9-4;10-2.
Еще задача . В доме двенадцать этажей . Каким по
счету будет седьмой этаж , если считать сверху?
I
Сложение с помощью прямого счета позволяет за­
метить важные свойства суммы.
От перестановки слагаемых сумма не меняется :
а+Ь = Ь+а.
69


Глава первая. Натурал ькые числа
и правда, не все ли равно, в каком порядке пере­
считывать карандаши в двух коробках : начиная
с правой коробки или начиная с левой?
Чтобы прибавить к числу сумму двух слагаемых,
можно прибавить сначала первое слагаемое , а к полу­
чившемуся результату прибавить второе слагаемое :
а+(Ь+с)=(а+Ь)+с.
и правда, не все ли равно, в каком порядке ссыпать
в общую кучу грибы из трех лукошек?
�t9
...�
�
Задачи
1.РасставьцифрыО,1,2,3,4,5,6,7и8вклетки
этого квадрата так , чтобы суммы чисел по всем верти­
калям, по всем горизонталям и по двум диагоналям
были равны 12 :
70


Глава первая. На mураль кые числа
2. в двух коробках по 20 конфет . Сластена Маша
съела несколько конфет из первой коробки. Увидев
это , сластена Люба съела из второй коробки столько
конфет , сколько осталось в первой коробке. Сколько
конфет осталось после этого в обеих коробках ?
#/ItfJtllItf}
_ ••"'tf}
t1t1 •••
ttU:!1tI•i!1
3. В классе причесанных девочек столько же,
сколько непричесанных мальчиков . Кого в классе
больше , девочек или непричесанных?
71


Глава первая. Натуральн,ые числа
Сложение ПРИсчитыванием
и вычитание отсчитыванием
Числа первого десятка можно расположить в ряд :
1112131415161718191101
Если числа записаны в ряд , то их очень удобно
складывать: нужно от первого слагаемого продви­
нуться вправо на столько единиц , сколько их во вто­
ром слагаемом .
Это тоже сложение с помощью счета , только теперь
не нужно пересчитывать первое слагаемое : оно просто
берется в ряду чисел . А пересчитываем мы только вто­
рое слагаемое .
Прибавим этим способом к трем четыре :
1 ) отметим в ряду первое слагаемое 3
*
I
123456789110I
2) присчитаем к нему второе слагаемое 4
*
*
*
*
";.
один два три четыре
I
I
I
I
I
\1\2\3\4\5\6\7\8I9\10I
Мыпопалиначисло7.Значит,3+4=7.
Так же можно находить сумму любых чисел пер­
вого десятка, только ряд чисел придется удлинить
до 20:
1112\з1415\6171819110111\1211з114115116\17\18\191201
72


Глава первая. Натурал ьн,ые ",исла
Вот как можно найти с помощью этого ряда сумму
чисел8и9:
Не менее удобно расположить числа от 1 до 20 в два
ряда:
11121314151617181920
12345678910
Получается не так длинно. Теперь, для того что­
бы прибавить к числу 8 число 9, мы от числа 8
пройдем вправо до конца ряда (считая : один, два),
потом перепрыгнем в начало второго ряда (считая :
три), а потом пойдем по верхнему ряду (считая : че­
тыре , пять , шесть , семь , восемь, девять) и придем
к числу 17.
20
111213141516171819
�-+-
-+-�-
-�=-�
�-
-+-
-;-
-�
�
8+9=17
1234567
Задача.Сложитакимобразом9и2;8и4;6и5.
к нашей таблице можно надстраивать сверху но­
вые и новые ряды : сначала до тридцати, потом до со­
рока и так далее . Так можно получить таблицу чисел
первой сотни:
73


Глава первая. Натуральн,ые числа
919293949596979899100
81828384858687888990
71727374757677787980
61626364656667686970
51525354555657585960
41424344454647484950
31323334353637383940
21222324252627282930
11121314151617181920
12345678910
74


Глава первая. На mур альн,ые числа
в нижней строке этой таблицы стоят числа перво­
го десятка, во второй строке - числа второго десятка
и так далее до числа 100. У таблицы есть важное свой ­
ство: чем выше в ней число, тем оно больше, а в одной
строке число чем правее, тем больше.
Задача. Кто стоит на бол ьшем числе : Барсук или
Мышь? Кто стоит на меньшем числе: Мышь или Сорока?
Пользуясь таблицей , можно складывать любые чис­
ла, сумма которых не больше ста. Для этого надо най­
ти в таблице первое слагаемое , продвинуться от не'го
вверх на столько рядов , сколько десятков во втором
слагаемом , а затем продвинуться вправо на столько
единиц, сколько их во втором слагаемом .
Вот так :
9192939495
8182838485
717273�7475
61 62 63� 6465
515253\5455
4142434445
3132333435
2122232425
1112131415
12345
969798
868788
767778
66fб7 68
565758
464748
363738
262728
161718
678
75
99
89
79
69
59
49-
39
29
19
9
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
54 +23-
два вверх
и три вправо -
получится 77


Глава пер вая. Натуральные числа
Вычитание тоже удобно выполнять, если числа
расположены в ряд . Легче всего найти разность двух
чисел первого десятка: нужно от уменьшаемого про­
двинуться влево на столько ед иниц , сколько их в вы­
читаемом . Вот так :
111
2
1з1 41WEВ191 101 8-3
�
5
Так же удобно выполнять и вычитание чисел вто­
рого десятка. Вот так :
Или так :
111213141516171819\20
123456789tr10
��
I
Задача. Какой пример решается на каждой из этих
картинок ?
I
Вычитать числа первой сотни удобно, пользуясь
таблицей на следующей странице .
Задачи
1. Сколько раз в табл ице чисел от 1 до 100 встреча­
ется цифра 1? цифра 5? цифра О?
2. Как изменится однозначное число, если к нему
приписать такое же число?
3. Между цифрами 1 23456, не меняя их порядка,
расставь знаки + и - так , чтобы получилась единица.
76


919293
818283
717273
616263
515253
414243
313233
212223
111213
123
Глава пер вая. Натуральн,ые числа
94959697
84858687
74757677
64656667
54555657
44454647
34353637
24252627
14151617
45�6�7�
98 99
88 89
78 79
68 69
58 59
48 49
38 39
28 29
18 19
8�9
100
90
\80
f70
,\
�60
�50
�40
\
�зо
�20
10
79-64-
шесть вниз и
четыре влево -
получится .15
4. Может ли сумма двух чисел равняться их раз­
ности?
5. Выписываются подряд все натуральные числа,
начинаяс1:1234567891011121314итакда­
лее . Какая цифра окажется на сотом месте ? На тысяч­
ном месте?
I
Сложение и вычитание до 20 наизусть
Если каждый раз складывать и вычитать числа
на рисунках или на палочках , то никакого времени
не хват ит. На рисунках и палочках складывают и вы­
читают маленькие числа - в пределах первого десят­
ка, да и то только поначалу. А потом нужно научить­
ся складывать и вычитать любые числа, например
1298705 и 456700. Но для этог.о нужно маленькие
числа - первого десятка - складывать и вычитать
наизусть .
77


Глава пер вая. Натурал ькые числа
Чтобы складывать и вычитать любые числа, п р и­
ходится помнить наизусть таблицу сложения чисел
первого десятка. Вот эта таблица:
+12345671819
12345678910
11
23456789110111
345678910111112
456=7891
·
0 11�13
4+8=12
567891011121314
6 789101112131415
7 8910111213141516
8 91011121314151617
9101112131415161718
Если ты не знаешь наизусть таблицу сложения од­
нозначных чисел , то тренироваться можно так .
Надо вырезать из бумаги восемьдесят одну карточку
(потому что внутри нашей таблицы стоит восемьдесят
одно число). Карточки можно сделать длиной около
4 сантиметров и шириной около 3 сантиметров . На
каждой из них делают одну из следующих надписей:
1+1,1+2итакдалеедо9+9.Наоборотекарточек
пишут ответы к этим примерам .
78


Глава первая. Натуральн,ые ч.uсла
Карточки перемешивают и складывают в стопку
примерами вверх . Прочитывают пример в верхней
карточке . Если ты уверенно называешь ответ , то на­
дорви эту карточку и подложи ее вниз . Если не зна­
ешь ответа , то прочти его на обороте , несколько раз
повтори и положи карточку вниз . Читай следующую
карточку, и так далее . Когда какая-нибудь карточка
окажется надорванной трижды , выбрось ее. Посте­
пенно твоих карточек будет все меньше и меньше .
Работа закончится , когда будут выброшены все кар­
точки - а ты будешь твердо помнить всю таблицу
сложения .
Приходится помнить наизусть и все примеры на
вычитание , которые можно получить из таблицы сло­
жения однознаЧН�IХ чисел . Получаются эти примеры
так : внутри таблицы берем какое-нибудь число - это
уменьшаемое ; вычитаемым может быть номер стро­
ки, в которой стоит это число ( тогда разность - номер
столбца) , или номер столбца ( тогда разность - номер
строки) .
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1234561718
23456789
11
34567819110
456789110111
5678910111112
11
678910111213
78=910111tlйj14
89101112131415
910111213141516
1011121314151617
79
9
10
11
12
Вот сразу два
13
примера :
14
13-6 =7
13-7=6
15
16
17
18


Глава первая. Натуральн ые числа
Чтобы выучить примеры на вычитание , надо сде­
лать карточки со следующими примерами: 2 -1,3-1,
3-2,4 -1 ,4-2,4-3итакдалеедо20-10.Ипотре­
нироваться в ними так же, как при выучивании при­
меров на сложение .
Задачи
1 . Кот Барсик , посаженный в подвал за дурное по­
ведение , питался там одними мышами и поймал их
за 4 дня 80 штук , причем его мастерство изо дня
в день возрастало и он каждый день ловил столько
мышей , сколько все предыдущие дни вместе . Сколько
мышей удалось ему поймать в каждый из этих дней?
2 . у пятерых учеников было по одинаковому ко­
личеству двоек . Когда трое из них исправили по пять
двоек , у них осталось столько неисправленных дво­
ек , сколько их было у двух других учеников вместе.
Сколько двоек было у всех пятерых первоначально?
80


Глава первая. Натуральные числа
3 . Дедушке 56 лет , а его внучке 14. Когда дедушка
будет вдвое старше внучки?
4. Часы отстают каждый день на 6 минут . Хозяин
поставил их на верное время . Через сколько дней они
будут снова показывать правильное время?
5. Найди сумму всех чисел от 1 до 20.
6. Найди сумму всех чисел от 1 до 100.
7. Найди сумму всех четных чисел от 4 до 50.
8. Найди сумму всех нечетных чисел от 10 до 70 .
9.Найдисумму7+10+13+16+19+22+25+28.
10. Куранты отбивают время каждый час . Сколь-
ко ударов сделают они с часу дня до двенадцати часов
ночи?
81


Глава первая. Натуральные числа
11. Отцу 41 ГОД , старшему сыну 13 лет , дочери
1 О лет , а младшему сыну 6 лет. Через сколько лет воз­
раст отца станет равным сумме лет его детей?
12. В квадрате 3·3 расставьте три единицы , три
двойки и три тройки так , чтобы суммы чисел по всем
столбикам , строкам и диагонали были одинаковыми.
Такой квадрат называется магическим .
13. Составь магический квадрат 3·3из девяти пер­
вых натуральных чисел .
14. Составь магический квадрат 5 • 5, в котором каж­
дое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз , но ника­
кая другая их них не встречается дважды ни в каком
столбце , ни в какой строке и ни в какой диагонали.
15. Известный математик и писатель Б. А. Кордем­
ский однажды получил от своих читателей такое
письмо :
«3анимаясь в математическом кружке , мы вычер­
тили план шестнадцати кварталов нашего города.
На прилагаемой схеме плана все кварталы изображе­
ны одинаковыми квадратиками . Нас заинтересовал
такой вопрос : сколько раз н ы х маршрутов можно
наметить от пункта А к пункту С, если двигаться по
улицам нашего города только вперед и вправо , вправо
82


В
А
Глава первая. Натурал ьн,ые числа
�
�
�
���:
r----- -J
�!� �!
I
r--..
.J
�:�:
r- ---1. __..
.J
:�
__:.
.J
С
D
и вперед? Отдельными своими частями маршруты
могут совпадать (см . пунктирные линии на схеме
плана) . У нас сложилось впечатление , что это -
не легкая задача. Верно ли мы ее решили , если на­
считали 70 разных маршрутов ?»
Какой ответ получили дети на это письмо?
Сложение и вычитание столбиком
Эти страницы , наверное , самые скучные в нашей
книге о веселой науке математике . Во всяком , даже
самом веселом , деле есть свои скучные места . Напри­
мер , чтобы потешать народ в цирке , клоуны по тыся­
че раз тренируются в спортивном зале , и в этом мало
веселого . Это тренировки в технике. Но без техниче­
ских навыков нельзя обойтись нигде . Мы сейчас зай­
мемся техникой сложения и вычитания .
Зная наизусть таблицу сложения и вычитания од­
нозначных чисел , многозначные числа можно скла­
дывать и вычитать по разрядам . Для этого их удобно
записывать в столбик разряд под разрядом : единицы
83


Глава первая. Натурал ьн,ые чuсла
под единицами, десятки под десятками, сотни под
сотнями и так далее .
Найдем сумму чисел 1257024 и 86015. Используем
для этого клетчатую бумагу :
1257О24
r-+
86О15
Сложение начинаем справа. Складываем 4 и 5, по­
лучаем 9, вписываем в разряд единиц :
1257О24
-+
86О15
9
Теперь складываем 2 и 1, получаем 3, вписываем
в разряд десятков :
1257О24
r-+
86О15
39
Складываем О и О, получаем О , вписываем в разряд
сотен .
1257О24
-+
86О15
О39
84


Гл а ва первая. На mур алькые ч.uсла
Складываем 7 и 6, получ аем 13. Вписать 13 в раз­
ряд тысяч нельзя - не влезет . Ведь в разряде не мо­
жет быть больше девяти единиц. Но 13 = 10 + 3,
а 10 - это уже единица следующего разряда - де­
сятков тысяч . Поэтому 3 вписываем в разряд тысяч,
а 1 переносим в следующий разряд . Отмечаем это
единичкой над следующим разрядом :
1
1257О24
1-+
86О15
3О39
Складываем 5 и 8, получаем 13. Но над этим разря­
дом стоит единичка, это знак : надо прибавить еще еди­
ницу. Всего будет 14. В разряд десятков тысяч вписы­
ваем 4, а 1 переносим в следующий разряд :
1
-+
1
1
25
8
4
7
6
3
О24
О15
О39
В следующем разряде у первого слагаемого стоит 2,
а у второго о. Над разрядом стоит единичка, поэтому
всего получаем 2 + О + 1 = 3. Вписываем в разряд со­
тен тысяч :
1
-+
1
1
25
8
34
85
7О24
6О15
3О39


Глава первая. Натурал ькые числа
в следующем разряде у первого слагаемого стоит 1,
а у второго о. Поэтому в сумме в этом разряде ставим 1 .
Сложение окончено:
1
'"
"
+
1
Ответ : 1343039.
11
25
8
34
7О24
6О15
3О39
Задача. Найди столбиком суммы :
4567403 + 22291; 34708 + 510286.
Для вычитания многозначных чисел их записыва­
ют в столбик так же, как и при сложении, и вычитают
по разрядам .
Найдем разность чисел 53402 и 1982 . Для этого
запишем их «разряд за разрядом », используя клетча­
тую бумагу :
534О2
1--
1982
Начинаем вычитание справа: 2 - 2 = О; вписываем
О в разряд единиц.
534О2
-
1982
О
86


Глава первая. Натурал ькые числа
Теперь надо от нуля отнять 8. Этого сделать нельзя .
Поэтому занимаем одну единицу из следующего раз­
ряда - разряда сотен . Эта единица дает нам десять
десятков . Получаем , что теперь восемь десятков надо
отнять от десяти десятков . 10 - 8 = 2; вписываем 2
в разряд десятков , а над разрядом сотен ставим точку
в знак того , что из него заняли ед�ницу:
534О2
-
1982
2О
в разряде сотен в уменьшаемом стоит 4, но одну еди­
ницу мы заняли - осталось 3. От трех надо отнять де­
вять . Этого сделать нельзя . Поэтому занимаем одну
единицу из разряда тысяч . Получаем 10 единиц разря­
да сотен . 10 + 3 = 13, значит , теперь надо отнять девять
от тринадцати . 13 - 9 = 4; вписываем 4 в разряд сотен :
534О2
,.
..
-
1982
42О
в разряде тысяч в уменьшаемом стоит 3, но одну
единицу мы заняли - осталось 2. От двух надо отнять
один. Это сделать можно . 2 -1= 1; вписываем 1 в раз­
ряд тысяч :
534О2
1--
1982
142О
87


Глава первая. Натуральн,ые ч.uсла
В разряде десятков тысяч в уменьшаемом стоит 5,
в вычитаемом о. Поэтому в разности получаем в этом
разряде 5. Вычитание закончено .
534О2
1--
1982
5142О
Ответ : 51420.
Задача. Найди столбиком разности :
432019 - 297605; 639005 - 32778.
Из всех этих вычислений видно , что складывать
и вычитать «в столбик » может только тот , кто твердо
помнит суммы и разности однозначных чисел . Страш­
но подумать , как бы это делал человек , который
не может сразу написать «4 + 5 = 9», а должен долго
соображать, сколько же это будет!
Конечно , чтобы привыкнуть считать столбиком ,
нужно много терпения . А всякое терпение должно
вознаграждаться. Оказывается , что и на эту скучную
тему есть очень интересные задачи - арифметиче­
ские ребусы.
Арифметический ребус устроен так . Берется за­
пись решения арифметического примера и часть
цифр в ней (или даже все цифры) заменяется звез­
дочками или буквами. Задача состоит в том , чтобы
догадаться, какие цифры скрываются за этими
звездочками или буквами .
Начнем с ребусов со звездочками. Мы можем сочи­
нить такой ребус сами . Возьмем только что решенный
пример:
88


53402
1982
51420
Глава первая. Натурал ьн,ые числа
Разность и вычитаемое оставим как есть, а все циф­
ры уменьшаемого заменим звездочками :
*****
1982
51420
Получился арифметический ребус . Он , правда,
очень простой , чтобы его решить , надо к разности
прибавить вычитаемое . Получится 53402 . Такой же
простой ребус получится , если заменить звездочками
все цифры вычитаемого :
53402
****
51420
Гораздо интереснее получаются ребусы , если звез­
дочками заменяются цифры в разных строках приме­
ра. Например, так :
* 340*
*9*2
51*20
Этот ребус удобно начать решать в том же порядке,
что и вычитание, - справа .
1) * - 2 = О, значит , правая верхняя звездочка заме­
няет цифру 2. Впишем ее на место :
* 3402
*9 *2
51*20
2) В разряде десятков написано: 0-* = 2. От ну­
ля ничего отнять нельзя , значит , пришлось занять 1
89


Глава первая. Натурал ьн,ые ч-исла
в разряде сотен . 10 - * = 2. Значит , в разряде десятков
звездочка заменяет цифру 8. Впишем ее на место и по­
ставим для памяти точку над разрядом сотен :
•
*3402
* 982
51*20
3) В следующем разряде будет :
13-9 =*.Значит,*-это4:
••
*3402
* 982
51420
4) В следующем разряде :
2-* =1.Значит,*-это1:
••
*3402
1982
51420
5) И наконец, в последнем разряде : * - это 5. Ре­
шение закончено - и перед нами исходный пример.
Задача. Придумай еще несколько ребусов из того
же примера и предложи их своим знакомым.
Еще задача. Реши ребус :
6*21
+ 2**
*958
Бывают ребусы и похитрее . Например , такие :
1) ****
2) **
***
+
**
1
*97
90


Глава первая. Натурал ьн,ые "Числа
Чтобы решить первый из них , надо сообразить , от
какого четырехзначного числа можно отнять трех­
значное число и получить единицу. А во втором ребу­
се получится два решения , но они отличаются только
порядком слагаемых .
Вот еще два нетрудных ребуса:
1) 4*
2) **
+
**2
+1
**01
1**
Гораздо привлекательнее выглядят ребусы, в кото­
рых цифры заменены не звездочками , а буквами .
Звездочки могут обозначать любые цифры , а в бук ­
венных ребусах одинаковые буквы должны обозна­
чать одинаковые цифры, а разные буквы - разные
цифры . Поэтому составлять буквенные ребусы гораздо
труднее : ведь интереснее всего , когда буквы образуют
осмысленные слова.
Вот пример : УДАР + УДАР = ДРАКА. Здесь не
только слова, но и целая осмысленная фраза. Расши­
фровка этого ребуса требует терпения, но начало
очень простое . Сумма двух четырехзначных чисел
всегда меньше , чем 20000. Попробуй сложить два са­
мых больших четырехзначных числа и ты убедиться
в этом.
+
9999
9999
19998
Поэтому первая цифра суммы (то есть буква Д) - 1 .
Перепишем пример столбиком , заменяя всюду Д на 1:
+
УIАР
УIАР
lРАКА
Еще можно сказать , что А обозначает четную циф­
ру: это будет видно, если мы посмотрим на разряд
91


Глава первая. Натуралькые чuсла
единиц. Ведь А получается, когда мы складываем две
одинаковые цифры (Р+Р). Посмотрим на разряд со­
тен. Из неговидно (1 + 1), чтоА можетбытьравно ли­
бо двум (если нет переноса из предыдущего разряда) ,
либо трем (если этот перенос есть) . Но так как А чет­
но, то А = 2 и перен оса нет . Перепишем пример снова:
+ У12Р
У12Р
lР2К2
Посмотрим теперь на букву Р. Из разряда единиц
видно , что Р может быть равно либо 1, либо 6, так как
Р + Р оканчивается на 2 . Но цифра 1 у нас уже занята
буквой Д, поэтому Р = 6. Еще раз перепишем пример :
+
У126
У126
162К2
Теперь уже ясно, что К = 5, а У = 8. Окончатель­
ный ответ : 8126 + 8126 = 16252.
Предлагаем несколько ребусов для самостоятель­
ного решения . Два первых понравятся тем , кто умеет
читать по-англиЙски .
1) + SEND
MORE
MONEY
2) FORTY
+
TEN
TEN
SYXTY
Два следующих ребуса можно решить по-разному ,
поэтому к каждому из них добавлено дополнительное
условие , которому удовлетворяет уже только одно ре­
шение .
1)+**
***
****;
при этом все три числа читаются одинаково справа
налево и слева направо .
92


Глава первая. Наmурал ькые числа
2) + РЕШИ
ЕСЛИ
СИЛЕН;
при этом наибольшая цифра в числе СИЛЕН - 5.
Задачи
Разгадай ребусы 1-28.
1. ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ.
2. НАТАША + ТОНЯ = СЕСТРЫ.
3. НИТКА + НИТКА = ТКАНЬ.
4. ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ .
5. КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.
6. ВЕТКА + ВЕТКА = ДЕРЕВО.
7. СИНУС + СИНУС + КОСИНУС = ТАНГЕНС.
8. ТАМТАМ + МРАК = КОШМАР .
9. LEONHARD - 12325551 = EULER.
10. РАЙОН + РАЙОН = ГОРОД.
11. ДЕДКА + БАБКА + РЕПКА = СКА3КА.
12. ШЕПНУЛ
ШЕПНУЛ
+ ШЕПНУЛ
ШЕПНУЛ
ШЕПНУЛ
КРИКНУЛ
13. ОДИН + ОДИН = МНОГО.
14. АИСТ
АИСТ
+
АИСТ
АИСТ
СТАЯ
15.а+ЬЬ+а=ссс.
16.КТО+КОТ=ТОК.
93


Глава первая. Натурал ькые числа
17. АТАКА
+ УДАР
УДАР
НОКАУТ
18. ЛАДЬЯ + ЛАДЬЯ = ФЕРЗЬ.
19.
Д
АД
ЛАД
+ КЛАД
ОКЛАД
ДОКЛАД
987654
20. АХИНЕЯ + АХИНЕЯ = ЧЕПУХА.
21. ПРИМЕР
РИМЕР
ИМЕР
+ МЕР
ЕР
Р
ЗАДАЧА
22. ПОДАЙ - ВОДЫ = ПАША .
23. ДЕТАЛЬ + ДЕТАЛЬ = ИЗДЕЛИЕ.
24.КИС+КСИ=ИСК.
25. СИНИЦА + СИНИЦА = ПТИЧКИ .
26. КАФТАН + КАФТАН = ТРИШКА.
27. БУЛОК + БЫЛО = МНОГО .
28.КВ+А=НТ.
29. Между цифрами от 1 до 9, записанными по по­
рядку, вставь знаки + и -, чтобы получилось 100.
30. Найди сумму 193 + 384 + 573 + 769. Найди , как
связаны между собой эти слагаемые со следующими :
807 + 616+ 427 + 231, и в уме найди вторую сумму.
94


Глава первая. Натурал ьн,ые числа
Смысл умножения
Вот простая задача. В одном автомобиле помещается
5 человек; сколько человек поместится в четырех та­
ких автомобилях? В этой задаче даны два числа:
5 (число людей в автомобиле) и 4 (число автомоби­
лей). Умножив 5 на 4 (взяв четыре раза по пять) , мы
узнаем ответ задачи : 5·4 = 20. Это нетрудно сосчи­
тать, глядя на рисунок .
ййййй
1.--1
у
Вторая задача. У мухи 6 лап ; сколько лап у трех
мух? В этой задаче даны два числа: 6 (число лап у од­
ной мухи) и 3 (число мух). Умножив 6 на 3 (взяв три
раза по шесть), мы узнаем ответ задачи : 6·3 = 18.
И это нетрудно сосчитать, глядя на рисунок .
Третья задача. Прямоугольник состоит из восьми
горизонтальных полос , в каждой из которых по пять
квадратиков; из скольких квадратиков состоит этот
прямоугольник? В этой задаче даны два числа: 5 (чис­
ло квадратиков в одной полосе) и 8 (число полос).
95


Глава первая. Натурал ьные числа
Умножив 5 на 8 (взяв восемь раз по пять) , мы узнаем
ответ задачи : 5·8 = 40.
��WE�
�
Мы решили три задачи по трем рисункам . Самый
простой из этих рисунков , конечно, третий. Ведь на нем
просто начерчен прямоугольник , состоящий из отдель­
ных квадратиков . Чтобы его нарисовать, не надо быть
художником и не нужно много времени . Но ведь ква­
дратик может обозначать что угодно : и человека в ав­
томобиле , и мушиную лапку . Тогда такой простой ри­
сунок будет годиться к любой задаче. Математики
считают самым красивым решением то, которое про­
ще . Поэтому хорошо бы научиться делать простые ри­
сунки к задачам на умножение .
Например, первую задачу можно было бы изоб­
разить в виде прямоугольника 1, а вторую - в виде
прямоугольника 2 .
1
2
Какой же получился прямоугол ьник в первой за­
даче? Его горизонтальная сторона равна числу 5
(столько людей в одном автомобиле), а вертикаль­
ная - числу 4 (числу автомобилей). Каждый человек
на рисунке находится в одном отдельном квадратике.
96


Глава первая. Наmуральн,ые числа
Значит , всего людей столько, сколько квадратиков
в прямоугольнике, то есть 5·4. А найти ответ можно,
сосчитав число квадратиков .
Во второй задаче получился прямоугольник , у ко­
торого горизонтальная сторона равна шести (столько
лапок у одной мухи), а вертикальная - трем (числу
мух). В каждой клетке - одна мушиная лапка.
Сколько лапок , столько и клеток : 6·3 = 18.
Задачи
1. Перенеси в тетрадь рисунки и надписи :
2-2rn2
5·3
3
2
5
3·4 1-
-+-
--+-
-1
4
8-2
111111 1112
3
8
2. Догадайся, каким примерам соответствуют ри-
сунки :
11111111IIIIIII
II
II
3. Нарисуй прямоугольники, соответствующие
примерам3•2,4·3 ,5•4,3•1,1 •5.
4. Нарисуй прямоугольный домик в два этажа, на
каждом из которых семь отдельных комнат , а в каж­
дой комнате живет один заяц.
I
4-2442
97


Гл ава первая. Натурал ьн,ые числа
Нарисовав задачу на умножение в виде прямоуголь­
ника, мы всегда можем найти результат умножения .
Глядя на прямоугол ьник со сторонами 2 и 2, находим,
что 2 · 2 = 4 (ведь в этом прямоугольнике 4 клетки).
Из прямоугольника со сторонами 5 и 3 видим , что
5 · 3=1 5 (в прямоугольнике 15 клеток), и так далее .
Очень удобно сооружать такие прямоугольники не
из пустых квадратиков , а использовать квадратики
с числами, отделяя их от бесконечного числового ряда:
11121з141 51 61 7181 911011111211з1141151161171181
Например , чтобы умножить 7 на 2, построим пря­
моугольник так :
1 ) отдел им от числового ряда полоску длиной
в 7 единиц:
2) отделим вторую полоску такой же длины и при­
строим над первой :
8 91011121314
1234567
Получился прямоугольник длиной 7 и шириной 2,
соответствующий примеру на умножение 7 на 2. А че­
му равен результат - даже считать не нужно . Резуль­
тат написан в верхнем правом квадратике . Ведь этот
квадратик - последний взятый нами из числового
ряда, а всего мы взяли именно столько квадратиков,
сколько их в нашем прямоугольнике .
98


Глава первая. Натурал ьн,ые чuсла
Задачи
1. Построй из полосок числового ряда прямоуголь­
ник , соответствующий примеру 2 ·3.
2. Какие примеры на умножение показаны здесь? На­
пиши эти примеры и результаты умножения по образцу:
15161718192021
891011121314
1234567
7
33
9101112
25
5678
17
1234
9
1
3
7·3= 21
3435363738
2627282930
1819202122
1011121314
23456
39 40
31 32
23 24
15 16
78
Числа , которые умножают друг на друга, называ­
ются множ и телями, а результат умножения называ­
ется про изведе нием . Найти произведение множите­
лей 4 и 2 - значит умножить 4 на 2. Произведение бу­
детравновосьми:4•2 =8.
Конечно, чтобы найти произведение , не обязатель­
но рисовать прямоугольник . Достаточно сложить
столько первых множителей , сколько единиц во вто­
ром множителе :
4·2=4+4=8,
5·3=5+5+5=15,
3·5=3+3+3+3+3=15итакдалее.
99


Глава пер вая. Наmур алькые числа
Так что можно находить произведения, просто
складывая числа , а это мы умеем делать.
Задача . Найди произведение сложением : 7·3;
6·5; 4·4.
А что значит умножить число 19 на 1? Нельзя же
найти сумму одного слагаемого! И не надо . Один раз
по девятнадцати - это , конечно , 19.
Произведение любого числа на 1 равно самому
этому числу :
а·1 =а.
Важно , что и произведение единицы на любое чис­
ло равно самому этому числу:
I1·а =а.
I
Например,1•7 =1+1+1+1+1+1+1=7.
Такчтополучается,чтоа•1 =1 •а,тоестьотпере­
становки множителей а и 1 произведение не меняет­
ся : как было а, так и останется а.
Разберемся еще с умножением нуля . Например ,
о·5 =О,таккако·5 =О+О+О+О+О=О;5·Отак­
же равно нулю. Произведение любого числа и нуля
равно нулю :
1а•О =О •а =0
·1
Значит , и для нуля верно переместительное свой­
ство умножения: а·О = О·а.
Переместительное свойство умножения верно для
любых множителей , и это легко понять , глядя на ри­
сунок . Ведь если произведение а и Ь - это число квад­
ратиков в прямоугольнике со сторонами а и Ь , то про­
изведение Ь и а - это число квадратиков в прямо-
100


Глава первая. На mурал ьн,ые числа
угольнике со сторонами Ь и а. А это один и тот же пря­
моугольник .
9"6 =54
6"9 =54
и вообще : от перестановки множителей произве-
дение не меняется:
а"Ь=Ь "а
Это правило называется переместительным зако­
ном умножения .
Чтобы умножать любые числа, надо знать наизусть
таблицу умножения однозначных чисел :
•
123456789
1123456789
224681012141618
3369121518212427
44812162024283236
551015202530354045
4"8
661218243036424854
771421283542495663
881624324048566472
991827364554637281
101


Глава первая. Наmуралькые числа
Выучить таблицу умножения можно так же , как
и таблицу сложения, - с помощью карточек .
Некоторым трудно дается таблица умножения
на число 9. Между тем в распоряжении каждого всегда
имеется «машинка» для умножения на 9 - это его де­
сять пальцев . Положи их перед собой и поднимай
по очереди каждый палец . Подними первый палец сле­
ва - останется 9; читаем : 1·9 = 9. Подними второй
пал ец. Останется слева от него один палец, а справа во­
семь пальцев ; читаем : 2 • 9 = 18. А если поднять девятый
палец , то слева от него останется восемь пальцев (читаем :
восемь десятков), а справа один (одна единица) . Получа­
ется : 9·9 = 81. Вообще , какой палец ты ни поднимешь,
у тебя получится такая картина: номер пальца, умно­
женный на девять , равен числу , в котором десятков
столько , сколько пальцев левее поднятого , а единиц
столько , сколько пальцев правее поднятого .
А как быть с числами многозначными? Как умно­
жить, например, 56 на 784, 5 на 18, 7 на 20, 8 на 100?
Для этого используются законы умножения : переме­
стительный, сочетательный и распределительный.
Пер е,м,ес mumел ыlйй зако н помогает запомнить
таблицу умножения . Сколько будет 7·8? А столько
же , сколько 8· 7. Два примера, а ответ один : 56.
102


Глава первая. Натуралькые ч.исла
Переместительный закон умножения н апомина­
eT переместительный закон сложения : а + Ь = Ь + а,
а-Ь =Ь -а.
сумма
--
--
не
слагаемых
От
--
-­
перестановки
меняется
--
--
u
множителеи
--
--
произведение
и это не единственное общее свойство сложения
и умножения . Вспомним сочетательный закон сло­
жения :
а+(Ь+с)=(а+Ь)+с
Чтобы прибавить к числу сумму, можно приба­
вить к нему первое слагаемое , а потом к результату
прибавить второе слагаемое .
3аменим в этом равенстве все плюсы на знаки ум­
но,жения :
а-(Ь-с)=(а-Ь)-с
Чтобы умножить число на произведение, можно
умножить его на первый множитель, а потом резуль­
тат умножить на второй множитель .
Это - сочетательный закон умножения .
Убедимся в его справедливости на примере. Най­
дем , чему равно произведение 5 - (3 - 2) и чему равно
произведение (5 -3)-2. Первое произведение равно
5-6 =30,второеравно15-2 =30.Такчтонапримере
все получается . Если же мы хотим объяснить справед­
ливость сочетательного свойства умножения в общем
виде , то придется строить фигуру , соответствующую
умножению трех чисел а, Ь и с. Для чисел 5, 3 и 2 эта
фигура строится так :
103


Глава первая. Натурал ькые числа
Строим ряд из пяти кубиков :
(((((о
Строим слой из трех таких рядов :
(????jjJ
J
А потом строим фигуру из двух таких слоев :
//////
//////
/
/
/
//
/
1/
Сколько кубиков в одном ряду? Их пять . Сколько
кубиков в одном слое? Их 583 = 15. А сколько куби­
ков во всей этой фигуре? Их в 2 раза больше, чем в од­
ном слое, то есть 15 82 = 30.
Итак , в нашей фигуре (5 83) 82 = 30 кубиков .
Но можно подсчитать и по-другому: в этой фигуре
3 8 2 ряда; в каждом ряду по 5 кубиков, то есть в ней
58(3 82) кубика. Так что 58(3 82) = (5 83) 8 2.
Точно так же строится фигура и для любого друго­
го примера на умножение трех чисел а, Ь и с:
//////
/////
/////
V
/////
/
/V
/
/
50(403)=(584)03
/V
/
/
/
/
Итак , сложение и умножение подчиняются двум
одинаковым законам :
104


Глава первая. Натурал ьные числа
Переместительный
Сочетательный
закон
закон
Сложение
а+Ь=Ь+а
а+(Ь+с)=(а+Ь)+с
Умножение
а'Ь=Ь'а
а•(Ь•с)=(а'Ь)•с
Сочетательный закон сложения позволяет приба­
вить к числу сумму . Сочетательный закон умноже­
ния позволяет умножить число на произведение .
А еще одно свойство позволяет умножать число
на сумму. Это распредел ительный закон умножения :
а'(Ь+с)=а'Ь+а'с
Чтобы умножить число на сумму , достаточно
умножить его на каждое слагаемое , а результаты
сложить.
Можно убедиться в этом на примерах :
2·(3 + 5) = 2·3+ 2·5, так как и там и там получа­
ется 16.
4·(2 + 7) = 4·2+ 4·7, так как и там и там получа­
ется 36.
Чтобы убедиться, что распределительный закон
верен для любых чисел а, Ь и с, снова будем чертить .
а
а
1-
--1-
--r-
--I1-
--1
1-
--1
1-
--1
1-
-1
Ь+с
с
а
а
105


Гл ава первая. Натурал ькые числа
Начертим прямоугольник для умножения числа а на
число Ь + с. Этот прямоугольник имеет длину а и шири­
нуЬ+с.Внема •(Ь+с)квадратиков. Разделимегона
два прямоугольника. Один из них будет иметь длину а
и ширину Ь, а другой будет иметь длину а и ширину с.
Значит , в первом прямоугольнике будет а · Ь квадрати­
ков , а во втором - а · с квадратиков . Вместе их будет
а·Ь+а·с.Аэтоизначит,чтоа·(Ь+с)=а ·Ь+а·с.
Задача. Нарисуй такую же картинку для доказа­
тельства того, что 7·(8 + 9) = 7·8+ 7·9.
Еще задача. Запиши распределительный закон
для чисел , умножение которых показано на этом ри­
сунке .
6
5
Законы умножения позволяют умножать много­
значные числа, если умеешь умножать однозначные .
Проще всего , когда один из множителей - число
10, 100, 1000 и вообще любое число , которое записы­
вается одной единицей с несколькими нулями .
Умножение какого- нибудь числа на такое число ­
это передвижение его в разрядной сетке влево . При
умножении на 1 О число смещается влево на один раз­
ряд , и в его записи появляется один нуль справа :
106


Гл ава первая. Натурал ьные чuсла
37·10 =370, 420·10 =4200.
При умножении на единицу с несколькими нуля­
ми число смещается влево на столько разрядов ,
сколько нулей в записи второго множителя .
Например , при умножении числа 523 на 100 циф­
ра 5 из разряда сотен перешла в разряд десятков ты­
сяч (на два разряда влево) . Цифра 2 тоже смещается
на два разряда влево : из разряда десятков в разряд ты­
сяч . И цифра 3 смещается из разряда единиц в разряд
сотен - на два разряда влево :
Разряды
Миллионы Сотни Десятки Тысячи Сотни Десятки Единицы
тысяч тысяч
О
О
О
О
5
2
3
О
О
5
2
3
О
О
Получается , что 523 · 100 = 52300.
Задача. Умножь число 34 на 1000.
Еще задача. С помощью таблицы умножения, ис­
пользуя сочетательный закон умножения, вычисли :
50 ·3, 6·80, 70 · 80, 600 ·9.
I
А теперь умножим многозначное число на одно­
значное , например найдем такое произведение :
2079 ·8.
Число 2079 равно сумме 2000 + 70 + 9. Нам извес­
тен распределительный закон умножения: чтобы ум­
ножить сумму на число, достаточно умножить на это
число каждое слагаемое и сложить результаты. Зна­
чит, 2079 ·8 = 2000 ·8+ 70 ·8 + 9·8. Каждое слагае­
мое в этой сумме легко найти устно: 2000 ·8 = 16000 ,
70 ·8 = 560, 9·8 = 72. Конечно , для этого надо по­
мнить таблицу умножения! Значит , 2079 ·8 = 16000 +
+ 560 + 72. Эти числа можно сложить столбиком или
устно, получится 16632. Удобнее в этом случае запи­
сывать действие столбиком .
107


67
2079
х
8
16632
Гл ава первая. Натуралькые ","ела
Умножение начинаем с единиц:
9·8 = 72; подписываем 2 под разрядом единиц .
7 переносим в следующий разряд; 7·8 = 56, 56 + 7 =
= 63; подписываем 3 под разрядом десятков , 6 пере­
носим в следующий разряд ; 0·8 = О, 0+6 = 6; подпи­
сываем 6 под разрядом сотен ; 2·8 = 16; подписываем 6
под разрядом тысяч , единицу переносим и подписы­
ваем в следующий разряд .
Многозначное число на многозначное умножают
тоже столбиком . Для этого первый множитель умно­
жают сначала на число единиц во втором множителе ,
затем на число десятков , сотен и так далее . Получен­
ные произведения подписывают под соответствующи­
ми разрядами, а потом складывают столбиком .
Умножь столбиком 128 на 37, используя эту заго­
товку :
128
-х
37
6
+
4
Задачи
1. Сколько получится десятков , если два десятка
умножить на 3?
2. Сосчитай в уме : 2·7·5.
3. Сколько получится десятков, если два десятка
умножить на 3 десятка?
108


Гл ава первая. Наmур алькые числа
4. Один из двух мно жителей равен 36. Как изме­
нится произведение, если другой мно житель увели­
чить на 9?
5. Один из двух множителей равен 36. Как изме­
нится произведение , если другой множитель умно­
жить на 9? Какое усло вие в этой задаче не влияет на
ответ?
6. Сумма и произведение четырех чисел равны 8.
Что это за числа?
7. Сумма трех различных чисел равна их произве­
дению . Что это за числа?
8. Задача Лео нардо Пизанско го . Один человек го­
ворит другому: «Дай мне 3 динария, и я буду в 2 раза
богаче тебя ».А другой отвечает: «Дай мне 2 динария ,
иябудув3разабогачетебя» .
Сколько денег у каждого?
9. Есть два числа: 1333 и 2171. Х отелось бы каждое
представить в виде произведения нескольких чисел
так , чтобы суммы множителей были равны соответст­
венно 1333 и 2171. Смо жешь?
10. Ученик быстро умножил 84 на 84. Сво и дейст­
вия он объяснил так : «Да Я просто отнял 144 от 7200,
и п олучился ответ 7056 ». Как о н рассуждал ?
Реши арифметические ребусы:
11.КРАБ ·4 =БРАК.
12. ПЛОМБА · 5 = АПЛОМБ .
13. СОРОК · 5 = ДВЕСТИ.
109


Глава первая. Натурал ькые числа
14. SIX х TWO = TWELVE.
15. ЧЧН
х
НН
+
ЧНЧН
ЧНН
ННННН
Здесь вместо букв Ч нужно подставить четные ци-
фры , а вместо букв Н - нечетные .
16.EINSх5=FUNF.
17.КАЗАКх6=сотня.
18. ПЧЕЛКА х 7 = жжжжжж .
19.БУКВАх6=слово.
20.КВ=АНТ.
21.вохЛ=НА.
22. ОДА
Х
рис
+ ПАТ
ИНД
+ сор
спорт
23.92· ** = ***.
24. 51
+
х
**
**
**
***
25. 6*
х
**
+**
**
**6
26.**.*-*=1.
110


Гл ава первая. Натуралькые ч.uсла
27. *2*
х*7
***
+
****
****8
28. ***
х*2
+
*08
*6*
* 12*·
29.108* =38(38*+5).
30.АБ8АБА=АБАБ.
31. 19
х**
+**
**
**0 *
32. АБВ 85= ГАГ
Но в конце-то концов , так ли уж необходимо уметь
письменно или устно умножать числа? Ведь сейчас
повсюду есть калькуляторы, они считают гораздо бы­
стрее и не ошибаются . На самом деле человеку доста­
точно самому считать в пределах ста, больше требует­
ся редко . Интересно другое : оказывается , что иногда
устно умножать можно быстрее , чем с помощью каль­
кулятора.
Умножать однозначные числа на 9 можно вообще
мгновенно, об этом мы уже рассказывали на с. 102.
Быстро считать можно и в более трудных случаях .
Например , чтобы получить произведение 36 811,
достаточно между цифрами 3 и 6 вставить их сумму -
9. Получится 396. Это быстрее , чем на калькуляторе :
там пришлось бы нажать шесть кнопок . Так же мож­
но умножить на 11 любое двузначное число . Немного
111


Глава первая. Натурал ьн,ые числа
труднее , если сумма его цифр больше десяти . Тогда меж­
ду цифрами числа вставляется вторая цифра суммы его
цифр, а единица прибавляется к первой цифре числа :
49 ·11 =?
4+9=l;i
tJш=:rnJ= 1513191
49 ·11=539.
Можно научиться быстро умножать на 11 любые
числа. Надо написать последнюю цифру множителя ,
а перед ней писать суммы соседних цифр . В конце ,
то есть слева, записывается первая цифра множите­
ля. Например , умножим 543 на 11.
1 ) Пишем последнюю цифру множителя 543 � 3.
2 ) Складываем цифры 4 и 3 и результат пишем пе-
ред написанной тройкой: 4 + 3 = 7 � 73.
3)Складываем5и4:5+4=9�973.
4 ) Записываем цифру 5 � 5973.
543·11 = 5973.
5-4-3 ·11=
IT ТI
59 ·73
Еще можно быстро перемножать двузначные чис­
ла, в которых десятков поровну, а единицы в сумме
дают 10. Например , чтобы умножить 37 на 33, надо
умножить 3 (число десятков) на следующее за ним
число ( на 4 ) . А потом к результату (к числу 12) при­
писать справа произведение 7·3� Вот что получается :
ЗО(З П
37·33= 1221
1·I Т
112


Глава первая. Натурал ьн,ые ч,исла
Еще пример,
3267·11 =?
7 сносим: 7 .
7+6=13,3пишемслеваот7,1 переносимвследу­
ющий разряд : 37 .
6+2=8,1изпредыдущегоразряда,8+1=9,пи-
шем 9 слева от 7: 937.
2+3=5,пишем5слеваот9:5937.
3 сносим : 35937 . Это и есть ответ .
Это тоже получается быстрее, чем на калькуляторе .
Вот несколько примеров для тренировки в устном
счете :
25'11; 43'11; 57' 11; 92'11; 62'68; 45'45;
96·4;71•79.
И вот еще один пример устного счета . Это способ
умножения числа, оканчивающегося цифрой 5, само­
го на себя . Произведение числа а самого на себя назы­
вают квадратом числа а и обозначают а 2
•
Так вот, что­
бы найти квадрат числа, оканчивающегося на 5, до­
статочно отбросить пятерку, умножить оставшийся
кусок на следующее за ним по порядку число и припи­
сать к результату 25. Вот так :
752= 5625
1152= 13225
7·8
11·12
А это - интересные случаи умножения многознач­
ных чисел :
123456789 · 9;
123456789 · 27;
123456789 · 45;
123456789 · 63;
123456789 · 81;
123456789 · 18;
123456789 · 36;
123456789 · 54;
123456789 ·72.
Найди произведения - они красивые .
113


rлава первая. Натуральные ч,uсла
Задачи
1. Во сколько раз увеличится однозначное число ,
если приписать к нему справа такое же число? А дву­
значное?
2. Задача из Древней Греции. Три грации имели по
одинаковому числу плодов и встретили де,ВЯТЬ муз .
Каждая из граций отдала каждой из муз по одина­
ковому числу плодов . После этого у каждой из муз
и каждой из граций стало по од инаковому числу пло­
дов . Сколько плодов было у каждой из граций до
встречи с музами (у муз до этой встречи не было ни од­
ного плода)?
3. Старинная русская задача. Помещик , узнав , что
корова стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешев­
ле лошади, захватил на ярмарку 200 рублей и на все эти
деньги купил собаку , двух коров и лошадь . Что почем?
-� --
114


Глава первая. Натураль", ые числа
4. Утомившись от школьных занятий , Костя по­
ехал на лето в деревню к бабушке и занялся там своим
любимым делом - ловлей мух . За первые пять дней
он поймал 532 мухи, причем в каждый из этих дней
отлавливал их столько, сколько во все предыдущие
дни вместе . Сколько мух поймал Костя в каждый
из этих дней?
5. Пять победителей конкурса «Кто громче крик­
нет» получили В награду по одинаковому количеству
орехов . Трое из них сразу съели по 5 орехов и увиде­
ли , что у них вместе осталось столько орехов , сколько
было выдано двум другим. Сколько всего орехов было
выдано всем пятерым?
6. Деду 60 лет , а внуку 10. Когда дед будет втрое
старше внука?
7. Двум отцам вместе 80 лет , а двум сыновьям вме­
сте 40 лет . Сколько лет вместе всем троим?
8. У 33-летнего отца 4 сына. Каждый моложе дру­
гого на 2 года. Старшему сыну 8 лет . Через сколько
лет всем четверым будет вместе столько же лет , сколь­
ко отцу?
9. Часы отстают каждые сутки на 61 минуту . Че­
рез сколько суток они будут показывать опять верное
время?
10. Чему равна сумма всех чисел :
1)от1 до 10,
2)от10до100,
3)от21до80?
11. Найди сумму чисел 1, 3, 5, 7, 9 и 11.
12. Найди сумму всех чисел от 5 до 100, оканчива­
ющихся на 5 или о.
13. Два поезда одинаковой длины идут навстречу
друг другу по параллельным путям. Скорость первого
поезда 36 км/ч, скорость второго поезда 45 км/ч . Пас­
сажир, сидящий во втором поезде , заметил , что пер­
вый поезд шел мимо него в течение 6 секунд . Какова
115


Глава первая. Натуральные числа
длина каждого поезда? За сколько минут проедет
второй поезд мимо пассажира, сидящего в первом
поезде ?
11
14. Сосчитай в уме произведение трех чисел : 9,
24и25.
15. Третьеклассник Валера начал выполнять задан ­
ный на дом пример , когда началась его любимая пере­
дача . Его младшая сестренка Даша, не интересующая­
ся глупыми мультиками , подошла к столу и увидела
такую запись в Валериной тетрадке :
952
х 743
2956
3808
Даша не знала таблицу умножения , а умела только
складывать любые числа и была очень сообразитель­
ной девочкой . Поэтому она сумела закончить пример,
так что Валера даже не обругал ее за то , что она писа­
ла в его тетради . Как Даша смогла это сделать?
Деление
Четвертое арифметическое действие - деление - са­
мое трудное . Двести лет тому назад делить умели
только уч еные-математики - не больше 100 человек
на всем земном шаре . А сегодня делить умеет любой
отличник , начиная со второго или с третьего класса .
116


Глава первая. Натуралькые числа
Что же такое деление? Начнем с простого примера .
Разделим пятнадцать конфет поровну между тре­
мя детьми. Будем раздавать им конфеты , пока не раз­
дадим все пятнадцать . Сначала дадим каждому по од­
ной конфете : первую , вторую и третью .
t<D<J��
Потом дадим каждому еще по одной конфете : чет-
вертую, пятую и шестую .
���
���
и еще по одной:
���
���
���
и еще по одной:
���
���
���
���
и еще по одной:
117


Глава первая. Натуральные числа
Все! Конфеты закончились . Каждый получил по
5 штук . Если 15 конфет разделить поровну на три ча­
сти, получится в каждой части по 5 конфет. 15 : 3 = 5.
Конфеты нам здесь понадобились только для того ,
чтобы сладкоежкам было интереснее . А вообще-то
мы могли бы работать и просто с рядом чисел . Тогда,
чтобы разделить пятнадцать на три , мы поступили
бы так.
Взяли бы первые пятнадцать чисел :
Эти числа мы уложили бы , как кирпичи , в три
столбика . Первые три числа - в нижний ряд :
Над ними следующие три числа :
Над ними еще три :
118


Глава первая. Натуральн,ые числа
И еще три:
И еще три:
7
8
4
5
1
10
7
2
11
8
4
5
1
13
10
7
4
1
2
14
11
8
5
2
з
12
9
3
15
12
9
6
3
Все! Числа кончились. Получилось 3 столбика по
5 клеточек, а всего 15. Значит, 15 : 3 = 5.
Задача. Раздели этим способом 12 на 4. А теперь 12
на З.
Чтобы разделить 15 на 3, мы разложили числа
в три столбика. Если сдвинуть эти столбики - по­
лучится прямоугольник:
119


Глава первая. Натуралькые числа
131415
101112
789
456
123
Это тот самый прямоугольник, который рисуют
для того , чтобы умножить 3 на 5. На одной картинке
получаютсядвапримера:3-5 =15и15:3 =5.Аесли
этот прямоугольник повернуть - получится еще один
пример:15:5=3.
I
Задача . Для каждого из прямоугольников напиши
по три примера:
� m ; 11111111
111111111 rn 1111111
IIIIIIII
Вообще,еслиа-в =С,тос:а=Ьис:Ь=а.Поэто­
му и говорят, что деление - действие , обратное умно­
жению, так же как вычитание обратно сложению:
12-4 =8,таккак8+4=12;
12:4=3,таккак4-3 =12.
120


Глава первая. на mурал ыf,еe ",uела
Вообще :
вычес ть а из Ь - значит найти число , которое
всуммесадаетЬ;
разделить а на Ь
значит найти число , которое
в произведении с Ь дает а.
Но это значит , что нельзя делить на нуль. И в са­
мом деле, попробуем разделить на нуль число 8. Если
бы при этом получилось какое-нибудь число а, то мы
моглибызаписать:8:О=а,азначит,а·0 =8.Ноэто
неверно, так как а·О равно нулю, а вовсе не восьми.
Значит , никакого результата деление числа 8 на нуль
дать не может . Если бы вместо числа 8 мы взяли лю­
бое другое число (кроме нуля!), получилось бы то же
самое . Значит , никакое число, не равное нулю, разде­
лить на нуль нельзя . А можно ли нуль разделить на
нуль? Если бы это было возможно , то мы могли бы
найти результат такого деления -какое-то число а.
Нов том-тоидело, чтоеслиО:О =а,тоа·0 =о.Аэто
верно для любого числа а! Значит , результатом деле­
ния нуля на нуль могло бы быть любое число . Поэто­
му найти этот результат нельзя. Этим и объясняется
всем известное правило :
НИКАКОЕ ЧИСЛО НЕЛЬЗЯ ДЕЛИТЬ НА НУЛЫ
Число, которое делят , называется дел им ым . Чис­
ло , на которое делят , называется дел ителем . Число,
которое получается в результате деления, называется
частным .
При делении небольших чисел можно пользовать­
ся все той же таблицей умножения .
Все примеры на деление , которые можно получить
из таблицы умножения однозначных чисел , надо
знать наизусть. Получаются эти примеры так : внутри
таблицы берем какое- нибудь число - это делимое ;
121


Глава первая. Натур альн,ые числа
делителем может быть номер строки, в которой стоит
это число (тогда частное - номер столбца) , или номер
столбца (тогда частное - номер строки).
.
1234
11234
22468
336912
4481216
55101520
66121824
77142128
88162432
99182736
567
567
101214
151821
202428
253035
303642
354249
404856
455463
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Вот сразу два
примера:
35:7=5
35:5=7
Многозначные числа делят углом . Как это делает­
ся, покажем на примере . Разделим 3638 на 34.
Запишем эти числа так :
3638 �
Деление , в отличие от сложения , вычитания и ум­
ножения , начинают не справа, а слева. В числе 3638
первая цифра делимого 3 обозначает число , в котором
делитель 34 не п омещается ни одного раза. Поэтому
возьмем две цифры слева : 3 и 6. Они образуют число
36. В нем делитель 34 помещается один раз . Запишем
в частном число 1:
3638 �
1
Умножим 34 на 1 и подпишем результат под чис­
лом 36:
122


Глава первая. Натуралькые числа
Вычтем 34 из 36:
3638 �
341
3638 �
341
2
Продолжаем деление . Для этого снесем следую­
щую цифру 3 :
3638 �
341
23
В числе 23 делитель 34 не помещается ни разу . Ста­
вим в частном нуль :
_
3638 �
34 10
23
Сносим последнюю цифру 8 :
_
3638 �
34 10
238
в числе 238 делитель 34 помещается 7 раз , что
нетрудно установить , умножая число 34 на 1, на 2
и так далее. Записываем число 7 в частное :
_
3638 �
34 107
238
123


Глава первая. Натуральн,ые чuсла
Умножаем 34 на 7 и подписываем результат п од
числом 238:
3638 [1L
34 107
238
238
Вычитаем полученное число из 238:
_
3638 [1L
34 107
238
238
О
Деление окончено . Ответ : 107. Для проверки мож­
но перемножить 107 и 34. Получится 3638.
Какие бы натуральные числа мы ни взяли, всегда
можно их сложить , вычесть (из большего меньшее),
перемножить . А вот разделить одно из этих чисел
(даже большее на меньшее) удается не всегда. Возьми
14 конфет и попробуй разделить их между тремя
людьми поровну . Каждый получит по 4 конфеты,
но еще 2 конфеты останутся :
13 14
101112
789
456
123
Математики говорят, что число 14 делится на чис­
ло 3 с остатком . Это можно записать так :
14:3=4(ост. 2).
124


Глава первая. На mуральн,ые "Ч uсла
Здесь 14 по-прежнему называется делимым, 3 -
делителем, а 4 называется неполным частным . Если
в примере 3638 : 34 увеличить делимое на единицу,
то получится пример деления с остатком :
_
3639 �
34 107
239
238
1
3639 : 34 = 107 (ост. 1).
Задачи
1. Найди частное , пользуясь таблицей умножения :
36:9;48:6;54:9;56:7;
360:9; 480:8; 540:60; 5600:8.
2. Два числа перемножили - получилось 25. По­
том большее из этих чисел разделили на меньшее -
опять 25. Что это за числа?
3. Существует ли такое число, которое делится
на все остальные числа? Существует ли такое число ,
на которое делятся все числа?
4. Расставь между числами 9 9 9 9 знаки действий
так , чтобы получилось 100.
5.Тожедлячисел5555.
6. Семь одинаковых батонов хлеба надо разделить
поровну между двенадцатью людьми . Как это сде­
лать , разрезая каждый из батонов на равные части,
но не разрезая ни один на 12 частей?
7. В коробке лежат 15 шариков : черных , белых
и красных . Красных шариков в 7 раз больше, чем
белых .
Сколько в коробке черных шариков?
125


Глава первая. Натуралькые числа
8. Как разрезать эту фигурку на четыре одинако­
вых четырехугольника?
9. Как разрезать на четыре одинаковых четырех­
угольника эту фигуру?
/
10. А как разрезать эту пластинку на шесть одина­
ковых частей?
••••••••
• ••• ••••
••••••••
••••••••
••••••••
••••••••
••••••••
�.••.-
••••
••••
••••
11. Как разделить этот учас ток земли на пять
одинаковых квадратов? А можно ли разделить его
на четыре равных уч астка?
126


Глава первая. Натурал ьные чuсла
12. Здесь нарисована цепочка из трех бумажных ко­
лечек . Если разрезать среднее колечко , она распадется
на три части . Как составить цепочку из трех колечек ,
чтобы она распадалась на три части при разрезании лю­
бого колечка? А можно ли составить цепочку из пяти
колечек так , чтобы она распадалась на пять частей
при разрезании любого колечка?
13. Постоялец гостиницы , не имея денег , догово­
рился с хозяином , что будет расплачиваться, отдавая
ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой
цепи. Но портить цепь, распиливая каждое звено , было
жалко, и они , поразмыслив , сообразили, что можно
распилить всего одно звено . И правда, распилив это
звено , они смогли устроить так , что у хозяина каж­
дый день прибавлялось по одному звену цепи. Как
они этого добились?
127


Глава первая. Натураль кые числа
14. В вагоне электрички ехали из города на дачу
Соня и Ира.
-
Посмотри, - сказала Ира, - обратные элект­
рички нам встречаются через каждые 5 минут . Как
ты думаешь, сколько их прибывает в город за час ?
-
Конечно, 12, так как 60 : 5 = 12, - сказала
Соня .
Но Ира не согласилась с ней . Почему?
15. Во сколько раз путь на девятый этаж длиннее
пути на третий этаж того же дома?
128


Глава первая. Наmур альн,ые чuсла
16. Петя нашел один гриб , Коля - два, а Паша ­
три . Мама дала им 18 орехов и попросила разделить
их по заслугам . Сколько орехов должен получить
каждый?
17. В другой раз Петя , Коля и Паша ловили рыбу.
Петя поймал трех плотвичек , Коля - пять . А Паша
не поймал ни одной рыбы . Когда стали варить уху,
Паша пообещал за это сделать вместо братьев восемь
домашних заданий по математике. Сколько домаш­
них заданий он должен сделать вместо Пети и сколь­
ко вместо Коли?
18. Летели галки , увидели палки . Если на каждую
палку сядет по галке, то для одной галки не хватит
палки. А если на каждую палку сядет по две галки,
то одна из палок останется без галок . Сколько было
галок? Сколько было палок ?
5-2442
129


Глава первая. Натурал ьные числа
19. А вот еще несколько числовых ребусов .
1) *2*5* 1325
2)_;j*** I *;j
***
1**
*3
***
*0 **
*9**
--
*5*
*5*
О
3)ПИРОГ:И =гости
4)
_
**** �
**
368
***
***
200
***
о
6) **234* : 72 = *0***.
7)***1*:11=*9*.
8)
_
****5 �
*7
***
***
***
о
130
**
**
*3*
***
О
5) **** L!
!.
** .**
3*
**
о
9) ******* I�
*
_
*
___
***
**8 **
**
**
***
***
о


Гл.ава первая. Натурал ьн,ые числа
10) ****** 1 ***
11) *8*** 1***
***5
**8
3*8
***
****
105*
***
***
***
****
***
3 ***
О
О
12) мода l ода
-
дар да
еда
еда
О
Делимость. Признаки делимости .
Четные и нечетные числа
Любое число можно получить , складывая друг с дру­
гом единицы . Если каждый день выучивать по одно­
му английскому слову, то наступит и такой день, ког­
да ты будешь знать 6 слов , и такой , когда ты будешь
знать 217 слов . А вот если каждый день выучивать
по два слова, то ты будешь знать ровно 6 слов к концу
третьего дня , но такого дня , к концу которого ты бу­
дешь знать ровно 217 слов ,- такого дня не будет.
Число 6 можно составить из двоек , а число 217 -
нельзя . Говорят , что 6 делится на 2, а 217 не делится
на 2. Иначе : 2 является делителем числа 6, но не яв­
ляется делителем числа 217. Или так : 6 кратно числу
2, а 217 не кратно числу 2.
Знание делителей и кратных помогает находить
ошибки в вычислениях , даже не повторяя этих вы­
числений .
131


Глава первая. Натурал ькые числа
Ковбой Вилл заказал в баре две бутылки минераль­
ной воды .
-
Не хочешь ли новую воду « Слезы крошки Мэ­
ри » ? - спросил хозяин .
Вилл утвердительно кивнул головой .
Но когда трактирщик предъявил ему счет в 35 цен­
тов за две бутылки , ковбой вытащил из-за пояса
кольт . Трактирщик тут же переписал счет и долго
потом просил прощения у сообразительного поку­
пателя .
Как же обнаружил ошибку Вилл? Ведь он не знал ,
сколько стоит бутылка новой минеральной воды .
Оказывается, сколько бы ни стоила эта бутылка,
сумма не могла составить 35 центов . Стоимость двух
бутылок должна делиться на 2, а 35 на 2 не делится.
Числа, делящиеся на 2, называют четнымu; не де­
лящиеся на 2, - нечетнымu. Стоимость двух одина­
ковых бутылок должна быть четным числом , а число
35 - нечетное .
Четные и нечетные числа имеют некоторые очень
простые свойства: сумма, разность, произведение чет­
ных чисел - четны ; четна сумма и разность нечетных
чисел , а их произведение нечетно .
132


Глава первая. На mуралькые ч. исла
Задача. Четной или нечетной будет сумма двух чи­
сел разной четности (таких , одно из которых четно ,
а другое нечетно)? А разность? А произведение?
Но есть и более интересные факты , связанные
с четностью .
Когда великому русскому математику Андрею Ни­
колаевичу Колмогорову было шесть лет , он приду­
мал , как вычислять суммы первых нечетных чисел .
Например , чтобы найти сумму 100 таких чисел , до­
статочно умножить 100 на 100:
1+3+5+...+197+199=100 ·100 =10000.
Почему это так , мы поймем, изображая нечетные
числа в виде таких вот фигурок :
D1
и так далее.
Будем прикладывать к первой фигурке вторую ,
потом третью и так далее . Каждый раз будет полу­
чаться квадрат со стороной , равной числу сложенных
фигурок:
1
1+3
1+3+5
О1 '83
2·2 f±]]
3·3
Понятно, что и следующие нечетные числа будут
достраивать этот квадрат до новых квадратов :
133


Глава первая. Натуральные ч.uсла
1+3+5+ 7 1 + 3+5+7+9
Ш,
4.4
и так далее
5·5
Поэтому , чтобы найти сумму нескольких первых
нечетных чисел , достаточно умножить их количество
само на себя .
Как мы уже знаем (с . 114), произведение числа а
самого на себя называется квадратом числа а и обо­
значается так : а 2 • Утверждение о сумме нечетных чи­
сел можно записать в виде такого равенства:
1+3+5+...+(2n-1)=n2•
В этом равенстве вместо n можно подставить любое
натуральное число , а многоточие означает , что скла­
дываются все нечетные числа от 1 до (2n - 1). Из этой
формулы получается :
приn=2
1+3=4;
приn=5
1+3+5+7+9=25;
приn=11
1+3+5+7+9+11+13+15+17+
+19+21=121.
Однажды Коля попросил отличника Севу прове­
рить решенный им пример : 3423 х 5 = 171 16.
-
Так не может быть , - сразу сказал Сева. - Про­
изведение 3423 на 5 должно делиться на 5, а 17116
на 5 не делится!
Как же эти грамотеи - Вилл и Сева - определяют ,
что на что делится? Просто они знают признаки дели­
мостина2ина5.
Делимость натурального числа на 2, на 5, а также
и на 10 зависит от п о следней цифры этого числа: чис-
134


Глава первая. натурал ыf,еe числа
ло делится на 2, на 5 или на 10 тогда и только тогда,
когда его последняя цифра делится соответственно
на2,на5илина10.
Например , число 35 не делится на 2 потому, что по­
следняя его цифра 5, а 5 на 2 не делится . Чтобы число
делилось на 2, его последняя цифра должна быть одна
изпяти:О,2,4,6или8.
Точно так же число 17116 не делится на 5 потому ,
что последняя его цифра 6, а 6 на 5 не делится . Чтобы
число делилось на 5, его последняя цифра должна
быть одна из двух: О или 5.
А на 10 делятся только числа, оканчивающиеся
цифрой 0,- круглые числа .
I
Задача. Какие из следующих чисел делятся на 2,
на5,на10:
123456, 5630985, 12760, 111112?
Если число оканчивается цифрой , не делящейся на
2,на5илина10,тооно,конечно,на2,на5илина10
не делится. Мало того , можно даже сразу сказать, ка­
кой остаток дает это число при делении на 2, на 5 или
на 10, потому что само число и его последняя цифра
при этом дают одинаковые остатки .
Например , число , получившееся у Коли , - 17116
на 2 делится (потому что 6 делится на 2), при делении
на 5 дает остаток 1 (потому что 6 при делении на 5 да­
ет остаток 1), а при делении на 10 дает остаток 6 (по­
тому что 6 при делении на 10 дает остаток 6).
Задача. Какие остатки при делении на 2, на 5
и на 10 дает число 1825?
Еще задача. Можно ли составить число , делящееся
на 5, используя только цифры 1, 3 и 2?
135


Глава первая. Натуральн ые числа
Определять, что на что делится , с помощью послед­
ней цифры , конечно , проще всего . Но этот признак
годится только для деления на 2, на 5 и на 1 о. Для де­
ления, скажем , на 3 он уже не подходит : например ,
13 не делится на 3, а 63 на 3 делится; 1 7 не делится
на 3, а 27 на 3 делится - видно, что последняя цифра
тут ни при чем.
Что же такого особенного в числах 2, 5 и 10? Что род­
нит их между собой? Ответ прост : 2, 5 и 1 О - это единст­
венные (кроме единицы , конечно) делители числа 10,
а мы записываем числа в десятичной системе . А при чем
здесь последняя цифра? Дело в том , что раз 10 делится
на 2, то и любое количество десятков делится на 2. А вся­
кое число складывается из какого-то количества десят­
ков и какого-то количества единиц : в числе 27 - два
десятка и семь единиц; в числе 3898 - триста восемьдесят
девять десятков и восемь единиц; в числе 111 - один­
надцать десятков и одна единица; в числе 1300 - сто
тридцать десятков и нуль единиц; в числе 6 - нуль де­
сятков и шесть единиц . И так как любое число десятков
делится на 2, то все число делится или не делится на 2
в зависимости от того , сколько в нем единиц. Если еди­
ниц нуль - число делится на 2; если единица одна -
число не делится на 2; если единиц две - делится; если
три - не делится , и так далее . А количество единиц
в числе как раз и обозначено его последней цифрой .
Делимость эависит
от послеАней цифры
136


Глава первая. Натуральные числа
I
Задача. Почему делимость на 5 и на 10 тоже зави-
сит только от последней цифры?
I
Число 3 не является делителем числа 10. Поэтому
делимость на 3 зависит не только от последней циф­
ры, но и от других цифр числа.
Делимость натурального числа на 3 и на 9 зависит
от суммы цифр этого числа: число делится на 3 или на
9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится
соответственно на 3 или на 9. Если сумма цифр числа
не делится на 3 или на 9, то остаток при делении это­
го числа на 3 или на 9 совпадает с остатком от деления
на 3 или на 9 его суммы цифр.
Делнмость зависит
от суммы цифр
Например , сумма цифр числа 45620 равна 17, зна­
чит , число 45620 при делении на 3 дает в остатке 2,
а при делении на 9 - остаток 8.
Но и сама сумма цифр может быть достаточно боль­
шим числом , и тогда не так легко проверить, делится
ли оно на 3 или на 9. Например , сумма цифр числа
123456789101 11213141516171819202 122232425262728293031323334
равна 190. Чтобы узнать, делится ли 190 на 3, снова
применим признак - найдем сумму его цифр: 1 + 9 +
+о=10.Ктоневидит,что10приделениина3дает
в остатке 1, может применить признак и еще раз -
найти сумму цифр числа 10: 1 + О = 1. Значит, число 10
при делении на 3 дает в остатке 1; такой же остаток при
делении на 3 дает число 190; следовательно, такой же
остаток при делении на 3 дает и данное число.
137


Глава первая. Натурал ькые 1f,uсла
Задача. Какой остаток дает при делении на 3 чис­
ло, в записи которого семнадцать единиц , девяносто
пять двоек и семь нулей (других цифр нет)? Зависит
ли ответ от того , в каком порядке идут эти цифры?
Еще задача. Ире задали задачу : определить , какой
остаток дает при делении на 9 некоторое число . Листок
с заданием она потеряла, но помнила, что в этом числе
были все десять цифр - и каждая по одному разу. Смо­
жет ли Ира решить задачу?
Когда ковбой Вилл узнал признак делимости на 3,
он решил проведать своего знакомого бармена и отме­
тить это событие . Он потребовал шесть бутылок «( Слез
крошки Мэри» , два хот-дога по 2 доллара 40 центов
каждый и на 30 центов виски. «( С тебя 5 долларов
80 центов » ,- объявил бармен . «( Ты опять?!» - «( Авчем
дело? Эта сумма делится на 2! » - «( Но она не делится
на 3, а должна бы делиться ». - «( Прости , старина, я
не ожидал, что ты и это знаешь» .
с помощью признака делимости на 9 можно прове­
рять не только правильность представленного барменом
счета, но и правильность более сложных вычислений .
138


Глава первая. Натурал ьн,ые ч,исла
Предположим , надо прикинуть, верно ли такое равен­
ство: 5647 + 4762 + 3941 = 14313. Ясно, что , если сло­
жить остатки , которые дают слагаемые при делении
на 9, должно получиться число, дающее при делении
на 9 такой же остаток, что и сумма:
числа
суммы цифр
сумма остатков
224
19 10
5647
4762
3914
178
4
1
8
4+1+8=13
14313
123
Сумма остатков 13, это число при делении на 9 да­
ет остаток 4; а найденная сумма 14313 при делении на
9 дает остаток 3. Значит , эта сумма найдена неверно.
И правда, 5647 + 4762 + 3914 = 14323. Надо заметить,
что , если бы остатки совпали, это бы еще не значило,
что пример решен верно . Число 14332 дает при деле­
нии на 9 остаток 4, хотя не является суммой данных
чисел . Но если остатки не совпадают - пример решен
неверно .
Точно так же проверяются и другие арифметиче­
ские действия . Проверим умножение
3453 3+4+5+3=15 1+5=6
х
-
2807 2+8+О+7=17 1+7=�
24171
6х8=48
+ 27624
6906
4+8=12
1+2=�
9592571 9+5+9+2+5+7+1=38 3+8=11
1+1=2
Ошибка есть : в произведении должен получиться
остаток 3, а не 2. Интересно , что тем же способом
можно найти и то место , в котором совершена ошиб­
ка. Проверим результаты умножения 3453 на отдель­
ныецифры7,8и2.
139


Глава первая. Натурал ькые числа
§.
3453
х
7 7 6х7=42 4+2=6
24171 2+4+1+7+1=15 1+5=§.
Здесь остатки совпали .
3453 6
х
-
-=-__
_
8 � 6х8=48 4+8=12 1+2=�
27624 2+7+6+2+4=21 2+1=�
И здесь остатки совпали.
3453 6
х
-
__
2 � 6х2=12 1+2=3
6906 6+9+О+6=21 2+1=�
И здесь все сходится . Нет ли ошибки в сложении?
24171 §.
+ 27624
�
6906
3 6+3+3=12
9592571 2
1+2=�
Есть ошибка! Значит , мы неверно выполнили сло­
жение . И правда, проверяя сложение, находим , что
сумма равна 9692571.
Может быть , тебе покажется , что проще было бы
проверить результат повторением вычислений . Но де­
ло в том , что при повторении вычислений обычно по­
вторяется и сделанная ошибка . А тут проверка шла
совершенно другим способом.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 очень легко
запомнить. Другие признаки делимости - послож ­
нее . Мы поговорим сейчас о делимости на числа пер­
вого десятка.
Есть ли признак делимости на единицу? Конечно!
Вотон:
ЛЮБОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 1.
140


Глава первая. Натуральные числа
Признаки делимости на 2 и на 3 мы уже знаем .
А как узнать, делится ли число на 4? Можно ли это
узнать по сумме цифр? :Конечно, нет : число 1111
не делится на 4, хотя сумма его цифр равна четырем;
а число 16 делится на 4, хотя сумма его цифр равна се­
ми . Тогда, может быть , делимость на 4 зависит от по­
следней цифры? Тоже нет : 14 не делится на 4, а 36 де­
лится . И это неудивительно . Ведь мы уже знаем, что
по последней цифре можно определить , делится ли
число на какой-нибудь делитель числа 10. А число 4
не является делителем числа 10. Но зато 4 - делитель
следующей разрядной единицы - числа 100. А зна­
чиT' 4 - делитель любого числа , состоящего из сотен
(то есть кончающегося не меньше чем на два нуля :
700, 1 300000, 17098000 и так дал ее) .
Всякое число складывается из какого-то числа сотен
и какого-то числа единиц: в числе 207 - две сотни
и семь единиц; в числе 3898 - тридцать восемь сотен
и девяносто восемь единиц; в числе 112 - одна сотня
и двенадцать единиц; в числе 1300 - тринадцать сотен
и нуль единиц; в числе 6 - нуль сотен и шесть единиц.
И так как любое число сотен делится на 4, то все число
делится или не делится на 4 в зависимости от того ,
сколько в нем единиц сверх целого числа сотен. Иначе
говоря, все дело в том , делится ли на 4 число, записы­
ваемое двумя последними цифрами данного числа.
Данное
Число ,
Делится ли
число
записываемое
данное число
последними
на4
двумя цифрами
207
07=7
нет
3898
98
нет
112
12
да
1300
00 =0
да
6
6
нет
141


Глава первая. Натурал ькые числа
Мы получили признак делимости на 4:
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда
на 4 делится число , записываемое двумя его по­
следними цифрами.
Понятно, что от двух последних цифр зависит де­
лимость не только на 4, но и на любой делитель числа
100. Например , число делится на 25 тогда и только
тогда, когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
I
Задач а. Как сформулировать признаки делимости
на20,на50ина100?
Еще задача. Число 199* делится на 4. Какой может
быть цифра, замененная звездочкой? Тот же вопрос
для числа 20*8 .
I
Пойдем дальше по ряду чисел первого десятка. При­
знак делимости на 5 нам известен . Займемся числом 6.
Так как 6 = 2·3, то признак делимости на 6 должен
быть как-то связан с делимостью на 2 и на 3. Ясно , что
если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.
Ведь,например,216:6=(216:3):2=(216:2):3.Итак,
если число делится на 6, оно должно оканчиваться
на четную цифру (О, 2, 4, 6 или 8), а сумма его цифр
должна делиться на 3.
Задача . Почему число 118 не делится на 6? Почему
число 11 не делится на 6?
I
А правда ли, что если число делится на 2 и на 3, то
оно делится на 6? Вопрос этот не такой простой , как
кажется . Если число делится на два различных чис­
ла, оно вовсе не обязано делиться на их произвед ение.
142


Глава первая. натурал ыf,еe чu сла
Например , число , кратное 6 и кратное 8, не обяза­
тельно будет делиться на 48.
Задача. Придумать число , которое делится и на 6,
и на8,нонеделитсяна48.
Но числа 2 и 3 в этом смысле очень хорошие : если
числоделитсяина2,ина3,тооноделитсяинаих
произведение, на 6. Попробуем разобраться, почему
это так . Предположим, что число а делится и на 2,
и на 3. Разделим его на 3:
а:3=Ь.
Тогдаа=3·Ь.Значит,а =Ь+Ь+Ь.Можетличисло
Ь оказаться нечетным? Нет , не может : если бы Ь было
нечетным, то и сумма Ь + Ь + Ь была бы нечетной,
то есть тогда число а не делилось бы на 2; а оно на 2 де­
лится . Значит , Ь - четное число , поэтому Ь можно
разделить на 2:
Ь:2=с.
Мыполучили, что Ь = с + с.
Атогдаа=Ь+Ь+Ь=с+с+с+с+с+с.
Число а разделилось на 6!
И вот признак делимости на 6:
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда
оно оканчивается на четную цифру, а сумма его
цифр делится на 3.
Задача. Найди наименьшее число , записанное
только единицами и нулями , которое делится на 6.
Следующее число - 7. Признак делимости на него
довольно труден . И его нельзя применить к числам ,
143


Глава первая. Натурал ькые 1f,uсла
меньшим 1000 . Для двузначных и трехзначных чи­
сел делимость на 7 приходится проверять прямым де­
лением . Мы сформулируем этот признак в виде пра­
вила: чтобы узнать, делится ли многозначное число
на 7, нужно отделить от него три знака справа; полу­
чится два числа, одно из которых трехзначное ; затем
от большего из этих чисел надо отнять меньшее ; ис­
ходное число делится на 7 тогда и только тогда, ког­
да полученная разность делится на 7. Вот примеры .
1. Возьмем число 8561. Отдел им от него последние
три знака:
81561.
Мы получ или числа 8 и 561. Вычтем из большего
меньшее : 561 - 8 = 553. Проверим , делится ли полу­
ченная разность на 7. 553 : 7 = 79. Значит , число 856 1
делится на 7.
2. Возьмем число 1001999. Отделим от него послед­
ние три знака:
1О011999.
Мы получили числа 1001 и 999 . 1001 - 999 = 2.
2 на 7 не делится . Значит , число 1001999 не делит­
сяна7.
3. Возьмем число 123456789. Отделим от него по­
следние три знака:
1 234561 789.
Мы получили числа 123456 и 789. 123456 - 789 =
= 122667. Чтобы узнать, делится ли эта разность на 7,
применим признак делимости еще раз :
1221 667.
667 - 122 = 545. 545 : 7 = 77(ост. 6). Значит, число
123456789 на 7 не делится .
I
Задача . Докажи , что шестизначное число , в кото­
ром сотен тысяч столько же, сколько сотен, десятков
144


Глава первая. На mур альн,ые числа
тысяч столько же, сколько десятков , а тысяч столько
же , сколько единиц, делится на 7.
I
Из чисел первого десятка осталось только число 8
(делимость на 9 и на 10 мы уже разобрали). При­
знак делимости на 8 похож на признаки делимости
на2ина4.
2 - делитель числа 10. Делимость на 2 зависит от
одной последней цифры числа .
4 - делитель числа 100. Делимость на 4 зависит от
двух последних цифр числа .
8 - делитель числа 1000 . Делимость на 8 зависит
от тр ех последних цифр числа .
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда
делится на 8 число , записываемое тремя последни­
ми его цифрами.
I
Задача. Какие из чисел от 78 15211 до 7815230 де­
лятся на 8?
Еще задача. Придумай признаки делимости на 125,
на40и на500.
И еще задача. Придумай признак делимости на 16.
Перед нами прошли признаки делимости на числа
первого десятка. Чтобы сформулировать признак де­
лимости на какое-нибудь число, мы пользовались
тем , что оно является делителем хорошего числа:
числа 10 (2, 5, 10), числа 9 (3, 9), числа 100 (4), чис­
ла 1000 (8). А число 7? Чьим делителем оно являет­
ся? Оказывается , признак делимости на 7 получается
из того , что на 7 делится число 1001 . Но число 1001
делится не только на 7. Легко убедиться , что 1001 =
= 7·1 1·13. Значит, число 1001 делится на 7, на 11,
145


Глава первая. Натуральн,ые числа
на 13, на 77, на 91, на 143 и, конечно, на 1001. Про­
верять делимость на каждое из этих чисел можно тем
же способом , что и делимость на 7.
Например , можно доказать этим способом , что
число 13596407 делится на 11:
1359614О7;13596-407=13189.
1з1189;189-13=176.176:11=16.
Но есть и другой признак делимости на 11, проще
этого . С его помощью можно проверять делимость на
11 любых чисел , а не только тех , которые больше 999 .
Чтобы узнать, делится ли число на 11, нужно
1) найти сумму цифр , стоящих на нечетных местах
(на местах единиц, сотен , десятков тысяч и так далее);
2) найти сумму цифр, стоящих на четных местах
(всех остальных цифр);
3) найти разность полученных сумм .
Если эта разность делится на 11, то и число делит­
ся на 11.
Докажем по этому правилу делимость на 11 того
же числа 13596407.
1) Найдем сумму цифр, стоящих на нечетных ме­
стах :
7+4+9+3=23;
2) найдем сумму цифр, стоящих на четных местах :
0+6+5+1=12;
3) найдем разность этих сумм :
23 -12=11.
Так как разность делится на 11, то и само число де­
лится на 11.
А вот простенькое правило делимости на 19: число
делится на 19, если число его десятков , сложенное
с удвоенным числом его единиц, делится на 19. На­
пример,усамогочисла19 1+2 •9 =19.
Использование делимости чисел позволяет пока­
зывать числовые фокусы .
146


Глава первая. Натурал ькые чuсла
Фокус первый. Попроси одного из твоих знакомых
н аписать на листочке бумаги любое трехзначное чис­
ло . Пусть он передаст эту запись другому. Того по­
просите приписать к этому числу такое же число
и передать запись третьему . Пусть третий разделит
полученное шестизначное число на 7 и передаст ре­
зультат четвертому . Пусть четвертый разделит этот
результат на 11 и передаст результат пятому. Пятый
пусть разделит результат на 13 и передаст результат
снова первому . Первый с изумлением обнаружит, что
ему отдали задуманное им число .
Например, если первый напишет число 584, то со-
бытия будут развиваться так :
1-й: 584,
2-й: 584584 ,
3-й: 584584 : 7 = 83512,
4-й: 83512 : 11 = 7592,
5-й: 7592 : 13 = 584.
В этом фокусе удивляет не только то , что получает­
ся первоначальное число. Непонятно и то , почему
«( фокусник » уверен, что неизвестные ему числа не­
пременно будут делиться на 7, на 11 и на 13 - это бы­
вает не так уж часто .
Разгадка в том , что , заменяя число 584 числом
584584, второй участник умножил 584 на 1001:
584584 = 584 • 1001. А 1001 как раз и равно произве­
дению чисел 7, 11 и 13. Так что 3-й, 4-й и 5-й раздели­
ли число (584 • 1001) на 1001, отчего и получился от­
вет 584.
147


rлава первая. Натурал ькые числа
Фокус второй. Попроси товарища записать любое
число , затем найти сумму его цифр , затем вычесть
из числа сумму его цифр , затем в полученной разно­
сти зачеркнуть любую цифру, кроме нуля . Пусть те­
перь он сообщит получившееся число . И ты сразу ска­
жешь , какую цифру он зачеркнул .
Например , он задумал число 59 12, нашел сумму
цифр 17, вычел ее из задуманного числа: 592 1 - 17 =
= 5904, зачеркнул четверку и сообщил результат 590.
Ты складываешь 5 + 9 + О = 14 и сообщаешь, что за­
черкнута цифра 4.
Разгадка фокуса в том , что задуманное число и
сумма его цифр дают одинаковые остатки при деле­
нии на 9. Значит , их разность делится на 9, поэтому
сумма цифр этой разности делится на 9. В нашем при­
мере сумма незачеркнутых цифр 14 и ближайшее
большее число, делящееся на 9,- 18. Значит , зачерк­
нута цифра 4. А как быть , если сообщенное число уже
делится на 9? Тогда зачерк нута девятка, так как нуль
зачеркивать нельзя .
Задачи
1. Можно ли разложить 11 орехов на 2 кучки так ,
чтобы в каждой кучке число орехов было нечетным?
2. Можно ли разложить 11 орехов на 2 кучки так ,
чтобы в каждой кучке число орехов было четным?
3. Можно ли разложить 30 орехов на 3 кучки так ,
чтобы в каждой кучке число орехов было нечетным?
4. Число 82** делится на 90. Найди частное .
148


Глава первая. натурал ыf,еe ч,исла
5. Кассир подсчитал стоимость 3 кг мяса, 1 кг сыра
за 30 рублей и 9 пачек мороженого . У него получилось
127 рублей. Докажи, что кассир ошибся .
6. Сумма двух чисел нечетна. Может ли их произ­
ведение быть нечетным?
7. Требуется узнать, делится ли на 3 сумма чисел
28, 31, 61, 92 и 120. Можно ли это сделать, не склады­
вая сами числа?
8. К двузначному числу прибавили 5 - сумма ока­
залась кратной пяти . От того же числа отняли 3 -
разность оказалась кратной трем . Когда это же число
разделили на 2 - частное оказалось кратным двум .
Что это за число?
9. Коля и его бабушка празднуют свой день рожде­
ния в один и тот же день . Мама сделала в этот день
торт , а бабушка написала на нем кремом число 1 О -
столько исполнилось Коле. Тогда Коля приписал тем
же кремом к числу 10 справа и слева по одной цифре ,
так что получилось четырехзначное число , делящееся
на 72,- на возраст бабушки . Какое число оказалось
на торте?
149


rлава первая. Натуралькые числа
10. Какое число при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
и 1 О каждый раз дает в остатке единицу?
11. Старинная китайская задача. Имеются вещи .
Число их неизвестно . Если считать их тройками, то
остаток 2; если считать пятерками, то остаток 3; если
считать их семерками , то остаток 2. Спрашивае тся,
сколько вещей?
12. Две задачи из «( Арифметики » л. Магницкого .
1. Найти число, которое при делении на 2 дает
в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при де­
лении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает
в остатке 4.
2. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней , со же­
ною выпьет тое же кадь в 10 дней , и ведательно знать,
в колико дней жена его особо выпьет тое же кадь.
13. Какое наименьшее число обладает следующи­
ми свойствами : оно записывается только цифрами 3
или 7; оно делится на 3 и на 7; сумма его цифр делит­
сяна3ина7?
14. Какое наименьшее число в сумме с числом 7 де­
лится на 7, в сумме с числом 19 делится на 19, после
уменьшения на 1 7 делится на 17, а после деления на
11 делится на 11?
15. Найди наименьшее число, которое при делении
на2,на3,на4,на5ина6даетостаток1,ана7делит­
ся без остатка.
16. Найди остаток от деления на 9 произведения
все.х последовательных чисел от 9991 до 9998.
150


Глава первая. Натуральн,ые числа
17. Математический фокус . Дай товарищу две таб­
лички и попроси написать на одной четное число, а на
другой - нечетное . Пусть он по секрету от тебя поло­
жит одну табличку в левый карман , а другую - в пра­
вый. Фокус состоит в том , что ты берешься угадать,
в каком кармане лежит четное , а в каком нечетное чис­
ло. Для этого твой товарищ должен только умножить
на 2 содержимое левого кармана и прибавить к резуль­
тату содержимое правого кармана. Если он сообщит
четный результат , значит, в левом кармане число не­
четное , а если он сообщит нечетный результат , то в ле­
вом кармане число четное . Объясни этот фокус .
18. Какое наименьшее число при делении на любое
число первого десятка дает остаток на 1 меньше, чем
делитель?
19. Если от задуманного трехзначного числа от­
нять 7 , то разность разделится на 7 , если от того же
числа отнять 8 , то оно разделится на 8, а если отнять
9 , оно разделится на 9. Какое число задумано?
20. Если от трехзначного числа отнять 27, оно раз­
делится на 27, а если к нему прибавить 37, оно разде­
лится на 37. Что это за число?
21. Зная, что 37·3 = 111, найди 37· 27, не умно­
жая в столбик .
22. Число 4876391520 интересно не только тем ,
что в его записи использованы все 10 цифр , но и тем ,
что оно делится на все числа от 1 до 18. Чтобы убе­
диться в этом , достаточно проверить, что 4876391520
делится всего на семь чисел . Что это за числа?
151


Глава первая. Натуральн,ые числа
23. В кружочках написали числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12
и от каждого числа провели стрелки ко всем его дели­
телям . Но потом все числа и часть стрелок стерлись .
Как выглядела вся схема?
о
24. Проверь признак делимости трехзначного чис­
ла на 8: на 8 делятся все те и только те трехзначные
числа, у которых двузначное число , образованное ци­
фрами сотен и десятков , сложенное с половиной чис­
ла единиц, делится на 4.
25. Расшифруй ребус , в котором произведение
кратно 9:
4***
х ***
****
+ ****
****
*****00
Простые числа
Можно ли записать в виде формулы, что число 350 де­
лится на число 14? Чтобы это сделать, разделим 350
на 14:
152


Глава первая. Наmурал ькые ч,исла
350:14=25.
Это равенство можно переписать так :
350= 14·25
Точно так же можно записать в виде формулы, что
число а делится на число Ь. Разделим а на Ь:
а:Ь=n, или
а=Ьn.
у нас получилось, что если а делится на Ь, то суще­
ствует такое натуральное число n, что а = Ьn. Конеч­
но, можно было бы остановиться на записи а : Ь = n.
Формула а = Ьn полезна тем , что она выражает а через
Ь - кратное через делитель.
Существует ли такое натуральное число , которое
не имеет ни одного делителя? Таких чисел нет : всякое
натуральное число делится само на себя , а значит,
имеет хотя бы один делитель - само себя : 11 имеет
делителем число 11, число 347 имеет делителем число
347.
Кроме того , каждое число имеет делителем число
1, так как на 1 делится любое число.
Из сказанного получается , что каждое натураль­
ное число имеет два делителя : само себя и 1. Эти два
делителя могут совпадать - если само число равно 1.
у числа 1 только один делитель - число 1. Но любое
натурал ьное число, кроме 1, имеет хотя бы два дели­
теля : само себя и единицу. Например , число 2 имеет
два делителя: 1 и 2, число 3 - два делителя: 1 и 3,
а вот число 4 имеет три делителя: 1, 2 и 4.
Натуральное число, которое имеет ровно два де­
лителя, называется пр ост ым числом .
Натуральное число, которое имеет больше двух
делителей, называется составным числом .
153


Глава первая. Натурал ьн,ые числа
Число 1 - не простое и не составное , так как у не­
го всего один делитель .
Как узнать , простое или составное число 163? Для
этого надо выяснить , имеет ли 163 другие делители,
кроме чисел 1 и 163. Если такие делители имеются, то
они находятся среди чисел 2, 3, 4, 5, ..., 160, 161, 162,
так как 163 не может делиться на числа, большие,
чем оно само.
Проверять, делится ли 163 на каждое из всех этих
чисел , было бы слишком долго . Но оказывается , это
и не нужно . А достаточно сделать всего 5 проверок .
Сейчас мы убедимся в этом .
Самое маленькое число , на которое могло бы де­
литься 163, - число 2. Но на 2 число 163 не делится
(его последняя цифра - нечетная ).
Не может 163 делиться и нина какое число , деляще­
еся на 2, например на 42. Ведь если бы 163 делилось на
42, его можно было бы записать в виде : 163 = 42n.
Но42 = 2·21, значит, было бы163 = (2· 21)n. А тогда
было бы 163 = 2(21n). Но это значило бы , что 163 рав­
но произведению числа 2 на натуральное число 21n,
то есть 163 делится на 2, а это неверно .
Теперь ясно , что 163 не делится на четные числа:
на2,4,6,8, . .., 160,162.
Вычеркнем эти числа из нашего списка .
Первое оставшееся в списке число - 3. 163 на 3
не делится (сумма его цифр равна 10). Но тогда оно
не делится ни на одно из чисел , делящихся на 3: на 3,
6, 9, ... , 156, 159, 162.
Вычеркнем эти числа из нашего списка.
Первое оставшееся в списке число - число 5. 163
не делится на 5 (его последняя цифра не делится на 5).
Значит , 163 не делится ни на одно число, делящееся
на 5. Вычеркнем из списка и эти числа.
Теперь в списке остались только такие числа:
154


Глава первая. Натуральные числа
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107,
109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 147,
149, 151, 157, 161.
Все остальные числа от 2 до 162 делятся либо на 2,
либо на 3, либо на 5.
Проверим делимость числа 163 на первое из остав­
шихся чисел - на 7:
163:7 =23(ост. 2).
Итак , 163 на 7 не делится . Значит , не делится оно
и на любое число , делящееся на 7. Вычеркнем все эти
числа из списка.
Теперь проверим делимость 163 на первое оставше­
есячисло-на11.163на11неделится(3+1=4,
6 - 4 = 2, 2 на 11 не делится). Поэтому 163 не делится
и на все числа, делящиеся на 11. И их вычеркнем.
В списке останутся: 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47,53,59,61,67,71,73, 79,83,89,97,101, 103,107,
109, 113, 127, 131, 137, 139, 147, 149, 151, 157.
Мы уже выполнили 5 про верок и установили , что
163неделитсяна2,на3,на5,на7ина11.
Докаж ем , что проверять, делится ли 163 на остав­
шиеся в списке числа, уже не надо . Подумаем , какое
число получилось бы в частном , если бы 163 раздели­
лось на какое-нибудь из оставшихся чисел . Возьмем
самое маленькое из них - число 13. Тогда частное
должно быть меньше числа 13, потому что 13 ·13 уже
больше, чем 163. Но ни одно число , меньшее 13,
не является делителем числа 163 - мы это провери­
ли . Тем более не стоит проверять числа, большие 13.
Значит, проведенные нами пять проверок доказы­
вают, что число 163 не имеет никаких делителей,
кроме чисел 1 и 163. Число 163 - простое .
155


Глава первая. Натурал ькые "исла
I
Задача. Как с помощью двух проверок показ ать ,
что число 19 - простое ? Как с помощью трех прове­
рок показать, что число 47 - простое?
Простыми И составными числами очень интересо­
вались в Древней Греции . Греческий математик Эра­
тосфен , живший в Ал ександрии (между прочим, он
заведовал там знаменитой библиотекой) в 111 веке
до нашей эры , придумал способ отыскания простых
чисел , которым пользуются до сих пор . Сейчас име­
ются таблицы , содержащие многие тысячи простых
чисел . Эти таблицы составлены с помощью современ­
ных компьютеров, но способ вылавливания простых
чисел остался тем же, какой был придуман Эратосфе­
ном . Этот способ называется решетом Эратосфена. По­
кажем его действие на примере такой задачи: нужно
найти все простые числа в первой сотне .
Запишем все натуральные числа от 2 до 100. Чис­
ло 1 не пишем , потому что оно не простое .
2345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100
Первый шаг: число 2 - простое (у него ровно два
делителя : 1 и 2); все остальные числа, кратные
двум,- составные ; вычеркиваем их :
156


rлава первая. Натуральн, ые числа
23.4'"5Ж7Z9нf
11и:13М15.иr17.ж19�
21Х23..2<25�27$29..жr
31м33М35�37..38"39..A(f
41М43М45.ю'47А8"49..&о'
51И53и'55�57$59�
61М63М65..8б'67$69Л(J
71:п-73;;<75%77$79..
.8(f
81..м-83м85.i6"87..28"89..-90'
91j)2'"93J)-r95W97%99uю'
у нас остались следующие числа:
2
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
Второй шаг: первое из оставшихся чисел - число
3 - простое (оно не делится на меньшие числа, кроме
1, иначе мы бы его уже вычеркнули); все остальные
числа, кратные трем , - составные ; вычеркиваем их:
2
3
5
7
А
11
13
%
17
19
%
23
25
Ж
29
31
..3«'
35
37
y.f
41
43
.А5'
47
49
Ж
53
55
М
59
61
JИr
65
67
jИf
157


Глава первая. Натуралькые ч.исла
71
73
%
77
79
М
83
85
М
89
91
5ж"
95
97
)Иf
У нас остались числа :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
25
29
31
35
37
41
43
47
49
53
55
59
61
65
67
71
73
77
79
83
85
89
91
95
97
Третий ш аг: первое из оставшихся чисел - число
5 - простое (оно не делится на меньшие числа, кроме
1 , иначе мы бы его уже вычеркнули); все остальные
числа, кратные пяти , - составные ; вычеркиваем их :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
.25'
29
31
�
37
41
43
47
49
53
;т
59
61
�
67
71
73
77
79
83
�
89
91
й5'
97
Остались числа:
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
158


Глава первая. Натуральн,ые числа
31
37
41
43
47
49
53
59
61
67
71
73
77
79
83
89
91
97
Четвертый шаг: первое из оставшихся чисел -
число 7 - простое (оно не делится на меньшие чис­
ла, кроме 1, иначе мы бы его уже вычеркнули);
все остальные числа, кратные семи , - составные; вы-
черкиваем их :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
.и
53
59
61
67
71
73
:r
r
79
83
89
М
97
Осталось :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Пятый шаг: первое из оставшихся чисел - число
11 - простое ; все остальные числа, кратные одиннад -
159


rлава первая. Натуральн ые "Числа
цати ,- составные . Посмотрим , остались ли у нас еще
невычеркнутые числа, кратные одиннадцати . В пер­
вой сотне следующие числа кратны одиннадцати :
11 - простое число ;
22 = 2 • 11 - вычеркнуто на первом шаге
(делится на 2);
33 = 3 • 11 - вычеркнуто на втором шаге
(делится на 3);
44 = 4 • 11 - вычеркнуто на первом шаге
(делится на 2);
55 = 5 ·11 - вычеркнуто на третьем шаге
(делится на 5);
66 = 6 • 11 - вычеркнуто на первом шаге
(делится на 2);
77=7 •11
-
вычеркнуто на четвертом шаге
(делится на 7);
88 = 8 • 11 - вычеркнуто на первом шаге
(делится на 2);
99 = 9 • 11 - вычеркнуто на втором шаге
(делится на 3).
Так что вычеркивать нам уже больше нечего . Пер­
вое число, которое следовало бы вычеркнуть , - это
даже не 10 ·11 (все четные числа уже вычеркнуты),
а 11 ' 11, то есть 121. Но это число уже выходит из на­
шего промежутка: 121 > 100.
Но у нас еще осталось очень много чисел , кроме 11.
Могут ли среди них быть составные? Предположим,
например , что число 83 - составное . Какие у него мо­
гут быть делители? Если бы оно делилось на какое-ни­
будь число , меньшее одиннадцати , мы бы его давно
вычеркнули. А если бы у него были только делители,
которые не меньше одиннадцати, оно само было бы не
меньше,чем11'11,тоестьчем 121.Но83<100итем
более 83 < 121. Значит , число 83 не может быть со­
ставным, оно простое . И все числа, оставшиеся невы­
черкнутыми, - простые .
160


Глава первая. Натурал ьн,ые числа
После четырех вычеркиваний в табл ице остались
все простые числа первой сотни и не осталось никаких
других чисел :
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Простые числа первой сотни - это 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89и 97- всего 25чисел.
Вопрос : а если бы нам нужно было найти простые
числа не между числами 1 и 100, а между числами 1 и
50 - сколько бы шагов понадобилось? Как ни стран­
но, столько же! Правда, на четвертом шаге нам оста­
лось бы вычеркнуть всего одно число : 7·7 = 49. А вот
если искать простые числа от 1 до 40 - понадобится
на один шаг меньше : мы вычеркнем числа, кратные
двум , кратные трем и кратные пяти . Числа, кратные
семи, вычеркивать уже не придется .
I
Задача. Если проверять делимость на 2, на 3 и на 5,
то самое большое число , о котором можно точно ска­
зать, что оно простое , - это 4 7. Для этого надо приме­
нить решето Эратосфена к промежутку от 1 до 48. Ес­
ли проверять еще и делимость на 7, то можно взять
промежуток от 1 до 120, и тогда самое большое про­
стое число , до которого мы доберемся , будет 113. А до
какого самого большого простого числа можно до­
рраться , если проверять еще и делимость на 11?
6-2442
161


Глава первая. Наmур алькые 'tuсла
и вообще , прекращать вычеркивания надо в тот мо­
мент , когда квадрат первого из оставшихся чисел (его
произведение самого на себя) выйдет за пределы наше­
го промежутка. Например , если взять промежуток от
1 до 200 - понадобится шесть шагов: мы вычеркнем
числа, кратные двум , трем , пяти , семи , одиннадцати и
тринадцати ; первое из оставшихся чисел - 17, так как
17 ·17 = 289, а это число больше, чем 200.
I
I
Задача. Проверить с помощью решета Эратосфена,
что среди чисел от 1 до 200 простых чисел 46.
Если же взять промежуток от 1 до 1000, понадобит­
ся одиннадцать шагов : вычеркиваются числа, кратные
двум , треМ , ПЯТИ , сеМи , одиннадцати , тринадцати , сем­
надцати, девятнадцати, двадцати трем , двадцати девя­
ти и тридцати одному . Не так уж много времени требу­
ется, чтобы найти все простые числа первой тысячи!
Вот их список .
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 1000
23
571113171923293137
414347535961677173798389
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
162


Глава первая. Натурал ьные ч.исла
Любое число , кроме 1,- либо простое , либо состав­
ное . Но оказывается, что всякое составное число мож­
но разложить на простые множители - записать его
в виде произведения простых чисел .
Например,4 =2·2,6 =2·3,8 =2·2·2,9 =3·3,
10 = 2·5. Конечно , можно записать и так : 10 = 5·2.
Но обычно простые множители записывают в поряд­
ке возрастания : от меньших к большим .
Если нужно разложить на простые множители
большое число , пользуются таблицей простых чисел
и признаками делимости . Для примера возьмем чис­
ло 47580.
Первое простое число в табл ице - это 2. Число
47580 делится на 2 (оно оканчивается четной циф­
рой):
47580 : 2 = 23790, а значит , 47580 = 2·23790.
Теперь посмотрим на число 23790. Оно делится на
2 (оно оканчивается четной цифрой):
23790 = 2 · 11895, а значит , 47580 = 2·2· 11895.
Число 11895 уже не делится на 2 (оно оканчивается
нечетной цифрой). Посмотрим, делится ли оно на сле­
дующее простое число - на 3. Применим признак де­
лимостина3:1+1+8+9+5=24,2+4=6,6делит­
ся на 3. Значит , 11895 делится на 3:
11895 = 3·3965, а значит, 47580 = 2·2·3·3965.
3965уженеделитсяна3•3+9+6+5=23,2+3=
= 5). Следующее простое число - 5. 3965 оканчивает­
ся цифрой 5, поэтому оно делится на 5 :
3965 = 5·793, поэтому 47580 = 2·2·3·5·793.
793 не делится на 5: оно оканчивается цифрой 3.
Следующее простое число - 7 . 793 и на него не де­
лится . Может быть , 793 - простое число? Нет, в таб­
лице простых чисел его нет . Поэтому продолжаем
проверку.
163


Глава первая. Натурал ьные числа
Следующее простое число - 11 . Вспомним при­
знакделимостина11:3+7=10;10-9 =1;1на11
не делится . Значит , 793 не делится и на 11. Следую­
щее простое число - 13 .
_
793 l!.L
78 61
13
13
О
Ура, разделилось! Оказывается ,
793 = 13 · 61, а значит, 47580 = 2·2·3·5·13·61.
Заглядываем в таблицу простых чисел - и видим,
что число 61 - простое . Работа закончена . Ее приня­
то оформлять так :
47580
2
23790
2
11895
3
3965
5
47580=2·2·3·5·13 · 61.
793 13
61 61
1
Конечно, не обязательно раскладывать это чис­
ло на простые множители именно в таком порядке .
Например , можно заметить , что 47580 = 10 · 4758;
10 = 2·5, поэтому достаточно разложить на простые
множители число 4758:
4758
2
2379
3
47580=2·5·2·3·13·61
793 13
61 61
1
Если теперь переписать множители в порядке воз­
растания , то получим тот же результат : 47580 =
=2·5·2·3·13·61.
164


Гл ава первая. На mурал ькые числа
Задача. Разложи на простые множители числа:
120, 175, 343.
I
Всякое число можно представить в виде суммы еди­
ниц , при этом каждое слагаемое дальше в сумму уже
не раскладывается (если потребовать, чтобы среди сла­
гаемых не было нулей) . Точно так же всякое составное
число можно представить в виде произведения про­
стых чисел , при этом каждый множитель дальше
в произведение уже не раскладывается (если потребо­
вать, чтобы среди множителей не было единиц). Про­
стые числа - это как бы кирпичики , из которых мож­
но построить любое составное число . Возможно , их
поэтому и называют простыми . Хотя изучение про­
стых чисел - одна из самых сложных областей в мате­
матике . Начать с того , что их расположение в ряду на­
туральных чисел не подчиняется никакому порядку.
Четные числа идут через одно , нечетные - тоже . Чис­
ла, кратные пяти, идут через четыре числа. Числа­
квадраты(l=1·1;4=2·2;9==3·3;16=4·4и так
далее) тоже идут в определенном порядке :
1;
4=1+3;
9=4+5;
16=9+7;
25=16+9,-
вообще, чтобы получить следующий квадрат , надо
к предыдущему прибавить очередное нечетное число .
А вот простые числа располагаются в числовом ряду
как хотят . Ну конечно , они не могут стоять рядом, ес­
ли только это не пара 2 и 3. Ведь из двух соседних чи­
сел одно обязательно четное , а единственное четное
простое число - это 2. Но во всем остальном - пол­
ная свобода. Простые числа могут стоять через од ­
но - тогда их называют близнецами : это 3 и 5, 5 и 7,
165


Глава первая. Натурал ькые чuсла
11и 13, 17и 19, 29 и 31 и так далее. Близнецов разде­
ляет только одно составное число. Их легко обнару­
жить в таблице простых чисел . Но из той же таблицы
видно , что числа 113 и 127 отделены друг от друга це­
лой чертовой дюжиной - тринадцатью составными
числами . Оказывается , в числовом ряду можно найти
отрезок любой длины , сплошь заполненный состав­
ными числами . Только представить себе : миллионы ,
миллиарды подряд идущих составных чисел . Понево­
ле покажется , что простых чисел больше не будет .
Может быть, они когда-нибудь кончатся? Как бы не
так ! Еще великий древнегреческий математик Евк­
лид , современник Эратосфена, тоже живший в Ал ек­
сандрии, доказал , что никогда они не кончатся . Какое
бы простое число мы ни взяли , утверждает Евклид ,
найдется простое число еще больше. Это значит, что
простых чисел бесконечно много .
Поиск простых чисел - дело очень долгое даже
для современных компьютеров . Ведь любое нечетное
число , не оканчивающееся пятеркой , может оказать­
ся простым и должно быть просеяно через решето
Эратосфена. Если число не является простым , через
какое-нибудь отверстие в решете оно обязательно
«( провалится »: разделится не на 3 - так на 7, не на
7 - так иа 11 и так далее . На дне решета остаются
только те числа, которые ни на что , кроме себя
и единицы , не делятся ,- простые. Ясно , что чем
больше число , тем больше проверок должен произвес­
ти компьютер . Так было, например , выяснено , что
простым является вот такое число : 2862 43 - 1. Чтобы
найти его , нужно перемножить восемьдесят шесть ты­
сяч двести сорок три двойки и от произведения отнять
единицу . В записи этого числа 25962 цифры . И оно
найдено с помощью все того же древнего решета!
Попробуем представить себе , насколько громадно
это число . Для этого поговорим о числе , которое неиз-
166


Глава первая. Натуралькые числа
меримо меньше : чтобы получить его , надо перемно­
жить всего-навсего 64 двойки и отнять от произведе­
ния единицу . В записи этого числа всего 20 цифр: оно
равно 18 446 744 073 709 551 615. Разумеется , это
число не является простым - это ведь сразу видно!
Но сейчас нам это неваж но : мы хотим только попро­
бовать вообразить себе его величину . Это число часто
называют «шахматным » и связывают с легендой
об изобретении шахмат . Вот как выглядит эта леген­
да в изложении Якова Исидоровича Перельмана.
Шахматы - одна из самых древних игр . Она суще­
ствует уже многие века, и неудивительно, что с нею
связаны различные предания , правдивость которых ,
за давностью времени, невозможно проверить. Вот од­
на из этих легенд . Чтобы понять ее, не нужно уметь
играть в шахматы , а достаточно знать , что эта игра
происходит на доске , разграфленной на 64 клетки.
Шахматная игра была придумана в Индии мудре­
цом по имени Сета, и, когда индусский царь Шерам
познакомился с нею, он был восхищен . Царь прика­
зал позвать изобретателя игры , чтобы лично награ­
дить его .
-
Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрас­
ную игру, которую ты придумал , - сказал царь. -
Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты по­
лучишь ее .
Мудрец поклонился и ответил :
-
Велика доброта твоя , повелитель. Но дай срок
обдумать ответ . Завтра, по зрелом размышлении, я со­
общу тебе мою просьбу.
167


Глава первая. Натуральн ые ",uела
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням
трона, он удивил царя скромностью своей просьбы .
-
Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать
мне за первую клетку шахматной доски одно пшенич­
ное зерно .
-
Простое пшеничное зерно? - изумился Шерам .
-
Да, повелитель. За вторую клетку прикажи вы-
дать 2 зерна, за третью 4, за четвертую 8, за пятую 16,
за шестую 32...
-
Довольно, - с раздражением прервал его царь . -
Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски , соглас­
но твоему желанию : за каждую вдвое больше предыду­
щей . Но знай , что просьба твоя недостойна моей щедро­
сти . Прося такую ничтожную награду, ты непочтитель­
но пренебрегаешь моею милостью . Ступай . Слуги мои
вынесут тебе твой мешок с пшеницей .
Сета с улыбкой поклонился , покинул залу и стал
дожидаться у ворот дворца.
За обедом Шерам вспомнил об изобретателе шах­
мат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета
свою жалкую награду .
-
Повелитель, - ответил ему приближенный, -
приказание твое исполняется. Придворные математи­
ки исчисляют число следуемых зерен .
Царь нахмурился . Он не привык , чтобы повеления
его исполнялись так медлен но .
Вечером , отходя ко сну , Шерам еще раз осведомил­
ся , давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул
ограду дворца.
168


rлава первая. На туралькые чuсла
Повелитель, - ответили ему, - математики
твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета
закончить подсчет .
-
Почему медлят с этим делом? - гневно восклик­
нул царь. - Завтра, прежде чем я проснусь, все до по­
следнего зерна должно быть выдано Сете . Я дважды не
приказываю .
Утром царю доложили, что старшина придворных
математиков просит выслушать важное донесение .
Царь приказал ввести его .
-
Прежде чем скажешь о своем деле ,- объявил
Шерам,- я желаю услышать, выдана ли , наконец ,
Сете та ничтожная награда, которую он себе назна­
чил .
-
Ради этого я и осмелился явиться перед тобой
в столь ранний час , - ответил ученыЙ .- Мы добросо­
вестно исчислили все количество зерен , которое же­
лает получить Сета. Число это так велико ...
-
Как бы велико оно ни было, - надменно пере­
бил царь, - житницы мои не оскудеют . Награда обе­
щана и должна быть выдана ...
-
Не: в твоей власти , повелитель, исполнять подоб­
ные желания . Во всех амбарах твоих нет такого числа
зерен , какое потребовал Сета . Нет его и в житницах
целого царства. Не найдется такого числа зерен и на
всем пространстве Земли . И если желаешь непремен­
но выдать обещанную награду , то прикажи превра­
тить земные царства в пахотные поля , прикажи осу­
шить моря и океаны, прикажи растопить льды и сне­
га, покрывающие далекие северные пустыни . Пусть
все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей .
И все то , что родится на этих полях , прикажи отдать
Сете . Тогда он получит свою награду.
С изумлением внимал царь словам ученого .
-
Назови же мне это чудовищное число , - ска­
зал он.
169


Глава первая. Натурал ьн,ые числа
-
Восемнадцать квинтиллионов четыреста со­
рок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре
триллиона семьдесят три миллиарда семьсот де­
вять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча
шестьсот пятнадцать , о повелитель!
Такова легенда . Действительно ли случилось то ,
что здесь рассказано , неизвестно. Но награда, о которой
говорит предание , должна была выразиться именно
таким числом . В этом можно убедиться терпеливым
подсчетом .
Начав с единицы, нужно сложить числа 1, 2 , 4, 8
и так далее . Результат 63-го удвоения покажет ,
сколько зерен причиталось изобретателю за 64-ю
клетку доски. Сложив найденные шестьдесят четыре
числа, мы и найдем этот результат :
18 446 744 073 709 551 615.
Можно доказать , что это же число получится, если
перемножить 64 двойки и отнять от результата едини­
цу:264-1.
Чтобы представить себе всю огромность этого чис­
лового великана, прикинем , какой величины амбар
потребовался бы для вмещения подобного количества
зерен . Известно , что кубичес кий метр пшеницы вме­
щает около 15 миллионов зерен . Значит, награда
шахматного изобретателя должна была занять объем
примерно в 12 000 000 000 000 кубических метров ,
или 1 2 000 кубических километров . При высоте амба­
ра 4 метра и ширине 1 О метров длина его должна бы­
ла бы составить 300 000 000 километров - вдвое
больше расстояния от Земли до Солнца!
Шерам не в состоянии был выдать подобной награды .
Но он легко мог бы освободиться от столь обремени­
тельного долга . Для этого нужно было лишь предло­
жить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю
причитающуюся ему пшеницу.
170


Глава первая. Натурал ькые числа
в самом деле : если бы Сета работал непрерывно день
и ночь , отсчитывая по одному зерну в секунду, он за ми­
нуту отсчитал бы 60 зерен , за час 60 ·60 = 3600 зерен,
а за сутки 3600 ·24 = 86400 зерен . Чтобы отсчитать
один миллион зерен , потребовалось бы более 10 суток
непрерывного счета (раздел ите на микрокалькуляторе
1000000 на 86400, и вы получите 11,574074 - более
11,5 суток). Один кубический метр (около 15 миллио­
нов зерен) Сета отсчитал бы примерно за полгода.
За год - 2 кубических метра . В кубическом киломе­
тре - миллиард кубических метров , поэтому на от­
счет одного кубического километра потребовал ось бы
полмиллиарда лет! А требуется 12000 кубических ки­
лометров... Так что, даже посвятив этому делу всю
свою жизнь, Сета получил бы лишь ничтожную кру­
пицу потребщшнной им награды . На это не хватило
бы даже времени жизни нашей Земли : по мнению
ученых , она существует всего-навсего около трех
миллиардов лет .
Вот так рассказал эту легенду я. и. Перельман
в своей книге «Живая математика ». Эта его книга,
а также «Занимательная арифметика », «Заниматель­
ная геометрия » и другие недавно снова изданы. Очень
советуем их почитать .
Теперь уже понятно , что если так огромно шахмат­
ное число, равное 264 - 1, то простое число 286243 - 1 во­
обще трудно себе представить. И все-таки существует
простое число, еще большее, чем 286 243
-
1. Чтобы до­
казать это , перемножим все простые числа от 2
до 2 86243 - 1 и, обозначив это произведение буквой р,
прибавим к нему 1:
р+1=2 •3 •5 •7 •11•13• ... • (286243
-
1)+ 1.
Число Р больше каждого из перемноженных про­
стых чисел и делится на любое из них . Поэтому число
р + 1 тоже больше каждого из простых чисел от 2
171


Глава первая. НаmураЛЬJf,ые числа
до 286243 - 1, но оно не делится ни на одно из них (при
делении на любое из них дает в остатке единицу). Чис­
ло р + 1 может оказаться либо простым, либо состав­
ным . Если оно простое , то оно и есть простое число
большее , чем 286243 - 1. Если же оно составное , то его
можно разложить на простые множители, среди кото­
рых нет ни одного из простых чисел от 2 до 2862 43 - 1
(ведь ни на одно из них число р + 1 не делится!). А зна­
чит , и в этом случае существует простое число боль­
шее, чем 286243 - 1.
Именно таким способом доказал великий Евклид
в 111 веке до нашей эры бесконечность ряда простых
чисел .
Задачи
1. Сколько существует четных простых чисел?
Сколько существует простых чисел , кратных числу
17? А кратных числу 18?
2. Расшифруй равенство * + 9* + * = *0*, в кото­
ром слагаемые - простые числа.
3. Есть только два таких простых числа, у которых
их сумма и разность - тоже простые числа. Что это
за числа? Более трудный вопрос : почему нет других
таких чисел ?
4. В каких десятках первой сотни имеется ровно
три простых числа?
5. Есть ли в первой сотне такой десяток , в котором
ровно одно простое число?
6. Четырехзначное число , у которого все цифры
одинаковы, имеет ровно два простых делителя . Что
это за число?
7. Сколько различных делителей у числа 6? У чис­
ла 7? У числа 8? У числа 9? У числа 23.34?
8. Может ли сумма трех последовательных нату­
ральных чисел быть простым числом? А четырех ?
172


Гл ава первая. На турал ьн, ые числа
9. К двузначному числу приписали такое же число .
Может ли получившееся четырехзначное число быть
простым?
1 о. Какое двузначное простое число при умноже­
нии на 9 дает в произведении трехзначное число, за­
писываемое одинаковыми цифрами?
11. Докажи, что остаток от деления простого числа
на 30 - либо простое число, либо 1.
12. Числа 3, 5 и 7 - три последовательных нечет­
ных простых числа. Существует ли еще такая тройка
чисел ?


Глава вторая
Дроби
Дроби с одинаковыми
знаменателями
о сих пор мы говорили о числах ,
с помощью которых считают пред­
меты:1,2,3,4итакдалее.Это-
натуральные числа.
Но бывает , что предмет делят на
части .
Вот два разбойника делят добы­
чу пополам . Каждый говорит: дай мне мою половину.
А если бы разбойников было три , каждый требовал
бы себе свою треть.
Половина и треть - это дроби . Записываются они
так . Сначала ставится черта дроби . Потом пишутся два
числа: числитель выше черты дроби и знаменатель ни­
же черты дроби . Знаменатель показывает, на какое
число равных частей разделен тот или иной предмет,
а числитель - сколько таких частей берется .
Например , половина записывается так : !. Здесь
знаменатель 2 показывает, что разбойники делят до­
бычу на две равные части . А числитель 1 показывает,
что каждый разбойник может взять себе одну такую
часть .
Точно так же ! - это одна треть - часть, кото­
рую может взять себе каждый разбойник , если добы­
чу делят на троих. Заметим , что если один разбойник
возьмет себе ! добычи, то остальным двум останутся
две трети : i,
и они будут делить их пополам , по !
каждому .
174


Глава в т орая. Дроби
Как двоим разбойникам разделить добычу попо­
лам , чтобы никто не обижался на другого? Это можно
сделать так : один делит на две такие части , что он
согласен взять себе любую из них , а другой выбирает
ту часть, которая ему больше понравилась .
А как разделить добычу между тремя разбойника­
ми? Эта задача посложнее.
Задача. Подумай , как разделить добычу между
тремя разбойниками , чтобы никто не обижался на
других.
Числа изображаются точками накоординатной пря­
мой . Чтобы изобразить натуральное число 5, нужно от­
ложить от нуля вправо пять единичных отрезков :
I
О
I
1
I
5
Откладывая от нуля вправо целое число единич­
ных отрезков , можно изобразить любое натуральное
число : отложим 39 отрезков - получим число 39, от­
ложим 9999 отрезков - получим число 9999 . Но на
прямой очень много точек , которые не и з ображают
никаких натуральных чисел . Например , точки А, В и
С на этом рисунке:
I
О
А
I
1
4
в
I
.3.
4
I
1
с
I
Q
4
Точка А получилась так : единичный отрезок разде­
лили на четыре равные части и взяли одну такую
часть . Поэтому точка А изображает число, которое
можно записать так : t.
Точка В изображает число i, так как единицу раз­
делили на четыре равные части и взяли три такие части .
175


Глава в торая. Дроби
Точка С изображает число !, так как единицу разде ­
лили на четыре равные части и взяли пять таких частей.
Вообще , если разделить единичный отрезок на n
равных частей и отложить от нуля вправо т таких ча­
стей, то получится точка, изображающая дробь т .
"[J"
�
n
.n.акие деиствия можно выполнять с натуральными
числами?
Их можно :
-
сравнивать: 7>2, 3 < 5, 4 = 4;
-
складывать: 6 + 8 = 14;
-
вычитать: 74- 53 = 21;
-
умножать : 3·9 = 27;
-
делить: 44:2=22.
При этом сравнить , сложить или перемножить
можно любые два натуральных числа. Вычесть мож­
но только из большего числа меньшее . А разделить
одно число на другое можно только тогда, когда пер­
вое делится на второе .
Те же действия можно выполнять и с дробями.
Здесь даже больше возможностей: оказывается , де­
лить дроби можно всегда (если, конечно , делитель -
не нуль) .
Проще всего выполнять действия с дробями, когда
у них одинаковые знаменатели. В этом случае их лег­
ко сравнивать , складывать и вычитать. Научившись
это делать, можно сравнить, сложить или вычесть лю­
бые дроби, приведя их сначала к одинаковому знаме­
нателю.
Итак , начнем.
Сравнение , сложение и вычитание дробей с одина­
ковыми знаменателями как две капли воды похожи
на эти же действия с натуральными числами .
Сравним , сложим и вычтем t и * - две седьмых и
четыре седьмых .
Для этого сначала сравним, сложим и вычтем 2 ве­
щи и 4 вещи . Конечно , мы будем считать, что все эти
176


Глава в торая. Дроби
вещи - одинаковые . Но точно так же и все седьмые
должны быть одинаковые - это седьмые доли одной и
той же единицы .
2вещи<4вещей
2 седьмых < 4 седьмых
2вещи+4вещи=6вещей 2седьмых+4седьмых=6седьмых
4вещи-2вещи=2вещи
4 седьмых - 2 седьмых = 2 седьмых
Вещи могут быть любые : кирпичи , столы , яблоки.
И вместо седьмых долей можно брать любые : четыр­
надцатые, сотые , двадцать восьмые . Лишь бы вещи
были одинаковые ; лишь бы доли были одинаковые .
Пока мы не знаем отрицательных чисел и не берем ну­
лей , мы можем сказать так :
2 чего угодно < 4 того же самого ;
2 чего угодно + 4 того же самого = 6 того же самого ;
4 чего угодно - 2 того же самого = 2 того же самого .
Мы можем даже не интересоваться , какие вещи
сравниваются , складываются и вычитаются - лишь
бы они были одинаковые .
Вот и при сравнении, сложении и вычитании дро­
бей с одинаковыми знаменателями мы можем не обра­
щать внимания на знаменатели - лишь бы они были
одинаковые . Сравнивать , складывать и вычитать мы
будем числители :
�<�,таккак2<4;
1+.1.=2+4=.2..
77
7
7'
.1._1
=
4-2
=
1
77
7
Т
Сравнивать, складывать и вычитать дроби с одина­
ковыми знаменателями можно и с помощью коорди­
натной прямой . Возьмем две дроби с одним и тем же
знаменателем 7 и с числителями 2 и 4: дробь � и дробь
�. Изобразим их на координатной прямой. Для этого
придется разделить отрезок от О до 1 на 7 равных от­
резков (длина каждого из них будет равна t) . Чтобы
177


Глава в торая. Дроби
получить изображение числа " отсчитаем вправо от
нуля 2 таких отрезка. Чтобы получить изображение
числа �, отсчитаем вправо от нуля 4 таких отрезка.
Так как 4 > 2, то дробь � окажется правее дроби , .
И при этом дробь � больше дроби " так как она состо­
ит из большего числа одинаковых частей , равных t.
I
О
i
1
7
i
2
7
i
1.
7
I
1
Если такой способ сравнения не кажется убеди­
тельным , то представим себе другое : не числовую пря­
мую , а праздничный пирог, разрезанный на 7 равных
частей . Ясно , что 4 такие части больше , чем 2 такие
же части: � >�.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями
больше та, у которой больше числитель.
На математический язык это правило переводится
в виде такой формулы:
(�>�)<=> (а>Ь)
Найдем теперь сумму дробей с одинаковыми зна­
MeHaTeляMи - дробей , и t. Для этого изобразим дробь
, на координатной прямои и продвинемся от нее впра­
воHa�:
4
>1
I
7
I
i
I
I
,.
.
О
2
Q1
7
7
Нам пришлось к 2 отрезкам (длиной � каждый)
присчитать еще 4 таких же отрезка. Так что всего мы
отсчитали от нуля 2 + 4 таких отрезков . Получается ,
чточисло ,+�равнодроби 2�4•
178


Глава вторая. Дроби
Сумма дробей с одинаковыми знаменателями рав­
на дроби с тем же знаменателем и с числителем, рав-
ным сумме числителей данных дробей .
.
На математическом языке это правило выглядит так :
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаме­
н ателями понятн о из рисунка:
I
О
I
i
I
2.
1.
7
7
I
1
Разность дробей с одинаковыми знаменателями
равна дроби с тем же знаменателем и с числителем,
равн ым разности числителей данных дробей :
Снова вспомним праздничный пирог. Если его раз­
делят на 7 равных частей и сначала положат на блюдо
2 такие части , а потом еще 4 такие же части, то полу­
чится � ++ =�, а если положат 4 такие части, а потом
из них съедят 2 части, то останется + -� =� •
Основное свой ство дроби .
Сокращение дроби
На математической олимпиаде в 4 классе Коля и Вася
решали такие задачи:
Запишите число 1, используя две тройки; запиши­
те число 2, используя числа 6 и 3.
179


rлава вт орая. Дроби
Васяэтизадачирешилтак:3:3=1;6:3=2.
Коля написал по-другому: ! = 1 ; i = 2.
Оба мальчика заслужили похвалу учителя . Но са­
мое интересное было потом : Коля сразу согласился,
что решение Васи тоже правильное : если разделить 3
на 3, то получится 1, а если разделить 6 на 3, то полу­
чится 2. А вот Вася долго не мог понять , всегда ли
можно заменить частное дробью :
получается,что!=3 :3 и что i=6 :3.
Это что , совпадение или общий закон? Всегда ли
дробь f равна частному а : Ь ?
Оказывается, всегда.
Разберемся в этом на примере дроби t. Докажем,
что эта дробь равна частному 3 : 4. Для этого нам надо
разделить 3 на 4.
Это можно сделать в два приема.
1) Взять 3 единицы (или , если хотите ,- три пиро­
га) и разделить каждую из них на 4 равные части:
.ф
...... .......
........ ....... . .
..... ..... ........ . .
....... ...
. ..........
... . .... ... ..... . . .....
....... ..... ......... . ...
............ . ........ ... .
...... .... ..
....... ......
............ ....... ......
. . ... .......
............
....... ... .
. . . .........
........ . .
...........
. . .......
..........
. ...... .
.........
2) Взять из каждой единицы (из каждого пирога)
по одной такой части :
���
��Ll
ll
lШ
���
���
���
���
D
�W············
//
:::::::::::'
/
:::::'..
Вот мы и разделили 3 на 4 (разделили три пирога
на четыре равные части). И получили в каждой части
три четвертых. Значит, 3 : 4 = t.
180


Глава вторая. Дроби
Дробь % равна частному а:Ь.
Недаром на любом микрокалькуляторе кнопка
«( деление » выглядит так :
Дробная черта и двоеточие означают одно и то же
действие - деление .
Раз уж речь зашла о калькуляторе , обратим внима­
ние на то, что на его дисплее мы никогда не увидим
никаких записей с дробной чертой . Калькулятор все
пишет в десятичной системе счисления : каждая циф­
ра правее или левее других , но не выше и не ниже. Хо­
чешь узнать, чему равна дробь l' - набираешь 3, на­
жимаешь кнопку «( деление » , набираешь 4, затем знак
равенства - и получаешь запись: 0. 75. Так записыва­
ет калькулятор десятичные дроби : он сообщает нам ,
что три четверти равны нулю целых семидесяти пяти
сотым . Мы сразу получили запись дроби 1 в виде деся­
тичной дроби 0,75. Подробно об этом мы поговорим
позже . Точно так же можно узнать, чему равна дробь
!: набираем 4, деление , 2, знак равенства - и получа­
ем2.Естественно: !=4:2=2.
Зная , что % = а : Ь, можно догадаться о некоторых
важных свойствах дробей : ведь свойства частных
нам известны! Например , от увеличения делимого в
несколько раз частное увеличивается во столько же
раз . Отсюда сразу следует, что от увеличения числи­
теля в несколько раз дробь увеличивается во столько
же раз:
I Y�%
·
k
Каждому свойству частных соответствует свойство
дробей :
181


rлава вторая. Дроби
от уменьшения делимого в не­
сколько раз частное уменьшается
во столько же раз ;
от увеличения делителя в не­
сколько раз частное уменьшается
во столько же раз ;
от уменьшения делителя в не­
сколько раз частное увеличивает­
ся во столько же раз ;
от увеличения или уменьше­
ния в несколько раз и делимого , и
делителя частное не изменяется .
а·.k
а
=-
ь:k
-
ь
-
а·k а
b·k
=
Ь
а:k_а
Ь:k-Ь
Последнее получившееся у нас утверждение назы­
вается основным свойством дроби .
Повторим его еще раз :
От увеличения или уменьшения числителя и зна­
MeHaTeля в одно и то же число раз значение дроби не
изменяется.
аn _а
Ьn -о
Читая это равенство слева направо: а n
=Q.
мы
Ьn
Ь'
делим числитель и знаменатель на одно и то же чис-
ло, например 4� = А ·
Читая это равенство справа налево : 1; = g� , мы ум­
ножаем числитель и знаменатель на одно и то же чис­
ло, например А = 4
2
2•
Основное свойство дроби позволяет иногда упро­
щать дроби, деля числитель и знаменатель на одно и
то же число. Такая операция называется сокращ ени­
ем дроби .
Например , у дроби j8 и числитель, и знаменатель
делится на 10. Эту дробь можно сократить на 10:
20_2
2·10_2-
70-'7'так как
7·10-7
·
182


Глава вторая . Дроби
Дроби с разными знаменателями
Ну а как сравнивать , складывать, вычитать дроби
с разными знаменателями? Как , например , сложить
в старинной задаче «столько , да полстолька, да чет­
верть столька» ( то есть единицу, половину и чет­
верть) ? Или как догадаться, что две восьмых ноты и
одна четверть составляют полный такт в размере i:
Одним способом это можно сделать наверняка -
с помощью числовой прямой . Сравним , сложим и
вычтем дроби ! и !.
I
»
12
4


Глава вт орая. Дроби
Попробуем теперь проделать то же самое с дробями
13
ЗИ4·
1) Сравнение .
1
3I
о
В
13
ИДНО,что3<4·
2) Сложение .
I
О
I
а
4
1
,3
i
а
4
i
1
I
1
;'1
I
»
И куда же мы попали? В какую-то точку, лежа­
щую правее единицы . Из рисунка узнать, что это за
точка, мы не можем . Попробуем заменить данные
дроби равными им дробями , но с одинаковыми знаме­
нателями . Для этого надо подобрать такую долю, ко­
торая помещается целое число раз и в одной трети , и в
трех четвертях. Такой долей может быть, например ,
одна двенадцатая - она помещается три раза в одной
четверти , а значит , девять раз в трех четвертях :
3_9
4- 12
·
Она же помещается четыре раза в одной трети :
1_4
3- 12·
Теперь сложить дроби можно без всякого рисунка:
3 1_9
4_9+4_13
4+3-12+12- 12 -12·
3) Вычитание .
о
184
а
4
1


Глава вт орая. Дроби
Мы попали в какую-то точку, лежащую между од­
ной третью и двумя четвертями. Но теперь мы уже
знаем , как нам быть :
3_1 -9
_
4_9
-
4_..Q.
..
.
'4 3'-12 12
-
12
-
12·
Замена дроби на равную ей дробь с другим знаме­
нателем называется приведением дроби к новому зна­
менателю . Эта замена осуществляется с помощью ос­
новного свойства дроби . Например , можно привести
дробь � к знаменателю 30:
2 2·10_20
3'=3·10-30·
Складывая и вычитая дроби : и � , мы приводил и
их к о бщему знаменателю - к знаменателю 12.
К общему знаменателю можно привести любые две
дроби . Покажем как найти общий знаменатель, на
примере дробей � и �.Воспользуемся основным свой­
ством дроби и умножим числитель и знаменатель пер­
вой дроби на знаменатель второй (на 8), а числитель и
знаменатель второй дроби на знаменатель первой (на
6). у нас получатся дроби :
.
.
�и:
.
.
� с равными зна­
менателями 6·8и 8·6. Итак ,
Q_40 Q_18
6-48'8 -48·
А нельзя ли привести дроби � и � к знаменателю,
меньшему, чем 48? Оказывается, можно . Если умно­
жить числитель и знаменатель первой дроби на 4,
u
3
5•4 203•3
9
а второи - на ,то получим : н
=
24;8.3
=
24·
Нельзя ли сделать общий знаменатель этих дробей
еще меньше , чем 24? Оказывается, нельзя. Ведь но­
вый знаменатель получается умножением чисел 6 и 8
на какие-то другие числа, а значит, он должен делить­
ся и на 6, и на 8. Но ни одно число, меньшее, чем 24,
не делится на 6 и на 8 одновременно.
Наименьший общий знаменатель данных дробей
можно найти , разложив их знаменатели на простые
185


Глава в тор ая. Дроби
множители. Для дробей ! и i получится : 6 = 2·3,
8 = 2·2·2. Значит, наименьший общий знаменатель
равен 2•3 •2 •2.Почему?Апотому, чтоондолженде­
литься на 6 и на 8. Значит, он должен содержать по
крайней мере одну тройку и по крайней мере три двой­
ки. А раз он наименьший , то никаких других множи­
телей он содержать не должен . Значит, наименьший
общий знаменатель данных дробей равен 24.
Задача. Найди наименьший общий знаменатель
бu1
1
дроеи120и96.
I
Впрочем , в тех несложных примерах , с которыми
сталкиваются школьники , обычно удается находить
наименьший общий знаменатель подбором . Кстати ,
если даже найти не самый маленький общий знамена­
Teль для двух данных дробей, ничего страшного не
произойдет .
Умея приводить дроби к общему знаменателю, мож­
но сравнивать, складывать и вычитать любые дроби .
Пример. Сравним дроби [2 и Ы, найдем их сумму
и разность .
1) Знаменатели у дробей l и bl разные . Приведем
их к общему знаменателю 3�. Для этого числитель и
знаменатель первой дроби умножим на дополнитель­
ный множитель 3, а числитель и знаменатель второй
дроби - на дополнительный множитель 2. Чтобы не
ошибиться, дополнительные множители подписыва­
ют рядом с числителями дробей :
3)7_21 •
12-36'
2) Выполним действия :
7
11
21 22.
12<18'таккак36<36'
186


Глава вторая. Дроби
7 +11=21+22=21+22=42 •
12
183636
36
36'
11 7_22 21
_
22-21
_
1
18-12
-
36-36
-
36 -36
.
Итак , чтобы сравнить две дроби с разными знамена-
телями и чтобы найти их сумму или разность, нужно:
1) привести дроби к общему знаменателю,
2) выполнить требуемое действие .
В краткой з аписи сложение и вычитание дробей
выглядят так :
3)7+2)11_21+22 _43.
12
18- 36
-
36'
2)11 3)7 22-21 1
18- 12
36
36·
Мы умели сравнивать , складывать и вычитать на­
туральные числа. Теперь мы научились делать то же
самое с любыми дробями . Ну а если взять одно число
натуральное , а другое - дробь? Сможем ли мы их
сравнить между собой , найти их сумму и разность?
Начнем со ср ав нения. Если у дроби числитель
меньше знаменателя, то она меньше любого натураль­
ного числа, даже меньше единицы . В самом деле , если
вз ять дробь ��, то ее изображение на координатной
прямой окажется левее единицы , так как единицу на­
до разделить на 15 одинаковых долей и отложить от
нуля вправо 11 таких дол ей . Но 11 < 15, и полученная
точка окажется левее единицы .
о
11
15
1
Дроби , у которых числитель меньше знаменателя ,
наз ываются правил ьными дробями . Правильная
дробь меньше единицы и меньше любого натурально­
го числа.
187


Глава в торая. Дроби
Дроби , у которых числитель не меньше знаменате­
ля (либо равен знаменателю, как у дроби � , либо боль­
ше него , как у дроби � ), называются неnравил ьными.
Если числитель равен знаменателю, как у дроби � ,
то дробь просто равна единице :
l1 =n:n= 1
n
Если же числитель больше знаменателя, то что­
бы сравнить дробь с натуральными числами, нужно
выдел и т ь ее целую часть. Вот , например , дробь 2; .
Разделим ее числитель на ее знаменатель. Получим:
23:7=3(ост. 2).Значит,вдроби2
7
3 содержатся 3 це­
лые единицы и еще � . Это хорошо видно на рисунке :
iIiiiI
о
1
iifIiI
IIiiiiI
2
23=3+.2.
7
7·
3
iIi
2.а
7
,.
Число 3 - это целая часть неправильной дроби 273.
Число 2
7
3 больше любого натурального числа от 1 до 3;
это число меньше любого натурального числа, начи­
наяс4.
Задача. Выдели целую часть у неправильной
дроби 1� .
Еще задача. Выясни, между какими натураль­
ными числами находится число \8J .
I
Сумму правильной дроби и натурального числа
обычно записывают в виде так называемого смешан­
ного числа: 3 + , = �. Число 3 - целая часть смешан­
ного числа �, а , - его дробная часть . Выделив
целую часть дроби 2
7
3
'
мы можем обратить ее в сме-
шанное число:
23=з.2.
7
7·
188


Глава вторая. Дроби
и наоборот , смешанное число можно превратить в
неправильную дробь .
Например, 15�=15+�= 7
;+�=7
:.
Подведем итоги . Чтобы сравнить дробь с натураль­
ным числом , надо сначала посмотреть , правильная
это дробь или неправильная . Если правильная - она
меньше любого натурал ьного числа . Если неправиль­
ная - она либо равна единице , либо больше единицы .
В последнем случае мы выделяем ее целую часть и на­
ходим , между какими соседними натуральными чис­
лами заключена дробь .
I
Задача. Сравни числа: 7 и �7 ; 1
15
4'и2.
I
и.!·13и2·,
172и3·,
4'13
Сложение натурального числа и дроби выполнить
нетрудно . Если дробь правильная - получается сме-
шанное число:
�+5=5�.
Если дробь неправильная и числитель равен знаме­
нателю, то сумма будет на единицу больше данного
натурал ьного числа:
�+8=9.
Если же дробь неправильная и числитель больше
знаменателя - нужно превратить дробь в смешанное
число и к ее целой части прибавить данное натураль­
ное число :
11+6=2�+6=8�.
Вычитание натурального числа из дроби и вычита­
ние дроби из натурального числа - самая неприятная
из всех операций с дробями . Покажем на примерах ,
как это делается .
189


Глава вторая. Дроби
1. Дробь правильная .
7-! =(6+1)-! =6+(l-!)=6+i=6i.
Вычесть и з правильной дроби нельз я никакое на­
турал ьное число.
2. Дробь неправильная , числитель равен знамена-
телю.
Это проще всего :
7-i
= 7 -1=6.
i - 1 = 1 - 1 = О. Никакое другое натуральное чис­
ло вычесть и з такой дроби нельзя.
3. Дробь неправильная , числитель больше з наме­
нателя .
7-1
;=7 -2i=5 -i
-
а дальше, как в первом
случае .
1:-2 =5!-2 =3!.
Умножение и деление дробей
Легче всего умножить дробь на натуральное число -
для этого достаточно уметь складывать :
х·3=х+х+х,
и вообще , умножить число на натуральное число n -
з начит вз ять его слагаемым n раз .
Задача. Как у знать , чему равно 4·3, з аменяя
умножение сложением?
I
Так и поступим, чтобы умножить число ;7 н а 5:
�.5=�+�+�+� +�= 2+2+2+2+2 2·5 10
17
1717171717
17
17
17'
190


Глава вт орая. Дроби
Как видно , умножение дроби на натуральное число
n осуществляется по формуле
�.n=аn
Ь
Ь
Чтобы умножить дробь на натурал ьное число, до­
статочно умножить числитель дроби на это число ,
а знаменатель оставить прежним .
Задача. Выполни умножение : �. 11.
А как разделить дробь на натуральное число?
Деление на натуральное число n означает умень­
шение данного числа в n раз . А уменьшить дробь в
n раз можно двумя способами:
либо разделить на n ее числитель;
либо умножить на n ее знаменатель.
Например: �:2= 672 =t
, или
�:2=7�2=1
6
4=t·
Но первый способ можно использовать лишь тогда,
когда числитель делимого делится на n. А второй спо­
соб годится всегда .
Поэтому деление дроби на натуральное число осу­
ществляется по формуле
ъ:
n=
b�
Чтобы разделить дробь на натуральное число,
достаточно умножить знаменатель дроби на это чис­
ло, а числитель оставить прежним .
I
I
Задача. Выполни деление ! на 3 двумя способами.
Выполни деление ! на 11 одним способом .
I
I
191


Глава в т орая. Дроби
3аймемся теперь умножением дроби на дробь : н ай­
дем произведение дробей i и t.
Дробь i в 3 раза меньше, чем число 2. А дробь t в
7 раз меньше , чем число 4. 3начит, произведение дро­
бей i иj в 3 о 7 раз меньше , чем произведение чисел
2 и 4. llОЭТОМУ
242•48
з07= 3.7
=
21·
Произведение дробей - это дробь , числитель ко­
торой равен произведению их числителей , а знаме­
натель - произведению их знаменателей :
(!оk_ас
Ь d-bd
Задача. Найди произведение дробей ;6 и :1 .
Так же просто и деление дроби на дробь . Найдем
частное дробей i и �.
Делимое i в 5 раз меньше числа 2, а делитель �
в 7 раз меньше числа 3. 3начит, частное дробей i и �
можно получить так :
1) найти частное чисел 2 и 3 (оно равно i) ;
2) уменьшить полученный результат в 5 раз (полу­
чится 1
2
5);
3) увеличить пол'ученный результат в 7 раз (полу-
14)
чится 15 •
Итак�.Q.=2·7=14
'5·7 5
·3
15·
Частное от деления дроби на дробь � это дробь,
числитель которой равен про изведению числителя
первой дроби на ,з наменатель второй дроби, а знаме­
натель равен произведению знаменателя первой дро­
би на числитель второй дроби :
(!•k
=
ad
Ь·d Ьс
192


Глава вторая. Дроби
З
Нu
• 5 .2.27'9
.
17•34
адача. аиди частное. 7 . 3'
.
11'5" .25
'
12345678
Еще задача. Вычисли: "2 8 з 8 4"85"86"878 8 8 9
'
Три задачи на дроби
Среди многочисленных задач , связанных с дробями,
есть три основные задачи.
Задача п ервая. Найди дробь % от числа т (напри­
мер , найди � от числа 210).
Реш ение
1) Найдем сначала � от числа 210, для чего разде­
лим210на7.210:7=30.
2) Найдем � от числа 210, для чего умножим его -+
на 5. 30 85= 150.
О твет: 150.
Краткая запись решения : (210 : 7) 85= 150,
или
21�'5
= 150.
Чтобы найти дробь f от числа т, достаточ но ч исл о
т умножить на дробь f.
Задача вторая. Найди число х , если его дробь %
равна р (например, число Х, {1 которого равны 75).
Реш ение
1 ) Найдем сначала 1
1
1 искомого числа, для чего раз ­
делим его 1
3
1на3.75:3=25.
2) Найдем все число , для чего умножим его А на
11. 25 811 = 275.
О твет: 275.
Краткая запись решения : ( 75 : 3) 811 = 275,
или 75 з11
= 275.
7-2442
193


Глава в т орая. Дроби
Чтобы найти числ о по его дроби f , равной р, доста­
точно разд елить числ о р на дробь f.
Задача третья. Найти отношение числа а к числу Ь
(например , какую часть от 85 составляет число 34).
Решение
Число 1 составляет '5 от числа 85. Значит, число 34
составляет от него �t , то есть t.
О твет: t.
Краткая запись: �t = t
·
Чтобы найти, какую часть составляет числ о а от
числа Ь, надо разделить а на Ь.
Давно ли появились дроби?
Не только сами дроби , но и действия с ними были изве­
стны уже в Древнем Е гипте за 2000 лет до нашей эры.
Значит , дроби сопутствуют людям уже четыре тысячи
лет! Мы знаем об этом из древнеегипетских рукопи­
сей - папирусов (папирус - растение , развернутые
стебли которого использовали вместо бумаги ; они ока­
зались на удивление долговечными). Один такой папи­
рус был обнаружен в середине прошлого века немецким
ученым Генрихом Риндом, поэтому его так и называют
папирус Ринда . Сейчас б6льшая его часть хранится
в Британском музее в Лондоне . На нем писал писец по
имени Ахмес , и иногда папирус называют также папи­
русом Ах меса . Судя по всему, это не просто математи­
ческая рукопцсь, а учебн ик , составленный для тех , кто
готовился стать придворными писцами фараона. Е сли
так - это древнейший в мире уч ебник математики,
прапрапра ...дедушка наших современных уч ебников .
Ахмес , кажется, был очень хорошим учителем , потому
что он очень ясно объясняет решения всех восьмидеся-
194


rлава вторая. Дроби
ти четырех задач , составляющих папирус . Среди этих
задач есть и задачи на дроби . И это очень трудные зада­
чи, потому что египтяне признавали только дроби
с числителем 1 (те, которые мы называем «долями» ),
а это усложняло и формулировки, и решения задач .
Правда, две дроби , не являющиеся долями, у египтян
были - две трети и три четверти . Никаких числителей
и знаменателей в записи дробей тогда не было . Чтобы
записать дробь 1
1
0 ' Ах мес просто ставит точку над обо­
значением числа 10. 10 обозначается примерно так : л,
а1
1
0 - л. Так же записывались и другие дроби с числи­
телем 1. Дроби, не являющиеся долями , приходилось
либо обозначать так : «три раза по t » (по-нашему 1) , ли­
бо представлять в виде суммы долей :
�=.l+-.1.
.
.
52.10'
7_1+1+1
29 -5 29 145·
I
Задача. Как мы записываем число, которое Ахмес
обозначает так: ! + А?
Еще задача. Объясняя расчет пирамиды, Ахмес
получил такое число: семь раз поt +t+lo . Как мы за­
писываем это число сейчас ?
I
Кроме «серьезных » задач , в папирусе Ахмеса есть
и несколько головоломок . Например : �Столько да
четверть столько - вместе 15. Сколько это? » А прав­
да, сколько?
Задачи
1. Сколько будет полторы трети от 100?
2. Н аii;щ дробь с возможно меньшим знаменате­
лем , которая была бы больше
)67 ' но меньше 1
7
7
.
3. Жили-были два брата- близнеца. Один из них
ежедневно спал ! суток , адругой i суток . Дожили они
195


rлава вторая. Дроби
так до 72-летнего возраста. Сколько лет за это время
проспал каждый из них?
4. Племянник спросил дядю , сколько тому лет . Дя­
дя ответил : «Если к половине прожитых мной лет
прибавить еще 10 лет , то получится число, которое со­
ставит ! моего возрас та » . Сколько лет дяде?
5. Однажды греческого математика Пифагора
спросили, который час . Пифагор ответил , что до кон­
ца суток осталось дважды две пятых того , что уже
прошло от начала. Который был час?
6. Три брата пришли на постоялый двор , заказали
пельмени и ул еглись спать . Когда старший брат про­
снул ся, он увидел на столе блюдо с пельменями , пере­
считал их и съел свою долю. После этого он снова уснул .
Проснулся средний брат , увидел пельмени , пересчитал
их и съел одну треть, не зная , что старший брат уже по­
ел . После этого средний брат тоже уснул . Наконец , про­
снулся младший брат . Он тоже съел одну треть остав­
шихся пельменей и разбудил старшего и среднего брата,
предложив им оставшиеся 24 пельменя . Тут все выясни­
лось, и братья стали думать, как разделить эти 24 пель­
меня по справедливости . Как они должны это сделать?
7. В прежние времена два крестьянина Петр и
Иван пришли покупать избу . Хозяин попросил за нее
38 рублей . Петр сказал Ивану: «Дай мне i своих де­
нег , и я смогу купить избу » . Иван ответил : «Лучше ты
дай мне ! твоих денег, и я куплю избу » . Сколько денег
было у каждого ?
8. Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хле­
ба на 10 человек , чтобы разность между количеством
хлеба у каждого человека и ему предшествующего со­
ставляла i меры .
9. Древнегреческая задача о статуе Афины.
Я - изваянье из злата. Поэты то злато
В дар принесли : Харизий принес половину всей
жертвы ,
196


rлава втор ая. Дроби
Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон .
Часть двадцатая - жертва певца Фемиона, а девять
Всё завершивших талантов* - обет , Аристоником
данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?
1
2
10. Древнегреческая задача: бог любви Эрот жалу­
ется своей матери - богине любви и красоты Афроди­
те - на муз , которые отобрали у него яблоки .
Яблок я нес с Геликона немало.
Музы , отколь ни возьмись , напали на сладкую ношу .
Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио
Пятую долю взяла. Талия - долю восьмую .
С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть
взяла Т ерпсихора .
С частью седьмою Эрато от меня убежала.
Тридцать плодов унесла Полигимния . Сотня
и двадцать
Взяты Уранией. Триста плодов унесла Каллиопа.
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками .
Только полсотни плодов мне оставили муз ы на долю .
Сколько яблок было у Эрота до встречи с музами?
11. Средневековая немецкая задача (Адама Ризе).
Трое торгуют лошадь за 12 фл оринов , но никто в от­
дельности не располагает такой суммой . Первый гово-
* Здесь слово « талант » означает не способности к чему -либо,
а самую крупную древнюю меру веса .
197


Глава в торая. Дроби
рит двум другим : «Дайте мне каждый по половине
своих Д�Heг, и я куплю лошадь » . Второй говорит пер­
вому и третьему : «Дайте мне по одной трети ваших де­
нег, и я приобрету лошад ь» . Третий говорит первым
двум : «Дайте мне по четвертой части ваших денег , и я
куплю лошадь » . Сколько денег было у каждого?
12. Задача Ньютона. На трех лугах площадью 3!,
1 О и 24 га трава растет одинаково , то есть с одинако­
вой густотой и одинаковым приростом . После того
как на первом лугу 12 коров паслись 4 недели, а на
втором лугу 21 корова паслась 9 недель, трава оказа­
лась съеденной настолько , что оба пастбища на время
пришлось забросить . Сколько коров можно пасти на
третьем лугу в течение 18 недель?
13. Батон стоит 1! рубля и половину стоимости ба­
тона. Сколько стоит батон?
14. Какая из дробей ближе к единице: ':
:
или �, ес­
лиn>т?
15. у прохожего спросили, который час . Он отве­
тил , что это можно узнать, если промежуток време­
ни, оставшийся до полудня , увеличить на i проме­
жутка времени, прошедшего после полуночи . Так
который час?
16. Из знаменателя дроби вычли число k. Какое
число нужно вычесть из числителя, чтобы получи­
лась дробь, равная данной? Всегда ли это можно сде­
лать?
17. Нужно разделить 5 одинаковых яблок между
шестью ребятами . Как это сделать с наименьшим чис­
лом разрезов?
18. Можно ли разрезать 13 одинаковых арбузов на
42 одинаковые порции , не деля ни одного арбуза боль­
ше чем на 7 частей?
19. Числовой ребус :
ж·у .к .и+ж.у+к.и+1 576
у.К·И+У+И
=
519'
198


Глава в т орая. Дроби
20. Весна выдалась в этом году капризная . Ночью
было настолько холодно , что мои часы отставали за
ночь на i минуты . А днем от жары они убегали на пол­
минуты вперед . Утром 1 мая часы показывали верное
время . К какому числу они ушли вперед на 2 минуты?
21. Если к числителю и знаменателю дроби i при­
бавить ее знаменатель, то получится дробь !, то есть
данная дробь увеличится вдвое . Нет ли дроби , кото­
рая после такой операции увеличивается в три раза?
в че тыре раза?
22. Какое число больше : то , треть которого - по­
ловина, или то, половина которого - треть?
23. Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флаж­
ков на равных расстояниях друг от друга. Старт у пер­
вого флажка. У восьмого флажка спортсмен оказался
через 8 сек . Через сколько секунд он окажется у две­
надцатого флажка, если не будет менять скорость бе­
га? Не попади впросак !
24. На одну чашку весов положили кусок мыла, а на
другую ! такого же куска и еще гири на ! кг. Весы при­
шли в равновесие . Сколько весит целый кусок мыла?
3
4
25. Из семи спичек выложена дробь t: tТi . Как , пе­
реложив одну спичку, получить число i?
26. Когда у Миши спросили , сколько у него котят ,
Миша ответил : « У меня три четверти их числа и еще три
четверти одного котенка » . Так сколько котят у Миши?
27. Когда пассажир проехал половину всего пути ,
то лег спать и спал до тех пор , пока не осталось ехать
половину того пути , что он проехал спящим . Какую
часть пути он проехал спящим?
28. Когда велосипедист проехал i пути, лопнула
шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое
199


Глава в торая. Дроби
больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколь­
ко раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?
29. Найди значение выражения
1
1
1
1
1
1
-4"5+5·6 +6· 7 +7"·8 +8·9 +9· 10.
30. Найди сумму
1
1111
110+132+156+182+210·
31. Найди сумму
2
2
2
2
2
2
5·7+7"·9 +9·11 + 11 ·13+1з ·15+15 ·17.
32. Найди такую дробь , которая не меняет своего
значения от прибавления к ее числителю числа 30,
а к знаменателю - числа 40.
33. Знаменатель дроби на 35 больше числителя .
После сокращения этой дроби получилось А. Найди
дробь до сокращения .
34. Сумма числителя и знаменателя дроби равна
130. После ее сокращения получилась дробь i. Найди
дробь до сокращения .
35. В одном городе число мужчин составляет {о чис­
ла женщин. Какую часть населения составляют муж­
чины?
36. Число отсутствовавших в классе в понедельник
составило 1
1
з часть присутствовавших . Во вторник
число отсутствовавших ум еньшилось на 1 и состави­
ло 'О числа присутствовавших . Сколько учеников в
этом классе?
37. Четверо друзей купили вместе лодку . Первый
внес половину суммы , внесенной остальными , вто­
рой - ! суммы, внесенной остальными , третий
i суммы, внесенной остальными, а четвертый -
остальные 130 рублей . Сколько стоит лодка?
38. у торговца семечками были неправильные ры­
чажные весы : их плечи немного отличались по длине
друг от друга . Но зато килограммовая гиря была пра­
вильная . Когда покупатель попросил отвесить 2 кило­
грамма семеч ек, торговец отвесил один килограмм,
200


Глава в т орая. Дроби
положив гирю на правую чашку, а второй кило­
грамм - положив гирю на левую чашку. Правда ли,
что всего он отвесил ровно 2 килограмма? Если нет, то
как надо было взвешивать?
39. Задача л. Н . Толстого . Косцы нанялись выко­
сить 2 луга . Половину дня они косили большой луг, а
потом разделились: одна половина косцов докосила
к вечеру большой луг, а вторая половина косцов пол­
дня косила второй луг , который в два раза меньше
первого . Оставшуюся работу доделал за весь следую­
щий день один косец . Сколько было косцов?
40. Есть ли такая дробь, которая находится между
дробями i и !?
41. Новогодняя елка украшена лампочками. Каж­
дая третья лампочка - красного цвета, каждая чет­
вертая - синяя, каждая шестая - желтая , а осталь­
ные - зеленые . Сколько всего лампочек на елке, если
зеленых на 5 больше , чем желтых?
42. Вода, обращаясь в лед , увеличивается на А
часть своего объема. Сколько кубических дециметров
воды образуется при таянии 132 дм3 льда?


Глава тр етья
Расширекие разрядкой сетки
Десятичная дробь
ействия с натуральными числами
выполняются по разрядам . Любое
натуральное число мы можем раз­
ложить по разрядам и записать
в разрядную сетку . Но в жизни
нам встречаются не только числа,
состоящие из целого числа единиц,
но и числа, состоящие из долей
единицы . Чаще всего это десятые, сотые , тысячные
доли. Это особенно заметно при всяких измерениях :
дециметр - десятая доля метра; сантиметр - сотая
доля метра; грамм - тысячная доля килограмма.
А нельзя ли такие числа тоже записывать в разряд­
ную сетку? Ведь они очень п охожи на натуральные
числа : так же, как три еди ницы в 10 раз меньше , чем
три десятка, так и три десятых в 10 раз меньше , чем
три единицы; а три сотых еще в 10 раз меньше . Похо­
же , что для того , чтобы записывать десятые, сотые ,
тысячные доли, нам придется продолжить разрядную
сетку вправо .
Попробуем сделать это так , чтобы сохранился ос­
новной принцип десятичной системы счисления : зна­
чение цифры в каждом разряде в 10 раз меньше , чем
значение той же цифры в соседнем разряде слева . Тог­
да правее разряда единиц будет разряд десятых долей
единицы , или просто разряд десятых . Например , циф­
ра 2 в разряде десятых обозначает число, которое
в 10 раз меньше , чем 2 единицы . В разрядной сетке
это число записывается так :
202


rлава третья. Расшире кие разрядкой сеm"u
Разряды
тысячи сотни ДЕСЯТКИ ЕДИНИЦЫ десятые
О
О
О
О
2
2 десятых
Расширенная разрядная сетка выглядит так :
Разряды
. .. м лн сот . ДЕС. ТЫС . сот . ДЕС . ЕД. деся· сотые тысяч· десяти· стоты·
rrыс. ТЫС.
тые
ные тысяч· сячные
ные
Если число не содержит какого-либо разряда, то
в этом разряде пишут нуль . Например , число, состоя­
щее из двух сотен , трех еДиниц и восьми тысячных,
можно записать в разрядной сетке по-разному:
ТЫС . сот . ДЕС . ЕД. десятые сотые тысячные десятитысяч.
2
О
3
О
О
8
О
2
О
3
О
О
8
2
О
3
О
О
8
О
ОО
2
О
3
О
О
8
О
О
Число , записанное в десятичной системе счисле­
ния и имеющее цифры правее разряда единиц, назы­
вается дес ятичной дробью. В записи десятичной дро­
би после разряда единиц ставится запятая. Запятая
делит десятичную дробь на целую и дробную части.
Например , у десятичной дроби 23,01 целая часть -
число 23, а дробная часть - 1 сотая . У десятичной дро­
би 8,0 дробная часть равна нулю . А у десятичной дроби
0,75 нулю равна целая часть .
Сравнение десятичных дробей
Мы расширили наш запас чисел - добавили к нату­
ральным числам десятичные дроби . Теперь надо на­
уч иться выполнять над ними привычные действия .
203


Глава третья. Расширение разрядной сетки
Самое простое - сравнение десятичных дробей.
В этом помогает числовая прямая . Вспомним, как
изображают числа на прямой .
Чертят горизонтальную прямую со стрелкой справа:
Отмечают на ней точку - изображение числа О:
I
О
Правее точки О отмечают точку 1:
I
О
I
1
Отрезок от О до 1 называют единичным отрезком .
Теперь от точки 1 откладываем вправо единичный от­
резок - получаем точку 2; затем от точки 2 откладыва­
ем вправо еще один - получаем точку 3; и так далее:
I
О1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
7
у нас получилась числовая (или координатная)
прямая . Из двух чисел больше то, которое лежит пра­
вее на числовой прямой .
А как изобразить на координатной прямой деся-
'тичную дробь? Точно так же . Только вместо целых
единичных отрезков нам придется откладывать их де­
сятые , сотые , тысячные доли. Возьмем , например,
число 3,62. Целая часть его равна 3. Изображать чис­
ло 3 мыумеем:
I
О
I
1
I
3
Теперь разделим единичный отрезок на десять рав­
ных частей и отсчитаем от числа 3 вправо 6 деся­
тых - получим число 3,6:
204


Глава третья. Расширение разрядНQЙ сетки
о
,
1
,
2
IIi
3,6 4
3
Наконец, отсчитаем от числа 3,6 вправо две со­
тые - получится изображение числа 3,62:
,
о
,
1
,
2
l',,,,I,8,,,"
3
3,62
Умея изображать десятичные дроби на числовой
прямой , займемся теперь их сравнением .
Проще всего сравнивать такие десятичные дроби, у
которых неодинаковые целые части . Например , 4, 1
лежит правее числа 4, а 2,8 - левее числа 3. Поэтому
4, 1 лежит правее числа 2,8:
,
о
,
1
,
2
А значит, 4,1 > 2,8.
2,8
I
,
3
4,1
I
,
4
,-
5
Теперь попробуем сравнить десятичные дроби с
одинаковой целой частью : 23,8 и 23,56. Оба эти числа
лежат правее числа 23, но левее числа 24. Число 23,8
получается, если отсчитать от числа 23 вправо 8 деся­
тых , поэтому оно лежит правее числа 23,7:
,
23
I
23
,
23
I
23, 7 23,8
А число 23,56 лежит левее , чем число 23,6:
23, 56
I
'
i
23,5 23,6
,-
24
1..
..
24
Значит, число 23,56 лежит левее , чем число 23,8:
i
23,56
Отсюда видно, что 23,56 < 23,8.
205
i
23,8
,-
24


Глава третья. Расширекие разрядко й сетки
Теперь можно сформулировать правило сравнения
десятичных дробей .
Из д вух десятичных дробей больше та, у которой
больше целая часть . Десятичные дроби с одинаковы­
ми целыми частями сравнивают по разрядам их дроб­
ных частей : десятые с десятыми , сотые с сотыми и так
далее - до обнаружения неравных знаков в одном и
том же разряде .
Например ,
3,94 < 12,05, так как 3 < 12;
16,5891> 16,58632, так как 16= 16, 5 =5,8 =8,9>6;
17,23<17,2315,таккак17=17,2 =2,3 =3,О<1.
По этому же правилу можно сравнить десятичную
дробь с натуральным числом . Ведь у натурального
числа нет разрядов правее разряда единиц , поэтому
его можно записать в виде десятичной дроби с нуле­
вой дробной частью . Например ,
13< 17,11,так как 13< 17;
13>7,185, так как 13>7;
13=13,00;13,00<13,05,таккак 13=13,О =О,О <5.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание дес ятичных дробей очень по­
хоже на сложение и вычитание натуральных чисел .
Найти сумму двух натуральных чисел - значит, уз ­
нать , сколько в этой сумме единиц, десятков, сотен и
так далее . А чтобы найти сумму двух десятичных дро­
бей , нужно , кроме того , узнать, сколько в этой сумме
десятых , сотых , тысячных и так далее .
Вычислим , например , сумму чисел 29 ,63 и 8,754.
Для этого расположим их в разрядной сетке :
206


Глава третья. Расширекие разрядкой сетки
...
ДЕСЯТКИ ЕДИНИЦЫ десятые сотые тысячные ...
2
9
6
3
О
8
7
5
4
в разрядах , стоящих правее тысячных, оба слагае­
мых содержат нули . Значит, и их сумма содержит ну­
ли в этих разрядах . В разряде тысячных в первом сла­
гаемом стоит нуль, а во втором слагаемом - цифра 4.
Это значит, что в первом слагаемом О тысячных, а во
втором 4 тысячные. Значит, в сумме будет О + 4 = 4
тысячных . Сотых в сумме будет 3 + 5 = 8. Десятых бу­
дет6+7=13.Но13десятых-это(3+10)десятых,
или 3 десятых + 1 целая . Переносим 1 целую в разряд
целых единиц . Продолжая сложение , получим в це­
лой части число 38.
Итак , десятичные дроби складываются по разря­
дам , так же , как и натуральные числа. Поэтому их
тоже удобно складывать столбиком . Слагаемые запи­
сывают так , чтобы цифры одного и того же разряда
оказались друг под другом . При этом оказываются
друг под другом и запятые :
+29,630
8, 754
38,384
По разрядам выполняется и вычитание десятич­
ных дробей ; при вычитании столбиком числа подпи­
сывают так же, как при сложении : разряд под разря­
дом , запятая под запятой :
43,687
6,945
36, 742
207


Глава трет ья. Расшире ние разрядной сетки
Точно так же поступают и в том случае , когда одно
из слагаемых, вычитаемое или уменьшаемое , - на­
туральное число:
+ 17,305
4
21,305
12,713
3
9,713
23
19,208
3,792
Умножение и деление на 10, 100, 1000
Проще всего умножать и делить десятичные дроби
на 10, 100, 1000 и вообще на любое число, которое за­
писывается единицей с несколькими нулями .
Умножим, например , число 4,85 на 10. Для этого
используем распределительное свойство умножения:
4,85 ·10 = (4 единицы + 8 десятых + 5 сотых) ·10 =
= 40 единиц + 80 десятых + 50 сотых =
= 4 десятка + 8 единиц + 5 десятых = 48,5.
Получилось, что 4,85 · 10 = 48,5.
Мы видим, что при умножении числа на 1 О каждая
цифра этого числа переходит в соседний разряд влево.
Это значит , что при умножении десятичной дроби на
10 запятая перемещается на один знак вправо:
4�85 · 10 = 48�5.
А может запятая при этом и совсем пропасть :
22,7·10 =227 .
Умножить число на 100 можно так : сначала умно­
жить его на 10, а потом результат умножить еще на
10. Поэтому при умножении десятичной дроби на 100
запятая перемещается на два знака вправо :
3�14159 · 100 = 314�159;
172�07 · 100 = 17207 .
208


Глава третья. Расширекие разрядкой сет"и
Точно так же умножение на 1000 можно провести
как троекратное умножение на 10. Значит, запятая
переместится на 3 знака вправо :
8..!.
.
1305 · 1000 = 8130..!.
.
5;
42..!.
.
15· 1000 = 42150 .
Ясно , что при делении на такие числа запятая пу­
тешествует в обратном направлении :
4,85 · 10 = 48,5;
22,7 ·10 = 227;
3 ,14159 · 100 = 314,159;
172,07 ·100 = 17207;
8,1305 · 1000 = 8130,5;
42,15 · 1000 = 42150;
Запомни такое правило :
48..!.
.
5:10=4..!.
.
85.
227_: 10=22..!.
.
7.
314..!.
.
159:100=3..!.
.
14159.
17207_ : 100 = 172..!.
.
07.
8130..!.
.
5:1000=8..!.
.
1305.
42150 : 1000 = 42..!.
.
15.
Чтобы умножить десятичную дробь начисло , ко­
торое записывается единицей с несколькими нуля­
ми , достаточно перенести запятую вправо на столь­
ко знаков , сколько нулей в этом числе .
Чтобы разделить десятичную дробь на такое чис­
ло, достаточно перенести запятую влево на столько
же знаков .
Умножение любых чисел
в десятичной �истеме счисления
Предположим, надо умножить 13,1 на 3 ,17. Первый
множитель в 10 раз меньше числа 131. Второй множи­
тель в 100 раз меньше числа 31 7. Поэтому произведе­
ние 13,1 · 3 ,17 можно найти так : умножить 131 на 317,
результат разделить на 10, а потом еще на 100. Или ко-
8-2442
209


Глава трет ья. Расшире",ие разряд",ой сетки
роче: умножить 131 на 317 и разделить результат на
1000. А разделить на 1000 - значит, сдвинуть запятую
влево на 3 знака . Запомни еще одно правило :
Чтобы умножить числа, записанные в десятич ­
ной системе счисления , нужно найти их произведе­
ние, не обращая внимания на запятые , и отделить в
нем запятой справа столько знаков , сколько их сто­
ит после запятых во всех множителях вместе .
Например , в произведении 45,6 ·7· 0,0002
= 0,06384 отделено запятой 5 знаков , так как в пер­
вом множителе 45,6 имеется один знак после запятой ,
во втором множителе 7 таких знаков нет , в третьем
множителе 0,0002 их 4, а значит , всего в этих множи­
телях 1 + О + 4 = 5 знаков после запятых.
Разберемся в этом правиле на примере умножения
чисел 1,28 и 0,064.
1) Не обращаем внимания на запятые - заменяем
десятичные дроби натуральными числами :
1,28 � 128;
0,064 � 64.
2) Находим произведение полученных чисел :
1128.64 =8192·1
3) Подсчитываем число знаков после запятых во
всех данных множителях:
1,28 - 2 знака
0,064 - 3 знака
всего
5 знаков
4) В произведении 8192 отделяем запятой 5 знаков
справа:
210


rлава третья. Расшире",и е разряд",ой сетки
18192 � 0,08192· 1
5) и вот (ура!) мы получили ответ :
11,28.0,064 = 0,08192· 1
Пока человек только уч ится применять это прави­
ло, приходится записывать решение подробно, как
это сделано в рамочках .
А когда правило умножения хорошо запомнится,
полезно еще некоторое время выполнять все пять ша­
гoB (заменять десятичные дроби натуральными чис­
лами; перемножать эти числа; подсчитывать число
знаков после запятых ; отделять запятой знаки в про­
изведении ; выписывать ответ), но делать при этом
краткие записи . Они могут выглядеть так :
х
1,28
+ 2 знака
0,064
3 знака
+ 512
768
О,О8192
5 знаков
Ответ : 0,08 1 92.
Из правила умножения , между прочим, следует ,
что умножить десятичную дробь н а 0,1 - значит
сдвинуть запятую на 1 знак влево . А это означает про­
сто деление на 1 0. Это же' относится и к умножению на
0,01, 0,001 и так далее.
Умножение на 0,1 , на 0,01, на 0,001 и так далее
можно заменить делением на 1 0, 1 00, 1 000 и так далее .
Умножение на
0,1
0,01
0,001
........
0,000000000000 1
211
Деление на
10
100
1000
........
10000000000000


Глава тр е т ья. Расшире",ие разряд"'QЙ сетки
Деление
Самое трудное действие , как известно , деление. Деле­
ние десятичных дробей, так же как и деление на­
туральных чисел , можно выполнить не всегда . Но все
же с появлением десятичных дробей количество
примеров на деление, которые можно решить , увели­
чивается. Например , разделить 70 на 8 в натураль­
ных числах нельзя, а с десятичными дробями можно :
70 : 8 = 8,75 - это легко проверить умножением .
Как мы видели, умножение десятичных дробей сво­
дится к умножению натуральных чисел и постановке
запятой . Естественно, что и деление десятичных
дробей оказывается связано с делением натуральных
чисел . Если , например , надо разделить какое-нибудь
число на десятичную дробь 28, 17, которая в 100 раз
меньше числа 2817, это значит, что достаточ но разде­
лить его на 2817, а потом частное увеличить в 100 раз .
Поэтому деление любого числа, записанного в десятич­
ной системе счисления , на натуральное число заслужи­
вает отдельного разговора.
Разделим 376,96 на 31. Чтобы найти частное от деле­
ния двух чисел , достаточно найти его целую часть и най­
ти , сколько в нем десятых, сотых, тысячных и так далее .
1) Найдем целую часть частного . Она получится , ес­
ли разделить на 31 целую часть делимого - число 376:
_
376 lliL
31 12
66
62
4
Получилось, что в частном 12 целых .
2) Чтобы найти дробную часть частного , превратим
остаток от деления целой части - 4 единицы - в со­
тые и найдем , сколько сотых надо делить на 31:
212


Глава третья. Расширекие разрядкой сетки
4 единицы + 96 сотых = 400 сотых + 96 сотых ==:
= 496 сотых .
Разделив 496 сотых на 31, найдем дробную часть
частного :
_
496 lliL
31 16
186
-186
О
3начит, 496 сотых : 31 = 16 сотых .
Итак , в частном 376,96 : 31 содержится 12 целых и
16 сотых :
376,96 : 31 = 12,16.
Деление на целое число можно провести и сразу ,
с начала до конца. Нужно делить , как делят нату­
ральные числа, и только вовремя поставить запятую :
470, 76 1
,-
-:=
1
,-
-=:-
2
--=-=-
36
39,23
110
108
27
24
36
-
36
О
Момент, когда нужно ставить в частном запятую ,
совпадает с моментом снесения первого знака из
дробной части делимого .
Итак , выполняя деление на натуральное число, мы
сначала делим целую часть делимого ; когда заканчи­
вается деление целой части (сносится цифра, стоящая
в разряде десятых), в частном ставится запятая и де­
ление продолжается .
213


Глава третья. Расшuре/f,uе разрядкой сеm"и
На первых порах рекомендуется записывать деле­
ние двумя ручками разного цвета , например черной
и зеленой . Черным цветом записывают делимое и де­
литель, зеленым обводят цифру десятых в делимом :
376,96 �
Затем выполняют деление черной ручкой , пока не
закончится целая часть делимого , то есть пока не
придется сносить обведенную цифру десятых :
_
376,96 �
31
12
66
62
4
Обведенную цифру десятых сносят зеленым цве­
том и тем же цветом ставят запятую в частном :
_
376,96 LQL
� 12,
66
62
49
Деление продолжают до конца черной ручкой :
_
376,96 ,-
--:
13--
-=:-
1--
--:-:
:-
� 12,16
66
62
49
31
186
186
О
214


Гл ава тре т ья. Расширекие разрядкой сет"и
Наконец мы подошли к вопросу : как же найти ча­
стное , если делитель - десятичная дробь? Для этого
воспользуемся важным свойством частного : оно не
меняется , если и делимое , и делитель умножить на
одно и то же число , не равное нулю .
Разделим, например , 1,04 на 1,3 . Это действие лег­
ко заменить делением на натурал ьное число 13 - ведь
частное не изменится, если и делимое 1,04 , и дели­
тель 1,3 умножить на 10:
1,04:1,3=(1,04·10):(1,3·10)=10,4:13.
Осталось разделить 10,4 на натуральное число 13,
а это мыумеем:
10,4 �
о 0,8
104
104
О
Итак, 1,04 : 1,3 = 0,8.
Так деление на десятичную дробь заменяют деле­
нием на натуральное число : делимое и делитель
увеличивают в одно и то же число раз ( 10, 100, 1000 и
так далее) таким образом, чтобы превратить делитель
в натуральное число .
Итак , чтобы выполни�ь деление на десятичную
дробь , нужно :
1) заменить делитель натуральным числом и уста-
новить , во сколько раз он от этого увеличился;
2) увеличить во столько же раз делимое;
3 ) выполнить деление полученных чисел .
Вот подробная запись деления числа 31,26 на деся­
тичную дробь О, 015:
1) 0,015 --t 15;
15 = 0,015 · 1000.
2) 31,26 · 1000 = 3 1260.
215


Глава третья. Расшuрекuе разрядкой сетх и
3 ) 31260 115
30
2084
12
О
126
-
120
60
-
60
О
Этот же пример кратко записывается так :
31,26 : 0,015 = 31260 : 15, и дальше - деление
« уголком » .
Разделим по этому правилу 3,14 на 0,1:
3,14:0,1 =31,4:1=31,4.
Как видно, деление на 0,1 - это то же самое, что
умножение н а 1 о.
Точно так же27,5 : 0,001 = 27500 : 1 = 27500; деле­
н ие на 0,001 - то же самое , что умножение на 1000.
Итак , чтобы разделить число на 0,1, на 0,01, на
0,001 и так далее, надо его умножить на 10, на 100, на
1000 и так далее .
ПроцентЪI
Процентом от какого-нибудь числа называется одна
сотая часть этого числа. Процент обозначается специ­
альным значком % .
Нужно уметь решать три главные задачи н а про­
центы .
Задача первая. Найти несколько процентов от дан­
ного числа (например , найти 17% от числа 2 5) .
216


rлава третья. Расширекие разрядкой сетки
Подробное решение .
1 ) Находим 1 % от данного числа, разделив это
число на 100 (в нашем примере пишем : 1% - это
25 : 100 = 0,25).
2) Находим нужное число процентов , умножив ре­
зультат первого действия на нужное число (в нашем
примере пишем: 17% - это 0,25 • 17 = 4,25).
Краткое решение:
2 ���7 = 4,25.
Можно решать и по-другому , пользуясь тем , что
разделить на 100 - все равно что умножить на 0,01.
Поэтому, чтобы найти 1 % от данного числа, можно
это число умножить на 0,01. Тогда краткое решение
нашей задачи запишется в строчку:
25·0,01•17 =4,25.
Задача втора я . Найти число , зная , чему равен ка­
кой-либо процент от него (например , найти число,
13% которого равны 65) .
Подробное решение .
1 ) Находим 1 % от искомого числа, разделив дан­
ное нам число на число содержащихся в нем процен­
тов (в нашем примере пишем: 1% - это 65 : 13= 5).
2) Находим все число, умножив результат первого
действия на 100 (в нашем случае пишем : 100% - это
5·100 = 500).
Краткое решение : 65 i�OO = 500 .
Задача третья. Н айти процентное отношение двух
чисел , то есть найти , сколько процентов составляет
одно число от другого (например , найти процентное
отношение 36 и 120, то есть найти, сколько процентов
составляет число 36 от числа 120) .
217


Гл ава третья. Рас шир екие разрядкой сет"и
Подробное решение .
1) Находим 1 % от второго числа, разделив его на 1 00
(в нашем примере пишем: 1% - это 120 : 100 = 1,2).
2) Находим , сколько процентов от второго числа
содержится в первом числе , разделив первое число на
результат первого действия (в нашем примере пишем :
36:1,2=30).
Краткое решение :
36;igo = 30.
Все три задачи можно решить , пользуясь одной и
той же таблицей :
100% 1%
%
Вот как заполняется эта таблица при решении
каждой из наших задач .
Задача п ервая. Найти 2 ,8% от 50 кг.
Вначале заполняем по условию третью клетку
верхней строки и первую клетку нижней строки и об­
водим ту клетку , в которой должно появиться число,
о котором спрашивается в задаче :
100% 1% 2,8%
50 кг
Затем , после необходимых вычислений , заполня­
ем пустые клетки нижней строки :
100% 1% 2,8%
100% 1 % 2,8%
50кг 0,5кг
I 50кг 0,5кг 1,4кг
218


rл ава третья. Расширекие разрядкой сетки
Задача вторая . Найти длину пути , 40% которого
равны 16 км.
Вначале заполняем по условию третью клетку
верхней строки и третью клетку нижней строки и об­
водим ту клетку, в которой должно появиться число,
о котором спрашивается в задаче:
100% 1%
40%
16 км
После вычислений заполняем вторую , а затем пер­
вую клетки нижней строки:
100% 1% 40%
100% 1% 40%
0,4км 16 км
40 км 0,4км 16 км
Задача третья . Найти процентное отношение 48 к 25.
Таблицу заполняем в следующем порядке :
100% 1%
%
25
48
100% 1%
%
100% 1% 192%
25
0, 25
48
25
0, 25
48
Но самое интересное в процентах - это то, что они ,
собственно говоря, не числа. Вот, например , если ка­
кое-то число увеличить на 10, а потом уменьшить на
10, что получится ? Конечно , то же самое число. А что
219


Глава третья. Расширекие разрядкой сетки
будет, если число увеличить на 10% , а потом умень­
шить на 10% ?
Вот какая история приключилась однажды с изве­
стными всем персонажами Григория Остера: Мар­
тышкой , Попугаем , Слоненком и Удавом .
Однажды Удав сказал : «Надоело мне ползать по
земле. И не видно ничего , и медленно . Д авайте купим
заводной вертолет и посадим в него меня ». - « И ме­
ня, - закричала Мартышка. - Мы полетим быстрее
Попугая! » - «Это мы еще посмотрим », - возразил
Попугай . А Слоненок очень огорчился: «Меня в завод­
ной вертолет не посадишь - авария будет! И крыльев
у меня нет » . Удав утешил его : «Ты будешь судьей на­
ш его соревнования . Вот только где взять вертолет? » -
«Я придумала! - завопила Мартышка. - Пусть По­
пугай слетает в игрушечный магазин . Вертолет стоит
сто бананов , и я их сейчас соберу » .
Собрала Мартышка сто бананов , положила их
в большой рюкзак , и Попугай полетел в город . Вернул ­
ся он очень быстро , с пустым рюкзаком . «Где мой вер­
толет? » - спросил Удав . «Где мои бананы? » ·- закри­
чала Мартышка. «Вертолеты подорожали , - объявил
Попугай , - на 10% . Так что бананов не хватило, и я
раздал их детям. Они сказали мне , что завтра вертоле­
ты снова подешевеют . И опять на 10% ».
Наутро Попугай , захватив новые сто бананов , по­
летел в магазин . Скоро он вернулся с прекрасным
заводным вертолетом . «Получай!» - сказал Попу­
гай Удаву и облизнулся . «А почему это ты облизы­
ваешься? » - подозрительно спросила Мартышка.
«А потому , что я съел оставшийся банан » . - «Ничего
не понимаю! - сказал Удав , заползая в вертолет . -
Вертолет сначала стоил сто бананов . Потом он подо­
рожал на 10% , а потом подешевел тоже на 10% ». -
«А я тебе дала ровно сто бананов », - вмешалась
220


rлава тре тья. Расширек ие разрядкой сетки
Мартышка, старательно заводя вертолет . « Я и сам
не понимаю , - заявил Попугай .
-
Но банан был
очень вкусный ». И он расправил крылья , готовясь
к соревнованию.
А Слоненок сказал так : «Когда вертолет подоро­
жал , он стал стоить сто десять бананов . А подешевел
он на 10% от ста десяти , то есть на одиннадцать бана­
нов . Значит , теперь он стоит девяносто девять бананов ,
и все правильно . Ну, летите , а я буду судить » .
Действия с десятичными
и обыкновенными дробями
Мы умеем обращаться с натуральными числами, с
десятичными и с обыкновенными дробями, со сме­
шанными числами : умеем их сравнивать , находить
их сумму, разность , произведение и частное , умеем
изображать их на числовой прямой .
Но не испугает ли нас задача сравнить , сложить,
вычесть , перемножить , разделить два числа, из кото­
рых одно - десятичная дробь , а другое - обыкновен­
ная дробь или смешанное число ?
Вот примеры таких задач :
1) сравнить числа 0,8 и -i;
2) найти сумму ! + 0,31;
3) найти разность 0,84 - i;
4) найти произведение 1
2
1 ·0,22;
5) найти частное 2t : 1,5.
Для решения таких задач придется превратить де­
сятичную дробь в обыкновенную или, наоборот , пре­
вратить обыкновенную дробь в десятичную .
Решим первую задачу - сравним 0,8 и -i. Мы сде­
лаем это двумя способами : превращая десятичную
221


Глава третья. Расширекие разрядкой сет"и
дробь 0,8 в обыкновенную и превращая обыкновен­
ную дробь i в десятичную .
Первый способ .
Превратим 0,8 в обыкновенную дробь:
84
0,8=8:10=10
=
5.
Сравним ! и i, приведя их к общему знаменателю:
.!=
16. �
=
15.
520'420'
16 15
20>20'таккак16>15.
Делаем вывод: 0,8 > !.
Второй способ .
Превратим i в десятичную дробь - для этого раз­
делим 3 на 4:
_
3,00 �
О
0,75
30
28
20
-
20
О
Получили: ! = 0,75.
Сравним 0,8 и 0,75:
0,8 > 0,75, так как целые части у этих десятичных
дробей равны, а цифра десятых у первого числа больше .
Делаем вывод : 0,8 > !.
Тем же путем решаются и остальные четыре зада­
чи, но не всегда удается решить их обоими способами.
Дело в том , что превратить десятичную дробь
в обыкновенную можно всегда, а превратить обыкно­
венную дробь в десятичную иногда не удается .
Например , найдем сумму j + 0,31.
222


Глава третья. Расширекие разрядкой сетки
Первый способ .
Превратим десятичную дробь 0,3 1 в обыкновен­
ную дробь и выполним сложение :
�+О31=�+ 31 = 200+93
=
293
3
'
3 100
300
300 ·
Второй способ .
Чтобы превратить дробь i в десятичную , нужно
разделить 2 на 3:
2,ООО <-:
:-
13--
-=-=-
::
:-
--
� 0,666...
20
18
20
18
2
Как видно, деление не закончится никогда: в ос­
татке все время получается 2, а не о. А в частном все
время повторяется цифра 6. В этом случае говорят ,
что дробь i представляется в виде «( бес конечной деся­
тичной дроби » . Но нам-то нужна самая обычная , ко­
нечная десятичная дробь , а получить ее тут как раз не
удается . Так что остается решать задачу только пер­
вым способом - так , как мы уже сделали .
И последнее : в какой форме записывать ответ? Ес­
ли это возможно, надо записать его в виде десятичной
дроби или (если повезет!) в виде натурального числа.
Если же это невозможно , нужно записать ответ в виде
правильной дроби или в виде смешанного числа. На­
пример , в предыдущем примере ответ ��
�
-
пра­
вильная дробь . А вот в третьей из приведенных задач :
найти разность 0,84 - !, - получаем такой ответ :
О84-3
-
84-3
-
168-75
-
93-465
-
О465-
,
8"-
100 8"
-
200 200 - 200
-
1 000
-
,
десятичная дробь (если бы мы сразу решали задачу
вторым способом - ответ получился бы еще быстрее).
223


Глава тр етья. Расшир екие разрядкой сетки
Задачи
1. Какой знак надо поставить между цифрами 4 и
5, чтобы получилось число , большее 4, но меньшее 5?
2. Пуговица весит 1,5 г. Сколько весит миллион та­
ких пуговиц?
3 . Вместо того чтобы умножить число на 0,5 и
к результату прибавить 3, его разделили на 0,5 и от ре­
зультата отняли 3 . А ответ получился такой, какой
должен был получиться. Что это было за число?
4. Два мотоциклиста выехали одновременно навст­
речу друг другу из двух городов , расстояние между ко­
торыми равно 330,66 км . Скорость первого 50, 7 км/ч ,
скорость второго 49 ,5 км/ч . Вместе с первым мото­
циклистом вылетела муха со скоростью 100 км/ч и стала
летать между мотоциклистами, пока они не встретились.
Сколько километров пролетела муха?
5. Вот как древнегреческий философ Зенон Элей ­
ский доказывал , что сам быстроногий Ахиллес не смог
бы догнать тихоходную Черепаху: «Пусть вначале их
разделяло 100 стадий и пусть Ахиллес бегал в 100 раз
быстрее Черепахи . Когда Ахиллес пробежит эти
100 стадий, Черепаха отползет на одну стадию . Когда
Ахиллес пробежит эту стадию , Черепаха отползет на
одну сотую стадии. Когда Ахиллес пробежит эту сотую
долю стадии , Черепаха уползет на одну десятитысяч­
ную стадии . И так без конца . Ахиллес никогда не дого­
нит Черепаху! » Почему из рассуждения Зенона не сле­
дует , что Ахиллес не догонит Черепаху?
6. Как измерить толщину проволоки, пользуясь
карандашом и обычной линейкой?
7. Человек может почувствовать изменение массы
предмета, который он держит в руках , если это изме­
нение будет не меньше 0,03 массы самого предмета.
Возможно ли, взвешивая в руках , ощутить различие
масс 700ги715г?
224


Глава тре тья. Расширекие разрядкой сетки
8. Зная , что 0,218 + 0,436 + 0,653 + 0,877 = 2,194,
найди сумму 0,782 + 0,564 + 0,347 + 0,123.
9. Первое число составляет 80% второго , второе
число составляет 40% третьего , третье число состав­
ляет 20% четвертого . Найди эти числа, зная, что их
сумма равна 336.
10. Число кукол у Сони составляет 10% от числа ее
бантиков . Сколько процентов составляет число Сони­
ных бантиков от числа ее кукол ?
11. На один товар дважды снижали цену - на 15%
каждый раз . Надругой товар той же стоимости снизи­
ли цену один раз - на 30% . Какой товар теперь стоит
дешевле?
12. Что больше : 12% от числа 20 или 20% от чис­
ла 12?
13. Что больше : а% от числа Ь или Ь% от числа а?
14. Сколько учеников в классе , если 1 ученик со­
ставляет 4 % всех учащихся?
15. Число мальчико в составляет 45% от числа уче­
ников класса. Каково процентное отношение числа
девочек к числу мальчиков?
16. 100 кг свежих грибов содержали 99% воды .
После сушки в н их стало 98% воды . Сколько весят
грибы после сушки?
17. Банк платит вкладчику 30% годовых. Сколько
получит через два года вкладчик Емеля, положивший
в банк 100 000 рублей? А сколько денег положил
в банк вкладчик Ерема, если через три года он полу­
чил 219 700 рублей?
18. Числовой ребус : СЛОВ ,О + СЛОВ,О = ПЕСНЯ .


Глава ч етвертая
Рацио nаЛЬnЬtе ч и сла
Положительные
и отрицательные числа
а этом рисунке изображены число О,
два первых натуральных числа и
две дроби . Но та часть прямой , ко­
торая лежит левее нуля, не содер­
жит никаких чисел .
II
О1
4
I
1
I
1
3
I
2
..
4
А вот на шкале термометра имеются чис-
ла с обеих сторон от нуля.
Температуры выше нуля называются
поло ж ительными, их записывают с помо­
щью знака «плюс» . Например , « 18 граду­
сов тепла » можно записать так : «+180» или
так: « 180 ».
Температуры ниже нуля называются от­
рицательными и записываются с помощью
знака «минус» . Запись «-180» обозначает
« 18 градусов ниже нуля » , то есть « 18 граду­
сов мороза» .
Левую часть нашей прямой можно за­
полнить так же , как заполнена нижняя
часть шкалы термометра. Отложим влево
от точки О единичный отрезок и обозначим
получившуюся точку числом -1. Отложим
влево от -1 еще один единичный отрезок и
отметим число -2. И так далее :
226


Глава четвертая. Раlfuокалькые чu сла
I
I
I
I
-4
-3
-2
-1
I
О
I
1
I
2
I
3
I
4
•
Числа, расположенные на числовой прямой правее
нуля, называются пол о ж ительными . Положитель­
ные числа записываются со знаком « плюс » или вооб­
ще без знака: +3, 5, t, +0,35.
Числа, расположенные на числовой прямой левее
нуля, называются отрицательными . Отрицательные
числа записываются со знаком «минус » : -5, -!, - 6,7.
Для того чтобы отметить на числовой прямой отрица­
тельные числа -3 , -5, -!, -5,6, нужно отложить влево
от нуля отрезок , длина которого равна 3, 5, ! , 5,6
.
Число О не является ни положительным , ни отри­
цательным числом .
Все положительные числа находятся правее нуля ,
поэтому нуль меньше любого положительного числа:
I
О положительные
числа
•
Вместо того чтобы говорить : «а - число положи­
тельное» , говорят : «а больше нуля» .
Все отрицательные числа находятся левее нуля,
поэтому нуль больше любого отрицательного числа:
отрицательные
числа
I
О
Вместо того чтобы говорить : «Ь - число отрица­
тельное » , говорят: «Ь меньше нуля » .
Координатная плоскость
Как найти число на координатной прямой? Что для
этого нужно знать? Если нам скажут : « Число нахо­
дится справа от нуля » или « Число находится от нуля
на расстоянии двух с половиной единичных отрез-
227


Глава четвертая. Рациональные ч,исла
ков » - этого недостаточно . Ведь справа от нуля нахо­
дятся все положительные числа. А на расстоянии
двух с половиной единичных отрезков от нуля нахо­
дится не одно, а два числа: 2,5 и -2 ,5.
II
I
-2,5
-1
I
О
I
1
I
2,5
..
I
Задача. Назвали только расстояние от данного чис­
ла до нуля - и этого оказалось достаточно, чтобы на­
звать само число . Какое расстояние назвали?
А вот если известно и расстояние от данного числа
до нуля, и то, находится оно от нуля справа или сле­
ва, - тогда число можно точно назвать . Например ,
число , которое находится справа от нуля на расстоя­
нии двух с половиной еди ничных отрезков , - это чис­
ло 2,5.
Можно решить и такую задачу: указать на прямой
точку , которая изображает данное число. Это делает­
ся так.
Точка
Число
справа или слева
расстоя ние
от нуля
от нуля
-17
слева
1 7 ед . отрезков
3, 14
справа
3,14 ед . отрезков
О
-
О
Итак , назвав число , мы называем точку на пря­
мой . Это число называется координатой точки . Чтобы
найти точку на прямой , достаточно назв ать ее коор­
динату .
228


rлава четвертая. Рацuокалькые чu сла
А
всDЕ
F
I
I
-2,5
-1О12
3,5
А(-2,5),В (-1), С(О),D(1),Е(2), F(3,5)
Ну а если нам нужно найти точку не на прямой, а
на плоскости? С этим всегда сталкиваются игроки
в «морской бой » . Они ведь не могут заглядывать друг
к другу , чтобы показать , в какую клетку стреляют.
Клетку надо не показать , а назвать . Для этого их обо­
значают , как известно , так :
а б вгдежз ик
1г-+-�-г-
+�-
-�+-�-г�
2г-�
��-+-+-+
-r�
�
3г-�
��-+-+-+
-r�
�
4
5
г-r-r-r-
r-r-r-+-
+-�
6��
�-4-+-+-
+-r�
�
7��
�-4-+-+-
+-r�
�
8
9
г-�
��-+-+-+
-r�
�
10
Теперь, чтобы назвать нужную клетку, достаточно
сказать: «ж7» , - и услышать «мимо » или «попал » .
При этом игроки могут вообще не видеть друг друга.
В морской бой можно играть даже по телеф ону .
Точно так же поступают и шахматисты , только они
используют латинские буквы . И не всем понятная за­
пись «Kph5 » означает , что король идет на поле h5.
Так можно записывать партии, передавать их по ра­
дио, сообщать друг другу ходы по телефону . Удобно!
Математики поступают оч ень похожим образом ,
когда хотят указать точку на плоскости . Буквы здесь,
229


Глава четвер тая. Раlfuонал ъные чuсла
правда, не годятся . Ведь в любом алфавите конечное
число букв, а точек на плоскости бесконечно много .
Поэтому математики задают точку не парой «буква ­
число» , а парой «число - число » . Как и на прямой ,
эти числа называются координатами точки . Вот как
их находят .
Выберем на плоскости точку, обозначим ее буквой
О и назовем н ачалом координат . Теперь проведем че­
рез эту точку две прямые : вертикальную и горизон­
тальную .
О
Каждую из них превратим в координатную прямую :
точка О будет на обеих прямых изображать нуль;
единичный отрезок возьмем один и тот же :
1
О1
Положительное направление на горизонтальной
прямой выберем вправо и отметим буквой х , а на вер­
тикальной прямой положительное направление выбе­
рем вверх и отметим буквой у. Получатся две коорди­
натные прямые - Ох и Оу:
230


Глава четвер тая. Рацион,альн,ые числа
у
1
О1
х
То , что у нас получилось, называется пр ямоуголь­
ной системой координат. Прямая О х называется осью
абсцисс, прямая Оу - осью ординат. Прямоугольная
система координат позволяет любую точку плоскости
обозначить двумя числами - координатами. Возьмем
на плоскости точку
М
:у
1
О1
х
·м
Проведем через точку
М
вертикальную прямую .
Она пересечется с осью абсцисс в точке, изображаю­
щей на этой оси какое-нибудь число (у нас получилось
число
3).
Это число называется а
бс циссой
точки
М.
у
3 - абс цисса
точки М
1
О1
1:
231


rлава четвертая. Раlfuон.ал ьн.ые чuсла
Значит, чтобы найти абсциссу точки М, нужно :
1) провести через точку М вертикальную прямую ,
2) найти точку пересечения прямой с осью абсцисс ,
3) найти координату точки пересечения - это абс­
цисса точки М.
Чтобы найти точку на плоскости , одной абсциссы
мало. Например , точки А, В и С имеют такую же абс­
циссу, как и точка М:
у
1
о1
3х
м
с
I
Задача. Изобрази как можно больше точек , имею-
щих абсциссу 3.
I
Теперь проведем через точку М еще одну пря­
мую - горизонтальную - до пересечения в некото­
рой точке с осью ординат . Эта точка обозначает на оси
ординат какое-то число (в нашем случае - число - 4).
Это число называется ор динатой точки М.
у
1
-
04
j3M X
-4
-
ордината
точки М
232


Глава четвертая. Рацион,альн,ые числа
Значит , чтобы найти ординату точки М, нужно:
1) провести через точку М горизонтальную пря­
мую ,
2) найти точку пересечения этой прямой с осью ор­
динат ,
3) найти координату точки пересечения - это ор­
дината точки М.
I
Задача. Изобрази как можно больше точек , имею­
щих ординату -4 .
I
Абсцисса и ордината точки называются ее коорди­
натами: абсцисса - первая координата, ордината -
вторая координата . Точка А с абсциссой х и ординатой
у записывается так : А (х; у ). На первом месте всегда
пишут абсциссу, а на втором - ординату .
Например , точка М на нашем рисунке имеет коор­
динаты 3 и -4 и записывается так : М (3; -4).
Зная абсциссу и ординату точки, можно построить
эту точку в прямоугольной системе координат . Постро­
им, например , точкуА (5; -1). Сделаем это в два этапа:
1) найдем на оси абсцисс точку 5 и проведем через
нее вертикальную прямую;
2) найдем на оси ординат точку -1 и проведем через
нее горизонтальную прямую .
у
f-1
о
5х
-1
А
1-
Проведенные прямые пересекаются в точке А (5; -1).
233


Глава четвертая. Рацион,альн,ые числа
Противоположные числа.
Модуль числа.
Целые и рациональные числа
На расстоянии трех ед иничных отрезков от нуля на
координатной прямой находятся два числа: 3 и - 3 .
Два числа, расположенные на числовой прямой по
разные стороны от нуля и одинаково удаленные от не­
го , называются противоположными числами . Число
О считается противоположным самому себе . Напри­
мер , числа 3 и -3 противоположные, так как каждое
из них удалено от нуля на 3 единицы и они располо­
жены по разные стороны от нуля:
I
-3
I
О
3
Число, противоположное числу а, обозначается
-а . Например, -3
-
это число , противоположное чис­
лу 3. А -(-3 ) - это число , противоположное числу -3,
то есть число 3. Так что число -а не обязательно отри­
цательное . Если а - положительное , то -а - отрица­
тельное ; если а - отрицательное , то -а
-
положи­
тельное;еслиа=о,то-а =о.
Пусть число х изображено точкой А на числовой
прямой :
О
I
О
А
I
Х
..
Тогда противоположное ему число -х можно найти
так : отложить от точки О отрезок , равный отрезку
ОА, в другую сторону от точки А. Получится точка В,
удаленная от нуля на то же расстояние , что А, но ле­
жащая с другой стороны :
В
О
I
О
234
А
I
Х


rлава четвертая. Рациокалькые числа
Значит, точ ка В изображает число -х , противопо­
ложное числу х.
в
I
-х
о
о
А
I
Х
Такую точку В можно найти только одну. Так что
у в сякого числа есть ровно одно противоположное ему
число . Отсюда вытекает очень интересное правило :
-
(-а)=а
Ведь число - (-а) противоположно числу -а . И чис­
ло а тоже противоположно числу -а. А так как у чис­
ла -а всего одно противоположное число , то - ( -а) = а.
Расстояние от числа на числовой прямой до нуля
имеет специальное название : оно называется модулем
числа. Модуль числа х обозначается двумя верти­
кальными черточками : Ixl .
Например , число - 8 находится на расстоянии 8 еди­
ниц от нуля, и поэтому его модуль равен 8. Пишем :
1-81 = 8. Ч исло О удалено от нуля на О единиц, поэтому
модуль нуля равен нулю : 101 = о. А число 3,8 удалено
от нуля на 3,8 единицы: 13,81 = 3,8.
Определение модуля числа а можно записать в в и­
де ф ормулы:
{а,еслиа>О,
lal= О,еслиа=О,
-а,еслиа<о.
Например .
151 = 5, так как 5 > О (первая строка формулы),
101 = о (вторая строка ф ормулы),
1-71 = - ( -7) = 7 (третья строка формулы).
Теперь есть числа и в левой части числовой пря­
мой . Натуральным числам 1, 2, 3 , 4, ..., лежащим
правее нуля , соответствуют противоположные им
235


Глава четвертая. Рац. иокал ькые числа
числа - 1, - 2, -3, -4 , ..., лежащие левее нуля. Их раз­
деляет число нуль. Все он и: натуральные числа, чис­
ло нуль и числа, противоположные натуральным , -
называются целыми числами . Кроме натурал ьных
чисел , справа от нуля располагаются дроби, а слева от
нуля находятся числа, противоположные дробям.
Целые числа, дроби и числа, противоположные дробям,
называются рациональными числами .
I
Задача . Какие из следующих утверждений верны:
1 ) всякое натуральное число - целое ;
2) всякое целое число - натуральное ;
3) всякое рациональное число - целое ;
4) всякое рациональное число - положительное ;
5) всякое натуральное число - положительное ;
6) нуль - рациональное число ;
7) 0,7 - целое число;
8) 0,7 - рациональное число ;
9) -29 - целое число?
Определить рациональные числа можно и по-дру­
гому : это числа, которые можно записать в виде �, где
т - число целое , а n - число натуральное . Вот при­
меры:
17= \7, 17- целое, 1 - натуральное;
О =�, о - целое, 1 - натуральное;
-128=-
1
;8 , - 128 - целое, 1 - натуральное;
2,36 = ���, 236 - целое , 100 - натуральное ;
-
1
;= -�3, -13-целое, 7 - натуральное.
Числовая прямая плотно покрыта рациональными
числами . Между любыми двумя числами, как бы
близко друг к другу они ни стояли, обязательно
найдется еще одно рациональное число . Например ,
между числами 2 и 2,00000 1 находится число
2,0000005 .
236


Глава четвер т ая. Рац.иокалькые числа
2
2,0000005
2,000001
Задача. а и Ь - рациональные числа. Какое" из сле­
дующих чисел обязательно находится между ними :
а+Ь,а-Ь,аЬ,аЬ:2,(а+Ь):2?
I
а
I
Ь
•
Но самое интересное - то , что рациональные чис­
ла вовсе не заполняют всю числовую прямую . На пря­
мой бесконечно много чисел , не являющихся рацио­
нальными (их называют иррациональными). Оказы­
вается , если взять квадрат со стороной в 1 см, то
длина его диагонали выражается иррациональным
числом сантиметров . Но это уже относится к высшей
математике .
о
1
Слож ение рациональных чисел
на числовой прямой
Наш запас чисел опять увеличился . Значит, опять
надо учиться сравнивать , складывать, вычитать, ум­
ножать и делить .
Сра в нив ать рациональные числа очень легко , изо­
бражая их на числовой прямой : чем правее число, тем
оно больше, а чем левее , тем меньше .
237


rлава четвер тая. Рациокалькые числа
Можно сравнивать числа и без числовой прямой по
следующим правилам :
-
нуль больше любого отрицательного числа и
меньше любого положительного числа;
отрицательные числа положительные числа
I
Ь
Ь<О
I
О
0<а
I
а
..
-
любое положительное число больше любого от­
рицательного числа;
отрицател ьные числа положительные числа
р
О
q
..
- из двух положительных чисел больше то , у кото­
рого больше модуль;
положительные числа
I
I
I
О
а
Ь
1..
Ibl--
--
-I-I
Ь>а
- из двух отрицательных чисел больше то, у кото­
рого меньше модуль .
отрицательные ч исла
,'а '!
I
Ь
а
О
11-
-
"--I bl-�
..
а>Ь
Займемся сл ожением рациональных чисел . И здесь
начнем с ис пользования числовой прямой . Но сначала
238


Глава четвертая. Рациональные числа
договоримся , что все известные нам законы сложения
выполняются для любых рациональных чисел :
а + Ь = Ь + а - переместительный закон сложения ;
а+(Ь+с)=(а+Ь)+с-сочетательныйзаконсло­
жения ;
а + О = а - свойство нуля при сложении.
Научимся складывать рациональные числа с по­
мощью числовой прямой, как уже делали это с числа­
ми положительными . Тогда мы действовали так :
1 ) отмечали на числовой прямой первое слагаемое ;
2) от отмеченной точки перемещались вправо
на столько единиц , сколько их во втором слагае­
мом ;
3) отмечали на прямой полученную точку - это и
была сумма.
Так же можно прибавить положительное число Ь
к любому числу а (положительному, отрицательному
или нулю). Например , вот как можно найти сумму
а+Ь,еслиа= -2,5,Ь=1:
1
"'\
- 2,5
-1,5
I
О
I
1
•
Итак , мы умеем прибавить положительное число
к любому числу . Отсюда нетрудно перейти к прибав ­
лению отрицательного числа к числу положительно­
му: ведь слагаемые можно менять местами. Чтобы
найти , например , сумму 5 + ( -2), достаточно найти с
помощью числовой прямой сумму -2 + 5:
I
I
-2
-1
5
I
I
О1
I
I
23
-2+5=3,значит,и5+(-2)=3.
239
I
4
I•
5


Глава четвер тая. Рациокалькые числа
Но можно выполнить действие 5 + (-2), и не пере­
ставляя слагаемых. Чтобы понять , как это делается,
отметим на числовой прямой первое слагаемое 5 и
сумму 3:
I
3
I..
5
Из рисунка видно , что сумма 3 получается , если из
точки 5 переместиться влево на 2 единицы :
I
3
2
I
4
I..
5
Значит, для того чтобы к числу 5 прибавить чис­
ло -2 , надо от точки 5 переместиться влево на 2 еди­
ницы, то есть на столько единиц, сколько их в чис-
ле 1-21.
Так же можно прибавить отрицательное число Ь
к любому рациональному числу а (положительному,
отрицательному или нул ю) . Вот , например , как мож­
нонайтисуммуа+Ь,еслиа= -3,Ь= -5:
f
-5
I
•
I
I
I
I
I
I
I
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Сформулируем общее правило .
Для того чтобы найти с помощью числовой прямой
сумму а + Ь, надо:
1 ) отметить на числовой прямой точку а;
2) указать стрелкой направление перемещения от а:
если Ь положительно - вправо,
если Ь отрицательно - влево ;
3) переместиться в выбранном направлении на
столько единиц, сколько их в числе Ibl, - получим
точку, соответствующую сумме а + Ь:
240


Глава четвер тая. Рациокалькые числа
Ь>О
Ь<О
Iы1
==-1
1ЬI
..
,Е
I..
I
I
I
I
а
а+Ь
а+Ь
а
Числовая прямая позволяет понять, каким образом
надо выполнять сложение, и в тех случаях, когда изо­
бразить числа трудно . Например , если надо найти сум­
му чисел -3,794 и 1,6, то можно рассуждать так . Чис­
ло 1,6 положительное . Поэтому от точки -3 , 794 надо
передвинуться вправо н а 1,6 единицы . Перейдя впра­
во от -3,794 на 1 единицу , мы попадем в точку -2,794.
Перейдя вправо еще на 0,6 единиц, мы попадем в точ­
ку -2 ,194. Следовательно, -3,794 + 1,6 = -2,194.
Еще пример : 59 + (-83). Представим себе на число�
вой прямой первое слагаемое 59. Так как второе сла­
гаемое - 83
-
число отрицательное , то направление
движения от числа 59 выбираем влево . От числа 59
нужно продвинуться влево на 1 -8з1 , то есть на 83 еди­
ницы . Так как 83 > 59, то мы перейдем через нуль, и
нам после этого останется пройти влево еще 83 - 59 еди­
ниц. Итак, 59 + (-83) = -24.
Сложение рациональных чисел
без помощи числовой прямой
Использовать числовую прямую для сложения рацио­
нальных чисел не всегда удобно . В этом легко убедиться
на примерах вроде -3 ,145 + 2,78 или -96 + (-57). Поэто­
му будет совсем неплохо научиться складывать рацио­
нальные числа без помощи числовой прямой .
9-2442
241


Глава четвертая. Рациональные числа
Когда одно из слагаемых - нуль, то' все очень
просто :
а+О=аиО+а=априлюбомзначенииа.
Еще один легкий случай - когда оба слагаемых
положительные числа.
Остаются только два случая :
1 ) оба слагаемых отрицательны ;
2) слагаемые имеют разные знаки: одно положи­
тельно, а другое отрицательно .
Начнем с первого случая : сложим числа -3 и -5, не
изображая их на числовой прямой, но представляя се­
бе эту прямую .
Чтобы найти сумму -3 + ( -5), надо от числа -3 (от­
рицательного , то есть лежащего левее нуля) перемес­
титься влево еще на 5 единиц . Ясно , что сумма ока­
жется числом отрицательным, удаленным от нуля на
3 + 5 = 8 единиц . Значит, сумма - отрицательное чис­
лосмодулем8: -3+(-5)= -8.
Вотчтоунасполучилось:3+5=8и-3+(-5)= -8.
Значит, если слагаемые имеют одинаковые знаки, то
их сумма имеет тот же знак, а модуль суммы равен
сумме модулей слагаемых.
Осталось разобраться в случае , когда слагаемые
имеют разные знаки. Найдем , например , чему равны
следующиесуммы: 1)-3+1;2)-3+3;3)-3+5.
Если бы мы находили эти суммы с помощью число­
вой прямой, то во всех этих случаях продвигались бы
вправо от числа -3 .
В первом случае , продвигаясь от -3 н а 1 единицу
вправо , мы бы не достигли нуля, а остались в левой
части числовой прямой . До нуля оставалось бы еще
3-1 =2единицы.Значит,сумма-3+1-числоот­
рицательное с модулем, равным числу 2: -3 + 1 = - 2 .
Во втором случае , складывая -3 и 3, мы продви­
немся от -3 на 3 единицы вправо и окажемся в точке
О;значит, -3+3=о.
242


rлава четвер тая. Рацuокалькые ч,uсла
в третьем случае , складывая -3 и 5, мы перейдем
черезточкуОипройдемотнеевправоещена5-3 =2
единицы . Получится положительное число с модулем
два:-3+5=2.
Сказанное можно повторить для любых чисел : е с ­
ли слагаемые и меют разные знаки, но не являютс я
противоположными числами, то знак их суммы сов­
падает со знаком того слагаемого, которое больше по
модулю, а модуль суммы равен разности модулей
слагаемых; сумма двух пр отивополо жных чи с ел р ав­
на нулю.
Например , 14 + ( -2) - число положительное, так
как положительное слагаемое 14 и меет больший мо­
дуль, чем отрицательное слагаемое -2; модуль суммы
14 + (-2) равен разности модулей слагаемых, то есть
равен14-2 =12;итак, 14+(-2)=12.
Правила сложения рациональных чисел собраны в
таблице :
Знаки
аиЬ
Одинаковые
la1>Ibl
Разные
IаI =:IЬI
Сумма а +Ь
Знак
ЗнакаиЬ
Знак а
Модуль
Iа1+IЬI
l a l-lbl
а +Ь=:О
Что нужно сделать, чтобы найти сумму с помощью
этой таблицы? Прежде всего смотрим, одинаковы или
различны знаки слагаемых . Если одинаковы - ви­
дим из первой строки таблицы, что сумма и меет тот
же знак , а ее модуль равен сумме модулей слагаемых .
Если различны - сравниваем модули слагаемых . Ес­
ли одно и з них больше по модулю - из второй строки
таблицы находим , что сумма имеет знак того слагае-
243


Глава че т вертая. Рац. иокалькые числа
мого , которое больше по модулю . Если модули слагае­
мых одинаковы - из третьей строки таблицы нахо­
дим , что их сумма равна нулю.
Конечно, точно так же мы действуем , если нахо­
дим сумму и без всякой таблицы . Последовательность
наших действий можно представить в виде схемы :
да
3нак суммы тот же; Сумма
модуль равен сумме равна
модулей слагаемых нулю
нет
3нак суммы тот же,
что у слагаемого с
большим модулем ;
модуль равен раз -
ности модулей сла­
гаемых
Вычитание рациональных чисел
Чтобы науч иться вычитать рациональные числа, ис­
пользуем определение вычитания :
вычесть число Ь из числа а - значит найти такое
число , которое в сумме с числом Ь дает число а.
244


Глава четвертая. Рациональн ые числа
Например , когда мы вычитаем число 2 из числа 6,
мы находим число , которое в сумме с числом 2 дает
число 6:
6-2 =4,таккак2+4=6.
Пока наш запас чисел был ограничен натураль­
ными числами , нулем и положительными дробями,
вычитание было возможно не всегда : нельзя было
вычесть из меньшего числа большее . Можно было от­
нять пять от восьми и даже пять от пяти , но нельзя
было отнять восемь от пяти . Появление рациональ­
ных чисел - великое событие : теперь вычитание воз­
можно всегда .
Ведь что значит вычесть восемь из пяти? По опре­
делению , это значит найти такое число , которое в сум­
ме с числом 8 дает число 5:
5-8 =х,еслих+8=5.
Пока нам были известны только положительные
числа, мы не могли найти такого х. Но теперь мы зна­
ем, что
-3+8=5.
Поэтому5-8 = -3.
Заметим , что тот же результат мы получили бы ,
прибавляя к числу 5 число -8, противоположное чис­
лу8: .
5+(-8) =-3.
Значит, 5 -8 =5+(-8).Отнятьотчисла5чис­
ло 8 - все равно что прибавить к числу 5 число -8 .
А может быть, это всегда так ? Может быть, вообще
отнять от числа а число Ь - все равно что прибавить
к числу а число -Ь?
Да, это именно так . В самом деле , равенство
а-Ь =а+(-Ь)
легко проверить . Для этого достаточно убедиться, что
число а + (-Ь) в сумме с числом Ь дает число а:
245


Глава четвертая. РаЦUQкалькые ч uсла
(а+(-Ь»+Ь=а+«-Ь)+Ь)=а+О=а.
Мы получили правило вычитания :
Чтобы вычесть из числа а число Ь, достаточно
к числу а прибавить число , противоположное числу Ь :
а-Ь =а+(-Ь).
Теперь мы можем любую разность записать в виде
суммы:
разность 6 - 15 - это сумма 6 + (-15),
разность 3 - х
-
это сумма 3 + (-х),
разность -Ь
-
9-этосумма-Ь+(-9)итакдалее.
Умножение и деление
рациональных чисел
При умножении и делении рациональных чисел счи­
таются справедливыми все те законы , которые изве­
стны для чисел положительных :
а Ь = Ь а - переместительный закон умножения ;
а(Ьс) = (аЬ)с - сочетательный закон умножения ;
а(Ь + с) = аЬ + ас - распределительный закон;
а • 1 = а - свойство единицы при умножении;
a·t = 1, если а � о, - свойство взаимно обратных
чисел .
На основании этих законов и законов сложения
можно доказать еще одно свойство умножения : а • О = о.
Вот это доказательство .
Возьмем любое число а. По свойству единицы при
умножении а = а ·1. По свойству нуля при сложении
1=1+о,азначит,а =а(1+о).Пораспределительно­
музаконуа(1+о)=а·1+а·о,значит, а =а·1+а·о.
По свойству единицы при умножении а • 1 = а, поэто­
му а = а + а·о. Прибавим к обеим частям этого равен-
246


Глава четвертая. Рациокалькые числа
ства одно и то же число - а; получится новое равенство
(-а)+а=(-а)+а+а·о.вобеихегочастяхсодержит­
ся сумма ( -а ) + а , равная нулю по известному закону
сложения - свойству противоположных чисел . Зна­
чит, это равенство можно переписать так : О = О + а·о,
то есть а·О = о, что и требовалось доказать.
Это длинное рассуждение можно переписать в виде
цепочки равенств :
а=а·1 =а(1+о)=а·1+а·О =а+а·о,откуда
(-а)+а=(-а)+а+а•О,О =О+а•О,О =а •о.
Итак , для всех рациональных чисел справедли­
вы следующие десять свойств сложения и умноже-
нмя :
1)а+Ь=Ь+а
6)а+О=а
2)аЬ=Ьа
7)а·1 =а
3)а+(Ь+с)=(а+Ь)+с
8)а+(-а)=О
4)а(Ьс) =(аЬ)с
5)а(Ь+с)=аЬ+ас
9) а·1
= 1приа;tО
а
10) а·0=о.
Эти свойства применяются для упрощения вычис­
лений. Но еще важнее то, что с их помощью можно на­
учиться умножать и делить рациональные числа.
Докажем, во-первых, что числа аЬ и а (-Ь) - про­
тивоположные, то есть что их сумма равна нулю:
аЬ+а(-Ь)=а(Ь+(-Ь»=а·0=о.
Итак, а (-Ь)= - (аЬ).
Например , число 2·( - 3) противоположно числу
2·3,азначит, 2·(-3)= -2 ·3= -6.
Понятно, что и (-а)Ь = -(аЬ):
(-а)Ь=Ь(-а)= -(Ьа)= -(аЬ).
у нас получ илось, что произведение чисел с разны ­
ми знаками - это отрицательное число , противопо­
ложное произведению модулей множителей .
247


Глава четверт ая. Рациокал. ькые ч.исл.а
Например , произведение чисел - 7 и 8 - отрица­
тельное число, модуль которого равен 7·8, то есть
-7·8=-56.
Теперь мы умеем перемножать 1) положитель­
ные числа; 2) числа с разными знаками. Осталось по­
нять , как найти произведение двух отрицательных
чисел .
Для этого возьмем числа -а и -Ь . Из формул
а(-Ь) = -(аЬ ) и (-а )Ь ='-(аЬ) получаем :
(-а) (-Ь) = - ((-а)Ь) = - (-(аЬ)).
Значит , произведение (-а ) (-Ь) противоположно
числу -( аЬ). Например , произведение (-2) · (-3) про­
тивоположно числу -(2 ·3). Отсюда получается, что
(-2) · (-3) противоположно числу -6 . Но число , проти­
воположное числу -6, - это число 6. Так что
(-2) · (-3) = 6. Точно так же и вообще
(-а) (-Ь) = аЬ.
Значит , произведение двух отрицательных чисел
положительно : оно равно произведению модулей дан­
ных чисел .
Итак , чтобы найти произведение двух рациональ­
ных чисел , надо :
1) найти модуль произведения: он равен произве­
дению модулей данных чисел ;
2) определить знак произведения : если множители
имеют одинаковые знаки, то произведение положи­
тельно ; если знаки разные - произведение отрица­
тельно .
Так же обстоит дело и с делением :
частное двух чисел с разными знаками противопо­
ложно частному модулей данных чисел ; частное двух
чисел с одинаковыми знаками равно частному моду­
лей этих чисел .
Например, (-14) : 7 = -2; (-15) : (-2) = 7,5 - это
легко проверяется умножением .
248


Глава четвертая. Рац.иокалькые числа
Из правил умножения и деления получается важ­
ный вывод - правило знаков :
про изведение и частное двух чисел с одинаковыми
знаками имеют знак плюс ;
произведение и частное двух чисел с разными з н а-
ками имеют знак минус .
Иногда, чтобы запомнить эти правила, говорят так :
Друг моего друга - мой друг ; плюс · плюс = плюс .
Враг моего друга - мой враг ; минус · плюс = минус.
Друг моего врага - мой враг ; плюс · минус = минус.
Враг моего врага - мой друг ; минус · минус = плюс .
Задачи
1.а+Ь=аЬ=а,'Ь.НайдичислааиЬ.
2.а+Ь+с=аЬс.Найдичислаа,Ьис.
3.а+Ь+с+d+е=abcde.Найдиэтичисла.
4. Можно ли расставить в клетках квадрата 3х3 де­
вять чисел так , чтобы сум ма всех этих чисел была по­
ложительна, а сумма чисел в любых двух соседних
клетках - отрицательна?
5. Построй как можно больше точек, у которых
1) ордината равна 3;
2) абсцисса равна -2;
3) ордината равна абсциссе ;
4) ордината противоположна абсциссе;
5) ордината равна модулю абсциссы;
6) ордината противоположна модулю абсциссы ;
7) абсцисса больше 2;
8) ордината меньше нуля;
9) абсцисса меньше 2;
10) абсцисса больше 2, а ордината меньше 3;
11) ордината на 2 больше абсциссы ;
12) абсцисса на 5 больше ординаты .
6. Будем , как обычно, обозначать абсциссу точки
буквой х, а ее ординату буквой у . Тогда условия пре-
249


rлава четвер тая. Рациональные ч.исла
дыдущей задачи можно переписать так : 1 ) у = 3;
2)х= -2;3)у=хитакдалее. Перепишитакимобра­
зом остальные задания из номера 5.
7 . Вместо длинного задания «( построить как можно
болыпе точек � будем говорить кратко: �построить
графики» . Постройграфики: 13)у=х+2,14)У=х+
+3,15)У=х+(-2),16)у=х+(-3),17)у=2+х,
18)у=3+х,19)у=Ixl+2,20)у=Ix+21,21)у= -х+2,
22)у= -х+3,23)у=I
-xl,24)у= -
Ixl+2,25)у=х -2,
26)у=х -1,27)у=Ixl-4,28)у= -
Ixl-1,29)у=2х,
30)у= -3х,31)у=� ,32)У=� ,33)У=х2,34)У=
= -х2, 35)У=х2+1,36)у=х2- 1,37)у=Ix12•
8. Следующие графики удобно строить по точкам ,
заполняя такую таблицу :
I:1-21-1 1 О1 11 21
38)у=2х+1,39)у=2х-2,40)у=2(х+1),41)у=
= 2(х-1),42)у= -2(х-1),43)у=2(х+1)-2,44)у=
= х(х+1)-х,45)у=(х+1)(х-1)+1,46)у=(х+l)х
х(х+1)-2(х-1),47)у=(х+1)(х+1)-(х-l)(х-1),
48)у=(х+1)х-(х-1)х,49)у=3х+2,50)у=х2+х.
9. В предыдущих задачах значение у можно было
найти для любого значения х. Следующие примеры
потруднее :
51)У=� ,52)У=�
, 53)у=
-
1;,54)У=
55)у= (х12),56)у=
1:�31 '
I
1
1XI'


Глав а пятая
Уравкекuя
ри каком значении буквы а значе­
ние выражения а + 5 равно 12? То
есть к какому числу надо прибавить
5, чтобы получилось 12? Правиль­
но, к числу 7. Сейчас неважно, как
мы до этого додумались: перебирали
разные числа, считали на палочках или как-нибудь
еще. Важно, что теперь мы знаем: а + 5 = 12, если
а = 7. Запись а + 5 = 12 называется уравнением, а чис­
ло 7 - его корнем.
Уравнение - это равенство , в котором имеется
буква и требуется узнать, при каком значении этой
буквы равенство становится верным .
Обычно для обозначения нужного числа исполь­
зуется буква х (икс) . Икс - это что-то вроде маски, за
которой прячется число , пока уравнение н е решен о.
Решить уравнение - значит сорвать маску, найти
значение икс , при котором уравнение превращается
в верное равенство . Это значение икс называют кор­
нем уравн ения.
Возьмем уравнение 3 + х = 7. Если х = 4, оно пре­
вращается в равенство 3 + 4 = 7; это равенство верно,
поэтому число 4 является корнем уравнения . Если
же взять х = 2, то уравнение превратится в равенство
3 + 2 = 7; это равенство неверно, поэтому число 2 не
является корнем нашего уравнения.
251


Глава пятая. Уравнения
Решение самых простых уравнений
Проще всего решить уравнение , в котором буквой икс
обозначен один из компонентов арифметического дей­
ствия: слагаемое , уменьшаемое , вычитаемое , множи­
тель, делимое или делитель. Что общего у уравнений
х+3=23и18+х=ЗО?Вобоихслучаяхнамизвест­
но одно из двух слагаемых и сумма, а найти требуется
второе слагаемое . Поэтому и решаются оба уравнения
одинаково - вычитанием из суммы известного слага­
eMoгo :
х+3=23
х=23-3
х=20
18+х=30
х=30 -18
х=12
Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из изве­
стной суммы вычесть известное слагаемое .
x=b-а
Чтобы решить уравнение х - 4 = 13, надо найти
уменьшаемое , зная вычитаемое и разность . Это урав­
нение решается так :
х-4 =13
х=4+13
х=17
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к из­
вестному вычитаемому прибавить известную раз­
ность .
�___
x
_-__a_=__
b__��� ___
x
__
=
__a_+__b__�
252


Глава пят ая. Уравн,ен,uя
Чтобы решить уравнение 23 - х = 17, надо найти
вычитаемое , зная уменьшаемое и разность . Уравне­
ние решается так :
23-х =17
х=23-17
х=6
Чтобы найти неизвестное вычитаемое , надо из из­
вестного умен ьшаемого вычесть известную разность.
�__
_
a_
-
__X_=
__b__��� ____x_=
__
a_-
__
b__�
Возьмем уравнения 2·х = 12 их· 7 = 28. В обоих
случаях известно произведение и один из двух мно­
жителей и требуется найти второй множитель. Оба
уравнения решаются одинаково :
2·х=12
х=12:2
х=6
х·7=28
х=28:7
х=4
Чтобы найти неизвестный множитель, н адо изве­
стное произведение разделить на известный мно­
житель.
х= Ь:а
Чтобы решить уравнение х : 5 = 11, надо найти
делимое , зная делитель и частное . Уравнение решает­
ся так:
х:5=11
х=5·11
х=55
253


Глава пятая. Уравкекuя
Чтобы найти неизвестное делимое , надо известн ы й
делитель умножить на известное частн ое .
�__
_
x_:
_
a__
=_b
____��� ___X__=__b_.
_
a____�
Чтобы решить уравнение 24 : х = 8, надо найти
делитель , зная делимое и частное . Уравнение решает­
ся так:
24:х=8
х=24:8,
х=3.
Чтобы найти неизвестный делитель, н адо извест­
ное делимое разделить на известное частное .
�___a
_
:_X__=_
b____��� ____x_=
__a__: _b__�
Решение более сложных уравнений.
Алъ-дж ебр ва- л - мукабала
Решение уравнений - предмет изучения в одной из
главных математических наук - в алгебре. Название
этой науки произошло от названия книги среднеазиат­
ского ученого Аль-Хорезми , жившего в УН!- IX веках .
Книга эта называлась «( Китаб мухтасар аль-джебр
ва-л-мукабала ». Словом «( ал ь-джебр » в ней было на­
звано важное правило, применяемое при решении
уравнений. Мы называем его nра в uло.м пере носа. Вот
это правило в его нынешнем виде :
Если какое-либо слагаемое перенести из одной
части уравнения в другую , поменяв знак этого сла­
гаемого , то получившееся уравнение будет иметь те
же корни , что и исходное уравнение .
254


Глава пят ая. Уравкекuя
Задача. Где применено правило переноса при ре-
шении уравнения :
2(х+5)=3х+18,
2х+10=3х+18,
2х-3х= 18-10,
-х=8,
х=-8?
При решении этого уравнения мы использовали не
только правило переноса. Чтобы от предпоследней
строчки перейти к последней , нам понадобилось пра­
вило , которое называется пр авилом деления и форму­
лируется так :
Если обе части уравнения разделить на одно и то
же число , кроме нуля , то получившееся уравнение
будет иметь те же корни , что и исходное уравнение.
Решение задач с помощью уравнений
Решение многих задач упрощается , если использо­
вать уравнения .
Задача. Чтобы как следует потренироваться перед
контрольной работой, Лена за три недели решила
200 задач . С каждым днем она работала все лучше и
лучше, поэтому за вторую неделю она решила на
20 задач больше, чем за первую , а за третью неделю -
в 4 раза больше, чем за первую! Сколько задач реши­
ла Лена за первую неделю?
Решени е
1) В этой задаче спрашиваетс я, сколько задач ре­
шено за первую неделю. Обозначим это неизвестное
нам число через х:
х - число задач , решенных за первую неделю.
255


rлава пя т ая. Уравкекuя
2) Выразим через х остальные неизвестные нам ве­
личин ы, о которых говорится в задаче . Всего в ней
встречаются четыре величины : число задач , решен­
ных за каждую из трех недель, и общее число решен­
ных задач . Первое число мы уже обозначили через х.
Число всех решенных задач - 200. Остаются две не­
известные величины , которые мы и должны выразить
через х. Это число задач , решенных за вторую неделю,
и число задач , решенных за третью неделю . 3а вторую
неделю Лена решила на 20 задач больше, чем за пер­
вую , то есть (х + 20) задач . 3а третью неделю она ре­
шила задач в 4 раза больше, чем за первую , то есть 4х
задач .
3) Теперь составим уравнение , переведя на матема­
тический язык следующее соотношение :
lЧ:е�::::чj
+
IЧ:
е
с� ::::чj
+[
Ч:
е
с�::::чj
= [;: :�:�:xl
за l-ю неделю
за 2-ю неделю
за 3-ю неделю
зада
ч
1
Уравнение будет таким: х + (х + 20)+ 4х = 200.
4) Решим это уравнение :
х+х+20+4х=200,
6х+20=200,
6х=200-20,
6х = 180,
х=30.
5) Осмыслим результат : х - это число задач , ре­
шенных за первую неделю. Мы получили, что х = 30.
3начит , число задач , решенных за первую неделю,
равно 30.
О твет: за первую неделю Лена решила 30 задач .
Как видно , решение задачи с помощью уравнения
состоит из пяти шагов :
1) обозначение одной из неизвестных величин че­
рез х;
256


Глава пятая. Уравнения
2) выражение остальных неизвестных величин че-
рез х;
3) составление уравнения;
4) решение уравнения;
5) осмысление результата и запись ответа.
Из этих пяти шагов самые трудные - второй и тре­
тий . Имеет смысл потренироваться - выполнить
много заданий, в которых надо совершить только эти
шаги : составить выражения и уравнения по условию
задачи. Вот эти задания .
1. В первой бригаде на 3 человека больше, чем во
второй. Число людей в первой бригаде обозначили
буквой х. Вырази через х число людей во второй бри­
гаде. Изобрази обе величины отрезками .
2. Скорость пешехода в 2 раза меньше скорости
велосипедиста. Скорость пешехода обозначили бук­
вой х. Вырази через х скорость велосипедиста. Сде­
лай рисунок .
3. Одно число в 4 раза больше другого . Меньшее из
этих чисел обозначили буквой у. Вырази через у боль­
шее число . Сделай рисунок .
4. Ботинки на 2000 крон дешевле шляпы. Цену
шляпы в кронах обозначили буквой х. Вырази через х
цену ботинок . Сделай рисунок .
5. Рабочий Иванов делает за смену на 10 детал ей
больше, чем рабочий Петров . Сменную выработку
Иванова обозначили через х. Вырази через х сменную
выработку Петрова . Сделай рисунок .
6. Скорость вертолета в 3 раза меньше скорости
самолета. Скорость вертолета обозначили буквой у.
Вырази через у скорость самолета. Сделай рисунок .
7. Путь в гору в 2 раза короче , чем путь по равнине .
Путь в гору обозначили через х. Вырази через х путь
по равнине. Сделай чертеж .
257


Глава пя т ая. Уравнения
8. Тетрадей купили на 8 штук больше, чем каран­
дашей . Число купленных карандашей обозначили
буквой у. Вырази через у число купленных тетрадей .
Сделай рисунок .
9. Число х увеличили в два раза. Получившееся
число уменьшили на 4,01 . Запиши результат . Сделай
рисунок .
10. Весь путь равен у км . Пешеход прошел полови­
ну этого пути, а потом еще 3,4 км. Запиши, сколько
прошел пешеход . Сделай чертеж .
11. Одна сторона треугольника равна х см, вторая на
3 см больше , а третья в два раза короче второй стороны.
Вырази через х третью сторону . Сделай чертеж .
12. Калуша весила у каратов . Когда она вычучила
бутявку, то похудела на 40 каратов . Потом она стрям­
кала грямзика, и ее вес увеличился втрое . Сколько
каратов весит она теперь?
13. Задуманное число х разделили на 5, а затем ре­
зультат умножили на 3. Какое число получилось?
Сделай рисунок .
14. Площадь прямоугольника у разделили на
4 равные части, а затем каждую часть разделили на
5 равных частей . Вырази через у площадь каждого
из получившихся участков . Сделай чертеж .
15. Купили 6 игрушек ценой по х крон за штуку и
еще одну игрушку за 3000 крон . Сколько денег истра­
тили? Сделай рисунок .
16. Карандаш стоит х рублей , а тетрадь на 1 рубль
дешевле . Вырази через х стоимость 8 тетрадей .
Сделай рисунок .
17. Поезд проходит х километров в час , а самолет за
1 час пролетает на 500 километров больше . Сколько ки­
лометров пролетит самолет за 3 часа? Сделай рисунок .
18. В кувшин вмещается х литров , а в бидон на 1,6 л
меньше. Сколько литров поместится в пяти таких би­
донах ? Сделай рисунок .
258


rлава пятая. Урав",е",ия
19. Вместимость кастрюли х литров , вместимость
чайн ика в 1,2 раза больше вместимости кастрюли .
Вместимость ведра в 2,4 раза больше вместимости
чайника. Сколько литров помещается в ведре? Сделай
рисун ок .
20. В первом цехе у рабочих. Во втором н а 120 ра­
бочих мен ьше . В третьем цехе рабочих в два раза
больше, чем во втором . Вырази через у число рабочих
третьего цеха . Сделай рисунок .
I
Это были задания н а составление выражений по ус ­
ловию задачи. Следующие задачи - на составление
уравн ений . Решать получившиеся уравн е ния н е нуж­
но! При затруднениях в выполнении задан ий делай
рисунки .
21. Составь уравнение, зная, что число х равно 27.
22. Составь уравн ение , зная , что число у равн о
12,31.
23. Составь уравн е н ие , зная , что если к числу
х прибавить 15, то получится 18.
24. Составь уравнение , зная , что если от числа
у отнять 8, то получится 84 .
25. Составь уравнение, зная, что разность числа
х и числа 16 равна 48.
26. Составь уравн ение , зная , что если умен ьшить
число у в 10 раз , то получится число 12.
27. Составь уравн е ние , з н ая , что разность чисел
хи5равна90.
28. Составь уравн ение , зная , что произведен ие чис­
ла 7 и числа у равно 1001.
29. Составь уравнение , зная , что частное чисел
хи4равно2.
30. Составь уравнение , зная , что частн ое чисел 8
ихравно4.
259


Глава пят ая. Уравнения
31. Составь уравнение , зная , что стоимость одного
карандаша х пиастров и что 5 таких карандашей сто­
ят 80 пиастров .
32. Составь уравнение по следующему условию.
Автомобиль движется со скоростью х км/ч; за 4 ч он
проехал 360 км.
33. Составь уравнение по следующему условию.
Пирожное стоит х тугриков , а мороженое на 80 тугри­
ков дороже , причем известно, что две порции мороже­
ного стоят 500 тугриков .
34. Составь уравнение по следующему условию .
Скорость велосипедиста х км/ч, а скорость автомоби­
ля 90 км/ч . Скорость автомобиля на 78 км/ч больше
скорости велосипедиста .
35. Составь уравнение по следующему условию .
Цена портфеля х купонов . Она на 60 купонов больше ,
чем цена сумки, равная 130 купонам .
36. Составь уравнение по условию: число 15х в 8 раз
больше , чем число 15.
37. Составь уравнение , зная , что скорость вертоле­
та х км/ч и что она в 5 раз меньше скорости самолета,
равной 900 км/ч .
38. Составь уравнение по следующим данным .
Ученик делает за смену х изделий, мастер - втрое
больше , а вместе они за смену делают 480 изделий.
39. Составь уравнение по следующему условию .
Площадь сада х га, площадь поля в 4 раза больше, при
этом поле на 30 га больше сада.
Поле
1


Глава пят ая. Уравкекuя
40. Составь уравнение по следующему условию .
Одно число равно х, а другое на 8 меньше; произведе­
ние этих чисел равно 20.
41. Составь уравнение по следующим данным .
Одно число равно у, а второе меньше его на 3; частное
этих чисел равно 1,5.
42. Отрезок АВ равен х мм, отрезок CD в 366 раз
больше ; отрезок CD на 62 мм больше отрезка АВ . Сде­
лай чертеж . Составь уравнение .
43. За месяц первый экскаватор вынул на 1000 т
грунта больше , чем второй. При этом первый экскава­
тор вынул х т грунта, а вместе они вынули 28 000 т.
Составь уравнение .
44. В библиотеке имени Пуш кина на 8000 книг
больше, чем в библиотеке имени Гоголя. При этом
в библиотеке имени Гоголя книг в 1,2 раза меньше,
чем в библиотеке имени Пушкина . Обозначь через х
число книг в одной из библиотек и составь уравнение .
45. Одна из сторон прямоугольника в 2,7 раза боль­
ше другой. Площадь этого прямоугольника 999 м 2 •
Обозначь одну из сторон через х и составь уравнение.
46 . Сторона АВ треугольника АВ С равна х см, сто­
рона ВС в два раза больше стороны АВ, сторона АС
равна стороне ВС, а периметр треугольника АВС ра­
вен 30 см. Сделай чертеж . Составь уравнение .
47. Одна сторона прямоугольника на 2 см больше
другой , а периметр его равен 13 см . Сделай чертеж .
Составь уравнение .
48. Длина прямоугольника в 2 раза больше его ши­
рины , а периметр равен 24 см . Сделай чертеж. Со­
ставь уравнение .
49 . Витя задумал число , увеличил его в 3 раза, от­
нял 5 и умножил результат на 2. Получилось 50. Со­
ставь уравнение , введя уд обное обозначение.
261


rлава пят ая. Уравнения
50. Стороны квадрата увеличили в 2 раза. Его пло­
щадь стала равна 16 см2 • Составь уравнение , позволя­
ющее найти сторону исходного квадрата.
51. Одну сторону прямоугольника, равную х см,
увеличили на 2 см, а другую , равную у см, оставили
неизменной. Площадь прямоугольника стала равна
40 см2 • Сделай чертеж . Составь уравнение с двумя не­
известными (х и у).
52. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см,
а другую сторону уменьшили на 2 см. Получился пря­
моугольник площадью 60 см2 • Сделай чертеж . Со­
ставь уравнение .
I


Глава шестая
Введени е в гео метрuю
Об измерениях
еперь мы поговорим о геомет­
р И и. Название этой науки древне­
греческое . В переводе на русский
язык слово «( геометрия » означает
«( землемерие » . Это потому , что глав­
ной задачей геометрии в древности
было сравнение и измерение земельных участков .
С измерением длин человек встречается уже в ран­
нем детстве . Позже он узнаёт, что для того , чтобы из­
мерить расстояние между точками, нужно узнать,
сколько единиц длины содержит отрезок с концами
в этих точках .
Задача. Чему равны длины отрезков на рисунке?
А
В
С
D
I
I
I
�1"11[1 11Т" 11" "�" 11""Г111" l' 111" "'� " 11""�1111" "+ 1" 1""� 11
1
" 1 "�'"111";'�'\
Длина - это место , которое занимает отрезок на
прямой . Точно так же площадь - это место , которое
занимает фигура на плоскости .
Длину измеряют сантиметрами и другими линей­
ными единицами: узнают , сколько единиц длины или
сколько единичных отрезков помещается в измеряе­
мом отрезке . Площадь измеряют квадратными санти­
метрами и другими квадратными единицами: узнают,
263


Глава шестая. Введекие в геометрuю
сколько таких единиц , сколько единичных квадратов
помещается в измеряемой фигуре.
Чтобы найти площадь фигуры, нужно узнать ,
сколько единиц площади помещается в этой фигуре.
I
Задача. Чему равна площадь фигуры на рисунке?
D
единица
площади
Конечно , и длины, и площади мы измеряем не
теми единицами, которыми пользовались древние.
Сейчас основной мерой длины
является метр . Метр введен
в употребление в конце XVHI ве­
ка во Франции. Метром назвали
одну сорокамиллионную долю
длины парижского меридиана
Земли . Эталон метра отлит из
сплава платины с иридием; он
хранится в специальном поме-
щении в городе Севре , близ Па­
рижа . Копии этого эталона хранятся в таких же поме­
щениях в разных странах мира. Российская копия
эталона метра находится в Пулковской обсерватории,
в Санкт- Петербурге . Вот почему метровые линейки
во всех странах мира имеют совершенно одинаковую
длину. Сокращенно метр обозначается буквой м.
ОТ метра произошли и другие метрические единицы
264


Глава шес тая. Введение в геометрию
длины : миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр
(дм), километр (км). А от мер длины произошли и со­
временные меры площади: квадратный миллиметр
(мм2 ), квадратный сантиметр (см2 ) и т. д . Например,
квадратный дециметр - это площадь квадрата со сто­
роной 1 дм.
I
Задача. Нарисуй в тетради по клеточкам квадрат
площадью в 1 квадратный сантиметр и квадрат площа­
дью в 1 квадратный дециметр . Подсчитай , сколько ква­
дратных сантиметров в одном квадратном дециметре .
От тех же единиц длины произошли и современные
меры объема. Куб, ребро которого равно одной едини­
це ДЛИНЫ, называется единичным кубом . Например ,
объем куба с длиной ребра в 1 мм называется кубиче­
ским миллиметром (мм3).
Вспомним, что такое куб и из чего он состоит . С ку­
бом мы встречаемся еще в раннем детстве - все малыши
играют в кубики . Поверхность куба состоит из шести
одинаковых квадратов . Они называются гранями куба .
Стороны этих квадратов называются ребрами куба .
Задача. Сосчитай , сколько ребер у куба.
Еще задача. Составь куб из одинаковых палочек ,
пользуясь пластилином . Сколько палочек и сколько
кусочков пластилина тебе для этого понадобится?
265


Глава шестая. Введекие в геометрию
и еще задача. Догадайся , как называется объем
кубасребромв1 см, в1 км, 1дюйм, 1 аршин. Чтота­
кое дюйм и аршин , посмотри в энциклопедическом
словаре .
I
На этом рисунке изображены единичный отрезок ,
единичный квадрат и единичный куб .
r-
--
--
-i
D@
1 санти м етр
1 квадр атный
1 кубический
сантиметр
сантиметр
Задача. Фигура на рисунке разделена на равные
кубы . Сколько получилось кубов?
////
L//
//
/
-
v
v
/
/
V
/
/
V
Еще задача. Сколько кубиков в фигуре на следую­
щем рисунке?
266


rлава шест ая. Введение в геометрию
и еще задача . Прямоугольная площадка разделена
на квадратные сантиметры . На каждый сантиметр
кладут куб объемом в один кубический сантиметр .
Сколько кубических сантиметров уложится в 1 слой,
в2слоя,в5слоев?
Литр
/L,.
..
.
z--
--,
/.-z--
--,
С.-z--
-:
:l
С.-z-/� Z-
7
�
/=z�=z=z�
Количество вещества можно измерять по-разному.
Ин огда определяют массу вещества, иногда - его
объем. Когда мы покупаем в магазине картошку, ее
отмеривают килограммами, а молоко отмеривают ли­
трами, то есть единицами объема .
Объем тела - это место , которое занимает тело
в пространстве . Измерить объем - значит узнать,
сколько единиц объема - кубиков с ребром в одну
единицу длины - помещается в этом теле .
Литр - это кубический дециметр . Это значит,
что жидкость объемом в один литр занимает в прост­
ранстве столько же места, сколько куб с ребром в 1 дм .
Упаковку для одного литра жидкости можно скле­
ить в форме куба .
267


Глава шестая . Введекие в геометрию
Задача. Куб имеет объем 1 литр . Какова длина реб­
ра этого куба?
Чтобы коробка годилас ь для хранения жидкости,
ее нужно сделать из водонепроницаемого материала.
Мы же сделаем такую коробку из обычной плотной
бумаги .
I
Задача. Какой формы и каких размеров должны
быть стенки, дно и крышка коробки , если форма этой
коробки - куб, а объем ее - 1 литр? Нарисуй на
плотной бумаге и вырежь грани куба . Склей такую
коробку .
Стенки , дно и крышка куба - это его грани. У ку­
ба 6 граней . Все они - равные квадраты .
Половина литра. Прямая призма
Иногда молоко продают в полулитровых упаковках .
Такую упаковку можно сделать, разделив литровый
куб пополам .
Задача. Литровый куб разрезали
пополам , как . показано на рисунке .
Склей одну из таких коробок .
268


Глава ш ес т ая. Введекие в геометри ю
Еще задача. Л итровый куб разрезали пополам , но
уже по-другому . Склей одну из получившихся коробок .
Получившиеся полул итровые коробки имеют раз­
ную форму : основание первой коробки - прямоуголь­
ник , основание второй коробки - треугольник . Но
есть в этих фигурах и общее : 1) у каждой из них два
равных между собой основания ; 2) у каждой из них
боковые грани - прямоугольники . Такие фигуры на­
зываются nр ямымu nр uзма.мu.
Если в основании прямой призмы лежит прямо­
угольник , то такая призма называется пр ямоуголь­
ным nараллелеnunедом. Форму прямоугольного па­
раллелепипеда имеют спичечный коробок и классная
комната .
I
Задача. Какие фигуры на этом рисунке - прямые
призмы? Какие из них - прямоугольные параллеле­
пипеды?
[j8�
J.
.-
---
I
",'
,,).
..
.
--- -
i>E!i7
Еще задача. Какие фигуры из бумаги надо выре­
зать, чтобы из них можно было склеить прямоуголь-
269


rлава шес тая. Введекие в геометрию
ный параллелепипед высотой 3 СМ, длин о й 5 см и ши­
риной 4 см?
I
Расстояние между верхним и нижним осн ования­
ми прямой призмы называется высотой призмы. Вы­
соту призмы можно измерить так , как измеряют рост
человека - прибором под названием ростомер .
I
Задача. Объясни, почему куб является прямой
призмой ; почему куб является прямоугольным па­
раллелепипедом .
Одна треть литра. Пирамида
Нетрудн о сделать и такую коробку, которая' вмещает
одну треть литра. Для этого достаточн о разрезать ли­
тровый куб н а три равные части .
I
Задача . Какие фигуры из бумаги надо вырезать,
чтобы из них можно было склеить прямую призму
объемом в 1 литра?
I
Но коробку объемом в 1 литра можно склеить и
совсем иначе - не в форме призмы , а в форме nuра­
мuды.
270


rлава шес тая. Введе",ие в геометрuю
Пирамиды известны людям давно. Несколько ты­
сячелетий стоят в северо-восточной Африке пирами­
ды, построенные древними египтянами . Самая боль­
шая из них - пирамида Хеопса - имеет высоту око­
ло 150 м. В ее основании лежит квадрат со стороной
около 230 м.
У призмы два основания, а у пирамиды одно . Вы­
сотой пирамиды называется расстояние от ее основа­
ния до вершины . Высоту пирамиды , как и призмы ,
тоже можно измерить ростомером . Все грани пирами­
ды , кроме основания , называются боковыми граня­
ми - как у призмы.
Задача. На сколько удалена вершина пирамиды
Хеопса от основания - от поверхности земли?
Еще задача. Среди тел , изображенных на рисунке,
найди пирамиды . Какую форму имеют их основания
и какую - боковые грани?
Но вернемся к тому, с чего мы начали наш разго­
вор о пирамиде, - к вопросу о ее объеме.
271


Глава шес тая. Введекие в геометр ию
Возьмем пирамиду и призму , У которых равны и
основания, и высоты . :Конечно , объем такой пирами­
ды меньше объема такой призмы. Но оказывается -
не просто меньше , а меньше ровно в три раза.
Доказательство этого очень сложно, и о нем гово­
рить мы не будем. Но есть один пример , который
прост и понятен .
Возьмем куб. Соединим его центр со всеми точками
нижнего основания куба. Получится пирамида . Та­
Kиx пирамид в кубе шесть . Все эти пирамиды равны
друг другу , а значит , имеют равные объемы. Объем
каждой из них равен i части объема куба .
Теперь рассмотрим прямую призму с таким же ос­
нованием и с такой же высотой , как у построенной на­
ми пирамиды . Эта прямая призма - половина куба .
Ее объем равен половине объема куба . Итак , объем
пирамиды в нашем случае действительно равен t объ­
ема призмы с таким же основанием и с такой же вы­
сотой .
Поэтому коробку в t литра можно сделать в виде
пирамиды , у которой основание и высота такие же,
272


Глава шес тая. Введекие в геометрию
как у литрового куба. В качестве основания берется
нижнее основание такого куба, а в качестве верши­
ны - любая точка на верхнем основании куба. Удоб­
нее всего взять в качестве вершины центр верхнего
основания . Объем этой пирамиды втрое меньше объе­
ма этого куба, то есть равен i литра.
Задача . Склей пирамиду объемом в i литра.
Формулы объема призмы и пирамиды
До сих пор речь шла о том , как склеить призму или
пирамиду известного объема. А если нам дали гото­
вую призму или пирамиду - как измерить их объем?
Начнем с призмы . Как узнать, сколько в ней поме­
щается единиц объема - единичных кубиков?
I
Задача. Найди площадь основания и объем каждой
фигуры на рисунке .
1/
/1
1/
V
V
VV
1/1/
1/7lL
V1/
/V
V
V
у
v
У
г-
� ��3
10-2442
273


Глава шестая. Введекие в геометрию
Как видно , в одном слое помещается столько куби­
ков , сколько квадратных единиц помещается в осно­
вании. Это означает , что если высота призмы равна 1,
то ее объем численно равен площади основания .
Задача. Найди площадь основания и объем фигуры
на рисунке .
L/'//
LL//
L:L///V
////
//////
/
VV
v
;/
///
1/
V
/
V
Получаетс я, что объем равен произведению числа
единичных кубов в одном слое на число слоев . Объем
обычно обозначают буквой V, а площадь основания -
буквой S . А так как число кубиков в одном слое равно
площади основания , а число слоев равно высоте пря­
мой призмы , получаем такую формулу :
V=Sh,
где V - объем призмы , S - площадь ее основания,
h - ее высота.
I
Задача . Сколько слоев единичных кубов содержит­
ся в прямой призме с высотой 3 единицы?
I
Формулой объема можно пользоваться лишь тог­
да, когда площадь основания и высота измерены в со­
ответствующих единицах , например в квадратных
сантиметрах и сантиметрах . Тогда и объем получает-
274


rлава шес тая. Введекие в геометрию
ся в соответствующих им единицах , например в куби­
ческих сантиметрах .
Задача. Вычисли объем прямой призмы с площа­
дьюоснования S и высотой h, если 1)S=5 см2, h =
= 4см;2)S=7м2,h=8м;3)S=6дм2,h =4м.
I
Теперь возьмем пирамиду с основанием, площадь
которого равна S, и высотой h. Ее объем V в три раза
меньше, чем объем призмы с такими же основанием и
высотой.
I
Задача. Объем пирамиды равен 660 см3 • Определи
объем призмы с таким же основанием и такой же вы­
сотой , как у этой пирамиды .
I
Формула объема V пирамиды с площадью осн ова­
ния S и высотой h получается такая :
1
V=зSh.
I
Задача . Вычисли объем прямой пирамиды с пло­
щадью основания S и высотой h, если 1) S = 5 см2 ,
h=4см;2)S=7м2,h=8м;3)S=6дм2,h =4м.
Еще задача . Из склеенных раньше фигур возьми
одну призму И одну пирамиду и вычисли их объем .
Выполняй работу в таком порядке:
1) Начерти сетку с квадратами в 1 см , поставь на
нее основание призмы или пирамиды и обведи его ка­
paHдaшoM . Квадраты , целиком содержащиеся внут­
ри нарисованной фигуры, заштрихуй горизонтально
(на рисунке имеется 3 таких квадрата). Квадраты, за­
нятые этой фигурой частично, заштрихуй косо ( н а
рисунке имеется 14 таких квадратов). Подсчитай
приблизительн о площадь фигуры , считая площадь
275


Глава шес тая. . Введение в геометрию
каждого квадрата, заштрихованного горизонтально
за 1 см2, а площадь каждого квадрата, заштрихован ­
ного косо, за t см2•
1+1+1+1+1+1+
222
+1+1+1+1+1+1+
222222
+1+1+1+1+1
22222
2) Измерь высоту призмы или пирамиды.
3) Вычисли объем, подставив в нужную формулу
найденные значения площади основания и высоты
призмы или пирамиды .
Еще задачи
1. Вычисли по клеткам приблизительную площадь
фигуры на рисунке .
2. Вычисли объем пирамиды Хеопса (см . с. 271).
3. Объем пирамиды равен 150 дм3 • Чему равен объ­
ем прямой призмы с таким же основанием и такой же
высотой , как у этой пирамиды?
4. Объем прямой призмы 72 см3 , а площадь ее осно­
вания равна 18 см2 • Чему равна ее высота?
276


Глава шестая. Введение в геометрию
5. Объем пирамиды равен 48 см3 , а ее высота 30 мм .
Чему равна площадь ее основания?
6. На рисунке изображены сосуды. Сколько жид­
кости вместится в этих сосудах ?
,
I
/h =3cM
I
I
)--- -----
/8=9см2
Цилиндр
Объем часто измеряют стаканами . Так и пишут в
рецептах : «Возьмите два стакана муки ».
Обычный круглый тонкостенный стакан . имеет
объем i литра. Форма такого стакана - цилиндр .
Из всех фигур , о которых мы говорили, больше
всего похожа на цилиндр прямая призма. Только осно­
вания у призмы - многоугольники, а у цилиндра -
круги .
277


rлава шес т ая. Введе",ие в геометрuю
Формула объема прямой призмы V = Sh верна и
для цилиндра. И ничего удивительн ого в этом н ет.
Представим себе , что мы стали увеличивать число
сторон м н огоугольника, лежащего в основании п р я­
мой призмы : взяли треугольную призму, от нее пере­
шли к четырехугольной , потом к пятиугольной и так
далее . В конце концов мы не сможем отличить мн о го­
угольник от круга и призму от цилиндра. А формула
V = Sh , верная для всех этих призм , в конце концов
перейдет в формулу объема цилиндра .
----
--..
.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
�----_. -�,
I
'
,
,
I
\
,.,.'--..
..
..
..
,
V=Sh
;""'..
.
-----,
"
"
Найдем по этой формуле вместимость стакана,
внутренние размеры которого такие : площадь основа­
ния равна 28,8 см2 , а высота 8,7 см . По формуле объ­
ема получаем:
V = Sh = 28,8 ·8,7 = 250,56 (см3).
278


Глава шестая. Введекие в геометрию
Задача. Найди объем цилиндра, высота которого
равна 3 м, а площадь основания 36 дм2 •
Чтобы склеить цилиндр , вырезают два равных
круга и прямоугольник , который можно свернуть
так , что получится стенка цилиндра. Правда, пра­
вильно подобрать длину этого прямоугольника непро­
сто . О том , как это делается, мы будем специально го­
ворить. А пока что склей цилиндр, точно копируя ри­
сунок .
I
Задача. Склей цилиндр по рисунку и вычисли его
объем, измеряя площадь круга по клеткам , как в за­
даче на с. 275.
/r"\.
If
О
А
1\
"-V
А
п-
т
I
Конус
Как изготовить сосуд , объем которого в 3 раза меньше
объема стакана? Конечно , можно склеить цилиндр
279


Глава шестая. Введекие в гео метрию
с таким же основанием и с высотой, в 3 раза меньшей .
Но можно поступить и так , как мы однажды поступи·
ли с призмой, - перейти к фигуре другой формы:
от призмы - К пирамиде,
от цилиндра - к конусу .
Сравним формулы :
Vпризмы = Sh,
V цилиндра = Sh,
V пирамиды = !Sh,
V конуса = !Sh.
Нет ничего удивительного в том, что формулы объе­
ма пирамиды и конуса одинаковы. Ведь конус можно
п редставить себе как пирамиду, в основании котор ой
лежит многоугольник с бесконечно большим числом
сторон .
Задача. В цилиндр вставили конус с таким же ос·
нованием и такой же высотой, как у цилиндра. Какая
часть объема цилиндра занята конусом? Какая часть
свободна от конуса?
280


Глава шес тая. Введекие в геометрию
Еще задача. Вычисли объем конуса, высота кото­
рого 6 ДМ , а площадь основания 30 см2 •
I
Склеить конус , равный данному, - дело непро­
стое . Пока достаточно уметь склеивать конус из гото­
вой развертки .
3адача . Склей конус по рисунку и вычисли е го
объем .
Площадь. Площадь прямоугольиик а
Как известно, площадь фигуры - это место , которое
занимает фигура на плоскости. Измеряется площадь
в квадратных единицах , то есть с помощью единич­
ных квадратов.
281


Глава шестая. Введекие в геометрию
Мы умеем находить площадь, накладывая фигуру на
сетку . Но это и долго , и неточно . Иногда результат та­
ких вычислений зависит от того , как наложена фигура.
Например , на рисунке а) площадь фигуры равна 5 см2 ,
а на рисунке б) площадь той же фигуры равна 4 см2 •
а)
б)
1+1+1+1+
22
+1+1=4 см2
22
Для некоторых фигур имеются формулы, позволя­
ющие быстро находить их площадь. К таким фигурам
относится прямоугол ьник - четырехугольник , все
углы которого прямые .
3см
5см
На рисунке изображен прямоугольник со сторо­
нами 3 см и 5 см . Какова его площадь? Сколько квад ­
ратов со стороной 1 см помещается в этом прямоуголь­
нике? Сразу видно , что 15. Но, для того чтобы это
определить, можно было и не разлиновывать прямо-
282


rлава шестая. Введекие в геометрию
угольник , а немножко порассуждать и провести вы­
числение по формуле . В самом деле , ширина нашего
прямоугольника 3 см . Значит , е го можно мысленно
разделить на три полосы шириной по 1 см каждая .
Длина каждой полосы равна длине прямоугольника,
то есть равна 5 см . Значит, в каждой полосе помеща­
ется по 5 квадратных сантиметров. Итак , в нашем
прямоугольнике помещается 3 раза по 5 квадратных
сантиметров , то есть его площадь S = 3 • 5 см2 • И вооб­
ще, если длина прямоугольника а единиц длины , а
ширина е го Ь таких же единиц длины , то в нем поме­
щается а полос по Ь единичных квадратов в каждой
полосе . То есть площадь S любого прямоугольника
можно вычислить по формуле
S=аЬ.
Знание этой формулы облегчает вычисления: те­
перь уже не только не нужно разлиновывать прямо­
угольник , но даже можно и вообще не рисовать е го.
Чтобы найти его площадь, достаточно знать е го изме­
рения - длину и ширину .
I
Задача . Найди площадь прямоугольника со сторо­
намиаиЬ,если1)а=3м,Ь=8м;2)а=6см,Ь=8дм.
Еще задача. Начерти какой-нибудь прямоуголь­
ник площадью 12 см2 •
I
Всякий квадрат является прямоугол ьником . По­
этому площадь квадрата можно найти по формуле
площади прямоугольника. Правда, здесь дело еще
проще : у квадрата стороны равны , а если известна од­
на из сторон а, то другую сторону измерять не надо.
Да и формула упрощается :
SKBaдpaTa = а · а, то есть
S=а2•
283


Глава шес тая. Введение в геометрию
I
Задача. Найди площадь квадрата со стороной 15 мм.
Еще задача . Начерти квадрат , площадь которого
равна 49 см2 •
I
Площадь треугольника
На этом рисунке изображен многоугольник , который
легко разделить на прямоугольники . Площадь такого
многоугольника вычислить просто .
I
Задача . Вычисли площадь этого многоугольника.
I
Но ведь не всякий многоугольник можно разде­
лить на прямоугольники .
Задача. Начерти многоугольник, который нельзя
разделить на прямоугольники .
I
А вот на треугольники можно разделить любой
многоугольник. Чтобы, например , разделить на тре­
угольники вот такой многоугол ьник , достаточно про­
вести из точки А все его диагонали - отрезки, соеди­
няющие вершину А с несоседними вершинами .
284


Глава шестая. Введекие в геом етри ю
А
Задача. Перечерти по клеткам многоугольник
с рисун ка и раздели его на треугольники диагонал я­
ми, выходящими из вершины М.
1/
1"-.
й--
/
1"\
"
V
f'.
.
/
Значит, чтобы вычислить площадь любого много­
угольника, достаточно научиться вычислять площадь
любого треугольника.
Если треугольник равен половине прямоугольни­
ка, то его площадь найти легко - достаточно пере­
множить длины сторон , образующих прямой угол
(тогда мы найдем площадь прямоугольника), и разде­
лить результат пополам .
ь
f.J
а
./
'"
V
�f'
--
------
sп рямоугольника = а • Ь
285
V
-- --
I
/1
I
I
I
I
I
I
'
I
- -+-�
1
Sтреугольника = '2 аЬ


rлава шестая. Введекие в гео метрию
Треугольник, равный половине прямоугольника,
легко узнать среди других - у него есть прямой угол ,
и называется он пря моугол ьным тр еугольнuком.
Интересующие нас стороны этого треугольника, об­
разующие прямой угол , называются катетами пря­
моугольного треугольника. Если просят построить
треугольник с катетами 3 см и 4 см - речь идет о пря­
моугольном треугольнике , и прямой угол располо­
жен между указанными сторонами - катетами .
катет
Задача. Среди фигур на рисунке найди прямо­
угольные треугольники и измерь линейкой их кате­
ты . Чему равна площадь каждого из них?
Еще задача. Начерти какой-нибудь прямоуголь­
ный треугольник , площадь которого равна 5 см2 •
I
Возьмем теперь непрямоугольный треугольник .
Именно таков треугольник АВе. Чтобы найти его пло­
щадь, достаточно разделить его на два прямоуголь­
ных треугольника, вычислить площадь каждого из
них и сложить результаты .
286


Глава ш ес т ая. Введекие в геометрию
в
А
с
Задача. Перечерти по клеткам треугольник АВС,
раздели его на прямоугольные треугольники и найди
площадь треугольника АВС.
I
С
1/\
/\
/
\
\
/
\
-А
/
\-
в
Чтобы разделить треугольник на два прямоуголь­
ных треугольника, в нем проводят высоту. Высоту
треугольника можно найти так же, как высоту приз­
мы, пирамиды , цилиндра и конуса - ростомером .
287


rлава шестая. Введекие в геометрию
Если все углы треугольника острые , то в нем можно
провести три высоты , каждая из которых делит его н а
два прямоугольных треугольника. Но хотя бы одну та­
кую высоту можно провести у любого треугольник а.
Зад ач а . Перечерти по клеткам треугольники и
проведи внутри них все возможные высоты .
Jr\
"r-.
..
.
J
./V
7�
)
v
11 1\
1/V
v
1\
)r\
./V
I
\11
\
I
"
i\
11
\
"
Займемся выводом формулы площади треугольни­
ка. Из рисунка понятно , что она равна половине про­
и зведения стороны треугол ьника на высоту, прове­
денную к этой стороне :
а
288
s=ah
2


Глава шес тая. Введение в г еометрию
Для прямоугольного треугольника эту формулу
можнопереписатьввидеS=а;, гдеаиЬ-длиныка­
тетов треугольника. И в самом деле, если взять в каче­
стве одной из сторон катет а, то высотой прямоуголь­
ного треугольника окажется катет Ь.
b=h
а
Задачи
S _ah
-
2
s=аЬ
2
1. Перечерти многоугольник и раздели его н а т ре­
угольники, проводя диагонали из какой-нибудь одной
вершины .
)�t-
['.
.
V
1'\
V
1\
I
IJ
\
i.-
--
�
2. Начерти многоугольник , который можно разде­
лить на четыре треугольника диагоналями , проведен­
ными из одной вершины .
3. Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и
4 см и раздели его на два треугольника. Какие тре­
угольники получились? Чему равны катеты?
4. Начерти прямоугольник со сторонами 4 см и
5 см и раздели его на два треугольника. Чему равна
площадь этого прямоугольника? Чему равна площадь
каждого получившегося треугольника?
289


rлава шес тая. Вв едение в геометрию
5. Убедись с помощью чертежного угольника, что
все треугольники на рисунке прямоугольные . Перечер ­
ти их по клеткам и найди площадь каждого из них.
I
1/
�
г..
..
�
I
�\"
I..
..
..
.
�
\
I
\r\.
I
..
..
..
.
..
..
..
.
,
J
1/
..
..
..
..
..
.
\
1/
,
..
..
..
�
\
'\
"
/\
..
..
..
.
1"-.
..
\
1'-.
1"/
�
--�
"/
\
6. Один из катетов прямоугольного треугольника
равен 4 см , а другой 1,2 дм . Чему равна площадь тре­
угольника?
7. Один из катетов прямоугол ьного треугольн ика
равен 7 см, а его площадь равна 70 см2 • Чему равен
второй катет?
8. Начерти треугольник , имеющий тупой угол , и
раздели его на два прямоугольных треугольника.
9. Сторона треугольника равна 6 дм , а высота, про­
веденная к этой стороне , равна 15 см . Чему равна пло­
щадь этого треугольника?
10. Сколько понадобится краски , чтобы закрасить
треугольник на рисунке, если на 1 см2 уходит 10 мг
краски? (Длина клетки 5 мм) .
/\.
/\.
/
"
/
"'
I
'\
1/
\.
290


Глава шестая. Введекие в геометрию
11. На окраску какого треугольника пойдет боль­
ше всего краски?
/
V
1/
./�
/1'.
V
V
V..
..
..
.
�
J
г"
"-
-
r-.
..
.
/
"�
г"
"-
-
..
..
..
.
V
"-V
Дельтоид и п араллелограмм
Умея находить площадь треугольника, мы можем
найти площадь любого многоугольника.
Конечно, самый простой случай - если много­
угольник делится на два треугольника, то есть если
этот многоугольник - четырехугольник . Мы тогда
можем принять за общую сторону треугольников диа­
гональ четырехугольника и, проведя высоты этих
треугольников, быстро найти ответ .
I
Задача. Найди площадь четырехугольника на ри­
сунке .
291


rлава шестая. Введекие в геометрuю
,/i".
.
/10'
..
..
.
,
\.
"
f\
..
..
.
�
"
,.
..
.,.
.
i-"
""
-
\�""
�
Еще лучше , если четырехугольник делится на два
равных треугольника . Тогда достаточно найти площадь
одного из этих треугольников и результат удвоить .
Задача . Четырехугольники на рисунке состоят из
равных треугольников . Найди площади этих четырех­
угольников .
J�r-
-.
..
.
ь
ь
1-
--
а,
К
..
..
..
�
I1"'-
I
V
f'.
..
""
"'-
а1/ '"
I/a1-
--
r\
��I
"
t-.
..
..
I
а1\.
��
v
�1/
i-
-
\vь
l.
.".
.;
ь
292


rлава шест ая. Введекие в геометрию
Эти четырехугольники отличаются друг от друга .
у первого равные стороны равных треугольников -
соседние. У второго равные стороны равных треуголь­
ников - противоположные . Первый четырехуголь­
ник называется дел ьmоuдом, второй - nараллело­
гр аммом.
Задача. Среди четырехугольников на рисунке най­
ди дельтоиды и параллелограммы .
D
Еще задача. Скопируй по клеткам треугольник
АВС . Вырежь два треугольника, равных треугольни­
ку АВС . Наклей их на бумагу так , чтобы получился
дельтоид . Найди его площадь .
I
В
/"
..
..
.
'"
/
r-.
..
..
I
..
..
..
..
I
�
/
г'-..
..
..
-А
V
'-
с-
I
и еще задача. Скопируй по клеткам треугольник
АВС . Вырежь два треугольника, равных треугольни­
ку АВС . Наклей их на бумагу так , чтобы получился
параллелограмм . Найди его площадь .
I
293


Глава шестая. Введекие в геометрию
Из этого рисунка видно , что площадь дельтоида
равна половине произведения его диагоналей:
В
s=ВО.А2
С+OD.А
2
С=
А+-
--
-+-
--
-�
С
= Ар(ВО+OD)=
AC ·BD
2
D
Задач а . Найди площадь дельтоида , изображенного
на рисунке .
А
./Vi\
./V
,
D./,/
\В
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
/
..
..
..
..
..
r-
-.
..
..
�
..
..
..
..
..
r-
-.
..
..
V
С
А из этого рисунка видно , что площадь параллело­
г рамма равна половине произведения его стороны на
его высоту, проведенную к этой стороне .
r-
--
--
--
--
--
--�
c
s=2 .iAD.ВМ =ah
294


Глава шестая. Введекие в геометрию
Задача. Найди площадь параллелограмма, изобра­
женного на рисунке .
в
с
�
/�
\
J\
v
1\v
1\
,/
\
IA
D
Еще задача. На рисунке изображен ромб - четырех­
угольник, все стороны которого равны . Ромб одновре­
менно и дельтоид , и параллелограмм. Найди площад ь
этого ромба двумя способами и сравни результаты .
vf'
/V
..
..
..
.
'"
l/
�
г'.
v
..
..
..
.
"-
/
V
�l/
Еще задача. Какими способами можно найти пло­
щадь квадрата?
И еще задачи
1. Стороны прямоугольника 36 дм и 40 см. Найди
его площадь.
2. Длина прямоугольника 20 см , а его площадь
4 дм2 • Какова его ширина? Как называется такой пря­
моугольник?
295


Глава шес тая. Введекие в геометрию
3. Начерти прямоугольник площадью 7 см2 •
4. Найди площадь треугольника, сторона которого
равна 5 см, а высота, проведенная к этой сторон е, рав­
на6см.
5. Найди площадь прямоугольного треугольника
скатетами30сми4дм.
6. Начерти прямоугольный треугольник , площадь
которого равна 11 см2 •
7. Найди площади фигур, изображенных на рисунке .
J
J1\.��
i\..
..
..
..
..
..
..
�
1I
1\.
\
\�
IIJ
\\\
,
\
If-�р
,
..
..
..
..
..
r-.
..
..
�
-
r-.
..
.
..
..
..
..
..
�
io-.
..
8. Все стороны каждой из фигур , изображенных на
рисунке, увеличили в 2 раза. Нарисуй получившиеся
фигуры . Во сколько раз увеличилась площадь каждой
фигуры?
о построениях
Задачи в геометрии бывают разные . В некоторых
предлагается что-нибудь измерить или вычислить , ес­
ли имеется сама фигура.
Задача. Какие измерения и вычисления можно
сделать по этому рисунку?
296


Глава шестая. Введекие в геометрию
А
В
D
Jl'..
..
..
Vr-
-.
..
.
I
..
..
..
..
.
�
/
"-
с
Е
в некотор ых задачах т р ебуется постр оить ( изо­
бразить, н арисовать, начертить) фигуру, равную
данно й . Если т ребуется построить фигуру, р авн ую
гран и данной пирамиды или призмы, мы можем
приложить ее к листу бумаги и обвести каранда­
том. Если требуется построить фигуру, равную
той , котор ая н ачерчена на клетчатой бумаг е, мы
можем пер е р исовать ее по клеткам . Если т р ебуется
скопир овать фигуру, начерченную н а н елинованно й
бумаге , то это можн о сделать с помощью кальки или
копир ки.
Задача . Перерисуй по клеткам пятиугольник АВспЕ .
с
./",1\.
-
В./v"
1\
\
\D-
\
I
\
1(
,
v
А
Е
297


Глава шестая. Введе",ие в геометрuю
Еще задача. Перерисуй шестиугольник AВCDEF.
С
А
F
К сожалению, все эти способы имеют свои недостат­
ки. Когда мы обводим фигуры, изображен ие получает­
ся неточным , так как карандаш или шариковая ручка
проходит не точно по краю фигуры, а рядом с ним .
Рисовать по клеткам удобно не всегда, а только когда
опорные точки находятся в узлах клетки . Копироваль­
ная или прозрачная бумага не всегда имеется под рукой.
Еще древние греки поняли, что особо точные чер­
тежи можно получить, пользуясь только двумя инст­
рументами : циркулем и линейкой .
Но мы, кроме этих двух приборов , будем использо­
вать также чертежный угольник и транспортир .
Задача. Построй отрезок MN , равный отрезку АВ ,
пользуясь только линейкой без делений и циркулем .
А
в
•
•
Построение отрезков
Прежде всего договоримся , что все фигуры мы будем
строить на нелинованной бумаге . Так что задания
298


Глава шест ая. Введекие в геометрию
нужно выполнять , используя не тетрадь в клетку,
а тетрадь для рисования . При этом мы будем пользо­
ваться хорошо отточенным простым карандашом .
Прямые мы будем проводить по линейке , не обращая
внимания на деления , имеющиеся на ней . Прямые уг­
лы будем строить при помощи чертежного угольника.
Откладывать отрезки и строить окружности мы будем
циркулем . А вскоре нам понадобится и транспортир
для построения угл ов .
Начн ем с построения отрезков .
Задача первая. Построить отрезок данной . вели­
чины .
Пусть нужно построить отрезок длиной в 40 ММ.
Выполним задание так .
1. Проведем прямую по линейке :
2. На этой прямой отметим какую-нибудь точку .
Назовем ее какой-нибудь буквой , например А:
I
А
3. Приложим циркуль К линейке , разведя его н ож­
ки точно на 40 мм..
4. Циркулем отмерим нужную длину отрезка н а
прямой.
5. Обозн ач им второй конец получившегося отрезка
какой-нибудь другой буквой , например В:
I
I
А
В
Построение закончено.
Кон ечно , можно было бы отмерить отрезок и ли­
н ейкой , но это было бы менее точно , так как линейка
имеет толщин у и кон ец отрезка не совпадает с отмет­
кой на линейке.
299


rлава шестая. Введекие в геометрию
Построй указанным способом отрезок длиной
44 мм.
Задача в торая. Построить отрезок , равный дан­
ному.
м
N
•
•
Пусть дан отрезок . Построить отрезок , равный
ему, можно было бы так : измерить данный отрезок
линейкой с делениями, а затем построить отрезок по­
лученной длины (см . задачу первую). Однако при
этом была бы допущена неточность во время измере­
ния отрезка. Мы решим задачу по-другому, без такого
измерения .
1. Проведем прямую по линейке :
2. На этой прямой отметим какую-нибудь точку.
Назовем ее какой- нибудь буквой , например А:
А
3. Приложим циркуль К данному отрезку.
м
N
300


Глава шестая. Введекие в геометрию
4 . Отложим циркулем отрезок , равный данному ,
от точки А на прямой .
А
5. Второй конец отрезка назовем какой-нибудь
другой буквой , например В:
А
В
Построение закончено .
Построй отрезок , равный отрезку FD .
•
F
D
Задача третья. Построить отрезок, длина которого
в 2 раза меньше длины данного отрезка.
Мы не можем здесь обойтись без измерения данно-
го отрезка. Поэтому мы:
1. Измеряем линейкой данный отрезок .
2. Делим его длину пополам .
3. Строим отрезок полученной длины (см . задачу
первую).
301


Глава шестая. Введекие в геометрию
Построй отрезок вдвое короче отрезка КL .
•
•
к
L
Измерение углов. Транспортир
Тепер ь нам нужно научиться строить углы так же,
как мы умеем строить отрезки.
Но для этого нужно научиться измерять углы так
же, как мы умеем измерять отрезки. Некоторые углы
мы умеем и строить , и измерять. Это п рямые углы ,
равные 900.
Задача. Среди данных углов найди углы в 900 и по­
строй их с помощью чертежного угольника.
Углы меряют в градусах , минутах и секундах . Эти
угловые меры возникли в глубокой древности . П ред­
полагают , что это было связано с созданием календа­
pя . Древние математики нарисовали к руг и раздели­
ли его на столько частей, сколько дней в году . Но они
думали, что в году не 365 и не 366 дней , а 360. Поэто­
му к руг они раздел или на 360 равных частей . Такое
изображение года было очень полезным : на нем мож­
но было отметить любой день .
Картинку с древним календарем легко сделать,
имея транспортир .
302


Гл ава ш ес тая. Введение в геометрию
о
Задача. Положи транспортир на чистый нелино­
ванный лист бумаги и снаружи обведи карандашом
полукруглую шкалу. Теперь переверни транспортир
и закончи изображение круга . Отметь буквой О центр
окружности .
I
Полукруглая шкала транспортира разделена на
180 частей . А на всей окружности таких делений 360,
как на древнем календаре.
Задача. Разметь свою окружность через каждый
10 делений. Соедини точки деления с центром О и по­
ставь обозначения делений .
Древние греки уже знали, что в году не 360 дней, а
больше , но деление круга на 360 равных частей они
сохранили. Древние римляне дали каждой такой час­
ти название «( градус » . Градус обозначается специаль­
ным значком : 10.
Градусная мера углов сохранилась до наших дней .
Используются и более мелкие единицы измерения уг­
ла: lo часть градуса называется минутой (1'), а lo часть
минуты называется секундой (1"): 10 = 60' , l' = 60" .
Задача. Сколько секунд в трех градусах?
303


Глава шес тая. Введе-н,ие в геометрu ю
с помощью круга , разделенного на 3600, можно из­
мерять углы .
Задача. Чему равен угол между отрезками ОА и ОБ?
О
Б
Еще задача . Построй на кальке с помощью круга,
разделенного на градусы , угол величин ой в 900.
Построение углов
Для построения углов мы пользовались кругом , раз­
деленным на 360 градусов . При выполн ении следую­
щих задан ий пользуйся транспортиром .
Задача. Построй угол , равный 540.
Еще задача. Построй угол , равный углу С, и угол ,
равный половине угла С.
с
304


Глава шестая. Введе",ие в геометрuю
и еще задачи
1. Построй отрезок длиной 37 мм .
2. Построй отрезок , равный отрезку АВ .
•
А
в
3. Построй отрезок , равный одной трети отрезка FD .
•
F
D
4. Построй отрезок длиной 45 мм и найди его сере­
дину .
5. Построй угол в 350 и раздели его пополам .
6. Построй угол , равный углу АВС, и р аздели его
на три равных угла.
-А
"
"
r'\,-'"
"'
"�
в
с
I
Построение треугольников
Отрезок можно построить, если знать его длину,
угол - если знать его градусную меру. А по каким
данным можно построить треугольник ?
Предположим, вы с товарищем получили задание
на дом : построить од инаковые треугольники. Придя
домой , ты только к вечеру вспоминаешь об этом зада-
11-2442
305


Гл ава шес т ая. Введение в геометрию
нии , чертишь треугольник и звонишь своему товарищу
по телефону . И происходит между вами такой разговор .
Ты. У меня все готово.
Оп. А у меня нет. Я вообще не знаю, какой тре-
угольник строить .
Ты. Такой же, как у меня.
Оп. А какой он у тебя?
Ты. Сейчас скажу . Называется он треугольник
АВ С . Сторона АВ равна 5 см, сторона ВС равна 10 см,
сторона АС равна 86 ,5 мм, угол А равен 900, угол В ра­
вен 600, угол С равен 300. Записал ?
Оп. Записать-то записал . Только как же я буду его
строить?
Это построение можно осуществить по- разному .
Можно сначала построить катет АВ , потом п ря мой
угол А , потом второй катет АС , потом соединить кон­
цы катетов . И наконец, проверить, что углы В и С, а
также сторона ВС получились, как надо : LB = 600,
LC=300, ВС=10см.
А можно построить сторону ВС , а к ней пристроить
углы В И С . Есть и другие варианты построения .
Задача . Осуществи перечисленные способы пост­
роения этого треугольника.
Еще задача . Придумай и осуществи еще два других
способа построения этого треугольника.
Интересно, что каким бы способом построения мы
ни пользовались , нам придется уч есть только три из
шести чисел , характеризующих этот треугольник :
либо три стороны , либо две стороны и угол , либо одну
сторону и два угла.
И это всегда так : для построения треугольника
нужно знать ровно три его элемента (важно только,
чтобы среди них был хотя бы один отрезок).
306


Глава шес тая. Введекие в геометрию
Задача. Можно ли построить треугольник DEF,
укоторогоLD=500, LЕ=400, сторонаDE=4СМ,сто­
ронаDF=5 см?
Еще задача. Построй треугол ьник MKN , у которо­
гоLМ=500, МК=3см,MN=5см.Измерьегосторо­
нуKNиуглыКиN.
И еще задача. Построй треугольник PST, у которо­
гоLР=400, PS=45мм,LS=600. ИзмерьегоуголТ
и стороны РТ и ST.
И еще одна задача. Построй треугольник со сторо­
нами3см,4сми5см.Измерьегоуглы.
Треугольник , у которого две стороны равны меж­
ду собой , называется равнобедре нным,· треугольник ,
у которого все три стороны равны между собой, назы­
вается равносторонним.
Задача. Докажи , что всякий равносторонний тре­
угольник является равнобедренным , но не всякий рав­
нобедренный треугол ьник является равносторонним .
Еще задача. Построй равнобедренный треугольник ,
равные стороны которого равны 5 см , а угол между
ними равен 900 . Измерь третью сторону и остальные
углы.
И еще задача. Построй равносторонний треуголь­
ник со стороной 4 см . Измерь его углы.
I
307


rлава шестая. Введекие в геометрuю
Итак , если известны три элемента треугольника,
можно построить этот треугольник и измерить ос­
тальные три его элемента .
Задача . Построй треугольник , равный треугольни-
ку АВС.
С
AL.
.-.1.-
--
--
--�
B
5см
Еще задача. Построй треугольник, площадь кото­
рого в 2 раза меньше площади треугольника АВ С.
I
Для выполнения последнего задания достаточно про­
вести медиану треугольника - отрезок , соединяющий
его вершину с серединой противоположной стороны .
Задачи
1. Построй отрезок, равный 5 мм .
2. Построй отрезки , равные отрезкам АВ и CD ,
пользуясь линейкой с делениями . Сколько миллимет­
ров в каждом получившемся отрезке?
А
в•
с
D
•
3. Построй отрезок, равный одной трети отрезка CD .
Сколько миллиметров в получившемся отрезке?
4. Построй отрезок , в 2 раза больший отрезка АВ .
Сколько миллиметров в получившемся отрезке?
308


Глава шестая. Введекие в геометрию
5. Построй отрезок , длина которого равна сумме
длин отрезков АВ и еп . Сколько миллиметров в полу­
чившемся отрезке?
6. Построй отрезок, длина которого равна разности
длин отрезков АВ и еп . Сколько миллиметров в полу­
чившемся отрезке?
7. Построй отрезок , равный отрезку EF и найди его
середину. Для проверки построения используй цир­
куль .
•
Е
F
8. Пользуясь транспортиром , построй :
а) угол Х, равный 900;
б) угол У, равный 640;
в) угол М, равный углу А;
А
г) угол В, равный 1530;
д) угол е, равный половине угла А;
е) угол К, равный t угла А;
ж) угол п, вдвое больший угла А.
9. Построй две парал лельные прямые , расстояние
между которыми равно 4 см .
10. Построй две параллельные прямые , расстояние
между которыми равно 35 мм.
11. Построй треугольник, равный треугольнику АВе.
в
AL.
..-
--
--
-�
e
309


Глава шес т ая. Введеки е в геометрию
12. Построй прямоугольный треугольник с катета­
ми23мми45мм.
13. Построй прямоугольный треугольник, у кото­
рого один из катетов равен 8 см, а сторона, лежащая
против прямого угла, равна 10 см . Чему равен второй
катет этого треугольника?
14. Построй равнобедренный треугольник со сто­
ронами 5 см и 4 см . Сколько разных равнобедрен­
ных треугольников с такими сторонами можно по­
строить?
15. Построй равнобедренный треугольник со сто­
ронами 5 см и 2 см. Сколько разных равнобедренных
треугольников с такими сторонами можно построить?
16. Построй равнобедренный прямоугольный тре­
угольник , каждый катет которого равен 3 см . Измерь
углы этого треугольника.
17. Построй треугол ьник АВе, у которого АВ =
= 7 см, L.A= 600, L. В = 750. Чему равны остальные три
элемента этого треугольника?
18. Построй треугол ьник DEF , у которого пЕ =
= 6см,L.D =900, L. Е =300. Чемуравныостальныетри
элемента этого треугольника?
19. Построй треугольник MKN, площадь которого
в 4 раза больше площади треугольника АВе.
20. Построй треугольник PQR, площадь которого
в 2 раза меньше площади треугол ьника АВе.
21. Построй параллелограмм, у которого одна
сторона 4 см, другая сторона 5 см, а одна из диагона­
лей 3 см.
Измерь вторую диагональ .
310


I:лава шес т ая. Введеn uе в z еометрuю
22. Построй прямоугольник , диагональ которого
равна 9 см, а одна из сторон равна 7 см . Измерь вто­
рую диагональ и вторую сторону .
23. Построй параллелограмм, у которого одна сто­
рона 3 см, другая сторона 4 см, а один из углов равен
600 . Измерь остальные углы и диагонали.
24. Построй ромб, у которого сторона равна 5 см , а
одна из диагоналей 8 см. Измерь вторую диагональ.
25. Построй треугол ьник АВ С, у которого :
а)АВ=х,ВС=у,АС=г;
б)АВ=Х,ВС=у,LВ=L1;
в)АВ=х,LA=L1,LВ=L2;
г)АВ=Х,ВС=у,LА=L1.
z
у
х
26. Построй параллелограммАВСD , у которого :
а)АВ=x,AD =у,BD =г;
б) АВ=х,AD=у,LА=L 1;
в)АВ=x,AD =у,LВ=L1;
г)АВ=х,АС=у,LВ=L1.
Площадь круга
Теперь мы умеем найти площадь любого многоуголь­
ника, а значит , объем любой призмы и любой пирами­
ды . Чтобы уметь находить объем цилиндра и объем ко­
нуса, нужно науч иться находить площадь круга .
Для этого нужно знать , что такое диаметр круга и
что такое его радиус .
311


Глава шестая. Введеnие в геометрию
Радиус к руга - это расстояние между точкой
окружности и центром круга .
Диаметр к руга - это н аибольшее расстояние между
точками к руга. На рисунке изображен о н есколько то­
чек к руга . Если измерить расстояние между этими точ­
ками, мы увидим , что самые далекие друг от друга точ­
ки - это точки А и В. 3начит, отрезок АВ -·диаметр
этого к руга . Сразу видно , что диаметр круга вдвое боль­
ше его радиуса. Это можно записать так : d = 2r.
At-
-
----..
..
B
с
На этом рисунке показан о, как измерить линейкой
диаметр и р адиус к руга .
312


Глава шестая. Введе",ие в геометрuю
Задача. Чему равны диаметры и радиусы кругов?
Круг можно начертить циркулем , если знать его
радиус .
Задача. Начерти круг , радиус которого равен 3 см .
Еще задача. Начерти круг , радиус которого в 2 ра­
за меньше, чем радиус круга на рисунке .
и еще задача. Начерти круг , диаметр которого ра­
вен 8 см.
Древнегреческие математики доказали, что пло­
щадь любого круга можно найти по формуле
S=1[,-2
313


Глава шес т ая. Введение в г еометрию
(читается : «Эс равно пи эр квадрат» ). Греческой бук­
вой 1t (пи) обозначается очень важное число . Не всякое
число удостоено специального обозначения . Число
1t в математике встречается очень часто . Приблизи­
тельно оно равно 3, 14.
Итак , в наших расчетах мы будем пользоваться та­
кой формулой для площади круга :
S = 3,14r2•
Если радиус измерен в сантиметрах , то площадь
круга получится в квадратных сантиметрах , и так да­
лее . Например , площадь круга с радиусом 4 м равна
3,14·42 = 3,14·16=50,24м2.
Задача. а) Найди площадь круга с радиусом 6 дм.
б) Найди площадь круга с диаметром 6 дм .
в) Во сколько раз радиус первого круга больше , чем
радиус второго? Во сколько раз больше его площадь?
Еще задача. Найди площадь круга.
и еще задача . а) Найди объем цилиндра, у которо­
го высота равна 4 см, а радиус основания 5 см.
б) Найди объем склеенного тобой цилиндра.
И еще одна задача. а) Найди объем конуса, у кото­
рого высота равна 4 см, а радиус основания 5 см .
б) Найди объем склеенного тобой конуса.
314


rлава шес тая. Введекие в геометрию
Секрет склеивания цилиндра
-
Какой же тут секрет? - скажешь ты. - Вырезай
себе два равных круга и один прямоугольник И склеи­
вай!
Но дело в том , что круги и прямоугольник , выре­
занные для этой цели, должны соответствовать друг
другу .
Задача. Перечерти и вырежь из плотной бумаги
прямоугольники и круги по размерам , обозначен­
ным на рисунке. Выясни, какой из этих прямоуголь­
ников годится для склеивания цилиндра с такими
основаниями .
r=2см
L--
--
--
--
-I
. ___
__� см
12,6 см
15 см
315


Глава ш ес тая. Введение в г еометрию
Не правда ли, тут есть какой-то секрет? Он состоит
в том , чтобы уметь правильно подобрать размеры пря­
моугольника для кругов данного размера.
На этом рисунке показаны жирными линиями ме­
ста склеивания прямоугольника с кругом . Ясно, что
длина прямоугольника должна быть точно такой , как
длина окружности основания .
r=2см
12,6 см
Предположим, что нам нужно склеить цилиндр
свысотойh=5смисдиаметромоснованияd=8см.
Как мы будем действовать?
Сначала мы начертим на плотной бумаге и выре­
жем два круга радиусом 4 см (ведь диаметр основа­
ния цилиндра должен равняться 8 см!). Затем мы
начертим прямоугольник . Высота этого прямоуголь­
ника должна быть равна 5 см, но вот какой должна
быть его длина - это и есть вопрос , на который нам
надо ответить . Для этого следует измерить длины
окружностей наших кругов . Линейкой это сделать
трудно .
Задача. Возьми какой-нибудь круг , сделанный из
толстого материала. О тметь на его окружности точку
А. Начерти прямую и прокати по ней круг, отметив
на прямой два различных положения точки А.
Измерь расстояние между этими точками на
прямой .
316


Глава шестая. Введекие в геометрuю
Повтори измерение , обтягивая круг ниткой . Под­
считай , во сколько раз длина окружности больше диа­
метра круга .
у тебя должно получиться , что длина окружности
больше диаметра приблизительно в 3,14 раза. Перед
нами опять появилось число n.
Е ще в Древней Греции математики установили,
что д лина С любой окружности равна ее диаметру,
умноженному на число n:
С=nd,илиС=2nr.
В этом и состоит секрет изготовления цилиндра:
для определения длины прямоугольника нужно ис­
пользовать то самое число n, которое входит в форму­
лу площади круга .
Число n легко запомнить не только с точностью до
трех знаков (n = 3,14 ...), но с точностью до 12 знаков :
n = 3,14159265358... Каждая цифра - это число букв
в слове двустишия :
.
Это я знаю и помню прекрасно :
J.,J.,J.,J.,
3141
J.,
5
J.,
9
Пи - лишние знаки тут чужды, напрасны .
J.,
2
J.,
6
J.,
5
J.,
3
J.,
5
J.,
8
Однако мы будем по-прежнему пользоват;ься толь­
ко первыми тремя знаками числа n, считая ' его при­
ближенно равным 3,14.
И если нам придется склеивать цилиндр с данной
высотой h и данным диаметром основания d, мы вы­
режем для него прямоугольник шириной h и дли­
ной 3,14d.
317


Глава шест ая. Введекие в геQметрию
94 мм
Задача. Вырежь из бумаги заготовки для склеи­
вания цилиндра с высотой 5 см и радиусом основа­
Hия 2 см.
Подобие
Приходилось ли тебе слышать о Гулливере - герое
сочинения английского писателя Джонатана Свифта?
Его книги появились в начале XVIII века. В первой
из этих книг рассказывается о путешествии Гулливе­
ра в страну лилипутов . Лилипуты были во всем такие
же , как Гулливер , но только в 12 раз меньше . Ска­
жем , длина ступни Гулливера была около 1 фута,
а длина ступни у лилипута - около 1 дюйма. В 12 раз
меньше был рост лилипута, в 12 раз меньше - рассто­
яние между глазами и так далее .
318


Глава шест ая. Введекие в геометрию
Задача. Расстояние между глазами Гулливера
66 мм . Каково расстояние между глазами лилипута?
Еще задача. Рост лилипута 15 см . Каков рост Гул ­
ливера?
Можно сказать , что расстояния между одноимен­
ными (в математике говорят : между соответственны­
ми) точками на теле Гулливера и лилипута пропорцио­
нальны:
расстояние между глазами Гулливера
расстояние между плечами Гулливера
расстояние между глазами лилипута
расстояние между плечами лилипута
Геометрические фигуры , у которых расстояния
между любыми соответстве нными точками пропор­
циональны, называются п од обными фигурами . На­
пример , подобны любые окружности , любые равно­
сторонние треугольники , любые квадраты .
Прямоугольники АВсп и EFGH подобны , так как
у каждого из них длина вдвое больше ширины . Подоб­
ны и две карты Испании .
F�----..
..
..
G
Br-
-
---..
..
..
C
А
D
Е--
--
--
--
--'
Н
319


Глава шестая. Введекие в геометрию
Масштаб 1:18 000 000
(В1СМ180КМ)
Масштаб 1:12 000 000
(В1СМ120КМ)


Гл ава шес тая. Введение в геометрию
Задача. Какие из фигур подобны друг другу?
оD
Еще задача. Картина размерами 20х30 см взята
в рамку шириной 3 см. Почему прямоугольник AВCD
не подобен прямоугол ьнику EFGH?
А
в
'"
/
Е
F
20 см
3см
'-
-с
Н
G
V
�
D
30 см
с
и еще задача. Два четырехугольника подобны. Диа­
гонали первого четырехугольника равны 4 см и 6 см.
Большая диагональ второго четырехугольника равна
12 см. Чему равна меньшая диагональ второго четы­
рехугольника?
И еще одна задача . Вырежь пять полосок бумаги
шириной5ммидлиной7см,10см,14см,16сми
17 см. Склей из них четырехугольник с диагональю,
подобный четырехугольнику на рисунке.
321


Гл ава шес т ая. Введекие в геометрию
5см
Четырехугольник - фигура подвижная . Это зна­
чит, что если мы не будем склеивать стороны четырех­
угольника клеем , а скрепим их булавками и к тому же не
приделаем к четырехугольнику диагонали, то сможем
менять форму четырехугольника, не меняя длин его сто­
рон . Например , ромб можно будет растянуть в квадрат.
В отличие от четырехугол ьника треугольник -
фигура жесткая . Если вырезать из бумаги три полос­
ки длиной 7 см, 14 см и 16 см и скрепить их только бу­
лавками, то изменить форму этого треугольника, не
меняя длин сторон , будет невозможно . И если три сто­
роны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то этого достаточно,
чтобы треугольники были подобны друг другу .
Задача. Начерти треугольник, подобный треуголь­
нику, изображенному на рисунке , так , чтобы боль­
шая сторона твоего треугол ьника равнялась 12 см.
Чему будут равны его другие стороны?
322


Гл ава ш ес тая. Введекие в геометрию
Подобием треугольников часто пользуются в прак­
тических целях , в том числе для построения карт
и планов местности .
I
Задача. Расстояние между городами А и В равно
40 км, между городами А и С-50 км , а между горо­
дами В и С - 30 км. Изобрази эти города на плане ,
уменьшая расстояния в миллион раз .
Еще задача. По карте Испании найди расстояние
между Мадридом и Барселоной .
И еще задача. Изобрази на листе бумаги точки М,
С и В, обозначающие города Мадрид , Севилью и Бар­
селону , увеличив расстояние в 2 раза по сравнению
с большой картой .
Задачи
1. Подобны ли треугол ьники со сторонами 2 см,
7см,8сми2м,7м,8м?Почему?
2. Стороны одного треугольника равны 5 см, 6 см и
7 см . Меньшая сторона подобного ему треугольника
равна 1 О дм . Чему равны две другие стороны второго
треугольника?
3. Два четырехугольника подобны . Стороны одного
изнихравны5дм, 7дм,8дми 10дм,абольшаядиаго­
наль равна 11 дм . Большая диагональ второго четырех­
угольника равна 55 см. Чему равны его стороны?
323


Глава шестая. Введение в геометрию
4. Курсантам морского училища поручили изме­
рить высоту мачты . Но так как день был жаркий, сол­
нечный , то лезть на мачту им было неохота, и они
придумал и свой способ измерения . Что они сделали?
5. Школьники купались в пруду. Они решили вы­
яснить , с какой скоростью каждый из них плавает.
Для этого им понадобилось измерить ширину пруда .
Известно , что ширина шага одного из них 70 см. Про­
ходивший мимо них учитель математики нарисовал
им чертеж , но больше ничего не сказал . Что посовето­
вать школьникам?
А
D
Подобие в пространстве
Подобие используют для решения задач не только
на плоскости, но и в пространстве - ведь именно та­
кую задачу мы решили , определяя высоту мачты . Тело
Гулливера и тело лилипута - это подобные фигуры
в пространстве . Подобными фигурами в пространстве
являются шары , кубы .
I
Задача. Два цилиндра подобны . Их радиусы 2 см и
4 см . Высота большего цилиндра 7 см . Чему равна вы­
сота меньшего цилиндра?
324


Глава шестая. Введен,ие в геометрuю
Еще задача. Придумай и реши задачу о подобных
конусах .
И еще задача. Как узнать, подобны ли две призмы?
Две пирамиды?
И еще одна задача. Два прямоугольных параллеле­
пипеда подобны. Один имеет измерения 5, 6 и 7 дм .
Меньшее измерение второго равно 10 дм .
а) Вычисли два других измерения второго паралле­
лепипеда .
б) Вычисли объемы параллелепипедов .
в) Во сколько раз объем второго параллелепипеда
больше объема первого параллелепипеда?
Задачи
1. Перечерти треугол ьник АВС и соедини середи­
ны его сторон М, N иР. Сколько равных треугольни­
ков получилось?
в
AL.
.-
--
--
--
-�
C
р
2. Измерь стороны треугольника АВС и стороны
маленьких треугольников на получившемся у тебя
чертеже . Можно ли сказать, что маленькие треуголь­
ники подобны треугольнику АВС?
3. Скопируй по клеткам рисунок и соедини точки
на сторонах отрезками, параллельными сторонам тре­
угольника. Сколько равных треугольников получи­
лось? Подобны ли они большому треугольнику?
325


Глава шестая. Введе",ие в геометрuю
!
в
1'1'.
11r-
-.
..
.
-r- кl
..
..
..
.
..
..
L
if
"-
I
..
..
..
..
--:А/
�
се-
М
!
I
4 . Начерти треугольник и раздели его на 9 равных
треугольников .
5. Придумай , как разделить треугольник н а
100 равных треугольников . Как разделить прямо­
угольник на 100 равных прямоугольников?
I
Периметры подобных многоугольников
Если два многоугольника подобны, то их стороны,
как мы уже знаем , пропорциональны : стороны одного
многоугольника в одно и то же число раз больше (или
меньше) сторон другого . Оказывается , и перимет­
ры - суммы сторон _.таких многоугольников нахо­
дятся в таком же отношении . Например , АВ
=
4А1В 1,
ВС = 4В1С1 , АС = 4А1С 1• Значит, каждая сторона тре-
В1
326


rлава шестая. Введекие в геометрию
угольника АВС вчетверо больше соответственной сто­
роны треугольникаА1В
1
С1
• Если мы захотим сравнить
их периметры Р и Р l ' то получим следующее :
р=АВ+ВС+АС=4А
1
В1 + 4В1С
1
+ 4А1С
1
=
=4(А1В
1
+В1 С
1
+А1 С
1
)=4Рl'
3
Р
АВ
начит,р =АВ'
1
11
Это - общее свойство всех подобных многоуголь­
ников .
Что касается окружностей , то все они подобны меж­
ду собой и их длины пропорциональны их радиусам .
Задача. На рисунке изображены треугольники.
1) Какие из них подобны?
2) Чему равны стороны подобных треугольников?
3) Чему равны их периметры?
4) Каким свойством обладают их периметры?
Еще задача. На рисунке изображены два подобных
четырехугольника. Измерь длины их сторон и убедись в
том , что их стороны пропорциональны . Найди перимет­
ры и убедись в том, что они пропорциональны сторонам .
D 327


Гл ава шест ая. Введекие в геометрию
и еще задача. Начерти прямоугольник, подобный
прямоугольнику АВсn на рисунке и имеющий вдвое
больший периметр .
в.-
-
------..
..
С
A L-------..
..
..
n
и еще одна задача. Начерти треугольник , подоб­
ный треугольнику АВС и имеющий вдвое меньший
периметр.
А
C�-
--
--
--
--
--
--
--
--
-�
B
6см
Предположим , нужно построить треугольник ,
подобный треугольнику АВС и имеющий периметр
21 см . Как быть?
Чтобы решить эту задачу , измерим стороны данно­
го треугольника и найдем его периметр . Находим, что
АВ=5см,АС=3смиВС=6см.Р =14см.Анамнуж­
но построить подобный треугольник с периметром
21 см . 21 больше 14 в 1,5 раза. Значит , нам надо пост­
роить треугольник , периметр которого в 1,5 раза
больше периметра треугол ьника АВ С. Так как пери­
метры подобных многоугол ьников пропорциональны
их сторонам , то и стороны нашего треугольника
должны быть в 1,5 раза больше сторон треугольника
328


Глава шес т ая. Введекие в геометрию
АВС. Значит, они ДОЛЖНЫ равняться 5 ·1,5 = 7,5 см,
3·1,5=4,5см,6·1,5=9см.Поэтимданнымистро­
ится нужный нам треугольник .
Задача. Начерти треугольник , подобный треуголь­
нику АВС (с. 328) и имеющий периметр 28 см.
Еще задача. Начерти пятиугольник , подобный пя­
тиугольнику АВспЕ , у которого периметр в 2 раза
больше.
С
в
D
и еще задача. Начерти окружность, длина которой
в 2 раза меньше длины окружности на рисунке .
329


Глава шес тая. Введе",ие в геометрuю
Площади подобных фигур
Возьмем два квадрата со сторонами 1 с м и 3 см. Они по­
добны, как любые квадраты. Сторона второго квадра­
та в 3 раза больше стороны первого квадрата. Периметр
второго квадрата тоже втрое больше периметра перво­
го квадрата. А во сколько раз площадь второго квадра­
та больше, чем площадь первого ? Оказывается , не в 3,
а в 9 раз : ведь площадь первого квадрата равна 1 см2,
а площадь второго квадрата равна 9 см2 •
D1 см
3см
Если стороны одного квадрата вдвое больше сторон
другого квадрата, то площадь его больше в 4 раза, так
как больший квадрат можно разделить на 4 квадрата,
равных меньшему :
D
Если взять квадрат , сторона которого в 10 раз боль­
ше стороны другого квадрата, то площадь окажется
больше в 100 раз . То же можно сказать и о любых по­
добных многоугольниках : если сторону увеличить
вnраз,топлощадьувеличитсявn·nраз,тоестьвn2раз.
330


Глава шестая. Введение в геометрию
Если два многоугольника подобны и стороны одно­
го в n раз больше сторон другого , то его площадь боль­
шевn2раз.
То же и у кругов . Два круга всегда подобны , и если
радиус одного круга в n раз больше , то его площадь
больше в n2 раз.
Задача. Д ва пятиугол ьника на рисунке подобны.
Во сколько раз площадь первого пятиугольника боль­
ше площади второго?
о
Гуллив ер и лилипут
Однажды Гулливер и лилипут пошли в овощной мага­
зин и купили там 13 кг картошки ( почему 13? Просто
чтобы доказать, что они не суеверны) . Как разделить
между ними этот груз для доставки его на кухню?
Чтобы правильно , по справедливости , решить за­
дачу , нужно знать, от чего зависит подъемная сила
руки. Руки Гулливера в 12 раз длиннее рук лилипута.
Но специальные опыты , проделанные биологами, до­
казали, что сила руки зависит не от длины руки и да­
же не от длины мышц, а от толщины мышц - от пло­
щади сечения мышц .
331


Глава шес т ая. Введекие в геометрию
Будем считать, что мышцы Гулливера и лилипута
имеют круглое сечение . Так как радиус этого сечения
у Гулливера в 12 раз больше, то площадь сечения
больше в 122 раз , то есть Гулливер сильнее лилипута
не в 12 раз , а в 144 раза. 3начит , будет справедливо
разделить груз между ними так , чтобы Гулливер нес
в 144 раза более тяжелую поклажу , чем лилипут .
Нужно дать лилипуту около 0, 1 кг картошки, а Гул ­
ливеру - все остальное .
Придя на кухню, Гулливер и лилипут попросили
повара сразу распредел ить картошку в два ящика:
ящик Гулливера и ящик лилипута . Повар решил рас­
пределить картошку в соответствии с аппетитом каж­
дого , для чего решил вычислить соотношение между
объемами их желудков .
Повар рассудил так : если бы желудки Гулливера и
лилипута имели форму кубов, то куб Гулливера имел
бы ребро в 12 раз длиннее , чем куб лилипута . Если ,
например , куб лилипута имел бы ребро 1 см, то его
объем был бы 1 см3• А у Гулливера был бы куб с реб­
ром 12 см и имел бы объем 123 см3, то есть 1728 см3 .
Вот и нужно разделить картошку так , чтобы ее
объемы, а значит и массы , относились бы , как
1 к 1728. И повар положил в ящик лилипута 8 г кар­
тошки, а все остальное сложил в ящик Гулливера.
Задача. Проверь вычисления, которые позволили
определить ношу Гулливера .
Еще задача. Проверь вычисления повара.
3акономерность, замеченная повар ом , верна не
только для числа 12, но и для любых чисел .
Задача. Ребро одного куба 3 м, а ребро второго ку­
ба 6 м. Во сколько раз объем первого куба меньше объ­
ема второго?
332


rлава шестая. Введекие в геометрию
Как видно , если ребро одного куба вдвое больше
ребра другого , то объем его бол ьше в 8 раз , то есть
в 23 раз . В этом нет ничего удивительного : ведь если
разделить куб пополам по ширине, по длине и по вы­
соте , то он разделится именно на 8 кубов с вдвое мень­
шими ребрами.
·3м
1
l'
1
1
1
1 ,J---
-i--,f--
1 ../1
1/"
1
f---+-- -* --1--
,/1
1
"1
1
6 м ��I��I--�/-rl --�I�
11
:1
1 �-- ----�- -
1"
1/
/
1/
�---- -� ----
-
/
/
"
/
Если разделить куб на кубы с ребрами, втрое мень­
шими , то получится 27, то есть 33 малых куба. Неко­
торые наборы детских кубиков состоят именно из
27 кубиков , которые укладываются слоями в одну
большую кубическую коробку . Слоев три , и в каждом
слое по девять кубиков .
333


Глава шес тая. Введение в геометрию
От увеличения ребра куба в n раз его объем увели­
чивается в n 3 раз . То же верно и для любого простран ­
ственного тела.
I
Задача. Возьмем цилиндр, имеющий радиус осно­
вания 2 см и высоту 5 см . Увеличим радиус и высоту
в 4 раза. Как изменится объем цилиндра?


Гл ава седьмая
РаЗ1tьtе задачи
то значит - разные задачи? А до
сих пор все задачи у нас были одина­
ковые? Конечно, нет . Но те задачи
относятся к определенным разделам
математики - к натуральным чис­
лам , к обыкновенным дробям, к де­
сятичным дробям, к геометрии . А математика - это
не только числа и геометрические фигуры . Это еще и
логика рассуждений . Задачи, которые приводятся
ниже , - на самые разные темы . Все они требуют не
только знания геометрии и умения считать, но глав­
ное - умения думать.
1. На дереве сидели 10 птиц . Охотник выстрелил и
застрелил одну птицу . Сколько птиц осталось на де­
реве?
2. На поляне сидели 10 птиц . Охотник выстрелил и
застрелил одну птицу . Сколько птиц осталось на по­
ляне?
3. Два отца и два сына несли три апельсина . Сколь­
ко нес каждый?
4. Яйцо всмятку варили 3 минуты в широкой и
глубокой кастрюле.
Сколько понадобится времени , чтобы сварить
всмятку 5 яиц?
5. 6 котов в 6 минут съедают 6 мышей .
Сколько понадобится котов , чтобы в 100 минут
съесть 100 мышей?
335


Глава седьмая. Разные задачи
6. Имеются два пакета . В один помещается 300 г
чая, в другой - 400 г.
Как отмерить из ящика, содержащего 1 кг 100 г
чая , ровно 1 кг?
7. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и 5 л.
Как с помощью этих сосудов налить из водопроводно­
го крана 4 л?
8. На берегу реки стоят трое взрослых и два маль­
чика. У них есть лодка, вмещающая лишь одного
взрослого или двух мальчиков . Как всем пятерым пе­
реправиться на другой берег?
9. На сковородке помещается два блинчика. На об­
жаривание блинчиков с одной стороны требуется
1 минута . Как на этой сковородке обжарить 3 блинчи­
ка с обеих сторон за 3 минуты?
10. Говорят , один остроумный человек, слабо иг­
равший в шахматы , сумел в двух партиях по перепис­
ке (одной с чемпионом мира Капабланкой и другой -
с экс-чемпионом мира Ласкером) набрать 1 очко. Как
он сумел это сделать?
(В шахматах очко присуждается за выигранную
партию и пол-очка - за ничью .)
11. Я отпил i часть стакана черного кофе и долил
его молоком . Затем я выпил t стакана и снова долил
его молоком . Потом я выпил полстакана и опять до­
лил молоком . Наконец , я выпил полный стакан . Чего
больше выпито , кофе или молока?
12. Две мухи с оревнуются в беге . Они бегут от по­
толка к полу и обратно . Первая муха ползет в обе сто­
роны с одинаковой скоростью . Вторая ползет вниз
вдвое быстрее первой, а вверх - вдвое медленнее пер­
вой . Кто победит?
13. Одно из 75 одинаковых по виду колец несколь­
ко отличается по весу от остальных . Двумя взвешива­
ниями на чашечных весах нужно определить, легче
или тяжелее это кольцо , чем остальные .
336


Глава сед ьмая. Разкые задачи
14. Сколько всего имеется пятизначных чисел ,
сумма цифр которых равняется двум?
15. Из 9 одинаковых на вид колец одно несколько
легче остальных . Найди его двумя взвешиваниями на
чашечных весах .
16. Из 4 колец одно несколько отличается по весу
от других. Найди его двумя взвешиваниями на ча­
шeчHыx весах .
17. Из бочки дегтя вылили ложку в бочку меда
и после перемешивания перелили такую же ложку
обратно . Чего стало больше: меда в дегте или дегтя
в меде?
18. Брошены два игральных кубика. Какая сумма
очков на их верхних гранях наиболее вероятна?
•
19. Двое одновременно отправились из А в В. Пер­
вый поехал на велосипеде , второй - на автомобиле со
скоростью , в 5 раз большей скорости первого . На пол­
пути автомобиль сломался, и оставшуюся часть пути
автомобилист прошел пешком со скоростью, в 2 раза
меньшей скорости велосипедиста. Успел ли велосипе­
дист помахать рукой автомобилисту?
20. Имеется много жетонов стоимостью 3 тугрика
и два жетона по 5 тугриков . Можно ли из этих жето­
нов составить любую сумму, большую 7 тугриков?
21. Двое путников одновременно вышли из А в В.
Первый половину времени, затраченного им на пере­
ход,шелпо5кмВчас,азатемпошелпо4кмВчас.
Второй же первую половину пути прошел по 4 км В
час, а затем пошел по 5 км В час. Кто из них раньше
пришел вВ?
22. Сыграйте в игру «Кто первый скажет сорок? »!
Играют двое . Начинающий называет одно из четы­
рех чисел : 1, 2, 3 или 4. Второй прибавляет к назван­
ному числу одно из тех же чисел и так далее . Выигры­
вает тот , кто первый сможет назвать число 40. Может
ли первый игрок обеспечить себе выигрыш?
12-2442
337


Глава седьмая. Разкые задачи
23. Еще одна игра с теми же правилами, но назвав­
ший «сорок » считается проигравшим . Кто может вы­
играть в этой игре?
24. Миша уверяет Машу , что для перенумерования
страниц имеющейся у него книги (с первой страницы
до последней) потребовалось ровно 999 цифр . Сколько
страниц в этой книге?
25. Можно ли выложить, соблюдая правила игры
в домино , все косточки так , чтобы на одном конце
оказалась шестерка, а на другом - пятерка?
26. Я хочу сделать домино с пустышками , едини­
цами, двойками , тройками , четверками, пятерками,
шестерками и семерками . Сколько косточек будет
в этой игре?
..
27. Если деньги брата сложить с половиной денег
сестры , то они смогут купить две плитки шоколада.
А если деньги сестры сложить с половиной денег бра­
та, то они смогут купить одну плитку шоколада.
Сколько денег у сестры?
28. у меня остановились стенные часы, а никаких
других часов у меня нет . Я пошел к другу , часы кото­
рого ходят верно , поиграл с ним в шахматы и, придя
домой, смог верно поставить свои часы . Как мне уда­
лось это сделать?
29. Двести учеников выстроены в прямоугольник
по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20
в каждом продольном ряду .
В каждом поперечном ряду выбран самый низень­
кий ученик , а затем из 20 отобранных выбран самый
высокий . Им оказался уч еник Андреев . Затем в каж­
дом продольном ряду был выбран самый высокий уче­
ник и среди 10 отобранных выбран самый низенький .
Им оказался уч еник Петров . Кто выше , Андреев или
Петров ?
30. В шахматном турнире участвовали 4 шахмати­
ста: Андреев , занявший 1-е место , Борисов , занявший
338


rлава сед ьмая. Разн,ые задачи
2-е место , Власов, занявший 3-е место , и Гвоздев . Из­
вестно, что Андреев с Гвоздевым сыграли вничью.
Установи результаты остальных девяти партий .
31. От записанной карандашом задачи сохранился
лишь следующий текст : «Произведение ... последова­
тельных ... двузначных чисел равно 12075. Найти все
эти числа ». Многоточиями обозначены неразборчи­
вые слова . Восстанови текст задачи и реши ее .
32. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов . Требуется
уравнять число орехов во всех этих кучках , причем
можно перекладывать из одной кучки в другую столь­
ко орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать чис­
ло орехов в кучке) . Как это сделать?
33. В ящике 35 шариков . Каждый из двух играю­
щих по очереди вынимает из ящика любое число
шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний
шарик. Кто выиграет при правильной игре , начинаю­
щий или второй игрок?
34. Пункты А и В расположены на берегу реки. И з
А в В одновременно отправляются пешеход и лодка.
Каждый из них, достигнув В, поворачивает и отправ­
ляется в А. Кто раньше достигнет А, лодка или пеше­
ход , если скорость лодки в стоячей воде равна скоро­
сти пешехода?
35. Найди все пары целых чисел , сумма которых
равна их произведению .
36. Коля ездит из дома в школу на трамвае (а об­
ратно он ходит пешком). От дома до школы ходят
трамваи двух маршрутов: N!! 1 и N!! 2. Каждый из них
приходит на остановку около дома Коли через каж­
дые 4 минуты . Оказалось , что Коля гораздо чаще по­
падает на трамвай N!! 1, чем на трамвай N!! 2. Почему
это возможно?
37. Среди 77 колец одно несколько легче осталь­
ных . Во сколько взвешиваний на чашечных весах без
гирь можно найти это кольцо?
339


rлава седьмая. Разкые задачи
38. Среди 77 колец одно несколько отличается от
остальных по весу . Во сколько взвешиваний на ча­
шечных весах без гирь можно установить, легче оно
или тяжелее других колец?
39. Имеется 10 одинаковых по виду и размеру ку­
биков . Одни из них ал юминиевые (более легкие), дру­
гие дюралевые (потяжел ее) . Определи число кубиков
каждого вида с помощью не более шести взвешиваний
на чашечных весах без гирь .
40. Имеется 10 мешков с одинаковыми монета­
ми. Злоумышленник заменил один мешок мешком
с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая мо­
нета весит 1 О г, а фальшивая 11 г.
Как с помощью одного взвешивания на весах с ги­
рями установить, в каком именно мешке монеты
фальшивые?
41. В шахматном турнире уч аствовали ученики 9 и
10 классов . Каждый сыграл с каждым по одной партии.
Десятиклассников было в 10 раз больше , чем девяти­
классников , и они набрали в 4,5 раза больше очков , чем
девятиклассники. Сколько было в турнире девяти­
классников и сколько они набрали очков?
42. Доказать, что число людей, сделавших нечет­
ное число рукопожатий, не может быть нечетным .
43. Из трех победителей математического турнира,
набравших одинаковое число очков , надо было выде­
лить самого сообразительного . Им показали пять кол­
паков : три белых и два черных , затем им завязали
глаза, надели на каждого по белому колпаку, а чер­
ные колпаки спрятали. После этого им развязали гла­
за и сказали: « Каждый из вас видит колпаки на двух
других , но не видит колпака на самом себе . Кто дога­
дается первым, какого цвета на нем колпак , тот полу­
чит звание самого сообразительного » . Постояли они ,
постояли, и один из них сказал : «На мне белый кол­
пак ». Как он рассуждал ?
340


Глава седьмая. Разные задачи
Если эта задача оказалась слишком трудной, мож­
но сначала решить ее для случая , когда отга­
дывающих двое , а колпаков - три : два белых и один
черный.
44. Как в 10 вопросов отгадать задум анное нату­
ральное число , если оно не более 1000 и если отвечаю­
щий на вопросы говорит тол ько «да» или «нет » ?
45. Сколько придется задать вопросов , если отве­
чающий в предыдущей задаче имеет право один раз
соврать?
46. Восстанови расписание начала сеансов в кино-
театре , если они начинаются через одно и то же время :
1-й сеанс - 12ч ..мин
2-йсеанс- 13ч..мин
3-йсеанс- .. ч ..мин
4-йсеанс- .. ч ..мин
5-йсеанс- .. ч ..мин
6-йсеанс- .. ч ..мин
7-йсеанс- 23ч05мин
47. Из какой точки земного шара надо выйти , чтобы ,
пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток и затем 100
км на север, снова оказаться в точке отправления ?
48. Сколькими способами можно расставить на
шахматной доске 2 ладьи так , чтобы одна из них не
была под боем у другой?
49. В одном ящике 50 шариков , а в другом 80. Каж­
дый из двух игроков по очереди вынимает из какого­
нибудь ящика любое число шариков . Выиграет тот ,
который возьмет последний шарик .
Кто выиграет при правильной игре , начинающий
или второй игрок ?
50. В турнире играли 6 шахматистов , по одной пар­
тии каждый с каждым . Андреев набрал 4 очка и занял
1-е место , Бунин занял 2-е место , Воронов и Гус ев раз­
делили 3-4-е места, Д ымов занял 5-е место , а Егоров ,
занявший 6-е место , выиграл у Гусева. 5 партий тур-
341


Глава седьмая. Разкые задачи
нира закончились вничью , причем Бунин сделал
только одну ничью . Восстанови результаты всех пар­
тий .
В задачах 51-56 поставь вместо многоточия одно
из трех выражений: «( необходимо », «( достаточно» ,
или «( необходимо и достаточно »:
51. Чтобы число делилось на 5, ... , чтобы послед­
няя цифра его была 5.
52. Чтобы сумма нескольких чисел делилась на не­
которое число , ... , чтобы каждое слагаемое делилось
на это число .
53. Чтобы число делилось на 24, ... , чтобы оно де­
лилосьна4ина6.
54. Чтобы число делилось на 24, ... , чтобы оно де­
лилосьна3ина8.
55. Чтобы натуральное число было точным квадра­
том , ... , чтобы оно оканчивалось одной из цифр : О, 1,
4,5,6,9.
56. Чтобы произведение нескольких чисел было
равно нулю, ... , чтобы хотя бы один из множителей
равнялся нулю.
57. В некотором месяце три воскресенья пришлось
на четные числа. Какой день недели был 20-го числа
этого месяца?
58. 7 карандашей дороже 8 тетрадей . Что дороже ,
8 карандашей или 9 тетрадей?
59. Найди площадь треугольника, если его верши­
ны имеют координаты (2; 3), (-1; 2) и (4; -,2).
60. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой
таблице равна 15. Заполни пустые клетки таблицы :
61. Вместо квадратиков в уравнениях 5х - 3 = 8 +
+оиО+5х-3 =8+Овставьтакиечисла,чтобыоба
уравнения имели корнем число -8 .
342


Глава сед ьмая. PaJKble задач,u
62. Улитка ползет по столбу высотой 20 м. Каж­
дый день она поднимается на 2 м и каждую ночь опу­
скается на 1 м. Через сколько дней она достигнет
вершины?
63. Как определить высоту кирпичного дома, имея
в руках только линейку длиной 30 см?
64 . Сколько нулей на конце произведения всех на­
туральных чисел от 1 до 100?
65. Муравей сидит на передней грани куба, в точке
А, и желает попасть на заднюю грань, в точку В. По
какому кратчайшему пути должен он ползти?
66. Докажи , что календарь любого года в точности
повторяется через каждые 400 лет .
67. С каких дней недели может начинаться век?
68. На ферме выращивают кур и кроликов . Всего
имеется 100 голов и 300 ног. Сколько на ферме кур и
сколько кроликов?
69. В одном украинском городе 90% жителей гово­
рят по-украински , 80% говорят по-русски , и притом
каждый житель говорит хотя бы на одном из этих
языков .
Сколько процентов жителей говорят на обоих этих
языках?
.
70. Вниз по течению пароход идет от города А в го­
род В со скоростью 25 кмjч, а вверх по реке из В вА со
скоростью 15 кмjч .
Определи среднюю скорость парохода во время все­
го пути туда и обратно .
71. По течению реки катер прошел расстояние
между двумя пунктами за 4 ч, а против течения меж­
ду теми же пунктами - за 6 ч. За какое время прой­
дет это расстояние плот?
72. В ящике находится 20 носков черного цвета и
10 носков синего цвета .
Сколько нужно вынуть носков не глядя , чтобы обра­
зовалась пара одноцветных носков?
343


Глава сед ьмая. Разкые зада",u
73. В ящике находится 10 пар черных перчаток и
5 пар синих .
Сколько нужно вынуть перчаток не глядя , чтобы
образовалась пара одноцветных перчаток?
74 . (Задача Эйлера. ) Крестьянка принесла на ры­
нок некоторое число яиц . Одному покупателю она
продала половину того , что имела , и еще пол-яйца;
второму - половину того , что у нее осталось , и еще
пол -яйца; третьему - половину нового остатка и еще
пол-яйца; четвертому - половину того , что осталось
от прежней продажи , и еще пол-яйца. После этого
у нее ничего не осталось.
Сколько она принесла яиц?


Ответы. Ука зания. Решения
Ответь" . Указан,uя . Ре шен,uя
к стр. 46.
1. 111II1 II1 1 = Х; II1 IIIIII = IX.
2.УI+IV=Х.
3.УН=Х -HI.
к стр. 57-59.
1. Нужно перевернуть лист . На нем будет число 9.
2. На первом кубике можно написать О, 1, 2, 3, 4
и 5,а навторомО,1,2,6,7и8.Отдельнаяцифра9 не
нужна, она получается переворачиванием цифры 6.
8. Это цифра о.
10. Ближайшие симметричные числа 160 61,
16161 и 16261. Если шофер увидел первое из них, то
скорость равна 55 км/ч , если второе , то 105 км/ч,
а если третье , то 155 км/ч .
к стр. 63-66.
6. Их четверо , они сидят по углам .
7. Четыре .
8. Одна.
9. Дети положили пирожные так :
•
•••
•
•
•
•
345


Ответы . Указания . Решения
11.
•
•
•
14. Это число 3.
15. Это число 100.
к сТр. 70-71.
2. 20 конфет .
3. Составим такие соотношения :
[ Число ]
I Число j
всех
=
всех
-
девочек
уч еников
[ Число
]причесанных
мальчиков
[ Число
]
непричесанных
мальчиков
[ Число � I Число
J [ число
] [ число
]
всех
всех
-
причесанных - причесанных
епричесанны
ученико
мальчиков
девочек
А так как по условию число непричесанных маль­
чиков равно числу причесанных девочек , то число
всех девочек равно числу всех непричесанных .
к сТр. 76.
2. Увеличится в 11 раз .
4. Да, если второе число - нуль.
5. На двухсотом месте окажется цифра нуль, так
как первые 9 мест займут однозначные числа, следу­
ющие 180 мест - двузначные числа, а последние
11 мест будут выглядеть так : 100101 10210.
346


Ответы. ;Vказакuя. Решекия.
к СТр. 80-83.
1.10,10,20и40.
2. 75.
3. Через 28 лет .
4. За десять суток часы отстанут на 1 час , а за 120 су-
ток - на 12 часов , то есть покажут правильное время.
5.(1+20).10 =210.
6. 5050 .
7. 648.
8. 1200.
15. На этом рисунке показано, сколько маршрутов
ведет из точки А к каждому перекрестку этого города.
Так что девочки совершенно правы .
к СТр . 93-94.
30. Каждое слагаемое второй суммы составляет 100
с одним из слагаемых первой суммы . Поэтому эти две
суммы вместе составляют 4000. И так как первая сумма
равна 1919, то вторая сумма равна 4000 - 1919 = 2081.
к СТр . 108-111.
10.Онсчитал так: 84= 7·12,значит, 84·84= 72 . 122 =
= (50-1).144=7200-144=7056.
347


Ответы. Указа",uя. Реше",uя
к стр. 114-116.
3. Собака стоила 8 р.
13. Можно считать , что один поезд стоит на месте ,
а другой едет мимо него со скоростью (36 + 45) км/ч.
Тогда легко вычислить , что длина каждого поезда
равна 135 м.
15. Даша воспользовалась тем, что 3 + 4 = 7, и на­
писала в третьей строке сумму предыдущих результа­
тов - чисел 2856 и 3808 .
к стр . 125-131.
2.1и25.
3.О;1.
4.99+9:9=100.
5.(5+5).(5+5).
6.Так как 1
7
2 = � + 1 ' то достаточно разрезать
3 хлеба на четыре равные части каждый и 4 хлеба на
три равные части каждый .
8.
9.
2см
4СМ
348


Ответы. У"азакuя . Решекия .
10.
••·•
••··
••··
-
••·
.-
••••·•••
••••••••
••••·•·•
••••••••
••••••••
..
.!.
..!.
···•
..!.
..
.!.
..
••••••••
11.
u..-
13. Надо распилить третье кольцо . Цепочка распа­
дется на три куска: одно к ольцо ( распиленное) , два
кольца и четыре к ольца. За первый день постоялец
отдаст одно кольцо , за второй отдаст два, а первое за­
берет обратно и так далее .
14. Если бы электричка с девочками стояла на мес­
те , то встречные электрички проезжали бы мимо че­
рез каждые 10 мин , так что в течение часа мимо одно­
го и того же неподвижно го пункта проходит не 12, а
только 6 электричек .
15. В 4 раза.
17. Паша за съеденные им g рыбы решает 8 задач ,
то есть по 1 задаче за каждую треть рыбы . Коля из сво­
их 5 рыб съел g сам, а � потратил на Пашу. Так что
Паша должен решить за К олю 7 задач . А Петя из сво­
их 3 рыб потратил на Пашу � рыбы , так что Паша
должен решить за него 1 задачу.
349


Ответы. Ук;азакuя. Решекия
к сТр. 148-152.
1. Нет , так как сумма двух нечетных чисел четна
и не может равняться 11.
2. Нет.
3. Нет.
4. Так как число 82** делится на 90, то оно делит­
ся и на 10, и на 9. Чтобы делиться на 10, оно должно
окан чиваться на О, то есть выглядеть так : 82*0. А что­
бы делиться на 9, оно должно иметь цифры , сумма ко­
торых делится на 9. 3начит , это число 8280 .
5. В этой сумме каждое слагаемое делится н а 3,
а значит , должна делиться на 3 и вся сумма. Но число
127 на 3 не делится.
6. Нет . Если сумма двух чисел нечетна, то одно из
них четно, а значит , их произведение четно .
7. Можно. Надо найти сумму остатков , которые дают
всеэтичислаприделениинатри:1+1+1+2+О=5.
3начит, при делении на 3 данная сумма дает в остатке 2.
8. Искомое число делится на 5, на 3 и на 4, а зна­
чит, делится на 60. Такое двузначное число един­
ствеННо. Ответ: 60.
9. Число, написанное Колей , имеет вид *10* . О н о
делится на 72, то есть делится на 8 и на 9. Чтобы это
число делилось на 8, оно должн о оканчиваться н а 4,
то есть иметь вид *104. А чтобы делиться на 9, это
число должно иметь цифры , сумма которых делится
на 9. 3начит , это число 4104.
1 О. Если от искомого числа отнять 1, разность бу­
дет делиться без остатка на все указанные числа,
то есть делиться на число 8·9'5·7 = 2520. Ответ : 2521.
11. Наименьшее из возможных чисел 23.
12.1 . Наименьшее из возможных чисел 59.
12.2. 3а 70 дней муж выпивает 5 кадей , а вместе
с женой он выпивает за 70 дней 7 кадей . 3начит, жена
за 70 дней выпивает 2 кади . Ответ : 35.
13. 777.
350


Ответы. Ун;азакuя. Решекия.
14. 273581.
15. 301.
16. Это произведение делится на 9 без остатка, так
как множители 9993 и 9996 делятся без остатка на 3.
18. 2519.
19. 504.
20. 999 .
21. 999 .
22.Эточисла2,5,7,9,11,13и17.
23.
24. Пусть Х, у и z - цифры сотен , десятков и единиц
трехзначного числа. Тогда это число равно 100х + 10у +
+г.Есличисло10х+У+�делитсяна4,товдвоеболь­
шеечисло20х+2у+zделитсяна8.Атаккакчисло
80х + 8у тоже делится на 8, то сумма (20х +
+2у+г)+(80х+8)делитсяна8.Ноэтоиестьнаше
число .
к СТр. 172-173.
1. Одно; одно; ни одного .
6. Это число вида аааа . Оно делится на одиннадцать:
аааа : 11 = аОа . По таблице простых чисел (с . 162) на­
ходим , что такое число единственно - это 101. Ответ :
1111.
7. Все делители числа 23 . 34 можно записать в таб­
лицу, уч итывая , сколько двоек и троек входят в каж­
дый делитель:
351


Ответы. У"ааакuя. Решекия
Чис ло
Число троек
двоек
О
1
2
3
4
О
1
3
з2=9
з3=27
з4=81
1
2
2·3=6 2·з2=18
2·з3=54
2·з4=162
2 22=4
22.3 =12 22.з2=36
22.з3=108 22.з4=324
3 23=8 23·3 =24 23.з2=72
23.з3=216
23.з4=648
Как видно, у числа 23 · 34 двадцать делителей .
8. Не может . Сумма трех последовательн ых нату ­
ральных чисел обязательно делится на 3, и притом
о н а больше , чем 3; значит , это - составное число .
9. Нет . Оно делится на 101 и при этом больше, чем 101 .
10. 37.
11. Пусть р = 30q + r, где r - составное число,
меньшее делителя 30. Тогда r должно делиться на все
простые числа, меньшие числа 6, т. е . на числа 2, 3 и
5. Но тогда сумма 30q + r делится н а одно из этих чи­
сел. Атак как эта сумма и есть данное число, то про­
стым ОНО быть не может .
к стр. 195 -201.
1. 50.
13
2. 34
.
4. 40.
5.13ч20мин.
6. Младший брат съел 12 пельменей, средний -
1 8 , а старший - 27 . Значит, оставшиеся 24 пельменя
надо разделить так : среднему дать 9 пельменей,
а млад шему 15.
7.24р. и 18р.
12. Ответ : 36 коров .
13. 3 рубля .
14. Правильная дробь ближе к единице , чем
обратная ей неправильная . Например , i отстоит от 1
1
3
1
на "3'а 2"-на 2".
352


Ответы. У"ааакuя. Решекия.
11
5
17.См. задачу6на с. 125,учитывая, что "2+"3 = 6"'
9
35. 19'
39. Нарисовав первый луг в виде площадки в 6 кле­
точек , мы нарисуем второй луг в виде п лощадки
в 3 клеточки . Тогда вся бригада выкашивает за п ол­
дня 3 клеточки, а один косец выкашивает за целый
день одну клеточку . То есть вся бригада вшестеро
больше одного косца. Ответ : 6 косцов .
К стр. 224-225.
1. Нужно поставить запятую : 4 < 4,5 < 5.
2. 1,5 тонны .
4. Скорость сближения мотоциклистов 50,7 + 49,5 =
= 100,2 км/ч. Значит, муха летала з�gо6� = 3,3 часа.
10. 1000% .
'
11. Второй: его цена равна 70% от первоначальноЙ .
А цена первого равна 72,25% от первоначальной цен ы.
15.122�%.
16. 50 кг. Дело в том , что первоначально масса
грибов с девяностодевятипроцентной влажн остью
состояла из 99 кг воды и 1 кг сухого вещества.
В результате сушки вода испарялась, а сухое вещество
оставалось в том же количестве . Когда влажность
достигла 98% , 1 кг сухого вещества стал составлять 2%
массы грибов .
К стр. 249-250.
3.Ответ:а=0,5,Ь = -1.
4. Это можно сделать разными способами. Вот один
из них : в первой строке числа 8, -9 и 8, во второй -9, 8
и-9,втретьей8, -9и8.
К стр. 276.
3. 450 дм3•
353


Ответы. Указания . Решения
к стр. 296.
8. Площади увеличатся в 4 раза.
к стр. 310.
13. Порядок построения :
1) чертим по линейке прямую а;
2) выбираем на прямой а точку А;
3) проводим С помощью угольника или транспор­
тира из точки А луч Ь под углом 900 к прямой а;
4) откладываем с помощью циркуля на луче Ь от
точки А отрезок АВ = 8 см;
5) проводим С помощью циркуля окружность с цен­
тром В и радиусом 10 см .
6) обозначаем буквой С одну из двух точек пересе­
чения проведенной окружности с прямой а;
7) соединяем с помощью линейки точки В и С.
14. Можно построить один треугольник со сторона­
ми5см,5см,4см,адругой-состоронами5см,4см,
4 см.
19. Это можно сделать разными способами , из ко­
торых отметим три :
1) построить треугольник с такой же стороной , как
у данного треугольника, и с высотой , в 4 раза боль­
шей, чем у него;
2) построить треугольник с такой же высотой , как
у данного треугольника, и со стороной , в 4 раза боль­
шей, чем у него;
3) построить треугол ьник со стороной и с высотой,
в 2 раза большими, чем у данного треугольника.
22. См. задачу 13.
к стр. 324.
4. Они измерили длину тени мачты , а кроме того -
рост и длину тени одного из них . Если рост курсанта
в n раз больше длины его тени, то и длина мачты в n раз
больше длины ее тени .
354


Ответы. ;V"азакuя . Решекия .
Именно таким способом в УI веке до н. э. древнегре­
ческий математик Фалес Милетский измерил высоту
пирамиды Хеопса в Е гипте .
к СТр . 325-326.
1. Четыре .
2. Да.
4. Нужно каждую сторону разделить на три равные
части и провести через точки деления прямые , парал­
лельные сторонам треугольника.
к СТр. 335 -343.
1. Ни одной .
2. Одна.
3. По одному; людей было трое : дед , отец и сын .
4. Столько же.
5. 6 котов : за 6 минут они съедают шесть мышей, за
1 минуту - одну мышь, за 100 минут - сто мышей .
9. В первую минуту жарим два блинчика с одной
стороны , во вторую минуту дожариваем первый блин­
чик с другой стороны и жарим третий блинчик с одной
стороны, в третью минуту дожариваем второй и третий
блинчики.
10. Он пересылал Капабл анке ходы Ласкера,
а Ласкеру - ходы Капабланки .
11. Кофе выпит один стакан . Молока выпито i + ! +
+ i cTaKaHa, то есть тоже один стакан .
12. 3а время , которое понадобится второй мухе ,
чтобы проползти от пола до потолка, первая муха про­
делает весь путь туда и обратно .
13. Надо разделить кольца на три равные группы.
Первым взвешиванием надо сравнить первую группу
со второй, а вторым - первую группу с третьей.
14. Таких чисел пять .
15. Надо разделить монеты на три равные группы.
355


Ответы. .v"аааuuя . Решеuuя
17. Поровну .
18. Это семь, получающееся шестью разными спо­
собами:1+6,2+5,3+4,4+3,5+2и6+1.Осталь­
ные суммы получаются меньшим числом способов,
а потому менее вероятны .
19. См. задачу 12.
20. Если сумма делится на 3, ее можно составить из
жетонов по 3 тугрика в каждом . Если сумма при деле­
нии на 3 дает в остатке 1 (и при этом больше 7), то ее
можно составить из двух жетонов в 5 тугриков и необ­
ходимого числа жетонов по 3 тугрика. Если сумма
при делении на 3 дает в остатке 2 (и при этом больше
7), то ее можно составить из одного жетона в 5 тугри­
ков и необходимого числа жетонов по 3 тугрика.
21. Первый пришел раньше . Он дольше , чем вто­
рой , шел со скоростью 5 км/ч .
22. Второй может выиграть, называя в свой ход
числа, кратные пяти .
23. Первый может выиграть, называя числа, окан­
чивающиеся цифрами 4 и 9.
24. 369 страниц.
25. Нет . Концы цепочки должны быть одинаковы:
если не считать дублей, в цепи четное число пятерок и
четное число шестерок .
26. 36.
27. У сестры денег не было .
28. Я поставил часы на 1200 , по часам друга опреде­
лил продолжительность визита к нему, а вернувшись
домой , вычислил продолжительность пути от него до
дома . Например , если, придя к другу , я увидел бы на
его часах время 1000 , уходя от него - 1130, а придя к
себе , увидел на своих часах время 1445, то я бы поста­
вил на своих часах 1145.
29. Если Андреев и Петров стояли в одном попереч­
ном ряду, то Андреев ниже Петрова. Если они стояли
в одном продольном ряду , то Петров выше Андреева.
356


Ответы. Указа кия. Решекия.
Если же они стояли в разных поперечных и разных
продольных рядах , то можно найти ученика, стояв­
шего и в одном поперечном ряду с Андреевым , и в од­
ном продольном ряду с Петровым . Андреев ниже этого
ученика, а Петров выше него . Так что и в этом случае
оказывается, что Андреев ниже Петрова.
30. Андреев выиграл у Борисова и Власова, Г�JO з -
дев проиграл им, Борисов выиграл у Власова.
I
31. Первая фраза текста была такой : «Про�зведе­
ние трех последовательных нечетных двузначных чи­
сел равно 12075».
32. Это можно сделать, например , так :,. ,
221412
�
82812
,.
.
81624
161616
33. Первый должен взять 5 шариков , а затем до­
полнять числа второго до 6.
34. Пешеход придет раньше .
35.ПустьаЬ=а+Ь.ТогдааЬ-а =Ь,а(Ь-1)=Ь.
ЛибоЬ=1,либоа= ь�1 •НоЬравнятьсяединицене
может , так как не может а равняться а + 1. Поэтому
а = ь�1 , откудаполучается, что Ьделится наЬ-1.Это
возможноприЬ=О(иа=о),атакжеприЬ=2(иа=2).
Ответ:Оио;2и2.
36. Это может произойти, если между приходом
маршрута N2 2 и N2 1 проходи'r больше времени, чем
между приходом маршрута N2 1 и N2 2. То есть , напри­
мер , при таком расписании :
N2 1: 8.00 8.04 8.08 . ..
N2 2: 8.01 8.05 8.09 ...
357


Ответы. УJCааа",uя. Реше",uя
37. в четыре взвешивания. Первым взвешиванием
нужно сравнить две группы по 27 колец в каждой .
38. В три взвешивания. Первым взвешиванием на­
до сравнить две группы колец по 20 в каждой .
40. Надо положить на одну чашу весов одну мо­
н ету из первого мешка, две м о неты из второго меш­
ка, ..., девять монет из девятого мешка и десять мо­
нет из десятого мешка и все их взвесить . Если бы все
монеты были настоящие , их масса равнялась бы
550 г, а в нашем случае она будет отличаться от этой
массы на столько граммов , сколько на весах ненасто­
ящих монет . Но это число и есть номер мешка, и з ко­
торого они взяты .
42 . Дело в том , что общее число р укопожатий ; сде­
ланных отдельными людьми, всегда четно , так как
каждое рукопожатие можно считать за два, сделан­
ные двумя людьми .
43. Зная , что черных колпаков всего два, и видя
перед собой два белых колпака, челов ек может рас ­
суждать так . Если бы на мне был черный колпак ,
то один из моих соседей видел бы один черный кол­
пак и один белый и м ог бы рассуждать так : если бы
на · мне был черный колпак, то тот , на ком белый ,
видел бы два черных колпака и сразу сказал бы, что
на нем белый колпак , а раз он молчит, то на мне бе­
лый колпак. Но он молчит, и значит, на мне белый
колпак .
44 . Каждый вопрос должен отсеивать половину чи­
сел . Например , первый вопрос может быть таким : де­
лится ли задуманное число на два"? или : задуманное
число больше , чем 5001
46. Каждый сеанс должен занимать 1 час . 50 минут .
47. Это может быть Северный полюс , а также лю­
бая точка вблизи Южного полюса, н аходящаяся на
100 км севернее широты , имеющей длину l�O км, где
n - натуральное число .
358


Ответы. У"ааакuя. Реш�кuя.
48. 64 · 520 = 1600 способами .
49. Выиграет первый , если он вынет из второго
ящика 30 шариков и в дальнейшем каждым своим хо­
дом будет уравнивать число шариков в ящиках .
51. Достаточно .
52. Достаточно .
53. Необходимо.
54. Необходимо и достаточно.
55. Необходимо .
56. Необходимо и достаточно .
57. Четверг .
58. 8 карандашей дороже , чем 9 тетрадей .
60. Обозначим буквами неизвестные числа:
Таккак6+а+Ь=а+Ь+с,тос=6;точнотакже
вычисляем,чтоf=6,h =6,k =6.Таккак4+h+i=
= h+i+j,тоj=4;точнотакжевычисляется,что
т=4,е = 4,Ь =4.Атаккаксуммалюбыхтрехсосед­
нихчиселравна15,тоа=d =g =i =l =5.
62. Через 19 дней .
63. Нужно измерить высоту одного кирпичного
слоя вместе со слоем извести , а затем подсчитать чис­
ло слоев в доме .
64. 24.
65. Нужно сделать развертку куба и провести на
ней по линейке отрезок АВ.
67. Будем считать, как обычно, что начало века -
1 января 2000 года, 2100 и т. д. годов . 1 января 2000 г. -
суббота. В ХХI веке сто лет , из них 25 високосных и
75 невисокосных . В каждом високосном году 52 неде­
ли и 2 дня, а в невисокосном 52 недели и 1 день. Зна­
чит, в ХХI веке некоторое число полных недель и еще
6 дней . Поэтому 1 января 2100 года - пятница. Так
как 2100, 2200 и 2300 годы не считаются високосны-
359


Ответы. У"азания. Решения
ми по н ашему григориан скому кален дарю (чем о н и
отличается от старого юлиан ского), то в ХХII , ХХIII и
XXIV веках - на один день меньше, чем в ХХI веке.
Поэ тому 1 января 2200, 2300 и 2400 годов - соответ­
ственно среда , понедельник и суббота. 2400 год - сн ова
високосн ый, и следующие 400 лет повторяют преды­
дущие. Итак , век может н ач инаться только пон едель­
ником , средой, пятницей или субботой .
68. 50 кур и 50 кроликов.
69. 70% .
70. 18,76 км/ч.
72. 3 носка.
73. 16 перчаток.
74. 15 яиц.


ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРА ТУРА
1. Журнал «Квант» . 1970-1996 ГГ. , задачи для
младших школьников .
2. Перелъмаn я. и . Живая математика. Изд-во
ВАП , 1994.
3. Перелъмаn я. И . Занимательная алгебра. Изд-во
ВАП , 1994.
4. Герм аnовuч п. ю . Сборник задач по математике
на сообразительность . М. : Учпедгиз, 1960.
5. Кордемскuй Б. А . Математическая смекалка. М .:
ГИТТЛ, 1955.
6. Кордемскuй Б. А., Ахадов А. А. Удивительный
мир чисел . М. : Просвещение, 1986.
7. Ам еnuцкuй Н. Н., Сахаров И. п. Забавная ариф­
метика. М.: Наука: Физматлит , 1992.
8. Баврun и. и. , Фр uбус Е. А . Старинные задачи.
М. : Просвещение, 1994.
9. Поnомарев С. А. , Сmраmuлаmов п. В., Сырnев Н. и .
Сборник задач по математике для 4-5 классов. М .:
Просвещение, 1979.


ОГЛА ВЛЕНИЕ
Предисловие.....................................
5
Глава первая. НА ТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА .. . .. .... .... .
7
Умеешьлитысчитать?(Числаицифры).............7
Свободный счет до 10 и до 100 .................... 59
Сложение прямым счетом ........................ 67
Сложение присчитыванием и вычитание отсчитыванием .. 72
Сложение и в ычитание до 20 наизусть ........ .. .. . . 77
Сложение и в ычитание столбиком ...... . .... ... ... 83
Смысл у множения ........ ............ . .... .. . . 9 5
Деление . . ........ . ...... ....... . . ... ...... ...116
Делимость . Признаки делимости . Четные и нечетные
числа...... ........ ... ............ ... .. .....131
Простые числа ................................152
Глава вторая. ДРОБИ ... . . ........ .... ....... . . ..174
Дроби с одинаковыми знаменателями ..............174
Основное свойство дроби . Сокращение дроби .........179
Дроби с разными знаменателями . . .... ... .........183
Умножениеиделениедробей . .... . . ... .... . ... . . . 190
Три задачи на дроби ............................193
Давно ли появились дроби? . . . ........ ...........194
Глава тр етья. РАСШИРЕНИЕ РАЗРЯДНОЙ СЕ ТКИ . . 202
Десятичная дробь . . . ... ............. . . . ........ 202
Сравнение десятичных дробей ....................203
362


Сложение и вычитание ..........................206
Умножение и деление на 10, 100, 1000 .............208
Умножение любых чисел в десятичной
системе счисления .............................209
Деление ..... . ........ .... .............. . .....212
Проценты ...................... ..... ...... . ..216
Действия с десятичными и обыкновенными дробями ..221
Глава четвертая. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ........226
Положительные и отрицательные числа . .......... . 226
Координат ная плоскост ь ........... .............227
Противоположные числа . Модуль числа. Целые и
рациональные числа ........................... 234
Сложение рациональных чисел на числовой прямой ...237
Сложение рациональных чисел без помощи
числовой прямой . . . ....... ..... . ............. . 241
Вычитание рациональных чисел .......... ........244
Умножение и деление рациональных чисел ..........246
Гл ава пятая. УРАВ НЕНИЯ ... ........ ............251
Решение самых простых уравнений ................252
Решение более сложных уравнений .
Аль-джебр ва-л -мукабала . . ... .... ..............254
Решение задач с помощью уравнений . . .... ......... 255
Гл ава шестая. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕ ТРИЮ ....... . . 263
Об измерениях ........ ............ ..... ... ... . 263
Литр ................ ....... ........... ... ...267
Половина литра . Прямая при зма ......... ......... 268
Одна треть ли тра. Пирамида ....... . . .... ........270
Формулы объема призмы и пирамиды . . ............273
Цилиндр ... ... ..... ...... . . ..................277
Конус ......................... ........... ....279
Площадь. Площадь прямоугольника ......... ......281
Площадь треугольника . . . . ................. .....284
363


Дельтоид и п араллелограмм ......................291
Опостроениях .................................296
Построени е отрезков ............................298
Из мерение углов. Транспортир ....................302
Построени е у глов ..............................304
Построени е треугольников .......................305
Площадь круга .................................311
Секрет склеивани я цилиндра .....................315
Подобие ......................................318
Подобие в пространстве .........................324
Периметры подобных многоуголь ник ов .............326
Площади п одобн ых фигур ........................330
Гулливер и лилипут .............................331
Гл ава седьмая. РАЗНЫЕ ЗАДА ЧИ ..................335
Ответы, указа ния, решения ......................345
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ................361


<,За нимательные yp Ol(и .�
Арутюнян Елена Бабкеновна
Левитае Герман Григорьевич
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Книга для детей, учителей и родителей
Учебн ое изда ние
Редактор С. Afладова
Ответственный редактор Т. Носе нко
Дизайнер обложки В. Па н телеев
Схемы и чертежи Н. Громовой
Художественный редактор Е. Урусов
Технический редактор Н. Лукова
Корректоры И. Дм и тр иева. Р. Сmа нкова
Компьютерная верстка Г. Хор икова, Н . Холм а нских
Диапозитивы Лf. Леон тьева
ЛР 1w 064267 от 24.10.95.
Подrmсано в печать 28.05 .99 . Формат 60 х 9О{16.
Печать офсетная. Бумага газетная. Гарнитура «Школьная».
Печ. л. 23,0. ТИРаЖ 2500
0
экз.Заказ1w24
42
. С.064.
Налоговая льгота -общероссийский классификатор
продукци
и
ОК.()()5.
.
93, том 2-953 00
0
.
Гигиеническийсертификат1w77.ЦС.04.952.П.01464.М.98.от27.05.98г.
леТ·ПРЕСС, 107078, Москва, а{я 5.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГМП «Первая Образцовая ТШJография»
Государственного комитета Российской Федераци
и
по печати.
113054, Москва, Валовая, 28.


СЕРИ R