t J i 1
И.И. Ляшко
А.К.Боярчук
Я.Г.Гай
Г.ПЛоловач
Справочное
пособие
по высшей
математике
2
анализ:
pHijni. функции
НвИтсглю^и dfjt'y.'.ujHiiia
Москва
1998
ISBN 5-88417-017-3
И.И.Ляшко, А.К.Боярчук. Я.Г.Гай, Г.П.Головач.
Справочное пособие по высшей математике.
Том 2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента
“Справочное пособие по высшей математике” выходит в пяти томах и представляет собой новое,
исправленное и существенно дополненное издание “Справочного пособия по математическому анализу” тех же
авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический
анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной.
По содержанию второй том нового издания соответствует первой половине второго тома “Справочного
пособия по математическому анализу” и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций
векторного аргумента.
Пособие предназначено для инженерно-технических работников, специалистов по прикладной математике,
преподавателейвузов, студентов, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.
Группа подготовки издания:
Научный редактор Технические редакторы	Доминго Марин Риной Наталья Финогенова, Марина Копылова
Набор	Ирина Макеева, Светлана Бондаренко
Макет Корректура	Виктор Романов, Василий Подобед Леонид Иосилевич, Лариса Кирдяшкина, Игорь Коровин, Елена Кудряшова
Лицензия ДР № 063377 от 23.05.94. Подписано к печати 13.11.95.
Формат 70х 100 1/16. Бумага офсет № 1. Гарнитура обыкновенная.
Усл. печ. л. 14.0. Доп. тираж 3000 экз. Заказ № 30 
Издательство “УРСС”. 111672, г. Москва, ул. Новокасинская. 27/74.
Отпечатано в АООТ “Политех-4" 129110, Москва, ул. Б. Переяславская, 46.
©“УРСС”, 1998
Оглавление
Глава 1. Ряды.............................................................. з
§]. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов ........... 3
§2	. Признаки сходимости знакопеременных рядов......................... 25
§3	. Действия над рядами............................................... 38
§4	. Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерно
сходящихся функциональных последовательностей и рядов.... 40
§5	.	Степенные ряды.................................................... 58
§6	.	Ряды Фурье........................................................ 79
§7	. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью
рядов.................................................... 96
Глава 2. Дифференциальное исчисление функций
векторного аргумента........................................из
§1	.	Предел функции. Непрерывность..................................... ИЗ
§2	.	Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента.	124
§3	.	Неявные функции.................................................  147
§4	.	Замена переменных................................................ 167
§5	.	Формула Тейлора................................................   186
§6	.	Экстремум функции векторного аргумента........................... 196
Ответы....................................................................220
Глава 1
Ряды
§ 1.	Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов
1.1.	Общие понятия и определения.
Определение 1. Пусть ап — произвольные элементы линейного пространства С, в
котором определено сходимость, n € N. Рядом элементов ап называют выражение
<50
ai + oj + >.. 4-0п +  =	’On,	(1)
П = 1
а элементы ап — его членами, В частности, если ап 6 R или а„ £ С, то ряд (1J называют
числовым.
Определение 2. Сумма п первых членов ряда (1) называется частичной суммой и
часто обозначается через Sn, т.е,
= ai + aj + ... + ап-
Определение 3. Если существует конечный предел
lim Sn = В , S £ С,
то ряд (1) сходится в С, а элемент S называют суммой ряда. Если lim 5П = оо или не
п—*оо
существует, то ряд(1) называют расходящимся.
Определение 4. Ряд
ОО
а*, а* е С,	(2)
fc = n+l
называется п-м остатком ряда (1) или остатком после п-го члена.
Ряд (1) сходится или расходится вместе со своим остатком, поэтому часто при исследо-
вании вопроса о сходимости ряда вместо него рассматривают n-й остаток.
Определение 5. Пусть ап € R. Если ап 0, то ряд (1) называют положительным;
если ап > 0, п € N, то ряд (1) называют строго положительным.
1.2.	Необходимое условие сходимости ряда.
Для того чтобы ряд (1), п.1.1, сходился в £, необходимо, чтобы
lim ап = 6, в € £,
п—*оо
где 6 — нулевой элемент линейного пространства £.
1.3.	Критерий Коши.
Пусть С есть R или С. Для того чтобы ряд (1), п, 1.1, сходился в £, необходимо и
достаточно, чтобы Ve > 0 Зпо такое, что Vn > по Л Vp € N выполнялось бы неравенство
|&«+р	^п| = |оп+1 4" вп+з + ... + ап4-р| < е.
4
Гл. 1. Ряды
1.4.	Обобщенный гармонический ряд.
Определение. Числовой ряд
оо
V*-.	1
пи 1
называется обобщенным гармонических рядом, а при р = 1 — гармонических. Он схо-
дится при р > 1 и расходится при р 1.
1.5.	Признаки сравнения числовых рядов.
Теорема 1. Если ряды (1), п. 1.1, и
ФО
(1)
п= 1
положительны и ап $ Ьп Vn > по , то из сходимости ряда (1) настоящего пункта вытекает
сходимость ряда(1), п. 1.1, а из расходимости ряда (1), л. 1.1, вытекает расходимость ряда
(П-
Теорема 2. Если ряды 51 аП и Ьп строго положительны и Vn > по выполняются
неравенства
Qn+i <
Оп Ьп
то справедливы выводы предыдущей теоремы.
Теорема S. Если ряды ап и Ь„ строго положительны и
lim — = с, 0 < с < +оо,
П—«ос ип
то они сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 4- Если при п —► оо
ап = О' (—'J ,
\пР/
то при р > 1 ряд(1), п. 1.1, сходится, а при р 5$ 1 расходится.
1.6.	Признаки д'Аламбера и Коши.
Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и
lim = L>
п—ап
то при L < 1 этот ряд сходится, а при L > 1 расходится. При L = +ос ряд (1), п.1.1,
также расходится, а если L = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (признак
д'Аламбера в предельной форме).
Если ряд (1), п.1.1, положителен и
lim i/аУ = L,
п,—»оо
то относительно сходимости ряда (1), п.1.1, делаем те же выводы, что и в признаке д’Аламбера
(признак Коши в простейшей предельной форме).
1.7.	Признак Раабе.
Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и
lim п (	---1 ] = р,
п—оо \Оп+1	/
то при р > 1 он сходится, а при р < 1 расходится. При р = +ос ряд (1), п, 1.1, сходится, а
если р = 1, то для выяснения вопроса о его сходимости или расходимости следует применять
другие признаки.
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
5
1.8.	Признак Гаусса.
Если ряд (1), п.1.1, строго положителен и
ап . , М , 4	.	.
----- = А 4----1-г—, А, ц = const,
Яп+1	П П1+г
где е > О, |0П| < с, то при А > 1 ряд (1), п.1.1, сходится, а при А < 1 расходится. Если же
А = 1, то ряд сходится при ц > 1 и расходится при д 1.
1.9.	Интегральный признак. Коши—Маклорена.
Если функция f неотрицательна при х > 0 и не возрастает, то ряд ^2 /(п) сходится или
п = 1
расходится одновременно с несобственным интегралом
+ 00
У
1
Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:
1 1 1 1
* 1 • 4 + 4 • 7 + ' ’ ‘ + (Зп - 2)(3п + 1) + ''' '
◄ Покажем, что сходится последовательность частичных сумм (5П) этого ряда:
1	1	1
п“ 1,4 + 4 • 7 + '' ’ + (Зп - 2)(3n + 1) ’
Для этого с помощью очевидных преобразований приведем 5П к виду
4 (0 - i) 41 - D+ (зЛа - зптт)) 4 (> - 5Лт) 
Легко видеть, что последовательность (Sn) сходится, т.е. сходится, по определению, дан-
ный числовой ряд. Сумма его
S = Lim = lim 7 fl — -—-—7) = 7. ►
n-00	n—»cc 3 X ЗП + 1 /	3
2. a) q sin a 4- q2 sin 2or 4- ... 4- gnsin no 4- ... ;
6)	q cos a + q2 cos 2a + ... + qn cos no 4- ... ; |g| < 1.
< Пусть (u„) и (vn) — последовательности частичных сумм рядов б) и а) соответственно,
и и « — их суммы. Тогда, использовав формулу Эйяера e‘v = cos ^>4-1 sin р, можем написать
4- iv„ = qe'a + q2e2ia + ... + gne’"a = --2--£-------.
1 — ge1Q
Принимая во внимание условие |g| < 1, имеем < 1; отсюда следует, что
Um (gn+1e,(n+1)Q) = O.
n—
А тогда из предыдущей формулы находим
, .	\	»«’“ I cos a-a	sin о \
и 4- tn = Um un 4- »vn) = z--т~ = g f --------2---г 4- 1-------------
n—оо	1 — qe,a у 1 — 2g cos а 4-g3 1 — 2g cos а 4- q2 J
Поэтому
cos a — g	g sin a
u = g----------2---, v = ----------------. ►
1 — 2g cos а 4- g2	1 — 2g cos a 4- q2
ecr
3.	^(v^n 4- 2 — 2y^n + 1 + \/n) •
n#l
6
Гл. 1. Ряды
Непосредственно находим
S„ = (у^З - 2V2 + 1) + (л/1 - 2Уз + V2) + (1/5 - 2у4 + \/3) + . .. +
+ (т/п — 2\/п — 1 + 1/п — 2) + (у/п + 1 — 2т/п + i/n — 1) + (i/n + 2 — 2у/п 4- 1 + -/”) =
= 1 — у/2 + >/п 4" 2 — /я + 1 — 1
Следовательно,
S = lim Sn = 1 — у^2 ►
п—»сю
со
4.	Исследовать сходимость ряда ^"^sinnz.
п= 1
4 Пусть х кт (к — целое) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое
условие сходимости ряда:
lim sin пт = 0, г кт.	(1)
П—» СЮ
Отсюда следует, что lim sin(n+l)r = 0, или lim (sin пт cos т + cos пт sin г) = 0. Принимая
п-*оо	п—»сю
во внимание (1), из последнего соотношения находим, что
lim cos пт = 0, т кт.	(2)
П ОО
Из (1) и (2) получаем равенство
lim (cos2 пт +sin2 пт) = 0,
п—»сю
которое противоречит известной формуле sin2 or + cos2 а = 1. Источник противоречия - фор-
мула (1). Следовательно, если z кт, то данный ряд расходится. Сходимость же ряда при
т = кт (к — целое) очевидна, и сумма такого ряда равна нулю. ►
оо	„ . _,
СЮ	Pnfl 1
5.	Доказать, что если ряд ап сходится, то ряд У) Ап, тде Ап = У) а;, р, = 1,
п=1	п='
pi < Р2 <  • • , полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения
порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму.
ОО
И Из сходимости ряда У, ап вытекает существование предела любой подпоследователь-
rt = J
ности последовательности его частичных сумм, равного сумме рлда S. Возьмем эту подпо-
следовательность в виде
di = iSpt, щ 4- аз +• .  . 4- apj —1 = SP3 ,
01 + 02 + .  - + “р3-1 + оРэ 4- ... 4- аРа_1 = SP3, . .. , oi + аг + ... 4 Op„+i-i = ^р„+1 •
Тогда lim Sp* = S по условию. Но так как последовательность частичных сумм второго
П —ЬСО
ряда А] + Аз 4- ... 4- Ап равна Sp„+1 , то lim (А> + Аг + ... + Ап) также равен S, что и
П—»оо
требовалось доказать.
Обратное утверждение неверно, так как из сходимости подпоследовательности еще не вы-
текает сходимость самой последовательности. Возьмем пример. Пусть ап = (— l)”+l. Ряд
оо	оо
У, ( —1)"+1 , очевидно, расходится, хотя, например, ряд 52 (1 — 1), получаемый из предыду-
nsl	nsl
щего в результате группировки его членов по два, сходится, ►
оо	сю
6.	Доказать, что если члены ряда У2 °" положительны и ряд Ап, полученный в
Пя1	П»1
результате группировки членов этого ряда, сходится,, то данный ряд также сходится.
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
7
< Пусть (р*) — произвольная подпоследовательность натуральных чисел: (Sn) и (SPi ) —
частичные суммы первого и второго рядов соответственно. Тогда, в силу положительности
членов ап, будем иметь неравенства
Si	Sn $ SP1 для всех п, 1	п pi,
5р;	Sn SPJ для всех п, pi	п рз,
SPk Sn SPk+1 для всех п, р* п рь+i 
Переходя к пределу в последнем неравенстве, когда k —* оо, и учитывая, что второй ряд
сходится, получаем
lim SPh = lim Sn — lim S„. ., — S. >
к—»oo	n— 30	fc —e«x>
Исследовать сходимость рядов:
7.	! + - + - + _+ ...+ -——— + . •..
J О 7	6П 1
Очевидно, последовательность частичных сумм данного ряда возрастает. Покажем,
что она неограничена. С этой целью рассмотрим ее подпоследовательность (Sjn), n € N:
S3i — Si — 1 4- -, S2i — St — I + - + - 4-	... ,Stn —14--4-	4- ——----
О	uj V I	X	J
В силу оценок
, , 1	,	1	1	2	1	1	1.1	1	4	1
+ 3>	’	5 + 7	> 8	“ 4'	9	+ 1] + 13	+ 15	> 16	~ 4’
1	1	1	S’1-1 _ 1
''' ' 2n 4- 1 + 2" 4- 3 + ''' + 2n + 1 - 1 > г"*1 ~ 4 '
имеем неравенство
11	1	1	V ч '*	*
+ \2П 4- 1 + ' ' + 2”+1 - 1 / > +
Отсюда следует, что подпоследовательность (Si") неограничена, а значит, неограничена и
последовательность (Sn). Таким образом, данный ряд расходится. ►
8	1	1	1	1
у/2	2у/3	3\/4	Пу/п 4" 1
Рассмотрим ряд
l.fl.lV/'l.l.l 1 А ( 1	1 \
V2 \2УЗ Зу/IJ \4V5	5v^ 6>/7	7^/8)	\8^/9	15л/16/
if--1- I ... +__L—5 +
\2пу/2п 4- 1	(2’,+1 - l)y/2n + 1' /
полученный в результате группировки членов данного ряда. Замечаем, что
J- +J-<J_ + _1_<^_= J_
2у/3 Зл/4 2^2	3\/3	2^2	л/2'
1	1	_ 1	,1^4	1
4>/5 + " + 7>/8 <	+ •• +	“ (^2)г '
1 1 1 . , 1 1
.2’>Х^ТТ+ ••• + (2-М _ 1)75мТ <	+	+ {2„+1 _	< (7^-
Поэтому для последовательности частичных сумм ряда (1) имеем оценку
ч _ 1	_______1	1	1 i	1	1	1
у/2	(2n+1 - l)v^”+’ <	у^+ (v^)2 * ч + ” + (У2)п	>/2 + х/2 - 1'
8
Гл. 1. Ряды
Отсюда, учитывая очевидную монотонность заключаем, что ряд (1) сходится. А тогда,
на основании примера 6, сходится данный ряд. ►
Q 1 1 1
9» — ---+ —.-----+ ... + —/ .. - - — -	+ ... .
vT7! v^5	У(2п - l)(2n + 1)
В силу оценки
„11 1 111
Sn = •	4 ТТ—— + . • • + —, 	= > ~ + — 4-    + ~ >
7^3	/(2п-1)(2пЧ-1)	2	4	2п
> i fin 2 + In . 4- in 7‘ -1 = i ln(n 4-1),
данный ряд расходится. ►
«	оо
10.	Доказать, что если ряд У2 ап, а„ 0 сходится, то ряд а„ также сходится.
П=1	П=1
Очевидно, последовательность частичных сумм (С'п) второго ряда монотонно не убы-
вает. Кроме того, в силу an J 0 и сходимости первого ряда, справедливо неравенство
С-п = Bi 4- ^2	. 4- а„ (fli 4- из 4* .,, 4- в,,) = Sn const,
Поэтому, на основании теоремы о монотонной и ограниченной последовательности, суще-
ствует lim Сп, т.е. по определению 3, п.1.1, второй ряд сходится.
п— ОС
Заметим, что обратное утверждение неверно. Действительно, пусть дп = 2п i' Тогда
ОО	оо
ряд Z2 (2П-1 )i сходится по теореме 4, п.1.5, хотя ряд	расходится (см. пример 7). ►
ПК1	ns 1
ОО	оо
11.	Доказать, что если ряды У а„ у У сходятся, то сходятся также ряды
П- J	т»= 1
У2	^(ап+Ап)2, 52“’-
п= 1	п= 1	п= 1
Ч Используя элементарное неравенство (апЬп|	+^п)> а также условие примера,
получаем
оо
.Отсюда следует, что ряд [®п&п| сходится. А тогда и второй ряд в силу оценки
nsl
00	се	00	ос	оо
У '(an + Ьп)2 = У ап + 2 У алЬ„ + У 2(с 4- У |оп^п|)
ns]	nsl	n— 1	nsl	nsl
также сходится. Сходимость третьего ряда вытекает из сходимости первого, если положить
«
в нем Ьп = — и воспользоваться тем, что ряд У~^ сходится. ►
п= 1
оо
12.	Доказать, что если lim па,, = а / 0, то ряд > ап расходится.
П-*0О
n= 1
По определению предела, Уе > 0, 0 < е < |а|, Знр такое, что Уп > по и Ур € Н
справедливы неравенства а — е < (m + п)ат4.п < а 4- е, т = 1, р, или неравенства
а — е	а + е
;	< ап»+п <   —.
т 4- n	тп 4- п
ji 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
9
Суммируя эти неравенства по т от 1 до р, получаем
р
1
—m + п
т + я
, оста-
/  ₽ 1
Отсюда видно, что в силу расходимости гармонического ряда lim 5? —— = -
\р-+°° т=] т+п
ток рассматриваемого ряда расходится. Следовательно, расходится и сам ряд. ►
Примечание. Из условия примера 12 следует, что ая = £ + а	о
Поэтому на основании теоремы 4, п.1.5> данный ряд расходится. Однако мы предпочли непосред-
ственное доказательство.
13.	Доказать, что если ряд an, в„ > 0, с монотонно убывающими членами сходится,
п ж 1
то lim пая = 0.
4 По критерию Коши, из сходимости ряда следует, что Ус > О Э«о такое, что Vn > по
справедливо неравенство an+i + ао+2 4- ... 4- an+₽ < | Так как (an) — монотонная и
положительная последовательность, то из последнего неравенства вытекает, что pan+p < j.
Полагая, далее, последовательно р = я и р = я + 1, отсюда находим, что 2пдзп < с и
(2я + i)a2n+i < с при п > по. Следовательно, nan < г при любом (четном и нечетном)
я > 2«о. ►
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:
1 . cos z — cos 2r cos2а: — cosЗт	cosni — eosin 4- l)z
12	я
M Фиксируем произвольное с > 0 . Найдем число по такое, что при всех п > по и
произвольном р > 0 будет справедлива оценка )5я+р — Sn| < «, где (.Sn) последовательность
частичных сумм данного ряда. Имеем
.	, cos(n 4- l)z - cos(n 4- 2)z
|0n+p o„ | —	—:
n 4- I
cos(« 4- 2)z — cos(n 4- 3)r
+	«4-2
_ cos(n 4-l)z cos(n 4- 2)z
n 4- 1 (n 4- i)(n 4- 2)
cos(« 4- p 4- l)z
я 4-P
cos(n + р)х — cos(n 4- р 4- 1 )-с
я +р
cos(n + 3)т
(я + 2)(я + 3)
I
«4-1 (я 4- 1)(п +2)
cos(n 4- р)т
(я 4-Р - 1)(п 4-р)
_________1_________ 1
(« 4-Р - 1)(« 4-р) Я 4-р
1
2
п
Отсюда следует, что |Sn+₽ — Sn| < e, если за число no взять Поэтому, согласно критерию
Коши, ряд сходится. ►
1 Г COS X СОЯ Z2	cos X"
15‘ ~^~ + ^~+	+~^~ +	•
М Найдем число яо такое, что Vn > по и произвольном р > 0 будет выполняться нера-
венство |S„+jJ - 5Я| < г. Имеем
|5пч-р —	| —
cosxn+1 t coszn+2 ,	, cosxn+p
(я + I)2 + (n 4- 2)2 + ' " + (n 4- p)2
" (« 4- I)2 + (n 4- 2)2 + " ' + (n 4-p)2 < n(n 4- 1) + (n + l)(n + 2) +
_________1____________£________1 1_
(n 4-p - l)(n 4-p) ~ n n4-p n'
10
I n. 1. Г*яды
Следовательно, положив п0 = -, по критерию Коши, получим, что данный ряд сходится. ►
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:
16. 1 + 1 + 1+ ... +-+ ....
2	3	п
< Пусть е = j. Положим р = я. Тогда
, 1 1 111
- s"l = 7ТТ + 7+2 + "+ 27>п57-2>е'
критерию Коши, данный ряд расходится. ►
4 о о
Следовательно, по
17. i + |-|
л о
4 Поскольку
£
6
со	1	,	1	1	,	,	1	,	1	1
вп “ Зп “	Зп + 1 +	Зп +	2 “ Зп + 3	+	'  +	6п - 2 +	6п -	1 “ 6п	’
где (S«n), (5зп) — подпоследовательности последовательности частичных сумм данного ряда,
Т°	1	1	In
Sen ОЗп	, I л , . 1    I £	г,	/• п
Зп + 1 Зп + 4	6п — 2	6п — 2
Поэтому, согласно критерию Коши, ряд расходится. ►
, о I 1	1
Vl  2	л/2 • 3	y6i(n + 1)
< Пусть е = 1. Оценим разность:
z 1 +-.- 1
У(п + 1)(п + 2) а/(п + 2)(п + 3)
|Sj!
1 1
п + 2 п + 3
Таким образом, по критерию Коши, ряд расходится. ►
Пользуясь различными признаками, исследовать сходимость рядов:
19 » + Й!1! + ^+ +^ +
< Поскольку
1 1
2n + 1 > 4
((п + 1)!)32
я„	п—ос (п!)22^п + ^
то, по признаку д’Аламбера, ряд расходится. ►
20. 1 + +1 + +122+....
2	2-6	26-Ю
< Замечаем, что общий член ряда
lim
=0'
an имеет вид
4  7 • 10 .. . (Зп + 1)
2 • 6  10 ... (4п — 2)'
Отсюда находим
Дп+1	Зп + 4	3
lim —— = lim ------------ = -.
п—оо Ап п-tqo 4п -|- 2	4	•
Таким образом, согласно признаку д'Аламбера, ряд сходится. ►
и
а», где
если n = та,
(т — натуральное число),
если п та
Л1
н<
3 1. числовые ряды, признаки сходимости знакопостоянных рядов	11
< Покажем, что ряд
+ (;Н(п41)*+ "+ ((п + 1^-“)0 +  ’ (1)
полученный в результате группировки членов данного ряда, сходится. Для этого оценим
сначала каждый член ряда (I). Имеем
,	1	1	, Л 1	„ ,	1	1	114.1
1 + 2^ + F<1+2'^<21, 4 + 5^+’-+83‘<4 + 5^<2 4'
1	1	1	1 2п	_ „	1
п2 +	(П2 + I)2	+ " + ((п + 1)2	- I)2 < п2	+ (п2 + I)2	п=;	
Поскольку ряд 57	, согласно п.1.4, сходится, то, в силу теоремы 1, п.1.5, сходится и рлд
Пв|
(1). А тогда, на основании утверждения, доказанного в примере 6, заключаем, что данный
ряд также сходится, к
22.	.
£1 1 4- г3 + cos3 ка
nsl к=1
4 Легко видеть, что
гг_______________________________sin2 _____<______!___.	/л
11 1 + г2 + cos2 ка (1+т2)п	'
Предполагая, что х 0 (при х = 0 ряд, очевидно, сходится) н применял х ряду
(2)
признак д'Аламбера, замечаем, что ряд (2) сходится.
Используя теперь неравенство (1) и теорему 1, п.1.5, можем утверждать, что данный ряд
сходится. ►
п(п-1)
4 Нетрудно найти, что lim	’ = 1п» fl-----тт)" '
„-СО П+1/	П-.ОО х	п+1?
Поэтому, согласно признаку Коши, рлд сходится, к
24.	+ \А-у/2 + ^2 - \/2 + \/2 + ....
4 Замечая, что общий член ряда имеет вид
—2 - - 
= lim е п+1
п—* оо
вп=у2— у2 + У2 + ... +\/2, п е N,
: и полагая здесь >/2 = 2 cos получаем а„ = ^2—2 cos	= 2 sin	< 2L Тах как рЯД
ОО
1 £2 J5T сходится, то по теореме 1, п 1.5, сходится н данный рлд. ►
; п=1
i 25. Доказать, что если lim —= q, an > 0, то а„ = о(д"), где qi > q.
I	п—‘оо ап
4 Пусть число е > 0 настолько мало, что выполняется неравенство е < qi—q. По опреде-
лению предела, для данного е можно найти такой номер ,V, начиная с которого выполняются
; кер авенства
^1^4l	AN4-2	Qn
9 — С < —• < fl 4“	q — g < ——— < fl 4~ fl — е< 	< fl 4- £.
aN	aw+1	»n-i
12	Гл. 1. Ряды
Перемножая почленно эти неравенства, получаем
ая(д - s)n~N < an < (j + e)n-WaN,
откуда
л , “п .	(g +е V г . ,-.v	7 +с , ,
О < — <	----- (g + e) >	---- Ч 1.
7?	\ 41 /	71
Теперь видно, что увеличением числа п можно достигнуть неравенства
“п .	, , \—N f	,
— <a?;(g + r} 1 ------- < -
91	\ 91 )
показывающего, что а„ = o(g"). ►
ОО
26.	Доказать, что если lim л+1 = у < 1, а„ > 0, то ряд \ ап сходится,
п — оф Я п	*
и? 1
И Выберем е > 0 таким, чтобы выполнялось неравенство £ < 1 — q. В силу существования
конечного верхнего предела, для выбранного е найдется такой номер N, начиная с которого
справедливы неравенства
О <	< д + с, i = N, п - 1.
Перемножая эти неравенства, находим
°<“"< (777^ + ^
Поскольку ряд + сходится, то, в силу теоремы 1, заключаем, что ряд ап также
сходится.
Обратное утверждение неверно. Рассматривая, например, ряд
замечаем, что
в то время как ряд
OQ
очевидно, сходится. Таким образом, из того, что ряд	сходится, не следует, вообще
______	п=1
говоря, что lim "*** = д < 1. ►
П—«-ОО
OQ
27.	Доказать, что если lim = д, ап £ 0, то: а) при д < 1 ряд \ а„ сходится; б)
п — ОО	/ -»1
пч 1
при q > 1 этот ряд расходится (обобщенный признак Коши).
< Пусть q < 1. Для фиксированного е, удовлетворяющего условию 0 < е < 1 — у, в силу
условия примера, найдется номер N, начиная с которого выполняются неравенства
О 0N+1 < (д + е)Л+1,  •  , 0 a„ < (у + е)", q + е < 1.
Но так как ряд + е)п сходится, то, по теореме 1, из последнего неравенства вытекает,
что ряд 52“" сходится.
Пусть q > 1. Тогда для е, выбранного из условия 0 < е < д — 1, найдется номер М
такой, что при всех к > М члены последовательности (a„k) ( nVant —* q при n* —► оо) будут
удовлетворять неравенствам
>(7-«Ги+1, а„м+3 > (, -	....апк > (q -'Г, 9-£>1.	]
9
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
13
Отсюда следует, что общин член ряда х нулю не стремится, т.е. ряд расходится. ►
Исследовать сходимость рядов:
ОО
28.	52
зп
-4 Имея в виду обобщенный признак Коши, находим
./П3(Л+(-!)"?_	W(s/2 + 1) = Л 4-1
п—оо V зп	з.	з
Следовательно, ряд сходится. ►
OQ /1 + COSfl\2,,_ln "
\ 2 + cos я )
П = 1
-Ч Поскольку
In п	Inn
зт— /1 + cosnV-—	/2\2-—	4
П“*оо \2-f-cosn/	п —оо \ 3 /	9
то, по обобщенному признаку Коши, данный ряд сходится. ►
◄ Рассмотрим отношение
а„ _ /1 3 5 ... (2п - 1)У / 2-4-6 ... 2п(2п + 2)
вп+1 2  4 • 6 ... 2n J 1 • 3 • 5 ... (2п — 1)(2п + 1)
п —* оо.
- О + гЛт) = 1 +	+ 2Р(2п +4)г + °
Согласно признаку Гаусса, отсюда находим: при р > 2 ряд сходится, а при р 2 —
расходится, к
31. V-^-.
t—t Hn+p
n« 1
◄ Преобразовывая отношение к
виду
п”+р(п + 1)!е
1
= - ехр
е
2^+°
= ехр
р-0,5	/
------Ь о I
в-----\
П
и используя признак Раабе, заключаем, что при р > | ряд сходится. ►
а«> v' р(р + О (р + w-1) J_
п« '
в —♦ оо,
п!
•< Исключим из рассмотрения тривиальный случай, когда р — целое отрицательное или
нуль, и упростим отношение
— =	+ -Г = + -)"1 (1 + 1Г+1 =
«п+1 р+п\ п/	\ п/ \ п/
Поскольку lim n I -2=--1) = 9 — Р + 1 , то, согласно признаку Раабе, ряд сходится, если
Т> Р- ►
14
Гл. 1. Ряды
33 X-4 ( 1 -35 ... (2п - 1) \ Р 1
‘ 2-J 2  -4  6 . .. (2n) J n’t'
1
4 Составляя отношение
ап+) к 2п 4- 1) \ nJ	к 2п 4 1 \nj} \ п \п ) }
= 1	+	7"^-7 + ~	+ 0 (“) = 1 +	+ ?) “ +	0	— зс,
2п + 1 n к nJ к 2	/ п кп/
получаем lim п ^7^" —	| + ? и, на основании признака Раабе, заключаем, что данный
ряд сходится прн + q > 1 . ►
34. У (р(р+\) •••(?> + "-иГ р > о, ? > 0.
\ч{ч + 1)  •  (? + "-!)/
71=1	4
4 Приводя отношение да* t к виду
«п _	(? + »у _	Л	+ ? -рУ	= । + «(? -р)	+о Л к
“»+1	\Р + п/	\ p + nj	р + п кп/
при п —< оо и пользуясь признаком Раабе, устанавливаем, что ряд сходится при a(q—p) > 1. ►
35. Доказать, что если для строго положительного ряда	выполняется условие
П=1
ап	р	/ 1 \	/ 1 \
	 = 14	+ 0(— при п ~+ со, то ап = о (-I , где £ > 0 произвольно мало, причем,
fln+l----------------------------------------П-\П/	\7К“* /
если р > 0 , то ап j 0 при п —* оо, т.е. ап при п п0 монотонно убывая, стремится к нулю,
когда п —* оо.
< Начнем со случая, когда р > 0, Фиксируя произвольное е01 0 < е0 < р, из условия
существования предела lim п ( -—-----1 | == р находим
П—еОО \ а« + 1	7
1 +	< _±_ < i + l+±> , , =	
» ац-1	«
где — достаточно большой фиксированный номер. Из написанных неравенств следует, что
О ^)(’+ угг)  •  G +	< (+РНЙ(' + SS)'  ('+
Отсюда, учитывая, что ап > 0, а также пользуясь неравенством Бернулли, получаем
Л	“Л	_
(А)
(А)
Поскольку р — ер > 0, а 77 +	... 4-	—► оо при и -> оо , то из неравенства
вытекает, что ап —< 0 . Принимая во внимание еще, что при р > 0 последовательность (ап)
монотонна (это видно из того, что при » по , где «о — достаточно большое число, £ > о ,
следовательно, д~*> 1), убеждаемся в справедливости второй части утверждения.
Для доказательства первой части утверждения (р — любое, a s > 0) покажем, что
lim (np-,an) = 0.
п— ОС
Вводя обозначение = пр_,ап и составляя отношение tn , получаем
1
-^2-=(i + -)	+	г71 + £ + о(1)) =
Сп-Н \ П/	вп + 1	\ П/ к П кп//
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
15
36. а.
Замечая, что это отношение имеет тот же вид, что и , на основании доказанного выше,
приходим к выводу, что еп —> 0 при п —• сю. ►
OQ
Исследовать сходимость ряда У J ап , если:
п= I
П - 1
^ТТ’ R>1-
4 Преобразовывая выражение для общего члена ап и используя при этом разложения
 z)m, 1п(1 +я) по формулам Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем
: ....	1 1п Л _	= п4 (2 + о (1) V₽(-—L_ + о =
+ У?Г)Р к п+1/ к кп// к п+1 кп//
2
р
= п-?2-₽
1
п,+ з
сю.
Видим, что, по теореме 4, ряд сходится при р > 0, ►
37. an = logj,™ f 1 +	, а > 0, 5 > 0.
\ п )
4 Пользуясь приемом предыдущего примера, имеем
_ 1п(1 + п~* \/а) _	1	/ \fa.
0,1	п In b	п In b п °
Следовательно, по теореме 4, ряд сходится, если 5	1. ►
38.
= О
п — ОС.	6^1.
41 Пользуясь разложениями функции х >-» 1п(1 + г) по формуле Маклорена, находим
= е₽
= ер
п —• оо.
1 - 7"+° (“)) +° (“)
2n \nJ / \nJ.
Таким образом, если р > I, го, согласно теореме 4, ряд сходится. ►
ОО
39.	Доказать признак Жамэ; положительный ряд ап сходитсяа если (1 —	>
In га
n = J
. р > 1 при п > по, и расходится, если (1 - -УаТ);-	1 при я > по.
1п п
•4 Непосредственно из первого условия находим 0 $ ап (1 — £^)" (заметим, что при
п > по выполняется неравенство 1 —	> 0 ), откуда
Используя разложения функций х t—» 1п(1 + г), еж по формуле Маклорена с остаточным членом
в форме Пеано, из последнего неравенства имеем неравенство
п -	1	( а1пгп /1п2п\1	1	2 In2 я Лл2п\
О $ а„ — ехр / — р —------Ь о ( - ) ? = — — р _	+ о I —п —► оо,
п?	2n \ n /J n₽ 2n’>+1	\пр+1у/’
из которого следует (на основании теоремы 4), что ряд сходится при р > 1.
Поступая аналогична, из второго неравенства условия примера можно найти, что
.1	In2 п	(In2 нА	/
“п > - ~ -Т-2- + о	= О*
п	2п2	\ п2 /	'
Последнее неравенство означает, что ряд расходится. ►
га
16
Гл. 1. Ряды
ОФ
40.	Доказать, что ряд дп, ап > 0, сходится, если существует а > 0 такое, что
п=1
In а " J	-1
---—	1 + а при n -J ng, и расходится, если	1 при п п0 (логарифмический
In п	п
признак).
4 Из условий примера легко получаем неравенства 0 < ап	при О по (первый
случай), а также неравенство а„ ~ при п по (второй случай). Следовательно, по при-
знакам сравнения, можно утверждать, что в первом случае ряд сходится, если п > 0, а во
втором расходится. ►
Исследовать на сходимость ряды с общим членом а„, если:
41'	= (1л(1п п))'“ 11 ’ М > 2’
4 Поскольку '°** =	— = ln(ln(lnn)) > 1,1 при п > ехр(ехр(ехр 1,1)), то,
согласно логарифмическому признаку, ряд сходится (см. пример 40). ►
42. ап = -г,--гт~г,—г, n > 1.
(1пп)1п(,пп)
4 В силу оценки
loan1 _ (In(ltin))2 < j
In n In п
справедливой при достаточно большом п lim	, на основании логарифмиче-
ского признака утверждаем, что данный ряд расходится. ►
Пользуясь интегральным признаком Коши—Маклорена, исследовать сходимость рядов с
общим членом ап:
43. а„ =	1	, п > 1.
nlnF п
4 Функция f : х >-> Iln, х при х > 1 является попожитеяьной и, судя по знаку производ-
ной, убывающей (при любом р и достаточно большом г). Поэтому для исследования данного
ряда иа сходимость можно применять интегральный признак Коши. Имеем
4-оо	4-оо
dx _ f rf(ln х) _	1
zlnpz J Inpz (p — l)2f_| < °°
2	2
при p > 1. Следовательно, ряд также сходится при р > 1. ►
44.	а„ = -тт---	---Гт-, п > 2.
n(ln n)P(Ln(ln п))’
4	Как и в предыдущем примере, нетрудно установить, что здесь применим интегральный
признак. Рассмотрим интеграл
dx
J х lnp z(ln(ln X
3
Если p = 1, то отсюда находим, что
/ t₽ln’i
In 3
Clli
1 - q
ln(ln 3)
1= [	=
J z4
ln(ln 3)
при q > 1. Следовательно, ряд сходится при
Если р > 1 , то в силу того, что lim = 0 при £ > 0 и любом у , можем написать
1>ln, t < при достаточно большом t > 0, где р а > 1.
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	17
Аналогично, если р < 1, то при достаточно большом С > 0 справедливо неравенство
ТлЬг > £ . где р $ а < 1.
А тогда, на основании признака сравнения, можем утверждать, что рассматриваемый
интеграл сходится, если р > 1, н расходится, если р < 1 (в обоих случаях д — любое). Это
же, согласно интегральному признаку, относится и к данному ряду. ►
« / \
. w	X' и [ п)
45. Исследовать сходимость ряда >	, , где г(п) количество цифр числа п.
• nJ
Е
rt=2
Легко показать, что ^(га) = [Ign] + 1 In г» + 1. Так как	4-
ОО
У7 77? сходятся, то, согласно теореме 1, п.1.5, сходятся н данный ряд. ►
п-2
46.	Пусть Ап, п € N, — последовательные корни уравнения tgz = г. Исследовать
«
сходимость ряда А„2.
П=1
< Графически можно установить, что для Ап > 0 справедливы неравенства пт < Ап <
пл + 7. Т огда
1 1 1
(пт 4- I)2 < Л" < п2,г2'
и, в силу п.1.4, данный ряд сходится.
Аналогично поступаем в случае Ап < 0. ►
47.	Исследовать сходимость ряда	
1п( п!)
г»=2
оо
Согласно интегральному признаку Коши—Маклорена, ряд n|n п расходится. Поль-
п-2
зуясь неравенством ln(n!) < nlnn н теоремой 1, п.1.5, заключаем, что данный ряд также
расходится. ►
DO
48.	Доказать, что ряд со строго положительными монотонно убывающими чле-
п—1
□о
нами сходится или расходится одновременно с рядом 2na?* .
п=0
Поскольку 0 < <11 + аа 4- а3 + <ц + ... 4- а2"+' “I + 2аг + 4ач 4- ... 4- 2па3я , то, в
п
силу монотонности (5„), Sn = У) а*, а также теоремы о монотонной ограниченной последи-
fcsl
вательности, из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого.
Кроме того, в силу оценки
2 (^“2 + 4а, 4- .. 4- 2"‘*’1a2»+i) aj -|- аз 4- аз 4-
+ ®2n+J J
из сходимости первого ряда вытекает сходимость второго. ►
49.	Пусть /(г) > 0 при х 5 1, f монотонно невозрастающая функция. Доказать, что
ОО	00
если ряд /(п) сходится, то для остатка его R" = f(k) справедлива оценка
п=1	*=п+:
+ оо
у. /(®) dx < Rn < f(n 4-1) 4- J /(z) dx.
nfl	n-M
18
Гл. 1. Ряды
Найти сумму ряда -у с точностью до 0,01.
4 В силу монотонного невозрастания функции /, имеем неравенства 0 < f(k + 1)
/(г) $5 /(£) при t г $ Л + 1, t £ N, используя которые, находим
/ f(x)dx < fW=Hn.
{	*=n+l
dr =
/ /(г)^= 52 / /(z)dz> 52 дл+i) = яп-/(„+1),
„+> *=п+’ { *=п+1
Теперь легко видеть, что из полученных неравенств следует требуемая оценка.
Для вычисления суммы ряда с указанной точностью воспользуемся доказанной выше
оценкой. В данном случае Rn =0,01;	. Тогда
< 0,01 <	*
г3	(п 4- I)3
откуда получаем число первых членов ряда, которое нужно взять для вычисления суммы
ряда с точностью до 0,01: н = 7. Следовательно,	+	+	+
П = 1
1 4- 0,1250 + 0,0370 + 0,0156 +0,0080 + 0,0046 +0,0029 яа 1,1931 ss 1,19 (с недостатком). >
Исследовать сходимость следующих рядов.
50.	V (ctg - sin .
\ ь 4п — 2 2п + 1/
ns ]
4 Применяя формулу Маклореиа с остаточным членом в форме Пеано, а также пользуясь
элементарными преобразованиями тригонометрических функций, получаем
. ЯЧ1 . 7ГП 1 ~ tg 2(4п_2)	т
an — cte--------sin  ---- = ------=—— cos----------- =
S4«-2 2n + 1 l + tgj^^ 2(2n + l)
x2	/ 1 \ _
8(2п + 1)2 + ° Ы -
Следовательно, по теореме 4, п.1.5, ряд расходится. ►
51 у Ня!)
na
1________________II_______
п —* оо.
4n — 2
In n
4 При п 3 справедливы неравенства
п — 2	1п(п!)
п° па
00	2	°° 1
Поскольку ряды 52 н £3 согласно интегральному признаку, сходятся при а > 2,
П»1	Пв I
то исследуемый ряд, в силу теоремы 1, п.1.5, также сходится при а > 2. ►
°° ( 1 \
52.	( п п3 + д — 11.
4 Пользуясь формулой Макяорена, получаем
-г—	/ In в \	Ln п
""=	-1 - 1^+т} -1 -
п оо.
J1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	19
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, заключаем, что данный
ряд сходится, к
53-£та-
4 Поскольку sin	n € N, то In2 (sin < In2 (^). Следовательно,
1	1	2	_ . / 1 \
In2 (sin £) У In2 (^) > гп!п	\nlnn/'”
Таким образом, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, из последнего
соотношения следует, что данный ряд расходится. ►
□О
54.	-1).
П=1
При а > 0 ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю при п — оо
Поэтому будем считать, что а < 0, и при установлении порядка стремления общего члена
ряда при п->оо будем пользоваться формулой Маклорена. Имеем
п“ .	, а .	,	. In п / In п \ _ф / In п \
"	- 1 = exp(n In п) -1 = — + о J =0 ( —) , » - оо.
Отсюда, на основании интегрального признака и теоремы 3, п.1.5, видим, что ряд сходится
при аг < — 1 . ►
ОО
_fl *
(п + а)п+ь(п + 5)п+а ’ “ > °’ b > °
п= 1
< Имеем
= ______________________п2п_________ __________1___________
“п ~ (п + а)"+к(п + Ь)»+« ~ па+ь + ±)"+ь 0 +	’
Так как последовательности ^(1 +	и ((1 + £)а+П^ при п —► оо стремятся к постоян-
ным е“ и еь соответственно, то ап ~ е„,-Ц при п —► оо. Следовательно, пр теоремам 3 и 4,
п.1.5, данный ряд сходится при а 4- Ь > 1. ►
4 Очевидно, если а 0, то ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю.
Далее, при а > 0, используя формулу Маклорена, получаем
= - In (na (-L - -L-	= О* (-L) , п - ос.
\	1п“	6n3<1 \n3Q / / /	\и2а/
Таким образом, по теореме 4, п.1.5, ряд сходится при а > |. ►
ОО
Исследовать сходимость рядов " un со следующими общими членами,
п=1
4 Поскольку
\/1 + г4 dx > / zdz =	,
о
о
2U1
Гл. 1. Ряды
то 0 < un <	, т.е. по теоремам 1 и 4, п.1.5, ряд сходится. ►
OQ
58. Доказать, что сходимость векторного ряда ' Ап в Е*, Ап = (flni, <*пз,	ап*),
п= 1
оо
ЛпЕЕ\ эквивалентна сходимости всех рядов дпЛ 1 =	&•
н=1
©о	____
М 1. Пусть все ряды S? t»ni. « = 11 Л, сходятся. Тогда 3 lim Sn< = S«, где 5nl и S, — со-
_ ,	п —сю
Пя1
ответственно частичные суммы и суммы рядов. По определению предела последовательности
Ve > 0 Зпо такое, что Vn > по выполняются неравенства
|УП1 — 5;| < е, t = 1, к.
Отсюда	______________
 k
у QSni - s.\3 < t'/k,
или ||.$n — S|| < cVk , где )|  || — норма элемента в Efc, = (Sni, Упг, .... 5nfc), .9 =
co
(Sj, $2, ... , .9*) = У A„. Следовательно, 3 lim 5n = Я в Efc, т.е. по определению 3, n, 1.1,
n=i
OO
векторный ряд 22 Ain сходится к S.
n«l
co
2. Пусть сходится- векторный ряд 22 Ain к сумме S, У g Efc. Тогда по определению 3,
1
п.1.1, Ve > 0 Зпо такое, что Vn > по выполняется неравенство
||S„ — S|| < е или
Е.
Отсюда	___
|Sn, -S,|<e V, = 1, к,
ОО
т.е. сходятся все ряды 22 “п*- ►
т*= 1
59. Исследовать иа сходимость векторные ряды:
а>Е(жГ-е“я) =
п»3
Л“'А bin ______________n!_________\
\	’ пт/п' (2n + l)!!(|sin п| 4-1 cos п|) / '
п= Iх	z
оо
4 а) Поскольку ряд 22 п1п~ в силу интегрального признака Коши—Маклорена расхо-
n»J
дится, то данный векторный ряд, по доказанному выше, также расходится.
б) Для сходимости данного векторного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходились
все три ряда:
ой	оо	оо
у^е--А	у^ 1пп у^_________________________
n-^/n’	(2n + 1)!!(| sin nj + | cos п|) ’
К первому ряду применим признак Раабе:
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	21
= Hm п I 1 4—	1--т=	4- о ( —7= )	- 1 )	= Um nfv'n + 1	+ v^)-1 = +0°'
n—оо у у/п 4-1 4- vn \vn)	) n—со
Следовательно, ряд сходится. Ко второму ряду применяем интегральный признак Коши—
Маклорена, т.е. исследуем на сходимость несобственный интеграл:
Поскольку интеграл сходится, то сходится и ряд. Что же касается третьего ряда, то сначала
используем признак сравнения
п!	м!
(2n + 1)!! (| sin п| + | cos п|) '* (2я 4- 1)!! ’
оо ,
а затем к ряду 22 (2п + 1)й Применим признак д’Аламбера:
п= 1
(n+ 1)!(2п + 1)!!	1
п—*оо	(2п 4* 3)!! п! 2
Следовательно, третий ряд является сходящимся. Таким образом, поскольку все три ряда
сходятся, то данный векторный ряд также сходится. ►
оо
60. Доказать, что сходимость ряда комплексных чисел эквивалентна сходимости
пя 1
оо	со
двух действительных рядов и У2 у„ , где zn = хп + iyn-
п=1	п=1
ОО	ос
1. Пусть ряды 22 *п и 22 Уп сходятся соответственно к суммам А и У. Тогда, по
п=1	П=1
определению 1, п. 1.1, Ve > 0 3«о такое, что Vn > тто выполняются неравенства
|Хп-Х|<е и |УП — У| < г,	(1)
где Хп, Уп — частичные суммы этих рядов. Учитывая неравенства (1), получаем
|Х„ + »УП - (% + ,У)| = |ХП - X 4- |(Уп - У)| |ХП - Х| 4- |У„ - У| < 2С.
00
Следовательно, частичные суммы комплексного ряда 22 (гп 4-»уя) сходятся к числу Х + гУ =
п ж 1
00	оо
22 Zn + i УЗ Уп.
П"1	П=1
2. Пусть ряд 22 ?п сходится к сумме X 4- гУ . Тогда, по определению 1, п.1.1, Vs > 0 Зп0
П«]
такое, что выполняется неравенство
|Хп + ,У„-(Х+>У)|<с или У(ХП-X)2+(Уп - У)2 <£|	(2)
где Х„ 4- 1У„ = Xi 4- «У1 4- ха 4*	4- .. • + хп 4- iyn = zt + z2 4-  •  4- zn — Частичные суммы
рассматриваемого ряда. Из (2) следует
|Х„-Х|<е, |У„-У|<с,
ОО
т.е. Х„ —* X, Уп —* У при п -» оо. Следовательно, ряд 22 сходится я; сумме X, а ряд
п= 1
оо
22 Уп — к сумме У. ►
П=1
61.	Исследовать на сходимость комплексные ряды:
22
Гл. 1. Ряды
оо	оо
а)	EL ; б) S (,' + 2)(i + 4) ...(, + 2п) '
1	п =I
оо	оо
«I а) Поскольку ряды У и У? сходятся, то по доказанному выше сходится
П = 1	П= |
данный комплексный ряд.	______
б)	Используя формулу х + iy = у/х2 + у2 {cos <р + isin<p), преобразуем выражение
wx.+^к виду	где = £arcts“• Поскольку
я!|со5<^п|	<	n!	n!|sin рп| <	п!
>/S VT? .   \/4r»2 + 1 " >/5^17  • • \/4n2 4-1 ' yWiT-. ,Дп2 + 1	. . . v'4n2 4- I
и ряд У' „ ~х~п' ,-<- по признаку д’Аламбера сходится, то на основании доказанной выше
"j у?-/Гт л/<п2 + 1
теоремы (пример 60) сходится и данный комплексный ряд. ►
Заменив последовательности (£.>)> п 6 N, соответствующими рядами, исследовать нх схо-
димость:
62.	хп = 1 4- —?= 4- ... 4- —-= — 2у/п.
у/1	у/п
п— I
< Поскольку Хп = £3 (!*+ | — Zfc) 4- £1 , то
*:=!
1 -I—7= 4- ... 4—у= — 2у/п = — 1 — V"*	—-г.-  --т=—,
у/2 yfi	VFTT(vT+T+ Vk)2
Следовательно,
ОО	J
lim хп = — 1 - У' т —	.
Vk 4- 1(-\А 4-1 4- Vk)2
Полученный ряд сходится по теореме 4, п.1.5, ибо
1 1
—, ,--------------------------------=— ~ —г	при £ — ОС,
УГ+Т(УГ+Т+ у/к)2 2J
поэтому сходится также данная последовательность. ►
ап	In к In1 п
бз.	- = Ет--— 
Jt=l
Поступая аналогично проделанному в предыдущем примере, получаем
fc=l 4	/
откуда
ОО / .	..	.	ч
Jim х„ = £ Р-ЦТГ + £ {1д2 к " ln’(* + ])) / •
Да 1	'
Пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, имеем
„	2 Ln(n 4-1) п
2ап = -i-—— + In-----  In n(n 4- 1) =
n 4- 1 n 4- 1	'	’
2in(n4-l) ln(n 4- 1) 4- Inn	/Inn's 21nn / I\ -n 4-1 /lnn\
= -ЙГТ1------—n — + 0.m=-^TTi)-lnU +J-^7I)+O	=
2Inn n-1	, л./1ая)	/1пп\
— — ГТ ГТГ 4 а7—ГТГ 4- >-J I —5- I = U ( —т- I , п —> оо
п(п 4-1) п2(п 4-1)	\ п2 I \ п2 J
$ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов	23
Следовательно, сходимость последовательности (хп) эквивалентна сходимости ряда
00 Jn „
^2 “Г Последний, по интегральному признаку, сходится, поэтому сходится и данная после-
пи 2
довательность. ►
64.	Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до
10-А , если
П=1	П=1
Я Нужное число членов ряда найдем из неравенства
|ап+1 + вп+а + ... | < 10 5,	(1)
где а„ — общий член рассматриваемого ряда.
а)	Пусть ап = ^ . Поскольку
п+1
1 / dx
7---------------------------777 < / -г, п е N,
(п + 1)2 J г2’
п
ТО
11	/ di
(п + 1)2 + (п + 2)2 +	< J г2'
п
Следовательно, если
(2)
то неравенство (1) будет выполняться. Из (2) находим n 10-3.
б)	Пусть а„ =	• Тогда
2n+i /	2	2а	\
К+,+ап+,+	_^1 + — +—_—_ +..J <
< 2Л+1 Л . 2 . f 2 \2 + A (n+3)2n+1
(п + 2)! п + 3 + kn + 3/	" J (п + 2)!(я + 1)‘
Таким образом, если	10“3, то неравенство (1) будет выполняться. Решая по-
следнее неравенство, находим п 10. к
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать сходимость рядов:
'• Ё (Й&- »• £ Ыд+’ХЯ-.»). з. f («.Jj)"’. 4. £ (».i„ 1)"’.
ОО	3	ОО /	.... 00
5. Е |1п (а. 1)р. 3. s	т. Е
ПП1	п=1	П=1
о У' п(»+3)(п+6)  (<п-3) й	\________tn-1)’___________
' _7r1<"+0<"+<>-«»-aX"W ' £;	-Ij)-±)	„
io- £ и- Ё12- Ё 1£Й. и. Ё
П“1	п=а	ПС2	п»] у \ ’	’	/
24
Гл. 1. Ряды
ОО
14- Е
nsl
1Б. £ Sin“^T
n=2
16.	Доказать признак Бертрама: если существует хотя бы в несобственном смысле предел

то числовой строго положительный ряд Е а" ПРИ Ч > 1 сходится, а при q < 1 — расходится.
Пользуясь признаком Бертрана, иссдедовать сходимость следующих рядов:
*»• £ Й » г» - (1 + t+ ГЙ1 + nln)-. IS. f
n=l *=2	n=2
Установив поведение общего члена при п —► оо, исследовать сходимость следующих рядов:
ОО
19. Е
21. £
Е г - Inn п*. 20. Е J
Л=1	/	п = 1 у —ОС
оо	оо 4" оо   .
Г LEgLHfjt. 32. V f е r |п|
О V'+r	n=i о V1*'
— +«
23- E Z f f(i)jsin ni| dx, где функция f абсолютно интегрируема на ]0, +оо[ и
n= 1 о
di.
dx
J f(x)dz / 0.
о
оо 4оо	сю +оо
24- Е	dx-1.25. Е f^dt-^-.
п=1 о	n=l п
ОО
26. Матричный ряд Е 4п > гДе Ап матрицы размера к х I, называется сходящимся, если
П = 1
3 lim 57 Ар = А,
»-°°р=1
где А — матрица размера к х I.
Показать, что сходимость матричного ряда эквивалентна сходимости всех рядов вида
Е “п1 > 1 р С 1 < 9 -< <,
ns 1
где а£’ — элементы матрицы Ап, n € N.
27. Доказать, что матричный ряд
' + чг + Чг + --- +	 >	(1)
где А — квадратная матрица, / — единичная матрица, х — число, сходится. Матричный
ряд (1) определяет матричную экспоненту ехЛ , т.е.
е
п«0
п!
28.	Пусть квадратная матрица А приводится к диагональному виду, т.е. существует
матрица Т такая, что
/А,	0\
Г-1 AT =s
к О	Ап /
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
25
Тогда
° \
г-1
е*" /
Доказать это.
29.	Пусть квадратная матрица размера п к п имеет вид
/ А I О
А 1 О
0\
О
1
А/
Тогда
\ О
Доказать это.
ОО
30.	Доказать, что ряд Е А" сходится, если
п=0
Е (ар,)г < 1,
р. «='
где ам g R — элементы матрицы А.
§ 2.	Признаки сходимости знакопеременных рядов
2.1.	Абсолютная и условная сходимости ряда.
оо
Определение 1. Ряд Е называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
П=г]
Е |«п|, где ая € R илы С.
ns 1
0000	оо
Определение 2. Если ряд Е °п сводится, а ряд Е lan| расходится, то ряд Е а"
nasi	nsl	n=l
называется {/словно сходящимся.
Теорема 1. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимости.
Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно к сумме S, то члены ряда можно переста-
влять в любом порядке и сумма переставленного ряда также будет равна S,
Теорема 3 (Римана). Если ряд сходится условно, то путем соответствующей пере-
становки его членов можно получить ряд с наперед заданным значением суммы (при этом
не исключается ±оо).
26
Гл. 1. Ряды
2.2.	Признак Лейбница.
Если а„ = ( —1)П6П> Ьп	О, и последовательность (Ап), начиная с некоторого номера по,
ОО
монотонно стремится к нулю, то ряд 52 ап сходится.
П«1
Для остатка такого ряда справедлива оценка:
Rn = HPA+i,	n>no.
2.3.	Признак Абеля.
Ряд
«X»
Дп&п	(1)
оо
сходится, если сходится ряд 52 а" и последовательность (6п) есть монотонная и ограничен-
ns]
мая.
2.4.	Признак Дирихле.
Ряд (1) сходится, если последовательность (Ап), начинал с некоторого номера по, моно-
ОО
тонко стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда 52 «п ограничена.
п» 1
2.5.	Ассоциативное свойство ряда.
Члены сходящегося ряда можно группировать произвольно; при этом сумма ряда не из-
меняется.
ОО
65. Доказать, что ряд дп является сходящимся, если выполнены условия: а) общий
п«1
со
член этого ряда ► 0 при п —> оо; б) ряд 'Л.,, полученный в результате группировки
пв 1
членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число слагаемых а,, входящих
в член Ап = У2 а,, 1 = Р1 < Ра < .... ограничено.
• = Ря
ОО
<4 Пусть (S^) — последовательность частичных сумм ряда 52 Тогда
П=1
$пк = 01 + 02 + ... + 0p3-i + aPJ + ор,+1 4- ,.. 4- aps_i +•,,, 4-
+ °р. + °р» + 1 + • • • 4- о* + о*+1 4- •. 4- Ор„+1 -1 =
= S* 4- a*+i 4- ... 4- ор.+1_ 1, рп к Рп+1 - 1,
ОО
где (5*) — последовательность частичных сумм ряда 52 0т1 •
п=1
Поскольку оп —♦ 0 и число членов последовательности (ak+J4-Ok+2 4-... + «p»+1-i) = (С*),
по условию, ограничено, то С* -+ 0 при k —* оо. Следовательно, lim = lim .5'„, что и
П—ОО	п —оо
требовалось доказать. ►
66.	Доказать, что ряд
01 4- «2 + ... 4- Ор3-1 — «ра —    — Орэ-i + оРз 4-  • 
сходится или расходится одновременно с рядом
оо	1	\
У2(~1)п~11	в*1> “ > °; 1=pi < Р2 <  •• 
пж]	\ iatp* /
$ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов	27
4 Пусть сходится первый ряд. Тогда сходится любая подпоследовательность его частич-
ных сумм, в том числе и такая:
т.е. последовательность частичных сумм второго ряда. Следовательно, второй ряд также
сходится.
Рпц.1 -I
Пусть теперь сходится второй ряд. Тогда а, -— О при я —> оо. Это означает, что,
|=р»
в силу положительности а,, сумма b*+i + ... -f-ap>+l-i (см. предыдущий пример) также
стремится к нулю и
lim S*k = lim
П^ОО	ifc—-OQ
т.е. сходится первый ряд. ►
67.	Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится, если члены этого ряда пере-
ставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положения больше чем на
m мест, где m - некоторое заранее заданное число.
©О
◄ Пусть S — сумма, ряда an • Тогда Ус > О ЗЛ' такое, что Ун > jV для последова-
ПС 1
телькости частичных сумм (йй) этого ряда выполняются неравенства S — е < Sn < S + «. В
силу условия примера, при n > N + т можем написать S — е < S’„ < S + г, где — по-
следовательность частичных сумм ряда, полученного в результате указанной перестановки.
Следовательно, lim .$'п = S. ►
п—•«
Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:
«я . 3 5 7 .
68.	1-- +
Общий член ряда an = (—1)ПЬ„, п £ Z+t donde 6n = Так как Ьп, начиная с неко-
торого номера, монотонно стремится к нулю, то, согласно признаку Лейбница, ряд сходится.
Доказать сходимость этого ряда можно И непосредственно. Замечая, что последовательность
(Йп) частичных сумм этого ряда представляется в вице
4.” + #’
415 = 1 -1	1 + Z 4 о «’ = ^-5 + 7-; + <ыИ (-п* "	~ 1 2*	2*+’ + s<”) - i Л-1)"-1 " - 3 2”-1 получаем 3 + 3 \ 2 + 4	 + 2-‘ Следовательно, lim S„ существует (	(-1Г_2Л ‘	2"	3 \	2n+1 J ’ . (~l)n\ __ 4 / 1	(-1Г+1\ 2" J 3 \ 2	2"+l J ’ + ЫЛ = 1 (1=211 _ "	2n )	3^2*	2n+J / ’ (-l)n+1>	о<п4П_2(-1)" 2"+i	/ 1 * n	2” 1 ?| 2	_ i , (n-l)(-lF+1 , J-lf J 3	2n+1	3 ‘	2n+1 '	" 2" ’ т.е. ряд сходится) н равен |. ►
28
Гл. 1. Ряды
1 1
2 + 3
Я Поскольку общий член ряда имеет вид an = LT-.Л .,, ngN, а последовательность
монотонно стремится к нулю, то, по признаку Лейбница, ряд сходится. Найдем .$2П . Имеем
1	1	, , 1 , I	1 Л 1	1 \
2^-1 + 2 + 3 + -- + 2^“1] + 2+ -+п)~
= С-1 4" 1н 2n 4~ f2n — (С' 4“ In п + еп) = In 2 4” сзп
2п - 1
- £п,
где С — постоянная Эйлера, а
Учитывая еще, что lim Sn
—* 0 при n —► co.
= lim где (Sn) - последовательность частичных
n—eqr
данного ряда, окончательно получаем
4
= In 2. ►
сумм
70. Зная,
(-l)n+1
------- = In 2,
n
доказать следующее утверждение: если члены
ряда
, 1111
1 — т-4-- — - 4-~ — ... переставить так, чтобы группу р последовательных положительных
членов Сменяла группа q последовательных отрицательных членов, то сумма нового ряда
будет равна In 2 4- - In -.
2 q
Ч В результате указанной перестановки получим ряд
1 1 1 11 1 1
+ 3 + 5+ ‘ +2р- 1	2	4	2q + 2р 4-
сумма которого, в силу примера 66, равна сумме ряда
Л 1 , 1	1 \ (1 1
(1+3+ 5 + - ’ + 2^л) “ (j + 4
1
1 + 2р + 3
1
4р - 1
в случае сходимости последнего.
Рассмотрим ряд
_____	1
2(п — 1)р + 1 Т 2(п — 1)р 4- 3
2?/
' 1
. 2р+ 1
1
2np — 1
1
2р + 3
1
4р — 1
1
2(n — l)q + 2	2(п — 1)д 4- 4	2ng
Ряд (2) получается из ряда (1) в результате группировки членов ряда (1) по два, Поэтому
если мы покажем, что ряд (2) сходится, и найдем его сумму, то, на основании результата,
полученного в примере 65, можем утверждать, что ряд (1) имеет ту же сумму.
Пусть р > д. Тогда нетрудно получить, что
s	_ J	1	1	1	1	1
” "	2 + 3	4 + ' + 2n? + 2n? + 1	2п? + 3	2пр - 1 ’
где (.Sn) — последовательность частичных сумм ряда (2). Прибавляя и вычитая в выражении
(3) слагаемое
(2)
(3)
1 1 1 _ 1 / 1 1
2пд 4- 2 "** 2nq + 4	2пр 2 \n?4-l"*"nq'4-2"*"'
и пользуясь асимптотической формулой
1'1	1	. т
——Г 4-----Т + •  4- — = In-ь cmn, —’0, т — оо,
m 4- 1 m 4- 2	n n
1
пр
1 _ 1
3	4
1
1
1
1
1
$ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
29

из (3) получаем
= C2ns> + In - |ln Ч-с'„, е„ —» 0, п
2п0	2 nq
ио	""I
где (С?пр) — четная подпоследовательность частичных сумм сходящегося ряда У —•
П=1
Таким образом, из (4) находим
<Х1,
(4)
S = lim S„ = In 2 4- i In -.
n — oo	2 (J
Заметим, что при p q аналогичным образом получается этот же результат. В частности,
если р = 2 и д=1, то
1
,	11111	3,
1 + з'2 + 5 + 7" ?+' --21пг;
если р = 1, q = 2, то
1-1-1+1-1 1
2	4	3	6
8
= jh 2. ►
*71 u	“V
i J.. Члены сходящегося ряда ? -—=
xfn
переставить так, чтобы он стал расходящимся.
Я Рассмотрим, например, ряд
1 1	1
Ч---7^----J=
A V5 \А
,1 .  1
ч/6п — 5 т/6п — 3 у/&п — 1
Очевидно, этот ряд получается из данного ряда в результате такой перестановки: за тремя
положительными членами следует один отрицательный. Покажем, что ряд расходится.
0 силу неравенства	> 0> имеем оценку общего члена
по теореме 4, п.1,5, расходится, то по
второго ряда: ап
»)
[И
теореме 1, пЛ.5, ряд а„ также расходится, что и требовалось. Заметим, что исходный
п= 1
ряд сходится по признаку Лейбница. ►
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
72. i + L + l_l_l-L + l + l + l_.
^23	4	5	6	7	8	9
4 Поскольку сгруппированный ряд, согласно признаку Лейбница, сходится, то, на осно-
вании доказательства, приведенного в примере 65, приходим к выводу, что данный ряд также
сходится. ►
ОО
73-Е .
>„100 „	„
m п пт
"	81В —.
4
«4 Поскольку
lain — sui —-
I 8	8
1 1
1
4
У
-1 । ±
уби — 5 v6n —3
к—ч . кт
1
1

30
Гл. 1. Ряды
а последовательность (п Ип100™), начиная с достаточно большого п, монотонно стремится
к нулю (это вытекает из того, что
lim г-1 1л100 х = 100 lim г-1 In" х = 0,	(я-1 In100 г)' < 0 Vz > e,oq),
X —’-f-QQ	X—»-f-OO
то, согласно признаку Дирихле, данный ряд сходится. ►
СЮ	,	2
74.
П=1
оо	оо
Ряды I"1' и ^2 ~	" сходятся: первый — по признаку Лейбница, второй (в
rjel	П»1
/ п	\
силу ограниченности последовательности I У. ( — 1)* cos 2Jt I ,
\*=i	/
У^(-1)* cos2k
*=i
1 1-1)"
“7 + LJi cos(2ra + <
I I cos 1
1 + (cos I)-1
2
и монотонного стремления £ к
их полуразность
нулю при п —• оо) — по признаку Дирихле.
п= I
Следовательно,
является также сходящимся рядом.
(-1)"
Представляя общин член ряда в виде
и замечая, что ряд £2	' по признаку Лейбница, сходится, а ряд £2 yzy расходится
п=Т	п = 2
(к Ч-сю), заключаем, что данный ряд также расходится (к +оо). ►
76.	, sin(ir\/п2 4- к2).
Пж 1
4 Поскольку
sin (я"\/п2 + t2^ = (—1)" sin г \/n2 + it2 —	— (—1)п4„,
где Ьп = sin ^===^------последовательность, монотонно (при п > по) стремящаяся к нулю
при п — оо, то, по признаку Лейбница, ряд сходится. ►
П«1
Рассмотрим ряд, полученный в результате группировки членов данного ряда. Имеем
+ (	(t2 + к2 + 1 + ” + (*: + I)2 -1) + •"
$ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
31
Поскольку
k 1	1	1	24 + 1	„ ,
Л* “ р + fci + 1 + • + (*+])s - 1 < к2
2k	I
Л* - Л'“+1 = (2* + ^52 (42 + п»)((4 + 1)2 + т) ~ 4= + 44 + 2 “ 42 + 44 + 3 >
тжО
(24 + 1)д______________1____________1
> {к3 + 24)(42 +44 + 1) к2 + 44 + 2	42 + 44 + 3
при 4 > 4o, то ряд ( — 1)*A*, согласно признаку Лейбница, сходится. А тогда на основании
к= 1
выводов, полученных в примере 66, данный ряд также сходится. ►
оо
_	cos ——г
78. Е-гг11- '	'
In2 п
-4 Имеем
1	/2
хп , ,.я	! п
cos---- = ( — 1) cos I X-ТГП
n+1	' V n + 1
7Г
COS -----
П + 1
^2, f	.
Так как ряд > , ; ЙР я ~ > по признаку Лейбница, сходится, а последовательность!! (cos
п-2
монотонна и ограничена, го исследуемый ряд, но признаку Абеля, также сходится, ►
79. Доказать, что знакочередующийся ряд
bi — Ьз + Ьз — Ь* + ... + (—I)"-1 Ь„ + .. , Ь„ > О,
скоднтся, если 	= 1 + — + о (—) при п со, где р > 0.
Оп+1	п \п/
Как следует из примера 35, при р > 0 последовательность (Ьп) I 0 при п > но . Поэтому,
по признаку Лейбница, данный ряд сходится. ►
Исследовать на абсолютную сходимость следующие ряды:
so.f>(1 + tU2).
ns2 '	'
Пусть р 0. Тогда общий член ряда к нулю не стремится и, следовательно, ряд
расходится. Полагая, далее, р > 0 и пользуясь формулой Маклорена с остаточным членом в
форме Пеано, находим
1 Л . (-1)Л\ (-1)" 1	/ 1 \
In 1 + iI = - -i---------—— + О ( -г- ) при П — ОС.
п? J п.» 2п3р х п2р /
оо / J4»	оо
Поскольку ряд У~( I согласно признаку Лейбница, сходится при р > 0, а ряд У^ а„, где
п=1	П=1
“п = 7^57 + о по теореме 4, п.1.5, сходится при Р > j (при р | ряд расходится к
+оо), то данный ряд сходится только При р >
В силу неравенства
и теорем 1, 4, п.1.5, данный ряд сходится абсолютно при р > 1. Следовательно, при значениях
р, удовлетворяющих неравенству - < р 1, исследуемый ряд сходится условно. ►
81.	V_____LriJ____
Z^(„ + (_l)n)p-	—
ПЖа
32
Гл. 1. Ряды
•< При р 0 общий член ряда не стремится к нулю, т.е. ряд расходится. Поэтому,
считая, что р > 0, и применяя формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано,
преобразовываем общий член ряда к виду
при п оо. Ряды £	£ (_^г + £>(-2и)) сходятся при р > 0 (первый — в силу
п=2	п=2
признака Лейбница, а второй — по теореме 4, п.1.5). Поэтому исходный ряд сходится при
этом же условии.
Поскольку, далее,
1 1 1 _ ---------------------------------------------------------
(n + l)f (п+ (-1)")р (п - 1)р' " “ '
ОО
и ряд 57 777 сходится при р > 1, то, в силу последнего неравенства и теоремы 1. л.1.5, данный
п=2
ряд сходится абсолютно при р > 1, Следовательно, при 0 < р 1 исследуемый ряд сходится
условно. ►
ОФ	nff
82.	V 51П ,4 п< .
' пр + sin —
п=1	4
Очевидно, при р 0 ряд расходится, поскольку при этом не выполняется необходимое
условие сходимости. При р > 0, как и в предыдущем примере, представим общий член ряда
в виде
1
J
сходится, по признаку Дирихле,
при р > 0, поскольку
оо „п ILL
ряд
п —• оо.
Л
Г
С
с:
. tr 1	1
? Sln ~Г < ---------------- L 0> П —г оо.
4	sin Т	п₽
*-1 *
|'>5
Далее, ряд 57 ПРИ Р > 0 сходится также по признаку Дирихле, а ряд
п= 1
оо
ПС
р
66
сходится по теореме 4, п.1.5, только при р > Поэтому полу разность этих рядов
1
является сходящимся при р > | рядом (при 0 < р $ j- ряд 7757 расходится к +оо, поэтому
nil
и последний ряд расходится к +оо). Следовательно, исходный ряд сходится лишь при р >
Отг
чяе
для
2 з»
$ 2. Прнзиакн сходимости знакопеременных рядов
33
Для установления области абсолютной сходимости воспользуемся оценками
• 2 пт
51П т
пр
2п₽
п₽
2|sin^|	1 cos —
2пР 2п₽
пр
1
пР
1

и теоремами 1, 4, п.1.5. Из этих неравенств следует, что данный ряд сходится абсолютно
лишь при р > 1. Поэтому при | < р 1 ряд сходится условно. ►
ОО
83.	£
пР
< Очевидно, при р > 1 ряд сходится абсолютно. Для выяснения области сходимости
рассмотрим ряд
(2)
л	1	.	1	1	,	1
где ~	f)7 + • • ’ (пД+2н)у 1 полУч£ННыи в результате группировки членов данного
ряда. Поскольку О < Ап <	—* 0 при п -* оо и р > j, а также
teO
1
-(п2+4п+2)_р - +**+
(2п + 1)((па 4 4п 4 1)р - (пд 4 2п/)
> (пд 4 2п)я(па 4 4п 4 1)”	(и1 4 4п 4 2)"	(п2 4 4п 4 3)р	"
при достаточно большом п, то, в силу признака Лейбница, ряд (2) сходится. Кроме того, Ап >
(п»?2п)Т не стремится к 0 при р | ; поэтому ряд (2) расходится, если р j. Следовательно,
согласно примеру 66, рлд (1) сходится лишь при р > Таким образом, область условной
сходимости ряда (1) определяется неравенствами - < р 1. ►
оо
84 -Е
п
◄ Ряд
ос
1
1
.полученный в результате группировки членов данного ряда, в силу оценки [71-Т; + 1 4   • 4
1	[<*)—Г«*“Ч	Г<*“4	1
PJ -* 1—1 = 1 —	—► 1	оо, расходится. Следовательно, согласно примеру
66, исследуемый ряд также расходится, к
оо	/	,	, ч в
85.	V(-l)"-1 (	, У <‘
1 V 2  4 • б ... (2n) J '	 .	'
Рассмотрим отношение
(ЬЗ-5 ... (2п-1)\Р /1-3-5 ... (2п — 1)(2п 4 1)\Р _
\ 2>4-6...(2n) ) Д 2-4-6 ... (2n)(2n + 2) )
= f1 + 2 V J') =142 хГ+° = 1 + Т~ + °	। п оо.
\	2п41/	2п41	\п/ 2п хп/
ty Исюда видим, что, согласно примеру 79, ряд сходится, если р > 0. Так как при р <. 0 общий
леи ряда не стремится к нулю при п —* оо, то это условие (р > 0) является необходимым
1 _ дя сходимости рада.
Зак 30'
34
Гл. 1. Ряды
Далее, по признаку Гаусса, ряд сходится абсолютно лишь при р > 2. Следовательно,
при значениях р, удовлетворяющих неравенству 0 < р 2, данный ряд сходится только
условно. ►
86.	±-± + 2--г + ±-±+....	'
2’ Зр 4’ 5р 6»
<4 Сразу заметим, что если р 0 или q 0, то ряд расходится в силу необходимого
признака. Поэтому далее, считаем, что р > 0 и q > 0.
Имея в виду пример 65, сгруппируем члены данного ряда следующим образом:
+	V -_____________—
klP 2«/	\3₽	4«/	6*7	"	(п + 1)’
п=1Д!,.	4
Так как
1	1	_ JL
«7	(п + 1)’ “ пр
— 1 + - = —
ПЧ \	Г>7 пР
п* х я \п//
1	1 . Ч	( 1 \
=---------+ ---тт + о ( -тт , п —• ОС
ПР	пч пч+'	<пЧ+; 7
то, по теореме 4, п.1.5, сгруппированный ряд сходится при р — q > 0. Если же р q,
то отсюда следует, что ряд сходится при р > 1 и q > 1 одновременно. А тогда, согласно
упомянутому примеру, при этих же условиях сходится и данный ряд.
Очевидно, абсолютно ряд сходится лишь при р > 1 и q > 1. ►
87.	1 + ±_± + ± + 2__±+,...
Зр 2р 5р 7р 4р
Я Ряд 1 + А-+т”+:т + 7г + тг + ..., составленный из абсолютных величин членов
Jr /г	(г qy
«О
данного ряда, сходится лишь при р > 1, так как при этом условии сходится ряд 52 ^7 и
ns]
члены абсолютно сходящегося ряда можно переставить в любом порядке.
При р = 1 получаем ряд, сходимость которого исследована в примере 70. Там мы уста-
новили, что ряд сходится.
Рассмотрим случай, когда 0 < р < 1. Образуем подпоследовательность частичных сумм
данного ряда (Ззп), где
2” + ЗР 4р + ' ’' + (2п - 1)р	(2п)р + (2п + 1)р + (2п + 3)р + ' + (4п - 1)р
= С2п + (2п + 1)р + (2п +3)р +   + (4П _ ])р;
(Cjn) — подпоследовательность последовательности частичных сумм сходящегося ряда
оо	я 1
53	-• Поскольку
n=S 1
11	In
(27TTF + (2Г+3)? +’" + (4^1)7 > (4^1)7 - +w прип-ос,то
М5з" =	+	((2THF +	+ • • • + (idnj?) = +о°-
Следовательно, данный ряд при 0 < р < 1 расходится. Заметив, что расходимость его при
р 0 следует из необходимого условия, окончательно устанавливаем, что исследуемый ряд
абсолютно сходится, если	р > 1,	и условно,	если р=	1.	►
ей , , 1 1 ,	1	, 1	1	,	1	1	1
оо .14* т™ ~ ““ +	+ ~*	— ~~~	4*	—	4*	*"1 —	—	4	- 
Зр Р	У	7р	Зр	Эр	11р	5р
Очевидно, при р > I данный ряд сходится абсолютно, ибо при этом условии сходится
ОС
ряд J2 —, и члены абсолютно сходящегося ряда можно перестайитъ в любом порядке.
п»1
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
35
Пусть 0 < р < 1. Рассмотрим подпоследовательность (San) последовательности частич-
ных сумм данного ряда. Имеем
9	1	1	1 I I 1
Зп (2я +1)₽	(2п + 3)р	(4п — 1)р
Поскольку Ззп >	— оо при п —► оо, то данный ряд расходится.
Пусть р = 1. Тогда 0 < Ззп < J и, по теореме о монотонной ограниченной последова-
тельности, lim Ззп. конечен. Следовательно, сходится ряд
п—
А так как все условия примера 65 здесь выполнены, то данный ряд также сходится.
Учитывая еще, что прн р 0 исследуемый ряд расходится, окончательно устанавливаем,
что он сходится абсолютно прн р > 1, а при р = 1 — условно. ►
89.
_ 2_	1	1	2	_1_ J_	2_ ,	< II
2ч + ЗР + 4Р	5’ + 6р + ?р	8** +
4 Рассмотрим ряд
1 \
(п +2)₽ ) '
J______2
пр (п+1)4
(2)
полученный из данного в результате группировки его членов по три. Считая, что р > 0 и
g > О, имеем
J______2	1	/ 1___1_Х	______р X /IX / 1 X
пр (n + 1)’ + (п 4-2)р “ \пр пт/+2\п'?+1 пр+’ ) + ° \n’+1 ) + ° кпР+' / ’
п —* оо.
Отсюда, в силу признаков сравнения, п.1.5, следует, что при р = q ряд (2) сходится. Пусть
Р / q- Тогда ап ~	при п —» оо, и, следовательно, по признакам сравнения, ряд (2)
расходится, если min(p, g) Sj 1. Так как все условия примера 65 здесь выполнены, то выводы,
относящиеся к ряду (2), остаются в сиде для ряда (1).
Замечая еще, что при р 0 или д 0 исследуемый ряд (1) расходится (общий член
ряда не стремится к нулю), а при р>1 и g > 1 он сходится абсолютно, заключаем, что при
О < р = q 1 ряд сходится условно. ►
90	("Л	/пЛ	_ m(m -	1) ... (m -	n + 1)
\ n / ’	\n J	n!
n=l	'	'	' '
4 Для удобства представим общий чяен ряда в виде
т — l)(fi — тп — 2) . . (1 — тп)т
т
п
«!
Очевидно, при т Е So ряд сходится абсолютно. Поэтому, исключая этот случай, можно
образовать отношение
bn = j + тп + 1 тп
Ьп+1	п "Г п(п - т)'
Так как начиная с некоторого номера по, последовательность (i„) имеет определенный знак,
то будем считать, что Ьп > 0, n ng. В таком случае из отношения (1), учитывая пример 79,
находим, что ряд сходится, если tn + 1 >0. Поскольку при m + 1 $ 0 последовательность
монотонно возрастает, то условие т + 1 > 0 является также и необходимым Для сходимости
ряда. Далее, по признаку Гаусса, нз (1) следуем, что ряд сходится абсолютно, если тп > 0, а
при т < О' — расходится (абсолютно).
Таким образом, все сказанное позволяет сделать вывод, что при тп 0 ряд сходится
абсолютно, а если — 1 < т < 0, го ряд сходится условно. ►
2*
36
Гл. 1. Ряды
91.	Доказать, что сумма ряда	для каждого р > 0 лежит между — и 1 .
П= 1
4 Поскольку ряд, в силу признака Лейбница, сходится, то подпоследовательности ча-
стичных сумм его имеют один и тот же предел S; причем подпоследовательность (Sin),
S2n 0	2р) + (зр 4₽) + ' " + Ц2п - 1)Р
1__\
(2п}₽/ '
возрастает, а подпоследовательность (S2n
1
(2п - 2)р
1
(2п-1)Р
убывает. Следовательно, 52n < S <	, откуда находим, что .S’ < Si <1. Для доказатель-
ства оценки снизу рассмотрим подпоследовательность (,b'tn_i). Поскольку график функции
х н- р > 0, г > О, является выпуклым вниз, то выполняются неравенства
112	112	1	1	2
ЗР + 5Р > 4₽’ 7р + 9р > 8₽’ " ’ (4п-1)р + (4п + 1)₽ > (4н)₽'
Отсюда для имеем оценку
1 ! ! 1 1 1
4п-‘ - 2р + ЗР 4р + ’'' + (4п - 1)р	(4п)р + (4п + 1)р >
1 1 1 1 1 _ 1
> 2Р + 4Р	(4п - 2)р + (4п)р ~ “ 2Р52”’
из которой предельным переходом получаем
1	5
lim S«n_i = S 1 — — lim S2n = 1 - —.
2p n—*oo	2P
£ = 10“6
Итак, .S' 3= 2t + i > 2 ’ что н требовалось доказать. ►
92.	Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до
“ если:
7^ Vn2 + 1 ’
sin п
v/n
а)	Согласно оценке остатка, вытекающей из признака Лейбница, нужное число N на-
ходим нз неравенства —^——==
<10 ®, откуда TV 10s
(см. п.2.2).
б)	В силу признака Дирихле, ряд сходится, а по п.2.5 сумма ряда равна сумме сгруппи-
рованного ряда
оо	180п—1
I2(-i)n+lbn, 6„ = (-i)"+1	£
n=l	ksz 130(п- 1)+ 1
который, очевидно, является рядом лейбницева типа, т.е. сходящимся по признаку Лейбница.
Следовательно, для остатка этого ряда справедлива оценка
180п+ 179
Е
*=1»0п-Ц
sin к°
у/к
1
7180п + 1
160П+179
Е
к=1В0п+1
sin <
— .—=- < 10
+ 1 Тяп
откуда ;V 1,32  10®. ►
93.	Доказать, что гармонический ряд останется расходящимся, если, не переставляя
его членов, изменить знаки их так, чтобы за р положительными членами следовало бы д
отрицательных членов (р д). Сходимость будет иметь место лишь при р = д.
5 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
37
4 Указанный в условии ряд
1 + 1 + 1+	+ 1____1_____!___________1	1	1___
2	3	Р Р + 1 Р + 2	Р + ?+ р + ?+1 + '''+2р + д ’
s силу примера 66, сходится или расходится одновременно с рядом
(1 + |+...	-Ц+ ... +-^ + ( !  + +—L-V	(1)
\	2	Р/ \Р+ 1 Р + 2	р + ?/ \Р + ?+1	'	2р+(?^	J
Пусть р > q. Поскольку справедливы оценки
Sa = Г1 + т +  • -Ч— 'j — (- J* + ... н-?— > 1 — - = (р — д) -,
\	2	Р/ \ Р + 1	Р + ч) Р	р
= $2 + \ -----г + . . . + --J------------1- . -U--1-->
\Р+?+1	2р + ?7	\2р + 7 + 1 т ^2p + 2qJ
с , Р Ч , .fl. 1^
’ 5г + гГГ, *	’(F ~ ’* (. л’ +
с i Ч (1 ,	1	1	\
•San > (р — g) I —I- -— --г  i--------—?-----—— [ = тп > О
\Р 2р + q	пр -I- (п — 1 )д у
и lim хп = +оо, то ряд (1) расходится.
П—’ОС
Пусть р < q. Тогда, оценивая частичные суммы ряда следующим образом:
fl О. АО-
-7-.
f s; у~р ?
р + ч 2(р + ч)'
1 \
+ - ,
п /
п	Ч ~ Р /.	1	1	\ ч
S2” <p”F+7 ( +2 + +^Т/'' ^(7+7)
ч - р
р + ч
1 + 2 + •
+гг. + : Р-
находим, что lim Sin+i = т.е. ряд (1) расходится,
п—-оо
Наконец, пусть р = q. Тогда ряд (1) есть ряд лейбницева типа, следовательно, он сходит-
ся. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать сходимость следующих рядов.’
31.	32. £(е^-1 g".33. £ sin^ln (1 + "ХГ~)’
п=2	'/П	'	1	п=1 \	/ ________________________
34.	£ ехр {^}	35. f arctg „ tg (sin	sin („ + L) .
n=2 k 1	n=l	___
36.	£ arcsin cos • (-Ip. 37. £	38. £ sin (хУп3 + n2) .
n=l	n=2
/ z	\ 1+—	\	co	n	3in(n+— )
39-	E ( (?«ctg214^) n -it 40. £n-aJ>₽cos32n,p€N. 41.J3
sm n
44.	£2 J"(l — x2)”’dr • sin n. 45. f ^^-dx.
и 1 А	П S 1 П
38
Гл. 1. Ряды
ОО
46. а„,где а„ есть решение задачи
n= L
(п + 2)ап+г 4- 2(п 4- 1)пг>+1 + пап =0, а: = —1, аз =
47. A,
СО
Исследовать сходимость матричных рядов У^ Ап, если:
П±1
cos 1 BiBlV 4в Ап= -1 arctg^V_]r
gin 1	— COS 1 J n	1 »in n co» n /
X n	П f
§ 3. Действия над рядами
3.1. Сложение рядов.
Если ряды
ОО	оо
сходятся в С, то справедливы равенства
ОО	оо	со
^(Аап 4* Д&п) = А ап 4* Р * Ъп,
П = 1	П= 1	П=1
где А, ц — произвольные действительные или комплексные числа.
3.2. Правило Коши.
Под произведением двух рядов (1), где а„, Ь„ — числа, понимается третий ряд, общин
член которого имеет вид
сп = 01 Ьп 4- ajin-i 4- . • • 4- Onbi •
оо	оо	оо
Вообще говоря, У^ с, У^ ап Ьп  Однако, если один из рядов сходится, а второй сходится
п = 1	П=1	П=1
абсолютно, то всегда
0О	00	оо
п=1	пя1	п=1
Эта формула справедлива и в том случае, когда все три ряда сходятся.
Найти суммы рядов:
4 Поскольку
k £ N,
сов £21 = i _ 2вш3 21 = /	# Зй,
3	3	11, если я = ЗА,
ОО 1 оо
н ряды У2 Jar, УЗ JT сходятся, то, на основании утверждения п.3.1, имеем
П®1	П=1
оо	оо
3 v-' 1_____£ V-' 1 _	2
2 2-^1 2^ ~ 2	2"	7 ’
П=1	n=l
$ 3. Действия над рядами
39
95.	= L |*у| < 1.
п=:0
оо
В силу сходимости ряда £2 (гу)п, на основании утверждения п.3.1, имеем
nsO
= 1 + у + ху 4- ху3 + х1 у1 + х2у3 +
= Х^" + уХ(*у)п " (1+ у) Х(*уГ = fTT?- ►
n=0	n=0	nsQ
96.	Показать, что
ОО	оо
nesO п=О
оо
4 Ряд ^7 сходится, поэтому, согласно п.3.2, имеем
п=1
ОО	«	. j ОО	оо
па 1	п=1	п=|	п=2
где
Сп =	a*b"-fc+1 = (-1)" X (* - l)!(n - Jt)! ’ ak ~ (t - 1)!' At = (it -1)!’
Поскольку	= “iU “ 1)" = П € TO
ls=o
‘-«“НГЁр^-о.
fe=O 4	'
что и требовалось показать. ►
( J jn4-l
97.	Показать, что квадрат сходящегося ряда У -—— является рядрм расходящимся.
х/п
п=1
< Прежде всего заметим, что данный ряд сходятся (условно) по признаку Лейбница. По
правилу п.3.2, имеем
с
Г_ 1\п —fc+2 \	Х1_	]
I Ч 1 _ / Jpfi	1
7» - * + 1 /	“ у1(п - it + 1)'
Поскольку —1 :	—, п € N, к = 1, п, то
^(п-*+1)	п
у 1 п
^(п - i +1) п
оо
Следовательно, ряд £2 с„, в силу необходимого признака, расходится. ►
ns 1
98.	Проверить, что произведение двух расходящихся рядов
1
40
Гл. 1. Ряды
есть абсолютно сходящийся ряд.
Легко установить (хотя бы с помощью признака Коши), что эти ряды расходятся. По
правилу перемножения рядов имеем
п — 1
Сп = Д1 Лн 4"	4"	k-j-l »
fc=2
где
(о\ и — 1	/3\п"~2 /	1 \
;	,6,=],^= - I 2П-1 + —•} , я = 2, 3, ... .
Z /	\ в / • \	6 f
Следовательно,
Упражнения для самостоятельной работы
Используя правило Коши, перемножить следующие ряды и найти суммы произведений:
СО	„ ОО	СО	ОО	СО	со
«• Е Ь Е sfe- >»	Е4~ £ i- аг-
п = 1	п=1	п=1	п= 1	nsl	п= 1
СО	ОО	OQ	ОО , .
S3- ЕНГЙГ Ei^T^wi ®4- Е-’Т^-
П=1	Г»ж]	П=1	F14S1
55. Доказать следующие свойства матричной экспоненты:
а) е*‘Ае*’А = е5я‘+1»)А; Ь)	=> е"1А,
где А — любая числовая квадратная матрица, zi, г2, г 6 R.
58. Показать, что в общем случае
еАе'в^еА + Я,
где А, В — квадратные матрицы.
57.	Показать:
а)	(ел)* = еА , где А* — эрмитово сопряженная матрица;
б)	если А1 = —А, то матрица еА — ортогональная;
в)	если А* = —А, то матрица ел — унитарная.
§ 4.	Функциональные последовательности и ряды.
Свойства равномерно сходящихся
функциональных последовательностей и рядов
4.1.	Понятие равномерной сходимости последовательностей рядов.
Определение 1. Последовательность функций (/п), /п : X — R(C), н Е N, называется
сходящейся поточечно к функции f : X -» R(C), если при каждом фиксированном г0 € X
числовая последовательность (/п(хо)) сходится к числу /(ко), т.е. Уе О 3?V = N(e, Го)
такое, что Уп > ^ справедливо неравенство
|/п(го) - /(zo)| < «.
Функция / называется предельной для последовательности (/п).
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
41
Определение 2. Лоследовательностъ функций (/п), А : X —> Ш(С), п 6 N, называется
равномерно сходящейся к функции f : X —► К(С) на множестве X, если Ve > О ЗХ = Х(е)
такое, что Vn > N A Vz £ X выполняется неравенство
|/п(т)-/(х)| < е.
В этом случае пишут /п(х) =4 /(г) на X.
Определение 3. Функциональный ряд
ОО
Ц*(г) = Ul(x) + Ц2(х) + ... + и*(х) + ... .
fc=l
(1)
где Ufc : Xi —► R(C), Xi 2) X, называется сходящимся поточечно на множестве Хк сво-
ей сумме S(x), х € X, если сходится поточечно последовательность его частичных сумм
(5п(х)), т.е. Vxo £ X 3 lim S„(x0) = S(xo).
п—eOO
Определение 4. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся к своей
сумме 5(х) на множестве X, если последовательность частичных сумм (Зп(х)) этого ряда
равномерно сходится на X к S(r),
4.2.	Критерий Коши.
Для равномерной сходимости ряда (1), п.4.1, на множестве X необходимо и достаточно,
чтобы Ve > О ЗХ = JV(e) такое, что Vn > N Л Ур 6 N Л Ух ё X выполнялось неравенство
|5„+p(z) - Sn(x)| < е.
4.3.	Важнейшие достаточные признаки равномерной сходимости рядов.
Мажорантный привиак Вейерштрасса. Если За* 6 R такие, что Vr С X справед-
ОО
ливы неравенства |uit(x)| а*, k € Pi, и ряд У а& сходится, то ряд (1), п.4.1, сходится
к = 1
равномерно на X.
<х>
Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда У ац(г) равномерно ограничены
k=i
на X, т.е
Е “*(*)
к=1
ЯМ.'
. ЗА/ > 0 такое, что Ух ё X Л Уп ё N выполняется неравенство |S’ri(;c)| =
$ М, а функциональная последовательность (6п (х)) удовлетворяет двум услови-
a)	Vx £ X : 6п+1 (х) $ Ьп(х) Vn > по;
б)	Ь„(х)	0 на X при п —* оо, то функциональный ряд
ОО
£/t(r)Mr)	(1)
*=i
сходится равномерно на X.
ОО
Признак Абеля. Ряд(1) сходится равномерно на X, если ряд У сц,(х) сходится рав-
к=1
номерно на X, а функции 6* удовлетворяют двум условиям;
а) ЗА/ > 0 такое, что Vx € X Л VJt £ М выполняется неравенство [6* (:е)| < М;
, б) Vzo € X последовательность (6t(xo)j монотонна при к > кд.
4.4.	Непрерывность предельной функции и суммы ряда.
Если последовательность непрерывных функций (/ге), f„ : X — R(C), сходится равномер-
Оо
но на X к функции / : X —► Й(С), То / непрерывна на X. Если все члены ряда
А=1
непрерывны на X и ряд сходится равномерно на X к сумме 5(х), то функция S непрерывна
на X.
42
Гл. 1. Ряды
4.5.	Почленный предельный переход в рядах я функциональных
последовательностях.
Если функциональный ряд (1), п.4.1, сходится равномерно в некоторой окрестности точки
ОО
то и если lim t*fc(r) = Ckt.k € N, то числовом ряд Cfc сходится, причем
*“**0	fc=J
ос	ос
lim u*(i) = Гс*~
x~"Za it-i	ь=1
Если последовательность функций (/„), п Е N, равномерно сходится в окрестности точки
го и V» € N 3 lim /„(z) = Лп, то последовательность чисел (Л„), п 6 N, также сходится и
lim I lim /„(аг)) = lim { lim /п(г) ) •
X — Xq ХП —fQO	/ П —GO	/
4.6.	Предельный переход под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда.
Если последовательность интегрируемых функций (/n), fn : [я, 6] — R, в £ N, сходится
равномерно на [а, 4] к функции / : [а, 6] —. R, то Vro £ [а, 6]:
X	X
j fn(t)di =t j f(i)di Vi € [a, 4], » —* oo.
Если ряд (1), л.4.1, члены которого интегрируемы на [а, 6], сходится равномерно на [а, Ь], то
справедлива равенство
У S(i) dt = 5? У U*(t)dt,
т.е. ряд (1), п.4.1, можно почленно интегрировать на отрезке [я о, х] С [о, 6].
4.7.	Предельным переход под знаком производной и почленное
дифференцирование ряда.
Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций (fn), fn : [а, 4] —» R,
п € N, сходится к функции f : [а, 4] —» R, а последовательность (fn), п £ N, сходится
равномерно к функции р : [a, i] -* й, то функция f также дифференцируема на [а, 6] и
f'(z) = <p(z) = lim /n(i)i т.е. допустим предельный переход под знаком производной.
п — 00
Если ряд (1), п.4.1, с непрерывно дифференцируемыми членами сходится на [а, &], а ряд
производных
оо
сходится равномерно на [в, 6], то сумма ряда (1), п.4.1, дифференцируема на [а, 6], Причем
на этом отрезке выполняется равенство
оо
5'(х) = а(х) = £111(4
ки!
т.е. ряд (1), п.4.1, можно почяеино дифференцировать,
н^Определить промежутки сходимости (абсолютной и условной) следующих фуикциональ-
оо ,
лл пР sin nr
Т+иг  4 > °’ 0 < 1 <т-
П=1
§ 4. Функциональные последовательности и ряды
43
< Для сходимости ряда необходимо, чтобы — =
О при п —> ос, т.е. чтобы
Абсолютная сходимость. Поскольку |sinnx| > sin3 пх = —	3 —, то ряд
пР I •
------- sin пх
1 + пч'
пр
1 + пЧ
cos 2пт
1 + п» п'
расходится при 0 < q — р 1. Действительно, первый ряд справа, в силу теоремы 4, п.1,5,
расходится к +со, поскольку ~ п/_, при п —» оо, а второй ряд справа при 0 < q — p 1,
по признаку Дирихле, сходится, ибо
п
\os2fcx
п= 1
sin nxcos(n + 1)х
sin х
1
|sin x|
и П77 M яоо.
Кроме того, поскольку |sinnx| ], то ряд
в силу теорем 1, 4, п. 1.5, сходится, если д — р > 1 ^“^7 ~ ^737 при п — оо).
Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно только при q — р > 1.
Условная сходимость. Представляя данный ряд в виде
5Ш пх 1
ПЯ-Р 1 + п~ч
п» 1
и пользуясь признаком Абеяя, находим, что при q — р > 0 ряд сходится. Действительно, в
ОФ
этом случае последовательность () Т 1 при п —» оо, а ряд У > в силу признака
П«1
Дирихле, сходится. Следовательно, при 0 < д — р 1 исследуемый ряд сходится условно. ►
юо.
п + уп
П&1
4 Пусть 0 $ у 1. Тогда ряд, по признаку Коши, сходится при |х| < 1.
Действительно,	______
lim \/	- = jxj lim —===== = |х| < 1.
п—со у П + У	п—юо ^/>1 Ч”
Если 0 $ у $ 1 и х 1, то	. Следовательно, в силу теоремы 1, п.1.5,
данный ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд.
Если 0 у 1 и х < — 1, то общий член ряда к нулю ие стремится, так как lim Jfl" =
П • 0©	' »
+оо.
Если 0 у 1, х = —1, то получим ряд лейбницева типа:
у- (~1)п
п + Уп ’
Пусть у > 1. Тогда ряд
1
1+ пу~п’
44
Гл. 1. Ряды
в силу признака Коши, абсолютно сходится, если |т| < у.
и71
При х = ±у общий член исследуемого ряда к нулю не стремится, так как Ein „ = 1.
п — эо п+ У
Итак, если 0 $ у 1 и |®| < 1 или |х| < у и у > 1, то ряд сходится абсолютно. Если же
х = — 1 и 0 у I, то данный ряд сходится лишь условно. ►
101.	у	х 2 о.
П=1
Ч Рассмотрим три случая: а)0$х<1;б)г=1;в)т>1. В случае а) имеем
оо п
1п(1 +	~ хп при п —* оо. Так как ряд ^7» согласно признаку Коши, сходится при
п=1
любом у, то, в силу теоремы 3, п.1.5, при таких же условиях сходится и исследуемый ряд.
ОО
В случае б) получаем ряд £2 7Х' который при у > 1 сходится по п.1.4.
п= 1
Наконец, в случае в) имеем
ln(14zn) = nlnr+ln	~ п 1п х +	п —• оо.
©О	00
Поскольку ряды n'i-i и Z2 niijn сходятся при у > 2, то данный ряд, по теореме 3,
п=1	4=1
п.1.5 также сходится при у > 2. ►
ОР
102.	Доказать, что если ряд Дирихле	сходится При г = ха, то этот ряд сходится
также при z > го.
•4 К ряду
1
nI-Io
применим признак Абеля. Здесь ряд У', сходится по условию, (	) — монотонная и
4=1	”
ограниченная единицей последовательность Vz > ю.
Следовательно, по признаку Абеля, ряд сходится также при г > го. ►
103.	Доказать, что для равномерной сходимости на множестве X последовательности
(fn), fn : X —► R(C), n Е N, к предельной функции f : X —* R(C), необходимо и достаточно,
чтобы
lim I sup rn(x) ) = О,
n-roe х	у
где
Гп(х) = |/(г) - fn(x)\-
< Необходимость. Пусть fn(x) =t f(x) на. X, п —* оо. По определению 2, п.4.1, это
означает, что Ve > О 3N = А(е) такое, что Vn > X Л Vr 6 Л выполняется неравенство
|/n(z) ~ /(»)| < «. Отсюда следует, что suprn(x) е.
X
Достаточность. Пусть Em I suprn(z) I = 0. Тогда по определению предела числовой
п —оо у х у
последовательности Ve > О ЗА = Й(е) такое, что Vn > N будет suprn(z) < е. Но поскольку
х
rn(z) $ sup rn(z), то rn(z) < e Vx 6 X. Последнее, по определению 2, п.4.1, означает, что
x
fn(z) =? f(x) на X при n —► оо. ►
Исследовать на равномерную сходимость следующие функции:
104.	fn(z) = zn - z"+’, ООО-
S 4. Функциональные последовательности н ряды
45
< Очевидно, /(z) = lim /„(я) = 0 при 0 х 1. Поскольку
Г»-* ОФ
sup	-/(r)l = —2—Л + 1
0^х$1	П + I \ П
Um
п—ОС
1 1
= - lim -------= 0.
е. п—со n + 1
то по критерию, доказанному в примере 103, fn(x) 0. ►
105.	fn(x) = zn - х3п, 0 $ х $ 1.
4 Имеем f(x) = lim fn(x) = 0, х е [0, 1]. Функция /„ достигает абсолютного максимума
П —ОФ
во внутренней точке сегмента: zn = zn £]0, 1[. Таким образом, имеем
sup г„(х) = f„(r„) = 2, lim [ sup rn(z))=2^0.
x€[o,i)	4	Vjefo.j) /	4
Отсюда следует, что последовательность	стремится к нулю неравномерно. ►
1 па г / . Л® „ .
4 Нетрудно видеть, что /(z) = lim
= х и справедлива оценка sup
1]
. Поэтому
Um [ sup |/»(х)-/(х)| ) =0,	►
n—oo Ve[o,ij	/
107. A(z) =	+ £. -0° < x < +°°-
< При n —• oo /„(x) —|z| на интервале ] — оо, +oo[ , причем
поэтому fn(x) |z|
4 Очевидно
sup
*6)-“. + <»(
sup
на всей числовой прямой, ►
108. fn(x) =
n
7(z) =
lim
n—«00
0 < X < 4-00.
Поскольку
то, по утверждению примера 103, последовательность сходится неравномерно. ►
109. а) /п(г) = sip^nr, —оо < х < +оо;
б) fn(x) — sin —, —оо < х < +<»
п
4 Имеем:
а)	/(*) =	’ °!
б)	/(х) = lim sin “ = О-
46
Гл. 1. Ряды
Поскольку в случае а)
sup f„(x) = — —• С при п —► оо,
-00<J<+00	п
а в случае б)
sup | sin — | = ]
— ос < г < 4- ос	7г
(достигается при г = ^(2k + 1), it £ Z), то, в силу примера 103, заключаем, что в случае а)
Jn(x) =t 0, а в случае б) последовательность сходится неравномерно. ►
110. а) /„(л) — arctg nz, 0 < z < +оо; б) /п(х) = х arctg пх, 0 < z < +оо.
4 а) Имеем /(л) = lim arctgпл = -. Поскольку
sup------arctg пл = lim — — arctg пх =-,
0<х<+ое I 2	I	г—+о I 2	12
то последовательность, согласно примеру 103, сходится неравномерно.
б) Здесь /(л) = тп(х) = х (£ — arctgпл). Используя равенство —arctg пх = arctg ,
z > 0 и неравенство arctg а < а, а > 0, имеем оценку
I /т	.	\| I 1 I	1	1
х{ — — arctg пл I = х arctg — < z — =-----> 0, п —> оо,
I \2	/II пх] пх п
независимо от х g]0, +оо[. Следовательно, по определению 2, п.4.1 /„(г) =4	. ►
111. /п(х) = ^1 + —а) на конечном интервале ]а, Ь[ ; б) на интервале ] — оо, +<х>[.
4 В обоих случаях легко находим предельную функцию /: ri-te*. Далее, в случае а)
представляем последовательность в виде
/п(х) = exp (nln	.	(1)
Здесь п > N, где N выбирается из очевидного условия 1 + ^ > О прн z е]а, Ь[. Применяя к
функции х >—» 1п (1 + ^), формулу Тейяора с остаточным членом в форме Лагранжа, из (1)
получаем
/»(х) = ехр fx -	, п ё N.
\ /
Поскольку
х Л Г r2fn'l\	J Af2 л
е 1 — ехр < —-— > | < е 1 — ехр < - —— 1---------)	( ,
\	[ 2п J у \	( 2п \ п J ) /
где М = max(|a|, |fr|), стремится к нулю при п —» сю независимо от л ё]а, А[, то по определе-
нию 2, п.4.1, ?п(х) =4 е1 на ]а, 6[.
В случае б) получаем
lim |ех — ^1 + —| = +оо,
поэтому sup r„(z) = +оо. Таким образом, последовательность (/п(х)) на всей числовой
— 00<Я<4-00
прямой сходится неравномерно. ►
/ 1 \
112. /п(х) = п[хп — ll.l^X^e.
4 Легко найти, что fn{z) -Пиша [1, я] при п —< оо. Далее, применяя формулу Тейлора,
находим
Гп (х) = п(.Х " — 1) — In X
= n(en " 1 — 1) — In г =
I /	1 In2 r (	\
In ( 1 + — In x ——=-e'* — 1 — In x
\ n	2n2	1
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
47
при п —> сю, 0 <	< ^77- Следовательно, /n(i) =S In х на [1, в]. ►
113.
{п2х,	если	0 х
«2(^-1)’ ес'™ п<®<^’
О,	если	х >
'	п
на [0, 1].
4 Поскольку /„(О) = 0, то lim /п(0) = 0- Далее, Vr б]0, 1] ЗЛ' : Vn > ^ будет х >
п—»©о	п
Следовательно, Уп(т) = 0 н lim /п(т) = 0 при х € [0, 1]. Таким образом, f(x) = lim /„(т) =
71 —OG	П—»СС
О при х € [0, 1],
Поскольку sup fn(z) = п (и достигается при х = то lim (supУ„(ж)) = +сю, в силу
хе[о, 1]	n "-00
чего последовательность сходится неравномерно. ►
114. Пусть f — произвольная функция, определенная на отрезке [а, 61 и /п(т) =
п
Доказать, что /п(т) =i f(x) при а х 6, п —» <х.
< Из определения целон части следует, что [n/(z)] = nf(x) — Рп(х), 0 pn(x) < 1.
Поэтому /п(т) можно представить в виде /п(х) = f(z) —	. Отсюда находим lim /„(г) =
/(г), а также |/п(х) - _f(x)| =	£ — 0, т.е./л(т) =t f(x). ►
Исследовать на равномерную сходимость следующие ряды:
00 п
115- Е —у на отрезке[—1, 1].
71= 1
•Ч Оценивая остаток ряда следующим образом:
lS(x)-Sn(x)| =
СО
— —• 0 прн п — ос,
(czrt-f-l
где S(x), (5п(г)) — соответственно сумма и последовательность частичных сумм данного
ряда, сходящегося в силу признака сравнения
рассматриваемый ряд сходится равномерно. ►
00 п
не. у; ^-j- на интервале ]0, 4-оо[.
п*0
◄ Поскольку сумма этого ряда S(x) = е', то остаток ряда т„(х) = с1 — jj-. Но
и=а
sup |г„ (х )| = 4-оо (функция хме1 стремится к 4-сс прн х -* +<х> быстрее любой степей-
0<х<+«>
ной функции х х"), поэтому ряд сходится неравномерно. ►
ОО
117.	£(1 — z)zn на отрезке [Ot 1],
п=0
п
Ч Частичная сумма ряда Sn(x) =	“ Е)х* = 1 “ xn+1, 0 х С 1’, отсюда находим
Й»0
сумму ряда:
Ч( , _ ( 1, если O^x^l,
~ ( 0, есяи х = 1.
Следовательно, sup |5n(z) — S(r)| = 1, т.е. данный ряд сходится неравномерно. ►
0<х<1
Замечание. Если функциональный ряд непрерывных на отрезке функций сходится на этом
отрезке к разрывной функции, то ряд сходится неравномерно.
48
Гл. 1. Ряды
Z
((« _ 1)х + I)(nz + 1) ’ и
П=1
< Находим частичную сумму ряда:
Z
((* — l)1 + l)(^z + 1)
___________1__________________
(fc — l)z 4- 1 кт + 1 у nz + 1
откуда получаем, что S\x) = lim 5n(z) ~ 1, 0 < х < 4-ос. Далее, поскольку sup — = 1,
0<х<+оо П1+
то ряд сходится неравномерно. >
ОО
119, V --------------2* —---------а) 0 х е, где т > 0; б) s$Jz< 4-ос.
< (1 4-х)(1 4-2z) ... (14-nz) '	’ ’
п= 1
И Представляя общий член ряда an(z) в виде
апУ1} (1 4-г)(1 +2г) ... (1 -f (n - l)r) “ (1 4-z)(l + 2г) ... (1 + (п - 1»(1 4-nz) ’
находим частичную сумму ряда:
(14- i)(l 4- 2z) ,.. (1 4- nz)‘
Отсюда следует, что
с/-, г™ с i \ J 1, если z > О,
5(z) = Inn ,S„(z)= <	'	'
п—оо к '	10, если г = 0.
Далее, в случае а) имеем sup |.S(z) - Sn(z)| = |S(4-0) - ,S'n(4-0)| = 1, поэтому ряд
0<x<4-oo
сходится неравномерно. В случае б) находим
sup |S(l) — Sn(z)| = —-----Г-------------------- — О
«^т<+оо	(1 4- е)(1 4- 2е) ... (1 4- не)
прн п —< оо, в силу чего ряд сходится равномерно. ►
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных про-
межутках следующих функциональных рядов:
120.	|.|<+~,
И Найдем sup |ап(х)|, где а«(г) — общий член ряда. Имеем
|х|<+<»
sup |an(z)| = sup
|1|<+оо	|x|< + ot>
ПХ
1 4- n4z2
1
3
2п2
оо
и достигается при хп = —г- Следовательно, ряд 5У —г- является мажорантным для данного
п=12п*
ряда. Так как мажорантный ряд сходится, то исходный ряд, согласно признаку Вейерштрас-
са, сходится равномерно. >
121.	^-^=(zn+z-1), U|z|SJ2.
уп!	*
n=l
Легко найти, что
sup (zn 4-I-") = 2” 4-< 2n+1.
4«Н<2
ОО 3
Поскольку, к тому же, ряд	в СИЛУ признака д'Алкмбера, сходится, то исследуе-
п»1 vn
мый ряд сходится равномерно. ►
5 4. Функциональные последовательности н ряды
49
122.	|z| < а, где я > 0.
< Мажорантным для данного ряда является ряд	, сходимость которого при а < 1
n=i L "jJ;
очевидна, так как в этом случае
ОО	«5
£^<£‘=7^-
n=l L 2 J	л= 1
Пусть а 1. Тогда, обозначая через последовательность частичных сумм мажорант-
ного ряда, в силу оценки
2	„3
O'.	1!	1!
я*” а'
-у-
п'
п!
<?*=+' _
“А!- “ 5:
получим Sn $ S. Следовательно,
щей, ограничена сверху. А тогда,
рантиый ряд. ►
123. Z21п (1 + "'Л )' и
\ nui п /
п=2	4	'
4 Исходя из неравенства
<•= ।
последовательность (Sn), будучи монотонной возрастаю-
ло известной теореме, она сходится, т.е. сходится мажо-
„г	„2
х	а
nln п / ' nln2 n nln2n
да 3
и сходимости числового ряда £
п=2
ходим к выводу о равномерной сходимости предложенного ряда. ►
Исследовать иа равномерную сходимость в указанных промежутках следующие функци-
ональные ряды:
оо
124. £2^ —: а) иа отрезке е $ х $ 2т — г, где г > 0; б) на отрезке 0 х Ц. 2т.
, МАЖОРАНТНОГО ДЛЯ ДАННОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО, При-
-4 а) Поскольку частичные суммы У*, sin Ах ограничены:
fe=i
sin кх =
* = 1
а последовательность j 0 при п -
б) В этом случае указанная сумма не является ограниченной по совокупиости переменных
Z Н П, поскольку при X = 7 п 6 N,
LKX „ х
Sin — = ctg --- +оо при п —» оо.
п 2п
sin - sin -
пг  п+1
sin “ 81П “Я
"л "
мп 7
 ос, то, по признаку Дирихле, ряд сходится равномерно.
Следовательно, признак Дирихле неприменим.
Воспользуемся критерием Коши. Взяв е = 0,1, оценим разность
_ sin(n+l)r sin(n + 2)r
п ф 1	п + 2
sin 2пх
2п
sin 0 + ад о +
п + 1	+ п + 2
sin 2 sin 1
"2n“	~2~
2
50
Гл. 1. Ряды
при любом п. Следовательно, по критерию Коши, последовательность сходится неравномер-
но, т.е. неравномерно сходится исследуемый ряд (сходимость ряда при каждом фиксирован-
ном х ё]0, 2т[ следует из того же признака Дирихле, а при х = 0 и х = 2тг сходимость ряда
очевидна). ►
ОС
125.	\ ’ 2" sin —1—, 0 < г < Ч-сю.
Зпх
П=1
< При каждом фиксированном z > 0 имеем 2nsin ~ (j)n при н —> оо. Отсюда
следует, что по теореме 3, п.1.5, данный ряд сходится. Для исследования на равномерную
сходимость ряда применим критерий Коши. Пусть е = 1, р = n, z = ^. Тогда
|5n+p(z) — Sn(z)| = |2"+l sin i + 2"+2 sin + ... + 22nsin > 2n+l sin > c, n > 1,
т.е. ряд сходится неравномерно. ►
ОО
1	ЯЛ X 81Л ПХ Л
12o. 2 -------. 0 St x < +oc.
n= 1
Ч Поскольку частичные суммы, в силу оценки
^2 s*n 1 s’n ^х
„ I т I | . ПХ . н+1
= 2 cos — sin — sin
---X
2
ограничены, а функциональная последовательность I (n + z)- 2 1 равномерно по х

и монотонно по п
I 1____________1____________________________1__________________ 1
\Vn + I Vn + 1 + 2	\/(n + r)(r* -I- 1 + z)(v'ti + 1 + r +	)
стремится к нулю при « —< оо, то, согласно признаку Дирихле, ряд сходится равномерно. ►
127.
«! \/П(П + Г)
Ч Ряд 22	сходится (см. пример 77), а функции и- (1 + ^j 5 ограничены чн-
п= 1
слом 1 и при каждом фиксированном х 0 образуют монотонную последовательность. Сле-
довательно, по признаку Абеля, данный ряд сходится равномерно. ►
ОО
128. Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд ^/n(z), 0 $ х 1, где
1
Л(2) =
О,	если
sin2(2n+1rz), если
О,	если
О s$ х 2Чп+1\
2-(п+1) < х < 2~п
2~п < х С 1.
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с неотрицательными членами.
Ч Нетрудно найти, что
5п(т)=
О,	если
£sin2(2*+1Ti), если
О,	если
S(r) = lim Sn(z) = *
т»—*оо
о,
- sin2(2*+1 тг),
О,
1 О 1,
2~(*+li	< 2"fc, к =Т7п,
О х 2^п+1),
1 ,
если - г 1,
если 2-ffc+1) ОС 2~*, к = Т^оо,
если г = О,
S 4* Функциональные последовательности и ряды	51
где (Sn(r)) и Sfz) — последовательность частичных сумм и сумма данного ряда соответ-
ственно. Далее,
если - < г	1,
i sin2(2*+1 xz), если	<: г < 2"\ i = n-f- 1, оо,
О,	если х = 0.
Поскольку ^sup	-5n(r)| — (достигается при zn = 2Пц.3 ) стремится к нулю при
п —• ос, то ряд сходится равномерно.
Абсолютная сходимость ряда следует из того, что прн фиксированном х й [0. 1] он содер-
жит не более одного отличного от нуля члена.
Пусть сп — члены числового мажорирующего ряда. По условию, сп sup |Л>(т)|.
Поскольку sup lfn(x)l = — и достигается при г =	, то с„ Однако ряд У' -
"	2	п	п^1 "
расходится, поэтому исходный рлд нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с иео~
трицателышми членами. k
00
129. Доказать, что если ряд <pn(z), члены которого - монотонные функции на
п= 1
сегменте [а, Ь], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится
абсолютно и равномерно на сегменте [а, 6].
•4 Принимая во внимание монотонность функций <рп , оценим остаток ряда rn(z). При
Г е [а, й] имеем
CJO	ОС
м*)1< 52 1	52	max(jp*(a)|,	|р*(6)|)-	(1)
k=nfl	<fc=n+l
Поскольку ряд с членами у5п(г) сходится абсолютно при х — а и х = Ь, то Ve > 0 ЗЛ = Лг(е)
такое, что Vn > выполняются неравенства
ОС	со
52	<5- 12	< |	р)
Ь=П-Ц	*=п+1
Так как max(|pfc(a)|, (6)|)	. то на основании неравенств (2), неравенство
(1) принимает вид
ОО
irn(^)i 52	< е<
fc — n-f ]
откуда следует, что rn(z) 0, г —» оо, т.е. исследуемый ряд сходится равномерно.
Абсолютная сходимость ряда вытекает из оценки (1). ►
оо	°°
130. Доказать, что если ряд 52°" СХ°ДИТСЯ> т0 ряд Дирихле 52 сходится равномерно
п=1	п=1
при х J: 0.
4 Функции х ограничены единицей и при каждом т 0 образуют монотонную по-
следовательность	> а РЯД 52 “» сходится по условию; поэтому, по признаку
Абеля, ряд ^7 сходится равномерно при г 0. ►
п=1
-fl «11	s’n пх
131> Показать, что функция f : х •-»	—— непрерывна и имеет непрерывную
п= 1
производную в области —оо < х < 4-со.
52
Гл. 1. Ряды
4 Функции х sin пх, х I-» cos пх непрерывны в указанной области. Кроме того, ряды
ОО ,	Ос
.. .	. v^CO5n;C
nsl	ns|
в силу признака Венерштрасса, сходятся равномерно. Поэтому, во-первых, почленное диф-
ференцирование данного ряда, согласио п.4.7, возможно; во-вторых, согласно п.4.4, функции
f и f непрерывны. ►
W
132. Показать, что ряд ^^(nre~nl — (n —	сходится неравномерно на [0, 1],
ns 1
одиако его сумма есть значение функции, непрерывиой на этом отрезке.
4 Имеем
п
Sn(x) = \^(kxe~kl — (i — Ijze-^*-1^1) = ют”"1,	.S(z) = lim Sn(j) = 0, x € [0, 1].
	n—»oo
*«1
Таким образом, S' — непрерывная на [0, 1] функция. Однако, sup |Sn(z) — S(z)| = -,
*e(o,i]
поэтому ряд сходится к своей сумме неравномерно, ►
133. Определить области существования функции / и исследовать ее на непрерывность,
ОО	ОО	п
если; а) Дх) = £ (я + 1) ; б) f(x) = £
п=1	ПЖ1
< а) По признаку Коши, ряд сходится, если lim \х + -1 < 1, т.е. при |zl < 1 (и расходит-
ся при х 1, так как в этом случае общий член ряда не стремится к нулю). Функция /, таким
образом, определена при |z| < 1. При |z| $ т < 1 функциональный ряд сходится равномерно,
поскольку сходится мажорантный для него ряд с членами (г 4-	. Поэтому, иа основании
п.4.4, можно утверждать, что функция / непрерывна при $ г < 1, т.е. непрерывна на
интервале ] — 1, 1[.
б) Функция fn : I i->	 непрерывна прн —оо < х < 4-оо, а ряд с членами fn(x)
равномерно сходится на всей числовой прямой. В самом деле, представив функции fn в виде
.	п1 ( X (~1)п\
/п : г н* ———у — + i-----— I ,
X2 -I- п2 \ п2 n J
замечаем, что функции <fin : х i-> ограничены в совокупности (yjn(z) 1) и при каждом
х образуют монотонную последовательность по п, а ряд ^2	сходится равномер-
ОО
но на каждом интервале ] — L, £[, в силу чего ряд 5? fn(t), по признаку Абеля, сходится
1
равномерно на ] — L, L[. Поэтому сумма ряда является непрерывной функцией иа ] — L, £[.
В силу произвольности числа L, утверждаем, что сумма ряда непрерывна на всей числовой
прямой. ►
134.	Доказать, что дзета-функция Римана
О*-*
непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области непрерывные производные всех порядков.
Пусть х хо > 1. Тогда, в силу сходимости ряда
v—» In” п
Z- П*0 ’ Р €
(1)
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
и признака Вейерштрасса, заключаем, что ряд
53
сходится равномерно при х го >1. Так как, кроме того, функции х н-. n-i непрерывны в
указанной области, то, согласно п.4.4, функции
х С(р,(х) = (-1)Р
П=1
также непрерывны при х го > 1, т.е. при х > 1.
— 1
Сходимость ряда (1) вытекает из признаков сравнения п.1.5 и оценки lnpn < п 2 ,
хо > 1, справедливой при достаточно большом н, ►
135.	Доказать, что тэта-функция
+ оо
9 : I и- ^2
п= — оо
определена и бесконечно дифференцируема при х > 0.
•< Сходимость данного ряда вытекает из сходимости ряда с общим членом е~’г'п'т и при-
знака сравнения п.1.5 (е-1Гп 1 <( е“'г'п11), т.е. функция 0 определена прн г > 0.
Далее, рассмотрим ряд
+ »
£ п2’^’”’3*", pe.N,	(!)
п= — оо
где х х0 >0, являющийся мажорирующим по отношению к ряду
£ п2ре-’"3\	,	(2)
п=-оо
Поскольку ряд (1), по признаку Коши, сходится, то, по признаку Вейерштрасса, ряд (2) схо-
дится равномерно. Следовательно, согласно п.4.7, функция 0 любое число раз дифференци-
руема при X Го > 0. В силу произвольности числа хо, сделанное заключение пригодно при
г > 0. ►
136.	Определить область существования функции f и исследовать ее на дифференци-
руемость, если:
> Я’) =	«)/(-)=£ ^7-
П*1	П=1
Функциональная последовательность (-^j) при х — и монотонно по н стремится к
нулю. Следовательно, по признаку Лейбница, ряд сходится, т.е. функция / существует при
всех х —п.
Поскольку функции х н-*• (,^j) = непрерывны при х —п н ряд
в силу признака Дирихле, сходится равномерно на каждом замкнутом множестве числовой
прямой, не содержащем точек г = — 1, —2, .... то почленное дифференцирование ряда а) при
х —n, n € N, возможно.
54
Гл. 1. Ряды
6) Ряд сходится равномерно, по признаку Вейерштрасса, при всех конечных х. Действи-
оо
тельно, здесь	$[, А = const, и ряд У2 ^7 сходится. Следовательно, функция f
ns 1
существует при всех г £]- оо, +оо[.
Далее, выполняя формальное дифференцирование ряда, получаем
2	। 1
П“1
п	, .	п2 ягп ± —я|т|	г>э4-А3 . 2п3	2	..	2
Поскольку ^n(zj =	(nBa+>3)J 1 $ —при п > п0 и ряд > , сходится, то,
п=1
по признаку Вейерштрасса, ряд (1) сходится равномерно при |«| < А. А тогда, принимая во
внимание непрерывность функций <р„ при т 0 и учитывая п.4.7, заключаем, что почленное
дифференцирование ряда 6) справедливо.
Для исследования на дифференцируемость ряда б) в точке х = 0 рассмотрим
hni f{^-/(о) = Uin /i£i£_* Y	(2)
Дх-*±0 Дж	Д1-±0 \ Дх п2 + (Дт)2 /
\	П=1	/
оо
Здесь ряд	СХ°ДИТСЯ равномерно по признаку Вейерштрасса. Поэтому, согласно
П=1
п.4.5,
lim 2  ГА \2 ~ У? ~2 < + °°'	(3)
Дх—о £—1 п2 + (Да:)2	п2	'
п=1	'	п=1
ОС	OQ
Тогда, как следует из (2), с учетом (3) можно написать /4(0) = У~^ А, /1(0) = — у4 А-
П=1	п=1
Таким образом, функция / в точке г = 0 не дифференцируема, ►
137. При каких значениях параметра а: а) последовательность
(/п(х)), /п(т) = naze-nl, х € N,	(1)
сходится на отрезке [О, I]; б) последовательность (1) сходится равномерно на [0, 1]; в) возмо-
жен предельный переход под знаком интеграла:
1
lim / fn(x)dx?
оо J
о
•4 а) Если х > 0, то, используя правило Лопнталя, легко проверить, что lim уахе = 0
»-* + оо
при любом а. При х = 0 имеем lim /„(0) = 0. Поэтому lim /„(г) = 0 при всех х € [0, 1].
П—п-*оо
б) Поскольку
lim [ sup n“xe-nl ] = - lim na 1
n — oo \*e[0, J]	/ e n —co
0,
i
+oo,
если
если
если
a < 1,
or = 1,
a > I,
то, на основании утверждения примера 103, данная последовательность сходится равномерно
только при а < 1.
1	i
в) Поскольку Г lim /n(r)dr = 0, a lim ff„(x)dx= lim ((т-- e-n (A-+-)) n°) равен
Q n—oo	n“w 0	n—oc 'n	n ”
нулю лишь при a < 2, то предельный переход под знаком интеграла возможен только при
а < 2. ►
$ 4. Функциональные последовательности и ряды
55
138.	Показать, что последовательность (/„(г)), /п(т) = nz(l — г)", п g N, сходится
неравномерно на сегменте [0, 1], однако
1
о
/г. (г Hz
Очевидно, предельная функция равна нулю на [0, 1]. Далее,
/	\	/ я \"+1	1
lim I sup (nr(l - х)п 1 = lim (----------- I = - ^ О,
n—*oo	]]	J n — oo \R + 1 /	6
поэтому последовательность (/n(z)) сходится неравномерно. В то же время
1
lim п / z(l -x)ndx= lim
П—»OQ I	JI —ОФ
0
1
n J (1 — u)tin<iu
о
= lim
П—*• OU
П
(n l)(n + 2)
Найтн:
ос
139.	Um V
x—1-0
l)2_ _£
n rn
Данный ряд, согласно признаку Абеля, сходится равномерно в области г 0. Кроме
( —1)Л+! тп	(—П*+1
того, lim о 4—£  д„+1 = 1поэтому, согласно п.4.5, возможен предельный переход
под знаком суммы:
= (zim = lln2
х" + 1	2	п 2
1
ОФ
140.	/т 5>п-к"+1).
n=l
-4 Поскольку данный ряд сходится неравномерно на [0, 1], то мы не имеем права перехо-
дить к пределу под знаком суммы. Поэтому найдем этот предел, предварительно вычислив
сумму данного ряда. Имеем
lim У(1 - х)х” = lim ( lim (1 — rn)) = lim < I’ еСЛИ < 1, I _ j
r^i-oZ—i-i-On-oa	"	,-.1-0 1 0, если z = l	(
ПЖ 1
141.	lim } 4 —-—.
Я-.+0	' 2nnJ
n=l
4 Данный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно при х 0. Поэтому,
согласно п.4.5, имеем
ОО	ОФ	ОС
um У-^ = У lim _2_ = у± = г ►
х —+о	f 2пп	Х—+0 2пп	2П
П= 1	П.= 1	П=1
<Х>	J
142.	Um У —
X—оо	' 1 -I- п2т2
TJ= 1
а	00
Поскольку sup 14^571 = 7т и ряд 57 т? сходится, то, по признаку Вейерштрасса,
— оо<*<+оо	п=1
данный ряд сходится равномерно. Замечая еще, что lim	= "Т. на основании п,4,5
переходим к пределу под знаком суммы:	°°
П=1	П=1
56
Гл, 1. Ряды
143.	Возможно ли почленное дифференцирование ряда
Larctg^7
•Я Функции х I—► arctg	п € N, непрерывно дифференцируемы при |z| < ос. На этом же
ОО
интервале функциональный ряд arctg -у-, как следует из теоремы 3, п.1.5 (arctg ~
п® 1
оо ?
при п —> оо), сходится. Кроме того, ряд производных	> в силу признака Вейер-
г*я=1
штрасса, сходится равномерно при |z| < ос. Следовательно, согласно п.4.7, почленное диф-
ференцирование ряда возможно. ►
°° ( 1 1 \
144.	Возможно ли почленное интегрирование ряда (z2"+i — г 2,1-1 1 на сегменте
П=1
[О, ]]?
◄ Данный функциональный ряд сходится на [0, 1] неравномерно. Действительно, для
частичной суммы Sn(x) и суммы 5(z) ряда имеем
. ХТГГ	сг .	(	0>	если	х	=	О,
Sn(i) =-z + z2”+i,	5(z)	=	<	.	,
' ’	 ’	1	1 —	г,	если	0	<	х	1.
Видим, что сумма ряда - разрывная функция, поэтому ряд не может сходиться равномер-
но. Следовательно, воспользоваться утверждением п.4.6 мы не имеем права. Тем не менее,
поскольку
dx =
1
2’
ОО
1  1 _ 1
2 2-^ п(п 4- 1) ~ 2’
п= 1
то почленное интегрирование ряда возможно. ►
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на равномерную сходимость следующие функциональные семейства:
&8.	а) /„(х) = при у — +оо, т е]0, +оо[;
6)	/к(г) =	при у	-»	4-0,	х	£]0,	-|-оо[;
в)	/»(«) =	при у	—	4-0,	х	€]1,	4-А[;
г)	/j,(r) =	при у	->	4-0,	х	е]1,	4-оо(.
59.	fu(x) = tg х €]0, 1(; а) при у —> 1; б) при у — 2.
60.	fu(x) = *'nf‘f х €]1, 4-ос[: а) ПРИ У
у *+ У
61.	/„(z) =	- 1), X ё]0, 4-оо[: а) при у
4-оо; Ь) при у —► 4-0.
—• 4-0; б) при у —► —0; в) при у
—оо;
г)
прн у -» 1.
62.	/,(х) =	х 6 [1, 4-оо[; а) при у —• 4-0; б) при у — 4-сс,
63.	fy(x) = yln(z2 4- у2), х е]0, 1[: а) при у — 0; б) прн у -► 1.
Исследовать на равномерную сходимость функциональные последовательности;
в4. А(г) = e-nl: а) х €]0, ][; б) х g [1, 4-оо[. 65. /„(z) = у—у: а) х е]0, 1]; б)
х € [1, 4-оо[.
66‘	а) ® G]0, 1]; б) z € [1. 4-оо[. 67. /п(х) = (1 +	, 0 < х < 1.
в8. /»(z) = Jsin dy: а) х €](), 1[; б) х е]0, 4-оо[-
О \	'
2
69.	/п(х) =	а) х е]0, ][; б) х е]1, +оо[.
О
$ 4. Функциональные последовательности и ряды	57
70.	/n(z) = F arctg х е]0, +оо[. 71. /„(z) = £ In (1 +	, z ё]0, 1[.
к=1	ы	'
Предварительно определив область сходимости функционального ряда, исследовать его
на равномерную сходимость:
Т2. Ё(. + 1),“.ТЗ. feG М. £
n=0	n=D	п=0
75.	g	7в_ £е-пЛ 77. £ ^е-^,
п=0	п=1	n=1
78.	Может ли функциональный ряд разрывных функций, сходящийся неравномерно на
интервале ]а, &[, представлять на этом интервале непрерывную функцию? Привести примеры.
___	___ оо	5
79,	Пусть lim v|an| = 1. Доказать, что ряд V 1 равномерно сходится при
п=0
х е > 0.
Обосновать возможность почленного дифференцирования рядов в указанных областях:
ею	оо	оо
80-	81. Е	1. 82. E^.lxKl.
П=1	nsl	п=1
83-	S	84.	f^,z>l,.>0.
nxJ	n=l
85.	Можно ли утверждать, что:
а)	если функция f непрерывна на каждом отрезке [а, Д] с]о, Ч; т0 она непрерывна на
интервале ]а, Ь[;
б)	если последовательность (/n(z)) равномерно сходится на каждом отрезке [а, fl] С]а, &[,
то она равномерно сходится на интервале ]а, 1>[;
в)	если последовательность {/п), fn € С[а, fl], и t N, равномерно сходится на каждом
отрезке [а, Д] с]я, i[ к функции /, то на интервале рх, предельная функция непременно
непрерывна?
Найти:
/ \
86. lim - 52	cos пт. 87. lim 52 ~Г71—88. lim 52 f —, ~ \ .—t-dx,
—+01„=1 1 +П	П,П(1-' >	V-+«n = 10	1 + П	+В
91. Последовательность функций (fn), f„ 6 Я[о, Ь], n G N, называется сходящейся в
среднем к функции / € Я[а, 6], если
л
lim / l/n(x) - /(rjpdi = 0.
П —• Оф
а
Показать, что из равномерной сходимости последовательности интегрируемых функций вы-
текает сходимость в среднем.
ос
92.	Функциональным ряд 52 ап(*), ап € Я[а, 4], называется сходящимся в среднем к
П»1
функции S на [а, Ь], если последовательность его частичных сумм (Sn(i)), п £ N, сходится в
среднем к 5 на [в, 4]. Доказать, что если функциональный ряд с интегрируемыми членами
сходится в среднем к интегрируемой функции S иа [а, Ь], то Vzo, х ё [а, Ь] справедливо
равенство
Js(t)dt= £ fan(i)dt.
Хо	Я=1 Io
58
Гл. 1. Ряды
ОО
93.	Доказать, что если функциональный ряд а„(х) с непрерывно дифференцируемыми
П5 1
ОО
членами сходится поточечно на [а, Ь], а ряд а*(х) сходится в среднем к непрерывной
Jksl
оо
функции ст, то функция s ; z е-* £2 а«(г) дифференцируема на [а, Ь] н S'(®) = <г(г)-
п= L
94.	Вытекает ли из поточечной сходимости на [а, Ь] функциональной последовательности
(/„(г)) сходимость ее в среднем на этом отрезке?
Убедиться, что следующие функциональные последовательности сходятся в среднем, но
не сходятся равномерно к функциям, получаемым поточечным предельным переходом:
95.	/п(х) = v^e-nl, х € [0, 1]. 90. Д(х) = х € [0, 1].
97.	fn(x) =	- 1| , г g [0, 1]. 98. /п(х) = х £]0, +оо[.
Показать, что почленное дифференцирование следующих рядов возможно:
"• Е e~ni - Vb 1 е]о, i[. loo. Е * е]°>
п=1	4	7	П=1
Показать, что почленное интегрирование следующих рядов на указанном отрезке возмож-
но:
оо	оо
101. Z	г € [0, 1]. 102. £ (пд+1)((-:г,)д+1). * 6 [0. 2]
п=1	n=L
§ 5.	Степенные ряды
5.1.	Круг и радиус сходимости степенного ряда.
Определение. Ряд вида
ОО
а»(? — а)", где an, г, а £ С,
П=з0
(1)
называется степенны* рядом; ап — коэффициенты степенного ряда (они не зависят от
г), а — фиксированная точка на комплексной плоскости.
Теорема. Каждый степенной ряд сходится абсолютно внутри некоторого круга |х—а| $
R, где радиус круга R 0 определяется по формуле Коши—Адамара
1 ’
О,
Ч-оо,
если 0 < I = lim ?/|а„| < 4-оо,
п—«ОС
если I = 4-со,
если 1 = 0,
илы по формуле
R = lim
п —ОФ
Gn
(2)
если этот предел существует хотя бы в несобственном смысле.
Вне круга |х — а| R ряд (1) не сходится ни в одной точке г £ С. Вопрос сходимости
ряда (1) в точках окружности |х — а| = R, R > 0, остается открытым и решается отдельно
для каждого ряда.
В случае, когда ап, z, а £ R, внутренность круга сходимости вырождается в интервал
]а — R, а 4- Я[, R > 0, на действительной прямой.
При R = 0 круг вырождается в точку z = а, а при R = 4-°о представляет комплексную
плоскость (или числовую прямую, если ряд (1) действителен).
§ 5. Степенные ряды
59
5.2.	Основные свойства степенных рядов.
Сумма степенного ряда внутри круга сходимости представляет собой непрерывную функ-
цию. Если ряд (1), п.5.1, действительный и на конце его интервала сходимости г = Я + а, R >
О, расходится, то сходимость ряда на интервале [a, R + а[ не может быть равномерной.
Если действительный степенной ряд сходится при z = Я + а, R > 0, то сходимость ряда
будет равномерной на отрезке [a, R + а].
Сумма действительного степенного ряда внутри интервала сходимости имеет производ-
ные любого порядка.
Теорема (Абеля). Если действительный степенной ряд сходится в точке z = R + a,
R > О, то его сумма S(z) представляет собой значение непрерывной слева функции в этой
точке, т.е.
S(R + а) = lim 5(z) = anRn.
nsO
Аналогичные утверждения справедливы и для левого конца интервала сходимости.
5.3.	Разложение функции в ряд Тейлора.
Определение. Пусть f :]а — Ri, а + Ri[—► R, R; > 0, ii = 1, 2. Говорят, что функция /
раскладывается в степенной ряд на интервале ]а — R, а + Л[, где 0 < R	, Дг), если
Эап € R, п € Zo, такие, что Vr G]a — R, а + Д( справедливо равенство
OQ
№ - -- а)п-
п=0
Теорема (Тейлора). Для того чтобы функция / могла быть разложена в ряд Тейлора
на интервале ]а — R, а 4- Я[, Л > 0, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно
дифференцируема и остаточный член в формуле Тейлора для этой функции стремился к
нулю при п —* оо на указанном интервале.
Разложение имеет вид
<Ч
к=С
Функция /, разлагающаяся в рлд Тейлора, называется аналитической и ее разложение (1)
единственно.
Практически* важными являются случаи представления остаточного члена разложения
(1) в форме Лагранжа
- /м -1 -г=-г-
V 1
и в форме Коши
Rn(z) =	a))tl - <|1)п(х - a)n+1,
где 0 < 9 < 1, 0 < 61 < 1.
5.4.	Разложения основных элементарных функций.
Полагая в формуле (1), п.5.3, а = 0, получаем пять основных разложений:
60
Гл. 1. Ряды
I.	ех=52^-,|г|<оо.
п=О
“ / тАпЗп-Н
II.	sin I = V -------у—, [r| < оо
(2п +1)!	' (
п=0
ЙО	.	.
IV.	(1 + *Г = 1 + £	- » + В -1 < z < L
П=1
_QC. f _ 1 In г п
V.	ln(l + z) =	----------! —1 < х Ъ
п« 1
Разложения I—III справедливы для всех комплексных значений х, разложение IV выполня-
ется при |г| < 1, пт € R, а равенство V — при |х| $ 1, х ^4 ~1.
5.5.	Операции над степенными рядами.
Ряды	....
оо	оо
У~^ап(г - а)" и у\п(г~ о)"
пьО	п=0
всегда имеют общее множество сходимости и внутри этого множества справедливы следую-
щие операции сложения и умножения:
- в)” +	— в)" = ^"^(Азт, + р6„)(г — а)п;
п=0	п=0	п=С
оо	оо	оо
Еа"(г - “)" ^2Мг - «)" = У^сп(г -е)п,
п=0	п=0	п~0
где с„ = воЬп + ajin-i + ... + апЬо; А, д — числа.
Если степенной ряд (1), п.5.1, действителен, то внутри интервала сходимости его мож-
но почленно дифференцировать и почленно интегрировать; прн этом интервал сходимости
полученного таким образом ряда совпадает с интервалом сходимости исходного ряда. Соот-
ветствующие формулы имеют вид:
(оо	\ 1 оо
У7ап(х - а)п j =	+ l)an+i(x - а)п,
п=0	/	п=0
/ (Е а^х - dx=Е ;гп<ж -а)П+1 + с-
J \п=0	/	п=0
Определить радиус н интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках
интервала сходимости следующих степенных рядов:
146. ^з1+(-2):(д;+1)п
nwl
Ч По формуле Коши—Адамара имеем
1 г— ‘/3” + (-2)"	з*/9*+ 4* ’
— = hm \1---------—— = lim \/ —-г— - 3,
R п-*оо у п	у 2*
4	2
поэтому при — J < х < — £ ряд сходится абсолютно.
§ 5. Степенные ряды
61
Исследуем поведение степенного ряда, на концах интервала сходимости. Пусть х = —
Нетрудно видеть, что ряд
“ Зп+(-2)" (-1)" = у- (-1)" V- 1 /2\ "
п	Зп ' п	“п \3/
П«1	п=1	1=1
сходится, так как равен сумме двух сходящихся рядов.
Пусть х = — Тогда числовой ряд
Зп +(~2)"
пЗ”
/ 3"+('_21я	1 I XI
в силу признака сравненият расходится ( —лз* = —п > In ) 1 ^леД°ва,тельно» в точке
4	2
г = — у степенной ряд сходится лишь условно, в точке х = — у — расходится. ►
1^1. > \Г X .
(2п)!
п=]
-4 По формуле (2), п.5.1, находим
₽ - iim ("!)2(2п + 2)! _	(2n + l)(2n + 2) _
Д-ПЬ™„ (2n)!((n+l)!)a	(n + 1)2	-4,
поэтому при |z| < 4 ряд сходится абсолютно.
СМ1	j
При т = 4 получаем числовой ряд ап, где	• Поскольку дп’1 = 1 —	+
п=1
Гг>7п\ 1} то ап < а«+1. Это означает, что последовательность (а„) монотонно возрастает.
Следовательно, общий член ряда к нулю не стремится, т.е. ряд расходится. По этой же
причине он расходится и в точке z = —4. к
оо
ne-EO + j)
ntl
4 По формуле КоШн—Адамара находим радиус сходимости ряда:
1 / 1 \п
— = lim I 1 + -	= е.
К п—оо \	п/
Следовательно, при |z| < - ряд сходится абсолютно. При z = - получаем числовой ряд
оо	2
а„, где ап = (1 + ^)” рг. Покажем, что общий член этого ряда к нулю не стремится.
п-1
Действительно, имеем
а„=ехР{-п + н’1П (1 + 1)}=ехРр. + п2 Q -	+ о (±) ) } - Н, „ _ оо.
Таким образом, в точке z = 1
и в точке х = —	►
149. У'-4х",а>1.
2—/ ап’
степенной ряд расходится.
По той же причине он расходится
4 Находим радиус сходимости ряда по формуле (2), п.5.1. Имеем
В!л<”+1)а	„	а*"*1
“т —3~,---Г = lira --г
п—оо д" (п 4- 1)! п—оо п + 1
следовательно, данный степенной ряд сходится по всей числовой прямой. ►
62
Гл. 1. Ряды
150 VI 1 • 3 • 5 • • (2п ~ 1) )
130‘ 2L I 2 .4.6 .• (2п) )
п= 1
•4 По формуле (2), п.5.1, находим
d 1 V
+ 2п + 1)
„ _	< (2п - 1)!!(2п + 2)!!	_
R ?Л>2\ (2п)!!(2п + 1)1! )	2
Следовательно, при —1 < х < 3 ряд сходится абсолютно.
При исследовании характера сходимости ряда в точках т = — 1 и т = 3 пользуемся
соответственно примером 79 и признаком Гаусса. Имеем
= Л ,	1 V = J , Р	, Р(Р~1)
an+i \	2n + 1 /	2п+1	2(2п + 1)2
сс,
где ап = ( (Тпр! / ’ ’-)тсюда> учитывая упомянутые признаки, заключаем, что в точке х = — 1
ряд сходится при р > 0, а при р > 2 он сходится абсолютно. Следовательно, в точке х = — 1
он сходится условно при 0 < р 2. В точке х = 3 ряд сходится абсолютно при р > 2 и
расходится при р 2. ►
™	|\2 х р
151-
п= 1	4	Z
•< По формуле (2), п.5.1, получаем
/ 2"1пП3
о _ 1- I * У”-/_______(2п + 3)!	) _ /’гп + 3\р _ р
п-0О \(2п + 1)! 2"+1((п+1)!)27 п^окп+1/ 2'
Поэтому ряд сходится абсолютно при |i| < 2Р.
Рассмотрим поведение степенного ряда В граничных точхах интервала сходимости. Для
этого образуем отношение
1 V
2п + 2/
Р
2п
оо,
п
где ап —	2Р”. Пользуясь признаком Гаусса, из этого отношения находим, что в
точке х = — 2Р ряд сходится абсолютно при р > 2, а при р 2 ряд расходится. На основании
же примера 79 устанавливаем, что в точке х = 2Р ряд сходится при р > 0; абсолютно сходится
при р > 2 (по признаку Гаусса). Следовательно, в этой точке он сходится условно, если
152 V т(т ~ ''' (,п ~ ri + 1)
п!
Для удобства исследования представим ряд в виде
1 — тп)(п — 2 — пт) ... (1 — m)m
п!
Очевидно, ряд сходится абсолютно, если m € Ео , а х — любое; поэтому далее будем
считать, что т € R\ Ео-
Для нахождения радиуса сходимости применяем формулу (2), п.1.5. Имеем
R — lim
= lim
1,
1
где
— тп)(п — 2 — т) ... (1 — т)тп
п!
§ 5. Степенные ряды
63
Пусть z = — I. Тогда, составляя для числового ряда отношение
+ 1 , ™(т + О
" ——	+	+	/	s,
ап+1	n n(n — т)
(1)
и пользуясь признаком Гаусса, находим, что в этой точке степенной ряд сходится абсолютно,
если т > 0, и расходится, если т < 0.
Пусть х = I. Тогда из (1), на основании примера 79, заключаем, что степенной ряд
сходится, если m > — 1. Следовательно, при —1 < т < 0 ряд сходится условно ►
< Применяя формулу (2), п.1.5, получаем
R= lim = lim е(—^—Г = 1.
п—►со Gn-f 1	п—• сю \И + 1 /
Следовательно, при |х( < 1 степенной ряд сходится абсолютно.
Пусть х = 1. Тогда, имея в виду утверждение примера 79 для ряда ]Р( —1 Рбп, где
Ьп = (—)"	составим отношение
= exp < 1 + n (---------—-—— + of-rr^)	> = 1 + — 4- о	(1,	n —►	оо. (1)
I \ n + 1	2(п + 1)=	2п	W	17
Теперь видим, что по указанному утверждению ряд сходится.
Пусть z = — 1. Тогда, воспользовавшись признаком Гаусса, из соотношения (1) получим,
что степенной ряд расходится (здесь д = 1). Отсюда следует, что в точке т — 1 имеет место
условная сходимость. ►
154.	£(1 + 1+...+1).-.
ns 1
Поскольку 1 + |+ ... + ^=1пп+С + £Прто
основании указанного выше примера,
lim 1/ 1 + -с -I- • •  + — = lim v'ln n + С + сл = 1 .
П-*ОО У 2	ft п—сю
Таким образом, по формуле Коши—Адамара, ряд сходится при |х| < 1. В точках х = 1 и
х = — 1 ряд расходится, так как общий член ряда, и а
не стремится к нулю при п-»оо, ►
1S5.	£
П=1
Применяя формулу Кощи—Адамара, получаем
1 = 1Ы 1+(-2Г = hm
/С
>±= = 4.
«	*-«> VU
Отсюда Следует, что при |х| < j ряд сходится абсолютно.
Поскольку для подпоследовательности (Sjn) последовательности частичных сумм число-
вого ряда 52	выполняется неравенство S?n > J 22 *> То в точке т = 4-| ряд
П=1	k=i
расходится. Аналогично в точке х = — | имеем
<7	-	1  1	1	. 1
' 2"	2 + 2	3 • 2Э + 4
1	1 _ V—1	1
2®n-1(2n - 1) + 2п “ 2i ~	22*-!(2fc - 1)’
64
Гл. 1. Ряды
Следовательно, Em Sin — 4-сс, поэтому и в этой точке ряд расходится. ►
т*—
156.	> --------х" (ряд Прингсхейма).
i п
п= 1
-4 Согласно формуле Коши—Адамара, находим
1 Г- а/ (-1)^1	..	1	.
— = lim и -—-  — lim —— = 1.
Л п—too W П	п—*ос Л'П
Таким образом, степенной ряд сходится абсолютно при |т| < 1
В точке х = 1 получаем числовой ряд, сходимость которого доказана в примере 77.
В точке х = —1 получаем ряд
" (-1)"+[уЯ =	~	(-1)"+1уЯ	- ±
лх|	л=1	п=2
(п#4, 9, 16, . )
Поскольку первый ряд, находящийся справа в равенстве (1), лейбиицеватипа, то он сходится.
Второй ряд также сходится. Так как, кроме этого, ряд, находящийся слева в равенстве (1),
абсолютно расходится (как гармонический), то мы приходим к выводу, что в точке х = — 1
данный степенной ряд сходится условно. ►
“ 10Ф)
157.	> ' —— (1 — х)", где v(n) — количество цифр числа п.
' п
< По формуле Коши—Адамара получаем
1	„	- /10£’« "1+1
— = bm \-----------= 1
R n — оо V п
(см. пример 45), т.е. при 0 < х < 2 стеленной ряд сходится абсолютно.
В силу неравенства n = i0’fn < 1(Й’в n'+1 < 10ltn+1 = Юп, заключаем, что в точках х = О
и I = 2 ряд расходится, так как при этом общий член ряда ие стремится к нулю. ►
158.	Определить интервал сходимости разложения в степенной ряд функции f : х i—t
—2---г—-т-г; а) по степеням х; б) по степеням бинома (х —5), не производя самого разложения.
Ч Преобразовывая функцию f для случаев а) и б) к виду
а) f(x) = тт——гг; Ь) /(<-ь5) = у(t) =	*	, ; = х-5,
(х — 2)(х — 3)	(t + 3)(t 4-2)
и принимая во внимание то, что радиус сходимости степенного ряда определяется расстояни-
ем от центра разложения до- первой особой точки аналитической функции или какой-нибудь
ее производной, находим:
а)	х = 2 — точка бесконечного разрыва функции f ; х = 0 — центр разложения ее в сте-
пенной ряд (по условию), а поэтому Я = 2 н интервал сходимости определяется неравенством
б)	t = —2 — точка бесконечного разрыва функции ys, а 2 = О — центр разложения ее в
степенной ряд (по условию функция у? разлагается по степеням t = х — 5). Следовательно,
R = 2, интервал сходимости ряда ] — 2, 2[ или 3 < г < 7. ►
N	х2п~1
159.	Можно ли утверждать, что y>w(i) = У2( — 1)" 1
П=1
при N —* со?
ОО	J
Поскольку 22 (-1)"“' pn_t)! = sin Г, X е] - ОО,
(2п_^1 ~ г ма ] - °°> +М
+<»[» а
sup
— со<ж<+©о
N
sin х - У
Я2"-'
(2п - 1)!
§ 5. Степенные ряды
65
то, согласно примеру 103, последовательность	сходится неравномерно иа ]—оо, +ос[.>
Пользуясь разложениями п.5.4, написать разложения в степенной ряд относительно z
следующих функций:
160.	z sin3 т
4 Преобразовав sin3 г к виду sin3 х = -(3 sin х — sin Зг) и воспользовавшись разложением
функции синус, найдем
sin3 х =
r2n-l
(2n - 1)!
4	(2п-1)!
- 1 Vf пп-13-з2"-1 2n_,
-JU"1)	(2n — I)?1
n=l	4	’
По формуле (2), п.1.5, легко найти, что этот ряд сходится абсолютно при всех х. ►
4 Поскольку (yzy) = (Т;
оа
получаем	nz"-1, |
162’	(1 -х)(1 - я^)’
4 Разлагая данную дробь на простейшие	+ 2(12д)а и ис-
пользуя разложение IV, п.5.4, а также результат предыдущего примера, можем написать
To, дифференцируя почленно разложение для (1 — х) \
= -7El-1»"'" - if « +1+ )*" = jZ> + • +
n*0	n«0	пжО	пжО
По формуле Коши—Адамара находим интервал абсолютной сходимости полученного степен-
ного ряда: |z| < 1, ►
-4 Представляя данную дробь в виде
/Ы = _ 1	=	1	=	1	=
14-z + z1 1 — (t + i)z + z2 (г — 4)(z — t)
_ 1 /_1_______1_\ = 1 / t__________t \
t — F\z — t x — l) t - t 1 — xt	1 — zt) 1
где t — e1**,	= ^, и используя разложение IV, п.5.4, а также формулу Эйлера е*“ =
cos а + i sin а, получаем
/оо =	-r+1> = ^Er"sin|n+
\ n*0	nsD /	пжО	n=0
По формуле Коши—Адамара находим радиус и интервал сходимости этого ряда:
= lim y^|sin(n + 1 )у?| = 1, R = 1, |г| < !.►
тсл	х sin а
164. z и-* ---т--------г.
1 — 2z саза + х2
4 Полагая sin а = cos а = где х = е‘а, и разлагая данную дробь на простейшие,
получаем
к sin or_____1 ( 1	_	1 \
1 — 2zcosa + х2	2i \1 — хх 1 — xxJ ‘
Применяя к правой части этого соотношения разложение IV, п.5.4, можем написать
3 Зак. 30
к мп а
1 — 2xcosa + х2
ОО	оо
г" sin на.
ПжО	пчО
66
Гл. 1. Ряды
Очевидно, полученный ряд сходится абсолютно прн |к| < 1- ►
165. г . 1п(1 + г 4- х2 + г3).
•4 Преобразовывая данную функцию к виду
ln(l 4- z 4-х2 + х3) = 1п(1 4- г) 4- 1п(1 4-х2), х > —1,
и используя разложение V, п.5.4, получаем
“	"	®	_2п
ь(1+* + хг4-г3) = Ef-1)"v+D-1)""1 V’ -1 <1
n=l	n=]
Складывая полученные ряды в общей области их сходимости, окончательно имеем
in( 1 4- х 4- х2 4- г3) =	— ^(— 1)п-1 4- 2sin(n — 1)—’Л — 1 < х 1.
гг = 1
Нетрудно видеть, что при |х| < 1 этот ряд сходится абсолютно, а в точке х = 1 сходится лишь
условно (по признаку Дирихле). ►
166.	х н-* eIC”a cos(xsino)
4 Рассматривая данную функцию как
Re(eI“1“+ilaina) = Re(eIC°)
и применяя разложение I, п.5.4, можем написать
. 	.	„ г”е’
cosfrsm or) = Re -------
п=0
яп cos па
тЙ ’
п=0
Поскольку £	£ и агорой степенной ряд в этом неравенстве сходится при
71=0	п=0
всех х б]оо, 4-оо[, то полученное разложение справедливо при |z[ < оо. ►
Разложить в степенной ряд следующие функции:
167.	/ : х *-* arcsin х.
4 G помощью формулы IV, п.5.4, имеем
л.) = ц-»’)-! = £	_ 1+g
п=0	п=1
Интегрируя этот ряд почленно (что возможно внутри интервала сходимости), находим
ОО
/(z) = C + z4-E
П=1
(2к - 1)!!
2"п!
t2" + I
2п 4- 1
Так как У(0) = 0, то С — 0. Следовательно,
arcsin х
(2n—1)!!
2"п!(2п 4-1)
Для исследования сходимости ряда в концевых точках применяем признак Раабе. Имеем
fin3 4- 10п 4- 6	Л ,, 6пг 4-5п 3
П ( 4п2 4- 4п 4- 1	) ~ п^о 4п2 4- 4п 4- 1 ~ 2 > ’
поэтому при х = ±1 ряд сходится абсолютно.
Таким образом, полученное разложение, в силу теоремы Абеля, справедливо при |х|	1,
т.е. во всей области существования arcsin х. ►
168.	f : х и-* ln(s 4- \/1 4- т2).
S 5. Степенные ряды
67
Разлагая производную данной функции f'(z) = (14- г2) а прн |т| < 1 в степенной ряд
(2п-!)!!,„
(2п)!!
интегрированием последнего получаем
ас
/(^ + £(-1)"
nsl
(2п - 1)!!т2п+1
(2n)!!(2n4-1)
+с
|г| < 1.
Поскольку /(0) = 0, то С = 0
Как и в предыдущем примере, находим, что полученное разложение сходится абсолютно
прн |т|	1, и в концевых точках сумма ряда равна, по теореме Абеля, значению функции f
в этих точках. Таким образом, написанное разложение справедливо при |z|	1. ►
1 дл г	.2 — 2т
169.	f : z и-» arctg -	
1 + 4r
< Представляя функцию f в виде
1 — 7т
f :х^ arctg —
1 4- 4т
= arctg 2 — arctg 2т - x£(r),
где
{О, если х > — I,
п	„ i
1, если я < —
и разлагая в ряд функцию х »—► arctg 2х с помощью почленного интегрирования ряда для ее
производной, находим
2-2ж	22n+1
arctg ггй = arctg2 -
Поскольку полученный ряд сходится при |z| (абсолютная сходимость его при |т| <
j устанавливается с помощью признака д'Аламбера, а в концевых точках — с помощью
признака Лейбница), то в данном случае
{0, если —у < х < i
1, если — j х < —►
170.	f : т w arctg " 2Г , |z| < у/2.
< Представляя производную функции f в виде
- 1 Iff* + 1 + (4 ’
где t = и пользуясь формулой IV, п.5.4, находим
л*) =	+Е<-1)Я?"+2-
n=D	nzO
Очевидно, при |t| < 1 оба ряда справа абсолютно сходятся, поэтому прн |i| < 1 их можно
сложить. Имеем
м<л,
_	п«0	п=0
68
Гл. 1. Ряды
откуда интегрированием получаем
*=о
n.=0	’
Поскольку интервал абсолютной сходимости ряда после интегрирования не меняется,
то полученный ряд сходится абсолютно при |х| < а/2. В точках |х| — Jby/2 ряд сходит-
ся, но только условно. Действительно, последовательность ) 1 0 При н —< оо , а
п Г* 1
2J( —2; поэтому, согласно признаку Дирихле, ряд сходится. Абсолютная рас-
ходимость ряда в этих точках следует из расходимости гармонического ряда. Но так как
функция f в точках х = ±т/2 не определена, то полученное разложение справедливо только
при |х| < т/2- Этот пример показывает, что сумма ряда может существовать на множестве
большем, чем то, иа котором задана функция. ►
171.	f :x i—• arccos(l — 2хг).
•4 Дифференцируя функцию /, получаем
/'(«)- -fe. 0<|т|<1.
V1 — х*
Пользуясь разложением IV, п.5.4, находим
/'(г) = 2 ( 1 + ZL	1sgn х’ 0 < I1' < г
\ П® 1	/
Интегрируя почленно полученный ркд, имеем	•
,, . 7, ,	(2п - 1)!!	.
\	п®1	/
Этот ряд, согласно признаку Раабе, сходится абсолютно при |z|	1, т.е. во всей области
существования функции ►
172.	Функцию f : х |-» 1л х разложить в степенной ряд по целым положительным
, х -1
степеням дроби ------.
z 4" 1
4 Положив — 1, получим f (737) = F(t) = In 737. Поскольку х > 0, то | = -t| < 1
(заметим, что справедливо и обратное утверждение). Следовательно, использовав формулу
V, п.5.4, можем написать
1л |±1=1л(1+1)-1п(1-i) = 2^
- а2П-1
-I-2
IX2""1	1
1)	' 2n - 1
173.	Пусть f(x) =	~^Т' Доказать непосредственно, что /(x)/(jr) = f(x + у).
ОО я	ОО *
4 Перемножая ряды £ и 52 получаем
ПжО	ItsO
ZW/Ю-Е
n=0 \J=O

Но так как (x + у)" = CnXn~kyk , TO
У' ЗГ-Л_____L_
nsO \*ж0
n!
§5. Степенные ряды
69
что и требовалось доказать. ►
174. Пусть, по определению,
V\ n- l2n+1	v4-l)"x
sm^yj-!) —« COSI = b~(^
n=0	nxO
Доказать, что sin r cos г = ^sm2r.
4 Записывая данные разложения в виде
fcir (n —Jt)»r
SIR у COS *	*—
£!(n - *)!
(I)
и пользуясь правилом умножения рядов Коши, имеем
sin х cos z =
ПвО
cn = 2^
*-о
(2)
J-П	fcjT	(n —fc)ir	1 • Я7Г I { , \Jt-L] 1 . ПТ 2n V’*'	1	(“!)* Л
Так как sin — cos = - sin — + (-l) + ?sin — и - = £ fc>(„—j.  E	= °' чт°
k = D	fc = O
вытекает из элементарной формулы
(t +з/)п
у- ri!rn-V
Л- k!(n — fc)!
прн г = у = 1 и х = — у = 1 соответственно, то
sin — cos	2'*-1 . пл
	*	--	—	— _______ С1П — 
k !(п — Л:)! п! 2
А тогда, согласно (1) и (2),
1 х—' “	1 п 1 -
sin X сов X = - > ------—— X = - 51П 2х,
2 п!	2
ПВО
что и требовалось доказать. ►
175.	Написать несколько членов
разложения в степенной ряд функции
<1 Следует подобрать коэффициенты а„ так, чтобы выполнялось тождество по х-.
nsO	nsO	n=0
Это дает бесконечную систему уравнений относительно ап:
а» = 1, У''----^2—- =---— п ё N,
n-14-l п + 1
1Ж1
из которой последовательно находим ai = — 1,аг = — а3 = —	>
Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложения в
степенные ряды следующих функций:
176.	/ : х н* (1 — ®)2 ch ч/х.
70
Гл. 1. Ряды
◄ Разлагая функцию г »-» ch. у/х в ряд по степеням у/х, получаем
п=О	п=0	'	п=0	п=0
z Д i"	гп+‘ ,А гп+2
1 \
(2п — 4)!) Х
Очевидно, это разложение справедливо при всех г. ►
177.	/ :хн» 1п2(1 — г).
« „ «
М Возводя в квадрат ряд —	— = ]n(1 — г), получаем f{x) = сТ1тп+1, где
п=1	п=1
Сп = у*_______1___= _2_ Л +1 + 1 + ... + IV
(n + 1 - k)k п + 1 \	2	3	п /
Так как lim = 1, то разложение справедливо при |r| < 1. ►
178.	/ : г ь. е' cos х.
М Разлагая функцию f : х >—• ехО+О в степенной ряд
т. у гч ®п(х/2)пе,п4	(ху/2)п / пт . . nir\
f(x) = У ---------;---- = У ----:-- ( COS —~ + ISIH —
n!	п! \	4	4 /
п=0	п=0
и замечая, что /(г) = Re J(z), получаем
(r>/2)n	nr
----1 СО57Г-
n!	4
Поскольку	COS	И РЯД S	сходится при |x| < оо, то полученное
'	’	J	п=0
разложение возможно также при |i| < оо. ►
179.
f ; х ~	I-)	П₽И Х °'
[ 1	при х = 0.
•< Принимая во внимание результат примера 167, находим
/(я) =
у. (2п —1)!!т2п
(2п)!!(2п + 1)
П=1
у-* (2п — 1)!!г2"
(2n)!!(2n + 1)
где
_ А (2п - 2Л - 1)!! (2i- l)!!((2fc)!!)-1
Сп ~	(2п-21)1!	(2п - 21 + l)(2Jt + 1)’
По индукции доказываем, что
у-'	(2п — 2> — 1)!!(2> — 1)!!_______22п+1(п!)2
(2n - 2t)!!(2t)!!(2n - 2i + 1 )(2i + 1) “ (2n + 2)! ’
$ 5. Степенные ряды
71
Поэтому
ОО
/(х)=52
П=0
2in+'(n!)2 2,
(2п + 2)! Z
(1)
Легко установить, что этот ряд сходится при |r| < 1. Для выяснения вопроса о сходимости
ряда (1) В концевых точках г = ±1 воспользуемся признаком Раабе:
..	( ап Л	( 3 2п + 3 \	3
Inn (-------1 In = lim n ---------,  .' I = - > 1.
n—»oo fl>n+1	J	n—»oo \ 2л 2n(n + l)* J 2
Видим, что ряд (1) сходится абсолютно также и в концевых точках интервала сходимости
|z| < 1. Следовательно, разложение (1), в силу непрерывности функции f на отрезке [—1, 1]
и теоремы Абеля, справедливо иа указанном отрезке. ►
180.	Пусть 5 = (7 — А) 1 и lim Ап = 0, где А — квадратная матрица, ! — единичная
П—*ро
матрица. Разложить матрицу S в матричный ряд по степеням А.
< По условию имеем
(Z-A)S=7,
откуда
S = 7 + AS, S = 7 + А(7 + AS) = 7 + А + AaS, ... S = 1 + А + А2 + ... + AnS.
Поскольку lim Ап = 0, то lim А".? = 0. Следовательно,
п—*оо	п —оо
00
п=0
181.	Пусть S = (27-ЗА + А2)-1 и lim Ап = 0, где А — квадратная матрица. Разложить
Х	П—ТОО
матрицу S в матричный ряд по степеням А.
4 Представим матрицу S в виде
S = ((27 - А)(7 - А))~' = (7-А)"'(27-А)"1 = а(7 — А)-1 +/3(27 - А)”1,
где а, Р — некоторые числовые коэффициенты. Для их определения умножим S слева на
7 - А, а справа — иа 27 - А. В результате получим тождество
7 = а (27 — А) +/7(7 - А),
из которого находим а = 1, $ = — 1.
Таким образом,
s=(,
Используя разложения из предыдущего примера, окончательно получаем
n=0	nsD	паО
то ^2an.Rn = $
п=0
182.	Доказать, что если: 1) ап 0 ; 2) существует lim )> anrn = S,
n = Q
4 В силу условия 2), имеем
J?H-o i,anXn = lL,anRn +	£ °"г" = 51
пхО	п=0	п=Л’4-1
откуда
N
S - ДПЯП = an,	(1)
п=0
72
Гл. 1. Ряды
где
С»
ftx = lim 7 an£n-
neN + l
N
Поскольку далее ап О, то ctn $= 0. Поэтому из (1) следует, что 0 anRn S.
п=о
/ лг	\
Последнее означает, что последовательность 1	1 ограничена. Но так как она еще и
\п=0	/
оо
монотонна, то, в силу известной теоремы, сходится, т.е. сходится числовой ряд anRn. А
п=0
тогда, по теореме Абеля, будем иметь
ОО	ОС
lim anz” =	' anRn.
пяО	п=О
Отсюда, приняв во внимание условие 2), найдем
ОО
УУ„ЯП =5. ►
11=0
Разложить в степенной ряд функции;
183.	f:t~ JS^<b-
о
« Разлагая функцию t г-* —, t	0, в степенной ряд = V	, It! > 0, и
*	*	I	• •
интегрируя последний, получаем
о	»=0
о
4 Коэффициенты вл степенного ряда подынтегральной функции найдем из тождества
»	ж оо
1 =	n+i—	nnt", которое дает систему алгебраических уравнений относительно а*:
nsO	п=0
Из этой системы уравнений последовательно получаем ai = |, aj = -™, 03 = jj-, и т. д.
Таким образом, имеем
,,.,	/ <Л	xn+1 rJ г3 х*
~ J ln(l +t) “ i--ann + 1 - Х+Т-36 + 96 +
а	п—1
Поскольку функция	> ^(0) = ! аналитична всюду, за исключением точки
ОО
t = — 1, то радиус сходимости ряда “п*” равен единице. Следовательно, такой же радиус
п=о
сходимости имеет и полученное посяе интегрирования разложение, к
$ 5. Степенные ряды
73
Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы следующих рядов;
185.	+	....
3	5
4 Данный ряд, согласно формуле Коши—Адамара, имеет радиус сходимости, равный
единице, Согласно п.5.5, стеленной ряд можно почленно дифференцировать внутри интерва-
ла сходимости. Имеем 1 — г1 4- т* — ... = 1 я < 1. Отсюда интегрированием получаем
х —Г + “i— * •  = агс^8 х 4 С, Полагая здесь х = 0, находим, что постоянная С = О,
Окончательно имеем
х3 ,
х —— 4 -— ... = arctg г.
3 о
Заметим, что в концевых точках интервала сходимости этот ряд сходится. Поэтому, со-
гласно теореме Абеля, сумма ряда есть непрерывная функция на отрезке [-1, 1). Поскольку
функция х н* arctg х также непрерывна на этом отрезке, то последнее равенство справедливо
при всех х g [— 1, 1]. ►
_2
186‘ 1 + ^ + 1Г + --
< Очевидно, этот ряд сходитсл на всей числовой прямой. Обозначая через .S(x) сумму
данного ряда, почленным дифференцированием его получаем уравнения

Отсюда
S(x) = 1(е* 4 е~*) = ch х, |г| < оо. ►
_	-г3
187.	— 4 — 4 — 4 ... •
1-2233-4
I , Ж . Ж3 .
Дифференцируя почленно ряд внутри интервала сходимости, получаем +	• =
S(z), |г| < 1. Умножая обе части этого равенства на х2, т / 0, и пользуясь формулой V, п.5.4,
находим
g(x) = ^L_ kl<1 ~j).	(i)
'	X	X2
При т = 0 полагаем S(0) = | (г = 0 — устранимая точка разрыва функции S). Инте-
грируя (1), имеем
/ S(x)dx = —— 1д(1 — х) 4	(2)
J
Так как lim 4	4	4 ...) = 0, то из (2) находим С = - Lim Ь(1 - г) = 1.
Следовательно,
х х2 г3 _ ( 14^1в(1-г), если х # 0,
1.2 + 2 • 3 + 3-4 +	—	0,	1	если х = 0.
При |т| < 1 это равенство гарантировано теоремами о возможности почленного дифферен-
цирования и интегрирования степенного ряда внутри интервала сходимости. Покажем, что
и в концевых точках интервала х = ±1 это равенство лрн некотором условии справедливо.
Действительно, поскольку рассматриваемый степенной ряд в точках х = ±1 сходится, то,
на основании теоремы Абеля, его сумма является непрерывной функцией на отрезке [-1, 1].
Если значение функции в равенстве (3) справа в точке х = 1 положить равным единице,
то, как легко видеть, эта функция на сегменте (—1, 1] также будет непрерывной. Поэтому
окончательно можем записать
—— 4 —— 4----4 .
1 -2	2-3	3 4
{ '1 4	1п(Г—х), если
0,	если
1,	если
-1 х < 0, 0 < х < I,
г = О,
г = 1. ►
74
Гл. 1. Ряды
1йй « , г , I ’ 3 _з , I  3 • 5 з
i88.	1 + - + —г 4-3^-g» + ....
4 Нетрудно проверить, что радиус сходимости ряда R = 1. Умножая производную
5'(г) =	4- ~^-2т + тт^Зт2 + .. -, |r| < 1, суммы данного ряда на 1 — х, т 1, получаем
уравнение (1 — x)S'(z) = |5(т). Общее решение этого уравнения есть 5(х) =	, С =
const. Полагая здесь г = 0 и учитывая, что 5(0) = 1, находим С = 1. Следовательно,
$(*} = М < !•
Сходимость рассматриваемого ряда в концевой точке х = -1 легко установить, если
воспользоваться примером 79; расходимость ряда в точке х — 1 следует из признака Гаус-
са. Таким образом, сумма ряда, по теореме Абеля, есть непрерывная функция на [—1, 1[.
Поскольку функция х ь-. также непрерывна на [—1, 1], то окончательно имеем
, х 1-3 j 1 • 3 -5 з	1
1 + у + Д—7* + т-;—£* +  =-7. прн - 1 х < 1. ►
2	2 *4	2*4*6	т/1 — г
Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов:
189.	х - 4т2 + 92? - 16т* + ... .
4 Общий член этого ряда имеет вид ап(т) = (~1)"'1ч!Т. Поэтому легко можно найти,
что радиус сходимости ряда Л = 1. Разделив на г, х ?£ 0, сумму 5(т) данного ряда, а затем
почленно его интегрируя в интервале ] — 1, 1[, получаем
У ‘ff.C?! dx = х — 2т1 + Зх3 — 4х* + ... + С —
= (х2 - х3 +х* - ... )' - х + х2 - х3 +	-f- С =	* — + С.
U +
Дифференцируя полученное равенство, находим 5(r) =	, |х| < 1, х 0. Нетрудно
видеть, что ограничение х 0 здесь можно снять. ►
190.	1 • 2г + 2 • Зг2 + 3  4т3 + ....
4 Общий член ряда имеет вид ап(*:) = п(п + 1)т", поэтому
Таким образом, степенной ряд сходится к своей сумме при |z| < 1.
Почленно интегрируя рассматриваемый ряд в интервале ] — 1, 1[ дважды, получаем
где Ci, Сз — постоянные интегрирования, х 0.
Дифференцируя равенство (1) дважды и учитывая, что 5(0) = 0, окончательно находим
S(«) = (T^5T, М< 1. ►
Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с указанной степенью точности
следующие значения функций:
191.	sin 18° с точностью до 10 5.
4 Пользуясь разложением функции синус в степенной ряд, можем написать
• 1я°	•> ’ гИГ1 *2"-1
ПЯ1
Так как этот ряд лейбницева типа, то остаток ряда ие превышает по абсолютной величине
первого из отброшенных чяенов. Поэтому, как следует из неравенств < 10-s <	,
г
$ 5. Степенные ряды
75
для получения результата с требуемой точностью достаточно взять три члена разложения.
Имеем
Л	7Г	1Г3 т5	X /	л2	т4
SIH -- SS------------ -I---= ---- II--------J--1П-5	— О 3091117 ь.
10	10	31103	5110s	10 I/	600	12	У - '	 ►
192.	tgo’ с точностью до 10 3 .
< В силу оценки Аз = 7 (уу) < 0,0005 (/(г) = tg , для получения приближенно-
го значения tg — с указанной точностью достаточно взять два члена разложения функции
тангенса в степенной ряд. Имеем
3	/	2 \
Л. Л О	X	1
6 ~ ‘g 20 ~ 20 + 3 • 203 = 20	+ 1200) = 0l]58 "' ' *
193.	Исходя из равенства — = arcsin найти число т с точностью до 10 V
6	2
-4 Пользуемся разложением функции г н-> arcsin г в степенной ряд (см. пример 167).
Имеем
. 1
arcsm -
2
(2п - I)!!
+1п!(2п 4- I) ’
Носкому для остатка данного ряда справедлива оценка
Y' (2k — 1)1!	(2n4-l)l!
2-1 23* + 1 Jb!(2Jtr + 1)^3- 23"+г(п + 1)!(2n 4- 3)
:=n+l
и неравенство 63 гз.4э(п+1)!(ап+э) < Ю 4 выполняется при п 4, то для получения прибли-
женного значения числа £ с требуемой точностью достаточно взять пять членов указанного
разложения:
- 5= - + — + —— + —-------------1-	--- = 0,52359 ....
6	2	48	1280	14336	72 8192
1
откуда х = 3,1415 ... . ►
194.	Пользуясь формулой ln(n + 1) = Inn + 2 ^2“^ j т з(2п 4-1)3
In 3 с точностью до 10-3 .
4 Покажем сначала, как получена эта формула. Разлагая функции z н-* 1п(1 4- г) и
х I—> In	в степенные ряды по степеням г, затем складывая их в общей области сходимости
]r| < 1, находим
, найти In 2 и
In
1 — г
г3 г1
3 + 5
Полагая здесь г = у—-, получаем указанную формулу.
Найдем теперь соответствующие числа к членов ряда (1) для вычисления приближенных
значений In 2 и 1пЗ. С этой целью оценим остаток Rk этого ряда. Имеем
/ хМ+1 £2|,+з	\	2т2*+1
Л* “ 2 \ 2к 4- 1 + 2к 4- 3 + ’ ’'}	{2k 4-1)(1 - г1) ’
Отсюда следует, что если х = у (п = 1), то А* 10“5, начиная с к = 5, а если г — у (п = 2),
то Я*	10“5, начиная с к = 3. Таким образом,
In 2 =s 2 f- 4- — 4-------1------— 4---------'l = 0,69314 ....
U + 81	1215	15309 T 177147 J
In 3 s 0,69314 4- 2 (1 + — 4- —k?) = ’,09860 .., . ►
\5	375	15625/
76
Гл. 1. Ряды
195,	С помощью разложений подынтегральных функций в ряды вычислить с точностью
до 0,001 следующие интегралы:
1	4	+сс	1
a)	J е~х dx; б) У ci dx; в) J ; г) J х1 dx.
0	2	2	0
-4 а) Пользуясь разложением I, п.5.4, находим
е-’ = у'ЦГ^( и<йо,
* П!
п=0
откуда
[е-х\х = ±
/ ZSn!(2n + 1)
Полученный ряд Лейбницев а типа, поэтому если для нахождения приближенного значения
данного интеграла взять А: членов ряда, то погрешность не превзойдет (Л + 1)-го члена ря-
да. Из этого условия находим нужное число к. Имеем ,. .	. тт < 0,001, откуда it 4.
Следовательно,
1
f е~х* dx «1 - i +  -— + — = о 747 ...
J	3	10	42	216	’
0
б)	Пользуясь формулой I, п.5.4, и разлагая подынтегральную функцию по степеням -,
1 00 1
получаем е* = £2 г, |т| > 0- Интегрируя этот ряд почленно, имеем
п-0
/ е х dx = 2 + In 2 + У" (1 -	—----Ц-—.
J	2п) п(п + 1)!2П
2	п=1
Ограничиваясь к членами ряда, находим
/ «х(/гг-2 + 1п2 + У fl — — !——.
J	2"/ п(п + 1)!2Л
2	’*”1
Из оценки остатка ряда
V-' _____1	/.	1 \	1	/-	1	1	\
n^t+1 n(R + 1>!2" ' 2П < ("+ 1)!2"+1(п+ 1) \ + 2(п + 2) + 2а(п + 2}(п + 3) + " ) <
< (n + 1)!2"+1(п + 1) (’ + 2^Т4 + (2п + 4)а + ')	°’001
следует, что для получения результата с указанной точностью нужно взять к 3. Таким
образом,
4
/е! dx я 2 + 0,6931 4- - + — +	= 2,834 ...
8	64	6608
2
(или 2,835 с избытком).
$ 5. Степенные ряды	77
в)	Здесь х 2, поэтому подынтегральную функцию разлагаем по степеням Имеем
гз(«+1) >
откуда
/	у	(-1)п
J 1+^3 (Зп 4-2)23«+2 
2	"=0
Поскольку ряд лейбницева типа, то для получения результата с указанной точностью доста-
точно взять число k членов ряда, удовлетворяющее неравенству	0,001; решая
его, находим fc > 1. Следовательно,
/	= 1_2_+... =0,118...
J 1 + г3 8	160
2
(или 0,119 с избытком).
г)	Представляя подынтегральную функцию в виде хх = ellnl н разлагая ее в степен-
п п
ной ряд по степеням г In г, г > 0, можем написать Xх =	Интегрируя этот ряд
п=0
почленно, получаем
хп In" х dx.
о
Интегрируя по частям, имеем
"=0 о
1 1
Imn= [ x’"hlnxdx=------=	2— /тп_!.
J	П + 1 J	т + 1
о	о
Полагая в пояученной рекуррентной формуле последовательно n = 1, 2..находим
Iml =	/т3 = (m + l)*7’"0' •  - ’ 1тп = (-1)"(тп + 1)п;’"0-
Так как Im0 = f хт dx = то /mn =	 откуда 1пя = (п+?)"и '
О
1	°° / \Я
Такий образом, f Xх dx =	-
О	пжО П+ ?
Как следует из оценки остатка ряда
Ё <5ГПрт*<°'ГО1’
*-п+1
для вычисления данного интеграла с точностью до 0,001 достаточно взять четыре первых
члена этого ряда. Тогда получим
1
J х* dx ~ 1
о
- + -------— = 0,783 ... . ►
4	27	256
196. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной полуволны синусоиды у = sin г,
78
Гл. 1. Ряды
4 Длина s указанной дуги выражается интегралом
7Г
s~ J \/1 + cos2 х dx.	(1)
о
Преобразовывая подынтегральную функцию к виду
\/l + cos2 х = fl + i cos 2z^ 2
и замечая, что j|cos2x| разлагаем ее в степенной ряд по стереням jcos2x, используя
формулу IV, п.5.4:
V/1+cos2z = Д (1 + £ (~1j2^"~1)- cos" 2х) .	(2)
Интегрируя этот ряд почленно, получаем
/ +с°в*г dr=У!	’	(з)
о	\	П=]	/
где
F	ч
1п = J cos" 2х dx.	(4)
о
Почленное интегрирование ряда здесь возможно, так как ряд (2), по признаку Вейерштрасса,
сходится равномерно по х, а функции х »-* cos" 2х непрерывны. Интегрируя в (4) по частям,
находим
Л = У cos"-1 2r d(sin 2r) = (п - 1)(/п_2 - /„),
о
откуда 1„ = ^~^1п-2, п 6 N\{1). Поскольку /о = г, а Л = 0, то из полученной рекуррентной
формулы находим
т (2n - I)!!	.
1зп = *	—,г’ ^гп-1 = 0, n € N.
(2п)!!
Используя этот результат, из (3) и (I) окончательно имеем
3 = я,F- А + V
V 2 \	(4n)!!32"(2n)!!	1 ’
Оценивая остаток последнего ряда:
у' (4п — 1)!!(2п — 1)1! (4fc 4-3)!!(2fc + 1)1! / (4fc + 7)(2fc + 3)	\
2^ (4n)!!32"(2n)!!	32fc+2(2fc + 2)!!(4fc + 4)!! Г + 9(4* + 8)(2fc + 4) + ’' J
1	Л , 1 , 1 ,	\ _	5
< 6 • 32*+3 V + 9 + 81 +    / - 3 - 9*+2
и учитывая, что абсолютная погрешность при вычислении данного интеграла не должна
превышать 0, 01, число первых членов ряда находим из неравенства • 3 Д-i-T Ю-2. Его
решения fc 1.
Следовательно, a ss *3/| (1 +	= 3,92 .... ►
79
$ 6. Ряды Фурье
Упражнения для самостоятельной работы
Найти радиусы сходимости следующих степенных рядов:
оо	□	со	з	00
103. £ (ntgl)" (л104. £ (tnarcsin if z". 105. £
n=l	n=l	n=l
оо	оо	д
106. £ sin i sin 1	. sin 1  (г- l)n. 107. £	(z - 3 + t)n .
n=l	n=l
OO n— 1	Л
108. £ £ C“+1((2fc - l)!!)’((2n - 2fc + 3)!!)2^.
n = l *-0
109. £--------• no. £--------------------s-------— zn-
n=0	n=0
Разложить в степенные ряды по степеням х функции:
5 с»
111. х <-+ sin4 х. 112. х Ч1  113. г ь-» е“’ £
п = 0
1	1	'за
114. t>->f 1п(1 4- xt)di. 115. х i- f arctg(xi)di. 116. rw f е~х е dt.
0	Q	0
117. Показать справедливость формулы
А(е-А) = лгл,
где Л — постоянная квадратная матрица.
118. Пусть А — квадратная матрица. Положим, по определению,
81пЛ=£(-1Г-‘^, совА=£(-1Г^
п=1	rt»O
Показать, что матричные ряды сходятся для произвольных А.
119. Пусть А — квадратная матрица. Положим, по определению,
1п(/ + Л)= £ Lzl£SiAn.
пь1
(1)
со
Показать, что если £ а„* < 1, где ап* — элементы матрицы А, то ряд (1) сходится,
n, ка]
§ 6.	Ряды Фурье
6.1.	Основные определения.
Определение 1. Система функций
1 тх . тех	kxx kxx	. ,
-, COS -J-, Sin -j—, . . . COS —j—, Sin —j—, ... , r g [— I, ij,
называется основной тригонометрической системой. Эта система ортогональна на
отрезке [—1, /].
Определение 2. Пусть f £ Л[—I, /]. 7исла
до
1 t \ кях ,	,
у / /(г) cos —j— dx, bk =
sin dx, к G N,
называются коэффициентами Фурье функции f по основной тригонометрической систе-
ме.
80
Гл. 1. Ряды
Определение 3. Тригонометрический ряд
но , V* / кхх . кхх \
у + > ^а* cos — + ft* sin — J
*=i
называется рядом Фурье функции f. В частности, если функция / четная, то ее ряд
Фурье имеет вид
ао ,	кхх
— + 2^a*cos-p;
*=i
ряд Фурье нечетной функции имеет вид
<х>
. kXT
2^4*841—.
*=1
Определение 4. Функция f : [—f, i] R называется кусочно-непрерывной на [—I, ?],
если она непрерывна в каждой точке г € [—1, Г], за исключением, быть может. конечного
числа точек, где она имеет разрывы первого рода.
Определение 5. Функция f . [—Г, Г] —» R называется кусочно-гладкой на [— I, 2], если
эта функция кусочно-непрерывна и имеет непрерывную производную на этом отрезке, за
исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых производная имеет
конечные односторонние предельные значения.
6.2,	Теоремы о разложении в ряд Фурье,
Теорема 1 (основная). Пусть кусочно-гладкая на отрезке [—I, Г] функция f периоди-
чески с периодом 21 продолжена на всю числовую прямую. Тогда тригонометрический ряд
Фурье функции f сходится в каждой точке х ё] — оо, +сс[ к значению ^(/(я — 0) + f(x + 0)).
Теорема г. Если для непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [—Г, /] функции / выпол-
няется равенство /( — Г) = /(1), т£> ее тригонометрический ряд Фурье сводится равномерно
на этом отрезке и сумма его равна значению функции / Vr £ [— i, /].
6.3.	О дифференцировании я интегрировании рядов Фурье.
Пусть / 6 ИЧ I] и /(-2) = f(l}t f'(-l) =	= Г"'(/). Пусть, кроме
того, функция f имеет на отрезке [—I, /] кусочно-непрерывную производную порядка m + 1.
Тогда: 1) сходится числовой ряд
*=1
2)	ряд Фурье такой функции можно m раз почленно дифференцировать на указанном
отрезке.
Ряд Фурье интегрируемой по Риману на отрезке [—I, Т] функции f можно интегрировать
почленно на этом отрезке.
6.4.	Разложение в ряд Фурье по другим ортогональным системам. Ортогональные
полиномы.
1)	Полиномы Чебышева Тп(х) = j^rrcos(naiccosj-) ортогональны на интервале ] — 1, ][
с весовой функцией х —j 1  , т.е.
у 1 —
I
[ Тт(х)Тп(х) я
”1
где
ftmn =
0, m / п,
1, m = п.
$ 6. Ряды Фурье
81
2)	Полиномы Лежандра Р„(х) =	ортогональны на отрезке [—1, 1], т.е.
1
/ Pm(z)Pn(z)dz = — 2 6тп.
J	2n + 1
-1
3)	Полиномы Абеля—Лагерра £п(х) = d	обладают свойством ортогональности
на интервале ]0, +со[ с весовой функцией хме'. Таким образом, имеем
+»
С	= ^mn.
о
т * - V1
4)	Полиномы Чебышева-—Эрмита Я„(х) = -— определены на всей числовой пря-
мой и для них справедлива формула
+» хз	,-
I е 2 Hm(x)Hn(z)dx = бтп.
о
Разложить В ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции:
ч , IA, если 0 < х < Г, .	_,г
1У7. / : х I— < п	. .	где А — постоянная, в интервале ]0, 21[.
I U) €СДИ t
< Ках видим, данная функция кусочно-гладкая, причем точка г — I — точка разрыва пер-
вого рода. Поэтому, согласно теореме 1 о разложении, функция / может быть представлена
рядом Фурье.
Периодически (с периодом 21) продолжая функцию / на всю числовую прямую, построим
функцию
{А, если 2к{ < х < (24 + 1)1,
если х = 41,
О, если (24 — 1)1 < х < 241,
где к g Z.
Согласно указанной теореме, функция f* совпадает в каждой точке х числовой прямой
с ее сходящимся рядом Фурье:
где
□о = Л,
СО
/ (®) = у + > . сов — + Ьп sin -у- J ,
п« 1
1	i
.	1 f j» f \ • ЛХЛЕ , At,	, A .. .an-f-l . i <
bn = Y I f (x)sm —— cdr = -j- I sin —— dx = — ((-1)	+ 1).
~i	о
Следовательно, f‘(x) = £ + ~	sin ^2р-^ях при всех x g) - co, +oo[, a
n=;l
,, , A	2A v~>	1 2n — 1
/(t) = 2 + v b “n —i~*x
пи)
только при 0 < х < I и I < х <2l.
82
Гл. 1. Ряды
198.	/ : х ь-. |х| в интервале ] — я, х[.
Эта функция непрерывна на ]—я, т[ и имеет кусочко-непрерывную производную всюду,
за исключением точки г = 0. Периодически (с периодом 2тг) продолжив функцию [ на всю
числовую прямую, построим функцию /* : I и-» |т - 2Лт|, если |r — 2ir| тг, где k g Z.
Построенная функция удовлетворяет требованиям теоремы о разложимости в сходящийся к
ней ряд Фурье.
Поскольку функция f четная, то Ьп = 0;
/(г) cos пх dx =
ас, = тг.
Следовательно,
. я 4 v-4 соя(2Л 4- 1)г
f = 2 -7b-(2*+Ip'-
k=0	'	'
00
Vs COS\2s + 1 )Г
- у “ -	(2£ + 1)2
-ОС < X < +0О,
—Я < Г < Я. ►
199.	f . Г . sin ах в интервале ] — я, я[, я € R \ Z.
•« По данной функции построим функцию /* : х i—r sin(a(x - 2£тг)), если |г - 2кя| <
я, f*((2& + 1)я-) = 0, к £ Z. Эта функция является кусочно-гладкой при |z — 2Jtir| < я. Кроме
того,	— 0) + /‘(хи, + 0)) = f*(xk), где th = (2к + 1)я — точки разрыва первого рода
функции f*. Поэтому функцию f* можно разложить в ряд Фурье, сходящийся к ней в каждой
точке числовой прямой.
В силу нечетности функции f‘ коэффициенты а„ = 0;
.	2 [ .	2 (-1)п+1п .	, . ,
Ьп = — I sin ах sin nr dx = — --я----=— sin ах, а п.
г J	я п2 - а2	'
о
Таким образом, имеем
Г(х)=2«пяа^(_ +1н»ппг |i|<oO(
г	п* — а*
nxl
. оо	,
г '	п3 — а3
п= 1
200.	f-.x^x в интервале ]а, а + 21[.
4	Функция
( х — 21J:, если 21к + а < х < а + 2!(fc + i),
* ’ Z а + I,	если х = 21к,
к ё Z, построенная на основании дайной функции и совпадающая с ней на интервале ]а, а +
2/[, является 2/-периодической, кусочио-гладкой. Кроме того, в точках разрыва х = 21к
выполняется равенство
/’(я*) = | (/‘(г* - °) + f*(zh +0)) = в + t
Поэтому функция разложима в сходящийся к ней в каждой точке х g] — оо, +оо[ ряд
Фурье.
$ 6. Ряды Фурье
83
Далее, имеем
ао = 2(а + I),
I	а+21	а + 21
1 / r-г X	krx J	1	/	,/ , kxz	,	1	[	кхх ,	21 . кг а
а* =	т If (x)cos	—f—dx =	-	/	/(x)cos —dx	=	7	/	x cos	—7- dx =	— sin -7-,
If	I	I	J	I	t	f	I	К7Г •
“1	а
Таким образом,
ОО
f*(x) = а + I + у nSin Т(“ ~ Г)’ И < °0’
п= 1
00
-. .	.	21 х ** 1	71	«
/(г) = а + I + — 2 - sin -j-(a - х), а < х < а + 21. ►
П=1
Разложить в ряд следующие периодические функции:
201.	f : х е-* sgn(cos х).
4 Данная функция кусочно-непрерывна (точки разрыва г* первого рода удовлетворяют
уравнению cosxi, = 0) н имеет кусочно-непрерывную производную f'(x) = 0 при г х*.
Кроме того, функция / периодическая с периодом 2я и /(х*) = j(/(ifc — 0)-|-/(х^+0)). Сле-
довательно, она может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся в каждой точке х числовой
прямой.
Учитывая четность рассматриваемой функции, получаем
Ьп = 0, ао = О,
а
cos х) cos пх dx =
cos пх dx —
,	4 яп
cos пх dx = — sin —,
тгп 2
п € N.
Таким образом, имеем
.	.	4	1 • тп
Sgn(COS х) = - 2^ - 8Ш -у-
cos ПГ
4 у (-1)*
it 2k + ]
к=0
cos(2£ + 1 )z,
**оо < г < -f-oo.>
202.	f : х w arcsin(cos x).
4 Нетрудно проверить, что эта функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет
кусочно-непрерывную производную (она не дифференцируема только в точках х = кх, где
к е Z). Кроме того, она 2х-периодическая. Следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней в
каждой точке х 6] — оо, +оо[.
Принимая во внимание четность данной функции, находим
Итак,
..	.	2 хр ((-1)"-1)
arcstnfcos х) =->	------ cos пх =
'	т < п2
п=1
4 у—> cos(2i + 1)х
я2 2- (2*: + 1)3
k=0	'
— ОО < X < +00. ►
203.	f :xw(r) — расстояние x до ближайшего целого числа.
84
Гл. 1. Ряды
-< Функция f — четная, имеющая период T = 1; в остальном ее свойства аналогичны
свойствам функции х i-r arcsili(cos z), рассмотренной в предыдущем примере. Поэтому
a
= 0, ao = 4 /
a
/(—l)n — 1
zcos2rnr<fx = ------j—, n N.
о
Таким образом, имеем
2	' cos(4n — 2)xr
" t7 (2n - IP
n— 1	'	'
204. f-.x~
sin r
< Поскольку
П sin nz I n|a[n|r|
sin x I | sin z| ’
i * I	»
I sin r]
то, согласно признаку Вейерштрасса, данный ряд сходится равномерно на каждом отрезке,
не содержащем точек г = fcx, fc € Z. Так как, хроме того, функция г н* непрерывна
прн г кт, то, согласно п.4.4, функция / непрерывна прн г кт.
Аналогично можно показать, что функция
n cos nr sin г — cos z sin nr
sin3 r
также непрерывна при х fix.
Как следует из равенств
n sin nz
<k —:-----
SW Z
У оп sin nr
Km
r~*fefr
sin г
У*. na" cos nr
lim
Г—bfcw
COS X
z = kx — точки устранимого разрыва функции f.
Таким образом, периодическая функция
_ Г /(®). если
7	(0*, если
разлагается в сходящийся к ней всюду ряд Фурье. Имеем
оо
г кт,
х — 1Ья,
(sin(n — 2)z cos 2r 4- coe(n — 2)r sin 2r) =
6o • /
nsm(n — 2)x
sin r
<х>
»" cos(n — l)z =
oo
-sinrtr	n t
a —. — + 2 У ct cos(n — l)r,
sin x
1
4
Г  ®
о

Отсюда находим
a
Л ,	.. or
------=-cos(n - l)z = -------J
1 or	'	1 — a’
a
------- cos nr. ►
1 — Or1
$ 6. Ряды Фурье
85
205. Функцию / : х и-> х2 разложить в ряд Фурье: а) по косинусам кратных дуг; б) по
синусам кратных дуг; в) в интервале ]0, 2я[. Пользуясь этими разложениями, найти суммы
рядов:
•< В случае а) функцию f, рассматриваемую в силу условия примера только на отрезке
[—я, я], периодически (с периодом 2т) продолжим иа всю числовую прямую. Тогда получим
непрерывную и кусочно-гладкую функцию /*, совпадающую с функцией f при |г| С я и
разлагающуюся в ряд Фурье только по косинусам. Для коэффициентов ап, Ьп имеем
2 /	2тг	2 /	4
Ъп = 0, до — — / г2 dx =	. дп = — / г2 cos nr dz = f —] |п —, n £ N.
x J	3	x J	' n2
о	0
Поэтому
s. 7Г J (““1 j cosnr	.	.
f (г) я: — + 4 ? ------т--- при всех г £]- оо, +оо[;
ня 1
2 Т2 Г^(-1)"СОЯП1
х = — + 4 > 5:-----------только при г < я.
3	п2
ЛЯ 1
Для получения разложения в случае б) функцию г х2, рассматриваемую на интер-
вале ]0, т[, продолжим на ] — т, 0] нечетным образом, а затем так построенную функцию
периодически (с периодом 2т) продолжим на всю числовую прямую. В результате получим
функцию
,	( (г — 2txf(x — 2Хт), если {х — 2^т( < я,
f : х <-> < q,	если х = (2/-|-1)т,
k, I е Z, определенную всюду на числовой прямой и удовлетворяющую всем условиям теоре-
мы 1, п.6.2. Вычислив коэффициенты
ап = 0. Ъп = - [ x2sinnrdi = — (~1)"+1 + —- 1),
г J	тг	хп
о
можем написать
rw = £ (+ Л^-’)” -1})sin ni'|г| с
\ Т4	ли	*
nal
=£ (Л-1)”+1+-п)sin ,11’ ° *=х < *
Пя1
Наконец, в случае в) по функции f : х •—* z2, 0 < х < Этт, строим 2тг—периодическую
функцию совпадающую с функцией f : к »-* х2 только на интервале ]0, 2г[ и в точках
разрыва х = 2kxt к G равную 2г3, Тогда для коэффициентов ап и функции /’ имеем
*	3*	2
ао = — //*(z)dx = — [ f*(x)dx — — i х2 dx = -т—,
X J	X J	x J	«5
— ж	0	0
0
86
Гл. 1. Ряды
т	2я
6П = — / Г(х) sin nt dx = — / x2 sin nx dx --n € 13.
* J	* J	"
— w	0
Следовательно,
2 oo	tx>
, 4т .v' Cosni т-m sin nx , ,
/(-) = —+4^ — “^Е—- и<~,
n=l	n»i
2	oo	Ou ,
2 4л . . cos nx , V—1 sin nr „
x2 = —-+4> ---------5--4т > --------, 0 < X < 2л.
3	n2	n
ne 1	nasi
60	2 QO	. J
Полагая в случае a) x = т и x = О, получаем соответственно £2 У =	— =
n =1	n=1
,2
уу. Складывая почленно эти два сходящихся ряда, находим
оо	-,
V-"'	1	_ Л2
2- (2п - I)2 “ Т’ *"
п=1
Пользуясь формулами cost = |(z + г), sins: = ~^{z — z), где z = e'1, z = e”11, получить
разложения в ряд Фурье следующих функций:
206.	X I—► cos2m I, n SN.
4 Пользуясь указанными формулами, а также формулой бинома Ньютона, можем напи-
сать
lm	2m
cos3m т = ~ (z + z)2m = — у" C£nz2(m-,,) - ~ y^(cos2(m - *)*+ , sin 2(m -*)*) =
*=D	<te«0
2m	m
= V" 52 COS 2(m “	=	+ 22m-j 52 ^1” COS ^kx-
*=0	k=0
Здесь мы воспользовались тождеством Cjm = С;™-*, а также четностью функции х н-
cos 2fcx и нечетностью функции х i—г sin 2(m — к)х. ►
207.	, -ч™’ 2, Ы<1.
1 — 2g cos х + q2
•< Применяя указанные в предыдущем примере формулы и разлагая данную дробь на
простейшие, получаем
g sin х _	1	1
1—2gcosx + g2 2i(l — gz) 2i(l — g?)‘
Поскольку |gz| = |gz| = ]g| < 1, то справедливы разложения в степенные ряды функций
gz I-. (1 — gz)“1 и qz >-» (1 — gz)-1 по степеням gz и gz соответственно. Имеем
gsinx _ 1 V'_ns	„е<п'-е"*пх	5^ n
-----------;--7 = ZT 7 Ч (г ~ 2 ) = Z 9 -------------= Z g 31ППГ. ►
1 - 2g cos x + g3 2i	2i
n = 0	n=0	nd
208.	x >—• ln(l — 2g cos x + g2), [g| < 1.
<ц Дифференцируя данную функцию по х и пользуясь предыдущим разложением, полу-
чаем
□О
(ln(l — 2g cos г + g2))i = gn sin nz}
n*l
§ 6. Ряды Фурье
87
откуда
OQ п
In(1 — 2q cos z + g2) = —2	— cos nx + C.
n = 1
Полагая здесь z = я, находим
Отсюда, в силу формулы V, § S, следует, что <7=0. Итак, окончательно получаем
ln(l — 2q cos х + g2) = -2	~ cos пх- ►
209.	Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию / : г н-► In |sin —
< Пусть 0 < е х — 2ктг $?2тг — г, где г > 0 и ЛЕЙ. Тогда степенной ряд
(1)
где z = е,х, сходится при всех указанных х.
Далее, покажем, что
In Isin ^| = Re ^ln —— * j , in 1 = 0.	(2)
Действительно, пользуясь известным равенством
X
sin —
2
11 — COS X
У 2
и представлением w = |w|(costp4- isings), где w — некоторое комплексное число, — его
аргумент, Re In w = In |w|, получаем (положив w = |(1 — z))
Re (In Ч2) = ln 2°SX = ln |sin 11 ’
что и требовалось доказать.
Таким образом, используя формулу (2) и разложение функции z i—• — ln(l — z) в ряд (1),
имеем
ln|«nf| = -ln2-Re£^=-ln2-£^.
71=1	П=1
Так как число е можно взять как угодно малым, то отсюда следует, что полученное разло-
жение справедливо прн всех х 2kzt. ►
210.	Разложить в ряд Фурье функцию / : х >-» J In у | cig -1 di, —я х х.
о
<4 Производная функции /, равная
z~lin
cletl4(lnlcosll"14hli
88
Гл. 1. Ряды
является 2я-периодической функцией и на интервалах 0 < |r| < 2ir может быть представлена
рядом Фурье. Действительно, иа основании предыдущего примера имеем
ОС
. I . z I . Л cos пг . .	.	_
In sin — = — In 2 —	® 9^ 2fcx, k 6 Z,
nsl
oo
1п|соа|| = -1п2-I#(2fc + 1)lr.
n«l
Поэтому, если x yt jtir, fc € Z, to
t'l \	cos(2n - l)r
/ r) = « z --2--— cos nr = > —;-----.
J v ’	2 £->	n	-4^ 2n - 1
л«1	nsl
Интегрируя полученный ряд почленно, находим
fiTX- f V coa<2n ~ Л-Г 3in(2n ~ 0*
“ J zL 2n - 1	2-* (2n —I)2 ’
211.	Как следует продолжить заданную в интервале ]0, непрерывную функцию / в
др
интервал ] — я, я[, чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид f(x) = а„ cos(2n — 1)х,
— я < X < Я?
Поскольку Ьп = 0, то функция / — четная, т.е. ее следует продолжить в интервал
] — я, 0[ четным образом. Далее, замечал, что в данном разложении отсутствуют члены
аз„ сов2пх, заключаем, что
ajn = — I /(х)cos2nxdx =0, n £ Zo.
я J
о
Разбивая этот интеграл на два интеграла:
Я	1	!Г
/ /(х)соя2пх dx = у* /(x)cos2nz dx 4- J f(z)cos2nzdz
О	О	я
2
и производя замену: в первом интеграле х = 1(я — у), а во втором х = |(я + у), получаем
<	F
У f(T)cos2nxdi = У (/(у -	+/ (у + |)) cosnyrfy = О,
й	о
или
т	О
У /(r)cos2nxdx =	- У (/ (у 4-1) +/(у - I)) cosnffdy = 0.
D	-!Г
Отсюда, следует, что
] (/(i + l) + /(7“t))coenv,/!'e()’
—•
т.е. функция Ф •’ У •-* / (f + *) + / (^ ~ f) является нечетной. Одиако функция Ф очевидно,
четная, поэтому Ф(у) 0.
5 6. Ряды Фурье
89
Итак, должно быть /	= — f , |у| < т или, если вернуться к переменной х
по формуле х = ^2^, /{г —г) = — f(x). Следовательно, график так построенной функции
должен быть симметричным относительно прямой z = 0, а точки г = ±у должны быть
центрами симметрии его на интервалах ]0, х[ и ] — я, 0[ соответственно. ►
212.	Функцию /; »	разложить в интервале jo, а) по косинусам
нечетных дуг; б) по синусам нечетных дуг.
4 а) Рассмотрим 2т-периодическую функцию которая в интервале ] — ж, эг[ опреде-
ляется следующим образом:
5 “ 7
г+7
если
если
если
если
О < г < у,
-у t $ О,
f С г С
-я О $ - j-
Очевидно, построенная функция непрерывна в каждой точке х числовой прямой и име-
ет кусочно-непрерывную производную. Кроме того, она четна и ее коэффициенты Фурье
«in, п ё Zo, равны нулю, так как
Й2п =
cos 2nz dz = —
я
J /*(i)cos2nx dz =
0
7Г \	„	,
— I cos 2nr dz =
у cos 2ny dy — 0
(здесь использовались подстановки: г = у — у и х — у + у).
Таким образом, функция /*, совпадающая в интервале ]0, у[ с функцией /, может быть
разложена в ряд Фурье только по косинусам нечетных дуг. Имеем
/ имеют вид
Разложения функций /' и
оо
rw = -2E
пж1
оо
/(х) = -2^
(, + 71аЛ))-,)I’ W<~'
+	0<1<5
90
Гл. 1. Ряды
б) Поскольку в разложении Фурье должны отсутствовать косинусы, то функция /*, со-
впадающая в интервале ]0, с функцией /, нечетна. Кроме того, по условию, должно быть
!Г	7	»
tan = — у" /*(т) sin 2пх dx = — У /*(х) sin 2nr dx + — J /*(т) sin 2nr dx = 0.
о	о	Z
г
Произведя во втором интеграле замену x = у(я - у), а в третьем x = ^(я + у), получим
О
или
D
bi» = 2(	(^+70) sinnHv = °-
— V
Из двух последних равенств находим
ta. = 7(-lf+1 / (/* (J - f) - Г (7+I)) si"= 0.
откуда следует, что функция у >-»	— f) — /’ (7 + у) четная. Но так как она еще н
нечетна (что очевидно), то /* (у — *) = /’ (^ + *) , нлн, возвращаясь к переменной х, можем
записать /*(х) = f*(ir — х). Геометрически это равенство означает, что график функции /*
в интервале ]0, я[ симметричен относительно прямой х = у.
Таким образом, для построения графика функции f* с указанными свойствами следует,
во-первых, график функции f зеркально отобразить относительно прямой х = у в интервал
]0, я[; во-вторых, так полученный в интервале ]0, я[ график функции /’ отобразить иечетным
образом относительно точки х = 0 как-центра симметрии всего графика в интервал ] — я, 0[.
Тогда для коэффициентов Фурье получим
л0 = а„ = 0, tan = 0,
ТГ
tan-i = — У /*(х) sin(2n — l)r dx —
о
(z — я) sin(2n — 1)х dx =
2(-1Г Л , 4(-1Г >
(2n — I)2 у я(2п — I) J
п SN.
Следовательно, разложение функции f* имеет вид
= V ( 2(-0" +	8
м2"- U2 + «Ш- U3
sin(2n - 1)х. ►
213.	Функция / антипериодическая с периодом я, т.е. Дх 4- я) = — /(х). Какой
особенностью обладает ряд Фурье этой функции в интервале ] — я, я[?
S 6. Ряды Фурье
91
Я Предполагая, что данная функция разложима в ряд Фурье, с учетом ее антипериодич-
ности, получаем
откуда следует, что ао = 0.
Далее, находим
Я	Я	2чг
1 /"	if	1—1] 1 г
ап = — / f(r)cosni dx = — — I f(z + я) cos ni dz = ——---- / /(r) cos nx dx = ( —l)n+1an
-T	-r	0
(здесь мы использовали равенство f(x + 2т) = /(z)) Следовательно, агп = 0- Аналогично
устанавливаем, что Ь2п = 0, п б N. ►
214.	Зная коэффициенты Фурье ап, 6„ интегрируемой функции /, имеющей период
2т, вычислить коэффициенты Фурье 2П, п €	, “смещенной” функции х н-. f(x -у А),
h = const.
Я Учитывая 2т-периодичность и интегрируемость функции z >-» f(x + h), имеем
я	<+h.
а.» = — У J(i + h)cosnr dx = — У /(l)(cosntcos nh + sin Tit sin nh) dt -- a„ cos nh + bn sin nh,
— я	~я4Ь
я	я+h
bn = 1- У /(z + h) sin nx dx = i У /(t) (sin nt cos nh — cos nt sin n/i) dt = b„ cos nh - nr. sin nh,
—я	—<+Л
n G H. 5o — no. ►
215.	Зная коэффициенты Фурье an, b„, n € 2o, интегрируемой функции f с периодом
2т, вычислить коэффициенты Фурье Ап, Вп, п 6 Zo, функции Стеклова
х-Л •
Ряд Фурье
оо
+ ^2 а” cos пг + Ьп sin пт ~ /(г)
п»1
2т-периодической интегрируемой функции /, согласно л.6.3, можно почленно интегрировать.
Поэтому, интегрируя его почленно по f в пределах от х — h до х + h, получаем
— 4-	sin nh. cos nx 4- -7- sin nh sin nx ) =
2 \пЛ	nh	/
nsl
Отсюда находим Ар = ao, An = -^ sin nh, Bn = sin nh. ►
Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева:
216. / :ii- асЭ, х ё] — 1, 1[.
Исходим из общего представления функции рядом Фурье:
ОО
г1 =52а„Г„{г),
пяО
92
Гл. 1. Ряды
где ап — коэффициенты Фурье, подлежащие определению. Для их вычисления воспользу-
емся свойствами ортогональности полиномов Чебышева в интервале ] — 1, 1[ с весом —,
Умножив обе части равенства (1) иа весовую функцию и проинтегрировав по х б] — 1, 1[, в
силу указанного свойства и иечетиости функции т i-+ т3 , получим ао = 0. Далее, умножив
обе части равенства (1) на
dx, mgN, и проинтегрировав по х Р] — ], ][, найдем
/X 7т(т) ,
VJ^d’=2^-
Для вычисления интеграла воспользуемся явным выражением полиномов Чебышева и
произведем подстановку агссов х = i. Тогда получим
m Г	( °’
-— / cos3 t cos(mi) dt = < 7,
ч	u
если	т	/	1,	т / 3,
если	m	=	1,
если	m	=	3.
Таким образом, х3 = ^Ti(г) + Тз(т) Ух б] — 1, 1[. ►
217. / : х <-> |х|, х €] — 1, 1[.
< Как и в предыдущем примере, представляем данную функцию в виде f : х . а0 +
ОС
У) апТп(х). Последовательно умножая обе части этого равенства на .1 и интегрируя по
v1-x
х ё] — 1, 1[, а также умножая на	и интегрируя по х ё] — 1, 1[, получаем (пользуясь при
у] "J*
этом свойством ортогональности полиномов);
1 1
1 [ |-c|dx _ 2 i t dx _ 2
* J V4 — x2 * J x2
2m [ |х| cosfm агссов х) , 2т [ ,	,	.	. ,
вт = — / ----------. —  .----- dx = — / | cos t| cos(mf) dt =
T J у 1 — x2	?r J
-1	0
7
j cos t cos(mt) dt —
о
о.
2Г
у.
тп = 1,
m # ].
з
Итак, при |x| < 1 имеем


Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра функции:
218.
,	J 0, если —1 < х < О,
у . z	| j, если	о < х < j
ОО
4 Имеем /(х) и J2	Поэтому
*-о
1 1
2^ + 1 f ft \ о f \ j 2£ + 1 [ о . , ,
а* = —-— J f(x)P/!{x)dx = —-— I Pk(x)dx =
о

$ 6. Ряды Фурье
93
i
2*4-1 [ 1 d*(r2 - l)fc 2k + 1 ^“‘(x2 - 1)*
2 J 2*1! dx* dX~ 2k+'kl dr*-1
о
1
“0 = 1 У Hr)Po(x)dr = |, 1GN.
-1
Остается.вычислить ~—^ь-i | • Очевидно, при любом I 1 в точке г = 1 это вы-
ражение равно нулю. Для вычисления значения его в точке х = 0 воспользуемся формулой
бинома Ньютона:
((х2-!)*)(*-’>_
\ 1и0
^±±1
= 52 <7t(-l)'(2*-2/)(2Jt-2Z-l) ... (-2/4-1 4-2)r*~2l+l.	(1)
(=0
Из этого соотношения следует, что если к — число четное, то при г = 0 сумма (lj равна
нулю; если к = 2m 4- 1 — число нечетное, то в точке х = 0 сумма (1) равна
C»mVi(~l)m+12»n(2m- 1) ... 3 2.
Таким образом
С ледов ательно,
219- / ; X I-* |х| при |х| < I.
4 Как И В предыдущем примере, запишем
ОО
/(*)=
*-0
21 4“ 1 / , । п , . ,
а* = —-— I |ж|Р*(х)</г.
-I
При к = 2m + 1 имеем = 0, так как в этом случае подынтегральная функция
нечетная. Прн к = 2т подынтегральная функция четна, поэтому
1	4m 4-1 [ d2,"(r2 - l)2m ,
“ 2’ aim~ 23”*(2т)! J *	dX ~
О
4т4-1 / d2ra"1(xJ - 1),т *	d3m~2(x2-1)2т
22™(2т)! V dr2™-1	о dr2™-2
- ДйЬ"'1 -	 ">ен
Аналогично проделанному в примере 218 можем записать
((я2 - 1)’")(”"“’)|„о = (-1)т+1С^+1(2т -2)!.
94
Гл. 1. Ряды
Итак, окончательно имеем
(-1)-(4т + 1)(2т-2)!
22m(m — 1)!(т + 1)!	2т()'
Разложить в ряд Фурье по полиномам Лагерра при х > 0 следующие функции:
220. / ; х — е“".
ОО
Я Представим функцию f в виде f : z i-►	“п£Дг) и используем ортогональность
п=»0
полиномов Лагерра на г > 0 с весом е~х. При n 1 получим
+ оо	•+ оо
[ -i(l + a) г I .1	1	[ -ах rin(lne-T)
~ / с 1	>L„(x)dx=— I е —--------------dx
J	J	dx”
О	о
d”-\x”e~z)
dx”~'
Продолжая интегрирование по частям, находим
ап = I zne-(I + a)l dx.
п! J
о
Применяя к последнему интегралу также метод интегрирования по частям, после п-го
шага получаем
+ оо
а„ = „	.	[ к”*14»’1 dx = . дП. ,, , п £ N.
(1 + а)п J	(1 + а)"41
О
Принимая во внимание еще. что до — окончательно имеем
। +<*
nssO 4
221. / : х I—> хп, п .
Я Имеем
до
+ оо
j rne 1 dx — n!>
о
к	+ОЙ
=	1) - л(л — 1) ... (н — fc + 1) [ x^dx=^l)*n(n — 1) ... (n — Л: -|- 1), 1 k n.
Л»	J	K.
0
Если же k > n, то ад = 0, Таким образом,
кжО	4	'
§ 6. Ряды Фурье
Разложить в ряд Фурье по полиномам Чебышева—Эрмита следующие функции:
222.
Напишем искомое разложение в виде
k = 0
где
о* —
dx +
у е 2 Нь(х) dx,
о
о
а0 = о, k е N.
Пользуясь явным выражением полиномов Я*(г) и производя в первом интеграле замену
х иа —г, получаем

2
_ 1 +
----------7z
о
2тг
х—-
е г
Для вычисления выражения
Взяв Про-
рассмотрим функцию и : х
х=0
изводную, замечаем, что эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению «’(г) 4-
ти(т) = 0. Применяя к этому равенству формулу Лейбница, получаем
се
(’')(и(х)/п-1-’') = 0.
,	к>0
Полагая здесь х = 0, имеем рекуррентную формулу = —(и—1 Ju(n-21(O), тс € N\{ 1}.
Поскольку u(0) = 1, и’(0) = 0, то отсюда нетрудно получить с/2,1(0) = ( —])‘(2/ — 1)!!, I 6
о(2'+Ч(0) = 0
Таким образом, если к = 21	1, то aji^i = (—1
же к = 21, то аз) = 0.
Следовательно, окончательно можем написать
7 М 2'-*^
1)!!, / € N, а, = — если
223. / : г •-» |я|.
4 Как и в предыдущем примере, имеем
к € N\{1),
— ОО
0
Гл. 1. Ряды
Поэтому разложение представляется в виде
2'-а(Г- 1)!-У2?
224. / : z ~ е-“.
4 Вычислим коэффициенты разложения
или ад = aaif-i  Полагая в этой рекуррентной формуле к — 1, 2, ... и принимая во внимание,
что
+ OQ	+ос	а2 + OQ
1	( -лх-е1 1	( _1(1+а)»+«1 е— Г	з!
ао = ; - / е 2 dx —	/ е 2	2 dx — it 2 dt — е: 2 ,
v2>r J	V2ir J	V2tt J
— ОО	—ОС	—oo
получаем
*L fc
ад = e 2 a , к E Zo.
Таким образом, окончательно имеем
а то
е-и1 = е 2	* а|1Я^(д:). ►
д=о
Упражнения для самостоятельной работы
Разложить в тригонометрический ряд Фурье следующие функции:
120. / : х 2г 4- 5, х g] - 1, 5[. 121. f : х sin г2х, х g] — 1, 1[.
122. / : х t~* sgnsin2z, х g ] — j, j[. 123. f : z i-> cosz, z g]0, 1[.
124. / : x •-* cosz, z g [2, 3]. 125. / : z arcsin (sin 2z), x g R.
126. / :rt-> e-c'“’:(coe(2r — sin z) 4- 2 cos z cosfsin z)) — cosz.
127. /:r>-> e-ce**(sin(2z — sin z) — 2 cos z sin (sin z)) 4- sin z.
128. / : r t-> £2 e-lra(n+l)’, a > 0, z g R. 129. f : x e-. sin z In (2 cos |) .
n=—00
130. f : x *-► coszIn (2cos . 131, / ; z »-+ j e-1* dit r e] — x, x[.
о
132. / : z	dt, z €] - lt 1[-
о
§ 7, Суммирование рядов. Вычисление
определенных интегралов с помощью рядов
7.1.	Непосредственное суммирование.
Пусть требуется просуммировать сходящийся ряд
Sni Bn g	(1)
$ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 97
Представляем нп я виде u„ = un+i — «п, где = .S'n -f- vi, (Sn) — последовательность
частичных сумм данного ряда. Тогда, если lim vn = Иоо, то
п —ОС
lim Sn = Too — »i.
n—оо
В том случае, когда общий член ряда имеет вид
в„ = ---------------------------------1-------, а„ е R(C),
ЯпЯп+1   •
где а„+л = ап + kd, к = 0, т, d = const, то
1 1
ti„ =------ • ----------------.
JTltt	, (Zn-f-m—I
7.2.	Метод суммирования рядов, основанный на теореме Абеля.
Пусть ряд (1), п.7.1, сходится. Тогда его сумму можно найти по формуле
2^Ип =	
nsO	п=0
7.3.	Суммирование тригонометрических рядов.
Если сумма степенного ряда
z = е
п-0
известна и равна С(х) + iS(x), то
Un cos пх — С(т),
Часто бывает полезным
ряд
In 1 = О,
за исключением точки z = 1.
1
сходящийся при |z|	1,
Найти суммы рядов:
225. —------+ — ,
1-2-3	2-3-4	3-4-5
Нетрудно видеть, что общий член этого ряда к„ равен	, где числа n, n + 1, п-1-
2 образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Поэтому, согласно п.7.1, получаем
1
? ~7----ГТГ7---Г777 =	- VI,
тцп 4" 1)(п 4" 2) п—оо
Но так как vi =
a lim vn = 0, то
П—*00
где и„ = — j	т = 2, а„ = п.
226.	—----— + —-------L.+ ....
1-2	2-33-4	4-5
Общий член данного ряда un =	 Следовательно, по признаку сравнения, ряд
абсолютно сходится, ибо |un| ~ 4 при п —оо.
Рассмотрим степенной ряд
4 Зак. зо
„п-Ц
п(п + 1) ‘
98
Гл. 1. Ряды
Этот ряд абсолютно сходится при |z|	] и, как любой степенной ряд внутри интервала
сходимости, имеет производную
П=1
хп
п
= In
1
1 — г
Интегрируя обе части полученного равенства, находим
/(z) = (1 - г) 1п(1 - г) + X + С.
Поскольку /(0) = 0, то отсюда следует, что С =0. Итак,
/(т) = (] - z)ln(l - z) + z.
Как видим, здесь вполне применим метод суммирования рядов Абеля (см. п.7.2). Поэтому
имеем
“	р+1	“ Tn+i
7 -т——г = lim }	= Lim ((1 - z) ln(l - z) + я) = 2 Ln 2 - 1. ►
Z-^n(n-f-l )	«—но	n(n + 1)	j—i+o	1	'
n=l	rtal
227.	V----------2---------
£- (n+ l)(n + 2)(n + 3)
4 Представляя данный сходящийся ряд с помощью метода неопределенных коэффициен-
тов в виде разности двух сходящихся рядов:
v_________-_______
(п Ч- 1)(л Ч~ 2)(п Ч- 3)
оо	ОС
3 5-^	1	1	1
2 (п + 2)(п + 3)	2 (п + 1)(п + 2) ’
применяем метод непосредственного суммирования. Для каждого из двух последних рядов
имеем
5Z (п + 2)(п + 3)	№^о((з 4)+ (4
П"1
52 (п + 1)(п +2) “	((2 _ з) + (3
nsl
N + 3/)	3
N + 2J)	2’

Следовательно, S =	►
228.	V* ~~2—.
n ti+ m)
n=l
4 Преобразовывая частичную сумму Sn ряда к виду
получаем
S = lim Sn = - f
n-roo tn \
229.	—-— +—!— + —-—+ .
1 .2-3	3-4-5 + 5-6-7^
4 Приводя данный ряд к виду
2 \Д1 .2	2-3/	\3-4	4-5/	/	2 1
где S — сумма ряда, рассмотренного в примере 226, получаем
1	1	1	, „	1
i—о-? +	э л с	+ с	я т +  •.	= 1п 2	-	-. ►
1*2*3	3*4*5	5 	6 • 7	2
$ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 99
230.	£-Д-г
па — 1
л-2
4 Преобразовывая ряд к виду
ОО	ОО
5 = V 1 = V - 1
п2 — 1 nfn + 2)
n=2	т>=|
и используя результат примера 223, находим, что S = |. ►
231-E^W
п= 1
4 Разлагая общий члеи ряда на простые дроби, находим
2п - 1	/1 _ 1 \ _ _1___3
П2(п + 1)’	\П п+1/ п2	(п+1)2
Поскольлку
оо	ее	2	оо	2
V	!	= 1, V± = ZL V	J	 = — -1 п(п + 1)	П1	6 '	(п + I)2	6
П=1	П= 1	пав1
ТО
V 2п - 1 .^7 2Т2 п2(« + IV	3 П=1
232-Ё^иу
п»1
4 Представляя частичную сумму 5п ряда в виде
и пользуясь формулой 1+| + ... + ^ =1пп + С + еп
2(1 - In 2). ►
233. V2 (”±И.
п!
п«0
4 Дифференцируя степенной ряд
еп —0, п —► оо, находим S = Lim Sn —
п—*оо
почленно, получаем
(2^)' = f (2+1^
п=0
откуда, полагая z = 1, находим
П?.+ 1). = зЛ>
л!
234. X
п» 1
1
п2(п + 1)2(п + 2)2 ’
41
100
Гл. 1. Рады
Общий член ряда разлагаем на простые дроби:
1
П=(»+ 1)=(п + 2)2
4п + 4(п + 2)	4п2 (п 4- I)2
1	_	-3	1	1	1
+ 4(n + 2)2 2п(п + 2) + 4п2 + (n 4- I)2 + 4(п + 2)2 ’
Суммируя ряды
_________= --i,
(п + I)2_6
окончательно находим
п2(п + 1)2(п + 2)2
хг _ 39
4	16
г
б ’
1
1
235. V /	.
2п + 1)!
п=0	'
◄ Замечая, что значение степенного ряда
-1)пггп+1П
(2п + 1)!
21(2п)!	2 2^ (2п +1)!
ri=0	nsQ
= -(I COS X — sin г},
|г| < оо,
при х = 1 совпадает с данным числовым рядом, имеем
у (-!)"«
(2п + 1)!
-(cos 1 — sin 1). ►
236. f.
n1 4- n — 2
n=2
◄ Разлагая дробь	—j на простые, можем написать, что
у> (-Т*"-1 = 1 У' (-I)"*"-1	1 у (-l)"r'l+J _
2^ n2+n-2~3^f	п-1 Зт3 2_^ п + 2
п=2	п=2	п=2
1	1 /	т2	ТЭ
= -1п(1 4-х)- — I -1п(1+т)+х -	—
*Э	ЛХ \	й	&
Отсюда, применяя теорему Абеля, находим
V' ("гг I-	2, о 5
£ ^+»-2 -	2- „Ч-п-2 “ 3 1П 2 ' i«  *
п=2	п=2
0 < |х| < 1.
237. yhim + i)z2n.
(2п)!
n=0	s г
◄ Представляя данный ряд в виде суммы двух сходящихся рядов:
or 1 V* (-1ГВ V' (—1)"хг"	. .
“Ху (Зн-1)!Я +2- (2п)! ’ |г| <
п»1	П=О 1
и замечая, что сумма второго ряда равна cosi, вычисляем сумму первого ряда. Имеем
оо
л*) = 52
ПС]
(-1)"пх’п
(2п-1)!

§ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 101
где
(-l^nx2”-1
(2п — 1)!
Интегрируя почленно этот ряд, находим
(2п - 1)!	2 W“ Х’
о	”=‘
откуда ¥>(т) = — jsin х — cos г. Следовательно, f(x) = — -(sin х + г cos z), а
( z2
S(r) = 1 - ~
cos z — sin z,|х| < оо. ►
п2хп
(2п + 1)!'
238. £
п=0
Я Пусть I > 0. Полагая z = у2, имеем
2^ (2п + 1)! “
"2У2п С f X
(зГП)! =У
где S, (у) =
. Интегрируя этот ряд почленно, получаем
dt =
(1)
где

Аналогично находим
v
V2"
(2^П)! = (Sh У " У)
(2)
I
V
о
"У _ У с
(2п+1)!	2S^S^’
о
Дифференцируя обе части равенства (2) по у, находим функцию . Точно так же нахо-
дим функцию Si из уравнения (1). Окончательно имеем ।
= £ (2„ Ь')! = И(Г +	" Ch Х > °' 5(0) = °
п=1	'	X	V	/
(заметим, что в точке г = 0 правая часть этой формулы, иа основании теоремы Абеля, равна
ее предельному значению при х —< +0).
При х 0 выполняем аналогичные выкладки. В результате приходим к такому ответу;
Оо	j n	/	j-	\
= Ъ (2П +Т)~ = 4 VZ +	- - cos h х < 0, ,5t0)=0. ►
n= I	'	'
С помощью почленного
'Св ( 1 хп—I 2п
239. Vlzl)—
п(2п _ 1) 
дифференцирования найти сумму рядов;
102
Гл, 1. Ряды
Ч Дифференцируя данный ряд почленно дважды (в интервале сходимости степенной ряд
можно почленно дифференцировать любое число раз), находим
2___
к Г2 ’
Отсюда последовательным интегрированием по х дважды получаем
/л(т) = 2 arctg i + C'i, /(г) = 2х arctg х — ln(l + х2) + Ci г + С\.
Поскольку /(0) = /'(0) = 0, то С] = Ci = 0. Следовательно,
 °°А (_ 1)П —
£ n(2n-J) = 2Г arctg s-lnd + r2).
Поскольку данный степенной ряд сходится на концах интервала сходимости х = ±1, то,
согласно теореме Абеля и непрерывности правой части, можем утверждать, что последнее
соотношение справедливо при |л|	1. ►
240. V (2п + 1)г--
п!
п=0
Ч Обозначая сумму этого ряда через S(s), |г| < оо, и интегрируя ряд почленно, получаем
[	r2»+i	3
J 5(r) dx =	—------1- С = те1 + С.
Дифференцируя по х обе части этого равенства, находим
5(r) = (1 + 2r2)eI ,	|r| < оо.
Используя метод Абеля, найти суммы следующих рядов:
241.,-L + L-i+....
4 Рассмотрим степеииой ряд
Зп+1
<5П «г J
п=О
Легко найти, что ои сходится абсолютно при jr| < 1. Далее видим, что в точке г = 1
степенной ряд совпадает со сходящимся (в силу признака Лейбница) данным числовым рядом.
Следовательно, по теореме Абеля, будем иметь
1 1 1 ,
1-т+=г-—+..= Ьш S(r).
4	7	10	х — i-o
Остается найти 5(г). Дифференцируя ряд почленно, получаем
2J-1' 1
п=0
1___
L е3 ’
откуда
dx
1 t 2i - 1
+ -т= arctg
у □	у
|ln z 1+1
3 т/д2 4-1	1
Поскольку 5(0) = 0, то С = Следовательно,
,,, ,	1 ,	1 + х 1	. 2s — 1 я
S(x) = - In	= + — arctg----------1---
3	,Д2 _ r + ]	v/3.	V^3	6д/3
Поэтому окончательно находим 1 — г + г — А- + ... = | In 2 + ~=. к
4 Т 10	J	3 v J
2s - 1
$7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 103
242.	1 - - + — -	+ ....
224	24-6
4 Поскольку При |х| < 1 справедливо разложение (см. формулу IV,§ 5)
(2в)!1
и данный числовой ряд, в силу признака Лейбница, сходится, то, по теореме Абеля, получаем
1-3	13-5	,,	2ч_1	1
——- - ——- + ... = hm (1 + z 2 =	►
2-4	2-4-6	z-i-o	^/2
1
2
1
5
243.	i +	+	....
£ J Z ‘ 4	&
4 Сходимость этого ряда показана в примере 167. Там же мы получили разложение
z
(2n—1)!! z2n+l
—zzv	-----ГТ = &ГС81П Z.
(2n)I!	(2n+l)
из которого следует, что l + -- j + — -+... = у  ►
Найти суммы следующих тригонометрических рядов:
244.	5in ПХ
4 Рассматриваем
этот ряд как мнимую часть степенного ряда
1 \
:------- , г = e
1 - z )
где
под In г понимаем ту его ветвь, для Которой In 1 = 0. Тогда будем иметь
S(z) = £^ = Imln
= =
JT
= ^-sgn
если
Ч 2	’
Поскольку функция S 2я-периодическая и .Sftir) = 0, k € Z, то,
результат, можем написать, что
если 2itjr < х < 2(Jt + l)ir,
'	1 0,	если х
если
используя последний
=
2
245.
’ rfl _ ]
4 Рассматривая ряд как действительную часть
ряда
>	о—г — е
п2 — 1
п=2
можем записать
(—l)n cos nr
2^ n2 -i
n=I
п2 — 1
104
Гл. 1. Ряды
При условии, что г -1, последний ряд представляем в виде суммы двух сходящихся
рядов:
V (~гГ _ 1 V (-*)n4t I V <-<Г1
п2 — 1	2	п	п
п= 2	n = 1	ПгЛ
Следовательно,
г1п(1 + z) + 1 - |
1п(1 4- z)
Z
V' (-l^coenx 1 n / I /1	1 г 1п(1 + г)\ 1 А 1	А >» U. 1
X, пг~-------- = -Re I г1п(1 +z) + l - ----------- )=-	- -COST -sin zj, e #-I.
n=2	'
Заметим, что ограничение e’1 / —1 здесь можно снять. Действительно, если е11 = — 1,
ОО
то cos пт = ( — 1)п. При этом получаем числовой ряд £2 г,г_1 . равный - (см. пример 230).
п=2
Кроме того, если cos nr = ( —1)п, то у (1 - 7 cos z — zsin x) = j. Итак,
У-1’ ( — I) "сов nr 1 /	1
> -------z------- = - 1 — - cos z — x sin r
£-> n2 - 1	2 \	2
ns2
Vr g [—x, т]. Далее, в силу 2т-периодичности суммы этого ряда, значения повторяются. ►
246. V cos пх .
< п!
ПжО
4 Легко находим, что
co^nr = Re^£ = ReeJ = Reеса*‘ *io * = е"”х cos(sin г),	|х| < оо. ►
71 = 0	п=0
Найти суммы следующих рядов:
247- Ё тХ(2,)1т'
П=1
4 Дифференцируя этот ряд по г дважды (в интервале сходимости |z| < 1) и умножая
вторую производную его на 1 — г2, после некоторых преобразований рядов получаем диффе-
ренциальное уравнение относительно искомой суммы S(r) ряда:
(1 - x2)S"(x) - zS’(z) -4=0.
Производя в нем замену независимого переменного г по формуле I = arcsinr, приходим к
уравнению 5"(t) = 4, из которого находим
5(i) = 2t2 + C’lt + С'а, C'i, C'j = const.
Так как S(0) = S'(0) = 0, то отсюда получаем
S(r) = 2(arcsin r)2,	|r| < 1.
Нетрудно найти, что числовой ряд
(М ’
являющийся значением данного степенного ряда при х = ±1, в силу признака Гаусса, схо-
дится. А тогда, по теореме Абеля и на основании непрерывности функции г —» 2(arcsmx)2
на сегменте [—1, 1], можем утверждать, что 5(r) — 2(arcsinz)2 при |z| < 1, ►
248. -2L +________*______+_________*_________+
г + 1 (х + 1)(х + 2) (z + l)(z + 2)(х + 3)
f 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 105
4 Прежде всего устанавливаем область сходимости. Для этого, замечая, что общий член
ряда а„ =	—(7+77’ z — € N, начиная с некоторого достаточно большого номера
имеет определенный знак, применяем признак Гаусса. Имеем = 1 + ~	Отсюда,
в силу приведенного признака, следует, что ряд сходится только при х > 1.
Найдем теперь сумму S{x) данного ряда. С этой целью представим общий член ряда в
виде
_	1 (______________п!____________________(п + 1)!________\	г., . , .
х-1у(1 + х)(2 + х)...(я — 1 + х) (1 + г)(2 + г) ... (п + г) / ’
и вычислим частичную сумму ^„(z) рассматриваемого ряда:
1	1	// 2!___________3!	\
г+1 + х - 1 у у 1 + х (1+х)(2 + х)у +
(	3!______________4!_______\
+ \(1 + z)(2 + z) (1 + r)(2 + х)(3 + х) J +
,	. (_________2]_______________(” + г)!___________
\(1+х)(2+г) ... (п - 1 + х) (1 + х)(2 + х) .. . (п + х)
что х > 0, а
=	1_________________(в+ 1)!__________ =	1______(n + 1)ап
х — 1 (г — ])(1 + х)(2 + х) ... (п + х)	z —1
Поскольку ряд сходится, а члены ряда положительны и монотонно убывают, то, в си-
лу примера 13, справедливо соотношение lim (п + 1)а„ = 0. Принимая его во внимание,
п—•<»
получаем
S(z) = Нт .$„(*)= —
п—.ОО	X — 1
ОЛО Д1 , а1 а2
24».----------1-----------------У- ... при условии,
aj + х а3 + z Дз + z
расходящийся.
-4 Представляя общий член 6п(х) ряда в виде
ь (х\ = __________Д|Д2  а"_______ _
(О2 + ®)(в3 + l) ... (вп+1 + X) ~
________Ду °2    Дп_________
(да + х)(д3 + г) ... (д„ + г) (у
Д1<И ... «п+1
neN \{1},
находим частичную сумму 5л(х) данного ряда:
Ду аз________у
(аз + х)(дз + х)у
____(цддДз	а । аз а з ^4
(д2+®)(“з+х)	(»2 + х)(а3 + х)(а4 +
_________Д1 ДаДд   • Дп	a, aa ..., Дп-yi
(“2 + х)(а3 + х) ... (а„ + х) (а2 + х) ... (а„+1 + х)
Так как
ааДз .  лп+1	_____
(“а + х)(«з + х) ... (а«+ у + z)
Ду	£ f <»1 да_____________ay да ... дП4|________
Д2 + X	х \^а2 + х	(aa + х)(дз + х) ... (Дп+i + х)
9=а
106
Гл, 1. Ряды
и ряд с положительными членами может расходиться только к бесконечности, то
<*1<*2    Дп+1
lim ---------• ;• “п7----------------- = 0.
г — оо (да 4- т)(аз +1!) . .  (вп + 1 + X)
Следовательно, S(x) = lim Sn(z) =	►
n—«	X
X	x2	x*
• T----2 + i---4	i-----«	+    
1	- r2 1	— X*	1	- TB
< Представляя частичную сумму ряда в виде
Поэтому, если |r| < 1, то lim 5\(z) = 73-. Если же |r| > 1, то lim 5n(r) = 73-,
n~»w	J 1	n—*0Q	1 *
Следовательно, сумма ряда
{7~7, если |г| < 1,
737, если |z| > 1. ►
“	Tn+i
251. V4----------------
(1 - х”)(1 - Х"+Ч
пи L .
Рассматривая частичную сумму .Sn(x) ряда
^2 f 1	X
п( )	(1-х)1 \ч1+х^'(1+х)(х14-х+1)
___________г_____________ ___________________хп-1_____________X
(г1 + х 4- l)(z3 4- х2 4x4-1)+ ” + (1 4t + ... 4 zrl-1 )(1 4« 4 ... 4- z") /
и замечая, что
________________г"~‘	1 4- г +  4- xn~‘ _ 1 4- z 4-    + хп~г
(14i+i:!4- ... 4in-1)(l+r4	4-i") ~ 1 4- х + ... 4- i" 1 4-г + • •  + z"-1 ’
n€N\{l},
получаем
с f -I _ Я1 '	1 + z+ ... + хп~1 = х3 1 - хп
п (1 — х)2 1 4- х 4- ... 4- zn (1 — г)2 1 — хп4‘ ’
Отсюда следует, что если |r| < 1, то .5(х) = lim Sn(x) =	 Если же |r| > 1, то
S(x) = lim Sn(x) = , * .а , где 5(х) — сумма ряда. ►
$7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 107
С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующие интегра-
лы'.
252.	j Ь (» + УП?)
О
4 При |z|	1 справедливо разложение
In
х +
_____ 00
у/у+*г) =*+52
п=:
(-})"(2n - 1)!!г2о+1
(2n)!!(2n + 1)
(см. пример 168). Разделив почленно этот ряд на х, х 0, и проинтегрировав его в пределах
от 0 до 1, получим
}ln(z + ^l+z2)	"
J х	*’2^ (2n)!!(2n + l)2
о	n=1
253. J xp 1 ln(] — i’j dx, p > 0, q > 0.
о
◄ Данный интеграл, вообще говоря, является несобственным, поэтому
1 1-.3
J хр~* ln(l — zT) dx = lim J rp-1 ln(l — xq) dx.
0	*3 — + ° ег
Поскольку при 0 < г < 1 справедливо разложение 1п(1 — хч) = ~ £2 то
7П + Р - (1 -g2fn + p
n(gn +р)
n(gn + p)
(1 -g2)^» _
п(дп + р)
rtel

- n(gn + p)
Замечая, что оба степенных ряда сходятся при ej = ег = 0, на основании теоремы Абеля,
имеем
n(?n +p)
0
1 — хч) dx = lim ef }	'—- — lira
*,-.+о ^n(gn+p) <а-+0
((1-^)7
w(gn + р)
Г----1—
w(gn +р)
254. J In z • In(1 — z) dt.
о
С помощью однократного применения метода интегрирования по частям приводим
данный интеграл к виду
z
In X
0
0
0
/1п х dx
1 — г
о
(1)
108
Гл. 1. Ряды
Считая, что 0 < fi г 1 — га, записи
ряды:
ФО Л	ФО
in(i-г) = -^2^-, 1пГ = -^2
П=1	П=1
Поскольку
1
J In I • 1п(1 — г) dx =
о
то из (1) почленным интегрированием степс
чаем
таем соответствующие разложения в степенные
(1 -z)n 1п(] — г) = А (1 - а)"-1
я ’	1 — г	п
п= 1
1-43
lim / In х  Jn(l - г) dx,
i-+o J
:3- + 0
иных рядов, на основании теоремы Абеля, полу-
+ оо
255.	[ -~d* л.
J е2я1 - 1
О
< Полагая t = е~2<я, получаем один из интегралов, вычисленных нами в предыдущем
примере:
+ оо	I
/г dx _	1 f In tdt
e2™ - I ~ “Jir2 j 1 - i '
° 0
Поэтому имеем
+ «>
/ x dx _ 1
J e2lrl - 1 “ 24' *
0
256.	Разложить по целым положительным степеням модуля к, 0 к < 1, полный
эллиптический интеграл первого рода
а
d<p
у/1 ~ к2 sin2 ip
Поскольку к2 sin2 р < к2 < 1, то возможно разложение (см. формулу IV, 55);
1
\/1 — k2 sin2 у»

(1)
В силу оценки	sin2n у	к2п < к2п и сходимости ряда У2 к2п, ряд 0) схо-
П=1
дится равномерно (по признаку Вейерштрасса) по <р. Кроме того, члены ряда (1) являются
непрерывными функциями, поэтому, по одному из свойств функциональных рядов, рассма-
триваемый функциональный ряд можно почленно интегрировать. Имеем
1Г
2
п»1	Л
$ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 109
»г
т
Отсюда, пользуясь равенством f sin2n pdp = j ^2п}*!  окончательно находим
о
Доказать равенства;
Ч Поскольку
1	1
откуда, на основании примера 195, г)( получаем нужную формулу. ►
258.
J есм* cos(sin и) cos nr dx = {
о
если n € N,
если n = fl.
4 Разлагая функцию г >—» ес*‘' cos(sin г) в ряд, находим
(ОО к \	оо
52 it )=
к-0 ' /	*=0
где z = е‘* = cos я + lain г.
Полученный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно на всей числовой
прямой и функции х ь* cos кх непрерывны, поэтому ряд можно почленно интегрировать
вместе с функцией г >-* cos nr, Имеем
«	вр	_
I ес°"1 cos(sin г) cos nr dx =	— / cos kx cos nr dx *= —,
J	*”0	0	”
если n € N, и
lir
о
cos (sin r) dx
cos tr dx = 2т.
Вычислить интегралы:
rsinz
1 — 2orcos x + a1
о
ПО	Гл. 1. Ряды
4 Пусть |а| < 1. Пользуясь примером 164, находим
7 т sin х
1 — 2а cos х + а2
о
z sin nz dx.
Поскольку функции х с-» х sin пх непрерывны на [0, г] и функциональный ряд справа,
в силу мажорантного признака Вейерштрасса, равномерно сходится (здесь jo”-1 х sin nz| sj
ОО
Trial71-1 и ряд Ы'1-1 сходится), то рассматриваемый ряд можно почленно интегрировать.
П=1
Имеем
т— (-l)n+1 n-i _ f £-ln(l + a), если a / 0,
n	7Г,	если a = 0.
n=l
Пусть |<*| > 1. Тогда, преобразовывая подынтегральную функцию к виду
х sin х
a2(a-2 — 2a-1 cos x + 1)
и пользуясь полученным выше результатом, можем записать
I = -In fl + -У |a| > 1.
a х a /
Пусть ar = 1. Тогда исходный интеграл имеет вид
г
Функция
{1, если t = О,
7^7, если 0 < t <
0, если t =
непрерывна на отрезке [о, Следовательно, она интегрируема, т.е. последний интеграл
имеет смысл.
оо г 1»+1
Кроме того, ряд	в силу признака Лейбница, сходится. Поэтому по теореме
п= 1
Абеля
Пусть а = — 1. Тогда интеграл
/= 7
о
расходится, так как z tg у ~ при i -* г.
Таким образом, окончательно получаем
{- 1п(1 + а), если -1 < а < 0, или 0 < а < 1,
я,	если о = 0,
аЬ(1 + ^)’ если |«| > 1-►
260.
y"ln(l — 2аcost 4- a2)dx.
О
$ 7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 111
< Пусть |а| < 1. Тогда, пользуясь результатом примера 208, получаем
ж	оо
/ = У In(1 — 2а cos z + a2) dz = —2	— у cosnzdz = 0.	(1)
о	'*=1	о
Пусть |а| > 1. В этом случае, преобразовывая значение подынтегральной функции к виду
1п( 1 — 2аcos х + а2) = 21n |а| 4- In (1 — cos г + и пользуясь равенством (1), находим
7 = 2тIn |а|.
Пусть а = 1. Тогда, по теореме Абеля, можем написать
In(2(1 — cos г)} = —2 C0S КГ , х 2кх.
П=1
Следовательно,
7|а=1 = У 1п(2(1 — cos z)) dx = lim& У ln(2(l - cos к)) dr = —2 lim cos nr fa
□ t c n=1
Замечая, что, по признаку Дирихле, ряд, стоящий под знаком последнего интеграла, рав-
номерно сходится, а функции х »-+ cos nr непрерывны, выполняем почленно интегрирование:
= 2 lim
<-+о
Sin ПС
Так как	и ряд У' сходится, то, по мажорантному признаку Вейерштрасса, ряд
П>1 ”
У * " равномерно (по параметру с) сходится. Кроме того, Em sinnc = 0. Следовательно,
п>1 "	‘“'+0
по одному из свойств равномерно сходящихся рядов, получаем
/|а=1 =2? lim = о.
^<-.+0 п3
Аналогично устанавливаем, что 7|<,=-1 =0.
Окончательно имеем
. _ f 0,	если |й| 1,
~ 1 2т1п |ог|, если |а| > 1. ►
Найти суммы следующих матричных рядов:
®вы-Ё(£-£)м=(-;;)
п=о 4	/	\	/
Поскольку У В" = (/ — В)-1 при || В ||< 1, то
Заметим, что в случае первого ряда В = jA и || В ||= | || А ||= ^з/!2 + 22 + I2 + I2 = -у < 1,
а в случае второго —В = у- и || В ||= j || А2 ||= gVl2 + 42 + 22 + I2 =	< 1.
Таким образом,
s = y
Z-- \ зп 8Л/\	3 / I 8
nsQ '	z	41
(1)
112
Гл. 1. Ряды
Вычисляя обратные матрицы
и подставляя их значение в равенство (1), получаем
32
89
, / 17 57
89 I _*1 17
\	2
ОО	/ L _ — \
262.	S =	+ 1)А"> где А = I । I .
ns=O	\ 3	4 /
< Поскольку
оо	/ о©	\ 2
s = ^2(n+i)/n= ЕлП) =(('-лг‘Л
п=0	\п=0 /
ТО
Упражнения для самостоятельной работы
Найти суммы следующих рядов:
оо	оф	оф
133.	Е	134- Г	135- Е (^7-
п»1	п=2	п=2 х
оо 3	оо	оо
136.	Е рг- 137. Е X > 0- 138. Е ^77) 
пж1	n=l	n= 1
!»» Ё ^ »» s „j,"";.,, i«- Ё «°(2.+>..
71 = 2	П = 2	Пи1
С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующие интегра-
лы (в примерах 145—148 А — постоянная матрица):
1	х	s
142.	f erf (z) dx , где erf (х) = J е 1 dt — интеграл вероятностей,
о	о
I	4*00
143.	f si (х) где si (z) = — f dt — интегральный синус.
0	x
144.	f sin(sin r) dx. 145. J еЛх* dx, A2 — — A.
о	о
146,	f sm(Ay/x)dxt A2 = A. 147. /cos(A>/x) dx, A2 — I.
a	□
laofifT.ax» a I sinp — cos tp \
148.	I x ln(7 4 Ar) dx. A =	.	.
j	\ — cos (p — s»n tp J
Глава 2
Дифференциальное исчисление
функций векторного аргумента
§ 1. Предел функции. Непрерывность
1.1. Предел функции.
Пусть числовая функция f определена в области £\{zo}, где Е С R"1 , a zo = (ij, ,
z:®j — внутренняя или предельная точка области Е.
Определение 1 (Гейне). Функция / илььт предел (предельное значкние) при х —► Zo (в
точке Хо ), если существует число A g R такое, что для произвольной последовательности
(хп) значений хг, g E\{zo), сходящейся к точке Хо , соответствующая последовательность
(/(жп)) значений функции f сходится к А.
При этом число А называется пределов функции / при z —. Zo , что записывается
lim f(x) = 4, или /(х) —• А при z — х0,
J —Jo
или
lim /(xi, ... , zm) = А,
X L —гА]
или
/(zi, . . , xm) —- А при Xi —	, г... — хат.
Определение 2 (Коши). Функция f имеет предел при х —‘ Хо, если существует такое
число А, что Ve > 0 36 > 0 такое, что V® g Е, удовлетворяющих условию 0 < ||х—Хо|| < 6,
где
||х “ Яо|| = р(®, Я!о) = У(и ~ Г?)2 + (Т2 - Г^)2 + ... + (жт - Г^,)2,
выполняется неравенство
I/O) - А| < в.
Оба определения предела (Гейне и Коши) эквивалентны.
1.2.	Непрерывность.
Пусть f : D —> R, DC Rm, a То g D.
Определение. Функция f называется непрерывной в точке Xq С D, если выполняет-
ся любое из эквивалентных условий:
1)	Ve > 0 36 > О такое, что |/(х) — /(хо)| < с, как только ||х — х01| < 6;
2)	для произвольной последовательности (х„) значений х„ g D, сходящейся к точке Zo ,
соответствующая последовательность (/(хг1)) значений функции f сходится при п —• оо
к /(хо);
3)	Lim /(z) = /(z0) или /(z) - /(zo) —» 0 при г - z0 0;
J —х0
4)	Ve > 0	> 0 такое, что
f(S(x0, 6)) C]/(zo) - е, /(zo) +е[,
или, что то же салое,
/ : S(zo, 6) —]/(хо) - «, /(То) + х[,
где 5(хо, 6) — открытый шар о пространстве Rm с центров в точке Zo и радиуса*! 6.
Функция / непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой Точке области D.
114
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
1.3.	Равномерная непрерывность.
Определение. Фрикция f : D —R, D € R"1, называется равномерна-непрерывной в
области D, если Уе > О Э6 >0 такое, что Vx € D Л Vy € D, удовлетворяющих условию
|)х — у|| < б, выполняется неравенство |/(х) — /(у)| < е.
Теорема (Кантора). Если функция f : D —> R, D С Йт, непрерывна в замкнутой огра-
ниченной области D, то она равномерно-непрерывна в этой области.
-1 ГТ	г, .	1 ~У
1. Показать, что для функции f(x, у) = ———
lim lim /(т, у) = 1,
д—0 к з~*о	1
в то время как lim /(г, у) не существует.
X —О
S-tO
Имеем
lim ( lim /(z, у) ) = —1,
у—*0 \s— 0	/
liin ( lim	-—-	)	= Lim	—	= 1,
I-.0 \ u— 0	X + у	] z—0	Г
..	/ Х-у\	-у
uni um ------ = um -— = — 1.
v->o \z-0 X + у !	у—о у
Поскольку последовательности (in, Уп) =	. (i!>i Уп) =	сходятся к точке (0, 0)
при п —» ос, а соответствующие последовательности значений функций сходятся к различным
пределам
£
/(^п, Уп) = 0 —» О, f(x'n, у'п) = f — j
п
при п —• оо, то предел lira Дт, у) не существует. ►
z—о
«-о
2 2
2. Показать, что для функции f(z, у) = 	----------
х2У2 + (х ~ у)2
lim I lim fix, у\ I = lim (lim /(r, y) I - 0,
x—\y-*0	J y— 0	J
тем не менее lim Дх, у) не существует.
Х“»0
У—О
< Равенство повторных пределов следует из того, что lim /(т, у) = 0, lim f(z, у) = 0.
у—О	I—-О
То, что двойной предел не существует, следует из того, что последовательности (х„,	) =
(тГ’ й) ’	У”) = (п1 ~ п) сходятся к точке (0, 0), а соответствующие последовательности
значений функции сходятся при п —* сю к различным предельным значениям:
1 1
/(Тп, Уп) =	— 1, Дт'П> Уп) = J~n‘ •£ — 0. ►
п*	п4 + П3
3. Показать, что для функции f(z,y) = (х ф y)sin — sin — оба повторных предела
т у
И	У)} не существуют, но, тем ие менее, существует lim У(т, у) = 0.
у —П
Ч Пусть у , п ё Н, тогда ysin 7	0. Очевидно, последовательности (гп) = ( —),
(гп) — ( ('in+ijz J сходятся к нулю при п —► оо. При этом соответствующие последова-
тельности значений функции (/(£„, у)) = (0), (Дт^, у)) - ^ysin 0 при п оо сходятся
к различным предельным значениям. Следовательно, lim Дх, у) не существует. Аналогично
х—«-0
§ 1. Предел функции. Непрерывность
115
устанавливается, что lim /(г, у) также не существует. Из этого вытекает, что оба повторных
и—о
предела не существуют. Однако из неравенства О |(z + y)sin sin | $ |i + у| |т| + |у|,
справедливого прн любых г G, у yt 0, следует, что
. Л , . 1 . 1 \
lim (z 4- у) sm — sm —	= 0. ►
х-о \	х у !
v-о х	7
4.	Существует ян предел lim —------?
х-о xJ + У
р-0
М Этот предел не существует, так как последовательности (zn, уп) =	, (т„, у„) =
( —,	сходятся к точке (0, 0) при п —► оо, в то время как соответствующие последователь-
ности значений функции сходятся к различным предельным значениям:
2	2
f(zn, уп) =	1, f(x'n, у'п) - ,	,--> О
т	—г 4* —г
П *	ГИ П15
при П —► ОО. ►
5.	Чему равен предел функции f(x, у) =	вдоль любого луча х = tcosa,
у — t sin а, G Sj t < 4-ос, при t —► +оо? Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой при
X —» оо н у —» оо?
Обозначим F(t, о) — /(I cos а, 1 sin а), тогда
rp/u . \ Л 2 Л Л — ta со»а a + tfin а Л	л_
г (1, а) = I cos а е	, 0 $ а 2?г.
Если а = ± j, то F (t, ±у) = 0 и, следовательно, F (t, ±у) —► 0 при t —. 4-00.
Если же а ±у, то cos2 «^0 н l! cos2 а — (sin а — -|-ос при t +оо. Тогда, по правилу
Лопиталя, получаем
2	t®	21
Lim F(l,	a} = cos a lim	—=—=----------—	= cos2 a lim ---------------------.—.----------=
r—►+•»	i-‘+ix	e1 co* a	r31Q Q	t—+oc	cos® ct — sin a)fe соя а-^п	a
I—+«= (cos2ft - epcosia-',ina
Поэтому lim F(i, a) = 0 при любых a .
t—»+oo
Функция f не является бесконечно малой при х — ос и у ос, поскольку при z„ = п —
4-оо, уп = п2 —• 4-оо получаем равенство lim f(x„, уп) = Lim н2е_^п:1~’'3) = lim n2 = 4-ос,
п—оо	п —оо	п — оо
противоречащее определению бесконечно малой величины. ►
6.	Найти Lim I	lim f(x,	у) ] и lim	( lim	f(x, у) 1	, если;
x—»a \	у—*b	/ у—*b	\ i— a	J
«2	xV
a) f(x. Si) = о  ,4. a = oo, b = oo; 6) /(z, y) = ——a = +oc, b = 4-0;
x 4- У	1 4- z»
в) f(x, y) = sin ** , a = oo, b = оо; r) f(x, y) = — tg , Xy , a = 0, b = oo;
2x 4- у	xy 1 4- zy
Д) f(*, У) = logx(z + y), a = 1, b = 0.
•« а) При x 0, у j* 0 имеем
/	4-1/2 \	/ *T 4* 1 i
lim ( lim —--------I = lim I lim y_ | = 0:
уу-^оо Я 4- 3r / X —CO \ y-rOO £_ | -.2 I
\	’ * f
i x* -4- v* i
lim I lim ----------- = lim 1 = 1.
p —OO Vr— oo x‘ 4- y' 1 y—<x
116
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
б)	Функция у <-► ху непрерывна при у > 0 (z считаем постоянным), поэтому lim xv = 1;
V— +о
прн постоянном значении у > 0 функция х >—» xv непрерывна прн всех х > 0, поэтому
lim zs = +оо.
х—|.оо
Пользуясь полученными равенствами, находим
lim I lim ------ ) = —, lim I lim ------------ 1=1-
x—*+oo yjj — + 0 1 + X* J 2	y—+0	* + °° 1 “I"	/
в)	При каждом фиксированном x функция непрерывна по у, если |у| > 2|х|, а при всяком
фиксированном у — непрерывна по z, как только |г| > Поэтому
»’	л	*	Т X	1(	V	_
lim sin------= 0, lim sin----------- lim sin---n- = 1.
V — ОО 2x + у x—oo 2x 4- у	x—oo	24 f
Следовательно,	.
lim	I lim	sin — ]	= 0, Em	I	lim sin	r-—— )	= 1-
X —\ u—*OO 2x 4- у )	у—‘ОС	\	X —»0O	2x 4- У J
г)	При фиксированном x ф 0 Em = 1, поэтому, в силу непрерывности тангенса,
У“еСХ> 1+1У
получаем hjn^-tg 7-^ = 0.
Пусть теперь у фиксированное. Тогда, пользуясь тем, что Um = 1, имеем
х—о “
tg ;—ь—
Em /(г, у) = lim 	(1 4- xy)~l = 1.
д-°	’-° 7+ТГ
На основании этих равенств находим
Um ( lim — tg ———J =0, Em | lim — tg —| = 1.
x—0 ^ji — 00 Ху 1 4- Ху у	у — оо ух—о ху 1 ху /
д)	Имеем f(x, у) = logx(z 4- у) —	। к > 0, t +j > 0, ®	1. Из непрерывности
логарифмической функции следует, что
Em f(x, у) = lim
»—О	о
ln(z 4- у) _ In х
In £ in X
1.
Следовательно, Em I Em f(x, y)
x—1 \v—o
Поскольку
lim ln(z 4~	у)	_ Г	4-oo,	если	— 1 < у < О,
х—i-o	In г	~ |	—оо,	если	0 < у < 4-ос,
lim	+	у)	_ Г	-оо,	если	-1 < у < О,
х—1+о	In г	|	+00,	если	0 < у < 4-оо,
ln(z4-y)
Em —-------- = 1, если у = О,
х-1 Inz
то lim /(z, у), а вместе с ним и Em ^Em f(x, у
Найти следующие двойные пределы:
не существуют, >
7. lim
Х-^СО
у-"W
Д 4- У
х2 - ху 4- уг ’
§ 1. Предел функции. Непрерывность
117
4 Пользуясь очевидным неравенством х2 — ху 4- у2 ху, получаем (при х ф 0, у / 0)
z + у
г2 - ху + у2
х + у
ту
Отсюда следует, что
Таким образом, lim
я г i2 + j/2
О. lim ———г
lim
Х~» C*J
у~* W
Г 4 У
х2 — ху + у2
=0. к
xJ —	+
4 Пусть х 0, у ф 0, тогда
а2 + у2
х* + У*
lim
j —сс
Jl — ОС
2_ + JL
И !у1
х2 у2
Г1 у4 т4 у4 х4 у4 г2 у2
(1)
Поскольку lim ( Д + Д ) =0, то, пользуясь неравенством (1), заключаем, что
X —-оо \ *	> /
у —©о
X2 + У2
—оо г4 + у4
_С<-	’
= 0. ►
9,. sin ху
. lim ----
х—О	X
И— а
4 Имеем	 у, у * 0. Так как lim
1	Х® *’ *	Х-.0
lim *‘n-— = lim lim у = а. ►
х—*0 х	г—*0	у~*а
у —а
10. lim (z2 4- у2)е—
Х-. + ОО
у-*+ос
<4 Пользуясь элементарным неравенством
= lim = 1 (гу = t, a yi оо), то
t—О с
(г2 + у2)е-(1+")
справедливым при х > 0, у > 0, получаем
0 lim (i2 + y2)c (I+®> lim
X—+00	2_-).оо
У—’4-00	S — 4-00
Отсюда lim (к2 + у2)е_^1+®^ = 0. ►
X—• + <»
V—+0О
•4 Из очевидного неравенства х3 + у2 2ijr следует, что —-У t	i. Поэтому 0 <
С!/ \l2 с1зх3	* У	У2
+1Р J (aJ О п₽и х -+ +°°- Отсюда вытекает, что lim а1у , )	= 0. ►
у~ + °о
12. lim^ + j,2)1 ® .
т—»0
у-0
e*+v ex+v
11. lim
\ xi
ху \
X3 + у2 /
= о.
— + —,
е.х е«
118	Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
4 Из неравенств z2y2 |(z2 -f-у2)2, 1 > (г2 Н-у2)’2*2 (zz + у2)«(1 41 ] , справедливых
при 0 < х2 + у2 < 1, и из того, что
г /2	2.~(±г+у3''3 I- Г.3 г — |п г ,
lim (г + у2)*	= lim t« = lim e <	=1,
х-o'	t-+o	t-+o
K-0
вытекает равенство lim(z2 +у2)г * = 1- ►
s-*O
у-0
13. lim l + -r+!'.
® — co \	X /
y-ra
4 В силу непрерывности показательной и логарифмической функций, имеем
lim
l+® = lim exp <  1 х- In
х-ое	г । 1 + 1
у —а С <
e. ►
ln(r + e“)
14. lim —;	.
11-0 v ’	_____
4 Пользуясь непрерывностью логарифмической функции н тем, что lim \/хг + у2 = 1
х—» 1
5.-0
О, получаем
lim ln(X +e*)	11,2 _ |n 9
lim —--	= —— = Ln 2, ►
X— 1 s /-Г2 4- V2	1
si
15.По каким направлениям <р существует конечный предел:
a)	lim е*2+»3 ; б) lim е* у sin 2ху, если х = р cos уз и у = psin уз.
я—+о	₽— + <»
4 а) Конечный предел
J	СОВ у)
lim е »2+>2 = lim е *>
Р- + 0	Р-+0
существует тогда, когда cosy? 0, т. е. если у уз
б)	Имеем
lim е* ~v sin 2zy — lim ер cos2*’sin(p2 sin2y3).
p—4oo	p_*4oci
Поскольку p2 —► +oo, ape-» sin(p2 sin 2уз) — ограниченная функция, то предел будет конеч-
ным, если соз2уз < 0 илн sin 2<р = 0. В первом случае j < уз <	< уз < во втором
уЗ = 0, уз = Т. ►
Найти точки разрыва следующих функций;
4 Функция (г, у) к— I2 4- у2 непрерывна прн всех хну как Многочлен от г и у. По
известной теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций, (z, у) i—‘ (z2 +
У2) 2 — также непрерывная функция при всех х и у, кроме точки (0,0), где знаменатель
(z2 +у2)2 обращается в нуль. Сяедовательно, (0,0) -— точка бесконечного разрыва. >
4 Поскольку числитель и знаменатель — непрерывные функции, то данная функция
может иметь разрыв лишь в точках, где знаменатель z3 + у3 обращается в нуль. Решая
§1. Предел функции. Непрерывность	119
уравнение х3 + у3 =0 относительно у, находим у = —ж. Следовательно, функция имеет
разрывы на прямой у = — х.
Пусть то # 0, Уо # 0 и го + Уа = 0. Тогда
1;<п г + У _	1	_	1________
J-Jo X3 + у3 ~ х-хо Г2 - ХУ + у2 " X2 - тоз/о +	’
Значит, точки прямой у =
соотношения
—х (at / 0) — точки устранимого разрыва функции и. Из
х + у
—=---=- = пт ,-----------
г + у	х—о г2 ~ ху + у2
S—о
следует, что (0, 0) — точка бесконечного разрыва. ►
18. Показать, что функция
lim
х—0
S/-.0
1
{2ти	,	,
—:--7, если х + у* уь О,
Г2 + у2
0, если х2 -у у2 = 0,
непрерывна по каждой нз переменных х и у в отдельности (прн фиксированном значении
другой переменной), но ие является непрерывной по совокупности этих переменных.
Пусть } ^0 и to — любые фиксированные числа. Тогда
lim f(x, у) = lim	V)-
х-*0	х-хо X2 + У2 Г2+у2
&М же у г Отопри любом То о lim fa, 0) = 0- fav, 0). Наконец если у = 0 и
г—Го
г0 = 0, то lim /(г, 0) — 0 = /(0, 0).
х-*о
Таким образом, при каждом фиксированном у функция / непрерывна по переменной
г. Ввиду симметрии функции относительно хну при любом фиксированном т функция /
непрерывна по переменной у.
Однако функция f не является непрерывной по совокупности переменных в точке (0, 0).
Действительно, обе последовательности ( —, £) и	сходятся при w —* ос к точке (0,0),
а соответствующие им последовательности значений функции сходятся при п — оо к различ-
ным предельным значениям:
19.	Показать, что функция
z2y
г4 + у2 ’
0,
/(«> V) =
если х2 + у2 у- 0,
если х2 + у2 = 0,
в точке (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча х «= tcosar, у = tsin a, 0 t -1-ос, проходя-
щего через эту точку, г. е. существует lim /(tcosar, tsin а) = /(0, 0), однако эта функция ие
является Непрерывной в точке (0, 0).
Имеем
О .
tcos asm а
lim /(tcosa, tsin a) = lim —----------s—
t—o	t—о t2 cos’ ar + sm a
Поскольку f (teas a, tsin a) = 0 При a = ~, k G Zo, то при этих значениях a
lim /(tcos a, tsin a) — 0 = /(0, 0).
120
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
Если 0 < а < 2т, а тр, к £ М, то I2 cos4 а + sin2 а > 0 и i2 cos4 а + sin2 а —> sin2 а > 0 при
t —» 0. Следовательно, lim /(tcosa, tsina) = 0 = /(0, 0). Таким образом, вдоль любого луча,
t—о
проходящего через точку (0, 0), функция f непрерывна в этой точке.
То, что функция f имеет разрыв в точке (0,0), следует из того, что последовательность
(1, годится к точке (0,0) при я —* оо, а
lim f	4)	= lim , r	= | # ДО,	0). к
п — оо \п	п* / п—оо —г	4- —г 2
п* п*
20.	Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию /(г, у) = 2z — Зу + 5
в бесконечной плоскости R2 = {(х, у) : |х| < +оо, |у| < +оо).
Для любых точек (xi, yi) и (хз, уз) бесконечной плоскости R2 имеем
|/(тд, У1) - /(хз, Уз)| = |2(Т1 - х2) - 3(yi - уз)| 2|rj - х3| + 3|yt - у3|.
Пусть е > 0 — произвольно заданное число. Тогда при условии, что |xi — хз| < | = 6,
|ул — уз| <	— 6, справедливо неравенство |/(хь yi) — /{хз, уз)| < j + | < £, из которого, по
определению, следует равномерная непрерывность функции f на R2. ►
21.	Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости R2 = {(х, у) : |х| <
+оо, | у| < +оо} функцию и = ^/х3 + У2 
•4 Для произвольного е > 0 и любых (xi, yi), (хз, уз) £ R2 имеем
|в(ц, yt) - u(r2, уз)| = [\/х? + У? - \/х2 + у^ [ =
_ |(Д1 - Хз)(Х1 + Хз) + (У1 - Уз)(У1 + уз)! < |xi - Хз||г1 + Хз|	|yi - уз ||У1 + уз I <
\/А + У* +	+ »з	vM + у? + \/х2 + у3 ^/х? + у? +	+ у2
< 1Г1 - l2i-rTT~^f + lyi ~ 921 '/4+	“ Z2I + l?i “ »| < | + z = «
V1? +	VV1 + \/у1	2 2
как только In - Xj| < | = 6, |yi - уз| < j = Л.
Следовательно, по определению, функция и равномерно-непрерывна в плоскости R2, ►
22. Будет ли функция /(г, у) =
sin------3------
1 - г2 - у2
в области х2 + у2 <1 равномерно-
непрерывной?
Функция х * (1 — г2 — у2) непрерывна при всех значениях х и у как многочлен от х
и у . По теореме о суперпозиции непрерывных функций, данная функция также непрерывна
при всех значениях х и у, удовлетворяющих неравенству г2 + у2 < 1.
Покажем, что в этой области данная функция неравномерно-непрерывна. С этой целью
возьмем две последовательности
я € N, 0 ^ « < 2г, принадлежащие области определения функции. Поскольку р(Мп, Л/„) =
- х!>)2 + (Уп - Уп)2 =
— О при я — оо, а |/(М„) - f(Mn)| =
|вш 2ятг sin (у + 2яя) | — 1 при всех я, то для е €]0, 1[ не существует числа 6, участвующего
в определении равномерной непрерывности. ►
$ 1. Предел функции. Непрерывность	121
23.	Дана функция u(r, у) = arcsin —. Является ли эта функция непрерывной в своей
области определения Е? Будет ли функция и равномерно-непрерывной в области Е?
4 Область определения Е определяется неравенствами jz| |у|, у 0. В этой области
функция и непрерывна Как суперпозиция непрерывных функций.
Однако данная функция не является равномерно-непрерывной, так как для последова-
тельностей (JW„) = (±,	, (М'„) = (^, -£) справедливо соотношение
р(мп> лгп) = J+ (~ +0
у х в п/ х п п/ п
при п —<• оо, а расстояние между значениями функции в соответствующих точках |и(М„) —
и(М'„)| = | arcsin 1 — arcsin( — 1)| = 2 arcsin 1 = т не может быть меньше числа х. ►
24.	Показать, что множество точек разрыва функции /(z, у) ~ zsin-, если у 0, и
/(г, 0) = 0, не является замкнутым.
4 Пусть уп =	rn = ^+i"> где г° — произвольное фиксированное число. Тогда
последовательность (гп, У») прн п —► оо сходится к точке (zo. 0)- Из соотношения
lim /(гп, у„) = lim ПЖо sin	= zo f&o> 0) = 0, z0 # 0,
П —ОО	n—«оо 1 4- П	2
следует, что (zo, 0), zo 7^ 0 — точка разрыва функции f. А из неравенства |У(г, у)| =
|zsin < |z| следует непрерывность функции f в точке (0, 0).
Таким образом, множество точек разрыва функции / заполняет сплошь ось От, за ис-
ключением точки (0, 0), которая является предельной точкой этого множества. Сяедователь-
но, множество точек разрыва функции / не содержит всех своих предельных точек, а поэтому
не является замкнутым, к
25.	Показать, что если функция f в некоторой области G непрерывна по переменной
х и равномерно-непрерывна относительно z по переменной у, то эта функция непрерывна в
рассматриваемой области.
4 Для произвольных точек (zo, уо) и (zo + Az, уофДу) из области определения функции
У имеем
|ДУ(ю, у0)| = |/(z0 + Az, уо + Ay) - /(z0, уо)|
< |/(zo + Az, уо + Ду) - /(zo + Az, уо)| + |/(z0 + Az, у0) - /(z0, уо)|.	(1)
Согласно равномерной непрерывности функции / относительно z по переменной у, Уе > О
36i = в1(с, уо) такое, что, если |Ду| <	, неравенство
|/(z0 + Az, уо + Ду) - f(z0 + Az, у0)| < |	(2)
справедливо для любых z<> + Az из области определения функции /.
Далее, в силу непрерывности функции / по переменной г, для указанного ранее е > О
36а = 63(е, го, уо) такое, что
l/(zo + Аг, уо) -f(r0, Уо)| < |,	(3)
если |Az| < 63. Пусть 6 = min{6i, 62}, тогда при |Az| < 6, |Ду| < 6 неравенства (2) и (3)
будут выполнены. Поэтому нри |Дг| < 6, |Ду| < 6 из неравенств (2), (3) и (1) следует, что
IД/(*о, Уо)| < е, а это и означает непрерывность функции f в точке (го, уо). ►
26.	Доказать, что если в некоторой области G функция f непрерывна по переменной z
х удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т. е.
1/(*. У1) - /(г. Уз)! - Уг|,
где (z, щ) £ G, (г, уг) € G и L — постоянная, то эта функция непрерывна в данной области.
122 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
4 Поскольку функция / удовлетворяет условию Липшица по переменной у, то для про-
извольного е > 0 и любых точек (то, уо) и (г, у) из G имеем
|Дх, У) ~ /(^о. Уо)| |Дх, у) - Дх, Уо)| + |Дх, Уо) - Дхо, уо)|
£|у - Уо| + |Дх, уо) - Дхо, Уо)|.	(1)
Вейлу непрерывности функции х и-»/(г, уо) в точке хо, можно указать такое 6i = йДе, хо.уо),
что при |х — хо| < й1 имеет место неравенство
|Дх, уо) - Дх0, Уо)| < |.	(2)
Из неравенств (1) и (2) при условии, что |х - г0| <6, |у — уо| < й, где А = min (Д,	,
получаем неравенство
|Дх, у) - Дхо, уо)| <	+ | = s,
которое доказывает непрерывность функции f в любой точке (хо, Уо) G ГА ►
27.	Пусть функция f непрерывна в области G = {(г, у): а^г^А.Ь^у^ В},
а последовательность функций п ►-* ipn(x), п € N, сходится равномерно на [а, А] и удо-
влетворяет условию b ¥>™(х) В, п £ N. Доказать, что последовательность функций
Fn(z') —	¥=n(x)), п € N, также сходится равномерно на [а, А].
4 Поскольку функция f непрерывна в замкнутой области G, то она равномерно-непре-
рывна в этой области. Следовательно, Vs > 0 Зй = 6(s) такое, что неравенство
|Дх. у') - Дх, у")| < с	(1)
справедливо для всех х £ [а, А] и у', у" £ [Ь, В], которые удовлетворяют неравенству |у' —
у"| < 6. В силу равномерной сходимости на сегменте [а, А] последовательности (рДх)), V# >
0 (в том числе к для 6, указанного выше) 3.V = 7V(#) такое, что |у>„+Р(х) —^„(г)| < 6 Vn > /V,
Vp > 0 и Vr £ [а, А]. Полагая в неравенстве (1) у = ip„+p(r), у" = ¥>п(х) (рп+р(г), у>п(х) £
[Ь, В]), получаем неравенство
|Дх, ¥>„+р(х)) - f(x, ¥>п(х))| < S,
справедливое Vn > Л', Vp > 0 и Vr £ [а, А].
Таким образом, последовательность Fn(x) = f(x, ipn(r)), n £ N, сходится равномерно на
сегменте [а, А]. ►
28.	Пусть: 1) функция f непрерывна в области R = {(г, у) : а < х < А, 6 < у < В];
2) функция <р непрерывна в интервале ]а, А[ и имеет значения, принадлежащие интервалу
]6, В[. Доказать, что функция F(r) = f(x, Дх)) непрерывна в интервале ]а, А[.
4 Пусть (гр, уо) — произвольная точка из области R. Из непрерывности функции / в
области R вытекает, что Vs > 0 3й1 = й](е, го, уо) такое, что
1Дх, у) - Дхо, уо)| < s,	(1)
если |г — хо| < it, (у — уо| < Й1.
Обозначим у = yj(r), уо = Дхо). Из непрерывности функции у = Дг) на интервале ]а, А[
вытекает, что для указанного выше Й1 Зй? = йг(й1) такое, что
1р(») - У’(хо)! = |у - »о| < й1,	(2)
если |г — го! < Йэ. Следовательно, из неравенств (1) и (2) и из того, что у = Дг), у £]6, В[,
если г £]а, А[, вытекает неравенство
|Дх, Дг)) - /(го, Дг0))| < е,
справедливое при jr — хо| < й = nun(6i, Йз) и доказывающее непрерывность функции F(x) =
Дх, Дг)) на интерваяе ]а, А[. ►
29.	Пусть: 1) функция / непрерывна в области R = {(г, у) : а < х < А, b < у < В}; 2)
функции х = ¥>(“, f) и у = Дп, в) непрерывны в области R' = {(в, и) : а' < и < А', й' < и <
В'} и имеют значения, принадлежащие соответственно интервалам ]а, А[ и ]й, В[. Доказать,
что функция F(u, v) = ДДи, ti), Ди, v)) непрерывна в области R'.
§ 1. Предел функции. Непрерывность
123
й Пусть (uo, Vo) — произвольная фиксированная точка из Л', а тц = ^(«о, ио), Уо =
^(«о, vo). Из условия 1) вытекает, что Ve > 0 3<г = <г(е, го, уо) такое, что
l/(i, У)-/(^о, уо)| < f,	(1)
если |z — zo| < <Т, |у — уо| < а. Из условия 2) следует, что для указанного выше ст 36 = 6i (<г) =
6(г, ио, ио) такое, что при |u — ио| < 6 и |v — vo| < 5 справедливы неравенства
|v>(U, v) - p(uo, v0)| < л, I^(u, v) - ^(uo, vo)| < a.	(2)
Из неравенств (I) и (2) непосредственно следует, что
v), $(и, v)) - /(y>(uo, vo), ^(ua, v0))| = |F(u, v) - F(u0, v0)| < e
при |u — Uo| < 6, |v - v0| <6, t. e. что функция F непрерывна в точке (t*o, со)- Поскольку
(«о, Vo) — произвольная точка из R', заключаем, что функция F непрерывна в области Я'. ►
Упражнения для самостоятельной работы
1. Доказать, что функция (г, у) н+ Ах3 + Вх2у + Сху2 + Dy3, (х, у) £й2, имеет в точке
3
(О, 0), по меньшей мере, тот же порядок малости, что и р = (х2 + у2)г .
2. Показать, что для последовательности а™ =	\	, и, тп £ N, имеем
lim I lim anrn ) = lim ( Em anm ) ,
m—*ee \n-too / п-юо \тп^оо /
тем не менее Em алт не существует.
п —СЮ
ТП—• оо
3» Доказать, что для последовательности anm = iiS-ZL n m £ N. двойной предел lim anm
m	П — DO
m—
существует, в го время как
lim ( lim	I / Em [ Em anm) .
m—-oo \n —OO	/ n — oo \m —»-oo /
Выяснить, существуют ли следующие двойные пределы;
4.	Em	. 5. Um Д"*1*m . 6. Em A Feos-.
П — oo ln(nJ)+ln3m	п-юо l-lgntgm n—oo m3	m
m-юо	m—»-oo	m— oo «=1
7.	Показать, что функции /(x, у) =	, з(х, у) = ^£2. — стремятся к нулют если
точка (х, у) стремится к точке {0, 0) вдоль любой прямой, проходящей через точку (0, 0), но
эти функции не имеют предела в точке (0, 0).
Найти пределы:
____1____
8.	lim 1	. 9. Em (1 + х? + ... + r^j‘i+ "+*m , где x = (xi, x2.xm).
S—°
10-	1™	—4.-Л»  где X= (II, Tm). ar > 0. 11. Em	.
I—OO ’ 1  Э~ ' nt. 2	j Q
„ 1,-0
С помощью “e—6” рассуждений доказать непрерывность следующих функций:
12.	/(г, у) = ^/1 + г2 + У2, (г, у) 6 R2. 13. /(х, у) -- У1 + еХ1/, (г, у) £ R2.
14.	Доказать, что если функция (х, у) /(г, у), (ж, у) с R2, непрерывна по каждой пере
менной х и у в отдельности и монотонна по одной из них, то она непрерывна по совокупности
переменных.
15.	Исследовать на равномерную непрерывность в R2 функцию
Z = Ух2 + у2 sin ^7—^7, X2 + у2 Ф О, /(0, 0) = 0.
16.	Доказать, что функция /(z, у, z) = sin(z2 + у2 + *2), (г, У, 2) € R3, не является
равномерно-непрерывной в пространстве R3.
124
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
§ 2.	Частные производные и дифференциалы
функции векторного аргумента
2.1.	Частные производные.
Пусть функция х >-> f(x) определена в области D пространства Rm; {ei, е2, ..., ет} —
стандартный базис этого пространства, a zo = (г®, х2,   , х„>) — точка области D.
Определение!. Разность /(г) — /(хо) называется полным приращением функции /
в точке Хо , а /(хо + (z2 - х®)е;) — /(«о), } = 1, т — частный приращ ением функции /
по переменной х} в точке Хо .
Определение 2. Если существует конечный предел
..	/(х0+ (х>-х’)е2)-/(х0)	• _ т—
0---------, j = 1, т,	(1)
то он налываеглсл частной производной функции f в точке Хо по переменной Xj и об’озко-
чаетел
Л f
—^-(zo), или /L(zo), ИЛИ В)/(х0).
vlj
Функция f имеет в точке Хо частную производную /1 тогда и только тогда, когда в этой
точке справедливо равенство
/(хо + (г;
г?)ез) - Л®о) =	+ a(XJ’ ®°)j (гз “ х°)'
где а(х2, Хо) —• 0 при х} —+ г®.
2.2.	Дифференцируемые функции.
Определение. Функция / : D —» R, D С Rm, называется дифференцируемой в точке
хо 6 D, если полное приращение функции f в этой точке можно представить в виде
/(х) - /(я=о) = Ь(х - Хо) + а(х, Хо)||х - Xoli,	(1)
где L(x — io) = ii(xj — г?) + £2(r2 — Х2) + ... + Lm(xm — tmj — линейное отображение
пространства Rm в R, а а(х, Хо) —* 0 при х —► zo.
I «2
При этом величина Lh = Lihi + Л2Аг + — 4* Lmhm, где Л = I — произвольный
\Лт/
вектор пространства R"*, называется дифференциалом функции f в точке Хо и обозначается
<f/(xo), а матрица линейного отображения L : Rm —• R называется производной функции f в
точке Хо и обозначается /'(хо).
Полагая в (1) х = х0 + х®е2, получаем равенство
/(z0 + (Xj - х°)е,) - f(x0) = (Lj + а(г;, x0))(z? - xj),
из которого, в силу пункта 2.1, следует, что L} = ^fy(xo).
Следовательно, для дифференциала d/(xo) получаем формулу
~ ^т-(*°)А1 + 4^-(го)А2 +	......... (2)
или, если Л2 = г2 — г® = dry,
d/(xo) = ^-(xo)dxi + ^-(xc)dx2 + ... + ^~(xo}dxmt
0X1	OX2	OXm
а для производной /'(хо) — равенство
Г(“> - (й'”’&"">  ••	(3>
$ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 125
Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция f имеет в
окрестности точки хо частные производные ^/-(х), j = 1, т, непрерывные в точке хо,
то она дифференцируема в этой точке.
Если функция f дифференцируемая в каждой точке области О, то она называется диф-
ференцируемой в области D.
2.3.	Частные производные сложной функции.
Если функция f : D —f R, D C Rm, дифференцируема в точке х € D, а функции
ipi ; G -* D, G С R", i = 1, m, имеют частные производные в точке t £ G и я =
^(0..........V’mft)), TO
азг*2(‘)-Ё1г<'>1г«>’ ‘=^	....<>
at*	ox, iftk
!Х 1
2.4.	Дифференцируемые отображения.
Определение. Отображение f; D —* Rn, D С Rm, называется дифференцируемым в
точке X© 6 О, если приращение Дх) — Дхо) отображения f в точке хо представимо в виде
Л®) - л®о) = А(х - ®о) + а(х, х€)||х - ХоII,
где
All Ап . . . Alm \ / Г1 —
Aai Азз . . . Ajrn I I X] — X]
А{х — Хо) =
Ап | АпЗ • - * Апт f \ X... — Г ,п
— линейное отображение пространства Rm в пространство R" , а о(х, х0) —♦ 0 при х —• хо .
Если отображение f дифференцируемо в точке Хо, то Aij = ^-(xq) и
/ д/1	dfi	д/i \
		
dxi	dx2	dxm
д/г	д/г	д/г
		
dxi	дх2	dxm
Э/п	д/п	df„
		
' dxi	дхг	dim '
называется производной отображения f в точке Хо и обозначается Д(хо).
Если отображение f: D —► Rn, D С Rm, Дифференцируемо в точке z £ D, а отображение
g : G —► £>, G С R*, дифференцируемо в точке t g G и х = g(t), то
(/” g)'(0 =/(*)я'(0
или в матричной форме
/ д(Л ° я)	d(/i о д)	д(Л ° g) \	/ dfi dfi		dfi \		/ dgi	dpi	dpi \
dti д(/г о в)	&t2	di*		dxi . dx]	dxm			dt2	dt*
	д(/г о g)	д(/г ’ g)		df] df2	Of]		dg2	dg2	dg2
dti	dt]	dt*	=	dxi dx2	dxm		dti	dt]	dtk
д(/п о б) X dit	д(/п о g) dt]	d(/n о g) dit /		df„ df„ 'dxi di]	df„ dxm'		dgm X дЬ	dgm dt]	dgm ‘ dt* /
2.5.	Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция / : D —♦ R, D С R”". имеет частные производные в некоторой окрестности
S(xo, б).
126
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Определение 1. Если функция я >-f	я € S’(®o, Л), имеет в точке Жд частную
производную по переменной х,, то ее называют частной производной второго порядка
или второй частной производной и обозначают
д2/ , . с” f \
«ли Л^.(хо).
При этом, если •J, то частная производная называется смешанной. Аналогично опре-
деляются производные порядка выше второго.
Определение 2. Функция / называется п раз дифференцируемой в точке Zo € D,
если она имеет в некоторой окрестности этой точки все частные производные (п — 1)-зо
порядка, каждая из которых является дифференцируемой функцией в точке Zo.
Теорема. Если функция f дважды дифференцируема в точке zo, то в этой точке вы-
полняются равенства
a2/
^2 f
diidzj^0) дх^дх.
Из этой теоремы получаем следующее утверждение: смешанная производная п -го порядка
3nf
5z"ldz"3 ... dr"'
•1	<3	и
не зависит от порядка, в котором производилось дифференцирование.
Определение 3. Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом)
d2f дважды дифференцируемой функции f называется дифференциал от функции х н-. df(x),
т. е. d2f = d(dy).
Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал п-го
порядка и раз дифференцируемой функции f вычисляется по формуле
dnf = (/-h. + /-Лг + ... +
\ffXi OZ2	dim /
2.6.	Производная по направлению. Градиент.
Пусть функция (г, у, z) I—» /(z, у, z) дифференцируема в области D С R3 и (zo, Уо, zo) €
D. Если направление I задается направляющими косинусами (cost», cos/?, cos 7), то произ-
водная по направлению 1 вычисляется по формуле
д/	df	df	а df
ТТ = z— cos а + — cos d + — cos 7.
al	dx	ay	az
Определение. Градиентом функции, f в точке (zo, уо, zo) называется вектор, обо-
значаемый символом grad f и имеющий координаты, соответственно равные производным
Of Of в/	,	.
-r-, » , » . вычисленным в точке (zo, Уо, zo).
Bit оу ОН	'	ь» ।	/
Таким образом,
t, ) = 1, m.
(i)
Hl + nj + . . . + П. = П,
(2)
,, а/. а/. а/,
grad f =	+ -^-k,
дх ay az
причем в этом случае можем записать, что 2Г — (а< grad /), где а = (cos с», cos /?, cos 7).
Градиент функции f в точке (zo, уо, zo) характеризует направление и величину макси-
мального роста этой функции в точке (zo, уо, zo). Следовательно,
mix
Вектор grad f в данной точке (zo, jio, го) ортогонален к той поверхности уровня функции
/, которая проходит через точку (zo, Уо> го).
30. Найти f'x{x, 1), если /(z, у) = г + (у — 1) arcsin . /—.
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента
127
h
Согласно определению частной производной, имеем
Л —*0
Так как f(x 4- Л, 1) = х 4- Л, f(z, 1) = г, то
,,, г i4i-i Л
fx(x, 1) = Ьт ---г--- ~ lim - = 1. ►
' л—о л л-.о h
31.	Найти fi(0, 0) и /у(0, 0), если /(х, у) = -Уту. Является лк эта функция дифферен-
цируемой в точке (0, 0)?
4 Исходя из определения частных производных, имеем
,,, , .. /(®, о) —/(о, о) vGro-o п
/i(0, 0) = lim ' v—’  >-< = brn -------- - 0,
ar—0	X	x—0	X
„ч  7(0, y) - /(0, 0)	,,
/!(0, 0) = lim J V. ?.!.-2 1. ’ > = bm ---= 0.
v—о	у	»-o	у
Для исследования дифференцируемости данной функции в точке (0, 0) запишем ее при-
ращение в этой точке: /(т, у) — f(0, 0) = ?/ху = а(г, у)ч/т2 4- у2 , где «(at, у) =. ЛТу , 1
*
Поскольку L\ =	°'1 = 0, Li —	°-* = 0, то для дифференцируемости необходимо,
чтобы функция (т, у) i—» or(at, у) была бесконечно малой при \Jх2 4- у2 0, т. е. при х —• 0
и у —» 0. Пусть г = j,j= j,n g N; очевидно, г —. 0 н у —* 0 при п — оо. Так как
последовательность точек ) при п —> оо стремится к точке (0, 0), а соответствующая
им последовательность значений функции (а ^)) =	стремится к 4-ос при п —-
оо, то функция or не является бесконечно малой при х —> 0, у —> 0. Поэтому функция f
недифференцируема в точке (0, 0). ►
32.	Является ли дифференцируемой функция f(x, у) = \/г3 4- у3 в точке (0, 0)?
4 Находим производные
Що, 0) = fa Л»-°>-А0. 0) _ fa £ _Л(о, 0) = fa	= fa » =
х^Х>	I	»—*0 X	j/—*0	у	>—«0 у
Представим приращение функции f в точке (0, 0) в виде
/(г, У)~/(0,0) = \/т3 4- у3 = х4-у4-г3 4- у3 — х - у) = /4(0, 0)г4-/'(0, 0)у4-о(т, у)\/г2 4- у2,
где «(«, у) =	.
Поскольку последовательность
не является бесконечно малой при п —» оо (т. е. при г —» 0, у (J), то «(г, у)\А2 4- У2
о(\А2 4- у2) при х —» 0, у —* 0 и функция f иедифференцируема в точке (0, 0). ►
33.	Исследовать на дифференцируемость в точке (0, 0) функцию f(x, у) = е при
г2 4- у2 > 0 и /{0, 0) = 0.
< Как н в предыдущем примере, находим частные производные
/до, о) = fa IL‘-«)-№«) = ы l.-з =
X—О	X	х—О X
/;(0, 0) = Um ~	°) = lim = 0.
я—о	У	5,-0 У
128
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Из того, что приращение функции f в точке (0, 0) представимо в виде f(x, у) — f(0, 0) =
1 ______________________ _ । _ । _ 1
е~*1+»а ~ а(х, у)х/х2 + у2, где ог(х, у) = -у——е -2+»2’ =	, а	— 0 при р =
\/г2 + У2 —> 0, непосредственно следует, что функция f дифференцируемая точке (0,0). ►
34.	Показать, что функция /(х, у) = ^/|гу| непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке
обе частные производные Л(0, 0) и /„(О, 0), однако не является дифференцируемой в точке
(0, 0). Выяснить поведение производных fx и fy в окрестности точки (0, 0).
Пользуясь определением частных производных, находим
у’(0. 0) = )im °) -	°) =
У 7 Z— 0	х	а—О	Г
0) = ы Ао.»)-До.о) = ы =
W-0	у	у-о	У
Поскольку
Д/(0, 0) — \/|гу| = \/т2 + у2 У^,1.,У!.,= = <*(х, у)+ У2>
х/г2 + У2
где
а(Е, ») =
х/ЙЙ
у/х2 + у2
то функция (г, у) а{х, у) не является бесконечно малой при у^х2 4- у2 —. 0. Отсюда
следует, что функция f недифференцируема в точке (0, 0). Из соотношения Д/(0, 0) =
ч/|ху| —» 0 при х —* 0, у —. 0 следует непрерывность функции f в точке (0, 0).
Из равенства fx(x: у) = |-i/lJ| sgn х при г 0 и того, что lim f'x	= lim =
+оо, следует, что производная fx неограничена в окрестности точки (0, 0). Это заключение
справедливо и для производной fy. ►
з
35.	Доказать, что функция f(x, у) = ——, если х2 4- у2 / 0 и /(0, 0) = 0, терпит
я» у
разрыв в точке (0, 0), однако имеет частные производные в этой точке.
< Из соотношений (£,	—» (0, 0) (при п —. оо)
lim f Д-1 = lim .	# 0 — /(0, 0)
\п п3 /	n-« -L + ‘	2	21	!
п® пв
следует, что функция / терпит разрыв в точке (0, 0).
Пользуясь определением частных производных, находим
Д(., 0) - t.„ ISf- °) -	») = bm » , о, ») = Ita, Л°. »)-/(" °) _ „„ » _ 0. .
1—0	Т	Z—О Z	*	у—.0	у	у—О J/
36.	Показать, что функция /(г, у) = 	, если г2 4- у2 # 0 и /(0, 0) = 0, в
Vе2 +№
окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет ограниченные частные производные f'x и /’,
однако недифференцируема в точке (0, 0).
При г2 + у2 0 функция f непрерывна как элементарная. Из очевидного неравенства
1ЛЕ> !/)1 =	| и нз того> ЧТо Ч®!	= °, получаем lira /(г, у) = 0 = /(0, 0).
у—О	,j~0
Таким образом, функция / непрерывна в точке (0, 0).
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 129
Имеем
/:(1. ,) =	# о, Л(0, 0) = 1™
-/Г +у v(x2 + y2)3	1-0
f'y(x, у) =	. 9	- ..У* =, X2 + у2 # 0,
•у^х2 + у2	у/(х2 + у2)3
Отсюда, пользуясь неравенством j |
|Л(1.,)|«7^=+?И
-, убеждаемся, что
/;(о, о) = о.
= 4 1Л(^)|4
= Em — = О,
X —о х
z
= «(*. у)р.
бесконечно
т. е. нто указанные производные ограничены.
Запишем приращение функции f в точке (0, 0) в виде Д/(0, 0) — —?====
где а(г, у) = Р = \/х3 + у3. Легко убедиться, что функция а не является
малой при х —► 0, у —< 0, а поэтому функция f недиффереицируема в точке (0, 0). ►
37.	Показать, что функция f(x, у) = (г3 + у3) sin -j-j , если z2 + у2 0 и f (0, 0) = 0,
х -f- у
имеет в окрестности точки (0, 0) производные /' и f'u, которые разрывны в точке (0, 0) и
неограинчены в любой окрестности ее; тем не менее эта функция дифференцируема в точке
(0,0).
4 Если х2 + у2 # 0, то частные производные fx и fv накоднм, пользуясь формулами и
правилами дифференцирования:
у) ~ 2я sin 1 ,-----, cos -Т-!—Г, fy(x, у) - 2у sin -=-!—=•--~9 cos
х2 + у2 х2 + у2 r2 + y3 *	х2 + у2 г3 + у2 х2 + у2
Если же z = 0 и у = 0, го производные /,(0, 0) и fy(0, 0) находим, исходя из их следующего
определения:
= О,
Л(0, 0) = 1™ /(^L-/(0^) = Um
х—0	X	Х-.0
аналогично находим, что Д(0, 0) = 0.
Покажем, что частные производные и /у разрывны в точке (0, 0) и неограничены в
любой ее окрестности. С этой целью выберем последовательность (х„, уп), сходящуюся к
точке (0, 0), и такую, что cos = 1, г. е. = 2пт. Пусть, например,
Хп = г । Уп = „ !—, п е N.
2т/п1г	2упк
Поскольку хп —► 0 и Уп —♦ 0 при п — оо, то последовательность точек (хп, уп) попадает
В любую окрестность точки (0, 0), При этом соответствующая последовательность значений
функции fx(xn, уп) = —2^/пяг, п € N, стремится к —оо. Следовательно, частная производная
/« разрывна в точке (0, 0) и иеограничена в любой ее окрестности. Аналогичные выводы
справедливы и относительно fy.
Поскольку /£(0, 0) = fy(Q, 0) = 0, а приращение Д/(0, 0) представимо в виде Д/(0, 0) =
(я2 + У2)sin j3+yj = ра(р), где а(р) = psin —- 0 при р = \/х2 + у2 —< 0, то функция /
дифференцируема в точке (0, 0). ►
38.	Проверить равенство = & * , если: а) и = ху3; б) « = arccos , ДГ
дхду дудх	’	у у
-4 а) Имеем
<?“	1 k3-i
^^’-(l+y’lnr). g = 2yZlnz,
5 Зак. Зо
130	Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Отсюда непосредственно следует равенство	, справедливое для всех точек (z, у)
в области определения смешанных производных: 0 < х < со, —оо < у < оо.
б) Аналогично предыдущему находим смешанные производные
du 1,	2-1 d2U X. 2-,--	Z. 3 J 2.-1 d2U Z г 1
- = --(Xy-X ) 3,	— = -(zy-z)Z,	- = -(zy -Z У ) 2,	— =-(Z!Z-i)2
и убеждаемся, что они равны в области их определения: 0 < ^ < 1.
Эти примеры иллюстрируют утверждение о равенстве непрерывных смешанных произ-
водных, отличающихся порядком их вычисления. ►
39.	Пусть f(x, у) = гуГ- У. , если z3 + у2 / 0, и /(0, 0) = 0. Показать, что /1' (0, 0)
Т* “Г у
0).
И При z2 + у2 ,4 0 имеем
t< х2 — у2 4х3у3	. х2 — у2 4z3y2
X2 + У2 (zs+y2)2 s	х2 + у2 (г2+у2)3
Если х = у = 0, то производные /*(0, 0) и /'(0, 0) находим непосредственно из их
определения:
/;(о. о) - и™ °> - «- °' = шЛ = о. /;(о. о) = и™ »> -	01 = ы ° = о.
г—-О	I	х—»0 X	у — 0	Р	»0 у
Пользуясь этими значениями, находим смешанные производные:
f”y(0, 0) = Um Z^°’ —^(o’ o) = Urn = -1,
к-0	у	„-о у3
q) _ ,im	4 = i.
X — О	X	x—0 Xi
Отсюда убеждаемся, что /^'„(0, 0) # fyl(0, 0).
Заметим, что в точке (0, D) не выполняются достаточные условия равенства смешанных
производных. В самом деле, при z2 + у2 0 находим
8z2y2
Поскольку последовательность (М„ = (А, 1)) стремится к точке (0, 0) при п —- оо, и
Um Л'ДМ„) = Um /;Ж(М„) = Й? (1 + г; а?3р )  то смешанные производные терпят раз-
п—»оо	п—‘ОО	a Ti I I» +4J /
рыв в точке (0) 0). ►
40. Существует ли
И При Z2 + у2 ?£ 0
находим
°)' если /(г- у) =	2 ПРИ X2 +у2 ^0 и /(0. 0) = о?
имеем fx(x, у) =	 Пользуясь определением производной,
0
= Inn — = 0.
х-»0 X
Л(о, 0) = Цт /(*><»-/(> °)
Поскольку предел
Л(о, у) - Л(0. о) _
Вт /;<»,») - /и», °) _ „„ £
и—о	у	к-0 у
не существует, то производная f’x‘y в точке (0, 0) также не существует. ►
41. Доказать, что если дифференцируемая функция (z, у, z) f(x, у, г), (г, у, z) £ G,
удовлетворяет уравнению
df df df
x^ + y^ + za; = pf'
(1)
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 131
то она является однородной функцией степени р.
Рассмотрим функцию
= (2)
Она определена, непрерывна н дифференцируема для всех t > 0, для которых точка (tro, tyo,
izo) 6 С?. Вычисляя производную функции F, получаем выражение, числитель которого
равен
t (xo/x(A<b tyo, tz0) + yofy(txo, tyo, tzo) + zD/'(tx0, ty0, tzo)) - pf(tx0, ty0, tz0).	(3)
Заменяя в равенстве (1) x, у, z на tzo, tyo, tzo соответственно, приходим к выводу, что вы-
ражение (3) равно нулю. Следовательно, F'(t) = 0 и P(t) = С = const. Для определения
константы положим в (2) t = 1; таким образом, С = Дхо, Уо, го)- Отсюда, пользуясь равен-
ством (2), получаем
/(txD, tyo, tzo) = <₽/(хо, уо, Zo), (хо, Уо, Zo) € G. ►
42. Доказать, что если f — дифференцируемая однородная функция степени р, то ее
частные производные f'x, fy, /' — однородные функции (р — 1)- й степени.
4 Поскольку / — однородная функция степени р, то справедливо равенство f(tx, ty. tz) =
tp f{x, у, z), причем выражение в левой части дифференцируемо. Дифференцируя последнее
равенство по г, получаем /i(tz, ty, iz)t = tp/^(r, у, z) или /i(tr, ty, tz) = tp~l f'J.x. y, z). Из
последнего равенства следует, что fx — однородная функция степени р— 1. Для производных
fy и f'~ доказательство аналогичное. ►
43. Пусть (г, у, z) н-. u(x, у, z) — дважды дифференцируемая однородная функция п-й
степени. Доказать, что
(2)
(X 2
д д д \	. 1А
z-k- + У-J- + г-к- u = п(ге - 1 и.
ах ay dzу
И Поскольку и — однородная функция, то она удовлетворяет уравнению
ди	ди	ди
ха~ +	+ г V = пи
ах	ду	dz
Заменяя в этом равенстве х, у, z на txo, tyo, tzo и дифференцируя его по t, получаем
xou'T + уои'у + zou'z 4- trou"2 4- ty§u"3 + tzou"3 + t(2xoyoUxy + 2хогои"х + 2yozou^) =
= n(zoui + youj, + zaui),
где производные вычислены в точке (iio, tyo, tz0). Полагая в последнем равенстве 4 = 1,
имеем
Xqu"1 + Уои"з +	+ 2(хС>уОи"у + Xozouxi + Уо2ои"г) = (п - l)(zoui + youj, + Z0u'z).
Отсюда и из равенства (2) непосредственно следует, что
/ д	д	д \2	,	,
I Ю-z-+ У03-+ zo-х- u = n(n-l)w.
ат	ay	az /
Так как (io, уо, zo) — произвольная точка, то равенство (1) доказано. ►
44.	Доказать, что если и = х/хг + у2 + z2, то d2u 0.
Обозначая <р = х2 + у1 + z2 и последовательно дифференцируя выражение и =
находим
du = —т=(е dx + у dy + z dz),
d2u = —2=(dxJ + dy2 + dz2) — -~~j-(x dz + ydy + zdz)2 =
5*
132
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
_ (х2 4- у2 4- z2)(dx2 4- dy2 + dz2) — (х dx + у dy + zdz)1 _
(л/7)’
(r dy — у dx)2 + (х dz — z dx)1 4- (у dz — z dy)2 n
~	1 (W	"
45.	Предполагая, что z} у малы по абсолютной величине, вывести приближенные фор-
мулы для следующих выражений:
а) (1 4-х)"*(1 4-у)”*; б) ln(l + г)1п(1 + у); в) arctg ГУ .
I т
Ц Пусть функция (х, у, ... , х) н» /(х, у, ... , ж) дифференцируема в окрестности точки
(О, 0, ... , 0). Тогда
/(г, У...*)-/(0. 0, ... ,0) = Л(0, 0, ... , 0)х + /;(0, 0, ... , 0)у+ . .. +/^(0, 0, ... , 0)г+о(р),
где о(р) — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р = \Jx2 4- у2 4- ... + z1.
Отбрасывая величину о(р) и перенося /(0, 0, ... , 0) в правую часть, получаем приближенное
равенство
/(х, У...г) ~ /(о, о, ... , 0) + /;(0, 0, ... , 0)х + /i(0, 0, ... , 0)у + ... +/'(0, 0, ... , 0)z. (1)
Поскольку предложенные функции дифференцируемы в окрестности точки (0, 0), то со-
ответствующие приближенные формулы принимают следующий вид:
а)	(1 4- z)m(1 + у)тп я 1 4- тх + ту;
б)	1п(1 + х)1п(1 4- у) и ху;
в)	arctg^ я х 4-у. ►
46.	Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:
а)	1,002  2,0032  З,0043; б) 1,03 =;
Уо,98^1,05’
в) 0,02’ 4- 1,97s; г) sin 29* tg46°; д) 0,97*'“.
а) Записывая равенство (1) из предыдущего примера для функции f(x, у, z) = (1 4-
х)(2 4- у)2(3 -I- z)3 , имеем
(1 + х)(2 + у)2(3 + г)3'я 1  22 • З3 + 22 • З3х + 22 • З3у 4- 22  З3х.
Подставляя в это равенство г = 0,002, у = 0,003, z = 0,004, получаем 1,002 • 2,0032  3,0043 я
108 + 0,216 + 0,324 + 0,432 = 108,972.
б)	Записав Для функции f(x, у, z) = —ч	приближенное равенство fix, у, z) я
У(1-»)Уа+й»
1 4- 2z 4- J — j и полагая x — 0,03, у = 0,02, z = 0,05, получаем
1,032
...	~ I + 0,06 4- 0,0066 - 0,0125 я 1,054.
У 0,98 У 1,05’
в)	Имеем У(1 4- z)’ 4- (2 — у)’ я 3 4- | — 2у. Пусть х = 0,02, у = 0,03, тогда
У 1,02’ 4- 1.97’ я 3 4- 0,01 - 0,06 = 2,95.
г)	В приближенном равенстве (см. предыдущий пример)
вш I Т+ «sin- tg - - cos - tg-z 4-sin -----------------g-x
\ о /	\ 4	/	64	64	6 cos2 -j-
полагаем x = 0,017, тогда
sin 29° tg46° я 0,5 - 0,866 • 0,017 4- 0,017 я 0,502.
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 133
д)	Записывая для функции (1 — z)1+v приближенное равенство (1 —z)1 + y и 1 — х и полагая
в нем х = 0,03, у = 0,05, получаем 0.971 04 и 1 — 0,03 = 0,97. ►
47.	Доказать, что функция /, имеющая ограниченные частные производные f'x и f'v в
некоторой выпуклой области Е, равномерно—непрерывна в этой области.
< Пусть (Xi, yi) и (гз, yj) — две произвольные точки из области Е. В силу выпуклости
области Е, точка (гг + t(zj — гз), yi + t(yi - уэ)) принадлежит области Е при 0 t 1.
Функция <?(t) = f(x2 + t(z 1 - Х2), уг + t(yi - Jl2)) имеет при t e]0, 1[ ограниченную про-
изводную
9?'(t) = (Z1 -T2)/i(t2 +t(r! -Tj), 112 +t(yi -уг)) + (У1	— ®=), t>2 + t(yi ~У2))	(1)
и ^(0) — f(x2, У2), V’(l) = /(^ii У1)- Используя формулу Лагранжа и равенство (1), находим
^(1) - р(0) = /(Г1, У1) - /(z2, уэ) = /(£) =
= (Г1 - Т2)Л(г2 +£01 - Z2), У2 + £(У1 - Уэ)) +
+ (yi - УэЦДяг+£(zj - z2), у2 + £(yi - у2)), 0 < £ < 1.	(2)
Согласно условию, существуют такие постоянные Li и Ьг> что
\f'v\<L2 V(z, у} ЕЕ.	(3)
Из соотношений (2) и (3) вытекает неравенство
|/(г1, У1 ) - f(Z2, У2)| |zj - *2 |Ь1 + |yi - У2 | £.2 	(4)
Пусть е > 0 произвольное. Тогда, выбирая i = min I ту—, гт—I, для любых точек (zj, yi)
и (га, у2) таких, что |zi — z2| < 5 и |yi — у2| < 6, из (^) получаем неравенство |/(zi, yi) —
/(z2, №)| < е, доказывающее равномерную непрерывность функции / в области Е, ►
48.	Доказать, что если функция (z, у) i-» /(z, у) непрерывна по переменной т. при
каждом фиксированном значении у и имеет ограниченную производную по переменной у, то
эта функция непрерывна по совокупности переменных а; и у.
4 Согласно условию, ЗА/ > 0 такое, что
|/'(z, у)| М	(1)
для всех точек (z, у) из области G определения функции /.
Пусть е > 0 произвольное, а (го, Уо) — любая точка из G. Тогда
1/(т, у) - f(x0, уо)| £ |/(х. у) - f(x, уо)| + |/(z, уо) - /(то, Уо)|
|/у(®. Уо + й(у - Уо))| |у - уо| + |/(z, Уо) - /(z0, Уо)|	(2)
В силу непрерывности функции f по х, при у = уо 341 = 6i(e, уо) такое, что
I/O. Уо)-Дго, Уо)| < |,	(3)
если |z — zo| < 61. Из (2), (1) и (3) получаем
|/(®. У) - f(z0, Уо)| М|у - у0| + | < е,
если |z — г0| <6, |у — уо| < 6, где 6 = min { Sj } , что и требовалось доказать. ►
49.	Пусть (z, у, z) н* Р„(г, у, г) — однородный многочлен степени п. Доказать, что
dnP„(x, у, z) = n! Pn(dx, dy, dz).
< Пусть (z, у, z) — произвольная точка из области определения функции Рп. Так как
Рп — однородный многочлен степени п, то для него справедливо равенство
P„(tz, ty, tz) = t"P„(z, у, z).	(1)
Вычислим n-ю производную от обеих частей этого равенства. Очевидно,
Pnn)(*z, ty, tz) = н! Рп(г, у, z).	(2)
134 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Обозначая левую часть равенства (1) через F(t) и последовательно дифференцируя, находим
ЭР„	дРп дРп	( д	#	Э	\ р
F = ~я~х + ~5~* + ~я~z ~ л~х + а~У
дх ду dz	\ дх	ду	dz	)
д2Рп 2д2Рп	2д2Рп	2^д2Рп	Я'2Р„	^д2Р„	(д	д д Y
F (О = А Гх + а~2 У 4 а 2 g 42—— -zy + 2 А £342 д yz = а“Х + — у +
4 ' дх2 ду2 дх2 дх ду дх дг	дуд г	\дх ду dz Г
Далее, методом математической индукции легко доказать, что
F("?W= \.X^ + y^+z^J W*’**’^’
Поскольку Рп — однородный многочлен степени п, то частные производные первого поряд-
ка — однородные многочлены степени п — 1 (см. пример 42). Отсюда следует, что частные
производные n-го порядка являются однородными многочленами нулевого порядка, а следо-
вательно, являются постоянными, т. е. не зависят от t. Поэтому можно записать
F^ft) = (xJL + yJL + zJL} Pn{x,y,z).	(3)
\ ах ay az J
Сравнив (2) и (3) и заменив т, у, z на dz, dy, dz, получим доказываемое равенство. ►
50.	Пусть Аи = х—^ + у^. Найти Аи и А2и = А(Аи), если: а) и = , 1—
дх ду	'	г2 4- у2
б) и = In \/ х2 + у2.
«	а) Имеем Аи = х — (яг+1,з) +	(^з+^э) = I(I’+s,a)= + у(i= + ь’)3 = -*’+1А = -И’ В
силу однородности операции А, А2и ~ А(Ли) = А(—и) — —Аи ” —( — и) = и.
б) Аналогично Аи = х -Z (in у/х2 А у2) 4 у (in х2 + у2^ =	+ 7*+^ = 1, Л2“ =
А(Ли) = А1 =0. ►
Kin л (Зи\	(ди\2	(ди\2	. Э2и	Э2и	Э2и	г, И
51, Пусть Дщ= —	+ — I -р f J Д2и = —— 4- —— 4- —-, Наити Дщ и
\ ах 1	\Оу 1	\az j	дх2	ду2	az2
„ 1
Дзи,если и = ——
\/х2 + у2 + z2
< Вводя обозначение г = ^/z2 + у2 + г2, находим
Д1 и =
Дз« =
д2 /1\ д2 /IV д2 / ]\
дх2 \г/ ду2 \т/ dz2 кг/
Поскольку =	+ ^_ ^(1)=_х + ^.
то Дги =	+	- А + ± = О, г о. >
52.	Доказать, что форма дифференциалов произвольного порядка функции (£, т], £)
/(f, ’ll С) сохраняется при замене аргументов £, ц, £ линейными функциями: £ = а1Х +азу +
а3я, tj = bix + bay + Ьз», С = ciz + с2у + c3z.
Вычисляя второй дифференциал функции: (Pf = df2 + /"а dr/2 + f'^ d(2 + 2f^ df drj +
2/f( df df + 2/''( dr) df + d2f+Д Л2т)+/'( d2( и замечая, что, в силу линейности функций f, t), f,
имеют место равенства d’f = 0, d2tj = 0, d2f = 0, получаем
rf2/= Л
aij <?£ J
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента
Методом математической индукции легко доказать, что
135
dnf = (57 + -г	/’
\ "£ от) дС, у
т. е. что форма дифференциалов произвольного порядка сохраняется при замене аргументов
линейными функциями, к
Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функ-
ций (z, у, 2 — независимые переменные):
53.	u = f т2 + у2^ .
4 Дифференцируя и как сложную функцию, получаем
du = f ii I \/z2 + у2
zdz + ydy
< /r! 4- ,.2
d2u = d<f)+
/т2 4- К2	I . /т2 4- tl2
Так как

J / zdz + ydy
\ x /4- f/2
(y dz — z dy)2
У(г2 4- у2)3
то окончательно находим
j2 _ Jz + ydy)2
г2 + y2
[ydz — z dy)2
\/(r2 + y2}3
z2 +У2	0. ►
54.	u — f(f ц), где£ = X + у, Т) = z - у.
4 Поскольку аргументы (иг/ являются линейными функциями, то форма дифференци-
алов произвольного порядка сохраняется (см. пример 52).
Поэтому, вычисляя дифференциалы
du = f[di + f dy, d2u = f\ df2 + 2Л"г dS dU + f'2 dv2,
T_ fl   81 ft   ell e3 / ell a3/ ell 03f	,.	,
гДе Ji - J2 - /и =	;12 =	/22 = и вместо dS и dt? подставляя их
значения, найденные Из равенств £ = г + у, t? = z — у, получаем
du = f(dz + dy) + fi{dz - dy), d2u = f”fdx 4- dj/)2 + 2f"2(dz2 - dy2) 4- /2i(dz - dy)2. ►
55.	u = f(f, и), где f = zy, T) = -.
У
4 Дифференцируя и. как сложную функцию, получаем
du = f'i (ydz + x dy) 4- /2 V ~ -2	,
У
.3 t" I J , J \2 . r, t >' y2 d*? ~ *г dy2 , ell (У dz — z dy\ ,	, (y dz - z dy) dy
du = /ц(у dr4-*«ty) +2/13----------;----1-/22 ---------- d-2f'idzdy~2f^------	 У . k
У	\ У J	У
56.	-и = f(z, y, z), где z = t, у = t2, 2 = t3.
4 Аналогично предыдущему
du = fdt + f2tdt 4- fit2 it = (f 4- 2tf + it2f)dt,
d и = fn dt 4- /224t2 dt2 + /зз9<4 dt2 4- ifft dt2 + 6t2/i3 dt2 4- 12i3 dt2 4- 2/2 dt2 + 64/3 dt2 =
= (/11 + ^t /22 4- $t*/33 + 41/12 + 6t3/i3 + 1213/зз + 2/j + fit/3) dt2, ►
57.	u = f(S, y, <j, где f = z3 4- у2, У = z2 - у2, C = 2zy.
136 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, имеем
du = f[(2x dx + 2у dy) + fi{2x dx - 2y dy) + fj(2ydx + 2r dy),
d3u = 4/n (z dz + у dy)2 + 4/aa(z dx — у dy)2 + 4/з'3(у dr + x dy)2 +
+ 8/i"a(r2 dz2 - y3 dy2) +8/i"3(z dx + у dy)(y dx + x dy) +
+ 8/23(1 dx — ydy)(ydx + xdy) + 2f{{dr2 + dy2) + 2/a(dz2 - dy2) + 4/3' dxdy. ►
Найти dnu, если:
58.	и = f(ax + by + cz).
4 Поскольку в данном случае форма дифференциалов инвариантна (см. пример 52), то
dnu = /<,')(d(ai + by + cz))n = f^n\a.dx + bdy + cdz/n\ ►
59.	u = /(az, by, cz).
< В силу инвариантности формы дифференциалов n-го порядка (см. пример 52), имеем
d”u = (~adx + —bdy + ^-cdz} f(s, t, r),
\аз dt dr /
где з = ax, t = by, r = cz. ►
60.	u = /(s, t, г), где s = air + 6iу + eiz, t = 02x + b?y + caz, г ~ a3r + b3y + c3z.
Используем инвариантность формы n-го дифференциала (см. пример 52). Имеем
dnu = ds + dt + dr} f(s, t, г) = ((ai dr + bi dy + ct dz)~ +
ЧЭ5 at dr )	’ ds
+ (e2 dr + bl dy + c2 dz)^~ + (аз dx + b3 dy + c3 dz)-^-'} f(s, t, r). ►
&t	ОГ /
сть u “ /(г), где г = у*2 + у2 + *3
ТТ	Л	. A d2u 32U
Показать, что Ди = F(.rh гДе ““ = ——  т
dx3 dy2
F.
4 Имеем
Эи _ ,х Э2и _
Э? “ f 7' ЭТ3 ~
Аналогично находим
ft=/"4+/'--/'4-
ду3 г3 г г3
Таким образом,
д„ =	+ * f _
т3	г	т3
и / — дважды дифференцируемая функция.
Э2и
I- — оператор Лапласа, и наити функцию
т2 1 г2
j4=/"4+/d-/'4-
•' = /" + -/' - -/' = /" + -/' = F(r). ►
г г	т
62. Доказать, что если функция п = в(г, у) удовлетворяет уравнению Лапласа Ди =
а3 и Э2и	/ х у X
-Z—7 + -х-z- = 0, то функция в = и I -=-7, —т——= | также удовлетворяет этому уравнению.
ах3 ду3	\ х3 + у3 х2 + у3 )
◄ Вводя для удобства обозначения ^ =	, имеем
dv , dtp , дф dv , dtp , dV>
4_ = ui’5—-г— = “it—h“2-r_>
dx dx dx dy dy dy
.di) +2u,2a7 57 + “22la7j +И1^2+в2а75’1
„ Эр Э16 t!	, >d2tp , д2^
т— I + 2el2 -5— -5—Ь и23 I —- I + Uj + u2 тгтг,
Эу) dy dy	J	^У2
d3v
dz2
d2v
эй-“п
= «11
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента
137
, 3u !	ft ва U . ft д? U It	fl3 u
где «1 — gv, «2 — g<ll , Uj 1 —	, “12 —	“22 — 6^,2 
Отсюда
„ f dp	дф dtp	дф \	, t	.
+ 2“1г I —	д— 4- t- I	+ “i	^P + “2	(1)
удх дх ду dy J
Вычисляя производные
др _ У2 - хг
дх ~ (z2 + у2)2 ’
дф _ 2ху
дх (z2 4- у2)2 '
убеждаемся, что
др ___ 2ху
ду (х2 + у2)3 ’
дф _ х2 - у2
Ту ~ (z2 + y2)2’
др Эф др дф
дх дх ду ду
д2р __ 2z(z3 — Зу2)
дх2	(z2+y2)3
д2 ф = 2y(3z2 - у2)
дх2	(х2 4- у2)3
О, Ду? - О, Ду> = 0.
д2р _ 2z(3y2 — z2)
ду2 " (г2 + у2)3
д2ф _ 2у(уг - 3z2)
ду2 (г2 4-у2)3
(2)
Таким образом, из (1) и (2) и из того, что Ди = 0, следует
63.	Доказать, что если функция u = “(z, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди г д2 u	1	-	/ х 1 \	.
= а j, то функция v = ~----------------------Г^у , t > 0. также удовлетворяет этому
уравнению.
Ч Находим производные
I ( U	Z2u Z11! ui 1
wt —•1 ( “	/“' 4“	. ' —	“t* —.J—Z J
\	4a3i/t^	/
v"a = ( U + *** _ rtl'i + “и
\ 2a3i/i^	4as\/t^	asV^
где через uj и “i'i обозначены частные производные функции и по первому аргументу, а
через uj — по второму аргументу, и подставляем их в выражение vj — a2u''3, После упрощений
подучаем
i 2 tf
- <1 Vx2
= -J—(«' _ a2u").
a3V^	K	1
Согласно условию, Uj — a*u"i — 0. Поэтому v[ — a2v’^ = 0. ►
64.	Доказать, что функция u = где т = ^/(r — a)2 4- (у — 4)2 4- (г - с)2, при г 0
п л	d2u	32и
удовлетворяет уравнению Лапласа Ди = -т-т 4-	4- -тг^г = 0.
дх2 ду3	dz2
Ч Имеем
ди _	1 дт _	1 х ~ а _ z — a
дх г2 дх г2 г	г3
Э2и ____1_	3(z — a) dr _	1	3(z — a)2
дх2 r3 r* dx r3 rs
Аналогично находим
dau ..	1	3(y - ft)2 д2и 1	3(z — c)2
dy2 ~r3 + rs ’ dz2 r3 + rs
138
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Складывая последние три равенства, получаем
Ди =	+ 4 “ fl)2 + (У ~ А)2 + (* “ СН = -4+ 4 = °- ►
rJ г3 \	r.J rJ
65.	Пусть функции Ui = ui(x, у, z) и U2 = Ujfz, у, z) удовлетворяют уравнению Лапласа
Ди = 0. Доказать, что функция v = ui(r, у, z) + (х2 4- у2 -f- z2)u2(x, у. z) удовлетворяет
бигармоническому уравнению Д(Де) — 0.
Последовательно дифференцируя, находим
dv dui	/ 2	1	2\ ^U2 (Pt! d2Ui	, ди2 /2	2	2\ 92U2
+ 2ZU2 + (х2 + У2 + Z2)	—У =	+ 2иг + 4г—+ (ха + у2 + Z2) —
дх. дх	' ах дх2 дх2	Эх '	' дх1
Аналогично
Э2Д1 „	, Эйз /2	2 32uj	32ui „	, ди2 /г 2	2\ 52U2
ST = -5-r+2u2+4y-3rt+(12 + у2 + z 2)—А, —j = у—^+2u2+4z—- + (x2 + y2 + z2) —/.
dy2 dy2	ay '	' dy2 dz2 dz2	dz '	7 dz2
Следовательно,
.	.	„	, [ 3uj	du2	du2
Ду = Дщ + 6us + 4 x —-----1- y-z— + z—-
\ ax	dy	dz
+ (r2 + y2 + Z2) Ди2.
Учитывая, что функции uj и и2 удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. что Auj = 0 и
Д«2 = 0, получаем
.	„	. / 5и2	ди2	ди2 \
Ду = 6иа + 4 1 х—— + у—----р z—- ) .
у дх	ду	az J
тт	Av д2 Av 9^ Av
Находя производные а*у }	и складывая их, имеем
... ,	, . д	( 93uj C?3ua c)3U2 Э3И2 дл и2
Д(Дв) = 14 Д«2 + 4 ( х-т-г- + Уд , д + Z + г  —- - + у——
У Эт3 ах2 ду дх2 dz ду2 Эх Эул
Э3 U2 Э3 «г Э3 U2	Э3 U2 \
ду2 dz dz2 дх dz2 ду 2 дг3 J
Записывая последнее равенство в виде
Д(Ди) = 14 Ди2 + 4г^-(Ди2) + 4у^-(Ди2) + 4л-^-(Да2)
ах	ay	az
и пользуясь тем, что Диз =0, убеждаемся в справедливости равенства Д(Да) = 0. ►
66. ПуСТЬ (х, у, z) l-f /(х, у, z) есть т раз дифференцируемая однородная функция
измерения п. Доказать, что
f д 3	& \ 771
(ГЭг+УЭу+г:Э^) ^Х’ У' г) = n(R “ J) • •  (n - m + l)/(z, у, z).
4 Пусть (г, у, z) — произвольная фиксированная точка из области определения функ-
ции /, а т п. В силу однородности, справедливо равенство tnf(x, у, z) = /(tr, ty, tz).
Последовательно дифференцируя его т раз по i
z~hj f(tx' ty'tz}’
d2f
df af df _ / д t д t
nt f(x, у, z) = z- + у- + Z- = (^z- + у- +
n(n - l)/"~2/(r, у, z) = x2~ + Угч~Г +	+ 2*У'Д я" т-
ох2 ду2 dz2 дх ду
д^ / д% f ( д д д \
+ 2хгд^ + 2угЭ& = ( 1	+ Уд~у + ZTz ) f{tX' iy' tZ]’
n(n -1) ... (n - m 4- l)in	jr, z) = [	+ y^- + zJ /(tz, iy, iz]
\ ax dy dz J
§2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 139
и полагал t = 1, получаем требуемое равенство. ►
67. Пусть т2 = tw, у2 = uw, г2 = uv н /(т, у, z) = F(u, и, w). Доказать, что xfx + yfy +
◄ Согласно условию, имеем
Дифференцируя это равенство по и, и и ы. находим
2-y/uw 2i/uv	2v'vw 2y/uv
Умножая первое из равенств (1) иа и, второе на г, а третье
г.1	,1 «w ri uv ri vw ,, uv
+ vF» + wF„ = fv -	+ fx —j= 4- fx —— + Д „ .—
к
V
и
(1)
на w н складывая их, получаем
vw
uw
Отсюда, используя условие задачи, окончательно находим
ttFi + vFt, + wF„ = xfx + yf'y + z/j. ►
Путем последовательного дифференцирования исключить произвольные функции и V:
68. г = х + <р{ху).
4 Найдем частные производные по х и по у:
дг	, dz ,
— = 1 +	,	— = пр .
дх	ду
Сложим полученные равенства, умножив первое из них на х, а второе на —у. Тогда получим
дг дг
Ia7"y^ = I-k
69. и = у>(х — у, у - г).
Т1^ а_ Эи	/ Эи	/	.	/ Эи
4 Имеем — = (pj, — = -V1 + Pi, —
— ipi. Складывая эти равенства, получаем
£ + ^ + £ = о->
76. г =
4 Имеем
С другой стороны.
. Отсюда	= 2tp'4>' 
= Следовательно, из последних двух равенств
в» В* _ в2» ь.
ствеино вытекает, что = г в10у .
71- X = ip(xp) +
непосред-
4 Используя равенства
dz ,	1 , / д2 г г и . 1 .l"
37 = ^ +у^- d^ = vv	’
получаем следующие соотношения:
дх дг 2х ,
= 7*'
из которых непосредственно вытекает, что
2д2г 2д2г
Х дх1 9 ду2 +
72* Найти производную функции z =
составляющем угол а
дг / х ,,
Т~ = *V - ~V >
Эу	у2
2 &3 z 2 д2 г _
1 д^~ У fy2 “
д2 Z 2 II . г ,
— =	+ —0
ду2	9*
2г ,!
+ — 
У3
2i ,,
----,
9
Sz Эа
Is — у2 в точке Af = (1, 1) в направлении !,
= 60’ с положительным направлением оси Ох.
140
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
Имеем	_ вг(м) cos а	cos f) = 2 cos а — 2 cos /?. Таким образом, —=
ОТ	РТ	оу	'	г	от
1 - Уз. ►
73.	Найти производную функции г = 1п(г2 + у2) в точке М = (го, Уо) в направлении I,
перпендикулярном к линии уровня, проходящей через эту точку.
-4 Поскольку вектор grad и в точке М ортогонален к линии уровня с = 1п(г2 + у2),
проходящей через точку Af, то направляющие косинусы вектора I равны направляющим
косинусам grad и в точке Af, т. е.
_______ 8х	& __ &У
COS““ ||grad и(Л/)(|'	С°8/,~ ||gradu(Af)|r
Но — ?*<> „ Ы.м') _ зуо
&х + ’ вЧ ’S + Bo ’
/ ,	<2 у	-.2
II л Г1Л11	, <Эк(М)\
||grad«(M))| = ^^-2J 4“^/
поэтому cos а =
. Следовательно,
, COS d =
2
l/*o +Уо '
Э*(М} дг[М) , Эг(ЛГ)
—тгг-1 = —5—cos а + —i—cos 3 -
dl ах	ду
2____
? +Уо
Л2 )
х2
т н
а*
f х2
74.	Найти производную функции * = 1 - Н- +
\ а2
(io + Уо # 0). ►
/ а b \
в точке M -	——— । по
У2
А2
направлению внутренней нормали в этой точке к кривой
4 Тангенс угла наклона нормали(К данной кривой определяется формулой tg а =--3—v ,
где у =	— х2. Отсюда tga = а направляющие косинусы внутренней нормали выра-
жаются формулами cos а =----. * i, cos^ ---. а (мы берем знак минус, поскольку нор-
уаЦЬ3,,	уа2+63
маль внутренняя). Воспользуемся формулой производной по направлению п = (cosor, cos/3):
^l = ^lc№la+^lcosfi
дп Эх	ду
Вычисляя производные
g^AQ
дх
^2 dz(Af) V2
= иаходим
дг(М)
дп
Ъ\/2	а-/?
ал/о2 + А2	Ь^/ а2 + 1?
У2(а2+62)
аЬ
75.	Найти производную функции u = хух в точке М = (1, 1, 1) в направлении I =
(cos or, cos fi, cosy). Чему равна величина градиента функции в этой точке?
Очевидно, = 1,	= 1,	= 1, По формуле производной по направлению,
получим
du(Af)	ди(М)	Эи(М)	. ди(М)	,,
——- cos а + ——- с os S 4- ——- cos у = cos or + cos + cos у.
dl dx	dy	dx
Величину градиента определим по формуле
и д rwoi НЩМУХ3 , (ди(М)\г (ди(М)\2 f-
Igradu M) =1/ —7—1	+	4-	+	-	=V/3. ►
у \ ох }	\ ду )	\ дх )
76.	Определить угол между градиентами функции и = х2 фу2 + г2 в точках А = (е, 0, 0)
и В = (0, е, 0).
S 2. Частные производные н дифференциалы функции векторного аргумента 141
4 Имеем
Отсюда ||grad u( А )|| = 2|s|, ||grad “(В)|| = 21£1- Подставляя эти значения в равенство
(grad u(A), grad и(В)) ~ ||grad u(А)|| ||grad в(В)|| сов <?,
получаем cos <р = 0, т. е. <р = у. ►
77.	Показать, что в точке Mo = (ю, Уо, го) угол между градиентами функций « = ах2 +
бу2 + сх2, » = ar2 + by2 + сг2 + 2mz + 2ny-f-2pz (а, Ь, с, т, п, р — постоянные и ?+^+с	0)
стремится к нулю, если точка Мо удаляется в бесконечность.
4 Имеем cos	гпе
Я имеем cos ys цег1д u( #grld v||, где
grad u = (2дгр, 26yo, 2czo), grad v = (2azo + 2m, 2byo + 2n, 2czo + 2p),
||grad u|| — 2y/(axo)2 + (byo)2 + (czo)2, ||grad v|| = 21/(дг0 + m)2 + (bj/o + h)2 + (cz0 + p)2.
Тогда угол p определяется из равенства
_ __________аг0(дхр Ч- т) + 6уо(6уо + о) + czp(cz0 + р)___
У((дю)2 + (бур)2 + (с2о)2)((ддр + т)2 + (бур + п)2 + (cz0 + р)2)
Вычислим sin$s и покажем, что sin у? —► 0, если ^/®р .+ у2 + г2 —> оо:
_______________________________(дхрп — бурт)2 + (джор — czpm)2 + (буор — czpn)2_________
((дю)’ + (бур)2 + (сг0)2)((ою + т)’|+ (Ьуо + о)’ + (cz0 + р)2)
Пользуясь неравенствами 2|юуо) Др + Уо, 2|ю«о| $ г» + г?, 2|yozo| Уо + и обозначая
наибольший по абсолютной величине из коэффициентов числителя при Гр, у0 н z2, через
А2, получаем оценку
(дюп — Ьу0т)2 + (дгор - czpm)2 + (буор - czon)2 A2(zp + Уо + *р).
Не ограничивая общности, будем считать, что д 0, б 0, с^О. Пусть В = min(|a|, |Ь|, |с|},
тогда a2Zp + б2у2 + c’zo В2(гр + Уо + г2)-
Таким образом, имеем оценку
_ ., . ,	ду^ + у? + го
0 < sin р	__________,	= =
+Уо + zol/(ar° + m)J + (4У° + ")г + (с*° + р)2
| sin = у 1~ coe2 V ~
В \/(aro + П»)2 + (Ayo + n)2 + (czp + р)2
Очевидно, если + У2 + z2 —► оо, то
^/(дю + т)2 + (бур + п)2 + (cap + р)2 -f оо;
поэтому из неравенства (1) следует, что sinp, а вместе с ним и стремится к нулю, если
точка Ма удаляется в бесконечность, к
78.	Пусть u = /(z, у, z) — дважды дифференцируемая функция и — (coscri, cos/?i,
cos 7i), 1г — (cosaj, cos cosyj), la = (cosaa, cos^a, cos7a) — три взаимно перпендикуляр-
ных направления. Доказать, что:
. /ЭиЧ’	/ЭнЧ2	/ ди X2	_ f ди\2	f ди\2	f ди\2
Xdli)	\dl2) +	\Э1а/	\^Е/	Х^У /	\^г/ ’
142 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
й2ц 5su д2и _ д2и д2и t32u
} dif + aif + aif - эР'+ ду* + dz*'
а)	Находим производные функции и по направлениям Л, 1з, Ь
ди	ди	ди	ди
— = —- COS ОЦ + — COS + — COS 71 ,
dli	дх	ду	dz
ди ди	ди „ 5и
—= — COS СТ2 4 — COS + 7— cos 72 ,
сиз дх	dy	dz
ди ди	ди . ди
хт- = -х~ cos а3 + -~ соя + — cos 73.
d/з дх	ду	dz
Отсюда непосредственно следует:
(ди \2	( ди\2	(ди\2	(ди\ 2 .	2	2	2 ,
(ai-) +(лг) + ( ТГ ) “(я-) (со5 а1 + cos “2 + cos аз) +
\ 511/	\д12/	\513/	\дх J
/я \*	/а \2
[ C7U 1/2	2	2	[ @В I 2	2	2
+ I д— I (cos /Ji 4 cos дг + COS Д3) 4 I — (cos 71 + cos 72 4 cos 73) +
4 2 —— —— (cos »i cos 5i + cos оз cos дг + cos cy3 cos 5-, ) +
dx dy
du du	.
+ 2 ------(cos O 1 Cos 71 4- COS f»2 COS 72 4 COS «3 cos 73) 4
dx dz
Qu Эи
+ 2— — (cos/Ji cos 7i 4 cos52 cos 72 4 cos ,T cos 73)-
dy dz
Поскольку матрица
cos a 1
cos о 2
COS 013
cos 51
COS ($2
COS 5з
COS 71
COS 72
cos 73
(2)
(3)
является матрицей перехода от ортонормированного базиса (i, j, к) к ортонормированиому
базису (1з, 13, 13), то она обладает тем свойством, что сумма квадратов элементов любой
строки (столбца) равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух раз-
личных строк (столбцов) равна нулю.
Таким образом, в равенстве (2) коэффициенты при квадратах производных (57)1
(_ \ 2
“и \	Эи Qu ди ди Эи би
— равны единице, а при произведениях производных -х- -х-, — —, -г- равны нулю.
/	<ух оу ' о® О! оу Ох	»
Учитывая это, из равенств (2) непосредственно получаем равенство а).
б)	Находим	’ где ЗТ7 определено первым из равенств (1):
д2и
д2и 2	. д2 и 2 Э2ц 2
Э^С°8 “ 1 + COS + в? C0S 71 +
Э2и	Э2 и	д2 и
+ 2-——cosсп cos/?i 4- 2-—— cos at cos 71 + 2-—— cos^i cos71.
dx dy	dx dz	ay dz
Аналогично вычисляем	. Складывая полученные равенства, находим
о<з
32и д2и д2Ц Э2и 2	2	2 ч
di? + 7Ц +	= a^(cos ai+cQS ai + cos аз} +
+ -^~2 (cos2 51 + COS2 5: + СОЗ2 5з) + ^j(cos2 71 4 cos2 у2 4 cos2 73) 4
**	а
+ 2-г—— (cos or 1 cos pi 4- cos O'2 cos/?2 + cos аз cos /?a) 4-
С7Ж ay
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента
143
д2 и	.
4- 2-—— (cos oi cos 7i 4- cos aj cos y2 + cos оз cos 73) 4-
dx dz
d2u
4- 2 -—— (cos /?i cos 71 4- cos cos 72 4- cos J3 cos 73).
dy dz
Отсюда, воспользовавшись свойством матрицы (3), получим равенство б). ►
79. Пусть и = и(х, у) — дифференцируемая функция и при у — х2 имеем д(т, г2) = 1 и
du	„ди	2
— = г. Наити — при у = х .
дх	ду
<	Поскольку, по условию, д(т, т2) = 1, то отсюда, используя дифференцируемость функ-
ции и, получаем ~и(т, х2) = 0, т. е.
au(z,r2) + эф,*г)21 = 0	(1)
дх	ду
Но, по условию,	= г, поэтому из (1) следует, что	j• ►
ЯП п	/	\	^2ц л
ОН. Пусть функция u = u(z, у) удовлетворяет уравнению —7 — -г—г = 0 и, кроме того,
дх* ду*
следующим условиям: д(т, 2т) = т, Д^(т, 2т) = г2. Найти д”т(т, 2т), u”s(t, 2z),	2т).
<	Дифференцируя обе части равенства д(т, 2z) = х по г:
ц^,(т, 2т) 4- 2u^(z, 2т) = 1
и пользуясь равенством д^(т, 2т) — г2, получаем т2 4- 2д^(т, 2z) = 1. Последнее равенство
снова дифференцируем по т:
2х 4- 2«yJ,(i, 2т) 4-4uyS(i, 2т) = 0.
Отсюда, учитывая уравнение и”х = а’^ и тождество и"у = иух, получаем
2и”г(х, 2х) 4- u"j,(r, 2т) = -т.
Далее, дифференцируя равенство ui(z, 2z) — т2 по х, имеем
и^Дт, 2т) 4- 2«i!/(t, 2т) = 2т.
Решая систему уравнений (1) и (2) относительно и"у и учитывая, что и
находим
(2)
u»s >
2т) = u"j,(r, 2т) = -у, и"у(х, 2т) = у. ►
81.	Найти решение z = г(х, у) уравнения = г2 4- 2у, удовлетворяющее условию
ду
Интегрируя уравнение по у, находим z(z, у) = х2у 4- у2 4- :р(т), где — пока неопре-
деленная функция. Для нахождения неизвестной функции используем условие а(т, т2) =
1 : z(z, т2) = х2х2 4- х* 4- ^(г) = 1- Отсюда v’(z) = —2т4 4- 1. Таким образом, z(t, у) =
х2у 4-у2 - 2т4 4- 1. ►
д2 z
82.	Найти решение z — z(x, у) уравнения -—т— = х Ч- у, удовлетворяющее условиям
dr ду
т(т, 0) = X, z(0, у) = у2.
4 Имеем
дг{х, у)
ду
f	X2
I (т 4- у) dx 4- v>o(y) у + х» + ¥>о(у).
х(х, У)
/ (т +	+ vo(y)^ dy =	4-	4- ^(у) 4- V'(z),
о
144
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента
v
где ¥>(у) = /^o(y)rfy.
О
Используя условие 0) = xt находим zfr, 0) = 0(я) = г; следовательно, л(г, у) =
4м + +¥’(?)+ х-
Даяее, из условия z(0, у) = у2 следует z(0, у) = ^(у) = у2. Таким образом, окончательно
имеем z(x, у) =	+ у2 + х. ►
d2z
83. Найти решение г = z(z, у) уравнения = 2, удовлетворяющее условиям z(x, 0) =
1, z£(r, 0) = г.
Ч Аналогично предыдущему а-^	= 2у 4- ^(r), z(x, у) = у2 + у^(т) + ^(х).
Принимая во внимание, что z(x, 0) = V’(r) = 1> гу(х, 0) S ^s(z) = 1, окончательно находим
г(х, у) = у3 + ху + 1. ►
Найти производную следующих отображений /о д\
о а * ,	1 /г COS <р \	,	.	/ \/х2 + у2 \
84. /; (т,	arctg — .если
z = г cos у = г sin р, (г, <р) £ D,
D = {(г, р) : 0 < а т R, О <р 2т — 6, 0 < # < 2я}.
Ч По формуле дифференцирования сложного отображения находим
(/одУ^Г д' = fC0Slp
w J! J а \ sin <р
-г sin s®
г cos
Поскольку х2 + у3 = г2, то из (1) и (2) получаем
{fog)' =
. ryiin у
"Т яа
Г]/ СОЛ if
О']
1 / 
1
о
(г cos р
г sin <р
z
9 : (z, y, z) >—
x = rcos ip, у a rsin <p, z = z, (r, 93, z) € £>,
D = {(r, tp, z) ; 0 < a r R, 0 p 2т — 6, |z| H, 0 < й < 2т).
Имеем
{fog)' =fg' =
cos p
sin ip
0
—г sin <p
r cos<^
0
rz Mil If
^a + v3
г д coa if
za4va
Учитывая равенства (1), окончательно находим
/1 0 0\
{/о д)' = I 0 1 0 I . ►
\° 0 1 /
§ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 145
86. Пусть
g : (r, p, 0) i->
ч \
г COS р sin в \	.9	I
г sin psin v I , J : (т y, z) i—*	x	I ।
r cos 9	/	arccos -------]
\	\/x2 +y2 + z2 /
(r, p, в) € D, D = {(r, p, 0) : 0 < a	г	Я, 0 p Sj 2x — 6, 0^0^ эг, 0 < £ < 2т},
x = r cos ipsin 0, у = sin p sin 0, z = rcos9.
Найти {fog}' и (gof)1.
< По формуле дифференцирования сложного отображения, находим
(/о J)' = /• У =
(^/»3+1/а+»а
V
>/l1 + k3(i3+SS + »1)
'cos р sin 0
sin ip sin 0
. COS0
—rsin ipsin 0
r cos ip sin 0
0
r cos p cos 0
г sin p cos 0
—rsin 0
Умножив матрицы и подставив вместо х,у и z их значения из (1), получим
/1 0 0\
(/о ду = 0 1 0
\0 0 1 /
Аналогично находим, что
/ 1 0 ° \
(g°f)' = I 0 1 0  ►
\0 0 1/
87. Найти F', если Г = (/о до h)(s, t, и),
f - (®, У) •->	/ x/х2 + у2 \ 1 arctg у ’	Я : (г, V3) <-*	( т cos ip X \ г sin уэ /	1 fe ; (s, t, u)	|	f stu \32 + t2 + и2
	X = Г COS	у = rsin	г = stu,	р = ? + t2 + и2.	
< Имеем
Г=?д'к'.
В силу ассоциативности произведения матриц, справедливо равенство
Г = {У • У)  Л'.
А поскольку
(х	У	\
Jx’+v’	1 (cosie	—rsin p \ _ fl	0\	h>_ftu	sa	st \
___... j V sin p	г cos ip/ \8	1/’	\2s	2t	2u /
*3+V3	x’+v3 /
to
_ f 1	0 \ f tu	su	st \ _ f tu	su	st \
2 “ Vo	1 / \ 2s	2t	2uJ ~ \2з	2t	2uJ-	*
Упражнения для самостоятельной работы
Найти частные производные следующих функций:
17. f(x, у) =	13. f(x, у, z) = 1п(ху2хэ). 1». f(x, у) ~ х*у + 2х2у2 + ху3 + х -у.
20- /(®. ») =	21. /(х. ») = ; 22. Дх, у) = (2х*у2 - х + I)3.
23. /(г, у) = arctg 24. f(x, у} - у/х2 + у2 ~ х + 1. 25. f(x, у, г) = \/х2 + у2 + z2.
146	Гл. 2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента
26. f(x, у') = 21 у. 27. f(x, у) = In (г3 + sin ху). 28. f(x: у, z) = ln(z3 + 2У + tg 3z).
29. f(x, у) — cos(2r + Зу + 1). 30. f(x, у) — е~* v. 31. f(x, у) = (z + l)2y + 1.
32. f(x, у) = arctg 7^. 33. f(x, у) = 2 v . 34. f(x, y} = Ln(e* + 2ey).
35. f(x, y) = arctg 36. ffx, y) = xy - | + j.
37.	f{x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy + xx + yz + xyz. 38. f{z, y, z) = (zy)1.
39.	f(xt y, z) = zly. 40. f(x, y, z) = arctg x + arctgy + arctg z.
Найти дифференциалы следующих функций:
41.	f(x,	у)	= sin(z2 + №) 42. /(г, у) = arccos (xy).	43.	f(x,	у)	= In	tg i.
44.	f(x,	y)	— arctg (z2 + y2). 45. /(x, y, z) = ln(r + у	-	z).	46.	/(z,	y) = xy.
47.	f(x,	y)	= cos(zy). 48. /(z, y) = x3 + y3 - xy.
49.	/(z,	y)	= e“ly. 50. f(r, y, z) = x3y + y3x + z3y.
Непосредственным вычислением производных проверить теорему Эйлера об однородных
функциях:
51.	/(z, у, z) = (z2 + у2 + z2)a In 1 52. f(x, у, z) =	. 53. /(z, y. z) = sin ——
s	_______ V1 +v +1
54.	f(x, y, z) = . J	. 55. f(x, y, z) = ^/z2 + y2 + z2 . 56. /(x, y) = arctg =).
Найти частные производные первого и второго порядков в следующих примерах:
57.	/(z, у) = jln(z2 +у2). 58. f(z, у) = arctgj^
59.	f(x, у) = zsin(z + у) + уcos(z + у). 60. /(z, у, z) = ^/z2 + у2 + z2.
Найти производные первых двух порядков от функций:
61.	и = <р(£, т>), £ = z + у, у = х - у. 62. и =	п), £ — z2 4- у2 -|- z2,	= xyz.
63.	и = <а(£, у), £ =	|.
64.	Показать, что если х2 = у£, у2 = <£, z2 = <у , то х£ + у % 4- z% =	+	.
65.	Полагая х = arcosa у = frrsinrt ifi, найти якобиан
Эх Ох
&Г Ol^
Эу
От
66.	Полагая z = arcos“ g>sina 0, у = 6rsin“ gjsina 0, z = cr cos'1 6, найти якобиан
9x	Ox
&r	&ч>
eH	aV	eU
v(r, e) Or	вв •
flz	Ot	&x
&r	Otp	&9
67.	Полагая x = у = fij - z = у - найти якобиан	
68.	Доказать, что если х = cos у = sin tp cos в, z = sin ip sin 6 cos t[>, то якобиан равен
— sin3 p sin2 6 sin
69. Доказать, что при ui
справедливо равенство
«2
= х2 + у2 + Z2,
= (1 -г2)-?.
Р(Х1,Х2,Х3}	*•	'
70.	Проверить, что — = а2-|^, если и =	*и31 .
71.	Проверить, что х|^ + у|^ + х^ = 0, если в =
Вычислить выражения:
72‘ 377 ~	+ 577, если u = ys(z + у).
73-	Ь? V -	' если “ = ¥’(г^)•
3 3. Неявные функции
147
Проверить следующие равенства:
74‘	+ г^) и = 0, и = -/г2 + У2 + г-2.
75-	£ + t + £ = ^'U=In(l3+*3 + *3-3^
76-	+ у2). 77. -0 - 0 - 2^ = a2u, u =	- у).
78.	0 “ 5^7 = ~2Ч>“, и = <₽(У - г) - т^'(у “ г)-
79-	(г2 - у2)£ + zy% = zyz, г = е^ ( уе^ ] . 80. 0 + 0 = 0. и = 1п(хг + у2).
81-	х2^ +2г«Й + »2ё =0' ’ если и = М!)'
821	+ 2гУ^ + У20 = п(п- 1)и, где и = Л>(|) + z‘-> (f).
S3,	0 - 20^ + 0 = 0. если u = х?(х + у) + yy*(z + у).
841	“2 ^“0 - (|в) ) = (“^7 - (fj)) , где u = ~р(ау + bx)lp(bx - ay}.
в»- £^=^.-™“=л*+^)).<*	
§	3. Неявные функции
3.1.	Принцип неподвижной точки.
Пусть X — метрическое пространство.
Определение 1. Оператор (отображение} А : X X называется сжимающим, если
36 S [0, 1[Л Vr, у g X : p(Ar, Ay) Sj 6p(z, у).
Из определения следует, что оператор А удовлетворяет условию Липшица и, следователь-
но, равномерно непрерывен.
Определение 2. Точка х t А называется неподвижной точкой оператора А, если
Ах = х т. е. если она является решением операторного уравнения Аг — х.
Теорема (Каччнополли—Пикара—Банаха). Всякий сжимающий оператор А, отобра-
жающий полное .метрическое пространство X в себя, имеет в этом пространстве един-
ственную неподвижную точку.
3.2.	Определение неявной функции.
Пусть задано отображение f : X х У —< Z, где X С R"1, У С R", Z С R", причем
множество Z содержит нулевой элемент пространства R".
Рассмотрим уравнение
Л«> у) = о.	(1)
Если существуют непустые множества Е С X и F С У такие, что V* € Е уравнение (1)
имеет единственное решение у € F, то можно определить отображение <р : Е —» F, поставив
в соответствие каждому х g Е то значение у = yi(x), У £ F, которое прн этом х является
решением уравнения (1). В этом случае уравнение (1) определяет <р как неявное отображение
Е —* F : х >-+ уз(х), которое называется неявным отображением (при n = 1 — функцией),
определяемым уравнением (1).
3.3.	Теоремы о неявной функции.
Пусть задано уравнение	1
f(n, Х2, ... , Ттп, у) = 0,	(1)
которое запишем в виде /(х, у) = 0.
Здесь в = (г,, х2, ... , Гт), х ё S (хо, а), Хо = (х?, z°, .. , im), У £ 5(у0, Ь), S(y0, 4) =
]уо — Ь, Уо +Ь[. Обозначим D = S(xq, а) х 5(уо, >)•