с. ялялин

Математические методы

в теории игр

программировании

и экономике


ИЗДАТЕЛЬСТВО
«М И Р»
MATHEMATICAL METHODS AND THEORY

IN GAMES,

PROGRAMMING, AND ECONOMICS

by SAMUEL KARLIN

Stanford University

PERGAMON PRESS

LONDON - PARIS

1959

Перевод с английского
H. А. Бодана, Л. И. Горькова,
А. А. Корбута, А. И. Ляпунова,
H. M. Митрофановой, А, И. Смирнова
и E. Б. Яновской

Под редакцией

Я. Я. Воробьева
С. КАРЛИН

Математические методы

в теории игр

программировании
и экономике

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>

МОСКВА 1964
Эта книга посвящена математическому анализу ситуаций, возни-
кающих при управлении самыми разнообразными формами деятель-
ности человека с целью достижения максимального эффекта.

Книга состоит из трех частей: матричные игры, программирова-
ние и математическая экономика, бесконечные игры. Первая и третья
части имеют много точек соприкосновения, в то время как вторая
часть является более самостоятельной.

Основное внимание автор уделяет теории антагонистических игр,
изложение которой является наиболее полным из имеющихся в мировой
литературе.

Книга адресована широкому кругу читателей: студентам-матема-
тикам, изучающим теорию игр, линейное и нелинейное программиро-
вание, студентам-экономистам, имеющим определенную математиче-
скую подготовку, научным работникам самых разнообразных специ-
альностей, занимающимся исследованием операций.

Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВ ИЕРЕДАКТОР А

В последнее время идеи и приемы исследования операций начи-
нают приобретать все большее значение в процессах принятия ре-
шений, а математические методы исследования операций складываются
в широко разветвленные научные дисциплины. Эти математические
теории можно классифицировать по самым различным признакам.
Несколько таких классификаций приводятся в этой книге (см. Вве-
дение, § 2).

Одна из них основана на противопоставлении статических задач
динамическим. Первые можно охарактеризовать как задачи, в которых
процесс принятия решения сводится к некоторому единичному акту.
В динамических же задачах принятие решения состоит из последо-
вательности (быть может, бесконечной) принятия частичных решений.
Такие задачи возникают, например, в связи со всевозможными про-
цессами управления. Для задач динамического типа показательно
изменение самого субъекта, принимающего решения, по мере принятия
им решений. Именно в ходе многошагового процесса решения может
приобретаться или, наоборот, теряться существенная для выбора реше-
ния информация, могут изменяться сравнительные ценности тех или
иных последствий принятых решений, могут, наконец, открываться
новые возможности или становиться недоступными старые.

Другая классификация связан^ с выделением детерминированного
и стохастического вариантов задач. Детерминированные задачи отра-
жают невероятностный, достоверный подход к явлениям, тогда как
в задачи стохастического типа всегда входят случайные события, ве-
личины или процессы.

Укажем еще на одну возможную классификацию. Математические
теории, используемые в процессах принятия решений, можно разбить
на „дескриптивные" теории, которые математически описывают изу-
чаемые процессы, и на теории „управления", отражающие целенаправ-
ленность принимаемых решений. В первом случае обычно выявляются
последствия того или иного произвольно принятого решения; во вто-
ром— на передний план выдвигается то, что автор (на стр. 15)
называет нормативной сущностью теории: основные усилия напра-
вляются на поиски именно того решения, последствия от принятия
которого будут наиболее благоприятными („оптимальными"). Весьма
характерным примером теории, относящейся к первому классу, может
служить теория массового обслуживания; теории второго класса
достаточно ярко представлены различными „программированиями".
Разумеется, эта классификация (как и всякая другая классификация
научных направлений) не может претендовать на абсолютную четкость.
Так, например, в теории массового обслуживания уже появились ре-
шения отдельных оптимизационных задач; с другой стороны, проблемы
существования решений в ряде задач оптимального программирования,
в сущности, являются чисто описательными, познавательными зада-
чами, решение которых не связывается непосредственно с принятием
того или иного решения.

После всего сказанного содержание данной монографии С. Кар-
лина можно коротко описать следующим образом. Эта книга содер-
жит строгое и систематическое изложение математического аппарата
теории принятия решений и исследования операций, связанного с де-
терминированными статическими оптимизационными задачами. Именно,
книга охватывает теорию антагонистических игр в нормальной форме
(несколько более половины всего объема книги), линейное програм-
мирование, нелинейное программирование и некоторые разделы со-
временной математической экономики, примыкающие к оптимальному
программированию (модели типа „затраты — выпуск", теория равно-
весия и др.).

„Динамичность" игр с выбором момента времени и рассматри-
ваемых автором экономических моделей чисто кажущаяся, потому
что в обоих этих случаях решения принимаются единожды на весь
процесс. Точно так же использование вероятностных соображений
в излагаемых вопросах теории игр еще не составляет стохастиче-
ского подхода к этим вопросам.

Стремление автора ограничиться детерминированными статическими
оптимизационными задачами объясняет отсутствие в книге разделов,
посвященных динамическим играмэ (в том числе статистическим ре-
шающим функциям), динамическому программированию, теории мас-
сового обслуживания, а также „самой операционной из теорий иссле-
дования операций"—теории управления запасами (в которой, кстати
сказать, автор является видным специалистом). Это обстоятельство
нельзя считать ни пробелом в изложении, ни тем более недостат-
ком книги. Оно является естественным следствием четкого опреде-
ления ее предмета.

Хотя все проводимые автором математические рассуждения до-
статочно прозрачны, требования, формально предъявляемые к матема-
тической подготовке читателя, довольно скромны, а выходящие за
пределы общеизвестного сведения по линейной алгебре, анализу и
теории выпуклых множеств приведены в трех приложениях, назвать
книгу элементарной никак нельзя. Больше того, несмотря на неза-
висимое от каких-либо других руководств изложение предмета, начи-
нающееся с исходных определений, ее едва ли можно рекомендовать
как учебник для первоначального знакомства с теорией игр, програм-
мированием или математической экономикой. Лучше всего приступать
к чтению этой книги, имея уже достаточно основательные познания
о предмете (например, в объеме чрезвычайно доходчиво написанной
книги Д. Гейла „Теория линейных экономических моделей", ИЛ, 1963).
Обладающий же известной предварительной подготовкой читатель
сможет извлечь из книги много полезного.

Во-первых, целенаправленное развитие „сюжета" выявляет един-
ство математических идей, лежащих в основе формально столь раз-
личных между собой теорий. Это обстоятельство педагогически чрез-
вычайно важно и делает целесообразным использование книги в ка-
честве учебника для глубокого изучения предмета.

Во-вторых, разнообразие приложений убедительно показывает
возможность применения излагаемых математических методов в самых
различных областях человеческой деятельности. Конечно, при интер-
претации математико-экономических вопросов автор выступает с обыч-
ных позиций буржуазного ученого. Однако ценность развиваемого
при этом математического аппарата с этими интерпретациями непо-
средственно не связана. Например, ход разрешения споров между
профсоюзом и предпринимателем (§ 4.5) хотя и рисуется в слишком
уж упрощенном виде, но как условный пример даже интересен.

Наконец, в-третьих, приведенные в конце каждой главы задачи
(общим числом более трехсот) иллюстрируют и развивают излагае-
мый в книге материал. Даже внимательный анализ читателем приве-
денных в книге решений этих задач (не говоря уже о самостоятель-
ном их решении) несомненно принесет большую пользу.

Перевод книги выполнили Н. А. Бодин (главы 1 — 4), А. Н. Смир-
нов (главы 5—6), А. А. Корбут (главы 8—9), Л. И. Горьков (главы
7, 10—12), Е. Б. Яновская (главы 13—16), А. Н. Ляпунов (глава 17)
и Н. М. Митрофанова (приложения). Обширная авторская библио-
графия дополнена наиболее значительной новой литературой по тема-
тике данной монографии. Эта работа выполнена А. А. Корбутом.

/7. /7. Воробьев

ПРЕДИСЛОВИЕ

Разделы математики, используемые в процессах принятия реше-
ний, играют все более важную роль в анализе задач управления
производством, в вопросах- экономики, военной тактики и исследо-
вания операций. Эти области приложения привели к созданию мате-
матических дисциплин нового типа. Развитие теории игр, линейного
и нелинейного программирования, а также математической экономики
характеризует одну из значительных сторон такого рода математики.

По существу, настоящая книга является попыткой предваритель-
ного синтеза понятий теории игр и теории программирования с по-
нятиями и методами математической экономики в единую системати-
ческую теорию. Кроме того, мы надеемся, что данная книга окажется
полезной в качестве учебника или справочника по этим предметам,
а также послужит основой для последующего их изучения и раз-
работки.

Содержание этой книги ни в коей мере не является исчерпы-
вающим; мы придавали особое значение тем вопросам, которые счи-
тали более важными. В то же время мы пытались сообщить читателю
основную традиционную информацию, от которой зависит правильное
понимание теории игр и теории программирования. Изложение
каждого предмета хотелось х сделать замкнутым в себе и вполне
строгим; вместе с тем мы стремились выявить идейную глубину и
формальное изящество всей теории. В данной книге принципы теории
игр и теории программирования применяются к большому числу
упрощенных задач, связанных с экономическими моделями, с моделями
принятия деловых решений и задачами военной тактики, для того
чтобы пояснить рассматриваемые математические понятия и указать
на их применимость к такого рода проблемам.

Каждая глава содержит некоторое количество более сложного
материала, который обычно сведен в параграфы, отмеченные звез-
дочкой (*). Элементарные вспомогательные сведения изложены в при-
ложениях, а более сложные включены непосредственно в текст.

Каждая глава содержит задачи различной трудности; многие из
этих задач приводят к обобщениям теории. Решения большинства
задач и краткие указания относительно решения остальных задач
даны в конце каждой части.

Три части монографии, за исключением материала в разделах,
отмеченных звездочкой, не зависят друг от друга: их можно изучать
(вместе с относящимися к ним приложениями) независимо. Для удоб-
ства читателя на следующей странице дается схема, показывающая
взаимосвязи основного материала, содержащегося в книге.

Каждая глава завершается разделом, содержащим исторические
замечания, некоторые соображения, касающиеся тех или иных дета-
лей, и перечисление книг и статей, которыми можно воспользоваться
для получения дополнительной информации. Вся цитированная лите-
ратура перечислена в библиографии в конце книги. В некоторых
случаях исторические замечания состоят в указании на приоритет
выдающихся открытий; любые неточности или упущения в этом от-
ношении являются совершенно непреднамеренными, и автор заранее
глубоко о них сожалеет.

Я многим выражаю свою признательность, и в первую очередь
Станфордскому университету, Калифорнийскому технологическому
институту, Корпорации РЭНД и Управлению морских исследований,
которые вдохновили меня на создание этой книги и обеспечили бла-
гоприятные условия и поддержку при ее написании.

Среди моих университетских коллег я благодарен профессорам
Боукеру, Либерману, Мадоу, Парзену и Скарфу (Станфордский уни-
верситет) за их постоянную поддержку; профессору Боненбласту из
Калифорнийского технологического института, познакомившему меня
с этой областью науки и обучившему меня очень многому, за что
я всегда буду перед ним в долгу; моим ученикам Р. Рестрепо и
Р. Миллеру, записавшим мои лекции, на материале которых осно-
вана эта книга; моим ученикам У. Пруитту и Ч. Стоуну, каждый
из которых сделал ценные предложения по организации и улучше-
нию окончательного варианта рукописи; профессорам Удзава и Эрроу,
которые научили меня большей части того, что я знаю по матема-
тической экономике; моим друзьям Мелвину Дрешеру, Рею Фулкер-
сону и Харвею Вагнеру за их полезные замечания по первым шести
главам и Ирвингу Гликсбергу за помощь в написании приложений.

Наконец, я приношу благодарность моей жене, которая прини-
мала теплое участие, проявила безграничное терпение и доброту
в течение этих долгих лет писательства.

Станфорд, Калифорния

Август, 1959
ЛОГИЧЕСКАЯ
ВЗАИМОЗАВИСИМОСТЬ
РАЗЛИЧНЫХ ГЛАВ
(касается лишь тех разделов,
которые не отмечены, звездочкой.)

Г Л A

Часть!	Часть II

ГЛАВА 1	ГЛАВА 5

I	I

ГЛАВА 2	i

I	ГЛА ЗА 6	ГЛАВА7

I	I

3	ГЛАВА 4	ГЛАВА 8

I

ГЛАВА 9

Часть III

ГЛАВА 1

ГЛАВА 10

ГЛАВ

11 ГЛАВА 12 ГЛАВА 13 ГЛАВА 15 ГЛАВА 16 ГЛАВА 17

I
ГЛАВА 14

ВВЕДЕНИЕ

СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРОЦЕССОВ

РЕШЕНИЯ

1. Общие замечания. Искусство выработки наилучших (в смысле
тех или иных критериев) суждений старо, как род человеческий;
именно это искусство является сущностью любой сферы человеческой
деятельности — от волейбола до организации тыла. Наука о выра-
ботке таких суждений является в отличие от искусства уже доста-
точно новым открытием, а математическая теория принятия решений
еще моложе — она насчитывает немногим более двадцати лет. Эта
теория создавалась довольно интенсивно. В последнее десятилетие
наблюдалось быстрое распространение применений различных научных
дисциплин в экономическом планировании, в военном деле, в управ-
лении производством и в планировании больших систем. При этом
имело место постоянное взаимодействие между более точной поста-
новкой задач управления производством и техники снабжения и раз-
работкой математического аппарата, необходимого для их решения.
Наряду с этим и частично как результат успехов, достигнутых в тео-
рии игр, в линейном программировании и в теории очередей, появи-
лись новые прикладные дисциплины, самые названия которых лет
сорок тому назад еще не были известны: исследование операций,
наука об управлении производством, анализ систем и множество дру-
гих. Все эти дисциплины имеют дело с одной и той же основной про-
блемой научного анализа ряда возможных способов действия с целью
нахождения такого из них, который в данных условиях был бы
наилучшим.

Что именно понимается под задачей принятия решений, должно
быть четко определено. В частности, должны быть установлены все
возможные способы действия, их последовательности, цели различных
участников явления и природа влияющих на него случайных факто-
ров. После этого необходимо попытаться оценить и сравнить раз-
личные альтернативы поведения в терминах окончательных целей.
Обычно задача принятия решения состоит из четырех составных
частей: (1) модели, выражающей множество допустимых эмпириче-
ских соотношений между множеством переменных; (2) точно опре-
деленного подмножества переменных, значения которых должны
выбираться фирмой или другим принимающим решение коллективом;
(3) целевой функции переменных, сконструированной таким образом,
что большему ее значению соответствует лучшая ситуация с точки
зрения данной фирмы, и (4) методов анализа влияния на значение
целевой функции значений переменных, выбираемых на основе решения*

Основной составной частью задачи принятия решения является
построение модели. Следующее определение может помочь объяснить
значение этого понятия и его объем. Модель — это надлежащая аб-
стракция реального явления, сохраняющая существенную структуру
задачи таким образом, чтсбы ее анализ давал возможность проник-
нуть в сущность как первоначальной конкретной ситуации, так и
других ситуаций, аналогичных ей по своей формальной структуре.

Создание моделей стало за последние годы все более распрост-
раненным явлением, особенно в социальных науках. Современные
психологи подходят к изучению процессов обучения, используя мо-
дели, включающие случайные величины. Экономисты, опираясь на тео-
рию игр и теорию математического программирования, разработали
глобальные модели равновесия, являющиеся попыткой понять взаи-
моотношение между потреблением, производством и ценой единицы
товара в условиях конкурентной экономики. При изучении полити-
ческой конъюнктуры некоторые ученые используют идеи теории игр
п лиц для анализа соотношения сил, влияющих на решения законо-
дательных органов. Все большее и большее число деловых фирм
применяют строгий математический подход к проблемам управления,
учета и производства. Инженеры заняты интенсивными разработками
в новой области анализа систем, основной метод которого состоит
в имитации идеализированных моделей тех или иных процессов.
Основной математический аппарат, используемый при этих исследо-
ваниях, является смесью математических понятий и методов, употреб-
ляемых в статистике, теории вероятностей и общей теории принятия
решений.

Последние пятьдесят лет, с одной стороны, явились годами пло-
дотворного брожения в таких дисциплинах, как теория вероятностей,
стохастические процессы и статистика, а с другой — были свидете-
лями развития теории игр и линейного программирования. Эти мате-
матические дисциплины являются естественным аппаратом для анали-
тического исследования проблем, возникающих в социальных науках,
а также в науке об управлении. В этом отношении представляется
интересным кратко сопоставить полезность теории вероятностей, ста-
тистики и теории принятия решений с полезностью других отраслей
чистой и прикладной математики.

Развитие классической математики стимулировалось главным об-
разом задачами, связанными с явлениями из области физики и техники.
В обычной задаче классической физики переменные величины, опре-
деляющие систему, удовлетворяют вполне определенным детермини-
рованным соотношениям. Все параметры этой задачи предполагаются
известными или точно измеряемыми, и соотношения между ними
отыскиваются для того, чтобы точно предсказать, что может прои-
зойти при сходных или аналогичных обстоятельствах в будущем.
До последнего времени приходилось иметь дело именно с такими
детерминистскими задачами, т. е. с задачами, которые, вообще го-
воря, могли быть решены при помощи дифференциальных уравнений
в частных производных или родственными им математическими ме-
тодами.

Однако очевидно, чтр эти детерминистские понятия и методы
совершенно не подходят для социальных наук, для которых типич-
ными являются задачи, связанные с неопределенными и изменчивыми
величинами. В тех случаях, когда в формировании модели решаю-
щую роль играют люди, мы (если мы вообще хотим прийти к содер-
жательным результатам) должны учитывать неизвестный, а иногда и
случайный характер человеческих поступков, а также элемент слу-
чайного, присущий окружающей среде. Поэтому изучение поведения
людей неизбежно должно быть достаточно тесно связано с теорией
вероятностей, статистикой и тем анализом решений, который иссле-
дуется в теории игр и в линейном программировании.

Обратное также справедливо: математики и статистики все больше
имеют дело с аналитическими проблемами, возникающими из анализа
человеческой деятельности. Новые направления математических ис-
следований указываются теперь не только физическими или техничес-
кими науками, но также науками социальными и административными.

Имеется два аспекта таких исследований: построение модели, в
которой основную роль играют вероятность и стохастические про-
цессы, и нормативная сущность этой модели (оптимизация), являю-
щаяся сферой статистики, теории игр, теории принятия решений и
исследования операций. Практически эти два аспекта неразделимы.
Очевидно, чтобы понять, как оптимизировать целевую функцию, не-
обходимо понять структуру и механизм модели, а чтобы адекватно
построить модель, необходимо установить пути ее использования.

Для того чтобы надлежащим образом определить объем этих
исследований, отметим описательную значимость в изучении постро-
ения математической модели. Ее следует отличать от нормативного
существа модели, которому мы придаем особое значение. С точки
зрения математического моделирования в психологии и социологии
в большей части современной литературы исследуется ориентация
модели в направлении некоторой эмпирической адекватности. С другой
стороны, модель, отражающая ситуации, возникающие при управлении
производством, в экономике и в статистике, более тесно связана с тем
видом нормативных вопросов теории рационального поведения (теории
игр, теории принятия решений), которым мы уделяем основное внимание.

Методы теории вероятностей, статистики и теории принятия ре-
шения необходимо взаимодействуют друг с другом, и открытия в
каждой из этих областей ведут к открытиям в других областях.
Поэтому определение оптимальных процессов для задач, связанных
с принятием решений, должно рассматриваться не с точки зрения
десятка (или около того) более или менее разрозненных методов, а
с точки зрения единой всеобъемлющей аналитической методологии.

Это и есть та методология в контексте теории игр, програм-
мирования и математической экономики, которую мы пытаемся опи-
сать в этой книге. Мы можем суммировать наши намерения как
попытку объединить математический аппарат данной области и попы-
таться выкристаллизовать важнейшие понятия, лежащие в основе
задач, связанных с принятием решений. Нашей целью не является
четкое определение формальной структуры, которая охватывала бы
все проблемы в этих областях. Мы не сосредоточиваемся на опре-
делениях и абстракциях per se. Скорее мы пытаемся детально раз-
работать основные приложимые математические методы, делая, где
это возможно, ударения на математических прототипах и их анализе,

2. Классификация математического аппарата задач принятия
решений. Целью настоящего пункта является описание различных
полезных математических классификаций задач принятия решений,
приложимых также к теории игр, математическому программированию
и математической экономике.

I.	Задачи принятия решений можно разделить на два резко кон-
трастирующих типа: статические и динамические задачи. Статическая
задача принятия решения — это такая задача, в которой переменные
величины не зависят явно от времени. В динамической же модели
время играет решающую роль.

Это различие между статическими и динамическими задачами
не всегда ясно выражено. Часто статическая ситуация является ста-
ционарным состоянием динамической ситуации, т. е. фазой равно-
весия, достигнутой динамическим процессом, развертывавшимся в
течение долгого времени. С другой стороны, динамический процесс
может рассматриваться как статический, когда одни и те же пере-
менные, вводимые в последовательные моменты времени, рассматри-
ваются как новые переменные. Тем не менее между этими двумя
типами задач имеется существенное различие как принципиальное,
так и техническое. Оно будет чувствоваться на всем протяжении
последующего детального анализа.

Основное техническое различие между динамическими (много-
шаговыми) моделями и моделями статическими заключается в степени
сложности описания любой данной стратегии или данного образа
действия. В статической ситуации стратегия выбирается раз и на-
всегда и осуществляется непосредственно, тогда как стратегии, соот-
ветствующие динамической ситуации, обычно являются сложными
функциями получаемой информации и действий, предпринятых на преды-
дущих шагах. Теоретически, посредством подходящего определения
стратегий, мы можем свести любую динамическую модель к стати-
ческой. Однако практически эта операция настолько усложняет при-
роду стратегии, что анализировать задачу в новых терминах часто
бывает невозможно. По-видимому, сущность анализа динамической
задачи состоит в использовании ее рекурсивной, зависящей от вре-
мени, природы и симметрий, вытекающих из неограниченности вре-
мени.

Важность динамических задач принятия решений очевидна, так
как почти все человеческие действия развертываются во времени.
Процессы обучения основаны на принципе последовательного изло-
жения материала. Деловые решения включают в большинстве своем
элемент времени. Экономисты давно уже пытаются учитывать дина-
мические флуктуации во времени. Тем не менее постановка и мате-
матический анализ динамических задач принятия решений имеют не-
давнее происхождение. Выдающимся новатором в этом отношении
был Вальд, созданный которым последовательный анализ статисти-
ческих данных (см. Вальд [I])1) содержит сущность понятия после-
довательного принятия решений для накопления информации. Другие
более частные результаты, связанные с задачей последовательного
принятия решений, содержатся в работе Беллмана [1], который увидел
общий характер „секвенциальной" идеи и использовал его для постро-
ения некоторых многошаговых моделей принятия решений в управ-
лении производством, и в работах Эрроу, Харриса и Маршака [1],
которые сформулировали задачу принятия решений при управлении
запасами в динамической форме. Теория многошаговых игр является
распространением обычной теории игр на динамический случай. Не-
давно вышедший сборник [9] показывает важность развития в этом
направлении.

Изучение статических моделей преследует две цели. Во-первых,
статическая модель может наилучшим образом описывать статическую
задачу, решение которой само по себе представляет интерес и по-
зволяет проникнуть в суть функциональной и структурной сторон
данной операции. Одной из общеизвестных статических задач такого
сорта является задача оптимального, в смысле данного критерия,
выбора среди различных процедур, где переменные пробегают пред-
писанное множество значений, причем временная переменная особо
не выделена. Далее, с технической точки зрения ко многим дина-
мическим моделям следует подходить путем изучения видоизменен-
ных статических задач. Так, например, часто оказывается удобным
сводить бесконечный вариант динамической задачи к случаю конеч-
ного числа периодов W. Решение полученной таким образом задачи
находится посредством простого распространения статической задачи,

!) Ссылки относятся к библиографии, приведенной в конце книги,
2 Зак, 1789	Г* Рл I .	?
после которого переход к пределу по N дает решение всей дина-
мической задачи.

II.	Задачи принятия решений можно классифицировать в зависи-
мости от числа участников, имеющих противоположные интересы. Мы
отметим здесь три примера.

(1)	Если имеется по крайней мере два непримиримых участника,
то мы имеем дело с задачами теории игр. В тех случаях, когда
имеется ровно два таких противника, их конечные цели ясны: каждая
сторона стремится получить как можно больше, зная, что противник
будет стремиться к той же цели, используя все свои возможности
и способности. В тех случаях, когда имеется более чем два участ-
ника, их цели уже не столь ясныJ). Еще не все принципиальные
понятия такой модели сформулированы достаточно четко, поэтому
для этого случая трудно развивать соответствующую математическую
методику.

(2)	В тех случаях, когда имеется только один участник и его
конечные цели точно определены, основная задача принятия решений
технически сводится к строгой максимизации целевых функций, под-
чиненных естественным ограничениям, налагаемым моделью. В общем
случае эта ситуация приводит к вариационным задачам, решения
которых обычно находятся на границах области измененения перемен-
ных. Решение таких экстремальных задач с ограничениями тре-
бует создания новых методов. Линейное и динамическое программи-
рование имеют дело с моделями именно такого рода.

(3)	В том случае, когда налицо один участник и имеют место
неопределенности, решение обычно может быть получено путем ком-
бинации методов статистики с вариационными методами.

III.	Третья точка зрения заключается в подразделении общей
модели принятия решений на детерминированный и стохастический
случаи. Естественно, что детерминистские модели и принципиально
и технически значительно проще и более часто поддаются исчерпы-
вающему аналитическому исследованию. Однако большинство практи-
ческих задач содержит неопределенности, изменчивость и всякого
рода случайные факторы. Решение таких задач требует основатель-
ного знакомства с теорией стохастических процессов и соответст-
вующей теорией статистических выводов в стохастических процессах.

IV.	Еще одна классификация может быть основана на сложности
множества возможных стратегий (пространства стратегий). Про-
странства стратегий могут быть разбиты на конечномерные и бес-
конечномерные. Во многих из наших примеров бесконечномерное
пространство отождествляется с подмножеством того или иного клас-
сического функционального пространства. Если это так, то при отыс-

]) Если число участников более двух, то между ними всегда возможны
коалиции и компромиссы. ^Прим. ред.
кании решения можно использовать специфическую структуру этого
пространства. Этот метод используется для решения так называемых
игр на единичном квадрате; он полезен также и в более общих
конечношаговых статистических задачах принятия решений.

V.	Наконец, классификация может быть проведена на основе со-
держания самого предмета, т. е. задачу принятия решения можно
отнести к теории игр, к линейному программированию, к многошаго-
вым задачам принятия решений, к статистической теории принятия
решений и т. д. Хотя многие из этих областей частично перекры-
ваются как идейно, так и технически, каждая из них имеет опре-
деленные доминирующие черты!). Это обстоятельство может быть
использовано для решения задач, которые не поддаются решению
другими методами.

В одной работе невозможно осветить все типы задач о принятии
решений. Поэтому мы посрятили нашу книгу проблемам теории игр,
математического программирования и математической экономики,
оставляя некоторые аспекты статистической теории принятия решений
и обсуждение динамических стохастических задач принятия решений
до дальнейших книг, которые в настоящий момент находятся в стадии
подготовки.

Вообще говоря, в данной книге приходится иметь дело преиму-
щественно со статическими задачами принятия решений, для которых
неопределенность и случайность в структуре модели не являются
решающими. Мы посвящаем часть I (четыре главы) теории конечных
игр, часть II (пять глав) линейному программированию, нелинейному
программированию и математической экономике. Близость математи-
ческой экономики идеям и приложениям теории программирования
оправдывает такое расположение материала. В основном в этих
двух частях излагаются статические, конечные задачи принятия ре-
шений. Понятие смешанной стратегии для конечных игр (сознатель-
ное введение элемента случайности) хотя и входит в решения игровых
задач, однако не появляется в основных определениях теории игр.

Дальнейшие восемь глав, составляющие часть III, имеют дело с
теорией бесконечных статических игр в том смысле, что прост-
ранства стратегий игроков бесконечномерны, а игра предполагается
нормальной, т. е. состоящей из одной партии.

3. Основные дисциплины. В этом пункте путем указания того,
как теория игр и теория программирования применяются к достаточно
большому числу задач, мы дадим беглое описание четырех основных

!) Эти черты в известной мере связаны с типами предыдущих клас-
сификаций. Так, для теории игр характерна множественность числа участ-
ников (не менее двух), для линейного программирования — конечномерность
пространства, многошаговые задачи принятия решений динамичны, а стати-
стическая теория принятия решений стохастична. —- Прим. ред.
дисциплин теории принятия решений. Необходимо, конечно, пред-
ставлять себе, что надлежащее понимание любой из этих дисциплин
может быть достигнуто лишь после детального изучения характерных
задач и их решений.

1.	Теория игр. На всем протяжении этой книги мы будем
иметь дело преимущественно с нулевыми играми двух лиц. Математи-
ческие исследования игр, предполагающих участие более двух лиц,
носят предварительный характер, главным образом из-за принци-
пиальных трудностей, присущих самой формулировке соответствую-
щей модели. Имеется ряд изящных и математически законченных
работ, в которых исследуются „решения" игровых моделей п лиц
Шёнберг [1], Льюс и Райфа [1], но приемы и понятия, связанные
с этим предметом, разработаны недостаточно, и мы поэтому решили
исключить их из рассмотрения. Тем не менее эти работы стимули-
ровали дальнейшие исследования в теории игр п лиц, и можно
надеяться, что упомянутые принципиальные затруднения будут вскоре
преодолены.

В играх двух лиц с нулевой суммой (антагонистических) в рас-
поряжении каждого игрока имеется некоторое пространство стра-
тегий и известная игрокам функция выигрыша, которая представляет
выигрыш игрока I, как функцию стратегий, применяемых обоими
игроками. Очевидно, выигрыш игрока II равен выигрышу игрока
I, взятому с обратным знаком.

Игрок I пытается максимизировать свой доход, но воздействует
на функцию выигрыша лишь путем контроля над своей собственной
стратегией; игрок II желает минимизировать доход игрока I, так как
интересы игроков строго противоположны. Это приводит к принципу,
минимакса. Следует заметить, что принцип минимакса позволяет
определить рациональный способ поведения для каждого из двух
игроков с непримиримо противоположными интересами. Доказатель-
ство этого факта явилось фундаментальным вкладом Джона фон Ней-
мана в теорию игр.

Антагонистичность интересов является реалистичным предполо-
жением в случае салонных игр и военных операций, а также в не-
которых отдельных случаях при принятии деловых решений (осо-
бенно в задачах о дуополии). Вне этой довольно ограниченной об-
ласти допущение об антагонистичности интересов является слишком
сильным, для того чтобы быть точным отражением положения дел
в реальной игровой задаче. Однако это уже не так важно; важность
теории игр определяется не решением практических задач, а про-
яснением основных методов теории принятия решений. Успехи теории
игр оказывают исключительно большое влияние на развитие стати-
стики, линейного и нелинейного программирования, математической
экономики и построения математических моделей вообще.
2.	Теория программирования. Теория линейного и не-
линейного программирования является разделом математики, содер-
жащим методы максимизации функции нескольких переменных, под-
чиненных некоторым ограничениям. Прилагательное „линейное" ука-
зывает на то, что ограничения и максимизируемые функции часто
являются линейными функциями переменных. К сожалению, в задачах
программирования классический анализ обычно неприменим, так как
их решения неизбежно оказываются на границах области изменения
переменных. В соответствии с этим задача теории программирования
заключается в том, чтобы предложить там, где это возможно,
аналитические методы определения решений, а при отсутствии таких
методов — дать эффективные вычислительные способы получения при-
ближенного решения. Некоторые (довольно скромные) успехи были
достигнуты в обоих этих направлениях.

С формальной точки зрения теория линейного программирования
эквивалентна теории матричных игрх). Взаимодействие между этими
двумя теориями было полезно и ускорило их обоюдное развитие.
Осуществлено также частичное распространение этой теории на слу-
чай нелинейных функций.

Теория линейного программирования имеет многочисленные при-
ложения, особенно в области „анализа деятельности", который связан
с планированием производственных операций. Типичной моделью
линейного программирования является задача о назначениях, в кото-
рой требуется назначить п лиц различных способностей на п работ
разной важности таким путем, чтобы максимизировать ценности, по-
лученные в результате выполнения этих работ. Очевидно, что столь
общая модель должна иметь большое число практических приложений;
то же справедливо и для некоторых других основных моделей про-
граммирования. В частности, нефтяная промышленность извлекла
определенную пользу из применения линейного программирования для
определения эффективных производственных процессов.

3.	Многошаговые задачи принятия решений. Мно-
гошаговыми задачами принятия решений (иногда именуемыми задачами
динамического программирования) называются задачи, в которых
требуется определить несколько (обычно даже бесконечное число)
решений, принимаемых последовательно. Каждое принятое решение
зависит от всех прошлых решений и в свою очередь оказывает
влияние на все будущие решения. Типичным примером является за-
дача об управлении запасами. До какого уровня следует торговцу
повысить запас товара на складе, для того чтобы максимизировать
свой доход? На решение этой задачи влияют стоимости заказов,

*) То есть антагонистических игр, в которых каждый игрок располагает
конечным множеством стратегий. — Г1рим. ред.
прибыли, стоимости хранения и штрафы (например, в виде убытка
при торговле или убытка от потери фирмой репутации) за отсутствие
товара для удовлетворения спроса. Дальнейшее осложнение может
возникнуть из-за отставания поставки от заказа. Эту задачу о поли-
тике заказов приходится решать периодически, что, собственно, и
делает ее динамической. Конечно, то, что произошло в предыдущие
периоды, неизбежно будет воздействовать на последующие решения
торговца.

Те же общие рассуждения применимы при составлении произ-
водственных планов, при определении поведения во время замены уста-
ревшего оборудования, расхода гидроэлектроэнергии и т. п. Основные
динамические модели находят также приложения в области социоло-
гии и физиологии, в изучении процессов обучения и в структурном
анализе. Модели теории очередей являются почти неистощимым ис-
точником задач, связанных с динамическими процессами принятия
решений и приложимых к организации погрузки грузов, транспорт-
ным системам, составлению расписания для врачей и т. д.

Наконец, очевидно, что и статистический последовательный анализ
относится к категории многошаговых процессов. Фактически он явля-
ется богатейшим предметом по своему математическому содержанию,
тонкости и глубине, так как он основан на некоторых наиболее
изящных выводах теории стохастических процессов, статистической
теории принятия решений, теории игр и общих методов принятия
решений.

4.	Статистическая теория принятия решений. Ста-
тистическая теория принятия решений, разработанная Вальдом, есть,
по существу, статистика, рассматриваемая с более широкой точки
зрения. Почти все виды статистического анализа — проверка гипотез,
оценка неизвестных параметров, предсказание, статистическое разли-
чение — могут быть погружены в эту общую проблему, а их умест-
ность и эффективность могут быть оценены в терминах этой теории.
Дух и математические методы статистической теории принятия ре-
шений и теории игр во многом одинаковы, но объекты их различны.
Более точно, теория игр имеет дело с двумя противоположными
интересами, в то время как статистическая теория принятия решений
имеет дело с определением оптимальных методов при допущении
неопределенности со стороны природы. В некотором смысле ста-
тистик и природа представляют собой двух игроков, участвующих
в игре, но взаимоотношения между ними не являются антагонисти-
ческими противоречиями, которые были предметом теории игр.

Общая точка зрения теории принятия статистических решений
помогает росту нашего понимания многих стандартных принципов,
применяемых в статистической практике: например, принципа несме-
щенности, областей типа А, понятий инвариантности и теории мини-
макса. Каждый из них представляет собой критерий, согласно ко-
торому мы выбираем тот или иной образ действий. Классический
метод испытания гипотез и оценки неизвестных параметров Неймана —
Пирсона посредством доверительных интервалов охватывается тео-
рией принятия статистических решений. Ясно, что сфера действия
этой теории огромна, и ее будущее влияние на развитие статисти-
ческой теории и практики должно быть исключительно большим.

Обозначения

Векторы

Вектор х, состоящий из п компонент, обозначается через

х = (хР х2, . . ., хп).

х> О означает, что каждая компонента xt (I — 1, 2, . . ., п) неотри-
цательна.

х>;0 означает, что каждая компонента x-L неотрицательна и хотя бы
одна положительна; значок используется для скаляров в смысле
„больше или равно".

х > 0 означает, что xt > 0 (1= 1, 2, .... п) (все компоненты поло-
жительны).

Скалярное прозведение двух вещественных векторов х и у в про-
странстве Еп обозначается через

(X. у)= S xiVi’

i = 1

а в случае комплексных векторов — через

(X. У) = 5 Х(уг,

i = l

где — сопряженное комплексное число.

Расстояние между двумя векторами х и у обозначается
через |х — у|.

Матрицы

Матрица А через свои элементы представляется так: Ца^Ц.

Матрица А, примененная к вектору х справа хА, дает вектор
(2 2XZaZ2’ •••>

• Аналогично

Ау=С2«1Л’ Ззд.............2«ПуУ/);

(Ах)^ означает /-ю компоненту вектора Ах.
Матрица, транспонированная к А, обозначается через Аг.

Определитель матрицы А обычно обозначается через | А |, или
через det А.

Выпуклые множества

Выпуклая оболочка множества S обозначается через Co(S) или
через [S].

Выпуклый конус, натянутый на множество S, обозначается через Ps
или

Символы

Распределения

Х/о’ Ул и '/О

равнозначно используются для обозначения распределения на единич-
ном интервале, в котором вся масса сконцентрирована в точке Zo,
так что

(О, $ < /0,

Выражение

k

i	= 1	*

представляет функцию распределения co скачками величины \ соот-
ветственно в точках
Часть I

ТЕОРИЯ

МАТРИЧНЫХ ИГР

ГЛАВА 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИГРЫ
И ТЕОРЕМА О МИНИМАКСЕ

1.1.	Введение. Игры в нормальной форме. Математическая тео-
рия стратегических игр имеет дело с ситуациями, охватывающими
двух или более участников с противоположными интересами. Обычно
исход таких игр частично контролируется одной стороной и частично
противной стороной или сторонами; до некоторой степени он зависит
и от случая, но главным образом от сообразительности и мастерства
участников. Кроме игр в обычном смысле, таких, как покер и шах-
маты, существует много конфликтных ситуаций, к которым также
может быть применена теория игр. Такие конфликты можно встре-
тить в некоторых областях исследования операций, экономики, поли-
тики и военного дела.

Вначале мы рассмотрим лишь игры двух игроков с нулевой сум-
мой * 2), т. е. игры только с двумя участниками (конкурирующие люди,
команды, фирмы, страны), в которых один участник выигрывает
столько, сколько проигрывает другой. Следует отметить, что эти
условия исключают возможность какой-либо сделки между участни-
ками игры. Мы будем иметь дело также с играми двух лиц
с постоянной суммой, в которых два игрока непримиримо конкури-
руют из-за возможно большей доли разыгрываемой суммы. Посред-
ством соответствующего преобразования такая игра может быть пре-
вращена в игру с нулевой суммой.

Основным понятием в теории игр является понятие стратегии.
Стратегия игрока I представляет собой полное перечисление всех
действий, которые этот игрок предпримет в каждом из возможных
в процессе игры положений, возникнет ли оно случайно или будет
создано в результате хода противника 2). Понятие стратегии не сле-
дует толковать слишком наивно. Может показаться, что стоило
игроку I выбрать стратегию, как каждый его ход на любой стадии

В принятой на русском языке терминологии игры с нулевой суммой
обычно называются антагонистическими. Этим термином мы далее и будем
пользоваться. — Прим. ред.

2) Или в результате хода самого игрока. — Прим. ред.
определяется в том смысле, что уже в начале игры он знает всю
последовательность ходов, которые он будет делать, как бы ни
играл его противник. То, что мы понимаем под „стратегией", является
лишь правилом, определяющим выбор игроком каждого своего Z-ro
хода на основе всего, что произошло в партии ранее. Причина,
по которой игрок не изменяет своей стратегии в течение игры,
заключается не в том, что эта стратегия предписала ему совершить
какую-либо последовательность ходов независимо от действий его
противника, а в том, что для любых обстоятельств, которые
могут возникнуть, она задает игроку ход, который он должен
сделать.

Обычно при описании игры принято все возможные действия,
хорошие или плохие, считать возможными стратегиями. Даже в про-
стых играх число возможных стратегий исключительно велико. Рас-
смотрим игру в крестики и нолики ]). Предположим, что первый ход
делает игрок I. Для его первого крестика имеется девять возможных
местоположений. После первого хода игрока I игрок II может осуще-
ствить один из восьми возможных ходов, и то, что сделает игрок I
при своем втором ходе, будет зависеть от предыдущего хода
игрока II. В этой ситуации игрок I располагает семью возможными
ходами. Третий ход игрока I будет, конечно, зависеть от всех
предыдущих ходов обоих игроков и т. д.

Одну из стратегий можно охарактеризовать, например, следую-
щим образом. Первый крестик игрок I должен поставить в правую
верхнюю клетку. Если игрок II заполняет следующую клетку ниже
или слева, то игрок I ставит свой второй крестик в центральную
клетку; если игрок II заполняет центральную клетку, игрок I ставит
свой второй крестик в левую нижнюю клетку; если игрок II запол-
няет любую из других пяти клеток, игрок I ставит свой второй
крестик в клетку непосредственно под первым крестиком. Подобным
образом описание игры можно продолжить и далее. Игрок I мог бы
даже предусмотреть в своей стратегии возможность рандомизации
в соответствии с некоторым фиксированным распределением вероят-
ностей на множествах альтернатив на каждом данном шаге.

Ясно,, что даже в такой простой игре, как только что описан-
ная, имеется громадное число возможных стратегий. Хотя интуитивно
представляется, что многие из них являются плохими, мы для пол-
ноты описания игры обязаны включить в рассмотрение все возмож-
ности. В этой книге излагается построение математического аппарата,

9 В крестики и нолики (ticktacktoe) играют на клеточной сетке раз-
мерами 3X3. Игроки делают ходы поочередно, причем на каждом ходе
игроку разрешается заполнить своим значком (т. е. крестиком или ноли-
ком) одну из оставшихся свободных клеток. Первый игрок, который заполнит
три клетки, находящиеся на одной горизонтали, вертикали или диагонали,
выигрывает.
позволяющего оперировать с множествами стратегий больших объемов
и анализировать их.

Вторым основым понятием теории игр является понятие функ-
ции выигрыша. Выигрыш есть связующее звено между множеством
стратегий, возможных для игрока I, и множеством стратегий, доступ-
ных игроку II. Говоря точнее, функция выигрыша есть правило,
которое указывает, сколько игрок I может ожидать выиграть
у игрока II, если игрок I выбирает любую конкретную стратегию
из своего множества стратегий, а игрок II выбирает любую стра-
тегию из своего. Функция выигрыша всегда выражается в соответ-
ствующих единицах полезности (см. комментарии к этому пункту
на стр. 48).

Теперь мы в состоянии дать формальное определение игры.

Игрой называется тройка {X, Y, К], в которой X есть про-
странство стратегий игрока'I, Y — пространство стратегий игрока II,
а К — вещественная функция на X и Y. Игрок I выбирает некото-
рую стратегию х из X, а игрок II выбирает некоторую страте-
гию у из Y. Для пары {х, у} выигрыш игрока I есть /С(х, у),
а выигрыш игрока II равен —/С(х, у). Функцию К мы будем назы-
вать также ядром игры.

На всем протяжении этой главы, если только не оговорено
противоположное, предполагаются выполненными следующие условия:

(а)	X — выпуклое замкнутое ограниченное множество в п-мер-
ном евклидовом пространстве Еп\

(б)	Y — выпуклое замкнутое ограниченное множество в /п-мер-
ном евклидовом пространстве Ет\

(в)	функция выигрыша К является линейно-выпуклой по каждой
переменной. Именно

К[ХХ1 + (1-Х)х2, у] = Х/С(х1, у)+(1 -Х)/С(х2, у)
и

К [х, ХУ1 + (1 - X) у2] = К К (х, У1) + (1 - К) К (х, у2),

где X — произвольное вещественное число, удовлетворяющее неравен-
ству 0 < X < 1.

Некоторые из этих ограничений будут в последующих главах
ослаблены.

Свойство, которое в гл. 1—4 является существенным, состоит
в том, что X и Y — выпуклые множества конечной размерности.
(Представление игры в виде тройки, содержащей пространства
стратегий, которые являются конечномерными множествами, уже пред-
ставляет собой известное ограничение. Его можно оправдать тем,
что многочисленные реальные игры принадлежат именно этому типу.)
Отождествление стратегий с точками n-мерного евклидова простран-
ства удобно и упрощает математический анализ явления.
Важный частный класс игр получается, когда в качестве X
берется симплекс Sn в пространстве Еп, определяемый как множество
всех векторов х = (хР х2, ..., хл), где xz^0 (I — 1, и

п

i = 1

a Y есть аналогичный симплекс Тт в пространстве Ет. Функция
выигрыша принимает в этом случае вид

т п

У) =2	= Ау).

j = i t = i

где А — матрица ||а^\\. В случае таких матричных игр мы часто
будем обозначать выигрыш, соответствующий стратегиям х и у
вместо /С(х, у), через Д(х, у), чтобы подчеркнуть, что эти игры
являются именно матричными играми, т. е. такими играми, для кото-
рых А'(х, у) = (х, Ау).

Стратегии, представляющие собой вершины симплекса X, обо-
значаются через az = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где единица стоит
на Z-м месте (Z = 1, ..., п). Это так называемые чистые страте-
гии игрока I. Аналогично стратегии £у = (0.........0, 1, 0......0)

из Y (у = 1, . . ., т) называются чистыми стратегиями игрока II.
Так как

А (Я/. 0y) = /<(«z, ₽7) = о0-.

мы видим, что элемент а^ матрицы А выражает размер выигрыша
игрока I, когда игрок I применяет чистую стратегию ар а игрок II
чистую стратегию

Стратегия х = (хр х2, ..., хл) с отличными от единицы компо-
нентами называется сметанной стратегией. На основании соот-
ношения
п

2W(.y) = K(M)’)	(1.1.1)

i = 1

смешанная стратегия х может быть осуществлена следующим обра-
зом. Пусть производится случайное испытание с п возможными исхо-
дами, причем вероятность Z-ro исхода равна xz, а Z-я чистая стратегия
применяется игроком I тогда и только тогда, когда в испытании

!) Хотя мы и приняли эту формулу за исходную, ее можно вывести,
обращаясь к системе аксиом для некоторой модели предпочтения, на кото-
рой основан выбор среди альтернативных распределений вероятностей,
заданных на пространстве исходов, получающихся в результате выбора
чистых стратегий (см. комментарии к этому пункту в конце главы).
имел место Z-й исход. В этом случае выгрыш игрока I равен сред-
нему выигрышу в условиях этого испытания, т. е.

п.

la Xi к («,. у).
1 = 1

Сказанное равносильно употреблению каждой чистой стратегии
с заданной вероятностью. Поэтому мы можем интерпретировать сме-
шанную стратегию как распределение вероятностей на пространстве
чистых стратегий, и наоборот. Подобная интерпретация возможна и
для пространства стратегий Тт игрока II.

Обычно вводная часть теории игр состоит в описании пространств
чистых стратегий каждого из игроков и в определении матрицы
выигрыша А, соответствующей этим чистым стратегиям. Понятие
смешанной стратегии вводится при этом позже, и функция выигрыша
в этом случае естественным-образом заменяется на функцию среднего
ожидаемого выигрыша. В настоящей книге мы начали с более общей
формулировки игры, как тройки, определяющей полные пространства
стратегий для обоих игроков и ядро выигрыша. В этой формули-
ровке уже не существует различия между чистыми и смешанными
стратегиями. Тем не менее для многих конкретных классов игр есте-
ственно выделить чистые стратегии, на которые натягивается выпуклое
множество всех стратегий. Это будет делаться, например, всякий раз,
когда чистые стратегии возникают естественным путем и играют
особую роль. Вообще говоря, мы практически не теряем общности,
начиная прямо с антагонистических игр в нормальной форме с конечно-
мерными пространствами стратегий.

С другой стороны, в литературе по теории игр принято про-
водить различие между играми в обобщенной форме !) и играми
в нормальной форме, причем в качестве отправного пункта часто
берутся именно первые. После этого теория позиционных игр изла-
гается при помощи таких более частных понятий, как „партия",
„выбор хода", „личный ход" и „информационное множество". Затем
определяется понятие стратегии и анализируется оптимальность стра-
тегий именно с этой точки зрения. В заключение при этом доказы-
вается теорема о том, что любая позиционная игра может быть при-
ведена к эквивалентной ей игре в нормальной форме.

В противоположность такому введению понятия игры, наше опре-
деление игры как некоторой тройки опирается непосредственно на
понятия стратегии и выигрыша. Это определение является достаточно
гибким и общим, для того чтобы охватить все варианты теории
конечных игр, включая, в частности, структуру позиционных игр.
С помощью тщательного определения стратегий и четкого описания

*) В литературе на русском языке игры в обобщенной форме (games in
extensive form) чаще называют позиционными играми. — Прим. ред.
пространств X и Y и функции К (х, у)1) мы сможем охарактеризо-
вать все информационные схемы, которые могут встретиться. Это
станет ясно, как только мы перейдем к изучению конкретных игр.

Может оказаться, что в отдельных случаях удастся построить
два, на первый взгляд, различных пространства стратегий, которые,
однако, с точки зрения выигрышей оказываются эквивалентными.
Всякий раз, когда возникнет необходимость, мы будем эту экви-
валентность доказывать. Однако при формальных рассуждениях
любые две игры, различающиеся теми или иными конкретными эле-
ментами, считаются различными. Например, если мы расширяем про-
странство стратегий X, в то время как компоненты Y и К не изме-
няются, мы тем самым создаем новую игру. Это будет так, даже
если вновь присоединенные стратегии заведомо хуже и их присое-
динение не может повлиять на первоначальный выбор оптимальной
стратегии другим игроком. Практически, как мы увидим, простран-
ства стратегий представляют собой исчерпывающий класс всех воз-
можных действий, учитывающих всю тонкую структуру модели.

1.2.	Примеры. В конечных матричных играх достаточно задать
чистые стратегии игроков и матрицу выигрышей ||at-y||. Для произ-
вольных смешанных стратегий х и у выигрыш выражается формулой

т п

К(х. У)= 2	(1.2.1)

Пример 1. Сравнение монет. Игроки I и II одновременно
показывают друг другу по одной монете. Если выборы игроков I
и II совпадают, т. е. если обе монеты показываются. решеткой или
гербом, то второй игрок отдает свою монету первому. В противном
случае монету выигрывает игрок II. Матрица игры такова:

Игрок II

Р Г

Игрок I г | _[	|.

Здесь первая чистая стратегия игрока I заключается в том, чтобы
показать решетку, а вторая в том, чтобы показать герб. Одна из
возможных смешанных стратегий игрока I состоит в том, чтобы сделать
показы решетки и герба равновероятными [т. е. х = (1/2, !/2)1.

Пример 2. Двупальцевая мора. Каждый игрок показывает дру-
гому один или два пальца и одновременно пытается угадать, сколько

*) Здесь под функцией К, очевидно, понимается некоторый единообраз-
ный способ получения ее значений, но отнюдь не фиксированное множество
пар. — Прим. ред.
пальцев покажет другой игрок. Если оба игрока угадали правильно
или оба угадали неправильно, то игра заканчивается вничью. Если же
угадал правильно лишь один из игроков, то он выигрывает сумму,
равную общему числу пальцев, показанных обоими игроками.

В этом случае каждая чистая стратегия будет состоять из двух
компонент: (а) число показываемых пальцев и (б) число называемых
пальцев. Таким образом, каждая стратегия может быть представлена
парой (а, &), где а означает первую из названных компонент стра-
тегии, а b — вторую. Так, например, стратегия (2,1) игрока I озна-

чает, что он показывает два пальца и называет один.	Всего каждый
игрок имеет четыре чистых стратегии: (1,1), (1,2),	(2,1) и (2,2).
Матрица игры такова:	
Игрок II	
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)	
(1,1)	0	2—3	0	
(1,2) —2	0	0	3	
Игр0К 1 (2,1)	3	0	0 —4	•
(2,2)	0—3	4	0	

Пример 3. Модель покера. По сравнению с настоящим поке-
I 52 \

ром, где число возможных сдач равно I $ I, в данной модели покера
имеется лишь три возможных сдачи (называемых далее картами),
которые мы будем считать равновероятными. Каждый игрок может
получить одну из карт. При этом карта 1 бьет карты 2 и 3,
а карта 2 бьет карту 3. Первоначальная ставка равна а единицам.
Игрок I может либо пасовать, либо повышать игру, добавляя b еди-
ниц. Если игрок I повышает, то игрок II может либо пасовать, либо
уравнивать. Если игрок I пасует, а игрок II повышает, то игрок I
снова имеет возможность пасовать или уравнивать. Три возможных
способа протекания игры могут быть представлены следующей схемой:

Игрок I пас	—	Игрок II	Игрок I  пас  ( пас — второй
пас	—	повышение	—1  ( уравнивание  ( пас — второй |
повышение — <	( уравнивание J

Если пас следует за повышением, то выигрывает повышение.
Если оба противника пасуют или если один противник уравнивает,
то карты сравниваются и игрок с лучшей картой выигрывает банк.

Стратегия игрока I должна предусматривать последовательность
действий для каждой из трех возможных карт, которые могут ему
достаться, и для всех случаев, которые могут в процессе игры
произойти. Мы можем обозначить такую стратегию тройкой, состоя-
щей из пар чисел [{а,	{а, р}2, {а, р}3].‘Здесь в {а, {3}* компо-

нента а означает вероятность повышения для игрока I в первом
круге, если ему досталась &-я карта. Компонента р представляет
собой вероятность повышения в этих же условиях.на втором круге.
Вторая компонента существенна лишь тогда, когда второй круг
фактически играется. Однако стратегия этой игры должна включать
значения р, так как она обязана учитывать все случаи игровой
ситуации.

Аналогично каждая стратегия игрока II может быть представлена
тройкой [{X, |1}р {X, |i}2, {X, [л}3]. Здесь компонента X из {X, р.}л
есть вероятность уравнивания игроком II повышения игрока I, если
игрок II имеет &-ю карту. Компонента представляет собой вероят-
ность повышения для игрока II, если игрок I перед этим спасовал.

В этом примере смешанные стратегии были введены непосред-
ственно. Ввиду того, что компоненты такой стратегии формулируются
в терминах поведения обоих игроков на каждом шаге, подобные
стратегии часто называют „стратегиями поведения". Этот характерный
пример более подробно рассматривается в п. 4.3. Другие примеры
приведены в конце этой главы (задачи 1—4).

1.3.	Выбор стратегий. Предположим, что игрок II вынужден
сообщить игроку I стратегию, которую он собирается использовать,
и при этом объявляет стратегию у0. Тогда игрок I естественно
выбирает свою стратегию х0 так, чтобы максимизировать свой
выигрыш (доход): К(х0, у0) = тах/С(х, у0). В этих условиях наи-
х

лучшее действие со стороны игрока II состоит в объявлении такой
стратегии у0, чтобы

max/C(x, у0) = min тах/С(х, y) = t>.
х	ух

Здесь v (верхнее значение игры) может быть истолковано как тот
максимум, который может получить игрок I, если игрок II применит
указанную стратегию у0.

Предположим теперь, что игроки поменялись ролями и что
теперь уже игрок I вынужден объявить стратегию х0. Так как
игрок II может выбрать такую стратегию у0, что

А7(х0. у0) = min АГ (х0, у),

У

наилучшим средством защиты игрока I является выбор такой стра-
тегии х0, что

min/<(x0, у) = max min К (х, у) = v,
у	х у
где v (нижнее значение игры) может быть истолковано, как самое
большее, что может гарантировать себе игрок I независимо от того,
какую стратегию выберет игрок II. Для того чтобы продолжить эту
линию рассуждений, установим вначале следующий простой результат.

► Лемма 1.3.1. (а) Пусть /(х, у) — вещественная функция,
определенная на произведении X X Y. Тогда

inf sup /(х, у) > sup inf/(х, у)	(1.3.1)

ух	X у

(± оо также допускаются в качестве значений функции).

(б) Если пространства X и Y компактны, а функция /непре-
рывна. то супремум и инфимум в (1.3.1) можно заменить соот-
ветственно на максимум и минимум.

Доказательство. По определению, для любого у
sup/(x. y)S=/(x, у).
X

Отсюда следует, что

inf sup /(х, y)>inf/(x, у),
у х	у

и (1.3.1) получается непосредственно. Доказательство утверждения (б)
стандартно и поэтому опускается.

Лемма 1.3.1 при f = K дает нам

min max/С (х, у) > max min АГ (х, у).

у£У	х^Х y£Y

Выражая этот результат в терминах верхнего и нижнего значе-
ний игры, мы получаем

V>V.

Основной целью этой главы является установление для матрич-
ных игр равенства v = v == v. Соответствующим выбором своей стра-
тегии игрок I может гарантировать себе значение v = v, а игрок II
осторожной игрой может не допустить, чтобы игрок I получил больше,
чем v = v. Таким образом, если игрок I не имеет дополнительной
информации о поведении игрока 11 (например, он может ожидать,
что выбор стратегии сделан игроком II наугад), то он должен играть
так, чтобы получить v. Если он отклоняется от образа действий,
которые гарантируют ему значение v, то его окончательный выи-
грыш может быть и меньше, чем v. Поэтому разумно считать это
общее значение v значением игры для игрока 1. Ясно, что —v есть
значение игры для игрока II.
Все стратегии х0 и у0 такие, что К (х0, у)^*п для всех у и
/С(х, у0)<^ для всех х, будут соответственно оптимальными страте-
гиями для игроков I и II.

Следующий простой критерий очень часто бывает полезен при
установлении справедливости равенства v = v\ кроме того, он ука-
зывает на связь между существованием оптимальных стратегий и
равенством нижнего и верхнего значений игры.

к Теорема 1.3.1. Если существуют такие xQ£X, Уо€^ и
вещественное число v, что

/С(х0,	для всех у£К

и

/С(х, у0)<^ для всех х£Л\
то

-и = min max/С (х, у) = v = max min К (х, y) = ^,
ух	X у	~

и обратно.

Доказательство, (а) Так как

АГ(х0, у)>-и для всех у,
должно быть

min/C(x0, у)^^ и maxmin/<(x, у)>^.

У	х у

Аналогично неравенство

тах/С(х, у о) v
влечет
min шах/С (х, у)<^.

У х

Это дает нам

max min/С (х, у)> min max ЛГ (х, у).
х у	ух

Но, согласно лемме 1.3.1,

min max/С (х, у)> max min К(х, у).
ух	х у

Следовательно,
min max/С (х, у) = max min/С (х, у).
ух	х у

(б) Обратно: выберем у0 так, чтобы

max/C(x, y0) = min тах/С(х, y) = v,

х	ух
И х0 так’ чтобы

min/C(x0, у) = max min/С (х, у) = ^.
у	х у

Тогда К(х, у0)^^ и К(х0,	Это завершает доказательство

теоремы.

Следствие 1.3.1. Необходимым и достаточным условием
выполнения равенства

minmax/C(x, у) = max min/С (х, у)
ух	х у

является существование таких стратегий {х0, у0}, что для
всех у из Y и для всех х из X

y)s±/<(x0> y0)>/<(x, Уо)1).

Очевидно, =/С (х0, у0).

1.4. Теорема о минимаксе для конечных матричных игр.
В этом пункте мы будем иметь дело только с матричными играми.
В этом случае пространства стратегий X и Y игроков I и II совпа-
дают соответственно с симплексами Sn и Тт, и поэтому каждое из
множеств всех стратегий является выпуклой оболочкой чистых стра-
тегий. Наша задача состоит в доказательстве основной теоремы
о минимаксе для этих матричных игр.

Существует много различных доказательств этой теоремы. Фон
Нейманом было дано два доказательства. Первое доказательство
основано на теореме Брауера о неподвижной точке (см. п. В. 2
приложений), а второе — на теореме о том, что непересекающиеся
выпуклые множества, лежащие в евклидовом пространстве, могут
быть разделены гиперплоскостью. Другие доказательства используют
алгебраические неравенства и свойства выпуклых функций. В этом
и в следующем пунктах приводится три таких доказательства. Мы
выделяем эти доказательства потому, что каждое из них позволяет
получить дополнительную информацию относительно оптимальных
стратегий (см. ниже замечание 1.4).

Первое доказательство основано на идее разделения выпуклых
множеств опорными гиперплоскостями. В ходе связанных с ним рас-
суждений приводится специальное геометрическое представление опти-
мальных стратегий. Аналогичные представления будут использованы
Далее при анализе строения множеств оптимальных стратегий.

!) Необходимость этого условия имеет место для компактных пространств
X и Y. В общем случае необходимым и достаточным условием является
равенство min sup К (х, у) = max inf К (х, у). — Прим, ред.

ух	х у
► Лемма 1.4.1. Если Sn обозначает множество всех векторов
в Еп, удовлетворяющих условиям xi^0 (/=1, ...» п) и
п

2 xz — 1, a b = (bv ...» bn) — фиксированный вектор, то
М

п

max„S*A = max£z.	(1.4.1)

x£Sni=l	i

Доказательство. Очевидно,
п	п

m&xbi — У. (хушах^&г 2 хfil-

с. другой стороны,

п
maxb. = b. <шах У хф}.
i 1	xesniTi

Будем теперь развивать геометрическую интерпретацию стратегий
и схематическое представление значения игры. Рассмотрим с этой
целью матрицу игры

• • • а\т

А =

= 1|аР .... ат||,

ап\ • • • апт

где az—вектор-столбец (аи, ...» Система векторов вида az
может быть представлена как т точек в n-мерном пространстве.

Пусть Г — выпуклое множество в пространстве Еп, натянутое
на az, или, что то же самое, Г есть пересечение всех выпуклых
множеств, содержащих все векторы az. Формально это можно запи-
сать так:

{т	т

,5у;=1.

Допустимые значения. Вещественное число X назовем допу-
стимым, если существует такой вектор р£Г, что р<Х. (Напомним,
что запись p^gX означает, что каждая компонента pz меньше или
равна X; см. стр. 23).

Обозначим через 2 множество всех допустимых чисел. Тогда,
во-первых, 2 непусто, так как содержит число N, удовлетворяющее
неравенствам N > а^ для всех Z, /, и, во-вторых, 2 ограничено
снизу числом — N, если W достаточно велико.

Пусть

Ао = inf А.
Для того чтобы показать, что число Хо— допустимое, т. е. что
Хо£2, выберем такую последовательность {Хл} элементов множе-
ства S, чтобы ХЛ->ХО.

Каждому Хл соответствует по крайней мере один вектор qrt из Г,
для которого qZJ^X/J*. Так как Г — компактное множество, то после-
довательность {qj должна иметь хотя бы одну предельную точку q0,
для которой, как легко видеть, q0^X0. Таким образом, Хо допу-
стимо.

Рассмотрим „сдвинутый“ отрицательный ортант Ох0, состоящий из
всех векторов, компоненты которых не превышают Хо. Множество Ох0
касается множества Г, не пересекаясь с ним. В самом деле, Ох0 П qo»
но если бы при этом внутренность множества О\0 содержала точки
из Г, это противоречило бы определению Хо.

Опорные гиперплоскости ортанта Ох0. Охарактеризуем теперь
вид всех опорных гиперплоскостей ортанта Ох0» ориентированных
так, что их нормали направлены в полупространство, не содержа-
щее Ох0 (см. также лемму Б. 1.3 Приложения Б).

Рассмотрим гиперплоскость, определенную уравнением

п	п

2нА- + Но = О. SlHiRO.	(1.4.2)

1 = 1	i=1

нормаль которой направлена от Ох0. Это уравнение определяет опор-
ную гиперплоскость ортанта Ох0» если только для каждого $ из Ох0

л’

2^г + Но^О.	(1.4.3)

i = 1

и существует £ Ох0, для которого достигается равенство. Покажем
теперь, что можно охарактеризовать следующим образом:

п, '	п

-р./>:0(/=1........п). 2 Р-/> °> Но=— \) 3 Iх/- (1-4-4)

i=1	1 = 1

То, что числа |iz (l<Z^n) неотрицательны, вытекает из при-
менения неравенства (1.4.3) к вектору 5 = ^.......Вл) с компонен-

тами Kj = Хо (у =?= Г) и В/ = — N при достаточно большом N. Так как
Уравнение (1.4.2) определяет гиперплоскость, то

п

3 Н/ > о.
t = 1

Наконец, любая опорная гиперплоскость ортанта Ох0 должна, оче-
видно, содержать вершину § = (Х0, Хо, .... Хо). Поэтому

/ п \

О = ( 2 Р-/) \) + Ню-

\/ =1 /
Обратно, любое множество чисел удовлетворяющих условиям (1.4.4),
определяет опорную гиперплоскость Ох0, нормаль которой напра-
влена в сторону полупространства, не содержащего Ох0.

Если мы заменим на xt, то опорные гиперплоскости ортанта Ох0,
нормали которых направлены из могут быть охарактеризованы
соотношением

п

2 xfii ^0 = 0»

i	= 1
где

п

2	xi = 1 И

I	я1

Геометрическое представление стратегий. Каждая стратегия
Х = (хр .... хл) из Sn, т. е. вектор, для которого

п

2	= 1 и х^ 0,

i = 1

определяет опорную гиперплоскость ортанта Ох0 с уравнением

п

2 x^i ^о = °»

i	= 1

и обратно.

Стратегии у = (у1.....ут) из Тт игрока II соответствуют точкам

множества Г. Сопоставим каждой стратегии у точку р с коорди-
натами

К сожалению, соответствие между такими множествами К и Г не
является взаимно однозначным. Для взаимной однозначности этого
соответствия необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был
равен т.

Наконец, средний выигрыш Д(х, у) может быть представлен как
скалярное произведение нормали к плоскости, определяемой векто-
ром х, и элемента множества Г, определяемого стратегией у. В точ-
ной записи это выглядит так:

(х. Ау)= 2

к Теорема 1.4.1. (Теорема о минимаксе.) Если х и у
принимают значения соответственно из Sn и Тт, то

min шах Л (х, у) = max min А (х, у) = х>.

у х	х у
Доказательство. Построим множества Ох0 и Г так, как это
было описано выше. Поскольку выпуклые множества О\0 и Г, согласно
лемме Б. 1.2 приложения Б, не пересекаются, существует гиперпло-
скость, разделяющая эти множества. Так как множества Ох0 и Г
соприкасаются, эта гиперплоскость должна также быть опорной
гиперплоскостью, которую можно ориентировать так, чтобы ее нор-
маль была направлена из Ох0-

Пусть направляющими коэффициентами этой нормали являются xQ..
Тогда ввиду того, что

2	xQ-= 1 и
t = i

из (1.4.4) следует, что

п

.2 x°fit °

I = 1

и

п

i = 1

для всех

для всех 5£Г.

Если у — произвольная фиксированная стратегия, то вектор где

должен принадлежать множеству Г, и мы, таким образом, получаем,
что для любой стратегии у

п т

Л(х°. у)= ,2*?	(1.4.5)

Если у0 — стратегия, соответствующая точке из Г, принадлежа’
щей также Ох0» то

Отсюда следует, что для всех стратегий х, согласно лемме 1.4.1,
Л(х. у°)<Д0.

Доказательство теоремы завершается ссылкой на теорему 1.3.1.

Замечание 1.4. Мы видели, что стратегии I можно рассма-
тривать как опорные гиперплоскости, а стратегии II — как точки
множества Г. Кроме того, мы видим, что оптимальные стратегии I
соответствуют гиперплоскостям, разделяющим Ох0 и Г, а оптимальные
стратегии II соответствуют тем точкам Г, которые соприкасаются с Ох0.
Эта геометрическая характеристика оптимальных стратегий будет
использована в гл. 3.
Интерпретации, используемые в доказательстве теоремы 1.4.1, не
симметричны: х-стратегии соответствуют гиперплоскостям, а у-стра-
тегии—точкам n-мерного евклидова пространства. Однако может
быть произведен симметричный анализ, который сопоставит у-стра-
тегиям гиперплоскости, а х-стратегиям точки. При таком анализе
аналогом множества Г оказывается выпуклое множество, натянутое
на векторы-строки матрицы А.

Часто бывает интересным узнать, существуют ли чистые опти-
мальные стратегии. Оказывается, что это имеет место в том случае,
когда существуют такие чистые стратегии (а/0, (3;0}, что

a^j > ait>h	для всех J,	(1.4.7)

а^	для всех Z.

Из первого неравенства следует, что для любой смешанной стра-
тегии у
т

2 а,-	,• =‘°'

у = 1 J lO’Jo

или, что то же самое, Л(а/0, у)>-и. Аналогично мы получаем, что
^>Л(х, Руо). и, таким образом, а.° и являются соответственно
оптимальными стратегиями игроков I и II.

В тех случаях, когда чистые оптимальные стратегии существуют,
говорят, что матрица А имеет седловую точку (Zo, /0). Седловая
точка есть такой элемент матрицы, который является одновременно
минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце.

1.5.* Общая теорема о минимаксе. В этом пункте приводятся
еще два доказательства теоремы о минимаксе для произвольных ко-
нечных игр. Первое доказательство основано на теореме Какутани
о неподвижной точке. Второе доказательство опирается лишь на свой-
ства выпуклых функций.

► Теорема 1.5.1 Пусть f (х, у)—вещественная функция двух
переменных к и у, принимающих соответственно значения из С
и D, где как С, так и D — замкнутые, ограниченные, выпуклые
множества. Если функция f непрерывна, выпукла относи-
тельно у для каждого х и вогнута относительно х для каж-
дого у, то

min max / (х, у) = max min / (х, у).
ух	х у

* Отмеченные звездочкой пункты посвящены более глубокому рассмо-
трению предмета и могут быть при первом чтении опущены без опасения
потерять целостность представления о предмете.
Доказательство. Для каждого х положим (у) = /(х, у) и

Вх = I УI <Рх (у) = min (У) 1-
I	I

Легко проверить, что множество Вх непусто, замкнуто и выпукло.
Тот факт, что Вх выпукло, есть следствие выпуклости функции f
относительно у. Положим, далее, для каждого у

и

фу(х) = /(х, у)

Л = {х|ф (х) = тахф (х)}.
у	хес

Здесь множество Ау также непусто, замкнуто и выпукло.

Пусть множество Е есть прямое произведение E — Cy^D вы-
пуклых множеств С и D. Напомним, что прямое произведение двух
выпуклых множеств выпукло.

Пусть далее g — отображение, переводящее точку {х, у}£Е
в множество (Лу X Так как Ау и Вх являются непустыми зам-
кнутыми выпуклыми подмножествами множеств С и О, то (Лу X Вх)
также непустое замкнутое выпуклое подмножество множества Е.
Следовательно, выполнено условие (а) теоремы Какутани (см. п. В. 2
Приложения). Легко проверить также, что выполняется и требуемое
в этой теореме условие непрерывности. Поэтому, в силу теоремы
Какутани, существуют такие х° и у0, что {х°, у0} £(Лу° X ^х°)> т- е-

/(х°, у°)>:/(х, у0) для всех х£С,
/(х°, у°)±^/(х°, у) для всех y£D.

Тогда из следствия 1.3.1 вытекает, что

min max f (х, у) = max min f (x, у).
y£Dx£C	x£C y£D

(1.5.1)

Мы видим, что всякий раз, когда выполняется соотношение (1.5.1),
игра, определенная как тройка (/, С, £>), обладает значением, или,
говоря иначе, эта, игра является вполне определенной.

Другое доказательство проводится следующим образом. Предпо-
ложим сначала, что f (х, у) — строго выпуклая функция относи-
тельно у для произвольного фиксированного х и строго вогнутая
функция относительно х для любого фиксированного у. Согласно
свойству строгой выпуклости, существует такое у(х), что

/ [х. у (х)] х= min f (х. у) = т (х).

У

Из равномерной непрерывности функции f и единственности у(х)
без труда выводится, что функции zn(x) и у(х) непрерывны. Кроме
того, поскольку минимум семейства вогнутых функций является во-
гнутой функцией, /п(х) вогнута. Пусть х* — такая точка, в которой
т (х*) = max т (х) — max min / (х, у).

X	х у

По предположению, для любого х из С и любого ££(0, 1) мы имеем

/[(1 —Ох*-Нх, у] > (1 —0/(Х*. У)+*/(Х, у)>:

>(1 — Оот(х*) + //(х, у).

Выберем

у = у[(1 — t) x*-\-tx] = y,
так что

т [(1 — /) х* + /х]	(1 - /) т (х*) + tf (х, у).

Но ввиду того, что т (х*) т (х) для всех х из С, мы получим, что
/п(х*)^:/п[(1 —t) х* + /х],
а поэтому

/(х, у)</п(х*) = /[х*, у(х*)].

Пусть теперь /->0, так что

(1—/)х* + /х-*х* и у->у(х*).

Отсюда следует, что
/[х, у(х*)]</[х*, у (х*)]	(1.5.2)

для любого х. Если положить у(х*) = у* и ^ = /(х*, у*), то из не-
равенства (1.5.2) и определения у(х) следует, что

/(х. y*)^v^/(x*. у).

Это неравенство эквивалентно теореме о минимаксе. Нам остается
лишь ослабить условия строгой выпуклости-вогнутости, наложенные
выше. С этой целью введем функции

Л(Х. у) = /(х, у) — е/(х)-Н£-(у),
где

/(Х)=2х2, g(y)=Sy2.
/=1	J=1	7

Каждая из функций /е удовлетворяет требованиям строгой выпуклости-
вогнутости, используемым в предшествующей аргументации, и по-
этому

/(X, Уе) — е/(х)<;/е(х, уе)^^^/е(хе, у)</(хе, y)H-eg(y)
для всех {х, у} £С X D. Возьмем теперь сходящуюся к нулю по-
следовательность {е} и рассмотрим подпоследовательность этой по-
следовательности, для которой

xt->x*, уе -> у*, ve->v*.

В пределе мы получим

/(х, у*)<^*<;/(х*, у),

и доказательство теоремы завершено.

1.6. Задачи.

1.	„Камень, мешок и ножницы". Игроки одновременно называют
один из этих предметов, причем „мешок" побеждает „камень^, „ка-
мень"— „ножницы" и „ножницы" — „мешок". Игрок, который выберет
выигрывающий предмет, выигрывает у противника одну единицу; если
оба игрока выберут одинаковые предметы, игра оканчивается вничью.
Написать матрицу этой игры и описать оптимальные стратегии игро-
ков в ней.

2.	Две карты, называемые далее С (старшая) и М (младшая),
помещаются в шляпу. Игрок I наугад извлекает одну карту и смот-
рит ее. Он может сразу же пасовать, в этом случае он платит
игроку II сумму а > 0; или же он может повышать, в этом случае
игрок II может либо пасовать, уплачивая сумму а игроку I, либо
уравнивать. Если он уравнивает, то он получает или платит игроку I
сумму b > а в зависимости от того,’ какая карта М или С досталась
игроку I. Построить игру и решить ее с помощью теоремы 1.4.1.

3.	Игрок I извлекает случайно из шляпы карту С или М. После
этого у него имеется один из двух выборов: повышать или пасовать.
Если он повышает, то игрок II может либо пасовать, и тогда он платит
игроку I сумму а, либо уравнивать ставку, и тогда он выигрывает
или проигрывает сумму b > а в зависимости от того, какая карта
у игрока I, С или М. Если игрок I пасует сразу, то игрок II наугад
извлекает из другой шляпы карту С или М. После этого игрок II
имеет аналогичный выбор действий, на которые игрок I должен от-
вечать с соответствующими выигрышами. Если игрок II пасует на
втором круге, то выигрыш равен нулю. Описать эту игру и про-
странства стратегий.

4.	Каждый игрок должен выбрать одно из целых чисел между 1
и 9. Если число, выбранное одним из игроков, на единицу больше,
чем число, выбранное другим, то первый игрок проигрывает два дол-
лара. Если выбор одного из игроков больше хотя бы на две единицы,
то он выигрывает один доллар. В том случае, когда выборы игро-
ков совпадают, игра заканчивается вничью. Построить матрицу этой
игры.

5.	Показать, что п X ^-матрица \\ац\\ с элементами а^ = 1 — j
имеет седловую точку. Описать соответствующие оптимальные стра-
тегии.
6.	Решить с помощью теоремы 1.4.1 игру с матрицей

3	—1	3 711

— 1	9	3 о|’

7.	Две игры имеют соответственно матрицы А = ||а^\\ и В = ||^у||.
Значение первой игры равно V, а элементы второй матрицы равны
1).^ = а. Показать, что значение игры с матрицей В равно v-\-a
и что оптимальные стратегии для обоих игроков совпадают.

8.	Показать, что каждая из двух матриц *

11° ХИ 2 П

А1 = ||1 2 Г А2= х о||

имеет седловую точку и что найдутся такие значения и х2, при
которых выполняются соотношения

^(А1 + а2)<^(а1)+^(а2)
и

г|(А1 + А2)>^(А1) + ^(А2).

9.	Привести пример, который показывает, что выполнение ра-
венства

(х*, Ау*) = min max(x, Ay) = max min (х, Ay)
y£Y x£X	x£Xy£Y

не является достаточным для оптимальности стратегий х* и у*.

10.	Пусть А = ||а/у||—-т X ^-матрица. Показать, что существует
либо такой вектор

и = («1....«„). (m,s=0,

\ / = 1 /
ЧТО
п

2	для всех у,

t = i J

либо такой вектор

w = (<0j.....<0m) (<oS±O, 2^=1),

\	j«1	/

что

т

V <0 для всех I.

Ч J

11.	Пусть имеется игра с т X n-матрицей B = ||dZy||, и f (/) —
выпуклая, возрастающая функция от t. Пусть Г — игра со стратегиями

Х = (Хр .... хл), у = (Ур .... ут)
и функцией выигрыша

п	/ т	\

2 xtf\ 2	)•

Г=1	\/ = 1	/

Показать, что оптимальные стратегии для игры с матрицей В являются
оптимальными и для новой игры.

12.	Показать, что игра с функцией выигрыша

2 х1ацУ j

при замкнутых множествах стратегий S и Т имеет значение только
в том случае, когда в игре, определенной на выпуклых оболочках
множеств 5 и Г, игроки имеют оптимальные стратегии х* £ S и у* £ Т,
13. Пусть А, В и D — соответственно матричные игры с матри-
цами следующих размеров: пх X ^р X ^2» X Щ и значениями
a, b, d. Пусть далее {х°, у0} и {х*, у*}—соответственно оптималь-
ные стратегии для игр А* и D и, наконец, векторы (£, 1—£) и
(tq, 1—v]) — оптимальные стратегии для игры с матрицей

|| а b ||

1° А

Показать, что если а < 0 < d, то стратегии

.....К' o-'Kw..............o-'K+J.

y=(->iy?....wj,,. (i - ч>4,+1.....

являются оптимальными стратегиями для игры с матрицей

j А В

||о D ’

14.	Показать, что значение матричной игры есть неубывающая
непрерывная функция элементов матрицы.

15.	Пусть X и Y — выпуклые, компактные множества, а функция
/ (х, у) вогнута относительно х и выпукла относительно у. Пока-
зать, что для любой ограниченной последовательности Xj.....хл,

Ур ут существует такая пара {х0, у0}, что

max /(x/t у0)^ min /(х0, у).

16.	Пусть X и Y — выпуклые множества, а множество К, кроме
того, компактно. Пусть /(х, у) — функция, определенная на мно-
жестве X X Y, полунепрерывная снизу относительно у, вогнутая от-
носительно х и выпуклая относительно у. Показать, что для каждого
вещественного а существует либо такое у0£К, что / (х, у0)<а для
всех х£А\ либо такое х0£Х, что / (х0, у) > а для всех у £ Y,
17.	Показать, что если каждая 2 X 2-подматрица матрицы А имеет
седловую точку, то матрица А также имеет седловую точку.

18.	Пусть А — невырожденная п X ^-матрица, причем
Показать, что если каждая подматрица размера п X (w—1) имеет
строгую седловую точку, то матрица А также имеет седловую точку.

19.	Пусть X и Y — выпуклые многогранники соответственно
в пространствах Еп и Ет. Пусть А — п X ^-матрица. Положим

v2 = inf sup (х, Ay); -u1 = sup inf (x, Ay).
y^Yx^X	x^XytY

Доказать, что из =£ v2 следует = — oo и v2 = -\-oo. Построить
пример, удовлетворяющий условиям v1 = — oo; т/2 = -|-оо; v1 = v2 —
— -|- oo; = v2 = — oo. (Выпуклый многогранник определяется как
пересечение конечного числа замкнутых полупространств.)

Комментарии
и библиография к главе 1

1.1. Имеется несколько популярных и развлекательных работ по теории
конечных игр и ее приложениям, доступных для читателей-нематематиков.
Назовем в первую очередь книги Вильямса [1] и Мак-Дональда [1].

Обширное критическое исследование основных понятий теории игр,
теории полезности и родственных направлений содержится в книге Льюса
и Райфы [1]. Помимо освещения принципиальных вопросов теории игр и
решений, авторы в восьми приложениях дают необходимый очерк некоторых
методов теории игр.

Современный математический подход к теории игр исторически восхо-
дит к статьям фон Неймана, относящимся к 1928 г. [1] и 1938 г. [2], хотя
некоторые проблемы теории игр еще раньше рассматривались Борелем [2].
Основным стимулом тех энергичных исследований в области теории игр,
которые проводятся в настоящее время, явилась опубликованная в 1944 г.
фон Нейманом и Моргенштерном [1] фундаментальная книга, посвященная
играм и экономическому поведению. Для предварительного математического
ознакомления с теорией игр читатель может обратиться к учебникам Мак-
Кинси [1], Гейла [4] и Вайды [1].

Для более глубокого изучения мы рекомендуем сборники под редакцией
Куна и Таккера [10, И]. Следующий сборник работ по теории игр был составлен
Дрешером, Таккером и Вульфом [9]. Тех, кто в основном интересуется тео-
рией игр п лиц, мы отсылаем к работе Шепли [1] и сборнику под редак-
цией Льюса и Таккера [14].

Отдельные работы, посвященные близким вопросам, также охватывают
некоторые разделы теории игр. К этой категории относятся работы Блеку-
элла и Гиршика [1], Чёрчмена, Аккоффа и Арнофа [1], Мак-Клоски и Тре-
фетена [1] и Аллена [1].

Сборник, содержащий интересные результаты по теории игр, был со-
ставлен Дрешером [1].

Хотя знание теории полезности и не является решающим для аналити-
ческого изучения структуры игр и их решений, несколько слов об этом
предмете могут оказаться полезными.

Фон Нейман и Моргенштерн в своей классической книге ввели систему
аксиом, которой должно удовлетворять отношение предпочтения X, опреде-
ленное на ограниченном множестве исходов и пространстве распределения
вероятностей этих исходов Это означает, что из любых двух распреде-
лений вероятностей Р{ и Р2 в пространстве исходов отношение предпочтения
выделяет одно, которое предпочитается другому. (Символически либо P^P2f
либо Р2>Р\)-

Эти аксиомы, если их сформулировать несколько вольно, состоят в сле-
дующем:

1.	Если Pj >Р2 и Qi > Q2, то любая „вероятностная смесь" Р1 и Qi пред-
почтительнее аналогичной „вероятностной смеси" Р2 и Q2.

2.	(Аксиома непрерывности.) В пространстве исходов отсутствует рас-
пределение вероятностей, являющееся бесконечно желательным или беско-
нечно нежелательным. Формально эту аксиому мы можем выразить следующим
образом. Если	то найдутся такие числа А<1 и р.>0, что

ХР1 + (1-Л)Р3<Р2, ^Р1 + (1_^)Р3>Р2.

В тех случаях, когда отношение предпочтения подчиняется этим аксиомам
его можно выразить в виде числовой функции полезности (7, определенной
для распределения вероятностей на множестве исходов. Более того, функ-
ция U оказывается линейно выпуклой относительно операции взятия выпук-
лых комбинаций элементов из Авторы показывают также, что функция U
определяется единственным образом с точностью до положительного линей-
ного аффинного преобразования. Это означает, что если U — функция полез-
ности, то другим единственно возможным видом функции полезности яв-
ляется aU 4-^ (где я>0 и b — вещественное число). Соответствующее дока-
зательство приведено в гл. I книги фон Неймана [4].

Блекуэлл и Гиршик [1] распространили этот результат на случай, когда
пространство исходов содержит счетное число элементов. Льюс и Райфа [1]
подвергли аксиомы фон Неймана и Моргенштерна тщательному изучению.
Мы рекомендуем их критическое обсуждение читателю, интересующемуся
основаниями теории игр.

В классическом подходе к теории игр при задании стратегии необходимо
точно определить решения обоих игроков, принимаемые ими на основе
имеющейся в их распоряжении информации. Вследствие случайных ходов,
которые могут иметь место в процессе игры, пары стратегий могут прини-
мать вид случайных величин с некоторым известным распределением веро-
ятностей *).

Обычно при выборе стратегий необходимо определить отношение пред-
почтения, на основании которого производится выбор распределений вероят-
ностей на множестве исходов. Если аксиомы фон Неймана и Моргенштерна
для этого отношения предпочтения выполняются, то предпочтение, связанное
с любой парой чистых стратегий, может быть выражено числом, полученным
на основе применения понятия полезности к распределениям по всем исхо-
дам. Таким путем функция выигрыша может быть сконструирована в соот-
ветствии с характером полезности. Кроме того, функция выигрыша является
аддитивной (т^е. линейно-выпуклой) при вычислении средних значений отно-
сительно вероятностных распределений на множестве чистых стратегий.
Следовательно, формула (1.1.1) имеет место.

1.2.	Пример покера, приведенный в этом пункте, был впервые предло-
жен и изучен Куном [1]. Общая методика анализа салонных игр такого типа
развивается в гл. 17.

1.3.	Понятие верхнего и нижнего значений игры было введено фон Ней-
маном, который называл эти числа соответственно ситуации мажорантами
и минорантами игры.

!) То есть чистая стратегия игрока может состоять в выборе им той или
иной случайной величины. — Прим. ред.

4 Зак. 1789
1.4.	Доказательства основной теоремы о минимаксе были даны фон Ней-
маном [2], Виллем [1], Лумисом [1], Карлином [1], Фань Цзи [2], Гликсбер-
гом [2] и другими авторами. Все доказательства, за исключением доказательства
Лумиса, существенно используют некоторый вид выпуклости и компактности
пространств стратегий.

1.5.	Первое доказательство в этом пункте принадлежит Какутани [1], ко-
торый получил в ходе доказательства теоремы о минимаксе обобщение
классической теоремы Брауэра о неподвижной точке. Метод Какутани свя-
зан с некоторыми свойствами выпуклости рассматриваемой им отображающей
функции. Эйленберг и Монтгомери [1], а также Бегл [1] показали, что эта
обобщенная теорема о неподвижной точке имеет место в тех случаях, когда
условие выпуклости заменяется требованием простой связности для некото-
рых множеств. Дальнейшее распространение идей в этом направлении было
дано Дебрё [1]. Второе доказательство в этом пункте было предложено
Шифманом [1].

1.6.	Задачи 2 и 3 предложены Борелем [2]. Формулировка задачи 12 впер-
вые встречается у Гликсберга. Результаты задач 15 и 16 были использованы
Фань Цзи [1]. Задачи 17 и 18 были предложены Шепли. Задача 19 принад-
лежит Вулфу [1].
ГЛАВА 2

СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ
МАТРИЧНЫХ ИГР

В этой главе мы рассмотрим некоторые из основных методов,
применяемых при исследовании матричных игр. Особое внимание
уделяется характеристике крайних х) оптимальных стратегий. Так как
на крайние оптимальные стратегии натянуто множество всех опти-
мальных стратегий, знание крайних стратегий, по существу, эквива-
лентно знанию всех оптимальных стратегий: каждая оптимальная
стратегия является выпуклой комбинацией крайних. Описание крайних
оптимальных стратегий может быть использовано при разработке вы-
числительной схемы, позволяющей получить множество всех опти-
мальных стратегий.

Понятие доминирования стратегий, которое вводится в п. 2.2,
дает возможность уже на ранней стадии решения игры легко исклю-
чить из рассмотрения заведомо невыгодные чистые стратегии. Прин-
цип доминирования особенно полезен при непосредственном решении
игр, так как многие игры с матрицами большого на вид размера
могут быть сведены к играм с матрицами меньшего размера посред-
ством исключения всех доминируемых стратегий. В этой главе вы-
деляются четыре типа доминирования и разрабатывается связанная
с ними методика.

В данной главе вводится также важный класс игр, называемых
вполне сметанными. Так называются игры, у которых все чистые
стратегии активны (т. е. имеют положительную вероятность) в усло-
виях любой оптимальной стратегии. Рассматриваются некоторые при-
меры таких игр.

В конце главы рассматриваются симметричные игры, т. е. игры
соответствующие „безобидной игре", в которой равны не только веро-
ятные выигрыши обоих игроков, но и их стратегические возможности.

2.1. Свойства оптимальных стратегий. В этом пункте мы уста-
новим два основных свойства оптимальных стратегий в матричных
играх. Эти свойства будут использованы в последующих пунктах.

!) Такие оптимальные стратегии иногда называются также базисными,
экстремальными или угловыми. — Прим, перев.
----’ЗС!----------------—--—--—----------:-----------------

к Лемма 2.1.1. Множество оптимальных стратегий каждого
из игроков является выпуклым и замкнутым.

Доказательство. Мы приведем здесь доказательство только
для игрока I. Если v— значение игры, а х0 и х'— оптимальные
стратегии игрока I, то Д(х0,	и 4(Xq,	для всех у.

Поэтому для всех у

Д[Хх0 + (1 — Х)х', у] = ХД(х0, у) + (1 —Х)Д(х', y)>v,
и, следовательно, сегмент

Xxo + (1—Х)х'	(0==sk==sl)

содержится в множестве Х° всех оптимальных стратегий.

То, что множество Х° замкнуто, следует из непрерывности Д(х, у)
как функции от х.

к Лемма 2.1.2. Если у0 — оптимальная, смешанная стра-
тегия игрока II и у^ > 0, то для каждой оптимальной стра-
тегии х игрока I должно выполняться соотношение

п
Л(х, yp= Sx.fl..o = v.

Аналогичный результат имеет место и для другого игрока.

Доказательство. Пусть х — оптимальная стратегия.

Так как (0, ..., 1, 0, ..., 0), где единица стоит на месте г-й
компоненты, является возможной стратегией вида у, то

п

2 xtair>v для всех г.	(2.1.1)

/ = 1

Предположим, что для г = /0 имеет место строгое неравенство.
Тогда

п

так как у^ > 0), но для г =# /0 мы имеем

п

У°г

I =1

Отсюда следует, что

т п	т

2	^х.а. > v^y° = v.

Г = 1	/ = 1	г= 1
Это противоречит предположению об оптимальности стратегии у0.
Следовательно, мы имеем

п

У х.а,. =v для всех оптимальных х.

i=l ‘ /Л

Для удобства дальнейших ссылок введем некоторые новые тер-
МИНЫ.

Если Z-я компонента стратегии х положительна, то соответ-
ствующая ей чистая /-я стратегия называется существенной для х,
активной для х, а также употребляемой в х с положитель-
ной вероятностью. При упоминании чистой стратегии мы будем
равнозначно использовать термин „Z-я строка44 или „Z-я чистая стра-
тегия44.

Если для строки I имеет место равенство
п

то будем говорить, что она уравновешивает стратегию у. В этом
контексте лемма 2.1.2 может быть сформулирована следующим об-
разом. Если строка I активна для оптимальной стратегии х°, то
строка I уравновешивает каждую оптимальную стратегию у.

Аналогичная терминология будет применяться для у-стратегий и
столбцов матрицы. Иногда оптимальная стратегия будет называться
решением игры !).

Наконец, мы часто будем употреблять обозначение Ay = v, где
А — матрица, у — вектор и v — вектор вида (vt vt v, .. ., v) с со-
ответствующим числом компонент. Мы будем также употреблять вы-
ражения вида Ay < v и хА> у.

2	.2. Виды строгого доминирования. С помощью принципа доми-
нирования часто удается уменьшать размеры матриц игры. При ис-
пользовании этого принципа стратегии, являющиеся оптимальными
для уменьшенной матрицы, будут оптимальными стратегиями и для
исходной матрицы. Таким образом, принцип доминирования может
быть использован для упрощения задачи нахождения оптимальных
стратегий. В гл. 4 приводятся конкретные примеры применения этого
принципа.

Принцип доминирования устанавливает, что если одна из доступ-
ных игроку стратегий лучше, чем другая, независимо от того, какую
стратегию использует его противник, то худшая стратегия может
быть при испытании стратегий на оптимальность исключена. Этот

9	Обычно решением антагонистической игры называют ситуацию равно-
весия, т. е. пару (х*, у*), где х* — оптимальная стратегия игрока I и у* —
оптимальная стратегия игрока II. Получающаяся многозначность термина
„решение" нас в дальнейшем к недоразумению не приведет. — Прим. ред.
принцип и его применения разрабатываются в следующих четырех
теоремах, которые формулируются и доказываются только для случая
доминирования строк. Аналогичные результаты для случая доминиро-
вания столбцов формулируются без доказательства.

Определение 2.2.1. n-мерный вектор а = (ар а2, ..., ап)
строго доминирует n-мерный вектор Р = ([3р р2, ..., fQ, если
az > ₽/ Для всех i — 1, 2, . . ., п.

> Теорема 2.2.1. Если ]-я строка матрицы выигрышей А
строго доминирует ее i-ю строку, то без изменения множе-
ства оптимальных стратегий игрока I Z-я строка может
быть из матрицы А вычеркнута.

Доказательство. Для оптимальной стратегии у0 мы имеем

а, согласно лемме 2.1.2, оптимальная стратегия х° не может иметь
компоненту х? > 0.

► Теорема 2.2.1а. Если j-й столбец строго доминирует
i-й столбец, то i-й столбец может быть вычеркнут без изме-
нения множества оптимальных стратегий игрока II.

► Теорема 2.2.2. Если i-я строка матрицы строго доми-
нируется выпуклой комбинацией других строк, то l-я строка
может быть вычеркнута.

Доказательство. По условию теоремы существует такая
стратегия х = (хр х2, ..., хл) с xz- = 0, что

п
xkakj для /=1............т.

(2.2.1)

Если стратегия у0 игрока II оптимальна, то

5«(-уу5<(х’

Из последнего неравенства и леммы 2.1.2 следует, что /-я строка
не может быть активной в какой-либо стратегии х, а отсюда сле-
дует заключение теоремы.

Как в этой, так и в следующих теоремах под „возможностью"
понимается неизменность множества оптимальных стратегий.
► Теорема 2.2.2а. Если i-й столбец строго доминирует не-
которую выпуклую комбинацию других столбцов, то l-й стол-
бец может быть вычеркнут.

к Теорема 2.2.3. Если выпуклая комбинация строк из мно-
жества строк Rx строго доминирует выпуклую комбинацию
строк из множества строк R2, то в R2 существует строка,
которая может быть вычеркнута.

Доказательство. Пусть х1—выпуклая комбинация строк
в /?р которая строго доминирует выпуклую комбинацию х2 строк
в R2, т. е.

х!А > х2А.

Предположим противное, т. е. что в некоторой оптимальной стра-
тегии каждая строка из R2. ветре чается с положительной вероятностью.
Ранее в лемме 2.1.2 мы получили, что для оптимальной стратегии у0
каждая из компонент произведения Ау° в R2 равна числу V. Таким
образом, мы имеем

^^(х1, Ау°) > (х2, Ау°) = -У,

что невозможно. Следовательно, некоторая строка из множества R%
может быть вычеркнута. Это значит, что имеется такая строка, что
соответствующая ей компонента в любой оптимальной стратегии х
равна 0.

к Теорема 2.2.3а. Если выпуклая комбинация столбцов из
множества Сх строго доминирует выпуклую комбинацию столб-
цов из множества С2, то существует столбец из Сх, который
можно вычеркнуть.

► Теорема 2.2.4. Пусть

Hit а!

Если каждый столбец А2 строго доминирует некоторую
выпуклую комбинацию столбцов Aj и каждая строка А3 строго
доминируется некоторой выпуклой комбинацией строк Ар то
подматрицы А2, А3 и А4 могут быть вычеркнуты.

Доказательство. Предположим, что в некоторой оптималь-
ной стратегии х* строка i подматрицы А3 встречается с вероятностью X.
Так как некоторая выпуклая комбинация строк подматрицы Ai строго
доминирует строку I, мы можем распределить вероятность X среди
этих строк подматрицы Aj пропорционально весам, используемым
при составлении выпуклой комбинации. В результате мы получим
новую стратегию х°. Осуществим такое построение для каждой
строки I подматрицы А3, являющейся активной для оптимальной стра-
тегии х*, и обозначим через х' последнюю полученную стратегию.
Ясно, что если игрок I использует стратегию х', а игрок II чистую
стратегию, соответствующую столбцу подматрицы АР то ожидаемый
выигрыш будет строго больше, чем в случае, когда игрок II выбирает
этот же столбец, а игрок I — стратегию х*. Таким образом, для
любой чистой стратегии Ру, где j — столбец подматрицы Ар мы
ИМееМ	(V, АРРХх*.	(2.2.2)

По условию, для любого столбца j подматрицы А2 найдется такая
выпуклая комбинация у0 столбцов подматрицы АР которая строго
доминируется столбцом j (при этом мы продолжаем у0 до стратегии,
приписывая к этому вектору надлежащее число нулевых компонент).
Отсюда следует, что

(х', АРу)>(х', Ау°) = (х'А, у°)^г> для j из А2,	(2.2.3)

где последнее неравенство является следствием неравенства (2.2.2).
Неравенства (2.2.2) и (2.2.3) противоречат смыслу числа V. Таким
образом, ни одна строка подматрицы А3 не может встретиться в оп-
тимальных стратегиях с положительной вероятностью.

Аналогичная аргументация показывает, что столбцы подматрицы А2
несущественны.

Несмотря на то что ранее все критерии доминирования были сформу-
лированы в терминах строгих неравенств, эти теоремы можно приме-
нять и в случае нестрогого доминирования. Это снова приводит
к матрице с меньшим размером, оптимальные стратегии которой являются
также оптимальными и для первоначальной игры, хотя при этом
множества оптимальных стратегий для игры с уменьшенной матрицей
не обязательно должны совпадать с соответствующими множествами
для первоначальной игры. Однако после того как значение игры и
некоторая пара оптимальных стратегий установлены, для любой опти-
мальной стратегии проверка исключенных строк и столбцов на актив-
ность осуществляется без труда.

Очевидно, некоторые из предыдущих теорем можно применить
сначала к исходной матрице, затем к полученной матрице более низ-
кого порядка и т. д. Рассмотрим следующий пример:

А =	0—3—3	5 —3  1	3—220  1—2110  0	0—1—4	1  3—2—1	6 —2
Первая строка доминируется здесь пятой. Первый столбец матрицы
полученной из первоначальной вычеркиванием первой строки, доми-
нирует выпуклую комбинацию последних двух столбцов, взятых с рав-
ными весами. Исключив первый столбец, мы получим

3—220

—2	1	1

0 —1	—4

AjA2

A3A4

0

—2 — 1	.6 —2

где каждое из А^ означает соответствующую 2X2-подматрицу.
Применяя теорему 2.2.4, мы получим игру с 2Х2-матрицей

II 3 ~2

1—2	1 ’

решением которой для каждого из игроков является стратегия
(3/8, 5/8). Значение этой игры равно —1/8. Легко проверить, что
строками матрицы, уравновешивающими оптимальную стратегию
(0, 3/8, 5/8, 0,0), являются вторая и третья. Аналогичное утверждение
верно и для столбцов. Отсюда мы заключаем, что найденная нами
стратегия (0, 3/8, 5/8, 0,0) является единственной оптимальной стра-
тегией для каждого из игроков.

2.3 Нахождение оптимальных стратегий. В гл. 1 было дока-
зано, что каждая матричная игра имеет значение и что каждый игрок
обладает оптимальной стратегией. Однако эти доказательства не дают
эффективного метода для нахождения ни значения игры, ни ее ре-
шений. Прежде чем приступить к общей задаче описания решений,
рассмотрим несколько простых приемов решения некоторых особенно
важных игр. Большое число встречающихся в практике п X 2-игр
и 2 X w-игр оправдывает рассмотрение следующей методики.

Пример 1. 2 X m-игра. Рассмотрим игру, в которой игрок I имеет
две чистые стратегии, а игрок II—т чистых стратегий. Матрица
выигрышей в этом случае имеет вид

#n#i2 • • •

а21а22 • • • а2т

Стратегия игрока I может быть охарактеризована числом х (0<х<1),
где х — вероятность выбора игроком I стратегии I. Если игрок II
выбирает чистую стратегию /, то выигрыш I, соответствующий стра-
тегии х, является линейной функцией вида

/y(x) = xav+(l — х) a2j.
Пусть
ср (х) = inf /у. (х) = min lj (х)

[очевидно, уравнение j/ = cp(x) описывает нижнюю огибающую семей-
ства прямых Zy(x)].

Пусть х0 такое число, что

<р (х0) = max <Р (х).

Тогда ср (х0) есть тот максимальный выигрыш, который может обес-
печить себе игрок I, выбирая стратегию х0 против любой чистой
стратегии, которую может использовать игрок II.

Так как смешанная стратегия игрока II обязательно является выпу-
клой комбинацией линейных форм /у(х), ясно, что, выбирая х0,
игрок I при любых обстоятельствах гарантирует себе по крайней
мере сумму г/* = (р(х0). Отсюда следует, что v>v\ где v — значе-
ние игры.

Выясним теперь, до какой суммы игрок II может снизить
выигрыш игрока I. Предположим, что функция ср(х) достигает ма-
ксимума в единственной точке внутри единичного интервала, как это

показано на рис. 1. Если существует горизонтальная линия Z;o, про-
ходящая через точку {х0, <р(х0)}, то выберем для игрока II его чи-
стую стратегию /0. Если же такой линии, проходящей через точку
{х0, <р(х0)}, нет, то выберем две прямые Z. и Z *, проходящие че-
7 о	*0

рез эту точку: одну с положительным угловым коэффициентом,
а вторую с отрицательным. (Очевидно, условие, согласно которому
минимум достигается в единственной внутренней точке единичного
интервала, влечет существование такой пары прямых.) Выберем,
кроме того, такой вес Хо (0 < k0 1), чтобы прямая

^ = My0W + (l-\))^ (*)
была горизонтальной, т. е. чтобы

У). (X) + (1 - к0) / .* (X) = V* = ср (х0).

Пусть стратегия II будет смешанной стратегией вида

(О, о.....к0, .... 1-к0.......0).

где Хо стоит на месте /0-й координаты, а (1 —Хо)— на месте коорди-
наты j*. Пусть функция ср(х) достигает своего максимума внутри еди-
ничного интервала более чем в одной точке. Тогда должна существовать
прямая /;о вида /;о (х) = v*. Возьмем в этом случае в качестве стра-
тегии II чистую стратегию у0. Если точкой максимума функции <р(х)
является хо = О, то в качестве стратегии II возьмем чистую страте-
гию, соответствующую прямой, проходящей через точку {0, <р(0)},
отрицательный наклон которой имеет наибольшее абсолютное значе-
ние. Если, наконец, точкой максимума является х0=1, то в каче-
стве стратегии игрока II вы'берем чистую стратегию, соответствующую
прямой, проходящей через точку {1, <р(1)} с наибольшим положи-
тельным углом наклона.

Во всех тех случаях, когда игрок II применяет указанную выше
стратегию, выигрыш игрока I ограничивается суммой v* независимо
от того, какую стратегию этот игрок выберет. Поэтому значение
игры не должно превосходить число v*. Но ранее мы нашли, что
v>zv*. Отсюда следует, что v — v*t и те стратегии, которые мы
предполагали оптимальными, оказываются таковыми на самом деле.

Если точка максимума функции ср (х) окажется одной из концевых
точек, то оба игрока имеют чистые оптимальные стратегии. Если
функция ср(х) имеет горизонтальный участок, т. е. имеет более одной
максимальной точки, то игрок II имеет чистую оптимальную страте-
гию, а игрок I имеет бесконечное число смешанных оптимальных
стратегий.

Для п X 2-игры ее значение и оптимальные стратегии находят
аналогичным образом. Ордината точки отрезка

/г(У) = Уаг1 + (1 — у) а/2.

где у берется из единичного интервала, дает выигрыш для случая,
когда игрок I применяет чистую стратегию Z, а игрок II — смешан-
ную стратегию у. Минимум функции

ф (у) = sup(у)

дает значение игры.

Пример 2. 3 X tn-игра. Стратегия игрока I в 3 X w-игре опи-
сывается парой чисел (хр х2), где Xj > 0, х2>0 и Xi4~x2^1.
Множество возможных стратегий может быть представлено в виде
заштрихованного треугольника на рис. 2.
Другой вид представления стратегии игрока I можно осуществить
с помощью плоского треугольника (рис. 3), в котором три вершины

соответствуют трем чистым стратегиям. Любая другая точка в тре-

угольнике соответствует смешанной стратегии и обозначается тройкой

чисел (хр х2, х3), где xL— та доля
единичной массы, которую следует по-
местить в точку /, чтобы центр тя-
жести полученной системы совпал с точ-
кой х. Таким образом, тройка (хр х2,х3)
описывает стратегию х в барицен-
трических координатах. Существенной
чертой использования барицентрических
координат для представления множества
смешанных стратегий является то об-
стоятельство, что такое представление
не зависит от системы координат.

Пусть треугольник с вершинами 1,
2, 3 (рис. 4) определяет барицентри-
ческие координаты в своей плоскости
(эту плоскость мы будем считать гори-
зонтальной). Построим семейство плос-
костей, каждая из которых описывает
выигрыши игрока I, если игрок II при-
меняет ту или иную чистую стратегию.
Это изображено на рис. 4. Как и

раньше, проведем снизу огибающую

поверхность и рассмотрим принадлежащее ей множество точек мак-
симумов. Это множество может быть единственной точкой, линией
или (в общем случае) многоугольником. Значение функции

<p(x) = inf/t (х)
в точке максимума равно значению игры. Точки проекции много-
угольника максимумов на горизонтальный треугольник соответствуют
оптимальным стратегиям игрока I. Оптимальные стратегии игрока II
получаются посредством взятия плоскостей чистых стратегий с неко-
торыми весами подобно тому, как это уже делалость для 2 X w-игр.
Это значит, что плоскости чистых стратегий взвешиваются так, чтобы
смешанная стратегия отвечала горизонтальной плоскости.

Для т X л-игры, где п и т больше 3, этот метод уже непри-
годен.

2.4. Описание крайних оптимальных стратегий. Стратегия х°
называется крайней оптимальной стратегией, если х° — крайняя точка
выпуклого множества Х° оптимальных стратегий (см. п. Б.2). Ана-
логично определяются крайние оптимальные стратегии у. В качестве
вводных замечаний к методу, используемому для описания крайних
оптимальных стратегий, проанализируем сначала один частный случай
теоремы 2.4.1.

Предположим, что A = ||afy||—невырожденная п X ^-матрица.
Пусть {х°, у0} — пара оптимальных стратегий. Примем, чтэ х^ > О
для всех I и у0. > 0 для всех у. Пусть, наконец, е = (1, 1..1)—

вектор, состоящий из п компонент, каждая из которых равна 1.

На основании леммы 2.1.2 мы имеем

Ay° = v, x°A==v,	(2-4.1)

где v — значение игры, av понимается в зависимости от контекста
как скаляр или как вектор соответствующей размерности, все компо-
ненты которого равны числу V. Отсюда следует, что

у° = A-1v = vA-1
и

1—	A“1w) = -v(e, А-1е)-

/=1

Из последнего соотношения вытекает, что v =£ 0. Таким образом,
для этого случая решение игры х°, у0 и ее значение v могут быть
вычислены в явном виде с помощью следующих формул:

1	А	р А 1

(242)

Очевидно, что решение игры может быть представлено форму-
лами (2.4.2) всякий раз, когда имеет место условие (2.4.1) и ма-
трица А невырожденная. Предположение о выполнении условия (2.4.1)
фактически слабее, чем гипотеза о том, что х® > 0 для всех I и
Уу > 0 для всех у.
Этот пример показывает, что при соответствующих условиях, когда
матрица А невырожденная, решение игры может быть выражено явно
через элементы матрицы А”1. Для того чтобы обобщить это по-
строение, определим подматрицу М матрицы А со свойствами, сход-
ными с теми, которые были у матрицы в выражении (2.4.2). Опти-
мальные стратегии, получающиеся из таких подматриц, дают нам
крайние оптимальные стратегии. Следующая теорема точно форму-
лирует это обобщение формул (2.4.2).

► Теорема 2.4.1 Если х°, у0 — крайние оптимальные стра-
тегии для игры с матрицей выигрышей А и если v 0, то су-
ществует такая невырожденная подматрица М матрицы А, что

1

(е, М-1е)
еМ"1

(е, М-1е) *
М^е

(е, М-1е)

(2.4.3а)

(2.4.36)

(2.4.Зв)

где е — вектор той же размерности, что и матрица М, все
компоненты которого равны 1.

[В формулы (2.4.36) и (2.4.Зв) входят лишь такие компоненты
векторов х°, у0, которые соответствуют строкам и столбцам ма-
трицы А, участвующим в образовании матрицы М. Остальные ком-
поненты векторов х°. у0 равны нулю.]

Для удобства представим доказательство этой теоремы в виде
последовательности лемм и рассуждений.

Обозначим соответственно через XQ ц К0 пространства оптималь-
ных стратегий игроков I и И. Известно, что Х° и /° — замкнутые,
выпуклые множества (лемма 2.1.1). Из леммы Б.2.4 мы знаем, что
Х° и /° имеют крайние точки. Пусть х° и у0 являются такими точ-
ками.

Мы можем изменить нумерацию строк и столбцов матрицы
A = ||az.|| так, чтобы первые г компонент вектора-строки х° и пер-
вые s компонент вектора-столбца у0 были положительными, а остальные
их компоненты равнялись нулю. Таким образом, мы имеем

х° = (ху, ...,	0, ..., 0), г<п,

у° = (у?......у°.	о,....0),

Так как стратегия х° оптимальна и у0 > 0, согласно лемме 2.1.2,
скалярное произведение вектора х° на /-й столбец матрицы А равно v
для всех j^s. Для других столбцов это скалярное произведение
больше или равно v.
Аналогично скалярное произведение вектора у0 на Z-ю строку
равно v для всех	а для других строк меньше или равно v.

С другой стороны, мы можем переставить строки и столбцы ма-
трицы А (не изменяя порядка первых г строк ц s столбцов) так,
чтобы (а) все скалярные произведения у0 и х° соответственно на
каждую из первых г строк и s столбцов были точно равны числу V,
где 0 < r<r^n, O^s^s^nv, (б) скалярное произведение у0
на каждую из последних п— г строк было меньше, чем v, и (в)
скалярное произведение х° на каждый из т— s последних столбцов
было больше, чем v.

В том случае, когда строки и столбцы расположены в указанном
порядке, разложим матрицу А следующим образом:

Ai А3 А7
А2 А4 А8 ,

А5 Аб А9

где Aj—гХ^-матрица, А2 — (г — г)Х^-матрица, А3 — r/(s — ^-ма-
трица, А4 — (г — г)Х($— $)-матрица и т. д. Этой системой обозна-
чений мы воспользуемся в следующей лемме.

► Лемма 2.4.1. Матрица

определяет линейное отображение пространства Es в Ег, об-
ладающее тем свойством, что лишь нулевой вектор отобра-
жается матрицей С в нулевой.

Доказательство (от противного). Покажем, что если Cz = 0
для z 0, то у0 не является крайней точкой множества К0. Заметим
сначала, что равенство Cz = 0 означает, что

0 = (х°, Az) = (x°A, г) = ^2 zr

/ = 1

Но так как <о =£ 0, то

2 Zt = 0.
Z = 1

Продолжим теперь z до /n-мерного вектора

z = {zv z2...z3, 0, 0.....0)
и выберем е настолько малым, чтобы для всех I выполнялось нера-
венство y?±e^z>:0. Тогда векторы y°±ez являются стратегиями,
так как

т	s	т

2 (У?±ег.) =	1-

4=14	'	4 = 1	4 = 1

Кроме того,

Л,	41	( v Для

2 а..(у^±егЛ = 2	а,7А =	\ + is	"

/=i ljy J " jTi tJ 1 lJ 1 l v — y4±zKt для i > r,
где Xz > 0, так как

1	< v

для всех i > г. Так как мы можем, если необходимо, выбрать е
еще меньшим, отсюда следует, что стратегии y°±ez оптимальные.
Наконец, соотношение

У° = у (у° + ez) + у (у0 — ez)

показывает, что у0 не является крайней стратегией. Это противоре-
чие убеждает нас в справедливости леммы.

Определим теперь С как такую минимальную подматрицу мат-
рицы С, которая (а) содержит строки и столбцы матрицы АР и (б)
из равенства Cz = 0 следует равенство z = 0. Из леммы 2.4.1 из-
вестно, что такая подматрица С существует.

Минимальность матрицы С означает, что если С* есть собствен-
ная подматрица матрицы С, содержащая матрицу АР то условие (б)
нарушается. Это обстоятельство мы используем впоследствии.

Аналогично установим существование такой минимальной подмат-
рицы D матрицы D=||A! А3||, что (а7) подматрица D содержит
строки и столбцы матрицы Ар и (б7) из wD = 0 следует, что w = 0.
Теперь мы вполне подготовлены к построению нужной в теореме 2.4.1
подматрицы М.

Пусть М — наименьшая подматрица матрицы А, содержащая С
и D. Это означает, что М состоит из строк, представленных в С,
и столбцов, представленных в D. Ясно, что М есть г7 X s'-матрица,
где г<г7^г и	Матрица М называется ядром решения,

соответствующего крайним точкам {х°, у0}. Хотя матрица М опреде-
лена, вообще говоря, не однозначно, так как сами матрицы С и D
были определены не однозначно, практически в большинстве слу-
чаев матрица М для каждого решения {х°, у0} единственна.
к Лемма 2.4.2. Матрица М является квадратной и невы-
рожденной.

Доказательство. Покажем, что из Mz = 0 следует z = 0.
Аналогичное рассуждение показывает, что из wM = 0 следует w = 0.
Из этих результатов вытекает справедливость леммы.

Пусть k — фиксированный номер столбца, для которого s-j- 1<
Если s = s', то последующая аргументация не является
необходимой. Покажем сначала, что из равенства Mz = 0 следует
Zfr = 0 (k-я компонента вектора z равна нулю).

Пусть D* — подматрица матрицы D, получаемая вычеркиванием
из нее k-vo столбца. Так как D — минимальная матрица, существует
такой ненулевой вектор w° вида =	а)°, . .., <d°, 0, 0, . . ., 0),

что w°D* = 0, а в w°D отлична от нуля лишь k-я компонента. Ана-
логично k-я компонента ak из w°M = w°D отлична от нуля, тогда
как все другие компоненты равны нулю. Отсюда следует, что akzk =
= (w°M, z) = (w°, М z) = 0, и так как я/г^0, должно быть гл = 0.

Итак, резюмируем: если Mz = 0, то вектор z должен иметь вид
z = (гр z2, ...» zs, 0, 0, ..., 0).

Но тогда равенство Mz = 0 можно переписать как Cz = 0, и век-
тор z должен быть, согласно лемме 2.4.1, нулевым. Доказательство
завершено.

Доказательство теоремы 2.4.1. Пусть М есть ядро пары
крайних оптимальных стратегий х°, у0 в соответствии со сформули-
рованным выше определением. Так как М есть подматрица матрицы

А] А3

А2 А4
мы имеем

My° = v, x°M = v,	(2.4.4)

где v — вектор соответствующей размерности, каждая компонента
которого равна числу V, а у0 и х° означают соответственно век-
торы у0 и х°, в которых удалены нулевые компоненты. По лемме
2.4.2, М — невырожденная матрица и поэтому равенства (2.4.4) ста-
новятся эквивалентными формулам (2.4.3а) — (2.4.Зв).

Обращение теоремы 2.4.1 принимает следующий вид.

► Теорема 2.4.2. Если х°, у0 — оптимальные стратегии,
определяемые в соответствии с формулами (2.4.3а) — (2.4.Зв),
а М — невырожденная подматрица матрицы К, то х° и у° —
оптимальные стратегии, соответствующие крайним точкам.

5 Зак. 1789
Доказательство. Предположим, что
0 х' + х"
х°=^—

при оптимальных стратегиях х' и х". Так как компоненты век-
тора х°, которые не соответствуют строкам матрицы А, участвую-
щим в образовании подматрицы М, равны нулю, соответствующие
компоненты из х' и х" также должны равняться нулю. Поэтому
имеет смысл говорить о векторах х'М и х"М.

Так как стратегии х' и xz/ оптимальны, мы имеем

x'M>v	(2.4.5)

и	x"M>v.	(2.4.6)

Складывая последние неравенства, мы получим x°M^v.

Если в выражениях (2.4.5) или (2.4.6) для некоторой компоненты
имеет место строгое неравенство, то должно быть х°М > V. Но, со-
гласно формуле (2.4.3), это невозможно. Следовательно, x'M = v
и x"M = v. Таким образом, мы получаем (х' — х")М = 0. Так как
матрица М невырожденная, отсюда следует, что х'= х".

Но если из равенства

о— х' + х"

X —	2

где стратегии х' и х" оптимальны, всегда следует равенство х' = х",
то х°, по определению, есть крайняя точка множества Аг°. Анало-
гичная аргументация применима и к стратегии у0.

Случай ^ = 0. Если ^ = 0, то мы можем выбрать произвольное
фиксированное число я=^=0 и составить матрицу вида

При этом значение игры увеличится на а, в то время как оптималь-
ные стратегии не изменятся (см. задачу 7 гл. 1). Формулы (2.4.3а) —
(2.4.Зв) для новой игры по-прежнему имеют место (ее значение есть
теперь v—a). Наша цель заключается в том, чтобы выявить функ-
циональную зависимость выражений в этих формулах от параметра а.
Пусть |М| — определитель матрицы М. В том случае, когда
-п=£0, формулы (2.4.3а) — (2.4.Зв) могут быть переписаны в терми-
нах присоединенной матрицы !) следующим образом:

|М|	(2.4.7а)
(е, adj (М) е) ’	
о 	 е adj (М)  (е, adj (М) е) ’	(2.4.76)
n _ adJ (М) е  	 у (е, adj (М) е)	(2.4.7b)

J) Присоединенной матрицей adj (М) называется матрица, составленная
из алгебраических дополнений к элементам матрицы М, причем алгебраи-
ческое дополнение к элементу ту стоит на пересечении J-й строки и /-го
столбца. См. п. А8. — Прим, перев.
Если 17 = 0 и мы рассматриваем матрицу ||я/;+я||» где а > 0,
то в силу тождеств

(I)	|М + а| = |М| + а (е, adj (М) е),

(2)	е adj (М + а) = е adj (М),

(3)	adj(M + a)e = adj(M)e

(см. п. А.9), каждое крайнее решение {х°, у0} допускает следующее
представление:

,____| (М + а)|	__	)	|М|

а v — (е, adj (М + а) е) “ а ' (е, adj (М) е) ’

0_ eadj(M + a) _ е adj (М)
х ~ (е, adj (М + а) е) — (е, adj (М) е) ’

0__ adj (М + а) е ____ adj (М) е

У "" (е, adj (М + а)е) — (е, adj (М) е) ’
если только выражение (е, adj(M)e) отлично от нуля. Следовательно,
выражения (2.4.7а) — (2.4.7в) остаются в силе также и для случая
и = 0.

Теорема 2.4.1 и обратная ей могут быть сформулированы теперь
уже не в терминах обратных квадратных подматриц, а в терминах
присоединенных матриц. В этой новой формулировке (теорема 2.4.3)
нам больше не придется различать случаи -и = 0 и т>=#0-

► Теорема 2.4.3. Необходимое и достаточное условие того,
что оптимальные стратегии х° и у0 являются крайними,
a v — значением игры, заключается в том, что существует
такая квадратная подматрица М матрицы А, что

(1)	(e.adj(M)e)*0,	(3) х°= \,Jd|(”)	,

62 4 8)

/2) v =Щ________	(4) ;o = ^.W.)e- .

' '	(е, adj (М) е) ’	\ ) У adj е) »

где х° получается из вектора х° посредством вычеркивания
компонент, соответствующих строкам, вычеркнутым из мат-
рицы А при получении подматрицы М (все вычеркнутые ком-
поненты равны нулю), а у0 аналогичным путем получается
из у0.

Теорема 2.4.1 подсказывает нам следующий систематический ме-
тод получения значения и крайних оптимальных стратегий игры.
Ограничим наше внимание играми, значение которых отлично
от нуля. Будем рассматривать все квадратные подматрицы М мат-
рицы А. Для каждой такой подматрицы М выясним, имеет ли она
обратную. Если такой обратной матрицы нет, то перейдем к
рассмотрению следующей подматрицы. Если же подматрица М обратима,
найдем по формулам (2.4.3а) — (2.4.Зв) векторы х°, у0 и число V,
Соотношения	и 2 У/= 1 в СИЛУ формулы (2.4.Зв) авто-

i	J

матически соблюдаются, однако может случиться, что для некото-
рого i или j окажется х? < 0 или у; < О- В этом случае подмат-
рица М отбрасывается, и мы переходим к рассмотрению .следующей
подматрицы. Если все компоненты получаемых векторов неотрица-
тельны, то векторы х° и у0 получаются вписыванием нулей на место
вычеркнутых компонент этих векторов. Из формул (2.4.3а) и (2.4.36)
следует, что скалярное произведение вектора х° на любой невычерк-
нутый столбец равно числу v. Поэтому нужно осуществить контроль
за тем, чтобы скалярное произведение вектора х° на каждый вы-
черкнутый столбец было больше или равно числу v. Аналогично
скалярное произведение вектора у0 на любой невычеркнутый стол-
бец равно числу v\ теперь необходимо убедиться в том, что ска-
лярное произведение вектора у0 на вычеркнутую строку не превы-
шает числа V. Если все скалярные произведения удовлетворяют
перечисленным условиям, то векторы х° и у0 являются крайними
стратегиями. Если же они этим условиям не удовлетворяют, то такая
подматрица М должна быть отброшена.

Когда множество всех подматриц будет рассмотрено, мы полу-
чим множество всех крайних оптимальных стратегий. Множество
всех оптимальных стратегий получается посредством построения вы-
пуклой оболочки найденных крайних точек.

Необходимо подчеркнуть, что к классу всех подматриц матрицы
А причисляется как сама матрица А, так и все ее отдельные элементы.

В качестве иллюстрации к теореме 2.4.3 рассмотрим игру со сле-
дующей матрицей выигрышей:

II

3

О

I

1

1

= А.

-5 |

Четыре пары оптимальных стратегий, соответствующих крайним
точкам, и отвечающие им ядра М будут следующие:

xo = (i, 0> о),	• у° = (1, 0, 0),

Х° = (1. 0, 0).	=	4- о),

х° = (т’Т'0)’ У° = (1. 0. 0).

xHI'i’0)’ ^-(-2-4'°)'

М --- Оц = 1,

М —А.
2.5. Вполне смешанные матричные игры. Матричная игра на-
зывается вполне сметанной, если каждая чистая стратегия игрока
входит в каждую его оптимальную стратегию х (или у) с положи-
тельной вероятностью, т. е. для двух оптимальных стратегий
x° = (xj,	и y° = (yj, .... у^) все xQ. > 0 и все у9 > 0.

Вполне смешанные матричные игры составляют важный класс игр,
для которых легко определяются решения.

> Теорема 2.5.1. Вполне сметанная игра имеет единствен-

ное решение.

Это утверждение следует из теоремы 2.4.3. Если х° и у0 — оп-
тимальные стратегии, соответствующие крайним точкам, то их ядро
должно совпадать со всей матрицей А. Из соотношений (2.4.8)
видно, что все оптимальные стратегии, соответствующие крайним
точкам, совпадают, так как все они получаются из одного и того же
ядра. Отсюда следует, что для каждого игрока оптимальные стра-
тегии единственны.

Замечание 2.5.1. Если игра А является вполне смешан-
ной и для нее т/^=0, то матрица А невырожденная.

Это следует из теоремы 2.4.1, так как ядро любого решения,
отвечающего крайним оптимальным стратегиям, должно совпадать
с матрицей А !).

Пример 1. Матрица Минковского—Леонтьева. Эта мат-
рица встречается в математической экономике в области анализа
производственных процессов. Матрица А называется матрицей Мин-
ковского— Леонтьева, если

(а)	А — квадратная матрица,

(6)	au>q>0.

(в)	аи < q для I + j

п

и (г) 5 «,-/ > nq>$.

Обычно на практике q — Q. Покажем, что матрица Минковского —
Леонтьева порождает вполне смешанную игру.

Пусть х = (1/п, ..., 1/м). Тогда
п	п

i	= 1	i = 1

’) Отметим также, что матрица вполне смешанной игры должна быть
квадратной. — Прим: ред.
Следовательно, значение игры равно ^><7^0. Предположим, что
x = (Xj....хп) — оптимальная стратегия, где х7о = О. Тогда

(хА)л = 2 Xfiih = 3 xiaU. ^ЪХ1Я^Ч < V-
Z = 1	Z = 1

Отсюда следует, что вектор х не может быть оптимальной страте-
гией. Таким образом, каждая оптимальная стратегия игрока I ис-
пользует каждую компоненту матрицы с положительной вероятностью.

Предположим, что у = (у1в .... уп)— оптимальная стратегия иг-
рока II и что ууо = О. По лемме 2.1.2, мы имеем

п

^(1^ = 4

для всех I. Однако для I = у0 мы получаем

2	2 ajjyj^qcv

7 = 1	/¥=Л

и приходим к противоречию. Таким образом, в каждой оптимальной
стратегии у каждая компонента положительна. Отсюда следует, что
любая матрица Минковского — Леонтьева является невырожденной.

Как непосредственное следствие приводимой далее леммы 2.5.1
и рассмотренного выше примера мы находим, что если А — квад-
ратная матрица, подчиненная условиям

(a)	atj^q для /^=/,

(б)

и

(В) 2	> nq,

то матрице А соответствует вполне смешанная игра.

к Лемма 2.5.1. Если игра с матрицей А является вполне
смешанной, то матрица В = Аг (транспонированная мат-
рица А) также соответствует вполне смешанной игре, и на-
оборот.

Доказательство. Пусть w°, z° — единственные решения игры
с матрицей А соответственно для игроков I и II. В таком случае,
согласно лемме 2.1.2, мы имеем

w°A = v, Az° = v.

Пусть В = АГ, тогда Вг = (АГ)Г =з= А и

z°B = Az° = v, Bw° = w°A = V»
Поэтому векторы z° и w° являются оптимальными стратегиями соот-
ветственно игроков I и II для игры с матрицей В, а значение игры
равно V. Эти оптимальные стратегии содержат все компоненты с по-
ложительной вероятностью и должны быть единственными (иначе
обратные рассуждения привели бы нас к неединственности решения
игры с матрицей А). Отсюда следует, что матрица Аг соответствует
вполне смешанной игре.

Обратное утверждение следует из того факта, что (АГ)Г = А.

Пример 2. Игра на упорядоченных множествах. Пусть Ао,
.......Ltl_1 — непересекающиеся замкнутые множества, расположен-
ные на вещественной оси и подчиненные условию < А/+1 (т. е.
множество лежит строго левее множества А/ + 1). Пусть

		^1	^2	А3	•• ^л-1
	^л-1		^1	А2		
А =	^п-2	^п-1	^0	Ai		
	^1	^2	...	...	• •	^0

Здесь А интерпретируется как матрица Ца^Ц, где элемент а^ есть
число, содержащееся в A-множестве, стоящем на месте {/, у}. Алге-
браически aij^Lj-i, если и ац£Ьп_1+], если j < i !).

Мы утверждаем, что матрица А соответствует игре с вполне
смешанной стратегией. Чтобы это показать, предположим, что х —
оптимальная стратегия и что ху = 0 для некоторого у. Если i =# J,
то	(если у ===== 0, то J—1 понимается как п—1). Так

как Xj = 0, мы имеем
п	п

i=1	i=1

Следовательно, согласно лемме 2.1.2, никакая оптимальная стра-
тегия у не может иметь компоненту у у > 0. Очевидно, что Яу+1| k <
<ау;Л, когда у^=Л (мы считаем, что у’+1=0, если У = л— 1).
Отсюда в случае, когда у — оптимальная стратегия, мы получим

п	п

5 а7+1,лУй< 3 aj.

Л=1	£=1

*) Здесь было бы уместнее говорить о семействе всех матриц, для
которых элементы ац берутся из надлежащих A-множеств и о семействе
игр с такими матрицами выигрышей. — Прим. ред.
С другой стороны, из леммы 2.1.2 мы видим, что никакая оптималь-
ная стратегия х не может иметь компоненту > 0. Повторяя
наши рассуждения, мы получаем х = 0, что невозможно. Следова-
тельно, все компоненты оптимальной стратегии х положительны.
Поэтому А есть матрица вполне смешанной игры.

Если множества Lk упорядочены в обратном смысле, т. е. если

то соответствующая игра также будет вполне смешанной.

В частности, если главная диагональ 2 X 2-матрицы доминирует
или доминируется, то оптимальные стратегии для игры с этой ма-
трицей являются вполне смешанными стратегиями. Формально игра
с матрицей

А =

d b

будет вполне смешанной игрой, если выполняются условия
max [a, b} < min {с, d] или min [а, £} > max {с, d}.

Обратное утверждение в этом случае также имеет место, ибо если
главная диагональ не доминирует, то существует седловая точка.

Для вполне смешанных игр размера выше чем 2X2 столь пол-
ного описания уже не существует (см. задачу 9).

Пример 3. Циклическая матрица. Пусть

Л]

«о

аЧ • • • ап-\

а\..........

А =

а3 ... Ло

где at Ф aj. Этот пример является частным случаем предыдущего,
именно когда Lk={ak], т. е. множество Lk состоит из единственной
точки. Однако здесь мы уже не предполагаем, что at < ai+x или что на
величины at вообще налагается какая-либо упорядочивающая связь.

Достаточным условием того, чтобы игра с матрицей А была
вполне смешанной, является det А =# 0. Для того чтобы проверить
это утверждение, рассмотрим сначала строение определителя det А.
Отметим предварительно, что числа

(г = 1........п)
являются различными характеристическими числами матрицы А, где
w — какой-либо первообразный корень n-й степени из единицы.
Таким образом, мы имеем

п	п

det А = П \ = П
Г=1	Г = 1

п-1

5 akwkr.
л=о

Проверим теперь, что стратегии

Х = у=(|,

являются оптимальными, а значение игры равно

п

Очевидно, что

п	п

(хА); == У’ x^j = -''£а1 = ъ

4=1	4 = 1

и аналогично А у = V. Так как, по предположению, detA=A0, из
теоремы 2.4.2 следует, что оптимальные стратегии х° = у° =
= (1/п, ..., 1/п) являются крайними. Пусть у' — крайняя оптималь-
ная стратегия, отличная от стратегии у0. Пара крайних стратегий
(х°, у'} должна иметь в качестве своего ядра всю матрицу. Таким
образом, мы получаем у' = у°. Аналогично находим, что х° — един-
ственная оптимальная стратегия игрока I. Следовательно, игра с ма-
трицей А вполне смешанная.

В частности, если п = 3, элементы матрицы а0, av а2 отличны
друг от друга и выполняется условие а0 —0, то игра
с матрицей

является вполне смешанной. Для того чтобы в этом убедиться, доста-
точно проверить, что условие а0 = аг = а2 влечет либо равенство
а0+ a2w2 = 0, либо равенство а0 + a2‘W = 0, где
w — первообразный корень третьей степени из единицы. Рассматривая
мнимые части каждого из этих равенств, мы получаем, что ах = а2.
Из рассмотрения вещественных частей следует, что aQ = ах = а2.
В противоположность этому в игре
0 13 2
2 0 13
3 2 0 1
13 2 0

имеющей значение 3/2, множество крайних оптимальных стратегий
игрока I состоит из двух стратегий:

0.1 о) « (о, 1,0.1).

То же справедливо и для игрока II.

2.6. Симметричные игры. Симметричной игрой называется игра
с кососимметрической матрицей выигрыша (Аг = — А). В такой
игре игроки имеют одинаковые множества стратегий и, употребляя
одинаковые стратегии, могут ожидать одинаковый доход. Во всех
отношениях такая игра является „самой безобидной" для обоих
игроков потому, что любая возможность, открытая для одного игрока,
доступна и другому. В самом деле, если игрок I употребляет стра-
тегию х = (хр .... хл), то его доход равен компоненте произведе-
ния хА, соответствующей чистой стратегии, используемой игроком II.
Подобным же образом, если игрок II использует стратегию у =
= (У1» •••» Vm)’ то возможные доходы для игрока I составляют
вектор Ау и зависят от той чистой стратегии, которую он применит.
Если х = у, то

— Ау = хА.	(2.6.1)

Это соотношение указывает на отличительное свойство симметричных
игр: любой результат, достижимый для игрока I, может быть также
достигнут игроком II путем применения той же стратегии.

Так как равенство (х, Ау) = 0 имеет место всякий раз, когда
х = у, мы приходим к выводу, что значение симметричной игры
равно нулю. Кроме того, из равенства (2.6.1) следует, что множе-
ства оптимальных стратегий XQ и У0 совпадают.

Эти особенности придают симметричным играм определенный
интерес. Однако основное значение игр такого типа обусловлено
следующим фактом: всякой игре может быть сопоставлена некото-
рая симметричная игра. При этом множества оптимальных стратегий
данной игры могут быть некоторым вполне определенным образом
получены из множеств оптимальных стратегий связанной с ней сим-
метричной игры. Известны два метода симметризации матричных
т >< n-игр. В первом из этих методов данная игра преобразуется
в симметричную игру большего размера, именно в игру с п-\-т-\-Л
стратегиями. Второй метод связывает с основной игрой еще большую
симметрическую матрицу, имеющую n X строк. Далее мы рассмо-
трим оба эти симметризующих приема.

► Теорема 2.6.1. Если А — т X п-матрица, то существует
такая симметричная (т-\-п-\- 1) X (^ + ^+ \)-игра • Ар что
оптимальная стратегия (хр .... ур ..., ут, X) в игре
с матрицей Ai обладает следующими свойствами:

т +п + 1	гп + п + 1

2 xt= 5 У1 = а>0;

1 = 1	1=1

х/а, у/а — оптимальные стратегии игроков в игре с матри-
цей А; значение этой игры равно \/а. Обратное утверждение
также справедливо.

Доказательство. Мы можем предположить, что значение v
игры с матрицей А положительно. Пусть

А1 =		0	А —1  — Аг 0	1  1 —1	0

Здесь Ai — кососимметрическая (т 4~ О X + я + 1)-матрица.
Пусть (хр ..., хп, ур ..., ут, X)— оптимальная стратегия игрока II
в игре с матрицей АР Тогда, поскольку значение игры с матрицей Aj
равно нулю, мы имеем

Ау —Х^О, — хА + Х^О, 2*z —(2-6.2)

Отметим, что X > 0; в противном случае в соотношении (2.6.2)
мы имели бы

Ау^О, хА^О,

что противоречит нашему предположению о том, что v > 0 для
игры с матрицей А. Но по лемме 2.1.2 неравенство Х>0 влечет
2 х/=2^1- Наконец, Х< 1, т. е. второе соотношение из (2.6.2)
не может выполняться. Следовательно,

£,1=2>. = ^>о.

Если мы положим

то из соотношения (2.6.2) получим неравенство

Следовательно, стратегии х/а, у/a в игре с матрицей А оптимальные,
а Х/а есть значение этой игры.
Наоборот, если х = (хр .... хп) и У = (У!.у„) — оптималь-

ные стратегии для игры с матрицей А, то соотношение (2.6.2)
может быть проверено для вектора

__/х у v \

W — 1,2 + v ’ 2-f-v ’ 2+v)’

Таким образом, w — оптимальная стратегия для игры с матрицей А.

Наш второй метод симметризации игры будет состоять в следую-
щем. Представим себе игрока, участвующего в двух играх с матрицами
В' и В" соответственно роли максимизирующего и минимизирующего
игроков. Значение этой игры равно суммарному ожидаемому значе-
нию, полученному игроком I в играх В' и В". Пусть индексы kf
и /' означают чистые стратегии в игре с матрицей В', а индексы
k" и I"— стратегии в игре с матрицей В" (игрок I контролирует k',
I", а игрок II контролирует k", Г). Поэтому стратегия I игрока I
заключается в выборе индексов k' и а стратегия J для игрока II —
в выборе k" и Ожидаемый выигрыш игрока I равен при этом
bk’r	Предположим теперь, что В" = — В и В'= В. Тогда

Atj = bk>v — bk'T для I =	l"\ j = (F, Z').

Эта игра является симметричной, и поэтому существует оптимальная
стратегия у с компонентами ул„г, удовлетворяющими условиям
yA„z,>0, ^yk4, — Положим

= и ^=2у«-
I	к

Тогда vjjS: 0 и S^ = 2j71i= Ь

Легко видеть, что т] и § — оптимальные стратегии игроков I и II
в игре с матрицей В.

2.7.	Задачи.

1.	Использовать графический метод для решения игры с матрицей

II 1 ° 4 —1 II
|—1 1—2	5 Г

2.	Описать графический метод решения /п X 2-игр.

3.	Описать все крайние оптимальные стратегии в игре с матрицей

где at > 0 для всех Z.
4.	Решить задачу 3 без ограничения at > 0.

5.	Использовать теорему 2.4.1 для решения игры с матрицей
0	5 6 —4

3	99—6.

3—10	2

6.	Использовать теорему 2.4.3 для решения описанной в п. 1.2
двупальцевой моры.

7.	Игра с матрицей
0 1110
110 0 0
10 10 1
10 0 10
0 0 0 1	1

имеет пару оптимальных стратегий, ядро которых совпадает со всей
матрицей. Найти эти стратегии.

8.	Игра, описанная в задаче 4 гл. 1, имеет пару оптимальных
стратегий, которые используют лишь последние пять строк и по-
следние пять столбцов матрицы. Найти эти стратегии.

9.	Показать, что игра с матрицей

4 —3 —2

—3	4	—2

0	0	1

стратегии.

	
	

Рис. 5.

является вполне смешанной. Найти оптимальные

10.	Найти все решения игры с матрицей
	4 3 3 2 2 6
	6 0 4 2 6 2.
	0 7 3 6 2 2
11.	Пусть А — т X «-матрица, для которой
	at, j+i (i = 1 > • • •, tn\ / = 1	n	— 1).

Показать, что матрица А всегда имеет седло-

вую точку.

12. Кошка и мышка одновременно входят в изображенный на
рис. 5 глухой лабиринт соответственно в точках А и В. Они могут

заворачивать за угол, но не могут ни поворачивать обратно, ни стоять
на месте. Кошка и мышка движутся с одинаковой скоростью и рас-
полагают достаточным временем для того, чтобы пройти четыре
прямолинейных отрезка. Если кошка встретит мышку, то она вы-
игрывает единицу. Найти оптимальные стратегии.

13. Использовать теорему о доминировании для решения игры	
с матрицей	
110 0	
1110	0	
0 111	
1110	•
0	0 111	
0 0 11	

14.	Пусть А означает матрицу, все элементы которой неотрица-
тельны, а каждый столбец имеет по крайней мере один положительный
элемент. Показать, что значение игры с матрицей А положительно.

15.	Показать, что множество оптимальных стратегий в матричной
игре образует выпуклый многогранник.

16.	Пусть аг < а2 < а3 < а4 <	и

я4

^3	^3

а4 а3

А =

Показать, что любая оптимальная стратегия такой игры удовлетво-
ряет условиям

x3 = y2 = 0, Xj > 1/2,	> у! > х2, а3 < v < а4.

17.	Рассмотреть связь между оптимальными стратегиями игры
с матрицей А и симметричной игры с матрицей])

О	А —1	1

— А7'	0	1—1

1	—1	0	0 *

—1	10	0

18.	Пусть Gk (Л=1, ..., К) — игра с матрицей |]О/;||, где
/=1, ..., т и у=1, ..., п. Пусть соответственно Xk и vk—
множество оптимальных стратегий игрока I и значение игры Qk.
Показать, что если П Xk #= 0, то значение v игры G с матрицей
нм=| i

') 0, 1 и —1 означают здесь матрицы надлежащих размеров, все эле-
менты которых равны соответствующему числу. — Прим. ред.
удовлетворяет неравенству

Д'
V>^Vk.
k = l

19.	Рассмотреть игру, матрица В которой может быть разложена
на MN подматриц В< со значениями vl. Показать, что если для
каждого i имеется общая оптимальная стратегия для игр с матри-
цами By, то значение игры с матрицей В не меньше значения игры v,
матрица которой равна |)^у||* Описать соответствующий результат
в терминах игр с матрицами By (с фиксированным у) и показать, что
если оба условия выполняются, то значение игры В и ее оптималь-
ные стратегии могут быть определены из значений и оптимальных
стратегий игр с матрицами Bj.

20.	Показать, что не существует симметричной, вполне смешан-
ной игры с матрицей четного порядка.

21.	Пусть av ..., ап — положительные, a bv . ..,	— отри-

цательные числа, причем

+ +	(/ = 2.....71-1),

bx 0,
ал + ^л-1 — °’
Решить игру с матрицей

а\

Ь\ #2 Ь2 0

^2 а3 ^3

0

Ьп-1

л-1

ап

22.	Показать, что если для всех значений i и j
«/.у-! —2az,y+a/i;+1^0'

то в игре с матрицей A=||aZy|| каждый игрок имеет оптимальную
стратегию, в которой используется не более двух чистых стратегий.

Комментарии
и библиография к главе 2

2.1.	Элементарные свойства, которыми обладают решения игр, описанные
в этом пункте, были известны фон Нейману. В неявном виде они содержатся
в работе Неймана и Моргенштерна [1].
2.2.	Понятие доминирования впервые было введено в работе фон Неймана и
Моргенштерна [1]. Два вида доминирования, вошедшие в теоремы 2.2.1 и
2.2.2, являются стандартным средством при анализе игровых задач. Перво-
начальная формулировка четырех видов доминирования не может быть свя-
зана с чьим-либо именем. Восбще говоря, эту формулировку можно приписать
Корпорации РЭНД, где были выполнены многие из более детальных ранних
математических исследований по теории игр. Все эти четыре вида домини-
рования упоминаются в книге Дрешера [1].

2.3.	Геометрический метод этого пункта хорошо известен и тщательно
описывается в большинстве элементарных руководств по теории игр, напри-
мер в книгах Мак-Кинси [1] и Льюса и Райфы [1]. Борель [2] использовал
эти идеи при доказательстве теоремы о минимаксе для 2Х2-игр.

2.4.	Основная теорема этого пункта была доказана Сноу и Шепли [1].
Основную часть их доказательства можно резюмировать следующим образом.
Точка в евклидовом пространстве Еп может быть определена как единствен-
ное пересечение п данных линейно независимых гиперплоскостей. Однако
если заданы k гиперплоскостей, проходящих через точку, и некоторые из
них могут быть линейно зависимыми, то для получения в результате опре-
деляемой точки необходимо добавить еще по крайней мере п — k гипер-
плоскостей. Дополнительные гиперплоскости сверх п — k гиперплоскостей
требуются ввиду зависимости между k первоначально данными гиперплоско-
стями.

Идеи, лежащие в основе геометрической интерпретации этой теоремы,
были развиты Моцкиным, Райфой, Томпсоном и Троллом [1] в системати-
ческий метод определения как значения, так и всех решений матричной
игры. Несмотря на то что эффективность и практичность предложенных ими
способов решения оценить трудно, метод обладает притягательной геомет-
ричностью.

2.5.	Вполне смешанные 2Х2-игры были полностью исследованы фон Ней-
маном (см. фон Нейман и Моргенштерн [1]). Капланский [1] привел несколько
частных примеров общих, вполне смешанных игр. Эти результаты были
обобщены Боненбластом, Карлином и Шепли [1]. Циклические игры состав-
ляют подкласс игр, инвариантных относительно некоторой группы преобра-
зований (см. также гл. 15 настоящей работы).

2.6.	Пе вый способ симметризации игр был предложен Гейлом, Куном и
Таккером [1]; второй — Брауном и фон Нейманом [1].

2.7.	Результат задачи 18 был отмечен Вудбери, а результат задачи 19
Шерманом [1]. Задача 20 предложена Капланским [1].
ГЛАВА 3*)

СООТНОШЕНИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
ДЛЯ МНОЖЕСТВ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ

В этой главе мы исследуем строение множеств решений матрич-
ных игр. Известно, что каждое такое множество является выпуклым
множеством, натянутым на конечное число крайних оптимальных
стратегий; при этом каждая из крайних стратегий соответствует под-
матрице, обладающей некоторыми особыми свойствами (см. теоре-
му 2.4.3). В этой главе устанавливается фундаментальное соотно-
шение между размерностями множеств оптимальных стратегий. Особое
внимание уделяется классу игр, имеющих единственные решения, и,
в частности, доказывается, что класс всех игр с матрицами данного
размера с единственными решениями составляет открытое всюду
плотное подмножество множества всех матричных игр этого размера.
Мы приведем также решение задачи о построении матрицы игры,
обладающей данным множеством решений.

3.1. Основная теорема. Прежде чем формулировать основные
теоремы, введем следующие обозначения. Пусть вектор az обозна-
чает Z-ю строку матрицы выигрыша ||а/;-||, а вектор' Ь;— ее у-й
столбец. Как и прежде, будем полагать е = (1, 1, ...» 1).

Пусть X0, /° означают соответственно множества оптимальных
стратегий игроков I и II.

Пусть — множество всех строк /, обладающих тем свойством,
что для некоторой оптимальной стратегии x(Z) имеет место нера-
венство

> о.

Пусть /2 — множество всех строк /, обладающих тем свойством,
что для каждой оптимальной стратегии у имеет место равенство

т

2 atjyj = v.

*) Вся эта глава и другие главы и пункты, отмеченные звездочкой, при
первом чтении может быть пропущена без ущерба для связности изложения.

6 Зак. 1789
В принятой нами ранее терминологии множество /2 состояло из всех
строк, которые уравновешивают все оптимальные стратегии игрока II.

Пусть и J2 — соответствующие множества столбцов j, удовле-
творяющих симметричным свойствам относительно оптимальных стра-
тегий игрока II. Более общо, пусть для любой стратегии х Л(х) —
множество индексов Z, для которых > 0 и /2(у) — множество
индексов Z, для которых (az, y) = v. Аналогично определяются мно-
жества Ji(y) и J2(x).

Из сказанного следует, что

Л=1Р1(Х)' Z2=nZ2(y).

72=ГР2(Х)-

Пусть X означает множество всех стратегий х, для которых
/i(x)c/p a Y — множество всех стратегий у, для которых
Таким образом, множество X есть наименьшая грань основного сим-
плекса смешанных стратегий, содержащая Х° и т. д. Нашей бли-
жайшей целью является доказательство двух следующих соотношений.

► Теорема 3.1.1. /х = Z2, = </2-

к Теорема 3.1.2. dim X — dim XQ — dim Y—dim K°.

Далее будет приведено несколько основанных на различных идеях
доказательств теорем 3.1.1 и 3.1.2. Первое доказательство теоре-
мы 3.1.2 основано на представлении оптимальных стратегий игрока I
в виде разделяющих гиперплоскостей, а оптимальных стратегий
игрока II в виде точек соприкосновения между некоторыми двумя
выпуклыми множествами, как это было описано в замечании 1.4
гл. 1. Подсчитывая число линейно независимых разделяющих гипер-
плоскостей и принимая во внимание размерности соприкасающихся
множеств, можно установить соотношение размерности. Второе дока-
зательство этих двух теорем основано на доказательстве теоремы
о минимаксе, которое использует теорему Какутани о неподвижной
точке. Эта линия рассуждения будет продолжена в гл. 12, где мы
рассмотрим распространение этих структурных теорем на более общий
класс игр. Наконец, третье доказательство этих теорем, приводимое
в этой главе, по существу, является алгебраическим, хотя оно и имеет
некоторые связи с геометрическим доказательством, основанным на
принципе разделения выпуклых множеств гиперплоскостями.

3.2. Доказательство теоремы 3.1.1.-Для обозначения числа
положительных компонент любой стратегии х может быть исполь-
зована целочисленная функция в)(х). Говорят, что оптимальная стра-
тегия х имеет полный вес, если ее компоненты xL > 0 для каждого I
из множества /Р Отметим, что если стратегия х имеет полный вес,
то

<о(х) = «(/]),

где п (/]) — число элементов множества /Р

►	Лемма 3.2.1.

Эта лемма немедленно следует из леммы 2.1.2.

►	Лемма 3.2.2. Существует такая оптимальная страте-
гия х, что (1) для каждого значения I из множества имеет
место неравенство xt > 0, (2) компоненты вектора хА, соот-
ветствующие столбцам из множества J2, и только они равны
значению игры v.

Доказательство1). По определению /р для каждого
найдется такая оптимальная стратегия x<z\ что х^ > 0. Обозна-
чим, далее, через J2(x) множество всех тех /, для которых (xA)y = t/.

Ввиду конечности множества стратегий второго игрока среди
множеств вида J2(x) может быть лишь конечное число различных.
Пусть .... JSp—все такие различные множества. Выберем такие
оптимальные стратегии х(7) (Z = 1, ..., г) первого игрока, что
J2(x(?)) =Очевидно,

л= hj2<x<7))-

/=1

Центр тяжести всех выбранных стратегий х(/) и обозначим
через х и покажем, что эта стратегия является искомой.

Оптимальность стратегии х следует из выпуклости множества
всех оптимальных стратегий.

Далее, если k — число выбранных стратегий, то

xi>^x(p >0

для любого i£Jv

Наконец, если /о€Л(х)» то

(хА)л>=I (2 <x(Z) Ач + S <х<7)	=v- w

j СЛ	/

') Неверное в оригинале доказательство заменено. — Прим. ред.
6*
Но все стратегии x(z), х(^ оптимальны, и поэтому

(х(/)А)Уо, (x^A);o>v.

Следовательно, равенство (%) может иметь место лишь при

(х(7)А);о = г/ для всех J—\, .... г.

Поэтому

/0СЛ(х(7)) Для всех / == 1, ...» г,
т. е.

Л € П = 72

7 = 1

и J2(x)czJ2, а обратное включение тривиально.

Редуцированные игры. Под редуцированной игрой мы пони-
маем игру, для которой матрица выигрыша А является подматрицей
матрицы А, содержащей лишь строки матрицы А с индексами из /2
и столбцы с индексами из J2. Редуцированная игра называется также
существенной частью игры.

Множества оптимальных стратегий для редуцированной игры
будем обозначать через Хо, ^о-

Мы видим, что Игры с матрицами А и А имеют одно и то же
значение v и что X°czX°, X°czK°. Для того чтобы проверить эти
утверждения, обозначим пару оптимальных стратегий в игре с матри-
цей А через х и у. Из определений множеств 1Х и Jx следует, что
в стратегиях х и у положительную вероятность могут иметь лишь
те компоненты, которые соответствуют строкам и столбцам матрицы а.
Таким образом, они могут рассматриваться как стратегии в игре
с матрицей А.

Далее, если стратегии х, у являются оптимальными в игре с ма-
трицей А, то, согласно определениям множеств /2 и J2, xA = v и
Ay = v. Применяя эти два равенства к игре с матрицей А, мы на-
ходим, что х, у являются оптимальными стратегиями для игры с ма-
трицей А и что -u(A) = v(A) = v.

► Лемма 3.2.3.

dim (Х°) = dim (Х°); dim (Г°) = dim (Kg).	(3.2.1)

Доказательство. Выберем стратегию х из множествах0,
удовлетворяющую условиям леммы 3.2.2. Возьмем далее стратегию х'
из множества Х°, не принадлежащую Х°. Тогда х'A>v для всех
столбцов из J2, хА > v для всех столбцов, не содержащихся в J2,
и хА = г' для всех столбцов из J2. Положим x = exz—(1—е) х.
Тогда для достаточно малого е мы имеем xA>v, так что х
также является оптимальной стратегией из XQ. Из определения мно-
жества J2 следует, что х'А = ‘У для всех столбцов из J2.

Так как стратегия х' лежит на продолжении отрезка, соединяю-
щего стратегии х и х, мы можем характеризовать л0 как ту часть
линейного расширения множества которая содержится в основном
симплексе стратегий Sn. Следовательно, dim (Х°) = dim pfg). Анало-
гичная аргументация справедлива для множества К0.

Наша цель состоит в том, чтобы доказать равенства 1Х=12 и
= Так как множества /р ./р /2, J2 для редуцированной ма-
трицы А являются теми же, что и для первоначальной матрицы А,
мы можем, не нарушая общности, ограничиться рассмотрением реду-
цированной игры. Из построения матрицы А следует, что /2 и J2
соответственно состоят из всех индексов строк и столбцов матрицы А.
Для того чтобы завершить'доказательство теоремы 3.1.1, достаточно
при помощи леммы 3.2.3 указать такую стратегию х в игре с ма-
трицей А, чтобы все компоненты х были положительными, и найти
соответствующую оптимальную стратегию у. Введем с этой целью
класс игр, зависящих от параметра, определяемый матрицей

А(а) (0<а < 1),

где /-я строка az(a) матрицы А (а) задается формулой
(п \
42ad = (1—a)a» + aa-
I = 1	/

Пусть t/(a)—значение игры с матрицей А (а). Тогда -и(а)<^.
Пусть у — любая стратегия из множества К0. Непосредственный под-
счет дает нам

(пт \

(1 — a) S + а S S a^j
j	z = i ; = 1	/

^(1 —a) v + ^- UN — v.

Отсюда следует, что v(a)<v.

Важный вспомогательный результат, необходимый для завершения
доказательства теоремы 3.1.1, выделен в следующую лемму.

► Лемма 3.2.4. Если существует- оптимальная стратегия у
из множества То» которая содержится в симплексе /[^(а)]
[выпуклая оболочка чистых стратегий с индексами из .^(а)]
для некоторого а, то v(a) = v.
Доказательство. Построим стратегию у', удовлетворяющую
условиям леммы 3.2.2, в отношении игры с матрицей А (а). Согласно
построению, у' — внутренняя точка множества Y [7Х (а)], так как все
ее координаты строго положительны. Выберем достаточно малое
е>0 так, чтобы стратегия у" = (1-|-е)у' — еу все еще оставалась
в Y [Ji(a)j. Отметим прежде всего, что

V(англах {((1 — а)аг4-аа, (1 4-е)у' — еу)}.
i

Так как стратегия у оптимальна, I принадлежит /2, а /2 состоит из
индексов всех строк матрицы А (а), мы имеем независимо от
выбора I

(az, y) = v и (a, y) = v.

Следовательно,

v(a)< max {(1е) [(1 —а) (аг, у')-|-а(а, у')] —et»}=s

I

< (1 -j- е) v (а) — e-v,

так как у' оптимально для игры с матрицей А (а). Поэтому
^ег>(а), или г/<-и(а). А так как обратное неравенство уже полу-
чено, мы имеем -и = -и(а). Доказательство леммы закончено.

Нам понадобится тот факт, что А(а6)у5->Ау (где а8->0)
при у5—>у. Это утверждение очевидно, и мы не будем формально
его доказывать.

► Лемма 3.2.5. Существует такое число а > 0, что v(a) = v.

Доказательство. Мы должны показать, что условия лем-
мы 3.2.4 выполняются. Пусть а8— сходящаяся к нулю последова-
тельность. Так как матрица А имеет конечное число столбцов,
существует неограниченное число таких а5, что множества (а8)
совпадают. В дальнейшем мы ограничимся, не меняя обозначений,
рассмотрением именно этой последовательности.

Выберем стратегию у8 так, чтобы она была оптимальной, для
игры с матрицей А(а8). В этом случае у8 содержится в множестве
K[Ji(a5)]. Так как Y — компактное множество, мы можем выбрать у,
являющееся предельной точкой для у8. При этом у находится
в Y [Jx (a8)] для всех 8.

Остается показать, что у — оптимальная стратегия в игре с ма-
трицей А. Очевидно, что

A(as)ys^v(as)^ у,
а поэтому Ауё V. Отсюда следует, что у принадлежит множеству Ко-
Применяя лемму 3.2.4, мы получим равенство <и = 'и(а5).

Доказательство теоремы 3.1.1. Выберем настолько малое
число а, чтобы имело место равенство = и оптимальную
стратегию х в игре с матрицей А (а). Построим смешанную стратегию
х° = (1 —а) х + ^-е,

которая имеет полный вес (т. е. все ее компоненты положительны).
Стратегия х° оптимальна:

(п
^akj
k = \

xL>v(a) = v.

Это означает, что 1Х = 12. Аналогичным образом доказывается
равенство = J2-

3.3*. Доказательство теоремы 3.1.2. В этом пункте мы восполь-
зуемся свойствами матрицы как линейного отображения. Для обыч-
ной п X /я-матрицы В через R (В) [или иногда через еЯ(В)] будем
обозначать ранг матрицы В, которая рассматривается как линейное
преобразование, и через т/(В) — линейное пространство нулей В1).

Ортогональное дополнение множества L в евклидовом простран-
стве обозначается через [Л.

Наконец, если В — линейное преобразование пространства Ет
в пространство Еп, то имеют место следующие соотношения ортого-
нальности:

(1)	га = dim/? (В) + dim /? (BJ);

(2)	in — dim /? (Br)+ dim /? (Br)-L(Br — транспонирование матри-
цы В);

(3)	если г (В) — ранг матрицы В, то

Г (вг) = г (В) == dim /? (В) = dim /? (В7)-

J) То есть прообразов нуля в отображении с матрицей В. Нули матрицы
образуют подпространство, которое часто называется ядром отображения. —
Прим. ред.
Более полное изложение алгебры матриц содержится в п. А. 3 и А. 5
приложения А.

Продолжая наше изучение соотношений размерности для мно-
жеств оптимальных стратегий, установим теперь важную вспомога-
тельную теорему. В дальнейших рассуждениях через А будем обо-
значать матрицу существенной части игры с матрицей А.

► Теорема 3.3.1. Пусть Х° и К0 — пространства оптималь-
ных стратегий игроков I и II. Тогда'.

(1)	если значение игры г>=^0, то

dim К° = dim т] (A), dim Д'0 = dim ?]( Аг);

(2)	если значение игры г/ = 0, то

dim К°+ 1 = dim v](A), dim Л°-|- 1 = dim ^(А7).

Доказательство утверждения (1). Напомним, что если
х^А'0, то ненулевыми компонентами вектора х являются лишь те,
которые соответствуют строкам матрицы А. Следовательно, мы можем
рассматривать х как вектор в евклидовом пространстве, размерность
которого равна числу строк матрицы А. Аналогичное утверждение
справедливо и для вектора у £ И0.

Пусть вектор у°£И° фиксирован, а у1.......yk— максимальное

множество таких векторов в пространстве ?°, что векторы
у1—у0, ..., yk— у0 линейно независимы. Из определения суще-
ственной части игры следует, что Ay°==v и Ayz = v. Отсюда мы
получаем, что A(yz — у°) = 0 и {у* — у0} составляет множество
линейно-независимых нулей матрицы А. Поэтому

dim /° dim vj (А).

С другой стороны, согласно лемме 3.2.2 и теореме 3.1.1, суще-
ствует такая оптимальная стратегия у0, что у®. > 0 для всех j (J про-
бегает значения номеров столбцов матрицы А). Пусть Az = 0. Даль-
нейшие рассуждения подобны приведенным при доказательстве
леммы 2.4.1. Пусть х° — оптимальная стратегия, так что x°A = v.
Тогда

0 = (х°, Az) = (х°А, z) = v 2 zi>

и поэтому 2 zi= 0- Следовательно, для достаточно малого е стра-
тегия у0 —sz является оптимальной. Отсюда следует, что т](А)^
< dim/°. Доказательство второго соотношения утверждения (1) про-
водится аналогично.
Доказательство утверждения (2). Если —О, то стра-
тегия у будет оптимальной в том и только в том случае, когда
Ау = 0. Иначе говоря, любой являющийся стратегией нуль матрицы А
должен быть оптимальной стратегией. Следовательно, К0 может быть
получено из множества т](А) путем его пересечения с первым ортан-
том и наложения дополнительного соотношения 2 У/ — 1* Последнее
требование снижает размерность на единицу. Отсюда мы получаем,
что dim E° = dim7](A)—1. Аналогичные рассуждения справедливы и
для Х°, Таким образом, лемма доказана.

Теперь мы уже подготовлены к доказательству теоремы 3.1.2,
которая утверждает, что

dim X — dim Х° = dim Y — dim К0.

(Определения множеств X и Y см. на стр. 82.)

Доказательство теоремы 3.1.2. Согласно лемме 3.2.3,
мы имеем dim Х° = dim Xq, где Хо означает пространство оптималь-
ных стратегий для редуцированной игры; следовательно^ мы можем
ограничиться редуцированной игрой с матрицей А.

Так как для всех значений х

у £ т; (А) Ау = 0	(х, Ау) — 0 <-*(хА, у) = 0,

мы должны иметь

т](А)= [«(А7)]1.

(3.3.1)

Подобным же образом получаем

т1(Аг) = [/?(А)]1.	(3.3.2)

Матрицу А можно рассматривать как отображение наименьшего ли-
нейного пространства J4?, содержащего К, в соответствующее линей-
ное пространство <£?, которое содержит X; кроме того, Аг есть
соответствующее двойственное преобразование & в &в. Поэтому из
ортогональных соотношений размерностей (1) и (2) следует, что

dim $ = dim X -|- 1 = dim /? (A) -j- dim IЯ (A)]L

и

dim Зв — dim Y -j- 1 — dim /? (A7) -|- dim [A? (AT) | L.
Используя свойство (3), равенства (3.3.1) и (3.3.2) и теорему 3.3.1,
мы последовательно получим следующие соотношения:

dim Y = г + dim т] (А) — 1,

dim X — г (А) + dim т] (Аг) — 1,
—	~	—	/~т\	(3.3.3)

dim У — dim (А) = dim X — dim (А7),

dim Y — dim /° = dim X — dim X°.

3.4. Обращение теоремы 3.1.2. Если оптимальные стратегии двух
игроков являются единственными, скажем, х = (хр . . ., х5) и
у = (ур . ... уг), то dim XQ = dim К0 = 0. Согласно теореме 3.1.2,
мы имеем dim Х = dim К, откуда следует, что r = s. В этом случае
обе стратегии должны иметь одинаковое число положительных ком-
понент.

Рассмотрим обратную задачу: построить матрицу А, для кото-
рой х° и у0 — единственные оптимальные стратегии. Как было ука-
зано выше, мы должны потребовать, чтобы стратегии х° и у0 имели
одинаковое число отличных от нуля компонент.

Полагая х° = (х0, xv ..., xk) и у° = (у0, ур ..., yk), где все
и уд. положительны, укажем (& + 1) X (&+ 1)-матрицу, для кото-

рой	х°	И	у0 — единственные оптимальные		стратегии.	В явном	виде
это	будет		выглядеть так: положим	V =£ 1/k	и		
			k  V (х0 + Уо — 1) + У №  	; = 1	V — Xi	V— х2		
			*оУо	Хо	Хо	Хо	
	А =		У1  Уо  V — У 2  Уо	1  0	0	. . ,  J	0  0	•
			v-yb	0	0	...	1	

Легко проверить, что х° и у0 являются здесь оптимальными страте-
гиями и что значение игры равно V. Нам остается лишь установить
единственность.

Пусть w = (w0, wp ..., wn)— оптимальная стратегия игрока I.
Если / X 0, то, согласно лемме 2.1.2, мы имеем

V — X;

—-—w04-wy = v
и, следовательно,
k	k

s^„+E.,=to,

7-1	/-1

Но
k	k

2 Xj = 1 — x0, 2	= 1 — w0.

7=i	;=i

так что

(vk-- 1 + *o) W0 + XQ U -Wo) = ^*0»

или, что то же самое,

(vk — 1) w0 = (vk — 1) x0.

Так как vk =£ 1, из этого следует, что w0 = x0. Кроме того,

V — 'Л/
----- Wn + W; = V,
х0 0 1 J

для всех j должно быть w;- = xy-. Таким образом, х°— единственная
оптимальная стратегия игрока I. Аналогичная аргументация показы-
вает, что у0 — единственная оптимальная стратегия игрока II.

Приступим теперь к обобщению этого результата. Более общая
задача заключается здесь в следующем. Для каких множеств страте-
гий Х° и К0 можно найти такую матрицу А, что Х° и К0 будут
соответственно множествами оптимальных стратегий игроков I и II.
Ограничение, налагаемое на XQ и К0, состоит в выполнении для этих
множеств соотношений размерностей, установленных теоремой 3.1.2.
Однако, как ни покажется странным, это ограничение единственное.
Другими словами, любые множества XQ и К0, удовлетворяющие для
соответствующих X и Y теореме 3.1.2, могут квалифицироваться как
множества оптимальных стратегий для некоторой матрицы А. Более
точная формулировка этого результата такова.

► Теорема 3.4.1. Пусть X и Y — два основных симплекса
соответственно в пространствах Es и Ег, описываемые соот-
ношениями

1, Х/^0, и 2 У]—

Пусть далее XQ и К0 — два замкнутых, выпуклых многогран-
ника, содержащихся в X и Y и имеющих непустое пересече-
ние с их внутренностью. Если

dim X — dim « dim Y — dim Г°« q> (3.4.1)
то существует матрица К, для которой множества опти-
мальных стратегий равны XQ и К0, а значение игры равно
нулю.

Доказательство. Пусть Хо. и Ко — линейные расширения
множеств Х° и К0 внутри X и Y. Построим сначала матрицу А
с оптимальными стратегиями, состоящими из множеств Xq и Yq.

Рассмотрим с этой целью наименьшие линейные подпространства
и о/Г0’ содержащие соответственно множества Xq и /о- Так как
нулевой вектор принадлежит любому линейному пространству, мы
имеем

dim<>g!70 = dim Хо + 1 = dimX0-]- 1
и

dim = dim Ко + 1 = dim К0 —1.

Из соотношения (3.4.1) и соотношений ортогональности (1) и (2)
из п. 3.3 следует, что dim ^q- = dim = q.

Пусть P—s X s-матрица, соответствующая преобразованию проек-
тирования Es на J?oL, a Q — матрица ранга q, отображающая Er
в Es и являющаяся однозначным линейным отображением q^q- на .2^,
удовлетворяющим условию ^(Q) = q^0- Благодаря тому, что
и J?cF имеют одну и ту же размерность, такая матрица существует.
Положим A = PQ. Матрица А есть s X/'-матрица.

Многообразие нулей матрицы А есть для матрицы АГ оно
равно ^0. Эти утверждения устанавливаются следующим образом:
из Q(<2^0) = 0 [Q(ezf0) означает образ q%Pq в линейном отображе-
нии Q] мы выводим, что т](А)=)^0. С другой стороны, так как
Q — однооднозначное линейное отображение множества g^TcF на мно-
жество а отображение Р оказывается на J^q тождественным,
мы находим, что из равенства Ау = 0 для у из следует у = 0.
Так как прямая сумма	и	есть Ег, мы приходим к выводу,

чго т](А) = 2/^0. Из этого следует, что

у; (Аг) = R (А)1 =	= ^о.

и, таким образом, наше утверждение установлено.

Так как значение игры с матрицей А равно нулю, оптимальными
стратегиями для нее являются векторы из Xq и Ко.

Будем теперь увеличивать матрицу А с целью исключить те стра-
тегии из Xq и Ко, которые не содержатся в Х° и К0. В дальнейшем
нам потребуются следующие характеристики выпуклых многогран-
ников.

Пусть F— замкнутый, выпуклый многогранник в пространстве Еп,
который также содержится в симплексе

О, 2 xt — 1-

4 = 1

Размерность многогранника F не превосходит п—1, а размерность
любой грани F не превосходит п — 2. Обозначим через k число гра-
ней многогранника F. По предположению, k конечно.

Для любой дайной грани многогранника F существует по край-
ней мере одна (п — 1)-мерная гиперплоскость В из Еп, проходящая
через начало координат, которая является опорной гиперплоскостью
для F и содержит эту грань многогранника F. Так как размерность
любой грани многогранника F не превосходит п—2, такая гипер-
плоскость может быть, очевидно, найдена. Обозначим направляющие
коэффициенты нормали к гиперплоскости через ..., bn). Гипер-
плоскость В разделяет пространство Еп на два полупространства,
Eq и Ev где Eq — замкнутое множество, которое содержит данную
грань многогранника F, и Ei=Eq (дополнение множества Ео). Тогда

х £ В —> 2 xfit = 0.

4=1

11

I = 1
п
х С -> S xfit < о-
4 = 1

Пусть В1 * * * *.В1 — совокупность полупространств, определенных

выбором опорных гиперплоскостей для граней многогранника F,
пересечение которых в точности равно F, Формально, если
В7—>(#i......bfy, то

it

z£F —> 2 Zib{>Q = v для каждого у (!</</).	(3.4.2)

i = 1

Если же z£Fct то существует такое у0(1^у0^/), что

Е <0 = v.	(3.4.3)

4 = 1

Таким образом, гиперплоскости (В7) вместе с условиями (3.4.2)

и (3.4.3) полностью определяют многогранник F. Заметим, что хотя

перемена ориентации (полагаем {—b{} вместо {&{} для всех 19 у)
изменяет все неравенства в выражениях (3.4.2) и (3.4.3) на обратные,
многогранник F остается полностью определенным.

Построение матрицы А. Построим множество гиперплоско-
стей {Я^}, соответствующих граням множества XQ, и припишем к ма-
трице А I новых столбцов, причем /-м добавленным столбцом будет
вектор (#i....bJs). Построим далее множество гиперплоскостей {Cz},

соответствующих граням множества К0, обращая неравенства (3.4.2)
и (3.4.3), и припишем к матрице А 'т новых строк, где Z-й строкой
будет вектор ......cty. Завершим, наконец, построение матрицы А

посредством А=ИМ.	заполнения то	нулями ее		правого и		[ижнего угла.	Если
				ь\ ...	ь{		
		а\\ ...	О1г				
		asi ...	О sr	b\ ...	bls		
	А =	с’ ...	Cr	0 ...	0	•	
		с™ . . .	ст	6 ...	0		

Убедимся теперь в том, что множества XQt Е° в точности равны
множествам оптимальных стратегий для игры с матрицей А. Отметим
сначала, что включения х£Х° и у£Е° означают, что

x = (xj.....xs, 0, .. ., 0)

и

У = (У1> ...» уг, о, ...» 0),
где

согласно построению матрицы А и

Х°-> 2	—0 для всех / (1^у</)

i = i

согласно соотношению (3.4.2). Поэтому стратегия х для игры
с матрицей А является оптимальной. С другой стороны, если х^А'0,
то, согласно (3.4.3), существует такое у0, что 2	следо-

вательно, х уже не будет оптимальной стратегией. Таким образом,
оптимальные стратегии в точности совпадают с элементами множе-
ства Х°. Аналогичная аргументация пройдет и для множества К0,
если вспомнить, что {Cz} было построено на основе измененных
неравенств в соотношениях (3.4.2) и (3.4.3). Это завершает доказа-
тельство теоремы 3.4.1.

Матрица, обладающая заданными множествами оптимальных стра-
тегий Х° и V0, которая построена при доказательстве теоремы 3.4.1,
не обязательно будет наиболее эффективной (т. е. наименьшей по
размеру) матрицей среди всех, какие вообще могут быть построены.
Для того чтобы получить наиболее эффективную матрицу, мы должны
при построении дополнительных строк и столбцов прибегнуть к не-
которым ухищрениям. Характерным здесь является то, что нет
необходимости строить все гиперплоскости В1, которые дублируют
грани множества X. Эти грани описываются основными неравен-
ствами xz^:0, которые определяют основной симплекс. Посредством
исключения этих лишних столбцов и строк из матрицы А мы получим
наименьшую матрицу с заданными множествами оптимальных стратегий.
Доказательство этого утверждения здесь опущено и оставлено в каче-
стве упражнения для читателя.

Задачи 5 и 6 этой главы включают также процесс построения,
описанный в теореме 3.4.1.

3.5. Единственность оптимальных стратегий. Если игроки I
и II обладают единственными оптимальными стратегиями, то выбор
оптимальной стратегии не составляет проблемы для любого из них:
выбор единствен. С другой стороны, когда множества оптимальных
стратегий более чем нульмерны, выбор оптимальной стратегии включает
в себя трудные принципиальные вопросы, связанные с использованием
дополнительного критерия, а также другие усложнения!). Поэтому
полезно и важно знать, когда игра имеет единственное решение.
В этом пункте мы покажем, что игры с единственными решениями
встречаются очень часто.

Заметим прежде всего, что для игр с единственными оптимальными
стратегиями dim X = dim У. Этот результат является непосредст-
венным следствием теоремы 3.1.2 и эквивалентен равенству макси-
мальных весов (числа положительных компонент) оптимальных
стратегий х и у. Исходя из этого, редуцированная матрица должна
быть квадратной.

Введем теперь на пространстве всех игр следующую топологию.
Окрестностью U (А) п X m-матрицы А назовем множество всех

’) По этому поводу см., например, статьи Бака „Предпочтительные
оптимальные стратегии" (сб. „Бесконечные антагонистические игры", Физ-
матгиз, 1952) и Хейберехтс „К проблеме единственности для игр на единичном
кзадрате" (там же). — Прим. ред.
п X zn-матриц, алементы которых отличаются от соответствующих
элементов матрицы А не более чем на заданное положительное
число.

Наша основная теорема состоит в следующем.

► Теорема 3.5.1. Если в игре с матрицей А игроки имеют
единственные оптимальные стратегии х и у, то существует
такая окрестность U (А) матрицы К, что в игре с любой
матрицей В из (/(А) игроки также имеют единственные опти-
мальные стратегии.

Доказательство теоремы основано на следующей элементарной
лемме о сходимости.

► Лемма 3.5.1. Пусть	XQ и /° — множества опти-

мальных стратегий для матрицы А, а Х^п и YQn— соответст-
вующие множества для игры с матрицей Кп. Если G — открытое
множество, содержащее Х°, то для достаточно большого п
должно быть X^czG. Кроме того, vn->v.

Доказательство. Последнее утверждение леммы тривиально.
Предположим, что первая часть леммы неверна. Тогда существуют
такие подпоследовательности {nJ и {хЛ/}, что стратегия хл* опти-
мальна для Ал. и содержится в Gc, где Gc есть дополнение множе-
ства О до S (S есть симплекс всех стратегий игрока I).

Так как множество Gc замкнутое и ограниченное, последователь-
ность |хл4 должна иметь подпоследовательность, сходящуюся к пре-
делу х°£О*. Таким образом, ввиду l\mvn = v мы получаем
хя*Ал и в пределе x°A^v. Отсюда следует, что х° содер-
жится в G. Но х° содержится также и в Gc, а это невозможно.

Доказательство теоремы 3.5.1. Не умаляя общности,
предположим, что v =£ 0 (если это необходимо, мы можем увеличить
все элементы матрицы А на одну и ту же константу). Пусть Ал—>А,
так что vn =/= 0 для достаточно большого п. Определим множества
/р /2, /я, /? так, как это было сделано в п. 3.1. Очевидно, что
тогда

/2 = 7 I S ~ v для всех УЛ» оптимальных в Ая}.
J

Так как общее число строк матрицы А конечно, число различных
множеств /я также может быть лишь конечным. Пусть /<я— одно
из множеств, появляющихся в [l2n] бесконечно часто. Найдем для
каждого индекса 1^1% подпоследовательность {л/}, так что

и в пределе

где у — единственная оптимальная стратегия для матрицы А. В самом
деле, согласно лемме 3.5.1, каждая предельная точка последова-
тельности уп является той же самой единственной оптимальной
стратегией у. Так как у — единственная оптимальная стратегия в игре
с матрицей А, последнее равенство показывает, что

Следовательно, /“с/2 для всех значений п, за исключением разве
лишь конечного их числа.

С другой стороны, если > 0 и хл—>х, то для всех достаточно
больших значений п должно* быть х* > 0, так как х — единственная
оптимальная стратегия игрока I. Таким образом, х является единст-
венной предельной точкой, которую может иметь множество Хп
(лемма 3.5.1). Отсюда следует, что для достаточно большого п 7]=)/^
Комбинируя полученные включения, мы для достаточно большого п
имеем

Но, согласно теореме 3.1.1, /2 = /р и поэтому /” = /2 для достаточно
большого п. Аналогичное рассуждение дает нам, что для достаточно
большого значения п имеет место равенство J" = J2-

Как уже было отмечено выше, матрица А редуцированной игры
должна быть квадратной. Далее, поскольку J% = J2 и /г=4» все
редуцированные игры Ая также имеют квадратные матрицы того же
размера, что и матрица А. Но dimX°=0, 14-dimAr — dim Ar°=rank(A)
[см. (3.3.3)]. Поэтому матрица А имеет полный ранг; а так как не-
большое изменение элементов матрицы может лишь увеличить ее
ранг* 1), ранг матрицы Ая для достаточно большого значения п также
должен быть полным. Следовательно, 1 -J- dim Хп = rank (Ая). Однако
l-j-dimA"*— dim = rank (Ал). Это возможно лишь при условии
dimAr^ = 0, т. е. лишь в том случае, когда оптимальная стратегия хя
для игры с матрицей Ая является единственной. Аналогичное рас-
суждение приводит к соответствующему выводу для оптимальных
стратегий у. Доказательство теоремы завершено.

*) Речь идет о небольшом, но произвольном изменении. — Прим, ред*

1 Зак. 1789
Теорема 3.5.1 констатирует, что множество всех матриц с единствен-
ными решениями является открытым. Следующая теорема показывает,
что дополнение этого открытого множества неплотно в том смысле,
что матрица любой игры с неединственными решениями может быть
поэлементно аппроксимирована сколь угодно точно играми, обладаю-
щими единственными решениями. Приятно сознавать, что большинство
игр имеют единственные решения; однако необходимо отметить, что
на практике постоянно оказывается, что нам приходится иметь дело
с играми, обладающими многими решениями.

► Теорема 3.5.2. Множество всех матричных игр с единст-
венными решениями в множестве всех матричных игр всюду
плотно.

Доказательство теоремы будет получено с помощью следующих
двух лемм, каждая из которых представляет самостоятельный интерес.

> Лемма 3.5.2. Предположим, что В есть матрица, обла-
дающая для любого г следующими свойствами: (1) матрица,
полученная посредством присоединения, состоящего из единиц
столбца к любой (г 1) X r-подматрице матрицы В, является
невырожденной', (2) то же самое условие имеет место для
подматриц матрицы Вт; (3) каждая г X r-подматрица ма-
трицы В является невырожденной. Тогда игра с матрицей В
имеет единственные оптимальные стратегии.

Доказательство. Пусть х° и у0—оптимальные стратегии.
Пусть г — число таких строк I, что х? > О, t — число таких столб-
цов у, что У; > 0, $— число индексов у, таких, что 2 atjx^ =
и w — число индексов Z, таких, что ^а^у^ = v. Согласно лемме 2.1.2,
мы имеем

и	(3.5.1)

Пусть В — г X ^-подматрица матрицы В, строки которой соот-
ветствуют индексам I, для которых х? > О, а столбцы соответствуют
индексам /, для которых ^aijx\ = v.

Пусть С — s X (г + 1)-матрица, полученная посредством при-
бавления столбца из единиц к матрице Вт. Положим

x° = (xj, .... X°r, — v).

В таком случае Сх° = 0. Предположим, что г -1- 1 < $. Тогда
мы можем выбрать произвольную (г -р 1) X (г + 1)-подматрицу D
матрицы С. Для этой матрицы D мы имеем Dx° = 0, что невозможно,
так как матрица D, по предположению (3), является невырожденной.

Следовательно,

г+1 >$.	(3.5.2)

Применение аналогичного рассуждения к w X ^-матрице, связанной
с вектором у, показывает, что

/+1

(3.5.3)

Соотношения (3.5.1) и (3.5.3) дают нам t +1 > откуда
/ > г. Из соотношений s>t и t г мы получаем, что и,
наконец, неравенство г + 1 >s дает нам неравенство r^s. Отсюда
легко следует, что г = s = t = w.

Так как х° и у0 — произвольные оптимальные стратегии, которые
удовлетворяют тождеству t = s, мы заключаем, что все оптимальные
стратегии имеют одно и то же число положительных компонент. Сле-
довательно, индексы положительных компонент для двух решений у
совпадают, или, иначе говоря, выпуклая комбинация векторов у и у0
должна привести к оптимальной стратегии, вес которой превосхо-
дит t. Аналогично все оптимальные стратегии х обладают теми же
положительными компонентами.

В таком случае равенство r = s показывает, что для любых двух
оптимальных стратегий х1 и х2

(х1 — х2) В = 0.

Так как, по предположению, матрица В невырожденная, х1 = х2 и
dimAr° = 0. Аналогично dimK° = 0.

Укажем теперь матрицу, удовлетворяющую условиям леммы 3.5.2.
Пусть 04..... ал — различные положительные числа (az =£ 1),

a kx....kn — различные целые положительные числа. Рассмотрим

матрицу

(3.5.4)

и покажем, что она удовлетворяет условиям леммы.

Заметим, что квадратные подматрицы матрицы В будут того же
вида, что и сама матрица В. Если мы возьмем г X (/* + 1)-под-
матрицу матрицы В и припишем к ней строку, состоящую из еди-
ниц, то мы снова получим матрицу того же вида, ибо можно поло-
жить £л+1 = 0. Добавление к (г + 1) X /'-подматрице столбца, со-

Т
стоящего из единиц, также приводит к матрице того же типа, причем
можно положить ал+1=1.

Следовательно, нам остается показать, что при любом выборе
различных значений kL =£ 0 и az det В =# 0. Но это есть классический
определитель Вандермонда, который всегда отличен от нуля.

► Лемма 3.5.3. Множество всех матрац, удовлетворяющих
условиям леммы 3.5^2, является всюду плотным в множестве
всех матриц.

Доказательство. Возьмем произвольную матрицу А и ма-
трицу В вида, указанного в (3.5.4). Пусть R— любая г X''-под-
матрица матрицы А + еВ.

Определитель матрицы R есть полином степени г от е. Дей-
ствительно, коэффициент при ег равен отличному от нуля определи-
телю соответствующей подматрицы матрицы В. Этот полином имеет
не более чем г строго положительных корней.

Аналогично определитель каждой квадратной матрицы, полученной
добавлением единичной строки или единичного столбца к г X (г—|— 1)-
или (г-|-1) X r-подматрицам матрицы А + еВ, есть полином от е
степени r-j-l. Число вещественных корней каждого такого полинома
не превосходит г+1.

Число всех положительных корней ez, которое получается из всех
возможных миноров матрицы А + еВ, конечно.

Следовательно, е0 = min (ez) строго положительно. Если 0 < е < е0,
то матрица А + еВ будет того же типа, что и матрица В, и, сле-
довательно, должна обладать единственными оптимальными страте-
гиями. Это завершает доказательство леммы и доказательство тео-
ремы 3.5.2.

В заключение стоит отметить, что теорема 3.5.1 к играм, в кото-
рых единственную оптимальную стратегию имеет только один игрок,
неприменима. Пусть, например,

А

Здесь У0 есть множество {(у, 1—у)} (0^у< 1), в то время как
Х° состоит из единственной оптимальной стратегии х° = (1, 0). Рас-

смотрим теперь преобразованную игру с матрицей

1+е 1II

0 1 II’
где е > 0. В этой игре уже множество К°(е) состоит из единствен-
ной стратегии у° = (0, 1), а множество X°'(e) — из всех стратегий
вида (х, 1 —х), где

л: < 1.

1 + е

Таким образом, сколь угодно малое изменение одного элемента ма-
трицы изменяет размерность множества Х° от нуля до единицы.

3.6.	Задачи.

1.	Пусть А — 3 X 3-матричная игра, во всех оптимальных стра-
тегиях которой используются с положительной вероятностью одни
и те же чистые стратегии. Показать, что решение этой игры является
единственным, если число стратегий, которое используется двумя
игроками, одинаково.

2.	Показать, что редуцированная игра для симметричной игры
также будет симметричной игрой.

3.	Показать, что для симметричных игр dimX—dimX0 есть
четное число.

4.	Показать, что если Х° = Е° и (dimJf — dimJV0) — четное
число, то существует симметричная игра с множествами оптимальных
стратегий, натянутыми на XQ и Е°.

5.	Построить матричную игру с крайними стратегиями:

х = (0. 0, 1), у, = (1 f.o), y, = (2,	0).

6.	Построить матричную игру с крайними стратегиями:

х,=(1

I-	i). 7 8 * *

У, = (1. 0. 0. 4).
у,=(о.1. 0.1).
у,=(о. 0.1.1).

7. Показать, что игра с бесконечной матрицей вида а^ — 1— j
(Z, /=1, 2, 3, ...) значением не обладает.

8. Показать, что игра с бесконечной матрицей вида

— /1-|-(г — //	J<==: 1 ’ 21 • ' '

не обладает значением.
9.	Показать, что если ck > 0 и Т ck = 1, то игра с бесконечной
ы

матрицей

0	— 1 с2 с3

0	Cj	с2 1	£3	• • •

о	с J	с2	с3 1

О	с2	с3	...

О	с 1	с2	с3	•..

имеет единственное решение. Показать, что это решение не удовле-
творяет соотношениям размерности этой главы. Описать редуциро-
ванную игру.

10.	Показать, что для игры с бесконечной матрицей

d 2d -J- 2d 1	.

2	4

D=	1

d 1 2d ± 2d ...

О

где d #= 0, имеются лишь две оптимальные стратегии: х = (!/2» */2)»
у = (1, 0, 0, .. .). Показать, что в данном примере нарушается
соотношение размерности, выведенное в этой главе.

11.	Показать, что если Н==||Л/?|| и а > 0, то

lim —-—1----------—-= max min (x, Ну).

а-»0+	а	ЛСХО(Л) у£У0(А)

12.	Показать, что

13.	Вывести формулу для

(—1 .

14.	Пусть А — матрица 2 X 2-игры, а А"0 (А) и У0 (А)— мно-
жества оптимальных стратегий в этой игре. Показать, что суще-
ствует такая окрестность (7, что если В принадлежит (7, то

dim (В) + dim У0 (В) < dim (А) + dim У0 (А).

15.	Рассмотреть игру с матрицей Аа= ||£-a(z-/)2|| (/, / — 1, . .., п),
где о — положительный параметр и п<4. Найти решения и значе-
ние игры. Показать, что при больших значениях а оптимальные
стратегии будут единственными.
16.	Пусть A=||aZy||—nt X ^-матрица, в которой —незави-
симые, одинаково распределенные случайные величины (см. п. В.З),
плотность распределения каждой из которых есть f ($). Показать,
что вероятность того, что игра с матрицей А имеет седловую точку,
не зависит от f (5) и равна

т\ п\

(т-\-п — 1)!

17.	Пусть А и В — матрицы с неотрицательными компонентами.
Предположим, что игра с матрицей —А и игра с матрицей В имеют
соответственно отрицательное и положительное значения. Показать,
что существует такое р0 < Pq < О и т^кие стратегии х° и у0,
что -v(C) = 0, х°С>0, Су°^О и (х°, Ау°) > 0, где

С = (1 —р0)В —р0А.

18.	Проверить результат предыдущей задачи для случая

А =		0 ... 0 1  0 ... 1 0  1 ... 0" 0	. в =		0 . ..	0 п  0 ... га— 1 0  1 ...	00

показав, что р0 должно иметь вид k/k-\-l для некоторого целого
числа k п, и найти стратегии х° и у0, обладающие указанными
свойствами.

19.	Пусть А — п X n-матрица, a XQ и У0 — соответственно мно-
жества оптимальных стратегий для игроков I и II. Предположим,
что множество У0 соприкасается с границей множества Y. Показать,
что существует оптимальная стратегия х°, которая использует не
более чем п — 1 чистых.

20.	Пусть W — ограниченный замкнутый выпуклый многогран-
ник в пространстве Еп, который не касается положительного ортанта,
за исключением, быть может, начала координат. Показать, что су-
ществует такой вектор v = (vx, v2, ...» vn\ что ^>0 и (v, w)^0
для любого w £

Комментарии
и библиография к главе 3

3.1.	Теоремы 3.1.1 и 3.1.2 впервые были указаны Боненбластом, Карли-
ном и Шепли [1]. Гейл и Шерман [1], которые дали другое доказательство
теоремы 3.1.2, а также Дрешер и Карлин [1], которые изложили доказа-
тельства обеих теорем, ссылались на теорему Какутани о неподвижной
точке. Теорема 3.1.1 может быть получена также в качестве следствия
изучения „допустимых" точек выпуклых множеств, что было осуществлено
в работе Эрроу, Баранкина и Блекуэлла [1]. Аналогичные структурные тео-
ремы для задач линейного программирования были получены Голдманом
и Таккером [1].

3.3.	Теорема 3.3.1, описывающая соотношения между множествами опти-
мальных стратегий и ядром линейного преобразования, определяемого ма-
трицей игры, разработана Боненбластом, Карлином и Шепли [1].

3.4.	Обращение теоремы 3.1.2 принадлежит Боненбласту, Карлину
и Шепли [1].

3.5.	Теорема 3.5.1 впервые была указана Боненбластом, Карлином
и Шепли [1] (см. также гл. 12).

3.6.	Задачи 3 и 4 принадлежат Гейлу, Куну и Таккеру [1]. Задачи 11,
12 и 13 извлечены из работ Миллса [1] и Гросса [2]. Задача 16 принадле-
жит Голдману, а задача 17 — Томпсону [1] (см. также Кемени, Морген-
штерн и Томпсон [1]).
ГЛАВА 4

РЕШЕНИЯ

НЕКОТОРЫХ МАТРИЧНЫХ ИГР

Несмотря на то что созданы общие численные методы решения
игр (см. гл. 6), довольно часто для быстрого нахождения решения
конкретной игры оказывается целесообразным воспользоваться ее спе-
цифическими свойствами. Интуитивные соображения часто приводят
к хорошей первоначальной догадке, которую можно затем соответ-
ствующим образом использовать при получении решения.

Анализ пяти примеров в этой главе возвращает нас к ранее раз-
работанной теории, именно к принципам доминирования, симметрии
и к простейшим вероятностным рассуждениям. Эти примеры подоб-
раны так, чтобы продемонстрировать перечисленные основные прин-
ципы теории игр, а не трафаретные итеративные процессы их реше-
ния и проиллюстрировать методы и типы рассуждений, которые
применяются к широкому кругу задач.

Первые два примера связаны с элементарными матричными играми.
В обоих примерах элементарные приложения теории получаются на
основе анализа отношений доминирования. Третий пример является
моделью покера, описанной в п. 1.2. В первых двух примерах для
задания игры необходимо перечислить чистые стратегии каждого
игрока и соответствующие выигрыши. В третьем примере, по-види-
мому, проще иметь дело с полным пространством стратегий непо-
средственно. Используемый в этом примере прием типичен для
общего метода решения моделей покера.

Четвертый пример касается стратегий двух борющихся полити-
ческих партий в предвыборной кампании — частный случай общей
проблемы о распределении рекламных усилий. В той модели, кото-
рая здесь рассматривается, каждая из партий должна решить, в каких
районах имеет смысл тратить для победы на выборах время и деньги.
Детальный анализ игры приводит к некоторым неожиданным выводам.

В последнем примере описывается более сложная матричная игра.
Ее первоначальное происхождение связано с военными задачами, но
здесь она формулируется как задача, возникающая при переговорах
двух „торгующихся" сторон.
Математический аппарат этой главы большей частью элементарен.
Тем не менее мы приводим исследование этих игр несколько более
подробно, чтобы попытаться полностью показать методы и подходы,
на которых основано решение игровых задач.

4.1.	Игра полковника Блотто. „Игра полковника Блотто"—
это общее название некоторого класса тактических военных игр.
Игра, которая рассматривается в этом пункте, является одним из
наиболее простых примеров.

Две воюющие армии ведут борьбу за два пункта. Первая армия
под командованием полковника Блотто состоит из четырех полков;
вторая под командованием капитана Нижех) состоит из трех полков.
Армия, которая посылает больше полков на тот или иной пункт,
занимает его и уничтожает все направленные на этот пункт силы
противоположной стороны, получая единицу как за занятый пункт,
так и за каждый уничтоженный полк противника. Полковник Блотто
должен решить, как распределить силы для того, чтобы выиграть
как можно больше очков.

У полковника Блотто имеется пять чистых стратегий. Эти стра-
тегии могут быть представлены как пары чисел {х, у}, где х —
число полков, посылаемых на пункт 1, а у — число полков, послан-
ных на пункт 2; вот эти стратегии: {4, 0}, {0, 4}, {3, 1}, {1, 3}
и {2, 2}. Точно так же четыре стратегии капитана могут быть

представлены парами {3, 0},	{0, 3}. {2, 1	} и {!>	2). Приведем пол-
ную матрицу выигрышей:  а {4. 0)	Киже а	а	b  {3, 0} {0, 3} {2, 1} 4	0	2		ft {1.2} 1
а {0, 4]	0	4	1	2
Блотто р [3, 1)	1 —1	3	0 .
₽[1, 3}	—1 1	0	3
7 {2. 2}	—2	—2	2	2
Эта игра симметрична для полковника		Блотто	относительно стра-

тегий {4, 6} и {0, 4}, а также относительно стратегий {3, 1} и {1, 3};
для капитана Киже стратегии {3, 0}, {0, 3} и {2, 1}, {1, 2} также

!) Выбор капитана Киже (см. Ю. Н. Тынянов „Подпоручик Киже“,
ГИХЛ, Москва, 1956, 273—300) противником полковника Блотто хочется
интерпретировать как стремление ограничить круг участников военных
конфликтов вымышленными персонажами. Следует, однако, заметить, что
знаменитый подпоручик Киже скончался (в 1801 г.) в чине генерала. —
Прим. ред.
являются симметричными. Поэтому представляется разумным искать
оптимальные стратегии, обладающие аналогичными свойствами сим-
метрии. Пусть а — вероятность того, что капитан Киже применит
стратегию {3, 0} (или {0, 3}), и b — вероятность того, что приме-
няемая им стратегия будет {2, 1} (или {1, 2}). Для того чтобы
сделать смешанную стратегию (а, а, b, b) оптимальной для капи-
тана Киже, необходимо и достаточно, чтобы

4a-[-3b^vt 3b^v, — 4a + 4b±zv. (4.1.1)

Очевидно, второе неравенство является следствием первого. Так
как 2а+ 26=1, эти неравенства приобретают вид

(1	\	3

—aj^v, или а +

и

— 4а + 4^~—или —8а + 2<-у.

Числа а0 = 718» 6° = 4/9 и -и = 14/9 составляют решение неравенств
(4.1.1) со строгим неравенством во втором соотношении.

Для оптимальности стратегии лемма 2.1.2 требует, чтобы было
р = 0, где р — вероятность применения полковником Блотто страте-
гий {3, 1} или {1, 3]. Смешанная стратегия (а, а, 0, 0, у.) будет
оптимальной тогда и только тогда, когда

14

4а—2у><и = -д-,	За+27^:^, 2а + у = 1.

Величины а° = 4/9 и у°=1/9 удовлетворяют этим уравнениям. Не-
посредственной проверкой убеждаемся в том, что (4/9, 4/9, 0, 0, 7э)
действительно является оптимальной стратегией полковника Блотто;
(Vis* 1/18» 4/э» 4/э)— оптимальная стратегия капитана Киже, а значе-
ние игры равно 14/9. С помощью леммы 2.1.2 можно непосредственно
установить, что оптимальная стратегия полковника Блотто (игрок I)
является единственной. Однако множество оптимальных стратегий
капитана Киже состоит более чем из одной стратегии, в чем можно
убедиться, применяя к этому примеру соотношения размерностей из
теоремы 3.1.2.

4.2.	Опознание своего и неприятеля. Самолеты, приближаясь
к воздушной базе, должны подавать сигнал наблюдателю, находя-
щемуся на базе, независимо от того, являются они своими или
неприятельскими. На основании сигнала наблюдатель должен решить,
какой стороне, своей или неприятельской, принадлежит приближаю-
щийся самолет. Пусть выигрыш будет равен

а,	если наблюдатель признает своего за своего;

Ь,	если наблюдатель признает своего за неприятеля;
с,	если наблюдатель признает неприятеля за своего;

dt если наблюдатель признает неприятеля за неприятеля,
где а > b, d и с > b, d.

Предположим, что наблюдатель и все свои самолеты принимают
некодированный сигнал, посредством которого свой самолет всегда
дает сигнал „свой". Пусть р — вероятность того, что подходящий
самолет является своим. (Эта вероятность предполагается известной
из предыдущей практики.)

В этом случае наблюдатель располагает четырьмя возможными
стратегиями Л (С, Н) = (С, Н}, /2(С, Н)={Н, Н}, /3(С, Н) =
= {Н, С), /4(С, Н)= {С, С}, где, например, /2(С, Н)={Н, Н}
означает, что наблюдатель опознает сигнал „свой", как сигнал не-
приятеля, и сигнал „неприятель", как сигнал неприятеля.

Неприятель имеет две возможные стратегии: сигналить „свой"
и сигналить „неприятель". Эти стратегии обозначаются соответственно
через С и Н.

Если наблюдатель использует стратегию /3, а вражеская страте-
гия есть Н, наблюдатель будет отождествлятьz своего с неприятелем
и получать b с вероятностью р\ иногда он будет принимать не-
приятеля за своего и получать d с вероятностью 1 — р. В таком
случае средний выигрыш наблюдателя в игре будет равен pb -|-
+ (1—tP)d. Восемь таких выигрышей, соответствующих комбина-
циям чистых стратегий, собраны в следующую матрицу:

	н	С
Л	ра + (1 — р) с	ра + (1 — p)d
Л	pb + (\ —р)с	рЬ-Н1—р)с
4	pb + (l-p)d	pb + (l—p)c
Л	pa-\-(l — p)d	pa-j-(l —p)d

Так как а > b, d и с > bt d, строка Iv очевидно, доминирует
строку /4, строка /2 доминирует строку /3 и в соответствующей
уменьшенной матрице столбец Н доминирует столбец С. Исходя из
этого, неприятель должен всегда сигналить „свой", а наблюдатель
должен выбирать стратегию 1г всякий раз, когда |—(1—Р)^>
> р# + (1—р)с или

Р>

с — d
a-f-c— b — d *

Если заменить неравенство противоположным, то наблюдатель дол-
жен применять стратегию /2, а в случае равенства он может при-
менять как /р так и /2.
Значение игры равно	—p)d при

с — d
&	а-\-с — b — d

и	р)с при

с — d

& < а-{-с — Ь — d *

В более реалистичном варианте игры на опознание своего и не-
приятеля должны применяться кодированные сигналы. Предположим,
что наблюдатель и свои самолеты имеют некоторую систему, посред-
ством которой в определенные дни они применяют сигнал „свой",
а в другие дни — сигнал „неприятель". Если на данный день условлен
сигнал „свой", то для наблюдателя остаются лишь две разумные
стратегии /\(С, Н)=(С, Н} и /2(С, Н)={Н, Н]. Хотя здесь и су-
ществуют две другие чистые стратегии, но они доминируются соот-
ветственно стратегиями й /2 и поэтому мы их не учитываем. Если
условленным сигналом является „неприятель", то две разумные чистые
стратегии для наблюдателя будут Л3 (С, Н)={Н, Н} и /4(С, Н) =
= {Н. С}.

Итак, матрица средних выигрышей будет иметь вид

	н	С
л	р« + (1 — р) с	Р« + (1 — p~)d
	Р&+(1 — Р)с	pb-\-(\—p)c
	pb+ty—pjc	pb-\-(\—p)c
	pa + {\—p)d	ра + (\ —р)с

Пусть у означает вероятность, с которой неприятель применяет
чистую стратегию Н.

Случай 1.

pb + {\ — р)с < ро + (1 —

Применяя методы решения п. 2.3, можно легко установить, что
у° = !/2 — единственная оптимальная стратегия для неприятеля. Опти-
мальная стратегия для наблюдателя состоит в применении стратегий
1Х и /4 с вероятностями 72 каждая.

Случай 2.

Р* + (1— р)с> ро + (1 —

Мы получаем здесь, что для неприятеля оптимально все множеств.-
стратегий у. Любая комбинация стратегий /2 и /3 является оптималь-
ной для наблюдателя.
4.3.	Игра в покер. Рассматриваемая здесь игра в покер ранее
упоминалась в п. 1.2. Эта игра состоит в следующем. Имеется три
различные карты: 1, 2 и 3, причем 1 < 2 < 3 (Z < j означает, что
карта j бьет карту Z); каждый игрок получает одну из этих трех
карт и ставит в банк сумму, равную а; повышение состоит в при-
бавлении дополнительной суммы Ь. Далее показаны возможные после-
довательности ходов

I

пас

II

пас

повышение

I
пас второй
раскрытие

{пас второй
раскрытие

Если как первый, так и второй игроки пасуют, то розданные
карты сравниваются и обладатель старшей карты выигрывает. Если
игрок объявляет пас второй (пасует после повышения), то другой
игрок выигрывает банк. Если игрок раскрывает (принимает повыше-
ние другого), то карты сравниваются и старшая карта выигрывает.

Методы, используемые при решении этой игры, являются харак-
терными методами анализа карточно-стратегических игр вообще. Еще
более важно, что те же самые методы и приемы применяются и к
тактическим непрерывным играм (см. гл. 17 и 18). Вследствие важ-
ности этой методики мы изложим аргументацию в этом примере дос-
таточно подробно, особенно при описании учета действий противника,
нужном для определения максимизирующей и минимизирующей опти-
мальных стратегий.

В этом примере стратегия игрока I есть множество, состоящее
из трех троек вида (az, pz, yz), где, в условиях получения игроком I
карты Z, az— вероятность того, что игрок I сразу же повышает;

— вероятность того, что он пасует на первом круге и затем, если
представляется возможность, раскрывает, и, наконец, yz— вероятность
того, что он пасует на первом круге и затем, если представится случай,
объявляет пас второй. Величины az, pz и yz подчиняются следующим
ограничениям:

0«Sap тг<:1 и а,-1-^-1-Т<=1.

Каждая стратегия игрока II является множеством, состоящим из
трех пар чисел (xz, yz), где игрок II, получивший карту Z, с вероят-
ностью xt повышает после паса, а с вероятностью yz открывает
после повышения. Числа xi и yz подчиняются ограничению

0^xz, yz^ 1.

I 1, если Z > jt

( —1, если Z < /.
Предположим, что игроку I досталась карта Z, и поэтому он
применяет стратегию (az, pz> yz). Предположим далее, что игроку II
досталась карта j и он использует стратегию (Ху, у;-). Вероятность
того, что как игрок I, так и игрок II будут пасовать, равна
(Pz4”Tz)(l —х/)’ выигрыш в этом случае должен быть равен aL(l,j).
Средний выигрыш в случае паса, объявленного игроком I, повыше-
ния, объявленного игроком И, и последующего повышения (раскры-
тия), объявленного игроком I, равен (aj)\ средний
выигрыш в случае паса, объявленного игроком I, повышения,
объявленного игроком II, и паса (второго паса), объявленного игро-
ком I, равен — я?/*/. Легко подсчитываются также различные
вероятности и выигрыши в том случае, когда игрок I первоначально
повышает. Полное математическое ожидание выигрыша будет равно

3!/С(а, 0, 7; х, у) = а 5 (Р, + Т/)(1 — Xj)L(i, /) +

4-(а -Н) S $iXjL(i, j) —

— а 5 S “i(l —У/) +

+ + /)•

i^j

Для того чтобы получать решение игры, необходимо найти такие
две стратегии (х°, у0) и (а0, р°, у0), что

АГ (а0, р°, у0; х°, у°)^К(а°, ро, х, у) (4.3.1)
для всех (х, у) и

К (а0, р°, у°; х°, у°)^К(а, р, у; х°, у0)	(4.3.2)

для всех (а, р, -у). Другими словами, это означает, что мы хотим
минимизировать значение функции /С (а0, р°, у0; х, у) относительно
(х, у) и надеемся, что этот минимум достигается для значений х°, у0.
Одновременно мы хотим максимизировать значение К (а, р, у; х°, у0)
относительно первого множества переменных и надеемся, что макси-
мум достигается для (а0, р°, -у0). Это приводит к условиям совме-
стности для оптимальных стратегий а0, р°, у0 и х°, у0.

Предположим, что коэффициент при xz в функции выигрыша
А"(а0, р°, у0; х, у) положителен; тогда, поскольку игрок II желает
минимизировать свой проигрыш, он будет выбирать х? = 0. С дру-
гой стороны, если этот коэффициент будет отрицательным, игрок II
будет выбирать х?=1. В случае, когда коэффициент равен 0, пря-
мые ограничения на х? не налагаются. Аналогичные рассуждения
имеют место и в отношении у?.
Точка зрения игрока I не столь проста ввиду дополнительного
ограничения az4~ Р/+ Ъ — 1- Для максимизации ЛДа, р, у; х°, у0)
игрок I должен положить равной единице ту из величин а0, р° или
7°, которая имеет наибольший коэффициент. Если два наибольших
коэффициента равны или равны все три коэффициента, то ограни-
чения на соответствующие величины а0, р° и у0 не налагаются (если
не считать того, что они дополняют друг друга до 1).

Эти последние два абзаца описывают в общих чертах те рассуж-
дения, с помощью которых мы будем пытаться решить данную игру
в покер.

Далее в столбцах выписаны все входящие в функцию выгрыша
переменные вместе с их коэффициентами. Эти выражения были полу-
чены посредством простого приведения подобных членов в функции
выигрыша:

3! К(а°, р°, 7°; х, у) =

= Уз1-(а? + ^)(2а + ад
у2[—2aa0 —i(aO —а»)]
лР(«2 + аз)]

X2[_2aTo_^(po_po)j

*i[— 2«(-гё+1гё)+
+*(₽°+^)]

4~члены, не зависящие от xt
и У/,

3! К (а, Р, у; х°, /) =

= аз[2а-ьг>(уо + ^)]
рз [2a	(•*'1Н- *2)]

Т3[2а — 2а(х»4-х0)]
а2 [2а 4-	— (2а + Ь) у°]

72[-2ах°]

ai[2a-(2a + Z>)(^4-y^
РД-2а-6(хО + хО)]

III—2а].

Так как вполне возможно, что коэффициент при переменной у3
отрицателен, если только	естественно предположить,

что у3 = 1. Аналогично, поскольку коэффициент при переменной ур
вероятно, положителен, можно предполагать, что у° = 0. Так как»
наконец, величина — b (Рх + р2) всегда отрицательна, предположим,
что Хз = 1.

Коэффициент при 73, весьма возможно, будет меньше, чем коэф-
фициенты при а3 и рз, так что можно положить 73 = 0. Аналогично
путем сравнения коэффициентов при с коэффициентами при 7j мы
видим, что pj должно равняться 0.

Наше множество переменных и коэффициентов может быть теперь
сокращено за счет исключения из него уже определенных величин
и подстановки их значений в соответствующие коэффициенты.
В результате эти коэффициенты будут равны

у2 [- 2а а? - b (а? - а0)] + х2 [6 pg] -|- х, [- 2а + Ъ (₽» + ₽g)]

а3[2а + ^]4-₽3[2а4-&(х?+4)] + а2[-^ + ₽2р(4- 9] +
+ Т2[— 2а х1] + а1 [— ь — <2а +• У2] + Т1 [— 2«].

Никакие дополнительные утверждения о коэффициентах не могут
быть получены без наложения некоторых условий на величины а
и Ь, Коэффициенты при а2, р2 и у2 зависят лишь от Хр поэтому мы
сначала установим веса, с которыми они входят.

Если 2а > Ь, то из неравенства
х° < b
Х1 2а + Ь

следует, что Р2 = 0, а2 = 0, y2=1, откуда в свою очередь вытекает,
что коэффициент при xv равный [—2а -|-^Рз], меньше нуля. Это
приводит нас к выводу о том, что xj=l. Получилось противоречие.

Таким образом, если 2а > Ь, то

х1— 2а-\-Ь •

Предположим теперь, что

Тогда равенство Р2=1 означает, что коэффициент при х° положи-
телен и поэтому xJ = 0, что противоречит предположению. Следо-
вательно, мы имеем

о ь
уО - ------

Х1 — 2а-±Ь
и а^ = 0.

Рассматривая у2 и 04 и предполагая, что

мы получим, что 04=1, и потому коэффициент при у2 отрицатель-
ный. Следовательно, у2=1, и мы пришли к противоречию. Кроме

2а — b

2а+ Ь

того, у<> >

влечет 04 = 0, так что коэффициент при у2

неотрицателен. Это дает нам соотношения а3 = 0, рз = 1, из которых
мы находим, что xJJ = O и

го _ ь > уО >

Л1 — 2а + Ь Л2 2а + Ь 9

так что если мы предположим а^Ь9 то получим противоречие.

8 Зак. 1789
Случай 1. а > Ь. (Случай й>а оставляем в качестве упражне-
ния; см. задачи 4—7.) В этом случае мы уже обнаружили, что

vO —_____5_ а0 =	0 и V0 =	— ь

—	2а+ *	’ 2	^2	2а + Ь	'

Теперь из > 0 следует, что х^==0. Но тогда

и поэтому Рз== 0, что противоречит предположенному. Следовательно,
ро = О и а$=1. Наши выражения имеют, таким образом, вид

у2 [- (2а + b) ао + ft] + Х1 [- 2а то + ро £] + Х2 • О
И

[-Йгт] + Ъ + «> [- 2о| + Ъ I- 2«1.

Так как 0 < xj < 1, коэффициент при должен быть равен 0;
таким образом,
дл__________________________ 2а о

^=ТТ2-

Но р2 + Ъ = 1 • Отсюда
00 —	_ и ~0  Ь

‘2 — 2а + Ь И ‘2— 2а + Ь *

Аналогично, поскольку 0 < у% < 1, коэффициент при у2 должен
быть равен 0. Отсюда следует, что
о___________________ b	л__ 2а

а?= 2^+Г И t°i= 2^+Т-

Остается неопределенным только х2. Так как его коэффициент
равен 0, это непосредственно не приводит к каким-либо ограниче-
ниям. Но так как ^ = 0, мы должны иметь *? + *2 — Уг Поэтому
х2^ 2а + Ь ’

Множество стратегий, которые в случае 1 можно предполагать
оптимальными, может быть описано следующим образом:

х° = 1,	Уз =		1,
2(g-ft)		\>0 =	2а — b
2	2а + 6 ’		У 2 —	2а+Ъ
хо— .. b	  Л1— 2а-\-Ь ’		У? =	0.
а°= 1,	Р« = 0,	1гё=	0,
а!> = 0.	Q0		70		b
	' ~ 2а+ Ь '	7‘2 —	2а —|— b
а0— b	р?=о,	у0 		2а
1“ 2а + Ь ’	11	’	11	2а + Ь

(4.3.3)
Определяемые равенствами (4.3.3) значения переменных соответ-
ственно максимизируют и минимизируют значения ЛГ(а, р, 7; х°, _у°)
и К (а0, р°, 7°; х, у). В том случае, когда полученные максимизи-
рующие и минимизирующие величины совпадают с величинами, при-
веденными выше, соотношения (4.3.1) и (4.3.2) удовлетворяются,
и указанные стратегии действительно оказываются оптимальными.
Результаты анализа сведены в следующую таблицу:

Уз[( 2а4-6

у2 Г — 2а ( а- ?	— b (

Л2 L \ 2а-|- b )	\ 2а 4- b /J

Уг

х Г ~2^]
Л Ч 2a + b J

х2[0]

минимизирует у3=1

минимизирует произвольное зна-
чение у2 и, в частности,
____ 2a — b

У2— 2a 4-6

минимизирует у2 = О

минимизирует х3=1

минимизирующим является любое
значение, в частности,

2(а — Ь)

2а + Ь

2аЪ

4-6

2ab I

2а+ b J

а3 [2й 4-

рз [2а 4- b (xj х°)]

7з [2а — 2а(х?4-х°)]

а2 I —

R Г____%ab I

Р2[	2a4-6j

Г	2аЬ 1

J2[ — 2а4-6 J

минимизирующим является любое
значение, в частности,
_ b

Xl~ 2a4-6

максимизирует a3 = 1

максимизирует рз = 0

максимизирует *[3 = 0

максимизирует а2 = 0

максимизирует р24-72=1»
в частности,

Q __ 2a ~ _______ b

Р2— 2a + b ’ ^2— 2a4-6

Til — 2а]

4а

2а + Ь

М-2а-*(х2н-1)]

максимизирует а14-'[1=1,
в частности,

____ b __________ 2а
ai~ 2a4-6 ’______2a4-6

максимизирует рх = О

04 2а
Требования совместности здесь выполняются и, таким образом,
стратегии будут оптимальными. Значение игры равно

6 Ча + Ь *

Дальнейшее исследование использованных нами для получения
вида решений в случае 1 рассуждений действительно^ показывает,
что мы нашли все решения.

Случай 2. а = Ь. Решение для этого случая приводится без
доказательства.

*з=1,	Уз=1,

х° = 0,	У2=1/3.

х?=1/3,	у? = 0,

<*2 = 0,  3<Xj —f-<Хз = 0,	Рз'4~а3==1.

=	-2^ + $ + ?з = 0,	^ + Т2=1,

0 л	0.0.

Тз = 0,	ai+yi=l.

Значение игры равно — а/6,3.

Два полученных выше решения обладают несколькими интерес-
ными чертами. Например, игрок I, имея карту 2, никогда не должен
повышать на первом круге. В этой связи мы видим, что для случая
а = Ь игрок II с картой 2 также не повышает, если игрок I перед
этим спасовал. Выполнение этого требования не является обязатель-
ным для случая а > Ь.

В тех случаях, когда а = Ь, игрок I иногда нарочно „темнит"!),
т. е. пасует на первом круге со старшей картой и раскрывает любое
последующее повышение.

Необходимость рандомизированного блефа входит в оптимальные
стратегии в качестве естественной их части. Это выражается тем
фактом, что все величины х?, а? и 7? строго положительны. Жела-
тельная частота блефа зависит от отношения bfa.

4.4.	Один пример рекламы. Две политические партии участвуют
в предвыборной кампании. Имеется п избирательных участков, зану-
мерованных от 1 до п, которые обычно голосуют за кандидата
партии II. По числу избирателей эти участки распределены следую-
щим образом: ах > а2 > ... > ап > 0. Партия I объявила, что она
намерена захватить один из этих участков с целью приобрести для
себя голоса. Партия II будет пытаться ослабить кампанию партии I
путем контрпропаганды. Средства и финансы ограничены, так что
каждая из партий может направить свои усилия только на один

9 В оригинале „sandbags*. — Прим, перев.
участок. Предположим, что предвыборная кампания такова, что, если
партия I захватывает участок J, ее выигрыш можно оценить числом
если район не защищается партией II, и числом paj(0 р < 1),
если этот участок защищается. Коэффициент р можно рассматривать
как меру эффективности партийных ораторов и т. д.

Каждая партия имеет п чистых стратегий. Матрица выигрыша

равна

	/	«1 ..	
	#2		
А =	«3	.	• аз

ап ... рап

Интуитивно представляется естественным, чтобы партия I стреми-
лась захватить более ценные участки, а партия II должна защищать
также более ценные участки. Попытаемся определить смешанную оп-
тимальную стратегию по первым г строкам, которые являются су-
щественными, оставляя г в качестве параметра, значение которого
—•	т-г	0/000

будет определено позднее. Предположим, что х = (xi, Х2, ...» хг,
0.....0) обозначает оптимальную стратегию. Предположим также

(временно), что первые г чистых стратегий входят с ненулевыми ве-
роятностями в некоторую стратегию у. Тогда в силу леммы 2.1.2
мы имеем

5а/Х?— (1—p)akXk = v (l^ft^r).	(4.4.1)

Следовательно, для-2<&^г должно быть ялх£ = Я1Х?, и, согласно
условию нормирования, мы получаем:

г + р — 1

х^ = -у-^— и v =------------.	(4.4.2)

Si	Si

Z = 1	Z = 1

Из формул (4.4.1) и (4.4.2) следует, что

х°А> v

(неравенство является строгим при j > г). По лемме 2.1.2 все опти-
мальные стратегии у должны концентрироваться в первых г столбцах
(так как мы фактически еще не знаем, что х° является оптимальной
стратегией для партии I, этот анализ должен рассматриваться лишь как
мотивированный поиск решения). Предполагая, что у0 = (у?, уг, ...
..., у°, 0, .... О), определим величину у? из соотношения

Р±г—j

ракУк + ак(У —Ул)



или

Ул =

I_____

1 — р

(1±5Л=£г);	(4.4.3)

О

при этом числа неотрицательны тогда и только тогда, когда

(1<;Л±=£г).

(4.4.4)

Так как ak строго убывает, соотношение (4.4.4) эквивалентно соот-

ношению

1

г + р — 1 “

1

Стратегия у0 будет удовлетворять
тогда, когда

1

условию Ау°< у тогда и только

аг+1

г + р-1 '

(4.4.5)

Для того чтобы удовлетворялись как условия (4.4.4), так и (4.4.5),
выберем в качестве г наименьшее натуральное число, меньшее или
равное п, удовлетворяющее соотношению

1

г + р-1

(4.4.6)
Если такого подчиняющегося этим неравенствам г нет, то поло-
жим г = п. Последний случай может иметь место только при

1

ап.	}

А/

Z-1

(4.4.7)

Доказательство этого утверждения состоит в следующем. Заметим
сначала, что если

1

то

(Первое неравенство означает здесь то же, что и

' Яг+1

Поэтому	г

аг+1 аг+\

что является вторым неравенством.)

Заметим теперь, что правое неравенство в (4.4.6) имеет место
при г = 1. Ввиду только что сказанного, мы можем заключить, что
соотношение (4.4..6) может не выполняться для всех г только в тех
случаях, когда имеет место соотношение (4.4.7).

Оптимальные стратегии теперь до конца выяснены. Нам остается
выбрать в соответствии с неравенствами (4.4.6) число г и затем при
помощи формул (4.4.2) и (4.4.3) определить стратегии х° и у0. Эти
стратегии действительно составляют решение, как это было устано-
влено в ходе анализа. За исключением того случая, когда ak и р
принимают особые значения [т. е. в тех редких случаях, когда
в (4.4.6) имеет место равенство], оптимальные стратегии единственны.
Мы нашли, что обе партии концентрируют свое внимание на одних
и тех же г привлекательных избирательных участках и что они раз-
личаются только наличием разных вероятностей выбора данного
участка среди всех выбираемых участков.

4.5*	. Пример торгов. Игра, которую мы будем рассматривать
в этом пункте, является интерпретацией процесса коллективной тор-
говли ]). Такая интерпретация может показаться предельно надуманной,
так как споры между рабочими и администрацией не отражают пол-
ного конфликта интересов, но тем не менее она наводит на мысль
о возможности применения теории игр к ситуациям, возникающим
в промышленности.

Первоначально наш пример понимался как игра, связанная с ата-
кой и защитой скрытого объекта. Защитник имеет объект большой
ценности, который он может скрыть в любом из многих укрытий;
атакующая сторона предпринимает серию попыток уничтожения этого
объекта путем поражения этих укрытий. В качестве иллюстрации
предположим, что атомная бомба перевозится одним из двух одно-
типных бомбардировщиков, называемых О (охраняемый) и 3 (защи-
щающий). Они летят в строю, в котором самолет О находится позади
самолета 3, так что неприятельский истребитель, желающий атаковать
самолет О, должен пройти через полосу огня бомбардировщика 3 и
двигаться с риском быть сбитым, прежде чем он будет способен
подойти к цели. Однако, открыв огонь по своей цели, истребитель
может сбить ее с вероятностью р. Защитник (игрок II) выбирает,
какой самолет О или 3 будет нести бомбу. Атакующий (игрок I)
выбирает упорядоченную последовательность из п букв 0330 ... О,
где каждая буква представляет собой выбор им цели при каждой
атаке с учетом всех предыдущих неудачных выборов. Число п пред-
ставляет собой число допустимых атак, которые может сделать ис-
требитель.

Вернемся теперь к тбрговой интерпретации, сохраняя обозначения
О и 3 в качестве напоминания о возможности применения модели
в задаче об атаке и защите.

Профессиональный союз и дирекция некоторой фирмы имеют два
спорных вопроса 3 и О. При всех обстоятельствах пусть р — веро-
ятность того, что профсоюз может положительно или отрицательно
уладить спорный вопрос 3. Если 3 улаживается положительно
(в пользу профсоюза), то игра оканчивается, т. е. никаких дальней-
ших соглашений достичь нельзя. В том случае, когда вопрос 3 ре-
шается отрицательно, обозначим через р вероятность того, что проф-
союзу удается уладить спорный вопрос О. Если по вопросу 3 ре-

!) Здесь слово .торговля* связано не с глаголом .торговать*, а с гла-
голом .торговаться*. — Прим. ред.
шение достигается, то пусть — вероятность того, что профсою-
зом улаживается вопрос О. Другими словами, в том случае, когда
по вопросу 3 соглашение отсутствует, спорный вопрос О уладить
труднее. (В модели „атака — защита" самолет О труднее уничтожить
в тех случаях/ когда самолет 3 сохраняется, чем тогда, когда само-
лет 3 уничтожен.)

При любой возможности прийти к соглашению профсоюз должен
решить, за улаживание какого спорного вопроса следует взяться.
Будем предполагать, что администрация a priori склонна пойти на
уступки не более чем по одному из этих спорных вопросов. У адми-
нистрации имеется две чистые стратегии, т. е. она должна решить,
по какому из этих спорных вопросов ей целесообразно уступить
в случае необходимости. (Конечно, в действительности соответствую-
щее решение с той или иной степенью уверенности принимается за-
ранее.) Мы будем также предполагать, что профсоюз отдает себе
отчет в том, что прогресс возможен не более чем в одном вопросе.
Если администрация приготовилась уступить в одном из этих спор-
ных вопросов, например в вопросе О, тогда мы будем предполагать,
что вероятность установления профсоюзом безнадежности улаживания
3 по-прежнему равна р. Наконец, мы предполагаем, что если безна-
дежность улаживания спорного вопроса 3 становится известной
профсоюзу, то следующая попытка при переговорах должна быть
направлена на решение спорного вопроса О. Эта ситуация не является
симметричной. Если при необходимости администрация решила усту-
пить в вопросе 3, то вероятность определить для профсоюза невоз-
можность переговоров по вопросу О равна у. Профсоюз имеет также
две чистые стратегии; он должен решить, по какому из двух спор-
ных вопросов заключить соглашение. Игрок 1 отождествляется
с профсоюзом, игрок II — с дирекцией.

В случае только одной возможности для заключения соглашения
(возможность заключить соглашение может соответствовать встрече
каждые три месяца между представителями профсоюза и администра-
ции) формальное описание задачи о заключении соглашения будет
следующим. У игрока II имеются две стратегии: (1) поддержать со-
глашение по спорному вопросу О, (2) поддержать соглашение по
спорному вопросу 3. Игрок I также имеет две возможные стратегии:
(1) пытаться заключить соглашение по спорному вопросу О, (2) пы-
таться заключить соглашение по спорному вопросу 3. Функция
выигрыша для игрока I считается равной вероятности положитель-
ного решения спорного вопроса для профсоюза.

Соглашаться Соглашаться

по вопросу О по вопросу 3
Поставить на обсуждение вопрос Оу	О

Поставить на обсуждение вопрос 3	0	Р
Значение игры равно

Игрок I имеет единственную оптимальную стратегию:
выбирать О с вероятностью уфф»
выбирать 3 с вероятностью .

Игрок II имеет ту же самую оптимальную стратегию.

Обобщим теперь предыдущий случай, допуская для игрока I две
возможности прийти к соглашению. Игрок I теперь будет иметь
четыре чистые стратегии, и матрица выигрышей становится равной

	О		3
о,	0	27 —I2	Рт
о,	3	т	Р
3,	О	р2+(1-р)т	Р
3.	3	Р2	2р —р2

Первая буква чистой стратегии для игрока I указывает спорный
вопрос, по которому надо прийти к соглашению при первой возмож-
ности, а вторая буква — спорный вопрос, по которому надо прийти
к соглашению при второй возможности, если на первом заседании
не принято решения вовсе или принято отрицательное решение. Зна-
чение функции выигрыша равно среднему выигрышу игрока I, или,
что то же самое, вероятности успеха, соответствующего стратегиям,
выбираемым игроками I и II. Подразумевается, что если игрок I
может положительно или отрицательно полностью уладить свой
спорный вопрос, то этот спорный вопрос можно считать исчерпанным.

Проведем теперь вычисление типичного элемента предыдущей
матрицы р2 + (1—Р) Т» стоящего на пересечении третьей строки и
первого столбца. В этом случае стратегия игрока I есть 3, О,
а игрок II выбирает стратегию О. Если игрок I выбирает вопрос 3,
то имеется два возможных исхода: (а) 3 улаживается отрицательно
(с вероятностью Р), после чего вероятность улаживания спорного
вопроса О оказывается равной р; или (б) 3 не улаживается (с вероят-
ностью 1—Р), и вероятность улаживания спорного вопроса О будет
равна Таким образом, полная вероятность равна

Р2+(1-Р)т-

Переходим к исследованию решения игры. Заметим, что, поскольку
7 < р, вторая строка доминируется третьей. Некоторые элементарные
преобразования показывают» что четвертая строка хотя и не домини-
руется, но не входит ни в какую оптимальную стратегию для
игрока I.

Решение будет следующим.

Случай 1. Если р2 — Р7 + 72— 7<0, то оптимальная стратегия
игрока I есть

3, О с вероятностью

О, 3 с вероятностью

7(1-3) + 7(1-7)

₽ (1 — ₽) + 7(1 — 7) ’

р (1 — Р)7(1 р) .
Э (1 — ₽) —7(1 —7) ’

оптимальная стратегия игрока

II состоит в том, чтобы

поддерживать соглашение по вопросу О
с вероятностью

поддерживать соглашение по вопросу 3
с вероятностью

Р (1 — 7)
₽ (1 — ₽) + 7(1 — 7) ’

Р (т —— 7) .

Р (1 — ₽) + 7(1 —7) ’

значение игры равно



^(7—Р) + 2(1 —7)
Р (1 —Р) + 7(1 —7) ’

Случай 2. Если (З2 — Рт+т2 — 7^=0, то существует седловая
точка. Игрок I выбирает стратегию 3, О, а игрок II — стратегию О.
Значение игры равно

v = p2 — pf + f.

Наше заключительное обобщение этой модели состоит в том,
чтобы предоставить игроку I п возможностей заключения соглашения.
Стратегия описывается последовательностью из п букв 3 и О, кото-
рая определяет порядок постановки вопросов. Повторяем, что пэсле
того как один спорный вопрос полностью решен отрицательно, при
ближайшей возможности рассматривается другой спорный вопрос.

При изучении этой общей игры заметим сначала, что каждая
стратегия игрока I, в которой 3 содержится г раз, доминируется
стратегией
г	п-т

з“?7з о... о.

(Частный случай этого обстоятельства проявился в последней матрице,
где вторая строка доминировалась третьей.) Другими словами, если
3 ставится на обсуждение игроком I г раз, то его следует ставить
первым. Аргументация в случае двух заседаний показывает, что
3 . .. 3 О . . . доминирует аналогичную стратегию с чередующимися
3 и О. Итерация этого рассуждения устанавливает наше утвержде-
ние. Следовательно, стратегии игрока I описываются целым числом г,
указывающим число обсуждений спорного вопроса 3. Определим
теперь элементы матрицы выигрышей а (г, О) и a(rt 3), первый из
которых соответствует стратегии г игрока I и стратегии О игрока II:

а (г, О) = 1—Р (игрок I не способен уладить спорный вопрос 3
при первых г возможностях заключения соглаше-
ния) X Р (игроку I не удалось заключить соглаше-
ние по спорному вопросу О| игрок I не способен
г

уладить спорный вопрос 3) — J Р (игрок I спо-

собен уладить 3 при &-й возможности) X Р (иг-
року I не удалось заключить соглашение О в ос-
тающихся п—k разбирательствах при условии,
что вопрос 3 был улажен при Л-м обсуждении от-
рицательно) = 1 — (1 — Р)г (1 — 7)л-г—(1 —р)л"1.

Аналогичным образом находим, что

а (г, 3) = 1 -(1 - ₽)г (1 - i)n"r- у (1 - ₽)г К1-Т)Я^-(1-Р)М

Для решения игры мы полагаем г изменяющимся ^непрерывно и
используем вогнутость функций а (г, 3) и a(rt О) относительно л

Пусть г0 будет решением уравнения

da(rt О)  Q
dr

и пусть

n_
— 1—? 

Тогда

1п[12.й'|~1п1п^

го = й	in/?

при условии, что правая часть этого равенства положительна; в про-
тивном случае положим го = О. Если а(г0, О)<^а(г0, 3), то игрок I
имеет чистую оптимальную стратегию г0> а игрок II — чистую опти-
мальную стратегию О. Если а (г0, О) а (г0, 3), то игрок I имеет
чистую оптимальную стратегую г, которая дается решением уравнения

7(1-₽)	\1-М
или, приближенно,

Г~ Р + 7 ’

если п достаточно велико, а р близко к у. Игрок II имеет смешан-
ную оптимальную стратегию. Для первоначальной дискретной игры
определим число гх — [г0] и решим 2 X 2-матричную игру

а (гР О) а(гр3)

в(п+1.0) aCrj+1.3)

Если а(гр О)^а(гр 3), то мы получим решение в виде чистой
стратегии; в противном случае оптимальная стратегия будет смешан-
ной. Эта методика будет далее обсуждаться в одной из следую-
щих глав в связи с выпуклыми играми. (См. также п. 2.7, за-
дача 22.)

4.6.	Задачи.

1.	Определить все решения задачи полковника Блотто (п. 4.1).

2.	Пусть А — п X n-матрица, где



+ 1.

если I Ф jt
если i = j.

Используя симметрию игры, найти оптимальные стратегии и зна-
чение этой игры.

3.	Рассмотреть игру распознавания своего и неприятеля с одним
кодовым сигналом, где сигнал является последовательностью длины /г,
состоящей из символов С и Н. Используя параметры a, bt ct d и р
(см. п. 4.2), показать, что оптимальная стратегия для своего и на-
блюдателя заключается в том, чтобы кодировать сигналы и выбирать
данный код случайным образом среди всех возможных кодов. Пока-
зать, что оптимальная стратегия неприятеля заключается в том, чтобы
выбирать сигнал случайным образом из всех возможных сигналов.
Показать также, что если

F	с — d-\-2n (а — Ь) ’

где п — длина сигнала, то наблюдатель считает исходящим от своего
лишь сигнал „свой", а если выполняется противоположное нера-
венство, то наблюдатель считает каждый сигнал неприятельским.
Найти значение этой игры.

4.	Проверить, что если а = Ь, то модель покера (п. 4.3) имеет
решение, описанное в конце указанного пункта.
5.	Проверить, что если а < b < 2а, то модель покера (п. 4.3)
имеет следующее решение:

1,

х!> = 0,

о

vU------------

i~ 2a-\-b ’

.^-.A-ggyOgg....»
2а+Ь ^=^2^ 2а + Ь ’

у?=о.

а° = °,	^=1.	7о = О,
а° = 0.	□0 	  р2 — 2а + & ’	о	26  Ъ — 2а + 6
а? = 0,	ро = О,	1?=1-

6.	Найти	решение	модели	покера	(п. 4.3),	предполагая,	что

2а = Ь.

7.	Найти	решение	модели	покера	(п. 4.3),	предполагая,	что

2а <Ь.

8.	Hip эк I имеет три фишки, отмеченные цифрами 1, 2, 3,
а игрок II — три фишки, отмеченные цифрами —1, —2, —3. У игро-
ков имеется разграфленная доска размерами 3 X 3, в которой квад-
раты (1, 3), (2, 2) и (3, 1) отмечены цифрой 0. Начиная игру,
игрок I помещает одну из своих фишек в любой из непомеченных
квадратов; затем игрок II помещает фишку в один из оставшихся
квадратов, и так до тех пор, пока доска не заполнится. Такой про-
цесс заполнения доски представляет собой матричную игру. Подсчи-
тать число чистых стратегий для каждого игрока и показать, что
у игрока II имеется стратегия, которая препятствует получению игро-
ком I положительного выигрыша.

9.	Показать, что в задаче 8 игрок I может быть уверен в выиг-
рыше по крайней мере 0 единиц.

10.	Игрок II предлагает игроку I выбор из W ящиков, D из
которых содержат по доллару. Игрок I выбирает С из этих ящиков,
и его выигрыш будет равен числу долларов, которое содержится
в этих ящиках. Ему разрешается открыть любое число ящиков, перед
тем как он сделает свой выбор, при условии, что окончательный
выбор будет сделан среди неоткрытых ящиков. Игрок II знает со-
держимое каждого ящика и может давать ящики игроку I в любом
порядке. Выигрыш игрока II равен сумме денег, которые не доста-
лись игроку I. Определить оптимальную стратегию каждого игрока.

11.	Каждый из двух игроков пишет на листе бумаги число 0, 1
или 2, не показывая написанного противнику. Игрок I, зная свое
собственное число, называет предполагаемую сумму двух чисел. За-
тем игрок II, зная свое число, называет предполагаемую сумму, при-
чем ему не разрешается называть ту сумму, которую назвал игрок I.
Игрок I получает одну единицу, если он угадал; он платит одну
единицу, если угадал игрок II. Если же не угадал ни один из игро-
ков, то игра заканчивается вничью и выигрыш каждого игрока
в этом случае равен нулю. Построить игру и определить опти-
мальные стратегии каждого игрока.

12.	Колода карт отождествлена с набором целых чисел 1,2, ...
. . ., АЛ После тасования каждому из игроков сдается по карте.
Игрок I может либо сохранить свою карту, либо принудить игрока II
поменяться с ним картами. Игрок II также может либо сохранить
свою карту (которая может быть либо картой, которая ему доста-
лась при сдаче, либо картой, которую он обменял с противником),
либо поменять ее на другую, выбрав ее случайно из колоды. Когда
оба игрока сделают свой выбор, их карты сравниваются и тот игрок,
у которого карта старше, получает одну единицу от своего против-
ника. Решить игру для случая N = 5.

13.	Каждый из двух игроков в покер ставит в банк одну еди-
ницу, после чего сдается по одной карте из стандартной колоды.
Игрок I, знающий какая ему карта досталась, может либо сразу же
пасовать, либо повышать на любую из сумм ах.........ап. Если он

повышает, то игрок II может либо пасовать (проигрывая банк), либо
раскрываться. В последнем случае карты сравниваются и игрок со
старшей картой выигрывает. (Предположим, что карты отождествлены
с числами 1, .... 52 и что карта I старше карты /, если I > j.)
Решить игру для случая п—1 и ах> 1.

14.	Решить задачу 13 для произвольного п, предполагая, что
1 < ах < ... < ап, (См. также общую модель покера в гл. 18.)

15.	В задаче об атаке и защите каждый игрок имеет две страте-
гии, а вероятность успеха атаки дается матрицей ||aZy||, где ап > а21
и а12 < а22. Пусть дополнительно к этому атакующий может исполь-
зовать часть своих сил для разведки. Если это сделано, то вероят-
ность его успеха уменьшается на фиксированную величину г, но
стратегия обороняющегося ^обнаруживается, если тот не выделяет
части своих сил для контрразведки. Это отвлечение его сил увели-
чивает вероятность успешной атаки на с. Установить пространства
смешанных стратегий и матрицы выигрыша для этой игры. Исполь-
зовать для решения игры принципы доминирования.

Комментарии
и библиография к главе 4

4.1.	Более тщательно разработанные игры Блотто можно найти в работе
Блэкетта [1].

4.2.	Пример на опознание своего и неприятеля (задача 3) и его видо-
изменения в том виде, как здесь описано, были предложены и решены
сотрудниками Корпорации РЭНД; см. Дрешер [1].
4.3.	Этой модели покера мы обязаны Куну [1]. Однако он не получил
полного перечисления всех оптимальных стратегий игры, что сделали мы
в этом пункте. Метод Куна заключался в том, чтобы сначала описать игру
в терминах матрицы выигрыша, соответствующей чистым стратегиям,
и затем свести ее анализ, пользуясь принципом доминирования, к рассмо-
трению некоторого подкласса стратегий поведения. Наш метод, напротив,
основан на сочетании интуиции и непосредственного анализа как наиболее
простом пути рассмотрения салонных игр; см. также гл. 18.

4.4.	Модель предвыборной кампании была предложена Дрешером [1].

4.5.	Этот пример на заключение соглашения был разработан в Корпо-
рации РЭНД в качестве модели «атака — защита»; см. Дрешер [1].

4.6.	Задачи 4—7 являются различными вариантами игры в покер п. 4.3.
Задача 10 является частным случаем игры, которая рассматривалась Гейлом [3].
Последняя содержала повторное разыгрывание игр с частичной информа-
цией. Задача 12 включает существенные элементы классической игры „про-
ходящий туз“ (Le Her), в которой обычная карточная колода заменяется
на колоду карт, занумерованную последовательностью чисел 1, 2, ...,ЛГ.
Первоначальная игра „проходящий туз“ была решена Дрешером [4].
Решения задач из глав 1—4

Глава 1

Задача 2. Стратегия игрока I состоит из двух компонент: вероятности
повышения при условии, что ему досталась карта М, и вероятности повы-
шения при условии, что ему досталась карта С. Стратегия игрока II задается
единственным числом — вероятностью раскрытия при условии, что игрок I
повышает. Оптимальные стратегии будут соответственно равны

( b — а - )	( 2а )

< тп—, 1 г и < -r-j— >.
( b a f ( b a j

Значение игры равно

* а(Ь — а)
b а

Задача 4. Пусть А= |]а//|] (Z, /= 1, 2, ..., 9) есть матрица выигрышей.
Тогда

	—1,	если	J-	i>2,
	+1,	если	i —	
aij —	+2,	если	J —	1= 1,
	—2,	если	1 —	/=1,
	0,	если	i —	J=0.

Задача 6. Оптимальные стратегии равны (5/7, 2/7) и (5/7, 2/7, 0, 0); зна-
чение игры равно 13/7.

Задача 8. Как в матрице Аь так и в матрице А2 элемент 1 является
седловой точкой. Отсюда следует, что v (А^ = v (А2) = 1 и v (А^ 4~ (А2)=2.
Полагая л = 3, получим v (Aj -j- А2) = 3 > 2, а полагая х = — 1, получим
^(Ai + A2) = l <2.

Задача 9. Рассмотрим игру

II 2 °
И 0 2 ’

Значение игры равно 1. Однако заметим, что х* = (1/2, !/г), У* = (1»0) Дает
(х*, Ay*) = 1, и все же стратегия у* не будет оптимальной.

Задача 10. Пусть u = (wb ..., ип) — оптимальная стратегия игрока 1
и w = (wb ..., wm) — оптимальная стратегия игрока II. Тогда

п	т

У, Uiaij^z	2 aUwJ

/=i	y=i

Для всех I и /. Из этого следует, что если v^:0, то имеет место первая
возможность, тогда как при v < 0 имеет место вторая возможность.
Задача 13. В игре, с матрицей

а b

0 d

элемент 0 является седловой точкой, и 5 = 0,	= 1 — единственные опти-

мальные стратегии. Таким образом,

х = (О, 0, ,.0, агП1+1, ..., хЛ1+Л2),

У = (у?.............о).

Если игрок II применяет любые из первых т[ столбцов, то игрок I полу-
чает нуль; если игрок II применяет любые из т2 последних столбцов, то
игрок I получает по крайней мере d > 0. Поэтому, взяв их комбинацию,
мы получим С(х, у)>0 для любого у. Аналогично С(х, у)<0 для лю-
бого х, и {х, у} будет ситуацией равновесия.

Задача 15. Рассмотрим игру с матрицей ац — f (х/, у7). Если £ — (5Ь ...»Сл)
и = (vjj, ...,	— оптимальные стратегии, то

п	т

х° = 2 и у° = 2 V/
i = 1	j = 1

удовлетворяют этим неравенствам.

Задача 16. Если не существует х С А, для которого f (х, у) > а при
всех у С К, то множество Вх = {у | f (х, у) <а} непусто, замкнуто (потому
что функция f непрерывна снизу) и выпукло (потому что f—выпуклая
относительно у функция). Для любого конечного набора хь х2, ..., хл мно-
жество Вх^ х? х = {у | / (х^, у) < а для всех Z) также будет непустым,
замкнутым и выпуклым. В противном случае образ Y из £л, определяю-
щийся посредством отображения у->{/(х/, у) — а}, имеет выпуклое замы-
кание, которое нигде не касается отрицательного ортанта. Значит, должна
существовать строго разделяющая эти множества гиперплоскость с компо-
нентами нормали 5/ (/= 1, 2, ..., л), удовлетворяющими условию 6/^0,
причем не все из этих компонент равны нулю. Из этого следует, что мно-
жество Вх^ пусто, в то время как

п

Хо = 2
1=1

Это противоречие показывает, что пересечение QB у г , взятое
Г 2’ ’ * м п

по всем конечным наборам Хр содержит элемент у0, удовлетворяющий
условию f (х, у0) < а для всех х С А.

Задача 17. Пусть А =ь ||а/;|]п*т, bj= шах и ij — такое значение Z,
1 < I п

что at j = bj. Будем рассуждать индукцией по т. Если т = 2, то рассмо-

трим 2 X 2-подматрицу

й/11

alfi
(Если Zj —12, то возьмем эту строку и любую другую; если же л=1, то
теорема тривиальна.) Если azi— седловая точка этой 2 X 2-подматрицы, то
azi<az2 и	аи Для всех а отсюда aZ(1— седловая точка перво-

начальной л X 2-матрицы. Если aZal— седловая точка 2 X 2-подматрицы, то
а/21<д/22 и altX^:alxX = bx для всех /, и отсюда — седловая точка
первоначальной л X 2-матрицы. Аналогичные рассуждения имеют место
для а^2 и а[22*

Предположим теперь, что теорема верна для т — 1. Пусть а^—сед-
ловая точка лХ(^ — 1)-подматрицы, состоящей из первых т — 1 столбцов
нашей л X лг-матрицы. Если 0Zoyo<aZoZn, то aZoyo будет седловой точкой
полной матрицы. Поэтому рассмотрим случай, когда > aZ(jZn< Если
at т = в} т, то at т — седловая точка л X лг-матрицы. Следовательно, мы
можем рассматривать лишь случай, когда at т < at т.
о т

Случай I. < at j . Пусть k — произвольное целое число между 1
т mJ о

ил — 1. Рассмотрим 2 X 2-подматрицу

||'а.' * а1тт
II ш т

|| ai$k	aiQm

Далее, а^т <	и поэтому al<ik не может быть седловой точкой

этой 2 X 2-подматрицы. Кроме того, поскольку aL т< at т, то at т не
может быть седловой точкой. Если aL k — седловая точка, то at k>alk^
то

>а} 2 >а} ; >а> С другой стороны, если а, т — седловая точка, мы
Wo- 1т]о 1тт	1тт

также имеем &^£z т. Таким образом, т — седловая точка п%т-
т т	ш

матрицы.

Случай II. at т> ; • Будем поступать, как и выше: в том случае,
т1 mJo

когда a-t k— седловая точка 2X2-подматрицы, мы имеем at k>at f .

* tn	m tnJo

Если az m — седловая точка, то az	ai Поэтому at	ь

m	m Lmm tnJo	mJ0 lmK

(k= 1, 2, ..., лг). Рассмотрим теперь 2X2-подматрицу

II	а^т

mJQ tn

II	alom

Ясно, что а^т <а^, следовательно, л/оуо не является седловой точкой
этой 2 X 2-подматрицы; а^т < at поэтому а^т не является седловой
точкой; _ > а} , отсюда а, не является седловой точкой. Таким
образом, элемент матрицы а, > должен быть седловой точкой этой 2X2-
т^о

матрицы, так что а} < ^а; ; ^а!; (г = 1, 2, ...» л). Следовательно,
lmJo Wo

at . —седловая точка п X лг-матрицы.
mJ о

Задача 18. Пример
3 0 4
2 1 0
0 1 3
показывает, что доказываемое утверждение неверно, если опустить условие
строгости седловой точки.

Задача 19. См. работу Вулфа [2].

Глава 2

Задача 3. Оптимальная

стратегия каждого игрока единственна:

Задача 9. (О, 0, 0, 0, 71б, 5/i6> 4/i6> 7i6, 7i6)-

Задача 10. т/= 10/3> х° = (7з> 7з> 7з) — единственная оптимальная стра-
тегия игрока I.

Крайние оптимальные стратегии игрока II будут равны

(4’(4’ У’ °-4-°-°); (4> Т’°’0’Т'°):

(1 О, 0, 1 О, (о, А 0, О, А, 4 \ /0 1 7 0>	1\

\3	2	о/\1о 1о 1о)	\	9	9	9/

(о, О, 1 О, 1); (о, О, О, 1 1 1).

\	ОО О /	\	ООО/

Задача 13. Следует различать три случая: n — 3k, а =	и

п = 3k -f- 2. Если п = 3£, то

х° = (о, 4, 0, 0, 4, 0, .... О, 4, (А,
\ k k	k f

y0 = (4. о, О, 4. 0> 0.4.0, о),

•	J \ k k	k J

1

v~ k 

Оставшиеся случаи рассматриваются аналогично. Оптимальные стратегии
не являются единственными.

Задача 16. Столбец 2 доминирует столбец 3; после вычеркивания
столбца 2 строка 1 доминирует строку 3. Следовательно,

^4^5---Мз

#4 4“ ^5 — ах — а3 ’

<	а$ — а\

<	а4 4" а5 — а{ — а3 *

(	а3 — а3

\ а -J-	— дз

а4 — а3
а± 4“

О,

Д4 —t \

4“ — ах — а3 /

В первоначальной матрице А (х°, р2) > поэтому у2 = 9. Аналогично х3 — 0.
Так как v = Л(в1, у0) = а4у° + а3^, а у’’ > 0, у3 > 0,	у°-|-уО=1, то
а3 < v < а4. В силу леммы 2.1.2 имеем а4х® л 1*2 = v и азх1 + а5х2 = v-
Аналогичные равенства имеют место для у0. Все эти соотношения одно-
значно определяют х° и у0. Далее, очевидно, мы имеем xj > yj > х®, и из
соотношений х° > х® и xj *2 = 1 следует, что х? >

Задача 18. Пусть х° £ П ¥*. Тогда Gk (х°, у) > vk для всех у
(& = 1,ч.., К). Итак, если игрок II применяет стратегию у в игре G,
а игрок I применяет стратегию х°, то

о(х°, у) = 2 x°iai= 2 x°i 2	=

/, j	i, J k

= 22	= 2 G* (x°- у) — 2vk-

k i, j	k

Отсюда следует, что

v > 2 vk-
k

Задача 20. Предположим, что А — матрица вполне смешанной сим-
метричной игры, имеющая четный размер. По теореме 2.5.1 ядро этой игры
должно совпадать с полной матрицей. Так как значение симметричной игры
равно нулю, | А | = 0 (теорема 2.4.3). Так как А — особенная, косо-симмет-
рическая матрица четного порядка, она имеет ранг, не превосходящий п — 2
(так как ранг должен быть четным). Но из того, что А — матрица вполне
смешанной игры, вытекает, что уравнение Ау = 0 имеет решение, все ком-
поненты которого строго положительны. Так как ранг не превосходит п—2,
мы можем несколько изменить решение и все же иметь положительное ре-
шение с суммой компонент, равной 1. Это противоречит единственности.

Задача 22. Доказательство проводится индукцией по числу столбцов.

Глава 3

Задача 3. По формуле (3.3.3) dim X = г (А) -|- dim (Аг) — 1. Из тео-
ремы 3.3.1 мы имеем dim А?-}“ 1 = dim (Аг)« Комбинируя эти результаты,
мы получим dim^Y— dim А? = г (А). Согласно задаче 2, А—косо-симмет-х
рическая матрица и поэтому имеет четный ранг.

Задача 4. См. Гейл, Кун, Таккер [1].

Задача 6.

212—11

—2—1—2	1	1 .

0	0	0	0 —2

Задача 8. Пусть даны у и е; выберем такое N, чтобы ух-|- ... +5'yv>
>1 — е. Выберем теперь такое Z, чтобы I > Аг/е> и пусть стратегия х при-
писывает массу 1 числу i. Тогда

А (X, У) = 2 о - £) alN +4 (— !)•
Но alN >: 1 — е, поэтому А (х, у) > 1 — Зе и, конечно, А (х, у) < 1. Таким
образом,

inf sup А (х, у) = 1.
у х

Аналогично

sup inf А (х, у) = — 1.
х у

Задача 10. Использовать метод графического представления из п. 2.3.

Задача 11. Пусть {х°, у0} — оптимальные стратегии игры с матрицей А,
а {ха, уа} — оптимальные стратегии для матрицы А + аН. Тогда f

V (А + аН) < (ха, (А + аН) у0) < V (А) + а (ха, Ну°)

и

и (А + аН) > (х°, (А + аН) уа) и (А) + а (х°, НУа).

Отсюда следует, что

, п . и(А4-аН) — и (А)	.	„ пч

(Х°, Нуа) <	 а ----— <Ха’ НУ°)-

Пусть теперь X* — множество всех предельных точек последователь-
ностей ,{ха^} при ал->0, и пусть Y* аналогичным образохм определено
через уа. По лемме 3.5.1 мы имеем X*c:XQ(A) и Y* czK° (Л). Очевидно,

,	/ и ч	, / u ч 1- v(A-l-aH) — v(A)

шах min (х, Ну) < max min (х, Ну) < lim —-—!

х€Х°(А) у £7° (А)	х£Хо(А) y£Y*	a->0+	a

< max min (x, Hy)< max min (x, Hy).

у£У<>(А)	х^ХЦА) у£Г<>(А)

Задача 16. Ограничимся сначала подмножеством пространства матриц,
состоящим из тех матриц, все элементы которых различны. Это подмно-
жество имеет вероятность 1. Если никакие два элемента матрицы не равны
друг другу, то в ней может быть лишь одна седловая точка. Следовательно,
события {aij — седловая точка} являются несовместными. Таким образом,

Р {А имеет седловую точку} = 2 ? {atJ — седловая точка}
hj

(Р означает вероятность указанного события). Но любой элемент матрицы ац
является седловой точкой в том случае, когда этот элемент является наи-
большим элементом в своем столбце и наименьшим в своей строке, т. е.
тогда, когда он будет /n-м в наборе из т-\-п—1 произвольных чисел.
Вероятность этого события равна

(/г — 1)! (тп — 1)!

(т-\-п—1)!

Отсюда следует, что

о га	1	(т —1)! (п—1)! т\п\

Р {А имеет седловую точку} = m • л • -	= (<я + п_1),.

Задача 17. См. работу Томпсона [1].

Задача 19. Предположим, что нет такой оптимальной стратегии х°,
которая использует не более п—1 чистых. Тогда все оптимальные стра-
тегии х° будут использовать все п чистых. Но любая игра со стратегией х°,
использующей все п чистых стратегий, должна иметь ядро, соответствующее
всей матрице А. Поэтому dim Х° = 0 и dim X = п— 1. Значит, оптимальная
стратегия у0 будет единственной и, следовательно, dim Y° = 0. Отсюда,
согласно теореме 3.1.2, получим dim Y= п—1. Но это означает, что мно-
жество {у0} = Y0 содержится в множестве Y, что является противоречием.

Задача 20. Использовать теорему 3.5.1. (См. также лемму 5.3.1.)

Глава 4

Задача 2. х° = у° = (1//2, ..., 1/n); v = (и — 2)/л.

Задача 3. Имеется 2я возможных сигналов. Единственно приемлемыми
стратегиями для наблюдателя являются стратегии: (1) считать все сигналы
неприятельскими; (2) считать самолеты, подающие условный сигнал, своими,
а все другие неприятельскими. Если используется стратегия (1), то средний
выигрыш независимо от того, кем применяется условный сигнал, равен
pb-\-(\—p)c. В случае применения стратегии (2) выигрыш равен ра-\-(\— p)d,
если неприятель использует, тот же сигнал, и равен	—р) с, если

неприятель применяет любой другой сигнал. Исходя из этого, матрица
будет иметь вид

Сигналы неприятеля

1 е.. 2я

	' Код:	1	ра+(1— p)d.... pa + Q.—p)c
	2	ра + (1 — р)с ... ра-\-(\—р)с
План (2) •	•	• •
	2я	ра + (1 — р)с ... pa + Q.—p)d
План (1):	любой код	pb+{\—p)C ... pb + (\—p)c

Заметим, что если

pa + (1 — р) + (22	— > pb + (\—p) с,	(а)

то последняя строка будет доминироваться; поэтому (по соображениям сим-
метрии) (72я, •••> Ч2П) — единственная оптимальная стратегия для каждого
игрока. С другой стороны, если выполняется противоположное неравенство,
то игрок I, применяя стратегию (1), может гарантировать себе выигрыш
pb -J- (Г— р) с. Если игрок I применяет любую другую строку, то игрок II
может, применяя стратегию f/г”, •••» ограничить его выигрыш суммой,
равной левой части соотношения (а). Следовательно, в этом случае наблю-
датель должен считать все сигналы неприятельскими, а неприятель может
применять любую стратегию. Неравенство (а) сводится к этой задаче.

Задача 7.

*3 = 1 Уз = 1

Xj = 0	у % — 0

х° = о у? = 0

*0 = 0	₽° = 0	72=1	«з + ₽з + 7з = 1

«1 = 0	₽? = 0	7? = 1	-2а^+^г:2в.
Задача 9. Одна такая стратегия для игрока I состоит в следующем.
Поместим фишку 3 в квадрат (1.1). Если игрок II не занял квадрат (1.2),
то поместим фишку 2 в квадрат (1.2) и в получившейся игре применим
стратегию (1, 0, 0). Если игрок II занимает квадрат (1.2), поместим фишку 2
в квадрат (3.2). В том случае, когда игрок II не занимает квадрат (3.3) при
своем втором ходе, поместим фишку 1 в квадрат (3.3) и в получившейся
игре применим стратегию (0, 0, 1). Если игрок II при своем втором ходе не
занял квадрат (3.3), то поместим тогда фишку 1 в квадрат (2.3). В резуль-
тате Этого мы получим следующую матрицу:

3	-л I	0
— Уз	0 1	1
0	2 1	—л

Итак, следующая стратегия дает (для игрока I) нуль:

/_____УгУз_____ ________ЗА_________________3______

\ 3/2 + 3 + АУз ’ Зу2 + 3 + У^Уз ’ Зу2 + 3 /2Уз

Задача 11. Оптимальная стратегия игрока I заключается в следующем:
выбирать каждое из чисел 0, 1 и 2 с вероятностью 7з и называть 2.

Оптимальная стратегия игрока II состоит в выборе каждого из чисел
0, 1 и 2 с вероятностью 7з- Если выбран 0 и игрок I называет 2, то следует
называть 0. Если выбрана 1 или 2 и игрок I назвал 2, то нужно называть 3.
В том случае, когда 2 не называется, называть 2.

Задача 13. Пусть а/ — вероятность того, что игрок I повышает при
наличии у него карты Z, и Ру — вероятность того, что игрок II раскрывает
при наличии у себя карты у. Матрица выигрыша будет равна

К Р) = 5П52 2 { - 0 - “0 +	- ₽>) +	(i, j) а}.

Решение игры получается путем рассуждений, аналогичных тем, которые
использовались в п. 4.3. Любая оптимальная стратегия имеет вид

₽?=... =й-1 = 0; ₽°m=«-52+	&+1 = ••• =& = !

И

— произвольные числа между нулем и единицей, за исключением тех, ко-
торые удовлетворяют равенству

т-1

Ха° = гат(52—т)’ если ^п<1’
Z = 1

и удовлетворяют неравенствам

ZH-1	т-2

Ea‘J-rar(52-т) и 2ja;~rar(53~m)’ если ^=1*

4 = 1	4 = 1
где т равно наибольшему целому числу, не превосходящему

53 — 2.51

#+1 ‘

Задача 15. В дополнение к первоначальным стратегиям, обозначенным
через 1 и 2, обороняющийся имеет теперь две новые стратегии, которые
могут быть обозначены через 10 и 20. Стратегия 10 состоит в использо-
вании против атаки противника стратегии 1 и использовании контрразведки.
Атакующий в добавление к своим первоначальным стратегиям, помеченным
цифрами 1 и 2, имеет стратегии, в которых он производит разведку и
использует полученную информацию; например 1Р |4ожет означать стра-
тегию 1, если ему не известно, что враг использует стратегию 2. Имеются
и другие возможные стратегии для игрока I, которые игнорируют или не-
правильно используют информацию, получаемую во время разведки. Все
эти стратегии доминируются. Связанная с данной игрой матрица имеет вид

1	2	10	20

1

2

1Р

2Р

«п

«21

«И — г

а{} — г

«12

«22

#22

#22 —

«11 + С

«21 4“ С
а^—г + с

#21 — Г 4" £

«12 4-С

«22 4“

#12 — Г С

а%% — Г 4“

Часть II

ЛИНЕЙНОЕ
И НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭКОНОМИКА

ГЛАВА 5

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Программирование состоит в определении допустимых программ
(планов, расписаний, распределений), которые оптимальны с точки
зрения некоторого принятого критерия. Определение оптимальной
программы обычно заключается в выборе среди всех допустимых
программ такой, которая максимизирует (или минимизирует) целевую
функцию.

Допустимой программой называется программа, подчиненная опре-
деленным ограничениям. Если эти ограничения представляют собой
линейныех) неравенства и целевая функция также линейна, то перед
нами задача линейного программирования. Если целевая функция,
которая должна быть оптимизирована, или некоторые условия (огра-
ничения) нелинейны, то мы имеем дело с задачей нелинейного про-
граммирования.

Эти допущения о линейности, а также предположения о конечности
числа переменных и аддитивности выигрышей и потерь ограничивают
сферу применения линейного программирования. Мы не будем здесь
обсуждать достоинства и недостатки этих допущений. В этой главе
мы будем рассматривать лишь сущность задач линейного програм-
мирования и свойства, которыми должны обладать их решения.

Может показаться, что решение нашей задачи легко получить с по-
мощью классического метода нахождения максимумов и минимумов
функций, употребляемого в дифференциальном исчислении. К сожа-
лению, эти традиционные способы едва ли применимы к задачам
программирования, так как в таких задачах решения попадают на
границу области изменения переменных. Поэтому для исследования
качественной структуры таких задач нужны новые методы.

Кроме того, ввиду огромного числа практических применений этой
теории важно найти эффективные вычислительные алгорифмы для
нахождения приближенных решений. Этот вопрос будет подробно
изучаться в гл. 6. В настоящей главе на первый план выдвигается
не столько сама теория, сколько простота и изящность изложения.

9 Относительно характеризующих программу параметров. — Прим. ред.
5.1. Формулировка задачи линейного программирования. За-
дача линейного программирования в математической форме ставится
следующим образом.

Пусть переменные xv .... хп удовлетворяют неравенствам
апХ1Н-а12х2 + ... -\-аХпхп^Ьх,
Й21Х1 + а22Х2 Н- • • • + а2пХП ^2’

(5.1.1)

+ а
/п2*^2+ ... -\-.атпхп^Ьт,
x2>0, .... хп>0.

Требуется найти набор переменных хх.....хп, максимизирующий1)

скалярное произведение

(с, х) = х1с1 + х2с2+ ... +хпСп.

Записанная в векторных обозначениях задача состоит в отыскании
вектора x = (xj....хп), максимизирующего (с, х) при ограниче-

ниях х>0 и Ах^Ь, где с = (ср ...» сп), b = (ftp ..., bm) и
А — матрица коэффициентов системы линейных неравенств (5.1.1).

Вектор х, удовлетворяющий условиям (5.1.1), называется допу-
стимым вектором (допустимой стратегией). Множество всех допусти-
мых векторов является выпуклым многогранником, лежащим в пе-
ресечении т-\-п полупространств, заданных неравенствами (5.1.1).
Может случиться, что эти неравенства несовместны, так что допу-
стимых векторов не существует. Поскольку поверхностями уровня
функции (с, х) являются гиперплоскости в n-мерном пространстве, точка
максимума не может находиться строго внутри какой-либо грани.
Следовательно, максимум должен достигаться либо на одной из вер-
шин многогранника, либо на всех точках некоторой его грани.
Конечно, даже в том случае, когда множество допустимых векторов
непусто, может оказаться, что задача не имеет решения, так как
при движении х по границе множества допустимых векторов функция
(с, х) может неограниченно возрастать. Читателю легко построить
соответствующие примеры.

Многие важные задачи экономики и организации производства
могут быть сведены к линейному программированию без существен-
ных искажений или потери общности. Оставшаяся часть этого пункта
и будет посвящена описанию нескольких таких задач.

!) Или минимизирующий. Если рассматривается задача на минимум, то
векторное неравенство Ах<Ь, соответствующее (5.1.1), обычно заменяется
неравенством противоположного смысла, имеющим вид уА с. В этом слу-
чае целевой функцией вместо (с, х) будет (у, Ь). См. также первый абзац
п. 5.2.
А.	Задача о диете. Имеется т видов пищи (Z=l, 2.........m),

содержащих в тех или иных количествах п питательных веществ
(/=1, 2, ...» п), необходимых для здоровья. В качестве п пита-
тельных веществ можно представлять себе, например, белки, мине-
ральные соли, витамины и т. д.

Обозначим через yt количество единиц купленного Z-ro продукта,
через — цену единицы этого продукта, а через Cj — необходимый
минимум /-го питательного вещества.

Пусть ан есть количество /-го питательного вещества, содер-
жащееся в единице Z-ro продукта. Спрашивается, как запастись всеми
необходимыми питательными веществами при минимальных издержках?

Иными словами, при ограничениях

т

сf	.....П)

мы хотим определить вектор, минимизирующий общую стоимость
т

1 = 1

Исторически эта задача линейного программирования была рас-
смотрена одной из первых!). Она была поставлена и решена в усло-
виях цен 1944 года. При этом оказалось, что для оплаты соответ-
ствующей диеты требуется примерно 60 долларов в год, если диета
соответствует вкусам тех редких людей, которые могут получить
удовольствие от однообразного поглощения сушеных бобов, капусты,
пшеничной муки и других подобных продуктов. Несмотря на такое
мало обнадеживающее начало, метод проб и ошибок, примененный при
решении задачи о диете, положил начало нескольким успешным- при-
менениям методов линейного программирования к задачам технологии
и организации производства. В своем первоначальном виде эта задача
применяется при определении наилучшего корма для цыплят.

Задачи линейного программирования, весьма напоминающие за-
дачу о диете, возникают в нефтяной промышленности, например при
расчете наиболее дешевого способа смешивания определенных сортов
и количеств бензина для получения нескольких видов топлива. При
этом каждый вид топлива должен обладать определенным минимумом
свойств, а также выдерживать заданный ассортимент.

Б. Транспортная задача. Имеется т портов или пунктов про-
изводства с запасами некоторого продукта и п пунктов потребления

!) Первой следует считать задачу о распределении обработки деталей
по станкам с целью максимизации производительности при условии ком-
плектности. (См. Канторович [1].) — Прим. ред.
или рынков сбыта, в которые этот продукт должен быть доставлен.
Пусть в /-м пункте производства находится sz единиц продукта
(/=1,2......./п), и в /-й пункт потребления должно быть достав-
лено Гу единиц (у=1, 2......п).

Пусть xtj — количество продукта, которое мы хотим направить
из /-го порта в /-й пункт потребления.

Будем при условиях	и 2 х/; —минимизировать

общую стоимость перевозок

2 xijcij-
j

Эта транспортная задача привлекала внимание исследователей
больше, чем какая-либо другая задача линейного программирования;
многие вычислительные схемы были созданы специально для нее.
Некоторые задачи программирования, относящиеся, казалось бы,
к совершенно другим областям — в первую очередь задача об опти-
мальном назначении, задача о железнодорожных тарифах,—сводятся
к транспортной задаче.

Транспортная задача подробно рассматривается в п. 5.9.

В.	Задача о рациональном использовании склада. Предпо-
ложим, что на складе вместимости С имеется начальный запас А.

Обозначим через xt количество продукта, которое мы намерены
купить в конце f-го периода по цене с^ долларов за единицу, а че-
рез yz— количество продукта, проданное в течение f-го периода по
цене bt долларов за единицу. Пусть, наконец, число рассматривае-
мых периодов равно п.

Задача состоит в том, чтобы определить векторы х и у, макси-
мизирующие функцию прибыли

2(— cixt -
i=*1

и подчиненные ограничениям

i

У/+1	+ 2 (х/—У/) с

7 = 1

И

xz>0,	yz^±0	(/=1, 2......ri).

Правые неравенства в ограничениях первого вида выражают усло-
вия, связанные с вместимостью склада, которая ограничивает всякую
программу покупки и продажи. Левые неравенства напоминают, что
невозможно продать больше продукта, чем имеется в наличии.
Г. Модель анализа' технологических процессов1). Пусть
имеется п технологических процессов, связанных с потреблением т
видов сырья.

Пусть, далее, а^ — количество Z-го вида сырья, расходуемое при
применении /-го процесса с единичной интенсивностью. Интенсив-
ность применения процесса может определяться числом предприятий,
использующих этот процесс, или уровнем затрат труда, который
часто рассматривается как экзогенный фактор; можно принять любое
из этих толкований.

Пусть bt — имеющееся количество Z-го сырья, Cj — цена про-
дукции, полученной в результате применения /-го процесса с еди-
ничной интенсивностью, Xj — планируемая интенсивность /-го процесса.

Нашей целью является нахождение вектора х, подчиненного ог-
раничениям
п

и	при всех / и / и максимизирующего общую стоимость

произведенной продукции

п
^CjX}.

Б.2. Задача линейного программирования и двойственная ей
задача. В предыдущем пункте задача линейного программирования
трактовалась как задача отыскания такого вектора х, что Ах< Ь.
х>0, и функция (с, х) = 2с/х/ принимает максимальное значение.
Эту задачу мы будем называть задачей I. С ней тесно связана за-
дача, называемая двойственной к задаче I, — задача отыскания вектора
У = (У!...у/и),	минимизирующего функцию (у, Ь) = 2 и УД°В’

летворяющего условиям уА^с и у О (А — т X п-матрица,
С = (С1....Сп), b = (6j....ЬтУ).

В этой задаче, которую мы будем называть задачей II, максими-
зация заменена минимизацией, векторы b и с поменялись ролями,
а знак неравенства в основных ограничениях заменен на обратный.
Формально связь между задачами I и II может быть охарактеризо-
вана следующим сопоставлением:

Задача I: х = (хр ..., хл)

Ах^Ь, х^О
шах (с, х)
х

Задача II: у = (Ух.ут)

уА^с. yg^O
min (у, b)
У

!) См. примечание на стр. 303. — Прим. ред.

10 Зак. 1789
Если некоторые из ограничений в задаче I представляют собой
равенства, то в задаче II соответствующие компоненты вектора у
могут изменяться вообще без ограничений (в частности, они могут
быть и отрицательными). Наоборот, если в задаче I некоторая часть
переменных не подчинена ограничениям положительности, то соот-
ветствующие ограничения векторного неравенства уА^с суть ра-
венства.

Если некоторая задача линейного программирования имеет эко-
номический смысл, то и двойственная к ней задача обычно допускает
некоторую экономическую интерпретацию. В модели анализа произ-
водственных процессов, например двойственным переменным yz,
обычно придается характер цен; у принято называть вектором „ус-
ловных оценок", причем „условная оценка" может мыслиться как
фиктивная цена, которая приписывалась бы продукту, если бы эко-
номика строилась на основе полной конкуренции (см. гл. 8). Чтобы
проиллюстрировать высказанную концепцию, мы должны ненадолго
вернуться к модели анализа производственных процессов и к транс-
портной задаче, рассмотренным в предыдущем пункте.

Модель анализа технологических процессов. Пусть у —
вектор внутренних условных оценок, которые общество должно при-
писать своим ресурсам, чтобы отразить их общественную стоимость.
С точки зрения экономики в целом, к общественным ресурсам сле-
довало бы относить (кроме сырья и труда) также аппарат управле-
ния, церковь и т. д. Пусть, как и раньше, Cj — выраженная в дол-
ларах цена продукции, полученной при применении /-го способа
с единичной интенсивностью. Тогда если yz есть внутренняя оценка
единицы /-го ресурса, то

2 У1ау

представляет собой общую стоимость в долларах (согласно этим
оценкам) продукции, затрачиваемой при использовании /-го процесса
с единичной интенсивностью.

Следовательно, ограничения уА> с показывают, что внутренние
оценки не могут быть назначены так, чтобы выгода от производства
превзошла затраты на него. Другими словами, в условиях равновесия
законы экономики не позволяют получать прибыль. Природа этого
допущения и его следствия будут подробно исследованы в гл. 8, где
вопрос о конкурентном равновесии будет рассмотрен с общей точки
зрения.

В двойственной задаче при условиях уАВ^с и у^О мы стре-
мимся минимизировать общую стоимость затрачиваемых ресурсов
Как и раньше, через обозначен запас /-го ресурса.
Транспортная задача. В задаче, двойственной к транспортной,
ограничения имеют вид

СИ —	—

и^О	(1=1.......т),	(5.2.1)

Vj > 0	(7=1.......п).

Здесь Ui может быть интерпретировано как условная оценка (в дол-
ларах или в ином выражении) единицы продукта, посылаемого из
Z-ro пункта производства, a Vj— как условная оценка единицы про-
дукта, доставленного в /-й пункт потребления. Смысл уравнений
(5.2.1) состоит в том, что в условиях равновесия общественная стои-
мость единицы продукта, доставленного в /-й пункт потребления,
составляется из стоимости перевозки и условной оценки единицы
продукта, приготовленного к перевозке в Z-м пункте производства.
Далее мы увидим, что если в оптимальном плане запланирована пе-
ревозка из Z-ro пункта производства .в /-й пункт потребления, то
для соответствующей пары индексов в неравенствах (5.2.1) имеют
место равенства.

Задача, двойственная к транспортной, формулируется следующим
образом. При ограничениях (5.2.1) требуется найти значения пере-
менных Ui и минимизирующие функционал

4 = 1	7=1

где Si — объем производства Z-ro пункта производства и г- — объем
потребления J-ro пункта потребления.

В следующих пунктах будут выявлены дальнейшие связи между
двойственными задачами линейного программирования (см. также за-
дачу 18, в которой условным оценкам придается иной смысл).

5.3. Основные теоремы линейного программирования (пред-
варительные результаты). Настоящий пункт и два следую-
щих за ним посвящены доказательству двух фундаментальных
теорем линейного программирования. В этом пункте мы получим
несколько предварительных результатов, касающихся выпуклых мно-
жеств, и применим их к задачам линейного программирования. В п. 5.4
мы выведем условия, при которых решение задачи существует,
а также связь между решениями задач I и II. В п. 5.5 будет выяс-
нена связь между линейным программированием и теорией игр.

В процессе поисков решения задачи максимизации при ограни-
чениях обычно используют соответствующую форму Лагранжа. Однако
когда вместо уравнений связи, как это обычно бывает в вариацион-
ных задачах, мы имеем дело с неравенствами, исследование соот-
ветствующей формы Лагранжа весьма затруднительно. К счастью,
теория выпуклых множеств оказалась именно тем аппаратом, кото-
рый позволяет преодолеть трудности, вызванные ограничениями типа
линейных неравенств. Вместе с тем следующая лемма играет суще-
ственную роль при изучении формы Лагранжа для задачи I. Поль-
зуясь обозначениями п. 5.2, мы можем определить форму Лагранжа1)
для этой задачи следующим образом:

?(Х. У) = (С, х)—(у, Ь — Ах)	(5.3.1)

при х = (Xj....х„)^0 и у = (Ур .... ут)^0. "

Задача II будет приведена к виду задачи I, если знаки всех па-
раметров изменить на противоположные, т. е. если А, b и с заме-
нить соответственно на —А, —b и —с.

Следовательно, форма Лагранжа, соответствующая задаче II, имеет,
согласно (5.3.1), вид

ф(у, х) = —(у. Ь) + (уА — с. х).	(5.3.2)

где х^О и у > 0. причем, очевидно,

ф(у, Х) = —<р(х, у).

Пара векторов х и у называется седловой точкой для ср(х, у), если

х>0,	у>0	(5.3.3)

и

ср(х, у)<ср(х, у)<ср(х, у) для всех х^О и у>0. (5.3.4)

Следует отметить, что это определение седловой точки вполне
соответствует аналогичному понятию теории игр (см. п. 1.4). Связь
между решением задачи I и седловыми точками функции <р(х, у)
будет выяснена ниже, в теореме (5.3.1). Следующая лемма играет
важную роль в доказательствах теорем 5.3.1 и 5.4.1.

► Лемма 5.3.1. Пусть S — замкнутый выпуклый многогран-
ник в (т + п)-мерном векторном пространстве (m^l), удо-
влетворяющий следующим двум условиям:

(а)	если z= (хр ..., х„, yt.....ym) = (*j^S

и х^О (/=1, ...» п), то у^ЕО, т. е. если у =£ 0, то не все
его компоненты уу	положительны:

(б)	многогранник S содержит хотя бы одну точку
(?)’

для которой х°>0, у°^0 [из условия (а) следует, что в этом
случае у0 есть тождественный нуль].

!)	Переменные задачи II играют здесь в известном смысле роль лагран-
жевых „лямбд*. — Прим. ред.
Тогда существуют п-мерный вектор uQ и т-мерный вектор v°,
удовлетворяющие условиям

(1)	u°^0, v°>0;

(2)	(u°, x)4“(v°, у)^0 для всех * j из S.

Замечание. Смысл этой леммы помогает понять следующая
геометрическая интерпретация. Если многогранник S имеет точки,
лежащие на грани у = 0, и не содержит других точек положитель-
ного ортанта, то он может быть отделен гиперплоскостью от внут-
ренности положительного ортанта и строго отделен от грани х = 0.
Эта лемма может быть получена как непосредственное следствие
теоремы 3.1.1. Однако для того, чтобы сделать содержание этого
пункта независимым, мы приведем еще одно доказательство, кото-
рое к тому же облегчит понимание теории двойственности выпуклых
конусов !) (см. пункт Б. 3 приложений).

Доказательство. Сначала расширим многогранник S сле-
дующим образом. Положим

Т = {(ч)1(ч)-(у) ДЛЯ Нек0Т°Р°Г0 (у)^5}-
(Неравенство в определении Т должно выполняться покоординатно.)
Легко показать, что Т — замкнутый, выпуклый многогранник, содер-
жащий в силу условия (б) отрицательный ортант.

Через Т* обозначим многогранный конус, двойственный к Г.
В явном виде множество Т* задается как

Г={(*)|(«, §) + (?, 4)^0 для

Иначе Т* можно охарактеризовать так:

Т* =1( ₽ )* = 0, Р — °’ (Л‘ Х) + <Р- У)=^° для всех ( у

Здесь ограничения а^О,	необходимы, так как конус Т со-

держит отрицательный ортант. Вторая формулировка определения Т*
основана на определении Т и на том факте» что а и £ обязаны быть
неотрицательными векторами.

Для доказательства леммы достаточно установить, что для каж-
дой фиксированной /-компоненты (1^/^/п) конус Г* имеет непу-
стое пересечение с множеством

= {( J )|us=o, vs=0,

Действительно, в этом случае может быть составлена надлежащая
выпуклая комбинация векторов из Hjt которая удовлетворяет усло-

!) Синонимы: сопряженные конусы, полярные конусы. — Прим, ред.
виям (1) и (2). Для доказательства того, что Т* пересекается с Hj,
предположим обратное, т. е. что T*a.Kt, где

К, = Н U Iи = 0, v^O, v, = ol.

Jo I \ v / I	Jo )

Из теории двойственности выпуклых конусов известно, что
r*z>K* =[( И|^0, 7)^0................ ^.^0,

О к \ Ч / I	7 о

т] +1^0......t^z^O, а ть произвольно}, (5.3.5)

•'о	'о	1

где

Г** — конус с вершиной в начале координат, натянутый на Г,

(5.3.6)

так как Т — замкнутый выпуклый многогранник, содержащий отри-
цательный ортант. Рассмотрим вектор с = ( $ j, у которого п пер-
вых компонент нули, а из остальных компонент отлична от нуля
лишь одна /0-я компонента, которая равна 8 > 0. Очевидно, с при-
надлежит Kj . В силу определений Т и Т* существуют такие ве-
х*
У*

Хх* > 0 (Z = 1, ..., п),

Ху*^О (/= 1........../о—1. 7оЧ- 1. . • •> ^),

Ху*о>8>О.

Последнее неравенство может иметь место только при X > 0; следо-
вательно, х*^0 и у*>0, что противоречит условиям леммы.
Лемма доказана.

> Теорема 5.3.1. Для того чтобы вектор х был решением
задачи I линейного программирования, необходимо и доста*
точно, чтобы существовал такой вектору, чтобы точка [х, у}
была седловой точкой формы Лагранжа (х, у).

и число Х^ 0, что

к Доказательство. Докажем сначала, что если х — решение
задачи I, то существует такой вектор у, что {х, у}—седловая точка
функционала ср(х, у). Рассмотрим в (т~\- 1)-мерном векторном про-
странстве множество

5 =

b —Ах

(с, X—х)
Элементами множества S являются, таким образом, /п —1-мерные век-
торы, у которых первые т компонент совпадают с компонентами
образа b — Ах некоторого неотрицательного вектора х, а последняя
компонента — вещественное число (с, х — х), вычисленное для того
же вектора х. Очевидно, S есть выпуклый многогранник, а из
неравенств b — Ах^О нх^О следует неравенство (с, х) — (с, х)<0,
так как х — решение задачи I.

Далее, подставляя х вместо х в соотношение, определяющее ве-
ктор из S, мы получаем неотрицательный вектор из S. Таким обра-
зом, все условия леммы 5.3.1 выполнены, а поэтому существует
/n-мерный вектор у, удовлетворяющий условиям

У^О	(5.3.7)

и

(с, х) — (с, х)-|-(у; b — Ах)^0 для всех х^О. (5.3.8)

Полагая в (5.3.8) х = х и вспоминая, что

Ах^Ь,	(5.3.9)

мы получаем

(у, b — Ах) = 0 и (у, b — Ах)>0 для у^О. (5.3.10)

Выражения (5.3.7) — (5.3.10) показывают, что {х, у} —седловая точка
функции <р(х, у).

Покажем теперь, что если {х, у}—седловая точка функции
ср (х, у), то х есть решение задачи I. Из неравенств (5.3.4) легко
получить следующее:

(у; b — Ах)^(у, b — Ах) для всех у^О. (5.3.11)

Поскольку любую из компонент у можно выбрать сколь угодно
большой, последние неравенства могут выполняться только в случае

b — Ах^О, х^О.	(5.3.12)

Следовательно, (у, b — Ах)^=0. С другой стороны, если в (5.3.11)
положить у = 0, то получится

(у, b — Ах) = 0.	(5.3.13)

Из неравенств (5.3.4) следует

(с, х) + (у, Ь —Ах)<;(с, х) + (у, Ь —Ах) для всех х^О

(5.3.14)
или, учитывая (5.3.13),

(с, х) -|-(у, Ь--Ах)<(с, х) для всех х^О. (5.3.15)
Поэтому для всех х^О, таких, что b — Ах^О, мы получаем
(с. Х)^(С. X),

т. е. вектор х есть решение задачи I.

5.4. Основные теоремы линейного программирования (продол-
жение). С помощью теоремы 5.3.1 мы можем теперь доказать при
весьма общих условиях основную теорему о существовании решений
задач I и II. Сначала рассмотрим следующую теорему двойствен-
ности, которая описывает связи между решениями задач I и II.

► Теорема 5.4.1. (Теорема двойственности.) Если задача I
имеет решение х, то задача II имеет решение у, причем

(с, х) = (у, Ь).	(5.4.1)

Доказательство. Если х — решение задачи I, то по тео-
реме 5.3.1 существует такой вектор у, что {х, у} есть седловая
точка формы Лагранжа <р(х, у), где

?(Х. у) = (с. х) + (у, Ь —Ах) =

= — {(У. —Ь) —(уА —с. х))= — ф(у. х).
Поэтому

ф(у, х)<£ф(у, х)<5ф(у, х),	(5.4.2)

и, следовательно, {у, х] есть седловая точка функционала ф(у, х) =
= (у, —Ь) + (уА — с, х). Поскольку этот функционал представляет
собой форму Лагранжа для задачи II, у опять-таки по теореме 5.3.1
является решением задачи II.

Так как

(у, b — Ах) = 0 и (уА — с, х) = 0	(5.4.3)

(см. 5.3.10), мы имеем

(У. Ь) = (у, Ах) = (уА, х) = (с, х).

► Теорема 5.4.2. (Теорема существования.) Если задача I и за-
дача II имеют хотя бы по одному допустимому вектору, то
обе эти задачи имеют решения. Для любой пары решений х и у
справедливо равенство (с, х) = (у, Ь).

Доказательство. Пусть у0 — допустимый вектор задачи II,
т. е. у°^0 и у°А> с. Так как множество допустимых векторов
задачи I непусто, возьмем какой-либо допустимый вектор х. Тогда

(с, х)^(у°А, х)=^(у°, Ь).
Поэтому множество

F={(c, х)|х есть допустимый вектор задачи 1}

ограничено сверху, а так как множество допустимых векторов пред-
ставляет собой замкнутый выпуклый многогранник, функция (с, х)
достигает на нем своего максимума.

Остальные утверждения этой теоремы следуют из теоремы 5.4.1.

► Следствие 5.4.1. Если х* и у* — допустимые векторы соот-
ветственно задач I и II, а (с, х*) = (у*, Ь), то векторы х*, у*
образуют пару решений, и обратно.

Доказательство. Из соотношения (5.4.4) следует, что
если х и у — соответственно допустимые векторы для задачи I и II,
то

(с; х)<(у, Ь).	(5.4.5)

В частности, для х и у* мы имеем

(с, х)^(у*, Ь) = (с, х*),

и поэтому х* есть решение задачи I.

Аналогично устанавливается, что у* есть решение задачи II. Об-
ратное предложение содержится в утверждении теоремы 5.4.1.

Доказанное следствие снабдило нас простым вычислительным кри-
терием для проверки: является ли данная пара допустимых векторов
парой решений. Кроме того, благодаря неравенству (5.4.5) допусти-
мые векторы могут использоваться для получения оценок и границ
в задачах I и II. Эти приложения исследуются в гл. 6, где будут
разработаны методы решения задач линейного программирования.

Свойство решений {х, у}, которое выражено формулами (5.4.3),
мы, ввиду его экономической важности, сформулируем как теорему.

► Теорема 5.4.3. Если х
дач I и II, то

и у — соответственно решения за-

(а) (Ах)у

(б) (yA)z

<bi

><л

влечет уу==0,
влечет x-L = 0.

Эти характеристики решений играют существенную роль во всех
вычислительных алгорифмах, но их основное значение выявляется
при их экономической интерпретации.

Рассмотрим, например, модель анализа производственных процес-
сов и двойственную к ней задачу, сформулированные в п. 5.1 и 5.2.
В этом случае пункт (а) теоремы означает, что если х представляет
оптимальный план, при применении которого у-й ресурс используется
не полностью, то этот ресурс имеется в избытке и не имеет денеж-
ной оценки на рынке при конкурентном равновесии. Пункт (б) утвер-
ждает, что если цена продукции, полученной при применении Z-ro
способа, меньше производственных затрат на него, то этот способ
не применяется (иными словами, его интенсивность равна нулю). Оба
условия имеют экономический смысл. Второе из них фактически
означает, что способ, который ведет к денежным потерям, не должен
применяться. Первое же может рассматриваться как следствие закона
предложения и спроса.

5.5*. Связь между задачами линейного программирования и
теорией игр. В двух предыдущих пунктах мы установили существо-
вание решений задач I и II и выяснили связь между этими решениями.
При этом мы ввели в рассмотрение понятие седловой точки, т. е.
задачу игрового типа (форму Лагранжа).

Теперь мы установим связь между решениями задач I и II и
решением матричной игры:

n	т	1

п	0	— Аг	с

В = т А 0	—b .

1	—с	b	О

Числа /п, п и 1, стоящие рядом с матрицей, обозначают число строк
и столбцов соответствующих подматриц матрицы В. Матрица косо-
симметрична; следовательно, значение игры равно нулю. Кроме того,
множества стратегий обоих игроков одинаковы (см. п. 2.5). Произ-
вольную пару стратегий игроков будем обозначать через (х, у, Х) =
==(*!....хп, Ур .... ym. К).

► Теорема 5.5.1. Если симметричная игра В имеет реше-
ния для любого К > 0, то обе задачи линейного программиро-
вания имеют решения, и обратно.

Доказательство. Пусть z = (xp ..., хп, ...... ym,	X)

есть оптимальная стратегия в игре с матрицей В при К > 0. Так как
значение игры равно нулю, то Bz^O или

— у А	сХ<0, Ах — bX<gO, —(с, х) + (Ь, у)^0.

Так как X > 0, из леммы 2.1.2 следует, что в последнем неравенстве
имеет место знак равенства. Поэтому



(5.5.1)
Пусть yz = у/Х и х' = х/Х. Эти векторы допустимы в силу (5.5.1).
Далее, для каждого допустимого вектора х из X (множества всех
допустимых векторов) мы имеем

(с, х)^(у'А, х) = (у', Ах)^(у', Ь) = (с, х').

Следовательно,

шах (с, х) = (с, х')
хС х
и аналогично

min (у, Ь) = (у', Ь).

у€ у

Отсюда следует, что х' и у' являются соответственно решениями
задачи I и II.

Обратно, пусть х = (хр хп) и у = (5^..........ут)— соответ-

ственно решения задач I и II линейного программирования. Положим

Х =_____'......--

xz = Xxz.
yi=hi,
Z = (*1.....Хп, ур .... у”, Х) = (х, у. X).

Ясно, что = 1. Убедимся в том, что z есть решение симметрич-
ной игры В; по теореме 5.4.1

у А	с -> Ху А	Хс —> — уА -j- Хс О,

Ах	b -> АХх	ХЬ -> Ах — Xb	О

и

(с, х) = (у, Ь).

Отсюда видно, что Bz^O; следовательно, z есть решение игры.

Теорема 5.5.1 дает возможность применять полезные результаты
теории игр к линейному программированию, и наоборот.

6.6*. Обобщения теоремы двойственности. Обобщение задач I
и II можно сформулировать следующим образом: пусть А, В, С —
некоторые матрицы соответственно порядков г X я» г X m и s X /z,
и пусть D — произвольная матрица. Пусть, далее, векторы х, у, и и v
принадлежат соответственно пространствам Еп, Ет, Ег и Es.

Задача А. Среда всех матриц D, удовлетворяющих усло-
вию Dy^Cx, где Ах^Ву для некоторых х>0 и у > 0, найти
максимальную матрицу.

Матрица D называется максимальной, если среди всех матриц,
удовлетворяющих указанным выше условиям, не существует такой
матрицы D', что для некоторых х^О и у>0 D'^:D, т. е. каждый
элемент D' не меньше соответствующего элемента D и хотя бы один
из элементов больше.

Задача Б. Найти минимальную матрицу D, удовлетворяю-
щую условиям vD^uB, причём uA>vC для некоторых v>0
и 0.

Замечание. Если А — т X n-матрица, В — т X 1 -матрица,
С — 1 X ^-матрица и D — 1 X 1-матрица (т. е. D.— вещественное
число), то задача А превращается в задачу I.

Сформулируем обобщения теорем 5.4.1 и 5.4.2.

► Теорема 5.6.1. Если задача А имеет решение D, то и за-
дача Б имеет решение D. Обратно, если задача Б имеет реше-
ние А, то и задача А имеет решение А.

к Теорема 5.6.2. Если существуют такие векторы х0>0,
у0 > 0, ио^ЕО и v0 > 0, что Ax0^By0-w u0A^v0C, то мно-
жества решений задачи А и задачи Б совпадают.

Доказательство теоремы 5.6.1. Пусть D — решение за-
дачи А. Рассмотрим в г -|- 5-мерном пространстве множество 5:

e=J/By — AX'
|\Сх —Dy

х>0, у^е

где е — вектор соответствующей размерности, все компоненты кото-
рого равны е (е > 0 — фиксированное число). Множество 5 пред-
ставляет собой такой замкнутый выпуклый многогранник, что из

By — Ах>0, х^О, у>е следует Сх — Dy^O. (5.6.1)

Если бы было Cx^Dy, причем хотя бы для одной компоненты
имело место строгое неравенство, то один из элементов матрицы D
можно было бы, не нарушая неравенства Cx^Dy, увеличить. Это,
однако, противоречило бы предположению о том, что D — макси-
мальная матрица задачи А.

Так как D — максимальная матрица задачи А, векторы х°> О
и у0 > 0 таковы, что

Dy° = Cx°	(5.6.2)

и

Ах° = Ву°.	(5.6.3)

Выберем е>0 настолько малым, чтобы у°>е, следовательно, век-
торы х° и у0 удовлетворяют условиям, определяющим множество 5.
Легко видеть, что при таком выборе е множество S содержит вектор,
у которого хотя бы одна компонента неотрицательна. Таким образом,
множество S' удовлетворяет условиям (а) и (б) леммы 5.3.1.

По лемме 5.3.1 существуют такие векторы п°> 0. v° > 0, что

(u°, By — Ax) + (v0» Сх — Dy)r^0 для всех х^О, у > е. (5.6.4)

Это утверждение можно переписать как

(и°В — v°D, y) + (v°C — u°A, х)<0 для всех х^О, у > е. (5.6.5)

Полагая в (5.6.5) х = 0, мы получаем для всех у>е

Следовательно,

(u°B — v°D, у)<0.

u°B^v°D.

(5.6.6)

Поскольку неравенство (5.6.5) справедливо для любых х>0, у > е,
мы имеем

v°C^u°A.	(5.6.7)

Формулы (5.6.6) и (5.6.7) показывают, что D является допустимой
матрицей для задачи Б.

Докажем теперь, что D — минимальная матрица задачи Б. Допу-
стим, что D не минимальна; тогда найдется такая матрица А, что

A^D,
vA>uB,
uA^ vC

(5.6.8)

(5.6.9)

(5.6.10)

для некоторых u > 0 и v > 0.

Отсюда следует, что

(v, Dy°) > (v,	Ay°)>(u, Ву°) в

>(и,	Ах°)	в

^:(v,	Сх°)	В

>(v,	Dy°)	в

силу (5.6.8) и (5.6.9),

силу (5.6.3),

силу (5.6.10),

силу (5.6.2),

а это невозможно, Следовательно, D — минимальная матрица задачи Б.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказательство теоремы 5.6.2. Пусть Ву0 = Ь и
v0C = c. Рассмотрим симметричную игру с матрицей

О —Аг + с

А 0 —b .

— с —b 0

Пусть (х, u, X) — оптимальная стратегия игрока I, Тогда (с, х) —
— (b, и)^0. Если Х = 0, то иА^О и Axs=0, откуда

0^(uA, x0) = (u, Ax0)=S(u, By0) = (u, b).
Точно так же из неравенства Ах^БО следует, что (с, х)<0.
С другой стороны, если К > 0, то по лемме 2.1.2 (с, х) — (b, и) = 0.
Таким образом, в любом случае мы имеем (с, х) — (b, и) = 0.

Согласно теореме 3.1.1, должна существовать оптимальная стра-
тегия с X > 0. Для любой такой стратегии (х, и) должно быть
(с; х) = (и, Ь), иА>Хс и ХЬ^Ах. Векторы и и х могут быть
нулевыми. Пусть и = и/Х и х = х/Х. Тогда uA>c = v0C; Ах^Б
<;Ь = Ву0, а также (и, Ь) = (с, х) или (u, By0) = (v0C, х), что
равносильно равенству (uB, y0) = (v0, Сх). Если (иВ, у0) #= 0, то
положим

Ру= <“g’ У) <4.
(нВ, у0)	’

а в противном случае —

Dv — W У) 1 I О» У)с*
У — (Vo, 1)	(1, Уо) ’

где 1=(1, 1........ 1).	Легко видеть, что Dy0 = Cx и v0D = uB,

а также, что справедливы неравенства Ax±gBy0 и uA>v0C. Таким
образом, построенная матрица D удовлетворяет условиям задач А
и Б. Нам осталось показать, что D есть решение этих задач. Пред-
положим, что матрица A>D обладает свойством Axz±gByz и
Cxz>Ayz, где yz > 0 и xz>0. Тогда Cxz^Ayz^Dyz, причем
хотя бы для одной компоненты имеет место строгое неравенство.
Из свойств вектора {u, v0} следует, что

Значит, скалярное произведение неотрицательного вектора {xz, yz}
и вектора {§, iq} неположительно. Однако

(5.6.12)

причем неравенство имеет место для какой-нибудь из компонент,
отвечающих 0. Таким образом, поскольку v0 > 0, скалярное произ-
(а \	_

} и {u, v0) строго положительно. Но оба этих
г /

скалярных произведения представляют собой одно и то же выраже-
ние. Мы получили противоречие, и теорема доказана.

5.7.	Задача о рациональном использовании склада. Пункты
5.7—5.12 посвящены аналитическому исследованию конкретных мо-
делей, приводящих к задачам линейного программирования.
В этом пункте мы рассмотрим сформулированную в п. 5.1 задачу
о рациональном использовании склада. Склад вместимости С исполь-
зуется для хранения некоторого товара. Начальное количество имею-
щегося в наличии товара обозначим через А. Требуется определить,
сколько товара следует покупать и продавать в течение каждого
из п периодов времени, чтобы получить максимальную прибыль.
Считается, что покупка производится в конце каждого периода.
Обозначим через xt количество товара, купленного в конце /-го
периода, через cL— цену единицы товара в конце Z-ro периода,
через yz — количество товара, проданного за Z-й период, а через
bt — его продажную цену. Мы хотим максимизировать форму

*= 2 IM/—cixii
i = 1

Условия задачи приводят к ограничениям двух типов: (1) невоз-
можно покупать больше, чем может вместить склад, и (2) невоз-
можно продать больше товара, чем имеется в наличии. Математи-
чески эти условия записываются как

д+ 2 (*/ —(/=1,2................п) (5.7.1)

И

I

2 (*; —Уу)	(/ = 0,1..... п-1).	(5.7.2)

J =1

Кроме того, имеются обычные ограничения: xz^0, yz>0 для
Z = 1, 2, ...» п.

Мы начнем с решения двойственной задачи, после чего решение
исходной задачи получится немедленно. Двойственная задача состоит
в минимизации формы

п	п

(С-А) 2 ti + A 2 «Z.

i = 1	i = 1

где Zz^0, ui^zQt при ограничениях

Tk Uk+1^ ck	(k=\t 2, ..., n),

-Tk + Uk>bk	(£=1, 2....л),

где мы положили
n.	n

Uk=^ai и (ZB+J = 0.
i=k	i = k

Условия неотрицательности tt и равносильны условиям

Tk_^Tkt Тп>0 и Uk_^Uki Un>0.	(5.7.3)
Нам нужно минимизировать при этих ограничениях форму (С — Л) Т} +

Из ограничивающих соотношений (5.7.3) видно, что минимальными
значениями для величин Tk и Uk будут

T* = max(— сп. 0),

Z7* = тах(£л4-7^, 0),

T*_i = max(L/* —	71*),

L/Li = max(^_i + ^_i, £/„),	(5.7.4).

71^_2 = max (L/^-i —

причем в конце концов получаются формулы для Т* и и\. Иными
словами, если при некотором k значение Uk(Tk) выбрано большим,
чем Uk(Tk), то, как следует из ограничений, Тг и Ur превзойдут
соответственно 7\ и Ui, Следовательно, 7\ и Ui дают решение
двойственной задачи.

Из рекуррентных равенств (5.7.4) следует, что 7\ и U* зависят
от и Ci линейно. Следовательно, форма (С — А) 71*-|- AU\ может
быть переписана следующим образом:

(С —Л)Т;+Л^; = 2[^Л(Я, С) — cg^A, С)].	(5.7.5)

Z

где Д(Л, С) и gi(A, С) — функции, зависящие только от векто-
ров А и С. Неотрицательность функций fL и gt может быть полу-
чена из их определения; действительно, все коэффициенты при bj
в формулах (5.7.4) неотрицательны, а все коэффициенты при Cj
неположительны.

В дальнейшем будет показано, что векторы с компонентами
у9 = fZG4, С) и x^ — g^A, С) являются допустимыми. В силу след-
ствия 5.4.1 план, соответствующий так определенной паре (х°, у0),
будет самым выгодным из возможных.

Остается лишь проверить допустимость векторов х°, у0. Из ре-
куррентных формул (5.7.4) видно, что возможен один из
двух случаев.

Случай А.

Ui = bi—+ — £2+ • •• + ^z + 7'z+i>
7*1 =--^1Ч“^2---с2 -j- ..о -j- bl 4" т 1 + 1

для некоторого 1 <Z^n, или
* ___________________________________*

их = Ьх + Т2,
* *
тх = т2.

следующих

(5.7.6)

(5.7.6а)
Случай Б.

{71=^1 С1 -р ^2 •••  ^/Ч"^/+2»

Т1 = — С1 + #2--£2+ ••• Ч~ CJ'4~ ^J+2

для некоторого	— 1) (если j = п—1, то

£/у.|_2 = 0), или

и*х = и*2,

Л = — d + ^2.

Мы имеем

Л’4 1 = — ^Z + ^-Ь bl + k2 — ci + k3 + • • •»

полагаем

(5.7.7а)

где 1 < kx < k2 < .. . (если / + Л1 >п. то 71*+1 = 0). Аналогично
U j +-2 — 4“ b.j + 24-^! — С , 2 + l3 + • • •»

где 0</1</2< ••• (если J-\- 2-)- > п — 1, то t/*+2 = 0).

Так как вид U* и Т* известен [см. (5.7.6) и (5.7.7)], нетрудно
непосредственно проверить соблюдение условий (5.7.1) и (5.7.2).

5.8.	Задача об оптимальном назначении. Пусть имеется ш
работ, которые должны быть распределены между m рабочими,
причем на каждую работу назначается по одному рабочему. Будем
считать, что /-Й рабочий на j-й работе создает продукт ценности
a/;(aZy>0). Задача состоит в отыскании такого распределения m
работ между ш рабочими, которое дает максимальный общий доход.
Каждое распределение работ по рабочим записывается как пере-
становка

/1, 2, ..., m
S = [ . .

\Л» h.......Jm

где работа 1 поручена у^-му рабочему, работа 2 — /2-му рабочему
и т. д. Таким образом, задача заключается в том, чтобы среди
всех ш ! возможных перестановок чисел 1, 2......tn, каждая из ко-

торых представляет /n-мерный вектор (/р /2, ...» /т), выбрать такую,
которая максимизирует выражение

m

Эту же задачу можно сформулировать, пользуясь понятием пере-
становочной матрицы. Перестановочной называется такая m X w-
матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой один эле-
мент равен 1, а все остальные — нули. Если через & обозначить

11 Зак. 1789
множество всех перестановочных т X /n-матриц, то наша задача сво-
дится к отысканию такой матрицы Р°, что

max 5 ацРи— 3

& i, J	i, j

Фон Нейман сводит задачу об оптимальном назначении к реше-
нию некоторой 2/п X /и2-игры !), потому что в большинстве случаев
игру решить легче, чем отыскивать максимум на множестве всех
перестановочных матриц. Прежде чем доказывать эквивалентность
задачи об оптимальном назначении и игровой задачи, мы рассмотрим
первую как задачу линейного программирования.

(1) Рассмотрим множество Я? всех дважды стохастических т X w-
матриц. Напомним, что матрица ||х/;-|| называется дважды сто-
хастической, если 2^4;=^ лля всех у, 2Xij“l для всех * и
i	j

для всех I и у. Ясно, что множество % представляет собой
выпуклый многогранник, поскольку оно образуется пересечением 2/п
гиперплоскостей и положительного ортанта /п2-мерного пространства.

► Лемма 5.8.1. Матрицы класса & образуют выпуклое мно-
жество, причем перестановочные матрицы являются его край-
ними точками.

Доказательство. Выпуклость множества уже была отме-
чена выше. Пусть Х=||х/у-||—одна из крайних точек этого мно-
жества.

(а) Матрица X имеет не более 2/п — 1 строго положительных
элементов.

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим следую-
щую систему уравнений:

т

S г0=°	0=1. 2......т),

(б-8-1)

5^7 = 0	(7=1. 2......ту

4 = 1

Эта система содержит 2/п уравнений с /п2 неизвестными, но линейно
независимых уравнений здесь не более чем 2/п—1, так как

') См. Дж. фон Нейман, Об одной нулевой игре двух лиц, эквивалент-
ной задаче оптимального назначения, сборник [2]. — Прим. ред.
Матрица А системы (5.8.1) имеет вид

11 ... 1

11 ... 1 J (5.8.2)

1 ... 1

1 1
•	• /и

1... 1

(все элементы, кроме обозначенных единицами, — нули). Мы знаем,
что матрица А имеет размеры 2т X ^2» а ранг ее не превосхо-
дит 2т — 1.

Предположим, что матрица Х=||х/;|| имеет не менее чем 2т
ненулевых элементов. Для тех I и /, для которых х/у- = 0, мы
в уравнениях (5.8.1) примем = 0 и будем рассматривать (5.8.1)
как систему уравнений относительно оставшихся переменных. Так
как имеется не менее 2т неизвестных, а ранг матрицы А равен
2т — 1 (см. задачу 6 к гл. 6), существует ненулевое решение си-
стемы, которое мы обозначим через z^.

Выберем е настолько малым, чтобы для всех Z, J выполнялись
неравенства	и xtj —	Введем обозначения

Х,=||х«Ч-е2у|| и X2 = ||xzy-ez/y||.

Легко убедиться в том, что Х1 и Х2 принадлежат классу те.

Но X = j (X! + Х2); следовательно, X не является крайней точкой.

(б) Если X — крайняя точка, то X — перестановочная матрица,
и обратно.

Это утверждение доказывается следующим образом. Согласно (а),
если X — крайняя точка, то не более 2т—1 ее элементов отличны
от нуля. Значит, в такой матрице имеется хотя бы одна строка, со-
держащая всего один ненулевой элемент. Этот элемент должен быть
равен 1 (так как сумма всех элементов строки равна 1) и является
поэтому единственным отличным от нуля элементом в своем столбце.

Однако если X — крайняя точка множества то матрица, по-
лучаемая вычеркиванием строки и столбца с одним ненулевым
элементом, есть также крайняя точка множества (/п—1) X (w—1)-
матриц типа ST,

Повторяя предыдущее рассуждение, мы приходим к выводу, что
матрица X может иметь лишь один ненулевой элемент в каждой
строке и в каждом столбце и поэтому является перестановочной
матрицей.

Обратное, т. е. что всякая перестановочная матрица является
крайней точкой множества «ЯГ, очевидно, и лемма доказана.

Поскольку <^cz^, то

max 5 а„Хц => max 5 аири.

Но всякая матрица	есть выпуклая комбинация крайних

точек множества «ЯЛ так что (по лемме 5.8.1)

шах 2 ^нхи = тах 2 анРц*
х$х J Р^&

Таким образом, матрица Х°£^, максимизирующая 2
должна быть или элементом множества или выпуклой комбина-
цией всех элементов максимизирующих 2	Поэтому,

зная Х°, мы можем найти матрицу Ро£<^, максимизирующую
2 aijPij- Следовательно, при отыскании максимума можно вместо &
рассматривать множество ZV.

’ Произведем дальнейшее расширение нашей области, включив
в нее множество У матриц ||У/у||. удовлетворяющих условиям
для всех J, 2у/;^^ для всех и для всех /, /.

Очевидно, что

max 2 аиУи — max 5 ai}xi},
У	X

причем максимум достигается только на элементах из

► Лемма 5.8.2. Если матрица ||	|| £ У максимизирует

“°

Доказательство. Положим 2^/;==г/ и 2^O' = S/ тогда
у	*

2/'z = 2s; = ^- Если одно из чисел ri (например, г/0) меньше 1,
i j

то одно из чисел s} (например, $/в) также меньше 1, и обратно;
при этом К меньше, чем т.
Пусть
. (l-rf)(l-sy)

тогда, очевидно, t^j > 0. Кроме того,	—г/ и S *4 ~

= \—Sj, так что Zzy + y«y^:O и 2<?17 + У-у) = 1 ~ri + ri = 1
J

для всех Z, J. Точно так же сумма по I равна 1. Поэтому

Но

hj	i,j

где с — положительное число, и поэтому || у^ || не является точкой
максимума. Это противоречит предположению, следовательно,

Теперь наша задача приобретает вид задачи линейного програм-
мирования. Выбирая надлежащим образом у из яг2-мерного простран-
ства, мы хотим максимизировать сумму 2 ПРИ 0ГРаничениях

у^О и Ау±Би, А — матрица из леммы 5.8.1, а и есть 2яг-вектор
(1, 1....1). Таким образом, решение задачи линейного програм-

мирования приводит к решению задачи об оптимальном назначении.
Двойственной к рассмотренной задаче будет следующая: выбрать
вектор z = (^...... tm, ........ 5*ш),	минимизирующий форму

2^ + 2$/ пРи ограничениях z^O и zA>||aZy||.

В записи по компонентам ограничения имеют следующий вид:
^• + sy>:aZy, Zz>:0, Sy>0 для всех Z, у.

(2) Фон Нейман сводил задачу оптимального назначения к анта-
гонистической игре, определяемой 2/n X яг2-матрицей:

	tn  1/йц ... 1/а1т  1/а21 ... 1/а2т
т	•  •
в =	1 !^т\ • • * ^l^mtn  1/^21	•••
т	• • •  •••	^l^mm

(все необозначенные элементы матрицы равны нулю).
Решение задачи об оптимальном назначении может быть скон-
струировано из компонент оптимальной стратегии игрока II в этой
матричной игре. Пусть

— (^>0	уО ^>0	а>0	л>0	а>0 \

z —\*1Г •••*	1m* *21.............*ml* ***' zmm)

— такая оптимальная стратегия. Тогда скалярное произведение z° на
любую строку матрицы В должно быть меньше или равно vt где
v — значение игры; иными словами, Bz0^ у. где v = (t>, v, ..., v).
Поскольку aZy > 0, должно быть и v > 0.

Пусть

уо. =
aijv

Ясно, что	а так как вектор z°— оптимальный, мы получаем

1	для всех I и	для всех хотим показать,

что у0 максимизирует 2	Заметим, прежде всего, что

2	а =	Допустим, что для некоторого у £ 2/ имеет

место 2 ацУц — М' > М. Положим

-  адУц
~ М' ’

Тогда и 2^/; = 1’ так что z оказывается стратегией игрока II
i> j

в игре с матрицей В. Оценим скалярное произведение z и Z-й
строки:

J	j

Для последних т строк мы получаем

V	I 1 V	1

2j z4 ai} ~ М' 2л	М' < V’

что невозможно, так как v— значение игры. Следовательно, у0 мак-
симизирует функционал 2 адУд на У-

Однако ранее было установлено, что если у0 максимизирует
2 адУд> то	следовательно, решение задачи об оптимальном

назначении может быть извлечено из представления у0 в виде вы-
пуклой комбинации крайних точек.
Матричную игру В можно интерпретировать как игру в прятки.
Рассмотрим матрицу

1/Лц 1/д12 ... 1/я1т

1/л21 1/л22 ... 1/^2т

1/^ml Чагп2 • • • 1Мmm II

Игрок I выбирает строку матрицы или ее столбец, а игрок II —
одну из ее клеток. Если клетка находится в строке или столбце,
выбранном игроком I, то последний платит сумму, указанную в этой
клетке. В противном случае он не платит ничего. Читатель может
убедиться в том, что матрицей этой игры действительно является
матрица В.

5.9. Транспортная задача и задача о потоке. Транспортная
модель была введена в п. 5.1; в настоящем пункте мы будем поль-
зоваться теми же обозначениями. Если отвлечься от экономической
интерпретации, то транспортная задача принимает следующий вид:
требуется минимизировать функционал

п т

2 2 xijcij

j = 1 i = 1	' J

при ограничениях

m

^x^r.	(7 = 1.»).

I	= 1

n

2	Xij^Si (Z= 1....nt),

7 = 1

для всех Z, j.

(5.9.1)

По предположению, 0, rj > 0 и st > 0. Существование решения
очевидно.

В этом пункте мы будем всюду предполагать, что	st (т. е.

/ <

что суммарный объем производства не меньше суммарного объема
потребления).

► Лемма 5.9.1. Решениями задачи (5.9.1) могут быть лишь
векторы, удовлетворяющие условиям

i	J
Доказательство. Предположим, что х° = ||х^|| есть реше-
ние задачи (5.9.1) и что для некоторого у0

S	> ГЛ-

Тогда существует такой номер Zo, что х^о > 0. Положим = х^,
если Z =/= Zo, или j Jq и у/0;0 = Х/о;о— е; тогда при достаточно
малом е > 0

Ясно',то

I, J	hJJ

а это противоречит тому, что х° — решение. Следовательно,
2х9. = г . для всех J.

i	}

В дальнейшем мы будем считать, что	(т. е. что сум-

*	У i

марное производство равно суммарному потреблению). Тогда всякий
вектор, удовлетворяющий условиям (5.9.1), удовлетворяет, очевидно,
также условиям

^xU==rj>	^ixij = si и x/yS=0.	(5.9.2)

i	J

Обозначим через Г совокупность векторов х=||хн||, удовле-
творяющих условиям (5.9.2). Будем теперь искать решения задачи
(5.9.1) только среди векторов, принадлежащих Г.

Читатель уже мог заметить, что задачу об оптимальном назначе-
нии можно рассматривать как тот частный случай транспортной за-
дачи, для которого rz = = 1 и т = п. Поэтому естественно
ожидать, что многие результаты, установленные для задачи о на-
значении, имеют аналоги для транспортной задачи. Некоторые из них
будут сейчас рассмотрены.

Матрица основных ограничений транспортной задачи напоминает
матрицу (5.8.2):

•^11.....х\п' Х21........х2л» • • • хт\.......хтп

1 ... 1
1 ... 1

т

1 ...	1

А= 1 1 ... 1
• • •
л

1

1

1
Пусть <!) = ($!, .... sm, гр ...» гп). Тогда система ограничений
(5.9.2) может быть записана как векторное равенство Ах = со.

При исследовании любой задачи линейного программирования
желательно иметь характеризацию крайних точек множества до-
пустимых векторов, поскольку оптимум должен достигаться именно
в одной из них. Для этой цели полезна следующая лемма.

к Лемма 5.9.2. Если rt и Sj — целые числа, не все равные
нулю, то крайние точки Г содержатся в подмножестве целых
точек Г, т. е. таких точек, координаты которых являются
целыми числами. Существует, по крайней мере, одна строка
(или один столбец), имеющая не более одного отличного от
нуля элемента.

Доказательство основано на той же идее, что и доказательство
леммы 5.8.1. Из аргументации, примененной в ходе доказательства
этой леммы, видно, что всякая крайняя точка х£Г имеет не более
т-^-п—1 ненулевых координат. Следовательно, существует строка
или столбец (пусть это будет для определенности строка), где со-
держится не более одного ненулевого элемента, который обязан быть
целым (так как все числа г, целые). Вычеркнув эту строку и изме-
нив соответствующим образом одно из чисел Sj, мы получим край-
нюю точку х, описываемую матрицей, имеющей /п — 1 строк и не
более п столбцов, причем новые rt и Sj снова целые числа. Повто-
рение этих рассуждений доказывает лемму.

Из леммы 5.9.2 легко получается следующая теорема целочислен-
ного программирования.

► Теорема 5.9.1. Если числа rz и Sj — целые, то существует
решение х° задачи (5.9.1) с целыми компонентами х®

i j

Теорема 5.9.1 весьма привлекательна. Она утверждает, что если
объемы производства и потребления исчисляются в целых неделимых
единицах товара (например, 50 холодильников, 2000 мешков соли
и т. п.), то оптимальный план, минимизирующий издержки, требует
перевозок целого числа единиц товара с пунктов производства в раз-
личные пункты потребления, даже если a priori мы и допускаем
планы, допускающие перевозки дробных количеств товара.

Задача о потоках в сетях. Оставшаяся часть этого пункта
посвящена исследованию задач, связанных с потоками в сетях. Эта
модель тесно связана, а в известном смысле даже эквивалентна
транспортной модели. Сетевая задача естественно возникает при
изучении транспортных сетей. Пусть задана сеть, т. е. совокупность
узлов и направленных дуг, причем выделены два узла, один из
которых назван источником, другой стоком1). Каждую дугу можно
понимать как железную дорогу, соединяющую два конечных пункта,
а узлы могут мыслиться как склады, расположенные на промежу-
точных станциях. Каждой дуге сети сопоставляется неотрицательное
целое число — ее пропускная способность; каждый узел также
имеет определенную пропускную способность, которую можно по-
нимать как емкость склада. Можно считать, что ребра, имеющие
одним из концов источник, состоят из дуги, направленной от этого
источника. Аналогично ребра, инцидентные2) со стоком, состоят из
дуг, направленных к нему.

Требуется найти максимальный поток от источника к стоку при
следующих двух условиях: (1) на каждом ребре направление потока

совпадает с направлением одной из входящих в него дуг и не пре-
восходит его пропускной способности; (2) поток через каждый узел
не превосходит его пропускной способности. Поток, входящий
в каждый из промежуточных узлов, должен быть равен потоку, вы-
ходящему из него. Значение потока определяется суммой. потоков,
выходящих из источников, лежащих на этой дуге. Так как любой
поток удовлетворяет ограничениям на пропускную способность, его
значение равно также сумме потоков, входящих в стоки. Рассмотрим,

’) Задача, в которой имеется несколько источников и стоков, причем
каждый из источников связан с каждым стоком, может быть сведена к за-
даче с одним источником и одним стоком.

Случай, когда допускается поток в обоих направлениях при ограничен-
ной общей пропускной способности каждого ребра, сводится к предыдущему,
если каждое ребро интерпретировать как пару дуг, по одной из которых
допускается поток в одном направлении, а по другой — в противоположном.,
Ограничение общей пропускной способности ребра заменяется парой таких
же ограничений, налагаемых на поток в каждом из направлений, поскольку
рассмотрение потока одновременно в обоих направлениях не дает никаких
преимуществ.

Вместо отдельного рассмотрения узлов и их пропускных способностей
можно рассматривать дуги, связывающие узлы сами с собой.

2)	Дуга (или ребро) называется инцидентной узлу (стоку, источнику),
если она начинается в этом узле, но не оканчивается в нем или оканчи-
вается в нем, но не начинается. — Прим. ред.
например, рис. 6, где источник и сток обозначены соответственно
плюсом и минусом и указаны пропускные способности дуг и узлов.
Максимальный поток для случая этой сети представлен на рис. 7.

Пусть число xz^0 h /=1, .w) обозначает поток
от Z-ro узла к /-му1); хн (Z=l........tri) есть поток через Z-й узел;

xQj (/=1, ...» /п)— поток от источника к /-му узлу; Xi9— поток
от Z-ro узла к стоку.

Для общей задачи о потоках в сетях мы введем псевдотранс-
портную конструкцию:

суммы:

•Х'ОО **4)1	Х02	* • •	Хвт	0

Xjo	— хи	хх2	• • •	х\т	0

хт0	Хт\ Хт2 • • • хтт —

суммы: 0	0	0	0

которая схематизирует систему уравнений

— xZi+ 2*/; = °	(/ = 0, 1....т),

(5.9.3)
—	2*<у=°	(7 = 0. 1.....»»)•

Ясно, что здесь х^ есть значение потока, и задача состоит в макси-
мизации Ход при ограничениях (5.9.3) и

0<xzy<azy (Z, /)#=(0, 0),	(5.9.4)

где atj — заданные неотрицательные числа, определяющие пропуск-
ные способности узлов и дуг. Если Z-й и /-й узлы дугой не соеди-
нены, то полагаем aZ;==0.

*) То есть суммарный поток по всем путям, не имеющим общих дуг,

выходящих из Z-ro узла и входящих в у-й.— Прим. ред.
Эта задача не вполне совпадает с транспортной, поскольку на
главной диагонали соответствующей матрицы стоят отрицательные
числа. Заметим, что ограничения (5.9.3) подобны уравнениям (5.9.2)
при Гу = 5/ = О. Однако теория, развитая для транспортной задачи
(в частности, теорема 5.9.1), непосредственно переносится на задачи
такого рода даже при наличии ограничений сверху. Мы опускаем
доказательство этого факта.

5.10. Теорема о максимальном потоке и минимальном раз-
резе. Путем называется любая совокупность дуг и узлов, ведущая
от источника к стоку. Разрезом в ориентированной сети называется
совокупность дуг и узлов, пересекающаяся со всяким путем, соеди-
няющим источник со стоком. Значением разреза называется сумма
пропускных способностей всех входящих в него узлов и дуг. Ясно,
что максимальный поток не может превосходить минимального зна-
чения разреза, и наоборот. Таким образом, мы имеем следующую
теорему.

► Теорема 5.10.1. Максимальное значение потока равно
минимальному значению разреза.

Эта теорема по существу есть перефразировка теоремы двойствен-
ности (теорема 5.4.1) для случая задачи о потоке в сети. Для того
чтобы провести доказательство, исследуем вид двойственной задачи.

Введем матрицу

’от» **ю» *11» • • •» х\т • • • хто> хт\.хтт

1

1 —1 ... 1

1 1 ... —1

1 ... 1

—1 1

• •

1 1 ... -1

/

где / — единичная матрица порядка zn2 —|— 2/п.
Положим

2m+2

Ь = (0, 0, ...» О, а01, а02, .... аОт, а10, ап, ..., атгг^.

Тогда ограничения задачи о потоке в сети можно записать в матрич-.
ной форме, как Ax±gb, причем для первых 2m 4-2 компонент имеет
место равенство. Поскольку в задаче о потоке отыскивается макси-
мум х00, система двойственных ограничений для двойственных пере-
менных wz(Z = O, ..m), V] (у = 0, 1, ..., т) и wZy[(Z, у) =# (0, 0)]
приобретает вид

ui	$

— «/ — +

— uQ —

о)/у>0

(Z, у = 0...т; /¥=/).

(Z= 1, ..m),

(Л У) =# (0, 0).

(5.10.1)

Обозначим множество всех (я, vt со), удовлетворяющих усло-
виям (5.10.1), через Т. Так как среди исходных ограничений имеется
2m-]-2 равенств, переменные ut и Vj изменяются без ограничений
(см. стр. 146). В силу теоремы 5.4.3 для оптимальной стратегии
(кроме тривиальных случаев) должно быть х00>0; следовательно,
— uQ — -v0=l. Далее, поскольку одно из уравнений (5.9.3) является
излишним, мы можем произвольно положить z/0 = 0, откуда vQ— — 1.

Здесь нам понадобится следующая лемма.

к Лемма 5.10.1. Если яо = О и v0= —1, то координаты
крайних точек Т обладают следующим свойством: ut равны 0
или 1 для всех i\ Vj равны 0 или — 1 для всех j и равны 0
или 1 для всех пар Z, у.

Доказательство. Система (5.10.1) содержит m24~ 4m пере-
менных и 2т24-4т неравенств. Крайние точки Т представляют собой
решения всех возможных наборов по m24~4m независимых уравне-
ний с таким же числом неизвестных. Все множества уравнений,
выводимых из (5.10.1), можно свести к следующим соотношениям:

= w/ + (D/o=

Ч--Ь== О	(/, /=1......т\ z*/)-(5102)

ш^ = 0	(I, j ¥= 0, 0),

— ut — vt 4~ <oz/ = 0	(Z = 1....т).

Подставив, там где нужно, <0^ = 0, мы получим систему уравнений
для оставшихся ut и Vj.
Если в системе (5.10.2) отсутствует уравнение =0, то соот-
ветствующая переменная может быть определена с помощью
одного из оставшихся уравнений:

= 0 (Л У=#0, 0 и

— ui —	= 0 (I ¥= 0),

= о	(У =# 0)

или

ut 4“	= 1	0).

Из этих уравнений нельзя определить zzz и Vj. Но если Z, J не
равны нулю, то значения переменных ut и Vj могут быть определены
из 2/п независимых уравнений, каждое из которых имеет вид

ul-\-Vj = 0t Vj = 0 или zzz=l.	(5.10.3)

Каждая переменная (i = 1, ..., т) и (j — 1, ..., tn) входит
в некоторые из уравнений (5.10.3). Легко видеть, что система неза-
висимых уравнений типа (5.10.3), содержащая все переменные
и ^y(Z, У = 1, . . ., /и), может иметь лишь решения, в которых zzz
равны 0 или 1, а г/у равны 0 или —1. Из системы (5.10.2) следует,
что о).у равны 0 или 1, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 5.10.1. Двойственная задача
заключается в минимизации функционала 2 ПРИ ограниче-

И

ниях (5.10.1). В силу теоремы двойственности (теорема 5.4.1) и
леммы 5.10.1

max Хоо = 2	(5.10.4)

где а — множество тех дуг Z, J и узлов Z, для которых coZy=l. По
теореме 5.4.3 <oz-=l влечет xZy=aZy, a cozz = 1 влечет хи = аи.
Утверждается, что а представляет собой разрез. По предположению,
все aZy, для которых Z, Jf£a, возрастают при е > 0. Из (5.10.4)
видно, что это увеличение не может изменить решения двойственной
задачи и, следовательно, не может увеличить поток в данной сети.
Но если существует путь от источника к стоку, не пересекающийся
с о, то очевидно, что поток может быть увеличен. Таким образом, а
есть разрез, а так как поток не может превзойти значение какого-
либо разреза, а есть минимальный разрез.

5.11*. Задача о поставщике. Для того чтобы обслуживать сто-
ловую в течение т последовательных дней, поставщику требуется Гу
чистых салфеток в у-й день. Обычная стирка продолжается р дней
и обходится b центов за салфетку; срочная стирка выполняется за
q дней (р и q — целые числа) и стоит с центов за салфетку. Новая
салфетка стоит а центов. Как должен поставщик организовать обслу-
живание столовой, чтобы потребности были удовлетворены, а расход
за т дней оказался бы минимальным?

Другая интерпретация этой модели относится к военной авиации.
Стирка соответствует ремонту техники, за единицу времени есте-
ственнее вместо дня принять месяц и т. д.

Практические соображения диктуют следующие ограничения:

Гу^:О (у =1, .... /п), а > b, а> с, с > b, pZ>q-
Пусть Xj есть число салфеток, покупаемых для использования
в /-й день, у у— сумма в центах, выделяемая на обычную стирку,
Zj — на срочную и, наконец, Sj — число грязных салфеток, имею-
щихся на y-й день (У=1, ...» /п). Прописными буквами обозначим
накопленные количества, например

J

Xy = 2^i» и т. д.

Задача о поставщике в этих обозначениях формулируется следую-
щим образом.

Задача А. Требуется минимизировать общую стоимость
т	т	т

а 2 Xi + b 2	2 Zj = aXm + bYm^ cZm (5.11.1)

7=1	7 = 1 7	7=1

при ограничениях

xi + yj-p + z)-4^ri>	(5.11.2)

(5.11.3)

Ху, уу, Zy, $у>±0,	(5.11.4)

где J =lt ..т, so = O, y_k = z_k = 0 для

Формула (5.11.2) выражает потребности, а (5.11.3) — конкретную
обстановку. В формулировке ограничений подразумевается, что ни одна
салфетка не покупается и не стирается раньше времени. Задачу
о поставщике можно формулировать как распределительную или
транспортную задачу, в которой вместо пунктов производства уча-
ствует поставщик, вместо мощностей рассматривается ежедневный
расход салфеток, а ежедневные потребности в чистых салфетках и
предельно допустимое количество грязных салфеток заменяют соот-
ветственно спрос в пунктах потребления и емкость промежуточных
складов (см. задачу 10 гл. 6). Следовательно, некоторые частные
вычислительные схемы для транспортной задачи могут с успехом
быть применены и для численного решения задачи о поставщике.
Для наших целей, однако, некоторые свойства задачи о поставщике
важнее, чем ее численное решение. Для последующего анализа мы
воспользуемся методом Джекобса, который дает явное аналитическое
решение в случае р—\—q. Подход Джекобса — изящный пример
сведения сложной задачи линейного программирования к задаче более
простого вида.

В задаче А могут быть сделаны два упрощения. Во-первых, ясно,
что ограничения (5.11.2) могут быть переписаны так:

xj + yJ_p-\-zj_q = rj (7=1......т).	(5.11.2а)

Во-вторых, салфетки нет смысла отдавать в стирку, если они не вер-
нутся к zn-му дню; таким образом, уу = 0 (т— p<J<m) и
z^ = 0 (т— q < j </п). Тогда функция издержек принимает вид *

аХт~\~ bYт_р-\- cZm_q.

Заметив, что Хт-\- Yт_р-\- Zm_q = Rm [это равенство получено сум-
мированием (5.11.2а) по у = 1...т], мы получим

bYm_p + cZm_q = (a— b) X т-\-(с — b) Zm_q + bRm =
= « - V { Xm-\-Zm_q} + 0Rm.

Теперь задача А свелась к следующей задаче.

Задача Б. Требуется минимизировать

^m + Zm_q	(5.11.5)

при ограничениях (5.11.2а), (5.11.3), (5.11.4), где

—“4 > °-
с — b

Преобразуем теперь переменные, для того чтобы исключить из
ограничений задачи индивидуальные х;-. Суммируя (5.11.2а) до /, мы
получаем

Xi+Y^ + Zj.^Rf,	(5.11.6)

а суммируя (5.11.3) до J — р, мы получаем

r,_,+Z,_t+Sl_p = R^,.	(5.11.7)

Вычитая (5.11.7) из (5.11.6), мы получаем

z,_, - Z,_, - s,., = R, - Я,.,.	(5.11.8)

Перейдем от переменных (х, у, 5, z) к переменным (w, и* v, z) по
формулам

™ = Хт> uj = Xm-Xj^-sj-p,	+
Тогда формулы (5.11.8), (5.11.2а) и (5.11.4) запишутся в виде

w + zi_q — Z7._p — = R, — Rj_p,	(5.11.9)

=	(5.11.10)

W,	Zj, UJ, Vj^O,	(5.11.11)

а функция, подлежащая минимизации, примет вид

\w^-Zm_q.	(5.11.12)

Докажем теперь следующую лемму.

> Лемма 5.11.1. Задача Б может быть сведена к следующей
задаче.

^Задача В. Минимизировать функцию (5.11.12) при ограни-
чениях (5.11.9) — (5.11.11).

Доказательство. Как отмечалось выше, каждому допусти-
мому вектору (х, у, s, z) задачи Б соответствует допустимый век-
тор (w, и, V, z) задачи В. Обратное не имеет места. Однако каждое
решение задачи В является образом допустимого вектора (х, у, s, z)
задачи Б.

Пусть (w, и, vt z) — оптимальный вектор; положим Xm = w и
Х: = w— min uh

так что X] не убывают. Из первого соотношения (5.11.9) вытекает,
что	следовательно, все величины Xj = Xj — неотри-

цательны. Далее,

min 4/=0,

1 i= j т

так как в противном случае w и и^ могут быть уменьшены на опре-
деленное число, что противоречит предположению об оптимальности.
Следовательно, оба наших определения Хт совпадают. Далее,
Хт — Xj^Uj\ следовательно, Sj_p = Uj — Хт-\- Xj>0.

Остается показать, что все числа у у = vj+p— xJ+p неотрица-
тельны. Если хй = 0, где & = /-]-/?, то доказательство закончено.
Предположим поэтому, что хк > 0. Тогда из определения хк сле-
дует, что Хк = Хт— ик и uL > 0 для i < k. Допустим, что zk_p
положительно; тогда если мы уменьшим zk_p на некоторое число и
вместе с тем уменьшим uk_p+q, uk_p+q+v ..., ик_х на то же самое
число, а также подходящим образом изменим vk_p+q, то ограниче-
ния задачи В останутся прежними, в то время как Zm_q уменьшится.

12 Зак. 1789
Это противоречит предположению об оптимальности; следовательно,
zk_p = 0. Далее,

sk-p=' Uk	==: О’

поэтому

У} = Ук-р — г+	— sk-p —zk-p = 0 + г*-р + $*-Р-1	°-

Лемма доказана.

В силу леммы 5.11.1 нашу задачу можно сформулировать сле-
дующим образом.

Задача В'. Минимизировать функцию [\<w Zm_q\ при сле-
дующих ограничениях'.

w = Zj_q-ZJ_p^Rj-Rj_p (/=1,2................т), (5.11.13)

(7=1, 2, ...» т},	(5.11.14)

O^w.	(5.11.15)

(Читатель может заметить, что мы заменили ограничения задачи В
на эквивалентные им так, что все ограничения приняли вид нера-
венств.)

Алгорифм решения задачи о поставщике при произвольных р и q
содержится в задачах 22—26 (см. также комментарии к этому пункту
в конце главы). Здесь же мы ограничимся случаем q = р — 1 и
найдем решение задачи В' в явном виде.

При q = p—1 формулы (5.11.13) перепишутся следующим
образом:

w + Zj-q^Rj — Rj_q_x	(7 = 1....т).	(5.11.16)

Из (5.11.15) и (5.11.14) мы получаем

w^Rj — RHq (7=1.............т).	(5.11.17)

Положим

w = w — max
1 i щ
Hi=Ri—R)-p — max {Я/-1 —Rl-p}-
tn

Тогда (5.11.16) и (5.11.17) можно записать, как

W-|- Zj_q^Hj, w>0.

Покажем теперь, что задачу В' можно привести к следующему виду.

Задача В". Минимизировать функцию 'Rw-\-Zm_q при огра-
ничениях

'W-\-Zj_q^Hj,	W>0, Zj_q^Q.
Доказательство. Ясно, что решение задачи В' допустимо
для задачи В".

Пусть w, Zj-q — решение задачи В". Покажем, что тогда соблю-
даются условия (5.11.14).

Из соотношения

Rj-p — (fy-i Rj-p) ~ rj

следует, что вектор Zj_q> для которого Zj^q^rjt не может быть
отрицательным.

Решение задачи В" определяется следующей леммой.

► Лемма 5.11.2. Пусть ах> ... >ат>0. Тогда решение
задачи о минимизации функции	при ограничениях

wZj> ар w О, Zj^zO (j = 1, ..., т)
дается формулами

w = aW+v ^ = max{0. a J — a|X)+1J
при k </п. Если то минимум достигается при
w = 0, Zj=aj.

Доказательство. Для произвольного	значение Zm

минимально, если

^ = max{0, aj — w] (у = 1, ...» т).

Пусть	Рассмотрим функцию

cp(wft) = Xwft + 2max{0. a- —wft} =

/ = 1
k	k

= Xwft + S(ay — w*) = (X — k)	+

;=1	;=1

тогда должно быть

ср (wft) — ср (<wk+1) = (X — k) (wk —	+1) — (aft+1 — WA+1).

^0, если

^0, если k < X— 1.

Отсюда видно, что ср(^л) принимает наименьшее значение, когда
= й = [Х]4-1,
а это и требовалось доказать.
Если теперь результат переформулировать для первоначальной
задачи, то решение задачи А получается в следующем виде:

Zj =max	— w), 0},	[из (5.11.2a)],

x, = max {Ri — R^p — zt_p+l} — max' {/?, — Rt_p — ^_p+1),

[из (5.11.7)],

У/ = Pi+Р Xj+p	^/ + 1

где

/7,== max И/?; — Rj_p— max {/? — Rj-P}\ 0)

и w=//(X]+i, причем [kJ есть наибольшее целое число, не превос-
ходящее (а— Ь)/(с— d).

5.12*. Модель биржевой игры. В течение т-\-\ периодов
времени могут продаваться или покупаться различные акции. Цены bk
в течение каждого периода могут быть предсказаны и поэтому
предполагаются известными. Несмотря на это нереальное предположе-
ние, анализ такой детерминированной задачи представляет все же
некоторый интерес.

Обозначим через Хк~х количество акций, имеющееся к началу
&-го периода. Изменение капитала за &-й период равно bk(X k~x—X ky,
Xky>Xk_1 означает, что была произведена покупка; если же
Xk < Xто часть акций продана. Мы считаем цену запаса акций
на некоторый период пропорциональной количеству имеющихся акций;
но эти ценности не реализуются до истечения т периодов и, таким
образом, не влияют на количество денег, которые можно использо-
вать для игры. Чистый доход за &-й период равен поэтому

bh(Xk^-Xk)-cXk.

Если принять во внимание процент на капитал Z, то общий доход
за все т-\-\ периодов будет равен

т

где а = т|?, (5.12.1)
л=о

полагая Аг_1 = 0. Сумма денег Мк> имеющаяся на руках, удовле-
творяет рекуррентному соотношению

Мк =	+ ьк (Хк_х - Хк\	(5.12.2)

где Мо — фиксированное число, обозначающее начальное количество
денег, предназначенных для игры на бирже. Требуется найти такую
программу биржевой игры, которая максимизирует общий доход при
ограничении	для всех k. Иными словами, игрок не может

купить акции в долг, и займы также запрещены.

Ограничивающие неравенства можно переписать как

Z=0

(А = 1, ..., /п), (5.12.3)

где &о = О. Наша задача заключается в том, чтобы при ограниче-
ниях (5.12.3) найти такую программу X, для которой максимизируется
выражение

пг-1

2 а' (otfy+1 - bс) X; + этХт (- Ът - с).
;=о

(5.12.4)

Очевидно, что максимум достигается здесь при Хт = 0 (к концу
m-го периода все акции проданы).

Исследование должно определить оптимальные Xk для всех
предшествующих периодов времени. Это оправдано тем, что в огра-
ничивающие соотношения для XL входят только иксы с меньшими
индексами. Например, если коэффициент azn“1(a&/?z —	— с) при

Хы-г положителен, то оптимальное значение Хт_} в (5.12.3) должно
равняться правой части соответствующего неравенства

т-2



(5.12.5)

при условии, что это выражение положительно.

Мы покажем, что положительным значениям Xt в оптимальной
программе должны соответствовать подмножества индексов Z, обла-
дающие свойством Ьм—Следовательно, верхние границы
в неравенствах (5.12.3) всегда положительны. Короче говоря, если
цены понижаются, то запас увеличивать невыгодно. Однако если
цены растут слишком медленно, можно акции не покупать, чтобы
сохранить кацитал для будущего.

Обратимся теперь к определению решения в явном виде. Не-
которые полезные для этого выводы мы можем сделать из соотноше-
ния (5.12.5). Отметим, что если имеет место равенство (5.12.5)
(т. е. если abm—	— с > 0), то коэффициент при Хт_2 в (5.12.4)

должен иметь вид

аТО~2 («*,„-1 ~ ^-2 ~ с) +  ЬтЧ ~ Ьт=?-	№т-Ът_х - с). (5.12.6)

ит~1
Следовательно, если коэффициент (5.12.6) положителен, то Хт_2
нужно выбирать как можно большим, так что [см. (5.12.3)]

----------------------• (5Л27)

Подставляя это значение Хт_2 в (5.12.5), мы получаем

\г ____ / =0

Это соотношение выполняется всегда: как только в ограничивающей
формуле (5.12.3) для некоторого Xt выполняется равенство, то и
последующие Xt обладают тем же свойством. Далее, если коэффи-
циент (5.12.6) положителен, то bm_x > Ьт_2. Если же коэффи-
циент (5.12.6) отрицателен, то Х^.2^0 и из (5.12.5) следует, что

т-3

Mo + ^ibi+i-bUXt
у _____ ^т-г ___________________

bm_l Ьт_2

Разберем теперь общий случай. Построение будем вести по индук-
ции. Предполагая, что формулы для Xt при	— 1

определены, постараемся найти выражение для XTk.

Допустим, прежде всего, для определенности, чтоа^——с>0,
так что Хт_х > 0. Читатель легко проведет рассуждение для про-
тивоположного случая.

Случай 1. Пусть

Х/==0 для r2<Z^rp r4<Z<r3......rk<l^rk_v

f rk	\

h h h А1о + 2(^+1-М*И
v .. % , Ч Ьтк I >*°______________I

1	brt ' Ц • • • brk_t \	brk	/

для f m — 1,

.	. [M^%(bi+i-bj)x\	(5-12-8)

у _ %	4 I /-o_____________

b'3'" b'k-A b'b J
для
/	rk	\

. pw0 + 2(^+i-M^ 1

v _ °rk \	y=o	I

л« brl(_l \	br/t	J для f*-i <
причем ш — 1 > г! > г2

rk_x > rk. Подставляя эти выраже-

ния в (5.12.4), мы видим, что коэффициент при XTk равен

аГЧаЧ+1-\~с)+

I brk + x~brk
brk

brk-2 brk

brk-3 brk_l

I ЙГ2

brk

brk-x r
rk-\

az(a^+i— bt~ c) +

<l^Tk-2

a'(afcz+i— bt — c)H-

ГЛ-4^~ГЛ-3
brl	brk

bri Ьгз brk-i

2 аЧа^+1-^-с) • (5.12.9)

Поэтому если выражение (5.12.9) отрицательно, то оптимальное
значение должно быть равно 0. В этом случае мы рассматри-
ваем коэффициенты при Arr^_i после первого приведения всех соот-
ношений (5.12.8) и замечаем, что они имеют тот же самый вид.
Если коэффициент (5.12.9) положителен, то > brk и ^rk должен
равняться своей верхней границе в (5.12.3). Мы приходим таким
образом к второй группе соотношений, которые справедливы, если
последняя группа определенных иксов удовлетворяет ограничитель-
ным соотношениям (5.12.3) с равенством на верхней границе. Эти
соотношения имеют следующий вид:

Случай 2.

Xt = 0 для r2<Z^rp r4<Z^r3..........rk <Zl^rk_1

и ^+1
rk+i

l А	А <+ 3 (bJ+t-b})X}

l~ hrx ^‘"br^	brk+l + l

для Ti < i m — 1,
rA + l

A	A Ma+ (bj+l-bj)Xj

x — hi brk fa_________________________

l~ br3 ' ‘ ‘ b'k-x	brk + i + X

для r3 < i < r2,

Mo+ ^\b)+l-b})Xj

2G =	-	6r*+I + l	для fft-1 1	r*-2’

Mo+ X (bJ+l- bj)Xj

xi =------J-Tr— 	ДДЯ гк+1 <^rk.

4 + 1 ~

(5.12.10)
Относительно	решение принимается в зависимости от знака

его коэффициента . получающегося, если подставить (5.12.10)
в (5.12.4). Коэффициент ^гл+1 равен

Ч+141~Ч+1
Ч+1+1

(5.12.11)

Резюмируем: формулы Хк определяются шаг за шагом, начиная
с Xm_v Для каждого X мы проверяем, какому из соотноше-
ний (5.12.8) или (5.12.10) он удовлетворяет. Если выполняется (5.12.8),
то формула для следующего X определяется в зависимости от
знака (5.12.9). Если выполняется (5.12.10), то формула для следую-
щего X определяется в зависимости от знака (5.12.11).

Теперь ясен алгорифм построения решения. В силу описанной
индукции все X-t удовлетворяют системе уравнений типа (5.12.8)
и (5.12.10). По получении очередного Xt для построения следующих
предыдущие уравнения преобразуются с учетом только что получен-
ного Xt. В конечном счете получается система линейных уравнений
относительно всех X-t с треугольной матрицей коэффициентов, так
что явные значения X-L могут быть последовательно вычислены.

5.13.	Задачи.

1.	(а) Имеются два изделия, которые должны в процессе произ-
водства пройти обработку на четырех станках I, II, III и IV. Время
обработки каждого изделия на каждом из этих станков задается
следующей таблицей:

|	I	II	III	IV

А	2	4	3	1

В	4-	2	1	4

4

Станки I, II, III и IV можно использовать соответственно в тече-
ние 45, 100, 300 и 50 часов. Продажная цена изделия А — 6 дол-
ларов за единицу, а изделия В — 4 доллара. В каком соотношении
следует производить изделия А и В, чтобы получить максимальную
прибыль?
Решить задачу в предположении, что изделие А требуется в коли-
честве не менее 22 штук.

2.	Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами
нефти А и В, причем при переработке получаются бензин и мазут.
Три возможных производственных процесса характеризуются следую-
щей схемой:

(1	) 1 единица сорта А + 2 единицы сорта В -> 2 единицы ма-
зута 3 единицы бензина;

(2	) 2 единицы сорта А 1 единица сорта В -> 5 единиц ма-
зута -|-1 единица безина;

(3	) 2 единицы сорта А + 2 единицы сорта В -> 2 единицы ма-
зута 4~ 1 единица бензина.

Допустим, что цена мазута 1 доллар за единицу, а цена бензина
10 долларов за единицу. Найти наиболее выгодный производственный
план, если имеется 10 единиц нефти сорта А и 15 единиц нефти сорта В.

3.	Некто хочет вложить 1000 долларов в три акционерных пред-
приятия, не более чем по 40’0 долларов в каждое. Акции предприя-
тия А продаются по 50 долларов и владелец их получает дивиденд
в размере 2 долларов в год; акции предприятия В стоят по 200
долларов при дивиденде 5 долларов в год; акции предприятия С
продаются по 20 долларов и владелец их не получает дивидендов,
но имеется надежда, осуществляющаяся с вероятностью !/2, что цена
акции через год возрастет до 25 долларов. Если этого не прои-
зойдет, то цена акции останется прежней. Какой капитал следует
вложить в каждое из предприятий, чтобы максимизировать сумму
дивидендов плюс ожидаемый выигрыш в течение года?

Примечание. Допускается приобретение долей акций.

4.	Решить следующую задачу линейного программирования:

min(x1-r-2x2 + 3x34“ ... -\-пхп)

при ограничениях
х1-|-^2+ • • •	—

5.	Построить пример задачи, не имеющей ни одного допустимого
вектора, удовлетворяющего ограничениям (5.1.1).

6.	Построить пример задачи, для которой множество допустимых
векторов непусто, но задача I не имеет решения.

7.	Имеется п нефтеперерабатывающих заводов, потребляющих
в день £).(/=1, 2, ..., ri) единиц сырья, и т месторождений, про-
изводящих ежедневно Qy(j=l, 2, ..., rri) единиц. Стоимость до-
ставки единицы нефти с j-го месторождения на /-й нефтеперера-
батывающий завод равна р^.

Будем считать, что
п	т
Поставить задачу линейного программирования, описывающую
ежедневный процесс очистки нефти и предусматривающую максими-
зацию дохода при естественных ограничениях.

8.	Доказать, что если все компоненты вектора b неотрицательны
и существует допустимый вектор у для задачи II, то задачи I и II
имеют решения.

9.	Доказать, что задачи I и II имеют решения, если все компо-
ненты вектора b и все элементы матрицы А положительны.

10.	(Обобщенный слабый принцип Лешателье.) Рассмотрим за-
дачу I: ищется шах(с, х) при ограничениях Ах^Ь, х> 0. Пусть
х0— решение. Через 8с обозначим такое приращение вектора с, что
функция (8с, 8х0)>0 максимизируется вектором х04~8х0 при тех же
ограничениях. Доказать, что х0 удовлетворяет условию (8с, 8х0)>0.

И. Самолет может поднять М фунтов груза. Летчику предложено
для погрузки п предметов, Z-й из которых весит az и стоит (3Z.
Какие из данных предметов должны быть погружены, чтобы стои-
мость груза была максимальной, а вес не превосходил грузоподъ-
емности самолета? Сформулировать задачу математически и решить ее.

12.	Даны два набора чисел av а2......ап и bv b2, .... Ьп.

Требуется расположить at так, чтобы минимизировать сумму

где числа образуют перестановку индексов 1, 2.......п.

13.	Фирма должна составить расписание обработки п объектов,
причем обработка Z-ro объекта требует 1\ единиц времени. Общим
временем ожидания для конкретного объекта назовем период времени
до окончания его обработки. Требуется найти порядок обработки п
объектов, минимизирующий суммарное время ожидания всех объектов.

14.	Требуется обработать п объектов. Пусть Tt— время, тре-
буемое для обработки Z-гб объекта; обозначим через Dt срок, к ко-
торому должна быть закончена обработка Z-ro объекта. Если объекты
обрабатываются в порядке нумерации, то задержка для Z-ro объекта
равна = 7\• •• + Л— Положим △ = max 8Z. Показать,
что если Dj < D2 < D3 < . . . < то порядок 1, 2, 3, . .., п
минимизирует величину △.

15.	Доказать, что система линейных уравнений уА = а не имеет
неотрицательных решений в том и только в том случае, когда не-
равенства Ах<0 и (а, х) > 0 совместны.

16.	Пусть А и В — две т X n-матрицы и ^>0. Назовем вещест-
венное число X допустимым, если существует такой вектор х>0,
что Ах>ХВх. Через й обозначим множество всех допустимых X,
которое будем считать непустым и ограниченным сверху.
Число [л назовем допустимым, если существует такой вектор
у>0, что yA^jiyB. Обозначим через М множество всех допусти-
мых [л и предположим, что М непусто и ограничено снизу.

Доказать, что

Хо = supX^p.0= inf [л.

17.	Доказать, что если ((В + А)х, у) > 0 для любых х^О и
у^О, то выполняются все условия задачи 16 и, кроме того, Х0 = |а0.

18.	Пусть г/(Ь) = max (с, х), где вектор х удовлетворяет нера-

X

венствам х^О, Ax^gb. Доказать, что г/(Ь) является вогнутой
функцией Ь, и показать, что неравенства

справедливы для любого набора условных оценок ур у2, .... ут,
где и — обозначают соответственно правую и левую производные.

19.	Пусть с — n-мерный вектор. Через / обозначим множество
индексов I, для которых cL > 0, через J—множество индексов, для
которых Cj = O, а через К — множество индексов kt для которых
ck < °-

Каждому 1(^1 сопоставим вектор az = (0, 0, .... 1, 0.....0)

с единицей на Z-м месте; аналогично каждому j^J сопоставим век-
тор Ру==(О, 0..... 1, 0, .... 0) с единицей только на у-м месте.

Каждой паре индексов Z £ /, k £ К соотнесем вектор

’»-(о.......4'0.........-£•0...........°)'

причем число l/cz стоит на Z-м месте, а число —l/ck — на &-м.
На остальных местах стоят нули.

Обозначим через Т (с) матрицу, столбцами которой являются век-
торы az, (3Z и vlk. Доказать, что система неравенств (с, х)>0, х>0
выполняется для тех и только тех векторов х, которые представимы
в виде х = Т(с)со при некотором со^О.

20.	Пусть х0 и у0 — соответственно решения задач I и II,
а х0-|-5х0 и у0j-30 — решения задач, получаемых из задач I и II
заменой с, b и А на с—}— 8с, b —|— 8Ь и А + 5А. Доказать, что

— (5с, Зх0) + (у0Н-5у0, 8А8х0) + (5у0, А8х0)<0

И

— (8у0, 5Ь) + (5у0, 8А(х0 + 5х0)) + (8у0, A8xo)s=O.

Указание. Воспользоваться теоремой 5.3.1 о седловой точке.

21.	Пусть S — замкнутый, выпуклый, ограниченный многогранник
в Еп, причем для всех y£S у>0. Доказать, что существует такой
вектор V, что v>0 и (v, у)^0 для всех y£S.
Задачи 22—26 основаны на следующей конструкции. Пусть
Ар А2, ...» Ат— данные векторы в n-мерном пространстве, все
координаты которых равны 0 или 1, причем (а) единицы занимают
в векторах Az несколько последовательных мест и каждый вектор Az
содержит хотя бы одну единицу; (б) если компоненты, равные 1,
стоят в векторе Az на местах а. а-\- 1, . . Ь, в векторе Ау на
местах с, 1, . . ., d и если а < с, то b<d.

Пусть заданы положительные постоянные rz (Z=l, ri) и про-
извольные (Z=l,.... ri). Рассмотрим следующую задачу.

Задача к. Минимизировать функцию

п

I = 1

при следующих ограничениях, налагаемых на X и zz:

(Az, z)>/z— X (Z=l, .... п),
(i=l.........................«),

XssO.

22.	Показать, что задача о поставщике из п. 5.11 есть частный
случай задачи А.

В дальнейшем будем считать, что множество допустимых векто-
ров непусто.

23.	Описать метод решения задачи А при фиксированном X.

24.	Показать, что если вектор z (X) = z° (Х)-±- ...-j-z^(X)
является решением задачи А при фиксированном X, то z(X) пред-
ставляет собой выпуклую невозрастающую кусочно-линейную функ-
цию X.

25.	Решить задачу А до конца в случае, когда Az = (0, 0, ..., 1,
О, . . ., 0) с единственной единичной компонентной на Z-м месте.

26.	Опираясь на задачи 23 и 24, описать алгорифм решения об-
щей задачи А.

Комментарии
и библиография к главе 5

5.1.	Формальная теория линейного программирования появилась вскоре
после второй мировой войны, хотя отдельные задачи линейного программи-
рования рассматривались еще в прошлом столетии. Например, отдельные
результаты из теории линейных неравенств восходят к ранним работам
Вейля [1], Фаркаса [1] и Моцкина [1]. Исчерпывающие данные имеются
в сборнике [12].

Данцига обычно называют отцом линейного программирования J), так как
именно он с Дж. фон Нейманом разработал основной вычислительный
алгорифм для решения задач линейного программирования. Позднее большое

9 См. примечание к стр. 143. — Прим. ред.
число важных результатов как в теории, так и в ее приложениях было по-
лучено Чарнсом и Купером. Чарнс, Купер и Хендерсон [1] изложили введе-
ние в теорию линейного программирования и симплекс-алгорифм.

В рассчитанном на читателей среднего уровня учебнике по линейному
программированию Гасса [1] содержится ряд вычислительных схем, прило-
жимых к различным типам задач, а также обширная библиография прило-
жений этой дисциплины.

Лица с небольшой математической подготовкой, интересующиеся в основ»
ном экономической теорией, могут обратитьтя к книге Дорфмана, Самуэль»
сона и Солоу [1].

Среди других многочисленных работ по практическим применениям
линейного программирования можно указать работы Фергюссона и Сар-
жента [1], а также Рейнфельда и Фогеля [1].

Значительное влияние на развитие теории линейного программирования
оказало изучение задач анализа производственных процессов, причем осо-
бенно следует отметить результаты Купманса и работы экономистов из ко-
миссии Коульса. Читателю можно рекомендовать двухтомник под редакцией
Купманса [2], посвященный этим задачам, а также работы Моргенштерна [1] и
Дорфмана [1].

Впервые задача линейного программирования (хотя и не названная так)
была решена Хичкоком [1]; она является одним из вариантов транспортной
задачи. Метод, примененный им, был одним из видов симплекс-метода. Из
совремменных задач линейного программирования раньше всех была рас-
смотрена задача о диете, впервые сформулированная и изученная Стигле-
ром [1]. Исторический интерес представляют также задачи о планировании
действий военно-воздушного флота, которыми занимались Вуд и Данциг.

Наиболее трудоемкие исследования задач линейного программирования
связаны с нефтяной промышленностью. Обзор трудностей и достижений ли-
нейного программирования в этой области дается Манном [1].

Транспортная задача, иногда именуемая распределительной задачей Хич-
кока, является наиболее известной задачей линейного программирования.
Этой задаче и ее вариантам посвящена обширная литература (см., например,
Канторович [1], Купмане и Рейтер [1], Флуд [1] и Форд и Фулкерсон [3]).
Задача о рациональном использовании склада, описанная в настоящей главе,
содержится в работе Чарнса и Купера [1]. Различные виды задач анализа
производственных процессов связаны с именами Леонтьева [1], Самуэль-
сона [1] и Купманса [1].

Методы теории линейного программирования сделались основным аппа-
ратом исследования операций. Во многих руководствах по исследованию
операций излагаются начальные сведения из теории линейного программи-
рования (см. гл. 11—13 из книги Чёрчмана, Аккофа и Арнофа [1], а также
Вайда [1]).

5.2.	Интерпретация двойственной задачи линейного программирования еще
не вполне выяснена. Подробнее об истолкованиях решения двойственной
задачи см. у Самуэльсона [3] и Удзава [3] (см. также Купмане [2]).

5.3.	Доказательство леммы 5.3.1 является новым. При этом несколько
расширяется база, на которой обычно основываются доказательства теоремы
существования и теоремы двойственности линейного программирования.

5.4.	Теоремы существования и двойственности являются основными тео-
ремами линейного программирования; почти все остальные результаты бази-
руюся на этих двух предложениях. Имеется большое число несколько отли-
чающихся друг от друга вариантов этих теорем; наиболее важные из них
принадлежат Данцигу [1], а также Гейлу, Куну и Таккеру [2].

5.5.	Эквивалентность теории матричных игр задачам линейного програм-
мирования впервые была обнаружена Данцигом [1] и Дж. фон Нейманом.
Взаимодействие этих двух математических дисциплин способствовало раз-
витию каждой из них. Основное, что объединяет эти предметы, — это оди-
наковый характер идей и общая методика.

5.6.	Матричное обобщение теорем двойственности и существования было
впервые предложено в работе Гейла, Куна и Таккера [2]. Они доказали как
теорему 5.6.2, так и ее обобщения. Здесь приведено новое доказательство
этой теоремы, а также новая по формулировке и доказательству теорема 5.6.1.

5.7.	Задача о рациональном использовании склада была поставлена и ре-
шена Чарнсом и Купером [1]. Однако они не дали строгого обоснования
оптимальности предложенного ими алгорифма. В настоящей работе такое
обоснование проведено. Чарнс и Купер предложили многочисленные обоб-

щения задачи.

5.8.	Задача об оптимальном назначении, также как и все ее модификации,
была рассмотрена Дж. фон Нейманом [3]. В данном пункте изложен более
изящный подход к проблеме, предложенный Данцигом.

5.9.	Более половины приложений линейного программирования, описанных
в сборнике докладов на конференции 1956 года (см. сборник [6]), относятся
к транспортным задачам. В публикациях, касающихся линейного програм-
мирования, можно найти множество работ, развивающих вглубь и вширь
различные варианты модели, описанной в данном пункте. В этом смысле
типичны работы Форда и Фулкерсона [1], [2] и Куна [3].

5.10.	Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе — красивое
приложение теоремы двойственности. Этот результат был получен Фордом и
Фулкерсоном [1]. Примерно в то же самое время другие авторы указывали,
каким образом многие из комбинаторных проблем теории множеств можно
трактовать как приложения теоремы двойственности. Например, пусть
Р — конечное частично упорядоченное множество, состоящее из элементов
ftj,..., Ьт. Цепью называется множество, состоящее из одного элемента

или нескольких различных элементов bt

bik, причем Ъ^ь^.. ,^blk

Говорят, что множество дизъюнктных цепей покрывает Р, если каждый
элемент Р принадлежит некоторой цепи из этого множества. - Требуется
найти минимальное покрытие Р (Данциг и Гофман [1]). Относительно дру-
гих приложений теоремы двойственности см. Фулкерсон [1], Форд и Фул-
керсон [31.

5.11.	Задача о поставщике была предложена и частично решена Джекоб-

сом [1]. Другой подход к общей задаче, приведший к алгорифму для ее
решения, был дан в работе Гаддума, Гофмана и Соколовского [1]. Их методы
приложимы к задаче более общего типа (см. задачи 22—26).

Прагер [2] заметил, что задача о поставщике может быть сформули-
рована как транспортная задача, и поэтому к ней применимы многочислен-
ные специальные методы, разработанные для транспортной задачи.

5.12.	Задача о биржевой игре впервые рассмотрена Эрроу и Карлином [1].

5.13.	Решение задачи 10 было впервые дано Самуэльсоном. Обобщение
этого результата, воплощенное в формулировке задачи 20, было сделано
Бекманом. Формулировки задач 13 и 14 взяты из работ Смита [1]. Задача 18
принадлежит Самуэльсону [3]. Задача 19 предложена Удзава (не опублико-
вана). Задачи 22—26 основаны на результатах Гаддума, Гофмана и Со-
коловского [1].
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И ТЕОРИИ ИГР

Мы уже видели, что большое количество разнообразных задач
сводится если не к теории игр, то к теории линейного программи-
рования. Всякому, кто р.ешает конкретную задачу, важнее всего
получить численный ответ. В этой главе мы изучим сравнительно
простые, но эффективные методы, позволяющие получать численные
ответы в задачах линейного программирования и теории игр. Мы
сконцентрируем свое внимание на двух таких методах: симплекс-
методе Данцига решения задач линейного программирования и ите-
ративном алгорифме Брауна определения значения игры.

Оба эти метода могут быть запрограммированы для машинного
счета и практически сходятся гораздо быстрее, чем это гаранти-
руется теорией. Именно существование этих численных методов
объясняет в значительной мере огромный интерес к линейному про-
граммированию и теории игр и их практическое значение.

Первые два пункта настоящей главы посвящены описанию и ис-
следованию симплекс-метода; в третьем пункте демонстрируется
применение этого метода к решению задачи о смесях. В качестве
образца использования других методов для решения частных задач
линейного программирования в п. 6.4 мы приведем решение задачи
о потоке через сеть. В последнем пункте рассматривается алгорифм
Брауна, а также приближенный метод вычисления значения игры при
помощи дифференциальных уравнений.

Эта глава является лишь введением в вычислительные методы,
применяемые в теории принятия решений. Следует помнить, что
использование особенностей конкретной задачи в сочетании с общими
методами теории часто приводит к решению скорее, чем шаблонное
применение стандартного вычислительного алгорифма. Последнее по
необходимости справедливо в отношении задач нелинейного програм-
мирования (см. гл. 7), для которых общих вычислительных методов
пока не существует. В соответствии с этим в настоящей главе основ-
ное внимание будет уделено взаимодействию общей теории и вычи-
слительного процесса.
6.1 Симплекс-метод. Рассмотрим задачу I линейного програм-
мирования: найти вектор х, максимизирующий функцию L (х) = (с, х)
при ограничениях

S aijX^bl(l= 1, .. ., /п),	(6.1.1)

Множество векторов х, удовлетворяющих ограничениям, будем
обозначать ч.ерез S.

•Опишем теперь вычислительный процесс получения решения
задачи I, который называется симплекс-методом. (Симплекс-алгорифм
для двойственной задачи описан в п. 6.2.) Обоснования различных
шагов процесса даются по ходу изложения.

По существу этот метод представляет собой систематический
способ последовательного определения надлежащих крайних точек
множества допустимых векторов S. Поскольку функция, подлежащая
максимизации, линейна, а множество S выпукло, максимум (если он
существует) должен достигаться в крайней точке S.

Симплекс-метод начинается с первоначального выбора некоторой
крайней точки. Это легко сделать, если ограничения представляют
собой линейные неравенства (см. подпункт Д данного пункта). Как
только некоторая крайняя точка оказывается известной, можно
выяснить, является ли она решением задачи. Если нет, то мы ищем
новую крайнюю точку S, которая в большей степени может претен-
довать на максимизацию формы L. Направление в S, по которому
мы двигаемся для определения этой новой крайней точки, является,
по существу, направлением градиента функции L. После конечного
числа шагов мы либо получим решение, либо убедимся в том, что
максимум бесконечен и задача решения не имеет.

Приступим теперь к детальному изложению метода.

А. Введение свободных переменных. Первый шаг симплекс-
метода состоит в превращении неравенств (6.1.1) в равенства. Это
достигается введением т новых переменных xn^v .... хп+т, назы-
ваемых свободными:

п

xn + k — bk — ^akjxj (Л=1.................тУ t6-1-2)

Если перейти от матрицы А к матрице

яи • • • а\п

&т\ • • • ^тп

1 . . . О

1 :

О . .. 1
а от вектора х к вектору х = (хх.......хп, xn+v . .., xn+m)t то

система ограничений Ах<Ь, х^О в соответствии с (6.1.2) пере-
пишется следующим образом:

Ах —Ь И Х>:0.	(6.1.3)

Если мы теперь вместо вектора с рассмотрим новый вектор с = (сР
с2. .... сп, сп+1...сп+т), где сл+1= ... =сп+т = о, то наша

задача линейного программирования приобретет следующий вид:
среди всех векторов х, удовлетворяющих условиям Ах = Ь их>:0,
найти такой вектор х0, что

(с, х0) = шах(с, х).
х

Вычислительный процесс применяется только к последней из этих
двух эквивалентных задач.' В дальнейшем мы поэтому будем опу-
скать тильды в (6.1.3) и считать, что наши первоначальные огра-
ничения уже имеют вид (6.1.3). Переходя к новым обозначениям, мы
получим окончательную формулировку задачи: максимизировать функ-
цию (с, к) при условиях Ак = Ь и Х^О, где А есть т X ^-матрица.
Обозначим через ру у-й столбец матрицы А, а через р0 — вектор Ь.
Каждый из векторов ру имеет т компонент.

Чтобы избежать некоторых несущественных технических трудно-
стей, связанных со спецификой симплекс-метода, сделаем пока сле-
дующее предположение.

Предположение 6.1.1. Вектор р0 не может быть представлен
в виде положительной линейной комбинации менее чем г векторов ру,
где г — ранг матрицы А.

В большинстве случаев ранг матрицы А совпадает с числом ее
строк. Это всегда так, если первоначальная система ограничений
состоит только из неравенств, и матрица А есть результат расши-
рения первоначальной матрицы ограничений с помощью свободных
переменных. Тогда совокупность столбцов, отвечающих свободным
переменным, образует невырожденную подматрицу. Будем теперь
предполагать, что матрица А имеет ранг /п, равный числу ее строк.
Предоставим читателю рассмотреть модификацию процесса для слу-
чая, когда ранг матрицы А меньше т.

Известно, что предположение 6.1.1 не умаляет общности рассу-
ждений. После того как мы изложим метод нахождения решения
при этом предположении, мы покажем, как поступить в общем
случае.

(Если имеет место вырождение, то следующая крайняя точка
может быть найдена уже не единственным образом, и появляется
определенная степень произвола. Это скорее неудобство, чем
существенное затруднение: в случае вырождения процесс просто не-
сколько усложняется, и проведение его требует большей тщатель-
ности.)

Б. Характеристика крайних точек. Обозначим через А мно-
жество допустимых векторов X, т. е. векторов, удовлетворяющих
условиям

^1Р1+^2р2+ ••• ”b\iP/i = Po’	(6.1.4)

> Лемма 6.1.1. Если X— крайняя точка множества А, то
вектор X имеет не более чем т ненулевых компонент.

Доказательство. Предположим, что вопреки утверждению
леммы для некоторой крайней точки Хр Х2.Хш+1 > 0. Рассмотрим

матрицу A=||pi ... pw+i|| и систему однородных линейных урав-
нений Az = 0. Так как число неизвестных явно превосходит ранг
матрицы А, существует нетривиальное решение z° = (zj..^m+i)

этой системы. Дополним z° до вектора z° = (^J.^n+v • • •» ^),

добавив п — т—1 нулевых координат. Выберем е настолько малым,
чтобы все компоненты векторов

X' = X-^-ez° и Х2 = Х — ez0

были неотрицательными. Поскольку АХ1 = b и АХ2 = Ь, должно
быть X1, Х2£А. Но Х^Х2и

Х=1(Х’ + Х2).

Это противоречит предположению о том, что точка X — крайняя.
Лемма доказана.

Предположение 6.1.1 в этой лемме не использовалось, но будет
использовано в следующей.,

► Л е м м а 6.1.2. Если X £ A, Xj.\т > 0 и Хт+1 = ... = Хл=0,

то X есть крайняя точка множества А.

Доказательство. Предположим, что существуют такие точки
X1, Х2£А, что

X=l(V + tf).

Поскольку последние п—т компонент вектора X равны нулю, по-
следние п—т компонент векторов X1 и X2 — также нули.

Следовательно, АХ1 = р0 и АХ2 = р0, где Х* = (Х{,	• ••» Х^).

Тогда А (X1 — X2) = 0. Если X1 — X2 =# 0, то можно выбрать настолько
малое е, что

JJL = X1 + 6 (X1 — X2) > О и |Хipj + {12р2 + ... + НлРл = Ро-
Если какая-нибудь из компонент вектора X1 — X2 отрицательна, то
мы можем увеличить е настолько, чтобы по крайней мере одна
компонента вектора {1 обратилась в 0, а остальные его компоненты
остались неотрицательными. Таким образом, будет получено пред-
ставление вектора р0 линейной комбинацией менее чем т векторов pz,
что противоречит предположению 6.1.1. Если вектор X1 — X2 обла-
дает положительной компонентой, то мы выберем е отрицательным
и проведем аналогичное рассуждение. Следовательно, ХХ = Х2 и по-
этому X является крайней точкой. '

В. Переход от старой крайней точки к новой. Предполо-
жим, что вектор Х° имеет компоненты XJ, ..., Х^ > О,	...

...=Х^ = 0 и удовлетворяет условиям (6.1.4). (Вопрос об отыска-
нии такой точки будет рассмотрен ниже.) Тогда, согласно лемме (6.1.2),
Х° — крайняя точка. Отсюда следует, что векторы рр ..., рт ли-
нейно независимы и, следовательно, образуют базис zn-мерного про-
странства. В противном случае существует такой ненулевой вектор

= (fXp .... р.п), что

т

5 l^zPz = 0.
/=1

и тогда

io— (X° + eIi) + (XO~sIi)

При е достаточно малом Х°-1- ер, суть различные ненулевые допусти-
мые векторы, а это противоречит выводу, что Х° — крайняя точка.
Следовательно, для каждого вектора pz (Z = 1, 2.....п) существует

такой набор чисел (у = 1, 2, ..., т), что

т

7 = 1

Назовем матрицу X = ||xyZ|| (у = 1, .. ., т\ Z=1.......п) „табли-

цей", связанной с крайней точкой Х°. Соответствующие базисные
векторы рр р2, ...» р,„, участвующие в разложении р0 с коэффи-
циентами W, будем называть базисными векторами крайней точки Х°.

Мы можем, очевидно, переписать (6.1.4) в виде
(т	\

Р* — 5р^л) = Ро-

где k — произвольный индекс между m-f-l и п. Последнее уравне-
ние можно преобразовать к виду

т

2	Р/ + 0Ра = Ро-	(6-1 • 5)

/-1
Параметр в можно увеличивать до тех пор, пока коэффициенты
при рл и ру. (J = 1, . . ., т) в (6.1.5) остаются неотрицательными;
при этом мы движемся по множеству А так, что в разложении век-
тора pg увеличивается коэффициент при рл. Пусть X1 — крайняя
точка, порожденная разложением (6.1.5) вектора р0.

Рассмотрим для некоторого фиксированного k функцию

(с. х1) == 2 (х> — Gxjk)cj+=(с. x°)+e(ck — 2 xjkc}j =

= (c,	(6.1.6)

где zk неявно определяется из последнего уравнения. Разберем
теперь отдельно три случая.

Случай 1. Существует номер kQ (т -f- 1	п), для которого

—^о<°> где

?k = S xjkCj'

и Ху*о^О для у=1, ...» т. В этом случае X; —	и, сле-

довательно, X1 принадлежит А при любом 6 > 0. Мы видим, что
если 6 (а вместе с ними и ХЛо) стремится к-|-оо, то функция (с, X1)
неограниченно возрастает и задача не имеет решения.

Случай 2. Существует номер Ао (т -|- 1	п), для которого

— % < 0 и XjkQ > 0 при некотором J. Пусть

6 = min——,
J xjk*

где минимум берется по тем у, для которых Ху^0 > 0. Ясно, что
6>0 и Ху — 6ху*0 > 0 для всех J—1....../п,	причем хотя бы для

одного у имеет место равенство. Однако два таких члена не могут
одновременно обращаться в нуль; если бы это произошло, то век-
тор р0 был бы разложен в положительную линейную комбинацию
менее чем т векторов ру вопреки предположению 6.1.1. Если обра-
щаются в нуль одновременно две компоненты, то говорят, что имеет
место вырождение. При определенном выше значении 6 вектор X1
будет иметь компоненты Х;- = Ху— 6х7-*0 для у=1, ..., /п, Х^о=9
и нули на остальных местах. Вектор X1 имеет т ненулевых компо-
нент и поэтому в силу леммы 6.1.2 соответствует крайней точке
множества А. Кроме того, (с, X1) > (с, Х°), так что крайняя точка X1
придает целевой функции большее значение, чем Х°.
Случай 3. Если zk — Ck — ® для всех k, то Х°— оптимальный
вектор. Чтобы доказать это, установим, что из

т

2\р/=ро

4 = 1

следует (X, с)^(Х°, с). Заметим, что zk = ck для
В условиях случая 3 отсюда следует, что

п	пт	т п

2	2	2 xji^j === 2 сj 2 \Х ji*

Доказательство будет завершено, если мы покажем, что
п
= 2^ Kxjf

Действительно,
п	пт	т п	т

р0= 2^р/= 2Х 2	— Spy = 2 ^ур>-

Z = 1	Z = 1 j = l	4 = 1 Z = 1	/ = 1

Из предположения 6.1.1 вытекает равенство коэффициентов в раз-
ложениях вектора р0 по векторам р;, что и завершает доказатель-
ство.

Г. Формализация. Пусть имеется крайняя точка Х° и базис
рр ..., рш. Вычислим компоненты xik, исходя из уравнений

И СОС1  Р\  Рг  Р т	гав им таб  Р\ хн  Х21  •^/741	p.=i  J  »лицу  P2 x12 x22  xm2	n  2p^/	к (* = 0,  Pk xli x2k  xmk	1...	., «).  Pn xln x2n  xmn	J® О о ем	О S	C1  C2  cm
Z'.  z — с\	z\  —Ci	z2  Z2	 C2	• • .	zk= 2 xjkCj  7 = 1  — ck	• • .	zn  zn cn	1	

Случай 1. Если zL— ci^0 для всех/, то вектор Х° = ^,	...

...» ^°т) является решением задачи максимизации.
Случай 2. Если для некоторого kQ выполняются неравенства

— ckQ < 0 и	(последнее для всех /), то шах (с, Х) = оо,

где максимум берется по всем допустимым К.

Случай 3. Если неравенства	< 0 и > 0 выполняются

для некоторого kQ и некоторого /, то мы можем получить новую
крайнюю точку X1, для которой (с, X1) > (с, Х°). Практически лучше
всего выбирать такой индекс, для которого величина —Ck0 имеет
наибольшее по абсолютной величине значение. Это ведет к умень-
шению числа итераций симплекс-метода.

Вектор X1 имеет компоненты	для /=1, т

$

4 = 0 = min 7—>
i

xikQ>Q

а остальные компоненты — нули. Новой крайней точке соответствует
новый базис и новая таблица.

Обозначим через /0 индекс, для которого Х?о—6xZo^o = O. Тогда
базисными векторами, связанными с X1, будут рр р2...........р/0-ь

р/0+1» • • • , Рм» р£0«

Таблица Y= ||yZy|| для X1 уже может быть построена. С этой
целью предположим для простоты, что /0=1. Тогда новый базис
состоит из векторов р2, .... р/Л, р£0. Имеем

т

Р/ = 5 Уу/Ру 4- Ук„1 р*0.	(6.1.7)

/ = 2

Теперь ytj можно выразить через старые В самом деле, по-
скольку в силу предположения 6.1.1 не может равняться нулю,
мы получаем

т 1

Р1 = —	—Р*о’

х1к, ' х1й„
т	т

Pz = — Хц 2	-Ь-^-Р*о + Sx;zPy (z^2)-

j = 2	0	0	;=2

Сравнивая с (6.1.7), мы< имеем

(6.1.8)
В общем случае, когда вектор рЛо заменяется на рГо, индекс 1
в (6.1.8) нужно всюду заменить на г0. После того как таблица Y
для новой крайней точки X1 составлена, мы оказываемся подгото-
вленными к повторению процесса и отысканию следующей крайней
точки, в которой функция (с, 1) приобретает еще большее значение.
Мы будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не обнаружим,
что решения не существует или пока не окажется, что очередной
вектор X1 оптимален. Решение будет достигнуто через конечное число
шагов, поскольку число различных крайних точек конечно.

Д. Построение исходной крайней точки. Ограничения задачи I
линейного программирования имеют вид AX^gb, Х>0. Расширен-
ная матрица А с добавленными коэффициентами при свободных пе-
ременных записывается так:

т  а\1	• • • а\п 1 • • • 0	
. 1	= НА. 1||

ат\ • • • атп 0 • • • 1

Если b — неотрицательный вектор, то последние т столбцов ма-
трицы А образуют базис, отвечающий крайней точке (0...........О,

bv . .., bjn). Если некоторые из координат отрицательны, то это не
так, ибо тогда в линейной комбинации векторов ря+1, ря+2...ря+от,

представляющей р0, встретятся отрицательные коэффициенты (оче-
видно, коэффициенты эти суть числа bv b2, ..., Ьт). В этом случае
для получения исходной крайней точки мы вводим так называемые,
“искусственные переменные". Допустим, что отрицательны первые г
координат bv b2, ...» Ьг, а остальные координаты неотрицательны.
Рассмотрим расширенную матрицу А* = || А, \т, Рг||, где

— 1 ... О

О ... —1
о ... о

о ... о

т. е. Рг есть такая т X r-матрица, у которой Рц = —1 (l^Z^r),
а остальные р/;==0. Выберем коэффициенты сп^т+1 == сп + т+2 —
= ... = сп+т^г —— М, где Л1 — настолько большое положитель-
ное число, что у вектора X, максимизирующего (X, с) (если только
он существует), последние г компонент равны нулю.

Последние т столбцов расширенной матрицы А* образуют базис.
Таким образом, мы получаем исходную крайнюю точку. Этот стан-
дартный прием позволяет сделать вектор b неотрицательным и при-
менить обычный вычислительный алгорифм, смысл которого состоит
в умножении соответствующих уравнений на —1, что не влияет на
выбор исходного базиса. Метод добавления искусственных перемен-
ных применим всегда, когда иным путем крайнюю точку указать
затруднительно. Его недостаток — увеличение числа итераций при
применении симплекс-метода.

Е. Исключение предположения о невырожденности. Иногда
бывает, что вектор р0 можно представить линейной комбинацией
менее чем т векторов pt. Тогда равенство

6= min ——

может достигаться на двух или более индексах. В этом случае из-
менения базиса могут привести к циклическому повторению несколь-
ких крайних точек. Говоря более конкретно, если на некотором шаге
встретились равные значения для 6, то нельзя быть уверенным в том,
что последующие итерации обязательно приведут к крайнему век-
тору, увеличивающему целевую функцию.

Это затруднение можно обойти следующей модификацией перво-
начальной задачи. Оставим векторы pz неизменными, но заменим р0
на

п

Ро(®) = Ро+3 еУР/.

где е — неопределенный, произвольно малый положительный пара-
метр. Мы опишем сейчас метод, для которого выбор е не существен,
и его отличие от общего симплекс-метода состоит в том, что при
его применении требуется некоторая дополнительная тщательность.
Рассмотрим базис с множеством индексов / и таблицей X (очевидно,
что первоначальная и измененная задачи имеют один и тот же базис).
Если

2х/р/=ро.

ТО

(п	\

\ 4~	) Р/	=	Ро	(•)•

у-1	/
Следовательно,

К (е) — + бГ + 5 ^xrj-
J$i J

Степень е, участвующая в представлении некоторого Хг(е), не уча-
ствует в представлении других. Допустимый вектор Хг(е) придает
целевой функции значение
п

(с. X (е)) = f [X (е)] = 2 сЛ + 2^4’
/е/	/=1

причем смысл Zj тот же, что и раньше. Повторяя выкладку (6.1.5)
для измененной задачи, мы получаем

(п	\

\ + 2	— 0х( J р; + 6рй.

/-1	/

откуда выводим, что новому допустимому вектору X1 (е) отвечает зна-
чение целевой функции

Теперь, как и в подпункте Е, нам предстоит рассмотреть три
взаимно исключающие друг друга возможности.

(а)	Если zk— Сь — ® для всех то — максимальный вектор.

(б)	Если zk— ск < 0 и х1к^0 для некоторого k и для всех
/£/, то, независимо от е, /(Х)->оо при 0->оо, и задача не имеет
решения.

(в)	Если для некоторого kQ имеет место ZkQ— Скй < 0 и хщ > 0
для некоторого I £ /, то положим

/	п	\

( х/ + 5 z ХИ )

8 (е) = min	—----—------—	,

i	XikQ

причем минимум берется по тем Z, для которых Хщ > 0. Прак-
тически, как уже указывалось, разумно выбирать тот индекс kQt
которому отвечает наименьшее (алгебраически) значение z^ — ск9.
Если
•
min ——

i xikQ

достигается на единственном индексе Zo, то это же верно и для 8 (г)
при достаточно малом е. Если min (Х//х^0) достигается на двух или
более индексах (множество всех таких индексов обозначим через J),
то мы выбираем тот индекс из J, для которого отношение х^Хщ
минимально (алгебраически). Если последний минимум достигается
хотя бы на двух индексах из Jt то мы переходим к сравнению отно-
шений xi2/xik, xlzfxlk, ... ит. д.; определяем минимумы таких от-
ношений по последовательно уменьшающимся множествам индексов
и делаем это до тех пор, пока минимум не будет достигаться на
единственном индексе /0. Этот процесс должен закончиться, так как
все Х(е) представляют собой различные полиномы от е. Наконец,
вектор с индексом /0 заменяется вектором с индексом kQ, после чего
процесс может быть повторен.

Вычислять Х!(е) нет необходимости, так как для следующего шага
алгорифма не требуется ничего, кроме компонент Xz нового базиса
первоначальной задачи. Читатель может заметить, что предположение
6.1.1 о невырожденности выполняется для любой модифицированной
задачи при достаточно малом положительном е. Следовательно, моди-
фицированный процесс непременно приводит к единственному реше-
нию модифицированной задачи. Положив е = 0, мы получаем реше-
ние исходной задачи.

6.2*. Вспомогательные варианты симплекс-метода. В этом
пункте мы остановимся на некоторых выводах из симплекс-метода и
его видоизменениях.

А. Решение двойственной задачи. Покажем сначала, что если
известно решение двойственной задачи 11, то решение задачи 1 может
быть получено немедленно. Это поможет уяснить суть двойственного
симплекс-алгорифма, который будет изложен ниже, в подпункте Б.

Симплекс-методом решается задача отыскания вектора X, макси-
мизирующего функцию (с, X) при ограничениях АХ = Ь и Х> 0.
Двойственная задача заключается в отыскании вектора у, минимизи-
рующего функцию (у, Ь) при ограничениях уА>с. Эта формули-
ровка остается справедливой, если А есть расширенная матрица,
полученная добавлением свободных переменных и введением соответ-
ствующих им нулевых коэффициентов с. В этом случае условия
уА^с уже содержат необходимые ограничения вида yz>0.

В результате применения симплекс-алгорифма мы приходим к ба-
зису В, содержащему подматрицу А со столбцами, представляющими
собой базисные векторы, так что

BX° = b, Z°=B_,b,

где Х° есть решение задачи I и вектор р0 обозначен через Ь. Обо-
значим через св вектор, компонентами которого служат компоненты
вектора с, соответствующие базису В. Положим у°=свВ-1. Запи-
сав А в виде || В, Р ||, где Р есть множество векторов-столбцов 'ма-
трицы А, не входящих в базис В, мы имеем

у°А = уОЦВ, Р|| = (св, свВ-1Р).	(6.2.1)
Равенство (6.2.1) означает, что у°А есть вектор, первые т компо-
нент которого суть компоненты св, а последние п— т—компоненты
вектора свВ-1Р. Заметим также, что таблица, связанная с базисом В,
имеет вид ||l, В-1Р ||, если векторы В расположены в ее начале. Сле-
довательно, вектор (св, свВ-1Р) тождествен вектору z (см. стр. 197)
при базисе В; и поскольку В — оптимальный базис, z^c. Таким
образом, у0—допустимый вектор двойственной задачи. Далее,

(У°, b) = (свВ-1, b) = (св, В-’ь) = (с. Х0).	(6.2.2)

Из следствия 5.4.1 вытекает, что вектор у0 является для двойствен-
ной задачи оптимальным.

Б. Двойственный симплекс-алгорифм. В дальнейшем мы будем
называть симплекс-метод п. 6.1 прямым симплекс-методом в отли-
чие от двойственного симплекс-метода, описываемого ниже. Двой-
ственный симплекс-алгорифм представляет собой другой алгорифм
для решения задачи I. Он называется двойственным алгорифмом
потому, что основа его применимости естественным образом связана
с решением двойственной задачи. В конце пункта мы кратко обсу-
дим достоинства и недостатки обоих алгорифмов.

Вектор Х° является решением задачи I, если для соответствую-
щей таблицы X и соответствующего базиса В выполнено неравенство
Zj—Cj>0 для всех /, где

ч = 3 чх jk<

/ев

причем суммирование ведется по индексам, соответствующим базис-
ным векторам. Основной смысл изменяющих базис преобразований
состоит в исключении шаг за шагом отрицательных компонент Zj—Cj,
причем на каждом шаге X остается допустимым вектором.

При вычислениях двойственным симплекс-методом вектор z — с
всегда неотрицателен, но допускаются представления X вектора р0
с компонентами произвольного знака. Иначе говоря, на каждом шаге
решения мы имеем дело с вектором, допустимым для двойственной
задачи, и процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен
вектор, допустимый для исходной задачи. Новый базис получается
из предыдущего заменой вектора, соответствующего отрицательной
компоненте, новым вектором. Решение получается после конечного
числа таких шагов.

Поскольку мы здесь интересуемся лишь основными чертами двой-
ственного алгорифма и не касаемся частных случаев, мы примем
следующее допущение о невырожденности.

Предположение 6.2.1. Ни для одного допустимого вектора
двойственной задачи у в неравенствах уА^с равенство не может
достигаться более чем в т строках.
Формально процесс описывается следующим образом. Допустим,
что мы располагаем базисом из векторов-столбцов qp q2, ...» qm>
матрицу которого обозначим через Q, так что Qu = b. Компоненты
вектора и не обязательно неотрицательны. Пусть X — таблица, свя-
занная с Q, а через Cq обозначен вектор, имеющий своими компо-
нентами компоненты вектора с, отвечающие столбцам матрицы Q.
Предположим, кроме того, что неравенство Zj — Cj^O выполняется
для всех /, где

*7 = 2

‘IQ

В разделе А данного пункта мы показали, что последнее экви-
валентно утверждению, что y = cqQ-1 есть допустимый вектор для
двойственной задачи. Согласно допущению 6.2.1, равенства в нера-
венствах уА> с достигаются как раз для тех компонент, которые
соответствуют базисным векторам. Для остальных компонент имеют
место строгие неравенства.

Если все компоненты zzz^O, то, как мы видели при разборе
прямого симплекс-алгорифма, и — оптимальный вектор.

Пусть теперь г0 — тот индекс, для которого ut — наибольшая
по абсолютной величине отрицательная координата. Рассмотрим два
случая.

Случай 1. Если xroj>O для всех /, то не существует допу-
стимых векторов, удовлетворяющих ограничениям задачи I.

Доказательство. Аналогично (6.1.5) мы имеем

P9=1j {ut — 9xZft)qt + 9qft>	(6.2.3)

где k — произвольный индекс, а 6 — некоторое вещественное число.
Предположим, что существует представление

ро= 21

причем	Полагая последовательно в (6.2.3) 9 = k;-, k = kj и

суммируя по J, мы получаем

Wo	— 2 \х1к.] qz + р0.

или

Ро= 2

т	i

---г иг------г

т— 1 4 т — 1

(6.2.4)


Поскольку векторы qz образуют базис, коэффициенты в (6.2.4)
должны равняться ut. В частности,

_ т ^JX^J

Ur° т — 1 Ur* т — 1

или

1	т

0 —-----г иг--------=—.

т — 1 Го т — 1

Последнее равенство противоречит системе неравенств z/ro<O, Ху ^0
и хГой^:О (для всех k). Поэтому мы не можем прийти к допусти-
мому вектору прямой задачи. Так как двойственная задача имеет
допустимые векторы (cqQ-1), это означает, что двойственная целевая
функция стремится к —со.

Случай 2. Пусть иГй < 0 и хГоу < 0 для некоторого j (индекс j
отвечает вектору, заведомо не входящему в базис).

Пусть kQ— тот индекс, для которого достигается

min

Го/

Из предположения о невырожденности легко следует, что такой
индекс единствен. Выберем теперь параметр 0 в (6.2.3) таким, чтобы
коэффициент при qfo обратился в нуль, а именно

6 = —

•^Го^о

Так как и иТй и хт^й отрицательны, то 6 положительно. Новый
базис получается из старого заменой qro на q^. Коэффициентами
в новом представлении р0 будут

и , = и, — 6xfh и иъ =6.	(6.2.5)

I I	Iko	«О	4	7

Используя преобразование базиса (6.1.8) и учитывая определе-
ние числа а, нетрудно показать, что для нового базиса Q вектор z — с
неотрицателен и, следовательно, CgQ”1 есть допустимый вектор двой-
ственной задачи. Из сравнения с (6.2.2) мы получаем

(cqQ » Ь)=	2 uici	6z*o + 0c*o

/£Q

И

(cqq-1. ь) = 2«л-
Поэтому

(cyQ 1 b)-(ceQ-'. b) = e(^-cJ>0,

так как 0>О и	> 0. Из предположения 6.2.1 вытекает,

что вектор CgQ”1 является лучшим приближением к решению двой-
ственной задачи, чем CqQ" . Оба эти вектора являются допустимыми
крайними точками, так что процесс за конечное число шагов должен
привести к неотрицательному вектору и.

Преимущество двойственного симплекс-метода состоит в том,
что для решения некоторых типов задач он требует значительно
меньшего числа итераций, чем обычный симплекс-метод. Рассмотрим,
например, задачу отыскания

min (с, у)	(6.2.6)

при ограничениях

у>0, уА^Ь.	(6.2.7)

Эта задача может быть преобразована к задаче максимизации заме-
ной А на —А, b на —b и с на —с. После этого мы можем
сформулировать нашу задачу следующим образом: найти

max (с, у)
при ограничениях
у>0, уА^БЬ.

Если в (6.2.6) и (6.2.7) векторы с и b были положительными,
то после перехода к задаче максимизации они стали отрицательными.
В этом случае, для того чтобы начать решение прямым симплекс-
алгорифмом, нужно, по-видимому, кроме свободных переменных,
ввести еще искусственные переменные, что ведет к значительному
увеличению числа итераций. При подобных обстоятельствах двой-
ственный симплекс-метод должен привести к решению быстрее.

В самом деле, допустим, что таблица Т, связанная с векторами
свободных переменных, имеет вид

Т=||А, 1||.

Поскольку коэффициенты clt соответствующие свободным перемен-
ным, по определению, равны нулю, для рассматриваемого базиса мы
получаем разности

= —

которые неотрицательны, если cz<0. Следовательно, двойственный
метод немедленно может начинаться с (исходного) базиса, имеющего
таблицу Т. При этом не нужно вводить никаких искусственных
переменных.

Классическая задача о диете (см. 7.5.1) принадлежит как раз
к типу задач (6.2.6) и (6.2.7). Она легче решается двойственным
алгорифмом, чем основным.
Многие видоизменения симплекс-метода делаются с целью исполь-
зовать частные свойства матриц ограничений. Например, при реше-
нии задачи, полученной из задачи, уже решенной симплекс-методом,
добавлением еще одного ограничения не обязательно повторять пол-
ностью весь процесс. В другом частном случае, когда, кроме обыч-
ных ограничений, налагаемых на переменные, имеются еще ограниче-
ния сверху, можно обойтись без удвоения числа переменных. Опи-
сания нескольких таких случаев имеются в учебниках линейного
программирования (см. библиографию к настоящей главе).

6.3. Пример применения симплекс-метода. Фабрикант может
использовать любую комбинацию четырех различных производствен-
ных процессов. Первый и второй процессы имеют конечным про-
дуктом изделие А, а третий и четвертый — изделие В. Затраты по
применению каждого из этих процессов характеризуются затратами
труда в человеко-неделях,, фунтами сырья w и ящиками другого
сырья со. Поскольку затраты на применение каждого из процессов
различны, процессы не одинаково выгодны, даже если они произ-
водят один и тот же конечный продукт. При составлении плана на
неделю фабрикант ограничен имеющимися в наличии запасами двух
видов сырья и рабочей силой. Таблица 6.1 описывает эту ситуацию

Таблица 6.1

	Изделие А		Изделие В		Произво- дитель- ности
	процесс 1	процесс 2	процесс 3	процесс 4	
Человеко-недели	1	1	1	1	15
Фунты сырья W	7	5	3	2	120
Ящики сырья О)	3	5	10	15	100
Стоимость единицы в долларах	6	5,5	9	8	
Интенсивность применения	*1	х2	*3	х4	

Всякий производственный план (хр х2, х3, х4) подчиняется сле-
дующим ограничениям, вытекающим из ограниченности средств про-
изводства:

Ху —j— х2 -j- х3 -~j~ Х4 1 б,
7Ху —бх<2 И- Зх$ + 2-^'4	120,

—|— бх^ —J— 10x^4- 1бх4<; 100.

(6.3.1)
Далее, мы не допускаем „отрицательного производства", т. е. тре-
буем, чтобы

х^О, х2^0, х3>0, х4^0.	(6.3.2)

Наша задача состоит в нахождении набора значений неизвестных
иксов, который удовлетворял бы неравенствам (6.3.1) и (6.3.2) и
при этом максимизировал бы прибыль г0

г0 = бл^ + 5,5х2+ 9х3 + 8х4.	(6.3.3)

Если мы введем в задачу не используемые в действительности
материалы и человеко-недели в виде переменных

х5 — свободные (не используемые) человеко-недели,

Xq—свободное (не используемое) сырье w,	(6.3.4)

х7 — свободное (не используемое) сырье со,

которые снова неотрицательны:

х5^0, хб>0, х7>0,	(6.3.5)

то неравенства (6.3.1) превратятся в равенства

xi ~h Х2 4“ хз4“ Х4 + х5= 15»

7Xj “Н 5х2 —|— Зх3 —|— 2х4 —|— х3 = 120,

3Xj	5х2 —|— 10х3 —1 5х4 —|— х7 = 100,

причем функция прибыли (6.3.3) остается неизменной.

Таблицы 6.2, 6.3 и 6.4 описывают симплекс-итерации; начальный
базис (таблица 6.2) состоит из векторов, соответствующих свобод-
ным переменным. Отметим, что компонентами вектора служат ска-
лярные произведения столбцов „таблицы" на столбец слева. Коорди-
наты вектора X помещены в столбце р0.

Таблица 6.2

с		6		5,5	9	8 ‘	0	0	0
	Базис	Ро	Pi	Р2	Рз	Р4	Рб	Рб	Р7
0	Рб	15	1	1	1	1	1	0	0
0	Ре	120	7	5	3	2	0	1	0
0	Р7	100	3	5	10	15	0	0	1
	Z	0	0	0	0	0	0	0	0
	Z— с		—6	—5,5	—9	—8	0	0	0
Наибольшая по абсолютной величине отрицательная компонента
вектора z— с равна 9, а наименьшим из отношений	будет

100/10. Значит, в следующий базис нужно включить вектор р3
вместо р7 (таблица 6.3).

Таблица 6.3

с	Базис	Ро	Pi	Р2	Рз	Р4	Р5	Рб	Р7
0	Р5	5	0,7	0,5	0	—0,5	1	0	—0,1
0	Ре	90	6,1	3,5	0	—2,5	0	1	-0,3
9	Рз	10	0,3	0,5	1	1,5	0	0	0,1
	Z		2,7	4,5	9	13,5	0	0	0,9
	Z — с		—3,3	—1	0	5,5	0	0	0,9

Здесь наибольшая по абсолютной величине отрицательная компо-
нента z— с равна 3,3 и наименьшее отношение равно 5/0,7. Следо-
вательно, вектор р5 заменится вектором рР

Таблица 6.4

с	Базис	Ро	Pi	Р2	Рз	Р4	Рб	Рб	Р7
6	Pi	7,143	1	0,714	0	—0,714	1,429	0	—0,143
0	Ре	46,868	0	—0,855	0	1,855	8,717	1	0,572
9	Рз	7,857	0	0,288	1	1,714 	-0,429	0	0,143
	Z		6	6,886	9	11,142	4,713	0	0,429
	Z — с		0	1,386	0	3,142	4,713	0	0,429

Поскольку для всех I числа zt— ct неотрицательны (табл. 6.4),
мы пришли к решению

х? = 7,143, х? = 7,857, х2 = 4б,868.
1	О	О

Оптимальный план производства при имеющихся ограничениях
требует для получения 7,143 единиц изделия А применения про-
цесса 1, для получения 7,857 единиц изделия В — применения

14 Зак. 1789
процесса 3. Общая цена продукции, получаемой по этому плану, есть
(7,143) 6 + (7,857) 9 = 113,571.

В плане участвует, кроме рабочей силы и всего имеющегося запаса
сырья ю, еще некоторое количество сырья w, которое фактически
не используется. Можно показать, что в условиях данного примера
решение единственно.

6.4*. Вычисление потока в сети. В этом пункте мы опишем
специальный алгорифм решения задачи о максимальном потоке
в сети (см. п. 5.9 и 5.10), в которой ограничения пропускной спо-
собности наложены только на дуги.

Рассмотрим сеть, состоящую из узлов pz (Z=l, ...» п) и
дуг PiPp связывающих соответствующие пары узлов. Пусть рх
обозначает источник, а рп — сток; pt (/ = 2, ..., п—1) — проме-
жуточные узлы. Каждой дуге ptpj сопоставлено неотрицательное
число с£у, обозначающее ее пропускную способность в направлении
от Pi к pj. (В дальнейшем всюду будем предполагать czz = 0.) Если
через Xij обозначить поток от pz к ру, а через v — чистый поток
из Рг („значение потока"), то задача может быть сформулирована
следующим образом: максимизировать v при условиях

2(^1;— Xji) =v,
j

S(xo-x>z)=0 (/ = 2..........rt-1),	(6.4.1)

j

J
и

(6.4.2)

Ограничения (6.4.1) выражают тот факт, что чистый поток из источ-
ника (или поступающий в сток) равен v и что поток, поступающий
в любой из промежуточных узлов, равен потоку, выходящему из него.
Неравенства (6.4.2) означают, что поток на любой дуге не может
превышать его пропускную способность. Для дуг, не представлен-
ных в сети, можно принять нулевую пропускную способность; с дру-
гой стороны, мы можем считать соответствующие переменные
запрещенными.

Получившаяся задача представляет собой, разумеется, задачу
линейного программирования, и следует ожидать, что ее можно
решить симплекс-методом. Действительно, можно показать, что при-
менение симплекс-метода в этой задаче приводит к решению систем
уравнений, которые имеют треугольный вид, и поэтому весьма
эффективно. Однако мы рассмотрим здесь еще более простой и
быстрый алгорифм для решения задач о максимальном потоке в сети.
Подобно симплекс-методу, он приводит к решению как прямой, так
и двойственной задачи.

Прежде чем приступить к общему описанию, рассмотрим про-
стой пример.

На рис. 8 изображена сеть с источником рх и стоком р4; про-
пускные способности дуг показаны на диаграмме. Спрашивается,
будет ли поток, показанный на рис. 9, а именно

•^13 = Х32 = А*24 = 1,	=== -^23	-^34 ===

(со значением -и=1), максимальным. (Для каждой дуги первое
число обозначает пропускную способность, а второе — фактический

поток.) Ответ отрицателен, так как мы можем, например, уве-
личить на- единицу каждый из х12, х23 и х34, в результате чего
получится поток, изображенный на рис. 10, значение которого v = 2.

Будет ли новый поток максимальным? Снова нет, так как мы
можем увеличить х12, уменьшить х32 и увеличить х34 каждый раз
на единицу, получив в результате поток со значением ^ = 3, пока-
занный на рис. 11.

Теперь уже поток максимален, так как разрез, состоящий из
дуг Р1Рз» Р2Р3 и Р2Р4’ также имеет значение г/ = 3.

Заметим, что каждое увеличение потока в примере состоит в из-

менении последовательности переменных вдоль пути от источника
к стоку путем добавления или вычитания положительной кон-
станты на каждом участке потока вдоль маршрута. Алгорифм,
который мы сейчас опишем, представляет собой систематизированный
и эффективный метод улучшений потока такого рода. Если улучше-
ний не существует, то это будет показывать, что максимальный
поток построен.

Для того чтобы обеспечить конечность процесса, предположим,
что пропускные способности всех дуг выражены неотрицатель-
ными целыми числами. Поскольку задача с рациональными может
быть приведена к задаче с целыми приведением дробей к общему
знаменателю, ограничение не является существенным с вычислитель-
ной точки зрения.

Вычисление можно начать с любого целого потока х (например,
с нулевого потока). Пометим последовательно каждый из узлов сле-
дующим образом.

Шаг (а): Начинаем с узла pv который рассматриваем, как поме-
ченный и необследованный.

Шаг (б): Берем любой помеченный, неисследованный узел рь и
рассматриваем дуги, соединяющие его со всеми, узлами р^ для
которых xtj < с^. Помечаем такие узлы значком р+. Затем обсле-
дуем все ребра от непомеченных узлов pj, таких, что > 0.
Помечаем такие узлы значком рт. Узел р. считаем обследованным.

Шаг (б) повторяется либо до тех пор, пока не будет помечен
сток рп> либо пока не окажется, что дальнейшая пометка невоз-
можна, а рп не помечен. В последнем случае вычисление закончено,
в первом случае можно увеличить поток по пути от рх до рп сле-
дующим образом. Если рп помечен значком р+, то условно (пробно)
прибавляем е>0 к Если рп помечен значком рг, то вычи-
таем е из xnj. Далее смотрим на пометку ру-. Если это р + , то
прибавляем е к х^ (если рг, то вычитаем е из х^ и переходим
к pz и его пометке. Продолжаем таким образом, пока не достигнем
источника. Так как ограничения (6.4.1) остаются выполненными для
любого е при новом значении потока мы выбираем е возможно
большим с учетом (6.4.2). Поскольку е равно наименьшему из не-
скольких целых чисел, ясно, что е — целое число. Таким образом,
мы приходим к новому допустимому вектору потока с новым зна-
чением потока, превышающим предыдущее не менее чем на единицу.

После этого алгорифм повторяется, начиная с полученного уже
потока, и мы проводим новый процесс пометки. Если в резуль-
тате рп помечен, то мы снова можем построить допустимый вектор
со значением потока, большим, по крайней мере, на единицу. Оче-
видно, что процедура должна закончиться через конечное число
итераций на потоке, для которого узел рп не будет помечен.
Нам осталось показать, что если процесс пометки не достиг рп,
то поток х максимален. Обозначим через S множество индексов lt
для которых Pi помечены. Имеем 1 £ S, n(£S. Суммируя теперь
уравнения (6.4.1) по получаем

V = 2 (х1)~ ХП).
ies
its

Слагаемые, соответствующие из суммирования исключаются.
Но если JffcS, то xij = cij и х;7 = 0, ибо в противном слу-
чае pj были бы помечены.

Следовательно,

i£S

Jts

Множество дуг, ведущих от 5 к его дополнению, является
разрезом (в противном случае существовал бы путь от рг к рп, все
узлы которого принадлежат S, откуда следовало бы, что рп поме-
чен в противоречие нашему предположению). В силу теоремы 5.10
поток х максимален, а разрез минимален.

Заканчивая пункт, укажем еще задачу, в которой уравнения
ограничений весьма похожи на ограничения транспортной задачи и
которая также может быть сведена к задаче о потоке в сети. Такой
задачей является задача отыскания матрицы X=||xZ;-||, максимизи-
рующей форму S Хц при ограничениях
ь j
т	т

% х^а^ ^Xu^bj	(6.4.3)

J=1	i=l

и Xij = 0 для фиксированного множества 2nap(Z, /).

Для того чтобы прийти к задаче о потоке, рассмотрим напра-
вленную сеть из	узлов, изображенную на рис. 12.
Пропускные способности направленных дуг PtQj равны нулю
для пары Z, j £2 и положительны для остальных пар. Пропускные
способности дуг, покидающих источник и входящих в сток, равны
at и bjt как это указано на схеме, интерпретируется, как поток
от Pt к Qj.

6.5. Метод приближенного вычисления значения игры. Вычи-
слительные методы, описанные в предыдущих пунктах, непосред-
ственно связаны с задачами линейного программирования. В этом
пункте мы опишем метод, предназначенный для приближенного вы-
числения значения игры. Этот метод позволяет строить для каждого
игрока такую последовательность стратегий, что любая стратегия,
предельная для некоторой ее подпоследовательности, будет опти-
мальной. В частности, если каждый из двух игроков обладает един-
ственной оптимальной стратегией, то эти стратегии могут быть вы-
числены с любой наперед заданной точностью. Если задача линей-
ного программирования и двойственная ей задача имеют единственные
решения, то, рассматривая эквивалентную им игровую задачу, мы
можем получить новый итеративный метод решения задачи, и об-
ратно.	•

Метод, излагаемый в этом пункте, основан на следующем интуи-
тивном рассмотрении. Допустим, что в одну игру играют несколько
раз и что в каждой партии каждый из игроков выбирает стратегию
с расчетом на то, что его противник будет впредь придерживаться
действий, напоминающих предыдущие. Поэтому действия игроков
в первой партии обусловливают выбор стратегий для последователь-
ности партий при некотором, однако, произволе, возникающем в ре-
зультате неоднозначности, возможной в некоторых партиях (в этом
случае может быть выбран любой из возможных вариантов, но при-
веденное ниже доказательство сходимости не проходит). На базе этой
последовательности можно вычислить верхнюю и нижнюю границы
значения игры, а также приближенные оптимальные стратегии для
каждого из игроков.

Приступим к формальному описанию метода.

Пусть A=||aZy||—матрица выигрышей. Через az обозначим Z-ю
строку, а через Ь;— у-й столбец матрицы А.

Предположим, что в первой партии игрок II выбрал чистую стра-
тегию, соответствующую некоторому столбцу матрицы А, которую
обозначим через с(1). Для того чтобы максимизировать свой вы-
игрыш, игрок I должен тогда выбрать чистую стратегию, соответ-
ствующую той строке, на которой достигается максимум с(1). Обо-
значим эту строку через г(1). Таким образом, если с(1) и г (1) суть
у-й столбец и /0-я строка, то

ам, = max akh, или cit (1) = max ск (1).
к	к
Во второй партии матча, если игрок I выбрал стратегию, вы-
игрышами которой являются компоненты строки г (1), то игрок II
может противопоставить ей чистую стратегию jv для которой

at. 7l = min aiQj = min r • (1).

j	J

Мы, однако, будем для единообразия процесса предполагать, что
игроки изменяют свои стратегии, руководствуясь только опытом
сыгранных партий. Фактически каждый из игроков выбирает чистую
стратегию, являющуюся оптимальной в смысле опыта, приобретенного
в процессе сыгранных партий, приписывая равные веса стратегиям
противника в каждой из партий.

Пусть, например, игрок II выбрал смешанную стратегию (!/2, !/2)
из столбцов у0 и УР

Пусть с (2) = с (1) + Ь;г

Тогда игрок I снова старается максимизировать свой выигрыш.
Он определяет тах-|-[сz(l) + b.y.J, т. е. maxcz(2). Если этот мак-
симум достигается для индекса Zp то он выбирает стратегию, являю-
щуюся средним арифметическим стратегий г(1) и

Пусть г (2) = г (1) —|-а/г

Мы продолжаем эту фиктивную игру в том же стиле: каждый
игрок отвечает оптимальным образом на предшествующую игру про-
тивника. Игрок II продолжает, отыскивая столбец У2, для которого
достигается min r;(2), и берет стратегию (73. V3, !/з)’ состоящую
из чистых стратегий Уо, УР У2.

Возьмем с (3) = с (2) —Ьу2.

В ответ на эту стратегию игрок I выбирает наибольшую компо-
ненту вектора 7зс(^)- Если максимум достигается для индекса Z2,
он берет стратегию (7з. 7з» !/з)» состоящую из стратегии Zo, Zp Z2,
и так далее!). Мы получаем, таким образом, последовательность
векторов

с(А’) = с(А? — 0 + Ь/л_1» гле номер ул-1 определяется из условия
Г jk_, (* — 1) = min rj (k — 1).

и r(k) = r(k — 0 + а^_1» гле номер ik_x определяется из условия
6^ = max cL (£).

В следующем пункте мы покажем, что максимум и минимум вы-
игрышей, соответствующих стратегиям с(п)/п, т(п)1п, сходятся к V,
т. е.

lim
/7->оо

ct (п)

max-------

/ п

= lim min
Л->оо L j

Г] (и)'

’V..

п

9 При этом среди стратегий Zo, Zp Z2 могут встретиться и одинаковые. —
Прим, пере в.
Сначала мы, однако, кратко рассмотрим соответствующую вычи-
слительную схему, исходя непосредственно из смешанных стратегий.

Допустим, что игрок II начинает с некоторой смешанной страте-
гии уР Игрок I выбирает тогда стратегию хр для которой

тах(х, Ау1) = (х1, Ау^.
X

Игрок II выбирает затем стратегию у2, для которой

min(Xj, Ау) = (хр Ау2).
У

Предположим, что игрок II выбирает в следующей партии среднее
арифметическое !/2 (ут + у2); игрок I выбирает в ответ стратегию х2,
для которой

шах (х, А (УЧ^-У-2 ) ) = (х2А (У1^~У2)) •

Каждый из игроков продолжает играть, используя средние арифме-'
тичесюие всех выбираемых стратегий, а его противник старается
внести в свою стратегию наилучший ответ. Например, если хп —
лучший выбор для игрока I против стратегии

^-[У1+ • • • +упЬ

то он должен выбрать стратегию

• • • + х„];

тогда игрок II должен применять

(У1+ • • • + Уп+11

и т. д. Можно доказать, что

lim Гшах(х, А (У1 + ... + у„)Т| =

П->ОО L X \	“	/J

= llm[min(l(x1+...+x„), Ay Y] = v	(6.5.1)

л->00 L У 4	7 J

и что любая предельная точка последовательностей ,
п	п

" IS*

Z-l	Z-l

является оптимальной стратегией игрока I (соответственно II) в рас-
сматриваемой игре. Мы проведем доказательство сходимости в при-
менении к столбцам и строкам, но некоторая модификация доказа-
тельства позволяет получить и соотношение (6.5.1).
Для иллюстрации метода рассмотрим
матрицей выигрышей:

2 1

следующую игру,

О

заданную

А =	2 0	3

—1 3 —3

Допустим, что игрок I начинает с /0, игрок II выбирает /0,
игрок I отвечает на это введением стратегии и т. д.; каждый игрок

действует по схеме, описанной выше. Пусть

-(Л/) —-ТГ m'n ri= IT max

Числовые данные приведены в табл. 6.5. Значение игры равно 1.

Таблица 6.5

N	lN			r3(N)	v(K)	Jn	<4 W	c2 (X)		
1	1	2	1	0	0,000	3	0	3	—3	3,000
2	2	4	1	3	0,500	2	1	3	0	1,500
3	2	6	1	6	0,333	2	2	3	6	1,000
4	2	8	1	9	0,250	2	3	3	6	1,500
5	3	7	4	6	0,800	2	4	3	9	1,800
6	3	8	7	3	0,500	3	4	6	6	1,000
7	2	8	7	6	0,857	3	4	9	3	1,286
8	2	10	7	9	0,875	2	5	9	6	1,125
9	2	12	7	12	0,778	2	6	9	9	1,000
10	2	14	7	15	0,700	2	7	9	12	1,200
11	3	13	10	12	0,909	2	8	9	15	1,364
12	3	12	13	9	0,750	3	8	12	12	1,000
13	2	14	13	12	0,923	3	8	15	9	1,154
14	2	16	13	15	0,929	2	9	15	12	1,071
15	2	18	13	18	0,867	2	10	15	15	1,000
16	2	20	13	21	0,812	2	11	15	18	1,125
17	3	19	16	18	0,941	2	12	15	21	1,235
18	3	18	19	15	0,833	3	12	18	18	1,000

6.6*. Доказательство сходимости. Последовательность, состоя-
щая из п- и /n-мерных векторов с (Л) и г (А), называется векторной
системой для п X /n-матрицы А, если

(1)	max ct (0) = min r;- (0);
(2)	если шах С/(А) достигается на v-й компоненте, то
i

Г(*+ l)=r (fc)+av;

(3)	если minry(Zj) достигается на р.-й компоненте, то

с(£) = с(£-1) + Ьи

(av означает у-ю строку, а — р.-й столбец матрицы А).

Легко видеть, что векторы с(&) и г(&), построенные в п. 6.5,
образуют векторную систему, если положить с(0) = г(0) = 0.

► Теорема 6.6.1. Какова бы ни была векторная система
с(^), г (£),

lim max

Cj (fl)
п

— lim min

n->oo L j

fj (n) '
n

— V.

/7->Оо|_ I

В действительности итеративный процесс сходится гораздо лучше,
чем можно ожидать из теоретических соображений.

Имеется предположение, что он сходится со скоростью 1/]/^,
где k — номер итерации !).

► Лемма 6.6.1. Какова бы ни была векторная система, для
нее

lim Г maxc(H — minr(T)l Q

т -> со L	Т	J

Под max с (Г) понимается максимальная компонента вектора с (Г).

Доказательство. Частный случай с(О) = г(О) = О. В этом
случае

с (Т) _ _ .г (Г)
max —v min 	,

откуда и следует утверждение леммы.

Общий случай. Обозначим соответственно через nit mj числа
добавлений векторов az, by к г(0), с(0) при формировании векто-
ров г(Т), с (Г). Тогда

2«/ = 3/пу = 7’.
а

mj

Xi — р * У] р

') По поводу быстроты сходимости метода см. сборник ,Матричные
игры*4, стр. 118—127. — Прим, перев.
суть стратегии в игре. Заметим, что

Ci(T) сДО) v	, /ж \

у т I 2л т т ।

i<n=^+^,4=^+(xA)?

I

а также

шах с (Г) — min г (Т)	с (0)	. г (0) . /ж ,

-----^у-----— = max -у2- — min —у2- Д- max (Ay)z — min (хА)у.

(6.6.1)
Но

с ДО)	г ДО)

lim max —~ — lim min — = 0.	(6.6.2)

т i 1 т j 1

Вместе с тем из теоремы о минимаксе и леммы 1.4.1 следует, что
v = min max (х, Ay) = min max (Ay)z < max Ay.
У x	у Z

Аналогично

‘U^min (xA)y—> max Ay — min xA^O.	(6.6.3)

J

Соотношения (6.6.1), (6.6.2) и (6.6.3) доказывают лемму.

Определение. Строку av матрицы А будем называть суще-
ственной в интервале (Л4, Л4Д-Т), если существует такой номер
R (М <R < М-+- Т), что

max с (Я) = сДЯ).

Столбец Ьи называется существенным, если
min г (/?)==	(/?).

В этом определении не утверждается, что чистые стратегии av, Ьм
фактически использовались в г(/?), с(/?).

> Лемма 6.6.2. Если все столбцы и строки матрицы А су*
щественны в интервале (Л4, МД-Т), то

max с (М 4- Т) — min с (Л4 Д- Т) 2аТ (6.6.4а)
и

max г (М Т) — min г (М Д- Т) < 2аТ, (6.6.46)
где

а = max I ai} \.
. . 1 Ч 1
С J

Доказательство. Докажем сначала первое неравенство.
Обозначим через v номер какой-либо строки, для которой дости-
гается min с (М + Г). Поскольку av — существенная строка, найдется
такой номер /?, что

max с (/?) = cv (/?).	(6.6.5)

Вместе с тем, так как	мы получим с(А4 + Г),

добавив к с (Я) не более чем Т столбцов и учитывая при этом, что
добавление столбца не может увеличить компоненты предыдущего
вектора более чем на а. Следовательно,

Cj + Cj (Я) — аТ, Cj (М + Т)^ Cj (Я) + аТ.

В частности,

min с (Л4 + Т) = cv (М + Г) & (Я) — аТ. (6.6.6)

Допустим, что max с (Al 4~ Г) = (М 4- Г). Тогда в силу (6.6.5)

Ч (М + Г) g0(Я) + аТсv (Я) + аТ. (6.6.7)

Из (6.6.6) и (6.6.7) следует, что

max с (Л4 + Г) — min с (А4 + Г) 2аТ.

► Лемма 6.6.3. Если все столбцы и строки матрицы А гу-
щественны в интервале (Л4, М -1- Г), то

max с (М + Г) — min г (М + Т) 4а7\	(6.6.8)

Доказательство.

max с (Ж + Г) — min г (М + Т) =

=[тах с (А4 + Г)—min с (М 4~ Г)] 4~ [min с (7И+Т)—max г (А4-|-Г)]4-

4- [max г (А4 + Г) — min г (Л1 4~ Т)]

^4 а Г-j- [min с (Л4 4~ Г) — max г (Л4 4~ Г)].

Нам остается показать, что последний член отрицателен.

Обозначим соответственно через kt и Zy количества добавлений
строки bz и столбца ау к с(0), г(0) при формировании векторов
с(Ж4-Т) и г(А4 4-Т).

Как и в лемме 6.6.1,

Л14-Т ^ki— М+Т lLli=X’

Пусть В = АГ и, таким образом, b^ — йц-, обозначим через V*
значение игры с матрицей В. Тогда

(М + Т)X = (Ар ?... km), СА1-|-Г)У = (/1......и
суть стратегии соответственно игроков I и II в игре с матрицей В.
Далее,

Cj(M + T)_ с,(0) ( v	__ су(0) (

М+Т ~ М+Т' Ч М+Г~	-

и

ГДЛ4+Г) rz(0) у lj rG(0)

М + Т ~ М + Т * М+Т ~ М + Т

Тогда

min с (Af 4" Т) — max г (AI 4- Т) _

Л4-+-Г	=

min с (0) — max г (0) .	. о D

=-----" JH'-P'T—~	min хВ — тах ВУ*

В то же время, по определению векторной системы, minc(0)=>
= maxr(0). Наконец, рассуждая, как в лемме 6.6.1, мы получаем

min хВmax By
или

min хВ — max By 0.

Следовательно,

min с (Af -j- Л — max г (Al 4- Т) п
аГ+7

Это завершает доказательство леммы.

► Лемма 6.6.4. Какова бы на была векторная система, свя-
занная с матрицей А, для любого е > 0 существует такой
номер Г*(е), что для всех Т>Т*

max с (Г) — min г (Г)
f	<.£•

(Значение Т*(е) не зависит от выбора векторной системы.)

Доказательство. Будем рассуждать по индукции. Лемма,
очевидно, справедлива для 1 X 1-матриц, так как из г(0) = с(0)
следует г(п)=с(п) для всех п. Допустим, что лемма справедлива
для всех подматриц А. Докажем, что тогда она справедлива и для
самой матрицы А. Поскольку число подматриц конечно, можно счи-
тать, что номер Т*(е/2) один и тот же для всех собственных под-
матриц матрицы А и для всех векторных систем. Далее в доказа-
тельстве мы будем обозначать этот номер через Г*.
Вспомогательная лемма. Если v-я строка не является
существенной в интервале (Af, М -1- Т*), то	4

max с (Al-j-7*) — min г (А1 +7*)^

<;maxc(Af) —minr(Af)4-^-r, (6.6.9)

где Т*=-Т* (е/2). Симметричный результат имеет место для
несущественного столбца.

Доказательство. Определим новую векторную систему:

г (Л) = г (М -f- k) + [max с (Al) — min r (Al)] u,
где u = (1, 1, ..., 1),
НЛ^Г).

c (k)— проекция c (AI -4- k)t полученная
вычеркиванием v-й строки.

Продолжим систему для k > 7*, применяя условия (2) и (3) опреде-
ления векторной системы (стр. 217) и учитывая, что подматрица по-
лучена из матрицы А вычеркиванием v-й строки.

Мы можем доказать, что г(&) и с (Л) образуют векторную си-
стему. Условие (1) выполняется. Действительно,

min г (0) = min г (А1) max с (А1) — min г (А1) =

— max с (Al) = max с (0),

поскольку v-я строка не является существенной. Условия (2) и (3)
удовлетворяются для &<7*, поскольку v-я строка не существенна,
а для k > 7* по построению.

Теперь можно доказывать неравенство (6.6.9). Так как стра-
тегии г (Л) и с (Л) определены для подматрицы матрицы А, именно
для подматрицы, полученной удалением v-й строки, по индуктивному
предположению мы имеем

max с (7*) —• min г (7*) Д	г A A i m

что эквивалентно (6.6.9).

Доказательство леммы. Пусть
q и Т—целые числа, причем значение
Положим

4 = [(0 + s-l)P. (9 + s)П

Случай 1. Существует такое s, что все столбцы и строки
матрицы А являются в интервале Is существенными.

2 ’

Т = (6 + ^)7* (0^6 < 1),
q будет уточнено позже.

(l=ss=£7).
Пусть s'—наибольшее из таких Если s'<q~ 1, мы можем
применить вспомогательную лемму к интервалу

(М, М-1-Г) при Л4 — (9— 1) 7* и М-\-Т* = Т\
тогда

max с (Г) — г (7)<

< max с [(9 4- 9 — 1) Г] — min г [(0 4- ? — 1)Г ] + ^ Т*. (6.6.11)

Если s'<q— 2, то мы можем применить вспомогательную лемму
к правой части неравенства (6.6.11). Тогда

max с (7) — min г (7)

< max с [(6 4- q — 2) Г] — min г [(9 4- q — 2) Т*\ + 2 Г.

Будем продолжать итерации, пока не дойдем до Is>. Здесь процесс
закончится, так как все строки и столбцы будут существенными.
Следовательно,

max с (7) — min г (7)<

< max с [(9 4- $') Т*] — min г [(9 4- s') Г] 4- (q — s')

<тахс[(6 4-$')Г] —min г[(9 4-$')Г]4-^Г.	(6.6.12)

Но для интервала /s = [(9-|“5/— 1)7*, (9-|-s')7*] длины 7* все
столбцы и строки являются существенными, так что можно приме-
нить лемму 6.6.3. Мы имеем

max с [(9 + s') Г] — min г [(9 + s') 7*]	4аТ*.	(6.6.13)

Применяя этот результат к (6.6.12), мы получаем

max с (7) — min г (Т) < 4аТ* q 7*.

Случай 2. Не существует такого $, что все строки и столбцы
матрицы А существенны в /5. Тогда вспомогательная лемма приме-
нима к (6.6.11), и процесс итерации можно провести вплоть до $= 1.
Мы получаем

max с (Г) — min г (Т) max с (97*)— min г (97*) + ^

^29a7*+^-j7*+M,
где

AI = max |с(0)| max| г (0)|.
Последнее неравенство справедливо, так как вектор с (9Р) по-
лучается добавлением ОТ* столбцов к с (0), а мы знаем, что
Следовательно,

|шах с (9Г*)|^ а9Г*4-тах|с (0)|.

Аналогично

| min г (9Г) |	а9Г + max |г (0)|.

Наконец, поскольку 9<1, при Т* > М/2а мы получаем

тахс(Т) — min г (Т)^ 4аТ*-}- q |Г.

(6.6.14)

Таким образом, неравенство (6.6.14) выполняется в обоих случаях.
Мы имеем

max с (Т) — min г (Г)	4д-]-^(е/2) 4а . в

Т	q

Если мы теперь выберем q настолько большим, чтобы было
4ajq < е/2, то для всех Т > qT* будет

max с (Г)— min г (Г)
f	<. е-

Доказательство теоремы 6.6.1. В силу леммы 6.6.4
.-7- Г max с (Г) — min г (Г)	п

Т

а в силу леммы 6.6.1

max с (Г)-min г (Г)

Поэтому

max с (Г) — min г (Т)

(6.6.15)

Но

min

тах^-];

Т

откуда видно, что каждый из пределов существует, а, значит,

lim min
т L

max



6.7*. Метод определения значения игры при помощи диффе-
ренциальных уравнений. Метод, описанный в п. 6.5, 6.6, был ди-
скретным как по смыслу, так и по осуществлению. Излагаемый
далее метод, наоборот, предполагает непрерывное изменение стра-
тегий, имеющее целью использовать ошибки противника. Стратегии
изменяются непрерывно во времени и удовлетворяют некоторым диф-
ференциальным уравнениям, определяющим действия каждого из игро-
ков, регулирующих свою игру в соответствии с действиями против-
ника. Решение этой системы дифференциальных уравнений пред-
ставляет собой однопараметрическое семейство стратегий у (Z) каждого
из игроков, обладающее тем свойством, что любая предельная
точка у(7) при стремлении t—>со оказывается оптимальной страте-
гией.

В отличие от дискретного метода, этот метод имеет точные оценки
скорости сходимости. Однако как это преимущество, так и сам ме-
тод имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как
в большинстве случаев решение системы дифференциальных урав-
нений весьма затруднительно.

Поскольку любая матричная игра может быть симметризована
(см. теорему 2.6.1), мы будем рассматривать только симметричные
игры.

Пусть Г — симметричная игра с кососимметричной п X л-ма-
трицей А. Рассмотрим однопараметрическое семейство стратегий y(Z),
представляющее собой вещественную функцию t. Составим следую-
щие функции от у(/):

п

ut [у (01 = 5	9(tt,) = max(0,«/),

7 = 1	(6.7.1)

п	п	v 7

<р (у) = 5 ? («,) ф (у) = S ?2 («<)•
4 = 1	’	4 = 1

Возьмем какую-нибудь стратегию у0 в игре Г. Рассмотрим си-
стему дифференциальных уравнений

= <р [«. (01 — <Р [у (/)] У, (4),
dt 7 tuuiz/v; (/= 1, ..	П).	(6.7.2)

У/(0) = у0.

В пользу рассмотрения именно этой системы говорят следующие
соображения. Допустим, что cp(z/y)>0; тогда, выбирая в качестве
стратегии j-ю строку, игрок I получает выигрыш, превосходящий
значение игры, при условии, что игрок II выбрал стратегию {уу}
(напомним, что ^ = 0). Если теперь игрок II изменит свою стратегию,
увеличив Уу до 1, то выигрыш игрока I станет равным а^, т. е.
нулю. Следовательно, игроку II выгодно увеличивать уу, пока не
окажется cp(z/y)>0. Это объясняется наличием в правой части диф-
ференциального уравнения члена ср(Иу), который заставляет функцию
Уу(^) расти при ср (z/y) > 0. Второй член играет роль нормирую-
щего множителя; он обеспечивает тождество 2Уу(0— 1. если У0 —на-
чальная стратегия.

Так как правые части уравнений непрерывны, теория дифферен-
циальных уравнений гарантирует существование хотя бы одного
решения. Мы докажем, что для всякого решения Уу(/) и всякой
неограниченно возрастающей последовательности {/J любая предель-
ная точка последовательности у (Zz) дает оптимальную стратегию
игрока II.

> Лемма 6.7.1. Пусть у;.(/) (/=1, .... п) есть решение си-
стемы уравнений (6.7.2). Тогда при всяком фиксированном t
вектор представляет собой стратегию.

Доказательство. Докажем, что yz(/)>0. Предположим
обратное, т. е. что существует такое tv что Уу(^)<0. Пусть
/0 — наибольшее из всех Л не превосходящих tv для которых
Уу(Z0)>0. Фактически уу(/о) = О. Тогда уД^)<0 для
но ср(Иу)>0 и ср (у) > 0. Следовательно, cp(zzy)— ср(у)уу.а±О и, таким
образом, в силу (6.7.2) dyj]dt>Q. Применяя теорему о среднем
значении, мы получаем

У) (Z1) = У, (М + y'j W (Л - М	У, (М = °-

а это противоречит предположению, что У7-(^)<0.

Докажем теперь, что

2 у,(0=1-
/=1

Заметим, что

, / л \	Л	п	П

-dt (1 -Sy/w = - 2=-S(р(«/)+?(у) Sу,=

\	7 = 1	/	/-1	7=1	7 = 1

= -<р(у)( 1 -2у,(о).	(6.7.3)

\ /=1 /

Интегрируя уравнение (6.7.3) от 0 до t и учитывая начальные усло-
вия, мы получаем

п	t / п \

1 —	—	1 — У/w)dx-

j=1	0	\	7=1	/

Это уравнение решается в квадратурах

п

1 —^У/(О=сехр

7=1

причем в силу начальных условий с = 0.
к Лемма 6.7.2.

1Ф (у)]'/з <Р (у) < п'г [ф (у)]Ч

Доказательство. Первое неравенство получается немедленно,
так как

[<р (у)]2 = [5 <Р («у)]2 S [<р (“у)]2 = (у)-

Второе получается с помощью неравенства Шварца:

к Теорема 6.7.1.



Доказательство. Если для данного t <p(«z)>0, то
dyj

~dT~ = 1 a‘i ~dT аЧ[t?	~ W =

;=1	/ = 1

п

= 2 ач^— ? (у) ? (“<)•

>=1

Умножив обе части равенства на cp(wz) и просуммировав, мы по-
лучаем следующее равенство, справедливое даже при ср(«.) = О:

п	п

S <Р («/)	2	— ? (у) 2 Ч2	= ~ ? (У) Ф (у)-

i = l	I, j	Z = 1

(6.7.4)

Сумма по Z, J равна нулю, так как матрица А кососимметрична,
т. е. atj = — aji. Уравнение (6.7.4) эквивалентно уравнению

I -rftp лЛ1-- = - ? 1у (01Ф [у (01-

(6.7.5)

Поэтому ф [у (/)] является убывающей функцией t. Из леммы 6.7.2
следует, что она обращается в нуль только тогда, когда обращается
в нуль ср [у (Z)], а также что

Поэтому

1

2 dt

С------ф’/яф*

1 ^ф

2 ф8/а

— dt.
откуда

- ф“'/2 [У (01 + <Г'/2 [У (0)] -1.

Если С2 = ф-,/2 [у (0)], то мы имеем ф-‘/г [у (01 С2 +1 или

.	(6.7.6)

Отсюда вытекает, что для каждого I

п'2 * * * *

C2 + Z ‘

Поскольку <р («г) = max (0, иг). мы видим, что

S, „ _	И7’

Следовательно, верхний предел последовательности	при

{^w}—ограничен сверху нулем, или, другими словами, значением
игры. Поэтому любая предельная точка последовательности у (tm)
дает оптимальную стратегию игрока II, а значит, в силу симметрич-
ности игры, и игрока I.

Заметим, что выигрыши

стремятся к нулю по крайней мере со скоростью (С24“0-

6.8. Задачи

1. Применить

симплекс-метод к задаче максимизации функции

2^+4^+ е3+?4

при ограничениях

?1+зе2	+гч<4,

2^+ е2 <3,
^+4^зЧЧ4^3.

2. Существуют три допустимых процесса производства двух про-
дуктов: кукурузы и свиней. Для процесса А конечным продуктом
являются свиньи, но кукуруза используется как промежуточный про-
дукт (для откорма свиней). Процесс В заключается в выращивании

кукурузы. Процесс С предусматривает производство и кукурузы и

свиней. Кукуруза продается по 20 долларов за единицу (тонну),
свиньи также продаются по 20 долларов за единицу (голову). В про-

цессе А требуется 100 человеко-месяцев труда и 10 акров земли

на единицу готового продукта. Процесс В требует 25 человеко-
месяцев и 50 акров земли на единицу продукции. Наконец, про-

цесс С использует 50 человеко-месяцев и 40 акров земли на каждую
единицу продукции. В наличии имеется 50 человеко-месяцев и 52,5
акра земли. Предполагая, что доход пропорционален выпуску про-
дукции, найти интенсивности применения процессов Л, В, С, дающие
максимальную общую прибыль.

3.	Применить симплекс-метод к решению транспортной задачи
при следующих данных:

Пункты	Пункты	Стоимость доставки единицы
производства	потребления	груза

4.	Если система т линейных уравнений с п неизвестными имеет
неотрицательное решение, то k компонент этого решения положи-
тельны, а остальные п— k равны нулю (здесь £<min(m, п)). •

5.	Найти явное решение задачи о рациональном использовании
склада в том частном случае, когда bt > cit bi+1^> ct и для
всех I.

6.	Рассмотреть транспортную задачу с объемами производства
с- > 0 (z = 1, ..., ri) и объемами потребления Ь? > 0 (/ = 1, .... /п),
причем

и	т

3^ = 2 bj.

i = 1	у = i

Показать, что ранг матрицы ограничений А равен точно т-\-п—1.

7.	Решить задачу о диете:

найти rnin (с, х) при ограничениях Axggb, х>0,

где

2

А== 3

1

17 10 4

0 2 8 6 4

4 7 3 5 0

1

1

1

b =

и

с = (2 3 4 1 2 3).
Применить искусственные переменные, а затем двойственный

симплекс-метод.

8.	Минимизировать функцию

*1 + *2+*з + Х*’
где

Ч” ^4“ ^з4“ х

^1 + ^2	7,	0<^^5,

^Н-^з+х^ 9,	х>±0

и X—положительный параметр.

9.	Доказать, что вырождение в транспортной задаче при приме-
нении симплекс-метода может возникнуть только в том случае, когда
какая-либо частичная сумма ct равна частичной сумме bj.

10.	Свести задачу о поставщике к транспортной задаче.

И. На фабрике имеется .100 единиц продукции, доставка кото-
рой к месту потребления обходится в 1 доллар за штуку, причем
спрос d точно не известен, а является случайной величиной, равно-
мерно распределенной между 70 и 80. В случае, когда спрос пре-
высит производство, необходимо закупить продукт на местном рынке
по 2 доллара за штуку. Поставить задачу и определить транспорт-
ную политику, минимизирующую ожидаемые расходы.

12.	Применив алгорифм п. 6.4, найти максимальный поток и ми-
нимальный разрез для сети, изображенной на рис. 13. Изменить
направление дуг, поменяв ролями источник и сток, и определить
путем пометок другой минимальный разрез.

13.	Рассмотреть задачу об оптимальном назначении в условиях
двух возможностей: рабочий I подходит для у-й работы или не под-
ходит. Показать, что такая задача представляет собой задачу о потоке
в сети.
14.	Показать, что задача о потоке с ограничениями пропускной
способности узлов может быть преобразована в задачу с ограниче-
ниями, налагаемыми лишь на пропускные способности дуг.

15.	Для данной неориентированной сети ограничения пропускной
способности ребер1) ptPj имеют вид xtj -f-	с^. Свести эту задачу

к случаю ориентированной сети с ограничениями xZy<rZy. Что озна-
чает утверждение теоремы о максимальном потоке и минимальном
разрезе в применении к исходной задаче?

16.	Матрица А ограничений (6.4.1) понимается как матрица инци-
денции узлов и дуг сети. Предполагая, что пропускные способности
всех ребер положительны, доказать, что ранг матрицы А равен п— 1.

17.	Выписать двойственную задачу к задаче о максимальном потоке
в постановке (6.4.1) и (6.4.2) и показать, что процесс, описанный
в п. 6.4, дает целочисленное решение этой двойственной задачи.

18.	Пусть (Sz, SJ, где Z=l, 2, представляет два минимальных
разреза в раздельной форме, т. е. совокупность дуг от Si к его
дополнению Sz является минимальным разрезом. Показать, что разрезы
{Si U S2, Sj fl S2} и {Sj П S2, Sj U S2) также минимальны.

19.	Обозначим через Ру и Q п-\- 1 векторов из Ет
удовлетворяющих предположению 6.1.1 о невырожденности. Пусть X
есть множество всех векторов х = (хр . .., xrt), удовлетворяющих
условиям

п

2*Л = Ч

L = 1

и х^О. Положим
п	п

?i = 2 aixi> <р (х)=(х)+₽ 28 (Xi)
1=1	i = l

для x£Xt где р>0, a B(xz) равняется 1 или 0, смотря по тому,
будет > 0 или xz = 0. Доказать, что всякая крайняя точка мно-
жества X, минимизирующая (х), минимизирует также и ср (х), и
наоборот, всякая точка минимума функции <р(х) есть точка мини-
мума Cpj (X).

20.	Пусть из условий задачи 19 исключено предположение о не-
вырожденности. Показать, что если

п

inf 2	=	—00	(₽/S=0).

х$Х / = 1

то существует такая крайняя точка х* из X, что

 2 v;+ww

') В ориентированных сетях (графах) узлы соединяются дугами, а в
неориентированных — ребрами. — Прим. ред.
21.	Минимизировать функцию

N

2 ui

i = 1
при ограничениях

= !)•

uN+u^aN

22.	Использовать алгорифм п. 6.4 и задачу 16 для доказатель-
ства теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе (тео-
ремы 5.10.1).

23.	Пусть ах и а2— две дуги сети с пропускными способно-
стями Cj и с2, и пусть Ai — приращение значения максимального
потока, вызванное увеличением на единицу одного лишь cv Анало-
гично определяется Д2. Обозначим через Д12 приращение значения
потока, вызванное увеличением на 1 одновременно и с2. Доказать,
что

(а) △1 + Д2>Д12,
(б)

к стоку.

если ах и а2 выходят из источника;
если ах выходит из источника, а

а2 ведет

Комментарии
и библиография к главе 6

6.1.	Практическое значение теории линейного программирования обусло-
вливается широкой применимостью симплекс-метода, описанного в данном
пункте. Заслугу открытия симплекс-метода Данциг приписывает фон Ней-
ману, мимоходом предложившему идею метода в одной из их бесед. Однако
именно Данциг подхватил эту идею и разработал метод, считающийся сей-
час основой методики линейного программирования.

Элементарное, но исчерпывающее и проиллюстрированное примерами
изложение симплекс-алгорифма, а также некоторых его модификаций можно
найти в книге Чарнса, Купера и Хендерсона [1]. В монографии Чёрчмана,
Аккофа и Арнофа [1] содержится обсуждение метода и также много приме-
ров. Из других работ, посвященных симплекс-алгорифму, заслуживают вни-
мание раооты Эйземана [1] и Данцига [2]. Исчерпывающие книги на эту тему
написаны Данцигом, а также Чарнсом и Купером; см. также учебник Гасса [1].
Книга Дорфмана> Самуэльсона и Солоу [1] является хорошим введением
в круг идей и методов линейного программирования и примыкающих к нему
экономических вопросов.

Идея введения свободных переменных впервые была предложена Дан-
цигом; он же ввел прием введения искусственных переменных. Проблема
вырождения при применении симплекс-алгорифма была решена Чарнсом [1]
и независимо от него Данцигом, Орденом и Вулфом [1J; изложенный здесь
способ принадлежит Чарнсу.

6.2.	Двойственный симплекс-алгорифм, как он изложен здесь, предложен
Лемке [1]. Вагнер [1] провел исчерпывающее исследование алгорифма и
выяснил роль теоремы двойственности как универсального вычислительного
инструмента. Имеются методы, представляющие собой комбинации прямого
и двойственного симплекс-алгорифмов. Для ознакомления с этими методами,
полезными для ряда задач, мы отсылаем читателя к работам Лемке [1] и
Данцига [3]. Специальные обоснования симплекс-алгорифмов, прямого и
двойственного, в случаях с вторичными ограничениями, а также параметри-
ческое программирование изучались Гассом [1], Вагнером [1] и Данци-
гом [3].

6.3.	Пример, разобранный в этом параграфе, принадлежит Уолнеру.

6.4.	Описанный здесь изящный алгорифм, пригодный для решения задач
потока в сетях и различных вариантов транспортной задачи, найден Фордом
и Фулкерсоном [1]. Мы весьма близко следовали их изложению. Другие
транспортные алгорифмы читатель найдет в работах Фулкерсона [1] и [2] и
в работе Куна [5].

6.5.	Сходящийся итеративный метод вычисления значения игры был
предложен Брауном [2]. Строгое обоснование сходимости было сделано
Дж. Робинсон. Некоторые видоизменения алгорифма принадлежат фон Ней-
ману [4] и Брауну [1]. Непрерывные аналоги схемы в применении к беско-
нечным играм изучались Данскином [1].

6.6.	Сходимость метода Брауна устанавливается весьма тонкими рас-
суждениями. Вопросы скорости сходимости нуждаются в дальнейшем иссле-
довании наряду с вопросами. типа следующего: что произойдет со сходи-
мостью, если предыдущим стратегиям приписывать неравные веса?

6.7.	Метод дифференциальных уравнений, принадлежащий Брауну и фон
Нейману [1], был первоначально предложен с целью пролить свет на дискрет-
ный алгорифм, описанный в п. 6.5. Модификации этого метода произведены
(не опубликовано) Беллманом.

6.8.	Задача 2 взята из работы Аллена [1]. Задачи 14—18 предложены
Фордом и Фулкерсоном [l]f Задачи 19 и 20 принадлежит Гиршу и Дан-
цигу [1]. Задача 21 заимствована у Гросса [3]. Идея задачи 23 была указана
Шейл и.
ГЛАВА 7

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Нелинейное программирование является распространением теории
линейного программирования на задачи максимизации нелинейных
функций, удовлетворяющих общим ограничениям. К сожалению, пред-
ставляется затруднительным получить общую качественную характе-
ристику решений задач нелинейного программирования. Некоторый
успех был достигнут, однако, для случая, когда максимизируемая
функция является вогнутой (или выпуклой, если отыскивается мини-
мум), а независимые переменные принимают значения из некоторого
выпуклого множества. К счастью, во многих возникающих на практике
экономических задачах и в задачах управления рассматриваемые
функции естественным образом оказываются выпуклыми или вогнутыми.
Эвристически предположению о выпуклости соответствует возраста-
ние дохода на каждую последующую единицу затрат, а предполо-
жению о вогнутости соответственное уменьшение дохода. Кроме того,
в теоретической экономике считается общепринятым предположение
о вогнутости функций полезности, представляющих интересы каждого
индивидуума (см. п. 8.5).

С математической точки зрения основной причиной того, что вы-
пуклые или вогнутые функции поддаются анализу, является возмож-
ность приближения функций этого типа линейными функциями с не-
которыми ограничительными неравенствами;, геометрически это озна-
чает, что график выпуклой или вогнутой функции обладает опорными
гиперплоскостями, т. е. гиперплоскостями, имеющими с графиком
одну общую точку и такими, что весь график функции остается по
одну сторону от гиперплоскости.

Основная цель этой главы состоит в доказательстве для случая
нелинейного программирования аналогов теорем двойственности из
линейного программирования и теорем об эквивалентности игровых
задач задачам линейного программирования. Это осуществляется
в п. 7.1 и 7.8.

В п. 7.2 весьма подробно описана межотраслевая модель про-
изводственных процессов. Эта модель представляет интерес ввиду
ее возможных интерпретаций, а также благодаря математическим
методам, использованным при ее анализе.
Приближенное решение задачи вогнутого программирования можно
получить при решении некоторой связанной с этой задачей системы
градиентных дифференциальных уравнений. Решения этих уравнений
можно рассматривать как проявление механизма замены одних до-
пустимых векторов другими, которым соответствует ббльшая прибыль.
Эти идеи обсуждены в п. 7.3.

В п. 7.5—7.7 излагается важная теория сопряженных выпуклых
функций, обязанная своим появлением Фенхелю. Эта изящная и инте-
ресная математическая теория применяется в заключительных пунктах
настоящей главы для доказательства теоремы двойственности в нели-
нейном программировании и для изучения структуры выпуклых множеств.

7.1.	Вогнутое программирование. В нелинейном программирова-
нии рассматривается следующая задача.

Максимизировать функцию п вещественных переменных g(x)
при условиях, что (х) О (/=1, .... т) и х£А”, где X —
выпуклое подмножество пространства Еп.

Во многих приложениях множество X отождествляется с неотри-
цательным ортантом пространства Еп. Сформулированная задача на-
зывается задачей вогнутого программирования, если функции
g (х) и /; (х) являются вогнутыми функциями х.

В дальнейшем всюду, если не оговорено противное, мы будем
предполагать, что функции g(x) и fj(x) в области X вогнуты.

Кун и Таккер были первыми, кто формально рассмотрел различ-
ные математические аспекты задач вогнутого программирования. Они
выделили класс „собственных" решений, являющихся существенными
решениями, которые можно однозначно определить с помощью не-
которых дифференциальных условий; доказательства этих условий,
существенно связанные с дифференциальными методами, применимы
только для этого класса собственных решений. Приводимые ниже
методы свободны от подобного рода ограничений. Однако наши ре-
зультаты скорее дополняют результаты Куна и Таккера, чем обоб-
щают их, и поэтому в этой главе мы рассмотрим также и диффе-
ренциальный подход.

При соответствующих предположениях проблема отыскания ма-
ксимальной точки х° в описанной выше задаче вогнутого програм-
мирования может быть преобразована в эквивалентную игровую задачу,
т. е. в задачу о седловой точке.

Вначале мы докажем (теорема 7.1.1), что вектор х° максимизирует
функцию g(x) при ограничениях {/у(х)} = F (х)> 0 (как уже ука-
зывалось, это вектор-функция) и х£Х тогда и только тогда, когда
существует такой вектор и0 с неотрицательными компонентами, что
для функции

<р(х, u) = g(x) + (u, F(x))

(7.1.1)
выполняются неравенства

<р(х, и°)^ср(х°, и0) ср (х°, и)	(7-1-2)

для всех и>0 и х£Х. Пару векторов {х°, и0} будем называть
при этом седловой точкой ядра ср(х, и). Допустимый вектор х°,
т. е. вектор х, удовлетворяющий условиям х£Х и F(x)^0, на-
зывается оптимальным, если вектор х° максимизирует функцию g(x)
среди всех допустимых векторов.

Экономическую интерпретацию, предложенную Куном и Таккером
для задачи максимизации, удобнее описывать, связывая ее с игрой,
функция выигрыша которой есть ср(х, и). Обычно ограничения имеют
вид /.(х) = 5у — &/(х), где § — некоторый фиксированный вектор,
a kj — выпуклые функции своего аргумента в области х> 0. Ве-
ктор х характеризует интенсивность использования различных опе-
раций. Будем понимать под § вектор имеющихся в распоряжении
количеств производственных ресурсов, а под к(х)— вектор факти-
чески используемых количеств этих ресурсов, так что вектор F(x)
есть количество неиспользованных производственных ресурсов. Функ-
ция g (х) измеряет выпуск окончательного продукта. Вектор множи-
телей Лагранжа и, участвующий в определении функции <р(х, и),
можно считать вектором цен единицы производственных ресурсов,
выраженного в ценах единицы рассматриваемого продукта. Ядро
<р(х, и) можно интерпретировать как ценностное выражение ре-
зультата производства. В этом выражении объединены выпускаемый
продукт и неиспользованные производственные ресурсы. Существо-
вание седловой точки означает, что между ценами имеющихся ре-
сурсов и величиной выпуска имеет место равновесие, причем исполь-
зование производственных ресурсов контролируется лицом, управля-
ющим производственным процессом, в то время как цены определяются
или назначаются некоторым независимым контрагентом (см. гл. 8).

Первую основную теорему можно сформулировать следующим
образом.

► Теорема 7.1.1. Пусть g(x) и {/;.(х)} = F(х) — вогнутые
функции, определенные на выпуклом множестве ХссЕп, обла-
дающем тем свойством, что если и — неотрицательный ве-
ктор, не равный тождественно нулю, то существует такой
вектор х(~Х, что (и, F(x))>0. Если х° является точкой,
в которой функция g(x) достигает своего максимума при
х£Х и F(x)>0, т. е. если вектор х° оптимален, то можно
найти такой вектор и°>0, что для функции <р(х, и) =
= g(x) + (u, F(x)) будут справедливы неравенства

ср(х, и°)^ср(х°, и°)^ср(х°, и)	(7.1.2)

для всех х£Х, и^О и (и0, F(x°)) = 0. Обратно, если пара
(х°, и0} удовлетворяет соотношению (JA.2), то вектор х°
максимизирует функцию g(x) среди всех векторов х, удовле-
творяющих условиям F(x)>0 и х£Х.

Замечание 7.1.1. Условия теоремы выполнены, если суще-
ствует такой вектор х£А\ что все компоненты вектор-функции F(x)
строго положительны. (В связи с этим см. задачу 12.) В общем слу-
чае, однако, произвольный вектор х£А\ удовлетворяющий условию
для данного и, не обязан удовлетворять ограничению F(x)^q.

Доказательство. Покажем сначала, что если (х°, и0} явля-
ется седловой точкой функции ср(х, и), то вектор х° максимизирует
функцию g(x) при ограничениях х £ X, F(x)>0.

Подставив (7.1.1) в (7.1.2), мы получим

g (х) + (u°, F (х))	g (х°) + (u° F (x°)) g (x°) + (u, F (x°)) (7.1.3)

для всех u>0.

Так как правое неравенство справедливо для любого и> 0.

F(x°)>0,	(u°, F(x°)) = 0.	(7.1.4)

Далее из левого неравенства (7.1.3) мы получаем

g(x) + (u0, F(x))^g(x0)	(х£Х).	(7.1.5)

Следовательно, для любого х£Л\ удовлетворяющего условию
F(x)>0, мы имеем

g-(x)^g(x) + (u°, F(x))^g(x°),

что и доказывает оптимальность вектора х°.

Теперь мы докажем, что в условиях теоремы из оптимальности
вектора х° вытекает существование такого вектора и0, что пара
{х°, и0} является седловой точкой функции ср(х, и).

Рассмотрим два подмножества А\\В (т-[- 1)-мерного простран-
ства, определенные следующим образом:

для некоторого х £ % L

где, конечно, у0— скалярная величина, а у — /w-мерный вектор.

Поскольку g(x) и F(х) — вогнутые функции, множество А ока-
зывается выпуклым. Понятно также, что В — выпуклое множество,
лежащее внутри ортанта с вершиной в точке

/g(x°)\

\ О ) 
В силу оптимальности вектора х° множества Л и В не имеют
общих векторов. Следовательно, по теореме об отделимости вы-
пуклых множеств (теорема Б. 1.2) существует такой вектор

что
/ Уо \	/

<W> + (V. У)г= ад» 4- (v, z) для всех I I £ 4 (	) £ В. (7.1.6)

\ У /	\ z /

По определению множества В, из (7.1.6) вытекает, что

(v)>0.	(7.1.7)

Ввиду того что
( £(х°)\
\ 0 /
является граничной точкой множества В, мы имеем в силу опреде-
ления множества А

ад(х)+(у. Р(х))^ад(х«)	(х€X).	(7.1.8)

Отсюда следует, что т/0 > 0, поскольку в противном случае из (7.1.7)
и (7.1.8) мы получили бы, что

v > 0, а (V, F(x))^0	(х£ЛГ),

а это противоречит условию теоремы.

Положим v/Vq = u°; тогда

u°>0	(7.1.9)

и
g(x)-Hu°, F(x))=gg(x°)	(х£Х).	(7.1.10)

Полагая в (7.1.10) х = х°, мы получаем

(u°, F(x°))^0.

С другой стороны, мы имеем

F(x°)>0	(7.1.11)

и, следовательно,
(u°, F(x°)) = 0.	(7.1.12)

Из равенств (7.1.9) — (7.1.12) следует, что {х°, и0]—седловая точка
функции <р(х, и).

Условия теоремы 7.1.1, слабые сами по себе, можно еще не-
сколько ослабить, хотя они будут казаться при этом несколько
неестественными. Однако некоторое условие невырожденности все же'
должно быть отражено в формулировке теоремы, так как в против-
ном случае она окажется неверной. Рассмотрим пример:

g (х) = х,

F(x) = —х2.

Ясно, что х = 0 будет оптимальным решением задачи, но функция
ср(х, и) = х — их2 седловой точки не имеет.

В случае, когда ограничения задаются линейными неравенствами,
т. е. когда неравенство F(x)^0 имеет вид Ах±^Ь, где А — неко-
торая матрица, а b — вектор, теорему 7.1.1 можнэ доказать без ка-
ких бы то ни было особых предположений относительно множества
ограничений.

к Теорема 7.1.2. Пусть g(x)— вогнутая функция, опреде-
ленная для всех х. Если х° — точка, в которой функция g*(x)
достигает своего максимума по всем х, удовлетворяющим
ограничениям

х>0, Ах^Ь,

то существует такой вектор и0 (и°^0), что пара {х°, и0}
является седловой точкой функции

<р(х, u) = g(x) + (u, Ь — Ах),
и обратно.

Доказательство состоит в перефразировке вывода теоремы
5.3.1 с использованием при этом естественного распространения
леммы 5.3.1 на этот случай. Детали мы опускаем.

Если предположить, что функции g и /у достаточно гладки, так
что производная dyfdx для любого неотрицательного х существует,
то условия существования седловой точки можно записать в виде
дифференциальных неравенств.

к Теорема 7.1.3. Пусть множество X является положи-
тельным ортантом. Для того чтобы пара векторов {х°, и0}
для любой непрерывно дифференцируемой функции ср удовле-
творяла соотношению (7.1.2), необходимо выполнение условий
и

тг=Ш1л,1Е0' «•*)-’ <**•>• (7L14>

Если функция <р(х, и) вогнута по х и выпукла по и, то
условия (7.1.13) и (7.1.14) являются для установления (7.1.2)
необходимыми и достаточными.
Доказательство. Необходимость. Условия (7.1.13) и (7.1.1.4)
показывают, что функция <р(х, и0) имеет локальный максимум в точке
х = х°, а функция <р(х°, и) — локальный минимум в точке u = u°.
Следовательно, из (7.1.2) следуют соотношения (7.1.13) и (7.1.14).

Достаточность. Поскольку <р(х, и) — вогнутая функция по х,
мы имеем

<р(х, U0) — ср(х°, П°)^(сро, (X—X0))

(свойство VII, приложение Б.4). Кроме того,

(Ф°. (X — х°) ) = (?’. х) —(?», х°)=^0.

Поэтому

<р(Х, U°)^<p(x°, и0)	(х>0).

С другой стороны, используя выпуклость функции (р(х, и) по и
и условие (7.1.14), мы получаем

ср (х°, и) — ср (х°, и0) и—и°) = (?и’ и)=0	(и^О).

7.2. Примеры вогнутого программирования. В этом пункте бу-
дут описаны две модели (выбор портфеля ценных бумаг и межотра-
слевая модель производственных процессов), которые естественным
образом приводят к задачам вогнутого программирования.

Более общие задачи нелинейного программирования возникают
в связи с анализом некоторых проблем производства и управления
запасами.

В общем случае не существует стандартных методов, пригодных
для решения задач нелинейного программирования, т. е. нет ничего
соответствующего стандартному симплекс-методу в линейном про-
граммировании. Тем не менее скромный перечень типов задач
нелинейного программирования, допускающих хотя бы по идее общий
подход, может быть приведен. Например, как мы видели в п. 7.1,
задача вогнутого программирования может быть сведена к эквива-
лентной задаче Лагранжа о седловой точке. Кроме того, известен
следующий, пожалуй, очевидный факт: решение задачи выпуклого
программирования (максимизация выпуклой функции, когда изменение
переменных ограничено выпуклым множеством) должно быть неко-
торой крайней точкой множества X. Дальнейшие частные ка-
чественные результаты можно получать для отдельных классов задач
(см. гл. 8). Следует заметить, что, поскольку не существует единого
алгорифма для решения задач Аелинейного программирования — и, как
становится ясно, этот недостаток присущ самой проблеме, — анализ
частных примеров вдвойне важен.
А. Выбор портфеля1) ценных бумаг. Процесс выбора порт-
феля ценных бумаг состоит из двух этапов. На первом этапе оце-
ниваются возможности имеющихся ценных бумаг в будущем. Второй
этап начинается тогда, когда возникает доверие к этим возможностям,
и заканчивается выбором портфеля. Мы рассмотрим здесь второй
этап процесса. В частности, мы попытаемся определить те правила,
которыми должен руководствоваться вкладчик, чтобы максимизиро-
вать ожидаемый доход.

Пусть Rt— суммарная2 * *) прибыль на единицу ценности вида I.
Величину Rt можно определить как бесконечную сумму вида

ОО

/?£ = 2 ditrц,
/=1
I

где rit— ожидаемый дивидент в момент t на один доллар, вложен-
ный в бумаги Z, a dit— доля дохода бумаг с номером I в момент t
в пересчете на настоящий .момент времени.

Предположим, что иных ценностей, кроме уже рассмотренных
нами (Z=l, ..., N), нет. Пусть {xz} описывает некоторую поли-
тику инвестиций, т. е. политику распределения капитала, причём xz
обозначает долю, вложенную в бумаги Z; таким образом,

N

2 = 1.

Z = 1

Предположим далее, что xz>0. Отсюда следует, что продаваться
могут лишь ценности, имеющиеся в наличии. Полный относительный
доход, полученный в результате такой политики, равен

2/?Л = Р(х).	(7.2.1)

i = 1

Если мы предположим, что Rt — случайные величины, распределен-
ные нормально с известными средними pz и с матрицей вторых
моментов ||oZy||, то среднее Р(х) будет равно

N

Z = 1
а его дисперсия —

о J

Рассмотрим целевую функцию

У\

g(x) = a 2 ИЛ — b 2	<7-2-2)

Z = 1	Z, j

t

*) Здесь слово „портфель" используется в том же смысле, что и в вы-
ражениях „издательский портфель", „редакционный портфель". — Прим, перев.

2) В оригинале „discounted" т. е. с учетом надлежащего коэффициента

скидки для каждого момента времени. — Прим, перев.

16 Зак. 1789
где а и b — положительные параметры, относительная величина кото-
рых описывает важность составляющих элементов функции g"(x).
Первый из них представляет собой математическое ожидание относи-
тельного дохода, получаемого в результате политики х. Понятно,
что этот доход должен быть как можно больше. Параметр b изме-
ряет изменчивость дохода, и его можно рассматривать как риск,
связанный с данным выбором портфеля ценных бумаг.

Итак, проблема состоит в максимизации g(x) при ограничениях

дг

О, 2 xi — 1-

I = i

Мы получили, очевидно, некоторую задачу вогнутого программиро-
вания, к которой применимы результаты п. 7.1. Можно использовать
также и алгорифм квадратичного программирования (см. задачу 13
и примечания к этой главе).

Б. Межотраслевая модель нелинейного программирования.
Предположим, что для каждого из п рассматриваемых продуктов
существуют процессы производства, импорта и экспорта. Пусть

Xj — количество производимого продукта у;

Mj — количество импортируемого продукта у;

Ej — количество экспортируемого продукта у.

Параметрами в этой модели являются следующие величины:

atj — коэффициент затрат продукта /, используемого в произ-
водстве у (т. е. количество продукта /, идущее на произ-
водство единицы продукта у);

Wy — затраты труда, используемого в производстве единицы про-
дукта у;

Cj — затраты капитала, используемого в производстве единицы
продукта у;

gj — цена единицы продукта у при импорте;

hj — цена единицы продукта у при экспорте;

Yj — конечный спрос на продукт у (мы предполагаем, что этот
спрос строго положителен);

L — имеющийся в распоряжении труд;

D — максимальный допустимый дефицит в торговле.

(Естественно, что все параметры модели предполагаются неотрица-
тельными.)

Задачу программирования можно поставить так: минимизировать
требуемые капиталовложения

с = S CjXj	(7.2.3)

при следующих ограничениях.
Неотрицательность'.

Xj^Q, Л4у>0, Е^О С/=±1.................Л).	(7.2.4)

Производство*.

Xj+Mj — Ej — ^a^X^Yj (j=l,. ..,«).	(7.2.5)

Это показывает, что если из общего количества	единиц про-

изведенного и ввезенного продукта Ej единиц экспортируется и

и

^ajrXr

единиц используется на нужды собственного производства, то сле-
дует оставить количество продукта, достаточное для удовлетворения
конечного спроса Yj на него.

Баланс внешней торговли*.

п	п

о + 2 ЛА - 2 gjMj > 0.	(7.2.6)

7 = 1	7 = 1

Так как прибыль от экспорта составляет

п

2 hfr.

/=1

а цена ввезенных продуктов

п

2 gjMj,
7=1

то соотношение (7.2.6) выражает допустимый дефицит торговли.

Предложение труда*.

L — ^-WjXj^zO.	(7.2.7)

Два дальнейших естественных ограничения таковы:

«0^° (<• 7=1.........«). 2^;<1 (7=1...............«)	(7.2.8)

i

И

= +	7у>0. РУ<0	(7=1.......п).	(7.2.9)

, Первое ограничение означает лишь то, что стоимость выпуска
для каждого продукта превосходит затраты на его производство;
это необходимо для эффективности производственных планов. Вто-
рое условие в экономике общепринято: чем больше количество
имеющихся экспортных товаров, тем меньше доход на единицу
товара. Линейная форма (7.2.9) соответствует частному случаю такой
зависимости. Взглянув на (7.2.9), читатель легко заметит, что вся
нелинейность этой модели заключена в (7.2.6).

*) Формальное описание метода. Минимизируемая функ-
ция (7.2.3) является выпуклой по Xj (j = 1, . . ., п), и множе-
ство {X, Л4, £}, удовлетворяющее ограничениям (7.2.4) — (7.2.7),
также выпукло. Предположим теперь, что существует допустимая
тройка {Д'0, М°, Б°), удовлетворяющая в (7.2.5), (7.2.6) и (7.2.7)
строгим неравенствам. В силу теоремы 7.1.1 вектор

/ X

х = ( М

\ Ё

будет оптимальным для данной задачи тогда и только тогда, когда
существует такой вектор

/Р \

р=| p_v)’

Ypf

что {х, р} является седловой точкой функции Лагранжа <р(х, р):

f (х, р) = - S с jXj + 2	(Х} - 2 ajrXr + Mj-Ej -	+

+ Pw - S + Pf (D - 2 gjMj + 5 hjE^ . (7.2.10)

Это значит,	что  <р(х, Р)^<р(х, р)^<р(х, р)	(7.2.11)
для всех	II  гч Ь; "ТГ"  О S II р
Заметим,	что в силу (7.2.5) и того, что Иу-> 0 для любого /Х\
допустимого	вектора 1 Л4 1, мы имеем \Е J  Xj-}-Mj>Q (/=1	п).	(7.2.12)

*) Оставшаяся часть пункта значительно сложнее и без нарушения
связности изложения может быть при первом чтении опущена.
Подставляя (7.2.9) в (7.2.10) и приводя подобные члены, мы получаем
<Р (х, р) = PWL + PfD-^ РjYj +

+ 2 (— Cj + Р j— 2iPiaiJ— PwWJ^	+

+ £ (P-Pfgj) Mj + 2 [(- Pj + Pf!j) E. + Pfff]. (7.2.13)

Задача о седловой точке решается следующим образом. Мы пока-
жем, что компоненты вектора р определяются однозначно п могут
быть выписаны в явном виде. Если же вектор р известен, то не
представит труда найти и вектор х, максимизирующий функ-
цию ср (х, р). Это завершает решение задачи.

Для того чтобы вектор

/Р \

р= pw I
Ч/

был p-компонентой седловой точки, необходимо, во-первых, чтобы
шах ср (х, р)
х> 0

был конечным и, во-вторых, чтобы существовал такой вектор

fX\

х = 1 М

\Е/

максимизирующий ср(х, р), для которого выполнено (7.2.12).

Для ограниченности (7.2.13) коэффициенты при Xj и Mj должны
быть неположительны. Поэтому оба условия удовлетворяются тогда
и только тогда, когда

Pj-Pfgj^0,	(7.2.14)

Pj-'SiPiaij-P^j-Cj^O	(7.2.15)

i

и для каждого /=1, ...» п равенство достигается либо в одном
из соотношений (7.2.14) и (7.2.15), либо в обоих этих соотноше-
ниях сразу (поскольку X j-\-	0).

Условия (7.2.14) и (7.2.15) мы можем заменить на следующее:

Р; = min	+	(/=!.......«)• (7.2.16)
246

ГЛ. f. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Уравнение (7.2.16) имеет при заданных Pj и Pw не более одного
решения Ру. Чтобы доказать это, предположим, что при заданных Pf
и Pw уравнению (7.2.16) удовлетворяют и Ру и Ру (/=1.....п).

Рассмотрим случай, когда

Pi = PfSj	2 Pfiij + Pw^j + Cj,

Pj = 2 P^ij + PwWj + Cj < Pfgj.

Тогда

|Pj —'Р/1=^|2(Л — A-)«o-|^(max|Pz— PjQc (7=1. .... n),

где c = max2^ij и в силУ условия (7.2.8) меньше 1. To же самое
j i

неравенство выполнено при всех других обстоятельствах, и мы полу-
чаем Ру = Pj (7=1. • • •, 'О-

Опишем теперь итеративный процесс нахождения решения урав-
нения (7.2.16) при заданных Ру и Pw.

Компоненты вектора (Рр ..., Рп), удовлетворяющего соотно-
шению (7.2.16), будут определяться в порядке ..., р£>........

Р1\ Рл+1)» •••» Р1’+1\ ••• из рекуррентных соотношений

^+1) = min [P/gj, S.^+1) <4j + S P^aij + Pw<Wj 4-

(7=1.......n; v = 0, 1. 2, ...)	(7.2.17)

при любых неотрицательных начальных значениях Р(С....Р$.

> Лемма 7.2.1. Для любых неотрицательных (Pw, Pf) и любых
неотрицательных начальных величин (Р^, ..., Р(л0)) последова-
тельность векторов (Р(Д ..., Р^) (у—1, 2, ...), определенных
соотношением (7.2.17), сходится к вектору (Рр ..., Рл), удо-
влетворяющему уравнению (7.2.16).

Доказательство. Заметим сначала, что

|py+1) — pW\^Kc\	(7.2.18)

где К — положительная постоянная и с = шах 3 Справедливость
J i

неравенства (7.2.18) будем доказывать по индукции. Предположим, что

\P{f^} — P^\^Kck (А==0, I........V — 1; /=1......п;

А = *; 7 > О-
Тогда в силу (7.2.17) мы имеем

I /$+» _ />(;) I / 2 Р^ац + 2 pVaij + PwWj + Cj) -

\\i>j

— ( 2 P\? dij + 2 P^l ^aij "hPw^j + Cj j | =

= I S (РГ’ - p'<”) ati + 2; (Pf1 - P!->) a„ | ==

s 3 i ГМ” | a„ + V | P?> - P1,-111=s
i>j

<Kc< 2 аи-\-Кс^ 2
i > j	J

^Кс'-^а^Кс',

i

так как с < 1.

Сходимость последовательности Р^к пределу Pj, который должен,
очевидно, удовлетворять соотношению (7.2.16), теперь ясна, и дока-
зательство леммы завершено.

Для случая треугольной матрицы, т. е. когда

aLj = 0 при I /,

рекуррентные формулы (7.2.17) заменяются на явное выражение

Pj — min [Pfgj, 2 Piaij + PwWj + cj}, (7.2.19)

применяемую последовательно для j — n, . .., 1.

Теперь можно определить вектор

/ ЛЛ

х = ( М |,
\ Е J

который максимизирует ср(х, р) при условии х^О и фиксирован-
ном р. Пусть

5 = р | Pj < ^Pian+pwwj+
T^{j\Pj<Pfgj].

Из формулы (7.2.19) следует, что множества S и Т не пересекаются.
Тогда

•	~	[	Pfti — Pi 1

Ej = max [0,	J (/=!,..., n),	(7.2.20)

поскольку член в выражении (7.2.13), содержащий Е^ квадратичен
И достигает минимума, когда Е^ принимает значение Ej, определенное
соотношением (7.2.20). Аналогично, ввиду линейности членов
в (7.2.13), содержащих Xj и Л4у, будем иметь Xj = 0 для У£5
и Mj = 0 для J £ Т.

Мы можем определить Xj и Л4у как решения следующих ниже
уравнений, максимизирующих функцию ср (х, р); именно

Ху— 5 ajk^k~	для	(7.2.21)

k s

и

Mj = Yj+Ej + S ajkXk для j T. (7.2.22)

Используя условие (7.2.8), легко доказать, что уравнения (7.2.21)
имеют единственное строго положительное решение. Величины Xj
и Mj как функции Ру и Pw, вычисленные с помощью (7.2.21) и (7.2.22),
удовлетворяют ограничениям (7.2.5).

Положим

L(PW, =

и

D(PW, P^^gjMj-^hjEj,

J	J

где

Лу=Т/ + рД (/ = 1, .... n).

С помощью теоремы 7.1.1 может быть доказана

► Лемма 7.2.2. Пара (Pw, Pf) тогда и только тогда опреде-
ляет оптимальный вектор (Pv .... Рп, Pw, Ру), когда

L(PW, Pf)^Lu D(PW, Py)^Z),	(7.2.23)

причем равенство достигается только в том случае, если

Pw > 0 и Pf > 0.

Поскольку L(PW, Ру) и D(Ptn, Ру) приближенно являются линей-
ными функциями переменных Pw и Ру, оптимальная пара {Pw, Ру}
может быть аппроксимирована путем линейной интерполяции.

Если нельзя выбрать Pw и Ру так, чтобы удовлетворялись усло-
вия (7.2.23), то равенства (7.2.21) и (7.2.22) нужно заменить на
следующие:

Х._|_Л1у —	+ для /€# = (1...........n)\s\T,

- 2 aj.X, = Г,- + Е,	для j 6 Т

' k(.s
и

Му = Г7+>у + 2 a4Xk для /CS\T.

J J 1 k£S J

Теперь наша задача сведена к стандартной задаче линейного про-
граммирования. Заметим, что в большинстве случаев решения урав-
нений (7.2.21) и (7.2.22) все же существуют.

Описанная модель представляет для нас интерес по двум причи-
нам. Одна из них состоит в, пригодности этой модели для нахожде-
ния оптимальных планов в задаче о производстве, экспорте и импорте
продукции. Вторая и наиболее важная причина состоит в том, что
эта модель является аппаратом исследования сходных задач нелиней-
ного программирования.

7.3*. Градиентный метод Эрроу — Гурвица. Как показывают
теоремы 7.1.1 и 7.1.2, задачи вогнутого программирования можно
решать, находя седловые точки функции Лагранжа ср(х, и), причем
функция ср(х, и) является вогнутой по х и линейной по и. В этом
пункте мы опишем итеративный метод нахождения седловой точки
функции <р(х, и) с помощью классической системы градиентных
уравнений, измененных на границе так, чтобы получить решение в
положительном ортанте.

Пусть функция ср(х, и) строго вогнута по х> О и линейна по
и^О. Для первой части рассуждений достаточно даже предполо-
жить, что ср (х, и) выпукла по и.

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений:

О,	если = 0 и срх. < О

1 (I — 1, . . ., п),
срл. [х(^), и(/)] в противном случае	(7.3.1)

О,	если uk = 0 и > О

. ...	....	(£ = 1...../и),

— <fUk [х (г)» и (г)] в противном случае

где <1ерез срХ/ обозначены частные производные функции ср по xit
а через сра^— частные производные по uk. (Всякий раз, когда мы
пишем срх. или срал без указания на точки, в которых эти производные
вычисляются, читатель без труда восполнит недостающую информацию.)
Далее мы будем предполагать, что система (7.3.1) имеет реше-
ние {х(0» и(0}» которое единственным образом определяется
по любым начальным данным {х°, и°}^0 и непрерывно по отно-
шению к {х°, и0}.

к Теорема 7.3.1. Пусть функция ср(х, и) строго вогнута
по х, выпукла по и и имеет седловую точку. Тогда решение
{х(£), и(/)} с произвольными неотрицательными начальными
данными {х°, и0} сходится к седловой точке функции <р(х, и).

Доказательство. Заметим, прежде всего, что х-компонента х
седловой точки функции ср (х, и) определяется однозначно. Предпо-
ложим противное: {х, и} и_ {х, и] — две такие седловые точки
функции ср(х, и), что х #= х. Тогда в силу строгой вогнутости
функции ср по х и по определению седловой точки мы имеем

ср(х, и) < ср (х, и)^ср(х, и)
и

<р(х, й)<ср(х. й)<?(х. й),
откуда

<р(х, й)<<р(х, и).

что невозможно.

Рассмотрим теперь решение {х(/), u(f)} с начальными данными,
{х°, и0} и положим

V(/) = | {| х (!) - х |2+1 и (о-UI2}.

где {х, и}—седловая точка функции ср(х, и). [Выражение |x(f)—х|
означает длину вектора х(^) — х в евклидовом пространстве; анало-
гично определяется |и(/) — и |.]

Мы докажем, что

V (t) < 0 для любого t
и

V (f) < 0 для такого t, что х(/) =/= х.

Заметим, что

У(0 = (х(0, Х(О —х) + (й(О. и(О —«) =

“1(0 U1 (I))’	(7-3.2)
где

Xi (/) = 8? (о • х (0» Ui (/) == 8И (/) • и (О*
Ui (о = 8И (о • и,
О

4<о
°|

* »

если Х;(1) = 0 и <f t) <0,
в противном случае,
если uk(t) = Q и ?„ft(Z)>0.
в противном случае.

Ввиду того что функция ср (х, и) строго вогнута по х и выпукла по
и, мы имеем

<Р [X, и (!) ] — <р [X (/). U (0 ]	(фх(0, X — X (0) ДЛЯ X =# X (О

(7.3.3)

<р [х (0. й] — <р [х (0. и (01 (?в(/). и — и (0) •	(7.3.4)

(см. приложение Б.4). Далее, поскольку {х, и} является седловой
точкой функции ср(х,и),

? [х (/), u]<cp(x, и)<;ср[х, и(0].

Следовательно,

о =£<?[х. и(0] — ср[х (/), и] < (фЛ(0, х- х (0) — _

— (t?«(0’u — и(°)' (7>3,5)
Положим

х = Х1 (0 + ХП(О- u W == и1 (0 + UII(О*

Из (7.3.2) и (7.3.5), учитывая, что
хп(о (?)) =	(?о(<)’ uii(O
мы получаем

(О = (?х (О'х (0 - х) - (Фж (О’ ХП (() - хп (о) -

— (?«(/)’“W-u) + (?B(0. u„(0 -Ui,(o) <

< (?x (О’ ХП (о) — (ф« (О’ иП(о) — 0’	_

если х(/)^=х. (7.3.6)
Последнее неравенство справедливо, так как, по определению, хп^
имеет ненулевые компоненты только тогда, когда <^^<0, a uJI(/)
имеет ненулевые компоненты только тогда, когда	Анало-

гично I/ (^) < О для любого t.

Покажем, что х-компонента х(0 сходится к однозначно опреде-
ляемой х-компоненте х седловой точки.

Поскольку V(t)^O для любого Л a V(/)>0, существует
V* = iim У(0-
Z->oo

Поэтому множество {х (/)[/;> 0} ограниченно. Пусть х* — предель-
ная точка множества {x(f)|^> 0]. Тогда существует такая последо-
вательность {^}, что

lim x(Q = x*
v->oo

И

Um u (Q = u*
*->*o

для некоторого u*. По предположению о единственности решение
с начальными данными {x(Q, u(Q} запишется как {x(/-|-Q,
u(^+O}- Поскольку решение непрерывно зависит от начальных
данных, мы получаем, что

{Х*(О. U*(O}= lim {х(*-Н,).
V—>00

где {х*(0> и*(7)} представляет решение с начальными данными
{х*. u*j. Но

V* = lim | {|x(t-bQ-x|2 + j u(t-bQ-u |2) =

”*°°	_	(7.3.7)

= |{|x*(0-x|2+|u*(0-u|2).

Это противоречит соотношению (7.3.6), если х* отлично от х. Сле-
довательно, каждая предельная точка множества {х (£)} совпадает
с х, и мы заключаем, что

lim х (0 = х.
/-►оо
Докажем, наконец, что u-компонента решения и (0 сходится к и-
компоненте и седловой точки {х, и}, хотя и и не обязано со-
впадать с и. Поскольку V(t)-+V* и х(/)->х, мы получаем, что
и (0 сходится; обозначим предел и(^) через и. Поскольку частная
производная ?ц(х, и) не зависит от и (ср — линейная функция по и),
должно выполняться соотношение	о

<р„(х, и)= фи(х, ц)>:0.	(7.3.8)

причем неравенство справа выполняется, потому что {х, и}—сед;,
ловая точка (теорема 7.1.3). Но V (t) стремится к нулю; поэтому из
равенства (7.3.2) мы получаем, что разность

(?•*«)’ Х1 (0_ Х1 (/)) — (?«(О' ul(0 —Ul(o)

стремится к нулю. Однако, поскольку xJ(/)->xI(/), мы имеем

(<рц(х, u), U[—й[) = 0,

ИЛИ

(фв(х, и), и1) = (ср„(х, й), й,).

если учесть, что ?„(х, и) не зависит от и. Индексы при U! вклю-
чают члены, в которых Uj > 0 по определению функции /. Однако
по теореме 7.1.3 ?а(х, u)>0, и>0 и (?ц(х, и), и) = 0. Следо-
вательно, из (7.3.8) и из определения U! мы имеем

0±s(?B(x, u), u)=s(<pe(x, u), u) = 0,
что дает нам

(?«(х, и), и) = 0.	(7.3.9)

Сравнивая (7.3.8) и (7.3.9) с утверждением теоремы 7.1.3, мы
заключаем, что { х, и } является седловой точкой, что и требовалось.

7.4. Векторная задача максимизации. Задача нелинейного про-
граммирования из п. 7.1 может быть распространена на проблемы
максимизации векторной функции О(х) на Ег при ограничениях
F(x)>0, х£А\ где X— замкнутое и выпуклое множество. Пред-
полагается, что компоненты функций О (х) и F (х) являются вогнутыми
функциями переменной х. Будем говорить, что вектор х°, удовле-
творяющий ограничениям (т. е. допустимый вектор), является эффек-
тивной точкой, если не существует другого допустимого вектора х,
для которого G(x)>G(x°). Векторная задача максимизации заклю-
чается в нахождении всех эффективных точек.

Как и прежде, будем предполагать, что ограничения F(x)^0 и
х (: АГ удовлетворяют условиям теоремы 7.1.1. Эффективная точка х°>
Удовлетворяющая ограничениям, характеризуется при помощи по-
строения обычной задачи максимизации с теми же самыми ограни-
чениями, для которой х° является точкой максимума. В этом отношении
следующая далее лемма является основополагающей.

к Лемма 7.4.1. Если х° является эффективной точкой, то
существует такой вектор n —	. ..,-пг) с компонентами

-uz>0, удовлетворяющими равенству

2^ = 1.

i = 1

что максимум функции g(x) = (v, G(x)) на множестве всех х,
удовлетворяющих ограничениям F(x)^0, х£Х, достигается
для х = х°.

Доказательство. Множество ограничений, которое, очевидно,
выпукло, обозначим через S. Положим

7/={y = O(x)-G(X0)6£r|xGS}.

а через К обозначим выпуклую оболочку множества 7/. Поскольку
х° — эффективная точка, множество 7/ не может совпадать с внут-
ренностью положительного ортанта пространства Ег. Из вогнутости
функции G и эффективности точки х° мы немедленно получаем, что
и множество К не содержит внутренних точек положительного ор-
танта. Пусть вектор

....е°, с) (§#=о)

определяет гиперплоскость, которая отделяет положительный ортант
от множества /С. Используя здесь аргументацию леммы Б. 1.3, мы
получаем, что ^^0 и с = 0. Положим

j

Теперь легко убедиться в том, что вектор v° удовлетворяет заклю-
чению леммы.

Замечание 7.4.1. Предположим на мгновение, что функция G
имеет непрерывные частные производные. Если множество Н не
касается в нуле ни одной координатной оси, то отделяющая гипер-
плоскость § может быть выбрана так, что она касается первого ор-
танта только в нуле. Мы видим, что в этом случае > 0 для всех I,
Укажем теперь некоторые условия, которые обеспечивают наличие
этого свойства.
> Следствие 7.4.1. Если точка х° является эффективной
внутренней точкой множества ограничений S, обладающей
тем свойством, что неравенства G^odx^O не выполняются ни
для какого вектор-дифференциала dx, то соответствующий
вектор v в лемме 7.4.1 можно выбрать так, что все его ком-
поненты будут положительны.

То же заключение справедливо, если вектор х° является эффек-
тивным и принадлежит границе множества ограничений, при условии,
что неравенства Gxodx^0 не выполняются ни для какого вектор-
дифференциала, удовлетворяющего условиям Fxodx>0, Ijdx^O,
где неравенства F (х°) > 0 и 1х°>; О (здесь I — единичная матрица)
разделены на два множества условий:

F1(x°) = 0, ^х0 = О и F2(x°)>0, 12х° > 0.

Теперь можно сформулировать задачу о седловой точке, экви-
валентную проблеме нахождения эффективной точки.

> Теорема 7.4.1. Пусть G является вогнутой вектор-фу ак-
цией, определенной для х£Х, а функция F та же самая, что
и в теореме 7.1.1. Для того чтобы точка х° была эффек-
тивной, необходимо, чтобы существовали такие два неотри-
цательных вектора v°(v°=#0) и и0, каждый из которых имеет
столько же компонент, сколько соответственно функции G
и F, чтобы пара { х°, и0} была седловой точкой функции

Х(х, и, v°) = (v°, G(x)) + (u, F(x)),
т. е.

/(х, и0, v°)^x(x°, и0, v°)^x(x°, и, v°)	(7.4.1)

для всех неотрицательных и и х£Х. Если все компоненты
вектора v° строго положительны, то это условие является
и достаточным.

Доказательство. Необходимость. По лемме 7.4.1 суще-
ствует такой неотрицательный вектор v°, что максимум функции
g (х) == (v°, G(x)) на множестве S достигается в точке х°. Применив
теперь теорему 7.1.1, мы получим утверждение теоремы 7.4.1.

Достаточность. Обратив это рассуждение и воспользовавшись
опять той же теоремой 7.1.1, мы получаем, что максимум (v°, G(x))
на множестве S достигается в точке х°. Поскольку вектор v° является
строго положительным, точка х° эффективна.

Экономическая интерпретация задачи о седловой точке, опре-
деляемой неравенствами (7.4.1), аналогична той, которая была при-
ведена для неравенств (7.1.2). Поскольку выход интересующей нас
продукции характеризуется теперь уже не одним числом, а вектором,
понятие максимума заменяется понятием эффективной точки.

7.5*. Сопряженные функции. Дальнейшее распространение ре-
зультатов линейного программирования на нелинейные задачи макси-
мизации и минимизации с вогнутыми и выпуклыми функциями может
быть осуществлено с помощью теории сопряженных функций, основы
которой были заложены Фенхелем.

Помимо большого значения этой теории для нелинейного про-
граммирования, она изящна и интересна сама по себе и применяется
в теории неравенств и теории выпуклых множеств. Обе эти теории
охватывают многие основные методы теории конечных игр и про-
граммирования. В следующих пунктах мы рассмотрим основные
свойства сопряженных функций. Их применение к задачам нелиней-
ного программирования и теории выпуклых множеств описано соот-
ветственно в п. 7.8 и 7.9.

Пусть / — выпуклая функция, определенная на выпуклом мно-
жестве С в пространстве Еп. Напомним, что f непрерывна в относи-
тельно внутренних точках множества С, а если точка х* принадлежит
границе множества С и значение / (х*) определено, то

Ит /(x)=s/(x*)

X -> X*

(см. приложение Б. 4).

В дальнейших рассуждениях всякий раз, когда предел
lim / (х)

X -> X*

конечен, множество С будет переопределено так, чтобы в него ока-
зались включенными все точки х*. Аналогично определение функ-
ции f в таких точках дополняется соотношением

/(х*)== lim /(х).

х -> X*

Эту модифицированную функцию и расширенное множество мы будем
обозначать соответственно через /° и С°.

> Определение 7.5.1. Выпуклую функцию, определенную на
выпуклом множестве S, будем называть замкнутой, если для любой
точки х°, в которой предел

lim /(х)

X -> ХО

конечен, значение f (х°) определено и равно
lim /(х).
Х->Х^

’) В применении к функциям термин „сопряженный* представляется более
предпочтительным, чем термин „двойственный" или „полярный". — Прим. ред.
Процесс нахождения /° и С° по / и С будем называть „замы-
канием функции”, а пару [/°, С°] будем называть „замыканием” [/, С].
Замыкание пары [/°, С°] есть сама пара [/°, С°].

> Лемма 7.5.1. Если выпуклая функция определена на вы-
пуклом множестве С в пространстве Ent то ее замыкание fQ
является выпуклой функцией с областью определения С°.

Доказательство. Пусть х*:^=/х1 + (1—0х2» гл>е
и хр х2£С°. Мы можем выделить такие последовательности внут-
ренних точек х^ Xj и х£—>х2, что

lim /°(х») = lim /(х'’)=/°(х1)

Л->ОО	Л->ОО

И

!im /(х”) = /°(х2).

П->ОО

Тогда

/°(х*)= lim /(х)^ lim /[/х" + (1 —/)х"]^
х->х*	zz->oo

^(хо+а-о/0^).

Впредь мы будем предполагать, что исходная выпуклая функ-
ция /, определенная на множестве С, является замкнутой.

Построим множество

[/.С] = {^.х)€£л+1|хСС и *s±/(x)}.	(7.5.1)

Нижняя граница этого множества является графиком функции /.
Поскольку эта функция предполагается замкнутой и выпуклой, мы
сразу же получим, что [/, С] есть замкнутое выпуклое множество
в пространстве £,л+1.

Выпуклое множество S точек пространства Еп можно охаракте-
ризовать заданием множества всех его опорных гиперплоскостей
(см. приложение Б.1). Поэтому естественно при изучении множества S
рассматривать множество всех его опорных гиперплоскостей (каждая
из которых определяется некоторым нормальным к ней ортом и ве-
щественным числом) как двойственное (сопряженное) множество S*
в пространстве Еп. Начав с множества S* и построив сопряженное
ему множество, мы придем снова к множеству 5. Применим этот
принцип двойственности к множеству [/, С]. Сопряженное мно-
жество [/, С]* определим как множество всех невертикальных
гиперплоскостей пространства Еп+\ обладающих тем свойством, что
множество [/, С] лежит выше ее. Говоря более точно, плоскость
в Ел+1 определяется вектором § из пространства Еп и таким ве-
щественным числом с, что —с является пересечением плоскости

17 Зак. 1789
с вертикальной осью пространстваЕп+1. Точка (с, §} пространства Еп+1
принадлежит множеству [/, С]* тогда и только тогда, когда

г^(х, !;)— с для любой точки {z, х} из [/, С].	(7.5.2)

Чтобы проверить, что точка {с, §} принадлежит множеству [/, С]*,
достаточно проверить выполнение неравенств

с^:(х, §) — /(х) для всех х из С.	(7.5.3)

Очевидно, что если {ср §} принадлежит множеству [/, С]* и с2 > cv
то и [с2, §} принадлежит множеству [/, С]*. Следовательно, для
данного вектора § наименьшим допустимым с является

sup [(х, §) — /(*)]•	(7.5.4)

х£С

Пусть

Г={5 из 5" | sup [(х, ?) —/(х)] < со}.

х£С

Положим для § из Г

? (§) = sup [(х. 5)—/(X)].

х£С

Функцию ср будем называть сопряженной к функции /. Ее значе-
ниями являются наибольшие точки пересечения нормали {—1, §}
с плоскостями, лежащими под графиком функции /.

к Лемма 7.5.2. Множество Г является выпуклым и непустым,
а функция ср — выпуклой замкнутой функцией, определенной
на множестве Г.

Доказательство. Если С имеет внутренние точки в Еп, то
построим опорную гиперплоскость к множеству [/, С] в точке х°,
являющейся внутренней уочкой множества С. Эта гиперплоскость,
очевидно, не будет вертикальной. Если множество С не имеет внут-
ренних точек в Еп !), то обозначим через х° относительно внутрен-
нюю точку множества С, а через С линейное расширение множе-
ства С в пространстве Еп. Рассмотрим функцию /, определенную
в аффинном* 2) пространстве CzdC. Гиперплоскость, опорная к мно-
жеству [/, С] в точке х°, определенная только в пространстве мень-
шей размерности, является невертикальной гиперплоскостью, которую
можно погрузить бесконечно многими путями в пространство Еп

*) В данном случае это означает, что множество С лежит в про-
странстве меньшей чем п размерности. — Прим, перев.

2) Аффинное пространство представляет собой сдвинутое линейное
пространство.
с сохранением ее невертикальности. Следовательно, в любом случае
множество [ср, Г] не пусто. Доказательство того, что функция ср
выпукла, не представляет затруднений.

Мы наметим доказательство того, что функция ср является также
и замкнутой. Пусть ->!;*; тогда

<?(§") S=(x. D — /(X)

и, следовательно, для всех х£С

Пт cp(§n)^lim(x. ?") — /(х) = (х, £*) —/(х).

/2->ОО	П

Поэтому

lim <р (§я) sup [(х. 5*) — / (х)] = ср (§*).
/2—>0О

Поскольку, однако, противоположное неравенство для выпуклых
функций выполняется всегда, мы должны здесь иметь равенство.

Замечание 7.5.1. Рассуждения, предшествовавшие последней
лемме, показывают, что

[/, С]* = [ср, Г].	(7.5.5)

Полученное заключение леммы 7.5.2 и равенство (7.5.5) позво-
ляют заключить, что множество, сопряженное к [/, С], является
снова множеством того же типа. Граничные точки множества [ср, Г]
соответствуют точкам графика функции ср(§) и могут рассматриваться
как опорные плоскости к графику функции f (х). Если {/(х), х}
является точкой соприкосновения множества [/, С] и плоскости
{?(?)» §}» определяемой нормалью с компонентами {—1,§} и огра-
ничивающей ср(£) в вертикальном направлении, то /(х)4-ср(§) = (х, §).
Следующая лемма выражает принцип двойственности, часто про-
являющийся при изучении выпуклых множеств.

► Лемма 7.5.3. [ [/, С]*]*== [/, С].

Доказательство. Покажем сначала, что [/, С]с:[ср, Г]* =
= [[/, С]*]*. Пусть точка х принадлежит множеству С; тогда ср(§)>
^(х, §) — /(х) для любого § из множества Г. Но для всех g из Г
мы имеем неравенство

^s=(x. 5)—с? (5).

каково бы ни было г>/(х). Следовательно, точка {z, х) принад-
лежит множеству [ср, Г]*.
Для того чтобы установить обратное включение, предположим,
что {z°, х°] является точкой пространства Еп+\ но не принадлежит
множеству [/, С]. Поскольку [/, С] — выпуклое замкнутое мно-
жество, существует невертикальная гиперплоскость, отделяющая
точку {z°, х0} от множества [/, С]. Обозначим эту гиперплоскость
через {с £}; тогда /(х)^(х, §)— с для всех х£С и zQ <
< (х°, §) — с. Из первого неравенства следует, что {с, §} принадле-
жит множеству [ср, Г], а из второго, что {z°, х0} не принадлежит
[ср, Г]*. Следовательно, [/, С]ю[ср, Г]*, что вместе с первым резуль-
татом и доказывает лемму.

Поскольку функция /(х) является сопряженной к функции ср(§),
должно быть

/ (X) = sup [(х. §) — <Р (§)].	(7.5.6)

Граничные точки. Если точка принадлежит множеству Г,
то {ср (§°), §0} является граничной точкой множества [ср, Г] и опреде-
ляет опорную гиперплоскость к [/, С]. Обозначим множество точек
соприкосновения через С(§°). Любая точка {/(х°), х°] из этого мно-
жества определяет опорную гиперплоскость к множеству [ср, Г] в точке
{<р(§°)»§0}* Следовательно, если {/(х°), х0} принадлежит множеству
С(|°), то {ср (§°), §0} является точкой пересечения множества [ср, Г]
и гиперплоскости {/(х°), х0}. Если множества общих точек, соот-
ветствующие х° и §°, состоят только из внутренних точек и если
существуют частные производные функций /(х) и ср(§) соответственно
в точках х° и §°, то ввиду того, что <р(§0) + /(х°) = (х°» §0)» мы
имеем

(£) =Й.

\ JXQ	\	/£0

7.6*. Композиция сопряженных функций. Для построения из
имеющихся выпуклых множеств нового выпуклого множества обычно
применяются три операции:

(1) образование прямой суммы выпуклых множеств, (2) построе-
ние выпуклой оболочки множеств и (3) взятие пересечения выпуклых
множеств (см. приложение Б). В данном пункте мы изучим приме-
нение этих операций к введенным выше сопряженным множествам.

Пусть [/р и [/2, С2]— два выпуклых замкнутых множества
описанного в (7.5.1) типа. Обозначим сопряженные им множества
соответственно через [<Рр 1\] и [<р2, Г2]. Векторная сумма 5 =
= [Тр Г11 + [ср2, Г2] состоит из всех точек вида {«i + а2, J;1—g2}»
где {ар g1] пробегает [срр TJ, а {л2, §2} пробегает [ср2, Г2]. Замыка-
ние множества 5 будем обозначать через 5.
к Теорема 7.6.1. Если С = СХ(]С2 непусто и f(х) = fx(х)
+ Л(х) для х из то (/• C]* = S=[<p, Г], где Г1-{-Г2с:ГсГ1-|-Г2
и

<р(§)= inf	{<рх (g1) 4- <р2 (g2)}	(7.6.1)

для § из 1\-|-Г2.

Доказательство. Чтобы сделать доказательство более про-
зрачным, разделим его на три части.

(I)	[/,<?]*=>$.

Сопряженное к [/, С] множество состоит из всех невертикальных
гиперплоскостей (а, g}, для которых aS:(x, g)— /(х) при всех х
из С. Если {ах, gz} принадлежит [<рр TJ, то а^Щ1, х) — /Дх)
(i = 1, 2). Складывая, получаем, что

«1Н- а2& (g1 + g2, х)—/(х)

для х из С, так что {aj-j-a2,	принадлежит множеству

[/, С]*. Следовательно, [/, Cj*oS, а ввиду того, что [/, С]* зам-
кнуто, [/, С]*э5.

(II)	<р (g) — выпуклая функция и S = [<р, Г]. ’

Определим <р (g) для g из по равенству (7.6.1). Ввиду (I),
функция <p(g) конечна для каждого g из 1\-|-Г2. Используя опреде-
ление <р (g), легко проверить, что эта функция выпукла. Кроме того,
из построения множества S мы усматриваем, что 5 = [<р, Г], как и
утверждалось.

(Ш) 3=э[/,сп

Достаточно проверить, что $* = [?, Г]*с[/, CJ. По определению,
множество S* состоит из всех невертикальных опорных гиперпло-
скостей к множеству 5; следовательно, его элементы можно пред-
ставить в виде {г, х}. Точка [г, х) тогда и только тогда принадле-
жит множеству S*. когда для всех точек {ap g1} и [а2, g2} из [<рх, 1\]
и [<р2, Г2] соответственно выполняется неравенство

2^(х. g4-g2) — ах — а2.

Поскольку ах (g1) и а2 <р2 (g2), это неравенство эквивалентно
г^(х. g^-g2)-^1)-^2)-

Поэтому

z sup [(х, g1) — (g1)] 4- sup [(X, g2) — Cf>2 (g2)] = Д (X) + f2 (X).
Следовательно, точка [z, х) принадлежит [/, С]. Это применимо
к каждой точке множества S*, и тем самым доказательство послед-
него утверждения завершено.

Обозначим через [Д, Са] семейство замкнутых выпуклых мно-
жеств из Еп+\ определяемых равенством (7.5.1). Пусть CczQCa
а
есть множество всех тех х, для которых sup Д (х) конечен. На
а

множестве С определим /(х) = sup Д (х); множество С выпукло,
a

а /(х) является выпуклой замкнутой функцией, определенной на С.
Мы хотим охарактеризовать множество [ср, Г] = [Д С]* в терминах
точечного множества [/, C] = Q[/a, CJ. Пусть [<pa. Га] = [Д, CJ*.
а

а Н—выпуклая оболочка множества {Га}.

к Теорема 7.6.2. Если множество С непусто и /(х) =
= sup Д(х) для х£С, то [Д С]* является замыканием выпуклой
а

оболочки О множества [<ра, Га]. Кроме того, G = [<р, Г],
НсГсН и

•	п+1

<Р(5) = inf SMaJfO	(7.6.2)

г-1

(точная нижняя граница берется по всем представлениям
точки в виде положительной линейной комбинации п + 1 точек,
взятых из любых п+1 множеств Га).

Доказательство. Из того что [Д С]с[Д, CJ, следует, 'что
[Д С]*о[Д, CJ* = [сра, Га]. Из замкнутости и выпуклости мно-
жества [Д С]* вытекает, что оно должно содержать все конечные
выпуклые комбинации из множества [сра, Га] и пределы их последо-
вательностей. Поэтому [Д C]*z>G.

Ввиду того что множество GczEn+1 является выпуклой оболоч-
кой множества [сра, Га], мы можем определить функцию ср(§) как
наименьшую ординату (т. е. первую компоненту) точки {ср (§),§}
в О. Поскольку множество	является выпуклой оболочкой

множества [сра, Га], каждая точка множества О может быть аппрок-
симирована точками вида

п+2	п+2

5 = 2 и с — S ,
/-1 1
где	€[<?«,. Г«;] (см. лемму Б.2.1). Но ср(§) является наимень-

шим допустимым значением с для вектора Следовательно,

л+2

?(?)= inf S х»<Р«г СТО-

Точка {ср(£), лежит на границе множества G и поэтому принад-
лежит некоторому симплексу размерности не выше п. Поскольку
эффективные точки множества О должны получаться из эффектив-
ных точек множеств [<p«z. TaJ, вершинам этого симплекса можно
поставить в соответствие точки {<ра/СТО» ?a/j. Следовательно, в пред-
ставлении ср(§) достаточно рассматривать выпуклые комбинации не
более чем п-j-l точек. Из определения функции ср(£) легко полу-
чить, что она является замкнутой функцией, определенной на Г, и что
О = [ср, Г].

Остается доказать, что [/, С]* = О. Из уже доказанного следует,
что нам достаточно установить включение

[/, С]*сО = [ср, Г],

которое эквивалентно [/, С] о [ср, Г)*. Возьмем точку {г0, х0} из
[ср, Г]*. Тогда для любых а и §а^Га мы имеем

ХО)_сра(^).

Следовательно, для любого а точка [z°, х0} принадлежит множеству
1?«. г«г. и поэтому

{г°. х<ч €()[/«’	С1-

а

Другим полезным следствием, вытекающим из определения сопря-
женных функций, является следующая теорема.

► Теорема 7.6.3. Пусть /(х)— замкнутая выпуклая функция
в С, а у —сопряженная ей функция. Тогда сопряженной
к функции /(х)4*А, которая определена на множестве С,
где k — некоторая постоянная, будет функция ср(£)— А, опре-
деленная на множестве Г. Сопряженной к функции /(х — v),
определенной на множестве C-J-v, где n — некоторый по-
стоянный вектор, является функция ср (5)4- (у, 5)« определенная
на множестве Г.

Наша следующая теорема окажется полезной как в теории вы-
пуклых игр, так и при изучении выпуклых множеств (см. п. 12.3).
к Теорема 7.6.4. Обозначим через Д(х) семейство выпуклых
функций, определенных на ограниченном множестве Са.Еп и
таких, что sup /а(х) конечен для всех х. Тогда для любых
а

а inf sup /а(х) и е> 0 существуют такие функции fa и веще-
ха	1

ственные Xz^0 (Z=l, ...» n—|— 1), что

/14-1

2\/e/(x)^a—е для всех Х£С

a SXZ=1.

Доказательство. Пусть f(х) = supfa(х) и z0 = inf/(x).
а	х

Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте z0, является опор-
ной плоскостью для выпуклого множества [/, С] и граничной точкой
для множества [/, С]*. Для этой плоскости 5 = 0 (нулевой вектор)
и ср(О) = — z0. Из теоремы 7.6.2 следует, что

л 4-1
— z0 = ср (0) = inf 2	(?’z).

где X. ^0	= Следовательно, по заданному е>0 мы можем

найти такие Xz и l**i9 что

/14-1	/14-1

и 2х(г«=о.

Но для любого х£С мы имеем сря (5“г)^(х.	— /в (х). Отсюда

следует, что

/14-1	/14-1	Л4-1

го — 2 \ (х> 5’0 4- 2 \fa( (х) 4“е = 2	(х) +е»

и поскольку а — e^z0— е, теорема установлена.

Опорные функции. Для любого выпуклого множества Сс.Еп
мы можем определить /(х) = 0 при всех х£С. Сопряженное мно-
жество к [/, С) имеет вид [ср, Г], где

ср (?) = sup (х, §)

и область Г является множеством векторов, для которых
sup(x, j)
— конечная величина. Будем называть ср(§) опорной функцией мно-
жества С.

Лемма 7.6.1. Опорная функция ср(§) выпуклого множества С
является положительно-однородной функцией, а множество
[?, Г] — конусом с вершиной в начале координат. Обратно,
если функция <р(£), определенная на замкнутом выпуклом
конусе в Еп с вершиной в начале координат, является поло-
жительно-однородной, то она является опорной для некото-
рого множества CczEn.

Доказательство. Если k > 0, то

ср(А§) = sup (х, £§) = Asup(x, §) = Аср(§).
х£С	х^с

Следовательно, Г и [ср, Г]—конусы с вершиной в начале координат.

Обратно, пусть ср(§)— положительно однородная функция, опре-
деленная на замкнутом выпуклом конусе Г с вершиной в начале
координат. Тогда [ср, Г]—конус того же типа, а эффективные точки
множества [ср, Г]* должны быть плоскостями, проходящими через
начало координат. Следовательно, [ср, Г]* = [/, С], где / = 0 на С,
а С — конус.

Наконец,

[ср, Г] = [ср, Г]** = [/, СГ,

т. е. ср оказывается опорной функцией множества С.

Представление опорной функции пересечения выпуклых множеств
через опорные функции каждого множества можно получить из (7.6.2).
Обозначим через С семейство выпуклых множеств в Еп, а через
ср — их опорные функции. Если C = QCa и ср — опорная функция
а

множества С, то по теореме 7.6.2 и в силу положительной однород-
ности имеем

л+1	п+1

?(§)= inf (§“0= inf 3?e.(Me0 =

/1+1

1

7.7	*. Сопряженные вогнутые функции. Подобно тому, как была
построена теория сопряженных выпуклых функций, можно построить
аналогичную теорию для вогнутых функций £(х), определенных на
выпуклом множестве D.
Определим выпуклое множество

[£, D] = ({z, х}|х££> И 2^^(Х)).

При надлежащем переопределении g(x) и D мы можем сделать
множество [g, D] замкнутым (см. п. 7.5). Мы можем определить
затем сопряженное множество для множества [g, О], как множество
невертикальных плоскостей, оставляющих множество [g, D] с одной
стороны. Невертикальная плоскость определяется вектором § и чи-
слом Ь, где —b — отрезок, отсекаемый этой плоскостью на оси z.
Граничная плоскость в том и только том случае принадлежит мно-
жеству [g, D]*, когда (5, х) — Z>^:g(x) или

а *;(!;, х) — £(х).	(7.7.1)

Если Ьх — допустимое число для вектора § и b2 < Ьх, то Ь2 также
допустимо в силу (7.7.1). Если через ф(§) мы обозначим наибольшее
допустимое bt то

ф(§)= inf [(§, x)-g(x)].	(7.7.2)

x$D

По каждому ф образуем область А, состоящую из векторов, для
которых нижняя грань в (7.7.2) конечна. Легко проверить, что
множество А — выпукло, функция ф— вогнута, а множество [ф, А]
является сопряженным к [g, О]. Кроме того, [ф, A]* = [g, D] и

g(x) = inf [(х, §)- ф(?)].	(7.7.3)

Нетрудно перенести на наш случай все алгебраические и геометри-
ческие характеристики взаимосвязи сопряженных выпуклых функций.

В частности, аналогом теоремы 7.6.4 является

к Теорема 7.7.1. Пусть ga(x) — семейство вогнутых функций,
определенных на ограниченном выпуклом подмножестве про-
странства Еп. обладающее тем свойством, что infga(x) ко-
а

нечен для каждого х. Тогда для любых а^ sup inf ga (х) и е > О
X а

существуют такие функции gt и вещественные (1=1,...

..., n-|- 1), что

л+1

S (x)=sa + e для всех х £ С
i  1	1

Я 3 \ = 1 •

7.8	*. Теоремы двойственности для нелинейного программиро-
вания. Пусть /(х) — выпуклая функция, определенная на выпуклом
множестве С, а g(x) — вогнутая функция, определенная на выпуклом
множестве D. Пусть [/, С]* = [ср, Г] и [g, £>]* = [ф, А].
Предположение. Будем считать, что множества CpD и ГрД
имеют точки, являющиеся относительно внутренними соответственно
для С, D и Г, Д.

Рассмотрим следующие экстремальные задачи.

Задача 1. Найти точку х° множества С f] D, которая максими-
зирует £(х)— /(х) на С П D.

Если g(x) — /(х)^0 для множества С f] Dt то эта задача с гео-
метрической точки зрения сводится к нахождению максимальной
вертикальной хорды выпуклого множества [/, С] П [£, О] в про-
странстве Еп+\ Если f(x) = 0 в С, то эта задача сводится к задаче
вогнутого программирования, а именно к задаче максимизации g(x)
для х из С.

Задача II. Найти точку'5° из ГрД, минимизирующую ср (§)— ф(§)
в ГрД.

Если ср(§)— ф (£)>() в ГрД, то сформулированная задача с гео-
метрической точки зрения состоит в нахождении минимального вер-
тикального сегмента, соединяющего множества [ср, Г] и [ф, Д] в про-
странстве Еп+\

Эти две задачи можно рассматривать как обобщение задач I и II
линейного программирования на случай нелинейного программирова-
ния. Однако эти задачи не эквивалентны задаче о седловой точке,
которая обсуждалась в п. 7.1. В некоторых случаях двойственным
задачам можно дать экономическую или производственную интерпре-
тацию.

► Теорема 7.8.1.

sup [g(x)~ /(х)1= inf [?(£) —Ф (5)].

Доказательство. Пусть j £ Г П Д, тогда

?(§)^(х, §) —/(х)

<|>(i;)=s(x, §) — g(x)

?(§)—Ф(5)^(х) — /(х)

(х€0.

(x€D).
(х^СПО).

Следовательно,

inf [<?(£) —ф (£)]:== sup [g(x)~/(x)J.	(7.8.1)

ЕёгПд	xecflD

Соотношение (7.8.1) показывает, что обе эти величины конечны.
Для того чтобы доказать обратное неравенство, положим

Н= sup [g(x) — /(х)]
x£C[\D

и (х) = f (х) -J- рь. Сопряженную с ^(х) функцию обозначим
через <Pi (§)• Выбор рь позволит нам установить, что множества [/р С]
и [§•» D] могут произвольно сближаться, но при этом все же не
будут иметь обычных внутренних точек. Поэтому существует раз-
деляющая эти множества гиперплоскость h, являющаяся для обоих
этих множеств опорной. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Если плоскость h не является вертикальной, то она
определяется вектором и пересекает ось z в точке —у. Следо-
вательно, принадлежит множеству ГрД, т^ = ф(§0) и

= <Р1 (5°) = sup [(X. §°) — / (х) — [1] = ср (§0) — |Х.

Поэтому

sup [g(x)~ /(х)] = р. = <р(§0) — ф(50)^ inf [?(§) —ф(§)].

хесПо	1=€гПа

и в (7.8.1) имеет место равенство.

Случай 2. Если h является вертикальной плоскостью, мы спро-
ектируем [/, С], [§•, D] и h вертикально на Еп. Два выпуклых мно-
жества проектируются на С и D, а проекцией h является гиперпло-
скость hx пространства Еп, которая должна разделять С и D. По-
следнее утверждение противоречит предположению о том, что С и D
имеют общие относительно внутренние точки. Следовательно, случай 2
невозможен.

► Следствие 7.8.1. Из доказательства последней теоремы
вытекает фактически, что

inf [?(§)•— ф (?)] = ? (5°) — ф (1°).

еегГ1д
где £°£ГПД.

Поэтому мы можем заменить здесь инфимум на минимум. Ввиду
того, что условия теоремы симметричны относительно /, g и ср, ф,
мы можем также заменить и супремум на максимум. Тогда

min [?(£) — ф(?)]= max [£(х) — /(х)].	(7.8.2)

хесПо

► Следствие 7.8.2. Если мы выразим функции g(x) и <p(g)
через f и

(х) = inf [(х, £) — ф(§)], <p(5)=sup[(x, §)—/(х)1,	(7.8.3)

х£С
то теорема 7.8.1 сведется к утверждению*.

max inf [(х, §) — /(х) — ф(§)] = min sup[(x, §)—/(х) — ф(§)].
л-есПо	Е£гПл л£С

Если данные множества и функции обладают еще и тем свойством,
что Г = Д, C = Z), а инфимум и супремум в соотношении (7.8.3)
можно заменить соответственно на минимум и максимум, то
max min[(x, §) — / (х) — ф (g)] = min max[(x, 5) — /(х) —ф(5)].

(7.8.4)

Это уравнение указывает на существование седловой точки у функ-
ции F (х, g) = (x, 5) — /(х)—ф(5). Это значит, что существуют
и х°, для которых

F(x°, £)>F(x°, I-0)>F(x, 5°) для всех х£С и 5£Д. (7.8.5)

Обратно, всякий раз, когда выполняется (7.8.5), будет справедлива
теорема 7.8.1.

Если в (7.8.2) подставить выражения для фи /, то подобно тому,
как было получено (7.8.4), мы будем иметь

max min [<р (£)-]-g(x) — (х. 5)] = min max [фg)-J-^(x)—(х. §)]. (7.8.6)
Jr € с £ € А	х € С

Это равенство указывает на существование седловой точки у функции

<р(§. х) = <р(?) + ^(х) —(X, I).

Можно получить и несколько более сильную формулировку тео-
ремы 7.8.1, не делая специальных предположений о существовании
(относительно) внутренних точек множества С (]D. Все, что требуется,
состоит лишь в том, чтобы оба эти множества были непустыми.
Доказательство основано на композиции сопряженных функций. Обо-
значим через ф(£) сопряженную функцию к функции / (х) + [—g’(x)],
заданной в Cf) D. Из теоремы 7.6.1 вытекает, что функция ф(£)
определена на множестве, содержащем Г+(—Д). Поскольку Г и Д
имеют общие точки, множество Г — Д содержит начало координат.
Следовательно, функция ф($) при § = 0 определена, и в силу тео-
ремы 7.6.1 мы имеем

ф(0) = inf [<р(§1)-ф(-§2)]= inf [?(§) — ф (5)].

С другой стороны, само определение фуйкции, сопряженной к /(х) —
— g’(x), при § = 0 дает нам

ф(0)= sup (g(x) — /(х)].
Эти последние равенства страдают тем недостатком, что не указы-
вают, когда инфимум и супремум могут быть заменены на минимум
и максимум (см. следствие 7.8.1).

7.9*. Приложения теории сопряженных функций к выпуклым
множествам. Теорема 7.6.4 указывает путь к ряду результатов,
касающихся выпуклых множеств, приближения функций, отыскания
полиномов по их значениям и т. д.

Эти структурные свойства выпуклых множеств постоянно исполь-
зуются при изучении неравенств, встречающихся при различной поста-
новке задач программирования. Приводимая ниже классическая тео-
рема, в которой сформулировано более сильное свойство конечных
пересечений, характеризующее компактность, является основопо-
лагающей.

► Теорема 7.9.1 (теорема Хелли). Если {CJ—такое семей-
ство ограниченных, замкнутых, выпуклых множеств в про-
странстве Еп, что пересечение любых п-\- 1 множеств непусто,
то непусто и QCa.
a

Доказательство. Обозначим через сра(у) расстояние между
точкой у и множеством СЛс.Еп. Легко проверить, что все функ-
ции сра непрерывны и выпуклы. Обозначим через S замкнутую огра-
ниченную сферу, содержащую одно из множеств Са, скажем, Сао.
Если QCa пусто, то

inf sup (у) > 0.

У65 «

Поскольку все функции сра непрерывны, мы можем найти такое
конечное подмножество {CaJ, что

inf sup <pa (у) > 0.
i 1

Так как сфера S компактна, мы можем написать

inf sup (pa (у)^±8 > 0.
i 1

Из теоремы 7.6.4 следует, что существует некоторая выпуклая ком-
бинация, слагаемые которой ради удобства обозначений занумеруем
от 1 до п-(-1, удовлетворяющая условию

л+1

2Х/<р«/(у)^3>0 (у 6 S).	(*)
Следовательно, п-\- 1 множеств Са/ должны пересекаться вне
сферы S.

Обозначим через S' замкнутую ограниченную сферу, содержащую
сферу S, множество Са^ и множества (Z = 1........п -|- 1), взятые

из неравенства (*). Мы имеем

inf sup <ра. (у) > 0.
y^S' i 1

Повторив предыдущее рассуждение применительно к семейству, содер-
жащему n-j-2 элемента Са/ (/ = 0, 1, ...» п-р 1), мы получим, что
некоторые п -f-1 из них не пересекаются в S'. Но поскольку они
все содержатся в S', они вообще не пересекаются, что противоречит
предположенному.

> Следствие 7.9.1. Если каждые zz —|— 1 множеств из семей-
ства {CJ в качестве своего пересечения имеют непустое мно-
жество и если либо

(a)	{CJ — конечное семейство открытых выпуклых множеств
{не обязательно ограниченных), либо

(б)	(CJ—конечное семейство замкнутых выпуклых мно-
жеств (не обязательно ограниченных), либо

(в)	{CJ—бесконечное семейство замкнутых выпуклых мно-
жеств (не обязательно ограниченных, но имеющее конечное
подсемейство с ограниченным пересечением), то QCa непусто.

а

В каждом из этих случаев, при соответствующей модификации
множеств, получаем эквивалентную задачу, к которой может быть
применена теорема 7.9.1.

Для произвольного семейства замкнутых выпуклых множеств
теорема Хелли неверна. В пространстве Е1, например, можно поло-
жить Ck — [k, сю] (А=1, 2, ...). Любое конечное число этих мно-
жеств пересекается, но не существует общей точки для всего
семейства.

Теорема Хелли может быть использована в задаче аппроксимации
полиномами. Пусть заданы п-1 пар вещественных чисел

(xz, yz) (Z = 0, ..., я; xt < xz+1).

мы хотим найти полином Р степени не выше п — 1, который мини-
мизирует величину max|yz—P(xz)|. Положим

|р = min maxi у, — Р (х^ |.
р i

Используя стандартные рассуждения о компактности, легко доказать,
что на некотором полиноме Р* значение р действительно достигается.
Детали доказательства мы оставляем читателю. Далее будет дано
явное выражение для р и Р*.

к Лемма 7.9.1. Если Р*— некоторое решение, то

|yz—P*(xz)|=p для всех I.

Доказательство. (От противного.) Предположим, что суще-
ствует такое I, скажем Z = 0, что |у0 — Р*(х0)| < р. Мы покажем,
что это предположение позволит нам сконструировать полином, даю-
щий лучшую аппроксимацию, а это противоречит выбору числа р.

Для каждого k=£Q мы можем сконструировать такой полином Qk(x)
степени п—1, что Qk(xi') = Q, если i =# 0 и i =# k. Кроме того, мы
всегда можем выбрать полином Qk (х) так, чтобы Qk (xk) > 0.

Положим ejfe = sign[yjfe — Р*(а^)]. Выберем числа > 0
(/ — 1, 2, ..., ri) настолько малыми, чтобы

I Уо — р* (*о) — aisiQi (*o) I < Р-

Это возможно, так как мы предположили, что |у0— Р*(х0)|<р.
Но из at > 0 и |yz — P*(xz)|^p следует, что

<р.	(7.9.1)

в то время как значения на остальных Xj не изменяются, так как
значения полиномов на них равны нулю. Следовательно,

\У1 — P*(xi)— 2 akekQk(xi)\ < Р Для всех L (7.9.2)

Но неравенство (7.9.2) противоречит определению числа р.

к Лемма 7.9.2. Если Р*(х)— решение, то разности yz— P*(xi)
попеременно меняют знак.

Доказательство. Если для некоторых xt и х/+1 значе-
ния — P*(xi) имеют один и тот же знак, скажем, положительны,
мы можем так сконструировать полином степени п — 1, что он будет
равен нулю при x — xk (k I, &=#Z-|-1) и будет принимать поло-
жительные значения при х = xt и х = х/+1. Умножением этого поли-
нома на соответствующий множитель мы сможем уменьшить разности
в точках xt и х/+1, не изменяя их в остальных точках. Это проти-
воречит условию леммы 7.9.1.

Теперь уже из лемм 7.9.1 и 7.9.2 вытекает, что есди полином

л-1
является решением, то система уравнений
л-1

= (А = 0.............п),	(7.9.3)

/=0

где т] равно либо 4" Р» либо — р, должна иметь решение.

Искомый полином единствен. Если существует два решения
с одним и тем же т], то разность Pi—должна быть полиномом
степени не выше n—1 и обращаться в нуль в n-Н точках х0, xv ..., хп.
Следовательно, Рг = Р2. С другой стороны, если существуют такие
два решения, что ^ = 4-р и ?]2 = — р, то разность этих решений
должна обращаться в нуль в некоторой точке между xi и хм для
каждого /. Следовательно, эта разность обращается в нуль не менее
чем в п точках, а это означает, что рассматриваемая разность равна
нулю.

Мы можем рассматривать равенства (7.9.3) как систему п-|-1
уравнений относительно /г —1 неизвестных а*, ..., а*. Значение
определяется единственным образом по формуле

Уо 1 -«о ••• *о-1

1 Xi ...

___ У П 1 хп • • ‘ хп
1	1г	„Л-1

1	1	Xq	. . .	Xq

— 1	1	хг	...	х"'1

(—1)"	1	Хп	...	хп'х

Коэффициенты единственного полинома Р*(х), являющегося реше-
нием, можно найти, решив систему уравнений (7.9.3).

Приступим теперь непосредственно к рассмотрению проблемы
в некотором смысле наилучшей аппроксимации заданной функции
полиномом степени п,—1. Точнее говоря, пусть задана ограниченная
на интервале а^х^р функция /(х); обозначим через Р(х) произ-
вольный полином степени не выше п—1. Мы хотим найти поли-
ном Р* (х) степени п, — 1, для которого достигается

min max |/(х)— Р(х)|.
Р

Пусть Аг = (х1, .... хл+1), a^xz^p и yz = /(xz). Обозначим
тогда через p(/V) решение аппроксимационной задачи для точек (xz, yz).
Если среди чисел xz найдутся хотя бы два равных, то будут равны
и соответствующие у-\ и мы сможем найти полином, проходящий
через все эти точки; следовательно, в этом случае р = 0.

18 Зак, 1789
► Теорема 7.9.2. Пусть p0 = supp(Ar). Тогда
х

min max |/(х)— Р(х)|=р0.
Р

Доказательство. Для любых фиксированных Р(х) и X мы
имеем

min max | f (х)— Р(х)| min max|/(xz)— P(xf)| =р(Х),
Р	Р I

Следовательно,

min max |/(х)— Р(х)|> supp(Ar) = р0.
Р	х

Для того чтобы доказать обратное неравенство, введем в рас-
смотрение множества

Лх= а = (а0.........an_j)

/2—1

/(*)—3 OlX1

/=0

0].

Каждое Ах является множеством замкнутым и выпуклым, но не обя-
зательно ограниченным. В силу определения р0 любые п 1 из этих
множеств пересекаются. Если мы возьмем п-|-1 различных хр то
пересечение соответствующих им множеств будет параллелепипедом
и, следовательно, ограниченным. Из следствия 7.9.1 вытекает, что
все они пересекаются, и тем самым требуемое установлено.

Предположим, что в теореме 7.9.2 мы добавили предположение
о непрерывности функции f (х) для х£[а, |3]. Тогда не составит
труда доказать, что р(х0, хх..... хп) оказывается непрерывной

функцией при	... ^хп<р. Таким образом, мы

получаем следующее следствие.

► Следствие 7.9.2. Если функция /(х) непрерывна на
а^х^р, то существуют такие я 4*1 точек (х*, х*............х*),

описанные выше, что

min max |/(х) —Рл-1(х)| =min max|/(x*) —Р (х*)| .

Р/2-1	рп-> /	V

Если мы возьмем f(x) = xn и (а = 0, р=1), то решением задачи
будет, как известно, —хп + Гл_1(х), где1) T/I_1(x) = cos(n— 1)6,
если cos6 = x. В этом случае x*_j оказываются равными тем иксам,
для которых 6 = тс/v (у = 1, ..., п) и хп = 1.

!) Полином , (х) называется полиномом Чебышева и впервые был
рассмотрен им в 1857 r. — Прим. перев.
Другое применение теоремы Хелли связано с покрытием единич-
ной сферы в пространстве Еп замкнутыми полусферами. Будем назы-
вать семейство таких сфер компактным, если орты, нормальные
к гиперплоскостям, ограничивающим полусферы, и направленные
внутрь полусфер, образуют компактное множество.

> Теорема 7.9.3 (теорема о покрытии). Пусть поверхность
сферы в пространстве Еп покрыта компактным семейством
замкнутых полусфер', тогда можно найти т(т<п-\- 1) таких
полусфер из этого семейства, что они будут покрывать по-
верхность.

Доказательство. Обозначим через 1а ориентированный, как
указано выше, орт, нормальный к полусфере НЛ. Точка х, принад-
лежащая поверхности сферы, покрывается На тогда и только тогда,
когда (х, 1а)^0.

Обозначим через {Ц счетное компактное подмножество множе-
ства {1J, а через Гт — компактное множество, натянутое внутри
единичной сферы на 1р 12, . .1Ш. Мы хотим показать, что для доста-
точно большого т множества Гт произвольным образом стягиваются
к началу 6. В противном случае для некоторого е > 0 расстоя-
ние d(Q, Tz) было бы не меньше е для всех Z. В силу выбора мно-
жества {lz} отсюда вытекало бы, что d(6, Г)^е, где Г — выпуклое
множество, натянутое на [1J. Поскольку Г — выпуклое множество,
мы можем найти некоторую плоскость, проходящую через начало
координат и отстоящую от Г не менее чем на е; если х0 — орт,
нормальный к этой плоскости, направленный в противоположную
от этой плоскости сторону, то (1а, х0)^ — е для всех а. Отсюда
следует, что точка х0 не покрывается На ни при одном а, а это
противоречит нашему предположению.

Из этого противоречия вытекает, что для каждого k существует
такое ап (А), что d(b, Гте(й))<1/й. Обозначим через х*£Г точку,
расстояние от которой до начала координат меньше, чем 1/&. В силу
леммы Б.2.1 мы имеем выпуклое представление

л+1

Xй = 3
Z = 1

Поскольку п + 1 фиксировано, а	взяты из компактных мно-

жеств, мы можем перейти к пределу и получить представление

л+1
6=ж

где и 2^=1* Полусферы Hit соответствующие нормалям lz
из только что полученного представления, должны покрывать всю
сферу.
Если снять требование компактности, то теорема перестает
быть верной. Например, семейство полусфер в £2, описываемых
углами к, 1, 1/2, ...» 1/zn, ...» покрывает весь круг, но никакое
конечное подсемейство не будет покрывать его.

Приводимое ниже следствие показывает, что одна из полусфер
может быть выбрана произвольно.

к Следствие 7.9.3. Пусть на поверхности сферы, покрытой
компактным семейством замкнутых полусфер, задана неко-
торая полусфера Н. Тогда мы можем найти т(т^п) таких
полусфер из семейства, что они будут покрывать Н.

Доказательство. Данное семейство вместе с замкнутым
дополнением HQ полусферы Н покрывает сферу. Последняя теорема
обеспечивает существование такого подсемейства этого расширенного
семейства, которое будет содержать не более п-\- 1 элементов, покры-
вающих сферу. Если это подсемейство не содержит HQ, мы рас-
смотрим выпуклое множество С, натянутое внутри единичной сферы
на орты lz из этого подсемейства. Множество С должно содержать
начало 0, поскольку подсемейство покрывает сферу. Пусть 10 — орт,
нормальный к Нц, а у0 — точка пересечения радиуса [0, —10] с гра-
ницей множества С. Тогда точка у0 является выпуклой комбина-
цией п (или менее) нормалей lz, а 6 будет выпуклой комбина-
цией у0 и 10. (Если Уо и 0 совпадают, то нормаль 10 в разложении
не появится.) Отсюда вытекает, что всегда можно найти подсемейство,
включающее л + 1 элементов, которое будет содержать нормаль 10
и покрывать сферу. Замкнутое дополнение множества должно
быть покрыто другими п элементами этого семейства.

Большинство из всех утверждений относительно выпуклых мно-
жеств основано, по существу, на том, что любая точка, принадле-
жащая выпуклой оболочке множества Н в пространстве Еп, может
быть представлена в виде выпуклой комбинации не более чем n-f- 1
точек множества И.

Следующая фундаментальная теорема о представлении может быть
применена к внутренним точкам выпуклых множеств.

к Теорема 7.9.4. Обозначим через С выпуклую оболочку
конечного множества точек Н в Еп. Если точка z£C такова,
что существует открытая сфера, лежащая в С и содержа-
щая точку z, то существует некоторое подмножество Нг
множества И, содержащее не более 2п точек, такое, что
точка z является внутренней точкой выпуклой оболочки Н'.

Доказательство ведется индукцией по размерности Еп.
Предположим, что утверждение справедливо для выпуклых множеств
в евклидовых пространствах размерности не выше п. Случай Е*
тривиален. Выберем т точек yz£/7 так, чтобы

т

(^ > 0;

и 2</n<n +1. Поскольку точка z0 внутренняя, можно утвер-
ждать, что /п^2; верхняя граница получается из классического
представления (лемма Б.2.1). Точки yz можно выбрать так, что раз-
мерность линейного многообразия £, определяемого этими точками,
равна т — 1.

Используя z0, выберем некоторое (п— т-\- 1)-мерное линейное
многообразие Ж, независимое от £. Спроектируем С ортогонально
на М. Тогда проекция множества С является выпуклой оболочкой
проекции множества Н в М, В пространстве М точка z0 также
является внутренней точкой Пр (С). В силу индуктивного предполо-
жения существует не более 2(п— /п+1) точек Пр(//), выпуклая
комбинация которых содержит точку z0 внутри (в смысле простран-
ства М). С каждым таким многообразием М связано не более
2(п— /п+1) точек Пр(/7), обладающих упомянутыми выше свой-
ствами. Эти точки можно выбрать так, что они окажутся непре-
рывными функциями от М; следовательно, в силу соображений связ-
ности мы можем получить единственное множество, содержащее не
более 2(п — /п+1) точек z0 и обеспечивающее нам требуемое пред-
ставление точки z0 для любого многообразия М независимо от z0.
Выпуклой оболочкой этих точек z0, которых вместе с yz не более чем
2(п — /п+ 1) + /п = 2п— /п +2 ^2п (поскольку т^2), является
множество С', причем точка z0 является для него внутренней. В про-
тивном случае должна существовать гиперплоскость И, проходящая
через точку z0, причем все множество С' лежит по одну сторону
от этой гиперплоскости. Пусть 1 — нормаль к У, направленная в полу-
пространство, не содержащее С', а Мо— некоторое линейное много-
образие размерности 2(п — /п +1), причем Afon£ = zo и Мо содер-
жит 1. Тогда проекции точек zz в Л10 образуют выпуклое множество,
для которого z не является внутренней точкой, что противоречит
выбору zz.

Типичное приложение теоремы 7.9.4 содержится в следующем
следствии.

► Следствие 7.9.4. Пусть единичная сфера S в простран-
стве Еп покрыта конечным семейством открытых полусфер.
Существует подсемейство, состоящее по крайней мере из 2п
открытых полусфер, которое также покрывает S.

Дальнейшие приложения читатель сможет найти среди задач,
завершающих эту главу.
Мы заканчиваем этот пункт описанием конструктивного метода
получения конечных представлений. Пусть Sm означает единичную
сферу zn-мерного евклидового пространства. Предположим (1), что
задано замкнутое множество Лг={ха) точек Sm и (2) что начало
координат является внутренней точкой выпуклого множества, поро-
жденного точками ха. Предположение (2) эквивалентно утвержде-
нию (2') о существовании также числа d > 0, что для любой точки
y(-Sm справедливо (ха, y)^d при некотором а. Требуется указать
способ выбора за конечное число шагов конечного подмножества {az},
удовлетворяющего условию (2) или (2').

Метод. Предположим, что имеют место условия (1) и (2), сфор-
мулированные выше. Будем поступать по следующим рекуррентным
правилам:

(0) начинаем с любой точки х2 £ X;

(Ц) выбрав хр х2.........хй, найдем точку yk£Sm, которая мини-
мизирует max [(у, Xj), (у, х2)..(у.	х*)];

(2Й) выберем х^+1 как точку множества Xt которая максимизи-
рует (у*, х).

Целью действия (Ц) является определение точки на сфере, наи-
более удаленной от уже выбранных точек. Если только начало не лежит
внутри выпуклого множества, определяемого точками хр х2....xk,

то искомая точка будет определяться единственным образом и будет
пропорциональна (единственной) ближайшей от начала точке этого
множества.

На шаге (2k) выбирается точка множества X, ближайшая к yk.
Путь, которым это достигается, должен зависеть от способа описа-
ния X. Поскольку X — замкнутое множество, этот выбор всегда
возможен.

Процесс прекращается, как только минимум в (Ц) становится
положительным. Это достигается при некотором конечном значении k.

Доказательство конечности процесса. Допустим, что описан-
ный процесс не имеет конца, и положим

mk = min max [(у. хД (у, х2)....(у, хА)],

у

«л = (Ул- x»+i)-

Ясно, что

— 1 = От;т2 гй ... ^тк<, ...	0

и nk^.d для всех к. Используя компактность Sm и X, выберем
подпоследовательность кх, к2....Аг.....для которой обе после-

довательности ук> и хй;+1 сходятся. Тогда

lim тк lim (ук кк	+I) = lim nk^d>0.

|->оо	* {->ооч *	11/	1
Следовательно, для некоторого конечного kQ число tnko положи-
тельно, что противоречит предположению о неограниченности про-
цесса.

7.10.	Задачи.

1.	Рассмотреть следующую задачу нелинейного программирова-
ния. Максимизировать g(x) при х£Ет> удовлетворяющих только
векторному ограничению F(x)>0 без каких-либо других ограниче-
ний, g (х) — вогнутая функция, а вектор F (х) образован вогнутыми
функциями. Предполагая выполненными условия теоремы 7.1.1, пока-
зать, что в эквивалентной задаче о седловой точке ядро имеет вид

<Р(Х, u) = g(x) + (u. F(x)).

где u^O, а на х ограничения не наложены.

2.	Рассмотреть задачу

maxg(x) при условиях /(х)^0, х^О,

где f и g — вогнутые функции. Доказать, что вектор х° оптимален
тогда и только тогда, когда вектор х° является решением следующей
задачи:

max(gx0, х) при условиях /(х)>0, х>0
х 4	7

(gx0 представляет собой вектор с координатами из частных произ-
водных, вычисленных в точке х°).

3.	Рассмотреть следующую задачу. Максимизировать (р, х) при
условиях х>0, F(x)±=^v, где F — выпуклая дифференцируемая,
однородная первого порядка вектор-функция, а р — фиксированный
постоянный вектор. Доказать, что если применима теорема 7.1.1, то
(р, x°) = (u°, v) для любой седловой точки {х°, и0}.

4.	Доказать, что задача линейного программирования

max (с, х) при условиях Ах^Ь, х>0,

где А — некоторая матрица, сводится к задаче квадратического про-
граммирования

max [(с, х) — уе(х» х)] при условиях Ах^Ь, х>0,
где е — достаточно малое положительное число.

5.	Пусть /(/) — монотонно возрастающая выпуклая функция, для
которой /(0)>0. Найти множество иксов, которые минимизируют

п

2 /(*/)

I -1
при ограничениях

2	—Л xz^:0, п>1.

i = 1

(Использовать при каждом п множители Лагранжа.)

6.	Решить предыдущую задачу, заменив выпуклость на вогну-
тость.

7.	Пусть / (х)— непрерывная, строго возрастающая выпуклая
функция для неотрицательных вещественных х. Пусть

< ... <ап\ определим т как наибольший из индексов, для которых

1	J

i

^х^а, и х^О,
.•1 j

Показать, что решение задачи
п
min	где

х /? = 1

обладает тем свойством, что х1 = х2 = ... = хт = ат1ш.

8.	Определить индуктивно полное решение задачи 7.

9.	Рассмотрим следующую задачу. Максимизировать (а, х) —
— у(х, Ах) при условии Вх^Ь, где А — положительно определенная,
а В — произвольная матрицы. Доказать, что решение этой задачи,
если оно существует, можно получить, решив задачу

max [(с, у) — j-(y, Dy)j при условии у^О,
где	c = DA“1a — b и D = BA“1BZ.

10.	Пусть /г (t/) = max {§• (х) [/(х)	х>0}, где f — выпуклая,

X

a g— вогнутая функции. Доказать, что h(v) является вогнутой
функцией и что для любого вектора цен (aj, ..., ufy справедливы
соотношения

(Предполагается, что применима теорема 7.1.1.)

11.	Пусть G(x) и F(x) обозначают два семейства вектор-функ-
ций, все компоненты которых являются вогнутыми функциями, опре-
деленными для всех х из Еп.

Рассмотрим задачу. Найти вектор х°, доставляющий

max min (G (х) )f,
к i
где F(x)>0, х>0. Мы называем эту задачу задачей максими-
зации минимальной компоненты. Доказать, что не может суще-
ствовать решения, если не существует неотрицательного вектора
v°(S‘y?=0’ удовлетворяющего условию (v°, G(x°)) = min[G(x°)]/,
и такого, что точка {х°, и0}, где и°>0, является седловой точкой
функции

<р(х, u) = (v°, G(x)) + (u, F(x)).

12.	В условиях теоремы 7.1.1 содержалось требование: для
каждого и^О существует х£А\ удовлетворяющий условию
(u, F(x)) > 0. Доказать, что это эквивалентно существованию х°£ X,
для которого F (х°) > 0.

13.	Рассмотреть задачу

шах|\с, х) — у(х, Ах)] при условии х^ 0.

где А является положительно определенной матрицей. Доказать, что
итеративное отношение

x(«+i) = max f о	/с — V л — У а.	1

1	1 ац I 1	ч J	и J с

I \	/</	J

(/=1......n; и = 0, 1, 2, ...),

где (xj, х°,	х°)^0 дает последовательность, сходящуюся к ре-

шению.

14.	Рассмотреть задачу

maxg(x) при условиях F(x)^0, х^О,

где F является вектор-функцией. Пусть /С == {А|Д(х) = 0 для всех
допустимых х}. Предположим: (1) что функции Д(х) являются ли-
нейными для (2) что функции dfkfdx являются линейно неза-
висимыми для & £ /С; (3) что для любого I существует такой допу-
стимый вектор xz, что х\ > 0. Доказать, что исходная задача сводится
к задаче нахождения седловой точки для функции g(x) + (u, F(x))
при х>0, и^0.

В следующих трех задачах используются обозначения п. 7.5 и 7.6.

15.	Когда в условиях теоремы 7.6.1 множество V = [<рх, TJ U 1?2» Г2]
будет замкнутым? Показать, что множество V будет замкнутым вся-
кий раз, когда множества Сх и С2 имеют общие относительно вну-
тренние точки.

16.	Показать, что sup/a(x) существует для некоторого х тогда
и только тогда, когда множества [Д, CJ имеют общую точку, или
множества [<ра, Га] имеют общую невертикальную границу.

17.	Доказать, что если производные по направлению df/dx и
dgjdx равномерно ограничены, то существует невертикальная гипер-
плоскость, разделяющая [g, D] и рь, С] из теоремы 7.8.1, даже
если С и D не имеют общих относительно внутренних точек.

18.	Вывести теорему о минимаксе для матриц (теорема 1.4.1)
из теоремы 7.8.1.

19.	Используя теорию сопряженных функций, доказать, что

1*1Р  IEI7

— р	q ’

где ; и х — вещественные числа и

-+- = 1	(р>1).

р 1 q	j

20.	Пусть единичная сфера S в Еп покрыта конечным семейством
открытых полусфер. Показать, что по крайней мере 2/г открытых
полусфер этого семейства покрывают сферу S (это следствие 7.9.4).

21.	Пусть На обозначает конечное семейство открытых полупро-
странств с границей, проходящей через начало координат, которое
покрывает все пространство Еп. Доказать, что по крайней мере 2п
элементов семейства На покрывают все пространство Еп.

22.	Пусть {Л4а} есть конечное семейство замкнутых полусфер
в Еп с началом координат на границе каждого Л4а, причем каждые 2п
элементов Ма имеют общий луч. Доказать, что все элементы семей-
ства Мл проходят через общий луч.

23.	Говорят, что конечное семейство Ra лучей в Еп неприводимо,
если для любой гиперплоскости, проходящей через начало коорди-
нат, найдется хотя бы один луч, лежащий по обе стороны от гипер-
плоскости. Доказать, что из любого конечного неприводимого семей-
ства Ra лучей в Еп можно выбрать неприводимое подсемейство,
состоящее не более чем из 2п лучей.

24.	Пусть S и S'— конечные множества точек в Еп, обладаю-
щие тем свойством, что для любых п + 2 точек множества R £ S U 5'
существует гиперплоскость, строго отделяющая 5 П R от S' П R»
Доказать, что существует гиперплоскость, строго отделяющая S от S'.

25.	Пусть S и S' — конечные множества точек в Еп, обладаю-
щие тем свойством, что для любых 2п 2 точек множества TczS U S'
существует гиперплоскость, строго отделяющая S П Т от S' П Т.
Показать, что существует гиперплоскость, отделяющая S от S'.

Комментарии
и библиография к главе 7

7.1.	Первой наиболее важной работой по теории нелинейного программи-
рования (НЛП) была фундаментальная работа Куна и Таккера [1]. В соот-
ветствии с терминологией, принятой в этой книге, их работу можно отнести
к вогнутому программированию.
В теоремах Куна — Таккера, аналогичных теоремам 7.1.1 и 7.1.2, исполь-
зуются дифференциальные свойства функций, в то время как в наших тео-
ремах используются только свойства отделимости непересекающихся выпук-
лых множеств. Следовательно, предположения, сделанные в теореме 7.1.1,
не эквивалентны соответствующим предположениям Куна и Таккера и не
сравнимы с ними. Теорема 7.1.3 заимствована непосредственно из их ра-
боты.

Другие модификации теорем Куна — Таккера были предложены Эрроу и
Гурвицем [1].

Имеются два сборника статей по теории НЛП [15] и линейным неравен-
ствам [12]; редакторами первого являются Эрроу, Гурвиц и Удзава, второго —
Кун и Таккер.

7.2.	Математическая проблема выбора портфеля ценных бумаг была рас-
смотрена Марковицем [1]. Мы частично следовали его изложению. Марко-
вица интересовала более общая проблема определения экстремального век-
тора в задаче о капиталовложениях. Первой компонентой этого вектора
является ожидаемая продукция, а второй компонентой является дисперсия
ценности.

Естественным примером вогнутого программирования является задача
о смеси бензинов с различными октановыми числами.

Теория потребления изобилует примерами НЛП (см. Самуэльсон [2]).

Международная торговля и обмен с точки зрения НЛП изучались Рей-
тером [1].

Модель производственно-технологического анализа, рассмотренная в этой
главе, была сформулирована Ченери [1] (см. также Ченери и Кретчмер [1]).
Ченери и Удзава [2] предложили итеративное решение.

Много важных моделей НЛП появилось в результате анализа проблем
производства и управления запасами. В этом круге вопросов себестоимость
продукции является выпуклой функцией объема продукции. Первые иссле-
дования задач этого типа были проведены Хоном и Модильяни [1]. Эти
модели подробно были изучены Эрроу, Карлином и Скарфом [1], гл. 4—7.

7.3.	Уравнения градиентного метода (7.3.1) были предложены Эрроу и
Гурвицем [2], которые доказали сходимость метода в малом к паре седло-
вых точек. Это означает, что если начальная пара допустимых векторов
выбрана достаточно близко к седловой точке, то решение градиентных урав-
нений сходится. Удзава [4] установил сходимость для любых начальных
векторов. Мы изложили его доказательство. Градиентный метод в этой главе
может быть истолкован как естественное обобщение метода дифференциаль-
ных уравнений, предложенного Брауном и фон Нейманом и рассмотренного
в п. 6.7.

Что касается вычислительной стороны вопроса 1), мы обращаем внимание
читателя на симплекс-метод для квадратичного программирования, развитый
Вулфом [2]. Другие вычислительные методы, которые иногда можно исполь-
зовать и для квадратичного программирования, были предложены Марко-
вицем [2] и Хаутэккером [2].

7.4.	Векторная задача максимизации и соответствующие теоремы обязаны
своим первоначальным появлением Куну и Таккеру [1], которые использовали
дифференциальные свойства в отличие от методов, используемых здесь.

В связи с векторной задачей максимизации отсылаем читателя к работе
Гурвица [1] по программированию в абстрактных пространствах (см. также
Кретчмер [1]).

*) ВычислительнЫхМ методам нелинейного программирования посвящены
книги Зойтендейка [1], Кюнци и Крелле [1], а также работы Бута [1],
Вегнера [1], Келли [1], Кюнци [1], Лемке [2], Тейла и ван-де-Панне [1],
Филипа [1], Хаутэккера [3]. — Прим, ред.
7.5.	Разобранная в этом пункте интересная теория сопряженных функций
была построена Фенхелем, Изложение этой теории содержится в его книге [1].
Фенхель строит теорию сопряженных функций с алгебраической точки зре-
ния, используя понятия полярной взаимности. Наше изложение этих вопросов
чисто геометрическое.

7.6.	Теорема 7.6.4 принадлежит Боненбласту, Карлину и Шепли [2]. Здесь
приведено другое доказательство, в котором используются идеи сопряжен-
ных функций.

7.8.	Результаты этого пункта !) принадлежат Фенхелю [1].

7.9.	Теоремы об аппроксимации функций полиномами различных степеней
имеют длинную историю. Теорема 7.9.2 принадлежит Радемахеру и Шен-
бергу [1].

Большинство результатов этого пункта можно найти у Карлина и Ше-
пли [1]* 2).

7.10.	В связи с задачами 5—8 см. работы Чарнеса и Купера [1], а также
Савиджа [1]. Задача 9 предложена Хилдретом [1]. Задача 11 основана на
результатах, впервые полученных Куном и Таккером. Результаты задачи 12
были указаны Удзавой. Задача 13 принадлежит Хилдрету [1]. Задача 14
предложена Удзавой (см. сборник [15]).

!) По поводу двойственности в нелинейном программировании см. работы
Вулфа [3], Дорна [1]—[3], Мангасаряна [1], Чарнса, Купера, Кортанека [1]—[3],
Эйзенберга [1]. — Прим. ред.

2) Некоторые результаты этого пункта содержатся уже в работах П. Л. Че-
бышева «Теория механизмов, известных под именем параллелограммов*
(1853 г.), «Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным пред-
ставлением функций" (1857—1859 гг.), «О функциях, мало удаляющихся от
нуля при некоторых величинах переменной* (1880—1881 гг.). — Прим, перев.
ГЛАВА 8

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В ИЗУЧЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

За последние два десятилетия в математическом исследовании
экономических моделей был достигнут весьма впечатляющий прогресс.
Так как в экономических моделях мы обычно встречаемся с недиф-
ференцируемыми функциями-и с переменными, подчиненными ограни-
чениям в форме неравенств, для изучения которых не могут при-
меняться методы классического анализа, то оказалось необходимым
развить новые методы, позволившие найти подход к задачам такого
рода. Вообще говоря, здесь нужны те же методы, что и в теории
игр, т. е. теория выпуклых множеств, топологические теоремы
о неподвижной точке, теория положительных матриц и т. д. В этой
и в следующей главах мы исследуем применение этих методов
к проблемам математической экономики.

В этой главе мы изучим элементы теории производства, теории
потребления и теории равновесия. В гл. 9 будет рассмотрена эко-
номика благосостояния, модели динамической теории сбалансирован-
ного роста и некоторые задачи теории устойчивости, связанные
с ценами равновесия. Мы не будем давать формального рассмотре-
ния макроэкономических моделей, теории агрегации и вопросов,
связанных с монополиями и олигополиями, так как математическая
сторона этих проблем разработана недостаточно хорошо (см. за-
дачи 1—6).

Короче говоря, мы не пытались изложить исчерпывающий курс
математической экономики. Скорее мы стремились к тому, чтобы
дать возможно более полное описание внутренней математической
методики экономических моделей и отметить связь этих методов
с более широким понятием процессов принятия решений.

В п. 8.1 мы формулируем различные простые линейные модели
равновесия и обмена. Мы приходим к решениям этих линейных
моделей, привлекая теорию положительных матриц, которая подробно
изложена в п. 8.2. Положительные матрицы весьма естественным
образом возникают в экономических исследованиях; помимо этого,
они появляются также и как часть теории конечных стохастических
процессов при исследовании некоторых механических систем. Поэтому
результаты п. 8.2 имеют весьма широкое значение. В этом пункте
(который можно читать независимо от остальной части главы) мы
описываем также некоторые свойства матриц, собственные числа
которых имеют отрицательные вещественные части. Эти свойства
(стр. 289—300) будут важны при исследовании теории устойчивости
в гл. 9.

Прежде чем исследовать в общем виде конкурентное равновесие,
нам кажется естественным остановиться отдельно на двух главных
составных частях теории равновесия, а именно: на теории производства
и теории потребления. В п. 8.4 мы описываем математические
проблемы, связанные с теорией производства; в п. 8.5 изучается
задача характеризации эффективных точек в моделях „анализа произ-
водственных процессов", т. е. задача о выборе оптимального произ-
водственного процесса из множества нескольких альтернативных
процессов.

В п. 8.6 рассматривается теория потребления. Наш подход осно-
ван на постулировании некоторого отношения предпочтения, из ко-
торого мы выводим функцию спроса. Так как этот подход не зави-
сит от конкретного вида функции полезности для потребителя, мы
можем сформулировать соотношения Е. Е. Слуцкого, описывающие
изменения функции спроса в зависимости только от изменений цен
и изменений уровня бюджетного ограничения для данного отношения
предпочтения. Здесь же рассматривается понятие выявленного пред-
почтения.

В заключительных пунктах этой главы при исследовании общих
статических моделей равновесия используются как теория произ-
водства, так и теория потребления. Мы рассматриваем несколько
различных вариантов равновесия, которые увенчиваются моделью
Эрроу — Дебре. Тонкость топологических методов, используемых
при исследовании уравнений спроса и предложения, произведет не-
сомненное впечатление на математически подготовленного читателя.

8.1. Открытые и замкнутые линейные модели Леонтьева.
Одна из простейших моделей процесса обмена в хозяйстве может
быть описана следующим образом. Имеется п технологических про-
цессов (или отраслей), при помощи каждого из которых произ-
водится некоторый продукт. Пусть XL обозначает суммарный выпуск
отрасли Z, а представляет общее количество продукта отрасли Z,
потребляемое отраслью /. Если положить

п.

то Yt будут выражать разности между суммарным выпуском отрасли I
и количеством продукта этой отрасли, потребленным п отраслями.
Величину Yt обычно называют конечным спросом для продукта Z.
В замкнутой модели Леонтьева Yi = 0 для всех I. Иными
словами, никаких избытков нет. Если в качестве одной из отраслей
фигурирует труд, то вся рабочая сила используется полностью; если
другим типом отрасли является, например, сталелитейная, то вся
произведенная сталь потребляется внутри системы. Замкнутая модель,
как правило, включает такие отрасли, как услуги, управление,
производство сырья.

В открытой модели Леонтьева Kz>0 по крайней мере для
одного I. С экономической точки зрения открытая модель предпо-
лагает наличие экзогенного фактора — некоторого количества капи-
тала, труда, сырья и т. п., привносимого в систему извне. Суще-
ственной характеристикой открытой модели является существование
внешнего спроса или внешнего предложения (либо их обоих).

Положим

xz/
аЧ~ Xj •

Введенные таким образом величины можно интерпретировать как
количества продукта отрасли Z, необходимые для производства еди-
ницы продукта /. Величины atj называются производственными
коэффициентами] в этом пункте мы будем считать их постоян-
ными, не зависящими от действительных величин Xt. (Справедли-
вость этого допущения сомнительна, и поэтому его следует рас-
сматривать лишь как первое приближение.) Отсюда следует, что

(I —A)X = Y,	(8.1.1)

где А=||М- Х = (*1- *2.........У==(Л. У2> •••• Уп)-

На практике матрицу А предполагают известной или, во всяком
случае, поддающейся оценке. Это весьма серьезное предположение,
вокруг которого экономистами велась ожесточенная полемика.

Наиболее распространенной задачей, связанной с открытыми моде-
лями Леонтьева, является следующая: считая величины Yt известными,
найти Xit удовлетворяющие соотношению (8.1.1). Разумеется, ответ
будет осмысленным только в том случае, когда получающееся реше-
ние X = (I — А) 1 Y существует и является неотрицательным вектором.

Положим (I-А)'1 = II Д/|. Тогда ^ = 2	0=1, 2.....и),

так что можно интерпретировать как то количество, на которое
следует повысить производство отрасли Z, для того чтобы произвести
одну дополнительную единицу продукта /.

Другая задача, относящаяся к открытым моделям, заключается
в следующем. Рассмотрим п стран 1, 2.....п. Пусть а^ обозна-

чает маргинальную склонность страны j к импорту из страны I (под
маргинальной склонностью к импорту мы понимаем увеличение
импорта из страны I в страну J, приходящееся на одну дополнитель-
ную единицу увеличения дохода страны у). Под аи будем подразу-
мевать маргинальную склонность страны I к потреблению своих соб-
ственных товаров. Пусть — национальный доход страны Z, a ее
национальные расходы, которые не зависят от дохода. Тогда

п

= S aljXCt

/ = 1

и, следовательно, (I — А)Х = с. Для того чтобы векторы X и с
имели экономический смысл, они должны быть положительными.

Этот пример можно интерпретировать также как замкнутую
модель торговли между странами. Предположим, что весь доход
страны j складывается из продаж^ товаров другим странам и внутри
страны. Пусть aZy — доля дохода страны /, затрачиваемая на товары
страны Z, a Xj — годовой доход страны у. Суммарная величина
экспорта из страны I равна, очевидно,

п

2 a^Xj,

7 = 1

а эта величина, по определению замкнутой системы, равна Х^ Таким
образом, мы имеем

=	(/=1.2.......я),

; = 1
где

п

a/y>0.

i — 1

Одна из задач, с которыми приходится сталкиваться при изучении
уравнений такого типа, заключается в выяснении условий, обеспечи-
вающих наличие положительного решения.

В случае замкнутой модели Леонтьева мы ищем положительное
решение X системы уравнений АХ = Х. Нетривиальные решения
существуют в том и только в том случае, когда число 1 является
собственным числом матрицы А. Но даже если единица и является
собственным числом, для существования положительного собствен-
ного вектора требуется нечто большее. Теория положительных матриц
служит для решения подобных вопросов. Несколько условий разре-
шимости этих задач выводятся в следующем пункте и применяются
в п. 8.3.

Обычные двойственные задачи для экономической модели, вклю-
чающей труд и цены, формулируются в виде систем уравнений
с матрицей, транспонированной к матрице А. Пусть (п-|- 1)-й продукт
представляет собой труд. Если безработицы нет, то
п

*я+1-3/л+1,у=о.

Определим, как и прежде,
_______________________________
си + 1,/—	Х.

так что	можно интерпретировать, как количество труда,

необходимое для производства одной единицы продукта j. Следова-
тельно, 2ап+1,/А/ представляет собой дополнительное количество
i

труда, необходимое для производства одной дополнительной единицы
продукта у.

Пусть рь — цена единицы продукта Z. Обычно предполагается,
что цена продукта равна затратам на его производство, т. е.

р/ = 2ад/+/>л+А+1,/'

i = 1

ИЛИ

p(l —A) = /?B+ia„+i.

Здесь через art+1 обозначен вектор (ая+1>1, ал+Ъ2, •••• ап+\> п)- Это
своего рода условие равновесия; можно считать, что оно является
результатом настолько полной конкуренции, чтобы получение при-
былей было невозможным. Обычно рл+1 принимается равным единице,
так что pt представляют собой относительные цены.

8.2. Теория положительных матриц1). Изучение матрице поло-
жительными элементами весьма важно для целого ряда приложений.
Такие матрицы часто возникают естественным образом — иначе говоря,
природа самой модели требует положительности коэффициентов —
в вероятностных моделях (в частности, при изучении цепей Маркова),
в экономических исследованиях, при изучении колебаний механиче-
ских систем и т. д. В соответствии с этим в настоящем параграфе
мы сделаем небольшое отступление и установим несколько общих
предложений относительно собственных чисел положительных матриц,
которые будут иметь непосредственное отношение к нашему исследо-
ванию экономических моделей.

Пусть A=||aZy||—квадратная матрица. Если все неотрица-
тельны, мы будем писать А^О; если А^О и некоторые > О,
пишем А 0; если же все > 0, мы записываем это в виде А>0.

!) Результаты этого пункта будут использованы только в п. 8.3 этой
главы и в п. 9.3, 9.7 и 9.8 гл. 9.

19 Зак. 1789
Это согласуется с обозначениями и терминологией, принятыми нами
ранее для векторов.

Будем писать А>В, если А—В>0 и т. д. Положительная
матрица, рассматриваемая как отображение, очевидно, сохраняет ча-
стичное упорядочение векторов, определяемое отношением >. В част-
ности, если xz> х. то х'А>хА для А^О. Положим

Г={Х|хА^Хх для некоторого х > 0}.	(8.2.1)

Какова бы ни была матрица А^О, это множество всегда содержит
Х = 0. Поскольку соотношение хА^Хх однородно, мы можем, не
умаляя общности, предположить, что неотрицательный вектор х,
отвечающий значению X, нормирован так, что = Такие век-
i

торы составляют компактное множество. Положим X0=supX. Имеем,
Х£Г

очевидно, Хо < оо. Мы начнем с исследования матриц со строго поло-
жительными элементами, а затем перейдем к тем видоизменениям,
которые необходимы при рассмотрении положительных матриц
общего вида.

► Теорема 8.2.1. Пусть А > 0. Тогда а) существует вектор
х° > 0, для которого х°А = Хох°; б) если Х=^Х0— любое другое
собственное число матрицы А, то |Х| < Хо; в) Хо есть собствен-
ное число, имеющее алгебраическую и геометрическую крат-
ность, равную 1.

Замечание 8.2.1. Для того чтобы пояснить смысл этой тео-
ремы, выскажем следующие утверждения (доказываемые в п. А.4).
Положим

М={х|х(А — Х1)г = 0}

и для произвольного вектора у

М= {х|х = у(А —МУ}.

Тогда при любых А и X должно быть N^cNxc . . .	=	.

Знак cz понимается здесь в смысле строгого включения (исключаю-
щего равенство). Определяемое таким образом целое число k назы-
вается индексом X. Размерность множества М называется геометри-
ческой кратностью X, а размерность N\—его алгебраической
кратностью. Кроме того, для того же k имеем Mxzd/mJzdAIxZ) ...

*..	= Л4х+1 — Л4х+2= .... Если А — самосопряженная матрица,

то для любого собственного числа X будет k—\ и, следовательно,
геометрическая и алгебраическая кратности X совпадают. Геометри-
ческая кратность всегда не превосходит алгебраической. Когда
алгебраическая и геометрическая кратности совпадают, соответст-
вующие элементарные делители являются простыми.

Доказательство теоремы, а) Из простых соображений
компактности следует существование вектора х°^0, для которого
х°А^Хох°. Но поскольку из А > 0 следует, что хА > 0 при х^О,
строго положительный вектор у0 = х°А должен удовлетворять нера-
венству у°А > Хоу°, если только не выполнено равенство х°А = Хох°.
Но если у°А > Хоу°, то можно найти е > О, для которого будет
y°A>(X0-j-e)y°, что противоречит определению Хо. Следовательно,
х°А = Хох°, причем х° > 0.

б)	Пусть X + Хо— собственное число матрицы А, и пусть соот-
ветствующий ему ненулевой собственный вектор есть z, т. е. zA=Xz.
Обозначим через |z| вектор с компонентами |zz|. Тогда из положи-
тельности матрицы А следует, что |z|A> |Х| |z|. По построению Хо
имеем |Х|<Х0. Убедимся в том, что здесь имеет место строгое нера-
венство. Рассмотрим матрицу А8 = А— 81, где 8 выбрано настолько
малым, чтобы матрица А§ была строго положительной. Наибольшее
вещественное положительное собственное число матрицы А§ равно
Хо— 8; оно, как мы видели, ограничивает (по модулю) все другие
собственные числа матрицы А8. Если собственное число удовлетво-
ряет равенству |Х| = |Х0|, где X отлично от Хо, то |Х — 8| > |Х0—8|,
что противоречит предыдущему заключению. Доказательство утвер-
ждения б) завершено.

в)	Предположим, что множество всех собственных векторов,
отвечающих собственному числу Хо, по крайней мере двумерно.
Так как А — вещественная матрица, существует вещественный соб-
ственный вектор z, линейно не зависящий от вектора х°. Поскольку
х° > 0, существует такая линейная комбинация w = £x°4-z, что

А

„О

w> 0, но не w > О

достаточно взять t — min

Ввиду

того что вектор wA строго положителен и не может тождественно
равняться нулю, мы получили бессмыслицу. Отсюда мы заключаем,
что-геометрическая кратность Хо равна 1.

Пусть вектор z = y(A—Хо1) таков, что z(A — Хо1) = 0. В силу
первой части этого рассуждения векторы z и х° кратны. Умножив у
на надлежащую ненулевую постоянную, мы можем предположить,
что z=ax°, где а^О. Пусть f° — положительный собственный век-
тор матрицы Аг, отвечающий собственному числу Хо. Существова-
ние f° можно установить, применив утверждение а) теоремы к строго
положительной матрице Аг. Отметим, что

(ах«, fO) = (y(A-Xol), f°) = (y, (Аг - Хо1) F) = О,
и в силу неравенства (х°, f°) > О мы должны иметь а — 0. Следова-
тельно, если у(А — Х01)2 = 0, то у (А — Хо1)==О и поэтому Мх0=М0.
Это и означает, что алгебраическая кратность Хо равна его геомет-
рической кратности.

Для более детального исследования структуры множества соб-
ственных векторов, отвечающих собственному числу Хо, введем опе-
рацию проектирования векторов на линейное пространство собствен-
ных векторов, отвечающих Хо. С этой целью рассмотрим собственный
вектор х°, для которого х°А = Хох°, и собственный вектор f° > 0,
для которого Af° = Xof°, и нормируем их так, чтобы

Определим Р как матрицу	Тогда Р будет обладать следую-

щими свойствами:

1)	хР = (х, f°) х° и Pf — (f, x°)f° для любых векторов х и f.

2)	Р2 = Р.

3)	АР = РА —Х0Р.

Все эти свойства проверяются непосредственно.

Известно, что (В —XI)-1 для произвольной матрицы В предста-
вляет собой аналитическую функцию от X (т. е. каждый элемент
этой матрицы есть аналитическая функция от X), если только обрат-
ная матрица имеет смысл. Каждое собственное число матрицы В
порождает полюс матрицы (В — XI) 1 (т. е. полюс для некоторого
элемента), порядок которого связан с алгебраической кратностью
собственного числа. Именно порядок полюса для собственного
числа X равен индексу X (см. замечание 8.2.1 выше и п. А. 7).
Кроме того, ряд

ОО
(b-4)''=-2;^b‘
л=о

сходится при |Х( > г, где г означает радиус наименьшего круга,
содержащего собственные числа матрицы В. [Его называют также
спектральным радиусом. Для обозначения спектрального радиуса
матрицы А мы будем часто писать Х0(А) = г(А).] Однако матрица
(В — XI)-1 имеет полюс при некотором X*, где |Х*| =Х0; следовательно,
г = lim уГmax | bty |,

F /, j

где Вл = ||#(/у||. Теперь мы можем доказать следующую теорему.

► Теорема 8.2.2. Для А > 0, Хо и Р, определенных выше,
4- А" -> Р.
Доказательство. Все собственные числа катрицы В = А—Х0Р
должны лежать строго внутри круга радиуса Хо, так как 1) любое
ненулевое собственное число матрицы В является собственным числом
матрицы А и 2) Хо не является собственным числом матрицы В.

Докажем теперь эти утверждения.

Предположим, что доказываемые утверждения неверны. Тогда
zB = Xz для некоторого ненулевого z. Отсюда zBP = XzP и

zBP — z (АР — Х0р2) = Xoz (Р — Р) = 0.

Поэтому если X =£ 0, то zP = 0, и равенство zB = Xz сводится
к zA = Xz. В частности, если zB = Xoz, то zP = 0 и zA = Xoz.
Но тогда z будет ненулевым кратным х°, и вектор zP не может быть
нулевым. Это противоречие показывает, что наши утверждения были
справедливы. Спектральный радиус матрицы В должен быть меньше Хо,
и, следовательно, максимальная компонента матриц Вт удовлетворяет
для всех т оценке	при соответствующем р < Хр (см. заме-

чания, предшествующие этой теореме). Но Bm = Am — Х^Р; отсюда
мы заключаем, что Ат/Х™ сходится к Р как геометрическая прогрес-
сия со знаменателем р/Х0.

Вся предыдущая теория остается справедливой, если А>:0 и
Аш > 0 для некоторого т. Она справедлива также, если А отображает
некоторый выпуклый конус из Еп в его внутренность. Частным
случаем такого конуса, связанного с положительной матрицей, является
неотрицательный ортант.

Некоторые из приведенных выше результатов справедливы и
в том случае, когда А^О, т. е. даже если мы не требуем допол-
нительно строгой1 положительности некоторой степени матрицы А.
Пусть U — квадратная матрица, все компоненты которой равны
единице; тогда всякая матрица вида A + 8U (В > 0) будет строго
положительной, и к ней применимы утверждения теоремы 8.2.1.
Традиционный предельный переход по 8 устанавливает справедливость
утверждений а) и б) следующей теоремы.

► Теорема 8.2.3. Пусть А^О, и пусть Хо определено в соответ-
ствии с (8.2.1). Тогд i а) Хо есть собственное число, и существует
вектор х°^0, для которого х°А = Хох°; б) если X — любое другое
собственное число, то |Х|^Х0; в) ряд

1 у А*
”? Ч

сходится, если только х° > 0; г) если X — собственное число
матрицы А, для которого |Х| =Х0, то = есть корень из
единицы и 7}WXO есть собственное число матрицы А при всех
m-=0, 1, 2.....
Доказательство в). Для удобства изложения мы предполо-
жим, что Хо=1. Отметим сначала, что элементы матриц кт равно-
мерно ограничены. Действительно, из равенства х°Ат = х° следует, что

О < aW <

max х]
i

min х®

а это и требовалось доказать.

Обозначим через <3? пространство тех элементов, для которых
zA = z. Очевидно, 3? есть замкнутое линейное пространство, причем
для произвольного z£J?

Z

А + А*+ ... +А™ ______z

щ	т->со '

Положим далее = {у | у = z (I— А)]; иначе говоря, есть
область значений оператора I — А. Мы утверждаем, что для у£Р^
последовательность ySm, где

q _ А4-А2+ ... 4-А™

т

сходится к нулевому вектору. Подробнее: из у = z (I — А) следует,
что yS/ra = (zA — zAz”+1)//n стремится к нулю в силу равномерной
ограниченности компонент матриц Am+1.

Таким образом, мы установили, что сходится для всех векто-
ров, содержащихся в сумме + Остается только показать,
что ЗГ заполняет целиком n-мерное евклидово пространство.
С этой целью заметим, что любой вектор х можно записать в виде

X = (X — xSm) + xSm = Уш + гт.

Кроме того, при /п->оо мы можем найти предельный вектор z0 для
последовательности zm. Это возможно, так как Sm есть последова-
тельность равномерно ограниченных матриц. Непосредственно про-
веряется, что	Кроме того, уже показано, что все у^СеЯГ

и, следовательно, их предел также лежит в ЗГ- Тем самым в) до-
казано.

г) Не умаляя общности, можно предположить существование
такого f°, что Af° = f°. Сделать это можно по следующей причине.
Предположим, для определенности, что f° имеет вид (/J, /о, . ..
. .., /JJ, 0...0),	где /J > 0..........>	0» (Вектор f° существует

в силу пункта а), примененного выше к матрице Ат.) Так как
Af° = f°, то

/а, в\
А = L д ,
\0 Aj/
где Aj есть положительная (г X г)-матрица, а А2 — положитель-
ная (п — г) X (и— г)-матрица. Очевидно, для исследования природы
собственных чисел матрицы А достаточно изучить отдельно собствен-
ные числа матриц Ai и А2. Продолжая в том же духе, мы в конеч-
ном счете придем к задаче, для которой будет справедливо предпо-
ложение, сделанное относительно f°.

Перейдем теперь к доказательству утверждения г). Пусть X —
собственное число матрицы А, модуль которого равен единице, и
пусть хА = Хх для некоторого ненулевого вектора х, т. е.

п

5 Xta^^Xj.

Тогда 2 IxtI atjIxjI• или |х| А>:|х|. Но

0°. |х|)<(Р, |'x|A) = (Af°, |x|) = (f°, |х|),

так что если равенство |х|А=|х| выполнено не будет, то нера-
венство в этой цепочке будет строгим, и мы придем к противоречию.
Следовательно,

I Xi I aij —

Z = 1

n

2 wn

Отсюда вытекает существование таких чисел и}-(\Uj\ = 1), что

xialj~ I*/1 aljuJ

(*)

для всех i и j. Обозначим через х-у вектор с компонентами {xzyz}.
Умножая предыдущее соотношение на uL и суммируя, мы получаем

(х • и) А = (и • |х|) А • и,

а из (*) суммированием по I находим

[х| • и = (|х| А) • и = хА = Хх.

Рассмотрим вектор х • и. Использование последних двух соотноше-
ний дает нам

(х • и) А = (и • |х |) А • и = ХхА • и — Х2х • и.

Поэтому х • и есть собственный вектор, соответствующий X2. Кроме
того,

Ы «/А = «?*<«</

и, следовательно, (]х| • и2) А • и = (х • и2) А. Но

(| х | • и2) А = X (х • и) A =s А3и • х,
так что (х . u2) А = X3 (х • и2). Это показывает, что х • и2 представляет
собой собственный вектор для X3. Продолжая таким образом, мы
найдем, что если X есть собственное число с модулем, равным еди-
нице, то X будет корнем из единицы и все числа X, X2, X3, ..., Хп
будут, как и утверждалось, собственными числами. Собственный
вектор, отвечающий Хг+1, равен х • иг, где х и и имеют указанный
выше смысл. Это завершает доказательство теоремы 8.2.3.

При доказательствах теорем 8.2.1 и 8.2.3 использовалась сле-
дующая характеристика спектрального радиуса Х0(А), неявно заклю-
ченная в построении Г по формуле (8.2.1). Она достаточно полезна,
чтобы привести ее здесь.

►	Следствие 8.2.1. Наибольшее по величине собственное
число Х0==Х0(А) матрицы А вещественно, неотрицательно и
характеризуется как Х0 = шахХ, где

хсг

Г={Х|хА>Хх для некоторого х>0).	(8.2.1)

Другое полезное утверждение заключается в следующем.

►	Следствие 8.2.2. Если существует такой вектор х° > О,
что х°А^[1Х°, то р. есть оценка сверху для спектрального
радиуса матрицы А.

Доказательство. Легко получить, что

max Aj

I

где кп —1| аТ] ||- Следовательно,

___л _________

что сразу приводит к требуемому результату (см. рассуждения,
предшествовавшие теореме 8.2.2).

Из следствия 8.2.1 вытекает

►	Следствие 8.2.3. Если А^В^О и Х0(А), Х0(В) определены
для А и В согласно (8.2.1), то Хо(А)Хо(В); иначе говоря,
спектральный радиус положительной матрицы есть моно-
тонно возрастающая функция ее компонент.

Последнее следствие можно сопоставить с основной теоремой
о минимаксе в теории игр.
к Следствие 8.2.4. Пусть А>0 и [i0 = inf {|i | Af |if, f^O};
пусть далее собственный вектор х° строго положителен. Тогда

.	. . (f, хА) . .	(f, хА)

Р'0 = Х0 = SUP	inf  = Hit	sup -77—r'-.

x^o f^O v> X) t^0	x^_0	(J, X)

Ex,-i E/,=i	Ef,=1 Ejt.-i

i *	/ *	i *	/ *

Здесь подразумевается, что если (f, x) = (f, xA) = 0, то отно-
шение (f, xA)/(f, x) принимается равным Xo.

Доказательство. Так как для матрицы Ат существует по-
ложительный собственный вектор f° (теорема 8.2.3), отвечающий
собственному числу Хо, должно быть |i0^X0.

Но для f, отвечающих |i0, которые, разумеется, существуют, мы
получаем

|i0(f. x<>)>(Af, x°) = (f. x°A) = X0(f, xO).

В силу условий, наложенных на х°, необходимо р0>:Х0. Следова-
тельно, (i0 = k0. Остальные соотношения получаются обычным обра-
зом (см. теорему 1.3.1).

Следующая теорема полезна благодаря своим экономическим при-
ложениям.

к Теорема 8.2.4. Если р>Х0(А) и А^О, то (р! — А)”1 пре-
образует неотрицательные векторы в неотрицательные век-
торы.

Доказательство. Для Х>Х0(А), где Х0(А)— спектральный
радиус, путем непосредственного подсчета получаем представление

*=о

Так как каждое А* отображает неотрицательный ортант в себя, то
аналогичное справедливо и для всей бесконечной суммы.

Справедлива также и обратная теорема: если (р! — А)-1 отобра-
жает неотрицательный ортант в себя, то р есть оценка сверху для
спектрального радиуса матрицы А. В самом деле, если хА^Хх
для х^О, то z = x(A — pl)—|—(р — Х)х есть неотрицательный вектор.
Следовательно, матрица (р! — А)”1, примененная к вектору z, даст
неотрицательный вектор, или

— х + (р — Х)х(А —

Но х&О и х(А-—pI)-1S:0, откуда следует, что р > X. С другой
стороны, Хо является таким допустимым значением X (следствие 8.2.1)
и, следовательно, р>Х0(А), что и требовалось,
Мы можем выразить условия, при которых (pl — А)-1 переводит
положительные векторы в положительные векторы, в терминах огра-
ничений на главные миноры матрицы (pl — А). Именно, если любой
главный минор матрицы pl — А положителен, то матрица, (pl — А)-1
сохраняет положительность векторов.

Для доказательства этого утверждения достаточно в силу тео-
ремы 8.2.4 показать, что р>Х0(А). Это делается следующим обра-
зом. Равенство р = Х0(А) невозможно, так как, по предположению,
det (pl — А) > 0. На основании теоремы 8.2.4 достаточно показать,
что det (Я — А) 0 для всех t > р. Очевидно,

det (Я — А) = det [(t — р) I + В (р)],	(8.2.2)

где В(Р) = Р1-А. Разлагая правую часть (8.2.2), мы убеждаемся,
что в силу сделанного предположения det (Я — А) > 0 для t > р,
а это и требовалось.

Указанное предположение можно ослабить, так что наше утвер-
ждение будет выглядеть следующим образом: если единственная по-
следовательность п „окаймляющих" главных миноров |р1 — А|{\
р—\........п, положительна, то любой главный минор матрицы А

положителен, и поэтому, согласно полученным выше результатам,
р будет больше максимального характеристического числа матрицы А.
Доказательство этого утверждения мы опускаем (см. задачу 11).

Разложимость матриц. Другая группа идей, связанных с по-
ложительными матрицами, включает понятие неразложимости матриц.
Рассмотрим неотрицательную п, X n-матрицу A = ||aZy||. Будем го-
ворить, что множество индексов S замкнуто, если apq — 0 для
<7	р(£$- Если собственных замкнутых множеств индексов не

существует, то матрица А называется неразложимой. Это будет
иметь место в том и только в том случае, когда не существует
такой перестановочной матрицы1) П, что

ПАП1^

Ai
0

Аз\

А2/

где Ах и А2 — квадратные подматрицы.

Как отмечено в доказательстве теоремы 8.2.3 (см. г), матрица
является разложимой, если она имеет неотрицательный собственный
вектор, не являющийся строго положительным и соответствующий
положительному собственному числу. Если, например, Ау° = Хоу°

!) Перестановочная матрица — это матрица, в которой каждая строка и
каждый столбец содержат единственный ненулевой элемент, равный единице.
где вектор yo = (yj, ...» таков, что yj > 0............> О и

у0+1 = у0+2= ... = у^==0, то необходимо

г п-г

_ Mi а2\ } г

\А3	А4/ } п~т

причем А3 = 0.

Класс положительных неразложимых матриц можно в свою оче-
редь подразделить на апериодический подкласс и периодический
подкласс. Элементарно доказывается, что неразложимую матрицу А
перестановками строк и столбцов можно привести к виду

	0	0 ..	.. 0	Ош	
	01	0 .	.. 0	0	
ПАП =	0	02 .	.. 0	0	.	(8.2.3)
	0	0 .	• • От-1	0	

где нули, стоящие на диагонали, означают нулевые квадратные
матрицы. Число w связано с количеством собственных чисел в круге
радиуса Хо (см. теорему 8.2.3, подпункт г). Если w> 1, то нераз-
ложимая матрица А называется периодической; при а) == 1 она на-
зывается апериодической.

Приложения некоторых из этих идей к экономическим моделям
читатель найдет в следующем пункте. Неразложимость является
также важным понятием, связанным с переходами между состояниями
в цепи Маркова.

Матрицы Метцлера. Завершим этот’ пункт рассмотрением
структуры собственных чисел для матриц С=||с/;-||, у которых
(I =/= j). Такие матрицы экономисты называют матрицами
Метцлера; мы будем называть их М-матрицами. 7И-матрицы можно
считать особым классом положительных матриц, так как, прибавляя
к ним достаточно большое положительное кратное единичной матрицы,
мы можем получить

A = C + |iI,
где А>0.

Направим наши усилия на выяснение критериев отрицательности
вещественных частей всех собственных чисел 7И-матриц. Обладающие
этим свойством 7И-матрицы играют важную роль в экономических
исследованиях, особенно при изучении характеристик устойчивости,
связанных со сходящимися к состоянию равновесия системами цен.
Это обусловлено тем, что для решений системы дифференциальных
уравнений гарантируется локальная устойчивость, если вещественные
части всех собственных чисел матрицы этой системы отрицательны
(см. п. 9.3).

Так как при переходе к матрице А матрица С подвергается
только сдвигу, то все собственные числа матрицы С будут иметь
отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда
Re(Xz)<|i, где Xz— собственные числа матрицы А. В силу тео-
ремы 8.2.3, так как А^О, это будет иметь место в том и только
в том случае, если Х0(А) < fi. Аналогичные рассуждения, существенно
использующие теорию положительных матриц, позволяют нам полу-
чить более сильные результаты. Именно:

а)	собственное члслэ Л4-матрицы с наибольшей вещественной
частью вещественно и ему отвечает неотрицательный собственный
вектор. Пусть с (С) = max Re(az), где az — собственные числа
матрицы С. (Это использование символа о будет продолжено в даль-
нейшем);

б)	о ЧС) < 0 тогда и только тогда, когда существует такой вектор
х^О, что Сх < 0;

в)	а (С) < 0 тогда и только тогда, когда матрица —С-1 сохра-
няет положительность.

Утверждения а) и б) непосредственно следуют из теоремы 8.2.3.
Утверждение в) является следствием теоремы 8.2.4.

Можно дать эквивалентную формулировку утверждения в) в тер-
минах миноров матрицы С (см. параллельное рассуждение на
стр. 298). Именно, о(С)<0 тогда и только тогда, когда

Си 0,



f21

f31

• • Cr.n

Дальнейшие свойства положительных матриц, М-матриц, а также
их приложения, читатель найдет в задачах 10—15.

8.3. Приложения теории положительных матриц к изучению
линейных моделей равновесия и обмена. (1) При рассмотрении
замкнутых моделей Леонтьева в п. 8.1 мы не доказали сущест-
вования положительного решения системы уравнений АХ = Х,
где А представляет собой матрицу производственных коэффициентов.
(Напомним, что — х^/Хр где Хц есть общее количество /-го
продукта, используемое у-й отраслью.) Для того чтобы обеспечить
существование положительных решений, естественно, понадобится
наложить некоторые дополнительные условия. Одно естествен-
ное условие, подсказываемое экономическими соображениями, есть

= Xj (т. е. суммарный выпуск отрасли j полностью расхо-
дуется на затраты во всех отраслях). Можно считать, что это усло-
вие является частью определения замкнутой экономической системы.
Например, в экономике, состоящей только из фермеров, ткачей и
плотников, из нашего предположения следует, что фермер тратит
весь свой доход на одежду, жилищное строительство и питание.

Задача заключается в определении подлежащих производству ко-
личеств, совместимых с производственными коэффициентами. В тер-
минах коэффициентов наше предположение приводит к соотношению

п

2	1

• 1 = 1
для всех у.

Отсюда вытекает, что спектральный радиус матрицы А должен
быть равен единице. В самом деле, если u = (l, 1...1)	— вектор

с п компонентами, то uA = u; если же Az = Xz, где = т0
i

(u, A|z|)^Rl2\zt\. (Через |z| мы снова обозначаем вектор
i

с компонентами |zz|.) Но (uA, |z|) = 21^/1» откуда следует, что
i

|Х| < 1, и поскольку собственные числа матриц А и Аг совпадают,
то Х0(А)=1. Из теоремы 8.2.3 следует существование ненулевого
неотрицательного вектора X, являющегося решением системы АХ = X.
Мы доказали следующую теорему.

► Теорема 8.3.1. В замкнутой системе Леонтьева, для ко-
торой

п
.2 xu=
I = 1

существует нетривиальное положительное решение системы
АХ = Х. Если некоторая степень матрицы А строго положи-
тельна, то это решение единственно с точностью до множи-
теля и является строго положительным вектором.

Последняя часть теоремы выводится из утверждения теоремы 8.2.1.

В случае открытой системы Леонтьева задача заключается в опре-
делении условий, при которых система (I — A)X = Y разрешима
при любом заданном векторе конечного спроса Y, причем решение X
есть неотрицательный вектор.
к Теорема 8.3.2. Если существует некоторый вектор вы-
пуска х°, для которого вектор (I — А)х° строго положителен,
то матрица (I — А)-1 существует и переводит неотрицатель-
ные векторы в неотрицательные векторы. (Выражение (I — А)-1
можно рассматривать как линейное преобразование, действующее
в зависимости от того, как нам удобнее, либо над векторами-строками,
либо над векторами-столбцами. Очевидно, что свойство сохранения
положительности у матрицы А и у транспонированной Аг эквива-
лентны.)

Замечание 8.3.1. Условие этой теоремы означает, что имеется
некоторая комбинация выпусков, обеспечивающая избыток по каж-
дому продукту.

Доказательство. В силу теоремы 8.2.4 достаточно показать,
что все собственные числа матрицы А по модулю меньше единицы.
Пусть X таково, что zA = Xz, причем вектор z — ненулевой. Тогда
из положительности А следует, что | z | А | X11 z |. Условие теоремы
требует, чтобы имело место соотношение

0<((I —А)х0, |z|) = (x0, |z|) —(х0. |z|А).

и из неотрицательности х0 вытекает неравенство 0 < (х0, |z|)(1 —|Х|).
Следовательно, |Х| < 1, что и требовалось.

Утверждение теоремы 8.3.2 справедливо при любых предположе-
ниях, достаточно сильных для того, чтобы загнать все собственные
числа матрицы А внутрь единичного круга на комплексной плоскости.
Условия теоремы 8.3.2 с этим справляются.

Приведем другую теорему подобного рода. Ее доказательство
можно получить небольшим изменением предыдущего рассуждения.

к Теорема 8.3.3. Если существует такой вектор цен р°, что
вектор р°(I — А) строго положителен, то матрица (I — А)”1
преобразует неотрицательные векторы в неотрицательные
векторы.

(2)	В качестве примера экономической ситуации, в которой важ-
ным является понятие неразложимости, рассмотрим модель, введенную
на стр. 288, описывающую экспортно-импортные отношения между
странами. Если матрица импортов А неразложима, то доллар, потра-
ченный в какой-либо одной стране, в конечном счете вызовет за-
траты во всех остальных странах. В частности, если А имеет вид
(8.2.3), то страны из Gz будут тратить только в странах из О/+1;
после о) „инстанций" затрат исходные затраты Gt в О/+1 окажут вли-
яние на Ор порождая тем самым своего рода цикл затрат.
(3)	Мы завершим этот пункт кратким описанием одной динами-
ческой модели, анализ которой основывается на теореме 8.2.2.

Мы можем считать модель обмена, описанную на стр. 288, функцио-
нирующей во времени. В первоначальном рассмотрении система урав-
нений Ах = х описывала замкнутую модель, в которой компоненты xt
вектора х представляли собой суммарный выпуск z-го производствен-
ного процесса (или его интенсивность) безотносительно к периоду вре-
мени, в течение которого поддерживалось это равновесие. Эти уравнения
можно обобщить и дать им динамическую интерпретацию следующим
образом. Пусть х1 — вектор начальных интенсивностей процессов.
Тогда можно считать, что процессам одного периода времени при-
писаны выпуски Axj = x2. Сходным образом Ах2 = х3 выражает век-
тор интенсивностей процессов, требуемых в третьем периоде; анало-
гичную интерпретацию имеет Ахл = хл+1. Поскольку хл+1 = АЛх1,
мы находим, что при соответствующих предположениях (т. е. при
таких, которые позволяют применить теорему 8.2.2) последователь-
ность хЛ+1 сходится к предельному вектору выпуска х°, для которого
х° = Ах°. Легко сформулировать условия, гарантирующие, что х°
является ненулевым п )ложительным собственным вектором матрицы А
и обладает соответствующим смыслом в контексте замкнутой модели.
Другие результаты этого типа, связанные со сходимостью и устойчи-
востью, будут получены в п. 9.2—9.6.

8.4.	Теория производства. В этом пункте мы обобщим предпо-
ложения Леонтьева и опишем нелинейную модель, включающую про-
изводство. Теория производства имеет дело, во-первых, с распреде-
лением производственных факторов по различным технологическим
способам для производства потребительских товаров и, во-вторых,
с распределением стоимости суммарного продукта по производствен-
ным факторам.

Рассмотрим ситуацию, в которой п конечных продуктов произ-
водятся с использованием данных количеств каждого из г производ-
ственных факторов, где производственными факторами считаются
труд, земля, сырье и т. д. (Впоследствии мы рассмотрим проблему
производства, в которой не будет делаться различия между конеч-
ными продуктами и производственными факторами.) Продукты будем
обозначать через i = 1, 2, .. ., /г, а факторы — через k = 1, 2, . . ., г.

Технологические возможности производства мы опишем в терми-
нах производственных процессов1). Экономика имеет в своем распоря-

!) В подлиннике activity analysis. Трудно переводимое в данном кон-
тексте слово activity здесь эквивалентно тому, что в отечественной литера-
туре по линейному программированию получило название технологического
способа или технологического процесса (см., например, Л. В. Канторович* [2],
стр. 281). Мы будем пользоваться обоими этими терминами, надеясь, что ни
к каким недоразумениям это не приведет. — Прим, перев.
жении конечное множество базисных технологических процессов
У=1, 2, .... т, каждому из которых при любых данных обстоя-
тельствах можно сспоставить его интенсивность. Интенсивность эко-
номики в целом можно представить /n-мерным вектором х = (хр
х2, . . ., xw), каждая компонента которого Xj неотрицательна и пред-
ставляет интенсивность, с которой используется базисный процесс J.
Технология системы будет теперь характеризоваться указанием пары
векторных функций f (х) и g(x). Здесь f (х) = (/!(х), .... fn (х)) есть
n-мерный вектор, /-я компонента которого означает количество про-
дукта Z, производимое при поддержании системы на уровне интен-
сивности х, a g(x) = (g1(x), gr(x)) есть r-мерный вектор, &-я
компонента которого указывает количество производственного фак-
тора k, требуемого для того, чтобы система могла действовать с ин-
тенсивностью х.

Предположим теперь, что в нашем распоряжении имеются опре-
деленные количества производственных факторов, представленные
r-мерным вектором v==(,yp и2......vr). Пусть, кроме того, един-

ственной целью, поставленной перед системой, является максимизация
стоимости выпуска, вычисленной по действующим рыночным ценам:

Р = (Р1> Pv  • •- Рп)’ Pi^Q-

Теперь задача о производстве может быть поставлена следующим
образом: найти уровень интенсивностей х = (хр х2, . .., хп), мак-
симизирующий стоимость выпуска

при условиях

(р. f(x)) = 2 Pifi (X)
i-l

х>0.

(8.4.1)

(8.4.2)

g(x)^v.	(8.4.3)

Сформулированная таким образом задача распределения произ-
водственных факторов по различным процессам является одним из
вариантов задачи линейного (или нелинейного) программирования
(см. п. 7.1).

Основными предположениями относительно технологии, которые
играют важную роль в экономическом анализе производства и
которые будут считаться выполненными в дальнейшем, являются
законы постоянства выпуска и уменьшения маргинальных уровней
трансформации. Первый из них выражается положительной однород-
ностью функций f(x) и g(x), второй — вогнутостью f(x) и выпук-
лостью g(x)1).

Вспоминая теорию нелинейного программирования, мы можем
свести задачу о производстве к задаче нахождения седловой точки
{х, о)} формы Лагранжа:

ф(х, ю) = (р. f(x)) + (w, V —g(x))	(х^о. й)>0).

Вектор w из решения задачи о седловой точке можно интерпре-
тировать как индуцированный вектор цен; его можно истолковать
как относительную меру распределения стоимости суммарного про-
дукта по производственным факторам (см. п. 5.2).

Частный случай задачи о производстве возникает, если нет объеди-
ненных продуктов, т. е. если произведенные количества каждого
продукта единственным образом определяются количествами произ-
водственных факторов, затраченных в производящем его технологи-
ческом способе. Выбирая подходящий масштаб для базисных спосо-
бов, мы можем сформулировать эту частную задачу следующим образом:
найти распределение производственных факторов	максими-

зирующее
п

•••• ^ir).

1 = 1

при условиях

^>0 (Z = 1, . . ., n; k = 1, . . ., г),
п

(* = i.....О-

/ = 1

где через vik обозначено количество производственного фактора k,
затраченного в способе Z.

Типичным примером является модель Кобба — Дугласа

4(^1......^r) = a?Hn ••• Virr'

где az, $ik — постоянные, причем	2S Р/л =: 1 •

k

Множества производственных возможностей. Различие между
конечными продуктами (потребительскими товарами) и производствен-

*) Независимо от употребляемой автором буржуазно-экономической тер-
минологии (в оригинале речь идет соответственно о законах constant returns
и diminishing marginal rate of transformation), эти свойства функций f и g
имеют довольно естественную экономическую интерпретацию. Положительная
однородность этих функций означает пропорциональность затрат и выпуска
интенсивностям функционирующих в системе процессов. Вогнутость f и вы-
пуклость g можно, выражаясь несколько вольно, истолковать, как возмож-
ность за счет использования вместо тех или иных процессов их „смеси"
обеспечить те же суммарные интенсивности меньшими затратами и получить
при этом больший выпуск. — Прим. ред.

20 Зак. 1789
ными факторами в значительной мере произвольно. Конечный продукт
может использоваться в производстве других конечных продуктов
(как в классической модели Леонтьева), а производственный фактор
в свою очередь может также и производиться.

Поэтому имеет смысл построить такую модель, в которую все
продукты (включая как производственные факторы, так и потреби-
тельские товары) входили бы равноправно. Обозначим товары через
I — 1, .... п-\-г и будем представлять объемы выпуска всех това-
ров (п + г)-мерным вектором (отрицательные величины здесь озна-
чают затраты).

Технология системы описывается заданием множества производст-
венных возможностей Z как такого подмножества (п-|-г)-мерного про-
странства, что вектор выпуска z технологически осуществим тогда и
только тогда, когда z£Z. Предположения, отвечающие законам посто-
янства выпуска и уменьшения маргинальных уровней трансформации,
будут выражаться в том, что множество Z должно быть выпуклым
конусом в (n-j- г)-мерном пространстве1).

Исходная структура модели производства может быть представ-
лена множеством производственных возможностей. Подробнее: если
технология описывается в терминах f(x) и g(x), то соответствующее
множество Z определяется, как

С другой стороны, если технология задана в терминах Z, то со-
ответствующие f(x) и g(x) можно задать, беря (если это возможно)
параметрическое представление Z, имено z = z(x), х^О, и полагая
f(x) = (^(x).......z„(x)),	g(x) = ( — z„+1(x)......—	г„+г(х)).

Задача о производстве, сформулированная в терминах множества
производственных возможностей, заключается в нахождении и харак-
теризации всех эффективных технологически возможных векторов
производства. Один из случаев этой задачи будет исследован в сле-
дующем пункте.

Конкретный эффективный вектор производства можно получить,
принимая во внимание рыночные цены, как это сделано в (8.4.1).

Классическая леонтьевская модель производства. Открытая
леонтьевская модель производства отвечает в приведенной выше
формулировке случаю г = 1 (труд) и

f/(I-А)х'
х).

х = (хР х2.Хпу

х^О

‘) См. сноску на предыдущей стр. — Прим, ред.
где A = ||aZft|| есть матрица коэффициентов затрат и выпуска,
а 1 = (/р /2.../л) представляет собой вектор трудовых коэффици-

ентов. Здесь xL можно интерпретировать непосредственно как про-
изведенное количество Z-ro продукта, a aik измеряет количество Z-ro
продукта, затрачиваемое на производство единицы k-ro продукта.
Последняя компонента Z, взятая с обратным знаком, оценивает ко-
личество труда, потребляемое для данного вектора выпуска.

8.5.	Эффективные точки модели леонтьевского типа. Одно
из основных ограничений описанной в предыдущем параграфе модели
Леонтьева заключается в том, что с производством каждого про-
дукта она связывает только один технологический процесс. В настоя-
щем параграфе мы увидим, что даже если для производства каждого
продукта можно использовать несколько процессов, тем не менее
все „эффективные" способы производства включают единственный
производственный процесс для каждого способа, при условии, что
объединенное производство'не допускается и в распоряжении имеется
только один первичный фактор. Это — известная теорема Самуэль-
сона о замещении. Проиллюстрируем это понятие на следующей
модели.

Пусть имеется п отраслей, занятых производством п предметов по-
требления. Пусть atj—количество /-го продукта, производимое (или
потребляемое) Z-й отраслью, когда она функционирует с единичным
уровнем интенсивности.

Предположим, что	если Z=£ /, но ait > 0. Отрицательные

можно интерпретировать как количества материалов, расходуемые
в производственных процессах. Мы видим, что в то время, как каж-
дая отрасль*может использовать все продукты, производит она только
один продукт. (Именно это мы имеем в виду, говоря об отсутствии
объединенного производства.)

Если мы примем общее количество имеющегося труда за единицу,
то интенсивность Z-й отрасли можно представить величиной xz>0,
указывающей долю имеющегося труда, которая используется в этой
отрасли. Чистый выпуск /-го продукта равен 2 Предполо-
жим, что Z-я отрасль имеет в своем распоряжении допустимые аль-
х.

тернативные процессы а/у. Множество процессов, имеющихся в Z-й
отрасли, обозначим через Az; здесь XZ£AZ. Тогда чистый выпуск про-
дукта /, отвечающий выбору производственных процессов X1Z....Хд

для отраслей 1, ..., п, соответственно равен 2х*я/у.

Другая интерпретация этой модели состоит в том, что предприни-
матели варьируют число фабрик, занятых производством данного
продукта.
Обозначим через Sk(k — 1, . . ., п) множество векторов-процессов,
доступных &-й отрасли. Для фиксированного k множество Sk состоит из
всех возможных процессов вида = (а**, ...» afy. Наложим на все Sk
требования выпуклости и компактности; при другой интерпретации
это предположение вполне естественно, и его оправданность может
быть подтверждена для многих реальных ситуаций. Под S будем по-
нимать подмножество пространства Еп, представляющее собой выпук-
лую оболочку множеств ...» Sn (см. п. Б. 2).

Множество <Л = {АХ} матриц, представляющих возможные про-
цессы, состоит из матриц ||^у|| порядка п; Z-я строка такой мат-
рицы есть элемент множества St.

Вектор с£Еп называется допустимым, если с = хА для неко-
торого и х, для которого xi'^0, 2xi= 1 • (Векторы х та-

кого вида будут называться осуществимыми.)

► Лемма 8.5.1. Множество всех допустимых векторов со-
впадает с множеством S.

Доказательство этого утверждения очевидно, поэтому мы его
опускаем.

Допустимая точка с = х0Ах° называется эффективной, если не
существует осуществимого вектора х и Ахдля которых х°Ах°^
^хАх, причем по крайней мере для одной компоненты выполняется
строгое неравенство.

Введенное здесь понятие эффективной точки совпадает с понятием
эффективной точки в теории нелинейного программирования
(см. п. 7.4).

Нашей ближайшей целью будет характеризация всех эффектив-
ных точек этой модели Леонтьева. Для этого понадобится следую-
щая лемма.

> Лемма 8.5.2. Пусть pz— векторы, принадлежащие Si(l —
= 1, 2....п). Натянем на п точек pz плоскость, т. е. мно-
жество точек вида	Если эта плоскость пере-

i	I

секается с внутренностью первого ортанта для у > 0. то
пересечение плоскости и первого ортанта содержится в мно-
жестве г=J pip = 2*грр	1L

I	i	if

Доказательство. 1) Обозначим через Ax матрицу процессов,
построенную из векторов pz. Предположим, что xi^0,	= l
и х/о = О для некоторого Zo. Тогда вектор хАх будет содержать по
крайней мере одну неположительную компоненту, именно Zo, так как

для Z =# Zo. Итак, если xzmO, 2х/=1 и ==®> товек"

тор хАх не принадлежит внутренности первого ортанта.

2) Множество всех тех у, для которых	и 2У/Р/>0,

t	t

очевидно, выпукло. По предположению и в силу пункта 1), суще-
ствует вектор х°, для которого > 0, 2 х? — 1 и 2х?Р/">®‘
I	i

Предположим, что существует такой у, что = 1 и 2y,pi>o,
i	i

но У/< 0 для некоторого Z. Тогда можно найти такое X (0 < X < 1),
что неотрицательный вектор Хх° + (1—Х)у будет иметь хотя бы
одну нулевую компоненту. Но из 1) следует, что Хх° + (1 —Х)у > 0,
а это невозможно. Следовательно, yzM0 для всех Z.

Условия леммы 8.5.2 не могут быть ослаблены. Плоскость должна
пересекаться именно с внутренностью положительного ортанта;
в противном случае заключение леммы может оказаться неверным.
Читатель легко построит контр-примеры уже в Е3, взяв, например,

pi=(4--4- °)- Р2=(—4’ 4> °)- рз=(°’ °- о.

Теперь с помощью леммы 8.5.2 мы можем доказать основную
теорему этого параграфа.

► Теорема 8.5.1. Если внутри положительного ортанта
существует допустимая точка, то все эффективные точки
положительного ортанта лежат в некоторой гиперплоскости
и каждая точка пересечения этой гиперплоскости с положи-
тельным ортантом эффективна.

Доказательство. Пусть р0 — допустимая точка со строго
положительными координатами, и пусть I — луч, проходящий через
начало координат и точку р0. Для каждого множества п точек
Рр •••* P/i(Pz€*Sz), которое определяет допустимую точку, построим
плоскость, натянутую на эти точки. Рассмотрим плоскость, пересе-
кающую луч I в наиболее удаленной от начала точке положитель-
ного ортанта. Обозначим эту плоскость через Р. Плоскость Р и
будет требуемой гиперплоскостью; ее пересечение Рг с положитель-
ным ортантом дает множество эффективных точек в положительном
ортанте.

Предположим, что это не так. Иначе говоря, пусть в положи-
тельном ортанте существует допустимая точка g, доминирующая
(в смысле неравенствам, где по крайней мере для одной компо-
ненты имеет место знак » некоторую точку р £ Pf. Но Р пересекает
координатные оси в точках (др 0, . .., 0), (0, а2, 0, . .., 0), . ..

(0....0, ал); согласно лемме 8.5.2, все эти точки допустимы.

Точка g принадлежит также плоскости О, натянутой на множество
точек gp ...» g^Cgz €«$/)» причем G пересекает координатные оси
в точках (bv 0, ..., 0), (0, Ь2, 0, ..., 0)......(0, ...» 0, bn)t

которые в силу леммы допустимы. Так как g доминирует р, то по
крайней мере одно из bt должно быть больше соответствующего at.
Пусть это будет Ьх. Точки (bv 0, ..., 0), (0, а2, 0,	0), ...

. . ., (0..0, ап) допустимы; следовательно, их выпуклая оболочка

есть некоторое подмножество множества S, лежащее в положитель-
ном ортанте. Точки этого подмножества доминируют точки мно-
жества Р'\ в частности, это подмножество пересекает луч I в точке,
более удаленной от начала координат, чем точка пересечения I с Р'.
Но это противоречит построению Р'. Поэтому Рг есть множество
эффективных точек в положительном ортанте.

У этой теоремы есть три интересных следствия. Если имеется
комбинация процессов и труда, дающая строго положительный избы-
ток по каждому продукту, то

1)	для каждой отрасли имеется один процесс, дающий неотри-
цательные эффективные точки. Каждая отрасль может не применять
различных процессов, чтобы обеспечить неотрицательные эффектив-
ные точки, а может постоянно использовать один и тот же процесс;

2)	множество неотрицательных эффективных точек частично не
зависит от труда, так что существует много распределений труда,
дающих неотрицательные эффективные точки;

3)	цены не зависят от уровней спроса, так как вектор, нормаль-
ный к единственной эффективной гиперплоскости, определяет одну
и ту же систему относительных цен для всех эффективных способов
производства.

Вычислительные методы для моделей Леонтьева и связь их
с вполне смешанными играми1). Теорема 8.5.1 показывает, что
все эффективные точки положительного ортанта лежат в некоторой
гиперплоскости; доказательство этой теоремы устанавливает также,
что эта гиперплоскость конструируется с помощью некоторой ма-
трицы процессов А£<^. Так как предполагается, что эта гипер-
плоскость пересекается с внутренностью положительного ортанта,
то для этой А существует вектор х°, для которого х°А > 0.

Далее, из построений теоремы вытекает, что достаточно найти
матрицу А, для которой хА максимально вдоль любого конкретного
луча, проведенного в положительном ортанте пространства Еп. Будем
максимизировать его, например, вдоль луча, идущего под углом 45°2).

]) Заключительную часть этого пункта можно опустить при первом
чтении, не нарушая непрерывности изложения.

2) То есть вдоль „биссектрисы" = ... = хп положительного ортан-
та. -^Прим. перев.
Очевидно, задача эквивалентна нахождению такой матрицы А, для
которой достигается

max-v(A),

А£<<

где v (А) = max min 2 xtaii-
x j i

В величине г>(А) легко узнать значение игры с матрицей А.
Матричные игры такого вида выше мы называли играми типа Мин-
ковского— Леонтьева (см. п. 2.5). Важное их свойство устанавли-
вается в следующей лемме.

► Лемма 8.5.3. Если А£с/£ и существует вектор х°, для
которого х°А > О, то игра А является вполне смешанной.

Доказательство. Из соотношения х°А > 0 следует, что
^(А)>0. Если бы некоторая оптимальная стратегия х содержала
нулевую компоненту, то итог для соответствующего столбца был бы
отрицателен и, следовательно, был бы меньше v. Таким образом,
все компоненты любой оптимальной стратегии игрока I строго поло-
жительны.

Из теоремы 2.4.1 следует, что ядром любой пары оптимальных
стратегий должна быть матрица А и что оптимальная стратегия у
должна быть единственной. Из соотношений размерности следует,
что все компоненты у должны быть положительными.

Теорема 2.4.1 показывает также, что

V{ )_ (и, А-1и) “ 2 А/ ’

где ЦА/I^A-1.

Пусть {А|А'У(А) > 0]. Для характеризации эффектив-
ных точек достаточно найти матрицу А£от£, для которой ^(А)
максимально или, что равносильно, найти матрицу А, для которой
достигается

1
max —-----.

j

8.6*. Теория потребительского выбора. Общую теорию равно-
весия, описывающую отношение спроса и потребления к ценам,
а также другим экономическим факторам, можно подразделить на
две главные части: 1) теорию производства, охватывающую также
теорию распределения ценностей (в том виде, как она включена, на-
пример, в понятие двойственной цены), и 2) теорию потребления, имею-
щую дело с интересами отдельных покупателей, отражаемыми си-
стемой их предпочтений на определенные продукты, В п. 8,3--8,5 мы
дали обзор математической теории производства. В этом пункте мы
сосредоточим свое внимание на описании некоторых задач, возни-
кающих в математической теории потребительского выбора. В п. 8.7
и 8.8 мы изучим модель глобального равновесия, сочетающую в себе
одновременно факторы производства и потребления.

Теория потребительского выбора имеет дело, по существу, со
следующим вопросом: рассматривается потребитель с ограниченным
бюджетом и с определенным набором предпочтений по отношению
к различным наборам товаров. Какие количества он приобретет при
данных рыночных ценах на различные товары? Другой важный
вопрос заключается в следующем. По каким правилам изменяются
предпочтения потребителя — в зависимости от изменения рыночных
цен или его собственных доходов?

Пусть имеется п потребительских товаров, и пусть их количества
представлены n-мерным вектором х = (хР х2, ..., хп), где xt
означает потребляемое количество Z-ro товара. Взяв подходящий
масштаб, мы можем предположить, что xt > О (Z = 1......./г).

Предполагается, что для каждого потребителя имеется отношение
предпочтения Р между векторами х = (хр х2, ..., хп) и у = (ур
У2» • • • > Уп) Для любых двух векторов х и у либо х предпочитается у
(записываем это, как хРу), либо у предпочитается х(уРх), либо
ни один из этих векторов не предпочитается другому (хРу и уРх,
где хРу означает отрицание хРу). В последнем случае мы будем
говорить, что х безразличен по отношению к у, и писать xly.
Мы сейчас не требуем транзитивности для соотношения безразличия,
хотя позже мы увидим, что если принять перечисленные ниже пять
постулатов, то отношение I оказывается транзитивным и рефлексив-
ным. Мы постулируем, что Р обладает следующими свойствами:

Р1. Иррефлексивность: хРх для любого х^ 0.

Р2. Транзитивность: из хРу и yPz следует xPz.

РЗ. Монотонность: из х>у следует хРу.

Р4. Выпуклость: из xPz или xlz и ylz, где у =# х, следует
[Zx + (1 —t) у] Pz для всех 0 < t < 1.

Рб. Непрерывность: множества Рх = {у|уРх} и Qx=[y|xPy}
открыты при любом х.

Если существует такая числовая функция U (х) (х^О). что

U (х) > U (у) тогда и только тогда, когда хРу (8.6.1)

(т. е. утверждения U (х) > U (у) и хРу эквивалентны), то U назы-
вается индексом полезности для Р. Если U — индекс полезности
и F (U)— монотонно-возрастающая функция, то V = F(U) также
является индексом полезности.

Для того чтобы требования монотонности и выпуклости выпол-
нялись для функции индекса полезности U, необходимо и достаточно,
чтобы множество {х|U (х)> г} при любой постоянной с было строго
выпуклым (см. п. Б.4, свойство 1) и содержало вместе с любым х
все векторы у>х. Постулат непрерывности выполняется, если
только функция U непрерывна. Обратно, всякая вещественно-значная
функция, обладающая этими свойствами, определяет соотношение
предпочтения согласно (8.6.1). Очевидно, xly синонимичное t/(x) =
= Щу).

Соотношение предпочтения, индуцированное функцией индекса,
изображено на рис. 14. Заштрихованная область состоит из всех у,

которым х предпочитается. Это множество открыто. Область, по-
крытая двойной штриховкой и включающая границу {у|[7(у)^= с},
состоит из всех у, которым х не предпочитается. Та же геометри-
ческая иллюстрация приложима к общему отношению предпочтения Р,
удовлетворяющему постулатам Р1—Р5.

Функция спроса для отношения предпочтения Р. Мы будем
предполагать, что потребитель ведет себя так, чтобы максимизиро-
вать свое предпочтение среди всех наборов товаров х, удовлетво-
ряющих его бюджетному ограничению. Более точно, если рыночные
цены составляют вектор р = (рр р2, ..., рп\ а доход потребителя
равен Л4, то он выбирает вектор х, для которого

х^О, (р, х)^Ж,	(8.6.2)

где (р, х) оценивает общие издержки потребителя при данном векторе
потребления, если рыночные цены описываются вектором р, и

хРу для всех у>0, (р, у)<Л4,
причем р>0 и М 0.

(8.6.3)
Из постулатов Р1—Р5 легко вывести, что вектор х, удовлетво-
ряющий условиям (8.6.2) и (8.6.3), всегда существует и однозначно
определяется заданием р и М.

Единственность этого вектора непосредственно вытекает из свойств
транзитивности и иррефлексивности. Так как установить .его суще-
ствование несколько более сложно, мы изложим здесь формальное
доказательство.

Для любого х, удовлетворяющего неравенству (р, х)<Л4, рас-
смотрим множество

^х=(у|(р. y)==sM, хРу}.	(8.6.4)

Покажем сначала, что множество Г = 5Х[ И Вх2 П • • • П#Х/г при любом
конечном наборе векторов xz непусто. Для этого разобьем множество
хр х2, ...» хл на два класса X1 и X2, где некоторый элемент X1
предпочитается каждому элементу X2 и xzPxy для всех xz, Xj^X1.
В силу постулированных выше свойств иррефлексивности и транзи-
тивности такое разбиение возможно, причем класс X1 будет непустым.
Для этого нужно лишь начать с xt и х2 и сравнить их. Если один
из них предпочитается другому, то доминируемый элемент напра-
вляется в X2. Затем оставшийся элемент сравнивается с х3 и т. д.

Предположим теперь, что xz пронумерованы так, что хр ...
. . ., xk £ X1, а хл+Р . . ., хп £ X2. Покажем, что (Xj-f- .. . -\-xk)jk £Г.
В силу постулата Р4

х,+ +xft рх.(. = J,	, kyt

по транзитивности и по определению X2

Х.+	+х* рХ/ = J.......пу

Кроме того,

р Xi + ... 4-Xfe
k

так как в противном случае для вектора (Xj-f- ... -\-xk)/k нару-
шился бы постулат Р1. Так как каждое множество Вх. в силу Р5
есть замкнутое подмножество компактного множества Т= {у |(р, у)<
^44, р > 0} и обладает свойством конечных пересечений, множество

д=

непусто. Пусть х° £ Д; тогда х° удовлетворяет бюджетному ограни-
чению. Кроме того, х°Ру для всех у^=х°. Если мы предположим
противное, то будем иметь х°Ру0 для некоторого у0 £7 и у°Рх° по
построению Д. Следовательно, у°1х°. Но, кроме того, х°1х°, и,
согласно Р4, мы имеем [Zx° —1-(1—£)у°]Рх° для 0<£< 1, что
противоречит выбору х°.

Мы можем написать

x° = f(p, Ж);

будем называть f функцией спроса, выведенной из отношения пред-
почтения Р.

Функцию спроса можно охарактеризовать также как вектор х°,
удовлетворяющий условиям

х°> 0. (р, х°) = Ж, х°Рк	(8.6.5)

при всех тех х, для которых (р, х) < М, когда р > 0 и М > 0.

Доказательство. Если х° — функция спроса, отвечающая
параметрам р и М, причем (р, х°) < М, то мы можем увеличить
все компоненты вектора х°, сохраняя неравенство (р, х)^Ж. Но
тогда в силу РЗ нарушится «свойство (8.6.3).

Обратно, предположим, что х° удовлетворяет (8.6.5). Покажем,
что в этом случае х° представляет собой функцию спроса, выведен-
ную из отношения предпочтения и отвечающую значениям параметров
р и М. Пусть величина спроса при р и М есть у0 =/= х°. Положим

Qxo= {у |уРх0}.

Это множество открыто (в силу постулата Р5) и содержит у0. Сле-
довательно, существует такое у, для которого уРх° и (р, у) < М,
что невозможно из-за (8.6.5). Поэтому у0 совпадает с х°, что и
требовалось.

Для дальнейших рассмотрений будет полезно изобразить поло-
жение функции х = f (р, Ж); это сделано на рис. 15.
Если отношение предпочтения описывается индексом полезности U,
то х° есть вектор, на котором U (х) достигает максимума среди
всех х, удовлетворяющих ограничению (р, х)^Л4.

С помощью (8.6.5) легко показать, что функция f непрерывна
при р>0 и М > 0. Вообще под функцией спроса x = f(р, М)
будет пониматься функция f, определенная для р>0иЛ4>0ц
удовлетворяющая требованиям

DI. f (р, Л4)> 0, (р, f (р, Л4)) = Л4.

D2. f непрерывна, при р > 0, М > 0.

В дальнейшем мы сделаем еще два предположения.

D3. Для любого х>0 существуют такие р>0 и М > 0, что
х = f (р, /И).

D4. Функция f(p, М) удовлетворяет условию Липшица по
М > 0. Иначе говоря, для любого М > 0 существуют такие К > 0
и 8 > 0, что

|f(p, yWj) —f(p. Л4)|=е.ВД-Л4|,

если только — Л4| <8.

Если отношение Р выведено для индекса полезности U (для которого
{x|Lr(x)>c} есть строго выпуклое множество, удовлетворяющее
постулату РЗ) и U обладает надлежащими дифференциальными свой-
ствами, то легко проверить выполнение свойств D3 и D4.

Аксиома выявленного предпочтения. С помощью данной функ-
ции спроса х = f (р, Л4), удовлетворяющей условиям D1—D4, мы
определим теперь понятие выявленного предпочтения. Говорят, что
вектор х° = f (р°, Л4°) выявленно предпочитается вектору х1 —
= f(p1, Л41), если

(р°, х°)^(р°, х1)	(х° =# х1).

Это отношение будет обозначаться как

х^х1;

иначе говоря, x°Rx1, если х1 принадлежит удовлетворяющему бюд-
жетным ограничениям множеству, по которому производится спрос
на х°. Естественно, чтобы не противоречить смыслу функции спроса,
вектор х° не может быть допустимым вектором потребления в усло-
виях бюджетного ограничения, которому удовлетворяет х1.

Определим также отношения R5 и R* следующим обр;з м: xR5y,
если существуют векторы х1, х2, ..., Xs”1, для которых xRx1,
x]Rx2, . . ., х5-1Ру; положим далее, xR*y, если xR5y для некоторого
целого 5. Уже показано, что отношение R5 транзитивно, монотонно
и непрерывно. Кроме того, если только x = f(p, Л4) выведено
из отношения предпочтения Р, то отношение R* иррефлексивно.
В самом деле, если xRy влечет хРу, то xR*y влечет хРу в силу
транзитивности Р; следовательно, иррефлексивность R* является след-
ствием иррефлексивности Р.

Далее, если индуцированная функция спроса удовлетворяет усло-
виям D3 и D4, то отношение R* совпадает с Р:

R* = P.

Доказательство этого факта довольно сложно и поэтому будет здесь
опущено (см. заключительные замечания к этой главе). Однако для
случая п = 2 можно воспользоваться ориентацией единичного круга,
и доказательство получается сравнительно легко (см. задачу 19).

Можно показать также, что если функция спроса f (р, Л4) удо-
влетворяет условиям D1—D4, и отношение R* иррефлексивно, то R*
является отношением предпочтения, удовлетворяющим постулатам
Р1—Р5, a f (р, М) есть функция спроса, выведенная из R*.

Иррефлексивность R* можно охарактеризовать следующим обра-
зом. Для любого целого s из соотношений

(р°, х°)>(р°, х1), (р1, х1)>(р1, х2), .... (р5-1, х5“1)^(р5-1, Xs)

(где xL Ф для некоторых z, у) следует

(ps, х°) > (р5, Xs),	(8.6.6)

где

xz = f (р‘, М‘), t = 0, 1......$.

Эта характеризация обычно называется сильной аксиомой выяв-
ленного предпочтения. Родственное понятие, слабая аксиома вы-
явленного предпочтения, формулируется следующим образом:

из (р°, х°)>(р°, х1)(х°=^=х1) следует (р1, х°)>(р1, х1). (8.6.7)

Слабая аксиома, очевидно, следует из сильной. Нам еще пред-
ставится случай применить понятие выявленного предпочтения в нашем
дальнейшем рассмотрении устойчивости (см. п. 9.4).

Функция компенсированного дохода для вектора цен р.
В качестве подспорья при исследовании свойств функции спроса f (р, Л1),
полученной из отношения предпочтения Р, мы введем понятие ком-
пенсированного изменения дохода.

Пусть заданы р° > О, А1° > 0 и x° = f(p°, Л4°). Определим ком-
пенсированный доход 2И(р) для цены р, как

Al(p) = inf {Аф(р, Л4)Рх°)

или, что равносильно,

М (р) = sup {Л4 | x°Pf (р, Л1)}.
Рис. 16 поможет уяснению смысла Л4 (р). Для данного значения
полезности, соответствующего полезности х°, компенсированный
доход А1 (р) можно интерпретировать как минимальный при данном
векторе цен бюджет, с помощью которого можно приобрести товары,
обладающие той же суммарной полезностью, что и х°.

Опираясь на геометрическое описание М (р), указанное на рис. 16,
легко показать, что М (р) — вогнутая функция р, и поэтому она
непрерывна при р > 0 и дифференцируема почти всюду.

Для простоты изложения мы предположим, что М (р) дифферен-
цируема всюду. Мы можем также рассматривать М (р) как опорную
функцию некоторого выпуклого множества; в явном виде

44(p) = min(p, х),

где минимум берется по всем х, для которых х0Рх. Функция М (р),
будучи минимумом линейных функций, вогнута. Положим

?(p) = f (р. М(р));	(8.6.8)

тогда

(р, <p(p)) = M(p)	(8.6.9)

и

АЦр°) = Ж х° = ср(р°).

Согласно бюджетному ограничению Л4(р), вектор ср(р) является,
очевидно, предпочтительным вектором потребления по сравнению
со всеми векторами х, удовлетворяющими условию (р, х)^ТИ(р).

Из геометрических соображений (см. рис. 16) и из определения
ср (р) и М (р) ясно, что функция g(p) = 2p^(p), где вектор р>0
i

служит параметром, достигает минимума по р в единственной точке
р = р. Следовательно, обычное необходимое условие минимума функ-
ции дает нам соотношение

п л

V d^i п

др ~ °’

z-l '

j= 1, 2.п.

(8.6.10)

Из (8.6.10) мы имеем

п л

! дМ(р)\ , , . V дЪ / ч

(р)+1 piw-= (р)-

i = 1	1

Все эти преобразования выполняются с сохранением
уровня полезности, равного полезности х°.

Мы будем называть величину

(8.6.11)

постоянства

МР°)

(8.6.12)

j f U(x) =

P

остаточной изменчивостью Z-ro товара по отношению к компен-
сированному изменению цены у-го товара. Другими словами,
является мерой изменения желания потребить Z-й товар при таком
изменении цены у-го товара, которое сохраняет постоянный уровень
полезности. Мысль, кроющаяся за изучением функции /С/;-(р°), заклю-
чается в следующем. Предположим, что мы пытаемся приписать смысл
различию двух неравных векторов потребления x° = f(p°, 2И°) и
х1 = f (р1, Л11). Переход от х° к х1 можно разложить на две соста-
вляющие: 1) изменение, вызванное изменением цен в х°, сохраняю-
щим постоянный уровень полезности; 2) изменение при фиксированных
ценах, являющееся результатом изменения объема бюджета. Вели-
чину ^у(р°) можно рассматривать как меру первого из названных
изменений.

В силу (8.6.8) и (8.6.11) мы имеем

_	dfj	dfj	дМ	_	dfj	dfj

др.	дрь	’	дМ	др.	др.	‘	дМ	^k'

К>	К	К	ft

Вычисляя (8.6.12) при р = р°, получаем

дх^ dxQ-

где x° = f(p°, Л4°). Таким образом, если р° — единственная изме-
нившаяся цена, то изменение спроса может быть записано как раз-
ность между членом /CZ;-(p°) и членом, измеряющим действительную
потерю в доходах, вызванную изменением цен.
► Теорема 8.6.1. Kjk удовлетворяет условиям
K]k = Kk]	(/,&=!.......п),	(8.6.13)

2	(8.6.14)

z,/=i

для любого вещественного вектора (hv .... Лл).

2рИ/^Р°> = 0	= 1......й)-	(8.6.15)

j

Доказательство. Равенство (8.6.13) легко выводится

из (8.6.11). Именно

(8.6.16)

Равенство (8.6.15) уже доказано в (8.6.10). Соотношение (8.6.14)
следует из вогнутости М (р), из (8.6.11) и (8.6.12) (см. п. Б. 4).

8.7. Нелинейные модели равновесия. Состояние экономической
системы в условиях конкуренции в любой момент времени может
быть выражено в виде решения системы неравенств, описывающих
спрос потребителей на товары, предложение товаров производите-
лями и условие равновесия, заключающееся в превышении предло-
жения над спросом на любом рынке. При этом предполагается, что
если предложение некоторого товара избыточно, то цена этого товара
равна нулю. Изучение существования равновесных решений облегчит
понимание сущности дескриптивной и нормативной экономической
теории.

Если конкурентные экономические модели дают достаточно точное
описание действительности, то уже сам по себе факт существования
решений для этих моделей является подтверждением их потенциальной
полезности. Не меньшую важность имеет отношение существования
конкурентно равновесных решений к проблеме экономики благо-
состояния (см. п. 9.1).

Здесь и в следующем пункте мы рассмотрим ряд сходных между
собой, но неперекрывающихся моделей, описывающих явления равно-
весия и обмена. Основным математическим инструментом, исполь-
зуемым при установлении существования решений каждой из этих
моделей, является некоторая разновидность теоремы Какутани о не-
подвижной точке с небольшими дополнительными ухищрениями.

Линейные уравнения моделей Леонтьева в п. 8.1 и 8.3 можно
интерпретировать как выражение равновесия обмена между различ-
ными отраслями. Для приведения модели в большее согласие с дей-
ствительностью мы должны отказаться от предположения линейности,
т. е. от условия, что числа atj — постоянные, не зависящие от
Исследование некоторых важнейших нелинейных моделей и будет
предметом этого пункта.

Чтобы войти в курс дела, мы рассмотрим сначала следующую
модель. Пусть имеется п производителей, причем каждый произво-
дитель Pi производит некоторый товар Gz. Пусть ftj(x) (I =#j)
обозначает количество денег, которое производитель тратит
на покупку товара Gjt если доход его равен х. Функции ftj(x)
можно считать функциями спроса в смысле п. 8.6. Если каждый
производитель тратит весь свой доход на покупку товаров у других
производителей, то
п

x = ^fij(x)	(8.7.1)

для всех I и любых х > 0. Для удобства положим функции /zz(x)
тождественно равными нулю. Экономические соображения подска-
зывают, что доход Z-ro производителя xz определяется так, чтобы
общее количество каждого товара, продаваемое производителем,
равнялось общему количеству этого товара, купленному другими
производителями. Математически мы хотим найти величины xit удо-
влетворяющие системе уравнений

п

Xj^^fij^x^.	(8.7.2)

I = 1

Эта задача является нелинейным аналогом замкнутой модели
Леонтьева (см. теорему 8.3.1).

► Теорема 8.7.1. Если неотрицательные функции непре-
рывны и равенство (8.7.1) выполняется при всех х>0, то
существуют неотрицательные числа xv х2, ..., хп, удовлетво-
ряющие' системе (8.7.2).

Доказательство. Пусть S — множество всех неотрицательных
векторов у, для которых
п

S Vi =
/ = 1

Построим непрерывное отображение Т множества S в себя и опре-
делим Т так, чтобы /-я компонента вектора Ту была равна

п

(7’У)У = ЗЛУ(У).

21 Зак. 1789
Из (8.7.1) следует, что Ty£S при любом y£S. Отображение Т
непрерывно; следовательно, по теореме Брауэра о неподвижной точке
(см. п. В.2 приложения) существует вектор x£S, для которого
Тх = х. Вектор х, очевидно, является решением задачи.

Модель с переменными ценами. В рассмотренных до сих пор
моделях все цены считались фиксированными, и для того, чтобы
предложение было равно спросу, каждый производитель был выну-
жден управлять объемом своего выпуска. Теперь мы примем противо-
положную точку зрения и будем пытаться сбалансировать предло-
жение и спрос, изменяя не объемы выпуска, а цены. В связи с этим
мы зададимся вопросом: существует ли такой набор цен, при котором
стоимость товаров, проданных каждым производителем, равна стои-
мости покупаемых им товаров?

Согласно классическому закону спроса и предложения, цена
товара повышается, если спрос на товар превышает имеющееся пред-
ложение, и понижается, если предложение превосходит спрос.
Поэтому экономическое равновесие может быть достигнуто лишь
если цены таковы, что спрос и предложение на каждый товар равны,
принимая во внимание переменность цен. Обозначим через aL коли-
чество товара Gz, производимое производителем Pt в некоторый
фиксированный промежуток времени, а через pz— цену одной еди-
ницы товара Oz. Если каждый производитель продаст весь выпущен-
ный им товар, то его доход будет равен pzaz. Пусть	р2, ...

,p/l) = xZy представляет количество товара Оу, на которое
предъявляет спрос производитель Pz. Функции по сути дела
зависят от at (в том смысле, что цены pt зависят от az). Предполо-
жение, что каждый производитель затрачивает весь свой доход,
означает

Z=l, 2.......п. (8.7.3)

У

(Мы положили Du — 0.)

Предположим, что соотношение (8.7.3) справедливо для любого
вектора цен р. Суммарный спрос на товары О} равен

а суммарное их предложение есть Uj. Условие равновесия имеет вид
«У-2Оу(р) = 0.	(8.7.4)

Задача заключается в следующем: существует ли для заданных az
и функций спроса DZy, удовлетворяющих соотношению (8.7.3), не-
отрицательное решение р системы (8.7.4)? К сожалению, такое
решение существует не всегда. Можно представить себе, например,
что один из производителей поставляет товар, не пользующийся
у остальных спросом; в этом случае левая часть равенств (8.7.4)
становится положительной. Это соображение приводит нас к сле-
дующей теореме.

> Теорема 8.7.2. Если неотрицательные функции £)/у(р)
удовлетворяют условию (8.7.3) при любом положительном
векторе р и at > 0 для всех /, то существует вектор
р* = (р*, р*, ...» р*), для которого

ау-2^(Р*)^0;	(8.7.5)

если в соотношении jQ знак равенства не имеет места, то
р*. = 0.

(Эта теорема устанавливает, что всегда существуют цены, при
которых предложение по меньшей мере равно спросу, и что нулевую
цену имеют лишь перепроизводимые товары. Такая модификация
закона спроса и предложения хорошо известна экономистам. В связи
с этим см. также теорему 5.4.3.)

Доказательство. Вещественное число [i назовем осуще-
ствимым, если существует положительный вектор р = (рр ...» prt),
для которого 2 Р/ = 1 и

payS:Fy(p).	(8.7.6)

где

/7/(р) = 2О|/(р) (J = l.....n).

i

Множество всех таких нормированных векторов р обозначим через S.
Множество V всех осуществимых чисел очевидно, непусто и огра-
ничено снизу. Положим |i0 = inf[x; из непрерывности функций

и компактности следует, что также осуществимо. Так как число
|i0 — е осуществимым не является, то для любого вектора p£S
(S есть множество всех неотрицательных векторов с единичной
суммой компонент) можно найти хотя бы один такой вектор y£S, что

((р0 —е)а —F(p), y)=s0.	(8.7.7)

Множество S(p) всех y£S, удовлетворяющих (8.7.7), непусто,
замкнуто и выпукло. Множества S(p) как функции р непрерывны
в обычном смысле как точечно-множественные отображения
(см. п. В. 2).

Так как условия теоремы Какутани о неподвижной точке выпол-
нены, отсюда следует существование вектора р° £ S, для которого

((Ho-£)a-F(p°). р°)<0.	(8.7.8)
Из последнего соотношения в сочетании с (8.7.3) следует, что
[10 — е^1 и, следовательно, рь0< 1. Если же мы помножим /-е соот-
ношение из (8.7.6) на pj и просуммируем, то из (8.7.3) будет выте-
кать, что 1 для любого осуществимого рь. Поэтому 1 и,
таким образом, (х0=1. Пусть р* — вектор, отвечающий значению
|л0=1. Тогда

п

J=1......п.

i = 1

Так как (ау., р*) — (F(p*), р*) = 0 в силу (8.7.3), то /?* = О,
если только

п

«/> 3 ^(Р*)-

Модель с переменными ценами и объемами выпуска, В нашей
следующей модели вместе с ценами меняются как типы, так и коли-
чества поставляемых товаров. Например, качество предлагаемых
услуг будет зачастую зависеть от вознаграждения, полученного по-
ставщиком услуг. Поэтому мы будем предполагать существование
функций предложения S/;-(p) (/#=/), представляющих количества
товаров Gy, предлагаемых производителем/^ при ценах pv ..., рп.
Функции спроса £>/у(р) определяются, как и прежде. Аналогом (8.7.3)
служит уравнение

п	п

3pA;(p)=3^D0(P)-	(8.7.9)

/=1

(S//(p) снова положены тождественно равными нулю.) Закон спроса
и предложения приводит к соотношению

S5v(p)^SO/y(p).	(8.7.10)

i	i

Мы стремимся найти вектор цен р, удовлетворяющий (8.7.10) и
приписывающий нулевую цену любому товару, для которого пред-
ложение превышает спрос.

► Теорема 8.7.3. Пусть S/;(p) и D/;-(p)— непрерывные неот-
рицательные функции, такие, что равенства (8.7.9) выпол-
няются при всех р и 2j5/;(p)>0 для всех J. Тогда суще-
i

ствует неотрицательный вектор

p-=w......р;)'
удовлетворяющий (8.7.10) и. кроме того, равенству

j i

Доказательство этой теоремы в точности следует доказательству
теоремы 8.7.2 и поэтому здесь опускается.

Общая теорема Вальда об уравнениях равновесия1). Пусть
/?р /?2’ • • •»

— производственные факторы, которые могут быть использованы
в различных комбинациях для производства п различных товаров
Sp S2, ...» Sn. Точнее, для производства одной единицы товара Sj
необходимо а^ единиц фактора Rt. Пусть производитель имеет в своем
распоряжении гх единиц фактора /?р г2 единиц фактора /?2, . .., гт
единиц фактора Rm. Если при производстве Sj единиц товара Sy
(/=1.......ri) цена единицы товара Sy равна /у($Р ..., $л), то

уравнениями, связывающими неизвестные цены pt единицы фак-
тора Rt и неизвестные величины $у, будут

п

ri = ^aijSj, /=1..........т	(8.7.11)

и

т

=	/=1.......п,	(8.7.12)

где <?; = /;($!...$„).

Эти уравнения в том виде, в каком они записаны, могут и не
иметь экономически осмысленных решений. Поэтому было предло-
жено заменить уравнения (8.7.11) на неравенства

п

r^^aijSj,	(8.7.13)

/ = 1

условившись при этом, что в случае строгого неравенства соответ-
ствующая цена pL равна нулю. Это согласуется с общим экономи-
ческим положением о том, что избыточные производственные фак-
торы должны получать нулевую оценку (см. теоремы 8.7.2 и 8.7.3).

Уравнения (8.7.12), выражающие равенство издержек на произ-
водство товара и его цены, остаются без изменений. Общие функции
стоимости /у предполагаются непрерывными и неотрицательными.
Кроме того, делаются следующие предположения:

*) Заключительная часть этого пункта носит более специальный характер
и при первом чтении может быть пропущена без нарушения связности
изложения.
(А)	Если последовательности неотрицательных чисел
сходятся соответственно к ...» sn, причем s&. + 0 для всех kt
a Sy = O, то

lim	•••» sn)~00»	/=1» • ••» п'> k=\t 2,

в других случаях функции fj ограничены.

Это предположение довольно трудно обосновать с экономической
точки зрения. Однако для последующих математических рассмотре-
ний оно необходимо. Один из возможных доводов в его пользу
можно высказать в терминах фиксированных издержек, связанных
с производством 1).

(Б) Г/ > 0, 1= 1, .... т.

(В)	для всех Z, /, причем для каждого j найдется хотя бы

одно Z, при котором > 0.

Благодаря условиям (Б) и (В) множество неотрицательных векто-
ров s = (sP .... $л), удовлетворяющих условию (8.7.13), является
непустым, выпуклым, компактным, ограниченным подмножеством
^-мерного пространства. Обозначим это множество через 5. Пусть
с — внутренняя точка 5; обозначим через Se множество всех
представимых в виде s = ec-|-(l—e)s', где s'и 0<е<1.
Множество Se является внутренним подмножеством множества 5;
если s' пробегает границу S, то при этом зачерчивается граница Ss.
Под проекцией Ре множества S в Se мы будем понимать

P6s = ec + (1 —e)s.

Нашей целью является установить существование неотрицательных
решений (рр ..., и ($р ..., sn) системы уравнений (8.7.12)
и (8.7.13), удовлетворяющих дополнительному требованию

2 Pi(rt — 5 aosy) = 0.

4=1	\ j=l J

Наши рассмотрения основаны на использовании теоремы Какутани
о неподвижной точке и теоремы двойственности линейного програм-
мирования. Для любого построим вектор

CT==(CJ1...6„) = (/l(So).....fn (So))-

Рассмотрим следующие две задачи:

I.	Максимизировать (а, и) при условиях Au< г, u>0.

*) Здесь имеется в виду, что при уменьшении размера партии затраты
на производство единицы товара повышаются из-за наличия фиксированных
производственных издержек, не зависящих от объема выпуска, т. е. при
Sj>Sj (j=l, ...,п) мы должны иметь /у($р	/у($р	.

Соотношение (А) получается путем своеобразного \предельного пере-
хода*.— Прим, персе.
II.	Минимизировать (г, р) при условиях рА^о, р>0.

Так как множество допустимых векторов и заполняет ограничен-
ное, выпуклое, замкнутое множество S, лежащее в первом ортанте,
решение задачи I существует. Обозначим множество всех этих реше-
ний через Т (s0). Проекция Ре [T(s0)] = T(s0) есть непустое замкнутое
выпуклое множество. Фундаментальная теорема двойственности (тео-
рема 5.4.1) утверждает, что существует решение р° задачи II, обла-
дающее тем свойством, что (р°, г — Аи°) = 0 для любого u°£T(s0).
Точечно-множественное отображение s0—> Г (s0) удовлетворяет всем
условиям теоремы Какутани о неподвижной точке. Следовательно,
существует s* £ Se, для которого также s* £ Т (s*).

Обозначим через s* предельную точку для s* с максимальным
числом нулевых компонент. Докажем сначала, что ни одна компо-
нента вектора s* = (s*, s^, .$*) не может быть нулем. Пред-
положим, что $*о = О для индексов /0 из некоторого множества /0;
тогда функции f. (s*) стремятся к оо при е -> 0 для всех j £ /0,
но остаются ограниченными по другим координатам. При достаточно
малом е вектор s* будет близок к множеству векторов и, максими-
зирующих (f, и) при условии Аи< г. где вектор г строго положи-
телен. Отсюда, . однако, следует, что некоторые компоненты век-
тора S* с индексами из /0 должны быть выбраны отграниченными
от нуля; если бы было верно обратное и все компоненты вектора s*
с индексами Z£/o сходились к нулю, то мы могли бы получить
большее значение и), выбрав такой вектор u£S, у которого
все компоненты с номерами Zo £ /0 были бы строго больше некоторого
фиксированного положительного е0. Множество Т (s*) не могло бы
содержать построенного нами s*. Следовательно, во избежание этих
нелепостей каждая компонента вектора s* должна быть строго отгра-
ниченной от нуля; поэтому соответствующие /;(s*) равномерно
ограничены.

Так как соответствующие решения р® задачи II при выборе а,
отвечающего s0 = s*, минимизируют (г, р), а каждое rt строго поло-
жительно, то все рО лежат в ограниченном подмножестве первого
ортанта и, следовательно, при е->0 существует предельная точка р°.
Векторы s* и р° удовлетворяют следующим соотношениям:

rfS=2a/y^, 1=1.........пг,

j = l....п,

= ........О' У==1.........П‘

(8.7.14)

(8.7.15)

(8.7.16)
Рассмотрение с точки зрения линейного программирования показы-
вает, что s* есть решение задачи I, причем ау ==/у- (s*), а р° есть
решение задачи II. Так как все компоненты вектора s* положи-
тельны, то в (8.7.15) должны стоять равенства (в силу теоремы 5.4.3).
Согласно той же теореме, мы получаем
т /	п \

(8.7.17)

Итоги предыдущих рассмотрений подводит следующая теорема.

► Теорема 8.7.4. Если rlt и fj удовлетворяют усло-
виям (А), (Б) и (В), то существуют положительные векторы s*
и р° (первый из которых строго положителен), удовлетворяю-
щие соотношениям (8.7.14), (8.7.16) и (8.7.17), причем каждое
неравенство системы (8.7.15) выполняется как равенство.

8.8*. Модель равновесия конкурентной экономики (Эрроу —
Дебре). Предположим, что в нашем распоряжении имеется конеч-
ное число г различных товаров (включая услуги всех видов). Если
один и тот же товар покупается и продается в т различных местах
или в т различных моментов времени, то его можно рассматривать
как т различных товаров.

Фирму или другое подобного^ рода производственное объедине-
ние, производящее товары, мы будем называть производственной
единицей. Предположим, что у каждой производственной еди-
ницы j (/=1, 2, ..., п) имеется множество Yj возможных произ-
водственных планов. Элементами	являются векторы из Ег,

h-я компонента которых yhj обозначает выпуск товара h в этом
плане. Как обычно, затраты изображаются отрицательными компо-
нентами. Множество К = представляет собой набор всевозмож-
j

ных графиков затрат и выпуска всего производственного сектора.
Мы сделаем следующие предположения:

la. Yj есть компактное подмножество пространства Ег, содержа-
щее нулевой вектор 0.

16. Множество Y выпукло.

Предположение выпуклости отражает принцип невозрастающих марги-
нальных уровней трансформации !). Кроме того, мы предположим
существование конечного числа потребляющих единиц (индивидуумов
или коллективов).

Пусть (Z= 1.........т) представляет собой множество векторсв

потребления из ETt доступных потребителю Z. Сделаем следующее
предположение:

!) См. сноску на стр. 305. — Прим. ред.
II. Xt есть замкнутое выпуклое подмножество пространства Ег,
обладающее тем свойством, что если	и некоторая компо-
нента xfy вектора х<л> стремится к бесконечности, то	для

всех h = 1, 2, .... г.

Предположим, что для Z-го потребителя определен индекс полез-
ности (xz), для которого:

Ша. U^j) — непрерывно дифференцируемая функция на Xt\

III6. если Ut (xz)^ Ut (х'). где x/t х' £ Xt (xz =/= х'.) и 0 < t < 1,
то	Ox;)>t/Z(x;);

Шв. для любого xi^Xi найдется такой вектор xj £X[t что

и,(х;)>у,(х,).

Предположение Шб обеспечивает строгую выпуклость множе-
ства (х|Ц(х)>с) при любой постоянной с (см. п. Б. 4, свой-
ство II). Функция Ut очевидно, индуцирует отношение предпочте-
ния, как это описано в п. *8.6. Не будучи связан бюджетным огра-
ничением, Z-й потребитель будет производить свой выбор из
исключительно на основании своей шкалы предпочтения.

Предположение Шв утверждает, что если мы отвлечемся от бюд-
жетных соображений, то желания потребителей никогда не будут
полностью удовлетворяться.

Пусть через обозначен вектор товаров, которыми Z-й потреби-
тель располагает для начальной торговли. Мы предположим, далее, что

IV.	Существует xz £ Xit для которого > xz.

Хотя предположение IV слишком сильно и не вполне реали-
стично, к сожалению, его нельзя полностью исключить из рассмотре-
ния. Его можно несколько ослабить, но лишь дорогой ценой: наши
рассуждения станут более утомительными, но не вознаградят нас
новыми результатами. (По поводу обобщений см. замечания в конце
этой главы.)

Наконец, мы предположим, что Z-й потребитель имеет обусловлен-
ную договором претензию ]) на долю прибыли /-го производи-
теля, причем

V.	для всех Z, /,

т

2 а0-=1

/=1 J
для всех /.

Обозначим через р = (рр .... рг) вектор цен на товары. Так как
для нас важны лишь относительные цены, мы можем, не умаляя
общности, нормировать вектор р следующим образом:

г
pv^q, За,= 1-
V = \

!)	Можно подразумевать, например, держателей акций. — Прим, перев.
Определение конкурентного равновесия. Существование кон-
курентного равновесия эквивалентно существованию набора векторов

(Р*;	....<; у;.......у*}.

удовлетворяющего условиям

(А)	Р*£Р = {р|р€£г. psso, 2^ = 11;

I	v = 1 J

(Б) для всех j

(Р*. у*)=тах(р*. уу);

v ” yjtYj

(В)	при всех i вектор х* максимизирует СА(хг) на множестве

( п 1

(р*. ха=^(р*. ?I)+Sa,7(p*. у*))-.

(Г)	x*=^y* + t- (р*. х* —у* —Г) = 0,

где
т	п

х*=2х*. у* =2 у*.

Z = 1	7=1 J

Условие (Б) утверждает, что производство таково, что максими-
зирует прибыли, когда в качестве цен взяты равновесные рыночные
цены. Условие (В) гласит, что /-й потребитель стремится максими-
зировать полезность приобретенных им товаров по всем имеющимся
векторам потребления, где вектор потребления считается допустимым,
если он принадлежит множеству возможностей потребителя I и
если связанные с этим вектором издержки не превышают приноси-
мого им дохода. Доход потребителя складывается из двух источни-
ков: во-первых, из дохода, связанного с его начальным капиталом,
и, во-вторых, из дохода от его доли прибылей от производства
в целом. Другими словами, условие (В) выражает бюджетное ограни-
чение в условиях равновесия. Условие (Г) утверждает, что весь спрос
удовлетворяется и, кроме того, любой товар, поставляемый сверх
имеющегося спроса, получает нулевую цену.

Основная теорема формулируется следующим образом:

► Теорема 8.8.1. Для любой системы, удовлетворяющей
предположениям I—V, существует конкурентное равновесие.

Доказательство этой теоремы является простым следствием сле-
дующего топологического результата, представляющего, впрочем,
и некоторый самостоятельный интерес.
> Лемма 8.8.1. Пусть S — ограниченное 1), полунепрерывное
сверху точечно-множественное отображение, переводящее
множество Р в ЕГ и удовлетворяющее следующим условиям:

a) S (р) есть непустое выпуклое множество для всех р £ Р\
б) если z£S(p). то (р, z)>0.

Тогда существуют такие р£Р и z£S(p), что z>0.

[Полунепрерывность сверху отображения S(p) понимается
в обычном смысле: если гл£5(рл) и z„->z0, рл->ро» то z0£S(p0);
см. также п. В. 2.]

Доказательство. Предположим, что лемма неверна. Это озна-
чает, что каждое множество S (р) не касается неотрицательного
ортанта. Мы утверждаем, что в этом случае существует такое поло-
жительное е0, что семейство выпуклых множеств

7’(p)z= [W| w^z-1-еор, z^S(p),
также не касается неотрицательного ортанта. В противном случае
должна существовать последовательность рл~^р и чп €$(рл). z„^z.
для которых гл-|-елрл^0 при ел->0. (В качестве zn можно взять
сходящуюся последовательность, так как все множества S (рл) ком-
пактны и поэтому лежат в ограниченной области пространства Ег.)
Тогда из непрерывности отображения S следуют соотношения z£S(p)
и z^O, что противоречит нашему предположению. Следовательно,
семейство Т(р) не пересекается с неотрицательным ортантом, как
мы и утверждали.

Отметим далее, что каждую гиперплоскость, разделяющую поло-
жительный ортант и одно из множеств семейства Т(р), можно ото-
ждествить с вектором q = (<71, ...» qr)t для которого

г

qi^a, =	(q, W)±SO,

i = l

где w£T(p); и обратно, каждому такому вектору соответствует
некоторая разделяющая гиперплоскость (см. лемму Б. 1.3).

Построим теперь точечно-множественное отображение следующим
образом. Для каждого р£Р рассмотрим множество Q(p)czP, состоя-
щее из всех тех нормированных векторов из Р, которые предста-
вляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и мно-
жества Т(р). Так как Т(р) не касается положительного ортанта,
множество Q(p) непусто (лемма Б. 1.3).

Множества Q(p), очевидно, являются выпуклыми и замкнутыми
и описывают полунепрерывное сверху точечно-множественное ото-

!) Под ограниченностью отображения понимается ограниченность всех
образов S(p) как подмножеств евклидова пространства Ег. — Прим. перев.
бражение; нужная нам непрерывность Q(p) легко следует из соот-
ветствующей непрерывности Т(р). По теореме Какутани (см. п. В. 2)
существует точка po(EQ(Po)- Йо, согласно условию б), для этой
точки р0 мы будем иметь (р0, z)^0 при z£S(p0) и, следовательно,
(Ро> w) > 0 Для w £ Т (р0). Это заключение несовместимо со смыслом р0
bQ(Pq). Следовательно, наше исходное предположение было неверно,
и лемма доказана.

Доказательство теоремы 8.8.1. Для любого pf-Р по-
строим отображение 5(р), удовлетворяющее условиям леммы 8.8.1,
следующим образом. Во-первых, определим К;(р) как множество
всех векторов из Ку, максимизирующих (р, у у). Пусть Y (р) = 2 г/р) и
j '

P7(p) = max(p,

У;)-

Легко проверить, что Y (р) — непустое замкнутое выпуклое множе-
ство, определяющее ограниченное полунепрерывное сверху точечно-
множественное отображение. Пусть, далее, Х^р) обозначает множе-
ство всех xz£Xz, максимизирующих t7z(xz) при условии

п

(р, хг)<(р. §,)+ 5 «у₽/р).

;=1

(8.8.1)

Важное замечание, которым мы еще воспользуемся в дальнейшем,
заключается в том, что для xz£Xz(p) в (8.8.1) должно иметь место
равенство. Предположим противное. Тогда в силу предположения Шв
существует x'£Xz, для которого Ut (xz) > ^z(xz), а по предположе-
ниям Ша и Шб мы можем найти такой xz = fxz + (l —/)х' (при под-
ходящем выборе Л 0 < t < 1), что £7z(xz) > (7z(xz), причем вектор xz
все еще удовлетворяет ограничениям (8.8.1). Но это противоречит
смыслу xz в Xz(p). Таким образом, для всех таких xz в (8.8.1)
имеет место знак равенства.

Из того факта, что (р)	0 (напомним, что 0£/у согласно

предположению 1а), и из предположений I, II, III и IV легко видеть,
что каждое Х^(р) есть непустое выпуклое замкнутое и ограничен-
ное множество. Определим множество

tn

*(p)=2*z(p).

1 = 1

которое также будет непустым, выпуклым, замкнутым и ограничен-
ным. На основании предположений III и IV, как и выше, легко
показывается, что X (р) задает полунепрерывное сверху точечно-
множественное отображение. Построим, наконец, отображение

S(p)= {z|z = y — х + 5, у£Г(р), хСА'(р)},
где
т

i = Si/-
Z = 1

Покажем теперь, что S(p) представляет собой ограниченное,
полунепрерывное сверху отображение из Р в Ert удовлетворяющее
следующим двум условиям: а) множества S(p) непусты, выпуклы и
замкнуты и б) (р, z) = 0 для всех z£S(p).

Справедливость утверждения а) мы уже отмечали. Для про-
верки б) заметим, что У;С^/(Р) и xz €	(Р) удовлетворяют соотно-

шению (8.8.1) как равенству, т. е.

п	п

(р. Х<) = (Р. &) + S (Р) = (р. 5i) + S (р. У;).

/-1	/-1

т	п

X = S Хр у = S Уу-

Z=1	/=1

Суммируя по z, заключаем на основании предположения V, что

(Р, х) = (р. 5)+(р, у).

а это совпадает с утверждением б).

Приготовления к использованию леммы 8.8.1 закончены. Мы вы-
водим из нее существование таких р* и z* = y* — х* + ?, что
z*£S(p*) и z* > 0. Система векторов

{* ♦ * *	* 1

Р : xi.....V’ У1.....Ул}

образует конкурентное равновесие, где

т	п

х*=£х;, у*=2у;

Z=1	/=1

Условия (А), (Б) и (В) (см. стр. 330) выполняются в силу определе-
ния векторов х* и у*., а также того факта, что z*£S(p*). Условие
(Г) следует из того, что z*^0, и из указанного выше соотноше-
ния б). Это завершает доказательство теоремы.

8.9.	Задачи.

Задачи 1—6 отражают некоторые простые формулировки макро-
экономических отношений.

1.	Пусть предложение S(t) и спрос D(t) на товар связаны с его
ценой p(t) соотношениями

=	£)(/) = ₽ +W).
где а, а, р, b — постоянные. Предположим, что в каждый момент
времени цена назначается так, чтобы 5 (/)==/)(/). Выяснить пове-
дение функции p(t) при > оо.

2.	Пусть Qt обозначает наличный запас к концу периода t. Пусть
предложение S(t) и спрос D(f) являются заданными функциями цены
в момент /, имеющими вид

5 (0 = а + аР (/),	D (/) = р + ЬР (t).

Рассмотреть модель, в которой цена изменяется в зависимости от
изменений запаса по закону

P(O = Pa-l)-X(Qz_1-Q/_2).	^2.	(*)

Показать, что Р(О = Р4-[Р(0) — Р\С1, где

Р = 422^-.	С=1 — ЦЬ — а).

Ь — а	4	7

3.	Рассмотреть описанную в задаче 2 модель, предполагая время
непрерывным. Закон (*) примет вид

dP _	; dQ

dt ~ dt 1

где	,

Q(O = Q(O)+ f [S(t) — D(x)]dx,
0

S (0 = a + aP (/), D (0 = p + bP (/).

Определить P(t) в явном виде.

4.	Одно из известных макроэкономических соотношений можно
сформулировать следующим образом: национальный доход = потреб-
ление-]-инвестиции (накопления)4~ автономные инвестиции, или

Г(0=С(04-/(0+Л(0.

Рассмотреть это соотношение во времени /, если

C(t) = cY(t), 0<с < 1

(величина 1/(1—с) называется мультипликатором),

(величина v > 0 называется акселератором)
и

A(t) = A,eTt.

Определить Y (t) для всех t и интерпретировать решение.
5.	Пусть в условиях описанной в задаче 4 макроэкономической
модели

С(О = тГ(о+С1

Z(O==t,*yOf Л(/) = О.

Определить вид Y (/) при всех t и интерпретировать решение.

6.	Рассмотреть описанную в задаче 4 модель, считая время дис-
кретным. Пусть при всех t

С(0 = cxYt_x + c2Yt_2, f(t) = v(Y t_x - Y t_2),
A(f) = A — const.

Определить Y (t) для всех t.

7.	Задача о простой монополии может быть поставлена следующим
образом. Пусть производство набора товаров х обходится в <р(х),
а при предложении х на рынке вектор цен за единицу каждого из
товаров равен р==Л(х). Следовательно, чистая прибыль составляет

(р, х) — <р(х).	(**)

Найти соотношение, которому должен удовлетворять вектор х, мак-
симизирующий (**).

8.	Пусть С — вещественная или комплексная п X ^-матрица, для
которой

= 2	7 =

Z = 1

Доказать, что

п	п

ПО -2С)-

;=1 z = i

9. Пусть A = ]|aZy||—п X n-матрица, для которой

и

2 I ««I > 3 I аи\' /==3'4......«•

J

Доказать, что detA^=O.

10.	Используя следствие 8.2.1, показать, что для строго поло-
жительной п X ^-матрицы А, имеющей более одного вещественного
характеристического корня, все максимальные характеристические
числа главных миноров А, имеющих порядок п — 1, заключены ме-
жду двумя наибольшими вещественными характеристическими числами
матрицы А.
11.	Показать, что положительное число X является верхней гра-
ницей модулей характеристических чисел матрицы А>0 в том и
только в том случае, когда все главные миноры определителя
В (X) = det (XI — А) |”, т. е.

^11»

^11	^12
^21	^22

^11	^12	^13
^21	^22	^23
^31	^32	^33



bk\ - - * &kk

положительны.

12.	Рассмотрим матрицу А > 0, имеющую более одного вещест-
венного характеристического корня. Показать, что существует хотя
бы один главный минор матрицы А, имеющий порядок п— 2, у ко-
торого максимальный характеристический корень лежит между двумя
наибольшими характеристическими числами матрицы А. (Указание:
воспользоваться следствием 8.2.1.)

13.	Пусть все алгебраические дополнения элементов некоторой
строки (или столбца) определителя матрицы В (X) = XI — А (А > О,

X > 0) неотрицательны, но не все они равны нулю. Доказать, что
из det В (X) > 0 следует X > Хо (А).

14.	Пусть А — положительная матрица, и пусть все алгебраиче-

ские дополнения Bik определителя В (X) = det (XI — А) \” положительны.
Показать, что из неравенств

О < atj < ац, I, j—\...............n,

следуют неравенства

det(Xl — A) I* >: det (XI — A) |*. k = \, . ... n.

В каком случае имеет место знак равенства?

15.	Пусть В = ||^ || — г X r-матрица, в которой £^>0 при
I =£ j. Пусть существует такой вектор z, что z^O, Bz > 0. По-
казать, что матрица В устойчива. (Матрица называется устойчивой,
если все ее собственные числа имеют отрицательные вещественные
части.)

16.	Продукт у производится посредством использования двух
факторов хг и х2 в соответствии с билинейной однородной функцией
производства у==Лх1х2, где k — постоянная. Задавшись ценами фак-
торов и р2, найти оптимальное использование факторов, дающее
минимальные издержки на производство продукта у. Показать, что
при этом оптимуме будет х1 = с1у, х2 = с2у.
17.	Доказать, что для любой матрицы С существуют такие не-
отрицательные векторы х и у, что

хС^О,
х —Су > О,

Су^О;

у+ хС > 0.

18.	Используя модель Эрроу — Дебре и предполагая, что техно-
логия подчинена требованию постоянства результата (т. е. каждое Ку
представляет собой замкнутый выпуклый конус), показать, что в
состоянии равновесия прибыль каждой фирмы равна нулю и, следо-
вательно, что состояние равновесия определяется безотносительно к
величинам а/;. (см. стр. 329).

19.	а) Доказать, что при п = 2 сильная аксиома выявленного
предпочтения вытекает из слабой аксиомы.

б) Доказать, что если вектор-функция спроса f (р, М) удовлетво-
ряет слабой аксиоме выявленного предпочтения, то f — положительно
однородная функция нулевого порядка, т. е.

f (Хр, X7I4) = f (р, М) при любом X > 0.

Комментарии
и библиография к главе 8

Принято считать, что математические методы начали играть существен-
ную роль в экономической науке после выхода в 1838 г. книги Курно „Ис-
следования о математических принципах теории богатства" (Cournot А. А.,
Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses),
хотя некоторые экономисты (Чева, фон Тюнен) разрабатывали эти вопросы
и до Курно. В 70-х годах прошлого века У. Стэнли Джевоне, Леон Вальрас
и Карл Менгер создали субъективную теорию стоимости, которая отличает
современную экономику от классической. Из названных трех ученых наи-
более выдающимся был Вальрас, на которого большое влияние оказал Курно.
Вальрас своей теорией общего равновесия сделал для экономики примерно
то же, что Ньютон сделал для физики !)- Среди экономистов, которых можно
отнести к созданной Вальрасом лозаннской школе, мы назовем Парето,
Бароне, Панталеони, Шумпетера, Леонтьева и Хикса. Что касается Менгера,
то ему недоставало соответствующего математического аппарата; однако его
маргинальная теория стоимости и многое другое из работ австрийской школы,
одним из основателей которой он является, оказали решающее влияние на
современную математическую экономику.

В Англии в книге Р. Эджворта „Математическая физика" (Edgeworth
F. Y., Mathematical physics, 1881) было предложено детальное объяснение
процесса обмена. Несколькими годами позже Альфред Маршалл создал кем-
бриджскую школу экономического анализа, основанную на гармоничном рав-
новесии интуитивного знания и научной точности; впоследствии выдающимися
представителями этой школы были Альфонс Пигу, Джон Мейнард Кейнс
и Д. X. Робертсон. Не будет преувеличением сказать, что истоки подавляю-
щего большинства современных экономических исследований лежат в конеч-

9 Необходимо иметь в виду, что речь идет о тех или иных математи-
ческих моделях экономики. —Прим, ред,
ном счете в фундаментальных работах лозаннской, австрийской и кембридж-
ской школ.

Двумя основными источниками современного развития математико-эко-
номической теории явились книги Дж. Р. Хикса „Стоимость и капитал" [1]
и П. А. Самуэльсона „Основания экономического анализа" [1]. Последняя
была написана в 1937 г. как диссертация при Гарвардском университете и
лишь позднее опубликована в виде отдельной книги.

Два очень полезных учебника, охватывающих множество вопросов ма-
тематической экономики, написаны Алленом [1] и Дорфманом, Самуэльсоном
и Солоу [1].

Предмет математической экономики распадается на две основные части —
макроэкономическую теорию и микроэкономическую теорию. Первая зани-
мается в основном соотношениями между экономическими переменными,
агрегированными для системы в целом, вторая — соотношениями между
индивидуальными экономическими переменными (в основном размерами по-
требления, объемами производства и рыночными ценами наборов товаров).

Математическую экономику можно подразделить также на статическую
и динамическую теорию. Статическая задача — это такая задача, в которую
время явным образом не входит; динамическая задача содержит в качестве
одной из переменных время. Разумеется, даже если мы имеем дело с ди-
намической задачей, решение может оказаться не зависящим от времени.
В этом случае перед нами явление стационарности. Часто (но не всегда) ста-
тические ситуации можно интерпретировать как стационарные состояния
динамических систем.

Исследования в области микроэкономической теории сосредоточивались
в основном вокруг статических задач, в то время как большинство иссле-
дований по макроэкономической теории было связано с динамическими
задачами. Типичным приемом макроэкономической теории является построение
моделей различных укрупненных категорий (потребления, инвестиций, наци-
онального дохода) как функций времени и последующий анализ сходимости
или колеблемости, скажем, функции дохода во времени.

Здесь мы совершенно не затрагивали широко развитую статистическую
точку зрения эконометрики. С этой точки зрения задача статистики заклю-
чается в оценке параметров, лежащих в основе динамической модели, ме-
тодами, охватывающими модификации регрессионного анализа. Эконометри-
ческие проблемы изучали Я. Хаавельмо, Т. Купмане, А. Вальд, Т. У. Андер-
сон, Г. Рубин, Л. Гурвиц, Дж. Маршак, Н. Шульц, Я. Тинберген и Г. Вольд.
Основным учебником эконометрики является книга Л. Клейна [1].

8.1.	Первая линейная модель равновесия, и обмена была предложена
Вальрасом, разработавшим систему уравнений для описания простого явления
равновесия. Однако он не занимался чисто математическими вопросами
существования и единственности решений этих уравнений. С помощью
теории положительных матриц этот пробел был в достаточной мере воспол-
нен многими работавшими в этой области исследователями.

Примерно до 1948 года изучение моделей равновесия ограничивалось
в основном линейным случаем.

Приведенные в этом пункте модели следуют формулировкам открытых
и замкнутых систем, принадлежащим Леонтьеву [1] (см. также Моргенштерн

8.2.	Теория матриц с положительными элементами ведет свое начало
от работы Фробениуса [1]. С 1908 года были указаны бесчисленные при-
ложения и обобщения результатов Фробениуса. Эти обобщения проводились
по двум основным направлениям: 1) замена свойства положительности эле-
ментов требованием, чтобы матрица А оставляла инвариантным некоторый
конус, и 2) изучение бесконечномерных аналогов теорем Фробениуса, включаю-
щих положительные ядра. Внушительное собрание этих обобщений можно
найти в книге Гантмахера и Крейна [1], в которой, кроме того, развиты
многие более тонкие вопросы теории положительных матриц. Абстрактные
рассмотрения этого вопроса даны в статьях Крейна и Рутмана [1] и Кар-
лина [6]. К сожалению, экономисты до сих пор продолжают переоткрывать
многие из этих результатов, приписывая им при этом совершенно непра-
вильные авторства.

Непосредственные интерпретации теории положительных матриц при-
менительно к экономической теории, а также различные изложения свойств
положительных матриц и М-матриц были даны Метцлером [1]. Мозаком [1],
Дебре и Херштейном [1], Солоу [1], Хокинсом и Саймоном [1] и многими
другими авторами.

Простые доказательства, содержащиеся в этом пункте, представляют
собой непосредственные перефразировки абстрактных рассуждений Крейна
и Рутмана [1] и Карлина [6]. Данная в следствии 8.2.1 характеризация наи-
большего собственного числа, по-видимому, является новой; как показывают
многие последующие рассуждения, она оказывается весьма полезной. Изящное
рассуждение, использованное при доказательстве утверждения г) теоремы
8.2.3, также ново и принадлежит Боненбласту (личное сообщение).

Результаты, родственные теореме 8.2.4, можно найти в статье Коте-
лянского [1].

Разбиение матрицы на периодическую и непериодическую компоненты
рассматривается в книге Феллера [1], гл. 13 и 15.

Тот факт, что результаты, справедливые для М-матриц, могут быть пере-
несены на положительные матрицы и обратно, хорошо известен. Утвержде-
ние, включающее в себя (8.2.4), известно экономистам под названием кри-
терия Хокинса—Саймона [1] (см. также Котелянский [1]).

8.3.	Результаты, родственные изложенным в этом пункте, приведены в
сборнике под редакцией Моргенштерна [1].

8.4.	Современное развитие теории производства приписывается Вальрасу
и Маршаллу. Самуэльсон посвящает теории производства главу IV своих
„Оснований экономического анализа" [1]; см. также книги Хикса [1] и
Дорфмана [1].

В настоящее время теория производства формулируется в терминах
моделей анализа производственных процессов с использованием теорем ли-
нейного и нелинейного программирования. В качестве общих источников
по анализу производственных процессов мы назовем сборники под редакцией
Купманса [1] и Моргенштерна [1]. В основе более тонкого математического
исследования теории производства лежит статья Куна и Таккера по не-
линейному программированию [1].

От теории производства неотделима теория распределения благ (пере-
распределенные цены). Информацию о распределении благ мы получаем,
решая двойственную задачу для соответствующей задачи программирования
и интерпретируя соответствующим образом понятие двойственной цены
(см. Удзава [1]).

8.5.	Теорема 8.5.1 была указана Самуэльсоном. Купмане [2] доказал ее
для случая трех товаров; справедливость общего результата была установ-
лена Эрроу [1]. Другое доказательство было разработано Гейлом [2]. При-
водимое здесь доказательство является новым.

8.6.	Современная теория потребления ведет свое начало от работ Валь-
раса и Джевонса. Слуцкий [1] и впоследствии Хикс [1] значительно раз-
вили эту теорию. Исследование Слуцкого опирается на существование
функции полезности, используемой при выводе соотношений Слуцкого,
которым удовлетворяют функции спроса (см. теорему 8.6.1). Мак-Кензи [1]
вывел те же заключения, не используя функцию полезности. Наше
доказательство является видоизменением доказательства Мак-Кензи. Понятие
слабого принципа выявленного предпочтения было введено Самуэльсоном [2];
он показал также, что справедливость этого принципа вытекает из суще-
ствования функции спроса, индуцированной функцией полезности.

Хаутэккер [1] показал, что сильная аксиома выявленного предпочтения
эквивалентна существованию функции полезности.

Аксиоматический подход к исследованию отношений предпочтения был
развит в работе Удзавы [1]. Он установил взаимно-однозначное соответствие
между отношением предпочтения, индуцированным сильной аксиомой вы-
явленного предпочтения, и общим отношением предпочтения, удовлетворяю-
щим постулатам Р1 — Р5. Наше рассмотрение в этом пункте близко к тому,
которое дал в своей статье Удзава ’)•

8.7.	Основные современные продвижения в исследовании моделей равно-
весия связаны с именами Вальраса, Вальда, Мак-Кензи, Эрроу и Дебре.
Вальрасу [1] принадлежит первое подробное описание явления равновесия
(см. комментарии к п. 8.1). Впоследствии Вальд [8] провел подробное ма-
тематическое исследование уравнений Вальраса и установил существование
и единственность решения этих уравнений при целом ряде условий. Нако-
нец, Эрроу и Дебре [1] и Мак-Кензи независимо сформулировали общие
модели равновесия и доказали существование конкурентного равновесия.
Ни одна из этих трех моделей (Вальраса — Вальда, Мак-Кензи и Эрроу —
Дебре) не содержит ни одну из других как частный случай; скорее, все три
модели следует считать различными вариантами описания равновесия в эко-
номике с конкуренцией. Другие исследования этих же моделей и других
вариантов равновесия независимо проводили Гейл, Мак-Кензи и Удзава.

Утверждения теорем 8.7.1—8.7.3 были обнаружены Гейлом [1]. При-
водимые здесь доказательства кажутся нам более непосредственными.

Наш анализ уравнений Вальда, сочетающий теорему Какутани и теорему
двойственности линейного программирования, следует статье Куна [4].

8.8.	Приводимая здесь модель, не считая некоторых небольших измене-
ний, принадлежит Эрроу и Дебре. Доказательства в этом пункте, по-види-
мому, являются новыми и более простыми, чем первоначальные доказатель-
ства, хотя необходимо отметить, что формулировка Эрроу — Дебре является
несколько более общей и, несомненно, более реалистичной.

Лемма 8.8.1 была установлена Гейлом [1], использовавшим при ее до-
казательстве теорему Кнастера — Марцинкевича о неподвижной точке. Не-
посредственное применение теоремы Какутани позволяет существенно упро-
стить доказательство.

*) В связи с результатами этого пункта см. работы Африата [1], Сан-
са [1], Хаутэкера [4], Чипмэна [1], Шенфельда [1].—Прим, ред.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ИЗУЧЕНИИ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

В этой главе мы изучим вопросы экономики благосостояния,
устойчивости равновесных систем векторов цен и теории сбаланси-
рованного роста.

Модели равновесия по существу являются дескриптивными,
а не нормативными; их роль заключается попросту в описании
(по возможности, наиболее точном) взаимодействий между спросом,
предложением и ценами в экономике с конкуренцией. Напротив,
теория экономики благосостояния является, по существу, норматив-
ной; она ставит своей задачей нахождение векторов производства
и потребления, дающих оптимальные результаты с определенной
точки зрения, — именно, сточки зрения потребителя. Теория равно-
весия рассматривает вещи, как они есть1), теория благосостояния —
вещи, какими они могли бы стать.

Целью экономики благосостояния является система, в которой
все потребители равномерно достигают максимума своей полезности.
Если мы рассматриваем систему, в которой участвует более одного
потребителя, то это случается довольно редко. В этом случае мы ха-
рактеризуем вид для всех эффективных векторов потребления, ко-
торые назначаются таким образом, что ни один потребитель не мо-
жет увеличить свою полезность, не ущемляя при этом интересов
других потребителей. Это понятие известно под названием оптимума
Парето. Конечно, всякая программа потребления должна формули-
роваться в терминах оптимума Парето. Однако так как существует
множество оптимальных по Парето векторов потребления, то для вы-
деления конкретной оптимальной системы векторов потребления сле-
дует наложить дальнейшие условия. Одно из таких условий указы-
вается в п. 9.1.

Математическим аппаратом теории экономики благосостояния яв-
ляется в основном некоторое нетривиальное приложение векторной
задачи максимизации из нелинейного программирования (см. п. 7.4).
Связи экономики благосостояния с теорией равновесия выявляются
также в п. 9.1.

') В рамках определенной модели, разумеется. — Прим. ред.
В остальной части этой главы мы рассматриваем различные ди-
намические задачи математической экономики. В п. 9.2 мы форму-
лируем несколько вариантов процесса реагирования цен на изменения
от периода к периоду функций избыточного спроса (т. е. изменения
в размерах превышения суммарного спроса над суммарным предло-
жением). Функции избыточного спроса сами являются функциями цен
предыдущего периода. Для равновесного вектора цен функции из-
быточного спроса, по существу, равны нулю.

Если время считается непрерывным, то процесс регулирования
цен описывается системой дифференциальных уравнений. Задача вы-
яснения устойчивости этого процесса по сути дела заключается
в определении условий, заставляющих вектор цен (как функций вре-
мени) при возрастании времени сходиться к равновесному вектору
цен. Говоря математически, задача состоит в нахождении критериев,
обеспечивающих устойчивость решений некоторой специальной си-
стемы дифференциальных (или, в зависимости от модели, разностных)
уравнений.

Природа этих критериев зависит от экономических соображений.
Например, понятия „валовых заменителей* и „валовых дополнений*
(см. стр. 355 и 358) приводят к естественным условиям, которым
удовлетворяют функции избыточного спроса; помимо других вещей,
они позволяют нам проводить попарное разбиение товаров в зависи-
мости от того, как влияют повышения цены одного товара на спрос
на другие товары. Математический аппарат, применяемый при изуче-
нии понятия валовых заменителей, включает в себя некоторые ин-
тригующие соотношения для особого рода векторных полей функ-
ций (см., в частности, п. 9.4). Другим содержательным экономическим
понятием, из которого следует устойчивость процесса регулирования
цен, является принцип выявленного предпочтения.

В п. 9.2—9.5 мы исследуем устойчивость дифференциальных
уравнений процесса регулирования цен при различных условиях.
В п. 9.6 рассматривается разностный вариант этого же процесса.
В п. 9.7 и 9.8 изучаются вопросы теории локальной устойчивости
процесса регулирования, если функции избыточного спроса зависят
не только от текущих цен, но и от так называемых „цен, ожидае-
мых в будущем*. Сравниваются два варианта устойчивости (с уче-
том влияния цен, ожидаемых в будущем, и без такого учета).

В п. 9.9 и 9.10 рассмотрены динамические процессы иного рода,
а именно рост производства и потребления в последовательные пе-
риоды времени. Одно из фундаментальных следствий показывает,
что при соответствующих предположениях темп роста равен про-
центу на капитал. В п. 9.9 мы описываем классическую модель расши-
ряющейся экономики, предложенную фон Нейманом. Заключительный
пункт содержит изложение обобщения этой модели и исследование
одного из ее частных случаев — динамической модели Леонтьева.
9. Г. Экономика благосостояния. Дескриптивное изучение эко-
номики можно охарактеризовать главным образом при помощи явле-
ния равновесия. Состояние равновесия — это такое положение, когда
при заданном наборе цен ни один потребитель не может приобрести
больше без дополнительных затрат и ни один производитель не мо-
жет добиться большей прибыли. Изучение экономики благосостояния
связано в основном с проблемой описания тех состояний экономики,
когда ни один потребитель не может стать богаче, не обедняя при
этом другого.

Обратимся теперь к детальному исследованию теории благосо-
стояния. Наборы товаров мы будем представлять r-мерными векторами.
Каждому потребителю Z (Z = 1, 2, . . ., т) соответствует множество
векторов потребления из Ег и функция-индикатор полезности £/z(xz),
определенная для	и характеризующая шкалу предпочтений

f-го потребителя. [Мы предполагаем, что индуцируемое функцией £/z(xz)
отношение предпочтения удовлетворяет всем обычным свойствам,
перечисленным в п. 8.6. Далее мы для удобства изложения предпо-
ложим, что t/z(xz) есть строго вогнутая функция для xz£Xz.] Эко-
номика достигает совершенства, когда все потребители могут одно-
временно добиться максимума своей функции полезности. Мы увидим,
что уравнения конкурентной экономики, вообще говоря, не обла-
дают решениями, позволяющими каждому потребителю достигнуть
максимальной полезности.

Говорят, что система векторов (xj (xz£Xz) образует оптимум
Парето, если а) эта система допустима (см. ниже) и б) не суще-
ствует другой системы векторов {x^J (х'£ Х^, для которой

(xz) > Ui (х;) (Z = 1. .. ., т),

причем хотя бы для одного потребителя имеет место строгое нера-
венство. (Это понятие, по существу, совпадает с понятием допусти-
мости в статистике.)

В этом пункте мы преследуем двоякую цель: во-первых, оха-
рактеризовать все оптимальные по Парето системы векторов потреб-
ления и, во-вторых, изучить соотношение между данным оптиму-
мом Парето и существованием конкурентного равновесия (см. п. 8.8).

В заключение пункта мы вкратце рассмотрим задачу выбора оп-
тимальной по Парето системы векторов из множества всех таких
эффективных векторных систем.

Рассмотрим сначала вопрос о том, когда оптимум Парето яв-
ляется конкурентным равновесием, и обратно.

Случай одного потребителя. Пусть К;(/х±=1, 2,..., п)—
подмножество пространства Ег, представляющее множество возможных
векторов производства фирмы у. Очевидно,
п

Y=^Yi

образует множество векторов суммарного производства для всей
экономики.

Пусть X (лежащее в положительном ортанте Ег) представляет
множество потребления, доступное нашему потребителю, а через
U (х) обозначена его функция полезности (которую мы будем пред-
полагать строго вогнутой). Предполагается, что множество суммар-
ного производства выпукло и компактно. Потребитель стремится
выбрать вектор х*£Х таким образом, чтобы иметь

U (х*) = max U (х),

где максимум распространен на все те х£Х, для которых суще-
ствуют такие векторы у , что х^у.

Любой вектор х£Х, для которого существует такой вектор
у£К, что у >х. мы будем называть допустимым, или возмож-
ным. Иными словами, потребитель, выбирая допустимый вектор,
максимизирует свою функцию полезности, действуя при этом с уче-
том имеющихся технологических возможностей.

Из-за компактности Y ясно, что область допустимых векторов
х(х^у) также компактна, и, следовательно, операция шах(7(х),
распространенная лишь на допустимые векторы потребления, вполне
определена.

Мы наложим также следующие условия.

Предположение I. Существуют векторы х°£А” и у°£И,
для которых у0 — х° > 0.

Предположение II. Для каждого х£X существует такой
вектор х' £ X, что U (х') > U (х).

Предположение II устанавливает, что если отвлечься от бюджет-
ных ограничений и допустимости, то не существует вектора потреб-
ления, который являлся бы точкой насыщения (см. стр. 329).

Задачу определения оптимального вектора потребления можно
свести к задаче вогнутого программирования. Это делается следую-
щим образом.

Для пары {х, у} (точки из произведения X X Ю положим
g(x, y)=t/(x).

Пусть через F (х, у) = (у!— х1( у2 — х2.. уг — хг) обозначена

векторная система функций, определенных повсюду на произведении
Er X Ег- В этих обозначениях задача выбора вектора потребления
с максимальной полезностью превращается в задачу нахождения

max g (х, у) = max U (х)	(9.1.1)

при условиях

F(x, у)^0 (х£Х, у£К).	(9.1.2)

Определение конкурентного равновесия в случае одного потребителя
выглядит следующим образом: система векторов {р*, х*, у*}, где
у* С У, х*£А\ а р* — вектор относительных цен, подчиненный ус-
ловиям

i = 1

образует конкурентное равновесие, если

[J(x*) = maxt/(x),	(9.1.3)

х£Х

где X = {x|x£X, (р*. x)=S(p*. У*)}.

(р*. у*) = max (р*, у)	(9.1.4)

И

X* у*, (р*, х* — у*) = 0.	(9.1.5)

Основным результатом, связывающим понятия конкурентного рав-
новесия и потребления с максимальной полезностью, является

к Теорема 9.1.1. Пусть выполнены предположения I и II.
Для того чтобы вектор х* максимизировал U (х) среди всех
допустимых векторов, необходимо и достаточно существова-
ние вектора у*СУ и вектора цен р*, при которых {р*, х*, у*}
образует конкурентное равновесие.

Доказательство этой теоремы является приложением тео-
ремы 7.1.1. Пусть х* максимизирует U (х) по всем допустимым век-
торам. Выберем любой вектор у* С К, для которого у*>х*. Тогда
пара {х*, у*} является решением задачи (9.1.1) — (9.1.2). Кроме того,
предположение I гарантирует нам выполнение дополнительного усло-
вия теоремы 7.1.1. Следовательно, в силу этой теоремы форма
Лагранжа

<Р(Х. у; u) = g(x, y) + (u, F(x, у)) = <7(х)-Н(и, F(x, у)),
где {х, у} пробегает произведение X X а uSgO, имеет седловую
точку (х*, у*; и0}, для которой

t/(x) + (u°. F(x, y))=st/(x*)-|- (u°. F(x*. У*))=2

-s U (x*) + (u, F (x*. y*))	(9.1.6)
при всех {х,	и и>0. Далее, та же теорема показы-

вает, что

F(x*, у*)^0, (u°, F(x*, у*)) = 0.	(9.1.7)

Теперь мы заключаем, что и°>0, так как в противном случае
левое неравенство в (9.1.6) противоречило бы предположению II.
Положим р* = Хи°, где

Установим теперь, что тройка [х*, у*; р*} образует конкурентное
равновесие. Отметим, во-первых, что из (9.1.7) следует (9.1.5).
Так как

(u°, F (х, у)) = j- [(р*. у) — (р*, х)],

мы находим из (9.1.7) и левого неравенства (9.1.6), что U (х*)^±

U (х) в согласии с (9.1.3). Используя снова левое неравенство
(9,1.6) для конкретного выбора (х, у] = {х*, у} при произвольном
у £ Г, мы приходим к неравенству

(u°, у)=^(и°, у*),

эквивалентному (9.1.4). Первая половина теоремы теперь доказана.

Обратно, предположим, что {р*, х*, у*} определяет конкурентное
равновесие в смысле 9.1.3—9.1.5. Мы должны доказать, что £/(х*) =
= max U (х), где максимум взят по всем допустимым векторам х.
Ясно, что для любого допустимого х существует некоторый у £ К,
такой, что у^х. Следовательно, (р*, у)^ (р*, х). Кроме того,
(р*, у*)> (р*, х) в силу (9.1.4); поэтому, согласно (9.1.3), U (х*)>
(х), что и требовалось. Это завершает доказательство.

Случай многих потребителей. Пусть Х^ЕГ представляет
собой множество потребления для потребителя £ (Z = 1, 2,..., /п),
и пусть

т

i = \

обозначает множество суммарного потребления для всех потребите-
лей. Упорядочение предпочтения для потребителя I описывается
строго вогнутой функцией полезности C/z(xz). Предполагается, что
все множества Xt лежат в неотрицательном ортанте пространства Ег,
выпуклы и замкнуты. Положение с векторами производственных воз-
можностей здесь то же, что и в случае одного потребителя.

Мы снова хотим найти условия того, чтобы оптимум Парето был
элементом конкурентного равновесия. Будем говорить, что система
векторов (хр х*. ..., х^; у*, у£, ..у*; р*} образует конкурентное
равновесие, если р* представляет собой вектор относительных цен,
для которого

п

4 = 1

и данная система удовлетворяет условиям

(р*. У*) = max (р*. уу),	(9.1.8)

Yj

(9.1.9)

где ’)

п

О== 2 "«(₽• у})).

7 = 1

И

х* у*, (р*, х* — у*) = О,	(9.1.10)

где

т	п

х*=24 у*=2у>

4=1	/=1

Задачу характеризации оптимумов Парето мы можем сформули-
ровать в виде векторной задачи максимизации в смысле теоремы

7.4.1. Именно определим для любого набора {хр ..хш; yj......yj

(xz g Xit уу £ Yj) вектор-функцию

G(xj.....xm; У1.....y„)={(/z(Xz)}=U(x).	(9.1.11)

Пусть

F (xi...xm; У1......y„) = у — x.	(9.1.12)

где
т	п

х = 2 х<- у = 2 Уг

t=i	j=i

В соответствии с терминологией параграфа 7.4 характеризация
оптимумов Парето эквивалентна характеризации всех эффективных
точек функции U (х) при условиях F>0. XZ£XZ, уу£Уу.

!) Величина aZy представляет собой долю прибыли, которая выделяется
ьму потребителю. Предполагается, что она удовлетворяет условиям

аЦ == 0, 2 aij = 1, / = 1, 2,..., п.

4=1

Полная экономическая интерпретация величин aZy дана в п. 8.8.
Предположения I и II снова предполагаются выполненными, при-
чем второе из них естественным образом обобщено на каждую ком-
поненту U L.

Соотношения между оптимальными по Парето системами векто-
ров и конкурентным равновесием выводятся из утверждений тео-
ремы 7.4.1. В следующей теореме эти соотношения формулируются
более точно.

► Теорема 9.1.2. Пусть выполнены предположения I и II.
Пусть

{4 *2....<„}

— такой оптимум Парето, что если у*^х*, то для любого lQ
существует такая система векторов потребления {xz}, что
xz = xt, Z=/=Z0, и существует некоторый вектор	для

которого у — х > 0. Тогда существуют такие векторы у*,
у*....у* (У*€^у), вектор цен р* и матрица

2^=1.	/=1.....п,

что система

{4 *2........у;«	Уг...у*п> р‘- а;я

образует конкурентное равновесие.

Доказательство. Пусть {х*, .... х^}—оптимум Парето,
а у*, у* — элементы из соответствующих множеств Yj. дающие
элемент
п

у*=2у>.

/=1 1

который выбирается таким образом, чтобы

у*^х*= 2 X*.

/=.1

Очевидно, {х*. .... х^} является эффективной точкой функции Q
[см. (9.1.11)] среди всех векторов xz, у;-, удовлетворяющих огра-
ничениям F = y — х^О, xz£Xz, У^Ур Условие теоремы 7.4.1
выполнено в силу предположения I. Согласно этой теореме, суще-
ствуют такие векторы u°^0, v°^0, что

(v°, U(x)) + (u°, у —x)^(v°, U(x*)) + (u°, у* —х*)^

(v°, U (х*)) + (и, у* — х*)	(9.1.13)
для всех и^О и xz£Xp Уу£Ку. Так как у*^х*, мы заключаем
из правого неравенства, что (и0, у*—х*) = 0 (см. доказательство
теоремы 7.1.1). Отметим далее, что и°>0, так как в случае и° = 0
и v°>0 левое неравенство было бы несовместимо с предположе-
нием II. Покажем, наконец, что v° > 0. В самом деле, предположим
противное: пусть v°. = 0. Тогда в левом неравенстве мы можем
взять xz = x* для Z =jM0 (это обеспечивается условием теоремы) так,
что х < у. Подставляя выбранные таким образом х и у в (9.1.13),
мы легко убеждаемся, что левое неравенство нарушается.

Положим

р* = -у--U0,

и а*. = аг где

‘	(Р*. У*)

Отметим, что
т
S ai —
/ = 1

так как

Д(р*. х*) = (р‘, у*), (р*. xz)s=0.

Теперь мы подготовлены к доказательству того, что система

{4 X*...х- у;. У*...., у-р*.

образует конкурентное равновесие.

Соотношения (9.1.10) немедленно следуют из того, что

У*^х*, (и0, у* —х*) = 0.

Положим, далее, xz = x* для всех I и у. = у*. для j =£ /0. Тогда
левое неравенство (9.1.13) даст нам

(ио, Уув)<(ио, у;о),

откуда из-за произвольности /0 вытекает (9.1.8). Наконец, положим
у У = у у для всех / и х. = х* для I выберем х/о £ X (см. (9.1.9)).
Тогда левое неравенство (9.1.13) сведется к неравенству

«W.w+C?.у‘“<9Л-14>
Теперь х* £ X t по построению а*^. Тогда
(р*. х*)=а.(р*, у*),
(р*. х.о)<а(.о(р*. у*).

Складывая эти соотношения, мы получаем
(р\ х)<(р*. у*).

Отсюда и из того, что ^>0, мы выводим неравенство

<t/.o(x*J для х/о^Х.о> т. е. получаем утверждение (9.1.9). Это
завершает доказательство теоремы.

Перейдем теперь к обратной теореме.

► Т е о р е м а 9.1.3. Если

|Х1’ Х2...Х,п> Ур У2....У/г’ Р ’ а/Я

есть конкурентное равновесие, то {х*,	....x*J предста-

вляет собой оптимум Парето.

Доказательство. Предположим противное: пусть существует
допустимая система векторов {х'|, для которой Ut (х-)^

I — 1, .... т, со строгим неравенством по крайней мере для одного I.
Упорядочим индексы таким образом, чтобы

х' = х*, Z=1.......5;	х'. =£ х*, l = s-\- 1, ..т.

Очевидно, что 5 < т, так как, согласно предположенному, xz доми-
нируют х* в смысле полезности. Из строгой вогнутости Ut следует,
что для векторов

x. = Zx'-]-(l—Z)x*, Z=l,	0<Z<l,

будет

i = s-{-l.....т.

Кроме того, векторы xz допустимы, и, следовательно, существует
такой вектор у, что

y = Sy/^x=2xz.
j = 1	i = 1

Поэтому (р*, у)>(р*, х) и, согласно (9.1.8),

(р*, у*)^(р*, £).	(9.1.15)
Принимая во внимание, что х. = х* для /=1,	а также

неравенство (9.1.15), мы видим, что существует такой индекс
Zd(5~P 1	для которого	,

п

(₽•	у-;).

Однако ^/0(х/0)> ^Л0(х/0)’ что противоречит (9.1.9). Теорема доказана.

Теперь, когда мы, по существу, охарактеризовали, оптимальные
по Парето системы векторов потребления, остается задача выделения
конкретного оптимума Парето. Для этого необходимо установить
некоторые дальнейшие критерии. Один из них, известный под назва-
нием принципа справедливости, заключается в назначении равных
весов	и в определении таких xz£Xz, при которых сумма

* т

достигает максимума, причем xz подчинены ограничениям xz£Xz и
существует такой вектор у £ У, для которого

т

Х= 3 Х/ёу.

i = 1

Получаемые таким образом векторы х*........х^, очевидно, образуют

оптимум Парето. Экономические преимущества такого процесса
выбора были убедительно доказаны, в частности, Эджвортом и
Маршаллом.

Вообще выбор оптимума Парето представляет собой весьма
сложную проблему, очень близкую к задаче оправданного выбора
некоторой допустимой статистической процедуры из полного класса
таких процедур.

9.2. Устойчивость конкурентного равновесия. В предыдущей
главе и в предшествующем параграфе мы занимались в основном
исследованием существования, единственности и оптимальности кон-
курентного равновесия. Эти понятия являются статическими. Не мень-
шую важность имеет динамика процесса равновесия и, в частности,
понятие устойчивости. В этом параграфе мы опишем формальную
динамическую модель, характеристики которой отражают сущность
процесса конкуренции, и исследуем устойчивость этой модели в свете
определенных предположений, касающихся либо свойств индивидуаль-
ных производственных единиц, либо совокупных функций избыточ-
ного спроса.
Для начала предположим, как и выше, что имеются т потребителей
с допустимыми множествами потребления Xia.Er+x (I — \.....tri)1).

Потребитель I стремится выбрать допустимый вектор потребления
xz£Xz, максимизирующий его функцию полезности (см. стр. 312).
m

Пусть х = 2 х/ обозначает совокупный вектор потребления.
i = i

Пусть через Y обозначен совокупный производственный сектор
наборов товаров из Ет+\ Каждая из производственных единиц (фирм)
стремится организовать производство таким образом, чтобы макси-
мизировать свои прибыли. Следовательно, всякому вектору цен
р = (р0,	.... рг) набора товаров соответствует совокупный вектор

спроса х (р) и совокупный вектор производства у (р), подчиненные
соответственно условиям (Б) и (В) (см. стр. 330) и обладающие
требуемыми свойствами максимальности. При обычных условиях,
лежащих в основе равновесия (в первую очередь наличие ненасыщен-
ного спроса), мы имеем для любого вектора цен р

(р, х(р) — у(р))=5=(р, F(p)) = 0.	(9.2.1)

Что касается вывода соотношения (9.2.1), то читатель может обра-
титься к стр. 333. Мы будем называть F(p) совокупной функцией
избыточного спроса для данного вектора р. Вектор избыточного
спроса для Z-ro потребителя будет обозначаться через Fz(p), при этом

m

f(p) = Sfz(p).

1 = 1

Из тех же соображений вытекает, что (р, Fz(p)) = 0.

В дальнейшем мы будем повсюду предполагать функцию F (р)
непрерывно-дифференцируемой и однозначной при р>0. Соотноше-
ние (9.2.1) известно в классической экономической теории под на-
званием закона Вальраса. Подчеркнем, что он действует универсально,
независимо от того, какие цены имеют место на рынке.

Далее, равновесный вектор цен р* характеризуется тем свой-
ством, что

F(p*)^0.	(9.2.2)

Это обеспечивает возможность достижения вектора потребления х(р*)
при помощи вектора производства у(р*).

Для математического удобства и для более легкого уяснения
динамического процесса регулирования цен мы в дальнейшем будем
предполагать, что существует строго положительный равновесный

Ч Мы рассматриваем (г-}-1)“меРные векторы товаров вместо г-мерных,
имея в виду отождествление, их нулевых компонент с денежной стоимостью,
если последнюю важно отличать от остальных.
вектор цен р*, т. е. что р* > 0. В силу (9.2.1) и (9.2.2) отсюда
следует, что F (р*) = 0.

Мы будем также предполагать, что функция избыточного спроса
F(P)— положительно однородная нулевой степени, т. е.

F(kp0, Хрр .... X/>f) = F(/>0, Pi..Pr). >>>0.	(9.2.3)

Этим выражено естественное предположение о том, что на флуктуа-
ции функции избыточного спроса существенное влияние оказывают
лишь относительные цены различных товаров.

Теперь мы можем предложить динамическую модель, описываю-
щую приспособление цен во времени к вариациям спроса и предложе-
ния в экономической системе с конкуренцией.

Одна такая динамическая модель основана на системе дифферен-
циальных уравнений

dpj

-dT^FjtPv Pv ' • •• Pr\ 7 = 0,1,....г	(9.2.4)

или в векторной записи

-^- = F(p).	(9.2.5)

Цена некоторого товара в такой системе повышается или пони-
жается в зависимости от того, будет ли избыточный спрос на этот
товар положителен или отрицателен. Скорость этого* повышения или
понижения пропорциональна размеру избыточного спроса или избы-
точного предложения по каждому товару. Это привлекательное
функциональное соотношение между спросом, предложением и ценами
часто постулируется; оно дает наиболее простую и непосредственную
характеристику процесса регулирования цен.

Подходящим выбором единиц измерения для каждого товара мы
можем придать уравнениям (9.2.4) вид

dpJ

~iir = kfp 7 = о. i..........'

с произвольными положительными коэффициентами пропорциональ-
ности kj. Таким образом, сделанное нами предположение kj = 1 не
нарушает общности.

Аналогом динамической системы (9.2.4) в случае дискретного
времени будет

py(/+l) = py(/) + pFy(p0W.......Л(Ц), / = 0, 1,..., г. (9.2.6)

Имея в виду экономическую интерпретацию модели, необходимо
в целях адекватности наложить в (9.2.5) и (9.2.6) некоторые условия,
обеспечивающие неотрицательность вектора р(/) при всех /.

23 Зак. 1789
В случае дискретного времени мы заменим (9.2.6) системой
уравнений

р(/4-1) = шах [0, p(O+pF(p(O)l.	(9.2.7)

которая обеспечивает положительность р(/) при всех t и по-прежнему
отражает динамику процесса регулирования цен. Исследование си-
стемы вида (9.2.7) мы отложим до п. 9.6.

В случае непрерывного времени мы не будем заботиться о про-
верке положительности вектора р(/) во все моменты времени. Само-
стоятельный читатель сможет провести эту проверку без особых
затруднений.

Мы будем изучать устойчивость для двух процессов, возникающих
из системы (9.2.5): для нормированного процесса регулирования цен
и для ненормированного процесса регулирования цен. В нормирован-
ном процессе выделяется один из товаров (скажем, нулевой), и век-
тор цен нормируется так, что q = (l, qv . .., qr\ Этот выделенный
товар часто понимается как деньги !). Динамику для нормированного
процесса мы будем рассматривать в терминах относительных цен
qj — p.[pQ (/=1, .... г). Сейчас мы переформулируем процесс
регулирования цен, снова постулируя, что он описывается системой
дифференциальных уравнений

dq.

~/ = <W	(9.2.8)

где Oy(q) = /77 (1, qv . . ., qr)> a Fj имеет тот же смысл, что и прежде.

В ненормированном процессе все товары предполагаются равно-
правными, а динамика его описывается системой (9.2.5).

Мы установим критерии устойчивости одновременно для норми-
рованных и ненормированных процессов. С математической точки
зрения ненормированный процесс усложняется множественностью
равновесных векторов цен, так как если р* есть точка равновесия,
то все точки луча Хр* (X > 0) также будут точками равновесия. Однако
с экономической точки зрения эта модель более привлекательна
ввиду своей полной симметрии. Во многих специфических ситуациях
более содержательным будет нормированный процесс (особенно в тех
случаях, когда товар „деньги" не является свободным товаром и
поэтому может быть выделен в качестве измерителя стоимости).

Решение системы (9.2.5) будет обозначаться через р(/) = ф(/, р°),
где р° — начальный вектор цен. Далее мы будем предполагать, что
функции избыточного спроса F;(p) достаточно гладки. В результате

9 В оригинале numeraire (термин Вальраса). В буржуазной политической
экономии этим термином обозначается произвольно выделенный товар, слу-
жащий масштабом при сопоставлении стоимости остальных товаров. — Прим,
перев.
начальный вектор цен р° единственным образом определяет решение
ф(Л р°), которое непрерывно зависит от р°. Решение системы (9.2.8)
мы обозначим через q (f) = ср (/, q°). Здесь мы сделаем аналогячные
предположения относительно единственности и непрерывности реше-
ний. Очевидно, всякий строго положительный равновесный вектор

Р*(О = ф('. р*) = р*

есть решение типа неподвижной точки. Имея это в виду, мы можем
сформулировать основную проблему, изучаемую в п. 9.2—9.5, сле-
дующим образом: нужно определить критерии сходимости любого
решения ф(/, р°) системы (9.2.5) или решения ср(^, q°) системы (9.2.8)
к равновесному вектору.

Явления устойчивости можно изучать на двух уровнях. Вс-первых,
можно определять условия локальной устойчивости, т. е. условия,
обеспечивающие сходимость к равновесному вектору р* при доста-
точно близком к р* начальном векторе цен р°. Во-вторых, — что
более важно — мы можем пытаться найти условия глобальной устой-
чивости, т. е. условия, обеспечивающие сходимость к равновесному
вектору цен безотносительно к начальному вектору цен р°.

Теперь представляется целесообразным подвести итоги и кратко
обсудить интерпретацию различных условий устойчивости, откладывая
детальное рассмотрение до последующих параграфов.

Пусть

A<p>=IW '’7=0'1..............г' В(ч,=1<1- ‘J=>.............г-

J	(9.2.9)

Будем говорить, что для ненормированного процесса имеет место
валовая заменимость (строгая валовая заменимость), если
при всех i =£ j

Аналогичное определение применимо и к нормированному про-
цессу. Соотношение (9.2.10) обладает свойством валовой заменимости
при всех р тогда и только тогда, когда А(р) есть 7И-матрица (см.
стр. 299). Экономическое истолкование этого свойства заключается
в следующем. Если цена у-го товара повышается, в то время как
цены других товаров остаются неизменными, то можно ожидать
увеличения спроса на все остальные товары и, следовательно,
(9.2.10) будет справедливо. Товары, между которыми установлено
такого рода соотношение, называются „заменителями". Это соотноше-
ние справедливо не всегда: так, например, если цена на масло повы-
шается, то вполне может случиться, что спрос на хлеб упадет,
поскольку многие не в состоянии представить себе хлеб без масла,
Тем не менее исследование процесса регулирования цен в усло-
виях валовой заменимости представляет определенный интерес. Осо-
бенно интересна основная теорема п. 9.4, утверждающая, что если
для нормированного или ненормированного процесса имеет место
строгая валовая заменимость и р* — строго положительный равновес-
ный вектор, то процесс глобально устойчив.

Другое предложение, представляющее известный экономический
интерес, заключается в том, что нормированный процесс (9.2.8)
глобально устойчив, если B(q) — вещественная отрицательно квази-
определенная матрица. (Вещественная матрица С называется отрица-
т

тельно квазиопределенной, если матрица С-|-С отрицательно опре-
деленная.)

Отрицательная квазиопределенность матрицы B(q) тесно свя-
зана с понятием выявленного предпочтения [см. п. 8.6 и соотноше-
ние (8.6.7)].

Другие результаты, относящиеся к устойчивости, подробно изла-
гаются в следующем пункте.

9.3. Локальная устойчивость. Нормированный процесс. При
изучении локальной устойчивости мы можем заменить систему (9.2.8)
системой линейных дифференциальных уравнений. Именно, разлагая
правую часть системы (9.2.8) в окрестности точки равновесия q = q*
(в этом параграфе, если явно не оговаривается обратное, мы пред-
полагаем вектор q* строго положительным), мы получаем

-dV4*- = -S’ G (Я*) + В (я*) (Я - Я’) = В (q*) (q - q*), (9.3.1)
где

Локальная устойчивость для системы (9.2.8), очевидно, равносильна
устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений

d.7

-^ = Cz,	(9.3.2)

где C = B(q*); последнее в этих обстоятельствах сводится к утвер-
ждению о сходимости всех решений к нулю. Очевидно, система (9.3.2)
будет устойчивой в том и только в том случае, когда все характе-
ристические корни матрицы С будут иметь отрицательные веществен-
ные части, так как каждое решение системы (9.3.2) выражается
в виде линейной комбинации экспоненциальных функций где

—собственные числа матрицы С. Матрица С, все собственные
числа которой имеют отрицательные вещественные части, называется
устойчивой.
Теперь мы укажем ряд условий локальной устойчивости. Все
вводимые нами предположения имеют в какой-то мере экономиче-
ский смысл.

> Теорема 9.3.1. Если B(q*) есть M-матрица и либо
a) det В (q*) ¥= 0 и dGQ/dqi > 0, либо б) dGJdqi > О (Z = 1, 2, . . ., г),
то нормированный процесс регулирования (9.2.8) локально
устойчив.

(Как уже отмечалось, первое условие равносильно утверждению
о том, что нормированный процесс локально (в точке q*) обладает
свойством валовой заменимости.)

Доказательство. Дифференцируя закон Вальраса [уравне-
ние (9.2.1)] в точке q*, мы получаем

dOo(q’) • у

~di.----~дГ~ =°-	<9-3’3)

1 j * 1	1

Следовательно, по условию нашей теоремы q*C^gO, а, согласно
предположению, q* > 0. Так как С есть М-матрица, достаточно
показать, что а(С)<0, где а (С) = maxReXz (через Xz обозначены
собственные числа матрицы С). Добавляя к С некоторое положитель-
ное кратное единичной матрицы, мы можем предположить, что
матрица D = C + pJ неотрицательна. Тогда

q*D^q*.

Для завершения доказательства теоремы необходимо проверить, что
X0(D)<p, где X0(D)— спектральный радиус матрицы D.

Обозначим через Хо наибольшее положительное собственное число
матрицы D и предположим, что Х0>р,. В случае а) будет Хо > р..
Из данной в следствии 8.2.1 характеризации Хо вытекает существова-
ние вектора х>0, для которого Dx > (Хо — е)х при Хо — е > р. и
достаточно малых е. Но из неравенства q* > 0 следует

x)>(q’D, x) = (q*. Dx) > (Хо — е) (q*. х).

что невозможно.

В случае б), согласно (9.3.3), имеем

q*D < p-q*.

Используя результат следствия (8.2.2), мы заключаем, что X0(D)<p>.
что и требовалось. Доказательство теоремы 9.3.1 завершено.

Другое условие того же рода, обеспечивающее локальную устой-
чивость, заключается в следующем.
► Теорема 9.3.2. Пусть Т = В (q*) + [Я — положительная
матрица, некоторая степень которой строго положительна.
Если dGJdq^Q (Z=l, 2, ...» г), причем хотя бы для одного I
имеет место строгое неравенство, то матрица B(q*) устойчива.

(Отметим, что это условие выполнено, если B(q*) обладает свой’
ством строгой валовой заменимости.)

Доказательство. Из соотношения (9.3.3) и условия теоремы
вытекает, что q*B(q*)<0 и, следовательно, q*T<jiq*. Для неко-
торой степени Т мы будем иметь q*T* < p?q*. Поэтому в силу след-
ствия 8.2.2 спектральный радиус матрицы Т* меньше рА Известный
результат (см. стр. 766) говорит нам, что спектральный радиус ма-
трицы Т лежит внутри круга радиуса р. Отсюда вытекает заклю-
чение теоремы.

В литературе можно найти много других аналитических крите-
риев устойчивости матриц (в качестве типичного результата см. за-
дачу 3).

Здесь мы сосредоточили свое внимание на установлении теорем
об устойчивости /И-матриц из-за естественной привлекательности
понятия „строгих заменителей" и его прозрачных экономических
интерпретаций.

С другой стороны, два товара с индексами I и j называются
дополнительными, если dFJdpj < 0 и dFj/dpt < 0; таковы, напри-
мер, перья и чернила. Если цена на чернила повышается, то спрос
на перья падает, и обратно.

Предположим, что индексы матрицы В (q*) можно разбить на две
такие группы J и F, что для любых двух различных индексов k и kf
из одной группы (J или F)

bkh' 0
И

bk>k^ 0,

а при k из одной группы и kr из другой

bkk’ о
и

bkrk ^0.

Такие матрицы мы будем называть М-матрицами. Для опре-
деленности переставим строки и столбцы матрицы так, чтобы ин-
дексы группы J предшествовали индексам группы F. Очевидно, если
С есть Д4-матрица, то SCS есть М-матрица, где
причем порядок единичной матрицы I равен числу индексов в группе Л
а порядок матрицы — I равен числу индексов в группе J'.

>	Теорема 9.3.3. Пусть B(q*) — М-матрица. Пусть суще-
ствует такой вектор и, что v — Su>0 и SB(q*)u<0. Тогда
матрица B(q*) устойчива.

Доказательство. Так как SS = I, мы имеем

О > SB (q*) u = SB (q*) SSu = Dv,

где D есть M-матрица и v>0. Из результата задачи 15 к гл. 8
вытекает, что матрица D устойчива; поэтому и матрица B(q*), полу-
ченная из D преобразованием подобия, также устойчива (см. также
задачу 4.)

Ненормированный процесс. Устойчивость для ненормированного
процесса следует ийтерпретировать с учетом однородности функций
избыточного спроса Fz(p); как отмечалось ранее, весь луч Г —
= {Хр* | X > 0} состоит из векторов равновесия. В последующем рас-
смотрении локальная устойчивость будет означать, что если р—
вектор цен, лежащий вблизи луча Г, то р (Z) стремится к некоторому
вектору равновесия, расположенному на луче Г.

►	Теорема 9.3.4. Пусть А(р*) — строгая М-матрица (т. е.
а^>0, I Ф J, 1\ 7 = 0. 1...г).	Если р* > 0 — вектор равно-

весия и вектор р достаточно близок к Г={Хр*|Х>0}, mop(t)
стремится к равновесной точке из Г.

Доказательство опирается на следующую лемму.

►	Лемма 9.3.1. В условиях теоремы 9.3.4, если вектор р до-
статочно близок к Г, то

(Р*> F(p)) > 0
для р + Хр*.

Доказательство. Положим /г(0) = (р*, F(р(0))), где р(0) =
= Р* + 0 (р — Р*)‘> мы покажем, что h (0) — h' (0) = 0 и h" (0) > 0,
если только не выполняется равенство р = Хр* для некоторого поло-
жительного X.

Заключение /г(0) = 0 является непосредственным следствием за-
кона Вальраса (9.2.1). Дифференцируя (9.2.1), получаем, так как р*
есть вектор равновесия (F(p*) = O), что h' (0) = 0. Именно

/>' (»)=i />• s	<9-з-4>

i=0	/=0	7
Дифференцируя (9.2.1) по мы получаем

/=0 j

(9.3.5)

При р = р* последнее сводится к равенству р*А(р*) = 0. Используя
это в (9.3.4) и меняя порядок суммирования, получаем, что h' (0) = 0.

Дифференцирование (9.3.4) вместе с прежними преобразованиями
(9.3.5) дает нам

г
h"(Q)=— 2; (Pj-p*)
j, fe=o

dFk (P*)

(9.3.6)



. dpk

что с помощью скалярных произведений можно записать в виде

h" (0) = -(р - р*. [А (р*) + Аг (р*)1 (р - р*)) = - (р - р*. Т (р-р*)).

где Аг, как обычно, обозначает матрицу, транспонированную к А.
Мы уже отмечали, что р*А(р*) = 0. Из однородности функций Ft (р),
которая эквивалентна соотношению Эйлера

/=о

dFj (P)
dpj



следует, в частности, что А (р*)р* = О. Отсюда вытекает соотношение
р*[А(р*)4- Аг (р*)] = р*Т — 0. Но Т представляет собой веществен-
ную симметричную 7Й-матрицу, и так как р* > 0, мы можем, ис-
пользуя свойство б) Л4-матриц, заключить, что любое другое реше-
ние х уравнения хТ = 0 должно быть положительным кратным
вектора р*, а также, что все ненулевые собственные значения ма-
трицы Т отрицательны. Таким образом, матрица Т является отрица-
тельно полуопределенной. Следовательно, если равенство р==Хр* не
имеет места, то /г"(0)>0— снова в силу однородности функций Fz.
Результат леммы 9.3.1 теперь очевиден, если мы в выраже-
нии (р*, F(p)) изменим р* на подходящее Хр*(Х>0) и образуем
тейлоровское разложение относительно Хр*.

Доказательство теоремы 9.3.4. Положим

v ю=41 р - р* I2=4 S ['/ & - Pt]2-

i = 0

где р (/) — ф (Z, р°) и р° достаточно близко к лучу Хр*. Имеем

-^1 = (р(0_р*. F(p(O)) = -(P*. F(p(O))
(второе равенство вытекает из закона Вальраса). Согласно лемме 9.3.1,
если не имеет места равенство р(£) = Хр*, то dV (t)fdt < 0. Так как
функция V (f) убывает, мы можем выбрать предельную точку р для
функции p(f). Если р не лежит на луче Г, то довольно легко прийти
к противоречию. Именно, существует такая последовательность Г —>оо,
что

lim ф(Г\ р°) = р.

V -> ОО

Из непрерывности решений относительно начального вектора выте-
кает, очевидно,

lim ф(Г + ^ Р°) = Ф (А Р)-
V -> ОО

„ dVtf+t)

Далее, ---— стремится к нулю; однако если вектор р не ле-

жит на Г, то

dVtf + i)	dll,,.. ~

Дт -----=	р)_р*|2)<о.

Следовательно, если lim V (/) = #, то все предельные для р(^) точки
лежат на луче Г на расстоянии 2а от р*. Любое р содержит не бо-
лее одной из этих двух точек. Но дифференциальное уравнение (9.2.5)
показывает [с помощью (9.2.1)], что

г	г

ъ (р -0:

/=0	/=0

следовательно,

2 р] (О

/=0

есть постоянная Ь, не зависящая от t Очевидно, р = Хр*.

где

9.4. Глобальная устойчивость процесса регулирования цен.
В этом пункте мы исследуем различные условия, обеспечивающие
устойчивость в целом. Приводимые нами критерии основаны большей
частью на экономических соображениях. Мы сосредоточим наше вни-
мание на ненормированном процессе, динамика которого описывается
системой дифференциальных уравнений (9.2.5).
В этом параграфе мы снова будем предполагать (если только
явно не будет оговариваться противное) справедливость закона Валь-
раса, однородность функций избыточного спроса Fi и строгую поло-
жительность равновесного вектора цен р*. существование которого
постулируется (см. также задачу 13). Следующая лемма окажется
решающей в большинстве наших рассмотрений глобальной устойчи-
вости.

> Лемма 9.4.1. Если (р*. F(p)) > О для всех тех векторов р,
при которых F(p)¥=0, то ненормированный процесс регули-
рования цен глобально устойчив', иначе говоря, при t->oo
решение ф(/, р°) сходится к решению типа неподвижной точки.

Доказав лемму 9.4.1, мы посвятим оставшуюся часть параграфа
установлению естественных условий, обеспечивающих выполнение
условий леммы. В теоремах 9.4.1 и 9.4.2 высказаны два таких
условия.

Литература по глобальной устойчивости систем дифференциальных
уравнений опирается в основном на один основной метод исследова-
ния. Этот метод заключается в введении некоторой подходящей меры
расстояния („нормы") между решением и неподвижной точкой. Если
удается показать, что значения этой нормы строго убывают во вре-
мени, когда расстояние отлично от нуля, то из этого вытекает
устойчивость в целом. Норма, которую мы используем в этой главе,
представляет собой обычное евклидово расстояние. В следующем
параграфе мы используем две другие нормы, подходящие для пред-
ложенных здесь гипотез (см. также заключительные замечания к этой
глав’е). Более общим методом установления устойчивости является
рассмотрение функций У(р(/)), необязательно являющихся нормами,
но обладающих лишь подходящими свойствами сжатия относительно
точек равновесия. Мы используем это понятие на стр. 368—378.

Доказательство леммы 9.4.1. Пусть р° — любой начальный
вектор. Обозначим через р (/) решение системы (9.2.5) с начальным
условием р°; иначе говоря, -р(/) = ф(/, р°). Рассмотрим меру откло-
нения

V (0 = 11 р (0 - Р* I2 = I (р (0 — P*. Р (0 — р*).

Из (9.2.5) следует, что

У' (О = (р (О - р*. F(p(O)) = -(P*, F(p (/)));	(9.4.1)

последнее упрощение следует из применения закона Вальраса. Со-
гласно предположению, У/(^)<0, если только р(/) не удовлетво-
ряет соотношению F(p(/)) = O. Начиная с этого места, доказатель-
ство проводится так же, как и в теореме 9.3.4.
Рассмотрим теперь ряд приложений леммы 9.4.1.

Будем говорить, что совокупные функции избыточного спроса
удовлетворяют слабой аксиоме выявленного предпочтения, если из
соотношений

(р', F (р")- F (р')) = О, F(р") + F (р')	(9.4.2)

следует, что

(р", F(p")-F(p'))<0

(см. также стр. 316).

► Теорема 9.4; 1. Если функции избыточного спроса удо-
влетворяют слабой аксиоме выявленного предпочтения, то
процесс, описываемый системой (9.2.5), глобально устойчив.

Доказательство. Возьмем р" —р* и р' = р. Тогда первое
неравенство в (9.4.2) выполняется в силу закона Вальраса и опре-
деления точки равновесия (F(р*) = 0). Если, далее, вектор р не
является равновесным, то F (р) #= 0 и поэтому второе неравенство (9.4.2)
также выполняется. Следовательно, -(р*. F(p)) < 0, что означает
выполнение условий леммы 9.4.1. Поэтому процесс глобально устой-
чив, и теорема тем самым доказана.

Слабость теоремы 9.4.1 заключается в том, что выполнение
аксиомы выявленного предпочтения обычно можно установить лишь
в окрестности точки равновесия; „в целом" эта аксиома может и
не выполняться. Следующий результат является значительно более
глубоким и не менее привлекательным с экономической точки зрения.

► Теорема 9.4.2. Если функции избыточного спроса внутри
положительного ортанта обладают свойством строгой вало-
вой заменимости, то процесс, описываемый системой (9.2.5),
глобально устойчив. Кроме того, если р* > 0 — вектор равно-
весия, то для всех р=^^р*(Х — вещественное положительное
число} выполняется неравенство (р*, F (р)) > 0.

Замечания по поводу условий теоремы 9.4.2 !). Следует под-
черкнуть, что ограничение, заключающееся в требовании выполнения
свойств строгой валовой заменимости лишь внутри положительного
ортанта, а не во всем (замкнутом) положительном ортанте, является
необходимым. В самом деле, свойства строгой валовой заменимости
и однородности исключают друг друга. Действительно, предположим

!) В задаче 7 указывается, что в условиях теоремы любое решение си-
стемы (9.2.5), подчиненное условию р (0) > 0, необходимо будет иметь
р(0 > 0 для всех t > 0. Таким образом, величина F (р (/)) является вполне
определенной.
364 ГЛ. 9. математические методы в изучении эконом моделей

противное. Пусть функция избыточного спроса F (р) однородна и
обладает свойством строгой валовой заменимости для всех

Р = (Ро> Р\....Pr\ Pl^Q’

включая границу. Возьмем теперь р° —(О, р®, .... p^t где р°^0.
Тогда FQ (Хр°) — F(} (р°) не зависит от X. Но по крайней мере одна
из компонент XpJ, .... Хр® строго возрастает, так что и Fo должна
строго возрастать. Получено противоречие.

Если предполагать выполнение свойства строгой валовой замени-
мости лишь внутри положительного ортанта, то предположения об
однородности, о справедливости закона Вальраса* и свойство строгой
валовой заменимости будут непротиворечивыми.'

Примеры векторных функций F, удовлетворяющих перечисленным
ограничениям, можно построить следующим образом. Положим для
Р>0
г
2 aikPi

Fk^=—Pk >	& = 0, 1, ..., г.	(9.4.3)

Из дальнейших условий aik > 0 для i k и

г

2 aik — О

А = 0

тривиально следует выполнение свойства строгой валовой заменимости
и справедливость закона Вальраса. Однородность функций /^(р)
также ясна непосредственно. Простой частный случай соотноше-
ний (9.4.3) можно получить, полагая aik = 1 для I =£ k и =— г
(Z, £ = 0, 1, .. ., п).

Интересно отметить, что функцию избыточного спроса, имеющую
вид (9.4.3), можно вывести, осуществив надлежащую максимизацию
полезности потребителя. Именно, задача нахождения

U (х*) = max U (х) — шах У a, log (х. + х9 +

при условии

5 PiXt=о.
1=0

легко решаемая обычным методом множителей Лагранжа, приводит
к решению x*(p) = F/(p) вида (9.4.3). (Здесь az — фиксированные
положительные постоянные, а х° > 0 интерпретируется как фикси-
рованный вектор начальных владений каждого потребителя.)

Если в дополнение к условиям теоремы мы потребуем, чтобы
F;(p)->oo при р->р°а^0, где pQ = O, и Fj оставалась в других
случаях конечной, то мы обеспечим существование равновесного
вектора цен р* > 0 (см. задачи 12 и 13 и указания к решению этих
задач на стр. 412—413).

Доказательство теоремы 9.4.2. Мы покажем, что если р =£
Хр*, то

(Р*. F(p))> 0,	(9.4.4)

откуда заключение теоремы следует согласно лемме 9.4.1.
Не умаляя общности, мы можем предположить, что

р* = и* = (1, 1, ..., 1).

Чтобы доказать это, положим

«<(₽) = ",((>«• Рг =	......Р‘М

Уже доказано, что векторная функция Н удовлетворяет всем тем
свойствам, что и F, включая валовую заменимость; но теперь Н(и*) = 0
в силу закона Вальраса и, таким образом, и* — вектор равновесия
для Н. Отметим, наконец, что (и*, Н(р))>0 при р =£ Хи* тогда и
только тогда, когда (р*, F(p))>0 при р Ф Хр*.

В этом месте нам удобно вернуться к нашим старым обозначениям,
содержащим векторную функцию F и вектор равновесия р* =
= (1, 1, .... 1).

Пусть р=(р0,	..., рг) — любой вектор, не являющийся

кратным вектора р*. Не умаляя общности, мы можем перенумеровать
товары таким образом, чтобы



(9.4.5)

Так как р не является кратным р*, то в (9.4.5) должен быть хотя бы
один знак строгого неравенства, скажем < /\+1 для некоторого
0<v<r. Определим теперь последовательность векторов р°, р1, ...
.. ., рг соотношениями

Р° = (А). А> •••> Ро)>

Р’=(А> Pi.......А)>

\	\........................... ч	(9.4.6)

Р — (А> А.......А-p А> А.......А)-

РГ = (А)> А.........А)-

где Pj — компоненты вектора р. Очевидно, рг = р, и вектор р°
является кратным р*. Мы покажем, что

(р*. F(p511) — F(p5))^0, .$ = 0,1....г—I, (9.4.7)
причем для s = v имеет место строгое неравенство. Складывая затем
соотношения (9.4.7) и учитывая, что F(p0) — 0, мы выведем требуе-
мое неравенство (9.4.4).

Остается установить справедливость неравенств (9.4.7). Из пред-
положения строгой валовой заменимости (так как увеличиваются лишь
компоненты с номерами, большими s) следует, что

Л(Р"+1)-Л-(Р5)^0, / = 0.1..... $	(9.4.8)

со строгим неравенством для s — v.

Кроме того, однородность F в сочетании с тем фактом, что
PsIPs+i— 1» показывает, что

г, (P<+1W,(P‘) = (-^р^р,...................-^Р.-	Р,-Р.....Р.)~

— Fj(P0’ Pl.....Ps-i> PS’ Ps> •••• Ps)=S° (9.4.9)

для / = 5+1, ..., г. Это следует из условия строгой валовой за-
менимости в предположении, что F j вычисляется сначала при векторе
цен, у которого первые $+1 компонент не превосходят соответ-
ствующих компонент второго вектора, при котором вычисляется F
а последние г — ($+1) компонент этих векторов совпадают. В не-
равенствах (9.4.9) снова имеет место строгое неравенство при5 = у.

Итерируя (9.4.9) по $ до нуля при фиксированном /, мы полу-
чаем

F;.(р^)<Г7(р^)< .. . < F/(р°) = 0, 7 = ^+1, ...» г (9.4.10)
со строгим неравенством для точки pv (если pv содержится в этой
последовательности).

Рассмотрим произвольный фиксированный индекс 5 и разобьем
каждый (r+1)-мерный вектор на два вектора меньшей длины, один
из которых состоит из первых $+1 компонент исходного вектора,
а второй — из оставшихся компонент. Пусть х — произвольный
(г+1)-мерный вектор; мы будем обозначать соответствующие век-
торы, построенные по только что изложенному правилу, через х#
и х^. Отметим, что

р:+1 = р;	(9.4.11)

и

P^+1 = (^+1)pL= P** + (^+i-^)pL>	<9-4-12)

где р* — вектор подходящего размера с единичными компонентами.
Разбивая выражение (ps+1, F (ps+1)) — (ps, F(ps)) (равное нулю на
основании закона Вальраса) в соответствии с предложенной выше
схемой, мы получаем

о=(₽:+1. w+,)j+(p:.+1’

-(Р/ f<p4)-(p^’ f<₽4.)=

_(р:, F(p-I),-F(p4) + (p:4 F(p-’)J-(pt, F(POJ =

[согласно (9.4.11)]

= (p;, F(p-^_F(p-),)+(p,7'. F(p-«)1>-F(po„) +

+(p.t. - ₽.)(₽: Fn.)=

[в силу (9.4.12), после преобразований]

= (₽•• F(p‘+i)*-F(p‘)J + p^(p\ F(p^1)^-F(pOJ +

+ (^+1~/>Ж’ F<PS)J^

[no (9.4,12)]

=^+1(p*. F(p^*)-F(p^)) + (pJ+1-Pi)(p\ F(p*)J

[из-за (9.4.5) и (9.4.11)].
Последнее можно переписать в виде

(р*. F (p*+i) - F (рО)^ - Ps+1 ~ Ps (р* . F(pO )• (9.4.13)
р0'1	' **	**/

Правая часть неравенства (9.4.13) неотрицательна, так как
Ps+l Ps n

Psr+1

и (pL’ F(p5) )^0. Далее, при s = v имеет место строгое неравен-
ство ввиду неравенств (9.4.10) и того, что /\+1 >/\. Отсюда вы-
текает (9.4.7), и доказательство теоремы завершено.

Глобальную устойчивость системы (9.2.5) в условиях теоремы 9.4.2
можно, как это далее указывается в теореме 9.4.3, установить более
просто. Однако интересное дополнительное неравенство (9.4.4), по-
видимому, не поддается легкой проверке иным путем, чем это было
сделано в приведенном выше доказательстве.

Далее мы рассмотрим процесс регулирования цен, задаваемый си-
стемой дифференциальных уравнений

-^- = Я/(Г<(р)). 1 = 0, 1. .... г,	(9.4.14)

где функции Ht(x) непрерывны и сохраняют знак, т. е. sign/7z(x) =
— sign х для всех вещественных х. Кроме того, делаются обычные
предположения относительно единственности и непрерывности реше-
ния системы (9.4.14) как функции начального положения.
> Теорема 9.4.3. В условиях теоремы 9.4.2, с тем един-
ственным изменением, что выполнения закона Вальраса не
требуется, любое решение р(/) системы (9.4.14), для которого
р (0) > 0, устойчиво.

Доказательство. Как устанавливалось в доказательстве тео-
ремы 9.4.2, можно, не умаляя общности, нормировать всякий строго
положительный вектор равновесия, приведя его к виду р*=(1, 1, ..., 1).
В дальнейшем мы будем предполагать, что это уже сделано.

Нам понадобится следующий вспомогательный результат.

(I). Если вектор р = (р0, pv ..., рг) строго положителен и удо-
влетворяет условию

^•о=	Pi>™" Pj = P^

0 < у г	0 < у г

ТО
Л-ДрХО и Ffto(p)>O.

Мы докажем только первое неравенство; второе устанавливается
аналогичными рассуждениями. С этой целью мы увеличим все ком-
поненты pj(J х /0), если это необходимо, и получим вектор цен
р' = (р. , р p.J. В силу свойства строгой валовой замени-
мости 0 = F/o (р') > F(р), что и требовалось доказать. Эти же рас-
суждения показывают, кроме того, что совокупность векторов равно-
весия исчерпывается множеством {Хр*|Х > 0}.

Продолжим теперь доказательство теоремы. Пусть р(/) — решение
системы (9.4.14), отвечающее начальному вектору р(0) > 0. В (9.4.18)
мы установим, что р(/)>0, гарантируя тем самым осмысленность
выражения F(p(/)) при всех t. Пока мы будем продолжать рассу-
ждения так, как если бы это было уже установлено. (Читатель может
затем проверить, что все наши выводы непротиворечивы.) Введем
функции

Л(0= max Р/(0» Ц0 = min Pitt)- (9.4.15)
О< j<г

Из определения следует существование индекса /, для которого

A(t + h)-A(t)	р(/+Л)_р(0 dp.(t)

lim ------7------< hm —--------т----— = ——

л->+о п	л->+о n	at

(/г—>-|-0 означает, что h стремится к нулю, пробегая лишь поло-
жительные значения) и

А(0= max

Поэтому в силу утверждения (I)

17m Л(<+А)-Л(0	(9.4.18)

Л->+0	п
где имеет место строгое неравенство, если только р(^) не имеет
вида Хр* при некотором положительном X. Аналогичным образом мы
получаем

lim Ч' + 'О-МО	(9.4.17)

Л->+0

со строгим неравенством, за исключением того случая, когда р(/) =
= Хр* (Х>0). Неравенства (9.4.16) и (9.4.17) показывают, что функ-
ция А(/)— невозрастающая, а Х(/) — неубывающая (так как обе они
непрерывны). В частности,

О <Х(0)<Х(О<Л(О<А(0);	(9.4.18)

следовательно, решение р(/) всегда ограничено сверху и снизу, и ка-
ждая компонента pj(t) строго отграничена от нуля. Положим

Л= Нт Л(/).

/->оо

Пусть р — предельная точка последовательности р(/), т. е.

Р = Итр (Q

для некоторой последовательности /^—>00. Пусть р(/) — решение
системы (9.4.14), соответствующее начальному вектору р. Определим

А(^) = max

Тогда

A(f) = Пт Л(/—|—/ ) = А,
|А->ОО
откуда следует

— Л(Л) — Л(0) л
lim —-------— = О,

л->о л

Согласно (9.4.16), р есть кратное р* и, следовательно, является
равновесным вектором. Так как Л определяется единственным обра-
зом, мы заключаем, что р = Лр* также единственно. Поэтому р(/)
сходится к р, и теорема доказана.

Отметим, что доказательство этой теоремы не опирается на закон
Вальраса. Если, однако, мы будем предполагать вместо строгой ва-
ловой заменимости лишь слабую, т. е. потребуем, чтобы О

при I + j и р > 0, то справедливость закона Вальраса следует по-
стулировать.

24 Зак. 1789
► Теорема 9.4.4. Пусть функции избыточного спроса F(р)
однородны и дифференцируемы при р > 0. Пусть они удовле-
творяют закону Вальраса и обладают свойством слабой ва-
ловой заменимости. Тогда процесс регулирования цен, описы-
ваемый системой (9.4.14), устойчив.

(Как обычно, мы предполагаем существование строго положитель-
ного вектора равновесия.)

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.4.3,
соотношение (9.4.18) справедливо и в этом случае; следовательно,
решение р(^) системы (9.4.14) при произвольном начальном векторе
р(0)>0 ограничено и положительно.

Рассмотрим теперь функцию

R (0 = max
i€S(t)

(9.4.19)

(Fz(£) есть сокращенное обозначение для Fz(p (£))), где

S(O = P

Pi (0

^(F;(0)

Pj

Отметим, что R(t) = 0 или R(t) > 0 в зависимости от того, является ли
р(^) вектором равновесия или нет. В самом деле, если R(t)^O, то
из определения R(t) следует, что Ht (Т} (р (t))) < 0 для 1 = 0, 1,..., г
и, так как сохраняют знак, Fz(p(/))<0. Из этих неравенств и
закона Вальраса следует, что Fz(p(Y)) = 0, и р(/) есть вектор равно-
весия.

Рассмотрим

Г(о= йй «£+4=Л<!>
Л->0	«

d FJp (0)
— dt р. (t)

(9.4.20)

где последнее неравенство имеет место
индекса I £ S (/). Мы получим

для некоторого подходящего

dPj

dPjV) ,	1

d

dt Pitt)

p2i (0 dt pt (t)	dp/ dt

_ Fi (t) Hi (Ft (0) ,	1 у dFi

----------+ mo <r’m >•
Используя свойство слабой валовой заменимости и учитывая смысл
индекса I и однородность функции F, мы получаем

*	J--0	!

 Hi(Fj(t)) dFt ,	1

Pi(t) dPi Pi(i)

/¥=' 1

Hj {Pi (/)) dFt

Pi (0

dPi

P*V ^idPj 1

h ('• fri

Следовательно, неравенство (9.4.20) можно записать в виде

Fi{t)Hi{Fi{t))

(9.4.21)

Так как Ht сохраняет знак, мы заключаем на основании (9.4.21) и
рассуждений, следующих за (9.4.19), что

№(/)<0,	(9.4.22)

причем знак равенства имеет место в том и только в том случае,
когда Г(р(О) = О.

Таким образом, функция R(t) оказывается невозрастающей и не-
отрицательной (последнее — в силу закона Вальраса); следовательно,
/?(/) при t —>оо стремится к некоторому пределу R. Пусть теперь
р — предельная точка для р(/Д где tv — некоторая стремящаяся
к бесконечности последовательность. Для решения р (/), отвечающего
начальному вектору р, определим R(t) и W (/) так же, как R (Z)
и W (/) определялись для р(^). Тогда

R(t)= lim R(t-+-tv) = Rt

г/->оо

и поэтому UZ(f) = O при / = 0.

В силу (9.4.22) р представляет собой равновесный вектор цен.
Теперь мы можем определить для решения р(/) функции

A (I) = max -
> Pj

и k(/) = min — ~ •••.
' Pj

(9.4.23)

Хотя рассуждения теоремы 9.4.3 приводились по отношению к равно-
весному вектору р*, мы легко показали, что они остаются справед-
ливыми и для А(£) и k(f), определенных в (9.4.23). Следовательно,
существуют оба предела

lim А(/)
/->со

И

lim к(/).

/->со

Кроме того, так как lim р (Q = р, мы имеем

lim А(/)= lim Х(/)= 1.	_

/->оо	/~>оо

Отсюда в сочетании с (9.4.23) следует, что

lim р(0 = р,
/~>оо

и доказательство теоремы завершено.

Теоремы 9.4.1—9.4.4 с соответствующими изменениями можно
перенести и на случай нормированного процесса регулирования цен.

9.5*. Глобальная устойчивость (продолжение). В последнем
пункте мы установили глобальную устойчивость для одного случая,
показав, что „норма", измеряемая евклидовым расстоянием между ре-
шением и равновесным вектором цен, убывает во времени. В даль-
нейшем мы получили более сильные результаты, использовав другие
нормы. В этом пункте мы снова используем с той же целью нормы,
отличные от евклидова расстояния при различных типах условий. Три
основные теоремы этого пункта сформулированы для нормированного
процесса. При помощи соответствующих изменений эти теоремы можно
переделать в предложения, справедливые для ненормированного про-
цесса.

► Теорема 9.5.1. Нормированный процесс, описываемый си-
стемой (9.2.8), глобально устойчив, если существует набор
таких положительных постоянных (ср с2, .... сГ), что для
всех у= 1, 2, .... г

<9-5л)

где =

Замечание 9.5.1. Условие доминирующей диагонали озна-
чает, что цена £-го товара определяет спрос на этот товар в боль-
шей степени, чем спрос на другие товары.

Доказательство теоремы 9.5.1. Рассмотрим функцию

^(0=2^103.	(9.5.2)
Легко показывается, что

lim

h++0	п

существует. Эту величину W (/) можно вычислить следующим образом:

1F(0 = 2c7sign07(oi; +	’ (9-5-3)

J	А=1	*	Г k=1 к

где первая сумма распространена на те индексы у, для которых
0^(7)^ 0, а вторая — на те у, для которых О; (0 = 0. Символ sign
понимается обычным образом, а именно

sigh а =

+ 1, а > О,

О, а = 0,
— 1, а < 0.

Мы покажем, что —W (f) положительно, если нарушается равенство
Оу = 0 для всех у (т. е. если решение совпадает с некоторым равно-
весным вектором цен). Рассмотрим L*o(O— коэффициенте выраже-
нии — W (0 при G*o(O» предполагая его ненулевым. Именно,

dGb	dGj

(0 = — Cko	sign Ол. (О — X ci sign GJ (0 -

k° k°

S(VT	\ dGj

j^k' \*=i	* j

Следовательно,

dGh	I	dGt \

I°*o(O|-( £ <7	JI(9-5-4)

Чк°	Xj^k' Чк° /

и, согласно предположенному, правая часть строго положительна.
Складывая неравенства (9.5.4) при различных kQ (отметим, что члены,
в которых GkQ(f) — Ot не влияют на величину W(О и поэтому не
играют никакой роли), мы получим W (/) < 0, за исключением того
случая, когда все Gfc(f) = O. Определенная согласно (9.5.2) норма
V(f) строго убывает, откуда, как и в теореме 9.3.4, следует гло-
бальная устойчивость.

Результат, - двойственный к теореме 9.5.1, заключается в сле-
дующем.
► Теорема 9.5.2. Нормированный процесс, описываемый си-
стемой (9.2.8), глобально устойчив, если существует набор
таких положительных постоянных {сх, г2, ...» сГ), что для
всех у = 1, 2....г

°л<°’	(9-5-5)

Замечание 9.5.2. Условие теоремы можно несколько вольно
истолковать следующим образом: цена k-ro товара оказывает наи-
большее влияние на функцию избыточного спроса для этого товара.

Разница между теоремами 9.5.1 и 9.5.2 заключается в том, что
условие (9.5.1) относится к суммам по столбцам, а условие (9.5.5) —
к суммам по строкам матрицы ||Oyft||. Эти наборы условий можно
истолковать как двойственные критерии, каждый из которых обеспе-
чивает глобальную устойчивость. Доказательства также проводятся
двойственным образом.

Доказательство теоремы 9.5.2. Рассмотрим норму

V (t) = max

J

\Gj\
CJ

(9.5.6)

С точки зрения теории линейных пространств норму (9.5.6) можно
рассматривать как сопряженную (двойственную) к норме (9.5.2). Здесь,
как и раньше, мы покажем, что dV{dt < 0 всюду (где существует
эта производная), за исключением точек равновесия. Предположим,

что

G> (q(0)

V(0 = ^^signO/Q(q(0)

С}0

и Gj, (q (0) =£0. Тогда

dV sign G;o(q(Q) dGJo

~dt~ ~ Cj	dp

Jo k R

Но, по определению j0,

и, следовательно, мы получаем

dV	-Ш	*4	, |G/ol		dG:  	
dt		‘Ч			dpk

<0;

(9.5.7)
последнее неравенство имеет место в силу условий теоремы и того,
что | Оуо (/) | 0. Разумеется, при G = 0 мы находимся в равновесном
векторе цен и остаемся в нем при любых t. Если производная dVjdt
не существует, мы оценим предел

lim v{t+h)-v{t)t
Л->+0	П

который существует всегда, и изменим соответствующим образом
наши рассуждения. Глобальная устойчивость обычным образом сле-
дует из (9.5.7).

Критерий иного рода, также обеспечивающий глобальную устой-
чивость, заключается в требовании отрицательной квазиопределен-
ности матрицы B(q) = ||dGz(q)/d<7;||. (Определение отрицательно
квазиопределенной матрицы см. стр. 356.) Небольшое обобщение
этого критерия содержится в следующей теореме.

Теорема 9.5.3. Пусть S — положительно определенная
матрица порядка г. Если матрица В (q)r S + SB (q) при любом
векторе цен q является отрицательно определенной, то нор-
мированный процесс глобально устойчив.

(Отметим, что если S — единичная матрица, то это условие сво-
дится к отрицательной квазиопределенности матрицы B(q).)

Доказательство. Здесь мы введем для G(q(^)) метрику

V(0 = (G, SG).	(9.5.8)

Дифференцирование V (t) дает

V'(0 = (Q. [В (q)r S +SB (q)] G).

Это выражение строго отрицательно, за исключением случая G = 0.
Теперь глобальная устойчивость выводится уже известным нам об-
разом.

В заключение этого пункта мы наметим общий подход к про-
блеме установления устойчивости динамических процессов.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

^ = Л(Х),	/=1.......г,	(9.5.9)

где (/i(x), /2(х)> •••» Л(х)) — непрерывная векторная функция,
определенная на множестве Х<^.ЕТ.

Предполагается, что множество X замкнуто и имеет непустую
внутренность Х°; далее, что решение х (/; х°) системы для любого
начального положения х°£Х° определено единственным образом,
непрерывно относительно х° и остается в X.
Рассмотрим множество Е всех равновесных векторов в X. т. е.

£={x|xfE*, f(x) = 0).

и определим расстояние от точки х£Х до множества Е посреди
ством

V (х) =_inf |х — х |2.

Система (9.5.9) называется квазиустойчивой. если для любого
начального положения х0£Х0

lim V (х(/; х°)) = 0.
/->оо

Сформулируем без доказательства следующую общую теорему.

к Теорема 9.5.4. Если при любом начальном положении
х°£Х° решение системы (9.5.9) ограничено и на X существует
функция <р(х). удовлетворяющая условию Липшица и такая,
что D <0 для всех х£Х\Е, то система (9.5.9) квази-
устойчива.

Функция определяется следующим образом, В общем
случае

D f (х) = Нт У MW f (Х),

где

△/?(х) = <р(Х1 + ДХ!...хг + Дх., х( + 1, .... хг) —

— ?(^1 + Д^1.....+ xt, xi+l................xr).

Если функция дифференцируема, то

I ‘

Эту теорему можно доказать, видоизменяя соответствующим об-
разом рассуждения,. использованные при доказательстве теорем 9.4.3
и 9.4.4 предыдущего пункта.

В качестве одного из конкретных приложений этой теоремы рас-
смотрим случай, когда функция f(x) имеет симметричную матрицу
из частных производных, т. е. dfJdXj — dfj/dxL для всех i и j. На
основании известного свойства полных дифференциалов мы заклю-
чаем о существовании потенциальной функции ср, для которой
Поэтому для f(x)=£O имеем

/=1 /=1

и можно применить нашу теорему. В связи с этим читатель может
также обратиться к замечаниям в конце этой главы (см. также за-
дачу 14).

Наряду с этими понятиями мы приведем один общий результат
о квазиустойчивости, применимый в случае векторной функции из-
быточного спроса, индуцированной задачей максимизации полезности
для одного потребителя.

Пусть U (х) — функция полезности, определенная для всех х££г+1,
х>0, и удовлетворяющая неравенству

хотя бы для одного индекса I. (Это, по сути дела, означает, что
если пренебречь бюджетными ограничениями, то не существует век-
тора потребления, способного насытить все желания потребителя.)
Индивидуальный потребитель выбирает вектор потребления, мак-
симизирующий его функцию полезности с учетом его бюджетного
ограничения. Говоря формально, мы постулируем существование
единственного х*(р), для которого

£7 (х*) = max £7 (х)

X

при условии, ЧТО	г	г

2 piXi = 2
Z=0	Z=0

и x^O. Здесь p>0 изображает фиксированный вектор цен,
а х° > 0 интерпретируется как фиксированный вектор начальных
владений. Максимизацию можно выполнить методом множителей Лаг-
ранжа. В результате мы получим необходимые условия

1 = 0, 1......г,	(9.5.10)

где в f-м неравенстве имеет место знак равенства, если х* > 0. Из
предположения (9.5.9) следует, что X > 0.

Определим для этой конструкции процесс регулирования цен по-
средством системы (9.4.14), где F(p) = x°— х*(р). Теперь мы можем
доказать квазиустойчивость этого процесса. С этой целью рассмот-
рим функцию ср (р (/)) = U (х* (р)). Мы имеем

dU dx*: dx*

Z=0	i=0
так как либо х* > 0 и в (9.5.10) имеет место равенство, либо xt = 0
и тогда, очевидно, dx*/dt>0.

С помощью (9.4.14) и тождества

=	>=0- г •••г-

1=0
получающегося при дифференцировании бюджетного ограничения, мы
можем свести (9.5.11) к

<Р(0-X*)Н. (F. (0)<0,	(9.5.12)

где имеет место строгое неравенство, если только не выполнено ра-
венство Fу(р(7)) = 0. Квазиустойчивость следует из неравенства
(9.5.12) обычным образом.

Дальнейшие результаты об устойчивости читатель может найти
в задачах 5—15 и в обсуждении их решений на стр. 412—413.

9.6*.Формулировка глобальной устойчивости в терминах раз-
ностных уравнений. В этом пункте мы опишем механизм регули-
рования цен во времени при помощи системы разностных уравнений.
Эта система имеет вид

p(/+l) = max[0, p(O + pF(P(O)b ^ = 0, 1, 2, ...» (9.6.1)
где р(0 — вектор цен в момент времени Z, F представляет собой
функцию избыточного спроса, а о — фиксированная положительная
постоянная.

Эта формулировка труднее поддается исследованию, чем форму-
лировка в терминах дифференциальных уравнений. Тем не менее нам
удастся довольно просто установить существование равновесного
вектора цен. Кроме того, в условиях строгой валовой заменимости,
когда вектор цен единствен, мы установим устойчивость в целом.

Как всегда, мы предполагаем для любого неотрицательного век-
тора цен справедливость закона Вальраса

2рЛ(/>0,	.... рг) = 0.	(9-6.2)

1=0

Исследуемая здесь система соответствует ненормированному про-
цессу; в этом случае принято предполагать, что функции избыточ-
ного спроса — однородные функции нулевой степени.

Прежде всего, мы довольно просто установим существование рав-
новесного вектора цен. Напомним, что равновесный вектор есть та-
кой вектор цен p* = fp*, р*, ..., р*), для которого

f'z(p*)<0.	(9.6.3)
Нормируем все ненулевые векторы цен так, чтобы

i	=0

и обозначим множество всех нормированных векторов цен через У.
Отметим, что для любого р^З/

2	max [0.	+ pFz (р)] = X (р) > 0.

I =0

В противном случае мы имели бы pL -}- pFz (р) < 0 для всех /, и по-
этому

Зр- = +р2рЛ (p)=so,

i = 0 i = 0	i = 0

где первое равенство имеет место в силу закона Вальраса. Но тогда
Д = 0 для всех Z, что противоречит предположению о том, что р£ЗЛ
Определим теперь отображение Т множества у в себя, как

Т (р) = тах [0, р + PF (Р)1

(максимум здесь берется покомпонентно). Очевидно, что отображе-
ние Т (р) непрерывно. Поэтому мы можем применить теорему Брау-
эра о неподвижной точке, из которой следует существование век-
тора р£2Л для которого р = Т(р), т. е.

Цр) Р = max [0, р + pF (р)].

Тогда

х(Р)А^А + pF'/Cp), i = 0, 1.........г, (9.6.4)

где имеет место равенство для всех тех /, для которых pt > 0. Сле-
довательно, умножая на pt и складывая получающиеся уравнения,
мы имеем

х (р) 3?-=i р]+р iiPtFi (р)=ip*-

i = 0 i = 0	i = 0	i = 0

Поэтому X (р) = 1, и соотношения (9.6.4) показывают, что р — век-
тор равновесия.

Установив существование равновесия, мы перейдем к изучению
динамической устойчивости. Следующая теорема дает критерий
устойчивости для системы с дискретным временем (9.6.1).

► Теорема 9.6.1. Пусть р* — строго положительный равно-
весный вектор. Пусть векторная функция избыточного
спроса F обладает свойством строгой валовой заменимости
в целом. Тогда существует такое положительное р0, что для
всех р < р0 система цен удовлетворяющая (9.6.1), сходится
к равновесному вектору цен.

Замечание 9.6.1. Заключение этой теоремы можно интерпре-
тировать следующим образом: если существенны только относитель-
ные цены, то процесс регулирования цен с дискретным временем,
определяемый системой (9.6.1), глобально устойчив.

Доказательство теоремы 9.6.1. Рассмотрим норму

1/(0 = 2[р.(0-р*]2.

Непосредственный подсчет с использованием (9.6.1) показывает, что

V (О - V (t+1) = i [pj (t) - (t +1) - 2	(t) - Pi (t +1)] />;]

S±2[^ (0 - Pi a+ 1)] + 2рДр; F. (p (t)).	(9.6.5)

Обозначим через /? совокупность тех индексов из множества
{1, 2...г), для которых Р/(^+1)==Р/(О + Р^(Р(О)» а через

R' — дополнительное множество индексов, для которых pz(^+ 1) = 0.
Отметим, что

.2(^(0 -/^4-1)] =

= - р22^? (р (0) - 2P2pz (о ъ (р (о)=
i£R	l£R

= -p2S^(p(O)+2pSpz(O^(p(O);

l£R	i£R'

последнее равенство является следствием закона Вальраса (9.6.2).
Таким образом,

2[pKo-p2(z+i)]=

= - р2 2 р] (р (о) + 2 [pi (о+ppi (р (о )12	- р2 2 р] (р (0 )•

»=1	i(:R'	«=1

Выберем р, удовлетворяющее неравенству

22Ж,(Р)

О < р < min -Ц2-----.	(9.6.6)

2^(₽)

/-0
Допустимость его проверяется следующим образом. Разложим числи-
тели и знаменатели правой части неравенства (9.6.6) в окрестности р*
и после упрощения получим

V /dFj(p*) ^(Р*)\

21 Pj\ dPk др} )Рк

S (р) =	------------------------

S„ V ^(р*> <?Л(Р»)

Pkpj др dpk

j,k = O z»o

[см. (9.3.6)]. Дальнейшее разложение квадратичных форм, стоящих
в числителе и знаменателе выражения для S (р), покажет, что в силу
строгой валовой заменимости

inf S (р) > 0.

р¥=хр*

Отметим далее, что в силу теоремы 9.4.2

2р*^(р)>о,2^(Р)>о

1=0	1=0

для всех р=£Хр*. Непрерывность и однородность Ff(p), а также
отграниченность S(p) от нуля позволяют нам заключить о справед-
ливости (9.6.6). Из (9.6.5) следует, что для любого выбора р, удов-
летворяющего неравенству (9.6.6),

И(/)> И(/+1),	(9.6.7)

если только р(^)¥=^р*« Следовательно,

lim V(0
/->оо
существует, и всякая предельная точка р (/) является, как это было
показано при доказательстве теоремы 9.3.4, некоторым кратным р*.
Так как теперь сходимость р(/) устанавливается без труда, мы опу-
скаем подробности; доказательство теоремы тем самым завершено.

9.7. Устойчивость и ожидания (модель I). Предыдущие мо-
дели описывали динамический процесс регулирования цен в ответ
на изменения функций избыточного спроса, являющихся функциями
только от текущих рыночных цен. В этом и в следующем пунктах
мы исследуем влияние на динамическую устойчивость рыночной
системы не только имеющихся цен, но и цен, ожидаемых в будущем.

Имея в виду эту цель, мы предлагаем записывать общую систему
динамического равновесия в виде

(9.7.1)
где р — вектор цен г-компонентного набора товаров, К представляет
собой г X r-матрицу с постоянными элементами, определяющую бы-
строту реагирования цен на избыточный спрос, a F, как обычно,
обозначает вектор избыточного спроса. Здесь каждая компонента век-
тора F является, вообще говоря, функцией от вектора текущих цен р
и вектора р^ цен, ожидаемых в будущем. В случае дискретного вре-
мени р^ является вектором цен, ожидаемых на следующем отрезке
времени, а в случае непрерывного времени — вектором цен на сле-
дующий бесконечно малый промежуток времени.

В наших предыдущих рассмотрениях мы неявно предполагали,
что р^ = р, т. е. что ожидания статичны. В соответствии с этим мы
брали в качестве матрицы К по сути дела диагональную матрицу
с положительными элементами. Здесь же, напротив, мы будем учи-
тывать флуктуации текущих цен, допуская отклонения цен, ожидае-
мых в будущем, от текущих цен в соответствии с некоторым опре-
деляющим законом. Впоследствии мы покажем, что устойчивая дина-
мическая система может амортизировать влияния некоторых экстра-
поляций изменений цен, а также соответствующих ожидаемых изме-
нений цен в будущем и сохранить свою устойчивость. Влияния цен,
ожидаемых в будущем, мы будем рассматривать лишь применительно
к структуре локальной устойчивости.

В состоянии равновесия (р = р*) обычно предполагают, что р^ = р*,
т. е. что ожидания и действительные цены совпадают. Следовательно,
мы можем, используя тейлоровское разложение, аппроксимировать
функцию F. (р, pf) = F .(pv .... pr; pf, pty вблизи равновес-
ного вектора цен р* линейным выражением

Л = Ip, - Р» + W - ?•)	<9-7.2)

Таким образом, задачу обеспечения локальной устойчивости си-
стемы (9.7.1) можно свести к задаче об устойчивости системы ли-
нейных дифференциальных уравнений:

^ = K(Az + Bw),	(9.7.3)

где z (/) = Р (0 — Р* и w(^) = p/(/t)— р*. Доказательство этого ут-
верждения, по существу, совпадает с рассуждением, приведенным
на стр. 356.

Линейная система (9.7.3) содержит две функции z(t) и w(f). По-
этому для того, чтобы вполне определить динамику системы цен,
необходимо указать зависимость w(/) от текущих цен. Простейшее
из возможных предположений заключается в том, что изменения бу*
дущей цены /-го товара вызваны изменениями его теперешней цены
согласно соотношению

p{ = Pt+^.	(9.7.4)

где — некоторая постоянная. Если vj. = O, то мы ожидаем, что
текущие цены сохраняются. Если > 0, то при образовании буду-
щей цены к текущей цене добавляется некоторое кратное измене-
ния цен; следовательно, ожидаемые цены можно охарактеризовать,
как экстраполируемые. В случае < 0 ожидаемые цены не меняются
так резко, как фактические цены.

Используя векторные обозначения, соотношения (9.7.4) можно за-
писать в виде

Р/ = Р + у!#’	<9-7-5)

где V)—диагональная матрица. Сразу же обобщая это, мы можем
в качестве V) взять произвольную матрицу с постоянными элемен-
тами. В обозначениях (9.7.3)

w(0 = z(0 + 4^-.	(9.7.6)

Подставляя (9.7.6) в (9.7.3), мы получаем

= [I — КВт]]-1 К(А +B)z,	(9.7.7)

если только матрица (I — КВт))"1 существует. В дальнейшем мы для
удобства предположим, что эта обратная матрица вполне определена.
В случае статических ожиданий (р^ = р) соответствующая дина-
мическая система сводится к

di

^- = K(A + B)z.	(9.7.8)

Теперь мы рассмотрим такие условия на матрицы, содержащиеся
в системах (9.7.7) и (9.7.8), из которых будет следовать устойчи-
вость или неустойчивость обеих этих систем сразу.

Поставленную выше задачу можно абстрактно сформулировать
следующим образом.

Пусть Т — устойчивая матрица (все ее собственные числа имеют
отрицательные вещественные части). Представляют интерес два во-
проса. Во-первых, при каких условиях на матрицу Q матрица QT
снова будет устойчивой. Во-вторых, какими свойствами должны об-
ладать матрицы Т и Q, чтобы Т и QT были устойчивы одновре-
менно. Частичные ответы на эти вопросы даются теоремами 9.7.1
и 9.7.2 (см. также задачи 1—4).
►	Теорема 9.7.1. Пусть Т — устойчивая М-матрица (см,
стр. 299), a Q — вещественная диагональная матрица. Тогда
матрица QT устойчива в том и только в том случае, если
все диагональные элементы матрицы Q строго положительны.

Доказательство. Достаточность. Условие теоремы ут-
верждает, что все диагональные элементы матрицы Q строго поло-
жительны. Очевидно, QT является 44-матрицей. Кроме того,
— (QT)-1 = —T-1Q-1 сохраняет положительность [согласно свой-
ству в) на стр. 300], и поэтому матрица QT устойчива.

Доказательство необходимости опирается на следующую лемму.

►	Лемма 9.7.1. Пусть Т — устойчивая М-матрица порядка г.
Если D — невырожденная диагональная матрица, то мат-
рица DT не имеет собственных чисел на мнимой оси.

Доказательство. Предположим противное. Пусть ZX — соб-
ственное число матрицы Q = DT. Очевидно, что ввиду невы-
рожденности матрицы Т. Следовательно, существует ненулевой век-
тор х, для которого

г

dkk^tkjXj = i\xk (£=1, 2, .... г).	(9.7.9)

Прибавляя к матрице Т единичную матрицу, умноженную на доста-
точно большое положительное число |i, мы можем обеспечить неот-
рицательность матрицы S = T + |iI. Уравнение (9.7.9) переходит в

^skjxj — (р

+ dkk)хь-

(9.7.10)

Беря модули и полагая yt — | xt |, мы получаем

Sy=(m;nl,*+£

|^У = 9У

и y>:Q. Из характеризации спектрального радиуса неотрицательных
матриц, приведенной в следствии 8.2.1, вытекает, что существует соб-
ственное число X0(S)^ |х. Следовательно, матрица Т имеет неотри-
цательное собственное число, что противоречит сделанному предпо-
л жению.

Доказательство теоремы 9.7.1. Необходимость. От-
метим сначала, что матрица Q невырожденная, так как матрица QT
устойчива.

Введем вещественный параметр б, 0 < 9	1, и рассмотрим се-

мейство матриц

U(0) = Q[6T —(1 —0)1].
При любом О (О<0<=1) выражение, заключенное в скобки, очевидно,
представляет собой устойчивую /И-матрицу; поэтому, согласно лемме,
U (0) не может иметь мнимых собственных чисел. Но собствен-
ные числа изменяются непрерывно, и, следовательно, при любом
0(0^0^ 1) они всегда лежат внутри левой половины комплексной
плоскости, так как при 0=1 дело обстоит именно так. Используя
этот факт для 0 = 0, мы заключаем, что все диагональные элементы
матрицы Q положительны, что и требовалось.

► Теорема 9.7.2. Пусть S — симметричная матрица, al —
вещественная отрицательно квазиопределенная матрица. Тогда
матрица ST устойчива в том и только в том случае, когда
матрица S положительно определенная.

Замечание 9.7.1. Напомним читателю, что матрица Т назы-
вается отрицательно квазиопределенной, если форма (х, Тх) при
любом ненулевом вещественном векторе х отрицательна.

Вещественная отрицательно определенная матрица устойчива.
Доказывается это следующим образом. Пусть

Тх = Хх,	(9.7.11)

где x = x1-J-/x2 и Х = Х14-А2, причем Xj и х2 — вещественные век-
торы, не равные одновременно нулю. Разделяя в (9.7.11) веществен-
ную и мнимую части, мы получим

Txj — XjXj — Х2х2, Тх2 = Х}х2 + Х2хг

Следовательно,

(хр Txj) + (x2, Тх2) = Х1[(х1. Х1) + (х2. х2)].

откуда мы заключаем, что < 0.

Доказательство. Достаточность. Если матрица S поло-
жительно определенная, то S,/2TS,/2 будет вещественной отрицательно
определенной и, следовательно, устойчивой матрицей, где ма-
трица S/2 — вещественная положительно определенная. Но матрица
RS/2TS/2R_1 = ST устойчива при R = S1/2, так как она получена из
устойчивой матрицы при помощи преобразования подобия.

Необходимость. Мы покажем, что если S — неособенная сим-
метричная, а Т — вещественная отрицательно определенная матрица,
то матрица ST не имеет чисто мнимых собственных чисел. Предпо-
ложим с этой целью, что существует такой ненулевой вектор х,
аля которого STx = Xx. Домножим обе части на xS”1, где х — век-
гор, сопряженный к х:

(xS-1, STx)==(x, Тх) = Х(х, S~'x).	(9.7.12)

25 Зак. 1789
Запишем x = y-f-Zz и A = a-j-/p, где у, z, а и р вещественны.
Приравнивая в (9.7.12) вещественные части, мы получаем

(у. Ty) + (z. Tz) = a[(y. S-1y)+(z. S^z)]-	(9-7.13)

Левая часть строго отрицательна и поэтому а =£ 0. Далее доказа-
тельство в точности следует доказательству теоремы 9.7.1. Детали
мы опустим.

Экономический смысл теоремы 9.7.1 совершенно ясен. В свое
время мы обсуждали соотношение между Л4-матрицами и валовыми
заменителями. Неотрицательность внедиагональных элементов матрицы
T = A-f-B означает, что система не содержит дополнительных то-
варов. Если, кроме того, матрицы К, В и vj диагональны, то тео-
рема 9.7.1 утверждает, что модель без ожиданий устойчива в том и
только в том случае, если все ku положительны. Кроме того, вве-
дение для той же матрицы Т = А-|-В коэффициентов ожидания не
нарушает устойчивости тогда и только тогда, когда kubи^и < 1 для
всех Z. В теореме 9.7.2 рассматривается другой случай, когда влия-
ния доходов, по существу, симметричны. Здесь мы уже не требуем
диагональности матриц К, В и vj.

Дальнейшие результаты в духе этих теорем можно получить,
применяя к матрицам А и Т преобразования подобия (см. задачу 1).

9.8.	Устойчивость и ожидания (модель II). Соотношение между
ожидаемыми будущими ценами р7 и фактическими ценами мы выражали
посредством равенства (9.7.4) или — в более общей форме — посред-
ством равенства (9.7.5).

Другим таким соотношением, имеющим определенные экономи-
ческие достоинства, может служить

/=1. 2......г. (9.8.1)

При р/ = 0 изменения в текущих ценах не влияют на ожидаемые
цены. Условием статических ожиданий будет теперь pz==4-oo.

Для данного поведения Pi(t) цен во времени уравнение (9.8.1)
имеет решение
t

p{(t) = p'(O)e~?i‘+e~Vf ^p^e^du, (9.8.2)
о

где р{(0) — начальное значение ожидаемой цены Z-ro товара. Если
начало процесса расположено в достаточно отдаленном прошлом,
то в (9.8.2) можно пренебречь членом, содержащим р{(0); следова-
тельно, в качестве pt(t) можно взять экспоненциально взвешенное
среднее прошлых цен. Поэтому уравнения (9.8.1) показывают, что
ожидаемая цена является надлежащим образом [в случае (9.8.2) —
экспоненциально] взвешенным средним действительных прошлых цен.

Другое разумное истолкование, которое можно приписать Хиксу,
заключается в следующем. Если мы будем мыслить себе время, как
дискретную переменную, то понятие „эластичности ожиданий" можно
сформулировать в виде

Pi (Z-l)-p{(Z-l)

(9.8.3)

где цены выражены через логарифмы, а — постоянная. При pz = 0
изменения текущих цен не влияют на ожидаемые цены; при = 1
в качестве ожидаемых уровней будущих цен переносятся вперед
сами текущие цены. Величину можно рассматривать как меру
эластичности покупательских ожиданий между крайними значениями
р = 0 и р = 1.

Если мы снимем предположение о том, что цены выражены в ло-
гарифмах, то уравнения (9.8.1) станут дифференциальными аналогами
разностных уравнений (9.8.3).

Перейдем теперь к изучению локальной устойчивости системы
(9.7.1) в терминах соотношения (9.8.1). Мы хотим сравнить условия
устойчивости для системы без ожиданий:

//7

-^- = K(A + B)z.	(9.8.4)

где К — диагональная матрица, а А и В такие же, как в (9.7.3),
с условиями устойчивости для динамической системы с учетом ожи-
даемых будущих цен. Эта система может быть записана в виде

-^-K(Az+Bw). ^ = pz-₽w,	(9.8.5)

где z(f) = p(4)— р*, w(/) = p^(/) — р*, a f — диагональная матрица
с диагональными элементами pz. Матрица коэффициентов системы
(9.8.5) имеет вид

/КА КВ \
с \ ₽ -р )’

где А = КА есть матрица	а В = КВ— матрица ||.

Матрица коэффициентов системы (9.8.4) имеет вид

D = K(A + B) = А+В.

Для упрощения наших рассуждений мы предположим, что все
существующие товары являются валовыми заменителями друг для
друга, и, кроме того, любой будущий товар является валовым за-
менителем для любого существующего товара. Иначе говоря, мы
предположим, что	(/ + j) и Ь^>0 (lt j = 1, 2, ..., г).

Так как К и (J — диагональные неотрицательные матрицы, мы сразу же
убеждаемся, что С и D будут ТИ-матрицами.

► Теорема 9.8.1. Система (9.8.5) с матрицей С устойчива
в том и только в том случае, когда устойчива система (9.8.4)
с матрицей D.

Замечание 9.8.1. Основное рассуждение, применяемое при
доказательстве этой теоремы, основано на двух фактах, уже отме-
чавшихся ранее: а) 714-матрица Т устойчива тогда и только тогда,
когда спектральный радиус положительной матрицы S = T-|-p4
меньше р-, где р-— настолько большое положительное число, что
матрица Т + [4 неотрицательна (см. стр. 300); б) спектральный
радиус X0(S) неотрицательной матрицы S можно охарактеризовать
как точную верхнюю грань всех тех X, для которых существует
такой положительный вектор х, что Sx>Xx.

Доказательство теоремы 9.8.1. Пусть U = С -ф- р*12г и
V = D + p4r, где рь достаточно велико, чтобы сделать U и V неотри-
цательными матрицами. (Разумеется, матрица U имеет порядок 2г,
а матрица V — порядок г.) Обозначим через X0(U) и X0(V) спектраль-
ные радиусы матриц U и V соответственно. Предположим, что р-
таково, что Vx>|xx, где х = (хр ...» хг) и х>0; это, разумеется,
так, если только матрица D ненулевая. Определим 2г-мерный век-
тор у, полагая у = (х1....хг; хр ..., хг). Тогда непосредствен-

ная проверка показывает, что Uy р.у и, следовательно,

X0(U)>X0(V)^ti.	(9.8.6)

Таким образом, если матрица С устойчива, то должна быть устой-
чивой и матрица D, так как в противном случае мы получим
X0(U)>p-, что противоречит предположению об устойчивости С.
Рассмотрим, далее, такое р-, что

Uy'^pY	(9.8.7)

для некоторого yzB^O. Последние г неравенств в (9.8.7) сводятся
к соотношениям

₽z(y;-y;+r)^o.

откуда у'^у'+г>:0. Положим х' = (у'.......у'). Ввиду неотрица-

тельности матрицы U мы можем увеличить последние г компонент
до значений у'; тогда первые г неравенств из (9.8.7) перейдут в не-
равенства

Vx' = Ax' + Вх7 + р4х7 Uy7 p,xz.	(9.8.8)
Очевидно, х'^О, и поэтому

X0(V)>X0(U)>pi.	(9.8.9)

Используя те же рассуждения, что и при анализе неравенств (9.8.6),
мы можем заключить из (9.8.9), что если матрица D устойчива,
то устойчива и матрица С. Доказательство теперь проведено пол-
ностью.

Можно привести доводы в пользу того, что устойчивость дина-
мической системы в случае статических ожиданий является вполне
правдоподобной, следовательно, по доказанной теореме вполне правдо-
подобной является и устойчивость в общем случае — вне зависимости
от инерциальности системы или эластичности ожиданий.

9.9.	Модель расширяющейся экономики фон Неймана. Как
мы уже видели, соотношения равновесия для законов спроса и
предложения сводятся математически к определенным системам
уравнений. Тем самым задача заключается в выяснении существования
экономически осмысленных решений этих систем. Для решения этой
задачи приходится делать различного рода предположения относи-
тельно характера функций спроса и предложения. Теория такого
рода, рассмотренная в гл. 8, изучает статику экономических про-
цессов; она не проливает света на функционирование экономики
во времени.

В настоящей главе (п. 9.2—9.7) мы описали динамический про-
цесс регулирования цен и исследовали устойчивость системы отно-
сительно сходимости системы векторов цен к равновесному. Процесс
регулирования цен можно рассматривать как одну из сторон „кратко-
срочной" экономической динамики в том смысле, что за изменениями
цен, расстраивающими ситуацию равновесия, следуют — в ответ на
естественные колебания спроса и предложения — перерегулирования
цен в сторону равновесия.

Мы можем взглянуть на динамику экономических процессов также
и с точки зрения долгосрочной перспективы; именно, следует учи-
тывать действительные количества товаров, произведенные и по-
требленные в каждый период, причем предполагается, что экономика
функционирует эффективным образом в течение бесконечного про-
межутка времени. Вполне логично связать с экономическим про-
цессом естественный рост производственных и потребительских воз-
можностей; мы хотим определить темп этого роста. Этот процесс
расширения известен под названием явления сбалансированного роста.

Мы начнем с описания классической модели расширяющейся эко-
номики, предложенной фон Нейманом. Рассмотрим экономическую
систему, в которой производится т товаров (Z — 1, ..., /п). Пусть
через У=1, ..., п обозначены технологические процессы, которые
осуществляются в системе. Если у-й процесс используется с еди-
ничной интенсивностью, то и Ьц означают соответственно
затраты и выпуск Z-ro товара в у-м процессе. Мы сделаем естествен-
ное предположение, что я/7->0,	Пусть A = ||aZy||, B=||Z>Zy||.

Уровень интенсивности /-го процесса в момент времени t будет
обозначаться через уД/). Цену Z-ro товара мы обозначим через
а общее имеющееся в нашем распоряжении количество Z-ro то-
вара— через xz(Z).

Основные предположения, касающиеся этой экономической си-
стемы, заключаются в следующем:

(a)	для всех Z и t,

j

Это очевидное ограничение утверждает, что количество каждого
товара, используемое в любой конкретный момент, не должно пре-
восходить наличного запаса этого товара к данному моменту.

(б)	l) = xz (/)-]- 2(fy;— Д/рУ/СО для всех и
J

Это разностное уравнение является уравнением динамики нашей
системы. Соответствующая формулировка в случае непрерывного
времени потребовала бы замены уравнения (б) аналогичным диффе-
ренциальным уравнением, однако основные черты исследования при
этом не изменились бы. Разумеется, начальные условия мы считаем
заданными.

(В)	У7(О = У(ОУ/. где у(О-=е>А

Пропорции между интенсивностями процессов остаются неизмен-
ными; только общий выпуск возрастает во времени. Это пред-
положение можно рассматривать как условие равновесия для эко-
номики.

(г)	5	S	для всех у (0.

i,	j	I, j

Система не приносит положительного дохода; она является за-
мкнутой.

(д)	pi(.t) = p(t')pi, где p(t) = e-v-‘.

Величина К в предположении (в) является темпом расширения,
а |х служит здесь коэффициентом скидки системы. С другой сто-
роны, можно рассматривать как скорость повышения заинтере-
сованности в единице денег в зависимости от времени.

Теперь мы путем некоторых манипуляций с нашими предположе-
ниями выведем различные соотношения, которым удовлетворяют темп
расширения и процент на капитал. Подставляя значения Pi(t) и yj(t)
в (г), мы получаем для всех у

2 р^-^+^ЬцУ]^— 2 р^-^ацу^е^^Ъ.
или

е-" 2	2

Следовательно,
£?-нрВ:^рА.	(9.9.1)

Подставим теперь значение y(t) в (б). Имеем

Xi (t + 1) == xt (О + 2 (Ьц — аи) у^.
j

Решение этого разностного уравнения первой степени дается фор-
мулой

alj>yj eit

Xi (t) = Xi (0) + 1-gX-----F ttzt L <-bv ~	yJ =

J

= + (9’9'2)
J

Используя этот результат в (а), мы получим

со+тсгг S ~ а‘} у!^ 2 ачу!еи’
j	j

е-и (<д _ 1) Со_|_ 2 М;S= 2 “цУг
j	J

Так как это неравенство справедливо при всех t, мы можем,
устремляя t к бесконечности, получить неравенство

2 м,—е>'2<м>

j	j

или

Ву>^Ау.	(9.9.3)

В следующем параграфе мы, налагая дополнительные слабые
условия положительности на матрицы А и В, установим существо-
вание неотрицательных векторов р°, у0, удовлетворяющих соотноше-
ниям (9.9.3) и (9.9.1), когда X = |i>0. В этом случае мы будем
говорить, что .экономика подвергается сбалансированному росту,
причем темп расширения и процент на капитал равны. По поводу
других приложений этой модели мы отсылаем читателя к зада-
чам 22 и 23.

9.10. Общая модель сбалансированного роста. В этом пункте
мы сформулируем общую модель производства, охватывающую мо-
дель фон Неймана как частный случай. Мы докажем существование
единственного темпа равномерного расширения и его совпадение
с процентом на капитал. Динамическая модель Леонтьева (см. п. 8.6)
также может рассматриваться как частный случай настоящей модели;
эти связи также будут нами указаны.

Рассмотрим экономику, в которой производятся п различных
продуктов. Технология производства подчинена законам неубываю-
щих маргинальных уровней трансформации и постоянства результата1)
(т. е. множество производственных возможностей выпукло и пред-
ставляет собой конус).

Технологические возможности производства описываются множе-
ством преобразований Т экономики, где Т является множеством тех
пар n-мерных векторов {х, у], для которых производство выпуска
y = (yj.....ул) при затратах х = (хр .... хл) технологически воз-

можно в том и только в том случае, когда [х, у] £ Т.

Предполагается, что множество преобразований Т обладает сле-
дующими свойствами:

(Т;) Т представляет собой замкнутый выпуклый конус, лежащий
в неотрицательном ортанте 2п-мерного евклидова пространства.

(Т2) Из [х, у]^Т и xz^x. (Ьау'^у, вытекает, что {х', y'JC^-
Это предположение означает, что меньший выпуск при больших
затратах, разумеется, возможен.

(Т3) Из {0, у}^Т вытекает, что у = 0. Иначе говоря, невозможно
произвести что-либо из ничего.

(Т4) Для любого Z=l, .... п существует {xz, yz} £ Г, в кото-
ром > 0. Это значит, что любой продукт действительно можно
произвести. В силу (Тт) это предположение эквивалентно следую-
щему утверждению.

(Т4) Существует {х°, у0} £ Г, для которого у0 > 0.

Для возможного ненулевого соотношения затрат и выпуска
{х, у}£Т мы определим темп расширения Х(х, у) следующим
образом:

Х(х, у) = шах [Х|у >Хх).	(9.10.1)

В силу (Tj) и (Т3) мы имеем

0^Х(х. у) < оо.	(9.10.2)

к Теорема 9.10.1. Существует {х*, у*}£7\ ^ля которого

у* = Х*х*, - Х* = Х(х*, у*) (х*>0)	(9.10.3)

и

Х*^Х(х, у)	(9.10.4)

для любого {х, у}£Т, у которого х>0.

9 См. сноску на стр. 305.—Прим. ред.
Доказательство. Положим

Х* = sup Х(х, у).	(9.10.5)

{х, у}€Г
х^О

Тогда 0 < X* < оо. Левое неравенство доказывается просто: беря
{х°, у0} £ Г, для которого у0 > 0, мы получаем

Х*^Х(х°, у°)>0.

Докажем правое неравенство. Если X* бесконечно, то существует
такая последовательность {xv, yv} £ Т, что yv>0, yv>Xvxv и
limXv = oo. Нормируя yv так, чтобы
п

4 = 1

и беря предельную точку у последовательности yv, мы приходим
к существованию пары {0, у}£7\ для которой у>0. Это противо-
речит гипотезе (Т3).

Поскольку Т представляет собой замкнутый конус, существует
такая пара векторов {х, у} £ Г, что Х* = Х(х, у), где X* опреде-
ляется согласно (9.10.5). В силу предположения (Т2) мы можем
найти пару {х*. у*}, удовлетворяющую (9.10.3)-и (9.10.4). Это за-
вершает доказательство теоремы.

Пара векторов {х*. у*} называется сбалансированным ростом,
а X* — темпом сбалансированного роста.

Как выясняется в следующей теореме, со сбалансированным ро-
стом оказывается связанной также равновесная система цен.

► Теорема 9.10.2. Существует вектор р*^0, для которого

(р*, у)^Х(р*. х)	(9.10.6)

при всех {х, у} £ Т.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве Еп множество V,
определяемое следующим образом:

{п 1

у —X*x|{x, ylGT. s(Xl + yz)-s 11.

В силу замкнутости и выпуклости Т множество V также является
замкнутым и выпуклым. Кроме того, из самого смысла X* ясно,
что V не пересекается с внутренностью положительного ортанта Оп
пространства Еп. Следовательно, существует проходящая через начало
координат гиперплоскость, которая разделяет Оп и V (теорема Б. 1.3).
Иначе говоря, существует такой ненулевой вектор р* = (/?*, р*, ...
. .., р*), что для всех {х, у}£Т

(р*, У — Х*х)<0	(9.10.7)

(нормировка здесь несущественна) и

(р*. z)>0	(9.10.8)

для всех ъ£Оп. Из (9.10.8) сразу следует, что р*>0, а соотноше-
ние (9.10.7) в точности совпадает с утверждением теоремы.

Модель фон Неймана. Предложенную фон Нейманом модель
расширяющейся экономики можно рассматривать как частный случай
настоящей модели. Мы будем придерживаться обозначений предыду-
щего пункта. Пусть процессы занумерованы индексом j (j = 1...п).

Предположим, что функционирование /-го процесса с единичной ин-
тенсивностью требует затрат продуктов в количествах (а1у«, я2;-, ...
.... amj) и дает выпуск (£1у-, b2j..bmj)- Предположим, что

1)	й/;>0,	(/=1......т\ /=1, ..., п).

Множество преобразований Т задается теперь следующим обра-
зом:

Т = ({х, y}|x^Az, y^Bz для некоторого z>0, z = (^p ...,г„)),
где

А=|1М’ В= ||&у||, /=1............m, j=\..........п.

Предположения (Tj) и (T2) выполняются всегда. Предположение (Т3)
эквивалентно следующему условию:

2)	для всякого / существует хотя бы одно I такое, что а^ > 0,
(в каждом процессе затрачивается хотя бы один продукт).

Предположение (Т4) эквивалентно тому, что

3)	для всякого i существует хотя бы одно /, такое, что > 0,
(каждый продукт может быть произведен некоторым процессом).

Теорема 9.10.1 в сочетании с теоремой 9.10.2 дает следующую
теорему.

> Теорема 9.10.3. Если матрица А и В удовлетворяют усло-
виям 1) — 3), то существуют такие уровни интенсивности про-
цессов г* и система цен р*, что

z*>0, р*&0, Bz*^X*Az*, р*В^Х*р*А.

Динамическая модель Леонтьева. Пусть, как и прежде,
имеются т продуктов. Пусть А — матрица технологических коэффи-
циентов; элемент akj матрицы А представляет количество продукта k,
требующееся для производства одной единицы продукта /. Обозна-
чим через В матрицу капитальных коэффициентов, a bkj можно интер-
претировать, как количество продукта k, которое производитель
должен иметь в наличии для производства одной единицы продукта j.

Вектор продуктов х = (хр ..., хт) в начале рассматриваемого
периода времени даст к концу этого периода вектор у = (у2......ут)

в том и только в том случае, когда для некоторого уровня интен-
сивности z = (^p zm) мы будем иметь

у^(1 — A)z + x, x>Bz, z>0.	(9.10.9)

Здесь мы отождествили уровень интенсивности с выпуском. (Это
сводится попросту к надлежащему выбору единиц измерения.)

Имеется внешний источник затрат (например, сырье или земля),
так что запас продуктов с каждым периодом времени возрастает.
Соотношения (9.10.9) выражают з известном смысле этот процесс
роста в рамках естественных экономических ограничений, касающихся
наличия ресурсов и возможности производить.

Соотношения (9.10.9) можно пояснить следующим образом. На-
личный запас &-го продукта плюс выпуск k-ro продукта в данный
период времени выражается формулой xk + zk. За тот же период
&-й продукт затрачивается в количестве 2 akjzf> следовательно, для
j

окончательного потребления остается xk-\-zk—	Капиталь-

j

ные ограничения x>Bz не влияют на это количество, так как вло-
жения в оборудование остаются капитальной статьей.

Для рассмотрения математических аспектов этой модели предста-
вляется удобным предположить существование вектора z°>0, для
которого

(I — A)z°>0.	(9.10.10)

Это предположение говорит о существовании вектора интенсивно-
стей, при которых каждый продукт производится в избытке; оно
весьма существенно для справедливости соотношений (9.10.12 а, б),
которые могут и не выполняться, если мы не наложим условие
(9.10.10). По поводу дальнейшего обсуждения существенности пред-
положений такого рода см. стр. 302.

Далее мы будем предполагать, что для любого j существует
такое /, что

Ьч>0.	(9.10.11)

Множество преобразований Т определяется в этом случае сле-
дующим образом:

Т={[х, у] |0^==у^=(1 — A)z + x, x^Bz для некоторого z^0}.

Если предположить, что соотношения (9.10.10) и (9.10.11) выпол-
нены, то станет очевидным, что предположения (Tj) — (Т4) удовле-
творяются. Легко также видеть, что из теорем 9.10.1 и 9.10.2 выте-
кает существование X* > 1, p*^0, z*^0, для которых

(I — A)z*^(X* — l)Bz*,	(9.10.12а)

р* (I — А) (X* — 1) р*В.	(9.10.126)

Налагая дальнейшие условия на матрицу А, последние два нера-
венства можно превратить в равенства. Укажем одно такое обобще-
ние. Будем говорить, что два индекса I и j сообщаются, и запи-
сывать это в виде i-—-у, если существует цепочка индексов 1Х,
Z2, .. ., 1Г, для которых

а/Л+1 > 0

(у=1, ...» г—1), где ix = i, ir = j (это отношение может быть
нерефлексивным). Если все индексы сообщаются, то соотношения
(9.10.12) можно записать в виде равенств, и z* и р* будут строго
положительными векторами. Докажем сначала, что z* > 0. Пусть,
напротив, z* = 0 для некоторого Zo. Исследуя Z0-e уравнение из
(9.10.12а), мы заключаем, что z* = 0 для всех тех Z, которые сооб-
щаются с Zo по цепям длины 1. Итерируя, находим, что z* = 0 для
всех Z, сообщающихся с Zo. Отсюда z*==0, что противоречит по-
строению (9.10.12а); следовательно, z* > 0.

Отсюда следует, что в (9.10.126) имеет место знак равенства.
В противном случае мы имели бы

(p*(l —A), z*)<(X*—1)(р*В, z*).	(9.10.13)

Но умножение обеих частей (9.10.12а) на р* дает нам

(р*(1~A), z*)>(X*—1)(р*В\ z*),	(9.10.14)

что, очевидно, несовместимо с (9.10.13).

Так как в (9.10.12) имеет место знак равенства, мы можем, рас-
суждая аналогичным образом, доказать, что р*>0. Проводя сим-
метричные рассуждения, получаем

(I —A) z* = (X*—l)Bz*,

завершая тем самым доказательство. (Дальнейшие результаты этого
рода см. в задачах 20 и 21.)

Эффективное производство, В любой модели, в которой мно-
жество преобразований Т удовлетворяет предположениям (Tj) — (Т4),
эффективность производственного плана легко характеризуется сле-
дующим определением.

Говорят, что допустимый производственный план {х, у} эффек-
тивен, если {х, у}£Т, х^0 и не существует плана {х, у) £ Г,
отличного от {х, у) и такого, что х^Бх, у^у.
> Теорема 9.10.4. Производственный план эффективен тогда
а только тогда, когда существуют такие системы цен р, q
с положительными компонентами, что

(q> У) — (Р, x)^(q, у) — (р, х)	(9.10.15)

для всех {х, у}СТ.

Замечание 9.10.1. Стоящее в левой части выражение оцени-
вает чистую прибыль, т. е. стоимость выпуска (q, у) за вычетом
стоимости затрат (р, х) при системе цен {q, р). Теорема утверждает,
что ко всякому эффективному производственному плану применим —
при некотором подходящем векторе цен — принцип максимизации
прибыли.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве Е2п множе-
ство Г, определяемое следующим образом:

Г = ( {u, v] |и = Хх — х, v = y —Ху, {х, у}£7\ Х>0).

Множество Г представляет собой выпуклый замкнутый конус, заде-
вающий неотрицательный ортант О2п только в начале. Кроме того,
множество Г не может прикасаться в начале координат к положи-
тельному ортанту ни по какому направлению. В противном случае
луч первого ортанта, идущий в этом направлении, целиком лежал бы
в Г, так как Г — замкнутый конус. Однако в силу определения Г
это невозможно. Следовательно, можно найти гиперплоскость, про-
ходящую через начало, не содержащую ни одного направления из О2л
и разделяющую Г и О2л. Обозначим компоненты нормали к этой
гиперплоскости через (pv р2, ..., рп\ qv q2, ..., </л). Так как эта
гиперплоскость является опорной к О2п, легко видеть, что Р/^0 и
^z>:0. В действительности pL > 0 и qt > 0, так как гиперплоскость
не содержит ни одного сегмента из О2л. Наконец,

(р, х — x) + (q, у — у)<0

для {х, у] £ Т, так как гиперплоскость разделяет Г и О2л. Тем самым
соотношение (9.10.15) установлено.

С другой стороны, если существуют системы цен р > 0 и q > О,
удовлетворяющие (9.10.15), то эффективность плана {х, у} очевидна.

9.11. Задачи.

1.	Пусть D — диагональная матрица^ а А — такая устойчивая
матрица (т. е. вещественные части всех собственных чисел матрицы А
отрицательны), что матрица DA устойчива тогда и только тогда,
когда все диагональные элементы матрицы D строго положительны
(dti > 0). Пусть С = ЕАЕ-1, где Е — произвольная невырожденная
диагональная матрица. Доказать, что матрица С устойчива и что
матрица DC устойчива в том и только в том случае, когда dLi > 0
для всех I.

2.	Пусть А — произвольная устойчивая матрица. Если D — диа-
гональная матрица и матрица DA устойчива, то хотя бы один харак-
теристический корень матрицы D положителен.

3.	Пусть матрица A=||aZy|| такова, что аи < 0 и
I аИ I > 2 | aij\

для всех I, Показать, что А устойчива.

4.	Пусть матрица D=||dZ/-|| такова, что sign (dZ;) == sign (tf;Z)
(i ф j) и sign (dZy) = sign — sign dik (Z #= J =# &), если только
dijdjk>^. Показать, что D есть Л4-матрица.

Следующие две задачи относятся к нормированному процессу
регулирования цен, а дальнейшие пять задач — к ненормированному
процессу регулирования цен. Мы сохраняем обозначения п. 9.2.

5.	Рассмотрим случай тг = 2 товаров. Показать, что в любой
точке р* устойчивого равновесия имеют место соотношения

дрх 7	dpQ 7

6.	Показать, что, каково бы ни было число товаров, невозможно
разбить все товары (включая измеритель стоимости1)) на два таких
непустых множества R и S, что dFrldps<Q для всех r£/?,
и для всех векторов цен р.

В задачах 7—И мы предполагаем, что функции избыточного
спроса F (р) непрерывно дифференцируемы при р > 0 и однородны
нулевой степени.

7.	Пусть F обладает свойством строгой валовой заменимости.
Показать, что если F (р°) > 0, то F [р (/)] > 0, где р(^) = ф(/; р°).

8.	Пусть для ненормированного процесса регулирования цен,
описываемого системой (9.2.4), имеет место строгая валовая замени-
мость. Показать, что функция

V(0=max	1

O^Z^/г Pi

строго убывает, если только не выполнено равенство pz(/) = Xp*
при всех I и для некоторого положительного X.

9.	Показать, что в случае двух товаров функция

V (t) = [РО (0 -	+ [р, (0 - Р^к

!) См. сноску на стр. 354. — Прим, перев.
при любом целом положительном k строго убывает по Л если только
р. (/) =£ \р* для / = 0, 1 и некоторого положительного X (предпола-
гается строгая валовая заменимость).

10.	Пусть для двух товаров имеет место строгая валовая заме-
нимость. Показать, что

1

/, ;=0

если только не выполнено равенство р = Хр* (X > 0).

11.	В условиях задачи 10 показать, что

есть строго убывающая выпуклая функция Л где р (/) = ф (t\ р°) и
р° ¥= Хр*.

12.	Пусть функция F (р) однородна, конечна внутри положитель-
ного ортанта /, но непрерывна в расширенном смысле (т. е. допу-
скаются и бесконечные значения) в замыкании / с удаленным началом
координат. Пусть, кроме того, производные dFJdpj (Z =/= /) в этой же
области строго положительны и непрерывны. Доказать, что если
р>0 и рЛ = 0, то F^(p) = co.

13.	Пусть в условиях задачи 12 функция F (р) равномерно огра-
ничена снизу и удовлетворяет закону Вальраса. Доказать, что суще-
ствует строго положительный вектор равновесия.

14.	Пусть для ненормированного процесса, описываемого систе-
мой (9.2.4), имеет место строгая валовая заменимость и пусть суще-
ствует вектор равновесия р* > 0. Показать, что теорема 9.5.4 при-
менима, если в качестве ср (р) взять одну из следующих функций:

ч f Pi (О )

а)	шах } L

Pi f

б)	Smax[0, Pi (0 Ft [р (/)] ].

i = l

ч	( Ft [р (/)] )

в)	max < 1 ; Л >.

l^i^rl Pi (О 1

15.	Рассмотрим ненормированный процесс с двумя товарами, для
которого выполняется закон Вальраса, а функции избыточного
спроса — однородные нулевой степени. Пусть Р’1(р1. 1) < 0 для до-
статочно больших рР Положим для рр р2 > 0

Pi

Р2

?(А- Р2) = — f 1)^-

о
Показать, что в этом случае применима теорема 9.5.4 и, следова-
тельно, процесс (9.2.5) квазиустойчив.

16.	Пусть /^—функции избыточного спроса, а матрица \\dFJdpjW,
вычисленная при равновесном векторе цен р* > 0, симметрична. По-
казать, что локальная устойчивость системы инвариантна относительно
выбора измерителя стоимости !) / = 0, 1, ..., г.

17.	Доказать, что если в -модели, описанной в п. 9.6, функция
избыточного спроса F (р) непрерывна, удовлетворяет слабой аксиоме
выявленного предпочтения и однородна нулевой степени, то система

р(/4-1) = шах[0, p(/)4"pF(p(0)l. / = 0, 1, 2, ...

с неотрицательным начальным вектором цен р(0) устойчива при до-
статочно малых положительных р.

18.	Пусть F (р)—функция избыточного спроса. Пусть F диффе-
ренцируема, однородна нулевой степени, удовлетворяет условию ва-
ловой заменимости

^>0 V*J, р>0)

и обладает вектором равновесия р* > 0, для которого F(p) = 0.
Рассмотрим последовательность векторов р(/), /=1, 2, .... опре-
деляемую рекуррентными соотношениями:

......... Л(0) = 0,

/ = 0, 1, 2, ...; /=1, 2......г,

где р(0)>0. Показать, что последовательность p(f) является вполне
определенной и что она сходится к некоторому вектору равновесия.

19.	Рассмотрим один товар, выпуск которого в каждый период
времени t делится на две части: потребление на следующий период
c(Z-f-l) и вложения, необходимые для выпуска в следующий период
х(/-|-1)- Предположим, что одна единица вложений дает в следую-
щем периоде а единиц выпуска и что имеет место закон постоянства
результата. Пусть в начальный момент t = 0 в нашем распоряжении
имеется К единиц товара. Доказать формулу

/2 — 1

с (п)4- * (п)апК — ^ап~гс(г)

г = 0

и поставить задачу максимизации с(п) в виде задачи линейного про-
граммирования.

20.	Показать, что неравенства (9.10.12а) — (9.10.126) превра-
щаются в равенства, если существует такой показатель степени п0,
что Ал° > 0.

4 См. сноску на стр. 354. — Прим, перев.
21.	Показать, что неравенства (9.10.12а) — (9.10.126) превра-
щаются в равенства, если существует такой показатель степени п0,
что В"0 > 0.

22.	Рассмотреть описанную в п. 9.9 модель расширяющейся эко-
номики фон Неймана. Доказать, что если + для всех Z,
J = 1, ...» п, то

sup е~^ = inf
(1	к

где е~^ удовлетворяет неравенству (9.9.1) для некоторого вектора
цен р, а е~х удовлетворяет неравенству (9.9.3) для некоторого век-
тора товаров у.

23.	Рассмотрим модель технологического производства, описы-
ваемую множеством пар векторов {х, у} £ Tt где векторы х, у £Еп
удовлетворяют постулатам Т1—Т4 (п. 9.10). Предположим, кроме
того, что	Обозначим через множество всех норми-

рованных векторов цен p = (plt ...» рл), pz>:0, ^pt=\ и поло-
i

жим для и {х, у} С Т'

п

S xipi

i = l

п

?(р; х, у) = { 5 JiPi

S У1Р1
1=1

> о,

0,

2 У/Л=о.

Z = 1

Показать, что существуют вектор р°£^ и пара {х°, у0} £ Л для
которых

<р(р; х°. у°)><р(р°; Х°, У°)>ср(р°; х, у)

при всех {х, у} £ Г и р £ еЛ

Комментарии
и библиография к главе 9

9.1.	Хороший обзор существа и проблематики экономики благосостоя-
ния можно найти в книге Самуэльсона [1]. Критический очерк, обсуждаю-
щий соотношения между экономикой благосостояния и теорией равновесия,
включен в книгу Купманса [2]. Другим важным вкладом в теорию экономики
благосостояния является статья Эрроу [2].

Основополагающие статьи Эрроу [2] и Дебрё [2] содержат детальное
математическое рассмотрение связей между оптимумами Парето и теорией
равновесия. Изложение Дебрё весьма абстрактно и использует бесконечно-
мерные аналоги. Подход Эрроу геометричен и основан на широком исполь-
зовании структурных теорем о выпуклых множествах. Здесь мы придержи-
ваемся иного способа изложения, заключающегося в сведении соотношения

26 Зак. 1789
между данным оптимумом Парето и существованием состояния равновесия
к векторной задаче максимизации, рассмотренной в п. 7.4.

Как Эрроу, так и Дебрё развивают характеризацию оптимумов Парето
для более общего случая, когда функции — индикаторы полезности Щ — пред-
полагаются квазивогнутыми. Доказательства этого пункта справедливы для
функций UI, подобных квазивогнутым (см. Эрроу [2]).

9.2.	Устойчивость процесса регулирования цен изучалась в XIX столе-
тии Вальрасом [1]. Устойчивость динамического процесса в современной
форме изучалась Хиксом [1], Самуэльсоном [1], Метцлером [1], Аллэ [1]
и другими авторами !).

В 1958 г. Эрроу и Гурвиц [3] сделали исчерпывающий обзор теории
устойчивости и существенно обобщили имевшиеся к тому времени резуль-
таты. Эта работа была в основном перекрыта работой Эрроу, Блока и Гур-
вица [1], в которой были получены значительно более сильные результаты.
В нашей формулировке многое основано на изложении этих авторов, а также
на некоторых изящных уточнениях и обобщениях, полученных Удзавой.

Формулировку процесса регулирования цен с дискретным временем
(см. п. 9.6) предложил Удзава.

9.3.	Пункт а) теоремы 9.3.1 установлен впервые Эрроу и Гурвицем [3],
предложившими, однако, весьма сложное доказательство его справедливости.
Хан [1] дал гораздо более простое доказательство. Наше доказательство еще
проще. Пункт б) той же теоремы, по-видимому, является новым.

Теорема 9.3.2 является новой.

Понятие валовых заменителей и дополнительных товаров введены Мо-
заком [1] и Метцлером [1].

Соотношения между Л4-матрицами и Л4-матрицами выяснены Мориши-
мой [1].

Теорема 9.3.4 представляет собой применение к „локальной" ситуации
одного более общего результата, сформулированного Эрроу, Блоком и Гур-
вицем [1].

9.4.	Теоремы 9.4.1 и 9.4.2 принадлежат Эрроу, Блоку и Гурвицу [1].
Изящные результаты теорем 9.4.3 и 9.4.4 получены Удзавой. Более слабый
вариант теоремы 9.4.3 содержится в цитированной выше статье.

9.5.	Теорема 9.5.1 нова; она является двойственной по отношению к тео-
реме 9.5.2, принадлежащей Эрроу, Блоку и Гурвицу [1]. Теорема 9.5.3 пред-
ставляет собой небольшое обобщение теоремы 4 из работы Эрроу, Блока
и Гурвица [1]. Понятие квазиустойчивости берет свое начало от Удзавы.
Это понятие позволяет выработать единый подход к проблеме выяснения
устойчивости при разнообразных предположениях относительно структуры
процесса регулирования цен.

9.6.	Описываемая в этом пункте модель была предложена Удзавой [2].
Он установил существование вектора равновесия; мы следуем его доказа-
тельству. Удзава показал, что нормированный процесс с дискретным вре-
менем устойчиз, если всюду выполняется слабая аксиома выявленного пред-
почтения. Теорема 9.6.1 устанавливает тот же факт для ненормированного
процесса с дискретным временем при наличии строгой валовой заменимости.

9.7.	Изложение этого пункта следует работам Энтховена и Эрроу [1]
и Эрроу и Мак-Мануса [1].

9.8.	Материал этого параграфа взят из статьи Эрроу и Нерлава [1].
Однако мы даем новое и более непосредственное доказательство теоремы 9.8.1.

9.9.	Модель расширяющейся экономики была построена фон Нейманом [2]
в качестве достаточно общей формулировки динамики производства и по-
требления. Ее решение было тесно связано с развитием теории игр. К со-

!) По этому поводу см. также работы Мак-Кензи [2], Негиси [1], Нью-
мана [1[. — Прим. ред.
жалению, в своем первоначальном исследовании фон Нейман был вынужден
предположить, что Ьц > Q для всех i и /, т. е. что всякий товар либо
потребляется, либо производится. Это предположение не так легко обосно-
вать с экономической точки зрения. Впоследствии Кемени, Моргенштерн и
Томпсон [1] и Гейл [2] существенно ослабили это предположение и все же
смогли получить количественное совпадение между темпом роста и процен-
том на капитал.

Другие обобщения были предложены Джорджеску-Регеном [1] и Ни-
кайдо [2]. Последняя модель является нелинейной.

Другой вариант сбалансированного роста дали Солоу и Самуэльсон [1].
Нейссер предложил интерпретацию этой модели, а Сьюте [1] привел не-
сложное математическое доказательство.

Моришима [2] рассматривает теорию сбалансированного роста в терми-
нах динамических моделей Леонтьева.

9.10.	Изучаемая здесь общая модель сбалансированного роста была пред-
ложена Гейлом [2]. Наше изложение является упрощением оригинального.

9.11.	Задачи 5, 6 и 8 основаны на работе Эрроу и Гурвица [3]. Задачи
12 и 13 принадлежат Эрроу, Блоку и Гурвицу [1]. Задачи 14—18 пред-
ложены Удзавой.
Решения задан к главам 5 — 9

Глава 5

Задача 2. Обозначим через х, yt z суммарные количества сырой нефти,
используемые в трех способах обработки. Задача сведется к максимизации
выражения 32х + 15у -1- 12г при условиях у^О, у^О, г^О, а ограничения
допустимости примут вид

х + 2у + 2г<10,

2х + у + 2г<15.

Решением будет х = 15/2, у = 0, z = 0; максимальная прибыль составит 240.

Задача 4. Xi = п, х2 = х3 = ... = хп = 0.

Задача 8. Из неравенства b 0 следует, что вектор х = 0 будет до-
пустимым для задачи 1. Теперь следует использовать теорему существова-
ния (теорема 5.4.2).

Задача 11. Задачу можно поставить математически следующим об-
разом: максимизировать 2 ПРИ условиях nJP,aLxi<M. Положим
i	i

h0 h

—- = max —.

а,-

ai

Решение имеет вид x1q = Л4/а/о, xj = 0 для всех J =£ z0.

Задача 12. Упорядочим at и bi следующим образом:
и > ... > bN . Тогда искомый минимум равен
1	п

п

(Этот факт известен под названием неравенства Чебышева.)



Задача 16. Рассмотрим множество Г={(А — Х0В) х | х^О}. Из опре-
деления Хо следует, что Г не пересекается с внутренностью положительного
ортанта. Согласно лемме Б.1.3, существует такой вектор у°>:0, что
(у0, (А — Х0В) х) < 0 для всех х > 0 или Хоу°В у°А. Отсюда < Хо, что
и требовалось.

Задача 18. Вогнутости v (b) как функции от b показывается легко.
Предположим далее, что {х, у} есть седловая точка функции (х, у) =
= (с, х) + (У» b — Ах), a {x-f-Sx, У +	— седловая точка функции

? (х, у) = (с, х) + (у, b + ДЬ — Ах). Тогда

(с, х 4- 6х) 4- (у, b — А (х + 8х)) < (с, х) 4- (У, Ь — Ах),

и поэтому

△v = (с, 8х) < (у, Абх).
Но из соотношений Ах + А8х b + ДЬ и (у, Ах) = (у, Ь) .[уравнение (5.3.10)]
следует, что (у, А5х)<(у, ДЬ). Окончательно мы получаем неравенство
Av < (у, ДЬ); требуемое заключение получается из него путем подходящего
выбора ДЬ.

Задача 19. Требуемый результат вытекает из следующей цепочки
легко доказываемых эквивалентных утверждений:

1)	х^>0, (с, х)>:0;

2)	xz>0 (Z =1, .... п), 2 cixi 2= У (—«л) хк\
О' к£К

3)	существуют такие числа а/#, что

2 aik для / € 7,
к^К

— ckxk = Т alk ДЛЯ * € К
О'

(доказывается индукцией по числу элементов множеств I и К)\

4)	существуют такие числа у/, что

xi = Vi + J} для z 6 z'
k^K I

ДЛЯ keK;

O' k

5)	X = 2 W+ 2 aik',ik+ 2 x№‘
O' O' OJ
k^K

где все у/, и Xj неотрицательны.

Задача 20. В силу теоремы 5.3.1 и уравнения (5.3.10) справедливы
следующие соотношения:

(с, х0 + 8х0) + (Уо, Ь — А (х0 + 8х0)) < (с, х0), (у0, Ь) = (у, Ах0),

(с + 8с, Хо) + (Уо + 8у0. b + 8Ь - (А + 8А) х0) < (с + 8с, х0 + 8х0),
(Уо + 5у0, Ь + 8Ь) = (уо + 8у0, (А + 8А) (х0 + 8х0) ).

Комбинируя эти соотношения, мы получаем первое неравенство задачи.
Второе неравенство получается при использовании другой части неравенств,
характеризующих седловую точку.

Задача 21. Доказательство аналогично доказательству леммы 5.3.1.

Задача 22. Ср. с задачей В" п. 5.11.

Задача 25. Задача заключается в минимизации

С = 2^ + ХХ

при условиях Z[ > ti — X и 0 < Zi < г/. Решение существует только при
ri^ti — X (это условие мы предполагаем выполненным). При фиксирован-
ном X выражение с достигает минимума, если zt = шах {0, // — X} (/ = 1,п);
в этом случае

с (х) = S max I0»—х)+кх-

Л = 1

Предположим для определенности, что t\>t2 а:.. .> tn. > X>tm+b то

с(Х)= 2 (k + ^-m)X.

k =1

Это выражение достигает минимума при

х = (*тУ X — m < 0,

I	+ 1»	— 0.

Следовательно,

2	*л + (^—"06п+1- * — т>0,

с(Х)=

У, ^ + (х— m)tm, \—т<0.

k =1

Пусть [X] = mQy где /и0<Х < /и04" 1; тогда оптимум Х = ^о+1 и

{Л —	< /пл,

I ^о+1	О’

0, i > mQ.

Глава 6

Задача 2. Использовать процесс А с интенсивностью 0,25 и процесс В

с интенсивностью 1, 0; процесс С не использовать.

Задача 4. Использовать лемму 6.1.1.

Задача 6. Рассмотрим соотношение zA = 0, где вектор z имеет вид
z = (xb х2у ..., хПУ уь у2, ...» уп).

Отсюда Х[ = — yi для всех Z=l, ...,п и /=1,	Следовательно,

ядро матрицы А одномерно и ранг А равен п-\-т— 1.

Задача 8.

	0<Х < 1	1<Х<2 |	X > 2
X	10	1	0
	0	1	2
^2	0	5	5
*3	0	3	4

Задача 10. См. Прагер [2].

Задача 11. Отправить 75 единиц.
Задача 13. Ср. с моделью, изображенной на рис. 6.5. Положим С/у
равными 1 или 0 в зависимости от того, является ли пара (//) „хорошей"
или „плохой". Если ai и bj выбраны достаточно большими, то ограничения
на пропускную способность не будут существенными.

Задача 14. Пусть р — узел с входящими в него дугами Alt .,.,АГ и
выходящими из него дугами	ограничение его пропускной спо-

собности составляет с. Заменим этот узел двумя такими узлами р и р', что
дуги Alt ...» Аг направлены в р, а дуги Bh	направлены из р';

добавим направленную дугу от р к р', имеющую пропускную способность с.

Задача 16. Соотношение хА = 0 имеет место в том и только в том
случае, когда х/ = Xj для всех /, j — 1, ..., и. Следовательно, ядро матрицы А
одномерно, и поэтому ее ранг равен п — 1.

Задача 19. В силу леммы 6.1.1 каждая крайняя точка х£Х имеет
ровно т положительных координат, и обратно. Теперь требуемый результат
вытекает из следующего утверждения: сумма В (х/) по множеству всех
i

крайних точек из X постоянна.

Задача 20. Требуемый результат вытекает из вогнутости <р (х).

Задача 21. См. Гросс [3].

Глава 7

Задача 1. В теореме 7.1.1 положить X = Ет.

Задача 2. В силу вогнутости функции g мы имеем'
^(х)=££(х°)-|-(£хо, х —х°)

(согласно свойству 7 п. Б. 4). Теперь если х° максимизирует (gx0, х) при
условиях х =^0, /(х)>0, то для всех х, удовлетворяющих этим условиям,
мы будем иметь (£х0, х)<(^х0, х°) и, следовательно, g-(х) < g-(х°). С дру-
гой стороны, если g(xQ)^zg(x) для всех х, подчиненных ограничениям
х 0, f (х) s=0, то вектор х° + ^(х — х°), 0</<1, также удовлетворяет
этим ограничениям. Максимум функции 1 (t) = g (х° -|-1 (х — х°)), 0</<1,
достигается при t = 0. Ввиду вогнутости / (t) это может случиться в том и
только в том случае, когда Г (Z)<0, т. е. (^х0, х — х°)<0, а это и тре-
бовалось.

Задача 3. По теореме 7.1.1

(р, х) + (u°, v — F (х)) < (р, х°) + (и0, v — F (х°)) < (р, х°) + (и, v — F (х°))
для всех х, и > 0. Следовательно, (и0, v—F (х°)) — 0 и, таким образом,
(р, х) — (u°, F (х)) < (р, х°) — (и0, F (х°)). Отмстим, что функция F (х) одно-
родна; следовательно, для х = Ах°, где 7 — произвольный положительный
скаляр, мы имеем (р, х°) = (u°, F (х°)) = (и0, v).
Задача 4. Теорема 7.1.1 показывает, что вектор х* оптимален в ква-
дратичной задаче тогда и только тогда, когда для некоторого п*^>0

С — ех* — П*А 0,

(с — ех* — и*А, х*) = 0,

Ах*±|Ь, х*^0,

(u*, b — Ах*) = 0.

Из этих соотношений следует, что вектор х* оптимален для задачи макси-
мизации (с — ех*, х) при условиях Ах^Ь, х^±0. Если е достаточно мало,
то х* будет оптимальным и для исходной задачи линейного программирова-
ния (по теореме 5.3.1).

Задача 5. Для фиксированного п оптимальный вектор х^ определяется
формулой х^=Т)п и

п

(.4л)) = nf .

Z = 1

Значение п, максимизирующее и (и), определяется из условия и' (п) = 0 или,
что эквивалентно, из следующего условия:

Задача 6. Ввиду вогнутости функции f оптимум расположен в одной
из крайних точек. Поэтому min / (xt) = f (Т).

I i

Задача 7. Использовать решение задачи 5, удостоверившись в том,
что нужные ограничения выполнены.

Задача 9. Согласно теореме 7.1.1, вектор х* оптимален для первой
задачи в том и только в том случае, когда для некоторого и* 0 мы имеем

а — Ах* = и*В,
Вх*^Ь,
(u*, b — Вх*) = 0.
Эти условия эквивалентны следующим:
х*= А-1а —А-1ВГ и*,
ВА"^ —b — ВА_1Вги*ёО,
(ВА-1а —b — ВА-1ВГ u*, и*) = 0.

Эти последние условия равносильны тому, что и* максимизирует

(ВА^а —Ь, и) — (и, ВА~1Вги)

при условии и>0 — снова в силу теоремы 7.1.1.

Задача 10. См. задачу 17 к гл. 5.

Задача 11. Использовать теорему 7.4.1.
Задача 12. Предположим противное; тогда при любом х £ А” одна
из компонент F (х) будет неположительной. Обозначим через Н образ
в пространстве Еп вектор-функции F (х), когда х пробегает X Так как
F выпукла, то выпуклая оболочка множества Н не пересекается с внутрен-
ностью первого ортанта. Следовательно, существует разделяющая гипер-
плоскость и и (u, F(x))<0 для всех х € X, что противоречит условию.

Задача 13. Положим g (х) = (с, х) —	(х, Ах). Тогда х^+1) макси-

мизирует g(x^ + 1), ...,х^+1), xz, х^р ..., х&) при условий xz^0.
Поэтому

....	^+1), 4^....

>^(^+4х^\ х^, х^...............4>),

причем равенство имеет место только в случае х^+1) = х^\ Таким образом,
g(x^+1\ ..., x^+1))>g(x^, ..., х^) со строгим неравенством, если
только (х^\ ..., х^) не есть точка максимума функции g(x). Но множество
{х | g(x)^:g(х(1))} ограничено; последовательность ^(х^)> g(x(2)), ...
также ограничена. Поэтому последовательность х^\ х^2\ ... сходится
к единственному оптимуму.

Задача 16. Существует такой вектор х°, что с == sup Д (х°) < оо
а

в том и только в том случае, когда {с, х0} С [Д, Са] при всех а. Последнее
в свою очередь эквивалентно тому, что

sup [(х°. 0 — ?*(£)] = A(x°)=sc.
^г«

Задача 18. Положим f (х) = min (х, Ау) и g (у) = max (х, Ау), где
у	х

х и у пробегают множества, определяемые обычным образом. Затем следует
применить теорему 7.9.4.

Задача 20. Обозначим через te множество единичных векторов, про-
ходящих через начало координат, ортогональных к гиперплоскостям, огра-
ничивающим Оа и направленных в Оа. Пусть ра — конечные точки векто-
ров ta на единичной сфере. Из условия следует, что начало координат
лежит внутри выпуклой оболочки точек ра. Применить теорему 7.9.4.

Задача 22. Рассмотреть множество открытых полупространств,
дополнительных к данным замкнутым подпространствам Afa, и применить
результат задачи 21.

Задача 23. Следует отождествить лучи ra с точками ра, в которых
они прокалывают единичную сферу с центром в начале координат. Из усло-
вия следует, что начало координат лежит внутри выпуклой оболочки
точек ра. Применить теорему 7.9.4.

Задача 24. Вектор p£S мы будем обозначать через (хь ...» хл),
а вектор р' С S'— через (уь ...» уп). Векторы из £л+1 будут обозначаться
через а = (а0, alf ..., ап). Положим

Яр = {а|а0 + «1*1+ ... 4-a„x„<0},
Яр, = (а | а0 4-	4- ... + а„уп > 0}.
А}ы породили, таким образом, конечное семейство полупространств в Еп + Х\
любые п + 2 из них соответствуют л+ 2 точкам из Согласно пред-
положению, они пересекаются. Остается применить следствие 7.9.1.

Задача 25. Применить метод задачи 24 и воспользоваться теоре-
мой 7.9.4.

Задача 1.

р(0 = (/»(0)4

Глава 8

lexp — t/a]

-а —3

а — b ‘

Если а > by то р (/) сходится; если а = Ь, то р (/) равно постоянной; нако-
нец, при a <b p(t) расходится.

Задача 4. Y (t) = cY (t) + vY (t) +Aaert.
Тогда

Г (0 =	— eft + ke V

-------r

V

Задача 6. Y (t) = cxY (t — 1) + c2Y (t—2)	(Г(/—1) — Y (/—2))+ A.

Положим Y = A/(l — Ci — c2). Тогда Y (t) = У-f- Z^X* где и ^2 —
корни уравнения x2— (^ —|—v) jv —J—— c2) = 0. Если встретятся кратные
или комплексные корни, то вид решения соответствующим образом видо-
изменяется.

Задача 8. (Доказательство по индукции.) Рассмотрим уравнение
D (I — С) = Е, где си =£ 1 и dn = 1, djx — CjJfl — си) при j = 2, ..., ли
dij — Ъц в остальных случаях. Тогда

1 — си

0

— С12

1 --- С22

С\П

С2П

где

Отметим, что

0	СП2 1 спп

cij = СИ 4" 1 _ л ’	/, / = 2, ..., л.

1 Сц
п
У |'с</|===1.
1=2

Поэтому из индуктивного предположения следует, что

det (I — С) = (1 —си) det (I — С) >(1 — | си |) Ц ( 1 — 2 |^| )>

;=2 \	/ = 2	/

^(1-Z	i^iY

\ i = 1 J j = 2\ i = \	/

Видоизменение этого рассуждения для случая си = 1 тривиально.
Задача 10. Пусть вектор х° > 0 определяется соотношениями
Дх° = Хо (А) х° и Ау = p-у, где у — вещественный вектор и р- вещественно.
Если /г-я компонента вектора у равна нулю, то Akk | у |	| р- 11 у |, где

Akk — матрица, полученная вычеркиванием k-n строки и k-ro столбца.
По следствию 8.2.1 мы получим Хо (А) > Хо (Akk) > | р. | > р.. Если k-я компо-
нента вектора у отлична от нуля, определим такое а, чтобы ayk-\- xQk = 0.
В силу линейной независимости векторов у и х имеем ау-|-х0=^0. Теперь
А^ (яу + х°) = A (ay + х°) Р* (аУ + х°)> откуда в силу произвольности k
заключение теоремы вытекает так же, как и выше.

Задача 11. См. Гантмахер [1], гл. 13.

Задача 13. Предположим для определенности, что первый столбец b
матрицы В (X) неотрицателен и состоит не сплошь из нулей. Так как
(XI — А) (XI — А)"1 = I, то мы имеем (XI — А) b 0. Согласно теореме 8.2.1,
существует такой вектор у0 > 0, что у0 А = Хо (А) у0; следовательно,
X (у0, Ь) > Хо (А) (у0, Ь) и X > Хо (А),‘ что и следовало доказать.

Задача 15. Пусть X — собственное число с наибольшей вещественной
частью. Тогда хВ = Хх для некоторого х>:0. Поэтому 0 < (х, Bz) =
= X (х, z). Так как (х, z) < 0, мы имеем X < 0.

Задача 17. Предположим противное. Тогда множество Г cz Е2п, опре-
деляемое как

не имеет общих точек с внутренностью положительного ортанта. Заключи-
тельная часть рассуждения проводится стандартным образом.

Задача 18. Пусть (р*, х*, у*|—состояние равновесия. Тогда

Так как Yj есть конус, мы заключаем, что (р*, у*) = 0 для всех 7=1, ..., п,
а это и требовалось.

Задача 19. а) Это утверждение легко доказывается геометрически,
б) Пусть р1 = Хр°, ЛР = ХЖ Х>0 и х° = f (р°, Л4°), x1=f(p1, Al1).
Тогда (р1, х°) = X (р°, х°) = ХЛ4° = Л41 = (р1, х1). Если х° =/= х1, то по слабой
аксиоме выявленного предпочтения (р°, х°) < (р°, х1). Но (р°, х°) = М° и

(р0, X1) = -J- (р1, X1) =4- М' = ж
л	л

Получено противоречие.

Глава 9

Задача 1. Матрица DC устойчива E-1DCE = E“!DEA устойчива
(матрицы D и Е коммутируют, так как обе они диагональны) все диаго-
нальные элементы матрицы E“!DE положительны с1ц > 0.
Задача 4. Разобьем множество {1.........п] в соответствии с отноше-

нием эквивалентности

у sign dtj > 0.

Тогда из i j следует j и из i j, j k следует i k.

Задача 7. Положим

Л (0 = min .
Pt

где р* — строго положительный равновесный вектор. Тогда

Ига м>+'.>-*та0
*

и, следовательно, X (/) ^ X (0). См. также доказательство теоремы 9.4.3.

Задача 8. Для соответствующего индекса 1
1 dp*	,Z,A	pi<t)

_ У(<+Л)-У(0	 pi dt	pi
*->+°	h	1 dp*t Pi(t)	Fi(t)
,	при У (0 = 1	ф	=
Pi dt	pi	Pi

Если (t) > р*, то из утверждения (I) в доказательстве теоремы 9.4.3
следует, что	с равенством только в точке равновесия, так как

последовательность —, у=0, 1, ...» и, достигает максимума при значении
pJ

j — i. Аналогично если I таково, что V (t) =—	(0 — Pt)* то i является

Pjif) .

индексом, при котором , j = 0, 1, ...» п, достигает минимума, и
Pj

поэтому	с равенством только в случае, когда р (t) — равновесный

вектор. В каждом из этих случаев мы получаем

ilm ИШкзПО
Л->+0	Л

<0,

и доказательство завершается так же, как и в теореме 9.4.3.

Задача 12. Рассмотрим вектор р°^0 вида р° = (0,	р^, р^

Покажем, что /71(р°) = оо. Пусть рх = (Х, р^ р$, ...» р^ где X > 0. Из то-
ждества Эйлера (однородность)

х 'дрг = ~^pk ~др~	——с < 0

k = 2 k
ИЛИ

А	с < 0

ОА
для всех X С [О, Хо]. Интегрируя это соотношение от е до Хо> получаем
' /71(Ре)> Л(РХо)-С1°ее + с1°8ХО-

При е -»0 мы приходим к требуемому результату.

Задача 13. Ограничимся рассмотрением множества А всех векторов р,
удовлетворяющих условиям /?.>0 и

2 Pi=x-
г = 1

Рассмотрим функции gk (р) = е для р С А, & = 1,	В силу

результата задачи 12 gk (р) непрерывны на А и gk (р) = 0, если только
pk = 0 (и обратно). Положим

(р) = max {g} (р)} — gk (р).

Предположим, что не существует таких р С А, для которых hk (р) = 0
(k = 1,	г). В этом случае рассмотрим отображение множества А в гра-

ницу А, определяемое следующим образом:

rk т
2 мр)
i = l

В силу теоремы Брауэра о неподвижной точке (п. С.2) существует не-
подвижная точка р*, имеющая по меньшей мере одну нулевую координату.
Если Л*„(р*) = ^О = 0, то (р*) = 0 и

max g (р*) = 0.
1 j г 7

Поэтому р* == 0, что бессмысленно. Следовательно, существует выбор р*,
при котором gx (р*) = g2 (р*) = ... = gr (р*) =#0. Отсюда Fx (р*) = F2 (р*) =...
...=/> (р*) =# оо, что в силу закона Вальраса сводится к утверждениям
F (р*) = 0 и р* > 0.

Задача 16. Не умаляя общности, можно предположить, что
р* = (1, ...» 1). Положим

/дРД	. • А 1

Пусть система

dPt v	,

i=1.....

;=i

устойчива (нулевая компонента означает измеритель стоимости). Так как
матрица ||я/;|| симметрична, она будет отрицательно определенной. Рассмо-
трим в качестве измерителя стоимости другой товар, скажем, с номером г.

В силу однородности

г
Л/о = —1=1.............г>
а так как измеритель стоимости есть величина постоянная, то

г	г

^00 ~	^0 ~

1	= 1 Z, j = 1

Теперь, производя несложные преобразования, мы убеждаемся, что для
любого вектора х = (х0,	хг_!)^=0

г-1	г

2	aljXlXj= 2 aijx'ixp

I, j = 0	i,j = 1

где xz=x0 — xt, Z = 1, ...,r — 1, и хт = х^. Следовательно, матрица

Iloilo-1 устойчива.

Задача 18. Положим

....	• л <0

X (О = пип —Ц—,

р(

д ... Л (О

Л (О = max -Ц- •
Pi

Тогда —X(Z) и Л (Z) представляют собой невозрастающие функции (строго
невозрастающие, если р (Z) не есть равновесный вектор). Начиная с этого
места, рассуждения аналогичны доказательству теоремы 9.4.3.

Задача 19. Соотношение выпуска и потребления в двух последова-
тельных промежутках времени подчинено закону х $/) 4- с (/) < ах (Z — 1).
Итерируя, получаем

ап~*х (Z) 4- ап~1с	х (t — 1)

апх (0) + апс (0) < апК.

Следовательно,

п-1

с (п) + х (и) <апК — 2 a’l~tc (О-
/=о

Формулировка в виде задачи линейного программирования: максимизиро-
вать с (и) при условиях

t

а*К— 2 а""°с (v) 2= °-	* = °. 1...«,

77 = 0

и с (у)	0 при всех v.

Задача 20. В этом случае z* > 0 и р* > 0.
Часть III

ТЕОРИЯ

БЕСКОНЕЧНЫХ ИГР

ГЛАВА 10

ПРИРОДА И СТРУКТУРА
БЕСКОНЕЧНЫХ ИГР

По своему характеру эта глава является описательной; цель ее
состоит в том, чтобы ознакомить читателя в общих чертах с поня-
тиями и методами теории бесконечных игр. Содержание ее является
существенным для дальнейшего, однако необходимости в детальном
ее изучении нет, поскольку -формальный вывод обсуждаемых здесь
результатов и разбор частных случаев можно найти в гл. 11 — 17.

10.1. Введение. В гл. 1 мы определили игру как.тройку [X, Y,K],
где X— пространство стратегий игрока I, Y— пространство стра-
тегий игрока II, а К — определенная на X X У функция, значения
которой интерпретируются как выигрыш игрока I. Этим определе-
нием можно воспользоваться и в теории бесконечных игр; единст-
венное различие состоит здесь в том, что все перечисленные компо-
ненты для бесконечной игры имеют более сложную структуру. Во
всех случаях мы будем требовать, чтобы X и Y были выпуклыми
множествами, а вещественная функция /С(х, у) была выпуклой по у
и вогнутой по х. В большинстве примеров функция К является
фактически билинейной.

В гл. 1 мы подчеркнули, что множества X и Y должны быть
такими, чтобы их можно было понимать как подмножества конечно-
мерных евклидовых пространств. Это всегда соблюдалось в случае
матричных игр, где множество X состояло из всех векторов х =
= (£р ...» £л), которые лежали в пересечении положительного ор-
танта пространства Еп и гиперплоскости 5i + ?2 + ••• + =
множество У определялось аналогично.

Представляется естественным обобщение теории игр на тот слу-
чай, когда пространства стратегий X и Y являются бесконечномер-
ными. В этом случае мы должны различать две категории игр: либо
(1) множества X и Y имеют достаточно простую структуру, так что
их можно отождествить с подмножествами того или иного классиче-
ского пространства функций, либо (2) множества X и Y таковыми
не являются. Всюду в гл. 10—17 мы рассматриваем игры лишь пер-
вой категории. Игры второй категории будут рассмотрены в следую-
щей книге.

27 Зак. 1789
Игры первой категории подразделяются на два основных типа:
(а) X является совокупностью вероятностных мер, определенных на
области, лежащей в n-мерном евклидовом пространстве; (б) X
является множеством n-мерных векторов, каждая компонента которых
оказывается функцией, определенной на некотором заданном множе-
стве из Еп\ значения этих функций лежат между 0 и 1. Примеры игр
каждого из этих типов описаны в п. 10.3 и 10.4.

Каждый раз, говоря об игре, мы подразумеваем, что простран-
ства стратегий являются исчерпывающими, т. е. что мы принимаем
во внимание все способы действий игроков, как хорошие, так и пло-
хие. Читатель сможет убедиться в том, что в каждом частном случае
применения теории игр сконструированная формальная игра полностью
описывает исследуемую конфликтную ситуацию.

Как и в случае матричных игр, для того чтобы можно было дать
естественную интерпретацию игре и обрисовать рациональное пове-
дение каждого из противников, необходимо!), чтобы

minmax/C(x, у) = max min К (х, у).	(10.1.1)

y£Y х£Х	х£Х y^Y

Общее значение обеих частей этого равенства называется „значение м“
игры. Из (10.1.1) следует, что существуют стратегии xQ£X и у0^К,
которые удовлетворяют неравенствам

К(х, y0)^s/C(x0, у0)^/С(х0, у)	(10.1.2)

для всех х £ X и у £ Y. Доказательство этого утверждения очень
просто и напоминает доказательство теоремы 1.3.1.

Каждая пара стратегий х0, у0, удовлетворяющая неравенствам
(10.1.2), называется решением игры, а сами стратегии х0. и у0 —
соответственно оптимальными стратегиями игроков I и II. Из соот-
ношения (10.1.2) вытекает, что если игрок I использует стратегию х0,
то он может обеспечить себе получение выигрыша не меньшего, чем
v — K{xQt у0), независимо от стратегии, примененной игроком II;
игрок II со своей стороны может, используя стратегию у0, помешать
игроку I получить выигрыш больший, чем V. Если же игрок II при-
меняет неоптимальную стратегию, то игрок I разумным выбором
стратегии может, вообще говоря, обеспечить получение выигрыша
большего, чем V. Поэтому, если игрок II не глуп или не желает
быть безмерно щедрым (что к тому же противоречит конфликтности
ситуации), он будет играть в общем оптимально. Поэтому, как и
в случае матричной игры, число v характеризует в конечном итоге
средний выигрыш игрока I, если действия обоих игроков разумны.

!) С формальной точки зрения необходимым и достаточным условием
является равенство min sup К (х, у) = max inf К (х, у). Его выполнение
y£Yx£X	x£Xy£Y

эквивалентно также существованию х0 С X и у0 С У, удовлетворяющих соот-
ношению (10.1.2). — Прим. ред.
В теории бесконечных игр вопрос о справедливости соотношения
(10.1.1) является серьезным и требует тех или иных предположений
о непрерывности функции ЛГ(х, у) и компактности (в определенном
смысле) по крайней мере одного из пространств X или F. Достаточно,
например, потребовать, чтобы функция К(х, у) была по обеим пере-
менным непрерывной, а множество X компактным. Читателю, желаю-
щему рассмотреть абстрактную постановку этой проблемы, следует
ознакомиться с замечаниями в конце этой главы (см. также задачи
1—3). Далее мы всюду будем предполагать, что для рассматривае-
мого класса игр имеет место соотношение (10.1.1), если явно не
оговорено противное. На деле в большинстве случаев мы будем про-
верять справедливость неравенств’ (10.1.2) и уже отсюда будет для
рассматриваемых нами игр вытекать справедливость (10.1.1).

Если условия на X, Y и К слегка ослабить, то иногда можно
доказать лишь более слабое соотношение, а именно

sup inf К(х; y) = inf sup K(xt y) = v. (10.1.3)
x£Xy£Y	y£Y x£X

По существу, это эквивалентно существованию е-оптимальных стра-
тегий для произвольного положительного числа е. Стратегии х0 и у0
называются е-оптимальными, если

— v —£ для всех у €

и

К(х> у0) —v + £ для всех х(^Х.

В большинстве представляющих интерес случаев из справедливо-
сти (10.1.3) вытекает справедливость (10.1.2).

В этой главе, как и в гл. 1, мы даем определение игры непо-
средственно в терминах полных пространств стратегий, а не путем
предварительного введения чистых стратегий. Тем не менее для мно-
гих классов игр предпочтительнее (да и естественнее) выделить мно-
жество чистых стратегий, выпуклой оболочкой которых является
множество всех стратегий. В частности, для игр, разыгрываемых на
единичном квадрате, уместнее именно второе (см. п. 10.2).

Выше мы определили игру как тройку {X, К, /С}. Переходя от
чистых к смешанным стратегиям, мы можем расширить множество X
до множества X, состоящего из всех регулярных вероятностных мер,
определенных на борелевской алгебре, содержащей все открытые
подмножества множества X. Аналогично по Y строится К. Положим
для любых |i £ X и v £ Y

АГ(р-, v)= J J К{х, y)<ty(x)dv(y).

X Y

Функция К должна быть измеримой относительно этой борелевской
алгебры.
Точки исходного множества X можно отождествить с вырожден-
ными вероятностными мерами, вся масса которых полностью сосредо-
точена в одной точке х. Такая мера будет обозначаться через
Таким образом,

( 0 при В zb {*},
ь(^) = { ! при ВО{Х},

где В — произвольное измеримое подмножество множества X. Сим-
волу vy припишем аналогичное значение. Такой процесс расширения
множества X соответствует процессу погружения пространства чистых
стратегий в пространство смешанных стратегий. Однако если для
игры [Х, У, К} уже имеет место равенство (10.1.1), то это расши-
рение не является существенным. В этом случае любая пара [х0, у0}
стратегий, оптимальных для исходной игры, является оптимальной и
для расширенной игры, и значения этих игр равны. В самом деле,
если

K(xQt у)>^ и ^(x, у0)^-У	(10.1.4)

соответственно для всех у и х, то для и	интегрируя

неравенства (10.1.4), мы получим

/С(р-х0,	и /Гф., Vy0)^v

для всех v £ У и рь £ X.

По отношению к фактически разыгрываемой игре сказанное можно
интерпретировать следующим образом. Для того чтобы реализовать
стратегию мы выбираем х£Х, используя рандомизацию с по-
мощью вероятностной меры [i, и применяем х в разыгрываемой игре.
Приведенные выше аргументы показывают, что такие приемы рандо-
мизации не могут обеспечить в среднем больших результатов, чем
оптимальная стратегия х0 £ X.

Итак, подведем итоги: при задании игры пространства стратегий
X и У обычно берутся как описания всевозможных способов дейст-
вия. Если при этом выполнено (10.1.1), то никакое дальнейшее рас-
ширение понятия стратегии, как, например, введение понятия сме-
шанной стратегии, ничего не изменяет.

В заключение этого параграфа сформулируем следующее полезное
свойство оптимальных стратегий.

► Лемма 10.1.1. Множество Х°(У°) оптимальных стратегий
игрока I (II) выпукло.

Доказательство. Утверждение леммы вытекает из выпукло-
сти множества X и вогнутости функции К (х, у) по х. Точнее, если
хг и х2 принадлежат Х°, то

/<(Хх1 + (1_Х)х2, у)^ХК(хр у) + (1— Х)К(х2, y)^v
для всех у, 0<X1 и, следовательно, точка Хх1 + (1—Х)х2 при-
надлежит множеству Х°.

Г0.2. Игры на единичном квадрате. Одним из простейших не-
прерывных аналогов конечных матричных игр является класс игр,
разыгрываемых на единичном квадрате. В этих играх тройка [X, У, К]
состоит из ядра К (?, ?]), являющегося функцией двух переменных £
и т], каждая из которых имеет областью значений замкнутый интер-
вал [0, 1], и пространств стратегий X и К, состоящих соответственно
из всех функций распределения х(£) и у(т]). (Читателю следует об-
ратиться к приложению В.З, где изучаются распределения на веще-
ственной прямой.) Выигрыш игрока I, если он выбирает стратегию х,
а игрок II — стратегию у, равен

1 1

К(х, y) = f ^dx^dy^.
о о

Стратегии

[ 0 при В < 10,	(0 при

хе (£) = 1 1	t и у г 0ч) =	1

(1 при	I 1 при

(10.2.1)

^<^о>

называются „чистыми стратегиями". Таким образом, в этом примере
чистые стратегии каждого из игроков отождествляются с точками
единичного интервала вещественной прямой. (Для вырожденного рас-
пределения, представляющего чистую стратегию, в условиях которой
выбирается только число у, мы будем иногда употреблять обозначе-
ние /г) Общая стратегия х(£)£Х является вероятностной смесью1)
чистых. Функция К (х, у) представляет собой ожидаемый выигрыш
игрока I при использовании чистых стратегий 5 и т], где В рандоми-
зировано в соответствии с х, а т] не зависит от $ и рандомизировано
в соответствии с у.

Часто мы будем применять для простоты следующие обозначения:
К (х, т;) вместо К (х, у^); К (В, у) вместо К (х^, у) и К (£, ?j) вместо
К (х£, у^). Иными словами, К (х, т]) есть ожидаемый выигрыш иг-
рока I, если он выберет стратегию х, в то время как игрок II ис-
пользует чистую стратегию у^ и т. д.

Между матричными играми и играми на единичном квадрате можно
установить известную аналогию. В матричных играх каждый игрок
имеет конечное число чистых стратегий, тогда как в рассматри-
ваемых играх множеством чистых стратегий игрока является одно-
мерный континуум, который обычно понимается как единичный

!) Мы позволили себе перевести буквально выразительный оборот pro-
bability mixture. — Прим. ред.
интервал. В обоих случаях полные пространства стратегий порождаются
чистыми стратегиями: они состоят из всех вероятностных смесей чи-
стых стратегий. Ясно, что за счет увеличения размерности и мощно-
сти пространства чистых стратегий могут быть получены еще более
сложные игры. Применение игр общего вида,, в которых простран-
ства чистых стратегий являются n-мерными единичными кубами,
рассмотрено в пунктах 12.4 и 13.4.

Как указывалось в п. 10.1, существование оптимальных стратегий
в бесконечных играх и разумная интерпретация этих игр зависят от
выполнения соотношения (10.1.1). Если К (5, у) непрерывная по обеим
переменным функция, и 0<£, т}<1, то можно показать, что соот-
ношение (10.1.1) выполнено. Как уже указывалось, это условие
в дальнейшем будет всегда считаться выполненным.

Целью этой и последующих глав является нахождение путей вы-
числения оптимальных стратегий обоих игроков в произвольной игре,
на единичном квадрате. Почти столь же важным и необходимым
является описание зависимости свойств решений вида игры. В по-
следующем обсуждении отмечаются те существенные трудности, с ко-
торыми приходится встречаться при анализе игр на единичном квад-
рате.

Фиксируем произвольные стратегии х0 и у0 соответственно игро-
ков I и II. Тогда на единичном квадрате существует такое непрерывное
ядро К($, т}), что х0 и у0 являются единственными оптимальными
стратегиями в этой игре. Это ядро К (5, можно сконструировать
и как аналитическую функцию от каждой из своих переменных. Для
иллюстрации в качестве х0 и у0 можно взять известное распределе-
ние Кантора (см. п. 15.1); даже в этом случае существует такая
рациональная и непрерывная длр tj<1 функция 7С(1, ?}), что
хо и Уо буДУт единственными оптимальными стратегиями.

В силу таинственной природы оптимальных стратегий для каза-
лось бы вполне благопристойных ядер возникают существенные
затруднения при всякой попытке сколько-нибудь просто охарактери-
зовать решения, связанные с этим ядром. Поэтому более правиль-
ным, по-видимому, является исследование частных классов ядер,
которые естественным образом возникают при изучении примеров,
и концентрация усилий на выявлении свойств этих решений, завися-
щих от природы ядра. С математической точки зрения эта задача
носит классификационный характер. В самом деле, мы пытаемся свя-
зать предположения о частных характеристиках ядра с видом реше-
ния. В следующем пункте мы опишем ряд частных классов непре-
рывных ядер на единичном квадрате вместе с некоторыми результатами
относительно них.

Прежде всего введем для общих бесконечных игр на единичном
квадрате подходящую терминологию и установим некоторые простые
факты. Все определения сформулированы здесь применительно к стра-
тегии х\ соответствующая система обозначений и терминология при-
менима и к стратегии у.

Для любого распределения / на вещественной прямой (в частно-
сти, для элементов множеств X и Y) спектром меры / называется
дополнение наибольшего открытого множества, на котором мера /
равна нулю1) (см. приложение В. 3). Понятно, что если £ принадле-
жит спектру /(£), то для каждого открытого интервала 1аЬ, содер-
жащего £, должно быть f (ft)— /(а)>0.

Чистая стратегия $ называется „существенной*, если существует
оптимальная стратегия х, в которой 5 используется (т. е. $ принад-
лежит спектру х).

Стратегия х называетя стратегией конечного типа, если она
представима в виде выпуклой комбинации конечного числа чистых
стратегий, т. е. если ее спектр состоит из конечного числа точек.
В этом случае стратегия х представима в виде

п	'	п

x = где \	2 \ =

I = 1	i = 1

Чистые стратегии £р ..., Ъ>п, с помощью которых образована стра-
тегия х, называются „существенными* для этой стратегии соответ-
ственно с весами Хр Х2, ..., \п.

Стратегия конечного типа реализуется посредством выбора с ве-
роятностью Ху (/ = 1, ..., п) числа j между 1 и п и последующим
указанием чистой стратегии 5у. Игры, которые имеют оптимальные
стратегии конечного типа, представляют интерес из-за их простого
вида.

Другим часто встречающимся классом стратегий является класс
вполне смешанных стратегий. Стратегия называется вполне смешан-
ной, если ее спектр полностью совпадает с единичным интервалом.
Например, если распределение х имеет плотность, которая положи-
тельна на всем единичном интервале, то х — вполне смешанная
стратегия.

Следующая лемма окажется полезной в дальнейшем.

► Лемма 10.2.1. Пусть xQ и у0 оптимальны. Если точка т)0
принадлежит спектру у0, то К (х0, т]0) = V, где v — значение
игры. (Эта лемма является непосредственным аналогом леммы 2.1.2.)

Доказательство. Поскольку стратегия х0 оптимальна, мы
имеем К (x0, vj) > v для 0	7]	1. Если бы К (х0, т}0) было больше V,

то и в некоторой окрестности точки т)0 также выполнялось бы

Ч То есть спектром является наименьшее замкнутое множество, вне
которого функция / равна нулю. — Прим, перев*
строгое неравенство (напомним, что, по предположению, функция К (В, 7|)
непрерывна по обеим переменным). Но поскольку точка т)0 принад-
лежит спектру у0, интервал, содержащий точку т)0, имеет положи-
тельную относительно у0 меру. Отсюда, интегрируя tj) по tfy0,
мы получим К (х0, у0) > V, что противоречит оптимальности у0.
Аналогичный результат справедлив и для другого игрока.

Стратегия х называется устойчивой !), если /С(х, Т[) = с для

1	и некоторой константы с. Из леммы 10.2.1 мы полу-
чаем

к Следствие 10.2.1. Если х° — вполне смешанная оптималь-
ная стратегия, то каждая оптимальная стратегия игрока II
устойчива.

к Следствие 10.2.2. Если каждая точка $ из единичного
интервала является существенной чистой стратегией иг-
рока I, то каждая оптимальная стратегия игрока II устойчива.

Говорят, что игра с ядром К (£, tj) симметрична, если K(j\, £) =
= — /С(£, т]). Это понятие является точным аналогом понятия симме-
тричной матричной игры. Более того, совпадают и основные свойства
симметричных игр: их значения равны нулю, а множества оптималь-
ных стратегий для обоих игроков совпадают. Поскольку эти утвер-
ждения устанавливаются в нашем случае точно так же, как это было
сделано для матричных игр, формальные детали мы опускаем.

Наконец, еще одно определение: пара чистых стратегий {£°, т]0}
называется седловой точкой игры* 2), если

О°, 7})>/<(^,	/<(£, 7]0) ДЛЯ	7^1.

10.3. Классы игр на единичном квадрате. В этом пункте мы
опишем структуру некоторых важных классов игр на единичном
квадрате и укажем некоторые характеристики каждого класса. Эти
характеристики окажутся полезными при определении решений игр
из данного класса. Иллюстрируя широкое распространение этих игр,
мы приведем примеры из политики, военной тактики и деловой жизни.

Доказательства всех утверждений, относящихся к классам этих
игр, можно найти в гл. 10 —15.

Игры с вырожденными ядрами. Некоторые бесконечные игры
на единичном квадрате можно свести к конечным играм. Это может
быть сделано, если ядро /С(£, т]) имеет вид

п т

. '»1) = S S ('»!).

4=1;=1

’) Синоним: уравнивающая стратегия. — Прим, ред,

2) Синоним: ситуация равновесия. — Прим. ред.
где /•/($) и Sj(vi) — непрерывные функции. Такая игра называется вы-
рожденной. Непосредственное вычисление показывает, что

1 1

К(х, У) = ^ац^ r{(S)dx(t) J sJ(rj)dy(ri)='^ialjrisJ, (10.3.1)
i, j о	0	I, J

где векторы r = (rp .... гп) и s = (sp ...» sm) определяются оче-
видным образом. Следовательно, если при определении образа дей-
ствий руководствоваться возрастанием выигрыша, то вырожденная
игра с ядром (10.3.1) может быть переопределена как тройка
{/?, S, Л}. Здесь множество R состоит из всех таких векторов г =
==(П. Г2.....r„)t что

1

ri = f г, (5) dx$)
о

для х £ Х\ аналогично определяется множество S, состоящее из всех
векторов

$==($1.....sm),

для которых

1

sj = f Sj^dyiri)
о

для у£К, а элементы матрицы А суть При заданных г и s вы-
игрыш игрока I равен (г, Аз) = Л(г, s). Хотя нескольким различным
элементам множества X может соответствовать одна и та же точка
множества R, в силу (10.3.1) эти элементы множества X могут
влиять на выигрыш только через значения компонент вектора г.
Поэтому все элементы	соответствующие одному и тому же

вектору г, обеспечивают игроку I один и тот же выигрыш. Заметим,
наконец, что множества R и S выпуклы, ограничены и замкнуты,
поскольку rz(0 и Sj(v[) являются непрерывными замкнутыми функ-
циями.

Применяя к игре {/?, S, Л) общую теорему о минимаксе из
п. 1.5, мы заключаем, что существуют такие г° и s° (не обязательно
единственные), что

Л(г°, 8)>Л(г°, 8°)>Л(г, s°)

для всех г £ R и s £ S. Рассмотрим отображение из X в Еп с по-
мощью преобразования Ux = { j* ri(t)dx(£)}. Любая точка xQ£Xt
образом которой при преобразовании U является точка г°, оказы-
вается решением игры [X, /, /С). Аналогично оптимальными страте-
гиями игрока II будут те точки у0^/, образы которых при линейном
преобразовании Vy = j J Sj (у) dy (?]) совпадают с точкой s°.
Справедливо и обратное: любые оптимальные стратегии {х°, у0} вы-
рожденной игры {X, К, /С} приводят к оптимальным стратегиям
{г°, s0} для преобразованной игры [R, S, Л}.

Следовательно, решение вырожденной игры эквивалентно нахо-
ждению всех решений связанной с ней матричной игры, если мы мо-
жем определить прообразы заданных точек гиб соответственно при
преобразованиях U и V. Этот вопрос изучается в следующей главе.

Важной вырожденной игрой является игра с ядром

п т

?1)=2 2	(0<$=si;' 0^7)^ 1).

/=0 j=0

Поскольку любую игру с непрерывным ядром, определенным на еди-
ничном квадрате, можно равномерно аппроксимировать играми с по-
линомиальными ядрами, соответствующие оптимальные стратегии
будут сходиться к некоторым предельным стратегиям, которые ока-
жутся оптимальными для исходной игры (см. теорему 11.3.1). Однако
процесс предельного перехода в общем случае оказывается довольно
сложным, и поэтому полиномиальные игры не очень полезны при
изучении природы решений непрерывных игр общего вида на еди-
ничном квадрате. Тем не менее полиномиальные игры интересуют
нас здесь по двум причинам. Во-первых, можно провести довольно
полный анализ свойств решений таких игр, и этот анализ помогает
найти подход к вырожденным играм общего вида. Во-вторых, можно
указать хорошо разработанный вычислительный процесс для нахож-
дения решений полиномиальных игр (см. п. 11.2 и задачи 1—3 гл. И).

В гл. 11 будет показано, что в вырожденных играх оба игрока
обладают оптимальными стратегиями конечного типа. Более того,
можно установить существование решений, в которых число эле-
ментов спектра ограничено в зависимости от числа членов в пред-
ставлении ядра К ($, 7j). В случае полиномиальных игр можно вы-
сказать и более точные утверждения относительно спектров опти-
мальных стратегий для о’боих игроков.

Игры с выпуклым ядром. Выпуклым называется ядро, для
которого при всех $ и из единичного интервала имеет место нера-
венство

дч? —

В играх с выпуклым ядром для игрока II существует чистая опти-
мальная стратегия, а игрок I имеет оптимальную стратегию, спектр
которой состоит не более, чем из двух точек. Поскольку последнее
утверждение содержит достаточно много информации о структуре
оптимальных стратегий, игры этого типа решаются легко (см. п. 12.2).
Аналогичные результаты могут быть получены для ядер, удовле-
творяющих неравенству

drf —и

для некоторого г, а также для игр, в которых $ изменяется на
компактном связном множестве Rcz.Ent т] изменяется на выпуклом
компактном множестве Sc.Em, а ядро К (?, ^)', непрерывное по обеим
переменным, является выпуклой функцией при всех значениях $.
Читателю следует иметь в виду, что поскольку S — /n-мерное мно-
жество, мы говорим здесь о выпуклых функциях многих переменных
(см. приложение Б.4).

Опишем теперь задачу, которая приводит к игре этого типа.
Моделью является военно-тактическая задача об обороне некоторого
участка. Пусть игрок II обороняет п объектов Tv . .., Тп, относи-
тельные „ценности** которых равны kv ..., kn. Упорядочим объекты
так, что kx >	kn\ т. е. объект 1 является самым важным,

объект 2 — следующим по важности и т. д. Пусть суммарные силы
обороняющихся равны D. Чистой стратегией игрока II является на-
бор п неотрицательных чисел .......т^), удовлетворяющих усло-

вию 2 Vi= D* где означает часть сил, предназначенных для за-
щиты объекта 7\. Пусть игрок I является нападающим; обозначим
суммарные его силы через А. Чистой стратегией игрока I будет
вектор .......£„)	с ^->0 и 2 — А, причем Z-я компонента этого

вектора означает часть сил, атакующих объект 7\.

Мы предполагаем, что результат атаки на объект 7\ пропорцио-
нален разности — 7]it если силы атакующего превосходят силы
защищающего; в остальных случаях результат атаки равен нулю.
Итак,

п

К(М)=2>гтах(0, 5, —т},).	(10.3.2)

/ = 1

Эта функция выпукла по каждой из переменных £ и т] и непре-
рывна по совокупности этих переменных; | и у принимают значе-
ния из симплексов соответственно с вершинами dj..........dn и

ai....ал, где

d1 = (D, 0,	0), d2 = (0, D.....0)......dw = (0, 0.....D)

и аналогично

а1 = (Л, 0.....0).....а„ = (0.....0, Д).

Этот пример можно интерпретировать также и в терминах поли-
тической кампании с двумя партиями, каждая из- которых пытается
решить вопрос, в какие из нескольких имеющихся участков вкла-
дывать деньги, отпущенные на эту кампанию. Этот пример рас-
сматривается детально в гл. 12, где приводится его полное ре-
шение.

Теорема, на которой основан анализ этого примера, состоит
в том, что в обобщенной выпуклой игре — игре, в которой ядро
К (£, у) выпукло по у, переменные В, у изменяются соответственно
в и S и множество S п-мерно — игрок II имеет оптимальную
чистую стратегию, а игрок I — оптимальную стратегию конечного
типа со спектром, состоящим не более чем из п-|-1 точек.

Игры с выбором момента времени. Игры с выбором момента
времени являются играми, в которых выбор чистой стратегии пред-
ставляет собой выбор момента времени для совершения определен-
ного действия.

Предположим, например, что две большие компании типа „Книга —
почтой" намереваются издать свои ежегодные каталоги. Когда именно
следует выпустить каталог — это важный вопрос. Компания, которая
первая выступит со своим каталогом, получает возможность опере-
дить своего конкурента. С другой стороны, компания, которая ждет
дольше, может нажить капитал на недостатках каталога своего кон-
курента.

Или предположим, что две борющиеся политические партии пы-
таются решить, когда выпустить свои агитационные брошюры. Неко-
торые люди поддаются первому влиянию, а потом уже не изменяют
своих мнений. На поведение других оказывает влияние главным об-
разом то, что до них дошло в последний момент.

Следующая задача о выборе момента времени является обычной
задачей в деле книгоиздательства. Две конкурирующие компании
пытаются подписать договор с будущим автором. Момент времени,
т. е. время появления представителя издательства с контрактом и
различными обещаниями, представляет собой чистую стратегию.
Слишком ранняя встреча может оказаться неудачной, так как автор
еще не продвинется к тому времени достаточно далеко в своей ра-
боте, чтобы вопрос о ее опубликовании стал для него актуальным.
С другой стороны, предложение может запоздать: конкурент может
к этому времени уже договориться с автором. Правильный психоло-
гический момент является хорошо известным и неоднократно обсу-
ждавшимся понятием в этой игре.

Читатель может легко придумать множество других примеров
игр с выбором момента времени. Такие игры не обязательно вклю-
чают одно возможное действие (как в приведенных примерах),
а могут содержать несколько повторных действий.

С математической точки зрения игра с выбором момента времени
описывается как игра, определенная на единичном квадрате, ядро
которой обладает следующими свойствами:

(О /с<и)=

Ф«).

М (?, rj)

если
если
если

(10.3.3)

5 <*).

B>1Q.

(2)	Каждая из функций L (В, tj) и М (£, rj) непрерывна по сово-
купности переменных $ и т].

(3)	L ($, т]) монотонно	возрастает по $	для	каждого	т^,

М (?, т[) монотонно	возрастает по В	для	каждого	tj,

L ($, т]) монотонно	убывает по tj	для	каждого	£,

М ($, rj) монотонно	убывает по т]	для	каждого

Переменные $ и т| следует рассматривать как моменты времени,
в которые действуют противники. Тот факт, что их значения огра-
ничены единичным интервалом, является условием нормализации и
реальных ограничений на модель не накладывает. Монотонность
функций Л (В, т]) и Л4 (£, т]) и разрыв ядра при £ = т) можно интер-
претировать так: если игрок II собирается действовать в фиксиро-
ванный момент времени tj, то игрок I улучшает свои шансы на успех,
выжидая, сколько возможно, при условии, что он действует все же
раньше игрока II. Если игрок I дождется того момента, когда со-
вершит действие игрок II, то он может и проиграть, если игрок II
действует успешно. Этим, в сущности, и объясняется разрыв при
£ = т}. Как только игрок II совершил свое действие, шансы на успех
игрока I возрастают со временем. Это выражается монотонностью
Л4 (£, rj) как функции £. Аналогичные рассуждения применимы
и к игроку II, так как он извлекает пользу всякий раз, когда
уменьшается выигрыш игрока I.

Здесь мы впервые встречаемся с ядром К (£, ?]), которое может
иметь разрыв на диагонали квадрата, где оно определено. Это до-
пустимо, так как при помощи абстрактной теории игр можно дока-
зать, что ядра, обладающие разрывами только на диагонали, удо-
влетворяют неравенству

sup inf Г f К (?, т[) dx (£) dy (rj) = inf sup f f К (t rj) dx (£) dy (rj).

x у J J'	у x J J

(10.3.4)

Если (10.3.4) выполняется, то в игре существуют е-оптимальные
стратегии, и обратно. Во всех рассмотренных конкретных случаях
е-оптимальные стратегии будут указываться явно; таким образом,
справедливость соотношения (10.3.4) будет установлена непосред-
ственно. Более того, в большинстве случаев мы сможем заменить
в (10.3.4) sup на max, a inf на min.

Такие игры имеют не только практическое значение, но пред-
ставляют также и теоретический интерес, так как их можно пол-
ностью проанализировать и найти для них оптимальные стратегии.
Оказывается, что оптимальные стратегии состоят здесь из скачков
и части, имеющей плотность. Та часть, которая имеет плотность,
получается с помощью решения стандартной задачи на отыскание
собственных значений линейного интегрального уравнения, т. е. вы-
ражается рядом Неймана (см. гл. 13, где разбирается этот вопрос).
Часто ядро имеет вырожденную форму, которая позволяет заменить
интегральное уравнение более просто решаемой системой дифферен-
циальных уравнений. Почти во всех случаях оптимальные стратегии
единственны, что упрощает их нахождение.

Существует два класса игр с выбором момента времени. В пер-
вом из них, более простом, Л (£,?}) является функцией только
а М (£, vj) — функцией только vj. Мы будем говорить о такой игре
как об игре с выбором момента времени в условиях „полной инфор-
мации", т. е. в обстановке, когда действия каждого из игроков,
а также последствия этих действий немедленно становятся известными
противнику. Пример с каталогами компаний „Книга — почтой" можно по
очевидным соображениям рассматривать как игру с полной информацией.

Примеры матричных игр с полной информацией показывают, что
в этих случаях существуют оптимальные чистые стратегии. Рандо-
мизация чистых стратегий возникает главным образом из-за неопре-
деленностей, окружающих игрока: если в модели присутствует какая-
либо неопределенность, то оптимальные стратегии почти всегда оказы-
ваются смешанными. В силу этих эвристических замечаний еще
одно оправдание названия „игры с выбором момента времени с пол-
ной информацией" состоит в том, что игры этого класса обычно
обладают оптимальными чистыми стратегиями.

Класс II состоит из всех игр с выбором момента времени, не
принадлежащих классу I, т. е. играми, в которых Л, Л4 или обе эти
функции явно зависят как от £, так и от у. В таких играх действия
игрока неизвестны его противнику. Так называемые бесшумные дуэли
являются примерами игр этого типа (см. гл. 13); другим примером
является описанная выше конкуренция между двумя издательствами.
Оптимальные стратегии для игр этого класса обычно представляют
собой фактическую рандомизацию чистых стратегий.

Глава 13 содержит полный анализ игр с выбором момента вре-
мени класса II и обсуждение некоторых интересных примеров, ил-
люстрирующих решение таких игр. Глава 14 посвящена главным
образом изучению игр с выбором момента времени класса I. Кроме
того, в этой главе имеется введение в теорию игр с выбором мо-
ментов времени, допускающих несколько действий. Методы инте-
гральных уравнений, которые используются для решения игр с вы-
бором момента времени, применяются к ядрам вида (10.3.3), причем
предполагается, что ядра непрерывны всюду на единичном квадрате,
за исключением разрыва первой производной вдоль главной диаго-
нали (п. 14.5).
Колоколообразные игры. Следующая игра является „колоколо-
образной". Подводная лодка П пытается избежать попадания глубин-
ной бомбы, сброшенной с самолета С. В течение всего времени,
предшествующего сбрасыванию бомбы, подводная лодка (игрок II)
может занять любую позицию в интервале —а^т\^а, где а —
заданная положительная постоянная. Игрок I (самолет) знает возмож-
ные местоположения подводной лодки. Если П занимает место tj,
а С сбрасывает бомбу в В. то мы предполагаем, что нанесенный
ущерб пропорционален функции ошибки е~ь^~^ (Ь — положитель-
ная постоянная). После соответствующей нормировки игру можно
сформулировать как непрерывную игру на единичном квадрате, для
которой

/С($, ^) = г-И^)2,

где X—параметр, зависящий от постоянных b и а. Игрок II выби-
рает т], игрок I выбирает В. а функция выигрыша К дана выше.

Ядро К называется колоколообразным, если К (В, т]) = Ф(В— т]),
а функция Ф имеет следующие свойства:

(1)	Ф(я)— аналитическая функция, определенная для всех веще-
ственных и\

(2)	для любого п и любого множества значений и таких,
что < |2 < • • • < и ^1 < % < • • • < определитель матрицы
II Ф (£/ — II положителен;

(3)	~

I Ф(и)с1и < оо.

— ОО

Функция Ф(и) = е~к* этим условиям удовлетворяет (см. п. 15.2).

Мы можем доказать, что колоколообразные игры обладают един-
ственными оптимальными стратегиями конечного типа (см. гл. 15).
В случае Ф(и) = е~Уи* оптимальные» стратегии можно полностью
вычислить по рекурсивной схеме, где X является переменным пара-
метром.

• Различные игры. Отдельные результаты, связанные с предпо-
ложениями о ядре, можно получить и для других игр. Двумя такими
классами игр, заслуживающими здесь упоминания, являются анали-
тические игры и игры, инвариантные по отношению к группам
преобразований.

Если К (£, т]) является аналитической функцией каждой из пере-
менных и подчиняется некоторым свойствам возрастания, то в игре
с ядром К существуют оптимальные стратегии конечного типа.
В общем случае, однако, распознать свойства решений игр с анали-
тическими ядрами очень трудно. Чтобы продемонстрировать эту
трудность, достаточно напомнить еще раз (см. также п. 16.1) утвер-
ждение о том, что любые две стратегии х и у можно рассматривать
как единственное решение для некоторого аналитического ядра.
Правда, можно сказать, что такие игры, характеризуемые одним
лишь свойством аналитичности ядра, не составляют, естественно,
очерченного класса, и неудивительно, что для них не существует
единой специфической теории, которая была бы достаточно изящна.
Этот довод представляется вполне серьезным. В самом деле, есть
основания верить, что для наличия связи между решением и ядром
должна существовать физическая модель, отражающая свойства ядра
достаточно естественным способом. Это справедливо, во всяком слу-
чае, для выпуклых игр, для игр с выбором момента времени и для
колоколообразных игр.

В отличие от аналитических игр игры, инвариантные относи-
тельно группы преобразований, часто решаются легко. Примерами
таких игр являются игры с ядрами вида К (£, ?}) = Ф(£ — vj), где Ф —
периодическая функция с периодом 1. Легко заметить, что опти-
мальной стратегией для каждого игрока в этом случае является рав-
номерное распределение dl (п. 15.5). Пусть игра построена таким
образом, что группа преобразований, определенных на ядре, инду-
цирует группу преобразований на пространствах стратегий таким
образом, что выигрыши не изменяются. В этом случае мы вправе
надеяться, что оптимальные стратегии также инвариантны относительно
элементов групп таких преобразований. Эвристические рассуждения
показывают, что операции, изменяющие наименования стратегий, не
должны влиять на решение такой игры. В примере, приведенном,
выше, подходящей группой преобразований является группа сдвигов
вдоль вещественной оси, а единственным распределением, инвариант-
ным относительно всех смещений по модулю 1, является равномер-
ное распределение.

Теория инвариантов для групп преобразований и вопросы при-
нятия решений являются основными в задачах, включающих стати-
стический анализ; эти вопросы, однако, выходят за рамки настоящей
книги. В п. 15.5 мы отметим несколько простых приложений поня-
тий инвариантности к теории игр.

Другие поучительные примеры различных игр читатель сможет
найти в задачах этой главы и гл. 15.

10.4. Бесконечные игры, у которых пространства стратегий
являются известными функциональными пространствами. В двух
предыдущих пунктах мы рассматривали различные классы игр, опре-
деленных на единичном квадрате, для которых пространства стра-
тегий X и Y отождествлялись с множеством вероятностных распре-
делений на единичном интервале. В этом пункте мы приведем не-
сколько типичных примеров игр, в которых пространствами стратегий
являются подмножества известных функциональных пространств, но
которые нельзя рассматривать, как игры, разыгрываемые на единич-
ном квадрате.

Дуэль снайпера с пулеметчиком !). Снайпер С, располагающий
одним выстрелом, стремится уничтожить пулеметчика П. Так как С
может выстрелить только один раз, его стратегия состоит в выборе
момента времени для этого выстрела. Пусть a(t) — меткость снай-
пера, т. е. вероятность того, что П будет уничтожен, если С стре-
ляет в момент (или на расстоянии) t (переменная t нормирована так,
что она изменяется в сегменте [0, 1]). Смешанной стратегией С
(игрок I) является вероятностное распределение на [0, 1]. В этой
модели мы предполагаем, что как только С выстрелил, успешно или
нет, он сразу же скрывается (если он в состоянии это сделать), и дуэль
заканчивается.

Пулеметчик вооружен пулеметом и, защищаясь, пытается унич-
тожить снайпера. Стратегия П определяется функцией р(/), изме-
ряющей интенсивность, с которой стреляют из пулемета в момент t.
Мы предполагаем, что боеприпасы П, если он стреляет с макси-
мальной плотностью, иссякнут за период 8<1. Следовательно, не-
рандомизированные стратегии р (/) для П состоят из всех функций,
удовлетворяющих ограничениям

1

И fp(f)dt=Z.	(10.4.1)

о

Меткость пулеметчика г (t) непрерывна и монотонна, причем г(0) = 0,
г(1)=1. Функция г измеряет меткость в том смысле, что если П
стреляет с интенсивностью р (t) в течение малого интервала времени
[Л	то вероятность того, что С будет уничтожен, равна

р(/)г(0Л + о(/г).

Предположим, что <р(/, р) — вероятность того, что С выживет
к тому моменту /, когда П решил стрелять с интенсивностью p(t).
Ясно, что

р) = <р(/, р)[1 —р(О''(ОЛ) + с(Л)

для малых положительных h и, следовательно,
_?_а+й,	р) ==_У(/|

В пределе мы находим, что <р(Л р) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению

р) = — ?(Л p)r(t)p(t)

*) В оригинале эта игра называется дуэлью истребителя с бомбарди-
ровщиком. — Прим, ред.

28 Зак. 1789
с начальным условием <р(0, р)=1. Решением этого уравнения

является

ср (/, р) = ехр — J* р (и) г (и) du .
_ о

(10.4.2)

Функция выигрыша для игры К (£, р), когда С применяет чистую
стратегию £ (момент единственного выстрела), а П применяет стра-
тегию т], вычисляется следующим образом.

Положим выигрыш С равным а, если С уничтожает П, —р, если
П уничтожает С, и нулю, если ни один из противников не уничто-
жен. Тогда ядро, рассматриваемое как ожидаемый выигрыш С
(игрока I), равно

=	Р)_р[1-ср(е, р)].	(Ю.4.3)

Выигрыш игрока I в условиях его смешанной стратегии х и выбора р
игроком II получается усреднением (10.4.3) относительно меры х(£):

1

К(х, р) = f p)dx®.	(10.4.4)

о

Итак, мы можем рассматривать эту игру как тройку [X, К, Д'),
где X — пространство вероятностных распределений на единичном
интервале, Y состоит из всех р, удовлетворяющих (10.4.1), а К вы-
числяется по формуле (10.4.4.)

Формальное различие между этой игрой и обычной игрой на еди-
ничном квадрате очевидно. Пространство стратегий Y в этом случае
имеет иной характер и требует новых методов анализа. Для опре-
деления вида оптимальной стратегии С мы впервые в этой книге
используем классическую лемму Неймана — Пирсона (см. п. 16.4),
являющуюся фундаментальной теоремой статистики. Применение леммы
Неймана — Пирсона в данном случае является естественным ввиду ог-
раничений (10.4.1).

В гл. 16 мы рассмотрим решение этой задачи и нескольких ее
вариантов, в том числе дуэли двух пулеметчиков.

Покер. Большое количество примеров нетривиальных игр дают
салонные игры. В частности, варианты покера являются неистощимым
источником интересных и требующих искусства игровых моделей.
Модели покера, помимо своего значения для теории игр, интересны
благодаря явному сходству с задачами статистической теории испы-
тания гипотез.
Модели покера вообще можно описать следующим образом. Стра-
тегии игроков I и II отождествляются с вектор-функциями

=	.... МО)	1)

и

4 С»1) = (Ы7)).....М7)))	(О^ФД7!)^ !)•

Эти векторы могут быть подчинены дополнительным линейным огра-
ничениям. Мы предполагаем, что £ и у являются случайными вели-
чинами соответственно с функциями распределения F и G, которые
игроками I и II держатся в тайне. Стратегия игрока I есть функ-
ция наблюдения £ и возможных действий игрока II; стратегия ф
игрока II есть функция наблюдения v; и возможных действий игрока I.
Функция выигрыша имеет вид

= f f Ф(О. 4С7!))dF^dG (ri),

где Р — функция, определенная моделью.

В качестве множества раскладов; которые могут быть сданы
игроку, обычно в моделях берется единичный интервал. Каждый
расклад считается равновероятным; поэтому операция сдачи расклада
игроку может считаться эквивалентной выбору случайного числа из
единичного интервала в соответствии с равномерным распределением.
Естественно, расклад считается хуже расклада £2 тогда и только
тогда, когда < $2. Игра осуществляется следующим образом: иг-
роки I и II выбирают из единичного интервала точки (извлекают из
колоды расклады) соответственно $ и у согласно равномерному рас-
пределению (что соответствует равной вероятности всех возможных
раскладов). Предварительно оба игрока ставят по единице. Игрок I,
зная свой расклад £, действует первым и имеет возможность или
спасовать сразу, теряя таким образом ставку в пользу игрока II,
или поставить любую из фиксированных заранее величин а19 а2, . . .
..., ап, где 1 < < . . . < ап. Игрок II должен отвечать, либо
сразу пасуя, либо же уравнивая ставку. В первом случае игрок I
выигрывает ставку игрока II. Если игрок II уравнивает ставку, то
расклады £ и сравниваются, и игрок с лучшим раскладом выигры-
вает банк. Если $ = v), то никаких платежей не производится.

Стратегия игрока I может быть описана как вектор-функция

?© = (?! (О.....<ря(0).

где cpz(£) обозначает вероятность того, что он поставит ait если его
расклад есть £. Функции cpz(£) должны удовлетворять условию

п
м
Вероятность того, что игрок I сразу спасует, равна

п
1-2<Рг(0.
i = 1

Стратегия игрока II может быть представлена вектором

ф <7)) = (<pj (т)), .... <р„ (т))),

где (tj) обозначает вероятность уравнять ставку ait если он имеет
расклад Вероятность того, что игрок II спасует после того, как
игрок I поставил ait равна 1—ф/(т]). Каждая функция фДт^) подчи-
нена только условию

Если игрок I применяет стратегию 9, а игрок II применяет стра-
тегию ф, то ожидаемый выигрыш игрока I обозначается K(<ft ф).
Перечисляя все возможности, мы находим, что

1 /	п	%

*(?. Ф)=(-п/ U+

0 \	1=1	/

11/г	п	11

+J G)(l —2(^+0 J
0 0М	/=1	00

где



1, если £ > tq,

0, если £ = т],
— 1, если £ < т].

Выполнение соотношения (10.1.1) для таких игр легко доказы-
вается привлечением соответствующих абстрактных теорем о мини-
максе. Важнее то, что, несмотря на сложный вид модели, существует
конструктивный метод, который приводит к точным оптимальным
стратегиям для каждого игрока. Глава 17 посвящена разработке этого
метода и решению нескольких интересных и важных примеров.

10.5.	Как решать бесконечные игры. Решение игр напоминает
решение дифференциальных уравнений; здесь необходимо сочетание
хорошей догадки (интуиции), искусного владения техникой преобра-
зований и способности использования специфических свойств задачи.

Всякий раз, когда это возможно, следует использовать все наи-
более характерные свойства рассматриваемого ядра. Например, в по-
линомиальных играх для ограничения размера спектра решений очень
полезно подробно знать структуру пространств моментов. Рассмотрим
в качестве иллюстрации ядро

О, =	— +2^ — 7)2.
Из теории следует, что для обоих игроков существуют решения,
спектр которых либо состоит из точек 0 и 1, либо состоит из един-
ственной точки, лежащей внутри единичного интервала (см. п. 11.8).
Воспользовавшись этими фактами, мы после несложных выкладок
получаем оптимальные стратегии

7	2

*° (?) = хЧз (?). У0 О')) = -9 Уо (^) + -9 У1 (ч)

и значение игры, равное —1/9. Тот же самый ответ можно было бы
получить, используя теорию выпуклых игр (точнее говоря, в этом
случае надо использовать соответствующий ее аналог — теорию во-
гнутых игр).

В играх с выбором момента времени, в выпуклых играх, в ко-
локолообразных играх уже сама теория указывает путь определения
оптимальных стратегий. Этот путь не является столь же формальным,
как способы решения конечных игр или задач линейного програм-
мирования. Зачастую вычисления сводятся к решению интегральных
или дифференциальных уравнений, которые можно решать с исполь-
зованием, если это необходимо, методов численного анализа. Именно
так и следует интерпретировать слова „способ решения" в нашем
контексте. Остается еще добавить, что соответствующий вычислитель-
ный процесс почти всегда можно существенно ускорить, восполь-
зовавшись специфическими свойствами ядра.

Часто задача ставится так: что делать с ядрами, о виде решения
которых априори ничего не известно. Одна возможность состоит
в использовании для угадывания вида решения тех или иных анало-
гий. Затем соответствующие преобразования и модификации предпо-
лагаемого решения, возможно, помогут подойти к истинному решению.
Этот метод мы проиллюстрируем с помощью следующего примера.

Для колоколообразных игр в нашем распоряжении имеется со-
держательная теория. Поскольку для таких игр существуют решения
конечного типа, мы можем написать некоторую систему уравнений,
из которой рекуррентным образом можно найти решение игры
(см. п. 15. 2).

Отвлечемся на минуту в сторону и попытаемся решить игру
с ядром

7)) = i х (6 — Ч))2 •

Это ядро не совсем удовлетворяет условиям, наложенным на коло-
колообразные игры; однако график функции 1/(1 +^и2) очень похож
на график функции е~1и<г. Следовательно, для этой игры можно про-
вести аналогию с колоколообразными играми. Это дает нам опти-
мальные стратегии

*°(?) = *71(?) и У°('|1) = у Уо(71) + 7У1Су1)
438

гл. ю. Природа и структура бесконечных игр

для 0^Х^4/3. Для к = 2 можно показать аналогично, что спектры
оптимальных стратегий каждого из игроков состоят из двух точек.
Для остальных значений К анализ протекает точно так же, как и в
случае колоколообразных игр.

Если нет подходящего аналога, то можно попытаться искать
оптимальную стратегию х°, для которой К (х°, у) = с тождественно
для всех у£У. Стратегия х°, обладающая таким свойством, назы-
вается устойчивой !). (Это совпадает с понятием устойчивой стратегии,
введенным в связи с оптимальными стратегиями для игр на единич-
ном квадрате.) Если уравнение К (х°, у) = с имеет решение х°£Х
а уравнение К(х, yQ) = b имеет решение у°£К, то легко показать,
что х°, у0 суть оптимальные стратегией поэтому Ь = с. Такой прием
обнаружения стратегий, которые тождественно дают V, применим
значительно чаще, чем это можно было бы ожидать. Приведем один
пример, где этот прием позволяет найти решение.

Предположим, что

К($, Ъ)= +	(0-’’	(10.5.1)

Попытаемся отыскать стратегию х(£), удовлетворяющую условию
1

//((I;, T])dx(Q = c (0==Jtj==S1>	(10.5.2)

о

для некоторой константы с.
Используя разложение ядра в бесконечный степенной ряд, равен-
ство (10.5.2) можно переписать в виде

-г = 0

о

= c2(-ir(n + ^+1)7)”.	(10.5.3)

л = 0

Положим

1

ar = pl+^^dxG) (г = 0, 1,2, ...).

о

Сравнение коэффициентов при т;" в обеих частях равенства (10.5.3)
приводит к соотношению

[(« + *) . М + Л—1V|_ (n+k —1\

п ) ' \ п— 1 /J \ п J’

или
k
ап — с 2п+А •

См. примечание *) на стр. 424. — Прим. ред.
Но

о

2

2n^k *

Следовательно, полагая

dxQ(l) = M^--------dl,

(l+5)ft

где M — нормирующая постоянная, мы добьемся выполнения равен-
ства (10.5.2) для соответствующей константы с. В силу симметрии
с?у0(т]) определяется точно так же, как dxQ(%), поэтому, как.и выше,
мы пишем

1

JО, ri)dy0(7i) — c.
о

Отсюда следует, что dxQ($) и tZy0(^), имеющие указанный вид, суть
устойчивые стратегии и, следовательно, оптимальны (см. также за-
дачу 10).

Схема нахождения устойчивых стратегий играет большую роль
в теории игр с выбором момента времени. Для таких игр не тре-
буются стратегии, которые устойчивы всюду; вместо них можно
пытаться найти частично устойчивые стратегии, т. е. стратегии,
устойчивые в некоторых подинтервалах значений { и т]. Ввиду того,
что существенной характеристикой в играх с выбором момента вре-
мени является монотонность их ядер, требование частичной устойчивости
стратегий оказывается достаточным для нахождения оптимальных
стратегий. Идея отыскания частично устойчивых стратегий оказы-
вается полезной и во многих других случаях (см. задачи гл. 13).

Укажем, наконец, еще один метод нахождения решения, опи-
рающийся на идею неподвижной точки. Для произвольной пары х*, у*
рассмотрим задачи отыскания экстремумов

шахК(х, у*), min/C(x*, у)	(10.5.4)

х£Х	y<iY

и обозначим через Ху* (аналогично Yx*) множество всех стратегий
х (у), на которых достигается максимум или минимум (10.5.4). Если
х*£Ху* и y*£Yx*, то в силу (10.1.2) стратегии х* и у* оптимальны.

Как это ни удивительно, но столь простая идея использования
неподвижной точки часто может оказаться весьма эффективным сред-
ством при решении определенного класса игр. Операции максими-
зации в (10.5.4) приводят к последовательным соотношениям, кото-
рые могут пролить свет на природу решения. В частности, этот
подход оказывается полезным при решении салонных игр, в которых
использование многовекового опыта позволяет догадываться о виде
решения. Используя стратегии, найденные таким образом, в качестве
начальных значений х* и у* в (10.5.4), можно путем небольшого
изменения этих значений получить пару точек х0 и у0, которые ока-
жутся неподвижными и, следовательно, будут оптимальными стра-
тегиями (см. гл. 17).

В заключение этой главы мы настоятельно рекомендуем читателю
попытаться решить задачи, помещенные в конце каждой из глав
10—17. Набить руку в исследовании игр можно, лишь испытывая
свои силы на решении большого числа конкретных игровых задач.

10.6.	Задачи.

1.	Пусть /С (£, г[)— непрерывная функция, определенная на еди-
ничном квадрате. Через Кп обозначим (лг —|— 1) X (^+ 1)-матрицу,
(/, у)-компонента которой для Z, у = 0, 1, .... п равна K(iln, j/n).
Пусть оптимальными стратегиями в игре с матрицей Кп будут
X" = (Хо, ...» Х„) и fi" = (цо, ..., |i„), a vn— значение игры. По-
казать, что существует такая сходящаяся к нулю последователь-
ность еЛ, что

(п	\

^^Хцп	vn — en для 0 =£7)^1

/=о	/

И

(п	\

— для 0<£<1.

/=о	/

2.	Обозначим через и & множества вероятностных распреде-
лений на интервалах 0^В^1 и 0^^^1. Используя результаты
задачи 1, показать, что из непрерывности ядра К (L ^) вытекает

sup inf f f К ($, ^)rfx(0dy(7]) = inf sup f f К (£, ^) dx$) dy (tj).

3.	Используя теорему Хелли (п. В.З), показать, что sup и inf
в задаче 2 можно заменить на шах и min; при этом непрерывная
игра с непрерывным ядром К (£, ?}) имеет значение и оптимальные

стратегии.

4. Пусть



1

£2 >
о.

1

1)2’

5=17,
$ < ч-

Показать, что если игра с этим ядром К разыгрывается на замкну-
том единичном квадрате, то {0, 0} оказывается седловой точкой.
10.6. ЗАДАЧИ

441

Доказать также, что если игра разыгрывается на открытом единич-
ном квадрате, то она не обладает значением, поскольку

sup inf f /<(£,
x у J

inf sup f /С (5, 7)) dy (t;)	— 1.

у £ J

5. Пусть

— 1,

1.

0.

— 1.

5 = 1 И 0^7) < 1,
о<т]<е< i,
^ = 7)

0<£ < 7) < 1,

, 1,	T[— 1

o<e< i.

и

K(5. 7]) = {

и

Показать, что игра с ядром /С(£, tq) не имеет значения.

6.	Показать, что игра с ядром

— 1,

К (В. ^) =

0,
1

е<^<5+1/2,

5 = 7} ИЛИ 7} = 5-4-1/2,
в остальных случаях

не обладает значением.
Доказать, что

sup inf К (х, у) = 1/3, a inf sup /С (х, у) = 3/7.
X У	ух

7.	Пусть К = ||Kij|| —некоторая (п+ 1) X 0*+ 1)-матрица с един-
ственными оптимальными стратегиями (Xq, ...» и (цо..........$)•

Обозначим через К (£, т?) линейную в каждом квадрате

п

п	п

1+1
п

функцию от В и т], причем К (i/tt, Лп) — Кц для всех I и J, Пока-
зать, что стратегии

п	п

*° = 2^//л(0 и у^Д^Л/Д’!)

оптимальны для непрерывной игры с ядром К (£, ?]), определенным
на единичном квадрате.

8.	Пусть е > 0 и

. ,, ч ГЛ i 1 V I J 1 \21

Л“£ П 2п)	t71 п 2n) J'
ПОЛОЖИМ К*(£, 7]) = K(q, 7])4-А/у(В, 7]) для

п п

п

п

где /С (В, т]) взято из задачи 7. Показать, что единственными опти-
мальными стратегиями в игре с ядром у), определенным на еди-
ничном квадрате, являются стратегии х° и у0 из задачи 7.

9.	Пусть tj)— произвольная непрерывная функция, опре-
деленная на единичном квадрате. Показать, что для любого е > О
существует такая непрерывная функция Ке(£, tj), что |/С(£, т])—
— nq) | < е и оптимальные стратегии для ядра К6(£> у) един-
ственны.

Указание: использовать результат задачи 8.

10.	Игра с ядром

(1+^(1+^
(1+W

определенным на единичном квадрате, имеет оптимальную устойчи-

вую стратегию с плотностью

(1 - 5)"
(1+^)р

где АГ, т, п, р — некоторые постоянные. Выразить эти постоянные
через а, b и с. Предположить, что с > а, Ь*

11.	Решить игру с ядром

к (5, 7}) =

1.

х, 1<е+т]<-|,

1, -|<$+7]^2

в следующих двух случаях:

(а)	ri) = Х,

ATG, ^=1,
(б)	го =

если В + ^= 1» и
если £-|-7] = 3/2,
если £ —т] = 1 и 7j = 3/2.

12.	Обозначим через В произвольное положительное число. Пусть
интервалы [0, #+1] и [0, В] являются пространствами чистых
стратегий соответственно для игроков I и II. Для 0 < 9 < 1 положим

1 — 6.

1,

0.

«($> тй =

^7],
7)<^7}+1,
ч+ке.
Найти пару оптимальных стратегий и показать, что значение игры
равно (1—9)/(1—9Л+1), где п— наибольшее целое число, не пре-
восходящее В.

Указание', для игрока I существует устойчивая стратегия.

Комментарии
и библиография к главе 10

10.1.	В то время как теория конечных дискретных игр возникла в на-
чале XX века (в работах Бореля), возраст бесконечных игр не превосходит
двадцати лет. Классическая работа фон Неймана и Моргенштерна [1], вышед-
шая в 1944 г., стимулировала энергичную деятельность среди математиков
по изучению всех типов игр, конечных и бесконечных. Почти одновременно
с этой работой были опубликованы первые результаты Вальда [6] (см. фон
Нейман и Моргенштерн [1]) по теории статистических решений. Важность
теории игр для статистической теории и практики неоспорима. Более того,
процессы мышления в теории игр и теории статистических решений настолько
близки, что статистики или математики, интересующиеся одной из этих тео-
рий, естественно, обращаются к обеим теориям. Основу этих теорий соста-
вляет общая теорема о минимаксе.

Самое раннее доказательство теоремы о минимаксе для бесконечных
игр принадлежит Биллю [1], который изучал игры с непрерывными ядрами,
определенными на единичном квадрате. Он был также первым, кто дал контр-
пример, показавший, что теорема о минимаксе в общем случае ограничен-
ного ядра несправедлива.

Теорема о минимаксе как абстрактный результат для функционалов и
линейных операций, определенных на подмножествах из абстрактного линей-
ного топологического пространства, изучалась Карлином в 1948 г. в кор-
порации РЭНД. Результаты этой работы были опубликованы в 1950 г. Кар-
лином [1]. В основе этих результатов лежало предположение о выпуклости
и компактности пространств стратегий относительно подходящей топологии.
Вальд [5] независимо и одновременно сформулировал другие достаточные
условия, обеспечивающие справедливость теоремы о минимаксе. Условия
Вальда получены из статистических соображений. В дальнейшем появилось
много абстрактных обобщений этих результатов. Упомянем в этой связи
Фань Цзи [1, 2], Гликсберга [2], Бержа [1], Сайона [1] и др. (см. также
Карлин [1], [3] и ссылки на стр. 48—50). Все эти работы касались игр,
которые мы отнесли к играм первой категории. Флеминг [1] и Гросс (не опу-
бликозано) изучали теорему о минимаксе для игр второй категории.

Из книг, отражающих некоторые аспекты бесконечных игр, можно ука-
зать на работы Мак-Кинси [1], Блекуэла и Гиршика [1], гл. 1 и 2, и Льюса
и Райфы [1]. Основная масса статей, посвященных бесконечным играм, со-
держится в сборниках [9, 10, 11] по теории игр1).

10.2.	Отдельные примеры бесконечных игр можно найти в книге Кемени,
Моргенштерна и Томпсона [1], там же приведен пример упрощенного покера
(см. также Билль [1]). Однако основополагающие первые работы по играм,
разыгрываемым на единичном квадрате, были выполнены математиками,
являвшимися сотрудниками и консультантами корпорации РЭНД.

Интенсивная работа по теории игр, проведенная в корпорации РЭНД
в конце 40-х и начале 50-х годов, имела большой выход в области стати-

9 Русские переводы большинства перечисленных статей см. в сборнике
-Бесконечные антагонистические игры, Физматгиз, 1963. — Прим. ред.
стики, математической экономики, линейного программирования, задач мно-
гошаговых решений и т. д. и значительно ускорила их развитие. Большая
часть работ по теории бесконечных игр, сделанных после 1952 г., посвящена
решению частных задач.

Общие результаты типа описанных в этой главе нельзя приписать
какому-либо одному лицу; их следует рассматривать как результат осущест-
вления программы корпорации РЭНД.

10.3.	Теорема о минимаксе изучена уже достаточно хорошо. Время от
времени обнаруживаются новые классы игр, обладающих свойством мини-
макса, но все эти результаты лишь углубляют понятия выпуклости и ком-
пактности, которые составляют основу теоремы. Менее понятной является
пока что связь между видом ядра и видом решений игры; в настоящее
время эта проблема является, пожалуй, основной проблемой, стоящей перед
специалистами по теории игр. Некоторые попытки классификации игр и
решений представлены в гл. 11—17.

Полный исторический обзор по различным типам игр, рассматриваемых
в последующих семи главах, содержится в замечаниях в конце каждой главы.
Здесь мы лишь сжато перечислим некоторые из основных фактов, касаю-
щихся типов игр, описанных в этом пункте.

Теория игр с вырожденными ядрами (в частности, с полиномиальными
ядрами) рассмотрена Дрешером, Карлином и Шепли [1]. Конечные выпуклые
игры всесторонне рассмотрены в работе Дрешера и Карлина [1].

Свойства игр с выпуклыми ядрами изучены Бонненбластом, Карлином
и Шепли [1].

Примеры игр с выбором момента времени впервые были предложены и
рассмотрены Блекуэлом и Гиршиком [1]. Частные примеры изучались также
Шепли [2], Белзером [1], Гликсбергом [1] и другими. Позднее Шифман по-
казал, как решать общую симметричную игру с выбором момента времени,
а Карлин [2] решил игру с выбором момента времени с одним действием
у каждого игрока при отсутствии симметрии.

Теория колоколообразных игр обязана своей разработкой Карлину [5].
Аналитические игры рассмотрели Гликсберг и Гросс [2]. Понятие игры,
инвариантной по отношению к группе преобразований, является результатом
развития теории статистических решений.

10.4.	Дуэль снайпера с пулеметчиком !) была частично изучена Блекуэ-
лом и Шифманом. В гл. 16 дано полное решение этой игры.

Различные варианты моделей покера привлекали внимание многочислен-
ных авторов — вполне возможно из-за того, что покер представляет собой
прекрасную разрядку азартности — извечного побуждения человеческой на-
туры. Отметим работы Джиллиса, Мейберри и фон Неймана [1] и Белл-
мана [2] (см. также Карлин и Рестрепо [1]).

10.5.	Использование устойчивых стратегий для определения решений
идет от Гиршика, который использовал эту технику главным образом для
решения игр с выбором момента времени.

Методы моментов, использованные при рассмотрении в этом параграфе
примера рациональной игры, можно приписать Гроссу (сообщено в частной
беседе).

Метод неподвижной точки является, по существу, применением в тео-
рии игр теоремы Какутани.

10.6.	Задача 4 предложена Шепли. Задача 6 предложена Сайоном и Вул-
фом [1]. Браун [3] рассматривал задачу 12.

’) В оригинале эта игра называется дуэлью истребителя с бомбардиров
щиком. — Прим. ред.
ГЛАВА 11*

ВЫРОЖДЕННЫЕ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИГРЫ

Класс игр, ядра которых являются полиномами

п т
к(И, т)) =2 2
z=o /=0
можно рассматривать как простейший класс бесконечных игр. По-
скольку всякая непрерывная игра на единичном квадрате может быть
аппроксимирована полиномиальными играми, естественно ожидать,
что исследование структуры решений полиномиальных игр прольет
свет и на структуру решений непрерывной игры общего вида на еди-
ничном квадрате. К сожалению, некоторые специфические свойства
полиномиальных игр на непрерывные игры общего вида не пере-
носятся. Вместе с тем теорию полиномиальных игр можно распро-
странить на класс всех вырожденных игр.

Существует очень мало реальных ситуаций, которые адекватно
описываются вырожденными играми. Такие игры интересны главным
образом из-за того, что мы знаем довольно много об их решениях,
Вырожденная игра является, по существу, конечной игрой (см.
гл. 1), которая разыгрывается следующим образом: игрок I выби-
рает точку г из множества RczEn, а игрок II—точку s из мно-
жества SczEm. Выигрыш игрока I является функцией Д(г, s), линей-
ной по обеим переменным. В п. 11.1 мы покажем, что каждая выро-
жденная игра сводится к конечной игре этого типа. Для исследования
вырожденных игр необходимы более глубокие знания о структуре
выпуклых множеств в конечномерном евклидовом пространстве.

Поэтому в п. 11.6 и 11.7 изучаются размерности граней выпуклых
множеств и теория двойственности для выпуклых конусов; получен-
ные в этих параграфах результаты используются затем для выясне-
ния вида решений вырожденных игр. Указаны также некоторые
вычислительные методы.

11.1. Конечные выпуклые игры общего вида. Этот и следую-
щий пункты посвящены теории конечных выпуклых игр. Затем эта
теория используется для анализа вырожденных игр (см. также п. 10.3).
Мы начинаем с описания того, что понимается под конечной выпуклой
игрой.

Рассмотрим (n X /п)-матрицу ||а/у||. Игрок I в качестве стратегии
выбирает точку г = (гр ...» гл) из множества RaEn, а игрок II —
точку s = (sP sm) из множества SaEm. Выигрыш игрока I
определяется формулой
п т

я (г. s)== 2 2

i = l ; = 1

Предполагается, что множества R и S замкнуты, ограничены и
выпуклы. В дальнейшем такую игру мы будем называть конечной
выпуклой игрой, определяемой тройкой .{/?, S, Л). В частности,
матричная игра (гл. 1) является конечной выпуклой игрой.

Другой важный класс конечных игр определяется следующим
образом. Рассмотрим матричную игру, в которой стратегии, кроме
обычных ограничений, удовлетворяют еще некоторым дополнитель-
ным условиям выпуклости. В этом случае выбор стратегии уже
не будет соответствовать выбору точки из симплекса А (т. е.
из множества всех таких векторов х, что xz>0 и 2 х/— тепеРь
выбор должен быть сделан из некоторого выпуклого замкнутого
подмножества /?сзА. Если ограничения определяются линейными не-
равенствами, то R будет выпуклым многогранным подмножеством из А.
В этом случае оказывается возможным так перенумеровать вершины
нового многогранника, что новая выпуклая игра преобразуется
в обычную матричную игру. Но обычно это существенно увеличи-
вает размер матрицы и делает ее недоступной для вычислений.

Другой важный класс конечных выпуклых игр составляют игры
на единичном квадрате с вырожденными ядрами, т. е. игры с ядрами
вида
п т

(ii.i.i)

4 = 1 j=1

где rz(£) и Sj(ri) — непрерывные функции. Если мы положим

1 1

r^fr^dx®, Sj= f SJ.(7])dy(7]),	(11.1.2)

о	о

где х и у — стратегии, то выигрыш запишется в виде
1 1

К (х, у) = f f 2 aUri ® Sj (71) dx ®	= S aljrisi- (11 •1 3)

0 0 i, j	i, j

Очевидно, эта игра является игрой вида {/?, S, Л]. Здесь множе-
ства R и S можно отождествить с множествами всех точек, коор-
динаты которых определяются соотношениями (11.1.2), когда х и у
пробегают множества всевозможных распределений (стратегий). Мы
будем в этом случае рассматривать множества /? и S соответственно
как конечномерные пространства моментов функций {rz(£)} и
поскольку числа rt будут классическими моментами х, если rz(£)
являются степенями В общем случае rt можно рассматривать как
обобщенные моменты, относящиеся к функциям rz(£). Итак, выро-
жденная игра может рассматриваться как конечная выпуклая игра
{/?, S, Л}, где R и S— пространства обобщенных моментов,
а выигрыш вычисляется в соответствии с (11.1.3). Множества R и S
можно охарактеризовать более просто, как указано в следующей
теореме.

> Теорема 11.1.1. Множество R моментов rit определяе-
мых формулой (11.1.2), является выпуклым множеством, на-
тянутым на кривую С, параметрическим представлением ко-
торой является уравнение-г {Г/(0} дляЪ^Ъ^ 1 и /= 1, . .., п

Доказательство. Пусть D — выпуклое множество, натянутое
на кривую С (т. е. выпуклая оболочка С).

(I)	Предположим, что г°£/?, но г° (£ D. Так как rz(£) — непре-
рывные функции, а множество D — замкнуто и выпукло, существует
гиперплоскость h, строго отделяющая г° от D. Иными словами, при
некотором фиксированном В>0 для 0^£^1

п	п

(И. 1.4)
/=1	/=1

Поскольку г°£/?, существует такая функция распределения х(£), что
1

О

Интегрируя (11.1.4) по переменной х(£), мы Получаем

1 1 1

/г .г? f dx (?) - 2 f rt (?) dx (0 8 / dx (!•),
0	0	0

или

что абсурдно. Следовательно, точка г° должна принадлежать мно-
жеству D.

(II)	Пусть г°££>. Тогда

л+1

r°f = S «V/ (SA). a^o, 2^ = 1

k = 1
(лемма. Б.2.1). Если через обозначить вырожденное распределе-
ние, полностью сосредоточенное в точке то

п + 1

Л = 1	k

является распределением с дискретным спектром, который совпадает
с множеством точек lk. Кроме того,

1	л+1

/к)-

О	# = 1

Следовательно, DaR и потому R — D,

Для полиномиальных игр

r.(Q = V (Z = o. 1. .... и); S;(71) = + (J = o, 1......т),

а С означает кривую, описываемую параметрическими уравнениями
Х( = V.

В дальнейших пунктах этой главы мы будем заниматься изуче-
нием свойств решений конечных выпуклых игр.

11.2. Метод неподвижной точки для конечных выпуклых игр.
Пара стратегий г° и s° оптимальна соответственно для игроков I
и И, если

шахД(г, s°) = min Л(г°, s) = v = А (г°, s°).	(11:2.1)

r£R	s£S

Выполнение соотношения (11.2.1) для конечных выпуклых игр можно
установить двумя путями. Один путь основан на свойствах выпуклых
множеств, и в частности на том, что два непересекающихся выпуклых
множества могут быть разделены гиперплоскостью. Эта идея лежит
в основе построения теории сопряженных конусов, излагаемой в п. 11.4.
Второй метод основан на теореме Какутани о неподвижной точке
(см. приложение В.2). Именно в духе теоремы о неподвижной точке
будет описан метод получения оптимальных стратегий в конечных
выпуклых играх.

Оптимальные стратегии можно рассматривать как обобщенные
неподвижные точки отображения, описываемого следующим образом:
для г°£/? определяем S(r°)c:S, как множество тех точек, на
которых достигается минимум

min?l(r0, s).

Множество S(r°) будет, очевидно, выпуклым, поскольку оно либо
является пересечением некоторой гиперплоскости с границей мио-
жества S, либо совпадает с 5 (так как функция A (r°, s) на S ли-
нейна). Пусть s° £ 5; обозначим через R (s°) множество тех точек
из множества R, на которых достигается максимум

max А (г, s°).

Множество R (s°) назовем образом точки s°. Если г° £ R (s°) и s° £ S (г°),
то точки г° и s° удовлетворяют равенствам (11.2.1) и, следовательно,
являются оптимальными стратегиями. Понятно, что если /?° и S0— мно-
жества оптимальных стратегий игроков, то каждая точка /?° является
образом каждой точки множества S0, а каждая точка S0— образ
каждой точки множества R°.

Мы можем также представить решения как неподвижные точки
в многозначном отображении Р, которое точке {г, s) из произведе-
ния пространств R@S ставит в соответствие непустое множество
{/? (s), S (г)} = F (г, s) из	где 7?(s) и S(r) — множества,

определенные выше. Точка {г, s} называется неподвижной точкой
отображения, если точка {г, s} содержится в своем образе Л (г, s).

Утверждение о том, что существуют обобщенные неподвижные
точки отображения Л, оказывается в точности переформулировкой
основной теоремы о минимаксе. Использование специфических свойств
отображения Л (г, s) позволит не только описывать множества реше-
ний, но и построить вычислительный процесс получения решений.

При анализе конечной выпуклой игры выигрыш удобно записы-
вать двояко:

п, т	т	п

Л(Г,8)= S	S /y(r)S;+/o(r)=5g’z(s)/-i+^o(s). (11.2.2)

/,»; = !	/ = 1	t = l

Здесь fj (г) и gi(s)—линейные функции переменных гиб, прини-
мающих значения соответственно из множеств R и S. Проще всего
выявить свойства отображения Д(г, s) в том случае, когда перемен-
ные гиб разделены.

Прежде чем перейти к описанию системы отображений, дадим
геометрическую интерпретацию двух общих практически важных типов
оптимальных стратегий: (1) оптимальные стратегии, являющиеся вну-
тренними точками множеств R и S; (2) оптимальные стратегии, обе-
спечивающие каждому игроку выигрыш, тождественно равный v,
независимо от стратегий, используемых его противником.

Эти два типа стратегий взаимосвязаны. Предположив, что игрок I
имеет внутреннюю оптимальную стратегию г°, рассмотрим некоторую
оптимальную стратегию s° игрока II. Ввиду линейности по г функ-
ции Д(г, s°) точка s° отображается на множество R (s°), не содер-
жащее внутренних точек R, если только функции g*/(s°) не равны
нулю для всех /. Следовательно, каждая оптимальная стратегия
игрока II лежит на пересечении плоскостей g,z(s) = O и дает тожде-
ственно V. Внутреннее решение г° для игрока I не должно занимать
особого положения по отношению к плоскостям (г) = 0. Однако
оптимальная стратегия г° приводит независимо от стратегии игрока II
к выигрышу v в том и только том случае, когда она лежит на
пересечении всех плоскостей /z(r) = 0.

Численное нахождение неподвижных точек. Отображение,
рассмотренное при доказательстве теоремы о минимаксе для конеч-
ных выпуклых игр, можно использовать для построения алгорифма
фактического нахождения решений для игр этого класса. Сущность
этого метода состоит в прослеживании изменения образов S(r) и /?(s)
дэ тех пор, пока не будет найдена неподвижная точка. Для конечных
выпуклых игр, в которых оба множества R и S двумерны, этот
прием оказывается особенно эффективным. Процедура состоит в раз-
биении пространства R на конечное число выпуклых подмножеств
/?р . .., Ra гиперплоскостями /у(г) = 0 (7=1, 2.т) и грани-

цами множества $ и в аналогичном разбиении пространства S на
конечное число выпуклых подмножеств Sp S2, ...» гиперплоско-
стями g-z(s) = O (/ = 1, ..., ri) и границами множества/?. Разбиение
множества R таково, что каждое его подмножество /?z отображается
на часть границы множества S, а каждое подмножество Sj отобра-
жается на часть границы R. Подмножества /?z могут пересекаться,
но их объединение дает все пространство стратегий R. Из преды-
дущего следует, что /?° и 5° являются неподвижными точками при
отображении /?р /?2, ..., Ra на S и соответственно Sp S2, ...,
на /?; часто для некоторого I будет выполняться равенство /?z=/?°,
а для некоторого j — равенство 5y = S°. Иногда множество /?°
совпадает с множеством точек г £ /?, определяемых соотношениями

(г) = Л, (г) = • • • = fik (г) и ft (г) — О (Z =# Q для того или иного
множества индексов lv. Аналогичные положения справедливы и для
множества S0.

Проиллюстрируем этот метод двумя примерами. В первом из них
игра имеет конечное число чистых стратегий, а во втором рассма-
тривается игра с континуумом чистых стратегий и вырожденным
ядром выигрыша.

Пример 1. Рассмотрим игру, в которой игрок I выбирает стра-
тегию из многогранного выпуклого двумерного множества /?, опре-
деленного в трехмерном пространстве соотношениями

1	.	. 4	1^1	6Л 20	\

10	5’ 20^Г2=^2’ Гз^5\	9

г\ +г2 + гз— Ь
а игрок II выбирает стратегию из множества S, определяемого
соотношениями

7g— $2 —5з —$1 + 52 4”$з — 1-

Пусть матрица выигрышей имеет вид

33

28

39 30

9	0

4 25

при этом

3	3

А (г. s)
/ = 1 / = 1

3

1

Воспользовавшись равенствами ^1+г2 + гз— 1 и si + s2 + 5з = 1 *
мы можем исключить переменные г3 и $3. Тогда исследование можно
провести в терминах оставшихся переменных гр г2 и sp s2, подчи-

Рис. 17.

ненных соответствующим ограничениям. Множество R оказывается
пятиугольником ABODE, а множество S — треугольником XYZ
(см. рис. 17).	х

Непосредственное вычисление с заменой г3 на 1—гх—г2 и $3
на 1 — — s2 дает нам

я (г, S) = (10г2 — 1 Or! + 1)«! + (10г2 + 1 Of! — 7) s2 4-

+1 (5г, - 25г2 4- 25) = (- 10S1 + 10s2 +1) г! 4-

4“ (10^1 4~ Ю$2 У') Г2 + (®1  7s2 + yj =

— Plsl ~Ь PzS2 + /’а ~	+ ^2Г2 + 9з-
Функция выигрыша разбивает пространство стратегий /? на четыре
области (OMCDN и т. д.), а пространство стратегий 5 — на две.
В области VWY <71<0, #2<0.

Отобразим каждую из четырех областей множества R с помощью
преобразования min А на множество 5, а каждую из двух областей
s

множества 5 с помощью преобразования max А на множество R.
к

Рассмотрим, например, точку г*£/?, принадлежащую OLABM
(область +4-) и исследуем Л (г*, s) как функцию s£S. Поскольку
функция Л (г*, s) линейна по s и имеет положительные коэффициенты,
она в некоторой точке Z£S достигает минимума. Обозначим эту
точку через s* и рассмотрим функцию Л (г, s*)» которая является
линейной функцией вида qxrx + #2Г2 4~#з» где > 0 и q2 < 0.
Максимум этой функции для {гр г2} 6^ достигается при гх настолько
большом, насколько это возможно, и г2 настолько малом, насколько
это возможно в области R. Обоим этим условиям удовлетворяет
единственная точка' D£R. Отсюда следует, что точки области
не могут оказаться неподвижными. Аналогично легко видеть, что
точки области ELO (область -|-----) отображаются на подмноже-

ство ZX, образом которого в свою очередь является точка D. Сле-
довательно, по тем же причинам ни одна из внутренних точек
области ELO не будет оптимальной.

Просматривая по очереди все области множества R, мы придем,
наконец, к неподвижным точкам множеств R и S. Легко проверить,
что только точки прямой ОР и точка V являются единственными
неподвижными точками. Например, точка О отображается на все
множество S, а V — на все множество R. Точки прямой ОР являются
именно теми точками, для которых функция Л (г, s) линейна по Sj
и s2 с равными отрицательными коэффициентами. Образом этих точек
является прямая XY. Окончательно решение имеет вид
— 2	1	3

Г1 ~~ 5 ’ 20 — Г2 — '10
для игрока I и	1	j	1

51 = -2 • s2 = у • S3 = -6

для игрока II; значение игры равно 6,5.

Пример 2. В качестве примера бесконечной игры (того типа,
для которого данный метод особенно хорошо приспособлен) рас-
смотрим вырожденную игру с функцией выигрыша

К$, 7)) = 7]2^COSy^H-Siny^—lj +
Ч-у 7)(^cos-|; —3 siny;) +
+ ^5 sin J в — 3 cos J .
Эта игра эквивалентна в силу теоремы 11.1.1 конечной выпуклой
игре, в которой множество R является выпуклой оболочкой кривой

(O = sin ~ $	(0=^<И), r2(0 = cos~$ (0<U^l),

a S — выпуклой оболочкой кривой

=	(0=£7]==5 1),	S2(v])=7)2	(O==S7]<1).

Функция выигрыша принимает вид

к (г, s)=4(r, s) = s2(ri4-r2-l)+|s1(r2-3r1)+|(5ri-3r!!).

Выпуклым множеством R для игрока I является фигура АСВА
на рис. 18, а выпуклым множеством S для игрока II — фигура XYMX.

Рис, 18,

Записывая функцию выигрыша двумя различными способами, мы
получаем разбиение пространства стратегий игрока I на две области,
а пространства стратегий игрока II на четыре области. Заметим, что
в отображаемых областях точка Р отображается на все множество S
и, в частности, на прямую LM.

Аналогично прямая LM отображается на прямую АВ и, в част-
ности, на точку Р. Поэтому Р и LM представляют собой неподвиж-
ные точки, т. е. дают нам решения игры. Значение игры равно — 73.

П.З. Соотношения между размерностями для конечных выпук-
лых игр. В следующей теореме устанавливается свойство непре-
рывности множеств решений для конечных выпуклых игр. Этот
результат потребуется нам при дальнейшем изучении множеств опти-
мальных стратегий.

к Теорема 11.3.1. Множество оптимальных стратегий
(т. е. множество решений) конечной выпуклой игры является
полунепрерывной сверху функцией матрицы выигрышей А.
(По поводу определения полунепрерывности сверху отображения
точки на множество см. приложение В.2.) Если пространства
стратегий Rn сходятся к R, то множество решений полуне-
прерывно сверху. (Говорят, что последовательность множеств Rn
сходится к /?, если каждая точка множества R является предель-
ной точкой последовательностей точек множеств Rn, а других пре-
дельных точек для этих последовательностей не существует.)

Доказательство. Обозначим через G открытое множество,
содержащее множество оптимальных стратегий R игрока I в игре
с функцией выигрыша Д = Д(г, s). Предположим, что каждый эле-
мент матрицы А изменен не более чем на е. Обозначим через Ае
полученную матрицу, а через /?е — множество оптимальных стратегий
игрока 1. Мы утверждаем, что для достаточно малых е будет спра-
ведливо включение ReaG. Чтобы доказать это, предположим про-
тивное: существует сходящаяся к нулю последовательность {ел}, для
которой R не содержится в G. Пусть rn £ R^, но rn G. По-
скольку множество R компактно, мы можем предположить, что гл—>г
при п—>со, где г £ R, но г f^G. Кроме того, нетрудно установить,
что предельная точка оптимальных стратегий для игры с матри-
цей Аеп является оптимальной стратегией в игре с матрицей А.
Но г(£0 и, следовательно, г(£/?. Таким образом, получено проти-
воречие.

Вторая половина теоремы устанавливается аналогично.

Конечные выпуклые игры с единственными решениями. Выве-
дем теперь соотношения между размерностями для конечных выпуклых
игр с единственными решениями. Эти соотношения являются распро-
странением теорем о структуре множеств решений матричных игр
(см. гл. 3) на конечные выпуклые игры, в которых пространства
стратегий обоих игроков являются многогранниками. В этом пункте
будет показано, что наиболее подходящей характеристикой много-
гранной грани, содержащей оптимальную стратегию, является именно
ее размерность (а не число вершин).

При анализе используется отображение, при котором рассма-
тривается образ множества S (г) для каждого г £ R и образ мно-
жества R (s) для каждого s £ S.
Пусть г°, s°— единственное решение игры с функцией выигрыша
Д(г, s) при пространствах стратегий {/?, SJ. Предположим, кроме
того, что множества /? и S являются выпуклыми многогранниками.
Пусть точка г° принадлежит Л-мерной грани /?°cz/?, а точка s°
/-мерной грани S°<zS. Грани /?° и S0 являются многогранными.
Поскольку стратегия s° оптимальна, она отображается на некоторую
грань R' /?°. Аналогично стратегия г° отображается на некоторую
грань S' S0.

> Лемма 11.3.1. Игра с функцией выигрыша Л (г, s), задан-
ной на редуцированных пространствах стратегий {/?', S'},
имеет единственное решение г°, s°.

(Многогранность множеств R и S существенна для справедливости
этого утверждения.)

Доказательство. Поскольку точка г° отображается на
Sz =5 5° =5 {s0}, а точка s° — на R' 3 RQ 3 {г0}, точки г°, s° должны
быть решением игры с пространством стратегий {/?', S'}. Для того
чтобы установить единственность этого решения, предположим, что
sz£S'— какая-либо другая оптимальная стратегия игрока II. В этом
случае точка s' должна отображаться на некоторую грань, содержа-
щую множество /?°. Пусть s = es' + (l—e)s° — настолько близкое
к s° решение, что s отображается на грань, содержащую множество /?°.
Далее, для исходной игры, заданной на {/?, S}, определим множе-
ство /?', как максимальную грань, на которую отображается точка s°.
Следовательно, точка s, в силу своей близости к s°, будет отобра-
жаться в некоторую часть грани R', содержащей г°. Таким образом,
точка s является другим решением исходной игры, рассматриваемой
на {/?, S}, что противоречит единственности решения.

Мы можем теперь ограничиться анализом редуцированной много-
гранной игры, рассматриваемой на {/?', S'}. В этой игре точка г° является
внутренней точкой множества /?° и отображается на множество S',
Аналогично точка s° является внутренней для 5° и отображается на R'.

Редуцированная многогранная игра аналогична «существенной
части» дискретной игры.

► Лемма 11.3.2. Если r°, s° — единственное решение много-
гранной игры, рассматриваемой на {/?', S'}tmo /?° = R' и S° — S'.

Доказательство. Предположим, что точка s° принадлежит
границе множества S' или S°c:S'. Рассмотрим последовательность
многогранников Sn. каждый из которых лежит внутри множества S',
но не пересекается с 5°. Пусть эта последовательность сходится к S'
при возрастании п. Мы можем сконструировать последовательность Sn,
используя любую внутреннюю точку с $ S' и взяв множество всех
точек отрезка

Хс + (1—k)s	(е„<;к<;1),

где s — любая точка S' и ел —► 0.

Рассмотрим игру на пространствах {/?', Sn]. Обозначим через
{Хп, Yn} решения этой игры. Тогда в силу полунепрерывности сверху
множества решений (теорема 11.3.1) каждая последовательность ре-
шений sn сходится к s°. Далее, поскольку точка г° лежит внутри
множества RQ, для достаточно большого п решения гп лежат внутри
многогранника, для которого /?° является гранью, и, следовательно, sn
отображается в многогранник, содержащий множество /?°. Но поскольку
точка г° отображается на все множество S', пара {г°, srt} является
решением как игры на {/?',	, так и игры на {/?', 5'}. Это, однако,

противоречит предположению, ибо sn лежит внутри 5'. Следова-
тельно, SZ = S°. Равенство /?' — RQ устанавливается аналогично.

Замечание 11.3.1. Используя аналогичную аргументацию, мы
можем обобщить лемму 11.3.2 на игры, имеющие более одного реше-
ния. Обозначим через/?0 наименьшую многогранную грань, содержащую
множество оптимальных стратегий игрока I. Теперь все оптимальные
стратегии игрока II будут отображаться на некоторую многогранную
грань множества R и некоторые из них будут отображаться на R®.
Обозначим через /?' максимальное пересечение этих многогранных
граней. Тогда аргументация, аналогичная использованной при дока-
зательстве леммы 11.3.2, позволяет легко показать, что Rf = RQ.
Аналогично если 5° — наименьшая многогранная грань, содержащая
оптимальные стратегии игрока II, и S'— пересечение всех многогран-
ных граней, в которых отображены оптимальные стратегии игрока I,
то легко показать, что S' = 5°. Таким образом, здесь мы снова можем
ограничиться рассмотрением редуцированной игры на {/?°, 5°}.

к Теорема 11.3.2. Если многогранная игра имеет един-
ственное решение, то обе оптимальные стратегии лежат
в многогранниках одной и той же размерности.

Доказательство. Так как точка г° отображается в /-мерный
многогранник, лежащий в множестве 5, мы должны иметь Z линейно
независимых соотношений, которым удовлетворяют функции

Л (Г0)	(7=1.......tn).

Эти соотношения определяют некоторое многообразие точек из мно-
жества /?, отображающихся на 5°. Размерность этого многообразия
не меньше т — /. Далее, это многообразие и A-мерный многогранник
имеют единственную общую точку, именно г°, поскольку в противном
случае было бы нарушено условие единственности решения. Следо-
вательно, т— l~\~k^m, т. е. &<;/. Аналогично можно показать
что Таким образом, равенство k — l доказано.

Теорема о размерностях для многогранных игр с произвольными
множествами решений может быть получена сведением к случаю един-
ственного решения. Доказательство мы предоставляем читателю в ка-
честве упражнения (см. задачи 15 и 16 к этой главе).

В следующей теореме мы полагаем, что размерность множества
оптимальных стратегий X игрока I равна k. Множество X лежит
внутри многогранника /?°, размерность которого равна ц. Размерность
множества оптимальных стратегий Y игрока II равна /. Множество Y
(размерности /) лежит внутри многогранника 5°, размерность которого
равна v.

► Теорема 11.3.3. В любой многогранной игре размерности
множеств решений и содержащих эти множества многогран-
ников удовлетворяют соотношению

[1 — k = v —/.

11.4. Метод сопряженных конусов1). До сих пор наш анализ
конечных выпуклых игр опирался на теорему Какутани о неподвиж-
ной точке. Другой подход связан с теоремами отделимости для вы-
пуклых множеств (эти теоремы уже применялись нами при анализе
матричных игр), именно на методе сопряженных выпуклых конусов.
Этот подход основан на тесной связи между точками выпуклого ко-
нуса и его опорными гиперплоскостями. (Читателю, не знакомому
с этими понятиями, рекомендуется просмотреть приложение Б. 3.)
Принцип двойственности для выпуклых конусов уже использовался
в связи с теорией сопряженных функций (см. п. 7.5). В теории ли-
нейного программирования этот принцип оказался фундаментальным.

В данном контексте отношение двойственности между выпуклыми
конусами окажется полезным для геометрического представления стра-
тегий в конечных выпуклых играх, пользуясь которым мы получим
границы спектров оптимальных стратегий.

Рассмотрим конечную выпуклую игру, определяемую, как и выше,
тройкой {/?, 5, Л), где

п pi

Л(г. s) = 5 2 aifisj (r£R, s£Sy,

Z = 1 j = l

через v обозначим значение игры. Расширим матрицу Ца^Ц, полагая
а00 = — v, aiQ = 0 (Z=l, ri) и яОу = О (/= 1, .. ., т). Эту

!) Термины „сопряженность" и „двойственность" являются синонимами.—
Прим, пере в.
новую матрицу мы снова обозначим через А. Множество стратегий
в пространстве Еп заменится на множество RaEn+i, которое обра-
зовано всеми векторами вида (1, гр .... гл), где вектор (гр ...» гп)
принадлежит множеству R. Аналогичным образом заменим множе-
ство S и S. Мы позволили себе использовать старое обозначение s
для точек множества S, а обозначение г—для точек R. Выигрыш
в расширенной игре дается выражением

п т	пт

S 5 «///«у = — V + 5 5 aijrlsj,

z = i ; = i

а значение ее равно, очевидно, нулю. Множества оптимальных стра-
тегий для этих двух игр, конечно, совпадают. При рассмотрении
конечных выпуклых игр мы использовали стандартную систему обо-
значений:

(гА) • = 2 '/«/у и (As),- = 2 dijSj.

i	J

Поэтому функция выигрыша может быть записана в виде скалярного
произведения:

Л (г, s) = (rA, s) = (r, As).

Конусы PRi Ps и сопряженные конусы PR, P*s. С помощью
выпуклых множеств R и S образуем выпуклые конусы PR и Ps:

p/?={kr|r^p, Х^О), Ps = {ks|sC5, X>0}.

_ * *

Сопряженные конусы PR и Ps определяются так:

P/? = {h|h£Z:'*+1, (г, h)>0 для всех r^PR},

P*s = {h | h £ Епл \ (h, s)>0 для всех

(См. приложение Б. 3.)

Нам теперь потребуются некоторые из свойств сопряженных ко-
нусов. Доказательство этих свойств можно найти в приложении Б. 3.

(1)	Лучи, составляющие выпуклый конус PR<z:En+\ можно ото-
ждествить со множеством ориентированных гиперплоскостей, прохо-
дящих через начало координат пространства Еп}причем под ориен-
тацией мы понимаем свойство различать полупространства, связанные
с каждым элементом Ь£Рд, для которого

п

2V/S=°
z=o

при всех r£PR. Другими словами, сопряженный конус PR можно
рассматривать как множество всех замкнутых полупространств, со-
держащих начало координат на своей границе, пересечение которых
содержит конус PR. Аналитически эти полупространства представимы
в виде точек в пространстве Еп+\ Их координаты совпадают с коор-
динатами нормалей к гиперплоскостям; причем нормали направлены
в сторону определяемого этой гиперплоскостью полупространства.

В частности, с каждой граничной точкой конуса PR связана опор-
ная гиперплоскость к конусу PR, которая касается конуса по лучу.
Следовательно, вектор h будет граничной точкой конуса P# в том и
только том случае, если в конусе PR найдется такая точка г° =# О,
что (г°, h) = 0.

(2)	Если (/\) является сопряженным конусом к Р#> то (P#) =PR
(см. теорему Б. 3.1).

Теперь в терминах геометрии выпуклых конусов PR и Ps мы
можем приступить к изучению структуры решений игр, определяемых
ядром Л (г, s) и множествами R и S. Следующие две леммы, ана-
логичные замечаниям главы 1 (в особенности см. замечания 1.1.4),
дают геометрическую интерпретацию оптимальных стратегий игро-
ков I и II, используя соответственно точки и гиперплоскости.

► Лемма 11.4.1. Обозначим через RA образ множества /?,
преобразованного с помощью А. Тогда

RA{]Ps = R°A,

где через /?° обозначено множество оптимальных стратегий
игрока I. Кроме того, множество RA не имеет общих вну-
тренних точек с конусом Ps {внутренние точки определяются
относительно пространства ЕтлЛ\

Доказательство. Предположим противное, т. е. что эти два
множества имеют общие внутренние точки. Тогда существует такая
точка г° £ /?, что точка г°А является внутренней для конуса От-
сюда следует, что (r°A, s) > 0 для всех s£S. Поскольку множе-
ство S компактно, неравенство (r°A, s)^8>0 должно выполняться
no s равномерно. Из этого неравенства вытекает, что значение игры
должно быть не меньше 8, тогда как на самом деле оно равно нулю.
Таким образом, последнее утверждение леммы установлено.

Кроме того, множество /?°А непусто, поскольку оптимальные
стратегии существуют. Возьмем г°£/?°, тогда ясно, что г°А£/?А, а
в силу оптимальности стратегии г° мы имеем неравенство (r°A, s)^0 для
всех s£S. Следовательно, г°А£Р$, и поэтому /?°Acz/?A П
460

гл. и*, вырожденные и полиномиальные игры

Обратно, если гА£Р$ для всех г£/?, то (гA, s) > 0 для всех
s £ S, и поэтому стратегия г должна быть оптимальной. Следова-
тельно, /?°Агэ/?А П Л$- Это и завершает доказательство леммы.

В силу леммы 11.4.1 выпуклые множества /?А и P*s можно раз-
делить хотя бы одной гиперплоскостью р. Плоскость, разделяющая
множества /?А и Ps, оказывается, в частности, опорной плоскостью
конуса Ps, а всякая опорная к конусу плоскость должна обязательно
проходить через его вершину 0. Таким образом, гиперплоскость р
может быть представлена в виде линейной формы, определенной
в £m+1 и задаваемой т-\- 1-мерным вектором p = s = (s0,	. . ., sm),

где не все Sj равны нулю. Поскольку гиперплоскость р является
опорной к конусу Ps, умножая все компоненты Sj на один и тот же
множитель ±1, мы можем предположить, не умаляя общности, что
s £ (Р$) =Ps> Аналогично устанавливается, что любой гиперплоскости,
проходящей через начало и оставляющей множество Р$ по одну сто-
рону, могут быть поставлены в соответствие точки множества Ps.
Кроме того, все точки множества Ps, соответствующие одной и той же
граничной плоскости Ps, должны лежать на луче, проходящем через
начало координат. Поэтому удобно взять только одну точку этого
луча, соответствующую этой гиперплоскости. Это достигается умно-
жением вектора р на соответствующим образом выбранный положи-
тельный множитель. Поскольку множество 5 было естественным по-
перечным сечением, использовавшимся для образования конуса Р5,
все гиперплоскости, содержащие 0 и оставляющие конус по одну
сторону, находятся во взаимно однозначном соответствии с сечением 5
множества Ps.

Опорная гиперплоскость к конусу Ps, которая разделяет множе-
ства /?А и Ps, играет особую роль.

► Л е м м а 11.4.2. Плоскости, разделяющие множества РА и P*s,
находятся во взаимно однозначном соответствии с оптималь-
ными стратегиями игрока II.

Доказательство. Обозначим через 5° множество всех опти-
мальных стратегий игрока II. Каждая точка s°$5° удовлетворяет
условиям

(гA, s°)^0	для всех г£

(11.4.1)
(h, s°)>0 для всехЬ£Р$.

Следовательно, точка s° определяет некоторую разделяющую пло-
скость.
Обратно, поскольку множества RA и Ps соприкасаются, любая
разделяющая плоскость s* должна быть и опорной плоскостью для
них обоих. В силу рассуждений, предшествовавших этой лемме, мы
можем умножить вектор s* на такую константу, чтобы выполнялись
условия

(rA, s*)^gO для всех гА£/?А,	(11.4.2)

(h, s*)^0 для всех	(11.4.3)

где s*^S. Из (11.4.2) мы получаем, что s* является оптимальной
стратегией игрока II.

11.5.	Структура множеств решений вырожденных игр. Под-
ведем итоги геометрических рассуждений, проведенных в предыду-
щем пункте, (а) Стратегии игрока I могут рассматриваться как образы
точек множества R, подвергшегося преобразованию А, а его опти-
мальные стратегии соответствуют точкам соприкосновения множеств
RA и Ps. (б) Стратегии игрока II могут быть представлены как
опорные гиперплоскости конуса а его оптимальные стратегии соот-
*

ветствуют опорным плоскостям для конуса Ps, которые разделяют
множества Ps и RA.

Теперь с помощью этих геометрических характеристик стратегий
мы подготовлены для получения как соотношений между размерно-
стями, так и свойств оптимальных стратегий для конечных выпуклых
игр и, в частности, для вырожденных игр.

Из доказываемых далее теорем вытекает, что для вырожденных
игр существуют оптимальные стратегии, имеющие конечные спектры
с известными верхними границами. Эти несколько неожиданные
результаты объясняются тем, что вырожденные игры являются в конце
концов бесконечными играми с произвольными смешанными страте-
гиями. Тем не менее конечная природа ядра влечет существование
оптимальных стратегий конечного типа.

Результаты, которые устанавливают существование оптимальных
стратегий конечного типа, являются ценными по следующим двум
причинам. Во-первых, такие стратегии можно легко вычислять.
Во-вторых, эти стратегии являются простейшими типами смешанных
стратегий, которые встречаются в бесконечных играх, и реализуются
в практике наиболее легко.

Рассмотрим вырожденную игру
п т

к G. т;) = 2 2 G) sj (7]).	(11.5.1)

где /-.(£)(/ — 1, . . ., п) и 5у(т])(У=1, ..., /п) суть непрерывные
функции.
Обозначим через С кривую, лежащую в пространстве Еп+1 и
описываемую параметрическими уравнениями rz = (£) (0	1;

Z=l, ...» п), где через г0(5) обозначена функция, тождественно
равная единице. Как мы уже видели в п. 11.1, игра с ядром К
может быть сведена к конечной выпуклой игре {/?, S, А), где А —
матрица ||aZy||, a R и S— множества, охарактеризованные в те-
ореме 11.1.1.

► Теорема 11.5.1. Если в вырожденной игре размерности
(в R и S) множеств оптимальных стратегий равны соответ-
ственно и v, а р — ранг исходной матрицы ||aZy|| (I = 1,. .., п\
j=\....... т), то для игрока I существует оптималь-

ная стратегия со спектром, имеющим не более чем min (р, т —
— v-f-1) точек, а для игрока II существует оптимальная
стратегия со спектром, имеющим не более чемт($, п — ji-j-1)
точек.

Доказательство. Напомним сначала, что образом оптималь-
ной стратегии г° в /?АПЛ$ является г°А.

Размерность выпуклого множества RK не превосходит р. Следо-
вательно, в силу леммы Б.2.2 каждая точка этого множества является
линейной комбинацией не более чем р точек множества (С) А. [Через
(С) А здесь обозначено множество в пространстве Ет + \ которое
получается преобразованием точек кривой С помощью матрицы А.]
—	*

Кроме того, любая точка множества /?АПЛ$ должна, как утвер-
ждается в лемме 11.4.1, лежать в пересечении L всех гиперплоскостей,
разделяющих эти два множества. В силу леммы 11.4.2 размерность
множества L равна т — v. Таким образом, точка г°А должна при-
надлежать выпуклой оболочке (С) А П Поскольку это множество
может оказаться несвязным, мы в силу леммы Б.2.1 можем заклю-
чить, что точка г°А может быть представлена как выпуклая комби-
нация не более чем min (р, т — v—|— 1) точек множества (С) А. Следо-
вательно, точка г° состоит не более чем из min (р, т — v-f— 1) точек
кривой С.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

► Следствие 11.5.1.В вырожденной игре с ядром вида (11.5.1)
и непрерывными функциями ri(^), Sj(jq) оба игрока имеют опти-
мальные стратегии со спектром, состоящим не более чем из
min(m, п) п очек.

Доказательство вытекает из хорошо известного неравенства
p<min(m, п).
Границы, указанные в теореме 11.5.1, могут быть для некоторых
конечных игр улучшены. Для игр, определяемых полиномиальным
ядром, могут быть получены очень точные условия для существова-
ния оптимальных стратегий заданного размера1) (см. п. 11.8). В этом
случае нам потребуется знание точной структуры границ простран-
ства классических моментов.

Следующая теорема не имеет отношения к числу точек спектра
оптимальных стратегий; скорее, она является аналогом соотношения
между размерностями множеств оптимальных стратегий в матричных
играх.

к Теорема 11.5.2. Если р, v и р определены так, как ука-
зано в теореме 11.5.1, то

р-\- у<т-\-п— р.

Доказательство. Размерность ядра2) оператора Аг равна
п — р (напомним, что через Аг обозначена транспонированная ма-
трица матрицы А). Если мы рассматриваем Аг как линейное ото-
бражение на подпространства, принадлежащие пространству Еп, то
размерность образа пространства не может уменьшиться более чем
на п — р. В частности, размерность множества /?°А не меньше чем
[л — (п — р), поскольку размерность множества RQ равна |х.

С другой стороны, /?°А является множеством соприкосновения
множеств /?А и Ps. Следовательно, оно лежит в v —|— 1 линейно не-
зависимых гиперплоскостях в Е , размерность пересечения кото-
рых равна т — v. Отсюда следует, что

[л — (п, — р) < dim /?°А < т — v
и

— р.

► Следствие 11.5.2. Если ||а^|| (f = 1, .... /г; / = 1, .. ., /п)—
невырожденная матрица, то

p + v<max(m, ri).

11.6.	Общие замечания о выпуклых множествах в простран-
стве Еп. В следующих пунктах мы проведем более полное исследование
природы оптимальных стратегий в вырожденных играх, ядра которых
являются полиномами. В играх этого класса пространства стратегий

’) Под размером стратегии понимается количество точек в спектре
этой стратегии. — Прим, перев.

2) ЯдрОхМ оператора А называется множество, состоящее из всех векто-
ров х С Еп, которые удовлетворяют уравнению Ах = 0. Иногда размерность
ядра называют дефектом оператора А. — Прим, перев.
/? и S можно рассматривать как пространства классических конеч-
ных моментов. Дальнейшее исследование структуры решений поли-
номиальной игры потребует подробного описания границ пространств
моментов. Поэтому ниже мы займемся изучением пространств класси-
ческих конечных моментов и структуры границы выпуклых множеств
в евклидовых пространствах.

Идея состоит в том, чтобы любому выпуклому множеству сопо-
ставить несколько численных (быть может, целочисленных) функций,
которые характеризуют точки границы множества и тем самым
полностью определяют множество и описывают его. С помощью этих
функций мы сможем выделять различные типы выпуклых множеств.
Например, функции, характеризующие многогранные выпуклые мно-
жества, часто удовлетворяют очень простым соотношениям. Размер-
ности обобщенных пространств конечных классических моментов
также связаны интересными соотношениями, выраженными через эти
функции.

Рассмотрим теперь произвольное замкнутое ограниченное выпук-
лое множество Г и назовем его размерностью размерность наимень-
шего линейного многообразия, содержащего Г. Пусть точка г лежит
на границе множества Г; обозначим через Л (г) пересечение всех
гиперплоскостей опорных к Г в точке г. Множество соприкосно-
вения С (г) в точке г определим как пересечение Л (г) и Г. Опре-
делим, наконец, две характеристики размерности:

а (г) = dim L (г) — размерность грани в точке г,

с (г) = dim С(г) — размерность соприкосновения в точке г.
Для внутренней точки и£Г положим,* ради полноты определения,
что

а (и) = с (и) — п,

где п— размерность множества Г.

Легко видеть, что для ограниченного многогранного множества,
т. е. для выпуклого множества, являющегося выпуклой комбинацией
конечного числа точек, всегда выполняется равенство а(г) = с(г).
В общем случае разность а (г) — г (г) количественно характеризует
искривленность границы множества Г в точке г.

Говоря более образно, в точках округления на границе выпук-
лого множества (т. е. в точках, напоминающих точки границы еди-
ничной сферы) должно выполняться равенство с(г) = 0.

Если мы погрузим множество R в пространство Ел+1 таким же
образом, как мы погружали множество R в пространство Е”4’1
в п. 11.4, то мы сможем сконструировать конусы Р? и Рг.

Если конус Рг не имеет внутренних точек, то, по определению,
конус Р*£ совпадает со всем пространством Еп+\ и этот случай не
представляет интереса. Поэтому далее мы будем всюду предполагать,
если не оговорено противное, что конус Рг имеет внутренние
точки. Поскольку конус Рг замкнутый и выпуклый, мы имеем
(Рг) ==Рг (см. теорему Б.3.1). Всякое ограниченное поперечное
сечение Г конуса Рг называется двойственным (сопряженным) мно-
жеству Г. Аналитически поперечное сечение конуса Рг может быть
представлено как множество всех точек s £ Рг, удовлетворяющих
условию (s, u) = 1, где и — внутренняя точка конуса Рг- Точки на
границе множества Г* можно рассматривать как опорные гиперпло-
скости к Г, и обратно.

Мы говорим, что точка s на границе множества Г* является
сопряженной к точке г на границе множества Г, если точка s ока-
зывается внутренней точкой для совокупности опорных гиперпло-
скостей множества Г в точке г. Точно так же определяются точки

Рис. 19.

Это отношение сопряженности оказывается симметричным не
всегда. На рис. 19 точка s является сопряженной к точке г, а
точка г есть опорная гиперплоскость к множеству Г* в точке s, но
точка г не является сопряженной ни к какой точке.

Очевидно, точка s является единственной опорной гиперплоскостью
в точке г, и, следовательно, она оказывается внутренней точкой
множества гиперплоскостей, опорных к множеству Г в точке г.

► Лемма 11.6.1. Пусть точка г лежит на границе множе-
ства Г, а точка s — на границе множества Г*. Если точка s
сопряжена к г или точка г сопряжена к s, то

а (г)с (s) = с (r)+ a (s) — п — 1.	(11.6.1)

Замечание 11.6.1. В некотором смысле эта лемма выражает
двойственность между размерностью „грани" выпуклого множества,
содержащего данную точку, и размерностью семейства всех возмож-
ных опорных плоскостей в данной точке. Формула (11.6.1) дает нам
возможность переходить от соотношений между размерностями мно-
жества Г к соответствующим соотношениям между размерностями
множества Г*, и обратно.

30 Зак. 1789
Доказательство. Возьмем произвольную точку г на границе
множества Г и обозначим через s £ Г* опорную гиперплоскость
к множеству Г в точке г. Тогда (г, s) = 0.

Определим А как множество опорных гиперплоскостей к мно-
жеству Г* в точке s, т. е. положим

{г'СГ|(г'. s) = 0).

Поскольку размерность пересечения этих гиперплоскостей равна
a(s), в множестве А должно существовать п—a (s') линейно неза-
висимых гиперплоскостей. Размерность множества А, рассматривае-
мого как выпуклое подмножество на границе множества Г, равна,
следовательно, п — a(s)—1.

Пусть В = А(г)ПГ. По определению, размерность множества В
равна г (г). Докажем, что А = В.

Если г' £ В, то точка г' принадлежит всем опорным гиперпло-
скостям множества Г в точке г. В частности, точка г' лежит в ги-
перплоскости, соответствующей точке s; поэтому (г', s) = 0. Отсюда
следует, что г'£Д и ВсзД.

Докажем обратное включение: ДсзВ, причем здесь мы рассмо-
трим отдельно два случая.

Случай 1. Если точка s является сопряженной точке г, то
точка s будет относительно внутренней !) гиперплоскостью к множе-
ству Г в точке г. Следовательно, точка s является опорной гипер-
плоскостью к Г и соприкасается с ним точно по множеству В.
Таким образом, любая точка г'£Г, удовлетворяющая условию
(rz, s) = 0, принадлежит множеству В и, следовательно, ДсзВ.

Случай 2. Если точка г сопряжена точке s, то точка г является
относительно внутренней опорной гиперплоскостью множества А.
Следовательно, каждая опорная гиперплоскость, проходящая через
точку г, должна содержать все множество А. В противном случае
множество А должно было бы содержать точки по обе стороны
этой гиперплоскости, и гиперплоскость не была бы опорной. Поэтому
пересечение Л (г) всех этих плоскостей должно содержать все мно-
жество А. Поскольку в силу определения множество Г содержит
множество А, мы имеем включение L (г) Л Го А, или Во А. В обоих
случаях ВоД и, следовательно, В = А. Отсюда следует, что
dim В = dim Д, т. е.

с (г) = п — a (s) — 1,

или	с (г) + л (s) = п — 1 •

*) Точка а множества А называется внутренней, если существует
окрестность а, целиком лежащая внутри А; относительно внутренней
точкой А называется точка, имеющая окрестность, пересечение которой с А
открыто в Я в смысле топологии объемлющего пространства. — Прим,
перев.
Ввиду того, что предположения доказываемой леммы симметричны
относительно точек гиб, мы имеем

c(s)+ а(г) = «— 1.

Наконец, еще одно важное соотношение, касающееся размерности
выпуклого множества, связано с тем основным фактом, что выпук-
лые множества являются выпуклыми замыканиями своих крайних
точек (см. лемму Б.2.4). Поскольку каждый элемент множества может
быть представлен в виде конечной выпуклой комбинации экстре-
мальных точек, мы можем обозначить через Ь(г) наименьшее число
крайних точек множества Г, необходимых для представления
точки г.

В силу леммы Б.2.1 для любой точки из замкнутого ограничен-
ного /«-мерного выпуклого множества должно выполняться как не-
равенство

*/>(r)^m-|- 1,
так и неравенство

z>(r)<c(r)+ 1.

11.7. Пространства обобщенных моментов. Полученные выше
соотношения для конечномерных выпуклых множеств общего вида
имеют интересную интерпретацию и могут быть улучшены примени-
тельно к пространствам классических моментов. Классическое «-мер-
ное пространство моментов Dn состоит из всех таких векторов
(гр г2, •••* гп)’ чт0 существует распределение х(В) на интервале
[О, 1], для которого

1

ri== f Ых® (4=1, .... п).
о

Для«>2 кривая С, описываемая параметрическими уравнениями
— ¥ (0 < £ < 1), содержит крайние точки множества Dn (см. ниже
лемму 11.7.1).

На рис. 20 и 21 показаны двухмерное и трехмерное простран-
ства моментов. На рис. 21 непрерывные линии, соединяющие кри-
вую С3 с точкой (1, 1, 1), являются выпуклой оболочкой верхней
границы множества D3. Пунктирные линии, соединяющие точку
(0, 0, 0) с кривой, являются выпуклой оболочкой нижней границы
множества D3.

Наша цель состоит в изучении множества Dn с точки зрения
понятий размерностей граней, введенных для общих выпуклых мно-
жеств. Подобно многогранным выпуклым множествам, исследование
которых не вызывало затруднений, пространства классических мо-
ментов Dn имеют достаточно разнообразную структуру. Мы начинаем
с исследования свойств выпуклой оболочки, порожденной кривой Сп
30*
по отношению к пространству D'1. Винтовая форма кривой С" (п>2)

прямо указывает на то, что ни одна из точек этой кривой не может
быть представлена в виде выпуклой комбинации других точек мно-
жества Dn. Следовательно, каждая точка кривой Сп является крайней
точкой множества Dn. В силу

теоремы 11.1.1 все другие
точки могут быть представ-
лены в виде конечных вы-
пуклых комбинаций точек кри-

вой Сп. Более точная формулировка этого утверждения содержится

в следующей лемме.

к Лемма 11.7.1. Точки, лежащие на границе множества Dn,
представимы единственным образом в виде выпуклых комби-
наций крайних точек. Каждая внутренняя точка множе-
ства Dn имеет бесконечно много представлений с помощью
точек кривой Сп.

Доказательство. Мы приведем только доказательство пер-
вого утверждения, предоставив доказательство второго читателю
в качестве упражнения.

Заметим прежде всего, что если Н — некоторая опорная гипер-
плоскость !) к множеству Dnt то характерным ее свойством является
выполнение неравенства

п

(h, г) = 2	+	(П.7.1)

i = l

’) Для целей теоремы будем из всех опорных гиперплоскостей, прохо-
дящих через данную точку границы, рассматривать ту, которая пересе-
кается с Dtl по множеству наименьшей размерности. Для данной граничной
точки все такие пересечения совпадают. — Прим. ред.
для всех r£Dn, В частности,
п

+	(O-S^l),	(11.7.2)

Z = 1

и равенство должно достигаться по крайней мере для одного значе-
ния £, поскольку плоскость является опорной2). Однако не все ht
равны нулю; следовательно, равенство может достигаться не более
чем в п точках £, поскольку степень полинома не выше п. Пусть
число нулей (т. е. точек соприкосновения кривой Сп и плоскости)
равно k^n. Эти точки линейно назависимы, поскольку матрицей их
координат является матрица Вандермонда, ранг которой равен k.
(Набор из п точек будет линейно независимым, если п— 1 векторов,
соединяющих любую из этих точек с оставшимися, будут линейно
независимыми.)

Поэтому каждая опорная гиперплоскость Н соприкасается с множе-
ством Dn по симплексу, вершины которого линейно независимы.
Любая точка в этом симплексе может быть представлена единствен-
ным образом в виде выпуклой комбинации его вершин. Поскольку
в каждой точке границы множества Dn существует некоторая опор-
ная гиперплоскость, первое утверждение леммы доказано.

В целях дальнейшего изучения порождения множества Dfl кривой Сп
удобно точкам кривой Сп приписать некоторые веса. Точке г£Сп
приписываем вес 1, если значение параметра, соответствующее этой
точке, не равно нулю или единице; в противном случае точке приписы-
вается вес {/2- Такой выбор весов в дальнейшем себя оправдает.

Обозначим для любой точки r£Dn через £(г) наименьшее число
точек кривой Сп, с помощью которых может быть представлена
точка г (см. п. 11.6). Обозначим через Ь' (г) то же самое число,
где, однако, концевые точки (0, 0, . . ., 0) и (1, 1, . . ., 1) условно
засчитываются за „половину точки"; другими словами, Ь'(г) измеряет
количество точек, используемых в представлении точки г с помощью
новых весов, введенных выше.

Мы можем назвать Ь' (г) весом точки г. Ясно, что bf (г) может
принимать только полуцелые или целые значения. Очевидно,

b (г) — 1 bf (г) b (г).	(11.7.3)

В следующих двух леммах устанавливаются некоторые соотно-
шения между введенными характеристиками размерностей граней
в пространстве моментов. Кроме того, в лемме 11.7.3 фактически
показано, что граница множества Dn настолько искривлена, что
размерность множества Л (г) может быть уменьшена вдвое. В соответ-

’) Напомним, что опорная гиперплоскость должна иметь с множеством,
для которого она является опорной, общие точки. — Прим, перев.
ствии со значениями функции Ь'(г) границу можно разбить на
несколько компонент. В пределах каждой из этих компонент раз-
мерность множества опорных гиперплоскостей одна и та же.

Можно получить много других интересных характеристик про-
странств классических моментов. Некоторые из них будут приведены
при интерпретации конуса, порожденного множеством Dn, и конуса,
сопряженного с ним. Прежде всего мы установим два важных
результата.

> Лемма 11.7.2. Если точка г принадлежит границе мно-
жества Dn, то

* (г) = с (г) 4-1	(11.7.4)

и

26'(г) = а (г) 4- 1.	(11.7.5)

Если г лежит внутри Dnt то

26'(г) = п 4-1 =а(г)4- 1.	(11.7.6)

Доказательство. При доказательстве предыдущей леммы было
установлено, что число линейно независимых элементов в А(г)П^л
равно #(г). Но число линейно независимых элементов больше раз-
мерности на единицу. Следовательно,

b (г) = dim (£ (г) П Dn) 4- 1 = с (г) 4- 1.

Для того чтобы установить (11.7.5) для точки, принадлежащей
границе множества Dn с характеристическим числом #'(г), построим
следующий полином Ро степени 2b' (г). Каждая внутренняя точка
кривой С, входящая в представление точки г, является двойным его
корнем, а каждая граничная точка С (т. е. 0 или 1), которая входит
в представление г, — простым. Знак полинома Ро выбирается так,
чтобы в единичном интервале он был бы неотрицательным. Рас-
смотрим далее множество всех неотрицательных на единичном интер-
вале полиномов Q степени п — 2Ь' (г).

Неравенство n>2b'(r) устанавливается без труда. Коэффициенты
h = (/zz) (/ = 0, 1, .... ri) всякого полинома QPq из рассматривае-
мого множества полиномов определяют некоторую гиперплоскость,
опорную к множеству Dn в точке г. Тот факт, что полином QPq
неотрицателен для всех В£[0, 1], означает, что кривая Сп лежит по
одну сторону от этой гиперплоскости и, следовательно, Dn —Со Сп
(Со — выпуклая оболочка множества) лежит с той же самой стороны.
Кроме того, полином QPq обращается в нуль для всех тех |, кото-
рые участвуют в представлении точки г, и поэтому (h, г) = 0.
Последнее означает, что точка г принадлежит гиперплоскости h,
компоненты которой являются коэффициентами полинома QPq.
Обратно, любая гиперплоскость, опорная к множеству Dn
в точке г, определяет некоторый полином, удовлетворяющий нера-
венствам (11.7.2) и имеющий полином Ро в качестве множителя
(см. доказательство леммы 11.7.1).

Размерность всех опорных гиперплоскостей (всех неотрицатель-
ных полиномов Q) равна точно п—2d'(r)-f-l, и, следовательно,
размерность их пересечения а (г) = 2#' (г)—1. Это завершает дока-
зательство формулы (11.7.5). Ввиду того, что доказательство фор-
мулы (11.7.6) аналогично, мы опускаем детали.

► Лемма 11.7.3. На границе множества Dn выполняются
неравенства

я (г)— 1 <2с(г)<я(г) -j- 1.	(11.7.7)

Доказательство. Из (11.7.3) мы имеем неравенство

2У (г)<2£(г)<2У (г)+ 2,
или

W (г) <; 2 [с (г) + 1 ] < W (г) + 2;

отсюда в силу неравенства (11.7.5) из леммы 11.7.2 получаем
а (г) + 1 < 2с (г) + 2 < а (г) + 3.

Конус PD. Если понятие представления с помощью выпуклых
комбинаций обобщить, допуская использование бесконечных множеств
точек, то выпуклое представление точек г°££)л устанавливает взаимно
однозначное соответствие таких точек с функциями распределения
л:°(£), моменты которых rz суть координаты точек г°.

Момент

1
r0= f 1 -dx®
о

соответствует координате г0. Если мы будем рассматривать распре-
деление с произвольным неотрицательным весом г0, то получим
конус PD. Иными словами, точкой конуса PD является упорядочен-
ный набор п чисел (г0, гр ..., гл), где

1
(4 = 0, 1, .... т),
о

причем ограничений на нормировку функции х(£) не налагается1).

’) Для вероятностных распределений на множестве Dnt конечно, должно
быть г0 = 1. — Прим. перев.
Сопряженный конус Р*п. Соответствие между линейной формой
(11.7.1) и полиномами из неравенства (11.7.2) показывает, что
конус Рп можно рассматривать как множество полиномов степени
не выше п, которые неотрицательны в интервале 0^£<1. Из
доказательства леммы 11.7.1 мы видим, что граница конуса Рп
содержит те полиномы из конуса Рп, которые имеют по крайней
мере один корень в этом интервале. Можно показать, что крайними

точками (ограниченного поперечного сечения конуса) являются именно
те полиномы, все п корней которых лежат в этом интервале.

Это поперечное сечение конуса Рп определяется как множество

ht\i = 0, 1, ..., n; (h, г)>0 для r^PD и Z+'l = 1
i =0

Графическая иллюстрация этого для п = 2 приведена на рис. 22.

11.8. Полиномиальные игры. Полиномиальная игра задается
вырожденным ядром вида
п т

Tj)=2 2 mV.

i=0 J=O

Геометрическое представление стратегий, как точек выпуклых мно-
жеств и опорных плоскостей к соответствующим выпуклым конусам,
помогло нам установить соотношения между размерностями множеств
оптимальных стратегий вырожденных игр. В частности, использова-
ние теории сопряженных (двойственных) конусов при изучении вы-
рожденных игр позволило сделать заключение о существовании опти-
мальных стратегий конечного типа. Дальнейшее изучение геометрии
пространств классических моментов позволит нам получить более пол-
ную информацию о виде оптимальных стратегий полиномиальных игр.

Пусть через и v обозначены, как и выше, размерности мно-
жеств оптимальных стратегий /?° и S0 соответственно игроков I и II.
Пусть р — ранг п X (^+ 1)-матрицы, получающейся из матрицы А
опусканием строки / = 0; о — ранг (п -|- 1) X ^-матрицы, получаю-
щейся из матрицы А опусканием столбца J — 0. (Заметим, что изме-
нение а00, обращающее значение игры в нуль, этих рангов не изменяет.)

Предположение. Мы рассматриваем только тот случай, когда
p = min(n, и о = min (я 4“ 1» так чт0 0$е матрицы не
вырождены. Для определенности мы будем изучать случай п<т-\-\,
так что р = п.

Из предположения р = /г следует, что размерность множества
(/?)А равна п. При этих условиях характеристики размерностей
множеств сохраняются:

а (гА) = а (г), • с (гА) = с (г).

(Мы подчеркиваем, что функции а (г) и c(s) определяются соответ-
ственно для множеств R и S.)

Для того чтобы сделать более понятными доказательства следую-
щих ниже теорем, напомним определение существенных стратегий и
укажем на их связь со смешанными стратегиями в полиномиаль-
ных играх.

Мы называем чистую стратегию, соответствующую значению пара-
метра £, существенной!), если существует оптимальная смешанная
стратегия х(£), в которой используется Если г° — внутренняя
точка R, то существует представление точки г°, в котором может
быть использовано т. е. в этом случае любая чистая стратегия
оказывается существенной (лемма 11.7.1). С другой стороны, если
точка г° лежит на границе множества R, то существует точно ft(r°)
существенных чистых стратегий в единственном представлении точки г°.
Другими словами, любая смешанная стратегия х(£), моменты которой
дают точку на границе множества R, сосредоточена ровно в ft(r°)
точках единичного интервала. Фактически мы можем утверждать даже
большее. В силу леммы 11.7.1 существует единственное распреде-
ление, соответствующее точке г°, и это распределение является
распределением конечного типа.

Кроме того, если точка г° лежит на границе множества R, но
точка г°А является относительно внутренней точкой множества /?°А
(см. сноску на стр. 466), то все точки множества /?° должны нахо-
диться на границе множества R. Тогда все точки множества /?°

9 Синоним: активная. — Прим, перев.
являются выпуклой оболочкой тех точек, которые порождают г°
(в противном случае точка г°А не была бы относительно внутренней
точкой множества /?°А). Следовательно, число чистых существен-
ных стратегий равно £(г°).

Следующие теоремы дают детальную характеристику оптимальных
стратегий.

> Теорема 11.8.1. Пусть в полиномиальной игре с ядром
п т

к (?. *1)=S 5 V	(« =S т + 1)

z=o /=о

ранг п\(т-\-\)-матрицы ||а/;|| (/=#0) равен р — п, г° — отно-
сительно внутренняя точка ^-мерного выпуклого множества
оптимальных стратегий игрока I, a s°—относительно внутрен-
няя точка ^-мерного выпуклого множества оптимальных
стратегий игрока II. Тогда

p.^/n + 1 — 2^(s°).	(11.8.1)

Доказательство.

Случай 1. Предположим сначала, что точка s° лежит на гра-
нице множества 5. Обозначим через s любую точку, сопря-
женную точке s°. Прежде всего докажем, что каждая гиперплоскость,
опорная к конусу Ps в точке s*, содержит множество соприкосно-
вения /\ПЯА. Пусть Л —одна из таких опорных гиперплоскостей;
предположим, что существует точка г'А, принадлежащая множеству
7?°А и не принадлежащая гиперплоскости /г. Через Т обозначим
множество плоскостей, опорных к множеству S в точке s°. Ввиду
того что r'A£Ps (лемма 11.4.1), но г'А(£/г, должно выполняться
неравенство (r'A, h) > 0. Однако s° и г' — оптимальные стратегии,
поэтому (r'A, s°) = 0. Следовательно, точку г'А можно рассматри-
вать как элемент множества Т. Но в силу определения сопряженной
точки s* является относительно внутренней точкой Г. Поэтому мы
можем найти такую точку t£T, что s* = ar'A-|-pt где 0<а<1,
а + Р = 1» Образуя скалярное произведение, мы получим

0 = (s*, h) = a(r'A, h) + p(t, h).

Поскольку из соотношения t^TczPs следует неравенство (t, h)^0,
последнее уравнение противоречит предположению г'А(£й.

Следовательно, пересечение всех гиперплоскостей, опорных к ко-
нусу Рз в точке s , содержит множество соприкосновения /?°А, раз-
мерность которого равна р. Допуская, что соприкосновение проис-
ходит по одной из образующих конуса мы имеем

Вейлу леммы 11.6.1 c(s*)-ba(s°) = /n—1. Следовательно, т—#(s°)>p,
а из леммы 11.7.2 мы получаем неравенство т-\-\—2ft'(s°)^p,
которое и требовалось установить.

Случай 2. Пусть s° является внутренней точкой множества 5.
Тогда a(s°) = /n, и мы должны показать, что [1 = 0.

Пусть г' £/?°. Тогда г'А £/?А fl Ps- Кроме того, поскольку
г'А£Р$ и s°— внутренняя точка множества S, мы имеем (г'А, s°) > О,
если г'А =£ 0. Но из оптймальности г' вытекает (г'А, s°) = 0. Поэтому
г'А = 0, и множество Р°А содержит только одну точку, а именно
начало координат. Поскольку А' — взаимно однозначное преобразо-
вание множества Р, мы имеем

р = dim Р° = dim Р°А = 0.

Это завершает доказательство теоремы.

Из неравенства (11.8.1) вытекает, что чем больше размерность
множества оптимальных стратегий игрока I, тем более вероятно, что
игрок II будет иметь оптимальные стратегии конечномерного типа,
являющиеся смесью небольшого числа чистых стратегий. Более точно,
если выпуклая оболочка оптимальных стратегий игрока I является
[i-мерным множеством, то у игрока II существует оптимальная стра-
тегия s° с весом

»'(»«)

В следующей теореме формулируется соответствующее нера-
венство, связывающее размерность множества оптимальных стратегий
игрока II и вес оптимальной стратегии игрока I.

► Теорема 11.8.2. В условиях теоремы 11.8.1 мы имеем

v</n+ 1 — 2ft'(г°).	(11.8.2)

Доказательство. Обозначим через L (г°А) пересечение гипер-
плоскостей, опорных к множеству РА в точке г°А. Тогда а(г0) —
— а (г°А) = dim L (г°А). Следовательно, число линейно независимых
гиперплоскостей должно быть равно т-\-\—а(г°). Поскольку
размерность множества меньше числа его линейно независимых эле-
ментов на единицу (линейная независимость понимается здесь в смысле
определения, приведенного на стр. 469), размерность множества
опорных гиперплоскостей равна т— а(г°). Это множество содержит
множество отделяющих гиперплоскостей S0. Следовательно,

v = dim S° < tn — a (r°),

откуда в силу леммы 11.7.2. мы получаем неравенство (11.8.2).

Интересно отметить различие в доказательствах теорем 11.8.1
и 11.8.2. При доказательстве теоремы 11.8.1 используется прием
подсчета, применяемый к множеству соприкосновения между RA
и Ps; при доказательстве же теоремы 11.8.2 подсчитывается число
линейно независимых гиперплоскостей, отделяющих множества RA
и Ps. Читатель может заинтересоваться, почему нельзя одновременно
провести параллельные симметричные доказательства обеих теорем,
вместо того чтобы анализировать в одном случае множество сопри-
косновения, а в другом изучать множество отделяющих гиперпло-
скостей. Эти два различных доказательства потребовались ввиду не-
симметричности предположения р = п. В связи с этим следует отме-
тить, что ни (11.8.1), ни (11.8.2) не симметричны, поскольку в оба
эти неравенства входит размерность т.

► Теорема 11.8.3. В условиях теоремы 11.8.1, если г° лежит
на границе множества R, то

р^д(г°) —1,	(11.8.3)

и число существенных чистых стратегий игрока I равно
в точности &(г°).

Аналогично если s° лежит на границе множества S, то
v<;£(s0) —1,	(11.8.4)

и число существенных чистых стратегий игрока II равно
точно b(sQ).

Доказательство. Понятно, что при наличии неравенств
(11.8.3) и (11.8.4) и леммы 11.7.2 нам достаточно установить не-
равенства [1 < с (г°) и v<c(s°). Если точка г° лежит на границе
множества R, но точка г°А оказывается относительно внутренней
точкой множества /?°А, a h — некоторая гиперплоскость, опорная
к множеству R в точке г°, то гиперплоскость h содержит все мно-
жество /?°. В противном случае мы смогли бы найти точку г1 £ /?°,
но такую, что г^/г. Тогда, поскольку г°А — относительно внутрен-
няя точка множества R°A, существует такая точка г2А£/?°А, что
г°А = а1г1А-|-а2г2А, где ах-]-а2=1, 0<ар а2^1. Ввиду
того, что ранг матрицы А равен п, мы имеем г° = а1г14~а2г2. Сле-
довательно,

0 = (h, г0) —aj(h, г1)—|—a2(h, г2).	(11.8.5)

Поскольку h — опорная гиперплоскость, то (h, r^^O, (h, r2)> Q,
Поэтому в силу (11.8.5) должно выполняться равенство (h, г]) = 0,
т. е. г1 £ h.

Следовательно, пересечение А(г°) всех гиперплоскостей, опорных
к множеству R в точке г°, содержит множество /?°, и мы имеем

с (г°) = dim (L (г°) П /?) > dim /?° = ц.

Аналогично можно убедиться в том, что если точка s° лежит на
границе множества S, то пересечение £(s°) содержит все множе-
ство S0. Доказательство для v проводится точно так же, как и для р,.

Если для одного из игроков (скажем, для игрока II) имеется
более точная информация о структуре его оптимальных стратегий,
то некоторые из неравенств теорем 11.8.1 —11.8.3 могут быть пре-
вращены в равенства. Если, например, s° является внутренней точкой
множества S, то имеет место следующая теорема.

► Теорема 11.8.4. Если в полиномиальной игре, описанной
в теореме 11.8.1, s° является внутренней точкой множества S,
то игрок I имеет единственную оптимальную стратегию г° и

v _ т-\- 1 — 2Ь' (г°).

Доказательство. Если точка s° внутренняя, то s° оказы-
вается гиперплоскостью, разделяющей множества Ps и 7?А и касаю-
щейся конуса Ps точно в вершине. Следовательно, множество RA
имеет только одну общую с конусом Ps точку, а поскольку ранг
матрицы А равен п, точка г° единственна.

Ввиду того, что множество RA соприкасается с конусом Ps
только в нуле и любой достаточно малый поворот гиперплоскости s°
около вершины конуса Ps оставляет эту гиперплоскость опорной
к конусу Ps, мы видим, что размерность множества гиперплоскостей,
*

разделяющих множества RA и Ps, в точности равна размерности
множества всех гиперплоскостей, опорных к множеству /?А в точке г°А.

Напомним, что размерность множества всех гиперплоскостей,
опорных к множеству RA в точке г°А, равна т — а(г°). Таким
образом,

v — т — а (г°) — т + 1 — 2ЬГ (г°);

при этом последнее равенство имеет место в силу леммы 11.7.2.
Сохраняя одностороннее предположение р — п, допустим, что
игрок I имеет внутреннюю оптимальную стратегию. В этом случае п
должно быть строго меньше т-\-\, и поэтому точка г°А может
оказаться на границе множества RA. Теперь мы имеем а(г°), с(г°)=п,
но подстановка этих значений в леммы не приводит еще к резуль-
татам теорем 11.8.1 —11.8.2. Таким образом, в то время как пред-
положение о внутренней оптимальной стратегии для игрока с большим
выбором стратегий представляет интерес, аналогичное предположение
для другого игрока едва ли является ограничивающим.

Далее сформулирована еще одна теорема в том же духе.

> Теорема 11.8.5. В случае р = п = т, если точка s° оказы-
вается внутренней и единственной, то точка г° также ока-
зывается внутренней и единственной и

^(r0) = ^(s°) = ^-.

Доказательство. Ввиду того, что точка s° внутренняя, из
теоремы 11.8.4 следует, что точка г° единственна. Поскольку точка s°
единственна, из теоремы 11.8.4 вытекает также, что

0 = v =	1 — 2У (г°).

Следовательно,

Из геометрии пространств моментов вытекает, что всякая точка,
имеющая представление с br = (n-f- 1)/2. будет внутренней (см.
лемму 11.7.2); следовательно, точка г° внутренняя. К тому же, по-
скольку точка s° также внутренняя, в силу леммы 11.7.2 имеем

У(8.)=2Ц±=д£1,

Следовательно,

Устойчивые оптимальные стратегии в полиномиальных
играх. Стратегия, которая позволяет получать одному игроку
выигрыш, независимо от действия его противника, называется устой-
чивой. Устойчивые стратегии не обязаны быть оптимальными, но
если они оказываются таковыми, то их вычисление сильно упрощается.
Например, стратегии £° и т)° оказываются устойчивыми, если соот-
ветствующий выигрыш может быть представлен в виде

/С (5.	т;)+С,
где — корень полинома Р(£), а т)° — корень -полинома Q(^). Если
используется одна из этих двух стратегий, то выигрыш равен с
и понятно, что с оказывается значением игры.

Полиномиальная игра со значением нуль может быть интерпре-
тирована следующим образом. Если игрок I имеет устойчивую опти-
мальную стратегию г°, то (г°А, s) = 0 для всех s£S; следовательно,
г°А = (0, 0, . . ., 0), и начало координат лежит внутри множества /?А.
Если игрок II имеет устойчивую оптимальную стратегию s°, то
(гА, s°) для всех г £ R. Следовательно, гиперплоскость, опорная
к конусу Ps и соответствующая точке s°, содержит все множество /?А.

Если для одного из игроков существует внутреннее решение, то
все оптимальные стратегии его противника должны быть устойчивыми.
Действительно, если г° — внутренняя оптимальная стратегия, то
точка г° может быть реализована в виде смешанной стратегии х($),
в которой каждая чистая стратегия $ появляется с положительным
весом (лемма 11.7.1). Следовательно, если s° — оптимальная страте-
гия другого игрока, то (г°А, s°) = 0, и любой элемент выпуклой
комбинации, представляющий точку г°А, дает неположительный
выигрыш. Ввиду того, что выпуклая сумма таких выигрышей должна
быть равна нулю, каждый из них должен быть нулем, в частности
(гА, s°) = 0. Обратное неверно; если все оптимальные стратегии
одного из игроков являются устойчивыми, то отсюда еще не следует,
что другой игрок имеет внутреннюю оптимальную стратегию. (Рас-
смотреть в качестве примера К (5, т]) = ^— £2.) В этом отношении
полиномиальные игры отличаются от конечных матричных игр.
В конечных играх лишь применение существенных чистых стратегий
дает выигрыш, равный значению игры при любой противостоящей
оптимальной стратегии (теорема 3.1.1).

11.9. Задачи.

1.	Используя метод отображения, решить игру с матрицей

—2	2	—4

1 —1	2

1	0	1

при дополнительных ограничениях т?3^:4/15 и	не считая

ограничений, общих для всех матричных игр.

2.	Используя метод отображения, решить игру с вырожденным
ядром

К (5, rj) — 3 cos 7\ cos 8т) + 5cos 7£ s i n8т] + 2 sin cos + sin sin 8^.

3.	Решить вырожденную игру с ядром

К (5, ^ = 5(1—52)sin^,
где 0^5, I.
4.	Пусть К т]) = £2т]— ^2. Найти значение игры и по две
оптимальные стратегии каждого из игроков.

5.	Найти значение игры и пару оптимальных стратегий для каж-
дого из следующих ядер:

(а)	^2 — 3^-$ + 27],

(б)	$37] -7]2.

6.	Найти все решения для игры с ядром К ($, tj)=x=$3t]— т]2.

7.	Найти по крайней мере две оптимальные стратегии игрока I
во втором примере из п. 11.2.

8.	В игре с ядром

К (I 7]) = 2; + З;2 + 371 — 3^ — 4	4- 4т]2 — 4Вт)2 — 6^7)2;

найти для каждого игрока по крайней мере одну устойчивую стратегию.

9.	Используя метод отображения из п. 11.2, найти три первых
момента оптимальных стратегий в игре с ядром

К ($, т]) = 21 $ + 18$2 — 24$3 — 167}—36$т]- 9$2т] + 18$3т] + 6От}2—ЗбтД

10.	Найти пару оптимальных распределений х($) и у(т]) в задаче 9.

И. Рассмотрим полиномиальную игру с ядром К (£, т]) = $т]— $2.
Показать, что оба игрока имеют единственные чистые стратегии,
сосредоточенные соответственно в точках $ = 0 и tj = O. Показать
также, что в игре с измененным ядром /Се($, д) = $т] — $2 — е$(е>0)
оптимальные стратегии уже не единственны.

12.	Доказать, что малое изменение ядра любой конечной выпуклой
игры (не обязательно полиэдральной) сохраняет единственность опти-
мальных внутренних стратегий обоих игроков.

13.	Показать, что если С — некоторое замкнутое ограниченное
множество в пространстве Еп, то выпуклая оболочка множества С
также замкнута и ограничена.

14.	Найти сопряженный конус Р* для выпуклого конуса Р, со-
стоящего из всех векторов (xp ..., хл), компоненты которых удо-
влетворяют неравенствам	и

(см. п. 11.6).

15.	Пусть Г — конечная выпуклая игра с многогранными выпук-
лыми множествами стратегий R и S. Пусть размерности множеств
Р° и 5° оптимальных стратегий игроков I и II равны соответственно |л
и V, а размерности наименьших многогранных граней множеств R
и S, содержащих R0 и 5°, равны k и /. Показать, что

k — р — /----V.
16.	Обозначим через Г конечную выпуклую игру с многогран-
ными выпуклыми пространствами стратегий. Показать, что если оба
игрока имеют единственные стратегии, то эта единственность не на-
рушается -при достаточно малом изменении функции выигрыша.

17.	Пусть г° и s°— внутренние точки n-мерного пространства
моментов Dn, a v — любое число. Построить матрицу А, обладаю-
щую тем свойством, что As° = (^, 0, ..., 0), г°А = (г/, 0, . .., 0).
Показать, что точки г° и s° оказываются единственными оптималь-
ными стратегиями для игры с матрицей А. (Этот пример иллюстри-
рует теорему 11.8.5.)

18.	Рассмотрим множество непрерывных функций /г0(£), hx ($), ...
..., /zrt(£), определенных на интервале	и удовлетворяющих

условию

*0 («1)  h0 &)	(U ..  h, (e2) ..	• • Mi)  ' • (У
Л0 (^п + 1)	AiU-h)	

всякий раз, когда < £2

Показать, что суще-

ствует распределение х, которое максимизирует

1
f
о

при условиях

1
f h,®dx ® =
о

Спектр максимизирующего распределения имеет не более чем (дг—|—1 )/2
точек, причем точкам 0 и 1 приписан вес 1/2. (Предполагается, что
множество ограничений не пусто.)

Комментарии
и библиография к главе 11

11.1.	На заре развития теории бесконечных игр считали, что решение
полиномиальных игр позволит далеко продвинуться в анализе всех беско-
нечных игр. Эта надежда была быстро утрачена. Вскоре были построены
полиномиальные игры (высокой степени), решения которых оказались на-
столько сложными, что с трудом удавалось описать их качественно, не го-
воря уже о вычислении. Кроме того, медленная сходимость полиномов
к непрерывным ядрам означала, что полиномиальные игры непрактичны
в качестве приближений к непрерывным играм. Тем не менее желание ре-
шать полиномиальные игры позволило достигнуть некоторых успехов в ис-
следовании вырожденных игр, которые являются более общими и важными.
Среди первых, кто изучал отдельные частные случаи вырожденных и поли-
номиальных игр, были Хельмер [1] и Дрешер [3].

31 Зак. 1789
11.2.	Численный метод неподвижной точки для решения вручную конеч-
ных выпуклых игр был впервые предложен Дрешером.

11.3.	Уточнение теорем о структуре множеств решений конечных мно-
гогранных игр, основанное на методе неподвижной точки, было предложено
Дрешером и Карлином [1]. Различные применения метода нёподвижной
точки можно найти во многих работах. Для ознакомления с ними читатель
может обратиться, например, к книгам Мак-Кинси [1] и Дрешера [3].

11.4.	Теория выпуклых конусов является классической, и литература
по этим вопросам обширна (см. Фенхель [1]). Связь теории выпуклых со-
пряженных конусов с вырожденными играми была развита Дрешером, Кар-
лином и Шепли [1]. Гейл и Шерман [1] независимо от предыдущей работы
указали на важность теории многогранных выпуклых конусов при анализе
конечных дискретных игр.

Теория сопряженных конусов более интенсивно использовалась в тео-
рии линейного и нелинейного программирования (см. гл. 5—7). Следует еще
раз подчеркнуть, что в случае линейного программирования рассматривае-
мые конусы оказывались многогранными, в то время как в вырожденных
конечных играх, изученных в этой главе, мы имеем дело с произвольными
замкнутыми выпуклыми конусами, структура которых сложнее и которые
труднее охарактеризовать.

Одним частным и важным классом конусов является класс, образован-
ный из пространств обобщенных моментов. Многое о структуре границы
конуса моментов может быть выражено в простом и изящном аналити-
ческом виде. Геометрия пространств моментов изучена Карлином и Шепли [2].
Изложенное здесь является примером того, как теория игр входит в сопри-
косновение с теориями, развитыми на почве чистой математики. При по-
пытках решения полиномиальных игр в этой работе была вскрыта необхо-
димость тщательного и детального изучения структуры границ пространств
моментов, что привело к широкому изучению пространств моментов, которые
исследуются и независимо от теории игр.

11.5.	Приведенное здесь описание полиномиальных и вырожденных игр
заимствовано из работы Дрешера, Карлина и Шепли [1]. Анализ таких игр
зависит от полноты информации о свойствах компонент границы пространств
моментов. Знание этих свойств дает нам возможность получить наряду
с точным описанием размерностей множеств решений для полиномиальной
игры и минимальные размеры спектра решения. Для дискретных игр можно
получить даже более точные результаты, но это оказывается возможным
благодаря относительной простоте строения класса всех многогранных ко-
нусов.

Гейл и Гросс [1] показали, как построить полиномиальную игру, един-
ственными решениями которой являются любые наперед заданные распре-
деления конечного типа.

11.6	и 11.7. Результаты этих пунктов основаны на работе Карлина и
Шепли [2].

11.	8. Этот пункт является развитием работы Дрешера, Карлина и
Шепли [1].
ГЛАВА 12

ИГРЫ С ВЫПУКЛЫМИ
И ОБОБЩЕННО-ВЫПУКЛЫМИ
ЯДРАМИ

12.1.	Введение. В общем случае анализ непрерывных игр, опре-
деляемых ядром К (;, заданным на единичном квадрате, весьма
сложен. Однако часто природа описываемой игрой модели наклады-
вает дополнительные ограничения типа монотонности. Одним из таких
условий является следующее: мы говорим, что игра, определяемая
ядром /С, является обобщенно-выпуклой, если существует такое
целое п > 0, что

(0<£, 7j<l),	(12.1.1)

или существует такое целое tn > 0, что

—(О^е, 7]^1).	(12.1.2)

Предположение о наличии у ядра К достаточного числа непрерыв-
ных производных, содержащееся в соотношениях (12.1.1) и (12.1.2),
сделано для удобства изложения и позволяет избежать более деталь-
ного и скучного рассмотрения различных случаев. Основные резуль-
таты и методы их получения в действительности не зависят от того,
используем ли мы дифференциальное условие (12.1.1) или соответ-
ствующее ему разностное неравенство. В последующем изложении
мы ограничиваемся всюду играми, удовлетворяющими неравенству
(12.1.1). Доказательства, необходимые для получения соответствую-
щих результатов для ядер, удовлетворяющих неравенству (12.1.2),
мы оставляем в качестве упражнения читателю.

Любое ядро, являющееся полиномом по степени не выше п— 1,
удовлетворяет, очевидно, неравенству (12.1.1). Однако результаты
для обобщенно-выпуклых игр являются менее тонкими, чем резуль-
таты, полученные при непосредственном анализе полиномиальных
игр. Тем не менее само по себе предположение (12.1.1) дает суще-
ственную информацию о виде оптимальных стратегий для обобщенно-
выпуклых игр.

Случаи п—\ и п = 2 играют важную роль как с теоретической,
так и с практической точек зрения; ясно, что они к тому же и
более просты для анализа. Мы начнем с рассмотрения случая п=1.
В следующем пункте мы изучим случай п — 2.

Из неравенства (12.1.1) в случае п = 1 мы заключаем, что ядро
К ($, tj) является монотонно возрастающей функцией по tj при всех £.
Поскольку игрок II стремится минимизировать выигрыш игрока I»
он попытается минимизировать К (£, для каждого $. Выбирая чистую
стратегию у0, сосредоточенную в точке tq = O, игрок II сделает
функцию К (£, г[) настолько малой, насколько это возможно незави-
симо от выбора £. Другими словами, у игрока II нет причин рас-
сматривать другие значения tq, поскольку при любой фиксированной
стратегии $ чистая стратегия vj = O дает наилучший для него исход.
Игрок I, понимая, что игрок II будет выбирать tj = O, выберет
чистую стратегию х^0, удовлетворяющую условию /С(£о,О) =
= шах/С(£, 0). Отсюда сразу видно, что пара чистых стратегий

и 0 соответственно игроков I и II является седловой точкой для
ядра К (£, tq). Значение игры есть ,и = тах/<(£, 0).

е

Заметим, что мы воспользовались только требованием монотон-
ности ядра К (£, vj) по т]; условия гладкости, т. е. существование
производных, здесь несущественны. Однако условие непрерывности
ядра — или, вообще говоря, тот факт, что sup/C(£, 0) достигается,—
е

является необходимым для обеспечения существования оптимальных
стратегий.

12.2.	Непрерывные выпуклые игры. Из неравенства (12.1.1)
при п = 2 следует, что ядро К (£, tj) является выпуклой функцией
от tj при всех значениях £. При анализе таких ядер мы снова можем
отказаться от предположения о дифференцируемости, поскольку вы-
пуклость функции можно определить и независимо от этого пред-
положения. Необходимо потребовать только, чтобы ядро /С (£, т/)
было выпуклым по у при всех 5 и непрерывным по совокупности
двух переменных £ и (обычное требование). Всюду в этом пункте
мы будем предполагать, что эти требования выполнены. Кроме того,
мы можем обобщить наши результаты на случай, когда переменная 5
принимает значения из произвольного компактного множества.

Наш подход к таким играм напоминает анализ т X 2-игр из
п. 2.3. Ядро т X 2-матричной игры можно рассматривать, по су-
ществу, как билинейную функцию К (ВР $2» •••» ?m-i» У) — ^(5»^)»
где tj пробегает единичный интервал, а § = (^....£m-i) удовлет-

воряет условиям ^>0 и

/77 — 1
2^1.
1 = 1
а функция К оказывается выпуклой (на самом деле линейной) по
при всех	Следовательно, правдоподобно предположить, что

обобщение анализа т X 2-матричных игр может привести к тем или
иным результатам для выпуклых непрерывных игр. Развивая эту
аналогию, введем в рассмотрение семейство выпуклых функций
<р (^) = /<($, 7^), где £ — некоторый параметр, и построим

?(7])= тах /<(£,?])•

В силу свойства IV, приведенного в приложении Б.4, когда у про-
бегает единичный интервал, функция ср(т]) является непрерывной
выпуклой функцией от Следовательно/ функция ср (т() где-то до-
стигает минимума. Обозначим через т]0 любую точку, в которой это
минимальное значение принимается. Мы докажем, что стратегия у
для игрока II оптимальна, а значение игры равно ср (т]0).

Доказательство этого утверждения является точным аналогом по-
строений из п. 2.3. Стоит лишь найти оптимальную стратегию т],
как мы определим два значения £, надлежащая комбинация которых
даст оптимальную стратегию игрока I. Этот процесс точно описывается
в следующей лемме.

> Лемма 12.2.1. Если функция АГ (£, т^), определенная на еди-
ничном квадрате, непрерывна по совокупности двух перемен-
ных % и и выпукла по при каждом £, то в некоторой
точке т|0 достигается значение функции ср, равное inf sup/C(£, щ).

£

Кроме того, для любой точки т]0, в которой достигается точ-
ная нижняя граница, мы можем найти такие и £2, что

7)о) = <р(т)о)	('12 2 В

К G2. К 02, 7)о) — ? (7]0) (»1 < 7)0).

Если т]0 = 0 или т}0=1, то справедливым будет только
одно из этих неравенств.

Доказательство. Достаточно установить лишь вторую поло-
вину леммы. При этом мы дадим доказательство только для того
случая, когда точка т]0 является внутренней. Пусть

7М.М- 71о) = <Р(71о)}-

Обозначим через правую касательную !) к К (£а, т\) в точке
7} = т]0> а через га ее угловой коэффициент. Ясно, что множество Т
компактно, а соответствующее множество вещественных чисел {га}

*) При фиксированном ядро К (;а, определяет некоторую кривую.—
Прим, перев.
достигает максимума. Далее, тахга>0, поскольку в противном
a

случае неравенство ra<S<0 выполнялось бы равномерно по а,
что противоречит предположению ср (т/0) = min ср (т/). Выберем теперь

некоторое $1 = Ва, для которого га^=0. Ввиду того что выпуклая
функция расположена всегда выше своей касательной, для каждого
7] > т/0 мы имеем

Точка удовлетворяющая второму из неравенств (12.2.1), строится
аналогично с использованием левых касательных.

Нахождение оптимальных стратегий для выпуклых непре<-
рывных игр. Для того чтобы применить результаты только что до-
казанной леммы к непрерывным играм интересующего нас типа, мы
рассмотрим три случая.

(а)	Если т}0— внутренняя точка, то существуют точки и ;2 (не
обязательно различные), удовлетворяющие обоим неравенствам (12.2.1).
Обозначим через tx (т/) правую касательную к кривой /С(£р т/) в точке
= а через левую касательную к кривой К($2» в точке
т] = т}0. Если через и г2 обозначить угловые коэффициенты этих
касательных, то г1>0 и г2<0. Следовательно, мы можехм выбрать
a £ [О, 1] так, что

аЛ (71) + (1 — a) h С7)) = ? Olo)-

Положим Хо(;) = аХ:1 + (1—а) х^2. Тогда

T])rfx0(c) = aA'(;i. ^) + (1 — z)K(t,2,

> a/j (т)) + (1 — a) t2 (у) = (т)0),
поскольку всякая выпуклая функция всегда лежит выше своей каса-
тельной. В силу последнего уравнения, ^><р(т/0).

С другой стороны,

J А'(;, 7)) dyT^ri) = к 0, 7)0)^sup/C(t 7)о)==<р(т)о). (12.2.2)

Поэтому я?<ср(т70). Следовательно, Я7 = ср(^о), и (х0(£),	—

седловая точка в рассматриваемой игре.

(б)	Если 7}о = О, то точку мы выбираем так, чтобы

к G1.	к (5р TQo) = Т (’Io)-

Положим х (£) — х^; тогда

У к (5.7]) dx^ G) = К	7)) > <Р (7)0).
Неравенство (12.2.2) все еще справедливо; следовательно, -y = c?(v|0)
и (х(£),	—снова седловая точка.

(в)	Если т]0—1, то мы выбираем £2 и поступаем далее, как
в случае (б). Во всех этих случаях игрок I имеет оптимальную
стратегию, являющуюся смесью не более чем двух чистых, а у иг-
грока II имеется оптимальная чистая стратегия.

Может случиться, что для каждой фиксированной точки vj функ-
ция К (?, т|) окажется выпуклой и по Тогда

т]) <	(1, 7/) + (1 - WO, 7})<тах [К(1, /С (О, <

Отсюда следует, что sup К ($,	= max (1, т]), /С (О, vj)}. Поэтому

достаточно начертить эти две кривые и найти минимальную точку
их огибающей. Если минимальной будет одна из концевых точек,
то эта концевая точка и будет оптимальной чистой стратегией. Если
минимум окажется во внутренней точке, то оптимальной стратегией
игрока I будет некоторая выпуклая комбинация точек х?, где £ = О
и £—1 (см. пример ниже).

ЕСЛИ Ядро К (£, 7]) ВЫПУКЛО ПО 7] И ВОГНуТО ПО £ ДЛЯ КаЖДОГО 7],
то игрок I имеет оптимальную чистую стратегию Хе0, соответствую-
щую точке £0, в которой достигается max min К ($, tj).

е

Пример. Следующий пример является частным случаем модели,
описанной в п. 10.3.

Мы предполагаем, что перед игроком II стоит задача защиты
двух городов А и В от игрока I. Мы предполагаем, что в каждом
городе потери игрока II пропорциональны разности сил атакующего
и защищающего, если атакующие силы больше сил защиты; но если
силы атакующего меньше, то игрок II потерь не несет вообще.
Кроме того, потери в городе В в X раз „чувствительнее" потерь
в городе А. Предположим далее, что суммарные силы каждого иг-
рока равны 1. Если чистые стратегии $ и т] отождествить с долей
сил соответственно игроков I и II, направляемых в город А, то
выигрыш игрока I примет вид

К (£, т]) = max {; —т], X (1 — £ — 1 + т])} = max {; — т], Х(т/ —;)},
и функция К (£, т|) оказывается выпуклой по каждой переменной.
Кроме того, /С(0, т]) = Хт] и /С(1, т])== 1—tj. Эти две прямые пере-
секаются в точке т^0 = 1/(1 —|—X); поэтому, произведя соответствую-
щее построение, как описано выше, мы получим оптимальные стра-
тегии вида

(чистая стратегия соответствует атаке города А).
Таким образом, защитник должен разделить свои силы между
городами А и В в отношении 1 : X. Атакующему всегда следует
атаковать город всеми имеющимися в распоряжении силами, рандо-
мизируя свои атаки в отношении Х:1. Интересно, что для игрока II
стратегия

также оптимальна, в то время как игрок I аналогичной чистой опти-
мальной стратегии не имеет.

12.3*. Обобщенно-выпуклые игры. Распространение теории вы-
пуклых непрерывных игр на обобщенно-выпуклые игры показывает,
что такие игры обладают оптимальными’ стратегиями конечного типа.
К сожалению, в общем случае это утверждение не является кон-
структивным, т. е. не удается показать, как находить эти оптималь-
ные стратегии.

Далее мы всюду будем предполагать, что в обобщенно-выпуклых
играх переменная $ пробегает связное компактное множество С.
Основная теорема для обобщенно-выпуклых игр состоит в следующем.

► Теорема 12.3.1. Если для некоторого п>0

то в оптимальную стратегию игрока I входят с положитель-
ной вероятностью не более чем п чистых стратегий, а в опти-
мальную стратегию игрока II не более чем п/2 чистых стра-
тегий, причем каждая чистая стратегия г\, внутренняя для
единичного интервала, засчитывается за единицу, а концевые
точки т] = 0 и т} = 1—за половину.

Доказательство. Простоты ради, будем предполагать, что
v = 0. Этого можно достигнуть вычитанием из К соответствующей
константы.

(а)	Достаточно доказать теорему для случая

0
д^п ’

Действительно, если теорема справедлива для таких игр и
дпК&
дт? —и’

то мы можем легко найти такую последовательность игр с ядрами
vj), равномерно сходящуюся к К (£, т^), что

дпК{т> (5, -о) п
д-п" > и-
По предположению, в этих играх оптимальные стратегии игрока 1
имеют вид
п

2 Л<я).

Мы можем найти такую подпоследовательность индексов, что соот-
ветствующие подпоследовательности последовательностей
сходятся при каждом k, и их предельные точки ал, все еще
удовлетворяют условиям £ С, 0<ал<1, 2а& = 1- Непосред-
ственно можно проверить, что смесь

k = l	R

является оптимальной стратегией игрока I в игре с ядром К (£, ^).
Та же аргументация применима и к игроку II.

В силу только что сказанного мы будем всюду в этом пункте
считать, что

дпК& т?)	0

d-f	и

для ? £ С,

(б)	Докажем теперь, что в оптимальной стратегии игрока II
используется не более п/2 чистых. Пусть х* (£) — оптимальная стра-
тегия игрока I. Положив

h (7)) = fK a,

мы получим dnh (yNdrf > 0.

Функция /z(tq) в единичном интервале может обращаться в нуль
не более п раз (корень кратности г засчитывается за г корней).
Тогда если через т обозначить число корней функции учитывая
их кратность, то h' обращается в нуль по крайней мере т—1 раз,
h" (tj) — по крайней мере т — 2 раз и т. д., наконец, /г(л)(т]) обра-
щается в нуль по крайней мере т — п раз. Ввиду того что h^n\r\) > 0,
имеет место неравенство m<n. Кроме того, поскольку стратегия х* (;)
оптимальна и ^ = 0, мы заключаем, что в единичном интервале /z(tq)>0.
Следовательно, любой внутренний корень должен быть корнем четной
кратности. Отсюда вытекает, что максимально возможное число раз-
личных корней равно п/2 (при условии, что концевые точки засчи-
тываются за половину каждая).

Пусть, далее, у* — оптимальная стратегия игрока II. Тогда

J h (7)) dy* (7j) = J J К (5, 7j) dx* (;) dy* (tj) = ® = 0.
Поскольку функция /г (?]) неотрицательна, стратегия у* должна иметь
сосредоточенную массу только в тех точках, в которых обращается
в нуль функция /г(т]), а таких точек не более чем п/2.

(в)	Спектр оптимальной стратегии игрока I состоит не более
чем из п точек. Для доказательства этого утверждения докажем
следующую лемму.

► Лемма 12.3.1. Если в единичном интервале функция h(j\)
удовлетворяет условиям	и Л(л)(^)>0, то существует

некоторый полином степени не выше п— 1, для которого
разность h(r\)—	60 всем единичном интервале неотрица-

тельна и имеет ровно п корней {учитывая их кратность).

Доказательство. Мы уже знаем, что функция /г(т/) может
иметь не более чем п корней. Если она имеет точно п корней, то
мы полагаем Р(тД = О. Если же она имеет менее чем п корней,
то полином Р{г[) конструируется следующим образом. Пусть vjz—корни
функции Л (vj); обозначим через Q0(v]) полином, корни которого со-
впадают с корнями функции h(ri) (с учетом кратности). Тогда степень
полинома Qo(^) не выше п—1, Q0>:0 и Q(/2)(tq) = O. Кроме того,
если rz— кратность корня vjz, то

1 • h (Tl)	1 •	(тд	л

11Ш --= 11Ш ------ /г \	= 0; > 0.

QoO)) Qo "(v)

Следовательно, мы можем найти открытые множества Ez, содержащие
корни vjz, внутри которых

h (д)	5/

Qo — 2 *

Оставшаяся часть единичного интервала является компактным
множеством; а так как /z/Q0 есть отношение двух непрерывных
не обращающихся в нуль функций, эта дробь достигает там своего
минимума 80. Отсюда следует, что для e<min(o0, 8z/2) мы имеем
неравенство

/г(т]) —eQ9(v])>0.	(12.3.1)

Обозначим через е0 точную верхнюю границу всех тех е, для которых
выполняется неравенство (12.3.1). Тогда функция /г(т;) — e0Q0 (?])
будет иметь по крайней мере на один корень больше. В противном
случае разность h{r\) — %Q0(^) должна была бы удовлетворять всем
тем условиям, которым удовлетворяет функция h (тД, и мы смогли бы
найти такое е' > 0, что

|/z (Tj) — eoQ0 (т;)] — e'Q0 (tj) > 0.
Это неравенство противоречит предположению о том, что е0 является
точной верхней границей допустимых значений числа е. Следова-
тельно, либо мы имеем хотя бы один новый корень, либо же крат-
ность одного из ранее имевшихся корней должна возрасти.

Функция h — £oQo>O удовлетворяет условию
дп
(Л EqQo) > О-

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока не получим
полинома

P(ri)='Si&kQk <л)>
k

удовлетворяющего условиям леммы.

> Следствие 12.3.1. Если ..., г\п—корни функции h (т;)—Р(^),
то — единственный, полином степени п—1, который
удовлетворяет условиям леммы 12.3.1 с фиксированным мно-
жеством корней.

В самом деле, если бы существовал другой полином, для кото-
рого разность Л(т]) — /?(?]) имела бы корни т/р ..., ritv то разность
Р(т]) — /?(^) была бы полиномом степени не выше п—1 и имела
бы п корней т/р ..., а следовательно, выполнялось бы соотно-
шение P(j)— R(t[) = 0.

Возвращаясь к доказательству теоремы 12.3.1, положим

*Cl) = J	ri)dx*O

и построим полином Р, удовлетворяющий условиям предыдущей леммы.
Снова через т]р .... обозначим п корней разности /z(vj) — Р(ч)
и введем в рассмотрение функцию

п-1

=	7))— 2 MOV.	(12.3.2)

где коэффициенты определены так, что корни функции (v/j
суть числа	взятые с соответствующей кратностью. Ввиду

того что каждый внутренний корень разности — Р(г() является
корнем четной кратности, функция ^(т]) для каждого £ либо не-
положительна, либо неотрицательна. Кроме того, функция ^(т/) либо
неотрицательна, либо неположительна и для каждого Для того
чтобы доказать это утверждение, мы предположим обратное. Но
тогда существует число т/т/р для которого можно найти такую
пару чисел tp ^2» что	и сЬ2(7])<0. Но поскольку функ-
ции непрерывны, должно существовать такое число £0, что
ср^(т]) = О, и в этом случае функция имела бы больше корней,
чем это было определено выше. Следовательно, либо

/2—1

/С с, 7])(для всех t [0, 1]),
2=0

либо

/2—1

К($,	(для всех е. 1]).

2=0

Если мы проинтегрируем неравенство (12.3.2) по функции х*(£),
то функция

/2—1

h^-^1 f a^dx*#)	(12.3.3)

2=0

всегда будет иметь один и тот же знак, и ее корни с учетом их
кратности совпадут с числами 7]р ...» г[п. Поскольку степень по-
линома

/2—1

a^dxW

2=0

равна п— 1, мы в силу следствия 12.3.1 заключаем, что полином /?(т])
должен совпадать с Р (щ). Следовательно, разность (12.3.3) неотри-
цательна и поэтому

/2—1

2=0

Если мы положим А(£,	= 2 at (0 тД то функция L(£, tq) будет

ядром вырожденной игры. Покажем, что если стратегии х* и у*
оптимальны в игре с ядром К (£, т]), то они оптимальны и в игре
с ядром А(£, т]), а г>(А) = 0 (через v(L) обозначено значение игры
с ядром А(£, tj) ).

Поскольку г>(/<) = 0 и стратегия у* оптимальна, мы имеем



Таким образом, игрок II в игре с ядром L может помешать игроку
получить больше нуля; поэтому ^(Л)<0. С другой стороны,

f £(!-, r))dx\l)=yi f ai(')rlidx*^ = R(ri)^0.

Следовательно, г^(Л)>0, откуда следует, что v(L) — 0.

Из теоремы 11.5.1 нам известно, что вырожденная игра с ядром L
имеет некоторую оптимальную стратегию х0(£), использующую не
более п точек |р	Тогда

JTi)dx0G)> f La, 7])dxo(i-)s=O.

Поэтому стратегия х0(|) оптимальна также и для игры с ядром (£, ?});
тем самым теорема доказана.

12.4. Игры с выпуклой функцией выигрыша в Пусть функ-
ция /С (;, vj) определена для всех у из некоторого выпуклого ком-
пактного множества SczEn и для всех | из некоторого компактного
множества R. Предположим, что функция К (с, непрерывна по сово-
купности переменных £ и и выпукла по т] при всех $ (см. прило-
жение Б.4). Рассмотрим игру с ядром К (£, и пространствами сме-
шанных стратегий X и Y, состоящими из всех распределений соот-
ветственно на R и на S. Попытаемся охарактеризовать и найти
оптимальные стратегии в игре.

Игры такого типа представляют как практический, так и теоре-
тический интерес, потому что многие проблемы, возникающие в прак-
тике, сводятся к играм с ядрами (£, ?}), которые выпуклы по одной
или по обеим переменным. Мы проиллюстрируем это на примере,
который уже приводился в п. 10.3. Там мы интерпретировали игру
в терминах нападения и защиты; здесь, для того чтобы подчеркнуть
гибкость теории игр и широту круга возможных интерпретаций
игровых проблем, мы опишем тот же самый пример уже в терминах
некоторой политической кампании (см. также п. 4.4).

Партия II желает сохранить свои предыдущие избирательные
списки в п округах, где обычно она собирала большинство голосов.
Эти п избирательных округов Тр ..., Тп имеют различную „цен-
ность" соответственно Лр ..., kn‘, нумерация произведена так, что
> 0. Это означает, что 7\ (избирательный округ 1)
является наиболее ценным (например, имеет наибольшее число голо-
сов), Т2 является следующим по ценности и т. д. Партия II распола-
гает суммой денег D, используемых в кампании в пользу своих
кандидатов в различных избирательных округах. Оппозиционная
партия, партия I, располагает суммой денег А, предназначенных для
тех же целей. Модель такова, что в любом избирательном округе
„выигрыш" партии I пропорционален разности между количеством
денег, вложенных партиями I и II, если партия I вкладывает больше,
чем партия II. Если партия I вкладывает меньше, чем партия II, то
ее „выигрыш" равен нулю.

Чистой стратегией партии II является вектор, составленный из
неотрицательных чисел ^ = (^р ..., т]п), удовлетворяющий условию
п
2 Ч = D.
1 = 1
Чистой стратегией партии I является вектор 5 = ($р .... $л),
где ^>0 и
п
2^=л.
i = 1

Мы считаем, что	т. е. предполагаем, что партия I не

менее богата, чем партия II. В соответствии с моделью суммарный
выигрыш, выпадающий на долю партии II при каждом выборе чистых
стратегий, дается выражением

п

fi)= 5 М1ах (0, — 7)г],	(12.4.1)

i = 1

причем 7] и пробегают симплексы с вершинами dP ..., drt и
аР .... ал, где dz = (0, 0, .... D, 0, .... 0) (компонента D стоит
на Z-м месте), az = (0, 0, .... А, 0, .... 0) (компонента А стоит
на f-м месте) и /=1, 2, .... п. Легко видеть, что ядро К (§, tj)
выпукло по каждой переменной в отдельности и непрерывно по со-
вокупности двух переменных.

В заключительной части этого параграфа мы получим явное
решение этой игры; у этого решения есть интересные аспекты.

Однако, ввиду того что процесс получения этого решения
является типичным примером использования общих методов теории
игр и поскольку в этом случае общая теория особенно полезна, мы
начнем с описания оптимальных стратегий для игр общего вида
с выпуклой функцией выигрыша в Еп. Анализ таких игр опирается
на следующую основную теорему.

к Теорема 12.4.1. Пусть {<ра}—семейство непрерывных вы-
пуклых функций, определенных на компактном выпуклом
п-мерном множестве S. Тогда функция sup сра (у;) достигает
а

своего минимального значения с в некоторой точке 40£S.
Кроме того, для любого заданного 8 > 0 существуют такие
индексы и такие числа X., что

п+1

для всех где и 2Х/=Ь

Эта теорема уже была нами однажды доказана при рассмотрении
теории сопряженных функций (теорема 7.6.4). В следующем пункте
приведено другое ее доказательство.

Здесь мы отметим только, что семейство функций ср£ (yj) = К (§, ij)
удовлетворяет условиям теоремы 12.4.1. Следовательно, функция
<р (тд) — sup /С (£, к;) достигает своего минимального значения в неко-
торой точке т]0 £ S и для каждого е > 0 мы можем так выбрать
{Х-) и {г=Ц, что

4 = 1

для всех т] £ S, где X/, принимают значения из компактных мно-
жеств; точнее, Xе/ > 0 и

л+1

2 х<- = 1-

I = 1

Поэтому при е—>0 мы можем выбрать для каждого I предельные
точки X/ и i;? (Z= 1....n4“ 1). удовлетворяющие условиям Х?>0 и

и

л+1

2*?*(& ч)^?(Чо)	(12.4.2)

4 = 1

для всех	Из неравенства (12.4.2) следует, что если игрок I

применяет конечную смешанную стратегию

л+1

**(?)= 2^*to (§).
4=1	’4

то его выигрыш будет' не меньше чем ср (т]0). С другой стороны,
если игрок II использует чистую стратегию к]0, то при любом § вы-
игрыш игрока I равен

vj0) sup К (§. 7]0) = <p(vj0).
Е

Таким образом, ср(т]0)— значение игры, а [х*.	—пара оптималь-

ных стратегий.

Замечание 12.4.1. Если R— симплекс с вершинами az

(Z = 1, ..., k), то любая точка § £ R представима в виде
k	k

2М/> r^e Рч °-	2рч=1-

4=1	4 = 1

Если ядро К Ч) выпукло также и по § при каждом т], то
/ k	\	k

К& VJ) = К ( 2 Мр »!) =s 2	(a,-, vj).

\4 = 1	/	4=1

и поэтому

sup /С Y])=	sup	/С(ар	ч).
Следовательно, для игрока I существуют оптимальные стратегии,
которые состоят из чистых стратегий, соответствующих вершинам
симплекса R.

соответ-
партии I

(12.4.4)

Решение примера, связанного с политической кампанией.
Теперь мы приведем решение игры с выпуклым ядром выигрыша,
заданного равенством (12.4.1). В силу замечания 12.4.1 партия I
имеет оптимальную стратегию вида

(12.4.3)
i = 1	1

где 0,	и а/— вершины симплекса R.

Пусть	Xz —строго положительные коэффициенты правой

части (12.4.3). Если партия II выбирает чистые стратегии,
ствующие вершинам (Ц, ...» d/^, то ожидаемые выигрыши
равны

••• + ki^irA —

— ^) + . • • • “F ^У^А — V*

+	’ ’ ’ “Ь ^zr^Zf(^—D)>V.

Каждый из этих выигрышей не меньше vt потому что партия I может
воспользоваться оптимальной стратегией х*.

С другой стороны, если партия II выбирает чистую стратегию,
соответствующую некоторым из оставшихся п — г вершин, то «ожи-
даемый выигрыш партии I будет равен

у = 1	’	1

что превосходит, как легко усмотреть из (12.4.4), величину V. Следо-
вательно, любая оптимальная стратегия партии II должна состоять
из чистых стратегий, содержащихся в (г — 1)-мерной грани сим-
плекса S с вершинами	d/f. Из общей теории известно, что

чистая оптимальная стратегия существует; она должна необходимо
содержаться в указанной грани симплекса S.

Предположим сначала, что в каждом из неравенств (12.4.4) имеет
место равенство. Это предположение будет обосновано далее. Вычи-
тая у-е уравнение из первого, мы получим
Используя нормировку 2	— 1 • мы получим

=	™ L=^	(12.4.5)

i	/-1 i

И	г

V = У kiк А -ki Х{ D = rA~-^ = rA~D-•	(12.4.6)

J J	11	,

Sv

; = 1 J

Отметим, что в (12.4.6) значение v возрастает при возрастании kt..
Поскольку партия I намерена максимизировать значение v, числа kt.
следует выбирать в соответствии с наиболее ценными избиратель-
ными округами Tv . .., Тт. Точное число г избирательных округов,
в которые партия I вкладывает деньги, должно определяться после
того, как будет максимизировано выражение (12.4.6). Поскольку
числа kx......kn расположены в порядке убывания, мы можем

написать

г	,	5

' | „ 1

/=1	j=i

кроме того, в силу предположения A>D.

Мы должны проверить теперь, что число V, полученное таким
образом, действительно является значением игры и что наше предпо-
ложение о равенствах в (12.4.4), используемое при вычислении v,
справедливо.

Для того чтобы показать, что значение игры не меньше V, до-
статочно установить, что партия I может получить хотя бы v неза-
висимо от выбора чистой стратегии партией II. Действительно,
если партия II выбирает ^ = (7^, .... ^Л)(2^ = О), а партия I
выбирает
г

X* = 2
х = 1	1

где выбрано, как указано в (12.4.5), то выигрыш будет равен
г

/ = 1
г

^i^i Qi)
/«=1

32 Зак. 1789
498 гл; 12. игры с выпуклыми и обобщенными ядрами

Для того чтобы установить, что значение игры не больше v, мы
покажем сначала, что если т > г, то kmA<v. Поскольку из не-
равенства zn > г-|-1 вытекает, что	нам достаточно про-
верить, что	По определению V, мы имеем

гА —D (г-|-1)А —£>

i-Г rii
i = 1	i = 1

Отсюда следует, что

/ г	\	/ г	\

'{rA-D)+	(M-D)==	(M-D-M).

4 = 1	/	4 = 1	/

„=	(12.4.7)

Sv

Z = 1

Аналогично из неравенства

г А — D	(г—1)Л — D

Si~	Sv

i = l	Z = 1

мы получаем неравенство krA>v и, следовательно,

kjA^v (/=1,2.........г).	(12.4.8)

Из соотношения (12.4.7) видно, что для партии I невыгодно прини-
мать участие в кампании в п — г наименее важных избирательных
округах, даже если партия II и не принимает участия в кампании
в этих избирательных округах.

Построим теперь вектор г]° = ^, .0, .... 0), с помощью
которого можно ограничить выигрыш партии I в первых г избира-
тельных округах числом v. Для этого необходимо (лемма 10.2.1)
выполнение равенств

kj (Л —	= или — А—(7=1, ...» г). (12.4.9)

Кроме того,

j^=rA-v^±=D.

а из (12.4.8) получаются неравенства >0; следовательно, век-
тор V]0 действительно оказывается стратегией. Из уравнения (12.4.9)
вытекает, что если партия II выбирает стратегию V]0, а партия I
выбирает чистую стратегию, соответствующую одной из вершин az
(Z = 1, ...» г), то выигрыш партии I будет равен V. Для любого
поскольку ядро К (£, vj) выпукло и

п

5 - 5

1
мы имеем

п	п	п.

к (5, ч°) < 2	(а,. ч°) = 5 aiki (л—=v.

Таким образом, партия II, используя стратегию vj°, не позволит
партии I получить выигрыш больший, чем V. Отсюда следует, что
число v является значением игры, а стратегии [х*, у^0| оптимальны.

Единственность. Число вершин г, из которых образуется опти-
мальная стратегия партии I-, может и не быть единственным; напри-
мер, в игре с А = 2, D=l, k1 = c2i k2=l число г может быть
равно 1 или 2. Однако оптимальная стратегия rf для партии II
в классе чистых стратегий единственна. Действительно, если
— оптимальная стратегия, то с ее помощью можно
помешать партии I получить выигрыш больший, чем V, если пар-
тия I использует чистую стратегию, соответствующую любым из пер-
вых г вершин. Следовательно,

Ъ^А—~ (у = 1..................г).	(12.4.10)

Но

и поэтому в (12.4.10) должно быть равенство. Это последнее утвер-
ждение не противоречит неединственности г. В самом деле, если
партия I может использовать либо г, либо г+1 вершину, то из
(12.4.7) и (12.4.8) вытекает, что должно выполняться равенство
kf4_1A = v, и поэтому

Оптимальная стратегия т]° записывается явно в виде

л л гА — D / •	1	ч

= л---------г—	с/ = 1.......г).

kj^i~k7	(12.4.11)

;=i

7)0 = 0 (у = г 1............П).
В общем случае партия II имеет дополнительно оптимальные сме-
шанные стратегии: можно, например, использовать dz с вероят-
ностью для 1<г и с вероятностью 0 для /> г.

Подведем итоги.

(1)	г следует выбирать так, чтобы дробь

гА — Р

si

7 = 1
была максимальной.

(2)	Партия II (защитник) имеет единственную чистую оптималь-
ную стратегию, описываемую уравнениями (12.4.11), из которых
видно, что она принимает участие в кампании только в г наиболее
ценных избирательных округах.

(3)	Партия I (атакующий) использует все свои возможности только
в одном избирательном округе, который она выбирает из числа
самых ценных избирательных округов. Этот избирательный округ,
на котором сосредоточивает свои усилия партия I, выбирается слу-
чайным образом с вероятностью \. = (l/*z) (1/А) (/ = 1, .	г), где

т

Задача, в которой

п = 3, А = 16, D=12, *1 = 6, *2 = 2, *3=1,

имеет следующее решение. Используя все ресурсы, игрок I атакует
с вероятностью !/4 пункт 1 и с вероятностью 3/4 пункт 2. Игрок II
защищает первый из этих пунктов 11 единицами, а второй- 1 еди-
ницей. Значение игры равно 30.

12.5*. Одна теорема о выпуклых функциях. В этом пункте
мы приведем доказательство теоремы 12.4.1 (см. также теорему 7.6.4).

Пусть S— компактная выпуклая область в n-мерном простран-
стве, являющаяся областью значений переменной iq. Функция / (т;)
является линейной (не обязательно однородной), если

/ (5 W = 2 V (fii)

при 2j\=1; очевидно, функция /(tj)=l, обозначаемая через- и,
линейна. Множество всех линейных функций образует (п1)-мерное
пространство Е. Произвольный элемент Е будем обозначать через f,
а произвольный элемент сопряженного к нему пространства Е* (т. е.
пространства всех возможных линейных форм, определенных на Е) —
через Е. Понятно, что каждый элемент порождает некоторый
элемент из Е*. В лемме 12.5.1 утверждается, что при соответствую-
щей нормировке пространство Е* совпадает со всем пространством
Еп о S.

к Лемма 12.5.1. Если F(u)=\, то существует такая точка
ц£Еп, что /?(/) = /(iq) для всех f £Е.

Доказательство. Пусть функции .... fn+l линейно не-
зависимы. Поскольку эти функции образуют базис пространства Е,
достаточно показать, что система уравнений

/7(Л)=Л(ч) a=i...........»+1)

имеет решение. Если мы положим , j\ = zz, то первое уравнение
обратится в тождество по iq. Оставшиеся п независимых уравнений
имеют решение, ибо т; является n-мерным вектором.

Следующая наша лемма, снова выражает фундаментальное свойство
сопряженности.

к Лемма 12.5.2. Множество всех элементов f^E, которые
неотрицательны на S, образует замкнутый выпуклый конус
Р cz Е с вершиной в нуле, причем функция и является его
внутренней точкой. Кроме того, область, для которой
Р(ч)> 0, совпадает с множеством S.

Замечание. Через Р будем обозначать совокупность всех
f (т]) при f£P, а через /(S)— совокупность всех / (iq) при iq £ S.

Доказательство. Первая часть леммы очевидна. Для того
чтобы доказать оставшееся утверждение, заметим, что если qffcS,
то точку TJ можно отделить гиперплоскостью от множества S. Таким
образом, существует такой линейный функционал /, что /(iq)<c<
</(S); но тогда f — си^Р и функция f — си отрицательна для iq.
Следовательно, точка 7] не принадлежит области, в которой Р (iq) > 0.

к Лемма 12.5.3. Пусть Q—выпуклое компактное множество
из Е, которое не пересекается с множеством Р. Тогда най-
дется такая точка и такое 8 > 0, что Q(iq)< — 8.

Доказательство. Так как Q и Р — замкнутые выпуклые
непересекающиеся множества, их можно раздел |ть некоторой гипер-
плоскостью F £Е\ т. е. можно выбрать такое 8 > 0, что

^(Q) + 8<^(P).

Это соотношение показывает, что множество F ограничено снизу.
Следовательно, F (Р) должно быть неотрицательным, поскольку вер-
шина конуса Р лежит в нуле, а функция F линейна. Ввиду того
что функция и является внутренней точкой, /7(«)>0; тогда, при
соответствующей нормировке, мы можем положить F(u)=\. Из
леммы 12.5.1 вытекает, что существует такой вектор ч\£Еп, что
/7(Q) = Q(yj) и F(P) = P(ti). Тогда в силу неравенства /7(Р)>0
мы имеем

Q(4) + 8±s0=sP(4).

Из последнего неравенства и леммы 12.5.2 вытекает, что у £ S.

к Лемма 12.5.4. Если для некоторого семейства {/J и всех
£ S имеет место неравенство sup /а(^)>0, то для соответ-
а

ствующим образом выбранных X. >0(2хг = 1)иа/ (Z --- 1 , • • . •

n —1) функция

/г + 1

/=2V«.

I = 1 I

принадлежит конусу Р, т. е.

Доказательство. Если fa (tj) > 0 для фиксированных а и tj,
то мы можем найти открытое множество, содержащее tj, в котором
все еще имеет место строгое неравенство. Следовательно, по теореме
Гейне — Бореля о покрытиях мы можем найти такое конечное под-
семейство {/«.)» что шах/а^. (tj) > 0 для каждого

Обозначим через Q выпуклую оболочку подсемейства |/aJ.
В силу леммы 12.5.3 множества Q и Р пересекаются. Ввиду того
что множество Q ограничено, а конус Р нет, некоторая граничная
точка f из множества Q должна принадлежать и конусу Р. Эта
граничная точка должна принадлежать некоторой многогранной
грани множества Q, причем размерность этой грани не превосходит п.
Следовательно, мы на основании леммы 6.2.1 имеем

п И

/ = 2 Vaz.
i = 1	1

где 2^—1’ \ —0; из / € ? следует, что

(S)=/($)s=o.

i

Доказательство теоремы 12.4.1. Пусть для всех £ S,
удовлетворяющих условиям теоремы 12.4.1, выполняется соотношение
b > inf sup cpa (tj) = с.
a
Множество, состоящее из всех у £ S, для которых при всех а имеет
место неравенство (?])<&, непусто и замкнуто. Кроме того, это
множество уменьшается с убыванием Ь. Поэтому если мы выберем
последовательность bk—>c, то пересечение соответствующих мно-
жеств должно быть непусто в силу принципа вложенных интервалов.
Каждая точка т]0 из этого пересечения удовлетворяет первой части
теоремы.

Для доказательства второй части теоремы рассмотрим семейство
{/р} всех линейно независимых функций, удовлетворяющих условию

[<?, - /Р1(5) 0	(12.5.1)

для некоторого а. Любая касательная к сра плоскость удовлетворяет
этому условию, так что семейство содержит все плоскости, каса-
тельные к <ра. Следовательно, для всех т]

sup/р (Ч) = SUP <Рв (ч)^ с-
£	.	а

Рассмотрим для некоторого фиксированного 8 > 0 семейство

§5= {/₽ — С? — 8)ИЬ

Поскольку sup/p(5)>c, мы имеем

sup[/fi —(с —8)zz](S)>8> 0.

3 р

Применим к семейству лемму 12.5.4 и выберем ...............₽„+г

...» Хл+Р Пусть сра/—функция, соответствующая в (12.5.1).

Тогда

2	(Ч) 2= 2	(Ч) с — 8

для всех ч £ S, что и утверждалось в теореме.

12.6.	Задачи.

В задачах 1 —11 через К ($, обозначена непрерывная функция,
заданная на квадрате 0<£, т}<1.

1.	Пусть > 0 и К < 0; показать, как решить игру с ядром
Ч>-

2.	Показать, что условие tq)<0 является достаточным для
того, чтобы гарантировать существование седловой точки у ядра
К (£, tq). Указать путь нахождения седловой точки.

3.	Найти оптимальные стратегии в игре с ядром

К (5. 71) = G-7!)2.

4.	Решить игру на единичном квадрате с ядром

1 £ (1 -7))	< 7],
5.	Пусть ядро К (£, т}) строго выпукло по каждой переменной
в отдельности; обозначим через т)0 и tq1 точки, в которых соответ-
ственно функции /С(0, tj) и /С(1, tj) достигают своих минимальных
значений. Показать:

(а)	если /С (0, 7}0)>/C(l, т}0), то оптимальными стратегиями
игроков I и II будут Х£о(?) (где £о = О) и у^;

(б)	если /С(1, 7)0^: К (0, т^), то оптимальными стратегиями будут
(где 1) и

(в)	в остальных случаях оптимальной минимизирующей стратегией
является у^*, где tj* — единственное лежащее между т]0 и решение
уравнения К (0, 7}) = /С(1, tj).

6.	Используя результаты задачи 5, решить игру с ядром
£2^2------------------------£--

7.	Решить обобщенно-выпуклую игру с ядром

К(Ц. г[) = ^ — 7]2 — ?7]+т).

8.	Найти оптимальные стратегии для игры с ядром

->]) = sin +

Указание: ядро К вогнуто по t

9.	Решить игру с ядром

10.	Показать, что если > 0 и Кщ < 0, то оба игрока имеют
оптимальные стратегии, использующие не более 3/2 точки (граничная
точка берется с весом 1/2),

И. Показать, что если > 0, то любая оптимальная мини-
мизирующая стратегия с весом, не превосходящим 3/2 (где концевые
точки засчитываются за ^2» а внутренние точки за 1), не может со-
стоять из некоторой внутренней точки vj0 и единицы.

12.	Рассмотрим пример о политической кампании из п. 12.4.
Предположим, что имеется 5 избирательных округов, ценности ко-
торых соответственно равны

,	1	, I ,	1	,	1	I

—Т’ k2 — 7	^з—у» ^ — -9.	^5—12’

а Л =/3=10. Решить игру.

13.	Игрок I выбирает точку § в единичном круге S, а игрок II
выбирает одновременно точку 7] в том же самом единичном круге.
Выигрыш игрока I равен |£ — 7] |2 (квадрат расстояния между § и 7]).
Определить вид решений этой игры.

14.	Определить вид решений игры из задачи 13, если под 5 по-
нимается некоторое компактное выпуклое множество из Еп.
15.	Рассмотрим игру, в которой множество чистых стратегий К
игрока II является единичной сферой пространства Еп, а X состоит
из всех Х = (лр Х2, .... Хт), для которых

т

2\ = 1-

i = 1

Обозначим через а£(/=1......tri) т таких точек на поверхности

единичной сферы (т. е. |а*| = 1), что существует вектор Х°, удов-
летворяющий условию
т

1	= 1

Определим ядро как

Доказать, что вектор Х° является оптимальной стратегией игрока Г
и что чистая стратегия, в которой у сконцентрировано в точке 7] = 0,
является оптимальной стратегией игрока II. Показать также, что для
всех оптимальных стратегий X игрока I имеет место равенство

2	\ л1=о.

Z

16.	Рассмотрим непрерывную игру с ядром К (5, Ч), выпуклым^
по V] для каждого где *4 пробегает выпуклое компактное мно-
жество BqE\ а пробегает компактное множество А. Предполо-
жим далее, что множество опорных плоскостей в каждой граничной
точке множества В имеет не более п крайних точек. Показать, что
если игрок II имеет чистую оптимальную стратегию, сосредоточенную
в точке 7j0, лежащей на границе множества В, то спектр оптималь-
ной стратегии для игрока I имеет не более чем п точек роста.

17.	Доказать, что предположение о числе опорных плоскостей
в граничных точках множества В из задачи 16 всегда выполняется,
если /г = 2.

18.	Показать, что если dnKldr\n^>Q и если множество оптималь-
ных стратегий минимизирующего игрока &-мерно, то спектр опти-
мальной стратегии максимизирующего игрока состоит более чем из
п — k точек. (Ядро К определено на единичном квадрате.) Понятие
„размерность" можно определить, исходя из теоремы 12.3.1.

Комментарии
и библиография к главе 12

12.1.	Первым, кто решил выпуклую игру, был Боненбласт. Он рассматри-
вал на единичном квадрате ядра вида К (£,	— /(; — ^), где f — выпуклая

функция, и получил решение, приведенное в п. 12.2.
12.2.	Теория, изложенная в этом параграфе, обязана своим появлением
Карлину и Мартину (не опубликовано). Пример, рассмотренный здесь, сфор-
мулировал Паксон, который применил для получения решения упомянутые
выше результаты Бонненбласта.

12.3.	Класс игр, известных под названием обобщенно-выпуклых, впервые
рассмотрел Карлин, сборник [11] гл. 8; доказательства, приведенные в этом
параграфе, заимствованы из более изящного анализа, проведенного Гликс-
бергом.

12.4.	Теория, изложенная в этом пункте, основана на работе Бонненбласта,
Карлина и Шепли [2]. Тщательно изученная выпуклая игра, интерпретиру-
емая здесь в терминах политической кампании, была сформулирована пер-
воначально, как военная игра о защите. Эта игра была впервые решена
Гроссом (не опубликовано).

12.5.	Теорема о семействах выпуклых функций заимствована из работы
Бонненбласта, Карлина и Шепли [2]. Другое доказательство этого результата,
основанное на теории двойственности сопряженных выпуклых функций, пред-
ложено Фенхелем [1]. Применения этой теоремы можно найти в работах
Фань Цзи, Гликсберга, Гофмана [1], Карлина и Шепли [1], а также в п. 7.9.
ИГРЫ

С ВЫБОРОМ МОМЕНТА ВРЕМЕНИ
ПРИ ОДНОКРАТНОМ ДЕЙСТВИИ
КАЖДОГО ИГРОКА

Важный класс игр на единичном квадрате состоит из игр, в ко-
торых пространствами чистых стратегий являются сегменты
для игрока I и	для игрока II, интерпретируемые, как мо-

менты времени, в которые, может быть совершено некоторое дейст-
вие. Нормировка 0<£,	1 -производится здесь только для удоб-

ства и не накладывает существенных ограничений на рассматриваемые
модели. В этой главе мы ограничимся случаем, в котором возможно
только одно действие для каждого игрока; в гл. 14 мы рассмотрим
игры, в которых действие может быть произведено повторно фикси-
рованное число раз.

Рассмотрим следующую идеализированную модель: каждый из
двух противников располагает одним выстрелом. Иначе говоря, каж-
дый игрок имеет возможность один раз выстрелить в своего против-
ника, зная при этом, что меткость, т. е. вероятность успешного вы-
стрела, возрастает со временем. В игре такого типа выигрыш
существенно зависит от порядка, в котором действуют игроки, и от
их индивидуальных способностей попадания. Очевидно, что каждый
игрок хочет задержать свой выстрел насколько это возможно, чтобы
увеличить свою вероятность попадания, но в то же время стремится
не задерживать его настолько, чтобы быть убитым противником. Оп-
тимальная стратегия выражает надлежащее равновесие между жела-
нием задержки и опасностью промедления.

Многочисленные варианты военных игр с выбором момента вре-
мени могут быть сформулированы в терминах информации, которую
игрок имеет относительно поведения противника. Ряд таких игр опи-
сан в п. 13.1. Хотя мы употребляем терминологию тактических дуэ-
лей, читатель сможет интерпретировать большинство наших моделей
также в терминах конкуренции рекламных кампаний и т. д.

Здесь мы советуем читателю перечитать п. 10.3, который пред-
ставляет необходимую основу для анализа игр с выбором момента
времени. Мы будем свободно пользоваться терминологией, введенной
там. В частности, как отмечено в п. 10.3, математически игра с вы-
бором момента времени задается функцией выигрыша К ($, ?]).
определенной на единичном квадрате и обладающей следующими свой-
ствами:

[ L G. V)- ? <

KG. т))={Ф(0.	£=7,.	(13.0.1)

I М (£, 7]), £ > 7].

Каждая из функций L (£, т)) и М (В, rj) непрерывна по совокуп-
ности переменных £ и tj:

L(£,	rj)	монотонно	возрастает по	£	для	всех	т],

М (£,	tq)	монотонно	возрастает по	£	для	всех	т],

L(£,	rj)	монотонно	убывает по	т]	для	всех

М (£,	т])	монотонно	убывает по	т]	для	всех

Наконец, напомним, что игра с выбором момента времени при-
надлежит классу I, если Л(£, т]) является функцией, зависящей только
ют £, а М (;, т]) является функцией, зависящей только от т], и классу II
в противном случае.

13.1. Примеры игр с выбором момента времени. Хотя общая
теория, излагаемая в следующем пункте, охватывает приводимые ниже
примеры как частные случаи, их рассмотрение полезно по двум при-
чинам: (1) оно дает возможность описать общий метод определения
оптимальных стратегий в простых ясных выражениях, не принимая
в расчет бездну случаев, встречающихся в общей ситуации; (2) оно
помогает иллюстрировать идеи, лежащие в основе общей теории игр
с выбором момента времени.

Пример 1. Шумная дуэль. Каждому из двух дуэлянтов раз-
решается выстрелить только один раз. Предположим, что оба они
имеют „шумные" пистолеты, так что каждый знает, когда выстрелил
его противник. Ясно, что это игра с выбором момента времени, от-
носящаяся к классу I (см. п. 10.3). Термин „шумный" будет упот-
ребляться для того, чтобы обозначить наличие полной информации,
т. е. такое положение дел, при котором каждый игрок знает, что делает
и что сделал другой. Предполагается, что функция меткости Рх($)
(вероятность успеха) игрока I непрерывна, монотонно возрастает по $
и /\(0) = 0, /^(1)=!; аналогично точность выстрела игрока II опи-
сывается непрерывной возрастающей функцией Р2(т]), гдеР2(0) =
/^2(1)=1. Если игрок I поражает игрока II, то выигрыш игрока I
полагается равным 4-Г, если игрок II поражает игрока I, то игрок
I получает —1; ядром игры К (£. ^) будет ожидаемый выигрыш иг-
рока I, когда игроки употребляют чистые стратегии £ и т).

Структура информации в этой игре (тот факт, что оружие шум-
ное) принимается теперь во внимание при составлении функции вы-
игрыша. Если В < т], то вероятность того, что игрок I поразит
игрока II, равна Р1 (0> и выигрыш игрока I равен 1 • Рг (£); вероят-
ность того, что I промахнется, равна 1—Рг (£). Ясно, что если игрок
II еще не стрелял и знает, что игрок I больше не может выстрелить,
то игрок II будет увеличивать свои шансы на успех, выжидая, пока
не станет равным 1. Таким образом, если игрок I промахнется в мо-
мент $, то он наверняка будет поражен игроком II, если В < т/; сле-
довательно,

7|) = Р1($)4-(_1)11-Р1(£)1	(£<?)).

Аналогично

ЛШ 7|) = Р2(71)(- 1)+[1 - Р2(7])](1)

И

ф (0 = Л(0[1 - Р2(01 + Р2© [1 - л (01 (-1) G = ^).

В последней формуле предполагается, что если оба противника
стреляют одновременно и с одинаковым результатом, успешным или
нет, то выигрыш равен нулю. Упрощая, мы получаем

К($. ч) =

2ла)-1.

। 1-2/ЭД,

e=Ti,

(13.1.1)

так что К определяет игру с выбором момента времени класса I.
Заметим, что выигрыш в точке = $ является средним из выигры-

шей, представляемых функциями L и 7И. На рис. 23 показаны раз-
личные случаи функции выигрыша для Рх ($) = Р2 (5) = t

Рассмотрение К (£, т/) как функции от у при определенных зна-
чениях $ (см. рис. 23) наводит на мысль, что игрок I будет иметь оп-
тимальную чистую стратегию, когда постоянная часть выигрыша
[т. е. 2РХ(?)—1] равна наименьшему значению выражения 1—2/)2(т|)
для у < t Это требует, чтобы

2РДУ-1 = 1-2Р2©.

(13.1.2)

Так как правая часть равенства (13.1.2) убывает непрерывно от
4-1 до —1, когда £ пробегает [0,1], а левая его часть возрастает
непрерывно от —1 до —1—1, может быть найдено хотя бы одно ре-
шение zQ уравнения (13.1.2). Заметим, что если обе функции строго
монотонны, то существует единственное решение zQ.

Обозначим значение обеих частей (13.1.2) для zQ через V. Из
свойств монотонности К ($, т]) сразу вытекает, что

7])	%)

(13.1.3)

для всех т] и £ и, следовательно, что пара {£0, т]0} состоит из оп-
тимальных стратегий.

Пример 2. Бесшумная дуэль. Снова каждому из двух дуэлян-
тов разрешается выстрелить только один раз, но в этом случае оба
пистолета снабжены глушителями, так что ни один из дуэлянтов не
может определить, выстрелил ли уже его противник или нет. Термин
„бесшумная" в противоположность „шумной" будет употребляться для
того, чтобы обозначить игру, в которой исключается какое бы то
ни было знание о ходе игры по крайней мере для одного из игроков.

Предположим для простоты, что функции меткости заданы сле-
дующим образом: Рх (5) — Р2 (?) = t Тогда функция выигрыша, опи-
сывающая игру, имеет вид

Г)) =

0,

—'ч+О — №

I < TQ.

4

(13.1.4)

Происхождение соотношений (13.1.4) аналогично происхождению
(13.1.1), за исключением того, что в данном случае ни один из иг-
роков не может определить момент выстрела противника, если только,
разумеется, этот выстрел не оказался успешным.

Заметим, что К (t у) —— К (т\, £); следовательно, эта бесшумная
дуэль является симметричной игрой в смысле определения, введен*
ного в п. 10.2. Значение игры поэтому равно нулю, и любая страте-
гия, которая оптимальна для одного игрока, оптимальна также и для
другого.

Функция выигрыша К ($, tj) из соотношения (13.1.4) определяет
игру с выбором момента времени класса II; она имеет вид (13.0.1),
где

£(е,7}) = ; —	Л4($, 7!) = $ —7]—^
и

7?)=1+t]>0, L (t ^) = — 1	< о, ]

> 0 t '•fj 1

Л1е($, 7))=! — 7)> 0,	^(5, 7)) = — 1— ;<0, /	” ’)<'1

(выражения и означают частные производные по и М
имеют аналогичное значение). Следовательно, функции А(£, ?|), Л4(£, т^)
строго возрастают по £ и строго убывают по г/ внутри единичного
интервала.

Поскольку игроки не имеют сведений о действиях друг друга,
можно интуитивно предполагать, что в рассматриваемой игре необ-
ходима рандомизация; естественно также считать, что каждый игрок
может выжидать весь интервал времени, чтобы обеспечить достовер-
ный успех. Следовательно, первое приемлемое предположение со-
стоит в том, что оптимальные стратегии для каждого из игроков
составлены из плотности на интервале вида [а, 1] и возможного
скачка в 1.

Для начала мы отбрасываем возможность скачка в 1 и ищем
оптимальные стратегии в виде

(0 dt, уО (v) = fg (0 dt.
а	а

Мы будем искать стратегии, доставляющие выигрыш, тожде-
ственно равный v (см. п. 10.5).

Однако требование постоянного выигрыша v может быть выпол-
нено только на интервале [а, 1]. Лемма из п. 10.2 утверждает, что
это свойство является необходимым условием оптимальности !). Сле-
довательно,

1

f /С (5, 7))dx0(0 =	ri)f^)d^ = v = 0	(13.1.5)

a

для всех т] в [a, 1]. Учитывая явное выражение для К.($, у), урав-
нение (13.1.5) можно записать следующим образом:

ч	1

Jg-^i + WC;)^+ f(?-7)-4т;)/($)^ = 0. (13.1.6)
а	т]

Вспоминая, что

1
f /(0^=1.
а

i) В утверждении леммы 9.2.1 предполагалась непрерывность функции
К (£, ^). Однако существенной при этом является лишь непрерывность
К (х°, tJ, которая здесь и предполагается.
мы записываем (13.1.6) в виде

1	V}	1

f	J $/(0^-7) f $/(0d;^0,	(13.1.7)

a	a	r(

что можно рассматривать как интегральное уравнение для функции
г (£) = £/(£). Двукратным дифференцированием мы сводим его к диф-
ференциальному уравнению

2т)г/(7])-|-4г(7)) = 0,

общим решением которого является r(r\) = krl~2 и, следовательно,
У(£) —&;“3. Подстановка /($) = А?С3 в (13.1.7) приводит к тождеству

<«=S71=S1). U3-1-8)

которое выполняется лишь при а = У3 и k = xjA. К счастью, те же
самые значения также удовлетворяют ограничению нормализации

1

<13-L9)

Итак, оптимальная стратегия х° имеет плотность

если только показано, что

1

f К(^, ?])/(£)</-> О
а

для т) < а. Этот факт является непосредственным следствием свойств
монотонности ядра.

Для т] < а мы имеем
1 1

-Д f 7))/(0^= /	7])/G)rf^o.

а	а

Но функция

1

f к (a, -rdf® к
а

непрерывна для всех vj и равна нулю при т] = а; отсюда мы полу-
чаем требуемый результат.
Исходя из симметрии, та же стратегия оптимальна для игрока II-
Для этого примера можно также показать, что оптимальная страте-
гия для каждого игрока единственна (см. задачи 16—19 этой главы).

Пример 3. Смешанная дуэль. Мы предполагаем, что игрок I
имеет бесшумный пистолет, а игрок II — шумный, так что игрок I
знает, выстрелил ли игрок II или нет, а игрок II такой информации
не имеет. Функции меткости снова принимаются равными Р1($)==
=	(£) — £• Тогда

Г1) =

о,
1—2^,

5 = 4.

5> 4-

Руководствуясь эвристическими принципами, изложенными в анализе
примера 2, мы будем искать стратегию х°($), состоящую из плот-
ности /(5) на интервале [а; 1] со скачком ав 5=1 и у°(т/), состоя-
щую из плотности g (ri) на том же интервале со скачком (3 в т)=1.
По аналогии с (13.1.5) соответствующие интегральные уравнения
имеют вид

1

f К(К. rt)f(K)d\+<iK(\, г/) = и
О

1

Jtf(0 4)£(4)<*4+РК(5. 0 = ®-	(a=s!;=sl).

о

или

t	1

—^ + е0/(?)^+/(1—20/(0^ + а(1—20 = ®	< 1),

a	t

(13.1.10)
t	1

J(1 — 27))g(7])d7]+ J(^ —7]4-/7])g(7])d7]-|-P(2/—1)=!/ (d^t < 1).
a	t

Дифференцируя два раза, мы получаем следующие уравнения:
3(1+0/ (0 + (0 + 2$ - 1) f (0 = о,
(1 - 2т] - Т]2) g' (rf) - 3 (1 + 7]) g (7]) = 0.

Поэтому плотности для оптимальных стратегий имеют вид
/ (0 = К (0+ 2? - 1)-’+ g (ri) = k2 (гр + 2т) - 1)-’Л.

Для того чтобы закончить определение решений, мы должны
найти значения неизвестных постоянных a, v, а, р, kvk2. Уравнения

33 Зак 1789
(13.1.10) являются тождествами по £ и т], и если мы подставим
в них выражения для /(£), g (77) и проинтегрируем, то, учитывая, что

f____ш_______dK=_____1

j («2 + 2$ —1)%	/$2 + 2$—1 ’

f	_ 1 __L+J—_'

J ($2-1-25— 1)3/г	2 /$2_|_ 2$ — 1 ’

мы получаем

, f la .2а	2 \ . 1 — а , a 1	*1

Ц \Р(а) kr )	2Р(а) ki /2 J

Г За-l-----« +_L(2$—l)l = v.	(13.1.11)

21 2P (д)	/2	+	J	v ’

Здесь P(a) = (a24“2a — l)’/2. Второе уравнение требует, чтобы ко-
эффициент при £ был равен нулю; следовательно,

р=-^=.

1	2/2

Первое уравнение требует, чтобы коэффициент при у был равен
нулю; это может достигаться при а = 0 лишь в случае

а ___ 2

Р(а) “ W

Решая это уравнение относительно а, мы получаем

а = /б' —2, Р(а)=уТ —/Г.

Уравнения нормировки

1 1

J/(5)d5=l-a и
а	а

сводятся к соотношениям

1 = (д+1)______1_	/3+/2

kt	2Р (а) ’ /2	2

1 = (д+1)______1 ^3/2+2/3 !

k2 ~ 2Р (д)	2 /2 “	4

Наконец, чтобы оправдать выбор а = 0, мы должны проверить, что
уравнения (13.1.11) совместны с указанными значениями a, р, a, kv k2
и что найденные стратегии действительно оптимальные. Совместность
проверяется просто и приводит к значению игры v = 5 — 2	6 .

Свойства монотонности функции К (£,	т]) гарантируют, что
J	для < а, так что х° — оптимальная стра-

тегия, как и утверждалось. Подобная аргументация применима и к у0.

Чтобы закончить рассмотрение этого примера, необходимо про-
верить выигрыш для стратегий х° и у0 в точках vj=l и £== 1
соответственно. Это просто проверить как для т), поскольку а = 0,
так и для £, поскольку /С(1, 1) = 0<(2£—l)j. = 1. Заметим, что
в этом случае заключение леммы 10.2.1 не выполняется, т. е. точка
£=1 находится в спектре и /С(1, у°)<-и (см. также сноску
на стр. 511).

Наконец, отметим без доказательства, что указанные выше опти-
мальные стратегии х° и у0 единственны.

Сопоставим решение смешанной дуэли и решение полностью бес-
шумной дуэли. Прежде всего, мы заметим, что в бесшумной дуэли
спектр начинается в а = в то время как в смешанной дуэли
спектр начинается в а= ^6 —2 > Другими словами, когда один
из игроков имеет преимущество в возможности слышать выстрел
своего противника, его оптимальная стратегия требует для выстрела
более позднего момента времени, чем при обычных обстоятельствах
бесшумной дуэли. Второе и самое интересное отличие в решении
смешанной дуэли состоит в том, что игрок II (игрок с шумным
оружием) должен сохранять угрозу выстрела до самого конца. Это
отражено в скачке у°(^) при tq=1. На самом деле такое поведение
игрока II не должно казаться странным ввиду неравенства информа-
ц Iи, имеющейся в распоряжении каждого из игроков.

Пример 4. Рассмотрим бесшумную дуэль, определенную не на
единичном квадрате, а на квадрате	где b > 0.

Функции меткости равны Рх (£) = Р2 (5) = В. Этот пример может рас-
сматриваться как такой вид бесшумной дуэли, в которой каждый
игрок имеет положительную начальную вероятность попадания.

Функция выигрыша имеет следующий вид:

71) =

5 —71-+-57),

0,

£ — 7)— $7),

5 <7].

5 = 7]

5> 7].

(^5, т]<;1),

Значение этой игры равно нулю, и любая стратегия, оптимальная
для одного игрока, является также оптимальной и для другого.
Если	то решение примера 2 справедливо также в данном

случае. Для произвольного b мы попытаемся описать оптимальную
стратегию, состоящую из плотности f на отрезке [а, 1] и скачка а
в точке Ь.

Далее мы покажем (п. 13.2) в качестве частного случая нашей
общей теоремы, что ни в одном типе бесшумной дуэли оптимальные
стратегии обоих игроков не могут иметь скачок в конечной точке.
В этом примере, поскольку игра симметрична, мы заключаем,
что 1 не может быть точкой скачка в любой оптимальной стратегии.

Однако мы вводим здесь стратегию, которая допускает возмож-
ность немедленного выстрела для обоих игроков. Эта возможность
следует из нашего предположения о положительном начальном зна-
чении функции меткости для обоих игроков. Для такой стратегии
выигрыш игрока I, когда II применяет стратегию т](а<7]<1),
равен

в	ц

Так как это уравнение отличается от уравнения (13.1.6) только ли-
нейным членом, оно приводит к тому же дифференциальному урав-
нению с решением /(£) = &£~3. Ясно, что равенства, соответствую-
щие (13.1.8) и (13.1.9), имеют вид

i +4+4)+* (I-ч+^)=°

Решением этих уравнений в предположении, что b > У3, будет
_ ь _ ЗЬ — 1	1

а ~ 2 — ЗЬ ’ а — 2Ь2 ’ к ~ 4 •

Так как O^a^l, для второго уравнения должно выполняться не-
равенство	следовательно, если 6 > V2’ мы не можем иметь

оптимальную стратегию, включающую плотность указанного вида.
В этом случае оптимальной будет чистая стратегия xb(ty.

Подведем итоги.

Случай 1:	Оптимальная стратегия такая же, как и в

примере 2.

Случай 2: 1/3<sb^1/2- Оптимальная стратегия



	х* (0 = ^(9 + f
где	а  3b —1	b  ft — 	 Л — 	
и	’	5	5  !	vi	vi  5	О	Q  eO  o ^*4 CM  '	.	'  1	II  $	g
Случай 3: Ч2^Ь. Оптимальная стратегия хь(£).

13.2.	Интегральные уравнения для игр с выбором момента
времени и их решения. В этом пункте мы рассмотрим ядра вида

71),

^<т],

К (К, 7,) =	Ф(0.

5 = 7),
$>7}.

7И($ 7)).

которые удовлетворяют следующим условиям:

(а)	Функции А($, т}) и Л4($, tj) определены соответственно
на замкнутых треугольниках 0 <$<у < 1 и	Кроме

того, они имеют непрерывные вторые частные производные, опре-
деленные в соответствующих замкнутых треугольниках.

(б)	Значение Ф (1) расположено между £(1, 1) и М (1, 1); зна-
чение Ф(0) расположено между А (0, 0) и М(0, 0).

(в)	т]) > 0 и	т]) > 0 в соответствующих замкнутых

треугольниках с возможным исключением 1) = 0;	т]) < 0

и 44^(5, т]) < 0 в соответствующих областях определения с возмож-
ным исключением А^(1, 1) = 0.

Условие (в) означает, что функции А(£, tj) и Л4(5, tj) в своих
областях определения строго возрастают по 5 и строго убывают
по т]. Это ограничивает наш анализ игр с выбором момента времени
класса II некоторым подклассом функций выигрыша. Тем не менее
многие из теорем, изложенных ниже, справедливы для всех игр
с выбором момента времени класса II. В наши доказательства будут
входить существенные черты анализа общей игры с выбором момента
времени класса II, однако эти доказательства будут оставаться
на относительно простом уровне изложения.

Стратегии. Если стратегия х состоит из скачка а при 5 = 0,
плотности на интервале [а, £] и скачка р при 5=1, то мы будем
применять обозначение х = (а/0, fab,	Если, кроме того, Ь = 1,

то будем просто писать х = (а/0, /а, Для любой стратегии х
этого вида, выигрыш игрока I равен

1	ч

f КС, ri)dx(i) = aL(Q, Т])4-J L& 7])/e6C)je +
0	а

b

+ /мв, 71)/а6С)^ + ₽Ж(1. 71).	0<71<1.	(13.2.1)

Разумеется, если tj < а, то первый интеграл исчезает, а если т) > bt
то исчезает второй интеграл. Если т] = 0, то мы должны заменить
£(0, 0) на Ф(0), а если т;=1, то Л4(1, 1) — на Ф(1).
► Лемма 13.2.1. Если оба игрока имеют оптимальные стра-
тегии вида х = (а/0, fab, р/0, у = (у/0, gcd, 8/х), то а = с и
b = d=l. Другими словами, спектром, абсолютно непрерывной
части обоих распределений является один и тот же интервал»
от а до 1.

Доказательство. Для любого распределения указанного выше
типа из (13.2.1) следует, что интеграл

1

О

является непрерывной функцией [каждый член справа в (13.2.1)
непрерывен] для 0 < < 1. Если fab($) тождественно равно нулю
в некотором интервале, то при изменении в том же интервале
интеграл

1

/к(е. ri)dx&
а

строго убывает. Это следует из того, что эффективные пределы
интегрирования в (13.2.1) остаются постоянными, а подинтегральная
функция по условию (в) строго убывает. Так как точка tq = c нахо-
дится в спектре у, по лемме 10.2.1 должно быть

1

f К(Ц, c)dx(^) = v.
о

Ввиду того что х оптимальная,

1
Ti)dx(ty>v.

о

Последние два соотношения и свойства монотонного убывания левой
части требуют, чтобы интервал изменения плотности fab содержал
интервал [с, d}. Аналогичное рассуждение применимо к у и, следо-
вательно, а = с и b = d. Далее, если Z>< 1, то для > d

i

f К G, n)dx(^<v,
о

и мы получаем противоречие.

Тот факт, что спектр для обоих игроков начинается при одном
И том же значении а» не случаен. Представим себе на минуту нашу
игру как общую тактическую дуэль с бесшумным оружием. Если
один игрок не выстрелил до момента а, то другому игроку, несом-
ненно, лучше выстрелить в а, чем до а. Следовательно, момент
начала стрельбы должен быть в оптимальных стратегиях обоих игро-
ков одним и тем же.

Лемма 13.2.1 в разработке общей теории непосредственно
не используется, но помогает лучше объяснить последующий анализ.
Мы попытаемся строить решения способом, подсказанным леммой,
т. е. выбирая подходящие постоянные а, (}, *[, 8, а и решая для
функций fа и ga соответствующую пару интегральных уравнений.

Интегральные уравнения. В лемме 13.4.1 будет пока-
зано, что если L(l, 1)<Л4(1, 1), то точка 5=1, ?]=1 является
для К(х, у) седловой точкой. Для того чтобы рассмотреть более
трудный случай, когда L(1,1) > Л4 (1, 1), мы сначала заметим, что
при этом предположении из-непрерывности £(£, 5) и Л($, 5) следует
существование непустого интервала а ^5^1, в котором L(£t В) >
>7И(£, 5). В любом таком интервале мы рассмотрим линейные
интегральные уравнения

и

/(')-/ т$, О/(5)^ = аро(О+₽Л(0 (13.2.2)
а

g(u) — fU(u, 7])§-(7})</т} = ^0(и)-|-391(и),	(13.2.3)

где

Т& t) =

-Ц(5. О

L (t, t) — M (t, t) ’

-AM5- 0

L (t, t) — M (t, t) ’

— (0. О

Po — L (t, t) — M (t, t) ’ P1 ~

-	(1, О

L (t, t) — М (t, t) '

U(U, 7}) =

AM». fj)

L (w, u) — M a) ’
Щи,

a < «^ 1,

L(u, a) — M (u, u) ’

^0	£ (M, И) _ At (И, И) ’

a-^u 1,

Щи, 1)

L (u, a) — M (a, a) *

Интегральные уравнения следуют из леммы 13.2.1. Если существуют
оптимальные стратегии х, у описанного в лемме типа, то стратегия х
должна удовлетворять уравнению (13.2.1), правая часть которого тож-
дественно равна V, при изменении т] в интервале а^т\ < 1. Дифферен-
цирование по vj и деление на ненулевой множитель Л(т],	vj)

приводит к первому интегральному уравнению. Второе уравнение
получается При проведении соответствующих операций над оптималь-
ной стратегией у.

Для упрощения обозначений пусть Та означает интегральный
оператор с ядром Т (В, /) и нижним пределом a, a Ua — оператор
с ядром U {и, т]) и нижним пределом а. Тождественный оператор
будет обозначаться через I. Интегральные уравнения компактно мо-
гут быть записаны следующим образом:

(7-7'а)/ = аРо+р/71>	(13.2.4)

(/-СШ = По + Ч-	(13.2.5)

Этим уравнениям, представляющим собой классические интегральные
уравнения второго рода, посвящена обширная литература. Для нас,
однако, больший интерес будут в дальнейшем представлять специ-
фические свойства положительности ядер интегральных операторов,
чем общая теория как таковая.

Для того чтобы провести анализ .этих уравнений достаточно
строго, мы должны выделить область определения функций, к кото-
рым применяются линейные операторы. Именно мы будем искать
решение среди множества всех непрерывных функций, определенных
на интервале	Эти функции и будут приниматься в ка-

честве области определения Da операторов Та и Ua, если только не
будет явно оговорено противное. Наличие параметра а показывает,
что мы здесь имеем дело с однопараметрическим семейством линей-
ных преобразований; это обеспечивает достаточную гибкость для
последующего анализа.

Всякий раз, когда функция / из области определения преобра-
зования Та продолжается на более широкий интервал, подразуме-
вается, что вне а<£^1 /=0. Мы снова подчеркиваем, что (13.2.2)
и (13.2.3) определены только для тех интервалов [а, 1], на которых
L (L £) > Л4 (£ Д). Так как операторы Ua и Та существенно исполь-
зуются в характеристике оптимальных стратегий, мы дадим обзор их
основных свойств, доказательства которых будут приведены в сле-
дующем пункте.

Прежде всего, Ua и Та являются строго положительными, т. е.
функции Taf и Uaf, в которые преобразуются с помощью операто-
ров Та и Ua неотрицательные нетривиально кусочно-непрерывные
функции /, являются строго положительными в а<$^1. Строгая
положительность Та и Ua следует из свойства (в) ядра К ($, и
того факта, что /,(£, £) >	(£> 0 в [л, 1].

Далее заметим, что операторы Ua и Та вполне непрерывны.
В данном контексте это означает, что любое семейство функций Д,
которое равномерно ограничено на интервале [а, 1], преобразуется
в семейство равностепенно непрерывных функций ha — Tafa (см. п. В. 1).
Аналогичное утверждение применимо и к оператору Ua. Следова-
тельно, из семейства преобразованных функций ha может быть вы-
брана равномерно сходящаяся подпоследовательность (см. стр. 792).

Из того, что операторы Та и Ua строго положительны и вполне
непрерывны, вытекают следующие их дополнительные свойства.

(1)	Если Х(а) означает спектральный радиус Та [т. е. Х(а) есть
радиус наименьшего круга в комплексной плоскости с центром в на-
чале координат, который содержит все собственные числа Та}, то
Х(а) является собственным числом Та и имеет положительную соб-
ственную функцию /Ч Кроме того, строгая положительность Та
гарантирует, что собственная функция, соответствующая Х(а), един-
ственна с точностью до постоянного множителя.

(2)	Спектральный радиус Х(а) является непрерывной строго мо-
нотонной функцией а. Если а->1, то Х->0. Кроме того, когда
а —> а0, для любого фиксированного положительного 8 соответствующая
собственная функция сходится равномерно на интервале а0-{-8<
^$^1 к /Ч

(3)	Наконец, если X > X (а), то оператор

существует и может быть выражен посредством ряда

2 (¥)"•
л = 0

Это выражение для обратного оператора известно под именем аб-
страктного ряда Неймана. Когда этот оператор применяется к неко-
торой непрерывной функции, полученный ряд функций сходится
равномерно в интервале [а, 1]; кроме того, ряд из операторов опре-
деляет строго положительное линейное преобразование, которое
переводит непрерывные положительные функции в строго положи-
тельные непрерывные функции. Наконец,

изменяется непрерывно по а при фиксированном X в смысле, описан-
ном в (2), т. е.

при равномерно в a0 + 8^5^L
Обозначим через |х(а) спектральный радиус Ua, а через g{a} со-
ответствующую собственную функцию. Свойства (1), (2) и (3) при-
меняются таким же образом к |л(а) и gW mutatis mutandis1).

Читатель может рассматривать эти результаты, как распростра-
нение теории положительных матриц на линейные преобразования,
определенные для непрерывных функций и сохраняющие свойство
положительности (см. теорему 8.2.1). Доказательство этих утвер-
ждений может быть получено простыми видоизменениями рассужде-
ния, которое применялось для матриц (см. п. 13.3).

Констатировав существенную для нас часть теории и свойств
положительных преобразований, вернемся к обсуждению полученных
интегральных уравнений для игр с выбором момента времени.

Так как решение интегральных уравнений (13.2.4) и (13.2.5)
очень тесно связано с существованием оптимальных стратегий вида
(а/0, /а, РА), важно знать, возможно ли решить уравнение (13.2.4)
относительно fa при fa > 0. Ввиду свойств (1) и (2) оператора Та
и условия L (а, а) > М (а, а) это действительно возможно если
Х(а)< 1.

Следующая лемма содержит критерий существования значения
а > 0, для которого Х'(а)=1. Заметим, что свойство (2) опера-
тора Та дает нам возможность заключить, что для аг. большего
чем а, выполняется соотношение к(а')<1-

► Лемма 13.2.2. Если £(1, 1)> 714(1, 1) и существует такое
значение 50 С [0, 1), что А(В0» В0) = Л4(В0, Во). то существует такое
значение а > Во» что Х(а)=1. Аналогично существует такое
значение а* > Bq, что |х(а*)=1.

Доказательство. Пусть Во означает наибольшее В» для
которого М (ВЛ) = L (ВЛ). Так как А (В, ^) и Л4 (В, у) непрерывны
и А (1, 1) > Л4 (1, 1), то для Во <	1 должно быть L (В, В) > Л4 (В, В).

Для каждого а > Во операторы Та, Ua вполне определены; пусть
— собственная функция, соответствующая К (а). Для фиксирован-
ного е > 0, такого, что Во < 1—е и а£(В0, 1—е), нормируем /а)
так, чтобы

1 —е

f /(в) (5)^=1.
а

Это возможно, так как функция (В) в интервале [at 1—е] строго
положительна.

!) С соответствующими изменениями (лат,), — Прим, перев.
По условию (в), существует постоянная с > 0, для которой

— ^(5. ^)>С	S).

— АЦ (£, т;) > с (Ti=s5==;l — е).

Следовательно, если	—е, то

0<c = c J /(a)G)d!-=s
а

f - (5. Ч) fW (0 ft + f - rj) (5) #
a 73
7]	1

a	7]

Так как Taf(a} = k(a) f(a\ последнее выражение равно [£(»], ?)) —
— M (у, vj)] К (а) /(а) (tj). Следовательно,

0 < ~П---гАт?—г^Ца)/О)01)-	(13.2.6)

ь (т], 7])- Л1 (т}, 7})	7 J 4 17	V 7

Кроме того, поскольку частные производные L и М ограничены,
существует такая постоянная с, что

£ (•>), rj) — М (т), rj) —

= [L (7|, rj) - м (7J, 7))] - [£ (ад ад - м (ад ад] <; с (7] - ад.

Теперь из (13.2.6) следует, что

О	(«)/%).

— to

Интегрируя последнее уравнение на интервале [а, 1—е], мы полу-
чаем
1-8	1-е

с' f ^Д^Х(а) f f(a)(r!)dr] = X(a).
а	а

Таким образом,

XGOssc'log 1

»о

Выражение, стоящее справа, при а->£0 неограниченно возрастает.
Так как при а->1 Х(а)->0 и К (а) — непрерывная монотонная функ-
ция, то существует а, для которого Х(а)=1,	< ^ < 1. Подобное

утверждение устанавливает существование а*, для которого (а*) = 1,
и заканчивает доказательство леммы.
Наша цель, разумеется, состоит в том, чтобы выразить опти-
мальные стратегии для игры с ядром К ($, в явном виде. В опи-
сании решений очень важную роль играют собственные функции
оператора Та, соответствующие собственному значению Х(а)=1.
Однако может случиться, что не существует значения а(0^а<1),
для которого Х(а)=1 или |х(а)=1. На основании леммы 13.2.2
и монотонности Х(а), |л(а) это может произойти только, если неравен-
ство L (£Л) > М (£Л) выполнено для всех	и X (0) < 1,

|i(0)< 1. В этом случае наши потребности обслуживает новый класс
функций, который состоит из функций вида

ga = (I- иау1 (Но + 891) = 7 (Z - иаух % + 8 (/ - и,а)"1 q.

И

Л = (/-7,а)’1(аРо+Р/’1).

где р0, qQ, — функции, определенные в (13.2.2) и (13.2.3),
а а, р, 7, 8 — неотрицательные параметры, которые нужно определить.

Описание оптимальных стратегий для	Существует

много типов решений игр с выбором момента времени. Принадлеж-
ность игры к тому или иному типу зависит от величин L(£, |) и
М (£, |) и от значений К (£, ^) в угловых точках единичного квадрата.
Необходимо дать взаимно исключающую классификацию всех воз-
можностей одновременно с их перечислением; это сделано в табл. 13.1.
Для первой группы ядер К (?, ^) (случай А в табл. 13.1) имеет место
неравенство £(1, 1)^ Л4(1, 1); в этом случае решения образуют
седловую точку. Для оставшихся ядер, как мы показали (лемма 13.2.2),
могут быть определены операторы Та и Ua\ поэтому здесь наиболее
простой оказывается классификация по значениям радиусов Х(а) для
оператора Та и рь (а) для оператора Ua. Таким образом, вторая
группа функций выигрыша (случаи Б, В и Г) состоит из таких
функций, для которых существует такое а, что Х(а)=1 или
рь(а)==1, или оба эти значения равны единице. Из леммы 13.2.2
следует, что любое ядро, для которого существует такое £о£[О, 1),
что £(£0Л0) = Л1(£0, £0), будет принадлежать ко второй группе. Если
такого £0 не существует, то Х(а) и |i(a) определены для любого
0^а<1 и представляют собой монотонные функции, убывающие
к нулю при а—>1. В этом случае, если ядро таково, что либо
X (0)^:1, либо рь(0)>:1, игра также принадлежит ко второй группе.

В остальных случаях ядра К (В, ^) должны удовлетворять усло-
виям £(?, 0> W» В) (0<е^1) И Х(0)< 1, |л(0)< 1. Мы подраз-
деляем их на два класса: группа 3 состоит из ядер, для которых
L(0, 1) < Л4(1,0), группа 4 — из ядер, для которых L(0, 1)> 2И(1,0).
Виды решений для различных групп приведены в табл. 13.1.
Таблица 13.1

Функция выигрыша	Оптимальная F	Оптимальная 0
Группа 1:  А £(1, 1) < М (1, 1)	(Л)	(/1)
Группа 2:  Б £(£, £)>	£)	а<£<1  X (а) = 1, р. (а) < 1  В	$)>М& £)	а<5<1  X (а) = 1, р (а) = 1  Г Ltf, е) > М (£, е) а<5<1  X (а) < 1, р (а) = 1  Если существует такое 60 С [0, 1], что  L Go, %) = М (%, %), т0 имеют место случаи Б, В или Г	(ЛО  (ЛО  (Л. ₽Л)	(ёа, »Л)  (ёа)  (ёа)
Группа 3:  L (5, 5) > М (5,5).  р (0) < 1, X (0) < 1  L (0, 1) < М (1, 0)  Д Ф (0) = L (0, 0)  Е L (0, 0) > Ф (0) > So  Ж Ф (0) = 30  3 So > Ф (0) > М (0, 0)  И Ф (0) = М (0, 0)	(«Л» /о) (“/о. /а) («Л. /а)  («/о, /а. 0Л) (/а. ?Л)	(ёо, 8/1) О/о- ёа< 8/0 (f/o. ёа) (?/о. ёа) (ТА), ёо)
Группа 4:  £(£,£)> 41(5, $), Р(О)<1, Х(0) < 1  L (0, 1) =* М (1, 0)  К £ (0, 1)==Ф(0)==Л1(1, 0)  Л £ (0, 0) > Ф (0) > £ (0, 1)  М £ (0, 0) = Ф (0)  Н М (1, 0) > Ф(0) > М (0, 0) 0 Ф (0) = М (0, 0)	(/о)  («/о. /а)  (“/о, /о)  («/о. fa, РЛ)  (Л. ?Л)	(/о) (l/о. ёа, 8/1) (ёо, «/j) (7/о- ёа) (1Го, ёо)
Для понимания табл. 13.1 напомним читателю, что равенство
x = (a.l0, fa, р/0

означает, что стратегия х является распределением, состоящим из
плотности fa на интервале [а, 1] и двух скачков величины а и j)
соответственно в точках 0 и 1; стратегия

y = (Vo. ёа> 8Л)

имеет аналогичную интерпретацию. Если какая-нибудь из величин
а, р, /а, у, 8 или ga пропущена, то это следует понимать, как ее
равенство нулю. Например, х = (а/0, /а) означает, что [3 = О,
а остальные компоненты имеют прежнюю интерпретацию. В описании
оптимальных стратегий группы 3 появляется новая величина So. Зна-
чение этого символа рассматривается в п. 13.4.

к Теорема 13.2.1. Оптимальные стратегии для функции
выигрыша /<(В, ?]) в играх с выбором момента времени с не-
полной информацией единственны и имеют вид, указанный
в табл. 13.1. Кроме того, плотности fa являются либо ре-
шениями уравнения Tafa — fa, либо представляются рядом
Неймана вида

ОО

2Пг(ар0+₽Л)-

/2 = 0

Аналогичное утверждение имеет место и для ga.

Существование и полное построение этих решений будут об-
суждаться в п. 13.4. Единственность этих решений устанавливается
в задачах 16—19.

13.3*. Интегральные уравнения с положительными ядрами.
Мы отвлекаемся здесь от темы, для того чтобы проверить свойства
интегральных операторов, сформулированные в предыдущем пункте.

Рассмотрим общий интегральный оператор
ъ
а

или, в операторной форме, Af. (Повсюду в этом пункте интеграль-
ные выражения имеют фиксированные пределы а, Ь, если явно не
сказано противоположное). Мы предположим, что ядро удовлетво-
ряет условию

Л($, т])>0,	(13.3.1а)

где точки, в которых Л = 0, образуют на каждой прямой £== const
или т] — const точечное множество, не содержащее множеств поло-
жительной меры Лебега. Мы предполагаем также, что

Л($, т})^С	(13.3.16)

и что

f ма2, т])-д(?р

$	(13.3.1В)

J | Л(^2)-Д«,

если |?2 — ^|->0 или соответственно |^2 —	>0.

Пусть является множеством всех ограниченных функций /,
определенных на интервале [а, д]. Область определения А в даль-
нейшем ограничивается множеством р.

Если, в частности, f ограничена в [а, д], то из (13.3.1а —13.3.1в)
следует, что

f AC.,	И f Atf, -q)f^dk

являются непрерывными функциями соответственно £ и т], и если
вдобавок функция f неотрицательна, непрерывна и не равна то-
ждественно нулю, то эти выражения имеют положительный минимум.
Первое утверждение является простым следствием критерия сходи-
мости Лебега (см. п. В.З); второе справедливо вследствие (13.3.1а).
Оформим эти утверждения как теорему.

► Теорема 13.ЗЛ. Преобразование А, удовлетворяющее усло-
виям (13.3.1а) — (13.3.1b), переводит не тождественно равные
нулю, неотрицательные непрерывные функции в строго поло-
жительные непрерывные функции.

Другим полезным свойством таких интегральных преобразований
является тот факт, что они представляют собой вполне непрерывные
преобразования, определенные на Точная формулировка этого
свойства дается в следующей теореме.

к Теорема 13.3.2. Оператор А преобразует семейство рав-
номерно ограниченных функций в равностепенно непрерывное
семейство функций {определение равностепенной непрерыв-
ности см. в п. В.1).

Доказательство немедленно следует из (13.3.1в).

► Следствие 13.3.1. Если fa— семейство равномерно огра-
ниченных функций на {а, д], то мы можем выбрать подпо-
следовательность из g^ = Af^ которая сходится равномерно
к непрерывной функции.

Это прямое следствие из классической теоремы Асколи, касаю-
щейся равностепенно непрерывных семейств функций (см. п. В.1).
Последнее замечание, которое мы используем позже, состоит
в том, что если />0 и ^/=1, то

Jmin J Л(£, 7i)dri > 0,	(13.3.2)

где g = Af.

Приведем основную теорему о существовании положительных
собственных значений и строго положитёльных собственных функций.

> Теорема 13.3.3. Пусть Х0(Д) означает спектральный ра-
диус А. Тогда

(а)	Х0(Д) строго положительное собственное число, кото-
рому соответствует строго положительная непрерывная соб-
ственная функция /0.

(б)	если Д/ = Х0(Д)/, то f является кратным /0.

Сравним эту теорему с теоремой 8.2.1. Доказательство прово-
дится с помощью приспособления конечномерного анализа положи-
тельных матричных преобразований к случаю интегрального оператора А.

Доказательство. Говорят, что вещественное число X является
допустимым, если существует такая определенная на [а, Ь} непре-
рывная, не равная тождественно нулю, неотрицательная функция /,
что Af>Kf, где неравенство выполняется для каждого значения
аргумента £ в интервале [а, Ь]. Функция / в неравенстве называется
иногда функцией определения или проверки X.

Так как соотношение Af^of является однородным, мы можем,
не умаляя общности, нормировать все /, которые определяют допу-
стимые значения X, условием	Ясно, что

= min f А (?, ri)dr]

является допустимым значением с функцией проверки	— а)-

Пусть

М = max С А (%, v^dy.

Отсюда ясйо, что любое допустимое X ограничено числом М.

Пусть X0 = supX, где супремум берется по всем возможным до-
пустимым значениям X. Можно показать, что значение Хо также
является допустимым. Требование компактности, необходимое для
доказательства этого утверждения, выполняется, так как оператор А
вполне непрерывен. Пусть ХЛ->ХО, a fn— ненулевая неотрицательная
функция, удовлетворяющая условиям f Д=1 и ДД^хХ^Д. Функ-
ции fn равномерно ограничены ввиду (13.3.16). Кроме того, по-
скольку А сохраняет положительность и линейность, мы имеем
Agn>\ngn, где gn = Afn — равностепенно непрерывное семейство
функций (теорема 13.3.2), интегралы которых равномерно ограни-
чены снизу в соответствии с (13.3.2). Для того чтобы показать,
что /0 является допустимым значением, можно использовать любую
предельную точку gn.

Предположим, что /0 ненулевая неотрицательная непрерывная
функция, такая, что Л/0>Х0/0. Покажем, что в этом соотношении
всегда имеет место равенство. Предположим противное; тогда, по-
скольку А преобразует ненулевые неотрицательные непрерывные
функции в строго положительные непрерывные функции, мы полу-
чаем, что Ag^ > (Хо -J- е) g$ для g^ = AfQ и е > 0. Это противоречит
определению Хо.

Покажем теперь, что Хо равно спектральному радиусу. Для этого
достаточно показать, что любое другое собственное число X* меньше
по модулю чем Хо. Но если Л/* = Х*/*, то А | /*| —^*11Г |, гДе
|/* | =]/*(£) |, так что из самого определения Хо мы можем заклю-
чить, что Хо> | X* |. Наконец, покажем, что любая собственная функ-
ция /, соответствующая собственному значению Хо, является крат-
ным /0. Не умаляя общности, мы можем предположить, что
функция f вещественная. Так как функция /0 строго положительна,
мы можем найти такую константу у, что функция /0+ у/ неотри-
цательна для	и равна нулю для остальных t Так как

функция

>H/o+t7)=Wo-H7)

строго положительна или равна нулю, мы получаем, что / кратна /0,
как и утверждалось. Это заканчивает доказательство.

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы вывести абстрактный
ряд Неймана для интегрального уравнения второго рода с ядром А.

► Теорема 13.3.4. Если Х>Х0(Л), то

(т	А V1 — V А"

V	xj —

п = 0
где А° = 1.

Доказательство. Достаточно показать, что

ОО
v лп f
№ f — s
п=*0

34 Зак. 1789
представляет собой равномерно сходящийся ряд для любой ограни-
ченной положительной функции / и что

Пусть /0 — строго положительная непрерывная собственная функция,
соответствующая собственному значению Х0(Л). Такая собственная
функция существует вследствие теоремы 13.3.3. Так как /0 — строго
положительная непрерывная функция, мы можем определить кон-
станту с так, что

Но А сохраняет положительность и, следовательно,

A f fXj Уо.

Отсюда мы видим, что ряд равномерно и абсолютно ограничен,
с точностью до постоянного множителя, сходящейся геометрической
прогрессией. Прямая проверка равенства (/ — A/\)g = f не вызы-
вает затруднений; таким образом, доказательство теоремы 13.3.4
закончено.

Наш следующий результат относится к поведению Х0(Л) как
функции А. Именно пусть А означает другой интегральный опера-
тор, порожденный ядром Л (£,?]), определенным на квадрате

(а'<а, b'>b) и удовлетворяющим (13.3.1а) — (13.3.1в) на
более широком интервале. Предположим, кроме того, что

Л($, 7])^Л($, т])	(а<;1 ^Ь).

Покажем, что

Х0(Л)^Х0(Л).	(13.3.3)

Следует напомнить, чтоХ0(Л) было определено в доказательстве тео-
ремы 13.3.3 как наибольшее допустимое значение X, для которого
Af>\f, где функция / непрерывна, /^0 и

ь

а

Небольшое видоизменение нашего анализа допускает такую же ха-
рактеристику Х0(Л) для всех функций /, удовлетворяющих тому же
условию нормировки, но имеющих разрывы только первого рода.

Величина Х0(Я) может быть охарактеризована подобным же об-
разом. Пусть X допустимо для А, и пусть f обозначает соответ-
ствующую функцию проверки. Распространим f на интервал
[ar, b'Y полагая / = 0 вне [а, д]. Тогда

ь’	ь

J я($. 7])/(71)</•»]> J Л(5, 7i)/(7))d7)&:X/($) (ats^sb);
a'	а

это же неравенство тривиально выполняется на [а/, Ь'}. Следова-
тельно, любое допустимое X для А является допустимым и для А,
что и выражает неравенство (13.3.3).

Теми же способами мы можем проверить свойства непрерыв-
ности Х0(Д) и ее собственной функции, как функции А. Формальные
детали этих выкладок мы опускаем.

Мы заканчиваем этот пункт замечанием о том, что Та и U а,
определенные в (13.2.2) и (13.2.3), удовлетворяют условиям
(13.3.1а) — (13.3.1в). Условие (13.3.1а) выполняется вследствие усло-
вия (в) п. 13.2; условие (13.3.16) очевидно, а справедливость усло-
вия (13.3.1в) устанавливается следующим образом: предположим, что
;2 > И £2 —£1 < £; тог^а

b	^-е

J| Т(^. 7})—Т(^2. 7))|dT)^ f 1Т(^.7))-Т(^ 71)|^ + Се +
а	а

Ъ

+ f |7'($1.7))-Г($2. 71)^71,

где С — фиксированная постоянная. Но оператор Т равномерно не-
прерывен в соответствующих треугольных областях интеграла, стоя-
щего справа, и, следовательно,

ь

JI T'Gi- ’l) — т(?2> I drl °> когда I ?1 ~М -*• °-
а

Применяя теорему 13.3.3, мы получаем равенство Taf^ = X (а)/л),
где Х(а) — наибольшее собственное значение оператора Та и /(а) —
положительная непрерывная собственная функция, нормализованная
таким образом, что J*J(fl)(^)J($)= 1.

Другие утверждения, т. е. свойства (2) и (3) на стр. 521, сле-
дуют из теорем 13.3.1 —13.3.4. Покажем, например, что Х(а) —
непрерывная монотонно-убывающая функция а. Монотонность Х(а)
легко следует из (13.3.3). Остается показать, что Х(а)<Х(а,)-[-е
для заранее заданного е > 0, когда а' достаточно близко к а и
а' > а. Рассмотрим соотношение

1

Х(а)/%) = f Т($, 7j)/a)G)d^
а

1

Jt'G. ri)fw (0d$+ 8,
а'

(13.3.4)

справедливость которого следует из равномерной ограниченности /(а) 0)
для а' < $ < а\ здесь, очевидно, 8 > 0 стремится к нулю, когда
а' — а—>0. Ввиду того что /(а) (tj) равномерно ограничена снизу
(в а и а') для всех а'	когда а' — (в противном слу-

чае может быть опровергнута строгая положительность ядра Г), мы
можем переписать (13.3.4) в виде

1

а’

для подходящего е, где е—>0, когда а' -> а. Следовательно, значе-
ние К (а) — е допустимо для Таг, и поэтому \(а')>\(а)— е. Более
тщательный анализ этого доказательства показывает, что К (а)—строго
монотонная функция. Оставшиеся части свойств (2) и (3) доказы-
ваются аналогичными методами. Эти доказательства предоставляются
читателю в качестве упражнений.

13.4. Доказательство существования.

Оптимальные стратегии для ядер группы 1

> Лемма 13.4.1. Если £(1, 1)^7И(1, 1), то точка {1, 1}
является седловой точкой (дает пару чистых оптимальных
стратегий) ядра /С(В, т]), и оба игрока имеют оптимальную
стратегию (1Х).

Доказательство. Условие (б) (стр. 512) предполагает, что
Л4(1, 1) > Ф (1) > L (1, 1), а условие (в) предполагает, что Л4 (1, т])

Л4(1, 1) и L(£, 1)^L(1, 1). Следовательно,

К(1, 7])2-Ф(1)2-/С($, 1) (для всех $, ?])
и

К(1, т})2-/С(1, 1)2-К (t 1) (для всех 7]).

Последнее уравнение показывает, что точка [1, 1} -является седло-
вой. Значение игры равно Ф(1).
Оптимальные стратегии для ядер группы 2

► Лемма 13.4.2. Если L(l, 1) > Л4(1. 1) и существует такое
5o(Or^5o< 1), что £(£0, $0) = Л4($0, £0), то существуют опти-
мальные стратегии следующего вида: плотности fa, ga на
общем интервале [а, 1] и возможный скачок в 1 для одного
из двух игроков.

Доказательство. Лемма 13.2.2 утверждает, что в интервале
(£0, 1) существуют такие а и а*, что X(а) — 1, р.(а*)—1. Кроме
того, поскольку спектральный радиус является строго убывающей
функцией [свойство (2), стр. 521], то из а > а* следует р- (а) < 1,
из а = а* следует Х(я) = [1(а)= 1, а из а < а* следует р.(а*)=1
и X (а*) < 1.

Рассмотрим случай X(а) — 1,	(а) < 1. Так как Х(я)=1, урав-

нение Tafa = fa имеет строго положительное решение fa. Норми-
руем эту функцию так, чтобы выполнялось соотношение

1

f fa (0^=1,
а

И ПОЛОЖИМ

*1	1

«(«) = р(!;, т])Л(0^+	(13.4.1)

а	т)

Ясно, что и (а) не зависит от Т[(а<г^ 1), так как дифференциро-
вание приводит к равенству

[£(7). 7j) - М (т,. 7))] {/a(7j))+ f L^,	+

а

1

+ f	*1) Л (0^=0.

которое равносильно выражению

fa~Tafa = 0.

Распространим /а(0 за интервал [а, 1], полагая вне этого интер-
вала fa(g) = O. Если игрок I применяет стратегию /а, а игрок II —
чистую стратегию, сосредоточенную в	то выигрыш

игрока I равен

1	1 1

J	f Aftf, 7])/eC)d^ f М(Ц, a) fa(£)i%= u(a).

0	a	a
Неравенство возникает здесь как следствие условия (в), наложенного
на ядро К (5, v])- С другой стороны, если	то выигрыш

определяется посредством (13.4.1). Следовательно, игрок I может
получить выигрыш, равный по крайней мере и (а).

Чтобы определить стратегию игрока II, положим
£=(/-£/e)"4.

где qx является функцией из (13.2.3). Так как р.(а)< 1, функция g
существует и может быть вычислена с помощью ряда

л = 0

Пусть

1
С = J g (>]) drk
а

и 8 =1/(1 4-с). Наконец, пусть ga (tj) — 8g (г[) (а <7]^1); и
ga(^) = 0 для остальных т].

Из этого определения следует, что y° = (ga, 8/^ является стра-
тегией игрока II. Покажем, что эта стратегия оптимальна. По опре-
делению функции ga, имеет место равенство

(/-t/a)ga = 8?1	(а<?<1).

Положим

Е	1

w(a, 8) = 8£($, 1)4- f М(Ц, ri)ga(ri)drl+	(13.4.2)

a	E

(Л<1<1).

Тогда после дифференцирования видно, что выражение w(a, 8) по-
стоянно и не зависит от 5. Анализ, параллельный анализу, проведен-
ному для равенства (13.4.1), приводит к соотношению

1
7])(/y°(7))<w(a, 8)	(0<$<а),

а

так как уравнение (13.4.2) представляет выигрыш игрока I для
а ^5^1. Для 5=1 выигрыш равен

w(a, 8)4-8[Ф(1) —£(1, l)]<w(a, 8).
Игрок II, применяя стратегию у0, может помешать игроку I полу-
чить выигрыш, больший чем w(a, 8). Но

1 1 1

w (а, о) — w (а, 8) J* dxQ (;) =

а	а а

f J к <5- V) (?) dy° (7)) =

1

= и (a) J dy° (т;) == и (а),
а

где х° — стратегия с плотностью /а(£). Следовательно, значение игры
равно и (а), и стратегии х° и у0 оптимальные.

Для того чтобы завершить доказательство леммы, мы должны
рассмотреть случаи Х(а) = р.(а)=1 и Х(а*)<1, р.(а*)=1. Ясно,
что если k(a*)< 1 и |i(a*)=l, то рассуждение, параллельное пре-
дыдущему, покажет, что решение ga* задачи Ua*ga*=ga* на оты-
скание собственной функции'является оптимальной стратегией игрока II,
в то время как стратегия вида (/в#, p/J оптимальна для игрока I.
Если Х(а) = р-(а)= 1, то доказательство более ясное и простое:
оптимальные стратегии состоят только из плотностей, полученных
как решения задач на отыскание собственных функций Tafa = fa и
Uaga = ga.

Заметим, что пример 2 (стр. 510—513) относится к группе 2,
случай Б, при а =1/3.

> Лемма 13.4.3. Если £(£, £) > Л4 (£, £) (0<£<1) и суще-
ствует значение а(0^л<1), для которого либо Х(а)=1,
либо (а) = 1, то имеет место один из трех случаев В, С
или D табл. 13.1 и существуют оптимальные стратегии ука-
занного в таблице вида.

Доказательство. Так как Х(а) и р-(а) убывают при а -> 1
непрерывно и монотонно до нуля, то существует значение а' (0<а'<1),
для которого либо Х(л')=1» а р-(л')<1» либо К (д') = И (д') = 1»
либо Х(л')<1> а [х(а')=1- Дальнейшее доказательство совпадает
теперь с доказательством предыдущей леммы.

Итак, мы доказали существование и указали вид оптимальных
стратегий для ядер группы 2 в табл. 13.1.

Обратимся теперь к играм, ядра которых принадлежат к
группе 3. Так как мы исчерпали все другие возможности, мы мо-
жем предполагать в дальнейшем, что £)>7И(£, 5)	1),

X (0) < И И (°) < 1.

При этих предположениях операторы Та и Ua являются вполне
определенными, строго положительными преобразованиями для любого
а(0<а^1). Кроме того, для любого а существуют операторы
(/ — и (/ — которые преобразуют положительные не-
прерывные функции в строго положительные функции. Из соотноше-
ния Х(а)<1 следует, что (/ — Т р = ^Тпар и что оператор
(/ — Т'д)"1 непрерывен по а [см. свойство (3), стр. 521]; следова-
тельно, если fa — (J — 7,а)”1р1), то

lim (/— Т^)-1 р =/-1р =/>;
а->1

при этом сходимость равномерна по $ и, таким образом,

1 1

lim [fa(№= lim f p(Qd£ = 0	(13.4.3)

a->l J	a->l J

a	a

для любой непрерывной функции р. Аналогичные замечания спра-
ведливы для (/ — LQ’1.

Построим теперь семейство стратегий игры следующим образом.
Положим

f.a = — (аРо + ₽Р1) = а?о+ ₽<Р1>

где а, р^:0, a pQt рх—функции, определенные соотношением
(13.2.2). Предполагается, что параметры а, [3 всегда связаны соотно-
шением
1 1

а У?о + ₽ /?!= 1 —а—(13.4.4)
а	а

Ясно, что при такой нормировке х = (а/0, /а, РД) является страте-
гией в игре. Для каждого 7](а^т]^1) образуем функцию

«(а. а. ₽) = а£(0, ^)Н-р7И(1, tj)+ f £(?, 7,)/а($)^+
а
1

+ /ЖИУЖ (13.4.5)

которая не зависит от т), так как, дифференцируя это выражение
по т), мы получаем ар0+рр1==(/ — Кроме того, ввиду моно-

’) Заметим, что функция (7—ТаГг Р в этом доказательстве определена
для всех nj из [0, 1].
тонности и непрерывности функций L($, т]) и М ($, ^) [условие (в),
стр. 517] мы имеем

1

и(а, а, ₽)<а£(0,	т]) + f Al(t vi)fa(№ (13.4.6)

а

(O^vj < а).

Подобным же образом мы определяем плотность
ga=(/ —14)-1 (т?о 4- Ч)=тФо+
и нормируем ее так, чтобы

1 1

Т /ф04-8 /ф1 = 1-т-5	(13.4.7)

а . а

и у==(у/0, ga, 8/\) было стратегией. Аналогичные рассуждения по-
казывают, что

е

w(«. 7. 8) = -fM($, O)H-8£(t l)-f- JM($, ga(ri)drl-{-
a
1

+ fL(^,rl)ga^)drl (Л<^<;1)	(13.4.8)

e

не зависит от $ и что

1

w(a, 7> 8)>TM(!i, 0) + Щ£, 1)4-	*1)^01)^ (0 < $ < a),

a

Для 0 < ri < 1 уравнения (13.4.5) и (13.4.6) описывают выигрыш
игрока I, когда он применяет стратегию х, а игрок II применяет
чистую стратегию ?]. Поэтому мы имеем

1

/«(I, ri)dx(K)^u(a, а, 0)	(0<7]<1).

О

Подобным же образом получаем соотношение
1

7))dy(7i)^w(а, 7, 5)	(0<е<1).

О

Мы имеем теперь в нашем распоряжении пять параметров а, (3,
8, а [подчиненных только ограничениям, наложенным равенствами
(13.4.4)	и (13.4.7), и условиям а, р, 7, 8>0 и 0	1], которые,

как мы покажем, могут быть выбраны в каждом из случаев Д — И
группы 3 так, чтобы удовлетворялись следующие условия:

и (а; а, Р) = w(a; 7, 8),
1	1

J* /С (0, vfidy w (а; 7, В), f K(l, rj)dy(Ti)^w(a-t 7, 8)
о	о

и

1	1

f /С (5,	а, ₽), f l)dx(D^u(a\ а. p).

О	о

Когда эти условия выполнены, мы имеем

1	1

J К(5, ^)dx(£)^u(a, а, p) = ^ = w(a, 7, 8)> f

о	о

для всех $ и 77, так что v — значение игры, а х и у — оптимальные

стратегии игроков.

В оставшейся части этого пункта следует иметь в виду, что а, р,

7, 8> 0 и 0^а^1. Заметим особо, что мы можем принять а или р
1 / 1 \ “1

равными нулю; в этом случае р § = 1 — р или р = I 1 У <pi I »
а	\ а /

так что р — непрерывная функция а. В более общем случае мы мо-
жем требовать, чтобы аир имели фиксированное отношение

г(О^г^оо); в этом случае а — непрерывная функция а и, следо-
вательно, и (а; а, р) — непрерывная функция а. Справедливы анало-
гичные замечания относительно 7 и 8.

► Лемма 13.4.4. Если

и

то

£($, $)> W. 5) (o^e^i)

Х(0)< 1, р.(0)< 1,

я(0, а, р) —W(O, 7, 8) = а7[£(О, 0) — Ж(0, 0)] +

+ рЗ[А1(1, 1)-L(1, 1)].

Доказательство. Подставляя а = 0 в уравнения (13.4.5) и
(13.4.8) и подставляя в эти уравнения т] = 0, 5 = 0, tj=1, 5=1»
мы получаем

1

«(О, а. Р)= а£(0, 0)4- рЖ(1, 0)4- f О)/о(ОЯ,

О
1

ю(0. 7. 8)==рИ(0, 0)4- 8L(0. 1)+ f £(0. т}) g0 (tj)
о

1

«(О, а. Р)= а£(0, 1)4" М(Ь 0+ f L^> V

О
1

W(0, а, Р) = -рИ(1, 0)4- 8£(1, 1)4- f ЛЦ1, ^g^dy.
О

Если мы умножим (13.4.5) на gQt а (13.4.8) на /0 и проинтегрируем,
то получим

(1 — 7 — 8) и (0. а, р) =

1 1

= а J L(0, т]) g0 (т;) d-q 4- £ J М (1, tj) g0 (г[) df[ 4-
О	о

1 1

+ f
о о

(1—а — Р)^(0, у, 8) =

1 1

= 7 f W. О)/о(!;)#-Н/£(!-, l)/0G)d$4-
0	о

1 1

О о

Умножая первые четыре уравнения соответственно на у, а, 8 и
мы можем освободиться от интегралов в последних двух выраже-
ниях; производя вычитание, мы получаем
я (0, а, Р) — w(0, у, 8) —

= oq [L (0, 0)—М(0, 0)] + р8[Л1(1, 1) — £(1, 1)]. (13.4.9)

Оптимальные стратегии для ядер группы 3

Мы рассматриваем ядра, которые в дополнение к свойствам,
перечисленным выше, удовлетворяют условию L(0, 1) < Л4(1, 0).

► Лемма 13.4.5. Для любого г существует а, для которого
af 0) = w(a, у, гу).
Аналогично существует а', для которого

и (а', га) — ^(а\ 7» 0).

Доказательство. Подставляя т}=1 в (13.4.5) и Jj=l
в (13.4.8), мы получаем

1

и(а, о., 0) — <х2(0, 1) — 044(1, 1)— f L$, 1)/а(0^ = 0,

а

1

w(at 7, 8) — 7^4(1, 0) — 8£(1, 1) — J* Ж(1, ^) ga (vj) dr\ — 0.

а

Далее, для любого е > 0 мы можем выбрать а настолько близким
к 1, чтобы

1

«(а, а, 0) — а2(0, 1) — 041(1, 1) —2(1, 1)

а

3 ’

1

w(a, у. 8) —744(1, 0) — 82.(1, 1) —44(1, 1) f ga (у) (fy
а

е

<'3 •

Мы видели в (13.4.3), что, когда а->1,

1

И

а

Отсюда следует, что для а, достаточно близких к 1,
|и(а, а, 0) — w(a, 7, 8) —

— {а2(0, 1) + 044(1, 1) — 744(1, 0) —82(1, 1)}| <е (13.4.10)

для любых се, 0, 7, 8, удовлетворяющих условиям (13.4.4) и (13.4.7).

По предположению, 2(0, 1)<44(1, 0), а в силу монотонности
2(0, 1) < 2(1, 1), 44 (1, 1) < 44 (1, 0).

Следовательно,

а2(0, 1)4-044(1, 1) — 744(1, 0) — 82.(1, l)=s

^(а —8)2(0, 1) —(7 —0)44(1, 0).

Кроме того,
1

1—а—0 =	когда а->1,
так что а—|—р—> 1. Аналогично 7 -1- 8 —► 1 при а->1; следовательно,
а — 8->7— р. Но мы предположили, что £(0, 1) < 44(1, 0), откуда
следует, что

а£(0, 1)+р44(1, 1) — 7-44(1, 0) —8£(1, 1) < 0

для а, достаточно близких к 1. Если мы подставим это соотношение
в (13.4.10), то получим неравенство

и (а, а, р)— w(a, 7, 8) < 0

для а, близких к 1.

С другой стороны, лемма 13.4.4 утверждает, что

«(0, а, р) — w(0, 7, 8) =

= а7[£(0, 0) —44(0, 0)] + р8 [44 (1, 1) —£(1, 1)].

Если р = 0, то из £(0, 0)>44(0, 0) следует, что
и(0, а, 0) — w(0, 7, 8)>: 0.

Наконец, поскольку и (at а, 0) — w(a, 7, Г7) является непрерывной
функцией а, последние два неравенства гарантируют существование
значения а', для которого

и (a't a, 0) = w(a', 7, Г7).

Второе утверждение мы можем установить, полагая выше 8 = 0.

► Лемма 13.4.6. В условиях леммы 13.4.4 и при Ф(0) —£(0, 0)
игрок I имеет, оптимальную стратегию х = (а/0, /0), а игрок II
имеет оптимальную стратегию y = (gQ, 8/^.

Доказательство. Если мы положим р = 7 = 0, то в силу,
леммы 13.4.4 мы будем иметь я(0, a, 0) = w(0, 0, 8) = г/. Остается
проверить, что

J /С(0, 7])dy(rj)^v,

где x = (a/0,/0) и y — (gQt^Ii). По предположению, Ф(0) = £(0, 0).
Тогда в силу (13.4.5)

1

J	0)бЩ0 = *Ф(0)-нУ	°)/о(О^ =

о

1

= a£(0, 0)+ f М($, О)/о(О^=«(О, а. 0).

] Л(1, 7l)dy(7])^V,
Ввиду того что [3 = 0, из (13.4.5) следует равенство

1

f Ktf, l)dx(£)=v.
о

Равенство у = 0 вместе с (13.4.8) дает

i

/ K(Q, Tj)dy(7]) = ‘t>.
о

Наконец, поскольку 714(1, 1) Ф (1) < L(1, 1), должно быть

1	1

f К(1. ^)^(^) = 8Ф(1)Н- f Л4(1.
о	о

1

=sS£(l. 1) + f M(l,	О, В),

О

что и требовалось.

Следующая лемма доказывается сходным образом.

►	Лемма 13.4.7. В условиях леммы, 13.4.4 и при Ф(0) =
= 714(0, 0) игрок I имеет оптимальную стратегию х = (/0, (3/j),
а игрок II имеет оптимальную стратегию (^/q, g0).

►	Лемма 13.4.8. Существует такое значение 50, 714(0, 0) <
<So<L(O,.O), что при Ф(0) = 50 существуют оптимальные
стратегии вида, указанного в случае Ж табл. 13.1.

Доказательство. Положим [3 = 8 = 0 и найдем значение а,
для которого ^(й, у, 0) = я(а, а, 0). Стратегии х = (а/0, /а) и
y = (-f/0, ga) теперь полностью определены. Найдем такое значе-
ние 50 (зависящее от L и 714), что если Ф(0) = 50, то стратегии х
и у оптимальны, v — u(a, а, 0) = ^(а, у, 0) является значением
игры. Чтобы сделать это, заметим сначала, что для [3 = 8 = 0 урав-
нения (13.4.5) — (13.4.8) означают, что

1

V = и (а, а, 0) J К ($, у) dx ($)	(0 < т; 1),

о

v — w(a, у, 0)^ г /<(£, ri)dy(ri) (0

о
со строгим неравенством в подинтервалах 0 < т) < а и 0 < £ < а.
Рассмотрим теперь выигрыш для ^ = 0, как функцию от Ф(0). Если
Ф(0) = £(0, 0), то

1 1

f KG, 0)</xG) = a<I>(0)+ f MG, 0)/aG)<G =
0	а

1

= а£(0, 0)+ J М(£, 0)/а(0^>«(а, а, 0) = v, (13.4.11)
а

при этом последнее неравенство является следствием (13.4.6). С дру-
гой стороны, если Ф(0)=Л4(0, 0), то

1 1

JК(0, rfidy(7)) = -[Ф(0) + JL(0, 7])g-a(7))dT] =
0	а

1

= уМ (0, 0)+ у L(0, 7]) ga (?)) drt <w(a, 7, 0) = v;

a

и поскольку а > 0, мы заключаем, что

1 1

f f«(l, 7])dxG)dy(7)) =
о о

1 1 1

= аУ^(0. W01)+-У^/ав^^УСчХ
0	0 а

< ах/ —(1 — a)v — и.

Изменяя порядок интегрирования, мы получаем

1 1 1

7 У кв. 0)М)+ у у Кв, 7i)ge(7i)d7)dxG) =

0	0 а

1

=*1{кв, 0)dxG) + (l-T)t,<t,.

о

Следовательно, при Ф(0) = Л4(0, 0) должно быть

1

f Кв, ^)dxe)<v.	(13.4.12)

О

Поскольку

1

у кв, (WG)

о
— непрерывная монотонная функция от Ф(0), соотношения (13.4.11)
и (13.4.12) показывают, что существует значение 50 для Ф(0), для
которого

1

f 0)rfx(0 = v.

О

Остается проверить, что при Ф(О) = 5о имеет место равенство

1

J Д'(О, 7|) dy (7|) = v,
О

которое легко доказывается с помощью следующей цепочки равенств:
1 1

v =	-^dx^dyiri) —

О о
1 1 1

= « f Д'(О, ^^(7)) + f f 7])Д(0 dy(№=*
О	а О

1

= а J К(0, ri)dy (iq) + (l —a)-v.
о

> Лемма 13.4.9. В условиях леммы 13.4.4 и при £(0, 0)>
>Ф(0)>50 игроки I и II имеют соответственно оптимальные
стратегии х = (а/0, /а) и y = (^IQ, ga, 8Zj); в условиях леммы
13.4.4 и при 50> Ф(0)> Л4(0, 0) игроки I и II имеют соответ-
ственно оптимальные стратегии (а/0, /а, и ga).

Доказательство. Предположим, что значение а, равное а0,
использованное в предыдущей лемме, равно тому наименьшему а,
для которого и {a, a, 0) = w(#, 7, 0). Поэтому если 0 < а < aQ, то
из леммы 13.4.4 следует, что и(а, а, 0)>w(a, 7,0). Для того
чтобы доказать первое утверждение (случай Е в табл. 13.1), мы
сначала заметим, что если р взято равным нулю, то

(1 \-1

1 + / ?0 )	♦

а /

Положим

(1	X

«(а, а, 0)- f MG, O)/aG)^j.

а	/
Ввиду равенства (13.4.5) /г(О) = А(О, 0), и по лемме 13.4.8
h (а0) = So. Следовательно, так как h (а) непрерывна, из 50 < Ф (0) <
<А(0, 0) следует существование я(О<я<яо), для которого
/г(я) = ф(0). Для этого значения а возьмем х = (а/0, /а); тогда

1 1

J К а, 0)йх(;) = аФ(0) + /	0)/,(!•)</; = «(а, а, 0).

0	а

Так как р = 0, мы имеем также

1

J /<(£, l)dx(Q = «(a, а. 0).
о

Если мы возьмем у = 0 и у = (g*a, 8/^, то получим
1 1

«(а, а, 0) = У (%. 'Ч) dx (К) dy (•/]) —
о о

1 1 1

= а У /С(0, т() dy (т])+ у у /<(Е. ri)fa($dy(ri)dl=z
0	а О

1

= ау /С(0, ri)dy Cq)4~(1 —a)w(a, 0, 8).
о

Но

1 1

У/<(0. ri)dy(ri)=ZL(O, 1)+УL(0, ^)g0(7i)^<w(a, 0, 8).
0	а

Следовательно, и (а, а, 0)<w(a, 0, 8). С другой стороны, из вы-
бора а0 в лемме 13.4.8 и неравенства а < aQ следует, что
и (a, a, 0)>w(a, 7, 0). Теперь ясно, что мы можем найти стратегию
(у/0, ga> Ъ1^) = у, для которой w(a, 7, 8) = я(л, ад 0), где а имеет
то же значение, что и раньше, и 0<7<7» 0 < 8 < 8. Обозначим
для простоты новую стратегию также через у = (7/0, ga> $Л) и про-
верим, что стратегии х, у оптимальны, a v = а, 0) — значение
игры. Соотношение

1

J /<($,	($)>:« (а, а, 0) = г>

о

уже было установлено, а (13.4.8) показывает, что

1

J К (5, vj) dy (vj) < w = v
о

35 Зак. 1789
для 0 < 5 < 1. Наконец,

1

f К(1, 7})йу(7)) = ТЖ(1, 0)4-8Ф(1)Ч- f М(1,
а

1

0)Н- В/, (1. 1)+ f Л4(1, 7j) ga(rl')drl =
а

— <w — v,
и поскольку

1 1

J 7])dx(Qdy(7])=:V,

О о
мы заключаем, что

1

v — a J К(0, 7])dy (т])4-(1 —а) V.

о
Следовательно,

1

J А (О, у) dy (ri) = v,

О

и доказательство закончено.

С помощью аналогичных рассуждений устанавливаются оптималь-
ные стратегии для случая Зв табл. 13.1; таким образом, описание
оптимальных стратегий для ядер группы 3 завершено.

Мы не рассматривали ядра, для которых

Ш У>Л4(У 0	1),

Х(0)<1 и |Л(О)<1
и

£(0, 1)> Л4(1, 0),

т. е. группу 4. Необходимые рассуждения в этом случае являются
видоизменением рассуждений, применяемых при анализе ядер группы 3;
детали мы опускаем. Обратим внимание читателя на то, что един-
ственность оптимальных стратегий, указанных в табл. 13.1, является
содержанием задач 16—19.

13.5. Бесшумная дуэль с произвольными функциями мет-
кости. В качестве приложения к общей теории мы решим бесшумную
дуэль с произвольными функциями меткости. Рассмотрим двух против-
ников, каждому из которых разрешается выстрелить один раз. Игрок I
стреляет с меткостью Рх (У, а игрок II—с меткостью Р2(т]). Мы пред-
полагаем, что функции Pt и Р2 непрерывны, что Pi (У > 0, Рч(?\) > 0
в [0, 1] и что Рг (0) = Р2 (0) = 0, Рг (1) = Р2 (1) = 1. Выигрыш
игрока I равен 1, если он попадет в противника, —1, если про-
тивник в него попадет, а сам он промахнется, и 0 в случае, если
оба промахнутся или оба попадут. Функция выигрыша игрока I
имеет тогда следующий вид:

К (5. V) =

ЛЮ-ЗД + РЖО)).

Р^-РЛ),

5 <

;>

Ядро, очевидно, удовлетворяет здесь условиям (б) и (в), стр. 517.

Условия леммы 13.2.2 выполняются при £о = О. Следовательно,
существуют такие а и Ь, что Х(а)=1 и р (b) = 1. Определим а
и /, удовлетворяющие условию Taf = f. Уравнение принимает вид

— J 2Р!(/)Р2(о
а

, с	-Pl (5)]

\	2Р,(0Рг(0

/(0 =

= 2Р. (/) Р2 (0	- pl ® f ® + f Р<f ® * •

\ a	a	t	/

* (13.5.1)

Если мы нормируем / так, чтобы выполнялось условие

1

а

и положим /г (£) = Pj (£)/(£), то последнее уравнение можно будет

записать в виде

2/г(£)	_Pg(S)

г	г

1—1 h (t) dt 4- J h (t) dt
a	a

(13.5.2)

Интегрируя, мы получаем
a	i

1- f h{t)dt+fh{t)dt=-p^.
a	4

Дифференцирование по $ приводит к равенствам
kP2 G)
2Л (5) = 2/(?)/>,(!•) =
и, следовательно,
kP' (£)

/(^=л^)[к(е)р-	<13-5-3)

где = k.

Функция f является решением дифференциального уравнения, по-
лученного путем дифференцирования соотношения (13.5.2). Опреде-
лим теперь число а так, чтобы f было решением первоначального
интегрального уравнения. Подставляя (13.5.3) в (13.5.2), мы полу-
чаем

_______________________________________!________!_П
или
— = 1 -4-----------------------------------------—-.

Р2 (а)

Последняя формула вместе с требованием нормировки f приводит
к следующему соотношению для определения а:

1	1	/ Р2 (?)

1?=1 +	Л («)[Р2(6)]2 '	(13.5.4)

а

Ясно, что значение а, лежащее в единичном интервале и удовлетво-
ряющее (13.5.4), совпадает со значением а, для которого Х(#)=1.

Сходные рассуждения показывают, что значение Ь> для которого
|л (#) = 1, и соответствующая нормированная собственная функция g
определяются из уравнений

k2P\ 01)

= Р.ШР^У	<13-5-5)

и

1	1 г Р'1 (?]) dy

*T=1 + f PToirPTW (13.5.6)

b

Необходимо отметить, что уравнения, которые определяют а
и bt имеют единственные решения в интервале 0<£<1; чтобы
доказать справедливость этого утверждения, достаточно показать,
что функция

г р\ (О	1

r{z) = -----—dt.------------

/ P2^P1^	Р^)

строго убывает от оо до
вал. Очевидно, что

г/(^) =

—1, когда z пробегает единичный интер-

_ 1—P2(z)
Р^У	’
и с помощью простой проверки мы получаем, что
Г(0) = 4~СХЭ и г(1) =—1,

Способ получения оптимальных стратегий изложен в доказатель-
стве леммы 13.4.2. Мы последуем его предписаниям.

Сначала вычислим а и b при помощи (13.5.4) и (13.5.6) и вы-
берем большее из этих двух чисел. (Если а и b равны, то опти-
мальная стратегия является плотностью для каждого игрока. Этот
случай опущен как простейший и предоставлен читателю в качестве
упражнения.) Предположим, для определенности, что а — большее
из этих двух чисел. Тогда /(£), записанное в (13.5.3), является
оптимальной стратегией игрока I. Чтобы получить оптимальную
стратегию игрока II, положим ga = (J—	таким образом,

ga является решением неоднородного уравнения

U-UJga = bqv

Записывая это уравнение подробно, получаем

с Л (1) [1-^2 (о]
g°(7)) J 2Р,(ч)Рг(ч)

ga(0^~

P'iti) [1 + ЛгЮ]
2Р, № 0))

2р; (-9)

2Pi (1)Р,(Ч) •



Перестановка членов этого выражения с учетом нормировки
1

J ёа(^а^= 1 — 8-
.	а

как в лемме 13.4.2, дает нам

Р, 01)	/	г

g. И = 2Р| р, (1) 28 + 1 - 8 - / ад МО » +

\	о

1	к

+ f

*1	/

Из сопоставления этого уравнения с (13.5.1) немедленно следует

ga(71>~ л ШЛО))]2 

Замечательным является здесь следующий факт: плотность в опти-
мальной стратегии игрока II отличается от решения уравнения
Ubg = g только постоянной нормирования k и областью ©пределе-
ния, которой теперь является интервал [а, 1]. Если мы подставим
полное выражение для ga в интегральное уравнение и проинтегри-
руем, то найдем, что k и 8 связаны соотношением

Чр^+1)=1+8'

Последнее уравнение вместе с уравнением нормировки

г kp’^tydt

а

полностью определяет постоянные Л и 8. Обращение к лемме 13.4.2
или простая проверка убеждают нас в том, что (Д) и (gfl, 8/j) —
оптимальные стратегии. Значение игры, вычисленное в соответствии
с (13.4.1), равно

/ \	1 — 3 Р2 (а)

v=u(a) =----------i-----------.

_ г P2(t)dt

В качестве частного примера рассмотрим Рх (£) — £ и Р2 (В) = ¥ (п^ 1).
Если мы подставим эти функции в (13.5.4) и (13.5.6), проинтегри-
руем и упростим, то найдем, что а и b являются корнями уравнений

(2п + 1) an+1 + (п + 1) а — п = 0,
(«+2)&я+1 + (пч-1) — 1 = о.

Мы уже показали, что каждое из этих уравнений должно иметь точно
один корень между 0 и 1. Кроме того, если n > 1, то в интервале
0=^£<;1 график первого уравнения всегда лежит ниже графика
второго уравнения, а разность между ними равна

(П —Щ»+1 —(л+Щя + (л+1)£ — Л_|_1.

Эта величина отрицательна при £ = 0. Кроме того, по правилу зна-
ков Декарта мы знаем, что она имеет не более чем три положитель-
ных корня, которые, очевидно, находятся в точке £ = 1, являющейся
тройным корнем. Отсюда следует, что корень первого уравнения
больше, чем корень второго уравнения. Если п=1, то оба корня
равны и а = 1/3. (Пример 2, п. 13.1.)

Может представить интерес рассмотрение конкретных функций
меткости обоих игроков. Возьмем Pj(£) = £ и Р2(£) = Р (£). Пусть а —
положительная вероятность выстрела игрока I в момент 1, а [3 —
соответствующая вероятность для игрока II; v, как обычно, означает
значение игры. Интервал, содержащий спектр оптимальных стратегий,
обозначается через [а, 1].
В следующей таблице функции Р расположены в порядке убывания,
именно функция Р($) в (б) меньше, чем Р$) в (а) для 0^£^1,
и т. д. В этом правиле имеется два исключения: Р(^) в (в) меньше,
чем Р (0 в (б) только для 3 —	< В < 1, и Р (£) в (е) один раз

пересекается с каждой из других функций Р(§.

	Р&	а	а		V
(а)	5	0,333	0	0	0
(б)	252	0,409	0	0,0764	0,1021
	1 + 52				
(в)	s(3-e>  2(2-5)	0,372	0,0063	0	0,0838
(г)	5	0,414	0	0	0,172
	2 — 5				
(д)	52	0,481	0	0,0729	0,2481
(е)	253	0,415	0	0,1741	0,028
	4^ — 36+!				

13.6.	Задачи.

1.	Решить бесшумную дуэль, в которой каждый игрок имеет одну
и ту же строго монотонно возрастающую функцию меткости Р(£)>
где Р(0) = 0, а Р(1) = 1.

Указание: преобразовать игру в примере 2 п. 13.1, вводя новые
переменные £ = ,Р(£), 7|=Р(т|).

2.	Найти критическую точку а и скачок [3 для бесшумной дуэли,
где (/) = /, Р2(/) = /3 и ^ (/) = /, р2(/)==/4>

3.	Проверить таблицу решений, приведенную выше.

4.	Хорошенькая девушка должна прийти на железнодорожную
станцию в момент /(О^/z^l), выбираемый случайно с равномерным
распределением. Каждый из двух игроков (игрок I и игрок II) при-
ходит на станцию только один раз и должен немедленно уйти. Если
в момент прихода одного из игроков девушка находится на станции,
то она уходит с этим игроком. Тот, кто уходит с девушкой, вы-
игрывает тем самым единицу у своего противника. Если же ни один
из игроков не уходит с девушкой, то выигрыш равен нулю. Когда
игроки должны прибыть на станцию? Найти оптимальные стратегии.
(Можно провести интерпретацию этой задачи в терминах примера
о публикации книг, стр. 428.)

5.	Решить бесшумную дуэль с равными функциями меткости

(Л (0 = ^2 <о=о.
предполагая, что каждый игрок может произвести свой выстрел
с вероятностью pt (Z=l, 2).

6.	Решить задачу 5 в предположении, что выигрыш игрока I
равен а, если выживет он один, £, если выживет один игрок II,
а + р, если не выживет ни один, и 0, если выживут оба. Предпо-
ложить, что а > 0 и Р < 0.

7.	Рассмотреть игру

,x/t ч В+7! при
К (5, '*)) = , t.

Ц----7] при 5 > 7].

Решить ее методами этой главы, хотя она и не является в строгом
смысле игрой с выбором момента времени.

8.	Крупная фирма конкурирует с мелкой с целью получить большой
контракт. В момент t фирма, которая тратит на рекламу т долларов,
может заключить контракт с вероятностью mp(t), где р'(0>0 для
всех t и р (0) — 0. Фирмы имеют на рекламу соответственно I и s
долларов. Мы предполагаем, что /р(7)<1 и sp(Z)<l для всех t.
Каждая фирма должна планировать свои действия в момент Z = 0 и
должна полностью использовать свой бюджет на рекламу за один раз.
Интервал времени, на котором происходит дуэль, нормализован
в [0,1]. Выигрыш большой фирмы равен —|—1, если контракт заклю-
чает она одна. Если контракт не заключен или его получают сразу
обе фирмы, то выигрыш равен нулю. Если контракт получает мелкая
фирма, то выигрыш большой фирмы равен —1. Сформулировать игру
и решить ее.

9.	Число t выбирается случайно с равномерным распределением
на (0, 1). Два игрока выбирают одновременно соответственно числа $
и	т]<1). Выигрыш игрока I равен К (£, tq), где

f 1, если ? +

К(^)=	3

J —1, если ? +	у.

Найти оптимальные стратегии.	#

10.	Описать решение для бесшумной дуэли с монотонно возра-
стающими функциями меткости 7\(Z) и Р2 (Z), предполагая, что
Л(0)>0, Р2(0)>0 и Р1(1) = Р2(1)=1.

11.	Предполагая, что все неравенства в условии (в) на стр. 517
изменяют знак, описать, как изменяется вид оптимальных стратегий.
Указание: ввести новые переменные, заменив $ на 1 — $ и т] на 1—tj.

12.	Показать, что в общей игре с выбором момента времени
класса II точка 1 не может быть скачком для оптимальных стратегий
обоих игроков, если только {1, 1} не является седловой точкой.
13.	Пусть А (5, у) имеет непрерывные вторые частные производ-
ные, определенные на треугольнике 0	1, и такие, что

т})>0 и 4^(5, ^<0. Пусть

( Л (?, 7j) При 0^$<7}^1,

7j)= { О при с = 7},
I   Л(т^, $) при 0 7J < £	1.

Показать, что если А (1, 1)^0, то стратегия оптимальна для
обоих игроков. Показать также, что если Л (0, 1)^ 0, то стратегия/0
оптимальна для обоих игроков.

14.	Показать, что если Л(1, 1)>0 и Л(0, 1) < 0, то оптималь-
ные стратегии для ядра задачи 13 имеют вид (а/0, /а), где а>:0,
a fa — непрерывная плотность на интервале а</^1.

15.	Найти интегральные уравнения, решением которых является
плотность fa задачи 14, и показать, что если

п
А(Ц, ч)=2М^01).

i = 1

то интегральные уравнения могут быть заменены системой дифферен-
циальных уравнений.

Следующие четыре задачи касаются единственности оптимальных
стратегий игроков в играх с выбором момента времени класса II.

16.	Доказать, что если х представляет собой любую оптимальную
стратегию игрока I, которая не является компонентой седловой точки,
то х непрерывна на внутренности единичного интервала.

Указание*, использовать разрыв К (5, tj) на диагонали и наличие
у игрока II оптимальной стратегии вида (у/0, ga, 8/j), которая
является устойчивой на интервале [а, 1].

17.	Используя задачу 16, доказать, что если х($) является опти-
мальной стратегией игрока I, то х($) абсолютно непрерывна на
а<$< 1, a xz(?) непрерывна на этом интервале.

18.	Используя результаты задач 16 и 17, доказать, что опти-
мальная стратегия игрока I единственна.

19.	Для игры, рассмотренной в предыдущих трех задачах, до-
казать, что оптимальная стратегия игрока II единственна.

20.	Пусть в игре с выбором момента времени класса II Ф(0)
и Ф(1) не лежат между соответствующих значений L и Л4, но К удо-
влетворяет другим условиям п. 13.2. Доказать, что игра имеет зна-
чение, хотя достижимые оптимальные стратегии могут не существо-
вать.
21.	Доказать, что если К (5, у) является игрой с выбором мо-
мента времени класса II, удовлетворяющей условиям (13.0.1), так что

т])<о,	7])^0, £>(/, 0>же(/, О

и L' (/, Z) > М' (t, t), то плотность решения для игрока II является
непрерывной убывающей функцией.

Комментарии
и библиография к главе 13

Изучение игр типа тактических дуэлей началось в 1948 году. Корпора-
ция РЭНД собрала в то время коллектив из математиков, статистиков,
экономистов и социологов, задача которого состояла в том, чтобы проана-
лизировать значение и структуру „неопределенностей войны" и построить
схему для оптимизации будущих операций в экономике нападения и обороны
в войне. Одним из побочных результатов изучения тактических приемов
ведения войны, составившйх часть программы, было решение многочислен-
ных примеров игр с выбором момента времени. Название „игры с выбором
момента времени" ’) для этого класса тактических дуэлей было в действи-
тельности предложено позже, в 1950 году Шифманом [2], который указал
на их широкую практическую применимость. Двумя другими членами этой
группы, которые внесли большой вклад в постановку и решение различных
вариантов тактических дуэлей, были Блекуэлл и Гиршик. В результате этой
работы в определенных кругах создалось мнение, что основные концепции
теории военного тактического маневрирования следует пересмотреть в свете
соображений, подсказанных решениями некоторых игр с выбором момента
времени.

Это послужило источником интересного и обширного класса игр,
требующих для их полного решения широкого применения теории положи-
тельных линейных преобразований. Первоначальные работы по этим играм
наметили путь к более широкому классу игр на единичном квадрате, ядра
которых (или их производные) имеют определенный вид разрыва вдоль
диагонали. Последнее обстоятельство и характерно для игр с выбором мо-
мента времени.

13.1.	Отдельные примеры игр с выбором момента времени, которые
были решены в течение краткой истории этого класса игр, слишком много-
численны, чтобы их перечислять. Среди наиболее плодотворных исследова-
телей теории игр с выбором момента времени следует назвать Блекуэлла,
Гиршика, Шепли, Беллмана, Гликсберга, Белцера и др. Первые три примера,
описанные в этом пункте, принадлежат Блекуэллу и Гиршику ([1], гл.'2).
Четвертый пример взят из работы Беллмана и Гиршика [1].

13.2.	Общая симметричная игра с выбором момента времени с одним
действием была решена Шифманом [2], который показал, что решение, оди-
наковое для обоих игроков, может быть получено в результате решения не-
которого интегрального уравнения второго рода. Карлин [2] распространил
эти методы на решение общей игры с выбором момента времени. Предпо-
ложение о различии ресурсов и возможностей двух игроков приводит к но-
вым решениям, которые не могут быть предугаданы на основе изучения
симметричных ядер. В то время как симметричная игра с выбором момента

!) Имеется в виду термин „games of timing". — Прим, перев.
времени включает четыре категории решений, несимметричный случай со-
держит их четырнадцать. Метод решения игр с выбором момента времени
в обоих случаях существенно опирается на теорию положительных инте-
гральных преобразований.

13.3.	В этом пункте излагается теория линейных интегральных преобра-
зований с положительным ядром. Эта теория имеет длинную историю. Фро-
бениус [1] исследовал дискретный случай, который соответствует положи-
тельному матричному преобразованию, переводящему конечномерное про-
странство в себя. Некоторые интегральные обобщения этой теории впервые
указал Иенч. Абстрактная разработка этих идей, в которой рассматриваются
линейные операторы в банаховых пространствах, оставляющие инвариантным
конус, была предложена Крейном и Рутманом [1], которые приводят также
обширную библиографию по этому вопросу !).

Характеризация наибольшего собственного значения положительного
линейного оператора, указанная в доказательстве теоремы 13.3.3, по-види-
мому, является новой. Она принадлежит совместно Боненбласту и Карлину.
(См. также п. 16.2.)

13.4.	Доказательства этого йункта представляют собой более подробные
изложения доказательств, которые содержатся в статье Карлина [2].

13.5.	Решение общей бесшумной дуэли с произвольными функциями
меткости принадлежит Блекуэллу [1]. Он решает эту игру путем подходя-
щего обобщения метода устойчивой стратегии (см. п. 13.5). У нас этот
пример появляется как приложение общей теории.

Таблица на стр. 551 принадлежит Бельзеру [1].

13.6.	Задача 6 была предложена Блекуэллом и Гиршиком [1]. Задачи
13—15 принадлежат Шифману [2].

!)	По этому поводу см. монографию М. А. Красносельского [1].—
Прим, перев.
ГЛАВА 14

ИГРЫ
С ВЫБОРОМ МОМЕНТА ВРЕМЕНИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

14.1.	Игры с выбором момента времени; класс I. В преды-
дущей главе мы рассмотрели игры с выбором момента времени,
в которых в распоряжении каждого игрока имеется лить частичная
информация. Например, в бесшумной дуэли ни один из игроков не
знает, выстрелили в него или нет (если только выстрел противника
не достиг цели). Вследствие этого недостатка информации можно
ожидать, что игроки должны будут некоторым образом провести
рандомизацию на множестве чистых стратегий, и мы видели, что это
на самом деле так. С другой стороны, в шумной дуэли каждый
игрок знает, когда стреляет его противник. Оптимальными страте-

гиями являются чистые
имеет вид

К($,

стратегии для каждого игрока,

/(У при 5 < tq.

“»1)=

ср (5) При в = 7],

и ядро игры

(14.1.1)

tn(ri) при



где ($)>§> 0 и —с^т' (?})<— 8 < 0, Z(l)>m(l) и
Z (0) < m (0); функция ср($) ограничена, но в остальном произвольна;
предполагается, что /($) и m(ri) имеют непрерывные вторые произ-
водные. Итак, любая игра типа (14.1.1) будет называться игрой
с выбором момента времени с полной информацией или, в соответ-
ствии с нашей предыдущей терминологией, игрой с выбором момента
времени класса I.

Из свойств монотонности функции Z(?) ит(т^), очевидно, следует,
что существует единственное значение а0, 0 < aQ < 1, такое, что
т(а0) = /(а0). Далее следует основная теюрема, касающаяся игр
с выбором момента времени класса I.

к Теорема 14.1.1. Игра (14.1.1) имеет значение v — l(a^ —
= т(ао), а оптимальные стратегии х* и у* описываются сле-
дующим образом. Если	то х* (0 = ха^ а игрок II не
имеет достижимой оптимальной стратегии} е-оптимальная
стратегия для игрока II имеет плотность в достаточно ма-
лом интервале справа от а0. Если ср(#0) = ^, то x* — y* = IaQ
(вырожденное распределение, сконцентрированное в точке aQ).
Если	то у*(т|) = уЛо, а игрок I не имеет достижимой

оптимальной стратегии} г-оптимальная стратегия для иг-
рока I имеет плотность на произвольно малом интервале
справа от aQ.

Доказательства этих утверждений будут рассмотрены в п. 14.3.
Идея их состоит в том, чтобы трактовать ядро (14.1.1) как пре-
дельный случай ядер, имеющих структуру игр с выбором момента
времени класса II. Так как предельный переход затрудняется нали-
чием разрыва ядра вдоль диагонали, анализ должен быть проведен
с некоторой осторожностью.

Условия I' (£) > 0 и т' (т?) < 0 естественны для игр с выбором
момента времени (см. следующий пункт). Однако, как может пока-
заться на первый взгляд, условия Z(l)>/n(l) и Z(0)</n(0) вве-
дены несколько произвольно. Поэтому, чтобы охватить все другие
возможности, мы описываем решения без ограничений, наложенных
на значение ядра в крайних точках.

Пусть К (£, у) удовлетворяет условиям теоремы 14.1.1, только
вместо требования Z(l)>zn(l) и Z(O)</n(O) мы предполагаем,
что ср(О) и <р(1) лежат между соответствующими значениями Z и т}
тогда оптимальные стратегии задаются следующим образом:

(а)	Если Z(l)</n(l), то точка (1, 1} является седловой, стра-
тегия оптимальна для обоих игроков.

(б)	Если Z(0)> /п(0), то точка {0, 0}—седловая и х = у = /0.

(в)	Если требования, содержащиеся в подпунктах (а) и (б) не
выполняются, то ядро удовлетворяет условиям теоремы 14.1.1.

В случаях (а), (б) и (в), если на отношение ср(О) к ср(1) не на-
лагаются никакие условия, может быть показано, что игра с яд-
ром /<(£,. т?) не обязательно имеет значение.

14.2.	Примеры.

Пример 1. Рассмотрим шумную дуэль между двумя противни-
ками, меткость которых задается функциями Рх(0 и /)2(7?)’ опреде-
ленными на интервале [0, 1]. Предполагается, что обе эти функции
строго возрастают, имеют непрерывные положительные производные
и Л>1(0) = Л>2(0) = 0, а’ 7э1(1) = 7э2(1)= 1. В конце дуэли игрок I
выигрывает величину w, значение которой определяется следующим
образом: если выживет только игрок I, то w = a, если выживет
только игрок II, то w = p, если выживут оба игрока, то -ш = 0,
если не выживет ни один, то w = Мы предполагаем, что a > р.
Ядро /С($, 7})
образом,

VI) = <

составляется, как математическое ожидание w. Таким

(а-рЭЛФ + р.	^<7).

а^СО + р/Ш 4-(т-а-р)Л(УР2(5),	? = т).

а —(а —Р)Р2(т)),	$>т].

Из предположения а > р следует, что К (£, т}) удовлетворяет усло-
виям теоремы 14.1.1. Число а0 является решением уравнения

(а-= а —(а —$)P2($) = v.

Следовательно, а0— решение уравнения Рг (£)-{-Р2($) — 1 и

v = (а — Р) Р, (а0) + Р = (а — Р)	(а0) + р [Pj (а0) + Р2 (а0)1 =

= aPj (а0) + ₽Р2(а0).

Игрок I будет иметь оптимальную стратегию в том и только в том
случае, если y(aQ)>zV (по теореме 14.1.1) или

аР1 (а0) + РР2 (а0) + (7 — а — р) Рх (а0) Р2 (а0)> аРг (а0) -j- рр2 (а0).

Это равносильно тому, что хЛй является оптимальной стратегией
игрока I в том и только в том случае, если 7—a — р>0,
а уЛ() — оптимальная стратегия игрока II в том и только в том слу-
чае, если у— a — j3<0.

Пример 2. Рассмотрим аналогичную шумную дуэль с а=1,
Р = —1 и у = 0. Однако мы не будем теперь накладывать на функ-
ции Рг и Р2 требование монотонности. Потребуем только, чтобы
эти функции были непрерывными. В этих условиях, если игрок I
стреляет в момент £ раньше игрока II, то игроку II нет необходи-
мости ждать момента tq = 1, чтобы выстрелить; очевидно, он вы-
стрелит, когда его функция меткости достигнет максимума в интер-
вале [£, 1], в котором изменяется tq. Оптимальным моментом выст-
рела для игрока II является любой момент 6 из [£, 1], для которого

Р2(6) = Л42($) = тахР2(/).

/^6

Ожидаемый выигрыш игрока 1 равен

		при	£ <rl
К (5, ч) =		при	e=7i,
	-Р201)+[1-Р20))]ЛШ	при	

Al1(vj)== maxPj (t).
Упрощая обозначения, мы получаем

	7(0	при		
ч)=	?(0	при	5 —	
	 giv)	при		

где /(0 = Р1(0-[1-Л(0]Л12© и т. д.

Для решения этой'игры удобно ввести две вспомогательные функ-

ции:

F (£) = max / (7), G (т?) = min g (t).

Заметим, что F ($) возрастает, a G (vf) убывает, но не обязательно
серого. Рассмотрим отдельно три возможности.

Случай 1. Существует значение а0, 0 < а0 < 1, для которого
F (а0) = О (а0). Мы утверждаем, что число v — F (а0) = G (а0) — зна-
чение игры, ядро которой равно К (В, ^), в том смысле, что infsup=
=sup inf. Доказательство этого утверждения проводится следующим
образом.

Пусть b — то наименьшее значение для которого F ($) — F (а0),
а с — наименьшее значение т/, для которого G(^) = G(a0). Ясно,
что / (b) = F (b) = F (а0) и g (с) = G (с) = G (а0). Вычислим теперь
выигрыш игрока I, когда он применяет стратегию хь, а игрок II
применяет чистую стратегию

(1)	если т] < Ь, то

к(b,	= min g (0 — О (т;)> О (ft)> О (а0) = v;

t^T\

(2)	если т\ = Ь, то К (&, #) = ср(&);

(3)	если то К(Ь, т]) = f (b) = F (a0) = v.

Аналогично если игрок II применяет стратегию ус, а игрок I —
стратегию £, то выигрыш игрока I вычисляется следующим образом:

(1)	если $ < с, то

/С($, c) = /(O<max/(Z) = F(O^^(c)^F(ao) = ^;

(2)	если ^ = с, то К (с, с) = ср(с);

(3)	если $ > с, то К(£, с) = g (с) = G (а0) = V,

Теперь сразу ясно, что если	и ср(с)<-п, то чистые стра-

тегии хь и ус оптимальны, a v являются значением игры. Эти ре-
шения, вообще говоря, неединственны.

Для других значений cp(Z>) и ср (с) достижимые оптимальные стра-
тегии могут и не существовать. Однако, как показано в тео-
реме 14.1.1, в этом случае могут быть построены е-оптимальные
стратегии. Действительно, используя в качестве смешанной страте-
гии равномерное распределение на малом интервале [Z> — 3,
игрок I может гарантировать себе по крайней мере v—е незави-
симо от tj для любого е > 0. Аналогичный анализ показывает, что иг-
рок II может помешать игроку I получить выигрыш, больший
чем + Таким образом, v является значением игры.

Случай 2. G(/)<F(/) (0^/<1). Здесь £(0)</(0), и точка
{0,0} является седловой в том и только в том случае, если g(0)^
<<р(0)< f (0). Очевидно, что

и

?)) = {	?(0)  /(0)>?(0)		при при	71 = 0,	
				“»)>	0
	<р(0)		при	е=	о.
KG. 0) = {	£(0)=s	;<р(0)	при		0.

Если такая седловая точка существует, то ясно, что г/ = ср(О),
и /0 (вырожденное распределение, сконцентрированное в нуле) есть
оптимальная стратегия для каждого из игроков.

Случай 3. G(/)>F(/) (0</^1). В этом случае

g(l)^ming(O = O(l)>F(l) = max/(f)^/(l).
/^1	t^\

Аналогичные рассуждения показывают, что (1, 1} является седловой
точкой в том и только в том случае, если ср(1) лежит между G(l)
и F(l). Тогда v = ср(1), а стратегия 1Х оптимальна для каждого из
игроков.

14.3*. Доказательство теоремы 14.1.1. Для ясности изложения
рассмотрим сначала две леммы.

► Лемма 14.3.1. Описываемая соотношениями (14.1.1)
игра К (£, т]) имеет значение в том смысле, что

inf sup f /<(£, T])dx(£) dy(r\) = v = sup inf f К ($, rftdx&dy (tj).

у X	X У J

Доказательство. Рассмотрим семейство игр с ядрами
'*;) = /<'(<;,	ri),

где 7/) удовлетворяет условиям теоремы 13.2.1. Тогда

	+	7])	при	$	
ri)= \		при	$	= 7]
	/п(7])+| М*$, ri)	при	5	>4
где /г=1, 2, 3.... Ясно, что Кп(£, г/) обладает теми же характе-
ристиками, что и К*(£> т]), и оптимальными стратегиями, описанными
в табл. 13.1. Из предположений, касающихся /(£) и /п(т]), сразу
вытекает, что для каждого достаточно большого п существует такое
значение £я(0 <	< 1), что

и tn—>aQ. Следовательно, единственными случаями табл. 13.1 (стр. 525),
которые могут здесь встретиться, являются случаи Б, В и Г. В этих
случаях условие (б) на стр. 517 оказывается несущественным. Опти-
мальные стратегии в игре Кп(£, у) имеют вид РПЛ),
где £я<#я<1, и либо ря, либо равно нулю. Таким образом,
для бесконечного числа индексов п либо ря, либо 8Я равно нулю;
для определенности предположим, что для таких индексов ря = 0.
Тогда, ограничиваясь подходящей подпоследовательностью, мы можем
предположить, что ря = 0,'и vn-+v, где vn — значение
игры Кп(£, т|), а а и v — предельные точки соответствующих после-
довательностей.

Проверим теперь, что это число v удовлетворяет условиям леммы.
Так как vn—>v, для любого е>0 существует такое что для
всех п > пх (е)

/Кп$,	—

Поэтому, так как Kn(£t ?|) сходится равномерно к К (£>?]), для
/г>:п2(е) должно иметь место неравенство

f К(5. ч)-*„(?• ^\dxn^-~.

Следовательно, для достаточно больших п

f	ri)dxn(^v-e

и аналогично

f	ri)dyn(ri)^v-[-e.

Но из последних двух уравнений следует, что

supinf f/C(£, ri)dx(£)dysup Гri)dx($)dy(tj).

x у J	у X J

Так как противоположное неравенство (inf sup sup inf) выполняется
всегда, лемма доказана.

► Лемма 14.3.2. v = т (я0) = I (а0).

Доказательство. Оптимальные стратегии xn = (fa^ игры
А\(ч, удовлетворяют интегральному уравнению (13.2.2). После

36 Зак. 1789
некоторых простых преобразований это интегральное уравнение при-
нимает вид

1

tn' ('»)) J fan (0	+ [/ (7}) — т. (7))1 fan (7)) + р„ (?)) + Х„ (•>}) fan (7|) = О,

(14.3.1)

где рл(^) и Xrt(v]) стремятся равномерно к нулю, когда тг->сю. Об-
ращаясь к теореме выбора Хелли (п. В. 3), мы можем предположить
(снова заменяя нашу последовательность, если это необходимо, под-
последовательностью), что существует распределение х0, для кото-
рого хп (0 —> х0 (£) в любой точке непрерывности £ распределения xQ.
Следовательно, интегрируя (14.3.1) в промежутке [tq, 1], где

1>т^а-|-$ (8 > 0) и а>а0,

мы получаем для достаточно больших п

1

J	(/) [1 ХП dt=\ хп (^ + гп (т;),

где еп(?|) стремится равномерно к нулю.
~ г	i ь	т' (t)

Так как < ап < 1 и	то aQ^a, и поэтому

ограничено для 1^а-\-Ъ. Следовательно,
1

1-хо(71)= J 1(f) —m{t) I1 — хо(О1^

в любой точке непрерывности т] распределения х0. Отсюда с по-
мощью обычных рассуждений получаем, что 1—хо(т]) = О для
1	Заметим сначала, что

1-х0(7))<Л1 f [l-x0(C]d/=sAl(l-?i)

для всех т], которые являются точками непрерывности х0. Итерация
этого неравенства (которая возможна, так как точки разрыва х0 об-
разуют множество меры нуль) приводит к неравенству

1 — *о(7))=^

Мп(1 — Т))"
п!

>0.

Таким образом, х0(?]) = 1 в любой точке непрерывности для 1 >
Так как х0(т)) монотонно возрастает, то х0(1)=1; а так
как число точек разрыва счетно, мы заключаем, что х0(?])=1 для
всех т]>#4-8. Но 8 произвольно и, следовательно, xQ(rf) — 1,
если у > а. С другой стороны, если < #, то хл(т]) = 0 для боль-
ших п. Следовательно, в промежутке у < а мы имеем хо(т]) = О,
и поэтому xQ — Ia.

Покажем теперь, что a = aQ. В противном случае а > #0 и
/(т])>/п(т]) для	Но последнее неравенство позволяет

нам вывести из уравнения (14.3.1) равномерную ограниченность функ-
ций fa для больших п, так что х„ не может сходиться к хп = Л.

•/ fl	*1	'J	U

Наконец, для т] > #0 интеграл К ^)с1хп($) стремится к v.

Следовательно,

•У = J к (S, >]) dx0 (S) = К («0. 47) =1 («о) = т (ао)-

При доказательстве этой леммы мы фактически проверили, что 1а
является оптимальной стратегией игрока I, если ср(#0)>/п(#0). Ана-
логичное утверждение справедливо и для оптимальной стратегии иг-
рока II.

Чтобы завершить доказательство теоремы 14.1.1, нам остается
показать, что единственно возможной оптимальной стратегией для
каждого игрока является чистая стратегия в точке #0.

Предположим, что х — оптимальная стратегия в игре ?]),
и покажем, что х(В) = 0 для 5 < #0. Действительно, если х(£0)>0
для некоторого < #0, то в силу	мы имеем

Jk(S, 7;)dy„(7))==/(S):</(So) для S<So и п^п0.

Кроме того, поскольку Кп(£, сходится равномерно к К(£, ?)) и
vn —> vt для любого е > 0 и п п (е) мы имеем

f /С (S.	+ e

для всех S. Так как /'(S)S:8, то 8(а0 — ?0)</(а0) — Z(S0). Поэтому
если мы положим

6 = 4 х (So) (а0 — 50) > О,

то будем иметь

71)dy„(7J)^Z(S0)^/(a0)-8(a0-S0) = n —8(а0 —So)
для и	Следовательно, для max [п (е), zz0} оказы-

вается

f Ti)dyn(ri)dx(^^

х Go) Iv - 8(a0 — %)] + [ 1 - X (Во)] (v + e) <

<xG0)[v + e-8(a0-^)] + [l-xG0)](t/ + e)<

< ®4-e — xG0)(a0 — Bo)8 <

< v — xG0) • (a0 — Bo) <v,

так что стратегия x не может быть оптимальной.

Так как х(£) = 0 для $ < aQ, мы можем положить х = а/О0-[-х,
где функция х непрерывна в a0, х(ао) = О и х(1) = 1—а. Для
т) > а0 и т), принадлежащих множеству точек непрерывности х, мы
имеем

/О. 7!)rfxG) =

= a/(a0)+ J/(;)rfx(')4-m(Tj)[l — a —х(7))]>г/ = /(а0) = т(а0)-
«о

так что

J [/(0 —^(«o)l^(0 = И('»}) —/»(«o)IU — a —X(?;)]>:0.
a0

Так как

С (ч — a0) ~1 00 — l («о)	8 O'! — flo)>

а функция x непрерывна в a0, мы имеем

f UG) — /(a0)]^(У = 0(^1-«о);

йо

поскольку, далее,

/n(7j) — m (а0) =£ — 8 (?] — а0) < О,

ТО

0<8(т] — a0)[l — a — x(t))]±s — [«00 — m(a0)][l —a —x0j)]=S
р/ (В) — / (а0)1 dx (В) = о (т) — а0),
так что 1—а —	>0, когда т]—> aQ по множеству точек непре-

рывности х. Таким образом, х(т])=1—а для у > а0, и х = (1—а)/Ло.
Так как предполагалось, что функция х непрерывна в точке aQ,
должно быть а=1.

Точно такое же рассуждение в применении к игроку II дает,
что только /flo может являться его оптимальной стратегией. Осталь-
ные утверждения теоремы 14.1.1 теперь могут быть получены не-
медленно.

14.4*. Игры с выбором нескольких моментов времени. Задачи,
рассмотренные в этом пункте, принадлежат к общему классу бесшум-
ных дуэлей, с той особенностью, что каждый игрок в принципе
может действовать в течение игры более одного раза. Хотя эти игры,
подобно другим бесшумным дуэлям, отражают большое число проблем,
связанных с конкуренцией, нам будет удобно применять к ним воен-
ную терминологию.

Рассмотрим сражение между двумя самолетами, которое проис-
ходит в пределах досягаемости одного самолета другим, с момента
/ = 0 и продолжается до Z=l. Первый самолет несет п единиц
боеприпасов („выстрелов"), и если в момент t производится выстрел,
то враг будет уничтожен с вероятностью P(t). Второй самолет несет
т единиц боеприпасов, и соответствующая вероятность для него
равна Q(Z). Оба игрока знают т и /г, а также функции Р и Q,
однако во время игры ни один из игроков не знает, сколько раз
его противник уже успел выстрелить и промахнуться. Выигрыш
каждого игрока равен 1, если выживет он один, нулю, если вы-
живут оба или не выживет ни один, и —1, если выживет только
противник. Удобно, как и раньше, сделать интуитивно правдоподоб-
ные предположения, что Р и Q строго возрастают и непрерывно
дифференцируемы, что P(0) = Q(0) = 0 и Р(1) = Q(1) = 1.

Стратегии и выигрыши. Если игрок I производит в момент
t = lt свой Z-й выстрел, то его стратегия описывается вектором
B =	...» £л); этот вектор подчинен ограничению

...<£л<1, и любой вектор, удовлетворяющий этим неравенствам,
представляет собой чистую стратегию. Точно так же чистые стратегии
игрока II соответствуют векторам ^ = (7]р . . ., где	. . .

...^т]ш<1. Функция выигрыша К(L у) может быть построена
способами, изложенными в п. 13.1. Однако при анализе любой част-
ной игры удобно использовать не одну такую функцию, а семейство
функций т]), зависящих от любого числа переменных £р ...,
и . ., T}s. В дальнейшем переменные $ и т] приписываются соот-
ветственно игрокам I и II и рассматриваются, как существенно раз-
личные символы. В соответствии с этой договоренностью /С(£р ...
...» $г;	•••» Vs) будет всегда обозначать выигрыш игрока I,

если он стреляет в моменты ...» £г, в то время как игрок II
стреляет в моменты ...» Например, /С(^1) = Р(^1), /<(7^) =
=— QC^i). а /С(5Р Vi) является функцией выигрыша бесшумной
дуэли, описываемой уравнением (13.5.1), где заменяется на Р,
а Р2 на Q. В этих терминах выигрыш может быть рекуррентно
записан так:

....Ъ.........=

= ( P(y+H-P(«]Kfe	....7)т) при ^<7)!.

I — W+U — <?0?i)lA7Gi.......ъ.........Vm) при <ер

При	можно брать среднее значение этих двух функций. Рас-

смотрение семейства функций К не только упрощает определение
функций выигрыша, но также позволяет нам выделить влияние
каждой из компонент стратегий на общую функцию выигрыша. Это
можно проиллюстрировать следующим примером, который выделяет
влияние переменной т? на значение /С(ЁР ?2; т}); справедливость фор-
мулы может быть проверена простым вычислением:

KGp $2;	?2) =

2

Пи — /’(У)С(’))	при	^<^<7),

__	1 = 1

~	при	е1<тг<е2.	(1441)

	—Q(^)[i+К(?р U1	при	тг<е1<^2.

Характеристика решения. Рассмотрим теперь выигрыши, по-
лучаемые игроками, когда они выбирают стратегии х и у, удовле-
творяющие следующим условиям:

п	т

(1)	хю=П*/(^) и у ('»))=Д У/(»}/)•

Это эквивалентно поиску оптимальной стратегии, которая обладает
тем свойством, что моменты выстрелов независимы. Другими словами,
хг и х2 представляют собой одномерные распределения моментов
соответственно 1-го и 2-го выстрелов.

Существование именно таких оптимальных стратегий правдопо-
добно в силу полного отсутствия информации у каждого игрока
о моментах выстрелов его противника.

(2)	Областью определения каждого xt является интервал \ait ai+l],
а областью определения каждого у;-— интервал [bjt bj+1]. Кроме
того, ах > О, Ьх > 0 и ап+1 = bm+1= 1. Мы должны обязательно
иметь ax = bv так как если бы было ах > Ьх, то игрок II только
улучшил бы свои шансы, ожидая момента av чтобы выстрелить; и
аналогичное соображение справедливо для игрока I.

(3)	Все эти распределения непрерывны, за исключением хп и ут,
которые могут иметь скачки а и р соответственно при = 1 и
Нт 1 ’

Сопоставим рассматриваемым стратегиям величины Dt и Ej, опре-
деленные следующим образом:

Di= f P^dx^t) (/ = 1, .... я),

ai

bj+\ ~

Ej= f Q(t)dyj(t) (j=l..... m).

bj

Основные свойства этих стратегий формулируются в следующих
двух леммах. Ради простоты формулировок доказательства этих лемм
ограничены случаем, когда п = 2 и т=\. В этом случае уже про-
являются все характерные особенности общей задачи при умеренной
запутанности обозначений. Доказательства изложены так, что они
могут быть немедленно обобщены итерацией или индукцией. Рас-
смотрение тождеств J* *f\)dx = v и J* r\)dy^v опирается
на лемму 10.2.1.

> Лемма 14.4.1. Распределения х и у удовлетворяют то-
ждествам

?2; rfidx^dx^^v (^7]<1)

и

f е2; т)) ^(т;)==v

< а/+1; i= 1, 2)

в том и только в том случае, если выполняются следующие
условия:

« (1) распределения xv х2 и у абсолютно непрерывны, за
исключением точек £2=1> 7]=1» и имеют плотности

xl ^ — hl Q2

(at — t<ai+v i—1» 2),

<C ^z+i> i— C 2);
(2) постоянные av а2, bv b2 (b2=V), hv h2> kv k2, а. и $ удо-
влетворяют следующей системе уравнений*.

а^ = Ьи

2й2 = 2а+1— D2,	A1 = [l— Dx\h2,

2&2 = 2рН-1— Е, kx = [i—P(a2)}k2.

Доказательство. Интегрируя обе части (14.4.1) по х и
упрощая, мы получаем

/кGp е2; ^dxx^dx2^- f /CGp ^)dxl(^l)dx2(k2) =

— (l—D1)Q(7])f2j'P(i2)dx2^2)-l-l—D2} при a2=STj<l,
\ *1 /

= ' -Q(7!)^2 J^(^^(^+(1-00(1+02^ при a^^a2,

— Q(^)[l-+ £>1 + (1 —^1)^21	ПРИ 0=S7j=sa1(

(1—£>j)(l—D2 + a)	при '»1=1.

(14.4.2)

Правая часть этого равенства непрерывна, за исключением точки
т/=1 (напомним, что х2 может иметь скачок в £=1), а зависимость
от 7/ выражена явно. Очевидно, интеграл

f $2; -nldx^dx^

не может быть постоянным для 0 < у < av Мы можем, следова-
тельно, заключить, что аг<Ь. Рассмотрение двух других членов
показывает, что интеграл. J* К dx постоянен для	1 в том и

только в том случае, когда существуют такие постоянные hx и h2i
что

/	1	X

Q(vj) ( 2 f P(l2)dx2(t2) + 1 — D2 1 = 2й2 при a2-S7j<l,
’i	'

(0-2	\

2jP($1)dA:1(51)+(l—Di)(14-D2)j=2Ai при ax-^r^a2
ч	/

и /г2(1—/),) = Ар

(14.4.3)
Интегрируя по частям, мы сразу видим, что хх и х2 соответ-
ственно на ai^7i^a2 и на a2^vi<l абсолютно непрерывны и
имеют непрерывную плотность. Затем, деля обе части (14.4.3) на
Q(?]) и дифференцируя, мы получаем, что

Ж/)=Ш)1<Ж(0Г’	(a^t^ai+x-, /=1, 2).

Если выражение для х\ снова подставить в (14.4.3), то интегралы
могут быть вычислены полностью, откуда становится видно, что ра-
венство (14.4.3) справедливо только при 2Л2 = 2а —|— 1—D2 и hx —
= [ 1 — h2.

Характеристика у аналогична, только вместо (14.4.1) нужно
использовать уравнения, которые связывают £2; и
это выявит зависимость от £2 и, таким образом, охарактеризует y(t)
для а2<^<1. Дальнейшее применение этих методов выявляет за-
висимость от и характеризует y(t) в интервале ax^f^a2. Простое
перечисление случаев приводит к равенству

_ е ч	+	при ^<7),

/CGp 52,	при KS2.

Фиксируя и $2 в промежутках ах<^х<а2 и а2^£2< 1, мы по-
лучаем для стратегии у следующее соотношение:

J/<(?!,	T))dy(T}) + E =

(1	л

i-£+2 /<г(7])^м))+
е2	/

+ P(e1)[l-E+2 f	(14.4.4)

\	5>	/

Если потребовать, чтобы обе части равенства (14.4.4) были в ука-
занной области тождественно равны некоторой постоянной, то с по-
мощью соответствующего дифференцирования легко выводим, что

у. (t) = k. р2	(#z — — а1+1У

Подстановка в (14.4.4) приводит к эквивалентным условиям 2&2 =
= 2р —|— 1—Е и &! = [1—^(^2)1^2’ что и требо^ялось. Этим доказа-
тельство леммы 14.4.1 завершено.

► Лемма 14.4.2. Если

f К(^, $2; ^dx^dx^^v
для Ъ у < 1, то

У /<(51. 52; ^dx.^dx^^zv
для всех т]. Если

/ /<ft. 52; -п) dy (т]) — v
для	< 1, то

У /<ft. 52; T))dy(7))<v
для всех и ?2.

Доказательство. В доказательстве предыдущей леммы было
установлено, что при	имеет место равенство

у7^ = уKft, ^)dx^)dx^2)—q(t))h+Dj+ci—

Ясно, что справа стоит убывающая функция от т], которая по усло-
вию достигает значения v при т] = а1. Следовательно, величина
J*/C(£p £2»	^-*4 (£1)^*2 (У превышает v для всех т] < av Наконец,

выигрыш, полученный в результате использования стратегии х против
чистой стратегии т]=1, очевидно, равен

У к ft, !j2) dx. ft) dx2 ft) - (1 - D.) (1 - D2 + a).

Но, устремляя в равенстве (14.4.2) к единице, мы получаем

= У к ft. Si2) dx. ft) dx2 ft) - (1 - D.) (2a + 1 - D2),

и, следовательно, первое неравенство выполняется везде. Доказа-
тельство другого неравенства аналогично. Следует заметить, что
строгое неравенство выполняется везде, за исключением областей
Z? < 1 и < а2 < ?2 < 1.

Из леммы 14.4.2 немедленно следует, что стратегии х и у опти-
мальны в том и только том случае, когда одна из них непрерывна
в 1. Ибо если х непрерывна в 1, то тождество ^Kdx = v вы-
полняется в замкнутом интервале b у 1, откуда следует, что
J* J* К dx dy = v. Кроме того, если х непрерывна в 1, то тождество
j'/(dy = v выполняется относительно х почти всюду, так что
J* §Kdxdy = v. Таким образом, v=v> и выводом леммы 14.4.2
является утверждение о том, что стратегии х и у оптимальны. То же
рассуждение применяется, когда у непрерывна.
Существование решения. Последние две леммы свели задачу
нахождения оптимальных стратегий к задаче нахождения решения
системы уравнений. Анализ этой системы ничего не выигрывает от
конкретизации значений т и п, напротив, последующие замечания
могут показаться при этом более искусственными. Поэтому сейчас
уместно вернуться к произвольным значениям п и т. В этой общей
форме лемма 14.4.1 утверждает, что нужные плотности х'. (/) и yj(7)
всегда кратны соответственно Q'(7) [Q2(7)P(7)]-1 и Р' (/) [Р2(/) Q (7)]-1.
Кроме того, постоянные h и k, на которые умножаются эти функции,
изменяются только в точках av ..., ап и bv ..., bm. В точке at
постоянный множитель, соответствующий функции х, умножается
на 1—Dz_p а множитель, соответствующий функции у, — на
[1—P(aj)]. Аналогично в каждой точке bj постоянный множитель,
соответствующий функции у, умножается на 1 —а множитель,
соответствующий функции х,—на [1—Q(bj)]. Таким образом, если
мы рассматриваем ait	и bv ..., bm как произвольные пара-

метры и полагаем

П I1 -<Ж)1 02^7^-.	(14.4.5а)

bj > t

«•(/)= llll-PWl^'/gj,) /	(14.4.56)

ai>l

то условие (1) леммы 14.4.1 утверждает, что плотности х' и yj
имеют вид

x'l(t') = hif*(t) (a^t < raz+1; i=l, .... га), (14.4.6a)

yj(O = *yg*(O	J=1.......rn). (14.4.66)

Уравнения в условии (2) леммы 14.4.2 заменяются при этом уравне-
ниями

2А„ = 2а-|-1 — Dn.	(14.4.7а)

2£m = 2₽ + l-£m,	(14.4.76)

= [1 — £>f] Л<+1 (1 = 1......га —1), (14.4.8а)

^ = [1— Ej]kj+, (J=\...........т—1), (14.4.86)

ax = bv	(14.4.9)

а условие непрерывности (1) задается в виде

ар = О.	(14.4.10)

Предыдущие результаты теперь могут быть обобщены следующим
образом: любая пара оптимальных стратегий х и у, удовлетворяю-
щая условиям (1), (2) и (3) (см. стр. 566), должна удовлетворять
уравнениям (14.4.5) — (14.4.10), и обратно, любое решение этих
уравнений, которое является стратегией, является также оптимальной
стратегией. Кроме того, поскольку плотности, заданные соотноше-
ниями (14.4.6), всегда положительны, любое решение системы урав-
нений является стратегией в том и только в том случае, когда а и р
неотрицательны и имеют место равенства

1

йя f	=	(14.4.11а)

ап

1

km /g*(0^ + ? = l.	(14.4.116)

Ьт
ai+\
ht f f*(t)dt=l (4=1............re—1),	(14.4.12a)

ai
bj+i

kj f g*(t)dt—\ (J = l, .... m— 1).	(14.4.126)

bJ

В соотношениях (14.4.7) и (14.4.8) удобно записать Dt и Ej прямо
в терминах /*, #*, а и (3 и вычислить /zz и kj с помощью уравне-
ний (14.4.11) й (14.4.12). При этом мы получим следующие урав-
нения:

1

2(1—а)= J[l+a — (1 — а) Р (f)] f* (t) dt,	(14.4.13а)

ап

1

2(1—Р)= /[1+P — (1-PW)]£*(O^.	(14.4.136)

»т

а1+\

-^-= f [l—P(t)\f(t)dt (4 = 1..............re-1),	(14.4.14а)

i	V1

TL-= f [1—Q(t)]g*(t)dt (7 = 1............ret — 1). (14.4.146)

?+1	bj

Существование решения полной системы уравнений (14.4.9) —
(14.4.14) может быть легко установлено. К этому результату важно
добавить, что уравнения (14.4.5а), (14.4.56) имеют смысл независимо
от числа параметров ар . . ., ап и bv . . ., bm (и даже в том случае,
когда параметров нет вовсе!). Кроме того, пока параметры находятся
строго внутри единичного интервала, все интегралы в (14.4.13а) —
(14.4.146) сходятся при стремлении к нулю их нижних пределов.
Следовательно, если а (а < 1) и . . ., bm(bm < 1) — заданные па-
раметры, то ап может быть получено из (14.4.13а), hn—из (14.4.11а),
ап_г — из (14.4.14а) и т. д. Далее, если а фиксировано, то ап
является монотонно убывающей функцией Ьт (интеграл убывает)
и ая->0, когда Ьт-+\\ аналогично если bv ..., bm фиксированы,
то ап является возрастающей функцией а и >1 при а->1.

Пусть теперь а и [3 — любые параметры, удовлетворяющие условиям
0<а<1, а{3 = 0 и 0 < р < 1. Считая, что в определениях /* и g*
параметры отсутствуют, вычислим ап и Ьт из (14.4.13а) и (14.4.13в).
Обозначим эти решения через aQn и Ь°т и предположим для опреде-
ленности, что ап > Ьт. Затем положим ап = ап, а Ьт = и и вычислим
решение hn из уравнения (14.4.11а). Используя а* как единственный
параметр в определении /* и g* из (14.4.13) и (14.4.14а), найдем
затем значения величин Ьт и ап_х и обозначим их через ап_\ и Ьхт.
Легко проверить, что Ьхт < $т < а*п. Для определенности предположим,
что b}n < Дл-ь положим ап-\ = ап^\. Этот процесс можно продол-
жить, используя предыдущие отмеченные звездочкой буквы, как пара-
метры, и вычисляя на каждом этапе новое а} и новое bkj. Если of < bkp
*	ь	*

то полагаем bj = bj\ а если сц^Ьр то а/ = а/. В этом процессе
каждый параметр меньше, чем вычисленные ранее, и не влияет на их
значения, так как функции /* или g*, существенные для вычисления, от
него не зависят. Следовательно, получающиеся числа являются совмест-
ными в том смысле, что если в качестве параметров используются то
*

получаются те же значения Ьр и обратно. Таким образом, эти числа
образуют решение полной системы уравнений, за исключением урав-
нения ср = Ъ\,

Наконец, для значений а, близких к 1 (при [3 = 0), выполняются
соотношения > 1,	>0 и b\ < b,n < ау, аналогично для [3, близ-

ких к 1, ср < b*. Так как Ь* и а* — непрерывные функции от а и [3,
существует решение для полной системы. Если равенство а = [3 = 0
приводит к неравенству ai < b\, то получается решение с а > 0,
_ * *
[3 = 0; если же из равенства а == [3 = 0 следует неравенство bi <
то получается решение с а = 0, [3 > 0.

Пример 1. Если P(t)==Q(t) = t и п = 2, т=1, то

, 1 1

ср = Ь} =--------_ .	, а2 —----------,

1 + 2У1 + Г7;	1 + 2Г'/з

а = 2 — )/3, p=sxO.
Пример 2. Если P(t) = Q(t) = t и п = т, то

2*4-3 —

14.5*. Бабочкообразные ядра. Игра с выбором момента времени
с одним действием была охарактеризована ядром вида



7]) при c<TQ,
Ф(£) при Е = Т|,

(14.5.1)

Af (£, 7|) при $ > 7).

где Л(Е, 7]) И М (£, 7]) являются подходящими монотонными функциями
по каждой из переменных, а К (£, т)) может иметь разрыв на диаго-
нали. Для таких игр мы определили общий вид оптимальных стра-
тегий и нашли, что они в каждом случае состояли из плотности и
некоторых скачков на концах интервала. Метод анализа каждый раз
сводился к решению соответствующих интегральных уравнений вто-
рого рода. В этом пункте мы покажем, как распространить метод
интегральных уравнений на решение игр с ядрами вида (14.5.1),
которые сами непрерывны, но их первые производные могут иметь
разрыв на диагонали, причем обе функции L и Af должным образом
вогнуты (но не обязательно монотонны). Именно мы предполагаем,
что функция К (£, т])) имеет вид, описываемый соотношением (14.5.1),
и непрерывна для всех 0<£, т)<1; это означает, что А(£, £) =
= ф(|) = Л4(|, £). Дополнительно сделаем следующие предположения:

(а)	в своих областях задания функции А(£, т|) и М (£, tq) имеют
непрерывные третьи частные производные;

(б)	производные tq), L (I, т]) строго отрицательны при

а Л4^(£, т]), М (|, т]) строго отрицательны при	Другими

словами, каждая из функций Л(Е, tq) и М (£, ?j) строго вогнута по
каждой из переменных в своей области определения.

Заметим, в частности, что, поскольку может иметь место разрыв
первых частных производных, ядро К (£, т]) не обязательно вогнуто
по каждой из переменных на единичном квадрате. В качестве альтер-
нативы к условию (б) мы могли бы потребовать, чтобы Л4^, Af^, L&
и были положительными в соответствующих треугольниках. Это
требование приводит к аналогичной теории, точные выводы которой
предоставляется сделать читателю.

(в)	Lri(tt —	/)>0 и А^(/, t) — L^t, Z)>0.

Для выпуклых Af и L условие (в) заменяется условием

Af^t —	О>0 и £5(/, /) — /ИС(Л t)>0.
Условие (в) можно считать выражением „бабочкообразности" ядра
в окрестности диагонали.

Перед формулировкой основной теоремы этого пункта напомним
некоторые из обозначений, использованных для теории игр с выбором
момента времени класса II, которые здесь также будут удобны.
Стратегия х, состоящая из плотности / в интервале [л, Ь} и скачков
величины а и р в двух точках и d>b соответственно, за-
пишется в виде x = (a/r, fab, $Id). Подобным же образом мы интер-
претируем у = (7^, gab, ZId). Символ 1С снова будет использоваться
для обозначения вырожденного распределения, сосредоточенного
в точке с.

► Теорема 14.5.1. В условиях, записанных выше, все опти-
мальные стратегии бабочкообразных игр имеют следующий
вид: существует единственный интервал [а, д], такой, что
любая оптимальная максимизирующая стратегия х равна
(oJa, f аь> ₽4) и любая минимизирующая стратегия у равна
(7/0, gab, В/Д Кроме того, если 0 < a < 1, то а>0 и если
0<^<1,/пор>0; вообще же а, р, 7,	0. Плотности fab и gab

получаются как ряды Неймана или как собственные функции
интегральных операторов.

Существование оптимальных стратегий для игры с ядром К (£,
следует из задачи 3 гл. 10, которая утверждает, что игра с непре-
рывным ядром, определенным на единичном квадрате, всегда имеет
решение. Мы обратим здесь внимание на характеристику вида опти-
мальных стратегий, указанного в теореме. Значение игры будет обо-
значаться, как обычно, через v. Доказательство теоремы 14.5.1 под-
разделяется на ряд лемм.

к Лемма 14.5.1. Существует единственный интервал [а, Ь\,
являющийся спектром любой оптимальной стратегии макси-
мизирующего игрока. Если этот интервал невырожденный, то
он является также (с возможным дополнением 0 или 1) спек-
тром любой оптимальной стратегии минимизирующего игрока.
Если а — Ь, то любая оптимальная стратегия минимизирую-
щего игрока концентрируется в точках а, 0 и 1.

Доказательство. Пусть х и у представляют собой соответ-
ственно оптимальные стратегии максимизирующего и минимизирую-
щего игроков. Если (с, d) — открытый интервал х-меры нуль и
0 < с < d < I, то легко проверяется, что интеграл J К (£, ?i)dx(£)
является строго вогнутой на этом интервале функцией. Следовательно,

f .К (£, у) dx (У > v (с < < d).
Это соотношение вместе с леммой 10.2.1 показывает, что спектр
любой оптимальной стратегии у не может содержать точек из ин-
тервала (с, d). Следовательно, спектр у должен содержаться в спектре х
с возможным дополнением 0 и 1.

Предположим теперь, что с и d принадлежат спектру х, что с < d
и что (с, d) имеет х-меру нуль. Тогда для любой оптимальной стра-
тегии у интервал (с, d) имеет и у-меру нуль и легко проверяется,
что функция J К (£, y)dy(y) строго вогнута на этом интервале. Так
как последний интеграл является непрерывной функцией $ и должен
в конечных точках с и d иметь значение v, то

J К (5, 7]) dy (?]) > V {с<л< d),

а это противоречит предположению об оптимальности у. Полученное
противоречие показывает, что если с и d принадлежат спектру х, то
открытый интервал (с, d) не может иметь х-меру нуль. Следова-
тельно, спектр х должен быть замкнутым интервалом [а, />].

Предположим, что для некоторой оптимальной стратегии х этот
интервал невырожденный, т. е. предположим, что а < Ь. Тогда для
любой оптимальной стратегии у

f К(^, 7i)dy(7])^v

Аргументация предыдущего пункта показывает, что никакой под-
интервал [а, #] не может иметь у-меру нуль (в противном случае
выигрыш был бы строго вогнутым и большим чем v). Следовательно,
[а, Ь] содержится в спектре любой оптимальной стратегии у. Ком-
бинируя этот результат с тем фактом, что спектр любой оптималь-
ной стратегии у (не считая 0 и 1) содержится в спектре х, мы за-
ключаем, что спектр любой оптимальной стратегии у состоит точно
из интервала [а, #] с возможным добавлением 0 и 1 и, следовательно
(в силу наших выводов, сделанных двумя абзацами выше), что спектр
любой оптимальной стратегии х должен содержать невырожденный
интервал [а, />]. Поэтому он должен содержаться в спектре любой
оптимальной стратегии у, так что спектр любой оптимальной стра-
тегии х точно равен [а, й].

Если бы интервал [а, Ь} был вырожденным для любой оптималь-
ной стратегии х, то он все еще оставался бы единственным. В самом
деле, если бы два различных чистых распределения 1а и 1а> были бы
оба оптимальными, то спектр у содержался бы и в (0, а, 1} и
в (0, a', 1). Спектр у являлся бы поэтому точечным множеством
{0, 1}; следовательно, интеграл К($, y)dy(v]) был бы строго вог-
нутым для 0<^^1, т. е. везде меньшим или равным v и точно
равным v в 5 = а и £ = а'. Эти условия явно противоречивы; следо-
вательн), а = а'.

Следующие две леммы устанавливают, что на внутренности [a, ft]
любая оптимальная стратегия состоит из непрерывной плотности.

> Лемма 14.5.2. Оптимальная стратегия х игрока I непре-
рывна внутри [а, />].

Доказательство. Пусть т)0 — любая внутренняя точка [а, &].
Так как предполагается, что стратегия х оптимальна и мы знаем
из леммы 14.5.1, что спектр любой оптимальной стратегии у со-
держит [а, &], мы заключаем, что I К (В, r[)dx(^) = v для всех т]
в [а, &]. Следовательно,

f	= 0 (tj + 7)0; tj, 7) С [а. Я).

По предположению, правая производная /Ст+ всюду существует и
ограничена; тогда на основании ограниченной сходимости мы получаем

1

f	7)0)dx(0 = o.

о

Аналогично мы получаем

1
f -n0)dx© = 0.
о

Наконец, из того, что везде на [0, 1], за исключением точки 5 = v}0»
имеет место равенство Л^+(£» ^0)— Кг~ ^о)= 0» мы выводим, что
0 = / Ps+(e’	=	%)]%•

где aTjo — скачок x($) в точке т|0. По условию (в) % = 0 и, следо-
вательно, х непрерывна в т|0, что и требовалось.

► Лемма 14.5.3. Оптимальная стратегия х игрока I абсо-
лютно непрерывна, а ее плотность хг непрерывна при а < В < &.

Доказательство. Предыдущая лемма позволяет нам записать
х = (а0/а, х0, роЛЛ где непрерывная часть х. Так как стратегия х
оптимальна, то при а^щ^Ь

1

v = f ка, =

0	7]	Ь

= ао£(а. 7))+^^, т))4- f 7])dxo(O+ f M($, 7))dxo(O.

a	$	(14.5.2)

37 Зак. 1789
578 ГЛ. 14. ИГРЫ С ВЫБОРОМ МОМЕНТА ВРЕМЕНИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Непрерывность х0 делает возможным простое интегрирование по
частям, которое приводит к соотношению

ч	ь

J £dx0-|-J MdxQ =

13	л

ч	ь

= М(Ь, 7])х0(&)=	7!)хо(О^- f Mrf, 7))хо(О^

а

[так как ввиду непрерывности УИ(т], т^) = £(^, tq), а хо(а) = О].
Если мы подставим последнее выражение в (14.5.2) и продифферен-
цируем, то получим

° = а<А) («> чНМ1,^. т})4-х0(^)^(^ ъ)~

7]	Ь

- f £ц(5. 7))хоа)^- f М^Ц, 7))хо($)^-

а



—	^1) — Ме(7), Tj)lXo(’l)-

Но поскольку	— е < 0, из последнего уравнения и пред-

положения (а) следует, что функция х0(?]) абсолютно непрерывна.
Если мы продифференцируем последнее уравнение еще раз — этот
шаг является законным ввиду предположения (а), —мы выведем, что Хо
непрерывна. Подобным же образом доказывается следующая лемма.

► Лемма 14.5.4. Оптимальная стратегия у игрока II абсо-
лютно непрерывна с непрерывной плотностью внутри [а, Ь).

к Лемма 14.5.5. Максимизирующие оптимальные стратегии
имеют вид х — (ala, f аЪ, р/ь), где а > О, когда 0 < а < 1, р > О,
когда 0 < # < 1, и во всех случаях а, р0.

Доказательство. Леммы 14.5.1 —14.5.3 совместно утвер-
ждают, что любая оптимальная стратегия х имеет указанный вид.
Остается показать, что если 0 < а < 1, то х имеет скачок в точке
£ = Предположим противное; тогда производная от функции
£(^) = К (£,	в точке т] = а существует. Но если про-

изводная в точке ri = а существует, то она должна быть там равна
нулю, так как h(7]) = v при а	Далее, при 0 < т] < а функ-

ция h{7[) строго вогнута; следовательно, последнее утверждение дает
нам, что J*/C(£, T[)dx(£Xv для 0 < т[ < а, а это противоречит оп-
тимальности х. Аналогичное рассуждение применимо и к концевой
точке Ь, если она находится внутри единичного интервала.
> Лемма 14.5.6. Любая оптимальная минимизирующая стра-
тегия у имеет вид

У = (^0’ Sab> 8/1)> где Ъ

Доказательство. Лемма 14.5.4 утверждает, что оптимальная
стратегия у абсолютно непрерывна в открытом интервале (а, Ь).
Остается только показать, что функция у непрерывна в точке £ = а,
если 0<а<1, и непрерывна в т*очке l = bt если 0<#<1. Рас-
суждая, как в лемме 14.5.2, мы выводим сначала, что

J К^(а, 7])й?у(7]) = О.

Кроме того,

(f]) = v, j KQ-, ri)dy(ri)<,v ($ < a).

Поэтому

f	dy (7)) ^0 G < a).

и, переходя к пределу, мы получаем неравенство

т]) dy (7))й=0.

Следовательно,

0> J[/Ce+(a, 7)) — К*-(а, 7))]dy(7))=[Af5(a, а) — Ц(а, а)]<за,

где <за есть у-мера точки а. Так как ад>:0 и мы предположили,
что Л4^(а, а) — L^(a, а) > 0, мы должны заключить, что aa = 0.
Подобное рассуждение, применяется и к точке Ь, если 0 < # < 1.

Интегральные уравнения. Мы хотим теперь получить плот-
ности fab и gab, как решения интегральных уравнений. Если мы
используем обозначения f = fab и g = gab, то тождества

1

©= f rid*® (а^-ц^Ь),
о

1

v = f К ^)^y(v) (a<^^b)
о

примут вид
7]	ь

v = *L(a, t^)+ f Ltf,	f W. 7i)/(^ + pAf(M).

a	t,

S	b

-o = 7Af(5. 0)4- J A!G, 7})g'(7))rf7)4- J £($, 7))g(7])rf7]4-8£(e, 1).

a
Два последовательных дифференцирования первого тождества при-
водят соответственно к тождествам

7]	ь

7))+ f	f	+ T)

a	tj

И

7)	Ь

0 = a^(a, t))+ f 7)) /(!•)#+ f М^Ц, 7))/(8)d!; +
a	Я

+ ₽A4^(d,	'»!) —Ч)]/(ч)-

Если мы последнее тождество разделим на ненулевой коэффициент
и переставим члены, то получим

/-W = “Pe+₽^.	(14.5.3)

где

? - L.m (£. •.,) f (8) dk	л -	(8, 7,) f (8) di

— J (^-^(т), 7)) +J (L'-MJ (71.71)	’

a	7]

^7p) (#»	-^7)71 (^» 7?)

Pa = (^-M.)(7), 71) ’ Pb=	•

Аналогичное дифференцирование тождества, выполняемое для gt
показывает, что g должно удовлетворять интегральному уравнению
ё — tW = T?o + 4.	(14.5.4)

где

_ Г ~ ч) s (ч) d.i\ л —	(8, 7]) g (tj) d7)

abg~J (^-i5)(e,$) + J (^-£.)(5Л) 

_ -0)	_

Чо (ль - £е) (8, 8) ’	— (Л4е - £5) (8.8) •

Для определения функций / и g должны быть использованы
интегральные уравнения (14.5.3.) и (14.5.4). Легко проверить, что
операторы ТаЬ и Uab являются строго положительными и вполне
непрерывными линейными преобразованиями. [Общая теория поло-
жительных операторов, изложенная в п. 13.3, предусматривает раз-
личные характеристики спектрального радиуса ^(ТаЬ). ] Еще одной
такой характеристикой, справедливой только для строго положи-
тельных линейных операторов, является следующая !):

^(Tab) = inf | Tabf^ X/ для некоторого f > 0).

’) Доказательство легко получается с помощью использования собствен-
ной функции линейного преобразования, ядро которого является транспо-
нированным ядру, определяющему преобразование Та^,
Существование оптимальной стратегии, удовлетворяющей уравнению
(14.5.3) вместе с положительностью ра и рь, приводит к неравен-
ству \(Tab)^ 1. Если 0 < а < 1 или 0 < b < 1, то из. леммы 14.5.5
следует, что к(Гаг,)< 1. Аналогично ^(Uab)^l, где p(Uab)— спек-
тральный радиус Uab. Вообще говоря, может иметь место как равен-
ство р. = 1, так и неравенство p(£7flft) < 1.

Окончательные доказательства утверждений теоремы 14.5.1 почти
полностью содержатся в леммах 14.5.1 —14.5.5. Утверждение о том,
что fah и gab выражаются как ряд Неймана или собственные функ-
ции, эквивалентно утверждению о том, что \(ТаЬ)^Л и р (Uab)< 1
(см. теорему 13.3.4). Доказательство теоремы 14.5.1 тем самым
завершено.

Покажем сейчас, как могут быть вычислены различные параметры
оптимальных стратегий. Постоянные а, р, a, b можно определить
из следующих необходимых соотношений:

ь

* + ₽ + f fab(t)dt=\.

а



означает производную справа

J0)dx(£) = /l)rfx(0 = f	a)dx®.

Здесь fab вычисляется, как ряд Неймана от оператора ТаЬ, если
X (ТаЬ) < 1; именно

СЮ

n^\J

Если \(ТаЬ)=1, то fab— положительная собственная функция, со-
ответствующая собственному значению 1.

Постоянные 7 и 8 вычисляются из соотношений

ь

? + § + / gab(t)dt=l,
а

= о.

Наконец, gab получается как бесконечный ряд

gab=ZU«b (Wo+Ч)

при р,(£/аЬ)<1. В случае р(£/ад)=1 gab — соответствующая поло-
жительная собственная функция. Справедливость этих выражений
уже была установлена в ходе* доказательства теоремы 14.5.1.
Проиллюстрируем теорию следующим примером.

Пример. Рассмотрим ядро

(	7]) = 7] — 5 — Х(£ — 7))2,	?<7),

7]) = $ — 7] — Х($ — 7])2.	$>7],

где к > 0. Легко проверяется, что

£ее = £^ = Л1к = ^ = -2Х

И

= 1 + 2Х G - 71).	= - 1 + 2Х (е - 7)),

'

L^-M^ —	~ 2 ~ ’

Кроме того, легко показать, что это ядро инвариантно при преобра-
зованиях £->1—$ и т] —> 1—т]. Следовательно, мы будем искать
интервал длины с, симметричный относительно 1/2 и играющий роль
[at ft]. По тем же соображениям симметрии мы предполагаем, что
а = Р; интегральное уравнение (14.5.3) принимает вид

1 £
2 + 2

2aX = /(Q— f Xf(t)dt,

J__£
2 2

и, следовательно,	и 2ak = &— c\k. Условие нормировки

требует, чтобы	—2а. Если мы исключим k из последних

(1 — хс)

двух уравнений, то получим а = ——Подстановка этого ре-
зультата в предыдущее уравнение дает k = К. Из условия

f 0)rfxG) = f K(!j, a)dx®

2
после простого вычисления следует, что либо с= 1, либо с = — 1 + у •

2
Ясно, что если с=1, то а = 0 и ft=l. Если же с — —1+у,
1	1	и 1

то а=1—г— и ft=-r; очевидно, что эти значения содержатся
А	Л

в единичном интервале, только если k> 1, и для того, чтобы выпол-
нялось неравенство с^О, необходимо, чтобы X удовлетворяло усло-
вию К <2. Рассмотрим отдельно три случая.

Случай 1: 0<Х^1. Мы показали, что для этого случая £=1,
п а 1 о, ’	(1 —Лс)	(1 — А)

a — Q и ft=l. Так как а=-—~то мы имеем а = -—
Оптимальная стратегия игрока I равна

где / = Х на [0, 1]. Так как любая оптимальная стратегия у мини-
мизирующего игрока имеет ту же плотность X на этом интервале,
мы заключаем, что у + 8 = а-|- р = 2а. Но ядро игры симметрично
относительно точки 5 =-у и» следовательно, у = 8; это означает, что
у = х. Наконец, можно утверждать, что эти стратегии единственны:
их единственность следует из единственности fab — gab = X и из
симметрии, которая влечет равенства а = р и у = 8.

Случай 2: 1 < X < 2. Мы уже показали, что в этом случае
1 — Хс

с = — 1 + 2/Х, а = 1 — 1/Х и Ь — 1/Х; так как а = —— > мы п0“
(X— 1) г

лучаем а = -—• Стратегии

где /==Х на [1 — 1/Х, 1/Х], оптимальны, и легко показать, что они
единственны.

Случай 3: 2^Х. Легко проверить непосредственно, что опти-
мальные стратегии равны

Х = (^/2)’ У =	А)» "2	’

Значение игры равно здесь V2— (1/2)2» а найденные оптимальные
стратегии единственные.

Ядра типа бабочки. Ядро называется ядром типа бабочки, если
условия (а) и (б) сохраняются, а условие (в) усиливается: функ-
ция £($, т|) строго возрастает по у и строго убывает по $, а Л4($, vj)
строго возрастает по $ и строго убывает по т;. Иначе говоря, новое
условие означает, что ядро монотонно вне диагонали. Ядра типа
бабочки являются важным частным классом рассматриваемых в этом
пункте ядер. Двумя примечательными примерами являются:

где

ч I ?(0'Ж) ПРИ

К ($, ri) — <

I тОгЖО при

^7),

/(5)^ — k,

(A>0)
584 ГЛ. 14. ИГРЫ С ВЫБОРОМ МОМЕНТА ВРЕМЕНИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

причем функции ср и ф имеют непрерывные третьи производные и
V)) = |^-7i|-XG-7))2	(о<Х==4).

Приведем без доказательства следующую теорему для ядер типа
бабочки.

► Теорема 14.5.2. Если ядро /<(£, tj) является ядром типа
бабочки, то игроки I и II имеют единственные оптимальные
стратегии вида х = (а/0, /0, 0/т) и у = (у/0, gQt З/j) соответст-
венно, где fQ и gQ абсолютно непрерывны на всем интервале
и получаются как пара решений интегральных уравнений

/о — 7'/о = а/’о+?Рр

ёо — ^о = Т?о + Ч.

где обозначения T=TQ1 и U — UQ1 взяты соответственно из
уравнений (14.5.3) и (14.5.4), а р0, pv qQ, qx определяются из
тех же уравнений.

Кроме того, решение этих интегральных уравнений может
быть вычислено в виде ряда Неймана

со

/о = S Тп (ap0-f- fipj,
n^Q

So~ (TVo+^i)*

л = 0

Постоянные а и 0 определяются из условия нормирования и
из соотношения

=о.

Постоянные у и 8 определяются из условия нормирования и
из соотношения

^^(^1=0.

14.6.	Задачи.

1.	Решить шумную дуэль с одним выстрелом для каждого игрока
и функциями меткости Р1(/)=|-д- — /| и P2(/) = i — |-Ь — /|, ис-
пользуя метод примера 2 п: 14.1.

2.	Решить шумную дуэль между двумя противниками, в которой
игроки имеют по одному выстрелу соответственно с вероятностями
рх и р2. Предположить, что функция меткости для каждого игрока
равна t и что выигрыш игрока I равен а, если выживет он один, 0,
если выживет один игрок II, a-j-p, если не выживет ни один из
игроков, и 0, если выживут оба. Предположить, что а > 0 и р < 0.

Указание*, эта задача должна быть решена методами гл. 13.

3.	Рассмотреть игру, в которой игрок I выбирает точку из от-
резков или Л2, а игрок II выбирает точку из отрезка В с ука-
занной функцией выигрыша (см. рисунок). Доказать, что эта игра
не обладает значением. Интерпретировать эту игру, как шумную
дуэль.

4.	Проверить, что шумная дуэль с одинаковыми функциями мет-
кости P(t) = t и соответственно т и п выстрелами для игроков I
и II имеет следующее решение:

(а)	значение равно т_уп ’>

(б)	как только выстрел произведен, игроки должны играть опти-
мально игру с оставшимся числом выстрелов. Если ни один выстрел

не сделан до момента t = —।—
tn п

то игрок с большим числом вы-

стрелов должен в этот момент выстрелить один раз. Если же ока-

жется, что он не выстрелил, то его противник должен немедленно

выстрелить.

5.	Решить задачу 4 для произвольной монотонно возрастающей
функции меткости P(t)> где Р(0) = 0 и Р(1)=1.

6.	Решить игру, ядро которой, определенное на единичном квад-
рате, равно

( 1 при $ > 7] или т)>£-4-Х,
7)) = { К при

где X < 1.

Эта игра имеет следующую интерпретацию. Игроком I разме-
щается препятствие в интервале [0, 1] (который может представлять
собой интервал времени). Игрок II запустил баллистическую ракету,
летящую от 1 до 0 с постоянной скоростью 1, за исключением интер-
вала длины X, который она пролетает с увеличенной скоростью.
Механизм ракеты таков, что рывок в скорости на ближайший интер-
вал длины X может быть начат в любой данный момент. Этот момент
является чистой стратегией, имеющейся в распоряжении игрока II.
Если ракета летит с единичной скоростью, то встреченное препят-
ствие отклоняет ее от курса с вероятностью I. Если полет проис-
ходит с увеличенной скоростью, то ракета отклоняется с вероят-
ностью X. Выигрыш игрока I равен вероятности отклонения ракеты.

7.	Дать доказательство теоремы 14.5.2, используя теорию поло-
жительных преобразований, а также другим способом, используя
методы теоремы 14.5.1.

8.	Игроки I и II на торгах предлагают неизвестные друг другу
цены за контракт, выполнение которого будет стоить им соответ-
ственно сг и с2 единиц. Контракт присуждается предложившему более
низкую ставку, а если ставки равны, то случайным образом. Найти
функции выигрыша каждого из игроков и показать, что если сг — с2>
то существуют чистые равновесные стратегии.

Эта игра имеет ненулевую сумму. Пусть у) и К2($, V)
означают функции выигрыша соответственно игроков I и II. Пара
стратегий х(£) и у (у) называется оптимальной в смысле ситуаций
равновесия, если

f Кг (!-. 7)) dx (?) f К. ($. 7)) dx (0 dy (7]) при 0 < 7]
и

f K2(t> T])rfy(7j)s= 7]) rfx (0 dy (7)) при 0<$.

Таково понятие равновесной стратегии. Оно приводит к обычному
пониманию оптимальной стратегии, когда К2& ?!) = —	^)-

Заметим, что в этом примере мы предполагаем, что область, в кото-
рой могут изменяться £ и является всей вещественной осью.

9.	В задаче 8 предположить, что сг =£ с2 и что все ставки должны
лежать в интервале [а, сю). Показать, что для любого а > шах(ср с2)
существуют оптимальные стратегии (т. е. ситуация равновесия) с не-
прерывными положительными плотностями в интервале [а, сю).

Указание', здесь применяются методы бесшумных дуэлей. По-
пытаться определить пару х и у, которая делает интегралы задачи 8
постоянными в интервале [а, сю).

Комментарии
и библиография к главе 14

14.1.	Происхождение задач теории шумных дуэлей или игр с выбором
момента времени класса I аналогично происхождению бесшумных дуэлей
(см. гл. 13), Однако общая шумная дуэль, описанная в этом пункте, перво-
начально была изучена и решена Гликсбергом [1]. Независимое и более
полное определение решения было дано Карлином [2], использовавшим дру-
гой подход. Обобщенная шумная дуэль решается равномерной аппроксима-
цией решения последовательности игр с выбором момента времени класса II
с последующим традиционным предельным переходом. Впоследствии была
установлена единственность оптимальных стратегий. Анализ этих игр услож-
няется тем, что один из игроков в них не обязательно обладает достижимой
оптимальной стратегией, хотя е-оптимальные стратегии существуют для
любого положительного е. В силу этого понятие единственности в этом
контексте должно быть тщательно определено.

Ввиду того что один игрок не обязательно обладает достижимой опти-
мальной стратегией, не удивительно, что существуют относительно простые
шумные дуэли, которые являются неопределенными в том смысле, что они
не имеют значения. Шепли (задача 4 гл. 10) построил несколько таких пато-
логических примеров (см. также Сайон и Вулф [1]).

14.2.	Первым примером этого пункта является частый случай общей
игры с выбором момента времени класса I. Обобщение шумной дуэли на
игры, которые допускают немонотонные функции меткости, принадлежит
Блекуэллу [2].

14.3.	Мы следуем здесь доказательству Карлина [2].

14.4.	Дуэли, включающие несколько возможностей действия, были пер-
воначально введены Блекуэллом и Гиршиком [1] (см. примечания к гл. 13).
Они успешно рассмотрели шумную дуэль соответственно с п и т выстре-
лами для случая равных функций меткости (см. задачу 4). Однако их методы
нельзя распространить на асимметричный случай, и никто еще не нашел
методов, применимых к этой ситуации. Эта проблема сложна, так как дости-
жимые оптимальные стратегии не обязательно существуют, даже если игра и
обладает значением.

Большие успехи были достигнуты в изучении бесшумных дуэлей с не-
сколькими действиями, а именно для естественного обобщения модели из
п. 13.2. Решение бесшумной дуэли с одинаковыми функциями меткости и п
выстрелами для каждого игрока было первоначально получено из интуитив-
ных соображений. Дальнейшее исследование бесшумной дуэли с равными
функциями меткости и числами выстрелов 2 и 1 соответственно для игро-
ков I и II предпринял Пинни во время своих консультаций для корпора-
ции РЭНД. Хотя его результаты и обладали неточностями во второстепенных
деталях, но они дали возможность Шепли найти правильное решение [2],
в котором он остроумно выделил некоторые из основных особенностей ре-
шения общей бесшумной дуэли.

Рестрепо [1] в своей диссертации решил проблему в общем виде. Это
решение довольно запутанное — в частности, для определения параметров
решения приходится решать огромное число громоздких трансцендентных
уравнений. Сложность анализа может помешать некоторым читателям осмыс-
лить важность работы Рестрепо; в действительности, однако, трудоемкость
аппарата обусловлена природой проблемы, и трактовка Рестрепо едва ли
может быть улучшена. В этом пункте мы рассматриваем результат Рестрепо
при доказательстве лемм 14.4.1—14.4.2 для случая, когда числа выстрелов
равны 2 и 1, и допуская произвольные монотонные функции точности.

По этому поводу следует заметить, что дуэль с п и т выстрелами не
представляет собой исчерпывающего обобщения игр с выбором момента
времени класса II. Класс игр с одним действием охватывает многие игры,
которые не могут быть представлены в виде дуэлей (ядра в сепарабельной
форме). Полное обобщение игр с выбором момента времени на более высокие
размерности остается открытой проблемой.

14.5.	Примеры игр с ядрами типа бабочки и некоторые из их общих
свойств были впервые найдены Гликсбергом и Гроссом [1], которым при-
надлежит также и образное название. Общая теория и полное решение при-
надлежат Карлину [2]. Доказательство теоремы 14.5.2 может быть найдено
в работе Карлина [2].

14.6.	Задача принадлежит Шепли (не опубликовано). Задача 4 принадле-
жит Блекуэллу и Гиршику (1]. Понятие точки равновесия для игр с нену-
левой суммой введено Нэшем [1]. Задачи 8 и 9 были предложены Шепли [3].
ГЛАВА 15*

РАЗЛИЧНЫЕ ИГРЫ

Мы видели, что для получения информации, касающейся опти-
мальных стратегий в непрерывной игре, на ее ядро необходимо на-
ложить специальные ограничения. Обычно необходимые ограничения
естественно определяются моделью, на которой основана игра.
В таких случаях и решения могут быть приближенно угаданы из
интуитивных соображений. Однако если мы стремимся к построению
полной теории бесконечных игр, важно создать классификацию игр
на единичном квадрате без каких-либо ссылок на физическое содер-
жание игры. Читателю следует просмотреть в п. 10.3 предваритель-
ный обзор игр, описываемых в этой главе.

Ввиду относительной доступности полиномиальных игр мы рас-
смотрим сначала те игры, ядра которых являются аналитическими
или рациональными функциями. Эти игры исследуются в п. 15.1.
Хотя для таких игр и возможно получить некоторую информацию
относительно оптимальных стратегий, но эта информация по необхо-
димости ограничена. Существуют некоторые рациональные игры,
единственными решениями которых являются очень сложные распре-
деления (например, распределение Кантора).

В п. 15.2 мы рассматриваем игры, ядра которых являются коло-
колообразными. В этом случае мы можем дать достаточно полное
описание оптимальных стратегий. Затем изучение распространяется
на так называемые ядра типа Пойа (Т. П), для которых решения
напоминают решения бабочкообразных игр (см. п. 14.5).

В последнем пункте этой главы кратко описывается важное
понятие игр, инвариантных относительно группы преобразований.
Здесь мы пытаемся связать симметрию ядра игры с видом оптималь-
ной стратегии. Принцип инвариантности состоит здесь в сведении
в некотором смысле сложных игровых проблем к более простым
случаям, но в целом оказывается, что его приложение более связано
с изучением задач теории статистических решений. Наше обсуждение
инвариантных игр можно рассматривать как введение в более обшир-
ную теорию, рассматриваемую в рамках игр на единичном квадрате.
15.1. Игры с аналитическими ядрами. Функция выигрыша/<(?, tj)
на единичном квадрате, непрерывная по совокупности переменных
(£ и у), называется аналитическим ядром, если (1) для любого фикси-
рованного т[ она может быть разложена около каждого
в сходящийся ряд Тейлора и (2) для любого $ она может быть раз-
ложена около каждого	в сходящийся ряд Тейлора.

Каждый такой степенной ряд обладает положительным радиусом схо-
димости.

Многие из теорем об аналитических ядрах описывают спектр
оптимальных стратегий. В этом отношении они подобны теоремам,
полученным для полиномиальных ядер, но результаты здесь менее
точные. Типичной такой теоремой является

> Теорема 15.1.1. Если-ядро аналитическое и один из игро-
ков имеет оптимальную стратегию, спектр которой содержит
бесконечное число точек, то любая стратегия, оптимальная
для другого игрока, является устойчивой.

Доказательство. Пусть у — любая оптимальная минимизи-
рующая стратегия; положим h($)—	Ч^УС7])- Функция h ана-

литическая и равна v в любой точке ?, принадлежащей спектру
любой оптимальной стратегии (лемма 10.2.1). Если число этих-точек
бесконечно, то из аналитичности h следует, что	Это и

означает что у — устойчивая стратегия.

Аналогичное рассуждение может быть использовано, когда спектр,
содержащий бесконечное число точек, имеет оптимальные, миними-
зирующие стратегии.

Дальнейшие, более точные результаты могут быть получены на-
ложением на ядра дополнительных ограничений. Теоремы 15.1.2
и 15.1.3 описывают два таких результата. Другие теоремы предла-
гаются в виде задач 3 и 4 в конце главы.

► Т е о р е м а 15.1.2. Пусть Q(£, tj) — величина, обратная К(£, ^).
Если функция К (£, 7]) аналитическая на единичном квадрате
и существует такое £0, что Q^G0»'yl)>0 для 0	7] < 1, то

спектр всех оптимальных максимизирующих стратегий
является конечным множеством.

Доказательство. Если бы теорема была неверна, то из пре-
дыдущей теоремы следовало бы, что для любой оптимальной стра-
тегии у(т])

1

о
590

ГЛ. 15 ♦. РАЗЛИЧНЫЕ ИГРЫ

Затем, дифференцируя, мы получили бы

С М’1» Л / Ч А

J [Q(S. i))pdy(7,) —°-
о

Но это тождество невозможно для <j = £0, так как подинтегральная
функция положительна. Следовательно, теорема справедлива.

► Теорема 15.1.3. Пусть /С($, tj)— аналитическое ядро, ко-
торое на единичном квадрате строго положительно. Рассмо-
трим комплексную переменную $ и предположим, что на ком-
плексной плоскости существует кривая С, которая связывает
О с оо таким образом, что, когда $ изменяется вдоль С и

1, ядро /С(£, т|) остается аналитическим и равномерно
ограниченным и существует последовательность	для

которой

•im |К«„, Tj) [=0.
ея->оо

Тогда оптимальная стратегия игрока I сосредоточена в ко-
нечном множестве точек.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда
теорема 15.1.1 утверждает, что для любой оптимальной стратегии у(т})

71)dy(7]) = ®>0	(O=S$=S1).

Так как левая часть является аналитической функцией для
последнее неравенство выполняется для всех Тогда

v= lim f К (?„. 7i)dy(7i) =

V*00*7

= f lim К(Ц„,	0-

Но это невозможно, так как из соотношения

min К G, т]) > 0
0 < £, 7)	1

следует, что v > 0.

Пример 1. Пусть

= I Л. (£ — -q)» ’

где к > 0.
В качестве кривой С мы можем взять вещественную положитель-
ную ось t Тогда из теоремы 15.1.3 следует, что оптимальные стра-
тегии игрока I сосредоточены в конечном множестве точек.

В противовес результатам, полученным выше, можно построить
игры с простыми ядрами и сложными решениями. Одна из таких
игр описана в примере 2. Этот пример иллюстрирует некоторые
затруднения, которые возникают в теории непрерывных игр. Он
также иллюстрирует некоторые из методов, применяемых при ана-
лизе этих игр.

Здесь ядро является рациональной функцией, но единственная
оптимальная максимизирующая стратегия есть классическая канторов-
ская функция С(£). Эта функция имеет некоторые необычные свой-
ства: она непрерывна всюду и дифференцируема всюду, за исклю-
чением несчетного множества точек меры нуль по Лебегу. Кроме
того, ее производная равна нулю, всюду где только она определена,
однако С (0 является функцией распределения. График С(£) может
быть построен следующим образом: положим С(О) = б и С(1)=1.
Затем разделим интервал [0, 1] на три равных подинтервала, и
в среднем из них, ^у^В^у^, положим С (?) = [С(1)-|- С (0)]/2.
Процесс итерируется следующим образом: делим каждый максималь-
ный интервал [а, 6], в котором С(£) еще не была определена, на
три равных подинтервала, и в среднем подинтервале полагаем С(£) =
119	Я

= [С(а) + С(ЭД/2. Например, С(В) = ^ для f f и С© = |
7	8

для у^|^у и т. д. Формальное определение С(£) дано ниже.

Пример 2. В этом примере мы рассматриваем игру с канторов-
ским распределением в качестве единственной оптимальной стратегии.
Канторовское распределение как функция распределения может быть
охарактеризовано функциональными уравнениями С (у) = С ($),
С(1—0=1—С(0 и граничными условиями С(0) = 0, С(1)=1.
Покажем, что С($) является единственной оптимальной максимизи-
рующей стратегией в игре с рациональным ядром:

Действительно, /С (5, у) является аналитической функцией $ и у
в окрестности начала координат.
Это ядро кососимметрично относительно = Следовательно,
ввиду симметрии любая стратегия у, такая, что у(1—^)=1—У С7])»
является устойчивой и

f /<(£, 7))^(7)) = 0.	(15.1.1)

О

Чтобы проверить оптимальность С(£), достаточно показать, что

7i)rfC($)=0.	(15.1.2)

о

Тот член К (£, который содержит

П/	П2

V зД71	2) ’

1

сам является кососимметрическим относительно ине оказывает
влияния на интеграл (15.1.2). Следовательно, достаточно показать, что

Справедливость этого уравнения может быть легко установлена путем,
использования подстановки £' = £/3 и свойств функции С(£):

На последнем шаге было использовано постоянство С (В) в интер
вале	•

Рассмотрим теперь вопрос о единственности. Уравнение (15.1.1
показывает, что стратегия у оптимальна, если 1—у(т;) = у(1—
для	1. Следовательно, любая оптимальная стратегия х

должна обладать тем свойством, что

1
T])dx(Q = 0 (OrSTj-sl).

о

В последнем уравнении ядро /С(£, tq) можно представить равномерно
сходящимся рядом степеней —у), ^/3—у) и —у). В этом
представлении из оптимальности стратегии х следует

2 ^2.	[ / I \2/2/	1 \4я+1	,	1 \ 2/z+l /	1 \4я+3'|

(2<-4E4) ЬЧ) ЧЧ) 41) и®-
О л»0

0 /М

Левая часть этого уравнения является степенным рядом по	j,

и этот ряд тождественно равен нулю в интервале	Сле-

довательно, коэффициент при каждой степени т]— должен быть
равен нулю; и так как 4n-pi =А 4/п-|-3 для любых целых п и /п, то

f ((е - j')2n - (е/з -^-)2Я) dx®=о	(15.1.3)

о

и

Г /	1 \2д+1

^©=°-	(is.i.4)

о

Обозначая моменты х через [х0, рьр рь2, • • • и напоминая, что для
любого распределения р.0=1, мы можем из (15.1.3) и (15.1.4)
последовательно выражать [лр [х2, ... через вычисленные ранее
моменты. Этот процесс может быть выполнен для каждого уравнения,
так как коэффициент при высшей степени | отличен от нуля. Так как
все моменты вычисляются путем решения алгебраических уравнений,
которые не зависят от х, все оптимальные максимизирующие страте-
гии имеют одинаковые моменты; так как, наконец, моменты полностью
определяют стратегию, существует только одна оптимальная страте-
гия. Эта стратегия равна, разумеется, С (%)-

Пример 2 показывает, что существуют игры, ядра которых
являются аналитическими функциями, но в которых ни один из игроков
не имеет простых решений. Можно построить рациональную игру
на единичном квадрате, в которой канторовское распределение
является единственной оптимальной стратегией каждого из игро»

38 Зак. 1789
ков (см. задачу И). Еще более патологические примеры можно полу-
чить путем ослабления ограничений, налагаемых на ядро. Гликсберг
и Гросс построили игру с рациональной функцией выигрыша и
с единственными оптимальными стратегиями, которые сосредоточены
в счетных плотных множествах (см. примечания в конце главы).

Пример 3. В этом примере мы рассматриваем игру, единствен-
ными оптимальными стратегиями которой являются два заданных
распределения, ни одно из которых не является функцией, состоящей
из конечного числа скачков, а в остальном полностью произвольных.

Пусть х и у— данные распределения, а и ул обозначают
n-е моменты х и у. Определим

ОО

/2 = 0	z

Каждый член этого ряда по абсолютной величине меньше, чем соот-
ветствующий член	ряда	1/2".	Следовательно, наш ряд абсолютно и

равномерно сходится, и

1	ОО	1

^)dx© = V-^(7i«_vn) f

О	/2 = 1	О

1	ОО	1

0	/2 = 0	0

В частности, стратегии х и у оптимальны, и значение игры равно нулю.
Кроме того, так как х и у не являются кусочно постоянными функ-
циями, а ядро аналитично, то к этой игре может быть применена
теорема 15.1.1. Таким образом, если х*— любая оптимальная макси-
мизирующая стратегия, то

ОО

O = f/ca,

п = 0

где |х*—n-й момент х*. Так как ряд тождественно равен нулю,
коэффициент при каждой степени должен равняться нулю. Таким
образом, |л*=|лл и х* = х. Аналогично получаем, что и оптимальная
стратегия для минимизирующего игрока единственна.

15.2. Колоколообразные ядра. Колоколообразные ядра имеют
и обобщают свойства хорошо известной нормальной плотности вероят-
ности е~¥, характерное очертание которой напоминает вертикальное
сечение колокола и повсеместная встречаемость которой более чем
оправдывает изучение таких ядер. Эта функция является подходящим
ядром для игр преследования, в которых преследователь не знает
точного местонахождения преследуемого. Например, бомбардировщик,
знающий курс, прокладываемый вражеской подводной лодкой, может
не знать ее точного расположения, и если бомбардировщик прицели-
вается в точку В» в то время как подводная лодка находится в дру-
гой точке т], то ожидаемое повреждение лодки может быть пропор-
ционально	(см. п. 10.4). Решение этой игры может быть

получено в явном виде, и, кроме того, из ее анализа можно также
извлечь некоторые существенные свойства ядра и тем самым по-
строить общую теорию, применимую к более широкому классу игр.
Это обобщение приводит к понятию колоколообразного ядра.

Ядро К называется колоколобб разным, если /С(!;, tq) = ср (£ — tq),
а функция ср имеет следующие свойства:

(1)	функция ср (и) определена и непрерывна для всех и;

(2)	для любого п и любого множества значений В/ и таких, что

*1< ••• <В„ И 71!< ... <7]„,

определитель матрицы ||cp(5z — т)у)|| неотрицателен;

(3)	для любого набора чисел {^}, где < ... < существует
такой набор чисел {т^} с 7ft < . . . < 7}п, что определитель
||cp(£z — 7]у)|| строго положителен; справедливо и симметричное утвер-
ждение, когда задается набор {т^}.

ОО

(4)	f<f(u)da < ОО.

— оо

Любая функция, удовлетворяющая свойствам (1), (2), (4), назы-
вается частотной функцией Пойа (Ч. Ф. П.), любая функция,
удовлетворяющая всем четырем перечисленным свойствам, называется
регулярной Ч. Ф. П. Если условия (2) и (3) могут быть заменены
более сильным условием ||ср(^ — т]у)|| > 0, то функция называется
правильной частотной функцией Пойа (П. Ч. Ф. П.). Такие функции,
как е~а2 и еа~е , являются П. Ч. Ф. П. (см. задачу 5), является
регулярной Ч. Ф. П. Может быть показано (см. комментарии), что
если <рх — регулярная Ч. Ф. П. и ср2 — П. Ч. Ф. П., то свертка

ОО	..

<Р1*?2=	—«М«

— ОО

является П. Ч. Ф. П. В частности, если

1 - —
ср2 = Г___е 2г ,

Y2	V 2™
то, полагая а->0, мы видим, что любая регулярная Ч. Ф. П. может
быть аппроксимирована посредством П. Ч. Ф. П.

Вариация знака функции /, обозначаемая через V(/), опреде-
ляется как супремум числа перемен знака последовательности
/(Bi)» f (У.../(U» где выбираются произвольно, но расположены

в возрастающем порядке, а число п также может быть произвольным.
Основная теорема, касающаяся Ч. Ф. П. и установленная Шёнбергом,
состоит в следующем: для того чтобы преобразование

ОО

£(«) = f <?(“—*)/(t)dt
— ОО

не увеличивало вариации знака [т. е. V (/)] при всех ограничен-
ных / с конечным числом разрывов первого рода, необходимо и
достаточно, чтобы функция ср являлась Ч. Ф. П. Свойства регулярной
Ч. Ф. П., которые интересны для теории игр, устанавливаются сле-
дующей последовательностью лемм.

> Лемма 15.2.1. Если ср является регулярной Ч.Ф.П., то
для любых вещественных чисел aj и функция

п

имеет не более чем п—1 перемен знака.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что суще-
ствуют числа

$1» ...» 5л+р для которых при всех I < £/+1

и

/&)/(W< о

(/ = 1, ...» п).

Тогда, по определению /,

7(51)  <Р Gi — ’ll)	Ж) ...  ?(В2—+) •••	?(?« + ! — ’ll)	= 0.	(15.2.1)
?(^1 — Ъп)	?(?2 —’I») •••	?(^+1— Vn)		

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, мы получим

/2+1	/£	t t	t \

2(—l)Z + 1/(UC/( Р l-1’ t+1’	л+1) = 0, (15.2.2)

* = i	Vh».........................../
где U означает соответствующий минор в определителе!). Если
ср является П. Ч. Ф. П., то уравнение (15.2.2) сразу приводит
к противоречию. В самом деле, поскольку предположение о том,
что ти <	< • • • < не Умаляет общности, все U строго поло-

жительны, а все произведения (—1)4/(У имеют один и тот же знак.
Таким образом, левая часть (15.2.2) не может быть равна нулю.
Если ср не является П. Ч. Ф. П., то достаточно аппроксимировать ср
с помощью П. Ч. Ф. П. ср*. Соответствующая ей функция /* имела бы
столько же перемен знаков, сколько и /.

Замечание 15.2.1. Более тщательный анализ показывает, что,
когда ср является П. Ч. Ф. П., число нулей /(£) (считая нули четных
кратностей дважды) ограничено числом перемен знаков последова-
тельности при условии, что соответствующие расположены
в порядке возрастания < tj2 < ... < т\п и что не все а^ равны
нулю. Если, кроме того, ср* непрерывно дифференцируема бесконеч-
ное число раз, то число нулей / (£), считая кратные, как обычно,
ограничено числом перемен знака последовательности {aj.

> Лемма 15.2.2. Любая вещественная. аналитическая поло-
жительная функция, являющаяся регулярной Ч. Ф. П., должна
быть П. Ч. Ф. П.

Доказательство. По предположению, ср(£—т|) > О, и можно
действовать индукцией по порядку определителей. Предположим, что
все n X n-определители строго положительны и что < £2 < ... <
и 7^ < т)2 < • • • < Пусть £ переменная; рассмотрим

Т(В1 —41) ••• ?(^1 — 4л+1)

••• <?(Ъ — 4n+i)

••• <Р(5 — 4п+1)

(15.2.3)

Разлагая этот определитель по элементам последней строки, мы
получаем

л-1-1

/«)=S а

Л = 1

где по индуктивному предположению все коэффициенты ak отличны
от нуля, а знаки их чередуются. Если f и ср обозначают преобразо-

!) По поводу дальнейших деталей, касающихся обозначений, обычно
принятых для миноров определителей, см. стр. 769.
вания Фурье функций / и ср, то

л л "+1

/(s) = ^(s) 2 akeis^.

л = 1

Ясно, что /($) не может тождественно равняться нулю, так как
и ср($), и экспоненциальный полином обращаются в нуль разве лишь
в изолированных точках. Следовательно, /(5) не равна нулю
тождественно. Ввиду того что функция /(5) аналитическая, она имеет
только изолированные нули и среди них точки В2» •••» ^п-

Покажем теперь, что функция f (£) изменяет знак в точках
.. ., ^п. Для £ > свойство (2) Ч. Ф. П. показывает, что /(£)>0.
Для	меняя местами две последние строки определи-

теля (15.2.3), мы видим, что /(£)^0. То же рассуждение можно
применить и к остальным интервалам. Таким образом, функция f (5)
меняет знак в интервалах (—оо, £т), (£р ?2)....оо), и» следо-

вательно, она имеет максимальное число перемен знаков, допустимое
по лемме 15.2.1.

Наконец, если функция /($) равна нулю в некоторой точке £,
отличной от .... то это значение £ должно быть корнем четной
кратности. Предположим для определенности, что	и что

в этом интервале /(£)>0. Тогда функция £(£) = /(£)— еср (£—
(I произвольно) удовлетворяет условиям леммы 15.2.1. Для доста-
точно малого е g0j) имеет по крайней мере все перемены знака
функции /($) и еще две перемены знака вблизи точки Это противо-
речит лемме 15.2.1 и показывает, что /(£) может равняться нулю
только в .......

► Лемма 15.2.3. Если ср — регулярная Ч. Ф. П., а производ-
ная у' непрерывна, то функция

п

£(0 = 2 «У G — fit)

имеет не более чем 2п—1 перемен знака.

Доказательство. Так как ср' непрерывна, функции

п

§*(0=4'2 а‘ vi)—^)}
/ = 1

сходятся равномерно к g(£) на любом конечном интервале. Пред-
положим, что g изменяет знак по крайней мере 2п раз. Таким
образом, для достаточно малого h gh меняет знак по крайней мере
2п раз. Но это невозможно. В самом деле gh, очевидно, имеет вид
2п

где bj = и Zj равны либо tqz, либо tqz— h; поэтому из леммы
15.2.1 следует, что gh может иметь не более чем 2п—1 перемен
знака.

15.3. Колоколообразные игры. Игра с ядром /С, определенным
на единичном квадрате, называется колоколооб разной, если /С(£, tq) =
= ср($— tq), где ср — положительная аналитическая регулярная Ч. Ф. П.
Хотя график ср(/) является в самом деле колоколообразным, может
оказаться, что сформулированное определение в некоторых случаях
является слишком узким: например, оно не охватывает функции,
подобные (p(Z)=l/(l-} ^2), график ф(£) также является колоколо-
образным, а соответствующее ей ядро обладает большинством описы-
ваемых далее свойств. Тем не менее некоторые из следующих далее
доказательств существенно опираются на свойства уменьшения вариа-
ции знака П. Ч. Ф. П., и в настоящее время не существует дока-
зательств, применимых к более общим классам колоколообразных
функций. Результаты, которые были получены до настоящего вре-
мени, касаются природы спектров оптимальных стратегий колоколо-
образных игр.

к Лемма 15.3.1. Значение v колоколообразной игры строго
положительно, а спектр оптимальных стратегий каждого
игрока представляет собой конечное множество точек.

Доказательство. Значение игры ограничено снизу минималь-
ным значением ядра К ($, tq) на единичном квадрате. Так как функ-
ция ср непрерывна, она достигает своего минимума 8, а ввиду того,
что эта функция строго положительна, 8 > 0. Таким образом,
8 > 0.

Если спектр оптимальных стратегий одного из игроков (скажем,
игрока I) имеет бесконечное множество точек, то для любой опти-
мальной стратегии у

1

J — v)^y(v) = v

о

для бесконечного числа значений J; на интервале [0, 1]. Так как
интеграл есть аналитическая функция $, то

1

J fi)dy

о
для всех Но любая Ч. Ф. П., согласно свойству (4), при 5->оо_
убывает, как экспонента. Поэтому при £->оо

1

J ф(£ —*1) dy(-ri)-^O,
о

а это противоречит тому, что v > 0.

Следует заметить, что эта лемма уже не имеет места, если от-
бросить предположение об аналитичности; например, ядро
удовлетворяет всем остальным условиям леммы, но в соответствующей
игре нет ни одной оптимальной стратегии с конечным спектром. Эта
игра будет рассмотрена в п. 15.4.

► Лемма 15.3.2. Если существует оптимальная минимизи-
рующая стратегия со спектром, содержащим ровно п точек,
то спектр любой оптимальной максимизирующей стратегии
состоит из п или п—1 фиксированных точек.

Доказательство. Пусть у^. означает, как обычно, стратегию,
сосредоточенную только в точке т^. Тогда любая минимизирующая
стратегия с п точками в спектре может быть записана в виде

п

; = i J

и соответствующий выигрыш игрока I равен
п

Если стратегия оптимальна, то	и h(£) = v только в изоли-

рованных точках, среди которых находятся точки спектра оптималь-
ных максимизирующих стратегий.

Очевидно, если точка принадлежит спектру оптимальной макси-
мизирующей стратегии и лежит внутри единичного интервала, то
в точке достигается максимум функции h($), так что hf (?) должна
менять знак в точке Кроме того, между любыми двумя такими
точками должен иметься минимум функции h (5), и поэтому производ-
ная h' (0 будет менять также знак между каждыми двумя последо-
вательными максимумами. Следовательно, если спектр оптимальных
максимизирующих стратегий содержит внутри единичного интервала
«4-1 точку, то производная hf (£) должна изменить знак по крайней
мере 2п-|-1 раз, что противоречит лемме 15.2.3. Такое же противо-
речие получается, если спектр содержит zz-j-l точку, включая 0,
или 1, или обе эти точки вместе. В этом случае концевая точка не
обязательно максимальная, но так как

lim й(У = 0,
£-> ±оо

максимум должен находиться между — оо и 0 или между 1 и оо.

Аналогичное рассуждение может быть использовано для доказа-
тельства того, что спектр любой оптимальной максимизирующей
стратегии должен содержать не меньше чем п—1 точек. В самом
деле, если стратегия

т

5 btx^
1 = 1	1

оптимальная, то соответствующий выигрыш игрока I равен

т

/•('»!)?= S — 7)).
Z = 1

Как и раньше,	и г(т]у) = г/ (y=t......п).

Здесь также между любыми двумя последовательными точками
существует хотя бы один максимум функции г (?]), и поэтому произ-
водная г'(т^) изменяет знак в этом интервале. Кроме того, каждая
точка внутри [0, 1] является точкой минимума функции г(т]), и
поэтому производная г' (vj) снова меняет знак. Следовательно, общее
число перемен знака равно по крайней мере (п—2)4~(я— 1) = 2п—3.
Так как максимальное число перемен знака, допускаемое леммой 15.2.3,
равно 2/п—1, мы можем сделать вывод, что т>п—1.

Следующая лемма применима только к тем колоколообразным
играм, которые нормированы так, что ср' (0) — 0. На первый взгляд
кажется, что эта нормировка нелогична. Так как функция ср поло-
жительна и обращается в нуль на ±оо, производная ср' должна
иметь хотя бы один нуль. Если предположить, что ср' обращается
в нуль в точках и В2, то

будет иметь в двойной корень. Но это невозможно в силу заме-
чания 15.2.1; следовательно, ср' имеет только один нуль. Норми-
ровка ср' (0) = 0 требует сдвига оси, а такой сдвиг изменяет про-
странство стратегий. К счастью, многие игры в их естественной
постановке уже оказываются нормированными.

► Лемма 15.3.3. Если ср'(О) = О, то точки 0 и 1 принадлежат
спектру любой оптимальной минимизирующей стратегии, но
не принадлежат спектру никакой оптимальной максимизи-
рующей стратегии.
Доказательство. Пусть стратегии

X (?) = 2 biXi и у (7)) = 2 «/Уть
Z=1	1	/ = 1	J

оптимальны; здесь alt bj > 0, a £z и расположены в порядке воз-
растания. Для того чтобы показать, что 7^ = 0, докажем, что любая
другая возможность ведет к противоречию.

Случай 1. 0^£1<т]1. Пусть
п

Так как стратегии х и у оптимальны, то	для любого 5

в единичном интервале и h(£i) = v. Из этих условий и равенства
h(—оо) = 0 следует, что существует некоторое £^£р для которого
h'(£) = 0. Однако такое £ не может существовать в силу того, что
нормировка ср потребовала бы неравенства ср' (£—т];) > 0 для каждого /,
а это противоречит тому, что h' (?) = 0.

Случай 2. 0<т^1^$1. Пусть

т

г(ъ)= 2 t>i<? &—’i)-
i = 1

Тогда г(т))>:'П для всех т] в единичном интервале и г(т^1) = г/. Эти
условия и тот факт, что г(т})->0, когда т;-> — оо, требуют, чтобы
существовало	для которого г'(т]) = 0. Однако неравенства

£z— vj > 0 и cp'($z — т]) < 0 для каждого I противоречат равенству
г'(7]) = 0; следовательно, такое т] не может существовать.

Отсюда мы можем заключить, что т^1 = 0, поскольку все другие
возможности привели к абсурду. Аналогично доказывается, что уп = 1.

Результаты, полученные выше, могут быть несколько улучшены:
с помощью аналогичных рассуждений мы можем показать, что

;	° = 711<?1<7J2 и

к Лемма 15.3.4. Если ср'(О) = О, то оптимальные стратегии
колоколообразной игры единственны.

Доказательство. В соответствии с леммой 15.3.2 следует
рассмотреть два случая, в зависимости от того, являются ли числа
точек в спектрах всех оптимальных стратегий х и у равными или
отличаются на единицу. Предположим сначала, что спектр некоторой
оптимальной стратегии х состоит из точек £р ...» £л, где все 5Z
существенны, и что любая оптимальная стратегия у состоит из
точек .......

Пусть выражения
п	п

x=^\atxt и х*=Уа*хс
z=i z	z=i 1 Ч

означают две оптимальные стратегии игрока I. Тогда

S — Vj) = v и 2	— т)у) = и С/=1.........п).

Вычитая, мы получаем
п

—a*)<p(ez —7]у)=°	(/=1......«).

Отсюда в силу соотношений ||<р(^ — 7^)|| > 0 немедленно следует,
что а*—ai — 0; значит, максимизирующая стратегия единственна.
При тех же предположениях мы можем доказать единственность
оптимальной стратегии у.

Для того чтобы завершить доказательство, мы должны рассмотреть
другой возможный случай, когда спектр всех оптимальных стратегий х
сводится к точкам £р £2...а оптимальные стратегии у охваты-

вают точки 7ft, ..., т\п. Единственность оптимальной стратегии х
доказывается здесь, как и выше. Предположим, что стратегии

п	п

оптимальны. В этом случае, как и выше, предполагается, что функции
п	п

имеют в точках $р ..., значение v, а их производные равны
в этих точках нулю (поскольку ни одна из не может совпасть
с концевыми точками 0 или 1; см. замечание, следующее за леммой
15.3.3). Мы находим, что функция

п

принимает в точках |р .. ., значение 0, а ее производная также
равна нулю в этих точках. Таким образом, ф* имеет по крайней
мере 2(п— 1) нулей, учитывая их кратность. Однако если ф*($) ф 0,
то число нулей (считая кратные), которые может иметь функция ф*.
не превосходит п— 1 (см. замечание 15.2.1). Поэтому ф*(£) = 0 и
оптимальная стратегия единственна. (Читателю следует обратиться
здесь к задаче 10, касающейся вопроса единственности, когда условие
нормировки опущено.)

В этом месте представляется целесообразным подытожить наши
предыдущие леммы в виде теоремы.

► Теорема 15.3.1. Если /С(£, ?]) = ср($ — tj)— колоколообраз-
ная игра и у' (0) = 0, то оптимальные стратегии каждого из
игроков единственны и являются кусочно постоянными рас-
пределениями с конечным числом скачков, удовлетворяющими
следующим условиям'.

1)	если минимизирующая оптимальная стратегия состоит
из п скачков, то максимизирующая оптимальная стратегия
составлена либо из п, либо из п — 1 скачков',

2)	точки 0 и 1 принадлежат спектру оптимальной стра-
тегии у\

3)	первая точка в оптимальной стратегии х разделяет 0
и ближайшую к 0 оптимальную точку т;. Последнее значение
оптимальной стратегии х ведет себя аналогично относительно
точки 1.

к Теорема 15.3.2. Если ср(г/) = ср(—и), то каждая опти-
мальная стратегия симметрична относительно точки у.
Именно, если точка £(?]) принадлежит спектру оптимальной
стратегии, то точка 1—£(1—?]) также принадлежит ему и
скачки, соответствующие этим точкам, равны.

Доказательство. В применении к игроку I теорема утвер-
ждает, что если

Z = 1	*

— оптимальная стратегия, то

Д CllXx-^

представляет ту же самую стратегию. Ввиду единственности решения
эта теорема может быть доказана, если показать, что стратегия

5 aiXi-i,
l-i 1
оптимальна. Свойство же оптимальности следует из того факта, что
выигрыш в условиях этой стратегии равен

п	п

2 ми — $/—v)= 2 м(— £<+1 — 7>)=3 мП/—U —

1 = 1	1 = 1	1 = 1

Аналогичная аргументация устанавливает симметрию минимизирующей
стратегии.

Две последние леммы этого пункта относятся к семействам коло-
колообразных игр, зависящих от параметра. Ядра этих игр будут
иметь вид т/) = <р[Х($— 7j)] (X > 0). В леммах рассматривается
число я(Х) точек, содержащихся в спектре оптимальной минимизи-
рующей стратегии. Функция ср будет снова обозначать положительную
аналитическую регулярную Ч. Ф. П. Значение игры обозначается
через -у(Х).

к Лемма 15.3.5. В любой колоколообразной игре с функцией
выигрыша ср [X (|—т/)] числа п (к) и гцХ) связаны неравенством
(X) Л (X) >: (р (0).

Доказательство. Для любой стратегии вида

п

/ = 1	J

найдется индекс, скажем, /0, такой, что	Если стратегия

является для ядра ср [X (£— т/)] оптимальной, то

п

v (X) > 2 ь# [X G - 7);.)] > 1 <р [X (е - rij,)]	(0 < е	I).

/=1

Полагая £ = т]у0, мы получаем желаемый результат.

к Лемма 15.3.6. Если X—>оо, то значение игры стремится
к нулю, а число скачков неограниченно возрастает.

Доказательство. Для любого е > 0 существует некоторое Хо,
для которого <р [X (5 — у/)] < е, каковы бы ни были Ц и X, удовлетво-
ряющие соотношениям |£—и X > Хо. Кроме того, если

|$ — 7)1 <е, то <р[Х($ — т))]^<р0>

где <р0 = тах<р(/). Таким образом, мы получаем, что

1

Р[Х(^-7))]^<е(2% + 1)	(Х>Х0).

о
Последнее уравнение показывает, что при К > Хо игрок II может
помешать игроку I получить выигрыш, больший чем е(2ср0—|— 1).
Так как е произвольно, то г/(Х)->0 и п(Х)->оо.

Если ср' (0) = 0, то можно получить и более точные результаты
относительно поведения п(Х). Для достаточно малого X функция
<р[(Х($— ^)] строго вогнута по каждой из переменных при

а для таких игр известно, что они обладают оптимальными
стратегиями вида х = х^, у = ау0-|-(1—а)ух (п. 12.2). Для больших
значений X оба игрока имеют оптимальные стратегии, имеющие хотя бы
два скачка, и т. д. Возможно и точное вычисление критических
точек, в которых величина спектра п(Х) изменяется с возрастанием X
(см. задачи 7 и 8).

15.4. Другие типы непрерывных игр. Ядра типа Пойа.
Прямое обобщение колоколообразных игр приводит к рассмотре-
нию ядер типа Пойа (Т. П.), которые, по определению, удовлетво-
ряют следующим условиям:

1)	ядро /С($, т?) определено и непрерывно на квадрате 0<£,	1;

2)	для любого п и любого множества чисел и таких, что

0<^!< ...	И 0^7)1 <...<	1,

определитель матрицы ||/C($Z, неотрицателен.

От понятия ядер Т. П. можно перейти к понятиям регулярных и
правильных ядер Т. П., определения которых аналогичны определе-
ниям регулярных и правильных частотных функций Пойа. Многие из
результатов п. 15.2 и 15.3 могут быть перенесены на ядра Т. П.,
однако необходимо подчеркнуть, что лемма 15.2.3 не может быть
обобщена. Таким образом, существуют игры с ядрами Т. П., опти-
мальные стратегии которых не обладают теми свойствами оптималь-
ных стратегий колоколообразных игр, которые зависят от справед-
ливости этой леммы. Некоторые свойства ядер Т. П. выделены
в задачах 24 и 25.

Ядра типа Грина. Ядром типа Грина (Т. Г.) называется
просто отрицательное ядро типа бабочки, т. е. функция /С(£, ?])
является ядром Т. Г. в том и только в том случае, если — /С(£, ?})
является ядром типа бабочки (см. п.14.5, в частности теорему 14.5.2,
и задачу 24 этой главы). Так как оптимальные стратегии для ядер
типа бабочки всегда являются устойчивыми, то стратегии такого же
типа всегда оптимальны для ядер Т. Г.

Ядра типа Грина названы так потому, что они на самом деле
являются функциями Грина соответствующих дифференциальных урав-
нений. Существует большой класс игр с ядрами такого типа. Неко-
торые из этих игр описаны в следующем примере, который иллю-
стрирует также фундаментальную связь между оптимальными стра-
тегиями игры и коэффициентами дифференциальных уравнений. В этом
примере мы рассмотрим некоторый класс дифференциальных уравнений
и покажем, что соответствующие функции Грина порождают игры,
которые имеют легко различимые оптимальные стратегии, не выражае-
мые аналитически через коэффициенты дифференциальных уравнений.

Пример, Пусть p(t)— положительная и непрерывно дифферен-
цируемая функция, a q(f)— положительная и непрерывная функция на
некотором интервале	который содержит внутри себя еди-

ничный интервал. Пусть ср и ф— два линейно независимых решения
дифференциального уравнения

(ри')г — qu = 0	(a^t<b),	(15.4.1)

которые удовлетворяют однородным граничным условиям [например,
ср(я) = ф(£) = О]. Тогда функция Грина

к a, tj)={

Т^Ж7!)’

(15.4.2)

1

может быть интерпретиров*ана, как ядро игры, определенной на
единичном квадрате. Если для 0<^<1 имеют место соотношения
ср(О> 0, ср' (О> 0, ср"(О>0, ф(О > 0, ф'(О < 0 и ф"(О>0, то
легко проверить, что /С(;, 7]) на самом деле является ядром Т. Г.
В связи с этими обстоятельствами из общей теории ядер Т. Г.,
совершенно аналогичной теории ядер типа бабочки, следует, что
спектром оптимальных стратегий является весь единичный интервал;
следовательно, по лемме 10.2.1, каждая оптимальная стратегия должна
тождественно давать V. Значит, поскольку /С(т], £) = /С(£, ?]), любая
стратегия, оптимальная для одного игрока, оптимальна и для другого,
и тот, кто использует ее, выигрывает v. Поскольку мы рассматри-
ваем игры Т. Г., воспользуемся известной нам теорией игр с ядрами
типа бабочки и попытаемся определить оптимальные стратегии, состав-
ленные из скачков аир соответственно в £ = 0 и £=1 и положи-
тельной плотности /, определенной на единичном интервале. Если
такая оптимальная стратегия существует, то она должна быть устой-
чивой; следовательно,

1)	1

г, = аТ(О)ф(^)Н- f <р©ф(7))/т + /фЮ?(71)/©^ + ^(1)?(71)-
0	ч

(См. в связи с этим также теорему 14.5.2.) Дифференцируя это
уравнение дважды и исключая члены, содержащие интегралы, мы
получаем

а-и'(0)	1______

<р(0) НОЖО)-НО)Ф'(О) ’

р Ж(1) ОЖО-НОО) ’

f „ <?' (ОФ'ЧО —I' (О?" (О

'w южо-ожог •
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что эта стра*
тегия действительно является устойчивой и, следовательно, оптималь-
ной для каждого из игроков.

Хотя из общей теории успешно выведена формула, явно выра-
жающая оптимальную стратегию, но, возможно, имеет смысл получить
более простые выражения для /, а и [3 на основе использования
специфического вида уравнения (15.4.1).

Мы можем непосредственно проверить, что если ср и ф являются
решениями дифференциального уравнения, то производная выражения
р[ср'ф — ф'ср] равна нулю, так что ср'ф — ф'ср = kp~1 для некоторой
постоянной k. Кроме того, умножая уравнения р<р"+pV — ^ср = О
и pty" Н-р'ф' — ?ф = 0 соответственно на ф' и ср', мы можем также
проверить, что

ф"ср' — ср"ф' = р"1 [ср'ф — ф'ср] q = kp~2q.

Таким образом, с помощью подстановки мы получаем

Число v/k может быть вычислено непосредственно из условия нор-
мировки	1

j dx(B)=l.

О

Два конкретных примера ядер Т. Г. можно получить, рассматривая
дифференциальные уравнения и" — и —О и и!'— (1 -ф-/2)и = 0 на
всей вещественной оси —oo < t < оо. Решение первого уравнения со-
держит функции е* и е~\ которые приводят в соответствии с (15.4.2)
к ядру /С($, 7]) = е~ I*- Н Это ядро уже появлялось раньше как
пример неаналитичной регулярной Ч. Ф. П. В настоящем контексте
очевидно, что спектром оптимальных стратегий является весь еди-
ничный интервал. Этот пример показывает, что предположение об
аналитичности в лемме 15.3.1 не может быть отброшено. Решение
второго дифференциального уравнения содержит функции

t	ОО

(t) = J e~u'du и ф (f) = е^2 J* e~u2du,
— ОО	t

которые удовлетворяют всем условиям, требуемым настоящей теорией.

£	ОО

ехр(1(^Ч-7}2)) f e-‘2dt f e-‘2dt, £=£?),
— OO	7]

exp(^-G2 + v)2)) J e-t2dt J e-t'dt,
e	-oo

7)) =
то часть решения, представляющая собой плотность, равна

/(5) = Л(1 Ч-?2).

Интересно заметить, что дифференциальное уравнение (tur)r —
— n?u[t = 0 имеет фундаментальные решения ср (/) = tn и ф (/) = t~n—1\
Эти решения нарушают требования положительности в 0 и 1, и
оптимальные стратегии для соответствующих ядер не могут быть
стратегиями требуемого типа, так как функция не интегрируема.
Однако если игра ограничена квадратом со сторонами [8, 1—8], то
все условия выполнены и стратегии имеют желаемый вид.

15.5. Инвариантные игры. В этом пункте мы рассматриваем
приложения понятия инвариантности к классификации игр. Мы пред-
полагаем существование двух групп преобразований, которые пере-
водят пространства стратегий в себя. Эти преобразования, опреде-
ляемые сначала для чистых стратегий £ и 7j, можно распространить
и на смешанные стратегии х(£) и у(7}). В самом деле, любое изме-
римое преобразование т, которое переводит $ в т$, автоматически
индуцирует преобразование х—>тх, где тх(Е) = х (тЕ) для любого
измеримого множества Е (для которого тЕ = {$| £ = т|',	Мы

будем предполагать, что индуцированные преобразования переводят
вероятностные меры в вероятностные же меры. Легко проверить,
что индуцированные преобразования, обладающие этим свойством,
образуют группу преобразований пространства смешанных стратегий
в себя. Группа преобразований, переводящая X в себя, будет обо-
значаться через Г, а аналогичная группа преобразований, переводя-
щая Y в себя, будет обозначаться через Г'. Последующее обсуждение
ограничивается играми на единичном квадрате.

Определение 15.5.1. Игра с ядром /С (В, называется инва-
риантной при Т относительно Т', если для любого '/"существует
такое т7 £ 7"7, что /С(т£, 7}) = /С(£, т77}). Аналогично игра инвариантна
при Т относительно 7", если для любого т7 £ Тг существует такое
т£Т, ЧТО К (В, Т7'У}) = ЛГ(т£, 7]).

Это определение иллюстрируется следующими примерами.

Пример Г. Пусть Т и Т' — группы преобразований единичного
интервала в себя; при этом каждая группа содержит ровно два эле-
мента: тождественное преобразование (или	и отображе-

ние >1—$ (или —> 1—tj). Тогда любая игра с ядром ЛГ(В, ?)) =
= <р(1— где ср — некоторая четная функция, инвариантна относи-
тельно Т и Г7. Мы рассматривали этот пример в связи с колоко-
лообразными играми (стр. 604).

Пример 2. Любая игра с ядром /С(£, т)) = ср(5— 7j), где ср
является периодической функцией с периодом 1, называется конво-

39 Зак. 1789
люционной игрой. Эти игры на единичном квадрате инвариантны
относительно группы сдвигов	я (приведенных по модулю 1).

Следующие теоремы описывают некоторые инвариантные свой-
ства решений инвариантных игр. В этом контексте Т(Е) будет
означать множество всех распределений вида тх, где х£Е,
а Е — подмножество X. Множество Е называется инвариантным
относительно Т, если Т(Е) = Е. Равенство здесь означает, что мно-
жества Т (Е) и Е содержат одни и те же распределения. Аналогично
говорят, что стратегия х инвариантна при преобразовании т, если
тх = х. Здесь равенство означает, что тх и х определяют одну и
ту же меру. На интервале [0,1] любая стратегия полностью опреде-
ляется своими моментами, и, таким образом, для того чтобы прове-
рить, что х и тх определяют одну и ту же стратегию, достаточно
проверить, что J* tndx = J* ^Jtx для любого п.

> Лемма 15.5.1. Если К ($, тд) инвариантно при Т (или при Т'),
то множество Xq (или Fo) оптимальных стратегий также
инвариантно при Т (или приТ').

Доказательство. Пусть х0 — оптимальная стратегия, а К
инвариантно относительно Т. Применяя стратегию тх0, игрок I по-
лучает выигрыш

f A'G, 7j)dvc0(l) = f к(t-Ч. «) = f К It-

Таким образом, стратегия тх0 оптимальна и Т (Xq)czXq, Ввиду того
что Т содержит тождественный элемент, мы имеем Г(Х0)=эXq. Сле-
довательно, Т (Xq) = Xq,

► Теорема 15.5.1 Если Т — компактная топологическая
группа, а функция К непрерывна и инвариантна при Т, то
существует оптимальная стратегия х0, которая -инвариантна
относительно любого преобразования

Доказательство. Пусть (т) — мера Хаара группы Г, нор-
мированная так, что р,(Т)=1. Пусть далее х — произвольная опти-
мальная стратегия. Для любого измеримого множества Е положим

х0(Е) = f X (т£) dp. (т).

Т

Так как х и положительны, xQ(E) тоже всегда положительно.
Так как х-мера единичного интервала равна 1, то х0-мера еди-
ничного интервала также должна быть равна 1, и, следовательно,
xQ — вероятностная мера. Из инвариантности р- следует, что

х0 (т0Е) = f X (tx0E) dp (т) = J х (тт0Е) dp. (тт0) = х0 (Е).
т	т

Таким образом, стратегия х0 инвариантна относительно Т. Наконец,
чтобы показать, что стратегия х0 оптимальна, достаточно заметить,
что замена переменной С = т£ дает нам

1 1

J /<(?, т^х0(?) = J '])<fy('c)dx('tty =
о	от

1

= f f к (*-1t *1) СО dx (?) =
О т

1

= J (Т”1У	f vdp(y) = v.

то	т

Другой подход к изучению инвариантных стратегий может быть
основан на предельном переходе. Этот подход, описываемый ниже,
требует, чтобы преобразование т было непрерывным. Точнее, если
дана такая последовательность хп, что для любой непрерывной функ-
ции А (В) выполняется соотношение

f h^dX„(^)-> f h®dx0(l;),

то для преобразования т имеет место аналогичный предельный пере-
ход

f h(K)dtxn(K)^ f fo(?)dxx0(?).

Иногда бывает трудно непосредственно проверить это условие. Однако
поскольку

f h (?) dxx (?) = J Л (т“Ч) dx (?),

достаточно проверить, что преобразование h (%)-> h (y-ty сохраняет
непрерывность h. Следовательно, достаточно, чтобы функция т"1
была непрерывной на [0,1].

> Лемма 15.5.2. Если преобразование т0 непрерывно в опре-
деленном выше смысле, а функция К непрерывна и инва-
риантна при Т, то существует оптимальная стратегия х0,
для которой toxo = Xq.
Доказательство. Пусть х—любая оптимальная стратегия.
Построим последовательность стратегий {хл}, определенную следую-
щим образом:
п

Хп — г I 1 2

Л-0

Лемма 15.5.1 утверждает, что все стратегии (т0/х оптимальны, а из
выпуклости множества всех оптимальных стратегий следует, что
каждая стратегия хп также оптимальна. Кроме того, по теореме
Хелли (п. В. 3) существует последовательность хп., которая схо-
дится к стратегии xQ в том смысле, что

г’1тоо f h ® [dxnt«) -	(0] = О

для любой непрерывной функции Л(£). Следовательно, стратегия х0
оптимальна, так как функция К непрерывна и стратегия хп. опти-
мальна. Далее, для того чтобы показать, что х0 и тохо определяют
одно и то же вероятностное распределение, достаточно установить,
что для любой непрерывной функции h левая часть следующего
выражения может быть сделана произвольно малой. Действительно,

| f h ® d [х0 (?) - Vo (?)] |	| / Л (?) d [х0 (5) - хп, ($)] [ +

+ | / Л (0 d [хП1 (0 - хйхП1 (!•)] | +1 /Л (0 dx0 [х„. Ш - х0 (!=)] |.

Первый и последний члены в правой части неравенства могут быть
сделаны произвольно малыми, если только выбрать I достаточно
большим. Второй член также стремится к нулю, так как

xni (0 СО =	] [х (0	то1 х (0] о

по вариации. Таким образом, J* hd{xQ — тохо) = 0, что и требовалось
доказать.

► Теорема 15.5.2. Если группа Т абелева, все преобразо-
вания т непрерывны, а функция К непрерывна и инвариантна
при Т, то существует оптимальная стратегия х0, которая
инвариантна относительно любого преобразования т£7\

Доказательство. Пусть X (т) обозначает для каждого т£Т
множество всех оптимальных стратегий, которые инвариантны отно-
сительно преобразования т. Пересечение любого конечного числа
этих множеств, скажем X (т^, . .., X (тп), является множеством всех
оптимальных стратегий, которые инвариантны относительно Tj..

Существование этих стратегий может быть ввиду абелевости
группы Т установлено конечной итерацией рассуждений, использо-
ванных в лемме 15.5.2. Найдем сначала оптимальную стратегию,
которая инвариантна по отношению к тР Тогда, поскольку множе-
ство X (т^ непусто, выпукло и замкнуто в смысле слабой сходи-
мости, мы можем повторить рассуждения леммы 15.5.2, заменяя Х§
на X (tj), и, таким образом, получить оптимальную стратегию,
которая инвариантна относительно Tj и т2. Продолжение этого про-
цесса очевидно.

Следовательно, .множества X (т) слабо замкнуты и непусты, а их
пересечение в любом конечном числе непусто. Так как пространство
всех стратегий слабо компактно, пересечение всех множеств X (т)
должно содержать по крайней мере одну стратегию х0, и эта стра-
тегия удовлетворяет всем условиям теоремы.

Теорема 15.5.2 может быть распространена на случай, когда
группа Т разрешима.

Закончим эту главу описанием всех решений для игр с конволю-
ционными ядрами, которые периодичны на единичном интервале.
Так как группа сдвигов по модулю 1 компактна и оставляет игры
инвариантными, мы сразу находим, что мера Хаара (т. е. равно-
мерное распределение) является оптимальной устойчивой стратегией.
Следующая теорема дает необходимый и достаточный критерий для
определения того случая, когда мера Хаара является единственной
оптимальной стратегией.

► Теорема 15.5.3. Пусть /С(£, т]) — ср (£ — tq), где ср—непрерывная
и периодическая функция с периодом 1. Тогда d-— единствен-
ная оптимальная стратегия для каждого из игроков игры К
в том и только в том случае, если для любого п 0.

1

J ср (f) e2*int dt 0.
о

Доказательство. Если для некоторого п =£ 0

1

J <Р (0 e2rM dt = 0,
о

то в силу того, что функция ср вещественна,

1 1

J* ср (^) cos Zvntdt = 0 и J ср (^) sin Inntdt — 0.

о	о
Кроме того, функция х (£) = 1 4“cos неотрицательна, и полный
интеграл от нее равен 1. Поэтому она является плотностью неко-
торого вероятностного распределения. Как стратегия она является
оптимальной, так как

1 1

— ^)(1 + cos2to£) d$ = J <р(5 —+
o	о

i	i

-f- J* <P G — cos 2кп^ = J <p (/) dt = v.
о	0

Обратно, предположим, что J' <p (/) e2rM dt 0 для n =£ 0, и покажем,
что оптимальная стратегия единственна. Не умаляя общности, мы
можем считать, что значение игры v равно нулю, поскольку игра
с ядром (р (; — т]) — v имеет значение нуль, и то же самое множество
оптимальных стратегий, а также удовлетворяет условию

J [<р(0 — V1 еЫп* dt^Q

для п Ф 0. Так как имеет своим спектром весь единичный интер-
вал, любая оптимальная минимизирующая стратегия у(т|) удовлетво-
ряет уравнению

1

J ?(£ — ri)dy (7)) = 0.

0-

Следовательно, для любого п #= 0 мы имеем

1 / 1	\

У е"™1* у ?(е — 7))г/у(7]) I <^ = 0
о \о	/

и

1 1

У f е~Ып <Р ($ — 7]) dy dt _ о.
о б

Следовательно,

1 1

У g-Ыпи ? („) da у е-2к1пп dy	= 0.

о	о

По предположению,

1

J e-2nlnu^^ fa ф Q4
если п 4= 0, поэтому

1

J	(7]) = 0

О

для п =£ 0, и мы заключаем, что dy (^) = cdr[. Так как у(^)— ве-
роятностное распределение, то с=1. Аналогичные рассуждения
устанавливают единственность оптимальной максимизирующей стра-
тегии.

16.6. Задачи. В следующих задачах ядра rj) всегда опре-
делены на единичном квадрате 0^6, ^^1, если только явно не
оговорено противное.

1.	Игра с ядром

(264-1)(2^+ 1)

имеет оптимальную устойчивую стратегию х(/) = у(/) для каждого
игрока. Показать, что х(/) должны удовлетворять уравнению

г dx(£) _ 1

J 26+1 — 2 ’

о

и найти решение этого уравнения.

2.	Показать, что стратегии

х(6)

log(i-H), и y/~)= !°g(L-H)

log 2	log 2

оптимальны для ядра

^) =

(14-6) (14-ч)

(1 + W

Найти значение игры и показать, что игра не может иметь ни одной
оптимальной стратегии с конечным спектром.

3.	Пусть Р(6, т[) и Q (6, у)— два полинома и Q(6, ^) > 0 для
0^6» V— 1- Пусть

Q(5, ,)) -

предположим, что значение игры с этим ядром равно v #= 0. Пред-
положим далее, что если 6 рассматривается как комплексная пере-
менная, то существует кривая С (в комплексной плоскости), которая
достигает оо таким образом, что К(6»	остается аналитической

функцией, когда 6 изменяется вдоль С, а меняется на [0,1]. Пред-
положим, кроме того, что |/С(6, tq)| М < оодля и что для
любого т] степень 6 в Q(6, т?) больше, чем степень 6 в Р(6, ?]).
Доказать, что игрок I имеет оптимальную стратегию конечного типа.
4.	Пусть ядро

удовлетворяет условиям, сформулированным в задаче 3, за исключе-
нием того, что (1)^ произвольно; и (2) для каждого степень $
в	превосходит степень £ в Q(£, tj). Доказать, что любая

оптимальная максимизирующая стратегия является стратегией конеч-
ного типа.

5.	Показать, что все функции

1	( ипе~и, и > 0, (п— положительное целое)

ch и ’	’ I 0 и О

являются Ч. Ф. П.

6.	Решить полностью задачу о бомбардировщике и подводной
лодке, в которой функция выигрыша равна е~3 Здесь £ — точка
прицела, —истинное положение подводвой лодки, а е-3(£-ч)2—
ожидаемая вероятность поражения подводной лодки.

7.	В игре с ядром

14-Х(£ —I))2

для достаточно малого X игрок II имеет оптимальную стратегию,
содержащую 0 и 1, а игрок I имеет оптимальную чистую стратегию,
сосредоточенную в	Определить наибольшее значение X, для

которого это справедливо.

8.	Определить наибольшее значение X, для которого оптимальная
стратегия игрока I для игры с ядром е-ИС-ч)2 является чистой.
Найти соотношение, полностью определяющее то наибольшее значе-
ние X, для которого спектр оптимальной стратегии игрока II состоит
не более чем из двух точек.

9.	Показать, что если ср—регулярная Ч. Ф. П., а ср" непрерывна,
то функция

п

имеет не более чем 2п перемен знака при условии, что at > 0.

10.	Показать, что оптимальная стратегия игрока I в колоколо-
образной игре единственна [т. е. что она единственна даже если
ср' (0) =# 0] и что оптимальная стратегия игрока II единственна, если
ее спектр содержит не менее трех точек. Привести пример коло-
колообразной игры, в которой оптимальная стратегия игрока II
неединственна.
11.	(а) Доказать, что если h — непрерывная вещественная функ-
ция вещественной переменной, то

1

f (гл©—л(1 —у)-л (4)) л?©=о,

О

где С — классическое канторовское распределение.

(б) Использовать часть (а) для того, чтобы показать, что если

л = 0

то канторовское распределение является единственной оптимальной
стратегией для каждого из игроков.

Указание*, использовать способ моментов из примера 2 п. 15.1.

12.	Пусть /С(£, 7?) — непрерывное ядро игры с единственными
решениями х и у и значением 0, a U и V — счетные плотные мно-

жества, такие, что J* dx= j* dy~0. Положим
и v

7])= П

[	0 в противном случае.

Показать, что К*(£, т]) = 0 почти всюду и что х и у — единствен-
ные оптимальные стратегии для ^).

13.	Рассмотреть игру, в которой пространства чистых стратегий
игроков I и II состоят соответственно из пар (£р £2) и (т]р т}2), удо-
влетворяющих условиям	1 И	1. ПуСТЬ ЯДрО К (£р

т]2) имеет вид h [(^ — ^1)2 + ($2 — ^г)2]* Показать, что тогда оба
игрока имеют оптимальные стратегии, которые инвариантны относи-
тельно всех вращений около начала координат.

14.	Рассматривая игру

ОО

к (5. ’1) = 2 7? cos	—

Л = 1

показать, что множество всех игр с непрерывными ядрами и един-
ственными оптимальными стратегиями для каждого игрока не является
открытым множеством.

Указание*, использовать теорему 15.5.3.

15.	Показать, что стратегии

ОО

х — у = ТуГ ^2~п

п = 1
оптимальны для игры с ядром
х_ 2	2	1	1

2 — ^	4 — ^	2 — е 2 — V

16.	Пусть |хл — моменты произвольного распределения, и пусть
у = /0. Показать, что х и у — единственные оптимальные стратегии
для игры с ядром

ОО

=s 2-n -11») sin V+е'<2 •
/1 = 1

17.	Пусть х°(5) и у°(^)— произвольные распределения на еди-
ничном интервале. Проверить, что х° и у0 являются оптимальными
стратегиями игроков I и II для игры с ядром

1 1

К (В, 7)) = М& —	7))dx°(Q — f W. yi)dy4v)

0	0

при любой непрерывной функции А1(£, ?]).

18.	Пусть функция Л(О>0 нормирована так, что

1 1

f р(е T;)dU7)=l.

о о

Рассмотреть игру

h (ft) dt $ h (fit) dt
0	0

Доказать, что
i	i

x'(5) = J h(^t)dt и y'(^) = J h(j\t)dt
о	0

являются соответственно плотностями оптимальных стратегий игро-
ков I и II.

19.	Пусть в условиях задачи 18 h(t) — аналитическая в окрест-
ности начала координат функция, т. е.

ОО
л = 0
где |/|^В и аП1 #= 0, причем ^-^- = оо. Показать, что решение,
описанное в задаче 18, единственно.

20.	Пусть
ОО
(а„>0,
л = 0
и У°(^) — любое распределение. Доказать, что у°(^)— единственная
оптимальная стратегия игрока II в игре с ядром

1 1

к («. ^1) = ? (ЗД — f<? (^) dy° (£) — f ? (fy) dy° (ri).
О	о

21.	Показать, что оптимальные стратегии в задаче 2 единственны.

22.	(Необходима для задачи 23.) Пусть и ц*—n-е моменты
двух распределений х и x*t определенных на единичном интервале.
Показать, что если —Р-2П и H2n+i^!х2п+1 (ге = °- 1. 2,...),
ТО х — х*.

23.	Рассмотреть игру с ядром

V = 1 (п=1, 2, ...),

К(Ц, т]) = {	"

О	в противном случае,

которое равно нулю везде, кроме счетного числа вертикалей, на ко-
торых

р„ = findx°(k).

Доказать, что х° — единственная оптимальная стратегия для игрока I.

Указание', использовать результат задачи 22.

24.	Рассмотрим ядро Т. П., значения которого в окрестности
диагонали убывают в направлении от диагонали. Предположим, кроме
того, что производные К %, строго положительны с каждой сто-
роны диагонали и но не обязательно выпуклы по ка-
ждой из переменных на всем единичном квадрате. Доказать, что К
является ядром Т. Г.

25.	Предположим, что /С(£, т]) = ф(|$ — vj) (предполагается, что
функция ф трижды непрерывно дифференцируема) — ядро Т. П., ко-
торое строго выпукло с каждой стороны диагонали и значения кото-
рого убывают в направлении от диагонали. Доказать, что К является
ядром Т. Г.

26.	Построить ядро /С(£, т]), для которого единственными опти-
мальными стратегиями являются функции х и у, состоящие из двух
скачков, причем каждая из них имеет по крайней мере один скачок
внутри единичного интервала.

27.	Построить ядро, единственные оптимальные стратегии кото-
рого равны

х = а/0 + (1-а)/1 и y =	+

где 0 < а, р < 1.

28.	Показать, что для любого непустого выпуклого слабо*
замкнутого множества распределений !) существует последователь-

!) См. п. В. 3. — Прим. ред.
ность {^л} непрерывных функций и последовательность {anj веще-
ственных чисел, для которых

00

= n{X|/'P»dX— ап}'

29.	Используя обозначения предыдущей задачи, положим

К (е. 0)=0 и л:(е. 1)=11(ря ($)_«„].

Пусть для 1/(п-|-1/п функция К(£, т/) определяется линей-
ной интерполяцией. Показать, что стратегия х(£) оптимальна для
игры с ядром /<(£, т[) в том и только в том случае, если

Комментарии
и библиография к главе 15

Необходимость анализа различных частных классов игр вызвана двумя
причинами. Во-первых, он содействует задаче классификации игр с точки
зрения влияния свойств ядра на вид решения. Это аналогично целям, пре-
следуемым, например, классификацией дифференциальных уравнений. Во-
вторых, любая конкретная разработка упрощает и делает более очевидным
применение теории бесконечных игр на практике.

15.1.	Первые результаты по аналитическим играм, затронутым здесь,
принадлежат главным образом Гроссу и Гликсбергу.

Замечательный пример рациональной игры, единственным решением ко-
торой является канторовское распределение, принадлежит Гроссу [1] (см.
также [41). Другие странные решения „хороших" на вид игр см. у Гликс-
берга и Гросса [2]. Эти авторы показали также, что для любой конкретной
пары распределений существует игра с аналитическим ядром, для которой
данные распределения являются единственными оптимальными стратегиями.
Пример 3 этого пункта является частным случаем их построения.

15.2.	В 1951 г. служащий компании Локхид советовался со мной относи-
тельно игровой задачи с подводной лодкой, описанной в 10.4. При анализе
этого примера стало ясно, что он является представителем более широкого
класса игр — именно колоколообразных игр. Ядро 1/[1 + X ($ — ^)2] имеет вид,
аналогичный виду гауссовского ядра, и природа решений игр с этими ядрами
также сходна. Некоторые специальные случаи такого рода можно найти
у Мак-Кинси [1], стр. 230.

Ч.	Ф. П. были впервые изучены Пойа в связи с задачей характеризации
функций, которые могут быть аппроксимированы в данном интервале поли-
номами, имеющими только вещественные нули. Характер убывания вариа-
ции знака этих ядер был широко исследован Шёнбергом [1], а также Гант-
махером и Крейном [1]. Значение ядер типа Пойа для теории статистических
решений было указано Карлином [4].

15.3.	Все результаты этого пункта являются переработкой статьи Кар-
лина [5].
15.4.	Теория ядер Грина и Пойа была впервые рассмотрена в работе [5].

15.5.	Важность принципа инвариантности в связи со статистическими за-
дачами восходит еще к Питману [1]. Наиболее глубокие приложения этих
понятий были разработаны одновременно Хантом и Стейном, когда они осво-
бодились от своих обязанностей метеорологов армии США во время второй
мировой войны. Эти соображения еще не появились в печати. Тем не менее
они стали хорошо известными и привлекли внимание многих статистиков-
теоретиков, которые развили многие из их следствий применительно к ста-
тистическим задачам. (См. Кифер [1], Кудо [1], Блекуэлл и Гиршик [1] и
Пейсаков [1].)

Теорема 15.5.3 принадлежит Савиджу (не опубликовано). Приложение
теории инвариантности к играм с двумя разумными противниками рассма-
тривается в работе Карлина [5] в абстрактной форме.

15.6.	Задачи 3, 4 и 15—23 принадлежат Гликсбергу и Гроссу (служеб-
ные материалы корпорации РЭНД). Задача 11 принадлежит Гроссу [1].
БЕСКОНЕЧНЫЕ
КЛАССИЧЕСКИЕ ИГРЫ,
РАЗЫГРЫВАЕМЫЕ
НЕ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ

В большинстве игр, рассмотренных в гл. И —15, множество
чистых стратегий каждого игрока отождествлялось с единичным
интервалом вещественной оси. В качестве множества всех стратегий
в таких играх рассматривалось множество вероятностных распределе-
ний, определенных на пространстве чистых стратегий. Чистые стра-
тегии обычно обладали некоторой конкретной интерпретацией, кото-
рая использовалась в процессе решения игры. Например, в играх
с выбором момента времени чистые стратегии представляли собой
возможные моменты времени, которые могли быть выбраны для со-
вершения некоторого действия. В некоторых выпуклых играх чистая
стратегия обозначала долю ресурсов, употребленную любым из двух
(или более) возможных способов.

В этой и последующих главах мы рассмотрим класс игр, кото-
рые не могут быть описаны ядром, определенным на подмножествах
евклидовых пространств, но для которых пространство стратегий
каждого игрока может быть погружено в то или иное классическое
функциональное пространство. Такие игры являются все же играми
категории I в соответствии с нашей классификацией, приведенной
в гл. 10 (см. стр. 417).

Мы отложим исследование игр категории II, пространства страте-
гий которых значительно шире, чем пространства, изучаемые здесь.
Анализ этих игр сложен, он вынуждает нас, например, столкнуться
с нерешенной математической проблемой выяснения понятия меры на
функциональных пространствах. Игры этого класса будут рассматри-
ваться в следующем томе.

Игры, рассматриваемые в этой главе, могут быть интерпретиро-
ваны, как тактические дуэли, в которых допускается непрерывное
ведение огня. В играх с выбором момента времени, рассмотренных
в более ранних главах, каждый игрок имел одну возможность или
самое большее конечное число возможностей, чтобы действовать.
В этой главе мы позволим по крайней мере одному из игроков дей-
ствовать непрерывным образом, Читателю следует снова обратиться
к примеру, приведенному в п. 10.4, как к одному из случаев игр
этого класса.

В настоящей главе мы дадим решение этого примера и рассмот-
рим обобщение этой игры, которое может быть интерпретировано
как дуэль двух пулеметчиков.

Отдельные примеры, рассматриваемые здесь, не охватывают общей
теории. К несчастью, однако, для решения таких игр общей теории
не существует, а имеется лишь более или менее полезный аппарат,
который часто является эффективным при решении специальных дуэ-
лей с непрерывным огнем. Этот аппарат будет формализован в сле-
дующей главе при изучении моделей покера. В этой главе мы скон-
центрируем наше внимание на выявлении действия этого аппарата
в двух упомянутых выше примерах. Потребность же в развитии не-
которой единой теории, охватывающей эти примеры в качестве част-
ных случаев, остается неудовлетворенной.

Вследствие природы ограничений, налагаемых на интенсивность огня,
необходимым инструментом в нашем анализе будет хорошо известная
лемма Неймана — Пирсона.

16.1.	Предварительные результаты (лемма Неймана — Пир-
сона). В этой главе мы докажем лемму Неймана — Пирсона в ее
простейшей форме и покажем, как она может быть использована для
решения двух простых задач. Ее приложение к некоторой частной
нелинейной вариационной задаче рассматривается в следующем пункте
как иллюстрация метода, который следует использовать в игровых
задачах п. 16.3 и 16.5.

Задача Неймана—Пирсона. Пусть f(t) и g(t)— две неотри-
цательные функции, интегрируемые относительно некоторой s-ко-
нечной меры |i, определенной на интервале	причем функ-

ция £(/) нормирована так, что

т

f g(C<W) = i.
о

В классе Л измеримых функций ср(/), подчиненных почти всюду огра-
ничению	для которых

(0<а’<Л1),	(16.1.1)

мы должны определить функцию ср0(/), для которой

т	1

/<Ро(0/(0^ (0 = .max f
о	v о
Замечание 16.1.1. Существование максимизирующей функции
следует здесь из того факта, что сфера радиуса Л4 в банаховом про-
странстве ограниченных измеримых функций слабо* компактна. Это
замечание не является существенным для дальнейшего, так как мы
представим решение в явном виде и проверим его свойство макси-
мальности непосредственно.

Заметим сначала, что если ср0(/)— решение, то любая функция,
равная ср0(/) почти всюду относительно меры [х, также является ре-
шением. Во избежание недоразумений везде в этой главе любые две
функции, отличающиеся только на множестве ji-меры нуль, рассма-
триваются, как одна и та же функция. Наконец, для удобства мы
применяем следующее обозначение скалярного произведения:

f <р(/)/(^ (/) = (/, ср).

Решение. Сопоставим каждой измеримой функции ср(/), удо-
влетворяющей почти всюду неравенству 0 <ср< 7Й, точку (|,
где

£ = (£>?)« = ?)•

Множество образов в Е2 (которое мы обозначим через Г), очевидно,
выпуклое, так как описанное отображение линейно. Множество Г
содержит точки (0, 0) и (Л1, (f, Л4)), где М представляет собой
функцию ср(£), тождественно равную ЛГ, кроме того, если (£, т])£Г,
то очевидно, что

— f	М).

Следовательно, Г — выпуклое множество, наибольшая ордината кото-
рого соответствует его наибольшей абсциссе, так что для решения
задачи достаточно найти максимум (/, ср) среди тех элементов для
которых (§*, ср) = а.

Предположим для удобства, что функция g(t) положительна всюду,
где положительна / (/). В более общем случае, когда это предполо-
жение нарушается, существенные идеи анализа остаются теми же,
однако возникают некоторые патологические особенности, которые
приходится рассматривать особо.

Пусть = k^-\-b означает опорную плоскость Г в точке, абсцисса
которой равна (g, ср) = а, а ордината равна наибольшему возмож-
ному значению этой абсциссы. Предыдущие замечания показывают,
что и что	для всех (£, ?])£Г; при этом равенство

достигается для образа решения ср0 (если оно существует). Мы будем
предполагать, что решение существует, и попытаемся охарактери-
зовать его вид. Когда функция ср0 полностью определена, ее свой-
ство максимальности может быть проверено обычным способом (см.
ниже). Таким образом,

(/, <?0) = k(g,

(/, ?) + £;

и, следовательно,

(f — kg, <р — <ро)<О.

Полагая сначала ср (t) = М на множестве, где f — kg>0, и cp(Z) = cp0
в остальных точках, а затем cp(f) = O, где f — kg<C0 и ср(/)
в остальных точках, мы заключаем, что

если

/(О
g(t)

> k, то
< kt то
— k, то

<р0(/) = Л1,

%(0 = 0.

ср0 не определено.

(16.1.2)

Если g равно нулю, то, по. предположению, / = 0, а функцию f/g
следует положить равной k.

Последнее из условий (16.1.2) озцдчает, что любое определение ср
на множестве, где f = kg, не изменяет значения (/, ср).

Вычисление. На практике метод вычисления значения k и
функции ср0 состоит в следующем: пусть К — множество таких веще-
ственных чисел k', что

v(k') = J Afg(Odp.(/)^a,
f!g>r

где v(kr)— невозрастающая непрерывная справа функция k't и

£ = sup

k’^K

Если положить

. е = a — J Mg (0 rfp. (0.

flg>k

то e>0 в силу непрерывности справа функции^ и e^v(k—0) — v(k).

Определим ср0 в соответствии с соотношениями (16.1.2) таким
образом, чтобы при этом имело место равенство

J % (о £'

f/g=k

которое, очевидно, возможно вследствие заданных границ для е.

Для доказательства того, что функция ср0, определенная с помощью
числа k, искомая, мы можем прямо проверить, что для любого ср(^),
для которого почти всюду имеют место неравенства О^ср

(/ — &£• <р —?о)=£О.

40 Зак. 1789
и, следовательно,

(/. ?) — (/»	?) — (£» <Ро)] =	?) — *]•

Поэтому (/, <р0)>:(/, ср), как только (g, ср)<а.

Аналогичная задача. Пусть функция g(t) определена, как и
раньше, а /(/) — интегрируемая функция (не обязательно положи-
тельная). Задача состоит в том, чтобы найти функцию ср(/), удовле-
творяющую ограничениям

т

0<<р(О^М, J g (f) ср (0 dp. (О = а,

О

для которой значение (/, ср) максимально. Мы предполагаем, что
О < а < М. Решение тривиально, если а = 0 или а = Л4.

Заметим, что ограничение (16.1.1) заменено здесь более сильным
требованием (g, ср) = а. Это необходимо, так как функция / не пред-
полагается больше неотрицательной, и, следовательно, мы не можем
здесь заключить, как раньше, что для максимизирующей функции ср
должно выполняться соотношение (g, ср) = а, если заранее не огра-
ничимся только такими ср.

Решение этой задачи аналогично решению предыдущей. Преобра-
зование ср ->[(£*, ср), (/, <р)] переводит множество измеримых функ-
ций ср (0 ср М) в выпуклое множество Г из Е2. Это множество
имеет упомянутую опорную плоскость в точке с абсциссой £ = а,
и уравнение этой плоскости имеет вид =	где & не обяза-

тельно положительное. Решение ср0 связано с k следующим образом:

т0 ?o(0 = ^f;

если	л

£(О [ < А, то ср0 (t) — 0.

Там, где f (f) = kg (/), значения ср0(/) подчинены только ограничениям
т

f ^(^g(t)dv-(t) = a., 0±s<p0(O=sA1.
О

Там, где g(/) = 0, мы предполагаем, как раньше, что /(f) = 0, так
что такие точки не оказывают влияния на решение.

16.2*	. Приложение леммы Неймана — Пирсона к одной ва-
риационной задаче. Характеристика решения задачи Неймана —
Пирсона [см. (16.1.2)] может быть использована для решения нели-
нейных вариационных задач некоторого частного вида. Поскольку
затронутый аппарат будет необходим для анализа дуэлей пуле-
метчиков, мы отвлечемся на минуту от нашего сугубо теоретико-
игрового направления и обсудим использование этого аппарата для
нелинейной вариационной задачи, представляющей и некоторый неза-
висимый интерес. .

Изложим идею метода следующим образом: задача состоит в том,
чтобы определить функцию ср(/), которая максимизирует (минимизи-
рует) интегральное выражение, содержащее вогнутую (выпуклую)
функцию ср, подчиненную линейным неравенствам. С помощью неко-
торого преобразования интегрального функционала от ср мы сводим
эту задачу к задаче, к которой применяется решение Неймана—Пир-
сона, с одной важной оговоркой: в обозначениях п. 16.1 реше-
ние ср0(£) входит теперь в функцию /. Таким образом, решение
задачи Неймана — Пирсона определяется в неявном виде; при этом
мы не гарантированы от противоречий, которые могут содержаться
в этом решении.

Однако при помощи- тщательного анализа и изобретательности
часто можно найти непротиворечивое решение, удовлетворяющее
ограничениям. Это осуществляется путем введения подходящих пара-
метров, определяемых из естественных соотношений задачи. Непро-
тиворечивость решения должна быть впоследствии проверена.
Мы проиллюстрируем этот процесс следующей вариационной задачей.

Задача. Пусть F (х), где 0<Г (х)< Л,—дважды непрерывно
дифференцируемая, функция, для которой Fz(0)>0 и 7?//(х)<0.
Пусть, далее, v(t) положительная, строго убывающая, непрерывная
и интегрируемая на [0, оо) функция. Пусть, наконец, функция y(t)
интегрируема и подчинена условию

ОО

.у<р(/)<#==5а (а>0, cp(f)S=O),	(16.2.1)

о.

а в остальном произвольная.

Мы хотим выделить в классе всех таких функций функцию <р0 (О»
для которой функционал

ОО

f	(16.2.2)

о

максимален.

Этой задаче можно приписать следующее физическое содержание.
Пусть ср(/) — скорость добычи нефти в момент t из бассейна извест-
ного ограниченного объема а, а [<р(/)] — прибыль, соответствую-
щая <р(/). Функцию F можно считать вогнутой, так как расходы
выражаются выпуклой функцией. Пусть F[cp(/)]^(O есть ценность
будущих прибылей в настоящий момент; здесь v(t) является функ-
цией скидки.
Наша задача состоит в том, чтобы найти оптимальную функцию
добычи <р0(О» удовлетворяющую условию (16.2.2), такую, что

ОО

f <pQ(t)dt-Za (То(0=£=О).
о

Решение. Заметим сначала, что если решение <p(f) существует,
то оно единственно. Действительно, пусть (/) — любая другая функ-
ция, максимизирующая интеграл, и пусть

B = max J F (01 v (t) dt.

* о

В силу строгой вогнутости

F14 (0 + (1 - X) Т1 (01 > XF [% (01 + (1 - X) F [?1 (01

для всех t, для которых ?0(О	<Р(0> и, следовательно,

ОО	ОО

f F [Х?о (0 + (1 - X) ?! (01 ® (0 dt X f F [?0 (01 v (0 dt +

О	о

4-(l—X)J F^it^vttydt^B.	(16.2.3)

О

Так как В является максимумом, мы имеем в соотношении (16.2.3)
равенство. Из предыдущего неравенства мы заключаем, что ср0 (/) = <рх (/)
почти всюду.

Приступим к доказательству следующей леммы, которой мы вос-
пользуемся в дальнейшем. (Заметим, что, поскольку производная F'
строго убывает и непрерывна, обратная ей функция F'-1 сущ^ твует
и также строго убывает и непрерывна.)

► Лемма 16.2.1. Пусть

А*о) = f F'~' (--:%у(<о) )^.

О

где функции F, v удовлетворяют условиям предыдущей задачи.
Тогда

lim J(^o) = O, lim J(/0) = oo.

/0“>0	(q~>CO

Доказательство. Соотношение

lim J(/o) = О

/о
является немедленным следствием того, что подынтегральное выраже-
ние является убывающей непрерывной функцией, которая сама стре-
мится к нулю при /0—>0. Чтобы доказать второе утверждение
леммы, выберем сначала е (0 < е < 1), фиксированное таким обра-
зом, чтобы выполнялось равенство

F'"1 [/’'(OXI—е)] = 8 (8 > 0).

Затем по данному произвольно большому п возьмем 7=п/8. Выбе-
рем, наконец, произвольное Zo > t так, чтобы выполнялось неравенство

Тогда для t <t мы имеем

А «СО )
и

А-
6	’	о

Рассмотрим теперь эквивалентную задачу, решение которой полу-
чается в результате использования леммы Неймана — Пирсона. Пусть

оо

/(*)=f нчда+и—
о

оо

/' (X) = f F' (Хср0 (/) + (1 - X) ср (01V (/) [ср0 (0 - ср (01 dt,
О

оо

/"(Х) = f /7"[Хсро(о+(1-Х)ср(О]^(О1?о(О—?(012^<0.
О

где мы для простоты изложения предположили, что вторая переста-
новка дифференцирования и интегрирования справедлива.

Таким образом, / (X) является строго вогнутой функцией К.
Если <р0 является решением первоначальной задачи, то / (К) дости-
гает своего максимума при Х=1. Это возможно в том и только
в том случае, когда Г (Х)^0. Именно ср0 (/) является решением
тогда и только тогда, когда для любой другой функции ср (7), для
которой

ОО

fy^dt^a (а> 0, <р(/)^0).	(16.2.4)
выполняется неравенство

ОО	ОО

f F4<po(/)jv(O<Po(O^s= f F'\^(t)\v^<f(t)dt. (16.2.5)
о	о

Предположим, что функция ср0(^), удовлетворяющая неравен-
ству (16.2.4), такова, что для некоторой фиксированной функции ф(/)
неравенство

ОО	ОО

f F'W(t)lv(t)<?0(t)dt>f F'^Wv^^dt (16.2.6)
о	о

выполняется для всех ср (/), удовлетворяющих соотношению (16.2.4).
Тогда если на самом деле ср0 (t) = ф (/), то ср0 (t) является решением
первоначальной задачи, так как соотношения (16.2,4) и (16.2.5)
выполняются.

Ограничимся теперь рассмотрением таких функций ср(/), что
0^ср(/)<Л4 для	и ср(/) = 0 для t^>T. Мы можем

решить эту ограниченную задачу, используя результаты Неймана —
Пирсона.

Решение cp0(Z) может быть описано следующим образом. Пусть k
определяется из условия

т

J — а.

О

	>k,	TO	<Po(0	
	< k.	TO		= 0,
Тогда если F'[’|'(01t’(0.	= k.	TO	<Po(0	— произвольная (16.2.7) функция, удо- влетворяющая  условию 0^сро(О^Л1.

С помощью несколько искусственного приема найдем теперь функ-
цию ф(£), согласующуюся с решением Неймана — Пирсона ср0(/),
имея в виду данное выше описание этого решения.

Ввиду ограничения

т

f

о

мы можем считать, что функция ср0(/) никогда не достигает значе-
ния М, если только М с самого начала выбирается достаточно боль-
шим. Кроме того, на любом интервале, где F' [ф (/)] v(t) — kt
мы должны иметь ф(/) = /7/ Ч&Л'ЮЬ Таким образом, „кандидатом
в ф(/)“ может быть функция

(F'-’tWOL 0</</0,
V<-)_ j О,

Тогда

( k, 0< / < tQ,.
nt'OTl«(O = { F,m„w

Если мы возьмем k = F' (0) v (70), то

(16.2.8)

f F'(O)v(/o) = fc,

/0 <;/<?.

Такой выбор k не должен вызывать удивления, так как он обеспе-
чивает непрерывность ф (t) в точке /0. Можно показать, что любой
другой выбор приводит к противоречию. Чтобы удовлетворить оче-
видным требованиям совместности, возьмем в соответствии с усло-
виями (16.2.7) в качестве М постоянное число, большее чем ф(О.

Выберем на основании леммы 16.2.1 /0 так, чтобы

Г' (O)v(M
г(0



Затем для	мы имеем

?о(0 =

,-i ( F'

\	v(0 Г

(16.2.9)

о < t /0,

Мы можем проверить, что так определенная функция <р0(/) удовле-
творяет условиям (16.2.7), где ф(/) = <р0(/). Следовательно, <р0 является
решением первоначальной задачи, если допустимые функции <?(/)
подчинены следующим дополнительным условиям: они равномерно
ограничены числом М и равны нулю вне фиксированного интер-
вала [0, Т].

Однако любую функцию <р(/), подчиненную условию

можно аппроксимировать последовательностью ограниченных функ-
ций <рп(/), равных нулю вне компактных множеств. Эта аппрокси-
мация осуществляется так, что

ОО

f (Fl'pW-F
о
Отсюда вытекает, что функция <р(/), определенная соотно-
шениями (16.2.9), является решением вариационной задачи по отно-
шению ко всем возможным ср, удовлетворяющим условию (16.2.1).

16.3.	Дуэль снайпера с пулеметчиком !). В этом и в последую-
щем пунктах мы приведем решение игры, сформулированной в п. 10.4,
которая описывает дуэль между снайпером, способным выстрелить
лишь один раз, и пулеметчиком, способным вести непрерывный
огонь. Мы будем рассматривать здесь небольшое видоизменение этой
задачи, которую мы будем интерпретировать как рекламную борьбу.
Основные черты решений этих двух задач совпадают. Модель может
полностью и не соответствовать встречающейся в жизни ситуации,
но она указывает, какого типа разумные рекомендации, касающиеся
поведения участников этой ситуации, вытекают из анализа игро-
вых задач.

Рассмотрим конкуренцию между двумя дельцами, мистером К
(Крупный) и мистером Л4 (Мелкий). К процветает и имеет устойчи-
вый круг клиентов Л4 находится на краю банкротства. В некоторый
момент 0 на сцену появляется потенциальный заказчик. Он может
решить не покупать вообще, но если уж покупает, то одному из
концернов (и притом только одному) будет сделан большой заказ.
Заказ этот достаточно велик, чтобы поставить ЛЬ на ноги, однако,
чтобы не вылететь в трубу еще до заключения контракта, Л4 должен
получить заказ до определенного времени (назовем его временем 1).
В момент 0 К и Л4 вступают в рекламную борьбу. Так как /И,
несомненно, будет вынужден бросить дело, если он не обеспечит
себе этот заказ, то К будет рассматривать как победу даже такую
ситуацию, когда покупатель решит не покупать вовсе. Л4 выигры-
вает, если он обеспечивает себе заказчика в нужный срок, К выигры-
вает, если заказчик не покупает вообще или если заказ получает /С.
При надлежащей интерпретации характеристик полезности участни-
ков игра имеет нулевую сумму.

Мы предполагаем здесь, что только К или М могут получить
заказ и что именно реклама будет решающим фактором, определяю-
щим решение заказчика. Отметим следующее обстоятельство: пре-
имуществом К является возможность распространить свою реклам-
ную деятельность на весь период, в то время как для М лучше
всего сконцентрировать свои ресурсы на одном продуманном меро-
приятии. Каждый должен, исходя из своих целей и возможностей,
решить, когда заниматься рекламой.

Мы предполагаем, что сопротивление потребителя рекламе убы-
вает со временем. Кроме того, мы предполагаем, что психология
заказчика такова, что все предыдущие рекламы, которые уже поя-

*) См. примечание на стр. 444. — Прим, перев.
вились, не оказывают на него влияния, когда он читает данную
рекламу.

Мы сформулируем теперь кампанию, как математически непре-
рывный процесс. М выбирает для осуществления рекламы момент
времени t из [0,1], а К выбирает темпы расходования средств,
которые подчинены следующим ограничениям:

1

0<р(0<1. J p(t)dt = 8 < 1,	(16.3.1)

о

где В соответствует деньгам, ассигнованным дельцом К на реклам-
ную кампанию (другими словами, если К расходует деньги с макси-
мальной скоростью, то они будут израсходованы в течение вре-
мени 8).

Пусть а(/) — вероятность успеха Л1, если он рекламирует
в момент Z, a r(Z) представляет вероятность того, что вложение
одного доллара в момент t обеспечит заказ для /С, если он до того
времени еще не будет размещен. [Говоря более точно, r(t)p(t) есть
плотность вероятности, соответствующая скорости расходов p(Z).]
Как уже отмечено, мы предполагаем, что как г (t), так и a(t)
со временем возрастают.

Для фиксированных стратегий, момента t для Л4 и скорости рас-
ходов р(7) для К вероятность выигрыша Л4 равна вероятности того,
что заказчик будет сопротивляться К до момента /, а затем усту-
пит М. Пусть <р(/, р)— вероятность сопротивления заказчика рек-
ламе /< в течение интервала [0, /]; тогда из предположения о неза-
висимости мы имеем

(г	\

— f p(u)r(u)duj	(16.3.2)

о	/

(доказательство этой формулы читатель может найти в п. 10.4).

Когда /С (игрок II) использует стратегию p(t), а Л4 (игрок I)
действует в момент /, функция выигрыша /С[/, р(/)] равна

K[t, pW = *a^[t, р(/)1 — ₽{1-?[Л Р(О1}-

-₽?[Л р(0Ш-^(01 =

= [(а +?)а (/)]?(/, р)-р,	(16.3.3)

где а — выигрыш М, если М выигрывает заказ, а р— выигрыш /С,
если М становится банкротом. Коэффициенты при этих выигрышах,
очевидно, равны вероятностям соответствующих событий в условиях
выбора стратегий t для М и p(f) для /С.
Выигрыш в условиях смешанной стратегии х игрока М и
выбора р игроком К получается усреднением на пространстве чистых
стратегий:

1

К(х, р) = f K(t, p)dx(t).	(16.3.4)

О

Опишем теперь решение игры с ядром К (х, р) (доказательства будут
даны в следующем пункте). С этой целью положим

• Ь Л'(О \
w(z) = min(.l’ л(/)г(о)’

где Л (/) = (а-|-Р) я (О* (В случае дуэли снайпера с пулеметчиком
A(f) = aa (О+Р’ см стр. 434.) Решение, данное ниже, справедливо
только в том случае, когда отношение

строго убывает по Л Это будет выполняться, например, когда функ-
ция loga(/) вогнутая. Далее мы увидим, что только множество
точек, для которых #(/)<1, может быть существенным для опти-
мальной стратегии игрока II; наше предположение гарантирует, что
такое множество в наихудшем случае состоит из одного интервала.
При рассмотрении общего случая анализ остается тем же самым,
но требует утомительных выкладок, которых особенно много при
нахождении более трудного типа стратегии игрока II, представляю-
щей собой скорость расходов, распределенных в тех непересекаю-
щихся интервалах значений Л где #(/)<1. Мы приняли наше
предположение для того, чтобы избежать этих непринципиальных
сложностей; все основные особенности общего ответа сохранены,
так же как и главные элементы доказательств. Следует добавить,
что большинство встречающихся на практике вероятностных функ-
ций a(t) и г (0 таково, что предположение об убывании b(t) в самом
деле выполняется.

Введем теперь следующие два параметра. Пусть d — единствен-
ное значение из промежутка [0, 1], удовлетворяющее равенству

A' {d) _
A(d)r(d)

(если такое значение существует). Если в единичном интервале
ни одного решения этого уравнения не содержится, то положим d— 1,
когда всюду в [0, 1] имеет место неравенство

A'(t)

Л(Ог(О Ь

и d = 0, когда выполняется противоположное неравенство. Далее,
мы рассмотрим только тот случай, когда d существует. Другие слу-
чаи предоставляются читателю в качестве упражнений.
Если
1
J w(f)d/ = 80>B,
О

то выберем ct чтобы выполнялось соотношение
1
J =
С

Решение игры может быть теперь описано в терминах величин
w(/), end. Рассмотрим отдельно три случая.

Случай 1. 80 > 8, с < d. Оптимальная стратегия игрока 11 равна
|	0,	0^7 < ct

PQ (О |	(/), С 1.

Оптимальная стратегия игрока I равна

	0,		0-	s/ <	'd.
*о(0 —	1 -	г (с) r(t) ’	d~	SJ! <	Z 1.
		1.	f=l.		

Случай 2. 80 > B, d <	; с. Оптимальная стратегия игрока II равна

| 0,
Ро (О | w с < 1.

Оптимальная стратегия игрока I равна

хо(О —	6,  1	г(О ' с^г<1'  1.	/=1.

Случай 3. 80<В. Оптимальной стратегией игрока II является
любая функция р0(/), удовлетворяющая условиям

(а)	Ро(О=1

(б)

(В)	fp0(t)dt = t>.

Оптимальной стратегией игрока 1 является вырожденное распределе-
ние, сосредоточенное в точке t = d.
В случаях 1 и 2 оптимальная стратегия каждого из игроков
единственна, в то время как в случае 3 игрок II имеет целое семей-
ство оптимальных стратегий, описанных выше, а также некоторые
другие оптимальные стратегии.

Если функция b(t) не монотонна, то оптимальная стратегия
игрока II состоит из интервалов, в которых функция p0(/) = w(/),
чередующихся с интервалами, в которых ро(/) = О.

В качестве примера рассмотрим случай {3 = 0, а=1, r(t) —
= А^(£>1), а(/) = /. Тогда

=	d = ±,	=

если

k — \
k2

< В Во, то с = 80 — о d,

т0 c=rrw>rf-

На основе приведенного выше описания мы можем получать теперь
различные виды решений.

16.4*. Решение дуэли снайпера с пулеметчиком. Так как
постоянная {3 в соотношении (16.3.3) не влияет на множество опти-
мальных стратегий, изучим общую игру с функцией выигрыша

(t

— J du

о

где 0t1, а функция р(и) подчинена условиям (16.3.1). Мы
предполагаем, кроме того, что A (t) >0, Af (f) > 0 и г (и) > 0,
г' (и) > 0 и что

# (А = ../*'(0

— строго убывающая функция Л Первые две группы условий в нашей
модели удовлетворяются, а последняя является дополнительным пред-
положением, касающимся функций меткости r(t) и a(f)t значение
которых мы выяснили в предыдущем пункте.

Стратегии, Стратегиями игрока II будут функции р(£), удовле-
творяющие условиям (16.3.1), а смешанными стратегиями игрока I
будут вероятностные распределения x(t) на единичном интервале.
Соответствующий ожидаемый выигрыш будет равен

J V (tt p)dx(t} — J A (Z)exp

t	.

— J p{u)r (u)du\dx(t).

о	/
Тот факт, что игра имеет значение и оптимальные стратегии,
может быть выведен из абстрактной теоремы о минимаксе. Факти-
ческое указание оптимальных стратегий для этого примера будет
дано в этом пункте далее. Следующая лемма является основной.

к Лемма 16.4.1. Если существуют такие две допустимые
стратегии px(t) и p2(t), что V(/, p{)>V(tt р2) для всех tt то
p1(t) = p2(t) почти всюду.

Доказательство. По предположению,
t	t

J r (#) Pi du^ J r (zz) p2 (u) du.

о	0

Следовательно, если мы положим f (и) — р2(и)— p^zz), то
, t

ф(0 = J '"(«)/(«) du^Q,
О

и (и) = г (и) f (и) почти всюду. Но
1 1 1

= f f(“)du = f [p2(u)-p1(U)]da = 3-5 = O.

ООО

С другой стороны, интегрируя по частям, мы получим

причем	'tS+/(*<“)!•	(,6-41)  | г(в) |= r(e) f f(u)f(u)du =s f\f(u)\du->0.  ’	0	0

Так как оба остальных члена в соотношении (16.4.1) являются не-
отрицательными, мы заключаем, что они оба должны стремиться
к нулю, откуда

1

f ['’(ОР г'dt~°'

Поскольку ф > О,
всюду / = 0.

Положим

то ф (t) = 0 почти всюду. Таким образом почти

w(/) = min 1,

л (О Г (О

где постоянные с и d определены ранее.
Случай 1. Во > В, с < d. Положим

Ро (О j w с < 1.

Ожидаемый выигрыш в условиях этой стратегии равен

(1)	при

1/(/, ро)=Л(О;

(2)	при

(i

— f r(a) da

c

Поэтому в области (2)

(/ \

— J r(a)du j [A'(f) — A(t)r (Ob
C	/

Ho

1	< „«O. .

так что производная V' (О р0) для t <d строго положительна и
функция V (t, pQ) возрастает; ее максимальное значение достигается
в точке t — d и будет обозначаться через

(3)	при d^,t^. 1

(d \	/	* \

— f r(u)dujexp l — f	) =

с	J •	\ d	/

( d	\

— J*	) = Alj.	(16.4.2)

C	/

Эти результаты могут быть объединены в следующей записи:

max V(t, Pq) = Mv

и это значение достигается только при d^t^l.

► Лемма 16.4.2. Для любой стратегии р =£ pQ

maxV(/, p)>maxV(/, р0),
t	t

а, следовательно, pQ является оптимальной стратегией
игрока II (в случае 1).

Доказательство. По лемме 16.4.1, если р -Ф то суще-
ствует такое значение Г, что V (/*, р) > V (/*. />0). Заметим сначала,
V (t, р) = A (d) exp I — J* г (и) р (и) du
\ о

что t* не может находиться между 0 и с так как в этом проме-
жутке pQ дает функции ср(/, р) наибольшее значение. Однако если
с < d, то

(d \

— J г (и) р (и) du | —
t*	J

/ d

=	^exP(— f r(ti)p(tt)du

\

Аналогично
/ d

V{d, p0) = V (/*, Po)exp(— fr(u)du
\ t*

Ясно, что, поскольку р<1и V(/*, р)> V(/*, p0), мы должны имен.
V (d> p)'>V(dt pQ) = Mv - Если	то из неравенства

V(t\ p)>V’(/*, p0) следует, что V (/*, p) > Mv Таким образом,
в любом случае

V (t, р) > Мх = max V(t, р0)
t

для некоторого t.

Оптимальная стратегия игрока I. Если стратегия х0 опти-
мальна, a v — значение игры, то для любого р

1

JV (t, p)dx0(t)^v,
О

в то время как
1
/ V(t. p0)dx0(t)=v.
о.

Положим
1
/(X)=JV[A Хр0 + (1 -X)p]dx0(t) (0±sX==sl).
о

Тогда

1 /	* \

Z'(X) = fV[t, Хр0 + (1 — X)p]l — J r(u)[p0(u) — p(a)]du )dx0(t),
о	\	о	/

1 / * \а

l"	= fV	Х^о+( 1 — х) /И I — Jг (а) [р0 (и)—р (а)] da]dx0 (t) > 0.

о	\ о	/
Таким образом, I (X) является выпуклой функцией X, которая дости-
гает минимума при Х=1. Это возможно в том и только в том слу-
чае, если
т. е. если

1 / z * \

f V (t, Ро)м r(u)iP(u) — Po(u)]du\dxQ(t)^O.

о	\0	/

Изменяя порядок интегрирования, мы замечаем, что

1 / 1	\

max J р (и) г (и) I J V(t, pQ)dxQ(t)\du (16.4.3)
р О	\п	/

достигается для р = р^. Поскольку множество функций, по кото-
рому берется максимум (16.4.3), подчинено ограничениям (16.3.1),
мы можем обратиться к лемме Неймана — Пирсона, которая опре-
деляет нам функцию р$(ц) следующим образом: для некоторого k

если r(rz) J И (Л p0)tfx0(/)
и

> kt

< k,

то р0(и)=1,
то 0<р0(я)^1,
то ро(и) = О.

Так как отношение

А (Q

Л(0г(0

строго убывает, мы знаем, что 0 < /?0(/)< 1, если d</<l, так
что в этом промежутке должно выполняться указанное выше равен-
ство. Следовательно, в силу соотношения (16.4.2) мы имеем
г (ц) Мх [ 1 — Xq (//)] = k для d < и < 1, так что

k 1

х0(и)— 1

Му ’ г (и)

(d<u< 1).

Кроме того, распределение х0(/) будет сосредоточено в интервале
[d, 1], в котором функция V (t, р0) принимает наибольшее значение,
так что xQ(iT) = 0 (0^#<d).

Для того чтобы оценить постоянную k, заметим, что из опреде-
ления Pq следует

1

r(u)fv (t, pQ) dxQ (t) < k
u

для и < с, в то время как для и > с выполняется противоположное
неравенство. Так как эта величина в точке и = с непрерывна, то
для этого значения и должно выполняться равенство. Тогда, поскольку
в интервале [d, 1], где полностью сосредоточено распределение х0,
V (t> pQ)=:Mv должно быть г (с) Мх = k и, следовательно,

Хо(«)=1----(d < « < 1).

В частности, x0(tf+)=l—г(с)/г(й), так что в точке u — d мы
имеем скачок 1 —r(c)fr(d). Скачок в я = 1 имеет величину г(с)/г(1).

Случай 2. 80 > 8, с > d. Положим
Г 0,	0</<с,

Ро (О j w с <t < 1.

Ожидаемый выигрыш имеет следующий вид:
(1) для < с

V(tt pQ) = A(t)< Д(с);

(2) для с 1

р0) = Д(с)

и, в частности, maxV(/, р0) = А (с) = Л42.

к Лемма 16.4.3. Если p(t) =£ pQ(f), то max V (t, p) > max V(t, pQ)
t	t

и, следовательно, p$(t) является оптимальной стратегией
игрока II.

Доказательство. По лемме 16.4.1, существует значение t*,
такое, что V(t\ р)> V(f*, р0). Но не может находиться в интер<
вале [0, с], так как в этом интервале стратегия р0 делает выигрыш
максимально возможным. Поэтому t* находится в интервале [с, 1],
так что V (t*t р) > Л42 = max V (t, pQ).

t

Оптимальная стратегия игрока I. Метод, примененный в слу-
чае 1, характеризует теперь р0 — оптимальную стратегию игрока I —

следующим образом:

1
если r(u)J V (t, Po)dxQ(t)
и

>k, ТО р0(«)=1,
= k, то 0<p0(«)=sl,
< k, то ро(н) = О.

Но из явного представления р0 мы знаем, что первый случай никогда
не встречается (за исключением этой возможности для точки с, если
с = d), в то время как вторая возможность справедлива для с < и < 1,
где V(t, р0) = М2. Тогда

г (и) Л42 [ 1 — х0 («)] = k {с < и),

41 Зак. 1789
ИЛИ

(с<“)- <16л4>

Для того чтобы оценить k, заметим сначала, что при
ро(/) = О, так что

1

г (и) J V (t, pQ) dxQ (/) < £	(0 и < с),

и

Но хо(О должно быть сосредоточено в интервале [с, 1], где выигрыш
при использовании стратегии р0 максимален. Поскольку для

V (t, po) = M2i мы получаем

1

г(и)^У(1, p0)dx0(t) = r(a) Л42<й	(O^rz<c).

и

Следовательно, г (с) М2<&. Однако если предположить, что выпол-
няется строгое неравенство, то из соотношения (16.4.4) следует, что

а это абсурдно. Поэтому k = M2r(c) и

х0(и)=1 —	(c=s«<l).

Наконец, из равенства х0(1)=1 следует, что распределение х0
имеет скачок в точке и=1, равный г(с)/г(1).

Случай 3.	Покажем, что оптимальная стратегия игрока I

равна Id (вырожденное распределение, сосредоточенное в точке t = d)
и что любая стратегия p0(/)>w(Z) оптимальна для игрока II. Такая
стратегия обладает свойствами

(1)	/>„(()=! (Oslsi),

(2)	(<JS(=1).

(3)	f p0(t)dt = Z.

Ожидаемый выигрыш V (t, p0) равен

(1)	при 0 t < d

(t	\

— J* r(u)du],
о /

/ * \

V'(t, p0) = exp — J r(u)duj[A'(t) — A(t)r(t)l>0;

\ о /
тогда

(d \

— J г (и)du j =Af3;

О J

(2)	при

(d	\	/	t

— J r(u)du | exp I — J
o	/	\	d

В частности, тахУ(Л p0) = M3.
t

к Лемма 16.4.4. Если р =/= р0, то тахУ(Л /7)>maxV(/, р0),
t	t

так что р0 является оптимальной стратегией игрока II. On-
тимальная стратегия игрока I равна Id. а значение игры
равно М3.

Доказательство. В интервале [0, d] мы имеем	=

= /70(О- Следовательно,
(d \

— J r(w) p(u)du

о	/

(d \

— J* r(u)du I = М3.

о J

Поэтому, для того чтобы помешать игроку I получить выигрыш, боль-
ший чем М3, игрок II должен применить стратегию, которая почти
всюду в [0, d} равна 1. Для доказательства того, что любая стра-
тегия того же вида, что и р0, оптимальна, мы заметим, что если
игрок I использует d, он может гарантировать себе выигрыш, рав-
ный по крайней мере М3. Таким образом, М3 является значением
игры, а стратегии р0 и Id оптимальны.

16.6*. Дуэль двух пулеметчиков.

Пусть игроки I и II обладают боеприпасами соответственно в ко-
личествах а и р. Вероятности попадания, когда они стреляют друг
в друга с расстояния 5, равны B(s) для игрока I и 7](s) для игрока II.
Предположим, что функции Е и непрерывны, строго убывают и,
кроме того, что

5 (0) = т? (0) = 1, $ (оо) = 7] (оо) = 0.

Стратегиями в игре являются интегрируемые функции x(s) и
у (s). Эти функции, которые описывают интенсивность огня, когда
два противника находятся на расстоянии s друг от друга, подчинены
очевидным ограничениям

О < х ($), у (s) < 1
и
оо	оо

J* х (s)ds = a, J y(s)ds = p.
о	о

[Выражение x(s)t(s)ds можно рассматривать здесь как вероятность
успеха игрока I в интервале (s, s-j-ds), если он применяет тактику
стрельбы х (5).]

Если противники выбирают стратегии х и у и приближаются
один к другому без отступления, то вероятность того, что они оба
будут живы, оказавшись на расстоянии 5 друг от друга, будет обо-
значаться через Qxy (s'). Эта вероятность равна произведению вероят-
ности того, что оба будут живы, находясь на расстоянии s-\-h
друг от друга, на условную вероятность того, что они выживут при
изменении этого расстояния от s-\-h до 5.

Для малого h вероятность того, что игрок I будет уничтожен
в промежутке	приближенно равна У ($)?}($)/г, следова-

тельно, вероятность того, что игрок I выживет, равна 1—У ($)?)($) А 4-
+ О(А). Так как подобное рассуждение справедливо и для игрока II,
мы заключаем, что для достаточно малых h

Qxy (s) = Qxy	—x(s)5(s)Zt][l —y(s)T](s)A] + o(A).

Тогда

Q' (s)
о (s} = X ($) $ (s) + у (s) 7) (s).

Если мы проинтегрируем это уравнение от оо до s и положим
Qxy (со) = 1, то получим

(°° \	/ 00 \

— J* x(t) l(t)dt | expl— J* УЮ^СО^]* (16.5.1)

5	J	\ s	/

Для того чтобы упростить обозначения, мы положим

Qx (s) = exp J	Qy (s) = exp (— j" у(t)у(t)dt].

\ s	/	\ s	J

Tогда QXy (s) = Qx (s) Qy (s).

Функция выигрыша. Игрока I мы будем считать максимизирую-
щим; если игрок II погибает, то выигрыш игрока I будет равен 1,
в остальных случаях выигрыш будет равен нулю. Если игроки
выбирают стратегии х($) и y(s), т0 выигрыш равен вероятности гибели
игрока II, которая, очевидно, равна

ОО	ОО

f Qxy(s)^s)x(s)ds= f Qy(s)dQx(s) = K(x,y). (16.5.2)
О	о

Мы решим эту игру для некоторых важных случаев.

Другие варианты дуэлей могут быть построены с помощью при-
писывания различных значений выигрышей тем или иным ситуациям.
Например, мы можем представить себе симметричный случай, когда
игрок I выигрывает 1, если его противник гибнет, теряет 1, если он
гибнет сам, и не получает ничего в остальных случаях; тогда значе-
ние ^функции выигрыша в условиях выбора стратегий х и у равно

L (х, у) = J Qx (s) Qy (s) [£ (s) x (s) — 7j (s) у (s)] ds.

К сожалению, методы, которыми решается игра (16.5.2), непри-
менимы к игре L (х, у), так как L не является вогнутой функцией х
и выпуклой функцией у. Следовательно, значение игры А(х, у)
в терминах описанных выше множеств стратегий обычно не опреде-
ляется. Фактически эта игра полностью относится к категории II.

Игра (16.5.2) может быть также интерпретирована как реклам-
ный конфликт, в соответствии с изложенной в п. 16.3 рекламной
интерпретацией, с тем отличием, что здесь обе фирмы применяют
стратегию распределения своих рекламных расходов. Игрок I имеет
в своем распоряжении а долларов, игрок II — р долларов и т. д.,
остальные детали интерпретации ясны. Вернемся теперь к анализу
игры (16.5.2).

Необходимые условия, налагаемые на оптимальные стра-
тегии. Существование оптимальных стратегий для игры (16.5.2)
является следствием общей теоремы существования. В этом параграфе
мы начнем с предположения о существовании оптимальных страте-
гий х0 и у0, а позднее, применяя аппарат Неймана—Пирсона, дока-
жем это и точно.

Положим с этой целью

ОО

/(*)=У Qxyo+(1_A)y(S)dQXo(S) (0<Х=£1).
о

ТОГДЭ ОО	со

•/'(М = У Qxyo+(i-x)y(s)I — У [уо(О — У(0]'»1(0^]dQXa(s),

О	\	5	/

со	?	2	(16.5.3)

Z(^) = y <?ху.+(1-х)у(5)|-У [Уо(О-У(ОИ(О^1 dQX}(s).

о	\ J	J
Ясно, что /'(Х)>0; следовательно, J(X) является выпуклой функ-
цией К. Так как у0 — оптимальная стратегия минимизирующего иг-
рока, функция J(X) достигает минимума в точке Х=1. Для выпук-
лой функции это возможно в том и только в том случае, если

Следовательно в силу соотношений (16.5.3) выражение

f Qy,(s) f у(мо<» ад

О	\5	/

достигает максимума при у = у0. Изменяя порядок интегрирования,

мы можем утверждать, что

СО	/ t	\

f У (WO I f Qyo(s)dQxo(s)
0	\ 0	/

(16.5.4a)

достигает максимума при y(£) = y0(/); при этом максимум берется
по всем функциям у(^), подчиненным ограничениям

0<; у(0< 1,

f y(t)dt = ?.
о

(16.5.46)

Для получения аналогичной характеристики стратегии х0(/) заметим
сначала, что интегрирование по частям дает

f Qy (s) dQx (s) = 1 - I Qx (0) Qy (0) + f Qx (s) dQy ($)
0	\	0

Положим теперь

сю

l(К) = Qxxo+(1->0a-(O) Qy0 (0)4- j* Qxxo+(i-x)jf (5)	(s).

0

Анализ, параллельный предыдущему, обнаруживает, что /(X) — вы-
пуклая функция X, и, поскольку стратегия х0 оптимальна, /(X) до-
стигает минимума при Х=1. Это утверждение эквивалентно нера-
венству
а это в свою очередь требует того, чтобы максимум выражения
f Qxo (0) Qy, (0) х (0 (t)dt + J x (/) t(t) I f Qx. (s')dQy, (s)j dt
о	0	\0	/

(16.5.5a)

достигался при x(t) = x0(/), где максимум берется по множеству
функций x(t), подчиненных ограничениям

оо

0<х(/)^1, f x(t)dt = a.	(16.5.56)

О

Так как у0 и х0 максимизируют выражения (16.5.4а) и (16.5.5а)
при условиях (16.5.46) и (16.5.56), метод Неймана—Пирсона приво-
дит к следующему описанию этих функций. Пусть

t

H(t) = f Qy.(s)dQx,(s)	(16.5.6)

О

и

t

к (f) = QXa (0) Qy, (0) 4- f QXq (s) dQy0 (s),	(16.5.7)

0

тогда существуют такие положительные постоянные h и k, что

	h  > 1(0 ’	ТО	Уо(^) = 1>	(1)
если Hit)		 h	то	0<Уо(0=£1.	(2)
	^(t) ’			
	1(0 ’	то	Уо(0 = 0;	(3)
	k  >w>’	то	x0(t) = 1,	(4)
если К it)	k  ~~ е (о ’	то	0<;x0(O=sl,	(5)
	k  < 5(0 ’	то	ХО (0 = 0-	(6)

Заметим особо, что, поскольку функции //(/) и K(t) зависят от
решений х0(£) и y0(f), необходимо проверить, что вытекающие из
метода Неймана — Пирсона характеристики функций совпадают ста-
новыми для х0 и у0, использованных при вычислении H{f) и Kit).
Говоря точнее, мы должны найти такую пару стратегий xQ и у0,
удовлетворяющих условиям (16.5.46), (15.5.56), что, когда H(t) и
К (t) вычисляются через х0 и у0, существуют такие постоянные h
и kt что xQ и у0, определенные в соответствии с соотношениями
(1)—(6), совпадают с исходными х0 и у0. Замечательным является
тот факт, что, разумно применяя соотношение Неймана — Пирсона,
мы обязательно придем к решению. Применяемые здесь методы были
уже продемонстрированы, хотя и менее полно, на решении вариа-
ционной задачи (п. 16.2).

Некоторые свойства функций H(t) и K(t).

(1)	Так как
t

= f Qyo(s)dQXo(s) =

О	t

— Qy0 (0 Qx0 (0 Qy0 (0) Qxq (0) J* Qxq ($) dQy^ (s),

0
TO

^0+K(0 = QVo (0.

(2)	Все функции H(t), Qxo(O и Qy0(O дифференцируемы
в любой точке непрерывности х0(/) и yQ(t). Кроме того, они абсо-
лютно непрерывны и не убывают по t. Наконец, поскольку и QXq
и Qyo неотрицательны, а Н и К тоже неотрицательны, из свойства (1)
следует, что H(t),

Следующие две леммы и основанные на них замечания подводят
итог некоторым основным свойствам оптимальной стратегии, которая
выводится с помощью соответствующих преобразований прямо из
соотношений (1) — (6). Такие рассуждения типичны для аппарата
Неймана — Пирсона, применяемого к нелинейным задачам.

►	Лемма 16.5.1. Существует невырожденный максимальный
интервал [0, /J, на котором yQ(t) = ^.

Доказательство. Достаточно проверить существование не-
вырожденного интервала с этим свойством. Предположим, что такого
интервала нет. Тогда для любого а > 0 существует такая точка в про-
межутке [0, а], что H(t)> Так как Н и т] непрерывны,
/У(0)>: Л/т](0) > 0, что противоречит очевидному факту //(0) = 0.

►	Лемма 16.5.2. На [0, должно быть х0(/)=!.

Доказательство. Из леммы 16.5.1 и соотношения (16.5.7)
следует, что в промежутке [0, К (t) = QXq (0) QyQ(0).
Если

<Ъ. (о>Q,,(0) s

то, поскольку В (/) возрастает,

К (^ = <^(0)^(0) <

Из непрерывности этих двух функций следует, что неравенство должно
выполняться также на интервале Ир ^ + 8], где 8 > 0. Тогда на
[0, /j + 8] по условию (6) хо(0 = О и, следовательно, в силу ра-
венства (16.5.6)	= Так как h должно быть больше нуля, то

Н (/) < hfr (/) и уо(/) = О на [0, ^4- 8], что противоречит выбору tv
Таким образом К (0) > &/Ц0).

Так как функции непрерывны, существует максимальный интервал
[0, £2], на котором /<(/)>£/£(/) и, следовательно, на [0, /2] по
условию (4) x(t)= 1. Лемма будет доказана, если мы сможем показать,
что /2 —^i- Предположим, .что /2 < ^р Тогда на (/2, 0) /С (0<&/^ (0,
поскольку К(t2) = k/Ч (/2) и В(0 убывает. Следовательно, xQ(t) = 0
(t2, 0). Тогда

Последнее неравенство требует, ввиду условия (3), чтобы в окрест-
ности tx выполнялось равенство уо(/) = О, а это противоречит вы-
бору /р Таким образом, лемма доказана.

Из условия ясно, что, поскольку и 5(0 стремятся к нулю,
а Н и К ограничены, функции хо(0 и уо(0 должны быть тожде-
ственно равны нулю, по крайней мере для интервала вида [/0, оо].

Наконец, если на некотором интервале Н= то диффе-
ренцированием мы получаем, что

<2Уо(№о (Ох0(ОЦО = -	(16.5.8)

там, где т/ существует, т. е. почти всюду. Таким образом, в этом
интервале х0(/)>0. Если в этом интервале

Y (0	1

^1(05(0

то хо(0 не может быть равным 1. Действительно, если хо(0=1, то
ь

и, следовательно,

к +	= QXo (t) <2Уо(О + 4г.

Но в силу равенства (16.5.8)

о о —	< ft

Wy0Wx0 —	Tt(t) •
Мы получили противоречие, которое и доказывает наше утверждение.
Таким образом, когда

Y (0	1

из соотношения Н= следует, что/<(f) = &/$(^); кроме того
в этом случае

там, где существует Из этого, а также из равенства (16.5.8) и
того факта, что QXQQyQ= h/ri-\- kfc, следует, что

_ Ц' (0	_ (О

*°—	 Уо— ае + ое’

когда соответственно существуют и , а Х = h[k.

Решение. Анализ игры (16.5.2) подразделяется на исследование
многочисленных случаев, в каждом из которых решения имеют раз-
личный вид, который сильно зависит также от природы функций
£($) и rj (s). Мы опишем здесь один тип решения и определим доста-
точные условия на | и т|, обеспечивающие его оптимальность.

Мы будем рассматривать решения следующего вида:
[x0(Z)=l,	[ хо^О,	(хо = О,

™ |0' ''Ь0и = о. <'' у I й+0. "а^“,)Ьо=0.

(16.5.9)

Такое решение полностью соответствует утверждениям лемм 16.5.1
и 16.5.2. Если решение вида (16.5.9) существует, то должно быть

и, следовательно, ввиду условия (1) и природы стратегий в интер-
вале [Z2> оо)

—_____I--— = 1

£&) ^(/2)

Другое необходимое условие состоит в том, чтобы

Нам будет необходима формула

/	/1	X

/С (^) = Qroyo (0) = Qx0 (^i) Qy0 (^i) exP |	J* 5 (s) ds j =

\	0 J

/	X

= 1К(А) + Щ^)]ехр/— J l(s)ds j .

\ o /
Требуя также, чтобы в интервале (/р £2)х0 было строго меньше 1,
мы получаем дополнительное необходимое условие К (^) = АД (^),
и последнее уравнение может быть записано так:

Следовательно,

(16.5.10)

Наложим теперь на £(/) и tj(/) последнее ограничение. Мы по-

стулируем, что

ОО

Г -ио
J 5(0 4(0

dt> 0

(16.5.11)

и что на бесконечном интервале

например,

-ио -4'(О ^i.

4(05(0	' 4(05(0	’

(16.5.12)

По-видимому, все сделанные предположения являются более сильными,
чем это необходимо для существования решения, указанного в соот-
ношениях вида (16.5.9). Однако они дают нам явно сформулирован-
ные достаточные условия, которые приводят к паре оптимальных
стратегий (см. также задачу 8).

Предполагая, что гипотеза справедлива, мы определим постоян-
ные и t2 так, что оптимальные стратегии будут иметь вид

уо = О,	*о=1	Для ^£[0» ^11»

Уо = 6(0 Л+ 4) ' *0 = 4 (0 де+ 4) для	(А)

уо = О,	хо = О	для Z£[Z2, со],

где К вычисляется на основании выражения (16.5.10).

Решение этого вида должно удовлетворять следующим ограни-
чениям:

 <16л13>

/да;""’’	(16-514)

Л
Чтобы проверить существование значений tx и /2, удовлетворяющих
этим уравнениям, мы поступим следующим образом: для каждого
tx < а определим с помощью равенства (16.5.10) число X, а затем
вычислим t2 так, чтобы удовлетворить равенству (16.5.13). В частно-
сти, если Zj = a, то Z2 = a, а если ^->0, то X—>0 и Z2->oo.
Следовательно (по непрерывности), в интервале [0, а] найдется
такое что существует значение /2, удовлетворяющее как (16.5.13),
так и (16.5.14). Величины h и k затем определяются из условий
#(0=^(0 и к^)^/^).

Остается проверить, что описанные выше оптимальные стратегии
х0 и у0 с этими параметрами приводят к тем же значениям х0 и у0
в соотношениях (1) — (6). Так как для	K(t) = const, мы

находим, что в этом интервале /С (/)•>&/£ (Z), причем в точке tx
имеет место равенство.

Легко показать, что в том же интервале //(/)</г/т? (/) с равен-
ством в точке /р Доказательство состоит в следующем. Несомненно,
что /7(0) = 0 </г/т? (0). Предположим, что существует такое /* <
что /7(Г)^Л/т?(Г). Тогда

h k h k

+	+	+	(16.5.15)

V 7 1 V 7 TJ (t*) ’ $ (ZJ 7? (t*) 1 g (t*) V 7

Следующая цепочка неравенств

«' <'•)=<"+ ХУ == (да + да) ’ <'•> > =^г = йШ |,.
вытекает последовательно из использования свойства (1) (стр. 648)
и соотношений (16.5.15) и (16.5.12). В силу двух крайних неравенств
мы заключаем, что если //(/*)>/г/т?(/*), то для £ > £* выпол-
няется строгое неравенство, что противоречит равенству //(/^^
= ^/т?(О- Следовательно, при t £ [0, ZJ Н (t) < что и утвер-
ждалось.

На интервале /2] мы имеем тождественно //(/) =/г/т? (/) и
К = Наконец, поскольку функции H(t) и К (О при t < t2
постоянны, мы находим, что для t > t2

Мы доказали, что соотношения (А) определяют те же стратегии
Xq и у0, что и условия (1) — (6); следовательно, стратегия х0 и у0
оптимальны. Более того, нетрудно доказать, что эти оптимальные
стратегии единственны.

Анализ, проведенный выше, справедлив всегда, когда х0 и у0
лежат между 0 и 1 в интервале (Zp /2) и выполняются ограничения
(16.5.13), (16.5.14). Если эти требования не удовлетворяются, то
можно применить аналогичные рассуждения, видоизменив их надлежа-
щим образом (см. задачу 7).
16.6. Задачи

1.	Доказать, что

1

{1=2

о

Функция ср монотонно возрастает, ср(О) = О и ср(1)=1.

Указание: использовать лемму Неймана — Пирсона для миними-
зации функционала

1

о

где предполагается, что J ср ($) dl = а имеет заданное значение; поз-
волить затем величине а изменяться.

2.	Использовать метод Неймана — Пирсона для решения вариа-
ционной задачи

1

min f [L(t) — t]2dt,
L t

где 0 <£(/)< 1 и

i

fL(t)dt — p (0<р<1).

0

3.	Применить аппарат п. 16.2 для нахождения

max f p(t) 11—[p(/)>0. fp(t)dt<oo],
— CO	.	'

где на ср наложены условия

сю

cp(/)>0. J'(p(f)dt = a (а >'О).
— оо

4.	Решить задачу 3 с другими ограничениями:

оо

<р(/)2±о, f h(t)cf>(t)dt = a (<х > 0),
— ОО

причем функция Л(/) положительна и интегрируема на ограниченных
множествах, а функционал, который нужно максимизировать, равен

J p(/)[i — (?-£(*)?«)] at,

— оо
где функция g (/) ограничена. Предположить, что множество
{/1^(0 > 0} имеет положительную меру Лебега.

5.	Задача поиска. Предмет находится в ящике 1(1 = 1, 2, ..., k)
с вероятностью в момент /, где t равномерно распределено
в [0, N]. Нам разрешено искать предмет N раз, открывая каждый
раз любой ящик, т. е. план поиска состоит в определении N момен-
тов времени и такого же количества соответствующих этим моментам
ящиков. Выигрыш равен g(t), где t — время от начала поиска до
обнаружения; gr (t) < 0.

(а)	Показать, что в оптимальном плане поиска (план, который
максимизирует ожидаемый выигрыш) вскрытия данного ящика рас-
пределены равномерно.

(б)	Пусть — интервал времени между вскрытиями f-го ящика,
a nt — число вскрытий ящика Z, т. е. mi = N!ni.

Доказать, что ожидаемый выигрыш для такой тактики поиска
равен

/ = 1
t

где О(/)= J g(u)du, а числа mL удовлетворяют равенству
о

k

Ss7=1-	<**’

i = l

(Эта задача может быть интерпретирована иначе и связана с задачей
определения оптимальной стратегии просмотра неба, которая обна-
руживает приближающийся снаряд в наиболее .ранний возможный
момент.)

6.	Использовать метод п. 16.2 для определения чисел /nz, кото-
рые максимизируют выигрыш (*), где подчинены ограничению
1/N< l//nz 1 и удовлетворяют соотношению (**). При этом,
конечно, окажутся допустимыми решения, в которых числа nL не
целые; однако одновременно мы получим верхнюю границу для воз-
можного выигрыша в „реализуемом" плане поиска.

7.	Наложить на а и (3 условия, которые гарантируют существо-
вание пары оптимальных стратегий в дуэли двух пулеметчиков сле-

дующего вида:

х0 (t) =

1, 0 < t < а.

О, t > а,

Уо(О =

0. 0</</0>

1> А) <	+

О, /0+₽<'-

где tQ < а, /04"?>а и Ц/) = т] =
8.	Показать, что решение дуэли двух пулеметчиков вида (А)
(п. 16.5) всегда справедливо, если существует положительное значе-
ние Л удовлетворяющее неравенствам

7 > а, $ (7) < В (0) ехр [— а£ (0) — ат] (0) — рт] (0)],

и на [0, t]

-Y (О
£(01(0

-=Шк<Х и

< 1.

В задачах 9—11 мы рассмотрим игру с ядром

1

*(<?. Ф) = f f(t)<?(t) ф (f) dt
о

(предположим, что функция f (t) > 0 непрерывна и строго возрастает),
где пространства стратегий определены неравенствами



и

1 1

J <?(t)dt = B, ^(t)dt = A

о

О

Пусть Q и Р (Q^P)— вещественные числа, определенные соот-
ношениями

1 1

«+^₽’/ж=А <3-р+/<®/ж=в-	<+>

Q	Q

9.	Показать, что если А и В таковы, что система (-)-) имеет
решение, для которого 1 > Q > Р > 0, то оптимальные стратегии
в игре /С(ср, ф) равны

’ О, 0</<Р,

1,	P</<Q,

k

где l = f(P) и Л = /(<?)•

Указание', использовать методы, аналогичные методам п. 16.5;
в данном случае это проще ввиду линейности ядра.
10.	Показать, что если А и В таковы, что система

р+'<?>	/<«>/ж=в

(++)

имеет решение, для которого 0 Q < Р < 1, то для (ср, ф) суще-
ствует пара оптимальных стратегий вида

Ф*(0 =

1,
HP)

?*(0 =

o,

/(Q)
/(0

p<t<\,

, P<t^\.

11.	Показать, что определенные выше системы уравнений (-|-)
и (++) взаимно исключают друг друга.

12.	Применить неравенство Йенсена для выпуклых функций для
прямой проверки предполагаемой оптимальности стратегии игрока I
в игре п. 16.4.

Комментарии
и библиография к главе 16

Многие существенные и важные классы игр на единичном квадрате —
особенно игры с выбором момента времени и выпуклые игры — уже ре-
шены. Тем не менее в общей теории и в методах решения произвольных
игр на единичном квадрате существует много пробелов. Еще меньше из-
вестно о классических играх, которые играются не на единичном квадрате.

К таким играм относятся дуэли пулеметчиков (п. 16.5), игры типа раз-
ведки и общие игры, разыгрываемые на функциональных пространствах.
В настоящее время не существует последовательной теории этих игр. По-
этому представляется разумным попытаться проникнуть в природу решений
этих игр, обстоятельно рассматривая отдельные примеры. Содержание этой
главы может рассматриваться как первый шаг в этом направлении.

16.1.	Некоторые утверждают, что на самом деле автором леммы Ней-
мана— Пирсона является Гиббс, но по всей видимости именно Нейман и
Пирсон [1] правильно подчеркнули важность этого результата, ставшего
теперь классическим.

Геометрическое доказательство, данное в этом параграфе, напоминает
аргументацию Данцига и Вальда [1].

16.2.	Некоторые авторы использовали лемму Неймана — Пирсона для
решения нелинейных вариационных задач, подчиненных линейным ограниче-
ниям. В этой связи следует отметить работы Беллмана, Гликсберга и
Гросса [1], Данскина [2], Купманса [4], Ф. Прошена (не опубликовано) и
Эрроу и Карлина [1] гл. 4—7.

16.3.	Первым рассмотрел сформулированную здесь дуэль снайпера
с пулеметчиком Вейс в ходе изучения военного снаряжения на испытатель-
ном полигоне в Абердине. Интерпретация этой задачи в виде рекламной
борьбы была приведена Джилменом [1]. Результаты Вейса были подтвер-
ждены независимо Беллманом и Блекуэллом (не опубликовано), которые,
кроме того, нашли оптимальную стратегию снайпера (М в настоящей интер-
претации). Позднее Блекуэлл и Шифман [1], [2] обнаружили оптимальную
стратегию К (пулеметчик).

16.4. Наш путь нахождения оптимальной стратегии игрока М следует
рукописи Беллмана и Блекуэлла. Методы получения оптимальных стратегий

игрока II, по-видимому, являются новыми, Неймана — Пирсона.	тесно примыкая к характеризации
16.5. Дуэль двух пулеметчиков была шена Данскином и Джилменом [2]. Мы изученный названными авторами.	сформулирована и частично ре- рассматриваем здесь случай, не

16.6.	Задачи 3 и 4 основываются на работе Купмана [1]. Задача 5 при-
надлежит Прошену. Задачи 9 и 10 основываются на работе Беллмана и
Шифмана [1].
ГЛАВА 17

ПОКЕР И ОБЩИЕ САЛОННЫЕ ИГРЫ

Многие искушенные картежники авторитетно заявляют, что из
всех карточных игр наибольшего искусства и сообразительности тре-
бует покер. Освальд Якоби, чемпион по бриджу, выделяет покер
как игру, которая, по его мнению, относится к умению оперировать
ставками; в то время как в остальных карточных играх решающим
является умение распоряжаться картами. В большинстве игр если про-
тивник имеет хороший расклад карт, то против него ничего сделать
нелъзя; однако это не всегда так в случае покера, где элемент блефа
и угроз составляют самую сущность игры.

Для того чтобы стать хорошим игроком в покер, знание матема-
тической теории вероятностей необходимо, но не достаточно. Истинный
покер представляет собой гармоничное сочетание методов вероят-
ностного анализа, блефа, ошеломляющих угроз, риска, психоло-
гии и т. д. Робость или безрассудство, непоследовательность или
упрямая логичность характера четко выявляются в ходе этой игры.

Во многих отношениях деловая жизнь, политика и война имеют
сходство с покером. Поэтому любые достижения в математическом
изучении игр типа покера могут быть интерпретированы во многих
сходных жизненных ситуациях.

Страсть играть в азартные игры остается извечной чертой чело-
веческой натуры. Карточные игры являются одним из способов про-
явления этой страсти. Когда в игру, подобную покеру, играют
в течение долгого периода времени, накопленный игроками опыт
кристаллизуется в систему эвристических правил игры — собрание
практических приемов и трюков, которые были испытаны под огнем и
эффективность которых проверена. С помощью этих эвристических
правил, с которыми все приверженцы покера более или менее зна-
комы, мы сможем объяснить в формальных математических терминах
природу оптимальных стратегий для некоторых простых вариантов
игр типа покера.

В этой главе мы ограничимся рассмотрением покера для двух
игроков. Это меньшее ограничение, чем может показаться на первый
взгляд, так как в покере для многих игроков можно считать, что
любому из них противостоит лишь один противник, а именно сово-
купность всех остальных игроков.

Элементы такого простого покера с двумя игроками могут быть
описаны следующим образом. Отождествим все возможные расклады
карт, которые может получить каждый игрок, с точками единичного
интервала. Будем считать, что расклад | предпочтительнее расклада tq
тогда и только тогда, когда Каждому игроку расклад сдается слу-
чайно в следующем смысле: игрок I получает случайное значение $ (свой
расклад) в соответствии с распределением F (£), а игрок II одновременно
и независимо получает случайное значение tj (свой расклад) в соответ**
ствии с распределением €/(?]), которое может как совпадать с F (£),
так и не совпадать с ним (0<£, т}<1). В начале игры каждый игрек
знает только свой собственный расклад. Следуя определенным пра-
вилам, игроки совершают в некотором порядке ходы игры (т. е. „ста-
вят", „пасуют", „уравнивают", „повышают"), причем, если каждая
новая ставка вызывает соответствующую реакцию, то тот или иной
игрок может в течение одной игры ходить и более одного раза.
Затем расклады сравниваются, и игрок с высшим раскладом выи-
грывает банк (т. е. сумму накопленных ставок).

Имеется много вариантов этой игры. К сожалению, вид опти-
мальных стратегий, очевидно, зависит от специфических черт каждого
варианта. Например, мы получаем различные решения в зависимости
от того, являются ли ходы в игре одновременными или поочеред-
ными, сколько кругов ставок допускается, разрешены ли повышения
и т. д. Каждый случай требует особого исследования. Тем не менее
в решениях игр типа покера проявляются некоторые общие черты.
Более того, в используемых нами здесь приемах решения игр типа
покера неявно вырисовывается и общий метод, применяемый к ана-
лизу весьма широкого класса игр.

Этот метод применим, если функция выигрыша представляет со-
бой математическое ожидание функции Р двух случайных величин £
и 7j, при условии, что стратегии игроков I и II можно отождествить
соответственно с векторами

Ф(0 = (?!©. .... МО)
и

4*(^) = (Ф1(71)..^01) )•

(Две стратегии, которые совпадают почти везде, в дальнейшем будут
отождествляться.) Эти векторы могут быть подчинены произвольным
ограничениям. Распределения F и G величин £ и tj могут быть про-
извольными; однако в определении стратегий неявно предполагается,
что игрок I знает значение £, а игрок II знает значение т). В этих
играх функция выигрыша будет иметь вид

К(?. Ф)=/ Г, ф(0. ^(-G)ldF©dO(^.
В большинстве приводимых далее примеров эту функцию мы сможем
представить в виде
т

*(?. Ф) = ад>+£ f *)^(?)

j = l

или в виде
п

К(у, ф)=Л42(ф)+ J 4>7(7])Сф; (<р; v))dG(v)),

7 = 1

где Мг и М2 не зависят соответственно от ф и ф, а С?. и обо-
значают коэффициенты при и ф;- в выражениях для /<(ф, ф).
В этих обозначениях подчеркнут тот факт, что С?. и С^. являются
функциями соответственно ф и ф.

Для того чтобы решить эту игру, необходимо и достаточно
найти две стратегии ф* и ф*, для которых

К (ф*, ф*) = тах

т

ад*)+2 f	0^©

4 = 1

и

ЛГ(ф*, ф*) = тт

п	I

Каждое из этих равенств представляет собой задачу максимизации
или минимизации при некоторых ограничениях. Любую априорную
информацию о некотором свойстве оптимальной стратегии, скажем, ф*,
можно использовать для получения информации о (ф*, $), что
в свою очередь дает информацию об оптимальной стратегии ср*. Этот
процесс можно итерировать до получения оптимальных стратегий,
что и* является основой нашего метода. Его детали иллюстрируются
на протяжении этой главы примерами различной степени сложности.

Основные положения этого метода рассматривались еще в п. 10.5,
где он был назван методом неподвижной точки. Его применимость,
как мы увидим, весьма широка. Аналогичный искусственный прием
использовался нами в анализе дуэли двух пулеметчиков в гл. 16.

Игры с описанным выше ядром К (ф, ф) принадлежат категории I.
Хотя они и выходят за рамки стандартных игр на единичном квад-
рате, но пространства стратегий каждого из игроков, как указыва-
валось, могут быть выражены в терминах известных функциональных
пространств и поддаются интерпретации как их элементы.

Для всех таких игр нетрудно доказать существование оптимальных
стратегий и справедливость теоремы о минимаксе. Однако для игр,
рассматриваемых в данной главе, мы найдем оптимальные стратегии
в явном виде.

В следующих пунктах мы рассмотрим несколько примеров игр
типа покера, которые поддаются исследованию с помощью соответ-
ствующих видоизменений описанного ранее метода неподвижной точки.
Помимо того, что эта глава представляет интерес для изучения самих
карточных игр, она важна еще и тем, что иллюстрирует на примерах
этот метод и указывает на его очевидную приложимость к общим
игровым задачам.

В п. 17.1 мы начнем с рассмотрения простой карточной игры,
которая не требует участия двух игроков с противоположными ин-
тересами в обычном смысле. Эта модель представляет собой идеали-
зированный вариант игры „черный валет" J), в котором ходы банко-
мета определяются последовательностью карт, а не его выбором.

В п. 17.2 мы исследуем простую модель покера, которая допу-
скает только один круг ставок и один размер ставки. В следующем
пункте эта модель обобщается на случай п кругов. В этом пункте
возможности повышения ставок не рассматриваются.

В п. 17.4 мы рассматриваем модель покера, которая допускает
два круга ставок и повышений, причем в каждом круге допускается
только один размер ставок. Решение модели покера с k кругами
ставок, которая открывает перед каждым игроком несколько воз-
можностей уравнивать, пасовать или повышать, приведено в п. 17.5.

Во всех предыдущих моделях игроки ходили поочередно. В п. 17.6
мы рассматриваем модель покера, в которой ходы одновременны.

Чтобы подчеркнуть приложимость описываемых методов ко мно-
гим другим салонным играм, в п. 17.7 анализируется классическая
игра „проходящий туз"* 2), а игра „у кого лучше, тот выигрывает"
разбирается в п. 17.8 (другими примерами являются задачи 11, 12).

17.1. Упрощенная игра „черный валет". Модель, которую мы
рассмотрим в этом пункте, не является игрой в обычном смысле,
так как стратегии одного из игроков фиксированы. Тем не менее
этот пример представляет собой полезное введение в метод непо-
движной точки.

Модель. Каждый из двух игроков, банкомет (Б) и понтирую-
щий (П), получает карту (число из единичного интервала) и, еще
не глядя на нее, должен поставить одну единицу денег. После того
как игрок П посмотрит на свою карту, перед ним открываются три
возможности: он может поставить еще одну единицу, он может по-
ставить еще М единиц (число М > 1 фиксировано), или, наконец,

!) В оригинале blackjack. — Прим, перев.

2) В оригинале Le Her game. — Прим, перев.
он может спасовать и потерять свою начальную ставку. Игрок Б,
однако, выбора не имеет: он всегда должен уравнивать ставку П !).
Если П, вместо того чтобы пасовать, ставит 1 или М добавочных
единиц, то оба игрока сравнивают карты, и игрок с младшей картой
платит другому величину, равную ставке П (которая включает на-
чальную ставку в одну единицу).

Карта, которую получает П (мы будем ее обозначать через I),
выбирается случайно, в соответствии с распределением F (£). Карта т),
которую Б извлекает для себя, реализуется согласно распределению
G(Tj). Обе функции F (%) и G (т|) определены на единичном интервале;
предполагается (только для удобства), что они являются непрерывными
и строго возрастающими.

Стратегии игрока П можно описать в терминах следующих функ-
ций: <Pi(B) представляет собой вероятность того, что он поставит
одну добавочную единицу; ср2($) — вероятность того, что он поста-
вит М добавочных единиц; следовательно, величина 1—ср^В)—ср2(£)
представляет собой вероятность того, что он спасует; обозначая че-
рез Л (В, т|) знак разности £ — tj, т. е.

т|) =

1,

О,

— 1,

если

если

если



мы заключаем, что ожидаемый выигрыш П равен

<р2) = (-1) f [1-<P1(O-?2^W(O+

4-2 f f	rl)dF(l)dG(rl) +

4-<M+l) f f <?2«UC. ri)dF®dG(-ri).

Так как

f L(£, 7i)dG(71) = 2G(^)-l,

мы можем написать

?2) = -14-f Ti©l4O(0-imi;) +

4- J ?2 (5) {14-(Al 4-1) [20 (5)-1]} dF®.

Поскольку Б не имеет выбора стратегий, оптимальный способ
поведения для П состоит в выборе им таких функций ^(В) и <р2 (£)•
которые' максимизируют К (<рР <р2) ПРИ ограничениях <pz (5)^:0 и

!) Подчеркнем, что здесь мы имеем дело с процессом принятия решения,
не связанным с игрой в математическом понимании этого термина—Прим. ред.
1	. Очевидно, что мы должны положить cpz(5)=l
для тех значений 5» для которых коэффициент при <pz наибольший и
положительный. Эти два коэффициента равны в том случае, когда

40 (5) — 1 = 1 + (Л4 + 1) [20 (5) — 1 ],
или

2	[20 © — 1 ] = (М + 1) [20 (5) — 1 ].

Поскольку Л4-|-1>2, это равенство эквивалентно требованию
20 (5)—1=0. Пусть 50— корень этого уравнения; если 5 > £0» то

1+(М+1)[20(0—1]>4О(0—1 >0.

Следовательно, если £ > £0, то оптимальность стратегии требует,
чтобы выполнялось равенство <р2 (£) = 1.

Определим теперь а0 как единственное решение уравнения
40(5)= 1. Очевидно, что а0 < 50- Кроме того, при а0 < 5 < £0 К0ЭФ"
фициент при cpj больше коэффициента при ср2, а значит он и подавно
положителен. Следовательно, в условиях оптимальной стратегии при
а0 < 5 < 50 мы имеем ^(5) = 1. Наконец, если 5 < #0* то понтирую-
щий должен пасовать.

В том частном случае, когда F (5) = 0(5) = 5 (равномерное рас-
пределение), оптимальная стратегия для П сводится к следующему:
если 5 < V4* то он пасует; если 74 < 5 < V2* он повышает ставку
на единицу; если 72^5<1» — на М единиц.

Интересная общая характеристика оптимальной стратегии состоит
в том, что она не зависит от Л4, коль скоро М больше единицы.

Обобщение. Более общий вариант описанной модели состоит
в следующем. Игра начинается после того, как каждый игрок сде-
лает начальную единичную ставку; после этого они получают соот-
ветственно карты 51 и П может или спасовать и потерять свою
начальную ставку, или поставить величину / (50, удовлетворяющую
условию 1 < / (50 < Л4; если П ставит, то Б не имеет выбора: он
должен уравнять ставку. После этого игроки получают новые карты,
соответственно 52 и ^2. Теперь П может либо поставить величину
/(52)[1 ^/(52)^Л4], либо спасовать и потерять 1 -1- f (50. Если П
ставит, то Б снова должен уравнять. Игра продолжается таким об-
разом N шагов, после чего, если П все еще не спасовал, расклады
сравниваются. При этом П выигрывает общее количество

i + S/&).

если
N N
S^> Sv
1*1	i£l
Если имеет место противоположное неравенство, то П теряет
эту же сумму. Задача состоит в максимизации ожидаемого выиг-
рыша П.

Качественно можно суммировать результаты следующим образом:
П пасует при слишком плохом раскладе; П ставит минимальную
величину 1 при среднем раскладе; П ставит максимальную Л4 при
хорошем раскладе; квалификация раскладов как плохого, среднего
и хорошего не зависит от верхней границы AL

Доказательства и анализ выводов, получаемых для этой модели,
здесь не будут излагаться; мы, однако, проанализируем аналогичную
игру, сходную с классической игрой „красная собака".

Игра происходит следующим образом. Имеется N игроков (N > 1).
Банкомет сдает себе и каждому из остальных игроков по четыре
карты. Перед началом партии каждый игрок ставит начальную (еди-
ничную) ставку, так что в банке оказывается N единиц. Посмотрев
на свои карты, каждый игрок, по очереди, может выбрать одну из
двух альтернатив: спасовать или поставить величину f (1 </ <N),
которой он отвечает за обязательство побить своей картой надлежа-
щей масти следующую карту, которую банкомет извлечет из колоды.
Если он сможет это сделать, то он выигрывает из банка величину /;
в противном случае он вносит / в банк. Следующий игрок имеет
аналогичный выбор, с той разницей, что верхней границей является
размер банка, так что если предыдущий игрок поставил и проиграл /,
то новой верхней границей является число /. Как только вели-
чина банка становится меньше /V, каждый игрок вносит еще по единице;
следовательно, если первый игрок поставил / и выиграл, то новой
верхней границей стала величина 2N — /.

Каждый игрок видит самое большее одну карту из расклада
любого другого игрока, поскольку правила таковы, что проигравший
игрок бросает свои карты лицом вниз, а выигравшему игроку необ-
ходимо показать лишь карту, с помощью которой он выиграл. Мы
будем игнорировать в последующем изложении дополнительную ин-
формацию, которую можно получить этим способом, а также тот
факт, .что верхняя граница ставок может значительно превзойти N.

Рассмотрим следующий простой абстрактный вариант этой игры.
Имеются два игрока П и Б. Игроку П дается „расклад", т. е. точка
с = (^г, . .., %п) в положительном единичном кубе Еп, где функции
распределения величин ..., известны. Игроку Б сдается „слу-
чайная карта" z(Q^z^l)t функцией распределения которой
является О; эта карта z с вероятностью pt сравнивается с для
того, чтобы определить исход игры. Как П, так и Б делают началь-
ную ставку в одну единицу, после чего П может поставить вели-
чину /(с) [ 1 f (с)7И], выигрывая, если	и проигрывая,

если z > Задача состоит в определении оптимальной стратегии
игрока П.
Всякая стратегия П состоит в следующем: пасовать, если с на-
ходится в некоторой области /?, и ставить, если с вне R. Если —
распределение величины £z, то ожидаемый выигрыш есть

п

c^R Z = 1

п

11 4- / (с)] JJ dFt ft.) dG (г) -

Z = 1

«	n

~^Pt f 11 + f(c)]JJdFi^)dG(z) =

Z = 1	c€/\R	Z = 1

ez < z

n	/ n	\ n

= - f JId/7'+ f H + /(c)l ^A[2GG(.)-1] JpFp
cQR Z = 1	c£Z\/?	\Z = 1	/ Z Л

(17.1.1)

где I означает единичный куб, а с £ R означает, что точка с содер-
жится в R, Но

п

п

c^R Z = 1

cE/\Z? Z = 1

Подставляя это выражение в (17.1.1), мы получаем

Е(П) = -1+ f Ц+/(с)]2 A[2GGz)-114-1 JpFz.

c£Z\/? \	Z = 1	/ Z = 1

Так как наименьшая ставка, которую можно сделать, есть /(с) = 1,
мы можем заключить, что область ставок должна состоять из мно-
жества точек, для которых

(п	\

2М2О(У—1] +1>0.	(17.1.2)

Z = 1	/

После того, как мы определили область повышения ставок I \ R,
мы должны определить величину ставок в этой области. Так как R
фиксировано, из соотношения (17.1.1) следует, что для максимизации
ожидаемого выигрыша П должен ставить /(с) = Л1 в области, в ко-
торой коэффициент при /(с) положителен, т. е. в подобласти S
области /\/?, в которой

п

2A[2G(^)-I]>o.

Z=1

(17.1.3)

В остальной части I \ R ставка должна быть f (с) = 1.
Применение к игре „красная собака*. Рассмотрим тот част-
ный случай, когда величины распределены равномерно, величина z
также распределена равномерно, и pl = i/A в соответствии с нали-
чием четырех мастей. Область пасования R, согласно (17.1.2), есть
область, в которой

4	4

0> 1 + 2 2 Pi [20 (0-11=2?г-1.

i = 1	i = 1

Часть дополнительной области, в которой должна производиться
максимальная ставка, есть подобласть, в которой

4	1 4

0^2^120^)-11=4 5^-1-

i = 1	z i = 1

В реальной игре „красная собака"1) — за исключением точек
k

. А (А = 1, 2, . . ., 13).

Мы пренебрегли в нашем анализе возможностью того, что в рас-
кладе та или иная масть может отсутствовать вовсе.

17.2. Модель покера с одним кругом ставок и одним разме-
ром ставки. Модель, рассматриваемая в этом пункте, представляет
собой частный случай модели, допускающей п возможных размеров
ставки, которая изучается в п. 17.3.

Модель. В начале партии каждый из двух игроков А и В ставит
по единице. После того как каждый из игроков получит карту,
первым ходит А: он может или поставить еще а единиц, или спа-
совать и потерять свою начальную ставку. Если А ставит, то В
имеет на выбор две альтернативы: он может или спасовать (теряя
при этом свою начальную ставку), или уравнять, поставив а единиц.
Если В уравнивает, то игроки открывают свои карты и игрок
с лучшей картой выигрывает банк.

Будем обозначать карту А через £, а карту В через т]. При этом
предполагается, что величины £ и т] имеют равномерное распреде-
ление на единичном интервале. Мы, как и раньше, будем полагать
£($, 7}) = sign(e — 7]).

Стратегии и выигрыши. Стратегии строятся так. Пусть
ср(£)— вероятность того, что если А получит £, то он поставит а;
1—ср (£) — вероятность того, что если А получит £, то он спасует;

’) То есть разыгрываемой с обычной колодой в 52 карты. — Прим,
перев.
ф(т]) — вероятность того, что если В получит т], то он уравняет
ставку А;

1 —ф(^) — вероятность того, что если В получит то он спасует.

Если игроки применяют эти стратегии, то ожидаемый чистый
выигрыш /С(ср, ф) представляет собой сумму выигрышей, соответ-
ствующих трем взаимно исключающим возможностям: А пасует; А
ставит а единиц и В уравнивает; А ставит и В пасует. Следовательно,
*(<р. Ф) = (-1) f	+	/ f	WH

+ f

Выигрыш игрока А можно более прозрачно записать так:

1	/ е	1	\

КЧ<р. ф) = — 1+ J ?(0 I 2-j-a.J" ty(-r])d7i—(a+2) j"(17.2.1)
О ' О	Е	'

ИЛИ
1

*(<р, ф)=_ i + 2 f <p(Ode+

о

1	7	1	\

4- f ф(7]) -(а + 2) JT(O^ + a f ?(!•)# U. (17.2.2)
o'	0	7]	/

Метод анализа. Мы начнем с замечания о том, что существо-
вание пары оптимальных стратегий эквивалентно существованию двух
функций ср* и ф*. удовлетворяющих неравенствам

*(<Р. ф*)^АГ(ср*, ф*)^К(ср*, ф)	(17.2.3)

для всех стратегий ср и ф. Таким образом, ср* максимизирует (ср, ф*),
в то время как ф* минимизирует К (ср*, ф). Поэтому мы будем искать
стратегию ср*, которая максимизирует выигрыш (17.2.1), где ф заме-
нено на ф*; точно так же мы будем искать стратегию ф*, которая
минимизирует выигрыш (17.2.2), где ср заменено на ср*. Так как
постоянные слагаемые не играют роли, задача состоит здесь в том,
чтобы найти экстремумы:

1	7	Е	1	\

max f <р© 2 + <z f ф*(tj)dr] — (a + 2) f f(r])dr] U (17.2.4)
? 0	\	0	E	'

И

1	/	4	1	\

min/ф(т]) — (a~f~2)f <?'(l)dl + a j <p* ($ dl 1 dr]. (17.2.5)
+ Q \	О	4	7
Трудность задачи состоит в том, чтобы проверить совместность наших
результатов, т. е. что функция ср*, которая максимизирует вели-
чину (17.2.4), есть та же самая функция ср*, которая входит в выра-
жение (17.2.5), и аналогично для ф*; если эти утверждения верны,
то выполнено соотношение (17.2.3), и мы нашли решение игры.

Здесь ^интуитивные соображения подсказывают вид решения,
которое мы ищем. Так как игрок В не имеет возможности блефо-
вать, то ф*(т])=1 для значений tq, больших, чем некоторое крити-
ческое число с, и ф*(т]) = О в противном случае; кроме того, по-
скольку В — минимизирующий игрок, функция ф*(т]) должна быть
равна 1, если коэффициент при ф(т]) в выражении (17.2.5) отрица-
телен. Но этот коэффициент представляет собой убывающую функ-
цию поэтому с есть то значение, при котором она впервые обра-
щается в нуль. Следовательно,

с	1

— (a + 2)JT*($)^4-aJ’T*(0^ = 0.	(17.2.6)

О	с

При таком выборе ф*(т]) мы находим, что коэффициент при ср(£)
в выражении (17.2.4) для	равен постоянной. Если мы пред-

положим, что эта постоянная равна нулю, то получим при 1 — с

2-4-0 —(а + 2)(1 — с) = 0,
или

Причина, по которой мы определили постоянную с так, чтобы обра-
тить в нуль коэффициент в интервале [0, с], состоит в следующем.
При нахождении максимума (17.2.4) мы, очевидно, вынуждены поло-
жить ср*(£)=1, если коэффициент при этой функции положителен,
и ср*(£) = О, если этот коэффициент отрицателен. Произвол в зна-
чениях ср* (В) допускается только в тех случаях, когда соответствую-
щий коэффициент равен нулю. Но мы ожидаем, что А будет пытаться
частично блефовать, -имея на руках плохую карту, откуда следует,
что для этих раскладов ср* (В), вероятно, удовлетворяет условию
0 < ср* (5) < 1. Как указывалось, это допустимо, если коэффициент
при ср(£) равен нулю. При определении с, согласно соотноше-
нию (17.2.7), коэффициент при ср(£) в выражении (17.2.4) равен
нулю для и положителен для $ > с. В этих условиях из (17.2.4)
следует, что максимизирующий игрок вынужден иметь ср* (£) = 1 для
В>с, в то время как значения ср*(£) для £<£ могут быть произ-
вольны, ибо .они не влияют на выигрыш. Однако для того, чтобы
равенство (17;2.6) при таком выборе ср* удовлетворялось,
должны иметь	с

— (а + 2) f + с) = 0,

О

мы

или

f <Р* (О dt — а С1 ~	— 2а

J т	а + 2 ~ (а + 2)« ’

и это условие может быть выполнено при ср* ($) < 1. Теперь легко
проверить, что егли

(° ПРИ °^7i^7T2’

<т =

I 1 при 7+2 <^1

«Р*(0 = -

произвольна между О

о

и 1,

при

но удовлетворяет условиям

а

при

то ср* максимизирует (17.2.4) для ф*, а ф* минимизирует (17.2.5) для ср*-
Некоторый интерес представляет следующая интерпретация
решения:

1)	оба игрока при высоких картах делают ставку или уравни-
вают. Особое значение имеет тот факт, что оба игрока используют
одну и ту же критическую точку а/(а-{-2) для того, чтобы разли-
чать хорошие и плохие карты;

2)	элемент блефа для игрока I проявляется только в том, что
определена доля карт, на которой он мог бы блефовать; он может
выбрать фактическую карту произвольно из промежутка [0, а/(а + 2)]
при единственном ограничении

а/(а 4-2)

f /(»«=++

о

17.3. Модель покера с несколькими размерами ставки. Изла-
гаемая в этом пункте модель представляет собой обобщение только
что рассмотренной. Этот же пример ранее был описан в пункте 10.4.

Как и раньше, в качестве представления всех возможных рас-
кладов, которые могут быть сданы игроку, берется единичный
интервал. Все расклады считаются равновероятными, так что опера-
ция сдачи расклада игроку может считаться эквивалентной выбору
случайного числа из единичного интервала согласно равномерному
распределению. Естественно, расклад считается ниже расклада Д2
тогда и только тогда, когда < ;2. Игра происходит следующим
образом. Два игрока А и В выбирают соответственно точки £ и т]
из единичного интервала согласно равномерному распределению.
Оба игрока ставят по одной единице. Игрок Л, зная свое значение £,
ходит первым и имеет возможность либо сразу спасовать, теряя свою
ставку в пользу игрока 5, либо поставить любую из величин
av а2, . . ., ап, где 1 < ах < а2 < ... < ап. Игрок В должен
в ответ или сразу спасовать, или уравнять ставку. В первом случае
игрок А выигрывает ставку игрока В. Если же В уравнивает, то
расклады £ и сравниваются и игрок с лучшим раскладом выигры-
вает банк. Если £ = ?], то никаких платежей не производится.

Стратегия игрока А может быть описана как n-мерная вектор-
ф(0 = (?!«). ?2«). ....

где cpz(5) есть вероятность того, что А поставит величину ait если
его расклад равен Функции должны удовлетворять усло-
виям cpz ($) > 0 и
п

1 = 1

Вероятность того, что игрок А сразу спасует, равна

п

i = 1

Стратегия игрока В может быть представлена вектором
4>(7)) = (ф1(7]), ф20]),	ф„(7))),

где означает вероятность того, что В уравняет ставку в aL
единиц, если он имеет расклад Вероятность того, что В спасует,
если А поставил ait равна 1—ф/(^). Каждая функция ф/(т]) удовле-
творяет условию	л , z ч

Если А применяет стратегию ф, а В — стратегию ф, то ожидае-
мый выигрыш А обозначается через /С(ф, ф). Перечисляя все воз-
можности, мы найдем, что
1 /	п	\

К($, ф) = (-1)/ 1-2?<(!;)U+

о V	Z=1	/

1 1 п
О О f.l
п	1 1

+	f	^dri.

Z-1	о о

где £(?, v]) = s gn(5 — т|).
Любая пара оптимальных стратегий ф* и ф* удовлетворяет нера-
венствам

/С (ср*, ф) К (ф*, ф*) для всех ф,	(17.3.1)

/С(ср, ф*)^/<(ср*, ф*) для всех ф.	(17.3.2)

Обратно, если эти неравенства выполнены, то стратегии, отмеченные
звездочкой, оптимальны. Таким образом, ф* максимизирует /С(ф, ф*),
а ф* минимизирует К (ф*, ф). В этом случае, преобразуя выражение
для К (ф, ф), мы можем написать

а	/ s

*(?. ф*) = -1 + 2 f <pz(0 2+«J
4 = 1	\	о

1 \

-(az+2)J\*(7))rf7)U (17.3.3)

В	/

и
п

К(?*. ф) = -1 + 22 J <Р*©^ +
4 = 1

П 1	/	7]	1	\

+ 2 f W ~(«/ + 2)/+	(17.3.4)

4=1 О	V	О	7J	/

Таким образом, соотношения (17.3.3) и (17.3.4) имеют вид

п 1

К(?. $*) = (?!+ 2 f	(17.3.5)

L = 1 О

И

п 1

*(?*. 4») = С2+2 f	(17.3.6)

4 = 1 О

где Сг и С2 не зависят соответственно от ф и ф, а и обозна-
чают соответственно выражения, стоящие в равенствах (17.3.3) и
(17.3.4) во внешних скобках. Ввиду ограничений, налагаемых на
функции срр . . ., фя, ясно, что для максимизации (17.3.3) или (17.3.5)
А должен выбирать ф/(|) = 1, если Z,z(£) положительно и превосходит
все Lj(^) для /#=/; далее, он должен выбирать ф/(<) = 0, если
Z,z(£)<0; наконец, если Li(ty = 0, а остальные коэффициенты Lj(g)
(j Ф Z) неположительны, то он может максимизировать К (ф, ф*),
выбирая функцию ф/(У произвольно, лишь бы она удовлетворяла
условию 0 <ф; (?)	1 [или, если более чем одно из чисел Zz(£)

равно нулю, условию 2^(0^ 1» где суммирование распростра-
няется по индексам, соответствующим Lz(£) = 0]. Аналогично, для
того чтобы минимизировать деличину (17.3.4) или (17.3.6), В должен
выбирать фг(^)=1, если /Cz0q)<0, и ф.(т]) = О, если /Cz (tj) > 0.
Если /Cz(t]) = O, то значения ф^(^) на выигрыш не влияют.

Руководствуясь до некоторой степени интуитивными соображе-
ниями, построим две стратегии, ф* и ф*. Будет легко проверить,
удовлетворяют ли эти стратегии условиям (17.3.1) и (17.3.2) и тем
самым оптимальны ли они. Главная задача построения состоит в том,
чтобы гарантировать совместность этих стратегий, т. е. чтобы функ-
ция ф*, которая максимизирует правую часть равенства (17.3.3), была
той же функцией, которая содержится в выражении (17.3.4), ана-
логичый факт должен иметь место для ф*. Эго еще одна иллюстра-
ция метода неподвижной точки. Теперь мы осуществим эту процедуру
в деталях.

Так как игрок В не имеет
ожидать, что для некоторых bt
( 0,
:w=( L

мы можем

возможности блефовать,

если т] < bit
если г > Ь;.

(17.3.7)

Это утверждение справедливо, поскольку каждая из функций /С;(т])
является невозрастающей.

С другой стороны мы можем ожидать, что игрок А, когда его
расклад плох, иногда будет блефовать. Для того чтобы учесть эту
возможность, найдем критические числа bt, определяющие функ-
цию ф* (т]), так, чтобы коэффициент Lt ($) при cpz обращался для | < bt
в нуль. Это возможно, так как функция £z(£) на этом интервале
постоянна. Следовательно, мы полагаем

'’< = TTR-'	<17'3'8’

так что Ьх < Ь2 < ... < bn < 1. Коэффициент £z(y при cpz на ин-
тервале (0, £z) равен нулю, а вне его представляет собой такую
линейную функцию £, что

Отсюда мы заключаем, что функции £z(£) и £;(0 совпадают в точке

о

си==1— (2 + ai)(2 + aj) •	(17.3.9)

Ясно, что ctj является строго возрастающей функцией I и /. Положим
cx — bv для / = 2........п	и сл+1 = 1. Ясно, что при

j I Lz (^) > Ay ($) ^ 0 для	c/+i)- Следовательно, согласно

предыдущим рассуждениям, если функция ф* максимизирует /С(ф, ф*),
то ср* (В) = 1 для с. < £ < ci + v Для определенности мы также по-
ложим cp*(cz) = l; это не имеет значения, так как если стратегия
изменяется только в конечном числе точек (или на множестве лебе-
говой меры нуль), то выигрыш К (ф, ф) остается неизменным.

Итак, мы показали, что если функция ф* определена согласно
соотношениям (17.3.7), где

то К (у, ф*) максимизируется любой стратегией ср* вида

		произвольна,	если	?<	Cl	= t>v	
	?*«) =	0,	если		<	Ci>	
		1,	если			C ci+v	(17.3.10)
		°,	если	cl+l —		si,	
где							
		i = 1					

Значения %>*(£) на интервале	все еще не определены ввиду

соотношения ^© = 0, которое на этом интервале имеет место.

Остается показать, что так построенная функция ф* действительно
минимизирует К (ср*, ф). Для того чтобы ф* заведомо обладало этим
свойством, необходимо наложить на ср* еще некоторые условия; для
этого мы воспользуемся произволом, допущенным в определении ср*,
когда £ изменяется в интервале [0, t^). Для того чтобы показать,
что ф* минимизирует К ф), достаточно установить, что коэф-
фициент при неотрицателен для у < bt и неположителен
для vj > bL. Так как /<z(t])— непрерывная монотонно убывающая
функция, последнее условие эквивалентно соотношению

bt	1

~(«z+2)/	f	(17.3.11)

0	bi

Подстановка	функции ср* вида	(17.3.10)	в соотношение	(17.3.11)

приводит к равенствам

2(^=^(1-^+1),

°	(17.3.12)

О
и

2 P*G)rfe = ^.(l-^+1-M (/ = 2.........п-1). (17.3.13)

о

43 Зак. 1789
Поскольку

п

г = 1

эти равенства могут выполняться тогда и только тогда, когда

bi п

2 f
О Z-1

(17.3.14)

Но сумма правых частей равенств (17.3.12) и (17.3.13) не прево-
сходит (2-J-£n— ^i)/4, так как всегда bj(l—Из неравен-
ства Ьг !/з мы получаем

1	12

Таким образом, условия (17.3.12) — (17.3.14) могут быть выполнены.
Итак, неравенства (17.3.1) и (17.3.2) для стратегий ср* и ф* установ-
лены, т. е. оптимальными стратегиями являются следующие функции:

( 0, если 7} < bt

Ф/С7!)	| j, если

(17.3.15)

произвольна, но удовлетворяет условию



J (0 = Ь. (с.+1 с .у
о

где

если

если



я/

если 0^<£р

| Ьх < $ < ct или

| Ci+1 < 1,
ci — £ < ^+1»

(17.3.16)

2

Ci = 1 ~ (2 + й/) (2 + ^_,)	(/ = 2.....П)’	С«+! = 1

и

Обобщения. Вместо предположения о том, что расклады соот*
ветствуют точкам единичного интервала и все равновероятны (т. е.
что значение £ выбирается в соответствии с равномерным распре-
делением), мы можем сделать более широкое предположение о том,
что игрок А получает случайную величину распределенную на
единичном интервале с функцией распределения F (£), а игрок В по-
лучает случайную величину tj с функцией распределения О(т^). Если
функции F (£) и О(т|) всюду непрерывны, то предыдущий анализ мо-
жет быть воспроизведен полностью, и вид оптимальных стратегий,
в сущности, не изменится. Критические числа можно при этом легко
выразить через размеры ставок и распределения F и G. В случае,
когда распределения дискретны, появляются дополнительные особен-
ности. Мы проиллюстрируем их при описании результатов для того
случая, когда F — G представляет собой равномерное распределение,
сконцентрированное в Af равноотстоящих точках единичного интер-
вала. [Говоря более точно, распределение F концентрирует массу
1/N в каждой из точек t^ljN (Z=l, 2, ..., N).\ Для удобства
мы будем предполагать, что число раскладов достаточно велико, так
что все числа вида

2ДГ	2Я	// • — 1	ч

а/ + 2 ’ (а/ + 2)(Д> + 2)	У~1.........П)

отличаются друг от друга по крайней мере на одну единицу,
и что > 2. Анализ проводится так же, как и раньше, и мы на-
ходим, что оптимальная стратегия игрока В имеет вид

ф;о1)=

О, если
az, если
1, если

7) < bt,

^>bt,

где 0^az<l. Величина az показывает, что, быть может, для иг-
рока В представится целесообразным в условиях какого-либо рас-
клада провести рандомизацию тех чистых стратегий, в которых он
уравнивает или пасует. Однако можно показать, что фактически В
будет осуществлять рандомизацию не более чем для одного расклада,
если А поставил Аналогично

о,

1,
о,

если

если

если



h < ? < ct,

cz+i < ij < 1,

где числа ct являются критическими, аналогичными полученным выше,
и c1 = bv сп+1=1. Имеется также возможность того, что А будет
рандомизировать при B = £z и | = cz+1. Подробности мы опускаем.

Проведенный выше анализ можно распространить на случай произ-
вольных распределений; обычно оптимальные стратегии будут вклю-
чать рандомизацию в нескольких изолированных точках. В этом
отношении (имеется в виду тот факт, что оптимальные стратегии
включают рандомизацию для случая дискретных распределений, в от-
личие от нерандомизирующих оптимальных стратегий для непрерыв-
ных распределений) рассмотренная в этом пункте модель очень похожа
на модель статистических испытаний.
17.4.	Модель покера с двумя кругами ставок. В этом пункте мы
распространим модель покера, описанную в предыдущем пункте, на
случай двух кругов ставок; в то же время мы ограничимся случаем,
когда допускается только один размер ставки. Мы снова предпола-
гаем для удобства, что каждому игроку сдаются случайные расклады,
равномерно распределенные на единичном интервале.

Выигрыш и стратегии. После того как сделана начальная еди-
ничная ставка, игрок А ходит первым и имеет две альтернативы:
он может спасовать или поставить а единиц. Затем ходит игрок В,
который располагает тремя возможностями: он может пасовать, урав-
нять ставку игрока А или, наконец, повысить, поставив а~\~Ь еди-
ниц. Если В повысил, то на долю А остается либо пасовать, либо
уравнивать ставку В.

Если А и В получили соответственно карты { и т|, то их стра-
тегии могут быть описаны следующим образом:

cpj(£) — вероятность того, что игрок А ставит а и, если игрок В
повышает, пасует;

ср2(£) — вероятность того, что игрок А ставит а, и если игрок В
повышает, то А уравнивает ставку В;

1—(£) — ср2(с) — вероятность того, что игрок А сразу пасует;

Ф1С7]) — вероятность того, что игрок В уравнивает начальную ставку;

фгС7]) — вероятность того, что игрок В повышает;

1—(?]) — ф2(т]) — вероятность того, что игрок В пасует. Ожи-
даемый выигрыш при этом равен

*(?. Ф) = -

+ f	(O + ?2(^l-<h0j)-+

+ (л-Н) f f	^dldvi-

—(«+1) J f <Р1(ОЪ(^)^^ + (а+1) f J'?2(0'pi(7))z'(^7i)^^ +

+ (1 -|- o- + b) J* J* <p2(£)tp2(7l)^'Ci> fi)d^dt\,

где £(£, T]) = sign(£ — vj). (Этот ожидаемый выигрыш получается пу-
тем рассмотрения взаимно исключающих возможностей: А пасует;
А ставит и В пасует; А применяет стратегию и В уравнивает или
повышает; А применяет стратегию ср2 и В уравнивает или повышает.)

Если мы обозначим оптимальные стратегии через

со=(?;(?). ф* (то=(<(4 о?), ^(т)))
и перегруппируем члены в выражении для К (ср, ф), как это делалось
в предыдущих примерах, то получим

*(?. Ф*) =
1	/ е	1

= —1 + J ?!<$) 2 + a J <pi(7i)<Y7] —(а -4-2) J —
0'0	;

1 \

— («4-2)+
о	/

1	/	q	1

+ f ?2^)| 24-« f	(«4-2) J Ф1(т7)</7}4-

о \	0	£

е	1	\

4 (aH-£)p*(^-(a + Z> + 2) f U (17.4.1)
о	е	/

и
1

К (<р*. ф) = f (- 1 + 2<р* (0 4- 2<р* ($)) & +
о
1	/	ч	1	\

+ f ш -(«4-2) f (т;(о+?*(о)^4-«ki4-

О V	о	у	/

1 I 1

4-f Ш -(«4-2)f
О'	о

1	\

_(a+Z> + 2) f ?*($)^ + (а + й) f <$(!) dl dy. (17.4.2)
о	,)	/'

Поиск оптимальных стратегий. Будем снова искать функции
?*(?). которые максимизируют выражение (17.4.1), и функции ф*(т/),
которые минимизируют выражение (17.4.2). Интуитивные соображе-
ния подсказывают, что игрок А может в некоторых случаях блефо-
вать с плохими картами, намереваясь спасовать, если В повышает;
он будет также в некотором промежуточном интервале, скажем, при
с < £ < е, выбирать ср*(?) = 1; он будет выбирать стратегию (5) = 1
для £^£<1. Игрок В мог бы иногда блефовать, повышая ставки
в интервале 0<vj < с\ он мог бы выбирать (у) — 1 в интервале
и (р*(т})=1 в интервале d у 1.

Отсюда вовсе не следует, что это единственный возможный вид
оптимальных стратегий. Действительно, далее мы увидим, что суще-
ствуют оптимальные стратегии и иного вида. Однако, после того как
определена одна пара оптимальных стратегий, сравнительно легко
найти и все остальные решения; поэтому прежде всего мы попытаемся
найти оптимальные стратегии указанного вида. Для этого нам нужны
такие значения с, d и е, которые порождают решение требуемого
типа. Из построения ф* мы сразу видим, что для того случая, когда
коэффициент при ср^) в выражении (17.4.1) есть константа;

составляя ее выражение и приравнивая его нулю, мы получаем

1

2	— (а + 2) J —(«4-2)(й —с) = 0.	(17.4.3)

О

Коэффициенты при ф* и ф* должны быть равны в точке d, в которой
игрок В изменяет характер своего поведения; это условие требует,
чтобы

1	d	1

(2а + 2) f = f ^(K)d^b f	(17.4.4)

d	0	d

Аналогичное условие при l = e требует, чтобы выполнялось ра-
венство

е	1

(2fl_|_^ + 2) f ^(7])а71 = Ь f ф*(7]Ж	(17.4.5)

О	е

В точке = в которой игрок В начинает применять стра-
тегии ф* и ф* без блефа, соответствующие коэффициенты (которые
являются убывающими функциями) изменяют знак с плюса на минус,
т. е. они должны при щ = с обращаться в нуль. Следовательно,

с	1

-(а+2) f [T;(O+<p*G)]^+« f [<р;(0+?2©]^ = 0.

О	с

!	!	(17.4.6)

-(« + 2) f т*(?)^ + (й4-й) J^(5)^ = 0.
О	с

[При выводе (17.4.6) мы положили (р*(£) = 0 для	это

интуитивно ясно.] Введем теперь обозначения:

с	с

mi~f т2 = У Ф2 OlW
о	о
Вспоминая предположение о виде решения и предполагая, что
c<Ze<Zd, мы можем уравнения (17.4.3) — (17.4.6) записать сле-

дующим образом:

2 = (a+2)(m24- 1 — с),	(17.4.7)

i—d = d~e или 2(1 — d) = (l — e)t (17.4.8)
(2a-]-b-\-2)m2 = b(l — d),	(17.4.9)

(a + 2)/n1 = a(l — г),	(17.4.10)

(a-4-2)(m1H- e — c) = (a + £)(l — e).	(17.4.11)

Мы получили систему из пяти уравнений с пятью неизвестными: niv
т2, с, d, е', докажем теперь, что эта система уравнений имеет ре-
шение, согласующееся с предположениями, сделанными ранее, а именно
что 0<f<^<tZ<l; 0 т1 <i с; 0 < .т2 < с.

Решение уравнений (\7A.7)— (17.4.11). Эта система может
быть решена в явном виде следующим образом. Перепишем послед-
нее уравнение как

(a + 2)(/nj+ 1 — с) = (2а + £-Н2)(1 — е).

Исключая с помощью уравнений (17.4.10) и (17.4.8) и 1—et
мы получим

(« + 1)(1 —f) = (2a + ^4-2)(J — d).	(17.4.12)

Из оставшихся уравнений исключаем zn2:

<17-413>

Следовательно,

о—rf>( 21+^рг+^irri) = Th-

Найдя 1 — d, мы можем разрешить (17.4.13) относительно 1—ct
а тогда значения остальных неизвестных находятся из исходных
уравнений.

Для того чтобы показать, что это решение согласуется с поста-
вленными условиями, заметим прежде всего, что из соотношения
(17.4.14) следует, что 1—d > 0. Уравнение (17.4.12) показывает,
что 1—с> 1—d и, следовательно, с < d. Кроме того, из соотно-
шения (17.4.13) следует, что

c=2I+T+2<1-‘,>+I-7T2>°-	<17'4'1S>

Так как 2(а—|— 1)(1 — с) = (2а-|-&-|-2)(1— е), мы заключаем, что
1—е < 1—с, или с < е\ а так как 2d~\-\-e, мы должны иметь
е < d. Итак, мы показали, что 0<с<е<^<1. Для проверки
двух оставшихся условий заметим, что из уравнения (17.4.7) следует,
что

/и2==с —— —-р^.),

так что т2 < с и, согласно (17.4.15), т2 > 0. Наконец, используя
уравнения (17.4.10) и (17.4.7), мы заключаем, что

= (1 — с)[1 — (m2+ 1 — с)] = (1 — с)(с — т2)

и потому 0 < тх < с.

Оптимальность стратегий ф* и ф*. Итак, мы можем выра-
зить ф* и ф* через найденные выше значения величин с, е, d,
тх и т2.

(0 =

1.

о,

если

если

с< 5 < е,
е< 1=<1,

*

?2

0.

1.

если 0^ f < е,

если	1,

ф? 01) =

0, если 0	< с,

1, если c^yi < d,
. 0, если d 1,

Ф2*(^) =

1,

если

если

c^7]<d, (17.4.16)





' 0,

d у] < 1.

В оставшемся интервале < с функции cpj($) и ф*(т]) выбираются
произвольно; они заключены между нулем и единицей и удовлетво-
ряют соответственно условиям

с	с

и у<р*(7!)</т)=/и2.
о	о

Остается проверить, что стратегии ф* и ф*, описанные выше,
соответственно максимизируют К (ф, ф*) (17.4.1) и минимизируют
К(ф*, ф) (17.4.2). Для этого исследуем сначала коэффициенты Л^О)
и Л12(;) при ср! и ср2 в выражении для К (ф, ф*). По построению
коэффициент Мг(£) при срх на интервале [0, с) равен тождественно
нулю, линейно возрастает на интервале [с, d) и в остальной части
остается постоянным. Кроме того, функция Л!1 ($) непрерывна во
всем промежутке [0, 1]. Заметим теперь, что функция М2(%) линейна
на [с, d\ и имеет тот же наклон, что и ($). Кроме того, эти функ-
ций совпадают при = е в промежутке [с, d\ согласно (17.4.5);
поэтому Л41 = Л42 для [с, d].

Из определения ф* мы можем также сразу заключить, что функ-
ция Л42 строго возрастает во всем промежутке [0, 1] (см. рис. 24).
Используя эти факты, легко осуществить максимизацию К (ф, ф*).
Ясно, что максимум достигается на любой функции ф, обладающей
следующими свойствами: а) <р2 — 0 и произвольна (O^^^l)
для € С [0» с); б) функции cpj и <р2 удовлетворяют условию ^ + ^2=1,
а в остальном произвольны для £0с, d)\ в) <р2=1 для ££ [d, 1].
Очевидно, что определенная выше функция этим условиям удо-
влетворяет.

Исследование коэффициентов А^(т]) и Af2(?)) ПРИ ФЛ7!) и ФгС7))
в выражении для К (?*, ф) показывает, что они имеют вид, указан-

ный на рис. 25. Заметим, что функция 7С(^*, ф) минимизируется
любой функцией ф, обладающей свойствами:

(az) ф>! == 0 и ф2 произвольна (0<ф2<1) для ?]0О, с);

(б')ф1 = 1 для т]0с, d);

(в') ф2= 1 для	1].

Ясно, что описанная выше функция ф* этим требованиям удовлетво-
ряет. Доказательство оптимальности стратегий и ф* теперь
завершено.

В качестве иллюстрации приведем пример. Пусть а = Ь = 2]
тогда

1в/35

<Р* (£)	,

Q

а в

остальном

«)=

произвольна,

если

19

35 ’

1,

если

19

35

23

35 ’

о,

если

23

35
ф;с1)=

Ф2*(^) =

Значение

О, если 0	,

оэ

94

1, если -qf- t < 1,
ОЭ

если

если

если

О 2^7]

19

35 ’

29

35 ’

29

35

удовлетворяет условию

произвольна,

О,

1,

этой игры равно — п/35.

,Э/35

О

если

если

если

а в остальном

19

35 ’

19

29

35

29

35 ’

?2* © =

Общее решение. Из рассмотрения рис. 25 непосредственно сле-
дует, что минимизирующее решение не может иметь никакого иного
вида, кроме указанного в соотношениях (17.4.16). Однако при макси-
мизации функции К (ф, ф*) мы нашли, что на интервале [£, d\ един-
ственное необходимое условие, которому должно удовлетворять
максимизирующее ф, состоит в том, что ?iH“?2=l- Изменяя срх и ср2
на этом интервале так, чтобы выполнялось это условие, мы можем
найти все возможные оптимальные стратегии игрока А. С этой целью
мы определим ^(5) на [0, е] так, чтобы выполнялось соотношение

с
о

(значение тх вычислено выше) и ср2($)=1 на \d, 1]. Для £ из \с, d]
мы потребуем только, чтобы <рх + <р2 = 1 • Выписывая условия, при
которых К (?, ф) минимизируется функцией ф*, мы получаем
d

1— d=fy2(l)dli	(17.4.17)

С

И
d
f ?i G) =sт+лрт для € [с- ^1.

где с и d те же, что и выше. Мы получаем эти условия, приравни-
вая коэффициенты при фт (т]) и ф2 (77) в выражении (17.4.2) в точке у — d
и требуя, чтобы для т? из [с, d\ имело место неравенста Nx (ri)<aN2(ri).

Легко видеть, что это соотношение необходимо и достаточно для
того, чтобы стратегия ф была оптимальной (см. задачу 8).

17.5	*. Модель покера с k повышениями. В этом пункте мы
укажем вид оптимальных стратегий в модели покера с несколькими
кругами ставок. Методы исследования представляют собой, в сущ-
ности, обобщения методов, использованных в предыдущем пункте.
Значительно более сложные в деталях доказательства мы опускаем,
отсылая читателя к библиографии, помещенной в конце этой главы.

Правила, стратегии и выигрыш. Два игрока ставят по еди-
нице каждый и получают независимо случайные расклады £ и
(которые отождествляются с точками единичного интервала), распре-
деленные равномерно. Имеется &-|-1 кругов ставок („круг" в этом
пункте означает одно действие того или иного из игроков). В первом
круге игрок А может или спасовать (и потерять свою единицу), или
поставить а единиц. А и В ходят поочередно. В каждом последую-
щем круге игрок может либо спасовать, либо уравнять ставку про-
тивника (в этих случаях игра кончается), либо повысить ставку на а
единиц. В последнем круге каждый игрок может только пасовать
или уравнивать. Если k четно, то последний возможный круг закан-
чивает игрок А; если k нечетно, то последний возможный круг
заканчивает игрок В.

Стратегию игрока А можно описать набором k функций ф(5) =
= (cpi(£), <р2(0.?*(£))• Эти функции указывают способ действия

игрока А, если он получает расклад Точнее,
есть вероятность того, что игрок А сразу спасует, а
k

1 = 1

Бероятность того, что игрок А в первом круге сделает ставку.
Пусть далее

ср! (У — вероятность того, что игрок А спасует на своем вто-
ром круге;

<р2 (5)—вероятность того, что игрок А уравняет на своем вто-
ром круге;

k

5 G) — вероятность того, что игрок А повысит на своем вто-
/=з

ром круге,

если есть возможность повышать, т. е. если игрок В повысил на
своем первом круге и продолжает игру. Аналогично если игра про-
должается до r-го круга игрока А, то пусть

?2г-з(О — вероятность того, что игрок А будет пасовать на
своем r-м круге;

<р2г—2 (О— вероятность того, что игрок А будет уравнивать на
своем r-м круге;

k

2	—вероятность того, что игрок А повысит на своем

Z=2r-1

r-м круге.

Аналогично стратегия игрока В может быть выражена набо-
ром k функций:.

Ф О1) = Ch 01). 'Ъ01)....ФйО1)).

который указывает образ действия игрока В, если он получает
расклад т?. Вероятность того, что игрок В при первой возможности
будет пасовать, равна

k

Фо 01)= !— 2 Ф/('»!)•

Если игра продолжается до r-го круга игрока В, то

ф2г_2 (*1)— вероятность того, что игрок В спасует на своем
г-м круге;

ф2г»1 (^)—вероятность того, что игрок В будет уравнивать на
своем r-м круге;

k

2 ф/ (^) — вероятность того, что игрок В повысит на своем
;=2г	/

r-м круге.

Если игроки получают расклады £ и у, выбирают соответственно
стратегии ср и ф, то выигрыш игрока А может быть вычислен, как
и в предыдущих примерах, путем рассмотрения взаимно исключаю-
щих случаев, которыми могут закончиться ставки. Выигрыш игрока А
имеет следующий вид:

/ k \

р[ф(0. <Ж)1=(-1)	4-

\	/ = 1	/

k	/	k	\

+ 2 <Pz (О 1 - 2 Ф/ 0l) + 4 + 1) Сч) L ((•, tj)) 4-

k

+ 2 Ш1- («4- 1)<Р1(0-Н(2а-Н 1)?2G)A«. V))14- ...

;=2

k

• ••+ 2 Ш{-1(2г-3)а4И]<ь_3(1;) +
/ = 2г-2

+ [(2г - 2) а 4-1 ] ?2г_2 (В) L (!•, tj)] 4-
k

+ 2 ?/(5){[(2r -2)й + 1]ф2г_2(7!)+[(2г-1)аЧ-1]ф2г_1(7,)£(е.7))}4-

Z=2r-1
k
+ 2 фу(’1){-1(2г-1)а+1]<р2г_1а)+(2га4-1)?2г©^(5. Ч)}4-
;=2г
k

+ 2 <Pi(«{(2ra + l)’p2r(^) + [(2r4-l)a+l]^+1(7))AG17i))4...,
Z=2r41

где А (£, ?]) = sign(£ — v/). Математическое ожидание выигрыша равно
1 1

/<(?. Ф)=f f Pi?.©, wi^. (17.5.1)
о о

Описание оптимальных стратегий. Существуют оптимальные
стратегии ср* и ф*, характеризуемые 2k -1~ 1 числами b, cv ..., ck,
dv .... dk. Когда игрок получает расклад £ из промежутка (О, Ь),
он будет часть времени блефовать, а также некоторое время пасо-
вать. Мы будем обозначать через

ь

=	(/=1,3,5,...),	(17.5.2)

О
и
ь

n>==z f K'(ri)ari (У==2’ 4’ 6- •••>	(17.5.3)

О

вероятности блефа в различных кругах ставок. Если игрок А полу-
чает расклад £ в интервале^(с/__1, fz), где с0 — Ь, то он будет выби-
рать ср*(?) = 1 и ср* ($) = 0 для 1^1. Аналогично если игрок В полу-
чает расклад т/ в интервале (dj_x, dj), где dQ = b, то он будет
выбирать ф* (tj) = 1 и ф*(т}) = 0 для /4= /• Решение изображено на

рис. 26. Тот факт, что

C2r-1 < ^2r-l d2r с2г (Г = 1, 2, . . .)

имеет большое значение.

						
		% •'	%= /	vi •’		
	-					
0	Z?	Cj	c2	Cj	Cq					

= Znj				
b	d,	d,	d3	d4				

Рис. 26.

Постоянные cit dj, пц и определяются путем решения гро-
моздкой системы уравнений, аналогичной системе (17.4.7) — (17.4.11).
Точнее, если k четно, то числа b, cb dj, mif nj находятся как
решения следующих уравнений:	t

k

[(4r — 1) 4- 2] 2	—d2r_-[)

j=2r

(2r = 2, 4,	k),

k

a(C‘2r-2— d2r_2) =	—^2r—2) 4~ [(4^— 3)a-|-2] 2 11 j

J =2r

(2r = 4, 6, ...» k).

k

[(4r — 3)#-|—2] 2 W/ —^(1	^2r—2)	(2r = 2, 4, ..., k)t

i=2r-l
k

a ^Zr-1----C2r-V> — a (1---^2r-l)“H(4r — 1)^ 4~2] 2

i = 2r-\ 1

(2r = 2, 4, .... &),

(4ra 4” 2) (c2r — ^2r-i)“ l(4r 4~ 2) a 4- 2] (c2r — d2r)

(2r = 2, 4, ..., k — 2),

[(4r — 2) a 4" 2] (c?2r-i	^2r-z) == (4^^ 4” 2) (d2r_^	612r-i)

(2r = 2, 4, .. ., k)t

1 k

2 = (« + 2) J У
о y-l
Аналогичная система может быть составлена и для нечетного k, По-
лучаемое при этом решение согласуется со схемой рис. 26.

17.6	. Покер с одновременными ходами. Два игрока А и В
после получения случайных равномерно распределенных раскладов
одновременно делают ставки. Начальная ставка может быть или b
(низкая ставка), или а (высокая ставка). Если обе ставки равны, то
игрок с более высоким раскладом выигрывает. Если один игрок
поставил высокую ставку, а другой — низкую, то поставивший низ-
кую ставку имеет выбор: либо спасовать (теряя свою ставку), либо
уравнять высокую ставку, поставив дополнительно а — Ь.

Если игрок, поставивший ставку, уравнивает, то игрок с более
высоким раскладом выигрывает банк.

Так как игра симметрична, нам нужно описать только стратегии
одного из игроков. Если игрок А получает расклад £, то мы будем
обозначать через

?1(0—вероятность	того,	что	игрок	А	поставит	низкую ставку и

спасует, если игрок В поставит высокую ставку;

ср2($)—вероятность	того,	что	игрок	А	поставит	низкую ставку и

затем уравняет ставку В\

ср3(£)— вероятность	того,	что	игрок	А	поставит	высокую ставку.

Разумеется, эти функции удовлетворяют условиям

з

Z = 1

Ожидаемый выигрыш игрока А, если он использует стратегию ср,
а игрок В использует стратегию ф, выражается в виде

1 1

К (ф. = f
О о

11 11

-t>f f	f f ч’зСО’Ш^Ч-

0 0	0 0

11 11

+ « JJ/'РзШгС'ОМ^ +
0 0	0 0

1 1

+ « f f
0 0

Ввиду симметрии игры мы можем заменить в этом выражении стра-
тегию ,ф(7]) игрока В оптимальной стратегией ср* (tj). Сделаем до-
вольно правдоподобное предположение о том, что в условиях этой
стратегии <р*(^) = 0, ибо, по-видимому, нет веских оснований сн$-
чала делать низкую ставку, а затем уравнивать. Это предположение
далее будет строго обосновано. Так как ср*(т]) = О, мы можем запи-
сать функцию К (ф, ф*) следующим образом:	v

1 1

<?)=ъ f f +	?;(?!)£(!;, 7])dld7]-

О о
11 11

-ь f f?1 ($$(-?№ dTi+ь f f
0 0	0 0

1 1

+ « f f [1 — ?iG) — ?3(0]?з01)L<£•
0 0

1 1

±aff сРз0)'Рз(71)£0’	=

0 0

~af ?зО1)Й71 + а f tU7!)	+

o	a /

1	/ E	1	x

+ f ?2(0| b f <P* (rj) dfi—b J <p*(7)) d-q j +

0	\ 0	E	/

1	/ 1 \ 11

+ f К® Г f	f f 'p*3(7iU(t ^Id-q, (17.6.1)

0	\ 0	J 0 0

или
1 3

«(?. ?*) = f^f^T^dl + Z,
0 1 = 1

где Z есть член, не зависящий от <pz. Стратегия ср, максимизирующая
/С (у, у*), определяется таким выбором компоненты <pz, чтобы она
была как можно больше, если Tz ($) = max Ту (£). Если максимум
j

Ту(£) достигается одновременно на двух из Tz(£), то соответствую-
щие cpz могут принимать любые положительные значения при усло-
вии, что их сумма равна единице.

При низких раскладах иногда рекомендуется блеф. Это означает,
что при 5 < 50 мы должны иметь 7\(£) = Т3(£) > Т2(^). Дифферен-
цируя тождество Т1(£) = Т3(£) и помня, что на интервале [0, |0]
мы заключаем, что



почти всюду ДЛЯ в < ?0.

Выбирая ср* указанным образом и полагая ср* (g) = 1 для ? > ?0,
мы получаем, что равенство 7\(?) = Т3(?) возможно, если только
t _____________________________а — Ь

Таким образом, мы приходим к следующему решению:

И£)=Ъ:®=4»’	ес” £<Е«'

?*(?)= 1,	если ?>?0.

(17.6.2)

Проверка оптимальности так построенной стратегии у* осуществляется
обычными приемами. Ясно, что 7\ (£) = Г3 (?) > Т2 (?) для ? < ?0 и,
следовательно, максимум достигается лишь при условии <рт (S)"+~
4“<Рз(О=1> которое, несомненно, выполнено для ср* вида (17.6.2).
Далее, мы видели, что равенство 7\ (?) = Т3 (?) единственным образом
определяет ср* в соответствии с формулой (17.6.2) для ? < ?0.

Для ? > ?0, исследуя (17.6.1), мы находим, что Т2(?) — Т3(?)> 7\(?).
Следовательно, максимизация функции К (ср, ср*) требует, чтобы ср
удовлетворяла условию ср2 (?) + ср3(?) = 1; Но если на этом интервале
ср2 > 0, то несложное вычисление показывает, что Т\ (?) <Г2(?) для
;^?р где ?i < ?0. В совокупности все эти заключения доказывают,
что стратегия ср* вида (17.6.2) есть единственная оптимальная стра*
тегия игры.

17.7. Игра „проходящий туз“. Игра „проходящий туз" описана
в книге Тодхантера „История математической теории вероятностей"
следующим образом.

„Петр держит обычную колоду карт: он дает одну случайно
выбранную карту Павлу и берет одну себе; целью каждого является
получение более высокой карты, чем карта противника. Порядок
значений карт следующий: туз, двойка, тройка, ..., десятка, валет,
дама, король.

Если Павел недоволен своей картой, то он может заставить Петра
поменяться с ним, но если Петр имеет короля, то он имеет право
сохранить его. Если Петр недоволен картой, которую он получил
в первый раз или которую он был вынужден получить от Павла,
он может заменить ее на другую карту, выбранную случайно из
колоды, но если карта, которую он извлек,—король, то он не может
взять ее, а должен сохранить ту карту, которой не был доволен.
Наконец, если Павел и Петр имеют одинаковые карты, то считается,
что Павел проиграл".

44 Зак. 1789
Мы не будем приводить здесь решения этой игры. Вместо этого
мы рассмотрим несколько видоизмененный непрерывный ее вариант,
решение которого получается легче.

Пусть игроки А и В реализуют значения независимых случайных
величин £ и т], равномерно распределенных на единичном интервале.
Игрок А ходит первым и может либо сохранить свое число
либо же обменять его на число т] игрока В. После этого ходит В,
который может или сохранить свое число, независимо от того,
является ли оно его первоначальным т] или числом $, которое он
получил от Л, или заменить его на новое число С, также выбранное
случайно из единичного интервала. Выигрыш А равен 1, если его
последнее число больше, чем окончательное число В, и —1, если
его число меньше, чем число В. Мы не заботимся о случае, когда
эти два числа равны, так как его вероятность равна нулю.

Перейдем к анализу этой игры, используя методы, аналогичные
методам исследования предыдущих моделей. Здесь, так же как и
раньше, мы будем руководствоваться интуитивными соображениями.

Пусть

и(£) означает вероятность того, что если игрок А получает £,
он сохранит его;

ф(т])— вероятность того, что игрок В будет требовать новое
число С, если он получает т], и игрок А сохранил

ср(т|, £) — вероятность того, что игрок В будет требовать новое
число С, если игрок А обменял ему £ на т].

Величины и (%), ф(т^) и <р(т], ?) должны удовлетворять условиям
O^zz(y, ф(т]), ср(т], £)^1. Перечисляя все возможности и полагая
sign(£ — т/) = £(5, tj), мы находим, что ожидаемый выигрыш /<(#; ф, ср)
игрока А равен

11	ill

f f И(О[1-Ф(^)1£($. f f f
0 0	,	0 0 0

1 1

+ f f [i-«($)] ojLOh
о 0

1 1 1

+ fff [i— «(е)]<рс*ь	(17.7.1)

0 0 0

Здравый смысл заставляет нас предположить, что оптимальная стра-
тегия ср° (т|, £) имеет вид

{0,	если £ > т),

1	с

1,	если £ < т|.
Действительно, если £ > т] и игрок В имеет £, то он наверняка вы-
играет, если только сохранит £; он наверняка проиграет, если £ < т],
и он не возьмет новой карты. Поэтому та часть /С, которая содер-
жит и, может быть приведена к виду

1 1

J«($)($2 + 2$-l) + (2$-l) f +

О	о

1 е А

+	U. (17.7.2)

5	о	/

Если выражение во внешних скобках положительно, то игроку А
нужно, чтобы и (£) = 1, а если оно отрицательно, ему нужно, чтобы
rz($) = 0, так как А — максимизирующий игрок.

Рассмотрим теперь ту часть /С, которая содержит ф. Она пред-
ставима в виде

1	/ 1 1) 1 \

f ф(7)) If и($)(2$ — 1)</е+ f u(l)dl — f «($)</$ IrfTj. (17.7.3)

О	\о	0	t]	/

Если выражение во внешних скобках отрицательно, то для игрока В
нужно, чтобы ф (т/) = 1, потому что он — минимизирующий. Если это
выражение положительно, то ему нужно, чтобы ф(т]) = О.

Поскольку интегралы

f «($)</$ и f u®dt
О	7)

являются соответственно монотонно возрастающей и монотонно убы-
вающей функциями т/, то существует такое значение tj0, что ф°(^)= 1
ДЛЯ < 7]0 и Ф° (7|) = О ДЛЯ 7/ > 7]0.

Теперь, когда мы знаем вид функции ф°(т]), посмотрим, что
можно сказать о виде uQ(%). Если в выражении, стоящем во внеш-
них скобках в (17.7.2), заменить ф на ф°, то для £ < т)0 оно будет
равно

$24-2^0-1,	(17.7.4)

а для £>Tj0 равно

£24-^ + 2^-2770-1.	(17.7.5)

Так как это выражение является монотонно возрастающей функ-
цией £, существует такое значение £0, что «°(£) = 0 для £ < £0 и
(£) = 1 для £ > £0.
Теперь мы можем подставить м° в выражение (17.7.3) и найти
зависимость между £0 и т]0. Для	выражение в квадратных

скобках в (17.7.3) равно

1	1

2	f kdi — 2 f dt	(17.7.6)

Eo	Eo

Так как это выражение неположительно, ф°(^)=1 для	Для

выражение в квадратных скобках равно

— l-eg + 27,;	(17.7.7)

следовательно, ф°(т])=1 для *1<(£q+1)/2 и ф° (?]) = 0 для
ч> «+1)/2-

Ясно, что	1)/2 = т]0; следовательно, положив выраже-

ние (17.7.4) равным нулю и решив получившееся уравнение относи-
тельно £, мы найдем значение |0. Значение £0 есть единственный
корень уравнения ;3-|-ъ2-|-£—1=0, лежащий между 0 и 1. Решая
это уравнение, мы получаем

£0	0,5437.

Из определения и° и ф° мы знаем, что и° максимизирует
К (и; ф°, ср0) и что ф° минимизирует К (м°; ф, <р°). Кроме того, мы
должны проверить, что и ср0 минимизирует 7С(и°; ф, ср).

Часть /С, содержащую <р, можно с помощью интегрирования по С
привести к виду

1 1

f J<p(vj, $)[l-«o(e)][2ll_	B)]dUTl,

о о

или

1 Ео

f /<?(Ч 012*1- 1 -Ш
о о

Отсюда ясно, что <р° действительно минимизирует функцию К (и0; ф, ср).
Таким образом, построенные и°, ф° и ср0 являются оптимальными
стратегиями. Значение игры равно

р4 еЗ с2 i

-т-т-т-4+^0’0705-

Итак, оптимальными стратегиями являются функции

I 1, если £ > £0,
(с ) = {
k'	(0, если $ < £0,
И	2

ф0(7))=.	если	У <	’lo	0,6478,

0,	если	т] >	т|0,

(	1,	если	£ <	т?»

'<''^4=1	о,	если	£>,.

где £0—единственный корень уравнения £3+£2-|-£—1=0, лежа-
щий в единичном интервале.

Если равномерное распределение в описании игры заменить про-
извольным непрерывным распределением F, то вид оптимальных
стратегий не изменится. Однако если берется дискретное распреде-
ление F, то оптимальные стратегии zz°(B) и ф° (у) могут допускать
рандомизацию для критических значений (соответственно £0 и tq0)

17.8*. „У кого старше, тот выигрывает". Каждый из двух
игроков А и В получает карту из интервала (0, 1) согласно равно-
мерному распределению и ставит одну из величин alt а2, . .., ап.
(Мы предполагаем, что aL < #z+1.) Выигрыш определяется следую-
щим образом: если одна из ставок больше чем другая, то игрок,
который поставил высокую ставку, выигрывает банк; если ставки
равны, то игроки сравнивают карты и игрок с лучшим раскладом
выигрывает банк. Так как игра симметрична, значение игры должно
быть равно нулю, а оптимальные стратегии одинаковы для обоих
игроков. Будем обозначать через <pz(5) вероятность того, что игрок А
при карте £ поставит a-L. Эти функции подчинены ограничениям

п

Z = 1

Если игроки выбирают стратегии cpz(B) и фДт/), то ожидаемый вы-
игрыш игрока А равен

п 1 b\Z-l 1	п 1

Z = 1 о	\£=1	0	Л=/+1 0

1 \

о	/

где L(£, v/) = sign(£ — ?]). Вспоминая, что	мы можем

записать выигрыш следующим образом:

*(?. Ф) =

п 1	/	Z-l	1	£	\

==]►} /?/G)( — ^ + 2^+^)/ФН7!)^-!-2»//I

Z=1 0	\	А=1	0	0	/
Следуя методу, примененному в предыдущих примерах, будем обо-
значать общую оптимальную стратегию игроков через ф*. Тогда
задача сводится к нахождению такой стратегии ф*, что максимум
/С(ф, Ф*) достигается при ф = ф*. Для упрощения записи будем обо-
значать выражение во внешних скобках в последнем уравнении2)
через А/(£). Таким образом,
1 п

?*)=/(17.8.1)
О Z = 1

Предположим, что решение имеет следующий вид: существуют такие
числа

...	(5Л=1),

что в интервале (0, все ср* (£) используются с некоторыми вероят-
ностями ар > 0; во втором интервале (£р |2) с положительными
вероятностями делаются только ставки а2, ...» ап (с вероятно-
стями ар) и т. д. для всех остальных интервалов.

Эта предлагаемая стратегия была найдена после многих проб и
преобразований Z,z(£). Соображения в ее пользу ясны. Ясно также,
что cpz (^) = 1, если Zz(?)> Lj($) для j I. Единственная возможная
неоднозначность появляется, если Li(^) = Lin($) > Lj(%) для j =/= Z, f0.
В этом случае мы можем определить® значения ср.(?) и ср. (?) произ-
вольно, лишь бы они подчинялись условию ср.($) + ф. (£)=1. Даль-
нейшее исследование коэффициентов Az(?) производится в указанных

предположениях о виде решения.

Для того чтобы в некотором интервале две из этих функций,
скажем cpz(£) и срД?), были отличны от нуля, необходимо, чтобы
были равны соответствующие им коэффициенты в выражении (17.8.1),
т. е. Lt ($) = Lj (£). Заметим, что функция Az(?) состоит из двух чле-
нов: из члена

1-1

(17.8.2)

не зависящего от $, и члена

е

2<k f

о

Мы определим неизвестные константы а(г) так, чтобы последний
член Lt был равен соответствующему члену Lj. После этого мы
определим так, чтобы cz = Cj. Так как мы предположили, что

*) Где ф заменена на <р*.— Прим, перев.
в интервале (0, имеет место равенство ср*(£) = а<1 2 *>, то из урав-
нения

Е	Е

2aiffia)^ = 2aJf <?*(!)#

О	о

следует, что 2а .аФ = 2а в частности, если /=1, то
it	j ]

а9) = —а0>.

< I at i

Так как 2 aW = 2 ?*(£) = 1» мы окончательно получаем аф =\]арх

(Z=l......п), где

Если мы продолжим рассуждение, то покажем, что в интервале

G/-i’ М мы имеем	(t = r, r + 1, ...» п), где

n
»,=У±.
k = r

При этих значениях a<f) числа с., определенные равенством (17.8.2),
могут быть выражены следующим образом:

cx = — av

с2 = — o2 + (a2-ha1)-A->

сз = — «з + («з + fli) 4^ + (аз + аг) + а2) \4'-
и т. д. Если все эти постоянные равны друг другу, то ek = — ах
для всех k. Числа ......могут быть определены из этих урав-

нений единственным образом. Мы должны подчеркнуть, что так по-
лученные значения порождают решение тогда и только тогда, когда
• •• =^л=1. Это условие не всегда выполнено; его
соблюдение зависит от значений ар ап.

При а = 2 мы всегда получаем решение, для которого

t ___ ^2	zv А __ ^2

SI 1	f		•

1 a2 + #i 1 1 a2

При n = 3 уравнения для и £2 имеют вид

1	Л2+Л1 11

a^2	“j- ^3^2 H- ^2^1 — 3^2

2	4	(л2 + л|)(л3 + л2)

Если а1 = 1, а2 —2, а3 = 4, то ^ = 7/12, ^ = 8/12-в
Мы не будем здесь описывать решение для тех случаев, когда не
все В/ лежат в единичном интервале, или в случае, когда для
некоторых l<j (см. задачу 10).

Непрерывная область ставок. Единственное отличие рассмат-
риваемой здесь модели от предыдущей состоит в том, что вместо
дискретного множества допустимых ставок av ..., ап мы допускаем
любую ставку а в интервале	Выигрыш тот же, что

и в предыдущей модели; эта игра, очевидно, симметрична, и ее зна-
чение должно быть равно нулю.

Предположим, что минимизирующий игрок (В) выбирает следую-
щую стратегию: если его карта $ выше, чем фиксированное значе-
ние £0 (которое будет далее вычислено), то он делает высшую воз-
можную ставку а\ если его карта меньше чем ?0, он будет делать
ставку в соответствии с распределением с непрерывной плотностью
ср (а) независимо от того, какую карту £ < £0 он получил. Для вы-
числения ожидаемого выигрыша максимизирующего игрока (Д) рас*
смотрим три случая.

Случай 1. Игрок А получает карту $ и назначает ставку р < а.
Так как распределение игрока В непрерывно, вероятность того, что
карты будут сравниваться, равна нулю. Ожидаемый выигрыш зависит
только от того, у кого выше ставка, т. е. от р. Обозначая этот
ожидаемый выигрыш игрока А через R (р), мы имеем

₽	а

/?(?) = j a<p(a)da — Р f <p(a)</a —£ [1 — U (17.8.3)
о	₽

а
где <р нормировано так, что J" cp(a)dax=$0.
ъ

Случай 2. Если игрок А получает карту и ставит высшую
возможную ставку а, то выигрыш по-прежнему выражается форму-
лой (17.8.3), где р = я.

Случай 3. Если игрок А получает карту £ > и назначает
высшую ставку а, то ожидаемый выигрыш равен

г(0 = Ja<p(«)da + a($^-$0) — a(l — £)•	(17.8.4)

b

Действительно, игрок А выигрывает, если игрок В ставит либо
a < а, либо, имея карту, меньшую чем В, ставит а; игрок А про-
игрывает at если игрок В ставит а, имея карту, лежащую между
5 и h
Выберем теперь такую функцию ср (а), чтобы функция 7? ((5) была
постоянна. Если мы продифференцируем /?(Р) по р, то получим

2М?)-/<Р(аИ«-(1-ео) = О.	(17.8.3)

р

Следующее дифференцирование дает 2р<р/(Р)4-Зср(Р) = 0, или
__з

<р(р) = Ар 2.	(17.8.6)

Если мы подставим это значение ср(р) в соотношение (17.8.5) и про*
интегрируем, то получим

2Аа"т=1— «о.	(17.8.7)

Кроме того, поскольку стратегия игрока В есть вероятностное рас*
пределение, мы должны иметь

J* <р (a) da-|-1 — ?0 = 1,	(17.8.8)

ь

откуда следует, что

2^" —2&а"2‘=±е0.	(17.8.9)

Если мы сложим уравнения (17.8.7) и (17.8.9), то получим

k = ^~, <p(a) = Xj^a 2,

а из (17.8.7)

При таком выборе ср (а) и £0 значение /?(Р) Не зависит от р и мо*
жет быть вычислено для р — Ь\ тогда в силу соотношения (17.8.8)

R(b) = — U J?(a)da+1—U= —&.
\ь	/

Рассмотрим теперь выражение (17.8.4) для функции г (В), которое
появляется в последнем случае. Ясно, что r'(£) = 2a, и для $ =

/,(U = Ja<p(a)da —a(l — g0) = /?(a),
b

Так как мы знаем, что 7?(а) = — Ь, то заключаем, что
Эти результаты можно суммировать следующим образом: если мини-
мизирующий игрок следует стратегии, описанной выше, то ожидае-
мый выигрыш игрока А равен —b для всех его карт и ставок, за
исключением случая, когда £ > £0 и ставка равна а\ в этом случае
ожидаемый выигрыш равен —Z>-j-2a(|— $0).

Ясно, что если А хочет максимизировать свой выигрыш против
данной стратегии, он может допускать любую систему ставок для
карт Это не влияет на выигрыш; Однако для карт, больших
чем он должен назначать высшую возможную ставку; в этом
случае он получает —Ь-}-2а(£— |0)>—Ясно, что стратегия
минимизирующего игрока, построенная выше, подходит под это
описание и, следовательно, оптимальна против такой же стратегии
противника; так как игра симметрична, это утверждение показывает,
что данная • стратегия является оптимальной. Ожидаемый выигрыш
равен

— Z>4-2a J(e-40)^==-Z>+a(l—£о)2==О,
Во

что и должно быть.

17.9.	Задачи.

1.	Рассмотрим первую модель из п. 17.1 с теми же правилами
игры. Будем, однако, считать, что понтирующий имеет возможность
или пасовать, теряя свою первоначальную ставку, или ставить
я. (7=1, ДГ), где 1^а1<а2< ... < aN. Банкомет всегда
должен уравнять ставку. Найти стратегию, которая максимизирует
ожидаемый выигрыш понтирующего.

2.	Решить первую модель из п. 17.1 для того случая, когда Q
является конечным дискретным распределением (т. е. охарактери-
зовать, каким образом решение этой игры отличается от решения
в случае непрерывной G).

3.	Решить модель покера из п. 17.2 для случая, когда игрок А
получает карту согласно непрерывному распределению F ($), игрок В
получает карту согласно непрерывному распределению G(v/).

4.	Вычислить значение игры для модели покера из п. 17.3.

5.	Показать, что любая оптимальная стратегия игрока I в игре
из п. 17.3 необходимо имеет вид (17.3.16).

6.	Вычислить значение игры из п. 17.4.

7.	Определить в явном виде решение модели покера из п. 17.4
для ставок а = 2, £ = 4.

8.	Доказать, что все решения модели покера, описанной в п. 17.4,
характеризуются параметрами с, d, mv которые определяются
уравнениями (17.4.7) — (17.4.11) и функцией ?2(0» удовлетворяющей
условиям (17.4.17) и условию ft (У + <р2 (0 = 1 для
9.	Рассмотрим модель покера из п. 17.6, в которой каждый
игрок имеет возможность пасовать с самого начала, отказываясь,
таким образом, от поставленной вначале единицы. Предположим, что
а>#>1. Если вначале пасуют оба игрока, то выигрыш каждого
игрока равен нулю; во всех других отношениях игра остается без
изменения. Показать (учитывая симметричность игры), что оптималь-
ная стратегия имеет следующий вид: в интервале [0, с] сразу пасо-
вать; в интервале [с, d] смешивать низкую и высокую ставки; в ин-
тервале \d, 1] назначать высокую ставку. Определить параметры
решения.

10.	Найти в явном виде решение игры из п. 17.8 в случае трех
уровней ставок (п = 3).

И. Рассмотрим модель покера из п. 17.6 с тремя уровнями
ставок: с (низкая ставка), b (средняя ставка) и а (высокая ставка).
Правила игры те же самые, т. е. оба игрока ставят одновременно;
если ставки неодинаковы, то их нужно уравнять, иначе игрок, по-
ставивший более низкую ставку, теряет ее в пользу своего против-
ника; если ставки равны (или уравнены), то сравниваются расклады
и игрок с более высоким раскладом выигрывает банк.

12.	Вам дают случайное вещественное число Н согласно распре-
делению Л(£). Вы можете либо сохранить это число, закончив таким
образом игру, либо потребовать другое. Вы можете сделать этот
выбор всего N раз; если вы уже осуществили его N раз, то вы
обязаны сохранить Af-e число. Найти стратегию, которая максими-
зирует ожидаемую величину. Дать явный ответ, если F есть равно-
мерное распределение на единичном интервале, a N есть 2 или 3.
(Указание: решать рекурсивно.)

13.	Рассмотрим ту же игру, что и в задаче 12, с той, однако,
разницей, что вы должны сохранять два из N чисел, так что если
вы отказались от первых N — 2 чисел, предложенных вам, то вы
должны принять два последних, а если вы приняли только одно из
первых N—1 чисел, то должны принять Af-e число. Найти страте-
гию, которая максимизирует ожидаемую сумму этих двух величин.
Дать явный ответ для N = 3 в случае, когда F— равномерное рас-
пределение на единичном интервале.

Задачи 14—18 основаны на следующей модели. Стратегиями
игроков I и II являются соответственно векторы

Ф(5)=(<Р1 (0......?п(0)	и 4*Ci)=('hСО.......ФЛ7)))-

Выигрыш равен

1 1

/<(?» Ф) = J f Ч tyd^dri,

о о
где

/?(?. т); ф, 4»)= 3

+ [Ci + dt Sign (5 — 7))] <ft (0 <pz (7))}.

Для определенности мы предполагаем, что ai^0i bi^0i d^O,
а также что 0cpz(£)< 1 и

Если никаких других ограничений не наложено, то (ср, ф) есть
сумма п независимых игр, каждая из которых может быть решена
отдельно. В задачах 17 и 18 мы налагаем еще одно ограничение:
2 <pz (£)	1 • В этом случае ядро К должно рассматриваться как

целое. Применить методы этой главы к решению следующих задач.

14.	Показать, что если |cz|>tZz и —^z4“ cz + tZz^O, то стра-
тегия tpz(7))=l для всех I равномерно оптимальна против любой
стратегии ф. Построить оптимальную стратегию ф* в игре с ядром
*(?. ф).

15.	Решить игру, в которой | ct | > dt и az-|-cz— tfz^0.

16.	Рассмотрим случай, когда р/1 < d/» az-|-rz— dt < 0 и
— ^z + ^Z + ^Z > 0. Положим

„ __ 1_____ai Q _______ 1______Y __________ dj ci s ______ dj cl

1 di-Ci' Рг—1 di + ci ’	2dt ’	2di •

Показать, что
(а) если yzpz > az, то оптимальными являются стратегии

j 0, если £ < az, #	(О, если ^<Tz?z»

^z® j 1, если $ > az,	| 1, если 7]>-[zpz;

(б) если pz>az> yzpz, то оптимальными являются стратегии

/nz,

1,

если

если

£ < az,
^az,

( 0, если ri < aZ1
««=Ь. если

где tn-i удовлетворяют уравнениям

di + а + mi (di -ci) '

(в) если az> Bzaz, то оптимальными являются стратегии

f о.

ш=( lt

если

если

если

если

71< ₽/•

7]S=₽P

5> ₽Z.

где числа ni удовлетворяют уравнениям

dt	&i ,

— cl + nl (di + c<)
(г) если 8zaz > pz, то оптимальными являются стратегии

( 0, если £ < 8,а,,	( 0, если т? < §.а;,

^<Н 1, если	если . >

17.	Предположим, что мы наложили условия, указанные в- опи-
сании модели, дополнив их условием 2?/(£)—1- Показать, что оп-
тимальная стратегия ф* игрока II имеет вид

( 0, если т) < тъ,
ф*(т)) =

£	( 1, если т] > t]z.

18.	В условиях задачи 17 (опустив условие |cz | < dt и предпо-
лагая, что Z>z<0) показать, что оптимальная стратегия ф* игрока II,
как и выше, характеризуется критическими числами tjz, где ^z=l
или

причем X* не зависит от Z.

19.	(„Веришь — не веришь".) Игрок I получает случайное число
из единичного интервала. Он объявляет одно из чисел k/п (k =
= 0, 1	п), утверждая, что его число больше или равно объя-

вленному. Игрок II говорит, верит ли он или не верит тому, что
объявил игрок I. Если он верит и утверждение игрока I верно или
если он не верит и утверждение игрока I неверно, то игрок II вы-
игрывает одну единицу. Во всех остальных случаях игрок I выиг-
рывает единицу. Найти пару оптимальных стратегий игры.

Комментарии
и библиография к главе 17

Можно сказать, что во многих отношениях теория бесконечных игр воз-
никла именно в результате изучения моделей покера. Впервые бесконечные
игры были проанализированы математически фон Нейманом в 1926—1928 гг.
[1]. (Полные результаты этого анализа, который был посвящен салонным
играм, не были опубликованы вплоть до 1944 г.)

В течение многих лет большое внимание привлекал чисто вероятност-
ный подход к общему исследованию покера. Многие авторы составили
таблицы различных вероятностей получения тех или иных раскладов карт
при сдаче из растасованной колоды.

Борель [1] посвятил обширную работу перечислению процентных отно-
шений, связанных с бриджем и покером. Анализ покера, как математи-
ческой игры, привлек внимание Билля [1] в 1938 г., и в результате своего
исследования игр типа покера он дал первое доказательство теоремы о ми-
нимаксе для игр с непрерывной функцией выигрыша.

Покер является богатым источником создания игровых моделей. При
изучении многих примеров этой главы мы, кроме изложения более или ме-
нее стандартных методов их решения, пытались подчеркнуть общую идею,
которую можно найти в их решении.

Читателю следует вспомнить модели покера, изложенные ранее (см. п. 4.3
и задачи к гл. 4). В связи с этим упомянем также работы Куна [1] и Бо-
ненбласта [1].

Покер с тремя игроками изучался Нэшем и Шепли [1], которые вы-
числили все возможные ситуации равновесия, связанные с одним из вари-
антов этой игры.

17.1.	Идеализированные модели игр „черный валет" и „красная собака",
изученные в этом пункте, принадлежат Беллману. В связи с этим некоторый
интерес представляет нестрогое эмпирическое решение реальной игры
„черный валет", данное Болдуином, Конти, Майзелем и Мак-Дермоттом [1].

17.2.	Простая модель покера с фиксированным размером ставки и одним
кругом ставок, рассмотренная в этом пункте, впервые была сформулирована
Беллманом [2]. Метод решения, рассматриваемый в этом пункте, является
новым и представляет собой типичный пример применения общего метода
неподвижной точки.

17.3.	Изложенная в этом пункте модель была предложена Карлином и
Рестрепо [1]. Свойства, которыми обладает рассматриваемая здесь функция
выигрыша, были сформулированы в 1958 г. Рестрепо (не опубликовано).
Используя несколько более сложные методы, основанные на той же идее,
он смог решить значительно более широкий класс аналогичных игр. Его
методы могут быть полезны при решении новых типов моделей покера и
задач, связанных с принятием решения (см. задачи 14—18 этой главы).

17.4.	Модель покера, описываемая в этом пункте, была предложена Бел-
лманом [2], который частично ее и решил. Полное решение, основанное на
методе неподвижной точки решения общих игр, дано Карлином и Ре-
стрепо [1]. Независимо полностью исследовали ту же модель Голдман и
Стоун (не опубликовано).

17.5.	Первая законченная модель покера с k кругами ставок была сфор-
мулирована и решена Карлином и Рестрепо [1].

17.6.	Модель покера с одновременными ходами изложена в классической
книге по теории игр фон Неймана и Моргенштерна ([1], гл. 5). Исследова-
ние фон Неймана основано на дискретном варианте модели покера; решение
непрерывного варианта модели получается отсюда переходом к пределу. Не-
которое обобщение этой модели рассматривалось Аланом Голдманом и Дже-
реми Стоуном (см. задачу 9). Методы этого пункта соответствуют методу
неподвижной точки.

17.7.	Формулировка игры „проходящий туз" в качестве примера из теории
игр принадлежит Дрешеру [5], который рассматривал дискретный вариант
задачи. Непрерывная игра „проходящий туз" исследовалась в работе Кар-
лина и Рестрепо [1].

17.8.	Две модели этого пункта принадлежат Джиллису, Мейберри и фон
Нейману [1].

17.9.	Задача 9 принадлежит Голдману и Стоуну. Утверждения задач 14—
18 впервые были установлены Рестрепо [2].
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ГЛАВАМ 10-17

Глава 10

Задача 1. Положим
р	/ п

тп = min I К(?, i)) d ( 2 ^i^tm (?)
O^r^l J	yf=0

и гп = vn — mtl. Пусть для данного е > 0 число S таково, что если

(6 - S')2 + 01 - ч')2 < а2, ТО | к (5, - К (S', Y)l < е.

В силу равномерной непрерывности функции К это возможно. Тогда,
для любых

из | /< (£,	— К (£, J/n) | < е следует, что

f [К (?, VI) - к (5, j/n)] d(^ lWxi/n (6)) < е<

J	\i=0	/

Поэтому

;/ п	\

К (5, J/n) d ( 2 ^i^iin (5)) — е =	— s

\ i=0	/

и, значит, гп < е.

Задача 2. Прежде всего, стандартными рассуждениями устанавливается
что sup inf К < inf sup К- Заметим теперь, что

п
^=2x(z%„(0
/ = 0

и что из соотношения

//<(?, ^)d^^vn-tn

для всех т] следует, что sup inf К vn — &п. Аналогично можно показать
что inf sup К < vn + ел. Из этих неравенств вытекает, что для произволь-
ного е

inf sup К < sup inf К + 2е.

Задача 4. Непосредственным вычислением находим, что

1 1

J К(5, 1])<й= + 1 И J>(£, •q)d-q = — 1,
о	о

откуда и следует утверждение.


РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ГЛ. 10—1У

Задача 5. Пусть дано х; выберем $ так, что х (1 — 0) — х (£ — 0) < е;
пусть, далее, ух, зависящее от х, определено, как у^. Тогда

К(х, ух) = (—1)х($ —0)-J-x(l —0) —х(6) —[1 —х(1 —0)] =

= — 1 + х(1— 0) — х(£) + х(1— 0) — х($ — 0) <— 1 4-2е.

Таким образом, sup inf К (х, у)<— 1, и если всюду /<>— 1, то sup inf К = —1.
х у

По соображениям симметрии inf sup К = + 1.

Задача 6. См. Сайон и Вулф [1].

Задача 8. Рассмотрим интеграл J* К* ($, ^) dxQ ($). Из равенства
Ly (//«, J/ri) = 0 следует, что для = J/n (/ = 0, 1, ..., ri)

J К* (?,1)) dx° (?) = J к (?, r() dx* (?) > V.

С другой стороны, так как для vj =£ J/n Ltj (J/n, у) > 0, то

f К* (6, -^dxO (?)>

для т) =/= J/n. Следовательно, по лемме 10.2.1, никакая оптимальная стратегия
игрока II не может быть отлична от нуля в точках, отличных от
J/n (/ = 0, 1, ..., ri). Нам остается только применить предположение о един-
ственности, касающееся оптимальной стратегии р.0 матричной игры.

f /<(&, tj) dxQ (t)>v

Задача 10. Условие задачи означает, что существует такая константа k,
что

г (1+е)а (1+# к SOT(1-S)n _ k

J a+w (i+5)p
0

или
1

* J (1 + W~p (1 - 5)" (1 + ^)"c di = k (1 +1))"6.
0

о	»=° V “	7

«=n	\	“	/

Приравнивание коэффициентов при rf- дает нам равенства

1

К f (1 + ?)а-р5'п+а(1 — 5)я(а+аС—	(“ + а—(а = 0’

о

Полагая р = а и вычисляя значение интеграла, мы получаем

Г(т + а+1)Г(и+1) Г(* + с)_ .Г(а+6)

Г(/п + и4-а + 2) Г(с)	Г(6)

(а =1,2,...). (♦)
Если положить т — Ь — 1 и т-\- л 4~ 2 = с при соответствующем выборе
константы к, то соотношение (*) будет верно для любого целого а. Таким
образом, т — Ь— 1 и п = с — Ь—1. >

Определим теперь К из соотношения

о

(1 + 6)^

Л=1,

что возможно, так как с > Ь > 0. Аналогичные вычисления показывают, что
для игрока II т = а — 1, л = с— а — 1 и р = Ь.

Задача 11.

a) xo = yo = lzo + lz1/24-|/1;	24-А.  V	2 ’
6)xo=4zo + izi: y0=4z1/2 + lzi;	”4“ 1	11  v = —, если А < 1,
и о  II м- + к>|н- •II о'"’ + кэ| —	А» 4~ 1	11  v = —, если А > 1.

Задача 12. Рассмотрим соотношение
в + 1

J к (5, •>]) dx (6) = (1 — 0) X (к)) 4- X (,) +1) — х (1)) = X (1) 4-1) — Ох (7]) = с
о

где с константа, которую мы определим ниже. Тогда

х (1) = с 4- Ох (0); х (2) = с (1 4- 0) 4- 02х (0); ..
х(«4-1) = с(14-04-02 4- ... 4-О")4-оя+1х(0).

Так как игрок I желает, чтобы с было максимальным, он должен взять

х (л-f- 1) = х (В-f- 1) = 1 и х(0)=0.

Следовательно,

х(1) = с; х(2) = с(14-0); ...; х(«4-1) = с(14-04- ... 4-6") = 1.

Но функция х на интервале [л 4-1,	постоянна, и, следовательно

она должна быть постоянной на интервалах [п — /*4-1, В — /4"П> где
/ = 2, ..., л4~1- Никаких других условий из нашего функционального урав-
нения не вытекает, т. е. х может быть произвольной функцией распределе-
ния на промежутке [В — л, 1], подчиненной единственному условию х(1) = с.
В частности, мы можем взять простейшую из всех таких функций распре-
деления, именно ту, которая имеет в точке 1 скачок, равный с. Тогда

| 0, если 5 < 1,

( с (1 4- 0+ ... 4-0z“1), если /<£ </*4-1 (/ = 1,2........л4-1),

где

________1___________ 1 — 6

С ~ 14-0+ ... 4-6"	1 —6Л+1 ’

Аналогично легко показать, что стратегия

{0, если т] < 0,

с (6п 4“ • • • + 6Я-/), если i < т] < 14- 1 (/ = 0, 1.л),

является оптимальной для игрока II.

45 Зак. 1789
Глава 11

Задача 1. £° = (у, 0, yj; т;0 = (о, у, у); v = у .

Задача 3. Любая стратегия является оптимальной для игрока I; у° = /0;
v = 0.

Задача 5. (a) xQ = у° = /0; v = 0; (б) л° = Л; >° = «Л» ~F (1 — а) Л>
где 0 < а < 1; v == 0.

Задача 6. Пусть yQ = Ilt Тогда из того факта, что при всех значе-
ниях 6, кроме 5=1,

J /<(5, >]) dy<> (,])== p_i < 1,

следует, что 1 является единственной точкой спектра оптимальных стратегий
игрока I. Следовательно, л° = /1. С другой стороны, из того, что всюду,
кроме точек ^ = 0, 1, имеет место

J ч) dx° (5) = ч > 0.

следует, что 0 и 1 — единственные возможные точки спектра оптимальных
стратегий игрока II.

Задача 8. Любая стратегия игрока I, первые два момента гх и г2
которой удовлетворяют равенству Зг2-|-2г1=2, оптимальна. Аналогично
оптимальна любая стратегия игрока II, первые два момента Sj и s2 которой
удовлетворяют равенству 4s2-|-3s1 = 2. В частности, оптимальными являются
3	2	5	2

стратегии л° = у/0+	71 и у°=у/0 + уЛ*

Задача 9. См. Дрешер и Карлин [1]; русский перевод в сб. [1].

Задача 11. В измененной игре единственной оптимальной стратегией
игрока I является стратегия л° = х0 = /0 и v = 0, но для игрока II опти-
мальными являются как стратегия у0 — у0, так и стратегия у0 = уе.

Задача 12. По предположению, пересечение множеств, определяемых
уравнениями /у(г) = О, должно состоять из одной точки г°, а пересечение
множеств, определяемых уравнениями gt (s) = 0, — из единственной точки s°.
Кроме того, достаточно малые изменения функций сохраняют точки г° и s°
на внутренности соответственно R и S и, следовательно, дают единственные
устойчивые оптимальные стратегии. Но так как обе стратегии являются
внутренними, все оптимальные стратегии обоих игроков должны быть
устойчивыми.

Задача 14. Р* = Р,

Задача 15. См. Дрешер и Карлин [1], русский перевод в сб. [1].
стр. 186—187.

Задача 16. См. Там же, стр. 187— 188.
Задача 17. Рассмотрим матрицу

1
иг?

1
ns®

1

1

О

____1— о	—-—

nrn	nrnsn

Ясно, что As0 =*= (v, 0, ..0) и r°A = (у, 0, ..., 0), а ранг А равен п. По-
скольку точка г° является внутренней, то любая оптимальная стратегия
игрока II должна быть устойчивой. Кроме того, если стратегия s = (l, 5р...,5л)
игрока II оптимальна, то для 1</<и

“ ТдГ + nroo st ~
nrt nrisi

Отсюда следует, что — 1 + (si/s(i) ~ 0- Следовательно, = s®, и оптималь-
ная стратегия игрока II единственна. Аналогичные рассуждения применимы
к игроку I.

Задача 18. Решается аналогично тому случаю, когда hr (t) = tr.

Глава 12

Задача 1. х* = Ц\ у0 = /0; v = /<(l, 1).

Задача 3. х° = -Г/0 + ^Л; y° = Zi/2; v = y-

Задача 5. (a)	т)0) = /С(6-1 + (1 — 5)-0, т1о)<$К(1, т)0) + (1 — 6)Х

X К (0, т]о) К (0, т}о) К (0, т]). Следовательно, (0, т]0) является седловой
точкой.

(б)	аналогично (а).

(в)	Пусть Lo (tj)— опорная прямая к /((0, tj) в точке тД a L{ (^ — опор-
ная прямая к К (1, т]) в точке if. Тогда, поскольку одна из этих функций
возрастает, а другая убывает, существует такое X (0 < А < 1), что для всех tj

+	(т)) = /<(0, т,*).

Положим х0 = Х/0 + (1—X) Л; тогда мы будем иметь

Я (х°, 7)) =	(0, т>) + (1 - X) к (1, V)) - Mo (1) + (1 - М (1) = к (0. f )•

Кроме того,

К (5, f) S ПК (1, 7)*) + (1 — 5) К (0, 7)*) = К (0, 7)*).

Интегрируя, мы получаем

К (Х°, у) 3= К (0, 7)*) == К (х,
и, следовательно, х° и у » являются оптимальными стратегиями, причем
и = К(0, т]*).
Задача 7. х° = /0 или (или является их комбинацией); yQ = /0 или Л;
v = 0.

Задача 10. Применить теорему 12.3.1 к обоим игрокам.

Задача 11. Предположим противное. Пусть

Й(1) = J к (S. l)^(S),

где л* — оптимальная стратегия игрока I. Тогда А(3) (^) > 0 и h(ri)>v, при-
чем равенство имеет место в точках и 1. Следовательно, (?]0) > 0,
и h достигает относительного максимума в промежутке (т]0, 1); следовательно,
/г(2) CQi) < 0. Из теоремы о среднем значении следует, что (tj) < 0 для
некоторого tj (т]0 < т] < TqJ, что противоречит предположенному.

Задача 12. В обозначениях п. 12.3

„о_г	„о_о	$ о____I 1	} о_ 1 л о__ 5 у о__ 7

^1 — 5,	Т]2 — 3	, 7|3 — 1 -J ,	Aj —	, А2 —	, А3 — Jg-.

Задача 13. Функция выигрыша выпукла по и? для каждого значения £.
Следовательно, здесь применимы результаты п. 12.4: игрок II имеет опти-
мальную чистую стратегию, а игрок I оптимальную стратегию, спектр кото-
рой содержит п + 1 точку. Действительно, нуль является оптимальной стра-
тегией игрока II, а любое симметричное распределение на границе является
оптимальной стратегией игрока I, например, достаточно двух точек.

Задача 14. Аналогична задаче 13.

Задача 15. Если мы предположим, что
т
г = 1

ТО

т	т	т

1 = 2x/(az-	|aj |а/-ч|= 3х/ |а/-4

(=1	(=1	(=1

Следовательно, для всех и X

К (X», 1J) 2= 1 = к (Х°, 0) = /<(Х, 0).

С другой стороны, из оптимальности X* следует, что

т

W Ч) = 2 x/|az-ч| 1
z = i

для всех у. Таким образом,

/ т  	\2	т	т

1<( 2^х*^х*1а/-ч|) sSx;3xllaz-4|2 = i-2(z,4)+hi2.

\Z = 1	/	Z=1 Z=1

где
т
*=№•
1 = 1
Z	1

Возьмем теперь у = —. Тогда из неравенства — | z |2 I z |2^0 следует,
что z = 0.

Задача 16. По теореме 12.4.1 существуют такие числа 5/ (1 = 1, ...
..., п-j-l) и опорные гиперплоскости Ll (у) к К (£/, ч) в точке ij0 О?о — чи-
стая оптимальная стратегия игрока II), что для всех у из В

/Ж	л+1

i=l	i=l

где 0 и
л + 1
z=i

Докажем теперь, что существует выпуклая комбинация не более чем п раз-
личных чисел 6/, обладающая этим свойством. С этой целью расширим мно-
жество В следующим образом. Для каждой крайней точки множества опор-
ных гиперплоскостей к В в точке выберем замкнутое полупространство,
содержащее В. Имеется не более чем п крайних точек, и пересечение соот-
ветствующих полупространств* будет замкнутым выпуклым множеством С,
содержащим В. Множество С обладает тем свойством, что если у принад-
лежит С, то / (ч) = 2	— v' Действительно, если у является внутрен-

ней точкой С, то луч, соединяющий tj и у0, должен содержать некоторую
точку т}!	>2о, которая принадлежит множеству В. Тогда ==ai20-|-(l —а) у

и

/ (41) = af (Чо) + (!—«)/ (ч)-

Так как = a f (i?!) v, то	Если vj находится на границе С,

то это неравенство сохраняет силу на основании непрерывности /. Нако-
нец, поскольку число k крайних гиперплоскостей не превосходит и, мы мо-
жем найти симплекс S ровно с т? —|— 1 вершинами db ..., dn+1, такими, что
С зэ S о В. Точка т)0 все еще является граничной точкой S.

Определим теперь вспомогательную матричную игру, полагая ац = Ц (dy).
Пространства стратегий будут обычными симплексами в Еп+\ Если макси-
мизирующий игрок выбирает вектор X, удовлетворяющий соотношению (*),
то он получает (dy) > v. С другой стороны, первоначальная страте-
гия >2о может быть представлена как выпуклая комбинация otidj —|— ... +
-|-an+1dn+1. Если минимизирующий игрок в матричной игре использует
стратегию ос = (а{,	ал+1), то выигрыш игрока I для каждого / равен

Ц (Чо) = V- Следовательно, X и а являются оптимальными стратегиями, a v
есть значение игры. Так как 7q0 находится на границе S, оптимальная стра-
тегия а содержит не более п ненулевых компонент. Согласно задаче 20
гл. 3, в нашей матричной игре имеется оптимальная стратегия X*, имеющая
не более п ненулевых компонент. Для простоты предположим, что ими
являются первые п компонент. Утверждается, что стратегия

п

I = 1	1

является оптимальной для игрока I. Действительно,
п	п	п /2 + 1

[ к (6, ч) dx* ($) = 2	w = 2 2 ^jli (d>) -v>

J	i = l	Z = 1	Z = 1 y = 1
где
л+1	л+1

4=2 Мд и 2^ = 1-
7=1	7=1

Задача 17. Может иметься не более чем одномерное семейство опор-
ных гиперплоскостей в любой точке и, следовательно, не более двух край-
них точек.

Задача 18. См. сборник [11]

Глава 13

Задача 2. /г = 3, а = 0,568, р = 0,124; п = 4, а = 0,626, р = 0,160.

Задача 4. х° = у0 имеет плотность

	0,	если 0<£ <
f(i) =	“Г  тг6“8уЧ если 2	4

Значение игры равно нулю.

Задача 5. Функция выигрыша имеет вид

£(£> 4) =	—/М + М если 5 < у,

К (£, 4) =	? (£) = (Рг — р2) %,	если	6 = 4,

Af (£, т]) = — PiP2^ — p2r\ + р& если > т].
Так как L (0, 0) = М (0, 0), это ядро попадает в группу 2. Здесь

та, t)=-	’ 1 — Р&	Г	J.	1  -75—, если а<$<^<1,  1 -I- pfi		, * 1  n -, если 2pit2

Тогда уравнение (/ — Та) f = 0 принимает вид
t	1

Wf (t) - 1 + Pi f if (6) dt-p,f if (i) = 0,
a	t

откуда следует, что f (t) =	3, где и а должны удовлетворять уравне-

ниям

44-1)4+1)=1 ” 'Ч'+тН

Следовательно, а = 1/(1 -|- ^Р\)\ аналогично b = 1/(1 -(- 2р2). Не умаляя
общности, можно рассмотреть только случай р2 > ри т. е. а > Ь. Мы должны
рассмотреть уравнение

(J-Ua)ga = 4i'
Так как Ц (и, у) не зависит от и, решение этого уравнения имеет тот же
вид, что и выше. Это означает, что ga(u) = k2u~3, где k2 и S удовлетво-
ряют уравнениям

Решая эти уравнения относительно klt k2 и S, мы найдем, что плотность рас-
пределения х° есть

/(?) =	0,	если 0 < 6 < -т—г-п— >  1 -]- 2/>£  1 , , 1 , .  „ Tj—;	гЕ	если	o'  2?i(1 + a)	l+2pi

а плотность у0 есть

g W =	0,	если 0<ri < <	,  1+2а  1 “4“ р2	Q	1	1  -75— ' ,	,--9-Г)~3, если 3——ъ <7)<1,  2?2(1 + а)2	l+2Pt

причем у0 имеет, кроме того, в точке 1 скачок, равный (р2— р\)1рг (1 + Pi)*
Значение игры равно —(р2 — А)/(1 + А)-

Задача 6. Функция выигрыша имеет вид

к (е, 1) =

£ (?> 11) = Р& + Л1)? —	если £ < ц,

?(£) = (/’i« + /’2p)5.	если $ = •>),

Al (5, и]) = р^а +	— piptfrp, если 6 > ц.

Так как L (0, 0) — М (0, 0), это ядро попадает в группу 2, и

Г(5. 0 =

л<2(«-₽) ’
— ^4-p,ag
pf2 (« —Р) ’

если а <5 </<1,

если

Уравнение (Z—Га)/ = 0 принимает вид
t	1

pf2 (а - р) / (Z) + Р - A? J 5/ (5) di-Pfi f if (?) di = 0.
a	i

откуда следует, что / (t) = kt 3, где k и а должны удовлетворять уравне-
ниям

4(7-‘)(т+1) = 1 “ р'ь

Следовательно,

V р\ + 1 — 2 (а/Р) Pl— Pi
а~	1-2(а/Р)А

Аналогично,

_ Vpi+i-ZWPi- Р2

1-2(Р/а)Л
(Заметим, что

1 = Ру +	+ 1 -2л («/?);

с этим выражением удобнее работать.)
Неравенство а > b эквивалентно неравенству

Р2 >Р\

a + /pi + i-2(«/P)a

2а-(?/«)

и мы, как и выше, рассмотрим только этот случай. (Заметим, что коэффи-
циент при р{ больше единицы, если — а/р > 1, и меньше единицы, если
— а/[3 < 1.) Как и в предыдущей задаче, мы видим, что ga (и) = k2u~3, где
k2 и & удовлетворяют уравнениям

-« + а^-А^2 + а83 = О и -^.(1-1)= 1-8.

Решая их относительно k, k2 и 8, мы получаем

k==________1______

А [(1/«) -(«/?)] '

ь__________________1~Р2 (3/«)______________

2 А [(1/«) - (?/’)! ~Ру А (?/») [(1/«) - («/?)] ’

,	А[(1/Д)-(РЛ)]-А[(1М)-(«/3)]

A [(V«) - (?/«)] ~АА (₽/«) [(1/«)- («/₽)] '

Интересно отметить, что стратегии зависят только от отношения а к (3, и
поэтому если а/₽ = —1, то мы получаем предыдущий случай. Значение игры
равно

( 2рх _ А[1-(Р/«)] \

Ч(1/а) + 1	[(1/а) — («/₽)];•

Задача 7. Используя методы
имеет плотность

/(£) =

гл. 13, мы получаем, что стратегия л°

если О<6<0-2,

если £”2<5<1,

о ,

2£2 ’

и имеет в точке 1 скачок, равный (14“£~2)/2; стратегия у0 имеет плотность

	1 , если 0<iq < 0-2,
g (ч) = •	1	2  г?-, если 0"2^1п<1 2iq	1

и значение игры

1 + г-2
v = —l7v--.

Задача 8. Функция выигрыша равна

KG, ч) =

1р (?) — sp (ij) + lsp (?) р (1)), если ? > т),
(/ — $)/>(?),	если ? = >;,

Ip G) — SP (Ч) — lsP (^) Р 01). если 5 <
Соотношение (/—Та)/=0 показывает нам, что f(t) = kp' (t)/р3 (Z), где k
и а должны удовлетворять уравнениям

f 1	,	1 \	1 k /	1	1

^(а) + р(1)) И 2 Ь’(а)	Р2(1)

Следовательно, а — единственный в интервале (0, 1) корень уравнения
р (а) = р (1)/[1 + 21 р (1)]. Аналогично b — единственный в интервале (0, 1)
корень уравнения p (b) = p (1)/[1 -J- 2sр (1)]. Так как Z > $, то р (а) < р (Ь)
и, следовательно, а < Ь. Далее, fa (t) = k^p' (t)lp3 (Z), где

k'1 (p(b) + p(l))	1 + №(1) и 2 (РЦЬ) p2(l))-1

Решая эти уравнения, мы найдем, что
пании имеет плотность

О,

f (° = Р(1)П + /Р (I)]' Р' (О
2/[l + s/>(l)P рЗ(О’

оптимальная стратегия большой ком-

если

если Р~1 (г+^о))-^1.

а в точке 1 имеет скачок, равный (Z — s)/[l + sp (1)] Z. Оптимальная страте-
гия малой компании имеет плотность

£(«) =

о,

/>(1) р' (»)

2s [!+$/>(!)] р=(«)

если 0<И<р- (1+^(1)).

еСЛИ Р~' (l+^spd))-^1-

Значение игры равно (Z — s)p (1)/[1 -f- sp (1)].

Задача 10. Если а или b [выраженные формулами (13.5.4) и (13.5.6)] не-
отрицательны, то ядро принадлежит группе 2 и решение дано. Если и а и b
отрицательны, то ядро принадлежит либо группе 3, либо группе 4; простое
вычисление показывает, что ядро принадлежит группе 5, если Рх (0) +
+ ^2 (0) < 1, и группе 4, если Рх (0) -f- А (0) > 1. Кроме того, ясно, что слу-
чаев Д, Е, Ж и 3 здесь быть не может. Однако ясно, что в каждой группе
может встретиться любой из остальных трех случаев.

Задача 12. Предположим, что оптимальные стратегии обоих игроков
имеют скачок в точке 1 и Л4(1, 1) < Ф (1). Так как стратегия игрока II
имеет в точке 1 скачок, то

1

J l)rfx»(0 = v.

о

Выберем число у настолько близким к 1, чтобы выполнялись условия:

(1)	L ($, ?]) — L (£, 1) < е для	и М (1, т]) — М (1, 1) < е ввиду

равномерной непрерывности L и М.

(2)	1—а — х° (т,) < £, где а—скачок х° в точке 1.

(3)	т) является точкой непрерывности л°.
Тогда, обозначая через С границу для L (£, -ц) и М ($, tj), мы будем
иметь

1	ч	1

J к (?, ri) dx° (?) = f L (?, ri) dx° (?) + f M (?, ri) dx° (?) <

0	0	T)

{L& 1)+ e] dx<> (?) + [Af (1, 1)+ <] [1 — (>))] S

0

1-0

< J £(?, l)rfx°(?)+[l—<* —*0 01)] [C-f-Af (1, 1)] + «М (1, l)4-e=S

0

1

< f K(?, l)dx°(5)-|-e(2(?+l) + a[Af(l, 1)-Ф(1)] =

0

=- v+e(2C+l) + a[Af(l, 1) — Ф (1)] < v

для достаточно малого e, что, однако, противоречит условию. Следовательно,
Ф(1)<Л4 (1, 1). К аналогичному противоречию приводит предположение
о том, что Ф (1) < £(1, 1). Следовательно, Ф (1) > L (1, 1) и, очевидно, (1, 1)
является седловой точкой.

Задача 15. Интегральное уравнение (13.2.2) сводится к уравнению
(t п

(*)<?'/+

_	а < = 1

i = 1

1 П	П	П	л

+	(o+? ^p't (t)qi о).

t Z = 1	Z = 1	Z = 1	/

Положим	*

1	1

Pi(t) = f Pi(i)f(i)di И Qi (t) = f qt (5)/(?) dZ.
t	*

Таким образом,

p'i (О = - Pl (0 f (t), Q'i (0-qt (f) f (0; Pi (1) = 0, Qi (1) = 0.

Следовательно,

.	Pi (f) f . r

pj ------------------- L (° (a) ~ Pi (0+ap‘ (0)l “

2	2 P/(0^(0^ = 1

Z = 1

n	\

-^p'i (0[Qz (0 + P<7z (1)] |.

Z = 1	I
Аналогичное выражение имеет место и для Qj (/) (/ = 1, ..., п). Эта система
затем решается с соответствующими граничными условиями, а /(/) опре-
деляется, например, из (/).

Задача 16. Мы уже доказали существование такой оптимальной стра-
тегии игрока II, что

1

У /< (6, т}) dyQ (ri) < v (0 < 6 < а).
о

(Если а = 0, то это несущественно.) Поэтому спектр любой оптимальной
стратегии игрока I должен быть ограничен точкой {0} и сегментом [а, 1].
Пусть — точка интервала (a, 1); предположим, что оптимальная стратегия
х (ё) игрока I имеет разрыв в точке тд0. Тогда из равенства

7J	1

J* L (ё, dx (ё) -b.J' М (£> dx(£) = v (а < т) < 1)
о	ч

по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует

Т'О-0	1

f L& ^)dx (8) + J* M (8, т)о) dx (8) = v

0	7)0“ 0

И

7}o+O	1

jf £(8, v)0)rfx(8) +

0	7" o -f- 0

Следовательно, если e0 — величина скачка в точке yj0, то ео (Ло» ^о) —
— М (т)0, т)о)] = 0; так как на интервале [а, 1] L (yj, yj) > М (yj, yj), отсюда сле-
дует, что е0 = Рассматривая точку а, мы по-прежнему имеем

а+0	1

f L(t,a)dx(t) +

0	а+0

И

а-0	1

J L (8, a) dx (8) + f М (Е «) dx (8) < v.

0	а-0

Следовательно, е0 [М (л, а) — L (а, л)]	0. Как и раньше, из L (af а) > М (а, а)

вытекает, что eq —0 и» значит, е0 = 0.

J М (ё, Y]0) dx (ё) = v.

У М (ё, a) dx (ё) = v,

Задача 17. Так как известная оптимальная стратегия игрока II на сег-
менте [я, 1] отлична от нуля, из оптимальности стратегии х следует, что

f К (£> Ti) dx (£) = v, а < y] < 1.
Обозначая через а возможный скачок х в точке 0, а через ₽ — возможный
скачок х в точке 1, мы имеем

7)	1-0

v = a£(0, 7])+ f L(i, 7]) dx(?)+ f M(t, T1)dx(5) + ^(1, 7)) =

a	7]

= aL (0, 7)) + A (7], 7]) X (7]) — L (a, 7]) x (a) — J x (6) Ц (5, 75) dz +
a

1

+ Af(l, т1)х(1-0)-Л1(71( 71)x(71)-J X (6) тИе(5, 7)И5 + {Ш(1, t])

7)
.(a<7) < 1),

где второе равенство получено в результате интегрирования по частям. Все
функции, входящие в это выражение, абсолютно непрерывны и имеют огра-
ниченные производные. Так как на рассматриваемом интервале L (tj, vj) —
— М (т], т]) > 0, то деление на эту величину доказывает абсолютную непре-
рывность х (£). Путем дифференцирования последнего уравнения и деления
на L (т], т]) — М (y), т]) можно установить непрерывность х' (6).

Задача 18. Ход доказательства на этом последнем шаге зависит от
того, какой из случаев имеет место. Выберем случай Г как типичный. Все
остальные случаи рассматриваются аналогично. Из решения предыдущих
двух задач мы знаем, что х = (а/о, /, р^). Предположим, что р1 > 0. Тогда

1 1

V= f АГ(1. 7]) dy* (7)) = -ри (1,0)+ f M(l, 7])^ (7)) ^ + 6Ф(1),
О	а

и так как о > 0, то

1	1

V= f l)dx($) = a+ (0, 1) + f L(t, 1)/(И + М(Ц
0	a

Кроме того, переходя, как это мы уже делали в задаче 16, к пределам, мы
получаем	1

v = 7tU(1, 0)+ f ЛЦ1, r))ga(v)dri + bL(l, 1),
а

1

v = a+(0, 1) + f L& l)f^di + ^M(\, 1).

a

Отсюда следует, что

0 = Pj [Ф (1) — Af (1, 1)] = S [Ф (1)-L (1, 1)],

и, значит, Л4(1, 1) = L (1, 1), что противоречит условию.

Следовательно, Pi=0.

Далее, дифференцирование равенства

ч	1

V = a1£(0,T1)+ fL(i, 7i)/($)rf$+ f Ti)/($)d5
a
показывает, что f удовлетворяет исходному интегральному уравнению,
где р =? 0. Оно не может иметь решения, для которого «1 = 0, так как
X (а) < 1. Следовательно, решение интегрального уравнения при фиксирован-
ном 04 единственно, а 04 единственным образом определяется уравнением

1

J/(?) #=1-0,.
а

Следовательно, это решение должно совпадать с исходным.

Задача 19. Требует исследования, аналогичного задачам 16—18.

Задача 20. Рассмотрим, во-первых, случай, когда

L (1, 1) < М (1, 1), но Ф (1) > М (1, 1).

[Здесь величина Ф (0) несущественна.] Тогда игрок I по-прежнему выби-
рает 1, но игрок II должен выбирать равномерную плотность на (1 — е, 1),
чтобы приблизиться к Ф (1). Значение игры равно М (1, 1), так как мы
построили е-оптимальные стратегии. Если Ф(1)<£(1, 1), то аналогичное
рассуждение показывает, что значение игры равно £(1, 1). Теперь нам нужно
рассмотреть только случаи, в которых L (1, 1) > М (1, 1). Предположим,
что L и М являются ядрами группы 2, но что Ф (1) > £(1, 1); значение Ф (0)
по-прежнему несущественно. Рассмотрим новое ядро К* (£, ч), получающееся
из старого заменой Ф (1) на £(1, 1). Оптимальными для этого ядра являются
стратегии (fa, p/J, (ga, S/J, где p, S>0. Мы покажем, что значение этой
игры v* является также значением исходной игры. Для 0<т]< 1 мы имеем

1 1

J к ($, 1]) dx° (5) = f к* (5,1)) dx° (5) > v\
0 0

Точно так же

1 1

J К (Е, 1) dxa (5) = fl (5, 1) fa (6) dt + рФ (1) >

0	a	f

1	1

1)	fa (5) dt + ?L (1, 1) = f K* (5, 1) dx<> (t)> v*.

a	0

Как и в предыдущем случае, мы найдем только е-оптимальную стратегию
игрока II. Для этого мы используем плотность ga (yj) на интервале [а, 1 — е]
и плотность (?]) + &/£ на интервале [1 — е, 1]. Как и раньше, это делает
несущественным значение Ф (1), так как

1 1 1
= f K(t, ^ga(v)^+ f	Ч)Л).

0	a	1-e

При £=1 последний член приближенно равен SAI(1, 1), а при 5 < 1 он
приближенно равен SA(1, 1); следовательно, К* (£, у0) < v*+ е' для всех
£:0<£<1, где е' стремится к нулю вместе с е. Если Ф (1) < М (1, 1),
то проходит аналогичное доказательство.

Аналогичный метод применим, когда рассматриваются группы 3 или 4;
однако здесь мы имеем большее количество различных случаев, так как
значение Ф (0) уже становится существенным.
Задача 21. Докажем, что линейный оператор Ua преобразует поло-
жительные непрерывные функции в непрерывные монотонно убывающие
функции. С этой целью продифференцируем равенство

,т г (5,7]) £ 0))	( р 1^(1, -fig (ri)

agJ L(S,i)-M(i,i)	+J £(U)-M(U)

a	E

d (Uag)	1

di ~ L(i,i) — M(i,i)

получим

J* (5, 7)) g (tj) d-r{ 4- J (i, 7]) g (tj) d-q +
a	5

E	1	\

f JW^rf7)+ f К^](1'(^)-М'(!,1;))

+ h g® I - ----------------row---------------

Из нашего предположения, очевидно, вытекает, что d (Uag)ldk < 0.

Кроме того, функция

л=0

положительна, непрерывна и убывает в силу того, что этими свойствами
обладает каждый член ряда.

Глава 14

Задача 1. В этом примере

9

М, (т)) = шах (0) = , М2 (£) = шах Р2 (0) =

Следовательно, *

1	е	1

2	> если $ <	»

1	,	с	1

1—6, если ^>y-

f® =

-51-4’если

„ _ 10 е 5

— 5 +~3“ £ — з-» если

2 ’ м- 1 । 5 I 1 I
1<е<1 “gZ1 б + з12 V
2	5—х’

Исследование графиков G (?]) и F (6) показывает, что здесь имеет место
случай I, и v = 0, b = 0, с = 2/5. По определению, <р (6) = | — 6 | — -у +
+ 14- — следовательно, <р(6)=4^О, <р (с) =-----------—0- Таким образом,

I 2	|	о	о

{/0, /2/5} является парой оптимальных стратегий соответственно игроков I
и II. При этом /0 — единственная‘оптимальная стратегия игрока I, но игрок II
может воспользоваться любой чистой стратегией между 2/б и 3/б (или,
конечно, их смесью).
Задача 2. Функция выигрыша имеет вид

к а, ч) =

L (£> Yl) = Pi&* +	+ PiP2₽ (1 — 5 — »))> если £ > 7),

? (5) = Pi& + Рг«₽>	если $ = 1),

М (5. >1) = Pi& + P2^l₽ + PiP2a (1 — 5 — ч)> если 6 < ч].

Интегральное уравнение (/—Ta)f = 0 сводится к следующему:

/(0~f Plp2P(f-i(i-2i) f (5) di ~ f P^-'^O-Zt) f (6) d' = 0
a	t

ИЛИ
t	1

P, (Э —a) (1 —20/(0 —ЭСР1 —О f/®	f /(?) ^ = 0.

a	t

Следовательно,

-2a (3 -«) f (o+a (3-«) (1—20 /' (о—₽ (а - о /(o+(*a-3) f (o=o;
упрощая, мы получаем уравнение — 3/ (t) 4- (1 — 2Z) /'(t) — 0. Его решением
является функция f (t) = kx (2t—1)“3/г, где k{ и а должны удовлетворять
уравнениям

и й7-1 + —2==-} = 1.

\ У 2а — 1 /
Таким образом,
а-1!1.	(1—р.)2

2'2 [1- (a/₽)p,F •

Аналогично,

1 I 1	(1—ра)2

2 ' 2 [1-(₽/а)р2]2 ‘

Неравенство а > b равносильно неравенству

1 '

P2>Pl [1 +(?/»)] Pi -(₽/«) ’

Этот случай мы рассмотрим так же, как и раньше. Мы найдем, что ga (и) =
= k2 (2и — I)-3/2, где k2 и & должны удовлетворять уравнениям

и

k2 (— 1 + ?(1~Рг)	1	= — 8.

\ а — А₽ К2я — 1 /

Решая эти уравнения относительно kif k2 и Ь, мы получаем

k _	1-А k _ [А - («/?)] (1 - А)

1 Р1 [1 — («/₽)] ’	2 Р2 [1 - Ш А] [1 - (“/?)] ’

6 = 1 Pi [Рг — («/Р)] .

Рг [! — («/?) Pi] ’
значение игры равно

2. I1—(а/Р)Р1] [Рг — (а/Р)] _ „„ 1 — Pl ,	1 — (a/Ю Pl

р	1 - (a/?)	1 — (a/?) +	'
Интересно заметить, что при а=1, р = — 1 значение этой игры то же, что
и в задаче 2 гл. 13.

Задача 3. Эта игра допускает следующую интерпретацию: игрок I
имеет два ружья, игрок II только одно. Если игрок I использует первое
ружье и стреляет первым, то он выигрывает единицу; если оба игрока
стреляют одновременно, то игрок I проигрывает единицу. Если он исполь-
зует второе ружье и стреляет первым, он проигрывает единицу; если в этом
случае оба игрока стреляют одновременно, игрок I выигрывает единицу.
Во всех случаях выигрыш равен нулю, если первым стреляет игрок II.

Покажем прежде всего, что sup inf К\х, у) = 0. Если стратегия х такова,
х у

что альтернатива в точке 0 имеет вероятность, не меньшую, чем вероят-
ность в точке 0 альтернативы Л2, то выбирается стратегия у, зависящая
от х; именно, yx = yQ, Если для стратегии х вероятность альтернативы
в точке 0 меньше вероятности А2 в точке 0, то ух распределена равно-
мерно на промежутке [0, е], где е достаточно малое. В любом случае мы
имеем inf К(х, у)<К(х, ух) < вероятности, которая приписывается альтер-
у

нативе А{ на интервале (0, е) в соответствии со стратегией х.

Отсюда следует, что inf К (х, у) < 0 для всех х.
у

Рассмотрим теперь стратегию х°, по которой альтернативам А{ и А2
в точке 0 приписываются вероятности 1/2. Тогда выигрыш игрока II тожде-
ственно равен 0; следовательно,

sup inf К (х, у) = 0.
х у

Покажем теперь, что inf sup/<(x, у) = -х-. Если в соответствии со стра-
у х	б

2

тегией у вероятность события В в точке 0 не меньше -х-, то пусть страте-
о

гия Ху такова, что А2 имеет в точке 0 вероятность 1. Если указанная выше
2

вероятность события В в точке 0 меньше -х-, то выбираем стратегию xv
о	х

с равномерным распределением на интервале [0, е] для Д. В любом случае
мы получаем, что sup К (х, у)^-^- Для всех У- Рассмотрим, наконец, стра-
х	б

2	1	1

тегию у0 — -х- Уо + -к- У1- Мы имеем К (х, у0) < -х- для всех х, и, следовательно,
о	о	о

inf sup К (х, у) = 4.
ух	б

Задача 4. См. Блекуэлл и Гиршик [1].

Задача 5. По сравнению с первой задачей гл. 13 здесь мы имеем
только изменение шкалы времени $ = Р (£). Значение по-прежнему равно
(т —	а первый критический момент равен Р"1 [1/(/п —|— п)].

Задача 6. Если 1/п < А. < 1/(л — 1) (л — 2, 3, 4, ...), то игрок I имеет
оптимальную стратегию
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ГЛ. 10-17

721

а игрок II оптимальную стратегию

п

i = i

j L (£, ^1)	(Y]) для О < £ < а,

и v = (п— 1 +

Задача 7. Из теоремы 14.5.1 следует, что все оптимальные стратегии
обоих игроков имеют на интервале [а, Ь] одинаковый вид. Предположим,
что а > 0. Тогда

1

h (5) = f К (5, vi) dy9 (1)) = М (5, 0) +

а

но производная h' (а) существует и, следовательно, должна быть равна 0,
откуда следует, что

0)4- f LK(a, i])rf/(’)) = 0.
. а

Но из неравенства < 0 вытекает, что у > 0. Отсюда следует, что

1

v=f К (5, a) dx° ($) = J* М (6, d) dx° (£),
а

так как а принадлежит спектру оптимальных стратегий игрока II; кроме того,
v = J /< (ё, 0) dxQ (5) = J М (5, 0) dx° ($),

так как 7 > 0. Это противоречит условию, ибо М по т) строго убывает.
Следовательно, а = 0; аналогично b = 1.

Предположим, что а = 0. Тогда

т)	1

М>|) = //<(£,1))dx(i) = J £(5, 1])/(5)<й+ J М(5, i])/(S)й5+₽Л1(1,1)),
0	1]

1

т'^)= f Ц(?, i])/(5)^+ f I))/(S) Л 4-М. (1,1])

0	1)

и, таким образом,
1

т' (0) = f М. (5, 0) / (5) di 4- Mr, (1, 0) < 0,
о

что противоречит предположенному. Следовательно, а > 0. Аналогично 7 > 0.
Поэтому из доказательства теоремы 14.5.1 следует, что к (Т) < 1 и < 1.
Таким образом, /0 и gQ могут быть выражены указанными формулами и
определяются единственным образом, если только единственным образом
определены а, ₽, 7 и б. Но эти константы определяются из четырех данных
уравнений. Если два уравнения для а и р имеют более одного решения, то
нашлось бы по крайней мере однопараметрическое семейство решений;
следовательно, а могло бы быть равно нулю, что, как мы уже видели, про-

46 Зак. 1789
тиворечит второму уравнению. Следовательно, аир определяются един-
ственным образом, и аналогично единственным образом определяются у и 5.

Задача 8. Очевидно, функции ожидаемого выигрыша равны		
	6 — clt если 6 < v),	0,	если 6 < т)]
(5. ч)=-	—2"^- , если 6 = tj, и /<2 (6, Y]) == 	т) — с2  , если 6 = т),
	0,	если 6 > 7)	т] — с2, если 6 > т].

Для фиксированного % значение К2 (%, tj) максимизируется любым т) > 50,
если £о < с2 (максимум равен 0), любым 7)>:60, если $0 = с2 (максимум
равен 0), и максимума не существует, если 60 > с2 (супремум равен Ео — с2).
Аналогичные утверждения имеют место для К\ при фиксированном ?]0.
В ситуации равновесия {60, т]0} чистые стратегии не могут, следовательно,
удовлетворять неравенствам 60 > *1о» и $0 < tj0; равенство же Ёо = tj0 имеет
место только при 60 = tj0 = Cj = с2.

Задача 9. Предположим, что игрок I имеет абсолютно непрерывную
стратегию, при которой ожидаемый выигрыш игрока II не зависит от т]
в интервале [а, оо). Это предположение приводит к интегральному уравнению

ОО

^ = (•<1—с2) J

Из этого соотношения и из условия нормировки

оо

f /(5)^ = 1
а
мы получаем, что

а — с2

(5-с2)2

в интервале я <6 < оо и v2 = а — с2. Аналогичные рассуждения показывают,
что в интервале [а, оо)

/ ч а~ ci

и, следовательно, так построенные плотности f и g составляют ситуацию
равновесия.

Глава 15

Задача 1.	(6) = у0 (6) = (6 + 62)/2.

Задача 2. v — 1/1п2. По теореме 15.1.1 каждая оптимальная стратегия
является устойчивой и, следовательно, не может иметь конечного носителя..

Задача 3. Если заключение неверно, то для любой оптимальной стра-
тегии у

Полагая $->оо вдоль С, мы получаем v = 0, что невозможно.
Задача 5. (а)

1	— еи______5___

ch (u — v) е *	+	•

Поскольку и/ и Vj расположены в возрастающем порядке, мы имеем
sign det *------------------------- = sign det-,

6 Ch(uz — Vj) 6	+

2rz.	4v,	n

где zi = e Wj = e j и 0 < z{ < z2 < ... < zn, 0	<w2< ... < wn.

Последний определитель представляет собой классический определитель
Коши, который можно легко вычислить и показать, что он положителен.

(б)	Определитель (2) (стр. 595), примененный к функции еи~е с точ-
ностью до некоторого постоянного множителя, сводится к определителю типа
Вандермонда вида det (^Z/W-z), где Zi и Wj строго возрастают. Очевидно, зна-
чение этого определителя положительно.

(в)	Случай п = 0 тривиален. Случай п > 0 получается последователь-
ными свертками случая п = 0..

Задача 6. У0 = Х/о + i Л; = 4-i Л_а, где а приближенно
равно 0,072.

Задача 7. Искомым является значение X, для которого производная
функции	1

¥ (W) = 14-U2 + 1 4- X (1 — И)2’

1 1 4

имеет кратный корень и = -?г, это значение Л = Q-.
2	о

Задача 8. X = 2;

1 _ K1-.-V2 = [ехр (_ х /1_^-Х/2)] (j + /1+е-Х/2).

Задача 9. Решение аналогично доказательству леммы 15.2.3.

Задача 11. (а) Использовать характеристику канторовского распре-
деления, содержащуюся в примере 2, стр. 591—593.

Задача 13. Ядро, очевидно, инвариантно относительно компактной
группы всех вращений единичного круга. Следовательно, существует и опти-
мальная стратегия, инвариантная относительно вращения.

Задача 14. Пусть Кп (6,	— ядро, полученное из К (6, i) вычеркива-

нием n-го члена. 7<л, очевидно, равномерно сходится к К при п->оо, но
игры с ядрами Кп имеют неединственные оптимальные стратегии (тео-
рема 15.5.3).

Задача 15. Стратегии являются устойчивыми и дают значение игры,
равное
Задача 16. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что х
и у являются оптимальными стратегиями и значение игры равно нулю. Кроме
того, для указанной стратегии х и любой оптимальной стратегии у*

К (5, ri) dx (5) rfy* (ri) = f e-^2 dy* (ri),

откуда следует, что у* = /0. Наконец, для любой оптимальной стратегии х*
с моментами рп мы получаем

оо

о == J К (5, ri) dx* (l) = (р-д — Р-п) ч” sin

п = 1

Ясно, что если мало, то первый ненулевой член этого ряда доминирует
над остальными, а так как sin (1/т() меняет знак, мы должны иметь

для всех п. Следовательно, х* = х.

Задача 19. Пусть х* — любая оптимальная стратегия, и пусть
где
1

/(?) = / h(&)dt.

о

Подстановка J* k (£, dx (£) = v приводит к соотношению

1 1

J* h (^) dx" (ё) = v J h (т/) dt.
о	о

Разлагая обе части этого равенства в степенные ряды, можно заметить, что
П/-й момент х° может быть определен, если только ап =£0. На основании
классической теоремы Мюнца стратегия х° единственна.

Задача 20. Аналогична задачам 17 и 19.

Задача 21. Применить задачи 18 и 19, где h (^) = (1 + ^)“2.

Задача 22. Очевидно, существуют такие а/(Z < а/< /-|-1), что
1

J* Cld^ (х — х— 0.
о

Следовательно, по теореме Мюнца х* = х.

Задача 23. Значение игры равно нулю, a х° является оптимальной
стратегией. Кроме того, использование любой оптимальной стратегии х* и
стратегии у(л) =/1/л показывает, что р*2п > р.2л, и — Р-2/z+l Следова-
тельно, х = х\

Задача 24. См. Карлин и Рестрепо [1], стр. 382.
Задача 25. См. Карлин и Рестрепо [1], стр. 384.

Задача 26. См. Гликсберг и Гросс [2].

Задача 27. К = — ₽£ + (2 — а) + (1 — а — Р) — ?]2- Заме-
тим, ЧТО ЭТО ЯДрО СТрОГО ВЫПуКЛО ПО 6 И СТрОГО ВОГНуТО ПО 7].

Задача 28. Сводится к утверждению о том, что выпуклое множество
вполне определяется счетным числом опорных гиперплоскостей.

Задача 29. Применить задачу 28.

Глава 16

Задача 2. Пусть Lo (t) является решением (оно единственно, по-
скольку минимизируемый функционал строго выпуклый). С помощью мето-
дов, изложенных на стр. 628, можно показать, что £0 (0 является решением
в том и только том случае, когда

1	1

min f [L0(t) — t]L(f)dt= f [L0(t) — t}L0(t)dt,

L J	J

0	0

где минимум берется по всем функциям L (/), удовлетворяющим нужным
ограничениям. По лемме Неймана — Пирсона, существует такая постоян-

ная k, что

М)~| J’

если

если

/ —£0 (/)>*,

/ —£0 (/)<*,

и Lq (t) —1 = — k в остальных случаях. Мы хотим, чтобы £0 (/) было воз-
можно ближе к /; поэтому представляется разумным решение вида

t < clt

L. (О =

О
t— k

1

при

При < t < с2,

при с2 < t < 1.

Но если это так, то мы должны
= откуда следует, что

1

возможен только при р = — ,

иметь с2 — Lo (с2) = с2 — 1 k и Cj — £0 (с.) =
с2 — 1 или с2 — Cj 1. Этот вид решения

и в этом случае k = 0. Поэтому мы испытаем

решение вида

М0 = 1 . °

при <

сг

I t— k При С| <	1,

,	[ t—k при 0 < t < с2

или Lq (t) = {

(	1 при с2 <	1.

В первом случае С| — £0 (cj = Cj < k и Ci — k ^:0, что дает = k.
Таким образом, мы получаем в качестве „решения* max(0, t — cj, интеграл
от которого равен

(1- с,)2	1

2	~ 2 •

Если	то мы видим, что функция Lq (t) = max (0, t — сД где

Cj = 1 — удовлетворяет условию совместности (*) и поэтому действи-
тельно является решением. Если	то имеет место второй случай, и мы

получаем £0 (t) = mln (1, t -j- 1 — с2), где с2 =	(1 — р).

Задача 3. Прежде всего ограничимся рассмотрением множества
<2 = j «р | 0^ ср (/) < Af, ср равна 0 вне [—Г, Г] и § ср (t) dt =	. Согласно

методу, описанному на стр. 628, мы получаем, что <р0 (0 дает минимум тогда
и только тогда, когда

т	т

max f р (/) е~^ (t)<f (t) dt = f p(t) e_<?0 (Z\>0 (/) dt.
J	J

' -T	-T

С помощью леммы Неймана — Пирсона
щей постоянной k

мы получаем, что для соответствую-

?0 (0 =

М, если

0, если

¥о(О < log—

То (О > log-^-,

(* *)

и ср0 (t) = log (р (f)/k) при остальных t.
Мы можем испытать решение вида

	о,	если	log	41<°- k
То (0 = 		если	0<	: log -
	М,	если	log	£^-> м, k

которое удовлетворяет условиям совместности (* *).

Используя теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла,
легко проверить, что интеграл
т
f Mt)dt
-т

является непрерывной функцией k и что он стремится к нулю при неогра-
ниченном возрастании k. Кроме того, этот интеграл стремится к 2ТМ, когда k
стремится к нулю. Следовательно, для достаточно больших Т и М мы можем
удовлетворить равенству
т

J То (0 dt = а.
-т

Кроме того, если Т и М стремятся к оо, то <f>0 (t) сходится к
max {0, log (/? (t)/k},
где k определяется условием
ОО

J* max
— ОО

j 0, log —dt = а
(снова по теореме Лебега). Если мы усечем произвольную функцию <р до-
статочно большим значением М и ограничим изменение аргумента интер-
валом 2Г, то мы сможем сравнить <р и ср0. Из этого сравнения следует, что
функция

<Ро (0 = шах 0, log 1
является решением.

Задача 4. Решение имеет вид

о	если

=	h (0

1	iQgP(0g(0	если

g(t)	10g kh(t)	’	еСЛ	h(t)

где k определяется так, чтобы выполнялось равенство

ОО

J h (t) <р0 (/) dt = а.
— оо

Метод проверки этого решения аналогичен методу, приведенному в задаче 3.

Задача 5. Предположим, что мы решили обследовать ящик I всего п
раз, в моменты Л -j- /2, • • •, + ^? + • • • + tn- Ожидаемый выигрыш равен
в этом случае

Р;

-^[G(/,) + G(/2)+ ... +G(U1-

Нам нужно максимизировать функцию

2 °(0)

; = i
при условиях

у tj<N,

7 = 1

Пусть /J(Z=1, ...» п) — решение задачи. Положим

/(Х)=2 G + (1 - К) tj).

7=1

Тогда / (X) является строго вогнутой функцией X, когда X пробегает единич-
ный интервал, и достигает максимума при X = 1. Иначе говоря, /' (1) >: 0 или

2 «('!)<> 2 ««)</)

7=1	7=1

По лемме Неймана — Пирсона, существует такая константа h, что

0	N, если g (7J) > h,

J	0, если g (/у) < h,

1) Здесь и в задаче 6 g = G'.— Прим, перев.
и g (/у) = h в противном случае. Для того чтобы /у удовлетворяли этим соот-
ношениям, положим /у — для всех у. Затем положим А = g (/у). Ожидае-
мый выигрыш для такой тактики равен

k	k

2 niG	-^7 G (mi)-

1=1	i=1

Конечно,
k	k

V _L_

1 = 1 i = l

Задача 6. Пусть = l//nz — некоторый способ поиска, a —опти-
мальный способ поиска. Непосредственное вычисление показывает, что
функция
k

+ ( , 1 )

Z = 1	\	K)xt /

строго вогнута. Поэтому, следуя методу п. 16.2, рассмотрим неравенство
Z'(1) & 0, т. е.

k
z = l \ \х1/ xi \xi / /

По лемме Неймана — Пирсона, существует такая константа А, что

1, если

1

-гг» если

0(т°)-т^(т?)< А,

А /

а в остальных случаях xz произвольна. Пусть f (у) = G (у) — yg (у). Заме-
тим, что f' (у) = — yg' (у) > 0, что означает возрастание функции f Поло-
жим теперь

1 Г1 (h/Pl} ’

•Л /• / 1 Г\	0	*

если — < f (N), и	если

р. v '	1 N



Если h выбрано достаточно большим, то 2	= kN 1 < если выбрано

достаточно малым, то для всех Z, так как f (0) = 0; следовательно,
Поскольку 2 х? — непрерывная функция А, мы получаем реше-
ние по непрерывности. Легко показать, что построенное решение удовлетво-
ряет указанным выше условиям совместности.

Задача 8. См. Блекуэлл и Гиршик [2].
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ГЛ. 10-17

729

Задача 9. По лемме Неймана — Пирсона, так как

mln К (<р°, Ф)
Ф

равны К (<р°, ф°), мы заключаем, что

max/<(<p, ф°) и

<р

фо =

1, если

произвольна, если

О, если

1, если

произвольна, если

О, если

7(0Ф°(0 > *,
7(0Ф° =
7(0Ф°(0 < *.

7(0 ?° (0<*>
7(0 ?° (0=*,
7(0 <р° (t)>k.

(***)

<р0 —

(Мы рассматриваем только случай 0 < А, В < 1; если А или В равны 0
или 1, то условия задачи нарушаются.) Очевидно, что £>:0, так как из
неравенства k<0 следует, что ф° == 0. Далее, h>0, так как если h < 0,
то <р° == 0. Докажем, что случай k = 0 невозможен.

Предположим противное. Тогда условие А > 0 означает, что для неко-
торого tQ ф° (/о) > °, откуда следует, что <р° (/0) = 0. Следовательно,
7 (0) Ф° (Q и, таким образом, h > 0. Кроме того, если для любого t
ф° (0 > 0, то, как и выше, ср°(/) = О; если же ф° (/) = 0, то 7 (0 Ф° (0 = О</г,
откуда следует, что ср° (/) = 0. Значит, <р° = 0, что противоречит предполо-
женному. Отсюда следует, что k > 0. Однако, вообще говоря, h может быть
равно 0.

Пусть h и k определяются соответственно уравнениями h/f(P)=\ и
kff (Q) = 1, где Р и Q удовлетворяют условию (+) и неравенствам 0 < Р <
<(? < 1. На интервале [0, Р) мы имеем hff (t) > 1 ф° (/), откуда следует,
что ср°(/) = О и k)f (t) > 1 > <р° (0; поэтому ф°(/) = 1. На интервале (Р, (?)
мы имеем > 1. Значит, ф° (/) = 1, так что ф° (0 > й/7 (0 и, таким
образом, ср°(/) = 1. На интервале ((?, 1) мы должны иметь ср0 (/) = klf (t) и
= Но, по определению, k = f(Q) и h = f(P), и <р° и ф° теперь
полностью определены. Эти „решения", очевидно, удовлетворяют условиям
совместности (***). Заметим, что

1 1

f <P<>(t)dt = Q-P + f(Q)f	= B

0	Q

1 1

f r(0df = Q+/(P) f =

0	Q

что и требуется.

Задача 10. Аналогична задаче 9.

Задача 11. Если эти случаи не являются взаимно исключающими, то
существует такая пара чисел At В, что решение Plt уравнений (-)-)
удовлетворяет условию 0 < Pi < Qi < 1, а решение Р2, Q2 уравнений (-|—|-)
удовлетворяет условию 0<Q2<P2<l. Далее,

1

Qi	Рг
и, так как функция

dt

строго возрастает, мы имеем Q, > Р2. Аналогично из неравенства

Р,+/(Л)f < е,+! <₽,) /	=р,+/(Л) / -i.

Pt	Qi	Р2

следует, что Pi < Р2- Но соотношение

1 1 1

Qi	Р2	Р2

1

р2
сводится к неравенству
1 1

«' + /w4tw<'>’ + /(P‘)J'7W-

Qi	Р2

Поэтому < Р2> а это противоречит условию.

Задача 12. Рассмотрим функцию выигрыша

V (t, р) = A (t) exp j — у г (и) р (и) du I =
\ о	/

(/ t	\

— I J* г (и) р (и) du — log А (/) I
\0	/

По неравенству Йенсена

1	/ 1 ( *	\	\

J* V (Л р) dxo (0 expl — J ( J r(u)p(u) du — log A (t) j dx^ (t) j =
о	x о \o	/	/

(i	i	1	\

— У r (f) p(f)dt+logA(V)+ У r(t)p(t)Xa(t)dt— у ~^xa(t)dt j
о	0	0/

exp I - J r(t)p(t) (1—л0 (0)^4-log Л (1) — J

А' (0 /А
A(t) XoWdtj.

о

о
Для случая 1 это дает

1

J V(t, p)dx0 (0==
о
(d	1	1	,	\

— f г (t) Р (t)dt — f r(c) p(t)dt-\-\ogA(d) |-r(c) J dt / =
0	d	d	/

/ d	d	\

= A (d) exp I f (r (c) — r (t)) p (t) dt — r (c) & — г (с) f dt -|- r (c) 5 j =

\0	c	J

(c

J {Г — dt +

0
d	d \

+ f (r(t)-r(c))(l-p(t))dt- f r(i)dt]>
c	c	/

(d \

— J* r(t) dt j =	= V.

c	'

В более простых случаях 2 и 3 исследование аналогично.

Глава 17

Задача 1. Если понтирующий применяет стратегию ф, то его ож.,
даемый выигрыш дается выражением

х(?)=-1 f [1-TJ5)- ... -^(е)]^(е)+

+ (^ + i) f f <?(?) £(e.1))^(?)rfGh)+ ...

... +(^+1) f f	ri)dF(i)dG^ =

= -l + /ъ (i) [l + (a, + l)(2G(e)-1)] rfF(5)+ ...

• • • + f Vjy (6) [1 + (^+ 1) (2O($) -1)] dF®.

Если Eo определено, как и раньше (стр. 663), то коэффициент при ^(5)
будет наибольшим и положительным при Е > Ео- Отсюда следует, что для
Е > Ео ф5/(Е)= 1, где означает оптимальную стратегию. Пусть Со — корень
уравнения

l + (ai + l)(2G (Е)-1) = 0.

Тогда £0 < £о и коэффициент при (Е) будет наибольшим и положительным
при Со < Е < Ео; это означает, что на этом интервале (Е) = 1. На интервале
[О, Со игрок должен по-прежнему пасовать, так как все коэффициенты
при ф/ отрицательны.
Задача 2. Единственное отличие состоит здесь в том, что

J £(5, у) dG (^) = G(e-0)4-G($4-0)-l.

Там, где это выражение положительно, <р2(£) = 1* Теперь, в отличие от не-
прерывного случая, концевые точки уже будут, вообще говоря, существенны.
С другой стороны, может оказаться, что целый интервал существенным не
является. Если G (£—0)-|-О (£-|-0) —1<0 и 1 -|—2(Сг(^—0)-J- G (£-f-0) —1)>0,
то = 1. Если последняя величина отрицательна, то игрок должен пасовать.

Задача 3. Определим ct с помощью соотношения G (с^ = а/(а -[-2)
(Cj не обязательно единственно). Если F (cj а/[2 (а+ DL то решение имеет
следующий вид:

=

0,

1,

если

если

0 < 7] < Ci,
> Сь



С i/txjc/ev а[1 — /ЧсЛ]
удовлетворяет соотношению I	= —-—, Q -

о

а в остальном произвольна, если 0<^<сь
1,	если $ >

Требование совместности в этом случае проверяется точно так же, как и
в данной выше модели. Требование F я/[2 (а-{-1)] необходимо для
того, чтобы обеспечить возможность выполнения равенства

f f®dF® = а[1д + 2(С|)1-
J	и “Г" &

Если F (ci) < а/[2 (а + 01» то определим с2 из уравнения F (с2) = а/[2 (а-|- 1)]

и положим

0, если т^с2,

1, если > с2,

Т*(5) = 1.

Тогда коэффициент при ф в точке с2 дается выражением

-(a + 2)F(c2) + ^(l-^(c2)) = a-2(a + l)F(c2) = 0

и ф* минимизирует К (?*, Ф), так как коэффициент является монотонной
функцией. Точно так же коэффициент при <р в точке 0 равен 2 — (а-|"2)Х
X (1 — О (Сг) ) = — я + (я + 2)О (с2). Но из неравенства F (Cj) < F (с2) сле-
дует, что Cj < с2, и поэтому G (с2) G (cj = а/(а-]-2). Таким образом,
— а + (а + 2) G (с2)> — а-|-а = 0, и поскольку коэффициент при — моно-
тонная функция, то <р* максимизирует К (?, ф*).

Задача 4. Значение игры равно

v = К (<?*, Ф*) =
п 1	/ е	1	\

= — 1 + 2 /	( 2 + J (ч) — (ai +2) J (•»!) dv IrfS.

MO \ o	t	/
Мы знаем, что коэффициент при ср* равен нулю для $ < и что функция ср*
обращается в нуль всюду, кроме интервала (с/, с/+1). Таким образом, нам
остается вычислить коэффициент при cpz лишь на этом интервале. Так как
ci > bi, этот коэффициент равен

Е	1

2+а/ J ^_(Д/ + 2) J Л) = 2+М5-^)-(Д/ + 2)(1-е) =

bt



= 2 + ^($-М + (^ + 2) G-^)-(^ + 2)(l-^) = 2(^ + l)(6-^)
Следовательно,

П с1+\

v = -l+2 У 2(az + l)(5-^)rf6 =

/ = ! ct
п

=-1 + 2 («/ + о [(C/+I - bi)2-(Ci-W] =

Z = 1

п

— — 1 (ai + 0 (Q + 1 — ci) (Q+i + ci — 2bi).
/ = 1

Задача 6. Значение игры равно

1

* = /<(?*, ф*) = -1+2 f [?*(£) + cp*(£)J^ +

0

1	/	ч	1	\

+ f -(^ + 2) f (<Р*г(£) + ?*2(5))Л + а f +	^ +

0^0	i]	/

1	/ 1

+ У to -<й+ 2) fto«-

о V о

ч	1	\

_(д+/,+2) у to^+(«+&) у?; (е)йк,=

о
d



= — 1 -f- 2 (тj	1—с) 4- J* [—(я 4“ 2) (т! 4~ "G — с)4~я(1 — *1)] ^4“

с

1

+ /[- (я + 2) (т,+^-с)-(а + ^+2) h-г) + (^ + b) (1 - d^ =
d

= 14" 2т/ — 2с — (я 4“ 2)	— с) (d — c)-\-a(d — с) — (а 4- 1) (d2 — с2) —

_(л + 2) (/Wl+^_c)(l-rf)+(^ + ^)(l+^)(l-^) + 2^(l~^)-
_(л + * + 1)(1-^2).
Применяя ко второму члену равенство (а 4-2) т{ = а (1 — с) [уравнение
(17.4.10)], мы получаем

v = 14-2mz —2c + 2c(a + l)(rf —с) + (а4-1)с24-М2 —(а + *4-1) —

-(« + 2) (mi+e-c) (l-d) + (<x + b)(14-e) (l-d) + 2e(l-d).
Применяя теперь к третьему с конца члену равенство (a4~2)(m1 -j-e — с) =
= (а-|-Ь)(1 — е) [уравнение (17.4.11)], мы получаем

v = 2m, — 2с — (а Ь) + с (а 4-1) (2^ — с) + М2 + 2е (1 — </) (а 4- b -f-1).

Задача 7.

31	,	97 .	41 .	25 .	3	37

с~ 56’ d~ 112’ *~56’ т' ~ 112 ’ т* ~ 56 ’ V~~ ТТ2”’
Задача 8. Из рис. 25 мы видим, что должны выполняться следующие
равенства: (?]) = 1 для с < ц < d и ф2 С7]) — 1 для d < tj < 1. Точно так же,
ф* (tj) = 0 для 0 < т] < с, а функция ф2 на 9Т0М интервале произвольна.
Однако для того, чтобы данная пара (ср*, <р2) была оптимальной, мы должны
иметь Mt (с) = 0. Отсюда следует

с

J Ф2О1) dij = m2.
о

Снова из рис. 25 мы видим, что <р2 (ё) = 1 на интервале d<5d и?*(«) = 0
на интервале 0 < ё < с. Однако <рх (ё) произвольна на 0 < ё < с, а <р* и <р2
на интервале с < ё < d подчинены условию ср*4~ср2= 1, а в остальном про-
извольны. Требование Nx (d) = N2 (d) дает
d

j" £2(5) di=1 — d.
0

Применяя этот результат и условие N2 (с) = 0, мы получаем
с

J ?i(5)d5 = ffii.
о

Последнее необходимое требование состоит в том, что N2 (vj) (?]) для
с < y] < d, и это дает вторую часть соотношения (17.4.17).

Ясно, что любая стратегия, удовлетворяющая этим условиям, удовле-
творяет также соотношениям совместности.

Задача 9. Пусть <рь ср2 и ср3 имеют тот же смысл, что и раньше, но
на их сумму наложено более слабое ограничение cpj 4- <р2Н“	1, так что

1 — — <р2 — <р3 —вероятность первоначального паса. Выигрыш равен
К*(?- ф) = К(ф, ф)4-

1	1

4- (-1) У У [1 - ?! (5) - ?2 (5) - ?3 (?)] ж 01) 4- ф2 (-1) 4- фз O))]de dq 4-
о о

1 1

+ У У [?1(г)+?2(«)4-?з(г)Ш-ф1(1)-Ф2(71)-Фз(>1)] dSdn,
о о
где К (ч, Ф) дано. Таким образом,

К* (ср, ср*) = const +

Решение дается формулами ср* = а/(а + £), Тз = Ь/(а + Ь) на интер-
вале (с, d) и ср$= 1 на интервале (d, 1), где с = 1 — \/Ь и d = 1 — 1/а. Кон-
станты с и d определяются путем приравнивания нулю значений коэффи-
циентов при ср, (£) и ср3(£) в точке с.

Задача 10. Возможны два случая. Указанное решение для п = 3 верно,
если -f- а3а2 4" а2а1 — Если имеет место противоположное нера-

венство, средняя  <Р1Ф =  где	то решение имеет ставка не является  ' 1		тот же общий существенной н  ' 1  ^2^1  о, ?э(6) =;  °  2#1	— tz2)  (#i	а2) (а2 4” ^з	вид, за исключением того, что [а среднем интервале. Именно  для 0<$<е„  а\ ™		
	4- Л3  0,	Т2 \’/ —  51 =		а3  1  у «2*1	ДЛИ  для	4	52»  £2==е< 1,

и

(^14“ лз) #1^2 а1а3 ^2^з)

#3 (#2 4“ al) 4”

Задача 11. Ввиду симметричности игры достаточно, как и в п. 17.6,
определить стратегии одного игрока. Пусть игрок А получает 6. Введем
следующие обозначения:

ср,($) — вероятность того, что игрок А поставит с и спасует, если игрокВ
поставит b или а\

<	р2(£) — вероятность того, что игрок А поставит с и уравняет, если
игрок В ставит Ь, но спасует, если игрок В ставит а;

<	р3(£) — вероятность того, что игрок А поставит с и спасует, если игрок В
поставит Ь, но уравняет, если игрок В поставит а;

<	р4 (£) — вероятность того, что игрок А поставит с и уравняет, если
игрок В ставит b или а\

<	р5 (£) — вероятность того, что игрок А поставит b и спасует, если игрок В
ставит а;
736

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К ГЛ. 10-17

<рв(£) — вероятность того, что игрок А поставит b и уравняет, если
игрок В ставит а\

<p7(g)— вероятность того, что игрок А поставит а.

7

Эти функции подчинены ограничениям <pz(g)>:0, (pz(g) = l. Оптималь-
z«i

ные стратегии в этой игре зависят от отношений а/с и b/с. Различные виды
оптимальных стратегий весьма сложны и находятся с помощью синтеза
интуитивных рассуждений и формальных преобразований. Когда вид опти-
мальной стратегии найден, условия, при которых она имеет место, и кри-
тические числа, которые входят в ее определение, могут быть найдены
как в п. 17.6.

Из общего числа пяти возможных случаев опишем решение только
ля двух.

Случай 1. а2Ь-\-а2с— 2ас2— 4abc— 2аЬ2— 634-7&2с<0; 2с— Ь>0
Для 0 < 6 < 5j

♦	ab	# /лч	zzc	*	be

ab ас 4- be *	~ ab 4- а,с 4- be ’	ab 4- ас -f- be *

Для < 5 < 62	?;(е)= «	,	?;(5)=	‘	.

14	V	14 | V

дляб2<е<е3	‘	,	?;(5)=	‘	.

14	v	14 U

длЯе3<е<е4 ?£(б)=1.

Для ?4 < £ < Е5 ^)=1.

дляе5<е<1 ?*(?) = 1.

Здесь

_	2(а — b)(b — с)г(аЬ + ас+Ьс)

1)1 - 51 - а (Ь + с) (аЧ + аЧ + 2ас2 + 63 — 2abc — 362с) ’

(а + с) (Ь — с) (аЧ + аЧ + 2ас2 + 3&3 — 5ЬЧ — 2аЬ2)

1’2-'2 «1- а (j _|_ с) (а2/, а2с 2ас2 + — ЧаЬс — ЗЬЧ)

2(д4-с)(д—»)2(2с—&)

1)3 -	42 “ а (аЧ + аЧ + 2ас2 + Z>3 — 2abc — ЗЬЧ) '

_	2(а-Ь)2(Ь-с)

14 ~	53	аЧ + аЧ + 2ас2 + Ь3 — 2abc — ЗЬЧ ’

2с(а-Ь)(Ь-с)

1)5 - 55	«4 - а2Ь + а2С 2аС2 Ь3 _ <2abc — ЗЬЧ '

1)е = 1 — ?5 =

_ с (а262 + аЧ2 — ваЬЧ + 2аЧс + 2ЬЧ + + 2ас3 — 7ЪЧ2 + 4а6с2)
а (Ь + с) (а2Ь л2с 4” 2ас2 4~ Ь3 — 2abc — ЗЬ2с)

Случай 2. а2Ь-\-а2с — 2ас2 — 4abc — 2аЬ2 — 634-762с<0; 2с—^<0.

Для 0 < 5 < gj
________ ab	/с\		/с\ —
ab-\- ас-{- Ьс * ®5\ )______4- ас » ?7\ ) ab-{~ac-\-bc

Для;^^ ?;(5)=	«	,	^(5) = ^.

£4 V	14 1* v
Для82<8<е3 <р*(g) = ьь, ?2(^) = -^г7-

Для83<8<84 <Рб(£)=1.

Для ?4 < $ < 1 <Р*(5)= 1.

Здесь

_ - __	2 (а — Ь) (Ь — с)2 (ab + ас Ьс)

1,1 - 4| ~ а (й + с) (а2Ь + а2с + 2дс2 + b3 — 2abc — Зй2с) ’

12 = ?2-5| =

_ (а + с) (,За№—а2Ь2—2ab2c + 2а2Ьс—6Ь3с + й4+2аЬ3 — 2ас3+9й2с2—байс2)

-	а(й4-е)(л2й4-а2с + 2ас2+й3 —2лйс —Зй2с)

_	2(я—й)2(й —с)__________

7)3 - ?з «2 - а2ь	2ас2 &3 _ 2abc — ЗЬ2с ’

„ _₽ _е	2с(а —Й)(Й —С)

14-54	53- а26_|_а2с_|_2лс24-й3 —2айс —Зй2£ ’

1)5 = 1—54==

с (а2Ь2 + Д2С2 — 6дй2с + 2я2йс + 2й3с + + ^ас3 ~ ™2с2 + 4дйс2)

а (Ь с) (а2Ь + а2с 2лс2 63 — 2abc — ЗЬ2с)

Задача 12. Пусть In означает максимальный ожидаемый выигрыш
при использовании некоторой оптимальной стратегии, когда всего имеется
N возможностей. Пусть ср (?) означает вероятность принять ?, когда это
число предлагается в первый раз. Тогда очевидно, что

/n =о{f (S) dF(5)+/[1 -?(5)] dF (5)} =

=0<<ра|1 U ?(5)	+

Максимум достигается, когда ср (?) = 1 для ? > и ср (£) = 0 для ? < IN_^
Поэтому IN удовлетворяет рекурсивному соотношению

1

;ЛГ-1

В случае равномерного распределения 7^= (1^лг-1)/2. Для ^ = 2 кри-
тическое значение равно 5/8; для ^ = 3 критическое значение равно ^Лав-

Задач а 13. Пусть SN означает максимальный ожидаемый выигрыш
при использовании оптимальной стратегии, если всего имеется возможно-
стей. Пусть ср (?) означает вероятность принять предложение ? в первый
раз. Тогда очевидно, что

SJV =о max J{ f (t + Y (5) dF (8) + f [1 - <f (6)] dF (8)},

где IN имеет тот же смысл, что и в задаче 12. Как и выше, мы заключаем,
что этот максимум достигается, когда

zex | * 1’ при >	Jn-v

I О, ПРИ ? < S/v-i ~ ^n-i
И
1

sN-i~fN-i

В случае равномерного распределения критическое число по отношению
к первому выбору равно 3/8. Второй выбор производится согласно критерию,
найденному в задаче 12.

Будем в задачах 14—18 через С/ (£, ф) обозначать коэффициент при <pz,
если К (ф, Ф) представлено в виде, аналогичном уравнению (17.2.1). Точно
так же через (vj, ф) будем обозначать коэффициент при ф/ в другом пред-
ставлении К (ф, ф).

Задача 14. ф* (rj) = 1 есть условие оптимальности, так как (vj, ф) <
<D/(0, ф)<0 для всех ф-ф* есть характеристическая функция интервала

и.

Задача 15. Эту задачу можно свести к задаче 14, если поменять
ролями игроков.

Задача 16. Используя перемену ролей игроков, предложенную выше,
мы можем непосредственно проверить, что К (ф*, ф*) = max /<(ф, ф*) и

К (ф*, ф*)= min К (ф*, ф).
Ф

Задача 17. Пусть ф*, ф* — произвольная пара оптимальных стратегий,
а стратегия ф° получается из стратегии ф* путем замены фиксированной
компоненты ф^ на характеристическую функцию интервала [tj., 1], где

1

1—=J ф*
о

Пара стратегий {ф*, ф°} будет по-прежнему оптимальна, так как /С(ф*, ф°)^
< К (ф*, Ф*) = min К (у*, ф) и К (ф*, ф°) = max К (ф, Ф*).

Ф	ф

Задача 18. Пусть {ф*, ф*} — пара оптимальных стратегий, где ф* имеет
вид, указанный в предыдущей задаче. Тогда С/ (5, ф*) равно на интервале
0<константе X.. Если к. < К. и 0 <	< 1, то, увеличивая X. до X. = Х^,

мы можем, не нарушая оптимальности пары {ф*, ф*}, изменить значение
Таким образом, имеется оптимальная стратегия, для которой Xz = X* при всех
индексах, для которых y)z =/= 1. Для этих индексов величины т) указаны
в задаче.

Задача 19. Пусть <р. ($) означает вероятность назвать Z/л, где

« = 0,1..п И 2т/(5) = 1-

/=о
Пусть, далее, а/ есть вероятность того, что игрок II верит игроку I, если
последний назвал i/n. В соответствии с такими стратегиями мы имеем

1 1 1

K(<t. а) = —J <?о(5)аоЛ+ f <Ро(?)(1—f <fn (i)andi —
0	0	о

1	n-l Г i/n	l/п

0	Z = 1 Lo	0

1 1

- f ъ$)а.<К+ f ^(A-aJdt
l/n	i/n

1

= (l-2a0) f ?0(S)rf$ +

0

1	n-l Г	i/n	1

+ (2a„-l)J\(?He + 2 (2Д/-1) ]\(?)Л-(2Д/-1) fVi(t)dt

0	1 = 1 L	0	i/n

Очевидно, что <Ро(5) = О и <р9(£) = 0. Так как	для всех I является

устойчивой стратегией игрока II, мы будем искать устойчивую стратегию
игрока I. Для такой стратегии
i/n	1

f <p.(!)d$ = f <p.(5) dk (< = 1,.... n—1).

0	l/n

Один из способов удовлетворить этому условию состоит в том, чтобы
положить

<р?	?2	?3	...	^-2	Чп-1	Интервал определения
1+—!	  2 1 2(л —1)  1 2  0  0 1 2(п-1)	Г—1	»—t  I-* 1 *-• |(М r-и |сч	 о	1  el1	е  <М	(М	1 2 (п — 1)  0  1  2  0  1 2(п-1)	...	1  2 (п — 1)  0  0  1  2  1  2(п —1)	1 2(и-1)  0  0  . 1  2 1+_1_ 2 1 2(п—1)	S3  J3 Д | з	to	е | to й [  1 а	а 1 со й 1 to 1
ПРИЛОЖЕНИЯ

Для того чтобы сделать эту книгу возможно более полной и
вместе с тем доступной читателю, имеющему математическую подго-
товку, лишь незначительно выходящую за рамки дифференциального
и интегрального исчислений, мы посвящаем настоящие приложения
краткому обзору тех разделов математики, которые играют фунда-
ментальную роль в изучении этой книги. Там, где исследование
требует изложения более современных результатов, их суть, как
правило, включена в текст непосредственно.

В приложении А излагаются основные сведения из теории век-
торных пространств и матриц. В основном наш подход к этой тео-
рии—в отличие от обычного — скорее геометрический, нежели алге-
браический. Мы не развиваем теорию матриц абстрактно, в терминах
общих колец и полей, а ограничиваемся случаем, когда поле скаля-
ров наших векторных пространств состоит из всех вещественных
или всех комплексных чисел. Доказательства, которые трудно найти
в литературе, мы приводим со всеми деталями; во всех случаях мы
хотя бы намечаем аргументацию в обоснование основных утвержде-
ний теории.

В приложении Б рассматриваются некоторые аспекты теории
выпуклых множеств и выпуклых функций. Значительная часть теории
конечных игр, линейного программирования и математической эко-
номики связана с операциями над множествами и функциями, опре-
деляемыми линейными и выпуклыми неравенствами. Мы приводим
здесь удобные для нашей цели формулировки теорем об отделимости
для выпуклых множеств и рассматриваем простые факты теории двой-
ственности выпуклых конусов. В тексте уделяется внимание и не-
скольким более глубоким вопросам теории выпуклых множеств, на-
пример развитию теории сопряженных выпуклых функций, а также
некоторым результатам о выпуклости, связанным с пространствами
моментов.

Приложение В содержит обзор разнообразных фактов, касаю-
щихся функций, интегралов и теорем о неподвижной точке, которые
явно используются в ходе некоторых рассуждений в этой книге.
Точно определяются понятия полунепрерывных и равностепенно не-
прерывных функций и перечисляются некоторые свойства таких функ-
ций. В разделе В.2 говорится о важной теореме Какутани о непо-
движной точке. В разделе В.З приводятся для справок необходимые
свойства интегралов Лебега — Стильтьеса.
В связи с вопросами, затронутыми в этих приложениях, могут
быть полезны следующие книги и статьи:

Приложение А: Перлис [1], Биркоф и Мак-Лейн [1], Гантмахер [1].
Приложение Б: Фенхель [1], Харди, Литлвуд и Пойа [1], гл. 2.
Приложение В: Грэйвс [1], Рудин [1].

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МАТРИЦЫ

А.1. Евклидовы и унитарные пространства. Вещественное
векторное пространство может быть определено следующим обра-
зом. Пусть нам заданы: некоторое множество V, ассоциативное и
коммутативное сложение (обозначаемое знаком-)-), определенное для
пар его элементов, единственный нулевой элемент 0 и умножение
элементов V на вещественные числа, для которого при веществен-
ных а, р и элементах х, у из V мы имеем:

х—|-0 = х, 1-х==х, О-х = 0,

а (х -(- у) = ах -j- ау, (а -j- Р) х = ах -(- [Эх, а (Рх) = (ар) х.

В качестве важнейшего примера укажем n-мерное евклидово про-
странство Ея, состоящее из множества всех упорядоченных наборов
х = (хр х2, ..., хп) из п из вещественных чисел xv х2, ...» хп, в ко-
тором операции сложения и умножения на вещественное число 7
определены следующим образом:

(*Р Х2....хп) + (Уу У2’ •••• УП) = (*1 + Ур Х2+У2.Хп + Уп)>

l(xP *2....xn) = ^xv .... 7Х„).

Нулевым элементом 0 является здесь элемент (0, 0, ..., 0), обозна-
чаемый далее, как 0; каждому х соответствует противоположный эле-
мент— х = (—Хр —х2, ..., —хп) (иначе говоря, х-|-(—1)х =
= 1-х + (—1)х = [ 1 “Н (—1)]х —О-х = 0), и мы можем опреде-
лить вычитание, положив у — х = у —|— (—х). Следует заметить, что
в этом примере вещественные числа можно заменить комплексными;
тогда соответствующее векторное пространство Un будет называться
n-мерным унитарным пространством.

Фактически Еп и Un являются не просто векторными про-
странствами; мы можем в них ввести дополнительную операцию
образования скалярного произведения (х, у) двух элементов х и у:

(X. у) =2^.

i«1
742

приложение А. ВЕКТОРНЫЕ пространства и матрицы

где yt— комплексное число, сопряженное с yL. (Говорят, что два
элемента х и у ортогональны, если (х, у) = 0.) С помощью этой
операции определяется обычное расстояние

d(x, у) = (х —у,

Очевидно, здесь d(x, y) = d(y, х)>0 (знак равенства имеет место
тогда и только тогда, когда х = у); кроме того, имеет место нера-
венство треугольника

rf(x, y)^d(x, z) + tZ(z, у).

Число d(0, х) принято называть длиной х, a xL— Z-й компонентой
элемента х = (хр х2, .... хл). Далее мы повсюду будем считать
Еп и Un векторными пространствами, и любое утверждение, выска-
занное относительно Еп, может быть равным образом отнесено к Un
(но не наоборот). Чтобы не говорить каждый раз о вещественных
или комплексных числах, мы будем именовать встречающиеся числа
скалярами (а, р, у и т. д.), а элементы векторного пространства
векторами (х, у, z и т. д.).

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Пусть рп — множество всех определенных на интервале —оо<а<
со полиномов p(t) с вещественными (комплексными) коэффициен-
тами и степенями, не превосходящими п—1. Проверить, что при обычном
определении сложения полиномов и умножения на вещественный (комплек-
сный) скаляр множество является вещественным (комплексным) вектор-
ным пространством. Показать, что скалярное произведение элементов рх и р2
из рп можно определить формулой

ь

(Pi, Рг) = J Pi (1)Рг (0 dt.
а

2.	Пусть С — множество комплексных чисел, причем сложение и умно-
жение на вещественные скаляры определено обычным образом. Показать,
что С есть вещественное векторное пространство, для которого скалярное
произведение элементов х = а -ф- bi и у = с + di можно задать равенством
(х, у) = ас -ф- bd.

3.	В Ег, например, мы можем сопоставить каждому вектору (х, у, z)
точку трехмерного пространства, имеющую декартовы координаты {х, у, z}.
Таким образом, некоторые множества векторов мы можем интерпретировать,
как линии, плоскости и т. д. Пояснить это утверждение.

4.	Пусть в Еп

d (х, у) = шах | Xi — yz |.

1 I п

Показать, что d (х, у) удовлетворяет обычным требованиям, предъявляемым
к функции расстояния; именно d (х, у) = d (у, х) 0, где знак равенства
имеет место тогда и только тогда, когда х = у, и d (х, y)^,d (х, г)-ф- d (z, у).
5.	Употребляя обычную функцию расстояния в Еп и обращая внимание
на соотношения между понятием „ортогональный" и обычным определением
понятия „перпендикулярный", сформулировать и доказать для Еп общую
теорему Пифагора.

А.2. Подпространства, линейная независимость, базис, пря-
мые суммы, ортогональные дополнения. Подпространство
векторного пространства V есть подмножество, замкнутое относи-
тельно сложения векторов и умножения их на скаляры: если х и у
содержатся в и а — скаляр, тох-[-у иау также принадлежат
Относительно этих операций само является векторным простран-
ством. Например, множество всех линейных комбинаций

k

2ajxi = aix1+ .. . + <хйх*
i = \

фиксированной системы {х1, х2, ..., х*} векторов образует подпро-
странство, называемое линейной оболочкой векторов {х1, ..., хА).
Наоборот, если ^—линейная оболочка {х1, ..., хл}, то {х1, .... х*}
порождает 1/р

Множество векторов {х, .... х*} называется линейно независи-
мым, если из равенства
k
2«zxz = 0
z = i

следует, что az = 0 (Z = 1....k). Линейно независимое множество

векторов {х1, ..., хл}, порождающее!/, называется базисом V. Оче-
видно, система

е! = (1, 0, 0, .... 0), е2 = (0, 1, 0....0), ...,

ел = (0, 0, 0, .... 0, 1)

образует базис в Еп. (Не все векторные пространства имеют базисы,
отличные от всего пространства; тривиальным примером может слу-
жить случай, когда V состоит из единственного элемента 0. В этом
случае мы обычно не будем считать V векторным пространством.)

Если система векторов {х1, х2, ..., х*} порождает V, то неко-
торая ее подсистема должна составлять базис V; если система ли-
нейно независима, то это очевидно; в противном случае мы имее-м

k
2azxz = 0,
i = 1

где, например, a! =£ 0. Отсюда следует, что
k

х1 = 2 G~ az • ai-1)x*

Z=2
744

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МАТРИЦЫ

и, очевидно, {х2.....х*} порождает V. Если эта подсистема не

является независимой, то мы повторяем приведенные рассуждения
до тех пор, пока не придем к независимой подсистеме. Преиму-
щество рассмотрения линейно независимых базисов {у1, ..., yz} в V
состоит в том, что в этом случае каждое х из V единственным
образом представимо в виде

4 » 1

Здесь мы можем говорить о единственных скалярах az, как о коор-
динатах вектора х относительно базиса {у1, .... yz}.

Приведем без доказательства несколько важных фактов относи-
тельно базисов. Каждое нетривиальное подпространство V\ из Еп
имеет базис, и каждый базис подпространства V\ содержит одно и
то же число элементов; это число называется размерностью подпро-
странства (обозначение dim УД Если	то dimV1 = 0. Если

V\ Ф Еп (в этом случае подпространство называется собственным),
то каждый базис {х1, х2, ...» х*} подпространства V\ может быть
дополнен до базиса {х1, х2, .... х*, у1.....yz} пространства Еп

(таким образом, V\ имеет размерность k < и, — dim Еп). Любая ли-
нейно независимая подсистема, будучи базисом своей линейной обо-
лочки, также может быть дополнена таким образом. Поэтому любая
линейно независимая подсистема в Еп из п элементов уже является
в Еп базисом. Следует заметить, что как векторное пространство,
по существу, есть Ekt вложенное в Еп, ибо при однооднозначном
отображении

k
(«1. «2...

i»1

(az — скаляры) Ek на V\ все суммы и произведения на скаляр соот-
ветствуют друг другу.

Базис в Еп или Un называется ортонормальным, если

, i (	* ¥= У»

(у’у,=(1.

т. е. если различные элементы базиса ортогональны и каждый из
них имеет длину 1. Компоненты произвольного вектора из линейной
оболочки системы {у1, .... у*} относительно ортонормального базиса
этой системы вычисляются с помощью скалярного произведения:

k

x=S(x. yZ)yZ.

1*1
так как разность обеих частей ортогональна каждому у1 и, следо-
вательно, ортогональна самой себе. Каждое подпространство Еп
(или Un) имеет ортонормальный базис.

Если и V2 — подпространства V и

V = Vj + V2={x + y|x€Vj, у£V2},

причем V1nVr2={0}, то V есть прямая сумма VT и V2 (обо-
значение: V — Vx © V2). В этом случае каждый вектор z £ V
единственным образом представим в виде z = x-[-y^ где x£Vj,
y£V2, ибо х4-у = х,4-у/ означает, что вектор х — х' = у'— у
содержится как в Vx, так и в V2 и, следовательно, равен 0. Поэтому
если {х1, ..., х*} является базисом Vx, а {у1, ..., ут} базисом V2,
то

{х1, .... Xй, у1....ут}

будет базисом V, так как эта система, очевидно, порождает V.
В то же время, если	= или = — 25;УУ-

то каждая из сумм равна 0 и, следовательно, все числа и 8у
равны нулю.

Для любого подпространства V из Еп (или Un) множество

V1= {х|(х, у) = 0 для y£V}

называется ортогональным дополнением V. Ясно, что V-1-
является подпространством и Еп = V кроме того, V1-1-==
= (V-1-)-1- = V. Так как очевидно, что dim (Vj © V2) = dim Vx 4~ dim V2,
to dimVJ- = n — dimV.

упражнения

1.	Показать, что в пространстве (см. упр. 1, п. А. 1) полиномы
1, tn~x составляют базис; показать также, что имеет размерность л.

2.	Доказать, что элементы 1 и i образуют ортогональный базис про-
странства С (см. упр. 2, п. А. 1) и что, таким образом, С двумерно.

3.	Доказать, что любое непустое собственное подпространство простран-
ства Е3 соответствует прямой или плоскости, проходящей через начало
координат, а его ортогональное дополнение представляет собой перпендику-
лярную плоскость (или соответственно прямую), также проходящую через
начало координат.

4.	Пусть а — ненулевой вектор в пространстве Ел. Пусть Н = {х | х С Еп>
(х, а) = 0}. Показать, что множество Н (называемое гиперплоскостью) есть
подпространство Ел, и найти его размерность.

5.	Найти ортогональный базис пространства р2 и выразить полиномы
1 и t через этот базис.

А.З. Линейные преобразования, матрицы и линейные уравне-
ния. Линейное преобразование Т, отображающее Еп в Ет, есть
функция с областью задания Еп и областью значений Ет, которая
сохраняет суммы и умножения на скаляры:
Т(х + У) = Тх + Ту и Т(ах) = аТх. Очевидно, что Т0 = 0, так
как ТО — Т (0+ 0) = Т0 + ТО. Аналогично Т (х — у) = Тх — Ту,
ибо

Т(х - у)+ Ту = Т(х — у + у) = Тх.

Ядро преобразования Т, (Т) = (х | Тх = 0}, является под-
пространством Еп (т. е. из х, у £ (ДР (Т) следует ах + ?У €	(Т)

для любых скаляров а и (3). оДР (Т) может выродиться в тривиальное
подпространство {0}. Если преобразование Т однозначно, то такое
вырождение всегда имеет место; обратно, равенства J\P(T)= {0} или
dimJ\P(T) = 0 эквивалентны тому, что Т является однозначным пре-
образованием. Аналогично образ Еп при преобразовании Т, т. е.
множество еЯ(Т)= {Тх | х£Еп], также является подпространством Ет,
причем

(Пт(ЛГ(Т)-г- dimcR(T) = n.	(А. 3.1)

Докажем последнее равенство. Если выбрать базис оАР(Т)

{х1, . . ., х*}

и расширить его до базиса {х1, .. ., xft, yft+1, . . ., ул} пространства Еп,
то, поскольку V является линейной оболочкой векторов {yft+1, . . ., ул},
Еп ==оЛР(Т)© V. Нам остается проверить, что <АР(Т) П У = (0). Но
из того, что z £ сАГ (Т) Г1 У, следует

Л	п

z=2azx'= 2
/=1	j = k\l

Далее, векторы {х1, .... х*. yft+1, ..., ул} линейно независимы:
поэтому все числа az, pz равны 0 и z = 0. Но образ произвольного
элемента 2 azx* 2 Р/У7 € есть Т	РуТуА и, следова-

тельно, векторы [Tyft+1, ..., Тул} порождают cR(T). С другой сто-
роны, это множество линейно независимо, так как из равенства
2(Р/Гу-/)=0 следует Т(2Р/У7)=0, что означает2Р;У7 € о№(Т) Г1 V={0}
и, следовательно, все = 0. Таким образом, dimeR(T) = n — k, и
требуемое доказано. Заметим, что У определяется неоднозначно.

Как следствие получаем, что dimcR(T)^n, причем знак равенства
имеет место тогда и только тогда, когда Т — однооднозначное преоб-
разование. Таким образом, если т = п) то преобразование Т ото-
бражает Еп на себя в том и только в том случае, когда это пре-
образование однооднозначно.
Матрицы. Прямоугольная таблица чисел

			а\\	а12 • «	• а1п
			а21	#22 • •	• а2п
А =	ИМ	—	*		.
			ат1	ат2 • *	' • атп

называется матрицей (в данном случае т X n-матрицей, т — строч-
ной, п — столбцовой) с элементами а^. Если т = п, то матрица назы-
вается квадратной.

Матрица А определяет линейное преобразование Т пространства
Еп в Ет. Именно

/я	п	п

Т (Хр х2» • • •»	~ ( 2 S a2jXj* • • •• 2 amjX j

Обратно, если мы выберем в Еп ортонормальный базис {е1, ..., ея},
а в Ет ортонормальный базис {f1....... fm),	то каждое линейное

преобразование Т может быть так получено. В самом деле, Т опре-
деляется своими значениями на множестве всех е7, так как

а Те^ можно представить в виде суммы

т

2 aij^

4=1 J

при некоторых однозначно определяемых скалярах а1;-, а2у, ..., amj.
Таким образом, мы имеем

п / tn \ п т	т / п	\

Тх = 2 Xj( 5 М* =2 2 х}ач{1 =5(2 ачХ) )fz,
/-1	У\/=1	/	/=1 4=1 J J 4 = 1 \/=1 V

и компоненты Тх получаются, как и раньше, из матрицы А. Кроме
того, ясно, что мы можем вместо {е1, ..., ел) и {f1, ..., fm} рас-
сматривать любые другие фиксированные упорядоченные базисы
в Еп и Ет. Это дает однооднозначное соответствие между линейными
отображениями Еп в Ет, с одной стороны, и т X ^-ма-
трицами— с другой. Это соответствие будет, конечно, зависеть
в большой мере от выбранных базисов (и от их индексации). Однако,
рассматривая матрицу, как преобразование, мы всегда будем иметь
в виду наше начальное соответствие.
748

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МАТРИЦЫ

Для линейных преобразований Т и S, отображающих Еп на Ет,
можно определить сумму Т + S, как такое линейное преобразование,
для которого (T + S)(x) = Tx + Sx. Аналогично образ элемента х
в преобразовании сТ (с — скаляр) определяется как (сТ) х = с (Тх).
Очевидно, что одноименные операции над матрицами сводятся к сло-
жению соответствующих элементов или умножению их на скаляр:

aii + ^ii

а21 + ^21

а12+^12 •••

а22 + ^22 • • •

атп2-\-Ьт2 • • •

Мы видим, таким образом, что все т X /^-матрицы образуют век-
торное пространство с очевидным базисом е/;- (i = 1.т\ j = 1,..., п),

где е/;-— матрица, все элементы которой равны 0, за исключением
элемента, стоящего на Zy-м месте, который равен единице. Это про-
странство имеет размерность тп.

Если Т отображает Еп в Ет, a S отображает Ет в Е1, то мы
можем составить преобразование ST, отображающее Еп в Е1. Точнее
говоря, будем полагать ST(x) = S(Tx). Линейное преобразование ST
называется произведением преобразований S и Т. Легко вычислить
матрицу, соответствующую этому произведению. Если преобразова-
нию S соответствует / X /n-матрица А, а преобразованию Т — т X п-ма-
трица В, то АВ есть I X n-матрица, у которой /у-й элемент равен

т

3	0=Ь •••» У=1» •••» #)•

Если рассматривать элементы пространства Ent как п X 1-матрицы

*1

х2
(вектор-столбцы), то вычисление компонент Тх (где Т соответствует

откуда образы элементов изЕт получаются как т X 1-вектор-столбцы.
Получающийся вектор-столбец можно также представить в виде

так что размерностью еЯ(Т), называемой рангом Т (или В), является
число линейно независимых столбцов матрицы В (рассматри-
ваемых, как векторные элементы пространства Ет). Ранг можно по-
лучить при помощи исключения зависимых столбцов или с помощью
вычисления определителей. Ранг равен k, если после исключения
линейно зависимых строк и столбцов В наибольшая квадратная под-
матрица с ненулевым определителем имеет размеры k X

Наконец, линейное преобразование Еп в Е1 (последнее пространство
мы можем рассматривать как вещественную ось) называется линей-
ным функционалом. Как мы уже видели, этот функционал задается
[относительно базисов {е1, ..., ел} и {f1}, где f1 = (l)] с помощью
1 X n-матрицы и в произвольной точке (хр . . хп) принимает зна-
чение с1х1 + ^2Х2 + • • • + спхп (скаляры фиксированы). Таким
образом, каждый линейный функционал можно получить как ска-
лярное произведение. Он отображает х в (х, у) при некотором
фиксированном у£Еп.

Линейные уравнения. Описанное соответствие между матрицами
и линейными преобразованиями можно применить к исследованию
систем линейных уравнений. Рассмотрим следующую систему т урав-
нений с п неизвестными (вещественными или комплексными числами):
4111^ + ^2X2+ ••• -\-a\nxn = cv
а21Х1+ а22Х2~\~ ••• а2пХп~ С2’

(А. 3.2)

amlxl 4“ ат2х2~^~ ••• ~\~атпХп— ст'
Решение этой системы эквивалентно нахождению точки х = (xv . . ., хп)
в Еп, отображающейся в точку с = (ср ...» ст) пространства Ет.
Решение для любого с можно получить тогда и только тогда, когда
ранг матрицы А=||а/;.|| равен т,	4

Если все cz = 0, то система называется однородной (в противном
случае — неоднородной) и имеет тривиальное решение (0, 0, ..., 0).
Однородная система имеет нетривиальные решения, если <ЛР (А) =£ {0}.
Если п > т (т. е. если неизвестных больше, чем уравнений), то
нетривиальное решение обязательно существует, ибо в противном
случае окажется, что dimcR(A) = n, что превосходит размерность Ет,
в то время как cR (А)сЕсли п — т, то система (А. 3.2) разрешима
при любом с тогда и только тогда, когда каждое решение единст-
венно. Для этого достаточно, чтобы система имела единственное
решение для случая с = 0. Это равносильно утверждению, что А
отображает Еп на себя тогда и только тогда, когда оЛГ(А) = {0}.

Преобразование Еп в Еп. Пусть L(En) — множество всех линей-
ных преобразований Т, отображающих Еп в Еп. Если S, Т^А(5Л),
то преобразования S-f-T, ST и сТ также принадлежат L(En), так
что Е(Еп) образует векторное пространство с (некоммутативным)
ассоциативным и дистрибутивным умножением. Нулевой элемент Ь(ЕЛ)
отображает каждый х в 0. Для тождественного преобразования I,
отображающего любое х в х, имеет место TI = IT = Т. В терминах
матриц гулевое преобразование соответствует матрице, все элементы
которой нули, а

1 0 ... 0

0 1 ... 0

0 0 ... 1

(единицы стоят здесь на главной диагонали). Мы знаем, что Т является
однооднозначным преобразованием тогда и только тогда, когда Т
есть преобразование „на“. В этом случае обратное преобразование Т-1
(для которого областью определения является все пространство Еп)
также линейно и принадлежит L(En), Равенство Т-1у = х эквива-
лентно, по определению, у = Тх, Однооднозначными преобразованиями
L(En) являются те, которые обладают мультипликативно обратными
преобразованиями Т-1:
Эти преобразования называются невырожденными или об ратимыми\
все остальные преобразования называются вырожденными1). Ана-
логичная терминология применима и к матрицам. В частности, ма-
трица А называется невырожденной, если для некоторой матрицы
АВ = 1 (или ВА = 1)(ибо матрица А, рассматриваемая как линейное
преобразование, не может понижать размерность и поэтому является
однооднозначным отображением „на"). Матрица В при этом, конечно,
является (единственной) обратной матрицей и может быть обозначена
как А”1, причем

п

2 aLjbjk = 0 при I =£ k.
j = i

Если матрица А — вырожденная, то можно найти числа хр х2, ..

не все равные нулю, для которых А(хр . .., хя) = (0, ..., 0).

Заметим, наконец, что произведение невырожденных матриц (пре-
образований) также невырожденно: (ST) • (T-1S~1) = T~1S-1 • ST = I.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Пусть в пространстве Е2 с базисом {е1, е2} преобразование А0 озна-
чает поворот всех точек вокруг начала координат на угол 0 против часовой
стрелки. Показать, что матрица Aq имеет вид

cos 0 sin 0
— sin 0 cos 0

Показать далее, что A0j+02 = А01А02 и А^-1 = А_0.

2.	Показать, что в пространстве ffin интеграл

ь
f P<t)dt
а

является линейным функционалом; представить его в виде (q, р), где q — не-
который элемент из а скобки ( ) означают скалярное произведение,
определенное в упр. 1, п. А. 1.

3.	Определим в пространстве ffin с базисом {1, Z, Z2,	линейное

преобразование Аа (k> 1), положив

dk

Ае=

1) В оригинале вырожденные отображения называются сингулярными. —

Прим, перев.
Проверить, что Ад — вырожденное преобразование, а

О ... О -щ-	0	...... О

о........ о	о ... о

О	(я —1)!

.............................   (л	— k— 1)!

* /

о............................... о

— его матричное представление в указанном базисе.

Показать попутно, что 5? (Ад) есть линейная оболочка векторов {tn~\
tn~k+\ .' /д-i}, а су — линейная оболочка векторов {1, t, ...,

А.4. Собственные значения. Собственные векторы. Канониче-
ская форма Жордана. Если для некоторого X матрица Т—XI вы-
рожденная, то такое X называется собственным числом или соб-
ственным значением Т. Этому числу X соответствует некоторый
вектор х =^= О, такой, что (Т—Х1)х = 0, или, что то же самое,
Тх = Хх. Вектор х называется собственным вектором матрицы Т,
соответствующим собственному значению X.

Каждое преобразование Т£А(£/Л) имеет собственные значения и,
следовательно, собственные векторы. Соответствующее утверждение
для L(En), если требовать вещественности числа X, уже не имеет
места. Однако любая вещественная матрица может также считаться
элементом L(Un) и тем самым иметь комплексные собственные зна-
чения и собственные векторы с комплексными компонентами.

Существование собственных чисел устанавливается следующим
образом. Заметим, что пространство L(Un) л2-мерно, и потому
n2+ 1 элементов I, Т, Т2......Тп2 должны быть линейно зависи-

мыми; следовательно, можно найти такие не все равные нулю числа
а0,	• • •» tintt чо йд! —|— ajT -j— a^V^ —|— . . . —|-	== 0. Соответ-

ствующий полином p(z) = aQ-\-axz~\- ... 4» an2Zn2 по основной тео-
реме алгебры можно представить в виде

Р («) = П (z — М-
i = 1

Так как тождественное равенство полиномов означает, что коэффи-
циенты р (при степенях z) можно получить путем выполнения умно-
жения в правой части и те же самые коэффициенты (при степенях Т)
получаются в результате вычисления произведения

П(Т-М).

4=1
мы имеем

k

П (Т - xzl) = а01+ а,Т + ... +	= р (Т) = 0.

1 = 1

Следовательно, одно из Т — XZI должно быть вырожденным.

При любом базисе {у1, ул} пространства Un, записав

п

х=

1 = 1

и аналогично выразив Тх через базис {у1...ул}, мы можем пред-

ставить Т в виде матрицу А, отображающей вектор (хр хп)
в вектор с компонентами Тх относительно этого базиса. При под-

ходящем выборе базиса матрица А принимает жорданову

канона-

ческую форму*.

0

0

0 0 АЛ

где нули означают соответствующие прямоугольные матрицы с нуле-
выми элементами, a Az— квадратные матрицы, которые могут быть
записаны (в так называемой блок-диагональной форме) с помощью
диагональных блоков („ящиков") вида

К

1

0

1

0 ... 0
о ... о
xz ... о

о о 0 ... Xz

(на главной диагонали стоят Хр под ней единицы, а на остальных
местах нули). Эти же Xz появляется в остальных подматрицах Az, но
при I =/= j Xz =£ Ху, а Хр ..., ХА составляют множество всех собствен-
ных чисел преобразования Т. Описанное разложение А на блоки
имеет следующий смысл: любой вектор линейной оболочки элементов
базиса

|у< / '....

48 Зак. 1739
соответствующих блоку В, отображается в вектор того же подпро-
странства. В этом подпространстве Т действует как сумма двух
простых преобразований: преобразования, отображающего х в Xzx,
и преобразования, отображающего yj в y^’ + 1, у^’ + 1 в у-/+2, .... у*-1
в уй, у* в 0 (таким образом, Т—XJ сводится к последнему преоб-
разованию на подпространство). Фактически мы имеем дело с раз-
ложением Еп в прямую сумму подпространств, и на каждом из них Т
имеет довольно простой вид. Во многих важных случаях блок В
имеет размеры 1X1, так что матрица А принимает чисто диаго-
нальную форму:

Xj 0 ... О

О Х2 ... О

о о х„

где уже не все Xz должны быть различными. Собственные векторы
преобразования Т порождают пространство Un. Если Т имеет и
различных собственных значений, то, очевидно, каждый блок В имеет
размеры 1 X 1, а матрица А — диагональную форму.

Выясним теперь строение базиса {у1, ...,ул]. Рассмотрим с этой
целью для вырожденного преобразования S из L(Un) (или из L(En))
последовательность оЛГ*(S), оАГ*(S2). Очевидно, оЛГ*(S) с сАР (S2) с . . ., и
так как собственные подпространства имеют размерности, меньшие
чем размерность пространства, должно существовать такое k^nt
что

o!f (8)5^(82)5 ... 5<Ar(sft) = c/f(Sft+l).

Тогда oty’(Sft) = oV’(Sft+;) для всех у^О. Действительно, поскольку
ojy>(Sft) = oW,(Sft+1)> из соотношения S*+1x = 0 следует, что Sftx = 0.
Поэтому равенства Sft+/x = 0 = Sft+1 (S^x) влекут Sft (S^-1x) =
_ Sft+/~’х = о, откуда в свою очередь следует, что Sft+7-1x =
= S*+y'2x= ... =S*x = 0.

Согласно соотношению для размерностей (А.3.1), мы имеем

&(S)?&(S2)? ... ?&(sft) = &(sft+1)= ....

Таким образом, отображение S, рассматриваемое только Ha£R(Sft),
будучи отображением „на“, является однооднозначным. Но поскольку
отображение S* однооднозначно, мы имеем сАГ (S*)nSl (S*)= {0}.
Если {х1, ..., xz}—базис пространства «АГ(Sft), а {у1, ..., у™} —
базис eR(S*), то в силу равенства (А.3.1)	= Объединение
{х1, .. ., xz; у1, . .., у'”} этих базисов образует базис пространства Un,
причем Un =	(S*) © eR (S*). Относительно этого базиса S будет

иметь матричную структуру вида

/А 0\

\0 В/ ,

где А — I X /-матрица, а В — (п — Z) X (я— /)-матрица.

Предположим теперь, что Т — произвольный элемент простран-
ства L(Un). Мы знаем, что для Т существует собственное значение Х^
следовательно, мы можем взять S = T — XJ и положить

^ = ^[(1 —XJ)*1],

где kx — значение А, полученное выше для S. Соответственно eRj =
= еЯ[(Т — XJ)*1]. Мы имеем =±	© еИр причем (Т — XJ)x при*

надлежит или eRp смотря по тому, принадлежит х подпростран-
ству или подпространству еЯР Так как XjX находится в том же
подпространстве, что и х, то Тх^о№р если x£dVp и Tx£eRp
если х £ eRP Пусть преобразование Тр переводящее 3^ в себя,
есть Т, рассматриваемое на подпространстве §1Р Так как мы можем
отождествить 5^ с некоторым Um, отображение Tj имеет собствен-
ное значение Х2, так что Tx = TjX = X2x для некоторого ненулевого
x£eRP Поскольку (Т — Xjl) х 0 (ибо Т — XJ — однооднозначное
отображение на себя), мы заключаем, что Х2 ХР Определяя по-
добным же образом еДГ2 и еЯ2, мы получим 5^ ==<ЛЛ2ф aR2 (следо-
вательно, Un = оМ\ © Jf2 © еЯ2) и

Tq№2 = T1Q№2 = [TjX | х © оЛГ2} <= сЛГ2, ТЖ2 с §12.

Продолжая этот процесс далее, мы получим Un = $\ © . .. ©<ЛГг и
такую последовательность собственных значений Хр ..., Хг, что
(T-XzI)fe/x = 0 для всех х£оЯ\ и некоторого	Выбирая

в пространстве Un произвольный базис, образованный объединением
базисов всех <№р представим матрицу А в блок-диагональной форме,
ибо это равносильно тому, что ToATz с:	Дальнейшее разложение

на подблоки требует более тонких рассмотрений. Заметим лишь, что
если мы выберем из элемент хр для которого (Т — Xjl)*1-1 Xj =£ О
(т. е. элемент оАГ [(Т—Xjl)*1], который не принадлежит [(Т—Xj/1"1];
такой элемент Xj существует согласно выбору то для S = Т— XJ
элементы хр Sxj......независимы. В самом деле, если

+	... +U_iSftl-1xi = 0,

то, применяя преобразование Sfe1-1, мы получаем YjS^^Xj = 0 и,
следовательно, у1 = 0; затем, применяя последовательно преобразо-
756

ПРИЛОЖЕНИЕ А. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МАТРИЦЫ
--:------------------Й______:___________________

вания S*’~2, S*1-3, мы получим у2 = у3 = ••• =0- Эти векторы
не обязательно составляют базис <№р но можно показать, что суще-
ствует такое конечное множество хр х2, .... что векторы

хр SXj......Sftl“’xp х2, Sx2.....S/s-1x2; х3, Sx3.......

уже образуют базис о№р где S^x2 = 0, S;’x3 = 0..........J2^kv

/з==А И т. д.»)

Легко видеть, что на линейной оболочке Уо векторов хР Sxp ...
..., Sft,1X] мы можем преобразование S представить в виде матрицы

00 ... 00

1 0 ... 0 0

01 ... 00

0 0 ... 1 0

Следовательно, на Уо
Xj 0 ... 0

т = XJ + s -

о
о

о

1

О 0 ... Xj

Ясно, что каждый такой подблок нашей окончательной матрицы А
дает ровно один собственный вектор (здесь S*|_1Xj). Подобное
утверждение применимо и к линейной оболочке элементов

х2, Sx2....S',2~1x2 и т. д.

Число соответствующих Xj собственных векторов, полученных
таким образом, называется геометрической кратностью собствен-
ного числа Хр Это число в точности равно размерности подпростран-
ства, порожденного собственными векторами, соответствующими Хр
Так как Т осуществляет отображения

Xi-> XjXjSxp

Sxj -> XjSxj + S2Xp

S*'~ \ -> X1sftl^2x1 + S^’xp

S^’x^X^'-’xp

9 В целях сохранения в этом месте связности изложения доказательство
этого утверждения помещено в конце настоящего пункта (стр. 758).
то отображение Т — XI переводит

X1->(X1 — х) Xi + Sxj.

Sxj -> (Xj — X) SXj + S2Xj,

Sftl-2Xj ->(Xj — X)Sftl-2Xj + S*l-1x1(

Sft,-1Xj->(Xj — X)S*,_1Xj.

Следовательно, если X =/= Xp то сЯ(Т — XI) содержит Sftl-1Xj, а по-
тому и S*‘-2Xj и, таким образом, все элементы, порождающие Уо.
Поэтому для любого X =£ Xz и всех I преобразование Т — XI отобра-
жает VQ на себя и qJ\Tzc:cR(T— XI). Отсюда следует, что Т — XI
также есть отображение „на“, и обращение Т — XI”1 существует. Та-
ким образом, Хх......\k есть полный набор собственных чисел Т.

Заметим, наконец, что если So — единственное линейное преоб-
разование, отображающее ef на yz, т. е. если

(п	\ п

2'Г<е/)= 2ъУ*>
1 = 1	/	i = l

то для z = (Tj, т2, .... 7П) мы имеем
п / п.	\

TSoz= 2(^2 Л/Ду) у'-

Поэтому (так как So, будучи отображением „на“, невырождено)
п / п. \

So-1TSoz = 2 (2j]й1 (So-1yz = е‘).

Таким образом, если относительно базиса {е1....еЛ} преобразова-

ние Т соответствует матрице В, а преобразования So, So"1 — матри-
цам С, С"1, то мы имеем С“1ВС = А, или, что то же самое, В =
= С(С”1ВС)С”1 = САС”1. Две матрицы А и В, для которых най-
дется такая матрица С, что В = САС”1, называются подобными. Сле-
довательно, любая матрица подобна некоторой матрице, имеющей
(блок-диагональную) жорданову форму. Две матрицы А и В по-
добны тогда и только тогда, когда их канонические жордановы
формы отличаются друг от друга только порядком блоков и под-
блоков.

Перейдем теперь к формальному доказательству предложения,
сформулированного на стр. 756..
(а)	Предположим, что нам дана линейно независимая система век-
торов пространства

хр Sxp .... S^Xp

х2, Sx2, S72-1x2,

xr, Sxr.........

где kx = jx^j2^ ., . ^jr и S7zxz —0 (Z= 1, 2.r).

(б)	Предположим далее, что для каждого /==1,2,..., г не
существует такого х, что 8Л1х = 0, а векторы х, Sx.S?zx вме-

сте с первыми I—1 строками векторов из (а) линейно независимы.
Тогда либо векторы из (а) образуют базис о)У\, либо эту систему
можно пополнить так, что она будет составлять базис, и условия
(а) и (б) будут выполнены.

Доказательство. Пусть /г+1 — наибольшее из чисел, обла-
дающих тем свойством, что S*‘xr+1 = 0 для некоторого хг+1, а хг+1,
Sxr+p ..., S7r+1-1xr+1 вместе с векторами из (а) линейно незави-
симы. Тогда, так как по определению уг+1^/г, из соотношения
S7/’+1xr+1 == 0 следует требуемое утверждение.

Предположим теперь, что

О S7r+1xr+1 = 2 a/S^x^,

где все а, =/= 0 и	. . . Очевидно, мы должны для всех I

иметь	В самом деле, в противном случае мы могли бы по-

следовательно умножить обе части несколько раз на S, подставить
в приведенное выше равенство справа S^r+1xr+1 и получить, что
S^+1+rxr+1 =# 0 для всех r = 0, 1, 2, ... (так как az =£ 0). Это,
однако, противоречит тому, что S*‘xr+1 = 0. Если vT ^Jr+i — 1» то
Л + 1 + Рт—vi—Но векторы

S>r+i^i -^1" 1xr+1 = аХ'-Ч.Н- . . .,

хг+Р Sxr+1.....S7r+1+P’1"z'1"2xr+1 и первые —1 строк векторов

в (а) независимы, что противоречит (б). Следовательно, S?r+1Xr+i
имеет представление S^^+’x^y = S7r+1 (2azSV1 Xp.z), где все |iz г.
Поэтому вектор xr+i — 2arSV/X|i, удовлетворяет всем необходимым
требованиям.
Случай различных собственных чисел. Если матрица В имеет п
различных собственных чисел, то она подобна некоторой диагональ-
ной матрице А, заданной в канонической форме: С”1ВС = А. В этом
случае матрица С может быть построена непосредственно из собствен-
ных векторов матрицы В (эти векторы образуют базис {у1.....у"},

о котором говорилось в предшествующем пункте). Действительно,
если Byz = X.yf, a yz = (yz, yz...у^, то, записав у*, как вектор-

столбец, мы имеем

откуда сразу следует

^11	^12 ’ •	• \п	у} У1 •	•• У"	
^21	^22 ‘ •	 &2п	У-2 У2 •	•• У 2	=
	&п2 ' '	 ьпп	УпУ2п ••	• Уп	
	У} У? •	у?	xt 0 ..	.. 0	
=	У'2 У2 •	•• у"2	о х2. .	.. 0	
	У'пУп •	•• Уп	0 0..	.. х„	•

Так как матрица Y = ||yz. || отображает базисные вектор-столбцы
(1, 0.....0), (0, 1, 0, ..., 0), ... соответственно на у1, у2....

то она отображает пространство Un на себя. Следовательно, суще-
ствует обратное отображение Y-1 и Y-1BY = A, где А обозначает
указанную диагональную матрицу из собственных значений.

упражнения

1.	Найти жорданову форму матриц
2.	Довольно часто приходится иметь дело с квадратными матрицами,
все элементы которых неотрицательны, а сумма элементов каждой строки
равна 1 !). Показать, что для матрицы такого типа 1 является собственным
числом, что вообще все ее собственные числа по модулю не превосходят 1
и что кратность собственного числа 1 равна 1, т. е. что ядра отображений
А — I и (А — I)2 совпадают.

3.	Построить п X п-матрицу А с различными собственными числами,
для которой Ал = I.

4.	Отношение эквивалентности для преобразований удовлетворяет, по
определению, следующим трем условиям:

(1)	любое преобразование эквивалентно самому себе;

(2)	если А эквивалентно В, то В эквивалентно А;

(3)	если А эквивалентно В и В эквивалентно С, то А эквивалентно С.
Доказать, что отношение подобия матриц является эквивалентным.

5.	Пусть в пространстве Е3 с базисом е1, е2, е3 дан фиксированный
вектор а, для которого (а, а) = 1. Рассмотрим гиперплоскость Н =
= {х | (а, х) = 0). Ортогональной проекцией некоторого вектора у' на гипер-
плоскость Н называется такой вектор y'cz// (очевидно, единственный),
что у'= у— аа для некоторого скаляра а. Определим преобразование
Ру = у'. Тогда Ру = у — (у, а) и 5? (Р) = Н. Ядром Р является пространство,
натянутое на вектор а. Собственные числа Р равны 0 и 1, а жорданова
форма имеет вид

ООО

0 10.

0 0 1

Проверить все эти утверждения.

А. 5. Транспонированные, нормальные и эрмитовы матрицы;
ортогональные дополнения. Если А — (произвольная) комплексная
т X n-матрица, то сопряженной транспонированной матрицей
к матрице А называется п X /n-матрица А* с элементами

(Z=l, ..., п; 7=1, ...» т).

Очевидно, (А4”ТВ)* = А*4”ТВ* и (если произведение АВ имеет
смысл) (АВ)* = В*А*. Для x£Un и y£Um

(Ах, У)=2 2 ai)xpi = 2 х} % аИУ1 = (х, А*у).
i= 1 j = 1	7 = 1 f = l

Как следствие, получаем, что eft(A) ортогонально (А*), т. е.
(Ах, у) = 0, если А*у = 0. Действительно, (Ах, у) = 0 для всех х
тогда и только тогда, когда А*у = 0. Следовательно, если мы обо-
значим через ей (А)-1- множество всех элементов Um, ортогональных
подпространству сЙ(А), то сможем написать ей (А)1 — оДГ (А*). Ана-
логично eft (А*)-1-= о/f (А). Подпространство сй(А)^ называется орто-
гональным дополнением ей (А). Ортогональным дополнением любого

*) Ввиду большой роли, которую матрицы такого рода играют в теории
вероятностей, они называются стохастическими. — Прим. ред.
подмножества Un всегда является подпространство. Если V есть под-
пространство, то легко показать, что =	= Если МЫ

имеем дело с вещественным векторным пространством Еп, то сопря-
женная транспонированная матрица оказывается просто транспониро-
ванной матрицей Аг (т. _е. получаемой из А переменой ролей строк
и столбцов). При этом все описанные выше свойства матрицы Аг
и пространств оДГ(Аг) и еЯ(Аг)^ сохраняются.

Квадратная п X n-матрица А называется нормальной, если
А*А = АА* (в общем случае А*А есть п X n-матрица, а АА* — mXnz-
матрица). Одним из видов нормальных матриц являются эрмитовы
матрицы: матрица А называется эрмитовой, если А = А* (вещест-
венные эрмитовы матрицы называются симметричными; А = АГ). Так
как (АВ)* = В*А* и, очевидно, А** = А, то для каждой п X n-ма-
трицы А матрица АА* (или А*А) является, эрмитовой.

Нормальные матрицы по сравнению с обычными матрицами обла-
дают рядом весьма тонких свойств. Как мы увидим, собственные
векторы нормальной матрицы А порождают Un, а собствен-
ные векторы, соответствующие различным собственным числам,
ортогональны-, поэтому из собственных векторов нормальной
матрицы можно составить ортогональный базис для Un',
кроме того, равенство Ах = Хх (х=£0) эквивалентно А*х = Хх.
Это значит, что матрицы А и А* имеют одни и те же собст-
венные векторы и сопряженные собственные числа.

Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что если матрица А
нормальна, то матрица В = А — XI также нормальна. Таким образом,
если Влх = 0, то В* Вл = 0, а так как матрицы В* и В коммути-
руют, (В*В/ х = 0 и тем более (В*В)2\ = 0. Пусть С = В*В — С*.
Тогда

(С2\, х) = 0 =(С2*-1х, С2*"’х)

и, таким образом, С2*”'х = 0; аналогично С2*-2х = 0. Продолжая
эти рассуждения, мы найдем, что Сх = 0 или В*Вх = 0. Но
(В*Вх, х) = 0 = (Вх, Вх), так что Вх = 0. Следовательно, каждый
элемент xz, полученный в нашем жордановом разложении, является
собственным вектором матрицы. Поэтому Un порождается собствен-
ными векторами А. Далее, если Вх = 0, то

(Вх, Вх) = 0 = (В*Вх, х) = (ВВ*х, х) = (В*х, В*х)

и В*х —0. Для матрицы А — XI из равенства Ах = Хх следует
А*х = Хх; применение этого рассуждения к {А*, X) вместо {А, X}
дает обратное утверждение.

Следовательно, если Ах = Хх, Ау = |ху, х, у =# 0 и X =£ р,, то

(Ах, у) = (Хх, у) = Х(х, у) = (х, А*у) = (х, ру) = |х(х,.у).
Отсюда следует (к — [i)(x, у) = 0, поэтому (х, у) = 0, и различные
собственные числа имеют ортогональные собственные векторы. Так
как множества собственных векторов, соответствующих образуют
вместе с 0 подпространство У{, мы можем найти для каждого Yt
ортонормальный базис; очевидно, объединение этих базисов обра-
зует требуемый ортогональный базис пространства Un.

Применяя построение последнего пункта, мы найдем, что
y-1ay=a является диагональной матрицей, причем вектор-столбцы
матрицы Y ортонормальны (будучи нашим базисом, составленным из
ортонормальных собственных векторов). Так как это сводится
к равенствам
п

мы имеем YY* = I и, следовательно, Y~1 = Y*. Такая матрица назы-
вается унитарной, а матрица А называется унитарно-эквивалентной
(иногда унитарно подобной) матрице А. Преобразования, соответ-
ствующие унитарным матрицам, сохраняют величину скалярного
произведения (а тем самым длину векторов и их ортогональность),
ибо (Yx, Yy) = (Y*Yx, у) = (х, у).

Следующим свойством эрмитовых матриц является веществен-
ность всех Xz, ибо равные в этом случае матрицы А и А* имеют
сопряженные собственные числа. Наоборот, любая нормальная ма-
трица с этим свойством является эрмитовой, ибо тогда

А = YA Y* = (YA*Y*)* = (YAY*)* = А*.

Унитарная матрица, очевидно, нормальна, и каждое ее собствен-
ное число по модулю равно 1 (|Х| = 1, так какЦх = Хх имеет ту же
длину, что и х). Обратно, любая нормальная матрица с собственными
числами, равными по модулю единице, является унитарной. Веще-
ственная унитарная матрица называется ортогональной. Любое ее
вещественное собственное число равно ± 1 и имеет собственные
векторы, которые соответствуют либо неподвижным точкам преобра-
зования, либо отображаются в симметричные им относительно начала
координат. (Если п четно, то вещественных собственных чисел может
и не быть.) Ортогональные матрицы также не изменяют углов.

Проекции. Если Un = V , то однозначное представление х
в виде суммы v-|-w (v£V; w£lT) соответствует линейному преоб-
разованию Р, отображающему х в v, причем P2x = Pv = v = Px,
т. е. Р2 = Р. Если V и W — ортогональные подпространства (W7 = V1),
то Р = Р2 = Р*. Наоборот, любое преобразование Р, для которого
Р = Р2 = Р* (такое преобразование называется ортогональной про-
екцией или просто проекцией), приводит к разложению Un в пря-
мую сумму Un = eR(P)-j- оЛГ (Р). Будучи нормальной матрицей,
Р может быть представлена (при соответствующем выборе орто-
гонального базиса) в виде диагональной матрицы с нулями и едини-
цами на главной диагонали и нулями на всех остальных местах.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Истолковать и доказать утверждение о том, что любое ортогональное
преобразование может рассматриваться как вращение осей около фиксиро-
ванно о начала.

2.	Мы определили матрицу А* в зависимости от некоторого фиксиро-
ванного базиса пространства Un, но ее можно определить и непосредственно,
исходя из скалярного произведения. Доказать, что для каждого у С Un
А*у есть единственный вектор у', для которого (Ах, у) = (х, у') при любом
х^ип.

3.	Пусть рп— пространство полиномов с вещественными коэффициентами
на сегменте [a, b], a f (t) — заданный четный полином. Определим на рп
линейное преобразование А:

ь

(Ар) (t) = f f (t —у) р (у) dy.

а

Показать, что А есть симметричное преобразование.

4.	Доказать, что матрица является унитарной тогда и только тогда,
когда она переводит ортогональные векторы в ортогональные.

5.	Пусть А — нормальное преобразование с собственными числами Хь
Х2, ..., Хг (собственные числа кратности, большей /, записаны по одному
разу). Пусть Efc — ортогональная проекция на подпространство собственных
векторов kk. Показать, что если i =# у, то ЕуЕ/ = 0. Показать также, что
Е! + Е2+ ••• + есть ортогональная проекция для всех и что
Е1 + Е2+ ... -j-Er = I.

6.	Тем же методом, что и в упражнении 5, доказать следующее матрич-
ное соотношение:

А = X।Ej —|- Х2Е2 -j- ... —|- ХГЕГ.

А.6. Квадратичные формы. Любое выражение

п

2 dljXiXj,

l,j=l

содержащее п вещественных переменных х2, ...» хп (где a,j—
вещественные постоянные), называется квадратичной формой. Так
как

п

Q(*)= 2 aijxixi='2ii<aij + aji) XiXp

l,j=\

можно вместо первоначально заданных значений а^ рассматривать
симметричные, т. е. а^ = а^. Соответствующая матрица А ста-
новится в этом случае эрмитовым преобразованием Un в себя и
имеет только вещественные собственные числа. Пусть X — одно из
этих чисел; тогда соотношение A(x4-/y) = Mx-Wy) влечет равен-
ства Ах = Хх и Ау = Ху, причем один из этих векторов отличен от
0. Поэтому собственному числу X соответствует собственный вектор
из Еп. Повторяя наши прежние рассуждения в применении к Еп,
мы получаем вещественный ортонормальный базис {у1, у2, ...» ул)
собственных векторов, соответствующих собственным числам Хр
Х2, .. ., Хл.

Далее, матрица Y, которую мы получаем из векторов у1, У2, . . .
.... уп, является вещественной и унитарной (т. е. ортогональной)
матрицей, для которой Y*AY = A(A — диагональная матрица) или
A = YAY*. Следовательно, если мы запишем

п
х=Дх;уг (хС£я).
откуда следует, что

Yx' = 2 x'yz = x,

то окажется Y*x = Y-1x == х\ и мы получим

Q(x) = (Ax, x) = (YAY*x, x) = (AY*x, Y*x) = S Х;(х'г)2-
i = l

Таким образом, выбирая подходящий ортогональный базис, мы можем
представить Q в диагональной форме, т. е. без произведений раз-
личных переменных. Геометрическим местом точек х, удовлетворяю-
щих условию Q(x)=l, будет эллипсоид, если все Xz положительны.
Это имеет место тогда и только тогда, когда форма Q(x) неотри-
цательна при всех х и из условия Q(x) = 0 следует, что х = 0,
т. е. когда Q(x)— положительно определенная квадратичная форма.

Две квадратичные формы Q(x) и Qx(x) называются унитарно
эквивалентными, если одна получается из другой с помощью унитар-
ного преобразования Еп в себя, т. е. если Q(x) = Q1(Ux). (Хотя
в наших рассмотрениях U является ортогональной матрицей, анало-
гичные результаты справедливы и для комплексных квадратичных
форм.) Последнее имеет место тогда и только тогда, когда матрицы А
и Aj унитарно эквивалентны, ибо тогда (Ах, x) = (AjUx, Ux) —
= (U*A1Ux, х), а отсюда A = U*AiU. Таким образом, Q и Qx уни-
тарно эквивалентны тогда и только тогда, когда их диагональные
формы содержат одни и те же собственные числа (одинаковых крат-
ностей, но, возможно, по-разному расположенные).

Если Q—положительно определенная квадратичная форма, то
обычное скалярное произведение можно заменить на

[х, у] = (Ах, у),

где А — соответствующая эрмитова матрица, ибо [х, у] будет иметь
все требуемые от скалярного произведения свойства. Геометрически
это сводится к замене единичной сферы (х, х)=1 на некоторый
эллипсоид. В терминах компонент х'х'.......х'п элемента х относи-

тельно этого базиса новая длина х вычисляется, как обычная длина
вектора ..............V\x'n)-

Новое скалярное произведение, конечно, приведет к новому по-
нятию матрицы, сопряженно-транспонированной А, если требовать,
чтобы сохранялось свойство [Ах, у] = [х, А*у]. Таким образом,
получается аналогичное понятие нормального и эрмитова линей-
ных преобразований относительно нового скалярного произве-
дения. Они, конечно, связаны со старыми посредством очевидного
изменения масштаба (по каждой координате х'.^ которое переводит
новое скалярное произведение в старое.

упражнения

1.	Показать, что для любого вещественного матричного преобразова-
ния А пространства Еп

2 (Ах, у) = (А(х + у), х + у) —(Ах, х) —(Ау, у).

С помощью этого тождества доказать, что если (Ах, х) = (Вх, х) для всех х
из Еп, то А = В.

2.	Доказать, что произведение [х, у], определенное в настоящем пара-
графе, удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Является
ли при этом необходимым, чтобы матрица А была эрмитовой?

3.	Доказать, что из соотношения

п

2 =	+ $2»

г = 1

где Qi и Q2 — квадратичные формы от х = (хь х2, ...» хп) соответственно
ранга г и п — г, следует существование такого ортогонального преобразо-
вания С, что

г	п

Х = Су, (?! = 2Уь <?2= 2 У21-
l-l	l-r+1

4.	Доказать, что если Q — положительно определенная квадратичная
форма, то геометрическим местом таких точек х, что Q (х) постоянно,
является эллипсоид с полуосями, пропорциональными где лг— соб-
ственные числа матрицы А. Любое направление, соответствующее собствен-
ному вектору числа Хг, представляет собой полуось эллипсоида.

А.7. Функции от матриц. Для любой п X n-матрицы А и поли-
нома р = aQ-\-.. . -\-aktk можно без труда составить выра-
жение a0I-f-^iA-f- ... 4-алА* = р(А); таким образом, мы полу-
чаем функцию от матрицы, переводящую матрицу А в матрицу р(А).
Аналогично для надлежащего степенного ряда

7(0 = 2 attl
i~0
соответствующий матричный ряд

/(А) = 1 а.к1
Z=0

(где А° = 1) будет сходиться в том смысле, что сходятся последо-
вательности частных сумм соответствующих элементов, а их пределы
равны тем же элементам /(А). Например, если / — целая функция,
то значение /(А) будет определено для любой квадратной матрицы;
в частности,

г=1+А+-1-А2+....

Если kj...\k — собственные числа матрицы А, то f (k^,. .., f (Xk)—

собственные ‘мела /(А). Действительно, из Ах = кх следует, что
А2х = кАх = к2х, А3х = к3х, ..., и, следовательно, /(А) х =^=/(к) х,
так что каждое значение /(kz) является собственным числом ма-
трицы /(А). Для этой матрицы соответствующими собственными
векторами являются принадлежащие kz собственные векторы матрицы А.
Чтобы убедиться в том, что все собственные числа /(А) могут быть
получены таким путем, рассмотрим жорданову каноническую форму
В-1АВ матрицы А, заметив, что B-1AftB = (B-1AB)ft и, таким обра-
зом, в"7(А)в=/(в_1ав). Вычисление матрицы /(В *АВ) может
быть осуществлено поблочно; значения ее собственных чис^ел выяв-
ляются при этом непосредственно.

Важным частным примером функции от матриц является (kl — А)-1.
Если |к|превосходит модули всех собственных чисел, то формальное
разложение в ряд

(kl— A)_1 = X_1(l— у а)"1 =

„X-(| + |A+iA"+ ...) = Ёу£г
1=0

имеет смысд. Далее, зафиксировав матрицу А, мы можем рассматри-
вать аналитическую функцию комплексной переменной к, сопоста-
вляющую числу к матрицу (kl — А)-1 и определенную для всех
к kj......к$. Эта функция аналитична в том смысле, что при

к =# кр . . ., \k существует производная

(XI — А)"1 = Пт уДу [(Х'1 — А)’1 — (XI — А)-1] = — (XI — А)"2.

Можно применять также интегральную теорему Коши, справедливость
которой устанавливается обычным способом; здесь, однако, мы можем
интерпретировать аналитичность функции как наличие у нее разло-
жения в степенной ряд около к =£ кр к2.кА с матричными коэф-
фициентами. Каждое Xz является полюсом этой функции, ибо если
С = В“1АВ—жорданова каноническая форма, то мы имеем А =

= ВСВ-1 и

XI — A = XI — ВСВ"1 = В(Х1 — С)В-1.

Следовательно, (XI — А) 1 = В (XI — С) *В 1 и достаточно рассмотреть
(XI — С)-1 или (С—XI)-1. Матрица С — XI имеет ту же блочно-
диагональную форму, что и С, а блочно-диагональные матрицы (с бло-
ками одинакового размера) перемножаются поблочно, т. е.

А 0\/С 0\ /АС 0 \

.0 вДо D/ = \ О BD/’

где А и С — k X ^-матрицы, В и D — I X /-матрицы. Поэтому до-
статочно вычислить обратную матрицу для каждого блока

Х; — X О ................................ О

1 X,. — X...................... О

О 1	........ О

О 0	........X

матрицы С — XI. Положив

D = (X/-X)I + E = (X/-X)(l + I-IzrE),

где Е —k X ^-матрица с единицами под главной диагональю и нулями
на остальных местах, и формально разложив D-1b ряд по аналогии
с разложением (1 -|- ^)-1 =1 — х-^-х2 — х3 + . .., мы получим ряд

=a~M'-v^e+)•

который сходится ввиду того, что Е* = 0. Более того, как легко
проверить, по этой же причине его значение, умноженное на

является искомой обратной матрицей. Таким образом, высшая сте-
пень выражения (\— X)*1, в которой оно входит в ряд, равна k,
и D"1 имеет разложение Лорана (с постоянными матричными коэф-
фициентами), соответствующее полюсу порядка k в точке Xz. Следо-
вательно, порядок полюса, который мы имеем в точке X. для матрицы
(XI — С)”1 (или (XI — А)"-1), представляет собой размер наибольшего
блока, отвечающего Xz; напомним, что это есть то наибольшее k, для
которого

# ((XI — А)*] == <r [(XI — A)ft+I].

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Показать, что если АВ = ВА, то гА+в = гАгв.

2.	Найти ряд Лорана для (XI — А)“л и показать, что он сходится,
когда X превосходит по модулю все собственные числа матрицы А. Пока-
зать, что в этих же условиях

~ (XI — А)“л = — и (XI — А)-"-1 .
аК

3.	Пусть Хь Х2, ..., Хг и Ев Е2, • • •» В г (определенные в упр. 5, п. А.5)—
собственные числа и ортогональные проекции, соответствующие нормальной
матрице А. Пусть f (X) — сходящийся степенной ряд. Показать, что

/(А)=2 / (ХУ)ЕУ.

/-1

4.	Показать, что если ряд f (d) = Ао А^ + A2d2 + ... сходится аб-
солютно в некотором интервале, содержащем dQ, то

/' (dQ) = Aj + 2A2d0 + ЗАз402 + ... .

5.	Пусть А — нормальная матрица с ненулевыми собственными числами.
Как определить In А?

А* 8. Определители, миноры, алгебраические дополнения.
Определителем | А| (записываемым иногда как det А) п X ^-матрицы А
называется сумма

2 8 (к) al, п (l)a2, и (2) • • • ап, к (п) — S 8 (тс) % (1), 1ап (2), 2 • • •	(п), п'

п	-ГС

(А. 8.1)

где к пробегает все перестановки {1, 2, ..., п], причем В (и) равно 1,
если к — четная перестановка, и —1, если к нечетная. Перемена
местами любых двух строк (или столбцов) матрицы А приводит
к матрице В, для которой |В| =—|А|, так как в соответствующих
членах выражения (А. 8.1) появляются перестановки противополож-
ной четности. Таким образом, если А имеет две одинаковые строки
(или столбца), то |А|=0. Определитель матрицы, получающейся
после вычеркивания /-й строки и /-го столбца, называется мино-
ром mtj элемента алгебраическое дополнение элемента а^
определяется как Сц = (—1)/+; т^.
Из соотношения (А. 8.1) непосредственно следует, что
п	п

I А| = 2 atkcik — S akjckj	(А- 8.2)

Л=1

для всех /, у. Это так называемые разложения определителя ма-
трицы | А| по строке или столбцу.

Далее, если I =£ у, то
п	п

2 aikcjk = 0=2 akickj,
л=1	k=\

так как эти суммы представляют собой разложения по строке и
столбцу определителя матрицы В с двумя одинаковыми строками
или столбцами. Следовательно, если I =£ у, то

п	п	п

IА | = 2 atkcik — * 5 ajkcik = 3 (.aik — \аJk) с1к,
£=1	£=1	Л=1

так что |А|
ченной из А
Записав |А|

совпадает по значению с определителем матрицы, полу-г
вычитанием у-й строки, умноженной на К, из f-й строки.

в виде

а11	а\2 • • • а1п

а21	#22 • • • а2п

ап\ ап2 • • • апп

мы можем, таким образом, не изменяя значения определителя, из
любой его строки (или столбца) вычесть кратное другой строки (или
столбца).

Пусть

Л’р 4» • • •» ЪА
А .

Vi- А.......Л/

обозначает определитель матрицы, полученной из А в результате
удаления всех строк, кроме /гй, /2“й» •••» и всех столбцов,
угго, у2-го.......уг-го, где </2< ... </г, jl<j2< ... <у\.

Таким образом,

• • • aiiJ'r

(iv h.......'Л	aiii' ...............

\Jv h.......Jr J	•

a‘rh ..........air’r
Определенные так „подопределители" произведения АВ связаны с
„подопределителями" матриц А и В следующим образом:

где сумма распространяется на все {&р k2, .... kr}, удовлетворяю-
щие указанному соотношению.

Из соотношения (А. 8.2) и последующих замечаний ясно, что
если через adj (А) обозначить матрицу, у которой Zy-й элемент равен

^7 = cji

(эта матрица называется присоединенной к А), то А • adj(A) = | А|1 =
= adj (А) А. Таким образом, если |А| ¥= 0, то матрица

wadj(A)

является обратной к А. Но согласно равенству (А. 8.3), | АВ | = | А11В|,
поэтому из существования А 1 вытекает |А|| А 1|=|1| = 1 и
|А| ¥=0. Следовательно, невырожденными являются матрицы,
определители которых отличны от 0.

Пусть В ХАВ — жорданова каноническая форма матрицы А. Из
соотношения |В ХАВ | = | В х| |А| |В| = |А| следует, что определи-
тель |А| есть произведение соответствующих степеней собственных
чисел А. Следовательно, если среди собственных чисел есть 0
(скажем, Xz = 0), то мы можем незначительно изменить Xz так, чтобы
матрица не имела нулевого собственного числа и была бы невырожден-
ной. Соответствующие изменения элементов матрицы А будут малы,
и мы получаем, что каждая вырожденная матрица является
пределом последовательности невырожденных матриц.

Далее, поскольку

| В-1АВ —XI | = | В-1 (А — XI) В | = | А —-XI |,
где В — вышеупомянутая матрица, то
k

|В-1АВ — XI | = П(Хг- Хр.

/ = 1

Таким образом, Xz суть корни уравнения

| А —Х1| = 0,
называемого характеристическим уравнением матрицы А. Крат-
ность Xz, как корня этого уравнения, называется алгебраической
кратностью \ (алгебраическая кратность больше или равна гео-
метрической кратности, которая определяется, как число линейно
независимых собственных векторов, соответствующих X.); она и равна
числу элементов главной диагонали жордановой формы, равных Xz.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Показать, что если (х,, yj
ной плоскости, то соотношение

и (х2, у2) — различные точки веществен-

л у

У1

л2 у2

1

1 =0

1

является уравнением прямой линии, проходящей через эти точки.

2.	Доказать следующее утверждение: дана невырожденная п X ^-ма-
трица А и вектор у из Un. Пусть А/; — матрица, в которой z-й столбец
заменен на у, а все остальные столбцы оставлены без изменения. Тогда реше-
ние системы уравнений Ах = у, где х = (л1} х2, ..., лл), дается формулой1)

М‘у I

(z = 1, ..., ri).

*1

3.	Показать, что если в некоторой матрице все элементы, расположен-
ные выше главной диагонали, равны нулю, то диагональные элементы яв-
ляются собственными числами.

4.	Пусть Хь Х2, ..., ХЛ— собственные числа матрицы А (среди них могут
быть и равные). Найти |(1 — ХА)”1!.

5.	Под | х | мы понимаем (х, х)1^2- Матрица (и соответствующее ей пре-
образование) называется ограниченной на U, если существует такая постоян-
ная К, что || Ах || < К || х || для всех х из U. Точная нижняя грань таких К
называется нормой матрицы А. Доказать, что все матричные преобразования
Un ограничены. Показать, что если А есть предел невырожденных матриц,
то матрица А является вырожденной тогда и только тогда, когда нормы
обратных им матриц неограниченно возрастают.

А. 9. Некоторые тождества. Пусть U — п X n-матрица, все эле-
менты которой равны 1, и пусть u = (l, 1, ..., 1) — n-вектор из U.
В п. 2.4 были использованы следующие тождества, связывающие
определители и присоединенные матрицы для матриц вида A-f-zzU:

| А—|—aU | = | А | a (u, adj (А) и),

и adj (А + яН) = и adj (А),

adj (A -j- #U) и = adj (А) и.

Вычисление (u, adj (А) и) дает здесь

’) Здесь AZy — результат замены в матрице А ее Z-ro столбца на век-
тор у. — Прам. ред.
где — алгебраическое дополнение элемента Если рассматри-
вать |А| как функцию п2 переменных то разложение по строке

п
|А| S ^ik^ik
k = 1

дает д\А\/дац. Таким образом, рассматривая |А —|— tzU| как функ-
цию а, положив а^ = а..-\-а и обозначив алгебраическое допол-
нение а'.. в матрице A+^U через Л'.., мы получим

4/	IJ

П	П

4ia+«ui= 2 iz'iA+"ui£(°b)= 2 А'ч-

da	...uat1	da 4 J/

i, j = 1	i, j = 1

n

Ho 2 Atj * 1 есть, очевидно, разложение по элементам Z-й строки
/ = 1

определителя матрицы, получающейся из А-Дяи заменой Z-й строки
на 1, 1, . . ., 1, т. е. матрицы

а\\ 4“ а ^12 4“ а ••• а\п 4” а

Я/-1,14“Л ^/-1,24”а •••
1 1 ... 1

^4 + 1,14-^	^4 + 1, 2"bfl ••• ai + l,n'^a

anl 4“ a ап2~\~а	• - • апп 4“ a

Мы можем здесь вычесть а раз Z-ю строку из всех других и
получить

(А. 9.1)

/=1	у = 1

Таким образом,

п

ilA + «U|= £ Л,,

I, 7 = 1

и эта производная не зависит от а. Отсюда следует, что | А —aU [
является линейной функцией:

|A+aU| = |Д | + а 1 Аи,

i,j = l

что дает наше первое тождество.
Далее, равенство (А. 9.1) может быть переписано так:

Лц Л12 .. . А\п	1		2		Ли Л12 . . . А\п	1
^21 ^22 • • • А^п.	1	=		=	Л21 Л22 • • . А-2П	1
Ап1 Ап2 • • • Апп	1				Л/21 АП2 . .. Апп	1

что является нашим третьим тождеством. Второе тождество доказы-
вается с помощью аналогичных рассуждений, применяемых на этот
раз к сумме

п

4 = 1

как к разложению определителя по элементам столбца.

Из определения непосредственно следует, что для произвольной
п X /г-матрицы А имеет место соотношение |ХА| = ХЛ|А|.

Следовательно, если матрица А невырождена, то

А_,= 4radj(A)>
и мы имеем

lA I=7aj = | А |" ladj(A>l-

Таким образом, | adj (А)[ = | А |1. Так как это последнее соотно-
шение имеет место для любого предела невырожденных матриц, оно
справедливо и для всех матриц вообще.

Для любой невырожденной матрицы А выполняется соотношение

•Л* У2> • • • * Jп-р

/р /2, . .., 1п_р

71.	•••> jpj~ iA'

p

s

(-I)’-1	, (A. 9.2)

А

Zp Z2, ip

где {/p у', •••’ j'n-p} образуют дополнительное к [y*p y2....jp}

множество индексов столбцов; аналогично определены {/', Z', .... Z'2_p}.
Равенство (А. 9.2) принято называть тождеством Сильвестра.

Рассмотрим случай, когда ix = j\ = 1, Z2=у2=2, . . ., ip — Jp=p,
так что тождество принимает вид

!/1, 2, ...» р\_ 1	р + 2> •••’ п

\1, р......р/	|А| \/?4-	p-j-2, ..., п.

Заметив, что транспонированная матрица имеет тот же определитель,
что и исходная, и обозначив через алгебраическое дополнение
элемента atj, мы получим, что произведение

Ai	^12 •		А, р+1 •••	• • •		а\\	а2\	• • • ап\
Ai	^22 •	• Ар	А, р+1 •••	• • • ^2п		а12	«22	* • / ап2
Ан	^р2 • '	• • Арр	Ар, р+1 • • •	• • * Арп	X	а1р	а2р	• • • ап,р
0	0 .	. . 0	1	0	0		а1,р + 1 а2,р + 1 • • • ап,р + \
0	0 ..	.. 0	0	1	... 0		. . .
0	0	.. 0	0	... 1		а\п а2п	• • • апп
(где	первые	р строк первого		определителя совпадают с соответ-		
ствующими		строками матрицы		adj (А), в	тс	) время как последние

п — р строк имеют единицы на главной диагонали и-нули на всех
остальных местах) равно

|А|	0	............ О 0	... О

О |А|	0............................................

0	...	.		 0	|А|	0	0	
			ар,р+\	ар+\, р+1	йл,р + 1	
^1, р + 2	•••			ар,р+2	^р + 1,р + 2	ал,р+2	
а1, п			Яр, п	Яр+1, п	• • •  = |а|ра(	ап, п  <р+1, .  V>+1..	.., п  .., п

(определитель разложен по первым р строкам). С другой стороны,
если мы разложим (по первым п — р строкам) первый сомножитель
нашего произведения, то получим

С

1. 2,

.Р

1, 2, ..., р

где С = adj (А). Следовательно,

С

1, 2..........р\

1, 2..........р)

=|А|р-*А

Р + 1...

.Р-М....п]
НО

А"=шс

и, таким образом,

1 cf1...........

I А |p V..........PJ

_ 1 />+1....

— IA I AV+1.nJ'

При дальнейшей замене соответствующих строк и столбцов мы
получим (А. 9.2). Если положить С = adj (А), то тождество (А. 9.2)

примет вид

’ 1р _(_П,=1(/’+Л) 1 дР1.jn~p\

•jJ ° и..................U

или

с(';.

\Л...Jpj

<	pl......^п-Р

А	I /'	/'

\Ч....... * п—р,

так как

1	г — А”1
I А | С“А ’

Очевидно, определители

являются обобщенными минорами матрицы А. В частности, //-й
минор А равен

/1, 2... /—1, Z+1.......п\

Av, 2.....7 — 1, /4-1.....nJ'

И

Фиксируем р < п и положим
/1.......................р, /\

=	р 7—р+О»

так что (п— р)(п — р)-система D= образует матрицу. Тогда
справедливо следующее равенство (теорема Сильвестра):

(А. 9.3)
Так как мы рассматриваем только матрицу, полученную из А вычер-
киванием всех строк, кроме 1, 2, ..., р, .......iq1 и всех столб-

цов, кроме 1,2, . . ., р,ур . . ., jq, то мы, не ограничивая общности,
можем предположить, что эта матрица является первоначальной ма-
трицей А, и тем самым доказать тождество в случае, когда q = n,—p:

D

/1,.... р\п-р-'

= А .	|А|.

\1, . . ., pj 1 1

Пусть С = adj (А); тогда

С/у==(-1)/+'

1.....7—1.	7+1.....Л

1, . . ., I — 1, /4-1.п /

Учитывая наше первое тождество (в которое входит присоединенная
матрица), мы имеем

/р4- 1. •••, г — 1, г + 1, ..., ri
\p4~i.....5 —1> $4-1, ...» я

= (—l)r+jr|А|"_/’“2АfJР’ 4
'	\1.....р, г]

= (-i)r+qA|"-p-2 dsr

(А. 9.4)

(А. 9.5)

Но величины

^,=(-i)s+rc

р+1....г — 1, г+1, .

р+ 1...s— 1, $+ 1, .

(г, s>p+l)

являются элементами матрицы В, присоединенной к (п — р)(п— р)-

матрице			
	^р+1, р+1	Ср + 1, р+2 • •	'• Ср + 1, п
	Ср + 2, р + 1	Ср + 2, р + 2 • 1	' ’ Ср+2, п

сп,р+1 сп,р+2 ••• Сп,п

Поэтому
/р+1...............п\	/р+1, .... п\п~р~1

В , ,	) = |В| = С , ,

\р+ 1.......«/	1 '	\р+ 1.....nJ

и
ввиду того, что

сГ" + ‘..")

есть определитель этой матрицы, и | adj (Ао) | — | Ао |*-1 для любой
k X ^-матрицы Ао. Далее, очевидно, что bsr = \K\n~p~2 dsr откуда
следует, что

|В|= lAl^-^^DpX!........П\

11	11	\р+ 1, . . ., nJ

и

Таким образом, согласно равенству (А. 9.5), мы имеем

| А|(л-р-1)г	.....Р 1 =\^(n-p-^b(P+\'	"

1	\1> • • •’ PJ	\р+ 1’ • • •’ п.

или

/1....р\п-р-г

= |А[А 1
1 1 \1.......pj

что завершает доказательство.

А. 10. Блочные матрицы. Образуем из п X n-матрицы А р-ю
связанную с ней (блок-) матрицу <ЛР, элементами которой являются
Р X р-определители матрицы А, упорядоченные лексикографически.
(Так, например, {1,3} предшествует {1, 8}; {2,6} предшествует {3, 1}.)
Например, матрицей является квадратная матрица размеров

/1, 2\	/1,	2\	/1,	2\	/1,	2\	( 1,	2\

4	1 О	А 1 Q	1	А О Q )-”Л	1

\1,- 2/	\1,	3/	\1,	nJ	\2,	3/	\м—1,	nJ

/1, 3\	/1,	3\	/1,	3\	/1,	3\	/ 1,	3\

А к о) Д(1	Д( ...Л(	.

\1, 2/	\1,	3/	\1,	nJ	\2,	3/	\п—1,	nJ

п—1, п
м—1, п

/п\	(п\

Аналогично <Лр является (	) X ( 1-матрицей
Из формулы (А. 8.3) непосредственно следует, что если А • В = С,
то <Ар • $?р = в р> где Ар, $р и вр — р-е блок-матрицы соответ-
ственно матриц А, В и С. В частности, если В = А“1, то $р есть
матрица, обратная Ар.

Пусть Хр Х2, . .., Хл обозначают полную систему собственных
чисел (с учетом кратности) матрицы А. Предположим, что А =
= РТР'1, где матрица

О

представляет собой жорданову каноническую форму матрицы А.
Тогда, очевидно,

Лр = ^р^р^р\	(А. 10.1)

где д'р — треугольная матрица с диагональными элементами

Таким образом, собственные векторы матрицы Ар, очевидно, являются
диагональными элементами д р.

В том важном частном случае, когда все собственные числа раз-
личив;, мы (на стр. 759) уже проверили, что преобразование подо-
бия Р может быть задано матрицей, вектор-столбцы которой суть
собственные векторы, соответствующие Хр Х2, ..., Хп. Анализируя
соотношение (А. 10.1), мы видим, что, поскольку др— диагональ-
ная матрица, собственный вектор, соответствующий собственному
числу ^k^k2 • • • X* , равен

рЛр а2> •••> аА

\Л1» Л2, ...» kpj

где (ар . .., ар) означает текущий индекс его компонент.

Матрица А называется вполне положительной (В. П.) матрицей
порядка р, если

для любых двух наборов
i=s/1<;2<... <jp^n.

индексов 1 lx < 12 <

Из соотношения (А.8.3)

. .. <1р^п-
следует, что
произведение двух вполне положительных матриц порядка р снова
является вполне положительной матрицей порядка р. Матрица назы-
вается слабо вполне положительной, если

р



(-1)

при

1 <

h

Л

1р

jp

<п.

Из тождества Сильвестра (А. 9.2) непосредственно заключаем,
что если А является В. П. порядка р, то'матрица В = А-1 (при
условии, что она существует) слабо В. П. порядка р.

В качестве иллюстрации возьмем матрицу А= |]aZy||, где
f btc}, l^j.

а все числа bt и ct отличны от
Вычислениями можно проверить,
порядков тогда и только тогда,

нуля и имеют один и тот же знак,
что матрица А является В. П. всех
когда

упражнения

1. Показать, что если А — нормальная или унитарная матрица, то <Лр —
также нормальная или унитарная.

' 2.' Доказать, что если матрица А — симметрическая, то Лр также сим-
метрическая и что если квадратичная форма, соответствующая матрице А,
положительно определена, то это же справедливо и для

3.	Доказать, что если | А | > 0 и матрица А слабо В. П. порядка р,
то А”1 В. П. порядка р.

4.	Выразить Лр через | А |.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

Б. 1. Выпуклые множества в Еп. Множество X векторов из Еп
называется выпуклым, если для любых двух векторов х и у из X
имеет место соотношение ax-J-Py^X, где а, р>0, а-]-р=1.
Простейшими выпуклыми множествами являются линейные подпро-
странства, сферы и треугольники.
Для конечного числа векторов а1, . .., аг и вещественных чисел
ар . . ., аг множество

Н = (x|(az, x) = az, Z= 1, ...» г}

является замкнутым и выпуклым. В частности, для ненулевого век-
тора а и вещественного числа а множество Н— {х |(а, х) = а) на-
зывается гиперплоскостью (или (м—1)-мерным линейным много-
образием).

Гиперплоскость И определяет два замкнутых полупространства:

Hi = [x\(a, x)>a), Н<2= {х|(а, х)^а).

Оба эти полупространства являются замкнутыми выпуклыми множе-
ствами.

Гиперплоскость Н называется опорной к выпуклому множеству X,
если X содержится в одном из полупространств, определяемых И,
и граница X имеет с И хотя бы одну общую точку. Более точно,
гиперплоскость И является опорной для множества X, если

inf (а, х) = а.

х£Х

(Здесь в качестве одной из возможных точек следует допускать
также ту или иную „бесконечно удаленную" точку.)

► Л е м м а Б. 1.1. Пусть X — выпуклое множество, а у — точка,
внешняя относительно замыкания X. Тогда существует такой
вектор а, что

inf (а, х) > (а, у).
х£Х

Доказательство. Пусть х° — такая граничная точка X, что

У(у — х°, у — х°) = 1 у — х°| = inf |у — х|.	(Б. 1. 1)

х^Х

Если х£Х, то х°—/(х — х°)£Х (0</<1), где через X обо-
значено замыкание X.

Согласно условию (Б. 1. 1), мы имеем

| х° +1 (х — х°) — у |2	| х° — у |2.	(Б. 1.2)

Это неравенство дает нам

2£(х — х°, х° — у) + ^2(х — х°, х — х°)>0,

Следовательно, (х — х°, х° — У)^0 или

(х, х° — у)>(х°, Х° —у)>(у, х° —у).
Пусть а = х°— у. Тогда а^Ои

inf (х, а)>(х°, а)>(у, а),-
к£Х

что и требовалось доказать.

►	Лемма Б. 1.2. Пусть X — выпуклое множество, а точка у
лежит на границе X. Тогда существует опорная плоскость,
проходящая через у, т. е. существует такой ненулевой век-
тор а, что

inf (а, х) = (а, у).

х^Х

Доказательство. Рассмотрим последовательность точек (yv),
внешних относительно замыкания X и таких, что limyv = y.

По лемме Б. 1.1 существует последовательность {av}. которую
можно считать нормированной так, что (av, av) = 1, и для которой
inf (х, av) > (yv, av) (v=l, 2, ...).

x^X

Для предельной точки а последовательности {av} и для любого х £ X
мы имеем

(х, a) = Iim(x, av)>lim(yv, av) = (y, а),

что и требовалось доказать.

Сопоставляя доказанные леммы, мы получаем следующую теорему.

►	Теорема Б. 1.1. Замкнутое выпуклое множество есть пере-
сечение всех своих опорных полупространств, и каждая гра-
ничная точка множества лежит на некоторой опорной гипер-
плоскости.

►	Теорема Б. 1.2. Если X и Y — два выпуклых множества,
не имеющие общих внутренних точек, то существует гипер-
плоскость Н, которая разделяет X и Y, т. е. существуют
такие ненулевой вектор а и скаляр а, что (а, х)>а для всех
х£Х и (а, у)<а для всех у £ Y.

Доказательство. Рассмотрим множество

X — /={х — у | х С -V. У€И>

которое является выпуклым и не содержит 0 в качестве внутренней
точки. Согласно леммам Б. 1.1 и Б. 1.2, такое множество содержит
такой отличный от нулевого вектор а, для которого

(а, х —у)>(а, 0) = 0	у С Г).

Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.
►	Теорема Б. 1.3. Если X и Y — замкнутые выпуклые мно-
жества, не имеющие общих точек, и по крайней мере одно из
них ограничено, то существует гиперплоскость Н, определяе-
мая параметрами {а, а}, которая строго разделяет X и У,
т. е. (а, х) > а для всех х£Х zz (а, у) < а для всех у £ У.

Доказательство. В данном случае множество X — У замкнуто
и не содержит нуля; поэтому .утверждение теоремы непосредственно
следует из леммы Б. 1.1.

На протяжении книги часто используется следующий результат.

►	Лемма Б. 1.3. Пусть X — выпуклое множество, не имеющее
общих точек с неотрицательным ортантом. Тогда сущест-
вует такой вектор а>0 {каждая компонента которого не-
отрицательна и по крайней мере одна положительна), что
(а, х)^0 для всех х£Х.

Доказательство. Применим теорему Б. 1.2 к множествам X,
У, где У обозначает неотрицательный ортант. Согласно этой тео-
реме, существует такой вектор а О, что (а, х)^0 для всех х£Х
и (а, у)^=0 для всех у £ У. Легко проверить, что а > 0.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Теорема Б.1.3 может оказаться неверной, если оба множества X и У
не являются ограниченными. Показать, что можно построить опровер-
гающий пример уже в Е2 = {(a^, л2)}, приняв X = {(л1( х2) | Xj с0},
Y = |(^|, Х2)

2.	Доказать, что каждое множество и его замыкание имеют одни и те же
внешние точки. Доказать также, что каждое выпуклое множество и его
замыкание имеют одни и те же внутренние точки и, следовательно, одни
и те же граничные точки.

3.	Доказать, что в Е2 многоугольник является выпуклым тогда и только
тогда, когда каждый из его внутренних углов меньше 180°.

4.	Доказать, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло.
Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло.

5.	Доказать, что любое множество из Еп однозначно определяет под-
пространство наименьшей возможной размерности, в котором оно лежит.

6.	Чтобы получить выпуклую оболочку замкнутого ограниченного мно-
жества в Е2, мы можем, образно говоря, обернуть это множество ниткой
и затем натянуть ее. Область, ограниченная ниткой, образует искомую
выпуклую оболочку. Показать, что этим же методом можно найти выпуклую
оболочку двух треугольников или двух кругов. Что говорится в лемме Б. 1.2
относительно выпуклой оболочки двух треугольников (или двух кругов)?

Б.2. Выпуклые оболочки множеств и крайние точки выпуклых
множеств. Наименьшее выпуклое множество, содержащее данное
множество X, называется выпуклой оболочкой X. Обычно выпуклая
оболочка обозначается через [Аг], а иногда через Co(2Q. Мно-
жество [Л”] может быть определено конструктивно следующим образом:
m = |3aftxft|x4*. 2«4 = 1. «^0. k=\......................rk

U = i	k = i	)

где г — произвольное целое положительное число. Если, в частности,
X = {а1, ..., аг}, то {а1....аг] называют выпуклым многогран-

ником, натянутым на точки az. Легко показать, что если X ограни-
чено, то и [х¥] ограничено; если X компактно, то и [АГ] компактно.
Очевидно, множество [а1...аг] замкнуто и ограничено.

Весьма важную роль играет следующий известный факт.

к Лемма Б. 2.1. Пусть X — некоторое множество из Еп, а
[А"] его выпуклая оболочка. Тогда каждая точка [X] может
быть представлена как выпуклая комбинация не более чем
п+1 точек множества X.

Доказательство. Достаточно показать, что если

х= 2 a.kKk(\k^X, > 0) и	(г>«+1),

k=l	k = l

то количество векторов х1....хг, использова иных для представле-
ния X, может быть уменьшено. Так как векторы х1...xr (г > n-|—1)

линейно зависимы, существуют вещественные числа ........рг, не

равные одновременно нулю, для которых

k=l	£=1

Пусть е — такое вещественное число, что a^ + s^^O (£=1......г)

и для некоторого k, скажем k0, имеет место равенство ал + ерй = О.
Тогда

X = X + 2	= 5 («* + е₽й) X*.

Л=1	k=l

где + (k = 1..............г), e[3fto = 0 и

2 (aft + eP*)= 1>

что и требовалось доказать.

Накладывая на X дополнительные ограничения, можно усилить
предыдущий результат следующим образом.

к Лемма Б. 2.2. Если X состоит не более чем из п компонент
связности, то число п-\-\ в лемме Б.2.1 может быть умень-
шено до п.
Доказательство. Рассмотрим множество S, натянутое на
п-\-1 фиксированных точек из X, и предположим, что 5 имеет
внутреннюю точку х°, которая не может быть представлена в виде
линейной комбинации п или меньшего количества точек из X.
Для каждой (я—2)-мерной грани L множества S определим мно-
жество

TL= {х = (1 - Х)х° + Ху |Х<0, y£L}.

Множество TL не
с = (1 — X) х°-|-Ху
равенство

может пересекать X, так как если бы точка
принадлежала X, то мы имели бы Х^О и

х°

1	। —х

1 —х с+ 1 — х У

было бы представлением х° в виде комбинации п или меньшего
количества точек из X. Множества ТL, полученные пересечением
(п — 2)-мерных граней множества S, образуют границы п-[-1 не-
пересекающихся конусов с вершинами в точке х°, объединение кото-
рых совпадает со всем пространством Еп. Кроме того, каждая
вершина х1 множества S принадлежит только одному конусу. Так как
множество X не может пересекать границы этих конусов, оно
должно иметь по меньшей мере п-|-1 компонент связности, что
противоречит предположению.

к Лемма Б.2.3. Если X есть ограниченное множество из Еп,

ОО

х = 2

Z = 1

где

\l£X, az > О, Saz = l’
z = i

то х принадлежит выпуклой оболочке X.

Это утверждение легко доказывается с помощью индукции по
размерности наименьшего линейного пространства, содержащего
точку х, и теоремы Б. 1.1. Предположим, что утверждение леммы
верно для множеств из Еп. Пусть X обозначает некоторое ограни-
ченное множество из Еп+1. Если х есть граничная' точка замыкания
выпуклой оболочки Г множества {хг}, то любая опорная плоскость р
множества Г, проходящая через х, необходимо содержит все xz.
Но часть, общая для р и Г, лежит в евклидовом пространстве раз-
мерности не более я, и поэтому применимо индуктивное предполо-
жение. Наконец, если х — внутренняя точка множества Г, то утвер-
ждение леммы очевидно.
Точка х множества X называется крайней !) точкой X если в X
не существует таких точек х1 и х2, что х = Хх1—|—(1—Х)х2 при
некотором X (0 < X < 1), где х1 =/= х2.

> Лемма Б.2.4. Замкнутое ограниченное множество X на-
тянуто на свои крайние точки, т, е. каждая точка х£Х
может быть представлена в виде

где х1, .... хг — крайние точки X.

Доказательство снова проводится индукцией по размер-
ности наименьшего линейного пространства, содержащего X. Фор-
мальные детали мы опустим.

упражнения

1.	Пусть S— выпуклое подмножество пространства Еп, содержащее
нулевой вектор и п линейно независимых векторов. Доказать, что S имеет
внутренние точки относительно Еп.

2.	Применяя лемму Б.2.1 к Е2, показать, что выпуклую оболочку мно-
жества S можно получить, как объединение всевозможных треугольников
из Е2 с вершинами в S.

3.	Пусть е — точка замкнутого ограниченного выпуклого множества S,
наиболее удаленная от начала. Доказать, что е является крайней точкой
множества S.

4.	Показать, что любое замкнутое выпуклое множество в Еп является
пересечением несчетного числа замкнутых полупространств.

5.	Доказать, что замкнутое выпуклое множество в Еп имеет конечное
число крайних точек тогда и только тогда, когда оно является пересечением
конечного числа замкнутых полупространств.

6.	Показать, что каждая опорная гиперплоскость к замкнутому ограни-
ченному выпуклому множеству содержит некоторые его крайние точки.

Б.З. Выпуклые конусы. Множество Х(=.Еп называется выпуклым
конусом, если при любых х и у из X

ах+ру^Х (а, р^О).

Очевидно, что выпуклый конус является выпуклым множеством.
В качестве простейших примеров выпуклых конусов можно указать
линейные подпространства и полупространства.

Наименьший выпуклый конус, содержащий множество X, назы-
вается выпуклым конусом, натянутым на X2), и обозначается

!) Крайние точки называют также экстремальными и (реже) угловыми.—
Прим, перев.

2) Иногда его называют конической оболочкой X.—Прим, перев.
7вв Приложение б. выпуклые множества и выпуклые функций

через р(Х). Иначе говоря,

р(Х) = } 2 алх*|ай — О» х*£Х, k—\..........г; г — любое}.

Двойственный!) конус Х+ определяется как множество всех
направленных опорных к конусу X гиперплоскостей, проходящих
через начало. Формально

Х^ = {а| (а, х)> 0 для всех х£Х].	(Б.3.1)

Очевидно, что X* также является замкутым выпуклым конусом.

Следующие четыре свойства являются простыми следствиями
определения.

(1)	Если /сГ, то Х+=>У+>,

(2)	ХсХ++;

(3)	Х+ = Х+ ++;

(4)	(Х-+-У)+=Х+ П У+> если 0£Х, К.

► Теорема Б.3.1. Для любых замкнутых выпуклых кону-
сов X и У справедливы соотношения

(I)	Х=Х++ (двойственность),

(II)	(Х-[-Г)+=Х + 0 У\

(III)	(ХП К/ = Х+ + У+

(модулярность).

(Напомним, что черта сверху обозначает замыкание.)

Доказательство. (I) Пусть у(£Х. Тогда по теореме Б. 1.3
существует такой вектор а, что (а, х) > (а, у) для всех х£Х.
Так как X является конусом, то (а, х)>0>(х, у) для всех х£Х.
Следовательно, а £Х+, у (£Х+ + , что и требовалось доказать.

(II)	Это утверждение мы уже упоминали выше [см. свойство (4)].

(II	I) (ХПП+=(^++ ПГ++)+=(Х+ 4-Г+)++=Х+

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема Б.3.2. Для любого множествах
НХ) = Х++.

*) Синонимы: сопряженный, полярный. — Прим, перев.
Выпуклые многогранные конусы. Выпуклый конус, натянутый
на конечное число векторов а1..аг, называется выпуклым много-

гранным конусом и обозначается через

ST (а1....аг) = I 2	14^°’ £ = 1, ..., г |,

U = i	J

или, в матричных обозначениях,

^(а1......аг) = ^(А),

где А — nX^-матрица, столбцами которой служат векторы а1.....аг.

В частности, для ненулевого вектора а мы имеем <^(а) = {Ха |	0}-

Множество <^(а) называется лучом, проходящим через а.

Выпуклый многогранный конус замкнут. Это является следствием
следующей более общей теоремы.

► Теорема Б.3.3. Выпуклый многогранный конус предста-
вляет собой пересечение конечного числа опорных полупрост-
ранств. Иначе говоря, для любого конечного множества векто-
ров а1....аг существуют такие векторы Ь1, ...» Ь5, что

.....a') Mb1)* П ... П(^)+.

и обратно.

Векторы Ь7 можно найти, взяв все опорные плоскости для
выпуклого пространства, натянутого на векторы az, проходящие
через начало.

Теорема двойственности для выпуклых многогранных конусов
в матричных обозначениях формулируется следующим образом.

► Теорема Б.3.4. Скалярное произведение (х, у) неотрица-
тельно для всех у таких, что уА^О, тогда и только тогда,
когда х = Аи при некотором и^О.

Следующая теорема оказывается весьма полезной в теории линей-
ного программирования.

► Теорема Б.3.5. Пусть X—ограниченный выпуклый много-
гранник или выпуклый замкнутый конус, не имеющий общих то-
чек (кроме 0) с неотрицательным ортантом пространства Еп.
Тогда существует такой вектор а со строго положительными
компонентами (а > 0), что (а, х)^0 для всех векторов х£Х.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
X является конусом. Допустим, что из условий а>0 и (а, х)^0
для всех х £ X следует, что aL — 0 для некоторого индекса I, ска-
жем для 1—\. Тогда

(— ^)+ ПМ <=Н — {(«,, .... «„)[ «1 = 0},
где / обозначает неотрицательный ортант. По теореме двойствен-
ности (теорема Б.3.1)

—	=> Н + ,

и легко показать, что множество —Х-\-1 замкнуто.

Так как (а, 0, 0, ....	+ при всех а, существуют такие

векторы х£Х и Ь>0, что

— х + Ь = (а, 0.......0)	= а.

Если мы возьмем а < 0, то, очевидно, х = Ь—а будет неотрица-
тельным вектором, принадлежащим X, первые две компоненты кото-
рого положительны, а это противоречит нашему предположению.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Пусть в пространстве Е3

Х=[(Х, у, 1) |Х* + у2 = 1}.

Найти Р(х).

2.	Пусть в Е2

X = {(Хр х2) | Ху = У + 1.

Тогда

Р (X) = {(0, 0)} + {(хь х2) | 0 < | х21 < х,}.

Таким образом, множество X и его выпуклая оболочка могут быть замк-
нуты, в то время как р (X) открыто. Проверить это утверждение.

3.	Доказать, что р (X) z> р (X).

4.	Пусть С — выпуклое множество. Показать, что (С) представляет
собой объединение всех лучей, проходящих через крайние точки мно-
жества С.

5.	Доказать, что если С — замкнутое ограниченное выпуклое множество,
то Р(С) — выпуклая оболочка объединения всех лучей, проходящих через
крайние точки множества С.

6.	Пусть х0 — вектор из ограниченного выпуклого многогранного мно-
жества X. Доказать, что существует такой вектор а > 0, что (а, х) < (а, х0)
для всех х С X тогда и только тогда, когда не существует такого вектора Xj
из X, что Xi — х0 0.

Б.4. Выпуклые и вогнутые функции. Функция / (х), опреде-
ленная на выпуклом подмножестве X пространства Еп, называется
выпуклой, если

/[Zx + (l_Z)y]^Z/(x) + (l_Z)/(y) (х, уСХ;

(Б. 4.1)

Если в выражении (Б. 4.1) имеет место строгое неравенство при
х ¥= У и 0 < t < 1, то функция /(х) называется строго выпуклой.
Функция / (х) называется вогнутой (строго вогнутой), если —/ (х)
выпукла (строго выпукла).

В качестве примеров выпуклых функций можно привести ех и
*2-1--4
Из условия (Б. 4.1) следует, что

/( 2	V(x*).	(Б. 4.2)

\/г = 1	/ k = l

где

S^=i. ^о, k=i.............r-

Укажем некоторые важные факты ’относительно выпуклых функ-
ций; доказательства их легко провести непосредственно.

(1)	Пусть

[Х/] = {(*)|х£Х, ^/(х)}.

Тогда f (х) будет выпуклой функцией, определенной на X в том и
только в том случае, если ДА", f] — выпуклое множество в Еп+1.

Если функция /(х) строго выпукла, то pf0, /] есть строго вы-
пуклое множество S, т. е. середина любого отрезка, соединяющего
точки S, является относительно внутренней точкой S. Здесь XQ
означает внутренность X.

(2)	Если /л(х) (£=1, ..., г) — выпуклые функции на X и
(&=1..........г),	то 2ХйД(х)также является выпуклой функ-

k

цией на X.

(3)	Пусть Д(х) — множество выпуклых функций на X. Тогда
A’o={x|x^X, sup„/t,(x) < oo}

— выпуклое множество, a sup Д(х) — выпуклая функция на A'q.

V

(4)	Если функция f (х) строго выпукла на X, то она имеет не
более одного локального минимума. Локальный минимум всегда
является и глобальным минимумом.

(5)	Если f (х) — выпуклая функция на X, то она непрерывна
в относительно внутренних точках X.

(6)	Для граничных точек у множества X имеет место соотно-
шение

1пп/(х)</(у).
х->у

(7)	Если X — открытое выпуклое множество и функция /(х)
дифференцируема в X, то мы можем получить следующую характе-
ристику выпуклости функции /(х). Именно f (х) выпукла тогда и
только тогда, когда для точек х° и х из X выполняется неравенство

/ (X) - / (х°)	•

51 Зак. 1789
(8)	Если функция /(х) выпукла на открытом множестве X, то
/(х) имеет почти всюду (в смысле меры Лебега) вторые частные
производные.

(9)	Если множество X одномерно, a f (х) — выпуклая функция
на X, то f имеет производную всюду, за исключением не более чем
счетного множества точек. Кроме того, производные справа и слева
существуют всюду и непрерывны соответственно справа и слева.

(10)	Если /(х) — дважды дифференцируемая функция, а X про-
извольное выпуклое множество в Еп, то f (х) выпукла тогда и
только тогда, когда матрица, составленная из вторых производных

\dxidxjji,)'

положительно полуопределена для любого х£Х. Если матрица

\ dxt dxj )t, j

положительно определена, то / (х) строго выпукла.

упражнения

1.	Доказать, что (а, х) — выпуклая функция на Еп, ни при каком а не
являющаяся строго выпуклой. Для х = (хи х2, ..., хп) функция
г

/(х)= 2 । Xi (а/ — 1) выпукла на Еп, если все

1

2.	Пусть /(х) — выпуклая функция на Еп. Показать с помощью теоремы
об опорных гиперплоскостях, что имеет место следующее утверждение: для
любой точки х0 в Еп существует такая линейная функция Z (х) [т. е. (1, х)],
что Z(x)</(x) и Z (х0) =/(х0). Сравнить этот результат со свойством (7).

3.	Если Д (х), k = 1,2, ..., п — неотрицательные монотонно возрастающие
п

выпуклые функции на Е\ то такова же и функция JJ fk {X).

k = l

4.	Если /(х) — выпуклая (строго выпуклая) функция в Еп и матрица
Ае£О, то /(Ax-f-b) также выпуклая (строго выпуклая); здесь А и b —
матрица и вектор соответствующих размерностей.

5.	Пусть /(х) — непрерывная функция на выпуклом множестве X про-
странства Еп. Тогда f выпукла в том и только в том случае, если

6.	Построить выпуклую функцию на [0, 1], которая не имеет производ-
ной в бесконечном числе точек.

, X, у с х.

ПРИЛОЖЕНИЕ В

РАЗЛИЧНЫЕ ВОПРОСЫ

В.1.	Полунепрерывные и равностепенно непрерывные функ-
ции. Полунепрерывные функции. Вещественная функция f (х),
определенная на некотором множестве X<z.E\ называется непрерыв-
Й.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 791

ной в точке х0, если как только хл->х0 (т. е. как только евкли-
дово расстояние J(xn, х0) стремится к нулю), так / (хл) -> f (х0).
Эквивалентное определение в терминах окрестностей формулируется
следующим образом. Для любого е > 0 существует такое 8 (е, х0) > О,
что из J(x, х0) < 8 следует

-е^/(х)-/(х0)^е.	(В. 1.1)

Функция непрерывна на X, если она непрерывна в каждой точке
множества X.

Если 8 может быть выбрано независящим от х0 из Xt то гово-
рят, что функция / (х) равномерно непрерывна на X.

Функция /(х) называется полунепрерывной сверху в точке х0,
если для произвольного е(е>0) и всех значений х, для которых
J(x, х0)<8, при соответствующем выборе 8 выполняется правое
неравенство из (В. 1.1). Аналогично f (х) полунепрерывна снизу
в точке х0, если левое неравенство (В. 1.1) имеет место для любого
8 > 0 и соответствующего 8. Иначе говоря, функция f полунепре-
рывна сверху (снизу) в точке х0 тогда и только тогда, когда

lim /(х)^/(х0) [ lim /(х)>:/(х0)].

х-*хй

Если функция f полунепрерывна сверху на X (т. е. в каждой
точке X), то множество А={х|/(х)<а) при каждом веществен-
ном а относительно открыто в X, и наоборот. Ибо если х0 принад-
лежит А, то существует такое е > 0, что /(х0)4-е<а. По опре-
делению полунепрерывной сверху функции, существует открытая
сфера с центром в точке х0 радиуса 8, все точки которой, принад-
лежащие X, принадлежат и А. Следовательно, А относительно от-
крыто. Обратное доказывается аналогично. Функция f полунепре-
рывна снизу на X, если множество {х|/(х)>а} относительно
открыто для каждого вещественного а.

С помощью этих определений мы можем легко установить сле-
дующие свойства полунепрерывных функций.

(1)	Множество всех полунепрерывных сверху (снизу) функций
замкнуто относительно сложения. Если f полунепрерывна сверху
(снизу), то —f полунепрерывна снизу (сверху).

(2)	Если функции /а полунепрерывны сверху (снизу) на X и
ограничены снизу (сверху), то функция inf /а (sup /а) полунепрерывна
сверху (снизу). (Для доказательства проще всего использовать по-
следнее определение полунепрерывности сверху.)

(3)	Полунепрерывная сверху (снизу) функция, заданная на ком-
пактном множестве, достигает максимума (минимума).

(4)	Полунепрерывная сверху (снизу) функция, определенная на
компактном множестве, может быть аппроксимирована убывающей
(возрастающей) последовательностью непрерывных функций, и на-
оборот.

Равностепенно непрерывные функции. Говорят, что семейство
функций Д, определенных на множестве X, равностепенно непре-
рывно в точке х0, если для любого е > 0 существует такое
8 (в, х0) > 0 (не зависящее от а), что | Д (х) — Д (х0) | < е для
d(x, х0)^8 и всех а. Говорят, что функции Д равностепенно
непрерывны на X, если они равностепенно непрерывны в каждой
точке X. Если 8 может быть выбрано не зависящим от х0£Х, то
мы говорим о равномерной равностепенной непрерывности семейства Д.
Для иллюстрации этого понятия рассмотрим два семейства равносте-
пенно непрерывных функций.

(1)	Пусть /С($, /)— равномерно непрерывная функция, опреде-
ленная на единичном квадрате, a — семейство равномерно огра-
ниченных функций (O^Z<1). Тогда

1
gx(s)=f К (s,
О

представляет собой равномерно равностепенно непрерывное семейство
функций. Это вытекает из оценки

Ig'a(Sl) —g'a(S2>l=SA1 maX	/) — К (S2, t) |,

0 t 1

где M — граница Д.

(2)	Пусть Д(г) есть семейство равномерно ограниченных
функций, аналитических в единичном круге С комплексной пло-
скости. Тогда на X (любом круге, содержащемся в С) функции Д
равномерно равностепенно непрерывны. Это утверждение доказы-
вается с помощью той же аргументации, что и в примере (1), путем
применения интегральной формулы Коши для представления Д в точ-
ках множества X.

Наиболее важное для наших целей свойство равностепенно не-
прерывных семейств функций выражается классической теоремой
Асколи, которую можно сформулировать следующим образом. Пусть
Д — равномерно ограниченное равностепенно непрерывное се-
мейство вещественных функций, определенных на компактном
сепарабельном множестве X. Тогда из него можно выбрать
равномерно сходящуюся подпоследовательность fa..

Наметим вкратце идею доказательства. Определяется счетное
плотное множество {xj в X. С помощью диагонального процесса
можно выбрать равномерно сходящуюся для всех xz подпоследова-
тельность Д.. Вследствие равностепенной непрерывности эта подпо-
следовательность fa. равномерно сходится.
В.2.	Теоремы о неподвижной точке. Следующие теоремы мы при-
ведем без доказательств, которые можно найти в работе Какутани [1].

Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть ср(х)— взаимно
однозначное точечное отображение замкнутого симплекса X в себя.
Тогда существует такая точка х0£Х, что х0 = ср(х0). (Для наших
целей мы определяем симплекс в Еп, как выпуклое множество,
натянутое на нулевой вектор и п линейно независимых ортов.)

В действительности теорема верна для любого множества, кото-
рое гомеоморфно n-мерному симплексу.

Эта теорема о неподвижной точке была обобщена Какутани на
случай точечно-множественных отображений. Прежде чем формули-
ровать его результат, разъясним несколько терминов. Отображе-
ние ср, которое переводит каждую точку х£Х в некоторое подмно-
жество X, называется точечно-множественным отображением.
Такое отображение называется полунепрерывным сверху, если из
соотношений х„->х0, У„^У0. х„€А’, у„ £ <р (х„) следует у06<р(х0).

Легко проверить, что отображение ср полунепрерывно сверху тогда
и только тогда, когда график {(х, у)|х £ X, у £ ср(х)} замкнут в Е2п.

Говорят, что точечно-множественное отображение полунепре-
рывно снизу, если для каждого у £ ср (х0) при хп->х0 существуют
такие y„£<p(x„), чт0 Уп~>У-

Точечно-множественное отображение называется непрерывным,
если оно полунепрерывно сверху и снизу.

Определение полунепрерывности сверху для точечно-множе-
ственного отображения сводится к определению, приведенному
в пункте В. 1, когда ср — точечная функция, при условии, что мы опре-
делим отношение включения у£<р(х), как у^ср(х). Можно также
сформулировать свойства точечно-множественных отображений в тер-
минах понятия окрестности. Например, отображение ср (х) полунепре-
рывно сверху в точке х0, если для каждого открытого множества U,
содержащего ср (Xq), существует такое 8(<У) > 0, что из d(x, х0) < 8
следует ср (х) с: U.

Теорема Какутани о неподвижной точке. Пусть X — замк-
нутый симплекс и ср — полунепрерывное сверху отображение, кото-
рое переводит каждую точку множества X в замкнутое выпуклое
подмножество X. Тогда существует такая точка х0£ X, что х0£ ср(х0).

Эта теорема о неподвижной точке была в дальнейшем обобщена
Эйленбергом и Монтгомери [1] и Беглом [1].

В.	3. Функции множеств и распределения вероятностей. Дадим
краткий обзор некоторых фактов теории, опирающейся на интеграл
Лебега — Стильтьеса. Полное рассмотрение приведено у Грэйвза [1].
794

ПРИЛОЖЕНИЕ В. РАЗЛИЧНЫЕ ВОПРОСЫ

Класс борелевских множеств. Множество всех точек, каждая
из которых принадлежит какому-либо члену последовательности
множеств {SJ, называется объединением этой последовательности;
множество точек, принадлежащих каждому члену последовательности,
называется ее пересечением. Эти два множества обозначаются соот-
ветственно через

ОО	оо

1К ГК

П = 1

Множество точек, которые принадлежат Sp но не принадлежат S2,
называется их разностью и обозначается Sj \ S2.

Класс § подмножеств Ek называется аддитивным классом мно-
жеств, если он удовлетворяет следующим условиям:

(1)	Ek принадлежит

(2)	если	. принадлежат 3, то

оо
LK
п = 1

принадлежат

(3)	если Sj и S2 принадлежат §, то Sj \ S2 принадлежит S.

Наименьший аддитивный класс множеств, который содержит все
„прямоугольники" в Ek (или все интервалы, если &=1), называется
классом борелевских множеств в Ek.

Неотрицательные функции множеств. Неотрицательной
функцией множеств называется функция Р, которая определена на
классе $ борелевских множеств и удовлетворяет следующим условиям:

(1)	Р (S)^rO для всех S cz

(2)	р( U5«)= S P^sn)’ если 5«П5т = Л при п^т;

\/1 = 1 /	п = 1

(3)	Р(5Х сю, если S ограничено.

Класс всех неотрицательных функций множеств, определенных на
классе борелевских множеств вещественных чисел, эквивалентен
классу всех мййотонно неубывающих непрерывных справа 9 функций
(определенных на вещественной оси). Соответствие неотрицательных
функций множеств неубывающим функциям будет однооднозначным,
если отождествить возрастающие функции, разность которых
постоянна. Это соответствие устанавливается следующим образом:

9 В отечественной литературе принята модификация определения, при
которой рассматриваются неубывающие функции, непрерывные слева. —
Прим. ред.
по данной функции Р и любому вещественному числу а определим

F(x, а) —

Р Ц | а <	х},

О,

х > а,
х = а,

— Р{$|х<$<а}, х < а.

Функция F (х, а) является возрастающей для каждого а и непре-
рывна справа; кроме того, если 04 < а2, то

F(x, 04) — F(x, а2) = Р {5|«i < $=£а2].

Таким образом, F(x, 04) и Л(х, а2) отличаются на постоянную, не за-
висящую от х. С другой стороны, если F (х) — любая монотонно воз-
растающая функция, которая, кроме того, непрерывна справа, можно
положить

P{l\a<l^b]=F(b) — F (а).

Последняя функция множеств, определенная на интервалах, может
быть расширена до неотрицательной функции множеств, определен-
ной на всех борелевских множествах.

Если Р{1;| — оо <£ < оо) = 1, то функция множеств Р назы2
вается вероятностной мерой, а для соответствующей точечной
функции F выполняется условие нормировки F (— оо) = 0 и F (оо) = 1.
Функцию F, нормированную таким образом, называют функцией
распределения. Если существует производная Fr (х) = f (х), то она
называется плотностью распределения. Очевидно, что

ОО

/(Х)>:О, ^f(x)dx—l.

— ОО

Любая функция /, которая удовлетворяет двум последним условиям,
является плотностью для некоторой функции распределения.

Эти понятия могут быть обобщены на Еп. Распределениями
вероятностей являются здесь неотрицательные функции множеств Р,
удовлетворяющих условию Р(Еп)=\. Каждому Р соответствует
функция распределения F, определяемая следующим образом:

F {xv ..., хл) = Р {$ £ Еп | хр ..., %п^хп].

Эта функция F является монотонно неубывающей по каждой пере-
менной

F(—00, х2, хп)= ... =F(Xp х2, ..., хп_Р —оо) = 0
и

F (сю, сю, .... сю) = 1.
Кроме того, F непрерывна справа по каждой переменной. Раз-
ность	где, по определению,

=	.....а(_р az-|-8z, ai+1,	а„) —

— ?(ai......ai-i> ai> “i+i.....«я)1>

неотрицательна, так как эта разность равна

P{^|ai<^<ai + 8i, .... а„<е„<а„ + 8п].

Обратно, любая функция, удовлетворяющая четырем перечисленным
условиям, является некоторой функцией распределения.

Частные распределения. Если F (хр . . ., хп) — функция распре-
деления, определенная на Еп, то F (хг..xn-v °°) также является

функцией распределения, но уже определенной на Е"-1. Вообще
если k переменным приписывается значение + °°* т0 ? становится
функцией распределения оставшихся п — k переменных, называемой
распределением.

Интеграл Лебега — Стилътъеса. Пусть g — ограниченная функ-
ция, определенная на Еп, а Р — вероятностное распределение, опре-
деленное на классе борелевских множеств пространства Еп. Для того
чтобы определить верхний и нижний интегралы функции g относи-
тельно Р, рассмотрим сначала какое-либо разбиение Еп на непересе-
кающиеся борелевские множества Ev . . ., Ek и положим

mt = inf g (х),	= sup g (x),

x£E.

k	k

s='^imlP(E^,
i = 1	i = 1

Числа s и S называются соответственно нижней и верхней суммами
Дарбу для данного разбиения. Варьируя подразделение, мы получаем
различные значения сумм Дарбу; если некоторое разбиение полу-
чается в результате дальнейшего измельчения другого, то нижняя
сумма Дарбу при этом не убывает, а верхняя сумма Дарбу не возра-
стает. Точная верхняя граница нижних сумм Дарбу называется ниж-
ним интегралом функции g относительно Р, а точная нижняя гра-
ница верхних сумм Дарбу называется верхним интегралом. Если
оба эти интеграла равны, то говорят, что функция g интегрируема
относительно Р. Ее интеграл есть общее значение верхнего и ниж-
него интегралов; эта величина обычно обозначается

g(x)dP(x).
Если F— точечная функция, соответствующая функции множеств Р,
то предыдущее обозначение обычно заменяется на

$ g(x)dF(x).

Кроме очевидных аддитивных свойств интеграла, мы укажем для
справок критерий Лебега мажорированной сходимости. Пусть | fn | <>g
и g интегрируема по отношению к Р. Если последовательность fn
сходится всюду к f (на самом деле достаточно сходимости почти
всюду относительно меры Р), то

lim f fndP= f fdP.	(В. 3.1)

Если fn образуют монотонно возрастающую последовательность
интегрируемых функций, не подчиненных никаким другим ограниче-
ниям, а Р — положительная мера, то тот же результат остается
в силе и при условии, что допускаются бесконечные значения.

Последовательности распределений. Слабая* сходимость !).
Последовательность {Fn} функций распределения сходится слабо*
к функции распределения Fo, если Fn (х) -> FQ(x) в каждой точке
непрерывности FQ. Каждая последовательность функций распределе-
ния содержит подпоследовательность Fnk> слабо* сходящуюся к функ-
ции F, которая не обязательно является функцией распределения.
Однако если g непрерывна, g(±oo) = 0 и	(слабо*), то

lim f g(x)dFn (х) = I g(x)dF(x). (В. 3.2)
&->oo J	R	J

Если к тому же F — функция распределения, то соотношение (В. 3.2)
имеет место для любой функции g, которая ограничена и непрерывна.

Эти результаты известны под названием теоремы Хелли о схо-
димости.

J) В отечественной литературе этот вид сходимости обычно называется
сходимостью „в основном". — Прим, перев.
БИБЛИОГРАФИЯ

Алле (А 11 a i s М.)

[1] Traite d’economie pure. Paris, Imprimerie Nationale, 1952. 852 p.

Аллен (A 11 e n R. G. D.)

(1] Математическая экономия, M., ИЛ, 1963.

• А р н о ф ф, Сенгупта (А г п о f f Е. L., Sengupta S. S.))

[1] Mathematical programming. «Progress in operations research, vol. I».
New York — London, Wiley, 1961, 105—210. Библиография 205 назв.

* А ф p и а т (A f r i a t S. N.)

[1] Preference scales and expenditure systems, Econometrica, 30, № 2 (1962),
305—323.

Бегл (В e g 1 e E. G.)

[1] A fixed point theorem, Ann. Math., 51, № 3 (1950), 544—550.

Беллман (Bel Iman R.J

[1] Динамическое программирование, M., ИЛ, 1960, 400 стр.

f2j On games involving bluffing, Rendiconti del Circolo Mathematico di Pa-
lermo, ser. 2, I, № 2 (1952), 139—156.

Беллман, Г и p ш и к (G i г s h i с k M. A.)

[1] An extension of results on duels with two opponents, one bullet each,
silent guns, equal accuracy, The RAND Corporation, D-403, 1949. Cm.
также Дрешер [2] ♦.

Беллман, Гликсберг, Гросс (Glicksberg I., Gross О.)

(1] On some variational problems occurring in the theory of dynamic pro-
gramming, Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo, ser. 2, 3, № 1
(1954), 1—35.

Беллман, Шифман (Shiftman M.)

[1] On the min-max of f (x)a(x)d(x)dt(x)t The RAND Corporation, RM-308-1,
1949.

Б e л ь з e p (Belzer R. L.)

[1] Silent duels, specified accuracies, one bullet each, The RAND Corpora-
tion! RAD (L)-301, 1948. См. также Дрешер [2].

Б ер ж (В е г g е С.)у

(1] Sur une theorle ensembliste des jeux alternatifs, /. de mathematiques pa-
res et applique£s, 32, № 2 (1953), 129—184.

Бил (В e a 1 e E. M. L).

[1] Aa algorithm for solving the transportation problem when the shipping
cost over* each route is convex, Naval. Res. Logist, Quart. 6, № 1 (1959),
43-59.
В^ИВДуОГРДФИЗ

799

Биркгоф, Мак-Лейн (BirkhoffG., MacLaneS.])

[1] A survey of modern algebra, New York, Macmillan, 1941.

Блекетт (Blackett D. W.)

[1] Some Blotto games, Naval Res. Logist. Quart., 1, № 1—2 (1954), 55—60.
Блекуэлл (Blackwell D.)

[1] The silent duel, one bullet each, arbitrary accuracy, The RAND Corpora-
tion, RM-302, 1948. См. также Дрешер [2].

[2] The noisy duel, one bullet each, arbitrary, non-monotone accuracy, The
RAND Corporation, D-442, 1949. См. также Дрешер [2].

Блекуэлл, Гиршик (GirshickM. А.)

[1]	Теория игр и статистических решений, М., ИЛ, 1958, 374 стр.

[2]	A loud duel with equal accuracy where each duelist has only a probability
of possessing a bullet, The RAND Corporation, RM-219, 1949.

Блекуэлл, Шифман (Shiftman M.)

[1]	A bomber-fighter duel, The RAND Corporation, D-509, 1949.

[2]	A bomber-fighter duel, The RAND Corporation, RM-193, 1949.

Болдуин, Кэнти, Майзель, Мак-Дермот (Baldwin R. R.,
C a n t e у W. E., M a i s e 1 H., M c D e r m о 11 J. P.)

[1] The optimum strategy in blackjack, J. Amer. Statist. Assoc., 51, № 4
(1956), 429—439.

Боненбласт (Bohnenblust H. F.)

[1] Теория игр. В книге «Современная математика для инженеров» под ред.
Э. Беккенбаха, М., ИЛ, 1958, 216—236. См. также Матем. просвещение,
вып. 4. 1959, 53—86.

Боненбласт, Карлин (Karlin S.)

[1] Об одной теореме Билля. Сборник * [1], 489—496.

Боненбласт, Карлин, Шепли (Shapley L. S.)

[1] Решения дискретных игр двух лиц. Сборник* [2], 17—44.

[2] Игры с непрерывной выпуклой функцией выигрыша. Сборник * [1], 337—352.
Борель (В о г е 1 Е.).

[1]	Applications aux jeux de hasard, Traite du calcul des probabilites et de
ses applications, Paris, Gauthier-Villars, 1938.

[2]	1) The theory of play and integral equations with skew symmetrical ker-
nels, 2) On games that involve chance and the skill of the players, 3) On
systems of linear forms of skew symmetric determinants and the general
theory of play, Econometrica, 21, № 1 (1953), 97—117.

Браун (Brown G. W.)

[1]	Some notes on computation of games’solutions, The RAND Corporation.
D-436, 1949.

[2]	Iterative solution of games by fictitious play. Сборник [13], гл, XXIV.

Браун (Brown R. H.)

[1] Решение одной антагонистической игры. Сборник* [1], 419—425.

Браун и фон Нейман (Brown G. W., von Neumann J.)

[1] Solutions of games by differential equations. Сборник [10], 73—79.
Браун швейгер, Кларк (Braunschweiger С. С., Clark Н. Е.)
[1] An extension of the Farkas theorem, Amer. Math. Monthly, 69, Ke 4
(1962), 272—277.

* БулавскийВ. A.

[1] * Итеративный метод решения общей задачи линейного программирова-
ния, Сибирск. матем. журнал, 3, № 3 (1962), 313—332.

* Бут (Boot J. С. G.)

[1] Notes on quadratic programming: The Kuhn-Tucker and Theil-van de Panne
conditions, degeneracy and equality constraints, Manag. Sci., 8, № 1
(1961), 85—98.

* Бэтчелор (Batchelor J. H.)

(1]	Operations research. An annotated bibliography. 2nd ed. St. Louis (Mo.),
Univ. Press, 1959, 866 pp.

[2]	Operations research. -An annotated bibliography. Vol. 2. St. Louis (Mo.J,
Univ. Press, 1962, 628 pp.

Вагнер (Wagner H.)

[1] A practical guide to the dual theorem, Operat. Res., 6, № 3 (1958), 364—
384.

Вайда (V a j d a S.)

[1] Теория игр и линейное программирование. Сборник [12], Т1—106.

Вальд (Wald А.)

[1]	Последовательный анализ, М., Физматгиз, 1960.

[2]	Statistical decision functions, New York, Wiley, 1950.

[3]	Uber die eindeutige positive Losbarkeit der neuen Produktionsgleichungen,
Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 6 (1935), 12—20.

[4]	Uber die Produktionsgleichungen der okonomischen Wertlehre, II, Ergeb-
nisse eines mathematischen Kolloquiums, 1 (1936), 1—6.

[5]	Statistical decision functions which minimize the maximum risk, Ann.
Math., 46 (1945), 265—280.

[6]	Statistical decision theory, Ann. Math. Stat., 20 (1949), 165—205.

[7]	Note on zero-sum two-person games, Ann. Math., 52 (1950), 739—
742.

f8] On some systems of equations of mathematical economics, Econometrica,
19 (1951), 368—403.

Вальрас (W a 1r a s L.)

[1] Elements of pure economics, or the theory of social wealth. (Transl. by
W. Jaffe). Homewood (Ill.), Irwin, 1954.

* Вегнер (Wegner P.)

[1] A non-linear extension of the simplex-method, Manag. Sci., 7, № 1
(1960), 43-55.

Вейль (Weyl H.)

[1] Элементарная теория выпуклых многогранников1 Сборник* [2],
254—273,
* Вилд (Wilde D. J.)

[1] Differential calculus in nonlinear programming, Operat. Res., 10, № 6
(1962), 764—773.

Виль (V i 11 e J.)

[1] Note sur la theorie generale des jeux ou intervient I’habilete des jouers.
Traite du Calcul des Probability et de ses applications, par E. Borel et
collaborateurs, t. IV, fasc. 2, Paris, 1938, 105—113.

* В и л ь я м с (W i 11 i a m s А: С.)

[1] Marginal values in linear programming, J. Soc. Industr. and Appl. Math.,
11, № 1 (1963), 82—94.

Вильямс (Williams J. D.)

[1] Совершенный стратег, или букварь по теории игр, М., Советское Радио,
1960.

* Воробьевы. Н.

[1]	Конечные бескоалиционные игры, У МН, 14, № 4 (1959), 21—56.

[2]	Математическая теория игр, Л., «Знание», 1963, 72 стр.

Вуд, Данциг (WoodM. К, DantzigG. В.);

[1]	Programming of interdependent activities, I. General discussion, Econo-
metric a, 17, № 2 (1949). 193—199. (В переработанном виде опублико-
вана в качестве гл. I сборника [13].)

Вулф (Wolfe Ph.)

[1]	Определенность полиэдральных игр. Сборник [12], 298—301.

[2]	The simplex method for quadratic programming, The RAND Corporation,
P-1295, 1957. См. также Econometrica, 27, № 3 (1959), 382—398.

[3]	* A duality theorem for nonlinear programming, Quart. Appl. Math., 19,
№ 3 (1961), 239—244.

[4]	* Accelerating the cutting plane method for nonlinear programming, J. Soc.
Industr. Appl. Math., 9, № 3 (1961), 481—488.

Гаддум, Гофман, Соколовский (Gaddum J. W., Hoffman A. J.,
Sokolowsky D.)

[1] On the solution of the caterer problem, Naval Res. Logist. Quart., 1, № 3
(1954), 223—229.

Гантмахер Ф. P.

[1] Теория матриц, M., ГТТИ, 1953, 491 стр.

Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г.

[1] Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических
систем, М., ГТТИ, 1950.

* Гарвин (Garwin W. W.)

[1]	Introduction to linear programming, N. Y., McGraw-Hill, 1960, 281 pp.
Гасс (G a s s S. I.)

[1]	Линейное программирование (методы и приложения), М., Физматгиз,
1961, 303 стр.

[2]	* Recent developments in linear programming. «Advances in the compu-
ters, vol. 2», New York —London, Acad. Press, 1961, 295—377. Библио-
графия 228 назв.
QQ2

БИБЛИОГРАФИЯ

Гейл (Gale D.)'

(1]	The law of supply and demand, Math. Scand., 3, № 1 (1955), 155—169.

[2]	Замкнутая линейная модель производства. Сборник [12], 382—400.

[3]	Information in games with finite resources. Сборник [9], 141—145.

[4]	The theory of matrix games and linear economic models. Lecture notes,
Dept, of Math., Brown University, Providence R. I., 1957.

[5]	* Теория линейных экономических моделей, М., ИЛ, 1963, 418 стр.

Гейл, Гросс (Gross О.)

[1] Заметка о полиномиальных и вырожденных играх. Сборник * [1].

Гейл, Кун, Таккер (KuhnH. W., Tucker A. W.)

[1]	О симметричных играх. Сборник* [2], 62—71.

(2]	Linear programming and the theory of games. Сборник [13], гл. XIX.

Гейл Д., Шерман (SchermanS.)

[1] Решения конечных игр двух лиц. Сборник* [2], 45—61.

Г и р ш, Д а н ц и г (Н i г s с h W., D a n t z i g G. В.)

[1] The fixed charge problem, The RAND Corporation. RM-1383, 1954.

Г л икс бер г (Glicksberg L),

[1]	Noisy duel, one bullet each, with simultaneous fire and unequal worths,
The RAND Corporation, RM-474, 1950.

[2]	Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с при-
ложением к ситуациям равновесия Нэша. Сборник * [1] 497—503.

Гликсберг, Гросс (Gross О.)

[1]	Butterfly Games, The RAND Corporation, RM-655, 1961.

[2]	Некоторые замечания об играх на квадрате. Сборник * [1] 205—217.

Голдман, Таккер (Goldman A. J., Tucker A. W.J

[1] Теория линейного программирования. Сборник [12], 172—213.

Грейвз (Graves L. М.)

[1] The theory of functions of real variables, New York, McGraw-Hill, 1946.

Гросс (Gross O.J

[1]	A rational payoff characterization of the Cantor distribution, The RAND
Corporation, D-1349, 1952.

[2]	The derivatives of the value of a game, The RAND Corp., RM-1286, 1954.

[3]	A simple linear programming problem explicitly solvable in integers,. The
RAND Corporation, RM-1560, 1955.

Гурвиц (Hurwicz L.)

[1] Программирование в линейных пространствах. См. Эрроу, Гурвиц, Уд-
зава, [1] гл. IV.

Да иски н (D a n s k i n J. М.)

[1]	Итеративный метод решения непрерывных игр. Сборник* [1], 414—418.

[2]	Mathematical treatment of a stockpiling problem, Naval Res. Logist. Quart.,
2, № 2 (1955), 99—109.

Данскин, Джилмен (Gillman L.)

(1]	Explicit solution of a game over function space, The RAND Corporation,
P-235, 1951.

[2]	A game over function space, Rivista Mat. Univ. Parma, 4, № 1 (1953).
Данциг (D a n t z i g G. В.)

[1]	A proof of the equivalence of the programming problem and the game
problem. Сборник [13], гл. XX.

[2]	Maximization of a linear function of variables subject to linear inequali-
ties. Сборник [146], гл. XXI.

[3]	The theory of mathematical programming, Notes at the RAND Corporation.

[4]	* Linear programming and extensions. Princeton, Princeton Univ. Press,
1963, 625 pp.

Д а н ц и г, В а л ь д (W а 1 d А.)

[1] On the fundamental lemma of Neyman and Pearson, Ann. Math. Statist.,
22, № 1 (1951), 87—93.

Данциг, Гофман (Hoffman A. J.)

[1] Теорема Дилворта о частично упорядоченных множествах. Сборник [12],
311-317.

Данциг, Орден, Вулф (Orden A., Wolfe Р.)

[1] The generalized simplex method for minimizing a linear form under li-
near inequality restraints, Pacific J. Math., 5, № 2 (1955), 183—195.

Дебрё, (D e b г e u G.)

[1] A social equilibrium existence theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38,
№ 9 (1952), 886—893.

[2] Valuation equilibrium and Pareto optimum, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
40, № 7 (1954), 588—592.

Дебрё, Херштейн (Herstein J. N.J

[1] Non-negative square matrices, Econometrica, 21, № 4 (1953), 597—607.

* Деннис Дж.

[1] Математическое программирование и электрические цепи, М., ИЛ, 1961.
Джекобс (Jacobs W. W.)

[1] The caterer problem, Naval Res. Logist. Quart., 1, № 2 (1954), 154—165.

Джиллис, Мейберри, фон Нейман (Gillies D. В., Mayberry
J. P., v о n N e u m a n n J.)

[1] Two variants of poker. Сборник [11], 13—50.

Джилман (Gillman L.)

[1] Operations analysis and the theory of games: an advertising example,
J. Amer. Stat. Assoc., 45, № 4 (1950), 541—546.

Джорджеску-Реген (Georgescu-Roegen N.J

[1] The aggregate linear production function and its application to von Neu-
mann’s economic model. Сборник [13], гл. IV.

* Дорн (D о г n W. D.)

[1]	Duality in quadratic programming, Quart. Appl. Math., 18, № 2 (1960).

[2]	A duality theorem for convex programs, IBM J. Res. and Developm., 4,
№ 4 (1960), 407—413.

[3]	Self-dual quadratic programs, J. Soc. Industr. Appl. Math., 9, № 1 (1961),
51—54.
Дорфман (Dorfman R.)

[1]	Application of linear programming to the theory of the firm, Berkeley and
Los Angeles, University of California Press, 1951.

Дорфман, Самуэльсон, Солоу (Samuelson P. A., Solow R. M.J
[1] Linear programming and economic analysis, New York, McGraw-Hill,
1958, 525 pp.

Дрешер (D resher M.)

[1]	Theory and applications of games of strategy, The RAND Corporation,
R-216, 1951.

[2]	* Стратегические игры. Теория и приложения. Сов. Радио, 1964, 352 стр.

[3]	Methods of solution in game theory, Econometrica, 18, № 3 (1950), 179—
181.

[4]	Games of strategy, Mathematics Magazine, 25, № 2 (1951), 93—99.

[5]	Le Her, The RAND Corporation (не опубликовано). См. также [2]*.

Дрешер, Карлин (Karlin S.)

[1] Решение выпуклых игр методом неподвижных точек. Сборник * [1],
180—194.

Дрешер, Карлин, Шепли (Shapley L. S.)

[1] Полиномиальные игры. Сборник * [1].

* Д’Э з о п о (D’E s о р о D. А.)

[1] A convex programming procedure, Naval Res. Logist. Quart., 6, № 1
(1959), 33—42.

* Зойтендейк (Zoutendejk GJ

[1]	Методы возможных направлений, M., ИЛ, 1963, 128 стр.

Какутани (KakutaniS.)

[1]	A generalization of Brouwer’s fixed point theorem, Duke Math. J., 8, № 0
(1941), 451—458.

Канторович Л. В.

[1]	О перемещении масс, Докл. АН СССР, 37, № 7—8 (1942), 227—229.

[2]	* Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, М., Изд.
АН СССР, 1959, 344 стр.

[3]	* Математические методы в организации и планировании производства,
Изд. ЛГУ (1939). См. также сб. [3]*.

Кап л а иски й (К а р 1 a n s к у I.)

[1]	A contribution to von Neumann’s theory of games, Ann. Math., 46, № 0
(1945), 474—479.

Карлин (К a r 1 i n S.)

[1]	Операторное истолкование принципа минимакса. Сборник [1], 47—76.

[2]	Сведение некоторых классов игр к интегральным уравнениям. Там же.

[3]	The theory of infinite games, Ann. Math., 58, № 2 (1953), 371—401.

[4]	Polya type distributions, II, Ann. Math. Stat., 28, № 2 (1957).

[5]	Об играх, описываемых колоколообразными ядрами. Сборник [1].

[6]	Positive operators, /. о[ Math, and Meeh. (1960).
Карлин, Рестрепо (Restrepo R.)

[1] Multistage poker models. Сборник [9], 337—363.

Карлин, Шепли (Shapley L. S.))

[1]	Some applications of a theorem on convex functions, Atm. Math., 52, № 1
(1950), 148—153.

[2]	Geometry of moment spaces, Memoirs of the American Math. Society, 12
(1953), 1—93.

* Келли (К e 11 e у J. E.)

[1] The cutting plane method for solving convex programs, J. Soc. Industr.
Appl. Math., 8, № 4 (1960), 703—712.

Ke м e ни, Моргенштерн, Томпсон (Kemeny J. G., Morgen-
stern O., Thompson G. L.)

[1] A generalization of the von Neumann model of an expanding economy,
Econometrica, 24, № 1 (1956), 115—135.

Кифер (К i e f e r J.)

[1] Invariance, minimax sequential estimation and continuous time processes,
Ann. Math. Stat., 28, № 4 (1957), 573—601.

* Клейн (Klei n L. R.)

[1] A textbook of econometrics. Evanston (Ill.), Row. Peterson & Co., 1956,
355 p.

* Корбут A. A.

[1]	Целочисленные задачи линейного программирования. Экономико-матема-
тические методы, вып. 2. М., Изд. АН СССР, 1964.

Котелянский Д. М.

[1]	О некоторых свойствах матриц с положительными элементами, Матем.
сб., 31, № 3 (1952), 497—506.

[2]	Об одном свойстве знакосимметричных матриц, Успехи матем. наук, 8,
№ 4 (1953), 163—167.

* Красносельский М. А.

[1] Положительные решения операторных уравнений, М., Физматгиз, 1962,
394 стр.

К р е й н М. Г., Р у т м а н М. А.

[1] Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве
Банаха, Успехи матем. наук, 3, № 1 (1948), 3—95.

Кречмер (К г е t с h m е г К. S.)’

[1] Linear programming in locally convex spaces and its use in analysis (Тех-
нологический институт Карнеджи, диссертация на степень доктора фи-
лософии). См. также статью автора.

[2] * Programmes in paired spaces, Canadian J. Math., 13, № 2 (1961), 221 —
238.

Кудо (Kudo H.)

[1] On minimax invariant estimates of the transformation parameter, Natio-
nal Science Report of the Ochanomizu University, 6, № 1 (1955), 31—73.
К у н (К u h n H. W.)

[1]	A simplified two-person poker. Сборник [10], 97—103.
[2]	A combinatorial algorithm for the assignment problem, Logistics papers,
issue 11 (George Washington University Logistics Research Project),
1954.

[3]	The Hungarian method for the assignment problem, Naval Res. Logist.
Quart., 2, № 2 (1955), 83—97.

{4] Об одной теореме Вальда. Сборник [12], 361—371.

(5] Variants of the Hungarian method for assignment problems, Naval Res.
Logist. Quart., 3, № 4 (1956), 253—258.

Кун, Таккер (Ku h п H. W., Tucker A. W.)

[1]	Non-linear programming. Сборник [7], 481—492.

[2]	* John von Neumann’s work in the theory of games and mathematical
economics, Bull. Amer. Math. Soc., 64, № 3 (part 2)	(1958),

100—122.

Купман (Koopman В. O.)

[1]	The theory of search, I. Kinematic bases, Operat. Res., 4, № 3 (1956),
324—346.

Купмане (Koopmans T. C.)'

[1]	Three essays on the state of economic analysis, New York, McGraw-Hill,
1957.

[2]	Alternative proof of the substitution theorem for Leontief models in the
case of three industries. Сборник [13], гл. VIII.

(3]	Water storage policy in a simplified hydroelectric system, Proceedings of
the International Conference on Operations Research, Bristol, Stonebridge
Press, 1957, 197—233.

К у n м a h.c, Рейтер (ReiterS.)

[1] A model of transportation. Сборник [13], гл. XIV.

* Куртийо (Courtillot M.)

[1] On varying all the parameters in a linear-programming problem and se-
quential solution of a linear-programming problem, Operat. Res., 10, № 4
(1962), 471—475.

* Кюнци ((Kiinzi H. P.)

[1] Abgekiirzte Verfahren beim quadratischen Programmieren, Unternehmens-
forschung, 5, № 3 (1961), 144—165.

* Кюнци, Крелле (Krelle W.)

[1] Nichtlineare Programmierung, Berlin, Springer-Verlag, 1962, 221 p. Биб-
лиография 155 назв.

Лемке (Lemke С. E.)

[1]	The dual method ot solving the linear programming problem, Naval Res.
Logist. Quart., 1, № 1 (1954), 36—47.

[2]	* A method of solution for quadratic programs, Manag. Sci., 8, № 4
(1962), 442—453.

Леонтьев (Leontief W. W.) и др.

[1] Исследования структуры американской экономики, Теоретический и эм-
пирический анализ по схеме затраты — выпуск, М., Госстатиздат,
1958, 640 стр.
Лумис (Loomis L. Н.)

(1] On a theorem of von Neumann, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 32, № 2
(1946), 213—215.

Л ыо с, Райфа (Luce R. D., Raiffa H.)

[1] Игры и решения, M., ИЛ, 1961, 642 стр.

* Маданский (MadanskyA.)

[1]	Methods of solutions of linear programs under uncertainty, Operat. Res.,
10, № 4 (1962), 463—471.

[2]	Dual variables in two-stage linear programming under uncertainty, J.
Math. Anal, and Appl., 6, № 1 (1963), 98—108.

Мак-Дональд (McDonald J.)

[1]	Strategy in poker, business and war, New York, Norton, 1950.

Мак - Кензи (McKenzie L. W.)

[1]	Competitive equilibrium with dependent consumer preferences. В сб. [6].

[2]	Demand theory without an utility index, Rev. of Econ. Studies, 24, № 2
(1956—57), 185—189.

[3]	* Stability of equilibrium and the value of positive excess demand, Econo-
metrica, 28, № 3 (1960), 606—617.

Мак-Кинси Дж. (M с К i n s e у J. C.)

[1] Введение в теорию игр, М., Физматгиз, 1960, 420 стр.

Мак-Клоски, Трефетен (McCloskey J. F., Trefethen F. N.)

[1] Operations research for management, Baltimore, Johns Hopkins Univ.
Press, 1954.

* Мангасарян (MangasarianO. L.)

[1] Duality in non-linear programming, Quart. Appl. Math., 20, № 3 (1962),
300—302.

Манн (M a n n e A. S.)

[1] Scheduling of petroleum refinery operations, Cambridge (Mass.), Harvard
Univ. Press, 1956.

Марковиц (Markowitz H. M.)

[1]	Portfolio selection, J. of Finance, 7, (1952), 77—91.

[2]	The optimization of a quadratic function subject to linear constraints,
Naval Res. Logist. Quart., 3, № 2 (1956), 111 —113.

Марковиц, Манн (Manne A. S.)

[1] On the solution of discrete programming problems, Econometrica, 25, № 1
(1957), 84—110.

Метцлер (Metzler L. A.)

[1] Stability of multiple markets: the Hicks conditions, Econometrica, 13, № 3
(1945), 277—292.

Миллс (Mills H. D.)

[1] Маргинальные значения матричных игр и задач линейного программи-
рования. Сборник [12], 287—297.

М о з а к (М о s a k J. L.)

[1]	General equilibrium theory in international trade, Bloomington (Indiana),
The Principia Press, 1944.
Моргенштерн, ред. (Morgenstern О.)

{!] Economic activity analysis, New York, Wiley, 1954.

Mop и си м a (Morishima M.)

{1] On the laws of change of the price system in an economy which con-
tains complementary commodities, Osaka Economics Papers, 1 (1952),
101—113.

[2]	Prices, interest and profits in a dynamic Leontief system, Econometrica,
26, № 3 (1958), 358—380.

Моцки н (M о t z k i n T. S.)

[1] Beitrage zur Theorie der linearen Ungleichungen. Inaugural Dissertation,
Jerusalem, 1936.

Моцки н, Райфа, Томпсон, Тролл (Raiffa H., Thompson G. L.,
Thrall R. M.)

[1] Метод двойного описания. Сборник* [2], 81—109.

Найт (Knight F. Н.)

[1] A mote on professor Clark’s illustration of marginal productivity, J. of
Political Economics, 33, № 4 (1925), 550—553.

* H e г и с и (N e g i s h i T.)

(1]	The stability of a competitive economy: a survey article, Econometrica, 30,
№ 4 (1962), 635—669.

Нейман, Пирсон (Neuman J., Pearson E.)

[1]	On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses, Philo-
sophical transactions of the Royal Society, A-231 (1933), 289—337.

фон Нейман (von Neumann J.)

(1] К теории стратегических игр. Сборник [2], 173—204.

[2]	Uber ein okonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des
Brouwerschen Fixpunktsatzes, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloqui-
ums, 8 (1937), 73—83.

Английский перевод: A model of general economic equilibrium, Rev.
Econ. Studies, 13, № 1 (1945—46), 1—9.

[3]	Об одной нулевой игре двух лиц, эквивалентной задаче оптимального
назначения. Сборник [2], 145—155.

[4]	A numerical method to determine optimum strategy, Naval Res. Logist.
Quart., 1, № 2 (1954), 109—115.

фон Нейман, Моргенштерн (Morgenstern О.}

{1] Theory of games and economic behavior, 3d ed., Princeton, Princeton
Univ. Press, 1953.

* Немчинов В. C.

[1]	Экономико-математические методы и модели, М., Соцэкгиз, 1962, 410 стр.
Никайдо (Nikaido Н.)

[1]	On a minimax theorem and its applications to functional analysis, J. of
the Math. Soc. of Japan, 5, № 1 (1953), 86—94.

[2]	Note on the general economic equilibrium for non-linear production func-
tions, Econometrica, 22, № 1 (1954), 49—53.

[3]	On von Neumann’s minimax theorem, Pacific J. Math., 4, № 1 (1954).
* Ньюман (Newman Р.)

[1] Approaches to stability analysis, Economica (Engl.), 28, № 109 (1961),
12—29.

Нэш (N a s h J. F.J

[1] Equilibrium points in W-person games, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 36,
№ 1 (1950), 48—49.

H э ш, Ш e п л и (N a s h J. F., S h a p 1 e у L. S.)

{1] A simple three-person poker game. Сборник [10], 105—116.

Пейсаков (PeisakoffM. P.)

[1] Transformation parameters. Ph. D. Thesis, Princeton University, 1950.

Перлис (P e r 1 i s S.)7

[1] Theory of matrices, Cambridge (Mass.), Addison-Wesley, 1952.

Питман (P i t m a n E. J. G.)

[1]	The estimation of location and scale parameters of a continuous popula-
tion of any given form, Biornetrica, 30, № 3 (1939), 391—421.

[2]	Tests of hypotheses concerning location and scale parameters, Biornetrica,
31, № 2 (1939), 200—215.

Прагер (Prager W.)

[1]	On the role of congestion in transportation problems, Zeitschr. fur ange-
wandte Math. u. Meeh., 35 (1955), 381—396.

[2]	On the caterer problem, Manag. Sci., 3, № 1 (1956), 15—23.

Радемахер, Шенбер1г (Rademacher H., Schoenberg I. J.)

[1] Helly’s theorems on convex domains and Tchebycheff’s approximation
problem, Canadian J. Math., 2 (1950), 245—256.

Райли, Гасс (R i 1 e у V., G a s s S. I.).

[1] A bibliography of linear programming and associated techniques, Balti-
more, Johns Hopkins Univ. Press, 1958.

Рейтер (ReiterS.)

[1] Efficiency and prices in the theory of an international economy. Technical
Report № 13, Stanford University, 1954.

P e й н ф e л ь д, Фогель (R e i n f e 1 d N. V., V о g e 1 W. R.)

[1] Математическое программирование, M., ИЛ, 1960, 302 стр.

Рестрепо (Restrepo R.)

[1]	Tactical problems involving several actions. Сборник [9], 313—335.

[2]	Games with a random move (не опубликовано).

Робинсон (Robinson J.}

[1] Итеративный метод решения игр. Сборник [2], 110—117.

Рудин (Rudin W.)

[1] Principles of mathematical analysis, New York, McGraw-Hill,
1953.

Савидж (S a v a g e I. R.)

[1] Cycling, Naval Res. Logist. Quart., 3, № 3 (1956), 163—175.

С а й он (Sion M.}

[1] Некоторые общие теоремы о минимаксах. Сборник * [1], 40—46,

52 Зак. 1789
Сайо н, Вулф (Sion М., Wolfe P.J

[1] On a game without a value. Сборник [9], 299—305.

Самуэльсон (Samuelson Р. А.)

[1]	Foundations of economic analysis, Cambridge (Mass.), Harvard Univ.
Press, 1955.

(2]	A note on the pure theory of consumers’ behavior, Economica, 18 (1938),
61—71; 353—354.

. [3] Frank Knight’s theorem in linear programming, The RAND Corporation,
D-782, 1950. См. также Zeitschr. Nationaldkon., 18, № 3 (1958), 310—317,
[4] Abstract of a theorem concerning substitutability in open Leontief models.

Сборник [13], гл. VII.

* Cane (SuppesP.)

[1] Behavioristic foundations of utility, Econometrica, 28, № 2 (1960), 186—
202.

* Симо н ap (Simonnard M.}

[1] Programmation lineaire, Paris, Dunod, 1962, 419 p.

Слуцкий (SlutskyE.)

[1] Sulla teoria del bilancio del consumatore, Giornale degli Economists 51,
№ 1 (1915), 19—23.

Смит (S m i t h W. E.)

[1] Various optimizers for single-stage production, Naval Res. Logist. Quart.,
3, № 1 (1956), 59—66.

Солоу (Solow R. M.)

[1] On the structure of linear models, Econometrica, 20, № 1 (1952), 29—46.
Солоу, Самуэльсон (Solow R. M., Samuelson P. A.))

[1] Balanced growth under constant returns to scales, Econometrica, 21,
(1953), 412—424.

Сьюте (S u i t s D. В.)

[1] Dynamic growth under diminishing returns to scales, Econometrica, 22,
№ 4 (1954), 496—501.

*Тейл, Ван-де-Панне (Theil H., van de Panne C.)

[1] Quadratic programming as an extension of conventional quadratic maxi-
mization, Manag. Sci., 7, № 1 (1960), 1—20.

Томпсон (Th о m p s о n G. L);

[1] О решении одной задачи теории игр. Сборник [12], 372—381.

Удзава (Uzawa Н.)

[1]	On the logical relation between preference and revealed preference. Tech-
nical Report № 38, Dept, of Economics, Stanford University, 1956.

[2]	A note on the stability of equilibrium. Technical Report № 44, Dept, of
Economics, Stanford University, 1957.

[3]	A note on the Menger-Wieser theory of imputation. Technical Report № 45,
Dept, of Economics, Stanford University, 1957.

[4]	Градиентный метод для вогнутого программирования. II. Глобальная
устойчивость в строго вогнутом смысле. См. Эрр'.у, Гурвиц, Удзава.
гл. VII.
ФаньЦзи (Fan Ку)

[1]	Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear
spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38, № 2 (1952), 121 —126.

[2]	Теоремы о минимаксе. Сборник * [1], 31—39.

ФаньЦзи, Гликсберг, Гофман (Glicksberg L, Hoffman A. J.)

[1] Systems of inequalities involving convex functions, Proc. Amer. Math.
Soc., 8, № 3 (1957), 617—622.

Фаркас (Farkas J.)

[1] Theorie der einfachen Ungleichungen, J. fur reine a. angewandte Math.,
124, № 1 (1901), 1—27.

Феллер (Feller W.)

[1] Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М., ИЛ, 1952.

Фенхель (Fenchel W.)

[1] Convex cones, sets and functions. Lecture notes, Dept, of Math., Princeton
University, 1953.

Фергюсон, Сарджент (F'erguson R. O., Sargent I.. F.),

[1] Linear programming, New York, McGraw-Hill, 1958.

* Филип (P h i 1 i p J.)

[1]	A quadratic-programming method with error estimates for approximate
solutions, Z. Wahrscheinlichkeitstheor. u. verw. Geb., 1, № 3 (1953).

Флеминг (Fleming W. H.)

[1]	Об одном классе игр над пространством функций и родственных вариа-
ционных задач. Сборник * [1], 98—122.

Флуд (Flood М. М.)

[1]	On the Hitchcock distribution problem, Pacific J. Math., 3, № 2 (1953).
Форд, Фулкерсон (Ford L. R., Fulkerson D. R.)

[1]	Maximal flow through a network, Canadian J. Math., 8, № 3 (1956).

[2]	A simple algorithm for finding maximal network flows and an applica-
tion to the Hitchcock problem, Canadian J. Math., 9, № 2 (1957).

[3]	A primal-dual algorithm for the capacitated Hitchcock problem, Naval Res,
Logist. Quart., 4, № 1 (1957), 47—54.

[4]	* Flows in networks, Princeton, Princeton Univ. Press, 1962, 208 pp.
Готовится русский перевод.

Ф p а н к, В у л ф (F г a n k М., W о 1 f е Р.)

[1] An algorithm for quadratic programming, Naval Res. Logist Quart., 3,
№ 1—2 (1956), 95—110.

Фробениус (Frobenius G.J

[1] Uber Matrizen aus positiven Elementen, Sitzungsberichte Akad. Wiss.,
Phys.-math. KI., 8 (1908), 471—476.

Фулкерсон (Fulkerson D. R.)

[1] Hitchcock transportation problem, The RAND Corporation, P-890, 1956.

[2] A network-flow feasibility theorem and combinatorial applications (Notes
on linear programming, part XLV), The RAND Corporation, RM-2159,
1958.
* Хадли (Hadley G.)

[1] Linear programming, Reading (Mass.J — London, Addison Wesley, 1962,
520 p.

* Хан (Hahn F. H.)

[1] Gross substitutes and the dynamic stability of general equilibrium, Econo-
metrica, 26, № 1 (1958), 169—170.

Харди, Литльвуд, Полна (Hardy G. H., Littlewood J. E., Po-
ly a G.)

[1] Неравенства, M., Гостехиздат, 1949,

Хаутэккер (Houthakker H. S.)

[1]	Revealed preference and the utility function, Economica, 17 (1950),
159—174.

[2]	La forme des courbes d’Engel, Cahiers du Seminaire d’Econometric
(1953), 59-66.

[3]	* The capacity method of quadratic programming, Econometrica, 28, № 1
(1960), 62—87.

[4]	* The present state of consumption theory. A survey article, Econometrica,
29, № 4 (1961), 704—740.

Хельмер (He Im er О.)

[1] Open problems in game theory, Econometrica, 20, № 1 (1952), 90 (ab-
stract) .

Хикс (H i c k s J. R.)

[1] Value and capital, Oxford, Oxford University Press, 1953.

Хильдрет (Hildreth CJ

[1] A quadratic programming procedure, Naval Res. Logist. Quart., 4, № 1
(1957), 79—85.

Хичкок (Hitchcock F. L.)

[1] Distribution of a product from several sources to numerous localities,
J. Math. Phys., 20, № 2 (1941), 224—230.

Хокинс, Саймон (Hawkins D., Simon H. A.J

[1] Note: Some conditions of macroeconomic stability, Econometrica 17, № 2
(1949), 245—248.

X о н, M о д и л ь я н и (Hohn F. Е., М о d i g I i a n i F.J

(1] Production planning over time and the nature of the expectation and
planning horizon, Econometrica, 23, № 1 (1955), 46—66.

Ч a p н с (C h a r n e s A.)

[1] Optimality and degeneracy in linear programming, Econometrica, 20,
№ 2 (1952), 160-170.

Чарнс, Купер (Cooper W. W.)

[1] Generalizations of the warehousing model, Operat. Res. Quart., 6,
№ 2 (1955), 131—172.

[2] * Management models and industrial applications of linear program-
ming. Volumes I—II. New York, Wiley, 1961.
* Чарнс, Купер, Кортанек (К о г t a n е к К.}

[1]	Duality, Haar programs and finite sequence spaces, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 48, № 6 (1962), 783—786. '

[2]	Duality in semi-infinite programs and some works of Haar and Caratheo-
dory, Manag. Sci., 9, № 2 (1963), 209—228.

[3]	A duality theory for convex programs with convex constraints, Bull. Amer.
Math. Soc., 68, № 6 (1962), 605—608.

Чарнс, Купер, Хендерсон

[1] Введение в линейное программирование, М., Изд. МГЭИ (1960), 97.

Ч е н е р и (С h е п е г у Н. В.)

[1] The role of industrialization in development programs, Amer. Econ. Re-
view, 45, № 1 (1955), 40—56.

Ченери, Кречмер (CheneryH. В., Kr et ch m er K. S.)

[1] Resource allocation for economic development, Econometrica, 24, № 3,
(1956), 365—399.

Ченери, Удзава (Uzawa H:)

{1] Применение нелинейного программирования к вопросам экономического
развития. См. Эрроу, Гурвиц, Удзава, [1], гл. XV.

Черчман, Аккофф, Арнофф (Churchman С. W., Ack off R. L.,
А г п о f f Е. L.)

{1] Introduction to operations research, New York, Wiley, 1957, 655 p.

* Чипмэн (Chipman J. S.}

[1] The foundations of utility, Econometrica, 28, № 2 (1960), 193—224.

Шёнберг (Schoenberg I. J.)

[1] On smoothing operations and their generating functions, Bull. Amert
Math. Soc., 59 (1953), 199—230.

* Шёнфельд (Schonfeld P.)

[1] Grundziige der Theorie der faktischen Praferenz («Revealed preference»},
Zeitschr. Nationaldkon., 22, № 3 (1962), 292—336. Библиография 40 назв.
Шепли (Shapley L. S.)

[1]	The theory of n-person games (неопубликованные заметки).

[2]	The silent duel, one bullet vs. two, equal accuracy, The RAND Corpora-
tion, RM-445, 1950. См. также Дрешер [2].

[3]	An example of an infinite non-constant — sum game, The RAND Corpora-
tion, RM-898, 1952.

Ш e п л и, С н о у (S h a p 1 e у L. S., S n о w R. N.)

[1] .Basic solutions of discrete games. Сборник [10], 27—37. См. также сбор-
ник * [2].

Ш е р м а н (S h е г m a n S.)

[1] Games and subgames, Proc. Amer. Math. Soc., 2, № 2 (1951), 186—187.
Шифман (Shiftman M.)

[1] On the equality of min max = max min, and the theory of games, The
RAND Corporation, RM-243, 1949.

[2] Игры с выбором момента времени. Сборник* [1], 218—248.
Ш т и г л е р (S t i g 1 е г G.

[1] The cost of substance, J. of Farm. Economics, 27 (1945), 303—314.

Эйземан (E i sem a n n К.)

[1] Linear programming. Quart. Appl. Math., 13, № 3 (1955), 209—232.

* Эйзенберг (Eisenberg E.)

[1] Duality in homogeneous programming, Proc. Amer. Math. Soc., 12, № 5
(1961), 783—787.

Эйленберг, Монтгомери (Eilenberg S., Montgomery D.)
[1] Fixed point theorems for multivalued transformations, Amer. J. Math., 68,
№ 2 (1946), 214—222.

Э н т x о в e н, Эрроу (E n t h о v e n A. C., Arrow K. J.)

[1] A theorem on expectations and the stability of evuilibrium, Econometrica,
24, № 3 (1956), 288—293.

Эрроу (А г г о w К. J.)

[1] Alternative proof of the substitution theory for Leontief models in the ge-
neral case. Сборник [13], гл. IX.

[2] An extension of the basic theorems of classical welfare economics. Сбор-
ник [7], 507—532.

Эрроу, Баранкин E. В., Блекуэлл Д. (Barankin Е. W., Black-
well D.)

[1] Допустимые точки выпуклых множеств. Сборник* [2], 274—280.

Эрроу, Блок, Гурвиц (Block D., Hurwicz L.)

[1] On the stability of the competitive equilibrium, II, Econometrica, 27, № 1
(1959), 82—109.

Эрроу, Гаррис, Маршак (Harris T. E., Marschak J.)'

[1]	Optimal inventory policy, Econometrica, 19, № 3 (1951), 250—272.

Эрроу, Гурвиц (Hurwicz L.)

[1]	Reduction of constrained maxima to saddle-point problems. Сборник [8],
- V, 1—20.

[2]	Градиентный метод для вогнутого программирования. I. Локальные ре-
зультаты. См. Эрроу, Гурвиц, Удзава [1], гл. VI.

[3]	On the stability of the competitive equilibrium, I, Econometrica, 26, № 4
(1958), 522—552.

Эрроу, Гурвиц, Удзава (Uzawa H.)

[1]	Исследования по линейному и нелинейному программированию, М., ИЛ,
1962, 334 стр.

[2]	* Constraint qualification in maximization problems, Naval Res. Logist.
Quart., 8, № 2 (1961), 175—191.

Эрроу, Дебрё (Debreu G.)y

[1] Existence of an equilibrium for a competitive economy, Econometrica, 22,
№ 3 (1954), 265—29*0.

Э p p о у, К a p л и н (К a r I i n S.J

[1] Торговые операции в условиях полной определенности, См. Эрроу, Гур-
виц, Удзава [1], гл. ХШ,
Эрроу, Карлин, Скарф (Scarf Н.)

[1] Studies in the mathematical theory of inventory and production, Stanford,
California, Stanford University Press, 1958.

Эрроу, Мак-Манус (McManus M.)

[1] A note on dynamic stability, Econometrica, 26, № 3 (1958), 448—454.
Эрроу, Нерлав (Nerlove M.)

[1] A note on expectation and stability, Econometrica, 26, № 2 (1958).

* Эрроу, Энтховен (Enthoven A. C.)

[1]	Quasi-concave programming, Econometrica, 29, № 4 (1961), 779—800.

СБОРНИКИ

[1]* Бесконечные антагонистические игры (под ред. Н. Н. Воробьева), М.,
Физматгиз (1963), 503.

(2]* Матричные игры (под ред. Н. Н. Воробьева), М., Физматгиз, 1961,
280 стр.

[3]* Применение математики в экономических исследованиях (под ред.
В. С. Немчинова), М., Соцэкгиз, 1959, 486 стр.

[4]* Применение математики в экономических исследованиях, том 2 (под
ред. В. С. Немчинова), М., Соцэкгиз, 1961, 535 стр.

[5]* Применение теории игр в военном деле (под ред. В. О. Ашкенази), М.,
Сов. Радио, 1961, 359 стр.

[6]	Linear programming, Proceedings of the Second Symposium (vol. I—II),
National Bureau of Standards, U. S. Dept, of Commerce, January 27—29,
1955.

[7]	Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Stati-
stics and Probability, ed. J. Neyman. Berkeley and Los Angeles, Univer-
sity of California Press, 1951.

[8]	Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics
and Probability. Berkeley and Los Angeles, University of California
Press, 1955, Volumes I—V.

[9]	Дрешер, Таккер, Вулф, ред. (D resher M., Tucker A. W.,
Wolf e P.)

Contributions to the theory of games, vol. Ill (Ann. of Math. Studies,
vol. 39). Princeton, Princeton University Press, 1957.

[10]	К у н, T а к к e p, ред. (Kuhn H. W., Tucker A. W.J
Contributions to the theory of games, vol. I (Ann. Math. Studies, vol. 24),
Princeton, Princeton University Press, 1950.

[11]	Contributions to the theory of games, vol. II (Ann. Math. Studies,
vol. 28), Princeton, Princeton University Press, 1953.

[12]	Линейные неравенства и смежные вопросы. Сборник статей. С прило-
жением книги С. Вайда, Теория игр и линейное программирование,
М., ИЛ., 1959, 470 стр.
[13]	Купмане, ред. (Koopmans Т. С.)

Activity analysis of production and allocation. (Cowles Commission Mo-
nograph № 13). New York, Wiley, 19*51.

[14]	Лью с, Таккер, ред, (Luce R. D., Tucker A. W.)
Contributions to the theory of games, vol. IV (Ann. Math. Studies,
vol. 40), Princeton, Princeton Univ. Press, 1959.

[15]* Дрешер, Шепли, Таккер, ред. (Dr esher M., Shapley L. S.,
T u c k e r A. W.)

Advances in game theory (Ann. Math. Studies, vol. 52), Princeton, Prin-
ceton Univ. Press (в печати).

СПИСОК СОАВТОРОВ

Аккофф (Ackoff R. L.) см. Черчман, Аккофф, Арнофф

Арнофф (Arnoff Е. L.) см. Черчман, Аккофф, Арнофф

Баранкин (Barankin Е. W.) см. Эрроу, Баранкин, Блекуэлл

Блекуэлл (Blackwell) см. Эрроу, Баранкин, Блекуэлл

Блок (Block D.) см. Эрроу, Блок, Гурвиц

Вальд (Wald А.) см. Данциг, Вальд

Ван-де-Панне (van de Раппе С.) см. Тейл, Ван-де-Панне

Вулф (Wolfe Р.) см. Сайон, Вулф

Франк, Вулф

Гаррис (Harris Т. Е.) см. Эрроу, Гаррис, Маршак

Гасс (Gass S. I.) см. Райли, Гасс

Гиршик (Girshick М. А.) см. Беллман, Гиршик

Блекуэлл, Гиршик

Гликсберг (Glicksberg I.) см. Беллман, Гликсберг, Гросс

Фань Цзи, Гликсберг, Гофман

Гофман (Hoffman A. J.) см. Гаддум, Гофман, Соколовский

Данциг, Гофман

Фань Цзи, Гликсберг, Гофман

Гросс (Gross О.) см. Беллман, Гликсберг, Гросс

Гейл, Гросс

Гликсберг, Гросс

Гурвиц (Hurwicz L.) см. Эрроу, Блок, Гурвиц

Эрроу, Гурвиц

Эрроу, Гурвиц, Удзава

Данциг (Dantzig G. В.) см. Гирш, Данциг

Дебрё (Debreu G.) см. Эрроу, Дебрё

Джилмен (Gillman L.) см. Данскин, Джилмен

Карлин (Karlin S.) см. Боненбласт, Карлин

Боненбласт, Карлин, Шепли

Дрешер, Карлин

Дрешер, Карлин, Шепли

Эрроу, Карлин

Эрроу, Карлин, Скарф
Кларк (Clark Н. Е.) см. Брауншвейгер, Кларк

Кортанек (Kortanek KJ см. Чарнс, Купер, Кортанек

Крейн М. Г. см. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г.

Крелле (Krelle W.) см. Кюнци, Крелле

Кречмер (Kretc'hmer К. S.) см. Ченери, Кречмер

Кун (Kuhn Н. W.) см. Гейл, Кун, Таккер

Купер (Cooper W. WJ см. Чарнс, Купер

Чарнс, Купер, Кортанек

Чарнс, Купер, Хендерсон

Кэнти (Cantey W. Е.) см. Болдуин, Кэнти, Майзель, Мак-Дермот

Литльвуд (Littlewood J. Е.) см. Харди, Литльвуд, Полна

Майзель (Maisel Н.) см. Болдуин, Конти, Майзель, Мак-Дермот

Мак-Дермот (Me Dermott J. PJ см. Болдун, Конти, Майзель, Мак-Дермот

Мак-Лейн (Mac Lane S.) см. Биркгофф, Мак-Лейн

Мак-Манус (М. Manus MJ см. Эрроу, Мак-Манус

Манн (Manne A. SJ см. Марковиц, Манн

Маршак (Marschak JJ см. Эрроу, Гаррис, Маршак

Мейберри (Meyberry J. Р.) см. Джиллис, Мейберри, фон Нейман

Модильяни (Modiliani F.) см. Хон, Модильяни

Монтгомери (Montgomery DJ см. Эйленберг, Монтгомери

Моргенштерн (Morgenstern OJ см. Кемени, Моргенштерн, Томпсон
фон Нейман, Моргенштерн

фон Нейман (von Neumann J.) см. Браун, фон Нейман

Джиллис, Мейберри, фон Нейман

Нерлав (Nerlove М.) см. Эрроу, Нерлав

Орден (Orden AJ см. Данциг, Орден, Вулф

Пирсон (Pearson EJ см. Нейман, Пирсон

Полна (Polya G.) см. Харди, Литльвуд, Полна

Райфа (Raiffa Н.) см. Льюс, Райфа

Моцкин, Райфа, Томпсон, Тролл

Рейтер (Reiter SJ см. Купмане, Рейтер

Рестрепо (Restrepo R.) см. Карлин, Рестрепо

Рутман М. А. см. Крейн М. Г., Рутман М. А.

Саймон (Simon Н. А.) см. Хокинс, Саймон

Самуэльсон (Samuelson Р. А.) см. Солоу, Самуэльсон

Сарджент (Sargent L. Е.) см. Фергюсон, Сарджент

Сенгупта (Sengupta S. SJ см. Арнофф, Сенгупта

Скарф (Scarf Н.) см. Эрроу, Карлин, Скарф

Соколовский (Sokolowsky D.) см. Гаддум, Гофман, Соколовский

Сноу (Snow R. N.) см. Шепли, Сноу

Таккер (Tucker A. WJ см. Гейл, Кун, Таккер

Голдман, Таккер

Кун, Таккер

Томпсон (Thompson G. L.) см. Кемени, Моргенштерн, Томпсон

Моцкин, Райфа, Томпсон, Тролл
Трефетен (Trefethen F. N.) см. Мак-Клоски, Трефетен
Тролл (Thrall R. М.) см. Моцкин, Райфа, Томпсон, Тролл
Удзава (Uzawa Н.) см. Ченери, Удзава

Эрроу, Гурвиц, Удзава

Фогель (Vogel W. R.) см. Рейнфельд, Фогель
Фулкерсон (Fulkerson D. R.) см. Форд, Фулкерсон
Хендерсон (Henderson А.) см. Чарнс, Купер, Хендерсон
Херштейн (Herstein I. N.) см. Дебрё, Херштейн
Шепли (Shapley L. S.) см. Боненбласт, Карлин, Шепли

Дрешер, Карлин, Шепли
Карлин, Шепли
Нэш, Шепли

Шенберг (Schoenberg I. J.) см. Радемахер, Шенберг
Шерман (Scherman SJ см. Гейл, Шерман
Шифман (Shiffman M.J см. Беллман, Шифман

Блекуэлл, Шифман

Энтховен (Enthoven А. С.) см. Эрроу, Энтховен
Эрроу (Arrow К. J.) см. Энтховен, Эрроу
Абстрактный ряд Неймана 521

Аддитивный класс множеств 794

Акселератор (accelerator) 334

Аксиомы выявленного предпочтения
(axioms of reveled preference)
317

Активная (essential) стратегия 53

Алгебраическая кратность собствен-
ного числа 770

-----------матрицы 290

Алгебраическое дополнение 768 •

Анализ отношений доминирования
(dominance structure), примеры
106, 107

— производственных процессов (acti-
vity analysis) 21, 145, 303

— систем 14

Аналитическая игра 431

Антагонистическая игра 27

-----решение 53

Апериодическая матрица 299

Аппроксимация полиномами 271

Асколи теорема 792

Бабочкообразная (butterfly-shaped)
игра 574

Бабочкообразные ядра 574

Базис 743, 744

Безразличный вектор 312

Бесконечномерные пространства стра-
тегий 18

Бесконечные игры, решение 436

Бесшумная дуэль (silent duel) 510

-----с произвольными функциями
меткости 546

Блок-диагональная форма 753

Блочная матрица 777

Брауэра теорема о неподвижной точ-
ке 322, 793

Валовые дополнения (gross comple-
ments) 342

— заменители (gross substitutes) 342,
355

Вальраса закон 352, 357

Вариационная задача, использование

леммы Неймана — Пирсона 627

Вариация знака функции 596

Вектор безразличный 312

— допустимый (feasible) 308, 344

—	избыточного спроса (excess de-
mand vector) 352

—	осуществимый (admissible) 308

—	спроса (demand vector) 352

—	условных оценок (shadow — price)
146

—	цен (price vector) 352

Векторная задача максимизации (vec-
tor maximum problem) 253

—	система для матрицы 217

Векторное пространство веществен-
ное 741

Вероятностная мера 795

Верхнее значение (upper value) игры
34

Внутренняя и относительно внутрен-
няя точки множества 466

Вполне положительные (В. П.) ма-
трицы 778

—• смешанная игра (completely mixed
game) 51

--- матричная игра 69

--- стратегия 423

Вогнутое (concave) программирова-
ние 235

Выбор портфеля ценных бумаг (port-
folio selection) 241

Выигрыш (payoff) 29

Выпуклая оболочка 782

— функция 788
Выпуклое множество 779

—	ядро 426

Выпуклые конусы 149

Выпуклый выигрыш 493

—	конус 785

Вырожденная (separable) игра 425,
445

----структура множества решений
461

— матрица как предел последова-
тельности невырожденных 770

Вырожденное ядро 424

Вырожденные и невырожденные ото-
бражения 751

Вычисление потока в сети 210

Выявленное предпочтение (revealed
preference) 316

Геометрическая кратность собствен-
ного числа 756

----------матрицы 290

Геометрическое представление стра-
тегий 40

Гиперплоскость 745, 780

Глобальная устойчивость (global sta-
bility) 361

----процесса 355

----формулировка в терминах раз-
ностных уравнений 378

Градиентный метод Эрроу — Гурвица
249

Граничные точки (boundary points)
260

Дважды стохастическая (double sto-
chastic) матрица 162

Двойственная задача 202

----в линейном программировании
145

------------- геометрическая интер-
претация 149

Двойственность для выпуклых мно-
жеств 259

— для задачи о потоке в сети 172

Двойственный конус 786

— симплекс-алгорифм- 203

Двупальцевая мора (two-finger Мог-
га) 32

Детерминированные модели 18

Диагональная матрица 759

Диагональный блок 753

Динамическая задача принятия реше-
ний 16

Доминирующая диагональ (dominant
diagonal) 372

Дополнение 744, 745

— ортонормальное 745

Допустимая программа (feasible pro-
gram) 141

Допустимое число 528

Допустимые значения 38

Допустимый вектор 308, 344

Дополнительные (complementary) то-
вары 358

Доход компенсированный (compensa-
ted income) 317

Дуэль бесшумная (silent duel) 510

-----с произвольными функциями
меткости 546

— двух пулеметчиков (the two-machi-
ne-gun duel) 643

—	смешанная (silent-noisy duel) 513

—	снайпера с пулеметчиком (the figh-
ter-bomber duel) 632, 636

—	шумная (noisy duel) 508

Единственность оптимальных страте-
гий 95

Жорданова каноническая форма ма-
трицы 753

Задача аппроксимации полиномалии
271

Задача вогнутого (concave) програм-
мирования 235

Задача I и задача II — двойственные
задачи в линейном программирова-
нии 145

Задача линейного программирования
141

------- формулировка 142

—	максимизации минимальной ком-
поненты (minimum component maxi-
mum problem) 281

—	Неймана — Пирсона 623

— нелинейного программирования 141

—	о диете (diet problem) 143

—	о максимальном потоке в сети,
алгорифм 210

—	о назначениях (assignment) 21

—	об обороне участка (military situa-
tion of area defense) 427

— об оптимальном назначении (opti-
mal assignment problem) 161

-------как частный случай транс-
портной задачи 168

-------сведение к решению игры
162
Задача о поставщике (caterer’s prob-
lem) 174

-------сведение к транспортной за-
даче 175

— о потоках в сетях (network flow
problem) 169

— о простой монополии (problem of
simple monopoly) 335

— о рациональном использовании
склада (warehouse storage problem)
144, 158

— о седловой точке для нелинейного
программирования 255

— об управлении запасами (invento-
ry problem) 21

— поиска (search problem) 654

— принятия решений в случае более
чем одного участника 18

-----решения 13

------- в случае одного участни-
ка 18

-------динамическая 16

------- классификация 16

-------многошаговая (decision pro-
blems) 21

------- статическая 16

Задачи динамического программиро-
вания 21

— линейного программирования,
связь с теорией игр 154

Закон Вальраса 352, 357

Заменимость валовая (gross substitu-
tability) 355

----- строгая 355

Заменители (substitutes) 355

Замкнутая функция 256

Замкнутое множество индексов 298

Замыкание 257

Замыкание функции (closing the func-
tion) 257

Значение игры 418

-----верхнее (upper value) 34

— — вычисление при помощи диф-
ференциальных уравнений 224

-----нижнее (lower value) 35

-----приближенное вычисление (дис-
кретный метод) 214

— разреза (value of a cut) в сети
172

Значения допустимые 38

Игра 29

— аналитическая (analytic) 431

— антагонистическая 20, 27

-----решение 53

Игра, верхнее значение (upper value)
34

—	вполне определенная 43

---смешанная (completely mixed)
51, 69

— в крестики и нолики (ticktacktoe)
28

—	в обобщенной форме (games in
extensive form) 31

—	в покер (poker game) 110

—	в прятки (hide-and-seek game) 167

—	выпуклая непрерывная 484

— вырожденная (separable) 425,
445

— дуэль снайпера с пулеметчиком
(fighter-bomber duel) 433

—	значение 418

—	инвариантная 609

--- к группе преобразований 432

— как тройка {X, Y, К} 417

— колоколообразная (bell-shaped)
431, 599

—	конволюционная (convolution) 609

—	конечная выпуклая 446

—	«красная собака» (Red Dog) 664

— матричная 30

— Минковского — Леонтьева, связь с
моделью Леонтьева 311

— на единичном квадрате (on the
unit square) 421

----------вырожденная 446

---упорядоченных множествах
(ordered set game) 71

— нижнее значение (lower value) 35

— нулевая 20

— обладающая значением 43

— обобщенно выпуклая 483, 488

— «опознание своего и неприятеля»
(indentation of Friend and Foe —
I. F. F. game) 107

— «подводная лодка и самолет» 431

—	позиционная 31

—	покер 434

—	полиномиальная 426

— «политическая кампания» 493

—	полковника Блотто (Colonel Blot-
to game) 106

—	«проходящий туз» (Le Her) 128,
689

— решение 418.

— с аналитическим ядром 589

---выбором момента времени (ga-
me of timing) 428

----------интегральные уравнения
517

---------- класса I 556
Игра с выбором момента времени с
полной информацией (of complete
indormation) 430, 556
------- нескольких моментов време-
ни 565

-----выпуклым Выигрышем 493

-----вырожденным (separable), яд-
ром 424

----- канторовским распределением
591

-----нулевой суммой (zero-sum) 20,
27

— седловая точка 424

— симметричная 51, 424

— существенная часть (essential part)
84

— «у кого старше, тот выигрывает»
(higt hand wind) 693

—	ядро 29

Игры с выбором нескольких момен-
тов времени (games of timing in-
volving several actions) 565

----------------существование ре-
шения 571

-----единственными оптимальными
стратегиями 95

—	редуцированные (reduced) 84

Инвариантная стратегия 610

Инвариантное множество 610

Инвариантные игры 609

Индекс полезности (utility index)'
312

— собственного числа матрицы 290

Интеграл Лебега — Стильтьеса 796
— нижний, верхний 796

Интегральные уравнения для бабоч-
кообразных ядер 579

-------игр с выбором момента
времени 517

-----с положительными ядрами 526

Интегральный оператор общий 526

Интегрируемость относительно веро-
ятностного распределения 796

Интенсивность базисного технологи-
ческого способа 304

— экономики 304

Информация полная (complete infor-
mation) 430

Инцидентность 170

Искусственные переменные (artificial
variables) 199

Источник (source) 170

Итеративный процесс вычисления зна-
чения игры 214

-------------скорость сходимости
217

Какутани теорема о неподвижной
точке 793

Камень, мешок и ножницы (stone,
р^рег and scissors) 45

Квадратичная форма 763

Квадратичные формы унитарно-экви-
валентные 764

Квазиопределенная (отрицательно)
матрица 356

Квазиустойчивость 376

Класс борелевских множеств 794

Классическая леонтьевская модель
производства (classical Leontief
production model) 306

Коллективная торговля (collective
bargaining) 120

Колоколообразная (bell-shaped) игра

431, 599

Колоколообразное (bell-shaped) ядро
431, 595

Компенсированное изменение дохода
(compensated income change) 317

Компенсированный доход (compen-
sated income) для цены 317

Композиция сопряженных функций
(composition of conjugate functions)
260

Конволюционная (convolution) игра
609

Конечная выпуклая игра 446

Конечномерные пространства страте-
гий 18

Конечные выпуклые игры, метод не-
подвижной точки 448

--------соотношения между размер-
ностями 453

Конечные представления, конструк-
тивный метод получения 278

Конечный спрос (final demand)
286

Конкурентное равновесие (competitive
equilibrium) 330

----- в случае многих потребителей
345

---------- одного потребителя 345

Конструктивный метод получения ко-

нечных представлений 278

Конус двойственный (сопряженный)
785

— натянутый на множество 785

Конусы выпуклые многогранные
787

-----полярные, сопряженные 149

Крайняя точка (extreme point) 192,
785

-----характеристика 194
Лагранжа форма для задачи линей-
ного программирования 148

Лебега — Стильтьеса интеграл 796

Лексикографическая упорядоченность
777

Лемма Неймана — Пирсона 623

— об отделении многогранника ги-
перплоскостями 149

Леонтьева динамическая модель 394

Лешателье принцип слабый обобщен-
ный 186

Линейная оболочка 743

Линейно независимые векторы 743

Линейное преобразование 745

—	программирование 141

—	пространство нулей матрицы 87

Линейные уравнения 749

Линейный функционал 749

Локальная устойчивость 356

Мажоранты игры 49

Максимальная матрица 155

Маргинальная склонность к импорту

(marginal propensity to import) 287

Матрица 747

—	апериодическая 299

—	блочная 777

— вполне положительная (В. П.) 778

— дважды стохастическая (doubly
stochastic) 162

— жорданова каноническая форма
753

— инциденции (incidence matrix) уз-
лов и дуг сети 231

— капитальных коэффициентов (capi-

tal coefficient matrix) 395

—	квадратная 747

—	максимальная 155

—	Метцлера 299

—	минимальная 156

— Минковского — Леонтьева 69, 70

—	наиболее эффективная 95

—	неразложимая 298

—	норма 771

—	нормальная 761

—	обратная 751

—	ортогональная 762

— отрицательно квазиопределенная
(negative quasi-difinite) 356

--- определенная 385

— перестановок 298

— перестановочная (permutation) 161,
298

— периодическая 299

— положительная 289

Матрица присоединенная (adj (М))
66, 770

— разложимая 298

— редуцированной (reduced) игры 84

— седловая точка 42

— слабо вполне положительная 779

— сопряженная транспонированная
760

—	стохастическая 760

—	унитарная 762

— унитарно эквивалентная (унитар-
но подобная) 762

—	устойчивая 356 *

—	циклическая 72

—	эрмитова 761

Матрицы вырожденность, обрати-
мость 751

— сложение и умножение на скаляр
748

Матричная игра 30

---вполне смешанная (completely
mixed matrix game) 69

---соответствие с игрой на еди-
ничном квадрате 421

Межотраслевая модель нелинейного
программирования (interindustry
nonlinear programming model) 242

Мера вероятностная 795

---вырожденная 420

—	спектр 423

—	Хаара 613

Метод Джекобса, сведения задачи
линейного программирования 176

— Неймана — Пирсона 23

— неподвижной точки 448

— сопряженных конусов (method of
dual cones) 457

Метцлера матрицы 299

Минимальная матрица 156

Минковского — Леонтьева матрица
69, 70

Минор 768

Миноранты игры 49

Многошаговая модель 16

Многошаговые задачи принятия ре-
шений (multistage decision prob-
lems), 21

Множества производственных воз-
можностей (production possibility
sets) 305

Множество инвариантное 610

— индексов замкнутое 298

— оптимальных стратегий (sets of
optimal strategies), выпуклость 420
-------соотношение размерностей

81. 82
Множество соприкосновения 464 .

Модели детерминистские 18

— равновесия нелинейные (nonlinear
models of equilibrium) 320

Модель 14

— анализа производственных про-
цессов (activity analysis problem}
145

----------- двойственная задача 146

— биржевой игры (price speculation
model) 180

— включающая случайные величины
14

— динамическая (многошаговая) 16

— Леонтьева, вычислительные мето-
ды 310

----динамическая 394

----замкнутая (clossed	Leontief
model) 287

-------нелинейный анализ 321

---- классическая 306

----открытая (open) 287

----связь с играми Минковского —
Леонтьева 311

— покера (poker model) 33, НО

----с двумя кругами ставок 676

-------несколькими повышениями
683

----------- размерами ставки 669

-------одним кругом ставок и од-
ним размером ставки 666

— равновесия (equilibrium) 14

----конкурентной экономики (equi-
librium model of a competitive eco-
nomy) 328

—	расширяющейся экономики фон
Неймана (von Neumann model of
an expanding economy) 389, 394

—	сбалансированного роста общая
391

—	с переменными ценами (model
with variable prices} 322

•----------и объемами выпуска

(model with variable prices and vo-
lumes} 324

—	статическая 16

—	торговли между странами замкну-
тая 288

—	Эрроу— Дебре 331

Модулярность конусов 786

Моменты 467

— обобщенные 470

Мультипликатор (multiplier) 334

Наилучшая аппроксимация заданной
функции полиномом 273

Натянутый на множество конус 785

Неймана абстрактный ряд 521
фон Неймана модель расширяющейся
экономики 389, 394

Неймана — Пирсона задача 623

-----лемма 623

----- метод 23

Нелинейное программирование 234

Ненормированный процесс 359

Неотрицательная функция множеств
794

Неподвижная точка отображения
449

-----численное нахождение 450

Непрерывная в точке функция 791

— выпуклая игра 484

— на множестве функция 791

Непрерывное отображение 793

Неравенство Чебышева 404

Неразложимая (indecomposable) мат-
рица 298

Нижнее значение игры 35

Норма матрицы 771

Нормальная матрица 761

Нормированный процесс 354

Нулевая игра двух лиц 20

Область ставок непрерывная 696

Обобщенно-выпуклая игра 483, 488

Обобщенные моменты 470

Оболочка множества 785

Обратимые преобразования 751

Обратная матрица 751

-----выражение через присоединен-
ную 770

Общая теорема Вальда об уравне-
ниях равновесия (general theorem
of Wald on the equilibrium equa-
tions) 325

Объединение множеств 794

Ограниченность отображения 331

Однородная система линейных урав-
нений 750

Ожидаемый выигрыш 421

Опознание своего и неприятеля (iden-
tification of Friend and Foe —
I. F. F. game} 107

Опорная гиперплоскость 780

— функция (support function) 264

Определитель 768

Оптимальная программа (optimal pro-
gram) 141

— стратегия 418

----- бабочкообразной игры, свой-
ства 574 и далее
Оптимальная стратегия выпуклой
непрерывной игры 486

---- геометрическая интерпретация
459

----имеющая полный вес (optimal
strategy having full weigh) 83

----конечного типа, существование
461

----обобщенно-выпуклой игры 489

---- полиномиальной игры 474

---- свойства 51

Оптимум Парето 341, 343

---- характеризация 347

Ортогональная матрица 762

— проекция 762

----вектора на гиперплоскость 760

Ортогональное дополнение 745, 760

Ортогональные элементы 742

Ортонормальный базис 744

Остаточная изменчивость товара (re-
sidual variability of the commodity)'
319

Осуществимое (admissible) число 323

Осуществимый (admissible) вектор
308

Относительно внутренняя точка мно-
жества 466

Отношение предпочтения (preference
relation) 49, 312

Отношения доминирования (dominan-
ce structure), примеры аналйза 106,
107

—	R® и R* 316

Отображение вырожденное, невырож-
денное 751

—	сингулярное 751

— точечно-множественное 793

----непрерывное 793

----полунепрерывное сверху (сни-
зу) 793

Отрасль (industry) 286

Парето оптимум 341, 343

Пересечение множеств 794

Перестановка (permutation) 161

Перестановочная (permutation) мат-
рица 161, 298

Периодическая матрица 299

План эффективный 396

Плотность распределения 795

Подопределитель 769

Подпространство 743

Позиционная игра 31

Покер (poker) ПО, 434

— с двумя кругами ставок 676

Покер с несколькими повышениями
683

-------размерами ставки 669

----- одним кругом ставок и одним
размером ставки 666

-----одновременными ходами 687

Полунепрерывная сверху (снизу) в
точке функция 791

Полунепрерывное сверху (снизу) ото-
бражение 793

Полярные конусы 149

Полиномиальная игра 426, 472

----- со значением нуль 479

-----существенная стратегия 473

-----существование оптимальных
стратегий 463

Полная информация (complete infor-
mation) 430

Полное пространство стратегий (full
strategy space), пример ПО

Полный вес (full weight) стратегии
83

Половина точки 469

Положительные матрицы 289

Полунепрерывность сверху отображе-
ния 331

Полюс матрицы 292

Построение матрицы по заданным
оптимальным стратегиям 90, 94

Поток в сети (network flow) 169, 170

Потребляющая единица (consumption
unit) 328

Правильная частота функции

Предвыборная кампания (election
campaign) 116

Преобразование «на» 750

Преобразования, вырожденность, об-
ратимость 751

Пример рекламы (an advertising
example) 116

— торгов (a bergaining example) 120

Принцип двойственности для выпук-
лых множеств 259

— доминирования (dominance prin-
ciple) 53

— Лешателье слабый, обобщенный
186

— минимакса (minimax) 20

Присоединенная матрица 770

-----(adj (М)) 66

Проблема распределения рекламных
усилий (the general question of how
to distribute advertising effort),
пример 116

Программа допустимая (feasibl pro-
gram) 141
Программа оптимальная (optimal
program) 141

Программирование линейное, нели-
нейное 141

—	нелинейное 234

Проекция 762

Произведение преобразований 748

Производственная единица (produc-
tion unit) 328

Производственные коэффициенты
(production coefficients) 287

Производство эффективное (efficient)
396

Пропускная способность (flow capa-
city) дуги 170

Прообраз нуля в отображении с мат-
рицей 87

Пространства стратегий конечномер-
ные, бесконечномерные 18

Пространство векторное веществен-
ное, унитарное 741

—	Еп 741

—	моментов классическое 467

—	нулей матрицы линейное 87

— Un 741

«Проходящий туз» (Le Her game) 128

Путь (chain) в сети 172

Равновесный вектор цен (equilibrium
price vector) 352

-------существование для разност-
ных уравнений 378, 379

Равномерно непрерывная функция 791

Равностепенно непрерывная функция
792

Разложимость матриц 298

Размер (seze) стратегии 463

Размерность 744

— грани в точке 464

— наименьшего линейного много-
образия 464

— соприкосновения в точке 464

Разность множеств 794

Разрез (cut) в сети 172

Ранг 749

Распределение рекламных усилий
(distribution advertising effort), при-
мер 116

Расширяющаяся экономика (expan-
ding economy) фон Неймана 389,
394

Регулирование- цен во времени при
помощи разностных уравнений 378

Регулярная частота функции Пойа
595

Редуцированная матрица 95

Редуцированные (reduced) игры 84

Решение антагонистической игры 53

—	бесконечных игр 437

—	игры 418

Ряд Неймана абстрактный 521

Самуэльсона теорема о замещении
307

Сбалансированный рост (balanced
growth) 389, 393

Свободные переменные (slack variab-
les) 192

Седловая точка игры 424

----матрицы 42

----формы Лагранжа 148

----ядра (saddle point of the ker-
nel) 236

Сеть (network) 169, 170

Сильвестра теорема 775

— тождество 773

Сильная аксиома выявленного пред-
почтения (strong axiom of revealed
preference) 317

Симметричная игра 51, 424

Симплекс-алгорифм двойственный 203

Симплекс-метод (simplex method) 192
— двойственный 203

— переход от старой крайней точки
к новой 195

— построение исходной крайней точ-
ки 199

— пример 207

— случай вырождения 200

— формализация 197

Система векторов, образующая кон-
курентное равновесие 347

— линейных уравнений 749

Слабая аксиома выявленного пред-
почтения (weak axiom of revealed
preference) 317

— сходимость 797

— * сходимость 797

Смешанная дуэль (silent-noisy duelj
513

— стратегия (mixed strategy) 30

Собственное подпространство 744
— число, алгебраическая кратность
770

----геометрическая кратность 756

---- значение 752

Собственный вектор 752

Сопряженная транспонированная
матрица 760

Сопряженный конус 149, 786
Сообщающиеся (to communicate) ин-
дексы 396

Соотношения ортогональности преоб-
разования 87

Сопряженная функция 258

Сопряженное множество (conjugate
set) 257

Сопряженные вогнутые функции 266

— множества, пересечение, прямая
сумма, построение выпуклой обо-
лочки 260—263

Спектральный рддиус матрицы 292

Спектр меры 423

Сравнение монет (matching pennies)
32

Статистическая теория принятия ре-
шений (statistical decision theory)
22

Статическая задача принятия реше-
ний 16

Сток (sink) 170

Стохастические матрицы 760

— модели 18

Стратегия (strategy) 27

—	активная (essential) 53

—	вполне смешанная (completely mi-
xed) 423

—	геометрическое представление 40

—	инвариантная 610

—	как вероятностная смесь (probabi-
lity mesture) чистых стратегий 421

—	конечного типа 423

—	оптимальная 418, 474

— смешанная (mixed strategy) 30

— существенная (relevant to) 53,
473

---допустимая (essential) 423

---с весом 423

— употребляемая с положительной
вероятностью 53

— устойчивая (equalizer) 424, 438,
478

—	частично устойчивая (part equali-
zers) 439

—	чистая (pure) 30

—	е-оптимальная 419

Строго выпуклая (вогнутая) функция
788

Строка 53

—	уравновешивающая (to be an
equalizer) стратегию 53

Существенная (eligible) в интервале
строка 219

—	(relevant to) стратегия 53

--- полиномиальной игры 473

—	часть (essential part) игры 84

Существенный (eligible) в интервале
столбец 219

Существование базиса векторного про-
странства 744

Сходимость слабая * (в основном)
797

Темп сбалансированного роста 393

Теорема Асколи 792

— Брауэра о неподвижной точке
793

— Вальда об уравнениях равновесия
общая (general theorem of Wald on
the equilibrium equations) 325

— двойственности (duality theorem)
в линейном программировании 152

-----для выпуклых многогранных
конусов 787

-----линейного программирования
152

----------обращение 155

— Какутани о неподвижной точке 793

— о единственности оптимальной
стратегии 96

-----максимальном потоке и мини-
мальном разрезе (maximal-flow,
minimal-cut theorem) 172

-----минимаксе 40

--------общая 42

-----покрытии (covering theorem)
275

-----связи между решением задачи
I и седловыми точками формы
Лагранжа 150

-----существовании положительных
собственных значений и строго по-
ложительных собственных функций
528

—	Самуэльсона о замещении 307

—	Сильвестра 775

— существования для линейного про-
граммирования 152

— Хелли 270

-----о сходимости 797

Теоремы двойственности для нели-
нейного программирования 267

—	квазиустойчивости 377

Теория игр 20

—	потребительского выбора (theory
of consumer choice) 312

—	принятия решений статистическая
(statistical decision theory) 22

—	программирования 21

— сопряженных (conjugate) функций
Теория сопряженных функций, прило-
жение к выпуклым множествам 270
Технологические способы (activity
analysis) ЗОЭ

----базисные 304

Технологический процесс (activity)
286

Тождество Сильвестра 773

Точечно-множественное отображение
793

Точка крайняя (экстремальная, угло-
вая) 785

— множества внутренняя 466

---- относительно внутренняя 466

— окружения 464

— эффективная 308

Транспортная задача (transportation
problem) 143, 167

---- двойственная задача 147

----с целыми компонентами 169

Угловая точка 785

Унитарная матрица 762

Унитарное пространство 741

Унитарно-эквивалентные квадратич-
ные формы 764

Уравновешивающая (to be an' equali-
zer) строка 53

Условие доминирующей диагонали
(condition of dominant diagonal)
372

Условная оценка (shadow-price) 146

Устойчивая матрица 356

— стратегия 424, 438

---в полиномиальной игре 478

Устойчивость глобальная 355

— в целом (stability in large) 361

—	ненормированного процесса 359

—	нормированного процесса 354

—	с учетом ожидаемых изменений
382, 387

Форма Лагранжа для задачи линей-
ного программирования 148

Функция выигрыша (payoff function)
29

—	выпуклая вогнутая 788

—	замкнутая (closure) 256

—	множеств неотрицательная 794

—	непрерывная в точке 791

—	— на множестве 791

—	опорная (support) 264

—	полунепрерывная сверху (снизу)
в точке 791

Функция равномерно непрерывная 791

—	равностепенно непрерывная 792

—	распределения 795

—	сопряженная (conjugate) 258

— спроса для соотношения пред-
почтения (demand function for the
preference relations) 315

— строго выпуклая, строго .вогнутая
788

Функции вогнутые сопряженные
(conjugate concave) 266

—	от матриц 765

Функционал линейный 749

Хаара мера 613

Характеризация оптимумов Парето
347

Характеристическое уравнение 770

Хелли теорема 270

---о сходимости 797

Целевая функция (criterion function)
141

Цены, ожидаемые в будущем (anti-
cipated future prices) 381

Циклическая матрица 72

Частное распределение 796

Частота функции Пойа — Ч. Ф. П.
(Polya frequency function —
Р. F. F.) 595

-------- правильная

-------- регулярная 595

Чебышева неравенство 404

«Черный валет» (blackjack) 661

Число допустимое 528

Чистая (риге) стратегия 30

Шумная дуэль (noisy duel) 508

Экономика благосостояния (wealfare
economics) 341, 343

Экстремальная точка 785

Эластичность ожиданий (elasticity of
expectations) 387

Эрмитова матрица 761

Эрроу—Гурвица градиентный метод
249

Эрроу — Дебре модель 331

Эффективная точка (efficient point)
216, 308
Эффективное (efficient) производство
396

Эффективный (efficient) план 396

Явление сбалансированного роста
(phenomenon of balanced growth)
389

Ядра типа бабочки (butterfly ker-
nels) 583

Ядро аналитическое 431

— бабочкообразное (butterfly-shaped)
574

Ядро выпуклое 426

— вырожденное 424

— игры 29

— инвариантное к группе преобразо-
ваний 432

— колоколообразное (bell-shaped)
431, 595

— оператора 463

— преобразования 746

— решения, соответствующее край-
ним точкам 64

— типа Грина

-----Пойа

А Г1’ /2.

Vi, Л»

. I — подопределитель
• • •» Jr!

769

А *

Ар— блочная I X

матрица 777

adj (А) — матрица, присоеди-
ненная к А 770

Dn — n-мерное классиче-
ское пространство мо-
ментов 467

det А — определитель матри-
цы А 768

dim V — размерность V 744

С — линейное расширение
множества С в про-
странстве Еп 258

/° — замыкание функции f
257

[/°, С°] — замыкание Г/, С]
257

[Л» Са] — семейство замкнутых
выпуклых множеств
262

Af-матрицы 299

/п-матрицы 358

/?(В), Л (В) —ранг матрицы В 87

S — аддитивный класс
множеств 794

v — верхнее значение иг-
ры 34

v — нижнее значение иг-
ры 34

v — значение игры 35

U (А) — окрестность матри-
цы А 96

е-оптимальные страте-
гии 419

— вырожденная вероят-
ностная мера 420

т] (В) — линейное простран-
ство нулей матрицы
(В) 87
Аккофф 48, 189, 232, 813

Алле 402, 798

Аллен 48, 233, 338, 798

Андерсон 338

Арнофф 48, 189, 232, 798

Африат 798

Ашкенази В. О. 815

Бак 95

Баранкин 103, 814

Бароне 337

Бегл 50, 793, 798

Бекман 190

Беллман 17, 233, 444, 554, 656, 657,
702, 798

Бельзер 444, 554, 555, 798

Берж 443, 799

Биркгоф 741, 799

Блекетт 127, 799

Блекуэлл 48, 49, 103, 132, 443, 444,
554, 555, 587, 621, 656, 657, 720,
728, 799, 814

Блок 402, 403, 814

Болдуин 702, 799

Боненбласт 80, 103, 104, 284, 339, 444,
505, 506, 555, 702, 799

Борель 48, 50, 80, 443, 701, 799

Браун 80, 191, 233, 283, 444, 799, 800

Брауншвейгер 800

Булавский В. А. 800

Бут 800

Бэтчелор 800

Вагнер 232, 233, 800

Вайда 48, 189, 800, 815

Вальд 17, 22, 338, 340, 443, 656, 800,
803

Вальрас 337—340, 354, 402, 800

Ван-дер-Панне 810

Вегнер 800

Вейль 188, 800

Вейс 656

Вилд 801

Виль 50, 443, 701, 801

Вильямс 48, 801

Вольд 338

Воробьев 801, 815

Вуд 189, 801

Вудбери 80

Вулф 48, 50, 232, 283, 444, 587, 704,

801, 803, 810, 811, 815

Гаддум 190, 801

Гантмахер 338, 411, 620, 741

Гарвин 801

Гаррис 814

Гасс 189, 232, 233, 801, 809

Гейл 48, 80, 103, 104, 128, 189, 190,
339, 340, 403, 482, 801, 802

Гиббс 656

Гилман 802

Гирш 233, 802

Гиршик 48, 49, 443, 444, 554, 555, 587,
621, 720, 728, 798, 799

Гликсберг 50, 443, 444, 506, 554, 586,
587, 594, 620, 621, 656, 725, 798, 802,
811

Голдман 104, 702, 802

Гофман 190, 506, 801, 803, 811

Грейвз 741, 793, 802

Гросс 104, 233, 407, 443, 444, 482, 506,
587, 594, 620, 621, 656, 725, 798, 802

Гурвиц 338, 402, 403, 801, 802, 814

Данскин 656, 657, 802, 803

Данциг 189—191, 232, 233, 656, 801—

803
Дебрё 50, 339, 340, 401, 402, 802, 814

Деннис 803

Джевоне 337, 339

Джекобс 176, 803

Джиллис 444, 702, 803

Джилмен 656, 657, 803

Джорджеску-Реген 403, 803

Дорн 803

Дорфман 189, 232, 338, 339, 804

Дрешер 48, 80, 103, 127, 128, 444, 481,

482, 702, 804, 815

Зойтендейк 804

Иенч 555

Какутани 50, 804

Канторович Л. В. 189, 303, 8Q4

Капланский 80, 804

Карлин 50, 80, 103, 104, 190, 283, 284,
339, 443, 444, 482, 505, 554, 555, 586,
587, 620, 656, 702, 724, 725, 799, 804,
805, 814

Кейнс 337

Келли 805

Кифер 621, 805

Кларк 800

Клейн 338, 805

Конти 702, 799

Корбут А. А. 805

Кортанек 813

Котелянский Д. М. 339, 805

Коульс 189

Крейн М. Г. 338, 339, 555, 620, 801,
805

Крелле 806

Кречмер 283, 805, 813

Кудо 621, 805

Кун 48, 49, 80, 104, 128, 189, 190, 233,
235, 282—284, 339, 340, 702, 802,
805; 806, 815

Купер 189, 190, 232, 284, 812, 813

Купман 657, 806

Купмане 189, 338, 339, 401, 656, 806,
815

Курно 337

Куртийо 806

Кюнци 806

Лемке 232, 806

Леонтьев 189, 303, 337, 338, 806

Литлвуд 741, 812

Лумис 50, 807

Льюс 48, 49, 80, 443, 807, 816

Маданский 807

Майзель 702, 799

Мак-Дермот 702, 799

Мак-Дональд 48, 807

Мак-Кензи 339, 340, 807

Мак-Кинси 48, 80, 443, 482, 620, 807

Мак-Клоски 48, 807

Мак-Лейн 741, 799

Мангасарян 807

Манн 189, 807

Мак-Манус 402, 815

Марковиц 283, 807

Мартин 506

Маршак 17, 338, 814

Маршалл 337, 339, 351

Мейберри 444, 702, 803

Менгер 337

Метцлер 339, 402, 403, 443, 805, 807

Миллс 104, 807

Модильяни 283, 812

Мозак 339, 402, 807

Монтгомери 50, 793, 814

Моргенштерн 48, 49, 79, 80, 104, 189,

338, 339, 702, 808

Моришима 402, 403, 808

Моцкин 80, 188, 808

Найт 808

Негиси 808

фон Нейман 37, 48, 49, 50, 79, 80,
162, 165, 188—190, 232, 233, 283,
342, 389, 394, 402, 443, 444/656, 701,
702, 803, 808

Нейссер 403

Немчинов В. С. 808, 815

Нерлав 402, 815

Никайдо 403, 808

Ньюман 809

Ньютон 337

Нэш 587, 702, 809

Орден 232, 803

Паксон 506

Пантолеони 337

Парето 337

Пейсаков 621, 809

Перлис 741, 809

Пигу 337

Пинни 587

Пирсон 656, 808

Питман 621, 809

Пойа (Полна) 620, 741, 812
Прагер 809

Прошен 656, 657

Радемахер 284, 809

Райли 809

Райфа 48, 49, 80, 443, 807, 808

Рейнфельд 189, 809

Рейтер 189, 283, 806, 809

Рестрепо 444, 587, 702, 724, 725, 805,

809

Робертсон 337

Робинсон 233, 809

Рубин 338

Рудин 741, 809

Рутман 339, 555, 805

Савидж 284, 621, 809

Саймон 339, 812

Сайон 443, 444, 587, 704, 809, 810

Самуэльсон 189, 190, 232, 283, 338—

340, 401—403, 804, 810

Сапе 810

Саржент 189, 811

Сенгупта 798

Симонар 810

Скарф 283, 814

Слуцкий 286, 339, 810

Смит 190, 810

Сноу 80, 813

Соколовский 190, 801

Солоу 189, 232, 338, 339, 403, 804, 810

Стейн 621

Стиглер 189

Стоун 702

Сьюте 403, 810

Таккер 48, 80, 104, 189, 190, 235,
282—284, 339, 802, 806, 815, 816

Тейл 810

Тинберген 338

Тодхантер 689

Томпсон 80, 104, 134, 403, 443, 805,

808, 810

Трефетен 48, 807

Тролл 80, 808

фон Тюнен 337

Удзава 189, 190, 283, 284, 339, 340,

402, 403, 810, 813, 814

Уолнер 233

Фань Цзи 50, 443, 506, 811

Фаркаш 188, 811

Феллер 339, 811

Фенхель 235, 283, 482, 506, 741, 811

Филип 811

Флеминг 443, 811

Флуд 189, 811

Фогель 189, 809

Форгюсон 189, 811

Форд 189, 190, 233, 811

Франк 811

Фробениус 338, 555, 811

Фулкерсон 189, 190, 233, 811

Хаавельмо 338

Хадли 812

Хан 402, 812

Хант 621

Харди 741, 812

Харрис 17

Хаутэккер 283, 340, 812

Хейберехтс 95

Хельмер 481, 812

Хендерсон 189, 232, 813

Херштейн 339, 803

Хикс 337, 339, 402, 812

Хилдрет 284, 812

Хичкок 189, 812

Хокинс 339, 812
Хон 283, 812 ,

Чарнс 189, 190, 232, 284, 812

Чебышев 284

Чева 337

Ченери 283, 813

Чёрчман 48, 189, 813

Чипмэн 813

Шепли 48, 50, 80, 103, 104, 233, 284,
' 444, 482, 506, 554, 587, 702, 799,
804, 805, 809, 813

Шерман 80, 103, 482, 802, 813

Шёнберг 284, 596, 620, 813

Шенфельд 813

Шифман 50, 444, 554, 555, 657, 798,
799, 813, 818

Штиглер 814

Эджворт 337, 351

Эйземан 232, 814

Эйзенберг 814

Эйленберг 50, 793, 814

Энтховен 402, 814, 815

Эрроу 17, 103, 190, 283, 339, 340,
401—403, 814, 815

Якоби 658
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ............................................... 5

Предисловие................................................. 9

Введение. Сущность математической теории	процессов	решения	....	13

1.	Общие замечания..................................... 13

2.	Классификация математического	аппарата	задач	принятия решений	16

3.	Основные дисциплины................................. 19

Обозначения.............................................. 23

ЧАСТЬ I

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 1. Определение игры и теорема о минимаксе..................... 27

1.1.	Введение. Игры в нормальной	форме........................ 27

1.2.	Примеры..................................................... 32

1.3.	Выбор стратегий............................................. 34

1.4.	Теорема о минимаксе для конечных	матричных игр.............. 37

1.5.	Общая теорема о минимаксе................................... 42

1.6.	Задачи...................................................... 45

Комментарии и библиография к главе 1	........................ 48

Глава 2. Свойства оптимальных стратегий матричных игр.......... 51

2.1.	Свойства оптимальных стратегий.............................. 51

2.2.	Виды строгого доминирования................................. 53

2.3.	Нахождение оптимальных стратегий............................ 57

2.4.	Описание крайних оптимальных стратегий...................... 61

2.5.	Вполне смешанные матричные игры............................. 69

2.6.	Симметричные игры........................................... 74

2.7.	Задачи...................................................... 76

Комментарии и библиография	к	главе 2.......................... 79

Глава 3. Соотношения размерностей для множеств оптимальных
стратегий...................................................... 81

3.1.	Основная теорема............................................ 81

3.2.	Доказательство теоремы	3.1.1................................ 82
3.3.	Доказательство теоремы 3.1.2............................ 87

3.4.	Обращение теоремы 3.1.2................................. 90

3.5.	Единственность оптимальных стратегий.................... 95

3.6.	Задачи.......................  .	. . ;.................101

Комментарии и библиография к главе 3..........................103

Глава	4. Решения некоторых матричных игр.....................105

4.1.	Игра полковника Блотто..................................106

4.2.	Опознание своего и неприятеля...........................107

4.3.	Игра в покер............................................110

4.4.	Один пример рекламы . . ................................116

4.5*	.	Пример торгов.........................................120

4.6.	Задачи..................................................125

Комментарии и библиография к главе 4..........................127

Решения задач из глав 1—4.....................................129

ЧАСТЬ II

ЛИНЕЙНОЕ И НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Глава 5. Линейное программирование..............................141

5.1.	Формулировка задачи линейного программирования..........142

5.2.	Задача линейного программирования и двойственная ей задача 145

5.3.	Основные теоремы линейного программирования (предвари-
тельные результаты) .........................................147

5.4.	Основные теоремы линейного программирования (продолже-
ние) ........................................................152

5.5*	. Связь между задачами линейного программирования и тео-
рией игр.................................................... 154

5.6*	.	Обобщения	теоремы	двойственности	. .................155

5.7.	Задача о	рациональном	использовании склада ............158

5.8.	Задача об оптимальном назначении..........'.............161

5.9.	Транспортная задача и задача о потоке...................167

5.10.	Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе . . 172

5.11*	. Задача о поставщике.................................174

5.12*	. Модель биржевой игры................................180

5.13.	Задачи.................................................184

Комментарии и библиография	к главе 5..........................188

Глава 6. Вычислительные методы линейного программирования и
теории игр......................................................191

6.1	. Симплекс-метод........................................192

6.2	*. Вспомогательные варианты симплекс-метода.............202

6.3	. Пример применения симплекс-метода.....................207

6.4	*. Вычисление потока в сети.............................210

6.5	. Метод приближенного вычисления значения игры..........214

6.6	*. Доказательство сходимости............................217
6.7	. Метод определения значения игры при помощи дифференци-
альных уравнений.............................................224

6.8	Задачи..................................................228

Комментарии и библиография к	главе 6.........................232

Глава 7. Нелинейное программирование............................234

7.1	. Вогнутое программирование.............................235

7.2	. Примеры вогнутого программирования....................240

7.3	*. Градиентный метод Эрроу — Гурвица....................249

7.4	. Векторная задача максимизации.........................253

7.5	*. Сопряженные функции..................................256

7.6	*. Композиция сопряженных функций.......................260

7.7	*. Сопряженные вогнутые функции.........................265

7.8	*. Теоремы двойственности для нелинейного программирования . 266

7.9	*. Приложения теории сопряженных функций к выпуклым мно-
жествам .....................................................270

7.10	. Задачи..........:....................................279

Комментарии и библиография к главе 7..........................282

Глава 8. Математические методы в изучении экономических моделей 285

8.1.	Открытые и замкнутые линейные модели Леонтьева..........286

8.2.	Теория положительных матриц.............................289

8.3.	Приложения теории положительных матриц к изучению линей-
ных моделей равновесия и обмена..............................300

8.4.	Теория производства.....................................303

8.5.	Эффективные точки модели леонтьевского типа.............307

8.6*	. Теория потребительского выбора.....................  311

8.7.	Нелинейные модели равновесия......................... . 320

8.8*	. Модель равновесия конкурентной экономики (Эрроу — Дебре) 328

8.9.	Задачи..................................................333

Комментарии и библиография к главе 8..........................337

Глава 9. Математические методы в изучении экономических моделей
(продолжение)....................................................341

9.1*	.	Экономика благосостояния.............................343

9.2.	Устойчивость конкурентного равновесия...................351

9.3.	Локальная устойчивость..................................356

9.4.	Глобальная устойчивость процесса регулирования цен .... 361

9.5*	.	Глобальная устойчивость (продолжение)................372

9.6*	. Формулировка глобальной устойчивости в терминах разност-
ных уравнений................................................378

9.7.	Устойчивость и ожидания (модель I)......................381

9.8.	Устойчивость и ожидания (модель II).....................386

9.9.	Модель расширяющейся экономики фон Неймана..............389

9.10.	Общая модель сбалансированного роста...................391

9.11.	Задачи............•....................................397

Комментарии и библиография к главе 9..........................401

Решения задач к главам 5—9....................................404
ЧАСТЬ III

ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ИГР

Глава 10. Природа и структура бесконечных игр...............  .	417

10.1.	Введение.............................................417

10.2.	Игры на единичном квадрате...........................421

10.3.	Классы игр на единичном квадрате.....................424

10.4.	Бесконечные игры, у которых пространства стратегий являются
известными функциональными пространствами..................432

10.5.	Как решать бесконечные игры..........................436

10.6.	Задачи...............................................440

Комментарии и библиография к главе 10........................443

Глава 11*. Вырожденные и полиномиальные игры...................445

11.1.	Конечные выпуклые игры общего вида...................445

11.2.	Метод неподвижной точки для конечных выпуклых игр . . . 448

11.3.	Соотношения между размерностями для конечных выпуклых
игр........................................................453

11.4.	Метод сопряженных конусов............................457

11.5.	Структура множеств решений вырожденных	игр...........461

11.6.	Общие замечания о выпуклых множествах	в	пространстве Еп 463

11.7.	Пространства обобщенных моментов.....................467

11.8.	Полиномиальные игры..................................472

11.9.	Задачи.............................................  479

Комментарии и библиография к главе 11........................481

Глава 12. Игры с выпуклыми и обобщенно-выпуклыми ядрами . . . 483

12.1.	Введение ............................................483

12.2.	Непрерывные выпуклые игры............................484

12.3*	. Обобщенно-выпуклые игры............................488

12.4.	Игры с выпуклой функцией выигрыша в Еп...............493

12.5*	. Одна теорема о выпуклых функциях...................500

12.6.	Задачи...............................................503

Комментарии и библиография к главе	12........................505

Глава 13. Игры с выбором момента времени при однократном дей-
ствии каждого игрока...........................................507

13.1.	Примеры игр с выбором	момента времени................508

13.2.	Интегральные уравнения для игр с выбором момента времени
и их решения...............................................517

13.3*	. Интегральные уравнения с положительными ядрами.....526

13.4.	Доказательство существования.........................532

13.5.	Бесшумная дуэль с произвольными функциями меткости . . 546

13.6.	Задачи...............................................551

Комментарии и библиография к главе 13........................554
Глава 14. Игры с выбором момента времени (продолжение) .... 556

14.1	. Игры с выбором	момента времени;	класс	I..............556

14.2	. Примеры .............................................557

14.3	*. Доказательство теоремы 14.1.1.......................560

14.4	*. Игры с выбором	нескольких моментов	времени..........565

14.5	*. Бабочкообразные	ядра................................574

14.6	. Задачи...............................................584

Комментарии и библиография к главе 14.........................586

Глава 15*. Различные игры.......................................588

15.1.	Игры с аналитическими	ядрами..........................589

15.2.	Колоколообразные ядра.................................594

15.3.	Колоколообразные игры.................................599

15.4.	Другие типы непрерывных	игр...........................606

15.5.	Инвариантные игры.....................................609

15.6.	Задачи................................................615

Комментарии и библиография к главе 15.........................620

Глава 16. Бесконечные классические игры, разыгрываемые не на
единичном квадрате ............................................ 622

16.1	. Предварительные результаты (леммы Неймана — Пирсона) . . 623

16.2	*. Приложение леммы Неймана—Пирсона к вариационной
задаче......................................................626

16.3	. Дуэль снайпера с пулеметчиком........................632

16.4	*. Решение дуэли снайпера с пулеметчиком...............636

16.5	*. Дуэль двух пулеметчиков . ..........................643

16.6	. Задачи...............................................653

Комментарии и библиография к главе 16.........................656

Глава 17. Покер и общие салонные игры...........................658

17.1.	Упрощенная игра „черный валет"........................661

17.2.	Модель покера ,с одним кругом ставок и одним размером
ставки......................................................666

17.3.	Модель покера с несколькими размерами ставки..........669

17.4.	Модель покера с двумя кругами ставок..................676

17.5*	. Модель покера с k повышениями.......................683

17.6.	Покер с одновременными ходами.........................687

17.7.	Игра „проходящий туз".................................689

17.8*	. „У кого старше, тот выигрывает".....................693

17.9.	Задачи................................................698

Комментарии и библиография к главе 17.........................701

Решения задач к главам 10—17............................•.	. . 703

Приложения......................................................740

Приложение А. Векторные пространства и	матрицы..................741

А.	1. Евклидовы и унитарные пространства....................741

Упражнения ............................................742
А. 2. Подпространства, линейная независимость, базис, прямые
суммы, ортогональные дополнения	.	. .............743

Упражнения............................................745

А. 3. Линейные преобразования,	матрицы	и	линейные уравнения . . 745

Упражнения............................................751

А. 4. Собственные значения. Собственные векторы. Каноническая
форма Жордана.........................................752

Упражнения............................................759

А. 5. Транспонированные, нормальные и эрмитовы матрицы; орто-
гональные дополнения..................................760

Упражнения............................................763

А. 6. Квадратичные формы....................................763

Упражнения............................................765

А. 7. Функции от матриц.....................................765

Упражнения............................................768

А. 8. Определители, миноры,	алгебраические дополнения......768

Упражнения............................................771

А. 9. Некоторые тождества...................................771

А. 10. Блочные матрицы......................................777

Упражнения............................................779

Приложение Б. Выпуклые множества	и	выпуклые	функции...........779

Б. 1. Выпуклые множества в	Еп...............................779

Упражнения.............................................782

Б. 2. Выпуклые оболочки множеств и крайние точки выпуклых
множеств...............................................782

Упражнения.............................................785

Б. 3. Выпуклые конусы.......................................785

Упражнения ............................................788

Б. 4. Выпуклые и вогнутые функции . . . ....................788

Упражнения ............................................790

Приложение В. Различные вопросы................................790

В.	1. Полунепрерывные и равностепенно	непрерывные	функции . . 790

В.	2. Теоремы о неподвижной точке..........;...............793

В.	3. Функции множеств и распределения вероятностей........793

Библиография...................................................798

Предметный указатель............................ .............819

Именной указатель..............................................830
С.	К а р л и й

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ ИГР, ПРОГРАММИРОВАНИИ
И ЭКОНОМИКЕ

Редакторы Е. М. ДМИТРЕНКО
и А. А. РЫВКИН

Художник Л. Г. Ларский

Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор А. Д, Хомяков
Корректор Е. В. Кочегарова

Сдано в производство 21/Х 1963 г.
Подписано к печати 13/V 1964 г.

Бумага 60х90’/1б=26,3 бум. л. 52,5 печ. л.

Уч.-изд. л. 49,1. Изд. № 1/2257. Цена 3 р. 59 к.
Зак. 1789.

Темплан 1964 г. Изд-ва „ИЛ", пор. № 7.

ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2 имени
Евгении Соколовой «Главполиграфпрома»
Государственного комитета Совета
Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.