Курс физики. Часть первая. Механика - Соколов И.И.

I - Кинематика и динамика прямолинейного движения

2 - Центр тяжести тел и устойчивость их положения

Автор: Соколов И.И.

Теги: физика механика

Год: 1951

Похожие

Курс теоретической механики

Физика. Том 1

Курс теоретической механики. Том 1

Физика. В 2-х томах. Том 1

Текст

xt. . о о ж 'олоШ
КУРС
ФИЗИКИ
>Ч£'.БНИК
ДЛЯ СРЬ ДНЕЙ ШКОЛЫ
часть jT
»Ч я! ДГИЗ . 1*4л
(- ’ ' "
Проф. и. и. соколов
КУРС ФИЗИКИ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МЕХАНИКА
УЧЕБНИК
ДЛЯ 8 КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ 12-0
Утверждён
Министерством просвещения РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА • 1 9 б 1
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ В КУРС ФИЗИКИ.
Человек живёт среди природы и сам составляет часть её.
Вся природа в целом есть вечно изменяющаяся материя. Каж-
дая отдельная часть материи называется физическим телом.
Физическими телами являются звёзды, солнце, планеты, куски
горных пород, отдельные растения и животные, капли воды,
частицы воздуха, пылинки, носящиеся в воздухе, и мельчайшие
известные нам частицы вещества — молекулы, атомы, электроны
и др.
С физическими телами происходят изменения, носящие
в физике название явлений. Перемещение электрической лам-
почки по столу, прохождение через её волосок электриче-
ского тока, накал волоска и его свечение — всё это явления.
Молния и гром, появление радуги, передача электрической
энергии на расстояние, использование её на заводах для работы
станков представляют собой опять-таки разнообразные явления.
При наличии одних и тех же причин и условий явление
происходит одинаково. Определённая зависимость между усло-
виями, в которых находится тело, и тем явлением, которое
происходит при этих условиях, называется законом. Все явления
во вселенной протекают соответственно законам, закономерно.
Совокупность законов и их объяснение для какой-либо
области явлений составляет содержание науки об этой области.
Так как явления природы многочисленны и многообразны,
то и число отдельных наук велико. Среди явлений природы
некоторые не зависят от того, с какими телами они происходят,
т. е. не зависят от того, будут ли такими телами небесное
светило, части земной коры, живые существа или орудия про-
изводства. Но существуют и такие явления, которые происхо-
дят в ограниченном круге тел.
Так, звук может быть вызван движением воздуха, падением
на землю любого тела, ударом по телу, но речь —явление,
свойственное только человеку.
1*
3
Физика изучает самые общие виды явлений: механическое
движение, теплоту, электричество, излучение (частный . вид
последнего — свет), а также общие свойства и строение тел.
Так как эти явления могут происходить с любыми телами
природы, то физика является общей наукой о природе.
Слово физика происходит от греческого слова ф ю з и с,
что значит природа. Этим словом подчёркивается всеобщий
характер законов физики ’).
Всякая наука о явлениях природы, в том числе и физика,
имеет своей задачей не только изучение законов природы; она
должна служить основанием и средством для использования
природы с целью удовлетворения жизненных потребностей людей
и для изменения самой природы.
Изучение физики необходимо для того, чтобы уяснить себе
научные основы и перспективы развития социалистической
промышленности, транспорта, сельского хозяйства, военной
техники.
В зависимости от характера изучаемых явлений всё содер-
жание курса физики может быть разделено на пять крупных
отделов:
1. Механика твёрдых тел, жидкостей и газов.
2. Теплота и молекулярная физика.
3. Электричество.
4. Излучение (в частности свет).
5. Строение вещества.
!) В русском языке слово физика введено Ломоносовым.
МЕХАНИКА
ВВЕДЕНИЕ В ОТДЕЛ МЕХАНИКИ.
1. Механическое движение. Механическим движением
называется перемещение одного тела относи-
тельно другого, или изменение положения одного тела
относительно другого.
Механическое движение является простейшей формой дви-
жения; поэтому на первое место при изучении физики и вы-
двигается отдел её, содержащий законы простейшего механиче-
ского движения й называемый механикой.
Механические движения многочисленны, разнообразны и
постоянно происходят в природе. Сам человек и другие суще-
ства меняют своё положение относительно различных предметов
на поверхности земли. Все сухопутные экипажи, водные и воз-
душные суда потому и являются средствами сообщения, что
они могут перемещаться относительно станций отправления и на-
значения или относительно тех или других точек земной поверх-
ности. На любом заводе можно наблюдать вращательное дви-
жение шкивов и обрабатываемых деталей, движение вперёд и
назад инструментов в станках, подъём и опускание паровых
молотов и ударных частей штамповальных машин, разнообразные
движения ручных инструментов, например, молота в руках
кузнеца.
В научных лабораториях изучаются движения и таких частиц,
которые нельзя непосредственно видеть.
Так как дальнейшее изложение посвящается только меха-
ническому движению, то слово, „механическое® в отдельных
случаях может быть опущено.
1а. Разделы механики. Одна часть механики даёт описание
различных видов механического движения, т. е. отвечает на
вопрос, как происходят движения.
Этот раздел механики носит название кинематики. (На-
звание происходит от греческого слова кинео, что зна-
чит двигаю.)
5
Далее механика объясняет причину возникновения или суще-
ствования любого вида механического движения, т. е. отвечает
на вопрос, почему происходит тот или другой вид механи-
ческого движения.
Этот раздел механики носит название динамики (от
греческого слова дюнамис, что значит сила).
Третья часть механики рассматривает условия, при которых
наступает равновесие сил, действующих на тело. Этот раздел
механики носит название статики (от греческого слова с та-
то с, что значит стоящий).
2. Относительность механического движения. Каждое
механическое движение, изучаемое в физике, всегда есть дви-
жение относительное.
Это значит, что всегда рассматривается движение одного
тела по отношению к другому, которое в этом случае прини-
мается за неподвижное.
Так, все движения людей и экипажей рассматриваются
относительно каких-либо мест Земли, которые принимаются за
неподвижные; в действительности они совершают сложные
движения вследствие движения Земли. Движущиеся части машин
совершают свои движения относительно оснований этих машин
(станин), которые в этих случаях рассматриваются как неподвиж-
ные, тогда как эти основания сами перемещаются вместе с Землёй.
На пароходе можно рассматривать движения пассажиров
относительно палубы, считая её неподвижной, тогда как в
действительности она движется, в свою очередь, относительно
воды, берегов и одновременно участвует в движении всей Земли.
Солнце со своей солнечной системой, в том числе и с Зем-
лёй, перемещается в пространстве по отношению к звёздам.
В природе нет тела, которое не находилось бы в движе-
нии. Все тела движутся, и все их движения относительны;
При изучении движения одного тела относительно другого
одно из них принимается за неподвижное, другое за движу-
щееся. Какое именно тело принять за неподвижное, какое за
подвижное — зависит от условий задачи.
Все пассажиры каждого из двух стоящих на станции поез-
дов знают, что получается впечатление одинаковых передви-
жений поездов, приходит ли в движение тот поезд, в котором
находится пассажир, а другой поезд остаётся на станции, или
последний приходит в движение по противоположному напра-
влению, если при этом пассажиры не видят никаких других
предметов, кроме вагонов поездов.
На токарном станке получается одинаковый результат,
6
установлено ли неподвижно изделие и вращается резец или
резец неподвижен,, а изделие вращается.
3. Относительный покой. Среди разнообразных движений
различных тел возможны такие движения, при которых отно-
сительные расстояния тел не изменяются. Например, два поезда
могут так двигаться по параллельным путям в одном направле-
нии, что относительное положение вагонов обоих поездов не
будет меняться. Такой случай движения называется относи-
тельным покоем. Относительным покоем называется
такой частный случай движения тел, при котором остаётся
неизменным их взаимное положение.
Так, в относительном покое находятся все грузы в трюмах
парохода, все вещи, лежащие в каютах парохода, или в вагонах
поездов при их движении.
Все горы, леса, города, здания, части зданий и т. д. нахо-
дятся в относительном покое, несмотря на то что они дви-
жутся вместе с Землёй.
В дальнейшем надо всегда иметь в виду, что изучаются
только случаи относительного движения или относительного
покоя, хотя бы слово „относительный" и не было поставлено.
4. Материальная точка. Чтобы легче разобраться в различ-
ных видах движения тел, надо упростить самый вид движу-
щегося тела. С этой целью в механику вводится понятие р мате-
риальной точке. Материальной точкой называется
тело, размерами которого можно пренебречь
по их малости сравнительно с другими геометрическими
величинами, рассматриваемыми в данной задаче, как это и видно
из приводимых примеров. Таким образом, можно принять, что
объём, материальной точки сводится к геометрической точке.
Имеем ли мы основание рассматривать движение такой
точки? Да, так как во многих случаях движение одной точки
тела определяет движение всего тела, а его размеры и форма
не сказываются на характере изучаемого движения. Так, при
движении паровоза в целом' (без рассмотрения вращения колёс,
движения поршня) можно ограничиться изучением движения
какой-либо точки его, например, передней точки. При изучении
полёта снаряда' е'го можно условно принять за движущуюся
материальную точку. При изучении движения Земли вокруг
Солнца Землю можно принять за точку, так как её диаметром
12 700 км можно пренебречь сравнительно с расстоянием
Земли от Солнца в 150 000 000 км.
Этими соображениями оправдывается введение понятия: „мате-
риальная точка".
I. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО
ДВИЖЕНИЯ.
I. Простейшие виды прямолинейного движения.
5. Траектория движения точки и классификация движе-
ний по траектории. Движение, как и всякое явление, проис-
ходит в течение того или иного промежутка времени.
Материальная точка при своём движении за любой проме-
жуток времени опишет линию.
Линия, по которой движется материальная точка, назы-
вается её траекторией.
Выпущенный из рук маленький шарик падает на стол по
прямой линии. Его траектория прямолинейна. Тот же шарик,
привязанный к нити, может быть действием руки приведён
в движение по окружности. Шарик, брошенный наклонно
к горизонту, опишет уже иную кривую линию.
Поэтому можно классифицировать движения, т. е. подразде-
лять их на разные виды, по форме траектории.
По траектории движения точки подразделяются на: а) пря-
молинейные, б) криволинейные.
Из двух этих видов простейшим будет прямолинейное дви-
жение. С него и надо начинать изучение движения.
6. Путь, время, скорость и классификация движений по
скорости. Когда паровоз, пароход, самолёт, орудийный снаряд
движутся, то положение их изменяется с течением времени
относительно начала пути — станции, пристани, аэропорта
и т. п.
Расстояние по траектории движущейся материальной точки
от начала пути до той точки траектории, в которой она нахо-
дится в рассматриваемый момент времени, называется длиной
пути. Длина пути измеряется в линейных мерах.
При изучении движения измеряются время движения и
длина пройденного пути.
Однако этих двух величин, взятых в отдельности, ещё
совершенно недостаточно для полной характеристики изучае-
мого движения.
8
При состязаниях бегунов, конькобежцев, лыжников, велоси-
педистов, при гонках лодок, автомобилей, самолётов участники
состязания проходят один и тот же путь, между тем движе-
ния их отличаются друг от друга: этот одинаковый путь про-
ходится разными участниками состязания в различные проме-
жутки времени. Значит, одного пути недостаточно для харак-
теристики движения.
Подобным образом от станции могут отойти три поезда:
пассажирский, скорый, курьерский, или с аэродрома подняться
три самолёта: разведчик, истребитель, бомбардировщик. За
одно и то же время каждый из них, выпдлняя своё назначе-
ние, пройдёт различное расстояние. Несмотря на одинаковость
времени движения, движения этих предметов отличаются друг
от друга: тела в одинаковые промежутки времени проходят
Пут», ,__________, , _ , _______j
0 1 2 3 4 б сен
Рис. 1. Пример переменного движения.
различные длины пути. Следовательно, и одного времени недо-
статочно для характеристики движения.
Как же называется то качество движения, которое отлично
в отдельности и от длины пути, и от времени? Это качество
называется скоростью движения. Понятие скорости сложнее
в отдельности взятых понятий пути и времени. Оно выраба-
тывается через сравнение длин путей ги промежутков времени^
в течение которых пройдены эти пути.
Из двух тел то имеет большую скорость, которое прохо-
дит больший путь за то же время, что и другое. Из двух тел
то обладает большей скоростью, которое- проходит за мень-
шее время тот же путь, что и другое.
Таким образом, мы сможем судить о скорости тела через
сопоставление пройденного пути и истекшего времени.
Сравнивать скорости мы можем, сравнивая пути разных тел,
проходимые в одинаковые промежутки времени.
Наши наблюдения показывают, что скорость движения тела
может меняться. Паровозы, пароходы, тепловозы, электрово-
зы, автомашины, самолёты изменяют свою скорость при отходе
с места отправления или при приближении к месту назначения.
Также изменяется скорость снарядов в стволе орудия, при
полёте в воздухе и при попадании в цель и т. п. Движение
с изменяющейся скоростью называется переменным (на рис. 1
9
отложены пути, проходимые телом в равные промежутки вре-
мени).
Гораздо реже случаи, когда скорость движения тел остаётся
неизменной в течение длительного времени (например, поезд
между станциями на горизонтальной поверхности по прямоли-
нейному пути). Движение с постоянной скоростью, называется
равномерным (рис. 2).
Простейшим движением является прямолинейное равномер-
ное движение.
7. Прямолинейное равномерное движение. Транспортёр,
применяемый при работах на заводе или на постройках, есть
приспособление в виде непрерывно движущейся бесконечной
ленты (из металла, дерева, резины и других материалов), при
помощи которого обрабатываемые изделия или строительные
Путь , ________ ___________,
О } “ 2 3 4 5 беек
Рис. 2. Пример равномерного движения.
материалы -передвигаются от одного рабочего места к дру-
гому.
Движение транспортёра есть движение равномерное. Другим
примером равномерного движения служит движение подвижной
лестницы (эскалатора) на станциях московской подземной дороги
(метро).
Равномерное движение можно определить ещё так:
Равномерным движением называется такое
движение, при котором точка в любые равные
промежутки времени проходит пути равной
длины.
Равномерно двигаться, т. е. проходить в равные промежутки
времени равные части пути, могут на небольших расстояниях
поезда, пароходы, автомашины, самолёты, люди.
Движение поезда было бы равномерным, если бы он про-
ходил каждый час, например, по 36 км каждые полчаса по
18 км, каждую минуту по 0,6 км, каждую секунду по Юм,
каждую десятую долю секунды по 1 м и т. д.
Но движение не будет равномерным, если поезд каждый
час будет цроходить по 36, км, каждые полчаса по 18 км, а в
последовательные четверти часа будет проходить по 8, 10,
12,6 км.
10
8. Скорость равномерного движения. Определив таким
образом равномерное движение, можно составить себе понятие
с скорости этого движения.
Скорость равномерного движения есть величина, измеряе-
мая длиной .пути, пройденного в единиц}/ времени ')•
Из опыта различных движений мы знаем, что скорости
движений могут быть очень разнообразны.
Чтобы различать скорости движений, надо научиться их
измерять. Измерить величину —значит сравнить её с одно-
родной величиной, принятой за единицу.
9. Единица скорости. За единицу ско- ,,cw,
росши принимается такая скорость, при | секt , , ,
которой точка проходит в рае но мер- о i г 3 4с ек
ном движении путь в 1 см в 1 сек. На-
именование этой единицы (читается: ₽двИже?иГсоМскТ
„сантиметр в секунду"). Если точка дви- ростью в 1 —.
жется так, что она в 1 сек. проходит сек
1 см, то её скорость равна единице
скорости; если же она проходит 3 см в 1 сек., то её ско-
рость равна 3 единицам, или 3 (рис. 3 и За); если она
проходит 1 м в 1 сек., то скорость равна 100 единицам, или
100 —.
сек
Однако в технике за единицу скорости принимается
такая скорость, при которой точка проходит при равно*
мерном движении путь в 1 м в 1 сек.
|________
' сен1
________। '
О 1 2
-=—> .
. 5сег;
Рис. За. Равномерное движение со скоростью в 3 — •
Наименование этой единицы — (читается: „метр в секунду").
В каких бы единицах ни измерять скорость равномерного
движения, чтобы составить себе представление об её величине,
надо измерить пройденный путь, время движения и первое Ч
Ч Это определение скорости вовсе не предполагает, что движение
должно продолжаться не менее 1 секунды. Скорость может быть
вычислена, если движение продолжалось и доли секунды.
11
число разделить на второе; полученное частное даёт число
единиц скорости; к найденному числу надо приписать наиме-
нование единицы скорости.
Примеры различных скоростей даны в таблице 1 в конце
книги.
10. Уравнение равномерного движения. Из определений
равномерного движения и: скорости следует, что скорость
равномерного движения во всё время движения одна
и та же, или есть величина постоянная.
Если обозначим длину пути буквой s, время через t и
скорость через т», то, по определению, ® =
Отсюда уравнение равномерного движения может быть
написано в следующем виде:
s — vt. (I)
Последнее соотношение показывает, что путь равномер-
ного движения прямо пропорционален времени.
11. Поступательное движение тела. Формула пути равно-
мерного движения, выведенная для материальной точки, будет
годиться и для одного из
видов движения тела, именно
для поступательного движе-
ния. Поступательным
движением тела на-
зывается такое дви-
жение, при котором
всякая прямая, со-
единяющая две точки
движущегося тела,
перемещается парал-
лельно самой себе
(рис. 4). Примеры: кузовы
экипажа, автомашины, дви-
Рис. 4. Поступательное движение тела
ДВ|| -4iBj || а2в2.
жущиеся по прямолинейному пути; все точки кузова про-
ходят равные и параллельные пути. В строгальном станке дви-
жение резца поступательно, так как каждое ребро его переме-
щается в машине параллельно самому себе.
Не надо думать, что поступательным движением может
быть только движение прямолинейное. Хорошим примером
поступательного движения тела, происходящего не по прямой
12
линии, служит движение диска, брошенного легкоатлетом
(рис. 4а). Центр диска движется по криволинейной траектории,
но вместе с этим плоскость диска перемешается параллельно
Рис. 4а.
самой себе. Если взять в руки карай- я я,
даш и, сохраняя неизменный наклон — L !
его, двигать карандаш по любой кри- 1г''"’ я I'
вОй, то он при этом будет совершать -**" |i| га И ' >
поступательное движение (рис. 46). I] !J || г
При поступательном движении за- ' I u ,хГ
коны равномерного движения одп- I
наково годятся как для точки, так ' 111
и для тела.
11а. Решение задач на равно- рнс. 46.
мерное движение. Пользуясь урав-
нением (1) § 10, можно решать задачи на равномерное движе-
ние тела. При этом следует руководствоваться общим правилом:
При решении задач необходимо все величины
выражать в соответствующих единицах.
Так, например, длины и скорости надо выражать или в см н
или в м и ~ и т. п. Но нельзя выражать, например,
СМ
длину путей в метрах, а скорость в —.
Если в условиях задачи величины даны в несоответствую-
щих единицах, то предварительно, до решения, надо их пере-
вести в соответствующие единицы.
Пример. 28 августа 1939 г. в окрестностях Москвы
был дан старт самолёту „Сталь-7*. Было установлено, что
самолёт, пролетев 5 068 км, показал среднюю скорость
404,936^, побив международный рекорд скорости на дан-
ное расстояние. Найти время движения. Выразить скорость в .
13
5 = 5 068 км
v = 404,936 —
час
1?
, 5068 км км-час 1П
t —----•—— = - —------------=12,51 часа,
404,936 ™ 404,936 «л
час
0 = 404,936 — = ^*9П36 ^—П2,5—.
час 3 600 сек ’ сек
t=-
V
Упражнение 1.
1. Учебный самолёт рассчитывается иа скорость около 130
Выразить эту скорость в 4^..
2. В 1935 г. Герои Советского Союза Чкалов, Байдуков и Беляков
совершили дальний беспосадочный полёт по „Сталинскому маршруту":
Москва — Баренцево море — Земля Франца-Иосифа — Мыс Челюскин —
Петропавловск на Камчатке — Николаевск на Амуре (вылет из Москвы
20 июля 1935 г.), покрыв расстояние 9374 км в 56 ч. 21 м. Найти
„ км
скорость полёта в —.
час
3. 12 июля 1937 г. в 3 ч. 21 м. Герои Советского Союза Громов,
Юмашев и Данилин вылетели по „Сталинской трассе": Москва — Се-
верный полюс — штат Калифорния (США). Какое они покрыли расстоя-
ние, если находились в воздухе 62 ч. 17 м. и шли со скоростью
185 — ?
час
4. Звук распространяется в воздухе при температуре около 16° со
скоростью 340^;. На какое расстояние распространится звук в тече-
ние одной минуты?
5. Свет распространяется со скоростью 300 000^^; Во сколько
времени свет доходит от Солнца до Земли, если среднее расстояние
между ними 149,5- 10е км? (Время следует вычислить с точностью
до 1 сек.)
6. Дрейфующая льдина папанинцев прошла за 274 дня (с 21 мая
1937 г.) 2500 км. Найти среднюю скорость её движения. Отв. 0,4^
7. Определить скорость суточного движения точки земного эква-
тора с точностью до 1 — , если экваториальный радиус Земли равен
сек
6378 км.
12. Скорость — вектор. Если в какой-либо , задаче будет
дано, что паровоз, стоящий между станциями Москва и Про-
летарская, начал двигаться с. места со скоростью в Ю —, то
по одному этому данному ещё нельзя ответить на вопрос,
в какую сторону началось движение: к Москве или от неё.
|4
Из этого примера видно, что знание только числового значе-
ния скорости недостаточно для полной характеристики её.
Паровоз, стоящий на рельсах, может получить скорость либо
по одному направлению, либо по противоположному. Билли-
ардный шар может получить скорость
по любому направлению на плоскости см
биллиардного стола. У =
Таким образом, чтобы полностью . , , ,. , , ? д
определить скорость какого-либо дви-
жущегося тела, надо не только вы- рис 5 графическое изобра.
разить ее числом, показывающим, см
сколько единиц скорости содержится жение скорости в 7 —.
в рассматриваемой скорости, но и за-
дать её направление.
Величина, определяемая числом содержащихся в ней еди-
ниц и направлением, называется векторомJ).
Следовательно, скорость есть вектор.
Оба признака вектора легко выражаются при помощи гра-
фического изображения. Пусть нам надо изобразить скорость
« г, см
точки А, равную 7 — и направленную горизонтально слева
сек
направо.
Выберем произвольный масштаб, например, условимся изо-
бражать скорость в 1 отрезком в 5 Мм (рис. 5). Проведём
через точку А горизонтальную линию и отложим на ней слева
направо 7 выбранных отрезков (по 5 мм каждый); тогда стрелка
АВ покажет, что точка А имеет скорость величиной 7^,
направленную горизонтально слева направо.
13. Графики скорости и пути в равномерном движении.
Формулы равномерного движения дают зависимость пути от
времени. Путь, пройденный при равномерном движении, про-
порционален времени. Величина, изменяющаяся в зависимо-
сти от изменения другой величины, называется её функ-
цией. Функциональную зависимость двух величин можно изо-
бразить на чертеже определённой линией, называемой графи-
J) В противоположность векторам в физике встречаются величины,
не связанные с направлением и потому определяемые только их чис-
ловым значением. Они называются скалярами (от латинского слова
с к а л е, что значит лестница).
Из известных ранее величин скалярами являются энергия, количе-
ство теплоты, количество электричества.
15
ком функции. Для его построения надо найти несколько пар
соответствующих числовых значений обеих связанных между
собой величин, принять одно число из каждой пары за абсциссу,
другое — за ординату, найти по каждой паре координат точку
на плоскости и соединить найденные точки линией. Построен-
ная таким образом линия называется графиком функции.
1. График скорости равномерного движения. Построим
график для
Так как в равномерном движении скорость есть величина
постоянная, то:
/=0, 1, 2, 3, 4,
v=3, 3, 3, 3, 3
Примем ось абсцисс за ось времени t и отложим на ней
ряд равных отрезков, изображающих равные промежутки врс-
еременч
Рис. 6. График скорости равномерного движения.
мени (рис. 6); ось ординат примем за ось скоростей v и будем
откладывать на ней ряд равных отрезков, изображающих
каждый единицу скорости.
Приняв выписанные выше соответствующие пары значений
t и v за координаты, найдём по ним точки на плоскости А„
Л2, As, ... и найденные точки соединим линией. В случае равно-
мерного движения графиком скорости будет прямая, парал-
лельная оси времён.
>6
Пользуясь графиком скорости, можно дать приём для вы-
числения пути равномерного движения.
По формуле пути s = vt путь, пройденный за 2 сек., равен
2 сек. X v см‘> ПУТЬ за 3 сек< Равен 3 сек. X v =
= 3» см; путь за t сек. равен vt.
В то же время рисунок 6 показывает, что 2® есть число-
вое значение площади прямоугольника ОАА2Сг, Л®— площади
прямоугольника OAA3CS (04 = ®; ОС3 в3; ОАА3С3 = ® X 3 =
г=3®), также vt есть числовое выражение площади прямо-
угольника ОАВС (0A = v; OC=t; OABC = vt). Отсюда можно
Рис. 7. График пути равномерного движения.
заключить, что путь, пройденный в равномерном движении за
время t, численно равен площади прямоугольника, ограничен-
ного осью времён, графиком скорости и ординатами, соответ-
ствующими началу и концу движения.
Надо помнить, что здесь имеет место только числовое
совпадение пути и площади и что путь ни в каком случае
в действительности не является площадью.
Вычисление пути по графику не вносит никакого облегче-
ния в случае равномерного движения, но этот приём может
служить основанием для расчётов в более сложных случаях.
2. График пути равномерного движения. Построим график
функции s = vt для частного значения ® = 2—. Дадим вре-
17
мени t ряд значений и для каждого из них вычислим соответ-
ствующее значение s:
f=0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
s = 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
Возьмём прямоугольные оси координат и ось абсцисс при-
мем за ось времён t, а ось ординат — за ось путей s (рис. 7)*
Отложим на оси времён ряд равных отрезков ОС1 = С1С3 =
= С2С3 = ..., из которых каждый изображает графически
одну секунду. На оси ординат отложим отрезок ОЛ, изобра-
жающий величину пути в 1 см; тогда отрезок OAt будет
соответствовать величине пути в 2 см, отрезок ОАг— в 4 см
и т. л.
Проводя через концы соответствующих координат А! и Cit
Аг и Сг и т. д. линии, параллельные осям, до их взаимного
пересечения, найдём по этим координатам точки плоскости В(,
В2, Вя и т. д.
При непрерывном изменении времени можно найти бесчис-
ленное множество таких точек, которые в своей совокупности
составят прямую ОВ.
Таким образом, графиком пути равномерного движения
является прямая, проходящая через начало координат.
Итак, зависимость пути от времени в равномерном движе-
нии можно выразить тремя различными способами.
Словесно: путь прямо пропорционален времени.
Алгебраически: s = vt.
Графически — прямая линия. Надо помнить, что график
пути ни в коем случае не изображает траектории пути
Упражнение 2.
1. Изобразить на чертеже скорость, направленную вертикально
СМ
вниз, равную 10 — (с указанием масштаба).
ССК
С Ч
2. Построить график скорости v = 4^.
3. Построить график пути а = ЗТ; s = 1
4. Построить на одних и тех же осях графики путей двух тел,
приходящих в одно и то же время из одного места в равномерное
движение со скоростями: = и и2 = 3^_.
5. Построить на одних и тех же осях графики путей двух тел,
приходящих в равномерное движение из одного места со скоростями:
18
Г» О м
о1 = 2—и v2 = 3 причём второе тело выходит позже первого
на 1 сек. Через какое время и на каком расстоянии второе тело дого-
нит первое? (Определить по чертежу.)
6. По графику движения поездов (рис. 8) определить скорость
КМ л о
движения каждого поезда в — между станциями А, В, С и т. д.
и время остановки их иа станциях. Какие поезда проходят мимо каких
станций без остановок?
На оси ординат числа показывают расстояние между станциями;
на графиках поставлены номера поездов.
14. Переменное движение. Как было отмечено выше, поезда,
пароходы, автобусы, отходящие от станции, движутся е воз-
растающей скоростью; когда же они подходят к станции,
скорость их убывает.
Изменяют свою скорость падающие или брошенные вверх
тела, выброшенные из орудий снаряды, маятник, поршень
паровой машины, как и большинство других движущихся
тел.
Такие движения, скорость которых не по-
стоянна, называются неравномерными или пере-
менными.
Иначе, движение называется неравномерным,
если точка в какие-либо равные промежутки
времени проходит пути разной длины.
Основным видом движения в природе и технике является
движение переменное. В некоторых случаях, как мы видели,
можно отвлекаться от неравномерности движения за неболь-
шие промежутки времени ради упрощения исследования и
рассматривать отдельные переменные движения как равно-
мерные.
15. Средняя и мгновенная скорости переменного движе-
ния. В равномерном движении скорость постоянна и может
быть измерена длиной пути, пройденного в 1 сек. В перемен-
ном движении скорость непрерывно меняется.
Поэтому 'для характеристики переменного движения необ-
ходимо расширить понятие о скорости. С этой целью вводят
понятия: средняя скорость за данный промежуток вре-
мени-и мгновенная скорость, т. е. скорость в данный
момент времени, или скорость в данной точке пути.
Среднюю скорость переменного движения можно получить,
если разделить весь путь, пройденный в переменном движении,
на всё время движения. Поезд из Москвы в Серпухов прохо-
дит весь путь в 99 км переменным движением в 3 часа.
19
Если мы разделим весь путь на время, то получим среднюю
О Q Л-Л/ •
скорость 33 — .
г час
Среднею скоростью переменного движения называется
скорость такого равномерного движения, у которого путь
и время одинаковы с переменным.
* <ч30м. 4чх!0м 4ч.50м. 5ч.00м. 5ч.10м. 5ч20м. 5ч.30м.
Рис. 8. График движения поездов.
Когда называют скорости движения поездов, судов, пеше-
ходов и т. п., то приводят именно средние скорости их (см.
табл. I на стр. 261).
Представим себе поезд, движущийся по пути, имеющему
некоторый уклон. В таком случае его скорость непрерывно
возрастает; если же он движется в противоположном направле-
нии, т. е. вверх по уклону, то скорость его непрерывно убы-
вает. Под скоростью поезда в момент прохождения какого-либо
путевого столба подразумевается та скорость, с которой пошёл
20
бы поезд, если бы, начиная с данного мгновения, он стал дви-
гаться равномерно. Когда говорят, что поезд, спускающийся
под уклон, прошёл мост через ручей со скоростью в 25 , то
это надо понимать так: если бы поезд, начиная с данного места,
пошёл бы равномерно с той же скоростью, то он проходил
бы каждый час 25 км.
Мгновенной скоростью переменного движения называется
такая скорость, с которой двигалось бы тело, если бы, на-
чиная с данного мгновения, его движение стало равномерным.
16. Равномерно-переменное движение. Среди различных
видов переменного движения простейшим является равномерно-
переменное дзижение.
Равномерно-переменным движением называется такое дви-
жение, при котором скорость в любые равные промежутки
времени изменяется на равные величины.
Равномерно-переменные движения распадаются на равно-
мерно-ускоренные движения — с возрастающей скоростью и
равномерно-замедленные движения — с убывающей скоростью.
17. Ускорение. Двух новых понятий — средней и мгновен-
ной скоростей — недостаточно для сравнительной характери-
стики различных переменных движений.
В разных, даже равномерно-переменных, движениях изме-
нение скорости может происходить по-разному. Если от же-
лезнодорожной станции отходят поезда: скорый, почтовый,
товарный, то через минуту после начала их движения все эти
три поезда будут иметь разную скорость. Следовательно, эти
три переменных движения будут отличаться той быстротой,
с которой шло нарастание их скорости.
Для характеристики быстроты изменения скоро-
сти в переменном движении вводится особая механическая
величина, называемая ускорением.
Если какая-либо точка в некоторый момент времени равно-
Г) г* СМ
мерно-переменного движения имеет скорость в 35— , а через
С СК
минуту будет иметь скорость в 71—, то ускорение будет
71 -35 36 n R СеК р _
равно —эд—= — = 0,6 единицы ускорения. Если подходящий
м
к станции поезд в некоторое мгновение имеет скорость в 15 —
а через 5 сек. будет иметь скорость в 5 — , то его ускоре-
сек
5__
ние будет равно—g— = — 2 единицы ускорения.
21
Ускорение равномерно-переменного прямолинейного движе-
ния есть величина, измеряемая изменением скорости в единицу
времени.
Из приведённых выше примеров видно, что ускорение есть
понятие более сложное, чем скорость. Зная только изменение
скорости, например, зная, что произошло изменение скорости
на 12 ещё нельзя составить понятие об ускорении; необ-
ходимо знать время, в течение которого произошло это из-
менение. Только через сопоставление изменения скорости и
промежутка времени, в течение которого это изменение про-
изошло, можно составить понятие об ускорении. Надо иметь
в виду, что ускорение есть величина особого'
рода, отличная как от скорости, так и от вре-
мени.
Судить об ускорении можно по тому изменению скорости,
которое происходит в 1 сек.
Таким образом, если скорость в начале переменного дви-
жения обозначить через v0, а скорость по прошествии i сек.
через v и ускорение' обозначить буквой а, то
у —t>0
Как определено выше, в равномерно-переменном движении
скорость в любые равные промежутки времени изменяется на
равные величины; следовательно, и за каждую секунду ско-
рость также изменяется на одну и ту же величину; поэтому
ускорение равномерно-переменного движения есть величина
постоянная. Таким образом, равномерно-переменное движение
можно также определять как движение с постоянным ускоре-
нием.
В переменных движениях ускоренных, в которых после-
дующая скорость больше предыдущей (v w0), ускорение будет
выражаться положительным числом; в переменных дви-
жениях замедленных, в которых последующая скорость меньше
предыдущей, т. е. ускорение будет выражаться отри-
цатель н ы м числом.
Так как скорость — вектор, то изменение скорости также
будет вектором; следовательно, и ускорение, измеряемое изме-
нением скорости в 1 сек., есть тоже вектор.
22
1,8. Единицы ускорения. Чтобы получить единицу ускоре-
ния, надо в формуле а = —-г—2 придать числителю значение
, см
единицы скорости, т. е. положить v— г10=1—, а знамена-
сск
телю дроби придать значение единицы времени, т. е. принять
/=1 сек. Тогда найдём из формулы:
1 см
сек , см
а — —— = 1 —,.
1 сек сек2
Для наименования единицы ускорения принимается обозна-
см
чение: —,.
сек2
Произносить наименование единицы ускорения надо так:
„сантиметр в секунду за секунду" (или „сантиметр, делённый
на секунду в квадрате “).
В технике устанавливают единицу ускорения, положив
V — г>п = 1— и /=1 сек.; тогда:
0 сек
j м
„ сек , м
CL = 1 — .
1 сек сек2
Для наименования этой единицы ускорения принимается
, М
обозначение —5.
сек2
Итак, за единицу ускорения принимается ускорение такого
переменного движения, при- котором скорость в каждую
единицу времени увеличивается на единицу скорости.
Если тело движется так, что скорость за 1 сек. изменялась
(. см \
на одну единицу, то и ускорение равно единице I 1^2 В если
за одну секунду произошло изменение скорости на 10 единиц,
то и ускорение равно 10 единицам ускорения. Опыт показы-
вает, что выпущенный из руки шарик падает так, что его ско-
рость за одну секунду изменяется приблизительно на 980 еди-
ниц скорости следовательно, и ускорение равно 980 еди-
ницам ускорения ^980 • Это ускорение называется ускоре-
нием свободно падающего тела (подробнее о падении тел рас-
сказано в § 30).
Чтобы составить себе представление о величине ускорения,
надо измерить в соответствующих единицах изменение скорости
23
и время, в течение которого произошло это изменение, и
первое число разделить на второе; полученное частное даёт
число единиц ускорения. К нему надо приписать наименование
единицы ускорения.
Упражнение 3.
(В задачах движение принимается за равномерно-переменное.)
1. Какое ускорение имеет сброшенная с высоты бомба, если её
скорость за 13 сек. изменилась с 193 — до 276 — ?
ССК сек
2. Какое ускорение имеет автомобиль, если скорость его увели-
чилась за минуту с 3—до 32,4-^ ? Отв. 0,1 —
J J сек час сек2
3. Какое ускорение имеет тело, если его скорость изменилась за
1Л гг\ СМ г\/\ СМ — л СМ
10 сек. с 60 — до 20 — ? Отв. — 4 —5.
сек сек сек2
4. Какое ускорение имеет поезд, подходящий к станции, если он
Л км.
за полминуты до остановки имел скорость 9 — ?
Отв. = - 0,08 —, •
сек2
19. Скорость и путь равномерно-ускоренного движения
без "начальной скорости. Начнём изучение равномерно-пере-
менных движений с равномерно-ускоренного. В начале огра-
ничимся теми случаями, когда тело из состояния покоя пере-
ходит в равномерно-ускоренное движение; в этих случаях
начальная скорость равна нулю. Примером такого движения
является, как будет видно в дальнейшем, свободное падение
тела (§ 30).
Если поезд отходит от станции с укореняем в 2^^ , то
его скорость будет изменяться на 2 за секунду и по про-
шествии одной секунды скорость будет равна V, == 2 .
По прошествии двух секунд скорость будет равна
<7=2 —4-2—= 4— .
* сек 1 сек сек
По прошествии трёх секунд скорость будет равна
4М- । ci г*
--------1— 2 — = о — ,
м сек 1 сек сек
Вообще, если обозначить ускорение через а, то изменение
24
скорости за одну секунду выразится тем же числом а, но
с другим наименованием ]). Тогда:
по прошествии одной секунды скорость будет vx = a
„ „ двух секунд „ „ v2 = Ц- а = 2а
, „ трёх „ „ „ v2 — v2 а — За
по прошествии I секунд скорость будет v — at.
По этой формуле можно вычислять скорость для любого
момента времени.
Выведем формулу пути равномерно-ускоренного движения
с начальной скоростью, равной нулю. Вспомним, что путь
переменного движения за время t будет одинаков с путём,
пройденным в равномерном движении за то же время со
средней скоростью. Если начальная скорость равна нулю,
Рис. 9. График скорости равномерно-уско-
ренного движения без начальной скорости.
а скорость через время i сек. будет v, то средняя скорость
в равномерно-ускоренном движении будет . Путь s, прой-
денный в равномерном движении за время t, будет $ =
Если вместо v подставить равное ему выражение at, то:
!) Именно с наименованием единицы скорости—или — , так как
сек сек
см м
наименование единицы ускорения---„ или —? множится на наименова-
J сек2 сек2
ние единицы времени — сек,
25
Итак, уравнения равномерно-ускоренного движения при началь-.
ной скорости, равной нулю, таковы:
v=at\ s = .
(II)
19а. Графики скорости и пути равномерно-ускоренного
движения. Построим график скорости равномерно-ускоренного
движения без начальной скорости для ускорения а — 1
(рис. 9). Далее построим график пути для такого же движения
(рис. 10). Вычислим длины путей за промежутки времени в одну,
две, три и т. д. секунды по формуле S — -%-.
Время f=0
Путь 5 = 0
4 5
8 12 Т
6
18
1 2 3
2
2
Далее на осях координат отложим в некотором масштабе
на горизонтальной оси (оси абсцисс) время, по вертикальной оси
(оси ординат) — пути. Най-
дём обычным приёмом точки,
соответствующие каждой
паре связанных между со-
бой значений / и $. Линия,
проходящая через найден-
ные точки, изобразит гра-
фик пути равномерно-уско-
ренного движения без на-
чальной скорости.
-1 ;__I------1-------
7 8 9 * сек
Рис. 10. График пути равномерно-ускоренного движения
без начальной скорости.
Примеры на решение задач.
Пример 1. Поезд, отойдя от станции, в конце пути
в 600 м развил скорость в 27 —. Найти ускорение поезда
26
на этом пути и время, в течение которого он пройдёт этот
путь.
^0 = ° v=at\ V a~ t
П-7 КМ т» = 27 — час s — бОО м г, е м v — 7,5 — ’ сек s = 600 м at2 vt t=- V
at at tt S = ^2’ S=2
, 2-600 м 7,5м сек „ м
— = 160 сек., а=-^—==0,05—.
7,5 м/сек ’ 160 сек ’ сек2
Пример 2. Поезд отходит от станции равномерно-уско-
ренным движением и через 5 минут развивает скорость
в 36— , Найти ускорение и путь, пройденный за данное
время.
v0 = 0 i»0 = ° v = at V a~~t
Oz2 KM v = 36 — час v = 10 — сек at2 S — ~2 vt
t =5 мин. t = 300 сек.
at st at st
10— , 10-
сел. 1 М л /4 0 л СеК Илл , ЕЛЛ
— ккл----= ой—5 = 0,03 —, ; $ = —s— 300 сек. = 1500 м
300 сек 30 сек2 сек2 2
20. Соотношение между пройденным путём и скоростью
в конце пути для равномерно-ускоренного движения при
v0 = 0. Найдём скорость в конце пути в 100 м, если тело вышло
из состояния покоя и двигалось равномерно-ускоренно с уско-
п м
рением в2-.
v0 = 0 v — at
s— 100 м ,at2 5 = T
„ r, M 9 сек2
vt
Время I в задаче не дано, его можно
исключить из обоих уравнений.
Выразим из первого уравнения i.
Найдём, что t = —; найденное выра-
жение подставим вместо t во второе
у2
уравнение. Возводим в квадрат: i2=— ,
27
Clt^
и подставляем в уравнение $ = -3-, получаем s = ^;v2 = 2as;
v=]/' 2as.
v = л/~2.2^.100 м = л/'22-102 ^=2-10 —= 20—.
V сек2 г сек2 сек сек
Как видим, выражение v = ]/2as, полученное из двух основ-
ных уравнений, позволяет вычислить конечную скорость по
данному пройденному пути и ускорению. Вместо того чтобы
каждый раз в подобных задачах производить решение двух
основных уравнений, можно запомнить окончательную формулу:
v = V2m. (Ill)
21. Пути, пройденные в равномерно-ускоренном движе-
нии с начальной скоростью vo = O за последовательные
секунды. Вычислим, какие пути проходит тело, двигаясь равно-
мерно-ускоренно, за первую, вторую, третью и следующие
секунды.
at2
По основной формуле s = -^- можно вычислить путь за
, , „ , а-12 а
первую секунду, если положить t = 1 сек. Тогда s j = .
Чтобы вычислить путь за вторую секунду, вычислим сперва
по основной формуле путь, пройденный за две секунды.
Когда 1 = 2 сек., s2 = -= = 4-^- . Из пути, пройденного за
л
„ а
две секунды, вычтем путь, пройденный за первую секунду, ,
и тогда найдём путь, пройденный только за вторую секунду;
$'2 = 4-у — -у = 3-^- . Подобным образом, чтобы найти путь,
пройденный за третью секунду, надо сперва найти путь, прой-
денный за 2 = 3 сек., $3=-^ = 9-|, и из найденного вы-
ражения вычесть путь, пройденный за две секунды: $2 = 4-4~ .
Получим путь, пройденный только за третью секунду:
с' — 9 £__________________4 £_ — 5 £
s 8 —у 2 2 — 2 ’
Таким же способом надо поступать и для вычисления путей,
проходимых в любые следующие секунды. Соберём наши вы-
числения в следующие таблицы:
28
/=1, путь, пройденный за 1 сек., равен а S1 —т:
/ = 2, » » » 2 « п 52 = 4.22 = 4Л;
/ = 3, » « п 3 » s3 = |.32 = 9.|;
/=4, •п п п 4 » » 54 = |.42=16.|;
/ = 5, « п п 5 5в = 4- 52 = 254; & л
1 = п- -1» п п — 1 Со • а 1 1: । : >—1 ьэ ьэ| Й .
1 = п » » » п » » 9 а 8п
Из этих равенств можно вывести длины путей, пройденных
за первую, вторую, третью секунду и т. д.
Так, путь, пройденный за
' а
первую секунду, равен = -у ;
вторую „ » ' л а s2= 4Т а ' о а -т; 52 = Зу;
третью „ » ' п а 53= 9Т 1 ьо| й Со W II сл
четвёртую „ 54=1б|- п а ' _ а 9 2 , 54 — 7 у ,
пятую « » 56 = 254- Л « z; С1 * С1 -16т- ^ = 9 т
л-ую секунду равен 5'и = л2-^-(п—1)4 =
= (л2 —л2 + 2л — 1)4= (2л —1)4 .
Сравним теперь пути, пройденные за последовательные
секунды:
51: $2 • 5з • 54 5g • • • • *5 д-
_ П С Т & С\ / Г) 1 \
=Т:32:5 Т:7 2-92—^П-^2‘
Сократив на у, получим;
• • • :s'„= 1:3:5:7:9:.. . :(2л— 1).
а?
Рассматривая формулы равномерно-переменного движения
без начальной скорости, можно прийти к выводам:
1. Скорость прямо пропорциональна времени.
2. Путь, пройденный в первую секунду, численно равен
половине ускорения.
3. Путь прямо пропорционален квадрату времени.
4. Пути, проходимые в последовательные секунды,
относятся, как последовательные нечётные числа. (Не-
трудно сообразить что пути, проходимые в любые равные
последовательные промежутки времени, относятся, как последо-
вательные нечётные числа.)
21а. Равномерно-переменное движение с начальной ско-
ростью J). Рассмотрим теперь случай, когда тело получает рав-
номерно-переменное движение, уже обладая некоторой начальной
скоростью. Например, поезд идёт по горизонтальному участку
пути равномерным движением со скоростью в 10 — и на спуске
под гору переходит на равномерно-ускоренное движение с уско-
рением в4“2^-2. Тогда его скорость будет меняться на 2^
за секунду и скорость по прошествии одной секунды будет
равна 102^= 12^, по прошествии двух секунд будет
равна 122^=14^, по прошествии трёх секунд будет
равна 14 —-]-2—= 16 — и т. д.
г сек 1 сек сек
Если тот же поезд подойдёт с постоянной скоростью в Ю~~
к подъёму и начнёт двигаться равномерно-замедленно с ускоре-
нием — 1 , то изменение скорости будет — 1 — за секунду.
Скорость по прошествии одной секунды будет равна
юЛ-4-f — 1 —^ = 9— ,
сек 1 \ сек) сек
по прошествии двух секунд будет равна
9 JL _1_ 1 ЛЛ = 8 —
сек 1 \ сек) сек
и т. д. Вообще, если обозначить начальную скорость равно-
мерно-переменного движения через v0, а ускорение через а, то
9 Изучение равномерно-переменного движения с начальной ско-
ростью может быть отнесено на повторение этого раздела.
30
изменение скорости за одну секунду выразится тем же числом а,
но с другим наименованием (именно с наименованием единицы
'см м см
скорости: — или —, так как наименование ускорения —j или
сек сек сек
множится на наименование времени: сек.). Тогда по про-
шествии одной сек. скорость будет — v0 4~ а
v2 - щ -|- а — v0 -4- 2а
v2 - v2 а = г/0 — За
Двух „
трёх „
По прошествии t сек. скорость будет v = v0-\-at.
По этой формуле можно вычислить скорость для любого
момента времени. Ту же формулу можно вывести из основного
определения ускорения:
Из неё следует:
v — v0 = at; v=v04- at.
Чтобы вывести формулу пути равномерно-переменного прямо-
линейного движения, происходящего с начальной скоростью,
надо вспомнить, что путь переменного движения за время t
будет одинаков с путём, пройденным в равномерном движении
за то же время со средней скоростью. Если начальная скорость
равна v0, а скорость через t секунд будет v, то средняя ско-
рость в равномерно-переменном движении будет . Если
вместо v подставить равное ему выражение v0-[-at, то средняя
скорость будет у04"'?Г’ Путь, пройденный с этой скоростью
Ctt^
в равномерном движении за время /, будет: s=vQt . Итак,
уравнения равномерно-переменного движения с начальной ско-
ростью г»0 таковы:
, , . । at2
v = v0 at\ s = vot .
(Па)
Обе формулы пригодны как для равномерно-ускоренного,
так и для равномерно-замедленного движения: для первого уско-
рение а выражается положительным числом, для второго —
отрицательным.
31
22. График скорости равномерно-переменного движения
с начальной скоростью. Построим график скорости равно-
мерно-переменного движения для случая (рис. 11);
п СМ
= 2 — и
° сек
, см
а= 1 -----;
сек2
Так как v = v0 то при t=Q, v = ‘2', при t= 1, v = 3
при /=2, V — 4 и т. д. Результаты вычислений можно предста-
вить в виде такой таблицы:
Из рисунков 11, 12, видно, что график скорости равномерно-
переменного движения есть прямая, наклонная к оси абсцисс.
32
Отрезок, отсекаемый графиком на оси ординат, изображает
величину начальной скорости. Если через конец отрезка, изо-
бражающего начальную скорость, провести параллель оси
абсцисс, то эта параллель отсечёт от каждой ординаты отрезок,
изображающий прирост скорости за соответствующее время.
Например, для первой секунды (рис.
г’ т~\ 1 СМ
выразится отрезком — для
И) прирост скорости
ис 1 СМ
отрезком — у — .
22а. Другой вывод
движения. При разборе
(§ 13) мы выяснили, что
движении, численно равен пло-
щади прямоугольника, ограни-
ченного графиком скорости,
осью абсцисс и ординатами,
соответствующими началу и
концу движения.
Так как график скорости
равномерно-переменного движе-
ния наклонён к оси абсцисс,
то сразу воспользоваться вы-
веденным правилом нельзя. За-
меним мысленно изучаемое пе-
ременное движение другим,
состоящим из ряда равномер-
ных движений, скорости ко-
торых в конце секунды изме-
няются скачком на величину
а. Тогда график скорости каж-
дого из равномерных движений
половины секунды —
равномерно-переменного
уравнения пути
графика скорости равномерного движения
путь, ............-.......- —----------
пройденный точкой в равномерном
12
и
15
Рис.
будет прямая,
параллельная оси
абсцисс, а" общий" график скорости всего воображаемого движения
изобразится ломаной ступенчатой линией АЕ}Е\Е?Е)?Еа (рис. Н).
Путь, пройденный в совокупности воображаемого ряда равномер-
ных движений, выразится численно по предыдущему суммой площа-
дей прямоугольников ОАЕ{С} -f- C^D^E^C, и т. д. Конечно, этот
вычисленный путь будет отличаться от действительного пути перемен-
ного движения. Чтобы наше воображаемое движение ближе подходи-
ло к действительному, представим себе, что скорости равномерных
движений будут меняться в конце каждой половины секунды на вели-
• ину ~. Тогда получится новый ступенчатый график скоростей
AHE1H{D\H2E2H%..., и путь, пройденный в этом новом ряду вообра-
жаемых равномерных движений, численно будет равняться сумме пло-
щадей прямоугольников OAHf(\ + К\ЕгН}СА-^С}О{Н2!(2 +...
Чтобы ещё ближе подойти от воображаемого движения, состоя-
щего из ряда равномерных, к истинному, равномерно-переменному
движению, надо уменьшать те промежутки времени, через которые
скорость изменяется скачком и одно равномерное движение заме-
няется другим.
2 Kvdc (Ьизики. ч I
33
По мере уменьшения промежутков скачкообразного изменения
скорости, ломаная линия графика скоростей будет приближаться к пря-
молинейному графику AD, и сумма площадей прямоугольников, численно
выражающих путь движения, будет приближаться к площади трапе-
ции OADC.
Поэтому, путь, пройденный в равномерно-переменном движении
за данное время, также может считаться численно равным (в пре-
деле) площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осью
времён и ординатами, соответствующими началу и концу проме-
жутка времени, за который вычисляется путь. Но фигура OADC
представляет трапецию, параллельные стороны которой равны OA = v0
и DC = v = -f- at, а высота OC = t. Отсюда, путь, пройденный
в равномерно-переменном движении за время t, численно равен:
2
s = ОЛфОС 0С;= Vq±V'( = vo±^±^.t = V(>t +ф.
> , at*
S = vof + ^-.
Из этого разбора видно, что величина — составляет сред-
нюю скорость равномерно-переменного движения.
Площадь трапеции OADC состоит из площади прямоугольника
ut^
ОАВС = vot и площади треугольника ABD=-^-.
Первая часть выражает путь, пройденный точкой в равномерном
движении с начальной скоростью v0. Вторая часть получается из общей
Clt^
формулы s=vot-|--^-, если принять в ней vo = O. Тогда вторая часть
изображает путь, пройденный в равномерно-ускоренном движении,
начальная скорость которого равна нулю.
226. Примеры решения задач на равномерно-переменное
движение при любой начальной скорости.
1. Поезд, идя по горизонтальному направлению равномерно
со скоростью 36 , переходит на равномерно-ускоренное дви-
жение и проходит путь в 600 м, имея конечную скорость
в 45 5^. Найти ускорение и время спуска.
час
Дано:
__км_ 36 000 м 1л_^_ . Найти:
час 3 600 сек сек ’
.г-км___45000 м __19 е м .
V час 3 600 сек ’ сек ’ t-
s = . ............. . = 600 м.
34
Данные величины подставляются в формулы § 21а:
12,5 = 104-af; 600= lOZ-j-^y-; а/ = 2,5; a = ^j
Л I
600=10/-}-^; 600=10/4-1,25/; 600=11,25/;
/ = 600:11,25 = 53 (с точностью до 1); / = 53 сек.,
2,5 2,5 Л пм
а=-^- = -^; а = 0,047—5.
t 53 сек2
2. Поезд, двигавшийся по горизонтальному направлению
равномерно со скоростью 18 поднимается на подъём равно-
мерно-замедленным движением и через 1 минуту имеет скорость
10-^-. Найти ускорение и путь подъёма.
сек
Дано:
о0=18—; п=10 —; / = 60сек.
v геи- сек
1Q ЙА I «-602
s = 18-604—; а
. о 2-602
$=18-60-----==
15-2
скорость <п0 = 0, ускорение свободно падаю-
. „ см
сек2'
Н а й т и:
fl; 5.
10- 18_ 8 .
60 60 ’
14-60; s = 840 м.
сек ’
10=18-{-а-60;
2 м
15 сек2 ’
Начальная
тела а = 980-^. Найти скорость, когда свободно падаю-
а =
3.
щего
щее тело пройдёт путь 5=10л/.
v2 — 2as; v — V 2as; s= 10л = 1000 см.
V —
• 1000 см\
v=
—2=14-102 —; =1400 — = 14 —.
сек2 сек сек сек
Упражнение 4.
1. Тело, имея начальную скорость v— 10 , получает ускорение
СМ
а = 5 . Найти его скорость7 и пройденный путь через / = 20 сек.
Отв. о=110 —; s=12 м.
сек
2. Тело, имевшее начальную скорость о0 = 20^^, получилоуско-
_ см ппсм
рение 6 ^2 и достигло через некоторое время скорости v = 80 — .
Найти время и пройденный- за это время путь. Отв. 10 сек.; 5 м.
35
3. Через 5 сек. от начала движения тело достигло скорости 60 —
см Cl’K
двигаясь с ускорением 10 —5. Найти ft, и s.
ceKi Отв. \Q—- ; 175 м.
сек
см
4. Тело, двигаясь с ускорением а= прошло за 12 сек.
путь в 3 м. Найти его начальную и конечную скорости.
Отв. 43 —; 7 —.
сек сек
5. Какое ускорение имеет тело и какой путь оно прошло, если,
п см
начав двигаться со скоростью в 3 -— , оно через 6 сек. достигло ско-
.с СМ п СеК ГЛ П СМ 1 л л
рости в 45 —? Отв. 7—144 см.
сек сек1
6. Поезд, отходя со станции равномерно-ускоренным движением,
через 600 м достигает скорости в 45^-. Найти время прохождения
этого пути и ускорение. Отв. 96 сек.; 13—^.
7. Поезд, идущий со скоростью 54 —, останавливается пневма-
тическим тормозом за 15 сек. Найти величину тормозного пути и
ускорение. Отв. 112,5 л/; —1 —г.
v г сек1
8. Длина ствола ружья 1,2 м. Пуля вылетает из ствола со ско-
сколько
Отв.
пути для
секунд
20 сек.
случая
м
ростью 880 . Найти ускорение и время движения пули внутри
ружья, считая её движение равномерно-ускоренным.
Отв. около 0,003 сек.
9. По одному направлению в одно время пущены два тела: одно
равномерно со скоростью 98 , а другое равномерно-ускоренно с на-
чальной скоростью 0 и ускорением 980 ^^. Через
второе догонит первое?
10. Начертить графики ускорения, скорости
~см .
а — 4 —г,, v0 — 0.
сек1 и
И. Доказать, что и3 — Vq = “2 as.
12. Тело с начальной скоростью в 100 —
сек
и
и
ускорением а =
Л СМ
= — 4—прошло в равномерно-переменном движении путь в 920 см.
Какой вид движения тела? Чему равно время движения и конечная
скорость? v I v
13. Какое физическое значение имеет полусумма ординат ——
па рисунке 11?
14. Какое физическое значение имеет каждый член в отдельности
, , , at'1 л
в формуле 5 = vot -f- t
36
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Что называется механическим движением?
2. Что называется материальной точкой?
3. Что называется траекторией движущейся точки?
4. На какие виды делятся движения по траектории?
5. Какое движение тела называется поступательным?
6. Как можно составить себе понятие о скорости движения?
7. На какие виды делятся движения по скорости?
8. Что называется движением равномерным и движением
переменным?
9. Какие установлены единицы скорости?
10. Что называется вектором? К каким величинам относится
скорость?
11. Как графически изображается вектор скорости?
12. Как выражаются уравнения равномерного движения математи-
чески и графически?
13. Что такое средняя и мгновенная скорости переменного дви-
жения?
14. Что такое ускорение переменного движения?
15. Какой знак имеет ускорение при замедленном движении?
16. К разряду каких величин — скалярных или векторных — отно-
сится ускорение?
17. Какие и как установлены единицы ускорения?
18. Что называется равномерно-переменным движением?
19. Какие существуют виды равномерно-переменного движения?
20. Как выводятся и какой вид имеют уравнения скорости и пути
равномерно-переменного движения при начальной скорости,
равной нулю?
21. Как можно для этого случая движения выразить конечную
скорость через пройденный путь?
22. Как выводятся и какой имеют вид уравнения скорости и пути
равномерно-переменного движения при начальной скорости,
отличной от нуля?
23. Как построить и какой имеют вид графики ускорения, ско-
рости и пути равномерно-переменного движения?
2. Законы движения Ньютона.
23. Развитие механики. Знания по механике приобретались чело-
веком с самых ранних времён.
Уже в государствах древнего мира мы встречаемся со сложными
военными сооружениями и с грандиозными постройками.
Пирамиды Египта, башни Вавилона, гавани Греции, мосты и кре-
пости Рима, замки и храмы средневековья — строительство всех этих
сооружений накапливало богатый материал разнообразных знаний по
механике.
Почти за три столетня до нашей эры (287—212) жил в Сицилии,
в городе Сиракузах, величайший физик и математик древнего мира
Архимед, который дал доказательство закона рычага, открыл основ-
ной закон гидростатики, положил начало учению о центре тяжести
тел и изобрёл множество машин, в числе которых был водоподъем-
37
ный винт, носящий его имя. Архимед был основателем отдела меха-
ники, носящего название статики.
Особенно усиливались требования, предъявляемые к механике
практической деятельностью человечества, в эпоху великих географи-
ческих открытий (XVI в.). Развитие дальних торговых связей и море-
плавания поставило перед наукой ряд проблем по кораблестроению —
увеличение прочности и вместимости судов, их устойчивости, а также
проблемы океанской навигации и т. д.
Нарушение феодальной замкнутости стран Европы, увеличение
внутреннего товарообмена требовали улучшения средств сообщения.
Дороги феодальной Европы находились в ужасающем положении.
О таких дорогах, на которых могли бы разъехаться два экипажа,
только мечтали. Феодальные владельцы были заинтересованы в сохра-
нении плохого состояния дорог, так как они получали право на товары,
упавшие с возов на дорогах, проходивших по их владениям (отсюда
поговорка „что с возу упало, то пропало"). Усиливающаяся буржуазия,
напротив, требовала улучшения средств сообщения и обратила особен-
ное внимание на речной транспорт. Оборудование водного транспор-
та связано с проведением каналов, с устройством плотин. Усовершен-
ствование водного транспорта приводило к изучению законов дви-
жения воды и законов распределения давления в стоячей и текущей
воде.
Не останавливаясь на многих других сторонах производственной
деятельности эпохи XVI и XVII вв., которые были тесно связаны
с разрешением механических задач, отметим, что особенно сильное
влияние на развитие механики оказало, как это постоянно происходит,
военное дело.
Борьба экономических интересов государств разрешалась посред-
ством войн. Со времени изобретения пороха всё больше и больше
находило применение огнестрельное оружие. В военных столкновениях
успех выпадал на сторону армии, наиболее оснащённой артиллерией.
Меткость стрельбы зависела от знания законов полёта тел. Поэтому
изучение законов падения тел, законов движения брошенных тел
в безвоздушном пространстве и в воздухе стало первоочередной
задачей эпохи.
Таким образом, видно, что самые разнообразные промышленные и
военные интересы эпохи приводили к разрешению механических задач
на общей теоретической основе.
Ещё на рубеже XV и XVI вв. вопросами механики усиленно зани-
мался Леонардо да Винчи (1452—1519), замечательный учёный,
инженер и художник.
Как всегда бывает в развитии науки, остро, настоятельно поста-
вленные практикой задачи привлекают к себе гениальные умы своего
времени. Поэтому три великих учёных: Галилей (1564—1642),
Н ь ю т о н (1643—1727) и Гюйгенс (1629—1695) обратились к изуче-
нию механических задач и, опираясь на весь накопленный человече-
ством тысячелетний опыт, создали основные законы механики, т. е.
положили начало механике, составляющей часть науки физики.
Открытые Галилеем и Ньютоном законы содействовали мощному
развитию науки и основанной на ней техники и лишь в XX в. оказа-
лись недостаточными для объяснения ряда вновь открытых явлений.
Основанная на этих законах механика получила название гали-
леево-ньютоновской, или классической, механики.
38
23а. Основная задача механики. Основная задача меха-
ники— объяснить, как происходит изменение механического
движения тел при их взаимодействии и какие количественные
соотношения,при этом имеют место.
Ньютон в своей знаменитой книге, вышедшей в 1687 г.,
„Математические начала натуральной философии" ’) выразил
эти соотношения в трёх основных законах механики, речь
о которых будет итти ниже.
24. Первый закон механики. Опыт показывает, что
ни одно тело, находящееся в покое относительно нас или
какого-либо другого тела, само по себе не выходит из состоя-
ния. покоя: камни лежат на своих местах, вагоны стоят на
путях, пули лежат в ружьях. Наученные опытом, мы привыкли
всегда искать и всегда можем найти внешнюю причину выхода
тела из состояния покоя. Если камни смещены со своего места,
то их или перенесли люди, или передвинула текущая вода, или
сдвинул ураган — вообще подействовало какое-либо другое
тело. Если вагоны двинулись по рельсам, то их перемещают
или действие пара, или мускулы людей. Пуля вылетает из
ружья только от давления образовавшихся газов. Люди и жи-
вотные движутся по земле, отталкиваясь при ходьбе от земли;
двигаться же по льду трудно, так как от скользкой поверх-
ности труднее оттолкнуться. Железные гвозди, опилки, магнит-
ная стрелка приходят в движение через воздействие магнита
или. электрического тока. Лёгкие предметы приводятся в дви-
жение наэлектризованным телом.
Постоянные наблюдения показывают, что имеющаяся у тела
скорость изменяется как по величине, так и по направлению
только при взаимодействии с другими телами. Так, полёт
пули, движение разогнанной лодки замедляются потому, что на
них извне действуют своим сопротивлением воздух или вода.
Покатившийся от удара на горизонтальной поверхности шар
постепенно замедляет своё движение и останавливается тем
быстрее, чем большее трение он испытывает со стороны поверх-
ности: скорее останавливается на траве или песке, дальше
катится по асфальтовой дорожке и очень долго по полиро-
ванной доске или гладкому льду, на которых трение очень
мало.
Эти наблюдения показывают, что причиной изменения вели-
чины скорости движущегося тела является действие на него
!) Подлинное заглавие книги (на латинском языке): Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica.
39
другого тела: скорость тела сохраняется дольше, когда это
действие на него меньше.
Можно наблюдать также, что и направление скорости изме-
няется только при взаимодействии движущегося тела с другим
телом. Пустим шарик по наклонной плоскости на стол: он
катится по столу по прямой линии. Поставим на его пути бру-
сок под каким-нибудь углом к направлению первоначального
движения: ударившись о препятствие, шарик изменит напра-
вление своего движения и, следовательно, направление своей
скорости.
Заменим брусок изогнутой жестяной пластинкой и повторим
опыт с движущимся шариком: коснувшись пластинки, шарик
пойдёт по кривой линии вдоль пластинки.
Возьмём шарик железный и поставим сбоку от наклонной
плоскости, за концом её, сильный магнит: железный шарик,
скатившись с плоскости, сойдёт с прямолинейного пути и свер-
нёт к магниту под действием магнитного притяжения.
Движение горизонтально брошенного камня или пули не
по прямой, а по кривой наклонной к земле происходит потому,
что на летящий камень или пулю действует в каждое мгнове-
ние своим притяжением Земля.
Из всех наблюдений над движением тел Галилей вывел
заключение об основном свойстве тел: всякое тело само по
себе, без действия на него других тел, сохраняет скорость
своего движения неизменной.
Свойство тел самих по себе сохранять скорость своего
движения неизменной получило название инерции.
Инерция тел обнаруживается при всех видах движения,
в том числе и при относительном покое. Относительный покой
представляет частный вид движения, при котором относитель-
ная скорость равна нулю.
До Галилея господствовало учение о том, что тело дви-
жется только в том случае, если на него непрерывно действует
какая-либо внешняя движущая причина. Даже некоторые учё-
ные, современники Галилея, не сразу освоились с понятием
инерции.
Рассмотрим ещё другие примеры, кроме приведённых выше,
в которых обнаруживается инерция тел, т. е. свойство тел
сохранять состояние покоя или состояние движения с неиз-
менной по величине и направлению скоростью.
Инерция покоя явно обнаруживается всякий раз, когда
внешняя причина выводит тело из состояния покоя. Люди,
сидящие в трамвайном вагоне, в лодке или в любом экипаже,)
40
отклоняются назад в то время, когда вагон или лодку приво-
дят в движение, и это отклонение тем больше, чем быстрее
переход их из покоя в движение.
Ноги едущего в экипаже увлекаются вместе с полом или
сиденьем экипажа и успевают приобрести скорость, в то время
как остальная часть туловища, гибко связанная с ногами,
сохраняет ещё состояние покоя и оказывается отклонённой
назад при начале движения экипажа. По той же причине вещи,
положенные на плоскую тележку, падают с неё в направлении,
противоположном движению, когда тележку быстро дёргают
вперёд.
Рис. 13. Траектория бомбы, сброшенной с самолёта.
Инерция при движении обнаруживается в том, что,
едущий в экипаже, вагоне, лодке при каждом замедлении дви-
жения наклоняется вперёд, при каждом ускорении движения
отклоняется назад, при каждом повороте отклоняется к на-
ружной стороне кривизны пути.
Предметы, выбрасываемые с самолёта (рис. 13) или из окна
вагона, несутся за ними, но действие тяжести отклоняет их от
прямолинейного пути.
Выпрыгивающий из быстро идущего вагона человек бежит
по направлению его движения, пока трение его ног о землю
не уменьшит их скорости. Автомобиль, поезд, шкнв машины
продолжают своё движение и после того, как прекращается
работа двигателя, до тех пор, пока трение частей машины или
трение о землю не остановит их.
Сохранение направления скорости движения мы наблюдаем
в ряде простых случаев.
Всякий велосипедист, конькобежец или просто бегущий по
прямой линии человек знает, что на быстром ходу трудно
41
повернуть в сторону, что для такого поворота надо накло-
нить туловище в том направлении, куда желаешь повер-
нуться. Во всех случаях инерция движущегося тела вызывает
продолжение движения по той прямой, по которой двигалось
тело.
Чтобы поезд перешёл с прямолинейного пути на путь по
дуге, наружный рельс ставят выше внутреннего; без этого
быстро идущий поезд может сойти с рельсов на повороте.
Как эги примеры, так и все другие наблюдения приводят
к двум выводам:
1) Изменение скорости движения тела по величине и по
направлению происходит только под действием других тел.
2) Без внешнего воздействия тела по инерции сохраняют
свою скорость неизменной.
В земных условиях нельзя поставить опыт по наблюдению
инерции в чистом виде, так как нельзя устранить одновременно
все внешние воздействия — притяжение к Земле, трение, сопро-
тивление того вещества, внутри которого происходит движе-
ние тела. Но инерция вещества обнаруживается во всех случаях
движения земных тел и небесных светил. Получаемые вычисле-
нием с учётом инерции выводы с большой степенью точности
совпадают с производимыми наблюдениями, что является
косвенным подтверждением существования инерции вещества.
Итак, инерция состоит в сохранении телом состояния
покоя или прямолинейного равномерного движения до тех
пор, пока какая-либо внешняя причина не выведет тело из
этого состояния.
В книге Ньютона первый закон механики имеет следующую
формулировку:
Всякое тело продолжает удерживаться в своём
состоянии покоя или равномерного прямолинейного
движения, пока и поскольку оно не понуждается при-
ложенными силами изменить это состояние.
Упражнение 4а.
1. Мяч, спокойно лежавший на столе вагона при равномерном
движении поезда, покатился вперёд по направлению движения поезда,
или назад против движения, или вбок. На какое изменение в движе-
нии поезда указывает каждый из перечисленных случаев?
2. Пассажир, сидящий у правой стенки движущегося равномерно
автомобиля, вдруг оказывается прижатым к стенке. Какое изменение
произошло в движении автомобиля? '
• 3. К потолку каюты равномерно идущего без качки парохода
подвешен шар. Какое произойдёт изменение в положении шара, если
42
пароход пойдёт ускоренно, замедленно, повернёт в левую сторону от
первоначального направления, внезапно остановится?
4. Почему пассажир, выпрыгивающий вперёд из вагона быстро
идущего поезда, падает и почему может остаться на ногах, если поезд
идёт медленно?
5. Почему не следует выпрыгивать из вагона в сторону, противо-
положную движению поезда даже при его тихом ходе?
6. С какой скоростью и в каком направлении надо прыгнуть
с площадки последнего вагона медленно идущего поезда, чтобы не-
подвижно встать на ноги?
7. Зачем при насаживании топорища на рукоятку постукивают
свободным концом рукоятки о подставку?
8. Приведите примеры инерции тел в бытовых явлениях и в про-
стейшей технике.
?5. Сила. В первом законе Ньютона применяется слово
сила для обозначения причины изменения движения тела.
Как мы видели, причиной изменения движения тела всегда
является другое тело, действующее на первое. Нет силы как
чего-то обособленного от тела, от материи. Существуют только
тела, действующие друг на друга и изменяющие через это
действие свои движения. Поэтому в дальнейшем слово сила
будет применяться только для краткости, в условном смысле.
Вместо того чтобы каждый раз говорить, что одно тело по-
действовало на второе, изменив его скорость, можно приме-
нять упрощённое выражение: на тело подействовала сила. Но
всякое изменение скорости характеризуется появлением уско-
рения. На этом основании можно дать следующее определение
силы (понимаемой в указанном выше смысле): сила есть при-
чина ускорения движения тела.
Рассматривая действие тел друг на друга, можно различать
два вида таких действий:
1. Действие на расстоянии.
2. Действие при непосредственном соприкосновении тел.
Примеры действия на расстоянии: сила тяжести — сила
притяжения тел Землёй; магнитные силы, действующие между
намагниченными телами; электрические силы, действующие
между наэлектризованными телами.
Второй вид сил вызывается ударом, сжатием или растяже-
нием, вообще — всеми теми действиями, при которых происхо-
дит деформация тела, т. е. изменение формы или объёма
тела.
При всякой, деформации — сжатии, растяжении, сдвиге,
изгибе, кручении — приходят в движение отдельные Частицы
тела, хотя всё тело в целом может оставаться в относитель.
ном йокое.
43
Сила, с которой деформированное тело может действовать
на другие тела, называется упругой силой.
Ко второму же виду сил может быть отнесена сила тре-
ния, возникающая в отличие от сил упругости только на по-
верхности соприкасающихся те/к,
25а._ В природе существуют только взаимодействия тел.
До сих пор мы говорили о силе как о действии одного тела
на другое. Таким образом,
ж м
для возникновения понятия
о силе необходимо нал и-
ч ие двух тел. Оказы-
вается, что оба тела, между
которыми действуют силы,
равноправны: они оба дей-
ствуют друг на друга, и
Рис. 14.
каждое подвергается действию другого. В природе всегда
одновременно возникают действия тел друг на друга, воз-
никает взаимодействие тел. Не существует тел, только
действующих, и нет тел, только испытывающих действие дру-
гих тел.
Поместим на пробки магнитную и железную полоски и
опустим пробки на поверхность воды; мы увидим, что пробки
одновременно поплывут одна навстречу другой (рис. 14).
Подвесим на шелко-
винках два бумажных
шарика и наэлектри-
зуем их от стеклянной
палочки, натёртой о
кожу. Мы увидим, что
они оба одновременно
оттолкнутся' друг от
друга (рис. 15).
Рис. 16.
Рис. 15.
Повторим преды-
дущий опыт, наэлек-
тризовав один шарик
от стеклянной палочки, другой от эбонитовой палочки; они
оба одновременно притянутся друг к другу (рис. 16). Пустим
два свинцовых, глиняных, восковых шара навстречу друг другу:
после удара можно заметить, что на обоих шарах образовалась
вдавленность. Не всегда можно наблюдать изменение движе-
ния обоих тел: например, мы не замечаем, чтобы камень, при-
тягиваемый Землёй, притягивал в свою очередь Землю. Но
это кажущееся отсутствие взаимодействия объясняется малой
44
величиной самого явления или грубостью средств наблюдения.
В одних случаях улучшением техники наблюдения, в других'—
путём расчётов можно убедиться во всеобщности следующих
выводов:
1. В природе существует только взаимодействие тел.
2. При механическом взаимодействии двух тел одна
сила приложена к одному из них, другая — ко второму.
3. Обе силы имеют противоположные направления.
26. Зависимость между силой и ускорением. Выше мы
определили силу как причину ускорения. Посмотрим, суще-
ствует ли какая-нибудь зависимость между силами, действую-
щими на одно и то же тело, и ускорениями, которые эти силы
сообщают тому же телу.
Чтобы ответить на этот
вопрос, надо измерить
действующие на тело
силы и вычислить сооб-
щаемые ими ускорения.
Силы мы можем изме-
рять при помощи дина-
мометра. Ускорения же
можем вычислять по прой-
денным телом путям за
известный промежуток
Рис. 17. Прибор для проверки второго
закона динамики.
времени. Измерения различных ускорений, получаемых телом
под действием на него различных сил, мы можем произвести
на следующем опыте.
Тяжёлая деревянная тележка Т (рис. 17) может продви-
гаться вдоль горизонтальной доски под действием горизон-
тально направленной силы. Эта сила создаётся грузом Р, под-
вешенным на бечёвке, перекинутой через блок В и затем
горизонтально протянутой к тележке. Время движения отме-
чается не по часам, а по колебаниям упругой пластинки D,
зажатой в зажиме С.
Упругая пластинка совершает свои последовательные коле-
бания # одинаковые промежутки времени. Можно подобрать
такую пластинку, чтобы она совершала 10 колебаний в се-
кунду; тогда продолжительность каждого колебания составит
0,1 сек.
На конце пластинки укрепляется тонкая кисточка, смочен-
ная чернилами, а к тележке прикрепляется бумажная полоска,
которой касается кисточка. При движении тележки и колеба-
ниях пластинки кисточка вычерчивает волнистую линию
45
(рис. 18). При выбранной нами пластинке каждые 10 изгибов будут
соответствовать 1 сёк., а 5 изгибов 0,5. Сперва подбирается
такой груз, чтобы тележка шла равномерно. Равномерное дви-
жение будет указывать на то, что сила тяги уравновешивает
силу трения, и тележка от лёгкого толчка движется по инерции.
Затем к бечёвке прикрепляют по очереди грузы в 5, 10, 15 Г
и т. д., пускают в ход пластинку и тележку и измеряют на бумаге
Рис. 18. Кривая линия, вычерчиваемая кисточкой, укреплённой
на конце колеблющейся пластинки.
по прямой, проведённой вдоль волнистой линии, путь, пройден-
ный тележкой за 0,5 сек., или за 1 сек., или за 2 сек.
Clt^
По формуле s = —^~ можно по данным пути $ и времени t
вычислить а.
Результаты одного опыта приведены в следующей таблице
(вес самой тележки 1700 Г) ’).
Движущая сила в граммах Время в секундах Расстояние в санти- метрах Ускорение 2s см а t1 2 сек2
5 3 12,60 2,80
10 2 11,20 5,60
15 2 16,70 8,35
20 1,5 12,64 11,24
30 1,5 18,90 16,80
Сравнивая числа в первом и последнем ряду по строкам,
мы видим, что (в пределах точности опыта) ускорения увели-
чиваются во столько раз, во сколько увеличены движущие
силы.
1) Натяжение в бечёвке, движущей тележку, не в точности равно
весу падающего тела при ускоренном движении, но оно достаточно
близко к этому значению, когда вес тележки, как это было в описан-
ном опыте, значительно больше, чем подвешиваемые грузы.
46
Из подобных опытов следует вывод: ускорение, получаемое
одним и тем же телом от разных сил, прямо пропорцио-
нально силе.
26а. Понятие о массе тела. Если первую силу в опыте
мы обозначим буквой Fx, вторую Рг, третью Fa и послед-
нюю F, а соответствующие им ускорения обозначим через
ai, й2> йз>’ • > ai т0 данные опыта можно записать в следующем
виде:
Fx__щ . Л_£2. Fa______
F2 аг ’ Fa а3’ F а
Если в предыдущих пропорциях сделать перестановку
средних членов, то получим новый ряд равных отношений:
U 2 б?2 # g
Из этого ряда равенств мы видим, что какими бы силами
мы ни действовали на данное тело, отношение действую-
щей силы к сообщённому ею ускорению является постоян-
ной величиной.
Такое постоянство величины не может быть случайностью;
эта величина, очевидно, определяет какое-то новое свойство
тела, отличное в отдельности как от силы, так и от ускорения.
Чтобы убедиться в этом, посмотрим, будут ли подобные
отношения различными для различных тел.
С этой целью повторим вышеописанный опыт с различными
телами. Данные опыта покажут, что для каждого тела отно-
шение силы к ускорению остаётся постоянным, но для разных
тел эти отношения различны. Значит, действительно, такие
отношения характеризуют особое свойство каждого тела.
Что же это за свойство? Мы видели, что все тела инертны.
Если разные тела от одной и той же силы получают разные
ускорения, т. е. по-разному меняют свою скорость, значит,
они инертны не в одинаковой мере.
Различие инерции тел, выражающееся в том, что разные
тела под действием одинаковых сил приобретают неодинако-
вые ускорения, может служить характеристикой механических
свойств тел. Те тела, для которых ускорение а под действием
данной силы F мало, медленно изменяют свою скорость.
Значит, величина их инерции велика. Но в то же время для
у
них велико и отношение — (знаменатель дроби мал). Если же
другие тела под действием той же силы F получают ббльшие
47
ускорения, то это значит, что они в малой степени сохраняют
своё прежнее состояние движения, т. е., что величина их
инерции мала. Но в то же время и отношение — мало (зна-
менатель дроби велик).
Из этих рассуждений можно сделать заключение, что то
свойство тела, которое выражается постоянством отноше-
р
ния —, связано с инерцией тела и может служить мерой её.
Мера инерции тела получила название массы тела. Та-
ким образом,! постоянное для тела отношение — может быть
а
принято за меру массы тела.
Впервые термин „масса" ввёл в
своей знаменитой книге Н ыо т о н J).
Влияние различной массы тел про-
является во всех механических явлениях
и может быть обнаружено в ряде про-
стых опытов и наблюдений. Например,
подвесим над самым столом доску и при-
ведём в соприкосновение с ней шары
различного размера* 2) (рис. 19). Откло-
нив доску на некоторый угол, опу-
стим её; тогда она одновременно и
одинаково ударит по всем касающимся
её шарам. Различные шары откатятся
от удара на разные расстояния. Сле-
довательно, они получили различные
скорости и различные ускорения (дви-
жения начинаются от состояния покоя).
Мы видим, что одно и то же действие
по-разному изменило механическое
состояние различных тел (в данном
случае состояние покоя). Следовательно, шары различаются
друг от друга массой.
Одинаковые толчки паровоза по стоящим на рельсах пустому
и гружёному вагонам отгоняют их на разные расстояния,
!) Ньютон родился в Вульсторпе, в Англии, в семье фермера.
Главные работы: основные законы механики, закон всемирного тяго-
тения, разработка основ высшей математики, анализ и синтез света,
изобретение зеркального телескопа и др. См. книгу акад. С. И. Ва-
вилова Исаак Ньютон, М. 1943.
2) Лучше взять шары из одинакового материала, чтобы исключить
влияние различной упругости.
48
т. е. сообщают им различные ускорения. Различные маятники
отклоняются на разные расстояния от одинаковых ударов.
С другой стороны, различные величины инерции или массы
тел проявляются в том, что надо прилагать различные усилия,
чтобы изменить скорость различных тел. Так, пустой вагон
легче остановить, чем гружёный, если
ковой скоростью.
Легче остановить вращающееся
велосипедное колесо, чем маховое ко-
лесо паровой машины при одинако-
вых скоростях их.
Таким образом, для изучения
механических явлений необходимо
ввести в механику, кроме ранее уста-
новленных величин — скорости, уско-
рения, силы,— ещё новую величину,
именно: массу.
27. Второй закон механики.
В первом законе Ньютона выражен
результат тысячелетних наблюдений
о том, что все тела инертны. Опи-
санные выше опыты и наблюдения
привели к необходимости введения
понятия массы. Обозначим буквой т
вновь введённую величину — массу
они движутся с одина-
Ньютон.
тела, которая характеризует механическое свойство тела, меру
его инерции. При таком обозначении можно следующим образом
выразить найденную из опытов зависимость между массой
тела, действующей на тело силой и ускорением, которое по-
лучено телом:
— —т.
а
Всякая точная зависимость между физическими величинами
представляет собой физический закон. Таким образом, най-
денное соотношение составляет второй закон динамики.
Если освободить предыдущее равенство от знаменателя,
то получится выражение:
та. (IV)
Это равенство, так же как и предыдущее, служит упрощён-
ным выражением второго закона.
49
Его словесное выражение следующее:
„Сила, действующая на тело, равна произведению
массы тела на ускорение, сообщаемое телу этой силой".
Понятие массы является одним из самых трудных механи-
ческих понятий; оно может быть освоено только постепенно
при дальнейшем тщательном изучении механики.
Как видно из предыдущего, при первом введении понятия
о массе даётся сложный способ измерения её через измерение
силы и вычисление ускорения. В дальнейшем в физике введён
гораздо более простой способ измерения массы. Основание
этого другого способа разъясняется в §§ 30 — 34. Чтобы
можно было уже теперь легче пользоваться понятием массы,
мы сообщим предварительно, без объяснения, что массы тел
можно измерять на весах.
За единицу массы принята по международному соглашению
масса определённым образом изготовленной гири. Эта единица
названа килограм мом.
В метрических мерах каждое тело имеет массу во столько
килограммов или граммов, сколько килограммов или граммов
веса оно вытягивает на весах. Это совпадение названий
метрических единиц массы и веса является причиной грубой
ошибки — смешивания двух понятий: масса и вес (см. § 33).
Во избежание этой ошибки условились единицы массы
обозначать через г или кг, а единицы веса — через Г или кГ.
Таким образом, второй закон. Ньютона в его различных
формулировках устанавливает соотношение между силой,
массой и ускорением. V
28. Длительное и мгновенное действие силы. Из форму-
лы (IV) второго закона следует, что постоянная по величине
и направлению сила сообщит телу и постоянное ускорение.
Вектор силы совпадает по направлению с вектором уско-
рения. Если тело получает постоянное ускорение, то его
движение является равномерно-ускоренным. Действующая на
тело постоянная сила приводит его в равномерно-ускорен-
ное движение.
Мы можем сделать и обратное заключение; если в каком-
либо случае тело движется равномерно-ускоренно, то это
значит, что действие всех других тел на него сводится к
одной постоянной силе.
Из той же формулы видно, что как бы мала ни была сила,
она непременно изменит движение тела, т. е. сообщит ему
ускорение; только в этом случае и ускорение будет очень
мало, и изменение скорости может оказаться незаметным.
Б0
действием постоянной силы,
больших силах может быть
силы чрезвычайно кратко-
При малых силах требуется значительное время, чтобы изме-
нение скорости стало заметным.
Изменение скорости тела под
равное v— v0 = at, и при очень
ничтожно малым, если действие
временно (/ очень мало).
Силы, действующие в течение
исчезающе малого промежутка вре-
мени, называются мгновенными;
такова, например, сила при ударе.
Следующие опыты могут пока-
зать различие действия сил длитель-
ных и мгновенных.
Покроем стакан
тона и положим на
Рис. 20.
Рис. 21.
листиком кар-
него медную
монету (рис. 20). Если взять в
руки
гать,
между
ное время, чтобы монета приобрела необходимую для движе-
ния скорость. Но если ударить вдоль картона, то лист
вылетает из-под монеты, а монета падает на дно стакана.
При кратковременности действия удара скорость v = at не
успевает возрасти настолько, чтобы монета двигалась гори-
зонтально: она практически
сохраняет по инерции своё
прежнее состояние покоя
и, будучи лишена подставки,
падает на дно стакана.
Длительная сила давле-
ния на оконное стекло раз-
бивает всё стекло; гораздо
ббльшая сила удара ружей-
ной пули, действующая чрезвычайно короткое время, успе-
вает сдвинуть только те частицы стекла, которые находятся
в месте соприкосновения: пуля пробивает в стекле лишь малое
отверстие.
Подвесим к стойке на тонкой нити груз (гирю) и привя-
жем к ней снизу такую же нить (рис. 21). Если быстро дёр-
нуть за нижнюю нить, то отрывается только нижняя нить,
а груз остаётся неподвижным; при медленном натягивании
снизу рвётся верхняя нить, и груз приходит в движение.
В первом случае время действия очень мало, t близко к нулю;
лист и медленно его дви-
то вместе с листом передвигается и монета. Трение
картоном и монетой действует достаточно длитель-
51
следовательно, и скорость груза близка к нулю или практи-
чески равна нулю. Когда же сила F действует длительное
время t, то отлична от нуля также и скорость, почему груз
и приходит в движение и рвёт нить, на которой он подвешен.
Уравновесим на весах Беранже два тяжёлых тела (в преде-
лах допустимой нагрузки, рис. 22) и быстро (/ близко к нулю)
ударим по одному из грузов лёгким металлическим стержень-
ком. Равновесие весов не нарушится. Практически t будет
близко к нулю; отсюда и скорость v — нуль. Но если тот же
стерженёк положить на груз одной чашки, то она опустится.
Теперь время действия t длительно и, следовательно, скорость
будет отлична от нуля.
Если не помешать на чашки
весов тяжёлых грузов и по-
вторить предыдущий опыт,
т. е. подействовать такой же
Рис. 22. При коротком уларе
равновесие весов не нарушается,
при длительном действии чашка
весов опускается.
Рис. 23. При коротком ударе дере-
вянная палочка ломается, бумажные
кольца остаются целыми.
силой Г, то и при кратковременном ударе чашка весов может
сдвинуться. Так как масса стала во много раз меньше, чем
в начальном опыте, то, при прежнем значении силы, во столь-
ко же раз увеличится скорость, и сдвиг чашки станет замет-
ным. Вот почему во всех случаях, когда при наличии ударов
перемещения должны быть ничтожно малыми, тела, испыты-
вающие удары, делаются очень массивными; таковы наковальни,
станины машин и т. п.
Упражнение 4
1. Тонкая деревянная палочка подвешена на двух бумажных коль-
цах (рис. 23). Если быстро ударить посредине палочки другой тяжёлой
палкой, то она ломается, а бумажные кольца остаются целыми. Если же
52
медленно нажимать на палочку, то рвутся кольца, а палочка остаётся
целой. Почему?
2. Объясните цирковой номер: на грудь лежащего на земле чело-
века кладут большую стальную плиту или наковальню и по ней сильно
ударяют молотом. Удар оказывается безвредным для человека, тогда
как такой же удар непосредственно по телу мог бы быть гибельным
для него.
3. На два тела равных масс действуют две разные силы и Л’2.
Какая зависимость между действующими силами и ускорениями, сооб-
щёнными телам этими силами?
4. Если на два тела разных масс действует одна и та же сила, то
какая существует зависимость между массами и полученными ими
ускорениями?
5. Если два тела получили от разных сил одинаковые ускорения,
то что можно сказать про зависимость между действующими силами
и массами, на которые действуют силы?
6. Одно тело имеет массу в 100 2, а другое в 200 г, и на первое
тело действует сила, в четыре раза ббльшая, чем на второе. Сравните
полученные ими ускорения.
7. Сравните силы, какие надо приложить к массам в 50 г и в 150 г,
чтобы первое тело получило ускорение в 6 раз большее, чем второе.
Рис. 24.
8. Одна масса получила от некоторой силы ускорение в 12 см/сек2,
а другая масса от вдвое большей силы получила ускорение в 36 см/сек2.
Сравните обе массы.
29. Третий закон механики. Выше (§ 25а) мы установили,
что в природе существует только взаимодействие тел; два
тела одновременно действуют друг на друга противоположно
направленными силами. Теперь поставим вопрос, одинаковы или
различны эти силы взаимодействия? Ответ на этот вопрос, на
основании многовекового опыта, дал Ньютон в своём третьем
законе:
Действия двух тел друг на друга всегда равны по
величине и противоположны по направлению.
Рассмотрим несколько примеров применения 3-го закона
механики.
53
Поставим двух человек на лёгкие тележки (рис. 24), дви-
жущиеся с ничтожным трением, дадим им в руки динамометры,
связанные шнуром, и предложим им натянуть шнур. Будет ли
Рис. 25. Магнит и стальной шар одновременно действуют друг
на друга равными и противоположно направленными силами.
тянуть один или другой, или оба вместе, показания того
и другого динамометра в каждом случае оказываются одина-
ковыми. Одинаковость показаний на обоих динамометрах
сохраняется, какого бы веса люди ни становились на тележки
Рис. 26а. Жидкость действует на
погружённое в неё тело с силой,
направленной вертикально вверх.
Рис. 266. Измерение силы, с ко-
торой жидкость действует на по-
гружённое в неё тело.
и какие бы скорости они ни сообщали тележкам. В зависимо-
сти от веса и скорости показания динамометров в отдельных
опытах будут отличаться друг от друга, но в каждом опыте
оба показания одинаковы.
54
Поместим на очень гладкое стекло присоединённые к пру-
жинам магнит на катках и стальной шар (рис. 25). Когда им
будет предоставлена возможность притянуться друг к другу,
пружины покажут одинаковые силы взаимодействия.
При погружении твёрдого, тела в жидкость — жидкость, как
известно из закона Архимеда, действует на тело силой, направ-
ленной вертикально вверх и равной весу жидкости в объёме
Рис. 276. Измерение силы, с
которой подвешенное на нити
и погружённое в жидкость тело
действует на жидкость.
Рис. 27 а. Тело, подвешенное на нити
и погружённое в жидкость, действует
па жидкость с силой, направленной
вертикально вниз.
тела (рис. 26а и 266). Если же на чашку весов поставить
сосуд с жидкостью и опустить в неё то же твёрдое тело, что
и в предыдущем опыте, только подвешенное за нить к штативу
(рис. 27а и 276), то можно показать, что тело действует на
жидкость с силой, направ-
ленной вертикально вниз и
также равной весу жидкости
в объёме тела.
Ограничиваясь этими ко-
личественными примерами,
ещё раз подчеркнём, что
одна сила приложена к од-
ному телу, другая — к дру-
гому (рис. 28).
Видоизменим наш первый
ковые тележки на гладко полированную стеклянную доску
(рис. 29). Поставим тележки посредине доски и поместим
между ними сжатую при помощи нитки пружину. Если нитку
пережечь, пружина растягивается в обе стороны с одинаковой
Рис. 28. Равные и противоположно
направленные силы взаимодействия
двух тел.
опыт, поставив маленькие одина-
55
силой, одинаково отталкивает обе тележки, как будто бы они
непосредственно взаимодействовали друг с другом. Тележки,
расходясь в разные стороны, одновременно ударяются о края
прибора. Следовательно, тела с одинаковыми массами при взаимо-
действии получают одинаковые скорости. Если же уве-
личить массу одной тележки и повторить опыт, то тележка
с большей массой позже дойдёт до края прибора, чем тележка
с меньшей массой.
Это явление легко объясняется на основании второго
и третьего законов. Пусть одно тело имеет массу mlt другое
ш2, их ускорения, полученные от взаимодействия, обозначим аг,
а2. Силы, действующие на тела, будут Fx — mxax и F2 = т2а2.
Рис. 29. Постановка опыта с тележками, расталкиваемыми расправляю-
щейся пружиной, при изучении 3-го закона динамики.
Но при взаимодействии силы Fr и Р2 равны, следовательно,
111^ = т2а2. Развернём это равенство в пропорцию: аг:а2 =
= //г2:/лр Отсюда видно, что ускорения, получаемые телами
при их взаимодействии, обратно пропорциональны массам.
Так как взаимодействие обоих тел длится одинаковое время
и силы можно считать постоянными, то тела, находившиеся
в покое, получают от взаимодействия скорости v1 = a1t
и v2 = a2t, откуда видно, что v1’.v2 = m2zm1, т. е. в этом случае
(при выходе из положения покоя) скорости взаимодействую-
щих тел обратно пропорциональны массам.
Объясним на основании законов механики ряд явлений.
Почему при взаимодействии Земли и камня падает на Землю
камень? Камень и Земля действуют друг на друга с одинако-
выми силами, но ускорения их обратно пропорциональны мас-
сам. Ускорение камня, получаемое им под действием Земли,
равно приблизительно 980 ; ускорение, получаемое Землёй,
во столько раз меньше 980, во сколько раз масса Земли
больше массы камня, т. е. практически равно нулю.
Почему возможна ходьба ко Земле и движение по ней
любых экипажей?
56
При движении живого существа или экипажа по Земле,
и тело, и Земля отодвигаются друг от друга с ускорениями,
обратно пропорциональными массам. Практически Земля
остаётся от этого взаимодействия в покое, а тело перемещается
относительно поверхности Земли.
Почему шар может находиться в покос на горизонтальном
столе, несмотря на действие на него силы тяжести?
Шар своим весом производит давление на стол, деформи-
руя его. Деформированный стол действует на шар с равной,
но противоположно приложенной силой. К шару, таким обра-
зом, приложены две равные противоположные силы: вес и сила
упругости стола; эти две силы, как приложенные к одному
телу, взаимно уравновешиваются, и шар остаётся в покое на
столе.
Почему человек может подпрыгивать вверх, против силы
тяжести? Пока человек стоит спокойно на полу, действующие
на него силы взаимно уравновешиваются, как на шаре в пре-
дыдущем примере. Но человек, напрягая мускулы, может
подействовать на пол силой, большей, чем его вес. Тогда сила
действия пола на человека также будет больше веса человека.
Будучи приложена к человеку, она не только может уравно-
весить его вес, но избытком над ним сообщить человеку
движение вверх.
Обратите внимание на следующую особенность взаимодей-
ствия двух тел. Если действуют друг на друга части одного
и того же тела, то они не сообщат движения телу. Заведите
игрушечный паровоз и подвесьте его на бечеве. Спустите
пружину. Вы увидите, что поршень будет действовать на
шток, шток—на шатун, шатун — на кривошип, последний —
на колёса. Все части будут в относительном движении. Но
паровоз, как целое тело, не придёт в движение. Силы, действую-
щие между каждой парой частей паровоза, так называемые
„внутренние" силы, не могут сообщить движения паровозу.
Но если взаимодействующие части одного тела начинают
действовать на иное, внешнее, тело, тогда и первое тело, как
одно целое, может прийти в движение. Поставьте тот же
заведённый паровоз на неподвижный стол, и он покатится,
Начнётся взаимодействие между колёсами паровоза и столом.
Паровоз отталкивает через вращающиеся колёса стол; стол
с такой же силой отталкивает колёса паровоза; паровоз пере-
мещается относительно стола.
Подобным образом объясняется движение лошади, запря-:
жённой в телегу (одно общее тело), несмотря на то чтб.
57
лошадь с такой же силой действует на постромки, с какой
постромки действуют в противоположную сторону на плечи
лошади. Движение единого тела — лошадь-|-телега — возможно
вследствие отталкивания ног лошади от земли. Земля получает
отталкивание в противоположную сторону.
Третий закон вовсе не утверждает, что силы взаимодей-
ствия для всех пар тел одинаковы, например, для пары — лошадь
и земля — сила не равна силе для другой пары — лошадь
и постромки.
Если сила отталкивания лошади от земли больше, чем сила
натяжения постромок, начнётся движение вперёд обоих связан-
ных между собой тел. На совершенно скользкой плоскости
лошадь и телега не сдвинутся с места. /
29а. Третий закон механики в технике. Отдача огне-
стрельного орудия. При сгорании заряда в стволе любого
огнестрельного орудия
образовавшиеся газы, по-
добно сжатой пружине,
производят в обе сто-
роны — на заряд и на
заднюю стенку орудия —
одинаковые, но противо-
положно направленные
силы давления. В каж-
дом месте прикоснове-
ния— снаряд и газ, ору-
дие и газ — возникают
Рис. 30. Модель пушки. силы взаимодействия по
третьему закону Нью-
тона.
В конечном счёте действие происходит так, как будто бы
орудие и снаряд непосредственно взаимодействовали. Поэтому
они расходятся со скоростями, обратно пропорциональными
их массам (при условии, что нет трения: трение уменьшает
скорость движения орудия) (рис. 30).
Движение орудия в сторону, противоположную полёту
снаряда, называется „отдачей". Силу, действующую при отдаче,
чувствует каждый стрелок. Сила отдачи, действующая на
орудие при выстреле в сторону, противоположную полёту
снаряда, сдвигала бы ствол и лафет орудия на несколько метров
от места выстрела. Откат орудия требовал бы времени для
наката его на прежнее место и для новой наводки на цель;
это время измерялось бы минутами.
58-
Для повышения скорострельности орудия, для быстроты
возврата его на прежнее место и установки прежнего прицела
военная техника уменьшает откат различными способами^
'Один из самых распространённых современных способов
состоит в том, что лафет при помощи сошника, врываемого
Рис. 31. Реактивный самолёт.
а скользит только
поставлен, по той
которая называется „люлькой",
вместе с собой цилиндр, в
входит неподвижный поршень,
в цилиндр жидкость, с боль-
в землю, закрепляется неподвижно,
вместе с салазками, на которые он
орудия,
движет
который
Налитая
шим трением просачивающаяся через
очень узкие щели в поршне, задержи-
вает откат цилиндра и соединённого
с ним ствола. Откат ствола становится
плавным и незначительным. Такой тор-
моз называется гидравлическим (водя-
ным).
Просачивающаяся в другое отде-
ление жидкость сжимает воздух в осо-
бых резервуарах, доводя его давление
до 68 атмосфер.
Когда откат прекратится, сжатый
воздух стремится расшириться, выго-
няет жидкость снова в цилиндр и тем
самым толкает цилиндр и скреплённый
с ним ствол обратно.
В некоторых современных орудиях
используется для полезной работы: она производит открыва-
ние и закрывание затвора. Затвор после выстрела сам откры-
вается и выбрасывает гильзу; при заряжении сам закрывается.
ствол
части
ствол
Откатываясь,
Рис. 32. Реакция струи.
энергия отката ствола
69
двигатель приводит
Рис. 33. Сегнерово
колесо.
При таком устройстве надо только заряжать орудие и, когда
затвор закроется, оттягивать курок. Такое орудие называется
автоматическим. Полностью автоматичны все пулемёты и неко-
торые орудия небольшого калибра^
Гребной винт. В водном и воздушном транспорте
во вращение винт, находящийся вне судна —
в воде или в воздухе. При вращении
винт действует на воду или воздух с
определённой силой. Они в свою очередь
по третьему закону механики действуют
на винт, а через него и на всё водное
или воздушное судно. В результате судно
и вещество — вода или воздух — переме-
щаются по противоположным направле-
ниям.
Ракетный двигатель. Подоб-
ным образом ракета при выбрасывании
из неё газов, образовавшихся от вспышки
взрывчатого вещества, в одну сторону
испытывает со стороны газа силу давле-
ния в противоположную сторону, и сама движется в этом
последнем направлении. На принципе ракеты основано устрой-
ство многих современных видов оружия (реактивное оружие),
из которых наибольшую известность приобрёл у нас реактив-
ный гвардейский миномёт („катюша11). Не-
сколько направляющих балок служат стар-
товым (пусковым) приспособлением, на кото-
рое укладываются реактивные мины, летаю-
щие как ракеты и несущие с собой заряд
большой разрушительной силы. Реактивное
оружие применяется на самолётах, катерах,
но чаще всего — на специально приспособ-
ленных автомобилях.
Другой областью применения реактив-
ных двигателей за последние годы стала
авиация (рис. 31). На самолёте взамен дви-
гателя внутреннего сгорания с пропеллером
устанавливаются один или несколько реактивных двигателей,
действующих силой мощной струи горячих газов, образующихся
при сжигании в особых камерах горючего (бензин, спирт, нефть).
Реактивный двигатель сообщает самолёту очень большую ско-
рость (порядка скорости звука), что очень важно в военном.деле.
Другим огромным преимуществом реактивного двигателя по
Рис. 34.
СО
сравнению с пропеллером является то, что им можно пользоваться
для полётов в разрежённых слоях атмосферы (стратосфера) и
даже в безвоздушном пространстве,
где пропеллер бесполезен, так как ему
не обо что опираться. Последнее свой-
ство реактивных двигателей позволит
в будущем применить их для межпла-
нетных путешествий. (См. ч. П, § 141.)
Основы теории реактивного дви-
жения созданы замечательным русским
учёным К. Э. Циолковским ')
Реактивные водяные и па-
ровые двигатели. Всякая выте-
кающая из отверстия струя жидкости,
выталкиваемая силой давления осталь-
ной массы жидкости, производит на
неё, а через неё на сосуд, противопо-
ложное действие — реакцию, как это
видно на рисунке 32. Если во враща-
Рис. 35. Паровая
вертушка.
ющихся сосудах (рис. 33, 34, 35) сде-
лать для воды или пара два отверстия
в противоположные стороны, то сосуды
придут в движение по направлению,
противоположному отверстиям. Такая водяная вертушка (Сегнс-
рово колесо) и паровая вертушка служат моделями реактивных
турбин.
>) Циолковский Константин Эдуардович (1857—1935) — знаме-
нитый русский учёный и изобретатель. Он является автором идеи
строительства цельнометаллического управляемого дирижабля.
К. Э. Циолковский создал общие основы теории реактивного
движения и установил законы полёта реактивной ракеты. Он показал
возможность использования такой ракеты для межпланетных сообще-
ний, разработал основные принципы конструкции ракетных летатель-
ных аппаратов различных типов и лабораторных установок для их
испытания. Для полёта в космическое пространство К. Э. Циолковский
выдвинул новую идею о составной ракете и разработал методику сё
полёта. Идеи Циолковского, воплощённые в ракетном снаряде, служили
в Отечественной войне делу защиты нашей родины. Почти до конца
своей жизни К. Э. Циолковский оставался преподавателем средней
школы.
Выдающийся учёный, основоположник современного ракетострое-
ния, К. Э. Циолковский всегда был верным сыном родины. Незадолго
до своей смерти он писал в письме на нмя И. В. Сталина: „Все
свои труды по авиации, ракетоплаванню и межпланетным сообщениям
передаю партии большевиков и Советской власти — подлинным руко-
водителям прогресса человеческой культуры”.
61
Упражнение 5.
1. Одна и та же сила подействовала на два покоящихся тела.
По какому признаку можно заключить, у какого из этих тел больше
масса?
2. Может ли ракета двигаться в безвоздушном пространстве?
3. Можно ли двигать парусную лодку, дуя на паруса из меха,
находящегося на лодке?
4. Почему трудно допрыгнуть до берега с лёгкой лодки, стоящей
близ берега, тогда как легко перепрыгнуть с парохода, стоящего на
том же расстоянии от берега?
5. Двое стоящих на полу тянут друг друга за руки в-противопо-
ложные стороны. Одинаковы ли силы, действующие на руку одного
и на руку другого? Отчего один может перетянуть другого?
6. Перечислить все взаимодействующие пары тел, в случае когда
лошадь везёт телегу по земле.
7. Доска положена на катки на другой очень гладкой доске.
Человек пытается быстро бежать по ней, но остаётся почти неподвиж-
ным относительно предмета, стоящего па полу около доски. Почему?
8. По той же доске могут бежать друг другу навстречу два чело-
века. Чем этот случай отличается от предыдущего?
9. Почему человек может поднять в руке шар, хотя шар действует
на руку человека вниз с такой же силой, с какой рука действует на
шар вверх?
10. Лодочник, сидящий в лодке, тянет с некоторой силой за канат
привязанный через динамометр к береговому столбу. Другой раз он
тянет с такой же силой за канат, прикреплённый к динамометру, удер-
живаемому в руках лодочником в другой лодке. Одинаковы ли будут
показания динамометра в обоих случаях? Будет ли какое-либо разли-
чие в движении первой лодки в обоих случаях (сопротивление
в обоих случаях одинаково)?
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. В чём состоит первый закон Ньютона?
2. Как в динамике определяется сила?
3. В чём состоит второй закон Ньютона?
4. Как можно составить понятие о массе?
5. Какова формула силы по второму закону Ньютона?
6. В чём состоит третий закон Ньютона?
7. В какой зависимости находятся ускорения (или скорости) двух
тел, вызываемые их взаимодействием?
8. Какая существует зависимость между силами и массами, если
силы сообщают массам одинаковые ускорения?
9. Какая существует зависимость между массами и ускорениями,
если силы действуют на одинаковые массы?
10. Какая существует зависимость между массами и ускорениями,
полученными при действии на эти массы одинаковых сил?
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман, Физическая хрестоматия, вып. 1, 1924. „Три за-
кона движения", стр. 53—55; „Инерция", стр. 56; „Закон действия и
противодействия", стр. 59—61.
62
Перельман, Занимательная -физика, 1929, ч. I—„Надо ли из
вагона прыгать вперёд”, стр. 25—27; ч. II—„Непостижимый закон",
стр. 18—19; „Можно ли двигаться, ни обо что не опираясь", стр. 21;
„Почему взлетает ракета", стр. 21—24; „Как движется каракатица";
стр. 25; „К звёздам на ракете", стр. 26—28; „Письмо с воздушного
шара", „Бомбометатели", стр. 10.
Ильяшенко С. М., Быстрее звука (о реактивных двигателях),
Огиз, 1947, 48 стр., 28 рис.
Ми ко ни, Сверхвысотные полёты, 112 стр.
Ляпунов Б. В., От ракеты до реактивного самолёта, 40 стр.
Перельман, Циолковский. Жизнь и технические идеи, 1937.
Рынин, Русский изобретатель Циолковский, 1931. '
М о и а с т ы р ё в, К. Э. Циолковский, 1945, 20 стр.
30. Свободное падение тел. Общие законы динамики можно
применить к движению тел под действием различных сил.
В качестве первого такого конкретного случая выберем дви-
жение под действием силы тяжести. Остановимся сперва на
свободном падении. Свободным падением называется движе-
ние тела под действием силы тяжести из состояния покоя.
Если выпустить из руки без толчка поднятое над землёй тело,
то его движение будет свободным падением.
Повседневный опыт учит нас, что свободное падение —
прямолинейное движение. Тело падает вертикально вниз, по
линии отвеса. Легко заметить, что скорость свободного паде-
ния возрастает; следовательно, свободное падение — движение
ускоренное. Как убедиться в том, что свободное падение будет
равномерно-ускоренным движением? Заметим, что в точности
равномерно-ускоренным движением свободное падение может
быть только в безвоздушном пространстве. Сопротивле-
ние воздуха нарушает равномерность. Но на небольших рас-
стояниях и для очень тяжёлых тел можно пренебрегать теми
изменениями движения, которые вносятся сопротивлением
воздуха.
Чтобы убедиться в том, что свободное падение является
равномерно-ускоренным движением, достаточно проверить, при-
меним ли к свободному падению какой-либо из законов рав-
номерно-ускоренного движения, приведённых в § 21.
Проверим закон пропорциональности пути квадрату вре-
мени при помощи следующего опыта.
В качестве падающего тела берём деревянный или метал-
лический цилиндр (трубу), обтянутый фильтровальной или пис-
чей бумагой. Цилиндр подвешен на суровой нитке к штативу
(рис. 36). В качестве отметчика времени берут мотор перемен-
ного или постоянного тока, укрепляют его на прочной под-
ставке так, чтобы ось его была вертикальная на ось насажи-
63
В
Рис. 36. Установка с падающим
цилиндром для изучения свобод-
ного падения.
вдоль образующей цилиндра
вается деревянная планка, оканчивающаяся птичьим пером или
кистью, смоченными краской. Цилиндр и мотор размещают так,
чтобы кисть при вращении слегка касалась нижней части цилинд-
ра. Когда мотор пущей в ход и движение его установилось,
пережигают пить и предоставляют цилиндру свободно падать.
При равномерном вращении мо-
тора кисть будет касаться ци-
линдра через равные проме-
жутки времени и нанесёт на
поверхности цилиндра ряд ме-
ток (рис. 36).
По окончании падения сни-
мают с цилиндра бумагу, про-
водят на ней прямую линию АВ
так, чтобы она пересекла все
метки, и измеряют все последо-
вательные расстояния от ниж-
ней метки, соответствующей
покоящемуся цилиндру, до каж-
дой из последующих меток.
Эти расстояния предста-
вляют пути S], s2, s3,..., прой-
денные падающим телом за
1, 2, 3, 4, ... равных проме-
жутка времени. Чтобы прове-
рить закон, надо сравнить
между собой эти пути. Отно-
шения : s2: ... оказываются
близкими к отношениям 1:4:9:16,..., т. е. путь оказывается
прямо пропорциональным квадрату времени падения. Такое
соотношение является признаком равномерно-ускоренного дви-
жения. Таким образом, опыт подтверждает сделанное предпо-
ложение.
Законы свободного падения тел изучил Галилей и нашёл,
что:
Свободное падение тела есть прямолинейное равно-
мерно-ускоренное движение.
Надо оговорить, что законы Галилея относятся к случаю
падения, когда влияние сопротивления среды, в которой про-
исходит движение, ничтожно мало (например, падение в воз-
духе при малых скоростях).
В отличие от всех остальных ускорений ускорение свобод-
64
ного падения принято обозначать буквой g1). Его приближён-
ное значение
При таком
мут вид:
g-^ 980-^
° сек2
обозначении формулы свободного падения при-
р/2
v = gt, s = ; v2 = 2gs.
(V)
Как же найти величину ускорения свободного падения? Его вели-
чин}' можно измерить из того же опыта. Надо измерить счётчиком
число оборотов мотора в секунду. Если п число оборотов в секунду,
то продолжительность каждого оборота t—-— сек. Тогда промежу-
ток времени между последовательными метками будет равен t сек.
Пути, пройденные падающим телом между отдельными метками, будут
(ср. § 21):
К 4 = 3f К '2: *4=7у*2-
Найдём разности между этими числами s'2 — s’t = gt2; $3 — s'2 = gt2;
s4 — sj = gt2 и t. д. Как видно, все разности равны между собой.
Измерив на бумаге все эти разности, найдём среднее значение разно-
стей путей I. Это среднее значение будет равняться:
/ —gta, или/ = l = ^;g=ln2.
Величины Z и и измеряются на опыте; из последнего равенства
может быть вычислено g.
31. Ускорение свободного падения для всех тел одина-
ково. После того, как доказано на опыте, что свободное паде-
ние является равномерно-ускоренным движением, следует выяс-
нить, одинаковые или различные ускорения имеют разные тела
при свободном падении.
Возьмём в руку свинцовый, стальной и деревянный шарики
одинакового объёма и одновременно выпустим их из руки
с небольшой высоты над столом или полом; их удары о стол
или пол совпадут. Следовательно, эти тела прошли одинаковые
пути за одно и то же время, т. е. с одинаковым ускорением.
Если брать различные цилиндры для описанного в § 30
опыта — деревянный, металлический — и повторять описанные
выше измерения, то опыты дают одно и то же значение пути
свободного падения независимо от массы.
Положим в длинную стеклянную трубку различные тела
(камешек, птичье перо, пробку), закроем трубку, выкачаем из
х) Начальная буква слова gravitas — тяжесть.
3 Курс физики, ч. I
65
трубки воздух; при повёртывании трубки вертикально то одним
концом вверх, то другим (рис. 37) все тела падают тесной
группой с
Рис. 37,
одинаковым ускорением (опыт с так называемой
трубкой Ньютона).
В воздухе тела падают с разными ускорениями
вследствие различного сопротивления воздуха для
разных тел.
Из всей совокупности подобных опытов можно
сделать вывод, впервые полученный Галилеем:
Ускорение свободного падения в данном месте
Земли для всех тел одинаково.
Своими исследованиями над падением тел Галилей
опроверг существовавший до него почти в течение двух
тысячелетий ложный взгляд, что более тяжёлое тело
падает быстрее лёгкого при одной и той же высоте
падения. Вычисленные на основании опытных данных
ускорения свободного падения показывают, что в раз-
личных местах земного шара значения этого ускорения
различны: они увеличиваются от экватора к полюсам.
Также они различны и для одного и того же места на раз-
ных высотах и глубинах от уровня моря. Так как ускоре-
ния свободного падения в разных местах Земли различ-
ны, то одно из значений принимается за нормальное.
За нормальное ускорение принимается ускорение
свободного падения тела, равное 980,665 Для Москвы ускоре-
ние свободного падения тела равно 981,6 Для упрощённых рас-
чётов будем принимать его равным 981 или, более округлённо, 980 .
Так как для каждого места Земли g есть величина постоян-
ная, то и вес каждого тела в одном и. том же месте также
постоянная величина. Так как g есть величина, меняющаяся от
одного места земного шара к другому, то и вес тела также
будет различен в разных местах Земли; масса же тела, как
мера инерции вещества, остаётся повсюду постоянной J).
1) В XX в. стали известны громадные скорости движения мель-
чайших частиц материи, доходящие до 200 000 и более, при ко-
торых обнаружилось, что масса тела зависит от скорости движения:
при увеличении скорости увеличивается масса, при уменьшении её
масса уменьшается. Так должно видоизмениться ньютоновское пред-
ставление о массе. Для скоростей, используемых в технике, изменение
массы от скорости практически равно нулю, и попрежнему можно
считать массу постоянной.
66
Изменение веса тела при переходе из одного места в дру-
гое можно обнаружить на пружинных весах.
Упражнение 6.
(При решении задач сопротивление воздуха исключается.)
1. Во сколько времени и с какой конечной скоростью тело упадёт
с высоты в 1 км? Отв. t = 14 сек. (с точностью до 1 сек.).
2. С какой высоты упал камень, если его конечная скорость рав-
на 50 — ? Отв. = 127 м.
сгк
3. С какой высоты падает камень в течение 10 сек.? Какова ко-
нечная скорость падения?
4. В какое время свободно падающее тело проходит первый метр
своего пути, в какое — второй и в какое — десятый метр?
5. Над отверстием вертикальной шахты рабочий выпускает из рук
камень. Камень ударяется о дно шахты. Рабочий слышит звук удара
через 6,5 сек. после пуска камня. Определить (с точностью' до 1 м)
глубину шахты, если звук распространяется со скоростью 340 — .
6. Почему нельзя обнаружить на весах с коромыслом изменение
веса тела при переносе его из Одного места земли в другое?
7. Одинаковы или различны ускорения свободного падения в без-
воздушном пространстве двух тел, массы которых 1 г и 1 кг?
32. Выражение веса тела через массу и ускорение. Все
свободные тела под действием своего веса падают на землю.
Свободное падение, как мы видим, является равномерно-уско-
ренным движением. Равномерно-ускоренное движение происхо-
дит с постоянным ускорением. Вес тела, по второму закону
Ньютона, раьен произведению массы тела на ускорение сво-
бодного падения, сообщаемое телу его весом. Обозначим, как
это принято, массу тела буквой т, ускорение свободного паде-
ния g, а вес тела Р, тогда выражение веса через массу может
быть представлено формулой:
P—mg. (Va)
33. Способ сравнения масс. Опыты, описанные в § 31,
показали, что все тела падают в одном и том же месте
Земли с одинаковым ускорением g.
Если возьмём какие-либо два тела с массами тх и т2, то
веса их Рг и Р2 по второму закону механики выразятся так:
= P2=m2g.
Сравним посредством деления веса обоих тел:
Рг m2g ’ Р2 тг '
♦
67
Это сравнение показывает, что масса тел пропорциональна
весу. Если из двух тел одно весит в 2, 3 или 5 раз больше,
чем другое, то и масса его во столько же раз, т. е. в 2, 3
или 5 раз, больше, чем у второго.
Веса тел сравниваются на приборе, называемом „весами“.
Следовательно, и массу тела можно измерять на весах.
Приведённая формула (Va) показывает, что массу тела никак
нельзя смешивать с его весом. Вес есть сила. Масса тела —
свойство данного тела, не зависящее от того, действуют ли
на тело какие-либо силы, в частности вес, или не действуют.
Масса тела, как мера его инерции, обнаруживается в сохра-
нении им неизменной скорости, пока на тело не действуют
силы; в случае же действия силы масса влияет на величину
ускорения тела. Вес тела можно уравновесить какой-либо
другой силой, масса же его остаётся неизменной и при изме-
нении его веса. Например, при подъёме вверх вес подвешен-
ного груза уравновешивается сопротивлением опоры, но масса
его и в этом случае сохраняется. Чтобы привести подвешен-
ное тело в движение по горизонтальному направлению, надо
приложить силу для сообщения массе ускорения, но не для
преодоления его веса. Поднимая крышку сундука, надо при-
ложить силу для преодоления её веса и для сообщения ей
ускорения. Открывая дверцу шкафа, вделанного в стену, имеют
дело только с массой дверцы, так как вес её уравновешен.
Когда планируют количество потребного угля для завода, то
имеют дело с его массой, так как от неё зависит нагреватель-
ное действие угля. Горящий уголь будет давать тепло, хотя
бы вес его и был уравновешен опорой.
Но когда приходится уголь поднимать из шахты или гру-
зить на грузовики, то надо учитывать его вес, чтобы подо-
брать подходящую движущую силу.
34. Единицы массы. За образец единицы массы принята
по международному соглашению .масса платиново-иридиевого
цилиндра, который хранится в Международном бюро мер
вблизи Парижа. Эта единица массы называется килограмм
и обозначается сокращённо по-русски кг, а по международ-
ному — kg.
В физике за единицу массы принят грамм, составляющий
тысячную часть килограмма. Его обозначения: русское г, меж-
дународное g.
Вес этого образца в Париже ') принят за единицу веса или,
1) Точнее, для нормального ускорения = 980,665 .
68
вообще, за единицу силы. Эта единица силы называется кило-
грамм-сила и обозначается по международному kG, по-рус-
ски кГ (прописная буква жге“).
Тысячная часть этой силы называется грамм-сила и обозна-
чается G и Г.
35. Плотность вещества. Различные вещества: металлы,
минералы, жидкости, газы могут иметь при одинаковых объ-
ёмах различные массы. Поэтому для сравнения веществ в
отношении их масс вводится особая величина, называемая
плотностью вещества.
Плотность вещества есть величина, измеряемая массой
вещества в единице объёма. Если обозначить массу тела
через т, его объём через V и плотность через D, то
О=^-
(VI)
Единицей плотности будет: ~. Так как удельный вес
Г
выражается в , то между плотностью и удельным весом
получается приблизительное числовое совпадение, но только
числовое. По существу же плотность и удельный вес так же
различаются между собой, как масса и вес.
36. Динамическая единица силы. До сих пор любые силы
мы измеряли в единицах веса. Приборами для измерения сил
служили динамометр или рычажные весы. Но, как уже не
раз упоминалось выше, вес одного и того же тела для раз-
ных мест земной поверхности неодинаков (вследствие формы
Земли и её вращения вокруг оси).
На основании второго закона механики можно установить
единицу силы, независимую от веса тела и повсеместно одина-
ковую.
Если в формуле F= та принять массу т = 1 г и уско-
С и
рсние а=1 —t,
то тогда сила F окажется равной единице.
.. е* 1 см , , г-см
В самом деле, F—1—;•! г = 1 —г.
’ сек* сек*
Таким образом, за единицу силы принимается в физике
такая сила, которая массе в 1 г сообщает ускорение в
I сантиметр в секунду за секунду.
С9
Эта единица силы называется дина (или^т). Её меж?
\ сек1 2 )
дународное обозначение dn, русское дн.
37. Соотношение ме аду килограммом-силой и диной.
Как мы только что видели, дина сообщает массе в 1 г уско-
. см
рение в 1 —5.
г сек2
Но та же масса под действием своего веса в 1 Г по-
лучает ускорение свободного падения, т. е. приблизи-
тельно 981 —• Следовательно, 1 Г силы соответствует
981 дине.
В каждом месте Земли вес тела массой в 1 г равен столь-
ким динам, каким числом сантиметров в секунду-за секунду
ьыражается ускорение свободного падения в этом месте.
На полюсе он равен 983 дн, на экваторе —978 дн, в Москве —
981 дн.
38. Система единиц CGS (ЦГС). Мы познакомились в ме-
ханике с шестью различными величинами: длина пути, время,
скорость, ускорение, масса, сила. Для трёх этих величин еди-
ницы были выбраны произвольно, а именно;
для единицы длины 1 сантиметр !) (Centimeter),
для единицы массы 1 грамм2) (Gramm)
для единицы времени 1 секунда3 * * * * 8) (Secunda).
1 см есть сотая часть метра. 1 м есть длина, равная расстоянию
между осями двух штрихов, нанесенных на платиново-иридиевом
стержне, который является международным прототипом метра и хра-
нится в Международном бюро мер.
Длина международного метра отличается на 0,0856 мм от одной
сорокамиллионной части Парижского меридиана, которая по первона-
чальному замыслу должна была служить метром. Именно длина
меридиана равна 40 003 400 м.
2) При изготовлении эталона килограмм-массы был задуман, как масса
кубического дециметра дистиллированной воды при 4°. Изготовленный
образец килограмм-массы больше массы 1 дм:) воды на 0,03 г. Объем
1' кг дистиллированной воды при 4° и нормальном давлении назы-
вается литром; отсюда видно, что 1 л больше 1 дм2 на 0,03 см2.
1000 кг—1 тонна (т).
8) 1 секунда есть о, .АА средних солнечных суток. Сутками назы-
оо 4UU
вается промежуток времени между двумя полуднями. Так как скорость
Земли при её вращении вокруг Солнца в течение года меняется ото
дня ко дню, то и продолжительность суток в разное время года раз-
лична. Для установления единицы времени вычисляется продолжи-
тельность средних солнечных суток за год.
70
Единицы для остальных величин установлены при помощи
первых трёх, а именно:
, см
для единицы скорости 1 ^-,
для единицы ускорения 1 ,
для единицы силы 1 , или дина.
сек*
В дальнейшем мы увидим, что единицы остальных механиче-
ских величин могут быть выведены из тех же трёх единиц.
Три единицы — длины, массы, времени,— выбранные про-
извольно, называются основными; все остальные единицы,
выведенные из основных, называются производными.
Основные и производные единицы, составленные по опреде-
лённым правилам, образуют систему единиц.
Приведённая система по первым буквам латинских назва-
ний её основных единиц называется системой COS (ЦТС)
единиц.
30. Техническая система единиц. В технике применяется
следующая система единиц:
основные:
единица длины 1 м
единица силы 1 кГ
единица времени 1 сек.
производные:
. м
единица скорости 1 —
, и
единица ускорения 1
В технической системе также является производной
единица массы. Вывести её можно из формулы второго закона
р
Ньютона: F=tna, откуда масса т — —.
„ „ , _ , м 1 кГ .кГ-cafl
Если положить г = I кГ, а — 1 —=, то т =---------= 1--------•
сек2 , м м
1 '
сек2
В технической системе за единицу массы принимается
такая масса, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение в 1 .
Особого названия этой единицы не установлено. Её назы-
вают «техническая единица массы*, или сокращённо: т. е. м.,
_ (кГ'Сй1^\
или ещё (———I.
71
Так как тело весом в 1 кГ получает от силы тяжести
ускорение не 1 а 9,8 — то масса такого тела будет не
С8К С8К
1 т. е. м., а в 9,8 раза меньше, т. е. ^-(т. е. м.).
5 ’
Тело весом в 5 кГ имеет массу п~г(т. е- м-)-
У,о
49
Тело весом в 49 кГ имеет массу = 5 (т. е. м.).
У,о
Тело весом в 1 тонну (Т) имеет массу -Цу- = Ю2(т.е.м.).
Вообще, чтобы узнать массу тела в т. е. м., вес которого
равен Р кГ, надо вес разделить на ускорение свободного
м
падения g в -—5-:
ь сек2
Р
т =—
g
Техническая
ниц называется
система по первым буквам её основных еди-
системой MKS.
ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
После того как пройдены различные системы единиц, при
решении задач, для уменьшения количества ошибок, полезно
руководствоваться следующими правилами, в особенности при
решении более сложных задач.
1. В левой части доски или тетради надо записать все
данные задачи в виде равенств, применяя вместо слов устано-
вленные буквенные обозначения величин. Столбец данных
надо подчеркнуть и ниже черты записать искомое.
2. После правильной записи всех числовых данных надо
посмотреть, по одной ли системе единиц выражены все вели-
чины. Если не по одной, то надо выразить все данные вели-
чины в единицах избранной системы.
3. Далее учащиеся должны представить себе отчётливо
физическую картину, данную в задаче, именно: физический
процесс, описанный в задаче, или состояние тела, данное
в задаче, характеризуемое различными величинами. Из подоб-
ного разбора учащийся может составить себе представление
о тех закономерностях, которые связывают между собой
искомые и данные величины. Затем он должен подумать, не
надо ли дополнить данные задачи ещё другими величинами.
Надо посмотреть, нет ли в задаче скрытых данных или не
72
нужно ли заимствовать данные из таблиц (например, если
говорится об отходящем от станции поезде, то надо присо-
единить значение начальной скорости = 0; или, если дан объём
тела, а дело идёт о его весе, надо заимствовать из таблиц
значение его удельного веса и т. п.).
4. После того как выполнены все подготовительные дей-
ствия, надо тщательно обдумать, с какими величинами физи-
чески связана искомая величина, и выразить эту связь фор-
мулой, которую лучше всего преобразовать так, чтобы в ле-
вой части её стояла искомая величина, а в правой — все осталь-
ные.
5. Если в правой части первой формулы стоят только
известные величины, то задача решена. Если же входят но-
вые неизвестные, то надо отдать себе отчёт в их физическом
значении, вспомнить, с какими другими ранее изученными ве-
личинами они связаны, выразить эти связи формулами и так
поступать до тех пор, пока правая часть не будет состоять
только из известных величин.
6. По получении такой формулы надо подставить вместо
букв числа вместе с их наименованиями, произвести над чис-
лами и их наименованиями указанные в формуле действия и про-
должать подстановку в обратном порядке формул, пока не будет
вычислено неизвестное; не забыть поставить и проверить на-
именование в последнем ответе. Если позволяют математиче-
ские навыки, лучше сначала делать подстановки в буквенном
виде и получить для неизвестного окончательное буквенное
выражение через известные, в которое и подставить числовые
значения.
7. Во всех случаях, когда это представляется возможным,
рекомендуется сделать чертёж, изображающий картину явле-
ния или схему установки.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
1. Какая сила подействовала иа покоящееся тело массой т=120 г,
если оно под действием силы прошло за время t — 5 мии. путь s =
=1800 л?
т —120 г
t=5 мии.
s — 1800 м
Е?
т = 120 г.
t = 300 сек.
180 000 см
v0 — 0
. Et
Е = та at2 2s а~ t2 2-120 г-180 000 см
90 000 сек2
s—Т 2ms /г_480 сек2 А=480 ди.
73
2. Вагонетку весом Р = 490 кГ двигают по рельсам из состояния
покоя силой Р=2,5 к Г. Через какое время t она достигнет скорости
сек
Р=490 к Г Р=490 кГ t=- а 2 —. 490 «Г , сек
F=2,5 кГ v=2 сек Л =2,5 кГ О М и = 2 сек е£Ч‘зд II И в g II II да? t= 2,5 кГ 9,8 — сек2 t = 40 сек.
t? о0 = 0
£=9,8 сек2
ft
3. Какова должна быть сила тормозов, чтобы остановить на протя-
жении 5 м вагонетку весом Р=980 к Г, шедшую равномерно со ско-
ростью v0= 18
час
Р=980 к Г Р = 980 к Г Р=та t=-^-
s = 5 м Vo=18™ час s = 5 м - м v0 = 5— ” сек 55. «1 о + & 1 «0.1^ s> » и । S Со fc а , avo
u a 2a2 — 2t»o4-«o 19 2a s = -^ 2a
р? Со QO о СЛ II II 0-0
Р? v02 a~ 2s
р— ?2р 25-^-. 980кГ 0 t сек2 . „ = — 250 kP1).
2sg ’ 2.5 л. 9,8-^’ ’ сек2 Упражнение 6а.
V1. Два разных тела движутся с одинаковой скоростью. Что про-
изойдет с ними, если приложить к ним одну и ту же силу, препят-
ствующую их движению?
/2. Скольким динам должна быть равна сила, сообщающая массе
в 1 г ускорение в 981
3. Какой массе сила в 980 дн сообщит ускорение в 20 ?
___________ Отв. 49 г.
!) Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противо-
положную скорости.
74
4. Какое ускорение может сообщить сила в 9800 дн массе в 490 г?
Отв. 20 — .
сек3
5. Тело, масса которого лц действует на тело с массой тг с силой
F. Какие ускорения получат эти тела в результате взаимодействия?
6. Сила F в 1960 дн действует непрерывно на тело, масса кото-
рого т = 490 г. Какую скорость получит тело по прошествии t = 10 сек.
по выходе из состояния покоя? Отв. •
7. На массу т=Ю0 г действует сила Г=100 дн. Какой путь
пройдет тело за 1 мин. по выходе из состояния покоя? Отв. 18 м.
8. На массу т = 200 г, находившуюся в покое, подействовала
постоянная сила, под действием которой тело прошло путь в 100 м
в течение 10 сек. Чему равна сила? Отв. 40 000 дя.
9. Чему равна сила, подействовавшая на тело массой т= 120 г,
двигавшееся равномерно со скоростью 10 если она была напра-
влена противоположно скорости и остановила тело через I мин.
20 сек.1)? Отв. 1500 дн.
СМ
10. Тело в 20 m под действием силы получило ускорение 0,5 .
Чему равна подействовавшая сила? Отв. 10’ дн.
11. Какая сила может сообщить телу весом 100 Г ускорение 0,5 ?
Отв. 50 дн.
12. Какое ускорение получит тело весом в 49 Г под действием
силы в 5 Г? Отв. 100 С'М. ,
сек3
13. Какой массе сила в ЮГ может сообщить ускорение 980 —2?
Отв? 10 *
14. Какое ускорение сообщит сила в 1 кГ массе в 2 кг (все ве-
СМ
личины выразить в одной системе единиц)? Отв. 490
15. Две массы по 400 г уравновешены на неподвижном блоке.
Какое получится ускорение, если на одну массу положить без толчка
добавочную массу в 20 г (^=980)? Трением пренебречь.
16. На неподвижном блоке уравновешены две массы по 475 г.
Какое получится ускорение, если на одну из масс положить доба-
вочную массу в 30 г (^=980)? Сравнить движущие сил (а и ускоре-
ния в двух последних задачах. Отв. 1Д 1,25.
17. На неподвижном блоке уравновешены две массы по 230 г.
Какое получится ускорение, если на одну из масс положить добавоч-
’) Отрицательное число для ускорения показывает, что сила на-
правлена против скорости, т. е. является сопротивлением.
75
ную массу в 30 г (£=980)? Сравнить ускорения и полные массы,
приведённые в движение, в двух последних задачах. Отв. 60 ; 2.
18. Вычислить для каждой из трёх последних задач пути, прой-
денные в 1 и 2 сек. Отв. 12 см, 15 см, 30 см', 48 см, 60 см, 120 см.
19. Вычислить для задач №№ 15, 16 и 17 скорости по прошествии
^70 СМ СМ < см
Отв. 72-----, 90 ------, 180 ----
сек сек ’ сек
20. Мальчик, поднявшись на лестницу, выпустил из рук бутылку
с водой. Чему равно давление воды на дно во время падения?
21. С какой силой человек весом в 70 кГ, сидящий в автомобиле,
идущем с ускорением в 1^2> давит на спинку сидения? Отв. 7,1 кГ.
22. Из орудия массой в 3 т вылетает снаряд массой в 15 кг со
скоростью в 650 . Какую скорость получает орудие при отдаче?
Отв. 3,25 .
сек
23. Пуля вылетает из винтовки со скоростью 860^^-. Масса пули
т = 9,6 г, масса винтовки /nj = 4,45 кг. Определить скорость винтовки
при отдаче. Отв. 1,9-^-.
г сек
24. Общий вес винтовки обр. 1891/1930 гг. со штыком и ремнём
без патронов равен Р=4,458 к Г; вес патрона Р]=^23 Г (между 21,5 и
24,5 Г). Начальная скорость пули о0 = 865 (между 860 и 870). Ка-
кова была бы скорость отдачи винтовки при стрельбе единственным
патроном, если бы она могла совершенно свободно двигаться?
25. Величина силы сопротивления воздуха движению пули обр.
1908 г. диаметром 7,62 мм достигает 3,5 Г. Найти ускорение пули при
вылете из ствола (см. задачу 24).
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман, Физическая хрестоматия, вып. I, «Падение в пу.
стоте", стр. 61—64; «Падение в воздухе", стр. 64—66.
Перельман, Занимательная физика, ч. I, „Путешествие в пу
щечном ядре", стр. 88—96.
Тимердинг Г., Законы падения, их история и значение^
\J ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Что называется системой единиц?
2. Какие известны системы единиц и каковы основные единицы
в каждой системе?
3. Что такое дина?
4. Какое движение может сообщить телу постоянная сила?
5. Что называется свободным падением тела?
76
6. Под действием какой силы происходит свободное падение?
7. По какому направлению происходит свободное падение?
8. Какой вид движения представляет свободное падение?
9. Из каких опытов можно сделать заключение о виде движения
при свободном падении?
10. Как зависит скорость падения от времени падения?
11. Какой формулой выражается скорость падения через прой-
денный путь?
12. Какова зависимость между пройденным путём при свободном
падении и временем?
13. Как выражается численно путь, пройденный в первую секунду
свободного падения через ускорение?
14. Чему равно ускорение свободного падения?
15. Масса второго тела втрое больше массы первого. Каковы
ускорения этих тел при свободном падении?
16. Зависит ли ускорение свободного падения от массы тела?
Какие наблюдения и опыты дают ответ на поставленный
вопрос?
17. Отчего происходит наблюдаемое различие скоростей падения
тел в воздухе или другой среде?
18. Как выражается вес тела через массу и ускорение?
19. Какая существует зависимость между весом и массой тела?
Разъяснить на примерах различие понятия массы и понятия
веса тела.
20. На каком приборе можно измерять массы тел?
21. Что называется плотностью вещества? В каких единицах
измеряется плотность?
22. Что называется удельным весом вещества? В каких единицах
он измеряется?
23. Отличаются ли между собой числовые значения плотности,
„ г Г .
выраженной в , и удельного веса, выраженного в —3?
24. Что принято За единиц}' массы в системе CGS и технической?
"S5- Каково соотношение между диной и килограммом-силой?
26. Какова масса тела, вес которого равен 981 Л/?
3. Сложение движений.
40. Независимость действия силы от состояния движе-
ния тела. Второй закон механики устанавливает, что ускоре-
ние, сообщаемое силой телу, зависит только от величины
силы и от массы тела. Следовательно, ускорение не зависит
от того, находилось ли тело, на которое подействовала
сила, в покое или в движении. Одна и та же сила сообщит
одному и тому же телу одинаковое по величине и направле-
нию ускорение как в том случае, когда оно находилось в
покое, так и в том, когда оно двигалось. Движение же тела
может происходить как по инерции, так и под действием силы.
Значит, действие данной силы, на тело не зависит от дей-
П
ствия других сил на то оке тело. Это следствие из второго
закона называется законом независимости действия силы.
Конечно, окончательное движение тела под совокупным
действием нескольких сил будет иное, чем от каждой из них
в отдельности; но и в этом случае каждая сила сообщает
такое же ускорение, какое она дала бы одна. Сила тяжести
сообщает одно н то же ускорение телу, падающему с началь-
ной скоростью 0 и брошенному с любой начальной скоростью.
Это ускорение остаётся неизменным как в пустоте, так и в
воздухе, хотя в воздухе присоединяется ещё сила сопротивле-
ния воздуха. Эта последняя изменяет окончательное движение,
но не изменяет действия силы тяжести.
Из приведённых соображений возникают две новые задачи
при разборе различных действительных движений: отыскание
пути сложного движения и оты-
скание скорости его.
41. Сложение путей двух
прямолинейных и равномерных
движений. Задачу сложения путей
равномерных и прямолинейных
движений удобно рассмотреть на
каком-либо конкретном примере.
Пусть линия ОД3 (рис. 38) изоб-
ражает путь равномерного и пря-
молинейного движения парохода.
Рис. 38. Сложение путей двух Если бы двигался только паро-
прямолинейных и равномерных ход, то пассажир, стоящий в точке
движений. О также перемещался бы вдоль
линии ОЛ3, попадая через 1 сек.
в точку Alt через 2 сек. в точку Л2, через 3 сек. в
точку Л3, причём все последовательные расстояния между
точками О, At, А2, А3 равны между собой. Если бы паро-
ход был неподвижен, а двигался бы пассажир равномерно
по палубе от одного края её к другому, то он шёл бы по
прямой ОВ3, попадая через 1 сек. в точку В{, через 2 в
точку В2, через 3 в точку В3 и т. д., причём все рас-
стояния между точками О, Bit В2, В3 были бы равны. При
одновременном движении парохода и пассажира — пассажир за
1 сек. пройдёт тот же путь относительно палубы и попадёт в
точку Bj. Но за это время переместится сама палуба; путь'
пассажира по палубе займёт в пространстве направление АхСр,
все точки палубы, в том числе и точка Blt пройдут пути,
параллельные ОА3.
78
Поэтому пассажир через 1 сек. окажется на пересечении
прямых С14] и BjC, в точке СР Через 2 сек. пассажир зай-
мёт относительно палубы положение В2, но палуба переме-
стится на линию С2А2, и пассажир будет находиться на пере-
сечении С2А2 и В2С2 в точке С2. Через 3 сек. место пасса-
жира будет на пересечении С3А3 и В3С3 в точке С3.
Такое же рассуждение, как для целых секунд, можно было
бы привести и для любых долей секунды. Спрашивается, на
какой линии располагаются все последовательные положения
пассажира, т. е. точки О, С1( С2, С3?
Соединив точки С] и С9 в отдельности с точкой О,
получим ’) два треугольника ОАгС} и ОА3С3.
Эти треугольники подобны, так как две пары их сторон
пропорциональны (ОА3:ОА1 = С3А3:С}А1 = 3) и углы, заклю-
чённые между пропорциональными сторонами А} и А3, равны
между собой. В подобных треугольниках соответственные углы
равны; следовательно, углы, образованные сторонами СгО и
С3О со стороной А3О, равны, т. е. все точки О, Са
и т. д. лежат на одной прямой.
Легко доказать из сравнения соответствующих треуголь-
ников, что отрезки OClt С1С2> С2Са и т. д. равны между
собой.
Из приведённого рассуждения и чертежа видно, что от
сложения двух прямолинейных и равномерных движений полу-
чается также прямолинейное и равномерное движение.
Окончательное движение пассажира называется сложным
движением; движение пассажира по палубе и движение палубы
называются слагаемыми. Одно слагаемое — движение пас-
сажира по палубе — называется относительным движением;
другое слагаемое движение парохода — называется пере-
носным движением. Отсюда путь сложного движения,
полученного от сложения путей двух прямолинейных и
равномерных движений, есть диагональ параллелограма,
построенного на слагаемых путях.
Таким образом, наблюдатель, стоящий на берегу реки,
увидит движение пассажира направленным наискось от одного
берега к другому. Угол, образованный направлением его дви-
жения и линией берега, будет зависеть от скоростей обоих
движений. Нахождение пути сложного движения
называется сложением путей. Оно сводится к сло-
’) В начале рассуждения мы принимаем, что прямые ОС3 и ОС\
не совпадают.
79
жению векторов, под которым подразумевается построение
параллелограма на данных векторах и отыскание его диагонали.
Проверить правило параллелограма при сложении путей
можно на
лежащий
(рис. 39).
ряде простых опытов. Например, на лист бумаги,
на столе, помещают масштаб и закрепляют его
К стороне масштаба, на которой нанесены деления,
прикладывают гипотенузой чер-
тёжный треугольник, на катеты
его наносят сантиметровые деле-
ния. Если не изменять положения
треугольника относительно ли-
нейки и вести карандаш от точки
А вдоль стороны треугольника
на расстоянии 10 см, то он про-
ведёт на бумаге прямую АС. Если
А к треугольнику и. перемещать
Рис. 39. Опыт по сложению
перемещений.
Рис. 40. Сложное движение
происходит по диагонали
параллелограмма.
прижать карандаш в точке
его вместе с треугольником вдоль линейки на расстоянии хотя
бы 4 ем, то карандаш проведёт линию АВ: Если теперь вернуть
карандаш и линейку в исходное положение и одновременно
передвигать треугольник вдоль ли-
нейки на то же расстояние (4 см) и
карандаш вдоль стороны треуголь-
ника на прежнее расстояние (10 см),
то карандаш опишет путь AD. Этот
путь представит собой диагональ
параллелограма, построенного на
путях АВ и АС.
Возвратив всю установку в на-
чальное положение, попробуем про-
делать оба слагаемых движения
последовательно, например, сперва
передвинуть треугольник с каран-
дашом вдоль линейки на 4 см, а
затем карандаш вдоль неподвиж-
ной стороны треугольника на 10 см
(или в другом порядке}; мы увидим, что карандаш во всех
случаях остановится в точке D. Следовательно, если тело
совершает два движения, то конечное достигнутое им поло-
жение не зависит от того, совершались ли оба
одновременно или в любой последовательности
другим.
В этом состоит закон независимости движений,
основанием для сложения путей движений.
движения
одно за
служащий
80
Приведём ещё один опыт для проверки того же правила.
Поставим вертикально доску с пришпиленным к ней листом
бумаги. К одному краю бумаги приставим стеклянный цилиндр
с опущенной в него маленькой гирькой. К гирьке прикреплена
нить, которая намотана на гвоздь (рис. 40). Если при непо-
движном цилиндре тянуть за нить, то гиря пройдёт путь АВ.
Если снять гирю с нити и перемещать цилиндр вдоль доски
слева направо, то гиря пройдёт путь АС. Если привязать
нить к гире и двигать цилиндр вдоль доски на отрезок АС,
то гиря, перемещаясь вместе с цилиндром и одновременно
двигаясь вдоль поверхности цилиндра, пройдёт путь AD.
Чертёж, сделанный на трёх отрезках АВ, AC, AD, покажет,
что путь сложного движения изображается диагональю паралле-
лограма. Опыт можно повторить
при разных наклонах цилиндра.
Один из примеров сложения
путей двух равномерных прямо-
линейных движений можно видеть
при работе мостового крана. С по-
мощью крана можно, поднимая
груз, одновременно передвинуть
его в сторону. Подобное сло-
жение путей изображено на ри-
сунке 41.
На разборе сложения пере-
мещений подтверждается „отно-
сительность" механического дви-
жения, которая была отме-
чена в § 2.
Рассматривая движение пасса-
жира по палубе парохода, мы
видим, что траектория и скорость
пассажира меняются в зависи-
мости от того, какое тело в данной задаче принимается за
неподвижное: наблюдатель, стоящий на земле, отметит иную
траекторию и иную скорость, чем наблюдатель, стоящий на
палубе. Наблюдателю на Солнце движение пассажира по-
казалось бы иным, чем наблюдателю с Земли, так как
пассажир парохода совершает, кроме своего собственного
движения, ещё движение с Землёй вокруг её оси и вокруг
Солнца.
Также наблюдатель, находящийся на какой-либо звезде,
видел бы иную картину, чем наблюдатель на Солнце, так как
81
для него движение пассажира ещё осложнилось бы движением
всей солнечной системы.
Наблюдатель, связанный с телом, движущимся равномерно
и прямолинейно, не может определить, перемещается ли это
тело пли нет.
Сидящие в закрытой каюте равномерно идущего парохода
пассажиры не могли бы определить, движутся ли они или
неподвижны, если бы не слыхали шума машины (часто впадают
в ошибку при подходе к пристани, когда прекращается работа
машины). Поэтому обитатели Земли не замечают (иначе как
по наблюдениям за светилами) нн суточного вращения Земли,
ни вращения вокруг Солнца, ни движения в пространстве
вместе с Солнцем. Если же происходит переменное движение,
то состояние движения может быть обнаружено. При сильном
замедлении поезда вещи сваливаются с полок; при крутом
повороте автомобиля едущие прижимаются к наружной
стенке и т. п.
42. Сложение скоростей. Рисунок 38 даёт возможность
найти скорость сложного движения по скоростям слагаемых
движений. Отрезок 0.4, изображает путь, пройденный паро-
ходом в 1 сек., следовательно, является графическим изобра-
жением скорости парохода. Подобным образом отрезок ОВ}
может быть графическим изображением в том же масштабе
скорости пассажира относительно палубы; отрезок же ОС,
есть графическое изображение скорости сложного движения.
Параллелограм ОВ,С,Л, показывает, что скорость сложного
движения по величине и направлению изображается диаго-
налью параллелограма, построенного на слагаемых скоростях.
Этот вывод, сделанный для случая сложения двух равномерных
и прямолинейных движений, распространяется на случаи все-
возможных движений, так как скорость всегда изображается
отрезком прямой; если движения не равномерны, то их скорости
для каждого отдельного момента могут рассматриваться как
постоянные и складываться, как было указано раньше. Таким
образом, скорости складываются по правилу сложения векторов.
Когда обе слагаемые скорости направлены по одной прямой,
то v=vt-]-v2; когда же — в противоположные стороны, то
v=vt — vt. В остальных случаях г,—< v vt -j- v2, так
как каждая сторона треугольника больше разности двух других
сторон и меньше их суммы.
43. Разложение скорости на две составляющие. При
разбо е сложного движения может возникнуть вопрос об оты-
скании скоростей слагаемых движений, составляющих скорость
82
данного сложного движения; например, по скорости движения
моторной лодки, плывущей по реке, и скорости течения воды,
определить ту скорость, которую сообщает лодке мотор (в стоя-
чей воде).
Отыскание составляющих скоростей по данной скорости
сложного движения называется разложением скорости.
Эта задача составляет частный случай более общей задачи —
разложения вектора на со-
ставляющие, какая бы физическая
величина ни была выражена вектором.
Разложение данного вектора на
составляющие является задачей не-
определённой: можно найти мно-
жество различных слагаемых векто-
ров, которые дадут один и тот же
результирующий вектор.
В этом легко убедиться, если мы
захотим разложить данную скорость
на две составляющие, направленные
под углом друг к другу. Для на-
хождения составляющих в этом слу-
чае надо построить параллелограм,
в котором данный вектор был бы
диагональю. Но, как легко сооб-
разить, на данной диагонали можно
Рис. 42.
и направлению те два
построить множество различных па-
раллелограмов; стороны каждого из
них будут изображать по величине
слагаемых вектора, из которых может
вектор (рис. 42).
быть составлен данный
Чтобы сделать задачу разложения
вектора на слагаемые
определённой, надо присоединить к данному вектору ещё
добавочные условия. Наиболее часто встречаются следующие
два случая разложения вектора на два слагаемых, действующих
под углом.
Первый случай. Дан вектор (скорость) и даны направления
слагаемых; найти величины слагаемых.
Пусть вектор v надо разложить на два слагаемых по вер-
тикальному и горизонтальному направлениям (рис. 43).
В этом случае надо провести через конец В данного векто-
ра v линии, параллельные заданным направлениям АС и AD
до их пересечения с ними. В полученном параллелограме ALBK
стороны параллелограма АК и AL изобразят по величине и
83
направлению слагаемые векторы и v2 для данного век-
тора V.
Второй случай. Дан вектор и даны направление и величина
одного из слагаемых; найти направление и величину другого
слагаемого.
Пусть вектор v надо разложить на два слагаемых, из ко-
торых задан один вектор (рис. 44).
Рис. 43. Разложение вектора
на два составляющих, на-
правления которых даны.
i
Рис. 44. Разложение век-
тора на два составляю-
щих, из которых задан
один.
тора с концом
угольник ABD.
тором данный
Рис. 45.
В этом случае надо соединить конец D разлагаемого век-
данного слагаемого вектора; получится тре-
'j надо дополнить до параллелограма, в ко-
:тор был бы диагональю. Для этого через
концы данного вектора А и D надо провести
линии, параллельные сторонам полученного
треугольника до их взаимного пересечения.
Сторона АС параллелограма ABDC изобра-
зит по величине и направлению второй сла-
гаемый -вектор v2- Этот случай разложения
вектора на слагаемые представляет собой
вычитание одного вектора из другого, а
именно: вектор вычитается из вектора v.
Пример. Гребец гребёт поперёк реки;
лодка же благодаря течению реки передви-
гается под углом в 60° к берегу со ско-
ростью 2 . Найти скорость течения реки
и скорость, с которой двигалась бы лодка при отсутствии
течения.
Взяв масштаб 1 — в 2 см длины, изобразим отрезком AD
скорость v сложного движения (рис. 45). Тогда направление АВ
84
покажет направление течения, а направление АС, по которому
гребёт гребец, будет перпендикулярно к первому. Проведя
линии DB || АС и DC || АВ, найдём скорость течения в виде
отрезка АВ и скорость лодкй, сообщаемую ей гребцом в виде
отрезка АС. Величины слагаемых скоростей можно найти по
масштабу или вычислением.
В треугольнике ADB угол D равен 30°. Катет, лежащий
против угла в 30°, как известно из геометрии, равен половине
гипотенузы:
AB=±-AD.
Тогда _____
BD = AC = VaD2 — АВ2 = 1/ AD2—^- = т/'Л^2 =
г 4 г 4
_ арУъ
~~ 2
ИЛИ
ЛВ = ЛО cos 60° = ДО-4-; АС=AD cos 30° = ^nJ^- .
Л л
Упражнение 7.
1. Пассажир, стоящий на последней площадке движущегося поезда,
роняет на полотно дороги камень. В каком положении по отношению
к площадке будет находиться камень при падении на землю (сопротив-
лением воздуха пренебречь)?
2. Пассажир, стоящий на последней площадке поезда, бросает
камень в сторону, противоположную движению поезда, со скоростью,
равной скорости поезда. Вопрос тот же, что и в предыдущей задаче.
3. Ответить на вопрос предыдущей задачи, если скорость бросания
камня меньше и если она больше скорости поезда.
('v^jcKopocTb течения реки 3 ; скорость, сообщаемая лодке мо-
тором поперёк течения, равна 4 ; найти величину и направление
сложной скорости (под каким углом к берегу она направлена).
Отв. 5 —; почти 53°.
сек
5. Скорость поезда равна 20 ; скорость вертикального падения
дождевой капли 8^^. Каковы величина и направление скорости дож-
девой капли относительно окна вагона? Куда кажутся наклоненными
капли дождя при движении поезда? От чего зависит кажущийся угол
наклона? (На чертеже изобразить скорость падающей капли относи-
тельно поезда.)
Отв. 21,5 —.
сек
85
6. На расстоянии в 1000 м перед окопом параллельно ему бежит
вражеский пехотинец со скоростью в 2^. Под каким углом к линии,
перпендикулярной к линии окопов, надо направить винтовку, если ско-
рость пули 500 — ? Отв. 14'
сек
7. Пешеход идёт со скоростью в 5 — в северо-восточном направ-
лении под углом в 30° к северу. С какой скоростью он направляется
к северу?
8. Дым от паровоза относится ветром к северу, когда паровоз
,, км
стоит на станции. Когда же он движется со скоростью в 50 — па за-
час
пад, полоса дыма вблизи поезда направляется на северо-восток. Какова
скорость ветра? Каково направление частиц дыма относительно земли?
В каком направлении полоса дыма видна машинисту?
9. В стрелковых таблицах для определения сноса пули при боко-
вом. ветре показано, что отклонение пули при боковом ветре, дующем
под углом в 30° по направлению к скорости пули, будет такое же,
как и от ветра, дующего с вдвое меньшей скоростью, но по направле-
нию, перпендикулярному к скорости пули. Доказать правильность этого
указания таблицы.
10. Показать, что при переправе вплавь поперёк реки величина
относа пловца вниз по течению равна отношению скорости течения
реки к скорости переправы, умноженному на ширину реки в метрах.
И. Вычислить величину относа пловца вниз по течению реки при
ширине в 100 м, скорости течения в 1 — и скорости переправы
it сек
в 0,5 — .
сек
12. Под каким углом к берегу должен плыть пловец предыду-
щей задачи, чтобы попасть в ближайшую точку противоположного
берега?
13. Самозарядная винтовка обр. 1940 г. даёт начальную скорость
полёта пули vo = 83O —. При стрельбе по перебегающей пешей
сек
цели под углом в 90° и со скоростью v = 3 точка прицеливания вы-
носится вперёд на 39 см, если стрельба производится с дистанции
в 100 м, и на 180 см при дистанции в 400 м. Сохраняет ли в обоих
случаях пуля свою начальную скорость во всё время полёта?
Если не сохраняет, то какова средняя скорость полёта в каждом
случае?
Примечание. Задача 9 основана на данных книги Н. Фи-
латова „Краткие сведения об основаниях стрельбы из винтовок
и пулемётов”, Воениздат, 1938.
Задачи 10—12 основаны на данных книги Смирнова и Ховра-
товича „Переправа с помощью подручных средств и материалов",
Воениздат, 1941.
Последняя задача основана на данных книги „Наставления по
стрелковому делу, НСД-41. Самозарядная винтовка обр. 1940 г.“,
Воениздат НКО, 1941, стр. 80.
86
44. Движение тела, брошенного вертикально вверх. На
брошенное вертикально вверх тело с начальной скоростью w0
с первого момента действует сила тяжести. Так как сила
тяжести на небольшом расстоянии от земной поверхности есть
постоянная величина, то' она сообщает телу и постоянное
ускорение, только направленное в сторону, противоположную
скорости. Получится движение прямолинейное, равномерно-
замедленное (ускорение — отрицательное число). „ При изучении
этого движения могут быть поставлены следующие четыре
задачи.
1. Вычислить время подъёма тела, если дана начальная
скорость v0. Так как тело в конце концов, перед тем как
начать падать, останавливается, то окончательная скорость
ц = 0.
Решение уравнения в буквенном виде: v = v0-[-af; а =
= ~-g, v = v0 — gt; O = vo — gt; t =
II. Вычислить высоту подъёма. По формуле $ =
( at2 ь
-4—гг имеем:
s = vot—S~; / = ^(см. I);
g 2 \ g) g 2g2 g 2g 2g’
III. Определить конечную скорость при падении на
землю. После мгновенной остановки начнётся свободное падение
тела на землю с высоты, вычисленной в п. II. Конечная скорость
через пройденный путь выражается формулой v2 = 2gs.
vo
Но ® = (см>
Конечная скорость падения равна начальной скорости
бросания.
IV. Определить время падения. По формуле v = -\-gt
•z>=d0(cm. Ill); v0—gt- / = ^(см. I).
Время падения равно времени подъёма.
Замечание. При расчётах сопротивление воздуха не при-
нято во внимание.
45, Движение тела, брошенного горизонтально. Тело
брошено горизонтально с начальной скоростью v0. Если бы
87
не действовал вес тела, то оно двигалось бы по инерции горизон-
тально и равномерно и через равные промежутки времени попада-
ло бы в точки А, А', А" и т. д. (рис. 46). При отсутствии
горизонтального движения по инерции вес тела сообщил бы
ему равномерно-ускоренное движение вертикально вниз, и тело
прошло бы за 1 сек. путь -у, изображаемый на рисунке от-
резком АВ, за 2 сек.— вчетверо больший путь АС, за 3 сек.—
в девять раз больший путь AD и т. д. При одновременном
существовании обоих движений сила тяжести по закону неза-
горизонтально.
висимости действия сил будет сообщать то же ускорение, что
и при свободном падении, только теперь та вертикальная линия,
по которой падает тело, сама переносится в пространстве и
через 1 сек. имеет положение В'А, через две — С А", через
три — D'A"'. Само брошенное тело через те же промежутки
попадает в точки В', С, D' и т. д.
Расстояния этих точек от вертикальной оси АЕ, т. е. ВВ',
СС', DD', относятся между собой, как числа 1:2:3 и т. д.
Расстояния тех же точек до горизонтали В' А, С A", D'A'" от-
носятся, как числа 1:4:9 и т. д.
Кривая линия, расстояния точек которой от одной оси от-
носятся, как квадраты расстояний их от другой оси, в геомет-
рии называется параболой. Следовательно, точки В', С, D'
и т. д. лежат на кривой, называемой параболой.
Итак, тело, брошенное горизонтально, падает по параболе,
вершина которой лежит в точке бросания.'
£8
46. Движение тела, брошенного наклонно к горизонту.
Пусть прямая АА'" (рис. 47) изображает направление бросания,
по которому тело двигалось бы по инерции равномерно.
Точки А', А", ,Д'" дают положения, в которые попадало бы
тело при движении только по инерции через равные промежутки
времени. При свободном падении из точек А', А", А'”, А"”
тело падало бы по вертикалям, проведённым через А', А",
А"', А"", и проходило бы расстояния, пропорциональные квадрату
времени. Путём такого же рассуждения, как и в предыдущем
Рис. 48. Угол наибольшей дальности и различные траектории при
стрельбе под различным углом бросания.
случае, можно найти положение тела в сложном движении
(точки В, С,D, ...). Описанная кривая есть также парабола.
Итак, тело, брошенное наклонно к горизонту, падает по
параболе. Расстояние АВ от точки бросания до пересечения
параболой горизонтальной плоскости, проходящей через точку
бросания, называется дальностью полёта. Как показывают
вычисления, наибольшая дальность полёта получается при угле
бросания в 45° к плоскости горизонта (рис. 48).
47. Баллистическая кривая. Разобранный случай движения
имеет место при ружейной и орудийной стрельбе. Только при
стрельбе нельзя пренебрегать сопротивлением воздуха, так как
89
скорости полёта снарядов громадны, при больших же скоростях
влияние среды на движущееся тело становится особо заметным.
Вследствие сопротивления воздуха скорость полёта снаряда
уменьшается, последовательные точки А', А", А'" будут сбли-
жаться доуг с другом (рис. 47) и действительная кривая в своей
Рис. 49.
Рис. 50. Баллистическая кривая.
нисходящей ветви будет круче теоретической. Она называется
баллистической кривой (рис. 50).
При обстреле в 1918 г. Парижа немцы помещали орудие
под углом в 65° к горизонту, причём скорость снаряда дости-
гала 1600—. В своей вое-
сек
ходящей ветви снаряд, под-
нявшись в стратосферу, по-
падал в слои воздуха, где
плотность значительно мень-
ше, чем на поверхности
земли. Поэтому на такой вы-
соте снаряд летел как бы в
пустоте и давал дальность
полёта 120 км (рис. 51).
При расчётах путей брошенных тел надо принимать во
внимание не только сопротивление покоящегося воздуха, но
и действие движущегося относительно земли воздуха, т. е.
действие ветра.
Время падения с одного го р и з о н т а л ь н о го\ уровня на
другой одинаково, падает ли тело по вертикали или брошено
по любой параболе.
€0
Убедиться в этом можно при помощи прибора, изобра-
жённого на рисунке 52. В этом приборе металлическая пла-
стинка В, зажатая сверху, удерживает от падения вниз шар тх
и прикасается к шару т, лежащему на краю плоскости. При
ударе о пластинку молоточка К пластинка даёт горизонталь-
Рис. 51. Траектория снаряда сверхдальней пушки.
толчок шару т и одновременно пускает свободно падать
От]. Удары обоих шаров о пол происходят
48. Лабораторная работа 1. Нахождение
траектории тела, брошенного горизонтально.
Приборы: 1) вертикальная доска на под-
ставке (рис. 53); 2) лист бумаги и кнопки для
прикрепления к доске; 3) жолоб, согнутый
по дуге окружности, соответствующей 90°;
4) струбцинка для прикрепления жолоба к доске;
5) шарик.
Ход работы: 1. Прикрепите кнопками
бумагу к доске и привинтите к верхнему углу
доски жолоб, как показано на рисунке 53, от-
метьте на бумаге конец жолоба, с которого
будет скатываться шарик.
2. Пуская шарик без толчка скатываться
путём повторных проб заметьте какую-либо точку
подальше от жолоба. Для этого можно перемещать по доске
карандаш до тех пор, пока шарик при повторных пусках не
ный
шар
одновременно.

Рис. 52.
по
окружности,
пути шарика
ударится о него.
3. Снимите лист бумаги с доски и проведите на нём через
точку А горизонтальную и вертикальную прямые. Из отмечён-
91
ной точки траектории шарика опустите перпендикуляр на гори-
зонтальную прямую. Путь какого из слагаемых движений пред-
ставит длина этого перпендикуляра £]?
Рис. 53.
4. Зная длину пути, по соот-
ветствующей формуле вычислите
время падения шарика от начала
пути до отмеченной точки.
5. Какой путь L2 за это же
время прошёл шарйк во втором
слагаемом движении по горизон-
тали? Каково это движение?
6. Разделить найденный про-
межуток времени на 4—6 рав-
ных частей и для каждой части
этого промежутка найдите пути,
пройденные шариком в слагаемых
движениях по горизонтали и вер-
тикали.
7. Постройте точки, через ко-
торые проходил шарик в конце
равных промежутков времени в
сложном движении. По этим точ-
кам вычертите кривую траектории шарика.
8. Проверьте правильность построения, помещая карандаш
в разные точки траектории и пуская каждый раз шарик без
толчка с той же точки жолоба, как и в п. 2.
9. Постройте кривые для пути шарика, пускаемого с дру-
гих точек жолоба.
Упражнение 8.
1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью ив = 245 .
Найти время и высоту подъёма, время и конечную скорость падения
(з’=980; сопротивление воздуха в расчёт не принимается).
Отв. 1/4 сек.; 305/в см.
2. Из одной точки брошены вертикально вверх и вниз два тела
с начальной скоростью С. Как будет меняться в зависимости от вре-
мени расстояние между ними?
Отв. Прямо пропорционально времени.
3. Начертить на одном чертеже пути движения материальной
точки, получившей горизонтальную скорость, равную 24,5 —— ;
49 — ; 61,25 —.
сек сек
4. Начертить на
одном чертеже
пути движения материальной
92
точки, получившей скорость в 49 — под углом в 30°, 45° и 60° к го-
С€К
риэонту.
5. Из горизонтально поставленного ружья вылетает пуля со ско-
ж
ростыо 880 —* в нель, стоящую на расстоянии 440 м по горизонтали.
На сколько ниже горизонта лежит место падения пули в цель?
Ста. = 122 ем.
6. На долме высотой 120 м стоит орудие, из которого вылетает
по горизонтальному направлению снаряд со скоростью v0= 1000 ~ .
На каком расстоянии от орудия, считая по горизонтали, снарял упадет
на землю? Отв. = 5 км.
7. Самолёт летит горизонтально со скоростью о = 360 — на вы-
соте 490 м. Когда он пролетает над точкой А, с него пускают бомбу.
На каком расстоянии от места А бомба попадает на землю?
«V Отв. 1000 м.
8. С самолёта, летящего горизонтально на высоте 360 м, в момент
полёта его над точкой А пускают бомбу, которая падает на расстоя-
Ж
нии 720 м от точки А. Найти скорость полёта самолёта. Отв. 84 —.
9. Длина одного поезда 150 м, другого 100 м; поезда движутся
- .г- -К
в противоположные стороны. Скорость первого ох = 16 ——, второго
В какой промежуток времени проходит первый поезд перед окном
вагона второго н сколько времени второй поезд — перед окном вагона
первого? Отв. 4,2 сек. 2,8 сек.
ч
10. Аэростат поднимается со скоростью 4,9 . Мешок с песком
выпускается с высоты 49 м над землёй. Описать движение мешка
и вычислить для каждого вида движения время движения и пройден-
ный путь.
11. Ядро вылетает из горизонтально направленного орудия со
If
скоростью 500 —. Что изменилось бы в явлении (скорость, траекто-
рия, дальность полёта), если бы такой же выстрел был произведён
на Марсе, где сила притяжения составляет 0,4 силы притяжения на
Земле?
12. Одинаковое ли время понадобится для падения обоих шариков
в опыте § 47 (рис. 51), если падение будет происходить в воде?
13. Почему при метании гранаты „из-за спины через плечо*, стоя
с места, надо выпускать гранату в наиболее высоком положении кисти
над плечом?
Как изменится скорость, траектория и дальность полёта гранаты
при выпуске её в другой момент, чем сказано выше?
Зачем при выпуске рывком гранаты правой рукой надо левую руку
с винтовкой резко отводить вправо и назад?
(Из книги полковника Г. А. Калачёва «Уничтожай врага гранатой*,
Воениздат НКО, 1941.)
S3
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. В чём состоит закон независимости действия сил?
2. В чем состоит правило сложения векторов?
3. В чем состоит правило разложения векторов?
4. При каких данных задача разложения вектора на два соста*
влякмцих вектора становится определённой?
5. Какие величины складываются и разлагаются по правилу
векторов?
6. Как движется тело, брошенное вертикально вверх?
7. Чему равно ускорение брошенного вертикально вверх тела?
8. Каково соотношение между временем подъёма и временем
падения тела, брошенного вертикально вверх, при отсутствии
сопротивления воздуха?
9. Какое соотношение между конечной скоростью падения и на-
чальной скоростью бросания вертикально вверх, при отсутствии
сопротивления воздуха?
10. Какой путь описывает тело, брошенное горизонтально?
II. Какой путь описывает тело, брошенное наклонно к горизонту?
12. Что называется дальностью полёта и от чего она зависит?
13. Что такое баллистическая кривая?
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман, Занимательная физика, ч. I, .Сложение движений”,
стр. 13—-18.
Внуков, Физика и оборона страны, вып. I, гл. I.
Под' ред. Внукова, Артиллерия.
4. Механическая энергия.
49. Понятие о работе. Рассмотренных нами ранее механи-
ческих величин недостаточно для изучения всех разнообраз-
ных механических явлений. Поэтому в механике вводится ещё
новая величина — работа.
Понятие работы заимствуется из деятельности человека.
Поднимая груз на высоту, прилагая силу на пути подъёма,
человек совершает работу.
Человек распиливает бревно; при равномерном движении
пилы он прилагает силу, необходимую для разрушения волокон
дерева, и перемещает точку приложения силы, когда переме-
щает пилу на определённое расстояние.
Каждый рабочий-пильщик оценивает свою работу в зави-
симости от прилагаемой силы (распиливает твёрдую или мяг-
кую породу) и от пути перемещения (толстое или тонкое
бревно).
Наличие силы и перемещение тела или отдельных его
частей, совершаемое этой силой,— необходимые условия со-
вершения механической работы.
&
Эти признаки мы находим и в других случаях, к которым
применяется понятие работы.
Понятие работы переносится в физике на всякое переме-
щенге одного тела другим. Паровоз движет поезд; сила тяги
паровоза совершает при равномерном движении работу пре-
одоления трения колёс о рельсы и сопротивления воздуха.
Движется ли на каком-либо расстоянии судно подводное, над-
водное, воздушное — сила тяги его машины совершает работу
на этом пути, преодолевая при равномерном движении сопро-
тивление воды или воздуха, или того и другого вместе и пе-
ремещая увлекаемые судном воздушные и водяные массы.
Все двигатели, приводящие в движение колющие, режущие,
строгающие, сверлящие инструменты станков или орудия по об-
работке почвы, совершают силою тяги работу по преодолению
сопротивления обрабатываемого вещества, по преодолению силы
сцепления между его частицами, по перемещению самих частиц.
Приведённые примеры, составляющие ничтожную часть из
многочисленных случаев работы, показывают, что работа со-
вершается тогда, когда сила перемещает тело на некоторое
расстояние.
Во всех случаях, когда совершается работа, движущееся
тело испытывает сопротивление своему движению, которое
преодолевается приложенной к нему силой.
Исключением может казаться движение тела в пустоте, но
в этом случае сила изменяет скорость тела, которую оно
сохраняет по инерции, и сообщает ему ускорение.
Обобщая все случаи, можно сказать, что работа силы
состоит в преодолении сопротивления движению тела.
Физическое понятие работы не совпадает с житейским
понятием о ней.
В физике идёт речь о работе только при перемещении
тела силой.
Сила тяжести, действующая на тело, лежащее на гори-
зонтальном столе, работы не совершает. Неподвижно стоящий
караульщик или грузчик, стоящий неподвижно с мешком на
плечах, не совершают работы; но в их организме происходит
от напряжения мускулов усиленный обмен веществ и связан-
ное с ним выделение теплоты. Следовательно, в физиологи-
ческом смысле совершается работа.
Таким образом, механическое понятие работы отличается
от физиологического.
50. Измерение работы. Так как работа связана с переме-
щением, то естественно считать работу пропорциональной
95
перемещению: на двойном пути та же сила произведёт двой-
ную работу, на тройном пути—тройную и т. д.
С другой стороны, на том же пути вдвое большая, сила
совершит двойную работу, втрое большая сила — тройную и т. д.
Работа есть вели чина, измеряемая произведением силы
на путь перемещения тела по направлению силы.
Если обозначить силу через F, путь через s и работу
через А, то
(Vila)
A = Fs.
Возможны такие случаи, когда путь перемещения тела не совпа-
дает с направлением, силы. Например, лошадь, идущая сбоку рельсов,
тянет канат вагонетки, катящейся вдоль рельсов; лодка движется
вдоль реки при посредстве лямки, за которую тянут люди, идущие
по берегу; вес тела движет тело вдоль наклонной к горизонту пло-
скости. Во всех этих случаях направление движущей силы и направ-
ление перемещения тела составляют между собой угол.
В общем случае работа измеряется произведением силы на
путь и на косинмс угла между ними.
Если обозначить угол между направлениями силы и пути через а, то
H = Fscosa. (VII6)
Если направление движения совпадает с направлением силы, т. е.
а = 0, cosa=l, то формула работы принимает известный ранее вид:
Л = Р$.
Какой смысл имеет введение в формулу работы множителя cos а?
На рисунке 54 приложенная к телу сила F разложена 1) на две
составляющие: одну Fb направленную вдоль пути, другую Ft — пер-
пендикулярно к пути. Сила, перпендикулярная к тому пути, по кото-
рому тело в состоянии двигаться, не может вызвать движения его по
этому пути. Таким образом, движущей 'силой является только соста-
вляющая по направлению движения.
Но из f\BOQ сила F\ = Fca s а.
Поэтому формула работы А = Fs cos а выражает ту мысль, что
если к телу приложена сила под углом к возможном}' перемещению
его, то работа его перемещения совершается только той слагающей
силы, которая направлена вдоль пути.
Всякая сила, перпендикулярная к направлению возможного пере-
мещения, не совершает работы, даже если тело какой-либо иной силой
и приведено в движение.
В самом деле, при a = 90°, cos 90° = 0 и Z = /?s-0 = 0.
1) Сила разлагается на слагаемые по правилу параллелограма
подобно разложению вектора скорости (см. ниже § 65).
96
При перемещении груза по горизонтальной плоскости работа его
веса, как силы, перпендикулярной пути, равна нулю.
В этом случае работа перемещении груза производится силой
тяги, направленной горизонтально.
Если сила образует острый угол с направлением возможного
перемещения тела, то опа сообщает телу ускорение; опа является
движущей силой. Косинус острого угла — положителен; следова-
тельно, всё выражение работы (VII6) будет также положительно.
Работа совершается другим телом над рассматриваемым телом; поэтому
работа движущей силы над
телом является положительной. n р п I z | п
Если сила образует тупой в'~ [’ '[['/ дД —=
угол с перемещением тела, то 1,11 а Д-г
сила уменьшает скорость движу- »—
щегося тела; она является с о- ! /р fjr---------
противлением движению. g_ у *
Косинус тупого угла — отрипате- В
лен; следовательно, выражение р г,
работы будет также отрицатель-
ным. Сопротивление преодоле-
вается самим движущимся телом. В этом случае оно само совер-
шает работу над телами, представляющими сопротивление его движе-
нию. Поэтому работа силы сопротивления является отрица-
тельной.
51. Единицы работы. 1. Чтобы установить единицу работы
в системе CGS,. надо положить F= 1 дн, s=l см. Тогда
Д — 1 дн • 1 см = 1 дн • см = 1 эрг.
В системе CGS единица работы называется эргом1)-
Эрг есть работа силы в 1 дину на пути в 1 сантиметр
по направлению силы.
Такую работу в 1 эрг совершает муравей, поднимая веточку
весом около 1 миллиграмма на высоту в 1 см.
Так как дина имеет наименование , то эрг будет иметь
г-см г-см3
наименование —v-см, или ------г--
сек3 ' сек3 t
10 000 000 эргов составляют единицу работы, называемую
джоулем2). 1 000 джоулей составляют 1 килоджоуль.
На практике, особенно часто в электрических измерениях,
применяются ещё и следующие единицы:
3 600 джоулей называются ватт-час 8).
360 000 „ „ гектоватт-час.
3 600 000 » „ киловатт-час.
J) От греческого слова в р г о н — работа.
2) В честь знаменитого английского физика Джоуля.
’) Относительно выбора названия см. § 54
4 Курс физики, ч. I
97
В технике принимают F= 1 кГ, s— I м, тогда:
А = 1 кГ •1 м = 1 кГм.
За техническую единицу работы, называемую килограм-
мометром (кГм), принимается работа силы в 1 килограмм
на пути в 1 метр по направлению силы.
52. Соотношения между единицами работы различных
систем. Установим соотношение между килограммометром,
с одной стороны, эргом и джоулем — с другой.
\ кГм=\ кГ-I л=1000 Г-100 сл= 1 000-981 днХ
X100 ом = 98 100 000 дн • см = 98 100 000 эргам = 9,81 джоуля.
1 килограммометр равен 9.81 джоуля, или 9,8 джоуля
(с точностью до десятых долей).
1 килоджоуль =102 кГм.
53. М )Щ «ость. Величина работы, выполненной различными
двигателями, недостаточна для сравнительной оценки этих
двигателей, если неизвестно время работы. Например, мы
можем знать, что в каком-либо случае человек совершил
135 ООО «Гл работы, а автомобиль в другом случае сделал
всего 120 000 «Гл. Но отсюда вовсе нельзя заключить, что
человек всегда способен совершать работу, большую, чем
автомобиль. Для оценки быстроты производства работы раз-
личных машин надо рассчитывать их работы за одинаковые
промежутки времени. С этой целью вводится особая величина,
называемая мощностью.
Мощность есть величина, измеряемая работой, совершён-
ной в I секунду.
Если обозначить, как всегда, работу через А, время через t
и ввести для мощности обозначение N, то эти три величины
по определению связаны между собой следующим соотношением:
(VIII)
54. Единицы мощности. Предыдущая формула позволяет
по принятому правилу установить единицы мощности в раз-
личных системах.
В системе CGS: положим 4 = 1 эргу, 1=1 сек., тогда;
__1 эрг । эрг
. 1 сек сек ‘
С8
За единицу мощности в системе CGS принимается такая
мощность, при которой совершается работа в 1 эрг в
1 секунду.
Эта единица очень мала и применяется очень редко.
Положим, что А= 1 килоджоулю и /= 1 сек., тогда:
., 1 кдж , кдж .
N = -=--= 1-----= 1 кет.
1 сек сек
За единицу мощности, называемую киловаттом, прини~
мается такая мощность, при которой совершается работа
в 1 кдж в 1 секунду.
Тысячная доля киловатта называется ватт1).
100 ватт составляют 1 гектоватт.
1000 ватт составляют 1 киловатт.
В технике принимают А = 1 кГм и /=1 сек., тогда:
., 1 кГм , кГм
N=-.-----— 1 —.
1 сек сек
Вместо этой единицы мощности принимается другая, в 75
раз ббльшая и называемая лошадиной силой2).
Лошадиная сила есть такая мощность, при которой
совершается работа в 75 кГм в 1 секунду:
Соотношение между лошадиной силой и ват-
том:
1 л. с. = 75^-^ = 75-9,81 — = 736 вт (с точностью до 1),
сек ’ сек '
или:
1 л. с. = 0,736 кет (около 3/4).
Отсюда 1 кет = Л’f' = 1,36 л. с. (или 1,4, с точностью
0,736 '
до 0,1).
Примеры. 1. Мощность N= 1 вт. Найти работу за
(=1 час.
J) Название в честь усовершеиствователя паровой машины
Уатта (Watt).
2) Надо помнить, что лошадиная сила вовсе не сила, а мощность,
и не мощность средней лошади при длительной работе, а примерно
вдвое больше неё.
99
Л = ЛМ=1 вт-3 600 сек. = 1—-3 600 сек. = 3 600 дж —
сек
= 1 вт-ч.
/ ватт-час есть работа, совершенная в 1 час при мощ-
ности в 1 ватт.
2. Мощность W= 1 вт. Найти работу за t— 10 час.
A —Nt; t= 3 600-10 сек.
А=1 а/п-ЗбООО сек. = 36 000 5^-сек. = 36 000 дж =
сек
36000
=-Зббо"Л'*=10 в,п-4-
Из этих примеров видно, что для вычисления работы
в ватт-часах достаточно мощность в ваттах умножить
на число часов.
3. Мощность равна 8 гвт. Найти работу за время t—5
часам:
Л = ЛМ = 8 гвт-5 час. = 40 гвт-час.
4. Рассчитать мощность водяного потока, если высота
падения, или напор, равна 6 м, а расход воды, т. е. коли-
чество, протекающее в 1 сек., равен 5 м* (объём).
Вес воды Q=Vd, напор Н. Мощность л. с.
л г_5’1000*6_л пл / \
N = —=?— = 400 (д. г.).
/О
55. Энергия. Разбирая случаи работы тела, мы увидим, что
тело, совершающее работу над другим телом, само претерпевает
изменение в своём механическом состоянии. Так, пуля, проби-
вающая доску, совершив работу разрушения и перемещения
волокон дерева, вылетает из доски с меньшей скоростью. При
значительной толщине доски пуля пройдёт только часть доски.
Следовательно, она обладала определённой способностью про-
извести работу, которую и совершала на пути проникновения
в доску.
Величина работы, которую может совершать тело, на-
зывается энергией тела.
Энергия — это новое качество тела, отличное в отдельности
от его массы или от его скорости.
Обнаруживается это качество тела при взаимодействии
с другим телом при совершении над ним работы.
Движущееся тело при взаимодействии с другим переме-
100
щает или самые тела, или их частицы, т. е. совершает работу.
Так, движущаяся масса воздуха — ветер — производит работу,
двигая парусные суда, приводя в движение крылья ветроуста-
новок; ветер большой скорости — ураган — производит разру-
шительные перемещения, вырывая с корнем деревья, снося
крыши, передвигая многотонные камни. Водяной пар, попадая
с большой скоростью на лопатки паровых турбин, приводит
их в движение и вместе с ними весь ротор турбины. Движу-
щаяся в реках или водопадах вода вращает водяные колёса
и турбины, а при большой скорости и при значительной массе
производит и разрушительные действия, снося мосты, строения,
размывая берега. Так же совершает работу всякое движущееся
тело, падающее на другое тело: палка, брошенная рукою чело-
века, пули и снаряды современных дальнобойных орудий.
Хорошо известна громадная работа разрушения, произво-
димая движущимся поездом при столкновении с препятствием.
Чугунное тело („баба“ копра), падая на сваю, паровой молот,
ударяющий по куску металла, совершают работу.
Во всех приведённых примерах телй совершают работу над
другими телами вследствие своего движения.
Поэтому энергия движущихся тел называется кинетиче-
ской, от греческого слова к и н е о — двигаю.
С увеличением скорости движения тела увеличивается и его
кинетическая энергия. Но величина энергии зависит и от
массы движущегося тела. Одна и та же винтовочная пуля
производит различные действия на тело в начале полёта, когда
она летит с большой скоростью, и к концу полёта, когда
скорость уменьшается. Два молота различной массы, опу-
скаемые с одной и той же скоростью, совершают различные
работы.
Таким образом, возникает задача — выразить кинетическую
энергию тела через его массу и скорость.
56. Формула кинетической энергии. Рассмотрим случай,
когда на тело действует постоянная сила и тело может дви-
гаться по направлению силы, не встречая сопротивления. Тогда
действие силы выразится исключительно в сообщении телу
ускорения, и движение будет равномерно-ускоренным. Подсчи-
таем работу движущей силы на каком-либо участке пути, в
начале которого тело находилось в покое, а в конце, через t
секунд двигалось со скоростью v. v
На этом участке: ускорение а = -*-> средняя скорость
V м о V J.
v =—•, путь, пройденный телом, s = -^’t.
''г 21 2
101
Если масса тела т, то сила F=ma = m-~ и работа
. „ v v , mv2 г, то2
A = rs = m-^-‘-^t=-у-; Fs — -у-.
Таким
образом, работа силы по разгону тела от состояния
„ mv2 „
скорости v выражается величиной-^-. Вираже-
принимается за меру кинетической энер-
покоя до
то2
ние -2-
г и и №<&), так что

(IX)
Если тело в то мгновенье, когда начала действовать сила,
находилось в покое, то:
Е- MU2 /V \
= (Ха)
Отсюда видно, что кинетическая энергия тела равна той
работе, которую сила совершила над телом, увеличивая его
скорость от нуля до конечной величины.
Рассмотрим движение тела, которое на своём пути встречает
сопротивление.
Если движущая сила равна F, а сопротивление равно то
явление можно рассматривать так, как будто движущей силой
является только сила, равная разности F—Fx‘, но эта сила/7—Fv
движет тело уже без сопротивления. Тогда к ней можно при-
менить предыдущее уравнение, именно:
/о ox mv2
(F—FJs = —,
откуда, раскрывая скобки и перенося члены, получим:
Fs — Fxs
mv2
~2~'
(Хб)
Fs попрежнему представляет полную работу движущей силы;
FjS есть работа по преодолению сопротивления F} на пути s.
Поэтому написанное равенство выражает следующее соотноше-
ние:
Работа движущей силы на каком-либо пути равна
работе по преодолению сопротивления на этом пути
плюс кинетическая энергия, полученная телом.
102
57. Вывод соотношения между работой и кинетической
энергией для случая, когда тело движется с некоторой на-
чальной скоростью. Если в начале какого-либо участка пути
тело имеет скорость vh а в конце его по прошествии вре-
мени t скорость г>2, то ускорение на этом участке будет равно
а — и средняя скорость ve9=V1~^-1-; путь, прейдён-
ный телом за время t со средней скоростью, будет равен:
f
s— 2 I.
Действующая на тело с массой т сила Р=та = т-2—~^;
работа:
. _ «л-v, . «’(*’2-v?) mv2 mvl
Л — Fs—m —1 • L • t = —1—о---= -д-----•
Если движущая сила равна F, а сопротивление движению
равно Fb то явление можно рассматривать так, как будто движу-
щей силой оказывается только сила, равная разности F—Ft;
но эта сила F—Ft движет тело уже без сопротивления. Тогда
к ней можно применить только что выведенное уравнение,
именно:
Раскрывая скобки и перенося члены, получим:
Fs = Fts
| mvij mvi
1 "2 Г’
(Хв)
Fs попрежнему представляет полную работу движущей силы;
Fts есть работа по преодолению сопротивления на пути s. По-
этому полученное равенство выражает следующее соотношение:
Работа движущей силы на каком-нибудь пути равна
работе по преодолению сопротивления на этом пути
плюс приращение кинетической энергии тела.
Последняя формула охватывает ряд частных случаев, кото-
рые из неё могут быть выведены.
тоЗ те? > ,
1. Если Ft = F, то 0 = -к----©2 = ®1 и =
Когда движущая сила равна сопротивлению, то тело дви-
жется с постоянной скоростью, и кинетическая энергия тела
не меняется. В этом случае равнодействующая движущей силы
103
и силы сопротивления равна нулю; это значит, что тело движется
по инерции.
Примером может служить движение поезда на прямолиней-
ном горизонтальном участке пути при равномерной работе
паровоза. Сила тяги паровоза по достижении известной ско-
рости становится равной силам сопротивления (трение, сопро-
тивление воздуха). Поезд движется равномерно, по инерции,
его кинетическая энергия остаётся без изменений.
2. Если F, то разность F—Ft отрицательна; тогда
2 2
лик пти\
должна быть отрицательной и разность -------------, т. е. v2
становится меньше •v1.
Если тело при своём движении встречает сопротивление,
которое становится больше движущей силы (например, при пере-
ходе поезда на подъём), то тело начинает двигаться замедленно,
и кинетическая энергия его убывает.
Убыль кинетической энергии тела идёт на работу преодо-
ления избытка сопротивления над движущей силой и продол-
жается до тех пор, пока силы сопротивления не станут снова
равными движущей. силе. При той же силе тяги паровоза поезд
идёт на подъём медленнее, чем он шёл по горизонтали.
3. Если сила F— 0, т. е. тело, получив скорость, продолжает
двигаться дальше без действия движущей силы, как, например,
всякое брошенное тело, то 0 = F1s-4—---------— откуда:
Л Z
2 2
tnv, тщ
2 2
mv^ mv{
Скорость v2<^vlf следовательно, работа по
преодолению сопротивления на некотором пути равна убыли
кинетической энергии тела на этом пути.
Если прекратить впуск пара в машину паровоза, то поезд
некоторое время будет катиться, преодолевая сопротивления
своему движению, за счёт имеющегося запаса кинетической
энергии, пока совсем не остановится.
4. Если в последнем случае тело остановилось, т. е. f2 = 0,
то FyS=—; отсюда:
Кинетическая энергия движущегося тела равна ра-
боте по преодолению сопротивления, которую может
совершить движущееся тело до своей остановка.
Применим формулы к простейшим расчётам.
101
Примеры. 1. Пуля весом 20 Г вылетает из дула со ско-
ростью в 600 . Найти её кинетическую энергию. Вычисление
проведём в единицах системы COS.
Если вес пули Р=20 Г, то её масса т = 20 г; скорость
0=60 000 — ,
, 20 г-60 0002-—г
= '^- =----------х—— =36 000 000 000^4=36 • 109эргов.
2 2 сек2 н
WW = 36-102 джоулям; !Г<*) = ^^ = 367 кГм.
У,о1
2. Пуля весом в 20 Г летит со скоростью в 400 , попа-
дает в бревно толщиной в 20 см и вылетает из него со ско-
ростью 100^. Найти сопротивление бревна.
Решение в единицах CGS\
m=2Q г; 0, = 40 000 — ; 02 = ЮООО —;
1 сек 2 сек
5 = 20 см; F=0;
mv2 mvl т 2 2.
Fis=-r—г:
р __ 2 гл2 1 ns_1 .1 Л8\ см2 _20 • 15 10s г-см2 _
1 2-20 см ' 'сек:2 2-20 см-сек2
= 7,5-108^ = 75.10’ дн;
сек2
„ _75-107‘ _75-104 „
981 981 КГ 7®4 кГ-
3. Рассчитать мощность воздушного потока, если сечение
его или площадь, ометаемая крыльями ветряного двигателя,
равна 10 л#2, скорость ветра равна 10-^-.
сек
Обозначим площадь сечения воздушного потока через 5,
скорость через v, удельный вес воздуха через d.
Объём воздушного потока, проходящего в секунду, равен Sv.
Вес » » » » п „ Svd.
Масса V п п п Svd ” ~g~’
105
. то1
Кинетическая энергия, вычисленная по формуле -s-:
Л
П/Qt)—
2g •
Мощность в лошадиных силах N=j£==-.
2-75g
к!' м
Так как </=1,3—.; п==9,8—», то множитель -
’ м9 ° ' сек? ’
может быть вычислен раз навсегда;
0,0009. Тогда мощность воздушного
жена формулой:
N= 0,0009
Упражнение 9.
1.3
2-75-9,8
он равен приблизительно
потока может быть выра-
л. с.
1. Вычислить работу силы в 100 кГ на пути в 10 м.
2. Найти усилие, прилагаемое резцом строгального станка при сня-
тии стружки, если он совершает работу в 180 кГм при перемещении
на 12 см. Отв. 1500 кГ
3. Чему равна движущая сила мотора автомобиля, если он при
мощности в 24 л. с. прошел 36 км в 1 час? Отв. 180 к Г.
4. Какова мощность подъемника, если он поднимает I 000 кГ на
высоту 27 м в 3 минуты? Отв. 2 л. с.
5. Сила, действуя на покоящееся тело массой в 500 кг, продвигает
его равномерно-ускоренным движением на 64 м за 4 сек. Найти работу
силы. Отв. 256 000 джоулей.
6. Пуля пулемета имеет массу 10 г; длина ствола 80 см; скорость
м
вылета пули 830 —. Найти движущую силу и работу ее, считая
движение равномерно-ускоренным.
Отв. 484-10® дн; 3 872-10’ эргов.
7. Найти кинетическую энергию тела с массой в 20 г, летящего
со скоростью в 600^ . Отв. 25-10s эргов.
8. Найти кинетическую энергию тела весом в 19,6 кГ, движуще-
гося со скоростью 20 ~. Отв. 400 кГм.
г сек
9. Вычислить в технических единицах кинетическую энергию сна-
ряда весом 196 кГ, летящего со скоростью 1 (скорость снаряда
морского орудия). Отв. 1(РкГм.
10. Какую работу надо затратить, чтобы поднять равномерно груз
в 96 кГ на высоту 5 ж?
11. Какую работу совершает сила тяжести при падении тела весом
в 1 000 к Г с высоты 15 ж?
12. Какую работу совершит лошадь за 4 часа при скорости 6 км
в 1 час и при усилии в 45 кГ?
13. Паровая машина поднимает молот весом 400 кГ на высоту
в 90 см. Сколько раз опа поднимет молот при совершении работы
в 54 000 кГм?
106
14. В минуту падает 18 м3 воды. С какой высоты она падает, если
мощность её равна 30 л. c.f Отв. 7,5 м.
15. Плуг, вспахивающий землю, тянется трактором со скоростью
в 1 2 —. Определить сопротивление почвы, преодолеваемое плугом,
если мощность, им потребляемая, равна 24 л. с. Отв. 1500 к Г.
16. Дирижабль движется со скоростью 15 Определить со-
противление воздуха, если мощность, идущая на его преодоление,
равна 168 л. с. Отв. 840 кГ.
17. Баба копра весом 375 кГ поднимается 12 раз в минуту на вы-
соту 1,6 м. Сколько рабочих надо было бы поставить на эту работу,
если мощность каждого 0,1 л. c.f Отв. 16 чел.
18. Человек весом в 70 кГ взбегает в гору с постоянной скоростью
3£. Подъём дороги равен 20 м на каждые 100 м пути. Определить
мощность бегущего человека. Отв. 0,56 л. с.
19. Молоток массой в 800 г, двигаясь со скоростью Ь~к> удз-
ряет по гвоздю и вгоняет его в доску на 6 мм. Найти среднюю силу
взаимодействия между молотком и гвоздём за время их соприкосно-
вения. Отв. 61,2 кГ.
20. Снаряд весом 19,6 к Г летит со скоростью 700 — и, попадая
в земляную насыпь, проникает в неё на глубину в 1,6 м. Найти со-
противление почвы. Отв. == 306 200 кГ.
58. Потенциальная энергия. Совершать работу над дру-
гими телами может не только движущееся тело. Всякое тело,
поднятое над землёй, может совершить работу, как только
оно получит возможность падать на землю. Поэтому поднятое
над землёй тело тоже обладает энергией. Но его энергия зави-
сит не от движения, а от его положения над землёй.
За счёт этой энергии положения тело может совершать
работу только при падении. Пока оно, приподнятое над зем-
лёй, находится в покое, оно обладает только возможностью
производить работу, но самой работы не производит. Энергия
поднятого над землёй тела получила название потенциаль-
ной1) энергии в отличие от кинетической энергии движущегося
тела. Поднятое над землёй тело потому получает некоторый
запас потенциальной энергии, что при его подъёме вверх какими-
то другими телами (например, человеком, ветром и т. п.) совер-
шена работа поднятия против силы тяжести.
Так, поднятая кверху баба копра имеет потенциальную энер-
гию в той мере, в какой затрачена работа на её подъём. Вода
!) Название производится от латинского слова потенция, что
значит возможность.
107
перед запрудой, горное озеро, облако, нависшая скала, вообще
все тела, которые могут под действием силы тяжести упасть
на низший уровень, — все они имеют потенциальную энергию.
Известно, что запруженная вода, падая с высоты, производит
громадную работу (гидроэлектростанции).
Мерой потенциальной энергии тела, поднятого над землёй
на высоту Н, является та работа, которую надо затратить,
чтобы поднять тело с земли на эту высоту. Если вес тела
равен Р, то для равномерного подъёма его на пути Н надо
непрерывно прилагать вертикально вверх силу Р, которая урав-
новесила бы вес.
Тогда работа подъёма А = РН. Эта работа измеряет потен-
циальную энергию Отсюда
WW = pH или
W(p) = mgH.
(XI)
Выводы формул кинетической и потенциальной энергии из
формулы работы показывают, что энергия измеряется в тех
же единицах, которые установлены для работы.
Но потенциальная энергия возникает не только при удале-
нии тела от поверхности земли. Представим себе, что падаю-
щее с высоты тело является резиновым мячом или шаром из
слоновой кости. При соприкосновении с подставкой скорость
тела обращается в нуль, и его кинетическая энергия также
обращается в нуль; мяч или шар, как мы знаем, через мгнове-
ние подпрыгнет вверх и снова приобретёт кинетическую энер-
гию. В момент остановки кинетическая энергия переходит
в потенциальную энергию. Что же произошло с телами в момент
соприкосновения с подставкой? Частицы резины, воздуха, сло-
новой кости переместились, сблизившись между собой, и тела
изменили свою форму. При сближении молекул взаимодействие
между ними начинает проявляться в форме отталкивания одной
молекулы от другой (в одних телах больше, в других меньше).
В телах возникают силы, припятствующие изменению тела и
способные по прекращении внешнего воздействия восстановить
нарушенную форму или объём, называемые силами упругости.
Кинетическая энергия упавшего тела тратится на преодоление
силы упругости и превращается, вследствие перемещения его
частиц, в потенциальную энергию упругой деформации тела ’).
!) В идеально упругих телах; в реальных же телах часть кинетиче-
ской энергии превращается в теплоту.
108
счёт своей
С
Л
При прекращении внешнего воздействия отталкивательные
силы между молекулами раздвигают молекулы, тело восстана-
вливает свою форму и отталкивается от подставки; потенциальная
энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую.
В воздушных тормозах трамвайных и железнодорожных
поездов, в воздушной почте, в аппаратах для выбрасывания
торпед воздух получает потенциальную энергию вследствие его
'сжатия, т. е. перемещения его молекул.
Водяной пар, находящийся в котле под давлением в не-
сколько атмосфер, начинает совершать работу за
потенциальной энергии, когда его выпускают
под поршень паровой машины. Такая же потен-
циальная энергия имеется в твёрдых сжатых или
растянутых упругих телах, например: в часовых
пружинах, пружинных рессорах, буферах, растя-
нутой резине и т. п.
Итак, потенциальной энергией называется
энергия, зависящая от относительного положе-
ния взаимодействующих тел или частиц тела.
Надо помнить, что потенциальной энергией
собственно обладает всегда совокупность двух,
по крайней мере, тел, например, поднятого камня
и земли, только условно можно говорить о потен-
циальной энергии поднятого камня относи-
тельно земли.
59. Закон сохранения энергии. Мы видели,
что работа силы численно равна изменению кине-
тической или потенциальной энергии тела. Есте-
ственно поставить вопрос о соотношении между тем
и другим видами энергии в механических явлениях.
Чтобы поднять тело с массой т равномерно
на высоту Н (рис. 55), надо приложить силу
p=mg и затратить работу по преодолению его веса A = mgH.
Тогда для верхней точки С энергия потенциальная Wc^ — mgH;
кинетическая Wrc<*) = 0; полная энергия равна сумме потен-
циальной и кинетической, т. е. Wc=mgH. Падая свободным
падением из точки С в точку А, тело в точке А будет иметь
скорость v2 = 2gH и кинетическую энергию:
Потенциальная же энергия тела, касающегося земли, равна 0;
полная энергия опять-таки равна WA=mgH.
н

Рис. 55.
109
Для любой точки пути падения, например, для точки В на
высоте Н—h от земли, потенциальная энергия равна
Wty=mg(H—h),
кинетическая — равна — ; так как тело прошло от
точки С до точки В путь Л и приобрело скорость v2 — 2gh,
то -- m = nigh. Полная энергия равна: WB=mgh-\-
-\-mg(H—h) = mgh-\-mgH— mgh = mgH.
Отсюда вывод: при полёте тела вертикально вверх и при
свободном падении тела кинетическая энергия переходит
в потенциальную и обратно
Рис. 56. Преобразование потен-
циальной энергии в кинетиче-
скую и обратно при колебании
упругой пружины.
в равных количествах, так что
общее количество энергии тела
остаётся неизменным.
Если бы удар о землю упав-
шего на неё с некоторой высоты
тела был идеально упругим, то
тело подпрыгнуло бы и его ки-
нетическая энергия стала бы об-
ратно переходить в потенциаль-
ную; при отсутствии сопротивле-
ния тело поднялось бы на ту же
высоту, а затем всё явление начало
бы повторяться сначала.
Так, энергия вертикально
падающего и подпрыгивающего
идеально, упругого мяча перехо-
дила бы из кинетической формы
в потенциальную и обратно.
На самом деле неполная упру-
гость тела и сопротивление воз-
духа являются причинами
того, что движение тела посте-
пенно замедляется и, наконец, тело останавливается.
Переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно
можно наблюдать на следующем опыте. Груз, прикреплённый
к спиральной пружине, займёт после деформации пружины не-
которое положение, отмеченное на рисунке 56 номером 1.
Затратив работу на подъём груза в положении 2, можно
сообщить ему запас добавочной потенциальной энергии. Выпу-
щенный из рук груз будет падать, и в положении 3 весь запас
потенциальной энергии переходит в кинетическую энергию.
Вследствие инерции груз не останавливается в положении 3 и
ПО
движется дальше к положению 4, затрачивая свою кинетиче-
скую энергию на деформацию пружины и, следовательно, на
образование потенциальной энергии.
В положении 4 кинетическая энергия груза исчерпана, а за-
пас потенциальной энергии достиг наибольшего значения. За
счёт этого запаса весь ход явления повторяется.
Подобным же примером взаимных переходов энергии может
служить качание маятника.
При подъёме маятника из положения равновесия А в точку В
на высоту h (рис. 57) ему сообщается запас потенциальной
энергии mgh', кинетическая же энергия в точке В, где маятник
находится в покое, равна 0;
следовательно, полная энер-
гия равна mgh. При пере-
ходе маятника в колебание
по \jBA его скорость уве-
личивается; следовательно,
растёт кинетическая энер-
гия, а потенциальная энер-
гия убывает. В точке А весь
запас потенциальной энергии
обращается в нуль, зато ки-
нетическая энергия дости-
Рис. 57. Преобразование энергии при
колебании маятника.
гает того же значения mgh
(скорость v2A=2gh). Во
вторую половину колебания
кинетическая энергия тра-
тится на возрастание потенциальной энергии и поднимает маят-
ник влево на ту же высоту h, на какую он был поднят справа.
Затем явление повторяется в том же порядке. Колебания про-
должались бы бесконечно, если бы энергия не тратилась на
преодоление вредного сопротивления воздуха и трения в точке
опоры. Тогда колебание называлось бы незатухающим.
В действительности, вследствие затраты энергии на преодоле-
ние сопротивлений, размахи постепенно уменьшаются, дви-
жение прекращается; такое колебание называется затухаю-
щим.
Если вставить где-либо по вертикали ОА гвозди, например,
в точке 1 или 2, то колеблющийся от точки В маятник пойдёт
по или по \jAC2, поднимаясь каждый раз на одну и ту
же высоту h над положением равновесия; накопленная ко вре-
мени прохождения через точку А кинетическая энергия может
перейти только в такую же по величине потенциальную
111
энергию, и, следовательно, во всех случаях маятник поднимается
на одну и ту же высоту.
Планеты, как показывают наблюдения, движутся вокруг
Солнца по эллипсам и имеют в ближайших к Солнцу точках
наибольшую скорость, в отдалённых — наименьшую (рис. 180).
Накопленная ко времени прохождения через точку Р кинетиче-
ская энергия убывает на пути РА (верхняя часть эллипса),
зато возрастает потенциальная энергия вследствие увеличения
расстояния от Солнца. На пути АР (нижняя часть) потенциаль-
ная энергия убывает, превращаясь в кинетическую: в точке
Р наибольшая энергия кинетическая, наименьшая — потенциаль-
ная, в точке А — наоборот; движение планет в смысле пре-
вращения энергии подобно маятнику.
Из изучения хода явлений природы был выведен общий
закон превращения и сохранения энергии:
Во всех явлениях природы энергия не создаётся и
не исчезает, а только переходит из одного вида в дру-
гой или от одного тела к другому в равных количествах.
Переходами одного вида энергии в другой постоянно поль-
зуются в технике. Рабочие медленно поднимают чугунную бабу
копра на высоту, превращая свою энергию в потенциальную
энергию поднятой бабы; затем эта потенциальная энергия пре-
вращается в кинетическую энергию, а эта последняя тратится
на преодоление сопротивления почвы и на вколачивание сваи
в землю. В конечном счёте вбивание сваи происходит за счёт
энергии рабочих с тем отличием, что при вбивании при помощи
копра в кратчайший срок затрачивается медленно накапли-
ваемая энергия и получается такая преодолевающая сопротивле-
ние сила, какой не могли бы дать рабочие, прилагая свою
мускульную силу непосредственно к свае.
В обратном направлении идёт трата энергии при заводе
часов. Человек, заводящий часовой механизм, в короткое время
производит работу на сообщение потенциальной энергий часовой
пружине. Эта потенциальная энергия, затрачиваемая на преодо-
ление трения и сообщение кинетической энергии механизму,
расходуется в течение суток или недели, смотря по его устрой-
ству. Подобным же образом потенциальная энергия, получен-
ная от работы сжатия воздуха в воздушном тормозе, может
расходоваться на работу тормоза в течение нескольких часов.
Закон сохранения механической энергии представляет собой
частный случай общего закона сохранения и превращения энер-
гии, какие бы преобразования энергии ни происходили при тех
или других явлениях природы.
112
С переходами механической энергии в другие формы мы
будем знакомиться в дальнейших отделах курса. Приведённый
выше зак.ж получил самое широкое значение как закон пре-
вращения и сохранении энергии во всех явлениях природы.
Впервые в истории науки закон сохранения энергии выска-
зал гениальный русский учёный М. В. Ломоносов, опере-
дивший зарубежных учёных почти на 100 лет.
Упражнение 10.
1. Сила в 1 кГ действует па протяжении Юж на тело. Какова кине-
тическая энергия тела в конце пути, если нет сопротивления?
Отв. 981 • 10# эргов.
2. Вычислить в технических единицах кинетическую энергию
поезда, идущего со скоростью в 36и состоящего из паровоза
весом в 50 000 кГ, тендера в 25 000 «Г, 25 вагонов по 16600 кГ каждый.
Отв. 25-10° к Гм.
3. Пуля массой в 10 г вылетает из ружья со скоростью в 600^
и, попадая в доску, углубляется в неё на глубину в 20 см. Найти силу
сопротивления доски. Отв. 9-108 дл.
4. На какую глубину проникает пуля массой в 10 г, если её ско-
м
рость 500 —, а сопротивление материала 800 кГ. Отв. = 16 см.
5. Пуля массой в 10 г подлетает к доске толщиной в 4 см со
и. \(
скоростью в 600 — и вылетает со скоростью 400—. Найти среднюю
сек г сек
силу сопротивления доски. Отв. 250-107 дн.
6. Разберите превращения энергии при стрельбе из лука.
7. Разберите превращения энергии при стрельбе нз воздушного
пистолета.
8. Каково назначение рессор в экипажах и буферов в вагонах?
9. Поезд (задача 2) после прекращения впуска пара проходит до
остановки без тормозов 1,5 км. Какова сила трения колёс о рельсы?
Отв. 1666 кГ.
10. Какова сила тормозов в поезде предыдущей задачи, если он
остановился на протяжении 100 м после прекращения впуска пара?
Отв. =23 300 кГ.
11. Определить потенциальную энергию ежесекундно падающей
воды у Днепровской плотины относительно нижнего уровня, если рас-
К'*
ход воды равен 2000 , высота падения равна 37 м.
12. Вычислить кинетическую и потенциальную энергию тела с мас-
сой в 20 г, брошенного вверх со скоростью 30 , по прошествии
3 сек. после бросания (^=980). Отв. UW = 36 000 эргов.
13. Тело брошено вверх со скоростью 49 . На какой высоте
его кинетическая энергия будет равна потенциальной? Отв. 61 м.
113
14. Из подвешенного ружья с массой в 5 кг вылетает пуля в 10 г
со скоростью в 700 . Сравните величины энергии вылетающей пули
и ружья при отдаче.
15. Вычислить энергию винтовки при отдаче, если вес винтовки
Р — 4,456 кГ, вес пули Рг = 9,6 Г, вес заряда Рг = 5,2 Г, начальная
скорость пули vo = 86O^, ускорение £=9,8 и если с пулей
движется половина пороховых газов.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Чем измеряется работа, когда перемещение тела происходит по
направлению силы?
2. Каковы единицы работы? Каковы соотношения между эргом,
джоулем и килограммометром?
3. Как вычисляется работа, когда перемещение тела составляет
угол с направлением силы?
4. Когда сила, действующая на тело, не производит работы при
перемещении тела?
5. На преодоление какой силы тратится работа при горизонталь-
ном перемещении тела?
6. Что такое мощность?
7. Каковы единицы мощности в разных системах и их соотноше-
ния?
8. Что называется энергией?
9. Что такое энергия кинетическая и потенциальная?
10. Какой формулой выражается потенциальная энергия поднятого
над землёй тела?
11. Какой формулой выражается кинетическая энергия?
12. В каких единицах измеряется энергия?
13. Какое существует соотношение между произведённой над телом
работой и полученной телом кинетической энергией?
14. Чему равна работа по преодолению сопротивления, которую
может совершить движущееся тело?
15. В чём состоит закон сохранения энергии?
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман, Занимательная физика, ч. I, стр. 63—69.
II. СТАТИКА.
1. Сложение и разложение сил.
60. Три признака силы. Действие силы на тело обнару-
живается в том, что тело получает ускорение или испытывает
деформацию, т. е. изменение формы или объёма. Деформация
тоже связана с ускорением, только не всего тела, а отдель-
ных частиц его.
Как установлено выше, ускорение — вектор; поэтому и
сила, производящая ускорение, также имеет направление, совпа-
дающее с направлением ускорения. Значит, сила есть в е к-
т о р.
Таким образом, одним признаком силы является её напра-
вление, вторым признаком — её числовое значение
в тех или других единицах.
Кроме этих двух признаков, характеризующих всякий век-
тор, для силы надо указать ещё третий признак. При ударе
одно тело соприкасается с другим; тогда говорят, что сила
приложена к какой-то точке этого второго тела. Паровоз
движет вагон при помощи кольца цепи, наложенного на крюк
вагона: сила тяги паровоза приложена к крюку вагона. Вообще
для каждой силы, действующей на тело, условно отмечают её
точку приложения.
Точка приложения силы к телу и является третьим
признаком силы.
Когда изображают силу графически в виде вектора, то
отрезок, изображающий вектор-силу, ведут от точки приложе-
ния силы по направлению силы.
Силу можно измерять или по ускорению, сообщаемому ею
данному телу, или по производимой ею деформации. Обыкно-
венно измерение сил производят по деформации тела. В каче-
стве деформируемого тела берётся пружина или в виде спи-
рали (рис. 58), или в другом виде (рис. 58а). Деформируемая
пружина с градуированной шкалой называется динамомет-
ром или силомером.
115
60а. Уравновешивающиеся силы. До сих пор наше вни-
мание уделялось таким случаям, когда взаимодействие тел при-
Рис. 58.
водило к изменению состояния движения,
другими словами, когда сила сообщала
телу ускорение. Но возможны и такие
случаи, когда тело под действием сил
движется равномерно и прямолинейно:
равномерно поднимаемый по вертикали
груз; поезд, равномерно движущийся на
прямолинейном участке.
Примером такого же случая движения
может служить падение мелких тел (пы-
линка, капелька тумана) или тел с очень
большой поверхностью (парашют) в воз-
духе. По мере увеличения скорости паде-
ния сила сопротивления воздуха всё воз-
растает и в конце концов становится
равной весу тела. Движение становится
равномерным с той скоростью, которая
была развита до наступления равенства
веса тела и сопротивления воздуха. Для
очень мелких тел и, наоборот, тел с отно-
сительно большой поверхностью скорость
не успевает стать очень большой, такие
тела движутся в воздухе сравнительно медленно. На этом
основано применение парашюта.
Поезд может двигаться равномерно, хотя
менно действует несколько сил: сила тяги
паровоза, сила трения колёс о рельсы, со-
противление воздуха и т. п.
Всякий раз, когда тело при действии на
него нескольких сил движется равномерно
и прямолинейно или находится в состоянии
покоя, силы, на него действующие, взаим-
но уравновешиваются.
Таким образом, взаимно уравновешиваю-
щимися силами называются такие силы,
которые, действуя вместе, не изменяют ско-
рости тела, на которое они действуют.
В частном случае взаимно уравнове-
шивающимися силами будут две силы,
действующие на одну точку, равные по
величине, противоположные по направлению.
на него одновре-
ШИШ
Рис. 58а. Динамо-
метр.
116
Рис. 596. Пе-
ренос точки
приложения
силы из од-
ной точки
тела на дру-
гую.
Та часть механики, которая разбирает условия равновесия
сил в различных случаях, называется статикой.
В статике отвлекаются от действительных свойств твёр-
дого тела и пользуются представлением об идеально твёрдом
теле, т. е. таком, которое
совершенно не изменяется a f r, f
о ни по форме, ни по объёму п—, ,---- &
под действием на него сил.
При действии на идеально рис 5да<
твёрдое тело взаимно урав-
новешиваться будут две
равные и противоположно направленные силы, не только при-
ложенные в одной точке, но и в разных точках, если силы
направлены по одной прямой.
61. Перенос точки приложения силы в твёрдом теле.
Точка приложения силы может быть перенесена в любую точку
тела по направлению силы. В этом можно убедиться следующим
рассуждением. Пусть на твёрдое тело (рис. 59а) действует сила
F, приложенная к телу в точке А. На продолжении направления
силы возьмём в теле какую-либо другую точку В
и приложим в ней по направлению АВ две про-
тивоположные силы У7] и F2, равные каждая силе
F. Действия вновь приложенных сил взаимно уни-
чтожаются и не могут изменить действия на тело
силы F.
Теперь на тело действуют три силы и произ-
водят на него такое же действие, как и сила F.
Из этих трёх сил две противоположно направлен-
ные силы F и Flr приложенные в точках А и В,
вследствие неизменяемости твёрдого тела, не про-
изведут на тело никакого действия, и остаётся
действующая сила F2, только приложенная теперь
в точке В.
Правило переноса легко проверить на опыте,
если перекинуть через блок нить (рис. 596),
привесить к обоим концам по равному грузу
и один из этих грузов переносить в разные
точки нити: независимо от положения этого по-
следнего груза равновесие сил неизменно сохра-
няется.
62. Равнодействующая сила. Если на тело действует не-
сколько сил, то в этом случае бывает возможно заменить их
одной.
117
Одна сила, которая оказывает на тело такое же дей-
ствие, что и несколько приложенных к нему сил, называется
их равнодействующей. Силы, заменяемые равнодействующей,
R называются составляю-
-------- - _ ~ щими.
* v х Нахождение равно-
___Г" *” действующей силы назы-
--2--- '' вается сложением сил.
(63. Сложение сил,
Рис. 60. Равнодействующая двух сил, направленных по одной
направленных по одной прямой. прямой в одну сторону.
Несколько мальчиков тя-
нут сани за одну верёвку; можно спросить, какую одну силу
надо приложить к той же верёвке, чтобы вызвать такое же дви-
жение саней. Возьмём другой пример: к динамометру подвешены
друг за другом три гири: в 1 кГ, 2 кГ, 3 кГ. Спрашивается,
какую одну гирю надо подвесить вместо прежних трёх, чтобы
вызвать то же растяжение пружины динамо-
метра? ’
Ответы на поставленные выше вопросы
легко найти из жизненного опыта и, сле-
довательно, нетрудно найти равнодейст-
вующую данных сил.
Из наблюдений во всех случаях можно
заключить, что:
Равнодействующая всех сил, дей-
ствующих на одну^точку тела по
одной прямой в одну сторону, равна
сумме составляющих сил, приложена
к той же точке и направлена по
той же прямой в ту же стерону.
Если обозначить одну силу через Fj,
другую через F2, их равнодействующую
через R (рис. 60), то:
Рис. 61. Сложение
двух сил, напра-
вленных в противо-
положные стороны.

(ХПа)
64. Сложение сил, направленных по
одной прямой в противоположные сторо-
ны. Положим гирю на столовые пружинные
весы (динамометр, работающий на сжатие). Весы покажут вес
гири, направленный вертикально вниз. Затем прицепим к гире
динамометр и потянем за него вертикально вверх. Пружинные
118
весы покажут теперь силу, равную разности веса гири и натя-
жения гири динамометром. Показание весов даёт равнодействую-
щую двух сил, приложенных к гире и направленных по одной
прямой в прямо противоположные стороны (рис. 61).
Как бы ни натягивать верхний динамометр (конечно, в пре-
делах веса гири), нижний будет показывать разность веса и
натяжения.
Равнодействующую двух сил, направленных по одной пря-
мой в противоположные стороны, можно найти путём следую-
щего рассуждения. Пусть (рис. 62) на одну точку А тела
действует в одну сторону сила F, и в противоположную сто-
рону сила F2. Заменим ббльшую силу Fx двумя составляющими,
из которых одну возьмём равной силе F2, а другую равной
остатку F—Fx— F2. По правилу предыдущего параграфа, обе
составляющие силы F2 и F будут направлены по той же пря-
мой и в ту же сторону,
что и сила Fv После такой
замены на точку А тела
будут действовать уже три
силы: сила F2 в одну сто-
рону< и силы F2 и F\—F2
в противоположную. Но по
правилу § 60 действия сил
F2 и Рг как сил равных,
противоположно направленных
Рис. 62. Равиодействз'ющая двух сил,
направленных по "одной прямой
в противоположные стороны.
и приложенных в одной точке,
взаимно уничтожаются, и действие всех данных сил сводится
к действию одной силы F—Fx— F2, которая и является равно-
действующей данных сил R.
Итак, равнодействующая двух сил, действующих на
одну точку тела по одной прямой в противополож-
ные стороны, равна их разности, приложена в той
же точке и направлена по той же прямой в сторону
большей силы.
r=fx-f2.
(ХПб)
65. Сложение двух сил, действующих на тело под углом
(параллелограм сил). Рассмотрим случай, когда на одно и то
же тело действуют силы под углом друг к другу.
На судно одновременно действуют: сила тяги мотора, сила
течения воды, сила давления ветра. На трактор, поднимающийся
в гору, действуют: его вес вертикально вниз, сила тяги вдоль
склона, сила трения противоположно тяге и др.
119.
На крышу здания, кроме её веса, могут действовать:
вес лежащего на ней снега, сила давления ветра,
направлен-
Рис. 63. Действие трёх
сил на одну точку тела.
ного под каким-либо углом к крыше,
и т. д.
Таким образом, возникает задача
сложения сил, действующих на тело
под углом.
Отыскание её решения начнём со
случая двух сил, действующих на одну
точку тела.
Задача опытного исследования со-
стоит в том, чтобы произвести на какое-
либо тело действие двумя силами под
углом, затем заменить эти две силы од-
ной такой, чтобы она производила то
же действие, и найти соотношение меж-
ду величинами и направлениями состав-
ляющих сил и их равнодействующей.
Возьмём три куска бечевы, свяжем
одни их концы в общий узел, а петли
свободных других концов нитей накинем
на крючки трёх динамометров; самые динамометры укрепим
гвоздями на доске в произвольно натянутом положении
(рис. 63). Отметим на бумаге, прикреплённой к доске, поло-
жение узла, направления трёх нитей и величину трёх сил
растяжения пружин динамометров, например,
F1 = 3, F2 = 2 и F3 = 4.
Затем отцепим какие-либо два динамометра,
например, первый и второй, накинем петли
освободившихся концов нитей на один Дина-
мометр (рис. 63) и натянем его так, чтобы
третий, не снятый динамометр, его нить и узел
заняли прежнее положение. Отметим направле-
ние нити и показание R = 4 вновь прицеплен-
ного динамометра. Тогда сила растяжения его
пружины будет производить на узел нитей
такое же действие, как и сила растяжения двух
снятых динамометров. Поэтому мы можем счи-
тать силу R за равнодействующую сил Fj и F2.
Чтобы найти соотношение между направле-
А
Рис. 64. Парал-
лелограм сил.
ниями и величинами составляющих и равнодействующей, снимем
с доски динамометры, проведём на бумаге через узел линии по
направлению составляющих и равнодействующей; затем, выбрав
120
масштаб для изображения сил, отложим на этих линиях отрезки,
изображающие величины соответствующих сил. Соединив концы
составляющих сил с концом равнодействующей, получим фи-
гуру, изображённую на рисунке 64.
Можно повторить опыты при разных натяжениях и направлениях
динамометров. Тщательные опыты показывают, что получаемые
при таких построениях фигуры являются параллелограмами.
Отсюда вывод:
Равнодействующая двух сил, действующих на одну
точку тела под углом, по величине и направлению
изображается диагональю параллелограма, построен-
ного на составляющих силах.
Построенный на составляющих силах параллелограм назы-
вается параллелограмом сил.
Рис. 65. Зависимость величины равнодействующей от угла между
составляющими.
Нахождение диагонали параллелограма, построенного на
данных векторах, называется сложением векторов, а сама
диагональ называется геометрической суммой векторов.
Не надо смешивать геометрическую сумму с алгебраической.
Из нашего примера видно, что R = 4, тогда как сумма Fi-[-
—]—= 3 —2 = 5. Равнодействующая R как сторона треуголь-
ника всегда должна быть меньше суммы двух других сторон,
изображающих составляющие силы, и больше их разности.
От чего ещё, кроме величины составляющих, зависят вели-
чина и направление равнодействующей?
Найдём равнодействующую тех же двух сил Fx — 3y F2 = 2
в трёх случаях, когда эти силы образуют углы в 30°, 90° и
150°. В каждом случае для получения равнодействующей нахо-
дим графическое изображение данных составляющих, строим
на них параллелограм, проводим его диагональ (рис. 65) и по
избранному масштабу измеряем величину равнодействующей.
Сравнивая между собой рисунки, мы видим, что с умень-
шением угла между составляющими равнодействующая их уве-
121
личивается, с увеличением же угла уменьшается. Наибольшее
значение, равное сумме составляющих, равнодействующая полу-
чит в том случае, когда угол между составляющими будет равен
нулю, т. е. обе составляющие будут направлены по одной пря-
мой в одну сторону (соответствует первому случаю сложения
сил). Наименьшее значение, равное разности составляющих,
равнодействующая получит тогда, когда угол между состав-
ляющими станет равным 180°, т. е. обе составляющие будут
направлены по одной прямой в противоположные стороны (соот-
Рис. 66.
ветствует второму случаю сложения
сил).
Итак, зависимость между величи-
нами равнодействующей и составляю-
щих, действующих на одну точку тела
под углом, может быть выражена сле-
дующим соотношением:
F2 J3 R F1 F2
причём знаки равенства относятся к
предельным, только что разобранным
случаям, а знаки неравенства — ко
всем остальным.
При уравновешивании трёх сил, как
можно видеть на рисунке 66, любые
две силы могут быть приняты за со-
ставляющие; тогда третья будет уравновешивающей, т. е. будет
равна и противоположна равнодействующей первых двух.
Перечертите рисунок 66 себе в тетрадь, постройте параллелограмм
на любых двух силах с соблюдением масштаба и проверьте: совпадут
ли величина и направление равнодействующей с диагональю. Если
складываются две составляющие, образующие прямой угол, то равно-
действующая может быть вычислена на основании теоремы Пифа-
гора. Так, для среднего чертежа на рисунке 65
/?2 = /г2-|-А2
/?2 — 32 4-22
R = V 13
/? = 3,6 кГ.
66. Сложение двух сил, приложенных к двум точкам
тела. Повторим опыт с тремя динамометрами, прикрепив нити
их не к одному узлу, а к различным точкам куска картона
или фанеры (рис. 66). Когда этот кусок переместится так, что
122
силы взаимно уравновесятся и перемещение куска прекратится,
надо отметить направления всех трёх сил. Опыты показывают,
что направления всех трёх сил пересекаются в одной точке;
эта точка будет вершиной параллелограма, который строится
по выведенному выше правилу.
Итак, чтобы сложить две силы,
лежащие в одной плоскости и при-
ложенные в разных точках тела,
надо изобразить на чертеже векторы-
силы, продолжить их направления
до пересечения, перенести в точку
пересечения точки приложения со-
ставляющих сил и сложить их по
правилу параллелограма.
67. Сложение нескольких сил,
действующих на тело. Разберём
пример. На лодку действуют три
силы: сила гребцов Рг = 6 кГ попе-
рёк течения, сила течения реки
F2 = 3 кГ и сила ветра F3 = 1 кГ
под углом в 30° к течению. Найти
равнодействующую трёх сил.
Изобразим графически силы
(рис. 67). Когда число составляющих
Рис. 67. Нахождение равно-
действующей трёх соста-
вляющих.
сил больше двух, то сперва находят равнодействующую F' ка-
ких-либо двух сил, затем равнодействующую F для первой, равно-
действующей F’ и какой-либо следующей силы и т. д., пока
не будет получена окончательная равнодействующая.
Численное значение равнодействующей можно найти или
вычислением, или по масштабу; в нашем примере по масштабу
F=6,8 kF.
Упражнение 11.
*1. Ящик, стоящий на полу, весит 400 кГ, на него встал человек
весом в 80 кГ. Чем}' равна сила давления на пол?
v”2. На полу стоят друг над другом 6 ящиков одинакового размера:
два нижних весят по 10 кГ, три следующих по 8 кГ и верхний 6 кГ.
Чему равна равнодействующая всех сил тяжести?
1 3. Сила тяги саней по горизонтальному направлению должна быть
равна 100 кГ. В них впряжены две лошади гуськом, дающие по гори-
зонтальному направлению усилия в 40 и 45. кГ. Какое нужно доба-
вочное усилие для равномерного движения саней?
V 4. Рабочий весом в 88 кГ поднимает с помощью каната, переки-
нутого через неподвижный блок, груз в 48 кГ. Какова сила, с кото-
рой рабочий давит на землю?
123
5. Лодку тянут за две лямки, составляющие между собой угол
в 60° с силами, равными по 12 кГ каждая. Найти равнодействующую
(графически и вычислением). Отв. 20,8 кГ.
6. Проследить графически изменение равнодействующей, если угол
между составляющими в предыдущей задаче будет равен 45° и 30°.
7. Чему равна равнодействующая двух равных сил, действующих
под углом в 120°?
8. Чему равна равнодействующая трёх равных сил, действующих
на одну точку тела под углом в 120° друг к другу?
9. На проволоке висит груз в 60 кГ. К точке подвеса груза при-
цепляют динамометр и, держа его горизонтально, оттягивают груз
в новое положение с силой в 20 кГ. Найти равнодействующую (гра-
фически и вычислением).
10. На проволоке висит груз в 45 кГ. К точке подвеса груза при-
цепляют динамометр, натяжение которого составляет 45° с горизонтом.
Оттягивают груз в новое положение с силой в 18 кГ. Найти
равнодействующую (графически).
68. Разложение силы на составляющие. Найденное пра-
вило сложения сил, действующих на точку тела под углом,
Рис. 68. Сила, приводящая
в движение маятник.
должны быть заданы или
или направление и величина
имеет широкое применение при
решении многих практических
задач. Во многих случаях при-
ходится решать задачу, обратную
той, которая рассматривалась в
предыдущем параграфе, именно
замену данной силы двумя её
составляющими.
Нахождение по данной силе её
составляющих называется раз-
ложением силы.
Те же опыты, которые слу-
жили основанием для замены двух
сил одной, показывают воз-
можность замены одной силы
двумя без изменения производи-
мого на тело действия.
Разложение силы на соста-
вляющие производится по общему
правилу разложения вектора, дан-
ному в § 43.
В каждой отдельной задаче
(для разложения данной силы
на определённые составляющие)
направления обеих составляющих,
одной из составляющих. При этом
124
какая сила будет двигать
Рис. 69. Сила, движущая тело
вниз по наклонной плоскости.
выбор направлений должен быть не случайным, а обусловлен-
ным конкретными данными задачи.
Рассмотрим разложение сил на примерах.
Примеры. 1. Найти силу, движущую маятник. Рису-
нрк 68 изображает маятник, качающийся около оси О; на него
действует вес Р, приложенный в точке С. Пока маятник зани-
мает такое положение, что точки С и О лежат на одной вер-
тикали, действие силы Р уничтожается сопротивлением опоры
и маятник находится в состоянии покоя.
Но когда эти точки не лежат на одной вертикали, дей-
ствие веса не уничтожается сопротивлением опоры, и маятник
придёт в движение. Чтобы выяснить,
маятник, необходимо заменить
вес маятника, принимаемый за
равнодействующую, двумя со-
ставляющими. За направление
одной составляющей выберем
такое направление, по кото-
рому движение явно невоз-
можно, т. е. направление, про-
ходящее через точку опоры
по продолжению нити ОСЪ
а другое направление возьмём
перпендикулярным к первому,
т. е. по направлению касатель-
ной к траектории маятника.
Строя параллелограм по данной диагонали Р и выбранным напра-
влениям слагающих, найдём величины составляющих: Рг и Р2.
Действие силы Р2, направление которой проходит через
точку опоры, уничтожается её сопротивлением; сила Р1 будет
силой, движущей маятник по дуге ССР
2. Доска длиной I— 2,5 м поднята одним краем над зем-
лёй на высоту h — 1,5 м. На доске лежит тело весом Р=60 кГ,
Найти силу, движущую тело вниз по наклонной плоскости
(рис. 69).
За направления составляющих выберем одно направление,
перпендикулярное к длине наклонной плоскости, т. е.
доски, а другое — параллельное длине её. Стороны параллело-
грама, построенного на данной силе Р и на данных направле-
ниях, дадут величины составляющих Рг и Р2.
Сила Р2 производит давление на плоскость; её действие
на тело уничтожается сопротивлением доски. Сила Рг является
движущей силой.
125
Из подобия треугольников ОРРХ и ВАС:
Ру-.Р^ВС-.АВ: P1:P=h:l; Рг-.Р=АС:АВ-, Р2:Р=Ь:1-
Р. = р.^-; р =^^ = 36; Рт — ЗбкГ; b=l' P — h2;
/ 2,0
Р2 = Р}/12^h- ; Р2 = 60-^ = 48; А, = 48 кГ.
Этот пример позволяет найти силу г, уравновешивающую
движущую силу. Такой силой должна быть сила, равная и про-
тивоположная движущей силе, следовательно, Р—Ръ откуда
/?=/э4-
Чтобы удерживать тело в покое иЛи в равномерном
движении на наклонной плоскости, сила, параллельная
плоскости, должна быть во столько раз меньше веса
тела, во сколько высота плоскости h меньше её длины I.
На этом основании пользуются наклонной плоскостью для
подъёма грузов на высоту или для спуска их. Например, надо
поднять ящик весом в 360 кГ с земли на грузовик, на высоту
в 1,2 м. Непосредственных
с
Рис. 70. Натяжение и сжатие
брусьев кронштейна.
усилий рабочих может нехватить
для подъема. Тогда можно взять
прочные доски, положить их
одним концом на грузовик, другим
на землю и по ним втягивать груз.
Если доски имеют длину около
5 м, то для подъёма груза по
наклонной плоскости без трения
понадобится сила, во столько раз
меньшая веса, во сколько раз вы-
сота меньше длины, т. е. в 4 раза.
Значит, достаточно приложить
силу тяги вЭОлг/Дбезучётатрения).
Тяжёлые ящики не опускают
на руках с земли в подвальное
помещение склада, а опускают
их по наклонной плоскости, прилагая удерживающую силу,
меньшую веса ящика во столько раз, во сколько раз высота
меньше длины наклонной плоскости. Лестницы в домах, дороги
в горах устраиваются в виде наклонных плоскостей, с неболь-
шим подъёмом, чтобы легче было по ним ходить и пере-
двигать грузы.
3. На кронштейне висит груз Р=48 кГ (рис. 70),
горизонтальный стержень кронштейна ЛВ = 0,9 м, вертикаль-
126
ный стержень АС =1,2 м. Найти силу растяжения стержня
АВ и силу, которая сжимает стержень ВС.
За направления составляющих выберем направление ВС и
продолжение АВ. Построением параллелограма найдём состав-
ляющие Pj и Рг. Сила Pj вызывает растяжение горизонталь-
ного стержня и сила Р2 — сжатие наклонного.
Для вычисления составляющих сил сравним два треуголь-
ника АВС и ВА1С1. Они подобны вследствие равенства угдов,
Рис. 71. Измерение' сил, действующих на поперечину и укосину.
отмеченных на рисунке одинаковыми значками. В подобных
треугольниках сходственные стороны пропорциональны:
ВА^ ВС, А,С,
АВ ~ АС ~ВС ’
ВСг изображает вес тела Р; ВАг — составляющую Pj и
равна и параллельна составляющей Р2:
_Р_ Рг,
АВ АС~ ВС'
Из первой пропорции вычисляем:
п Р-АВ п 48 0,9 ос п ос г
= Л = -зу- = 36; Р1 = 36 кГ.
127
Из второй пропорции находим:
Р2=^^, но ВС = ]/ АВ2-]-АС2 =1,5 и Р2
Р2 - 60 кГ.
^=60;
Расчёты можно проверить на опыте, как показано на
рисунке 71.
4. По середине троса длиной в 20 м висит фонарь
весом Р=2() кГ. Стрела прогиба троса ОС равна h — 0,1 м.
Найти натяжение троса (рис. 72).
Чтобы узнать силы, производящие натяжение троса, раз-
ложим вес фонаря по направлениям СВХ и СА1У представляю-
щим продолжение частей троса. Стороны CD и СЕ ромба
Рис. 72 Натяжение троса.
CDCXE дадут составляющие Рг и Р2, вызывающие натяжение
частей троса. Для вычисления каждой из равных составляю-
щих проведём вторую диагональ ромба DE и рассмотрим тре-
угольники АОС и СО1Е. Они подобны вследствие равенства
углов. Из подобия треугольников следует:
СЕ_АС, CF_COrAC'
СОХ~С(У СО ’
СО1==у=Ю кГ;
СВ=1-^=1000 кГ.
5. Посредством стенного подъёмного крана АВС
поднимается груз Р=300 кГ. Тяга АВ =2,7 м, подкос
ВС—3,6 м, АС=1,8 м (рис. 73). Найти силу растяжения
тяги АВ и силу сжатия подкоса ВС.
128
Треугольники АВС и BDG подобны, так как имеют рав-
ные углы, отмеченные на рисунке одинаковыми значками. Из
подобия треугольников вытекает пропорциональность сторон:
Du BG BD _________р рр____р' г>р._р , Р2 Р Pi .
ВС = АС = АВ’ DG = P2,BG-P, BD-Plt вс—дс—АВ'
Р'=-АС-’ Рг = ^Г; Л==3-°^ = 450; Рг = 450 КГ\
Р2 = = 600; Р2 = 600 кГ,
6. Разложение сил на парусе. Парус на лодке по-
ставлен по направлению АР, ветер дует по направлению WW.
Ветер, наталкиваясь на парус, изменяет направление своего
движения и при этом производит давление на парус. Сила дав-
ления, производимого ветром, направлена перпендикулярно к по-
Рис. 74. Разложение силь. ветра,
действующего на парус.
верхности паруса; на рисунке 74 она изображена вектором Л2И.
Чтобы узнать силу, движущую лодку, разложим силу AM на
две составляющие: АЕ— вдоль лодки и AD поперёк неё. Дви-
жущей лодку вперёд силой будет сила АЕ. Сила же AD замет-
ного перемещения лодки производить не будет, благодаря боль-
шому сопротивлению воды, которое возникает при поперечном
перемещении лодки.
Упражнение 12.
1. Почему при гололедице иногда разрываются телеграфные про-
вода, если даже вес насевшего па них льда незначителен?
2. Когда верёвки гамака подвергаются наименьшему риску разрыва:
5 Курс физики, ч. I 129
когда они свисают почти вертикально или когда натянуты почти гори-
зонтально?
3. Определите натяжение верёвок гамака под действием веса
вашего тела, если они образуют между собой угол в 120°.
4. Канат, к которому прикрепили привязной аэростат, образует
угол в 60° с поверхностью земли. Подъёмная сила аэростата равна
Рис. 75. К задаче № 5.
1000 кГ. Найти натяжение, оказываемое аэростатом на канат, и гори-
зонтальную силу ветра, действующего на аэростат.
5. Три мальчика весом по 45 кГ каждый висят на руках на гори-
зонтальной лестнице, как показано на рисунке 75. Руки первого парал-’
лельны одна другой, руки второго составляют между собой угол
Рис. 76. Шатунно-кривошипный механизм.
в 90°, руки третьего — угол 120°. Найти натяжение рук каждого
мальчика.
6. Бочка удерживается на наклонной плоскости верёвкой, обра-
зующей угол в 45° с наклонной плоскостью. Изобразить векторы
всех действующих сил и объяснить, в чём состоит действие каждой
силы.
130
двум столбам при помощи
прямой линии) равно 20 м.
Рис. 77.
7. Шар весом в 90 кГ лежит на наклонной плоскости, длина кото-
рой 2,25 м, а высота 1,35 м. Какое усилие надо приложить к шару
параллельно наклонной плоскости, чтобы воспрепятствовать его ска-
тыванию? Отв. 54 кГ.
8. Шар весом в 48 кГ лежит на наклонной плоскости, длина ко-
торой 5 м и высота 3 м. Найти силу движущую и силу, производя-
щую давление на плоскость. Отв. 28,8 к Г; 38,4 кГ.
9. Электрическая лампа подвешена над столом на шнуре и гори-
зонтальной оттяжке. Вес лампы Р = 0,8 кГ, шнур составляет с гори-
зонтом угол в 60°.' Найти силы натяжения шнура и оттяжки.
Отв. 0,92 кГ; 0,46 кГ.
10. Трамвайный провод подвешен к
троса. Расстояние между столбами (по
Стрелка провеса h = 0,2 м. Сила,
с которой провод действует на точку
подвеса вследствие своего веса, равна
17,8 кГ. Найти натяжение троса.
Отв. 445 кГ.
11. Площадь поршня в паровой ма-
шине 5 = 300 см2; давление пара
кГ
/>=10—2. Найти силу, действующую
вдоль шатуна (5), и сил)’ давления на
направляющую (4), если шатун (5) со-
ставляет со штоком (3) угол в 150°
(рис. 76). Отв. 3464 к Г; 1732 кГ.
12. Фонарь весом в 9 кГ подвешен
на кронштейне АВС. Горизонтальный
стержень /1/1=12 лт, наклонный стер-
жень /?С=1,5 м. Точка С находится
на стене выше А. Найти силу, сжимающую стержень АВ, и силу,
..растягивающую стержень ВС. ' Отв. 12 к Г; 15 кГ.
13. Фонарь весом Р= 18 кГ подвешен к столбу на кронштейне
АСВ. Длина горизонтального стержня АВ = 96 см; длина подкоса
(наклонного стержня) /?С=120 см. Точка А находится на столбе выше
точки С. Найти силу, растягивающую стержень АВ, и силу, сжимаю-
щую стержень ВС. Отв. 24 кГ и 30 к Г.
14. Длина тяги стенного крана АВ равна 2,5 м; расстояние по
стене между концами тяги и подкоса АС равно 1 м. На кране висит
груз в 960 кГ. Найти силу растяжения тяги и силу сжатия подкоса,
если тяга перпендикулярна стене.
Отв. 2400 к Г; 480 JZ 29 к Г.
15. Стропила составляют угол в 30° с горизонтальной балкой АВ
(рис. 77). В коньке подвешен груз Р=10 000 кГ. Определите величину
усилия, растягивающего балку Рь сила давления Р2 на стену.
Отв. 8650 кГ; 5 000 кГ.
16. Автомобиль застрял в грязи. Чтобы вытянуть его, шофёр
привязал крепкую верёвку одним концом к машине, другим к дереву,
стоящему впереди на расстоянии 12 м. Затем он стал налегать на
середине верёвки перпендикулярно к её длине с силой в 40 кГ и
продвинулся вперёд на 60 см. Принимая, что верёвка не вытянулась,
определить силу, действующую на автомобиль в. этот момент.
Отв. 200 кГ.
131
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман, Физическая хрестоматия, вып. I, статьи „Парусное
судоходство", стр. 84; „Аэроплан", стр. 87.
Перельман, Занимательная физика, ч. I. „Почему взлетает
бумажный змей", стр. 44; „Живые аэропланы", стр. 46.
Жабров, Летательные машины.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
J. Что называется уравновешивающей силой?
2. Когда две силы взаимно уравновешивают друг друга?
8. Какое свойство приписывается в статике твёрдому телу?
4. Как можно переносить точку приложения силы в твёрдом теле?
5. Что называется равнодействующей силой? составляющими?
6. Чему равна равнодействующая двух сил, действующих па одну
точку тела в одну сторону? в противоположные?
7. Чему равна равнодействующая двух сил, действующих на одну
точку тела под углом?
8. Как зависит величина равнодействующей от угла между соста-
вляющими?
9. Как найти равнодействующую нескольких сил, действующих на
одну точку тела?
69. Сложение параллельных сил, направленных в одну
сторону. Во многих случаях можно встретиться с задачей
сложения параллельных сил, действующих на какое-либо твёр-
дое тело (запряжка в сельскохозяйственное орудие несколь-
Рис. 78. Отыскание
равнодействующей
параллельных сил.
ких лошадей в параллельные постромки;
действие на твёрдое тело нескольких поло-
женных на него грузов и т. д.).
Для вывода на опыте правила сложения
двух параллельных сил, направленных в одну
сторону, подвесим лёгкую прямую линейку
(рис. 78) на пружинке к гвоздю, вбитому
в вертикально стоящую доску, оклеенную
миллиметровой бумагой так, чтобы линейка
расположилась горизонтально.
К петелькам, накинутым на линейку, при-
весим какие-либо два груза и передвинем
петельки до тех пор, пока линейка не станет
в новом положении опять горизонтально. За-
пишем величины левого и правого грузов Г\ и
F2 и заметим деление миллиметровой бумаги,
против которого остановилась линейка. Затем
снимем оба груза и к третьей петельке при-
весим один такой груз, который привёл бы
линейку в то положение, какое она занимала
при прежних двух грузах.
132
Очевидно, сила, с которой один груз действует на линейку,
будет равнодействующей тех двух сил, с которыми действуют
на линейку два груза.
Запишем величину равнодействующей 7? и расстояния
AtO и А2О точки её приложения О до точек приложения
At и А2, составляющих F\ и f2 (рис. 78). Повторим измере-
ния с различными грузами, подвешиваемыми в разных местах
линейки, и каждый раз произведём указанные выше записи.
По окончании опыта составится таблица, подобная приве-
дённой ниже, записанной на основании данных одного из
таких опытов.
Величину равнодействующей даёт столбец третий. Из него
мы видим, что равнодействующая равна сумме составляющих.
Направлена равнодействующая параллельно составляющим и
в одну с ними сторону. Положение точек приложения состав-
ляющих Д] и А2 дают столбцы четвёртый и пятый.
В столбцах шестом и седьмом помещены произведения
каждой силы на,расстояние от её точки приложения до точки
приложения равнодействующей. Произведения эти в каждом
опыте равны между собой. Если произведение двух числовых
значений величин равно произведению двух других числовых
значений тех же величин, то такие величины называются об-
ратно пропорциональными. Таким образом, составляющие
силы Л, и f2 и расстояния Д^ и А2О обратно пропорцио-
нальны.
Л ^2 7? AtO a2o рг-Аго
' 1 i 5 6 50 10 50 50
9 6 15 24 36 216 216
4 2 6 20 40 80 80
5 3 8 22 37 ПО 111
3 1 4 15 44 45 44
7 13 20 39 21 273 273
11 4 15 16 44 176 176
Из всего разобранного вытекает следующее правило сло-
жения параллельных сил:
133
1. Равнодействующая двух параллельных сил, направ-
ленных в одну сторону, параллельна им, направлена
в ту же сторону и равна их сумме:
Л11Я1И2;
я=Л+^2.
(ХШа)
2. Точка приложения равнодействующей делит рас-
стояние между точками приложения составляющих
на отрезки, обратно пропорциональные силам:
FvAyQ = F2-A2O.
(ХШб)
О, С,
Рис. 79. К выводу правила
женин двух параллельных
направленных в одну сторону.

Правило сложения параллельных сил, направленных в одну сто»
рону, можно вывести теоретически.
Пусть к какому-нибудь твёрдому телу приложены две парал-
лельные силы: в точке Ау сила Див точке Л2 сила Е2 (рис. 79).
Для отыскания равнодействую-
щей этих сил можно воспользоваться
известным нам правилом сложения
сил, действующих на одну точку
под углом.
С этой целью приложим в точках
Ау и А2 по направлению продолже-
ния Д|Л2 две равные противополож-
ние силы /1 и Такие две силы на
основании § 60а взаимно уравнове-
шиваются. Следовательно, действие
на тело четырёх сил Fy и F2, fa и /2
будет такое же, как и прежних двух.
Также, не изменяя действия сил на
тело, мы можем заменить" силы Fy
и fi равнодействующей /?1( силы Л2
и /2 — равнодействующей /?2 и пере-
нести обе эти равнодействующие в
одну точку тела Оу, лежащую в точке
пересечения их направлений, именно
в положения ОуВу (ОуВу = /?,) и
ОуВ2 (ОуВ2 = /?2).
В точке Oj опять разложим каж-
дую прежнюю равнодействующую
на две составляющие по направлениям: СуС2 параллельно АуА2 и ОуО
параллельно Fy и F2, отчего окончательное действие всех сил опять
останется без изменения.
Треугольники ОуСуВу и Л1£'17?1, ОуС2В2 и A2E2R2 соответственно
равны; следовательно, OyCy=fa, ВуСу = Fy — OyDy, OyC2 — f2, ВгС2 =
— F2 = OyD2.
Силы /] и /2 в своём действии взаимно уравновешиваются, и всё
действие сводится к тем же сил.ам Fy и F2 только теперь приложен-
ным в одной точке и направленным по одной прямой и в одну сторону^
сло-
сил,
134
Их равнодействующая будет равна их сумме (R — B{-{-B2) и на-
правлена параллельно данным силам в одну с ними сторону.
Точку её приложения можно перенести в точку О, лежащую на
пересечении её направления с прямой, соединяющей точки приложе-
ния составляющих. Положение этой точки можно определить из сравне-
ния подобных треугольников:
и A^OyO', О^В2В2 и А2О[О.
В них:
O>Dy_OiO. О1Р2_О1О.
BtDt А\О’ B2D2 А2О'
OjD[ == ВI, = FB{L\ = B^D^.
Разделив равенства почленно, получим:
Г, __А,0
В2 Л1О ’
Если надо найти равнодействующую многих параллельных
сил, действующих на одно и то же твёрдое - тело, то надо
сначала сложить по выведенному правилу две параллельные
силы, а затем надо складывать каждую найденную равнодей-
ствующую с одной из ещё не сложенных параллельных сил.
Примеры. 1. На тело (рис. 80) действуют две парал-
лельные одинаково направленные силы Fx — 4 кГ и F2 — 5 кГ;
расстояние между точками их приложения ^X>12 = 36 см.
Найти их равнодействующую:
А || R || F2; R = F1-\-F2 = 4 кГ-{-5 кГ=9 kF.
Чтобы найти точки приложения равнодействующей, обозна-
чим её расстояние АгО до точки приложения At одной из
составляющих через х; тогда расстояние до другой соста-
вляющей:
А2О = 36 — х и F1x = F2(36 — х);
4х = 5(36 — х); 4х=180 — 5х;
9х = 180; х = 20 см.
2. На тело действуют две параллельные, одинаково напра-
вление силы: Ft = 5 к Г и F2 = 7 кГ. Точка приложения О
равнодействующей отстоит от точки приложения Аг силы Ft
на 35 см. Найти величину равнодействующей и расстояние
между точками приложения составляющих Лр42:
R = F1JrF2; R — 5 кГ=\2 кГь
135
Обозначим расстояние Л1/12 через х; дано, что /410 = 35,
тогда:
А20 = х — 35. Но FX-AXO = F2-A2O; 5-35 = 7 (х — 35);
175 = 7х — 245; 7х = 420; х = 60 см.
70. Центр параллельных сил. Точка приложения равно-
действующей параллельных сил, найденная по указанному
выше правилу, на линии, соединяющей точки приложения
составляющих сил, называется ц нтром параллельных сил.
Рис. 80. Точка О — центр парал-
лельных сил.
Центр параллельных сил О со-
храняет своё положение в теле,
если все параллельные силы будут
повёрнуты на одинаковые углы
(пунктирные линии рис. 80).
Такая точка является един-
ственной точкой тела. Из чер-
тежа видно, что никакая другая
точка тела, например точка О',
не может служить точкой прило-
жения равнодействующей при лю-
бых направлениях параллельных
слагаемых сил.
Только положение центра
параллельных сил не зависит от
их направления.
71. Разложение силы на две параллельные составляющие.
В случае разложения силы на две параллельные составляющие
можно задать пли положения
точек приложения обеих соста-
вляющих, или величину одной
из составляющих и положение
её точки приложения.
Примеры. 1. Балка дли-
ной в 4,5 м опирается своими
концами на две колонны; на рас-
стоянии 2 м от левой колонны
висит груз в 540 кГ. Найти
силы давления груза на обе ко-
лонны (рис. 81).
Силы давления груза на ко-
лонны будут силами верти-
кальными и, следовательно,
Рис. 81. Сила давления балки
па колонны.
136
параллельными весу груза. Сумма их должна быть равна весу
груза. Если обозначим силу давления на левую колонну через
х кГ, то сила давления на правую колонну выразится через
540 к Г—х kF. Для этих сил как составляющих будет иметь
место следующее равенство:
2-х = 2,5 (540 — х);
20х= 13 500 —25х;
45х = 13 500;
х = 300; Г=300хЛ
Fi = 540 kF— 300 кГ= 240 кГ\
2. Силу в 600 кГ разложить на две параллельные соста-
вляющие, из которых одна равна 240 кГ и приложена на рас-
стоянии 1,44 м от точки приложения равнодействующей
(данной силы).
Задача сводится к отысканию величины второй силы
и положения её точки приложения на прямой, соединяющей
точки приложения данной силы и первой составляющей.
Величина искомой составляющей Fj = 600 kF—240 кГ=
= 360 кГ.
Обозначим расстояние её точки приложения от точки
приложения данной силы через х. Тогда:
1,44-240 = 360-х; х = 0,96 м.
72. Сложение двух параллельных противоположно на-
правленных сил. На твёрдое тело действуют две параллельные
противоположно напра-
вленные силы F] и F2,
приложенные в точках
Л1 и А2 (рис. 82). Раз-
ложим ббльшую силу F2
на две составляющие, из
которых одна составляю-
щая была бы равна силе
Z7! и приложена в одной
с ней точке Лх; тогда
другая будет равна раз-
ности F2 — Fx и будет
приложена по другую
сторону силы F2 в какой-
либо, пока неизвестно как
расположенной, точке О.
Рис. 82. Равнодействующая двух парал-
лельных сил, направленных . в противо-
положные стороны.
После такого разложения на тело
будут действовать три силы: F1} Ft и F2 — Ft вместо двух
137
данных Z7! и F2. Но действия сил Ft и Fu равных, противо-
положных и приложенных, в одной точке Alt взаимно уничто-
жаются, и действие всех сил сводится только к действию
одной силы F2— Ft, приложенной в точке О. Таким образом,
сила Z? = F2— Z7! служит равнодействующей двух данных
сил Fj и F2.
Чтобы определить положение точки её приложения, вспом-
ним, что по правилу разложения силы F2 на две составляющие
Fj и F2 — Рг должно иметь место равенство:
F1 • AjA2 = (F2— Fj)-A2O; Fj • AiA2 = F2 - А2О — F1-Л2О;
Fi • Д2 Fj • A2O = F2- A2O; Fj (AjA2 -|- A2q) = F2 • A2O,
но A1A2~I~A2O = A1O; тогда F1-A1O = F2-A2O.
Отсюда вывод:
1. Равнодействующая двух параллельных противо-
положно направленных сил равна их разности, парал-
лельна им и направлена в сторону большей силы:
R = F2 — F1. (XlVa)
2. Точка приложения равнодействующей лежит на
продолжении прямой, соединяющей точки приложения
составляющих, за большей силой на расстояниях,
обратно пропорциональных составляющим силам:
F1-AlO = F2-A2O. (XIV6)
Пример- К телу приложены две параллельные, противо-
положно направленные силы: Fj=6 kF и F2=10 л:Г(рис. 82),
Расстояние между точками приложения этих сил равно 36 см.
Найти их равнодействующую.
Равнодействующая R — F2 — Fx = 10 к Г— 6 кГ=4 кГ; она
параллельна составляющим, направлена в сторону большей,
приложена на продолжении АгА2 со стороны большей силы.
Чтобы найти точку её приложения О, обозначим расстояние
её до точки приложения ближайшей силы через х; А2О = х;
тогда:
А1О = А1Аг-^-х и Fi (Л1Л2х) — F2x; F1-A1A2-\-F1x = F2x;
F2x—Flx=FvAlA2 и (F2 —Г1)х = ГгЛ1Л2; х=^Ц2 ;
'2
х = = Л2О = 54сл/; AjO — 90 см.
138
73. Пара сил. Очень часто в природе и в технике встре-
чается случай, когда на тело действуют две параллельные
равные и противоположно направленные силы. Такие две силы
называются парой сил. Пара сил действует на ручку копиро-
вального пресса; шофёр пли матрос, управляя рулём, прилагают
к рулевому колесу пару сил; на магнитную стрелку компаса
действует также пара сил* и т. д.
(рис. 83).
/Прежде чем искать равнодей-
ствующую пары сил, посмотрим, как
будет-меняться величину, и положе-
ние равнодействующей, двух сил, ] •
параллельных, противоположно на- и
правлениях, если разность между J!
величинами этих сил будет посте-
пенно уменьшаться.
Например, будем находить равно- Рис- 83. Пара сил.
действующую для сил 10 к Г и 11 к Г,
затем для сил 10 кГ и 10,1 кГ, далее для сил 10 кГ и 10,01 кГ.
Расстояние между точками приложения составляющих во всех
случаях будем брать в 36 см.
Тогда для первого случая:
R = F2 — F\ = \кГ; х = ^’Л1р2 = ^^=360;
•К 2 — -Г1 1
х = 360 сл = 3,6 м.
Для второго случая: '
/? = 0,1 кГ-,
x_ 1^36_з 600; Х—-36 м.
Для третьего случая:
- Я = 0,01 к1Х
х = ^=36 000; х = 3£0л*.
Из сравнения полученных чисел мы видим, что по мере
уменьшения разности в величине двух параллельных, противо-
положно направленных сил их равнодействующая уменьшается,
а точка её приложения всё больше и больше удаляется от точек
приложения составляющих^/
Когда же обе силы сделаются равными, т. е. образуют
пару сил (рис. 84), то равнодействующая пары обратится
139
в нуль, а точка её приложения уйдёт, как говорят в матема-
тике, на бесконечно большое расстояние от точек приложения
составляющих.
В самом деле, если мы будем искать для пары сил вели-
равнодействующей по правилу, уста-
чину и точку приложения
Рис. 84. Пара сил.
новленному в § 72 (см. пример),
то мы найдём, что:
fl = F2 —F1 = 0
и
___Fi'A^___Fi‘AiAg__
f2-f,~ 0
Итак, равнодействующая пары
сил была бы равна нулю и была
бы приложена в бесконечности.
Это значит, что пара сил не
имеет равнодействующей.
Если пара сил не может быть заменена одной силой, то
это значит, что пара сил не может сообщить телу поступа-
тельного движения. Пара сил может сообщить телу только
вращательное движение.
Упражнение 13.
1. На балке длиной в 5,4 м висит груз в 810 кГ на расстоянии в
2,4 м от одного края. Найти силы давления груза на колонны, на ко-
торые опирается балка своими концами.
Отв. На ближайшую ксйюнну 450 кГ.
2. На концы негнущегося стержня длиной в 1,2 м действуют па-
раллельные, одинаково направленные силы: /71 = 5 кГ и F2 = l кГ.
В какой точке приложена их равнодействующая?
Отв. На расстоянии 0,7 м от первой силы.
3. К одному концу доски длиной в 6 м приложена сила = 20 кГ
и на расстоянии 1,8 м от того же края приложена вторая сила F2 —
— 32 кГ, параллельная и противоположно направленная первой. Найти
их равнодействующую и точку приложения равнодействующей.
Отв. R = 12 кГ; АО = 3 м.
4. К телу приложены две параллельные, противоположно напра-
вленные силы: /г1=10 кГ и /?2 = 15 кГ на расстоянии 36 см друг от
друга. Найти точку приложения равнодействующей.
Отв. А2О = 12 см.
5. Разложить силу в 120 кГ на две параллельные, противоположно
направленные силы на расстояниях в 1 м и 80 см от данной силы.
Отв. Ближайшая составляющая равна 600 кГ.
6. Разложить силу в 160 кГ на две параллельные, противоположно
направленные силы, из которых одна равна 40 kF и приложена на рас-
стоянии 1,2 м от данной силы. Отв. 200 кГ\ 24 см.
7. На лопате лежит груз в 16 кГ. Правая рука поддерживает
лопату на расстоянии от точки приложения груза, втрое большем, чем
140
левая рука. Куда должно быть направлено усилие правой и левой
руки, чтобы удержать лопату в равновесии? Куда направлены силы,
с "которыми груз действует на каждую руку? Вычислить усилие той
и другой руки, не принимая во внимание веса лопаты.
Отв. Левая 24 кГ.
8. На двух колоннах покоится своими концами балка длиной 6 м
и весом в 140 к Г. На расстоянии двух метров от левого края подве-
шен груз в 600 кГ. Найти силы давления на колонны.
Отв. На левую колонну 470 кГ.
9. Балка длиной 8 м и весом в 160 кГ лежит своими концами па
двух колоннах. На ней подвешено два груза на расстояниях 2 м и 6 м
от левого края весом в 300 кГ и 500 кГ. Найти силы давления па
колонны. Отв. На левую колонну 430 кГ,
2. Центр тяжести тел и устойчивость
их положения.
74. Центр тяжести тела. При небольшихJ) размерах тела
действующие на его частицы силы тяжести могут быть при-
няты за параллельные.
В этом случае центр параллельных сил называется цен-
тром тяжести.
Следовательно, центр тяжести есть центр всех парал-
лельных сил тяжести, действующих на отдельные частицы
тела.
Центр тяжести занимает определённое положение в теле,
как бы тело ни было повёрнуто относительно направления
силы тяжести.
Равнодействующая всех сил тяжести, действующих на
отдельные частицы тела, приложенная в центре тяжести, есть
вес тела.
Чтобы вес тела не приводил его в движение, должны быть
соблюдены определённые условия.
Если тело 'закреплено в одной точке (тело подвешено
или подпёрто) и находится в покое, то центр тяжести и
точка опоры лежат на одной вертикали; вес тела будет
уравновешиваться сопротивлением точки опоры, и тело будет
находиться в покое (см. рис. 68, 92).
Если тело закреплено в двух точках (имеет ось опоры),
то покой наступит в том случае, когда вертикаль, проходя-
щая через центр тяжести (направление силы тяжести),
пересекает ось опоры.
!) Направление силы тяжести в двух точках, находящихся друг
от друга па расстоянии 31 м, составляет угол в 1".
141
Если тело опирается на три точки (площадь опоры), то
покой наступит только в том случае, если вертикаль, проходя-
щая через центр тяжести, пересекает площадь опоры.
Рис. 84а. Направление приложенной силы проходит через
центр тяжести.
Если тело не имеет ни одной закреплённой точки, то под
действием силы тело придёт в движение. Это движение может
быть двоякого рода. Тело движется поступательно, если на-
правление силы проходит через центр тяжести (рис. 84а).
Если же сила направлена мимо центра тяжести, то тело
вращается до тех пор, пока сила не направится через
Рис. 846. Направление прило-
женной силы не проходит через
центр тяжести
центр тяжести, и затем переходит
только в поступательное движе-
ние (рис. 846).
Знание положения центра тя-
жести необходимо для правильного
расчёта конструкции любой тран-
спортной машины: автомобиля, са-
молёта и т. п., обеспечивающей
возможность управления этой ма-
шиной.
Отсюда видно, какое значение
имеет уменье находить центр тяже-
сти тела. /
75. Определение центра тя-
жести тел простейшей геометри-
ческой формы. 1. Центр тяжести
тонкого однородного стержня (рис. 85) можно найти путём
следующего рассуждения. Разобьём весь стержень на множество
мельчайших равных объёмов. Однородность стержня означает, что
во всех частях стержня равные объёмы будут иметь равный вес.
Поэтому мы можем рассматривать последовательные точки по
длине стержня как точки приложения равных сил. Складывая
последовательно попарно равные параллельные силы, приложен-
ные к точкам, равно отстоящим от середины стержня, мы
найдём, что для каждых таких двух сил их частная равно-
142
действующая будет приложена к середине стержня, и общая
равнодействующая всех параллельных сил будет приложена
также в середине стержня. Итак, центр тяжести однород-
ного стержня находится в его середине.
2. Применив подобный приём к отысканию центра тяже-
сти круга, найдём, что центр тяжести круга совпадает с
центром круга.
3. Для отыскания центра тяжести площади треуголь-
ника представим себе, что вся площадь треугольника разре-
зана на узкие полоски
(рис. 86), параллельные д О л (
какой-либо стороне тре- 111 J1111111 %
угольника, например, АВ.
Центр тяжести каждой "t
такой полоски как одно-
родного стержня лежит Рис. 85. Центр тяжести стержня.
в её середине. Центр
тяжести всей площади должен лежать где-то на медиане CD,
проходящей через середины всех отрезков, параллельных сто-
роне АВ. Но если разрезать ту же площадь треугольника на
полоски, параллельные стороне СВ, то, применяя приведённое
рассуждение, можем заключить, что центр тяжести будет
находиться и на медиане АЕ. Центр тяжести фигуры может
Рис. 86. Центр тяжести площади
треугольника.
Рис. 87. Центр тяжести
плоской фигуры.
одновременно находиться на двух медианах только в том
случае, если совпадает с точкой их пересечения О.
Итак, центр тяжести площади треугольника лежит
в точке пересечения его медиан.
4. Центр тяжести плоской фигуры можно отыскать
опытным путём следующим образом: подвесим плоскую фигуру
за какую-либо точку её площади О; фигура повернётся так,
чтобы центр тяжести находился на вертикали ОА, проходя-
143
щей через точку опоры (рис. 87). Отметив на фигуре напра-
вление этой вертикали, привешивают фигуру за любую другую
точку её О]. Тогда она снова повернётся так, чтобы центр
тяжести находился на вертикали ОгВ, проходящей через новую
точку опоры. Эту последнюю вертикаль также отмечают на
площади фигуры.
Центр тяжести должен одновременно лежать на прямых ОА
и OjS. Такое положение его возможно только в том случае,
Рис. 88. Сечение
балки.
Рис. 89. Сечение Рис. 90. Сечение
рельса. рельса другого типа.
если он будет находиться в общей точке обеих прямых G,
т. е. в точке их пересечения.
Центр тяжести плоской фигуры лежит в точке пере-
сечения вертикалей, проведённых через две любые точки
привеса.
Центр тяжести кольца находится в геометрическом центре
его (рис. 92). Из последнего примера и других, ему подоб-
ных, видно, что центр тяжести некоторых тел может лежать
вне тела.
Упражнение 14.
./
1. Найти центр тяжести однородной площади квадрата, ромба,
прямоугольника, равнобочной трапеции, плоского кольца.
'2. Найти центр тяжести однородного шара, правильной призмы,
прямого круглого цилиндра.
3. Вырезать из картона или жести и найти па опыте центры тяже-
сти следующих плоских фигур:
1) сечение балки (рис. 88);
2) сечение рельса (рис. 89);
3) сечение рельса другого типа (рис. 90).
4. Объяснить, почему при выстреле из винтовки опа вращается
дулом кверху (рис. 90а). “
Центр тяжести винтовки Ц находится ниже оси капала винтовки,
вдоль которой движется пуля.
Для объяснения приложить к центру тяжести винтовки две силы
Рх и Р2, равные силе давления газов па винтовку Р и действующие
Н4
по прямопротивоположпым направлениям. Изменяет ли приложение
сил Pi и Р2 действие силы отдачи иа винтовку (рис. 906)?
5. Если ось пули составляет угол с направлением движения
(рис. 906), то сопротивление воздуха увеличивается сравнительно с
тем, какое действует при совпадении оси пули с касательной к траек-
тории. Величина и направление силы сопротивления изображается
па рисунке вектором Р,
а точка её приложения
находится на оси пули
в точке ц. с.
Чтобы выяснить вли-
яние этого сопротивле-
ния на движение пули,
прилагают к центру тя-
жести пули и. т. две
силы: Р] и Р2> равные
силе сопротивления и
противоположные между
собой. Силу Р\ представ^
ляют себе разложенной
на две составляющие по
касательной и перпенди-
куляру к ней па силы
и Р4.
Какое влияние оказы-
вают на движение пули
приложенные силы?
76. Устойчивость тела, имеющего точку или ось опоры.
Представим себе шар, подвешенный в одной точке (рис. 68).
Он будет находиться в покое, когда центр тяжести его лежит
на одной вертикали с точкой опоры. Устойчиво ли такое по-
ложение шара?
Положение тела называется устойчивым, если тело воз-
вращается в прежнее положение после того, как оно было
выведено из него какой-либо силой.
Отклоним подвешенный шар от поло-
жения равновесия сил иа какой-нибудь
угол а. В новом положении направление
его веса, приложенного в центре тяжести
Ci, уже не пройдёт через точку опоры
О, и вес не будет уравновешен сопроти-
влением точки опоры.
Разложим вес шара на две составляю-
щие: одну по направлению к точке опоры,
Рис. 91.
другую по направлению, перпендику-
лярному к первой. Из чертежа видно, что составляющая Р2
уничтожится ! сопротивлением опоры, составляющая же Рг
145
будет двигать шар к положению равновесия, куда шар и
придёт после нескольких колебаний (его движение будет
прекращено трением в опоре и сопротивлением воздуха).
Следовательно, шар, подвешенный в одной точке, распо-
ложенной на одной вертикали с центром тяжести, находится
Рис. 92. Безразлич-
ное равновесие
обруча.
в устойчивом положении, или в положении
устойчивого равновесия.
Вообразим себе, что удалось подпереть
шар в одной точке спицей так, что его
центр тяжести и точка опоры оказались на
одной вертикали (рис. 91). Вес шара Р
в этом случае уравновешивается сопротивле-
нием опоры, и шар мог бы находиться в покое.
Но устойчиво ли его положение?
Уже при незначительном отклонении от
первоначального положения на угол а вес не
проходит через точку опоры и, следовательно,
не уравновешивается её сопротивлением.
Разложим вес на две составляющие: одну
по направлению к точке опоры, другую —
по направлению, перпендикулярному к первой. Чертеж пока-
зывает, что составляющая Рг уничтожается сопротивлением
опоры; составляющая же Pt отклонит тело от начального
положения.
А
Рис. 93. Безразличное равновесие
шара на горизонтальной плоскости.
Положение называется неустойчивым, если тело, вы-
веденное из положения равновесия^ не может быть возвра-
щено своим весом в началь-
ное положение.
Следовательно, шар, под-
пёртый в одной точке, по-
мещающейся на одной вер-
тикали с центром тяжести,
находится в неустойчивом
положении, или в положении
неустойчивого равновесия.
Если точка опоры совпадает с центром тяжести, как, на-
пример, в случае, показанном на рисунке 92, или если при
всех перемещениях центр тяжести остаётся на одном гори-
зонтальном уровне (как у однородного шара, лежащего на
горизонтальной плоскости, рис. 93), то тело остаётся в по-
кое в любом своём положении. Это положение называется
безразличным, пли положением безразличного равно-
весия.
146
Если тело имеет линию опоры, т. е. может вращаться
вокруг неподвижной оси, то
если его центр тяжести будет
щей через ось и ниже оси;
его положение будет устойчиво,
лежать на вертикали, проходя-
неустойчпво, если выше, и без-
различно, если ось вращения
будет проходить через центр
тяжести.
Рассматривая рисунки,
относящиеся к различным
разобранным выше случаям
равновесия, можно видеть,
что при устойчивом равно-
весии центр тяжести зани-
мает самое низшее из всех
возможных при данных усло-
виях положений, при не-
устойчивом — самое высшее;
Рис. 94. Равновесие тела, имеющего
площадь опоры.
при безразличном центр тя-
жести во всех положениях тела лежит на одном и том же
горизонтальном уровне. Вес тела может перемещать тело
только по тому направлению, по которому центр тяжести
его понижается. Поэтому можно установить ещё другой внеш-
ний признак различных случаев равновесия тела, имеющего
точку или ось опоры. Равновесие устойчиво, если в положе-
Рис. 95. Устойчивое и неустой-
чивое положение тел наклонной
формы.
нии равновесия центр тяжести
занимает самое низшее из всех
возможных положений; неустой-
чиво, если не самое высшее, и без-
различно, если центр тяжести во
всех положениях остаётся на
одном горизонтальном у ровне._
77. Устойчивость тела, имею-
щего площадь опоры. Все тела
в форме прямых призм, цилинд-
ров, поставленные на горизон-
тальную плоскость, находятся в
положении покоя. Но если на-
клонять плоскость, на которую они поставлены, то при неко-
тором угле наклона тела опрокидываются (рис. 94). То же
явление может произойти, если наклонять самые тела.
Тела же наклонной формы не всегда могут быть в покое
и на горизонтальной плоскости. Так, тело, составленное из
частей А и В, как показано на рисунке 956, находится в по-
кое; если же приставить тело В к телу А так, как показано
147
на рисунке 95<т, то совокупность этих тел нс может сохранить
состояние покоя и опрокидывается ’).
Рассматривая направление силы тяжести на предыдущих
рисунках, мы видим, что тело, имеющее площадь опоры, на-
ходится в покое в том случае, если вертикаль, проведённая
через центр тяжести тела, пересекает площадь опоры.
Рис. 96. Случаи устойчивости и неустойчивости положения тела.
В этом случае действие веса тела уничтожается сопроти*
влением опоры.
Рассматривая различные случаи положения тела на рисунке 96,
мы видим, что тело возвращается в
прежнее положение, т. е.
его положение устойчиво
при всех тех перемеще-
ниях тела, при которых
вертикаль, проведённая
через центр тяжести, не
выходит за площадь
опоры; равновесие нару-
шается при тех переме-
щениях, при которых вер-
тикаль, проведённая через
центр тяжести, выхо-
дит за пределы площади
опоры.
Рассматривая положе-
ния тела при различных
Рис. 97. Влияние широкого основания
иа устойчивость положения тела.
наклонах к плоскости опоры, при которых тело возвращается
в прежнее положение, мы видим, что при каждом из этих
1) Центр тяжести составного однородного тела, состоящего из
частей А и В, лежит посредине линии, соединяющей центры тяжести
части А и части В, взятых раздельно.
148
наклонов центр тяжести поднимается над тем положением, в
котором он находился при положении равновесия тела, но не
переходит своего наивысшего возможного положения.
Но если наклон тела перешёл через предельное положение,
то вес тела не может вернуть его в положение равновесия,
так как для этого нужно было бы провести центр тяжести
через наивысшее положение, а между тем вес продолжает
понижать центр тяжести, и тело падает.
Из этого разбора вытекают следующие практические меры для
придания станкам, приборам или предметам жизненного оби-
хода наибольшей устойчивости: тела, имеющие площадь опоры,
тем устойчивее, чем больше площадь опоры (рис. 97) и чем
ниже лежит их центр тяжести (рис. 98). Поэтому основа-
ния колонн и подставок
кого рода
лают из
тяжёлого,
части, и
чем сам
предмет.
77а.
циальной
условие
ложения тела. При выводе
тела из устойчивого поло-
жения центр тяжести под-
нимается. Для его подня-
тия надо затратить работу,
на высоту подъёма. Следовательно,
вого положения тело должно извне
быток потенциальной энергии. В положении покоя оно имеет
наименьшую потенциальную энергию. Когда же будет устра-
нена сила, которая вывела тело из положения покоя, то тело
под действием своего веса может переходить только в то
положение, в котором его потенциальная энергия имеет наи-
меньшее значение из всех возможных; поэтому-то вес и воз-
вращает его в положение покоя. В неустойчивом положении
тел£ имеют большую потенциальную энергию сравнительно
с другими
ходе тела
вся-
обыкновенно де-
материала более
чем остальные
более широкими,
поддерживаемый
Рис. 98. Влияние низкого положения
центра тяжести на устойчивость по-
ложения тела.
I ,1 дерево ММ свиней
Минимум потен-
энергии как
устойчивости по-
равную
произведению веса тела
при выводе из устойчи-
получить некоторый из-
возможными для них положениями. При вн-
из неустойчивого положения его потенциальная
энергия должна уменьшаться. Когда тело будет предоставлено
самому себе, его вес не может поднять его центр тяже-
сти, т. е. сообщить ему добавочный запас потенциальной
149
энергии; поэтому тело будет всё дальше и дальше отходить
от первоначального положения.
Отсюда может быть сделан следующий вывод: то положе-
ние тела устойчиво, в котором потенциальная энергия тела
имеет наименьшее значение из всех возможных.
Если при перемещениях тела величина потенциальной
энергии тела не изменяется, то для тела безразличны любые
положения.
78. Реакция опоры. Будет ли на тело действовать сила
тяжести или какая-либо другая сила, тело останется в покое,
если направление силы пройдёт через точку, ось или площадь
опоры.
В то время как закреплённое тело действует вследствие
приложенной к нему силы на другое тело, служащее ему
опорой, это последнее, по третьему закону механики, дей-
ствует на первое тело с равной по величине силой, но про-
тивоположно направленной.
Сила, с которой опора действует на закреплённое тело,
называется реакцией опоры.
В существовании реакции опоры мы убеждаемся, надавли-
вая рукой на стол. При надавливании мы испытываем опре-
делённое ощущение, доходящее до боли при сильном нада-
вливании. Это ощущение показывает, что к нашей руке при-
ложена сила. Значит, не только наше мускульное усилие дей-
ствует на стол, но одновременно и стол действует на нашу
руку с силой, противоположно направленной. Можно убедиться
в том, что реакция опоры равна действующей силе, если
укрепить один динамометр за кольцо, к его крючку присоеди-
нить второй динамометр и натягивать последний. Показания
обоих динамометров будут одинаковы, независимо от системы
и размеров их. Каждый динамометр действует на другой с
равной силой. Следовательно, когда на столе лежит шар или
какой-либо другой предмет, то шар или другой предмет дей-
ствует на стол с силой, равной весу этого тела, и в свою
очередь испытывает со стороны стола действие такой же,
но противоположно направленной силы ’). В таком случае к
шару или предмету будут приложены две равные и противо-
положные силы: его вес и реакция опоры. Эти две силы как
!) От лежащего на столе предмета доска стола прогибается, де-
формируется. Деформируемое тело действует иа деформирующее си-
лой упругости. Таково происхождение силы, с которой доска дей-
ствует на лежащее на ней тело.
150
силы, приложенные
и равнодействующая
может оставаться в
силы.
к одному телу, могут быть сложены,
их будет равна нулю. Потому-то тело и
равновесии, несмотря на действие на него
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман. Занимательная физика, кн. 1, „Встаньте", стр. 20,
„Ходьба и бег", стр. 22.
Упражнение 15.
В
a « b
. '
Рис. 99.
1. В неоднородном шаре центр тяжести лежит на середине радиуса.
Какой случай равновесия представит по-
ложение этого шара на горизонтальной
плоскости (дать объяснение)? Модель ка-
кой детской игрушки представляет такой
шар?
2. При каком положении неоднородный
шар, поставленный на слабо наклонную пло-
скость, может подниматься по ней (рис. 99)
(дать объяснение по чертежу)?

3. Понятие о моменте силы.
Рис. 100. Сила, на-
правление которой
проходит через ось
вращения, не мо-
жет сообщить дви-
жения телу.
79. Действие силы на тело, вращающееся вокруг оси.
Мы видели, что несколько сил, действующих на тело, при
известных условиях можно заменить одной равнодействующей.
Эта равнодействующая сообщит свободному телу равномерно-
ускоренное движение. Если на то же тело
действует сила, равная и противоположная
равнодействующей, то она её уравновеши-
вает, т. е. их общая равнодействующая будет
равна нулю. Когда равнодействующая всех
сил равна нулю, тело движется прямоли-
нейно и равномерно или находится в
покое.
Посмотрим, каково условие уравнове-
шивания сил на телах, вращающихся вокруг
оси. Равновесие наступает всякий раз, как
направление силы будет проходить через
ось опоры (рис. 100). В этом случае сила
будет уравновешиваться реакцией неподвиж-
ной оси, и вращения не будет.
Но если направление силы не проходит через ось, то
сила непременно приведёт тело в движение; при этом дей-
ствие на тело вращающей силы зависит не только от вели-
чины силы, но и от расстояния её от оси. Кратчайшее рас-
151
стояние1) силы от осп вращения тела называется плечом
(рис.4 101). Влияние на вращение тела как величины силы,
так и размера плеча можно выявить на приборе,
изображённом на рисунке 102.
Привесим в точке D на нитке 3 одина-
ковых груза. Плечо этой силы OD равно 4 еди-
ницам. Одна эта сила производит на круг вра-
щающее действие против часовой стрелки. Чтобы
удержать круг в покое, надо приложить другую
силу, которая одна вращала бы круг в проти-
воположную сторону, т. е. по часовой стрелке.
Этого можно достигнуть, прицепив к крючку
Е шнур, перекинутый через блок В, и при-
весив к шнуру 6 таких же грузов. Плечо
Но уравновесить
состоящей из двух гру-
Рис. 101. Плечо
силы.
2 единицам,
силой,
Рис. 102. Прибор для демонстрации
момента силы.
последней силы ОЕ равно
первый груз можно и другой
зов, прикрепив шнур в точке
G, плечо её OG оказывается
равным 6 единицам.
Таким образом, сила в
6 единиц при плече в 2 еди-
ницы оказывает такое же
действие, как и сила в 2
единицы при плече в 6
единиц, т. е. уравновеши-
вает силу в 3 единицы при
плече в 4 единицы.
Напирая с некоторой
силой на дверь, мы знаем,
что откроем её скорее, когда
нажим будет сделан дальше
от оси вращения. Желая оста-
новить вращающееся колесо,
хватают его за обод, а не за ’
части спиц, ближайшие к оси
вращения. Из повторения
многих подобных опытов сле-
дует, что действие силы на вращающееся тело зависит от величины
силы и длины плеча. Поэтому действие силы на вращающееся
тело измеряют особой величиной, называемой моментом* 2).
!) To-есть перпендикуляр ОК, опущенный из точки оси О па на-
правление силы F (рис. 101).
2) От латинского слова movimentum — движение.
152
Момент силы измеряется произведением силы на плечо.
Если обозначить вращающую силу через F, плечо через L,
момент через М, то
М — FL.
В приведённом выше опыте момент каждой силы равен
12 единицам.
80. Лабораторная работа. 2. Вывод условия равнове-
сия сил, приложенных к телу, имеющему ось вращения.
Приборы: 1) метровая линейка; 2) штатив; 3) набор
одинаковых грузов; 4) нитяные петли.
Ход работы. 1. Накинув на линейку петлю, повесьте
её на штатив и передвигайте в петле линейку до тех пор,
пока она не будет находиться в покое в горизонтальном
положении,
2. Нацепив на (три, четыре и т. д.) петли, накинутые на
линейку, разные грузы, перемещайте их по линейке до тех
пор, пока не восстановится её горизонтальное положение
(рис. 103).
3. Запишите в таблицу значения сил Ft, F2 и т. д., из-
мерьте и запишите длину плеча каждой силы Zj, L2 и т. д.
4. Вычислите момент каждой силы относительно оси О,
перпендикулярной к плоскости рисунка; найдите сумму момен-
тов сил, стремящихся вращать тело в одну сторону, и сумму
моментов сил, стремящихся вращать его в противоположную
сторону, и сравните между собой обе суммы.
5. Повторите опыты с различными грузами, помещёнными
на разных местах, вычислите сумму моментов сил, вращающих
по часовой стрелке и против часовой стрелки, и сравните
между собой обе суммы.
Какой можно сделать вывод из опыта относительно равно-
весия сил на теле, имеющем ось вращения?
81. Общее условие равновесия сил. Исследование усло-
вия равновесия сил, приложенных к телу, показывает, что:
Действие сил, приложенных к телу, имеющему ось
вращения, взаимно уравновешивается, если сумма
моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке,
равна сумме моментов сил, вращающих против часовой
стрелки.
Применительно к рисунку 103 можно написать условие
равновесия так:
^ + ^ = ^34-^. (XIVb)
153
Разобранную нами выше задачу — отыскание точки приложе-
ния равнодействующей параллельных сил — можно легко вы-
полнить на основании условия равновесия тела, имеющего
ось вращения. Если приложить к телу в точке приложения
равнодействующей силу, её уравновешивающую, то наступит
равновесие. Тогда можно вообразить, что через точку прило-
жения равнодействующей проходит неподвижная ось. По от-
ношению к этой оси моменты составляющих параллельных
сил будут равны.
Примеры. 1. Найти точку приложения равнодействую-
щей четырёх параллельных сил, направленных в одну сторону:
&
Рис. 103. Тело под действием многих сил.
Рг=5 кГ, /?2 = 8 кГ, Fa — 3 kF, 774=10 кГ. Последо-
вательные расстояния между их точками приложения: 36, 30,
40 см.
Решение. Равнодействующая F2F3Л4 =з
= 26 кГ.
Допустим, что точка приложения равнодействующей будет
лежать вправо от силы F2 на расстоянии х от её точки при-
ложения. Если мы приложим в той же точке уравновешиваю-
щую Rt — R, то тело под действием всех приложенных к
нему сил будет находиться в равновесии. Мы можем в точке
приложения равнодействующей вообразить ось вращения, по
отношению к которой сумма моментов, вращающих по часо-
вой стрелке, должна быть равна сумме моментов, вращающих
против часовой стрелки.
Плечо силы Fj будет равно А1 = 36-|~-*;; Для силы F2
плечо L2 = x; для силы Fa плечо А3 = ЗО— х; для силы Ft
плечо Li = 70 — х (можно воспользоваться рисунком 103).
.4
154
Момент уравновешивающей равен нулю, так как
проходит через ось, и её плечо равно нулю:
5(36-|-х)-|-8х = 3(30 —х)-|-10(70 —х);
1805х8х = 90 — Зх 4-700 — 1 Ох;
Зх+ 10х5х-)-8х = 90-|-700 — 180;
26х = 610; х = ^4= 23,5; х = 23,5 см.
2. Потолочная балка опирается на две каменные опоры,
отстоящие друг от друга на расстоянии 8 м. На расстоянии
3 м от правой опоры находится груз в 16 Л Найти силы
давления на каждую опору (рис. 81).
Решение. С какой силой балка действует на опоры,
с такой же силой опоры действуют на балку. Таким образом,
к балке приложены три силы: 16 Т вертикально вниз, сила х
к левому краю и сила у к правому краю вертикально вверх.
Балка находится в покое. Поэтому сумма всех сил и сумма
всех моментов должны быть в отдельности равны нулю.
Понятно, что сумма двух сил реакций х-]~7=16.
Для применения условия моментов примем любую точку
балки за ось вращения, например, левый край; тогда:
момент силы х . . . х-0 = 0;
момент веса груза . . . 5-16 = 80 (по часовой стрелке);
момент силы реакции у , , . 8у (против часовой стрелки);
87 = 86; 7=10 Т; х = 6 Т.
Приняв за ось вращения правый край балки, будем иметь:
момент силы х . . . 8х (по часовой стрелке);
момент веса груза , . . 3-16 = 48 (против часовой стрелки);
момент силы реакции у , . .7-0 = 0;
8х = 48; х = 6 Т; 7=10 Т.
4. Условия равновесия сил и закон работ
для простых механизмов.
82. Орудие, механизм, машина. Условия равновесия сил
находят применение при расчёте машин, которые в большинстве
случаев должны совершать равномерное движение при действии
на них сил.
Для поддержания своей жизни человек всегда должен был
совершать работу. Для питания он должен был убивать живот-
ных и переносить их к своему жилищу. При устройстве своего
155
жилища ему приходилось перемещать ветви и брёвна, передви-
гать камни или ломать стволы растущих деревьев,
С первых времён своего существования человек стал поль-
зоваться для совершения работы, необходимой ему для сохра-
нения жизни, помимо своих органов, ещё и посторонними телами.
Для раздробления скорлупы ореха он брал в руку камень
и этим каменным молотом разбивал скорлупу. Для поднятия
и перемещения камней и стволов деревьев он применял сук,
которым пользовался как рычагом. При валке деревьев он
пользовался топором или секирой.
Тело, применяемое для работы и предназначенное для пре-
образования величины или направления прилагаемой силы, назы-
вается орудием.
Применение орудий труда и выделило человека из рядов
остальных животных.
Орудие, которое человек держит в руке при производстве
работы, повторяет те движения, которые должна была делать
и невооружённая рука.
Например, при разбивании скорлупы ореха молоток так же
поднимается и опускается, как и кулак. Движения эти не могут
быть ни абсолютно точны, ни очень быстры. Удары молотком
или клинком, или остриём не всегда приходятся на одно и то
же место обрабатываемого тела. Далее, при шитье иглой для
поднятия очень лёгкой иглы и нитки приходится поднимать
тяжёлую руку, затрачивая много лишней работы. Возникающая
в процессе производства потребность уменьшить работу на
бесполезные движения, увеличить точность и скорость дей-
ствия орудия заставила человека вставлять орудия не в слабую
и неверную руку, а в другие тела, которые могли бы совершать
определённые и быстрые движения.
Совокупность тел, в которой перемещение одного тела
(ведущего) вызывает совершенно определённые перемещения
остальных тел этой системы, называется механизмом.
Совокупность механизмов, предназначенная для целесообраз-
ного преобразования энергии и производства за её счёт опре-
делённой полезной работы, называется машиной.
По определению К. Маркса („Капитал", т. I, изд. 8-е, 1936,
стр. 302), машина есть „механизм, который, получив соответ-
ственное движение, совершает своими орудиями те самые
операции, которые раньше рабочий совершал подобными же
орудиями". „После того, как орудие в собственном смысле
слова перешло от человека к механизму, машина заступает
место простого орудия",
156
Цель устройства всякой машины — получение наибольшей
полезной работы из энергии, затрачиваемой на её движение.
Увеличение количества полезной работы достигается главным
образом благодаря определенности движения подвижных частей
машины. Эта определённость движения позволяет сильно уско-
рять движение частей при повышении качества работы по сравне-
нию с менее правильными ручными движениями при той же работе.
Так, швейная машина с механическим приводом делает
1 500 стежков в минуту, тогда как швея за то же время может
выполнить около 50 стежков. Гвоздильная машина выбрасывает
500 гвоздей в минуту, а рабочий при ручной работе может
сделать их несколько сотен в день. Наша задача сведётся
к изучению условия равновесия сил и закона работ на немногих
телах, издавна получивших неточное название „простых
машин" (точнее они называются
простыми механизмами),
именно: блок, ворот, рычаг, на-
клонная плоскость, клин, винт.
Первые три вида механизмов
имеют ось вращения; поэтому усло-
вие равновесия сил на них можно
вывести при помощи правила мо-
ментов.
83. Трение и его происхожде-
ние. Трение состоит в сопро-
тивлении перемещению одного
твёрдого тела относительно дру-
гого, с ним соприкасающегося.
Движение одного тела по по-
Рис. 104. Профили обработан-
ных различными способами по-
верхностей: 1) обдирка, 2) чи-
стовая обточка, 3) обработка
наждачной бумагой, 4) поли-
ровка, 5) тщательная полировка.
верхности или внутри другого
всегда сопровождается трением;
отсюда вытекает важность изу-
чения законов трения.
'Трение при движении ослож-
няет расчёты сил и скоростей
по тем формулам, которые были
выведены на основании законов
механики; чтобы сообщить
массе т ускорение а при движении с трением, потребуется не
сила F—ma, которая была бы достаточна для этого при
отсутствии трения, а ббльшая; при взаимодействии тел скорости
их при движении с трением уже не будут обратно пропорцио-
нальны массам, и будут меньше в зависимости от величины тре-
ния чем при отсутствии трения.
157
Первоначальная, приближённая теория объясняет трение
одного тела по другому существованием неизбежных неровно-
стей, шероховатостей на поверхностях обоих трущихся тел
(рис. 104).
При движении выступы одного тела зацепляют за впадины
другого, вследствие чего неподвижное тело действует на дви-
жущееся с силой, направленной противоположно его скорости.
Эта сила называется силой трения.
Более тщательные исследования видоизменяют это перво-
начальное представление. Найдено, что при соприкосновении
тел в случае весьма гладких поверхностей происходит как бы
сращивание соприкасающихся поверхностей, а при их относи-
тельном движении наступают разрывы, сопровождающиеся по-
. вреждением поверхностей,
не видимым невооружённым
глазом.
83а. Виды трения. В за-
висимости от вида движения
различают два вида трения:
Рис. 104а. Трибометр. трение скольжения и трение
качения.
Трение скольжения наблюдается в тех случаях, когда
при движении одно тело скользит по другому телу.
Примером трения скольжения может служить трение при
движении саней по льду.
Трение скольжения происходит при движении поршней
в цилиндрах паровых машин и в поршневых насосах, во многих
станках.
Трение качения наблюдается в тех случаях, когда дви-
жущееся тело катится по другому телу. •
Примером трения качения служит трение при движении
катков или колёс по какой-нибудь поверхности.
836. Законы трения. Трение сильно зависит от обработки
и состояния трущихся поверхностей. Поэтому законы трения
являются очень приближёнными.
Кулон исследовал законы трения скольжения на приборе
(рис. 104а), называемом трибометром1).
а) Зависимость между силой давления и силой трения
при скольжении. На горизонтально расположенную доску из
исследуемого материала помещают брусок из того же или дру-
гого исследуемого материала. К крючку на бруске прикрепляют
!) По-гречески трибе значит трение, м е т р е о — мерю.
158
динамометр или шнур, перекинутый через блок с привязанной
к нему чашкой для помещения грузов. Надо следить, чтобы
шнур был параллелен нижней доске. Определяют вес бруска Рп.
На чашку, привязанную к шнуру, накладывают постепенно
столько разновесок, чтобы брусок при лёгком постукивании по
нижней доске начал равномерно скользить по ней.
Такого же равномерного скольжения можно добиться натя-
жением пружины динамометра.
Равномерное скольжение показывает, что брусок дви-
жется по инерции. В этом случае приложенные к бруску силы
взаимно уравновешиваются. Такими силами являются сила тре-
ния и сила тяги.
Следовательно, при равномерном скольжении тела сила
трения равна силе тяги.
Сила тяги, а значит и сила трения F измеряются разновес-
ками или динамометром.
Опыт повторяют несколько раз, помещая на брусок разные
грузы и измеряя каждый раз общую силу давления, равную
весу Рп, и силу трения F.
Сравнивая соответствующие ряды значений силы трения
и силы давления, можно вывести закон трения скольжения:
Отношение силы трения к силе нормального давле-
ния для данных поверхностей есть величина постоян-
ная, называемая коэффициентом трения.
. , сила трения
Коэффициент трения = — -----
' г сила давления
р
Обозначим коэффициент трения буквой /, тогда или
F=/P„. ' (XV)
Коэффициент трения при скольжении — отвлечённое число.
б) Независимость коэффициента трения от величины по-
верхности соприкосновения. Помещая брусок на нижнюю доску
разными его гранями и повторяя такие же опыты, как в пер-
вый раз, можно прийти к выводу:
Коэффициент трения не зависит от величины поверхности
соприкосновения для одних и тех же поверхностей.
.Чадо заметить, что этот закон является очень условным:
соприкосновение двух поверхностей происходит благодаря
1) Слова „нормальное давление" в данном случае обозначают, что
сила давления направлена по перпендикуляру к поверхности; в гео-
метрии перпендикуляр к поверхности называется нормалью.
159
шероховатостям в немногих точках, а не по всей геометриче-
ской поверхности.
При очень малых поверхностях, например, при движении
острия гвоздя по дереву, происходит проникновение одного
тела внутрь другого, и для такого случая законы трения
неприменимы.
в) Зависимость трения от скорости скольжения. Опыты,
подобные предыдущим, показывают, что при малых скоростях
коэффициент трения не зависит от скорости. При больших ско-
ростях коэффициент трения изменяется С изменением скорости
в сложной зависимости. Трение заторможенного автомобиля о до-
_ . КМ пл км
рогу при скорости 90 — меньше, чем при скорости 30 — .
г) Влияние смазки на величину трения. Повторяя преды-
дущие опыты с различными веществами (преимущественно с ме-
таллами) сперва без смазки их, а затем смазывая поверхности
какими-нибудь смазочными ве.ществами, можно наблюдать,
что смазка тонким слоем сильно
уменьшает трение.
Покрытие поверхностей
даже тончайшим слоем сма-
зочного вещества предохраняет
поверхности от сцепления и
повреждения и делает воз-
можным плавное скольжение.
Рис. 1046. Трение при качении.
Смазка должна быть доста-
точно жидкой, чтобы смазан-
ные поверхности легко скользили друг по другу. С другой сто-
роны, смазка должна быть достаточно вязкой, чтобы она не
вытекала из пространства между смазанными поверхностями.
В качестве смазки применяются минеральные масла, выра-
батываемые из нефти, касторовое масло (для смазки моторов
самолётов), кедровое и костяное масло (для смазки точных
приборов, часов). Самым густым минеральным маслом является
тавот.
При смазке трение увеличивается с увеличением поверхности
соприкосновения и с увеличением скорости движения.
д) Коэффициент трения качения. Заменим на трибометре
брусок цилиндром (рис. 1046). Сперва закрепим цилиндр
в обоймице так, чтобы он не мог вращаться. Будем его воло-
чить по доске; динамометр покажет силу трения при скольже-
нии. Освободим цилиндр от закрепления и прокатим его равно-
мерно по той же доске. Динамометр покажет силу трения при
160
качении. Сравнение этих двух сил обнаружит, что для одних
и тех же поверхностей трение при качении значительно меньше
трения при скольжении.
Подберём цилиндры одинакового вещества, одинакового
веса, но разных радиусов г. Будем равномерно катить каждый
из них по одной и той же доске при помощи динамометра
и отмечать силы трения. Наблюдения покажут, что сила тре-
ния уменьшается обратно пропорционально радиусу цилиндра.
Коэффициенты трения приведены в таблице III в конце
книги.
83в. Значение трения в природе и технике. Трение всегда
сопровождается нагреванием трущихся поверхностей. Вытаски-
ваемый с трением из доски гвоздь оказывается нагретым. При
большом трении колёс об оси могут загореться деревянные
оси или загорается смазочное масло на металлических осях.
Все инструменты в рабочих станках во время работы движутся
с трением. Получающаяся при движении с трением теплота
рассеивается, теряется. Возникает эта теплота за счёт работы,
затраченной на преодоление трения. Громадная работа затра-
чивается в машинах и на транспорте на преодоление трения
скольжения и трения качения. Отсюда становится ясной чрез-
вычайная экономическая важность задачи уменьшения вредного
действия трения.
Но с вредной стороной трения в одних случаях неразрывно
связано и его полезное значение в других.
Без трения невозможны ни ходьба, ни езда по земле. По
мокрому льду очень трудно передвигаться. Лошадь, свободно
везущая воз по сухой дороге, не в состоянии его сдвинуть
на скользком месте. Колёса паровоза скользят на мокрых
рельсах, и он не движется вперёд. Ткани держатся трением
нитей. Топоры, лопаты и многие другие инструменты удержи-
ваются на рукоятках трением.
На трении основано устройство всякого рода тормозов
в экипажах и вагонах.
Без трения невозможно было бы скрепление частей соору-
жений болтами, гвоздями, клиньями.
Трение позволяет передавать движение от шкива вала
к шкиву станка при помощи ремённой передачи. В отдельных
случаях части машин передвигаются вследствие трения между
ними.
Благодаря силе трения возможна: прокатка металла между
вальцами прокатного стана — выделка рельсов, фасонного же-
леза, проволоки и т. п.
G
Курс физики, ч. I
161
83г. Способы уменьшения вредного и увеличения полез-
ного трения. Так как трение приносит значительный ущерб
народному хозяйству, то принимаются меры для его уменьше-
ния. На основании законов трения применяются два основных
способа уменьшения трения:
а) смазка,
б) замена трения скольжения трением качения.
Для непрерывной смазки над трущимися частями машины
устанавливаются маслёнки разных устройств.
Замена трения скольжения трением качения осуществляется
при помощи шариковых или роликовых подшипников.
В шариковых или роликовых подшипниках вращающийся
вал опирается на шарики или на ролики (рис. 104в), которые
вложены в особое кольцо, соединённое с корпусом машины.
шариковых
Рис. 104в. Шариковый Рис. 104г. Велосипедная деталь на
подшипник. подшипниках.
Во время работы шарики перекатываются, и, таким образом,
трение скольжения вала о подшипник заменяется трением каче-
ния по шарикам или роликам (рис. 104г).
До 1931 г. в СССР шарикоподшипниковой промышленности не
существовало, за исключением небольшого завода. В Москве был
построен гигантский завод им. Л. М. Kai ановича, который освободил
наш Союз от иностранной зависимости в этом отношении и удовле-
творил потребность заводов машиностроения в шарикоподшипниках.
В настоящее время в СССР работают несколько заводов шарико-
подшипников.
Для увеличения трения скользкие дороги и рельсы посы-
паются песком, приводные ремни покрываются специальным
порошком, скрипичный смычок натирается канифолью.
ЛИТЕРАТУРА.
Перельман, Физическая хрестоматия, вып. 1: «Трение сколь'
жения*, стр. 69; .Телега и паровоз*, стр. 70; .Движение поезда*,
стр. 73; .Значение трения*, стр. 74; .Внутреннее трение*, стр. 76.
162
Перельман, Занимательная физика, кн. 2, .От чего зависит
крепость узлов", стр. 44—45.
Лисовский Л., Саломонович А., Силы трения, М. 1948.
Упражнение 16.
1. Зачем на автомобильных шипах делается рельефный рисунок
(протектор)?
2. Зачем зимой на колёса грузовиков надевают цепи?
3. Зачем паровоз и электровоз снабжаются песочницей?
4. Почему трудно держать в руках живую рыбу?
5. Приведите известные вам примеры полезного и вредного тре-
ния, кроме описанных в книге.
6. Почему нельзя писать мелом на классной доске, если она нама-
зана маслом?
7. Почему быстро идущий пешеход, переходя с шероховатой
дороги на скользкую, может упасть назад, а при переходе с гладкой
на шероховатую наклоняется вперёд?
8. Какой' вид трения имеет место при катании па коньках и при
катании на роликах?
9. Опишите, какие изменения произошли бы с вами и предме-
тами, находящимися в вашей комнате, если бы вдруг прекратилось
действие трепня?
10. Вес поезда 490 000 кГ. Чему равна сила трения и сила тяги
при равномерном движении? При решении задач пользоваться табли-
цей III (движение в задачах 10—19 равномерное).
11. Сила тяги лошади 45 кГ. Какого веса воз она может везти по
булыжной мостовой? по грунтовой дороге? Отв. 2 250 кГ.
12. Воз весом в 500 кГ движется силой тяги в 50 кГ. Найти
коэффициент трения.
13. Сани с железными полозьями весят с грузом 650 к Г. Какова
сила тяги их по гладкому льду?
14. Деревянный ящик с грузом весом в 500 кГ передвигается по
деревянному полу (поперёк волокна). Найти силу трения.
15. Отшлифованная бронзовая отливка движется по горизонталь-
ной бронзовой доске с силой в 50 к Г, Найти вес отливки.
1Ь. Металлическое тело весом в 1000 кГ движется своей
отшлифованной стороной по такой же горизонтальной металли-
ческой доске, смазанной маслом, силой в 70 кГ. Найти коэффициент
трения.
17. Кирпич весом в 4 кГ перемещается по кирпичной кладке под
действием силы в 2 кГ. Найти коэффициент трения.
18. Какое трение надо преодолеть при перемещении каменной
кладки по грунту, если вес кладки 900 кГ, а коэффициент
трения 0,45?
19. Сани на железных полозьях весом в 800 кГ передвигались
К W
в течение 2 час. со скоростью 18 —. Найти затраченную работу.
20. Почему брусок, положенный на доску, не сразу начинает
скользить по доске при подъёме её с одной стороны? •
21. Почему при высыпании из мешка зерно не распределяется по
полу ровным слоем, а образуется коническая куча?
1вЗ
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Когда возникает трение одного тела о другое?
2. Как можно объяснить происхождение трения?
3. Какие различаются виды трения?
4. На каком приборе и как можно изучать законы трения?
5. Как зависит сила трения при скольжении от силы нормального
давления?
6. Что называется коэффициентом трения?
7. Каким числом выражается коэффициент трения скольжения?
8. Зависит ли коэффициент трения скольжения от площади сопри-
косновения и скорости движения?
9. Какое значение имеет смазка поверхности?
10. От чего зависит коэффициент трения качения?
11. Сравните трение скольжения и трение качения.
12. В чём состоит вред трения?
13. В чём состоит полезное значение трения?
14. Какие способы уменьшения трения?
15. Когда надо увеличивать трение и какими способами это
можно осуществить?
16. Как устроены шариковые и роликовые подшипники?
84. Работа силы при подъёме груза по наклонной
плоскости. Сравним работы, производимые силами при подъёме
груза на какую-либо высоту по вертикали и по наклонной
плоскости.
Как мы видели в § 68, шла (рис. 69), параллельная длине
наклонной плоскости, необходимая для поддержания тела
в покое или в равномерном движении без трения, должна
быть во столько раз меньше силы, параллельной высоте
плоскости, во сколько раз высота плоскости меньше её
длины, т. е.
F _ h
Р I *
Освободив предыдущее равенство от знаменателя, получим:
Fl=Ph
(XVI)
Ph выражает собой работу подъёма тела на высоту h
плоскости при равномерном движении.
FI выражает работу движущей силы F при равномерном
движении тела вдоль длины I плоскости без трения.
Вторая составляющая силы Р2, действующая на тело, при
э^ом движении работы не совершает, так как она перпенди-
кулярна к возможному перемещению тела. Эта сила, как сила
нормального давления, влияет на величину трения.
164
Работа силы при равномерном подъёме тела без
трения вдоль наклонной плоскости равна работе силы
при подъёме по вертикали на одну и ту же высоту.
Таким образом, при пользовании наклонной плоскостью
для подъёма тела на высоту получается выигрыш в силе, так
как движущая сила всегда меньше веса тела. Но зато пройден-
ный путь по наклонной плоскости больше, чем путь, пройден-
ный при поднятии по вертикали, во столько же раз, во сколько
меньше сила; поэтому при равномерном движении и при отсут-
ствии трения ни выигрыша, ни проигрыша в работе не получается.
В действительности, как мы знаем, при движении одного тела по
поверхности другого неизбежно возникает трение.
Действительная сила тяги вдоль длины плоскости даже при равно-
мерном движении будет больше вычисленной раньше.
Рис. 105. К вычислению работы поднятия груза между двумя
горизонталями.
Если обозначить коэффициент трения при движении данного тела
по наклонной плоскости через /, то сила трения Fy, пропорциональная
силе нормального давления Рп, будет равна F^=zfPn.
Поэтому для поддержания равномерного движения на плоскости
нужна уже сила тяги F2, равная сумме скатывающей силы F и силы
трения Fb
Сила /?=Psina; Рп —Рг = р cosa', следовательно, сила трения
F=fPco»a\ F2 = F\-Fi, F2 = Psma-\-fPtos<i.
Работа силы тяги F2 на пути I будет равна:
A—F2l = Fl-\-Fxl,
85. Работа по преодолению силы тяжести при переме-
щении тела с одной горизонтальной плоскости на другую.
Пусть требуется поднять груз весом Р с гориаонтальной пло-
скости АС на другую горизонтальную плоскость (рис. 105)
165
на высоту h. Этот подъём из точки А в точку В можно про-
извести двумя путями: или по горизонтали АС и вертикали ВС,
или по наклонной АВ.
При перемещении тела по горизонтали АС без трения затра-
чивать работу на преодоление силы тяжести не приходится,
так как вес тела направлен перпендикулярно к возможному
перемещению тела. Следовательно, работа на преодоление силы
тяжести при перемещении тела на пути АС равна нулю, т. е.:
Ллс = 0.
Работа по преодолению силы тяжести на вертикали ВС при
равномерном подъёме:
A = Ph.
DC
Вся работа на пути АС-\-СВ-.
^АС + ВС = А АС Н" ^ВС =
Работа же движущей силы при равномерном движении по
наклонной плоскости без трения:
Длв = /7/.
Как выведено выше, Ph = Fl, следовательно:
^ав — А ВС’
т. е. работа по преодолению силы
плоскости равна работе по подъёму
Рис. 106. Работа поднятия груза не
зависит от формы пути.
исходить (рис. 106) по какой-либо
тяжести по наклонной
тела по вертикали на
высоту наклонной пло-
скости.
Работа по подъёму
тела между двумя го-
ризонтальными плоско-
стями по наклонной пря-
мой равна работе по
подъёму его по вертикали
на ту же высоту.
Если подъём между
двумя горизонтальными
плоскостями будет про-
ломаной линии, например,
ABCDEF, то работа вдоль первого звена ломаной линии
АВ будет равна работе по вертикали АВ у, работа вдоль
второго звена ВС будет равна работе вдоль вертикали BjCj
и т. д. Вся работа вдоль ломаной линии ABCDEF равна работе
166
вдоль всего вертикального расстояния AFlt между двумя край-
ними горизонтальными плоскостями. Тот же вывод можно сде-
лать и относительно движения по AB2C2D2E2F2.
Наконец, работа перемещения груза между двумя горизонталь-
ными плоскостями по кривой линии также будет равна работе
перемещения того же груза между теми же плоскостями по
вертикали, так как кривую линию можно рассматривать как
ломаную с весьма большим числом очень малых звеньев. Следо-
вательно:
Работа по преодолению силы тяжести при переме-
щении тела с одной горизонтальной плоскости на дру-
гую зависит от расстояния по вертикали между этими
плоскостями, но не зависит от формы пути.
86. Коэффициент полезного действия. При пользовании
механизмами происходит преодоление того или другого сопро-
тивления: преодоление силы тяжести при подъёме тела, преодо-
ление сил упругости при растяжении, сжатии, резании предме-
тов и т. п.
Работа по преодолению сопротивления, прилагаемого к меха-
низму, называется полезной работой.
В каждом механизме происходит перемещение тел, сопрово-
ждаемое трением.
Преодоление трения требует ещё добавочной работы сверх
полезной работы. Поэтому полная работа, совершаемая движу-
щей силой, или так называемая затраченная работа А,
должна быть больше полезной работы At. Разность А — At
даёт ту работу, которую необходимо затратить на преодоле-
ние неизбежных вредных сопротивлений.
Так как трение возникает во всякой машине, то для каждой
из них приходится различать работу затрачиваемую, или пол-
ную, и получаемую, или полезную.
Чем больше полезная работа при данной затраченной работе,
тем выгоднее действие машины. О выгодности машины можно
судить, вычисляя, какую часть всей затраченной работы соста-
вляет полезная работа.
Коэффициентом полезного действия машины называется
отношение полезной работы к затраченной работе.
Если обозначить коэффициент полезного действия греческой
буквой (эта), то:
А_
А '
(XVII)
167
Для каждой машины существует свой коэффициент полезного
действия.
Все известные меры к уменьшению трения, как смазка,
замена трения скольжения трением качения, служат для под-
нятия производительности машины, для повышения её коэффи-
циента полезного действия.
87. Лабораторная работа 3. Определение коэффициента
полезного действия для наклонной плоскости.
Приборы: 1) доска для работы с трением; 2) платформа
к ней; 3) набор грузов; 4) метровый масштаб; 5) динамометр
или взамен его блок, жестянка, нить, дробь или песок; 6) весы
и разновес; 7) подставка.
Работа распадается на две части
работу и измерить всю затраченную р
Рис. 107.
нием силы тяги F при равномерном
: измерить полезную
аботу при равномерном
подъёме тела вдоль на-
клонной плоскости.
Полезная работа
при подъёме по на-
клонной плоскости
равна, как выведено
выше, Ph. Отсюда вид-
но, какие величины
должны быть измерены
для определения полез-
ной работы.
Затраченная работа
измеряется произведе-
движении на длину I
наклонной плоскости. Легко сообразить, какие величины надо
определить для вычисления затраченной работы.
Ход работы. 1. Установите приборы, как показано на
рисунке 107.
2. Измерьте высоту h = bc наклонной плоскости над
столом, взяв её на первый раз равной 10 слг, измерьте длину
l=ab наклонной плоскости.
3. Найдите вес платформы и положенных на неё гру-
зов Р кГ.
4. Поставьте платформу с грузами на наклонную плоскость,,
присоедините К кольцу платформы динамометр и натяжением его
приведите платформу в равномерное движение. Заметьте
показание динамометра; таким образом найдёте силу тяги F при
наличии трения. Следите, чтобы динамометр всё время оставался
параллельным длине плоскости.
168
При измерении силы тяги нет необходимости проводить
платформу вдоль всей длины плоскости.
При отсутствии динамометра силу тяги можно определить,
нагружая тарой жестянку, соединённую шнуром, перекинутым
через блок, с платформой, и измеряя вес жестянки с тарой.
5. Выработайте формы таблицы для записи и занесите в неё
измеренные величины, а также вычисленные значения для полез-
ной работы Aj, затраченной работы А и коэффициента полезного
действия т].
6. При той же высоте возьмите новую нагрузку платформы
и определите снова коэффициент полезного действия. Вычислите
среднее из двух найденных значений его при одной и той же
высоте.
7. Повторите опыт для других высот.
8. Сравните коэффициент полезного действия при разных
высотах. Зависит ли и как зависит коэффициент полезного дейст-
вия от высоты наклонной плоскости?
9. Вычислите для каждой высоты работу, идущую на прео-
доление трения на длине пути /, и по ней рассчитайте силу
трения.
10. Вычислите силу нормального давления Рп; по силе
трения и силе нормального давления вычислите коэффициент
трения и сравните его с табличным.
Упражнение 17.
1. На какую высоту надо поднять край доски длиной 2 м, чтобы
можно было втащить по ней груз в 100 кГ, затрачивая силу в 16 кГ
(без трения)? Отв. 32 см.
2. Зачем дорога к вершине горы прокладывается зигзагами по
её склону?
3. Чему должен равняться подъём наклонной плоскости на каждые
100 м её длины, если вдоль неё поднимается груз в 960 кГ силой
в 120 кГ (без трения)? Отв. 12,5 м.
4. Вагон весом в 20000 кГ втягивается при помощи каната на
высоту в 7,5 м по наклонной плоскости длиной в 50 м. Найти силу
натяжения каната при равномерном движении без трения и при трении,
а также коэффициент полезного действия. Отв. 0,98.
5. Тело весом в 1000 кГ поднимается в вагон по наклонной пло-
скости, длина которой 5 м, высота 1 м и коэффициент трения 0,2.
Найти: силу при равномерном подъёме без трения; силу' трения при
подъёме; коэффициент полезного действия.
Отв. 200 кГ; 196 kT'.^z 5О°/о.
6. Поезд весом в 500 000 кГ поднимается в гору с подъёмом 1 м
на 1000 м. Найти силу тяги при равномерном движении с трением;
ввиду малости угла считать нормальное давление равным весу (коэффи-
циент трения равен 0,002). Отв. 1 500 кГ.
169
7. Поезд весом в 500000 кГ поднимается со скоростью 36 —
час
на подъёме в 1 м на 100 м (подъём 0,01). Коэффициент трения равен 0,002.
Найти мощность паровоза (примечание предыдущей задачи имеет
место). Отв. 800 л. с.
8. Сани с грузом общим весом в 200 кГ поднимаются равномерно
на ropj' высотой в 10 м по подъём}' длиной в 40 м. Коэффициент трения
равен 0,02. Найти движущую силу, полезную работу и коэффициент
полезного действия. Отв. =5:54 кГ.
9. Найти силу, с которой сани в предыдущей задаче скатывались
бы с той же горы. Отв. =5:46 кГ.
10. По наклонной плоскости длиной в 80 м и высотой в 16 м
при коэффициенте трения 0,1 втягивают равномерно груз в 225 кГ.
Как изменится коэффициент полезного действия, если поставить наклон-
ную плоскость под углом в 30° к горизонту? Отв. 0,67; 0,85.
11. Паровоз мощностью в 400 л. с. везёт поезд общим весом
в 500 000 кГ на уклон в 0,005 со скоростью в 18—.Определить коэф-
фициент трения (считать Р2 = Р). Отв. 0,007.
12. Паровоз мощностью в 600 л. с. везёт поезд общим весом
в 500 000 кГ на подъёме длиной в 100 м со скоростью в 36 — .
час
Коэффициент трения 0,003. Найти высоту подъёма (считать Рп = Р).
Отв. 0,6 м.
13. Паровоз мощностью в 880 л. с. везёт поезд в 1 000 000 кГ
равномерно на подъём в 0,008. Какой путь пройден за 2 мин. (счи-
тать Pn = Pft Отв. 720 м.
тать Pn=Pfi Отв. 720 м.
14. Определить среднюю мощность Днепрогэса, если средний
расход воды равен 2 000^, напор 37 м, а коэффициент полезного
действия равен 0,85 (вследствие затраты энергии на преодоление со-
противлений при течении). Отв.^= 840 000 л. с.
15. Найти коэффициент полезного действия ветряной установки, если
площадь сечения воздушного потока 4 дм2, а скорость потока
10^ ’ и двигатель поднимает груз в 4 кГ на высоту 1,5 м в пол-
минуты. Отв. 8%.
16. Вес трактора равен 5,5 Г, коэффициент тяги на грунтовой
дороге равен 0,1, мощность трактора 60 л. с:, коэффициент полезного
КМ
действия 0,9, скорость передвижения 5,4-^^. Какая мощность, за
вычетом расходуемой на передвижение самого трактора, тратится на
передвижение прицепных орудий? Отв. 43 л. с.
83. Второй способ уравновешивания сил на наклонной пло-
скости. Можно удерживать тело в покое на наклонной плоскости
или равномерно двигать его по ней при помощи силы, парада
дельной основанию плоскости.
Чтобы найти в этом случае величину уравновешивающей силы,
разложим вес груза, находящегося на наклонной плоскости, на две
составляющие, из которых одну направим перпендикулярно к пло-
скости, а другую параллельно её основанию (рис. 108). Действие
170
перпендикулярной составляющей Р2 уничтожается сопротивлением
плоскости." Составляющая Рх может двигать тело. Для поддержания
его в состоянии покоя или равномерного движения вверх по плоскости
без трения достаточно прилагать силу F, равную и противоположную
силе Рх. Из подобия прямоугольных треугольников с одинаковым
острым углом ОРРу и ВАС следует, что Р^Р:Р2 = ВС:АС:АВ, или
P1:P-.P2 = h:b:l, откуда:
й
b ’
(XVIII)
Освободив равенство Р1 = Ру от знаменателя, найдём:
Pib=Ph.
Ph есть работа по преодолению силы тяжести при вертикальном
подъёме на высоту h.
Pxb можно заменить равной ей величиной Fb, так как PX = F.
Но Fb есть работа силы F на пути Ь. Чтобы поднять тело на высоту h,
движущая сила F должна переместить точку своего приложения от
точки А до точки В на расстояние
Ъ по горизонтали.
И в этом случае работа силы,
параллельной основанию наклон-
ной плоскости, при равномер-
ном движении по плоскости без
трения, равна работе по преодо-
лению силы, тяжести при подъёме
по вертикали на соответствую-
щую высоту.
Рис.
сила
своими
108. Уравновешивающая
параллельна основанию
плоскости.
основаниями. Тогда его
В
89. Клин. Клин — твёрдое
тело, продольное сечение
которого представляет собой
прямоугольный треугольник
(рис. 109). Иногда клин приме-
няется в форме двух прямо-
угольных клиньев, сложенных
сечение представляет собой равнобедренный треугольник.
Клин составляет основную часть колющих, режущих, стро-
гающих инструментов: ножа, ножниц, топора, колуна, стамески,
рубанка, лемеха плуга и т. п.
Клин может быть применён для перемещения тел (рис, ПО),
Стержень D заключён между направляющими плоскостями ЕЕ,
которые позволяют ему совершать движение по вертикали
171
вверх и вниз. Низ стержня заканчивается колёсиком, а верх —
тарелкой, на которую помещается груз L. Для того чтобы
поднять тело L, нужно передвигать клин налево с силой F,
как показано на рисунке.
Далее клин применяется для сжатия тел в клиновых прессах
(рис. 111), для раскалывания тела на части или вообще для
Рис. 109. Клин в сечении. Рис. 110. Подъём тела при помощи
подвижной наклонной плоскости.
проникновения внутрь обрабатываемого материала (режущие,
колющие, рубящие орудия), для скрепления частей изделия.
Представим себе, что клин ВАВг вогнан внутрь какого-нибудь
Рис. 111. Клиновый пресс.
обрабатываемого материала ММ (рис. 112) с силой Р, пер-
пендикулярной к обуху клина BBx—h. Клин производит
давление щ в свою очередь испытывает реакцию со стороны
материала. Эта реакция направлена перпендикулярно к щекам
клина равным I. На рисунке 112 сила Р, перпендикулярная
172
к обуху, разложена на две составляющие F и F, перпендику-
лярные щекам. *
Каждая из этих составляющих равна и противоположна той
силе (не изображённой на рисунке), с которой раскалываемое
тело действует на клин, и поэтому уравновешивает эту силу.
Если бы не была приложена сила Р, то клин при отсутствии
трения был бы вытолкнут из тела.
Из подобия двух равнобедренных треугольников с равными
углами а при вершине следует:
F:P=AB:BBlt
или
F-.P=l'.h.
(XIX)
Для поддержания клина в покое или в равномерном
движении без трения сила, действующая перпенди-
кулярно обуху, должна быть во столько раз меньше
силы, действующей перпендикулярно щеке, во сколько
раз ширина обуха меньше длины щеки.
При пользовании клином получается тем больший выигрыш
в силе, чем тоньше обух и чем длиннее щека.
Щёки клина представляют собой наклонные плоскости.
Поэтому клин, подобно наклонной плоскости, не может дать
выигрыш в работе.
90. Винт. Другим орудием, сводимым к наклонной пло-
скости, является винт.
173
Винтом называется прямой цилиндр, снабжённый на
поверхности винтовой нарезкой (рис. 113).
Нарезка направлена по винтовой линии. Винтовой
линией называется линия
описанная на поверхности цилиндра
гипотенузой треугольника, навёр-
нутого на цилиндр; при этом осно-
вание треугольника должно быть
равно окружности основания ци-
линдра (рис. 114).
Расстояние по образующей ци-
линдра между соседними точками
винтовой линии называется ходом
Рис. 114. Винтовая линия. винта.
Винтом пользуются как орудием
при обработке материалов: для про-
сверливания отверстий в дереве, металле, земле, Винт, приме-
няемый для этих целей, носит название бурава или бурав-
чика (рис. 115).
Тело, плотно охватывающее винтовую нарезку винта,
называется гайкой. На внутренней стороне гайки имеется
тоже винтовая нарезка, только противоположная нарезке
винта: выпуклости винта соответствует вогнутость гайки, и
наоборот. _
Если закрепим гайку и будем вращать винт, то
весь винт продвинется вдоль своей оси на некото-
рый отрезок. Если закрепить винт и вращать гайку, I
то она продвинется вдоль оси винта на некоторый 19
отрезок. Если сделать один оборот, то винт (или I
гайка) продвинется на длину хода винта. я
При работе винта, когда его ввинчивают в дерево j
или металл или приподнимают им какой-либо груз, рис д,.
преодолеваемую силу — сопротивление — прилагают
вдоль оси винта по направлению к его головке.
Силу же действующую, преодолевающую сопротивление, при-
лагают по касательной к окружности цилиндра винта. Обыкно-
венно действующую силу прилагают не прямо к поверхности
цилиндра, а приделывают к винту головку — круг большого
радиуса — или вставляют в цилиндр рукоятку; конец рукоятки
или точки окружности круга и является местом приложения
действующей силы.
Чтобы вывести условие равновесия сил на винте, восполь-
зуемся законом равенства работ, установленным для наклонной
плоскости. Этот закон мы можем распространить и на винт,
174
так как в нём одна сила направлена параллельно высоте,
а другая — параллельно основанию той наклонной плоскости,
длина которой образует винтовую линию.
Обозначим ход винта через Л; радиус головки винта —>
через /?; силу сопротивления, приложенную вдоль оси винта,—
через Р; силу, действующую по касательной к головке
винта,— через F. Тогда при одном обороте винта действующая
сила F переместит точку своего приложения на длину окруж-
ности головки 2тт7? и совершит работу Ap=2kRF. За это же
время точка приложения сопротивления Р переместится на
Рис. 116. Винтовой пресс.
длину хода винта h. Работа по преодолению
будет равна kp=Ph. Из равенства работ
2kRF — Ph, откуда
F=-^.
2г7?
сопротивления Р
Ар—Ар следует:
(XX)
Для удержания винта в покое или в равномерном
движении без трения сила, приложенная к головке
винта, должна быть во столько раз меньше силы,
направленной вдоль его оси, во сколько раз ход винта
меньше окружности головки винта.
В каждом действительном случае работы винта приходится
считаться ещё с силой трения. При известном угле наклона а
гипотенузы, образующей винтовую линию, винт будет само-
1^5
тормозящимся: как бы ни был велик вес груза, напра-
вленный вдоль его оси, винт не придёт в движение, удержи-
ваемый силой трения, хотя бы к его окружности и не было
приложено никакой удерживающей силы.
На этом основано применение винтов для скрепления частей
машин. Для лучшего скрепления ход винта делается очень
малым, и нарезка употребляется треугольная, так как она
даёт большее трение, чем нарезка прямоугольная. Последняя,
наоборот, применяется там, где винт предназначается для
Рис. 118. Гребной винт. Рис. 119. Пропеллер.
передачи движения в грузовых и ходовых винтах, например,
в прессе (рис. 116), домкрате (рис. 117).
На примере домкрата мы видим, что винт применяется и
для перемещения тел. Вращающийся винт (рис. 118) приводит
в движение винтовые суда, самолёты (рис. 119).
Упражнение 18.
^Ширина обуха клина Л = 5 см, длина щеки 25 см. Какая сила
должна подействовать на обух, чтобы преодолеть сопротивление в
60 кГ, приложенное к щеке? Ота. 12 кГ.
2. Сила в 10 кГ, приложенная к обуху, уравновешивает сопро-
тивление, приложенное к щеке и равное 240 кГ. Ширина обуха 60 мм.
Найти длину щеки.
3. Сопротивление в 100 кГ, приложенное к щеке клина длиной
в 10 см, уравновешивается силой в 25 кГ. Найти ширину обуха.
, Отв. 2,5 см.
4, Сила, действующая на обух клипа, равна 300 кГ. Ширина
обуха 40 мм, длина щеки 160 мм. Найти сопротивление, приложен-
ное к щеке.
5. Каково должно быть отношение щеки к ширине обуха, чтобы
-•силой в 120 кГ преодолеть сопротивление в 1000 кГ? Отв. 8 4-.
<5
6. Какой груз можно поднять на домкрате, если ход винта h — 4 мм',
длина рукоятки /?=1 м, действующая па рукоятку сила /7=25 кГ
и коэффициент полезного действия г; = 0,4? Отв. 15 700 кГ.
7. В копировальном прессе ход винта й = 0,5 см, длина рукоятки
/?=20 см, коэффициент полезного действия п = 0,7. Какая должна
быть приложена к концу рукоятки действующая сила, чтобы преодо-
леть сопротивление в 600 кГ) Отв. 3,4 кГ.
176
8i_y обуха клина (рис. 112) й=1 см, длина щеки 7=10 см, дей-
ствующая на обух сила Р=16 кГ. Найти преодолеваемое сопротивле-
ние. Отв. 160 кГ.
9. Какое усилие надо приложить к рукоятке винта, чтобы
преодолеть сопротивление Р=2Т, если ход винта h — 2 см, а длина
рукоятки /? — 50 см? Отв. 12,7 кГ.
10. Сила, прилагаемая к концу рукоятки винта /? = 40 см, равна
Р= 18 кГ. Ход винта Л = 4 мм. Найти преодолеваемое сопротивле-
ние. Отв, 11 304 кГ.
91. Блок. Блоком называется колесо, вращающееся на оси
и имеющее на ободе жолоб для шнура или каната (рис. 120).
Если ось блока во время работы остаётся неподвиж-
ной (рис. 121), то блок называется неподвижным;
Рис. 120. Блок.
Рис. 121. Схема непо-
движного блока.
если ось блока перемещается, то блок называется подвиж-
ным (рис. 122). Блоки предназначены для перемещения грузов.
На жолоб неподвижного блока накладывается канат;
к одному концу его В прикрепляется груз или прилагается
какая-либо другая сила сопротивления f2; к другому концу А
прилагается движущая сила (рис. 121).
Для покоя или равномерного вращения блока вокруг оси О
надо, чтобы момент силы, вращающей его по часовой стрелке,
был равен моменту силы, вращающей против часовой
стрелки.
В случае неподвижного блока плечом той и другой силы
служит радиус блока. Сила Р2 вращает блок по часовой
стрелке и имеет момент F2r, Сила F\ вращает блок против
17?
часовой стрелки и имеет момент Fxr. Из равенства моментов сле-
дует: Fir — F1 г, откуда: ____-
I (XXI)
Итак:
Для покоя или. равномерного движения неподвиж-
ного блока без трения действующая сила должна
быть равна сопротивлению.
Неподвижный блок не даёт выигрыша в силе, но позво-
ляет изменять направление движущей силы. Если надо под-
нять груз с уровня земли на уровень второго этажа здания,
то при непосредственном приложении силы к грузу движущая
сила должна быть направлена вертикально вверх. Невозможно
поднимать груз на такую высоту, действуя непосредственно
руками. Но прикрепив груз к концу каната неподвижного
блока, укреплённого на верху здания, и натягивая руками дру-
гой конец каната вертикально или наклонно вниз (например,
по направлению HaFj), можно поднять груз на высоту любого
этажа.
Оценим работу движущей силы и силы сопротивления при
пользовании неподвижным блоком. Чтобы переместить груз
или вообще точку приложения сопротивления на высоту h,
надо вытянуть другой конец каната, т. е. переместить точку
приложения движущей силы также на расстояние h по напра-
влению силы. Чтобы преодолеть силу сопротивления F2, надо в
точке её приложения приложить силу, равную и противопо-
ложную ей. Тогда работа по преодолению сопротивления на
пути h будет равна A2 = F2h. Работа движущей силы Fx на
таком же пути h будет равна Ax = Fxh. Так как F2 = FX, то
Л2 = Л1.
При равномерном поднятии груза без трения при
помощи неподвижного блока работа движущей силы
равна работе по преодолению сопротивления:
Отсюда следует, что и с помощью неподвижного блока
выигрыш в работе получить нельзя. Напротив, в каждом блоке
неизбежно трение; поэтому движущая сила F{ будет больше
силы сопротивления на величину силы трения. Работа затра-
ченная будет больше полезной работы поднятия груза, и не-
подвижный блок будет иметь больший или меньший коэффи-
циент полезного действия в зависимости от величины
трения.
При пользовании подвижным блоком поднимаемый груз
привешивают к крючку обоймицы, охватывающей ось блока
178
(рис. 122); точка приложения силы сопротивления лежит на
оси блока. Движущая сила, поднимающая груз, прилагается
к какой-либо точке свободного конца каната, например к
точке А. Вместо того чтобы направлять движущую силу
вертикально вверх, можно перекинуть канат через неподвиж-
ный блок и приложить такую же силу вертикально вниз. При
подъёме подвижного блока весь блок вращается вокруг оси,
проходящей через точку касания ’) к блоку укреплённого конца
каната. Ось направлена перпендикулярно к плоскости чертежа.
Чтобы убедиться в этом, надо нанести на блок близ его
окружности какие-нибудь метки.
При подъёме блока метка у точки касания совершает
самое малое перемещение. Значит, через точку О проходит в
этот момент ось вращения. По отно-
шению к этой оси сила сопротивления
Fr имеет плечо, равное радиусу блока
г, и момент, равный Frr. Движущая
сила имеет плечо, равное диаметру 2г,
и момент 2гД2. Сила Ft стремится
вращать блок по часовой стрелке,
сила F2 — против. Из равенства момен-
тов ZrFz — F^r следует:
^ = 1^.
(XXII)
F,
Рис. 122. Схема подвиж-
ного блока.
Для покоя или равномерного
движения подвижного блока без
трения действующая сила должна
быть вдвое меньше сопротивления.
Таким образом, при пользовании
подвижным блоком получается выиг-
рыш в силе вдвое.
Чтобы поднять на подвижном блоке
точку приложения сопротивления на
высоту h, надо, как видно из рисунка, 122, подтянуть осво-
бождающиеся части каната 00 и АА, которые в сумме
составляют 2Л. Следовательно, движущая сила при этом пере-
мещает точку своего приложения на расстояние, вдвое боль-
шее, чем путь точки приложения сопротивления.
!) Для момента, изображённого на рисунке 122, временная ось
вращения проходит через точку О.
179
Работа по преодолению сопротивления A1 = F1h. Работа
движущей силы A2 — 2hF2, но F2 = у ^i> откуда А2 —
^h-F^Ffi.
При равномерном поднятии груза без трения при
помощи подвижного блока работа движущей силы
равна работе по преодолению сопротивления.
Выигрыша в работе быть не может.
, Во всех действительных блоках, вращающихся с трением,
затраченная работа больше полезной.
92. Полиспаст. Чтобы получить ещё больший выигрыш
в силе, чем на одном подвижном блоке, соединяют несколько
блоков вместе. Соединение блоков по опре-
А*
Рис. 123. Крат-
ный полиспаст.
делённому способу называется
стом1). Полиспаст, составлен-
ный из одинакового числа по-
движных блоков в одной обой-
мице и неподвижных в другой
обоймице, называется кратным
(рис. 123). Иногда все подвижные
блоки насаживаются на одну
общую ось, все неподвижные —
на другую (рис. 124). Чтобы под-
нять груз на высоту в 1 м с по-
мощью полиспаста с 6 блоками,
изображённого на рисунке 123,
надо подтянуть на 1 м каждую
из 6 верёвок, охватывающих блоки,
тогда свободный конец каната
должен быть вытянут на расстоя-
ние, в шесть раз большее, т. е.
на 6 м. Отсюда при равенстве
работ действующая сила должна
быть в шесть раз меньше пре-
одолеваемого сопротивления.
Вообще при п блоках под-
нятие груза на Л л требует
полис па-
Рис. 124. По-
лиспаст с бло-
ками на об-
щей оси.
подтягивания каждой из п верёвок на h м, следова-
тельно, свободный конец верёвки должен быть вытянут
на nh м.
]) От греческих слов: полис — многий, с п а о — тяну.
180
Работа по преодолению сопротивления Fr
будет равна A1 = F1h. Работа движущей силы
nh будет равна A2 = nhF2. При равенстве работ
откуда:
на пути h
F2 на пути
nhFi—hFy,
(XXIII)
Для покоя или равномерного движения груза на крат-
ном полиспасте без трения действующая сила должна
быть меньше сопротивления во столько раз, сколько
в полиспасте всех блоков.
Полиспасты применяются на складах для поднятия грузов,
на постройках — для поднятия материалов, на парусных судах —
для натягивания вантов, под-
держивающих мачты, и т. д.
Принципом же полиспаста
пользуются для натягивания
экранов, тентов и т. д.
На практике в кратных по-
лиспастах не применяют больше
трёх подвижных блоков. При
большем числе их сила трения
становится настолько большой,
что полиспаст уже не даёт
большого выигрыша в силе.
93. Ворот. Воротом назы-
вается вал с насаженным на
его ось колесом (рис. 125).
Во время работы ворота ось
Рис. 125. Ворот.
его вращается в неподвижных подшипниках. Колесо может быть
заменено отдельными спицами, направленными по радиусам.
Такой ворот применяется для поднятия воды из колодцев.
Ворот входит составной частью в лебёдку, предназна-
ченную для перемещения тяжёлых тел (рис. 126). Ворот, ось
которого поставлена вертикально, носит название кабестана
(рис. 126а). Кабестаны часто употребляются на судах для
подъёма якорей.
Преодолеваемое посредством ворота сопротивление обык-
новенно прилагается к канату, намотанному на вал. Сила,
уравновешивающая сопротивление или поддерживающая равно-
мерное вращение ворота, прилагается к канату, намотанному
на колесо. Действующая сила может быть приложена и без
181
каната, непосредственно к окружности колеса или внешнему
концу радиальных стержней. Обе силы прилагаются по каса-
Рис. 126а. Кабестан.
Рис. 126. Лебёдка.
тельным к окружностям вала и колеса (рис. 127). Действую-
щая и преодолеваемая силы должны быть приложены к вороту
так, чтобы давать вращающие моменты
противоположного направления.
Плечо движущей силы F2 равно R —
радиусу колеса; её момент равен F2R.
Плечом силы сопротивления Fj служит
f — радиус вала; её момент равен F}r.
Из равенства моментов F2R = F.r сле-
дует: ____
F2-.Fl~r'.R,
(XXIV)
следовательно:
Рис. 127. Схема ворота. Для покоя или для равномерного
вращения ворота без трения сила,
приложенная к колесу, должна быть во столько раз
меньше силы, приложенной к валу, во сколько раз
радиус вала меньше радиуса колеса.
При повороте колеса ворота на полный оборот действую-
щая сила F2 переместит точку своего приложения на длину
окружности 2тг/? и совершит работу /Ц. = 2tt/?F2. За это
время точка приложения сопротивления F, переместится на
182
длину окружности вала 2тгг. Работа, затраченная на преодо-
ление сопротивления, будет равна Ар, = 2пгР1.
Умножив на 2п обе части равенства Flr=xF2R, преобра-
зованного из равенства XXIV, получим:
2ш7='1 = 2тг/?/72, т. е. Лг, = Лг„
следовательно:
При равномерном движении ворота без трения
работа действующей силы и работа по преодолению
сопротивления равны.
Упражнение 19.
I. При помощи' неподвижного блока поднимают груз в 240 кГ
па высот}' в 2 м Силой в 300 кГ. Найти полезную работу и коэффи-
циент полезного действия. Отв. 480 кГм; 0,8.
2. При помощи подвижного блока поднимают груз в 210 кГ на
высоту 1,5 м силой в 120 кГ. Найти полезную работу и коэффициент
полезного действия. Отв. 315 кГм\ 0,87.
3. Какое усилие, сравнительно со своим весом, развивает чело-
век, поднимая себя за верёвку, привязанную к его телу и перекину-
тую через неподвижный блок?
4. Кратный полиспаст состоит из 4 пар блоков. Какую надо прило-
жить силу, Чтобы поднять без трения груз в 500 к Г? На какую высоту
будет поднят груз, если свободный конец верёвки был вытянут на
10 м1 Чему равна полезная работа? Отв. 62,5 кГ, 1,25 м.
5. Какую силу надо приложить к колесу ворота, чтобы уравно-
весить без трения Груз в 300 кГ, приложенный к валу ворота, если
радиус вала 40 см, а радиус колеса 1,2 ж? Отв. 100 кГ.
6. Какую силу надо приложить к верёвке неподвижного блока,
чтобы равномерно поднимать груз в 96 кГ, если коэффициент полез-
ного действия блока 0,8? Отв, 120 к Г.
7. Какую силу надо приложить к верёвке подвижного блока,
чтобы равномерно поднимать груз в 60 кГ, если коэффициент полез-
ного действия равен 0,75? Отв. 40 к Г.
8. Какой груз можно равномерно поднимать на кратном поли-
спасте при 3 парах блоков силой в 95 кГ, если коэффициент полезного
действия 0,6? Отв. 342 кГ.
9. Какую силу надо приложить к колесу ворота, чтобы равно-
мерно поднимать груз в 120 кГ, приложенный к валу, если радиус
вала 30 см, диаметр колеса 1,5 м и коэффициент полезного действия
равен 0,75? Отв. 32 кГ.
10. Колодезный ворот имеет радиус вала в 30 еле и радиус колеса
в 1,2 м. Канат вала охватывает подвижной блок, к которому привешен
груз в 48 кГ. Свободный конец каната прикреплён к верхней балке
колодца. Какое усилие надо приложить к колесу ворота при равно-
мерном подъёме груза без трения и какую надо развить мощность,
кГ'м
чтобы подъём на высоту 30 м сделать в 2 мин.? Отв. 6 к Г; 12-.
сек
11. Сколько пар блоков надо взять в кратном полиспасте, чтобы
равномерно поднимать груз в 360 кГ силой в 100 кГ при коэффициенте
полезного действия в 0,6? Отв. 3 пары.
183
12. Каково должно быть отношение радиусов вала и колеса ворота,
чтобы можно было равномерно поднимать груз в 400 кГм силой
в 100 кГ, если коэффициент полезного действия ворота 0,8? Отв. 1:5.
13. На кратном полиспасте совершена полезная работа в840кГ.и
при равномерном поднятии груза на расстояние 2 м. При движущей
силе в 100 кГ коэффициент полезною действия 0,7. Сколько* пар
блоков в полиспасте? Отв. 3 пары.
94. Рычаг. Рычагом называется твердое тело, к которому
приложены силы движущие и силы сопротивления, стремящиеся
вращать это тело вокруг какой-либо осн. Поднимая камень
ломом, вырывая гвозди заострённым концом молотка, копая
землю лопатой, перебрасывая лопатой глыбы земли, перенося
тяжести щипцами, гребя вёслами, работая косой, пользуются
этими телами как рычагами в их простейшем виде.
Применим к рычагу основное условие равновесия сил. Одну
из сил, приложенных к рычагу, называют силой сопротивле-
ния, другую (или другие), предназначенную для приведения
его во вращение вокруг оси, называют движущей силой.
Применяя к рычагу общее условие уравновешивания сил,
приложенных к вращающемуся телу, мы найдём, что:
При покое или равномерном вращении рычага без
трения момент силы, вращающей рычаг в одном на-
правлении, должен быть равен моменту силы, вращаю-
щей его в противоположном направлении.
Если схематически изобразить рычаги так, как показано
на рисунке 128, то условие равновесия может быть написано
следующим образом:
F2L2=FXL} или F2:F1 = Z1:Z2. (XXV)
Когда рычаги во время работы будут выведены из своего
положения равновесия на некоторый угол, то точки приложе-
ния сил F2 и F] сместятся по перпендикулярному (к плечам)
направлению на расстояние Л2 и Из подобия треугольни-
ков AjOA2 и ВхОВг следует:
hy‘h2 = L^'.L2.
Из сравнения двух последних пропорций находим;
F2:Fi — hl:ht,
отсюда:
Г2й2 = Г|й1.
184
Из найденного равенства мы приходим к выводу: во сколько
раз движущая сила меньше сопротивления, во столько раз
перемещение её точки приложения больше перемещения точки
приложения силы сопротивления. Перемещение обеих точек
приложения происходит за один и тот же промежуток вре-
мени. Следовательно, точка приложения меньшей силы дви-
жется с большей скоростью.
В этом свойстве рычага
обнаруживается так называе-
мое золотое правило ме-
ханики:
Что выигрывается в
силе, то проигрывается
в скорости перемещения,
и наоборот.
Произведение F2h2 измеряет
работу силы F2 на пути h2.
Произведение Fxhx измеряет
работу силы Fj на пути h1.
Из равенства этих произ-
ведений следует:
При равномерном пере-
мещении рычага без тре-
ния работа движущей силы
равна работе по преодоле-
нию сопротивления.
И в этом случае мы опять
убеждаемся, что выигрыш в
работе на орудии получить Рис. 128. Схематические изобра-
нельзя. Если рассматривать жения рычага.
силу F] как сопротивление,
то, пользуясь рычагом, мы в лучшем случае (при отсутствии
трения) произведём движущей силой F2 такую же работу, кото-
рую затратили бы на перемещение точки приложения сопро-
тивления Fj на то же расстояние hx без рычага.
При наличии же трения работа движущей силы должна
быть больше работы по непосредственному преодолению сопро-
тивления без рычага, так как часть затраченной работы должна
пойти на преодоление вредных сопротивлений. _ Выгода рычага
как орудия заключается не в выигрыше в работе, а в том,
что, пользуясь меньшей силой, можно преодолевать сопротив-
ления большие, чем непосредственно работая над телом. Но
в этом случае происходит проигрыш в том пути, на который
(85
перемещается преодолеваемое сопротивление сравнительно с пе-
ремещением точки приложения движущей силы. Если же в рас-
поряжении работающего имеется сила большая, чем преодоле-
ваемое сопротивление, можно, прилагая большую силу к корот-
кому плечу, выиграть в пути.
Упражнение 20.
Рис. 129. Предохранительный
клапан.
тому плечу в 50 см приложена
1. Предохранительный клапан парового котла представляет собой
рычаг с осью вращения на конце (рис. 129). Диаметр круглого кла-
пана D = 6 см. Давление пара /> = 11 Расстояние клапана от оси
7 см. Вес однородного стержня рычага Р=1 кГ. Длина всего рычага
43 см. Какую силу надо приложить к концу рычага для уравновеши-
вания силы давления пара?
Отв. == 50 кГ.
З^Плечи рычага равны 25 см и
45 см. К меньшему плечу прило-
жено сопротивление в 100 кГ, к
большему приложена сила в 60 кГ,
направленная в ту же сторону и
поддерживающая рычаг в равно-
мерном движении. Найти коэффи-
циент полезного действия рычага
Отв. =&0,93.
-3, К плечу рычага в 20 см
приложена сила в 96 кГ, к дру-
параллельная противоположная сила
в 40 кГ, поддерживающая рычаг в равномерном движении. Найти
коэффициент полезного действия рычага. Отв. 0,96.
4. К плечу в 12 см приложена сила в 150 кГ. Какую надо прило-
жить параллельную, одинаково направленную силу к другому плечу
в 40 см, чтобы поддерживать равномерное движение рычага?
Отв. 45 к Г.
5. К плечу рычага в 18 см приложена сила в 200 кГ. Какую надо
приложить параллельную, противоположно направленную силу к плечу
в 30 см, чтобы поддерживать равномерное движение рычага?
Отв. 120 кГ.
6. К плечу рычага в 24 см приложена сила в 300 к Г. На каком
расстоянии от оси по другую сторону надо приложить силу в 96 кГ
и куда её направить, чтобы поддерживать равномерное движение
рычага? Отв. 75 см.
7. К плечу рычага в 20 см приложена сила в 60 кГ, На каком рас-
стоянии от оси по ту же сторону, как и первая сила, надо приложить
вторую силу в 24 кГ и куда её направить, чтобы поддерживать рав-
номерное движение рычага? Отв. 50 см.
8. Чему равна и куда направлена реакция во всех предыдущих
вадачах на рычаги?
ЛИТЕРАТУРА
Ханфштенгель, Общедоступное введение в технику, статья
.Расчёт мостовой фермы на основе закона рычага', стр. 25—28.
18»
П е р е л ь м а н, Занимательная физика, кн. 1, статья „Сильнее
самого себя", стр. 38—39; кн. 2, статья „Мог ли Архимед поднять
Землю", стр. 38—40.
Покровский Г., Движение и сила, гл. III.
95. Закон сохранения работы в применении к машинам.
Перед нами прошёл целый ряд орудий — наклонная плоскость,
клин, винт, рычаг, блок, ворот, которые изобретены челове-
ком для того, чтобы при помощи их совершать работу над
необходимыми ему для его хозяйственных целей телами, вза-
мен непосредственного приложения к этим телам своих мус-
кульных усилий.
Мы видели, что, работая при помощи этих орудий, человек
может выиграть или в силе, или в пути перемещения тела; но
никогда, ни на каком орудии он не может выиграть в работе.
Работа, совершаемая приложенной к орудию дви-
жущей силой, всегда в точности равна работе по пре-
одолению всех сопротивлений — полезных и вредных.
Эти орудия входят в состав других более сложных со-
оружений, называемых машинами. Поэтому для всех машин
имеет место формулированный выше общий закон, называемый
законом сохранения работы.
Из разобранных выше механических явлений и из разбора
работы машин мы убеждаемся, что в механических явлениях
происходит только преобразование энергии, но не
создание или исчезновение её.
Закон сохранения энергии разрушает давнюю мечту многих
изобретателей об устройстве такого двигателя, который, по-
лучив один раз запас энергии, сам собой возобновлял бы в
дальнейшем убыль этой энергии, идущую на производство полез-
ной работы, и непрерывно давал бы полезную работу. Такой
двигатель получил название вечного двигателя, или —
на латинском языке — перпетуум мобиле (perpetuum mobile).
Много средств, сил, здоровья и даже жизней было принесено
в жертву этой мечте об устройстве вечного двигателя.
За долгий исторический период поисков перпетуум
мобиле таких проектов насчитываются тысячи, и среди них
много очень интересных J).
Но тщательное изучение физики и открытие её основного
закона — закона сохранения энергии — выбивают почву из-под
этой мечты. Самая невозможность построения вечного
Разбор некоторых из них мог бы служить темой рефератов
в физических кружках.
двигателя, несмотря на многочисленные и многовековые
попытки его изобретения, служит опытным доказательством
закона сохранения энергии.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Что называется машиной?
2. Каково условие равновесия тела на наклонной плоскости при
действии силы, параллельной длине наклонной плоскости?
3. Каково условие равновесия тела на наклонной плоскости при
действии силы, параллельной основанию наклонной плоскости?
4. В чём состоит закон работ в применении к наклонной плоскости?
5. Какое влияние оказывает па движение тела по наклонной пло-
скости составляющая веса тела, перпендикулярная длине пло-
скости?
6. Совершает ли составляющая веса, перпендикулярная к длине
плоскости, работу при перемещении тела вдоль длины пло-
скости.
7. Чему должна быть равна сила тяги при равномерном движе-
нии с трением тела по наклонной плоскости?
8. Что называется коэффициентом полезного действия на наклон-
ной плоскости?
9. Изменяется ли коэффициент полезного действия наклонной пло-
скости с изменением угла наклона и как?
10. Каково условие равновесия сил на клине?
11. Можно ли выиграть в работе при пользовании клином, если
нет трения?
12. Для каких целей может употребляться клин?
13. Почему клин может служить для скрепления частей какого-
либо сооружения?
14. Что называется ходом винта?
15. Каково условие равновесия сил на винте?
16. В чём состоит закон работ на винте без трения? .
17. Для каких целей применяется винт?
18. Почему винт может служить для скрепления частей сооруже-
ний?
19. Что называется плечом силы относительно оси вращения?
20. Что называется моментом силы относительно оси вращения?
21. Каково условие равновесия тела, имеющего ось вращения, под
действием многих сил?
22. В чём состоит выгода и невыгода применения рычага?
23. Равна ли затраченная работа полезной работе при наличии
трения?
24. Каково условие равновесия подвижного блока?
25. Каково условие равновесия ворота?
26. Указать точку опоры, точку приложения силы сопротивления,
движущей силы, направления сил в следующих приборах: ко-
ромысло весов, молоток при вытаскивании гвоздя из доски,
портновские ножницы, гружёная тачка при её передвижении,
щипцы для раскалывания орехов, щипцы для углей, лодочное
весло при гребле, шлагбаум, рука, держащая на ладони груз.
Приведите примеры приборов, в которых рычаги применяются
для выигрыша в пути, и примеры приборов, в которых рычаги
применяются для выигрыша в силе.
188
III. ГИДРО-АЭРОМЕХАНИКА.
96. Сжимаемость жидкостей. Как изменяется объём жид-
кости при всестороннем сжатии? Нальём в высокий цилиндр
литр воды или другой жидкости. Она заполнит цилиндр до
некоторой высоты. Будем подливать ещё по одному литру.
Высота водяного столба в 2 л будет вдвое больше, чем
столба в 1 л, при 3 л — втрое больше и т. д. Отсюда следует,
что давление вышележащих столбов жидкости не изменяет
объёма нижних.
Учёные исследовали сжимаемость жидкостей при громад-
кГ
ных давлениях, свыше 40 000 —, и нашли, что сжимаемость
' см2' ’
жидкостей ничтожно мала.
Так, вода при увеличении давления на 1 в преде-
кГ
лах до 500 —: сжимается на 47 миллионных долей первона-
СМЛ
чального объёма при 0°, спирт на 77 миллионных, эфир на
кГ
107 миллионных. В пределах же давлений между 2 500 —=
кГ
и 3 000 —2 вода сжимается на 26, спирт на 28, эфир на
32 миллионные доли начального объёма.
Вследствие ничтожной сжимаемости воды подводные лодки
гибнут от разрыва снаряда или глубинных бомб даже на рас-
стоянии до 50 м от лодки, если только взрыв произошёл на
такой глубине, что вода не поднялась над поверхностью
моря.
96а. Передача давления жидкостями и газами. В проти-
воположность твёрдому телу, рассматриваемому в статике как
такое, частицы которого не смещаются друг относительно
друга под действием сил, жидкость и газ отличаются лёгкой
подвижностью своих частиц. От этой подвижности зависит
иной способ передачи давления жидкостью и газом, чем твёр-
дыми телами.
189
Вспомним, что давление есть величина, измеряемая силой,
отнесённой к единице площади и направленной перпендику-
лярно к поверхности.
Если сила обозначена через F, площадь, на которую дей-
ствует сила, через S и давление через р, то:
(XXVI)
Паскаль (в XVII в.) нашёл, что:
Жидкость или газ, заключённые в замкнутый сосуд,
передают производимое на них давление по всем на-
правлениям равномерно.
Если внутри сосуда любой формы находится жидкость и
если через какое-либо отверстие в сосуде ввести плотно входя-
щий в него поршень и произвести им на жидкость давление, напри-
c. кГ .
Мкг 240НГ мер, в j, то на каждый квадрат-
ный сантиметр любой площади
внутри жидкости передаётся это
добавочное давление в размере 2 — .
В этом свойстве жидкости можно
убедиться на таком опыте. Возьмём
два сосуда (рис. 130) с разными
Рис. 130. Передача давления площадями сечения, соединённые
жидкостями. внизу тонкой трубкой, и наполним
их жидкостью.
Введём в сосуды поршни и допустим, что они могут дви-
гаться без трения, но вместе с тем не пропускают жидкости
у стенок сосудов. Если на поршень с меньшей площадью
подействовать какой-нибудь силой перпендикулярно к нему,
то другой поршень начнёт подниматься. Чтобы удержать его
в покое, надо и к нему приложить силу, направленную верти-
кально вниз. Эта уравновешивающая сила оказывается во
столько раз больше первой силы, во сколько раз площадь
второго поршня больше площади первого поршня.
Например, первый поршень имеет площадь 51 = 6 см» и
на него действует сила F, в 12 кГ, а площадь второго St =
= 120слг. Какая сила действует на второй поршень?
Давление на первый поршень:
\2кГ пкГ
Р — sj1)’ Р — 6 см» ~ 2 см»
ISO
Давление передаётся равномерно на второй поршень; еле-'
довательно, на каждый см2 будет действовать сила в 2 кГ, а
на всю площадь S2 сила Р2. Тогда
F = pSF2 = 2 • 120 см2 = 240 кГ.
2 ‘ 2 2 см2
Так как р = ~ (2), то из сравнения равенств (1) и (2)
02
следует:
F2 Л
т. е. сила давления, передаваемая жидкостью на
г>2
любую площадь, пропорциональна площади.
Рис. 130а. Разрез установки гидравлического пресса.
Этим свойством жидкости постоянно пользуются в технике
например, в гидравлических прессах.
966. Гидравлический пресс. На законе Паскаля основано
устройство гидравлического пресса.
Гидравлический пресс изобретён в 1812 г.
Установка гидравлического пресса состоит из двух частей:
насоса, подающего жидкость, обычно масло, в гидравлический
пресс под большим давлением, и самого гидравлического пресса.
191
В разрезе вид гидравлического пресса показан на рисунке
130а. Чугунная или стальная рама покоится на четырёх сталь-
ных колоннах, установленных на нижней раме.
В этой нижней раме помещается цилиндр. В него по трубе
подаётся жидкость. Она поднимает вверх поршень с гладкой
поверхностью, называемой плунжером. Плунжер соединён с
поперечиной, которая прижимает обрабатываемый предмет к
верхней неподвижной раме.
Обратный ход происходит за счёт собственного веса ци-'
линдра и поперечины, который опускает их вниз, когда масло
выпускается из-под цилиндра.
Если гидравлический пресс предназначен для поковки ме-
талла, то плунжер с поперечиной должен опускаться вниз, и
тогда масло подаётся в цилиндр, находящийся в верхней части
гидравлического пресса.
Обратный ход, т. е. подъём плунжера, производится по-
средством пуска масла в другой цилиндр, специально для
этого предназначенный.
Сила, с которой действует пресс на обрабатываемый пред-
мет, зависит от давления жидкости, поступающей в цилиндр,
и диаметра плунжера.
„ кГ „
Если давление жидкости равно р , то действующая
сила равна произведению давления на площадь круга, соста-
вляющего сечение плунжера.
Если диаметр плунжера D см, то площадь его сечения
п£)2 , „
-j- смг и действующая сила равна
кГ.
Подача масла показана в правой части рисунка. Насос, подающий
масло, приводится в движение каким-либо двигателем, большею ча-
стью электромотором. Масло по трубопроводу т поступает из насоса
в аккумулятор (прибор, обеспечивающий постоянство давления), из
него к распределителю Н, а затем через трубопровод С попадает в
рабочий цилиндр а. Из цилиндра а масло при обратном ходе вытекает
по трубопроводу р в резервуар, откуда оно снова забирается насо-
сом. Величина давления масла колеблется в очень широких пределах
от 6 атм. до 500 атм.
Наиболее употребительная сила гидравлических прессов от
1 000 Т до 2 000 Т; наибольшая сила доходит до 15 000 Т.
Гидравлические прессы применяются в металлообраба-
тывающей промышленности. Стальные слитки, отковыва-
емые для судостроения, для изготовления орудий, для многих
192
отраслей крупного- машиностроения, с каждым годом полу-
чают всё большие размеры; вес их достигает 60 и более тонн.
Они не могут быть обработаны ударами парового молота, так
как действие удара распространяется на небольшую глубину.
Рис. 1306. Гидравлический пресс.
Нажим же гидравлического пресса действует на всю массу
металла.
Широкое применение находят гидравлические прессы в
формовочных машинах для надевания бандажей на колёса,
барабанов на валы, для прессования фарфора, целлюлозы,
картона, роговой массы и других пластмасс. Особенно широко
применяются гидравлические прессы в производстве пище-
вых веществ: добывание растительного масла из семян и пло-
7
Курс физики, ч. I
193
Рис. 131. При-
бор для обнару-
жения давления
внутри жидко-
сти.
дов льна, подсолнечника, хлопчатника, мака, маслин, орехов,
какао и др., выжимание виноградного и плодового, сока, изго-
товление макарон, фильтрование жидкостей.
Рисунок 1306 изображает один из крупных гидравличе-
ских прессов.
97. Давление внутри жидкости. Существует ли давление
внутри жидкости, зависящее от её веса? Если оно существует,
то как оно измеряется на разных глубинах внутри жидкости?
Ответить на эти вопросы можно на основании следующего
опыта.
Возьмём низкий полый металлический цилиндр D, с одной
стороны затянутый тонкой упругой резиновой перепонкой.
В боковую поверхность этой цилиндрической коробки
вставлена трубка Т, которая соединяет воздух внутренности
коробки с водяным манометром (рис. 131).
Коробка может вращаться вокруг оси, сов-
падающей с. диаметром перепонки. Соединив
её резиновой трубкой с манометром и повернув
перепонкой кверху, опускают коробку в глу-
бокий сосуд с жидкостью (водой или любой
другой). При погружении коробки на некото-
рую глубину жидкость в открытом колене
манометра Л1 поднимается: значит, перепонка
прогибается внутрь, , сжимает воздух в коробке
и резиновой трубке. Воздух . выталкивает
жидкость из одного колена манометра в другое.
По мере дальнейшего погружения коробки
в глубь сосуда жидкость в открытом колене
поднимается всё выше и выше.
Если остановить коробку на какой-нибудь
глубине и повёртывать её, то во время этого
вращения на одной определённой глубине пока-
зание манометра остаётся неизменным, независимо от того, будет
ли перепонка расположена горизонтально, наклонно, верти-
кально, обращена вниз или вверх.
Выводы из опыта:
1) в жидкости существует давление, зависящее от её
веса;
2) давление внутри жидкости увеличивается с глубиной;
3) на данной глубине, давление не зависит от положения
площадки; давление на данную площадку при различных её
положениях с боков и снизу вверх будет такое же, как и
сверху вниз,
1S4
Что давление растёт с глубиной и что оно на данной глу-
бине одинаково по всем направлениям, вытекает из основного
свойства жидкости: из её весомости и из
вать равномерно давление по всем на-
правлениям.
Каждый горизонтальный слой жидко-
сти производит своим весом давление на
нижележащие слои. Его вес можно рас-
сматривать как внешний груз, действую-
щий на остальную жидкость. А она по
закону Паскаля передаёт давление равно-'
мерно по всем направлениям.
Не надо смешивать увеличение
давления по мере погружения, зави-
сящее от веса жидкости, и равномерную
передачу внешнего давления.
Из приведённого опыта можно заклю-
чить, что жидкость оказывает давление
на дно и стенки сосуда. Какова бы ни
была форма стенки, каждый квадратный
её свойства переда-
Рис. 131а. Давление
на боковую стенку
равно давлению на
горизонтальную пло-
щадь при одинаковой
глубине.
сантиметр её испы-
тывает такое же давление, какое он испытывал бы, если бы
был расположен горизонтально на глубине, равной глубине
середины такой же площади на боковой стенке, (рис. 131а).
Чему же равно давление на площадку, находящуюся на
дне или внутри жидкости?
Ответ на этот вопрос даёт следующий опыт: пластинка а
(рис. 132) укреплена на одном конце равноплечего рычага; на
Рис. 132. Прибор для измерения силы, с которой действует
жидкость на дно сосуда.
чашку, подвешенную к другому концу рычага, кладут груз,
точно уравновешивающий эту пластинку; прямой цилиндр,
укреплённый на особом штативе, устанавливается так, чтобы
пластинка а служила дном этого цилиндра (см. рис. 132 слева).
195
Затем на чашку кладут какой-либо груз; вес этого груза
создаёт силу, с которой пластинка прижимается к цилиндру;
в цилиндр осторожно подливают жидкость до тех пор, пока
пластинка а не отойдёт немного от цилиндра, что сейчас же
обнаруживается вытеканием жидкости из сосуда. В этот мо-
мент вес груза на чашке измеряет силу давления жидкости на
дно сосуда. Зная площадь дна сосуда и высоту жидкости в
Рис. 133. Располо-
жение разнородных
жидкостей в сооб-
щающихся сосудах.
сосуде, можно вычислить объём нашего
цилиндрического сосуда. Зная же удель-
ный вес жидкости, можно найти вес жид-
кости, налитый в сосуд. Сравнение чисел,
выражающих вес прилитой жидкости и
силу давления её на дно сосуда, пока-
зывает, что эти величины одинаковы.
Следовательно, давление жидкости на дно
пли вообще на любую горизонтальную
площадку, равно весу столба жидкости,
имеющего основанием 1 кв. см и высо-
той расстояние по вертикали от площад-
ки до уровня жидкости в сосуде.
Так как давление не зависит от на-
правления площадки, то из всех опытов получается следующий
общий вывод:
Давление на любую площадку на данной, глубине
измеряется весом вертикального столба жидкости,
имеющего основание I см2, а высоту—расстояние от
середины площадки до уровня жидкости в сосуде, и не
зависит от расположения площадки.
Если площадь S, высота h, удельный вес жидкости d, то
объём вертикального столба равен hS, а вес жидкости или
вся действующая на площадь сила F—dhS, давление ,
откуда:
(XXVIJ)
p — dh.
Какая бы ни была форма сосуда и каково бы ни было
расположение площадки, давление на одной и той же глубине
в данной жидкости будет одинаково. Можно убедиться на
опыте, что в сосуды разной формы, приставленные к подвиж-
ному дну прибора (рис. 132), жидкость должна быть налита
до одной и той же высоты, чтобы дать одну и ту же силу
давления.
196
Не надо смешивать силу давления на дно с весом жидкости,
определяемым взвешиванием жидкости вместе с сосудом. Вес
жидкости в сосуде б больше, а в сосуде в меньше, чем в со-
суде а. Давление же на дно одинаково во всех сосудах.
Для объяснения различия веса жидкости в сосуде и силы
её давления на дно разложим силу давления на любой эле-
мент площадки боковой стенки на две составляющие: одну
горизонтальную, другую вертикальную. Когда каждый из со-
судов рисунка 132 а, б, в будет поставлен на чашку весов,
то равнодействующая горизонтальных составляющих всех бо-
ковых давлений не будет действовать на чашку весов; равно-
действующая же всех вертикальных составляющих прибавится
к силе давления на дно в сосуде б и отнимется от неё в со-
суде в. От этого вес жидкости в сосуде б больше её давле-
ния на дно, в сосуде а меньше его. Заметим, что в сосуде АВ
ничтожное количество жидкости, налитое в тонкую трубку,
производит на дно такую же силу давления, как и весь верти-
кальный столб жидкости, на это дно опирающийся (на рисунке
отмечен пунктиром).
98. Уровни жидкостей в сообщающихся сосудах. Сооб-
щающимися сосудами называются сосуды, соединённые в ниж-
ней части трубкой.
В состоянии покоя столбы жидкостей (рис. 133),
взаимно уравновешивающие друг друга, в сообщающихся
сосудах устанавливаются так, что они производят на
свои основания 9 одинаковые давления, т. е.:

(XXVII)
Это равенство иными словами можно выразить так:
Высоты взаимно уравновешивающихся столбов раз-
нородных жидкостей обратно пропорциональны их
удельным весам.
Если сообщающиеся сосуды наполнить одной и той же
жидкостью, то верхние уровни её во всех сосудах распола-
гаются на одной горизонтали, т. е. высоты столбов жидкости
во всех сосудах будут одинаковы.
Это свойство жидкостей используется при геодезических
работах для определения горизонтальных линий, в водопро-
*) Основания столбов жидкостей — границы соприкосновения их
с третьей жидкостью, уровни которой одинаковы в обоих сосудах.
Обычно в качестве третьей жидкости применяется ртуть.
197
водной сети при распределении воды по этажам, в устрой-
стве артезианских колодцев, фонтанов, водо- и нефтемерных
стёкол и др.
99. Действие жидкости на погружённое в неё тело-
Простым опытом, описанным в начальном курсе физики, уста-
навливается действие жидкости и газа на помещённое в них
тело. Это действие было открыто греческим учёным Архи-
медом почти за 2200 лет до нашего времени и известно
под названием закона Архимеда:
Жидкость или газ действуют на помещённое в них
тело с силой, направленной вертикально вверх и рав-
ной весу жидкости или газа в объёме погружённой
части тела.
Можно показать, что это действие, есть следствие тех
давлений, которые производятся жидкостью или газом на лю-
Рис. 134. К выводу
закона Архимеда.
бую площадку внутри них. Погружённое тело ограничено по-
верхностью, разные части которой лежат на разной глубине.
Нижние части, более глубокие, испытывают
давление снизу вверх, верхние — сверху
вниз. Так как силы, действующие на ниж-
ние части поверхности, больше, чем на
верхние, то силы давления на всю поверх-
ность должны дать общую равнодействую-
щую, направленную вертикально вверх.
Возьмём тело любой формы (рис.; 134)
выделим внутри жидкости, покоящейся
сосуде, такой же объём в точно такой
часть жидкости не перемещается ни
Следовательно, её вес уравновешиваемся
и
в
Эта
ке форме А.
в какую сторону,
равнодействующей всех давлений, производимых на части её
поверхности окружающей жидкостью. Эта равнодействующая
равна весу выделенного объёма жидкости и направлена вер-
тикально вверх. Если представить, что эта часть жидкости
изъята из сосуда и заменена другим телом той же форма.',
то ни в расположении, ни в давлении окружающей жидкости
никаких изменений не произойдёт. Следовательно, как раньше,
на объём жидкости, так и теперь на твёрдое тело будет дей-
ствовать сила, равная весу жидкости в объёме этого тела,
направленная вертикально вверх. Это и утверждается законом
Архимеда. То же рассуждение можно применить и к газу.
Таким образом, на тело, помещённое в жидкость или газ,
действуют одновременно две силы: вес тела Р, направленный-
вертикально . вниз, и.; выталкивающая . сила: Е,. равная, .весу
IS8
вытесненной телом жидкости или газа и направленная верти-
кально вверх. Легко сообразить (рис. 135), что если
вес Р больше выталкивающей силы Г, то тело тонет,
„ „ равен , силе , , .в покое,
, . меньше м силы „ . » всплывает.
Разность F—Р называется подъёмной силой.
Эти соотношения учитываются при управлении подводной
лодкой. Для погружения лодки впускают в её камеры воду
н тем самым делают её общий вес больше выталкивающей
силы волы. Для всплывания лодки вытесняют сжатым возду-
хом волу из камер и делают вес лодки меньше выталкива-
ющей силы воды.
Такие же расчёты применяются при пуске аэростатов, стра-
тостатов, при устройстве понтонных
мостов, при пользовании
различными средства-
ми переправы через
реки, при подъёме за-
тонувших судов и т. д.
100. Плавание тел
на поверхности жид-
кости. Если Р<Р, те-
ло поднимается вверх.
При первом появлении
какой-либо части по-
верхностн тела над уровнем жидкости выталкивающая и
вместе с ней подъёмная сила уменьшаются. Всплывание будет
происходить до тех пор, пока выталкивающая спла не сде-
лается равной весу тела. Таким образом, получается следую-
щее условие плавания тела на поверхности:
Если тело плавает на поверхности жидкости, mi
еес тела равен весу жидкости, вытесненной его погру-
жённой частью.
Закон плавания является основой для расчётов при по-
стройке судов, подводных лодок, а также воздушных кораблей
(аэростатов, дирижаблей). При определении величины возмож-
ной нагрузки того или иного судна необходимо знать вес
его и объём той части судна, которая может быть погружена.
Разность между весом вытесняемой воды и весом судна даст
величину возможной нагрузки.
Тоннажем называется полный вес судна, т. е. вес самого
судна и груза, на нём находящегося, при нормальном погру-
жении судна. Линия, отмеченная на судне поверхностью воды
при его нормальном погружении, называется ватерлинией.
199
Судно с тоннажем в 10 000 Т погружается в воду до ватер,
лгннн в том случае, когда выталкивающая сила воды 10 000 Т
уравновешивает вес судна. Следовательно, вес воды, вытеснен-
ной погружённой частью судна, в нашем примере тоже равен
10 000 Г. Вола, весящая 10 000 Т, занимает объём в 10 000 л’.
Значит, тоннаж численно равен объёму погружённой части
судна в кубических метрах. Поэтому вместо тоннажа иногда
говорят о в о д о и з м е щ с н и и.
Для погружения в воду подводной лодки надо увеличить
её вес в том же объёме. С этой целью наполняют водой специ-
ально устроенные внутри лодки камеры. При подъёме лодки
на поверхность вода выталкивается из камер сжатым воздухом.
Для определения грузоподъёмности воздушных кораблей
(дирижабли, воздушные шары) нужно из веса воздуха в объёме
данного корабля вычесть вес самого корабля. Ввиду сравни-
тельно малого удельного веса воздуха для получения значи-
тельной грузоподъёмности приходится делать эти воздушные
суда очень больших размеров. Они заполняются водородом,
который в 14 раз легче возд'ха, или гелием, который хотя и
тяжелее водорода, ио безопаснее его в пожарном отношении,
так как гелей не горит.
Дирижабли служат для воздушных рейсов, а за воздушными
шарами осталось важное значение в научных исследованиях и в
военном деле (аэростаты наблюдения и заграждения, стратостаты).
101. Определение удельного веса тел на основании за-
р
кока Архимеда. Для определения удельного веса тела d — -^
надо измерить вес тела Р, его объём И и первое число раз-
делить на второе.
Для определения удельного веса твёрдого тела на основании
закона Архимеда надо найти:
1) tec тела в воздухе Р,
2) вес этого тела, погружённого в жидкость, Рх.
Вычислить выталкивающую силу, или вес вытесненной жид-
кости, Р—Рх.
Зная вес вытесненной жидкости, найдём объём её:
Р—Рх
V = —j—L, где d0— удельный вес той же жидкости, в ко-
«о
торой производится взвешивание. Такой же объём имеет и
взвешиваемое тело. Ддя вычисления удельного веса тела надо
его вес Р в воздухе разделить на его объём V:
200
Для определения удельного веса жидкости на основании
закона Архимеда надо найти:
1) вес любого твёрдого тела в воздухе Р;
2) вес этого же тела в жидкости Рг с известным удельным
весом d0;
3) вес этого же тела в исследуемой жидкости Р2.
Тогда Р—Р2 даёт вес исследуемой жидкости в объёме
тела, а Р—Р2 равно весу жидкости с удельным весом d0
в объеме тела; отсюда объем тела равен: V = —3; следо-
“0
вательно:
Другой способ определения удельного веса жидкости на
основании закона Архимеда: надо взять твёрдое тело с извест-
ным удельным весом d и для него найти:
1) вес этого тела в воздухе Р;
2) вес его же в исследуемой жидкости Рг и составить для
удельного веса твёрдого тела вышевыведенное соотношение:
— р^'р"
из него можно вычислить удельный вес исследуемой жидкости:
_ d(P-P,)
а0------р----•
Определение удельного веса твёрдых тел, растворяющихся
в воде, предоставляется сообразительности самих учащихся.
Замечание. Так как воздух оказывает на тело выталки-
вающее действие, то вес всякого тела, определяемый в воздухе,
меньше его веса в пустоте, и изменяется с изменением давле-
ния, температуры, влажности воздуха.
102. Ареометр. Можно измерять плотность жидкости и без
взвешивания её. Для этой цели служит прибор, называемый
ареометром1). Он представляет собой запаянную стеклян-
ную трубку (рис. 136), в верхней части более узкую (шейка).
В нижнюю часть трубки налита ртуть или насыпана дробь
для того, чтобы ареометр плавал в вертикальном положении.
г) От греческого слова а р а й о с — жидкий, метром — мера.
201
Когда ареометр плавает в жидкости, то, как мы знаем, его
вес равен весу жидкости, вытесненной погружённой частью
ареометра.
Если мы будем погружать ареометр в жидкости различных
плотностей, то в более плотных жидкостях один и тот же
ареометр будет погружаться на меньшую глубину, в менее
плотных—на большую. В первом случае достаточен меньший
объём вытесненной жидкости, чтобы вес её сделался равным
весу ареометра, чем во втором.
Для определения при помощи ареометра числового значения
плотности жидкости надо ареометр разметить, градуировать.
Обыкновенно применяют два разных вида ареометров для изме-
рив 136.
Ареометр.
рения плотностей больших единицы и для изме-
рения плотностей меньших единицы.
Если ареометр предназначен для определения
плотностей, больших единицы, то ареометр нагру-
жается ртутью в такой мере, чтобы он. погру-
жался в чистой воде почти до верхушки узкой
трубки; если — меньших единицы, то до её осно-
вания. Ареометр первого типа погружается в
жидкости известной плотности, например, в рас-
творы с плотностями в 1,1; 1,2; 1,3; и т. д.
Ареометр погружается в каждой из них на разную
глубину, и против каждого уровня ставится на
шейке соответствующая метка. Подобным образом
градуируется в жидкостях с плотностями, напри-
мер, 0,9; 0,8; 0,7 и т. д., ареометр второго типа.
Чтобы измерить плотность исследуемой жидкости,
опускают в неё градуированный ареометр и заме-
чают деление по шкале, против которой устано-
вился уровень жидкости.
Иногда на ареометре вместо чисел плотно-
стей ставятся другие обозначения, связанные с
плотностью. Так, на лактометре — ареометре для молока —
проставлены проценты содержания жира. В спиртометре —
ареометре для смеси воды и спирта — процентное содержание
спирта и т. п.
103. Лабораторная работа 4. Определение удель-
ного веса тел по способу гидростатического взвеши-
вания.
Приборы: 1) весы с разновесками; 2) несколько различ-
ных тел тяжелее воды; 3) нитки; 4) стакан; 5) кусок проволоки
длиной в 10—15 см; 6) различные жидкости;
202
Задание 1. Определить удельный вес тела тяжелее воды.
Ход работы. 1. Составьте таблицу для записи данных:
№ опыта Вес тела в воздухе Вес тела в воде Выталкиваю- щая сила Удельный вес тела

2. Привяжите тело на нитке к коромыслу весов и найдите
вес тела в воздухе.
3. Определите вес этого тела, погружённого в воду (сле-
дите, чтобы тело не касалось стенок стакана, стакан не дол-
жен касаться весов).
4. Пользуясь законом Архимеда, определите удельный вес
тела.
5. Повторите определение несколько раз, найдите среднее
значение удельного веса исследуемого вещества, сравните его
с табличным (таблица IV).
6. Проделайте определения для различных тел.
7. Определите удельные веса тех же тел по силе давления,
производимой погружённым телом на жидкость, производя это
определение следующим образом.
Поставьте на одну из чашек весов стакан, наполненный
приблизительно до половины водой, и уравновесьте весы. Вес
и другие данные запишите в таблицу.
№ опыта Вес тела в воздухе Вес стакана с водой Вес стакана с водой при погру- жении тела Объём тела Удельный вес тела

8. Погрузите в воду в стакане какое-либо из ранее взятых
тел, подвесив его на нитке (следите, чтобы тело не касалось
стенок стакана); нитку при этом или держите в руках, или
подвесьте к особому штативу.
9. Уравновесьте весы, держа тело погружённым в воду.
10. Вес запишите в таблицу.
11. Вычислите силу давления, производимого телом на воду.
12. Зная вес тела и силу давления тела на воду, вычислите
удельный вес тела.
203
Задание 2. Определить удельный вес жидкости (спирта).
Ход работы. 1. Привяжите кусок металла к коромыслу
весов.
2. Найдите силу давления на металл при погружении его
в воду.
3. Найдите силу давления на металл при погружении его
в спирт.
4. Пользуясь законом Архимеда, определите удельный вес
спирта.
5. Повторите работу, взяв какую-либо другую жидкость.
Можно выполнить работу и по второму способу, описан-
ному в § 101.
104. Лабораторная работа 5. Вывод из опыта усло-
вия плавания тел.
Приборы: 1) отливной стакан; 2) пробирка с наклеенной
внутри неё полоской бумаги с миллиметровыми делениями;
3) весы; 4) дробь; 5) стакан; 6) спирт; 7) крепкий раствор
поваренной соли; 8) раствор медного купороса.
Ход работы. 1. Взвесьте пробирку.
2. Отвесьте небольшое количество дроби и всыпьте её
в пробирку.
3. Налейте в отливной стакан воды; под отверстие отвод-
ной трубки поставьте пустой стакан.
4. Опустите пробирку в отливной стакан.
5. Отметьте глубину погружения пробирки.
6. Сравните вес плавающей пробирки и дроби с весом
воды, вытесненной из отливного стакана.
7. Добавьте в пробирку дроби, предварительно определив
вес этой дроби.
8. Отметьте новую глубину погружения пробирки.
9. Сравните вес плавающей пробирки и дроби с весом
вытесненной воды. Какая наблюдается зависимость между весами
плавающего тела и вытесненной воды?
10. Замените воду в отливном стакане спиртом и повто-
рите работу.
11. Замените спирт в отливном стакане крепким раствором
поваренной соли и повторите работу.
12. Какая наблюдается зависимость между весом плаваю-
щего тела и весом вытесненной жидкости?
13. Как изменяется глубина погружения плавающего тела
в зависимости от изменения удельного веса жидкости?
105. Атмосферное давление. Землю окружает воздушный
океан — атмосфера.
204
только тем, что на
Так как воздух имеет вес и способен, подобно жидкости,
передавать равномерно по всем направлениям производимое на
него давление, то в воздушном океане, подобно водному,
должно существовать давление, увеличивающееся книзу, умень-
шающееся кверху.
Способ определения атмосферного давления предложен
Торичелли в середине XVII в.
Надо взять трубку длиной около 1 м, е одного конца
запаянную, наполнить её доверху ртутью и, закрыв откры-
тый конец пальцем (рис. 137), перевернуть её и опустить за-
крытым концом в чашку со ртутью. Когда палец будет
отнят, ртуть, несколько опустившись, устанавливается на
некоторой высоте, над которой образуется безвоздушное про-
странство, так называемая торичеллиева пустота. Если столб ртути
не опускается, то это может быть объяснено
его нижнее основание действует сила, равная
его весу и противоположно направленная.
Так как никакого другого тела, соприка-
сающегося с ртутью, кроме воздуха, нет,
то эта уравновешивающая сила может быть
только силой давления воздуха; эта сила
действует на поверхность ртути в чашке
вертикально вниз и передаётся ртутью по
всем направлениям равномерно, следова-
тельно, и на основание ртутного столба
вертикально вверх. Опыт даёт одну и ту
же высоту ртутного столба, считая по вер-
тикали, какой бы ширины трубки в данном
опыте ни брать и в какое бы наклонное
положение ни приводить (пока трубка не
будет заполнена целиком). Все эти обстоятельства показывают,
что в этих опытах действительно мы имеем дело с давлением
атмосферы.
Таким образом, атмосферное давление измеряется весом
вертикального ртутного столба в торичеллиевой трубке,
имеющего основание в 1 см2.
Опыты, произведенные в разные часы и дни и в разных
местах, показывают, что высота ртутного столба, уравновеши-
вающего своим весом атмосферное давление, оказывается в раз-
ных случаях несколько различной.
Давление, соответствующее одному из этих значений высот
ртутного столба, условно принимается за нормальное атмосфер-
ное давление, именно:
Рис. 137. Трубка с
ртутью для опыта
Торичелли.
205
За нормальное атмосферное давление принимается
давление веса вертикального ртутного столба высо-
той в /о см.
Паскаль показал, что вы-
сота ртутного столба пони-
жается с подъёмом вверх. При-
чина та же, что и уменьшение
давления жидкости по мере под-
нятия от дна: уменьшается тот
слой воздуха, который произво-
дит давление на данной высоте.
Вычисление атмо-
сферного давления: так
Как удельный вес ртути равен
Г
13,6^з, то вес вертикаль-
ного столба ртути высотой в
76 см и площадью поперечного
сечения в 1 см2, а следова-
тельно, атмосферное давление
= 1033-^=1,033^.
см2 см2
Давление в 1называется технической атмосферой.
СМй
Очень часто давление выражают просто в см или мм ртут-
ного столба; тогда необходимо прибавлять эти слова. Нельзя
сказать или написать, что атмосферное давление р = 760 мм\
надо выразить так: р = 760 мм рт. ст., или 760 мм Hg (Hg —
обозначение ртути как химического элемента).
Атмосферное давление можно было бы мерить и при
помощи других жидкостей, например, воды, масла. Тогда высо-
ты столбов этих жидкостей можно вычислить из соотношения
dnmhPm = deodheod = dMaChMac— • • • В системе CGS за единицы
давления принимается давление сиды в I дину на 1 см2 ’).
106. Барометры. Атмосферное давление в каждом месте
Земли меняется, колеблясь около некоторого среднего значе-
ния. Так как атмосферное давление есть одно из явлений,
составляющих в своей совокупности погоду, и притом тесно
связанное с другими явлениями, то для изучения погоды его
необходимо измерять.
О В метеорологических сводках атмосферное давление выражается
в настоящее время в миллибарах. 1 миллибар соответствует при-
мерно 0,75 мм рт. ст.
203
Приборы для измерения давления называются баромет-
рами. Барометры делятся на два вида: ртутные (рис. 138)
и металлические (рис, 139). Кроме того, устраиваются
барометры, записывающие свои показания,—
барографы (рис. 140). Простейшим баромет-
ром могла бы служить описанная выше трубка
Торичелли: при повышении давления часть ртути
вгоняется в трубку; уровень в ней повышается,
в чашке понижается; при понижении атмосфер-
ного давления наблюдается обратное. Каждый
раз. для измерения , давления надо измерять раз-
ность верхнего и нижнего уровней ртути.
Для повышения точности отсчётов ртутным
барометрам придают различную форму. Одна из
наиболее употребительных изображена на ри-
сунке 138.
Металлический барометр называется анерои-
дом. Анероид состоит из металлической коробки,
упругая крышка которой изогнута волнисто для уве-
личения подвижности. Из коробки выкачан воздух.
При увеличении атмосферного давления крышка
вдавливается внутрь, увлекает за собой стер-
жень Е; перемещение стержня через рычаг FH
увеличивается и передаётся шнуру 5, который
Рис. 138. Ртут-
ный барометр.
вращает стрелку —указатель Z. При уменьшении
давления упругость ‘ крышки выпрямляет прогиб, и стрелка
другую сторону. Шкала анеро-
ида градуируется (размечается)
повёртывается пружиной К в
по одновременным показаниям
ртутного барометра.
Если к стрелке присоеди-
нить пишущее приспособление,
опирающееся на бумажный вра-
щающийся цилиндр, то прибор
станет сам записывать свои
Рис. 139. Схема металлического показания и будет называться
барометра (анероида). барографом.
> Барограф изображён на
рисунке 140. Надо помнить, что одних только показаний
барометра недостаточно для предсказания погоды.
107. Альтиметр. Второе назначение барометра — измерять
высоту подъёма в атмосфере, При йоднятии вверх цысота баро-
метрического столба понижается. .
107
Отсюда можно вычислить высоту подъёма. Такой расчёт
можно было бы вести очень просто, если бы плотность воз-
духа не изменялась с высотой. Но плотность воздуха сама
изменяется с высотой, поэтому формула расчёта сильно услож-
няется. Можно считать, что в пределах до 600 м понижению
ртутного столба на мм соответствует подъём на 10,5 м при
температуре в 0°.
Для больших высот расчёты усложняются.
Следующая таблица показывает зависимость высоты и да-
вления:
Высота в м........ 0 650 1 360 2 150 5 200 10 000
Давление в см рт. ст. . .76 70 64 58 40 25
Барометры, на которых вместо см рт. ст. нанесены пока-
зания в метрах высоты подъёма, называются альтиметрами.
Они применяются при подъ-
ёмах на воздушных шарах
и стратостатах.
107а. Строение атмо-
сферы. Нижняя граница ат-
мосферы совпадает с по-
верхностью Земли. Верхнюю
границу нельзя указать
точно вследствие рассеяния
частиц воздуха в окружаю-
щее Землю мировое про-
странство.
Рис. 140. Барограф.
На существование атмосферы на разных высотах, очень
значительных, указывают следующие явления:
1. Сумерки происходят вследствие рассеяния лучей солнца
на высоте 60—70 км.
2. Светящиеся облака наблюдаются на высоте 70—80 км.
3. Северные сияния возникают на высоте 80—800 км.
4. Падающие звёзды приходят в раскалённое состояние на
высоте 100—300 км.
Вся толщина атмосферы может быть разделена на слои
с различными свойствами.
Нижний слой называется тропосферой. Его средняя
толщина около И км. (Близ экватора толщина около 18 км,
для широт выше 60° — около 9 км, в промежуточных широ-
тах— около 11 км.)
В тропосфере происходит постоянное перемешивание газов
благодаря ветрам, восходящим и нисходящим токам воздуха.
208
Вследствие такого перемешивания состав воздуха одинаков
во всей тропосфере, как это видно из нижеследующей таблицы
процентного содержания газов на уровне земли и на высоте
И км.
Высота Газы Общее давл. в мм
Аргон Азот Вод. пар Кисло- род Углек. газ Водо- род
0 0,93 77,08 1,20 20,75 0,03 0,01 760
И 0,94 78,02 0,01 20,99 0,03 0,01 168
Кроме этих составных частей, в тропосфере могут нахо-
диться мелкие капли воды или частицы льда в форме облаков
или тумана, пыль минерального происхождения (вулканическая
пыль, песок, сажа, соли) или органического, в том числе грибки
и бактерии, споры.
В крупных городах в 1 см3 воздуха около поверхности земли
заключается до полумиллиона частичек пыли.
В тропосфере плотность воздуха, температура и давление
в общем уменьшаются с высотой.
Перемены, происходящие в тропосфере, обусловливают собой
наступление той или другой погоды в данной местности.
Следующим слоем является стратосфера. Исследование
этого слоя ведётся при помощи автоматических приборов,
поднимаемых на шарах, — зондов и радиозондов1), а также
наблюдателями, поднимающимися на стратостатах.
Основное свойство стратосферы состоит в том, что в ней
отсутствует перемешивание слоёв воздуха по вертикальному
направлению.
В противоположность тропосфере, в которой температура
с высотой уменьшается, стратосфера в её нижней части отли-
чается постоянством или, точнее, очень малым изменением тем-
пературы с высотой. Минимальные температуры, наиболее часто
встречающиеся в этой части стратосферы, лежат между — 45°
и — 60°. В верхней части стратосферы температура даже повы-
шается.
!) Радиозонд — воздушный шар, снабжённый радиостанцией,
позволяющей автоматически измерять состояние метеорологических
элементов и передавать результаты измерений по радио.
20Э
Вследствие такого распределения температуры движение воз-
духа в стратосфере оказывается большей частью более слабым,
чем в тропосфере.
Эти обстоятельства, а также малая плотность воздуха,
позволяющая развить большие скорости, отсутствие облаков,
возможность непрерывного наблюдения за небесными светилами
для определения правильности направления полёта—-всё. это
создаёт громадные преимущества стратосферы для воздушного
транспорта на большие расстояния.
Поэтому исследование стратосферы является весьма важной
задачей для всего человечества. Значительная заслуга в этом
исследовании принадлежит советским учёным.
Рис. 141. Открытый ртутный манометр.
Верхние слои атмосферы получили название ионосферы
ввиду наличия в ней большого количества мельчайших элект-'
рически заряженных частичек — ионов.
108. Манометры. Для измерения давления газа или пара
в закрытом сосуде применяются манометры1).
Манометры устраиваются жидкостные и металли-
ческие. Жидкостные бывают открытые и закрытые. Откры-
тый жидкостный манометр представляет собой две сообщаю-
щиеся в нижних частях трубки, наполненные до некоторого
1) От греческих слов: Манос—редкий, несжатый, не трон-
мера.
210
уровня жидкостью. Верхний конец одной трубки сооб-
щается с сосудом, содержащим газ, давление которого надо
измерить. При этом отмечают высоту барометра Н в см
рт. ст.
Если при сообщении манометра с сосудом уровень жид-
кости не изменяется (рис. 141в), то давление газа равно
атмосферному. Если в манометре налита ртуть и она занимает
положение, изображённое на рисунке 141 б, то давление газа
pi = H-\-h1 см рт. ст.; если же ртуть в манометре занимает
положение, указанное на рисунке 141 а, то давление р2 = Н—
см рт. ст.
Если манометр содержит не ртуть, а другую жидкость, то
показание любого жидкостного манометра надо пересчитать
по формуле dMhM — dpmhpm. Легко
I к Г nal см3
Рис. 142. Металлические манометры.
на показания ртутного
представить себе не-
удобства жидкостного
манометра, в особен-
ности при больших
давлениях (например,
пара в паровых котлах
и газа в компрессорах).
Поэтому в технике
они заменяются метал-
лическими. Металличе-
ские манометры устра-
иваются двух видов.
В одном виде трубка,
присоединяемая к тому
сосуду, в котором из-
меряется давление, за-
крывается волнистой металлической перегородкой W (рис. 142а).
При измерении давления более высокого, чем атмосферное,
перегородка выгибается и через рычаги передвигает стрелку по
шкале.
В манометре другого вида соединительная трубка закан-
чивается дугообразно согнутой упругой полой трубкой R
(рис. 1426). При соединении манометра с сосудом, содержа-
щим газ при давлении, большем атмосферного, трубка выпрям-
ляется в различной степени и через рычаги перемещает стрелку
по шкале, размеченной на „атмосферы".
При сообщении манометра с атмосферой стрелка-указатель
стоит на нуле. Деления на шкале показывают избыток давле-
ния газа над атмосферным.
211
Упражнение 21.
1. Показать, что при работе гидравлического пресса (рис. 130)
работа движущей силы равна работе сопротивления.
2. Чему равно давление внутри воды на глубине 10 лг? 100 л?
3. Чему равна сила давления керосинаJ) на 1 м2 дна цистерны
на глубине 2 л«?
4. Под одинаковым ли давлением вытекает вода из крапов водо-
проводной сети в нижнем и в верхнем этажах многоэтажного здания?
5. Почему иногда в верхних этажах здания вода не идёт через
краны водопроводной сети, тогда как она продолжает вытекать из
кранов в нижних этажах?
6. Почему уровень воды в фонтане никогда не может достигнуть
уровня воды в сосуде, питающим фонтан?
7. В городе имеются постройки высотой до 45 м. Какое давление
воды на уровне земли надо поддерживать, чтобы пользоваться этой
водой в случае пожара в верхних этажах зданий?
8. Подъёмное медицинское кресло поднимается давлением воды
и держится на поршне диаметром в 10 см. Вес кресла вместе с чело-
веком 100 кГ. Какое давление требуется для равномерного'поднятия
кресла (без трения)? Если давление производится нажимом на другой
поршень диаметром в 2 см, то какая сила должна быть приложена
к этом}' второму поршню? Отв. 4 к Г.
9. В одном из сообщающихся сосудов, в нижней части которых
налита ртуть, находится столб воды, высота которого равна 30 см,
а в другом — спирт. Определить высоту столба спирта, если ртуть
в обоих сосудах стоит на одном уровне (d спирта равен 0,8).
Отв. 37,5 см.
10. Столб спирта в сообщающихся сосудах равен 30 см, а уравно-
вешивающий его столб другой жидкости 28 см. Найти удельный вес
другой жидкости.
Отв. 0,84 —j
см3
11. Нижняя часть двух сообщающихся сосудов заполнена ртутью,
над ртутью в однО|М сосуде спирт, а в другом кислота, удельный вес
которой равен 1,2^. Определить разницу в положении уровней
ртути, если верхние уровни спирта и кислоты расположены на одной
горизонтали и высота столба кислоты равна 30 см.
Отв. 0,94 см.
12. Почему гладкая деревянная пластинка, плотно приложенная
ко дну сосуда, не всплывает, если налить в сосуд воды (проверьте
это)?
13. Одинаковая ли выталкивающая сила действует на гирю, погру-
жаемую на разную глубину в ведро с водой?
14. Чему равна выталкивающая сила воды, действующая- на кусок
железа весом в 1 кГ? на кусок пробки весом в 1 кГ?
15. Какой добавочный груз может выдержать цилиндрический
кусок пробки весом в 1 кГ, если ои погрузится в воду до верхнего
основания?
16. Каков истинный вес 1 дм3 алюминия в безвоздушном про-
странстве?
!) Плотность веществ помещена в таблице IV в конце книги.
212
17. На коромысле весов уравновешены латунный и стеклянный
шары. Нарушится ли равновесие, и если нарушится, то в какую сто-
рону, если прибор будет помещён в безвоздушное пространство, или
в пространство, наполненное углекислым газом, или в воду?
18. Какая часть льдины находится ниже уровня речной воды
(льдину можно представить в виде параллелепипеда)?
19. Архимеду предложено было выяснить, состоит ли корона,
сделанная для царя Гиерона, из чистого золота, не разрушая её.
Если бы взвесить корону в воздухе, то она весила бы 1 кГ, а вес
короны при погружении в воду, оказался бы 0,94 кГ. Какой ответ
должен был дать Архимед?
20. Для определения по закону Архимеда удельного веса тел,
растворяющихся в воде, их погружают не в воду, а в какую-нибудь
другую жидкость, удельный вес которой известен, а тело в этой жид-
кости не растворяется.
Кусок медного купороса в воздухе весит 22 Г, а в керосине 14 Г.
Определить d медного купороса. q 22
’ см3'
21. Какой груз нужно положить на деревянный брус, длина кото-
рого 20 см, ширина 10 см и толщина 5 см, для погружения его в воду
так, чтобы верхняя поверхность его была на уровне воды (d древе-
сины 0,6). Отв. 400 Г.
22. Железную балку, погружённую в морскую воду, тянут вверх.
Вес балки 5000 кГ. Определить, с какой силой приходится тянуть
Г
балку в воде, если для морской воды rf=l,03^j.
Отв. 4350 кГ.
J23. Площадь поперечного сечения парохода на уровне воды
S= 3000 м2. Глубина осадки парохода по окончании нагрузки увели-
чилась па 2 м. Определить вес груза, принятого пароходом (d морской
воды 1,03). Отв. 6180 Т.
24. Средняя длина сечения парохода на уровне воды равняется
150 м, ширина 30 м. Определить, на скольгго^увеличится глубина
осадки парохода при увеличении груза на нём’Йа 2000 Т, если паро-
ход будет находиться в морской воде, в пресной.
Отв. 0,43 м; 0,44 м.
25. Пароход, площадь сечения которого S = 4000 м2, весит 6000 Т.
Определить, как изменится глубина осадки парохода при переходе
его из реки в море. Отв. 4,5 см.
26. 'Вес дирижабля (без водорода) равняется 15 000 я;Г. Объём его
20 000 м3. В камерах дирижабля находится 19 700 м3 водорода. Найти
грузоподъёмность или подъёмную силу дирижабля, если 1 м3 водо-
Г
рода весит 100 Г, а для воздуха d = 0,00129 —а. Отв. 8830 кГ.
27. При постройке молов в настоящее время применяется следую-
щий приём. Из железобетона делают полые кубы, которые спускают
на воду и затем буксируют к месту постройки мола, где наполняют
каждый куб камнями и таким образом погружают его на назначенное
место.
Определить глубину погружения такого куба при спуске его на
воду, если ребро куба равняется 2 м, средняя толщина стен равна
10 см, d железобетона равняется 3,5, a воды равняется 1,03.
Отв. 0,97 м,
213
28. Прямоугольная баржа для угля площадью в 100 ж2 имеет'вер-
тикальные бОртЫ. При нагрузке углем допускается погружение на
1,5 м ниже, чем без нагрузки. Сколько угля она может поднять?
Отв. 150 ж*.
Г
29. Плову чая льдина с удельным весом в 0,9 имеет объём в
10000 м9. Найти объём подводной части, если удельный вес морской
воды 1,02 с-^.
30. Вывести закон Архимеда для тела в форме параллелепипеда
на основании расчёта сцл давления, действующих на разные грани
параллелепипеда.
3k. В верхней или нижней части шкалы помещается деление, от-
меченное «числом единица", в ареометре, предназначенном для измере-
ния в жидкостях более плотных, чем вода?
32. Больше или меньше погрузится ареометр в морской воде срав-
нительно с речной?
33. С какой силой действует нормальное атмосферное- давление на
поверхность человеческого тела, равную в среднем 1,6 ж2?
34. При подъёме вверх ртуть в барометре опустилась на 3 мм.
Какова высота подъёма?
35. При соединении с сосудом, содержащим газ, в спиртовом
манометре образовалось превышение уровня в свободном колене над
другим в 27,2 см. Каково давление газа, если атмосферное давление
равно 750 мм рт. ст.?
36. Если в трубке барометра сделать отверстие ниже уровня ртути
в ней, будет ли через это отверстие выливаться ртуть наружу или,
воздух входить внутрь?
37. Сообразите, как определить по закону Архимеда плотность тел
более лёгких, чем вода; и проделайте на опыте такое определение.
38. Почему высота ртутного столба в барометрической трубке не
зависит от ширины трубки?
39. Почему при отклонении барометрической трубки от вертикаль-
ного положения ртуть входит в трубку?
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Что такое давление?
2. Какие установлены единицы давления?
3. Как передаёт давление жидкость? газ?
4. От чего зависит давление внутри жидкости?
5. Зависит ли давление внутри жидкости от направления пло-
щадки?
6. Какова формула давления внутри жидкости?
7. Какими опытами доказывается, что давление на площадку снизу
вверх равно давлению сверху вниз?
8. Как объяснить, что давление на дно не зависит от формы
сосуда?
9. Почему давление на дно меньше веса жидкости в расширяю-
щемся сосуде и. больше в суживающемся? .
10. Какое условие равновесия разнородных жидкостей в сообщаю-
щихся сосудах?
214
11. В чём состоит закон Архимеда?
1, 2. Чему .равна сила, с которой погружённое тело действует на
жидкость? ".
13. Какие три положения могут принимать тела, погружённые внутрь
жидкости, -в зависимости от их веса и веса вытесненной ими
жидкости?
14. Какое условие плавания тела на поверхности жидкости?
15. Что такое тоннаж судна?
16. Как определить удельный вес твёрдого тела гидростатическим
способом?
17. Как определить удельный вес жидкости гидростатическим спо-
собом?
18. Как устроен ареометр и как им пользоваться?
19. Из каких явлений можно заключить о существовании атмосфер-
ного давления?
20. Какой применяется способ измерения атмосферного давле-
ния?
21. Как вычислить силу атмосферного давления на любую пло-
щадь?
22. Как изменяется атмосферное давление при поднятии вверх от
поверхности земли?
23. Каково устройство, назначение барометра и способ пользова
ния им?
24. Каково устройство, назначение манометра и способ пользова-
ния им?
литература;
Васильев, Аэронавтика.
В и но г р а до в, Водопровод и канализация в нашем жилище.
Перельман, Физическая хрестоматия, вып. I гл. Ill, IV, V.
Перельман, Занимательная физика, ч. I, отдельные статьи сз
гл. V; ч. II, гл. VI.
Дюрнбаум, Гидравлический пресс и его применение.
Рубель, Манометр.
Болгаров Н., Подводная лодка, Детиздат, 1940, 127 стр.
Бобр и цк ий Т., Завоевание глубин. Этюды из жизни ЭПРОНа.
109. Внутреннее трение в жидкости и газе. При движе-
нии жидкости и газа в трубе, при течении воды в реке, при
перемещении воздушных масс в земной атмосфере скорост-и
движения частиц этих тел в различных слоях раз-
личны. Этим движения жидкости и газа отличаются от дви-
жения твёрдых тел.
В реке скорость слоёв воды у дна и у берегов наименьшая
вследствие трения между твёрдыми породами ложа реки и
водой.
Но по мере удаления от дна и берегов скорость воды по
степенно растёт. Наибольшая скорость наблюдается в середине
реки (считая от берегов) и ближе к поверхности.
215
Отдельные слои воды, движущиеся с различной скоростью,
скользят одни по другим. При этом скольжении они дей-
ствуют друг на друга с силой, называемой силой внутрен-
него трения.
Когда жидкость или газ текут по трубам, то наименьшую
скорость имеет слой их, прилежащий к стенкам труб. Затем
каждый следующий полый цилиндрический слой имеет ско-
рость, увеличивающуюся по мере приближения к оси цилиндра,
и осевой сплошной цилиндрический слой течёт с наибольшей
скоростью.
Отдельные слои, скользя друг по другу, действуют друг
на друга с силами, сходными с силами трения при скольжении
твёрдых тел; в зависимости от величины силы внутреннего
трения или вязкости различают вещества менее вязкие (вода,
спирт) или более вязкие (смазочное
Рис. 143а. Ламинарное течение.
масло, патока, вар).
Вязкость газов сравни-
тельно с жидкостями чрез-
вычайно мала.
Существование вяз-
кости газа показать на
следующем опыте. Не-
большой цилиндрический
стакан подвешивают или
помещают на подставку
так, чтобы он мог вра-
щаться вокруг, вертикаль-
ной оси, совпадающей с
осью цилиндра. Внутри
него подвешивают на
который всюду будет от-
Если привести во
Рис. 1436. Турбулентное течение.
нитке другой, меньший стаканчик,
делён от первого стакана слоем воздуха,
вращение наружный стакан, то начинает вращаться и внутрен-
ний. Слой воздуха, прилипший к внутренней поверхности пер-
вого стакана, действует силой внутреннего трения или вяз-
кости на соседний слой воздуха и увлекает его за собой;
второй слой увлекает третий и т. д.; наконец, слой, прилип-
ший к наружной поверхности внутреннего стакана, увлекает
и этот
ПО. Вихри в движущихся жидкости и газе. Сила вну-
треннего трения зависит от разности скоростей скользящих
слоёв. Пока изменение скорости при переходе от слоя к слою
незначительно, относительное расположение слоёв текущей
жидкости не нарушается, и поток жидкости (или газа) имеет
стакан.
216
вид, изображённый на рисунке 143а,— так называемое лами«
н а р н о е *) течение жидкости.
Но когда скорость превосходит определённый в каждом
конкретном случае предел, называемый критической ско-
ростью, то взаимное действие скользящих слоёв изменяет
относительное расположение частиц жидкости или газа; возни-
кает завихрение (образование вихрей), изображённое на
рисунке 1436,— так называемое турбулентное* 2) течение
жидкости.
Из этого рисунка видно, что в одной части вихря скорость
вращающихся частиц вещества совпадает с направлением ско-
рости потока, в других частях — противоположно ей.
Завихрение вносит осложнение в распределение скоростей
и в связанное с ним распределение давлений.
110а. Сопротивление при движении тел в газе и жидкости.
Обтекаемость. Вязкость жидкостей и газов является главной причи-
ной того сопротивления, ко-
торое испытывают тела при
движении в жидкости или газе.
Движущееся в жидкости
или газе тело увлекает .при-
липающие к его" поверхности
частицы окружающего веще-
ства. Эти частицы вследствие
вязкости вещества увлекают
за собой соседние слои. Между
этими слоями и остальными
возникают силы трения (вну-
треннего), которые, как всегда,
направлены против скорости.
Таким образом, двигатель,
приводящий в движение тело
внутри жидкости или газа,
должен затрачивать работу не
только на приведение в дви-
жение всех перемещаемых масс,
но и на преодоление сил трения.
Как можно обнаружить различные сопротивления при движении
тел в воздухе? С этой целью пользуются прибором, изображённым на
рисунке 144.
Основная часть прибора — коромысло, подобное коромыслу весов,
только изогнутое. Одна часть коромысла держит стержень В, окан-
чивающийся гнездом; на другой части помещается передвигаемый
Л) Слово ламинарный происходит от латинского слова ламина
(lamina), что значит полоса. Ламинарный — слоистый.
2) Название турбулентный заимствовано от латинского слова
турбуленту (turbulentus), что значит беспорядочный, турбо значит
вихрь.
217
груз А, предназначенный для того, чтобы приводить показатель к нулю,
когда в гнездо стержня В вставляются тела различной формы.
Формы этих тел под номерами 1—8 изображены на приборе и в
верхней части рисунка. Сопротивление зависит только от относитель-
ного движения тела и воздуха. Поэтому вместо движения тела в не-
подвижном воздухе можно изучить движение воздуха относительно
неподвижного тела. .
: Движение воздуха создаётся прибором, называемым феном. Фен —
электрический вентилятор, заключённый в кожух с узким отверстием
(схема — <в верхней левой части рисунка 144). '
Меняя силу тока в моторе, можно сообщить ветру от фена различ-
ные скорости.
Для исследования подбираются тела с одинаковой лобовой Пло-
щадью при разной форме. Лобовой площадью называется площадь проек-
ции тела иа плоскость, перпендикулярную к направлению движения.
Помещая в гнездо стержня В различные тела из набора 1—8 и
направляя на' их переднюю поверхность воздушный поток одной и
той же силы, можно по положению указателя D сравнивать сопротив-
ления тел различной формы.
Подобные опыты показали, что наибольшее сопротивление оказы-
вает полый полу шар, открытый сверху, под №5; наименьшее — тело
под № 7.
£jic. 145; Пластинка.
Рис. 146. Тело обте-
каемой формы в воз-
душном по7оке.
Тело, испытывающее меньшее по сравнению с другими сопротивле-
ние при дайной лобовой площади, называется более обтекаемым.
: От чего зависит обтекаемость той или другой формы? Выяснить
условия обтекаемости можно, наблюдая движение струй воздуха или
воды вокруг различных тел.
Опыты показали, что если поместить в струю воды пластинку
перпендикулярно к потоку, то можно наблюдать картину, изобра-
жённую на рисунке 145; возникают вихри, в которых вода движется
по окружностям вокруг вертикальных осей. Потоки по обе стороны
пластинок не смыкаются около середины пластинки, .а движутся неко-
торое время по инерции прямолинейно. Происходит срыв'потока от
поверхности тела.
Если поместить тело обтекаемой формы, то, как показы-
вает полученный в результате опыта рисунок 146, поток прилегает
к поверхности тела до самого конца его, срыва потока не происхо-
дит, вихри не возникают; только около заднего ребра образуется тур-
булентность.
В результате опытных исследований найдено, что сопроти-
вление, испытываемое движущимся телом, меньше
в том случае, когда меньше завихренность сзади
него. Части жидкости, закручивающиеся в вихри, преобретают доба-
218
вочную сравнительно со спокойно движущейся жидкостью, кинетиче-
скую энергию, которую они заимствуют от двигателя, приводящего
в движение тело. Вследствие этого энергия, идущая на движение са-
мого тела, уменьшается, и тело как бы испытывает добавочное сопро-
тивление от завихрения.
Поэтому-то при обтекаемой форме, вследствие отсутствия завихре-
ний, меньше и сопротивление движению тела.
Итак, сопротивление Движению тела внутри жидкости или газа
зависит.
1) от величины поверхности тела, обращённой в сторону движения
(сопротивление движению пластинки вперёд плоскостью больше, чем
ребром);
2) от скорости движения (сопротивление при быстрой езде больше,
чем при медленной);
2) от формы тела1 при одинаковом лобовом сечении.
Особо большое влияние на увеличение сопротивления оказывает
завихрение позади движущегося , "тела. Поэтом}' для обеспечения наи-
большей скорости при данной мощности двигателя придаётся наиболее
обтекаемая форма самолётам и их крыльям, подводным лодкам, авто-
мобилям, вагонам, торпедам, авйабомбам и т. п.
111. Соотношение между скоростью струи и давлением.
Выше (§ 98) было отмечено,
вление (гидростатическое)
на одном горизонтальном
уровне на всём протяже-
нии сосуда или сообшлю-
щихся сосудов одинаково.
Чтобы изучить распре-
деление давления в движу-
щейся жидкости, можно
составить цепь из насоса с
изогнутой стеклянной труб-
кой, соединённой своими
концами с отверстиями на-
соса, через которые про-
исходит всасывание и нагне-
тание (рис. 147). В разные
места трубки впаяны на рав-
что в покоящейся жидкости да-
Рис. 147. Падение давления в жидко-
сти при одинаковом сечении струи.
ных расстояниях открытые
стеклянные трубки (служащие как бы манометрами).
По заполнении всей цепи водой она установится при без-
действии насоса во всех трубках на одинаковом уровне АВ.
Посмотрим, что произойдёт, когда насос начнёт перегонять
воду по замкнутой трубке.
Рассмотрим сперва случай, когда скорости, течения в любом
месте сечения трубки будут, одинаковыми. Для этого возьмём
219
трубку, которая на всём протяжении имела бы один и тот же
диаметр.
Возникающее при этом явление изображено на том же
рисунке. Из него мы видим, что давление, которое оказывает
жидкость на стенки на одном и том же уровне, постепенно
уменьшается по направлению течения. Очевидно, энергия,
доставляемая насосом, тратится на преодоление внутреннего
трения между слоями жидкости. Чем больше поверхность
соприкосновения слоёв, тем большая сила требуется для пре-
одоления внутреннего трения и тем меньшая часть её остаётся
Рис. 148. Падение давления в жидко-
сти при различных сечениях струн.
для давления на стенки.
Увеличение скорости насоса приведёт к тому, что изменение
давления вдоль трубки становится значительнее, наклон ли-
нии ah к горизонту увеличивается.
Из чертежа, полученного на основании данных опыта, можно
в жидкости (или газе), про-
текающей через трубку
с постоянной скоростью,
прямо пропорционально
длине трубки ').
Как видоизменится явле-
ние, если скорость в трубке
будет меняться от одного
места к другому?
Чтобы ответить на этот
вопрос, надо поставить такой
же опыт с водяной цепью,
включив в цепь трубки раз-
ного диаметра (рис. 148).
Через каждое сечение
трубок цепи (через сечения
труб водяного отопления,
через сечения реки) в еди-
ницу времени проходит одно и то же количество жидкости;
иначе в одних местах при длительном течении получалось бы
накопление жидкости, в других — разрыв потока.
Но через широкое и узкое сечения только тогда могут про-
ходить в единицу времени равные количества жидкости, когда
скорость в узком сечении будет больше, чем в широком. Вспом-
ним стремнины в мелких местах реки.
J) На прямую пропорциональность указывает то обстоятельство,
что концы столбов жидкости, измеряющих давление, лежат на одной
прямой.
220
Таким образом, в нашем опыте в местах трубки, имеющих
наименьшее сечение, наблюдаются наибольшая скорость и наи-
большее падение столба жидкости в
вертикальной трубке.
Давление струи жидкости и газа
наибольшее там, где скорость наи-
меньшая, и наименьшее там, где ско-
рость наибольшая.
Там, где скорость увеличивается,
бблыпая часть силы, продвигающей
жидкость или газ, идёт на сообщение
ускорения и меньшая часть — на про-
изводство давления.
Из этого основного явления можно
вывести следствие: если сделать сече- Рис. 149. Пульверизатор,
ние очень узким, то можно настолько
увеличить скорость, что давление в соответствующем месте
станет меньше атмосферного.
Если в этом месте пробить стенку, то жидкость не будет
вытекать; напротив, излишнее наружное давление будет вгонять
воздух через отверстие в трубке. В этом обнаруживается вса-
сывающее действие быстротекущей струи.
Рис. 150. Втягиваю-
щее действие струи
воздуха.
Рис. 151. Ток воздуха
между двумя шарами
сближает их.
t
Рис. 152. Вследствие
образовавшейся меж-
ду судами стремнины
они сближаются друг
с другом.
Опыт с пульверизатором (рис. 149). При очень
сильном вдувании давление в верхней части вертикальной
трубки падает ниже атмосферного, и атмосферное давление
поднимает жидкость из сосуда по вертикальной трубке до
верха её, где она и разбрызгивается.
22)
Опыт с картонным кружком и катушкой. По-
ложим на стол небольшой картонный кружок, в центр кото-
рого вставлена булавка, приблизим к этому кружку не вплот-
ную катушку от ниток так, чтобы булавка входила в отвер-
стие катушки (для направляющего действия), и начнём сильно
дуть через верхнее отверстие катушки, как показано на ри-
сунке 150. Мы увидим, что кружок притянется к катушке.
В узком промежутке между катушкой и кружком скорость
воздушной струи может достичь такого большого значения,
при котором давление этой струй на кружок станет меньше
атмосферного, и это последнее прижмёт кружок к катушке.
Опыт с шарами. Подвесим два лёгких шара на нитях
на расстоянии около 5 см друг от друга (рис. 151) и будем
продувать между ними струю воздуха с большой скоростью.
Избыток давления со стороны покоящегося воздуха над да-
влением быстро движущейся струи сблизит шары.
Так могут столкнуться два судна, быстро идущие близко друг
от друга параллельным курсом (рис. 152). Образовавшаяся между
ними стремнина производит между судами меньшее давление,
чем окружающая снаружи вода, и вызывает столкновение.
112. Использование зависимости давления от скорости
течения для подъёма самолёта. Основной частью всякого само-
лёта, обеспечивающей создание подъ-
ёмной силы, являются крылья. Дви-
%жение самолёта осуществляется дей-
ствием тяги одного или нескольких
в,,,,тов (пропеллеров), приводимых
.................во Вра1ценне двигателями внутрен-
него сгорания.
Рис. 153. Крылья современных самолётов
изготовляются специальной формы,
или, как говорят, профиля. Нижняя поверхность крыла делается
ровной или слегка вогнутой, а верхняя — более или менее
выпуклой (рис. 153).
Поставленное горизонтально или под небольшим углом
(угол атаки) к встречному потоку, вследствие движения само-
лёта, крыло обтекается струями воздуха, как показано на
рисунке 154. При этом скорость воздушного потока над кры-
лом оказывается несколько большей, чем под крылом. Объяс-
няется это тем, что вдоль верхней части крыла частицы воз-
духа должны пройти путь больший, чем вдоль нижней поверх-
ности. Вследствие неодинаковости скорости струй возникает
небольшая разность давления воздуха над и под крылом:
222
вверху .давление будет меньше. Всё крыло под действием этрй
разности давлений будет испытывать силу, направленную вверх.
Эта сила и является подъёмной силой крыльев.
Разность давления струй, обтекающих крыло, составляет у
современных самолётов 1—2°/0 атмосферного давления, тогесть
около 20 Г на квадратный сантиметр. На квадратный метр поверх-
ности крыла получается уже сила до 200 кГ.
Законы, определяющие, подъёмную силу крыла самолёта,
установил великий русский учёный Н. Е. Жуковский. Он
создал теоретические основы всей современной авиации.
Жуковский Николай Егорович (1847—1921) — гениальный рус
ский учёный, основоположник аэродинамики.
Исходя из своих теоретических соображений, Н. Е. Жуковский
предсказал возможность полёта человека с помощью аппарата, тяжелее
воздуха, до того, как первый
самолёт поднялся в воздух; он
говорил: „Человек не имеет
крыльев и по отношению веса
своего тела к весу мускулов
в 72 раза слабее птицы.’.. Но я
думаю, что он полетит, опираясь
не на силу своих мускулов, а
на силу своего разума”.
Н.’ Е. Жуковский впервые
установил, закон, определяющий
подъёмную силу крыла аэро-
плана. Этот закон является осно-
вой всех авиационных расчётов.
Он разработал теоретические
Рис. 154.
методы получения и исследо-
вания профилей крыльев и рулей самолётов и открыл наиболее
выгодные типы их профилей. Эти профили, названные именем
Жуковского, известны инженерам всего мира как „профили НЕЖ”;
с ними сравниваются, все вновь разрабатываемые формы крыльев и
рулей. Н. Е. Жуковский впервые в науке создал вихревую теорию
винта (пропеллера), позволившую рассчитать силу его тяги, и устано-
вил наивыгоднейшую его форму. Винты, спроектированные По указа-
ниям Н. Е. Жуковского, также были названы его именем как
„винты НЕЖ”.
Н. Е. Жуковский был основателем крупнейшего в СССР'научно-
го учреждения, разрабатывающего вопросы аэродинамики,V "Цен-
трального аэрогидродипамйческого института (ЦАГИ). \
Н. Е. Жуковскому принадлежат огромной важности работы в
других областях механики и техники. Так, им была создана теория
так называемого гидравлического удара, создавшая основу для/рас-
чётов движения, жидкостей по трубам, в частности для расчёта водо-
провода. Н. Е. Жуковский занимался теорией регулирования машин,
теорией устойчивости движения и т. д. Вся научная деятельность
Н. Е. Жуковского тесно связана с потребностями практической жиз-
ни и развивающейся техники.
223
Н. Е. Жуковский был профессором Московского технического
училища и Московского университета. Его учениками являются многие
выдающиеся советские авиаконструкторы.
Именем Жуковского названа Военно-воздушная академия.
Советское государство высоко ценило труды Н. Е. Жуковского,
В. И. Ленин называл его „отцом русской авиации’.
Н. Е. Жуковский (1847—1921).
При теоретических расчётах
можно, как это доказал Н. Е.
Жуковский, представлять себе
дело так, как будто к основ-
ному воздушному потоку, рав-
номерно и симметрично обте-
кающему крыло, присоеди-
няется добавочный циркуля-
ционный поток, обтекающий
крыло, как показано на ри-
сунке 155. Складываясь с об-
щим потоком над крылом, цир-
куляционный поток увеличи-
вает его скорость, а вычи-
таясь из встречного потока
под крылом, уменьшает здесь
скорость струй. Одной из ос-
новных задач при конструиро-
вании нового самолёта является
выбор надлежащего, профиля крыла, обеспечивающего необхо-
димую подъёмную силу при требуемой скорости с минимальным
лобовым сопротивлением. Чем тоньше крыло, тем меньше у него
лобовое сопротивление, но меньше и подъёмная сила. Тонкие
крылья употребляются у быстроходных машин, например,
истребителей, а толстые — у тихоходных транспортных самолё-
тов, где при небольшой
скорости необходима
большая грузоподъём-
ность. В настоящее время
разработаны сотни раз-
Рис. 155.
личных профилей крыль-
ев и непрерывно разра-
батываются новые типы.
В полёте на самолёт действуют четыре силы: сила тяги
(рис. 156), создаваемая моторами, и сила лобового сопроти-
вления, уравновешивающая силу тяги; сила тяжести и подъёмная
сила крыльев, уравновешивающая силу тяжести. Только при по-
парном равновесии этих сил возможен равномерный горизонталь-
224
ный полёт. При нарушении этого равновесия самолёт или станет
опускаться, или будет подниматься, полетит быстрее или медленнее.
Для управления самолётом служат элероны — добавочные
подвижные плоскости, являющиеся продолжением крыла, а так-
же рули — вертикальный руль поворотов и горизонтальный
руль высоты. Рули расположены сзади корпуса самолёта (фю-
зеляжа) на так называемом стабилизаторе, служащем для при-
дания самолёту устойчивости. Стабилизатор состоит из неболь-
шого крыла и киля (см. рис. 156). Искусство лётчика состоит
в таком управлении рулями и элеронами, которое обеспечивает
самолёту устойчивый
полёт по определён-
ному курсу или полёт Л
по сложным кривым р
при исполнении фигур 4 ““w
высшего пилотажа.
Во время войны на- '
шими конструктора-
ми Яковлевым,
Илюшиным, Лавочкиным,
и др. были созданы конструкции самолётов, значительно
превосходивших вражеские. В последнее время наши кон-
структоры успешно работают над созданием самолётов с ре-
активными двигателями, летающими со скоростью, близкой и
даже превосходящей скорость звука, равную 1200 км в час.
Создателем аэромеханики больших скоростей — основы
сверхскоростной авиации — является крупнейший русский учё-
ный С. А. Чаплыгин1).
Рис. 156.
Микояном, Туполевым
ЛИТЕРАТУРА.
Бобров Н. С., Чудесные крылья. Изд. детской литературы,
1939, 125 стр. со многими рисунками.
Гумилевский Л., Крылья родины, 1945.
Исакович М. А., Теория полёта, 1947.
'(Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869—1942) —прославленный
русский учёный, академик, Герой Социалистического Труда, профес-
сор Московского университета.
С. А. Чаплыгин — ученик Н. Е. Жуковского. Он разрабатывал
труднейшие вопросы теории авиации. Им созданы основы аэромеха-
ники больших скоростей, имеющие огромное значение для развития
современной сверхскоростной авиации. С. А. Чаплыгин разработал
теорию так называемого механизированного крыла аэроплана. Он дал
решение проблемы устойчивости аэроплана в полёте.
С. А. Чаплыгин после смерти Н. Е. Жуковского руководил Цен-
тральным аэрогидродинамическим институтом.
8 Курс физ тки, ч. I 225
IV. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
ИЗ. Равномерное движение по окружности. В предыду-
щих главах механики были рассмотрены законы прямолиней-
ного движения точки и поступательного движения тела.
Перейдём теперь к случаям, когда траектория точки’будет
криволинейной.
Один из таких случаев был уже разобран — движение
брошенного тела. Траектория брошенного тела получалась
криволинейной потому, что на тело, получившее скорость,
действовала сила под углом к скорости. Эти два условия —
наличие у тела скорости и действие силы под углом к ско-
рости — всегда необходимы для возникновения криволинейного
движения.
Лежащий на столе шарик от полученного удара движется
прямолинейно; но если шарик привязан к нитке, другой конец
которой закреплён, то после удара шарик от натяжения нити
изменит прямолинейное движение на криволинейное.
Свободно скатывающийся по наклонному жолобу шарик
продолжает прямолинейное движение по горизонтальному столу;
но если поставить на его пути вогнутую загородку, то он при
соответствующем положении загородки начнёт скользить вдоль
неё, и его траектория внутри загородки станет криволиней-
ной (рис. 157).
Если пускать по наклонному жолобу железный шарик и
поставить возле его прямолинейной траектории сильный маг-
нит, то путь шарика под действием магнитной силы искри-
вляется (рис. 158).
Из различных криволинейных движений простейшим яв-
ляется равномерное движение по окружности.
Этот вид движения точки имеет место в так называемом
вращательном движении тела.
В технике и в явлениях природы часто встречается враща-
тельное движение. Таковы движения точек махового колеса,
226
точильного камня, многочисленных шкивов на заводских стан-
ках, водяных и паровых турбин, крыльев ветряного двига-
теля и т. п.
Так же по окружностям движутся все точки земли в её
суточном вращении вокруг оси; могут быть приближённо при-
няты за окружности пути центров планет, движущихся вокруг
Солнца, и центров спутников, вращающихся вокруг планет.
Рис. 157. Под действием изогнутой Рис. 158. Магнит искривляет путь
загородки прямолинейное движение движущегося железного шарика,
шарика'переходит в криволинейное.
Движение тела называется вращательным,
если все точки его описывают окружности, пло-
скости которых параллельны и центры кото-
рых лежат на одной неподвижной прямой, на-
зываемой осью вращения.
114. Направление скорости в криволинейном движении.
Как направлена скорость по отношению к криволинейной
траектории?
В случае прямолинейного движения направление скорости
легко найти: оно совпадает с направлением пути. Но скорость —
вектор. Вектор, как отрезок прямой, не может
совпадать всеми своими точками с криволинейной
траекторией. I
Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, ---II
понаблюдайте, как отлетают искры от точильного 0^___
камня при точке на нём стального ножа. Искры —
раскалённая частица стали. Она имеет то направле-
ние скорости, что и точка поверхности точиль- Рис- 159а.
ного камня, отрывающая частицу ножа. Вглядитесь
внимательно в отлетающие искры и вы увидите, что их полёт
от любой точки камня направлен по касательной к окруж-
ности камня.
Подобное наблюдение каждый может произвести у себя
на столе. Возьмите тяжёлый круг, хотя бы из фанеры, и на-
227
садите его на заострённую ось, едва выдающуюся из-за круга
(рис. 159а). Приведите его как волчок в быстрое вращение
на листе белой бумаги. Во время его вращения накапайте
с пера или из пипетки на края
вращающегося круга капли чер-
нил. Эти капли при вращении
круга сорвутся с него и отметят
на бумаге свои пути по инерции,
следовательно, и направления
своих скоростей. На листе полу-
чится картина, подобная рисунку
1596. Из рисунка видно, что ско-
рости капель, соскочивших с
разных точек окружности круга,
направлены по касательным к этой
окружности. Из этих и других
подобных опытов можно сделать
вывод: в каждой точке криво-
линейного движения скорость имеет направление касатель-
ной к кривой в этой точке.
В справедливости сделанного вывода можно убедиться
путём следующего рассуждения. Заменим временно кривую ли-
нию траектории (рис. 159в)
какой-нибудь ломаной ли-
нией ABCD, предполагая,
что изменения направле-
ния происходят в верши-
нах ломаной линии. Тогда
на участке АВ скорость
будет направлена по АВ
и будет иметь величину,
например, AAt. Но вместо
взятой ломаной линии
можно вообразить другую:
AFBKCLD с ббльшим чис-
лом сторон и с ббльшим
числом точек, лежащих на
Рис. 159в. Скорость в криволинейном
движении направлена по касательной.
кривой. В этом случае во-
ображаемое движение по ломаной будет ближе подходить к истин-
ному движению по кривой. Скорость в точке А первого звена
ломаной линии займёт направление AF и будет равна, напри-
мер, AFV Чтобы приблизиться к истинному движению, надо
увеличить число звеньев ломаной линии. Каждый раз скорость
228
будет иметь направление секущей, проходящей через точку А,
причём обе точки пересечения её с кривой сближаются. В пре-
дельном случае для истинного криволинейного движения обе
точки секущей сольются, и секущая сделается касательной
к окружности в точке А.
115. Период вращения, число оборотов, линейная ско-
рость. Равномерное движение точки по окружности опре-
деляется следующими величинами. Время одного оборота точки
называют периодом вращения. Период обозначается буквой Т.
Вместо периода можно определять вращение числом оборо-
тов v ’) в 1 сек. Тогда период вращения
— и у =
v Т
В самом деле, если число оборотов в 1 сек. равно 50, то
период Т=^ = 0,02 сек.; наоборот, если период Т=2 сек.,
то число оборотов в 1 сек. v=-|r = -^- оборота в 1 сек.
В технике обыкновенно берётся число оборотов п в минуту,
тогда
п
V — 60-
Если радиус окружности, по которой движется точка, обо-
значим через /?, то скорость равномерного движения точки
по окружности, или так называемую линейную скорость,
можно вычислить следующим образом: за время оборота Т
точка опишет окружность, длина которой равна 2тт/?, отсюда
линейная скорость:
2т:/?
v = , или v = 2тг/?>.
(XXIXa)
116. Угловая скорость. Для характеристики вращательного
движения тела, точки которого движутся по окружностям, ещё
недостаточно знать линейную скорость, измеряемую длиной
дуги, пройденной точкой за 1 сек. В круговом движении все
точки радиуса при повороте его на какой-нибудь угол будут
иметь различные линейные скорости: за одинаковое время они
проходят пути различной длины, например, АВ, А^В^, А2В2
!) Греческая буква, произносится „шо“.
229
(рис. 160). В то время как линейные скорости разных точек
вращающегося тела различны, для всех них одинаков угол по-
Д
Рис. 160. Различие линейных
ворота от первоначального поло-
жения. На этом основании круговое
движение характеризуется угловой
скоростью. Угловая скорость изме-
ряется величиной угла, описанного
в 1 сек. радиусом при вращении.
При измерении угловой скорости
углы измеряются не в градусах, а в
радианах. Радианом называется угол,
дуга которого равна радиусу.
Так как во всей окружности
содержится 2п дуг, длина которых
равна радиусу (по формуле длины
окружности 2тг7?), то, очевидно,
скоростей и одинаковость величину радиана в градусах легко
угловых для разных точек узнать, разделив 360° на 2тт. В итоге
радиуса. получается приблизительно 57,3°
(рис. 161).
Число радианов во всех углах вокруг одной точки равно
2п, сумма углов по одну сторону диаметра составляет п радиа-
„ гс
нов; прямой угол заключает у радианов.
За время 1 оборота (Т) радиус описывает угол, равный
2тг радианов.
Если обозначить угловую скорость через ш (омега), то:
о) = — или w - 2ttv,
Тогда линейная скорость
v — 2irvR = <oR;
v — <oR.
(XXX)
(ХХХа)
За единицу угловой скорости принимается такая угло-
вая скорость, при которой в 1 сек. происходит поворот на
угол в 1 радиан.
радиан
Её наименование: ------.
секунда
117. Центростремительное ускорение. При равномерном
движении по окружности числовая величина скорости остаётся
230
постоянной, но зато непрерывно меняется направление ско-
рости, так как скорость в каждое мгновение направлена пэ
касательной. (Вспомним, что скорость — вектор). Поэтому
мы должны считать скорость равномерного движения по окруж-
ности за переменную величину. В таком случае имеется измене-
ние скорости за любой промежуток времени, т. е. существует
ускорение.
При -переходе от прямолинейного движения к криволиней-
ному расширяется наше понятие об ускорении. В прямолинейном
неравномерном движении ускорение изменяет только величину
скорости, не изменяя её направления. В равномерном движе-
нии по окружности ускорение 'не
сти, а влияет только на изменение
мерном криволинейном движении
изменяются и величина, и направле-
ние скорости. Очевидно, вектор уско-
рения в криволинейном движении
не совпадает с вектором скорости.
Для оценки изменения, которое
имеет скорость в точке В (рис. 162
сравнительно со скоростью в точке
А, проведём через В линию ВКЪ
параллельную направлению скорости:
в точке А, и отложим на ней отре-
зок ВКЪ равный АК. Положение
В взято через ничтожно малый
промежуток времени t чрезвычайно
близко к положению А; только для
ясности чертежа дуге АВ придан
значительный размер. Таким образом,
изменяет величины скоро-
её направления. В неравно-
Рис. 162. К выводу формулы
центростремительного уско-
рения.
отрезок ВКг показывает, какова была бы скорость в точке В,
если бы не было никакого изменения её, a BL изображает
величину и направление действительной скорости в той же
точке.
Чтобы определить, отчего произошло изменение вектора BKi
в вектор BL, разложим вектор BL по правилу параллелограма
на два составляющих, из которых один составляющий вектор
возьмём равным ВК^', тогда другим будет вектор В/V. Как видно из
рисунка, скорость BL получается от сложения начальной ско-
рости ВКХ с некоторым вектором BN по правилу параллело-
грама. Следовательно, вектор BN изображает то изменение
скорости, которое надо приложить к скорости в точке А,
чтобы получить скорость в точке В.
23!
Ускорение а численно равно отрезку BN, делённому на
время t прохождения точкой дуги = эта величина
тем точнее представит искомое ускорение в точке А, чем меньше
будет промежуток времени. Для вычисления BN сравним два
треугольника: BLN и АОВ\ они равнобедренны: AO = BO — R
(радиусы); BL = LN ~ВКг—ъ (линейная скорость); в этих
треугольниках углы при вершине равны: /АОВ^- /BLN
(как углы с перпендикулярными сторонами). Такие треуголь-
ники подобны. Их сходственные стороны пропорциональны:
BN_AB
BL~ АО'
Хорда АВ может быть заменена дугой АВ для исчезающе
малого промежутка времени (математика даёт возможность вы-
числить погрешность при этой замене: для дуги в Г разли-
чие обнаружится в двенадцатом десятичном знаке).
Дуга АВ есть путь, пройденный за время t в равномерном
движении по окружности, т. е. AB = v-t; ^=а, откуда
BN=a.t-, BL — v; AO = R; тогда:
a-t
~v
(XXXIa)
Формула показывает, что величина ускорения зависит только
от линейной скорости вращения по окружности и радиуса:
ускорение прямо пропорционально квадрату линейной ско-
рости при постоянном радиусе и обратно пропорционально
радиусу окружности при постоянной скорости^
Чтобы определить направление вектора ускорения, надо
выяснить, каково будет предельное значение угла NBL, если
промежуток времени t будет стремиться к нулю и точка В к
совпадению с точкой А. Обозначим ^АОВ через 3, тогда
XBLNи NBL = *80 ~ ? — 90 По мере уменьшения
времени t дуга АВ и центральный угол 5 стремятся к нулю, и для
положения А угол Л//?А = 90°. Следовательно, в каждый мо-
мент ускорение равномерного движения по окружности на-
правлено по радиусу к центру, почему и называется центро-
стремительным ускорением.
232
Подставляя в формулу ускорения значения V,
дующие формулы для него:
Г J _ 4*3#2
R T2R '
(2rcv/?)a
получим еле-
4t?R
а— р, •
a —4n2v2R.
(XXXI6)
_(W.
R ’
а = со2/?.
118. Центростремительная и центробежная силы. Мы
видели выше, что при равномерном движении по окружности
существует центростремительное ускорение. Следовательно, на
всякое тело, равномерно вращающееся по окружности, должна
действовать сила.
Её направление совпадает с направлением центростреми-
тельного ускорения.
Поэтому и сила называется центростремительной.
Всякая сила может сообщить ускорение только по своему
направлению, и движение было бы
прямолинейным, если бы не было
начальной скорости, не совпадаю-
щей по направлению с данной силой.
Следовательно, для равномер-
ного движения материальной точки
по окружности необходимы два
условия: наличие начальной скорости
и возникновение центростремитель-
ной силы, перпендикулярной к ско-
рости, постоянной по величине.
В случае движения по-: окружно-
сти сила изменяет направление имею-
Рис. 163. К объяснению воз-
никновения центростреми-
тельной силы.
щейся скорости, искривляя в каждый
момент путь, но ни в каком случае
не приближает тело к центру окруж-
ности, напротив, удерживает его
неизменно на окружности.
Для выяснения происхождения центростремительной силы
возьмём один из простейших случаев. Шар насажен на стер-
жень, вращающийся на оси; на противоположной оси стороне
стержня имеется выступ (рис. 163). Если начать вращать стер-
233
жень из указанного на рисунке горизонтального положения
по часовой стрелке, то в первый момент все точки стержня
и шар получат скорость, направление которой для шара изо-
бражено стрелкой АВ. Инерция шара вызывает его движение по
стержню; шар занимает последовательные положения /lj, А2, А3,
смещаясь к концу стержня. Движение в начальном направле-
нии прекратится, когда шар прикоснётся к выступу. Продол-
жая сохранять скорость по инерции, шар будет давить на
выступ; эта сила приложена к выступу и направлена по ра-
диусу наружу. Она вызывает деформацию выступа, в котором
возникает сила упругости. Эта сила будет действовать на шар.
По третьему закону механики выступ будет действовать на
шар с силой, равной по величине и противоположно направ-
ленной, следовательно, по радиусу в сторону центра. Сила,
с которой выступ действует на вращающийся шар, и есть центро-
стремительная сила. Таким образом, центростремительная
сила есть сила, с которой удерживающее тело действует
на тело, вращающееся по окружности. Она приложена к вра-
щающемуся телу и направлена к центру.
Действие же на препятствие возникает вследствие инерции
вращающегося тела. Сила, с которой вращающееся по окруж-
ности тело действует вследствие инерции на удерживающее
тело, называется центробежной силой и направлена по ра-
диусу от центра. Центростремительная и центробежная силы
приложены к двум разным телам и не могут быть заме-
нены одной равнодействующей.
Обе силы — центростремительная и центробежная — всегда
одновременно возникают и одновременно исчезают.
По третьему закону механики они равны между собой и
противоположно направлены.
Рассмотрим другие примеры возникновения движения по
окружности. Висящая на шнуре гиря от движения руки полу-
чает через шнур толчок; у неё возникает скорость v; по инер-
ции гиря стремится двигаться в направлении скорости и вы-
зывает натяжение шнура. Это центробежная сила, приложенная
к шнуру. Возникающая в шнуре сила упругости действует на
гирю; эта сила, приложенная к гире, есть центростремительная
сила. Лежащий на круговом жолобе шар получает толчок; со-
хранение по инерции полученной скорости производит давление
на жолоб (центробежная сила, приложенная к жолобу). Дей-
ствие жолоба на шар есть центростремительная сила, прило-
женная к шару. Подобный случай имеет место при движении
всякого вагона на закруглении рельсов.
234
Вообще, центростремительная сила приложена к вращаю-
щемуся телу, а центробежная — к связи.
Величина центростремительной силы определяется по вто-
рому закону механики: F — ma. Подставляя вместо а выраже-
ние центростремительного ускорения из § 117, мы имеем сле-
дующие выражения для центростремительной силы:
4тг2у2/и/?; F=tfmR.
к 1г
Величину центробежной и центростремительной силы можно
измерить, если привязать шнур с гирей к динамометру и привести
во вращение. Растяжение динамометра даёт величину силы.
Опыты в согласии с предыдущей формулой показывают,
что при одном и том же радиусе окружности сила прямо
пропорциональна квадрату скорости', при одном и том же
периоде сила прямо пропорциональна радиусу окружности,
по которой, вращается тело.
С первого взгляда первые два выражения силы кажутся несоглас-
ными между собой. В первом радиус стоит в знаменателе, во вто-
ром — в числителе, т. е. в первом выражении сила оказывается об-
ратно пропорциональной радиусу, а во втором прямо пропорцио-
нальной радиусу. Это противоречие исчезает, если заметим, что кроме
радиуса сила зависит ещё от скорости, которая также может быть
переменной величиной. В первой формуле дана линейная скорость (v),
а во второй угловая ( уг = (о ); поэтому первая формула выражает сле-
дующую зависимость: при одной и той же линейной скорости сила об-
ратно пропорциональна радиусу, а вторая: при одной и той же
угловой скорости сила прямо пропорциональна радиусу.
При возрастании скорости вдвое, втрое, вчетверо и т. д.
центростремительная сила возрастает в 4, 9, 16 и т. д. раз.
Скорости, превышающие предельные, могут сделаться опасными
для целости вращающихся тел, например, турбин, маховиков
и др. При -скорости, которая является предельной, центростре-
мительная сила становится равной тому напряжению в мате-
риале, которое называется пределом прочности.
Предел прочности — то наибольшее деформирующее напря-
жение, при котором ещё сохраняется целостность тела.
Если бы скорость возросла свыше предельной, то для про-
должения вращений частиц тела по окружности потребовалась
бы центростремительная сила, большая предела прочности.
Сцепление частиц не может обеспечить такую силу. Поэтому
уже не будет силы, которая могла бы изменить направление
скорости частиц, и частицы разлетаются по касательным.
23f
От этого происходит разрушение материала чрезмерно быстро
вращающихся тел, разрыв нитей, разлом рельсов, маховиков,
желобов и т. д.
В момент разрыва или разлома одновременно исчезают равные
между собой силы — центростремительная и центробежная, и
части тела продолжают свой
путь по инерции — в пер-
вый момент по касательной.
Выведенную выше зави-
симость между силой, мас-
сой и числом оборотов можно
проверить на так называе-
Рис. 164. Центробежная машина. “°Й ^«тробежной машине
(рис. 1641).
Центробежная машина состоит из доски, на которой укреп-
лены оси двух колёс, соединённых бесконечным ремнём. В центре
малого колеса сделано гнездо, в которое можно вставлять
стержни различных приборов.
На приборе рисунка 165 можно показать влияние массы тела
на величину центростремительной силы.
Два шара различной массы, соединённые нитью, разме-
щаются на горизонтальном стержне так, чтобы их центры нахо-
дились на равном расстоя-
вращения.
приведены
оба соеди-
смещаются
Рис. 165. Прибор для демонстрации за-
висимости центростремительной силы
от массы.
НИИ от оси
Когда колёса
во вращение,
нённых шара
в сторону большего. Каж-
дый из них действует на
нить. Но действие боль-
шей массы оказывается
ббльшим, и шары сме-
щаются в её сторону.
Приближая больший шар к оси вращения, можно добиться
такого положения, при котором шары при вращении машины
не будут перемещаться вдоль стержня. Такое состояние будет
возможно только при равенстве центробежных сил и Р2,
действующих от
Из равенства
каждого шара на нить,
сил вытекает равенство:
4n2v2/«1/?1 = 4n2v2/«2/?2,
J) Вместо прибора, изображённого на рисунке 164, часто приме-
няется электромотор с вертикальной осью.
236
откуда = m2R2, т. e. расстояния шаров от оси вра-
щения в этом случае обратно пропорциональны массам ша-
2

Рис. 166. Измере-
ние центростре-
мительной силы
динамометром.
ров, что подтверждается изме-
рением.
Наконец, если прикрепить
шарик известной массы к
нити, нить присоединить к
динамометру (рис. 166) и
привести во вращение, то
динамометр позволит опреде-
лить центростремительную си-
лу для любой массы, для лю-
бого радиуса окружности вра-
щения и для любого числа
оборотов.
Чтобы можно было от-
считывать показания динамо-
метра, в его прорезь надо вста-
вить пробку, которая остаётся
на месте наибольшего пере-
мещения стрелки динамометра
(рис. 167).
Рис. 167. Дина-
мометр с кус-
ком пробки.
Упражнение 22.
1. Поезд идёт по закруглению с радиусом 7? = 200 м со скоростью
36-^-. Найти центростремительное ускорение. Отв.
2. Колесо, диаметр которого 80 см, делает 3000 . Найти цен-
тростремительное ускорение, линейную скорость точки его окружности.
Отв. 39 480
сек2
3. Шарик, масса которого т = 20 г, вращается на нити длиной
в 60 см в вертикальной плоскости, делая 60 . Скольким динам рав-
на центростремительная сила? Сравнить её с весом шарика.
Отв. 47 374 дины; в 2,4 раза больше.
4. Сколько оборотов в секунду должен делать шарик предыдущей
задачи, чтобы центростремительная сила стала равной его весу?
Отв. 38 в минуту.
5. Какой длины нить надо взять, чтобы при вращении шарика, при-
вязанного к нити, со скоростью в 120—— центростремительная сила
МИИ.
была втрое больше веса? O/ne.=s 18 см.
6. Вычислить центростремительное ускорение при вращении Зем-
ли на экваторе; радиус Земли 6370 км.
237
7. Во сколько раз быстрее должна была бы вращаться Земля,
чтобы тела на экваторе не имели веса, т. е. центростремительная сила
на экваторе равнялась земному притяжению (принять на экваторе
£•=980)? Отв. в 17 раз.
8. Все ли точки окружности катящегося колеса имеют одинаковые
скорости относительно Земли; если нет, то где наибольшая и где наи-
меньшая скорость?
119. Примеры явлений, объясняемых инерцией при вра-
щении; центробежные механизмы. 1. На закруглениях наруж-
ный рельс кладётся выше внутреннего. От этого при наклоне
вагона возникает составляющая Рх силы тяжести Р (рис. 168),
которая и служит центростремительной силой, изменяющей
прямолинейное движение вагонов по инерции в движение по
окружности. Живые существа сами производят необходимый
для поворота наклон тела. Автомобили, которые не могут де-
Рис. 168. Движение вагона
повороте.
лать наклона, должны сильно
замедлять свой ход на поворо-
тах, иначе задняя часть кузова
будет продолжать двигаться по
прямой, и автомобиль может пере-
вернуться.
При движении вагона по по-
лотну давление его должно быть
перпендикулярно к полотну, иначе
возникнет боковое давление на
рельсы, и они будут быстро из-
на нашиваться. При движении по го-
ризонтальной прямой линии дав-
ление производится весом вагона,
п, следовательно, перпендикулярность направлений силы
и пути осуществляется. На повороте вес вагона даёт одну
слагающую в виде центростремительной силы и вторую,
которая производит давление; для того чтобы это давление
было перпендикулярно к рельсам, необходимо поднять наруж-
ный рельс. От угла наклона зависит величина создающейся
центростремительной силы, а эта последняя связана со скоро-
стью: следовательно, для каждого наклона допустима только
определённая скорость. При большей скорости получается дав-
ление на внешний рельс, при меньшей — на внутренний. Прак-
тически на железных дорогах на поворотах допускаются раз-
личные скорости в некоторых пределах. Но если скорость
очень сильно превосходит нормальную, то возникающая от
упругости рельса центростремительная сила недостаточна для
238
изменения прямолинейного движения в круговое, и поезд по
инерции может сойти с рельсов.
Зависимость скорости от уклона устанавливается следующим
образом (рис. 168):
Д АРРХ сл Д BCD. Из подобия треугольников: .
Если ширина колеи </’), высота подъёма наружного , рельса
р h
над внутренним h = BD, радиус закругления Rx, то ; но
mv2 г, mv2 mgh _ / ghR
pi=~p-> P = mg и = —|-3; откуда v= у и
, < dv2
обратно: h = .
2. Если налить в шарообразный стеклянный сосуд жидко-
сти различной, плотности, например (рис. 169), масло, воду,
. \° I*
Рис. 169. Расположение жидкостей
различной плотности при вращении.
Рис. 170. Прибор для ана-
лиза порошков, взболтан-
ных в жидкости.
ртуть, набросать кусочки пробки и привести сосуд во враще-
ние на центробежной машине, то можно заметить, что жидкости
располагаются кольцами-, наружным — ртуть, следующим —
вода, далее — масло (на внутренней поверхности масла распо-
лагаются кусочки пробки) и, наконец, внутри — воздушный
столб. Вообще наиболее плотная жидкость располагается
дальше от оси вращения. Такое же явление будет происходить
и в том случае, если в жидкости будут взвешены частицы
различных порошков, при этом, чем больше плотность вещества
взвешенных крупинок, тем дальше они удалятся от оси.
Таким вращением на центробежной машине, или так называемым
центрифугированием, пользуются для разделения порошков по
з) По малости угла ширину колеи СВ можно принять за сторону
CD прямоугольного треугольника.
239
степени крупности их зёрен, для выделения при анализах
крови, мочи содержащихся в них разнородных твёрдых тел
и т. п. (рис. 170). Центробежная машина, употребляемая для
Рис. 171. Центробеж-
ная сушилка.
отделения менее плотных сливок от
остальной части молока, называется с е-
п а р а т о р о м.
Центрифуга с сетчатыми стен-
ками употребляется для отделения мёда
от сотов, для отделения воды от сахара
(сушка сахара), воды от мокрого сукна
или белья и т. п. (рис. 171).
3. Центробежный регулятор.
Устройство центробежного регулятора
скорости паровой машины видно из
рисунка 172. Муфта соединена рычагом
с заслонкой, регулирующей впуск пара в цилиндр паровой ма-
шины; регулятор вращается вместе с осью вала. При всяком
увеличении скорости шарики М и отходят от оси по
инёрции и поднимают муфту; соединённый с ней рычаг при-
крывает заслонку, уменьшает впуск пара в цилиндр, и возра-
стание скорости машины прекращается. При уменьшении
скорости ход явлений противоположный.
4. Центробежный насос (рис. 173). В цилиндре
вращается ось А с колесом В, снабжённым лопатками. От
цилиндра отходят две трубы: перпендикулярно к оси цилиндра
240
труба Ь и вдоль оси труба
насоса его наполняют водой.
во вращение вода и благодаря
С. До приведения В Действий
При вращении колеса приходит
выбрасывается в трубу
D. При работе насоса
в трубе D создаётся
значительное давление.
В то же время вслед-
ствие ухода воды из
цилиндра в нём должно
было бы образоваться
уменьшенное давление,
но атмосферное давле-
ние вгоняет через
трубу С новые коли-
чества воды, и насос
полученной скорости по инерции
Рис. 173. Центробежный насос.
продолжает работать,
всасывая воду из водоёма через трубу С и нагнетая её в тру-
бу D. Так как в центробежном насосе нет клапанов, то он мо-
жет пропускать через себя сильно засорённую воду и даже песок.
употребляется как в водопроводных,
так и в канализационных сетях.
Его можно употреблять для на-
гнетания и высасывания воздуха.
Применяемый с этой целью насос
называется вентилятором.
5. Вращение гибких
прутьев кольцевой формы.
Если поставить на центробежную
машину круги из гибких прутьев,
внизу наглухо прикреплённых к
стержню, а наверху присоединённых
к кольцу, скользящему по стержню
(рис. 174), и начать вращать, то
прутья расходятся по диаметру,
перпендикулярному к оси вращения,
и сближаются по оси. Шар при-
От вращения различные точки каж-
Центробежный насос
Рис. 174. Вращение гибкого
обода.
нимает овальную форму.
дого прута получают различные линейные скорости: нуль
на самой оси, наибольшую — на экваторе. Чтобы изменить
прямолинейное движение по инерции в круговое, нужна наи-
большая центростремительная сила там, где наибольшая
скорость; но наибольшая центростремительная сила может
9 Курс физики, ч. I
241
Получиться только за счёт упругости при наибольшем сгибании;
поэтому наибольший изгиб получается по экватору, и шар
сплющивается по оси вращения. Этот опыт объясняет сплю-
щение по оси вращения, наблюдаемое у всех планет. Оно про-
изошло в то время, когда планеты находились ещё в жидком
состоянии.
6. Сохранение неизменным направления оси
вращения. Все точки вращающегося тела имеют скорости, на-
правленные в плоскости вращения (рис. 175). Инерция тела выра-
жается в сохранении без изменения как величины, так и направле-
ния скорости. Инерция вращающегося тела приводит к тому, что
плоскость вращения
и ось вращения неизменно сохраняют своё
направление. Если бы снять с подшипни-
ков вращающееся колесо, то оно пока-
тилось бы по дороге, сохраняя направление
оси вращения, пока трение не умень-
шило бы его скорости. На инерции
вращающегося тела основано пускание
волчка.
Сохранением неизменного направле-
ния оси пользуются для придания устой-
чивости морским судам или вагонам одно-
Рис. 175. Сохранение рельсовой железной дороги (у нас такие
направления скорости дороги не употребляются).
и оси вращения. Чтобы уменьшить качку судна, по-
мещают внутри его массивное тело, приво-
димое в быстрое вращение вокруг оси. Инерция тела стре-
мится сохранить неизменным направление оси и тем самым
уменьшает качку судна, придавая ему ббльшую устойчивость.
На свойствах быстро вращающегося тела основано действие
гирокомпаса1), служащего для определения в пространстве
истинного положения меридиана. Тело, составляющее основу
гирокомпаса, приводится во вращение со скоростью до 20 000
оборотов в минуту; благодаря особым приспособлениям его ось
постепенно приходит в направление меридиана и в этом поло-
жении удерживается инерцией вращающегося тела.
Постоянством направления оси вращения пользуются для
повышения меткости стрельбы. Сопротивление воздуха значи-
тельно уменьшается при замене шаровой формы снаряда
цилиндрической с заострённым концом. Но при такой форме
снаряды во время полёта легко переворачивались бы и били бы
’) От греческого слова г и р о с — круг.
242
боком или дном, но не остриём (рис. 176). Этот последний
недостаток устраняется, если снаряд или пуля внутри орудия
получает, кроме поступательного, ещё и вращательное движение
вокруг своей оси.
С этой целью на внутренней стороне ствола наносится
винтовая нарезка, вид которой изображён на рисунке 176а.
Рис. 176. Изображение полёта в воздухе невращающегося
продолговатого снаряда.
заряда пуля или
же время получает
вылете из ствола
Рис. 176а. Винтовая нарезка на
внутренней поверхности ствола
винтовки.
От давления пороховых газов при взрыве
снаряд продвигается вдоль ствола и в то
от нарезки вращение вокруг своей оси. При
они сохраняют быстрое вращательное движение; ось вращения
во всё время полёта оставалась бы параллельной самой себе,
и тело в безвоздушной среде ________________________
двигалось бы своим центром
тяжести по баллистической
кривой (рис. 1766). Благо- - • - .
даря сопротивлению воздуха
снаряд движется так, как
показано на рисунке 176в.
7. Объяснение отклонения движущихся на
земной поверхности тел вследствие вращения
Земли. Укрепим в гнезде центробежной машины стержень,
приделанный в середине длинной доски (рис. 177). Поставим
на край доски штатив, в кольце которого укреплена воронка
с вертикальной резиновой трубкой и с вставленной в послед-
нюю стеклянной трубкой, согнутой под углом (на другой сто-
роне доски — противовес штативу). Если налить в воронку воду,
то при показанной на рисунке установке струя будет попадать
' *
в центр, пока доска неподвижна. Но если привести доску во
вращение, то струя будет попадать не в центр, а сместится
в сторону вращения. Если, наоборот, поставить в центр
Рис. 1766.
штатив, а струю направить к краю доски, то струя будет
отставать от доски. В первом случае струя, вытекающая из
воронки, имеет большую линейную скорость, чем центральная
часть доски, сохраняет её по инерции и опережает части,
Рис. 176в. Изображение полёта в воздухе вращающегося снаряда.
ближе лежащие к центру. Во втором случае она имеет меньшую
скорость, чем край доски, и отстаёт от неё. Так, вода рек
или воздушные массы, перемещающиеся в северном полу-
шарии с севера к экватор.у, т. е. от мест с меньшей
линейной скоростью к местам с большей линейной скоростью,
244
Рис. 177. Прибор для демонстрации
отклонения движущихся тел вслед-
ствие вращения Земли.
отстают от них, отступают на запад (Земля вращается с запада
на восток), т. е. отклоняются вправо, если смотреть
по направлению движения.
Такие же массы, движу-
щиеся от экватора к северу,
опережают точки, в которые
они попадают, отклоняются
к востоку, т. е. также от-
клоняются вправо1).
^Отсюда получается подмы-
вание реками правых бере-
гов в северном полушарии
и отклонение ветров от мери-
дионального направления.
Вращение Земли создаёт
ещё целый ряд подобных
отклонений. Оно создаёт
неодинаковую изнашиваемость рельсов двухколейной железной
дороги. В северном полушарии .колёса поезда прижимаются
к правому по движению поезда рельсу; поэтому правый рельс
стирается сбоку быстрее левого.
Рис. 178. Движение по вертикальной петле.
Свободно падающее тело отклоняется от вертикали к востоку,
что становится заметным, если тело падает со значительной
высоты, например, в глубокую шахту.
!) Отклонение потоков воды в северном полушарии вправо открыто
русским учёным Бэром и носит название закона Бэра.
10 Курс физики, ч. I
245
Подобно речной воде и ветру, орудийные снаряды откло-
няются в сторону при стрельбе по меридиональному или
близкому к нему направлению, что должно быть учтено при
стрельбе в цель.
8. Движение по вертикальной петле. Автомобили,
велосипеды нередко в цирках движутся по дорожкам, изогнутым
в форме круговой вертикальной петли (рис. 178). Такое дви-
жение возможно только при наличии значительной начальной
скорости. Если значение скорости в начале подъёма по петле
больше числового значения того замедления, которое вызывает
сила тяжести на высоте диаметра петли, то тело и в верхней
части петли будет иметь по инерции стремление уйти по
касательной. Центростремительная сила, создаваемая упругостью
петли, на которую давит тело, удержит его на петле. Влияние
скорости можно обнаружить, если пускать катящееся тело
с разных точек наклонной плоскости. При пускании с середины
наклона скорость будет недостаточна, и тело упадёт вниз со'
стенки петли. Подобный опыт можно произвести с вращением
ковша с водою: при достаточной скорости вращения вода не
выливается и тогда, когда сосуд находится вверх дном.
1-й пример. Разберём вопрос, с какой высоты должно
двигаться тело по жолобу, делающему круговую петлю радиуса
г = 20 см, чтобы оно, проходя через самую верхнюю часть
петли, не выпало из жолоба.
Дано: радиус петли г, Шарик в верхней части не
ускорение свободного паде- будет падать в том случае, если
ния g. его вес будет равен той центро-
ll а й т и высоту паде- ! стремительной силе, которая необ-
ния h. I ходима, чтобы шарик двигался
J по окружности.
Тогда за счёт своего веса шарик получит центростреми-
тельное ускорение, и не останется силы, которая могла бы
вызвать свободное падение. Если выразим массу тела через т,
вес через Р и центростремительную силу через F, то условием
того, что шарик не выпадет из жолоба в верхней части
петли, будет равенство:
Р=Р.
Но P=mg и F=^-, где v — скорость в верхней части
петли, следовательно:
mg——, winv = ]/gr.
246
Но свою скорость тело получает вследствие движения по
наклонной плоскости.
Скорость падения без начальной скорости не зависит от
формы пути и равна т, = 2gs.
Тело сперва падает с высоты А, а потом поднимается на
высоту диаметра петли 2г.
Такое движение соответствует падению тела только с вы-
соты h — 2г. Поэтому его скорость в верхней части петли:
v = V^2g(h — 2г).
Оба выражения для скорости должны быть одинаковы:
Vgr = V2g(h^2r}',
gr = 2g{h — 2r); r = 2h— 4r; 5r = 2h;
h — ^r\ A = -|--20; h = 50 cm.
(При решении этой задачи предполагается движение тела без
трения.)
2-й пример. Какую горизонтальную скорость v надо
сообщить снаряду, выбрасываемому из орудия, поставленного па
небольшом расстоянии от поверхности Земли, чтобы снаряд,
не падая на Землю, начал двигаться по окружности Земли,
став спутником Земли?
Дано: радиус Земли/?, \ Тело, брошенное горизонталь-
ускорение свободного паде- I но, будет двигаться по окруж-
ния g. \ ности радиуса /? только в том
Н а й т и v. I случае, если на него будет действо-
J вать центростремительная сила F.
Эта сила должна удерживать его на окружности, т. е.
, V2
сообщать ему центростремительное ускорение .
L\
Откуда же может получиться такая сила? Только из веса
тела. По условию задачи вес тела должен сообщать телу
только центростремительное ускорение, но не приводить его
в свободное падение к центру Земли.
Итак, чтобы тело стало спутником Земли, надо, чтобы
центростремительная сила стала равной весу тела F—P:
^ = mg, v = VgR.
247
Если принять 7? = 6300 лмг = 63 • 108 м и g= ёё^2' т0
V— т/бЗ-Ю8-^; © = 7,9—.
F сек2 ’ сек
3 й пример. Под каким углом к горизонту должен
наклониться человек, если он хочет бежать со скоростью v по
окружности радиуса /? (рис. 179)?
Дано: линейная'
скорость V, радиус ок-
ружности/?, ускорение
свободного падения g.
Найти угол на-
клона а.
Чтобы вращаться по окружности
радиуса R со скоростью v, надо иметь
v2
центростремительное ускорение .
Какая сила может сообщить это
ускорение? Центростремительная сила
может быть получена за счёт веса тела,
но не будет ему равна, как это было
в предыдущих примерах.
Разложим вес тела Р на две составляющие силы: одну по
направлению в точку опоры В, другую по горизонтальному
Рис. 179.
направлению в сторону центра круга.
Первая сила Р2 уничтожается сопротив-
лением опоры; вторая Pt будет центро-
стремительной силой. P1 = Pctga(n3 тре-
угольника OPPJ; Р1 = ^- (как центро-
стремительная сила); P=mg.
v2 , . V2
Отсюда =g ctg a; ctg а = -= или
gK
Если вместо скорости будет за-
дано число оборотов v (v = 2n/?v), то
tg а ~ •
Из этого соотношения можно определить любую величину:
а, V, Р, если будут даны остальные. Такое же рассуждение
надо применить для определения угла отклонения шариков
в центробежном регуляторе и т. п.
Упражнение 23.
1. Шарик массой в 100 г вращается по окружности в горизои“
тальной плоскости на нити длиной в 1 м и делает 60 оборотов в ми-
нуту; нить при этом описывает боковую поверхность конуса. Найти
центростремительную силу. Отв. 380600 дин.
248
2. Под каким углом к вертикали должна быть направлена нить
предыдущей задачи, чтобы центростремительная сила была равна
60 000 динам? Отв. Около 33°.
3. Какой длины должна быть нить, чтобы шарик совершал 60 обо-
ротов в минуту, натягивая нить под углом в 30° к вертикали?
Отв. 28,8 см.
4. Конькобежец движется со скоростью 10^^ по окружности
радиуса /? = 40 м. Под каким углом к горизонту он должен накло-
ниться? Отв. Около 75°.
5. Лошадь обегает окружность арены радиусом R = 10 м в 25 секунд.
Найти угол наклона её к горизонту. Отв. Около 86°.
6. Длина нити маятника £ = 25 см. Сколько оборотов в минуту
должен сделать маятник по окружности, чтобы угол наклона его
нити к оси вращения был равен 30°, или 45°, или 60°?
Отв. 60; 72; 84.
7. Вычислите центростремительное ускорение при вращении Земли
на экваторе и на широте Киева (<р = 50°); радиус земли принять рав-
ным 6350 км.
8. Пассажир едет в закрытом автомобиле по кривому пути с ра-
диусом 40 м со скоростью в4^. Дорога лежит в горизонтальной
плоскости. Каким (прямым, кривым, каким образом направленным) будет
казаться пассажиру путь падающего внутри автомобиля тяжёлого шара?
Каким будет казаться тот же путь неподвижному наблюдателю, стоя-
щему вне автомобиля? Как будет висеть этот шар, если его подвесить
в виде маятника к потолку автомобиля?
9. Лётчик, вес которого Р=15кГ, летя со скоростью v = 160 ,
делает в вертикальной плоскости круговую мёртвую петлю радиуса
/? = 60 м.
а) Как велика сила давления лётчика па сиденье в тот момент,
когда он пролетает самую нижнюю точку петли?
Отв. 327 кГ.
б) Как велика сила давления в самой высокой точке петли?
Отв. 177 кГ.
10. Какой рельс — правый или левый по направлению движения
поезда — быстрее изнашивается в южном полушарии?
11. Почему в одноколейной железной дороге одинакова изнашивае-
мость обоих рельсов?
ЛИТЕРАТУРА.
П а в ш а А. В., Центробежная сила и её техническое использо-
вание.
Перельман, Занимательная физика, кн. 2, гл. III, «Вращатель-
ное движение. Центробежная сила инерции", стр. 46—69.
Перри, Вращающийся волчок.
249
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. Какое направление имеет скорость в каждой точке криволи-
нейного пути?
2. Какое движенце называется равномерным движением по окруж-
ности?
3. Что называется периодом вращения? Как связаны период враще-
ния и число оборотов в секунду?
4. Как выражается линейная скорость — через период или через
число оборотов?
5. Чем измеряется угловая скорость?
6. Что называется радианом?
7. Какова единица угловой скорости?
8. Как линейная скорость выражается через угловую?
9. Существует ли ускорение в равномерном движении по окруж-
ности?
10. В чём проявляется ускорение в равномерном движении по
окружности?
11. Как вывести формулу ускорения в равномерном движении по
окружности?
12. Приведите все виды формулы центростремительного ускорения.
13. Каковы происхождение, направление, величина и действие центро-
стремительной и центробежной сил?
14. Каковы технические применения инерции при движении по окруж-
ности?
15. Совершает ли работу центростремительная сила при равномерном
вращении тела?
V. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.
120- Изучение движения небесных тел до Коперника.
Внимание людей к движениям светил было приковано с самых
ранних времён, и интерес к ним рос по мере культурного
развития. Расширение производственной деятельности людей и
вытекающее отсюда усложнение общественных отношений тре-
бовали установления меры и счёта времени. Первые измере-
ния продолжительности года, первые построения календаря и
значительные накопления наблюдений за светилами были сде-
ланы в тех странах, где производственная деятельность впер-
вые достигла наибольшего развития, именно в земледельческих
странах, в долинах великих рек: по Нилу — в Египте, Тигру и
Евфрату — в Месопотамии, Инду — в Индии, по Жёлтой и Голу-
бой рекам — в Китае.
Когда центр производственно-культурной деятельности пе-
решёл в страны, населённые греками, то многие выдающиеся
греческие астрономы обогатили астрономию крупными откры-
тиями.
Греческий астроном Птолемей (род. в 70 или 77 г., умер
в 147 г.) в своём сочинении „Великое строение вселенной*
изложил так называемую геоцентрическую (ге — по-гре-
чески земля) систему, поместив в центре вселенной неподвиж-
ную Землю, вокруг которой вращаются Солнце, Луна, планеты
и звёзды.
Геоцентрическая точка зрения соответствовала антропо-
центрической (по-гречески антропос — человек), которую
проводили все религии, в том числе и христианская. По её
учению, человек — центр и цель всего мироздания, для него
создано богом решительно всё в природе — и животные, и
растения, и вся неорганическая природа. Христианская цер-
ковь взяла под своё покровительство систему Птолемея и под-
держивала её в течение своего многовекового владычества во
всё время средневековья.
251
121. Строение вселенной по Копернику. Уже в XV в.
западноевропейская торговля благодаря сношениям с Восто-
ком чрезвычайно сильно возросла.
Торговые сношения велись преимущественно морским пу-
тём; мореплаватели в открытом море находили свои пути по
звёздам. Но существовавшие в то время таблицы планетных
и звёздных положений сильно устарели и значительно отли-
чались от действительного положения светил. Потребность в
исправлении таблиц была громадная, интерес к вопросам астро-
номии чрезвычайно возрос,
на почве этого возникла новая
теория строения вселенной,
созданная польским астроно-
мом Коперником (1473 —
1543).
Пользуясь современн ым
языком, основные черты тео-
рии Коперника можно выра-
зить следующим образом.
1. В центре вселенной на-
ходится Солнце (отсюда на-
звание системы гелиоцен-
трической, так как по-гре-
чески гелиос — солнце).
2. Вокруг Солнца обра-
щаются Земля и все осталь-
ные планеты, располагаясь во-
и
Коперник (1473—1343).
круг него на разных расстояниях в следующем порядке:
Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн (другие пла-
неты в то время не были ещё открыты). За планетами нахо-
дятся неподвижные звёзды (не движущиеся вокруг Солнца).
3. Видимое суточное движение небесного свода со звёз-
дами и планетами объясняется действительным вращением
Земли вокруг её оси, расположенной под углом в бб1^0 к
плоскости пути Земли, или так называемой земной орбиты.
122. Борьба нового мировоззрения с церковным авто-
ритетом. Так как теория Коперника внесла большую простоту
в объяснение движений светил и тем облегчила решение ряда
практических задач, которые ставила астрономии современная
торгово-хозяйственная жизнь, то католическая церковь, как
крупная участница торгового мореплавания, вначале отнеслась
терпимо к новому учению. -Но вскоре она поняла, что теория
Коперника идёт дальше решения чисто астрономических вопро-
сов и устанавливает основы нового мировоззрения. Земля, эта
252
опора „престола божьего" и место деятельности человека —
„венца и цели создания мира" по учению церкви,— теряет
свою неподвижность и начинает носиться в быстром беге во-
круг Солнца, среди остальных планет. Этим подрывалось цер-
ковное учение о целях создания мира и премудрости его
творца, а с разрушением учения могла упасть и власть церкви
над умами людей. Поэтому к концу XVI столетия началась
бешеная борьба церкви против нового учения. Первой жертвой
этой борьбы пал сторон-
ник нового мировоззрения
Джордано Бруно, сож-
жённый в 1600 г. на костре.
Но в этой борьбе цер-
ковь натолкнулась на про-
тивника громадной силы —
на Галилея, который в
течение своей шестидесяти-
летней научной деятельно-
сти в своих лекциях и
многочисленных сочинениях
развивал новое учение, при-
водя неоспоримые доказа-
тельства в его пользу и
опровергая возражения.
123. ' Законы Кеплера. Через столетие после появления
теории Коперника были открыты законы движения планет.
В результате многолетних трудов по изучению движения пла-
нет на основании наблюдений, произведённых ранее датским
астрономом Тихо Браге (1546—1601), немецкий астроном
Кеплер (1571—1630) установил общие законы обращения
планет вокруг Солнца и планетных спутников вокруг планет.
П с р в ы й з а к о и. Все планеты обращаются вокруг Солнца
по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
При расчётах можно принимать в первом приближении орбиты
планет за окружности.
Второй закон. Площади, описываемые радиусом-векто-
ром планеты в равные промежутки времени, равны между
собой.
!) Кеплер родился в Вюртемберге в бедной семье; с 1594г.— пре-
подаватель математики в гимназии в Граце; с 1600 г. — в астрономиче-
ской обсерватории, основанной Тихо Браге, занялся составлением но-
вых планетных таблиц. Он открыл законы движения планет, изобрёл
зрительную трубу и много занимался вопросами оптики, объяснил
процесс зрения, аккомодацию, близорукость и дальнозоркость.
253
Второй закон устанавливает то свойство движения каждой пла-
леты, что её скорости в разных точках пути различны. Эти скорости
Рис. 180. Ко второму закону
Кеплера.
изменяются так, что площади,
описанные радиусом-вектором в
равные промежутки времени,
равны (на рис. 180 — заштрихо-
ванные площади). Из рисунка 180
видно, что линейная скорость
меньше там, где больше расстоя-
ние от Солнца, и больше там, где
оно меньше. Это закон постоян-
ства секториалыюй скорости.
Третий закон. Квадра-
ты времён обращения пла-
нет вокруг Солнца относятся,
как кубы средних расстояний
их от Солнца:
=
Г22 /?’’
где Tj и Т2 — времена обращения двух планет; и /?2 — средние
расстояния их от Солнца.
Например, для Венеры1):
А $
7?„ = 0,7233; Тв = 0,61519; -—^ = 0,37846; -5 = 0,37846.
Аз ^3
Для Марса:
Т2 R3
RM = 1,5237; Тм = 1,8808 = 3,5375; = 3,5375.
Тз К'з
124. Сила притяжения планет Солнцем. Законы Кеплера
описывают движения планет, не указывая, какими силами эти
движения вызываются. Открытие силы, действующей между
Солнцем и планетами, было сделано Ньютоном.
Вычисляя центростремительную силу, действующую на пла-
неты при их движении вокруг Солнца, Ньютон нашёл, что
сила притяжения планеты Солнцем прямо пропорциональна
произведению масс Солнца и планеты и обратно пропорцио-
нальна квадрату расстояния между ними (причём за рас-
стояние между шаровыми массами надо принимать расстояние
между их центрами; другими словами, при этих расчётах надо
считать всю массу шарообразного тела сосредоточенной в его
центре).
Так как те же законы движения имеют место и для спут-
ников, то между планетой и спутником и вообще между
J) Расстояние планет от Солнца и время их обращения выражены
через расстояние и период обращения Земли,
254
двумя небесными телами действуют силы, прямо пропорцио-
нальные их массам и обратно пропорциональные квадрату
расстояния их центров.
Если принять орбиты планет за окружности, то можно вывести
закон обратной пропорциональности силы притяжения планет Солнцем
квадрату их расстояния следующим элементарным способом.
Пусть /?] и /?2—средние расстояния двух планет от Солнца;
7] и Т2 — периоды их обращения вокруг Солнца. Тогда сила дей-
ствующая от Солнца на 1 г массы в центре первой планеты, по фор-
муле центростремительной силы выразится так:
„ 4кг/?!
1 г массы второй планеты:
ъ 21
•2 Т?2 ‘ 71 ’
7^ „
или:
Сила, действующая па
4и2/?2
Рг =---5— откуда — — —5,
7f Л, 7^4rc2R2
п
но отношение —по третьему закону Кеплера равно —3. Сделав под-
7, R\
станооку в предыдущее равенство, получим:
£1^51.
7=i 7?f
Это равенство выражает обратную пропорциональность сил и
квадратов расстояний.
На основании этого закона притяжения делаются все рас-
чёты движения небесных тел, и вычисления с большей точно-
стью совпадают с наблюдениями.
Не надо забывать, что по третьему закону механики всегда
действуют на оба тела силы, равные по величине, противопо-
ложные по направлению.
125. Притяжение Луны Землёй. Луна является спутником
Земли. Земля оказывается источником двух сил: 1) силы при-
тяжения Луны Землёй и 2) силы тяжести или силы притяжения
земных тел к Земле. Естественно поставить вопрос: одного ли ха-
рактера обе эти силы или различного? Первая сила изменяется
обратно пропорционально квадрату расстояния. Подчиняется
ли этому закону и вторая сила — сила тяжести на Земле?
Для решения этого вопроса Ньютон предположил, что
сила тяжести изменяется также обратно пропорционально
квадрату расстояния, рассчитал, чему стала бы равна сила
тяжести на расстоянии Луны от центра Земли; затем он срав-
нил полученное число с величиной той центростремительной
255
силы притяжения, с которой Земля действует на Луну. Обе
силы оказались равными.
Таким путём Ньютон установил тождественность притяжения
Луны Землёй и тяжести на Земле.
Сила тяжести любого земного тела прямо пропор-
циональна произведению масс Земли и тела и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними1).
Сравнение сил можно произвести следующим образом. На поверх-
ности Земли, т. е. на расстоянии земного радиуса R от центра, ка-
ждый грамм массы притягивается к Земле с силой в 980 дин (в сред-
нем). Если бы этот грамм массы удалить на Луну, расстояние кото-
рой от Земли в 60 раз больше земного радиуса (точнее, равно 60,3 /?),
то на таком расстоянии сила F земного притяжения была бы в 602
раз меньше, если бы её изменение выражалось тем же законом Нью-
тона; тогда:
F=x55r = °>27 дины-
С другой стороны, сила притяжения Землёй Луны вычисляется по
формуле центростремительной силы для массы в 1 г:
' 7'2 ’
где /? = 384 400 км — 3844-107 см, а Т=27 сут. 7 час. 43 мин. 11 сек.=
= 2 360 591 сек., откуда F=0,27 дины. Таким образом, если предпо-
ложить, что закон изменения силы земной тяжести такой же, как и
для силы притяжения между небесными телами, то на Луне обе силы
выражаются одним и тем же числом. Этим устанавливается единство
обеих сил.
126. Закон всемирного тяготения. Так как одна и та же
сила действует между телами солнечной системы, между Зем-
лёй и любой частицей вещества, то Ньютон пришёл к заклю-
чению, что силы притяжения возникают между любыми части-
цами вещества. Открытый им закон называется законом все-
мирного тяготения и выражается так:
Две материальные частицы притягиваются друг к
другу с силами, прямо пропорциональными их массам
и обратно пропорциональными квадрату расстояния
между ними (рис. 181).
Взаимодействие Земли и тела или каких-либо двух небес-
ных тел есть равнодействующая всех сил притяжения между
J) Предполагается, что тело имеет форму шара. Тогда под рас-
стоянием между Землёй и шаром подразумевается расстояние между
центрами Земли и шара.
256
всеми материальными точками того или другого тела в отдель-
ности (рис. 182). Обе силы взаимодействия между двумя телами
равны по величине, противоположны по направлению и прило-
жены к двум различным телам.
Силу всемирного тяготения можно выразить следующей
формулой, если обозначить через F силу притяжения между
массами и т2 на расстоянии г:
(XXXII)
Коэффициент / носит название постоянной ньютониан-
ского притяжения.
Если массы тг = т2 = 1 г, а г=1 см, то сила сле-
довательно, / численно равна силе, с которой притягиваются
друг к другу две шаро-
вые массы по 1 г, когда
расстояние между их цен-
трами равно 1 см. Совре-
менные измерения дают
для этой величины значе-
ние 6,67-10—8, или при-
близительно
1 дн-см2 п
15 000 ООО “гг-
127. Опытная про-
верка закона всемир-
ного тяготения. Помимо
подтверждения закона
всемирного тяготения
астрономическим путём,
было сделано несколько
Рис. 181. Притяжение двух шаровых
частиц.
Рис. 182. Взаимодействие двух тел
любой формы.
попыток проверки его
на опыте. Одним из первых был опыт Кавендиша
(рис. 183). На нити Д был подвешен стержень, на концах ко-
торого были укреплены два малых свинцовых шара тг и т2.
1) Наименование постоянной ньютонианского притяжения можно
, fr2 , ди см2
вывести из соотношения f = ; f выражается в —— , или
см3
г-сек2
257
Рис. 183. Крутильные весы
Кавендиша.
Затем спереди одного и позади
другого шара придвигались
на одинаковые расстояния два
больших равных свинцовых
шара Af] и М2, и стержень при-
ходил во вращение, а нить
закручивалась до тех пор, пока
сила притяжения шаров не
уравновешивалась силой кру-
чения нити. Последняя сила
вычислялась по углу поворота
стержня, а самый угол изме-
рялся по расстоянию отклоне-
ния зайчика светового луча
от зеркальца, прикреплённого
к нити.
Сила взаимодействия ша-
ров вычислялась по формуле и
сравнивалась с силой круче-
ния нити. Изменяя массы при-
тягивающихся шаров и расстояния их центров, можно про-
верить все части формулы и вычислить /.
128. Поле тяготения. В пространстве, в котором обнаруживается
притяжение к какой-либо массе, существует поле тяготения
этой массы. Так можно говорить о поле тяготения Солнца, о поле тяго-
тения Земли и т. д.
Каждое поле тяготения характеризуется особой величиной, назы-
ваемой напряжённостью поля.
Напряжённость есть величина, измеряемая притяжением,
действующим на единицу массы.
Так как притяжение любого тела в поле земного тяготения выра-
жается весом этого тела P = mg, то напряжённость земного поля мы
получим, если отнесём силу тяжести к единице массы. Тогда напря-
р
жённость П = —, или П = р.
т
Следовательно, напряжённость земного поля численно равна уско-
, динах
рению свободного падения; она выражается в мм •
129. Изменение силы тяжести на Земле. Так как Земля не шар,
а сплюснута по оси и её полярный радиус (Rn = 6357 км) меньше
экваториального (7?э = 6378 км), то и притяжение на экваторе должно
быть меньше, чем на полюсе, по закону обратной пропорциональности
квадрату расстояния. Эта причина уменьшает вес тела в направлении
от полюса к экватору.
Другой причиной изменения ускорения силы тяжести с широтой,
кроме формы Земли, является вращение Земли вокруг оси.
258
На полюсе центростремительная сила равна 0. На экваторе цен-
тростремительная сила, действующая на массу в 1 г, равна:
„ 40-1-R3
Рз =----.
Если подставить вместо /?з = 6378 км = 6378-106 см и вместо
Т = 24 часам = 24 -3600 сек., то можно найти, что Лз=3,4 дины.
Эта центростремительная сила возникает за счёт притяжения'тел
Землёй.
Если бы не было вращения Земли, то ускорение, с которым сво-
бодно падало бы тело на экваторе покоящейся Земли, численно было
/ см \
бы равно приведённому выше числу 1==981^у1 и 1г массы притя-
гивался бы с силой =г:981 дин.
На вращающейся Земле сила притяжения каждого грамма на
экваторе уменьшается на 3,4 дины.
Итак, от обеих причин — формы Земли и ев суточного вра-
щения — вес тела убывает от полюса к экватору.
Значения g для разных точек Земли на уровне моря
экватор......................... 978,05
<р = 45°........................ 980,66
Москва (<р = 55°45')............ 981,56
полюс (<р = 90°)................ 983,24
При подъёме от поверхности Земли сила тяжести убывает: при подъ-
ёме увеличивается расстояние от центра Земли, а с увеличением рас-
стояния убывает сила притяжения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УСВОЕНИЯ.
1. В чём состоит закон всемирного тяготения Ньютона и какова
его формула?
2. Как изменяется сила тяжести на земной поверхности в зависи-
мости от географической широты?
3. Как изменяется сила тяжести с высотой над поверхностью Земли?
4. Какой опыт подтверждает закон всемирного тяготения?
5. Что такое постоянная ньютонианского притяжения и как она
измеряется?
ПРИЛОЖЕНИЯ.
Таблица I. Средние скорости. Пешеход 1,5 м/сек Снаряд полевых Велосипедист ... 5 „ орудий при вылете Лошадь галопом . . 8 „ из ствола .... 800 м/сек Товарный поезд . . 10 „ Пуля при вылете . . 880 , Сильный ветер ... 10 , Движение Луны по Крейсер 14,6 „ орбите 1 000 , Миноносец 17,5 „ Снаряд дальнобой- Перистые облака . . 20 „ ных орудий при Буря 25 , вылете 1600 я Скорый поезд ... 33 „ Точка солнечного Ураган 40 „ экватора во вра- Автомобиль ... до 40 „ щении вокруг оси 2000 , Звук при 0° .... 332 „ Движение Земли Звук при 15° .... 340 „ вокруг Солнца . . 29,8 км/сек Точка земного эква- Свет 300000 » тора в суточном вращении .... 465 „ Таблица II. Механические единицы разных систем.
№ Наименование величины Система COS Система техническая
1 Длина СМ м
2 Масса г кГ-сек2 м
3 Время сек сек
4 Скорость см м
сек сек .
5 Ускорение см м
сек2 сек2
6 Сила дина кГ /
7 Работа и энергия эрг к Гм
8 Мощность г • см2 сек9 кГм сек „ кГм , 75 - = 1 л. с. сек
Примечание. Жирным шрифтом отпечатаны основные единицы.
2G0
Таблица III. Коэффициенты трения.
Трение скольжения.
Бронза по бронзе...........0,20
Бронза по чугуну...........0,21
Железо по железу . . . .0,14
Железо по чугуну...........0,18
Чугун по дубу (вдоль воло-
кон) ....................0,49
Дуб по дуб}' (вдоль) .... 0,48
Дуб по дубу (поперёк) . . . 0,34
Кожаный ремень по дубу . 0,27
Кожаный ремень по чугуну 0,56
Сталь по льду.............0,014
Деревянные полозья по
льду................. 0,035
Полозья, обитые желе-
зом ................. 0,02
Трение повозок.
Рельсы ................. 0,003
Асфальтовая мостовая . 0,010
Хорошее шоссе . . . 0,016
Булыжная мостовая . . 0,02—0,03
Грунтовая дорога . . . 0,08—0,16
Песок................0,15—0,30
Таблица IV. Пдотность
тел
( г т\
1 в -S- ИЛИ -г .
\ СМа Ма )
Твёрдые тела.
Алюминий ................2,58
Воск.....................0,97
Глина сухая..............1,38
Графит...................2,10
Гуттаперча ..............0,97
Железо . . . . '.........7,86
Золото...................19,3
Кирпич................ . 1,8
Латунь литая.............8,45
Медь.....................8,92
Мрамор...................2,70
Никель...................8,80
Олово литое..........7,2
Парафин ............0,9
Платина ...........21,5
Пробка.................0,24
Свинец.................11,4
Серебро ......... 10,5
Сталь литая............7,86
Стеарин ...............0,97
Стекло (бутыл.)........2,7
Фарфор .............. 2,32
Цинк...................7,05
Чугун .................7,00
Жидкости.
Вода (при 4°)......... 1
Керосин...............0,79—0,82
Масло оливк........... 0,92
Ртуть (при 0°) .... 13,6
Серная кислота (50°/р) .... 1-,40
Соляная кислота (400/0) . . . 1,20
Спирт этил................0,79
Эфир......................0,72
Газы
(при нормальном атмосферном давлении и Т=0°).
Азот .......... 0,001251
Воздух ......... 0,001293
Водород... 0,000090
Гелий ......... 0,000180
Кислород...............0,001429
Окись углерода.......... 0,001250
Углекислый газ .... . 0,001977
Хлор.................. 0,003214
СОДЕРЖАНИЕ.
Стр,
Общее введение в курс физики ............ ....... ... 3
МЕХАНИКА.
Стр,
Введение в отдел
механики.
1. Механическое движение .... 5
1а. Разделы механики ...............5
2. Относительность механического
движения.............................. 6
3. Относительный покой ..... 7
4. Материальная точка ..•••• 7
I. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ.
I. Простейшие виды
прямолинейного движения.
Б. Траектория движения точки и
классификация движений по тра-
ектории ....................... 8
6. Путь, время, скорость и класси-
фикация движений по скорости . 8
7. Прямолинейное равномерное дви-
жение ......................... 10
8. Скорость равномерного движения 11
9. Единица скорости ....... 11
10. Уравнение равномерного движе-
ния ..................................12
11. Поступательное движение тела . 12
На. Решение задач на равномерное
движение ..........................13
Упражнение 1...................14
12. Скорость — вектор ...... 14
13. Графики скорости и пути в.равно-
мерном движении . 15
Упражнение 2 • 18
14. Переменное движение............19
15. Средняя и мгновенная скорости
переменного движения..............19
J6. Равномерно-переменное движе-
ние ......................... 21
17. Ускорение 21
J8. Единица ускорения..............23
Упражнение 3 ...... . . 24
19. Скорость и путь равномерно-уско-
ренного движения без начальной
скорости..............................24
19а. Графики скорости и пути равно-
мерно-ускоренного движения . . 26
20. Соотношение между пройденным
путём и скоростью в конце пути
для равномерно-ускоренного дви-
жения при v0 — 0..............27
21. Пути, пройденные в равномерно-
ускоренном движении с началь-
ной скоростью vo=0 за после-
довательные секунды ..... 28
21а. Равномерно-переменное движение
с начальной скоростью..............30
22. График скорости равномерно-пере-
менного движения с начальной
скоростью..........................32
22а. Другой вывод уравнения пути рав-
номерно-переменного движения . 33
226. Примеры решения задач на равно-
мерно-переменное движение при
любой начальной скорости ... 34
Упражнение 4.......................35
Вопросы для проверки
усвоения......................37
2. Законы движения Ньютона.
23. Развитие механики ...... 37
23а. Основная задача механики ... 39
24. Первый закон механики .... 39
Упражнение 4а................42
25. Сила.........................43
25а. В природе существую, только
взаимодействия тел'..........44
26. Зависимость между силой и уско-
рением ....................... 45
26а. Понятие о массе тела........47
27. Второй закон механики .... 49
28. Длительное и мгновенное дейст*
вие силы . ..................50
Упражнение 46 ....... 52
29. Третий закон механики .... 53
29а. Третий закон механики в тех-
нике ................... ... 58
Упражнение 5 ........ 62
Вопросы для проверки
усвоения.....................62
30. Свободное падение тел .... 63
31. Ускорение свободного падения для
всех тел одинаково..............65
Упражнение 6........... 67
32. Выражение веса тела через массу
и ускорение..................6/
33. Способ сравнения масс .... 67
34. Единица массы ........ 68
35. Плотность вещества • , • • • • 69
862
C mil.
36. Динамическая единица силы . . 69
37. Соотношение между килограм-
мом-силой и диной 70
38. Система единиц CGS.........70
39. Техническая система единиц . 71
Упражнение 6а ....... 74
Вопросы для проверки
усвоения.....................76
3. Сложение движений.
40. Независимость действия силы от
состояния движения тела ... 77
41. Сложение путей двух прямолиней-
ных и равномерных движений . 78
42. Сложение скоростей.........82
43. Разложение скорости на две со-
ставляющие .....................82
Упражнение 7 85
44. Движение тела, брошенного вер-
тикально вверх..................87
45. Движение тела, брошенного гори-
зонтально . .................... 87
46. Движение тела, брошенного на-
клонно к горизонту ..... 89
47. Баллистическая кривая .... 89
48. Лабораторная работа 1 .... 91
Упражнение 8............... 92
Вопросы для проверки
усвоения.................... 94
4. Механическая энергия.
49. Понятие о работе..............94
50. Измерение работы..............95
51. Единицы работы............... 97
52. Соотношения между единицами
работы различных систем ... 98
53. Мощность .................... 98
54. Единицы мощности..............98
55. Энергия .....................100
56. Формула кинетической энергии 101
57. Вывод соотношения между рабо-
той и кинетической энергией для
случая, когда тело движется с не-
которой начальной скоростью . 103
Упражнение 9...............106
58. Потенциальная энергия .... 107
59. Закон сохранения энергии . . . 109
Упражнение 10..............113
Вопросы для проверки
усвоения ..................114
II. СТАТИКА.
1. Сложение и разложение сил.
60. Три признака силы............115
60а. Уравновешивающиеся силы . . 116
61. Перенос точки приложения силы
в твёрдом теле ..................117
62. Равнодействующая сила .... 117
63. Сложение сил, направленных по
одной прямой в одну сторону . 118
64. Сложение сил, направленных по
одной прямой в противоположные
стороны .........................118
65. Сложение двух сил, действующих
на тело под углом (параллелограм
сил) . . . . . ..... . . . 119
66. Сложение двух сил, приложенных
к двум точкам тела ..... 122
Ст&
67. Сложение нёскблькйх сил, дей-
ствующих на тело...............123
Упражнение И..............123
68. Разложение силы на составляю-
щие . ................... 124
Упражнение 12 ....... 129
Вопросы для проверки
усвоения ..................132
69. Сложение параллельных сил, на-
правленных в одну сторону . . 132
70. Центр параллельных сил ... 136
71. Разложение силы на две парал-
лельные составляющие .... 136
72. Сложение двух параллельных про-
тивоположно направленных сил . 137
73. Пара сил ..•••••••• 139
Упражнение 13..............140
2. Центр тяжести тел
и устойчивость их положения.
74. Центр тяжести тела ..... 141
75. Определение центра тяжести тел
простейшей геометрической фор-
мы ............................142
Упражнение 14 ....... 144
76. Устойчивость тела, имеющего
точку или ось опоры............145
77. Устойчивость тела, имеющего пло-
щадь опоры.....................147
77а. Минимум потенциальной энергии
как условие устойчивости поло-
жения тела ......... 149
78. Реакция опоры.............150
Упражнение 15..............151
3. Понятие о моменте силы.
79. Действие силы на тело, вращаю-
щееся вокруг оси................151
80. Лабораторная работа 2 .... 153
81. Общее условие равновесия сил . 153
4. Условия равновесия сил и закон
работ для простых механизмов.
82. Орудие, механизм, машина . . 155
83. Трение и его происхождение . . 157
83а. Вилы трения . ..............158
836. Законы трения ................158
83в. Значение трения в природе и
технике .....................161
83г. Способы уменьшения вредного
и увеличения полезного трения . 162
Упражнение 16...............163
Вопросы для проверки
усвоения ...................164
84. Работа силы при подъёме груза
по наклонной плоскости . . . 164
- 85. Работа по преодолению силы тя-
жести при перемещении тела
с одной горизонтальной плоско-
сти на другую.............. 165
86. Коэффициент полезного действия 167
87. Лабораторная работа 3 .... 168
Упражнение 17............169
88. Второй способ уравновешивания
сил на наклонной плоскости . . 170
89. Клин........................ 171
90. Винт..................... 173
Упражнение 18 . . . , , . . 176
91. Блок ..................... 177
263
Cnin.
92. ПолйспасТ ......... 180
93. Ворот......................181
Уппажнение 19.............183'
94. Рычаг..................... 184
Упражнение 20..............186
95. Закон сохранения работы в при-
менении к машинам............187
Вопросы для проверки
усвоения . .................188
III. ГИДРО-АЭРОМЕХАНИКА.
96. Сжимаемость жидкостей ... 189
96а. Передача давления жидкостями
и газами.................... . 189
966. Гидравлический пресс .... 191
97. Давление внутри жидкости . . 194
98. Уровни жидкости в сообщаю-
щихся сосудах................197
99. Действие жидкости на погружён-
ное в неё тело...............198
100. Плавание тел на поверхности
жидкости........................199
101. Определение удельного веса
тел на основании закона Архи-
меда ......................... 200
102. Ареометр...............201
103. Лабораторная работа 4 ... 202
104. Лабораторная работа 5 ... 204
105. Атмосферное давление ... 201
106. Барометры ................. 206
107. Альтиметр ...................207
107а. Строение атмосферы .... 208
108. Манометры.............. . 210
Уппажнение 21 .............212
Вопросы для проверки
усвоения ............214
109. Внутреннее трение в жидкости
и газе.....................215
НО. Вихри в движущихся жидкости
и газе.....................216
110а. Сопротивление при движении
тел в газе и жидкости. Обте-
каемость ....................217
111. Соотношение между скоростью
струй и давлением . • • • • 219
112. Использование зависимости да-
вления от скорости течения для
подъёма самолёта................222
IV. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ.
113. Равномерное движение по ок-
ружности .......................223
114. Направление скорости в криво-
линейном движении...............227
115. Период вращения, число оборо-
тов, линейная скорость ... 229
116. Угловая скорость ..... 229
117. Центростремительное ускоре-
ние ............................230
118. Центростремительная и центро-
бежная силы ....................233
Упражненле 22 ........... 237
119. Примеры явлений, объясняемых
инерцией при («ращении; центро-
бежные механизмы................238
Упражнение 23 ...... 248
Вопросы для проверки
усвоения .................250
V. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО
ТЯГОТЕНИЯ.
120. Изучение движения небесных
тел до Коперника................251
121. Строение вселенной по Копер-
нику ...........................252
122. Борьба нового мировоззрения
с церковным авторитетом . . 252
123. Законы Кеплера ............253
124. Сила притяжения планет Солн-
цем ............................254
125. Притяжение Луны Землёй . . 255
126. Закон всемирного тяготения . 256
127. Опытная проверка закона все-
мирного тяготения ..... 257
128. Поле тяготения ............258
129. Изменение силы тяжести на
Земле ..........................258
Вопросы для проверки
усвоения ......* 259
Приложения .............. 269
Редактор Г. В. Басов
Техн, редакторы И. Н. Махова, Н. П. Цирульчицкий
Под писано к печати 20/IV 1951 г. А 02727. Тираж 450 тыс. экз. (200.001—450.000 экзА
Бумага 84 1О8‘/м--4,125 бум. л.—13,53 нем. л. У чётно-..здат. листов 16,28. Заказ № ЗЗо.
Пена без переплёта 2 р. 50 к. Переплёт бумажный 75 к. Переплёт коленкоро-
вый 1 р. 40 к.
Набрано в Первой Образцоюи типографии имени А. А. Жданова Главлолиграф-
издата при Совете Министров СССР. Москга, Валовая, 28.
Отпечатано 3-и типографией («Красный пролетарий» Глагполиграфиздата при Совете
Министров СССР. Москва, Краснопролетарская, 16.
два» > ?