С.В. Терехов
Я для знаний воздвиг сокровенный чертог,
Мало тайн, что мой разум постигнуть не смог.
Только знаю одно: ничего я не знаю!
Вот моих размышлений последний итог.
Омар Хайям

Механика
О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретатель.
А.С. Пушкин

для теоретиков
Теория, мой друг, суха
Но зеленеет древо жизни.
И.В. Гёте

Донецк-2020

УДК 531(07)
Т35
ББК 22.31

Т е р е х о в С. В. М е х а н и к а д л я т е о р е т и к о в.
– Донецк: ГУ «ДонФТИ им. А.А. Галкина», 2020. – 387 с.

В учебнике изложены фундаментальные принципы классической механики, её основные уравнения и законы. Основное внимание уделено не только изложению теоретических приёмов, решению практических задач и разъяснению сложных вопросов, но и
поиску новых возможностей расширения устоявшихся границ теоретического описания механических явлений и процессов.
Для студентов физических, физико-технических и механикоматематических факультетов вузов и втузов, аспирантов, преподавателей и физиков-теоретиков.

Р е ц е н з е н т ы: д. ф.-м. н., проф. В.В. Румянцев
д. ф.-м. н., проф. В.М. Юрченко

© Терехов С.В., 2020

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Содержание

Содержание
Стр.

Введение .…………………………………………………

7

Глава 1. Пространство. Время. Движение. Инерция……...

11
11
15
22
26
29
33
38
41

1.1. Пространство. Время...…………………………….
1.2. Многочисленность геометрий, алгебр и физик………
1.3. Преобразования систем координат и симметрия........
1.4. Параметризация пространства. Движение…………
1.5. Коэффициенты Ламе………………………….........
1.6. Инерция. Преобразования Галилея и Лоренца.……….
1.7. Специальная теория относительности……………...
1.8. Масса. Количество движения. Сила……………..........

Глава 2. Вариация действия. Уравнения движения. Законы
сохранения.……..........................................................

45
2.1. Связи и степени свободы…………………………….. 48
2.2. Вариационный метод……………………………….. 51
2.3. Функции механического движения…………………... 53
2.4. Фазовое пространство. Сопряжённые фокусы. Изохронная
вариация аргументов……….................................................. 57
2.5. Свойства функции Лагранжа. Вариации действия….... 61
2.6. Уравнения движения. Гироскопические и диссипативные
силы………………….............................................................. 64
2.7. Консервативность и инварианты движения….............. 70
2.8. Разновидности механики................................................... 75

Глава 3. Вращение. Потенциальные поля. Траектории…....

79
81
83
86
88

3.1. Свободная частица…………………………………..
3.2. Основной закон динамики вращательного движения…....
3.3. Перемещение объекта при силовом воздействии……...
3.4. Задача двух тел. Приведенная маса. Центральное поле.
3.5. Поле Кулона (поле притяжения или отталкивания).
Задача Кеплера. «Падение» на силовой центр…………...... 92
3.6. Финитные движения Бертрана………………………. 98
3.7. Положение равновесия………………………………... 102
3.8. Частица в потенциальной яме……………………….. 104

Глава 4. Внешние силы. Колебания. Резонансы……...............

107
4.1. Взаимодействие с окружающей средой………………. 109
4.2. Математический и физический маятники…………. 114
4.3. Затухающие и нарастающие колебания.….................... 118
3

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Содержание

4.4. Особые точки на фазовых портретах…………….......
4.5. Вынужденные колебания. Резонансы…............................
4.6. Уравнение Матье……………..........................................
4.7. Адиабатический инвариант…………….......................
4.8. Перевёрнутый маятник Капицы…..................................

123
126
134
138
141

Глава 5. Рассеяние. Дискретность. Волны…………...........

145
147
151
156
158
162
166
169
174

Глава 6. Нелинейность. Ангармонизм. Хаос……………...

177
179
183
188
193
199
202
209
214

5.1. Вектор Рунге-Ленца-Лапласа. Упругое столкновение...
5.2. Сечения рассеяния. Формула Резерфорда.……………
5.3. Захват частиц центром притяжения………………...
5.4. Колебания моночастичной цепочки……………...........
5.5. Первая зона Бриллюэна……………................................
5.6. Акустическая и оптическая ветви осцилляций………
5.7. Дисперсионные кривые. 3D-мерные колебания..............
5.8. Локальные фононные моды………………………….
6.1. Ангармонический осциллятор Дуффинга……………
6.2. Эллиптические функции Лежандра и Якоби....................
6.3. Уравнения Ван дер Поля……………..............................
6.4. Солитон Хасимото……………........................................
6.5. Функция Лагранжа на комплексной плоскости….........
6.6. Логистическая модель Ферхюльста. Бифуркации. Хаос.
6.7. Странный аттрактор Лоренца…………….................
6.8. Характерные черты нелинейных систем.........................

Глава 7. Вихри. Циркуляция. Течения…………………...

217
221
225
230
235
239
245
249
252

Глава 8. Гироскоп. Упругость. Поля……………………...

257
260
264
268
271
275
279
284

7.1. Идеальная жидкость. Завихрённость. Циркуляция….
7.2. Вихревые линии и трубки………......................................
7.3. Течения Бельтрами…………….....................................
7.4. Поле скоростей, источники и вихри. Спиральность…...
7.5. Закон Био-Савара. Кольца Тейлора...................................
7.6. Сферические вихри Хилла и Хикса….................................
7.7. Колоннообразный вихрь Рэнкина. Типы возмущений..
7.8. Вихри Бюргерса и Салливана ………………………..

8.1. Уравнения Эйлера………....................................................
8.2. Тензор инерции. Волчок с закреплённой точкой……..
8.3. Лагранжиан вращающегося твёрдого тела…………...
8.4. Явление удара. Теорема Карно..........................................
8.5. Идеально упругое тело. Напряжения и деформации…..
8.6. Обобщённый закон Гука. Волны в упругой среде.............
8.7. Элементы электромеханики…….....................................
8.8. Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент………….............................................................................. 289
4

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Содержание

Глава 9. Каноничность. Метод Фурье. Инварианты……..
9.1. Канонические уравнения…….............................................
9.2. Теорема Лиувилля …………….......................................
9.3. Скобки Пуассона.....................................................................
9.4. Механика Гамильтона-Якоби…………….....................
9.5. Метод Фурье……………..................................................
9.6. Оптико-механическая аналогия……………………...
9.7. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана………
9.8. Универсальный и адиабатический инварианты.............

Глава 10. Алгебры. Кватернионы. «Заряд». ………………..

10.1. Генерация охватывающих алгебр.....................................
10.2. Ортогональные преобразования координат.................
10.3. Кватернионы Гамильтона-Гиббса..................................
10.4. Сопровождающая тройка кватернионов базиса.............
10.5. Механика материальной точки…………………….
10.6. Гипераналитичность кватернионной функции……..
10.7. «Заряд», «ток» и калибровка «поля»…………………...
10.8. Законы сохранения и эволюции………….....................

293
295
299
303
306
310
315
319
323
329
332
339
345
350
354
359
365
369

Список рекомендуемой литературы……………………………375
Приложения………………………...…………………........380

5

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Содержание

6

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Введение

Введение
У каждого портного свой взгляд на искусство
Козьма Прутков

Природа, наполнившая материей пространственно-временной
континуум, неустанно создаёт новые формы бытия с сохранением
фундаментальных величин, связей и соотношений. Фундаментальные
величины – это мировые константы (в физике: заряды электрона и
протона, постоянная тонкой структуры, скорость распространения
света в вакууме, постоянные Планка и Больцмана и т.д.). Фундаментальные связи и соотношения задаются правилами и законами, которые лишь меняют свою форму при переходе в другую область знаний
или на иной уровень самоорганизации материи, состоящей из вещества и поля.
Вещество представляет собой симбиоз частиц и создаваемых
ими разнообразных полей, с помощью которых они контактируют
между собой. Наличие разных агрегатных состояний вещества (плазма, газ, жидкость, кристалл) и возможность различных типов хаоса и
упорядочения порождает многообразие мира. Поля могут существовать отдельно от вещества, но их характеристики зависят от условий
среды обитания. Основным состоянием материи является непрерывное движение, порождающее необратимые процессы и периодические
транспортировки физических величин. Простейшим из этих изменений местоположения ограниченных объектов является механическое
движение.
Слово “механика” впервые упоминается в трудах Аристотеля
(384-322 г. до н.э.) “Физика”, “О небе” и “О возникновении и уничтожении”. В этих работах больше внимания уделялось философской
стороне вопроса, нежели физической. Механика заняла достойное место в научном мире под влиянием изобретателя из Сиракуз великого
Архимеда (287-212 г. до н.э.), который сформулировал теорию равновесия рычага, создал учение о центре тяжести тел и открыл закон о
подъёмной силе для тел, плавающих в жидкости. Дальнейшее разви7

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Введение

тие механика получила в работах Паппы Александрийского (III век н.
э. – две важные теоремы о центре тяжести), Николы Кузанского (14011464 – предшественник Коперника, развивавший представления о гелиоцентрической системе устройства солнечной системы), Леонардо
да Винчи (1452-1519 – развил теории механизмов, трения и движения
по наклонной плоскости), Симона Стевина (1548-1520 – исследовал
законы равновесия тел на наклонной плоскости, сформулировал основные законы статики и открыл закон равновесия трёх сил, пересекающихся в одной точке), Николы Коперника (1473-1543 – сформулировал принципы гелиоцентричности), Иоганна Кеплера (1571-1630 – открыл законы перемещения планет вокруг Солнца по эллиптическим
траекториям), П. Вариньона (1654-1722 – определил понятие момента
силы относительно точки и доказал теорему о моменте равнодействующей силы), Л. Пуансо (1777-1859 – развил теорию пары сил, приложенных к твёрдому телу) и других средневековых учёных.
Развитие аналитической механики связано с именами Ж.Л. Лагранжа (1736-1813 – заложил в основу статики вариационный принцип
виртуальных перемещений), М.В. Остроградского (1801-1862 – обобщил вариационный принцип Лагранжа на случай неудерживающих
связей), П.Л. Чебышёва (1821-1894 – основал русскую школу теории
механизмов и машин), Л. Эйлера (1707-1783), О.И. Сомова (18151876), В.Г. Имшенецкого (1832-1892), В.Л. Кирпичёва (1845-1913),
Н.Е. Жуковского (1847-1921), С.А. Чаплыгина (1869-1942) и многих
других. Несмотря на внешнюю простоту используемых в механике законов, они позволили совершить качественный скачок в создании технических устройств, механизмов и машин.
Классическая механика базируется на примитивных представлениях о пространстве и времени, полученные путём обобщения наблюдений за медленными перемещениями макроскопических тел в земных условиях. Объективно существующие пространство и время в механике Ньютона не связаны ни друг с другом, ни с материальными
частицами. Независимость пространства и времени от природных явлений приводит к их абсолютизации. Поэтому им приписывают такие
характеристики, как повсеместная непрерывность, однородность и
8

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Введение

изотропность, причём метрические свойства задаются геометрией Евклида.
Принятые аксиомы проявляются в том, что события, происходящие в разных местах, одновременны вне зависимости от относительной скорости движения тел. Эти гипотезы неразрывно связаны с допущением о мгновенной передаче взаимодействий между телами на
любые расстояния. Безотносительность пространства-времени к движущимся телам была преодолена в специальной теории относительности (Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн и др.). Постулат о предельной скорости передачи сигналов (скорости света в вакууме) разрушил миф об абсолютности пространства и времени, позволил оформить такие понятия, как относительность пространственных и временных интервалов; разобраться с одновременностью событий в разных
инерциальных системах; объяснить: абберацию света, укорочение
масштабов, возрастание временных отрезков и масс тел при скоростях, близких к скорости света. Тем самым специальная теория относительности ограничила применение механики Ньютона случаем скоростей значительно меньших, чем скорость света. Однако эта теория
нашла своё практическое применение для решения многих задач. Аналитическая механика Эйлера-Лагранжа, механики Гамильтона и Якоби, а также другие разновидности механики обосновали существование законов Ньютона.
Для проведения наблюдений и изучения движений материальных тел необходимо провести параметризацию (арифметизацию) пространства и времени для получения количественных характеристик и
соотношений. С этой целью указывают способ измерений расстояний
между точками пространства, интервалов времени между событиями
и выбирают ту или иную систему отсчёта, т.е. материальную точку в
качестве начала координат и соответствующую задаче систему координат.
В заключение сформулируем постулаты классической механики:
Постулат 1. Возможно проводить одновременное измерение с какой
угодно точностью любых физических величин, характеризующих движение макроскопических тел.
9

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Введение

Этот постулат позволяет пренебрегать влиянием измерительного
прибора на состояние макроскопического тела и, следовательно, не
изменяет значение измеряемой величины. Следует помнить, что этот
постулат неверен при опускании на атомарный уровень.
Постулат 2. Во всех системах отсчёта, движущихся относительно друг
друга равномерно и прямолинейно, продолжительность исследуемого процесса одинакова.
Этот постулат утверждает абсолютность временных интервалов
между событиями.
Постулат 3. Во всех системах отсчёта, движущихся относительно друг
друга равномерно и прямолинейно, расстояние между двумя точками пространства в данный момент времени одинаковое.
Постулат соответствует признанию абсолютности пространства
и геометрии Евклида при вычислении расстояний между точками.
Приведенные постулаты являются обобщением наблюдений за
движением макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Их следует игнорировать при исследовании явлений на уровне атомов и элементарных частиц, а также
при рассмотрении релятивистских явлений (движения тел скоростями,
близкими к скорости света в вакууме). При изучении механики следует помнить, что принципы, заложенные в основу её законов, базируются не только на непосредственных экспериментальных фактах,
но и на умозрительном установлении целого ряда связей между ними. Поэтому теория и эксперимент – это две стороны одной медали
с названием “Физика”. Они не должны противоречить друг другу в установлении объективной истины, а лишь дополнять и стимулировать
взаимное развитие.
Все замечания, отмеченные в тексте значком «*», содержат указание на первоисточник или отображают информацию, которая (по
мнению автора) заслуживает пристального внимания и детального обсуждения.

10

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Глава 1. Пространство. Время. Движение. Инерция
И поистине всегда там, где не достаёт разумных
доводов, там их заменяет крик
Леонардо да Винчи

1.1. Пространство. Время
Научное описание природного объекта, явления или процесса
базируется на экспериментальных фактах и выдвигаемых на их основе
теоретических определениях, аксиомах и гипотезах. Основными понятиями теоретической физики являются пространство и время. Они
фундаментальны, так как их невозможно выразить через какие-либо
более простые понятия. При установлении законов природы не так важны формальные определения пространства и времени, которые формируются в процессе приобретения жизненного опыта, как их свойства.
Под физическим пространством (3D-пространством) понимается множество точек, положения которых задают тремя числами в выбранной
системе отсчёта при фиксированном значении того или иного управляющего параметра. Отметим, что положение точки в плоском (2Dпространство) и одномерном (1D-пространство) пространствах задаются двумя и одним числом. Если пространство лишено высоты, длины и ширины, то оно называется нуль-пространством (0D-пространство). В качестве управляющего параметра, от которого зависят все величины местоположения физической системы, используют: пройденный телом путь (натуральный параметр), время или любой другой параметр. Наиболее часто используют временную параметризацию пространства: она сводится к зависимости местоположения объекта от
времени t. Время одномерно, потому что для фиксации начала события
или длительности процесса достаточно указать одно число. Неизменность физических законов в течение эволюции человечества свидетельствует об однородности времени. При этом совершенно неважно
были или будут открыты человеком эти физические законы, они дейс11

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

твуют в природе всегда. Эксперимент, поставленный в одних и тех же
условиях, приводит к одним и тем же фактическим данным в любой
момент времени.
Для аналитического описания поведения ограниченного объекта
произвольно выбирают систему отсчёта. Система отсчёта состоит из
тела отсчёта, принятого в качестве начальной материальной точки, и
связанной с ней системой координат. Материальной точкой называют
физическое тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с характерными размерами решаемой задачи*. Например, при исследовании движения планеты Земля (cредний диаметр планеты составляет примерно DЗ = 12 742 км ≈ 0.013 млн. км) вокруг звезды Солнце (средний диаметр звезды составляет примерно DС = 109 · DЗ =
= 1 388 878 км ≈ 1.4 млн. км) среднее расстояние между ними равно
R ≈ 149.6 млн. км. Из приведенных чисел видно, что по сравнению с
расстоянием от Солнца до Земли размеры этих небесных тел невелики, т.е. тела могут быть приняты в качестве материальных точек, причём в качестве тела отсчёта выбирают Солнце.
Системой координат в 3D-пространстве называют пересекающиеся в начальной точке под строго заданным углом три числовые
прямые (координатные оси: абсцисс Ox, ординат Oy, аппликат Oz). Если угол между осями равен 90°, то система координат называется декартовой (рис. 1.1, а), в противном случае – косоугольной (рис. 1.1, б).
На рис. 1.1 начальная точка O соединена с точкой P вектором a , который называется радиус-вектором и в дальнейшем будет обозначаться
как r ( x, y , z ) , а в случае обобщённых координат − q .
*Основанием для введения понятия материальной токи является возможность отделения
вращательного движения твёрдого тела вокруг центра масс от его поступательного движения
вместе с центром масс. Кроме того, эти движения можно исследовать независимо друг от
друга. Например, пусть массивный шар подвешен на упругой нити. Если он совершает вертикальные колебания, то его можно считать материальной точкой, несмотря на то, что его диаметр всего в несколько раз меньше длины нити. Но его нельзя считать материальной точкой
при совершении крутильных колебаний. Тело вне зависимости от его размеров можно считать материальной точкой при поступательном движении, когда все точки тела движутся с
одинаковой скоростью, а само тело не меняет своей ориентации в пространстве. Таким образом, понятие “материальная точка” идеализирует не свойства объекта, а условия его перемещения в пространстве.
12

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

y

y

a2

P

a2
a

a

e2

e2
O

P

a2

a1

e1

x

O

а

e1

a 1 a1

x

б

Рис. 1.1. Декартова (а) и косоугольная (б) системы координат на плоскости

Проекции вектора a1 и a2 на координатные оси, полученные путём опускания перпендикуляров из начала и конца вектора a на координатные оси, называют ковариантными координатами вектора a .
Если же проекции вектора a на координатные оси получены путём
проведения прямых, параллельных координатным осям, то их называют контравариантными и обозначают с индексами вверху: a1 и a2.
Единичные векторы (орты) координатных осей обозначают буквами
ei (рис. 1.1). В случае декартовой системы координат их записывают
буквами латинского алфавита (рис. 1.2): Ox – i , Oy – j , Oz – k .
Кроме косоугольной и декарz
товой систем координат используa3
ют и другие, в частности, полярP
ную систему координат (рис. 1.3).
a
Полярную систему координат заk
j
дают точкой O , называемой полюy
O
a
i
2
сом, лучом r , называемым полярa1
ной осью и единичным вектором
x
e P в направлении полярной оси.
Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ox декартовой
системы координат, а полюс − с началом координат. Положение точки M ( x; y ) в полярной системе коорРис. 1.2. Декартова система координат
в пространстве

динат определяется длиной радиус-вектора r = r и углом ϕ между
13

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

радиус-вектором и полярной осью
(угол берётся со знаком “+”, если
он отсчитывается против часовой
стрелки). Длина r вектора r изменяется в пределах [ 0 ; ∞ ) , а глав-

y
M (r; ϕ )
M ( x; y)

r2 = y

r

r=r

ϕ
r1 = x

eP

ными значениями угла ϕ являются
значения из интервала [0; 2π ) (или

x

(−π; π ]). Величины r и ϕ называют

Рис. 1.3. Полярная система координат
на плоскости

полярными координатами точки
M , т.е. пишут M ( r ; ϕ ) ( r – полярный радиус, ϕ – полярный угол). Из

рис. 1.3 видно, что декартовые и полярные координаты связаны формулами:
⎧r = x 2 + y 2
⎧ x = r ⋅ cos ϕ
⎪
и ⎨
⎨
y
⎩ y = r ⋅ sin ϕ
⎪tg ϕ =
x
⎩

(1.1.1)*

Приведём вид некоторых линий в полярной системе координат:
Спираль Архимеда

Окружность с центром в Окружность с центром в
точке A(R; 0) , r = 2R cos ϕ
точке O (0; 0)

y

y

r

ϕ

O
r = aϕ , a < 0

R

O

p

r

r

ϕ

r = R , x2 + y 2 = R2

x

ϕ

O R

•
A(R; 0)

x

( x − R) 2 + y 2 = R 2

*

При записи формул (1.1.1) подсознательно принято, что физический мир описывается геометрией Евклида, поэтому используют круговые тригонометрические функции. В этом случае расстояние l между точками M1(x1, y1) и M2(x2, y2) определяется по первой формуле второй системы
(1.1.1): l = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 . Выбор другой геометрии, например, соответствующей комплексной плоскости Минковского, приводит к необходимости использовать гиперболические
тригонометрические функции: ⎧⎨ x = r chϕ , описывающие сжатие (растяжение) физического
⎩ y = r shϕ

пространства. Для этого варианта геометрии вычисляется не расстояние между точками пространства, а интервал s между событиями по формуле: s = ( x 2 − x1 ) 2 − ( y 2 − y1 ) 2 .
14

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Окружность с центром в
точке A(0; R) , r = 2R sin ϕ

Кардиоида

y

y

R

r

A(R; 0)• r

ϕ
O
2
x + ( y − R) 2 = R 2

Кардиоида

y

ϕ
O

r
x

ϕ

O

x

x
r = a(1 − cos ϕ )

r = a(1 + cosϕ )

Для системы, состоящей из N точек в nD-пространстве надо задавать N радиус-векторов ri (i = 1, 2, …, N) или nN их проекций. Число
независимых величин, однозначно определяющих положение системы, называют числом её степеней свободы. Заметим, что любые nN
независимых величин полностью характеризующих положение объекта (с nN степенями свободы) называют его обобщёнными координатами qij (i = 1, 2, …, N; j = 1, 2, …, n).
Физическое пространство является однородным и изотропным.
Однородность пространства проявляется в независимости физических законов от местоположения проведения физического опыта. Изотропность пространства определяет независимость физических законов от ориентации системы координат в пространстве. Эти свойства связаны с симметрией физического мира по отношению к параллельному переносу и повороту системы координат, т.е. указывают на
полную эквивалентность точек мира, явлений и процессов в системах.

1.2. Многочисленность геометрий, алгебр и физик
В работе “Об основных гипотезах геометрии” (1887) А. Пуанкаре
пишет: “Согласно тому, что нами выше было сказано, геометрия есть
ничто иное, как изучение некоторой группы движений, и в этом смысле можно сказать, что справедливость геометрии Евклида нисколько
не противоречит справедливости геометрии Лобачевского, так как существование одной группы вполне совместимо с существованием дру15

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

гой. Мы выбрали между всеми возможными группами одну особенную для того, чтобы к ней относить физические явления, подобно тому, как мы выбираем систему трёх координатных осей, чтобы к ним
относить геометрические фигуры. Что же определило наш выбор?
Это, во-первых, простота выбранной группы; но есть и другое основание: в природе существуют замечательные тела, называемые твёрдыми. Опыт говорит нам, что связь различных возможных перемещений
этих тел выражается со значительной степенью приближения теми же
самыми соотношениями, как и различные операции выбранной группы. Таким образом, основные гипотезы геометрии не суть факты, добытые из опыта; но наблюдение над некоторыми физическими явлениями приводит к выбору именно из числа всех возможных гипотез”.
В последнем предложении А. Пуанкаре проводит явную связь между
аксиомами геометрии Евклида и наблюдением за движением твёрдого
тела. Отсюда следует вывод: наблюдение за другими физическими явлениями должны приводить к другим аксиомам, т.е. к другим геометрическим построениям, а, следовательно, к геометриям неевклидового
вида. Другими словами, смена класса наблюдаемых физических явлений должна неизбежно приводить к смене аксиом ранее известных геометрий. Построение единой теории всего возможно только тогда,
когда будут изучены все классы физических явлений. Другой учёный
Г. Гельмгольц не только доказал, что геометрия Евклида описывает
группу движений твёрдого тела, но и выдвинул гипотезу о том, что
другие геометрии определяют законы движения иных тел, возможно
даже не существующих, но не противоречащих возможности их реализации в других природных условиях. С. Ли продвинул анализ сложившейся ситуации дальше: рассматривая возможные преобразования
и их комбинации для геометрической фигуры, он пришёл к понятию
группы. Каждой группе соответствует своя геометрия и поэтому геометрия Евклида всего лишь частный случай, связанный с движениями твёрдого тела.
Количественный анализ физического явления, включающий алгебру и математический анализ, использует то или иное числовое множество, которое относительно какой-либо операции также может об16

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

разовывать группу. Абстрактная группа G – это множество элементов a, b, c, … удовлетворяющих следующим условиям:
– если элементы a и b принадлежат множеству G, то и их композиция
(“произведение”) ab также принадлежит группе G;
– “произведение” элементов ассоциативно, т.е. (ab)c = a(bc);
– существует единичный элемент e такой, что для любого элемента a
из группы G выполняется равенство ae = ea = a;
– если элемент a принадлежат множеству G, то существует обратный
элемент a−1 такой, что aa−1 = a−1a = e.
Например, множество рациональных чисел (за исключением нуля) образуют группу с операцией обычного умножения. Совокупность целых чисел (отрицательные, нуль и положительные) образуют группу,
если в качестве “произведения” элементов выбрать сложение чисел,
при этом нуль выступает в роли групповой единицы. Говорят, что два
элемента группы коммутируют, если их “произведение” не зависит от
порядка следования элементов, т.е. выполняется равенство
ab = ba .
(1.2.1)
Поэтому коммутатором называют выражение
[a, b] = ab − ba ,
(1.2.2)
а величину
{a, b} = ab + ba −
(1.2.3)
антикоммутатором. Независимость в порядке следования сомножителей обращает коммутатор в нуль. Если же смена порядка следования
сомножителей приводит только к изменению знака произведения, но
ни его величины, то в нуль обращается антикоммутатор. Если все элементы группы коммутируют между собой, то группа называется абелевой. Если на элементы группы накладывают какие-либо условия, то
это приводит к расширению количества инвариантов группы.
Такое понимание геометрии был предложено О. Вебленом, который рассматривал её, как теорию пространства с инвариантом. В своей монографии “Инварианты дифференциальных квадратичных форм”
(1948, с. 26) он пишет: “Инвариантом называется объект любого сорта, который не изменяется при преобразованиях координат”. Например, точка является инвариантом, так как преобразования изменяют
17

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

координаты точки, но не саму точку. Поэтому всякая система точек
или функция точки является инвариантом. В векторной алгебре такие
величины принято называть скалярами − инварианты, которые в любой системе координат описываются одной компонентой (числом).
Следовательно, скаляр, описывающий длину радиуса-вектора r , является инвариантом, несмотря на то, что сам вектор r может изменять
свою ориентацию в пространстве при преобразованиях системы координат. Скалярная функция от скалярного аргумента также является
скаляром. Если на группу преобразований функций накладывается
только одно условие их непрерывности, то получают группу топологических изменений геометрической фигуры.
Разнообразие числовых групп возникает даже при решении простых задач, например, отыскание корней квадратного уравнения с неизвестной x
ax2 + bx + c = 0 ,
где a, b, c – действительные числа. Стандартное решение этого уравнения имеет вид
x1, 2 =

−b± D
,
2a

здесь D = b2 − 4ac – дискриминант уравнения, знак которого определяет наличие двух разных ( D > 0 ), двух равных ( D = 0 ) действительных
корня или отсутствие ( D < 0 ) корней в области действительных чисел.
Приведённое решение позволяет обобщить понятие числа, если записать его в виде
z = x +γ y,
(1.2.4)
⎧− 1, D < 0
D
b
⎪
2
, а γ = ⎨ 0, D = 0 называют комплексной единицей
где x = − , y =
2a
2a
⎪+ 1, D > 0
⎩

или “цветом” числа. Числа, для которых γ 2 = −1, называют комплексными (числа z); γ 2 = 0 − идеальными (числа u); γ 2 = + 1 − двойными
(числа w). Второй корень квадратного уравнения
z∗ = x − γ y
(1.2.5)
называют комплексно-сопряжённым к комплексному числу (1.2.4).
18

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Квадратный корень из произведения чисел (1.2.4) и (1.2.5) является
действительным числом и называется модулем z комплексного числа
z

⎧x 2 + y 2 , γ 2 = −1
2
⎪
z = x 2 − γ 2 y 2 = ⎨x 2 ,
γ2 =0 .
⎪x 2 − y 2 , γ 2 = +1
⎩

(1.2.6)

С геометрической точки зрения первое равенство системы (1.2.6) описывает окружность, а третье – равнобочную гиперболу, полюса которой располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала
2
координат. Разделив эти равенства (1.2.6) на z и введя функции косинуса ( x / z ) и синуса ( y / z ), получим тождества для круговых ( cos ϕ
и sin ϕ ) и гиперболических ( ch ϕ и sh ϕ ) тригонометрических функций
⎧cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1, γ 2 = −1
.
(1.2.7)
⎨ 2
2
2
ch
−
sh
=
1
,
=
+
1
ϕ
ϕ
γ
⎩
С физической точки зрения первое равенство системы (1.2.6) задаёт расстояние между точками O(0; 0) и M ( x; y ) , а третье − интервал
между событиями в этих точках. Таким образом, кривые второго порядка на плоскости (и даже в пространстве) определяют физически
значимые величины.
Если внутри множества однотипных чисел заменить действительные числа x и y на комплексные числа того же типа, но с другой
мнимой единицей с тем же числовым значением её квадрата (принцип
удвоения комплексных единиц), то можно получить гиперкомплексные
числа (табл. 1.1).
Например, гиперкомплексные числа (кватернионы) Гамильтона
имеют вид
q = τ + ix + jy + kz ,
(1.2.8)
где τ, x, y, z – действительные величины, i, j, k – комплексные единицы,
произведения которых приведены в табл. 1.2. В табл. 1.3 для сравнения приведены произведения ортов векторной алгебры Гиббса. Сравнение табл. 1.2 и 1.3 показывает, что орты Гиббса образуют право-, а
комплексные единицы Гамильтона − левоориентированный базисы.
19

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Таблица 1.1.
Числовые множества
p

алгебра

размерность алгебры, 2 = n

действительные числа
комплексные числа
кватернионы
октавы (октавионы)
седионы…

20=1

числа
1+0:
x
1+1:
x+γy
1+3: x+γy+βz+αu
1+7:
…
1+15:
…

1

2 =2
22=4
23=8
24=16…

Гиперкомплексные пространства
Таблица 1.2.
Произведения комплексных единиц
Гамильтона
ei·ej
i
j
k

i
−1
k
−j

j
−k
−1
i

k
j
−i
−1

Таблица 1.3.
Произведения единичных векторов
Гиббса
ei·ej
i
j
k

i
1
−k
j

j
k
1
−i

k
−j
i
1

Это позволяет записать гиперкомплексные числа с использованием
векторной алгебры Гиббса в виде
q =τ +γ r
(1.2.9)
при соответствующем правиле умножения векторных частей выражения (1.2.9)
γ r1γ r2 = γ 2 (r1 ⋅ r2 − γ [r1 × r2 ]) ,
(1.2.10)
где
r1 ⋅ r2 = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2

− скалярное произведение векторов, а
i
[r1 × r2 ] = x1
x2

j
y1
y2

k
z1 = ( y1 z 2 − y2 z1 )i + ( z1 x2 − z 2 x1 ) j + ( x1 y2 − x2 y1 )k
z2

− их векторное произведение. Правило (1.2.10) является частным случаем правила умножения базисных элементов в алгебре В. Клиффорда
ei o e j = ei ⋅ e j + ei ∧ e j = gij + ε ijk ek ,
(1.2.11)
20

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

здесь тензор второго ранга gij определяет метрику пространства, а экстенсив (псевдотензор) третьего ранга ε ijk задаёт ориентацию объекта. В
формуле (1.2.11) использовано правило Эйнштейна: по повторяющемуся индексу проводится суммирование, если не оговорено противоположное действие.
Если пространство однородно и изотропно, то в любой его точке
можно выбрать ортогональную (в широком смысле этого слова) систему координат, которая характеризуется следующими равенствами:
⎧ 0, i ≠ j
g ij = ± δ ij = ⎨
⎩ 1, i = j

(1.2.12)

– символ Кронекера («+» соответствует векторам Гиббса, а «–» –
кватернионам Гамильтона,
⎧ − 1, все индексы различны и образуют нечётную подстановк у
⎪
ε ij = ⎨ 0, хотя бы два индекса совпадают
⎪ 1, все индексы различны и образуют чётную подстановк у
⎩
k

(1.2.13)

Поэтому при моделировании физического явления важно учитывать не только геометрию объекта, но и выбирать правильную алгебру
для описания наблюдения. Отметим, что первые четыре алгебры табл.
1.1 (действительных и комплексных чисел, кватернионов и октав) по
теореме Ф.Г. Фробениуса (1878) сохраняют неизменными арифметические действия. Кроме этого, алгебры действительных и комплексных чисел сохраняют также свойства коммутативности и ассоциативности, а последующие алгебры эти качества теряют: алгебра кватернионов некоммутативна и ассоциативна, а алгебра октав некоммутативна и неассоциативна.
Многочисленность геометрий и алгебр порождает множественность физик вследствие следующей схемы
⎧геометрия ⎧физическая
.
Группа → преобразование → инвариант → ⎨
→⎨
⎩алгебра
⎩ величина

Совокупность физических величин подчиняется системе законов, обеспечивающих существование инвариантов, которые, в свою очередь,
по теореме Нётер являются следствием независимости действия относительно того или иного преобразования. Другими словами, каж21

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

дой непрерывной симметрии физической системы соответствует свой
закон сохранения. Как будет показано далее, однородности времени
отвечает закон сохранения энергии, однородности пространства – закон сохранения импульса, а изотропности пространства – закон сохранения момента импульса. Не соблюдение этих законов указывало бы
на существенные изменения фундаментальных понятий пространства
и времени. Именно поэтому энергию, импульс и его момент иногда
называют фундаментальными динамическими величинами.

1.3. Преобразования систем координат и симметрия
Многообразие материальных объектов, явлений и процессов физического мира, а также их симметрий порождают произвольность выбора систем координат. Любой исследователь вправе выбрать свою
систему координат, но при этом надо указать закон преобразования
координат. Это связано с тем, что при переходе от старой системы отсчёта к новой координаты материальной точки изменяются. Именно
поэтому необходимо установить вид соотношений, связывающих эти
координаты. Переход от одной системы координат к какой-либо другой называется преобразованием системы координат. В качестве примеров рассмотрим параллельный перенос (сдвиг) системы отсчёта и
поворот координатных осей относительно общей начальной точки.
1. Параллельный перенос. Пусть на плоскости даны две декартовые
системы координат, причём соответствующие оси параллельны и сонаправлены (рис. 1.4). Систему координат xO y назовём старой (лабораторной), а систему XO1Y – новой (подвижной). Пусть начало координат O1 новой системы в лабораторной системе имеет координаты
( x0 ; y0 ) . Из рис. 1.4 видно, что точка M ( x ; y ) в новой системе коорди-

нат будет иметь координаты M ( X ; Y ) , которые связаны со старыми
координатами (см. рис. 1.4), равенствами
⎧ X = x − x0
.
⎨
Y
y
y
=
−
⎩
0
22

(1.3.1)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Эти формулы определяют переход
от старых координат точки M к новым. Обратное преобразование (переход от новых координат точки M
к старым) задаётся формулами
⎧ x = X + x0
.
⎨
y
Y
y
=
+
⎩
0

(1.3.2)

Формулы (1.3.1) и (1.3.2) определяРис. 1.4. Параллельный перенос одной ют параллельный перенос (сдвиг)
системы координат относительно дру- одной системы координат относигой системы
тельно другой.
Параллельный перенос одной
системы координат относительно другой, например, позволяет записать уравнения кривых второго порядка в каноническом виде. Если
уравнение параболы в старой системе координат описывается уравнением
y = ax 2 + bx + c ,
то после сдвига системы координат её уравнение принимает канонический вид (см. рис. 1.5; при необходимости выполняют поворот системы координат вокруг общего наy Y
y
Y
чала отсчёта).
2. Поворот системы коордиX y0
X
y0 O
O
нат. Пусть даны две системы коорx
x0
x0 x динат (старая и новая), имеющие
O
O
( y − y ) = 2 p( x − x ) ( y − y ) = −2 p( x − x )
общее начало отсчёта и повёрнуy
y
Y
Y O
X тые относительно друг друга на
y0
x угол α (рис. 1.6). Получим формуO
x0
y0
X
O
лы, связывающие старые и новые
x
O
x0
координаты любой точки M ( x; y ) .
1

1

2

2

0

0

0

0

1

1

( x − x0 ) 2 = 2 p( y − y 0 )

( x − x0 ) 2 = −2 p( y − y 0 )

Из рисунка видно, что в новой сисРис. 1.5. Канонические уравнения пара- теме координаты точки M(X; Y) рав-

болы

⎧ X = OM cos ϕ
, а координаты
=
Y
OM
sin
ϕ
⎩

ны ⎨
23

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Y

этой точки в старой системе:

y

⎧ x = OM cos( ϕ + α ) =
⎪ = OM cos ϕ cos α − OM sin ϕ sin α =
⎪
⎪ = X cos α − Y sin α
⎨
⎪ y = OM sin (ϕ + α ) =
⎪ = OM sin ϕ cos α + OM cos ϕ sin α =
⎪
⎩ = X sin α + Y cos α

M ( x; y)
X

ϕ
O

α

x

Таким образом, формулы перехода
Рис. 1.6. Поворот одной системы коор- от новых координат произвольной
динат относительно другой системы во- точки M к её старым координатам
круг общего начала координат двух сисимеют вид:
тем
⎧ x = X cos α − Y sin α
.
⎨
y
=
X
sin
α
+
Y
cos
α
⎩

(1.3.3)

В матричном виде эти равенства можно записать в виде
⎛ x ⎞ ⎛ X⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = A⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ y⎠ ⎝ Y⎠

(1.3.4)

⎛ cosα − sinα ⎞
⎟.
cosα ⎟⎠

где матрица перехода A = ⎜⎜
⎝ sinα

Найдём обратное преобразование системы координат
⎛ X ⎞ −1 ⎛ x ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = A ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝Y ⎠
⎝ y⎠

(1.3.5)

для чего вычислим матрицу A −1 обратную к матрице A :
det A =

cos α

− sin α

sin α

cos α

= cos 2 α + sin 2 α = 1.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов
A11 = M 11 = cos α ,
A 21 = − M 21 = sin α ,
A12 = − M 12 = − sin α ,

A 22 = M 22 = cos α .

Запишем обратную матрицу
A −1 =

1 ⎛ A11
⎜
det A ⎜⎝ A12

A21 ⎞ ⎛ cos α
⎟=⎜
A22 ⎟⎠ ⎜⎝ − sin α

sin α ⎞
⎟.
cos α ⎟⎠

Следовательно, формулы перехода от старой системы координат к новой имеют вид:
24

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

⎧ X = x cos α + y sin α
.
⎨
⎩ Y = − x sin α + y cos α

(1.3.6)

Отметим, что система (1.3.6) получается из (1.3.3) путём замены угла
α на угол (− α ) и учёта чётности косинуса cos(− α ) = cos α и нечётности синуса sin(− α ) = −sin α . Проведенная операция замены величины
на ей противоположную называют инверсией.
Если в качестве новой системы координат выбрать систему, в
которой новая ось ординат проходит через левую вершину эллипса
(рис. 1.7) и координатные оси сонаправлены осям старой системы координат, то можно показать, что в новой системе координат канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы записывают в едином
виде
Y 2 = 2 pX + (ε 2 − 1) X 2 ,
(1.3.7)
y
ε >1
ε =1
0 < ε <1

x

b2
– фокальный параметр, ε –
где p =
a

эксцентриситет кривой. При определённых значениях эксцентриситета ε
уравнение описывает:
а) 0 < ε < 1, p = 0.5(1 − ε 2 ) – эллипс; б) ε = 0
– окружность; в) ε = 1 , p ≠ 0 – параболу; г) p = ± 0 .5(ε 2 − 1) , ε > 1 – гипербо-

Рис. 1.7. Кривые второго порядка в
канонической системе координат

лу.
Выбранная таким способом новая система координат называется каноничес-

кой.
Одновременный параллельный перенос и поворот системы координат записывают в виде
⎛X⎞
⎛ x⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = A−1 ⎜⎜ ⎟⎟ − B ,
(1.3.8)
⎝Y ⎠
⎝ y⎠
⎛x ⎞
где матрица сдвига B = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ . Сдвиг и поворот относятся к линейным
⎝ y0 ⎠

преобразованиям систем координат, которые в общем случае имеют
вид
25

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

⎧ X 1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn − x01
⎪ X = a x + a x + ... + a x − x
⎪ 2
21 1
22 2
2n n
02
,
⎨
..........
..........
..........
..........
..........
.....
⎪
⎪⎩ X n = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn − x0 n

(1.3.8)

а элементы матриц преобразования могут принимать произвольные
числовые значения. Если эти значения лежат внутри или на сфере
единичного радиуса, то матрица преобразования А описывает повороты физического тела вокруг той или иной координатной оси. В противном случае преобразование сводится к сжатию или растяжению
(деформации) тела на физическом языке или к гомотетии – на математическом языке.
Рассмотренные свойства симметрии физического мира не исчерпываются указанными преобразованиями систем координат. Существуют симметрии по отношению к зеркальному отражению (инверсии) относительно плоскости (например, правая и левая ладони
человека совпадают на плоскости соприкосновения, но не могут быть
совмещены за счёт любых сдвигов, поворотов или деформаций); инверсии относительно прямой и точки; переход от будущего к прошлому (замена времени t на − t). Если физический закон не изменяется по
отношению к инверсии времени, то говорят об обратимости физического явления, описываемым этим законом. Приведённые примеры
симметрии подчёркивают важность её учёта при физико-математическом моделировании.

1.4. Параметризация пространства. Движение
Перемещение материальной точки в пространстве определяют
как движение. Оно порождает линию, которую называют траекторией. Её можно задать различными способами: аналитически, в виде таблицы, параметрически и т.д. Если координаты точки зависят от одного и того же параметра, то говорят, что задано параметризованное
пространство. Этот параметр называют управляющим, так как его изменение определяет изменения всех координат точки. Параметризация пространства проводится разными параметрами: пройденным пу26

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

тём (натуральный параметр), временем, углами и другими величинами.
Скалярные, векторные и тензорные поля формируют в пространстве потенциальный рельеф, по которому происходит движение материальных объектов. Его топографическая карта изображается в виде эквипотенциальных линий (трансверсалей, рис. 1.8, а). В евклидовом пространстве траектория движения точки (экстремаль, рис. 1.8,
а) является линией, на которой действие достигает экстремального
значения. Экстремальные траектории всегда пересекают трансверсали под одним и тем же углом. Касательные векторы к экстремали (касательный орт τ ) и трансверсали (орт бинормали b , рис. 1.8, б) определяют касательную плоскость к пространственной кривой. Вектор,
b

l
экстремали

τ

n
R

r = r (l )
трансверса ли

а
б
Рис. 1.8. Экстремали и трансверсали (а) механического движения;
тройка подвижных векторов (б) пространственной линии

перпендикулярный к касательной плоскости и направленный в сторону вогнутости экстремальной кривой, называют нормалью n .
Векторы n , τ и b образуют подвижную систему отсчёта, жёстко привязанную к перемещающейся материальной точке и их совокупность называют системой Серре-Френе. В этой системе проводится натуральная параметризация пространства и поэтому радиус-вектор
r зависит от пройденного пути l. В модели Серре-Френе пространственная кривая характеризуется тремя параметрами: число K 1 = 1 / R
( R – радиус сферы, которая имеет с линией одну общую точку) задаёт кривизну пространственной линии. Если экстремаль является прямой, то её кривизна равна нулю. Параметр K 2 определяет поворот ли27

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

нии вокруг вектора бинормали b , а параметр K 3 – её кручение, т.е.
вращение вокруг вектора τ . Знание параметрических зависимостей
K 1 ( l ) и K 3 (l ) позволяет восстановить траекторию материальной точки
с точностью до движения всего пространства. Векторы n , τ и b описывают вращение подвижной системы координат. Их изменения вдоль
экстремали связаны соотношениями Серре-Френе:
⎧ dτ
⎪ dl = K1n
⎪
⎪ dn
⎨ = K 3 b − K 1 τ *.
⎪ dl
⎪ db
⎪⎩ dl = − K 3 n

(1.4.1)

Вычисление траектории движения сводится к решению системы (1.4.
1) с последующим интегрированием уравнения
dr
=τ.
dl

(1.4.2)

Более распространённой параметризацией пространства является зависимость радиуса-вектора r (t ) и его проекций x(t) , y (t ) , z(t) от
времени t , т.е. параметрическое задание экстремали. Если материальная точка движется с постоянной скоростью V , то за время t её перемещение равно l ( t ) = V t . Модуль вектора l (t ) определяет расстояние, пройденное материальной точкой, т.е. l (t ) = l . Если за время ∆t =
= t 2 − t1 вектор r (t ) меняется на величину ∆r (t ) = r (t 2 ) − r (t1 ) , то мате-

риальная точка осуществляет перемещение со средней скоростью vср =
∆r (t )
. Уменьшим до бесконечно малых величин промежутки време∆t
ни, через которые производят измерения вектора r (t ) (будем считать
=

его непрерывной функцией). Это позволяет определить первую производную от радиуса-вектора как мгновенную скорость или просто скорость
dr
= r& = v ,
dt
*

(1.4.3)

Неоднозначность определения экстремали, по-видимому, связано с отсутствием учёта поворота линии вокруг бинормали, что отображается в асимметрии системы уравнений Серре-Френе (1.4.1), т.е. в уравнение не входит параметр K2.
28

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

при этом её проекции равны
dx
dy
dz
= x& = v x ,
= y& = v y ,
= z& = v z .
dt
dt
dt

(1.4.4)

Вторую производную от радиуса-вектора называют ускорением и обозначают
d 2r
= &r& = a ,
dt 2

(1.4.5)

а его проекции −
d 2x
d2y
d 2z
= &x& = a x ,
= &y& = a y , 2 = &z& = a z .
dt 2
dt 2
dt

(1.4.6)

Если выбирают другие координаты (например, криволинейные) q1, q2,
…, qn позволяющие учесть симметрию и форму траектории движения,
то они называются обобщёнными, а их производные равны
d 2 qi
dqi
= q&&i (i = 1, 2, …, n).
= q& i ,
dt 2
dt

(1.4.7)

Механическое состояние системы однозначно определяется заданием
функций, описывающих изменения радиуса-вектора r (t ) и скорости
v (t ) . Их знание позволяет вычислить местоположение объекта в любой точке пространства. Ускорение не может задаваться произвольно, так оно определяется функциями r (t ) и v (t ) . Соотношения, устанавливающие связь между ускорением a (t ) и функциями r (t ) и v (t ) ,
называют уравнениями движения. Отыскание решений этих уравнений при заданных начальных условиях (задача Коши)
r t =t0 = r (t 0 ) = r0 ,

dr
dt

= r&(t 0 ) = r&0

(1.4.8)

t =t0

является основной задачей классической механики, основанной на ранее приведенных аксиомах.

1.5. Коэффициенты Ламе
Выберем три новых аргумента (обобщённые координаты), зависящих от времени t для вычисления радиуса r ( q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t )) . Связь
между координатами старой декартовой и новой криволинейной системами определяется соотношениями
29

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

⎧ x = x ( q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t ))
⎪
⎨ y = y ( q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t )) .
⎪ z = z ( q (t ), q (t ), q (t ))
1
2
3
⎩

(1.5.1)

При изменении времени t и фиксировании двух из трёх аргументов конец радиуса r будет описывать некоторую кривую, называемую годографом векторной функции r ( q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t )) . Таких кривых линий
будет три и они пересекутся в некоторой точке M0 с обобщёнными координатами q01, q02, q03. Касательные, проведённые к годографам в
точке M0 (начало отсчёта O1), называют криволинейными координатными осями O1q1, O1q2, O1q3. Движение материальной точки в пространстве будет описываться в этой подвижной системе отсчёта, для которой характерно изменения угла между координатными осями при
переходе от одной точки пространства к другой. Этот момент существенно отличает криволинейную систему координат от декартовой и
косоугольной систем координат, для которых угол между координатными осями фиксированный, т.е. постоянный. Если же для всех точек
пространства угол между криволинейными координатными осями равен 90°, то систему называют ортогональной. Направления ортов ei
этих осей связаны с возрастанием значений координаты точки.
Так как орты лежат на координатных осях, то они по направлению совпадают (коллинеарны и сонаправлены) с изменениями частных производных от векторной функции r по соответствующей обобщённой координате, т.е.
∂r
= H i e i , i = 1, 2, 3,
∂qi

(1.5.2)

где Hi > 0 – коэффициенты (дифференциальные параметры) Ламе и
отсутствует суммирование по индексу i в правой части (1.5.2). Так как
длина (модуль) орта e i равен единице, то коэффициенты Ламе удобно
определять из формул
r = x i + yj + z k ,
(1.5.3)
∂r
∂x
∂y
∂z
=
i+
j+
k,
∂ q i ∂q i
∂q i
∂q i
30

(1.5.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1
2

2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂ z ⎞
∂r
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ .
= ⎜⎜
Hi =
∂q i
∂
∂
∂
q
q
q
⎝ i⎠ ⎝ i⎠ ⎝ i⎠

(1.5.5)

В силу того, что дифференциальные параметры Ламе являются скалярами, то они не изменяются при преобразованиях криволинейной
системы координат.
Из равенства (1.5.2) единичный вектор криволинейной системы
координат равен
ei =

1 ∂r
, i = 1, 2, 3.
H i ∂qi

(1.5.6)

Ортогальность базиса означает, что для ковариантных и контравариантных величин выполняются равенства
ei e j = δ ij , ei e j = δ i j , e i e j = δ ij ,
(1.5.7)
здесь символ δ ij определяется формулой (1.2.12). Таким образом, ортогональность базиса криволинейной системы координат задаётся условием
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
+
+
= H i H jδ ij .
∂qi ∂q j ∂qi ∂q j ∂qi ∂q j

(1.5.8)

Скорость движения в криволинейной системе координат
3
∂r dq i
dq
= ∑ H ie i i ,
i =1 ∂q
i =1
dt
i dt
3

v q = r& = ∑

(1.5.9)

3

где ∑ − знак суммирования от 1 (нижний индекс) до 3 (верхний инi =1

декс), а e i − контравариантные орты базиса. Ускорение материальной
точки равно
⎛ ∂ 2 r dqi dq j ∂r d 2 q j j ⎞ 3 ⎛ ∂H i dqi dq j
d 2q j j ⎞ i
+
+ H i 2 δ i ⎟⎟e .(1.5.10)
v&q = ∑ ⎜⎜
δ i ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜
2
i , j =1 ∂q ∂q
i , j =1 ∂q
∂
dt
dt
q
dt
dt
dt
dt
i
⎝ i j
⎠
⎝ j
⎠
3

Заметим, что совпадение ковариантных и контравариантных проекций
указанных характеристик движения возможно только в ортогональной
криволинейной системе координат.
Равенство (1.5.9) запишем в виде
vq =

d r ∂r
∂r
∂r
q&1 +
q& 2 +
q& 3 ,
=
dt ∂q1
∂q 2
∂q 3

откуда следует первое тождество Лагранжа
31

(1.5.11)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

∂v q ∂r
=
.
∂q& i ∂qi

(1.5.12)

Второе тождество Лагранжа очевидно и определяется равенством
∂v q d ⎛ ∂r ⎞ ∂ ⎛ d r ⎞
⎟=
= ⎜
⎜ ⎟.
∂qi dt ⎜⎝ ∂qi ⎟⎠ ∂qi ⎝ dt ⎠

(1.5.13)

Тогда i-ую компоненту ускорения в ортогональной криволинейной
системе координат (равенство ковариантных и контравариантных проекций физической величины) можно записать с учётом (1.5.6)
aqi = v&q ei = v&q

d ⎛ ∂r ⎞ ⎤
1 ∂r
1 ⎡ d ⎛ ∂r ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎥ . (1.5.14)
=
−
v
v
⎢
q
q
H i ∂qi H i ⎣ dt ⎜⎝ ∂qi ⎟⎠
dt ⎜⎝ ∂qi ⎟⎠ ⎦

В силу равенств (1.5.12) и (1.5.13) получаем окончательно
1
aqi =
Hi

⎡ d ⎛ ∂ ⎧ v 2 ⎫ ⎞ ∂ ⎧ v 2 ⎫⎤
⎨ ⎬ ⎟⎟ −
⎨ ⎬⎥ , i = 1, 2, 3.
⎢ ⎜⎜
&
∂
dt
q
⎣ ⎝ i ⎩ 2 ⎭ ⎠ ∂q i ⎩ 2 ⎭ ⎦

(1.5.15)

В качестве примеров приведём цилиндрическую и сферическую криволинейные системы координат (рис.1.9, табл. 1.4).
z

z

θ
ϕ
ϕ

y
r

y
r

x

x

а
б
Рис. 1.9. Цилиндрическая (а) и сферическая (б) системы координат
Таблица 1.4.
Криволинейные системы координат
Цилиндрическая
Сферическая
⎧ x = r cos ϕ
⎧ x = r cos ϕ sin θ
⎪
⎪
Связь с декартовой с.к.
⎨ y = r sin ϕ
⎨ y = r sin ϕ sin θ
⎪z = z
⎪ z = r cos θ
⎩
⎩
Обобщённые координаты

q1 = r , q2 = ϕ , q3 = z

q1 = r , q2 = ϕ , q3 = θ

Коэффициенты Ламе

H1 = 1 , H 2 = r , H 3 = 1

H 1 = 1 , H 2 = r sin θ , H 3 = r

vq1 = r& , vq 2 = rϕ& , vq 3 = z&

vq1 = r& , vq 2 = rϕ& sin θ , vq 3 = θ&

aq1 = &r& − rϕ& 2 ,

a q1 , a q 2 , a q 3 *

Проекции скорости
Проекции ускорения

32

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

a q 2 = rϕ&& − 2r&ϕ& , aq 3 = &z&

*проекции ускорения в сферической системе координат равны
a = &r& − r (θ& 2 + ϕ& 2 sin 2 θ ) ,
q1

1 d 2 2 2
(r ϕ& sin θ ) ,
r sinθ dt
1⎡d
⎤
aq 3 = ⎢ (r 2θ ) − r 2ϕ& 2 sinθ cosθ ⎥ .
r ⎣ dt
⎦
aq 2 =

1.6. Инерция. Преобразования Галилея и Лоренца
Материальная точка движется прямолинейно и равномерно, если
при отсутствии или скомпенсированности внешних воздействий она
перемещается по прямой с постоянной скоростью и препятствует изменению своего состояния. Тело находится в покое, если скорость его
перемещения в выбранной системе отсчёта равна нулю. Для того чтобы тело двигалось равномерно и прямолинейно, или находилось в покое, на него не должно действовать внешнее окружение или это воздействие должно быть скомпенсировано изменением внутреннего состояния тела. Такое движение осуществляется по инерции. Это состояние материального тела является идеализированным и в условиях нашей планеты реализовано не может. Однако системы отсчёта, связанные с такими объектами, оказываются полезными при изучении движений других тел.
Первый закон механики (постулат И. Ньютона):
существуют системы координат, в которых материаль• →v
ные тела находятся в состоянии покоя, или движутся по
v = const
инерции, если на них не действуют внешние силы F или
при F = 0
они скомпенсированы. Такие системы называют инерциальными.
Будем считать, что таких материальных тел бесконечно много, а
так как с каждым из них можно связать систему отсчёта, то и инерциальных систем будет бесчисленное множество. Если выбрать из них
те, которые движутся по параллельным прямым, то их всё равно будет
33

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

бесконечно много. Если законы механики (или, в целом, физики) будут инвариантны относительно их преобразований, т.е. сохранять свой
вид при переходе от одной инерциальной системы к другой, то при малых скоростях движения тел говорят о принципе относительности и
преобразовании Галилея.
Пусть время имеет одинаковые свойства в обеих инерциальных
системах отсчёта, а координатные оси систем сонаправлены и новая
система (она движется со скоростью V2) совершает прямолинейное и
равномерное движение со скоростью V вдоль оси Ox относительно
старой системы (движется со скоростью V1) в сторону возрастания
значения координаты x (рис. 1.4 при y0 = 0; V = V2 − V1 > 0), т.е.
x0 (t ) = V t .
(1.6.1)
Выберем в старой системе координат произвольную точку M ( x(t )) . В
новой системе координат она не изменяется, так как является инвариантом преобразований. Однако она имеет новые координаты M ( x′(t ′)) .
Абсолютная неизменчивость времени и сдвиг системы координат в
пространстве приводят к преобразованию Галилея
⎧t ′ = t
⎪ x′ = x − V t
⎪
.
⎨
′
=
y
y
⎪
⎪⎩ z ′ = z

(1.6.2)

Принцип относительности Галилея утверждает:

• →v
все законы механики формулируются одинаково для всех
v = const
инерциальных систем отсчёта, поэтому все механичеспри F = 0

кие явления протекают одинаково.
Согласно этому принципу ни один наблюдатель, находящийся в
закрытом вагоне, не сможет определить стоит ли он (находится в покое) или движется равномерно и прямолинейно. Если у наблюдателя
появится возможность наблюдать за другими объектами, то только
тогда он сможет утверждать, что он или объекты движутся относительно друг друга. Вычислим по (1.4.3) скорость движения точки в
новой системе координат
v′x = v x − V , v′y = v y , v′z = v z .
(1.6.3)
Соотношения (1.6.3) определяют формулы сложения скоростей
34

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

в классической механике. Для получения формул типа (1.6.3) в случае движения инерциальных систем по встречным курсам достаточно
произвести инверсию скорости V , т.е. заменить её на (−V), следовательно в общем случае выражения (1.6.3) имеют вид
v′x = v x m V , v′y = v y , v′z = v z ,
(1.6.4)
причём знак “−” берётся при сонаправленных направлениях движения,
а знак “+” – при разносторонних перемещениях инерциальных систем
координат. Эти формулы дают верный результат при малых скоростях относительного движения. При достаточно больших скоростях
относительного движения (близких к скорости света в вакууме с ≈
≈ 3·108 м/сек.) формулы (1.6.4) дают неправильное решение. Например, величина скорости света в вакууме с не зависит от того, сближаются или удаляются друг от друга излучатель и приёмник света.
Как отмечалось ранее (см. пункт 1.2) при исследовании физического мира важны не только геометрические преобразования систем
отсчёта, но и группы преобразований числовых множеств, используемых для количественной персонилазиции точек пространственно-временного континуума. Так в системе равенств (1.2.4) замена переменной y на (iy) при “цвете” числа i2 = −1 переводит первое равенство системы (1.2.4) в третье, а третье − в первое. Кроме того, эта операция
способствует следующим переходам (z − комплексные числа, а w −
двойные)
y →iy
y →iy
⎯→ z
⎯→ w∗ ⎧w ⎯⎯
⎧ z ⎯⎯
, ⎨ ∗ y→iy ∗ .
⎨ ∗ y→iy
⎯→ z
⎯→ w ⎩w ⎯⎯
⎩ z ⎯⎯

(1.6.5)

Формулы (1.6.5) указывают на наличие асимметрии при преобразовании комплексных чисел в двойные и двойных в комплексные. Данная операция переводит двойные числа в комплексные, а комплексные – в двойные со сменой сопряжения. Если эту операцию проделать с полярной системой координат (см. первую систему (1.1.1)) с
одновременной заменой полярного угла φ на мнимый угол (iφ), то
получим систему равенств с действительными величинами
⎧ x = r ch ϕ
,
⎨
=
y
r
sh
ϕ
⎩
35

(1.6.6)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

где учтено, что cos(iϕ ) = ch ϕ и sin(iϕ ) = i sh ϕ . В этом случае инвариантом преобразования будет выражение
s2 = x2 − y2 .
(1.6.7)
Данный инвариант называют интервалом между событиями, которые отображаются на плоскости Минковского с координатными осями
Ox и O(iy). Следовательно, поворот системы координат в плоскости
Евклида на мнимый угол допустим и соответствует, как будет показано ниже, движению инерциальной системы координат в области достаточно больших скоростей, а также сжатию (растяжению) материальных тел и событий.
Выразим время t в единицах измерения интервала между событиями s, для чего запишем координату ct = τ (c – скорость света в вакууме). В старой полярной гиперболической системе G выберем в качестве полярного радиуса интервал, тогда (рис. 1.10)
⎧τ = s chψ
,
⎨
⎩ x = s shψ

(1.6.8)

где ψ – полярный угол. Так как интервал s является инвариантом, то его знаG
1
ψ1
чение s1 в новой полярной гиперболической системе G1, отстоящей от сисψ
α
O
темы G на угол α, совпадает с интерваG
Рис. 1.10. Старая ( G ) и новая ( G1 ) лом s, т.е. s1= s.
Так как системы отсчёта в просгиперболические полярные системы
координат
транстве Евклида инерциальные, то из
системы (1.6.8) следует, что
s = s1

v
(1.6.9)
= th ψ ,
τ c
sh ψ
здесь гиперболический тангенс th ψ =
равен отношению гиперch ψ
u=

x

=

болического синуса shψ к гиперболическому косинусу chψ , v – скорость движения старой инерциальной системы. Из рис. 1.10 видно,
что ψ1 = ψ – α, тогда координаты событий в новой системе равны
⎧τ ′ = s1 chψ 1 = s ch(ψ − α ) = s chψ ch α − s shψ sh α = τ ch α − x sh α
. (1.6.10)
⎨
⎩ x′ = s1 shψ 1 = s sh(ψ − α ) = s shψ ch α − s chψ sh α = x ch α − τ sh α
36

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Воспользуемся формулами, которые можно получить из второго равенства системы (1.2.7) − тригонометрического тождества для гиперболических функций
ch α =

1
1 − th 2 α

, sh α =

th α
1 − th 2 α

, th α =

V
.
c

(1.6.11)

где V – скорость относительного движения. Подстановка (1.6.11) в (1.
6.10) и деление всех величин первого равенства на скорость света c
приводит к преобразованиям Лоренца:
V
⎧
t
−
x
2
⎪
c
⎪⎪t ′ =
2
1 − (V / c ) .
⎨
⎪
x −V t
⎪ x′ =
2
⎪⎩
1 − (V / c )

(1.6.12)

Обратные преобразования Лоренца получают из равенств (1.6.12) путём замены скорости относительного движения V на противоположное значение ( − V ):
V
⎧
′
t
x′
+
2
⎪
c
⎪⎪t =
2
1 − (V / c ) .
⎨
⎪
x′ + Vt ′
⎪x =
2
⎪⎩
1 − (V / c )

(1.6.13)

Сделаем ряд важных выводов:
− преобразование числового множества привело к повороту системы
координат на мнимый угол;
− поворот на мнимый угол отвечает инерциальному движения материальной точки с достаточно большой скоростью;
− преобразование Лоренца указывает на существование предельной
скорости движения − скорости света с (в виду наличия в формулах
преобразования квадратного корня из выражения, которое должно
быть строго положительным);
− движение материальных тел со скоростями, близкими к скорости
света, порождает ряд важных физических эффектов;
− если скорость относительного движения тела существенно меньше
скорости света, то преобразование Лоренца переходит в преобразование Галилея.
37

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

1.7. Специальная теория относительности
Наблюдение за волновыми процессами убедительно показали,
что для их возбуждения и распространения необходима непрерывная
сплошная среда. Для распространения электромагнитных волн в XVII
веке была предложена светоносная материя, названная эфиром. Историк физики Ф. Даннеманн в книге “История естествознания” (1913,
с. 281) пишет: “Проще была теория электричества у тех физиков, которые сводили световые явления к волнообразному движению. Так, Эйлер не сомневался, что источник всех электрических явлений надо искать в том же самом эфире, в котором распространяется свет. Электричество, говорит он, есть не что иное, как нарушение равновесия
этого эфира, который вдавливается в тела, или выгоняется из тела,
смотря по тому, проявляют ли они тот или иной род состояния возбуждения”. Самыми известными экспериментами по исследованию
факта существования эфира и возможности его увлечения Землёй,
движущейся по орбите вокруг Солнца, являются опыты А. Майкельсона. Результаты удивили экспериментатора: он не обнаружил задержки в распространении света ни в одном направлении, обе части расщеплённого светового луча возвращались к датчикам практически в одно
мгновение. Следовательно, “эфирный ветер” не оказывал никакого
влияния на скорость света вне зависимости от направления его движения. В статье “Относительное движение Земли и светоносного эфира”
(1881) он делает категорический вывод: “Гипотеза неподвижного эфира ошибочна”.
Из этих опытов также были сделаны выводы о невозможности
обнаружения эфира и о том, что скорость света не зависит от движения источника и приёмника электромагнитного излучения. Эти результаты позволили сформулировать новый принцип относительности
(А. Эйнштейн, 1905) и выяснить, к каким физическим последствиям
он приводит. Развитию этого научного направления, которое назвали
специальной теорией относительности (СТО) большое внимание уделяли Г. Лоренц (преобразование Лоренца) и А. Пуанкаре.
38

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Принцип относительности Эйнштейна:
• v →c
1. Во всех инерциальных системах отсчёта скорость света постоянна и равна c = 2,99793·108 м/сек.
v = const
при F = 0 2. В инерциальных системах отсчёта все явления природы
протекают одинаково.
Механика, построенная на принципе относительности А. Эйнштейна и использующая преобразование Г. Лоренца для инерциальных систем отсчёта, движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, называется релятивистской. Рассмотрим физические
эффекты, возникающие в релятивистской механике.
1. Сокращение длины твёрдого стержня. Пусть линейка покоится в
старой лабораторной системе координат K и имеет в этой системе
длину ∆ x = x 2 − x1 , где x2 и x1 координаты конца и начала линейки.
Найдём по формулам (1.6.13) координаты конца и начала линейки в
подвижной системе координат K ′ в один и тот же момент времени τ ′
x2′ + Vt ′
⎧
=
x
2
⎪
2
1 − (V / c )
⎪
.
⎨
′
′
+
x
V
t
1
⎪x =
2
⎪ 1
1 − (V / c )
⎩

(1.7.1)

Вычитая из первого равенства второе, найдём связь между собственной длиной стержня L0 = ∆ x в лабораторной системе координат K и
его длиной L = ∆ x′ в движущейся системе координат K ′ :
L = L0

1 − (V / c ) .

V
x′
c2
−
2
1 − (V / c )

V
x′
c2
=
2
1 − (V / c )

(1.7.2)
Этот эффект СТО получил название сокращение длины стержня.
2. Замедление хода часов. Пусть часы покоятся в подвижной системе координат K ′ . В одной и той же точке x′ происходит событие, которое начинается в момент времени t1′ и заканчивается в момент времени t 2′ , т.е. событие длилось в течение T0 = ∆ t ′ = t 2′ − t1′ . В лабораторной системе координат K длительность события будет равна по первым формулам системы (1.6.13)
T=

t 2′ +

2

t1′ +

T0
1 − (V / c )

2

.

(1.7.3)

Этот эффект теории получил название замедление хода часов.
39

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

3. Сложение скоростей. Пусть материальная частица движется в лабораторной системе координат K со скоростью u . Относительно системы K равномерно и прямолинейно со скоростью V движется система координат K ′ , в которой частица движется со скоростью u′ . Используя стандартное определение скорости вида (1.6.9), получим формулы для компонент скорости
u′ + V
;
ux = x
u ′x V
1+ 2
c

uy =

u ′y

2
1 − (V / c )
u ′z 1 − (V / c )
.
; zz =
u ′x V
u ′x V
1+ 2
1+ 2
c
c
2

(1.7.4)

Пусть движение частицы осуществляется вдоль оси абсцисс. Тогда
проекции скорости на координатные оси равны u ′x = u ′ и u′y = u′z = 0 .
Теорема сложения скоростей имеет вид (первая формула (1.7.4))
u=

u′ + V
.
u ′V
1+ 2
c

(1.7.5)

Рассмотрим движение света в системе координат K ′ . Пусть система
координат K ′ движется равномерно и прямолинейно относительно
лабораторной системы координат K со скоростью света V = c . Используя теорему сложения скоростей, получим для движения света
c+c
= c . Это означает, что и в лабораторной системе коcc
1+ 2
c
ординат луч света движется со скоростью c .

( u′ = c ): u =

В классической механике (случай малых скоростей V << c − скорость относительного движения существенно меньше скорости света) формулы (1.8.4) с точностью до членов порядка (V / c ) принимают
вид (при малых x воспользуемся формулой
2
рядка (V / c ) отбрасываем)

1
≈ 1 − x , слагаемые по1+ x

u ′V ⎞
⎛
⎛ u′ V ⎞
⎛ u′ V ⎞
u x = (u ′x + V ) ⎜ 1 − x2 ⎟ ; u y = u ′y ⎜1 − x 2 ⎟ ; u z = u ′z ⎜1 − x 2 ⎟ . (1.7.6)
c ⎠
c ⎠
c ⎠
⎝
⎝
⎝

Формулы (1.7.6) можно записать в векторном виде
u = u′ + V −

( u′ ⋅ V ) u′ .
c2

(1.7.7)

4. Абберация света. Выберем оси координат так, чтобы в данный мо40

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

мент времени частица двигалась в плоскости xO y . В лабораторной
системе координат K её скорость определяется проекциями на координатные оси u x = u cos θ , u y = u sin θ , u z = 0 . В новой системе координат K ′ проекции скоростей частицы: u ′x = u′ cos θ ′ , u ′y = u ′ sin θ ′ , u ′z = 0 .
Получим формулу для тангенса угла с учётом (1.7.4)
u ′ sin θ ′ 1 − (V / c )
.
tg θ =
u ′ cos θ ′ + V
2

(1.7.8)

Эта формула определяет отклонение частицы при переходе из одной
системы координат в другую.
Важным случаем является отклонение света ( u = u ′ = c ). Вновь
воспользуемся формулами (1.7.4), получим
2

⎛V ⎞
V
sin θ ′ 1 − ⎜ ⎟
cos θ ′ +
⎝c⎠
c ; sin θ =
.
(1.7.9)
cos θ =
V
V
1 + cos θ ′
1+
cos θ ′
c
c
В случае малых скоростей (V << c ) из второй формулы (1.7.9) с точносV
V
тью до членов порядка получим sin θ − sin θ ′ = − sin θ ′ cosθ ′ или ввоc
c

дя малый угол, равный разности ∆ θ = θ ′ − θ , с той же точностью получим формулу ∆ θ =

V
sin θ ′ , определяющую абберацию света.
c

1.8. Масса. Количество движения. Сила
Одной из основных характеристик материального тела является
его масса. Масса – это скалярная физическая величина, определяющая
инерционные свойства объекта*. Иными словами, масса – это количественная мера инерции, которая показывает, как тело сопротивляется
изменениям состояния собственного движения. Чем массивнее тело,
тем больше необходимо приложить усилий, чтобы его остановить.
Понятие массы было введено в физику И. Ньютоном как коэффициент
*

Масса характеризует не только инерционные, она также определяет энергетические, гравитационные, химические и другие свойства материальных тел
41

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

пропорциональности m в соотношении, связывающим количество движения (импульс) p со скоростью перемещения v
p = mv .
(1.8.1)
Массу физического тела можно легко вычислить, если знать его плотность ρ и объём V (“Математические начала натуральной философии”
И. Ньютон, 1686)
m = ρV .
(1.8.2)
До появления преобразования Лоренца (и специальной теории
относительности) в классической физике считалось, что масса материальных тел не изменяется ни в каких процессах. Распространению
этого мнения способствовал закон сохранения массы (вещества), открытый М.В. Ломоносовым и А.Л. Лавуазье. Согласно этому закону в
любой химической реакции сумма масс исходных компонентов всегда
равна сумме масс продуктов реакции.
Если масса сохраняется в некоторой точке 3D-пространства и
некоторой её окрестности, то говорят о локальном законе сохранения массы (рис. 1.11). Поместим в некоторую точку 3D-пространства
объект, плотность которого изменяется за счёт оттока (поток J1) и притока (поток J2) вещества из окружающей среды. В зависимости от преобладания одной величины над другой суммарный поток J = J2 − J1
будет направлен наружу или внутрь тела. Тогда локальный закон сохранения массы имеет вид
V

ρ

J1

J2

m
Рис. 1.11. Закон сохранения массы
в точке 3D-пространства

∂ρ
dρ
(1.8.3)
= 0⇔
+ div J = 0 ,
∂t
dt
∂J ∂J
∂J
где div J = x + y + z − дивергенция
∂x ∂y
∂z

(расходимость) потока J. Если ввести
векторный оператор градиента (оператор Гамильтона)

grad = ∇ = i

∂
∂
∂
+ j +k ,
∂x
∂y
∂z

(1.8.4)

то операцию дивергенция можно записать в виде скалярного произведения оператора Гамильтона на векторный поток J: div J = ∇ ⋅ J .
Природа происхождения массы является одной из важнейших
42

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

нерешённых задач современной физики. Как пишет М. Джеммер: “Абсолютно полное разъяснение понятия массы является, очевидно, нелёгкой задачей, так как общий и до некоторой степени проблематический характер оснований точного и однозначного определения понятия
вызывает серьёзные проблемы и приводит к спорным результатам”.
Аддитивность массы (суммирование масс отдельных частей тела для
получения массы всего объекта) и разложение материального тела на
элементарные частицы не только не проясняет понятие, но и требует
выявления природы массы элементарных частиц. В настоящее время
не существует теории, объясняющей наличие дискретного спектра
масс у элементарных частиц, а тем более позволяющей произвести вычисления этих масс.
Отсутствие инерциальных систем в реальности связано с влиянием на движущееся тело разных сил, воздействие которых на объект
невозможно скомпенсировать. Такими силами являются силы притяжения Земли, трения, скольжения, Кориолиса и многие другие. Изучение поведения тел под воздействием сил позволили И. Ньютону сформулировать ещё один закон механического движения.
• →a
v ≠ const
ma = Fкомп

Второй закон механики (И. Ньютон): ускорение
тела a пропорционально приложенной к нему силе F и
обратно пропорционально его массе m, т.е.
a=

F
.
m

(1.8.5)

При решении практических задач важно понимать, что под действием
силы F понимают равнодействующую всех сил, полученную путём
сложения векторных сил, действующих на тело. Поэтому второй закон Ньютона формулируют иногда в виде:
Произведение массы тела m на его ускорение a равно сумме
сил Fкомп , действующих на тело,
ma = F1 + F2 + ... + Fn = Fкомп *.
(1.8.6)
Эти формулировки второго закона механики пригодны только в
случае, когда тело в процессе движения не изменяет своей массы.
*

Правую часть равенства (1.8.6) находят по правилам сложения векторов, т.е. по правилу па-

раллелограмма или треугольника.
43

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 1

Например, какие законы использовать для описания движущегося вагона с песком, из которого высыпается его содержимое? Как решить
задачу о полёте ракеты, когда её масса изменяется из-за расхода топлива? В таких случаях сила задаётся другой аксиомой: сила равна бесконечно малому изменению количества движения (1.8.1), произошедшего за бесконечно малый момент времени, т.е.
F =

dp
.
dt

(1.8.7)

В качестве примера рассмотрим задачу И.В. Мещерского о движении ракеты (тела с переменной массой). Суммарное изменение импульса системы dp равно сумме изменений количества движения ракеты d p 1 = md v (m – масса ракеты, v – скорость её движения) и импульса истекших за время dt газов d p 2 = µ u dt со скоростью u (µ – секундный расход топлива). Если пренебрегать сопротивлением воздуха
при подъёме ракеты, то на неё будет действовать только сила притяжения планеты ( F = P = mg ). Следовательно, уравнение Мещерского
имеет вид
m

dv
+ µu = m g .
dt

(1.8.8)

В силу того, что любое тело сопротивляется изменению своего
состояния (в том числе и состоянию механического движения), то на
любое воздействие среды возникает противодействие объекта. Это явление нашло своё отражение в третьем законе механики.
F12 ← • →F21
v − любое
F21 = −F12

Третий закон механики (И. Ньютон): силы F12 и F21 ,
с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е.
(1.8.9)
F21 = − F12 .

Отметим, что изменения массы тела могут происходить не только при потере (приобретении) составных частей, но и при движении
с очень большими постоянными скоростями.

44

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Глава 2. Вариация действия. Уравнения движения.
Законы сохранения
Знание немногих принципов легко возмещает
незнание некоторых фактов
К. Гельвеций

*

Вариационное исчисление применяется для получения соотношений, логическим следствием которых являются дифференциальные
уравнения движения и законы механики. Действительные движения
материального объекта под действием заданных сил сравнивают с
виртуальными, но кинематически возможными движениями, которые
ограничены наложенными на систему связями и условиями. Для выделения действительного движения из множества возможных перемещений используют условие экстремальности функционала Лагранжа.
Это условие обеспечивает инвариантность уравнений движения по отношению к определённому классу преобразований системы координат, например, преобразования Лоренца. Вариационные принципы механики различаются между собой формой и способами варьирования,
но в целом они образуют систему подходов к исследованию механических движений материальных тел.
По форме эти подходы можно разделить на дифференциальные
и интегральные. К дифференциальным принципам относятся: принцип возможных перемещений, принцип Д'Аламбера-Лагранжа, принципы Гаусса, Герца, Четаева и Журдена. Они определяют характеристики механического движения в любой момент времени. Интегральными принципами являются: принципы наименьшего действия в формах Гамильтона-Остроградского, Мопертюи-Эйлера-Лагранжа, Якоби
и другие. Эти принципы описывают свойства движения на любых конечных промежутках времени.
Принцип виртуальных перемещений применял ещё Г. Галилей
(1665); о его общности и полезности для решения задач статики писа*

Гельвеций. Сочинения / В 2-х томах // Под ред. Х.Н. Момджяна. – М.: Мысль, 1973. – 647 с.
45

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

ли И. Бернулли (1717) и П. Мопертюи (1744); обоснование, обобщение,
развитие и применение принципа было осуществлено в трудах Л. Эйлера, Ж. Лагранжа (1760) и других выдающихся учёных XVIII и XIX
веков. Принцип Д'Аламбера-Лагранжа справедлив для систем с разными связями и является общим вариационным принципом классической механики. Он не связан с понятием экстремума характеристической функции системы. Этот принцип опирается на сумму элементарных работ заданных сил и сил инерции на бесконечно малом возможном перемещении. Эти перемещения выбираются из заданной конфигурации, которые не представляют собой вариации характеристической функции. Принцип наименьшего принуждения Гаусса утверждает,
что движение системы материальных точек, связанных между собой
произвольным образом, под воздействием любых внешних сил в любой момент времени происходит таким образом, что оно согласовано с
тем движением, которое было бы в том случае, когда точки не взаимодействовали бы друг с другом, т.е. движение осуществляется с наименьшим возможным принуждением. В частности, равновесие системы наблюдается при сохранении системы в состоянии покоя, которое
наиболее близко к свободному движению в случае ликвидации связей
(неразличимость состояния покоя и равномерного прямолинейного
движения – преобразование Галилея) и т.д.
При применении интегральных вариационных принципов механики сравнивают значения определённых интегралов (действия) для
действительного и кинематически вероятного движения, удовлетворяющего заданным условиям, между начальной и конечной точками
движения. Следует отметить, что интегральные вариационные принципы применимы, в основном, к голономным системам, на которые
действуют потенциальные силы. Если в системе действуют стационарные связи и потенциальные силы явно не зависят от времени, то
существует функция Лагранжа. Она ограничивает множество кинематически возможных движений, с которыми сравнивается истинное
перемещение системы. Если движение объекта сопровождается сохранением суммы её кинетической и потенциальной энергий, то при46

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

менение принципа Якоби переводит решение механической задачи в
отыскание экстремали действительного движения в пространстве с
римановой метрикой, т.е. заменяет отыскание траектории движения в
физической задачи на отыскание вида кривой в геометрической задаче. Отсутствие заданных сил приводит к тому, что материальное тело
движется вдоль геодезической линии с постоянной скоростью (обобщение закона инерции Галилея). Уравнение экстремали является следствием выполнения достаточных условий существования минимума
функции Лагранжа, для выявления которых требуется отыскание второй вариации от действия. В этой связи интегральные вариационные
принципы называют принципами наименьшего действия.
Вариационные принципы механики применимы не только к дискретным, но и к континуальным системам, они используются в самых
различных областях физики (математическая физика, теоретическая
механика, квантовая механика, теория поля, космология и т.д.), поэтому они имеют большую эвристическую ценность и требуют более
углублённого изучения. Поиск универсальных синергетических закономерностей (самоорганизация, когерентное поведение, универсальные флуктуации, возникновение динамического хаоса и др.), появление странных аттракторов на фазовых портретах сложных систем, возникновение структур при протекании необратимых процессов, фрактальная геометрия объектов, а также протекающие в сложных системах кинетические или динамические явления побуждают исследователей к формированию новых вариационных принципов. Плодотворность вариационного метода применительно к различным по своей
природе системам не вызывает сомнений, однако его применение в
различных областях естествознания требует поиска новых адиабатических инвариантов движения. Указанные аспекты аналитической механики демонстрируют информационную насыщенность вариационных
принципов, поэтому остановимся на тех знаниях, которые неявно используются при вариационном решении той или иной задачи. Неявность способствует неправильной трактовке получаемых результатов,
как говорят “the devil is in the details – дьявол кроется в деталях”.
47

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

2.1. Связи и степени свободы
Если на местоположение или скорость динамической системы
наложены геометрические или кинематические ограничения (конфайменты), то говорят о наличии связей. Связи делают движение объекта несвободным, т.е. они изменяют экстремаль (траекторию движения)
свободного перемещения. В выбранной инерциальной системе отсчёта связь общего вида определяется соотношением
f (t , r , r& ) = 0 ,
(2.1.1)
в которое входят время t , радиус-вектор r , определяющий местоположение материальной частицы, и скорость его изменения r& . Наличие
геометрической связи ( f ( t , r ) = 0 − голономная система) приводит к
тому, что частица не может занимать произвольное положение в пространстве для данного момента времени. В случае дифференциальной
связи (2.1.1) система может в выбранный момент времени находиться
в произвольной пространственной точке, но её скорость уже не будет
произвольной – она определяется из соотношения (2.1.1). Каждая конечная связь влечёт за собой дифференциальную связь вида (получается из конечной связи путём дифференцирования по времени) вида
локального закона сохранения (см., например, (1.7.3))
df
∂f
=0 ⇔
+ r& ⋅ ∇ f = 0 .
dt
∂t

(2.1.2)

Формула (2.1.2) указывает на сохранение функции f (t , r ) , заданной
неявно в виде равенства f ( t , r ) = C , где C – константа интегрирования. Если дифференциальная связь неинтегрируема, то сложная система называется неголономной. Таким образом, система является голономной при отсутствии связей (свободная система), а для несвободной системы – при наличии геометрической или дифференциальной,
но интегрируемой связи. Если условие (2.1.1) не зависит явно от времени t , то связь называется стационарной, а динамическая система
– склерономной. В противном случае связь будет нестационарной, а
система – реономной. Виды связи и их характеристики приведены в
табл. 2.1.
48

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Таблица 2.1.
Классификация связей f ( t , r , r& ) = 0 в динамических системах
Характеристика
связи
Не зависит явно
от времени
Зависит явно от
времени
Не зависит явно
от скорости
движения
Зависит явно
от скорости
движения

Название
связи

Формула
ограничения

Стационарная
Нестационарная
Геометрическая
(дифференциальная
интегрируемая;
конечная)
Кинематическая
(дифференциальная
неинтегрируемая)

∂ f ( t , r , r& )
=0
∂t
∂ f ( t , r , r& )
≠0
∂t
∂ f ( t , r , r& )
=0
∂ r&
∂ f ( t , r , r& )
≠0
∂ r&

Название
системы
Склерономная
Реономная
Голономная

Неголономная

Если частица движется по неизменной поверхности, то уравнение стационарной связи описывается уравнением заданной поверхности f ( r ) = 0 . Если поверхность перемещается в пространстве или
деформируется, то связь является нестационарной, но геометрической, т.е. задаётся в виде f (t , r ) = 0 . Если расстояние между двумя материальными точками не изменяется (стационарная связь) в процессе
движения, то речь идёт о голономной склерономной системе из двух
точек. Если их движение осуществляется в строго определённом направлении (например, движение конька по льду), то система будет неголономной. При изменении расстояния между точками с течением
времени (нестационарная связь) и произвольности их перемещения
голономная система будет реономной.
Все перечисленные связи определяются равенствами, поэтому их
называют напряжёнными (удерживающими). Если связь задана неравенством
f (t , r , r& ) > 0 ,
(2.1.3)
то связь между точками называют неудерживающей. В этом случае
траекторию движения динамической системы разбивают на участки,
где связь является удерживающей, и зоны, где она полностью отсутствует.
Ограничение свободы перемещения, которое возникает при на49

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

ложении связей, приводит к понятию числа степеней свободы. Свободная частица может перемещаться вдоль любого направления в пространстве, следовательно, она имеет 3 степени свободы для движения
вдоль координатных осей декартовой системы отсчёта. Её движение
по абсолютно твёрдой поверхности исключает одну степень свободы,
а перемещение внутри трубки определённого размера приводит к тому, что число степеней свободы сокращается до единицы. Если же
движение частицы ограничено со всех сторон, то у неё отсутствуют
степени свободы и их число равно нулю, т.е. частица будет зафиксирована в некоторой точке пространства. Таким образом, под числом
степеней свободы надо понимать число независимых вариаций обобщённых координат материальной точки.
Если на систему наложены только голономные связи, то все декартовы координаты системы определяются через n независимых
обобщённых координат. В этом случае число степеней свободы k равно числу независимых обобщённых координат, т.е.
(2.1.4)
k = n.
При наличии j неголономных связей число степеней свободы уменьшается на их количество:
k =n− j.

(2.1.5)

Отсутствие фиксации двух граничных точек траектории движения
(экстремали) изменяет соотношение (2.1.5) и приводит к выражению
эйлеровского типа:
k = n − j + 2.
(2.1.6)
Например, для свободной частицы ( j = 0 ), состояние движения которой можно описать с помощью одной обобщённой координаты ( n = 1 ,
в качестве такой координаты используют модуль радиуса-вектора
q = r = r , при этом полная механическая энергия частицы в поле центральных сил равна
m q& 2
E = K ( q& ) + U ( q ) =
+ U (q ) ,
(2.1.7)
2
K (q& ) − кинетическая энергия, U (q ) − потенциальная энергия), выра-

жение (2.1.6) даёт верное значение (в отличие от формулы (2.1.5)):
50

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

k = n − j + 2 = 1− 0 + 2 = 3 ,

т.е. свободная частица имеет три степени свободы. Это означает, что
она может перемещаться вдоль трёх координатных осей декартовой
системы отсчёта.

2.2. Вариационный метод
Впервые мысль о том, что законы природы могут быть получены
из малого числа аксиом, была высказана П.Л.М. Мопертюи в докладе
Парижской академии наук под названием “Согласование различных
законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми”
(1744). Однако истоком вариационного исчисления по праву считается
изданная в 1748 году статья Мопертюи “Законы движения и покоя,
выведенные из метафизического принципа”. В ней был окончательно
сформулирован общий принцип наименьшего действия: “Когда в природе происходит некоторое изменение, Количество Действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным”. Это
утверждение вызвало резкую критику со стороны профессора Берлинской академии С. Кёнига (занимался теорией камертонов; в члены
Берлинской академии наук он был рекомендован президентом этой
академии Мопертюи). Согласно Л. Эйлеру: “…одних он пытается убедить, что принцип знамен. де Мопертюи лишён всякого основания,
других же, т.е. тех, кого он не сумел убедить в этом, он старается заставить поверить, что этот принцип открыт самим Лейбницем; но во
втором Кёниг преуспел не более, чем в первом”. После того, как Эйлер
продемонстрировал применимость принципа наименьшего действия к
задачам статики, а Ж.Л. Лагранж – к проблемам динамики, вариационный метод получил широкое распространение. К развитию вариационного исчисления применительно к механическим задачам приложили
свои усилия У.Р. Гамильтон, А.М. Лежандр, К.Г. Якоби, М.В. Остроградский, С.Д. Пуассон, С. Ли и многие другие выдающиеся учёные.
Различают три типа варьирования механического действия: 1) стационарное; 2) переменное; 3) варьированное.
51

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Вариационный метод базируется на отыскании
наименьшего или экстремального значения функциона•→
ла (определённого интеграла от некоторой функции),
δS = δ ∫ Λdt
заданного на ограниченном множестве интегрируемых
при δq = 0 функций (линий, ограниченных одними и теми же значениями аргумента) *.
Например, рассмотрим множество непрерывных функций yi (x)
на интервале x ∈ [0;1] и вычислим площадь
1

J [ yi ( x)] = ∫ yi ( x) dx
0

под заданными кривыми:
y1 ( x) = x;

1

1 0 1
x2
J = ∫ x dx =
= − = ,
2 0 2 2 2
0
1

1
1
dx
1
; J =∫
= ln(1 + x) 0 = ln 2 ,
1+ x
0 1+ x
1
dx
1
π
1
y3 ( x) =
J
=
= arctgx 0 = .
;
∫
2
2
1+ x
4
0 1+ x

y2 ( x ) =

Среди указанных функций наименьшее значение площадь J достигает в случае первой функции (рис. 2.1). Если подынтегральная функция
yi ( x, α ) зависит от параметра α , то и определённый интеграл J является функцией
параметра α и называется функционалом
J [ y i ( x , α )] , например,
1

⎛ αx 2
⎞
α
J [ y i ( x , α )] = ∫ (α x + 1) dx = ⎜⎜
+ x ⎟⎟ = + 1 ;
0
⎝ 2
⎠0 2
1

Рис. 2.1. Вычисление площади
фигур, ограниченных функцией
y i (x) на интервале x ∈ [0; 1]

1

⎛ x2
⎞
1
J [ y i ( x , α )] = ∫ ( x + α ) dx = ⎜⎜
+ α x ⎟⎟ = + α .
0
⎝ 2
⎠0 2
1

Рассмотрим некоторые аспекты аналитической механики, которые понадобят-

*

Эта постановка задачи аналогична отысканию наименьшего значения непрерывной функции
на заданном ограниченном интервале изменения аргумента (на конечном множестве действительных чисел): непрерывная функция y ( x ) достигает своего наименьшего значения на концах заданного интервала изменения аргумента или в критической точке (в этой точке первая
производная функции y ′( x ) = 0 ) внутри этого отрезка.
52

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

ся при исследовании содержания вариационных принципов механики
для свободной частицы (отсутствуют связи). При решении задач аналитической механики материальная частица перемещается вдоль линии, называемой траекторией движения (экстремалью, геодезической линией). Описание движения механических систем (согласно Дж.
У. Гиббсу) проводится в фазовом (конфигурационном) пространстве,
на числовых осях которого откладывают обобщённую координату
*
q(t ) (траектория движения, t – время) и обобщённую скорость q& (t )
материальной частицы вдоль экстремали. Для отыскания истинной
траектории движения применяют два вариационных принципа: Мопертюи-Эйлера-Лагранжа и Гамильтона-Остроградского. В первом
случае отыскивается экстремум определённого интеграла от удвоенной кинетической энергии, а во втором – от функции Лагранжа. Несмотря на разницу в подходах, уравнения движения имеют один и тот
же вид: они сводятся ко второму закону Ньютона.

2.3. Функции механического движения
В классической динамике Лагранжа движение частицы по экстремали происходит при стационарном значении действия S[q(t ), q& (t )] ,
при этом вариации начальной δq(t1 ) и конечной δq (t 2 ) точек экстремали считают фиксированными и равными нулю, т.е.
(2.3.1)
δq(t1 ) = δq(t 2 ) = 0
Под вариацией обобщённой координаты точки экстремали δ q ( t ) понимают её виртуальное смещение в заданный момент времени (рис.
2.2). Вариационный экстремум действия отыскивается путём обращения в нуль вариации интеграла от функции Лагранжа (лагранжиана)
dS
= K (t , q, q& ) − U (t , q ) ,
(2.3.2)
dt
(здесь K ( q , q& ) – кинетическая, а U (q) – потенциальная энергия для наΛ ( q, q& , t ) =

туральных систем), посредством которой действие S определяется
*

Конфигурационное пространство Гиббса описывается геометрией Римана. В дальнейшем будем понимать под q (t ) (и соответственно под q& (t ) ) в случае многочастичной динамической
системы совокупность всех обобщённых координат (обобщённых скоростей).
53

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

формулой:

q

t2

S = ∫ Λ (t , q, q& )dt .

(2.3.3)

t1

Отметим, что в общем случае вводят обобщённую потенциальную энергию, которая зависит от обобщённых коt ординат материальных частиц, их обобщённых скоростей (например, гироскоРис. 2.2. Вариация обобщённой пические силы) и времени. Следователькоординаты δ q (t ) и дифференци- но, обобщённая сила p& = F ( q, q& , t ) для лаал dq (t )
гранжевых систем определяется соотношением
F (q, q& , t ) = −

∂U (q, q& , t ) d ⎛ ∂U (q, q& , t ) ⎞
⎟⎟ .
+ ⎜⎜
∂q
dt ⎝
∂q&
⎠

(2.3.4)

Механическая система в ограниченной области будет находиться в покое, если её потенциальная энергия стационарна, т.е. не зависит от времени. Если положение равновесия не лежит внутри выделенной области конфигурационного пространства, то механическая система движется к её границе, где свойство стационарности потенциальной энергии необязательно.
Истинное движение свободной частицы задаётся дифференциальным уравнением второго порядка (вторым законом Ньютона), которое получают из обнуления вариации действия (2.3.3) при нулевых
значениях вариаций моментов времени начала и конца движения, а
также местоположений граничных точек (2.3.1):
⎧ δ t1 = δ t 2 = 0
⇒ δ S = 0 *.
(2.3.5)
⎨
(
)
=
(
)
=
0
δ
q
t
δ
q
t
⎩
1
2
Отказавшись от второго условия системы (2.3.5) и варьируя время,
t
Гамильтон получил закон переменного ( δt1, 2 = 0; δ q1, 2 ≠ 0; δS = pδq t ), а
2

1

М.В. Остроградский – варьированного ( δt1, 2 ≠ 0; δq1, 2 ≠ 0 ) действия
*

Согласно К.Г. Якоби, приведенная формулировка принципа наименьшего действия справедлива, только на очень малых участках траектории движения. На всей геодезической линии
действие принимает стационарное, но необязательно минимальное значение. Поэтому метод
Эйлера-Лагранжа называют принципом стационарного действия.
54

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2
t2

t2

t

δ S = Λ δ t t1 + ∫ δ Λ dt = [ p δ q − H δ t ] t12 ,

(2.3.6)

t1

где p =

∂H
– обобщённый импульс, а гамильтониан
∂q&

H (q, p, t ) = K (q, p ) + U (q, t ) .

(2.3.7)
Обращение правой части равенства (2.3.6) в нуль определяет условие трансверсальности на концах экстремали. Кратчайшие кривые,
проходящие через точки трансверсальности, называются в математике
трансверсалями поля (рис. 1.8), а в физике – эквипотенциальными линиями. Трансверсали φ (q, t ) являются экстремалями функций, описывающих поведение поля, в котором происходит движение частицы.
Поле не достигает экстремального значения в областях, где выполняется уравнение Лапласа
∆φ ( q , t ) = 0
(2.3.8)
∂2
∂2
∂2
( ∆ = ∇ ⋅ ∇ = 2 + 2 + 2 − оператор Лапласа) и концентрируется в тех
∂x
∂y
∂z

точках, где ∆ φ ( q , t ) < 0 . Условие трансверсальности выделяет особые
канонические преобразования, которые сохраняют как вид уравнений движения, так и условия трансверсальности.
Функция Гамильтона H (2.3.7) связана с лагранжианом Λ (2.3.2)
преобразованием А.М. Лежандра (1789):
H (t , q, p ) =

∂Λ (t , q, q& )
q& − Λ (t , q, q& ) = pq& − Λ (t , q, q& ) .
∂q&

(2.3.9)

Особенностью преобразования Лежандра является то, что оно позволяет перейти от исследования любого плоского (пространственного)
объекта к исследованию касательных к нему линий (касательных плоскостей). Не следует отождествлять гамильтониан H (q, p, t ) системы с
m r& 2
+ U ( r ) , хотя в большинстве
её полной механической энергией E =
2

практически важных случаях они совпадают. Например, для “спящего
волчка” (юла Лагранжа – волчок, вращающийся вокруг своей вертикальной оси симметрии при отсутствии трения) полная механическая
Iϕ& 2
+ mgh ( I – момент
энергия в лабораторной системе отсчёта E =
2
55

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

инерции волчка, ϕ& – угловая скорость вращения, m – масса волчка,
g = 9.8156 м / cек 2 – ускорение свободного падения, h – расстояние от
точки вращения до центра тяжести). При переходе к новой обобщённой координате α = ϕ − ω 0 t гамильтониан H = pα α& − L = E − pα ω0 (обобщённый импульс pα = I (α& + ω0 ) ), а полная механическая энергия волчpα2
+ mgh .
ка E =
2I

В общем случае преобразование Лежандра определяет сопряжённые функции с помощью соотношений (рис. 2.3)
f ( x, y , z ) + g (ψ , ξ , ζ ) = xψ + yξ + zζ ,
(2.3.10)
а дифференциалы функций df ( x, y, z )
и dg (ψ , ξ , ζ ) равны
df ( x , y , z ) = ψ dx + ξdy + ζ dz , (2.3.11)
dg (ψ , ξ , ζ ) = xdψ + ydξ + zdζ . (2.3.12)
Пары переменных (x и ψ), (y и ξ) и (z
Рис. 2.3. Одномерные сопряжённые и ζ) называют сопряжёнными.
функции*
К. Якоби установил другую связь
между функциями Лагранжа и Гамильтона, причём гамильтониан H
он определил как частную производную по времени от действия

∂S
,
∂t

а обобщённый импульс p – частную производную от действия по обобщённой координате:
H =−

∂S
∂S
; p=
∂q
∂t

**

.

(2.3.13)

Общее решение первого уравнения (2.3.13) содержит столько постоянных, сколько независимых переменных имеет гамильтониан H .
*

Для существования преобразования Лежандра необходимо и достаточно, чтобы определитель (“гессиан”), составленный из вторых частных производных заданных функций по своим
аргументам, был отличен от нуля. Дуальное относительно выбора “старой” и “новой” функций преобразование Лежандра, по-видимому, отображает более глубокую связь между обобщёнными координатами и потенциалами полей, вызывающими перемещение материальной
частицы; при построении физической картины мира роль преобразования Лежандра пока до
конца не раскрыта.
**
В векторном виде обобщённый импульс p = gradS = ∇ S определяется градиентом действия, т.е. он ортогонален поверхности постоянного действия, а движение частицы происходит в
направлении, перпендикулярном к этой поверхности.
56

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Известный русский математик М.В. Остроградский обосновал
перестановочность операции варьирования δ с операцией взятия производной по аргументам (например, по времени d / dt ), дифференциала d и интегрирования ∫ [22, 23]:
⎧
⎛ dq ⎞ d (δ q )
⎪δ q& = δ ⎜
⎟=
dt
dt
⎝
⎠
⎪
⎪
.
⎨δ ( dq ) = d (δ q )
⎪ t2
t2
⎪δ ⎛⎜ ∫ Λ dt ⎞⎟ = ∫ δ Λ dt
⎟
⎪⎩ ⎜⎝ t1
⎠ t1

(2.3.14)

С.Д. Пуассон ввёл в вариационное исчисление обобщение скобок Лагранжа и получил уравнение эволюции функций вдоль экстремалей
df
∂f
=
+[ f , H ],
dt
∂t

(2.3.15)

где скобка Пуассона
[f, H]=

∂f ∂H ∂f ∂H
−
.
∂q ∂p ∂p ∂q

(2.3.16)

Если функция f не зависит явно от времени и скобка Пуассона равна
нулю, то функция f является интегралом (инвариантом) движения.

2.4. Фазовое пространство. Сопряжённые фокусы.
Изохронная вариация аргументов
1. Фазовое пространство. Функция Лагранжа Λ (или Гамильтона H )
зависит от трёх аргументов: времени t , обобщённой координаты q и
обобщённой скорости q& (обобщённого импульса p). Поведение динамической системы изображают (по Дж.У. Гиббсу) только на фазовой
плоскости, по координатным осям которой откладывают обобщённые
координату q и скорость q& . Следовательно, фазовые портреты физических процессов являются всего лишь их топографическими картами.
Поэтому добавим к фазовому пространству Гиббса временную ось
(рис. 2.4) или ось сопряжённого со временем гамильтониана (на рис.
57

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

2.5 показан геометрический вид гамильтониана гармонического осциллятора
m ( q& − q& 0 ) 2 k ( q − q 0 ) 2
H =
+
,
2
2

(2.4.1)

q0 и q&0 – положение равновесия и скорость при прохождении этого по-

ложения).

Рис. 2.4. Потоки в фазовом пространстве Рис. 2.5. Гамильтониан и фазовый портГамильтона с дополнительной осью вре- рет гармонического осциллятора
мени

Такие изображения существенно повышают информационную
составляющую геометрического отображения физического содержания процесса. Например, параллельные фазовой плоскости сечения
энергетического параболоида показывают (рис. 2.5), как изменяются
эллипсы на топографической плоскости, отображающие гармонические колебания материальной частицы в зависимости от её полной механической энергии E i .
2. Сопряжённые кинетические фокусы (СКФ). К.Г. Якоби заметил,
что вариация действия имеет экстремум не при любой длине промежутка [t1 ; t 2 ] , а только при достаточно малой. Если начальная и конечная точки траектории движения соединяются двумя бесконечно
близкими траекториями движения, по которым в течение одного и того же времени может происходить движение материальной частицы,
то точки называются сопряжёнными кинетическими фокусами (СКФ,
рис. 2.6). Примером СКФ являются полюса сферы: движение свободной частицы (связи и их реакции отсутствуют) может происходить
вдоль меридианов, расположенных бесконечно близко друг к другу.
Присутствие на экстремали СКФ (точка A1 на экстремали ABA1Q;
58

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

q(t1 ) < q f < q(t2 ) ; рис. 2.7) не позволяет действию S достичь минимума в

виду существования виртуального пути AHNTQ, на котором действие
принимает значение меньше, чем на траектории движения.

Рис. 2.6. Сопряжённые кинетические фо- Рис. 2.7. Виртуальная траектория AHNTQ
обходит сопряжённый кинетический фокусы А и А1
кус А1

На виртуальной траектории движения AHNTQ вторая вариация
действия δ 2 S = 0 (при δ 2 S < 0 виртуальная кривая не является экстремалью), поэтому экстремаль AHNTQ будет бесконечно близка к
истинной траектории движения. Выполнение условий
δS = 0; δ 2 S = 0; δ 3 S ≠ 0
(2.4.2)
указывает на лабильность динамической системы (односторонняя устойчивость движения) и отсутствие экстремума. Если СКФ лежит
перед конечной точкой интервала интегрирования [t1 ; t 2 ] , то действие на траектории движения не будет достигать ни минимума, ни
максимума.
3. Изохронная вариация обобщённой координаты. При использовании вариационного подхода Эйлера-Лагранжа (закон стационарного действия) время t не является варьируемой переменной, поэтому
вариацию обобщённой координаты δq(t ) можно назвать изохронной
(обобщённые скорости в лагранжевой динамике зависят от обобщённых координат, вследствие чего их вариация не рассматривается). Существование изохронной* вариации указывает на зависимость обобщённой координаты q (t ) от некоторых натуральных (естественных)
параметров α i ( i = 1,..., n ), которые характеризуют траекторию движе59

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

ния. В качестве таких параметров могут выступать: а) кривизна и кручение экстремали (см. также пункт 1.4); б) расстояние от начальной
точки движения (наличие памяти о пройденном пути); в) флуктуации
(шумовые смещения); г) полевые воздействия других частиц или систем.
Под изохронной вариацией обобщённой координаты δq(t ) понимают соотношение вида
n
∂q
∂q
δ q (t , α i ) = ∑
δα i = ∑
γ iδα = ζ (t , α i )δα ,
i =1 ∂ α
i =1 ∂ α
i
i
n

(2.4.3)

где функция, определяющая “скорость” изменения обобщённой координаты в зависимости от натуральных параметров геодезической линии, т.е. задающая поле изменений параметров экстремали равна**
ζ (t , α i ) =
γi =

n

∑γi
i =1

∂ q (t , α i )
;
∂α i

(2.4.4)

∂α i d α i
– относительная доля вариации характеристики i в об=
dα
∂α

щем параметрическом изменении траектории движения; δα – бесконечно малая величина ( δα << 1 ). Формула (2.4.3) показывает: каковы
бы ни были виртуальные изменения естественных параметров экстремали, их суммарное действие на изменение истинной траектории движения должно быть значительно меньше наперёд заданной бесконечно малой величины. Это требование определяет плавное изменение
изохронной вариации и её малость вдоль геодезической линии (отбрасываются вторая и высшие вариации обобщённой координаты в силу
их более высокой степени малости), а также обеспечивает близость
*

При изохронном варьировании все траектории движения имеют различные граничные точки, но начальное и конечное времена для всех
экстремалей будут одинаковы. Это означает, что все траектории движения образуют трубку одномоментных движений. При неизменности
контура начального движения трубка является виртуально-устойчивой; в противном случае – расширение (сужение) стартового контура
одномоментных движений указывает на виртуальную неустойчивость.
**
Формулы (2.4.3), (2.4.4), (1.4.1) и (1.4.2) указывают на то, что механическая задача в евклидовом пространстве заменяется геометрической задачей об экстремали в пространстве
конфигураций.
60

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

виртуальной траектории к экстремали. Обращение вариаций обобщённой координаты в нуль на концах экстремали связано с обнулением в
этих точках «скорости» изменения параметров геодезической линии
( ζ ( t , α i ) t , t = 0 ), что приводит (в силу независимости вариаций нату1

2

ральных параметров) к обнулению частных производных от обобщённой координаты по естественным аргументам ( ∂q

∂αi t ,t

= 0). Последнее

1 2

утверждение эквивалентно достижению обобщённой координатой экстремальных значений по натуральным параметрам на концах геодезической линии.

2.5. Свойства функции Лагранжа. Вариации действия
Приведём без доказательства ряд свойств функции Лагранжа:
а) аддитивность. Если механическая система состоит из n невзаимодействующих между собой частей, поведение каждой из которых описывается лагранжианом Λi ( i = 1,..., n ), то функция Лагранжа Λ всей
системы определяется по аддитивному закону
n

Λ = ∑ Λi .

(2.5.1)

i =1

Формула (2.5.1) отображает тот факт, что движение каждой части описывается своим уравнением эволюции, не содержащим характеристики движения других частей системы;
б) калибровка. Две функции Лагранжа Λ′(t, q, q&) и Λ(t, q, q&) , отличающиеся на функцию, зависящую только от времени ψ (t )
Λ′(t , q, q& ) = Λ (t , q, q& ) + ψ (t ) ,
(2.5.2)
или на полную производную по времени от какой-либо функции обобщённой координаты и времени f (q, t ) ,
Λ′(t , q, q& ) = Λ (t , q, q& ) +

df (t , q )
,
dt

(2.5.3)

описывают движение материальной частицы одним и тем же уравнением;
в) инвариантность относительно точечных (или канонических) преобразований. Если новые обобщённые координаты Q связаны со ста61

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

рыми координатами невырожденной связью Q = Q(q) (определитель
det ∂ Q ∂ q ≠ 0 , составленный из частных производных, отличен от нуля, т.е. существует обратное преобразование q = q(Q) ), то функция Лагранжа с новыми координатами удовлетворяет такому же уравнению
Эйлера, как и лагранжиан со старыми координатами;
г) подобие консервативных систем. Произведём над консервативной
механической системой преобразование подобия, выполнив замены
массы m = α m′ , времени t = β t ′ и пространственных координат q = γq ′ .
Если коэффициенты подобия связаны соотношением
*
(2.5.4)
α µ −1β 2γ ν − 2 = ± 1 ,
где показатели степени µ и ν определяют порядок однородности потенциальной энергии по массе и координатам, то консервативные системы будут подобны**.
Разложим лагранжиан Λ (t , q (t ), q& (t )) в сходящийся ряд Маклорена
по вариациям обобщённой координаты q(t ) и обобщённой скорости
q& (t ) . Проинтегрируем ряд по времени в интервале [t1 ; t 2 ] , получим
t2

∆ S = ∫ [ Λ ( t , q + δ q , q& + δ q& ) − Λ ( t , q , q& ) ] dt =
t1

1
1
1
= δ S + δ 2 S + δ 3 S + ... + δ ν S + ...
2!
3!
ν!

,

(2.5.5)

где соответствующие вариации действия при изохронном варьировании (закон стационарного действия) равны
t2

⎛ ∂Λ

∂Λ

⎞

δ S = ∫ ⎜⎜
δq +
δ q& ⎟⎟ dt ,
&
q
q
∂
∂
t1 ⎝
⎠
⎛ ∂ 2Λ
∂ 2Λ
∂ 2Λ
2
2 ⎞
&
⎟⎟ dt ,
δ S = ∫ ⎜⎜ 2 (δ q ) + 2
δ q δ q& +
(
δ
q
)
∂ q ∂ q&
∂ q& 2
t1 ⎝ ∂ q
⎠
2

t2

(2.5.6)
(2.5.7)

⎛ ∂ 3Λ
⎞
∂ 3Λ
∂ 3Λ
∂ 3Λ
3
2
2
δ S = ∫ ⎜⎜ 3 (δq ) + 3 2 (δq ) δq& + 3
δq (δq& ) + 3 (δq& ) 3 ⎟⎟ dt , (2.5.8)
2
∂q&
∂q ∂q&
∂q ∂q&
t1 ⎝ ∂ q
⎠
3

t2

…………………………………………………………………………………….
*

Здесь коэффициенты подобия могут принимать отрицательные и даже комплексные значения.

**

Для того чтобы две материальные частицы с массами m и m′ двигались по подобным траекториям, необходимо также соблюдение кинематического подобия и при начальных условиях движения ( dt = β dt ′ ; dq = γ dq′ ).
62

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Перепишем первую вариацию действия (2.5.6) в виде
t2
⎛ ∂Λ
∂Λ ⎞
(2.5.9)
δ S = ∫ ⎜⎜
δq +
δ q& ⎟⎟ dt = ∫ ∇ p Λ ⋅ δ l dt ,
∂ q&
t1 ⎝ ∂ q
t1
⎠
∂
∂
=i
+ j
– оператор Гамильтона в фазовом пространстве
∂q
∂ q&
t2

где ∇ p

Гиббса; δ l = i δ q + j δ q& – вариация положения точки на фазовой траектории в момент времени t . Проинтегрируем (2.5.9) вдоль замкнутого контура δ q _ δ q& _ δ l = ∂D ( ∂ D – граница односвязной области D или
контур одновременных состояний системы), который будем обходить
против часовой стрелки, и воспользуемся теоремой Грина, тогда криволинейный интеграл второго рода от первой вариации действия
t2

t2

⎛ ∂ 2Λ

∂ 2Λ ⎞

∫ δ S = ∫ ∫ ∇ p Λ ⋅ δ l dt = ∫ ∫ ⎜⎜ ∂ q& ∂ q − ∂ q ∂ q& ⎟⎟ δ q δ q& dt = 0 . (2.5.10)
C
t1 C
t1 D ⎝
⎠

Так как функция Лагранжа непрерывна, то вторые смешанные производные с различным порядком дифференцирования равны между собой, поэтому интеграл (2.5.10) по области D равен нулю. Другими
словами, равенство (2.5.10) показывает, что циркуляция градиента лагранжиана по любому замкнутому контуру фазового пространства
постоянна и равна нулю. Обращение в нуль первой вариации действия (2.5.6) определяет критическую линию, которая соединяет граничные точки q1 (t1 ) и q 2 ( t 2 ) . Эта линия может и не быть экстремалью:
экстремальность критической кривой определяет знак второй вариации действия (2.5.7). Эта квадратичная форма будет положительной
при выполнении теоремы Сильвестра, т.е. критическая кривая является экстремалью при выполнении условий
⎧ ∆ = a 11 a 22 − a 122 > 0
⎪
⎨ a 11 > 0 ( a 22 > 0 ) − min ,
⎪ a < 0 ( a < 0 ) − max
22
⎩ 11
*

где коэффициенты a11

(2.5.11)

∂ 2Λ
∂ 2Λ
∂ 2Λ
=
, a 12 =
, a 22 =
. Если величи∂ q ∂ q&
∂ q& 2
∂q 2

на ∆ принимает отрицательные значения ( ∆ < 0 ), то на выбранном
*

В зависимости от знаков коэффициентов aij подынтегральная квадратичная форма (2.5.7)

описывает различные геометрические фигуры: эллипсоид, параболоиды и т.д.
63

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

множестве кривых действие не достигает экстремального значения.
При значении ∆ = 0 надо исследовать знак третьей вариации действия (2.5.8).
В качестве примера указанных случаев на рис. 2.8 приведены зависимости потенциальной энергии линейного осциллятора (рис. 2.8,
а), перевёрнутого осциллятора П.Л. Капицы (рис. 2.8, б), лабильной
системы (рис. 2.8, в) от обобщённой координаты и отвечающие им фазовые портреты. Из рис. 2.8, а и 2.8, б видно, что преобразование Лежандра (2.3.10) преобразует эллиптический параболоид, отображающий гамильтониан линейного маятника, в гиперболический параболоид, изображающий лагранжиан перевёрнутого маятника Капицы (рис.
2.9). В первом случае центр тяжести маятника находится ниже оси
подвеса (рис. 2.8, г), а во втором – выше оси опоры (рис. 2.8, д), т.е. является зеркальным отображением центра тяжести линейного осциллятора. Таким образом, преобразование Лежандра указывает на существование “зеркальных” физических процессов.

2.6. Уравнения движения. Гироскопические и
диссипативные силы
Проинтегрировав в подынтегральном выражении (2.5.6) второе
u=

слагаемое по частям (

∂Λ
∂q&

dv = δq&dt

d ⎛ ∂Λ ⎞
du = ⎜⎜ ⎟⎟dt
dt ⎝ ∂q& ⎠

), получим для первой
v = δq

вариации действия
t2
⎛ ∂Λ
∂Λ
d ⎛ ∂Λ
t2
−
⎜
δS =
δ q t1 + ∫ ⎜⎜
∂ q&
dt ⎜⎝ ∂ q&
t1 ⎝ ∂ q

⎞⎞
⎟⎟ ⎟⎟δ qdt .
⎠⎠

(2.6.1)

Если концы истинной траектории движения зафиксированы (выполняется условие (2.3.1) δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 , которое является необязательным)
и действие стационарно ( δ S = 0 ), то по лемме Дю Буа-Реймонда* получаем уравнение Эйлера-Лагранжа:
*

du Bois-Reymond P. Erläuterungen zu der Anfangsgründen der Variationsrechnung, Math. Ann., 15

pp. 283–314 (1879).
64

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

U

U

U

Рис. 2.8. Потенциальная энергия U (q) , соответствующий ей фазовый портрет (а-в) и
примеры динамических систем (г – линейный осциллятор; д – осциллятор П.Л. Капицы)

Рис. 2.9. Гамильтониан (а) и лагранжиан (б) линейного осциллятора

d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
= 0.
⎜
⎟−
dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠ ∂q

(2.6.2)

Уравнение (2.6.2) совместно с условиями (2.5.11) определяют экстремаль, а при нарушении одного из этих соотношений траектория перемещения материальной частицы таковой не является.
65

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Дифференциальное уравнение (2.6.2) соответствует второму закону динамики Ньютона (см. пункт 1.7), если положить, что обобщённые импульс p и сила p& равны
p=

∂U (q )
∂ Λ ∂ K ( q& )
∂Λ
=
=−
, p& = F =
.
∂ q&
∂ q&
∂q
∂q

(2.6.3)

Отметим, что для обозначений (2.6.3) уравнение Эйлера-Лагранжа
(2.6.2) обращается в тождество. Если лагранжиан явно не зависит от
обобщённой координаты q , то из уравнения (2.6.2) следует сохранение обобщённого импульса
d ⎛ ∂Λ ⎞
⎟ = 0 ⇒ p = const .
⎜
dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠

(2.6.4)

Такие обобщённые координаты называют циклическими* (скрытыми).
Например, скрытой координатой является угол ϕ , определяющий движение частицы по замкнутой траектории и не входящий в явном виде в лагранжиан. В качестве примера рассмотрим случай, когда циклической координатой является время. Полная производная лагранжиана по времени (с учётом уравнения движения (2.6.2)) равна
∂Λ d ⎛ ∂Λ ⎞
dΛ ∂Λ ∂Λ
∂Λ
∂Λ ⎧ d ⎛ ∂Λ ⎞⎫ ∂Λ
+ ⎜ q& ⎟ , (2.6.5)
=
+
q& +
q&& =
+ ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟⎬q& +
q&& =
∂q&
∂t dt ⎜⎝ ∂q& ⎟⎠
dt ∂t ∂q
∂q&
∂t ⎩ dt ⎝ ∂q& ⎠⎭

она с учётом (2.3.9) преобразуется к виду
⎞
∂Λ
d ⎛ ∂Λ
dH
.
= − ⎜⎜
q& − Λ ⎟⎟ = −
∂t
dt ⎝ ∂q&
dt
⎠

(2.6.6)

*

Лагранжиан явным образом не зависит от циклических обобщённых координат, но зависит
от их производных по времени, при этом циклический импульс сохраняется в процессе движения. В частности, цикличность времени приводит к сохранению гамильтониана, взятого с
противоположным знаком (консервативность системы). Исключение циклической скорости
из функции Лагранжа приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии и может сопровождаться появлением фиктивной кинетической энергии, зависящей от обобщённых скоростей частиц по линейному закону. Если время явным образом не входит в преобразование координат x = x ( q , t ) , то кинетическая энергия в обобщённых координатах будет однородной
квадратичной функцией обобщённых скоростей. Согласно Герцу (Герц Г. Принципы механики.
/Г.Герц. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – С. 11-15), циклические переменные описывают скрытые движения, которые не влияют на макроскопическое движение системы и не могут быть
обнаружены. Кинетическое взаимодействие между циклическими и нециклическими переменными проявляется в виде гироскопических сил. Отметим, что нециклические аргументы проявляются в макроскопическом движении в виде полигенных сил (напр., в виде силы трения).
66

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Если функция Лагранжа не зависит явным образом от времени
(

∂Λ
= 0 ), т.е. время является циклической координатой, то гамильто∂t

ниан H (в большинстве случаев и полная механическая энергия системы) сохраняется. Таким образом, метод Эйлера-Лагранжа не учитывает не только наличие циклических координат и соответствующие
им интегралы движения, он также игнорирует существование в природе гироскопических и диссипативных сил.
Гироскопические силы появляются в динамической системе при
её вращении, создают гироскопический момент, откуда и возникло
их название. К ним относятся, например, инерционная сила Кориолиса
F K = −2 m [ω × q& r ] ( m – масса частицы, ω – угловая скорость, q& r – относительная скорость; понятие «сила инерции» было введено И. Кеплером) и гироскопическая часть электромагнитной силы Лоренца
e
F L = [q& × H ] ( e – заряд частицы, c – скорость света, H = rot A – наc
пряжённость магнитного поля, A (q ) – векторный потенциал). Потен-

циальная энергия U g (q, q& ) гироскопической силы, которая не разрушает консервативности динамической системы, является однородной*
линейной функцией обобщённой скорости
U g ( q , q& ) = A( q ) ⋅ q& .
(2.6.7)
Она добавляется к потенциальной энергии U системы и удовлетворяет уравнению (2.6.2), при этом обобщённый импульс частицы является линейной функцией скорости.
Действительная работа гироскопической силы
Fg = rot A(q ) × q&
(2.6.8)
всегда равна нулю. Это означает, что вращение не вызывает рассеяния
энергии, т.е. мощность гироскопических сил также равна нулю. Следовательно, гироскопические силы (наряду с другими силами) участвуют только в формировании траектории движения системы, но не
участвуют в создании каналов диссипации энергии в неконсерва*

Согласно Эйлеру, функция f ( q , q& ) называется однородной функцией порядка m, если выпол-

няется равенство f ( λ q , λ q& ) = λ m f ( q , q& ) , при λ > 0 .
67

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

тивных объектах.
Наличие в системе диссипативных сил (например, силы трения;
понятие «диссипативная сила» было введено в физику У. Томсоном
(лордом Кельвином)) приводит к разрушению свойства консервативности механической системы и к обмену энергией с внешней
средой, т.е. в данном случае гамильтониан динамической системы
не является интегралом движения и изменяется с течением времени.
Например, диссипативную силу для изотропной среды (тензор коэффициентов диссипации α ij ( q ) = α ( q )δ ij , где δ ij − символ Кронекера,
см. формулу (1.2.12)) при ламинарном (тело имеет малый размер и
движется с малой скоростью, что приводит к подавлению завихрений в вязкой среде) перемещении динамической системы или силу
Стокса
FD = −

∂ R ( q , q& )
= − α ( q ) q&
∂ q&

(2.6.9)

учитывают в правой части уравнения (2.6.2) при использовании диссипативной функции Рэлея R ( q , q& )
2 R ( q , q& ) = α ( q ) q& 2 = − F D ⋅ q& ,

(2.6.10)
(выше указано, что мощность гироскопических сил равна нулю*) при
этом скорость изменения гамильтониана склерономной системы (на
систему наложены связи, которые явно не зависят от времени) при условии независимости в явном виде от времени потенциальной энергии
системы определяется формулой
dE
= − 2 R ( q , q& ) .
dt

(2.6.11)

При диссипации происходит убыль полной энергии ( dE dt < 0 ),
поэтому для таких объектов функция Рэлея является положительно
определённой квадратичной формой обобщённых скоростей ( FD ⋅q& < 0,
сильная диссипация). В системах с частичной диссипацией функция
*

&
Если на систему действуют потенциальные ( F1 ( q , q& , t ) = − ∂ U ( q , q , t ) ) и непотенциальные
∂q

&
⎛
⎞
силы ( F 2 ( q , q& , t ) = d ⎜ ∂ U ( q , q , t ) ⎟ , см. формулу (2.3.4)), то функция Рэлея определяется
⎜
⎟
dt ⎝
∂ q&
⎠
мощностью непотенциальных сил − 2 R (q, q& ) = F2 ⋅ q& < 0 .
68

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Рэлея может обращаться в нуль даже тогда, когда какие-либо обобщённые скорости составляющих систему компонентов отличны от
нуля, тогда говорят, что диссипация слабая, когда выполняется нестрогое неравенство

dE
*
≤ − 2 R ( q , q& ) .
dt

Для последовательного учёта диссипации энергии (неконсервативные системы) используют метод зеркальных объектов. В нём совместно с заданной системой, которая теряет энергию, рассматривают
сопряжённую к ней систему с отрицательной диссипацией, т.е. эта
система поглощает энергию, отданную во внешнюю среду исследуемой системой. Рассмотрим метод зеркальных объектов на примере одномерного затухающего осциллятора, поведение которого описывается уравнением
m q&& + α q& + kq = 0 ,
(2.6.12)
где m – масса колеблющейся частицы, α – коэффициент сопротивления среды (коэффициент затухания колебаний), k – коэффициент упругости пружины. Предположим, что существует зеркально сопряжённый к исходному осциллятору другой такой же осциллятор, который поглощает энергию, рассеянную первой системой. Другими
словами, для зеркального осциллятора материальная частица совершает нарастающие колебания в среде с отрицательным сопротивлением. Положение колеблющейся частицы для второго осциллятора
будем задавать обобщённой координатой q1 и формально запишем
*

Для склерономных (на систему наложены связи, которые явно не зависят от времени) систем

уравнение имеет вид: dE = −2 R ( q , q& ) + ∂U . При движении произвольной голономной (на сисdt

∂t

тему наложены геометрические связи, которые не зависят явно от скорости движения) системы
теорема о диссипации полной механической энергии утверждает, что скорость диссипации
2

d ( K 0 + K 1 ) ∂K ∂U , где
dE
1 ⎛ ∂r ⎞
= − 2 R ( q , q& ) +
−
+
K 0 = m ⎜ ⎟ – однородная функция обоб∂t
dt
dt
∂t
2 ⎝ ∂t ⎠
щённой скорости нулевой степени, K 1 = m ∂ r ∂ r q& – однородная функция обобщённой скорос∂q ∂t
ти первой степени, m – масса частицы, r – радиус-вектор, определяющий положение частицы
2

в евклидовом пространстве, K = K2 + K1 + K0 – кинетическая энергия частицы, K 2 = m⎛⎜ ∂r ⎞⎟ q& 2
⎜ ∂q ⎟
⎝ ⎠
– однородная функция обобщённой скорости второй степени.
69

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

лагранжиан объединённой системы в виде
Λ = m q& q&1 −

1
α ( q1 q& − q q&1 ) − kqq 1 *.
2

(2.6.13)

Воспользовавшись формулами (2.6.3), найдём обобщённые импульсы p ( p1 ) и силы F ( F1 ) осцилляторов:
p=

F =

1
∂Λ
= m q&1 − α q1 ,
2
∂ q&

∂Λ 1
= α q&1 − kq 1 ,
∂q
2

p1 =

1
∂Λ
= m q& + α q ;
2
∂ q&1

(2.6.14)

F1 =

1
∂Λ
= − α q& − kq .
2
∂ q1

(2.6.15)

Подставив выражения (2.6.14) и (2.6.15) в уравнение (2.6.2), получим
два уравнения вида (2.6.12) для исходного и зеркально отображённого
по трению осцилляторов
⎧ m q&& + α q& + kq = 0
.
⎨
⎩ m q&&1 − α q& 1 + kq 1 = 0

(2.6.16)

Из второго уравнения (2.6.16) видно, что колебания зеркального осциллятора будут возрастать по амплитуде (перед коэффициентом α
стоит знак минус) также быстро, как убывают по амплитуде колебания исходного осциллятора. Это означает, что гамильтониан системы в целом
H = p q& + p 1 q& 1 − Λ = m q& q& 1 + kqq 1 .
(2.6.17)
будет интегралом движения (инвариантом). Таким образом, предложенный искусственный приём позволяет в рамках теории Эйлера-Лагранжа учесть диссипативные силы.

2.7. Консервативность и инварианты движения
Используя определения (2.6.3), перепишем (2.6.1) в виде
t2
⎞
⎛ ∂Λ
∂Λ
δ S = ∫ ⎜⎜
δq +
δ q& ⎟⎟ dt = ∫ ( F δ q + p δ q& ) dt .
∂ q&
t1 ⎝ ∂ q
t1
⎠
t2

(2.7.1)

Воспользуемся преобразованием Лежандра (2.3.9-12):
*

Преобразование Лежандра (см. рис. 2.8 и 2.9) приводит к «зеркальности» потенциальной
энергии, т.е. отвечает смене устойчивого равновесия неустойчивым. Дуальность по силе трения приводит к возникновению энергетической перекачки от исходного объекта к зеркально
сопряжённой системе.
70

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

δ Φ = F δ q − δ ( −U ) = δ A − δ ( −U ) , δ H = p δ q& − δ Λ ,

где F =

(2.7.2)

∂ (δ Λ )
∂ ( −δ U )
, p=
; однородная, сопряжённая, потенциальная
∂ (δq )
∂ (δ q& )

функция Φ (F ) зависит от обобщённой силы F ; δ A = F δ q – вариация
работы, совершаемой реальными силами F на виртуальном смещении
δ q , т.е.
δ Φ ( F ) = q δ F = q δ p& , q =

∂Φ
.
∂ p&

(2.7.3)

Тогда выражение (2.7.1) примет вид
t2

t2

t1

t1

δ S = ∫ ( δ Φ − δ U + δ H + δ Λ ) dt = ∫ δ Λ dt ,

(2.7.4)

т.е. вариация полной механической энергии δ H динамической системы будет равна
δH = δU − δΦ .
(2.7.5)
С другой стороны, вариация гамильтониана равна δH = δU + δK , поэтому
δ K = −δ Φ .
(2.7.6)
По теории Гамильтона уравнения движения классической частицы определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка:
∂H
∂H
⎧
&
&
p
=
−
;
q
=
⎪⎪
∂q
∂p
.
⎨
dH
∂
H
∂
Λ
⎪
⎪⎩ dt = ∂ t = − ∂ t

(2.7.7)

Если гамильтониан не зависит явно от времени, то в процессе движения он сохраняется, т.е. является интегралом движения, при этом
изображающая точка в конфигурационном пространстве движется
по изоэнергетической поверхности. Гамильтониан является сопряжённой переменной по отношению к инверсированному времени, т.е. к (−
t). Это означает, что замена времени t на обратное время (− t), не меняет вида уравнений (2.7.7), что указывает на однородность времени и
наличие соответствующего этому свойству интеграла движения (гамильтониана). Динамическая система с неизменной общей механической энергией называется консервативной.
71

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Наиболее эффективным методом решения системы уравнений
(2.7.7) является поиск таких преобразований координат конфигурационного пространства, которые приводят задачу к решению более простых уравнений. Например, первая пара уравнений системы (2.7.7) при
переходе в область комплексных функций по формулам z =
z∗ =

1
2

(q − ip) принимает более простой вид i

1
(q + ip) и
2

dz
∂H
=
. Отметим, что
dt
∂z ∗

преобразования, при которых остаётся инвариантным лагранжиан
системы, приводят к инвариантности уравнений движения.
Для консервативной системы функция Гамильтона постоянна
( δH = 0 − закон сохранения механической энергии), следовательно, виртуальное изменение силового потенциала δ Φ совпадает с виртуальным
изменением потенциальной энергии δU системы, а по (2.7.6) с учётом
выражения для вариации гамильтониана – ( δU = −δK ). Это равенство
означает, что убыль потенциальной энергии компенсируется увеличением кинетической энергии. Увеличение (убыль) потенциальной энергии в какой-либо точке траектории приводит к уменьшению (росту)
кинетической энергии частицы, а, следовательно, к изменению её скорости перемещения по траектории. Это, в свою очередь, приведёт к
возрастанию (уменьшению) времени движения, т.е. время должно быть
варьируемой величиной (неизохронная вариация). Возникшее противоречие снимается законом варьированного действия.
Рассмотрим подынтегральное выражение в формуле (2.7.1) для
случая вращательного движения, когда происходит поворот на угол
δϕ , тогда
F δ q + p δ q& = p& ( δϕ × q ) + p ( δ ϕ × q& ) =
= δ ϕ ( q × p& + q& × p ) = δ ϕ

d (q × p )
dL ,
= δϕ
dt
dt

(2.7.7)

где L – обобщённый момент импульса. Таким образом, закон стационарного действия для вращательного движения сводится к сохранению момента импульса. Законы сохранения импульса и энергии являются следствием однородности пространства-времени при сдвиге в
пространстве и во времени соответственно. Изотропность простран72

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

ства-времени обеспечивает сохранение скорости движения центра
масс при равномерном поступательном движении и момента импульса при пространственном повороте.
В этой связи имеет место
•→
E = K + U = const
p = const
L = [ r × p ] = const

Теорема Нётер: для физической системы, дифференциальные уравнения движения которой могут быть получены из вариационного принципа,
каждому непрерывному однопараметрическому
преобразованию, оставляющему неизменным
(инвариантным) действие, соответствует закон
сохранения.

Помимо указанных сохраняющихся величин существуют и другие выражения, которые не изменяют своего вида при канонических
преобразованиях. К ним относятся интегральные инварианты: для закона переменного действия существует инвариант А. Пуанкаре
I1 =

∫ p δq

C

– относительный (универсальный) интегральный инвариант первого
порядка, который не зависит от гамильтониана системы; для закона
варьированного действия – интегральный инвариант Пуанкаре-Картана
I 1∗ =

∫ pδq − H δt

C

(здесь время играет роль дополнительной обобщённой координаты, а
гамильтониан с отрицательным знаком – роль соответствующего ей
обобщённого импульса). Постоянство во времени инварианта Пуанкаре обеспечивает нулевое значение вариации гамильтониана, т.е. консервативность системы, а сохранение инварианта Пуанкаре-Картана – неизменность интенсивности вихревой трубки фазовой жидкости. Абсолютный интегральный инвариант
I2 =

∫∫ δ p δ q
D

описывает неизменность фазового объёма (теорема Лиувилля) механической системы при движении (канонических преобразованиях).
73

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Помимо этих инвариантов существуют другие относительные и абсолютные интегральные инварианты, которые представляют интерес для узкого круга специалистов.
Подход Эйлера позволил заменить решение механической задачи в пространстве Евклида на отыскание экстремальной линии, соединяющей начальную и конечную точки в конфигурационном пространстве Гиббса, которое в общем случае описывается геометрией Римана. Сформулированные разными исследователями вариационные
принципы аналитической механики являются информационными кодами, содержащими в свёрнутом виде определённый массив знаний.
Необходимо различать 3 различных вариации механического действия:
1) стационарное
⎧ δ q ( t1 , α ) = 0 , δ q ( t 2 , α ) = 0
,
⎨
δ t 2 (α ) = 0
⎩ δ t1 (α ) = 0 ,

(2.7.8)

при этом вариация действия равна нулю δ S = 0 ;
2) переменное
⎧ δ q ( t1 , α ) ≠ 0 , δ q ( t 2 , α ) ≠ 0
;
⎨
(
)
=
0
,
(
)
=
0
δ
t
α
δ
t
α
⎩ 1
2

(2.7.9)

при этом вариация действия определяется формулой
t
δS = pδq t ≠ 0 ;
2

1

3) варьированное
⎧ δ q ( t1 , α ) ≠ 0 , δ q ( t 2 , α ) ≠ 0
,
⎨
δ t 2 (α ) ≠ 0
⎩ δ t1 (α ) ≠ 0 ,

(2.7.10)

при этом вариация действия равна
δS = Λ δt

t2
t1

t2

+ ∫ δ Λ dt

(2.7.11)

t1

(варьирование под знаком интеграла является изохронным). Изохронное варьирование и учёт выполнимости уравнения Эйлера-Лагранжа (2.6.2) переводят формулу (2.7.11) в равенство
t
δS = ( pδq − H δt) t ≠ 0 .
2

1

Следовательно, до вычисления вариации действия (или другого функционала) необходимо задать способ варьирования обобщённых аргументов, который определит вид механического действия.
74

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

2.8. Разновидности механики
Для описания состояния механической системы достаточно использовать время t , обобщённую координату q(t ) и обобщённую скорость q& (t ) (а также другие аргументы: гамильтониан H, обобщённый
импульс p и обобщённую силу p& ). В механике Лагранжа мгновенная
скорость изменения действия определяется лагранжианом Λ (2.3.2),
который назовём варьируемой функцией. Функция Лагранжа Λ связана преобразованием Лежандра (2.3.9) с гамильтонианом H, который
определяет локальную скорость изменения действия (2.3.13). Полная
механическая энергия H динамической системы также может быть
варьируемой функцией для другого свойства динамической системы,
отличного от действия. Поэтому исследуем возможность существования отличных от лагранжиана Λ и гамильтониана H варьируемых
функций, которые сопряжены с ними, имеют другие аргументы и определяют уравнения движения динамической системы.
Используя преобразование Лежандра, определим новые варьируемые функции (табл. 2.2), число которых равно числу сочетаний по
два из четырёх C 42 допустимых аргументов ( q, q&, p, p& ) (время t не варьируется): C 42 =

4!
= 6 . Из табл. 2.2 видно, что варьируемые функ2!( 4 − 2)!

ции образуют пары по своим аргументам: Λ- Q , H- J , G- I , так как частные производные от одной функции по своим аргументам приводят к
аргументам другой функции, входящей в пару. Из полученных выражений видно, что для построения аналитической механики достаточно первых производных по времени от обобщённых координат и импульсов. Варьируемые функции Λ, H, J и Q связаны между собой соотношениями:
⎧ H ( q , p , t ) = q& p − Λ ( q , q& , t )
⎪
⎨ J ( q& , p& , t ) = qp& − Λ ( q , q& , t ) = q p& + q& p − H ( q , p , t ) = − q& p + Q ( p , p& , t ) .(2.8.1)
⎪Q ( p , p& , t ) = qp& + q& p − Λ ( q , q& , t ) = qp& + H ( q , p , t ) = q& p + J ( q& , p& , t )
⎩

Из формул (2.8.1) следует, что возможны альтернативные формули75

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Таблица 2.2.
Вариаторы, их аргументы и сопряжение с лагранжианом
№
п/п

Варьируемые
функции

Аргументы

1.

Лагранжиан Λ

q , q&

2.

Гамильтониан H

q, p

3.
4.

G
I

q , p&
q& , p

5.

J

q& , p&

6.

Q

p , p&

Частные производные

∂Λ
∂Λ
= p& ,
= p
∂q
∂ q&
∂H
∂H
= − p& ,
= q&
∂q
∂p
не сопряжён
не сопряжён
∂J
∂J
= −p,
= q
∂ q&
∂ p&
∂Q
∂Q
= q
= q& ,
∂ p&
∂p

ровки вариационных принципов и иной вид уравнений движения, которые взаимно дополняют друг друга.
В гамильтоновом пространстве ( q , p , t ) перепишем равенство (2.
3.2) в виде
dS
dS
dT
= Λ = pq& − H ⇒
− pq& = −
= −H ,
(2.8.2)
dt
dt
dt
где новый вариационный функционал T (q, p, t ) определяет новое свой-

ство динамической системы, которое назовём консервативностью, а
вариационный принцип перепишем в виде: движение динамической
системы вдоль истинной траектории сопровождается экстремальной консервативностью системы. Выразив консервативность T из
равенства (2.8.2) через определённый интеграл по времени от гамильтониана H и вычислив её первую вариацию с учётом равенств второй
строки табл. 2.2, получим уравнение Эйлера в виде (обобщённый импульс p ( t , q , q& ) =

∂ Λ ( t , q , q& )
зависит от обобщённой координаты q и
∂ q&

скорости её изменения q& ):
d
dt

∂p
⎛ ∂p ⎞
∂p
δq
⎜⎜ q&
⎟⎟ − q&
+ p& = 0 , q&
&
∂
q
&
∂
∂
q
q
⎝
⎠

t2

= 0.
t1

Если обозначить силу инерции (силу Д'Аламбера)
76

(2.8.3)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

FD =

d
dt

⎛ ∂p ⎞
∂p
⎜⎜ q&
⎟⎟ − q&
,
&
∂
q
∂
q
⎝
⎠

(2.8.4)

то уравнение (2.8.3) можно трактовать как третий закон Ньютона: сила противодействия ( FD ) равна по величине силе действия ( p& ) и противоположна ей по направлению. Если обобщённый импульс p зависит от обобщённой скорости q& по линейному закону (напр., в случае
гироскопического потенциала (2.8.5))
p = a ( q ) q& + b ( q ) ,
(2.8.5)
то сила Д'Аламбера имеет вид
FD = a ( q ) q&& −

db ( q )
q& = a ( q ) q&& + FS .
dq

(2.8.6)

Формула (2.8.4) показывает, что вязкое трение (закон Стокса: сила
сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости движения FS = −κ q& , κ =

db ( q )
– коэффициент трения) увеличивает силу
dq

инерции при влажном скольжении ( κ < 0 ) и уменьшает её – при сухом сопротивлении ( κ > 0 ). Формулы (2.8.5) и (2.8.6) описывают движение тел с малыми размерами и скоростями перемещения, т.е. консервативность достигает экстремума при наличии вязкого трения
только для малоподвижных систем с малой скоростью перемещения
(ламинарное движение). Если обобщённый импульс p не зависит от
обобщённой координаты q , то сила Стокса FS равна нулю.
Экстремальные функционалы и их варьируемые функции L , H, J
и Q представлены в табл. 2.3. Если в строке 3 табл. 2.3 обозначить через
P=

∂p d ⎛ ∂J ⎞ ∂p
⎟=
⎜
q&
∂ q& dt ⎜⎝ ∂ p& ⎟⎠ ∂ q&

(2.8.7)

импульс отдачи (инерции) при движении, то уравнение Эйлера будет
отображать интегральную формулировку третьего закона Ньютона:
импульс действия p равен по величине импульсу противодействия P и
противоположен ему по направлению. С учётом последней строки
табл. 2.3 уравнение движения с варьируемой функцией Q (строка 4,
табл. 2.3) превращается в тождество. Из проведенного анализа видно,
77

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 2

Таблица 2.3.
Экстремальные функционалы, уравнения движения и граничные условия
№
п/п

Функционал,
варьируемые функции

1.

Действие S ,
лагранжиан Λ

2.

Консервативность T ,
гамильтониан H

3.

4.

Функционал
U = qp + T , J
Функционал
V = qp − S , Q

Уравнение движения
d
dt
d
dt

⎛ ∂Λ
⎜⎜
⎝ ∂ q&

⎞ ∂Λ
⎟⎟ −
=0
⎠ ∂q

⎛ ∂H ∂p ⎞ ∂H ∂p ∂H
⎜⎜
⎟⎟ −
−
=0
⎝ ∂ p ∂ q& ⎠ ∂ p ∂ q ∂ q

∂p d ⎛ ∂J
⎜
∂ q& dt ⎜⎝ ∂ p&

d
dt

⎛ ∂Q
⎜⎜
⎝ ∂ p&

⎞ ∂J
⎟⎟ −
= 0
⎠ ∂ q&

⎞ ∂Q
= 0
⎟⎟ −
∂p
⎠

Граничные условия
∂Λ t2
δq = 0
∂q t1
δ q ( t1 ) = δ q ( t 2 ) = 0
t2

∂H ∂p
δq = 0
∂ p ∂ q&
t
1

δ q ( t1 ) = δ q ( t 2 ) = 0
∂J
δp
∂ p&

t2

= 0
t1

δ p ( t1 ) = δ p ( t 2 ) = 0
∂Q
δp
∂ p&

t2

= 0
t1

δ p ( t1 ) = δ p ( t 2 ) = 0

что указанные пары образуют совокупность варьируемых функций,
определяющих разновидности аналитической механики.
Пара варьируемых функций G- I , не сопряжённых с лагранжианом Λ , связаны между собой преобразованием Лежандра вида:
G ( q , p& ) = qq& + pp& − I ( q& , p ) ,
(2.8.8)
причём их частные производные по своим аргументам равны
∂G
∂G
∂I
∂I
= q& ,
= p;
= q,
= p& ,
∂q
∂p
∂ q&
∂ p&

(2.8.9)

соответственно (иное сопряжение аргументов при возврате к размерным величинам приводит к несовпадению размерностей произведений
независимых переменных). Соотношение (37) перепишем в виде
G ( q , p& ) =

dH 0
− I ( q& , p ) ,
dt

(2.8.10)

здесь H0 (q, p) = (q2 + p2 ) / 2 – гамильтониан обобщённого линейного осциллятора с единичными значениями коэффициента упругости и массы. При учёте формулы для изменения энергии диссипативной системы равенство (2.8.10) переходит (для склерономных систем с явной
зависимостью потенциальной энергии от времени) в выражение
G (q, p& ) = −2 R (q, q& , t ) +

∂U (q, q& , t )
− I (q& , p ) ,
∂t

78

(2.8.11)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

Глава 3. Вращение. Потенциальные поля. Траектории

Истина любит действовать открыто
В. Шекспир

Изучение движения материальных точек и их систем является
предметом динамики. Она решает две основные задачи: первая (прямая) – задан закон движения, требуется найти силы, действующие на
материальную точку или их совокупность; вторая (обратная) – заданы
силы, требуется найти закон движения. Под материальной системой
понимают совокупность конечного числа материальных точек, движения которых взаимосвязаны. При исследовании перемещений материальной системы различают внутренние (действуют между материальными точками системы и определяются по лагранжиану задачи) и внешние (действуют на систему со стороны окружающей среды и задаются дополнительными функциями) силы. Если система не обменивается
со средой материальными частицами и энергией, то её называют изолированной (консервативной). При обмене со средой только энергией
систему называют закрытой, а процесс обмена энергией – диссипацией. Системы, кинетическая энергия которых зависит только от обобщённых координат и скоростей, а потенциальная энергия – только от
обобщённых координат, называют натуральными. При отсутствии
внешних сил механическую систему называют замкнутой. В зависимости от типа связей, наложенных на движение материальных точек,
выделяют склерономные, реономные, голономные и неголономные системы (см. пункт 2.1).
Рассмотрим склерономные диссипативные системы:
а) консервативная (все действующие на систему силы потенциальные, причём потенциальная энергия системы U (q) не зависит явно от
времени). В этом случае полная механическая энергия динамической
системы E = K(q&) + U (q) сохраняется при любом движении, т.е. является инвариантом движения и удовлетворяет уравнению:
79

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

dE
= 0;
dt

(3.1)

б) диссипативная (на динамическую систему действуют непотенциальные силы F2 ( q , q& , t ) =

d ⎛ ∂U ( q , q& , t ) ⎞
⎟⎟ , причём потенциальная энергия
⎜
∂q&
dt ⎜⎝
⎠

системы U не зависит явно от времени; незамкнутая система). Для такой динамической системы скорость изменения полной механической
энергии определяется мощностью непотенциальных сил Fi 2 :
dE
=
dt

∑ Fi 2 q& i ;

(3.2)

i

в) диссипативная (присутствуют непотенциальные силы Fi 2 , причём
потенциальная энергия системы U зависит явно от времени; незамкнутая система). Для такой динамической системы скорость изменения
полной механической энергии определяется мощностью непотенциальных сил Fi 2 и локальной скоростью изменения потенциальной
энергии:
∂U ( q , t )
dE
= ∑ Fi 2 q& i +
.
i
∂t
dt

(3.3)

При движении произвольной голономной системы теорема о диссипации полной механической энергии утверждает, что скорость диссипации
dE
d ( K 0 + K1 ) ∂K ∂U
= −2 R ( q, q& ) +
−
+
,
(3.4)
dt
∂t
dt
∂t
2

1
∂r
где K 0 = m ⎛⎜ ⎞⎟ – однородная функция обобщённой скорости нуле2 ⎝ ∂t ⎠

вой степени, K 1 = m

∂r ∂r
q& – однородная функция обобщённой ско∂q ∂t

рости первой степени, m – масса частицы, r – радиус-вектор, определяющий положение частицы в пространстве Евклида, K = K0 + K1 + K2
2

⎛ ∂r ⎞
– кинетическая энергия частицы, K 2 = m ⎜⎜ ⎟⎟ q& 2 – однородная функ⎝ ∂q ⎠

ция обобщённой скорости второй степени.
Таким образом, характерным признаком незамкнутых динами80

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

ческих систем является диссипация полной механической энергии.
Отличительной чертой замкнутых систем является наличие законов
сохранения энергии, импульса, момента импульса и других инвариантов.

3.1. Свободная частица
Если материальная точка движется в замкнутой системе, то на неё
не действуют никакие внешние силы, а её единственность обеспечивает отсутствие внутренних сил. Поэтому такая точка называется свободной частицей. По причине изолированности системы энергия частицы
не изменяется с течением времени (см. формулу (3.1)). Так как на частицу не действуют никакие силы, то она находится в состоянии покоя,
или движется равномерно и прямолинейно согласно первому закону
механики, т.е. по закону инерции (см. пункт 1.6). В этом случае пространство и время однородны, а функция Лагранжа не зависит от радиус-вектора частицы r и времени t, которые являются циклическими
координатами. В силу изотропности пространства функция Лагранжа
не будет зависеть и от направления скорости движения v. Таким образом, функция Лагранжа свободной частицы является функцией только от квадрата скорости v2, т.е.
Λ = Λ (v 2 ) .
(3.1.1)
По уравнению Лагранжа (2.6.2) с учётом первого равенства (2.6.3) получаем равенство (2.6.4)
d ⎛ ∂Λ ⎞
dp
= 0 ⇒ p = const ⇒ v = const .
⎜
⎟=0 ⇒
dt ⎝ ∂v ⎠
dt

(3.1.2)

В другой инерциальной системе движение свободной частицы также
будет происходить с постоянной скоростью в соответствии с принципом Галилея (первым законом механики Ньютона, см. пункт 1.6).
Установим вид функции Лагранжа, для чего рассмотрим движение свободной частицы в двух инерциальных системах отсчёта K и K′ .
Пусть система координат K ′ осуществляет сдвиг на встречных направлениях относительно K с бесконечно малой скоростью Vε . Тогда скорость частицы в системе K ′ равна (см. формулу (1.6.4))
81

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

v ′ = v + Vε .

(3.1.3)
Так как по первому закону механики Ньютона (см. пункт 1.6) уравнения движения не должны измениться при таком преобразовании, то
функция Лагранжа в системе K ′ может отличаться от такой же функции в системе K на функцию, которая зависит только от времени (см.
формулу (2.5.2)), или на величину полной производной по времени от
произвольной функции координат и времени (см. формулу (2.5.3)). В
системе K ′ функция Лагранжа равна
Λ ′( v ′ 2 ) = Λ ′(( v + V ε ) 2 ) = Λ ′( v 2 + 2 v ⋅ V ε + Vε2 ) .
(3.1.4)
Разложим функцию (3.1.3) в ряд Маклорена по бесконечно малой величине Vε и сохраним в разложение первые два члена ряда:
∂Λ (v 2 )
Λ ′( v ′ ) = Λ ( v ) +
2 v ⋅ Vε .
∂v 2
2

2

(3.1.5)

Если второй член разложения в ряд зависит от скорости v линейно,
то он представляет собой полную производную по времени. Производная
p = mv =

∂Λ (v 2 ) ∂Λ (v 2 ) dv 2 ∂Λ (v 2 ) 2vdv ∂Λ (v 2 )
=
=
2v .
=
∂v
∂v 2 dv
∂v 2
dv
∂v 2

(3.1.6)

Из (3.1.6) следует, что
∂Λ (v 2 ) m
=
∂v 2
2

(3.1.7)

(m – масса частицы), т.е. функция Лагранжа Λ(v2 ) для свободной частицы равна её кинетической энергии K (v)
mv 2
Λ (v ) =
= K (v ) .
2
2

(3.1.8)

По уравнению (2.5.7) вторая вариация действия
⎛ ∂ 2Λ
∂ 2Λ
∂ 2Λ
2
2 ⎞
&
&
⎟⎟ dt =
δ S = ∫ ⎜⎜
(
δ
q
)
2
δ
q
δ
q
+
(
δ
q
)
+
2
∂ q ∂ q&
∂ q& 2
t1 ⎝ ∂ q
⎠
2

t2

t2
∂ 2Λ
∂ ⎛ ∂Λ
2
( δ q& ) dt = ∫
= ∫
⎜
2
&
& ⎜⎝ ∂ q&
t1 ∂ q
t1 ∂ q
t2

t2

t2
⎞
∂p
2
( δ q& ) 2 dt = , (3.1.9)
⎟⎟ ( δ q& ) dt = ∫
&
t1 ∂ q
⎠

t2

δq 2

t1

δ q1

= ∫ m ( δ q& ) dt = m ∫ δ q& δ q& dt = m ∫ δ q& d ( δ q )
t1

2

По пункту 2.7 вторая вариация действия для свободной частицы будет отлична от нулю в случаях переменного и варьированного дейст82

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

вий. Если масса частицы является положительной величиной (m > 0),
то действие минимально и движение происходит по экстремали.
Обозначим через dl элемент дуги траектории движения, тогда её
квадрат равен в (см. также пункт 1.5):
1) декартовой системе координат
(dl ) 2 = (dx ) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 ;
(3.1.10)
2) цилиндрической системе координат
(dl ) 2 = (dr ) 2 + (rdϕ ) 2 + (dz ) 2 ;
(3.1.11)
3) сферической системе координат
(dl ) 2 = (dr ) 2 + (rdθ ) 2 + (r sin θ dϕ ) 2 .
(3.1.12)
Так квадрат скорости движения свободной частицы равен
2

⎛ dl ⎞
v =⎜ ⎟ ,
⎝ dt ⎠
2

(3.1.13)

что позволяет записать выражения для функций Лагранжа в указанных системах криволинейных координат:
m( r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θ ϕ& 2 )
m (r& 2 + r 2ϕ& 2 + z& 2 )
; 3) Λ =
. (3.1.14)
2) Λ =
2
2

3.2. Основной закон динамики вращательного движения
Равномерное движение по окружности – это движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит
равные отрезки дуги окружности, т.е. точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. В этом случае скорость равна отношению дуги окружности dl = rdϕ ,
dl
пройденной точкой, ко времени движения
aτ
v
a
r
n
dt (рис. 3.1)
dϕ
α a
r

v=

O

dl rdϕ
=
= rω , v = rω
dt
dt

(3.2.1)

где ω − модуль угловой скорости. Если
точка обращается по окружности за пеРис. 3.1. Вращательное движе- риод T, то угловую скорость ω вычисляние точки под действием силы ют по формуле (ν = 1/T – частота обращеF
ния)
v

83

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

ω=

2π
= 2πν .
T

(3.2.2)

Скорость точки v направлена в каждый момент времени по касательной к окружности (рис. 3.1) и называется линейной. Она не изменяется
по величине, но меняется по направлению. Равномерное движение
точки по окружности является движением с ускорением, которое направлено к центру окружности, называется центростремительным
(нормальным), обозначается a n и его модуль вычисляется по формуле
v2
an = = ω 2 r , a n = −ω 2 r .
(3.2.3)
r
Моментом импульса Lp называют величину, полученную путём

векторного произведения радиус-вектора r на импульс p (рис. 3.2),
т.е.
L p = [ r × p] .
(3.2.4)
z
r

Lp

r

Введём вектор поворота на малый угол δϕ
относительно некоторой оси (рис. 3.2). Его
r
направление определяется по правилу праO
y
вого винта: вектор показывает поступаr
δϕ
тельное перемещение винта при его закруx
чивании. Этот поворот приводит к изменеРис. 3.2. Определение момента нию радиус-вектора
r
импульса L при вращении по
δr = [ r × δϕ ]
(3.2.5)
окружности
и скорости движения
δϕ

p

δv =

r
d
δr = [ v × δϕ ]
dt

(3.2.6)

Равнозначность всех направлений пространства (изотропия) означает
неизменность функции Лагранжа при поворотах, т.е. (в процессе вывода использовано уравнение (2.6.2))
d ⎛ ∂Λ ⎞
∂Λ d
⎛ ∂Λ ⎞
(δ r ) =
δr ⎟ =
⎜
⎟δ r +
⎜
dt ⎝ ∂ v
∂ v dt
⎠
⎝ ∂v ⎠
r d ⎛
d ⎛ r ∂Λ
∂Λ ⎞
⎞
] ⎟ = (3.2.7)
× r ] ⎟ = −δ ϕ ⋅ ⎜ [ r ×
⎜ δϕ ⋅ [
dt ⎝
dt ⎝
∂v ⎠
∂v
⎠
dL p
r d
r dL p
= − δ ϕ ⋅ ([ r × p ] ) = − δ ϕ ⋅
=0 ⇒
= 0 ⇒ L p = const .
dt
dt
dt

∂Λ
∂Λ
δr +
δv =
∂v
∂r
r ⎞
d ⎛ ∂Λ
⋅ [ r × δϕ ] ⎟ =
=
⎜
dt ⎝ ∂ v
⎠

δΛ =

d
dt

84

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

Таким образом, изотропии пространства отвечает в соответствии с
теоремой Нётер (см. пункт 2.7) закон сохранения момента импульса.
Модуль момента импульса для случая, изображённого на рис. 3.2, равен
⎛π ⎞
L p = Lz = rp sin ⎜ ⎟ = rp = mr 2ϕ& = Iω
⎝2⎠

(3.2.8)

(проекции Lx = Ly = 0 ), где величину
I = m r2

(3.2.9)

называют моментом инерции.
Пусть материальная точка движется по окружности радиуса r
под действием силы F (рис. 3.1). Обозначим через α угол между силой F = ma и радиус-вектором r. Проекцию силы F на направление,
противоположное к направлению радиус-вектора r, называют нормальной составляющей и обозначают
Fn = ma n .
(3.2.10)
Проекцию силы F на направление, перпендикулярное к направлению
радиус-вектора r, называют тангенциальной составляющей и обозначают
Fτ = maτ .
(3.2.11)
Из рис. 3.1 видно, что
Fn = F cos α , Fτ = F sin α .
(3.2.12)
Угловым ускорением называется производная по времени от угловой
скорости
ε=

dω
.
dt

(3.2.13)

Тангенциальное и угловое ускорения связаны соотношением
aτ = ε r .
(3.2.14)
Скорость изменения момента импульса (3.2.4)
dL p

d
[r × p] = [r& × p] + [ r × p& ] = [r × F ] = M .
dt
dt
= 0, т.к. r& || p
называют моментом силы M , модуль которого равен
=

M = F r sin α .

(3.2.15)
(3.2.16)

Умножим второе равенство (3.2.12) на r и учтём формулы (3.2.9) и
85

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

(3.2.14), получим
Fτ r = maτ r = mε r 2 = Iε = F r sin α = Fd = M = M , M = Iε , (3.2.17)

где параметр
d = r sin α

(3.2.18)

называют плечом силы. Уравнение
(3.2.19)
называют основным уравнением динамики вращательного движения материальной точки.
M = Iε

3.3. Перемещение объекта при силовом воздействии
Энергия – это функция состояния динамической системы, т.е.
она зависит только от состояния системы в данный момент времени и
не зависит от происходившего с системой в предыдущие моменты.
Понятие “потенциальная энергия” связано с формой системы или с
взаимным расположением взаимодействующих точек.
Если в замкнутой динамической системе присутствует потенциальное поле, то его можно представить векторным полем A, проекции
которого на координатные оси лабораторной системы отсчёта можно
выразить через частные производные от некоторой скалярной функции (потенциала) ψ
Ax =

∂ψ
∂ψ
∂ψ
, Ay =
, Az =
, A = Ax i + Ay j + Az k = ∇ψ ≡ gradψ , (3.3.1)
∂x
∂z
∂y

где ∇ − оператор Гамильтона (см. формулу (1.7.4)). В соответствии
с операторным тождеством
rot A = rot(∇ψ ) = rot(gradψ ) = [∇ × ∇ψ ] ≡ 0 ,
(3.3.2)
следовательно, по теореме Стокса циркуляция векторного поля A будет равна нулю по любой замкнутой траектории движения, полностью
лежащей внутри замкнутой системы, т.е.
(3.3.3)
∫∫ rot Ads = ∫ Adr ≡ 0 ,
S

C

Пусть материальная точка движется в силовом потенциальном
поле U (q) , тогда на неё действует сила
F = −∇U *,
86

(3.3.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

где функцию U (q) называют потенциальной энергией. Если поле является центральным, т.е. в декартовой системе координат зависит
только от расстояния между частицей и центром поля (U = U (r ) ), то
сила
F = −∇U ( r ) = −

r dU (r )
.
r dr

(3.3.5)

Отсюда следует, что по (3.2.15) скорость изменения момента импульса Lp равна нулю, величина Lp = const , а радиус-вектор r и импульс p
частицы лежат всегда в одной плоскости для случая центральных полей. По (3.3.3) работа A
A = ∫ F ⋅ dr
(3.3.6)
C

силы F по перемещению материальной точки на смещение dr вдоль
замкнутой геодезической линии будет равна нулю, т.е. для потенциальной силы
(3.3.7)
∫ F ⋅ dr ≡ 0
C

для любой замкнутой траектории (напр., окружности).
При прямолинейном (одномерном) движении частицы (например, вдоль оси Ox) лагранжиан замкнутой системы, состоящей из одной материальной точки в силовом поле, имеет вид
mx& 2
Λ ( x, x& ) = K ( x& ) − U ( x ) =
− U ( x) .
2

(3.3.8)

В этом случае не надо составлять уравнение движения (2.6.2), а можно записать первый интеграл движения, который определяет полную
энергию системы
∂Λ
mx& 2
E = x&
− Λ = mx& − [ K ( x& ) − U ( x )] =
+ U ( x ) = K ( x& ) + U ( x ) . (3.3.9)
∂x&
2

Отсюда найдём скорость движения
x& =

dx
2 [ E − U ( x )]
=±
.
dt
m

(3.3.10)

Разделив переменные и проинтегрировав обе части равенства, полу*Несмотря на внешнюю схожесть (3.3.1) и (3.3.4), не следует путать потенциал с потенциальной энергией. Например, в теории электричества приведены формулы для потенциала
ψ = kq1 / r и потенциальной энергии U = kq1q2 / r = q2ψ .
87

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

чим
t=±

m
dx
+ const .
∫
2
E − U ( x)

(3.3.11)

В силу того, что полная энергия системы превышает потенциальную
энергию на положительную величину кинетической энергии, то движение частицы происходит в тех областях пространства-времени, где
выполняется неравенство U ( x) < E .
Пусть функция U (x) имеет график, изображённый на рис. 3.3.
Согласно неравенству U ( x) < E движение частицы может происходить
только в областях I, II и III, причём в граничных точках x1, x2, x3, x4
и x5 этих областей скорость движения частицы обращается в нуль.
U (x )

I

E

x1 O

II
x2

III
x3

x4

x5

x

Рис. 3.3. График потенциальной энергии U(x) замкнутой системы

Эти точки называют точками остановки. Если область ограничена
двумя точками (напр., II или III), то говорят, что движение финитно, в
противном случае – инфинитно (частица приходит из бесконечности
или уходит на бесконечность). Финитное движение называется колебанием, так как частица периодически проходит точки области. Области финитного движения называют потенциальными ямами.

3.4. Задача двух тел. Приведенная масса. Центральное поле
Отсутствие внешних сил не исключает наличия взаимодействия
между материальными объектами внутри замкнутой системы. Взаимодействие двух тел с массами m1 и m2 будем считать центральным,
т.е. их потенциальная энергия зависит только от расстояния между материальными точками (рис. 3.4), т.е. U = U ( r1 − r2 ) = U ( r ) = U (r) , где
r = r1 − r2
88

(3.4.1)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

радиус-вектор относительного расположения
материальных точек, модуль которого r опm2 •
r = r2 − r1 ределяет расстояние между телами. Перемеr2
щение двух тел можно представить как пос•m1
r1
тупательное движение их центра инерции
x (центра масс), положение которого опредеO
ляется из равенства
Рис. 3.4. Задача двух тел
( m1 + m2 ) R = m1r1 + m2 r2 ,
(3.4.2)
и вращения тел вокруг этого центра. Определение центра инерции (3.
4.2) является следствием аддитивности импульса системы.
Используя (3.4.1) и (3.4.2), найдём, что
y

r1 = R +

m2
m1
r , r2 = R −
r .
m1 + m2
m1 + m2

(3.4.3)

Для решения задачи двух тел поместим начало системы координат в
центр инерции, тогда R = 0 . Следовательно, функция Лагранжа определяется выражением
Λ=

µ r& 2
µ r& 2
m1r&12 m2 r&22
+
− U ( r1 − r2 ) =
−U ( r ) =
− U ( r ) , (3.4.4)
2
2
2
2

где параметр
µ=

m1m2
m1 + m2

(3.4.5)

называют приведенной массой. Выражение (3.4.4) формально совпадает с выражением для функции Лагранжа одной частицы с массой m
(3.3.8). Частица движется в потенциальном поле, симметричном относительно начала координат. Таким образом, задача двух тел сводится к решению задачи о движении одной частицы с массой µ. По известной функции r (t ) находят r1 (t ) и r2 (t ) по формулам (3.4.3). В областях финитного движения происходит вращение двух тел вокруг центра инерции.
Лагранжиан (3.4.4) описывает движение частицы с массой µ, потенциальная энергия которой зависит только от расстояния r до определённой неподвижной точки. Такое поле называют центральным.
Порождаемая полем сила зависит только от расстояния r и направлена вдоль радиус-вектора r, так как по (3.3.5)
89

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

F =−

где er =

∂U (r )
dU (r )
=−
er ,
∂r
dr

(3.4.6)

r
− единичный вектор того же направления, что и радиус-векr

тор r.
Из соотношения (3.2.7), описывающего сохранение момента импульса (3.2.4) при поворотах, следует, что радиус-вектор r всегда остаётся в одной плоскости, перпендикулярной к моменту импульса L
(рис. 3.2). Введём в этой плоскости полярную систему координат (см.
(1.1.1)) и запишем в ней функцию Лагранжа (с учётом коэффициентов Ламе (табл. 1.4))
Λ=

µ (r& 2 + r 2ϕ& 2 )
2

− U (r ) .

(3.4.7)

Выражение (3.4.7) не содержит в явном виде аргумент φ (циклическая координата), т.е. соответствующий ей обобщённый (трансверсальный) импульс при движении сохраняется
d ⎛ ∂Λ ⎞ d
∂Λ
= 0 ⇒ pϕ = µ r 2ϕ& = Iω = L p = const , (3.4.8)
⎜
⎟ = pϕ =
dt ⎝ ∂ϕ& ⎠ dt
∂ϕ

т.е. векторы r и p лежат в одной неизменной плоскости* (рис. 3.2).
Обобщённый импульс (3.4.8) описывает момент импульса при вращении частицы по окружности (3.2.8), т.е. можно переписать (3.4.7) в виде
Λ=

µ r& 2
2

+

L2p
2µ r 2

− U (r ) .

(3.4.9)

Следовательно по (3.3.10)
2
dr
2 [ E − U (r )] L p
=±
− 2 2.
r& =
dt
µ
µ r

(3.4.10)

Отсюда находим
dt = ±

dr
2 [ E − U (r )]

µ

−

L2p

,

(3.4.11)

µ 2r 2

а по (3.4.8) –
*Теорема Лапласа: При движении в центральном поле всякая траектория частицы лежит в
некоторой плоскости, проходящей через силовой центр.
90

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

dϕ =

Lp

µ r2

dt .

(3.4.12)

Подставив (3.4.11) в (3.4.12) и проинтегрировав, получим уравнение
траектории движения, выбрав в формуле (3.4.11) знак «+» для определённости,
Lp

ϕ=∫

r2

dr

2 µ [ E − U (r )] −

L2p

+ const .

(3.4.13)

r2

Следует отметить, что формула (3.4.9) сводит задачу двух тел к
радиальному одномерному движению фиктивной частицы с массой
µ в эффективном центральном поле с энергией
U эфф (r ) = U (r ) +

L2p
2µ r 2

.

(3.4.14)

Функцию L2p /(2µ r 2 ) называют цетробежной энергией. В точках остановки областей финитного движения, определяемых из уравнения
U эфф (r ) = U (r ) +

L2p
2µ r 2

= E,

(3.4.15)

угловая скорость ϕ& ≠ 0 , а радиальная − r& = 0 . В этих точках происходит смена режима возрастания функции r (t ) на её убывание или наоборот (рис. 3.5). Траектория движения лежит внутри кольца, которое ограничено концентрическими окружностями с радиусами точек остановки rmin и rmax .
Это не означает, что экстремаль должна быть
обязательно замкнутой, для этого необходимо выполнение условия
∆ϕ (t ) = 2π k ,
(3.4.16)
где k = m / n − рациональная дробь. Тогда через n повторений периода обращения радиРис. 3.5. Движение частицы ус-вектор, сделав m оборотов, вернётся в исс приведенной массой в об- ходное положение и траектория движения
ласти финитного движения замкнётся. По теореме Бертрана (1873) финитное перемещение возможно только тогда,
когда потенциальная энергия частицы пропорциональна 1 / r (поле Ку91

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

лона: притяжение или отталкивание) или r 2 (пространственный осциллятор).
Наличие в выражении (3.4.14) центробежной энергии делает невозможным приближение частицы к центру поля при уменьшении
радиус-вектора до тривиального значения ( r → 0 ), так как она возрастает до бесконечно большого значения, как 1 / r 2 . Для достижения частицей центра поля необходимо быстрое стремление потенциальной
энергии U (r ) к значению − ∞ , т.е. должно выполняться условие
lim [ r U ( r )] < −
2

r →0

L2p

.

2µ

(3.4.17)

Это происходит тогда, когда
⎧− α / r 2 , α > L2p /( 2 µ )
U (r ) → −∞ как ⎨
.
n
−
1
/
r
,
n
>
2
⎩

(3.4.18)

Выполнение соотношений (3.4.17) и (3.4.18) позволяет частице сколь
угодно близко подойти к центру поля.

3.5. Поле Кулона (поле притяжения или отталкивания).
Задача Кеплера. «Падение» на силовой центр
I. Поле притяжения. Частица массой m находится в поле притяжения, если потенциальная энергия поля равна
U (r ) = −

α
r

, α > 0,

(3.5.1)

а эффективная потенциальная энергия –
U эфф (r ) = −

α
r

+

L2p
2m r 2

.

(3.5.2)

Особенности графика функции (3.5.2) имеют вид (рис. 3.6)
→ +∞, r → 0
⎧
⎪
L2p
mα 2
⎪ min
U эфф (r ) = ⎨U эфф = − 2 , r = rmin =
.
L
m
α
2
p
⎪
⎪
→ 0, r → +∞
⎩

(3.5.3)

Следовательно, при энергии частицы E > 0 её движение будет инфинитным, а при E < 0 − финитным. Подстановка (3.5.1) в (3.4.13) и выполнение интегрирования приводит к формуле
92

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

⎡ ( L / r ) − ( mα / L ) ⎤
p
p
⎥ + const . (3.5.4)
⎢ 2 mE + (mα / L p )2 ⎥
⎣
⎦
Выберем начало отсчёта угла ϕ , при кото-

Uэфф(r)

ϕ = arccos ⎢

ром постоянная интегрирования равна нулю
( const = 0 ) и введём обозначение

r

rmin
min
U эфф

ξ = 1+

Рис. 3.6. Зависимость эффективной потенциальной энергии от расстояния между частицей и центром поля

2 EL2p
mα 2

.

(3.5.5)

Тогда уравнение траектории (3.5.4) можно
переписать в виде
rmin
= 1 + ξ cos ϕ .
r

(3.5.6)

1). Финитное движение. При значениях параметра ξ < 1 ( E < 0 , где E < mα 2 /( 2 L2p ) ) уравнение (3.5.6) описывает
эллипс (рис. 3.7) с параметром rmin и эксцентриситетом ξ . По известным формулам аналитической геометрии найдём большую и малую
оси эллипса
y
2a =
rmin
2b

•
aξ F1

•
F2

x

2b =

2rmin
α
= ,
2
1−ξ
E

2rmin
1−ξ 2

=

2Lp
2m E

. (3.5.7)

Эллипс вырождается в окружность, если энергия частицы

2a

E =U

Рис. 3.7. Траектория финитного
движения частицы в поле притяжения

min
эфф

mα 2
=− 2 ,
2Lp

(3.5.8)

при этом оси эллипса совпадают, а эксцентриситет ξ = 0 . При нахождение источника поля в фокусе эллипса F1 (или F2 ) наименьшее и наибольшее
расстояния от него до частицы равны
lmin =

rmin
r
= a (1 − ξ ) , lmax = min = a(1 + ξ ) .
1+ ξ
1−ξ

(3.5.9)

Величины (3.5.9) являются корнями уравнения U эфф (r ) = E . В случае
обращения Земли вокруг Солнца, находящемся в одном из фокусов
эллипса (первый закон Кеплера), наименьшее расстояние называется
93

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

перигелием, а наибольшее − афелием*.
При движении по эллипсам выполняется закон сохранения момента импульса (3.4.8), который имеет простую геометрическую интерпретацию. За бесконечно малый промежуток времени dt частица
1
2

проходит сектор с площадью df = r 2 dϕ , поэтому (3.4.8) можно переписать в виде
L p = m r 2ϕ& = 2mf& = const ,

(3.5.10)

где производная f& называется секториальной скоростью. Таким образом, постоянство момента импульса соответствует постоянству секториальной скорости, т.е. за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся частицы покрывает равные площади (второй закон
Кеплера).
Интегрирование (3.5.10) по времени от нуля до периода обращения Т частицы по эллиптической орбите даёт
2mf = TL p ,
(3.5.11)
здесь f = π ab − площадь эллипса. Воспользовавшись формулами (3.
5.7), получим
m

T = 2π a 3 / 2

α

= πα

m
3 .
2E

(3.5.12)

Если две частицы с массами m1 и m2 движутся по двум разным эллипсам с большими полуосями a1 и a2 , то квадраты их периодов обращения по орбитам относятся
2

m ⎛a ⎞
⎛ T1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟
m 2 ⎝ a2 ⎠
⎝ T2 ⎠

3

(3.5.13)

также как кубы больших полуосей их траекторий движения (третий
закон Кеплера).
Зависимость координат от времени найдём по формуле (3.4.11),
*Солнце входит в состав огромной звёздной системы, которая называется Млечный Путь.
Звёзды внутри системы движутся вокруг центра Галактики, подобно тому, как планеты в
Солнечной системе обращаются вокруг Солнца. Солнце движется со скоростью около 220250 километров в секунду вокруг центра Галактики, увлекая за собой планеты Солнечной
системы. Поэтому в реальности планеты движутся не по эллипсам, а по винтообразным траекториям.
94

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

представив интеграл от неё в виде
t=±

m
∫
2E

rdr

α

L2p
−r + r−
E
2m E
2

ma

=±

rdr

. (3.5.14)
∫ 2 2
α
a ξ − (r − a) 2

Вводя замену переменной интегрирования
r − a = − aξ cos β ⇒ r = a (1 − ξ cos β ) ,

(3.5.15)

приведём интеграл (3.5.14) к виду (выбираем знак «+»)
t=

ma 3

α

ma 3

∫ (1 − ξ cos β )dβ =

α

( β − ξ sin β ) + const . (3.5.16)

Выбирая начало отсчёта так, чтобы const = 0 , получим параметрические уравнения эллипса
r = a (1 − ξ cos β ) , t =

ma 3

α

( β − ξ sin β ) .

(3.5.17)

Используя формулы (3.5.6) и (3.5.17), можно получить параметрические уравнения для проекций радиус-вектора (см. формулу (1.1.1))
⎧⎪ x = r cos ϕ = a (cos β − ξ )
.
⎨
⎪⎩ y = r sin ϕ = a 1 − ξ 2 sin β

(3.5.18)

Полному обороту частицы по эллипсу отвечает изменение параметра
β от 0 до 2π .
2). Инфинитное движение. При неотрицательных значениях энергии ( E ≥ 0 ) движение частицы становится инфинитным. При E = 0
эксцентриситет кривой равен единице ( ξ = 1 ), частица перемещается
по параболе с минимальным расстоянием от её вершины до фокуса
lmin =

rmin
.
2

(3.5.19)

При строго положительных значениях энергии ( E > 0 ) эксцентриситет кривой больше единицы ( ξ ≥ 1 ), т.е. траекторией движения частицы вокруг центра поля, размещённого в фокусе кривой, является
гипербола (рис. 3.8). Наименьшее расстояние от вершины гиперболы
до фокуса F2 равно
lmin =

где a =

rmin
= a (ξ − 1) ,
ξ +1

(3.5.20)

α
rmin
− действительная полуось гиперболы. Параметриче=
ξ 2 − 1 2E
95

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

ские уравнения гиперболы имеют вид
r = a (ξ ch β − 1) ,

y

a (ξ − 1)

rmin
•
F2

ma 3

t=

x

α

(ξ sh β − β ) ,

(3.5.21)

а проекции радиус-вектора (см. формулу
(1.6.6))
⎧⎪ x = r ch ϕ = a (ξ − ch β )
, (3.5.22)
⎨
2
⎪⎩ y = r sh ϕ = a ξ − 1 sh β

где параметр β может принимать значения от − ∞ до + ∞ . Таким образом, движение материальной точки в поле притяжения приводит к разным экстремалям в зависимости от энергии точки.
II. Поле отталкивания. Частица массой m находится в поле отталкивания, если потенциальная энергия поля равна
Рис. 3.8. Инфинитное движение
тела в поле притяжения

U (r ) =

α
r

, α > 0,

(3.5.23)

а эффективная потенциальная энергия (рис. 3.9) −
U эфф (r ) =

α
r

+

L2p
2m r 2

.

(3.5.24)

Особенности графика функции (3.5.24) имеют вид
⎧→ +∞, r → 0
.
U эфф (r ) = ⎨
→
0
,
→
+∞
r
⎩

Uэфф(r)

(3.5.25)

Из рисунка видно, что энергия частицы может быть только положительной, т.е. её движение всегда инфинитное. Геодезической
r
линией является гипербола, которая описыРис. 3.9. Эффективная потен- вается формулой
циальная энергия поля отталкивания

L2p
q
,
= −1 + ξ cos ϕ , q =
mα
r

(3.5.26)

а минимальное расстояние от вершины гиперболы до начала координат
lmin =

q
= a(ξ + 1) .
ξ −1
96

(3.5.27)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

Зависимости от времени вида (3.5.21) и (3.5.22) задают параметрические уравнения экстремали
⎧r = a(ξ ch β + 1)
⎪
,
⎨
ma 3
=
(
ξ
sh
β
+
β
)
t
⎪
α
⎩

⎧⎪ x = r ch ϕ = a (ξ + ch β )
.
⎨
⎪⎩ y = r sh ϕ = a ξ 2 − 1 sh β

(3.5.28)

Для полей притяжения и отталкивания существует специфический векторный инвариант движения − вектор Рунге-Ленца-Лапласа:
RL = [ v × L p ] + α

r
= const .
r

(3.5.29)

Его полная производная по времени с учётом уравнения движения
r
(3.5.30)
r3
и определения момента импульса Lp = m [r × v ] равна нулю. Наличие

m v& = α

инварианта (3.5.29) связано с вырождением движения.
III. «Падение» на силовой центр. В заключение рассмотрим случай,
когда частица может достичь центра поля, для чего необходимо быстрое стремление потенциальной энергии U (r ) к значению − ∞ (как 1/ r 2 )
при уменьшении радиус-вектора до нуля ( r → 0 ).
Пусть частица массой m перемещается в центрально-симметричном поле, потенциальная энергия которого равна
5mζ 2
U (r ) = −
.
(3.5.31)
2r 2
В начальный момент времени ( t = 0 ) условия движения имели вид
r (0) = r0 , v(0) = v0 =

где θ >

π
2

5ζ
1
, sin θ = ,
r0
5

(3.5.32)

− угол между векторами r (0) и v (0) . Из (3.5.32) находим

mv02 5mζ 2
2mζ 2
E=
−
= 0 , L p = mr0 v0 sin θ = mζ , U эфф (r ) = − 2 . (3.5.33)
2
2 r02
r

Подстановка формул (3.5.33) в (3.4.11) с последующим интегрированием приводит к формуле
r2
t −C = −
,
(3.5.34)
4ζ
а использование начальных условий (3.5.32) позволяет определить по97

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

стоянную интегрирования при t = 0
C=

r02

4ζ

,

(3.5.35)

т.е. временная зависимость радиус-вектора задаётся функцией
r 2 ( t ) = r02 − 4ζ t .
(3.5.36)
Из (3.5.10) находим
ϕ=

Lp
dt
1
=
ϕ
−
ln( r02 − 4ζ t ) .
∫
0
2
m r (t )
4

(3.5.37)
1
4

Выберем полярную ось так, чтобы при t = 0 угол ϕ 0 = ln(r02 ) , тогда решение имеет вид
⎞
1 ⎛ r02
⎟.
ϕ (t ) = ln ⎜⎜ 2
4 ⎝ r0 − 4ζ t ⎟⎠

(3.5.38)

Исключив из (3.5.36) и (3.5.38) параметр t, получим траекторию движения (рис. 3.10) частицы в эффективном поле (3.5.33):
r (ϕ ) = r0 exp( − 2ϕ ) .
(3.5.39)
U (r)
Таким образом, при условиях (3.5.33)
r0
r
O
частица приближается к центру поля по логарифмической спирали (3.5.39), что продемонстрировано на рис. 3.10. Из формулы (3.
эфф

v0

5.39), что за время «падения» τ = C =

r02

4ζ

час-

тица совершит бесконечно много оборотов,
O
т.к. бесконечное уменьшение радиус-вектоr0
ра ( r → 0 ) возможно только при бесконечном
Рис. 3.10. «Падение» частицы увеличении значения угла в радианной мере
на силовой центр поля
( ϕ → +∞ ).

3.6. Финитные движения Бертрана
Лагранжиан натуральной (потенциальная энергия системы зависит только от обобщённых координат), замкнутой (отсутствуют внешние силы, определяемые дополнительными функциями, и существуют инварианты движения) системы, внутри которой происходит дви98

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

жение частицы с массой m в сферически-симметриченом поле. Ограничимся случаем центральных сил, когда потенциальная энергия зависит только от расстояния между частицей и цетром поля, тогда лагранжиан имеет вид
m(r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θ ϕ& 2 )
Λ=
− U (r ) .
2

(3.6.1)

Запишем уравнения Лагранжа по (2.6.2)
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
dp
∂U ( r )
, pr = mr& .
= 0 ⇒ r = mr (θ& 2 + sin 2 θϕ& 2 ) −
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂r& ⎠ ∂r
dt
∂r

(3.6.2)

dp
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
= 0 ⇒ θ = mr 2ϕ& 2 sin θ cos θ , pθ = mr 2θ& .
⎜ &⎟−
dt ⎝ ∂θ ⎠ ∂θ
dt

(3.6.3)

dp
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
= 0 ⇒ ϕ = 0, pϕ = mr 2 sin 2 θϕ& = L p sin 2 θ = const . (3.6.4)
⎜
⎟−
dt ⎝ ∂ϕ& ⎠ ∂ϕ
dt

Уравнения (3.7.2)-(3.7.4) имеют частное решение
θ=

π
2

, θ& = 0, mr 2ϕ& = L p = const ,

(3.6.5)

при этом (3.7.2) принимает вид
m&r& =

L2p
mr

−

3

∂U (r )
.
∂r

(3.6.6)

Пусть потенциальная энергия задана функцией вида (3.5.31)
U (r ) = −

σ

, σ > 0,

2r 2

а начальные условия движения (3.5.32) −
r (0) = r0 , v(0) = 0 , ϕ (0) = 0 .

(3.6.7)
(3.6.8)

Тогда уравнение (3.6.6) преобразуется в соотношение
&r& =

k
,
r3

(3.6.9)

2
⎞
1 ⎛ Lp
где константа k = ⎜⎜ − σ ⎟⎟ .
m⎝ m
⎠

Примем для определённости k < 0 , используя равенство
&r& =

dr& dr& dr dr&
=
= r& ,
dt dr dt dr

(3.6.10)

разделим переменные и проинтегрируем уравнение (3.6.9)
r& 2 =

k
+ C1 .
r2
99

(3.6.11)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

При начальных условиях (3.6.8) постоянная интегрирования
C1 = −

k
.
r02

(3.6.12)

Подстановка (3.6.12) в (3.6.11), разделение переменных и интегрирование обеих частей уравнения (3.6.11) приводит к результату
2

k
⎛r⎞
1 − ⎜⎜ ⎟⎟ = ± 2 t + С2 .
r0
⎝ r0 ⎠

(3.6.13)

Использование (3.6.8) показывает, что константа С2 = 0 , т.е. решение
имеет вид
r 2 (t ) = r02 −

k 2
t .
r02

(3.6.14)

Подставляя (3.6.14) в последнее равенство (3.6.5), разделяя переменные и выполняя интегрирования, найдём
ϕ (t ) =

где время t0 =

r02
k

⎛t −t ⎞
⎟⎟ + const ,
ln ⎜⎜ 0
2m k ⎝ t 0 + t ⎠
Lp

(3.6.15)

, а постоянная интегрирования const = 0 по послед-

нему равенству (3.6.8). Функции (3.6.14) и (3.6.15) являются параметрическими уравнениями экстремали. Полученное решение практически аналогично решению, полученному при исследовании «падения» частицы на силовой центр в конце предыдущего пункта.
Согласно теореме Бертрана рассмотрим потенциальное поле вида
U (r ) =

βr 2
2

, β > 0.

(3.6.16)

Применим другой подход к решению задачи, используя замкнутость
системы и центральность поля. Первым интегралом движения является полная механическая энергия, которая при условиях (3.6.5) равна
2

Lp
mr& 2
βr 2
E=
+
+
.
(3.6.17)
2
2mr 2
2
В экстремальной точке траектории ( r = r0 , v = r& = 0 ) выполняется ра-

венство
100

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

r −
4
0

E

β

r +
2
0

L2p
2 mβ

=0.

(3.6.18)

Решим это биквадратное уравнение, введя следующие обозначения
r = η0 ,
2
0

E

=b,

β

L2p

2mβ

Дискриминант уравнения D = b − 4c =

η 0 (1, 2 )

b± D
=
=
2

E± E −

(3.6.19)

mE 2 − 2βL2p

2

2

= c.
mβ 2

≥ 0 , а его корни

2 L2p
mβ

2β

> 0 ⇒ r0 (1, 2 ) = η 0 (1, 2 ) .

(3.6.20)

Формулы (3.6.20) определяют точки остановки, в которых скорость
частицы обращается в нуль.
После разделения переменных интегрирования из закона сохранения энергии (3.6.17) находим
dt = ±

m
2β

rdr
L2p
2
4
r −r −
β
2 mβ
E

.

(3.6.21)

Вводя справа новую переменную интегрирования r 2 (t ) = η (t ) и преоб2

2

L
⎛
⎛ E ⎞
E ⎞
разовав подкоренное выражение к виду ⎜ ⎟ − p − ⎜η − ⎟ , вы2β ⎠
⎝ 2 β ⎠ 2 mβ ⎝
2

числим интеграл слева в пределах от 0 до t, а справа – от η 0 до η (t ) .
В результате получим
⎛
E
⎜
2
−
r
⎜
1 m
2β
t=±
arccos⎜
2
2 2β
⎜ ⎛ E ⎞
L2p
⎟ −
⎜ ⎜
2
β
⎠ 2 mβ
⎝ ⎝

⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

(3.6.22)

или
2

L2p
⎛ 2β ⎞
⎛ E ⎞
E
r=
+ ⎜
t ⎟⎟ .
cos⎜⎜ 2
⎟ −
m
m
2β
2
2
β
β
⎝
⎠
⎝
⎠

(3.6.23)

Из формулы (3.6.22) видно, что материальная точка совершает колебательные движения под действием возвращающей силы
F = −∂U (r ) / ∂r = − βr , β > 0 .
(3.6.24)
101

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

3.7. Положение равновесия
Пусть в выбранной системе отсчёта существут в пространстве
место с обобщёнными координатами qi 0 . Если материальная точка,
приведённая в это место с обобщёнными скоростями q&i = 0 , будет оставаться в нём сколь угодно долго, то оно называется положением
равновесия. Так как в положении равновесия обобщённые скорости
имеют нулевые значения ( q&i = 0 ), то и обобщённые ускорения тоже будут равны нулю ( q&&i = 0 ). Это означает, что в положении равновесия на
материальную точку не действуют силы, а в фазовом пространстве
точка A(qi = qi 0 , q&i = 0) является особой точкой на фазовом портрете,
отображающей экстремум потенциальной энергии.
Если разрешить уравнения Лагранжа относительно обобщённых
ускорений, то они примут вид
(3.7.1)
q&&i = Gi (qi , q&i ) .
Следовательно, положение равновесия определяется уравнением
Gi (qi = qi 0 , q&i = 0) = 0 .
(3.7.2)
Таким образом, для того чтобы точка A(qi = qi 0 , q&i = 0) была положением равновесия в стационарном случае, необходимо и достаточно обращения в нуль всех обобщённых сил в этой точке.
Существует и другая формулировка условий наличия положения равновесия. Для того чтобы точка A(qi = qi 0 , q&i = 0) была положением равновесия в стационарной системе, необходимо и достаточно,
чтобы в нём элементарная работа всех приложенных сил была равна
нулю на любом возможном перемещении. Такая формулировка называется принципом возможных перемещений. При отсутствии связей
перемещения материальной точки неограничены, поэтому в этом случае слова «на любом возможном перемещении» можно заменить на
слова «на любом перемещении». При наложении на систему идеальных склерономных связей указанные слова заменяют на выражение
«на любом малом перемещении, совместимом со связями». Наличие
идеальных реономных связей требует использовать выражение «на
102

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

любом виртуальном перемещении». Именно поэтому в этом случае говорят о «принципе виртуальных перемещений» вместо «принципа возможных перемещений». Для консервативных систем, у которых потенциальная энергия U = U (qi ) зависит только от обобщённых координат, положениями равновесия являются точки экстремумов
и перегиба графика функции U (qi ) .
В зависимости от того, остаётся или нет система вблизи положения равновесия после малого возмущения её состояния выделяют устойчивые и неустойчивые положения равновесия. По теореме Лагранжа-Дирихле*, «если в некотором положении консервативной системы
потенциальная энергия, являющаяся непрерывной функцией q, имеет строгий изолированный минимум, то это положение устойчивого
равновесия системы». Большой вклад в развитие теории устойчивости внесли Н.Е. Жуковский, А.М. Ляпунов, Н.Г. Четаев и другие. Согласно теоремам Ляпунова (1892), если потенциальная энергия U (q)
консервативной системы (рис. 3.11) не имеет минимума в положении
равновесия и этот факт устанавливается по второму члену ряда Маклорена для функции U(q) , то положеU (q)
ние равновесия является неустойчивым. Положение равновесия будет неустойчивым, если в нём потенциальная энергия имеет строгий максимум.
O
Четаев сформулировал и доказал первое утверждение Ляпунова для любых
сепаратриса
систем с однородной потенциальной
седло
O
энергией, не имеющей минимума в
центр
положении равновесия.
Для сопоставления графика поРис. 3.11. Отображение потенциальной энергии на фазовую плоскость
тенциальной энергии U(q) с фазовым
портретом системы применим метод
сечений, полагая U ( q ) = hi ( i = 1, 2, 3, 4 ). Из рис. 3.11 видно, что при зна*Для частого случая поля сил тяжести эту теорему знал ещё Торричелли (1644). Для потенциальных полей в общем случае она была сформулирована Лагранжем (1788), а строго доказана
лишь Дирихле (1846).
103

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

чениях h1 < h < h2 * движение финитно, траектории движения замкнуты
(см. также рис. 2.5) и перемещение по ним не выходит из окрестности положения устойчивого равновесия. Если h > h3 , то движение частицы инфинитно, её фазовая траектория разомкнута и изображающая
точка вдоль неё неограниченно удаляется от положения устойчивого
равновесия. Финитные и инфинитные движения разграничиваются
траекторией, которая проходит через точку неустойчивого равновесия и соответствует максимуму потенциальной энергии U(q) , при этом
h = h3 . Эта траектория называется сепаратрисой. Частицы с малыми
скоростями, попавшие в окрестность устойчивого положения равновесия, т.е. в потенциальную яму, продолжают своё движение в этой
окрестности. Для преодоления потенциального барьера им необходимо придать допонительную кинетическую энергию.

3.8. Частица в потенциальной яме
Для того чтобы потенциальная энергия U (q) имела в точке q0 минимум, необходимо и достаточно выполнения условий
d 2U (q0 )
dU (q0 )
= k > 0.
= 0,
dq 2
dq

(3.8.1)

Ограничившись тремя первыми членами ряда Тейлора для функции
U (q) получим
U (q) = U (q0 ) +

dU (q0 )
1 d 2U (q0 )
1 2
2
−
=
+
(q − q0 ) +
(
q
q
)
U
kx , (3.8.2)
0
0
dq
2 dq 2
2

где U 0 = U (q0 ) − значение потенциальной энергии в точке минимума,
а x = q − q0 − отклонение положения материальной точки от положения
равновесия. Сила, действующая на частицу, равна
F =−

dU ( x)
= −kx
dx

(3.8.3)

и обращается в нуль при x = 0 , т.е. в точке равновесия q = q0 . Сила (3.8.
3) побуждает материальную точку возвращаться в положение равно*Прямые h=h1 и h=h2 являются касательными к графику функции U(q) в точках минимума
и максимума соответственно.
104

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

весия при отклонениях от него (рис. 3.12).
Выберем систему отсчёта с наa
чалом в положении равновесия, тогда
лагранжиан системы имеет вид
б
mx& 2 kx 2
Λ=
−
,
2
2

в
Рис. 3.12. Положение равновесия (а),
растяжение (б) и сжатие (в) упругой
пружины внешней силой и противодействующая ей сила упругости

(3.8.4)

а уравнение Эйлера-Лагранжа (2.6.2)
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
= 0 ⇒ m&x& + kx = 0 ,(3.8.5)
⎟−
⎜
dt ⎝ ∂x& ⎠ ∂x

которое называют уравнением свободных колебаний, а систему – линейным
гармоническим осциллятором. Разделив уравнение (3.8.5) на массу m
и введя обозначение для частоты свободных колебаний
ω0 =

k
,
m

(3.8.6)

преобразуем (3.8.5) к виду
&x& + ω 02 x = 0 .

(3.8.7)

Решение уравнения (3.8.7) ищем в виде x = exp( χt ) , получим
χ 2 + ω 02 = 0 ⇒ χ 1 , 2 = ± i ω 0 ,
(3.8.8)
здесь i 2 = −1 (см. пункт 1.2) – мнимая единица. Общее решение записывают в виде
x = C1 cos(ω 0t ) + C 2 sin( ω 0t ) ,
(3.8.9)
где постоянные интегрирования Ci ( i = 1, 2 ) определяют из начальных
условий, например, x(0) = x0 , x& (0) = 0 . Однако зачастую (3.8.9) представляют в виде
⎡
⎤
C1
C2
⎢
x (t ) = C 1 + C 2
cos(ω 0 t ) +
sin(ω 0 t ) ⎥ =
2
2
2
2
⎢ C1 + C 2
⎥
C1 + C 2
⎣
⎦
= A0 [sin δ 0 cos(ω 0 t ) + cos δ 0 sin(ω 0 t ) ] = A0 sin(ω 0 t + δ 0 ) ,
(3.8.10)
2

2

где коэффициент A0 называют амплитудой колебаний, ω0t + δ 0 − фазой
колебаний, ω0 и δ 0 − их частотой и начальной фазой соответственно.
В заключение найдём уравнение для колебаний линейного гармонического осциллятора, исходя из общего решения (3.3.11), которое получено из закона сохранения энергии, записав его в виде
105

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 3

m x
dξ
t − t0 = ±
.
∫
2 E x0 1 − U (ξ ) / E

(3.8.11)

Неоднозначность знака правой части связана с обратимостью механики Ньютона по отношению к инверсии времени (замена t → −t ), поэтому выберем знак «+». Для потенциальной энергии (3.8.2) при значении U 0 = 0 произведём замену переменной интегрирования
k
ξ,
2E

η=

(3.8.12)

получим
k
x
2E

ω0 (t − t0 ) = ∫

k
x0
2E

dη
= arcsin η
2
1 −η

k
x
2E
k
x0
2E

.

(3.8.13)

Таким образом, решение имеет вид
⎛

⎛ k ⎞
k ⎞
x ⎟⎟ − arcsin ⎜⎜
x0 ⎟⎟ ,
2
E
2
E
⎝
⎠
⎝
⎠

ω0 (t − t0 ) = arcsin ⎜⎜

(3.8.14)

которое можно переписать следующим образом
x=

2E
sin(ω 0 t + ϕ 0 ) ,
k

(3.8.15)

где начальная фаза
⎛

k ⎞
x0 ⎟⎟ − ω 0t 0 .
2
E
⎝
⎠

ϕ 0 = arcsin ⎜⎜

(3.8.16)

Несмотря на внешнее сходство математического (3.8.10) и физического (3.8.15) решений, более информативным является последнее соотношение. Сравнение формул (3.8.10) и (3.8.15) даёт для амплитуды
колебаний выражение
A0 =

2E
,
k

(3.8.17)

т.е. полную механическую энергию можно определить по размаху колебаний и их частоте при известной массе маятника
kA 02
m ( ω 0 A0 ) 2
E =
=
.
2
2

106

(3.8.18)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

Глава 4. Внешние силы. Колебания. Резонансы
Вещь не перестаёт быть истинной
оттого, что не признана многими
Б. Спиноза

Теория колебаний возникла в начале XVII века, когда Г. Галилей
решил задачу о математическом маятнике (1602), а в середине века
Х. Гюйгенс разработал теорию физического маятника (1657) и на её
основе создал маятниковые часы. Многие частные задачи теории колебаний были решены с помощью механики Ньютона. Так Л. Эйлер,
изучая строительство кораблей, заложил основы теории устойчивости и малых колебаний; Д'Аламбер − колебаний маятника, плавающего тела, пружины и т.д.; Ш. Кулон использовал крутильные колебания
проволоки для определения жёсткости своих знаменитых крутильных
весов. Экспериментальные исследования поперечных колебаний натянутой струны были проведены И. Бекманом (1614-1618) и М. Мерсенном (1636), а теоретически изучены Б. Тейлором (1715), который рассматривал струну, как систему материальных точек с одной степенью
свободы.
В течение XVIII века были заложены основы физики колебаний
и сформулированы математические принципы, существенные для решения возникших проблем. В «Аналитической механике» Лагранж
излагает теорию малых колебаний линейного гармонического осциллятора и приводит уравнение частот в общем виде. Однако он повторяет ошибку Д'Аламбера (1761), связанную с тем, что кратные корни
характеристического уравнения колебаний отвечают неустойчивому
решению, потому что в решении появляются секулярные (содержащие
время не под знаками синуса и косинуса) члены. Поэтому эти учёные
посчитали, что уравнение частот не может содержать кратных корней
(парадокс Д'Аламбера-Лагранжа). Но кратные корни возможны: они
возникают в решениях для сферического математического маятника
или при изучении колебаний стрежней с круглым (или квадратным)
107

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

сечением. Научные авторитеты Д'Аламбера и Лагранжа были настолько высоки, что эту же ошибку повторили П.-С. Лаплас и С. Пуассон,
а исправили её лишь спустя 100 лет в независимых работах К. Вейерштрасс (1858) и О.И. Сомов (1859). В частности, Сомов доказал, что
корни характеристического уравнения вещественны и положительны,
кратные корни возможны и они не приводят к неустойчивости движения.
В 1878 году лорд Рэлей (Дж.У. Стретт) вводит понятие о функции рассеяния (диссипативная функция Рэлея), что позволило исследовать колебания в неконсервативных системах. В монографии «Теория звука» (1877-78) он собрал известные на то время фундаментальные результаты по теории колебаний упругих систем и сформулировал целый ряд важных теорем для линейной теории колебаний стержней, брусов и пластин. Первым задачу для бруса постоянного сечения
решил Д. Бернулли (1751), а математическое обоснование принятым
гипотезам – Л. Эйлер.
Промышленная революция XVIII века связана с появлением паровой машины. Дальнейшее развитие техники привело к резкому росту интереса к механике и выделению прикладной механики в отдельную дисциплину. В силу того, что машины были маломощными и тихоходными, расчёты на прочность деталей велись в статической постановке. Успехи теории колебаний континуальных систем в XIX веке связаны с французской математической школой (Пуассон, Кирхгофф и др.), в которой были разработаны аналитические методы расчётов колебаний твёрдых тел с правильной формой. Следует отметить,
что до начала XX века такое грозное явление, как резонанс, приводивший к разрушению не только колеблющихся деталей машин, но и промышленных объектов (например, мостов), воспринималось в качестве акустического феномена. Развитие турбо- и двигателестроения, появление облегчённых конструкций и устройств значительно расширило круг задач динамической прочности (А.П. Филиппов, И.М. Бабаков, С.И. Богомолов и др.). Решение практических задач привело к появлению теорий нелинейных колебаний и волн (Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов и др.) и, в целом, физики нелинейных явлений.
108

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

4.1. Взаимодействие с окружающей средой
Незамкнутая система (обменивается энергией с другими системами) взаимодействуют с окружающей средой непосредственно ограничивающей её поверхностью или с помощью полей, имеющих разные
радиусы действия. В настоящее время физикам известны 4 типа взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое.
Гравитационное поле проявляется на макроуровне (размеры не менее
1 мм) в виде: силы тяготения, когда два тела с массами m1 и m2 находятся на расстоянии r друг от друга и притягиваются с силой
F =γ

m1m2
r

(4.1.1)

( γ = 6,674 ⋅ 10 −11 Н(м/ кг) 2 − гравитационная постоянная); силы тяжести
– сила, с которой тело массой m притягивается к планете Земля,
P = mg
(4.1.2)
( g = 9,807 м/ c 2 − ускорение свободного падения). Сила тяжести действует в любой системе отсчёта, связанной с Землёй, т.е. такая система
отсчёта не является инерциальной. Электромагнитное поле действует
в областях с размером не менее 10−15 м. Оно обеспечивает взаимодействие электронов с атомными ядрами; связывает атомы в молекулы;
принимает участие в формировании агрегатных состояний вещества;
является причиной возникновения трения; служит переносчиком энергии и информации. Электромагнитное поле проявляется в виде силы
электростатического взаимодействия между зарядами q1 и q 2 , находящимися на расстоянии r друг от друга,
F = k0

q1 q 2
r

(4.1.3)

( k0 = 8,988 ⋅ 109 Н(м/ Кл) 2 − коэффициент пропорциональности). Определение сил (4.1.1) и (4.1.3) показывает, что на наноуровне (1 нм = 10 − 9 м )
гравитационные силы слабее электромагнитных в ≈ 10 40 раз; силы упругости (случай малых отклонений от положения равновесия)
Fупр . = − kx
(4.1.4)
( k − коэффициент пропорциональности, x − смещение от положения
109

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

равновесия); силы трения
Fтр. = γ N ,

(4.1.5)

где γ − коэффициент трения покоя соприкасающихся поверхностей,
N − реакция опоры (всегда направлена по перпендикуляру к поверхности соприкосновения) или подвеса (направлена вдоль соединяющей
нити). Электромагнитное поле ответственно за действие ещё целого
ряда сил, которые будут упоминаться по мере необходимости. Сильные взаимодействия обеспечивают связь между протонами и нейтронами в ядрах атомов, а слабые поля – за распад элементарных частиц
за исключением протонов, нейтронов, электронов и ряда других, которые не распадаются и обеспечивают устойчивость нашей Вселенной.
При решении задач с указанными силами необходимо правильно выбирать систему координат и указывать направление сил (рис.
4.1). Надо помнить, что вес тела это сила, с которой тело в состоянии
покоя действует на опору
y
y
Fтр .
N
или подвес, она приложеN
Fтр .
Fдв .
•O
на к центру масс тела и
•
x
α
O
направлена вертикально
x
α
вниз. Сила реакции опоP = mg
P
ры всегда направлена по
а
б
перпендикуляру к поверхности соприкосновения
α
T
T
тел, а сила натяжения –
x
O
вдоль соединяющей нити
P
x P y
к точке подвеса.
y
в
г
При действии силы
Рис. 4.1. Направление сил и координатных осей при упругости (см. рис. 3.12),
расположении тела на: горизонтальной поверхности
не превышающей некото(а); наклонной плоскости (б); отвесе (в); отклонёнрого предела упругости,
ном подвесе (г).
происходят деформации
в системе (на рис. 3.12 изменяется длина пружины). После прекращения её действия система возвращается в исходное положение равновесия, в противном случае − изменения в системе носят неупругий характер, т.е. деформации становятся пластичными.

•

•

110

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

При движении одного тела по поверхности другого (или выделенного слоя вещества по другому слою) возникает сопротивление
движению, которое называют трением. Сила трения всегда противоположна силе, вызывающей движение (рис. 4.1, а, б), прямо пропорциональна силе реакции опоры и зависит от свойств трущихся поверхностей. При относительном перемещение двух соприкасающихся твёрдых тел трение покоя или трение скольжения (внешнее трение). Относительное перемещение одного слоя системы по отношению к другому называют внутренним трением. Трение между твёрдыми телами называют сухим при отсутствии смазки, а жидким (вязким) − при
движении твёрдого тела по жидкой или газообразной среде, а также
между слоями этих сред. Сухое трение разделяют на трение скольжения и трение качения. На рис. 4.1, а показана сила трения покоя, которая пропорциональна силе реакции опоры, именно в этом случае параметр γ называют коэффициентом трения покоя. Если под действием движущей силы тело перемещается по опорной поверхности, то параметр γ называют коэффициентом трения скольжения. При движении по поверхности шарообразного тела говорят о трении качения,
при этом силу трения вычисляется по формуле
γ
Fтр. = N ,
(4.1.6)
R

где R − радиус шара. Сила сухого трения при движении по наклонной плоскости (рис. 4.1, б) вычисляется по формуле
Fтр. = γ N cosα
(4.1.7)
( α − острый угол при основании наклонной плоскости), а движущая
(скатывающая) сила
Fдв. = γ N sinα .
(4.1.8)
По другой классификации силы разделяют на потенциальные
(см. главы 2 и 3), диссипативные (см. пункт 2.6) и инерционные (частный случай – гироскопические силы, пункт 2.6). Подробно остановимся только на инерционных силах, потому что они не подчиняются законам Ньютона (см. пункт 1.6) и являются фиктивными (ложными).
Это связано с тем, что инерционные силы прилагаются не к материальным телам, а к связям между ними. Силы инерции вводят специально
111

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

для того, чтобы использовать законы Ньютона в неинерциальной системе отсчёта.
Обозначим через a1 ускорение тела с массой m относительно
неинерциальной системы отсчёта, а через a 2 – ускорение этой системы
относительно инерциальной системы отсчёта. Тогда ускорение тела
относительно последней системы равно
a=

F
= a1 + a 2 .
m

(4.1.9)

Следовательно, второй закон Ньютона для неинерциальной системы
отсчёта имеет вид
m a1 = F + Fин . ,
(4.1.10)
где сила инерции Fин . = − ma 2 и направлена в сторону, противоположную ускорению неинерциальной системы отсчёта. Силы инерции всегда являются внешними силами по отношению к любому движению
материального тела. Они не инвариантны относительно перехода из
одной системы отсчёта в другую, не подчиняются закону действия и
противодействия, движение под их действием аналогично перемещению тела во внешнем поле.
Вращение тела вокруг некоторой оси приводит к появлению ряда инерционных сил: центростремительной Fцс. , центробежной Fцб .
и Кариолиса FК (рис. 4.2). Например, при вращении камня на верёв-

m

v

Fцб.

ω

Fцс.

R

m
v
FК

a

O

A

б

Рис. 4.2. Центростремительная и центробежная силы (а)
и сила Кариолиса (б)
112

ке она начинает растягиваться, возникает сила, которая этому оказывает противодействие и направлена вдоль верёвки к
цетру вращения. Эта
сила и является центростремительной
силой Fцс. . Сила, приложенная к связи и
направленная по ра-

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

диусу от центра вращения, называется центробежной (рис. 4.2, а). Она
является силой инерции первого рода и её в природе не существует.
Центростремительная сила возникает в результате действия камня на
верёвку, она является силой инерции второго рода, но и она – фиктивная сила. С точки зрения наблюдателя в неинерциальной системе отсчёта он видит, что на камень действует Fцс. (например, по показаниям
динамометра), но он к центру не приближается. Таким образом, силу
уравновешивает действие другой силы – Fцб . , для вычисления которой
используют формулы (см. также пункт 3.2)
v2
Fцc. = ma n , Fцб . = − Fцc. , Fцб . = m = mω 2 r .
(4.1.11)
r
Рассмотрим движение шарика с массой m по диску (рис. 4.2, б),

запустив его вдоль радиуса из точки О в точку А со скоростью v . Если диск неподвижен, то траекторией шарика будет прямая ОА. При
вращении диска с угловой скоростью ω шарик будет отклоняться от
прямой ОА под действием силы Кориолиса
F K = 2 m [ v × ω ], a K =

FK
= 2[ v × ω ] .
m

(4.1.12)

Сила Кориолиса возникает только тогда, когда материальная точка изменяет своё положение во вращающейся системе отсчёта.
Из-за вращения Земли в ряде практических случаев надо учитывать влияние силы Кориолиса на движущийся объект. Например, при
выстреле из орудия, направленного на север, вылетевший снаряд под
действием силы Кориолиса будет отклоняться к востоку в северном и
к западу – в южном полушарии. При стрельбе на экваторе в сторону
востока снаряд будет прижиматься силой Кориолиса к поверхности
Земли. Другим примером является отклонение потоков воздуха или
воды под действием этой силы. В северном полушарии потоки отклоняются вправо от своего направления, а в южном – влево. Именно поэтому подмываются соответствующие берега рек в разных полушариях. Таким образом, в неинерциальной системе отсчёта аналог уравнения (4.1.10) с учётом всех инерционных сил запишется в виде
m a1 = Fин . + Fцб . + FК .
(4.1.13)
113

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

4.2. Математический и физический маятники
Попадание медленной частицы (частица с малой кинетической
энергией) в потенциальную яму (см.,например, пункт 3.8) приводит к
возникновению её периодических движений. При этом частица движется по какой-либо траектории поочерёдно в двух противоположных
направлениях относительно положения устойчивого равновесия (рис.
4.3). Такие движения называют механическими колебаниями. Особенностями таких двиO
жений являются их
ϕ
повторяемость и воl
звратность. Колебаl
T
ния происходят при
m
A
наличии возвращаB
h
F C
ющей силы и малоmg
го трения в системе.
P = mg
Наглядно колебаa
б
Рис. 4.3. Математический (а) и физический (б) маятники
ния демонстрируют
разнообразные маятники, но колебательные процессы широко представлены в природных явлениях.
Для характеристики колебаний применяют следующие величины: 1) период Т – промежуток времени (измеряется в секундах, с), через который повторяется состояние системы, т.е.
x (t + T ) = x (t ) ;
(4.2.1)
2) частота колебаний ν (или f) – число колебаний за одну секунду (измеряется в Гц = с–1), зачастую в теоретических и практических расчётах используют циклическую (круговую частоту)
ω = 2πν ;
(4.2.2)
3) фаза ϕ – величина, которая показывает, какая часть колебаний прошла с начального момента времени (измеряется в градусах или радианах);
4) амплитуда А – максимальное значение величины, описывающей ко114

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

лебание (иногда называют «размахом» колебаний).
В пункте 3.8 было исследовано уравнение свободных колебаний
(см. уравнение (3.8.7)), его решение имеет вид синусоиды
x (t ) = A sin(ω 0t + δ 0 ) ,
(4.2.3)
такие колебания называют гармоническими, а сами решения – гармониками. По теореме Фурье: любое периодическое колебание самой
сложной формы представимо в виде конечной суммы гармоник,
а непериодическое – бесконечным их количеством. При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия принимает максимальное значение. При максимальном
отклонении системы от положения равновесия потенциальная энергия принимает максимальное значение, а кинетическая энергия равна
нулю. Графики функций, описывающих зависимости кинетической,
потенциальной и полной механической энергий от времени, всегда
лежат выше оси времени. При отсутствии диссипации энергии (сила
сопротивления равна нулю) полная механическая энергия системы сохраняется, а её зависимость от времени есть прямая, параллельная оси
времени. Следует помнить, что период колебаний (частота) кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше (больше), чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы, а путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырём амплитудам.
Математический маятник – это материальная точка с массой
m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити с длиной l (рис. 4.3,
а). Для получения уравнения движения воспользуемся уравнением (3.
2.19), записав его в виде
M = − mgl sin ϕ = Iε = Iϕ&& = ml 2ϕ&&
(4.2.4)
или после простых преобразований
ϕ&& + ω02 sin ϕ = 0 ,
(4.2.5)
где собственная частота колебаний
ω0 =

l
g

(4.2.6)

зависит только от длины нити l. Уравнение (4.2.5) называют уравнени115

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

ем математического маятника.
а) малые отклонения от положения равновесия (ϕ ≅ 0 ). При малых
значениях угла ϕ функцию sin ϕ можно разложить в ряд Маклорена
sin ϕ = ϕ −

ϕ3
3!

+

ϕ5
5!

−

ϕ7
7!

+ ... + ( −1)

n −1

ϕn
n!

+ ... .

(4.2.7)

Все члены ряда (4.2.7), начиная со второго члена, принимают значения, значительно меньше, чем значение первого члена, поэтому воспользуемся приближённым равенством sin ϕ ≈ ϕ . В результате уравнение (4.2.5) из нелинейного уравнения становится линейным, похожим
на уравнение малых колебаний (3.8.7). Следовательно, решение линейного уравнения для гармонического осциллятора имеет вид (3.8.10)
ϕ (t ) = A sin(ω 0 t + δ 0 ) .
(4.2.8)
б) большие отклонения от положения равновесия ( 0 < ϕ < π ). Из
рис. 4.3, а видно, что высоту подъёма тела h в предельной точке траектории движения
⎛ϕ ⎞
h = OC − OA = l − l cos ϕ = l (1 − cos ϕ ) = 2l sin 2 ⎜ ⎟ .
⎝2⎠

(4.2.9)

Следовательно, потенциальная энергия груза равна
⎛ϕ ⎞
U (ϕ ) = mgh = 2mgl sin 2 ⎜ ⎟ ,
⎝2⎠

(4.2.10)

а полная механическая энергия
mϕ& 2
⎛ϕ ⎞
E = K (ϕ& ) + U (ϕ ) =
+ 2mgl sin 2 ⎜ ⎟ .
2
⎝2⎠

(4.2.11)

Отсюда находим, что по (3.8.11) получим (знаки « ± » опускаем, см.
пояснения после формулы (3.8.11))
t − t0 =

где η =

ϕ max
m ϕmax
dξ
dξ
=
η
,
∫
∫
2 E 0 1 − U (ξ ) / E
0
1 − σ 2 sin 2 (ξ / 2)

(4.2.12)

2mgl
m
, σ2 =
. Таким образом, решение запишем в виде
2E
E
t − t0 = 2ηF (ϕ max , σ ) ,
(4.2.13)

здесь эллиптический интеграл Лежандра первого рода
x

F ( x, k ) = ∫
0

dς
.
1 − k 2 sin 2 ς

График функции (4.2.14) при k = 1 показан на рис. 4.4.
116

(4.2.14)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

Если частота осциллятора зависит
от его энергии, то говорят о его неизохронных колебаниях. При отсутствии та4
кой зависимости говорят об изохронном
F( x)
осцилляторе. В решении (4.2.8) частота
2
ω0 считается постоянной величиной, поэтому гармонический линейный осцил0
0
0.5
1
1.5
2
лятор является изохронным. Зачастую в
x
случае нелинейного уравнения колебаРис. 4.4. График эллиптического
интеграла первого рода при k =1. ний осциллятор является неизохронным. Например, из рис. 4.4 видно, что
при возрастании амплитуды колебаний будет увеличиваться период
колебаний ( F (x) → ∞ ), когда маятник раскачивается до значений ϕ →π ,
т.е. осциллятор совершает неизохронные колебания. Следует помнить,
что изохронность или неизохронность колебаний зависит не от того,
являются ли колебания малыми или нет, их тип определяется тем, что
колебания линейные, или нелинейные. В заключение исследования
математического маятника приведём его фазовый портрет (рис. 4.5)
U (ϕ )
Физический маятник – это абсолютно твёрдое тело с массой m, подвешенное в гравитационном поле (рис. 4.
ϕ 3, б). Рассмотрим его колебания относительно горизонтальной оси, когда все
a
ϕ&
точки физического маятника перемещаются в параллельных плоскостях.
Уравнение момента силы относительϕ
но оси, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости колебаний,
б
Рис. 4.5. Потенциальная энергия (а) имеет вид
и фазовый портрет (б) математичесM = − mgd sin ϕ = Iϕ&& , (4.2.15)
кого маятника.
здесь d − плечо силы (см. пункт 3.2),
равное расстоянию от точки подвеса до центра масс (см. пункт 3.4),
ϕ − угол отклонения от положения равновесия. Таким образом, уравнение колебаний физического маятника имеет вид (4.2.5), при этом
6

117

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

собственная частота колебаний
ω0 =

mgd
.
I

(4.2.16)

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной
и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями
I = I 0 + ma 2 .
(4.2.17)
Тогда определение (4.2.16) запишется в виде
ω0 =

mgd
.
I 0 + md 2

(4.2.18)

Решение уравнения типа (4.2.5) и его последующий анализ аналогичен тому, что был проведен для математического маятника. Однако
обратим внимание на тот факт, что несмотря на внешнее сходство их
уравнений колебаний, эти осцилляторы существенно различаются зависимостью собственной частоты физического маятника от его характеристик. Отметим, что при малых колебаниях формулой вида (4.2.5)
описывают поведение крутильного и пружинного (пункт 3.8) маятников. Следует помнить, что для любого другого маятника полученными формулами пользоваться нельзя.

4.3. Затухающие и нарастающие колебания
При исследовании колебаний зачастую игнорируют наличие среды, которая оказывает воздействие на движение материального тела.
Колебания в среде, препятствующей движению тела, происходит с изменением энергии, которая превращается в тепло, т.е. диссипирует,
следовательно система является неконсервативной. Другими словами,
на медленно движущийся объект с малыми размерами действует сила
трения Стокса Fтр. пропорциональная скорости движения q& . Силу трения Fтр. определяет функция Рэлея R(q, q& ) (см. пункт 2.6) по (2.6.9)
Fтр . = −

∂R ( q, q& )
= −ηq& .
∂q&
118

(4.3.1)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

При положительном коэффициенте трения (η > 0 ) сопротивление среды вызывает с течением времени уменьшение амплитуды колебаний
до нуля, поэтому говорят о затухающих колебаниях. В противоположном случае (η < 0 ) среда способствует увеличению амплитуды колебаний с течением времени, поэтому колебания называют нарастающими. Например, в случае малых колебаний тела на пружине функции
Рэлея и Лагранжа (3.8.4) равны соответственно
R =

η x& 2

mx& 2 kx 2 *
−
,Λ =
,
2
2
2

(4.3.2)

а уравнение Лагранжа (2.6.2) становится неоднородным и имеет вид
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
∂R
=−
⇒ m &x& + kx = −η x& .
⎟−
⎜
dt ⎝ ∂ x& ⎠ ∂ x
∂ x&

(4.3.3)

Выбор функции Рэлея в виде однородной квадратичной функции скорости обеспечивает малость частоты колебаний по сравнению с характерными частотами диссипативных процессов.
Разделив дифференциальное уравнение на массу тела m и введя
обозначения
η
k
, 2γ = ,
m
m

(4.3.4)

&x& + 2γ x& + ω 02 x = 0 .

(4.3.5)

ω0 =

преоборазуем (4.3.3) к виду
Решение уравнения (4.3.5) ищем в стандартном виде x = exp( χt )
χ 2 + 2 γχ + ω 02 = 0 ⇒ χ 1 , 2 = − γ m

γ 2 − ω 02 .

(4.3.6)

Периодические решения возникают только тогда, когда выражение,
стоящее под квадратным корнем становится отрицательным ( γ < ω0 ),
т.е. для сред, у которых коэффициент сопротивления лежит в интервале
− 2mω0 < η < 2mω0 ,
(4.3.7)
при этом решение уравнения имеет вид
*

При диссипации происходит убыль полной энергии ( dE dt < 0 ), что вызывает как изменение
состояния материального тела, так и среды. Это требует учёта тепловых эффектов, поэтому
рассматриваемая задача не является чисто механической, но в данном случае будем пренебрегать выделением и поглощением тепла, полагая эти процессы энергетически менее затратными.
119

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

χ 1 , 2 = − γ m i ω 02 − γ 2 .

(4.3.8)

здесь i 2 = −1 (см. пункт 1.2) – мнимая единица. Общее решение периодически затухающего колебания записывают в виде
x (t ) = exp( −γ t )[C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )] ,
(4.3.9)
где постоянные интегрирования Ci ( i = 1, 2 ) определяют из начальных
условий, например,
x(0) = x0 , x& (0) = v0
(4.3.10)
( С1 = x0 , С2 =

v0 + γ x0

ω

), величину
(4.3.11)

ω = ω 02 − γ 2

называют частотой затухающих колебаний. Представим формулу (4.
3.9) в виде
⎡
⎤
C1
C2
x(t ) = C1 + C 2 exp(−γ t ) ⎢ 2
cos(ω t ) +
sin(ω t )⎥ =
2
C12 + C 22
⎢⎣ C1 + C 2
⎥⎦
= A0 exp( −γ t )[cos δ 0 cos(ω t ) + sin δ 0 sin(ω t )] = A(t ) cos(ω t + δ 0 ) ,(4.3.12)
2

2

который изображён на рис. 4.6, а. Нарастающие колебания при отрицательных значениях коэффициента трения показаны на рис. 4.6, б.
x (t )

γ >0

x (t )

A0 exp(−γ t )

A0 exp(γ t )

0

t

0

γ <0

a

t

б

Рис. 4.6. Затухающие (а) и нарастающие (б) колебания линейного осциллятора.

Из рис. 4.6 видно, что движения маятника не вполне периодические,
хотя он через равные промежутки времени t = T / 2 ( T = 2π / ω ) проходит
положение равновесия, точки максимума и минимума функции x(t )
следуют через период T . Амплитуда затухающих колебаний в формуле (4.3.12)
(4.3.13)
A(t ) = A0 exp(−γ t )
за время τ = 1 / γ уменьшается в е раз, т.е. колебания практически зату120

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

хают в течение нескольких промежутков длительностью τ (например,
за время 10τ амплитуда уменьшается в 22000 раз). Величина
D =γ T
(4.3.14)
называется логарифмическим декрементом затухания и определяет
относительное изменение амплитуды затухающих колебаний за период T. В современной теории колебаний вместо величины (4.3.14) зачастую используют добротность, которая равна
Q=

π
D

=

ω
.
2γ

(4.3.15)

Воспользовавшись формулой (4.3.11), перепишем (4.3.15) в виде
2

⎛γ ⎞
ω
Q = 0 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ,
2γ
⎝ ω0 ⎠

(4.3.16)

которая в случае слабого затухания
2

2

⎛γ ⎞
1⎛ γ ⎞
γ << ω0 , 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ,
2 ⎝ ω0 ⎠
⎝ ω0 ⎠

(4.3.17)

принимает вид
ω
Q≈ 0
2γ

⎡ 1 ⎛ γ ⎞2 ⎤ ω
⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ≈ 0 .
⎢⎣ 2 ⎝ ω0 ⎠ ⎥⎦ 2γ

(4.3.18)

Погрешность формулы (4.3.18) при добротности Q > 5 (для механических осцилляторов добротность порядка ста) составляет не более 0,5%.
Для нахождения Фурье-спектра системы (частотного спектра)
применяют интегральное преобразование решения (4.3.12)
+∞

X (ϖ ) = ∫ x(t ) exp(−iϖ t ) dt .

(4.3.18)

−∞

С целью упрощения рассмотрения в качестве начальных условий примем x(0) = 0, x& (0) = v0 и учтём, что x(t < 0) = 0 . Тогда
X (ϖ ) =

v0

+∞

∫ exp(−γ t ) sin(ω t ) exp(−iϖ t ) dt .
ω 0
Вычислив несобственный интеграл (4.3.19), получим
X (ϖ ) =

v0

γ 2 + (ϖ − ω ) 2 γ 2 + (ϖ + ω ) 2

.

(4.3.19)

(4.3.20)

2

Функцию X (ϖ ) называют спектром мощности сигнала. На рис. 4.7
показан спектр мощности для случая слабого затухания ( γ << ω0 ), он
121

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

X (ϖ )

имеет два выраженных пика при ϖ =
= mω . Ширина пиков определяется значением коэффициента γ .
В случае, когда γ = ω 0 , решение
уравнения (4.3.5) имеет вид ( χ 1, 2 = −γ )

2

1

x(t ) = exp(−γ t )(C1 + C2 t ) .

(4.3.21)
−ω 0 ω
При γ > ω0 решение записывают в виде
Рис. 4.7. Спектр мощности осцилляx(t ) = C1 exp(− χ1t ) + C2 exp(χ 2t ) . (4.3.22)
тора при слабом затухании колебаИз решений (4.3.21) и (4.3.22) следует,
ний.
что в случаях γ ≥ ω 0 затухающие колебания являются апериодическими.
В заключение приведём фазовые портреты осцилляторов с положительным и отрицательным коэффициентом трения (рис. 4.8). Колебания в среде с отрицательx&
γ>0
x&
ным коэффициентом трения
нарастают с течением времеx
x
ни и, в конце концов, их амплитуда станет такой больγ < ω0 а
б γ > ω 0 шой, что будут нарушены
x&
x&
все предположения, выдвинутые при выводе уравнений колебаний. В результаx
x
те обычно в системе возникают нелинейные явления,
для описания которых надо
γ<0
в
г
Рис. 4.8. Фазовые портреты осциллятора в среде вводить новые допущения.
с положительным (γ > 0) и отрицательным (γ < 0) Показанные на рис. 4.8 осокоэффициентом трения с положением равновебые точки фазовых портресия: а – устойчивый фокус; б – устойчивый узел;
в – неустойчивый фокус; г – неустойчивый узел. тов не исчерпывают всё их
количество, возможно появление на фазовых портретах осцилляторов центров и сёдел (см., например, рис. 3.11), а также особой траектории – сепаратрисы, которая
разделяет области фазовой плоскости между притягивающими (атϖ

122

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

тракторы) и отталкивающими (репеллеры) центрами.
Проведенный анализ показал, что введение силы Стокса посредством функции Рэлея приводит к нарушению замкнутости динамической системы и однородности уравнения Лагранжа (2.6.2). Исходя из
общей схемы (см. пункт 1.2) можно найти преобразование, которое сохраняет замкнутость системы и однородность уравнения. При изучении консервативных систем использовались преобразования следующего вида:
− выбор системы координат с учётом симметрии задачи, т.е. преобразование обобщённых координат, являющихся аргументами функций
механического состояния;
− геометрические и алгебраические изменения системы координат
(поворот, сдвиг, деформация и переход к новой числовой системе).
Для диссипативных и неинерционных систем возникает необходимость поиска новых преобразований, приводящих к изменению:
− функций механического состояния;
− операторов уравнения;
− топологической структуры задачи;
− геометрии, алгебры и анализа;
Например, преобразование функции Лагранжа
2
kx 2 ⎞
⎛η ⎞
⎛ η ⎞ ⎛ mx&
⎟⎟ exp⎜ t ⎟
Λ = Λ exp⎜ t ⎟ = ⎜⎜
−
2 ⎠
⎝m ⎠
⎝m ⎠ ⎝ 2

(4.3.23)

приводит к тому, что внешняя сила не вводится, а новая функция Лагранжа Λ удовлетворяет однородному уравнению (2.6.2). Обратим
внимание на тот факт, что в показателе экспоненты в качестве множителя перед аргументом t стоит отношение характеристик среды и тела,
которые определяют их сопротивление возникновению движения.

4.4. Особые точки на фазовых портретах
Пусть состояние динамической системы описывается двумя координатами x и y, а её эволюция системой из двух дифференциальных
уравнений первого порядка
x& = F ( x, y ) , y& = G ( x, y ) .
(4.4.1)
123

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

Предположим, что точка A( x0 , y0 ) является положением равновесия на
фазовой плоскости. Тогда её координаты удовлетворяют системе нелинейных уравнений (см. пункт 3.7)
F ( x0 , y 0 ) = 0 , G ( x 0 , y 0 ) = 0 .
(4.4.2)
Исследуем поведение фазовых траекторий в малой окрестности этой
точки, положив x = x0 + ε и y = y0 + ξ , где ε и ξ – малые величины. С учётом (4.4.2) разложим функции F ( x, y) и G ( x, y ) в ряды Тейлора, ограничившись линейными членами ряда
F ( x, y) = F ( x0 , y0 ) + Fx′( x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy′( x0 , y0 )( y − y0 ) =
= Fx′( x0 , y0 )ε + Fy′( x0 , y0 )ξ = aε + bξ ,

(4.4.3)

G( x, y) = G( x0 , y0 ) + Gx′ ( x0 , y0 )(x − x0 ) + G′y ( x0 , y0 )( y − y0 ) =
= Gx′ ( x0 , y0 )ε + G′y ( x0 , y0 )ξ = cε + dξ .

(4.4.4)

Подстановка координат системы в окрестности положения равновесия, а также соотношений (4.4.3) и (4.4.4) преобразует (4.4.1) к виду
⎧ε& = aε + bξ
.
⎨&
=
+
ξ
c
ε
d
ξ
⎩

(4.4.5)

Эти уравнения имеют смысл только тогда, когда a 2 + b2 ≠ 0 и c 2 + d 2 ≠ 0 .
Решение системы (4.4.5) ищем в виде ε = ε 0 exp(kt ) и ξ = ξ 0 exp(kt ) . Величины ε 0 и ξ 0 (после несложных преобразований (4.4.5) в результате подстановки искомых функций) будут удовлетворять однородной
системе
⎧(a − k )ε 0 + bξ 0 = 0
.
⎨
c
ε
d
k
ξ
+
(
−
)
=
0
⎩ 0
0

(4.4.6)

Однородная система имеет бесчисленное множество решений только в том случае, когда её детерминант равен нулю
a−k b
c d −k

= 0 ⇒ k 2 − Sk + D = 0 ,

(4.4.7)

где S = a + d − сумма диагональных элементов матрицы коэффициен⎛a b⎞

⎟⎟ , называемая следом (треком) квадратной матрицы, а D −
тов A = ⎜⎜
⎝c d ⎠
детерминант матрицы A , т.е. D = det A = ad − bc . Корни характеристического уравнения (4.4.7) равны
124

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

k1, 2 =

(

1
S m
2

)

S 2 − 4D .

(4.4.8)

В зависимости от того, какие значения принимают величины S и
D , существует 5 типов особых точек на комплексной плоскости SOD :
1. S > 0 , D > 0 , S 2 < 4D − случай двух комплексно-сопряжённых корней
характеристического уравнения; особой точкой является неустойчивый фокус;
2. S > 0 , D > 0 , S 2 > 4 D − случай двух действительных положительных
корней характеристического уравнения; особой точкой является неустойчивый узел;
3. S < 0 , D > 0 , S 2 < 4D − случай двух комплексно-сопряжённых корней
характеристического уравнения; особой точкой является устойчивый
фокус;
4. S < 0 , D > 0 , S 2 > 4 D − случай двух действительных отрицательных
корней характеристического уравнения; особой точкой является устойчивый узел;
5. S − любое конечное действительное число, D < 0 − случай двух действительных и разных по знаку корней характеристического уравнения;
особой точкой является седло;
Области существования особых точек показаны на рис. 4.9.
Нахождение изображающей динаD
D = S2/4
уст.
неуст.
мическую систему точки на любой из графокусы
фокусы
уст.
неуст.
ниц между областями неустойчиво: люузлы
узлы
бое сколь угодно малое изменение положения точки переводит её в одну из обS
ластей. Поэтому такие случаи не пред0
ставляют интереса и ими пренебрегают.
Исключение составляет только случай
центры
сёдла
Рис. 4.9. Области существования S = 0 , D > 0 , когда корни характеристиособых точек
ческого уравнения являются чисто мнимыми k1, 2 = m i D . При формальном подходе такие особые точки надо назвать центрами, однако это не всегда
так. Дело в том, что для линеаризованной системы (4.4.5) условие S = 0
эквивалентно существованию закона сохранения, который может быть
125

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

продуктом процесса линеаризации. Именно поэтому особая точка в
нелинейной системе может не быть центром. Таким образом, для консервативных систем это условие однозначно определяет центр, если
потребовать, чтобы любое «шевеление» изображающей точки не нарушало консервативности исходной системы. Перечисленные типы
особых точек определяют возможные положения равновесия консервативных систем.
Функции F(x, y) и G( x, y) могут зависеть не только от переменных
x и y , но и от некоторого параметра λ . При его изменении коэффициенты системы (4.4.5) принимают другие значения. Это означает, что
фазовые траектории будут менять свой характер в окрестности особых
точек. Кроме того, изображающая точка на плоскости SOD будет
двигаться по некоторой кривой ABC (рис. 4.10). Пока точка находится в одной из областей 1-4 небольшие изменения параметра λ не меняют тип особой точки и характер фазовых траекторий. Эти изменения происходят при пересечении границ областей в точках A ,
B и C . Такая перестройка фазового портрета динамической системы называетРис. 4.10. Изменение параметра ся бифуркацией, а значение параметра,
λ на плоскости SOD, приводящее при котором она реализуется, − бифуркак бифуркации.
ционным.

4.5. Вынужденные колебания. Резонансы
Периодические изменения состояния динамической системы под
воздействием внешней силы F(t) называют вынужденными колебаниями. Сила F(t) может быть периодической или произвольной функцией времени t, её появление объясняют действием на систему внешнего поля с потенциальной энергией, зависящей от времени и линейно
от отклонения системы от положения равновесия x
U вн. (t, x) = − xF (t ) .
(4.5.1)
Уравнение Лагранжа (4.3.3) принимает вид
126

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

d
dt

∂ U вн . (t , x )
⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
=−
⇒ m &x& + η x& + kx = F (t ) .
⎜
⎟−
&
∂
∂
∂
x
x
x
⎝
⎠

(4.5.2)

Разделим уравнение (4.5.2) на массу m системы, введём обозначения
η
m

= 2λ ,

F (t )
k
= f (t ) , тогда уравнение запишется в виде
= ω 02 и
m
m
&x& + 2 γ x& + ω 20 x = f ( t ) .
(4.5.3)

Частными случаями этого уравнения являются:
− уравнение свободных колебаний (3.8.7), когда отсутствуют внешняя
сила ( f (t ) = 0 ) и сила трения (η = 0 );
− уравнение затухающих (нарастающих) колебаний (4.3.5), когда отсутствует внешняя сила ( f (t ) = 0 ).
Рассмотрим решение уравнения (4.5.3) при отсутствии диссипации энергии, т.е. когда трение в системе пренебрежимо мало. В этом
случае вынужденные колебания (рис. 4.11) описываются уравнением
&x& + ω 20 x = f ( t ) .
(4.5.4)

Пусть внешняя сила описывается периодической функцией
f (t ) = f 0 sin (ν t ) ,
(4.5.5)
f (t ) = f 0 sin (ν t )
в случае произвольной функции f (t ) её
раскладывают ряд Фурье и решение ищут
для каждой гармоники, используя принРис. 4.11. Вынужденные колеба- цип суперпозиции решений. Для неодния маятника.
нородного дифференциального уравнения он состоит в том, что решение уравнения ищут в виде суммы решений однородного уравнения (для этого правую часть уравнения обнуляют) и любого частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения – это решение уравнения (3.8.7), т.е. по (3.8.10) – x 0 = Asin(ω 0 t + ϕ ) . Частное решение неоднородного уравнения, исходя из (4.5.5), будем искать в виде
x = t n ( A cos (νt ) + B sin (νt )) .

(4.5.6)

а) Пусть ν ≠ ω 0 ( n = 0 ), тогда x = A cos (ν t ) + B sin (ν t ) . Подставляя эту

функцию и её вторую производную в уравнение (4.5.4), сравнивая ко127

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

эффициенты при одинаковых функциях и решая систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
A и B, получаем, что A = 0 , а B =

f0

ω 20 −ν 2

ние имеет вид
x = A sin (ω 0t + ϕ ) +

, следовательно, общее реше-

f 0 sin (νt )

ω 20 −ν 2

.

(4.5.7)

Если ν ≠ ω 0 , но ν ≈ ω 0 , то наблюдают резкое возрастание амплитуды
колебаний (явление резонанса). Другими словами, под действием
внешней периодической силы происходит накачка системы энергией,
что при определённой величине энергии может разрушить динамическую систему. Разрушение системы под внешним воздействием называют катастрофой. Именно под воздействием ветра происходит разрушение конструкций, морские волны обрушивают гранитные скалы,
из-за явления резонанса солдатам запрещают идти в ногу по мосту и
т.д. Решение (4.5.7) из-за значительного превышения второго члена в
сумме правой части решения принимает вид
f sin (ν t )
.
(4.5.8)
x ≈ 02
ω 0 −ν 2
В случае, когда частота вынуждающей силы значительно превышает
частоту собственных колебаний динамической системы (ν >> ω 0 ), система не успевает реагировать на изменения внешней силы и практически существует в режиме свободных колебаний, т.е при ϕ = 0 решение
(4.5.7) можно записать в виде
x ≈ A sin (ω 0t ).
(4.5.9)
б) При совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой динамической системы (ν = ω 0 ) в частном решении дифференци-

ального уравнения полагают n = 1 , т.е. x = t ( A cos (νt ) + B sin (νt )) . Подставляя эту функцию и её вторую производную в уравнение (4.5.4),
сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях и решая систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов A и B , получаем, что A = − f 0 /(2ν ) и B = 0 , следовательно,
общее решение имеет вид:
128

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

x = A sin (ν t + ϕ ) −

f 0 t cos (ν t )
2ν

.

(4.5.10)

Рассмотрим нахождение общего решения уравнения (4.5.3), выбрав случай затухающих периодических колебаний динамической системы и побуждающую силу в виде
f ( t ) = f 0 cos (ν t ) .
(4.5.11)
Решение однородного уравнения определяется формулой (4.3.9), а
частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (4.5.6) при
n = 0 , тогда
(4.5.12)
x = A cos (ν t ) + B sin (ν t ) .
Найдём производные функции и подставим все выражения в (4.5.3)
ω02 ⋅ x = A cos (νt ) + B sin (νt )
2γ ⋅ x& = −νA sin (νt ) + νB cos (νt )
1 ⋅ &x& = −ν 2 A cos (νt ) − ν 2 B sin (νt )
[(ω02 − ν 2 ) A + 2γνB ] cos (νt ) + [−2γνA + (ω02 − ν 2 ) B ] sin (νt ) = f 0 cos (νt ) .

Из сравнения коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения получаем систему линейных уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов A и B:
⎧⎪ (ω02 − ν 2 ) A + 2γνB = f 0
.
⎨
⎪⎩− 2γνA + (ω02 − ν 2 ) B = 0

(4.5.13)

Решим (4.5.13), например, методом Крамера
∆ = (ω02 − ν 2 ) 2 + 4γ 2ν 2 , ∆ A = f 0 (ω02 − ν 2 ) , ∆ B = 2 f 0γν ,
получим
f 0 (ω02 − ν 2 )
2 f γν
∆A
∆
A=
= 2
, B = B = 2 2 02
. (4.5.14)
2 2
2 2
∆ (ω0 − ν ) + 4γ ν
∆ (ω0 − ν ) + 4γ 2ν 2

Таким образом, в рассмотренном случае общее решение уравнения (4.
5.3) имеет вид
x (t ) = x0 (t ) + x (t ) = exp( −γ t )[C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )] +
2 f 0γν
f 0 (ω 02 − ν 2 )
cos(ν t ) + 2
+ 2
sin(ν t ) . (4.5.15)
2 2
2 2
(ω 0 − ν ) + 4γ ν
(ω 0 − ν 2 ) 2 + 4γ 2ν 2

Вводя обозначения
ω02 − ν 2
2γν
sin
=
,
ψ
,
cosψ =
(ω02 − ν 2 ) 2 + 4γ 2ν 2
(ω02 − ν 2 ) 2 + 4γ 2ν 2
129

(4.5.16)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

запишем (4.5.15) в виде
x (t ) = exp( −γ t )[C1 cos(ωt ) + C 2 sin(ωt )] +
+

f0

(ω 02 − ν 2 ) 2 + 4γ 2ν 2

[cosψ cos(νt ) + sin ψ sin(νt )] =

= exp( −γ t )[C1 cos(ω t ) + C2 sin(ω t )] +
+

f0
(ω02 − ν 2 ) 2 + 4γ 2ν 2

cos(ν t + ψ )

.

(4.5.17)

Решение (4.5.17) показывает, что динамическая система участвует в двух типах движений: первое слагаемое описывает затухающие
колебания, а второе – вынужденные колебания, вызванные действием
внешней гармонической силы. При достаточно больших временах первое слагаемое настолько уменьшается (см. раздел 3.3), что его вклад в
общее движение становится несущественным. Следовательно, в течение нескольких промежутков времени установления τ = 1/ γ наблюдается суперпозиция двух типов колебаний, после чего остаются только
вынужденные колебания. Кроме того, из формулы (4.5.17) видно, что
при точном совпадении собственной частоты динамической системы и
частоты вынуждающей силы ν = ω0 решение (4.5.17) переходит в выражение
x (t ) = exp( −γ t )[C1 cos( ω t ) + C 2 sin( ω t )] +

f0
2γω 0

cos( ω 0 t + ψ ) . (4.5.18)

В пункте 4.3 отмечалось, что все механические осцилляторы характеризуются высокой добротностью (4.3.15), т.е. затухание в них невелико ( γ << ω0 , а ω ≅ ω0 − по (4.3.11)). Поэтому для начальных условий
покоящегося осциллятора,
x(0) = x0 , x& (0) = 0 ,

(4.5.19)

на который начинает действовать вынуждающая сила, постоянные инγ
ω

тегрирования равны С1 = x0 и С2 = x0 . Следовательно, второе слагаемое
в формуле (4.5.17) будет значительно меньше первого. В силу того,
что вынуждающая сила действует против движения затухающего осциллятора, то положим фазу ψ = π . Введённые ограничения позволяют записать (4.5.18) в виде функции
130

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

x (t ) = −

f0
2γω 0

[1 − exp( −γ t )] cos( ω 0 t ) ,

(4.5.20)

которая изображена на рис. 4.12. При достаточно больших временах
в динамической системе устанавливаютx(t )
ся вынужденные колебания, если среда
f /( 2γω )
имеет малый коэффициент трения, а часt
тота побуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Амплитуда
− f /(2γω )
этих осцилляций по (4.5.17) задаётся форnτ = n / γ
мулой
Рис. 4.12. Колебания осциллятоf 0 / ω 02
A (u ) =
, (4.5.21)
ра в среде с малым трением при
2 2
2
2
0

0

0

0

(1 − u ) + u / Q

совпадении собственной частоты
системы с частотой вынуждающей силы.

где u = ν / ω0 , а Q – добротность осциллятора, определяемая формулой (4.3.15).
Вид функции (4.5.21) при различных значениях добротности (величин затухания γ ) показан на рис. 4.13. Возрастание амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте динаAω 02
мической системы называют резонансом,
f0
γ =0
а график амплитуды (4.5.21) в зависимосγ3
ти от частоты внешней силы – резонансγ2
ной кривой. Из рис. 4.13 видно, что повыγ1
1
шение добротности осциллятора привоν
0 ω0
дит к увеличению остроты пика резонанРис. 4.13. Резонансные функции сной кривой. Чем ближе частота вынужпри различных значениях вели- дающей силы к резонансной частоте, тем
чин затухания γ ( γ 1 < γ 2 < γ 3 ) ближе к ней наблюдают максимальное
и малой добротности системы.
значение амплитуды. Для точного вычисления резонансной частоты найдём точки экстремума функции (4.5.21), которые совпадают с точками экстремума функции
φ (u ) = (1 − u 2 ) 2 + u 2 / Q 2 .
(4.5.22)
Вычислим первую производную функции (4.5.22) и приравняем её к
нулю
131

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

φ ′(u ) = − 4u (1 − u 2 ) + 2u / Q 2 = 2u[ − 2(1 − u 2 ) + 1 / Q 2 ] = 0 . (4.5.23)

Из (4.5.23) видно, что корни уравнения
u1 = 0 , u 2 = 1 −

1
.
2Q 2

(4.5.24)

Корень u 2 отвечает за появление резонанса, поэтому резонансная частота вынуждающей силы
ν р2 = ω02 − 2γ 2 .

(4.5.25)

Равенство (4.5.25) показывает, что чем меньше затухание в системе,
тем ближе резонансная частота к собственной частоте свободных колебаний осциллятора.
Вычислим значения амплитуды (4.5.21) в точках (4.5.24), получим
A ( u = u1 ) = A ( 0 ) =

f0

ω

2
0

, A (u = u 2 ) = A (ν p ) =

f0
2γω 0

. (4.5.26)

Отношение максимальной амплитуды гармонической к амплитуде постоянной вынуждающей силы равно добротности осциллятора
A (ν p )
=Q,
(4.5.27)
A(0)

т.е. для высокодобротных осцилляторов размах колебаний может оказаться значительным. Отсюда следует, что система устойчивая в статических условиях, может разрушиться под воздействием внешней
силы, содержащей частотные компоненты в окрестности резонансной
частоты. Для избежания катастрофических последствий необходимо
проводить тщательный анализ резонансных частот деталей и конструкций, особенно крепёжных балок, мостов, турбин моторов, корпусов самолётов, надводных и подводных кораблей, а также сложных
электрических и радиотехнических схем.
Для высокодобротных динамических систем разложим функцию
(4.5.22) в ряд вблизи точки u = u2 (по второму равенству (4.5.26) u2 ≈ 1 ),
ограничившись двумя членами ряда:
φ (u ) ≈

1
+ 4(u − 1) 2 .
2
Q

(4.5.28)

Подстановка (4.5.28) в (4.5.21) и возврат к размерным величинам дают
для амплитуды выражение вида
132

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

A (ν ) =

f 0 /( 2γω 0 )
1 − [(ν − ω 0 ) / Q ]2

=

A0
1 − [(ν − ω 0 ) / Q ]2

.

(4.5.29)

В этом приближении резонансная кривая симметрична относительно
резонансной частоты (рис. 4.14). Зачастую её называют лоренцевой
A(ν )
кривой, а формулу (4.5.29) – распределеA0
нием Лоренца. Проводя измерения в ок1
рестности резонансной частоты, можно
1
по форме лоренцевой кривой найти па2
раметры осциллятора: собственную частоту и добротность.
ν
Изменение собственной частоты
0
ω0 − γ ω0 ω0 + γ
динамической системы с течением вреРис. 4.14. Резонансная кривая при мени приводит к возникновению паравысокой добротности системы.
метрической неустойчивости и параметрического резонанса. Например, уравнение свободных колебаний с меняющейся частотой имеет вид
&x&(t ) + ω 2 (t ) x (t ) = 0 .
(4.5.30)
Из многообразия динамических систем наибольший интерес представляют те, которые по своему поведению близки к гармоническому осциллятору. В случае, когда функция ω (t ) близка к константе, свойства
системы определяются соотношением между периодом осциллятора
T ≈ 2π / ω(t ) и некоторым характерным временем изменения функции
ω (t ) , которое обозначим через τ . Можно выделить три основных случая:
1) Указанные времена одного порядка, т.е. τ ~ T . В этом случае говорят о параметрических колебаниях. Если функция ω (t ) изменяется с
периодом T , то возможно возникновение параметрической неустойчивости, когда любое малое отклонение системы от положения равновесия будет приводить к нарастанию размаха колебаний. Отметим,
что для развития параметрической неустойчивости требуется, чтобы в
системе уже изначально существовали колебания.
2) Функция ω (t ) мало меняется за один период T , т.е. τ >> T . Этот случай соответствует адиабатически медленному изменению свойств системы.
133

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

3) Функция ω (t ) быстро меняется за один период T , т.е. τ << T . В этом
случае могут возникнуть физические эффекты, связанные с усреднением быстрых колебаний в неоднородных пространственных полях.
Параметрический резонанс возникает при выполнении условия
T≈

nT0
2π
, T0 =
, n = 1, 2, 3, ...
ω0
2

(4.5.31)

При n = 1 говорят об основном резонансе, а для n ≠ 1 − о резонансе
n -ого порядка. Особенностями параметрического резонанса являются:
− появляется в колебательной системе с периодически меняющимися
параметрами при выполнении условия (4.5.31);
− для развития параметрической неустойчивости в системе должны
существовать колебания, так как в покоящейся системе изменение
параметров не ведёт к возбуждению осцилляций;
− в диссипативных колебательных системах параметрическая неустойчивость появляется при достаточно большой голубине модуляции параметров системы.

4.6. Уравнение Матье
Пусть функция ω (t ) изменяется с течением времени по гармоническому закону
ω 2 ( t ) = ω 02 f ( t ) ,
(4.6.1)
где f (t ) − функция с периодом T , т.е. f (t + T ) = f (t ) . Например, уравнение
&x&( t ) + ω 02 [1 + ε cos( ν t )] x ( t ) = 0
(4.6.2)
называется уравнением Матье. Если параметр ε мал ( ε << 1 )*, то можно ввести ещё один малый параметр при использовании формулы (4.
5.31)
nν
, δ << ω0 .
(4.6.3)
2
Для случая основного резонанса ( n = 1 ) решение уравнения (4.6.2) бу-

δ = ω0 −

дем искать в виде (3.8.9)
*

Точные решения уравнения (4.6.2) при произвольных значениях параметра ε выражаются
через специальные функции Матье, поэтому анализ решений затруднителен.
134

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

⎛ν t ⎞
⎛ν t ⎞
x (t ) = a (t ) cos ⎜ ⎟ + b (t ) sin ⎜ ⎟ .
(4.6.4)
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Введение двух новых функций a(t ) и b(t ) порождает необходимость

дополнительной связи между ними, которую выберем в виде дифференциального равенства
⎛ν t ⎞
⎛ν t ⎞
a& (t ) cos⎜ ⎟ + b&(t ) sin ⎜ ⎟ = 0 .
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠

(4.6.5)

При отличных от нуля* параметрах ε и δ вычислим первую и
вторую производные от функции (4.6.4) с учётом соотношения (4.6.5)
и подставим вторую производную и функцию (4.6.4) в уравнение (4.
6.2). Полученное уравнение совместно с (4.6.5) позволяют выразить
функции a& (t ) и b&(t ) по отдельности
⎡ 2 ⎛ν ⎞2 ⎤
ν a& (t ) = ⎢ω 0 − ⎜ ⎟ ⎥ [a (t ) sin(ν t ) − b (t ) cos(ν t ) + b (t ) ] +
,
⎝2⎠ ⎦
⎣
+ εω 02 [ a (t ) sin( 2ν t ) − b (t ) cos( 2ν t ) + 2b (t ) cos(ν t ) − b (t )]

(4.6.6)

⎡ 2 ⎛ν ⎞2 ⎤
&
ν b (t ) = − ⎢ω 0 − ⎜ ⎟ ⎥ [a (t ) cos(ν t ) + b (t ) sin(ν t ) + a (t ) ] −
,
⎝2⎠ ⎦
⎣
− εω 02 [ a (t ) cos( 2ν t ) + b (t ) sin( 2ν t ) + 2 a (t ) cos(ν t ) + a (t )]

(4.6.7)

Выражение
2

ν ⎞⎛
ν⎞
⎛ν ⎞ ⎛
ω − ⎜ ⎟ = ⎜ ω0 − ⎟⎜ ω0 + ⎟ = δ (2ω0 − δ ) ≈ 2ω0δ ,
2 ⎠⎝
2⎠
⎝2⎠ ⎝
2
0

(4.6.8)

следовательно, правые части уравнений (4.6.6) и (4.6.7) пропорциональны малым параметрам ε и δ , т.е. скорости изменения функций
a(t ) и b(t ) тоже малы.
Таким образом, в правых частях уравнений (4.6.6) и (4.6.7) присутствуют как медленно изменяющиеся с течением времени амплитудные функции a(t ) и b(t) , так и быстро колеблющиеся функции вида
a(t ) cos(νt ) , b(t ) sin(νt ) и другие. Так как за промежуток времени, равный
периоду колебаний T , функции a(t ) и b(t ) практически не изменяются,
то уравнения (4.6.6) и (4.6.7) можно усреднить по этому промежутку
времени, причём при усреднении быстро осциллирующих функций
*

При нулевых значениях параметров ε и δ выражение (4.6.4) даёт точное решение уравнения
(4.6.2), причём функций a(t ) и b(t ) являются постоянными.
135

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

амплитуды a(t ) и b(t ) можно считать постоянными. Средним значением функции f (t ) за интервал T называют величину
f (t ) =

1 t +T
∫ f (u) du ,
T t

(4.6.9)

а способ решения уравнения – методом усреднения. Вычисление интегралов (4.6.9) от быстро меняющихся функций вида a (t ) cos(νt ) приводит к нулевому результату в силу постоянства амплитуд a(t ) и b(t)
на промежутке времени, равном периоду колебаний T. Ненулевой
вклад дают функции a(t ) = a (t ) , a& (t ) = a& (t ) , b(t ) = b (t ) и b&(t ) = b& (t ) .
Применив метод усреднения к уравнениям (4.6.6) и (4.6.7), получим
⎡ 2 ⎛ν ⎞2
⎤
ν a& (t ) = ⎢ω 0 − ⎜ ⎟ − εω 02 ⎥ b (t ) ,
(4.6.10)
2
⎠
⎝
⎣
⎦
⎡ 2 ⎛ν ⎞2
⎤
&
ν b (t ) = − ⎢ω 0 − ⎜ ⎟ + εω 02 ⎥ a (t ) .
(4.6.11)
2
⎠
⎝
⎣
⎦
2ω
Учитывая (4.7.8) и полагая 0 = 1 , преобразуем уравнения (4.6.10) и
ν

(4.6.11) к виду

εω 0 ⎞
⎧&
⎛
⎪ a (t ) = ⎜ δ − 2 ⎟b (t )
⎪
⎝
⎠
.
⎨
εω
0 ⎞
⎪b& (t ) = − ⎛⎜ δ +
⎟ a (t )
⎪⎩
2 ⎠
⎝

Ищем решение в виде экспоненциальной подстановки
a (t ) = a 0 exp( kt ) , b (t ) = b0 exp( kt ) .
Тогда (4.6.12) примет вид
εω 0 ⎞
⎧
⎛
⎪ ka 0 − ⎜ δ − 2 ⎟b0 = 0
⎪
⎝
⎠
.
⎨
εω
0 ⎞
⎪⎛⎜ δ +
⎟ a 0 − kb0 = 0
⎪⎩⎝
2 ⎠

(4.6.12)

(4.6.13)

(4.6.14)

Однородная система линейных уравнений относительно величин a0 и
b0 имеет решение только тогда, когда её детерминант равен нулю, т.е.
k

δ+

εω0
2

εω ⎞
⎛
− ⎜δ − 0 ⎟
2 ⎠ = 0.
⎝
k
136

(4.6.15)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

Вычислив определитель второго порядка, и решив простейшее квадратное уравнение, получим
2

k 1, 2

⎛ εω ⎞
= m ⎜ 0 ⎟ −δ 2 .
⎝ 2 ⎠

(4.6.16)

Положительность подкоренного выражения в (4.6.16) имеет место в случае, когда
−

εω0
2

<δ <

εω0
2

,

(4.6.17)

тогда корень с положительным знаком будет приводить к возрастанию
функций a(t ) и b(t) . Это означает, что попадание величины δ в интервал (4.6.17) приводит к возникновению параметрической неустойчивости (рис. 4.15) . Максимального значения коэффициент неустойчивости достигает при δ = 0 и равен
ε

область
неуст.

ε min
1
2

k max =

ω0
ν

εω 0
2

.

(4.6.18)

В силу малости величины ε параметрическая неустойчивость слабая, что согласуется с гипотезой о медленном изменении функций a(t ) и b(t) . При выполнении неравенства

Рис. 4.15. Область параметрической неустойчивости для уравнения
Матье (пунктиром показана зона
неустойчивости при учёте малого
затухания).

δ >

εω0
2

(4.6.19)

корни (4.6.16) становятся чисто мнимыми, но решение при этом ограничено.
Отметим, что граница области параметрической неустойчивости ограничивается двумя прямыми, выходящими из точки 1/2.
Для диссипативной системы уравнение колебаний с медленно
меняющейся частотой имеет вид
&x&( t ) + 2 γ x& ( t ) + ω 02 [1 + ε cos( ν t )] x ( t ) = 0 ,
(4.6.20)
где коэффициент затухання γ не зависит от времени. Этот факт позволяет искать решение уравнения (4.6.20) в виде x(t ) = y (t ) exp(−γ t ) , причём функция y (t ) удовлетворяет уравнению Матье
&y&( t ) + ω 02 [1 − (γ / ω 0 ) 2 + ε cos( ν t )] y ( t ) = 0
(4.6.21)
137

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

со сдвинутой собственной частотой. Малость затухания позволяет
пренебречь этим сдвигом. Тогда при действительных корнях характеристического уравнения для (4.6.20) условием возникновения параметрической неусточивости будет неравенство
2

⎛ εω ⎞
γ < ⎜ 0 ⎟ −δ 2 .
⎝ 2 ⎠

(4.6.22)

Новая граница области неустойчивости при учёте слабого затухания
показана пунктиром на рис. 4.15. Из рис. 4.15 видно, что зона неустойчивости не касается оси абсцисс и существует минимальное значение
параметра ε ( ε min = 2 / Q ), ниже которого параметрическая неустойчивость возникнуть не может.
На практике параметрический резонанс наблюдается для первых
двух-трёх резонансов (4.5.31), причём наблюдается насыщение нараставшей амплитуды колебаний из-за проявления нелинейных свойств
системы.

4.7. Адиабатический инвариант
Если на протяжении нескольких периодов колебаний функция
ω 2 ( t ) = ω 02 f ( t / τ )
(4.7.1)
(τ – характерное время изменения безразмерной функции f (t / τ ) ) остаётся практически постоянной, то говорят о динамической системе с
медленно меняющимися параметрами. Условием медленности является неравенство ω0τ >> 1 , но так как τ ~ f (t / τ ) /

df (t / τ )
, то для заdt

висимости (4.7.1) это условие имеет вид
1 d ω (t )
<< 1 .
ω (t ) dt
2

(4.7.2)

Очевидно, что в нулях функции ω (t ) это условие будет нарушаться (в
нулях выражение слева в неравенстве (4.7.2) устремляется к бесконечности), поэтому в дальнейшем будем рассматривать интервалы без нулей функции ω (t ) .
Два линейно-независимых решения уравнения (4.5.30) с медленно меняющейся частотой ω (t ) задаются формулами
138

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

x (t ) =

t
1
exp ⎛⎜ ± i ∫ ω (u ) du ⎞⎟ .
ω (t )
⎝ 0
⎠

(4.7.3)

Они называются приближением Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБприближением). ВКБ-приближение сыграло значительную роль в квантовой механике, так как уравнение (4.5.30) также описывает распространение волн в слабонеоднородной среде. В частности, оно описывает волну де Бройля для квантовой частицы в медленно меняющемся в
пространстве потенциальном поле.
Воспользовавшись преобразованиями, применёнными при выводе формулы (4.3.12), при заданных начальных условиях запишем (4.7.
3) в виде
x (t ) =

t
A0
⎛
cos ⎜ ∫ ω (u ) du + ϕ 0 ⎞⎟ = A (t ) cos[ Φ (t )] ,
ω (t )
⎝0
⎠

(4.7.4)

A0
− медленно меняющаяся амплитуда колебаний, функω (t )

где A(t ) =
t

ция Φ(t ) = ∫ ω (u )du + ϕ 0 − их фаза, ϕ 0 − начальная фаза. Из определения
0

фазы следует важное соотношение с учётом теоремы Барроу
dΦ (t ) d ⎛ t
= ⎜ ∫ ω (u ) du + ϕ 0 ⎞⎟ = ω (t ) .
dt
dt ⎝ 0
⎠

(4.7.5)

Так как амплитуда изменяется медленно, то
x& (t ) = A& (t ) cos[ Φ (t )] − ω (t ) A (t ) sin[ Φ (t )] ≈ −ω (t ) A (t ) sin[ Φ (t )] .(4.7.6)

Исследуем изменение во времени полной механической энергии
тела с массой m, совершающего свободные колебания на пружине с
жёсткостью k(t), которая медленно изменяется на интервале, равном
периоду колебаний. Энергия системы E(t) равна
mx& 2 (t ) k (t ) x 2 (t ) m 2
E (t ) =
+
= [ x& (t ) + ω 2 (t ) x (t )] .
2
2
2

(4.7.7)

Подстановка в равенство (4.7.7) выражений (4.7.4) и (4.7.6) переводит
его в соотношение
E (t ) =

mA02
ω (t ) .
2

(4.7.8)

Таким образом, при колебаниях динамической системы с медленно
меняющейся частотой возникает сохраняющаяся величина, определяемая формулой
139

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

E (t ) mA02
I=
=
= const .
ω (t )
2

(4.7.9)

Такие комбинации динамических величин, которые сохраняются при
медленном изменении параметров системы, называют адиабатическими инвариантами.
Адиабатический инвариант (4.7.9) имеет простую геометрическую интерпретацию. Фазовым портретом осциллятора в координатной
системе ( x(t ) , p(t ) ) при неизменных параметрах осциллятора является
эллипс (рис. 4.16) с полуосями
a = 2 E / k , b = 2mE .
(4.7.10)
Его площадь равна
S = πab = π 2mE

2E
m
E
= 2πE
= 2π = 2πI .
k
k
ω

(4.7.11)

При медленном изменении параметров
системы её фазовый портрет будет бли2mE
зок к эллипсу с текущими значениями
энергии и частоты, площадь которого
x
пропорциональна адиабатическому инварианту I. Следовательно, на больших
2E / k
временах фазовая траектория осцилляРис. 4.16. Адиабатический инвари- тора подстраивается в каждый момент
ант − площадь замкнутой траекто- времени к замкнутой траектории, плории.
щадь которой сохраняется.
Площадь фазовой плоскости, ограниченной одним витком замкнутой траектории, вычисляют по формуле (см. также пункт 2.7)
S = ∫ pdx ,
(4.7.12)
тогда адиабатический инвариант равен
p

I=

1
∫ pdx.
2π

(4.7.13)

Форма записи адиабатического инварианта в виде (4.7.13) справедлива
для осцилляторов с одной степенью свободы любого типа. Если осциллятор имеет n степеней свободы и допускает разделение переменных, то он обладает n адиабатическими инвариантами (4.7.13).
140

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

Адиабатический инвариант можно получить и непосредственно из уравнения колебаний (4.5.30), для чего умножим его на импульс p (t ) = mx& (t )
m d x& 2 m ω 2 (t ) dx 2
d ⎛ m x& 2 m ω 2 (t ) x 2 ⎞
+
= ⎜
+
⎟−
2 dt
2
2
dt
dt ⎝ 2
⎠
2
2
2
m ω (t ) x
1 d ω (t ) dE
1 d ω (t )
−
=
−
2
U
(
x
,
t
)
= 0 . (4.7.14)
2
dt
ω 2 (t ) dt
ω (t ) dt

m x&&x& + ω 2 ( t ) mx x& =

Усредним уравнение (4.7.14) по одному периоду быстрых колебаний
2π / ω (t ) по формуле (4.6.9). За это время не изменяются полная энергия системы и множитель при потенциальной энергии U ( x, t ) , а среднее от неё равно половине энергии системы. Таким образом, получаем
1 dE (t )
1 d ω (t )
=
.
E ( t ) dt
ω (t ) dt

(4.7.15)

Интегрирование уравнения (4.7.15) приводит к соотношению (4.7.9).

4.8. Перевёрнутый маятник Капицы
Если в уравнении Матье (4.6.2) частота изменения параметра ν
значительно превышает собственную частоту осциллятора ω0, то уравнение записывают в виде (ν >> ω0 )
&x&( t ) + ω 02 x ( t ) = − εω 02 x ( t ) cos( ν t )
(4.8.1)
или
&x& + ω 02 x = A ( x ) cos( ν t ) ,
(4.8.2)
где амплитуда A ( x ) = −εω 02 x вынуждающей силы F ( x, t ) = A( x ) cos(νt )
зависит от мгновенного положения осциллятора. Уравнение (4.8.2) является частным случаем уравнения, описывающего движение частицы
под действием медленно меняющейся в пространстве силы f ( x ) и гармонической вынуждающей силы F ( x, t ) , изменяющейся с большой
частотой во времени и плавно меняющейся в пространстве амплитудой,
&x& + f ( x ) = F ( x , t ) .
(4.8.3)
Частица перемещается вдоль плавной траектории и под действием быстро меняющейся силы совершает вокруг неё колебания с малой
141

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

амплитудой (рис. 4.17). Решение уравнения (4.8.3) будем искать в виде
x ( t ) = X ( t ) + ξχ ( t ) ,
(4.8.4)
здесь функция X (t ) представляет собой
результат усреднения функции x(t ) по
периоду быстрого движения 2π /ν , т.е.
X (t ) = x(t ) , величина ξ = ω0 /ν << 1. РазлоРис. 4.17. Движение частицы вбли- жим функции f (x) и F ( x, t ) в ряды, огрази замкнутой траектории.
ничившись линейными членами по параметру ξ, получим
∂A( X )
df ( X )
X&& + ξ χ&& + f ( X ) + ξ
χ = A ( X ) cos(ν t ) + ξ
χ cos(ν t ) .(4.8.5)
∂x
dx
df ( X )
χ << χ&& , т.к. при поиске решения по виду правой
Функция
dx
части вторая производная будет умножаться на большую величину ν 2 .
Функция A( X ) слабо меняется со временем, поэтому на периоде быс-

трого движения 2π /ν её можно считать постоянной. Таким образом,
уравнение (4.8.5) разбивается на равенства быстро и медленно осциллирующих функций, компенсирующих друг друга,
⎧ξχ&& = A( X ) cos(νt )
⎪
⎨ &&
.
(4.8.6)
∂A( X )
ξ
χ
ν
X
+
f
(
X
)
=
cos(
t
)
⎪⎩
∂x
Решение первого уравнения системы (4.8.6) имеет вид
χ =−

A( X )

ξν 2

cos(νt ) ,

(4.8.7)

в чём можно убедиться, вычислив вторую производную от (4.8.7) с
учётом изложенных ограничений. Подстановка (4.8.7) в правую часть
второго уравнения системы (4.8.6) и усреднение по быстрым осцилляциям ( cos 2 (νt ) = 1 ), приводит к уравнению
2
&X& + f ( X ) = − ∂ ⎡ A ( x) ⎤ .
∂x ⎢⎣ 2ν 2 ⎥⎦ x= X

(4.8.8)

Если функция f (x) задаётся потенциальной энергией U (x) , т.е.
f ( x ) = ∂ U ( x ) / ∂x , то медленные движения динамической системы происходят в эффективном поле
142

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4
2
&X& = − ∂ ⎧⎨U ( x) + A ( x) ⎫⎬ = − ∂ U эфф. ( x) .
∂x
∂x ⎩
2ν 2 ⎭

(4.8.9)

Из данного уравнения видно, что вынуждающая сила так действует на
осциллятор, что он смещается в область с меньшей амплитудой A( x ) .
При расчёте маятника с быстро вибрирующим подвесом (рис. 4.18)
этот результат был получен П.Л. Капиy
m
цей (1951). Точка подвеса маятника соθ
вершает вертикальные вибрации с ампl
литудой a и частотой ν , масса маятника
A
m, длина стержня l и угол отклонения от
a
x
вертикали θ . Колебания маятника КаO
пицы описывается уравнением
Рис. 4.18. Маятник Капицы.
mlθ&& = mgl sinθ − mlaν 2 sin(νt ) sinθ .(4.8.10)
Предположим, что изменение угла
отклонения от вертикали θ (t ) с течением времени можно представить
в виде суперпозиции медленного ϕ (t ) и быстрого ψ (t ) движений, т.е.
θ (t ) = ϕ (t ) + ψ (t ) . Применяя вышеописанную процедуру усреднения,
найдём, что на маятник действует дополнительная пара сил, стремящаяся расположить маятник вдоль направления вибраций и создаёт
вибрационный момент
ma 2ν 2
M вибр . (ϕ ) = −
sin[ 2ϕ (t )] .
(4.8.11)
4

Следовательно, эффективный полный момент для усреднённого движения равен
ma 2ν 2
M эфф . (ϕ ) = mgl sin ϕ (t ) −
sin[ 2ϕ (t )] .
(4.8.12)
4

Положения равновесия маятника определяются условие M эфф. (ϕ ) = 0 ,
среди решений которого присутствует тривиальное решение ϕ = 0 .
Для устойчивости этого положения «вверх ногами» необходимо выполнение неравенства dM эфф. (ϕ ) / dϕ < 0 , т.е. a 2ν 2 > 2 gl . В статье “Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса”*
Капица пишет: «Когда прибор приведен в действие, то стержень ведет
*

Журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 21, с. 588-601 (1951)
143

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 4

себя так, как будто для него существует особая сила, направленная по
оси колебания подвеса. Поскольку частота колебаний подвеса велика,
то изображение стрежня маятника воспринимается глазом несколько
размытым, и колебательное движение незаметно. Поэтому явление
устойчивости производит неожиданное впечатление. Если маятнику
сообщить толчок в сторону, то он начинает качаться, как обычный маятник… Эти колебания затухают, и маятник приходит в вертикальное
положение». В статье “Маятник с вибрирующим подвесом”* он добавляет: «Если повернуть прибор так, что маятник колеблется в горизонтальной плоскости, то на движение исключается влияние момента силы тяжести. Если осторожно прикасаться пальцем к стрежню маятника и отводить его в сторону, то палец чувствует давление, производимое вибрационным моментом, и легко убедиться, что его наибольшая величина соответствует углу поворота 45º».
Из вышеизложенного материала следует, что любая динамическая система, имеющая положения равновесия, может совершать в их
окрестности колебания. Если периодические движения происходят при
отсутствии внешней силы и могут осуществляться неограниченно долго, то колебания называют свободными или собственными. В реальных системах внешняя среда сопротивляется изменению состояния
системы, что проявляется в виде трения, которое вызывает диссипацию энергии и затухание колебаний. Воздействие гармонической силы на осциллятор приводит к появлению резонанса, т.е. нарастанию
амплитуды колебаний при приближении частоты колебаний внешней
силы к собственной частоте системы. Изменение с течением времени
параметров системы сопровождается возникновением параметрической неустойчивости, параметрического резонанса, разделением колебаний на быстрые и медленные, добавлением в потенциальную энергию или в полный момент сил дополнительных слагаемых. Колебания
описываются линейными дифференциальными уравнениями. На фазовых портретах систем выделяют различные области с особыми точками, характерными для той или иной динамической системы.
*

Успехи физических наук, т. 44, с. 7-20 (1951)
144

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

Глава 5. Рассеяние. Дискретность. Волны
Искуснее всего скрывает свой талант
тот, кому нечего скрывать
Э. Бёрк

Столкновение материальных частиц приводит к рассеянию одних частиц на других. В результате этого процесса изменяются их импульсы (упругое рассеяние) и, возможно, внутренние состояния частиц, или образуются объединения частиц (неупругие процессы). Основной количественной характеристикой рассеяния является эффективное сечение рассеяния σ, которое пропорционально вероятности
процесса. Измерение сечений рассеяния позволяет исследовать законы
взаимодействия частиц, а также выявлять их структуру. Столкновения
частиц происходит в соответствии с законами сохранения импульса и
энергии. Ещё М.В. Ломоносов в письме (5.07.1748) к Л. Эйлеру писал*: «Но все встречающиеся в природе изменения происходят так,
что если к чему-либо нечто прибавилось, то это отнимается у чего-то
другого. Так, сколько материи прибавляется какому-либо телу, столько же теряется у другого… Так как это всеобщий закон природы, то он
распространяется и на правила движения: тело, которое своим толчком возбуждает другое к движению, столько же теряет от своего движения, сколько сообщает другому, им двинутому…».
В нерелятивистской механике задача столкновения двух частиц
сводится к задаче рассеяния одной частицы с приведённой массой (см.
пункт 3.4) на неподвижном силовом центре. Траектория частицы в силовом поле центра искривляется, что отвечает рассеянию частицы.
Угол θ между начальным и конечным направлениями импульса рассеиваемой частицы называют углом рассеяния. Он зависит от взаимодействия между частицами и от прицельного параметра ρ (расстояние, на
котором частица пролетела бы от силового центра при отсутствии вза*

М.В. Ломоносов. Полное собрание сочинений. Труды по физике и химии. 1747-1752. Т.2.
– М.-Л.: Изд. АН СССР, 1951. – С. 183-185.
145

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

имодействия). При рассеянии частиц задачи могут быть поставлены
двумя способами: 1) известны состояния рассеиваемой и рассеивающей частиц до столкновения, требуется определить их импульсы после столкновения; 2) известна потенциальная энергия взаимодействия
частиц, требуется найти параметры процесса рассеяния. Если рассеяние частиц носит неупругий характер, то они могут объединяться в цепочки, образовывать плоскости и объёмные среды с внутренней структурой или её отсутствием. Смещения частиц из положений равновесия
в таких системах порождают колебания и волны.
Отличительной чертой волн является то, что они переносят энергию и в редких случаях вещество. В XV веке Леонардо да Винчи писал о волнах*: «Импульс гораздо быстрее воды, потому что многочисленны случаи, когда волна бежит от места своего возникновения, а вода не двигается с места, − наподобие волн образуемых в мае на нивах
течением ветров; волны кажутся бегущими по полю, между тем нивы
со своего места не сходят». В физическом энциклопедическом словаре
(М., 1960) написано (с. 312): «Волны – возмущения, распространяющиеся с конечной скоростью в пространстве и несущие с собой энергию». Многообразие типов волн не позволяет дать им более точное
определение. Так Дж. Уизем в монографии “Линейные и нелинейные
волны” (М.: Мир, 1977) отмечает (с. 8-9): «По-видимому, не существует единого строгого определения волн. Можно дать различные частные определения, но чтобы охватить весь диапазон волновых процессов, предпочтительнее руководствоваться интуитивным представлением о волне как о любом различимом сигнале, передающимся от одной части среды к другой с некоторой определённой скоростью. Такой
сигнал может быть возмущением любого вида… Этот сигнал может
искажаться, изменять свою величину и скорость, но при этом должен
оставаться различимым. Такое определение может показаться несколько расплывчатым, но оно оказывается вполне приемлемым, а любая попытка дать более строгое представляется слишком ограничительной,
поскольку различным типам волн присущи различные характерные
черты».
*

Леонардо да Винчи. Избранные естественно-научные произведения. – М.: Изд. АН СССР,
1955. – С. 350.
146

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

5.1. Вектор Рунге-Ленца-Лапласа. Упругое столкновение
В пункте 3.5 было рассмотрено движение частицы в полях притяжения (полная механическая энергия E < 0 ) и отталкивания ( E ≥ 0 ),
т.е. в полях Кулона с потенциальной энергией
U (r ) = m

α
r

,

(5.1.1)

где знак «−» соответствует притяжению, а «+» − отталкиванию. В первом случае движение частицы финитно и она перемещается по эллипсу, а во втором – инфинитно и перемещение происходит по параболе
( E = 0 ) или гиперболе ( E > 0 ), причём траектории проходят мимо силового центра. В этих полях сохраняется вектор Рунге-Ленца-Лапласа
(3.5.29)
RL = [v × L p ] + α

r
= const ,
r

где r − радиус-вектор, r − его модуль, определяющий расстояние от
силового центра до частицы, v = r& − скорость движения, L p = mr 2ϕ& −
трансверсальный обобщённый импульс, m − масса частицы, ϕ& − угловая скорость. Его постоянство эквивалентно выполнению условия
U (r ) + r

dU (r )
= 0.
dr

Среди полей U (r ) ~ r k (по уравнению получаем r k (k + 1) = 0 ) этому требованию удовлетворяют только поля кулоновского типа ( k = −1 ). Существование сохраняющегося вектора Рунге-Ленца-Лапласа указывает на наличие скрытой (динамической) симметрии.
Вектор Рунге-Ленца-Лапласа позволяет быстро определить траекторию перемещения частицы без решения дифференциального уравнения движения. Разложим его по ортам полярной системы координат
с учётом того, что
er
[v × L p ] = r&
0

eϕ
rϕ&
0

ez
0 = rϕ&L p er − r&L p eϕ ,
Lp

(5.1.2)

получим
RL = (rϕ&L p + α )er − r&L p eϕ .
147

(5.1.3)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

Умножим обе части (5.1.3) на r ( r ⋅ RL = rRL cosϕ , r ⋅ e r = r , r ⋅ eϕ = 0 ),
получим
RL cos ϕ = rϕ&L p + α .

(5.1.4)

L2p 1
cos ϕ =
+1 .
α
mα r

(5.1.5)

или
RL

Откуда находим
L2p

r=

±

L2p

L2p

mα
mα
mα
=
=
.
RL
RL
RL
−1 +
cos ϕ − 1 ±
cos ϕ m 1 +
cos ϕ

α

α

(5.1.6)

α

здесь знак «−» соответствует отталкиванию, а «+» − притяжению. После введения обозначений p =

L2p
mα

и

ξ=

RL

α

,

(5.1.7)

получим формулы из пункта 3.5 для инфинитной и финитной траекторий движений частицы
r=

p
m 1+ ξ cos ϕ

.

(5.1.8)

Из равенства (5.1.7) следует, что вектор Рунге-Ленца-Лапласа
RL = ξ α

(5.1.9)

определяется эксцентриситетом траектории движения частицы и модулем параметра взаимодействия, поэтому его иногда называют вектором эксцентриситета.
Замена силового центра на частицу с массой m 2 приводит к процессу упругого рассеяния одной частицы на другой, если не происходит их превращений и изменений внутренних состояний. Задачу рассеяния можно свести к задаче двух тел (см. пункт 3.4), для этого достаточно перейти в систему координат, связанную с центром масс частиц. Таким образом, задача сводится к анализу рассеяния частицы неподвижным силовым центром. В такой постановке задача представляет интерес и для экспериментаторов, так как описывает рассеяние лёгких частиц на очень массивных частицах, например, рассеяние α-час148

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

тиц на атомных ядрах (Э. Резерфорд, 1911, рис. 5.1).
q

p2

θ

p1

q

ρ

F

½ ( π−θ )

½ ( π−θ )

ϕ
½ ( π−θ )

Траектория альфа-частицы

θ

Альфа-частица

ρ
Ядро

Рис. 5.1. Схема Резерфорда по рассеянию α-частиц на атомных ядрах.

Итак, в точке О расположено ядро, создающее центральное поле с потенциальной энергией U (r ) (рис. 5.2). Из бесконечности на него
налетает частица с массой m, энергией E и трансверсальным моментом
импульса L p . Требуется найти угол θ ,
m

ρ

A

θ
r0

ϕ0

O

а

m

ρ

который задаёт отклонение направления движения частицы по отношению к
первоначальной траектории перемещения.
Согласно законам сохранения момента импульса и энергии (см. формулы
(3.4.8) и (3.4.14)) имеем
L p = m r 2ϕ& = const ,
(5.1.10)

A
•

ϕ0

θ

O

б

Рис. 5.2. Рассеяние неподвижным
силовым центром налетающей из
бесконечности частицы в полях отталкивания (а) и притяжения (б).

m(r& 2 + rϕ& 2 )
+ U ( r ) = E = const . (5.1.11)
2

После исключения угловой скорости
ϕ& = Lp /(mr 2 ) полная механическая энергия для радиального движения равна
L2p
mr& 2
+ U (r ) +
= E.
2
2m r 2

(5.1.12)

Отсюда находим радиальную скорость
149

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5
2

L
1
r& =
2 m [ E − U (r )] − 2p ,
m
r

(5.1.13)

а по формуле (3.4.13), положив константу интегрирования равной нулю, находим изменение угла ϕ (r )
Lp
r2

ϕ (r ) = ∫

dr

2 m [ E − U (r )] −

L2p

.

(5.1.14)

r2

Точка поворота r0 (точка наталкивания на эффективный потенциальный барьер) определяется из обращения в нуль подкоренного выражения в формуле (5.1.13), при переходе через эту точку квадратный
корень меняет свой знак. Вместе с ним изменяет свой знак и подынтегральное выражение в (5.1.14), поэтому при отсчитывании азимутального угла от направления ОА одним и тем же значениям радиус-вектора r по разные стороны от точки А будут соответствовать равные по
модулю, но разные по знаку углы. Это указывает на симметричность
траектории лёгкой частицы относительно прямой ОА. Вследствие этого асимптоты геодезической линии пересекают эту прямую под равными углами ϕ0 (см. рис. 5.2). Следовательно, угол рассеяния будет определяться формулой (верхний знак – отталкивающий центр, нижний
знак – поле притяжения)
θ = ±π m 2ϕ0 .
(5.1.15)
Угол ϕ0 вычисляется в виде несобственного интеграла первого рода
Lp
∞

ϕ0 = ∫

r0

r2

dr

2 m [ E − U (r )] −

L2p

.

(5.1.16)

r2

При обработке экспериментальных данных зачастую задают два
параметра: скорость налетающей частицы на бесконечности v∞ и
прицельный параметр ρ (рис. 5.2). Эти параметры связаны с энергией
и моментом импульса соотношениями
mv∞2
E=
, Lp = mv∞ ρ .
2

(5.1.17)

Подстановка (5.1.17) в (5.1.16) с учётом (5.1.15) приводит к формуле
150

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

π mθ
2

ρ

∞

r2

r0

⎛ρ⎞

=∫

dr
2

2U (r )
1− ⎜ ⎟ −
mv∞2
⎝r⎠

.

(5.1.18)

Соотношение (5.1.18) описывает функциональную зависимость ρ (θ ) .
Оно выполняется в случаях
⎧⎪− α / r n , n > 0 − поля отталкивания
U (r ) = ⎨
.
⎪⎩ α / r n , n < 2 − поля притяжения

(5.1.19)

В полях притяжения при n > 2 , когда энергия лёгкой частицы близка
к максимуму эффективной потенциальной энергии Uэфф. (r) = U(r) +

L2p
2m r 2

,

при прохождении вблизи силового центра лёгкая частица движется с
небольшой скоростью. В то же время её угловая скорость ϕ& является
достаточно большой. Это приводит к тому, что за время торможения
лёгкая частица успевает сделать несколько оборотов вокруг тяжёлой
частицы, прежде чем начать от неё удаляться. Это явление называют
эффектом орбитирования (рис. 5.3).

5.2. Сечения рассеяния. Формула
Резерфорда
В экспериментальных установках по изучеO
нию процесса рассеяния имеют дело не с рассеянием отдельной частицы на неподвижном сиm
ловом центре, а с рассеянием потока частиц с
Рис. 5.3. Эффект орбити- одинаковыми скоростями v∞ , налетающими на
рования в полях притя- мишень, расположенную под прямым углом к
жения с n ≥ 2 .
направлению движения частиц. Частицы в пучке имеют различные прицельные параметры,
поэтому рассеиваются под разными углами. Результаты эксперимента
трактуют как число частиц, рассеянных в выделенный интервал углов
(рис. 5.4).
Пусть в интервал углов (θ , θ + dθ ) попадает dN (θ ) частиц, причём
151

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

v∞
ρ

ρ − dρ

θ

dθ

dS = 2πρ d ρ
dΩ

Рис. 5.4. Рассеяние потока лёгких частиц на неподвижной тяжёлой частице.

это число не зависит от азимутального угла в силу цилиндрической
симметрии задачи. Однако эта характеристика не совсем удобна для
описания процесса рассеяния, так как она зависит от характера взаимодействия частиц с силовым центром, а также от плотности потока
налетающих на мишень частиц N . Эта величина представляет собой
число частиц, проходящих через единицу площади поперечного сечения однородного пучка за единицу времени. Отношение
dN (θ , E ) dσ (θ , E )
dσ (θ , E ) =
=
dθ .
(5.2.1)
N
dθ
называют эффективным сечением рассеяния, а производную

dσ (θ )
dθ

− дифференциальным сечением рассеяния. Очень часто эффективное
сечение относят не к элементу плоского угла dθ , а к элементу телесного угла dΩ (рис. 5.4). Тогда (5.2.1) записывают в виде
dσ (θ , E )
dσ (θ , E ) =
dΩ ,
(5.2.2)
dΩ

где элемент телесного угла
dΩ = 2π sinθ dθ .

(5.2.3)

Интегрируя равенство (5.2.2) (или (5.2.1)), получаем выражение для
полного сечения рассеяния
dσ (θ , E )
dσ (θ , E )
σ (E) = ∫
dΩ = ∫
dθ .
(5.2.4)
dΩ
dθ
Падение пучка лёгких частиц на мишень, в которой плотность
152

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

частиц-рассеивателей на единицу площади S равна N0 , описывается
формулой
∆N
Σσ
= σN 0 =
.
(5.2.5)
N

S

Формула (5.2.5) показывает, что доля рассеянных частиц равна доле
полных сечений, умешающихся на площади мишени.
Для вычисления эффективного сечения рассеяния dσ надо помнить, что при меньшем прицельном параметре лёгкая частица рассеивается на бόльший угол. Так, если частица с прицельным параметром
ρ рассеивается на угол θ , то на угол θ + dθ рассеивается частица с прицельным параметром ρ − dρ . Следовательно, величина dσ равна числу
частиц, которые пролетают за единицу времени через кольцо с внутренним и внешним радиусами ρ −dρ и ρ соответственно (рис. 5.4), т.е.
dN (θ ) = NdS = N ⋅ 2πρ d ρ .
(5.2.6)
Согласно (5.2.1) получаем
dN (θ , E )
dσ (θ , E ) =
= 2πρ dρ .
(5.2.7)
N

Функция ρ (θ ) , как правило, монотонно убывает, поэтому при dθ > 0 её
дифференциал dρ (θ ) < 0 , именно в этой связи формула (5.2.7) содержит
модуль дифференциала прицельного параметра. Дифференциальное
сечение рассеяния определятся равенством
dσ (θ , E )
dρ
= 2πρ
,
(5.2.8)
dθ
dθ
или
dσ (θ , E )
ρ dρ
=
.
(5.2.9)
dΩ
sin θ dθ
В заключение рассмотрим упругие столкновения материальных
точек с абсолютно твёрдым шаром радиуса R (рис. 5.5). Если прицельный параметр не более радиуса шара ( ρ < R ), то частица рассеивается;
при выполнении нестрогого неравенства ρ ≥ R − она пролетает мимо
рассеивающего шара. Рис. 5.5 показывает, что прицельный параметр
⎛π −θ ⎞
⎛θ ⎞
⎟ = R cos ⎜ ⎟ .
⎝ 2 ⎠
⎝2⎠

ρ = R sin ϕ 0 = R sin ⎜

(5.2.10)

Подстановка (5.2.10) в (5.2.9) даёт для дифференциального сечения
153

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

рассеяния формулу
dσ (θ , E ) 1

x
ϕ0

v∞

θ

ϕ0

dΩ

R

=

4

R2 .

(5.2.11)

В силу постоянства правой части
z (5.2.11) рассеяние материальных
O
точек является изотропным, т.е.
ρ≥R
y
не зависит от направлений падения частиц на шар. Подставляя
Рис. 5.5. Упругое рассеяние материальных (5.2.11) в (5.2.4) и учитывая (5.2.
точек на абсолютно твёрдом шаре.
3), найдём полное сечение рассеяния (угол θ = π отвечает лобовому столкновению, когда прицельный параметр ρ = 0 , а угол θ = 0 −
касательному пролёту материальных точек, когда ρ = R )
m

ρ<R

ϕ0

0
d σ (θ , E )
1 2
πR 2
σ (E) = ∫
d Ω = ∫ R 2π sin θd θ =
cos θ
dΩ
2
π 4

0

π

= πR 2 . (5.2.12)

Пусть частицы рассеиваются на силовом центре кулоновского
типа, который порождает поле притяжения (3.5.1) или отталкивания
(3.5.23) (или см. формулу (5.1.1)) с потенциальной энергией
α ⎧α < 0 − поле притяжения
U (r ) = ⎨
.
(5.2.13)
r ⎩α > 0 − поле отталкиван ия
Угол ϕ0 по общей формуле (5.1.16) с учётом формул (5.1.17) равен
Lp
∞

ϕ0 = ∫

r0

r2

dr

2 m [ E − U (r )] −

u0

u0

= ∫
0

∞

L2p
r2

r0

1−

ρ2
r2

−

∞

2α 1
mv∞2 r

= ∫
0

r0

du
2α
− u2 −
u
2
mv ∞2 ρ 2
ρ
1

⎛
⎜
⎜
du
= arccos ⎜
2
2
⎜
⎛
1 ⎛ α ⎞
α ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
u
+
−
+
⎜⎜
mv ∞2 ρ 2 ⎟⎠
ρ 2 ⎜⎝ mv ∞2 ρ 2 ⎟⎠ ⎜⎝
⎝
154

⎛1⎞
d⎜ ⎟
⎝r⎠
=
1
1
2α 1
− −
ρ 2 r 2 mv∞2 ρ 2 r

= −∫

u0

2α
− u2 −
u
2
mv ∞2 ρ 2
ρ
1

dr

r2

=∫

du

0

=−∫

ρ

=

u0

u+

α
mv ∞2 ρ 2

⎛ α
⎜
+
ρ 2 ⎜⎝ mv ∞2 ρ 2
1

⎞
⎟⎟
⎠

2

⎞
⎟
⎟
⎟ =
⎟
⎟⎟
⎠0

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

⎛
⎜
⎜
= arccos ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

u0 +

α
mv ∞2 ρ 2

⎛ α ⎞
⎜
⎟
+
ρ 2 ⎜⎝ mv ∞2 ρ 2 ⎟⎠
1

2

⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ − arccos ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝

α
mv ∞2 ρ 2
⎛ α ⎞
⎜
⎟
+
ρ 2 ⎜⎝ mv ∞2 ρ 2 ⎟⎠
1

2

⎞
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎟
⎟
⎠

(5.2.14)

Точки поворота u0 = 1 / r0 находят из уравнения (см. пункт 5.1)
2

2

2α
1 ⎛ α ⎞ ⎛
α ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ = 0,
−
−
=
+
−
+
u
u
u
ρ2
mv∞2 ρ 2
ρ 2 ⎜⎝ mv∞2 ρ 2 ⎟⎠ ⎜⎝
mv∞2 ρ 2 ⎟⎠
1

2

(5.2.15)

т.е.
2

⎛ α ⎞
⎜
⎟ .
u0 = − 2 2 +
+
mv∞ ρ
ρ 2 ⎜⎝ mv∞2 ρ 2 ⎟⎠

α

1

(5.2.16)

Подстановка (5.2.16) в (5.2.14) даёт для угла ϕ0 выражение
⎛
α
⎜
⎜
mv∞2 ρ
ϕ 0 = − arccos ⎜
2
⎜
⎛ α ⎞
⎜⎜ 1 + ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ mv∞ ρ ⎠
⎝

⎞
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎟⎟
⎠

(5.2.17)

Находя из (5.2.17) прицельный параметр, получим
2

⎛ α ⎞
ρ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ tg 2 ϕ 0 .
⎝ mv∞ ⎠

(5.2.18)

2

По формуле (5.1.15) ϕ 0 = (π − θ ) / 2 , следовательно,
2

1 2 1⎛ α ⎞
⎛θ ⎞
ρ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ctg 2 ⎜ ⎟ .
2
2 ⎝ mv∞ ⎠
⎝2⎠

(5.2.19)

Производная от (5.2.19) по углу θ равна
ρ

1⎛ α ⎞
dρ
= − ⎜⎜ 2 ⎟⎟
dθ
2 ⎝ mv∞ ⎠

2

⎛θ ⎞
ctg ⎜ ⎟
⎝2⎠ .
⎛θ ⎞
sin 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠

(5.2.20)

Тогда по формуле (5.2.8) дифференциальное сечение рассеяния будет определяться из равенства
⎛θ ⎞
2 cos⎜
⎟
⎛ α ⎞
dσ (θ , E )
dρ
2⎠
⎝
= 2πρ
= π ⎜⎜ 2 ⎟⎟
,
(5.2.21)
θ
dθ
dθ
mv
⎛
⎞
3
⎝ ∞⎠
sin ⎜ ⎟
⎝2⎠

155

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

или по формуле (5.2.9) −
2

1
dσ (θ , E )
ρ dρ ⎛ α ⎞
⎟
=
= ⎜⎜
.
sin θ dθ ⎝ 2mv∞2 ⎟⎠
dΩ
4⎛θ ⎞
sin ⎜ ⎟
⎝2⎠

(5.2.22)

При рассеивании заряженных частиц с зарядом ze (z – зарядовое число, e = 1,602 ⋅10 −19 Кл − заряд электрона) на ядрах с зарядом Ze равенство (5.2.22) при учёте первой формулы (5.1.17) принимает вид (α = zZe2 )
2

dσ (θ , E ) ⎛ zZe 2 ⎞
1
⎟⎟
= ⎜⎜
.
θ
dΩ
E
4
⎛
⎞
4
⎝
⎠ sin ⎜ ⎟
⎝2⎠

(5.2.23)

Формулу (5.2.23) называют формулой Резерфорда, она внесла значительный вклад в ядерную физику. Вычисление полного сечения рассеяния по формуле (5.3.10) приводит к бесконечному значению. Это связано с дальнодействием кулоновских полей, в которых рассеяние частиц приводит к тому, что основной вклад в полное сечение дают частицы со значением θ → 0 ( sin(θ / 2) → 0 ⇒ σ → ∞ ).

5.3. Захват частиц центром притяжения
В полях притяжения при n > 2 (пункт 5.1) возможен захват частиц с бесконечно большого расстояния, поэтому этот процесс можно
охарактеризовать эффективным сечением захвата. Полным сечением
захвата σ захв. называют отношение числа частиц, захваченных силовым центром в единицу времени, к плотности пучка частиц на достаточно большом удалении от центра. Если на кулоновский центр падают только те частицы, для которых прицельный параметр ρ ≤ ρmax , то
полное сечение захвата вычисляют по формуле
2
σ захв. = πρ max
.

(5.3.1)

Вычислим полное сечение захвата однородного пучка частиц с
массами m и скоростями v∞ , падающими на центр с энергией
U эфф. (r ) =

L2p
2m r 2

−

α
rn

, n > 2.

(5.3.2)

Найдём экстремумы функции (5.3.2), приравняв её первую производ156

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

ную нулю и учтя второе равенство (5.1.17),
dU эфф. (r )
dr

mv∞2 ρ 2 nα
=−
+ n+1 = 0 .
r3
r

(5.3.3)

Из (5.3.3) получим
rmax

⎛ nα ⎞
= ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟
⎝ mv∞ ρ ⎠

1
n−2

1

1

−
⎛ 1 ⎞ n−2
= ⎜ ⎟ = B n−2 ,
⎝B⎠

(5.3.4)

mv ∞2 ρ 2
где константа B =
. Для величины (5.3.4) введено обозначение
nα
rmax , так как в этой точке вторая производная от функции (5.3.2) равна

d 2U эфф. (rmax )
dr 2

mv∞2 ρ 2
=
( 2 − n) n > 2 < 0 .
4
rmax

(5.3.5)

Следовательно, в точке максимума функция (5.3.2) достигает значения
n

(n − 2)α n−2
U эфф. (rmax ) =
B , n > 2.
2

(5.3.6)

Силовой центр захватывает с бесконечно большого расстояния только
те частицы, полная энергия которых E ≥ U эфф. (rmax ) .
Максимальное значение прицельного параметра ρ max , при котором возможен захват бесконечно удалённых частиц, определяется из
равенства E = U эфф. (rmax ) , т.е. (см. первое равенство (5.1.17))
mv
(n − 2)α ⎛ mv ρ
⎜⎜
= U эфф. (rmax ) =
2
2
⎝ nα
2
∞

2
∞

2

⎞
⎟⎟
⎠

n
n −2

.

(5.3.7)

Из равенства (5.3.7) следует, что
2
= n(n − 2)
ρ max

2− n
n

2

⎛ α ⎞n
⎜⎜ 2 ⎟⎟ .
⎝ mv∞ ⎠

(5.3.8)

Таким образом, полное сечение захвата (5.3.1) задаётся формулой
σ захв. = πa n(n − 2)
2

2− n
n

.

(5.3.9)

1

⎛ α ⎞n
α
где параметр a = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = n 2 .
mv∞
⎝ mv∞ ⎠

Аналогичное решение для поля с n = 2 , для которого падение частиц на силовой центр по (3.4.18) возможен при выполнении неравенства α > L2p /( 2m ) или α > mv ∞2 ρ 2 / 2 . Таким образом, силовой центр может
157

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

захватить только частицы, для которых прицельный параметр меньше
2
= 2α /(mv∞2 ) . По (5.3.1) полное сечение замаксимально возможного ρmax
хвата равно
σ захв . =

2πα
= 2π a 2 .
2
mv ∞

(5.3.10)

Силовые центры слабо сингулярных полей притяжения ( 0 < n < 2 )
не могут захватывать частицы с прицельными параметрами отличными от нуля ( ρ ≠ 0 ). Однако при размещении на месте силового центра
протяжённого или объёмного тела захват материальных тел может
происходить, но для этого должно выполняться определённое условие.
Например, падение метеоритов на планету Земля возможно тогда, когда расстояние от центра поля до перигея гиперболической или параболической траектории объекта будет меньше радиуса Земли R. Максимально допустимое значение прицельного параметра ρmax для захвата
метеоритов и других космических тел определяется условием rmin = R.
Выполнение этого равенства соответствует решению энергетического
уравнения
2
⎡ ⎛ v ⎞2 ⎤
mv∞2 ρ max
mv∞2
2
2
U эфф. ( R) = E ⇒
− mgR =
⇒ ρ max = R ⎢1 + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ , (5.3.11)
2
2R
2
⎢⎣ ⎝ v∞ ⎠ ⎥⎦

здесь v2 = 2gR − вторая космическая скорость. Согласно (5.3.1) полное
сечение захвата равно
2
⎡
⎤
⎛
⎞
v
σ захв. = π R2 ⎢1 + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ .
⎢⎣ ⎝ v∞ ⎠ ⎥⎦

(5.3.12)

5.4. Колебания моночастичной цепочки
Захват частиц силовыми центрами может привести к возникновению протяжённых объектов, которые различаются: агрегатными состояниями, внешней формой, внутренней геометрической структурой,
химико-физическими характеристиками и т.д. Одним из таких тел является 1D-мерная цепочка из одинаковых частиц, связанных упругими
силами (рис. 5.6). Пусть N одинаковых частиц с массой m находятся в
цепочке с периодическим расположением на расстоянии а друг от дру158

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

га и соединены упругими пружинами с
одинаковыми коэффициентами жёсткости β. Обозначим смещение n-той часβ
β
u n −1
un
u n +1
тицы через un, а частицы, отстоящей от
Рис. 5.6. Колебания моночастичной неё на p узлов, – un+p, причём будем счицепочки.
тать положительными смещения частиц
вправо от положения равновесия, а отрицательными – влево. Любая частица смещается только вдоль цепочки в силу одномерности модели. Смещения этого типа характерны для
такой коллективной реакции на внешнее воздействие, как продольная
волна.
В положении равновесия на частицы не действуют силы, а при
произвольных смещениях на каждую n-тую частицу будет действовать
сила со стороны других частиц, отстоящих от неё на p межатомных
расстояний а. По закону Гука для пары частиц с номерами n и n+p эту
силу можно представить в виде
Fn, p = β p (un − un+ p ) ,
(5.4.1)
a

a

где β p − коэффициент квазиупругой силы, действующей между частицами, находящимися на расстоянии pa. Следовательно, по принципу
суперпозиции на n-тую частицу действует суммарная сила
Fn = ∑ Fn, p = ∑ β p (un − un+ p ) ,
(5.4.2)
p

p

а уравнение, описывающая её движение, имеет вид
mu&&n = ∑ β p (un − un+ p ) .

(5.4.3)

p

Решением уравнения (5.4.3) является функция
u n = u 0 exp[ i (ω t + nka )] ,
(5.4.4)
где u0 − смещение частицы с n = 0 в момент времени t = 0 , ω − частота
колебаний продольной волны, k − волновое число. Смещение
u n + p = u 0 exp{ i[ω t + n ( k + p ) a ]} .
(5.4.5)
Подставляя (5.4.4) и (5.4.5) в уравнение (5.4.3), получим
− mω 2un = ∑ β p [exp(ikpa) − 1]un

(5.4.6)

p

или
− mω 2 = ∑ β p [exp(ikpa) − 1] .
p

159

(5.4.7)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

В формуле (5.4.7) суммирование ведётся по целым p, принадлежащим
N N
отрезку ⎡⎢− , ⎤⎥ . Так как в цепочке все частицы одинаковы, то выпол⎣ 2

2⎦

няется равенство β− p = β p , поэтому можно выполнять суммирование по
половине указанного отрезка для положительных значений индекса p,
удвоив значение суммы в (5.4.7),
− mω 2 (k ) = 2 ∑ β p [exp(ikpa) − 1] .
(5.4.8)
p >0

Используя формулу Эйлера exp(iφ ) = cos φ + i sin φ и выделяя действительную и мнимую части, найдём
⎧
2
2 ⎛ kpa ⎞
⎟
⎪mω (k ) = 2 ∑ β p [1 − cos(kpa)] = 4 ∑ β p sin ⎜
p >0
p >0
⎝ 2 ⎠,
⎨
⎪0 = sin( kpa)
⎩

(5.4.9)

(обычно вторым уравнением системы пренебрегают).
Из формул (5.4.9) следует, что:
− колебания частиц в дискретной цепочке нельзя рассматривать как
движение N независимых друг от друга осцилляторов;
− можно заменить рассмотрение колебаний совокупности взаимодействующих частиц на исследование распространения невзаимодействующих волн, возникающих в цепочке в результате колебательных движений частиц;
− волновое число продольных волн принимает дискретные значения,
так как sin(kpa) = 0 ⇒ kpa = π n ⇒ k =

π
pa

n , здесь n = ... − 2, − 1, 0,1, 2, ... − це-

лое число.
В приближении ближайших соседей (взаимодействие частиц считается короткодействующим, т.е. существенны только влияния соседних частиц) можно записать, что
⎧β , p = 1
.
0
,
p
>
1
⎩

βp = ⎨

(5.4.11)

Тогда первое уравнение (5.4.9) принимает вид
⎛ ka ⎞
mω 2 (k ) = 4 β sin 2 ⎜ ⎟ ,
⎝ 2⎠

следовательно, частота колебаний
160

(5.4.12)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

ω (k ) = 2

β

⎛ ka ⎞
sin ⎜ ⎟ .
m ⎝ 2⎠

(5.4.13)

Итак, в исследуемом приближении:
− частота колебаний не зависит от номера частицы в цепочке, т.е. все
частицы в ней колеблются с одной и той же частотой;
ka ⎞
⎟ ≤ 1 , то максимальное значение частоты, рав⎝2⎠

− в силу того, что sin⎛⎜
ное ωmax = 2

β
m

, наблюдается при
π 2π
ka π
⎛ ka ⎞
sin ⎜ ⎟ = 1 ⇒
= +π l ⇒ k = +
l,
2 2
a a
⎝ 2⎠

(5.4.14)

где l = ... − 2, − 1, 0,1, 2, ... − целое число. Максимальное значение волнового числа при l = 0 равно k max =

π
a

=

2π

λmin

. Из последнего равенства следу-

ет, что минимальная длина волны, распространяющейся по цепочке,
равна удвоенному расстоянию между частицами, т.е. λmin = 2a ;
− максимальное значение частоты ωmax определяет собственную частоту колебаний, причём соседние частицы колеблются в противофазе с
одинаковой амплитудой;
− в области малых волновых чисел ( k → 0 ) предельное значение частоты колебаний равно
⎛ ka ⎞
sin ⎜ ⎟
β
β
ka
2 ka
=2
lim ω (k ) = 2
lim ⎝ ⎠
lim
.
k →0
m k →0 ka
m k →0 2
2
2

(5.4.15)

Формула (5.4.15) показывает, что в области малых волновых чисел
частота колебаний ведёт себя как линейная функция
ω~ (k ) = a

где v = a

β
m

β
m

k = vk ,

(5.4.16)

− скорость распространения продольной волны. Как будет

показано далее, формула (5.4.16) аналогична формуле, описывающей
распространение волны в непрерывной упругой среде. Таким образом,
в области низких частот дискретностью цепочки можно пренебречь и
161

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

рассматривать её как однородную упругую струну или стержень. С
возрастанием значений волнового числа происходит отклонение частоты от линейного закона, что называют дисперсией частоты, а функцию ω ( k ) − дисперсионной зависимостью (рис. 5.7). Если создать цеУпругая струна

ω max

ω~(k ) = vk

Линейная цепочка
частиц

−

2π
a

−

π
a

0

π
a

2π
a

Рис. 5.7. Дисперсионная кривая для 1D-мерной цепочки одинаковых частиц.

почку из одинаковых материальных частиц, то в ней будут распространяться звуковые волны по тому же закону, что и в упругой струне,
но только в том случае, когда длины этих волн значительно превышают удвоенный период цепочки 2а, т.е. при условии λ >> λmin = 2a .

5.5. Первая зона Бриллюэна
Согласно равенству (5.4.14) волновое число k принимает не любые значения, а лишь их дискретный ряд. Следовательно, в цепочке из
N одинаковых частиц могут распространяться не любые продольные
волны, а только их дискретный набор с разрешёнными волновыми числами k. Очевидно, что силы, действующие на частицы в середине 1Dмерной цепочки, отличаются от сил, действующих на её концах. Это
приводит к нарушению положений равновесия на концах цепочки. Неэквивалентность в положении частицы внутри цепочки и на её концах
исчезает, если закольцевать цепочку, т.е. соединить первую и последнюю частицу такой же пружиной, как и остальные частицы в цепочке.
Тогда смещение n-той частицы будет таким же, как и смещение n+Nтой частицы в виду совершения циклического обхода цепочки. Для це162

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

почки из N частиц циклические граничные условия, которые называют
граничными условиями Борна-Кармана, записывают в виде:
un = un+ N ⇒ exp(ikna) = exp[ik (n + N )a] ⇒ 1 = exp(ikNa) . (5.5.1)
Воспользовавшись формулой Эйлера exp(iφ ) = cosφ + i sin φ , ограничимся исследованием действительной части
cos(kNa ) = 1 ⇒ kNa = 2π n ⇒ k =

2π
2π
n=
n = k0 n ,
Na
L

(5.5.2)

где n = ... − 2, − 1, 0,1, 2, ... − целое число, L = Na − длина цепочки, k0 =
квант волнового числа. Так как k max =
nmax =

π
a

= k0 nmax =

2π
−
L

2π
nmax , т.е.
Na

N
N
N
⇒ − <n< .
2
2
2

(5.5.3)

Число разрешённых значений длин волн (n) равно полному числу
частиц (N) в цепочке. Поэтому множество волновых чисел kn определяет распространение в 1D-мерной цепочке полного набора мод нормальных колебаний, причём каждому значению kn соответствует своя
частота ω ( k n ) . Набор частот от нуля до ω max образуют квазинепрерывный частотный спектр колебаний моночастичной цепочки. Таким образом, колебания 1D-мерной цепочки можно описать значениями волπ π
новых чисел kn из интервала ⎡⎢− , ⎤⎥ и соответсвующими им частотами
⎣ a a⎦

⎡ π π⎤
ω ( k n ) . Отрезок ⎢− , ⎥ называют первой зоной Бриллюэна, а его концы
⎣ a a⎦

– границами зоны. Максимальная длина волны, распространяющейся в
цепочке, вычисляется из разности между соседними значениями волновых чисел, т.е. по (5.5.2)
k n+1 − k n = k0 (n + 1) − k0 n = k0 =

2π
2π
=
⇒ λmax = L = Na .
L λmax

(5.5.4)

Следовательно, длины волн принадлежат отрезку [λmin = 2a , λmax = Na] .
Распространяющуюся по цепочке продольную волну характеризуют фазовой и групповой скоростями, определяющих скорость смещения фазы колебаний и перенос энергии (иногда вещества) соответственно. Фазовая скорость определяется отношением длины волны λ к
периоду колебаний T
163

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

vφ (k ) =

λ
T

=

ω
k

=

2 β
⎛ ka ⎞
sin ⎜ ⎟ .
k m ⎝ 2⎠

(5.5.5)

В приближении малых значений волновых чисел
⎛ ka ⎞
sin ⎜ ⎟
β
β
2 ka
=a
= v зв. ,
lim vφ (k ) = 2
lim ⎝ ⎠
k →0
m k →0 ka 2k
m
2

(5.5.6)

здесь vзв. – скорость звука (акустической волны) в однородной упругой
среде (например, струне). Формула (5.5.6) по мере уменьшения значения волнового числа фазовая скорость приближается по величине к
скорости звука. На границе зоны Бриллюэна фазовая скорость по формуле (5.5.5) равна ( kmax = π / a )
vφ (k ) =

2

π

a

β
m

=

2

π

v зв. .

(5.5.7)

Моночастичная цепочка

Следовательно, при изменении волнового числа от 0 до kmax = π / a фазовая скорость уменьшается от vзв. до 2v зв. / π ≈ 0,64vзв. (рис. 5.8).
Групповая скорость равна перПервая зона
v
вой производной от функции частоты
Бриллюэна
Граница зоны
ω (k ) (например, (5.4.13)) по волновоv зв .
vφ
Бриллюэна
му числу k
2
vг

π

v зв .

vг =

dω (k )
β
⎛ ka ⎞
⎛ ka ⎞
=a
cos ⎜ ⎟ = v зв . cos ⎜ ⎟ .
dk
m
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠

(5.5.8)
В приближении малых значений волa
Рис. 5.8. Зависимости фазовой vφ и новых чисел ( k → 0 )
0

π

k

групповой vг скоростей от волнового числа k для моночастичной цепочки.

⎛ ka ⎞
lim vг (k ) = vзв. lim cos⎜ ⎟ = vзв. = vφ (5.5.9)
k →0
k →0
⎝ 2⎠

групповая скорость совпадает с фазовой скоростью, т.е. vг = vφ k →0 . На гра-

нице зоны Бриллюэна ( k = kmax = π / a ) групповая скорость по формуле (5.
5.8) обращается в нуль (рис. 5.8). Это означает, что возникает стоячая волна, соседние частицы колеблются в противофазе и поэтому
переноса энергии (вещества) нет.
164

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

Зависимость частоты ω (k ) от волнового числа k фазовой (см.
формулу (5.5.5)) и групповой (см. формулу (5.5.8)) скоростей задаётся
периодической функцией с периодом T = 2π / a . В пределах первой зоны
Бриллюэна заключены не только все возможные значения частот ω
волн, распространяющихся в решётке. Покажем, что смещения частиц
в процессе распространения волны можно описать с помощью значений волновых чисел k , принадлежащих первой зоне. Пусть волновое
число k ′ = k + Tn′ ( n′ – целое число) отстоит от первой зоны Бриллюэна
на Tn′ периодов. Вычислим отношение смещений двух соседних частиц под действием волны с волновым числом k ′
u n +1 exp[ ik ′( n + 1) a ]
=
= exp( ik ′a ) = exp[ i ( k + Tn′) a ] =
un
exp( ik ′na )

= exp(ika) exp(iTn′a) = exp(ika ) exp(i 2πn′) = exp(ika) , (5.5.10)

так как по формуле Эйлера exp(i2πn′) = cos(2πn′) + i sin(2πn′) = 1 + i0 = 1. Аналогично получают формулу для смещения n-той частицы под действием той же волны
u n = u 0 exp( ik ′na ) = u 0 exp[ i ( k + T n ′) na ] =
= u 0 exp( ikna ) exp( i 2πn′n ) = u 0 exp( ikna ) .

(5.5.11)
Таким образом, распространение любых продольных волн с волновыми числами k ′ можно рассматривать в первой зоне Бриллюэна. В качестве примера рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 5.9.
ω (k )

Первая зона
Бриллюэна
Граница зоны
Бриллюэна

−

π
a

4a / 5

0

π

π

2a

a

2π 5π
a 2a

k

4a

Рис. 5.9. Волны, изображённые пуктирной и сплошной линиями,
характеризуются переносом одной и той же информации.
165

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

Пусть волновое число k =

2a

, тогда при n′ = 1 волновое число вол-

2π 5π
=
. Первому числу k отвечает волна с длиной
2a a
2a
2π
2π 4a
= 4a , а второму k ′ − λ′ =
= . Следовательно, волны с длинаλ=
k′
5
k
ми волн 4 a и 4a / 5 переносят одну и ту же информацию о смещениях

ны k ′ = k + Tn′ =

π

π

+

частиц, а первая зона Бриллюэна содержит в себе все независимые значения exp(ika).

5.6. Акустические и оптические ветви осцилляций
Рассмотрим 1D-мерную цепочку, составленную из N чередующихся идентичных ячеек, в каждой из которых размещены две частицы с массами m 1 и m 2 , причём цепочка обладает 2N степенями свободы. Будем считать, что между парами различных частиц действуют
одинаковые силы (рис. 5.10).
Двухчастичная цепочка
2n − 2

2n − 1

Ячейка

2n + 1

2n

2n + 2

2n + 3
x

2a

β

β

m1

m2

Рис. 5.10. 1D-мерная цепочка, составленная из ячеек с частицами двух сортов.

Обозначим через 2n чётное положение равновесия частиц с массой m1, а через 2n +1 – нечётное для частиц с массой m2. Тогда u 2 n и u2 n+1
определяет смещения частиц с массами m1 и m2 соответственно от их
положений равновесий в направлении x в момент времени t. Эти смещения малы по сравнению с межчастичным расстоянием a . Будем считать межчастичные взаимодействия квазиупругими и учитывать влияние на выделенную частицу только ближайших соседей. Тогда поведение выбранных частиц описываются уравнениями
m1u&&2 n = β (u 2 n+1 − u 2 n ) − β (u2 n − u2 n−1 ) = β (u 2 n+1 + u2 n−1 − 2u 2 n ) , (5.6.1)
m2u&&2 n+1 = β (u 2 n+2 − u2 n+1 ) − β (u 2 n+1 − u2 n ) = β (u 2 n+2 + u 2 n − 2u2 n+1 ) . (5.6.2)
166

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

Так как колебания частиц в цепочке может происходить с разными амплитудами, то решение уравнений (5.6.1) и (5.6.2) ищем в виде
бегущих волн
u 2 n = u 01 exp[ i ( 2 kna − ω t )] .
(5.6.3)
u 2 n +1 = u 02 exp{i[ k ( 2 n + 1) a − ω t ]} .
(5.6.4)
Подставляя (5.6.3) и (5.6.4) (и им аналогичные выражения для смещений u2 n−1 и u2 n+2 ) в уравнения (5.6.1) и (5.6.2), а также учитывая только
действительные составляющие по формуле Эйлера, получим для амплитуд смещений u01 и u02 систему линейных однородных уравнений
⎧⎪( 2 β − m1ω 2 )u 01 − 2 β cos( ka )u 02 = 0
.
⎨
⎪⎩− 2 β cos( ka )u 01 + ( 2 β − m2ω 2 )u 02 = 0

(5.6.5)

Система (5.6.5) имеет нетривиальное решение, когда её главный определитель равен нулю
2 β − m1ω 2 − 2 β cos(ka)
= 0.
− 2 β cos(ka) 2 β − m2ω 2

(5.6.6)

Раскрыв определитель и проведя простые преобразования, получим
биквадратное уравнение относительно частоты ω
β 2
β 2 sin 2 (ka)
ω −2 ω +4
= 0,
µ
m1m2
4

(5.6.7)

m1m2
− приведенная масса, m = m1 + m2 − суммарная масса часm
тиц в ячейке. В силу положительности частоты ω корни уравнения (5.

где µ =

6.7) определяются формулами
ω± (k ) =

⎤
β⎡
µ 2
1
1
4
sin
(
ka
)
±
−
⎥.
µ ⎢⎣
m
⎦

(5.6.8)

Частоты (5.6.8) не зависят от номера частицы в цепочке, поэтому они
определяют собственные частоты колебаний любой частицы. Эти частоты соответствуют двум ветвям колебаний ω+ (k ) и ω− (k ) , которые называют модами колебаний.
Исследуем поведение частот ω+ (k ) и ω− (k) в окрестности центра
зоны Бриллюэна, т.е. рассмотрим случай малых значений волновых
чисел, когда k → 0 ( ka << 1 ). При таких величинах k функцию sin 2 ( ka )
можно заменить на эквивалентную ей ( sin(ka) ~ ka) бесконечно малую
167

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

функцию (ka) 2 . Тогда
0

⎤
β⎡
µ 2
β⎡
µ
β
2⎤
ω+ (k ) =
1
1
4
sin
(
ka
)
~
1
1
4
(
ka
)
~
2
. (5.6.9)
+
−
+
−
⎥
⎥
µ
µ ⎢⎣
µ ⎢⎣
m
m
⎦
⎦

ω− (k ) =

⎤
β
β⎡
µ 2
β⎡
µ
2⎤
⎢1 − 1 − 4 sin (ka) ⎥ ~
⎢1 − 1 − 4 (ka) ⎥ ~ 2 ak .(5.6.10)
µ⎣
µ⎣
m
m
m
⎦
⎦
1− 4

µ

µ
1 µ
(ka) 2 ~1 − 4 (ka) 2 = 1 − 2 (ka) 2
2 m
m
m

Если ячейка содержит одинаковые по массе частицы ( m1 = m2 ), то частота совпадает с частотой звуковой волны, следовательно, акустическая ветвь колебаний вблизи центра зоны Бриллюэна определяется
функцией
β
ω− (k ) ≅ 2 ak = v зв.k ,
m

(5.6.11)

где скорость звука
v зв. = a 2

β
m1 + m2

.

(5.6.12)

Для выяснения физического смысла функции ω+ (k ) , определяемой выражением (5.6.9), подставим его в первое уравнение системы
(5.6.5), получим ( cos(ka) k →0 ~1)
(2 β − m1

2β

µ

)u01 − 2 β u02 = 0 ⇒

u01
m
=− 2 .
u02
m1

(5.6.13)

Соотношение (5.6.13) показывает, что смещения частиц обратно пропорцинальны массам частиц, а знак «−» указывает на то, что колебания частиц происходят в противофазе. По (5.6.13)
m1u01 + m2u02 = 0 = mu ,
(5.6.14)
следовательно, центр масс остаётся неподвижным при колебаниях с
частотой ω+ (k ) , несмотря на смещения всех частиц из положений равновесия. Подобные колебания возникают, например, в ионных кристаллах при возбуждении световой волны электрическим полем. Вследствие этого колебания с частотой ω+ (k) называют оптической ветвью.
Подстановка функции ω− (k ) из (5.6.10) в первое уравнение системы (5.6.5) приводит к равенству (напомним, что cos(ka) k →0 ~1)
168

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

(2 β − m1

u
2β 2 2
1
a k )u01 − 2β u02 = 0 ⇒ 01 =
m
u02 1 − m1 a 2 k 2
m

≈ 1 . (5.6.15)
ak <<1

Соотношение (5.6.15) показывает, что колебания частиц происходит в
фазе (знак «+» перед правой частью (5.6.15)), причём амплитуды практически равны между собой, что характерно для акустической волны.
Таким образом, колебания в двухчастичной цепочке носят более сложный характер, чем в моночастичной, в связи с чем возникает потребность в получении дисперсионных зависимостей и исследования колебаний в трёхмерном пространстве.

5.7. Дисперсионные кривые. 3D-мерные колебания
Дисперсионные соотношения (5.6.8) для функций ω+ (k ) и ω− (k )
графически отображены на рис. 5.11. Из рис. 5.11, а видно, что на границе приведенной зоны Бриллюэна при k = ±

π
2a

групповая скорость

волны равна нулю для акустической и оптической ветвей, при этом
ω+min (±π /(2a)) = 2β / m2 и ω−max (±π /(2a)) = 2β / m1 . Таким образом, спектр
разрешённых частот для цепочки, составленной из ячеек, в каждой из
которых размещены две частицы с массами m 1 и m 2 ( m 1 > m 2 ), имеет
Двухчастичная цепочка
2β / µ

ω (k ) Оптическая

ω (k )

ветвь

2 β / m2
Запрещённые частоты

2 β / m1

−

π
2a

Акустическая
ветвь
0

а

π

2a

k

−

π

−

a

π
2a

0

б

π

π

2a

a

k

Рис. 5.11. Дисперсионные кривые для приведенной (а) и расширенной (б) зон
Бриллюэна.
169

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

вид (рис. 5.11, б): для акустической ветви функция ω− (k ) принимает
значения из интервала [ 0, ω −max ] , а для оптической ветви функция ω+ (k )
− из интервала [ω+min , 2 β / µ ] . Между этими интервалами располагается полоса запрещённых частот от 2 β / m1 до 2 β / m 2 (рис. 5.11, а).
При существенной разнице в массах частиц ( m1 >> m 2 ) область оптических частот сужается практически к частоте 2 β / m 2 .
Из условия цикличности определим дискретный набор длин волн
u 2 n + N = u 2 n ⇒ u 01 exp{ i[ k ( 2 n + N ) a − ω t ]} = u 01 exp{ i[ k 2 na − ω t ]} ⇒
2π
(5.7.1)
n,
Na
N
где n = ± 1, ± 2 , ..., ±
− целое число, так как kmax = π . Минимальная
4
2a
⇒ exp{ ikNa } = 1 ⇒ kNa = 2 π n ⇒ k =

длина волны, которая может распространяться в двухчастичной цепочке, наблюдается при n =

2π 2π
N
(k = =
), равна λmin = 4a , вдвое превы4a λmin
4

шает длину такой же волны в моноатомной цепочке и охватывает две
ячейки. При n = 1 ( k =

2π
2π
=
) по цепочке распространяется волна с
Na λmax

максимальной длиной λmax = Na = L ( L − длина цепочки). Число различных длин волн для каждой ветви спектра задаётся числом дискретных
значений волнового числа (5.7.1). Так как эти значения лежат в интерπ π
вале ⎡⎢− , ⎤⎥ (первая зона Бриллюэна для двухчастичной цепочки),
⎣ 2a 2a ⎦

⎛ π ⎛ π ⎞ ⎞ 2π N
− ⎜ − ⎟⎟ ÷
= . Тогда полное число
2
a
2
a
Na
2
⎠
⎝
⎝
⎠

то число длин волн равно ⎜

различных состояний для двух ветвей колебаний (акустической и оптической) будет равно числу частиц в цепочке N.
В обеих ветвях колебаний каждому значению частоты ω отвечают две волны с волновыми числами − k и k , симметрично расположенными относительно оси ω в первой зоне Бриллюэна (рис. 5.11, а).
Поэтому дисперсионные зависимости частоты ω (k ) обычно представляют симметричными кривыми в интервале волновых чисел из интерπ π
вала ⎡⎢− , ⎤⎥ , который называют приведенной зоной Бриллюэна (рис.
⎣ 2a 2a ⎦

170

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

5.11, а). Функция ω (k ) имеет период π / a (определяется периодом цепочки 2a : 2π /(2a) = π / a ), равный размеру зоны Бриллюэна. Это позволяет транслировать кривую ω (k ) по оси k на произвольное число периодов и строить расширенную зону Бриллюэна (рис. 5.11, б).
Рассмотрим изменение характера акустических ω− (k ) и оптических ω+ (k ) колебаний вблизи от границы зоны Бриллюэна ( k → π /(2a) ).
В непосредственной окрестности границы волновые числа удовлетворяют равенству ka =

π
2

− ζ , здесь ζ << 1 . Отношения амплитуд колеба⎛ u02 ⎞
ζ
⎟⎟ ≈
> 0 ; 2) оптическая
⎝ u01 ⎠ − 1 − m2
m1

ний имеют вид: 1) акустическая ветвь ⎜⎜

⎛ u01 ⎞
ζ
⎟⎟ ≈
< 0 . Приведенные выражения показывают, что при
m
u
1
⎝ 02 ⎠ +
−1
m2

ветвь ⎜⎜

приближении к границе уменьшаются амплитуды колебаний лёгких
частиц в акустической ветви ( u02− ) и тяжёлых частиц в оптической ветви ( u01+ ), причём в первом случае частицы колеблются в фазе, а во втором – в противофазе.
Колебания в двухчастичной цепочке носят более сложный характер, чем в моночастичной, например, появлением оптической ветви колебаний и поведением амплитуд колебаний вблизи границы приведенной зоны Бриллюэна. Ещё больше физико-математическая картина усложняется в случае изменения размерности объекта. Даже в простейшем случае, когда 3D-мерное тело объёмом V составлено из N тождественных ячеек (рис. 5.12), в каждой из которых находится частица с
массой m, количественный анализ колебаний становится достаточно
сложным. В этом случае 3D-мерное тело для произвольно выбранной
частицы можно представить как пересечение в ней трёх взаимно перпендикулярных моночастичных цепочек, расположенных вдоль соответствующих координатных осей. Смещение этой частицы вдоль одной из осей порождает волну сжатия (растяжения), а по двум другим
осям − сдвиговую волну, так её смещение перпендикулярно этим осям.
Отметим, что исследования колебаний атомов в пространственном
171

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

объекте очень важны, так как они определяют его тепловые свойства.
Пусть частицы соединены между собой одинаковыми пружинами с жёсткостью β и могут испытывать сдвиги в трёх направлениях
(эти смещения показаны на рис. 5.12 пружинами со стрелками). Это
означает, что система имеет 3N степеней свободы. В выбранной системе координат положение равновесия i-той частицы задаётся радиусвектором Ri0 , а направление смеще3D-мерное тело
ния i-той частицы с амплитудой колебаний u0k − вектором εν (k) , который
называется вектором поляризации.
m
β
Вектор смещения i-той частицы
ui = u 0 k εν ( k ) exp[ i ( kRi0 − ω t )] . (5.7.2)
Уравнения движения i-той частицы
составляются для каждой координатной оси, что приводит к однородной
Ячейка
системе линейных уравнений для 3
Рис. 5.12. Смещение частиц от поло- амплитуд u01 , u02 и u03 (см. пункт 5.4).
жений равновесия (обозначены свет- Обращение в нуль главного определыми кружками) в 3D-мерном теле.
лителя системы приводит к кубическому уравнению для функции ω 2 (k ) ,
которое имеет три действительных корня. Решение уравнений движения показывает, что в зависимости от поляризации волны перемещение частиц в 3D-мерной решётке является поперечным или продольным. Для поперечных волн волновой вектор и смещение перпендикулярны друг другу, а для продольных – параллельны.
Продольные волны (L) представляют собой волны сжатия и растяжения, а поперечные (T1 и T2) – волны сдвига (рис. 5.13). Дискретные значения волнового вектора укладываются в пределы зоны Бриллюэна, которая в простейшем случае представляет собой куб со стороной a и называется примитивной, т.е. его проекции
−

π
a

< k1 , k 2 , k3 <

π
a

.

Компоненты волнового вектора определяются формулами
k1 = 2π n1 /( N1a ) ,
172

(5.7.3)

3D-мерное тело

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

k 2 = 2π n2 /( N 2 a) ,

ω (k )

(5.7.4)
T2 u ⊥ k здесь N , N и N – количество яче1
2
3
T1 u ⊥ k
ек в направлении соответствующей
координатной оси; n1 , n2 и n3 – цеπ
π
лые числа. Если в ячейке находится
k
0
−
a
a
не одна, а s частиц, то число степеРис. 5.13. Дисперсионные кривые для ней свободы будет равно 3sN. При
примитивной трёхмерной решетки.
этом в решётке будет возбуждаться
3 акустических и ( 3s − 3 ) оптических волны*. Случай, когда s = 2 и ячейка представляет собой параллелепипед со сторонами a, b и с (зона Бриллюэна с базисом), показан на
рис. 5.14.
ω (k )
При a = 30 нм максимальное знаLO
чение волнового числа для оптичесT2 O
кой ветви составляет 0,6 ⋅ 10 4 см−1, а
T1O
3D-мерное тело

k3 = 2π n3 /( N 3 a) ,

L u || k

L

для акустической ветви − ~108 см−1.
T2
На рисунке 5.15 приведены экспеT1
риментальные дисперсионные кривые для германия Ge, кремния Si и
арсенида галлия GaAs, у которых в
π
π
k
−
0
a
a
ячейке находятся два атома. Для маРис. 5.14. Дисперсионные кривые для лых значений ( k →0) волнового чисзоны Бриллюэна с базисом.
ла частота оптических осцилляций
достигает максимального значения
13
~10 Гц, а у границы зоны Бриллюэна исчезает различие между продольными оптическими и акустическими волнами. Возрастание волнового числа от 0 до kmax сопровождается незначительным убыванием
частот оптической ветви и существенным возрастанием частот акустической компоненты. Сравнение экспериментальных данных и теоретических расчётов продемонстрировало их совпадение в пределах экс*

Отметим, что любой волне можно сопоставить гармонический осциллятор с собственной

частотой колебаний ω .
173

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

Ge

ν ⋅10−12 Гц
12

ТО

GaAs E, эВ
0,06

Si

LО

[100] →

[001] →

ТО

8

[100] →

LА

LО

ТО
LА

LА

4

0,02

ТА
ТА

0

0,04

LО

0,2

0,6

а

ТА

1,0

0,2

0,6

б

1,0

0,2

0,6

в

k

0,00

k max

Рис. 5.15. Колебательные спектры решёток германия (а), кремния (б)
и арсенида галлия (в).

периментальной погрешности измерений. Только согласие теории с
экспериментом является критерием её истинности.

5.8. Локальные фононные моды
Полученные решения для моночастичной (см. (5.5.2)) и двухчастичной (см. (5.7.1)) цепочек, а также для примитивного 3D-мерного тела (см. (5.7.4)) показывают, что волновой вектор волн в упругой среде
принимает дискретные значения. Это явление возникает в результате
применения условий цикличности. Дискретность волнового вектора
порождает дискретный ряд частот, т.е. энергия волн принимает дискретные значения. Следовательно, упругие волны можно представить
в виде квазичастиц, переносящих энергию и называемых фононами.
Другими словами, колебания разнообразных решёток из частиц, между которыми действуют упругие силы, эквивалентны фононному газу.
Число фононов определяется температурой системы, при взаимодействии с реальными частицами они могут возникать и исчезать, отключение взаимодействия вызывает обнуление их энергии, поэтому фононы и называют квазичастицами. В зависимости от типа упругих колебаний выделяют акустичекие и оптические фононы. При достаточно
174

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

низких температурах оптические фононы отсутствуют, в теле возбуждаются только акустические осцилляции. С достижением определённой температуры рождаются оптические фононы, число которых возрастает с увеличением температуры системы. При низких температурах амплитуды смещений частиц от положений равновесия невелики и
поэтому используют гармоническое приближение. Однако сильная зависимость сил взаимодействия от расстояния между частицами вызывает появление нелинейных эффектов, например, ангармонизма колебаний.
При распространении в цепочке низкочастотных колебаний (выполняется неравенство λ >> a ) дискретную величину na , определяющую смещение частицы u n = u 01 exp[ i ( kna − ω t )] , можно заменить на непрерывный аргумент x . Эта замена эквивалентна переходу от дискретной среды к непрерывной, от колебаний частиц в цепочке − к распространению бегущей волны u ( x, t ) = u 01 exp[ i ( kx − ω t )] со скоростью звука
в упругой среде. Волна также представима в виде акустического фонона с энергией hω и квазиимпульсом hk ( h = 1,05 ⋅10−34 Дж⋅ с − приведённая постоянная Планка). При λ >> a дискретность 3D-мерного тела не
сказывается на переносе энергии фононом, а скорость звука почти не
зависит от длины волны, т.е. задаётся фазовой скоростью. В общем же
случае скорость звука равна групповой скорости волны. Кроме объёмных волн в 3D-мерном теле могут распространяться ещё и поверхностные волны (волны Рэлея). Поверхностные фононы не дают существенного вклада в объёмные кинетические и термодинамические свойства
упорядоченного 3D-мерного тела (кристалла). Однако они играют важную роль при рассеянии поверхностью тела электронов проводимости.
Наличие точечных и других дефектов или примесных атомов в
решётке (рис. 5.16) может привести к изменению фононного спектра
кристалла. Заменим в цепочке одну из частиц с массой m на более лёгкую частицу с массой m′ ( m′ < m ). Под влиянием колебаний этой частицы близлежайшие соседи будут колебаться несколько иначе, нежели
частицы, расположенные вдали от неё. Следовательно, в окрестности
лёгкой частицы будет наблюдаться эффект локализации одного из
нормальных колебаний решётки, при этом соответствующая частота
175

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 5

а

б

в

Рис. 5.16. Точечные дефекты (вакансия (а), междоузельный
атом (б)) и примесной атом (в).

будет увеличиваться по сравнению с максимальной частотой колебаний исходной (ненарушенной) решётки. В приближении ближайших
соседей уравнения движения частиц решётки будут иметь вид уравнения (5.6.1). Для невозмущённого колебания решение у границы зоны
Бриллюэна задаётся функцией типа (5.4.4)
u n = u 0 exp[ i ( − ω t + nka )] ka = π = u 0 cos( π n ) exp( − i ω t ) =

= u 0 ( − 1) n exp( − i ω t ) ,

(5.8.1)

а возмущённого
u n = u 0 ( − 1) n exp( − i ω t ) exp( − | n | α ) ,

(5.8.2)
где коэффициент α подлежит отысканию. Решение уравнений движения показывает, что исходные частицы колеблются с частотой
ω2 =

β
m

( 2 + eα + e −α ) ,

(5.8.3)

а примесь – с частотой
ω2 =

β
m′

( 2 + 2 e −α ) .

(5.8.4)

Приравнивая (5.8.4) к (5.8.3), получим
1 + eα =

2β
2m
, ω2 =
m′
m′

2m
m′ ⎞
⎛
2
≈ ω max
.
⎜1 +
⎟
m′
2 m ′ − m ⎠ m ′≈ m
⎝

(5.8.5)

При наличии дефекта полученный результат указывает на возможность попадания частот колебаний в область запрещённых частот.
Достаточно тяжёлые примеси могут приводить к локализованным колебаниям, чьи частоты лежат в области разрешённых фононных частот исходного тела. Такие колебания характеризуются сильно увеличивающейся амплитудой колебаний примеси, т.е. возникает резонансное квазилокализованное состояние. Такие состояния в решётке называют локальными фононными модами.
176

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

Глава 6. Нелинейность. Ангармонизм. Хаос

Критерием истины является опыт
Т. Кампанелла

Поведение динамической системы при малом отклонение от положения равновесия описывается линейными уравнениями. Линейность обусловлена слабым взаимодействием элементарных возбуждений объекта и является следствием принципа суперпозиции реакций
системы на внешнее воздействие. Согласно принципу суперпозиции
любое возбуждение среды представляется в виде суммы элементарных возбуждений, а общее решение динамического уравнения – в виде
суммы фундаментальных решений уравнений для отдельных возмущённых состояний.
При малых ангармонических отклонениях от решения линейной
задачи и использование теории возмущений* говорят о слабой нелинейности динамической системы. Основными эффектами являются
разрушение независимости колебаний и взаимодействие возбуждений
(квазичастиц) в системе с бесконечным числом степеней свободы.
Взаимодействие квазичастиц проявляется в их рассеянии друг на друге и дефектах решётки в твёрдых телах. Описание процесса рассеяния
аналогично такому же процессу для частиц в идеальном газе, когда
они лишь изредка изменяют существенным образом своё динамическое состояние. Такой подход вполне приемлем для отображения термодинамических и кинетических свойств конденсированных сред. Он
позволяет вычислить распределение энергии по степеням свободы и
описать пространственную однородность слабых возбуждений макроскопических систем. Однако он становится непригодным при превы*Истоки теории возмущений, по-видимому, лежат в попытках решения задачи трёх тел, как
простейшей модели Солнечной системы. Решением этой задачи занимались в XIX в. Гамильтон, Лиувилль, Пуанкаре и другие. В частности, Пуанкаре разработал метод теории возмущений, который позволил описать поведение нелинейной системы на коротком интервале
времени.
177

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

шении возбуждениями определённого порога: происходит нарушение
равного распределения энергии по степеням свободы, пространственная локализация возбуждений и в целом ряде случаев появляется возможность введения квазичастиц следующего уровня.
Переходы от строго периодического расположения частиц к их
хаотическому размещению в пространстве, от линейных законов к нелинейным, от идеального состояния к неидеальному и тому подобные
изменения довольно часто встречаются в физической науке. Например, сильно разреженный газ ведёт себя как идеальный, но с ростом
плотности уже невозможно свести его динамику к динамике отдельных частиц. Речь идёт о том, что динамическую систему надо описывать по-новому как целостную природную структурную единицу. В
этом случае отдельные частицы вносят свой вклад в коллективное поведение всего их ансамбля, но не определяют новые качества тела. В
частности, в макроскопически покоящемся кристалле на микроскопическом масштабе меняется и сам элементарный носитель движения,
которым становится фонон, характеристики которого отличаются от
свойств атомов вещества.
Возникновение нелинейности изменяет и характер системы в целом: появляются бифуркации при непрерывном изменении параметров системы (см. пункт 4.4), теряется устойчивость пространственных
положений и динамических состояний, возникает бистабильность и
динамический хаос, происходит построение новых структур при протекании необратимых процессов, на фазовых портретах появляются
области притяжения (аттракторы) и отталкивания (репеллеры), возникает перемежаемость* без хаотических фаз и т.д. Ранее полагали,
что эти свойства характерны для систем с очень большим числом частиц и их происхождение связывали с хаотичностью движения атомов
в системе, но при определённом виде нелинейности они возникают и в
системах из двух-трёх частиц.
*Перемежаемость – это возникновение случайных почти периодических колебаний, при которых случайным образом появляются относительно короткие завихрения, причём число
хаотических всплесков может изменяться за счёт внешнего воздействия на систему, т.е. перемежаемость представляет собой непрерывный переход от регулярного движения к хаотическому.
178

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

6.1. Ангармонический осциллятор Дуффинга
Простейшим примером нелинейной системы служит осциллятор
с кубической зависимостью упругой силы от смещения, т.е. его функция Лагранжа равна
m x& 2
kx 2
βx4
Λ =
−
−
.
2
2
4

Тогда уравнение движения имеет вид
m &x& + kx + β x 3 = 0 ,

(6.1.1)
(6.1.2)

а динамический объект называют осциллятором Дуффинга. Аналитические методы решения произвольных нелинейных уравнений отсутствуют, поэтому проводят качественный анализ системы. Если коэффициенты k и β одного знака, то осциллятор Дуффинга слабо отличается от гармонического осциллятора (см. уравнение (3.8.7) и его решение, а также малые отклонения математического маятника от положения равновесия, пункт 4.2):
а) k > 0 , β > 0 − учёт ангармонизма осуществляется путём замены исходной потенциальной энергии, которая является симметричной функцией относительно смещения x , на выражение вида
U ( x) =

kx 2 β x 4 1 ~ 2
+
≅ kx ,
2
4
2

(6.1.3)

~
1
⎡ βE ⎤
k = k ⎢1 + 2 ⎥ = k + β x 2 , E − полная энергия осциллятора Дуффинга,
2
⎣ 2k ⎦

x 2 − среднее значение квадрата смещения. Фазовый портрет предс-

тавляет собой центр (см. рис. 4.9 в пункте 4.4), окружённый замкнутыми траекториями. Отличие состоит в том, что движения осциллятора
Дуффинга неизохронные (пункт 4.2), так как с увеличением энергии
системы E будет расти собственная частота осциллятора. Зависимость
частоты колебаний от энергии E (или от размаха колебаний) является
одним из показателей ангармонизма;
б) k < 0 , β < 0 − единственное отличие этого случая от предыдущего
состоит в замещение особой точки центра на седло.
179

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

Если коэффициенты k и β имеют разные знаки ( kβ < 0 ), то система уравнений x& = 0 , kx + β x 3 = 0 задаёт сразу три особые точки: x1 = 0
и x2, 3 = ± x0 = ± − k / β . Присутствие на фазовом портрете нескольких
особых точек является вторым признаком нелинейности динамической системы. Они классифицируются следующим образом (рис. 6.1):
а) k > 0 , β < 0 (рис. 6.1, а) − точка x1 = 0 − центр, а x2,3 = ± x0 = ± − k / β
− сёдла;
б) k < 0 , β > 0 (рис. 6.1, б) − точка x1 = 0 − седло, а x2,3 = ±x0 = ± − k / β −
центры.
U ( x)
E max

U ( x)

ω
− x0

0

+ x0

ω

− x0

x

0

ω

k >0
β <0

k <0
β >0
+ x0

x

ω
E min

а
б
Рис. 6.1. Потенциальные энергии осциллятора Дуффинга при условии, что
коэффициенты k и β имеют разные знаки: а – k > 0, β < 0; б − k < 0, β > 0.

На рис. 6.1, а и б показаны потенциальные ямы, в которых частота колебаний равна ω ; в первом случае яма одна, а во втором их – три.
Первый случай реализуется, если для полной энергии осциллятора выполняется двойное неравенство 0 < E < E max , тогда колебания происходят вблизи точки x1 = 0 . Во втором случае колебания наблюдаются в
окрестности точек x2,3 = ±x0 = ± − k / β , если Emin < E < 0 , и с большой амплитудой − в окрестности точки x1 = 0 , если E > 0 .
Полная энергия осциллятора Дуффинга равна
m x& 2 kx 2 β x 4
E =
+
+
,
2
2
4

(6.1.4)

т.е. скорость смещения определяется равенством
m x& =

2

2 E − kx −

βx4
2

.

(6.1.5)

Например, для случая k > 0 , β < 0 (рис. 6.1, а) фазовый портрет будет
180

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

иметь вид, представленный на рис. 6.2. На рисунке показана также сепаратриса, которая выходит из одx&
ного седла и входит в другое. Она
определяет границы областей фаСепаратриса
зового пространства с различным
0
x характером движения, отделяет пеx0
− x0
риодические во времени движения
от непериодических. Изображающая точка скатывается по сепаратрисе с одного максимума и попаРис. 6.2. Фазовый портрет осциллятора дает на второй максимум за экспоДуффинга при k > 0, β < 0.
ненциально большое время.
Из рис. 6.2 видно, что:
− при малых энергиях 0 < E << E max происходят гармонические колебания с частотой ω ;
− с ростом энергии E → E max размах колебаний увеличивается, а частота ω стремится к нулю; такие осцилляторы называют системами со
слабой (мягкой) нелинейностью.
Для случая k < 0 , β > 0 (рис. 6.1, б) фазовый портрет представлен
на рис. 6.3, из которого видно, что движение носит финитный характер, поэтому все фазовые траектоx&
рии замкнутые. Сепаратрисы имеют петлеобразный вид и соединя− x0
x0
x ются в седле, расположенном в начале координат. Они служат граСепаратриса
ницей между областями низкоамРис. 6.3. Фазовые траектории задачи Дуф- плитудных колебаний в окрестнофинга при k < 0, β > 0.
сти точек ± x0 и высокоамплитудных осцилляций в окрестности нуля. Для энергий из интервала Emin < E < 0 осциллятор Дуффинга ведёт
себя как система с мягкой нелинейностью: с ростом энергии частота
колебаний уменьшается до нуля на сепаратрисах.
Отметим, что наличие трёх особых точек на фазовом портрете
осциллятора Дуффинга связано с видом его потенциальной энергии.
181

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

Выбор другой потенциальной функции может привести к появлению
на фазовом портрете бесконечно большого числа особых точек. Вид
портрета зависит от физической постановки задачи, при которой учитываются те или иные силы, действующие на осциллятор (рис. 6.4).
x&

x&

x

а
б
Рис. 6.4. Фазовые траектории осциллятора Дуффинга
для уравнений: а – &x& + 0 . 05 x& + x + x 3 = 0 . 9 cos( 0 . 7 t ) ;
б − &x& + 0 .01 x& + x + x 3 = 1 .9 cos( 0 .7 t ) .

Компьютерное моделирование таких осцилляторов показывает,
что при заданных параметрах у системы может быть не одно, а множество решений, что является ещё одной отличительной чертой нелинейного поведения. В частности, при увеличении амплитуды вынуждающей силы возникает эффект удвоения периода колебаний с появлением субгармоник. Причиной эффекта является параметрический
резонанс, а его развитие аналогично раскачке человеком качели. В 70тых годах XX века было установлено, что с увеличением амплитуды
колебаний рост числа субгармоник происходит очень быстро. Возникающая при этом последовательность бифуркаций имеет конечный
предел, после которого дискретный спектр частот вынужденных колебаний вырождается в сплошной, происходит хаотизация системы.
Траектория изображающей точки на фазовой плоскости перестаёт
быть замкнутой и плотно заполняет целые области. Для выяснения
внутреннего строения хаотического движения на фазовой плоскости
откладывают точки, которые соответствуют фазе вынуждающей силы,
в результате чего получают фрактальное множество точек, которое называют сечением (отображением) Пуанкаре (рис. 6.5). Точки сечения
Пуанкаре образуют бесконечные, строго упорядоченные множества
182

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

x&

x&

а

x

б

x

Рис. 6.5. Хаотическая фазовая траектория (а) и её сечение Пуанкаре (б)
для ангармонического осциллятора Дуффинга с уравнением движения &x& + 0 . 05 x& + x + x 3 = 14 . 0 cos( 0 . 7 t ) .

вдоль определённых линий. Эти множества вложены друг в друга как
матрёшки до бесконечности, поэтому сечение Пуанкаре иногда называют канторовым множеством или фракталом. Поэтому жгут траекторий на рис. 6.5, а имеет размерность заключённую между единицей
и двойкой, т.е. он занимает промежуточное положение между 1D- и
2D-мерными объектами.

6.2. Эллиптические функции Лежандра и Якоби
Уравнение (6.1.2) является одним из тех редких уравнений нелинейной механики, для которых существует аналитическое решение.
Несмотря на его сложный вид (содержит эллиптические функции Лежандра или Якоби), это решение является точным и описывает движения осциллятора Дуффинга. Перепишем уравнение (6.1.2) для случая
k > 0 , β < 0 в виде
&x& +ω 02 x − εx 3 = 0 ,

где ω0 =

(6.2.1)

k
β
− частота собственных колебаний, ε = − > 0 − ангармониm
m

ческий коэффициент. Уравнение (6.2.1) имеет периодическое решение, если энергия осциллятора лежит в интервале 0 < E < E max

k2
=
.В
4β

пределе E → 0 колебания становятся гармоническими и описываются
183

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

тригонометрической функцией. Если энергия E ≈ E max , то решение выражается через гиперболические функции и имеет вид
ω 02 ⎛ ω 0 t ⎞
th ⎜
⎟.
ε
⎝ 2 ⎠

x (t ) =

(6.2.2)

Таким образом, общее решение (6.2.1) должно выражаться через функции, которые в одном пределе переходят в тригонометрические, а в
другом – в гиперболические функции.
Воспользовавшись первым интегралом движения (6.1.5), запишем решение в виде равенства (4.2.13)
t − t0 =

m x
∫
2E 0

dξ
1−

x / xmax

mω 2 mε 4
ξ +
ξ
2E
4E
2
0

ξ
ω
m
xmax , u =
, x max = 0
xmax
2E
ε

где η =

du

=η ∫

2

2a
1+ a2

2

2

(1 − u )(1 − a u )

0

, a=

E max
−
E

, (6.2.3)

E max
− 1 . Таким
E

образом, решение запишем в виде
t − t0 = ηF (arcsin( x / xmax ), a ) ,

(6.2.4)

здесь эллиптический интеграл Лежандра первого рода (рис. 6.6)
k

sin ϕ

F (ϕ , k ) = ∫
0

dζ

ϕ

(1 − ζ 2 )(1 − k 2ζ 2 )

=∫
0

dτ
1 − k 2 sin 2 τ

.

(6.2.5)

Смещение x = x max соответствует
отклонению от положения равновесия на максимальную величину,
которое происходит за четверть
периода колебаний осциллятора
Дуффинга. Так как
arcsin( x / x max ) x = xmax =

k

π
2

,

то интеграл (6.2.5) превращается
Рис. 6.6. График эллиптического интегра- в полный эллиптический интеграл
ла Лежандра первого рода F(φ, k) и пол- первого рода (рис. 6.6)
ного эллиптического интеграла первого
рода K(k).

dτ
⎛ π ⎞ π /2
F⎜ ,k ⎟ = ∫
= K (k ) .
⎝ 2 ⎠ 0 1 − k 2 sin 2 τ

(6.2.6)
184

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

Равенство (6.2.4) задаёт функцию x (t ) в виде обратной функции, поэтому обозначим (6.2.5) как F ( x , a ) = u ( x ) , а для нахождения исходной
функции − введём обратную к ней функцию x (u ) = am( u , a ) , которую
называют эллиптической амплитудой, а тригонометрические функции
от этой функции − эллиптическими функциями Якоби. Решение уравнения (6.2.1) записывают в виде
⎛ ω 0t
⎞
⎟⎟ ,
x (t ) = x max sn ⎜⎜
,
a
2
⎝ 1+ a
⎠
⎛

ω t

(6.2.7)

⎞

0
где sn ⎜⎜
, a ⎟⎟ − эллиптический синус. Следовательно, решение
2
⎝ 1+ a
⎠
для линейного гармонического осциллятора записывается через
круговой тригонометрический синус (см., напр., равенство (4.2.8)), а
для слабонелинейного ангармонического осциллятора Дуффинга
– через эллиптический синус Якоби.
Эллиптические функции Якоби применяют для аппроксимации
слабонелинейных колебаний при произвольном ангармонизме, вследствие чего остановимся более подробно на этих функциях. На рис. 6.7
показаны графики эллиптических синуса, косинуса и дельты амплитуды:
sn (t , a ) = sin( am (t , a )) , cn (t , a ) = cos( am ( t , a )) , dn (t , a ) = 1 − a 2 sn( t , a ) .
Перечисленные эллиптические тригонометрические функции имеют
два периода, например,
(6.2.8)
sn (t + 4 K ( a ), a ) = sn (t , a ) , sn (t + 2 i K ′( a ), a ) = sn (t , a ) ,

где K ′(a) = K ( 1 − a 2 ) . При малых значениях параметра а ( a << 1 ) функции sn (t, a ) и K (a) представляются рядами
⎛
3a 2
sn (t , a ) = ⎜⎜ 1 −
16
⎝

⎡ ⎛
⎡ ⎛
⎞
a 2 ⎞⎤ a 2
a 2 ⎞⎤
⎟⎟ sin ⎢ t ⎜⎜ 1 −
⎟⎟ ⎥ +
⎟⎟ ⎥ + ... , (6.2.9)
sin ⎢ 3t ⎜⎜ 1 −
4
16
4
⎠
⎠⎦
⎠⎦
⎣ ⎝
⎣ ⎝

π⎛

a2
K ( a ) = ⎜⎜ 1 +
2⎝
4
⎛

⎞
⎟⎟ + ...
⎠

(6.2.10)

⎞
⎟ , а эллиптический синус превра2 ⎟
⎝ 1− a ⎠

При a → 1 период K ( a ) → ln ⎜⎜

4

щается в гиперболический тангенс ( sn(t , a ) → th t ).Эллиптические функции синус sn (t , a ) , косинус cn (t , a ) (имеет мнимый период 4iK ′(a) ; при
185

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

sn (t, a )
1

а
− 2 K (a)

2 K (a )

0

t

−1
cn (t , a )
1

б
− 2K

2K

0

t

−1
dn (t , a )

в

1

− 2K

K′
0

2K

t

Рис. 6.7. Гафики эллиптических функций Якоби: а – синус; б – косинус; в – дельта
амплитуды.

a → 0 превращается в обычный круговой косинус, а при a → 1 − в ги-

перболический секанс, т.е. cn(t , a ) → 1 / ch t ) и дельта амплитуды dn (t , a )
(знакопостоянная и периодическая функция, имеет период 2 K (a) ; при
a → 0 приближается к постоянной величине dn (t , 0 ) = 1 , а при a → 1 переходит в гиперболический секанс, т.е. cn (t , a ) → 1 / ch t ) связаны основными тригонометрическими тождествами
cn 2 (t , a ) + sn 2 (t , a ) = 1 , dn 2 (t , a ) + a 2 sn 2 (t , a ) = 1 .
(6.2.11)
Производные от эллиптических функций Якоби равны
d sn (t , a )
= cn (t , a ) dn (t , a ) ,
dt
d cn (t , a )
= − sn (t , a ) dn (t , a ) ,
dt
d dn (t , a )
= − a 2 sn (t , a ) cn (t , a ) .
dt
186

(6.2.12)
(6.2.13)
(6.2.14)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

Решение задачи Дуффинга (6.2.7) выражается через эллиптический синус, имеющий период 4 K (a) , поэтому частота колебаний осциллятора
ω=

πω 0
2 K (a) 1 + a 2

,

(6.2.15)

.

(6.2.16)

а их амплитуда
A=

2

ε

ω0a
1+ a

2

Формулы (6.2.15) и (6.2.16) в параметрическом виде определяют зависимость частоты колебаний осциллятора Дуффинга от их амплитуды.
При a → 0 из этих соотношений получаем формулу
⎛
3ε A 2
ω 2 ≈ ω 02 ⎜⎜ 1 −
4 ω 02
⎝

⎞
⎟⎟ ,
⎠

(6.2.17)

из которой видно, что увеличение размаха колебаний сопровождается
понижением их частоты.
Подставив решение (6.2.7) в выражение для полной механической энергии (6.1.4), найдём
E=

ω 04 a 2
ε (1 + a 2 ) 2

.

(6.2.18)

Используя (6.2.15), из (6.2.18) получим асимптотики для энергии при
малых и больших амплитудах
⎧ Emax [1 − exp( −2ω 0 / ω )], ω << ω 0
⎪
E ≈ ⎨ 4ω 4
.
(6.2.19)
0
−
−
<<
(
1
ω
/
ω
),
ω
ω
ω
0
0
0
⎪
⎩ 3ε
Для случая k < 0 , β > 0 решение уравнения (6.2.1) при положительных значениях энергии ( E > 0 ) выражается через эллиптический
косинус с модулем

1
≤ a ≤ 1 , а при отрицательных ( − Emax = E∗ < E < 0 )
2

− через дельту амплитуды
⎛ β
⎞
x (t ) = x∗ dn ⎜⎜
x∗t , a ⎟⎟ ,
⎝ 2
⎠

где x∗ =

(6.2.20)

2k
. Аналогичные (6.2.15) и (6.2.18) уравнения имеют
β (2 − a 2 )

вид
187

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

E
1− a2
ω
π
=
,
.
=
ω ∗ 2 K ( a ) 1 − 0 .5 a 2 E ∗ (1 − 0 .5 a 2 ) 2

(6.2.21)

Если амплитуда колебаний мала ( a << 1 ), то в окрестности сепаратрис
асимптотики определяются формулами
E ≈ E∗ +

⎛ ω⎞
ω∗2 ⎛ ω ⎞
⎜⎜1 − ⎟⎟, E ≈ E∗ ; E ≈ 4E∗ exp⎜⎜ − ⎟⎟, ω << ω∗ .
3ε ⎝ ω∗ ⎠
⎝ ω∗ ⎠

(6.2.22)

При положительных значениях энергии ( E > 0 ) решение уравнения (6.2.1) и формулы типа (6.2.21) задаются выражениями
⎛ β~ ⎞
x ( t ) = a~
x cn ⎜⎜
x t , a ⎟⎟ ,
2
⎝
⎠

π

1
≤ a ≤ 1;
2

k

a 2 k 2 (1 − k 2 )
, E=
,
ω=
β ( 2 a 2 − 1) 2
2 K (a ) 2a 2 − 1

где ~x =

(6.2.23)
(6.2.24)

2k
. Пределу a = 1 отвечает сепаратрисное решение
β (2a 2 − 1)

xс (t ) = ± −

а лимиту a →

2k

β

sch

(

)

− kt ,

(6.2.25)

1
− нарастание амплитуды колебаний до бесконечной
2

величины (жёсткая или сильная нелинейность). В пределе больших
частот (амплитуд) зависимость энергии E от частоты ω (по сотношениям (6.2.24)) задаётся функцией
E≈

4ω 4

⎛ 1 ⎞
K 4⎜
⎟.
βπ
⎝ 2⎠
4

(6.2.26)

6.3. Уравнения Ван дер Поля
Исследования электрических колебаний в лампе бегущей волны
привели Б. Ван дер Поля к открытию релаксационных осцилляций, а затем к обнаружению (1927) устойчивых шумов (детерминированного
хаоса) вблизи собственных частот волны. Эти колебания были описаны уравнением вынужденных колебаний гармонического осциллятора
(см. пункт 3.8)
&x& + ω 02 x = f ( x , x& ) ,
(6.3.1)
где f ( x, x& ) = ε (1 − bx 2 ) x& , b > 0 . При малых значениях параметра ε коле188

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

бания близки к движениям гармонического осциллятора с энергией
(3.8.18), при этом скорость диссипации энергии определяется по формуле
dE
= f ( x , x& ) x& .
dt

(6.3.2)

Следовательно, изменение энергии за период колебаний T =

2π

ω0

рав-

но
T

∆ E = ∫ ε (1 − bx 2 ) x& 2 dt .

(6.3.3)

0

Для оценки (6.3.3) воспользуемся решением (3.8.15), выбрав в качестве начальных условий такие, чтобы начальная фаза колебаний с частотой ω 0 =

k
была равна нулю ( ϕ 0 = 0 ), т.е.
m
x (t ) =

2E
sin( ω 0 t ) , x& ( t ) = ω 0
k

2E
cos( ω 0 t ) .
k

(6.3.4)

Тогда (6.3.3) в основном приближении задаётся выражением
∆E ≈

2 πε E ⎡
bE ⎤
1
−
.
m ω 0 ⎢⎣
2 m ω 02 ⎥⎦

(6.3.5)

Если в начальный период времени колебания происходят с малой энергией (1 −

bE
> 0 ), то при положительном параметре ε энер2 mω 02

гия закачивается в осциллятор Ван дер Поля, при этом полная энер2 mω 02
гия E растёт. При приближении к значению E∗ =
диссипация
b

энергии уменьшается до нуля, а динамическая система переходит в
стационарное состояние. Другими словами, энергия, поступающая в
систему из внешней среды, компенсируется её диссипацией во вне. В
этом состоянии колебания происходят с частотой ω ~ ω 0 и амплитудой A ~1 / b , их называют автоколебаниями. На фазовой плоскости
автоколебаниям соответствует траектория, названная предельным циклом. Он играет роль сепаратрисы, которая разделяет области фазовой
плоскости с сужающимися и расширяющимися траекториями, т.е. геодезические линии «наматываются» на устойчивый предельный цикл
189

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

как изнутри, так и снаружи (рис. 6.8) при положительных величинах
ε > 0 . При отрицательных значеx&
ниях параметра ε < 0 предельный
цикл становится неустойчивым и
фазовые траектории с него «сматываются». Существенное увелиx
чение параметра ε значительно ус0
ложняет геометрический вид предельного цикла на рис. 6.8.
Для отыскания решения нелинейного уравнения (6.3.1) перепишем его в виде
Рис. 6.8. «Наматывание» фазовых траек&x& + ω 02 x = ε Φ ( x , x& ) . (6.3.6)
торий на устойчивый предельный цикл.
Если параметр ε достаточно мал,
то правую часть уравнения (6.3.6)
можно заменить нулём, полученное таким образом уравнение называют порождающим. Решение порождающего уравнения (3.8.7), записанное в виде (3.8.10), применим для нахождения решения уравнения
(6.3.6). Будем считать, что амплитуда A0 и начальная фаза δ 0 зависят
от времени t , т.е. заменим (3.8.10) функцией
x (t ) = a (t ) sin ψ (t ) ,
(6.3.7)
где ψ (t ) = ω0t + ϕ (t ) , a(t ) и ψ (t ) − «медленные» функции времени. Однако не только функция x(t ) должна иметь такой же вид как у порождающего уравнения, но и её первая производная в силу наличия в (6.3.7)
двух произвольных функций a(t ) и ψ (t ) , поэтому примем
x& (t ) = a (t )ω 0 cos ψ (t ) .
(6.3.8)
Так как первая производная по времени от (6.3.7) должна совпадать с
(6.3.8), то получаем первое уравнение для производных a& (t ) и ψ& (t )
a& (t ) sin ψ (t ) + a (t )ψ& (t ) cosψ (t ) = 0 .

(6.3.9)

Вычислив производную по времени от (6.3.8), подставим результат
вместе с выражениями (6.3.7) и (6.3.8) в (6.3.6), получим
a& (t ) cos ψ (t ) − a (t )ψ& (t ) sin ψ (t ) =

ε
Φ ( a (t ) sin ψ (t ) , a (t )ω 0 cos ψ (t )) . (6.3.10)
ω0
190

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

В дальнейшем аргумент t будем опускать для упрощения формы записи. Систему уравнений (6.3.9) и (6.3.10) легко разрешить (например,
по методу Крамера) относительно производных a& (t ) и ψ& (t ) :
a& (t ) =

ε
Φ cos ψ ,
ω0

ψ& (t ) = −

ε
Φ sin ψ .
aω 0

(6.3.11)
(6.3.12)

Из-за малости параметра ε ( ε << 1 ) скорости изменения производных
a& (t ) и ψ& (t ) невелики, поэтому функции a (t ) и ψ (t ) называют «медлен-

ными» или переменными Ван дер Поля.
Медленность изменения функций a(t ) и ψ (t ) позволяет заменить
правые части уравнений (6.3.11) и (6.3.12) их средними значениями за
период колебаний, т.е.
1 2π
F =
∫ F (ψ )dψ .
2π 0

(6.3.13)

Усреднённые уравнения приобретают вид
a& (t ) =

ε
A( a ) ,
ω0

ψ& (t ) = ω 0 −

ε
B (a ) ,
aω 0

(6.3.14)
(6.3.15)

здесь
A(a ) = Φ cosψ , B(a ) = Φ sin ψ .

(6.3.16)

Уравнения (6.3.14)-(6.3.16) называют укороченными уравнениями или
уравнениями Ван дер Поля.
Так как функции (6.3.16) зависят только от амплитуды a(t ) , то
уравнение (6.3.14) интегрируется независимо от (6.3.15), которое зачастую не интегрируют, потому что практический интерес представляет
частота ω = ψ& (t ) , задаваемая правой частью (6.3.6). Рассмотрим несколько примеров:
1) для осциллятора Дуффинга (см. пункт 6.2) функция
Φ ( x, x& ) = Φ ( x ) = a 3 sin 3 ψ ,
3a 3
. Из
следовательно, по (6.3.16) функции A(a) = 0 , B(a) = Φ sinψ =
8
191

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

уравнения (6.3.15) получаем зависимость частоты колебаний от амплитуды, которая совпадает с формулой (6.2.17)
ω = ω0 −

3ε a 2
.
8ω 0

(6.3.17)

2) для простейшего диссипативного осциллятора с правой частью
Φ ( x, x& ) = Φ ( x& ) = Φ ( aω 0 cosψ )

функция B(a) = Φ sinψ = 0 , т.е. по (6.3.15) частота ω = ω 0 не зависит
от размаха осцилляций, т.е. колебания являются изохронными. Решение точных уравнений показывает, что происходит нелинейный сдвиг
частоты, который соответствует второму порядку малости по параметру ε . Именно из-за того, что уравнения Ван дер Поля получены в линейном приближении по малому параметру ε они и допускают указанную неточность в нахождении частоты колебаний.
3) для осциллятора Ван дер Поля функция Φ ( x, x& ) = (1 − bx 2 ) x& . Выполнив усреднение, получим
A(a ) = Φ cosψ =

aω0 ⎛ ba 2 ⎞
⎜1 −
⎟ , B(a ) = Φ sinψ = 0 , (6.3.18)
2 ⎜⎝
4 ⎟⎠

а по (6.3.14)
aε
a& =
2

⎛
ba 2 ⎞
⎜⎜ 1 −
⎟.
4 ⎟⎠
⎝

(6.3.19)

Обращение правой части (6.3.19) в нуль ( a& = 0 ) определяет два стационарных состояния: центр − при a = 0 и предельный цикл − при a =

2
.
b

После разделения переменных в (6.3.19) интегрирование приводит к
выражению
a (t ) =

2
b

1
,
1 ± exp [− ε (t − t 0 ) ]

(6.3.20)

где знак «+» соответствует фазовым траекториям внутри, а знак «−» −
снаружи предельного цикла. При положительных значениях параметра ε траектории приближаются к предельному циклу с ростом времени, т.е. он устойчив. При отрицательных значениях параметра ε фазовые траектории удаляются от предельного цикла, что означает его неустойчивость.
Уравнения Ван дер Поля являются достаточно хорошим прибли192

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

жением, но требуют осторожного обращения с решениями укороченных уравнений, особенно, если порождающее уравнение является нелинейным.

6.4. Солитон Хасимото
Солитон – это уединённая волна (от англ. solitary wave – уединённая волна), которая сохраняет постоянной свою форму и скорость
при распространении в средах различной физической природы. Окончание «-он» типично для названий частиц таких, как электрон, протон,
фотон и т.д.; оно указывает на то, что волна такого типа ведёт себя подобно частице и в тоже время остаётся волной. В физику понятие «солитон» ввели американцы Н. Забуски и М. Крускал (1965), но открыл
уединённую волну Дж. Рассел (Великобритания, 1834). Он обнаружил
её при изучении пропускной способности канала Юнион вблизи Эдинбурга (Шотландия). В «Докладе о волнах»* он пишет: “Я следил за
движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешенного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперёд с огромной скоростью и
принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого,
гладкого и чётко выраженного водяного холма, который продолжал
свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая
скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперёд со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения
длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной.
Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 мне впервые
довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я
назвал волной трансляции…”.
*J. Scott Russell. Report on waves, Fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, 1844.
193

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

В 1894 году Г. де Фриз под руководством Д. Кортевега написал
диссертацию, результатом которой стала их совместная статья “On the
Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on
a New Type of Long Stationary Waves” (Phil. Mag. (5) 39, 422-443 (1895)),
∂u
∂ u ∂ 3u
+ σu
+
= 0 , впоследств которой было приведено уравнение
∂t
∂x ∂x 3

вие получившее название уравнения Кортевега-де Фриза. Оно описывает характеристики и поведение волны Рассела, объясняя её существование конкуренцией между нелинейностью и дисперсией. За нелинейность отвечает второе слагаемое в уравнении Кортевега-де Фриза:
чем ближе точка волны к её вершине и чем дальше от подножия, тем с
большей скоростью она движется. В результате вершина волны может
обогнать своё подножие, при этом фронт волны становится круче, что
может привести к опрокидыванию волны (рис. 6.9).
u
t=0

0
а

t = t1 > 0

б

t = t 2 > t1

в

x

Рис. 6.9. Эволюция (а-в) формы волны Рассела по модели Кортевега-де
Фриза.

Третье слагаемое в уравнении Кортевега-де Фриза описывает дисперсию, которая обуславливает расплывание волны. Механизмы нелинейности и дисперсии деформируют волну в противоположных направлениях, поэтому при определённых условиях они могут скомпенсировать друг друга, порождает уединённую волну Рассела, т.е. солитон. Скорость и ширина солитона связаны с его высотой: чем выше
солитон, тем он yже и тем быстрее движется, что соответствует результатам экспериментов Рассела.
В 1972 году японский учёный Х. Хасимото продемонстрировал
связь системы уравнений Серре-Френе (см. пункт 1.4) с нелинейным
194

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

уравнением Шрёдингера*. Тем самым было показано, как физико-геометрические характеристики пространства (кривизна и кручение) определяют волновую функцию уединённой волны (солитона) при временной и естественной параметризациях пространства.
Рассмотрим симметричную систему вида Серре-Френе для тройки ортов A , B и C, образующих сопутствующий декартов базис вдоль
траектории движения материальной частицы. Такой подход позволяет
не делать дополнительного допущения о нахождении одного из векторов базиса в виде векторного произведения двух других ортов. Характеристики пространства кривизна K1 , поворот вокруг бинормали K 2
(для системы Серре-Френе K 2 = 0 ) и кручение K 3 зависят от двух параметров: времени t и пройденного вдоль экстремали пути s . Умножим третье уравнение системы
⎧ ∂A
⎪ ∂s = K 1 B − K 2 C
⎪
⎪ ∂B
= K 3C − K 1 A ,
⎨
⎪ ∂s
⎪ ∂C
⎪ ∂s = K 2 A − K 3 B
⎩

(6.4.1)

на мнимую единицу Эйлера i = − 1 и прибавим результат ко второму
уравнению системы (6.4.1), в результате получим
∂( B + iC )
= −iK3 ( B + iC ) − ( K1 − iK 2 ) A .
∂s

(6.4.2)

Вводя обозначения
s

B + iC = N exp(−iϕ ) , ϕ = ∫ K3 (q, t ) dq и ψ = ( K1 − iK 2 ) exp(iϕ ) ,
0

перепишем (6.4.2) в виде
∂N
= −ψ A .
∂s

(6.4.3)

Орты B и C связаны с новыми комплексными векторами N и
N ∗ соотношениями
B=

1
( N exp(−iϕ ) + N ∗ exp(iϕ )) ,
2

*H. Hasimoto, Journal of Fluid Mechanics 51, № 3, 477 (1972).
195

(6.4.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

i
C = − ( N exp(−iϕ ) − N ∗ exp(iϕ )) .
2

(6.4.5)

При этом векторы нового базиса A , N и N ∗ удовлетворяют равенствам:
2

A ⋅ A = A = 1,

N

2

= N∗

2

= N ⋅ N∗ = 2,

(6.4.6)

A⋅ N = A⋅ N ∗ = N ⋅ N = N ∗ ⋅ N ∗ = 0.

Подстановка (6.4.4) и (6.4.5) в первое уравнение (6.4.1) и учёт (6.4.3) (и
к нему комплексно-сопряжённого выражения) приводит к системе
уравнений для базиса векторов A , N и N ∗ :
⎧ ∂A 1 ∗
∗
⎪ ∂s = 2 (ψ N + ψ N )
⎪
⎪ ∂N
= −ψ A
⎨
⎪ ∂s
⎪ ∂N ∗
= −ψ ∗ A
⎪
⎩ ∂s

.

(6.4.7)

Вычислим вторую производную от векторной функции A(s, t ) по
параметру s с учётом двух других уравнений системы (6.4.7), получим
∂2 A
∂ψ ∗ ⎞
1 ⎛ ∂ψ ∗
2
⎜
=
−
+
+
ψ
A
N
N ⎟⎟ .
2
⎜
∂s
2 ⎝ ∂s
∂s
⎠

(6.4.8)

Из уравнения (6.4.8) видно, что в случае независимости функции ψ от
параметра s , оно принимает осцилляторный вид с пространственной
частотой ω r = ψ = K12 + K 22 .
Изменения нового базиса векторов A , N и N ∗ описывают локальные производные от этих векторов по времени. Выполним разложение этих производных по базису векторов A , N и N ∗ :
⎧ ∂A
∗
⎪⎪ ∂t = aA + bN + cN
,
⎨
⎪ ∂N = α A + β N + χ N ∗
⎪⎩ ∂t

(6.4.9)

где коэффициенты a , b , c , α , β и χ являются комплексными величинами. В силу вещественности вектора A выполняются равенства:
196

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

a ∗ = a , b∗ = c , c∗ = b . Используя соотношения (6.4.6), продифференцированные по времени, можно показать, что a = 0 , χ = 0 , β ∗ = −β

(следовательно, β = iF , где F – вещественная функция), b = −α ∗ / 2 .
Таким образом, система уравнений (6.4.9) принимает вид
1 ∗
⎧ ∂A
=
−
(α N + α N ∗ )
⎪⎪ ∂t
2
,
⎨
∂
N
⎪
⎪⎩ ∂t = α A + iF N

(6.4.10)

причём скорости изменения базисных векторов A , N и N ∗ связаны
между собой равенством
F

∂A i ⎛ ∗ ∂N
∂N ∗ ⎞
⎟.
= ⎜⎜ α
−α
∂t 2 ⎝
∂t
∂ t ⎟⎠

Можно показать, что проективный коэффициент
∂ψ ⎤
⎡
α = − ⎢( B1 + iB2 )ψ + iB3
⎥,
∂s ⎦

⎣

(6.4.11)

(6.4.12)

где коэффициенты Bi (i =1, 2, 3) являются вещественными и независящими от параметризации пространственно-временного континуума.
Дифференцируя уравнения системы (6.4.10) по естественному
параметру s , а первые два уравнения системы (6.4.7) по времени t ,
приравнивая соответствующие смешанные производные и коэффициенты при одинаковых базисных векторах, получим после несложных
преобразований следующие уравнения
∂α
⎧ ∂ψ
+ Fψ
i
i
=
−
⎪⎪
∂s
∂t
.
⎨
F
1
∂
∗
∗
⎪i
⎪⎩ ∂s = 2 (α ψ − αψ )

(6.4.13)

Рассмотрим частные случаи полученных соотношений:
а) Солитон Хасимото. Коэффициенты в формуле (6.4.12)
B1 = 0 , B2 = 0 , B3 = 1 ,
∂ψ
, тогда функция
т.е. решение Хасимото имеет место при α = −i
∂s

1 2
F = ψ + С (t ) ,
2

(6.4.14)

а величина ψ удовлетворяет нелинейному уравнению Шрёдингера
(см. первое уравнение из системы (6.4.13))
197

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

∂ψ ∂ 2ψ ⎛ 1
−i
=
+⎜ ψ
∂t
∂s 2 ⎝ 2

2

⎞
+ C (t ) ⎟ψ .
⎠

(6.4.15)

б) Уединённая волна, подобная солитону Хасимото. Коэффициенты в
формуле (6.4.12)
B1 ≠ 0 , B 2 = 0 , B 3 ≠ 1 .
Решение системы уравнений (6.4.13) получим, если по (6.4.12) проективный параметр α = − B1ψ − iB3

∂ψ
. Тогда реализуется система уравне∂s

ний
⎧ ∂ψ
∂ψ
∂ 2ψ
i
iB
B
−
=
−
+
+ Fψ
1
3
⎪⎪
∂t
∂s
∂s 2
⎨
⎪ F = B3 ψ 2 + C (t )
⎪⎩
2

.

(6.4.16)

Второе уравнение системы (6.4.16) отличается от (6.4.14) только множителем B3 , т.е. отображаемая системой (6.4.16) уединённая волна подобна солитону Хасимото.
в) Уединённая волна, отличающаяся от солитона Хасимото. Коэффициенты в формуле (6.4.12)
B1 = 0 , B2 ≠ 0 , B 3 ≠ 0 .
⎛
В этом случае параметр α = −i⎜ B2ψ + B3
⎝

∂ψ ⎞
⎟ , а система вида (6.4.16) –
∂s ⎠

⎧ ∂ψ
∂ψ
∂ 2ψ
−
=
+
+ Fψ
i
B
B
⎪
2
3
∂t
∂s
⎪
∂s 2
.
⎨
s
B
2
2
⎪ F = B ψ ( q ) dq + 3 ψ + C (t )
2∫
⎪⎩
2
0

(6.4.17)

Отметим, что решение Хасимото описывает вихревой солитон и вытекает из решений систем (6.4.16) (или (6.4.17)) при B1 = 0 (или B2 = 0 ) и
B3 = 1 . Из приведенных решений видно, что тип солитона и нелиней-

ного уравнения Шрёдингера существенно зависят от параметра α , определяющего разложения локальных скоростей изменения базисных
векторов по этим векторам (система (6.4.10)).
Таким образом, в рамках рассмотренной модели возникновение
квантового объекта связано с изменчивостью траектории движения
(кривизна, кручение и поворот пространственной кривой), что можно
198

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

описать с помощью зависимости базисных векторов сопутствующего
трёхгранника от двух параметров – времени t и пройденного точкой
пути s . Другими словами, квантовый объект – это материальная частица, которая движется вдоль изменяющейся траектории. Её движение
описывается нелинейным уравнением Шрёдингера, вид которого определяется связью между проективным коэффициентом α и волновой
функцией ψ .

6.5. Функция Лагранжа на комплексной плоскости
Положение изображающей точки на фазовой плоскости задаётся
координатой x (например, смещением материальной точки из положения равновесия) и скоростью её изменения x& . Введём в рассмотрение функцию
ψ ( x, x& ) = x + ix&τ ,
(6.5.1)
где i = − 1 – мнимая единица Эйлера, τ – характерное время для исследуемого движения. Используя комплексно-сопряжённую к (6.5.1)
∗
функцию ψ ( x, x& ) = x − ix&τ , запишем

x=

ψ ∗ +ψ

ψ ∗ −ψ
, x& = i
.
2τ

(6.5.2)
2
Пусть нелинейный диссипативный динамический объект, обладающий одной степенью свободы и имеющий на фазовой плоскости
аттрактор в виде предельного цикла, описывается симметричной системой уравнений вида
⎧ dx
2
2 2
⎪⎪ dt = ω0τ x& + ε [1 − b ( x + x& τ )] x
⎨
.
(6.5.3)
⎪τ dx& = −ω0 x + ε [1 − b ( x 2 + x& 2τ 2 )] x&τ
⎪⎩ dt
Умножим второе уравнение системы (6.5.3) на мнимую единицу i и
прибавим результат к первому уравнению, после чего полученное
уравнение умножим снова на i , получим
i

dψ
= ω 0ψ + iεψ [1 − b | ψ |2 ] ,
dt
199

(6.5.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

где | ψ |2 = ψψ ∗ = x 2 + ( x&τ ) 2 − квадрат модуля комплексной функции (6.5.
1). По своей структуре уравнение (6.5.4) эквивалентно уравнениям
Ван дер Поля (6.3.1) и Хасимото (6.4.15). В частности, одним из решений (6.5.4) являются автоколебания, которые описываются зависимостью
ψ =

1
exp( − i ω 0 t ) ,
b

(6.5.5)

полученной из порождающего уравнения. На фазовой плоскости с координатами ( q = x , q& = x&τ ) решению (6.5.5) соответствует окружность
с радиусом R =

1
, по которой изображающая точка вращается с часb

тотой ω0 . Для фазовых траекторий динамической системы окружность является предельным циклом.
Согласно методу разделения движений на «медленные» и «быстрые» (см. пункт 6.3) будем искать решение (6.5.4) по типу решения
(6.5.5) порождающего уравнения. Представим его в виде
ψ = a(t ) exp(iϕ (t )) ,
(6.5.6)
тогда для амплитуды a(t ) и фазы ϕ (t ) получим систему уравнений
⎧ϕ& ( t ) = −ω 0
.
(6.5.7)
⎨
2
&
a
(
t
)
=
ε
a
(
t
)[
1
−
ba
(
t
)]
⎩
Решение второго уравнения системы (6.5.7) после разделения переменных и интегрирования определяется функцией
a (t ) =

1
b

1
,
1 ± exp [− 2ε (t − t 0 ) ]

(6.5.8)

где знак «+» соответствует фазовым траекториям внутри (амплитуда
1
), а знак «−» − снаружи предельb
1
до 0).
ного цикла (амплитуда осцилляций убывает от
b

колебаний увеличивается от 0 до

Рассмотрение процессов на комплексной плоскости аналогично
учёту зеркальных переменных (см. пункт 2.6) в евклидовой геометрии.
Это связано с тем, что комплексно-сопряжённые образы симметричны исходным величинам относительно действительной оси. Следовательно, можно использовать функцию Лагранжа на комплексной плос200

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

кости, записывая её, например, в безразмерном виде
Λ=

i
b
⎛
⎞
(ψ&ψ ∗ − ψ ψ& ∗ ) − ω 0 | ψ |2 − i ε ⎜ | ψ |2 − | ψ |4 ⎟ , (6.5.9)
2
2
⎝
⎠

где коэффициенты ω0 , ε и b в общем случае комплексные числа. Вычислим обобщённые импульс и силу в соответствии с методом зеркальных переменных (см. пункт 2.6)
p∗ =
p=

∂Λ
i
∂Λ
i
∗
ψ
=
−
F
=
−
=
−
ψ& + ω 0ψ + i εψ [1 − b | ψ |2 ] , (6.5.10)
,
∗
∗
∂ ψ&
2
∂ψ
2
∂Λ
i
∂Λ
i
= ψ ∗, F = −
= ψ& ∗ + ω 0ψ ∗ + i εψ ∗ [1 − b | ψ |2 ] .
∂ ψ&
2
∂ψ
2

(6.5.11)

Воспользуемся уравнением Лагранжа (2.6.2) для (6.5.10), получим
d ⎛ ∂ Λ ⎞ ∂Λ
= 0 ⇒ iψ& = ω 0ψ + iεψ [1 − b |ψ |2 ] ,
⎟−
⎜
∗
∗
dt ⎝ ∂ψ& ⎠ ∂ψ

(6.5.12)

которое совпадает с уравнением (6.5.4). Если обозначить через
b
⎛
⎞
E = ω 0 | ψ |2 + i ε ⎜ | ψ |2 − | ψ |4 ⎟
2
⎝
⎠

(6.5.13)

энергию динамической системы, то (6.5.12) перепишется в виде
i

∂E
dψ
=
.
∂ψ ∗
dt

(6.5.14)

По соотношению (2.3.9) функция Гамильтона в данном случае
равна: для зеркальной системы −
H∗ =

∂Λ ∗
i
ψ& − Λ = − ψ&ψ ∗ + E ,
∗
∂ ψ&
2

(6.5.15)

для исходной системы −
H =

∂Λ
i
ψ& − Λ = ψ ψ& ∗ + E .
2
∂ ψ&

(6.5.16)

Из сравнения выражений (6.5.15) и (6.5.16) получим
i d | ψ |2
i
i
∗
∗
∗
∗
=H.
H + ψ&ψ = H − ψψ& или H +
2

2

2

dt

(6.5.17)

Формулы (6.5.17) демонстрируют обмен энергией между исходным
осциллятором Ван дер Поля и его комплексно-сопряжённым аналогом.
Величина N = ψψ ∗ ≡ | ψ |2 определяет число квантов возбуждения,
следовательно, формулы (6.5.13) и (6.5.17) приобретают вид
201

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

E = (ω 0 + i ε ) N −

H∗ +

i
ε bN 2 ,
2

i dN
=H.
2 dt

(6.5.18)
(6.5.17)

Отсюда следует, что при постоянстве во времени числа квантов N
функции N и E являются интегралами движения, а функции Гамильтона зеркальной и исходной систем совпадают.

6.6. Логистическая модель Ферхюльста. Бифуркации. Хаос
Рассмотрим ряд простых моделей, прогнозирующих численность
населения Земли:
1) модель Мальтуса (1798). При благоприятных внешних условиях
(обилие пищи, отсутствие хищников и т.п.) скорость увеличения чисdN
пропорциональна числу особей в сообществе
dt
N . Коэффициент прироста населения k ( k > 0 ) определяется разнос-

ленности популяции

тью коэффициентов рождаемости и смертности. Согласно Мальтусу
уравнение изменения численности популяции имеет вид
dN
=kN.
dt

(6.6.1)

Решением уравнения является раскручивающаяся логарифмическая
спираль N (t ) = N (0) e k t , где N (0) – число особей в начальный момент
времени. Удвоение численности населения происходит достаточно
быстро по истечении промежутка времени, равного ∆t =

ln2
. При преk

вышении предела численности популяции Nc модель Мальтуса становится непригодной в силу зависимости коэффициента прироста от числа индивидуумов в сообществе.
2) логистическая модель Ферхюльста (1845). При N ≥ N c возникает
конкуренция между особями из-за нехватки питания и стремлением к
расширенному воспроизводству. Эти обстоятельства включают природные регуляторные функции, которые подавляют развитие менее
приспособленных членов популяции. Линейная зависимость коэффициента прироста k = a − bN от числа особей приводит к логистической
202

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

модели, в которой эволюционное уравнение имеет вид
dN
= a N −b N 2 .
dt

(6.6.2)

Численность населения

Изменения численности населения в зависимости от времени по моделям Мальтуса (пунктирная линия) и Ферхюльста (сплошная линия)
показаны на рис. 6.10. При малой численности человеческого сообщества закон Мальтуса и логистичесПредел численности
кое соотношение практически совNc
падают (аналогичная картина наМодель
блюдается в физике твёрдого тела
Модель
Мальтуса
Ферхюльста
при вычислении теплоёмкости по
моделям Эйнштейна и Дебая), однако при приближении к критичеВремя
ской величине народонаселения
Рис. 6.10. Прогноз роста численности на- логистический закон показывает
селения Земли по различным моделям.
выход на стационарную численность Nc (явление насыщения). Различные оценки стационарной численности населения Земли приводят к значениям от 16 до 20 млрд. человек. S-образный логистический
закон также описывает смену одной технологии другой, эволюционные преобразования в эконономической и социокультурной сферах,
распространение инноваций и т.п.
Для исследования стационарных состояний, их устойчивости и
наличия бифуркаций запишем модель Ферхюльста в виде итераций:
x n + 1 = (1 + r ) x n − r x n2 ,
(6.6.3)
где r – управляющий параметр модели. Стационарным состояниям
численности населения соответствуют два значения: x 0 = 0 – отсутствие первоначальной популяции (неустойчивое состояние) и x 0 = 1 –
максимально заполненная экологическая ниша для исследуемой популяции. Исследуем поведение системы вблизи этого положения, для чего линеаризуем уравнение (6.6.3), введя новую переменную y n = x n −1,
причём y n << 1 определяет бесконечно малые отклонения от состояния
x 0 = 1:
203

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

y n + 1 ≅ (1 − r ) y n .

(6.6.4)

Численность популяции

Численность популяции

При значениях управляющего параметра 0 < r < 2 состояние x0 = 1
устойчиво (рис. 6.11, а), а при r > 2 – оно становится неустойчивым
(рис. 6.11, б). При r = 2, 3 популяция периодически колеблется с перио-

а

Время

б

Время

Рис. 6.11. Устойчивость состояния x 0 = 1 при 0 < r < 2 (а) и неустойчивость при r > 2 (б).

дом 2 вблизи стационарного состояния. Эти колебания устойчивы до
тех пор, пока управляющий параметр меньше r = 2, 449 . При дальнейшем росте параметра r период колебаний удваивается каждый раз,
когда происходит приближение к значению r = 2, 57, после чего колебания становятся апериодическими, т.е. хаотическими (рис. 6.12). Удвоение периода колебаний при достижении очередного значения rn называют бифуркацией.

Рис. 6.12. Бифуркационная картина удвоения периода колебаний в
логистической модели (белые полосы – утроение периода).
204

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

Исследования показали, что

⎛r −r ⎞
lim⎜ n n −1 ⎟ = κ = 4, 66920166091... ,
⎟
n → ∞⎜ r
⎝ n +1 − rn ⎠

(6.6.5)

где κ – постоянная Фейгенбаума. При r = 2, 8284 возникают колебания
периода 3, которые затем удваиваются до значения r = 2, 8495 , после
чего возникает хаос. Ряд других бифуркаций для итерационных последовательностей показан на рис. 6.13 (см. также пункт 4.4).
Аналогичные бифуркации возникают в нелинейных системах.
Например, пусть поведение осциллятора описывается уравнением
&x& = x 2 + η ,
(6.6.6)
решением которого является функция Вейерштрассе, выражаемая через эллиптические функции Якоби (см. пункт 6.2). Механическая энергия системы
E=

1 2 1 3
x& + x + η x .
2
3

(6.6.7)

При η < 0 на фазовом портрете присутствуют две точки равновесия,
одна из которых устойчивая, а другая – неустойчивая. Устремление
параметра η к нулю вызывает слияние точек равновесия с образованием сложной точки равновесия, которую называют седло-узел. Эта
точка исчезает при переходе параметра η в область положительных
значений (рис. 6.14). Бифуркация седло-узел ответственна за явление
жёсткой потери устойчивости, при котором решение системы даже
при малом изменении параметра η уходит далеко от исходного состояния равновесия.
Если энергия системы определяется функцией вида
E =

1 2 1 4
x& + x + ξ x 2 + η x ,
2
4

(6.6.8)

то при различных значениях параметров ξ и η кривая, описываемая
уравнением (6.6.8), принимает вид от параболы с одним минимумом
до кривой с двумя минимумами. Такое изменение вида потенциальной
энергии системы отображается на фазовом портрете бифуркацией удвоения (рис. 6.15). Эта бифуркация указывает на мягкую потерю устойчивости, т.е. несмотря на потерю устойчивости решение остаётся
205

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6
до бифуркации

в момент бифуркации

после бифуркации

а

устойчивая
точка

неустойчивая
точка

б

неустойчивая
точка

устойчивая
точка

устойчивые
точки

в

неустойчивая
точка

устойчивая
точка

неустойчивые
точки

г

неустойчивая
точка

устойчивая
точка

устойчивый
цикл

Рис. 6.13. Изменение состояния системы при бифуркации: седло-узел (касательная бифуркация) (а); «вилка» (б); «обратная вилка» (в); удвоения периода (г).
U

U

U

x

x

x&

x&

x&

x

η<0

x

x

η =0

x

η >0

Рис. 6.14. Бифуркация седло-узел (касательная бифуркация).
206

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

в окрестности исходной точки равновесия. В частности, последовательные бифуркации удвоения рассматриваются как один из механизx
x
мов возникновения турбулентносx&
x&
ти (завихрений в ламинарном потоке газа или жидкости). Отметим,
что в нелинейных системах возниx
x
кают бифуркации, связанные не
только с точками равновесия, но и
с перестройками сепаратрис.
Рис. 6.15. Бифуркация удвоения.
Динамическое поведение нелинейной системы всегда сопровождается неустойчивостями и возникновением детерминированного хаоса, который коренным образом отличается от стохастичности. Первый возникает из-за зависимости поведения системы от начальных условий или положительности коэффициентов Ляпунова скоростей изменения состояния. Вторая является
противоположностью детерминизма и сосуществует с ним в вечном
единстве и противоборстве. Так же как в детерминированных системах могут возникать псевдослучайные перемещения, так и в хаотических средах должны наблюдаться упорядоченные движения. Это утверждение является следствием принципа перемешиваемости, установленного в теории нелинейных динамических систем.
Возникающий хаос сопровождается ветвлением (бифуркацией),
в результате которого система выбирает то или иное устойчивое стационарное состояние. Выбор в пользу одного из них совершается за
счёт изменения управляющего параметра при достижении им критического значения. Осуществить выбор помогают флуктуации, случайные
пробы пребывания в том или ином состоянии. Однако при этом изменяется геометрия самой системы, она становится на определённое время фрактальной, т.е. отличной от евклидовой. Флуктуации не ведут себя так, как это принято в статистической физике, где они могут только нарастать с течением времени. Они подчиняются тенденции, возникшей на раннем этапе вхождения системы в хаос: тенденция сохраU

U

207

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

няется, или подавляется. Это и является критерием выбора одного из
стационарных состояний. В дальнейшем возникшая тенденция вновь
подвергается выбору: система эволюционирует в сторону всё большей
устойчивости, или деградирует и становится всё более и более неустойчивой, вплоть до полного прекращения своего существования.
Тенденциозное развитие реализует естественный отбор как состояний,
так и самих систем в зависимости от значений их управляющих параметров (параметров порядка и хаоса). Чем устойчивее эти параметры
по отношению к внешнему воздействию, тем дольше система пребывает в выбранном стационарном состоянии.
Бифуркационный сценарий перехода к хаосу не является единственным. Ещё один сценарий возникновения детерминированного хаоса был открыт Б.Б. Мандельбротом при исследовании нелинейных
отображений одной комплексной плоскости в другую. Существование
на плоскости аттракторов и репеллеров приводит к формированию евклидовых или фрактальных границ между ними (сепаратрис, от слова
сепарация – разделять). Точки, которые образуют границу, не могут
участвовать в притяжение к аттрактору или в отталкивании от репеллера, поэтому они находятся в лабильном (безразличном) состоянии.
При изменении управляющих параметров меняются не только неподвижные точки, но и границы их влияния. Может случиться так, что
она рассыплется на отдельные точки и станет такой, как “пыль” Кантора или “салфетка” Серпинского. Этот процесс является более общим, чем сценарий Фейгенбаума, несмотря на то, что процесс Мандельброта схож с преобразованием Ферхюльста. Различие состоит в
том, что при критических значениях управляющего параметра граница
из евклидовой становится фрактальной. Самоподобие границы прослеживается на разных масштабах и на различных её участках. Границы такого рода называются множествами Жюлиа, который, в частности, установил, что эту границу можно восстановить целиком по малому участку, используя масштабирование. Динамический процесс на
границе невероятно хаотичен, граница постоянно видоизменяется, поэтому комплексные фракталы называют динамическими. В нелинейных динамических системах с числом переменных не менее двух возникают аттракторы нового типа – странные аттракторы.
208

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

6.7. Странный аттрактор Лоренца
Возникновение детерминированного хаоса и странных аттракторов происходит как в дискретных, так и в распределённых нелинейных системах. В качестве примера рассмотрим самоорганизацию в
слое жидкости толщиной h , которая находится в гравитационном поле
Земли под действием градиента температуры. Пусть на верхней границе вязкая жидкость имеет постоянную температуру T0 , а на нижней –
T0 + ∆T . При достаточно большой разности температур ∆T (градиент
температуры порядка ∆T/ h ) в слое возникают конвекционные потоки,
которые формируют ячейки Бенара (рис. 6.16). Внутри ячеек жидкость
поднимается от более нагретой нижней
границы к поверхности слоя, а по плоскостям шестигранников охладившаяся
жидкость стекает вниз. Распределённая
система задаётся векторным полем скоростей u = u (u1; u2 ; u 3 ) , скалярными полями давления P= P(x; y; z; t), температуры
T = T (x; y; z; t) и плотности ρ = ρ ( x; y; z; t ) .
Моделирование исследуемой ситуации
строится на использовании уравнений:
Рис. 6.16. Ячейки Рэлея-Бенара.
– Навье-Стокса, полученного из второго закона Ньютона (пункт 1.8),
∂u
∇P
+ (u ⋅ ∇) u = −
+ν ∆ u + g
∂t
ρ

где ν – кинематическая вязкость, g – ускорение свободного падения;
– неразрывности среды
∂ρ
+ ∇ ( ρ u) = 0 ;
∂t

– теплопроводности
∂T
+ ∇ (T u) = χ ∆ T ,
∂t

здесь χ – коэффициент температуропроводности;
209

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

– связи между плотностью и температурой
ρ = ρ 0 (1 − α ∆T ) ,
остальные параметры полагаются независящими от разности температур (приближение Буссинеска), α – коэффициент теплового расширения.
Система уравнений дополняется граничными условиями:
– на нижней границе
T ( x; y; z = 0; t ) = T 0 + ∆ T ; u y=0 = 0 ;
– на верхней границе
T ( x; y; z = h; t ) = T 0 ; u

y =h

= 0.

Граничные условия для поля скоростей отражают отсутствие движения жидкости через граничные плоскости.
Линеаризуем уравнения, введя следующие обозначения:
P = P0 − ρ 0 g (1 − α ∆ T ) y + p ( x; y; t )

y⎞
⎛
T = T0 + ∆T ⎜ 1 − ⎟ + θ ( x; y; t ) ,
h⎠
⎝

где p (x; y; t) и θ (x; y; t) – малые отклонения от гидростатического давления P = P0 − ρ 0 g y и от линейной зависимости T =T( y) соответственно.
Тогда система уравнений примет вид:
∇p
⎧∂ u
+
⋅
∇
=
−
+ν ∆ u + α g j θ
(
)
u
u
⎪ ∂t
ρ0
⎪⎪
⎨∇ ⋅ u = 0
,
⎪∂θ
r
yr
⎪ + ∇ (θ u ) − ∆T ∇ ⎛⎜ u ⎞⎟ = χ ∆θ
⎪⎩ ∂ t
⎝h ⎠

заметим, что ∇ ( y u ) = u j . Граничные условия преобразуются к виду:
⎧⎪θ ( x; y = 0; t ) = θ ( x; y = h; t ) = 0
.
⎨uj
⎪⎩ y = 0 = uj y = h = 0

Так как движение жидкости происходит в плоскости x O y , то составляющая скорости u3 = 0 . В силу того, что ∇ ⋅ u =

∂u1
∂x

ти функция тока ψ жидкости по формулам
u1 = −

∂ψ
∂y

и u2 =
210

∂ψ
,
∂x

+

∂u 2
∂y

= 0 , можно ввес-

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

которые указывают на непрерывность среды
∂u 1

∂u 2

∂ 2ψ ∂ 2ψ
div u = ∇ ⋅ u =
+
=−
+
= 0.
∂x
∂y
∂ x ∂ y ∂y ∂ x

После исключения давления уравнения принимают вид:
∂ (ψ , ∆ψ )
∂θ
⎧ ∂ ( ∆ψ )
2
=
−
+
∆
+
ν
ψ
α
g
⎪ ∂t
∂ ( x, y )
∂x
⎪
,
⎨
⎪ ∂ θ = − ∂ (ψ , θ ) − ∆T ∂ψ + χ ∆ θ
⎪⎩ ∂ t
∂ ( x, y )
h ∂x

∂ ( q, g) ∂ q ∂ g ∂ q ∂ g
∂4
∂4
2
= ⋅ − ⋅
и∆ = 4 + 4.
где
∂ (x, y) ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
∂y
∂x

Разлагая функцию тока в ряд Фурье, сохраняя только младшие
члены разложения и используя подстановку
n ψ
⎛ π nx ⎞
⎛ πy ⎞
= 2 X ( t ) sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟;
2
1+ n χ
⎝ h ⎠
⎝ h ⎠
πR θ
R c ∆T

=

⎛ π nx ⎞
⎛ πy ⎞
⎛ 2π y ⎞
2 Y ( t ) cos ⎜
⎟ sin ⎜ ⎟ − Z ( t ) sin ⎜
⎟,
⎝ h ⎠
⎝ h ⎠
⎝ h ⎠

где X (t) , Y(t) и Z (t) зависят только от времени, R = α g h 3∆T / (νχ ) – число Рэлея, а Rc =

π 4 (1 + n 2 ) 3
n2

– его критическое значение, величина n ха-

рактеризует отношение линейных размеров ячейки Бенара, получим
систему уравнений Э.Н. Лоренца (1963):
⎧ X& = a ( Y − X )
⎪ &
⎨ Y = b X −Y − X Z ,
(6.7.1)
⎪ Z& = − c Z + X Y
⎩
где производная берётся по безразмерному времени τ =π 2 (1+ n 2 ) χ l / h 2 ,
a =ν / χ – число Прандтля, b = R / R c – управляющий параметр, а коэффициент c = 4 / (1 + n 2 ) . В системе уравнений Лоренца переменная X (t )
характеризует скорость вращения конвекционных потоков, а Y (t ) и
Z (t ) описывают распределение температуры по осям абсцисс и ординат соответственно. Решение системы уравнений (6.7.1) при a = 10 ,
b = 24,74 и c =

8
показало, что графики функций X (t ) , Y (t ) и Z (t ) по3
211

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

добны кривой Броуна (см., например, зависимость X (t) на рис. 6.17, а).
----- первичный запуск

- - - - повторный счёт

Z (t )

Y (t )

X (t )

X (t )

t
б

а

Рис. 6.17. Временная зависимость функции X (t ) (а) и трёхмерное изображение странного аттрактора Лоренца (б).

Из рис. 6.17, а видно, что старт итераций со стартовой точки,
близкой к первоначально выбранной точке, приводит к расхождению
графиков функции X (t ) (пунктирная линия на рис. 6.17, а). Э.Н. Лоренц изобразил все три переменные на пространственном графике, напоминающем в плоском изображении крылья бабочки (рис. 6.17, б),
который не только продемонстрировал взаимозависимость переменных X (t ) , Y (t ) и Z (t ) , но и показал сложный характер автоколебаний,
которые возникают в динамической системе при определённых значениях управляющего параметра (детерминированный хаос).
Вхождение системы в детерминированный хаос порождает внутренний “белый” шум, при этом сама система остаётся устойчивой по
отношению к внешним шумам и воздействиям. Малое отклонение любой внутренней точки “странного” аттрактора от первоначального положения “потонет” во внутреннем шуме собственных флуктуаций системы. Иная картина наблюдается при малом отклонении системы от
положения равновесия или стационарного состояния: по истечении
продолжительного времени оно может привести к существенным изменениям динамической системы и, возможно, к её полному разрушению. Таким образом, детерминировано хаотические системы сочетают
слабую чувствительность к малым внешним шумам и воздействиям с
устойчивостью их “странного поведения”. Отметим, что динамичес212

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

кие системы со “странными репеллерами” (например, осциллятор Рёслера) представляют не меньший интерес, так как они отражают области случайного порядка, которые должны быть весьма чувствительными к внутренним шумам и неустойчивыми по отношению к внешнему
воздействию.
Аттрактор в модели Э.Н. Лоренца был назван “странным” потому, что его геометрическую структуру невозможно было воссоздать из
элементов евклидовой геометрии, т.е. из элементов с целочисленной
размерностью. “Странный” аттрактор Э.Н. Лоренца обладает дробной
размерностью и является фракталом. Увеличение любого его участка
приводит к тому же результату, если просчитать траектории с более
точными числовыми значениями параметров, т.е. “странный” аттрактор самоподобен. Все траектории внутри странного аттрактора неустойчивы; фазовая точка никогда не проходит по одной и той же траектории; любые две из них экспоненциально расходятся, при этом оставаясь на инвариантном торе. Движения фазовой точки носят хаотический характер, а достаточно малое изменение начальных условий радикально изменяет вид движения: от периодических до хаотических, т.е.
оно становится неустойчивым, но детерминировано предсказуемым в
смысле эволюционного развития. Перечисленные свойства говорят о
частичной упорядоченности, проявляющейся в формировании конвекционных ячеек Рэлея-Бенара.
Возникновение ячеек Бенара при достижении критического значения градиента температуры демонстрирует явление самоорганизации в диссипативной системе. Тепловая энергия, вносимая в систему
извне, расходуется на создание конвективных потоков в строго определённых пространственных областях, что приводит к возникновению
шестигранных структур. Геометрическая форма ячеек зависит от граничных условий, она может быть квадратной и треугольной. При нагревании не только дна, но и боковых стенок сосуда, происходит переход шестигранников в страйп-структуры (лабиринты) с последующим переходом их в спирали. Таким образом, ячеистая структура становится неустойчивой при нагреве боковых стенок и замещается более
устойчивым спиралевидным образованием.
213

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

6.8. Характерные черты нелинейных систем
Колебания разделяют на периодические (синусоидальные, ангармонические и релаксационные колебания) и апериодические (изменения, происходящие при затухающих, квазипериодических и хаотических колебаниях). Для малых колебаний характерна амплитудная инвариантность, т.е. малые колебания с одной и той же частотой свободных колебаний различаются только амплитудой колебаний. Величина
амплитуды определяет размер области, в которой справедлива линейная динамика. За пределами области малых колебаний возникают явления, описываемые нелинейной динамикой, в частности, могут появляться хаотические движения.
Колебательные системы разделяют на консервативные (сохраняют полную энергию системы) и диссипативные (часть полной энергии
рассеивается и переходит в другие формы существования). Переход
системы в стационарный режим существования приводит к тому, что
фазовые траектории локализуются вблизи аттракторов (состояние
равновесия, предельный цикл или устойчивый фокус). Например, наличие предельного цикла приводит к возникновению автоколебаний в
диссипативных системах. В рамках линейной модели, в которой отсутствует характерный масштаб амплитуды, появление автоколебаний не
может быть объяснено. Наличие характерного масштаба и пораждает
независимость установившегося состояния диссипативной системы от
момента начала колебаний.
Наличие в системе нелинейного элемента может приводить к таким явлениям как неизохорность, ангармоничность, автоколебания,
бифуркации, мультистабильность, динамический хаос и резонанс. Неизохорность осциллятора определяется зависимостью частоты колебаний от амплитуды. Если движения динамической системы описываются уравнением, не совпадающим с уравнением свободных колебаний,
то их решением является периодическая функция, отличающаяся от
синусоиды. Возникновение таких колебаний говорит об ангармоничности системы. Ещё одним проявлением нелинейности является само214

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

произвольное возникновение в ряде диссипативных систем автоколебаний, которые определяются свойствами осциллятора и не зависят от
стартовых условий процесса, но энергия для поддержания автоколебаний черпается из внешнего источника.
Помимо динамических переменных состояние колебательной системы определяется рядом параметров, значения которых не изменяются с течением времени. Задавая тот или другой уровень управляющих параметров, можно реализовать определённое состояние объекта:
равновесие, стационарное состояние, периодические или ангармонические колебания. Переход системы на качественно новый уровень существования в зависимости от величин управляющих параметров называется бифуркацией. Изменение параметров должно происходить
достаточно медленно (медленные переменные), чтобы система успевала подстраиваться к новым условиям за счёт изменения динамических
переменных (быстрые переменные).
Если система обладает областями притяжения траекторий на фазовой плоскости, то говорят о присутствии аттракторов – притягивающих предельных множествах. Отталкивающие области на фазовой
плоскости называют репеллерами, а нейтральные множества с неподвижными изображающими точками (сепаратрисы) – слиперами. При
наличии нескольких аттракторов система притягивается к ближайшему энергетически более выгодному состоянию, так как каждому аттрактору соответствуют свои значения динамических переменных и
бассейн притяжения. Наличие такой ситуации приводит к мультистабильности. В результате изменения управляющих параметров может
произойти слияние устойчивого и неустойчивого состояний колебательной системы (бифуркация слияния). После слияния исчезает локальный минимум, при этом состояние системы изменяется скачком
(жёсткая бифуркация или катастрофа).
Ещё одной особенностью нелинейных систем является тот факт,
что колебания с разными амплитудами происходят по-разному. В фазовом пространстве им соответствуют разные фазовые траектории, а,
следовательно, и разные виды динамического поведения. Если число
динамических переменных больше или равно двум, то возможна сле215

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 6

дующая ситуация: существуют такие движения, при которых две близко расположенные фазовые траектории с течением времени расходятся. Если таким свойством обладают все возможные фазовые траектории, то говорят о возникновении динамического хаоса. Области притягивающие в свой бассейн все фазовые траектории, называют странными аттракторами. Такой процесс связан с изменением характерных
масштабов динамической системы при её переходе к новому устойчивому состоянию. Достижение границы существования одного масштаба сопровождается переходом к другому масштабу, иной однородной
функции состояния, к смене структуры физического тела. Так в 1984
году Д. Шехтман* с сотрудниками обнаружили аморфно-кристаллическое состояние быстроохлаждённого сплава алюминия с марганцем.
В таких системах, в частности, возникают объединения атомов, получившие название квазикристаллы, одной из характерных черт которых
наличие запрещённой в классической кристаллографии оси симметрии пятого порядка (примером может служить пятиконечная звезда).
Между полностью упорядоченными структурами (кристаллами) и почти бесформенными объектами лежат не только квазикристаллы, но и
динамические системы с детерминированным хаосом.
В заключение отметим, что все реальные объекты являются нелинейными системами, поведение которых только в малой окрестности аттрактора можно описать линейными уравнениями. В основном,
динамические уравнения содержат нелинейные слагаемые различного
вида. Например, уравнение с нелинейностью синуса (см., напр., пункт
4.2, физический маятник) встречается довольно часто при решении
различных физических задач: исследование контакта Джозефсона в теории сверхпроводимости; самоиндуцированной прозрачности в нелинейной оптической модели; решение задачи об изгибе упругой балки
и в других задачах. Этот факт указывает на то, что методы нелинейной
динамики могут использоваться в самых различных областях знания в
силу идентичности математического описания периодических процессов.
*Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J.W. Metallic Phase with Long-Range Orientational
Order and No Translational Symmetry, Physical Review Letters 53(20),1951-1953 (1984).
216

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

Глава 7. Вихри. Циркуляция. Течения
Избегай невежды, считающего себя учёным
У. аль-Маали

Появление на фазовом портрете распределённой динамической
системы, находящейся в газовом или жидком состоянии, странного аттрактора указывает на возникновение детерминированного хаоса. Он
сопровождается новым типом механического самоиндуцированного
движения, являющегося одной из основных форм движения текучей
среды, – завихрением. Толковый словарь Даля даёт много синонимов
слова «вихрь» − кружалка, заверть, ветроворот, столбовый ветер, даже
чёртова свадьба. Но для современного горожанина наиболее знакомым видом вихревого движения является водоворот, образующийся
при вытекании воды из ванны.
Структура и размеры образующихся вихрей весьма разнообразны: от вихревых нитей до хаотических вихрей (рис. 7.1). Их наблюдают в водной и воздушной стихиях в виде водоворотов и торнадо, они
образуются в технических устройствах, несут пользу при создании
подъёмной тяги самолётов и им же наносят вред в виде сочетания самовозбуждающихся незатухающих изгибающих и крутящих автоколебаний крыльев (флаттер) или винтов вертолётов. Вихри обладают
рядом уникальных свойств, особенно их равновесные когерентные
конфигурации из нескольких штук (вихревые мультиплеты), которые
изучают уже третье столетие.
Усилиями Г. Гельмгольца (1858) и У. Томсона (лорд Кельвин*)
были сформулированы основы теории вихревого движения идеальной
*До конца своих дней лорд Кельвин сохранял ясность ума и чувство находчивости. Однажды
он вынужден был отменить лекцию и написал на доске: "Professor Thomson will not meet his classes today" ("Профессор Томсон не сможет встретиться сегодня со своими классами"). Обрадованные студенты решили подшутить над ним и в слове classes стёрли первую букву. Осталось
lasses (любовницы). На следующий день Томсон, увидев надпись, страшно возмутился и отказался читать лекцию. Но прежде, чем уйти, в том же слове стёр ещё одну букву. Осталось asses
(ослы), что означало "Профессор Томсон не сможет встретиться сегодня со своими ослами".
217

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

1. Вихревые нити

2. Вихревые трубки

3. Кольца Тейлора

а

в

б

4. Вихревые мультиплеты: а – дуплет; б − триплет; в − квадруплет

5. Дорожка Кармана

6. Хаотические вихри сигаретного дыма

Рис. 7.1. Виды вихревых структур.
218

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

жидкости. Было установлено, что циркуляция скорости по замкнутому
контуру, перемещающегося вместе с частицами жидкости, постоянна,
что определило появление закона о вмороженности вихревых линий в
поток. Отсюда следует, что если потенциал скоростей существовал в
начальный момент, то он будет присутствовать в среде всегда, т.е. зародившееся вихревое движение разрушиться не может. Это свидетельствует о невозможности возникновения вихря в идеальной жидкости. Гельмгольц также доказал (вторая теорема), что и напряжение
вдоль вихревой нити остаётся постоянным, следовательно, она должна
замыкаться сама на себя, образуя вихревое кольцо (рис. 7.1, 3), или её
концы обязаны лежать на границах жидкости (рис. 7.1, 2). Например,
кольца двигаются по тому направлению, по которому отбрасывается
жидкость внутри кольца. Чем тоньше вихревое кольцо, тем быстрее
оно перемещается вдоль своей оси при той же циркуляции скорости.
Если выпустить два вихревых кольца одно за другим, то наблюдается
следующая картина: кольца попеременно догоняют друг друга и, изменяя свой радиус, проходят одно сквозь другое (игра “чехарда”).
Первые работы по расчётам характеристик течения жидкости в
трубах были опубликованы Г. Хагеном и Дж. Пуазейлем. Казалось бы
их уравнениями можно было описать почти всё, что происходит в этих
потоках, включая образование вихревых структур из-за наличия пограничного слоя, возникающего в результате трения жидкости о стенку трубы. Однако ситуация радикально меняется, когда речь заходит
об изогнутых или разветвлённых трубах, в которых зарождаются самые невообразимые вихри. Изучение вихрей в атмосфере показало,
что с уменьшением радиуса вихря его скорость увеличивается, следовательно, внутри вихря (тайфун, смерчь, торнадо) возникает область
пониженного давления. Эта область втягивает внутрь вихря встречающиеся на траектории его следования предметы. Относительно резко
ограниченная область больших скоростей и пониженного давления
делает территорию опустошения тайфуном (смерчем или торнадо)
тоже резко очерченной.
Если ядро вихря начинает отклоняться от прямой линии и закручиваться в спираль, то происходит разрушение спиралевидного вихря
219

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

(рис. 7.1, 1), наблюдаемого в турбореактивном двигателе или диффузоре гидротурбины. Например, ядро завихрения, возникающего при прохождении диффузора, деформируется и приобретает форму спирали.
В настоящее время исследователи заняты изучением структуры
вихревых мультиплетов. Эта задача имеет принципиальное значение
как для обоснования вихревой трактовки турбулентности, так и для
анализа сложных закрученных потоков, образующихся в природе и
технических устройствах. В частности, в равновесных круговых конфигурациях теория точечных вихрей утверждает сосуществование семи вихрей, а её обобщение на винтовые вихри уменьшает их количество до шести.
Наблюдения за конденсационным следом от самолёта показали,
что при определённых условиях он распадается на структуры наподобие вихревых колец. Это явление называют неустойчивостью Кроу*
по имени учёного, который впервые в 1970 году дал аналитическое
описание начальных стадий этого процесса. С.К. Кроу показал, что
взаимодействие двух концевых вихрей может приводить к усилению
возмущений вытеснения, длина волны которых в осевом направлении
значительно превосходит начальное расстояние между вихрями. В атмосфере наблюдают и другие вихри, например, вихревую дорожку
Кáрмана (рис. 7.1, 5), который создал теорию лобового сопротивления. Периодические выбросы таких вихрей бывают настолько мощными, что могут вызвать резонанс в технических объектах, например,
они ответственны за разрушение моста Такома-Нэрроуз (штат Вашингтон, США) в 1940 году.
В последние годы исследования вихревых структур ведутся также с целью усовершенствования автомобильных двигателей. Предпринимаются попытки повысить эффективность сгорания автомобильного топлива за счёт создания вихревых колец. Эксперименты и
применение численных методов позволили создать эффективное распределение смеси в цилиндре, благодаря чему уменьшился расход топлива в автомобиле. Промышленное использование полученных результатов осуществлено на заводе БМВ в Мюнхене (2003).
*Crow S.C. Stability Theory for a Pair of Trailing Vortices in a Turbulent Atmosphere // AIAA
Journal. − 1970. − V. 8, N 12. − P. 2172-2179.
220

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

7.1. Идеальная жидкость. Завихрённость. Циркуляция
Распределённую динамическую систему называют идеальной
жидкостью, если её параметры описываются непрерывными функциями, а система в целом лишена вязкости, теплопроводности и сжимаемости. Несжимаемость жидкости означает, что плотность ρ (t, r (t )) любой произвольно выделенной жидкой частицы ( t − время, r (t ) − радиус-вектор местоположения частицы) остаётся неизменной в процессе
движения. Следовательно, выполняется равенство (см. также пункт
1.8)
d ρ ( t , r ) ∂ ρ ( t , r ) d r ∂ ρ (t , r ) ∂ ρ (t , r )
≡
+
=
+ u ⋅ ∇ρ (t , r ) = 0 , (7.1.1)
dt
dt
∂t
∂r
∂t
где u(t , r ) = r& − скорость течения жидкости в момент времени t в точ-

ке r .
Оператор
d
∂
≡ + u ⋅∇
dt ∂t

(7.1.2)

называют субстанциональной (индивидуальной) производной. Она указывает на то, что физическая величина изменяется не только из-за явной зависимости от времени (первое слагаемое), но и за счёт неоднородности этой величины вдоль направления скорости движения частицы u(t , r ) (второе слагаемое).
Величины, которые характеризуют состояние жидкости (плотность ρ(t, r) , скорость u(t, r) и другие) в любой её точке, называют полями (полевыми характеристиками). Скалярные полевые характеристики, удовлетворяющие уравнению (7.1.1), называют лагранжевыми
инвариантами. Основным их свойством является то, что они переносятся жидкостью в неизменном виде от точки к точке.
В состоянии покоя идеальную жидкость определяет единственный параметр – её плотность − мера инертности сплошной среды. Поэтому движение такой системы определяется чисто механическими
принципами и законами. В качестве основных законов выступают
второй закон Ньютона (1.8.5) и локальный закон сохранения массы
221

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

(1.8.3), который в интегральной форме имеет вид
∂
∫ ρdV = − ∫ ρu ⋅ dS = − ∫ div( ρu)dV = − ∫ div JdV ,
∂t V
S
V
V

(7.1.3)

где dS = ndS − поверхность ограничивающая выделенный объём V, n
− внешняя нормаль, J = ρu − конвективный поток жидкости, причём
за его положительное направление принята внешняя нормаль, поэтому
в формуле (7.1.3) стоит знак минус. Согласно (7.1.3) скорость изменения массы выделенного объёма V равна потоку массы через его поверхность S.
Перепишем уравнение (7.1.1) с учётом локального закона сохранения массы (1.8.3) в виде
∂ρ
∂ρ
∂ρ
+ u ⋅ ∇ρ =
+ ∇ ⋅ ( ρ u) − ρ (∇ ⋅ u ) =
+ ∇ ⋅ J − ρ div u = − ρ div u = 0 ,(7.1.4)
∂t
∂t
∂t

откуда следует условие несжимаемости жидкости:
div u = 0 .
(7.1.5)
Векторное поле с нулевой дивергенцией (7.1.5), т.е. с расходимостью
векторных линий равной нулю, называют соленоидальным.
Второй закон Ньютона (1.8.5), применённый к жидкой частице
единичного объёма, записывается в виде
ρ

du
∂u
F
=F ⇒
+ (u ⋅ ∇)u = ,
dt
∂t
ρ

(7.1.6)

где F − реакция связей, т.е. равнодействующая всех сил, действующих со стороны среды на выделенную жидкую частицу (см. (1.8.6)).
Если плотность жидкости постоянна ρ (t , r (t )) = ρ0 , то при чисто механическом подходе можно предположить, что сила F задаётся некоторой потенциальной функцией p(t , r (t )) , называемую давлением, т.е.
F = −∇p .
(7.1.7)
Знак минус в (7.1.7) указывает на то, что ускорение жидкости направлено в сторону убывания давления, т.е. противоположно его градиенту.
Следовательно, функцию p(t , r (t )) можно рассматривать как калибровочную функцию, которая обеспечивает бездивергентность поля скоростей. Подействуем на (7.1.6) оператором дивергенции, учтём равенства (7.1.5) и соотношения
div(ϕ u) = ∇ϕ ⋅ u + ϕ div u ,
(7.1.8)
222

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

∇(q ⋅ u) = [q × rot u] + [u × rot q] + (q ⋅ ∇)u + (u ⋅ ∇)q ,
div(∇ u) = ∆u ,

(7.1.9)
(7.1.10)

∂2
∂2
∂2
где ∆ = 2 + 2 + 2 − оператор Лапласа, rot u = [∇ × u] − операция
∂z
∂y
∂x

«ротор», получим уравнение Пуассона
∂ui ∂u j
( i, j = 1, 2, 3 ).
i , j ∂x j ∂xi

∆p = − ρ 0 ∑

(7.1.11)

В случае переменной плотности уравнение (7.1.11) имеет вид
∂ui ∂u j
( i, j = 1, 2, 3 ).
i , j ∂x j ∂xi

∆p − ∇p ⋅ ∇(ln ρ ) = − ρ ∑

(7.1.12)

Таким образом, состояние движения идеальной жидкости задаётся
уравнением Эйлера (7.1.6) с учётом потенциальности силы (7.1.7),
уравнением неразрывности (7.1.5) и локальным законом сохранения
массы (1.8.3). Используя соотношение (7.1.9) при q = u можно переписать уравнение (7.1.6) в форме Д. Бернулли или И. Громеки-Х. Лэмба
∂u
∇p 1
− [ u × rot u] = −
− ∇u 2 .
∂t
ρ 2

(7.1.13)

В случае постоянной плотности идеальной жидкости правая часть
уравнения (7.1.13) представляет собой градиент функции Бернулли
fB =

p

1
+ u2 .
ρ0 2

(7.1.14)

Кривую L называют жидкой, если она перемещается вместе с
жидкостью. Это означает, что любая точка жидкой линии движется
вместе с жидкой частицей, с которой она совпадала в начальный момент времени. Если концы жидкой кривой совпадают, то её называют
контуром и обозначают буквой C. Циркуляцией скорости жидкой частицы по контуру C называют интеграл
Γ = ∫ u ⋅ δr ,
(7.1.15)
C

где δr − бесконечно малый (инфинитезимальный) отрезок контура C.
Движение жидкости приводит к деформированию контура C и
изменению циркуляции с течением времени
dΓ
du
du
du
1
⎛ dr ⎞
⋅ δr + ∫ u ⋅ δu = ∫
⋅ δr + ∫ d (u 2 ) . (7.1.16)
=∫
⋅ δr + ∫ u ⋅ δ ⎜ ⎟ = ∫
dt C dt
2C
⎝ dt ⎠ C dt
C
C
C dt
223

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

Последний интеграл в (7.1.16) равен нулю как интеграл по замкнутому
контуру от полного дифференциала. При постоянстве плотности идеальной жидкости ( ρ (t, r (t )) = ρ0 ) и учёте уравнения движения (7.1.6) с
определением силы (7.1.7) получаем из (7.1.16)
1
1
dΓ
du
= ∫ ⋅ δ r = − ∫ ∇p ⋅ δ r = − ∫ dp = 0 .
ρ0 C
ρ0 C
dt C dt

(7.1.17)

Это доказывает теорему У. Томсона (лорда Кельвина*) о сохранении
циркуляции Γ , согласно которой она является лагранжевым инваринтом
dΓ d ⎛
⎞
= ⎜ ∫ u ⋅ δr ⎟ ≡ 0 .
dt dt ⎝ C
⎠

(7.1.18)

Несколько иную трактовку этой теоремы можно дать при использовании теоремы Стокса, сформулированной для произвольного достаточно гладкого векторного поля A(t , r ) и стягиваемого в точку жидкого контура C
(7.1.19)
∫ A⋅δ r = ∫ rotA⋅ d S .
C

S

По теореме Стокса
Γ = ∫ u ⋅ δ r = ∫ rot u ⋅ dS = ∫ Ω ⋅ dS ,
C

S

(7.1.20)

S

где
(7.1.21)
− векторное поле завихрённости. Так как циркуляция постоянна, т.е.
является лагранжевым инвариантом, то можно интепретировать полученный результат, как перенос завихрённости идеальной жидкостью
через поверхность, натянутую на контур C. Лагранжевую инвариантность (7.1.15) также можно трактовать в терминах вихревых трубок.
Ω = rot u

*У. Томсон был тесно связан с другим физиком ирландского происхождения Дж. Г. Стоксом.
Они встретились в Кембридже и оставались близкими друзьями до конца жизни , обменявшись
более чем 650 письмами. Значительная часть их корреспонденции касается исследований по
математике и физике. Их умы дополняли друг друга, и в некоторых случаях мысли так объединялись, что ни один не мог сказать (да и не заботился об этом), кто первым высказал какую-то
идею. Возможно, самым знаменитым примером является теорема Стокса из векторного анализа, позволяющая преобразовывать интегралы по замкнутому контуру в интегралы по натянутой
на этот контур поверхности, и наоборот. Эта теорема была на самом деле сформулирована в
письме от Томсона к Стоксу, так что её надо было бы называть "теоремой Томсона".
224

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

7.2. Вихревые линии и трубки
Для выяснения физического смысла завихрённости (7.1.21) проанализируем движение идеальной жидкости со скоростью u(t, r) в окрестности произвольной точки M ( r ) в данный момент времени. Тогда
изменение скорости в близлежащей точке M ′( r + δr ) можно определить путём разложения скорости жидкости в ряд с точностью до ли∂u
∂u i
δ x j . Девять величин i образуют тен∂x j
j =1 ∂ x j
3

нейных членов, т.е. δ u i = ∑

зор второго ранга, который можно представить в виде симметричной и
антисимметричной частей. Симметричная часть тензора
∂u
eij = i
∂x j

(s)

=

1 ⎛⎜ ∂ u i ∂ u j
+
2 ⎜⎝ ∂ x j ∂ xi

⎞
⎟,
⎟
⎠

(7.2.1)

её называют тензором скоростей деформации, он описывает чисто
деформационное движение. Антисимметричная часть
∂u i
∂x j

( as )

=

1 ⎛⎜ ∂ u i ∂ u j
−
2 ⎜⎝ ∂ x j ∂ xi

⎞
⎟
⎟
⎠

(7.2.2)

определяет вращение выделенной области и может быть связана с
компонентами завихрённости (7.1.21) соотношением
∂u i
∂x j

( as )

1
= − ε ijk Ω k ,
2

(7.2.3)

где ε ijk − единичный тензор Леви-Чивита (см. пункт 1.2). Таким образом, любое движение сплошной среды можно разложить на поступательное, деформационное и вращательное
3

u i ( t , r + δ r ) = u i ( t , r ) + ∑ eij δ x j +
j =1

1 3
∑ ε ijk Ω jδ x k .
2 j , k =1

(7.2.4)

Приведенное утверждение и формула (7.2.4) отображают содержание
первой теоремы Гельмгольца.
Введём в рассмотрение вихревую линию, в каждой точке которой
касательной является вектор завихрённости Ω . Не следует путать вихревые нити (бесконечно тонкие вихревые трубки) и вихревые линии
определяемые семейством решений дифференциальных уравнений ви225

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

да
dx dy dz
=
=
,
Ωx Ω y Ωz

(7.2.5)

являющихся условием коллинеарности векторов dr и Ω ( dr || Ω ). Множество вихревых линий, проходящих через точки стягиваемого контура, образуют цилиндрическую поверхность, которую называют вихревой трубкой (рис. 7.2). Из рисунка видно, что по самому построению
вихревой трубки выполняется раΩ
dr
Вихревая трубка
венство Ω ⋅ n = 0 , где n − единичδS
n
ная нормаль к цилиндрической поS2
Sб
верхности. Следовательно, поток
δr
завихрённости через любое её сеS1
n
чение δ S постоянен вдоль трубки.
б
Этот поток называют интенсивноБесконечно малый
стью вихревой трубки. Так как в
элемент трубки
Вихревая линия
а
процессе перемещения идеальной
Рис. 7.2. Вихревая трубка (а) и её беско- жидкости интенсивность вихревой
нечно малая часть (б).
трубки сохраняется, то вихревая
трубка движется вместе с жидкостью.
Рассмотрим бесконечно малую (инфинитезимальную) часть вихревой трубки, ограниченной поверхностями оснований S1 и S2 , а также боковой поверхностью Sб (рис. 7.2, б). По теореме Гаусса-Остроградского

∫ Ω ⋅ dS = ∫ div ΩdV ≡ 0 ,
S

(7.2.6)

V

где div Ω = div(rot u) ≡ 0 . Левая часть равенства (7.2.6) равна

∫ Ω ⋅ dS = ∫ Ω1dS − ∫ Ω2dS + ∫ Ω ⋅ ndS = 0 .

S

S1

S2

(7.2.7)

Sб

В силу равенства Ω ⋅ n = 0 последнее слагаемое в (7.2.7) равно нулю. Таким образом, получаем, что Ω1 = Ω2 , т.е. в данный момент времени поток вихря через любое поперечное сечение вихревой трубки остаётся
неизменным (вторая теорема Гельмгольца).
Из (7.1.16) следует, что субстанциональная производная от цир226

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

куляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции
ускорения по тому контуру (теорема Кельвина), т.е.
dΓ (u)
du
= ∫ ⋅ δr = Γ (u& ) .
dt
C dt

(7.2.8)

Дальнейшие рассуждения проведём с использованием соотношений
rot([ A × B ]) = ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B + A div B − B div A ,

(7.2.9)
rot(ϕA) = [∇ϕ × A] + ϕ rot A ,
(7.2.10)
rot(grad ϕ ) = rot( ∇ϕ ) ≡ 0 .
(7.2.11)
Применим операцию «ротор» к уравнению (7.1.13), а также воспользуемся (7.1.5), (7.2.9) и (7.2.10), получим уравнение Гельмгольца
∂Ω
∂Ω
dΩ
− rot[ u × Ω ] ≡
+ (u ⋅ ∇) Ω − ( Ω ⋅ ∇)u =
− ( Ω ⋅ ∇ ) u = 0 , (7.2.12)
∂t
∂t
dt

которое запишем в виде
dΩ
= ( Ω ⋅ ∇) u .
dt

(7.2.13)

Таким образом, для того чтобы вихревые нити и трубки были жидкими, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле скоростей подчинялось уравнению Гельмгольца, которое в отличие от уравнений (7.
1.6) и (7.1.13) не содержит давления. Уравнение (7.2.13) справедливо
для баротропной (давление зависит только от плотности) или изопикнической (плотность среды постоянна) жидкости, когда правая часть
уравнения (7.1.6) представляет собой градиент скалярной функции.
Противоположную к изопикнической жидкости среду называют
стратифицированной, для неё плотность задаётся переменной функцией. Для такой жидкости правая часть уравнения (7.1.6) не представляется градиентом скалярной функции, что не обеспечивает её обращение в нуль. Но особенностью движения стратифицированной жидкости является то, что она расслаивается на непересекающиеся изопикнические поверхности и остаётся такой во время движения среды.
Любая точка, принадлежащая поверхности постоянной плотности в
начальный момент времени, будет ей принадлежать и в процессе движения жидкости ввиду лагранжевой инвариантности плотности. Из-за
этой особенности стратифицированной жидкости её называют расслоенной. Отметим, что движение жидкой частицы по изопикнической
227

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

поверхности (рис. 7.3) с плотностью жидкости ρ0 описывается ранее
полученными зависимостями. Торцы жидкого цилиндра в любой момент времени расположены на изопикнических поверхностях.
ρ = ρ0
dS 0 n
Рассмотрим вихревую трубку,
C0
заключённую между двумя близко
δh
ρ = ρ0 +δ ρ расположенными изопикническими поверхностями с плотностями
Изопикнические
ρ0 и ρ0 + δρ . Объём этого цилиндВихревая трубка
поверхности
ра с высотой δ h равен
δ V = d S 0 ⋅ n δ h , (7.2.14)
Рис. 7.3. Вихревая трубка между изопикническими поверхностями.
где n − единичный вектор нормали к изопикнической поверхности,
совпадающий по направлению с градиентом плотности. Бесконечно
малое изменение плотности можно записать в виде
δρ = ∇ ρ ⋅ n δ h .
(7.2.15)
Из (7.2.14) и (7.2.15) следует, что
dS 0 =

δV
δV
n=
∇ρ .
δh
δρ

(7.2.16)

По (7.1.20) циркуляция по контуру C0 равна
δV
dΓ 0 = Ω ⋅ dS 0 = Ω ⋅ ∇ρ
.
(7.2.17)
δρ
Так как величины dΓ 0 , δV и δρ являются лагранжевыми инвариантами, то сохраняющейся величиной является и выражение
Π = Ω ⋅ ∇ρ ,
(7.2.18)
которое называют потенциальным вихрем несжимаемой расслоенной
жидкости. Для несжимаемой стратифицированной жидкости уравнение (7.2.12) имеет вид уравнения Фридмана
dΩ
1
− ( Ω ⋅ ∇ ) u = 2 [∇ ρ × ∇ p ] .
dt
ρ

(7.2.19)

При постоянной плотности жидкости оно преобразовывается в уравнение Гельмгольца (7.2.12).
Отметим, что вихревые трубки однородной и стратифицированной жидкостей подвергаются сжатию и растяжению, поэтому с тече228

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

нием времени разрушаются. Из уравнения (7.2.19) видно, что неоднородность плотности жидкости порождает в ней завихрённость. Отсюда следует, что безвихревое, т.е. потенциальное движение стратифицированной жидкости – это исключительное явление. В однородной же
жидкости при отсутствии завихрённости в начальный момент времени
её появление в дальнейшем невозможно. Умножив (7.2.19) скалярно
на градиент плотности, с учётом соотношений (7.1.4) и ∇ρ ⋅ [∇ρ × ∇p] ≡ 0
получим, что
dΠ d
= ( Ω ⋅ ∇ρ ) = 0 ,
dt
dt

(7.2.20)

т.е. потенциальный вихрь несжимаемой расслоенной жидкости является лагранжевым инвариантом.
В качестве примера рассмотрим приложение изложенного материала к расчёту подъёмной силы крыла. В случае стационарного течения несжимаемой расслоенной жидкости со скоростью u 0 функция
Бернулли (7.1.14) зависит от плотности и сохраняет своё значение на
изопикнической поверхности. Поэтому разность между двумя значениями этой функции для двух бесконечно близко расположенных поверхностей с практически одинаковыми плотностями равна нулю. Отсюда находим
p1 − p 2 =

1
1
ρ 0 (u 22 − u12 ) = ρ 0 (u 2 + u1 )(u 2 − u1 ) = ρ 0 u 0 (u 2 − u1 ) , (7.2.21)
2
2

1
2

где u 0 = (u 2 + u1 ) в силу того, что толщина крыла значительно меньше
его ширины, и действия закона сохранения массы при движении жидкости.
Вертикальная компонента силы, действующей на единицу длины
крыла, равна
l

l

0

0

F = ∫ ( p1 − p 2 ) dx = ρ 0 u 0 ∫ (u 2 − u1 ) dx ,

(7.2.22)

где l − длина крыла. Циркуляция скорости по (7.1.15) равна (за положительный принят обход контура C против часовой стрелки)
l

0

l

0

l

0

Γ = ∫ u ⋅ δr = ∫ u1dx + ∫ u 2 dx = − ∫ (u 2 − u1 )dx .
C

(7.2.23)

Подстановка (7.2.23) в (7.2.22) даёт формулу Жуковского-Кутта
229

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

F = − ρ 0u0 Γ .

(7.2.24)
Сила (7.2.24) будет подъёмной при Γ < 0 , когда обход контура происходит по часовой стрелке*. В противоположном случае ( Γ > 0 ) сила
прижимает крыло к земле, как это происходит с гоночными болидами
для усиления сцепления покрышки с покрытием трассы. Направление
циркуляции потока задаётся углом атаки (острый угол между скоростью потока и профилем крыла) и профилем крыла (геометрией сечения крыла).

7.3. Течения Бельтрами
Выдающийся русский учёный, профессор А.Я. Милович в своей
монографии «Основы динамики жидкости (гидродинамика)» (Гос.
энергетич. изд-во, 1933, с. 157) писал: “…Все движения жидкости, при
которых энергия её частиц изменяется, не могут быть устойчивы во
времени. Они, по необходимости являются кратковременными возмущениями того её движения, при котором энергия частицы остаётся
величиной постоянной, от времени независимой. Так в небе вспыхивают и гаснут новые звёзды, на поверхности солнца появляются и исчезают пятна, концы гигантских вихревых воронок, в земной атмосфере возникают и рассеиваются циклоны и тайфуны.
Но все движения жидкости, соответствующие этим весьма интенсивным, но кратковременным явлениям природы не изменяют основного характера движения её, обусловливающего для нас вечную
устойчивость наблюдаемой нами общей картины окружающего нас
мира, ибо устойчивостью в продолжение неопределённо долгого периода времени могут обладать только такие движения жидкости, при
которых запас энергии её частиц остаётся постоянным во времени и
интеграл Д. Бернулли действительно существует. Единственным видом таких движений является винтовое движение жидкости…”
Основы теории винтовых потоков были заложены русским учёным И.С. Громекой (1881) и независимо от него итальянским матема*В вязкой среде циркуляция скорости вокруг крыла, например, винтового самолёта создаётся
принудительно с помощью пропеллера.
230

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

тиком Э. Бельтрами (1889). Если в каждой точке идеальной несжимаемой жидкости выполняется условие
u× Ω = 0,
(7.3.1)
то в любой момент времени по уравнению (7.2.12) скорость изменения
завихрённости будет равна нулю. Уравнение (7.3.1) выполняется в
двух случаях: 1) Ω = 0 − безвихревое движение; 2) u || Ω − колинеарность векторов скорости и завихрённости (винтовой поток), когда вихревые линии совпадают с линиями тока поля скоростей. В общем
случае стационарного вихревого движения невязкой жидкости частицы, которые перемещаются по разным линиям тока векторного поля,
обладают отличающимися энергиями, т.е. функция Бернулли (например, вида (7.1.14)) имеет различные значения на каждой из линий
тока. Если линии тока начинаются в области покоя жидкости или частицы жидкости движутся поступательно с одними и теми же значениями скорости, то и во всей остальной части жидкости вдоль линий тока функция Бернулли сохраняет своё индивидуальное значение, т.е.
поток будет потенциальным или винтовым. Примером такого движения является образование закрученного течения при истечении струи
из сосуда с покоящейся жидкостью. Следует помнить, что модель
винтовых потоков справедлива при установившихся течениях жидкости, когда можно пренебречь её вязкостью и нестационарностью.
Используя определение коллинеарности векторов, равенство (7.
3.1) перепишем в виде
rot u = λu ,
(7.3.2)
где λ − может быть постоянной величиной (однородный винтовой поток) или произвольной скалярной функцией координат (неоднородный
винтовой поток). Умножим (7.3.2) скалярно на скорость u , введём в
рассмотрение единичный вектор e = u / u в направлении скорости и
воспользуемся соотношениями
rot e =

1
⎛1⎞
⎛1⎞
rot u + [∇⎜ ⎟ × u] , u ⋅ [∇⎜ ⎟ × u] = 0 ,
u
⎝u⎠
⎝u⎠

(7.3.3)

получим
λ = e ⋅rot e .

(7.3.4)
Заметим, что для сжимаемой ( div u ≠ 0 ) невязкой жидкости примене231

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

ние операции «дивергенция» к уравнению (7.3.2) с учётом соотношения div(rot u) ≡ 0 и уравнения неразрывности (7.1.4), приводит к равенству
⎛λ⎞
u ⋅ ∇⎜ ⎟ = 0 .
⎝ρ⎠

(7.3.5)
⎛λ⎞

Равенство (7.3.5) показывает, что: 1) u ⊥ ∇⎜⎜ ⎟⎟ или 2)
⎝ρ⎠

λ
= const вдоль лиρ

нии тока (при ρ (t, r ) = ρ0 ⇒λ = const, линии тока располагаются на поверхностях λ = const).
И.С. Громека установил, что вектор скорости однородного винтового потока в несжимаемой жидкости ( div u = 0 ) должен удовлетворять уравнению, получаемому из (7.3.2) применением операции ротора к его правой и левой частям
∆u + λ2 u = 0 .
(7.3.6)
Отметим, что однородный винтовой поток возможен не только для несжимаемой жидкости. Из уравнения неразрывности (7.1.5) следует,
что для сжимаемого газа установившийся однородный винтовой поток
возможен, если u ⋅ ∇ρ = 0 , т.е. вектор скорости перпендикулярен градиенту плотности, а линии тока располагаются на поверхностях равной плотности.
Уравнения неоднородного винтового потока в ортогональных
криволинейных координатах qi ( i = 1, 2, 3 ) имеют вид
1 ⎛ ∂ ( H 3u 3 ) ∂ ( H 2 u 2 ) ⎞
⎜
⎟ = λ u1 ,
−
H 2 H 3 ⎜⎝ ∂q 2
∂q3 ⎟⎠
1 ⎛ ∂ ( H 1u1 ) ∂ ( H 3u 3 ) ⎞
⎟ = λu2 ,
⎜
−
H 3 H 1 ⎜⎝ ∂q3
∂q1 ⎟⎠
1
H1H 2

(7.3.7)

⎛ ∂ ( H 2 u 2 ) ∂ ( H 1u1 ) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = λ u 3 ,
−
∂
q
q
∂
⎝
⎠
1
2

где H i ( i = 1, 2, 3 ) – коэффициенты Ламе (см. пункт 1.5), а уравнение неразрывности –
∂ ( H 2 H 3u1 ) ∂ ( H 3 H 1u 2 ) ∂ ( H 1 H 2u3 )
+
+
= 0.
∂q1
∂q2
∂q3
232

(7.3.8)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

Четыре уравнения (7.3.7), (7.3.8) дают возможность определить четыре
неизвестные функции u1 , u 2 , u3 и λ .
Например, в цилиндрической системе координат коэффициенты
Ламе H1 = 1, H 2 = r и H3 = 1, а криволинейные координаты q1 = r , q2 = ϕ
и q3 = z (рис. 7.4). Тогда уравнения (7.3.7) и (7.3.8) преобразуются к виду
Винтовой поток
∂u ⎞
1 ⎛ ∂u 3
− r 2 ⎟ = λ u1 ,
⎜
∂z ⎠
r ⎝ ∂ϕ

∂u1 ∂u 3
−
= λ u 2 , (7.3.9)
∂z
∂r
1 ⎛ ∂ ( ru 2 ) ∂u1 ⎞
−
⎟ = λu3 ,
⎜
∂ϕ ⎠
r ⎝ ∂r
Рис. 7.4. Течение с винтовой симметрией.

∂ (ru1 ) ∂u2
∂u
+
+ r 3 = 0 . (7.3.10)
∂r
∂ϕ
∂z

Оператор Лапласа
2

∂
∂2
∂2
∆= 2 + 2 + 2.
∂x
∂y
∂z

(7.3.11)

в этой системе координат описывается выражением
1 ∂
1 ∂2
∂2
∂2
+
+
∆= 2 +
.
r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
∂r

(7.3.12)

Рис. 7.4 показывает, что характеристики потока несжимаемой идеальной жидкости не изменяются вдоль винтовой линии, которая описывается системой уравнений
r = const
⎧
.
⎨
z
−
⋅
l
=
const
ϕ
⎩

(7.3.13)

Шаг винтовой линии h = 2π ⋅ l , причём положительным значениям величины l , обратной к пространственному периоду линии, соответствует правая, а отрицательным – левая винтовая симметрия.
Вектор
r ⎤
⎡
B = B 2 ⎢ e z + eϕ ⎥ , B 2 =
l ⎦
⎣

1
⎛r⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝l⎠

2

.

(7.3.14)

является касательным к винтовым линиям и его называют вектором
Бельтрами ( e z , eϕ – орты соответствующих координатных осей). Ус233

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

ловие винтовой симметрии для любой скалярной характеристики потока (плотности, давления и других) f записывается в виде
B ⋅ ∇f = 0 .
(7.3.15)
Вектор Бельтрами перпендикулярен орту er , поэтому их векторное
произведение определяет третий вектор
r ⎤
⎡
χ = [ B × er ] = B 2 ⎢eϕ + e z ⎥ .
(7.3.16)
l ⎦
⎣
Векторы er , B и χ образуют новый базис, в котором проекции

скорости потока равны
ur , u B =

r
r
B⋅u
χ ⋅u
=
u
+
u
,
u
=
=
u
−
uz ,
z
ϕ
χ
ϕ
B2
l
B2
l

(7.3.17)

а их аргументами являются время t , радиус винта r и окружно-осевая
z
l

переменная χ = ϕ − . В этих переменных уравнения, описывающие течения с винтовой симметрией, винтовой завихрённостью и удовлетворяющие условию (7.3.15), имеют вид
∂ (ru r ) ∂u χ
+
= 0,
∂r
∂χ
2
∂u r
∂u r u χ ∂u r B 4 ⎛
r ⎞
1 ∂p
+ ur
+
−
,
⎜ uχ + uB ⎟ = −
∂t
∂r
r ∂χ
r ⎝
l ⎠
ρ ∂r

∂u χ

∂u χ

(7.3.18)
(7.3.19)

u χ ∂u χ

1 ⎞ ⎞
1 ∂p
B 2u r ⎛ r
⎛
+ ur
+
−
, (7.3.20)
⎜ 2 u B + ⎜ 2 − 2 ⎟u χ ⎟ = −
∂t
∂r
r ∂χ
r ⎝ l
B ⎠ ⎠
rρB 2 ∂χ
⎝
u ∂u
∂u B
∂u
+ ur B + χ B = 0 .
(7.3.21)
∂t
∂r
r ∂χ

Отметим, что возможны однородные винтовые течения, при которых
скорость u и завихрённость Ω перпендикулярны друг другу (случай
постоянства компоненты u B ), или коллинеарны (случай зависимости
указанных векторов только от вектора Бельтрами (7.3.14)) в виду соотношений
u = φB + [∇ ψ × B ] , Ω = ζ B + [ ∇ ξ × B ] ,
(7.3.22)
где φ , ψ , ζ и ξ − произвольные скалярные функции, которые связаны
между собой равенствами ( λ − произвольное число)
ξ = −λψ , φ = λψ , ζ = − λφ = − λ 2ψ .
234

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

7.4. Поле скоростей, источники и вихри. Спиральность
По известному полю завихрённости Ω , удовлетворяющего, например, уравнению Гельмгольца (7.2.13), можно восстановить поле
скоростей u при выполнении дополнительного условия в виде локального закона сохранения массы (1.8.3). В уравнение (1.8.3) входит неизвестная функция – плотность жидкости. Поэтому будем рассматривать
несжимаемую среду ( div u = 0 ) и введём в правую часть уравнения несжимаемости плотность объёмных источников ε (t , r ) , т.е. исследуем
систему уравнений
⎧div u = ∇ ⋅ u = ε
,
(7.4.1)
⎨
⎩rot u = [∇ × u] = Ω

где ε (t , r ) и Ω (t , r ) − известные функции. Задача отыскания поля скоростей по известным функциям имеет единственное решение в ряде
частных случаев.
1. Безграничное пространство. Пусть функции ε ( r ) и Ω (r ) заданы в
безграничном пространстве, причём
lim ε ( r ) = 0 , lim Ω ( r ) = 0 , lim u( r ) = 0 .
(7.4.2)
|r| →∞
|r| →∞
|r| →∞
Поставленная задача имеет единственное решение, представимое в виде
u(t , r ) = uI (t , r ) + uII (t , r ) ,
(7.4.3)
где uI (t , r ) − решение задачи (7.4.1) при ε ≠ 0 и Ω = 0 , а uII (t , r ) − при
ε = 0 и Ω ≠ 0 . Первая частная задача I описывает безвихревое течение
⎧∇ ⋅ u = ε
.
(7.4.4)
I⎨
⎩[∇ × u] = 0

Второе уравнение системы (7.4.4) указывает на потенциальность поля
скоростей, которое по (7.2.11) представим в виде u = ∇ϕ . Тогда из первого уравнения системы (7.4.4) получаем уравнение Пуассона
(7.4.5)
∆ϕ = ε ,
где ∆ − оператор Лапласа (7.3.11). Решение (7.4.5) имеет вид
ϕ (r ) = −

1 ε (r ′)dV (r ′)
∫ | r − r′ | .
4π
235

(7.4.6)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

Тогда поле скоростей uI (r ) задаётся выражением
uI (r ) = ∇ϕ (r ) =

1 ε (r ′)(r − r ′)dV (r ′)
.
∫
4π
| r − r ′ |3

(7.4.7)

Перейдём к поиску решения задачи II
⎧∇ ⋅ u = 0
.
[
∇
×
u
]
=
Ω
⎩

(7.4.8)

∇ ⋅ u = divu = div(rot A) ≡ 0 ,

(7.4.9)

II ⎨
С учётом тождества
положим

u = rot A .

(7.4.10)
Известно, что векторное поле A определяется с точностью до градиента произвольной функции ∇f . Неоднозначность поля A устраняется
специальным выбором скалярной функции, называемым калибровкой.
Обычно в качестве калибровки используют бездивергентность поля
A , т.е.
div A = ∇ ⋅ A = 0 .
(7.4.11)
Применим к уравнению (7.4.10) операцию «ротор», с учётом калибровки (7.4.11) получим векторное уравнение Пуассона
∆A = −Ω .
(7.4.12)
Тогда по аналогии с решением задачи I находим
A(r ) =

1 [ Ω(r ′) × (r − r ′)]dV (r ′)
1 Ω(r ′)dV (r ′)
, uII (r ) = ∫
. (7.4.13)
∫
4π
| r − r ′ |3
4π
| r − r′ |

Отметим, что на функции ε и Ω накладывают определённые ограчинения. В частности, допускается наличие поверхностей разрыва для
векторного поля завихрённости Ω , но её нормальные составляющие
должны оставаться непрерывными на указанных поверхностях. Кроме
того, завихрённость Ω может присутствовать только в некоторой конечной части пространства, ограниченной поверхностью с нулевой
нормальной составляющей завихрённости ( Ωn = 0 ).
Результирующее поле скоростей u в безграничном пространстве
с источниками и вихрями определяется формулами (7.4.3, 4.7 и 4.13)
1 ε (r ′)∆rdV (r ′) 1 [ Ω (r ′) × ∆r ]dV (r ′)
+
u( r ) = ∇ϕ + [∇ × A] =
, (7.4.14)
∫
∫
4π
| ∆r |3
4π
| ∆r |3
здесь вектор ∆r = r − r ′ . Заметим, что для безграничного пространства
236

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

отсутствие источников ( ε = 0 ) преобразует уравнение Пуассона (7.4.5)
в уравнение Лапласа вида, при этом решение (7.4.14) принимает вид
u( r ) =

1 [ Ω (r ′) × ∆r ]dV (r ′)
.
∫
| ∆r |3
4π

(7.4.15)

В этом случае говорят, что завихрённость индуцирует поле скоростей.
2. Пространство при наличии твёрдых границ Σ , на которых задают краевые условия. Решение задачи ищут в виде
u(t , r ) = uI (t , r ) + uII (t , r ) + u0 (t , r ) ,
(7.4.16)
где дополнительное поле скоростей u0 удовлетворяет однородной системе уравнений
⎧∇ ⋅ u0 = 0
,
⎨
⎩[∇ × u0 ] = 0

(7.4.17)

т.е. поле скоростей u0 является потенциальным и безвихревым, которое учитывает условия на твёрдых границах Σ . Следовательно, поле
u0 = ∇υ , а скалярная функция υ удовлетворяет уравнению Лапласа (однородное уравнение Пуассона)
∆υ = 0 .
(7.4.18)
Решение уравнения (7.4.18) вместе с решением (7.4.14) дополняется
краевыми условиями, накладываемые на нормальную компоненту поля un .
Степень связности вихревых линий в потоке характеризуют лагранжевым инвариантом, введённым в теорию вихрей К. Моффаттом
(J. Fluid Mech. 35, с. 117-129 (1969)) и называемым спиральностью
Λ = ∫ u ⋅ ΩdV .
(7.4.19)
V

Она является характеристикой связанности вихревых линий в потоке.
Простейшим примером является сцепка двух вихревых нитей C1 и C2
(рис. 7.5) с интенсивностями I1 и I 2 . Если контуры C1 и C2 можно непрерывным образом стянуть в точки (контуры не имеют узлов), то по
теореме Стокса (7.1.20) циркуляция по контуру C1 равна
Γ 1 = ∫ u ⋅ δ r = ∫ Ω ⋅ dS .
(7.4.20)
C1

S1

Поток завихрённости через контур C1 индуцируется вторым контуром
237

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7
Вихревые нити

C2 , поэтому

⎧ 0, нити не зацеплены
Γ1 = ⎨
. (7.4.21)
±
,
нити
однократно
зацеплены
I
⎩ 2

Знак «+» отвечает правому зацеплению, при
I2
котором циркуляция индуцированной скороI1
сти по контуру C1 совпадает по направлению
а
с вектором завихрённости на нити C1 , а «−» −
левому зацеплению, когда указанные векторы антинаправленны. В общем случае вторая
I1
нить может обвивать первую целое число раз.
I2
Тогда циркуляция (7.4.21)
Γ1 = α12 I 2 ,
(7.4.22)
б
Рис. 7.5. Правое (а) и левое где α12 ( = α 21 ) − отрицательное или положи(б) однократное зацепление
тельное целое число, которое называют павихревых нитей.
раметром взаимной завивки кривых C1 и C2 .
Величина
I1 Γ1 = α12 I1 I 2 = ∫ Γ1u ⋅ δ r = ∫ u ⋅ ΩdV ,
(7.4.23)
C2

V1

так как δ r || Ω . Выполнив суммирование по обеим вихревым нитям, получим для спиральности (7. 4.19) выражение
Λ = ∑αij I i I j = 2α12 I1I 2 = ∫ u ⋅ ΩdV .
(7.4.24)
i, j

V

Используя уравнения Громеки-Лэмба (7.1.13) и уравнение Фридмана
(7.2.19) для невязкой несжимаемой жидкости с постоянной плотностью, получим
⎛ ∇p ⎞
dΛ ⎛ du
dΩ ⎞
= ∫⎜ ⋅ Ω + u⋅
⎟( Ω ⋅ n)dV .
⎟dV = ∫ ⎜ −
dt V ⎝ dt
dt ⎠
ρ ⎠
V⎝

(7.4.25)

Скорость изменения спиральности (7.4.25) в безганичном пространстве, содержащем ограниченную область завихрённой жидкости, равна нулю. В ограниченной области спиральность является лагранжевым инвариантом, если на границе области Σ выполняется условие
Ω⋅n = 0.
(7.4.26)
Сохранение спиральности – это сохранение структуры «узловатости»
вихревого поля.
238

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

7.5. Закон Био-Савара. Кольца Тейлора
Рассмотрим произвольную замкнутую вихревую нить с бесконечно малым сечением δS (рис. 7.6). Из рис. 7.6 видно, что завихрённость Ω параллельна элементу замкнутой
Вихревая нить
вихревой нити ds , а бесконечно малый объём нити dV = δSds . По теореме Стокса (7.1.
Ω
20) циркуляция Γ = ΩδS , которую будем
считать постоянной. Если замкнутая нить
находится в безграничном пространстве с
нулевой завихрённостью, то в нём отсутстРис. 7.6. Закон Био-Савара для вуют источники вихрей ( ε = 0 ). Поэтому пезамкнутой вихревой нити.
рейдём в формуле (7.4.15) к пределу бесконечно тонкой вихревой нити δ S → 0 с бесконечно большой завихрённостью Ω → ∞ . В результате получим формулу Био-Савара
u( r ) = −

Γ [∆r × ds (r ′)]
∫ | ∆r |3 .
4π S

(7.5.1)

Обозначив векторный потенциал
Φ=

Γ ∆r
,
4π | ∆r |3

(7.5.2)

перепишем (7.5.1) с использованием теоремы Стокса в виде
u( r ) = ∫ [ds × Φ ] = ∫ [[ds × ∇] × Φ ] .
(7.5.3)
S

S

Учтя тождество [[ds × ∇] × Φ] = ∇(Φ ⋅ ds) − (∇ ⋅ Φ)ds и равенство ∇⋅ Φ = 0, получим
u( r ) = ∫ [[ds × ∇] × Φ ] = ∇ ∫ Φ ⋅ds = −
S

S

Γ
∇Ψ = ∇ξ ,
4π

(7.5.4)

где скалярный потенциал
∆r ⋅ ds (r ′)
Γ
, ξ =−
Ψ.
3
| ∆r |
4π
S

Ψ ( r) = ∫

(7.5.5)

Индуцированное вихревой нитью поле скоростей можно определить и
посредством векторного потенциала (7.4.10), имеющего вид
239

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

A( r ) = −

Γ ds ( r ′)
.
∫
4π S | ∆r |

(7.5.6)

В случае незакрученного осесимметричного течения с цилиндрической симметрией (аргументы функций r , ϕ и z ) векторный потенциσ

⎛
⎞
ал A = ⎜ 0, , 0⎟ , а вектор завихрённости Ω = (0, Ω, 0) . Вводя обозначения
⎝ r

⎠

s = ( z − z′) 2 + r 2 + r ′2 − 2rr ′ cos(ϕ − ϕ ′) и dV ( r ′) = r ′d r ′d ϕd z ′ из (7.4.13) най-

дём
2π
r
cos ϕ d ϕ
′
′
′
′
′
σ =
r Ω ( r , z ) dr dz ∫
.
∫∫
4π
s
0

(7.5.7)

Интеграл по углу ϕ перепишем в виде
⎡
⎤
⎢
⎥
2
2π
cos ϕdϕ
1 π⎢
2−k
2
2
2
2⎛ϕ ⎞⎥
−
1 − k cos ⎜ ⎟ dϕ =
f (k ) ,(7.5.8)
∫ s =
∫
⎥
′
k
2
r
r
rr ′ 0 ⎢
⎝
⎠
ϕ
0
⎞
2
2⎛
⎢ k 1 − k cos ⎜ ⎟
⎥
⎝2⎠
⎣
⎦

где k =
2

4 rr ′

2 − k2
2
f
k
,
а
функции
(
)
=
K
(
k
)
−
E (k ) ,
k
k
( z − z ′) 2 + ( r + r ′) 2
dϕ

π /2

K (k ) = ∫
0

⎛ϕ ⎞
1 − k 2 cos 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠

π /2

ϕ

0

⎝ ⎠

, E ( k ) = ∫ 1 − k 2 cos 2 ⎛⎜ ⎞⎟dθ −
2

полные эллиптические интегралы первого и второго родов соответственно. Тогда
σ =

1
∫∫ f ( k ) r r ′Ω ( r ′, z ′) d r ′d z ′ ,
2π

(7.5.9)

а компоненты скорости
1
∂k
f ′( k )
r r ′Ω ( r ′, z ′) d r ′d z ′ ,
∫∫
2π r
∂z
1
∂k ⎤
⎡ f (k )
′
(
)
uz =
+
f
k
r r ′Ω ( r ′, z ′) d r ′d z ′ .
∫∫
2πr ⎢⎣ 2 r
∂ r ⎥⎦
ur = −

(7.5.10)
(7.5.11)

Примерами осесимметричного течения служат кольца Тейлора
(кольца из сигаретного дыма, рис. 7.7, а; жидкие кольца, создаваемые
дельфинами, рис. 7.7, б) и движение жидкости в ячейках Бенара (рис.
7.7, в; см. также пункт 6.7). Вихревое кольцо обладает тремя разными
компонентами полной спиральности (см. пункт 7.4): скрученностью
240

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

а

б
Кольцо Тейлора

Ячейка Бенара

в

Структура
кольца Тейлора

Рис. 7.7. Осесимметричные течения – кольца Тейлора из дыма (а) и
солёной воды (б); сравнение движений среды (указаны стрелками)
в ячейке Бенара и в сложноструктурированном кольце Тейлора (в).
241

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

(twisting), сцеплённостью (linking) и райзингом (writhing). Если попытаться скрутить, например, верёвку, как это делают при отжиме мокрой ткани, то увеличивается скрученность. При закручивании верёвки
в виде телефонного провода происходит увеличение райзинга. Сцеплённость определяется количеством и видом зацепления вихрей между собой. Сохранение полной спиральности для системы из двух вихревых колец происходит за счёт обмена между скрученностью и райзингом. Он визуально наблюдается в виде «чехарды»: два движущихся в одном направлении вихревых кольца по очереди изменяют свои
размеры и форму, то и дело меняясь местами. Отметим, что в простом
спиральном вихре полная спиральность не сохраняется до тех пор, пока не обнулится скрученность.
Возникновению ячеек Бенара предшествует переход системы в
статическое равновесие, при котором силу тяжести единичного объёма жидкости уравновешивает градиент давления с обратным знаком,
т.е. ρ g = −∇p . Перед образованием вихрей Тейлора система достигает
состояния динамического равновесия, при этом вращение жидкости
характерно для «идеального» вихря, находящегося в поле «искусственной гравитации», создаваемой самой вращающейся жидкостью,
ρ u2
= −∇p .
т.е.
r

Согласно второму закону механики Ньютона (см. пункт 1.8) движение тела под действием силы происходит вдоль направления вектора силы. Быстро вращающиеся вихревые кольца движутся не по направлению силы, а вдоль момента внешней силы (рис. 7.8), поэтому
вихрь перемещается перпендикулярно к направлению действующей силы. Если внешняя сила F действует перпендикулярно плоскости вихревого кольца и направлена вверх (рис. 7.8, а), то частицы в левой части кольца движутся влево, а в правой части – вправо. Следовательно,
кольцо растягивается и его диаметр увеличивается. При направлении
внешней силы F вниз кольцо будет стягиваться и размеры кольца будут уменьшаться. Действие силы F перпендикулярно оси вихревого
кольца, например, справа налево (рис. 7.8, б) вызывает вращение кольца против часовой стрелки, так как частицы в левой части рисунка будут двигаться вниз, а в правой части − вверх.
242

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

Рассмотрим случаи взаимодействия простых вихревых колец с торои∆V
∆V
дальным (трубчатым) вращением. Они
влияют друг на друга только в следуюа
щих случаях:
V
∆V
1) противоположно направленные вихревые кольца находятся достаточно
F
F
близко друг от друга на одной оси. На
∆V
любом расстоянии действуют силы отб
Рис. 7.8. Действие внешней силы талкивания, поэтому вихри двигаются
на вихревое кольцо вдоль его оси в противоположные стороны;
(а) и перпендикулярно к ней (б).
2) более скоростное вихревое кольцо
догоняет второй вихрь вдоль их общей
оси. Если однонаправленные кольца соприкасаются, то между ними
начинается “игра колец” (“чехарда”) − поочерёдное проникновение
колец друг сквозь друга (рис. 7.9);
F

V

а

F

б

в

Рис. 7.9. Игра однонаправленных вихревых колец: а – высокоскоростное кольцо догоняет медленно движущийся вихрь; б – заднее кольцо уменьшилось в
размерах и прошло через переднее кольцо; в – переднее кольцо начинает увеличиваться в размерах, а диаметр заднего кольца – уменьшаться.

3) кольца движутся навстречу друг другу вдоль одной оси. Если кольца имеют разные диаметры, то при встрече колец происходит увеличение размеров кольца с меньшей скоростью вращения. После этого
меньшее кольцо проходит через второе кольцо, и они разлетаются в
протиположные стороны. В частном случае (при соответствующем
балансе сил) меньшее кольцо может «застрять» в большем и дальше
они двигаются вместе. При столкновении вихревых колец одного раз243

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

мера важную роль играет скорость их сближения. Если она превышает
некоторое пороговое значение, то столкновение вихрей приводит к их
сплющиванию, т.е. растеканию вдоль плоскости соприкосновения и
распаду на множество более мелких колец. Если скорость сближения
колец относительно мала, то при медленном соприкосновении колец
возникают силы растяжения. Кроме того, возникает общая струя, которая распространяется вдоль оси движения и снижает давление снаружи колец. Другими словами, возникает обратное реактивное движение, усиливающее эффект расползания колец по плоскости соприкосновения. Это состояние не является устойчивым, любая внешняя
флуктуация разрушает равновесие вихрей: одно из колец станет сильнее влиять на другое. В системе отсутствуют силы, препятствующие
развитию этого процесса, поэтому происходит переход к одному из
двух ранее изложенных вариантов;
4) кольца двигаются параллельно или траектории их движения пересекаются достаточно близко от точек расположения вихрей. В этом
случае вихревые кольца разворачиваются и начинают двигаться навстречу друг другу.
В заключение приведём особенности движения линейных вихрей
(нить, трубка, кольцо):
− вихрь будет двигаться равномерно и прямолинейно только тогда,
когда на него действует аналогичный вихрь с такой же интенсивностью, но с противоположным вращением;
− внешняя сила вызывает не ускорение вихря, а является причиной его
движения, т.е. скорости;
− вихри взаимодействуют подобно упругим телам, но передают друг
другу не импульс, а момент импульса прецессионного движения;
− при взаимодействии (U (r) = ξ / r 2 ) вихри не совершают работы и не
проявляют инерционных свойств;
− вихревые кольца двигаются поступательно в направлении потока
среды, проходящего через отверствие кольца, причём скорость кольца
увеличивается при уменьшении его размера и увеличении интенсивности вихря;
− вихревое кольцо не может находиться в состоянии покоя, оно всегда пребывает в движении.
244

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

7.6. Сферические вихри Хилла и Хикса
В задаче Хилла завихрённость располагается внутри сферы радиуса a , которая движется поступательно со скоростью V . Вихревые
линии внутри сферы представляют собой концентрические окружности, а вне сферы − движение потенциально. В цилиндрических координатах ( r ;ϕ ; z ) (начало координат расположено в центре сферы) вектор
завихрённости Ω = (0; Ω 2 ; 0) . Распределение завихрённости имеет вид
⎧ µr , внутри сферы
,
Ω2 = ⎨
⎩ 0, вне сферы

(7.6.1)

( µ – постоянный множитель) и для несжимаемой среды удовлетворяет уравнению Гельмгольца (7.2.12). Использование уравнения неразрывности divu = 0 позволяет ввести функцию тока Ψ , связанную с компонентами скорости уравнениями
ur = −

1 ∂Ψ
1 ∂Ψ
, uz =
.
r ∂z
r ∂r

(7.6.2)

По определению завихрённость Ω = rot u , следовательно, уравнение
для функции тока имеет вид
∂ ⎛ 1 ∂ Ψ ⎞ ∂ 2Ψ
⎟+
r ⎜⎜
= −r Ω 2 .
∂ r ⎝ r ∂ r ⎟⎠ ∂ z 2

(7.6.3)

На поверхности сферы функция тока постоянна ( Ψ гр. = Ω 2 / r = µ ) и при
достаточном удалении от вихря компонента скорости u z = − V относительно сферы. Запишем (7.6.3) в сферических координатах ( ρ ;ϕ ;θ ) , заменив r = ρ sin θ и z = ρ cosθ :
2
2
∂ 2Ψ
∂ Ψ ⎞ ⎧ − µρ sin θ , ρ < a
1 ⎛ ∂ 2Ψ
⎟=⎨
⎜
.
+
− ctg θ
∂ρ 2 ρ 2 ⎜⎝ ∂θ 2
∂θ ⎟⎠ ⎩
0,
ρ>a

(7.6.4)

Применяя метод разделения переменных, найдём общее решение
однородного
⎧d = 0, ρ < a
⎛
d⎞
)
Ψ0 = ⎜ c ρ 2 + ⎟ sin2 θ ( ⎨
ρ⎠
⎝
⎩c = 0, ρ > a

и частное решение неоднородного уравнений
Ψ1 = −

µ

10

ρ 4 sin2 θ .

245

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

Удовлетворяя граничным условиям, найдём решение в виде
µ 2 2
⎧
ρ (a − ρ 2 ) sin2 θ , ρ < a
⎪
10
⎪
ψ =⎨
.
(7.6.5)
3
⎪ − µ ρ 2 a 2 ⎛⎜1 − a ⎞⎟ sin2 θ , ρ > a
⎜ ρ3 ⎟
⎪⎩ 15
⎝
⎠
В цилиндрической системе координат решение имеет вид
µ 2 2 2 2 2 2 2
⎧
r (a − r − z ), r + z < a
⎪
10
⎪
ψ =⎨
.
3
⎛
⎞ 2 2
µ
a
2
2
2
⎟, r + z > a
⎪ − r a ⎜1 −
2
2 3 ⎟
⎜
⎪ 15
(r + z ) ⎠
⎝
⎩

(7.6.6)

В силу однородности потока вдали от сферы параметр µ находим из
равенства
−

2µ 2
a = −V .
15

Распределение линий тока и изолиний давления в вихре Хилла показано на рис. 7.10.

б

а

Рис. 7.10. Линии тока (а) и изолинии давления (б) в вихре Хилла.

По формулам (7.6.2) находим компоненты скорости внутри сферы ( r 2 + z 2 < a 2 )
3 rz
3 ⎛ 2r 2 + z 2 ⎞
u r = V 2 , u z = V ⎜⎜1 −
⎟.
2 a
2 ⎝
a 2 ⎟⎠

(7.6.7)

и снаружи ( r 2 + z 2 > a 2 )
3 rz
ur = V 2
2 a

5
⎡ ⎛ a 2 ⎞5 2 z 2 − r 2 ⎤
⎛ a2 ⎞
⎟
⎜⎜ 2
⎟ , u z = V ⎢ ⎜⎜ 2
− 1⎥ .
2 ⎟
2
2 ⎟
r
z
a
+
2
r
+
z
⎢
⎥
⎠
⎝
⎠
⎣ ⎝
⎦

(7.6.8)

Более сложным по структуре является сферический вихрь Хикса
(1899), у которого скорость вихря и завихрённость имеют по три не246

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

нулевых компонента. В общем случае осесимметричного закрученного течения в цилиндрических координатах ( r ;ϕ ; z ) они определяются функцией тока Ψ и азимутальной функцией u ϕ
⎛ 1 ∂Ψ
1 ∂Ψ ⎞
⎟⎟ ,
u = ⎜⎜ −
; uϕ ;
∂
∂
r
z
r
r
⎠
⎝

(7.6.9)

⎛ ∂u
1 2
1 ∂ ( ruϕ ) ⎞
⎟,
Ω = ⎜⎜ − ϕ ;
D Ψ;
r
r ∂ r ⎟⎠
⎝ ∂z

(7.6.10)

∂ ⎛ 1 ∂ Ψ ⎞ ∂ 2Ψ
⎟+
.
где D Ψ = r ⎜⎜
∂ r ⎝ r ∂ r ⎟⎠ ∂ z 2
2

Перейдём в новую систему координат, которая движется поступательно вдоль оси Oz со скоростью V, для неё справедливы равенства
1
~
u~ r = u r , u~ϕ = u ϕ , u~ z = u z − V , Ψ
= Ψ − Vr 2 ,
2

(7.6.11)

а область завихрённости не меняет форму при движении, т.е. движение стационарно (

здесь f B =

dΨ
≡ 0 ). Тогда
dt
~
Ωϕ
df B Γ d Γ ( Ψ )
=− ~ + 2
~ ,
r
dΨ
dΨ r

(7.6.12)

p

1
+ (u r2 + uϕ2 + u z2 ) + Π − функция Бернулли, Π − потенциальρ0 2

ная энергия внешнего поля (например, для гравитационного поля величина Π = gz , g − ускорение свободного падения), Γ = ruϕ . Тогда
для новой функции тока дифференциальное уравнение имеет вид
~
dΓ ( Ψ )
~
2 df B
D Ψ = r ~ −Γ
~ .
dΨ
dΨ
2

(7.6.13)

Сферическому вихрю Хилла соответствуют

~
⎧ f B = µΨ , Γ = 0 − внутри сферы
,
⎨
f
=
const,
Γ
=
0
−
вне
сферы
⎩ B

(7.6.14)

а для сферического вихря Хикса эти равенства имеют вид (Моффатт,
1969)
~
~
⎧ f B = f B 0 − µΨ , Γ = α Ψ − внутри сферы
.
⎨
f
=
f
,
Γ
=
0
−
вне
сферы
B
B0
⎩

Подстановка (7.6.15) в уравнение (7.6.13) даёт
247

(7.6.15)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7
2
2~
~ ⎧− µr − α Ψ − внутри сферы
D Ψ=⎨
,
0
−
вне
сферы
⎩
2

(7.6.16)

при этом компоненты завихрённости и скорости связаны соотношениями (значок «~» опущен)
(7.6.17)
Ω r = α u r , Ω ϕ = α u ϕ + µr , Ω z = αu z .
Используя замену
µ
~
Ψ =ψ − 2 r 2 ,

(7.6.18)

α

перепишем уравнение (7.6.16) в виде
D 2ψ = −α 2ψ .

(7.6.19)
Решение (7.6.19) проведём в сферической системе координат ( ρ ;ϕ ;θ ) ,
заменив r = ρ sin θ и z = ρ cosθ :
∂ 2ψ
∂ψ
1 ⎛ ∂ 2ψ
+ 2 ⎜⎜
− ctg θ
2
2
∂ρ
∂θ
ρ ⎝ ∂θ

⎞
⎟⎟ + α 2ψ = 0 .
⎠

(7.6.20)

Для того чтобы функция, являющаяся решением (7.6.20), непрерывно переходила в решение внешней задачи, ищем её в виде
ψ = R( ρ ) sin 2 θ .
(7.6.21)
Тогда функция R( ρ ) удовлетворяет уравнению Бесселя
⎛
2 ⎞
R′′ + ⎜ α 2 − 2 ⎟ R = 0
ρ ⎠
⎝

(7.6.22)

и равна ( b = const )
R ( ρ ) = b α j (αρ ) , j ( x) =

sin x cos x
−
.
x2
x

(7.6.23)

Следовательно,
µ
~ ⎛
⎞
Ψ = ⎜ ρR ( ρ ) − 2 ρ 2 ⎟ sin 2 θ , ρ < a ,
α
⎠
⎝

(7.6.24)

при внешнем решении (см. (7.6.5))
⎛
V
a3 ⎞
~
Ψ = − ρ 2 ⎜⎜1 − 3 ⎟⎟ sin 2 θ , ρ > a ,
2
⎝ ρ ⎠

(7.6.25)

α3

2α 2
где константы µ = b
j1 (α a ) , V = b
j2 (α a ) .
a
3

Семейство значений параметра α , при которых j1 (αa) = 0 ( µ = 0 ),
определяют завихрённость Ω = αu , т.е. реализуется течение Бельтра248

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

ми (см. пункт 7.3). Второе выделенное семейство параметра α задаёт
обнуление функции j2 (αa) = 0 (V = 0 ), что отвечает неподвижным вихрям. При α → 0 вихрь Хикса вырождается в сферический вихрь Хилла. Используя определение функции Γ = ruϕ и (7.6.24), вычислим компоненты скорости в цилиндрической системе координат
1
u r = bα 2 j2 (αρ ) sin(2θ ) ,
2
⎡ j (αρ ) j1 (αa) ⎤
u ϕ = bα 2 ρ ⎢ 1
−
⎥ sin θ ,
ρ
a
⎣
⎦
⎡ j (αρ ) j1 (αa) ⎤
u z = 2bα ⎢ 1
− bα 2 j2 (αρ ) sin 2 θ ,
−
⎥
a ⎦
⎣ ρ

(7.6.26)
(7.6.27)
(7.6.28)

На рис. 7.11 представлены строение и поверхности тока сферического
вихря Хикса.

б

а

Рис. 7.11. Строение (а) и поверхности тока (б) вихря Хикса.

7.7. Колоннообразный вихрь Рэнкина. Типы возмущений
Бесконечно тонкая вихревая нить является идеализированной моделью реального вихря. Более реальной иммитацией служит модель
цилиндрического вихря с круглым сечением радиуса а, внутри которого присутствует постоянная завихрённость Ω . Внутреннюю часть
цилиндра называют ядром вихря; вне цилиндра − движение среды безвихревое. Такой вихрь можно аппроксимировать непрерывным распределением вихревых нитей в его ядре. Тогда по теореме Стокса вклад
элемента сечения dS в циркуляцию dГ равен (рис. 7.12)
249

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

dΓ = ΩdS .

(7.7.1)
Так как внутри ядра завихрённость посΩ=0
тоянна, то интегрирование (7.7.1) по люr
a
бому контуру, который один раз охватывает ядро вихря, даёт для циркуляции
Ω = const
а
выражение
p a
−a
Γ = Ωπa 2 = const .
(7.7.2)
p0
Аксиальная симметрия задачи приводит к тому, что скорость жидких частиц среды u зависит только от аргумента r . Тогда по теореме Стокса для круpmin
r га радиуса r > a получим равенство
0
б
2πru = Ω πa 2 = Γ .
(7.7.3)
Рис. 7.12. Профили скорости (а) и Тогда скорость потенциального (безвихдавления (б) в колоннообразном ревого) движения вне вихря ( r > a )
u

вихре Рэнкина.

u=

Ωa 2
Γ
=
.
2r
2πr

(7.7.4)

Формула (7.7.4) описывает поле скоростей, индуцированное бесконечно тонкой вихревой нитью с интенсивностью Γ на расстоянии от
оси цилидра r > a . При 0 < r < a уравнения (7.7.3) и (7.7.4) имеют вид
2 π ru = Ω π r 2 , u =

Γr
.
2πa 2

(7.7.5)

Линейность зависимости скорости u от аргумента r (рис. 7.12, а) указывает на наличие твёрдотельного вращения жидкости в ядре вихря
с угловой скоростью ω (см. формулу (3.2.1))
u =ωr, ω=

Γ
.
2πa 2

(7.7.6)

Из рис. 7.12, а видно, что на поверхности вихря, который называют вихрем Рэнкина, из-за скачка завихрённости от постоянного значения до нуля наблюдается излом на графике функции u (r ) . Радиальное распределение статического давления, изображённое на рис. 7.12,
б, резко уменьшается от поверхности цилиндра к его оси. Применив
уравнение Эйлера (7.1.6) в полярной системе координат с учётом осевой симметрии и потенциальности силы (7.1.7), вычислим требуемый
профиль давления
250

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

ρu 2

r
dp
u2
=
⇒ p = p∞ + ρ ∫ dr ,
r
dr
∞ r

(7.7.7)

где ρ – плотность жидкости, p∞ – давление на бесконечно большом
удалении от вихря. Подставим в (7.7.7) выражения для полей скорости
внутри (7.7.5) и вне (7.7.4), получим
⎧
ρω 2 ⎛ 2 r 2 ⎞
⎜ a − ⎟⎟, r < a
⎪ p∞ −
4 ⎜⎝
2⎠
⎪
p=⎨
.
2
4
ρω
a
⎪
,r>a
p∞ −
⎪⎩
8 r2

(7.7.8)

Минимального значения давление достигает на оси цилиндра
p min = p∞ − ρ

ω 2a 2
4

= p∞ − ρ

Γ2
,
4π 2 a 2

(7.7.9)

что приводит к образованию воронки при интенсивном вращательном
движении жидкости (например, при вытекании воды из ванны) и объясняет втягивание предметов в предосевую зону смерча.
Многие закрученные потоки неустойчивы, что приводит к возникновению вторичных вихрей, волн и является возможной причиной
распада первичного вихревого движения. В устойчивых же потоках
наблюдают различные возмущения, в частности, инерционные волны.
Преимущественно возмущения колоннообразных вихрей имеют винтовую или спиральную структуру. Если вихрь имеет ядро радиуса R,
на границе которого профиль скорости терпит разрыв, то при наличии
монохроматического возмущения граница в начальный момент времени описывается формулой
r = R + a cos( kz + m ϕ ) ,
(7.7.10)
где амплитуда a << R , k и m – аксиальное и азимутальное волновые
числа соответственно, ϕ – азимутальный угол (рис. 7.13).
Рассмотрим форму колоннообразного вихря при различных значениях параметра m :
– при m = 0 наблюдают осесимметричную моду, длина волны равна
2π / k , сечения вихря при z = const представляют собой концентрические окружности с радиусом от ( R − a) до (R + a) , при m ≠ 0 реализуются
неосесимметричные моды;
– при m = ±1 возникают изгибные моды, сечением ядра z = const являет251

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

ω

Невозмущённое
ядро

m=0

m = +1

m = −1

m = +2 m = +4

Рис. 7.13. Основные типы возмущений в колоннообразном вихре:
1 – граница ядра, 2 – линии постоянной фазы kz+mφ.

ся круг с радиусом R , сдвинутым на расстояние a вдоль радиуса r
под углом ϕ = −kz / m , моды с m = +1 и m = −1 имеют вид левого и правого винтов с шагом 2π / k соответственно;
– при m = ±2 круговые сечения ядра трансформируются в эллипс;
– при | m |> 2 ось вихря остаётся невозмущённой, а круговые сечения
ядра приобретают более сложную форму (см. рис. 7.13).

7.8. Вихри Бюргерса и Салливана
Учёт вязкости в математической постановке задачи о течении несжимаемой жидкости позволяет устранить разрывы завихрённости в
окрестности ядра вихря как в модели бесконечно тонкой вихревой нити, так и в модели вихря Рэнкина. Запишем в цилиндрической системе
координат ( ρ ;ϕ ; z ) уравнение Навье-Стокса с учётом класса его осесимметричных точных решений вида
u r = u (r ) , u ϕ = v(r ) , u z = w(r , z ) = zf (r ) ,
(7.8.1)
положив f (r ) = a = const , и уравнение неразрывности
252

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

∂ ⎛ 1 ∂ (ru ) ⎞
∂u v 2
1 ∂p
+η ⎜
− =−
u
⎟,
∂r ⎝ r ∂r ⎠
ρ ∂r
∂r r
u

∂ ⎛ 1 ∂ (rv ) ⎞ uv
∂v
=η ⎜
⎟− ,
∂r ⎝ r ∂r ⎠ r
∂r
1 ∂p
∂w
w
=−
,
ρ ∂z
∂z
1 ∂ (ru ) ∂w
= 0,
+
∂z
r ∂r

(7.8.2)
(7.8.3)
(7.8.4)
(7.8.5)

где η – кинематический коэффициент вязкости жидкости. Из (7.8.5)
следует выражение для радиальной скорости
u r = u (r ) = −

ar
.
2

(7.8.6)

Следовательно, уравнение для азимутальной составляющей скорости
по (7.8.3) имеет вид
′
a
1
⎛
⎞
− (rv)′ = η ⎜ (rv)′ ⎟ ,
2
⎝r
⎠

(7.8.7)

где значок «′» означает взятие производной по аргументу r. Интегрирование (7.8.7) с граничным условием v r →∞ = 0 приводит к выражению
⎛ ar 2 ⎞⎤
с1 ⎡
⎟⎟⎥ ,
v = ⎢1 − exp⎜⎜ −
r ⎣
⎝ 4η ⎠⎦

(7.8.8)

Константу интегрирования с1 найдём из условия, что на бесконечности задана циркуляция Г:
Γ = 2πrv r →∞ = 2πc1 .
(7.8.9)
Таким образом, (7.8.8) принимает окончательный вид
⎛ ar 2 ⎞⎤
Γ ⎡
⎟⎟⎥ .
v=
⎢1 − exp⎜⎜ −
2π r ⎣
⎝ 4η ⎠⎦

(7.8.10)

Вычислив первую производную от (7.8.10), найдём, что функция v(r)
имеет один локальный максимум, определяемый решением трансцедентного уравнения
1 + 2ϕ = exp(ϕ ) , ϕ = −

ar 2
.
4η

(7.8.11)

Решение уравнения (7.8.11) ϕ = 1,2565... , т.е. эффективный радиус
rmax = 2,242
253

η
a

,

(7.8.12)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

а максимум азимутальной скорости по (7.8.10)
vmax = 0,16

Γ

a

π η

=

0,36 Γ
.
π rmax

(7.8.13)

Используя выражения (7.8.12) и (7.8.13), перепишем (7.8.10) в виде
v
vmax

2
⎛
⎞⎤
⎫
⎧
1,39rmax ⎡
r
⎟⎥ .
⎢1 − exp⎜ − 1,26⎨
=
⎬
⎜
r ⎢
⎩ rmax ⎭ ⎟⎠⎥⎦
⎝
⎣

(7.8.14)

Известно, что при очень малых значениях x функция exp( − x ) ≅ 1 − x .
Воспользуемся этой формулой при r → 0 в соотношении (7.8.10), получим
Γ ⎡ ⎛ ar 2 ⎞⎤ Γa
Γ 1,26
⎟⎟⎥ =
v≅
r=
r.
⎢1 − ⎜⎜1 −
2
2π r ⎣ ⎝
4η ⎠⎦ 8πη
2π rmax

(7.8.15)

Это означает, что в приосевой зоне цилиндра происходит твёрдотельное вращение жидкости с круговой скоростью ω =

Γa
. Выражение
8πη

(7.8.15) совпадает с равенством (7.7.6) для вихря Рэнкина, если положить a 2 =

2
rmax
Γ
. При r → ∞ имеем асимптоту v =
, которая совпада2πr
1, 26

ет с выражением (7.7.4) для вихря Рэнкина. Сравнение профилей азимутальной скорости для вихрей Бюргерса и Рэнкина продемонстрировано на рис. 7.14.
Из уравнения (7.8.4) имеем
v
1 ∂p
ρ (az) 2
a z=−
⇒ p=−
+ ρφ (r ) .(7.8.16)
ρ ∂z
2

Вихрь Рэнкина

2

Полученное выражение подставим в (7.
8.2), найдём
Вихрь Бюргерса

dφ
a 2r v2
=−
+ .
dr
4
r

r

Рис. 7.14. Профили азимутальной
скорости в колоннообразном вихре Рэнкина и в вязком вихре Бюргерса.

(7.8.17)

Выполнив интегрирование в (7.8.17) и
подставив результат в (7.8.16), получим
ρ a2 ⎛

r 2
r2 ⎞
v
⎜⎜ z + ⎟⎟ + ρ ∫ dr , (7.8.18)
p = p0 −
2 ⎝
4⎠
0 r

2

где интеграл вычисляется с использованием численных методов.
Существование стационарного решения для вязкой несжимаемой
254

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

жидкости объясняется тем, что вязкая диффузия завихрённости компенсируется радиальным переносом вследствие аксиального растяжения ( u z = az ) вихря Бюргерса.
Другое точное решение уравнения Навье-Стокса в виде стационарного двухячеистого вихря было найдено Салливаном* (1959). Решение задачи ищется в виде
⎛ ar 2 ⎞⎤
ar 6η ⎡
⎟⎟⎥ ,
u=− +
⎢1 − exp⎜⎜
2
4
η
r ⎣
⎝
⎠⎦

(7.8.19)

⎛ ar 2 ⎞
⎟
H ⎜⎜
4η ⎟⎠
Γ
⎝
v=
,
2π r H (∞)

(7.8.20)

⎡
⎛ ar 2 ⎞⎤
⎟⎟⎥ ,
w = az ⎢1 − 3 exp⎜⎜
4
η
⎝
⎠⎦
⎣

ρ a 2 ⎧⎪

r 2 36η 2
p = p0 −
⎨z + + 2 2
2 ⎪
4 ar
⎩
2

⎡
⎛ ar 2 ⎞⎤
⎟⎟⎥
⎢1 − exp⎜⎜
4
η
⎝
⎠⎦
⎣

(7.8.21)
2

⎫⎪
r 2
v
⎬ + ρ ∫ dr , (7.8.22)
0 r
⎪⎭

x
t
1 − exp( − s ) ⎫
⎧
H ( x) = ∫ exp ⎨− t + 3∫
ds ⎬dt ,
(7.8.23)
s
0
⎩
0
⎭
здесь Γ − циркуляция на бесконечности, a − константа задачи, p0 −

давление в точке с координатами ( r = 0 , z = 0), η − кинематическая вязкость. Примеры профилей скоростей (7.8.19)-(7.8.21) показаны на рис.
7.15. При r → ∞ вихрь Салливана полностью совпадает с вихрем Бюргерса.
Для вихрей Рэнкина и Бюргерса
v
характерной особенностью является
w
наличие в приосевой зоне цилиндра
твёрдотельного вращения жидкости.
u
Это приводит к возникновению двух
мод в виде плоских волн, которые наr
Рис. 7.15. Профили скоростей в вихре зывают инерционными. РаспростраСалливана ( a = 10 −3 , η = 10 −2 , z = 1 ). нение волн в приосевой зоне цилиндра обеспечивает сила Кориолиса (см.
*R. D. Sullivan. A two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations // J. Aerosp. Sci. 26,
p. 767-768 (1959).
255

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 7

пункт 4.1, формула (4.1.12))
f K = 2[ v × ω ] .

(7.8.24)

Если частота возмущений давления ω p при отсутствии поступательного движения жидкости вдоль оси цилиндра (W = 0 ) удовлетворяет неравенству ω p < 2ω ( ω = ω ), то возмущения распространяются в ограниченном пространстве, представляющим собой конус, ось которого совпадает с осью цилиндра, а угол полураствора определяется функцией
⎛ ωp ⎞
⎟⎟ .
arcsin⎜⎜
2
ω
⎝
⎠

Фазовая скорость cφ волн определяется формулой (5.5.5)
cφ ≡

ω

2ω ⎞
⎛
= cos θ ⎜W ±
⎟,
k
k ⎠
⎝

(7.8.25)

где θ − угол между волновым вектором k и осью z. Групповая скорость вычисляется по формуле (5.5.8)
2

dω 2ω ⎛ Wk ⎞ 2
⎛ Wk ⎞
=
cг ≡
⎜1 ±
⎟ sin θ + ⎜
⎟ .
ω ⎠
dk
k ⎝
⎝ 2ω ⎠

(7.8.26)

При W = 0 волновой вектор k и вектор групповой скорости cг будут
перпендикулярны. Наличие поступательного движения (W ≠ 0 ) приводит к нарушению этого утверждения. Величина угла между указанными векторами в этом случае зависит от θ и волнового числа Россби
Ro =

Wk
.
2ω

(7.8.27)

Силы Кориолиса доминируют при малых числах Россби ( Ro << 1 ), а
инерционные силы – при больших ( Ro >> 1). При Ro = 0 векторы k и cг
перпендикулярны. Если Ro → ∞ , моды совпадают друг с другом, вектор
групповой скорости cг параллелен оси аппликат и его модуль cг = W ,
т.е. поступательное движение жидкости уносит возмущения давления.
В заключение отметим, что возмущения полей скоростей (7.8.19-21),
представленные в виде плоских волн, обладают круговой поляризацией.

256

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Глава 8. Гироскоп. Упругость. Поля
Есть оружие пострашней клеветы;
это оружие – истина.
Ш. Талейран

В первой половине ХIХ века физик и математик У. Гамильтон
(Ирландия) открыл новое гиперкомплексное исчисление (кватернионы, см. также пункт 1.2), с которым был ознакомлен Л. Эйлер. Оно было наиболее подходящим математическим аппаратом для описания
вращений абсолютно твёрдого тела, поэтому непонятно, вследствие
каких соображений Л. Эйлер сформулировал задачу о вращающемся
волчке (и потом безуспешно пытался решить эту задачу) в терминах
векторной алгебры Дж. Гиббса. Следуя за ним, многие выдающиеся
математики прошлого (Ж. Лагранж, Л. Пуансо, Ш. Эрмит, Г. Дарбу,
С.В. Ковалевская, Н.Е. Жуковский и другие учёные) потратили достаточно большую часть своего научного потенциала на решение задачи
о вращающемся волчке, не подвергая сомнению математическую корректность постановки задачи Л. Эйлером. Они получили много интересных, прежде всего, в математическом отношении результатов, пытаясь решить задачу, но найти её аналитическое решение до сих пор
никому не удалось.
Движение волчка описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которые называют уравнениями Эйлера-Пуассона. Для них известны три первых интеграла движения: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В.Н. Оникийчук* пишет: “В
1880 – 1890-х годах французский математик Анри Пуанкаре доказал,
что уравнения Эйлера-Пуассона всё-таки принципиально не интегрируются. Это означало, что никакие первые интегралы для этой задачи
(кроме уже известных – Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) в принципе
не могут быть представлены какими-либо математическими формула*Оникийчук В.Н. «Великая тайна Леонарда Эйлера». – СПб.: НПО “Профессионал”, 2007.
257

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

ми. За эту работу Анри Пуанкаре был награждён золотой медалью Королевской Шведской Академии наук (1889). Далее этот пессимистический вывод о принципиальной не интегрируемости уравнений ЭйлераПуассона единодушно утверждался учёными Европы в XIX–ХХ веках. Разумеется, эту точку зрения разделяли и разделяют до сих пор
российские учёные. В этом смысле данная проблема является “исчерпанной” в том смысле, что принята “окончательно” официальная точка зрения, что задача Эйлера-Пуассона принципиально не поддаётся
аналитическому решению. По этой проблеме в СССР (России), а также за рубежом вышло много книг, и на эту тему защищены сотни кандидатских и докторских диссертаций. Ряд зарубежных и российских
(советских) учёных за работы в этой области были удостоены высоких
государственных наград. Самое невероятное в этой истории то, что эта
задача полностью решается – вопреки уже всеобщей убеждённости в
принципиальной невозможности решить эту задачу. Суть в том, что
решения, которые предлагались за всю 250-летнюю историю этой задачи, полны противоречий, парадоксов и грубых “внутренних” нестыковок между собой. Эти обстоятельства и стали тем беспорядочным
хаосом, который не дал возможности решить эту задачу до конца”.
В отличие от А. Пуанкаре утверждение М. Якоби сводилось к тому, что для решения задачи (помимо уже известных трёх интегралов
движения) достаточно найти ещё один новый первый интеграл, не зависящий от времени. В некоторых специальных случаях удаётся найти
такой дополнительный интеграл, но до сих пор исследования в этом
направлении продолжаются. Отсутствие решения задачи о вращающемся волчке в виде функционального соотношения оспаривается
“официальной” наукой. Вместо общего аналитического решения задачи она предалагает воспользоваться приближёнными вычислениями с помощью компьютера. Некоторые исследователи утверждают,
что иметь аналитическое решение необязательно ввиду проведённого
“качественного исследования” задачи. В настоящее время интерес к
задаче не ослабевает, так как разработаны современные методы явного
интегрирования уравнений и их топологического анализа.
К сожалению исследования ведутся не в направлении более точ258

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

ного и глубокого отображения физического содержания изучаемого
явления, а по пути усложнения его математического описания. Одним
из доводов тех, кто работает на развитие такого подхода, является, например, следующее объяснение сущности гироскопического эффекта:
волчок и гироскоп ведут себя соответствующим образом, потому что
таковы законы векторной алгебры, которую применяют для их описания. Однако более надёжным источником знания об особенностях гироскопического эффекта остаётся мнемоническое правило, которое
было сформулировано отцом русской авиации Н.Е. Жуковским: гироскопический момент стремится совместить вектор кинетического момента с вектором момента действующих физических сил по кратчайшему пути. Причина такого поведения вектора кинетического момента не выяснена до сих пор.
В теоретической физике такое положение вещей не является исключительным, например, в электродинамике опорой уравнений Максвелла является выведенное из опыта мнемоническое “правило левой
руки” (существует и “правило правой руки”), указывающее направление движения электрического заряда в магнитном поле. Такие “псевдорешения” научных проблем триедины в своём применении: одна
часть используется физиками-теоретиками для общения на понятном
только им языке символов и формул; другая – для приближённых инженерно-технических расчётов; третья – для широкого распространения и использования в системе общественного образования и просвещения. Если бы проблема была решена на уровне понимания физической сути того или иного явления, то между этими частями не было бы
недоразумений. А они проявляются, в частности, в виде казусов, подобного ошибочному расчёту угловой скорости прецессии симметрического волчка в “классическом” учебнике*, рекомендованном Министерством образования Российской Федерации для студентов физических специальностей университетов. Для уменьшения количества таких
казусов требуется глубокий физический анализ накопленных данных
по исследуемой проблеме.
*Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с. 141-142.
259

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

8.1. Уравнения Эйлера
Рассмотрим движение абсолютно твёрдого тела с точки зрения
Л. Эйлера. Под абсолютно твёрдым телом понимают систему из N
материальных точек, жёстко соединённых между собой невесомыми и
недеформируемыми стержнями с постоянной длиной. Наличие связей
снижает число степеней свободы (см. пункт 2.1) с 3N до шести. Если
выбрать три точки тела, не лежащие на одной прямой, то к трём уравнениям связи для этих точек надо добавить шесть уравнений движения. Выберем инерциальную лабораторную декартовую систему координат K , орты осей которой обозначим ei ( i = 1, 2, 3 ), и подвижную
систему координат K ′ с ортами ei′ ( i = 1, 2, 3 ), жёстко связанную с твёрдым телом (рис. 8.1). Тогда закон движения твёрдого тела определяется шестью функциями: тремя компоненТвёрдое
тело
тами радиус-вектора r0′ ( t ) и тремя углами
a ( x1′, x2′ , x3′ )
Лабора•
торная
Эйлера ϕ (t ) , θ (t) и ψ (t) , определяющими поСК
ложение твёрдого тела в пространстве. Орты систем координат связаны соотношениями (см. также пункт 1.3)
Подвижная
СК

Рис. 8.1. Две декартовые системы координат (СК): лабораторная K и подвижная K΄.

3

e i′ ( t ) = ∑ Ω ij ( t )e j ,

(8.1.1)

j =1

где Ω ij (t ) − ортогональная матрица преобразования, обратная Ω −1 и транспонированная
ΩT матрицы которой удовлетворяют равенс-

тву
Ω −1 = ΩT .

(8.1.2)
Из (8.1.2) следует шесть равенств, которые уменьшают число независимых элементов матрицы Ω до трёх, в частности, этими элементами
могут быть углы Эйлера. Положение любой точки в подвижной системе координат K ′ характеризуется постоянными координатами, например (см. рис. 8.1), точка a( x1′, x2′ , x3′ ) или переменным радиус-векто3

ром r a′ ( t ) = ∑ x i′e i′ ( t ) . В лабораторной системе координат K положеi =1

260

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

ние этой точки определяется по формуле
3

ra ( t ) = ro ′ ( t ) + ra′ ( t ) = ro ′ ( t ) + ∑ x i′e i′ ( t ) ,
i =1

(8.1.3)

согласно которой закон движения твёрдого тела определяется проекциями векторных функций ro′ (t ) и
e1′ (t ) = (cos ϕ (t ), 0, 0) , e2′ (t ) = (0, cos θ (t ), 0) , e3′ (t ) = (0, 0, cosψ (t )) . (8.1.4)
Осуществим параллельный перенос лабораторной системы координат K до совпадения точек O и O ′ , а затем совместим координатные оси системы с осями подвижной системы K ′ , осуществив последовательно повороты системы K на углы
Лабораторная
Эйлера ϕ (t ) , θ (t ) и ψ (t ) * (рис. 8.2). ПерСК
вый поворот вокруг оси z на угол ϕ производят с помощью матрицы
⎛ cos ϕ
⎜
A = ⎜ − sin ϕ
⎜ 0
⎝

sin ϕ 0 ⎞
⎟
cos ϕ 0 ⎟ ,
0
1 ⎟⎠

(8.1.5)

при этом ось х занимает положение пряРис. 8.2. Повороты лаборатор- мой O΄ξ , называемой линией узлов. Поной системы K на углы Эйлера ворот вокруг линии узлов на угол θ осупосле её параллельного переноществляют с помощью матрицы
Подвижная СК

са и совмещения начала координат с началом системы K΄.

0
⎛1
⎜
B = ⎜ 0 cos θ
⎜ 0 − sin θ
⎝

0 ⎞
⎟
sin θ ⎟ ,
cos θ ⎟⎠

(8.1.6)

*По-видимому Эйлер отчётливо понимал, что он рассматривает "плоское движение" твёрдого
тела, потому что Ньютон, Кеплер и другие исследователи формулировали законы только для
случая "плоского движения" (см., например, пункт 3.4). "Плоское движение" возникает тогда,
когда вектор угловой скорости ортогонален вектору перемещения (или вектору скорости центра масс тела). Но так как любое движение твёрдого тела (в том числе "плоское" и "неплоское")
можно представить как суперпозицию прямолинейного движения центра масс, деформации
тела и равномерного вращения этого тела вокруг его центра масс (см. пункт 7.2), то подход Эйлера страдает отсутствием "трёхмерности" движения, несмотря на её внешнее присутствие в
постановке задачи. Заблуждение математика Эйлера кроется также в том, что система К΄ вращается, т.е. является изначально неинерциальной, что приводит к разным ограничениям механики Ньютона-Лагранжа-Эйлера (см. пункты 2.6; 4.1). Если считать систему К΄ инерциальной,
то надо рассматривать движение тела в отсутствие действующих сил и моментов сил, что вынуждает считать один из углов Эйлера фиксированным, т.е. избыточным. Если же полагать верным подход Эйлера, то система К΄ не может быть инерциальной. В этом заключается парадокс
модели Эйлера.
261

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

он переводит ось z в положение O΄z΄. Последний поворот на угол ψ
вокруг оси O΄z΄ производится с помощью матрицы
⎛ cosψ
⎜
C = ⎜ − sinψ
⎜ 0
⎝

sinψ
cosψ
0

0⎞
⎟
0⎟ .
1 ⎟⎠

(8.1.7)

Таким образом, матрица поворотов*
Ω = CBA .

(8.1.8)

Найдём производную по времени от (8.1.1), получим
3 d Ω (t ) 3
3
d e i′ ( t )
ij
= ∑
∑ Ω Tjk ( t )e k′ = ∑ ω ik′ ( t ) e k′ ,
dt
dt
j =1
k =1
k =1

(8.1.9)

где
3

dΩ ij (t )

j =1

dt

ωik′ (t ) = ∑

ΩTjk (t ) , ω s′ =

1 3
∑ ε sik ωik′
2 i , k =1

(8.1.10)

− тензор угловой скорости, компоненты которого удовлетворяют соотношению антисимметричности
ω ik′ (t ) = −ω ki′ (t ) .
(8.1.11)
Так как базис ei′ ( i = 1, 2, 3 ) жёстко связан с твёрдым телом, то (8.1.9)
можно переписать в виде
dei′ (t )
= e&i′ (t ) = [ω × ei′ (t )] ,
dt

(8.1.12)

здесь ω − вектор угловой скорости. Используя формулы (8.1.5-10),
найдём проекции вектора ω в системе K ′
′ = θ& cosψ + ϕ& sinψ sin θ ,
ω1′ = ω23
(8.1.13)
′ = −θ& sinψ + ϕ& cosψ sin θ ,
ω2′ = ω31

(8.1.14)

ω3′ = ω12′ = ψ& + ϕ& cos θ .

(8.1.15)

Величины ϕ& , θ& и ψ& называют соответственно угловыми скоростями
прецессии, нутации и собственного вращения. В системе K проекции
вектора ω вычисляются по формулам
ω1 = ω23 = ψ& sin θ sin ϕ + θ& cos ϕ ,
(8.1.16)
ω2 = ω31 = −ψ& sin θ cos ϕ + θ& sin ϕ ,

(8.1.17)

ω3 = ω12 = ψ& cos θ + ϕ& .

(8.1.18)

*Так как система К΄ неинерциальна, то полученные соотношения пригодны только в том случае, когда твёрдое тело покоится.
262

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Дифференцируя (8.1.3) по времени получим линейную скорость
и ускорение точки a( x1′, x′2 , x3′ )
3

3

i =1

k =1

r&a ( t ) = r&o ′ ( t ) + ∑ x i′ ∑ ω ik′ ( t ) e ′k = r&o ′ ( t ) + [ ω ( t ) × ra′ ( t )] , (8.1.19)
&r&a ( t ) = &r&o ′ ( t ) + [ ω& ( t ) × ra′ ( t )] + [ ω ( t ) × [ ω ( t ) × ra′ ( t )]] . (8.1.20)

Так как твёрдое тело является системой из N частиц, то его импульс P (уравнения (1.8.6) и (1.8.7)) и момент импульса L (уравнение
(3.2.15)) определяются уравнениями
N

P& = ∑ Fa = F ,

(8.1.21)

a =1

N

L& = ∑ [ra × Fa ] = M .

(8.1.22)

a =1

Положение центра масс твёрдого тела вычисляется по формуле
N

R=

∑ ma ra

a =1

m

,

(8.1.23)

N

где ma , m = ∑ ma − масса частицы а и тела соответственно.
a =1

Совместим начало координат системы K ′ с центром масс, тогда
ra = R + ra′ , P = m R& и L = m[ R × R& ] + L( C ) ( L( C ) = ∫ [ r ′ × [ω × r ′]]dm − момент
импульса тела относительно центра масс, называемый собственным
моментом). Подставляя эти величины в (8.1.21) и (8.1.22), получим
N

&& = F ( R1 , R2 , R3 , ϕ , θ ,ψ ) = ∑ Fa ( R + ra′ ) ,
mR
a =1

N

N

a =1

a =1

(8.1.24)

&& ] + L&( C ) = ∑ [ R × Fa ] + ∑ [ ra′ × Fa ] .
m[ R& × R& ] + m[ R × R

С учётом того, что [ R& × R& ] = 0 и выполняется (8.1.24), уравнение (8.1.25)
принимает вид
N

L&( C ) = ∑ [ ra′ × Fa ] = M ( C ) .
a =1

(8.1.25)

В подвижной системе координат K ′ уравнения (8.1.24) и (8.1.25) записываются в проекциях на координатные оси
⎧ m ( v& ′ + 3 ε ω ′ v ′ ) = F ′( R ′, R ′ , R ′ , ϕ , θ ,ψ ) (i = 1, 2, 3)
∑ ijk j k
1
2
3
i
i
⎪
j , k =1
⎪⎪
. (8.1.26)
⎨ I 1ω& 1′ + ( I 3 − I 2 )ω 2′ω 3′ = M 1′
⎪ I 2ω& 2′ + ( I 1 − I 3 )ω 3′ω1′ = M 2′
⎪
⎪⎩ I 3ω& 3′ + ( I 2 − I 1 )ω1′ω 2′ = M 3′

Уравнения (8.1.26) называют уравнениями Эйлера.
263

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

8.2. Тензор инерции. Волчок с закреплённой точкой
Проекции собственного момент твёрдого тела
L( C ) = ∫ [ r ′ × [ ω × r ′]]dm

(8.2.1)

( dm = ρ (r ′)dV ′ − элемент массы твёрдого тела, ρ (r ′) − плотность вещества в точке r ′ , dV ′ − элемент объёма) в подвижной системе координат K ′ равны
3

3

j =1

j =1

Li′ = L( C ) ⋅ e i′ = ∫ ∑ (( r ′) 2 δ ij = − xi′x ′j )ω′j dm = ∑ I ij ω′j ,

(8.2.2)

3

где I ij = ∫ ∑ (( r ′) 2 δ ij = − xi′ x ′j )dm называют тензором моментов инерции
j =1

или просто тензором инерции. На рис. 8.3 приведены примеры моментов инерции ряда тел. Момент инерции относительно оси z, которая
Ось вращения

m

Ось вращения

m

l
1
I O = ml 2
3
а

Ось вращения

m

R

R

m

l

IO =

1
ml 2
12

IO =
в

б

1
mR 2
2

г

Рис. 8.3. Моменты инерции бесконечно тонкого стержня (а, б), диска (в) и цилиндра (г).

параллельна оси, проходящей через центр масс С и отстоящей от неё
на расстоянии d, равен по теореме Гюйгенса-Штейнера
I z = I C + md 2 .
(8.2.3)
В случае движения твёрдого тела с одной закреплённой точкой,
к которой приложена сила реакции, тело имеет три степени свободы.
В приближении однородного поля тяготения момент силы тяжести равен M = ∫ [ r ′ × g ]dm = m[ R′ × g ] . В системе координат K ′ с началом в неподвижной точке момент импульса твёрдого тела с закреплённой точкой равен
3

3

n =1

n , k =1

L = ∑ L(nO ) e ′n = ∑ I nk( O )ω k′ e ′n ,
264

(8.2.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

где I nk(O ) − тензор инерции в выбранной системе отсчёта. Подстановка
(8.2.4) в (8.1.22) с учётом (8.1.12) приводит к уравнению
3

3

k , p =1

k , p =1

L&(nO ) + ∑ ε nkp ω k′ L(pO ) = m ∑ ε nkp Rk′ g ′p .

(8.2.5)

Полная система уравнений должна содержать равенства (8.1.13-15),
которые связывают проекции угловой скорости в системе координат K ′ с углами Эйлера. В этой системе антисимметричный тензор
угловых скоростей имеет вид (8.1.10). Учитывая соотношения
3

3

3

p =1

k , p =1

n , k , p =1

∑ ε nkpε n′k ′p = δ nn′δ kk ′ − δ nk ′δ kn′ , ∑ ε nkpε n′kp = 2δ nn′ , ∑ ε nkpε nkp = 3 , (8.2.6)
3

найдём свёртку ∑ ε nkp Ω kν с (8.1.10)
k =1

3

3

k , p =1

k , p =1

∑ ε nkp Ω kνω ′p = ∑ ε nkp Ω kν

3
1 3
′
ε
ω
=
∑ pαβ αβ ∑ ωnk′ Ω kν =
2 α , β =1
k =1

3

3

m , k =1

m =1

& nm ΩTmk Ω kν = ∑ Ω
& nmδ mν = Ω
& nν .
= ∑Ω

(8.2.7)

3

Систему уравнений (8.2.7): Ω& nν = ∑ ε nkp Ω kνω ′p называют уравнениями
k , p =1

Пуассона.
Выберем систему K так, чтобы вектор ускорения свободного па3

дения g = − ge3 . В силу того, что e 3 = ∑ Ω γ 3 e γ′ , то g ′p = − gΩ p 3 . Следоваγ =1

тельно, полная система уравнений имеет вид
⎧ I ω& ′ + 3 ε ω ′ I ω ′ = − mg 3 ε R ′ Ω
∑ nkp k p 3
nkp k p
p
⎪⎪ n n k ∑
, p =1
k , p =1
.
⎨
3
& = ∑ ε Ω ω′
⎪Ω
⎪⎩ n 3 k , p =1 nkp k 3 p

(8.2.8)

Для решения системы (8.2.8) достаточно найти четыре независимых
интеграла движения*, из которых известны три интеграла, не содержащих в явном виде время. Умножим первое уравнение (8.2.8) на проекцию ωn′ и просуммируем результат по индексу n, с учётом второго
уравнения (8.2.8) получим
⎛ 3 I ω ′2 ⎞
n n ⎟
3
3
d ⎜∑
d
⎜ n=1
⎟ = −mg ∑ ε nkpωn′ Rk′ Ω p 3 = − ⎛⎜ mg ∑ Rk′ Ω k 3 ⎞⎟ .
dt ⎜ 2 ⎟
dt ⎝ k =1
n , k , p =1
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠

(8.2.9)

*Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твёрдого тела. – М.: Наука, 328 с. (1977).
265

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Таким образом, интеграл полной механической энергии E равен
3
1 3
2
′
E = ∑ I nωn + mg ∑ Rk′ Ω k 3 .
2 n=1
k =1

(8.2.10)

3

Чтобы не писать знак суммы (например, « ∑ »), А. Эйнштейн предk , p =1

ложил правило: если в математическом предложении какой-либо индекс повторяется дважды (его называют немым индексом) в каком-нибудь слагаемом, то по нему проводят суммирование при условии, что
не оговорено противоположное. Учитывая правило Эйнштейна выражение (8.2.10) записывают в виде
E=

1
I nωn′2 + mgRk′ Ω k 3 .
2

Используя правило Эйнштейна, найдём свёртки первого уравнения системы (8.2.8) с Ω n3 (проводится суммирование по индексу n),
второго − с I nωn′ , а затем сложим результаты, получим
& k 3 = −ε npmω ′p I mωm′ Ω n 3 + I k ωk′ ε kνµ Ων 3ω µ′ = 0 ,
I nω& n′ Ω n 3 + I k ωk′ Ω
т.е. выполняется сохранение момента импульса вдоль оси z
I k ω k′ Ω k 3 = L3 .
(8.2.11)
Третье условие для вращающегося твёрдого тела с закреплённой точкой находят путём свёртки второго уравнения системы (8.2.8) с Ω n3 ,
получают
Ω n 3Ω n 3 = 1 .
(8.2.12)
Рассмотрим частные случаи волчка с закреплённой точкой.
1. Случай Л. Эйлера (1758): g = 0 или R′ = 0 . Проведя свёртку первого
уравнения системы (8.2.8) с I nω n′ , получают интеграл ( I nωn′ ) 2 = L20 , который является следствием уравнения L& = 0 .
2. Случай Ж. Лагранжа (1775): симметричный волчок в поле тяжести.
Если I1 = I 2 = I > I3 , R1′ = R2′ = 0 , R3′ = l , тогда по первому уравнению системы (8.2.8) величина I 3ω& 3′ = 0 и
I 3 (ψ& + ϕ& cos θ ) = L3′ .

Учитывая соотношения (8.1.8) и (8.2.11), запишем
Ω13 = sin ψ sin θ , Ω 23 = cosψ sin θ , Ω 33 = cos θ
и подставим ωn′ из (8.1.13-15), найдём
266

(8.2.13)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Iϕ& sin 2 θ + I 3 (ψ& + ϕ& cos θ ) cos θ = L3 .

(8.2.14)

Из (8.2.13) и (8.2.14) следует, что
ϕ& =

⎛ 1 1 ⎞ L ′ − L3 u
L3 − L3′u
, ψ& = L3′ ⎜⎜ − ⎟⎟ + 3
,
2
2
I (1 − u )
I
I
I
(
1
−
u
)
⎝ 3
⎠

(8.2.15)

здесь u = cos θ .
Интеграл энергии (8.2.10) в этом случае равен
( L3′ ) 2
I &2
2
2
E = (θ + ϕ& sin θ ) +
+ mgl cos θ .
2
2I 3

(8.2.16)

Подстановка (8.2.15) в (8.2.16) приводит к соотношениям
2

( L3′ ) 2
2
⎛ L3 − L3′u ⎞
2
′
′
u& = F (u ) , F (u ) = ( E − mglu )(1 − u ) − ⎜
. (8.2.17)
⎟ , E =E−
2I3
I
I
⎝
⎠
2

Используя начальные условия
⎧ϕ ( 0 ) = ψ ( 0 ) = 0, θ ( 0 ) = θ 0
,
(8.2.18)
⎨
&(0) = 0
&
&
&
&
ϕ
ϕ
ψ
ψ
θ
(
0
)
=
,
(
0
)
=
,
⎩
0
0
найдём, что L1′(0) = 0, L2′ (0) = Iω02 , L3′ (0) = I 3ω03 . Положив L2′ (0) = L0 sin γ ,

L3′ (0) = L0 cos γ , находят интеграл ( I nωn′ ) 2 = L20 и угол γ . Тогда

L3 = L0 cos(θ − γ ) , E ′ = mgl cos θ 0 +

Введём обозначение ε =

( L0 sin γ ) 2
.
2I

(8.2.19)

2 I mgl
и представим функцию F (u ) в виде
L20
2

⎛L ⎞
F (u ) = −⎜ 0 ⎟ (u − u10 )[u − u 20 + ε (1 − u 2 )] ,
⎝ I ⎠

(8.2.20)

где u10 = cos θ 0 , u20 = cos(θ 0 − 2γ ) . Из (8.2.20) видно, что функция F (u ) обращается в нуль в трёх точках
u1 = u10 , u 2, 3 =

1 m 1 − 4ε (u 20 − ε )
, 1 − 4ε (u20 − ε ) ≥ 0 .
2ε

(8.2.21)

Тогда первое уравнение (8.2.17) принимает вид
2

⎛L ⎞
u& = ⎜ 0 ⎟ ε (u − u1 )(u − u 2 )(u − u3 ) .
⎝ I ⎠
2

Вводя новую переменную w =
метры k =

(8.2.22)

u − u1
, а также постоянные параu 2 − u1

L
u 2 − u1
и p = 0 ε (u3 − u1 ) , запишем (8.2.22) в виде уравнеI
u3 − u1
267

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

ния
w& 2 = p 2 (1 − w 2 )(1 − k 2 w 2 ) ,

(8.2.23)

решением которого является эллиптический синус w(t ) = sn ⎛⎜

pt ⎞
⎟ (см.
⎝ 2 ⎠

также пункт 6.2). Полученное решение содержит как частные случаи
описание движений свободного ( g = 0 ⇒ ε = 0 ), спящего ( γ = θ 0 = 0 ) и
быстрого ( ε << 1 ) волчка. В случае быстрого волчка наблюдаются нутация и прецессия вокруг вертикальной оси. Наличие трения в точке
закрепления приводит к быстрому затуханию нутаций и волчок движется со средней скоростью прецессии ϕ& =

mgl
. Это движение волчL0

ка называют псевдорегулярной прецессией.
3. Случай С. Ковалевской (1888): I1 = I 2 = 2I 3 , R1′ ≠ 0 , R2′ = R3′ = 0 . Система
уравнений (8.2.8) принимает вид
2ω& 1′ − ω 2′ ω 3′ = 0 , 2ω& 2′ − ω 1′ω 3′ = ξ Ω 33 , ω& 3′ = − ξ Ω 23 ,
(8.2.24)
& 13 = ω 3′ Ω 23 − ω 2′ Ω 33 , Ω
& 23 = ω 1′Ω 33 − ω 3′ Ω 13 , Ω
& 33 = ω 2′ Ω 13 − ω 1′Ω 23 , (8.2.25)
Ω
где ξ =

mg R1′
. Из (8.2.24) с учётом (8.2.25) получаем
I3
⎧d
2
2
⎪⎪ dt [( ω 1′ ) − (ω 2′ ) − ξ Ω 13 ] = ω 3′ ( 2 ω 1′ω 2′ − ξ Ω 23 )
.
⎨
d
2
2
⎪ ( 2 ω 1′ω 2′ − ξ Ω 23 ) = − ω 3′ [( ω 1′ ) − (ω 2′ ) − ξ Ω 13 ]
⎪⎩ dt

(8.2.26)

Таким образом, из (8.2.26) получаем интеграл движения
[( ω 1′ ) 2 − (ω 2′ ) 2 − ξ Ω 13 ] 2 + ( 2 ω 1′ω 2′ − ξ Ω 23 ) 2 = const .

(8.2.27)
В случаях Лагранжа и Ковалевской главные моменты инерции
твёрдого тела I1 = I 2 ≠ I 3 . Такое тело, вращающееся вокруг оси симметрии, закреплённой на неподвижном или движущемся объекте называют гироскопом. Среди технических устройств присутствует достаточно много гироскопов: турбины на теплоходах, колёса автомашин и вагонов, винты самолётов и т.д.

8.3. Лагранжиан вращающегося твёрдого тела
В подвижной системе отсчёта K ′ , начало которой совпадает с
268

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

центром масс, выберем в качестве обобщённых координат радиус-вектор центра масс R и три угла Эйлера αn. По формуле (8.2.10) кинетическая энергия является функцией указанных координат и скоростей изменения углов Эйлера. Потенциальная энергия волчка зависит только от обобщённых координат R и αn,. Например, при взаимодействии
тела с однородным шаром с массой M потенциальная энергия равна
U ( R , α n ) = −GM ∫

dm
,
R + xi′e i′

(8.3.1)

где G − постоянная взаимодействия. Таким образом, лагранжиан волчка Λ( R,α n , R& ,α& n ) равен
1
m
(8.3.2)
Λ ( R, α n , R& , α& n ) = R& 2 + I ik ωi′ωk′ − U ( R, α n ) .
2
2
При совмещении ортов системы K ′ с главными осями момента инер-

ции (8.3.2) имеет вид
1
m
Λ( R, α n , R& , α& n ) = R& 2 + I k (ωk′ ) 2 − U ( R, α n ) .
2
2

(8.3.3)

Уравнения Лагранжа образуют систему шести связанных уравнений
∂Λ
d ∂Λ ∂Λ d ∂Λ
=
=
,
.
dt ∂R& ∂R dt ∂α& n ∂α n

Обобщённые импульсы

(8.3.4)

∂Λ
∂T
1
m
=
( T = R& 2 + I k (ωk′ ) 2 − кинети∂α& n ∂α& n
2
2

ческая энергия вращающегося твёрдого тела). Так как
ω k′ = ω ⋅ e ′k .

(8.3.5)

Если ввести орт eξ = A2 n e n ( A2 n − компоненты матрицы преобразования
A из пункта 8.1), направленный по линии узлов ξ (см. рис. 8.2), то угловая скорость
ω = ϕ&e 3 + θ&e ξ + ψ&e 3′ .
(8.3.6)
Подстановка (8.3.6) в (8.3.5) приводит к выражению
ω k′ = ω ⋅ e k′ = ϕ& ( e 3 ⋅ e k′ ) + θ& ( e ξ ⋅ e k′ ) + ψ& ( e 3′ ⋅ e k′ ) .

(8.3.7)

Следовательно, обобщённые импульсы
∂T
∂T
∂T ∂T ∂ωk′
= L ⋅ eξ ,
= L ⋅ e3′ (8.3.8)
=
= I k ωk′ (e3 ⋅ ek′ ) = Lk′ (e3 ⋅ ek′ ) = L ⋅ e3 ,
∂θ&
∂ψ&
∂ϕ& ∂ωk′ ∂ϕ&

являются проекциями момента импульса на оси с ортами e 3 , e ξ и e 3′ .
Приращение потенциальной энергии при бесконечно малом по269

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

вороте твёрдого тела равно ∆U ( R,α n ) = ∑
a

∂U
∆ra′ , а собственный момент
∂ra′

⎡ ∂U
⎤
× ra′ ⎥ . Так как
a ⎣ ∂ra′
⎦
∆ra′ = [ω × ra′ ]∆t = [e3 × ra′ ]∆ϕ + [eξ × ra′ ]∆θ + [e3′ × ra′ ]∆ψ ,

силы твёрдого тела M ( C ) = − ∑ ⎢

то − ∆U = M (C ) ⋅ (e3∆ϕ + eξ ∆θ + e3′ ∆ψ ) . Следовательно, производные потенциальной энергии по углам Эйлера
−

∂U
∂U
∂U
= M (C ) ⋅ eξ , −
= M ( C ) ⋅ e3 , −
= M ( C ) ⋅ e3′ .
∂θ
∂ϕ
∂ψ

(8.3.9)

∂e′n
∂en′
∂e′n
= [eξ × e ′n ] ,
= [e3 × e′n ] ,
= [e3′ × e′n ] ,
∂θ
∂ϕ
∂ψ

(8.3.10)

Так как

то

∂ω n′
= ϕ& e3 ⋅ [e3′ × e′n ] + θ& eξ ⋅ [e3′ × e′n ] + ψ& e3′ ⋅ [e3′ × e ′n ] = ω ⋅ [e3′ × e ′n ] = e′n ⋅ [ω × e3′ ] ,
∂ψ
∂ω n′
∂T
= I nω n′
= I nω n′ e n′ ⋅ [ω × e3′ ] = L ⋅ [ω × e3′ ] = −[ω × L] ⋅ e3′ . (8.3.11)
∂ψ
∂ψ

Таким образом, имеем
L& ⋅ e 3′ = M ( C ) ⋅ e 3′ → L& 3′ + (ω1′L2′ − ω1′L`′) = M 3′ ( C ) .

(8.3.12)

Гамильтониан вращающегося твёрдого тела
H 0 = R&

∂Λ
∂Λ
+ α& n
− Λ.
∂R&
∂α& n

(8.3.13)

С учётом (8.3.7) получаем
α& n

∂T
∂Λ
=
{ϕ& ( e 3 ⋅ e ′n ) + θ& ( e 3 ⋅ e ′n ) + ψ& ( e 3 ⋅ e ′n )} =
′
∂ α& n ∂ ω n
=

∂T
∂T
( ω ⋅ e n′ ) = ω n′
.
∂ ω n′
∂ ω n′

(8.3.14)

Отсюда следует, что
H0 =

m & 2 Ik
R + (ωk′ ) 2 + U ( R, α n ) .
2
2

(8.3.15)

В частности, для симметричного волчка (случай Лагранжа) функция
(8.3.2) имеет вид
I
I
Λ = (θ& 2 + ϕ& 2 sin 2 θ ) + 3 (ψ& + ϕ& cos θ ) 2 − mgl cos θ .
2
2

(8.3.16)

Лагранжиан (8.3.16) позволяет найти 3 интеграла движения: 2 обобщённых импульсы и полную механическую энергия твёрдого тела.
270

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

8.4. Явление удара. Теорема Карно
Обычное ускоренное движение твёрдого тела сопровождается
непрерывным изменением направлений и модулей скоростей его точек. Однако возможны процессы, при которых за бесконечно малый
промежуток времени происходит скачкообразное изменение направления и модуля скорости точек тела. Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени изменяются на конечную величину
скорости точек твёрдого тела, называют ударом. Примерами этого феномена являются: удар теннисиста или футболиста по мячу, удар игроком кием по шару в биллиарде, удар кузнеца молотом по заготовке
на наковальне и ряд других случаев. Согласно (1.8.7) изменение конечного импульса за малое время удара приводит к возникновению очень
больших сил, которые называют мгновенными или ударными.
Пусть материальная точка М с массой m (рис. 8.4) движется под
действием равнодействующей F k прилоМатериальная
женных к ней сил. В момент времени t1 на
точка
F
точку М, находившуюся в положении В,
F
подействовала ударная сила F , прекратившая своё действие на точку в момент времени t2 = t1 + τ , где τ – время удара. Изменение импульса точки
Изменение скорости
F
r
r
после удара
m v 2 − m v1 = Fτ + Fkτ .
(8.4.1)
Рис. 8.4. Влияние удара на тра- Так как время удара τ является очень маекторию движения материаль- ленькой величиной, а сила F – большой,
ной точки.
то в правой части равенства (8.4.1) вторым
слагаемым можно пренебречь. Следовательно, изменение скорости
k

k

r r r Fτ
∆ v = v 2 − v1 =
.
m

(8.4.2)

В положении В происходит не только скачок модуля скорости перемещения материальной точки, но и изменяется её направление движения (траектория ВD, см. рис. 8.4).
271

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Таким образом, делаем следующие выводы:
– во время удара действием других сил, кроме ударных, можно пренебрегать;
– за время удара можно не учитывать перемещение материальной точки;
– за время удара мгновенная сила скачкообразно изменяет вектор скорости материальной точки.
Рассмотрим удар шара с массой m о неподвижную массивную
поверхность S. Шар падает из точки А, расположенной на расстоянии
h0 от плоскости (рис. 8.5), вдоль нормали к поверхности. После столкновения с поверхностью в точке В шар отНачальное
положение
ражается от неё и поднимается на высоту
A
Конечное
h1 в точку С. При ударе шар деформируетположение
C
r
v
ся
до
тех
пор,
пока
его
скорость
не стаh0
нет равной нулю. Бесконечно малый проh1
r
u
межуток времени, в течение которого проB
S
исходит деформация, обозначим через τ 1 .
r
Удар о поверхность v
Начальная кинетическая энергия шара пеРис. 8.5. Удар шара о неподвиж- реходит в потенциальную энергию сил упную поверхность.
ругости деформированного тела и частично расходуется на увеличение температуры тела. За очень маленький промежуток времени τ 2 силы упругости
частично восстанавливают первоначальную форму шара.
Затраты энергии на деформирование и нагревание шара не позволяют первоначальной кинетической энергии шара достигнуть исходного значения. Вследствие этого, шар отражается от поверхности
r r
со скоростью u < v , поэтому он поднимается на высоту h1 < h0 . Отношение модуля скорости шара в конце удара о неподвижную поверхность к модулю его скорости в начале удара называют коэффициентом восстановления при ударе
r
u
0 ≤ k = r ≤ 1.
v

(8.4.3)

В случае неупругого удара коэффициент восстановления k = 0 , а для
абсолютно упругого удара − k = 1 . Величина коэффициента восстанов272

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

ления зависит от материала соударяющихся тел, их формы и соотношения масс.
Экспериментально коэффициент восстановления определяют путём измерения расстояний h0 и h1 (рис. 8.5). Эти величины связаны с
соответствующими скоростями формулами
r
r
v = 2 gh 0 , u = 2 gh 1 .
(8.4.4)
Следовательно,

r
u
k = r =
v

h1
.
h0

(8.4.5)

15
, для
16
8
5
1
слоновой кости − k = , для стали − k = , для дерева − k = .
9
9
2
r
Если шар падает со скоростью v на неподвижную гладкую по-

Например, для стекла коэффициент восстановления равен k =

верхность под углом α, отличном от прямого угла, то шар отражается
от поверхности под углом β. Рассмотрим связь между этими углами в
плоскости, в которой лежат нормаль к поверхности и вектор скорости
r
r
v . Спроектируем вектор скорости v на нормаль и перпендикулярную
к ней прямую Oτ в этой плоскости. Реакция поверхности на упавший
шар при пренебрежении трением направлена по нормали и её проекция на прямую Oτ равна нулю. Следовательно, uτ = vτ , а по (8.4.5) −
u n = k vn . Таким образом, модуль скорости шара после удара
u = uτ2 + u n2 = vτ2 + k 2 vn2 = v sin2 α + k 2 cos2 α .

(8.4.6)

Связь между углами падения α и отражения β определяется формулами
tg β =

uτ
vτ
1
=
= tg α .
un
k vn
k

(8.4.7)

Так как k < 1, то tg β > tg α, т.е. угол отражения больше угла падения,
углы равны только в случае абсолютно упругого удара, когда k = 1.
В заключение вычислим потерю кинетической энергии при упругом центральном соударении (столкновение тел происходит по прямой соединяющей их центры масс) двух тел с массами m1 и m2, которые до удара двигались со скоростями v1 и v2, а после удара – со скоростями u1 и u2. Будем считать, что тела имеют одинаковый коэффи273

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

циент восстановления k =

u 2 − u1
. Начальная кинетическая энергия тел
v1 − v2

равна
m1 v12 m2 v 22
+
,
T0 =
2
2

(8.4.8)

m1 u12 m2 u 22
+
.
T=
2
2

(8.4.9)

а в конце удара −

Используя закон сохранения импульса, получим
u 1 = (1 + k ) u − k v 1 , u 2 = (1 + k ) u − k v 2 ,
где u =

(8.4.10)

m1 v1 + m2 v 2
− скорость движения центра масс системы из двух
m1 + m2

тел. Потеря кинетической энергии системы из двух тел за время удара
T0 − T =

здесь µ =

µ (1 − k 2 )(v1 − v 2 ) 2
2

,

(8.4.11)

m1m2
− приведённая масса. Абсолютно упругое соудареm1 + m2

ние тел (k = 1) характеризуется отсутствием энергетических потерь на
их деформирование и нагрев. При k < 1 величина (8.4.11) положительна, т.е. часть кинетической энергии переходит в упругую и тепловую
энергию системы из двух тел.
Если ввести в рассмотрение кинетическую энергию, соответствующую потерянным скоростям тел v1 − u1 и v2 − u2, т.е.
m1 (v1 − u1 ) 2 m2 (v 2 − u 2 ) 2
+
,
T∗ =
2
2

(8.4.12)

то (8.4.11) можно переписать в виде
T0 − T =

1− k
T∗ .
1+ k

(8.4.13)

При k = 0 (неупругое соударение двух тел) получаем T0 − T = T∗ , что отображает теорему Карно: кинетическая энергия, потерянная телами при
неупругом ударе, равна кинетической энергии тел, соответствующей
их потерянным скоростям. Если второе тело да удара находилось в
покое, то потеря кинетической энергии равна
T0 − T =

m2
T0 .
m1 + m2
274

(8.4.14)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Из (8.4.14) видно, что значительное превышение массы второго тела
над массой первого тела ( m1 << m2 ), то вся кинетическая энергия первого тела расходуется на деформацию тел. Именно по этой причине наковальни в кузнецах делали значительно массивнее используемых молотов.

8.5. Идеально упругое тело. Напряжения и деформации
Твёрдые тела обладают бóлее разнообразными свойствами, чем
жидкости и газы. Математическое моделирование механического состояния твёрдого тела связано с поиском решения системы дифференциальных уравнений, правдоподобно описывающих упругое поведение изучаемого объекта. Модель должна отображать изменение формы твёрдого тела, его поведение после снятия напряжений, гистерезис
(динамика возвращения твёрдого тела в исходное состояние и наличие
“памяти” о воздействии внешних сил), ползучесть и пластическое течение материала.
В теории упругости простейшей иммитацией является идеальноупругое тело, для которого линейная связь между напряжением и деформацией определяется законом Гука. Отметим, что этот закон имеет место только в области достаточно малых напряжений и деформаций. За пределами действия закона Гука используют модели идеальнопластического и упруго-пластического тел. Различия между этими моделями состоят в следующем:
1) идеально-упругое тело характеризуется обратимой связью между
приложенными напряжениями и возникающими деформациями;
2) в случае идеально-пластического тела одному и тому же напряжению могут соответствовать различные деформации, или наоборот –
различные прикладываемые напряжения могут приводить к одной и
той же деформации; отличительными чертами такого тела являются
наличие предела текучести и отсутствие вязкости;
3) упруго-пластическая модель твёрдого тела характеризуется возможностью появления петли гистерезиса, т.е. эта модель описывает
простые среды с эффектом „памяти”.
275

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Рассмотрим упругое тело, которое не находится под воздействием внешних сил. Атомы в таком теле занимают равновесные положения. При наложении внешнего воздействия атомы сместятся из первоначального положения, при этом их взаимное расположение изменится. Если внешнее воздействие мало, то после его снятия атомы вернутся в исходное положение, аналогично тому, как тело на предварительно растянутой пружине возвращается в положение равновесия (см.,
например, рис. 3.12). Внешнюю силу F , отнесённую к единице площади поверхности S твёрдого тела, называют напряжением
r

ϕ=

F
.
S

(8.5.1)

Деформации, при которых атомы твёрдого тела возвращаются в исходное положение после снятия внешнего напряжения, называют упругими (обратимыми).
В теории идеально-упругого тела игнорируют атомную структуру
твёрдого тела и рассматривают его, как непрерывную, анизотропную
(имеющую по различным направлениям разные свойства) и упругую
среду, для которой деформации являются обратимыми. В выбранной
декартовой системе координат выделим внутри упругого тела точку,
которая характеризуется радиус-вектором r , и малую площадку ∆S ,
содержащую эту точку. Площадку охарактеризуем нормальным вектором n с единичной длиной n =1. Обозначим через ∆ f (n) силу,
дейст-вующую на площадку. Тогда в пределе ∆S → 0 , отношение
прираще-ния силы к приращению площади даст вектор напряжений
r (n)

ϕ

∆f ( n )
= lim
.
∆S → 0 ∆ S

(8.5.2)

в выбранной точке идеально-упругого тела. Если вектор напряжения
r
ϕ ( n ) не зависит от выбранной внутри тела точки r , то напряжения называют однородными.
Вектор напряжений можно определить в любой точке среды для
любой площадки, если известны компоненты вектора напряжений на
площадках, которые перпендикулярны координатным осям. Связь вектора напряжения с проекциями нормального вектора n имеет вид
ϕ (i n ) = Tij n j ,
(8.5.3)
276

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

где применяется правило Эйнштейна, а Tij − тензор напряжений*. Согласно принятым в теории упругости обозначениям, будем именовать
диагональные компоненты буквой σ , а все остальные – буквой τ , т.е.
тензор напряжений имеет вид (рис. 8.6)
⎛ σ1 τ 12 τ 13 ⎞
⎜
⎟
T = ⎜ τ21 σ 2 τ23 ⎟ .
(8.5.4)
⎜τ τ
⎟
⎝ 31 32 σ3 ⎠
Силы, которые действуют на противопоz
σ
3
Элементарный
ложные грани куба, отличаются от сил,
куб
изображённых на рис. 8.6, только направτ 23
τ 13 τ 32
лением.
τ 31
σ2
Из рис. 8.6 видно, что компоненты
y
τ 21 τ 12
тензора напряжений σ i , стоящие на главσ1
ной диагонали, определяют силы, котоx
рые действуют в направлении координатРис. 8.6. Компоненты тензора на- ных осей, т.е. являются нормальными сопряжений.
ставляющими тензора напряжений. Если
σ i > 0 , то силы стремятся растянуть куб,
в противоположном случае – сжать. Остальные компоненты тензора
напряжений задают силы, которые действуют в плоскости соответствующей грани куба, т.е. они определяют тангенциальные составляющие тензора напряжений. Эти силы, действуя на противоположные
грани куба, пытаются повернуть куб вокруг соответствующей координатной оси и определяют скалывающие напряжения.
Покажем, что тензор напряжений является симметричным тензором второго ранга. Пара сил, действующих на противоположные плоскости элементарного куба (рис. 8.6) создаёт вращательный момент относительно центра куба, который равен сумме моментов, вычисленных для всех граней куба, т.е.
r(n )
r(n )
r (n )
M = M ( x) + M ( y) + M ( z ) = [e1 × ϕ 1 ]dV + [e2 × ϕ 2 ]dV + [e3 × ϕ 3 ]dV . (8.5.5)
*Полученное соотношение между вектором напряжений и тензором напряжений определяет
линейную теорию упругости и показывает, что вектор напряжений в случае однородных напряжений является нечётной функцией нормального орта выбранной элементарной площадки.
277

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Так как элементарный куб находится в равновесии, то сумма найденных моментов должна быть равна нулю, т.е.
r (n )
r (n )
r (n )
([e1 × ϕ 1 ] + [e2 × ϕ 2 ] + [e3 × ϕ 3 ])dV = 0.
(8.5.6)
Используя выражения для векторов напряжения через компоненты
r (n )
r (n )
r (n )
тензора напряжений ( ϕ 1 − первый, ϕ 2 − второй, ϕ 3 − третий столбец матрицы (8.5.4)) и вычисляя векторные произведения, получим
(τ 23 − τ 32 ) e1 + (τ 31 − τ 13 ) e2 + (τ 12 − τ 21 ) e3 = 0 .
(8.5.7)
В силу линейной независимости ортов осей, находим, что выражения
в круглых скобках обращаются в нуль, т.е.
τ21 = τ12 , τ 23 = τ 32 , τ 31 = τ13 .
(8.5.8)
Отсюда следует, что тензор напряжений является симметричным тензором второго ранга.
Напряжения вызывают смещение точек непрерывной упругой среды. Поэтому необходимо сравнить положение, например, точки A , которое до приложения напряжений характеризуется радиус-вектором
r , и положение той же точки, которое после приложения внешних сил
характеризуется радиус-вектором r' . Вектор u (r ) = r' − r называют
вектором смещения* (или вектором деформации) точки A , а функция u (r ) задаёт поле смещений** в твёрдом теле (см. также пункт 7.2).
При достаточно малых значениях dr приращение вектора смещения ∆ u = u (r + dr ) − u (r ) приближённо равно его дифференциалу, т.е.
∆ u i ≈ du i ( r ) =

∂u i
∂x

dx +

∂u i
∂y

dy +

∂u i
∂z

dz =

∂u i
∂x j

dx j = eij dx j . (8.5.9)

Величины eij образуют тензор второго ранга (тензор дисторсии), описывающий не только деформации тела (симметричная часть этого тензора), но и жёсткое вращение (антисимметричная часть этого тензора),
*В теории упругости ограничиваются случаем малых деформаций, когда изменение расстояния между выделенными точками значительно меньше самого расстояния между этими точками. Для того чтобы деформация была малой величиной, необходимо и достаточно, чтобы частные производные от проекций вектора деформаций ∂ui / ∂x j были малыми величинами. Это
означает, что вектор смещений u(r ) должен плавно меняться от точки к точке.
**Не всякое смещение точек тела определяет собственно деформацию тела. Если функция
u(r ) постоянна, то каждая точка тела смещается на постоянную величину, тело сдвигается как
целое (жёсткое смещение), т.е. тело осуществляет поступательное движение и вращение.
278

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

когда расстояние между точками не изменяется. Тензор (7.2.1)
1
1 ⎛ ∂u ∂u ⎞
εij = (eij + e ji ) = ⎜ i + j ⎟ .
2
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠

(8.5.10)

называют тензором деформаций. Так как при перестановке индексов
i и j местами тензор деформации не изменяется, т.е. εij = ε ji , то тензор
деформаций является симметричным тензором второго ранга. Физический смысл компонентов тензора деформации состоит в следующем:
– угловая деформация в любой плоскости, перпендикулярной к координатной оси, определяется тангенциальными составляющими тензора деформаций;
– линейная деформация по любому направлению i определяется диагональным компонентом тензора деформаций ε ii .

8.6. Обобщённый закон Гука. Волны в упругой среде
Если деформированное тело находится в равновесном состоянии,
то действие внешних сил уравновешивается внутренними силами напряжений. Уменьшение внешнего воздействия приводит к снижению
внутренних деформаций. Такое поведение упругодеформированного
тела указывает на существование связи между напряжениями и деформациями, которая зависит от типа тела и должна быть определена из
опыта. Эксперименты показали, что для большинства твёрдых тел при
их малых деформациях выполняется обобщённый закон Гука: тензоры напряжений и деформаций связаны между собой линейной зависимостью, т.е.
T ij = c ijkl ε kl ,
(8.6.1)
где тензор четвёртого ранга cijkl называют тензором модулей упругости.
Тензор модулей упругости имеет 81 компоненту. Если учесть симметрию тензоров напряжений и деформаций, то это приведёт к соотношениям cijkl = c jikl = cijlk , т.е. рассматриваемый тензор симметричен
по первой и второй парам индексов. В связи с этим можно обозначить
пары индексов: xx = 1, yy = 2 , zz = 3, xy = yx = 4 , yz = zy = 5 и zx = xz = 6 .
279

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Тогда тензоры напряжений и деформаций можно записать в виде матриц-столбцов вида (6 × 1) , а тензор модулей упругости – в виде матрицы вида (6 × 6) . В таких обозначениях обобщённый закон Гука запишется в виде: Tα = cαβ ε β . Из приведенной формы записи обобщённого
закона Гука видно, что из 81 компоненты тензора модулей упругости
независимыми являются только 36. В выбранных обозначениях выражение для внутренней энергии запишется в виде: dE = cαβ ε β δεα . Так как
внутренняя энергия не должна изменяться при обмене индексов α и β
местами, то тензор модулей упругости должен быть симметричен по
указанным индексам, что снижает количество независимых компонентов до 21. Свойства симметрии кристаллов приводят к тому, что некоторые компоненты тензора модулей упругости будут равны нулю, а
другие компоненты будут связаны между собой определёнными соотношениями, что уменьшает число независимых компонентов. Например, для кристаллов гексагональной системы число таких величин
равно 5, а для кристаллов кубической системы – 3. Кристаллы гексагональной и кубической систем присущи большинству металлов.
Для изотропной среды кубической системы число независимых
компонентов уменьшается до двух. Для таких сред внутренняя энергия системы определяется формулой
3
λ ⎛ 3 ⎞2
(8.6.2)
E = E0 + ⎜ ∑ ε ii ⎟ + µ ∑ ε ij2 ,
2 ⎝ i =1

⎠

i , j =1

где λ = c12 , µ = c11 − c12 – коэффициенты Ламе*. Вычисляя частные про2

изводные от выражения для внутренней энергии по компонентам тензора деформаций, найдём соотношения:
T11 = λ I1 + 2 µ ε 11 ; T12 = 2 µ ε 12
T13 = 2 µ ε 13 ;
T21 = T12 ;
T22 = λ I1 + 2 µ ε 22 ; T23 = 2 µ ε 23 ; (8.6.3)
T31 = T13 ;
T32 = T23 ;
T33 = λ I1 + 2 µ ε 33 ,
где I1 = Sp(E) = ε11 + ε 22 + ε33 – след тензора деформаций (линейный инва*Если металл имеет поликристаллическое строение, а возникающие деформации значительно
превышают наибольший размер отдельного кристалла, то металл считают изотропной средой,
которая характеризуется двумя независимыми модулями упругости, т.е. коэффициентами
Ламе.
280

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

риант).
В качестве примера рассмотрим одноосное растяжение цилиндрического стержня, расположенного вдоль оси Oz . К его концам приложено усилие T33 = σ > 0 , т.е. тензор напряжений имеет вид
⎛ 0 0 0⎞
⎜
⎟
T = ⎜ 0 0 0 ⎟.
⎜ 0 0 σ⎟
⎝
⎠

(8.6.4)

Боковая поверхность стержня не подвергается действию напряжений,
следовательно, из соотношений (8.6.3) получаем:
(λ + µ )σ ; ε = ε = ε = 0 . (8.6.5)
λσ
ε 11 = ε 22 = −
; ε 33 =
13
23
2 µ (3λ + 2 µ )
µ (3λ + 2 µ ) 12
λ
µ (3λ + 2µ )
Введём в рассмотрение величины E =
иη=
, тогда
λ+µ
2 (λ + µ )
первые два соотношения можно переписать в виде:
ε 11 = ε 22 = −η ε 33 , σ = Eε 33 .
(8.6.6)
Первое равенство определяет отношение относительного поперечного сжатия стержня ε 11 к относительному поперечному растяжению
стержня ε 33 вдоль оси Oz , т.е.
η =−

ε 11 ,
ε 33

(8.6.7)

где величину η называют коэффициентом Пуассона. Во втором равенстве компонента тензора деформаций ε 33 определяет относительное удлинение стержня вдоль оси Oz , т.е. ε33 =

∆l
, где ∆ l – удлинение
l0

стержня, l0 – первоначальная длина стержня. В силу того, что σ =

F
,
S

окончательно получим соотношение ( E − модуль Юнга)
F
∆l
=E ,
S
l0

(8.6.8)

которое называют законом Гука.
Величину v(t, r ) =

du(t, r )
называют скоростью деформации твёрdt

дого тела. Субстанциональная производная от этой скорости вычисляется по формуле (7.1.1)
281

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

∂v
d v ∂v ⎛ d r ∂ ⎞
≡
+ ⎜ ⋅ ⎟v =
+ (v ⋅ ∇ )v .
∂t
dt ∂t ⎝ dt ∂r ⎠

(8.6.9)

Вследствие малости смещений скорость деформации и ускорение в
данной точке также малы, и в выражении ускорения (8.6.9) вторым
слагаемым можно пренебречь, т.е. считать, что
∂u ∂v ∂ 2 u
=
v=
,
.
∂t ∂t ∂t 2

(8.6.10)

Выделим в упругодеформированном твёрдом теле бесконечно
малый параллелепипед, стороны которого параллельны координатным
осям в выбранной декартовой системе координат. Определим сумму
всех сил внутренних напряжений, действующих на этот элементарный
объём вдоль оси Ox . В общем случае неоднородно напряжённого состояния на противоположных гранях параллелепипеда компоненты тензора напряжений будут иметь различные значения. Компоненты тензора напряжений Ti1 определяют силы, действующие на грани, перпендикулярные к оси Ox . При изменении координаты x1 на величину dx1
они изменятся и будут равны Ti1 +

∂Ti1
dx1 . Аналогичные изменения на∂x1

блюдаются и на гранях, которые перпендикулярны к двум другим координатным осям: Ti 2 +

∂ Ti 2
∂ Ti 3
dx 2 и Ti 3 +
dx 3 . Складывая составля∂x2
∂ x3

ющие сил внутренних напряжений, действующих на элемент объёма
вдоль координатной оси i , получим Fi dV =

∂ Tij
∂x j

dV . Следовательно,

сила F внутренних напряжений, отнесённая к единице объёма, имеет
проекции Fi =

∂Tij
∂x j

. Если на тело действует объёмная сила FV , отнесён-

ная к единице объёма, то уравнение движения принимает вид
ρ

∂ 2u i
∂t

2

=

∂Tij
∂x j

+ FV i ,

(8.6.11)

где ρ – равновесная плотность тела. В частном случае, когда объёмная сила является силой тяжести FV i = ρ gi ( g i – проекции ускорения
свободного падения), уравнение движения принимает вид
282

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

ρ

∂ 2u i
∂t 2

=

∂ Tij
∂x j

+ ρg i .

(8.6.12)

В случае статического равновесия при отсутствии объёмных сил уравнение движения приводится к виду

∂Tij
∂x j

= 0.

Для изотропной среды число модулей упругости уменьшается
до двух, поэтому тензор напряжений записывают в виде
1
⎛
⎞
Tij = 2 µ ⎜ ε ij − ε kk δ ij ⎟ + kε kk δ ij ,
3
⎝
⎠

(8.6.13)

2
3

здесь k = λ + µ , λ и µ – коэффициенты Ламе. Коэффициент µ называют модулем сдвига, а коэффициент k – модулем объёмного сжатия.
С учётом определений тензора деформаций (8.5.10) и тензора напряжений (8.6.13) уравнение (8.6.12) переходит в равенство
ρ

∂ 2u i
∂t 2

⎛ ∂
∂ ∂u k
= (λ + µ )
+ µ ⎜⎜
∂ xi ∂ x k
⎝ ∂xk

2

⎞
⎟⎟ u i + ρg i ,
⎠

(8.6.12)

которое в векторной форме имеет вид
∂ 2u
ρ 2 = ( λ + µ )∇ (div u ) + µ ∇ 2 u + ρ g .
∂t

(8.6.13)

Рассмотрим распространение в упругой среде адиабатических упругих
волн при отсутствии внешних объёмных сил ( g = 0 ). Решение уравнения (8.6.13) будем искать в виде суммы двух функций u = u1 + u2 , первая из которых удовлетворяет условию потенциальности
rot u1 = 0 ,

(8.6.14)

а вторая – условию вихреобразности
div u2 = 0 .

(8.6.15)

Применив к уравнению (8.6.13) операцию дивергенции с учётом оговоренных предположений, получим
⎛ ∂ 2 u1
⎞
div ⎜⎜ ρ 2 − c12 ∇ 2 u1 ⎟⎟ = 0 ,
⎝ ∂t
⎠

где c12 =

(8.6.16)

λ + 2µ
. Аналогичное применение к уравнению (8.6.13) операρ

ции ротор приводит к соотношению
283

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

⎛ ∂ 2 u2
⎞
− c 22 ∇ 2 u 2 ⎟⎟ = 0 ,
rot ⎜⎜ ρ
2
⎝ ∂t
⎠

здесь c22 =

(8.6.17)

µ
. Уравнения (8.6.16) и (8.6.17) выполняются, если
ρ
ρ

∂ 2 u1
∂ 2 u2
2 2
−
c
∇
u
=
0
,
ρ
− c22∇ 2 u2 = 0 .
1
1
2
2
∂t
∂t

(8.6.18)

Следовательно, существует решение уравнения (8.6.13) при g = 0 в виде суперпозиции продольных волн u1 , которые удовлетворяют первому уравнению (8.6.18) и распространяются со скоростью c1 =

λ + 2µ
,
ρ

и поперечных волн u2 , удовлетворяющих второму уравнению (8.6.18)
и распространяющихся со скоростью c2 =

µ
.
ρ

8.7. Элементы электромеханики
Отклик отдельных жидких и твёрдых тел (металлические проводники, полуповодники, диэлектрики, магнетики и другие) на воздействие из внешней среды электрическим или магнитным полями проявляется в виде протекания тока, возникновения связанных зарядов, а
также дипольного и магнитного моментов. Внутри жидких и твёрдых
тел возникают электромагнитные силы, которые позволяют не только
изменять свойства материала, но и предоставляют качественно новый
уровень управления движением механической системы. Он реализуется в различных областях современной техники: монорельсовый транспорт на магнитной подушке, устройства для анализа или разделения
химических элементов, фильтры для очистки воды от диэлектрических примесей (нефти, мазута и пр.), системы управления полётом космического аппарата и т.д. Развитие микро-, мезо- (от греч. “mesos” –
средний, промежуточный) и нанотехнологий позволили создавать механизмы с очень маленькими размерами: микро- и наномоторы, микроманипуляторы для управления конструктивными элементами компьютеров и робототехнических машин, разнообразные датчики типа
«электронный нос» или ускорения. Проводятся исследования по соз284

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

данию ферромагнитных жидких кристаллов, способных изменять геометрическую форму и физические свойства в электромагнитом поле.
Если в точке r сплошной электропроводной среды присутствует
электрическое поле с напряжённостью E(t, r ) , то оно вынуждает протекание тока с плотностью (эмпирический закон Ома)
j (t , r ) = σ E (t , r ) ,
(8.7.1)
где σ – удельная проводимость среды. Электрическое поле определяется посредством скалярного ϕ и векторного A потенциалов
E(t, r ) = −∇ϕ (t, r ) −

1 ∂A(t, r )
,
c ∂t

(8.7.2)

здесь c – скорость света. Вокруг токов возникает магнитное поле, напряжённость H которого задаётся формулой
H (t, r ) = rot A(t, r ) .
(8.7.3)
Уравнения электромагнитного поля в среде в международной системе
единиц СИ имеют вид (уравнения Максвелла в форме Хевисайда)
∂B
,
div B = 0 ,
(8.7.4)
∂t
∂D
rot H =
+ j , div E = ρ ,
(8.7.5)
∂t
где B = µ0 ( H + M ) и D = ε 0 ( E + P) – соответственно индукции магнитноrot E = −

го и электрического полей, M и P – плотности магнитного и дипольного моментов среды, ρ и j – плотности свободных зарядов и токов,
µ0 = 4π ⋅ 10−7 H/ A2 и ε 0 = 1 /(4π k ) ( k = 9 ⋅ 10 9 H⋅ м 2 / Кл ) – магнитная и электрическая постоянные, c = 1 / ε 0 µ 0 . Уравнения Максвелла для полей
в среде представляют собой систему шести независимых дифференциальных уравнений относительно двенадцати компонентов пар векторов (Е, В) и (D, Н). Для того чтобы система уравнений поля стала замкнутой, необходимо дополнить её материальными уравнениями, которые связывают векторы Е, В и D, Н. В случае достаточно слабых полей
в изотропной немагнитной среде материальные уравнения имеют вид
B = µµ0 H , D = εε0 E ,
(8.7.6)
где µ и ε – безразмерные коэффициенты магнитной и электрической
проницаемостей (например, для диа- и парамагнетиков µ ≈ 1 ). При постоянной электрической проницаемости среды из второй пары урав285

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

нений Максвелла (8.7.5) следует локальный закон сохранения заряда
εε 0

∂ρ
+ div j = 0 .
∂t

(8.7.7)

Если в каждой точке среды плотность зарядов постоянна ( ρ = const ), то
по телу распространяются квазистационарные токи ( div j = 0 ).
Определим функцию Qa (t ) как количество заряда, прошедшего
через поперечное сечение проводника а в положительном направлении за время t. При использовании модели Лагранжа эта функция играет роль обобщённой координаты, связанной с обобщённой скоростью (силой тока I a (t ) ) соотношением Q& a (t ) = I a (t ) . Протекание тока порождает вокруг проводника магнитное поле с энергией
Wm =

1
1
BHdV = ∑ Lab Q& a Q& b ,
∫
2
2 a,b

(8.7.8)

где Laa − коэффициенты самоиндукции проводника a, Lab = Lba ( a ≠ b ) –
коэффициенты взаимной индукции проводников а и b. Представим
формулу (8.7.8) в виде
1
Wm = ∑ Laa Q& a2 + ∑ Q& aΦa ,
2 a
a

(8.7.9)

Φa = ∑ LabQ& b

(8.7.10)

здесь величина
b< a

является потоком магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром проводника а. Для вычисления потока магнитной индукции выбирают ориентированную выпуклую поверхность, опирающуюся на контур, внутри которого расположен проводник. Внешняя
нормаль поверхности автоматически задаёт положительное направление обхода контура (правило правого винта). Энергия электрического
поля вне проводников вычисляется по формуле
ε0

1

2

E dV = ∑ Cab−1Qa Qb ,
(8.7.11)
∫
2
2 a,b
где Cab − симметричная матрица коэффициентов электростатической
индукции.
Таким образом, функция Лагранжа Λ электромеханической системы имеет вид
Λ = Wm − We + ∑ Q& aΦ ext + Λ мех ,
(8.7.12)
We =

a

286

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

здесь Φ ext − поток внешней магнитной индукции, Λ мех − лагранжиан
подвижных элементов электрической схемы*. Протекание тока в проводнике сопровождается выделением определённого количества теплоты, которое называют джоулевыми потерями. Их учёт проводят путём введения в уравнения Лагранжа обобщённой силы (см. пункт 2.6),
равной Fсопр. = −RQ& a = −RIa (R − сопротивление резистора). Действие сторонних источников тока учитывают введением обобщённой силы Ea (t ) ,
называемой электродвижущей силой (э.д.с.) источника напряжения
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
⎜⎜
⎟⎟ −
= − RQ& a + E a .
&
dt ⎝ ∂Qa ⎠ ∂Qa

(8.7.13)

В американской программе СОИ (Стратегическая Оборонная Инициатива) предполагалось использование рельсотрона (снаряд является перемычкой между рельсами орудия, по которым он разгоняется электрическим полем) в качестве кинетического оружия, способного уничтожать объекты космического базирования путём их механического
разрушения. Работа простейшего электромеханического устройства
такого типа описывается системой уравнений
⎧
Q& 2 dL
&
&
=
m
x
⎪⎪
2 dx
,
⎨
d
⎪ (L Q& ) = − R Q& + E
⎪⎩ dt

(8.7.14)

где m − масса снаряда, x − декартова координата положения снаряда
от начальной точки движения, L(x) − коэффициент самоиндукции замкнутого контура. Умножим первое уравнение системы (8.7.14) на величину x& , а второе уравнение – на Q& . После несложных преобразований
получим
⎞
d ⎛ mx& 2
⎜⎜
+ Wm ⎟⎟ = (− RQ& + E )Q& ,
dt ⎝ 2
⎠

(8.7.15)

здесь Wm = LQ& 2 / 2 − магнитная энергия тока, текущего по контуру.
*Отметим, что роль «кинетической» энергии в лагранжиане (8.7.12) играет энергия магнитного поля Wm , а роль «потенциальной» энергии − энергия электрического поля We . При выборе обобщённых координат и скоростей следует учитывать, что заряд изолированной части
цепи сохраняется согласно (8.7.7) и в каждом узле выполняется условие соленоидальности токов ( div j = 0 ).
287

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Если E > RQ& , то снаряд движется под действием сил давления, создаваемого магнитным полем. Перепишем первое уравнение системы
(8.7.14) в виде
m&x& =

dW
= pS ,
dx

(8.7.16)

где p − объёмная плотность энергии магнитного поля, S − площадь
боковой поверхности снаряда. Следовательно, ускорение снаряда
pS
.
(8.7.17)
m
При значениях p = 400 атм и m / S = 100 кг/м2 ускорение &x& = 4 ⋅105 м/ с 2 ,
&x& =

при этом скорость v = 10 км/ c достигается на длине l = 125 м . Время разгона снаряда составляет t = 2 ⋅10 −5 с , при массе снаряда m = 2 кг он приобретает энергию 100 МДж.
В этой связи рассмотрим взаимодействие вещества с электрическим и магнитным полями. Поместим нейтральную проводящую частицу во внешнее электрическое поле. Воздействие поля на вещество
приводит к индуцированию на её поверхности зарядов с плотностью
ρs(r). Возникшее распределение поверхностных зарядов в первом приближении определяет электрический дипольный момент частицы
pе = ∫ ρ s ( R + r ′)r ′dS ′ ,
(8.7.18)
где dS ′ – элемент поверхности проводника. Если в окрестности элемента поверхности dS незаряженного проводника нормальная компонента внешнего поля равна G, то сила dF , действующая на этот элемент, определяется равенством
dF =

1
ρ s (r )GdS .
2

(8.7.19)

Интеграл от (8.7.19) в однородном электрическом поле равен нулю, а
в неоднородном – силе с компонентами
Fi ( R) = pe ⋅

∂G
.
∂xi

(8.7.20)

В квазинеоднородном поле компоненты момента pe являются линейными функциями компонентов поля:
pei = α ik GkV ,
(8.7.21)
где α ik – тензор поляризуемости проводника, V – объём частицы. Сле288

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

довательно, энергия взаимодействия нейтральной проводящей частицы с внешним полем
1
We = − α ik Gi GkV .
2

(8.7.22)

Например, для проводящей сферы матрица поляризуемости α ik = 3ε 0δ ik
и объём V = 4π a3 / 3, следовательно, We = −2π ε 0a3G 2 . В общем случае квазинеоднородных электрическом и магнитном полях на нейтральную
проводящую частицу действует сила (8.7.20) с компонентами
Fi ( R) = pe ⋅

∂G
∂H
+ µ 0 pm ⋅
,
∂xi
∂xi

(8.7.23)

где pm – магнитный дипольный момент частицы. В частности, для шара из «магнито-мягкого» ферромагнетика вектор плотности магнитного момента параллелен вектору напряжённости магнитного поля H .
Для слабых полей эта зависимость представляется линейной функцией
pm =

3( µ − 1)
VH .
µ+2

(8.7.24)

8.8. Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент
Вблизи или на поверхности Земли действуют силы гравитации.
Если они приложены к двум материальным точкам с одинаковыми массами, то их считают равными по направлению и величине. Это приводит к отождествлению центров масс и тяжести, т.е. к нулевому значению главного момента сил тяготения (гравитационного момента) относительно центра масс. Так как Земля имеет форму геоида (подобна
сфере, рис. 8.7, а), то силы тяжести не параллельны и направлены к её
центру*. Кроме того, две несовпадающие точки находятся на разных
расстояниях от центра притяжения, поэтому равнодействующая сил
тяготения, приложенных к точкам, не обязательно должна проходить
*При решении задач полагают, что Земля имеет форму шара с однородным или неоднородным
распределением вещества. Его плотность в выбранной точке зависит только от расстояния
между точкой и центром Земли. Другими словами, при таком подходе можно считать Землю
материальной точкой с её массой, размещённой в центре Земли.
289

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8
Геоид

а
Центр масс

•

через центр масс, т.е. гравитационный
момент может отличаться от нуля.
Пусть две материальные точки Р1
и Р2, имеющие одинаковую массу, соединены недеформируемым и невесомым
стержнем. Центр масс системы расположен в точке О, а силовой центр – в точке О* (рис. 8.7, б). Из рис. 8.7, б видно,
что О*Р1 > О*Р2, а отношение плеч h1 и
h2 сил F1 и F2 равно
h2 O∗ P1
=
> 1.
h1 O∗ P2

(8.8.1)

Так как О*Р1 > О*Р2, то F2 > F1, следовательно, с учётом неравенства (8.8.1)
получаем F2h2 = M2 > F1h1 = M1. Это неЦентр Земли
равенство указывает на возникновение
•
силового гравитационного момента, коб
Рис. 8.7. Форма Земли (а) и нали- торый стремится расположить стержень
чие гравитационного момента (б). Р1Р2 вдоль прямой ОО*. Зачастую такие
моменты играют важную роль при изучении движений космических тел.
Рассмотрим задачу о движении свободного твёрдого тела в центральном поле тяготения Ньютона. Выберем декартову систему координат с началом отсчёта, расположенным в центре масс тела, так
чтобы ось OZ была продолжением прямой ОО* (рис. 8.8, а). Ось OY
направлена по бинормали в ту сторону, откуда видно, что движение
тела происходит против часовой стрелки (указывает ось OX, образующая с другими координатными осями правую систему координат). Эту
систему отсчёта называют орбитальной системой координат. Обозначим через R радиус-вектор, соединяющий центры масс Земли и тела, а
через r – центр масс Земли с выделенным в теле элементом массы dm
(рис. 8.8, б). Согласно закону тяготения Ньютона (4.1.1) сила притяжения элемента массы тела dm к Земле с массой M вычисляется по
формуле
290

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

Орбита
центра масс

dF = −γ

M dm
r,
r3

(8.8.2)

где γ − гравитационная постоянная. Главный вектор F
Направление
Бинормаль
сил тяготения находят путём
движения
интегрирования (8.8.2).
Центр Земли
Вычисления будем проводить при предположении
•
о малости линейных размеа
б
Рис. 8.8. Выбор орбитальной системы координат ров тела (естественного или
(а) и притяжение Землёй элемента тела (б).
искусственного орбитального спутника Земли) по сравнению с расстоянием |R|. Если в системе координат, связанной с центром масс спутника, положение элемента массы тела dm определяется
радиус-вектором ρ (рис. 8.8, б), то
•

•

2

2Z ⎛ ρ ⎞
r = R + ρ , r = R 1+
+⎜ ⎟ .
R ⎝R⎠

(8.8.3)

Пренебрегая малыми величинами порядка ( ρ / R) 2 и выше, получим
1
1 ⎛ 3Z ⎞
≅
⎟.
⎜1 −
r 3 R3 ⎝
R ⎠

(8.8.4)

Подстановка r из (8.8.3) и 1 / r 3 из (8.8.4) в формулу (8.8.2) с последующим интегрированием (так как центр масс тела находится в начале координат, то ∫ Xdm = ∫ Ydm = ∫ Zdm = 0 ) приводит к выражению
F = −γ

Mm
R,
R3

(8.8.5)

здесь m − масса спутника. Таким образом, в принятом приближении
величина главного вектора сил гравитации (8.8.5) и его направление не
зависят от размера спутника.
Вычислим гравитационный момент орбитального тела, полагая,
что оси системы координат Oxyz (рис. 8.8, б), жёстко связанной с твёрдым телом, совпадают с главными осями тензора инерции спутника.
Ориентацию тела относительно этой системы задают углы Эйлера (см.
пункт 8.1). Главный момент M O сил тяготения относительно центра
масс тела равен
291

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 8

M O = ∫ [ ρ × d F ] = −γ M ∫

[ρ × r]
dm ,
r3

(8.8.6)

где интегрирование проводится по объёму орбитального спутника. В
системе координат Oxyz
ρ = x i + y j + z k , R = R ( R1 i + R 2 j + R3 k )
(8.8.7)
[ ρ × r ] = R{( yR3 − zR2 )i + ( zR1 − xR3 ) j + ( xR2 − yR1 )k} .
В приближении формулы (8.8.4) величина
1
1 ⎛ 3( xR1 + yR2 + zR3 ) ⎞
≅ 3 ⎜1 −
⎟,
3
r
R ⎝
R
⎠

(8.8.8)

с той же точностью получим
[ ρ × r ] 1 ⎛ 3( xR1 + yR2 + zR3 ) ⎞
= 2 ⎜1 −
⎟{( yR3 − zR2 )i +
.
r3
R ⎝
R
⎠
+ ( zR1 − xR3 ) j + ( xR2 − yR1 )k}

(8.8.9)

Подстановка (8.8.9) в (8.8.6) с учётом того факта, что координатные
оси главными осями инерции, т.е.
(8.8.10)
∫ xdm = ∫ ydm = ∫ zdm = ∫ xydm = ∫ xzdm = ∫ yzdm = 0 ,
приводит к равенству
MO =

3γ M
{( y 2 − z 2 ) R2 R3 i + ( z 2 − x 2 ) R1 R3 j + ( x 2 − y 2 ) R2 R1k }dm .(8.8.11)
∫
3
R

Величины
2
2
∫ ( y − z )dm = I 3 − I 2 ,
2
2
∫ ( z − x )dm = I1 − I 3 ,
2
2
(8.8.12)
∫ ( x − y )dm = I 2 − I1 ,
где I1 , I 2 и I 3 − моменты инерции относительно координатных осей
Ox, Oy и Oz соответственно. Таким образом, проекции главного момента M O сил тяготения относительно центра масс тела равны

3γ M
( I 3 − I 2 ) R 2 R3 ,
R3
3γ M
My =
( I 1 − I 3 ) R1 R3 ,
R3
3γ M
Mz =
( I 2 − I 1 ) R2 R1 .
R3

Mx =

(8.8.13)
(8.8.14)
(8.8.15)

Отметим, что формулы (8.8.13)-(8.8.15) являются приближёнными, так
как при их выводе пренебрегли малыми величинами порядка ( ρ / R) 2 и
выше.
292

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Глава 9. Каноничность. Метод Фурье. Инварианты
Тысячи путей ведут к заблуждению;
к истине - только один.
Жан-Жак Руссо

Одним из выдающихся математиков, механиков и физиков-теоретиков XIX в. был Вильям Роуэн Гамильтон (04.08.1805-02.09.1865),
родившийся в Дублине (Ирландия). Вильям был очень одарённым ребёнком: в четыре года он свободно читал литературу на английском
языке и знал географию; в восемь лет − овладел итальянским и французским языками, изучал арабский, санскрит и латынь; в десять лет −
прочитал Евклида в латинском переводе; в двенадцать лет − овладел
двенадцатью языками, в том числе персидским и арабским. В 13 лет
он изучил «Универсальную арифметику» И. Ньютона, в 16 лет − его
«Начала», в 17 лет – ознакомился с «Небесной механикой» П.-С. Лапласа. В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити – колледж Дублинского университета, где успешно изучал математические науки и разрабатывал геометрическую оптику (теорию лучей). В 22 года он стал профессором астрономии Дублинского университета: занялся усовершенствованием астрономических приборов, приступил к оптическим исследованиям и проявил большой интерес к математике. В течение ряда
лет он возглавлял также Дублинскую астрономическую обсерваторию
и читал лекции по астрономии. В 1837 г. Гамильтон был избран президентом Ирландской академии наук, так как его труды нашли широкое признание в научном мире, а в 1838 г. он был также избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
Опыт, приобретённый при теоретических исследованиях по геометрической оптике, подтолкнули Вильяма к созданию принципа наименьшего действия в форме Гамильтона («Об общем методе в динамике» (1834), «Второй очерк об общем методе в динамике» (1835)). Используя идею оптико-механической аналогии при математическом
моделировании законов движения лучей и материальных частиц, Га293

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

мильтон сформулировал свой принцип наименьшего действия в механике. При этом Гамильтон исходил из того факта, что для реализуемого движения тела произведение энергии на время, названное им действием, должно достигать минимального значения. Дальнейшее развитие модель Гамильтона получила в трудах К.Г. Якоби, в частности, в
его «Лекциях по динамике» (1842-1843). Он показал путь составления
новых канонических уравнений и предложил способы их интегрирования, поэтому очень часто можно встретить в научной и учебной литературе термин теория Гамильтона-Якоби. На случай нестационарных
связей этот принцип был распространён в 1848 г. М.В. Остроградским,
поэтому в современной механике его называют принципом Гамильтона-Остроградского*. Метод оказался столь мощным и общим, что стал
широко применяться и в других областях физики (Дж.К. Максвелл,
Г.Л. Гельмгольц, Н.А. Умов, А. Эйнштейн, Л. де Бройль, Э. Шрёдингер и другие учёные).
В своих трудах Гамильтон показал значение своего нового вариационного принципа для механики, его характеристической функции
для задач механики (функция Гамильтона Н или гамильтониан), которая в большинстве случаев оказалась совпадающей с полной энергией
механической системы (см. пункт 2.3). Зная зависимость гамильтониана Н от обобщённых координат и импульсов материальных точек системы, можно получить систему дифференциальных уравнений, позволяющих определить траектории движения и импульсы частиц на них.
Эту систему дифференциальных уравнений называют каноническими
уравнениями. Она эквивалентна системе уравнений движения, например, Лагранжа второго рода, но обладает рядом преимуществ, облегчающими её исследование. Гамильтон связал канонические уравнения
с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, решением которого является гамильтониан Н. Развитая теория придала уравнениям движения новую более удобную форму, а
также позволила развить новый подход к их интегрированию. Модель
Гамильтона наиболее полно и глубоко вскрыла аналогию между ме*

Исторически более справедливым является употребление названия “принцип ГамильтонаЯкоби-Остроградского”.
294

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

ханикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, привела к обнаружению неразрывной связи между волновыми и корпускулярными представлениями, которые были полностью раскрыты Л. де Бройлем лишь через сто лет.
Теория не была дана Гамильтоном в общем и законченном виде,
потому что он преимущественно исследовал системы свободных материальных точек, которые взаимодействовали между собой посредством центральных сил. Во второй половине XIX в. происходило накопление новых фактов, а также разработывались новые методы в русле дальнейшей геометризации аналитической механики. В начале XX
века именно это направление в сочетании с накопленными фактами в
физике позволило пересмотреть основное содержание классической
механики и создать новые направления, в частности, специальную
теорию относительности.

9.1. Канонические уравнения
Если состояние динамической системы описывается функцией
Лагранжа Λ (t , qi , q& i ) ( i = 1, 2, ..., s ) с s обобщёнными координатами, то
уравнения движения (см. уравнение Эйлера-Лагранжа (2.6.2)) представляют собой систему из s дифференциальных уравнений второго
порядка. Ей можно сопоставить систему из 2s дифференциальных уравнений первого порядка относительно обобщённых координат q и обобщённых импульсов p, которые называют каноническими координатами. Систему из 2s дифференциальных уравнений первого порядка называют каноническими уравнениями Гамильтона.
Движение механической системы с идеальными голономными
связями (пункт 2.1) под действием заданных обобщённо-потенциальных и диссипативных сил Qid (пункт 2.6) описывается уравнениями Эйлера-Лагранжа (2.6.2) с s обобщёнными координатами qi ( i = 1, 2, ..., s )
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂ Λ
⎜⎜
⎟⎟ −
= Qid .
dt ⎝ ∂q& i ⎠ ∂qi

(9.1.1)

Функция Гамильтона H связана с лагранжианом Λ преобразованием
Лежандра (2.3.9)
295

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

H (t , q i , p i ) = ∑
i

∂Λ (t , qi , q& i )
q& i − Λ (t , qi , q& i ) = ∑ pi q& i − Λ (t , qi , q& i ) , (9.1.2)
∂q& i
i

где для натуральных систем (см. пункт 2.3) лагранжиан Λ (t , qi , q& i ) вычисляется по формуле (2.3.2)
Λ (t , qi , q& i ) = K (t , qi , q& i ) − U (t , qi ) ,
(9.1.3)
здесь K (t , qi , q&i ) и U (t , qi ) – кинетическая и потенциальная энергия соответственно. В декартовой системе координат кинетическая энергия
тела равна
K=

1
∑ mr&i2 .
2 i

(9.1.4)

При переходе к обобщённым координатам qi субстанциональная производная радиус-вектора r&i равна
r&i =

s ∂r
∂ ri
+ ∑ i q& j .
∂t
j =1 ∂ q j

(9.1.5)

Подстановка (9.1.5) в (9.1.4) позволяет записать кинетическую энергию в виде
K = K 0 + K1 + K 2 ,
(9.1.6)
где однородные функции обобщённой скорости соответсвующей степени (индекс у функции)
2

1
⎛ ∂r ⎞
K 0 = ∑ mi ⎜ i ⎟ = a 0 ,
2 i
⎝ ∂t ⎠
∂r ∂r
1
K 1 = ∑ mi i i q& j = ∑ a j q& j ,
2 i, j
∂t ∂q& j
j

K2 =

∂r ∂r
1
∑ mi i i q& j q& k = ∑ a jk q& j q& k ,
2 i , j , k ∂q& j ∂q& k
j,k

(9.1.7)
(9.1.8)
(9.1.9)

а коэффициенты a0 , a j и a jk зависят от времени t. Следовательно, в случае обобщённых скоростей кинетическая энергия задаётся неоднородной квадратичной формой (9.1.6). Отметим, что частная производная
от (9.1.6) по обобщённой скорости q& j равна
∂K
= a j + ∑ a jk q& k .
∂q& j
k

(9.1.10)

Функция Гамильтона H для свободного заряда e , движущегося
в электромагнитном поле с потенциалами ϕ и A (см. пункт 8.7), равна
296

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9
2

e ⎞
1 ⎛
H=
⎜ p − A ⎟ + eϕ ,
c ⎠
2m ⎝

(9.1.11)
e
c

где m − масса заряда, c − скорость света. Вектор P = p − A называют обобщённым импульсом заряда в электромагнитном поле. В неинерциальной системе K ′ гамильтониан свободной материальной точки равен
H =

1
( p ′) 2 + ω ⋅ [ p ′ × r ′] + m w O ′ ⋅ r ′ + U ,
2m

(9.1.12)

здесь m − масса частицы, ω − угловая скорость системы K ′ , а w O ′ −
ускорение её начала координат. Приведенные примеры демонстрируют тот факт, что гамильтониан является такой же характеристической
функцией движения динамической системы, как и лагранжиан. Поэтому осуществим вывод уравнений Гамильтона.
Дифференциал функции Гамильтона H равен
dH =

∂H
∂H
∂H
dt + ∑
dqi + ∑
dpi .
∂t
i ∂qi
i ∂pi

(9.1.13)

С другой стороны, дифференциал от соотношения (9.1.2) определяется выражением
dH = ∑ pi dq&i + ∑ q&i dpi −
i

Так как

i

∂Λ
∂Λ
∂Λ
dt − ∑
dqi − ∑
dq& ,
&i i
∂t
i ∂qi
i ∂q

(9.1.14)

∂Λ
= pi , то (9.1.14) принимает вид
∂q&i
dH = ∑ q&i dpi −
i

∂Λ
∂Λ
dt − ∑
dqi ,
∂t
i ∂qi

(9.1.15)

Сравнивая (9.1.15) с (9.1.13), получим
∂Λ ∂H
∂H
∂Λ ∂H
=−
= q&i .
=−
,
,
∂t
∂t ∂qi
∂qi ∂pi

(9.1.16)

Из уравнения (9.1.1) находим, что
dp ∂Λ
dp
d ⎛ ∂Λ ⎞ ∂Λ
∂Λ
⎜⎜
⎟⎟ −
= Qid ⇒ i −
= Qid ⇒ i =
+ Qid ,
dt ⎝ ∂q& i ⎠ ∂qi
dt ∂qi
dt
∂qi

т.е.
p& i = −

∂H
+ Qid .
∂qi
297

(9.1.17)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Систему дифференциальных уравнений первого порядка
∂H
⎧
&
q
=
i
⎪
∂p i
⎪
⎨
⎪ p& i = − ∂H + Qid
⎪⎩
∂qi

(9.1.18)

называют каноническими уравнениями Гамильтона. При отсутствии
диссипативных сил ( Qid = 0 ) система уравнений (9.1.18) принимает
симметричный вид
∂H
⎧
&
q
=
i
⎪
∂p i
⎪
.
⎨
H
∂
⎪ p& i = −
⎪⎩
∂q i

(9.1.19)

Cумма пары варьируемых функций G - I из пункта 2.8, не сопряжённых с лагранжианом Λ, равна полной производной по времени от
гамильтониана обобщённого линейного осциллятора (2.4.1) с единичq2 + p2
ными значениями коэффициента упругости и массы H 0 (q, p) =
2
dH 0 (q, p )
Z ( q, p ) =
= qq& + pp& .
(9.1.20)
dt
Частные производные от функции Z (t , qi , pi ) равны

∂Z
⎧
&
=
q
i
⎪
∂q i
⎪
.
⎨
∂
Z
⎪ p& i =
⎪⎩
∂p i

(9.1.21)

Следовательно, можно ввести комплекную функцию (с аргументами
zi = qi + ipi )
W (t , zi ) = Z (t , qi , pi ) + iH (t , qi , pi ) ,
(9.1.22)
удовлетворяющую условиям Коши-Римана, которые запишем в компактном виде
∇ iLW (t , zi ) = 0 ,
(9.1.23)
здесь
∇ iL =

∂
∂
+i
∂qi
∂pi

(9.1.24)

− инфинитиземальный оператор Ли. Условия (9.1.23) определяют
условия аналитичности функции W (t , zi ) , задающие независимость
298

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

этой функции от комплексно-сопряжённых величин zi∗ = qi − ipi . Это означает, что интегралы от функции W (t , zi ) не зависят от пути интегрирования.
Из второго равенства (9.1.16) видно, что при обращении в нуль
частной производной

∂H
∂Λ
обращается в нуль и производная
. При
∂qi
∂qi

отсутствии диссипативных сил ( Qid = 0 ) это приводит к сохранению
обобщённого импульса i. «Цикличность» времени, связанная с синхронным обнулением производных

∂H
∂Λ
и
, приводит к сохране∂t
∂t

нию гамильтониана при Qid = 0 , так как
dH ∂H
=
+ ∑ Qid q& i .
dt
∂t
i

(9.1.24)

Такую систему называют обобщённо-консервативной.

9.2. Теорема Лиувилля
Состояние механической системы в выбранный момент времени
изображается в фазовом пространстве (см. пункт 2.4) фазовой точкой с
координатами (q, p). При изменении состояния системы она перемещается вдоль фазовой траектории. Уравнения Гамильтона (9.1.18) позволяют определить скорости изменения обобщённых координат и импульсов в начальный момент времени t0, если в этот момент заданы
диссипативные силы и начальные условия qi0, pi0 (i = 1, 2, …, s). Подпространством фазового пространства является пространство конфигураций, в котором положение точки определяется обобщёнными координатами. В отличие от пространства конфигураций, в котором через одну точку может проходить несколько траекторий, в фазовом
континууме через одну точку проходит только одна траектория в
силу единственности решения уравнений Гамильтона.
Рассмотрим бесконечное множество тождественных механических систем, для которых уравнения Гамильтона решены при различных начальных условиях. Такая виртуальная совокупность копий одной реальной механической системы называют ансамблем Гиббса.
299

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Пусть в начальный момент времени t0 ансамбль занимает в фазовом
пространстве область (Г0) с объёмом
s

Γ 0 = ∫ ∏ δ q i 0δ p i 0 ,

(9.2.1)

( Γ 0 ) i =1

s

где ∏ δ q i 0δ p i 0 = δ q10 δ q 20 ...δ q s 0δ p10 δ p 20 ...δ p s 0 . В момент времени t = t0 + ∆t
i =1

множество механических систем займёт объём Г (рис. 9.1)
s

Γ = ∫ ∏ δ q iδ p i .

p
•

(9.2.2)

( Γ ) i =1

Установим закон изменения фазового
объёма при изменении положения анΓ0 •
самбля Гиббса в фазовом пространстве.
o
Каждая механическая система анo
Фазовый объём
самбля движется в соответствии с уравq нениями Гамильтона. Следовательно,
Рис. 9.1. Перемещение ансамбля переменные q, p в момент времени t заГиббса по фазовой плоскости.
висят от начальных условий, поэтому запишем объём (9.2.2) в виде
Γ

s

Γ = ∫ ∏ J δ q i 0δ p i 0 ,

(9.2.3)

( Γ 0 ) i =1

где J =

∂(q, p)
− якобиан перехода от переменных (q, p) к аргументам
∂(q0 , p0 )

(q0, p0). Таким образом, задача о связи фазовых объёмов Г0 и Г сводится к установлению закона изменения якобиана перехода.
В момент времени t = t0 + ∆t обобщённые величины с точностью
до линейных членов по малой величине ∆t (далее отрезок ∆t устремляется к нулю) равны
qi = qi 0 + q&i 0 ∆t , pi = pi 0 + p& i 0 ∆t .
(9.2.4)
Вычислим элементы якобиана перехода для всех i, j = 1, 2, …, s
∂ q& i 0
∂q i
∂qi
∂ q&
∆t ,
= i0 ∆t ,
= δ ij +
∂p j 0 ∂p j 0
∂q j 0
∂q j 0
∂pi
∂ p& i 0
∂pi
∂ p&
=
∆t ,
= δ ij + i 0 ∆ t .
∂q j 0 ∂q j 0
∂p j 0
∂p j 0

Следовательно, J (t0 ) = 1, а
300

(9.2.5)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9
s ⎛ ∂q
&
∂p&
J (t 0 + ∆ t ) = 1 + ∑ ⎜⎜ i 0 + i 0
∂pi 0
i =1 ⎝ ∂ q i 0

⎞
⎟⎟ ∆ t .
⎠

(9.2.6)

Таким образом, в пределе ∆ t → 0 получаем для производной по времени от якобиана перехода
dJ
dt

t = t0

s ⎛ ∂q
&
∂p& ⎞
= ∑ ⎜⎜ i 0 + i 0 ⎟⎟ .
∂pi 0 ⎠
i =1 ⎝ ∂ q i 0

(9.2.7)

В силу того, что движение каждой системы ансамбля Гиббса подчиняется уравнениям Гамильтона, то с учётом (9.1.18) имеем
∂ q& i 0 ∂ p& i 0 ∂ Q id0
+
=
,
∂qi 0 ∂pi 0
∂pi 0

(9.2.8)

т.е. в силу произвольности момента времени t0 скорость изменения
якобиана для любого момента времени t равна
d

∂ Qi
J& = ∑
,
i =1 ∂ p i
s

(9.2.9)

а скорость изменения фазового объёма
s ∂Q d
i
&
Γ = ∫ ∑
δ q10 δ q 20 ...δ q s 0δ p10 δ p 20 ...δ p s 0 .
( Γ 0 ) i =1 ∂ p i

(9.2.10)

Из (9.2.10) вытекает закон сохранения фазового объёма (теорема
Лиувилля): фазовый объём ансамбля Гиббса с обобщённо-потенциальными силами и голономными идеальными связями в отсутствии
диссипативных сил сохраняется, т.е.
Γ = Γ 0 , если Qid = 0 ( i = 1, 2, ..., s ).
(9.2.11)
Для данного случая по (9.2.9) J& = 0 и в любой момент времени якобиан перехода
J = 1.
(9.2.12)
Полученные соотношения справедливы при любом числе систем в ансамбле Гиббса, поэтому они применяются в статистической механике
для описания систем с большим числом частиц.
В качестве примера рассмотрим движение материальной точки с
массой m по линии пересечения неподвижной сферы с радиусом a и
плоскости, колеблющейся по закону z = a sin( ω t ) вдоль оси Oz (рис.
9.2). Обозначим идеальные голономные связи (геометрические связи,
см. пункт 2.1), которые обеспечивают движение точки по линии пере301

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

сечения, через f1 (t , r ) и f2 (t, r) . Реакции
связей входят в уравнения Лагранжа с
реакциями связи (уравнения Лагранжа
первого рода) в форме градиентов функций f1 (t , r ) и f 2 (t , r ) . Система уравнений Лагранжа первого рода имеет вид

Плоскость

m
•

a

⎧ m &r& = m g + 2 λ ∇ f
∑ α α
⎪
α =1
⎪⎪
2
2
. (9.2.13)
⎨ f1 (t , r ) = r − a = 0
⎪ f (t , r ) = z − a sin( ω t ) = 0
⎪ 2
⎪⎩

Сфера

Рис. 9.2. Движение материальной
точки по линии пересечения перемещающейся плоскости и неподвижной сферы.

В цилиндрической системе координат
(см. табл. 1.4 из пункта 1.5) система уравнений (9.2.13) определяется
равенствами
⎧ m ( ρ&& − ρ ϕ& 2 ) = 2 λ1 ρ
⎪
⎪ m d ( ρ 2ϕ& ) = 0
⎪ ρ dt
⎪
(9.2.14)
⎨ m&z& = − mg + 2 λ1 z + λ 2 .
⎪ 2
2
2
⎪ρ + z = a
⎪ z = a sin( ω t )
⎪
⎩
С учётом начальных условий ρ ( 0 ) = a и ϕ& ( 0 ) = ϕ& 0 из (9.2.14) находим
ϕ& 0
ρ (t ) = a cos( ω t ) , ϕ& (t ) =
.
(9.2.15)
cos 2 (ω t )

Выполнив интегрирование второго равенства (9.2.15), получим
ϕ (t ) =

ϕ& 0
tg( ω t ) + ϕ 0 ,
ω

(9.2.16)

где ϕ 0 = ϕ ( 0 ) − начальная фаза. Неопределённые множители Лагранжа
λ1 и λ 2 найдём из первого и третьего уравнений (9.2.14)
λ1 = −

m 2
(ϕ& + ω 2 ) , λ 2 = m ( zϕ& 2 + g ) .
2

(9.2.17)

Исходя из соотношений
R1ρ = 2λ1 ρ , R1z = 2λ1 z , R2 z = λ2 ,

определяем реакции связей
302

(9.2.18)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

R ρ = R1 ρ

⎛ 2
⎞
ϕ& 02
⎟ cos( ω t ) ,
= − ma ⎜⎜ ω +
4
cos (ω t ) ⎟⎠
⎝

(9.2.19)

R z = R1 z + R 2 z = m[ g − a ω 2 sin( ω t )] .

(9.2.20)
Лагранжиан Λ, обобщённый импульс pφ и гамильтониан H материальной точки соответственно равны (в выражениях для Λ и H опущены слагаемые, зависящие только от времени, так как они не влияют
на вид уравнений движения)
pϕ2
1
2 2
2
2
2
Λ = ma ϕ& cos (ω t ) , pϕ = ma ϕ& cos (ωt ) , H =
. (9.2.21)
2ma 2 cos 2 (ωt )
2

Канонические уравнения Гамильтона имеют вид
ϕ& =

pϕ
∂H
=
, p& ϕ = 0 ,
∂pϕ ma 2 cos 2 (ωt )

(9.2.22)

а их решение –
ϕ (t ) =

pϕ 0
ma 2ω

tg( ω t ) + ϕ 0 , pϕ = pϕ 0 .

(9.2.23)

В этом случае фазовое пространство двумерно (ϕ , pϕ ), а фазовыми траекториями являются прямые, параллельные оси Oφ. Якобиан перехода
∂ (ϕ , p )
1
=
J =
∂ (ϕ 0 , p 0 )
0

tg( ω t )
ma 2ω = 1 ,
1

(9.2.24)

что совпадает с формулой (9.2.12), т.е. выполняется теорема Лиувилля (9.2.11). Таким образом, если первоначальный фазовый объём Γ 0
на фазовой плоскости имеет вид прямоугольника, то с течением времени он будет преобразовываться во всё более «косой» параллелограмм, при этом его фазовый объём Γ = Γ 0 .

9.3. Скобки Пуассона и его теорема
При отсутствии диссипативных сил ( Qid = 0 ) состояние динамической системы описывается уравнениями Гамильтона (9.1.19). Для того
чтобы некоторая функция f (t , qi , pi ) была первым интегралом движения, необходимо и достаточно, чтобы
303

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

f (t , qi , pi ) = const .

(9.3.1)

Тогда её полная производная по времени
⎛ ∂f
⎞
df ∂f
∂f
q& i +
p& i ⎟⎟ = 0 .
=
+ ∑ ⎜⎜
dt ∂t
∂p i ⎠
i ⎝ ∂q i

(9.3.2)

С учётом (9.1.19) необходимое условие выполнения (9.3.1) в виде уравнения (9.3.2) переходит в соотношение
∂f
+[ f ,H ] = 0,
∂t

(9.3.3)

⎛ ∂f ∂H
∂f ∂H ⎞
⎟⎟ .
−
∂
∂
∂
∂
q
p
p
q
i
i
i ⎠
⎝ i

где [ f , H ] = ∑ ⎜⎜
i

При записи (9.3.3) использовано дифференциальное выражение,
которое для двух произвольных функций f1 (t , qi , pi ) и f2 (t, qi , pi ) равно
⎛ ∂f ∂f 2
∂f ∂f ⎞
− 1 2 ⎟⎟ .
[ f 1 , f 2 ] = ∑ ⎜⎜ 1
∂pi ∂qi ⎠
i ⎝ ∂qi ∂pi

(9.3.4)

Формулу (9.3.4) называют скобками Пуассона. Они обладают следующими свойствами:
[ f1 , f1 ] = 0 , [ f1 , f 2 ] = −[ f 2 , f1 ] ,
(9.3.5)
[ f1 , ( f 2 + f 3 )] = [ f1 , f 2 ] + [ f1 , f 3 ] ,
(9.3.6)
∂
∂f
∂f
[ f1 , f 2 ] = [ 1 , f 2 ] + [ f1 , 2 ] ,
∂t
∂t
∂t

(9.3.7)

[ f1 , ( f 2 ⋅ f 3 )] = [ f1 , f 2 ] f 3 + f 2 [ f1 , f 3 ] , [ f1 , Cf 2 ] = C[ f1 , f 2 ] ,

(9.3.8)
Важную роль в механике Гамильтона играет тождество Якоби
[ f1 , [ f 2 , f 3 ]] + [ f 2 , [ f 3 , f1 ]] + [ f 3 , [ f1 , f 2 ]] = 0 ,
(9.3.9)
с помощью которого нетрудно доказать теорему Пуассона: если функции f1 (t , q, p) и f 2 (t, q, p) являются первыми интегралами канонических
уравнений Гамильтона, то и их скобка Пуассона [ f1 , f 2 ] также будет
интегралом этих уравнений, т.е. [ f1 , f 2 ] = const . Согласно условиям теоремы функции f1 и f2 являются первыми интегралами − для них справедливо уравнение (9.3.3)
∂ f1
∂f
+ [ f1 , H ] = 0 , 2 + [ f 2 , H ] = 0 .
∂t
∂t

(9.3.10)

Из тождества Якоби следует
[ f1 , [ f 2 , H ]] + [ f 2 , [ H , f1 ]] + [ H , [ f1 , f 2 ]] = 0 .
304

(9.3.11)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Используя (9.3.5), (9.3.7) и уравнения (9.3.10), получим
− [ f1 ,

∂f 2
∂f
] + [ f 2 , 1 ] + [ H , [ f1 , f 2 ]] = 0
∂t
∂t

(9.3.12)

или окончательно
∂[ f1 , f 2 ]
+ [[ f1 , f 2 ], H ] = 0 ,
∂t
следовательно, [ f1 , f 2 ] = const .

(9.3.13)

Если функция f (t, q, p) явно не зависит от времени, то (9.3.3) превращается в тривиальное тождество [ f , H ] ≡ 0 . Если же от времени явным образом не зависит гамильтонин H , а интеграл уравнений Гамильтона f (t , q, p) явно зависит от времени, то частные производные
по времени от функции f (t , q , p ) также будут интегралами, т.е.
⎧ f (t , q , p ) = const
∂2 f
∂f
⇒
= const,
= const, ... .
⎨
∂t 2
∂t
⎩ H = H (q, p )

(9.3.14)

Скобки Пуассона от обобщённых координат и импульсов называют фундаментальными
[qi , q j ] = 0 , [ pi , p j ] = 0 , [qi , p j ] = δ ij .
(9.3.15)
Формулы (9.3.15) являются классическими аналогами перестановочных соотношений Гейзенберга в квантовой механике. Такие же аналогии существуют и для проекций моментов импульса
[ Lx , L y ] = Lz , [ L y , L z ] = Lx , [ Lz , Lx ] = L y .
(9.3.16)
Формулы (9.3.16) указывают на тот факт, что две проекции момента
импульса не могут одновременно играть роль канонических переменных в виду того, что они должны удовлетворять равенствам (9.3.15).
В квантовой механике эта ситуация соответствует невозможности одновременного измерения двух проекций момента импульса. Однако
любая проекция может быть одновременно измерена с квадратом момента импульса, так как
[ Lα , L2 ] = 0 , α = x, y, z .
(9.3.16)
Скобки Пуассона используют также в статистической механике для
записи неизменности плотности вероятности ρ w пребывания механической системы в элементарном фазовом объёме с изменением t
∂ρ w
dρ w
=0 ⇒
+ [ρw , H ] = 0 .
∂t
dt
305

(9.3.17)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

9.4. Механика Гамильтона-Якоби
Для описания поведения динамической системы с обобщённопотенциальными силами и голономными идеальными связями применяют также уравнение Гамильтона-Якоби, которому подчиняется
действие
t2

S = ∫ Λ (t , qi , q& i ) dt .

(9.4.1)

t1

При известных решениях системы (9.1.19) можно найти действие и
обобщённый импульс как функции обобщённых координат, времени
и начальных условий
S = S (t , q , t 0 , q 0 ) , p = p ( t , q , t 0 , q 0 ) .
(9.4.2)
«Поле импульсов» p = p (t , q , t 0 , q0 ) потенциальное и задаётся действием
S = S (t , q , t 0 , q0 ) . Для доказательства вычислим вариацию действия при
фиксированных моментах времени t и t0
t

t

t0

t0 i

⎛ ∂Λ
⎞
∂Λ
δqi +
δq&i ⎟⎟ dt .
∂q& i
⎝ ∂q i
⎠

δS = ∫ δΛdt = ∫ ∑ ⎜⎜

(9.4.3)

Используя формулы Остроградского (2.3.14), перепишем (9.4.3) в
виде (2.6.1)
δS = ∑
i

∂Λ
δqi
∂ q& i

t
t0

t2
⎛ ∂Λ
d ⎛ ∂Λ
⎜⎜
+ ∫ ∑ ⎜⎜
−
∂
q
dt
i
t1
⎝ ∂ q& i
⎝ i

⎞⎞
⎟⎟ ⎟⎟δ q i dt .
⎠⎠

(9.4.4)

Так как между моментами времени t и t0 система движется по действительной траектории в соответствии с уравнениями Эйлера-Лагранжа (2.6.2), то выражение под знаком интеграла в (9.4.4) равно нулю.
Следовательно, вариация действия
δS = ∑
i

∂Λ
δqi
∂ q& i

t
t0

= ∑ ( p iδ q i − p i 0δ q i 0 ) .

(9.4.5)

i

Из (9.4.5) следует, что
pi =

∂S
∂S
, pi 0 = −
( i = 1, 2, ..., s ).
∂qi
∂qi 0

(9.4.6)

Отсюда следует, что действие, записанное как функция начального и
конечного положений, задаёт «поле импульсов» (9.4.6).
306

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

В качестве примера рассмотрим вращение твёрдого тела вокруг
одной из главных осей инерции. Лагранжиан задачи
Iϕ& 2
Λ (t , ϕ , ϕ& ) =
,
(9.4.7)
2

где I − момент инерции, ϕ − угол поворота тела вокруг оси вращения.
Так как переменная ϕ циклическая (явно не входит в выражение для
лагранжиана (9.4.7)), то обобщённый импульс
pϕ (t , ϕ , ϕ& ) = Iϕ& = const ,
(9.4.8)
а решением уравнения движения будет функция, полученная интегрированием (9.4.8)
ϕ=

pϕ 0
I

(t − t0 ) + ϕ 0 .

(9.4.9)

Для этого решения действие равно
S=

pϕ2 0
2I

(t − t0 ) .

(9.4.10)

Исключая из (9.4.10) обобщённый импульс в начальный момент времени pϕ 0 с помощью (9.4.9), получим
I (ϕ − ϕ 0 ) 2
S=
.
2 t − t0

(9.4.11)

Следовательно, обобщённый импульс в моменты времени t и t0 равен
pϕ =

ϕ − ϕ0
ϕ − ϕ0
∂S
∂S
⇒ pϕ = pϕ 0 = const . (9.4.12)
=I
=I
, pϕ 0 = −
t − t0
∂ϕ
t − t0
∂ϕ 0

Теперь найдём уравнение для действия в случае, когда решения
системы (9.1.19) неизвестны. С одной стороны, полная производная от
действия по времени равна лагранжиану, т.е.
dS
= Λ,
dt

(9.4.13)

dS
∂S
∂S
∂S
=
+∑
q& i =
+ ∑ p i q& i .
dt
∂t
∂t
i ∂qi
i

(9.4.14)

а с другой стороны –

Подставляя (9.4.13) в (9.4.14), получим, что действие подчиняется уравнению
∂S
+ ∑ p i q& i − Λ = 0 .
∂t
i
307

(9.4.15)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

С учётом (2.3.9) перепишем (9.4.15) в виде ( i = 1, 2, ..., s )
⎛
∂S
∂S
+ H ⎜⎜ t , q i ,
∂t
∂qi
⎝
⎛

∂S ⎞

⎝

i

⎞
⎟⎟ = 0 ,
⎠

(9.4.15)

где H ⎜⎜ t , qi , ⎟⎟ − гамильтониан системы (обобшённые импульсы заме∂q
⎠

нены частными производными от действия по соответствующим обобщённым координатам). Уравнение (9.4.15) называют уравнением Гамильтона-Якоби.
Полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби будет функция S (t , qi , α i ) ( i = 1, 2, ..., s ), зависящая от s произвольных констант α i и
удовлетворяющая условию*
⎛ ∂2S ⎞
⎟ ≠ 0.
det ⎜
⎜ ∂q ∂α ⎟
⎝ i j⎠

(9.4.16)

По полному интегралу можно находить независимые интегралы канонических уравнений, опираясь на теорему Якоби: если некоторая
функция S (t , qi , α i ) является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, то решение канонических уравнений Гамильтона (9.1.19)
определяется соотношениями
а) pi =

∂S
∂S
, б) β i =
( i = 1, 2, ..., s ).
∂qi
∂α i

(9.4.17)

где α i и β i − произвольные постоянные. Разрешая уравнения а) и б)
относительно обобщённой координаты, находят решение в виде зависимости q(t , α i , β i ) , т.е. функции времени и 2s произвольных констант.
Для доказательства теоремы Якоби надо показать, что решение
(9.4.17) тождественно удовлетворяет каноническим уравнениям Гамильтона (9.1.19). Продифференцируем (9.4.15) по параметрам αj , получим
s ∂H
∂ 2S
∂ 2S
+∑
= 0 , ( j = 1, 2, ..., s ).
∂ α j ∂ t i =1 ∂ p i ∂ α j ∂ q i

*

(9.4.18)

Функция действия S в явном виде не входит в уравнение (9.4.15), которое содержит только
её частные производные, поэтому в полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби будут входить аддитивно (s+1)-а произвольная постоянная.
308

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Полная производная по времени от интегралов б) из (9.4.17) равна
s
d ⎛⎜ ∂S ⎞⎟
∂2S
∂2S
=
+ ∑ q&i
= 0 , ( j = 1, 2, ..., s ).
dt ⎜⎝ ∂α j ⎟⎠ ∂t∂α j i =1 ∂qi ∂α j

(9.4.19)

Уравнения (9.4.18) и (9.4.19) образуют системы линейных уравнений
относительно величин

∂H
и q&i соответственно. Коэффициенты сис∂pi

тем одинаковы, а главные определители систем (9.4.18) и (9.4.19) по
условию (9.4.16) отличны от нуля. Следовательно, решения систем (9.
4.18) и (9.4.19) тождественно равны, т.е.
q&i =

∂H
( i = 1, 2, ..., s ),
∂pi

(9.4.20)

что совпадает с первым уравнением системы (9.1.19).
Вычислим производную от (9.4.15) по координатам qj и полную
производную по времени от интегралов а) из (9.4.17), получим
s ∂H
∂ 2S
∂H
∂ 2S
+
+∑
= 0 , ( j = 1, 2, ..., s ).
∂ q j ∂ t ∂ q j i =1 ∂ p i ∂ q j ∂ q i

dp j

s
∂2S
∂2S
=
+ ∑ q&i
= 0 , ( j = 1, 2, ..., s ).
∂t∂q j i =1 ∂qi ∂q j
dt

(9.4.21)
(9.4.22)

Перепишем (9.4.20) в виде
s ∂H
∂ 2S
∂ 2S
∂H
+∑
=−
, ( j = 1, 2, ..., s ).
∂ q j ∂ t i =1 ∂ p i ∂ q j ∂ q i
∂q j

(9.4.23)

С учётом (9.4.20) находим из сравнения (9.4.22) и (9.4.23), что
p& j = −

∂H
, ( j = 1, 2, ..., s ).
∂q j

(9.4.24)

Уравнения (9.4.24) совпадают со вторым уравнением системы (9.1.19).
Несмотря на одинаковые физические предпосылки, используемые при выводе канонических уравнений Гамильтона и уравнения
Гамильтона-Якоби, последнее обладает определённым преимуществом. Оно состоит в том, что для решения уравнения Гамильтона-Якоби в ряде случаев применяется метод разделения переменных, включающий в себя частным случаем метод циклических аргументов. Кроме
того, уравнение Гамильтона-Якоби позволяет провести аналогию между механикой точки и волновыми процессами.
309

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

9.5. Метод Фурье
Если гамильтониан динамической системы обладает определёнными свойствами, то для решения уравнения Гамильтона-Якоби можно применить метод разделения переменных (метод Фурье). Например, для обобщённо-консервативной системы (см. пункт 9.1) гамильтониан не зависит явно от времени, т.е. уравнение (9.4.15) имеет вид
⎛ ∂S ⎞
∂S
⎟⎟ = 0 , ( i = 1, 2, ..., s ).
+ H ⎜⎜ qi ,
∂t
∂
q
i ⎠
⎝

(9.5.1)

Решением уравнения (9.5.1) является полный интеграл
S = − H 0t + W (q1 ,..., qs , α1 , ..., α s −1 , H 0 ) ,
(9.5.2)
зависящий от времени по линейному закону. Роль s-той константы играет энергия H0, а «укороченное» действие W удовлетворяет стационарному уравнению
⎛
∂W
∂W
H ⎜⎜ q1 ,..., qs ,
, ...,
∂q1
∂qs
⎝

⎞
⎟⎟ = H 0 .
⎠

(9.5.3)

При известном полном интеграле (9.5.2) можно воспользоваться
теоремой Якоби и найти решения канонических уравнений Гамильтона, так как
∂S ∂W
∂S
∂W
=
= −t +
( i = 1, 2, ..., s − 1),
.
∂α i ∂α i
∂H 0
∂H 0

(9.5.4)

Поэтому
а) p i =

∂W
∂W
( i = 1, 2, ..., s ), б) βi =
( i = 1, 2, ..., s − 1),
∂qi
∂α i

в) β s = − t +

∂W
.
∂H 0

(9.5.5)

В силу того, что «укороченное» действие W не зависит от времени, то
− «поле импульсов» стационарно (9.4.17, а);
− ( s − 1 )-ин интеграл (9.4.17, б) задают множество «траекторий» в конфигурационном пространстве;
− уравнение (9.4.17, в) определяет закон движения динамической системы.
Разделение переменных происходит и при наличии циклических
310

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

координат. Если их число s − k , то уравнение (9.4.15) принимает вид
⎛
∂S
∂S
∂S ⎞
⎟⎟ = 0 .
+ H ⎜⎜ q1 ,..., qk ,
, ...,
∂t
∂
∂
q
q
1
s ⎠
⎝

(9.5.6)

Решение (9.5.6) будет линейно зависеть от циклических координат
s

S = V (t , q1 ,..., qk , α1 , ..., α s ) + ∑ α i qi .

(9.5.7)

i = k +1

С учётом равенств
∂S ∂V ∂S
∂V
∂S
=
=
= α i ( i = k + 1, ..., s ) (9.5.8)
,
( i = 1, 2, ..., k ),
∂t
∂t ∂qi ∂qi
∂qi

получим уравнение для функции V
⎛
⎞
∂V
∂V
∂V
, ...,
, α k +1 ,..., α s ⎟⎟ = 0 .
+ H ⎜⎜ t , q1 ,..., q k ,
∂t
∂ q1
∂q k
⎝
⎠

(9.5.9)

Зная полный интеграл (9.5.9), по теореме Якоби находят решение канонических уравнений.
Метод разделения переменных* работает и в том случае, когда гамильтониан системы равен
H = H (t , q1 ,..., q k , p1 ,..., p k , f k +1 ( q k +1 , p k +1 ),..., f s ( q s , p s ) ) , (9.5.10)
где каждая из функций f i (qi , pi ) ( i = k + 1, ..., s ) зависит только от соответствующей пары канонических аргументов (qi , pi ) . Тогда решение
уравнения (9.4.15) определяется функцией
s

S = V (t , q1 ,..., qk , α1 , ..., α s ) + ∑ Wi (qi , α1 , ..., α s ) ,

(9.5.11)

i = k +1

здесь Wi − аддитивная составляющая действия. Подставляя (9.5.11) в
уравнение (9.4.15), находим
∂S ∂V ∂S
∂V
∂S ∂Wi
=
=
=
,
( i = 1, 2, ..., k ),
( i = k + 1, ..., s ). (9.5.12)
∂t
∂t ∂qi ∂qi
∂qi
∂qi

Уравнение (9.4.15) преобразовывается в уравнение
⎛
⎛
⎛
∂Wk +1 ⎞
∂W s
∂V
∂V
∂V
⎟⎟,..., f s ⎜⎜ q s ,
+ H ⎜⎜ t , q1 ,..., q k ,
, ...,
, f k +1 ⎜⎜ q k +1 ,
∂t
∂q1
∂q k
∂q k +1 ⎠
∂q s
⎝
⎝
⎝
*

⎞⎞
⎟⎟ ⎟ = 0 .(9.5.13)
⎟
⎠⎠

Отметим, что в методах разделения переменных и циклических координат основным является
выбор переменных. В частности, в задаче двух тел (см. пункт 3.4) декартовые координаты не
допускают разделения переменных, а при формулировке задачи в полярных координатах можно разделить переменные. В механике есть задачи, для которых разделения переменных нельзя
достигнуть ни в одной из систем координат, например, задача трёх тел.
311

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Функция (9.5.11) является решением уравнения (9.5.13) в том случае,
когда все функции fi ( i = k + 1, ..., s ) постоянны
⎛ ∂W ⎞
f i ⎜⎜ qi , i ⎟⎟ = α i ,
⎝ ∂qi ⎠

(9.5.14)

а уравнение (9.5.13) переходит в уравнение (9.5.9). Применяя теорему
Якоби, находят решение уравнения (9.4.15)
pi =

∂W
∂V
( i = 1, 2, ..., k ), pi = i ( i = k + 1, ..., s ),
∂qi
∂qi

βi =

∂S
( i = 1, 2, ..., s ).
∂α i

(9.5.15)

Отметим, что этот случай включает вариант циклических переменных,
если f i = pi ( i = k + 1, ..., s ).
Для сопоставления методов Эйлера-Лагранжа и Гамильтона-Якоби рассмотрим движение достаточно малого тела с массой m по гладкому абсолютно твёрдому стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Oz, проходящей через закреплённую
точку O. Стержень расположен под постоянным углом θ 0 к оси аппликат (рис. 9.3). Независимой координатой материальной точки выберем
её расстояние r до точки O. Уравнения связи имеют вид
θ = θ0 , ϕ = ω t ,
(9.5.16)
Направление
z
вращения
а лагранжиан равен
Стержень

m

•

Λ (t , r , r& ) =

Точка

r

y

m 2
( r& + ω 2 r 2 sin 2 θ 0 ) −
2
− mgr cos θ 0 .
(9.5.17)

Составляя и интегрируя уравнение
Эйлера-Лагранжа (9.1.1) при отсутx
ствии диссипативных сил, получим
Рис. 9.3. Движение материальной точ- уравнение
ки по гладкому абсолютно твёрдому
&r& − ω 2 r sin 2 θ 0 = − g cos θ 0 (9.5.18)
стержню.
и его общее решение
⎛
g cos θ ⎞
r = ⎜⎜ r0 − 2 2 0 ⎟⎟ch(ω t sin θ 0 ) +
ω sin θ 0 ⎠
⎝
r&0
g cos θ
+
sh (ω t sin θ 0 ) + 2 2 0 .
(9.5.19)
ω sin θ 0
ω sin θ 0
mg

312

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Воспользовавшись уравнением (9.5.3), находим
m 2 m 2 2
r& − ω r sin 2 θ 0 + mgr cos θ 0 =
2
2
m
m
= H 0 = r&02 − ω 2 r02 sin 2 θ 0 + mgr0 cos θ 0 .
2
2

H=

(9.5.20)

Перепишем (9.5.20) в виде
m 2
r& = H 0 − U eff (r ) ,
2

(9.5.21)

где эффективная потенциальная энергия
U eff (r ) = mgr cos θ 0 −

m 2 2 2
ω r sin θ 0 .
2

(9.5.22)

Уравнение (9.5.21) имеет смысл только при выполнении условия
H 0 − U eff (r ) ≥ 0 ⇒ H 0 ≥ U eff (r ) ,
(9.5.23)
2

m ⎛ g cosθ0 ⎞
m
π
⎟ (рис. 9.4).
так как величина r& 2 ≥ 0 . Если θ 0 < , то Ueffmax = ⎜⎜
2 ⎝ ω sinθ0 ⎟⎠
2
2
Ueff

U

mgr cosθ 0
max
H0 > Ueff

max
eff

max
H0 < Ueff

Рассмотрим 3 случая:
1) H0 > U effmax − инфинитное движение.
В этом случае начальная радиальная
скорость должна удовдетворять условию
2

⎛
g cosθ0 ⎞
⎟ . (9.5.24)
r& > ⎜⎜ ω r0 sinθ0 −
ω sinθ0 ⎟⎠
⎝
2) H 0 < U effmax − финитное движение.

H0 < 0
−

2
0

m 2 2
ω r sin 2 θ 0
2

Рис. 9.4. Зависимость эффективной
потенциальной энергии от расстояния между закреплённой и материальной точками.

r1, 2

g cos θ 0
= 2
m
ω sin 2 θ 0

Движение материальной точки может
происходить в одной из двух областей: 0 ≤ r ≤ r1 или r2 ≤ r < ∞ , − границы
которых определяются формулами

⎛ g cos θ 0
⎜⎜ 2
2
⎝ ω sin θ 0

2

⎞
2H 0
⎟⎟ −
.
2
2
m
ω
sin
θ
0
⎠

(9.5.25)

Величины (9.5.25) являются корнями квадратного уравнения
H 0 = U eff (r ) = mgr cosθ 0 −

m 2 2 2
ω r sin θ 0 .
2

(9.5.26)

Этот случай реализуется тогда, когда начальная радиальная скорость
достаточно невелика и удовлетворяет неравенству
313

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9
2

⎛
g cosθ0 ⎞
⎟⎟ .
r& < ⎜⎜ ω r0 sin θ0 −
(9.5.27)
ω
sin
θ
0 ⎠
⎝
3) H0 < 0 − финитное движение. Область r2 ≤ r < ∞ ограничена снизу.
2
0

Начальные условия удовлетворяют неравенству
r&02 < ω 2 r02 sin 2 θ 0 − 2 gr0 cos θ 0 .
При θ 0 ≥

π

(9.5.28)

движение материальной точки будет инфинитно в облас-

2
тях: если H0 > 0 , то 0 ≤ r < ∞ , а при H0 < 0 − rmin ≤ r < ∞ .

Решим ту же самую задачу с использованием уравнения Гамильтона-Якоби. Используя (9.5.17), по формуле (2.3.9) найдём гамильтониан задачи
p r2 mω 2 2
H=
−
r sin 2 θ 0 + mgr cos θ 0 ,
2m
2

(9.5.29)

где pr = mr& − радиальный импульс. Составим уравнение ГамильтонаЯкоби
2

∂S
1 ⎛ ∂S ⎞
mω 2 2
+
−
r sin 2 θ 0 + mgr cos θ 0 = 0 .
⎜
⎟
∂t 2 m ⎝ ∂r ⎠
2

(9.5.30)

Гамильтониан (9.5.29) явно от времени не зависит, следовательно обобщённая энергия сохраняется ( H = H0 ). Тогда полный интеграл по (9.5.2)
равен
S = − H 0t + W (r , H 0 ) ,

(9.5.31)

при этом «укороченное» действие подчиняется уравнению
2

1 ⎛ dW ⎞
mω 2 2
r sin 2 θ 0 + mgr cos θ 0 = H 0 .
⎜
⎟ −
2 m ⎝ dr ⎠
2

(9.5.32)

Решение этого уравнения, полученное интегрированием, имеет вид
W = ± ∫ 2 mH 0 + m 2ω 2 r 2 sin 2 θ 0 − 2 m 2 gr cos θ 0 dr .

(9.5.33)

По теореме Якоби получаем радиальный импульс
pr =

∂W
= ± 2mH 0 + m 2ω 2 r 2 sin 2 θ 0 − 2m 2 gr cos θ 0 .
∂r

(9.5.34)

и закон движения в форме
t + β = ±∫

mdr
2 mH 0 + m 2ω 2 r 2 sin 2 θ 0 − 2 m 2 gr cos θ 0
314

. (9.5.35)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

9.6. Оптико-механическая аналогия
Существование аналогии, например, между движениями свободной материальной точки в стационарном потенциальном поле U (r ) и
монохроматической волной в оптически неоднородной среде указывает на корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) природных
объектов и процессов. Движение материальной точки подчиняется
уравнению Гамильтона-Якоби
∂S (t , r )
1
+
(∇ S (t , r ) )2 + U ( r ) = 0 .
(9.6.1)
∂t
2m
Так как гамильтониан H = H 0 не изменяется с течением времени, то

действие определяется по формуле (9.5.2)
S = − H 0t + W (r , H 0 ) ,

(9.6.2)

при этом «укороченное» действие подчиняется уравнению
(∇ W )2 = 2 m[ H 0 − U ( r )] .
(9.6.3)
Так как «укороченное» действие не зависит от времени, то в конфигурационном пространстве его поверхности W (r , H 0 ) = const стационарны, а поверхности равного действия (9.6.2) S = − H 0 t + W = const движутся. В произвольный момент времени любая поверхность равного
действия совпадает с некоторой поверхностью «укороченного» действия.
Поверхность равного действия за промежуток времени dt проходит расстояние ds в направлении собственной нормали, т.е. её перемещение происходит со скоростью u =

ds
. За тот же промежуток вреdt

мени изменение «укороченного» действия, с одной стороны, равно
dW = H 0 dt , а с другой стороны − dW = ∇W ds . Тогда скорость движения поверхности равного действия равна (см. также пункты 3.1 и 3.3)
u=

H
H0
H
ds
= 0 =
= 0.
dt ∇W
2mK m v

(9.6.4)

где K и v − кинетическая энергия и модуль скорости материальной
точки соответственно.
Материальная точка движется по экстремали, касатальная к ко315

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

торой в любой момент времени перпендикулярна поверхностям равного и «укороченного» действий, так как её импульс
p = ∇S = ∇W .
(9.6.5)
Траектория движения точки определяется из уравнения (9.6.3), которое формально совпадает с уравнением эйконала l (оптическая длина
пути луча света между двумя произвольными точками) в геометрической оптике
(∇ l )2 = n 2 ( r ) ,
(9.6.6)
где n(r ) − показатель преломления среды, численно равный отношению скорости света в вакууме с к его скорости в среде. Уравнение (9.
6.6) получают из волнового уравнения для любой компоненты φ электрического или магнитного поля
n 2 ( r ) ∂ 2ϕ
2
∇ ϕ−
= 0.
(9.6.7)
2
2
∂t

с

Постоянство показателя преломления среды приводит к тому, что одним из решений уравнения (9.6.7) будет плоская волна
ϕ = a exp[i (kr − ω t )] ,
(9.6.8)
здесь а – постоянная амплитуда, ω – заданная частота, k – волновой
вектор ( k =

2π

λ

=

nω
, λ – длина волны), сонаправленный с нормалью
c

поверхности равного действия. При медленно меняющемся от точки к
точке пространства показателе преломления среды решение уравнения (9.6.7) ищут в виде функции
ϕ = a(r ) exp[i (k0l (r ) − ω t )] ,
(9.6.9)
где
k0 =

2π

λ0

=

ω
c

–

(9.6.10)

волновое число в вакууме, l (r ) – эйконал. Подстановка (9.6.9) в уравнение (9.6.7) * и разделение действительной и мнимой частей приводит
к системе уравнений для амплитуды a(r ) и эйконала l (r )
*

Здесь происходит смешение двух пространств: уравнение (9.6.7) получено в области действительных чисел, а решения (9.6.8) и (9.6.9) берут из множества комплексных функций. Наиболее
последовательным подходом является получение уравнения и отыскание его решения на
одном и том же числовом множестве.
316

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

⎧⎪∇ 2 a + ak 02 [ n 2 − (∇ l )2 ] = 0
.
⎨ 2
⎪⎩ a ∇ l + 2 (∇ a )( ∇ l ) = 0

(9.6.11)

Предположим, что на расстояниях порядка длины волны показатель преломления среды практически постоянен, т.е. в эквивалентном виде: длина волны пренебрежимо мала по сравнению с линейными размерами неоднородностей среды. Тогда величина волнового числа k 0 =

2π

λ0

→ ∞ , а первое уравнение системы (9.6.11) заменяется урав-

нением (9.6.6) *. В этом предельном случае поверхности
(9.6.12)
задают поверхности равной фазы и фронт волны. Световые лучи перпендикулярны к фронту волны и распространяются вдоль волнового
вектора
k0l (r ) − ω t = const

k=k

∇l
∇l
∇l
= k 0 ∇l .
= k 0 ∇l
= k0 n
∇l
∇l
∇l

(9.6.13)

Сопоставление механического и оптического подходов приводит
к выражениям
S ~ k0l (r ) − ω t , W ~ k0l (r ) , H0 ~ ω , p ~ k, 2m( H 0 − U ) ~ n 2 . (9.6.14)
Таким образом, оптико-механическая аналогия состоит в том, что:
− поверхность равного действия является аналогом фронта волны;
− «укороченное» действие соответствует эйконалу;
− энергии материальной частицы сопоставляется частота волны, а импульсу – волновой вектор;
− величина 2m( H 0 − U ) выступает в роли показателя преломления среды, в которой происходит движение материальной точки;
− траектория движения точки соответствует распространению луча.
В качестве примера рассмотрим движение материальной точки
с массой m в поле тяжести с напряжённостью g. Выберем декартову
*

Пренебрежение первым членом в первом уравнении системы (9.6.11) эквивалентно требованию малого изменения амплитуды на расстоянии порядка длины волны, т.е ∇ 2 a << a 4π 2 / λ20 .
Второе уравнение системы (9.6.11) с точностью до постоянного множителя отображает закон
сохранения энергии при распространении волны. Если это уравнение переписать в виде
∇(a 2 ∇l ) = 0 и учесть, что перенос энергии происходит по направлению вектора k ~ ∇l , а величина этого потока ~ a 2 (см. заключительный абзац пункта 3.8).
317

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

систему так, чтобы движение материальной точки происходило в плоскости Oxy. Функция Гамильтона для точки имеет вид
p x2 + p x2
+ mgy ,
2m

H=

(9.6.15)

а уравнение Гамильтона-Якоби для «укороченного» действия −
2

2

⎞
⎟⎟ + 2 m 2 gy = 2 mH 0 ,
⎠

⎛ ∂W
⎛ ∂W ⎞
⎜
⎟ + ⎜⎜
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y

(9.6.16)

решение которого следует искать в виде
W = αx + W y ( y ) .

(9.6.17)

Подставляя (9.6.17) в (9.6.16), находим полный интеграл
2
W = αx −
3g

⎞
α2
2⎛
⎜⎜ H 0 −
− mgy ⎟⎟
m⎝
2m
⎠

3

(9.6.18)

и геометрический интеграл
⎞
α2
2⎛
⎜⎜ H 0 −
− mgy ⎟⎟ .
m⎝
2m
⎠

α
∂W
β=
= x+
∂α
mg

(9.6.19)

Используя начальные условия, окончательно находим множество параболических траекторий движения материальной точки
p y20

m2 g
y = y0 +
− 2 ( x − β )2 .
2
2m g 2 p x 0

(9.6.20)

Приравнивая (9.6.18) константе C найдём семейство полукубических
парабол, перпендикулярных к траекториям движения
p 2y 0
2m

− mg ( y0 − y ) =

13
9mg 2 (C − p x 0 x) 2 .
2

(9.6.20)

С целью упрощения полученных формул выберем начальные условия в виде x0 = 0 ( β = 0 ) и p y 0 = 0 , установим зависимости
m2 g 2
y = y0 − 2 x .
2 px0
y = y0 −

1
9
3
(C − p x 0 x) 2 .
2
2 mg

(9.6.21)
(9.6.22)

Подобрав показатель преломления среды n ~ px20 + 2m2 g ( y0 − y) для соответствия с (9.6.16), найдём, что лучи в такой среде распространяются по параболе, а волновой фронт описывается формулой (9.6.22).
318

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

9.7. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана
Полную вариацию действия S = S (t , q, t0 , q0 ) можно записать в виде
t1

δ S = Λ 1δ t1 − Λ 0δ t 0 + ∫ δ Λ dt ,

(9.7.1)

t0

или
s

s

i =1

i =1

δ S = Λ 1δ t1 − Λ 0δ t 0 + ∑ p i1δ q i ( t1 ) − ∑ p i 0δ q i ( t 0 ) ,

(9.7.2)

где Λ , Λ 0 и Λ1 − лагранжиан и его значения в моменты времени t0 и t1 ,
для которых определены обобщённые импульсы pi 0 , pi1 и вариации
обобщённых координат δqi (t0 ) , δqi (t1 ) . Отметим, что вариации δqi (t0 ) и
δqi (t1 ) связаны с изменением вида соответствующих функций и в отличие от полных вариаций обобщённых координат вычисляются в
фиксированные моменты времени.
Установим соотношения между вариациями δqi (t0 ) , δqi (t1 ) и вариациями начального и конечного положений δqi 0 , δqi1 . На рис. 9.5, а показаны две «траектории», одна из которых проходит через точку (t0 , q0 ) ,
а вторая − через точку (t0 + δ t0 , q0 + δ q0 ) . Вариации начального и конечного положений задаются формулами
δ q α = δ q ( t α ) + q& ( t α )δ t α , α = 0,1 .
(9.7.3)
• → δ Полное варьирование функции связано с изменением
t
её вида и аргументов, оно не коммутативно с операциS = ∫ Λ dt
ей дифференцирования по времени.
t0
Используя определение гамильтониана и формулы (9.7.3) перепишем
(9.7.2) в виде
δ S = ∑ p i1δ q i1 − H 1δ t1 − ⎛⎜ ∑ p i 0δ q i 0 − H 0δ t 0 ⎞⎟ ,
s

s

⎝ i =1

i =1

⎠

(9.7.4)

где H 0 и H1 − значения функции Гамильтона в моменты времени t0 и
t1 соответственно.
В «расширенном» фазовом пространстве (по координатным осям
откладывают q, p и t; см. также пункт 2.4) выберем ансамбль Гиббса с
319

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

начальными состояниями q0, p0 и t0, образующими замкнутый контур
C0 (рис. 9.5, б), определяемый функциями
qi 0 = qi 0 (α ) , pi 0 = pi 0 (α ) , t0 = t0 (α ) , ( i = 1, 2, ..., s ; 0 ≤ α ≤ α 0 ). (9.7.5)
Траектория
движения
C1

Траектория
ансамбля

Траектория
движения
Расширенное фазовое
пространство

а

б

Рис. 9.5. Возможные траектории на фазовой плоскости (а) и движение ансамбля
механических систем в расширенном фазовом пространстве (б).

Из рис. 9.5, б видно, что после обхода контура параметр α возвращается в исходное нулевое положение. Контур C0 является направляющей
кривой для цилиндрической поверхности, на которой расположены
экстремали ансамбля, каждой из них соответствует своё значение параметра α. Зададим контур C1 формулами вида (9.7.5) для момента
времени t1. Для определённого параметра α вычислим действие на фазовой траектории, проходящей через точки контуров C0 и C1, соответствующие значению параметра α. Действие
S (α ) =

t1 ( α )

∫ Λ dt

(9.7.6)

t 0 (α )

является функцией параметра α. Интегрирование полной вариации
действия приводит к выражению
α0

∫ δ S (α ) = S (α 0 ) − S ( 0 ) = 0 .

(9.7.7)

0

С учётом формулы (9.7.4) можно записать (9.7.7) в виде
s

s

∫ [ ∑ p iδ q i − H δ t ] = ∫ [ ∑ p i δ qi − H δ t ] .

C1 i =1

(9.7.8)

C0 i =1

Следовательно, для механической системы с обобщённо-потенциальными силами и идеальными голономными связями величина
s

I = ∫ [∑ piδqi − Hδ t ]
C i =1

320

(9.7.9)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

не зависит от выбора замкнутого контура C, являющегося направляющей кривой для трубки действительных траекторий (каждая экстремаль проходит только через одну точку контура C) в «расширенном»
фазовом пространстве с координатами q, p и t. Величину (9.7.9) называют интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана или основным интегральным инвариантом механики.
Если движение динамической системы подчиняется уравнениям
q& i = Φ i ( t , q , p ) , p& i = Ψ i ( t , q , p ) ( i = 1, ..., s ),
(9.7.10)
а интеграл Пуанкаре-Картана является инвариантом относительно выбора замкнутого контура, охватывающего цилиндрическую поверхность с расположенными на ней действительными траекториями движения в «расширенном» фазовом пространстве с координатами q, p и
t, то уравнения (9.7.10) будут каноническими уравнениями Гамильтона с функцией H из интеграла (9.7.9). Дополним систему (9.7.10) уравнением
dt
= γ (t , q , p ) ,
dµ

(9.7.11)

здесь µ − дополнительный параметр, γ ( t , q , p ) − произвольная функция. Интегрируя систему уравнений (9.7.10), получим её общее решение в виде
qi = qi ( µ , t0 , q0 , p0 ) , pi = pi ( µ , t0 , q0 , p0 ) , t = t ( µ , t0 , q0 , p0 ) ( i = 1, ..., s ).(9.7.12)
Произвольно выберем замкнутый контур C0 и отберём из общего
решения (9.7.12) только те частные решения, которые отвечают фазовым траекториям, имеющим с контуром только одну общую точку. Задавая контур уравнениями (9.7.5) и подствляя функции из (9.7.5) в соотношения (9.7.12), получим семейство действительных экстремалей
qi = qi ( µ , α ) , pi = pi ( µ , α ) , t = t ( µ , α ) ( i = 1, ..., s ; 0 ≤ α ≤ α 0 ). (9.7.13)
Любому выбранному значению параметра α отвечает определённая
фазовая траектория, а параметр µ задаёт общую точку экстремали и
замкнутого контура, составленного из таких точек. Подстановка (9.7.
13) в интеграл Пуанкаре-Картана (9.7.9) даёт условие его инвариантности
s

s

dI = ∫ [∑ dpiδqi − dHδ t + ∑ pi d (δqi ) − Hd(δ t )] ,
C0 i =1

i =1

321

(9.7.14)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

где бесконечно малые приращения интеграла, связанные с параметрами µ и α, обозначены символами d и δ соответственно. Так как параметры µ и α независимы, то операции d и δ коммутируют (см. также
пункт 2.3). Таким образом, имеем условие постоянства интеграла
s

s

dI = ∫ [∑ dpiδqi − dHδ t + ∑ piδ (dqi ) − Hδ (d t )] = 0 ,
C0 i =1

(9.7.15)

i =1

Интеграл по замкнутому контуру C0 представляет собой интеграл по параметру α в пределах от 0 до α0, а значения подынтегральной функции на концах этого интервала равны между собой, поэтому
α0
(9.7.16)
∫ Hδ (d t ) + ∫ δHd t = ∫ δ ( Hd t ) = Hd t 0 = 0 .
C0

C0

C0

Из равенства (9.7.16) и аналогичного рассуждения для подынтегральной суммы в (9.7.15) получаем
(9.7.17)
∫ Hδ (d t ) = − ∫ δHd t ,
C0

C0

s

s

∫ ∑ p i δ ( dq i ) = − ∫ ∑ δ p i dq i ,

C 0 i =1

(9.7.18)

C 0 i =1

Подставив (9.7.17) и (9.7.18) в (9.7.15), находим
s

s

∫ [ ∑ dp iδqi − dH δ t − ∑ δpi dq i + δHd t ] = 0 ,

C0 i =1

(9.7.19)

i =1

Вариация гамильтониана находится по формуле вида (9.1.13)
δH =

∂H
∂H
∂H
δt + ∑
δqi + ∑
δpi ,
∂t
i ∂qi
i ∂pi

(9.7.20)

поэтому (9.7.19) переходит в равенство
⎛

s

∫ ∑ ⎜⎜ dpi +

C0 i =1

⎝

s ⎛
∂H ⎞
∂H ⎞
∂H ⎞
⎛
dt ⎟⎟δqi + ∫ ∑ ⎜⎜ − dqi +
dt ⎟⎟δpi + ∫ ⎜ − dH +
dt ⎟δt = 0 ,(9.7.21)
∂qi ⎠
∂pi ⎠
∂t ⎠
C0 i =1 ⎝
C0 ⎝

Формулы (9.7.10) и (9.7.11) позволяют преобразовать (9.7.21) к виду
⎧s ⎛

∫ γ ⎨∑ ⎜⎜ψ i +

C0

⎩ i =1 ⎝

s ⎛
∂H ⎞
∂H ⎞
dH ∂H ⎞ ⎫
⎟⎟δqi + ∑ ⎜⎜ − Φ i +
⎟⎟δpi + ⎛⎜ −
+
⎟δ t ⎬dµ = 0 . (9.7.22)
∂qi ⎠
∂pi ⎠
∂t ⎠ ⎭
i =1 ⎝
⎝ dt

В силу произвольности функции γ (выбор любого контура, охватывающего трубку действительных экстремалей) и выбора трубок, получим
Φi =

∂H
∂H
dH ∂H
=
, ψi = −
( i = 1, ..., s ),
.
∂pi
∂qi
dt
∂t

(9.7.23)

Это означает, что формулы (9.7.10) имеют форму канонических урав322

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

нений Гамильтона. Следовательно, инвариантность интеграла Пуанкаре-Картана (9.7.9) – это необходимое и достаточное условие того, чтобы динамическая система подчинялась механике Гамильтона.
Интеграл
s

I 1 = ∫ ∑ p iδ q i ,

(9.7.24)

C t i =1

вычисленный по контуру Ct, составленного из состояний механической системы в один и тот же момент времени t, называют интегралом Пуанкаре. Он является универсальным инвариантом и его значение не изменяется с течением времени. При наличии других универсальных инвариантов они отличаются от (9.7.18) постоянным множителем.

9.8. Универсальный и адиабатический инварианты
Рассмотрим обобщённо-консервативную динамическую систему,
у которой хотя один набор канонических аргументов разделяется. Рассмотрим вариант, когда каждая из этих переменных ( qi , pi ) является
периодической функцией времени с равными периодами (движение
системы называют либрацией), или пусть каждый обобщённый импульс pi является периодической функцией обобщённой координаты
qi , которая непериодески зависит от времени (движение системы называют вращением).
Решение уравнения Гамильтона-Якоби для таких систем
⎛
H ⎜⎜
⎝

⎛ ∂W
f1 ⎜⎜ q1 ,
∂q1
⎝

⎛
⎞
∂W
⎟⎟,..., f s ⎜⎜ q s ,
∂q s
⎠
⎝

⎞⎞
⎟⎟ ⎟ = H 0
⎟
⎠⎠

(9.8.1)

имеет вид
s

W ( q1 ,..., qk , α1 , ..., α s ) = ∑ Wi (qi , α1 , ..., α s ) .

(9.8.2)

i =1

Подстановка (9.8.2) в (9.8.1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида
⎛ ∂W ⎞
(9.8.3)
f i ⎜⎜ qi , i ⎟⎟ = α i ( i = 1, ..., s ).
∂
q
i ⎠
⎝
Отсюда находят функции Wi (qi , α1 , ..., α s ) , при этом постоянные α i свя323

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

заны соотношением
H (α 1 ,..., α s ) = H 0 .

(9.8.4)

Из системы (9.8.3) находим обобщённые импульсы
pi =

∂Wi (qi , α1 , ..., α s )
( i = 1, ..., s ).
∂qi

(9.8.5)

Излагаемый метод состоит в выборе вместо канонических переменных ( qi , pi ) специальным образом выбранных постоянных новых
импульсов, зависящих от постоянных α, причём гамильтониан системы зависит только от новых импульсов. В качестве таких импульсов
вводят величины
Ii =

1
∫ pi dq i ,
2π

(9.8.6)

где интегралы вычисляются по полным периодам изменения импульсов pi , зависящих от соответствующих координат qi . Величины (9.8.6)
называют переменными действия, которые являются независимыми
функциями постоянных α i ( i = 1, ..., s )
I i = I i (α 1 , ..., α s ) ( i = 1, ..., s ).
(9.8.7)
Если канонические аргументы ( qi , pi ) – периодические функции
с одинаковыми периодами, то переменная действия (9.8.6) численно
равна площади фигуры, ограниченной замкнутой фазовой траекторией
на фазовой плоскости (рис. 9.6, а). Если же pi – периодическая функция, а обобщённая координата qi неограниченно возрастает, то переменная действия (9.8.6) численно равна площади фигуры, ограниченной снизу числовой осью обобщённой координаты, сверху – экстреpx

Траектория
движения p
θ

Ix

x

Iθ

θ

Переменная
действия

а

б

Рис. 9.6. Переменные действия для случая либрации (а) и периодического
импульса, а обобщённая координата неограниченно возрастает (б).
324

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

малью движения, а справа и слева – вертикальными линиями, отвечающими начальному и конечному значениям обобщённой координаты
(рис. 9.6, б).
Решим систему уравнений (9.8.7) относительно постоянных α i
( i = 1, ..., s ), получим
α i = α i ( I 1 , ..., I s ) ( i = 1, ..., s ).

(9.8.8)

Подставляя (9.8.8) в «укороченное» действие W (9.8.2), получим
s

W ( q1 ,..., qk , I1 , ..., I s ) = ∑ Wi (qi , I1 , ..., I s )

(9.8.9)

i =1

как функцию «старых» обобщённых координат и «новых» обобщённых импульсов. Используя (9.8.9), найдём
pi =

∂W (q, I )
∂W (q, I )
, ϕi =
( i = 1, ..., s ),
∂I i
∂qi

(9.8.10)

где «новые» обобщённые координаты ϕi называют угловыми переменными.
В силу того, что «укороченное» действие W явно не зависит от
времени, то гамильтониан H имеет вид
(9.8.11)
H ( I1 , ..., I s ) ,
а производные, определяющие канонические уравнения в переменных
«действие-угол», −
ϕ&i =

∂H ( I ) &
∂H ( I )
= 0 ( i = 1, ..., s ).
, Ii = −
∂I i
∂ϕi

(9.8.12)

Из первого уравнения (9.8.12) следует, что угловые переменные являются линейными функциями времени
ϕi = ϕi 0 +

т.е. частная производная

∂H
t = ϕ i 0 + ϕ&i t ( i = 1, ..., s ),
∂I i

(9.8.13)

∂H
является частотой изменения обоб∂I i

щённого импульса pi . Приращение ∆ϕi угловой переменной за полный период изменения функции p j (q j ) при постоянстве всех других
координат qk ≠ q j и с учётом второго равенства (9.8.10) равно
∂ϕ i
∂ 2W
∂ ∂W
∆ϕ i = ∫
dq j = ∫
dq j =
dq j .
∫
∂q j
∂q j ∂I i
∂I i ∂q j
325

(9.8.14)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

Из (9.8.14) с учётом первого равенства (9.8.10) и определения (9.8.6)
находим, что
∆ϕ i = 2π

⎧2π , j = i
= 2πδ ij = ⎨
.
j
≠
i
0
,
∂I i
⎩

∂I j

(9.8.15)

С другой стороны, по (9.8.13) имеем
∆ϕ i =

∂H
Ti ,
∂I i

(9.8.16)

здесь Ti − полный период изменения импульса pi . Из сравнения формул (9.8.15) и (9.8.16) находим, что

∂H
является частотой изменения
∂I i

обобщённого импульса pi . Таким образом, для нахождения спектра
частот
∂H
= ωi .
∂I i

(9.8.17)

необходимо знать p i = pi ( qi , α 1 , ..., α s ) , затем найти переменные действия в виде функций с аргументами α i ( i = 1, ..., s ), записать гамильтониан как функцию переменных действия и по формуле (9.8.17) вычислить частоты.
Переменные действия обладают важным свойством – адиабатической инвариантностью. Они остаются практически неизменными за
время, сравнимое с периодом Ti = 2π / ωi , при достаточно медленном
изменении параметров системы. Пусть гамильтониан системы зависит
от медленно меняющихся со временем параметров λi ( i = 1, ..., s )
H ( f1 (q1 , p1 , λ1 ),..., f s (q s , p s , λ s )) ,
(9.8.18)
где каждый импульс pi является периодической функцией соответствуюшей координаты qi при постоянном значении параметра λi . Гамильтониан (9.8.18) описывает неконсервативную систему, но решение уравнения Гамильтона-Якоби можно искать в виде, близком к (9.
5.2),
S = − H 0 (α1 , ..., α s )t + W (q1 ,..., qs , α1 , ..., α s , λ1 , ..., λs ) , (9.8.19)
где параметры λi , а также величины α i и H 0 − медленно меняющиеся
со временем функции.
Подставляя (9.8.19) в уравнение Гамильтона-Якоби (9.5.1) и пре326

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9

небрегая слагаемыми с λ&i по сравнению с H 0 , получим уравнение динамики в «нулевом приближении» вида (9.8.1)
⎛
H ⎜⎜
⎝

⎛
⎞⎞
⎛ ∂W
⎞
∂W
f1 ⎜⎜ q1 ,
, λ1 ⎟⎟,..., f s ⎜⎜ q s ,
, λ s ⎟⎟ ⎟⎟ = H 0 (α 1 , ..., α s ) .
∂q1
∂q s
⎝
⎠
⎝
⎠⎠

(9.8.20)

Уравнение (9.8.20) отличается от (9.8.1) зависимостью от λi , но решать его надо при условии постоянства этих заданных функций. В
этом случае остаются справедливыми формулы (9.8.3), (9.8.5)-(9.8.10),
но все функции будут зависеть от λi . Следовательно, обобщённые импульсы будут функциями p i = p i ( q i , α , λ ) ( i = 1, ..., s ), которые зависят
не только от соответствующей обобщённой координаты, но и всех параметров α i и λi . Вместо (9.8.7) имеем формулу
(9.8.21)
I i = I i (α , λ ) ( i = 1, ..., s ).
Величны (9.8.21) оказываются постоянными, несмотря на временные
зависимости параметрических функций α i и λi . Выражая параметры
α i из (9.8.21) и подставляя их в «укороченное» действие из (9.8.19),
находим вид «укороченного» действия с новыми аргументами
W (q1 ,..., qs , I1 , ..., I s , λ1 , ..., λs ) .
(9.8.22)
Функция (9.8.22) определяет каноническое преобразование от
«старых» аргументов к переменным действие-угол
pi =

∂W (q, I , λ )
∂W (q, I , λ )
, ϕi =
( i = 1, ..., s ),
∂I i
∂qi

(9.8.23)

а уравнения движения приобретают вид
ϕ&i =

∂H ( I , λ )
∂H ( I , λ ) &
, Ii = −
( i = 1, ..., s ),
∂I i
∂ϕ i

(9.8.24)

здесь
H =H +

∂W
.
∂t

(9.8.25)

В «новых» переменных этот гамильтониан имеет вид
∂ W ( q (ϕ , I , λ ), I , λ ) &
λi ,
∂λi
i =1
s

H = H ( I 1 , ..., I s , λ ) + ∑

(9.8.26)

а новые уравнения движения
ϕ& i =

∂ H ( I , λ ) s ∂ 2W ( q (ϕ , I , λ ), I , λ ) &
λi ,
+∑
∂I i ∂ λi
∂I i
i =1
327

(9.8.27)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 9
2
s
&I i = − ∑ ∂ W ( q (ϕ , I , λ ), I , λ ) λ&i ( i = 1, ..., s ),
∂ϕ i ∂λi
i =1

(9.8.28)

Выполним усреднение уравнений (9.8.28) по интервалу времени,
который достаточно мал по сравнению со временем заметного изменения функции λi , но значительно превышающим период Ti :
2
s
&I i = − ∑ ∂ W λ&i ( i = 1, ..., s ),
i =1 ∂ ϕ i ∂ λ i

(9.8.29)

Функция W (q(ϕ , I , λ ), I , λ ) характеризуется неоднозначной зависимостью от координат q(ϕ , I , λ ) . Так как
s

W = ∑ ∫ p i dq i ,
i =1

(9.8.30)

то за полный период изменения координаты qi (при неизменных остальных координатах) функция (9.8.30) получает приращение
∆ W i = ∫ p i dq i = 2π I i .
(9.8.31)
В тоже время частные производные

∂W (q (ϕ , I , λ ), I , λ )
являются одно∂λi

значными функциями координат и периодическими функциями угловых аргументов φ, так как координаты qi − периодические функции
переменных φ, получающиеся при циклическом изменении этих координат приращение 2π . Следовательно, производные можно разложить
в ряд Фурье с коэффициентами, зависящими от I и λ . Поэтому ряды
Фурье для производных

∂ ⎛ ∂W ⎞
⎟ не содержат постоянных членов и
⎜
∂ϕ ⎝ ∂λ ⎠

при усреднении по достаточно большому промежутку времени все
∂ 2W
из (9.8.29) обратятся в нуль, что отвечает адиабапроизводные
∂ϕi ∂λi

тической инвариантности переменных действия
I&i = 0 ( i = 1, ..., s ).
(9.8.32)
Пренебрегая в (9.8.27) слагаемыми с λ&i , получим приближённые выражения для частот изменения обобщённых импульсов
ω i (t ) =

∂ H ( I , λ ( t ))
,
∂I i

(9.8.33)

которые являются медленно меняющимися функциями времени.
328

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Глава 10. Алгебры. Кватернионы. «Заряд»
Ум начинается там, где кончается
здравый смысл
К. Гельвеций

Первая работа “On a new Species of Imaginary Quantities connected
with a theory of Quaternions” по гиперкомплексному исчислению была
представлена У. Гамильтоном 13 ноября 1843 года на заседании Ирландской королевской академии. Создатель теории электромагнетизма
Джеймс Клерк Максвелл писал*: «Изобретение исчисления кватернионов есть шаг вперёд к познанию величин, связанных с пространством,
сравнимое по своему значению лишь с изобретённой Декартом системой координат. Идеи этого исчисления, отвлечённые от его действий и
символов, могут быть чрезвычайно полезны во всех областях науки».
Вначале эта теория была встречена математиками с большим воодушевлением, но уже через сорок лет она вызывала у них стойкое раздражение, а ещё через сорок лет − о кватернионах уже почти никто не
вспоминал. Лорд Кельвин в 1892 году писал о них так**: «Quaternions
came from Hamilton after his really good work had been done, and though
beautifully ingenious, have been an unmixed evil to those who have touched
them in any way», т.е. считал их чистейшим злом для тех, кто их касался. Несмотря на то, что после его фраз***: «В физике нечего открывать,
можно лишь осуществлять всё более точные измерения». «У радио нет
будущего», «Рентгеновские лучи − это выдумка» и других, к высказываниям лорда Кельвина надо относиться в меру скептически, но общее для того времени отношение к кватернионам он передал верно.
*

Максвелл Дж.К. О математической классификации физических величин.
Статьи и речи, М.: Наука, с. 39 (1968).
**

// Максвелл Дж.К.

Letter to Robert Baldwin Hayward (1892), as quoted in Energy and Empire: A Biographical Study
of Lord Kelvin (1989) by Crosbie Smith and M. Norton Wise.
***

https://ru.citaty.net/avtory/uiliam-tomson/ Цитаты Уильям Томсон.
329

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

История открытия кватернионов утверждает, что У. Гамильтон в
сопровождении супруги 16 октября 1843 года прогуливался по Дублину в направлении Королевской академии. На подступах к Брумскому
(Брогемскому − по письмам Гамильтона) мосту математика посетило
озарение. Легенда гласит, что в порыве вдохновения Гамильтон прямо
на опоре моста у реки начертал знаменитое соотношение «i2 = j2 = k2 =
= ijk = −1». О своём открытии на «Брогемском» мосту Гамильтон сообщил коллегам, а через несколько лет эта история приобрела всемирную известность, поэтому властям Дублина пришлось даже переименовать мост.
Однако ещё до У. Гамильтона в 1840 году О. Родригес опубликовал в периодическом издании «Journal de mathematiques pures et appliquees» работу*, посвящённую вращениям трёхмерного пространства. Эта работа содержала почти полное описание алгебры кватернионов, которые Родригес называл параметрами группы вращений, но она
осталась незамеченной учёными того времени.
Слово «кватернион» практически совпадает с латинским словом
quaternio («четвёрка»), являющегося синонимом греческого слова τετρακτύς. Другими словами, слово «кватернион» является отражением
мистического тетрактиса пифагорейцев, которому те приносили свою
знаменитую клятву и полагали символом гармонии всех четырёх сфер
бытия. Кватернионами называют упорядоченные четвёрки действительных чисел (q0, q1, q2, q3). Первый член был назван Гамильтоном
скаляром, три остальных − вектором (термин, введённый учёным и
получивший широкое распространение в физике). В основе арифметики комплексных чисел лежат 2 единицы (одна действительная и одна
мнимая), а в арифметике кватернионов – 4 (одна действительная и
три мнимых, см. табл. 1.1 из пункта 1.2), произведения которых вычисляют по определённым правилам. Эти правила применяют для нахождения результатов произведения кватернионов и частного от их
*

Rodrigues M.O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans
l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de mathematiques pures et appliquees,
Série 1, Tome 5, s. 380-440 (1840).
330

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

деления. Гамильтон нашёл их много позже того, как разработал правила сложения и вычитания кватернионов.
Векторы – это упорядоченные наборы действительных чисел. В
физике векторами обозначают скорости, ускорения, силы, потоки и тому подобные величины, которые характеризуются не только упорядоченностью их компонентов, но и наличием направления. Векторы одной размерности можно складывать или вычитать арифметически (достаточно просто сложить или найти разность соответствующих проекций) или геометрически (правила треугольника и параллелограмма).
Умножение вектора на число (скаляр) сводится к умножению на этот
скаляр каждой проекции набора. Основной проблемой в теории кватернионов было вычисление произведения векторов, которая была решена на Брумском (Брогемском) мосту. Кроме того, при решении этой
проблемы были введены две новые операции: скалярное и векторное
произведения векторов.
Гамильтон начал искать применение своим кватернионам, но это
ему никак не удавалось. Некоторые историки пишут о схожести попыток Гамильтона (отягощённых наступающим алкоголизмом) с бесплодными поисками единой теории А. Эйнштейном. Кроме того, выяснилось, что в зачаточном состоянии теория кватернионов была разработана ещё Гауссом, который посчитал их пустой тратой времени и не
стал публиковать полученные результаты. Через десять лет после открытия гиперкомплексного исчисления Гамильтон публикует капитальный труд под названием «Лекции о кватернионах». Во второй половине XIX в. попытки поиска приложений теории кватернионов не
увенчались успехом, хотя 4-вектор теории относительности с мнимым
временем удобно интерпретировать как гамильтоновский кватернион.
Приверженцы «кватернионного прогресса» становились всё более похожими на фанатиков − их научные работы приобретали размытый и
догматический характер. Это привело к тому, что теория кватернионов
очень быстро превратилась в набор неверных суждений, поэтому неудивительно, что к концу XIX в. кватернионы стали восприниматься
естествоиспытателями с раздражением.
331

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Назвав «векторами» чисто мнимые кватернионы, Гамильтон допустил серьёзный просчёт. Известно, что вектор отличается от любого
другого упорядоченного набора чисел законом преобразования при изменении системы отсчёта. «Векторы» Гамильтона, к сожалению, этому закону не подчинялись, поэтому они не годились на роль физических наблюдаемых. Математически верное описание кватернионов и их
правильная интерпретация приведены в работе О. Родригеса, но на его
научный труд никто не обратил внимания.
В начале XX в. были открыты спиноры − математические объекты, которые можно считать «правильным» обобщением «векторов»
Гамильтона. Кроме этого, Ф. Фробениус доказал теорему о существовании вложенных друг в друга алгебрах, сохраняющих все арифметические действия. Однако в алгебре кватернионов их произведение некоммутативно (неперестановочно). Если отказаться от ассоциативности (возможность произвольной группировки сомножителей), то получатся числа Кэли или октавионы (октавы, см. табл. 1.1 из пункта 1.2).
Эти числа используют, например, при компьютерном моделировании,
в датчиках ориентации на самолётах и т.д. В отличие от углов Эйлера
кватернионная интерпретация вращения твёрдого тела лишена особенностей, т.е. таких точек, которые определяются несколькими значениями параметров одновременно. Поэтому вычисления, основанные
на кватернионах, более устойчивы, они дают меньшую погрешность
вычислений при наличии малой ошибки в начальных данных. Однако
кватернионы лишены того наглядного геометрического представления, какое есть у углов Эйлера. Историческая роль теории Гамильтона
состоит в том, что в ней заложены основы векторной алгебры и теории
некоммутативной алгебры.

10.1. Генерация охватывающих алгебр
Метод построения (генерации) охватывающих алгебр* был пред*

Терехов С.В. Генерация алгебр пространств Евклида и специальной теории относительности.
// Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки, вип.1, с. 163-174 (2005).
332

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ложен автором в 2005 году. Для построения множества охватывающих алгебр, например, в плоском пространстве выбирают два элемента e1 и e2 , которые будем называть производящими. Внешним произведением ei ∩ e j называют всевозможные произведения производящих
элементов
ei ∩ e j : e1 ⋅ e1 , e1 ⋅ e2 , e2 ⋅ e1 , e2 ⋅ e2 .

(10.1.1)

Выбор производящих элементов и определение действий с ними
порождает алгебру и геометрию исследуемого многообразия. Согласно теореме Фробениуса охватывающей алгеброй для поля действительных чисел является алгебра комплексных чисел, поэтому рассмотрим комплексную плоскость. Выберем в качестве базисных элементов e1 = 1 и e2 = i ( i 2 = m1 – мнимая единица, i = −1 соответствует комплексным числам, а i = +1 − двойным; см. пункт 1.2), причём их произведение коммутативно, т.е. e1 ⋅ e2 = e2 ⋅ e1 . Для построения векторного
пространства над комплексной плоскостью воспользуемся алгеброй
Клиффорда, в которой для произведения элементов справедливо соотношение (1.2.11). Если пространство однородно и изотропно, то
в любой его точке справедливы выражения (1.2.12) и (1.2.13).
Для комплексной плоскости метрическая матрица (1.2.12), составленная из компонентов (10.1.1) имеет вид
i⎞
⎛1
⎟⎟ ,
G = ⎜⎜
⎝ i − 1⎠

(10.1.2)

а экстенсив (1.2.13) равен нулю. Используя свойства матриц, выделим
вещественную и мнимую части этой матрицы:
i⎞ ⎛1
0⎞ ⎛0 i ⎞ ⎛1
0⎞ ⎛0 1⎞
⎛1
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + i ⎜⎜
⎟⎟ .
G = ⎜⎜
⎝ i − 1⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ i 0 ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ 1 0 ⎠

(10.1.3)

Из формулы (10.1.3) видно, что действительная часть этой матрицы
Re ( G ) = GМ совпадает с метрической матрицей плоскости Минковского, т.е. метрика комплексной плоскости эквивалентна метрике плоскости Минковского (см. пункты 1.6 и 1.7). Для плоскости Евклида метрическая матрица равна единичной, т.е.
⎛1 0⎞
⎟⎟ = E .
GЕ = ⎜⎜
0
1
⎝
⎠
333

(10.1.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

⎛ x⎞

Поэтому для вещественного вектора X = ⎜⎜ ⎟⎟ на евклидовой плоскос⎝ y⎠
ти метрическим инвариантом является его длина, т.е. скаляр (модуль
вектора)
2
X T E X = x2 + y2 = X ,
(10.1.5)
где X T = (x y) − транспонированный вектор X . На плоскости Минковского инвариантом будет интервал между событиями
X T GМ X = x 2 − y 2 ,
(10.1.6)
а на комплексной плоскости − величина
X T G X = x2 − y2 + 2i x y .
(10.1.7)
Переход от евклидовой плоскости к комплексной плоскости соответствует преобразованию вещественного вектора по формуле
⎛ x⎞ 1 ⎛ z + z ⎞ z ⎛ 1 ⎞ z ⎛ 1 ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎟⎟ = ⎜⎜
(10.1.8)
X = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
(
)
y
−
−
−
i
z
z
i
i
2
2
2
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
здесь z = x + iy и z = x − iy – соответственно комплексное число и ему

комплексно-сопряжённое выражение. Из (10.1.8) видно, что в качестве базисных векторов могут быть выбраны векторы
f1 =

1
2

⎛ 1⎞
1 ⎛1⎞
⎜⎜
⎟⎟ , f 2 =
⎜⎜ ⎟⎟ .
−
i
2
⎝
⎠
⎝ i⎠

(10.1.9)

Тогда проекцией вещественного вектора на ось f 1 будет комплексное
число

z
z
, а на ось f 2 – комплексно-сопряжённое число
.
2
2

Всевозможные произведения (10.1.1) базисных элементов e1 = 1
и e 2 = i комплексной плоскости генерируют появление структур размерностью 2 × 1 или 1× 2 (базисный элемент является числом, а всего
в базисе два элемента):
⎛ e ⋅e =1 ⎞
⎛ e ⋅e = i ⎞
⎟⎟ , q = ⎜⎜ 2 1
⎟⎟ .
g = ⎜⎜ 1 1
e
e
i
e
e
1
⋅
=
⋅
=
−
⎠
⎠
⎝ 1 2
⎝ 2 2

(10.1.10)

Вектор q = −i g , следовательно, для нахождения второго вектора базиса
произведем обмен местами базисных элементов, тогда
⎛ e ⋅ e = −1 ⎞
⎛ e ⋅e = i ⎞
⎟⎟ = − g , t = ⎜⎜ 2 1
⎟⎟ = i g .
p = ⎜⎜ 1 1
⎝ e1 ⋅ e2 = i ⎠
⎝ e2 ⋅ e2 = 1 ⎠
334

(10.1.11)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Таким образом, в качестве второго базисного вектора можно выбрать
⎛1⎞

комплексно-сопряжённый вектор g = ⎜⎜ ⎟⎟. Этот базис будем называть
⎝ −i ⎠
исходным. Эрмитово-сопряжённый вектор (комплексно-сопряжённый
транспонированный вектор) к вектору g имеет вид g ∗ = ( 1 − i ) . Базис,
состоящий из эрмитово-сопряжённых векторов g1 = g ∗ и g 2 = ( g ) ∗ , будем называть сопряжённым. Модуль вектора g и его норма g на
комплексной плоскости задаются формулами
2
2
g = g∗ G g = 2 , g TG g = g = 0.

(10.1.12)

Векторы с нулевым значением нормы назвают изотропными. Так как
норма вектора g равна нулю, то векторы g и gT перпендикулярны, то
есть образуют декартов базис. Для того чтобы получить орты, умножим векторы g1 = g и g 2 = g (или эрмитово-сопряжённые к ним векторы) на коэффициент
берем векторы f 1 =

1
1
=
, т.е. в качестве базисных векторов выg
2

1
1
g и f2 =
g . Таким образом, внешнее произ2
2

ведение базисных элементов порождает новую алгебру – векторную
алгебру комплексных векторов.
⎛ x⎞

Разложение вещественного вектора X = ⎜⎜ ⎟⎟ по базису f 1 =
⎝ y⎠
f2 =

1
g и
2

1
g имеет вид
2
⎛ x⎞
X = ⎜⎜ ⎟⎟ = a1 f 1 + a 2 f 2 ,
⎝ y⎠

(10.1.13)

где проекции задаются комплексными числами a 1 и a 2 . Скалярные
произведения векторов эрмитово-сопряжённого базиса f 1∗ =
и f 2∗ =

1
(1 i )
2

x
1
( 1 − i ) на вещественный вектор X = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ равны
2
⎝ y⎠
x − i y z+
x+i y
z
∗
=
= a2 ,
f ⋅X =
=
= a1 , f 2 ⋅ X =
2
2
2
2
∗
1

335

(10.1.14)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

причём f i∗ ⋅ f j = δ ij . Это означает, что разложение (10.1.14) имеет вид
формулы (10.1.8). Если разделить обе части равенства (10.1.14) на
длину вектора X , то получим вид разложения любого вещественного
вектора с единичной длиной
1⎛
e X = ⎜⎜
d⎝

x ⎞ e iϕ
e− iϕ
⎟=
f1 +
f2.
y ⎟⎠
2
2

(10.1.15)

В исходном базисе формула (10.1.15) принимает вид
e iϕ
e − iϕ
eX =
g+
g.
2
2

(10.1.16)
⎛x⎞

Разложение произвольного комплексного вектора S =⎜⎜ ⎟⎟ по век⎝iy⎠
торам исходного базиса имеет вид
⎛ x⎞
S = ⎜⎜ ⎟⎟ = a1 f 1 + a 2 f 2 ,
⎝ i y⎠

(10.1.17)

где проекции определяются скалярными произведениями векторов
сопряжённого базиса на вектор S :
f 1∗ ⋅ S =

x−y
x+y
= a1 , f 2∗ ⋅ S =
= a2 .
2
2

(10.1.18)

Из формулы (10.1.18) видно, что проекции вектора S на базисные направления вещественны. Проведём нормировку вектора (10.1.18):
eS =

1⎛ x ⎞ x− y
x+ y
⎜⎜ ⎟⎟ =
f1 +
f2 .
d ⎝ i y⎠ d 2
d 2

(10.1.19)

Из (10.1.19) видно, что прямые линии y = m x являются особыми на евклидовой плоскости, так как на них лежат изотропные векторы, норма
которых равна нулю (см. (10.1.12)).
Внешние произведения базисных векторов f 1 и f 2 определяют
базисные матрицы размерностью 2 × 2 вида
⎛ 1 i⎞
⎟⎟ = L ,
⎜⎜
⎝ −i 1⎠
i⎞
1⎛1
⎟ =K ,
f 2 ∩ f 1∗ = ⎜⎜
2 ⎝ i − 1 ⎟⎠

f 1 ∩ f 1∗ =

1
2

⎛ 1 −i⎞
⎟⎟ = K ,
⎜⎜
⎝ − i − 1⎠
1 ⎛ 1 −i ⎞
⎟ = L.
f 2 ∩ f 2∗ = ⎜⎜
1 ⎟⎠
2⎝i

f 1 ∩ f 2∗ =

1
2

(10.1.20)
(10.1.21)

Матрица L является эрмитовой матрицей, так как выполняется равен336

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ство L∗ = L . Матрица K связана с метрической матрицей равенством
K=

G
. Матрицы L и K представим в виде
2
1 ⎡⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 − 1 ⎞⎤ µ 0 + i µ 2
⎟⎥ =
⎟ + i⎜
,
L = ⎢⎜⎜
2 ⎣⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠⎦
2

1 ⎡⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞⎤ µ 1 + i µ 3
⎟⎥ =
⎟ +i⎜
,
⎢⎜
2 ⎣⎜⎝ 0 − 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠⎦
2
где действительные матрицы µ k ( k = 0 ÷ 3 ) имеют вид:
K=

⎛1 0⎞

⎛1

(10.1.22)
(10.1.23)

⎛ 0 −1 ⎞
⎛0 1⎞
⎟⎟ ; µ 3 = ⎜⎜
⎟⎟ . (10.1.24)
1
0
0 ⎠
⎠
⎝

0⎞

⎟⎟ ; µ 1 = ⎜⎜
⎟⎟ ; µ 2 = ⎜⎜
µ 0 = ⎜⎜
0
−
1
0
1
⎠
⎠
⎝
⎝
⎝1

Эти матрицы обладают следующими свойствами:
det µ 0 = det µ 2 = 1 ; det µ 1 = det µ 3 = −1 ;
µ 02 = µ 12 = µ 23 = E ; µ 22 = − E ; µ i µ 0 = µ 0 µ i = µ i ( i = 1÷ 3 ); (10.1.25)
µ 2 µ 1 = −µ 1 µ 2 = µ 3 ; µ 1 µ 3 = −µ 3 µ 1 = µ 2 ; µ 3 µ 2 = −µ 2 µ 3 = µ 1 ,
⎛1 0⎞
⎟⎟ − единичная матрица. Из формул (10.1.25) видно, что
⎝0 1⎠
матрицы µ k ( k = 0 ÷ 3 ) образуют новую алгебру с некоммутативным

где E = µ0 = ⎜⎜

умножением матриц µ i ( i = 1÷ 3 ), которая изоморфна алгебре кватернионов Гамильтона. После введения матриц
ν 0 = µ 0 ; ν1 = µ 2 ; ν 2 = i µ1 ; ν 3 = i µ 3

(10.1.26)

она даёт для матриц ν k ( k = 0 ÷ 3 ) соотношения:
ν 02 = E ; ν 12 = ν 22 = ν 23 = − E ; ν i ν 0 = ν 0 ν i = ν i ( i = 1÷ 3 );
ν 1ν 2 = −ν 2 ν 1 = ν 3 ; ν 2 ν 3 = −ν 3 ν 2 = ν 1 ; ν 3 ν 1 = −ν 1ν 3 = ν 2 , (10.1.27)

которые совпадают с данными таблицы 1.2 из пункта 1.2, если положить i = ν 1 , j = ν 2 и k = ν 3 . Таким образом, рассмотренный метод позволяет сгенерировать новую алгебру элементов многообразия с бόльшей размерностью.
• → Q Отсюда следует нетривиальный вывод: изменение размерности многообразия влечёт за собой изменение алi2 = j 2 =
гебры базисных элементов, формирующих основные
2
= k = −1 свойства нового пространства.
337

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Матрица µ 0 определяет метрику евклидовой плоскости, а матрица µ1 – метрику плоскости Минковского. В связи с этим вычислим ме⎛x⎞

трические инварианты действительного вектора X = ⎜⎜ ⎟⎟ с матрицами
⎝ y⎠
µ k ( k = 0 ÷ 3 ). Метрические инварианты равны:
X T µ 0 X = x2 + y2 = X

2

– длина (модуль) вектора;

X T µ1 X = x2 − y2 =

2

– норма (интервал между событиями);

X Tµ2 X = 0

X

– норма чистого «винта» (см. идеальные числа);

X T µ 3 X = 2 x y = [X ]

2

– норматив вектора.

Действие матриц (10.1.22) и (10.1.23) на базисные векторы определяется равенствами
K f 1 = f 2 , K f 2 = 0 , K f 1 = 0 , K f 2 = f1 ;
(10.1.28)
L f 1 = 0 , L f 2 = f 2 , Lf1 = f1 , Lf 2 = 0 .

(10.1.29)

Следовательно, для вектора f 1 матрицы K и L являются матрицами
уничтожения, матрица K – матрицей трансформации, а матрица L –
матрицей тождественности. Для вектора f 2 матрицами уничтожения,
трансформации и тождественности являются соответствующие комплексно-сопряжённые матрицы. Из формул (10.1.28) и (10.1.29) видно, что базисные матрицы K и K изменяют ориентацию исходного
базиса векторов f 1 и f 2 , а базисные матрицы L и L оставляют ориентацию этого базиса неизменной. Если при преобразовании ориентация базиса не меняется, то базисные векторы являются собственными
векторами преобразования, а само преобразование – собственным.
Следовательно, матрицы K и L определяют метрику плоскости и её
собственные движения. Таким образом, внешние произведения базисных элементов генерируют метрику своего пространства и определяют допустимые движения в этом пространстве.
Вычислим внутренние произведения базисных матриц K ∩ L . Из
табл. 10.1 видно, что она имеет блочный вид: компонентами этой таблицы являются матрицы размерностью 2 × 2 . Используя данные табл.
10.1, найдём отличные от нуля комбинации базисных матриц:
338

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Таблица 10.1.
Внутренние произведения
базисных матриц

K

K

L

L

K

0

L

0

K

K

L

K

L

K

0
0

L

0
0

L

0

K

0

L

⎛ 1 0⎞
⎟⎟ = σ 0 ,
KK + KK = LL + L L = L + L = ⎜⎜
0
1
⎝
⎠

(10.1.30)
0⎞
⎛1
⎟⎟ = σ 3 ,
KL + KL = LK + L K = K + K = ⎜⎜
⎝ 0 −1 ⎠

(10.1.31)
⎛0 − i ⎞
⎟ =σ 2,
KK − KK = LL − L L = L − L = ⎜⎜
0 ⎟⎠
⎝i

(10.1.32)
⎛0 i ⎞
⎟⎟ = i σ 1 .
KL − K L = LK − L K = K − K = ⎜⎜
i
0
⎝
⎠

(10.1.33)

Матрицы
σ 0 = µ 0 , σ1 = µ 3 , σ 2 = i µ 2 , σ 3 = µ1

(10.1.34)

называют матрицами Паули. Отметим, что внешние произведения матриц µk ( k = 0 ÷ 3 ) порождают алгебру изоморфную алгебре октав (табл.
1.1, пункт 1.2). Полученные формулы показывают, что с помощью определения внешнего произведения и выбора базисных элементов можно сгенерировать все основные матрицы, определяющие метрику и
матрицы преобразования заданного пространства.

10.2. Ортогональные преобразования координат
Поиск преобразований, относительно которых физические законы остаются неизменными (инвариантными), позволяет выявить глобальные свойства пространственно-временного континуума. В связи с
этим является весьма важным вопрос об алгоритме нахождения таких
преобразований координат. Современная теория линейных преобразований базируется на определённых требованиях, предъявляемых к
матрице преобразования. Если квадратная матрица A размерности
n × n переводит матрицу X размерности n × k в матрицу Y размерности n× k , то говорят, что матрица A определяет преобразование: Y = A X .
Если определитель квадратной матрицы преобразования det A = ±1 , то
339

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

преобразование называется ортогональным, при этом в случае, когда
det A = +1 , преобразование называют собственным. Собственные преобразования соответствуют собственным движениям в исследуемом
многообразии. Отличие определителя преобразования от нуля указывает на невырожденность матрицы преобразования и возможность обратного преобразования: X = A−1Y . Обратимость матрицы преобразования определяется уравнением
A A −1 = A −1 A = E ,
(10.2.1)
где E – единичная матрица. Матрица A задаёт изометрическое преобразование, если
AT G A = G ,
(10.2.2)
где AT определяет транспонированную матрицу к матрице A , а квадратная матрица G задаёт метрику исследуемого множества матриц.
Выражения вида
X T G X = Y T GY ,
(10.2.3)
неизменяющиеся при выбранном преобразовании координат, называют инвариантами.
Такой подход к нахождению физически значимых преобразований обладает рядом недостатков:
– на линейное преобразование накладывается большое число ограничений, которые в последовательной теории должны возникать естественным образом;
– игнорируется алгебраический аспект данной проблемы;
– не учитывается тот факт, что псевдоевклидова плоскость Минковского содержит мнимое время: изменяется геометрия и алгебра, которой подчиняются элементы многообразия на этой плоскости;
– не учитывается размерность многообразия, которая может влиять на
выбор поля чисел, используемого для адекватного описания структуры и свойств пространства.
Произвольную матрицу A размерности 2 × 2 можно представить
в виде линейной комбинации базисных матриц (10.1.22) L , L и (10.1.
23) K, K :
⎛a b ⎞
⎟⎟ = A1 K + A 2 K + + A 3 L + A 4 L + ,
A = ⎜⎜
⎝c d ⎠
340

(10.2.4)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

где комплексные числа равны следующим внутренним произведениям
A1 = f 1∗ A f 2 , A 2 = f 2∗ A f 1 , A 3 = f 1∗ A f 1 , A 4 = f 2∗ A f 2 . (10.2.5)
Если матрица преобразования не изменяет ориентации базисных
векторов, то коэффициенты A1 = A 2 = 0 . Отсюда следует, что
⎧d = a
,
⎨
⎩ c = −b

⎧⎪ A 3 = a + i b
.
⎨
+
⎪⎩ A 4 = A 3 = a − i b

(10.2.6)

Используя показательную форму записи комплексных коэффициентов A3 = ρ ei β и A4 = ρ e−i β ( ρ = a 2 + b2 ), нормируя матрицу A на величину ρ , получим вид изометрической (это легко показать с учётом того,
что G = 2 K , и приведённых в табл. 10.1 данных), собственной, ортогональной матрицы
EA =

⎛ cos β
A = L e i β + L + e − i β = ⎜⎜
a2 + b2
⎝ − sin β
1

sin β ⎞
⎟,
cos β ⎟⎠

(10.2.7)

которая описывает поворот одной системы координат относительно
другой вокруг общего начала координат на евклидовой плоскости.
Аналогичные рассуждения для базисных элементов e1 = 1 и e2 = i
( i 2 = +1 ), которые определяют множество двойных чисел, генерируют
изометрическую, собственную, ортогональную матрицу, которая имеет вид
EA =

⎛ ch β
A = ⎜⎜
a2 + b2
⎝ shβ
1

shβ ⎞
⎟,
chβ ⎟⎠

(10.2.8)

и определяет преобразование Лоренца на евклидовой плоскости.
Рассмотрим преобразование координат на комплексном многооб⎛ x⎞

разии, сводящееся к преобразованию комплексного вектора S = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝iy⎠
Преобразование комплексных векторов имеет вид W = AS , причём W
также является комплексным вектором. Пусть изометрическое, обратимое, собственное движение плоскости Минковского задаётся орто⎛ a b⎞

⎟⎟ ( a , b , c и d – комплексные числа).
гональной матрицей A = ⎜⎜
c
d
⎝
⎠
Вид матрицы преобразования, удовлетворяющий физическим требо341

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ваниям, найдём путём разложения матрицы преобразования по базисным матрицам. В силу собственности движения матрица преобразования не должна изменять ориентации базиса, следовательно, коэффициенты A1 = A 2 = 0 , т.е. d = a и c = − b . Из равенств Re ( a d − b c ) = 1 и
Im( a d − b c ) = 0 , определяющих ортогональность матрицы преобразова-

ния ( a = a 1 + i a 2 и b = b1 + i b 2 , a k и b k – вещественные числа ( k = 1 ; 2 )),
получим систему уравнений
⎧⎪a 12 − a 22 + b 12 − b 22 = 1
.
⎨
⎪⎩ a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0

(10.2.9)

Рассмотрим возможные решения системы уравнений (10.2.9):
1) a 2 = 0 , b1 = 0 , a1 = α , b 2 = β (α и β – действительные числа). Матрица преобразования имеет вид
⎛ α
A (1) = ⎜⎜
⎝ m iβ

±iβ⎞ ⎛ a
⎟=⎜
α ⎟⎠ ⎝⎜ b

b⎞
⎟,
a ⎟⎠

(10.2.10)

причём det A (1) = α 2 − β 2 = 1 . Если β = 0 и α = 1 , то матрица A(1) задаёт тождественное преобразование. При значениях параметров β = 0 и
α = −1 матрица A (1) определяет зеркальное отражение координатных
осей или поворот системы координат на угол π . В случае, когда β ≠ 0
и b = − i β матрица A (1) соответствует преобразованию Лоренца. Матрица A(1) формирует однопараметрическую группу преобразований псевдоевклидовой плоскости.
2) a1 = 0 , b 2 = 0 , a 2 = ε , b1 = ξ ( ε и ξ – действительные числа). Матрица преобразования имеет вид
⎛ iε
A (2 ) = ⎜⎜
⎝ mξ

±ξ ⎞
⎟,
i ε ⎟⎠

(10.2.11)

причём det A (2 ) = ξ 2 − ε 2 = 1 . Матрица A(2 ) осуществляет преобразова⎛ x⎞

⎛i u⎞

ние комплексного вектора вида S =⎜⎜ ⎟⎟ в комплексный вектор W = ⎜⎜ ⎟⎟,
⎝i y⎠
⎝v⎠
т.е. не определяет физического движения.
3) a 2 = 0 , b 2 = 0 , a 1 = λ , b1 = γ . Матрица преобразования имеет вид
342

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

⎛ λ
A (3 ) = ⎜⎜
⎝ mγ

±γ⎞
⎟,
λ ⎟⎠

(10.2.12)

причём det A (3) = λ 2 + γ 2 = 1 . Данная матрица является матрицей преобразования действительных векторов и описывает поворот в евклидовой плоскости. Матрица (10.2.12) определяет однопараметрическую
группу преобразований евклидовой плоскости.
4) из второго равенства (10.2.9) находим, что параметр b 2 = −
силу действительности коэффициента b1(1, 2 ) = m
D = ( a 21 + a 22

)

2

a 22 − a 12 + 1 +

2

a1 a 2
b1
D

,ав
, где

− 2 ( a 12 − a 22 ) + 1 , при этом все параметры отличны от ну-

ля. Дискриминант D > 0 для всех допустимых значений действительных параметров a 1 и a 2 (параметры a 1 ≠ 0 и a 2 ≠ 0 ). Матрица преобразования имеет вид
⎛ a ± b⎞
⎟⎟
A (4 ) = ⎜⎜
m
b
a
⎝
⎠

(10.2.13)

и определяет двухпараметрическую группу преобразований, которая
содержит случаи (10.2.10) и (10.2.12). Таким образом, без учёта изометричности матрицы преобразования существует двухпараметрическая
группа преобразований, которая содержит в себе подгруппы преобразований действительных и комплексных векторов. Изометричность
матрицы преобразования на псевдоевклидовой плоскости приводит к
единственно возможной матрице преобразования (10.2.10).
Преобразование Лоренца и наблюдаемые физические эффекты
(см. пункты 1.6 и 1.7) показывают, что при возрастании скорости движения до скорости света изменяется геометрия пространства: геометрия Евклида переходит в геометрию плоскости Минковского. Группа
вращений на угол ϕ в евклидовой плоскости определяется матрицей
преобразования вида (10.2.12), причём det A (3) = α 2 + γ 2 = 1. Одно из решений этого равенства можно записать в виде α = ± cos ϕ и β = ± sin ϕ ,
т.е. свести к евклидовому тригонометрическому тождеству. Для псевдоевклидовой плоскости матрица преобразования имеет вид (10.2.10),
343

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

при этом определитель det A(1) = α 2 − β 2 = 1. Выбирая параметры преобразования α = ± ch ϕ и β = ± sh ϕ , приводим равенство к гиперболическому тождеству. Эти решения определяют однопараметрические (параметр ϕ ) группы преобразований евклидовой и псевдоевклидовой
плоскостей.
Полученные решения не единственные, существует двухпараметрическая группа преобразований, матрицы которых содержат эллиптические функции Якоби (см. пункт 6.2):
1 H (ϕ )
k' H (ϕ + T )
, синус sn (ϕ , k ) =
,
k θ (ϕ )
k θ (ϕ )

косинус cn (ϕ , k ) =

дельта амплитуды dn (ϕ , k ) = k '

θ (ϕ + T )
,
θ (ϕ )

⎛ ϕ ⎞
⎛ϕ ⎞
⎟⎟ и тета-функция θ ( ϕ ) = ϑ 4 ⎜⎜ ⎟⎟ – целые
⎝ 2T ⎠
⎝ 2T ⎠

где эта-функция H ( ϕ ) = ϑ 1 ⎜⎜

функции, не имеющие общих нулей и удовлетворяющие равенствам:
⎛ iπ
( ϕ + T ')⎞⎟θ ( ϕ ) ;
⎠
⎝ T

θ ( ϕ + 2 T ) = θ ( ϕ ) ; θ ( ϕ + 2 iT ' ) = − exp ⎜ −

⎞
⎛ iπ
H ( ϕ + 2 T ) = − H ( ϕ ) ; H ( ϕ + 2 iT ' ) = − exp ⎜ − ( ϕ + T ')⎟ H ( ϕ ) ;
⎠
⎝ T

действительные числа
π

T=∫
0

π

dx

2

dx

2

2

2

1 − k sin x

, T '= ∫

( k 2 + ( k ' ) 2 = 1)

1 − ( k ' ) sin x
2

0

2

определяют основные периоды ( 4 T и 2 i T ' ) эллиптических функций.
Параметры k и k ' выражаются через первичные тета-функциями
⎛ ϑ 2 (0 ) ⎞
⎛ ϑ (0 ) ⎞
⎟ , k '= ⎜ 4 ⎟ ,
k =⎜
⎜ ϑ (0 ) ⎟
⎜ ϑ (0) ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
2

2

которые определяются рядами:
∞

ϑ 1 ( x ) = 2 ∑ (− 1 ) q
n

( 2 n + 1) 2
4

n =0

∞

∞

sin ((2 n + 1)π x ) ; ϑ 2 ( x ) = 2 ∑ q

( 2 n + 1) 2
4

n =0

∞

cos ((2 n + 1)π x ) ;

n
ϑ 3 ( x ) = 1 + 2 ∑ q n cos (2 n π x ) ; ϑ 4 ( x ) = 1 + 2 ∑ ( −1) q n cos (2 n π x ) ,
2

n =1

n =1

344

2

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

где положено q = e i π σ , 0 < q < 1, σ – комплексный параметр, у которого Imσ > 0 . Из определений этих функций видно, что ϑ1 ( x ) является нечётной функцией, а остальные тета-функции – чётными функциями.
Использование двухпараметрической группы вращений на угол ϕ с
модулем k позволяет не только объединить преобразования в евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях, но и продемонстрировать наличие других ортогональных и изометрических преобразований*.

10.3. Кватернионы Гамильтона-Гиббса
В этом пункте исследуем свойства многообразия, которое объединяет достоинства кватернионов Гамильтона и векторов Гиббса (см.
также пункт 1.2). Поэтому элементы многообразия назовём кватернионами Гамильтона-Гиббса. Рассмотрим гиперкомплексные структуры
вида
(10.3.1)
A = a + A1i + А2 j + А3 k ,
где a , An ( n = 1, 2 , 3 ) – действительные числа. Исследуем изоморфизм
алгебры Гамильтона, когда комплексные единицы i , j , k подчиняются правилам умножения, приведённым в табл. 10.2. Отметим, что обход чисел i , j , k осуществляется против часовой стрелки, т.е. они образуют левую упорядоченную тройку чисел (рис. 10.1, б). Поэтому, например, произведение ij = −k , а ji = k (в теории Гиббса ij = k , а ji = −k ).
Таблица 10.2
Правила умножения
комплексных единиц
j
i
k
j
i
−k
1
j
k
−i
1
k −j
i
1

Мнемоническое правило

i

i

+

−

j

k

j

k

а
б
Рис. 10.1 Правая (а) и левая (б) тройки чисел.

В отличие от теории Гамильтона i 2 = j 2 = k 2 = +1 , а не ( − 1).
*

Терехов С.В. Генерация алгебр пространств Евклида и специальной теории относительности.
// Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки, вип.1, с. 163-174 (2005).
345

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

В векторной алгебре Гиббса такому правилу отвечает выбор левой тройки базисных векторов, поэтому запишем левоориентированные кватернионы Гамильтона-Гиббса в скалярно-векторной форме:
(10.3.2)
A = a +γ A,
где a = Sc( A) – скалярная, A = Ve( A) – векторная части кватерниона A ,
γ – его “цвет” ( γ 2 = 1 ). Комплексно-сопряжённым кватернионом называется гиперкомплексная структура вида
(10.3.3)
A = a −γ A.
Отметим, что выражение (10.3.3) можно получить из (10.3.2) также
путём замены вектора A на ему противоположный вектор − A, поэтому комплексно-сопряжённый кватернион (10.3.3) будем называть векторно-сопряжённым к кватерниону (10.3.2). Скалярно-сопряжённый
(или зеркальный по скалярной компоненте) кватернион ∗ A = −a + γ A = −A
отличается от векторно-сопряжённого кватерниона (10.3.3) только знаком. Кватернион вида O = 0 +γ 0 назовём нулевым, а кватернион E = 1 + γ 0
– единичным ( 0 – нуль-вектор).
Для гиперструктур вида (10.3.2) выполняются все арифметические действия:
⎧a = b

1) два кватерниона A = a +γ A и B = b + γ B равны, если ⎨
⇒ A = B.
A
=
B
⎩
2) сумма (разность) кватернионов A = a + γ A и B = b + γ B равна
(10.3.4)
C = c + γC = A ± B = a ± b + γ ( A ± B ) ,
следовательно,
A + A = A−∗A = 2a = 2 Sc(A) , A − A = A+ ∗A = 2γ A = 2γ Ve( A) . (10.3.5)
Если выполняется равенство A− B = O, то векторы A и B сонаправленные ( A↑↑ B ) и имеют одинаковую длину ( A = B ), а при выполнении
равенства A − B = O равные по длине векторы A и B направлены в противоположные стороны ( A ↑↓ B ), т.е. для обоих равенств векторные
части кватернионов являются коллинеарными (параллельными A | | B ).
В общем случае такие векторы связаны между собой соотношением
⎧A ↑↑ B, β > 0
, поэтому кватернионы, удовлетворяющие
B = β A , причём ⎨
A
B
β
↑↓
,
<
0
⎩

равенству B = β A , будем называть пропорциональными.
346

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

3) произведение кватернионов A = a + γ A и B = b + γ B зависит от порядка следования сомножителей, оно равно:
левое
D1 = d1 + γD1 = BA = (b + γB)(a + γA) = ab + A ⋅ B + γ {aB + bA − [ B × A]} , (10.3.6)
правое
D2 = d 2 + γD2 = AB = (a + γA)(b + γB ) = ab + A ⋅ B + γ {aB + bA − [ A × B ]} , (10.3.7)

С учётом правила (1.2.10) левое и правое произведения кватернионов
A и B отличаются друг от друга только знаком в последнем слагаемом. Отметим, что произведение векторных частей кватернионов A и
B выполняется по правилу (1.2.10)
(10.3.8)
γ A γ B = γ 2 { A ⋅ B − γ [ A × B ]} ,
где первое слагаемое задает скалярное (коммутативное)
A ⋅ B = A1 B1 + A 2 B 2 + A3 B 3 , A ⋅ B = B ⋅ A ,

(10.3.9)

а второе
i
[ A × B] = A1
B1

j
A2
B2

k
A3 = ( A2 B3 − A3 B2 )i + ( A3 B1 − A1B3 ) j + ( A1 B2 − A2 B1 )k (10.3.10)
B3

– векторное (некоммутативное) произведение векторных частей кватернионов A и B . Используя правило (10.3.8), легко проверить, что
произведение AE = EA = A .
Произведение кватернионов Гамильтона-Гиббса имеет ряд особенностей:
а) произведение гиперкомплексных структур A = a + γ A и B = b + γ B
равно единичному кватерниону при выполнении условий
⎧ ab + A ⋅ B = 1
.
AB = E : ⎨
a
B
+
b
A
−
[
A
×
B
]
=
0
⎩

(10.3.11)

Второе равенство этой системы (в силу того, что вектор [ A× B] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы A и B ) выполняется
только тогда, когда векторы A и B связаны между собой условием
коллинеарности aB + bA = 0 или при выполнении равенства A = B = 0 .
б) произведение комплексно-сопряжённых гиперструктур (10.3.2) и
(10.3.2) равно квадрату нормы кватерниона A
347

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10
2

2

AA = A A = a 2 − A = A .

(10.3.12)

Если квадрат нормы положителен ( A 2 > 0 , норма кватерниона действительна), то кватернион будем называть скаляро-подобным, в противном случае ( A 2 < 0 , норма кватерниона является комплексной величиной) – векторо-подобным. Кватернион с нулевой нормой ( A = 0 )
назовём изохронным.
в) произведение двух кватернионов Гамильтона-Гиббса некоммутативно, поэтому их коммутатор (1.2.2) отличен от нуля и равен
(10.3.13)
[ A, B ] = AB − BA = −2γ [ A × B ] ,
при этом выполняются равенства
[ A, B] = −[ A, B] = −[ A, B ] = [ A, B ] .

(10.3.14)

Антикоммутатор (1.2.3) равен
{ A, B} = AB + BA = 2(ab + A ⋅ B + γ (aB + bA))

(10.3.15)

и справедливы соотношения
{ A, B} = { A , B } ; { A, B} = {A, B} .

Удвоенное произведение кватернионов A и B равно
2 AB = [ A, B ] + { A, B} ,

(10.3.16)
(10.3.17)

т.е. произведение двух кватернионов представляется в виде полусуммы их коммутатора и антикоммутатора. В случае комплексно-сопряжённых гиперструктур коммутатор равен нулю, а антикоммутатор –
удвоенному значению квадрата нормы:
2
(10.3.18)
[ A, A ] = 0 , { A, A} = 2 A .
Операция комплексного сопряжения от произведения двух кватернионов приводит к выражению
(10.3.19)
AB = B A ,
т.е. она приводит не только к комплексному сопряжению перемножаемых кватернионов, но и к перестановке местами сомножителей.
г) произведение трёх и более кватернионов Гамильтона-Гиббса неассоциативно, т.е. зависит от порядка умножения гиперструктур. В этой
связи введём понятие коммутатора ассоциации (ассоциатор), который,
например, для трёх гиперкомплексных чисел равен
348

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

[( A, B, C )] = ( AB)C − A( BC ) = 2γ {[[ A × B ] × C ] − [ A × [ B × C ]]} =

(10.3.20)
(была использована формула: [[ A × B] × C ] = ( A ⋅ C )B − A(B ⋅ C ) ), и ассоциатор комплексного сопряжения (астратор), например,
= 2γ (( A ⋅ B )C − A( B ⋅ C ))

< ( A, B, C ) >= ( AB)C − A ( B C );

(10.3.21)

< ( A , B, C ) >= ( A B)C − A( B C )

и т.д. Выполнив две циклические перестановки кватернионов в формуле (10.3.20) и просуммировав все полученные ассоциаторы, находим
(10.3.22)
[( A, B, C )] + [(C , A, B)] + [( B, C , A)] = 0
или
(10.3.23)
[[ A × B ] × C ] + [[C × A] × B] + [[ B × C ] × A] = 0 ,
т.е. сумма двойных векторных произведений с циклической перестановкой векторов равна нулю.
д) пусть даны кватернионы A = a +γ A и B =b+γ B. Их произведение AB = A
(или BA = A )*, если:
⎧a ≠ 0
кватернион A – изохронный, а нор⎩b ≠ 1

− при значениях параметров ⎨

ма кватерниона B равна B = 2b − 1 ;
⎧a = 0
⎧a ≠ 0
векторы A и B перпендиили ⎨
⎩b = 1
⎩b ≠1

− при значениях параметров ⎨

кулярные.
4) деление кватерниона A = a + γA на неизохронный ( B ≠ 0 ) кватернион B =b +γ B выполняется по правилам:
левое частное – A = B A = B A2 ; правое частное – A = AB = AB2 .(10.3.24)
B

BB

B

B

BB

B

Если коммутатор (10.3.13) [ A, B ] = 2γ [ A × B ] = 0 ( A || B – векторы A и B
коллинеарные), то левое и правое частные равны между собой.
Таким образом, совместное использование алгебры кватернио*

Отметим, что это свойство указывает на существование в гиперпространстве необычных
кватернионов, отличных от единичной гиперструктуры E =1+ γ 0 , произведение которых равно одному из них.
349

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

нов Гамильтона и векторного исчисления Гиббса порождает алгебру
комплексных структур с новыми свойствами. Отличие этих кватернионов от множеств действительных и комплексных чисел состоит в том,
что их произведение некоммутативно, неассоциативно и изменяется
при выполнении над ним операции комплексного сопряжения, поэтому необходимо указывать порядок перемножения кватернионов и тип
вычисляемого частного. Индикаторами этих свойств являются отличные от нуля коммутаторы, ассоциаторы и астраторы кватернионов. С
учётом особенностей исследуемого изоморфизма алгебр Гамильтона и
Гиббса рассмотрим движение частицы в гиперпространстве.

10.4. Сопровождающая тройка кватернионов базиса
Гиперпространством будем называть скалярно-векторное (1+3)пространство гиперкомплексных структур вида (10.3.2). Положение
материальной точки в пространственно-временном континууме инерциальной системы отсчёта будем задавать безразмерным кватернионом
(10.4.1)
q =τ +γ r ,
где τ = сt / l , c и l – предельная скорость (например, скорость света в
вакууме; скорость звука в среде и т.п.) и характерное значение длины
(длина свободного пробега частицы; корреляционная длина и т.п.) для
рассматриваемой задачи, t – время; r = R ( x, y , z ) / l , в выбранной системе отсчёта R( x, y, z) – радиус-вектор, определяющий положение точки
с пространственными координатами x , y и z . За бесконечно малый
промежуток времени d τ изменение кватерниона Гамильтона-Гиббса
(10.4.1) dq определяется равенством
dr ⎞
⎛
dq = dτ + γ dr = ⎜1 + γ
⎟dτ = (1 + γ u)dτ = q&dτ ,
dτ ⎠
⎝

(10.4.2)

где u = v / c – безразмерная скорость движения точки, v = v – модуль размерной скорости движения точки в 3-мерном пространстве, q& – относительная скорость изменения кватерниона.
Движение точки порождает экстремаль (мировую линию), на ко350

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

торой интервал между событиями s в скалярно-подобной области гиперпространства определяется нормой кватерниона (10.4.1)
2
2
(10.4.3)
s 2 = q = qq = q q = τ 2 − r .
Если события в гиперпространстве бесконечно близки, то изменение
интервала между событиями в инерциальной системе отсчёта равно
норме бесконечно малого изменения кватерниона положенния
ds = dq =

dτ 2 − dr

2

= dτ

1− u2 .

(10.4.4)

Касательный к мировой линии кватернион κ = κ0 +γ κ определяется нормированным значением бесконечно малого изменения кватерниона положения (10.4.2) и имеет вид
κ=

dq
dτ
dr
=
+γ
= κ0 + γ κ ,
dq
ds
ds
2

(10.4.5)
2

причём его норма равна единице ( κ 0 + γ κ = κ 02 − κ = 1 ). Гиперструктура κ = κ 0 + γ κ лежит в пространстве, касательном к мировой линии,
при этом её скалярная и векторная части задаются формулами
κ0 =

1
1− u

2

, κ = κ 0u

(10.4.6)

( κ – касательный вектор к траектории движения) и определяются безразмерной скоростью движения u и её модулем u = u . Вектор κ будет ортом ( κ = 1 ), если гиперточка будет двигаться по мировой линии
со скоростью u =

2
. Изменения времени dτ и радиус-вектора dr рав2

ны
dτ = κ 0 ds , d r = κ ds = κ 0 u ds .

(10.4.7)
Из формул (10.4.7) видно, что при натуральной параметризации гиперпространства изменение времени определяется касательным кватернионом, а изменение радиус-вектора пространственного положения точки – потоком касательного кватерниона.
Пусть характеристики гиперпространства кривизна K1 , поворот
вокруг бинормали K 2 (для системы Серре-Френе K 2 = 0 , см. (1.4.1)) и
кручение K 3 принадлежат множеству действительных чисел, а базисные кватернионы (касательный, нормальный и бинормальный) систе351

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

мы координат, связанной с материальной точкой, удовлетворяют системе уравнений вида (6.4.1)
⎧ dκ
⎪ ds = K1n − K 2b
⎪
⎪ dn
⎨ = K 3b − K1κ .
⎪ ds
⎪ db
⎪⎩ ds = K 2κ − K 3 n

(10.4.8)

Из уравнений (10.4.8) следует, что нормальный и бинормальный кватернионы можно выразить через касательный кватернион и его первые две производные по интервалу между событиями

где ω =

K 12 + K 22 ,

n=

K 2 d 2κ
K dκ
K
+ 21
+ 2κ,
2
2
ω ds
K 3ω ds
K3

(10.4.9)

b=

K 1 d 2κ K 2 d κ
K
− 2
+ 1κ ,
2
2
ω ds
K 3ω ds
K3

(10.4.10)

dκ 0
d 2 κ d 2κ 0
dw
dκ
dκ 0
,
u + 3κ 0
w + κ 03
=
u + κ 02 w ,
=
2
2
ds
ds
ds
ds
ds
dτ

d 2κ 0
dw ⎞
dκ 0
l
5⎛
2 2 2
2
4
=
+
+
u
w
w
u
4
κ
κ
= κ 0 uw ,
⎜
⎟ , w = w = 2 a – безразмерное
0
0
2
ds
dτ ⎠
ds
c
⎝

ускорение, a = d v – модуль размерного ускорения точки.
dt

Норма кватерниона
dκ
ds

dκ
равна
ds
= κ 03 w

⎛φ ⎞
4 u 2 sin 2 ⎜ ⎟ − 1 ,
⎝2⎠

(10.4.11)

где φ – угол между направлениями скорости и ускорения частицы.
Она действительна при выполнении неравенств совокупности
⎡
⎛φ ⎞
⎢ 2 u sin ⎜ 2 ⎟ ≤ − 1
⎝ ⎠
⎢
.
⎢
⎛φ ⎞
⎢ 2 u sin ⎜ 2 ⎟ ≥ 1
⎝ ⎠
⎣

(10.4.12)

В силу ограниченности синуса скорость перемещения частицы должна
принадлежать интервалу [0,5; 1] . В этом случае подкоренное выраже352

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

φ
ние (10.4.11) неотрицательно, а тригонометрическая функция sin⎛⎜ ⎞⎟
⎝2⎠

1
принимает значения из интервала ⎡⎢− 1; − ⎤⎥ или ⎡⎢ 1 ; 1 ⎤⎥ . При малых
2u ⎦
⎣ 2u
⎦
⎣

скоростях движения частицы ( 0 ≤ u < 0 . 5 ) норма d κ

является мни-

ds

мой величиной.
Квадраты норм естественных скоростей изменения кватернионов
равны
⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩

dκ
ds

2
2
= ω 10
− ω 12

dn
ds

2

db
ds

2

= ω 220 − ω 22 ,

(10.4.12)

2
= ω 30
− ω 32

здесь ω i 0 ( i = 1, 2, 3 ) − частоты собственных колебаний базисных кватернионов κ = κ0 +γ κ , n = n0 + γ n и b = b0 + γ b соответственно, а ω i − частоты колебаний фазовых множителей равны
ω 102 = K 12 + K 22 , ω 12 = z1 Sc( n b ) ,

(10.4.13)

ω 220 = K 12 + K 32 , ω 22 = z 2 Sc( b κ ) ,

(10.4.14)

ω 230 = K 22 + K 32 , ω 32 = z 3 Sc( κn ) ,

(10.4.15)

величины
⎧z = 2K K =
1
2
⎪ 1
⎪
⎨ z2 = 2 K 1K 3 =
⎪
⎪ z3 = 2 K 2 K 3 =
⎩

ω 104 − (ω 202 − ω 302
ω 204 − (ω 302 − ω 102
ω 304 − (ω 102 − ω 202

)
)
)

2

2

,

(10.4.16)

2

а фазовые множители
Sc( nb ) = n0b0 − n ⋅ b , Sc(bκ ) = b0κ 0 − b ⋅ κ , Sc(κ n ) = κ 0 n0 − κ ⋅ n . (10.4.17)

Из полученных формул следует, что вид мировой линии и процесс движения по ней определяют:
1) собственные частоты колебаний базисных кватернионов ω i 0 и характеристики zi , которые связаны с кривизной и кручением простран353

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ства-времени;
2) фазовые множители (например, Sc( nb ) = 0,5 ( nb + nb ) ) обнуление которых приводит к тому, что нормы естественных скоростей изменения
базисных кватернионов равны своим собственным частотам. Из формулы (10.4.16) следует, что аналогичная картина наблюдается и тогда,
когда обнуляется один из геометрических факторов K i (две из трёх характеристик zi обращаются в нуль).
Таким образом, физико-геометрические свойства мировой линии
существенно зависят от изменения потенциального рельефа, по которому происходит движение материальных точек. Поэтому исследуем
механику материальной точки в гиперкомплексном пространстве с
учётом указанных особенностей их траекторий движения.

10.5. Механика материальной точки
1. Поступательное движение. Размерную скорость движения материальной точки (например, атома какого-либо вещества) в гиперпространстве вычислим по формуле (с учётом (10.4.2) и (10.4.6))
V =c

dq
=
ds

c
1− u

+γ

2

v
1− u

2

= сκ 0 (1 + γ u) = сκ 0 q& = cκ ,

(10.5.1)

а её кватернион энергии-импульса (частица имеет массу покоя m0 ) –
P = m0V =

m0 c

+γ

1− u2

m0 v
1− u2

=

E
+ γ P = m0 cκ = P0κ ,
c

где E = mc 2 – энергия, P = mv – импульс атома, а P0 =

(10.5.2)

E0
= m0c – его имc

пульс в состоянии покоя,
m=

m0

(10.5.3)

1− u2

– масса движущейся частицы. Норма кватерниона (10.5.2) равна
E 02
(10.5.4)
P
=P κ =P = 2 .
c
При малых скоростях движения ( u << 1, m ≈ m 0 (1 + 1 u 2 ) ) энергия атома
2
2

E2
= PP = P P = 2 − P
c
∗

∗

равна
354

2

2
0

2

2
0

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

m0 v 2
(10.5.5)
E = mc ≈ E0 +
= E0 + K ,
2
m v2
где E0 = m0 c 2 – энергия покоя частицы, K = 0 – кинетическая энергия
2
2

атома. Разделив соотношение (10.5.2) на импульс в состоянии покоя
P0 =

E0
= m0 c , получим касательный кватернион κ , который запишем в
c

физическом представлении
P=

P
E
P
=κ =
+γ
= ε + γ p,
P0
E0
m0c

(10.5.6)

где безразмерные величины энергии ε = κ 0 и импульса p = κ 0 u = ε u .
Последнее равенство показывает, что импульс частицы определяет поток энергии.
Определим механический момент импульса частицы кватернионом L = L0 + γ L , причём векторная часть L = [r × p] . Из кватернионов положения (10.4.1) и импульса (10.5.6) (с учётом (10.3.13) и равенства
(10.3.14) [ A, B ] = −[ A, B]) можно создать две гиперкомплексные структуры механического момента импульса, при этом их скалярные части будут прямо пропорциональны фазам плоских волн, первая из которых
распространяется в противоположном направлении по отношению к
радиус-вектору r , а вторая – вдоль его направления. Эти кватернионы
имеют вид:
1) с фазовой скоростью волны, противоположно направленной к вектору r :
1
1
( q P + q P ) = Sc( q P) − [ q , P] = ετ + p ⋅ r + γ [ r × p ] ; (10.5.7)
2
2
2) с фазовой скоростью волны, сонаправленной с вектором r :
1
1
L 2 = ( q P + q P) = Sc( q P ) + [ q , P ] = ετ − p ⋅ r + γ [ r × p ] , (10.5.8)
2
2
L1 =

Разница кватернионов (10.5.7) и (10.5.8) равна
∆ L12 = L 1 − L2 = 2 p ⋅ r .

(10.5.9)

Обозначим через ϕ угол между радиус-вектором r и импульсом
частицы p . Если этот угол принадлежит промежутку от 0+ 2π n ( n – целое число, r ↑↑ p , L = 0 ) до π + 2π n ( r ↑↓ p , L = 0 ), то изменение кватер355

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

нионного момента импульса ∆ L12 принимает непрерывный ряд значений от 2 p r до − 2 p r , а параллелограмм, построенный на векторах r
и p , характеризуется положительной площадью ( L = p r sinϕ , sinϕ ≥ 0 ).
Дальнейшее увеличение угла ϕ от π + 2πn до 2π + 2π n , порождает обратный переход значений ∆L12 от − 2 p r до 2 p r , но площадь указанного параллелограмма будет отрицательной ( sin ϕ ≤ 0 ), что указывает
на существование запрещённых значений кватернионов (10.5.7) и (10.
5.8). Таким образом, критический угол, при котором выражения (10.5.
7) и (10.5.8) теряют физический смысл, равен ϕ c = 2π ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟ . Для этого
⎝

2⎠

значения угла ϕ векторы r и p коллинеарные и противоположно направленные, а механический момент импульса L = [ r × p ] = 0 . При зна1
чениях угла ϕ , равных 2π ⎛⎜ n + ⎞⎟ ( L = p r = max), векторы r и p пер-

⎝

4⎠

пендикулярны друг к другу, а кватернионы (10.5.7) и (10.5.8) равны
между собой.
Сила F , действующая на частицу в гиперпространстве, равна
F=

c dP
dE
dP
dE
dP
=
+
γ
=
+
γ
= F0 + γF , (10.5.10)
l ds cdt 1 − u 2
dt0
dt 1 − u 2 cdt0

здесь dt 0 = dt 1 − u 2 – временной промежуток в покоящейся системе отсчёта. В консервативной системе (отсутствует скалярная сила F 0 = 0 ,
ответственная за диссипацию энергии, т.е. механическая энергия сохраняется) действует только векторная сила, поэтому F = γ F . При малых
скоростях движения ( u << 1, m ≈ m 0 , p ≈ m 0 v ) вектор F принимает вид
силы в теории Ньютона F ≈ dp = m0 dv = m0a . Обращение силы F в нуль
dt

dt

приводит к сохранению импульса частицы P .
Момент силы, который действует на материальную точку, задаётся производной по интервалу между событиями от кватернионного
момента импульса L = L0 + γ L :
M=

dL dL 0
dL
=
+γ
= M0 + γ M .
ds ds
ds
356

(10.5.11)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

где векторный момент силы равен M = [r × F ] , а сила F =

dp
. Если скаds

лярная часть кватерниона (10.5.11) равна нулю, то в процессе движения материальной точки в гиперпространстве сохраняется величина
L01 = ετ + p ⋅ r или L02 = ετ − p ⋅ r . При обращении в нуль векторной составляющей кватерниона момента силы ( M = 0 ) сохраняется механический момент импульса L частицы.
Рассмотрим случай, когда кватернионный момент импульса определён однозначно (угол ϕ между радиус-вектором r и импульсом
частицы p равен ϕ 0 = 2π ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟ , а механический момент импульса до⎝

4⎠

стигает максимального значения L = p r = max) и задаётся формулой
L = ετ + γ [r × p] ,

(10.5.12)

т.е. при вращательном движении. Совпадение состояний, описываемых формулами (10.5.7) и (10.5.8), указывает на вырожденность движения частицы с механическим моментом (10.5.12). Любое бесконечно малое отклонение угла ϕ от критического значения ϕ 0 = 2π ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟
⎝

4⎠

переводит частицу в одно из состояний (10.5.7) или (10.5.8). Кроме того, согласно гипотезе де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме
материальных объектов, можно записать ( h = h , h – постоянная План2π

ка), что
E = hω , P = h k ,

(10.5.13)

т.е. любому материальному объекту можно поставить в соответствие
волну с определённой частотой ω и волновым вектором k . Покажем,
что равенства (10.5.13) возникают в случае пропорциональности изменений кватернионов положения и вращения.
2. Вращение. Для описания угловых величин вращательного движения
введём в рассмотрение ориентированный угол с помощью кватерниона вращения
(10.5.14)
Φ =α +γ ξ ,
где α задаёт величину угла, а ξ – вектор-ориентир угла определяет на357

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

правление отсчёта угла против (знак «+») или по часовой (знак «−»)
стрелке. Вычислим размерную производную по интервалу между событиями от (10.5.14) (скорость вращения) в покоящейся системе отсчёта:
Ω=

1 dΦ dα
ω
dξ
=
+γ
= +γ k,
l ds cdt0
cdt0 c

здесь ω – частота вращения, k – волновой вектор ( ω =

(10.5.15)
dξ
= c k – углоdt 0

вая скорость). Если кватернионы (10.5.2) и (10.5.15) пропорциональны,
то выполняются равенства (10.5.13)
(10.5.16)
P = hΩ .
Вращательные моменты скорости частицы равны
l
(qΩ + q Ω ) = ω t + k ⋅ r + γ [r × k ]
2
,
l
Ψ2 = ( q Ω + q Ω ) = ω t − k ⋅ r + γ [ r × k ]
2
Ψ1 =

(10.5.17)

следовательно, механический и вращательный моменты связаны между собой равенством:
(10.5.18)
Li = hΨi ( i = 1, 2 ).
Формулы (10.5.16) и (10.5.18) показывают, что гипотеза де Бройля имеет место при пропорциональности бесконечно малых изменений
кватернионов положения и вращения, которые связаны между собой
соотношением пропорцирнальности
(10.5.19)
dq = a dΦ ,
где a = h – безразмерная постоянная. Из равенства (10.5.19) следует,
m0c l

что бесконечно малые изменения времени и радиус-вектора точки на
мировой линии задаются равенствами
(10.5.20)
c dt0 = aldα , d r = ald ξ .
Из формул (10.5.20) находим, что безразмерная скорость движения
материальной точки
u=

v
dr
dξ
.
=
=
c cdt 0 d α

Из равенства (10.5.21) получим следующие соотношения:
358

(10.5.21)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ω
а) d α u = d ξ или 2 v = k , т.е. v | | k ;
cdt 0

c

cdt 0

б) v dα =

dα
dr = ω dr , т.е. v | | dr .
dt 0

Скалярное произведение полученных формул а) и б) приводит к выражению u 2 dα = k ⋅ dr , интегрирование которого по любой замкнутой
траектории движения порождает неравенство ( u 2 ≤ 1 , n – целое число
полных оборотов)
2
(10.5.22)
∫ k ⋅ dr = ∫ u dα ≤ ∫ dα = 2π n .

10.6. Гипераналитичность кватернионной функции
При выводе уравнений эволюционных преобразований локальной области используют частную производную по времени ∂ и опе∂τ

ратор Гамильтона (оператор «набла»)
∇=

∂
∂
∂
∂
=i
+ j
+k
∂r
∂x
∂y
∂z

.

(10.6.1)

Если центр масс локальной области перемещается со скоростью u , то
в транспортных уравнениях применяют субстанциональную (материальную) производную
∂
d
= + u⋅∇,
dτ ∂τ

(10.6.2)

где второе слагаемое с точки зрения математики определяет производную по направлению скорости движения u , а с точки зрения физики –
является конвективной составляющей движения.
Сформулируем утверждение, связанное с оператором (10.6.1),
которое понадобится для последующих рассуждений: для векторных
функций пространственных координат A и B справедливо равенство
(10.6.3)
[[ A × ∇] × B ] = [ A × rot B ] + ( A ⋅ ∇) B − A div B ,
здесь операции ротора (вихрь) rot B = [∇ × B ] и дивергенции (расходимость векторных линий) div B = ∇ ⋅ B . Отметим, что для любой скалярной φ и векторной B функций справедливы соотношения ( ∆ = ∇ ⋅ ∇ –
оператор Лапласа):
359

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

rot( ∇ φ ) ≡ 0 , div(rot B ) ≡ 0 , div(∇φ ) = ∆φ .

(10.6.4)
Для характеристики изменений неподвижной локальной области
в гиперпространстве введём 4-градиент (оператор «тетра»)
◊=

∂
+γ ∇,
∂τ

(10.6.5)

норма которого равна
◊

2

= ◊◊ ∗ = ◊ ∗ ◊ =

∂2
∂2
−
∇
⋅
∇
=
− ∆ = − †,
∂τ 2
∂τ 2

(10.6.6)

где † – оператор Даламбера. Производной вдоль кватерниона A =a +γ A
назовём произведение этого кватерниона на оператор «тетра»:
A◊ = a

∂
∂
⎛
⎞
+ A ⋅ ∇ + γ ⎜ a∇ + A − [ A × ∇ ] ⎟ .
∂τ
∂τ
⎝
⎠

(10.6.7)

Тогда субстанциональной (материальной) производной является производная вдоль безразмерного кватерниона (10.4.2) q& = 1 + γ u , т.е. его
произведение на локальный оператор (10.6.5)
d
⎛ ∂
⎞ d
,
(10.6.8)
D = (1 + γ u)⎜
+ γ ∇⎟ =
+γ
τ
τ
∂
d
d
r
⎝
⎠
здесь d = ∂ + u ⋅ ∇ и d = ∇ + u ∂ − [ u × ∇ ] – соответственно субстанцио∂τ
dr
dτ ∂τ

нальные производные по времени и пространству.
Произвольная локальная область, в которой для кватернионной
функции F = f (τ , r) + γ F(τ , r) выполняются равенства (отсутствует градиент функции F , см., например, (9.1.23))
⎧∂ f
⎪⎪ ∂τ + div F = 0
,
◊F = 0 : ⎨
F
∂
⎪
⎪⎩ ∂τ + grad f − rot F = 0

(10.6.9)

назовём областью гипераналитичности кватернионной функции F . С
математической точки зрения первое уравнение системы (10.6.9) показывает, что в выделенной локальной области кватернионная функция не зависит от комплексно-сопряжённого аргумента q , расходимость векторного поля F противоположна по знаку скорости изменения скалярной составляющей f кватернионной функции F . Для интерпретации второго уравнения системы (10.6.9) обозначим локаль360

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ную производную ∂F = X , тогда второе уравнение системы (10.6.9) ото∂τ

бражает теорему Гельмгольца* ( div F = 0 ) с иным выбором вида скалярного потенциала f (данной работе div W = f ):
(10.6.10)
X = −∇f + rot F .
Физическая интерпретация системы равенств (10.6.9) состоит в
следующем: если векторная часть кватерниона F описывает поток его
скалярной составляющей ( F = f u = α ∇f , α – кинетический коэффициент), то первое уравнение системы (10.6.9) описывает локальный закон
сохранения величины f (кинетический закон), при этом второе уравнение задаёт эволюцию потока во времени (течение) и является динамическим законом. Для полевых переменных первое уравнение системы (10.6.9) описывает калибровку Лоренца, а второе – отсутствие
внешних сил и определение внутренних локальных сил. Если же правые части уравнений системы (10.6.9) будут отличными от нуля, то
первое из них описывает эволюцию скалярной компоненты f кватернионной функции F при наличии источников (или стоков) величины
f , а второе – обобщение теоремы Гельмгольца на случай нестационарного векторного поля F при наличии внешних сил. Таким образом,
использование кватернионной алгебры Гамильтона в сочетании с векторной алгеброй Гиббса позволяет объединить кинетический и динамический аспекты движения локальной области.
Используя соотношения теории поля, легко показать, что система уравнений (10.6.9) преобразовывается к виду
⎧† f (τ , r ) = 0
,
⎨
⎩†F (τ , r ) + 2 rot(rot F ) = 0

(10.6.11)

где первое уравнение системы (10.6.11) описывает продольную, а второе – поперечную волну. В кватернионном виде система (10.6.11) записывается как ◊ ∗ ( ◊ F ) = 0 . Из-за неассоциативности алгебры это уравнение отличается от уравнения, гиперкомплексная форма которого
имеет вид уравнения Даламбера †F = (◊∗◊)F = 0 (оно описывает распрос*

См., например, Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа, Наука,
Москва, с. 209-220 (1965).
361

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

транение волны, которая движется с предельной скоростью c ). Эти
уравнения совпадают при выполнении равенства rot(rot F ) = 0 , общее
решение которого можно записать, например, в виде rotF = ∇f (случай
стационарного векторного поля F или отсутствия локальной силы X ,
так как производная ∂F = X = −∇ f + rot F = 0 ) в силу выполнения оче∂τ

видного равенства rot( ∇f ) ≡ 0 .
Например, для кватерниона энергии-импульса (10.5.6) уравнения
(10.6.9) принимают вид
⎧∂ ε
⎪⎪ ∂τ + div p = 0
.
◊P = 0 : ⎨
∂
p
⎪
⎪⎩ ∂τ + gradε − rot p = 0

(10.6.12)

При выполнении условия (u ⋅ ∇) p − u div p = 0 движение локальной области в гиперпространстве происходит так, что сохраняется кватернион
энергии-импульса. Первое уравнение системы (10.6.12) описывает локальный закон сохранения массы. Второе уравнение (10.6.12) с учётом
теоремы Гельмгольца ( div A = 0 )
∂p
= −∇U + rot A
∂τ

(10.6.12)

(U – потенциальная энергия, A – потенциал векторного поля) преобразуем к виду
(10.6.13)
grad Λ − rot Π = 0 ,
здесь Λ = ε − U – функция Лагранжа, Π = p − A – импульс движущейся
частицы с учётом потенциала векторного поля. Если потенциальная
энергия U не зависит явно от времени, то первое уравнение системы
(10.6.11) запишется в виде
∂Λ
+ div Π = 0 .
∂τ

(10.6.14)

Таким образом, функция Лагранжа будет удовлетворять системе уравнений
⎧∂ Λ
+ div Π = 0
⎪
.
⎨ ∂τ
⎪grad Λ − rot Π = 0
⎩
362

(10.6.15)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Если импульс частицы-поля Π является потоком лагранжиана,
то первое уравнение системы (10.6.15) отображает локальное сохранение функции Лагранжа. Второе уравнение системы (10.6.15) эквивалентно равенству
div(gradΛ) = ∆Λ = 0 ( div(rot Π ) ≡ 0 ) или rot(rot Π ) = 0 ( rot(grad Λ ) ≡ 0 ).
Первое равенство отображает в пространстве Евклида фрактальный
характер распределения энергии Лагранжа, а второе – волну импульса
частицы-поля Π , которая распространяется в пространстве-времени с
предельной скоростью c (см. формулу (10.6.11)).
Неподвижность локальной области внутри того или иного вещества обеспечивается протеканием внутренних процессов, которые не
вызывают смещения цетра масс области (скорость центра масс выделенной области u = 0 ). Взаимодействие области с внешним окружением компенсируется появлением локальных сил. Их равнодействующая
сила X задаётся частной производной по времени от импульса локальной области p , градиентом энергии ε ( grad ε ) и вихрем импульсного
поля ( rot p ). Если сила X и скорость движения центра масс области u
отличны от нуля, то область будет терять энергию за счёт производства работы и реализации необратимых процессов, например, рассеивания тепла.
Изменение физических величин внутри локальной области с неподвижным центром масс при отсутствии внешних сил описывается
формулами гипераналитичности (10.6.9). В случае движения центра
масс области со скоростью u надо рассматривать действие субстанциального оператора (10.6.8) на кватернион энергии ε -импульса p , который задаётся формулой (10.5.6). Тогда условия отсутствия субстанционального градиента движения локальной области (сохранение кватерниона энергии-импульса в веществе) сводятся к уравнениям
⎧∂ ε
⎪⎪ ∂τ + div p = X ⋅ u
DΡ = 0 : ⎨
, (10.6.16)
ε
∂
⎪− gradε + rot p − u − [u × X ] − {(u ⋅ ∇) p − u div p} = F
⎪⎩
∂τ
где f + gradε − rot p = − X – равнодействующая всех локальных сил, дей363

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ствующих на выделенную область,

∂p
dp
= f – локальная, а
= F – гло∂τ
dτ

бальная реакции области на изменение её импульса. Отметим, что при
компенсации градиента энергии вихрем импульсного поля
grad ε = rot p
(10.6.17)
соблюдается третий закон Ньютона для локальной реакции: f = − X .
Кроме того, выражение (u ⋅ ∇) p − u div p = 0 в силу сохранения кватерниона энергии-импульса.
Закон локального сохранения энергии локальной области (первое
уравнение системы (10.6.16) с нулевой правой частью) наблюдается
при:
− отсутствии локальной равнодействующей реакции ( X = 0 );
− неподвижности целлы ( u = 0 );
− перпендикулярности локальной силы к скорости движения центра
масс локальной области ( X ⋅ u = 0 или X ⊥ u ).
Действие окружающей среды на выделенную локальную область
может приводить к нарушению закона сохранения кватерниона энергии-импульса в веществе ( D Ρ ≠ 0 ), что приводит к замене системы (10.
6.16) на систему уравнений
⎧∂ ε
⎪ ∂τ + div p − X ⋅ u = ϕ
⎪
∂ε
⎪
+ [u × X ] + ,
D Ρ = Φ = ϕ − γ Ф : ⎨F + grad ε − rot p + u
∂
τ
⎪
⎪+ {(u ⋅ ∇) p − u div p} = −Ф
⎪⎩

(10.6.18)

причём величина (u ⋅ ∇) p − u div p ≠ 0 . Из приведённых формул видно, что
при действии внешней силы, компоненты которой удовлетворяют системе уравнений
⎧0 = ϕ
,
⎨
(
u
⋅
∇
)
p
−
u
div
p
=
−
Ф
⎩

(10.6.19)

выполняются уравнения (10.6.16). Система уравнений (10.6.19) указывает на то, что в глобальном масштабе кватернион энергии-импульса
не сохраняется, но может оставаться неизменным на локальном уровне ( D Ρ ≠ 0 , но ◊ Ρ = 0 ) при специфическом виде внешней кватернион364

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

ной силы Φ = 0 − γ Ф , где векторная часть определяется вторым уравнением системы (10.6.19).

10.7. «Заряд», «ток» и калибровка «поля»
Собственные состояния оператора «тетра» (10.6.5) удовлетворяют уравнению ( G = g(τ , r) + γ G(τ , r) – собственная гиперфункция, k1 – постоянные собственные значения, принадлежащие множеству действительных чисел)
(10.7.1)
◊ G = k 1G .
Введение нового кватерниона G = F exp(k1τ ) , приводит уравнение (10.
7.1) к системе уравнений (10.6.9). Следовательно, собственными состояниями оператора являются затухающие ( k1 < 0 ) или нарастающие
( k1 > 0 ) во времени периодические движения в виде продольных и поперечных волн.
Зеркальные состояния оператора ◊ удовлетворяют уравнению
( G – кватернион, комплексно-сопряжённый к гиперструктуре G , k 2 –
постоянные собственные значения, принадлежащие множеству действительных чисел)
◊G = k 2G .
(10.7.2)
Введение замен g = f exp(k2τ ) и G = F exp(−k 2τ ) , приводит уравнение (10.
7.2) к виду
⎧ ∂f
⎪⎪ ∂ τ exp( 2 k 2τ ) + div F = 0
.
◊F = 0 : ⎨
F
∂
⎪
⎪⎩ ∂ τ − rot F + exp( 2 k 2τ )∇ f = 0

(10.7.3)

Выполнение действий, которые применялись при выводе формул
системы (10.6.11), приводит к неоднородным уравнениям
† f = 2k2

∂f
∂τ

,

† F = − 2 rot(rot F ) + ( 2 k 2 − 1) exp( 2 k 2τ )

(10.7.4)
∂∇ f
∂τ

.

(10.7.5)

Правая часть уравнения (10.7.4) описывает появление «заряда» c плотностью (или «трения»)
365

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

κ =−

k 2 ∂f
2π ∂t

,

(10.7.6)

а правая часть уравнения (10.7.5) определяет «ток» с плотностью
J =−

c
2k − 1
∂∇ f
rot(rot F ) + 2
exp( 2 k 2τ )
2π
4π
∂t

.

(10.7.7)

Отметим, что собственные и зеркальные состояния оператора ◊ являются коллинеарными состояниями по их векторной составляющей.
Таким образом, действие оператора ◊ на собственную кватернионную
функцию приводит к возникновению однородных волн (собственные
движения). Если его действие порождает зеркальную гиперструктуру,
то возникают неоднородные периодические перемещения с образованием «зарядов» и «токов» (зеркальные состояния).
Кватернионное «поле» определим гиперкомплексной функцией
Φ =ϕ +γ

А
( ϕ и А − скалярный и векторный потенциалы соответственc

но), положив в последующем изложении скорость c = 1 . Если данный
кватернион Гамильтона-Гиббса удовлетворяет условиям гипераналитичности, то по (10.6.9)
⎧∂ ϕ
⎪⎪ ∂τ + div A = 0
,
◊Φ = 0 : ⎨
∂
A
⎪ + grad ϕ − rot A = 0
⎪⎩ ∂τ

(10.7.8)

Отметим тот факт, что при реализации условий (10.7.8) выполняется
также равенство ◊ Φ = 0 и не обращаются в нуль локальные кватернионные производные ◊ Φ ≠ 0 и ◊ Φ ≠ 0 .
Для неподвижной локальной области условия (10.7.8) определяют независимость кватерниона Φ ( R, R ) от комплексно-сопряжённой
структуры R . Кроме того, неоднозначность физического определения
скалярного ϕ ( R, R ) и векторного потенциалов A( R, R ) гиперкомплексной функции Φ ( R, R ) связана с тем, что физически измеримые величины (например, напряжённости материальных полей) задаются частными производными от потенциалов. Поэтому при решении физических
задач на потенциалы полей накладывают дополнительные ограничения, которые определяют их калибровку. Если на неподвижную ло366

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

кальную область оказывает воздействие внешнее поле с напряжённостью Ε = 0 − γ E , то во всей системе, состоящей из таких локальных областей, будет отсутствовать субстанциональный градиент кватернионного поля при выполнении условий (см. системы (10.6.18) и (10.6.19))
⎧∂ϕ
⎪⎪ ∂τ + div A = 0
.
DΦ = 0 ⇔ ◊Φ = Ε : ⎨
∂
A
⎪
⎪⎩ ∂τ + grad ϕ − rot A = − E

(10.7.9)

1. Первое уравнение системы (10.7.9) соответствует калибровке Лоренца. Введём в рассмотрение два типа поля E = E1 + E 2 :
E1 = −

∂A
− gradϕ ,
∂τ

(10.7.10)

E2 = rot A .

(10.7.11)
Применение операции дивергенции к уравнениям (10.7.10) и (10.7.11)
с учётом первого уравнения (10.7.9) приводит к уравнениям
∂ 2ϕ
div E1 = 2 − ∆ϕ = −  ϕ ,
∂τ
div E2 = 0

(10.7.12)
(10.7.13)

∂2
∂2
∂2
∂2
( ∆ = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа,  = ∆ − 2 – оператор Даламбе∂τ
∂x ∂y ∂z

ра). Действуя оператором ротора на (10.7.10), получим
rot E 1 = −

∂E 2
.
∂τ

(10.7.14)

Вычислив частную производную по времени от (10.7.10) и применив к
первому уравнению системы (10.7.9) оператор «набла», найдём уравнение
rot E 2 =

∂E1
+  A.
∂τ

(10.7.15)

Сравнение уравнений (10.7.10)-(10.7.15) с теорией электромагнитного поля Максвелла показывает, что векторная функция E1 описывает «электрическое» поле, а E2 − «магнитное». При этом выполняются равенства
(10.7.16)
 ϕ = − 4π ρ ,
 A = − 4π j ,
367

(10.7.17)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

здесь ρ − скалярная функция плотности распределения «заряда», а j −
векторная функция плотности «тока». После введения гиперкомплексной плотности распределения «заряда»
(10.7.18)
Q= ρ+γ j
соотношения (10.7.16) и (10.7.17) можно записать в кватернионном виде
(10.7.19)
 Φ = − 4π Q .
В области гипераналитичности кватерниона (10.7.18) наблюдается локальный закон сохранения плотности «заряда» ρ , а плотность «тока»
удовлетворяет уравнению, которое имеет вид второго уравнения системы (10.7.8).
Отметим, что уравнения (10.7.16) и (10.7.17) являются волновыми уравнениями для потенциалов кватернионного поля. Таким образом, уравнения Максвелла являются следствием отсутствия субстанционального градиента кватернионного поля Φ ( R, R ) при действии на
локальную область внешнего поля специфического вида, наложения на
потенциалы калибровки Лоренца и её естественном возникновении в
условиях (10.7.8) и (10.7.9).
2. Калибровка Кулона описывает соленоидальное векторное поле A
( A = rotW ), для которого выполняется равенство
(10.7.20)
div A = 0 .
Из первого уравнения (10.7.8) (или (10.7.9)) следует, что поле Кулона
характеризуется стационарным скалярным потенциалом ϕ , для которого (10.7.16) принимает вид уравнения Пуассона (в единицах системы СГС)
∆ϕ = − 4π ρ .
(10.7.21)
Отметим, что при выполнении условий (10.7.8) взятие операции дивергенции ( div ) от второго уравнения системы переводит его в уравнение Лапласа.
3. Калибровка Лапласа задаётся соотношениями
(10.7.22)
div A = 0 , rot A = 0 ,
а уравнение Лапласа
∆ϕ = 0
(10.7.23)
368

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

описывает локальную область, в которой отсутствуют «заряды», «магнитное» поле и наблюдается стационарное скалярное поле ϕ , порождающее «электрическое поле». Поле не достигает экстремального значения в областях, где выполняется уравнение Лапласа (10.7.23) и концентрируется в тех точках, где ∆ϕ < 0 .

10.8. Законы сохранения и эволюции
Отсутствие внешнего воздействия на локальную область сопровождается сохранением какой-либо характеристики физического объекта, причём наблюдается идентичность математического вида законов сохранения. Приведём ряд примеров:
− калибровка Лоренца (первое уравнение системы (10.7.9))
∂ϕ
+ div A = 0 ,
∂t

(10.8.1)

где ϕ и A – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного
поля, t – время. Если отсутствует расходимость векторного поля A
( div A = 0 ), то уравнение (10.8.1) соответствует локальному закону сохранения скалярной функции ϕ ( ∂ϕ / ∂ t = 0 ). Если векторная функция A
отвечает за конвективный перенос скалярного потенциала ( A = ϕ u , u –
скорость перемещения центра масс объекта в локальной точке в выбранный момент времени t ), то для несжимаемой среды ( div u = 0 ) уравнение (10.8.1) описывает субстанциональный закон сохранения потенциала ϕ ( dϕ / dt = 0 ). Если векторная функция A задаёт потенциальное
поле ( A = − α∇ϕ , α – постоянный коэффициент пропорциональности),
то уравнение (10.8.1) определяет дифференциальный закон сохранения
скалярной функции ϕ ;
− закон сохранения заряда
∂ρ
+ div j = 0 ,
∂t

(10.8.2)

где ρ – объёмная плотность электрического заряда, j – плотность тока;
− закон сохранения массы
369

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

∂ρ
+ div( ρ u) = 0 ,
∂t

(10.8.3)

здесь ρ – плотность вещества, u – массовая скорость в данной точке
в момент времени t ;
− уравнение неразрывности (уравнение Фоккера-Планка)
∂w
+ div j = 0 ,
∂t

(10.8.4)

здесь w – плотность вероятности, j – поток частиц;
− модель Шрёдингера
∂P
+ div J = 0 ,
∂t

(10.8.5)

где распределение вероятности P = Ψ ⋅ Ψ ∗ задаётся волновой функцией
⎤
⎡
h
Ψ , а поток равен J = Re⎢Ψ∗ ∇Ψ⎥ ( h – приведённая постоянная План⎦
⎣ im

ка, i – мнимая единица, m – масса частицы).
Математический вид уравнений (10.8.1)-(10.8.5) полностью совпадает с первым уравнением из условий гипераналитичности кватернионной функции (10.6.9). Если центр масс локальной области движется со скоростью u , то умножив скалярно эту скорость на второе
уравнение (10.6.9) и прибавив результат к первому уравнению, получим соотношение для субстанциональной производной по времени
df
от скалярной функции f :
dt
df
∂F ⎞
⎛
= u ⋅ ⎜ rot F −
⎟ − div F .
dt
∂t ⎠
⎝

(10.8.6)

При обращении в нуль правой части уравнения (10.8.6) величина f
остаётся неизменной в произвольный момент времени в любой точке исследуемого объекта.
Движущейся объект, например, «заряд» Q = ρ + γ j в кватернионном поле Φ = ϕ + γ

А
подвержен действию силы, которую определим
c

формулой
F = QE = − Q ◊Φ = j ⋅ E + γ( ρE − [ j × E ]) ,
370

(10.8.7)

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

где скалярная часть кватерниона (10.8.7) определяет скорость диссипации энергии
dε
= j ⋅E,
dτ

(10.8.8)

а векторная – силу, действующую на «заряд»:
(10.8.9)
F = ρE − [ j × E ] .
Из формулы (10.8.8) следует, что рассеяние энергии локальной областью не происходит при отсутствии внутри неё «тока» ( j = 0 ), а при его
наличии – при перпендикулярности плотности «тока» j вектору напряжённости внешнего поля E ( j ⊥ E ). При коллинеарности плотности «тока» j вектору напряжённости «электрического» поля E1 ( j E1 )
из правой части равенства (10.8.9) исчезает векторное произведение
[ j × E1 ] . В этом случае указанные величины связаны соотношением
j = σE1 ,

(10.8.10)

где σ – коэффициент пропорциональности. Если стационарное векторное поле A не изменяется от точки к точке локальной области, то выражение (10.8.10) описывает закон Ома, записанный в дифференциальной форме, а коэффициент σ – электропроводность среды.
С учётом введённых определений и при выполнении (10.8.10) равенство (10.8.9) запишется в виде
(10.8.11)
F = ρE1 + ρ [u × E2 ] + ρE2 − [ j × E2 ] .
Если выполняется равенство
ρE2 − [ j × E2 ] = 0 ,

(10.8.12)

то соотношение (10.8.11) является стандартным выражением для силы, действующей на «заряд» в «электрическом» и «магнитном» полях,
причём второе слагаемое описывает силу Лоренца
(10.8.13)
FL = ρ [u × E2 ] .
Таким образом, стандартное выражение для силы, действующей на
«заряд» в «электрическом» и «магнитном» полях, возникает тогда,
когда происходит конвективное перераспределение «заряда», выполняется дифференциальный закон Ома и справедливо выражение (10.
8.12).
371

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

Согласно первому закону Фика, диффузионный поток j связан с
градиентом концентрации вещества ∇с = grad c соотношением:
j = − D∇ c ,

(10.8.14)

где D – коэффициент диффузии. Закон теплопроводности по Фурье
содержит поток тепла j T , который описывается формулой:
jT = − k∇ θ ,

(10.8.15)

здесь k – коэффициент теплопроводности, ∇θ – градиент температуры
θ . В общем случае кинетические коэффициенты указанных и им подобных необратимых процессов зависят от местоположения точки в
среде при заданном моменте времени. Таким образом, в безразмерных
величинах кинетические явления этого класса характеризуются следующей зависимостью между векторной и скалярной составляющими
кватерниона:
F = − γ∇ f
(10.8.16)
( γ – переменный кинетический коэффициент). Следует заметить, что
зависимость коэффициента γ от времени и пространственных аргументов задаётся механизмом протекания процесса.
С учётом того, что rot(∇f ) ≡ 0 , второе уравнение системы (10.6.9)
является уравнением для определения функции ∇f = g при известной
зависимости коэффициента γ от пространственно-временных координат:
∂g
⎛ ∂γ ⎞
⎜1 − ⎟ g − γ + [∇γ × g ] = 0 .
∂t
⎝ ∂t ⎠

(10.8.17)

После подстановки
⎛ t 1 ⎛ ∂γ ⎞ ⎞
g = z (t , r ) exp⎜⎜ ∫ ⎜1 − ⎟ dt ⎟⎟ .
⎝ 0 γ ⎝ ∂t ⎠ ⎠

(10.8.18)

уравнение (10.8.17) принимает вид ( ∇(ln γ ) = h ):
γ

∂z
∂z
∂z
= [∇γ × z ] ⇒
= [∇(ln γ ) × z ] ⇒
= [h × z ] .
∂t
∂t
∂t

(10.8.19)

В проекциях векторное уравнение (10.8.19) эквивалентно системе уравнений
372

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

⎧ ∂ z1
⎪ ∂ t = h2 z3 − h3 z 2
⎪
⎪ ∂ z2
= h3 z1 − h1 z3 ,
⎨
⎪ ∂t
⎪ ∂ z3
= h1 z3 − h3 z1
⎪
⎩ ∂t

(10.8.20)

которое аналогично системе уравнений (6.4.1) и её анализ приведён
там же.
Фазовое состояние локальной области будем характеризовать гиперкомплексным потенциалом
Π = π + γJ ,
(10.8.21)
где π − параметр порядка, а на его поток J не накладывается ограничений модели Фика. Движущей термодинамической силой процесса
пространственного упорядочения локальной области является интенсивность процесса упорядочения σ (скалярная часть кватернионной
функции) и локальная сила X (векторная часть), т.е.
F = σ + γX .
(10.8.22)
Кватернионы (10.8.21) и (10.8.22) свяжем соотношением
◊Π = F ,
(10.8.23)
где ◊ = ∂ + γ ∇, оператор Гамильтона ∇ = i ∂ + j ∂ + k ∂ , F = σ − γX – ком∂τ

∂x

∂y

∂z

плексно-сопряжённый кватернион силы (10.8.22). В компонентах уравнение (10.8.23) эквивалентно системе уравнений
⎧∂ π
⎪⎪ ∂ τ + div J = σ
.
◊Π = F : ⎨
⎪ ∂ J + gradπ − rot J = − X
⎪⎩ ∂τ

(10.8.24)

Система (10.8.24) позволяет описывать как периодические движения
(колебания и волны), так и иерархии подобия зацепляющихся необратимых процессов.
Иерархия подобия возникает при пропорциональности кватерниона силы (10.8.22) сопряжённой гиперкомплексной функции (10.8.21),
т.е.
F =ξ Π .
(10.8.25)
373

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Глава 10

где ξ − коэффициент подобия, который является функцией действительных переменных. Тогда система (10.8.24) может быть приведена к
одной из систем
⎧∂ π
⎪⎪ ∂ τ + div J = ξπ
,
⎨
∂
J
⎪
⎪⎩ ∂τ + gradπ − rot J = −ξJ

⎧†π = −ξ 2π
. (10.8.26)
⎨
2
†
J
+
2
rotrot
J
=
−
ξ
J
+
2
ξ
rot
J
⎩

Отметим, что в неподвижных локальных областях с нулевым параметром порядком отсутствует субстанциональная производная кватернионного поля (10.8.21). Из первой системы (10.8.26) видно, что при выполнении уравнения
∂J
− rot J = 0 .
∂τ

(10.8.27)

она переходит в систему уравнений модели Фика-Онзагера
⎧∂ π
⎪ ∂ τ + div J = λπ
⎪
⎪∂ J
− rot J = 0 ,
⎨
τ
∂
⎪
⎪gradπ = −λJ
⎪
⎩

(10.8.28)

где обратная величина λ − 1 = D определяет коэффициент «диффузии»
параметра порядка. Таким образом, первый закон Фика отображает
рождение иерархии подобия.

374

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Рекомендуемая литература
История механики
1. Бакай А.С., Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты. – Киев: Наук. думка, 1981. – 284 с.
2. Гельфер Я.М. Законы сохранения. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1967. – 264 с.
3. Исаков А.Я. Физические основы механики. Руководство по самостоятельной работе. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2007. –
343 с.
4. Космодемьянский А.А. Теоретическая механика и современная техника. – М.: «Просвещение», 1975. – 248 с.
5. Перри Дж. Вращающийся волчок. – Одесса: Mathesis, 1912. – 116 с.
6. Полак Л.С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения)
// Труды института истории естествознания и техники. Т. 15. История
физико-математических наук. – М.: АН СССР, 1956. – С. 206-276.
7. Яковлев В.И. Предыстория аналитической механики. – Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 328 с.
Монографии, учебники, учебные пособия и статьи
1. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом
описании. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 176 с.
2. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. – Новосибирск: Институт теплофизики СО
РАН, 2003. – 504 с.
3. Андронов В.В. Теоретическая механика. 20 лекций. Ч. 1. Статика.
Кинематика. – М.: МГУЛ, 2003. – 137 с.
4. Андронов В.В. Теоретическая механика. 20 лекций. Ч. 2. Динамика. – М.: МГУЛ, 2003. – 128 с.
5. Бабаков И.М. Теория колебаний. – М.: Дрофа, 2004. – 591 с.
6. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. – М.: Высшая школа, 1964. – 323 с.
7. Белов Д.В. Механика. – М.: Физический ф-т, НЭВЦ ФИПТ, 1998.
375

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

– 144 с.
8. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1950. – 347 с.
9. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 432 с.
10. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в
гамильтоновой механике. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2001. – 469 с.
11. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твёрдого тела. – Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 384 с.
12. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Ч.3.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений, устойчивость, фазовые траектории, метод интегральных преобразований Лапласа. – М.: ЛЕНАНД, 2018. – 254 с.
13. Бугаенко Г.А., Маланин В.В., Яковлев В.И. Основы классической
механики. – М.: Высшая школа, 1999. – 366 с.
14. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 256 с.
15. Веретенников В.Г., Синицын В.А. Метод переменного действия. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 272 с.
16. Веретенников В.Г., Синицын В.А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам) . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 416 с.
17. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. –
М.: Наука, 1979. – 384 с.
18. Вся высшая математика.Т3:Теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория устойчивости / Краснов М.Л. и др. –
М.: ЛИБРОКОМ, 2017. – 240 с.
19. Гельмгольц Г. Основы вихревой теории. – М.-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002. – 82 с.
20. Голдстейн Г. Классическая механика. – М.: Наука, 1989. – 472 с.
21. Голод П. И., Климык А. У. Математические основы теории симметрий. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. –
376

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

528 с.
22. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. – М.: Изд-во МГУ,
2000. – 719 с.
23. Гончаров В.П., Павлов В.И. Гамильтоновая вихревая и волновая
динамика. – М.: ГЕОС, 2008. – 432 с.
24. Дронг В.И., Дубинин B.В., Ильин М.М. и др. Курс теоретической
механики. – М.: Изд-во МТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. – 736 с.
25. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – М.: Изд-во физ.мат. лит., 2001. – 320 с.
26. Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Теоретическая механика. – Харьков: Изд-во НУВД, 2004. – 244 с.
27. Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции. – М.:
Наука, 1987. – 320 с.
28. Косевич А.М., Ковалев А.С. Введение в нелинейную физическую
механику. – Киев: Наук. думка, 1989. – 304 с.
29. Кузнецов А.П., Савин А.В., Седова Ю.В., Тюрюкина Л.В. Бифуркации отображений. – Саратов: ООО Издательский центр «Наука»,
2012. – 196 с.
30. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Физматлит, 1973. –
399 с.
31. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. –
411 с.
32. Лойцянский Л. Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. I.
Статика и кинематика. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. –
352 с.
33. Лойцянский Л. Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. II.
Динамика. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. – 640 с.
34. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос: Основные понятия. – М.: ЛИБРОКОМ, 2018. – 240 с.
35. Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: ЧеРо, 1999. – 572 с.
36. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа,
1990. – 607 с.
37. Новоселов В.С. Вариационные методы в механике. – Л.: Изд-во
ЛГУ, 1966. – 71 с.
377

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

38. Okulov, V. L. On the stability of multiple helical vortices // J. Fluid
Mech., 2004. – V. 521. – P. 319-342.
39. Окулов В.Л., Наумов И.В., Соренсен Ж.Н. Самоорганизующиеся
вихревые мультиплеты в закрученном течении // Письма в ЖТФ, 2008.
– Т. 34, № 15. – С. 89-95.
40. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. – М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 575 с.
41. Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 392 с.
42. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и
волн. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. –
560 с.
43. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. – М.: Изд-во иностр. лит., 1952. – 264 с.
44. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. – М.: Изд-во
МГУ, 1984. – 296 с.
45. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. – Ижевск: Издательский
дом «Удмуртский университет», 1999. – 588 с.
46. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Под
редакцией А.В. Борисова, И.С. Мамаева, М.А. Соколовского. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 704 с.
47. тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1974. – 223 с.
48. Xайкин С.Э. Физические основы механики. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1971. – 751 с.
49. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики,
ч. I. Статика. Кинематика. – М.: Высшая школа, 1966. – 438 с.
50. Яблонский А.А. Курс теоретической механики, ч. II. Динамика. –
М.: Высшая школа, 1966. – 411 с.
Задачники
1. Алексеев А.И. Техника вычислений в классической механике. – М.:
МИФИ, 1984. – 148 с.
378

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

2. Аркуша А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 2002. – 336 с.
3. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. I (статика и кинематика). – М.: Наука, Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1967. – 512 с.
4. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. II (динамика). – М.: Наука, Гл. ред. физ.мат. лит., 1966. – 663 с.
5. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. III (специальные главы механики). – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 487 с.
6. Бражниченко Н.А., Кан В.Л., Мицберг Б.Л., Морозов В.И., Ушакова Г.Н. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1967. – 529 с.
7. Коткин Г.Я., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике.
– Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 347 с.
8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 448 с.
9. Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоретической механике для физиков. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977. –
395 с.
10. Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 536 с.
Кватернионы в механике
1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. – М.: Наука, 1973. – 320 с.
2. Кирпичников С.Н., Новосёлов В.С. Математические аспекты кинематики твёрдого тела. – Л.: ЛГУ, 1986. – 252 с.
3. Corben N.C., Stenle P. Classical Mechanics. – New York-London: John
Wiley & Sons, 1960. – 389 p.
4. Синг Дж.Л. Классическая динамика. – М.: Физматгиз, 1963. – 448 с.

379

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Приложения
Греческий алфавит
Обозначение
буквы
Α, α
Β, β
Γ, γ
∆, δ
Ε, ε
Ζ, ζ
Η, η
Θ, θ,
Ι, ι
Κ, κ
Λ, λ
Μ, µ

Название Обозначение
буквы
буквы
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тета
йота
каппа
ламбда
мю

Ν, ν
Ξ, ξ
Ο, ο
Π, π
Ρ, ρ
Σ, σ
Τ, τ
Υ, υ
Φ, φ
Χ, χ
Ψ, ψ
Ω, ω

Название
буквы
ню
кси
омикрон
пи
ро
сигма
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега

Единицы измерения физических величин
Обозначение Название Обозначение Название
единицы
единицы
единицы
единицы
измерения измерения измерения измерения
А
Бк
Вт
Вб
В
Гн
Гц
Дж
кал
К
кг
Кл
м

Ампер
Беккерель
Ватт
Вебер
Вольт
Генри
Герц
Джоуль
калория
Кельвин
килограмм
Кулон
метр

380

мин
лк
лм
Н
Ом
Па
рад
с
См
Тл
Ф
ч
эв

минута
люкс
люмен
Ньютон
Ом
Паскаль
радиан
секунда
Сименс
Тесла
фарада
час
электронвольт

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Десятичные приставки к единицам измерения
Множитель
10−18
10−15
10−12
10−9
10−6
10−3
10−2
10−1
10
102
103
106
109
1012
1015
1018

Приставка
атто
фемто
пико
нано
микро
милли
санти
деци
дека
гекто
кило
мега
гига
тера
пета
экса

Обозначение
русское мировое
а
а
ф
f
п
p
н
n
мк
µ
м
m
с
c
д
d
да
da
г
h
к
k
М
M
Г
G
Т
T
П
P
Э
E

Международная система единиц СИ и
соотношения единиц СИ и технической системы
Наименование
величины

Единица измерения
в системе СИ

Кратные и дольные
единицы

Масса

килограмм (кг)

тонна (т)
1 т = 1000 кг
грамм (г)
1 г = 0,001 кг

Сила

Ньютон (Н)

килоньютон (кН)
1 кН = 1000 Н

Работа

Джоуль (Дж)

килоджоуль (кДж)
1 кДж = 1000 Дж
Ватт-час (Вт·ч)
1 Вт·ч = 3,6·103 Дж

Соотношения
единиц
1 кг = 0,102 т.е.м.
1 т.е.м. = 9,81 кГ
1 Н = 0,102 кГ
1 кГ = 9,81 Н
1 Дж = 0,102 кГм
1 кГм = 9,81 Дж

Мощность

Ватт (Вт)

киловатт (кВт)
1 кВт = 1000 Вт

1 Вт = 0,102 кГм/сек =
= 0,0136 л. с.
1 кГм/сек = 9,81 Вт
1 л. с. = 735,5 Вт

Давление

Н/м2

бар (бар)
1 бар = 105 Н/м2 =
= 100 кН/м2

1 Н/м2 = 0,102 кГм/сек
1 кГ/м2 = 9,81 Н/м2
1 ат = 1 кГ/см2 =
= 98100 Н/м2

381

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Коэффициенты перехода от СГС к СИ

Используемые внесистемные единицы измерения
1 год = 365,24 сут = 8765,8 ч = 31557000 с
1 сут (сутки) = 24 ч = 86400 с
1 ч (час) = 60 мин = 3600 с
1 мин (минута) = 60 с
1 т (тонна) = 10 ц = 1000 кг
1 мм рт. ст. = 133,322 Па
1 ат (тех. атмосфера) = 9,81·104 Па
1 атм (физ. атмосфера) = 101325 Па

382

1 мк (микрон) = 10−6 м
1 Å (ангстрем) = 10−10 м
1 л (литр) = 0,001 м3
1 рад (радиан) = 57,296º
1º (градус) = 0,017453 рад
1 А·ч = 3600 Кл
1 кал = 4,1868 Дж
1 эВ = 1,602·10−19 Дж

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Фундаментальные константы
Название константы

Обозначение

Постоянная Планка
h
ћ=h/(2π)
Приведённая постоянная Планка
Постоянная Больцмана
kB
NA
Постоянная Авогадро
Постоянная Фарадея
F
Постоянная Ридберга
Ry
Постоянная Стефана-Больцмана
σ
Заряд электрона
е
Масса покоя электрона
mе
2
Постоянная тонкой структуры
α= е /(2hε0с)
h/ mе
Квант вращения
Электрическая постоянная
ε0
Магнитная постоянная
µ0
Скорость света в вакууме
с
Гравитационная постоянная
G
Универсальная газовая постоянная
R=kBNA

Числовое значение константы
6,6261·10−34 Дж·с
1,9546·10−34 Дж·с
1,3807·10−23 Дж/К
6,0221·1023 моль−1
9,6485·104 Кл/моль
1,0974·107 м−1
5,67·10−8 Вт/(К4· м2)
1,6022·10−19 Кл
9,1096·10−31 кг
7,2974·10−3 ≈ 1/137
7,2739·10−4 м2/с
8,8542·10−12 Ф/м
1,2566·10−6 Н/м
2,9979·108 м/с
6,6726·10−11 Н·м/кг2
8,3145·10−23 Дж/(К· моль)

Астрономические величины
Радиус Солнца
Масса Солнца
Средняя плотность Солнца
Температура поверхности
Солнца
Сила света Солнца
Среднее расстояние от
Солнца до Земли (1 а. е.)
Средний радиус Земли
Масса Земли
Средняя плотность Земли
Средний орбитальная
скорость Земли

6,95·108 м
1,97·1030 кг
1400 кг/м3

Ускорение свободного
падения
9,80665 м/с2
Радиус Луны
1,7379·106 м
Масса Луны
7,349·1022 кг
5800 К
Среднее расстояние
27
3,07·10 кд от Луны до Земли
3,84·108 м
Период обращения Луны
11
вокруг Земли
27 сут 7 ч 43 мин
1,49·10 м
6
6,37111·10 м Угловая скорость вращения Земли
5,975·1024 кг вокруг своей оси
7,29212·10−5 рад/с
5517 кг/м3
1 св. год (световой год) 9,4605·1015 м
1 пк (парсек)
3, 2616 св. года
4
2,98·10 м/с

383

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения
3

Плотность вещества ρ·10 кг/м

3

Газы (при нормальных условиях: Т0 = 273 К; p0 = 1,013·105 Па)
Азот
Гелий

0,001251
0,000173

Водород
Кислород

0,000090
0,001429

Воздух
Углекислый газ

0,001292
0,001978

Вода морская
Нефть
Эфир

1,03
0,8
0,71

Жидкости при Т = 273 К
Бензин
0,7
Керосин
0,8
Ртуть (0ºС) 13,6
Скипидар
0,86

Вода (4ºС)
1,0
Масло (смазочное) 0,9
Спирт
0,8

Твёрдые вещества при Т = 273 К
Алюминий
Золото
Никель
Свинец
Сталь
Стекло
Берёза

2,7
19,3
8,9
11,4
7,8
2,5
0,7

Вольфрам
19,3
Латунь
8,5
Олово
7,3
Серебро
10,5
Чугун
7,4
Пробка
0,24
Древесина (сухая)
Дуб
0,8

Железо
Медь
Платина
Цинк
Уран
Лёд (0ºС)
Сосна

7,8
8,9
21,5
7,1
18,7
0,9
0,5

Коэффициенты трения для некоторых материалов
Дерево по дереву (дуб)
Сталь по льду

0,5
0,02

Дерево по сухой земле
0,71
Дерево по льду
0,03..0,04

Силы в природе
Закон всемирного тяготения

F = Gm1m 2 / r 2

Сила тяжести

F = mg

Закон Кулона

F = q 1q 2 /(4π ε 0 r 2 )

Сила упругости
Сила трения скольжения

F = −kx
F = −µ N

Сила жидкого трения:

F = −k v

Сила Лоренца

n

n = 1 – закон Стокса (ламинарное течение)
n = 2 – турбулентное течение
F = qE + q[ v × B] / c
384

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Применение кватернионного исчисления для расчёта архитектуры зданий
(Гордеев В.Н. Кватернионы и бикватернионы с приложениями в геометрии и
механике. – Киев: Издательство «Сталь», 2016. – 316 с.)

385

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

386

Терехов С.В. Механика для теоретиков. Литература и приложения

Терехов Сергей Владимирович,
д.ф.-м.н., доц., в.н.с. отдела № 14,
ГУ «ДонФТИ им. А.А. Галкина»
Механика для теоретиков. – Донецк: ГУ
«ДонФТИ им. А.А. Галкина», 2020. – 387 с.

387