Е. П. ШКОЛЬНЫЙ, Л. А. МАЙБОРОДА
А ТМОСФЕРА
И УПРАВЛЕНИЕ
ДВИЖЕНИЕМ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ
Под редакцией
д-ра техн. наук,
проф. В. М. ПОНОМАРЕВА
ГИДР0МЕТЕ0ИЗДАТ
ЛЕНИНГРАД • 1973

УДК 551.510-1-62.503.4
В книге приводится анализ вероятностных характеристик
физических параметров атмосферы в нижнем 100-км слое,
полученных путем статистической обработки данных ракетного
зондирования. Разрабатываются модели случайных
составляющих физических параметров атмосферы, которые
применяются для решения задач исследования процессов управления
движением летательных аппаратов в атмосфере Земли.
Рассматриваются стохастические модели движения летательных
аппаратов и предлагаются методы статистического анализа
рассеивания траекторий движения, методы оценки влияния
атмосферных возмущений на движение летательных
аппаратов и методы статистической оптимизации систем управления
летательными аппаратами.
Рассчитана на инженеров, аспирантов, научных
сотрудников, преподавателей и студентов гидрометеорологических и
технических вузов, занимающихся проблемами физики и
структуры плотных слоев атмосферы Земли и проблемами
движения летательных аппаратов в атмосфере Земли.
The book treats the analysis of stochastic physical
parameters of the atmosphere within the lower 100 km layer based
on the statistically processed data of rocket sounding. Models
of the random components of atmospheric physical parameters
are developed to solve the problems of flying vehicle control
within the Earth's atmosphere. The stochastic theory of flying
vehicles motion is presented together with the methods of
statistical analysis of trajectory scattering and estimation
of atmospheric turbulence impact upon the vehicle motion.
Technique intended to obtain the optimal systems of vehicle
motion control are discussed.
The monograph is addressed to engineers, scientists,
postgraduates and students in the field of physics and structure
of the dense atmospheric layers and motion of flying vehicle
within the Earth's atmosphere.
Ш 0297-056
Ш 069(02)-73 4073

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Непрерывное расширение диапазона высот и скоростей
управляемых летательных аппаратов приводит к тому, что
взаимодействие летательного аппарата с окружающей средой при полете
в атмосфере приобретает в целом все более сложный характер.
Поэтому при решении задач динамики полета управляемых
летательных аппаратов необходимо все более полное знание
физических свойств атмосферы и закономерностей их изменения. В связи
с этим появилась необходимость обобщения на уровне
современных требований накопленного богатого экспериментального
материала.
Исследование движения летательных аппаратов в атмосфере,
а в особенности решение задач оптимизаций управления
движением летательных аппаратов, зависит не только от полноты
информации о свойствах атмосферы, но во все большей степени
от формы представления этой информации.
В данной монографии характеристики атмосферы представлены
в виде, наиболее пригодном для использования современного
математического аппарата при решении задач анализа динамики
управляемых летательных аппаратов и синтеза оптимального
управления их движением на цифровых вычислительных машинах. В этой
связи монография должна представлять большой интерес для
широкого круга научных работников, инженеров и аспирантов,
работающих в области теории и практики проектирования систем
управления летательных аппаратов. Для
специалистов-метеорологов могут оказаться весьма полезными как систематически
изложенные в монографии современные методы4 решения наиболее
сложных задач анализа и синтеза нелинейных стохастических
динамических систем, так и обстоятельное изложение материала по
методам представления случайны^ составляющих
термодинамических параметров атмосферы. ^ " .
Сотрудничество двух* специалистов в смежных областях
науки — метеорологии и теории управления летательными
аппаратами— безусловно способствовало повышению научного уровня
и прикладной направленности монографии. Все это позволяет
надеяться, что книга будет полезной для широкого круга читателей.
1*
В. М. Пономарев
3

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Среди многочисленных проблем, возникших в последние годы
в связи с освоением околоземного пространства и бурным
развитием летательных аппаратов, большое значение имеет проблема
управления движением летательных аппаратов в плотных слоях
атмосферы.
Анализ и синтез систем управления движением летательных
аппаратов в плотных слоях атмосферы с учетом случайного
рассеивания ее физических параметров относительно их номинальных
значений, определенных моделями стандартной атмосферы,
приводит к необходимости решения двух взаимосвязанных между собой
проблем.
С одной стороны, это проблема определения статистических
характеристик случайных составляющих физических параметров
плотных слоев атмосферы и разработка моделей и форм
представления полученной информации.
С другой стороны, это проблема разработки методов и
алгоритмов учета действия случайных составляющих физических
параметров 'атмосферы при решении задачи анализа рассеивания
траекторий летательных аппаратов и задачи синтеза систем
управления движением летательных аппаратов, обеспечивающих
требуемую точность выдерживания заданных траекторий полета.
Успех решения задач анализа и синтеза систем управления
движением летательных аппаратов в значительной мере
определяется формой и точностью задания случайных составляющих
физических параметров атмосферы в математических моделях
движения летательных аппаратов. Поэтому в предлагаемой читателю
монографии авторы сделали попытку собрать и обобщить
обширный материал радиозондовых, ракетных и радиометеорных
физических параметров измерений атмосферы, определить
статистические характеристики случайных составляющих физических
параметров атмосферы и построить математические модели для
моделирования этих случайных составляющих на аналоговых и
цифровых вычислительных машинах применительно к задачам
управляемого полета летательных аппаратов. При этом в книге
большое внимание уделено обобщению и систематизации методов
статистического исследования процессов управления движением
летательных аппаратов в плотных слоях атмосферы, разработке
4

методов оценки влияния отдельных компонентов физических пара-
метров атмосферы на процесс движения и изложению методов
численной оптимизации систем управления движением летательных
аппаратов.
Изложение материала рассчитано на читателя, имеющего
математическую подготовку в объеме вуза и знакомого с основами
теории вероятностей, теории случайных функций и теории
автоматического управления.
Мы считаем своим приятным долгом выразить глубокую
благодарность профессорам М. И. Юдину, Е. П. Борисенкову, канд.
физ.-мат. наук А. И. Ивановскому и канд. техн. наук А. А. Лука-
шевскому, которые на разных этапах подготовки рукописи сделали
ряд полезных замечаний, способствующих улучшению книги.
Авторы будут признательны читателям, которые сочтут
возможным выслать свои критические замечания, отзывы и пожелания
в адрес Издательства.

ВВЕДЕНИЕ
На движение летательных аппаратов (самолетов, вертолетов,
ракет, космических кораблей и других подвижных объектов)
в атмосфере Земли, помимо силы тяги, силы тяжести и
аэродинамических сил, оказывает влияние также большое число случайных
воздействий. К ним относят обычно флуктуации силы тяги
двигателей; силы, связанные со случайными перекосами при монтаже
крыльев, стабилизаторов, камер сгорания, рамы двигателей;
случайные составляющие аэродинамических сил и др. В значительной
мере движение летательных аппаратов определяется состоянием
атмосферы Земли.
Состояние атмосферы Земли характеризуется рядом
физических параметров, которые испытывают большую изменчивость под
влиянием процессов, протекающих внутри самой атмосферы
(циклоническая и антициклоническая деятельность, конвентивный и
турбулентные потоки тепла и т. д.), а также под действием
процессов, происходящих на Солнце (потоки электромагнитной и
корпускулярной радиации). Состояние атмосферы определяется
также временем года, суток и широтой места.
Указанные процессы определяют главным образом состояние
плотных слоев атмосферы, под которыми понимаются нижние ее
слои (тропосфера, стратосфера и мезосфера).
При движении летательного аппарата в плотных слоях
атмосферы на него действуют сила тяги Р, сила тяжести G и
аэродинамические силы Q, К, Z. Рассмотрим уравнения движения центра
масс самолета в земной системе координат. Начало координат 0\
этой системы неподвижно относительно Земли, ось 0\у направлена
по силе тяжести G, ось 0\Х направлена в сторону движения
самолета, а ось 0\Z перпендикулярна к осям 0\Х и 0\у и направлена
так, что составляет правую систему координат.
Так как аэродинамические силы зависят от направления
вектора скорости движения центра масс самолета, то вводят
поточную систему координат. Начало координат этой системы
расположено в центре масс самолета. Ось Охп направлена по вектору
скорости, ось Оуп перпендикулярна к Охп и лежит в плоскости
продольной симметрии самолета, ось Ozu направлена
перпендикулярно к Охи и Оуи в правое крыло самолета при его движении
вперед.
6

Движение отдельных частей летательного аппарата по
отношению к его центру масс определяют в связанной система координат,
начало координат которой также расположено в его центре масс.
При этом ось Охс направлена параллельно продольной оси
самолета, ось Оус перпендикулярна к Охс и лежит в плоскости
продольной симметрии, ось Ozc направлена в правое крыло самолета
перпендикулярно Охс и Оус.
Уравнения равновесия сил в проекциях на оси поточной
системы координат имеют вид:
т ~ = Р cos a cos р — Q — G sin 6; |
mv^= Psina + F-GcosG; } (1)
cos 6 mv —ГГ = P cos a sin p — Z. I
Здесь m — масса летательного аппарата; v — скорость
летательного аппарата; 0—угол наклона вектора скорости к горизонту;
г|)п — поточный угол рыскания (угол между проекцией вектора
скорости на плоскость горизонта и осью 0\х)\ а — угол атаки
(угол между проекцией вектора скорости самолета на продольную
плоскость симметрии усхс и продольной осью); р — угол
скольжения (угол между вектором скорости и его проекцией на
продольную плоскость симметрии);
Q
Y
Z
— проекции аэродинамических сил на оси связанной системы
2
координат; Сх, Су, Cz — аэродинамические коэффициенты; q — -if —
скоростной напор; vB — воздушная скорость летательного
аппарата; р — плотность воздуха; S — характерный размер, к которому
отнесены коэффициенты.
Воздушная скорость vB определяется скоростью летательного
аппарата и проекциями скорости ветра вдоль меридиана и
параллели (и и у), а также проекцией скорости ветра w на вертикаль.
с.
Су
cz
2
Р»в
2
Р«в
2
Ч
s,\
S
(2)
7

Уравнения движения центра масс летательного аппарата можно,
записать в виде:
dx
dt
= v cos 6 cos фп;
f = ,sine;
dt
= v cos 6sin<|>n.
(3)
Системы уравнений (1), (3) описывают движение центра масс
летательного аппарата в земной системе координат. Из выражений
(2) следует, что аэродинамические силы определяются плотностью
воздуха р. Аэродинамические коэффициенты Сх, Су и Cz при
околозвуковых, звуковых и сверхзвуковых скоростях движения
летательных аппаратов зависят от углов атаки а и скольжения р,
числа М и числа Рейнольдса Re:
С, = С,К Р, УМ, Re)
Су = Су(а,р,Ж, Re)
С2 = С2(*, Р, Мч Re)
м-i-
Re
(4)
где / — длина летательного аппарата, v — динамическая вязкость
воздуха, vB — скорость распространения звука в воздухе.
Скорость звука определяется через характеристики
невозмущенного потока формулой
a = VkRTy
где k — отношение удельных теплоемкостей, R — газовая
постоянная воздуха, Т — абсолютная температура невозмущенного потока.
Суммируя вышесказанное и учитывая взаимосвязь
температуры, давления и плотности воздуха, можно отметить, что
движение летательного аппарата в плотных слоях атмосферы
определяется термодинамическими параметрами воздуха (плотностью,
давлением и температурой) и ветром.
При расчете траекторий летательных аппаратов в плотных
слоях атмосферы используется стандартная атмосфера (в СССР
принята стандартная атмосфера СА-64 для высот до +200000 м).
Однако фактические траектории, как правило, значительно
отличаются от расчетных. Одной из причин этого являются
отклонения действительного состояния параметров атмосферы (Г, р, р)
от принятых в модели значений (ГСт, /?ст, рст):
АГ = Т - Гст,
Ар = р~- /7СТ,
*Р = Р — рст-
8

Возможны три направления в учете влияния атмосферы на
движение летательных аппаратов. Первое из них заключается
в использовании фактического распределения физических
параметров атмосферы. По своей сути оно является наиболее
эффективным, однако в настоящее время еще нет способов определения
состояния параметров атмосферы с нужной точностью и полнотой
в заданное время.
Второе направление связано с определением значений
физических характеристик атмосферы путем использования
гидродинамических моделей. К сожалению, такие модели для стратосферы и
мезосферы еще не разработаны вследствие очень больших
трудностей математического описания происходящих в них процессов,
а существующие гидродинамические модели, позволяющие предвы-
числять поля температуры и давления в тропосфере, не дают пока
необходимой точности.
Наконец, третье направление предполагает использование
статистических характеристик физических параметров атмосферы и
суть его заключается в следующем. Как известно, движение
летательного аппарата описывается в общем случае системой
нелинейных дифференциальных уравнений, в правые части которых входят
внешние случайные возмущения, в том числе и атмосферные
возмущения. Если статистические характеристики атмосферных
возмущений известны, то различные методы статистического анализа
динамических систем дают возможность определить
характеристики рассеивания траекторий движения аппаратов в плотных
слоях атмосферы.
Сказанное в полной мере относится к задачам управления
космическими полетами. В этом случае статистические
характеристики флуктуации физических параметров атмосферы
используются при решении задач оптимизации систем управления полетом
и прогнозирования состояния атмосферы в целях управления.
В предлагаемой монографии авторы останавливают свое внимание
именно на этом третьем направлении.
Монография состоит из двух частей, связанных друг с другом,
но в то же время обладающих определенной автономностью.
Последняя заключается в том, что представленные в них результаты
могут быть использованы при решении других, не связанных с
рассматриваемой проблемой задач.
В первую часть входят четыре первые главы книги,
посвященные собственно атмосфере. В первой главе рассматриваются
особенности температурного режима, распределения давления и
плотности воздуха в плотных слоях атмосферы, кратко анализируются
причины, порождающие те или иные изменения перечисленных
физических параметров атмосферы, указываются пределы
возможных изменений этих параметров. Особенностям ветрового режима
в тропосфере, стратосфере и мезосфере посвящена вторая глава.
Третья глава содержит сведения о вертикальной статистической
структуре йолей температуры, давления, плотности воздуха и ветра
в плотных слоях атмосферы. Представленные в этой главе
9

многочисленные статистические характеристики получены для двух
групп широт на основе данных американского ракетного
зондирования. Они подробно анализируются и оцениваются с точки зрения
их статистической значимости.
Четвертая глава является тем мостиком, который соединяет
структуру полей физических параметров атмосферы с вопросами
статистического анализа динамических систем и синтеза
управлений. В ней рассматривается ряд статистических моделей
физических параметров атмосферы. Содержащиеся в главе теоретические
выводы широко иллюстрируются конкретными примерами
моделей температуры, плотности воздуха и составляющих скорости
ветра.
Вторая часть книги состоит из четырех последних глав и
посвящена изложению методов статистического исследования
процессов управления движением летательных аппаратов в плотных
слоях атмосферы, описанных нелинейными дифференциальными
уравнениями.
В пятой главе на базе указанных выше статистических моделей
строятся математические модели процессов движения летательных
аппаратов в плотных слоях атмосферы, описанных нелинейными
дифференциальными уравнениями. Основное внимание в этой
главе уделяется методам статистического анализа рассеивания
параметров траекторий движения летательных аппаратов при
использовании различных математических моделей. Наряду с
методами статистического исследования нелинейных процессов по
линейному приближению излагаются приближенные численные
методы статистического анализа нелинейных систем (метод
статистических испытаний, метод Б. Г. Доступова, интерполяционный
метод и др.), указываются пути использования метода
наименьших квадратов в задачах статистического анализа. Актуальными
задачами исследования движения летательных аппаратов в
атмосфере Земли являются задачи оценки влияния атмосферных
возмущений на рассеивание траекторий движения. Рассмотрению
методов их решения и посвящена шестая глава. Значительное
внимание в ней уделяется изложению метода вероятностной
аппроксимации применительно к задачам построения
полиномиальных зависимостей параметров движения от случайных факторов,
характеризующих атмосферные возмущения.
В главе седьмой излагаются численные методы статистической
оптимизации процессов управления движением летательных
аппаратов в плотных слоях атмосферы. Развитие численных методов
статистической оптимизации процессов управления стало
возможно благодаря применению в практике проектирования систем
управления быстродействующих цифровых вычислительных машин.
Это определило и характер рассматриваемых в книге методов и их
алгоритмической структуры. В этой главе дается сравнительная
характеристика различных вычислительных аспектов методов
поиска экстремума для статистических характеристик стохастических
процессов управления.
10

Рассмотренные в данной главе методы и алгоритмы
статистической оптимизации могут успешно применяться и для
оптимизации стохастических процессов управления различными объектами
других типов, описанных нелинейными стохастическими
дифференциальными уравнениями.
Восьмая глава посвящена методам статистического
прогнозирования параметров движения летательных аппаратов, описанных
нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями.
Вывод математических соотношений для решения задачи прогноза
фазовых координат дается в рамках регрессионного анализа.
В книге приводится большое количество статистических
характеристик физических параметров атмосферы и результатов
решения практических задач.

ГЛАВА 1
ОСОБЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ, 1
ДАВЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА 1
В ПЛОТНЫХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ I
§ 1.1. Температурный режим в тропосфере, стратосфере 1
и мезосфере I
Температурный режим является одним из основных факторов, 1
определяющих физическое состояние атмосферы. Неравномерное и
распределение температуры в атмосфере обусловливает определен- I
ную структуру поля давления и следовательно, циркуляцию атмо- 1
сферы относительно земной поверхности. 1
Изменение температуры в атмосфере происходит под действием 1
двух основных причин. Первой из них является взаимодействие 1
атмосферы с подстилающей поверхностью, второй — процессы, ко- 1
торые происходят внутри самой атмосферы. 1
Изменение температуры воздуха во времени в некоторой точке 1
пространства может быть описано с помощью уравнения 1
дТ 1 . . . ч . A dp I дТ . дТ\ ОТ ,л 1Ч II
в котором р — плотность воздуха; ср — теплоемкость воздуха при II
постоянном давлении; А—термический эквивалент работы; 8ь 82, Я
8з — притоки тепла, обусловленные турбулентной теплопровод- щ
ностью, лучистым теплообменом и фазовыми превращениями воды 1
в атмосфере соответственно; и, vy w — составляющие скорости дви- II
жения воздуха относительно осей #, у и z (ось х — касательна ]|
к кругам широт, ось у— к меридианам, ось z — направлена вер- 11
тикально вверх); Т — температура воздуха в абсолютной шкале; II
р — давление воздуха. ]|
В тропосфере вторым членом уравнения (1.1) из-за его ма- II
лости можно пренебречь. В верхней атмосфере, как показано 11
в теории атмосферных приливов, это слагаемое играет уже суще- И
ственную роль. Остальные члены уравнения (1.1) описывают изме- I
нение температуры вследствие притока тепла, адвективного пере- Ц
носа и адиабатического подъема или опускания масс воздуха. 1
Главным источником тепла для земной поверхности и атмо- 1
сферы является солнечная радиация. Лучистая энергия Солнца, 1
проходя через атмосферу, значительно ослабляется. Ослабление I
12

ее происходит за счет рассеивания и поглощения молекулами и
атомами газов, составляющих атмосферу, а также находящимися
в воздухе примесями. Однако большая часть солнечной энергии
проникает сквозь атмосферу и поглощается земной поверхностью.
В свою очередь поверхность земли является источником
длинноволнового излучения, которое поглощается атмосферой. Разность
между количеством поглощенной прямой и рассеянной солнечной
радиации и излучением подстилающей поверхности, т. е.
радиационный баланс поверхности земли, является одним из важнейших
факторов, определяющих температурный режим нижнего слоя
атмосферы — тропосферы. Исследования показывают [55], что
в экваториальной зоне между 39° северной и южной широт
радиационный баланс в течение всего года положителен. К северу и югу
от этой зоны в холодное время года он отрицателен.
Передача тепла от подстилающей поверхности к воздуху
осуществляется через турбулентный обмен и длинноволновое
излучение. Большое значение в тепловом режиме тропосферы имеет
тепло, реализуемое в результате фазовых переходов воды.
Турбулентный перенос играет основную роль в нижней тропосфере.
В верхней тропосфере он заметно ослабевает и лучистый поток
тепла становится определяющим. В стратосфере, как показали
исследования [18], турбулентная температуропроводность играет
существенную роль. Во всяком случае без учета турбулентного
переноса тепла не удается понять, каким образом радиационные
условия, существующие в стратосфере, приводят к формированию
профилей температуры. По-видимому, это же относится и к мезо-
сфере. Основными поглощающими компонентами атмосферы
являются водяной пар, углекислый газ и озон.
Количество тепла, которое поступает на единицу площади
земной поверхности в низких широтах в течение года значительно
превосходит количество тепла, поступающее в высокие широты.
Таким образом, величина нагрева земной поверхности в среднем
уменьшается от экватора к полюсу. В связи с этим в тропосфере
возникает горизонтальный градиент температуры, направленный
от полюса к экватору.
Если для тропосферы основным источником тепла является
нагретая солнечными лучами земная поверхность, то в стратосфере
и мезосфере распределение температуры по высоте и широте,
а также сезонные ее изменения определяются поглощением
коротковолнового солнечного излучения, а также излучения тропосферы
в инфракрасной области спектра. Наибольшее значение в
поглощении ультрафиолетовой радиации Солнца в стратосфере и
мезосфере имеет озон.
Озон наблюдается в слое атмосферы от земной поверхности
до высоты 70—80 км, но наибольшее его количество сосредоточено
на высотах 20—25 км. Основную роль в поглощаемой озоном
ультрафиолетовой части спектра играет полоса Гартлея (1800—
3400 А). Поглощение этой части спектра солнечной радиации
13

приводит к нагреванию атмосферы, максимум которого приходится
на высоты 45—55 км. Кроме того, нагревание атмосферы
происходит еще и за счет поглощения радиации Солнца молекулярным
кислородом. Наиболее заметным оно оказывается на высотах
более 90 км. Излучение тепла в стратосфере и мезосфере происходит
главным образом в полосе 15 мкм для углекислого газа и 9,6 мкм
для озона. Суммарный эффект нагревания и охлаждения, как
показывают исследования [26], для летнего сезона в слое атмосферы
от 14 до 30 км не превышает 1°/сутки. Таким образом, этот слой
близок к состоянию лучистого равновесия. Зимой он несколько
увеличивается от экватора к полярным широтам.
Верхняя стратосфера и нижняя мезосфера являются летом
мощным источником тепла, который имеет максимальную
интенсивность в полярной области летнего полушария. В зимнем
полушарии, за исключением полярных широт, также преобладает
нагрев над охлаждением, однако источники тепла здесь оказываются
слабее, чем в летнем полушарии. В полярных широтах зимой,
наоборот, охлаждение превалирует над нагреванием. В общем
подобная картина наблюдается и в верхней мезосфере, хотя
источники и стоки тепла в ней слабее. В области мезопаузы, например,
преобладает небольшой приток тепла, максимум которого, равный
4°/сутки, располагается вблизи летнего полюса. Примерно такой
же максимум стока тепла расположен непосредственно в области
зимнего полюса.
Исследования показали [109], что стратосфера и мезосфера
очень чувствительны к флуктуациям солнечного излучения.
Изменение поглощения ультрафиолетового излучения озоном выше
35 км и кислородом выше 20 км на 12% приводят к изменению
температуры на 2° С. Стратосфера в слое от 20 до 35 км еще более
чувствительна к флуктуациям поглощения солнечной радиации
в видимой части спектра. Например, увеличение видимого
излучения на 3—6% приводит к увеличению температуры в указанном
выше слое атмосферы также на 2° С. Поэтому большое значение
имеет отражение видимого излучения снизу, особенно от облаков.
Установлено, что большие и плотные облачные поля,
наблюдающиеся в средних широтах зимой, могут увеличивать за счет
отражения количество поступающей в стратосферу радиации в
видимом участке спектра на 35%, что способствует увеличению
температуры в некоторых ее областях примерно на 10° С [109].
Радиационные условия в стратосфере и мезосфере приводят
к тому, что летом горизонтальный градиент температуры
направлен с юга на север, а зимой — с севера на юг (здесь и в
дальнейшем рассматривается градиент как вектор, направленный в
сторону возрастания функции). Следствием такого распределения
температуры является то, что зимой в рассматриваемых слоях
атмосферы развивается западный перенос масс воздуха. Летом,
наоборот, преобладает перенос с востока на запад. В тропосфере
же западный перенос является преобладающим во все сезоны года.
Однако в зональной циркуляции постоянно возникают волны, ко-
14

торые приводят к появлению меридиональной составляющей
движения воздуха. Происходит адвективный перенос масс холодного
воздуха к югу, а теплого воздуха к северу. В результате
межширотного обмена наблюдается перераспределение энергии между
теплыми и холодными областями атмосферы. Наибольшую
интенсивность межширотный обмен приобретает в холодную половину
года.
Адвективные изменения температуры в тропосфере могут иногда
превышать 10° С за сутки. Такие же по величине адвективные
изменения температуры наблюдаются и в стратосфере. Выше 40 км
адвективный перенос масс воздуха может приводить к еще
большим изменениям температуры воздуха, В стратосфере над пунктом
Уайт-Сэндс за счет адвективного фактора в слое атмосферы 40—
50 км за сутки температура может возрастать на 10° С и более
и понижаться на 30° С и более [88]. Такие же по величине
адвективные изменения температуры в стратосфере получены и в
работах [63, 106].
Как указывалось выше, в атмосфере происходят также
адиабатические изменения температуры, которые связаны с
упорядоченными вертикальными движениями большого масштаба. В
тропосфере восходящие и нисходящие движения возникают в результате
термической конвекции и горизонтальной конвергенции или
дивергенции воздушных потоков, возникающей вследствие турбулентного
трения в пограничном слое атмосферы и нестационарности
процессов, происходящих в атмосфере. Наиболее важную роль в
тепловом режиме атмосферы играют упорядоченные вертикальные
движения, охватывающие достаточно большие объемы воздуха.
Скорость упорядоченных вертикальных движений невелика.
В среднем она равна 1—2 см/с и может изменяться от нескольких
десятых долей до 5—10 см/с. Они приводят к изменению
температуры в тропосфере на 3—5° С в сутки.
В стратосфере и мезосфере летом упорядоченные вертикальные
движения также имеют небольшую величину [94, 106]. Их
скорость составляет, как правило, несколько мм/с. Зимой
вертикальные движения в стратосфере имеют примерно такую же величину,
как и в тропосфере. Вертикальные движения в этом слое
атмосферы также приводят к изменению температуры на
соответствующих уровнях, причем эти изменения тем больше, чем более
устойчива температурная стратификация воздуха.
На основе данных, полученных с помощью прямых и косвенных
наблюдений, В. Р. Дубенцовым [16] построен вертикальный
меридиональный разрез температуры до высоты 100 км (рис. 1.1). На
разрезе показано положение переходных слоев между сферами,
на которые делится нижний 100-километровый слой атмосферы.
Поле температуры, как показано на рис. 1.1, обладает рядом
особенностей. В стратосфере и нижней мезосфере летом
располагается область тепла с максимальными температурами над
приполюсным районом. Дальнейшему росту высоты сопутствует быстрое
падение температуры, и в верхней мезосфере обнаруживается уже
15

область холода, причем самые низкие температуры также
наблюдаются в приполюсной области.
Зимой в нижней стратосфере температура понижается до
высоты примерно 30 км. Выше 30 км она несколько повышается и
им Лето Зима
Рис. 1.1. Распределение температуры до высоты 100 км
затем снова падает. Вертикальные градиенты температуры зимой
в мезосфере имеют значительно меньшую величину, чем летом.
Данные ракетного зондирования атмосферы свидетельствуют
о том, что в стратосфере Арктики существует почти изотермический
слой атмосферы от 10 до 30 км [78]. Только выше 30 км
происходит рост температуры воздуха с высотой. В умеренных широтах
16

изотермический слой несколько уже. Вертикальный градиент
температуры на высотах 50—55 км в полярных широтах изменяется
в сравнительно широких пределах. Если в начале полярной ночи
он составляет в среднем 1,5°/км, то к концу полярной ночи он
достигает 5,5%ш. В средних широтах вертикальный градиент
температуры в этом слое атмосферы равен в среднем примерно 2°/км.
О вертикальном профиле температуры в тропических широтах
можно судить лишь по эпизодическим наблюдениям, проведенным
с помощью метеорологических ракет.
Исследования свидетельствуют о том, что в
приэкваториальной зоне сезонные изменения температуры в стратосфере, мезо-
сфере и нижней термосфере невелики [114]. На небольшие
сезонные изменения температуры воздуха в низких широтах
указывается также в работе [89]. Авторы [89], подвергая гармоническому
анализу экстраполированную на 15° с. ш. температуру воздуха,
получили амплитуды и фазы годового и полугодового циклов
изменения температуры на разных высотах (табл. 1.1).'
Таблица 1.1
Амплитуды и фазы годового и полугодового циклов
изменения температуры для тропической зоны (15° с. ш.)
Высота,
км
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
6-месячный цикл
амплитуда,
град.
2,2
2,8
1,2
1,1
1,3
2,0
дата первого
максимума
21/IV
3/V
9/IV
24/Ш
27/Ш
1/Ш
12-месячный цикл
амплитуда,
град.
0,8
0,8
1,3
1,4
1,2
1,6
дата первого
максимума
12/V
21/1
3/1V
27/1
3/1
6/ХН
Как следует из табл. 1.1, амплитуда годовых и полугодовых
колебаний температуры в слое атмосферы от 37,5 до 52,5 км
примерно одинакова. На более низких уровнях амплитуда
полугодовых колебаний почти в 3 раза превышает амплитуду годовых
колебаний.
В табл. 1.2 представлены годовые разности между максимумом
и минимумом среднемесячных температур, полученные для 15, 30
п л СЛШ- Коулом, Кантором и Ни [89] и для 40, 50, 70 и 80 с. ш.
V1- А. Рязановой [63].
ват Табл' 1<2 следУет' что амплитуда годовых колебаний темпе-
ши РЫ В03Растает с увеличением широты и особенно быстро на
иРотах более 40°, где она увеличивается в 3—4 раза.
f l?f v?iw"
1 ■■■ тЩ
17

Таблица 1.2
Годовые разности между максимумом и минимумом
средних месячных температур (°С) на различных высотах
и широтах
Высота,
км
25,0
27,5
30,0
32,5
35,0
37,5
40,0.
42,5
45,0
47,5
50,0
52,5
15
5,4
6,5
3,9
4,2
3,4
7,0
30
4,9
5,5
7,7
8,2
8,6
7,9
7,2
7,0
6,7
5,4
5,0
4,0
Широта,
40
11,0
11,0
9,0
8,0
50 |
23,0
21,0
22,0
28,0
22,0
град.
60 |
18,0
20,2
23,0
24,0
28,0
28,8
29,5
30,3
27,2
23,2
17,0
17,0
70 |
34,0
37,0
40,0
39,0
40,0
80
40,0
46,0
38,0
42,0
36,0
Амплитуда суточного колебания невелика. Таблица 1.3
содержит амплитуды суточного и полусуточного колебаний температуры
над Азорскими островами [99], полученные путем гармонического
анализа данных радиозондирования атмосферы.
Таблица 1.3
Амплитуда суточных и полусуточных изменений
температуры над Азорскими островами
Высота,
км
1,5
3,0
5,5
9,0
Амплитуда, °С 1
полусуточная
0,02
0,02
0,04
0,04
суточная
0,20
0,14
0,19
0,27
Высота,
км
12,0
16,0
20,0
24,0
Амплитуда, °С
полусуточная
0,04
0,09
о; 1б
0,09
суточная
0,29
0,40
0,68
0,78
Амплитуда суточного хода температуры возрастает до 1,0—
1,5° С на высотах 25—30 км и до 3—5° С на высотах 40 км и
более [7].
Специальные исследования суточного хода температуры в слое
атмосферы от 30 до 60 км проводились над американским
полигоном Уайт-Сэндс [88]. С этой целью было запущено И
метеорологических ракет с интервалами между пусками 2 часа.
18

Юг
o\
-10
-20\
0
~10\
ч.У
/v
Результаты наблюдений представлены на рис. 1.2, из которого
следует, что суточный ход температуры наиболее четко выражен
на высотах 45—55 км. Максимум температуры в этом слое
атмосферы наблюдается в момент времени, близкий к 14 часам, а
минимум температуры — около 4 часов местного времени. Разность
между максимумом и минимумом температуры на этих высотах
составляет 15—20° С. Ниже
45 км суточный ход
температуры выражен менее
отчетливо.
** Большое внимание в
последнее время уделяется
исследованию корреляционных
связей температуры воздуха на
разных уровнях в тропосфере -2о\
и нижней стратосфере. Было
показано [30, 38, 68, 69], что
в тропосфере высоких и
средних широт
автокорреляционная связь температуры с
увеличением высоты уменьшается.
На уровне тропопаузы
коэффициенты корреляции
уменьшаются до нуля и выше
становятся отрицательными. Средние
квадр атические отклонения
температуры по ограниченному
ряду данных ракетного
зондирования (около 200
отечественных и зарубежных
зондирований) были получены
А. С. Боровиковой и О. Б. Мерцаловой [8], а также В. Г. Кидия-
ровой [27] для слоя атмосферы 30—80 км. Они свидетельствуют
о том, что изменчивость температуры в этом слое атмосферы
составляет 6—12%. Подробнее о статистических характеристиках
температуры и других параметров атмосферы говорится ниже.
О
-/01
-20
-25
-35
-45
-55
-Ч5\
-55
В 16
711
I l I I I I l
Ним
55
50
45
40
435
430
8
811
16
0 в
911 136кг.
Рис. 1.2. Суточный ход температуры над
Уайт-Сэндс
§ 1.2. Особенности распределения давления в тропосфере,
стратосфере и мезосфере
Общие закономерности изменения давления с высотой более
просты, чем у изменения с высотой температуры воздуха. Если
температура воздуха в одних слоях атмосферы убывает, а в
других растет, то давление с высотой непрерывно убывает. Однако
скорость убывания давления не одинакова. Она зависит от
плотности воздуха. В нижних слоях атмосферы, где плотность воздуха
больше, давление убывает быстрее, а в верхних — медленнее.
Кроме того, если учесть, что плотность воздуха зависит не только
19
I

I
I
от высоты над уровнем моря, но и от температуры воздуха, то |
можно прийти к выводу, что давление на одних и тех же высотах |
может изменяться по-разному. 1
На барический рельеф атмосферы на некоторой высоте оказы- |
вают влияние два фактора: давление на уровне моря и средняя |
температура слоя, заключенного между уровнем моря и рассмат- j
риваемой поверхностью. Влияние этих факторов не везде одина- 1
ково. С увеличением высоты все большую роль играет средняя |
температура слоя и все меньшую роль — давление на уровне моря.
Рис. 1.3. Карта высот изобарической поверхности 10 мб
23 мая 1959 г.
Уже в средней тропосфере наблюдается, как правило, почти
полное соответствие низких значений высот изобарических
поверхностей низким значениям средних температур. Следовательно,
высотные области пониженного давления (циклоны и ложбины)
образуются там, где располагается относительно холодная масса J
воздуха, а высотные области повышенного давления атмосферы
(антициклоны и гребни) формируются в массах теплого воздуха. |
Короче говоря, структура поля давления в атмосфере зависит от |
структуры поля температуры. |
Как отмечалось в § 1.1, в тропосфере наиболее высокие темпе- ||
ратуры воздуха наблюдаются в тропической зоне, а наиболее низ- |
кие — в полярных районах. Такое распределение тепла и холода \
характерно как для зимы, так и для лета, поэтому изобарические 1
поверхности в тропосфере в среднем располагаются наиболее вы- I
соко в тропиках [55]. 1
20

В стратосфере барическое поле, как и поле температуры,
обладает ярко выраженной сезонностью. В связи с тем, что летом
полярная область нагревается наиболее сильно и, следовательно,,
градиент температуры направлен с юга на север, наиболее
высокие значения геопотенциала наблюдаются над полюсом. К югу
изобарические поверхности понижаются. Типичное для летнего-
сезона барическое поле показано на рис. 1.3 [24]. Зимой, наоборот,
самые низкие значения высот изобарических поверхностей в
стратосфере отмечаются над полюсом, как, например, на карте бариче-
Рис. 1.4. Карта высот изобарической •. поверхности 10 мб
1 января 1962 г.
ской топографии изобарической поверхности 10 мб на 1 января
1962 г. (рис. 1.4). Таким образом, зимой барическое поле в
стратосфере имеет сходство с барическим полем в тропосфере.
Исследования показывают, что сезонные вариации средних
значений давления в стратосфере и мезосфере имеют большую
величину, особенно в полярных районах [27]. Зимой они одинаковы
во всем слое атмосферы от 30 до 70 км и составляют примерно-
20%, летом растут с высотой от 20% на высоте 30 км до 32% на
высоте 50 км, при дальнейшем увеличении высоты остаются почти
постоянными.
Изменчивость давления атмосферы относительно среднего за
сезон значения оказывается больше зимой, чем летом [27]. Если
qc о/ОЙ в слое от 30 до 80 км давление колеблется в пределах 25—
°>5 /о, то летом его изменчивость составляет 10—15%.
21

Кроме сезонных изменений, давление атмосферы обладает
суточными вариациями (табл. 1.4).
Таблица 1.4 содержит суточные и полусуточные вариации
давления над Азорскими островами [99].
Таблица 1.4
Величины амплитуд суточных и полусуточных вариаций давления
атмосферы над Азорскими островами [99J
Высота,
км
1,5
3,0
5,5
9,0
12,0
Амплитуда, мб
суточная
0,18
0,25
0,28
0,32
0,32
полусуточная
0,47
0,37
0,29
0,18
0,14
Высота,
км
16,0
20,0
22,0
30,0
Амплитуда, мб
суточная
0,26
0,21
0,18
0,12
полусуточная
0,09
0,07
0,05
0,01
Из табл. 1.4 следует, что до высоты 5,5 км амплитуда
полусуточных изменений превышает амплитуду суточных изменений
давления. Амплитуда полусуточных вариаций быстро уменьшается
с высотой и в средней стратосфере становится незначительной.
Дальнейшее увеличение высоты связано с ростом полусуточных
вариаций давления. Амплитуда суточных изменений давления
достигает максимума на высотах 9—12 км и затем медленно
уменьшается с высотой. Относительные же величины амплитуды
суточных вариаций давления с высотой возрастают. Если на высоте
3 км средняя за год амплитуда суточных изменений давления
составляет 0,03%, то на высоте 9 км она увеличивается до 0,1%,
на высоте 20 км — до 0,4% и на высоте 30 км — до 1,2%. Суточные
изменения давления возрастают с высотой и выше 30 км, особенно
б высоких широтах зимой.
Данные ракетного зондирования атмосферы показывают, что
за сутки давление в стратосфере высоких широт может измениться
на 10—15%. Например, над п. Форт-Грилли на высоте 35 км
давление воздуха с 10 по 11 марта 1964 г. уменьшилось на 17%,
а с 26 по 27 октября на высоте 45 км увеличилось на 13%.
§ 1.3. Плотность воздуха в тропосфере, стратосфере и мезосфере
Распределение давления в плотных слоях атмосферы зависит
от структуры поля температуры, поскольку давление воздуха есть
функция средней температуры расположенного ниже слоя
атмосферы. Плотность воздуха в некоторой точке пространства в
соответствии с уравнением состояния определяется значениями
температуры и давления.
Давление воздуха с высотой быстро уменьшается. Изменения
же давления в плотных слоях атмосферы на всех высотах доста-
22

точно большие. Температура воздуха в абсолютной шкале
изменяется сравнительно мало. Это обстоятельство обусловливает тот
факт, что изменение плотности воздуха с увеличением высоты все
в большей степени определяется изменением давления. Такая
зависимость плотности воздуха от температуры и давления хорошо
проявляется, если сравнить распределение по высоте среднего
давления и средней плотности воздуха.
_i i i 1 i i 1 i 1 * »
/ iv vii х it iv vii х i
Рис. 1.5. Годовой ход средних месячных значений плотности воздуха в
отклонениях от стандартной атмосферы США 1952 г.
Исследования [104] показывают, что самая большая плотность
воздуха наблюдается летом, а самая малая — зимой.
Максимальные сезонные вариации плотности воздуха отмечаются на высоте
около 70 км и составляют 130 и 70% от стандартной плотности
воздуха на широте 60° и 110 и 95% —на широте 30°. Сезонная
изменчивость на всех широтах значительно уменьшается выше 70 км.
Годовой ход средних месячных значений плотности воздуха
на высотах 40, 50 и 60 км для 30 и 60° с. ш. показан на рис. 1.5
также в отклонениях от стандартной атмосферы США 1952 г. [104].
Данные рис. 1.5 свидетельствуют о том, что самая высокая
плотность воздуха на широте 30° отмечается в мае и июне. На широте
60° максимум сдвигается на июнь и июль. Наиболее низкая
плотность воздуха отмечается на обеих широтах в декабре и январе..
Амплитуда изменений плотности воздуха на широте 60°
значительно превышает амплитуду на широте 30°. На широте 60° имеют
место значительные отклонения средней месячной плотности от
2а

сглаженных величин, обозначенных кривыми, особенно осенью и
зимой. Эти отклонения связаны, очевидно, с внезапными
потеплениями в стратосфере (см. § 1.4).
Разности между максимумом и минимумом средней месячной
плотности воздуха, которые наблюдаются, как уже отмечалось,
в январе и июне, возрастают с увеличением широты. Если на
высоте 40 км на широте 60° эта разность составляет 29%, то на
широте 80° она равна 61%, т. е. увеличилась вдвое. Описанный
характер сезонной изменчивости плотности воздуха в различных
широтах северного полушария хорошо согласуется с результатами,
полученными В. Г. Кидияровой [27].
Исследование особенностей распределения плотности воздуха
выше 80 км связано с большими трудностями. Они заключаются
в том, что имеются лишь единичные случаи подъема
метеорологических ракет на высоты более 80 км, а различные косвенные
методы из-за их недостаточной точности дают возможность
производить лишь приближенную оценку плотности атмосферы. Одним из
наиболее точных косвенных методов является метод определения
плотности с помощью наблюдений за метеорными следами.
В атмосферу Земли непрерывно попадают мелкие твердые
частицы — метеоры. Число их превышает обычно 150—200 за 1 час.
Попав в атмосферу, метеоры сильно нагреваются при торможении
в ее относительно плотных слоях и испаряются в слое от 110 до
70 км. При этом образуется светящийся след (столб) сильно
ионизированного воздуха длиной 40—50 км и диаметром в
несколько* метров, который удается сфотографировать.
Основные уравнения физической теории метеоров позволяют
определить плотность атмосферы в метеорной зоне. Если опреде-
dV
лена величина торможения метеора ^-, то плотность атмосферы
может быть вычислена по формуле [64, 65]
где k — коэффициент, выражающийся формулой
а Г — коэффициент торможения; б — плотность метеорной частицы;
М — масса метеорного тела; V — скорость метеора.
Эти величины могут быть найдены по светимости и другим
характеристикам метеоров, определяемым с помощью фотографий
метеорных следов.
На рис. 1.6 представлено изменение плотности воздуха с
высотой, полученное по 179 оценкам, произведенным на основе
упомянутого выше метода [64, 65] в Киеве (кривая 2). Здесь же
нанесено изменение плотности с высотой по измерениям в Одессе
24

(кривая l)f а также значения плотности воздуха по измерениям
в Киеве, когда учитывались только данные для метеоров, имевших
скорость более 40 км/с (кривая 3). Из рис. 1.6 следует, что
удовлетворительное совпадение наблюдается в интервале высот от
90 до 110 км. На меньших высотах плотность воздуха по данным
Клева значительно выше, чем по данным Одессы. Завышение
величин плотности, полученной по измерениям в Киеве, объясняется
тем, что здесь плотность воздуха вычислялась по относительно-
большей совокупности метеоров, скорость которых была меньше
40 км/с, в то время как
приведенные выше формулы спра- ~19Р
ведливы при условии, что
скорость метеоров превышает
40 км/с [65]. Если исключить
метеоры с малой скоростью, то
результаты определения
плотности воздуха в указанных
пунктах согласуются гораздо
лучше.
Для исследования суточной
изменчивости плотности
воздуха в стратосфере и мезосфере
проводились лишь единичные
эксперименты. Примером их
могут служить два запуска
метеорологических ракет,
осуществленных над о. Кваджелейн
с интервалом 13 часов [114].
Результаты измерений показывают, что плотность воздуха,
которая наблюдалась в полдень, отличается от плотности, которая
наблюдалась ночью. В слое от 30 до 120 км плотность атмосферы
днем превышает ночное значение плотности примерно на 10%.
Исследования с помощью метеорных следов показывают, что в слое
атмосферы 80—110 км в средних широтах плотность воздуха
изменяется ото дня к ночи на 20%.
110 Нкм
Рис. 1.6. Изменение плотности воздуха
с высотой, определенной по светимости
метеоров:
1 — Одесса; 2 — Киев (все метеоры); 3 — Киев
(метеоры с V > 40 км/с)
§ 1.4. Внезапные потепления в стратосфере и связанные с лимит
вариации термодинамических параметров атмосферы
В^ стратосфере и мезосфере зимой обычная структура поля
температуры, обусловленная радиационными и адвективно-динами-
ческими факторами, иногда нарушается. Это проявляется прежде
всего в быстром повышении температуры на некотором уровне,
которое в течение короткого промежутка времени захватывает
большую часть стратосферы и изредка нижнюю половину мезосферы.
Резкое повышение температуры в указанных слоях атмосферы
приводит к достаточно большим изменениям давления и плотности
воздуха. Впервые потепление стратосферы было обнаружено'
в феврале 1952 г. Шерхагом над Европой [117, 118].
\ 25.

Некоторые исследователи утверждают, что потепления в
стратосфере обнаруживаются сначала в более высоких слоях
атмосферы. Например, во время потепления, происходившего в
январе— феврале 1958 г. [50], на высоте 40 км над о. Хейса
температура воздуха 19 января достигла 290° К, тогда как 16 и
21 декабря 1957 г. она была соответственно 233 и 245° К. В это
время на высотах ниже 28—30 км температура мало отличалась
от температуры, обычно наблюдающейся здесь зимой. К 10
февраля 1958 г. потепление захватило слой атмосферы от 15 до 35 км,
в котором была обнаружена необычно высокая температура,
равная 240 К. Аналогичным образом развивались потепления в январе
1960 г., январе 1961 г. и др. [50].
При радиозондовых и особенно ракетных наблюдениях,
проводимых в последнее десятилетие в СССР и США, регулярно
обнаруживались зимние стратосферные потепления. Это явление
наблюдается почти ежегодно, а в некоторые годы даже по нескольку
раз за зимний сезон.
В табл. 1.5 приводится перечень потеплений в высоких
широтах северного полушария на высотах 23—25 км за 1957—1964 гг.
ло X. П. Погосяну и А. А. Павловской [24, 56, 57].
^ Таблица 1.5
Потепления над Арктикой на высотах 23—25 км
(1957—1964 гг.)
Период потепления
3—9/XI 1957 г.
24/1—1/П 1958 г.
15-20/XI
17—20/1 1959 г.
3—13/1II
2—14/1 I960 г.
5—11/11
23/XI—3/ХН
19—27/XII
3—13/1 1961 г.
26/11-8/111
30/1—19/И 1962 г.
17—28/1 1963 г.
19/II-5/II 1954 г.


жительность,
сутки
7
8
5
3
10
12
6
10
8
10
10
20
11
13
Температура, °С
в начале
периода
—65
—76
-59
—61
—61
—60
-65
—69
-65
—79
—74
—65
—75
—74
в конце
периода
-25
—41
—47
—41
—47
-35
—49
—49
—48
—53
—37
—34
—19
—32
Величина

потепления, °С
+40
+35
+ 12
+20
+ 14
+25
+ 16
+20
+ 17
+26
-37
-31
+56
+ 42
В период потепления температура воздуха нередко
увеличивается на большую величину. На высоте 23—25 км, как показано
в таблице, стратосфера становится теплее на 20—40° С, а во время
26

январского потепления 1963 г. произошло повышение температуры
на 56° С. Наблюдения показывают, однако, что максимальный
разогрев стратосферы происходит обычно в слое атмосферы 30—
40 км. По данным ракетного зондирования, температура воздуха
над ст. Черчилл в конце января 1958 г. на высоте 40 км
увеличилась почти на 70° С.
* По мере того как потепление захватывает все более низкие
уровни, верхние слои стратосферы, в которых оно началось,
постепенно охлаждаются.
Потепление не происходит во всей зимней стратосфере высоких
широт одновременно. Данные ракетного зондирования,
производившегося в январе 1958 г., показывают, что повышение
температуры было отмечено на высоте 40 км над о. Хейса 19 января,
тогда как над ст. Черчилл в это время наблюдались обычные
зимние температуры. Потепление началось здесь лишь 25 января
на высоте 45 км. Шерхаг [117], исследуя это потепление,
установил, что на высоте изобарической поверхности 25 мб происходило
перемещение области тепла на западо-северо-запад. На этом
уровне область тепла была обнаружена над Центральной
Европой 25 января. В дальнейшем она постепенно перемещалась на
Северное море, к 30 января достигла Исландии и затем пересекла
Северную Америку.
Потепления в стратосфере происходят изредка и летом, однако
они не столь значительны, как зимой. По данным Шерхага [117],
над Берлином на изобарических поверхностях 20 и 25 мб 7 июля
1958 г. началось внезапное потепление, которое достигло
кульминации 10 июля. За этот период температура воздуха повысилась
на 5° С, затем стала понижаться и достигла исходных значений.
Такая картина характерна для наблюдений в некоторой
неподвижной точке. В действительности процесс стратосферных потеплений
является очень сложным и связан с коренной перестройкой
термобарического поля на всех высотах.
Внезапные потепления в стратосфере не являются
исключительной особенностью только полярных широт. Они проникают
в умеренные широты вплоть до 50—45 параллели. Отмечены
случаи распространения потепления даже до 30° с. ш.
Резким повышениям температуры в периоды зимних
потеплений в стратосфере сопутствуют значительные преобразования поля
давления. Отмечены случаи, когда в результате резких повышений
температуры зимний циклонический тип поля давления в
стратосфере сменяется летним антициклоническим.
Часто можно видеть разрушение стратосферного циклона и
расчленение его, а также очага холода, на два самостоятельных
Циклонических вихря, один из которых находится в умеренных
широтах, а второй — в субполярных. Одновременно с этим
значительно усиливаются и смещаются к северу тихоокеанский и,
атлантический антициклоны. В период потеплений в средней стратосфере
^ температура воздуха над некоторыми пунктами Канады за 5 дней
повысилась на 65—70° С, в результате чего высота изобарической
27

поверхности 10 мб увеличилась в центре атлантического антицик- I
лона более чем на 800 м. Максимальное увеличение высоты этой 1
изобарической поверхности наблюдалось над Гренландией и со- I
•ставило 2400 м [24]. На более высоких уровнях происходит еще I
•более значительная перестройка поля давления. На высотах 40— 1
■55 км антициклоны могут объединяться в одну систему,
расположенную там, где до потепления находился циклонический вихрь.
Зимний тип поля давления заменяется летним [92].
В результате значительной перестройки термобарического поля
в стратосфере в период зимних внезапных потеплений происходит 1
резкое увеличение плотности воздуха. Примером может служить I
потепление в январе 1958 г., когда над Гренландией плотность
воздуха на высоте 29 км возросла на 13% (табл. 1.6).
Таблица IS
Температура и плотность воздуха во время потепления в стратосфере
над ст. Черчилл в январе 1958 г. (по И. П. Вечканову)

Метеоэлемент
t °С
рг/м3
Дата
27/1
29/1
27/1
29/1
Н км
20
—55
-55
85,0
84,0
25
—62
—65
40,2
40,2
30
—71
-^65
18,7
17,6
35
-59
—23
7,98
7,30
40
-33
+10
3,51
3,51
45
—17
+ 17
1,61
1,87
50
—13
+ 9
0,85
1,10
55
—17
— 4
0,45
0,65
60
—23
—16
0,239
0,363
Из табл. 1.6 следует, что за два дня плотность воздуха
увеличилась на высоте 45 км на 16%, а на высоте 60 км — на 52%.
Наблюдались случаи, когда в период потеплений плотность
воздуха на высоте 50 км возрастала на 70—80%, а иногда и на
100%.
Существуют две гипотезы, объясняющие причину внезапных
зимних потеплений в стратосфере. Первая из них принадлежит
Шерхагу [117, 118] и утверждает, что стратосферные потепления
являются следствием проявления солнечной активности в
атмосфере. Шерхаг коррелировал ход интенсивности магнитного поля
Земли, которая зависит от активности Солнца, с температурой
верхних слоев атмосферы и определил, что между ними
наблюдается достаточно тесная связь. Кроме того, было обнаружено, что
во время сильного потепления в стратосфере, происшедшего в
январе 1958 г., имело место увеличение торможения второго
искусственного спутника Земли, которое определилось увеличением
плотности воздуха на спутниковых высотах.
Наличие корреляционной связи между солнечной активностью
и изменениями температуры и давления в стратосфере
подтверждается и другими исследователями [10, 34, 40, 41, 66, 111, 116].
Они считают, что причиной увеличения температуры в периоды
28

внезапных потеплений является разогрев газов, составляющих
атмосферу, в результате поглощения частиц солнечного
происхождения, проникающих в стратосферу во время вспышек на
Солнце.
Вторую гипотезу можно назвать адвективно-динамической.
Сторонники этой гипотезы [56, 57, 80] оспаривают существование
непосредственных солнечных проявлений в мезосфере, стратосфере
и тропосфере, утверждая, что на развитие зимних стратосферных
потеплений влияют совместно вертикальные и горизонтальные
движения воздуха. Исследуя потепления 1957 г., Крейг и Латиф [91]
произвели расчет вертикальных движений над
Североамериканским континентом и прилегающими районами Атлантического
океана. Как показали расчеты, максимальные величины
нисходящих движений воздуха наблюдались в районе Великих Озер на
изобарической поверхности 25 мб 4 февраля (8 см/с), на
изобарической поверхности 50 мб 6 февраля (6 см/с) и на изобарической
поверхности 100 мб 8 февраля (4 см/с). Нисходящий поток
воздуха распространялся на обширные районы. Даже при меньших
по величине нисходящих движениях (3 см/с), по исследованиям
М. В. Шабельниковой [80], при вертикальном градиенте
температуры 0,4°/Ю0 м, наблюдающемся в среднем в стратосфере,
адиабатическое повышение температуры составит 25° С за сутки в
нижней стратосфере и 36° С в более высоких слоях.
После того как в стратосфере под действием нисходящих
движений образуется область теплого воздуха, большое значение
начинают приобретать адвективные переносы. В нижней
стратосфере к концу потепления они могут составлять 13—17° С за
сутки [56].
Приведенные выше результаты объясняют главным образом
процесс развития внезапных атмосферных потеплений, а не
причину этого явления.
В настоящее время продолжает развиваться концепция [49]
о связи стратосферных потеплений с крупными макротурбулент-
ными образованиями, которые возникают в тропосфере, а затем
захватывают и стратосферу, проникая на все более высокие уровни.

ГЛАВА 2
СТРУКТУРА ПОЛЯ ВЕТРА В ТРОПОСФЕРЕ,
СТРАТОСФЕРЕ И МЕЗОСФЕРЕ
§ 2.1. Режим ветра в тропосфере, стратосфере
и нижней мезосфере
Об особенностях поля ветра в тропосфере, стратосфере и
мезосфере можно судить по структуре поля давления, которая
свидетельствует о том, что в тропосфере северного и южного полушарий
в средних и высоких широтах зимой и летом преобладает
западный перенос масс воздуха, который местами возмущается,
приобретая северную или южную составляющую. Это проявляется на
картах барической топографии в виде ложбин и гребней.
Скорости западного течения зимой и летом оказываются
различными, особенно в северном полушарии. На карте топографии
поверхности 500 мб горизонтальные градиенты геопотенциала
имеют значительно меньшую величину летом, чем зимой. В
переходные сезоны в тропосфере также преобладают интенсивные
западные потоки воздуха.
Структура поля ветра в тропосфере является неоднородной.
Эта неоднородность проявляется в том, что скорость ветра с
высотой в этом слое атмосферы, как правило, возрастает.
Максимальные величины скорости ветра чаще всего наблюдаются вблизи
тропопаузы. Кроме того, скорость ветра изменяется с широтой,
увеличиваясь или уменьшаясь с увеличением последней. Таким образом,
вблизи тропопаузы возникают зоны, в которых скорости ветра
достигают значительных величин. Такие зоны имеют относительно
малую ширину и сравнительно большую длину и называются
струйными течениями.
Струйные течения в тропосфере обусловлены большими
контрастами температур и располагаются в зоне перехода от высоких
холодных циклонов к теплым высоким антициклонам. С
энергетической точки зрения струйные течения являются зонами
максимальных запасов кинетической энергии. Скорости ветра в
струйных течениях обычно превышают 30 м/с, достигая иногда 70—
100 м/с и более.
Исследования показали [11], что в северном полушарии
наблюдаются четыре планетарных высотных фронтальных зоны: аркти-
30

веская, северная умеренных широт, южная умеренных широт
и субтропическая. Зимой первая из них располагается в среднем
.около широты 68° и имеет среднюю скорость ветра на оси зоны
23,4 м/с. Северная и южная планетарные высотные фронтальные
зоны отмечаются у широт 56 и 39°, со средними скоростями ветра
на осях соответственно 38,6 и 55,8 м/с. Субтропическая
фронтальная зона размещается у широты 29° со средней скоростью ветра на
оси 64 м/с.
Летом средняя широта всех четырех планетарных высотных
фронтальных зон увеличивается. Арктическая высотная
фронтальная зона располагается на широте 73°, северная умеренных
широт — на широте 64°, южная умеренных широт — на широте 48°
я субтропическая — на широте 41°. Средние скорости на осях этих
зон равны соответственно 18,1; 27,9; 37,1 и 44,4 м/с.
В экваториальной и тропической зонах в тропосфере
наблюдаются относительно слабые и неустойчивые течения. В самом
нижнем слое, как правило, преобладают восточные потоки,
сменяющиеся на высотах 5—10 км западными, которые в верхней
тропосфере часто вновь переходят на восточные.
В стратосфере и мезосфере характер воздушных течений также
определяется структурой поля давления. Зимой большую часть
северного полушария захватывает циклонический вихрь, центр
которого располагается вблизи полюса (см. рис. 1.4). Летом, наоборот,
над большей частью полушария наблюдается антициклоническая
циркуляция. Центр области высокого давления также находится
над приполюсными районами (см. рис. 1.3). Таким образом, зимой
наблюдающийся в тропосфере западный ветер продолжает
сохраняться в стратосфере и мезосфере. Летом западный ветер на
высоте около 20 км переходит на восточный. Последний
распространяется до верхней границы мезосферы.
Особенности годового хода зональной составляющей скорости
ветра в стратосфере, мезосфере и нижней термосфере хорошо
иллюстрируют временные вертикальные разрезы (рис. 2.1, 2.2),
построенные по данным ракетного зондирования атмосферы для
30 и 60° с. ш. [103]. На этих разрезах изрлинии выше 80 км, как
недостаточно надежные, проведены пунктиром.
Как на 30°, так и на 60° с. ш. смена зимнего западного течения
на летнее восточное происходит, как правило, сверху вниз. В
верхней мезосфере она начинается в конце марта — начале апреля
и продолжается в течение апреля в нижней мезосфере и
стратосфере.
Сравнение полученных результатов показывает, что обращение
ветра распространяется вниз в зоне 60° с. ш. быстрее, чем в зоне
30° с. ш. Кроме того, в зоне 30° с. ш. имеют место более сильные
ветры, чем в зоне 60° с. ш. Осенняя перестройка поля ветра
происходит в особенно короткий период времени. Выше 80 км во все
сезоны вновь происходит обращение и усиление ветра. Особенно
сильные ветры в нижней термосфере отмечаются летом.
31

VI VII VIII IX
XI XII I
Рис. 2.1. Средние месячные зональные составляющие
скорости ветра (м/с) на 30° с. ш.
Нкм
120г- s
20
*Ло £ J П \\ w
:—V ; W ^.
VI VII VIII IX X XI XII I
Рис. 2.2. Средние месячные зональные
составляющие скорости ветра (м/с) на 60° с. ш.

На вертикальных временных разрезах зональных составляющих
ветра показаны особенности его периодических колебаний,
обусловленные сезонными изменениями поля давления. Между тем
в течение зимы происходят частые нарушения зимнего режима
циркуляции, связанные с внезапными потеплениями в стратосфере.
Например, 9 февраля 1962 г. в период потепления в слое 25—50 км
сильные западные ветры, характерные для зимнего режима,
сменились восточными ветрами. Над ст. Черчилл 19 января и 19
февраля 1962 г. на высоте 37 км наблюдался западный ветер со
скоростью соответственно 47 и 30 м/с [24]. В конце января и начале
февраля появляется восточный ветер со скоростью около 40 м/с.
В некоторых случаях нарушения обычного зимнего режима
циркуляции проявляются не в обращении западного ветра, а в резком
кратковременном его ослаблении, либо в ослаблении и смене на
восточное направление лишь в небольшом слое атмосферы.
Исследования показывают, что устойчивость зональной и
меридиональных составляющих уменьшается с высотой.
Гармонический анализ трех серий зондирований атмосферы,
проведенных с помощью метеорологических ракет над пунктами Эглин
(АФБ) в мае 1961 г. и Уайт-Сэндс в феврале 1964 г. (около
30° с. ш.), показал наличие значительных по величине суточных
и полусуточных вариаций составляющих ветра. В табл. 2.1
представлены их амплитуды в слое атмосферы от 30 до 60 км [110].
Таблица 2.1
Амплитуды суточных и полусуточных вариаций составляющих ветра (м/с)
Н км
30
35
40
45
50,
55
60
Зональная составляющая
Эглин (АФБ),
май 1961 г.

суточная
2,1
0,6
1,9
6,7
3,4
1,5
2,4

полусуточная
0,9
0,8
2,5
1,4
1,9
2,8
2,0
Уайт-Сэндс,
февраль 1964 г.

суточная
0,2
4,7
5,9
13,2
3,1
6,4
12,1

полусуточная
0,8
2,5
2,3
5,1
1,6
3,1
3,9
Меридиональная составляющая
Эглин (АФБ),
май 1961 г.
суточная
1,4
1,9
1,3
7,8
7,7
4,5
5,4

полусуточная
0,8
1,9
1,9
2,4
2,0
3,1
2,2
Уайт-Сэндс,
февраль 1964 г.
суточная
0,3
2,5
2,0
10,0
1,9
5,5
1,3

полусуточная
1,7
0,8
0,9
2,1
3,3
1,7
6,3
Для сравнения в табл. 2.2 приводятся средние за год суточные
и полусуточные вариации меридиональной и зональной
составляющих ветра в тропосфере и нижней стратосфере, полученные по
радиозондовым наблюдениям [99].
2 Заказ 1910
33

Таблица 2.2
Средние за год амплитуды суточных и полусуточных
вариаций зональной и меридиональной составляющих
скорости ветра. Лайес-Филдс, Азорские острова (м/с)
N км
9,2
11,8
16,1
20,6
23,9
28,5
Зональная составляющая
суточная
0,2
0,6
0,3
0,2
0,2
0,3
полусуточная
0,5
0,5
0,6
0,4
0,7
0,9
Меридиональная
составляющая
суточная
0,1
0,2
0,3
0,3
0,2
0,7
полусуточная
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,6
Из табл. 2.1 и 2.2 следует, что в верхней тропосфере и нижней I
стратосфере до 30 км суточные и полусуточные вариации состав- I
ляющих скорости ветра невелики, что свидетельствует о сравни- I
тельно небольшой изменчивости ветра во времени. Дальнейшему
увеличению высоты сопутствует увеличение амплитуд суточных I
и полусуточных вариаций, причем суточные амплитуды, как
правило, превышают полусуточные. Амплитуды вариаций
составляющих скорости ветра имеют максимум на высоте 45 км, причем
зимой он больше, чем летом, и минимум на высотах 50—55 км.
Еще выше наблюдается тенденция к увеличению суточных и
полусуточных амплитуд. Выше 60 км, как будет показано ниже,
изменчивость ветра значительно возрастает.
§ 2.2. Особенности распределения ветра
в слое метеорных следов 1
Метеорологические ракеты производят зондирование атмосферы
чаще всего до высоты примерно 60—70 км. В более высоких слоях
атмосферы измерения метеорологических элементов, в том числе
и ветра, с помощью ракет бывают лишь эпизодическими, а на вы- ]
сотах, превышающих 70 км, почти полностью отсутствуют. В связи 1
с этим при исследовании режима ветра в слое атмосферы 80— 1
110 км, который принято называть метеорным слоем, важную роль 1
играет измерение ветра с помощью метеорных следов [3, 23, 25, I
97]. Этот способ обладает достаточной точностью, чтобы не только 1
определить скорости переноса, но и исследовать турбулентную 1
структуру ветра. 1
Измерение ветра с помощью метеорных следов основано на 1
следующем принципе. Как уже упоминалось, метеор при вхожде- I
нии в плотные слои атмосферы сильно нагревается и испаряется, I
образуя метеорный след—столб сильно ионизированного воздуха. 1
34

Если образовавшийся метеорный след облучать радиоволнами
высокой частоты, то точка, в которой волна встречается со следом
под прямым углом, отражает сигнал. Под действием ветра
метеорный след перемещается и общее расстояние от места наблюдения
до точки, дающей отражение, изменяется. Это приводит к
возникновению допплеровского сдвига частот, который дает изменение
фаз отраженных сигналов, пропорциональное радиальному
компоненту скорости ветра. Высота появления радиоэхо и,
следовательно, измерения ветра зависят от длины волны, излучаемой
радиолокационной станцией. Для длины волны 9 м, например, она
соответствует 93—95 км.
Метеорный слой характеризуется очень интенсивным
турбулентным перемешиванием. Поэтому для анализа режима ветра
приходится вычислять средние за час значения составляющих ветра,
которые позволяют исследовать суточный ход скорости ветра.
Наблюдения показали, что наибольший разброс составляющих
скорости ветра имеет место в те часы, когда происходит изменение
направления ветра. В табл. 2.3 приведены значения
меридиональных составляющих скорости ветра по наблюдениям в Харькове
с 18 до 24 часов местного времени [25]. Положительные значения
по-прежнему соответствуют направлению ветра с юга на север.
Таблица 2.3
Меридиональные составляющие скорости ветра (м/с).
Харьков, 1964 г.
Дата
9/VI
И/VI
13/VI
Время, часы
18-19
25
35
10
19-20
5
-14
24
20-21
—12
-13
13
21-22
—28
-30
-27
22-23
—40
—29
-33
23-24
-45
—44
—43
Гармонический анализ среднечасовых значений скорости ветра
позволяет выделить преобладающий ветер, а также суточные и
полусуточные вариации. Наибольший интерес представляют значения
преобладающего ветра, а также полусуточные вариации, поскольку
величины амплитуд последних значительно превышают значения
амплитуд других гармоник. Исследования показали, что над
Москвой, например, амплитуда полусуточных вариаций зональной
составляющей имеет наибольшую величину в зимние месяцы (32 м/с)
и уменьшается к июню в 1,5—2 раза [3, 25]. Амплитуды
полусуточных вариаций меридиональных составляющих в январе —
феврале примерно такие же. В марте и мае их величина уменьшается
До 10—18 м/сек, а в апреле и июне они приближаются к зимним
значениям для зональных составляющих.
Зональные составляющие преобладающего ветра достигают
максимального значения 20—30 м/с в апреле и июне. В январе
2* 35

и феврале они составляют 1—5 м/с, а в мае — 12—15 м/с. Знак
зональных составляющих также изменяется в течение года. В
феврале и марте наблюдается восточный поток. В апреле — мае он
меняется на западный и вновь становится восточным в июнр.
На рис. 2.3 приводятся осредненные результаты измерений
ветра [25]. Из рис. 2.3 а следует, что вариации амплитуд
полусуточных гармоник составляющих скорости ветра имеют подобные
// /// iv v vi
I II III IV V VI
Рис. 2.3. Вариации величин полусуточных гармоник (а)
и преобладающих ветров (б) в метеорной зоне:
1 — Манчестер, 1953—1958 гг.; 2 - Харьков, 1960—1961 гг.;
3 •— Москва
тенденции во всех из перечисленных пунктов, т. е. наблюдается
уменьшение их значений к весне и лету. Из рис. 2.3 б видно, что
поведение зональных составляющих (v3) во гасех трех пунктах
примерно одинаково. Можно заметить также сходство в характере
изменений и меридиональных составляющих (им). Следовательно,
воздушные потоки в метеорной зоне над Манчестером, Москвой
и Харьковом имеют много общего. Это и не удивительно, поскольку
разность между широтами этих пунктов невелика.
Приведенные данные свидетельствуют о том, что в слое
атмосферы 80—110 км наблюдаются значительные скорости ветра
36

Кроме того,, ветер в этом слое обладает большой изменчивостью
по величине и направлению, что свидетельствует о сильно
развитой турбулентности.
§ 2.3. Турбулентные движения в плотных слоях атмосферы
В атмосфере на разных уровнях наблюдаются различные
скорости переноса воздуха. Кроме того, она термически неоднородна
как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Все это
приводит к условиям, благоприятным для развития турбулентности.
Существуют два подхода к изучению турбулентных движений.
Первым из них является полуэмпирический метод исследования.
При турбулентном режиме течения вектор скорости в некоторой
точке пространства изменяется во времени. Поэтому цри изучении
турбулентных движений удобно разделить поле мгновенных
скоростей на средние скорости (и, v, w) и пульсации скоростей. (и',
v\ w')f произведя в соответствии с известными принципами
гидродинамики осреднение уравнений движения. В результате
осреднения в уравнениях движения появляются члены, которые содержат
величины, состоящие из флуктуационных скоростей
— ?(и')2> —pu'v', —pw'u';
— 'р('в')2» —po'w', — p(w')2.
Эти величины выражают перенос количества движения
отдельных масс воздуха вследствие пульсационных движений и
называются турбулентными напряжениями. Если считать, что между
турбулентными и молекулярными движениями имеется аналогия, то,
используя некоторые полуэмпирические соотношения, можно
получить величины турбулентных напряжений. Например,
Таким образом, турбулентные напряжения можно выразить
через характеристики среднего движения. Величина ki характеризует
интенсивность переноса количества движения в вертикальном
направлении в результате флуктуационных движений и называется
коэффициентом турбулентности.
Полуэмпирическая теория турбулентности получила
применение при решении ряда задач физики атмосферы, аэродинамики
и других наук. Но она не может быть использована при
исследовании тех явлений, в которых определяющими являются внутренние
структурные свойства потока. В этом случае используется другой
подход — статистический.
Турбулентные пульсации — это случайные величины. Поэтому
Для определения структурных особенностей турбулентного потока
требуется привлечь статистические методы исследования и,
следовательно, для описания структуры турбулентных . движений
37

использовать аппарат теории случайных функций. А. А. Фридман |
и Л. В. Келлер впервые применили для этой цели ковариационные |
функции I
Rjk С*ь *2, *з, t% \и 52f \ь% х) = М \и) Ui - -7г ; Х2 - 4*-; Хь - ^;
<—2-)«;(^ + Т-: *»+ТГ: ^з+^; / + -J-)]- (2.1)
Зависимость функции от компонент gi, |г, £з, т выражает собой
внутренние структурные свойства течения, в то время как
зависимость ее от переменных Х\, х2, х3и/ характеризует различие
внешних условий для различных частей среды. Турбулентная среда
является анизотропной. Это означает, что в общем случае в
турбулентном потоке направления Хи х2 и #3 не равнозначны. Однако
внутри потока можно выделить такой объем, для которого все
направления осей координат являются равноправными. Это свойство
турбулентного потока называется локальной изотропией. Если
принять, кроме того, что внешние условия, при которых происходит
движение среды, одни и те же, то статистические характеристики j
среды будут одинаковыми для всех ее точек и, следовательно,
турбулентный поток можно считать однородным, а скорость движения ]
среды — стационарной случайной функцией. Для такого потока
ковариационная функция зависит только от разности аргументов i
x=t2 — t\: I
Ru(*)-M[u'(t)u'{t + x)], (2.2)
если рассматривать движение в одной точке, но в разные проме- ц
жутки времени, и
Ru(l)~M[u'(jc)u'(x+l)], (2.3)
если рассматривать движение в разных точках потока, отстоящих
друг от друга на расстоянии 1=12 — /ь
Величины т и / являются соответственно временным и линейным |
масштабами турбулентных движений. Существует гипотеза о пере- |
носе турбулентных вихрей средним потоком. Поэтому можно счи- |
тать, что временной и линейный масштабы связаны между собой |
через скорость среднего движения 1—их. |
При изучении свойств турбулентного потока весьма часто ис- 1
пользуются спектральные плотности турбулентных пульсаций, ко- I
торые представляют собой преобразования Фурье от ковариацион- |
ной функции |
оо 1
S» = 3T J Я. (*)*"'"*. (2-4) I
где со — частота.
38

Со спектральной плотностью связана дисперсия турбулентных
пульсаций ветра. Эта связь имеет следующий вид:
оо
А, = Яа(0)= jS.Oo)*». (2.5)
— оо
В ряде случаев весьма удобной для характеристики внутренних
свойств турбулентного потока является структурная функция
BK-z) = M[{u'(t)-u'(t-4)}>). (2.6)
Связь между структурной и ковариационной функциями
выражается очевидным соотношением
BK-:) = 2Ru(0)-2Ru(x), (2.7)
а связь между структурной и корреляционной функциями —
соотношением
W = 2/?B(0)[l-re(T)]. (2.8)
Статистическая теория турбулентности получила развитие
в трудах А. Н. Колмогорова, А. М. Обухова, М. И. Юдина,
Дж. Б. Челора и др. А. Н. Колмогоров показал [28, 29], что
основным источником энергии флуктуационного движения является
неустойчивость среднего движения. Ламинарное движение вязкой
жидкости с характерной скоростью v и характерным
масштабом L является установившимся, когда число РейнольдсаИе =—,
где v — кинематическая вязкость жидкости, не превосходит
критического значения ReKp. Если Re>ReKp, то движение становится
неустойчивым. В потоке возникают флуктуации скорости Vi,
линейный масштаб которых I. Удельная энергия этих флуктуации
равна (^/)2. Следовательно, при зарождении флуктуации скорости
от среднего движения в единицу времени передается энергия, про-
(v')3
порциональная величине —~-. С другой стороны, часть энергии
флуктуационного движения диссипируется. Эта часть энергии
v (v')2
пропорциональна —-~—. Тогда условие существования
флуктуации скорости записывается следующим образом:
или после некоторых преобразований
Re/=^>1. (2.9)
39

Поскольку эти вычисления производились с точностью до опре- 1
деленных численных множителей, правильно это условие записать I
в виде: I
Rez>ReKp. (2.10) 1
Число Re* называют внутренним числом Рейнольдса. Из выра- i
жения (2.9) следует, что наиболее легко возникают крупные ■;
вихри, для которых характерным является большое Rez. В случае
выполнения неравенства (2.10) эти крупные вихри становятся
неустойчивыми и отдают энергию более мелким вихрям, которые
в дальнейшем тоже теряют устойчивость. Таким образом, процесс
передачи энергии от среднего движения к флуктуационному
заключается в распаде_крупных вихрей на более мелкие. При этом
диссипация энергии 8 имеет большое значение лишь для малых
вихрей. Если воспользоваться соображениями размерностей, то
можно определить масштаб вихрей X, флуктуационная энергия
которых переходит в тепловую. Этот масштаб зависит от кинемати- I
ческой вязкости и диссипации энергии I
l-df. (2Л1)
При локально-изотропной турбулентности, как показал I
А. Н. Колмогоров [29], справедливо следующее равенство: I
ВЩ) = CiV\ (2.12)
в котором С — коэффициент пропорциональности. Это соотношение I
получило название закона «двух третей». 4
Закон «двух третей» был получен также А. М. Обуховым [47, I
48] путем спектрального разложения скорости установившегося I
турбулентного потока. Закону «двух третей» соответствует степей- I
ная зависимость спектральной плотности турбулентных пульсаций I
от частоты вида I
5((о) = Cj^oT5'3, [I
которую иногда называют законом «минус пяти третей». ||
М. И. Юдин [84] исследовал применимость закона «двух тре- I
тей» и определил влияние анизотропности турбулентных движений ||
на закономерности структуры поля ветра. ||
Если рассмотреть поток большого масштаба, то уже на рас- 1
стоянии около 1 км модули разностей составляющих скорости 1
ветра по горизонтали оказываются в несколько раз меньшими, чем 1
по вертикали. Однако если ограничиться рассмотрением этих раз- I
ностей лишь в горизонтальном направлении, то вертикальную не- 1
однородность можно не принимать во внимание. Для анизотроп- 1
ных турбулентных движений большого масштаба М. И. Юдин 1
получил следующий структурный закон: |
Еф(Рг)={^0УтС-ЧРТ\ (2.13)1
40 I

где El (a) — флуктуационная энергия горизонтального движения;
Е" (А) — флуктуационная энергия вертикального движения,
принимающаяся постоянной, если соседние слои атмосферы отстоят
друг от друга на расстояниях, соизмеримых с величиной «пути
перемешивания»; fa, 0 и С — постоянные величины; р\ — величина,
обратная масштабу турбулентных вихрей. Этот структурный закон
получил название закона «первой степени».
Экспериментальной проверке структурных законов
турбулентных движений были посвящены многочисленные исследования,
подтвердившие закономерности, полученные теоретическим путем.
Для экспериментального исследования турбулентности в свободной
атмосфере применяется ряд методов. Наибольшее развитие
получил метод, основанный на использовании в качестве приемника
порывов ветра акселерографа, установленного на самолете. С
помощью акселерографов, регистрирующих перегрузки, которые
возникают при полете самолета в турбулентном потоке, удается
определить скорости вертикальных порывов ветра.
В работе [85] представлен ряд структурных функций В2(х)
вертикальных порывов ветра. Масштаб вихрей, при котором
структурная функция достигает насыщения, называют характерным.
Расчеты показали, что в 70% случаев значения B2mSiX приходятся
на интервалы времени тхар, равные 3,5—7,5 с, что соответствует
линейному масштабу вихрей 0,6—2,0 км. Структурную функцию
порывов ветра удобно аппроксимировать выражением
Вг{1) = А1\ (2.14)
Результаты вычисления показателя степени п свидетельствуют
о том, что его величина в среднем находится в пределах 0,6—0,8.
Таким образом, подтверждается выполнимость закона «двух
третей» для масштабов вихрей, имеющих порядок 10 км.
Исследования показывают [85], что характерный масштаб
турбулентных вихрей зависит от термического состояния
атмосферы, которое можно охарактеризовать разностью
адиабатического Ya и фактического у вертикальных градиентов температуры.
Эта зависимость до высоты 12 км определяется выражением
*хар= 1,5(т, —тГ1'2-
Структура горизонтальных турбулентных пульсаций в слое
атмосферы 6—12 км исследуется посредством допплеровской системы
[52, 53]. Оценивалась степень общей возмущенности поля
скорости ветра с помощью относительного (по отношению к средней
скорости ветра на данной высоте) среднего квадратического
отклонения ви
и
Как показали расчеты, на высотах 6—12 км и при скоростях
ветра, превышающих 50—60 км/ч, величина г|э колеблется
41

Си
н
О)
03
03
о
СО
3
§•
с
X
ее
S
о.
а>
са
н
о
1=3
к
*?
со
О,
н
О)
с
О
«^
<N
а
s
а*
1

Svq
10J
7
5
(м/су
рад/м
10:
10
7
5
1
W
10
-2
I ^" *■
Г* ■—
** "4»
*4" -
v.
«N
7
.V
*•
z
<%.**
1
&
=55
^s
S»
If"
■4
^
^S
»ЭГ^
П
l^ Ok=3,3 м/с
"sl4^
^4Su^
^s^
4W
iSe^t^
PS. ^^i:
1 "^ "
\
^v>^v
4
^
gu~7m/c' ^^^t
KK
Jr^v^
"fp^^s
«Jf^4>^
Г ч ^
1
1-200M
I 2-500 I
3-1500
4-3000
5U4000
6" 6000
7-7000
^ v^ ^
II " ^h "^
s^ ^
^^
1 л 11
^ 4»^ | ||
sv
7
'^fc, 1 0 1
r^^j 1
s4 its
\i\ [I
HrH
10'
10
-2
w-
5 Si, рад/м
Рис. 2.5. Спектральные плотности горизонтальных порывов ветра

в пределах 0,05—0,30. Она имеет два максимума, один из которых
располагается в слое 7,5—8,5 км, а другой — в слое 9,5—10,5 км.
Структурные функции горизонтальных турбулентных пульсаций
также возрастают с увеличением масштаба вихрей, причем их
характерный масштаб примерно на порядок больше характерного
масштаба вертикальных пульсаций и равен в среднем 18 км. Если
аппроксимировать эти структурные функции зависимостью (2.14),
то на всех высотах в пределах слоя 6—12 км показатель степени
п в среднем близок к 2/3, т. е. горизонтальные турбулентные
пульсации в тропосфере также подчиняются структурному закону
Колмогорова — Обухова.
Однако, как показали исследования, показатель степени п и
коэффициент А структурного закона турбулентных пульсаций
зависят от степени термической устойчивости атмосферы. Показатель
степени п с ростом у убывает. Скорость его уменьшения велика
в области, где п^0,8, и мала, где п<0,8. Коэффициент Л,
наоборот, возрастает с увеличением у. Это является следствием того,
что с увеличением неустойчивости растет скорость диссипации
турбулентной энергии.
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию
корреляционных и спектральных характеристик турбулентных
движений. Спектральные плотности вертикальных SW(Q) и
горизонтальных SM(Q) турбулентных пульсаций в пределах указанного
слоя атмосферы, 0,2—7 км, полученные Г. П. Ильиным, показаны
на рис. 2.4 и 2.5. Спектральные плотности вертикальных порывов
изменяются в более широком интервале, чем горизонтальные.
Если произвести интегрирование спектральных плотностей по всем
частотам, то можно получить минимальные и максимальные
значения дисперсий турбулентных компонент скорости ветра. На
рис. 2.4 и 2.5 приводятся соответствующие этим дисперсиям
величины средних квадратических отклонений.
Детальное изучение энергетического спектра турбулентности
было проведено в струйных течениях [82, 83]. На рис. 2.6 в
логарифмических координатах показана спектральная плотность
в струйном течении на высоте 8 км. Кривую на этом рисунке
можно аппроксимировать двумя прямолинейными отрезками. На
разных участках спектра спектральная плотность описывается
различными степенными выражениями вида S(Q)~Qn. Для
частот, которые соответствуют масштабам, меньшим 600 м,
показатель степени п=—1,67. Это свидетельствует о том, что
энергетический спектр для этих масштабов хорошо согласуется с законом
«минус пяти третей». Для больших масштабов показатель степени
п = —2,7. Причиной отклонения спектральной плотности от
указанного закона в этом интервале масштабов является работа,
которую приходится совершать турбулентным вихрям против
архимедовых сил, в результате чего кинетическая энергия турбулентности
в случае устойчивой температурной стратификации атмосферы
переходит в потенциальную энергию [82]. Для вихрей малых
масштабов потеря энергии на работу против архимедовых сил
44

пренебрежимо мала, тогда как вихри большого размера могут
терять значительную часть своей энергии. При этом нарушается
энергетическое равновесие внутри инерционного интервала, что
является причиной увеличения наклона кривой в области больших
масштабов.
В Центральной аэрологической обсерватории были
организованы измерения турбулентных движений с помощью радиозондов
со специально созданной для этой цели акселерометрической при-
рад/м
Рис. 2.6. Энергетический
спектр турбулентности при
пересечении струйных
течений (7 февраля 1962 г.)
Юс
WJ
W'V-
10
iS(a)~~Q
S(S2)-J2
■1.67
6300
l
10
-3
630
_J
63
_L
6,3 Lv
10"
10
,-/
10°£рад/м
ставкой [5]. Наблюдения проводились в Москве, Сухуми и
Ташкенте. Полученные данные позволили определить ряд
характеристик порывов ветра.
На рис. 2.7 представлены повторяемости турбулентных
пульсаций по высотам. Повторяемость рассчитывалась для каждого
километрового слоя атмосферы, причем последний считался
турбулентным, если в нем встречался слой турбулентности толщиной
50 м. Повторяемости, полученные с помощью радиозондов,
сравнивались с повторяемостями, определенными с помощью
самолетного зондирования атмосферы (кривые 2 и 3 на рис. 2.7 а).
Оказалось, что повторяемость турбулентности, вычисленная на
основании самолетных измерений, меньше повторяемости, полученной
с помощью радиозондов (кривая 1 на рис. 2.7 а). В среднем за
год и во все сезоны повторяемость турбулентных пульсаций
убывает с высотой, достигая минимума на высотах 7,5 км зимой
(кривая 1 на рис. 2.7 в) и 10—12 км в остальные сезоны. Затем
45

имеет место резкое увеличение повторяемости. В среднем за год
(рис. 2.7 а), осенью (рис. 2.7 6) и зимой (рис. 2.7 в) максимум ее
отмечается на высоте около 12,5 км и достигает соответственно
50, 50 и 70%. Дальнейшее увеличение высоты связано с
уменьшением повторяемости турбулентности. Исключение составляет весна
(рис. 2.7г), когда наблюдается зона высокой повторяемости около
60% в слое 15—25 км. Турбулентные движения ослабевают на
высоте около 30 км. Однако зимой на этой высоте расположен вто-
Нкм
i // ///
Рис 2.7. Распределение по высоте повторяемости турбулентности за
год (а), осенью (б), зимой (в), весной (г), летом (д):
I — Москва; // — Ташкент; /// — Сухуми
рой максимум. Исследования показали, что над Москвой,
например, в 30—40% случаев умеренная турбулентность встречается
летом в тропосфере, а зимой и весной — в стратосфере в слое 15—
20 км. Здесь же в 8% случаев наблюдается сильная
турбулентность. .
Радиозондовые измерения позволили определить толщину
турбулентных слоев. Наибольшая толщина слоев с турбулентностью
имела место над Ташкентом, а самая малая — над Москвой.
Самолетные исследования подтверждают зависимость повторяемости
больших толщин слоев с турбулентностью от широты. Если в
высоких и средних широтах повторяемость турбулентных слоев
толщиной более 1000 м равна 10—15%, то в южных широтах она
увеличивается до 30%. В высоких и умеренных широтах максимум
повторяемости приходится на толщины турбулентных слоев 300—
600 м, в низких — на толщины 400—800 м.
Характерной особенностью турбулентности является пятнистый
ее характер. Это особенно свойственно верхней тропосфере и ниж-
46

ней стратосфере. Зоны турбулентности имеют горизонтальную
протяженность до 100—150 км.
Рассмотренные ниже характеристики турбулентности относятся
к тропосфере и нижней стратосфере. Развитие и
совершенствование ракетного зондирования атмосферы позволило проводить
экспериментальное исследование турбулентных вихрей во всем слое
атмосферы. Для получения характеристик турбулентных движений
в этом случае вычисляют путем осреднения профилей ветра
скользящее среднее значение горизонтальных составляющих скорости
ветра на некотором интервале высоты Н с помощью равенства
н
Z + -2
vt (г, t, А, Н) = JL J Vi (г, *, h) dz% (2.15)
и
Z-~2
в котором Vi(z9 h, t)—/-тая составляющая скорости (средней)
ветра, измеренная на вертикальном интервале h. Следовательно,
турбулентные компоненты скорости ветра могут быть рассчитаны
с помощью равенства
v\ (г, t, h, H) = vt (г, t, h) - v. {г, t, h, H). (2.16)
Равенство (2.16) дает возможность получить совокупность
пульсаций составляющих скорости ветра для каждого профиля
ветра, на основе которых может быть получена корреляционная
функция
ММ)- * и <-,<>] ' (2Л7)
где | — интервал высоты, имеющий смысл масштаба турбулентных
вихрей.
Совокупность корреляционных функций, полученных для
отдельных профилей ветра, может быть осреднена. Таким образом,
удается получить среднюю по времени корреляционную функцию
турбулентных компонент составляющих ветра, например, для
каждого сезона
N
'■W-^SMM). (2Л8)
Если применить к равенству (2.18) преобразование Фурье (2.4),
то получим энергетические спектры пульсаций составляющих
скорости ветра.
Энергетические спектры турбулентных компонент зональной и
меридиональной составляющих скоростей ветра в атмосфере до
высоты 50 км на основе изложенной выше методики были
рассчитаны Као и Сендсом [101] путем обработки 210 профилей ветра,
полученных с помощью ракетного зондирования атмосферы,
проводившегося над пунктом Уайт-Сэндс в период с января 1963 г.
47

по декабрь 1964 г. Эти профили включают 21 000 измерений ветра.
Указанные энергетические спектры представлены на рис. 2.8, из
которого следует, что нормированные спектральные плотности
пульсаций зональной и меридиональной составляющих скорости
ветра подобны и пропорциональны Q-2. Максимальное значение
турбулентной энергии приходится на частоты, находящиеся в
пределах 0,03—0,06 км-1 (масштаб вихрей 2,5—20 км).
В табл. 2.4 помещены дисперсии турбулентных компонент
зональной v и меридиональной и составляющих скорости ветра по
сезонам и в среднем за год.
Таблица 2Л
Сезонные и среднегодовые значения дисперсий
турбулентных компонент составляющих скорости
ветра, м2/с2
Сезон
Зима
Весна
Лето
Осень
Год
М [(V')»]
73,62
56,61
23,06
48,68
50,49
М \{и'П
29,57
20,96
18,63
24,09
23,32
Из табл. 2.4 следует, что дисперсии флуктуации зональных
составляющих более чем в 2 раза превышают дисперсии
флуктуации меридиональных составляющих скорости ветра. Исключение
составляет летний сезон, когда они примерно одинаковы.
Турбулентность в рассматриваемом слое атмосферы наиболее развита
зимой. Самые малые величины дисперсий наблюдаются летом.
На рис. 2.9 показано распределение по высоте в ^течение года "
кинетической энергии единицы массы среднего и флуктуационного |
горизонтальных движений. На рис. 2.9 прослеживаются два макси- !
мума вихревых движений: на высоте около 10 км осенью и в на- j
чале зимы и на высоте около 46—48 км зимой. Первый из них, \
очевидно, связан с тропосферным струйным течением. Область |
минимальных значений кинетической энергии вихревого движения |
располагается в средней стратосфере, причем центр ее приходится 1
на лето и наблюдается на высоте около 22 км. Он свидетельствует |
о малой изменчивости восточного ветра летом в стратосфере. I
Кинетическая энергия среднего движения имеет три максимума. 1
Первый из них обнаруживается в тропосфере на высоте 12 км и I
относится к осенне-зимнему тропосферному струйному течению. I
Второй максимум осенью и в начале зимы располагается на вы- |
соте 50 км. Он характеризует зимнее струйное течение. Наконец, 1
третий максимум отмечается в стратосфере летом. I
Сравнивая энергии флуктуационного и среднего движений, I
можно видеть, что наибольшие значения кинетической энергии |
48

вихревого движения располагаются вблизи максимумов
кинетической энергии среднего движения.
В мезосфере и нижней части термосферы турбулентность
изучается путем радиолокационных наблюдений за метеорными
следами. Как указывалось в § 2.2, метеоры, попавшие в атмосферу
SW-®
Шрод/м
Рис. 2.8. Энергетические спектры
турбулентных компонент зональной
и меридиональной составляющих
скорости ветра
Земли, нагреваются под
действием трения и испаряются в слое
70—110 км. В результате этого
образуется метеорный след,
представляющий собой столб
ионизированного воздуха. Радиальная
электронная плотность бг в следе
распределена по закону
г2
8 = а е w
т 2ndxt *
в котором а — линейная
электронная плотность, t — время
после образования следа, d\ —
коэффициент молекулярной диффузии.
/ // /// IV V VI VII VIIIIX X XI XII
Рис. 2.9. Распределение по высоте
в течение года кинетической
энергии единицы массы среднего (а) и
флуктуационного (б) горизонтальных
движений
концентрация сохраняется в течение очень малого
промежутка времени. В дальнейшем метеорный след быстро
деформируется под действием турбулентных вихрей. Следовательно, умень-
ается его электронная плотность. Кроме того, турбулентные
вИхРи создают неоднородности электронной плотности, которые
ызывают рассеивание радиоволн. В результате происходит
49*

допплеровский сдвиг частот, величина которого пропорциональна
радиальной составляющей скорости ветра. Таким образом,
появляется возможность определить величины горизонтальных и
вертикальных турбулентных пульсаций и оценить другие характеристики
турбулентных вихрей, например, их линейный и временной
масштабы [86, 87].
Если считать, что критическое значение критерия Ричардсона
m-fj^J, (2.19)
где с — вектор скорости ветра, равно единице, то
£-[f<W'
Исходя из того, что -jg имеет размерность угловой скорости,
можно записать
dc_ l_
dz " tx '
где U — характерный временной масштаб больших вихрей. Тогда
уравнение (2.19) приобретает вид
'i-[-f(T.~T)]
(2.20)
Если обозначить удельную энергию больших вихрей за
единицу времени через Е\, то эта энергия за время t\ равна
с[ = Е^. (2.21)
где с\—скорость турбулентных пульсаций.
Линейный масштаб больших вихрей можно получить по
формуле
Lx = c\tv (2.22)
Для вычисления малых диссипирующих вихрей использовалась
формула (2.11). Из нее следует, что
(7у)''' и '2 = (-г)1/3- (2-23)
Здесь с'2—скорость пульсаций в малых вихрях, U — характерный
временной масштаб.
Принимая для скорости горизонтальных турбулентных
пульсаций больших вихрей их среднюю величину, равную 35 м/с, Букер
[87] получил следующие характеристики больших вихрей,
относящихся к высоте 90 км:
tx = 50 с, Ех = 25 Вт/кг,
С2
11= 1,6 км, ^=20 м/(с-кг).
50
ч

При условии v=4 м2/с были определены также характеристики
диссипирующихся турбулентных вихрей
с; = 3 м/с,. /2 = 0,4с, Z,2 = X=1,3m.
Гринхоу [95—97] провел статистическую обработку
радиолокационного зондирования 900 метеорных следов. Он показал, что
в слое 70—110 км наблюдаются очень большие вертикальные
сдвиги ветра. В этом слое имеют место сдвиги ветра от 0 до
В2Ыт)м2/с2
1800г
120QV
600
о
J L
60
120
180
2*Юйкм
Рис. 2.10. Структурная функция
горизонтальных пульсаций скорости ветра в слое
метеорных следов в зависимости от
горизонтального масштаба вихрей
B2(db)M2/r?
600\
Ч00\
200
1
bdfiKM
Рис. 2.11. Структурная функция
горизонтальных пульсаций
скорости ветра в слое метеорных
следов в зависимости от
вертикального масштаба вихрей
144 м/с на 1 км высоты. Медианное значение их составляет
10 м/(с-км). Сдвиги ветра такой же величины получены и другими
исследователями.
В слое метеорных следов средние квадратические значения
горизонтальных турбулентных пульсаций изменяются от 15 до
45 м/с, а медианное их значение равно 25 м/с [95—97].
Максимальная величина вертикальных турбулентных пульсаций не
превышает 10—15 м/с при среднем значении 2 м/с.
Горизонтальные и вертикальные масштабы больших вихрей
могут быть оценены, если известны корреляционные функции.
Корреляционные функции горизонтальных турбулентных пульсаций
были получены Гринхоу [95—97]. Он установил, что
горизонтальный масштаб этих турбулентных пульсаций равен 150 км или
6000 сек, а вертикальный их масштаб несколько превышает 7 км.
Масштаб нижней части спектра турбулентных вихрей составляет
примерно 30 м. Таким образом, масштабы больших и малых
вихрей, а также другие их характеристики у Букера занижены.
Приведенные выше данные позволили исследовать структуру
турбулентных движений в слое метеорных следов. Зная характер
корреляционных функций и дисперсии турбулентных компонент ветра,
например, можно с помощью формул (2.7) и (2.8) рассчитать
соответствующие им структурные функции. Графики этих функций
представлены на рис. 2.10 и 2.11.
51

Как следует из рис. 2.10, начиная с масштаба 5 км выполняется
закон «первой степени» Юдина. Насыщения структурная
функция достигает примерно при значении масштаба 180 км. Это
подтверждают и вычисления. Если аппроксимировать структурную
функцию равенством (2.14), то расчеты показывают, что
зависимость структурной. функции горизонтальных турбулентных
пульсаций от горизонтального масштаба вихрей dv имеет вид
Я?(/Г) = Ч, (2.24)
а зависимость структурной функции горизонтальных пульсаций от
вертикального масштаба dB вихрей описывается выражением
Bl(lB) = \20dB. (2.25)
Структурная функция турбулентных пульсаций ветра
пропорциональна удельной флуктуационной энергии турбулентного
потока. Следовательно, если выполняется закон «первой степени»,
коэффициенты в формулах (2.24) и (2.25) имеют смысл градиента
этой энергии. Отношение их указывает, во сколько раз энергия
турбулентности быстрее изменяется в вертикальном направлении
по сравнению с горизонтальным, т. е. характеризует анизотропию
турбулентного потока. Это отношение, очевидно, равно примерно
четырнадцати.
Турбулентные вихри, имеющие масштаб менее 5 км,
подчиняются другому структурному закону. В соответствии с
исследованиями [70], этим законом является закон «двух третей»
Колмогорова — Обухова.

ГЛАВА 3
ВЕРТИКАЛЬНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУХА
В ПЛОТНЫХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ
§ 3.1. Характеристики вертикальной статистической структуры
физических параметров атмосферы
Температура, давление, плотность воздуха и ветер являются
случайными функциями пространства и времени. Поэтому полное
описание структуры полей указанных метеорологических
элементов должно производиться на базе исследования их
пространственно-временных статистических характеристик. Такое
исследование возможно на основе большого ряда значений
рассматриваемых параметров атмосферы в различных точках пространства
и в различные промежутки времени. К сожалению, очень часта
такая информация отсутствует. Это относится особенно к данным
ракетного зондирования атмосферы. Ракетное зондирование
атмосферы в настоящее время является единственным методом,
позволяющим охватить измерениями большую часть нижнего
100-километрового слоя атмосферы. Однако ракетное зондирование
производится в настоящее время с ограниченного числа полигонов и:
в различные сроки. В связи с этим на основе данных ракетного*
зондирования удается получить лишь осредненные по большим
промежуткам времени характеристики вертикальной
статистической структуры полей физических параметров атмосферы. В этом
случае значения температуры, давления и плотности воздуха на
некотором фиксированном уровне рассматриваются как
скалярные, а значения скорости ветра—как векторные случайные
величины.
Наиболее полной характеристикой- некоторой случайной
функции у является вероятностное ее описание с помощью законов*,
распределения или функций распределения плотностей
вероятностей f{y). В ряде случаев для практических приложений
оказывается достаточным задание случайных функций и величин путем
определения более простых характеристик — моментов случайных:
Функций и величин, которые являются менее полными
характеристиками.
5$

Физические параметры атмосферы, такие как температура, I
давление, плотность воздуха и составляющие скорости ветра, рас- 1
пределяются, как показали исследования, по нормальному закону, я
Поэтому статистические свойства полей указанных физических ха- •
рактеристик достаточно полно описываются математическими :
ожиданиями
сю
М\У\= I У/(У)*У (3.1)
и ковариациями
00 ОО
Яу Vv **) = I 1 [Ух ~ ту] [У2 - ту] /(Vi. У2. <i. *а) л1 л2, (3-2)
— со —со
где /i и /г — некоторые аргументы.
Ковариации являются составными элементами ковариационных
матриц. Рассмотрим ковариационные матрицы температуры,
давления и плотности воздуха применительно к задаче исследования
вертикальной статистической структуры полей этих параметров
атмосферы.
Расчет статистических характеристик указанных
метеорологических полей выполняется по данным о температуре t(H{) и
давлению р(Н{) на ряде уровней Ни Они позволяют по уравнению
состояния (1.7) рассчитать плотность воздуха на этих же уровнях
р(Н{). Таким образом, в каждом конкретном случае имеются
значения t, р и р, которые могут рассматриваться как совокупность
компонентов /г-мерного случайного вектора X:
II t{Hx)
ПНг)
P(ffi)
Р{Щ
Р{Нт)
P("i)
II р("я)
(п = Ът).
(3.3)

Сопоставим с этим вектором вектор математических ожиданий
тх этих же величин.
" mt(ffx)
mt(H2)
т.
(3.4)
Тогда обобщенную ковариационную матрицу
термодинамических характеристик атмосферы можно получить следующим
образом:
Rx=M[(X-mx)(X-mx)*], (3.5>
где М — операция математического ожидания, * — операция
транспонирования матрицы.
Обобщенная матрица (3.5), если ее развернуть, представляет
собой сложную матрицу, которую можно разбить на девять блоков.
*х =
1 /?«
U*
1**
и»
RpP
Я№
41
*jl
Ярр II
(3.6>
Блоки, расположенные на главной диагонали матрицы (3.6),.
представляют собой автоковариационные матрицы температуры,,
давления и плотности воздуха, а остальные блоки — взаимные
ковариационные матрицы рассматриваемых метеорологических
элементов. Автоковариационные матрицы являются матрицами
симметрическими, а взаимные ковариационные матрицы —
несимметрическими, причем
Р _ Р* . р _£)*.£) __ Р*
Отсюда следует, что если известны блоки, стоящие на главной:
Диагонали и выше ее, то обобщенная матрица (3.6) становится
полностью определенной.
5&

На основе матрицы (3.6) можно получить соответствующую
ей корреляционную матрицу
гх =
ги
rpt
V
г<р\
rpp \
г i
9Р \
гч
гр*
грР
(3.7)
блоки которой есть взаимные и автокорреляционные матрицы. Они
также являются соответственно несимметрическими и
симметрическими матрицами. Элементы блочных матриц, составляющих
матрицы (3.6) и (3.7), связаны между собой равенствами
г„ (#,//') =
R„(Hjn
VRtt(H,H)Rtt(H',H') '
г„(//,//')- , RtAH'H,)
" ' yRtt(H,H)R <H',H')
(3.8)
(3.9)
(3.10)
и так далее, причем элементы, стоящие под знаком радикала,
расположены на главных диагоналях соответствующих блоков и
представляют собой дисперсии.
Вектор ветра может быть представлен в виде двух
составляющих, одна из которых направлена по параллели, а вторая — по
меридиану.
Как указывалось в гл. 2, эти составляющие вектора ветра
располагаются на осях системы координат, которую в метеорологии
лринято называть стандартной, а сами составляющие называются
зональной и меридиональной.
Обозначим составляющие вектора ветра соответственно через
v и и и представим их совокупность в виде n-мерного случайного
вектора С.
и №)
и(Я2)
С =
v(Hy)
(n = 2m).
(3.11)
56

Если этой столбцевой матрице сопоставить соответствующую
матрицу математических ожиданий
тл(Нх)
тс =
mv(Hm)
(3.12)
то ковариационную матрицу вектора можно получить следующим
образом:
Rc=M[[C-mc){C-mc)*\. (3.13)
Развернув матрицу (3.13), будем иметь блочную матрицу
R • R
Rc =
(ЗЛ4>
Блоки матрицы (3.14), стоящие на главной диагонали,
являются симметрическими автоковариационными матрицами
составляющих вектора ветра. Остальные две матрицы представляют
собой несимметрические взаимные ковариационные матрицы и
обладают свойством
Матрица (3.14) дает возможность получить корреляционную
матрицу
гс =
(3.15)
которая обладает теми же особенностями, что и матрица (3.14).
Между элементами блоков матриц (3.14) и (3.15) существуют
соотношения
(Н,Н')
VR*a(H,H)Rm(H',H>)'
' ' VR„v{H,H)RVv(H',H')'
rav(H, H') =
Rav(H,H')
V-R^{H,H)Rm(H',H')
(3.16)
(3.17)
(3.18)
57

Под знаком радикала в выражениях (3.16—3.18) стоят
дисперсии составляющих вектора ветра.
Элементы рассмотренных выше ковариационных матриц
рассчитываются по экспериментальным данным с помощью известных
формул:
*«-т5т2(*.-*»,)(?,-»,). (ЗЛ9)
v
Я,, = Я, =тгт2 К-**)'. (3-20)
v
«,-4-2*.- (з-21>
V
В качестве основного исходного материала для расчета
характеристик вертикальной статистической структуры указанных выше
метеорологических полей были взяты результаты американского
ракетного зондирования атмосферы за период с 1961 по 1966 г.,
относящиеся к полигонам США, которые перечислены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Пункты ракетного зондирования атмосферы,
данные которых подвергались обработке
Пункт
Уайт-Сэндс
Пойнт-Мугу
Мыс Кеннеди
о-ва Уоллопс
Черчилл
Форт-Грилли
о. Вознесения
Широта
32°23' С
34 07
28 14
37 50
58 47
64 00
07 59Ю
Долгота
(западная)
106°29'
119 07
80 36
75 29
94 17
94 17
14 28
Все данные ракетного зондирования были сгруппированы
в две широтные группы. В первую группу вошли данные пунктов
Уайт-Сэндс, Пойнт-Мугу, мыс Кеннеди и острова Уоллопс. Вторую
группу составили результаты ракетных подъемов на полигонах
ст. Черчилл и Форт-Грилли. В дальнейшем эти широтные группы
будем называть соответственно средними и высокими широтами.
Остров Вознесения относится к приэкваториальной зоне. Всего для
исследования вертикальной статистической структуры полей
температуры, давления и плотности воздуха использовалось 592 случая,
а для исследования вертикальной структуры поля ветра —
1020 случаев. Указанные ракетные зондирования вместе с
дополняющими их данными синхронного радиозондирования в зависи-
58

мости от широтных групп и полугодий, на которые разбивались
исходные данные, освещали слой до 50—70 км. К холодному
полугодию относится период времени с апреля по октябрь, а к
теплому— с октября по апрель.
Использованные для статистической обработки данные
ракетного зондирования, как правило, отстоят друг от друга более чем
на двое суток. Для исследования суточной изменчивости плотности
воздуха был рассмотрен ряд наблюдений, производившихся через
сутки. Таких данных в теплый период оказалось 72, а в
холодный период —82.
Точность измерений параметров атмосферы характеризуется
средней квадратической ошибкой отдельного измерения.
Метеорологические ракеты производят измерения метеорологических
элементов со следующей точностью: средняя квадратическая ошибка
измерения давления — 4%, средняя квадратическая ошибка
измерения температуры — 2—3°С. В результате плотность воздуха по
ракетному зондированию определяется с точностью в среднем 5%
[90]. Средняя квадратическая ошибка измерения скорости ветра
в слое атмосферы от 10 до 70 км составляет 0,5—2,5 м/с, если
измерения ветра проводятся с помощью парашютного устройства и
падающих сфер, и около 10 м/с при измерении ветра путем
радиолокационных наблюдений за облаками металлизированных
диполей [105, 107, 108].
§ 3.2. Особенности распределения по высоте
средних значений температуры, давления и плотности воздуха
в плотных слоях атмосферы
Для выяснения особенностей вертикальной статистической
структуры полей температуры, давления и плотности воздуха
рассмотрим распределение по высоте некоторых статистических
характеристик перечисленных физических параметров атмосферы
в различных широтных зонах и полугодиях над
Североамериканским континентом. Сравнение этих характеристик с
характеристиками, полученными для других районов северного полушария,
свидетельствует о том, что общие закономерности вертикальной
структуры не имеют существенных различий, хотя и существуют
некоторые различия в деталях.
Распределение по высотам температуры воздуха, осредненной
по полугодиям и широтным зонам, для Североамериканского
континента представлено на рис. 3.1, из которого следует, что
вертикальные профили средней температуры в средних широтах в
значительной мере отличаются от вертикальных профилей средней
температуры высоких широт.
Профили средней за полугодия температуры хорошо
согласуются с известными представлениями о распределении температуры
в°здуха в плотных слоях атмосферы, которые кратко изложены
в гл. 1, о различии вертикальных и горизонтальных градиентов
температуры в холодном и теплом полугодиях.
59

Нкм
Рис. 3.1. Распределение по высоте температуры воздуха, осредненной по
полугодиям и широтным зонам:
Средние широты: теплый гпериод (7) и холодный (2); северные широты: теплый период (3)
и холодный (4); экваториальная зона (5)
п ч з
12Gt
Рис. 3.2. Отклонения от среднего значения экстремальных
температур (а) и средние квадратические отклонения температуры (б)
Усл. обозначения см. рис. 3.1

Кроме среднего значения температуры, большой интерес
представляют данные, характеризующие колебания температуры
воздуха на различных высотах. На рис. 3.2 а показаны отклонения от
среднего значения экстремальных температур в разных широтных
зонах и полугодиях, которые наблюдались в период с 1961 по
1966 г. Из рис. 3.2 а следует, что в стратосфере и нижней мезо-
сфере температура может на 20—45° С отличаться от среднего
значения. Наибольшие положительные отклонения температуры имеют
место выше 20 км в
холодное полугодие.
Они приходятся на
зимние месяцы и связаны, как
уже отмечалось выше, с
внезапными потеплениями в
стратосфере.
О больших колебаниях
температуры в
рассматриваемых слоях атмосферы
свидетельствуют достаточно
высокие значения средних
квадратических отклонений
температуры,
представленные на рис. 3.2 6. Из этого
рисунка следует, что самые
большие средние квадрати-
ческие отклонения
температуры наблюдаются в
холодное полугодие в северных
широтах в слое 30—60 км.
Выше 50—60 км средние
квадратические отклонения
температуры в северных
широтах резко уменьшаются,
а в средних широтах
остаются почти неизменными.
На рис. 3.3 представлены отклонения средних значений
температуры от температуры по стандартной атмосфере 1964 г. (СА-64).
Рисунок 3.3 показывает, что средние значения температуры в
зависимости от района и полугодия могут существенно отличаться
от стандартных значений. В тропосфере средняя температура ниже
стандартной в высоких широтах, причем на высоте 3 км разность
между ними в холодное полугодие по абсолютной величине
превышает 20° С, и выше стандартной в средних широтах. На высоте
12 км средняя температура в обеих широтных зонах и полугодиях
почти одинакова и равна стандартному значению. В слое
атмосферы 12—25 км в высоких широтах стратосфера оказывается
теплее стандартной. В холодное же полугодие средняя температура
воздуха ниже стандартной. Лишь в нижней мезосфере
наблюдаются положительные отклонения температуры от стандартной,
20m\t
Рис 3.3. Отклонения средней температуры
воздуха от стандартного значения:
Усл. обозначения см. рис. 3.1
61

причем они резко возрастают с высотой, достигая 27° С на
высоте 65 км.
В холодное полугодие в высоких широтах атмосфера в
среднем на всех высотах холоднее стандартной. Максимальная
величина отрицательных отклонений температуры приходится на
высоту 45 км и составляет 17° С.
В табл. 3.2 приводятся средние значения температуры воздуха
и температура по стандартной атмосфере CIRA-1965. Средние
значения температуры заимствованы из сборников данных ракетного
зондирования атмосферы [120]. Они вычислены за период с 1961
по 1965 г.
Таблица 3.2
Средние значения температуры t и температура по CIRA-1965 (°С)
И км
30
40
50
60
Уайт-Сэндс
май
7
-41,1
-12,6
4,9
-6,1
CIRA-1965
—39,0
—16,0
— 2,0
-21,0
октябрь
7
-45,8
-23,5
—41
-11.7
CIRA-1965
-40,0
—23,5
1,0
-4,0
Форт-Грилли
май
7
-45,3
-13,4
2,9
-4,4
CIRA-1965
-50,0
—19,0
11,0
—18,0
октябрь
т
—51,5
—36,3
—13,4
—11,8
CIRA-1965
—49,0
-27,0
-4,0
-31,0
Анализ данных табл. 3.2 показывает, что выше 30 км на
большинстве уровней средние температуры дл» обоих пунктов
оказываются ниже, чем температура по CIRA-1965. Исключение
составляет температура мая в п. Уайт-Сэндс, а также мая и октября
на высоте 60 км в п. Форт-Грилли.
Среднее давление атмосферы в значительной мере зависит от
времени года и широты. Если сравнить распределения по высоте
средних величин давления для теплого и холодного полугодий
(рис. 3.4), то можно прийти к выводу, что наибольшие величины
среднего давления наблюдаются в зоне 30—40° с. ш. в теплое
полугодие, а наименьшие — в высоких широтах (50—60° с. ш.)
в холодное полугодие. Разность между ними на высоте 3 км
составляет 28 мб, на высоте 6 км — 31 мб и на высоте 9 км — 21 мб.
Эти различия обусловлены преобладанием в теплый период в
тропосфере средних широт антициклонического режима, а в холодный
период в высоких широтах — интенсивной циклонической
деятельности. Указанный характер различий в величинах среднего
давления по полугодиям и широтным зонам сохраняется до высоты
примерно 40 км. Выше 45 км наибольшее среднее давление
наблюдается в теплое полугодие в высоких широтах.
На рис. 3.5 показаны результаты сравнения средних значений
давления воздуха с давлением по стандартной атмосфере СА-64.
Как следует из рис. 3.5, до высоты 40 км в средних широтах
среднее давление несколько превышает стандартное. Исключение
62

Нкм
4 13
Ю Ъдтр
Рис. 3.4. Распределение среднего давления воздуха по высоте,
полугодиям и широтным зонам:
Средние широты: теплый период (7) и холодный (2); северные широты: теплый
период («3) и холодный {4)
Нкм
Рис. 3.5. Отклонение
среднего давления
воздуха от
стандартного:
Усл. обозначения см. рис. 3.4
Pern

составляет узкий слой вблизи уровня 20 км. Выше 40 км среднее
давление в холодное полугодие в средних широтах становится
меньше стандартного. В теплое полугодие на этих широтах среднее
давление остается больше стандартного, причем выше 50 км
разность между ними возрастает. В высоких широтах в теплое
полугодие среднее давление до высоты 45 км на 5—7% меньше
стандартного. Выше 45 км разность между ними становится
положительной и с высотой резко возрастает, превышая 40% на высоте
60 км.
В холодное полугодие в высоких широтах среднее давление
во всем рассматриваемом слое атмосферы меньше стандартного.
С увеличением высоты разность между ними непрерывно
возрастает, достигая 22% на высоте 55 км.
В табл. 3.3 помещены средние значения давления, а также
давления по модели CIRA-1965.
Таблица 3.3
Среднее значение давления р и давление по CIRA-1965 (мб)
Н км
30
35
40
45
50
55
60
Уайт-Сэндс
май
7
12,541
6,162
3,189
1,701
0,962
0,540
0,281
CIRA-1965
12,100
6,000
3,030
1,570
0,830
0,445
0,230
октябрь
7
12,186
5,877
2,919
1,514
0,817
0,437
0,230
CIRA-1965
12,500
6,150
3,120
1,650
0,887
0,476
0,248
Форт-Грилли
май
7
12,550
6,060
3,110
1,660
1,060
0,630
0,341
CIRA-1965
11,300
5,300
2,620
1,350
0,720
0,380
0,196
октябрь
7
11,509
5,384
2,607
1,302
0,685
0,356
0,206
CIRA-1965
12,900
6,310
3,200
1,670
0,896
0,482
0,254
Данные, приведенные в табл. 3.3, показывают, что в теплое
время года среднее давление в указанных пунктах превышает
давление по стандартной атмосфере CIRA-1965. В холодное время
наблюдается обратная картина. Особенно большие различия
имеют место в высоких широтах.
О возможных пределах изменчивости давления воздуха на
различных высотах можно судить по данным, представленным на
рис. 3.6, где показаны относительные отклонения экстремальных
значений давления, наблюдавшихся над Североамериканским
континентом в период с 1961 по 1966 г., от среднего значения. Из рис.
3.6 следует, что в высоких широтах имеют место большие
экстремальные отклонения, чем в средних широтах. Наибольшие их
величины отмечаются в холодное полугодие. В стратосфере
намечаются два максимума отклонений, один из которых
располагается в слое 25—35 км, а другой приходится на область страто-
паузы. Эти максимумы равны соответственно 50 и 60%.
64

Кривые, соответствующие отрицательным экстремальным
отклонениям давления от среднего, не обладают столь ярко
выраженными различиями. Однако можно проследить максимум
в средних широтах на высоте около 40 км и в высоких широтах на
высоте примерно 50 км. Данные рис. 3.6 свидетельствуют еще и
о том, что в стратосфере и нижней мезосфере давление может
изменяться в значительных пределах. Эти изменения могут достигать
в стратосфере 80—100%, а в мезосфере 100—120%.
Рис. 3.6 Отклонения экстремальных величин давления
от среднего значения
Усл. обозначения см. рис. 3.4
О больших изменениях давления воздуха в рассматриваемых
слоях атмосферы свидетельствуют величины средних квадратиче-
ских отклонений давления, приведенные на рис. 3.7 в отношениях
к среднему значению давления на соответствующей высоте. Из
рис. 3.7 следует, что средние квадратические отклонения давления
в высоких широтах имеют большую величину, чем в средних
широтах. На кривых, изображенных на рис. 3.7, отчетливо проявляются
Два максимума, которые располагаются в слоях 30—40 и 50—
60 км, т. е. совпадают с максимумами на кривых экстремальных
отклонений. Величины средних квадратических отклонений здесь
Равны соответственно 15—20 и 20—30%.
Общий характер изменения средней плотности воздуха с
высотой в зависимости от полугодия и широты подобен характеру
изменения давления. Это видно, если сравнить рис. 3.4 и 3.8. На
о
° Заказ 1910 65

рис. 3.8 приведено изменение средней плотности с высотой над
Североамериканским континентом. Однако кривые рис. 3.4 и 3.8
имеют и существенные различия. Главным из них является
большая "средняя плотность воздуха в тропосфере высоких широт по
сравнению со средней плотностью воздуха в этом слое атмосферы
в средних широтах.
Приведенные данные свидетельствуют о том, что наименьшая
средняя плотность воздуха в стратосфере и нижней мезосфере
Нкм 2
имеет место зимой в северных широтах.
Самая высокая средняя плотность
воздуха в стратосфере наблюдается в
теплое полугодие в средних широтах. Это
явление прослеживается до высоты
примерно 40 км, т. е. так же, как и для
давления воздуха.
Плотность атмосферы может
испытывать значительные колебания
относительно среднего значения. Это отчетливо
видно на рис. 3.9, где представлены
относительные отклонения экстремальных
величин плотности воздуха,
наблюдавшихся в период с 1961 по 1966 г., от
средних значений. Они особенно велики
в стратосфере высоких широт в холодное
полугодие, хотя в средних широтах и в
теплое полугодие в высоких широтах
превышают на некоторых уровнях 20%.
Кривые экстремальных отклонений
имеют два хорошо выраженных максимума,
один из которых располагается на
высотах 25—30 км, а второй — на высотах
45—50 км. Эти максимумы особенно
велики в северных широтах в холодное
полугодие. На высоте 30 км плотность
может превышать среднюю на 60%, а на
высоте 45 км — примерно на 70%.
Следовательно, если учесть отклонение
минимальных величин плотности воздуха от среднего значения,
плотность в стратосфере может изменяться на 50—70%, а на
некоторых высотах — на 100% и более.
Плотность воздуха в стратосфере может изменяться достаточно
быстро. На р'ис. 3.10 представлено распределение по высоте
средних квадратических изменений плотности воздуха (квадратных
корней из временных структурных функций) за 24-часовой
интервал времени. Рисунок 3.10 показывает, что за сутки в стратосфере
средних широт плотность воздуха имеет изменчивость 7—12%,
а в стратосфере высоких широт— 10—17%.
О большой изменчивости плотности воздуха в рассматриваемом
слое атмосферы свидетельствуют величины средних квадратических
66
Рис. 3.7. Средние квадра-
тические отклонения
давления воздуха
Усл. обозначения см. рис. 3.4

Нкм
ЫЗ
50\-
Рис. 3.8. Распределение плотности воздуха по высоте, полугодиям
и широтным зонам
Средние широты: теплый гериод (7) и холодный (2); северные широты; теплый
период {3) и холодный (4)
Рис. 3.9. Отклонения
экстремальных величин
плотности воздуха от
среднего значения
Усл. обозначения см. рис. 3.8
3*

отклонений, которые показаны на рис. 3.11. Из
представленных данных можно сделать вывод, что средние квадратические
отклонения плотности воздуха в тропосфере сравнительно
невелики и составляют 2—5%. С увеличением высоты они возрастают,
превышая 10—15% в стратосфере и 20—25% в нижней мезосфере.
Рис. 3.10. Изменчивость
плотности воздуха за 24-часовой
интервал времени
Усл. обозначения см. рис. 3.8
Рис. 3.11. Средние
квадратические отклонения
плотности воздуха
Усл. обозначения на рис. 3.8
О характере распределения плотности воздуха в слое от 70 до
80 км можно судить по данным табл, 3.4. Приведенные в ней
величины получены путем осреднения по двум группам широт
Североамериканского континента данных о плотности воздуха.
Таблица ЗА
Средние экстремальные величины и средние
квадратические отклонения плотности воздуха
(г/мЗ)
Н км
70
80
Число

измерений
52
25
р
0,126
0,0196
Pmin
0,055
0,0106
Ртах
0,260
0,030
аР
0,024
0,006
*р
р
19,1
30,3
68
Л
I

Из табл. 3.4 следует, что на высотах 70—80 км разность между
максимальной и минимальной плотностью оказывается больше,
чем сама средняя плотность.
В период с 1963 по 1964 г. на о. Кваджелейн (9° 24' с. ш.;
167° 39' в. д.) было проведено 13 зондирований атмосферы с
помощью метеорологических ракет, которые достигли высоты 100 км.
По данным этих подъемов получены средние величины плотности
воздуха, а также экстремальные и средние квадратические
отклонения. Эти величины могут, естественно, претендовать на роль
лишь приближенных оценочных характеристик (табл. 3.5).
Таблица 3.5
Распределение по высоте характеристик плотности воздуха в слое
80—100 км по данным 13 зондирований
И км
85
90
95
100
р г/м~3
0,00836
0,00374
0,00158
^0,00053
Ршах""Ро
= %
Р
20,0
9,2
30,0
17,1
Pmin — Р
7
-14,7
-10,1
—31,0
—17,0
<ГрГ/М»
0,00074
0,00023
0,00025
0,00006
•р
р
8,9
6,6
15,8
10,6
В табл. 3.6 для сравнения приведены значения плотности
атмосферы, определенной путем ракетного зондирования над о.
Кваджелейн и фотографирования метеоров, проведенного в Киеве (см.
§ 1-8).
Таблица 3.6
Значения плотности по ракетному зондированию
и фотографированию метеоров (г/м3)
Н км
85
90
95
100
р
по ракетному
зондированию
0,00836
0,00374
0,00158
0,00053
по метеорам
0,00912
0,00357
0,00112
0,00054
Приведенные в табл. 3.6 величины свидетельствуют о том, что
значения плотности, полученные с помощью ракетного
зондирования и наблюдения за метеорами, хорошо согласуются.
Представляют интерес результаты сравнения средней плотности
воздуха со стандартной по СА-64, которые показаны на рис. 3.12.
В средних широтах до высоты 10 км средняя плотность воздуха
96

оказывается меньше стандартной. Выше этого уровня до высоты
примерно 35 км она в обоих полугодиях превышает стандартную.
Исключение составляет узкий слой атмосферы вблизи 20 км.
Выше 35 км в теплое полугодие средняя плотность остается
больше стандартной. Максимальная разность между ними
приходится на высоту 55 км и достигает 13%. В холодную половину года
Нкм
Рис. 3.12. Отклонения
средней плотности
воздуха от стандартного
значения
Усл. обозначения см. рис. 3.8
рст
выше 35 км средняя плотность воздуха становится меньше
стандартной. С ростом высоты разность между ними возрастает,
достигая 12% на высоте 60 км.
В высоких широтах в самом нижнем слое тропосферы средняя
плотность воздуха больше стандартной. Выше 5—7 км и до
высоты 45 км средняя плотность воздуха в холодном и теплом
полугодиях оказывается меньше стандартной. Выше 45 км в теплую
половину года среднее значение плотности вновь становится
больше стандартной, и разность между ними с высотой резко
возрастает. На высоте около 55 км она уже на 30% превышает
плотность по стандартной атмосфере. В холодное полугодие в высоких
широтах средняя плотность воздуха выше 45 км остается меньше
стандартной. С увеличением высоты разность между ними
возрастает, достигая максимальной величины, равной 20%, на высоте
55 км.
В табл. 3.7 приведены отклонения средней плотности воздуха
от стандартной по данным зондирования над о. Кваджелейн.
70

Таблица 3.7
Отклонения плотности воздуха от стандартного
значения над о. Кваджелейн
// км 70 75 80 85 90 95 100
■^^•% 35,9 10,5 —6,7 -2,0 7,7 4,3 -2,2
Приведенные выше данные характеризуют величины
отклонений средних значений плотности воздуха от стандартного
значения. Однако представляет интерес, как часто те или иные
величины отклонений от стандартных значений могут наблюдаться.
Представление об этом могут дать гистограммы отклонений
плотности воздуха в стратосфере и нижней мезосфере. На рис. 3.13
показаны гистограммы относительных отклонений плотности
воздуха для теплого полугодия средних широт. Они свидетельствуют
о том, что на высоте 20 км наибольшую частость имеют
отклонения от 0 до —10%. Начиная с высоты 25 км максимум
повторяемости перемещается на градацию от 0 до 10%. До высоты 40 км
он составляет приблизительно 60%. Выше 40 км существенно
возрастает частота отклонений, превышающих по абсолютной
величине 10%. Гистограммы для холодного полугодия средних широт
и теплого полугодия высоких широт имеют подобный вид.
Совершенно иной характер имеют подобные гистограммы для
холодного полугодия высоких широт (рис. 3.14). Различие между
ними заключается в том, что на рассматриваемых уровнях центр
распределения перемещается в область отрицательных градаций
и тем в большей степени, чем выше расположен уровень. Это
свидетельствует о том, что в преобладающем числе случаев в
холодное полугодие имеют место отрицательные отклонения плотности
воздуха от стандартных значений. Достаточно часто встречаются
случаи, когда плотность воздуха оказывается меньше
стандартной на 40, 50 и даже 60%.
В табл. 3.8 для сравнения приводятся средние значения
плотности воздуха над пунктами Уайт-Сэндс и Форт-Грилли и
значения плотности воздуха по стандартной атмосфере CIRA-1965.
Таблица 3.8
Среднее значение плотности р и плотность воздуха по CIRA-1965 (г/м3)
W км
30
35
40
45
50
55
60
Уайт-Сэндс
май
Р
18,779
8,772
4,264
2,166
1,203
0,671
0,353
CIRA-1965
18,500
8,680
4,250
2,160
1,114
0,622
0,342
октябрь
т
18,761
8,738
4,073
1,989
1,055
0,573
0,307
CIRA-1965
18,700
8,800
4,250
2,130
1,130
0,627
0,346
Форт-Грилли
май
7
19,092
8,683
4,129
2,116
1,327
0,790
0,428
CIRA-1965
18,900
8,460
3,980
1,980
1,080
0,615
0,347
октябрь
Т | CIRA-1965
18,032
8,246
3,846
1,803
0,917
0,470
0,274
19,700
8,540
4,020
1,904
1,010
0,559
0,299
71

p%
boV
4oi-
20y
60r-
40l
2oV
20km
25km
0
60
40 V
2 Oh
30km
0
60r-
40I
20V-
0*~
ЗЬ км
20
0,
40km
40 30 20 W
, P'Pcm ,
P%
ou
40
20
0
45km
1 i IZZZ
60i
40U
20\
0
60i
40 у
20V
0
60
40
20
0
50км
55 km
60km
-40 -30 -20 '10
10 20 30 40£-^",o/o
pern
Рис. 3.13. Гистограмма отклонений плотности воздуха от стандартной. Теплое полугодие, средние широты
10 20 30 40 мЕрРУь
Рот

p%
2oV
**5m
j L
-60 -50 -40 -30 -20 -Ю 0 10 20 30 W 50-№±m°/
pern
-60 '50 -W -30 -20 -10 0
Рис. 3.14. Гистограмма отклонений плотности воздуха от стандартной. Холодное полугодие, высокие широты
10 20 30 *о£&Ч
уст

Из табл. 3.8 следует, что над обоими рассматриваемыми
пунктами в мае средняя плотность превышает плотность по CIRA-1965,
причем в высоких широтах на достаточно большую величину.
В октябре наблюдается обратная картина.^Как и в мае, в октябре
наибольшие различия между этими значениями плотности
наблюдаются в высоких широтах.
Приведенные результаты сравнения температуры, давления и
плотности воздуха с моделями СА-64 и CIRA-1965 показывают, что
даже более обоснованная с физической точки зрения
пространственно-временная модель атмосферы CIRA-1965 не отражает
в достаточной мере фактического распределения физических
параметров атмосферы.
§ 3.3. Корреляционные матрицы температуры,
давления и плотности воздуха
Автоковариационной матрицей температуры воздуха является
первый блок главной диагонали обобщенной ковариационной
матрицы (3.6). Она представляет собой симметрическую матрицу, на
главной диагонали которой располагаются значения дисперсий
температуры на высотах. Этой матрице соответствует
автокорреляционная матрица температуры.
Автокорреляционные матрицы в целях анализа удобно
представить в виде автокорреляционных функций.
Автокорреляционные функции температуры обладают рядом
характерных черт. Для средних и высоких широт Северной
Америки они представлены на рис. 3.15 и 3.16. Цифры у кривых на
этих рисунках обозначают высоту в километрах исходного уровня
корреляции.
Автокорреляционные функции температуры для средних широт,
исходные уровни корреляции которых располагаются в тропосфере
(в дальнейшем такие функции будем называть тропосферными,
в отличие от стратосферных функций, т. е. функций с исходными
уровнями корреляции, расположенными^ стратосфере) имеют
примерно одинаковый вид в теплое fpic. 3.15 6) и холодное
(рис. 3.15 а) полугодия. Они характеризуются тем, что с
увеличением высоты корреляционная связь в тропосфере быстро
уменьшается, достигая нуля на высоте 10—12 км. Выше этого уровня
корреляционная связь становится обратной. Максимум обратной
связи наблюдается на высоте 15 км. Такие значения
автокорреляционной функции свидетельствуют о том, что рост температуры
на высоте 15 км чаще всего сопутствует падению ее на более
низких уровнях.
Стратосферные функции в холодный период и функции с
исходными уровнями корреляции 15 и 20 км в теплый период имеют
одинаковый вид и свидетельствуют о достаточно быстром
уменьшении корреляционной связи с высотой. Стратосферные функции
с начальными уровнями корреляции более 20 км в теплое
полугодие уменьшаются с увеличением высоты более медленно.
74

В высоких широтах автокорреляционные функции температуры,
соответствующие исходным уровням корреляции 3 и 6 км, также
быстро уменьшаются с высотой, однако обратная корреляционная
связь, максимум которой, как и в средних широтах, приходится
на высоту 15 км, имеет меньшую величину. Характер
корреляционной связи температуры в стратосфере в холодное (рис. 3.16 а) и
rt(H) 3 6 9 15 20 25 30 35 40
[i>
X
Рис. 3.15.
Корреляционные функции
температуры для холодного (а)
и теплого {б) полугодий
средних широт
-<?,<5L
3 6 9 15 20 25 30 35 U0
50Нкм
теплое (рис. 3.166) полугодия в высоких широтах одинаков и
подобен характеру корреляционной связи в теплый период в средних
широтах выше 20 км.
Таким образом, на графиках автокорреляционных функций
температуры можно выделить четыре группы кривых. Первая и
вторая группы относятся к исходным уровням корреляции,
расположенным в тропосфере соответственно для средних и высоких
широт. В третью группу можно объединить стратосферные кривые
Для холодного полугодия и функции с исходными уровнями 15 и
20 км для теплого полугодия средних широт. Наконец, к
четвертой группе относятся автокорреляционные функции температуры
75

rt(H)3 6 9 15 20 25 30 35 40
0,8
0,4
-0,4
3 69 15 20 25 30 35 40 45
Рис. 3.16.
Корреляционные функции
температуры для холодного (а)
и теплого (б) полугодий
высоких широт
50Нкм
(Н) 3 6 9 15 20 25 30 35 40 Ь5
rpWf
Рис. 3.17. Корреляцион- °
ные функции давления
для холодного {а) и
теплого (б) полугодий
средних широт
40- -50^.
40 50HKI*

для теплого полугодия средних широт с исходными уровнями
корреляции выше 20 км, а также для теплого и холодного
полугодий высоких широт с исходными уровнями корреляции,
расположенными в стратосфере.
Автокорреляционные матрицы давления, как и описанные выше
матрицы температуры, целесообразно представить также в виде
20 25 30 35 W Ь5
Рис. 3.18.
Корреляционные функции плотности
воздуха для холодного
(а) и теплого (б)
полугодий средних широт
0,8
ОМ
3 6 9 15 20 25 30 35 W «5
Г V
-ол
>0Нкм
автокорреляционных функций. Эти функции имеют ряд
особенностей. В средних широтах в холодное полугодие (рис. 3.17)
автокорреляционные функции давления, для которых исходные уровни
корреляции располагаются в тропосфере, быстро уменьшаются.
Выше 25 км они вновь несколько возрастают. Стратосферные
автокорреляционные функции, начиная с высоты 30 км,
свидетельствуют о более плавном уменьшении корреляционной связи
давления на нижележащих уровнях с давлением на больших высотах.
В высоких широтах характер корреляционной связи давления на
различных уровнях примерно такой же.
77

Автокорреляционные матрицы плотности воздуха также, как и
автокорреляционные матрицы температуры и давления,
представляют собой соответствующие блоки обобщенной матрицы (3.7).
На рис. 3.18 и 3.19 показаны автокорреляционные матрицы
плотности воздуха для средних и высоких широт в виде
автокорреляционных функций. По-прежнему, цифры у кривых обозначают
высоты в километрах исходных уровней корреляции.
30 35 40
-0AL
3 6 9 15 20 23 30 35 ЬО
Нкм
Рис. 3.19.
Корреляционные функции плотности
воздуха для холодного
(а) и теплого (б)
полугодий высоких широт
-04*-
В средних широтах в холодное (рис. 3.18 а) и теплое
(рис. 3.18 6) полугодия функции с исходными уровнями
корреляции 3 и 6 км быстро уменьшаются с увеличением высоты, достигая
нуля вблизи высоты 10 км, и затем принимают отрицательное
значение, равное 0,5—0,7 на высоте 15 км. Соответствующие функции,
принадлежащие холодному (рис. 3.19а) и теплому (рис. 3.196)
полугодиям высоких широт, отличаются от указанных выше
функций лишь меньшим значением в точке минимума. Если
рассмотреть автокорреляционные функции плотности воздуха с исходными
уровнями корреляции выше 9 км, то можно видеть, что они имеют
один и тот же характер в обоих полугодиях и широтных зонах.
Следовательно, все рассмотренные функции можно объединить
в три группы. Первую группу составляют тропосферные автокор-
78

реляционные функции плотности воздуха для средних широт, во
вторую — тропосферные автокорреляционные функции плотности
воздуха для высоких широт, а в третью — все стратосферные
автокорреляционные функции плотности воздуха в обеих широтных
зонах и полугодиях.
Обратимся теперь к взаимным корреляционным матрицам
температуры, давления и плотности воздуха. Взаимные
корреляционные матрицы удобно представлять в виде полей изокорреляции.
3 6 9 15 20 25 30 35 *+0 Ь5 50 Нкм
Рис. 3.20. Поле изокорреляции гр\ (И, Н') в холодное полугодие
средних широт
Такие поля дают возможность наглядно представить области
с различной степенью корреляционной связи между указанными
параметрами атмосферы в пределах рассматриваемых слоев
атмосферы.
Взаимные корреляционные матрицы, давления и температуры
воздуха для холодного и теплого полугодий в средних широтах
показаны на рис. 3.20 и 3.21. Они обладают следующими
особенностями:
1. Давление воздуха в верхней части тропосферы имеет тесную
положительную корреляционную связь с температурой на
расположенных ниже уровнях.
79

2. Вблизи уровня 15 км наблюдается сравнительно узкий слой
атмосферы, в котором температура имеет достаточно высокую
отрицательную корреляционную связь с давлением на лежащих
ниже уровнях. В слое атмосферы от 10 до 15 км имеют место
очень большие вертикальные градиенты коэффициента корреляции.
3. В стратосфере давление воздуха на уровнях 40—50 км
обладает положительной корреляционной связью с температурой
воздуха на уровнях 25—35 км.
Н'км
Рис. 3.21. Поле изокорреляций rpt(H, H') в теплое полугодие
средних широт
В высоких широтах взаимные корреляционные матрицы
давления и температуры воздуха (рис. 3.22 и 3.23) несколько
отличаются от аналогичных матриц для средних широт. Эти отличия
относятся главным образом к стратосфере и заключаются в
следующем: 1) на границе между стратосферой и тропосферой
отсутствует область с большой отрицательной корреляционной связью
между давлением и температурой; 2) в холодное полугодие
наблюдается область с большой положительной корреляционной связью
между давлением в верхней тропосфере и температурой в слое
атмосферы от 30 до 40 км; 3) в высоких широтах еще более тесной
80

3 6 9
15 20 75 30 35 W К ЗОНкм
Рис. 3.22. Поле изокорреляций rpt(H>H') в холодное
полугодие высоких широт
3 6 9
15 20 25 30 35 40 45 50 Нкм
Рис. 3.23. Поле изокорреляций rpt(H, //') в теплое
полугодие высоких широт

является корреляционная связь между давлением в стратосфере и
температурой на более низких уровнях.
На рис. 3.20—3.23 отчетливо видны также величины элементов,
расположенных на главной диагонали взаимных корреляционных
матриц давления и температуры, характеризующие статистическую
связь между этими физическими параметрами атмосферы на
одних и тех же уровнях. Кроме того, из этих рисунков следует, что
в высоких и средних широтах в тропосфере до высоты, примерно,
10 км коэффициент корреляции между температурой и давлением
равен 0,6—0,7. С увеличением высоты корреляционная связь
между ними падает и в стратосфере меняется мало, причем в
средних широтах она практически отсутствует, а в высоких широтах,
если не считать всплеск на высоте 35 км в теплое полугодие,
невелика. В средних широтах в обоих полугодиях на высоте 15 км
имеет место высокая отрицательная корреляционная связь.
Взаимные корреляционные матрицы плотности воздуха и
температуры обладают рядом интересных особенностей.
На рис. 3.24 и 3.25 показаны взаимные корреляционные
матрицы плотности и температуры воздуха для теплого и холодного
полугодий средних широт. Из этих рисунков следует, что в теплое
и холодное полугодия эти матрицы имеют аналогичную структуру.
В тропосфере наблюдается высокая обратная связь между
температурой и плотностью воздуха. Второй очаг обратной
корреляционной связи занимает слой атмосферы от 10 до 20 км и
вытягивается вдоль главной диагонали. В поле изокорреляции отмечается
очаг очень высокой положительной корреляционной связи. Он
свидетельствует о том, что росту температуры на высотах, близких
к высоте 15 км, сопутствует увеличение плотности воздуха в
тропосфере. В стратосфере выше 20 км корреляционная связь между
плотностью и температурой воздуха очень мала.
Поля изокорреляции для высоких широт (рис. 3.26 и 3.27)
существенно отличаются от рассмотренных выше полей. Это
отличие заключается в том, что, во-первых, области положительной
корреляционной связи между плотностью в тропосфере и
температурой на ее границе со стратосферой менее интенсивны, но имеют
большую протяженность и состоят из двух очагов, один из
которых располагается на высотах 10—12 км, а второй — на высотах
17—22 км. Во-вторых, плотность воздуха в стратосфере в слое от
20 до 40 км имеет достаточно высокую корреляционную связь
с температурой воздуха на высотах от 35 до 45 км.
Величины диагональных элементов взаимных корреляционных
матриц плотности и температуры воздуха, характеризующие
степень статистической связи между этими физическими параметрами
атмосферы на одних и тех же уровнях, свидетельствуют о том, что
между плотностью и температурой воздуха на фиксированных
уровнях имеет место высокая обратная связь лишь в средних
широтах до высоты 20 км, а в высоких широтах — лишь в нижней
и средней тропосфере. Выше корреляционная связь между ними
практически исчезает.
82

3 6 9 15 20 25 30 35 <*0 <+5 50 Нкм
Рис. 3.24. Поле изокорреляций г t(H, H') в теплое
полугодие средних широт
И'км
3 6 9
15 20 25 30 35 W 45 50 Нкм
Рис. 3.25. Поле изокорреляций г t (//, И') в холодное
полугодие средних широт

3
Рис. 3,
6 9 15 20 25 30 35 W Ь5 50Нкп
26. Поле изокорреляций г t (H, Н') в теплое полугодие
высоких широт
20 25 30 35
W Ь5Нк»г
Рис. 3.27. Поле изокорреляций г Ji^H, H') в холодное
полугодие высоких широт

6 9 15 20 25 30 35 W U5 50Нкм>
Рис. 3.28. Поле изокорреляций грр (Я, Н') в теплое
полугодие средних широт
0,1 ojO.3 0.4 0.5 0 6 0.7 0,8 0,9
3 е 9 15 20 25 30 35 40 45 50 Ним
Рис. 3.29. Поле изокорреляций г (/У, //') в холодное
полугодие средних широт

3 6 9 15 20 25 30 35 <Ю 45 50Нкн
Рис. 3.30. Поле изокорреляций г (И, Н') в теплое полугодие
высоких широт
0.6 0.7 0,80,9
3 6 9 15 20 25 30 35 **0 45 SO Ним
Рис. 3.31. Поле изокорреляций rpp(Ht H') в холодное
полугодие высоких широт

Обратимся теперь к взаимным корреляционным матрицам
плотности и давления воздуха. В виде полей изокорреляции для
теплого и холодного полугодий средних и высоких широт они
представлены на рис. 3.28—3.31. Все приведенные на этих рисунках
матрицы обладают одними и теми же свойствами, которые
заключаются в том, что в тропосфере корреляционная связь между
давлением и плотностью воздуха невелика. Кроме того, небольшой
очаг отрицательных коэффициентов корреляции занимает нижний
левый участок поля изокорреляции и свидетельствует о том, что
росту давления в нижней тропосфере чаще всего сопутствует
уменьшение плотности воздуха в верхней тропосфере и нижней
части стратосферы. Выше тропопаузы располагается вытянутая
зона очень больших значений коэффициентов корреляции между
давлением и плотностью воздуха толщиной 10 км и более, причем
максимальные их значения размещаются на главных диагоналях
рассматриваемых матриц.
Описанные выше особенности взаимных корреляционных
матриц отражают те физические взаимосвязи, которые характерны
для атмосферы. Некоторые из этих особенностей, как, например,
высокие коэффициенты корреляции между давлением и
температурой на нижележащих уровнях и другие, закономерны,
некоторые пока не находят сколько-нибудь убедительного объяснения.
§ 3.4. Статистические характеристики ветра
в плотных слоях атмосферы
В качестве статистических характеристик, описывающих
вертикальную структуру поля ветра в плотных слоях атмосферы,
рассмотрим средние значения меридиональной и зональной
составляющих скорости ветра, средние квадратические отклонения и
авто- и взаимные корреляционные матрицы. Перечисленные
статистические характеристики получены на основе данных ракетного
зондирования атмосферы, краткая характеристика которых дана
в§ 3.1.
Для двух полугодий распределение по высоте средних
значений зональной v и меридиональной и составляющих скорости
ветра показано на рис. 3.32 и 3.33.
В средних широтах (рис. 3.32) в холодное полугодие во всем
рассматриваемом слое атмосферы зональная составляющая
положительна, что объясняется преобладанием в нижнем
70-километровом слое атмосферы западного переноса, обусловленного, как
указывалось выше, циркумполярным циклоническим вихрем. В
тропосфере западная составляющая растет с высотой, достигая
максимума на высоте 10 км. Выше 10 км западная составляющая
Уменьшается, и минимальное значение приходится на высоту
20 км. Выше 20 км западная составляющая вновь возрастает и на
высоте 70 км становится равной 68 м/с.
Меридиональная составляющая во всем слое атмосферы до
'0 км положительна и имеет сравнительно небольшую величину.
87

Наибольшее значение меридиональной составляющей приходится
на высоту 50 км и достигает 11,3 м/с. Таким образом, в средних
широтах в холодное полугодие преобладает западный перенос
с незначительной южной составляющей.
В теплое полугодие в средних широтах меридиональная
составляющая также положительна, но имеет еще меньшую величину.
Зональная составляющая ветра в теплое полугодие в
тропосфере возрастает с высотой. Максимум ее, равный 11 м/с,
находится, как и в холодное полугодие, на высоте 10 км. Выше этого
! . I I I ■ * ' ' » 1.1 |
-40 -20 0 20 40ти,т0м/с ~30 '20 '® О W 20mu.mvm/c
Рис. 3.32. Средние значения Рис. 3.33. Средние значения состав-
составляющих скорости ветра. ляющих скорости ветра. Высокие
Средние широты широты
1 - холодный период, 2-теплый пе- / — холодный период, 2 — теплый период
риод
уровня западная составляющая уменьшается и становится равной
нулю на высоте примерно 18 км. Дальнейшее увеличение высоты
связано с обращением и ростом зональной составляющей.
Максимального значения, равного 32 м/с, она достигает на высоте 70 км.
'Следовательно, в большей части стратосферы в теплое полугодие
наблюдается достаточно интенсивный восточный перенос масс
воздуха.
В высоких широтах (рис. 3.33) в холодное полугодие зональная
доставляющая обладает следующими особенностями. Как и в
средних широтах, до высоты 10 км она положительна и возрастает
с высотой, а в слое 10—20 км почти не меняется. Выше 20 км
происходит рост скорости западного ветра. На высоте 55 км он
достигает максимума, равного 28 м/с. Дальнейшему увеличению
высоты сопутствует уменьшение зональной составляющей, причем
на высоте 65 км она становится отрицательной и растет с высотой.
SS

Меридиональная составляющая ветра почти во всем
70-километровом слое атмосферы отрицательна. Наибольшая ее величина,,
равная —18 м/с, располагается на высоте 70 км.
В теплое полугодие в высоких широтах зональная
составляющая ветра в тропосфере также положительна до высоты 20 км.
Выше этой высоты наблюдается ее обращение и увеличение.
Наибольшая отрицательная величина зональной составляющей:
(—15 м/с) имеет место на высоте 55 км. Выше она вновь
становится положительной и возрастает.
Меридиональная составляющая во всем рассматриваемом слое
атмосферы положительна и невелика. Лишь выше 50 км она
существенно возрастает, достигая 15 м/с на высоте 70 км. Величины
составляющих скорости ветра свидетельствуют о том, что в
теплую половину года в высоких широтах также преобладают
восточные ветры, которые в нижней мезосфере переходят на
западные.
Сравнивая рис. 3.32 и 3.33 с временными разрезами поля ветра!
для 30 и 60° с. ш. (см. рис. 2.1 и 2.2), можно заметить, что
распределения по высоте средних по полугодиям значений составляющих
ветра вполне согласуются с временными разрезами. Несколько'
меньшие величины максимумов составляющих ветра связаны с
дополнительным сглаживанием при осреднении по полугодиям и*
широтам.
На рис. 3.34 изображено изменение с высотой средних
квадратических отклонений, скорости ветра в средних и высоких широтах.
Графики показывают, что распределение средних квадратических
отклонений составляющих ветра в различных зонах различны.
В средних широтах до высоты 20—25 км в холодное и теплое
полугодия средние квадратические отклонения составляющих скорости:
ветра почти одинаковы. Выше этих уровней средние
квадратические отклонения зональной составляющей становятся больше, чем
меридиональной, в 2—3 раза. При этом в холодное полугодие
средние квадратические отклонения составляющих скорости ветра
превышают их значения в теплое полугодие. Наибольшая величина
средних квадратических отклонений меридиональной
составляющейся м/с) наблюдается в холодное полугодие на высоте 65 км, а
зональной составляющей (33 м/с) на высоте 60 км.
В высоких широтах распределение по высоте средних
квадратических отклонений составляющих скорости ветра в холодное
полугодие значительно отличается от их распределения в теплое
полугодие. Если в теплое полугодие соотношения между средними
квадратическими отклонениями зональной и меридиональной
составляющих почти такие же, как и в средних широтах, то в
холодное полугодие средние квадратические отклонения обеих
составляющих почти одинаковы во всем рассматриваемом слое
атмосферы.
Обобщенные ковариационные и корреляционные матрицы
ветра, как показано выше, состоят из четырех блоков. Блоки,
размещенные на главных диагоналях обобщенной корреляционной
8fr

матрицы, представляют собой автокорреляционные матрицы
зональной и меридиональной составляющих ветра. В целях анализа
этих матриц представим их также в виде автокорреляционных
функций. Рассмотрим особенности этих функций.
На рис. 3.35 изображены автокорреляционные функции
зональной rv(AH) и меридиональной ги(АН) составляющих скорости
ветра в холодное полугодие средних широт. Из рис. 3.35 следует,
что функции ги(АН) с исходными уровнями корреляции 5—20 км
Ю W 30 0 Ю 20би/бим/с
Рис. 3.34. Средние квадратические отклонения
составляющих скорости ветра
а — средние широты, б — северные широты
и функции rv(AH) с исходными уровнями 5—25 км (высоты
исходных уровней корреляции в километрах обозначены у каждой
кривой) имеют одинаковый вид. Выше 25 км корреляционная связь
зональных составляющих убывает с высотой более медленно.
Автокорреляционные функции составляющих скорости ветра
для теплого полугодия в средних широтах изображены на рис. 3.36,
из которого видно, что в теплое полугодие характер изменения
корреляционной связи с высотой меридиональных и зональных
составляющих различен. Если функции для меридиональных
составляющих с исходными уровнями корреляции 5—15 км имеют такой
же вид, как и в холодное полугодие для этих же высот, то
функции с исходными уровнями корреляции более 15 км
свидетельствуют о быстром падении корреляционной связи меридиональных
90

rv(H) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0,8
OA
ru(H) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0,8
OA
0
б) У
-
i
10
i i '
20
fcfc^ i4*^
^2^
бО^Нкм
Рис. 3.35. Корреляционные функции зональной (а)
и меридиональной (б) составляющих скорости ветра
в холодное полугодие средних широт
rv(H) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
V
0,8
0А\-
0* 1 1 1 1 i i i i i
J i
rv(Jf)5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
0,8\-
OAV
бОНкм
Рис. 3.36. Корреляционные функции зональной (а)
и меридиональной (б) составляющих скорости ветра
в теплое полугодие высоких широт

составляющих с увеличением высоты. Наоборот,
автокорреляционные функции зональной составляющей уменьшаются очень
медленно.
В холодное полугодие в высоких широтах автокорреляционные
функции зональной (рис. 3.37 а) и меридиональной (рис. 3.37 6)
«составляющих скорости ветра имеют практически одинаковый вид
во всем рассматриваемом слое атмосферы.
rv(H) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
OS
0.4
О
ЫЮ 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0,8
ОЛ
О
Рис. 3.37. Корреляционные функции зональной (а)
и меридиональной (б) составляющих скорости ветра
в холодное полугодие высоких широт
В теплое полугодие в высоких широтах автокорреляционные
функции составляющих скорости ветра практически аналогичны
соответствующим функциям в теплое полугодие в средних
широтах. Корреляционная связь между меридиональными
составляющими (рис. 3.38 6) с увеличением высоты более 15 км падает очень
быстро, а между зональными составляющими (рис. 3.38 а) во всем
рассматриваемом слое атмосферы — очень медленно.
Если рассмотреть совместно все автокорреляционные функций
составляющих скорости ветра, то можно заметить, что вся их
совокупность может быть разбита на четыре однородные группы.
Первая группа включает в себя автокорреляционные функции ме-
$2
Нкм

ридиональной составляющей скорости ветра для теплого и
холодного полугодий средних и теплого полугодия высоких широт,
зональной составляющей для холодного полугодия средних широт,
имеющих высоты исходных уровней корреляции 5—20 км. Вторая
группа содержит автокорреляционные функции меридиональной
составляющей скорости ветра с исходными уровнями корреляции
более 20 км для теплого полугодия средних и высоких широт
rv(H) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0,8
0Л
О
Ыи) 5 10 15 20 25 30 35 W 45 50
OS
ОМ
0
Рис. 3.38. Корреляционные функции зональной (а)
и меридиональной (б) составляющих скорости ветра
в теплое полугодие высоких широт
Третья группа объединяет все автокорреляционные функции
меридиональной и зональной составляющих в холодное полугодие
в средних широтах с исходными уровнями корреляции более 20 км.
Наконец, к четвертой группе относятся автокорреляционные
функции зональной составляющей ветра для теплого полугодия средних
и высоких широт, а также для холодного полугодия средних
широт выше 20 км.
Взаимные корреляционные матрицы составляющих скорости
ветра для обоих полугодий и широтных групп имеют одинаковый
характер. Он заключается в том, что корреляционная связь между
составляющими ветра как на одних и тех же уровнях, так и на
разных уровнях в пределах рассматриваемого слоя атмосферы
практически отсутствуют (табл. 3.9).
93
j i i i i i i i i i i
Нкм

в
я
Н Dd
со а>
•ТЗ (Г "ТЗ
2 ~ »
СО "ТО
И^
•1
О
dd
Е
Я
>тЗ
Я
3
а>
■ТО
Я
И ТЗ
Со ро
*тз о
СО Я
н <т>
а> ^
тз о
о>
я
я
Я«
о5
о
о
- У*
О
я
я
о
Со
я
я
Е
О 5 2
сг ^ о
~ 8*
tow н
I я о
^н Н °
W О) О
g я а>
:> и я
о ю
СО о) со
идя
СО О CD
5^ w
Ж HI О)
О) о
х <т>
Я Cd
° Е
Cd E
И ъ
о
о
н
о
о
о
о\
о>
я
я
о
о
н
я
Со
о о
D3 'ТЗ
» а>
со )ч
П) я
Яс я
SB.
fi со cd
8S§
CO 0> (T>
Dd О U
и * а
» 3 J=s
* И 12
ъ,*тз
я *
*3
cd td
<"> ни
я> 2
3 Е
о
тз °
? X
W CD
« E
о
я
Я"тЗ
я
я f3
S
о
о
0,12
0,15
0,11
0,13
0,14
а
i
о
2
1
о
о
4^
1
О
2
1
о
Ъ
-4
1
О
S
о
Ъ
8
О
О
ОО
о
о
1
о
о
р
"о
00
О
о
СО
О
о
4*.
СЛ
О
00
о
to
о
CD
о
00
о
CD
О
6
i
о
ъ
1
о
о
о
о
о
S
о
о
00
о
ъ
со
00
СЛ
1
о
©
СЛ
1
о
о
4^
1
о
S
1
о
го
1
о
©
со
1
о
ъ
8
1
о
о
00
.4
1
О
8
1
о
о
00
1
о
о
со
1
о
о
СЛ
о
1
р
ъ
о
о
о
8
о
о
о
8
to
о
1
8
1
о
о
CD
1
„°
о
4^
1
О
S
1
о
2
8
сл
О
о
00
о
©
CD
о
ъ
to
о
1
о
8
1
1
о
8
О
Сл
о о
S8
О
S
О
8
О
о
1
о
о
сл
1
р
о
4^
О
О
CD
о
О
CD
О
8
О
Ъ
о
8
а:
со
о
►с*
Сл
3
СЛ
СД
о
S
0,07
0,08
0,06
о
о
0,08
сл
сл
8
1
о
о
оо
к
8
1
о
о
Сл
1
о
о
4*>
1
о
о
Сл
о
1
о
о
4^
1
о
о
00
1
о
о
1
о
о
2
о
о
со
&
о
о
4*
о
8
О
о
о
to
о
4^
О
1
о
о
-4
1
О
8
1
о
1
о
S
1
2
о
S
со
сл
1
о
3
1
8
О
о
о
о
4*
1
О
о
СД
1
о
8
8
1
О
to
1
о
о
-4
1
о
8
1
о
о
CD
1
О
о
CD
1
О
о
CD
to
СЛ
о
ъ
о
о
00
о
о
о
о
о
4^
о
8
8
О
5
О
8
о
S
О
8
1
О
1
О
О
CD
СЛ
О
То
о
о
to
4*
О
CD
О
8
О
О
to
о
s
о
о
ю
ю
о
to
СЛ
р
00
о
о
го
о
8
сл
о
о
8
О
о
о
8
О
1
о о
8 S
а:
2
сл
•-*
о
СД
8
to
СД
8
3
а
§
•о
-о
а
11
Ц
Е1

сматриваемом слое атмосферы в холодное полугодие в высоких
широтах. В остальных случаях рассеивание ветра имеет хорошо
выраженную эллиптичность. При этом, поскольку корреляционная
связь между составляющими скорости ветра практически
отсутствует, оси эллипса рассеивания совпадают с осями стандартной
системы координат, которая, как указывалось выше,
использовалась для разложения скорости ветра на составляющие.
§ 3.5. Точность определения статистических характеристик
физических параметров атмосферы
Значения параметров атмосферы, которые измеряются во время
зондирования с помощью метеорологических ракет, содержат
ошибки двух видов. К первому виду относятся систематические
ошибки, например динамические и инерционные. Они исключаются
путем введения соответствующих поправок в полученные данные
измерений. Второй ряд ошибок — случайные ошибки — содержится
в исходных данных. В результате статистические характеристики,
рассчитываемые по этим данным, содержат определенные ошибки.
Кроме того, поскольку статистические характеристики
вычисляются по ограниченным совокупностям, они, как указывалось выше,
представляют собой оценки искомых функций, т. е. обладают
определенной точностью.
Если обозначить исследуемую случайную величину через х, то
среднее ее значение х> полученное по некоторой совокупности я,
будет тем ближе к ее математическому ожиданию тХу чем больше
п. Различие между ними мсвкно характеризовать средней квадра-
тической ошибкой среднего значения Ох> которая для нормально
распределенных величин х определяется следующим выражением:
°7 = ^- (3-22)
При числе случаев в исследуемой совокупности, большем
нескольких десятков, практически исчезает различие между смещенными
и несмещенными оценками. Если обозначить дисперсию
исследуемой случайной величины через DXf то
»[£,]= Я*: °[&х] --т^- <3-23>
Последнее выражение характеризует точность определения
дисперсии величины х. Аналогично для ковариации случайных
величин хну имеем
"[**]-**,: D\K\ = Dx°ynRly- (3.24)
95

Вторая формула равенств (3.24) позволяет получить среднюю
квадратическую ошибку ковариации
'Ф^-ЩУТ+Ъ' <325>
Можно также рассчитать точность вычисления среднего квадра-
тического отклонения случайной величины х. Для этого в случае
нормального распределения существует формула
а =^г-. (3.26)
Степень приближения оценок к искомым статистическим
характеристикам принято оценивать с помощью доверительных
интервалов. Для определения доверительных интервалов вычисленной
статистической характеристики необходимо задаться вероятностью,
с которой данная характеристика будет располагаться в этих
интервалах. Если принять, например, что эта вероятность равна 0,95
(такая вероятность соответствует известному правилу 2ст), то
вероятность противоположного события составляет 0,05.
Рассмотрим величину
А = ?="£.
Тогда можно записать, что вероятность
р[\*\>*т\ = 1 "ф (^0,05) =0,05, (3.27)
где Ф(^005) — интеграл вероятностей.
Величина &005 может быть найдена по соответствующим
таблицам и при заданной вероятности равна 1,96. Тогда выражение
(3.27) может быть записано следующим образом:
P[\Jt-mx\>\,96^) - 0,05. (3.28)
Это равенство дает возможность утверждать, что с
вероятностью 0,95
X - 1,96о^ < тх < X + 1,96о^. (3.29)
Аналогичные рассуждения можно провести и для определения
доверительных интервалов средних квадратических отклонений.
В табл. 3.10 представлены доверительные интервалы средних
значений и средних квадратических отклонений давления,
температуры, плотности воздуха, которые рассматривались выше с целью
описания особенностей вертикальной статистической структуры
полей перечисленных физических параметров атмосферы.
Доверительные интервалы для составляющих скорости ветра
содержатся в табл. 3.11.
96

I
4^
GO
^ О) 05 СД СЛ 4^
О СД О СЛ О СД
1,10
3,81
1,42
5,81
О 00
1,68
3,30
0,45
0,64
0,94
1,34
0,76
804
2,11
3,02
0,98
1,40
1,80
2,68
0,56
0,70
8
2,74
0,98
1,40
3,73
5,32
0,43
0,34
0,66
0,48
ё
0,36
0,42
3 8 £
2,12
2,20
0,78
0,74
1,12
1,06
2,84
2,84
4,20
4,20
1,70
0,62
0,88
2,08
2,98
со
сд
0,32
0,46
5
1,52
0,63
8
0,26
о
со
00
0,77
1,10
0,56
0,80
0,90
1,87
to
05
05
to
сд
0,20
0,28
о
сд
со
0,76
0,76
1,08
1,83
1,64
2,34
1,90
to
о
0,22
0,30
0,43
0,60
0,60
0,86
1,08
1,54
сд
0,63
0,90
0,80
1,14
0,82
1,16
0,98
1,40
о
0,79
to
0,90
1,28
1,58
2,24
2,16
3,08
Сл
0,44
0,62
0,57
■0,82
1,00
1,42
1,33
1,90
1 ** 1
2
К
I "1
>
«1
Q
i
/
Средние широты
Высокие широты
1а
о
■о
S
о-
а
О п
*3
3 Z
-О о
58
ь о
о В
1-8
н
•о
Й
Со
05 05 СЛ СД
СД О СЛ О
0,014
0,004
0,004
0,020
0,006
0,006
to — о
|— мл 00
о о to
1,18
1,54
3,00
0,013
0,007
0,007
0,019
0,010
0,009
0,043
0,034
0,008
о о о
о о о
>- 4^ 05
м СО -
1,34
0,81
0,20
о >- —
tO ^- СО
ОО О) tO
0,033
0,028
0,008
0,047
0,040
0,012
0,011
0,016
0,98
£
0,009
0,013
0,034
0,048
1,43
2,04
0,025
0,036
4^
СД
0,021
0,030
0,83
to
05
0,016
6
0,059
0,084
1,10
05
0,043
0,062
0,023
0,045
0,065
1,33
1,94
0,035
0,050
0,076
0,108
1,29
00
0^
950*0
0,086
со
ел
0,058
0,082
0,70
8
0,042
090*0
0,109
со to
О СЛ
0,397
0,108
0,422
0,154
0,47
0,56
0,67
0,82
to
о
0,231
0,335
0,46
99*0
0,135
0,193
0,073
0,274
| 0,106
0,412
0,396
0,588
0,566
0,155
1,29
1,84
0,090
0,128
0,83
Л,48
1,18
242
0,284
0,280
0,406
0,400
0,192
0,374
[0,528
0,62
0,42
0,258
0,368
сл
0,912
86S4
0,52
0,76
0,310
0,444
0054
2,130
0,62
0,92
0,885
1,264
СО
0,700
0,994
0,56
0,80
0,561
0,802
2,052
•со
to
to
0,78
to
1,700
2,416
05
0,710
1,000
0,46
0,64
о
Сл
ю
о
Со
1,120
1,640
0,46
0,64
0.392
0,560
0,740
2,251
3,236
1,10
95*1
1,894
2,694
3,341
4.870
0.92
1,36
2,615
3,750
^ 1
£ J
to
/
-о
-о]
-1
Средние широты
Высокие широты
о
03
мл
Н 09
2 р»
9 ь
о s
з з
9%
a"
О n
2 *
5 я
-34
= p
ж н
P3V--
£"«
*w
о -
я s
H
s Ja
3 P
A CO
3 U
H ft
p as
s
so
s
o\
4<
•H
»
^
>»
R
J5
G
Co
>-ч
«o

Из табл. 3.11 следует, что рассмотренные статистические харак- 1
теристики обладают удовлетворительной для практики степенью 1
точности. Доверительные интервалы для холодного полугодия I
мало чем отличаются от представленных выше и поэтому не при- I
водятся. I
Среднюю квадратическую ошибку элементов корреляционных I
матриц гху определяют с помощью формулы I
"'-"Tf4 <3'30)
полученной в предположении, что закон распределения величин I
нормальный. Исследования Фишера [31] показали, что плотность I
вероятностей коэффициента корреляции г имеет следующий вид: I
я-1 /i-i 1 п_2 I
/(/■).£=!(1_р2) 2 (1 —г2) 2 Г—^——1~7JL=. (3.31) ;|
0 I
Из формулы (3.31) следует, что распределение коэффициентов I
корреляции не является нормальным. Оно зависит не только от I
объема выборки /г, но и от коэффициента корреляции генеральной I
совокупности р. Распределение (3.31) приближается к нормаль- I
ному лишь при малых г и очень больших п. При этих условиях I
и применима формула (3.30). I
Для определения доверительных интервалов коэффициента I
корреляции Фишер предложил преобразование I
*=-Г1пТ^7- <3-32>
Величина г уже при небольших п распределена нормально со I
средним значением и дисперсией, которые определяются прибли- I
женными равенствами
"•М-е+тт^тг. D'-;n=3-. (3-33)
где
Если найти среднее квадратичное отклонение г-преобразования, I
то можно определить доверительный интервал величины г; I
Zi < г0 < г2; (3.35)
где 20 — значение г при больших /г, а I
Zi = Z — kaz, I
z2 = z + koz.
Определив величины г\ и г2, несложно с помощью преобразо- I
вания (3.32) рассчитать соответствующие им значения г\ и Гг при I
заданной вероятности. Последние определяют точность рассчитан- I
ных элементов корреляционных матриц. I
J

В табл. 3.12 представлены доверительные интервалы с
вероятностью 0,67 элементов корреляционных матриц давления
плотности, температуры воздуха и составляющих скорости ветра для
теплого полугодия средних и высоких широт.
Таблица 3.12
Доверительные интервалы корреляционных матриц.
Северная Америка, теплое полугодие
Го
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Средние широты
Р, р, t
г>
0,18
0,28
0,37
0,47
0,56
0,65
0,74
0,83
0,91
т%
0,02
0,12
0,23
0,33
0,44
0,55
0,66
0,77
0,89
U, V
Гх
0,15
0,25
0,35
0,44
0,54
0,63
0,72
0,82
0,91
/■2
0,05
0,15
0,25
0,36
0,46
0,57
0,67
0,78
0,89
Высокие широты
р, р, t, и, v
Тх
0,21
0,30
0,40
0,49
0,58
0,67
0,75
0,84
0,92
г2
—0,01
0,10
0,20
0,31
0,42
0,53
0,64
0,76
0,88
Из табл. 3.12 следует, что наибольшая погрешность свойственна
самым малым значениям элементов корреляционных матриц.
С приближением их величины к единице точность существенно
возрастает.
Точность расчета ряда статистических характеристик зависит
также и от случайных ошибок измерения, содержащихся в
исходных данных. Из теории ошибок известно, что случайные ошибки
не влияют на значение элементов взаимных корреляционных
матриц, поскольку ошибки данных о различных элементах, а также
ошибки в различных точках не коррелируют друг с другом. Кроме
того, случайные ошибки завышают величину дисперсионных
элементов автоковариационных матриц на величину среднего
квадрата ошибки. При обработке результатов ракетного зондирования
атмосферы следует учитывать и то, что при одном и том же
зондировании случайные ошибки измерения, например, температуры
коррелируют с измеряемым значением элемента вследствие
накопления ошибок, одной из причин которого является инерционность
датчиков. В результате этого полученные при обработке исходного
материала значения корреляционных функций температуры воз-
Духа оказываются завышенными. Наиболее распространенным
методом исключения случайных ошибок является экстраполяция
на нуль одноуровенных структурных функций. Имеющийся
исходный материал не всегда позволяет получить такие функции и,
следовательно, использовать указанный метод. Однако случайная
ошибка может быть определена, если использовать свойства
простого случайного процесса Маркова. Применимость их к
атмосфере показана М. И. Юдиным [84].

Для простого процесса Маркова справедливы следующие
равенства:
"т, т + 1 т m+l m, m+l»
^m,m+2 °m m+2' m,m + l' m+l, m+2,
(3.36)
^m + l,m+2— °m+l°m+2rm+l,m+2 0»— 1,2, ...)• )
В равенствах (3.36) знаком ~ обозначены соответствующие
статистические характеристики, полученные в результате
статистической обработки исходных данных. Используя равенства (3.36),
бОНкм
Рис. 3.39. Средние квадратичные величины случайных ошибок
температуры воздуха
мы можем приближенно определить ошибку, содержащуюся
в оценках средних квадратических отклонений, и исключить ее.
Действительно, приняв, что ошибки в значении ковариаций
определяются ошибками, содержащимися в коэффициентах
корреляции, из равенств (3.36) определим «истинное» значение дисперсии
о "m+l, m+2"m, m+l /#M * о ч
£ + 1 = 1 (»=1, 2, ...)•
(3.37)
^m, m+2
Тогда дисперсия случайной ошибки е'ш+1 может быть рассчитана
по формуле
На рис. 3.39 показаны средние квадраты случайных ошибок
температуры, полученные по соотношениям (3.36) — (3.38).
Произведя осреднение ошибок, получим, что выше 20 км средние
квадраты случайных ошибок температуры составляют в среднем
2—3°С. Эти значения хорошо согласуются с величинами средних
квадратов случайных ошибок температуры, полученными,
например, В. П. Болтенковым, которые в слое от земли до 20 км
оказались равными 1—1,5° С. В заключение заметим, что после
определения дисперсий случайных ошибок нетрудно исправить и
соответствующие корреляционные функции.
100

ГЛАВА 4
НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
АТМОСФЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
§4.1. Аппроксимация автокорреляционных функций температуры,
плотности воздуха и ветра аналитическими выражениями
В гл. 3 было показано, что автокорреляционные функции
температуры воздуха в определенных слоях атмосферы, широтных
группах и полугодиях обладают сходством, что дает возможность
объединить их в четыре группы, которые имеют те или иные
особенности.' Автокорреляционные функции плотности воздуха также
можно разбить на три однородные группы. Если же рассмотреть
совместно автокорреляционные функции температуры и плотности
воздуха, то заметим большое сходство тропосферных и
стратосферных автокорреляционных функций этих метеорологических
элементов. Поэтому автокорреляционные функции температуры и
плотности воздуха можно объединить в четыре группы.
I группа включает автокорреляционные функции температуры
с исходными уровнями корреляции 3, 6 и 9 км и плотности воздуха
с исходными уровнями корреляции 3 и 6 км, относящиеся к
средним широтам. Они имеют вид затухающего косинуса.
II группа объединяет автокорреляционные функции
температуры и плотности воздуха для высоких широт с исходными
уровнями корреляции 3 и 6 км.. Они имеют такой же характер, как и
функции I группы, но отличаются от последних меньшей
амплитудой.
III группа состоит из автокорреляционных функций
температуры для средних широт с исходными уровнями корреляции 20 км
и более в холодное полугодие, а также 15 и 20 км в теплое
полугодие.
IV группа включает автокорреляционные функции температуры,
имеющие исходные уровни корреляции более 20 км в теплое
полугодие в средних широтах и более 6 км в теплое и холодное
полугодия в высоких широтах, а также автокорреляционные функции
плотности воздуха с исходными урс&нями корреляции более 6 км
в обеих широтных зонах в холодное и теплое полугодия.
Каждую из перечисленных групп однородных кривых можно
аппроксимировать одним аналитическим выражением. Очевидно,
101

I и II группы кривых целесообразно аппроксимировать
выражением
г(АЯ) = *r*A//cosQ0Atf, (4.1)
а III и IV группы — равенством
г(ДЯ) = <Г*АЯ. (4.2)
В табл. 4.1 приводятся значения k и Q0, полученные с помощью
метода наименьших квадратов. Различные значения
коэффициентов соответствуют различным группам функций.
Таблица 4 Л Таблица 4.2
Значения величин к и Q0 для Средние квадратические ошибки
автокорреляционных функций аппроксимации автокорреляционных
температуры и плотности воздуха функций
Группа
III
IV
А Я км
2
0,05
0,04
5
0,08
0,07
10
0,08
0,11
15
0,09
20
0,10
0,12

Коэффициент
k км-1
Q0 км"1
Группа функций
I
0,040
0,21
II
0,094
0,21
ш
0,157
IV
0,0975
Результаты аппроксимации функций I и II группы нанесены
пунктиром на рис. 3.15 а и 3.16 б.
В табл. 4.2 представлены средние квадратические ошибки
аппроксимации для функций III и IV групп.
Средние квадратические ошибки аппроксимации имеют
примерно такую же величину, что и доверительные интервалы
автокорреляционных функций, что свидетельствует о хорошем
согласовании аналитических и эмпирических функций.
Анализ автокорреляционных функций составляющих ветра
показывает, что вся их совокупность также может быть разбита на
четыре группы однородных функций.
I группа включает автокорреляционные функции
меридиональной составляющей скорости ветра для теплого и холодного
полугодий средних широт и теплого полугодия высоких широт,
зональной составляющей скорости ветра для холодного полугодия
средних широт, имеющих высоты исходных уровней корреляции 5—
20 км.
II группа содержит автокорреляционные функции
меридиональной составляющей скорости ветра с исходными уровнями
корреляции более 20 км для теплого полугодия средних и высоких
широт.
III группа объединяет все автокорреляционные функции
меридиональной и зональной составляющих скорости ветра в холодное
полугодие в высоких широтах, а также меридиональной
составляющей скорости ветра в холодное полугодие в средних широтах
с исходными уровнями корреляции более 20 км.
102

IV группа состоит из автокорреляционных функций зональной
составляющей скорости ветра для теплого полугодия средних и
высоких широт, а также для холодного полугодия высоких широт
выше 20 км.
I группу функций целесообразно аппроксимировать
выражением (4.1), а II, III и IV группы — выражением (4.2). В табл. 4.3
представлены коэффициенты в показателях экспонент для
указанных групп функций, полученные методом наименьших квадратов.
Таблица 4.3
Коэффициенты показателей автокорреляционных
функций составляющих скорости ветра
(Q0=0,08 км-1)
Группа функций I II III IV
k км""1 0,100 0,190 0,055 0,0275
О точности аналитического описания рассмотренных функций
можно судить по значениям средних квадратических ошибок
аппроксимации. Для четырех групп автокорреляционных функций
составляющих скорости ветра они представлены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Средние квадратическйе ошибки аппроксимации
автокорреляционных функций составляющих скорости
ветра
Группа
функций
I
II
III
IV
Д И км
5 | 10
0,09
0,06
0,05
0,08
0,10
0,04
0,08
0,09
15
0,08
0,03
0,09
0,09
20
0,05
0,02
0,08
0,11
25
0,06
0,06
0,07
0,09
30
0,07
0,08
0,07
0,09
35
0,05
0,09
0,06
0,08
Приведенные в табл. 4.4 средние квадратическйе ошибки имеют
примерно такую же величину, что и доверительные интервалы
автокорреляционных функций составляющих ветра.
В некоторых случаях представляет интерес не только
аналитический вид корреляционных, но и ковариационных функций
физических параметров атмосферы. Непосредственная их
аппроксимация в большинстве случаев чрезвычайно затруднительна, поскольку
корреляционные функции физических параметров атмосферы
(исключая температуру воздуха) изменяются обычно с
увеличением интервалов высоты на 3—5 порядков. Однако указанные
ковариационные функции можно было бы описать аналитическими
выражениями, если бы удалось найти такие выражения для
средних квадратических отклонений соответствующих параметров
атмосферы. Средние квадратическйе отклонения температуры и
103

составляющих скорости ветра весьма сложно изменяются с
высотой, что затрудняет их аппроксимацию, хотя она в принципе
возможна, например, с помощью рассматриваемых ниже
экспоненциальных ортонормированных функций. Аналитическое выражение
50
60Н км
Рис. 4.1. Аппроксимация средних квадратических
отклонений плотности воздуха
среднего квадратического отклонения может быть легко получено
для плотности воздуха. Действительно, рассмотрим функцию
/(Я) = ^, (4.3)
в которой а —среднее квадратическое отклонение плотности
воздуха у земли, а ар (И) —его значение на высоте Н. Если
рассчитать значения функций /р(#) для рассматриваемых групп широт
и полугодий, то оказывается, что изменение ее с высотой
приближенно описывается экспонентой (рис. 4.1)
19(Н) = е
—10,15//
Следовательно,
а (Я) = а е
Р v ' Ро
- 0,15//
(4.4)
(4.5)
При определении этого выражения принималось а = 50 г/м3,
что соответствует средней величине среднего квадратического
отклонения плотности воздуха у земли.
104

Выражение (4.5) сглаживает некоторые детали распределения
по высоте средних квадратических отклонений плотности воздуха
в различных широтах и полугодиях, но хорошо описывает общую
тенденцию их изменения с высотой.
Остановимся на одной особенности полей физических
параметров атмосферы, которая следует из свойств автокорреляционных
функций температуры, плотности воздуха и составляющих
скорости ветра. Очевидно, перечисленные параметры атмосферы
представляют собой нестационарные случайные функции высоты.
Рассмотрим нормированную функцию
о
в которой %{Н)—центрированные функции, обозначающие либо
температуру, либо плотность воздуха, либо составляющую
скорости ветра, <^(//) — их среднее квадратическое отклонение.
Найдем математическое ожидание, ковариационную функцию и
дисперсию этой случайной функции. Очевидно, что
Л*[ср(Я)1 = 0, /?,(A//)=re(A//)f АД#) = 1. (4J)
Выше было показано, что в каждом полугодии в средних и
высоких широтах рассматриваемый слой атмосферы можно разбить
на два слоя, первым из которых является тропосфера (для
компонентов скорости ветра первым слоем является нижний
20-километровый слой атмосферы), в которых корреляционные функции
температуры, плотности воздуха и ветра, являющиеся
ковариационными функциями случайных функций <р(#), имеют одинаковый
вид, т. е. их значения определяются только интервалом высот ДЯ.
Учитывая равенства (4.7), можно сделать вывод о том, что в
пределах этих слоев атмосферы случайные функции <р(#) можно
рассматривать как стационарные, а очевидное равенство
6 (//)-ш6(//) + а5 (//)?(//) (4.8)
означает, что рассматриваемые нестационарные случайные
функции (температура, плотность воздуха и составляющие скоростиv
ветра) могут быть выражены через неслучайные функции т< (Н)
и °i(f-f) и стационарную случайную функцию <р(#).
Меридиональные и зональные составляющие скорости ветра в холодное
полугодие в средних и высоких широтах обладают указанной
особенностью во всем слое атмосферы, простирающемся от земли до
высоты 70 км.
Следует заметить, что аппроксимация корреляционной функции
стационарной случайной функции выражением (4.2) сопряжена
с одним неприятным моментом, который заключается в том, что
функция (4.2) не имеет производной в точке АН = 0. Однако это
105

ограничение для нашей цели является несущественным, поскольку
малые масштабы флуктуации физических параметров атмосферы
в приложениях данной работы не рассматриваются.
В ряде практических приложений оказывается удобным
представление автокорреляционных функций физических параметров
атмосферы, особенно если они отличаются от экспонент, рядом
Фурье, в котором базисными функциями являются
экспоненциальные ортонормированные функции.
Система функций
yi(*); у3(*); ...; уя(*)>
интегрируемых на [а, 6], является ортогональной, если скалярное
произведение этих функций удовлетворяет условию
* | 0 при i ф k
(У/. У*) = J У*(*) У*(*) dx = L п . Г (4.9)
i 1 > 0 при i = k
Этой системе функций можно сопоставить систему ортонорми-
рованных функций
<М*); t2W; •••; <Ы*).
где
*<(*)=таЬ (4Л0)
IWI-toy,)''"^ у? (*)**) (4.П)
является нормой функции #г(*)-
Система функций ярг (а:) обладает следующим свойством:
* ( 0 при i ф k
(ЬЛн) = )Ых)М*)4х = \ , . и- С4-12)
а [ 1 ПрИ I = k
Интегрируемую на [а, Ь] функцию f(x) можно разложить в ряд
Фурье
/W = S^b(4 (4.13)
в котором ctk — постоянные числа, a tyk(x)—базисные функции
ортонормированной системы.
Коэффициенты аи просто выражаются через f(x). В самом деле,
умножим обе части равенства (4.13) на ^п(х) и проинтегрируем
полученное произведение в пределах от а до Ь
) /(*) 'bn(*)dx = S ak j фл (х) фя (*)<**. (4.14)
a R—1 a
106

В силу равенства (4.12) все интегралы правой части
выражения (4.14) при кфп обращаются в нуль..Следовательно,
ъ ь
J/(*)M*)rf* = *J *£(*>** = *«• (4Л5)
а а
Равенство (4.15) позволяет вычислить коэффициент ряда
Фурье, если известна система ортонормированных функций.
Пусть имеем два вектора:
X: Хи х2; ...; хру
Y: Уи у2; ...; ур.
Обозначим наименьшее подпространство, содержащее вектор Ху
через Sx. Векторы X и У будут эквивалентными, если для всех р
р ур
Произведем ортогонализацию указанных векторов, т. е.
заменим вектор У некоторым эквивалентным ортогональным вектором.
Процесс ортогонализации сводится к следующему.
Если спроектировать ортогонально хр на подпространство S v
то получим
где
Хр ~XpSp_l + XpN>
_^<Vi; «^JLVi (p = i.2f...).
Положим
yP = XPXpN {P=l,2, •••,xxn = xi)>
(4.16)
где hp — произвольные отличные от нуля величины.
Тогда вектор У будет эквивалентным и ортогональным
вектору X. Однако известно [12], что
XpN =
*Р-1
(■*,,*!> ■■■ (хрухр_х)хр
Jp-1
(р=1,2, ...,О0=1), (4.17)
где G — определитель Грама.
107

Полагая в равенства (4.16) ^ = Ор_1и учитывая равенство
(4.17), будем иметь для элементов ортогонального вектора
следующие формулы:
(Хи Хх)Хх
Ух = *i; y3 =
Ур =
^#2, Х\) Х%
(*i.*i) ••• {xvxP-i)xx
(xp,Xl) ... {хр,хр_1)хр
(4.18)
в которых круглыми скобками по-прежнему обозначаются
скалярные произведения стоящих в них функций.
Найдем теперь элементы ортонормированного вектора typ(x),
соответствующего вектору Y. Для этого определим скалярное
произведение (ур, ур). Если воспользоваться уравнением (4.16), то
получим
Известно [12], что
(X^XPN) = ^- (4-19)
Следовательно,
(уР>уР)=°Я-1-
Таким образом, искомые элементы ортонормированного вектора
определяются равенством
Ур
ь =
(ОрОр-гГ
(4.20)
Выражение (4.20) однозначно определяет ортонормированную
систему функций, заданную уравнением (4.10).
Для построения ортонормированной системы экспоненциальных
функций предположим, что вектор X задан системой
X(h); e
—ch.
-2cfi
e~pch (с>0)
(4.21)
и найдем соответствующую ей систему функций i|)(/i). Пусть
скалярное произведение функций хр с весом g(x) = l определено
на |0, оо|. Тогда
Ур =
[e-"chdh \e-Schdh
</> + !) ch
\e-pchdhe
-ch
dh]i
- (p+2) ch
dh
•Л
e-PP-»*dhe-pch
108

или, после вычисления интегралов в определителе,
V
1 1
2с Зс
1 1
1 1
рс с
1 r-{P~Vch
(2/? —2) с ь
1 »-Р
iP+lye (p + 2)c
(2р -1)с
(4.22)
В этом случае G х — есть алгебраическое дополнение
элемента e~pch\ Для нахождения Gp необходимо записать
определитель ур+1, и найти алгебраическое дополнение элемента, стоящего
на пересечении (р+l) строки и столбца. Очевидно,
Зс * ' ' рс
Г ' * i Г
G,-! =
2с
GP =
рс (р+1)с
2с Зс
1 1
</> + !)« (Р + 2)с
2(/?-1)с
J_
рс
1
(2/>-1)с
(4.23)
(4.24)
Вычислив определители {4.22) — (4.24), с помощью равенства
(4.20) можно получить систему заданного числа р ортонормиро-
ванных функций, которые состоят из определенных комбинаций
экспоненциальных функций:
<МА)-2*ь*-
-vch
v=l
(4.25)
2с
Действительно, при р=1 равенства (4.22) — (4.24) дают
оо
у, (А) = *-'*; О0 = 1; G, = \e~'lchdh =
О
Следовательно,
фх (А) - ^2с<Г'Л.
Таким же образом получим при р = 2
(4.26)
У2(А) =
1
"2с~ е
-2ch
Зс
Зе~2сН — 2е
бс
~ch
G, =
1
2с
1
Зс
1
Зс
1
4с
1
"" 72с2
109

и
ф2 (А) = Ус {бе~2сН - ±e"ch). (4.27)
Аналогичные вычисления дают
ф8 (А) = У&{\0е~*сН - 12^-2сЛ + 3<Г'Л); (4.28)
ф4 (Л) = j/"2c (70е"4сЛ - 120<Г3сЛ + бОе"2* - 8e-~ch); (4.29)
ф5 (А) = yWc [\26e~5ch - 280<Г4сЛ + 210<Г3сЛ -
_60г"2сЛ+5^Л). (4.30)
Приведенные формулы совпадают с выражениями,
полученными другим путем Д. X. Лэнингом и Р. Г. Бэттиным [32].
Вычисление определителей более высоких порядков связано
с известными трудностями. Поэтому рассмотрим другой способ
получения ортонормированной системы экспоненциальных функций.
Составим линейную комбинацию
в которой коэффициенты Ап определяются формулой:
Ая =
и определим разность
оо
n = ^ne-nchdh; (4.31)
^ = ЛФ«-2% (4.32)
Очевидно, Кп является полиномом /г-й степени по отношению
к е-сН.
В свою очередь г|)п можно представить как
♦.-Q^""* + ^_1, (4.33)
где ЛГЯ_1 — полином (п—1)-й степени относительно е~сН-
Поэтому имеем
К = *&/>'•*+АЛ-. - |/Ж- (4-34)
Поскольку AnQn=l, равенство (4.34) приобретает вид:
Ln = e~nc"-iA^,
где
L=Kn-AN .
п п п я—1
или, если учесть равенство (4.31),
Ln = e-nch- "2ЫА) fb(b)e-"chdh (« = 1,2 ). (4.35)
t = l О
ПО

Сравнение полиномов Ln{h) и yn{h) показывает, что они
отличаются друг от друга на множитель, зависящий от п. Из этого
следует, что
t„W = r~ Ln(h) vu • (4-36>
I Ll(h)dh
О
Равенства (4.35) и (4.36) представляют собой совокупность
рекуррентных формул, позволяющих легко вычислить
последовательность ортонормированных экспоненциальных функций любого
порядка.
Последовательность коэффициентов * Bvk можно найти еще
одним способом, предложенным А. С. Галкиным и Л. А. Майборо-
дой. Он состоит в следующем. Если использовать равенства (4.12)
и (4.25), то получим соотношение
i = \ J v = l i = \
1 при k = m,
О при кфт.
Равенство (4.37) позволяет записать систему алгебраических
уравнений для определения коэффициентов равенства (4.25) *
В общем система уравнений при большом числе членов ряда
(4.25) сложна. Однако, если провести анализ последовательности
уравнений (4.37), то можно заметить, что коэффициенты Вк^
определяются выражением
*ь- с- 1Г^,,(!*.+й'1'»|- (4-38)
При этом норма функций (4.35) равна
11 *" V2kc(2k — l)\ '
При вычислении коэффициентов 5Ь по этому методу могут
быть использованы следующие рекуррентные соотношения:
* + !.' (^ — v + 1) -|/"ЯЕ *v'
_ (6 + v)(fc — v)
(4.39)
Получив систему ортонормированных функций (4.25), можно
аппроксимировать функцию f (h) рядом
/(A)- 25«+«(А)' (4'40)
л=1
111

в котором
о
а интегральная квадратическая ошибка аппроксимации равна
Д
О L л = 1
dA (4.41)
лли после некоторых преобразований
О л = 1
При аппроксимации функций f(h) ортогональными
экспоненциальными полиномами в связи с конечным числом этих
полиномов появляется задача выбора значения параметра с. Один из
подходов к выбору с предложен в работе [32], в соответствии
с которым рекомендуется следующая последовательность выбора
коэффициента с:
— вычесть, если необходимо, из функции f(h) постоянную
величину так, чтобы полученная функция Af(h)-*0 при h-*oo\
— выбрать подходящее значение с так, чтобы функция e~ch
стремилась к нулю примерно с такой же скоростью, как и функция
Af(h).
Однако такой выбор значения коэффициента с нельзя считать
строгим, поскольку количество членов аппроксимирующего ряда
зависит не только от заданной точности аппроксимации, но и от
величины А (с).
Для получения значения с, соответствующего A(c)=min,
удобно использовать численные методы. В частности, можно
применить методы, описание которых содержится в работе [71].
Возможно использование также следующего итерационного подхода.
Разложим функцию А (с) в ряд Тейлора по параметру с в
окрестности выбранного некоторого начального значения с0,
ограничиваясь квадратичным приближением
А (с) = Л (с0) + ^ (с0) (с - с0) + 4 ^ (*о) (с - с0)2. (4.42)
Минимальное значение выражения (4.42) получим при
Отсюда уточненное значение с=си
ci = со ~ -Ш • <4-43>
112
~dJ-^

0,9
Далее в формулы (4.42) и (4.43) вместо с0 подставляем с{ и
получаем с2 еще более близкое к оптимальному.
Последовательность с0, С\, с2, ... сходится к с, при котором Ac=min.
Разложение (4.40) после приведения подобных
членов преобразуется §" следующее выражение:
/(*)= 2 %*"***■ (4.44)
Предположим теперь, что /(h) = г^(ДЯ) и
найдем разложения автокорреляционных функций
температуры и плотности воздуха, которые относятся
к первым двум группам функций, т. е. к груп-
r(h)=e-°>03*hCQsO,21h
-0,jL
Рис. 4.2. Значения подынтегральной функции выражения (4.15)
пам, отличающимся от экспонент. Расчеты показали, что для этих
Функций достаточно близкая аппроксимация достигается, если
использовать только пять членов ряда (4.44). Для этого, как
указывалось выше, достаточно определить пять значений
коэффициентов по формуле (4.15). Применительно ко II группе
нормированных автокорреляционных функций температуры и плотности
воздуха значения подынтегральных функций выражения (4.15)
приведены на рис. 4.2.
113

После вычисления коэффициентов ряда Фурье Sn и приведения
подобных членов получаем автокорреляционные функции
температуры и плотности воздуха в виде
/%(д#)= j?^"^- <4-45>
{Х=1
Значения коэффициентов ^ ис приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Значения коэффициентов Wy. и с разложения автокорреляционных
функций температуры и плотности в ряд Фурье
Группа
функций
I
II
с
0,040
0,094
wjj. при
Ц = 1
—1,820
1,691
И- = 2
30,160
—22,146
р.^3
—121,101
62,092
(х~4
168,060
— 60,358
И- = 5
—74,280
19,740
Как следует из равенства (4.45), при Д#=0
Мля = 0)= 2«V = i-
Суммирование коэффициентов в табл. 4.5 дает величины г^(АЯ = 0),
очень близкие к единице.
§ 4.2. Неканонические разложения температуры,
плотности воздуха и составляющих скорости ветра
При решении ряда задач анализа и синтеза систем
автоматического управления весьма полезными являются неканонические
разложения случайных возмущений. Неканоническим разложением
некоторой стационарной случайной функции 1(h) называют
разложение вида [79]
S (И) = т^ (К) + т cos Q*h + p sin 2*A, (4.46)
в котором y и Р — независимые нормально распределенные
случайные величины, a Q* — случайная частота, имеющая некоторое
распределение с плотностью вероятностей p(Q). Случайные
величины у и р обладают следующим свойством:
Л*Ы=-М[Р]=0; М[тР]=0;
Нормированные центрированные функции ^(Л), где 1(h)
обозначает температуру, плотность воздуха и составляющие скорости
114
(4.47)

ветра, как было показано в § 4.1, можно приближенно считать
стационарными случайными функциями (о точности, этого
приближения можно судить по соотношению между средней квадратиче-
ской ошибкой аппроксимации ковариационных функций каждой из
групп этих случайных функций аналитическим выражением и
доверительными интервалами ковариационных функций). В связи
с этим рассмотрим неканонические разложения температуры,
плотности воздуха и составляющих скорости ветра
Ь (А) - ПН\~ют = Ъ cos Q*h + &sin 2*A (4-48>
?,(*) = PW8^W = т» C°S Q*h + ^ Sin ° ?*» (4'49)
9а (Л) = »W-yW _ Ти cos 2*А + к sin 2*А) (4.50)
** (Л) = о(*)я^(у(*) - т„ cos Q;A + p„ sin 2;/r. (4.51)
Как указывалось выше, случайные величины у и р
распределены по нормальному закону, т. е.
^>=we~^ (4-52)
_ J1
/>(p) = ._L=- e 2Z). (4.53)
Найдем теперь распределение случайных величин й*. Для этого
воспользуемся равенством
Я„ (ДА) = М [Т (А) Т (Л + ДА)] = г6 (ДА), (4.54)
являющимся одним из совокупности равенств (4.7). Подставим
в выражение (4.54) вместо <р(й) их значения из формул (4.48) —
(4.51). Тогда, учитывая равенства (4.47), получим
/■g(AA) = DAf (cosQJAA).
Так как D=l (это видно, если в последнем выражении положить
АЛ=0), то
rg(AA) = Af(c(^AA)
или
оо
гЕ(ДА)= f p(Q)cosQbhdQ. (4.55)
— 00
Обратное преобразование для равенства (4.55) имеет вид
p(Q) = i f rg(AA)cosQAArf(AA). (4.56)
6
115

В § 4.1 было показано, что автокорреляционные функции
температуры и плотности воздуха имеют вид экспонент (4.2) для
стратосферных и затухающего косинуса (4.1) для тропосферных
функций, а автокорреляционные функции составляющих скорости
ветра определяются равенством (4.2). Подставив выражения (4.1)
и (4.2) в равенство (4.56) и проинтегрировав его, получим
распределение вида
PW= «(Лщ <4-57>
для случайных величин Q* неканонических разложений
температуры, плотности воздуха в стратосфере и мезосфере и
составляющих скорости ветра, а также распределение
I>W = ir[k> + (l-Q0y + g + CQ + Qo)»]' (4-58>
относящееся к температуре и плотности воздуха в тропосфере.
Принадлежность выражений (4.57) и (4.58) к тому или иному
физическому параметру атмосферы, полугодию и широте
определяется значениями коэффициентов k и Q.
Распределения (4.57) — (4.58) можно выразить через
нормальное распределение. Для этого рассмотрим двухпараметрическое
распределение
= iU" 2 +e 2 J,
Ph) = ^[e 2 ~+е ^ J, (4.59)
в котором обозначим
Тогда распределение (4.58) сводится к распределению
2*
при условии, что
2 2
х1 х2
p(l) = /'(»i,«.) = ile"s'+« Ч = Р&) (4-60)
ч-/21п» + <°т£»Т (4.61)
x^^ln^ + ^lg^V3. (4.62)
116

Действительно, если подставить равенства (4.61) и (4.62)
в распределение (4.59), то будем иметь
1
г, 'VJ , »/т 1
1 \р " *2 + (2 - 2о)2 , р " Л2 + (2 + 20)2
у* L + J
/2*
(/1
-н
fe2 + (Q_Qo)2 . Г я £2 + (Q + Qo)2
1 , 1
*2 + (Q — 20)2 А2 + (2 + ^o)2
= /7(2).
В частном случае, когда в равенстве (4.59) г|0=0, имеем
распределение
Pb) = V~e 2 =/;(2),
к которому сводится распределение (4.57), если
У2к (Л« + Q2) V/»
т]= 2 In
(4.63)
(4.64)
Распределения (4.60) и (4.63) являются более удобными па
сравнению с распределениями (4.57) — (4.58) при использовании,
например, интерполяционного метода анализа систем
автоматического управления, который будет рассмотрен ниже, поскольку
в этом случае распределения всех случайных величин
неканонического разложения атмосферных возмущений имеют один и тот
же вид.
Распределения частот флуктуации температуры, плотности
воздуха и составляющих скорости ветра, определяющиеся
равенствами (4.57) и (4.58), изображены на рис. 4.3 и 4.4. Цифры у
кривых соответствуют определенным группам автокорреляционных
функций физических параметров атмосферы, т. е. указывают к
какому слою атмосферы, к какой широтной группе и к какому
полугодию относится каждая функция (см. § 4.1). Законы
распределения частот дают возможность определить, какие масштабы
флуктуации температуры, плотности воздуха, зональной и
меридиональной составляющих скорости ветра преобладают в
определенных слоях атмосферы (имеются в виду флуктуации мезомас-
штаба). Для этого необходимо рассчитать вероятность Р
попадания частот атмосферных возмущений Q в заданный интервал
частот
Р (2i.1<Q<2i)= J P(Q)dQ.
(4.65>
*i-\
\\т

Рис. 4.3. Распределение частот
возмущений плотности воздуха .
0,8 Я 1/км
Р(а)
20
16
12
IV
Рис. 4.4.
Распределение частот
возмущений ветра
ill-
0,2 0* Qfi OS 1,0 Я1/к»

Вычисление вероятностей Р с помощью равенства (4.65)
сводится к подстановке в него выражений (4.57) и (4.58) и
последующему интегрированию в указанном интервале частот.
Интегрирование дает соответственно
2.
P(^_1<2<Q/) = Aarctg4 | , (4.66)
P(2w<9<S|)4k^ + arctg^| | . (4.67)
^t—1
Результаты вычисления вероятностей частот флуктуации плотности
воздуха представлены в табл. 4.6.
Таблица 4.6
Вероятности частот флуктуации плотности воздуха
Слой км
10—60
0-60
0—60
Широты
Средние
и высокие
Средние
Высокие
Qi_l + 2i км"1
0,1
0,57
0,07
0,13
0,1-0,2
0,13
0,32
0,26
0,2-0,3
0,09
0,44
0,29
0,3-0,4
0,05
0,08
0,12
0,4-0,б| 0,5-0,6
0,03
0,03
0,06
0,03
0,01
0,03
Из табл. 4.6 следует, что в стратосфере и мезосфере (слой
10—60 км)- в средних и высоких широтах в теплое и холодное
полугодия наибольшую вероятность имеют самые малые (менее
0,1 км-1) частоты флуктуации плотности воздуха. Вероятность
более высоких частот (меньших длин волн) резко уменьшается.
Например, интервал частот 0,5—0,6 км-1 (длины волн 12,5—
10,5 км) имеют вероятность 0,03. Если рассмотреть, кроме
стратосферы и мезосферы, еще и тропосферу, то максимум вероятности:
сдвигается в сторону больших частот. В средних широтах,
например, наибольшая вероятность приходится на интервал 0,2-f-0,3 км_г
(длины волн 31—21 км). Такое же размещение вероятностей па
спектру частот, наблюдается и в высоких широтах, хотя оно
оказывается более растянутым.
Таблица 4.7 содержит вероятности частот флуктуации
зональной и меридиональной составляющих скорости ветра
(обозначения групп функций см. в § 4.1).
Как следует из табл. 4.7, для зональной составляющей ветра
в тёплое полугодие в средних и высоких широтах и в теплое
полугодие в высоких широтах (IV) абсолютно преобладающими
являются частоты менее 0,1 км-1. Самая большая вероятность, хотя и
несколько меньшая по величине, приходится на эту же частоту
и Для меридиональной и зональной составляющих скорости ветра
119»

Таблица 4.7
Вероятности частот флуктуации зональной и меридиональной
Группы
функций
I
II
III
IV
составляющих ветра
Q£—1 "5- Q/ км—1
0,1
0,40
0,31
0,68
0,83
0,1-0,2
0,27
0,20
0,15
0,09
0,2-0,3
0,11
0,13
0,06
0,03
0,3-0,4
0,06
0,08
0,03
0,02
0,4-0,5
0,03
0,05
0,02
0,01
0,5-0,6
0,02
0,04
0,01
0,01
б холодное полугодие в высоких широтах (III). Более равномерное
размещение вероятности по спектру частот имеет место для
меридиональной составляющей в холодное полугодие в средних
широтах (I) и в теплое полугодие в высоких широтах (II).
§ 4.3. Канонические разложения температуры,
плотности воздуха и составляющих скорости ветра
В некоторых случаях случайную функцию бывает удобно
представить в виде определенной линейной комбинации
некоррелированных случайных величин. Эта комбинация содержит не
случайные функции и имеет следующий вид:
Ht) = m,(t) + y£vx^t).
(4.68)
В равенстве (4.68) обозначено: x^(t) — не случайные функции,
называемые координатными функциями; v^ — некоррелированные
случайные величины, такие, что
лл Г 1 (0 ПРИ V^|A
L v ixj - у £^ПрИ V = li.
(4.69)
Представление случайной функции в форме (4.68) принято
называть каноническим разложением случайной функции. В
общем случае каноническое разложение случайной функции является
бесконечным рядом. При практическом использовании
канонических разложений обычно пользуются ограниченным числом
членов ряда (4.68).
Если обозначить центрированную случайную функцию через
\(t), то, очевидно, ковариационная функция случайной
функции l(t) равна
Ri(t9t') = M[\{t)l(t')\. (4.70)
J20

Учитывая равенство (4.68), уравнение (4.70) можно переписать
в виде
f2 2^v^o^(o].
Lv=l ix=l J
В последнем равенстве применим свойство переместительности
математического ожидания, а также свойство случайных
коэффициентов канонического разложения случайной функции (4.69).
Будем иметь
R,{t,n = y^Dx^t)x^t'). (4.71)
V
Выражение (4.71) представляет собой каноническое разложение
ковариационной функции случайной функции l{t). Его частным
случаем при t = t' является равенство
D% (0 = R,(t, t>) - 2^v К О]2, (4-72)
v
где D^(t) — дисперсия случайной функции £(/).
Для определения координатных функций канонического
разложения случайной функции найдем математическое ожидание
произведения [49]
ЖР(0%] = 2>[*>Л]*Д'). (4.73)
V
На основании формул (4.69) все слагаемые в правой части
выражения (4.73) равны нулю за исключением слагаемого, для
которого v = |li. Таким образом,
что дает
V0 = :spM[C(0<v]. (4-74)
Чтобы определить случайные коэффициенты канонического
разложения случайной функции представим их в виде линейной
комбинации значений центрированной случайной функции l(t)
Л
в которой а^н — произвольные коэффициенты.
Случайные коэффициенты гг можно найти, если известны
значения a^h. Коэффициенты a^h нетрудно определить с помощью
следующего очевидного равенства:
h, I
121

При v=H=|n, как следует из равенства (4.69), левая часть
уравнения (4.76) равна нулю, т. е.
h, I
Коэффициенты avA, которые удовлетворяют условиям (4.77),
могут быть выбраны, причем бесчисленным множеством способов,
поскольку число уравнений (4.77) всегда меньше числа
коэффициентов. Например, можно сначала определить случайную
величину vu задав произвольно коэффициенты а\н, затем найти
коэффициенты a2h так, чтобы случайная величина v2 была не кор-
релирована с V\. Далее можно определить все остальные
коэффициенты апъ. так, чтобы случайная величина vn не коррели-
ровалась с величинами vu v2> ..., vn-\. Таким образом, все
коэффициенты апн могут быть заданы произвольно, кроме коэффи-
диента а(п_г)п. Например, можно задать
avv = 1; avh = 0 при h > v. (4.78)
Тогда остальные коэффициенты аф (при h<v) будут вычислены
с помощью уравнений (4.77). Следовательно, с учетом
равенств (4.78), формула (4.75) примет вид:
** = *2аМ'*)+Ч'*) (*-2,3,...). (4.79)
Положив в формуле (4.76) v=|n, можно определить
дисперсию Д,. Она будет выражаться равенством
я = ^И] = 2^аД(^м- <4-80)
h, I
Если, кроме того, в (4.74) подставить выражение (4.75), то
будем иметь
v h
Теперь для определения всех элементов канонического
разложения случайной функции выпишем первое из уравнений (4.79)
и вычислим значения дисперсии и координатной функции при v=l.
Получим
vx = I ft); Dx = R, ft, tx) и xx (t) = J- R, ft, tx), (4.82)
122

а величины i>v определим из рекуррентных формул, вытекающих
из (4.79)
«.-'^Чл+ &(',)• (4.83)
h -1
Чтобы найти коэффициенты cvA, положим в (4.68) t=tv и
сравним полученное с выражением (4.83). Будем иметь
и, кроме того,
*,(*,) = 1 (v = 1,2,...), (4.85>
а также
■ММв0 при ^>v- <4-86>
На основании равенств (4.84) уравнение (4.83) может быть
записано в виде
** = ЧМ-'2*л('*) (* = 2'3"-->- <4-87>
Из формулы (4.87) вытекает уравнение для определения
дисперсий
Я, = ЗД^)-2ЧЫ^)]2 (v-2,3,...). (4.88)
Теперь осталось записать в окончательном виде уравнение для
определения координатных функций. С этой целью подставим
выражение (4.87) в формулу (4.74). Принимая во внимание
выражение (4.69), получим
хЛО = ^Г/?,(^^) - 21^Л^)л:/г(^)1(-=2,3,...). (4.
89)
Выражения (4.87) — (4.88), совместно с первым равенством
из (4.82), представляют собой систему формул, которая позволяет
определить последовательно все элементы канонического
разложения случайной функции \{t).
Если по-прежнему рассмотреть нормированные центрированные
функции физических параметров атмосферы
каноническое разложение корреляционных функций которых
имеет вид
г, (Н, Н') = 2 ДХ (Н) xv (Я'), (4.91)
v
123

то формулы для расчета элементов канонического разложения
этих случайных функций будут иметь следующую форму:
«\=?a("v)- 2>Л("«) (^ = 2,3,...);
i = l '
*, <") = -^r U (". Н.) ~ '2 Di*< <"> л« С')] • <4'92>
Выше через £(#) обозначены р(#), t(H)9 u(H) и ^(Я).
В этом случае для расчета элементов канонического
разложения плотности воздуха, температуры воздуха и составляющих
скорости ветра используются, как это следует из равенств (4.92),
не ковариационные, а соответствующие корреляционные матрицы,
а сами канонические разложения перечисленных параметров
атмосферы описываются равенствами:
р(Я) = тр(Я) + ср(Я) ^w9ix9i(H); (4.93)
/ = 1
t(H) = mt(H) + ot(H) 2ад(//); (4.94)
v (Я) = mv (Я) + av (Я) J wvixvi (Я); (4.95)
1=1
и (Я) = та (Я) + ац (Я) J *>«*« (")• (4-96)
В качестве примера ниже приводятся значения элементов
канонических разложений плотности, температуры воздуха и
составляющих скорости ветра, а также дисперсии случайных
коэффициентов канонических разложений для холодного полугодия
средних широт.
Таблицы 4.8—4.11 содержат значения центрированных
нормированных функций физических параметров атмосферы, случайных
коэффициентов канонических разложений, дисперсий случайных
коэффициентов, а также матрицы координатных функций. В
соответствии с выражениями (4.85) и (4.86) матрицы координатных
функций являются треугольными с единичными элементами на
главных диагоналях. Первые строки этих матриц равны, как это
следует из последнего равенства системы (4.92), первым строкам
соответствующих корреляционных матриц.
124

Таблица 4.5
Элементы канонического разложений плотности ьоздуха. Холодное полугодие, средние широты
/
1
2
3
4
о
6
7
8 ;
9
0
1
2
3
4 1
?Р <")
0,20| 0,20
| 0,15 | 0,20 | 0,10 | 0,25 | 0,50 | 0,80 | 0,20 | 0,35 | 0,40 | 0,30 | 0,20 1 0,12
Я км
1 3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
:1
1 6
0,3530
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о 1
1 9
-0,0670
0,0167
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о 1
1 15
-0,7350
-0,2428
0,2655
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о 1
| 20
-0,3310
-0,1452
0,0914
0,5583
1
0
0
0
о . j
0
0
0
0 1
о 1
| 25
0,0190
-0,0671
0,0455
0,7032
0,3494
1
0
0
0
0
о
0
0
0
[ 30 j 35
0,0730
0,0779
-0,0083
0,6432
0,1720
0,1486
1
0 j
0
0
0
0
0
о 1
0,1530
-0,0251
-0,0084
0,5602
0,1826
-0,0035
0,3888
1
0
0
0
0
0
0 1
40
-0,0810
0,0372
-0,0361
-0,0831
0,0935
0,0413
0,2645
0.6612
1
0
0
0
0
о 1
45
-0,0310
-0,0572
-0,0143
-0,0952
-0,0201
0,0107
0,1581 |
0,4118
0,4813
1
0
0
0
о 1
50
-0,0810
-0,1421
-0,0265
0,0836
-0,1401
-0,0468
0,0562
0,2947
0,4226
0,5197
1
о I
0
о 1
1 55 1 60 | 65
0,0010
-0,0175
0,0506
0,3895
-0.2637
-0.1363
-0,0800
0,1351
0,3681
0,3975
0,5068
1
0
0 I
0,0310
-0,0011
0,0122
0.6489
0,0705
-0,3226
-0.3315
0.0359
0,3451
0,2740
0,3447
0,4174
1
о 1
0,0200
0,0148
0,0112
0,3399
-0.0220
-0,1839
-0,1645
-0.1697
0,2211 ;
0,1980
0,2523
0.3050
0,9116
1 |
«v
0,2000
0,1294
0,1612
0.3356
-0,0171
0,0175
6,2611
0,4877
-0,1454
0,2252
0,1952
-0,0188
0,0267
0,0764j
DV
1,0000
0,8754
0,9953
0,3380
0,7583
6,7339
0,8108
0,7221
0,6083
0,7088
0,5908
0,5150
0,4008
0,4160

ю Таблица 4.9
Элементы канонического разложения температуры воздуха. Холодное полугодие, средние широты
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1,8 [ 1,6
1,2
1,1
0,8
с
0,8 ] 0,6
Р/(Я)
0,6 |
0,4
0,6
0,6
1,1 | 1,3
1,2
Н км
3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0,6850
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0,6410
-0,6875
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15
-0,4390
-0,5921
-0,1411
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0,2950
-0,1961
0,0160
0,5042
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0,1400
0,0737
0,0266
-0,0483
0,3300
1
0
0
0
0
0
0
0
0
30
0,0480
0,1151
0,0526
0,1480
0,2125
0,6626
1
0
0
0
0
0
0
0
35
0,0870
-0,0482
-0,0669
0,1292
0,1392
0,5419
0,5068
1
0
0
0
0
0
0
40
-0,0400
-0,0445
-0,0918
0,2358
0,1564
0,3566
0,1959
0,4567
1
0
0
0
0
0
45
-0,0680
-0,1534
-0,1565
0,1743
0,0272
0,2620
0,1894
0,4683
0,2057
1
0
0
0
0
50
-0,027
-0,0292
-0,1274
0,1751
0,0477
0,1948
0,1193
0,3467
0,2252
0,5086
1
0
0
0
55
-0,0100
-0,0248
-0,0292
0,0899
0,0316
0,0871
0,0768
0,1865
0,1694
0,4141
0,3815
1
0
0
60
0,0300
0,0178
0,0425
0,0723
0,0021
0,0421
0,0747
0,0177
0,0909
0,3603
0,2319
0,4456
1
0
65
0,0500
0,0108
0,0167
0,0617
-0,0171
0,0051
0,0404
-0,01(57
0,0950*
0,1917
0,2581
0,3406
0,4509
1
wti
1,800
0,3670
0,2985
2,1496
-0,7476
0,8635
-0,2758
-0,0208
-0,1186
0,3313
0,0801
0,7683
0,6134
0,4509
D*ti
1,000
0,5308
0,8400
0,6045
0,7387
0,8951
0,5030
0,5710
0,6864
,7096
0,6221
0,7317
0,7131
0,6901

Таблица 4.10
Элементы канбнйчеСкбгО разложения зональной составляющей скорости Ветра. Холодное полугодие, средние широты
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
?*л
0,35
0,40
0,20
0,15 | 0,10 |
0,12
0,25 |
0,34
0,47
0,50
0,38
0,42
И км
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ю
0,7600
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15
0,6700
0,5701
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0,4100
0,2803
0,4055
1
0
0
0
0
0
0
0
0
25
0,1500
0,1562
0,0287
0,4314
1
0
0
0
0
0
0
0
30
0,0200
0,1771
—0,0146
0,4014
0,7329
1
0
0
0
0
0
0
35
—0,0100
0,1600
-0,1494
0,2056
0,5390
0,9444
1
0
0
0
0
0
40
—0,1200
0,0265
—0,1595
0,0996
0,3571
1,0723
0,5277
1
0
0
0
0
45
—0,0200
0,1071
—0,1507
0,1380
0,2217
1,0800
0,5517
0,7232
1
0
0
0
50
0,0000
0,1420
—0,1068
0,0836
0,1752
1,0600
0,4536
0,5783
1,0655
1
0
0
55
0,0400
0,1648
—0,0640
0,1298
0,0758
1,1351
0,3603
0,4225
0,9113
0,8002
1
0
60
0,1000
0,2225
—0,0014
0,0861
0,0279
1,0400
0,2893
0,6111
0,6644
0,8091
0,8654
1
*>vl
0,3500
0,1340
-0,1086
0,0141
0,0239
0,0649
0,1722
0,1912
0,1384
0,1248
-0,1131
-0,1657
*>*vi
1,0000
0,4224
0,4138
0,7307
0,8309
0,4222
0,3309
0,2840
0,1890
0,1043
0,1068
0,1410

Таблица 4.11
Элементы канонических разложений меридиональной составляющей скорости ветра. Холодное полугодие, средние широты
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
%и <">
0,35 |
5 1
1
0
0
0
0
1 °
0
0
0
0
0
0
0,40 |
ю |
0,7200
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,20 | 0,15 |
15 |
0,5400
0,7292
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20 |
0,2200
0,1487
0,3290
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0,10 |
25 |
0,0300
-0,0864
0,0091
0,2895
1
0
0
0
0
о
0
0
0,12 j
30 |
—0,0050
—0,1329
—0,1024
0,1410
0,5430
1
0
0
0
0
0
0
0,25 |
N км
35 |
0,0200
—0,0922
—0,1070
0,1213!
0,4178
0,6705
1
0
! 0
0
0
0
0,34 |
40 1
0,0600
—0,0066
—0,2212
0,0339
0,2499
0,5368
0,6107
1
0
0
0
0
0,47 |
45
0,1700
—0,0257 |
—0,1609
—0,0130
0,1062
0,4142
0,4070
0,6441
1
0
0
0
0,50 |
50 |
0,2100
—0,0025
—0,2046
—0,062
0,0766
0,3459
0,2815
0,5223
1 0,7523
1
0
0
0,38 |
55
0,1600
0,0930
—0,1527
—0,0214
0,0382
0,2452
0,2318
0,4634
0,5565
0,6844
1
1 °
0,42
60
—0,0100
0,0149
0,0224
—0,0585
0,1585
0,0714
0,2659
0,1511
0,5900
0,6045
0,8189
1
0,3500
0,1580
-0,1043
0,0819
0,0805
0,0883
0,1654
0,1268
0,2039
0,1087
-0,0131
0,1506
D*ui
1,0000
0,4816
0,4522
0,8919
0,9207
0,6950
0,5040
0,5274
0,5260
0,3629
0,4425
0,3093

Если принять стационарное приближение функций физических
параметров атмосферы <р£ (//), то для описания атмосферных
возмущений можно использовать их спектральные канонические
разложения.
Спектральным каноническим разложением ковариационной
функции стационарной случайной функции ®^{Н) является
разложение вида [49]
/?,(A//)=2D'C08Q'A"- <4-97)
V =1
Такому каноническому разложению ковариационной функции
соответствует каноническое разложение случайной функции
<Р (//);= J av cos QH + I sin 2//, (4.98)
v=l
где sin2v// и cos2v//— координатные функции, а av и fiv—
случайные коэффициенты.
Спектральное каноническое разложение случайной функции
обладает некоторыми особенностями. Оно имеет
унифицированные координатные функции и, следовательно, является полностью
определенным, если найдены случайные коэффициенты, на
которые налагаются по-прежнему следующие условия: они должны
быть некоррелированными и, кроме того, такими, что
М [*J = М [I] = 0; D [aj = D Щ = Dv. (4.99)
Для определения дисперсий случайных коэффициентов
спектральных канонических разложений (4.98) выразим дисперсию
случайной функции <р(#) через ее спектральную плотность 5^(2)
D? = 2<jSJQ)dQ. (4.100)
6
и разделим интервал интегрирования на ряд элементарных
интервалов (2vl, 2V+1). Будем иметь
Д,= 2Аг (4.Ю1)
В равенство (4.101) введено обозначение
Vh
Дх = 2 j SJ&)dQ. (4.102)
5 Заказ 1910 129

Подставим значение D^ из равенства (4.102) вместо Dv в
выражение (4.97), вспомнив, что /^(А//) = г^(Д//)
rJA//) = |]Dvcos2vAtf =
v=l
^v+l
= 22cos2vA// j 59(Q)rfQ. (4.103)
Функция S?(Q) в промежутке (2v_lf 2V+1) не меняет знак, а
значение Qv лежит внутри указанного промежутка. Следовательцо,
к равенству (4.103) можно применить теорему о среднем. Будем
иметь
ге(Д//) = 2 2 f S?(Q)cosQbHdQ
или
оо
rh (Д#) = 2 j S9 (Q) cos 2ДЯя?2. (4.104)
о
Выражение (4.104) является преобразованием Фурье
спектральной плотности случайной функции ср(#). Следовательно,
дисперсии случайных коэффициентов спектрального канонического
разложения (4.98) являются слагаемыми дисперсий случайной
функции ф(Я) и определяются равенством
D =2 j SJQ)dQ. (4.105)
1,0 v— 1
Они могут быть вычислены, если известно аналитическое
выражение для спектральной плотности случайной функции ср(#).
Рассмотрим теперь величины
*,—Л/, Р, = ^ (v = 1,2э...)э (4.106)
в которых ov = |/Z)v —среднее квадратическое отклонение
случайных коэффициентов спектрального канонического разложения,
a y и £ — совокупности нормально распределенных случайных
чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной
дисперсией. Последовательность таких чисел формируется на основе
равномерно распределенных в промежутке [0, 1] случайных
чисел [9]. Очевидно, величины av и fiv являются случайными.
Найдем математическое ожидание и дисперсию этих случайных величин.
На основе свойств математического ожидания имеем:
М [а,] = М Щ = зМ [т,] = з,М [е,] = 0;
D [av] = D Щ = аШ [Т2] = =2.М [s2] = D,.
130

Таким образом, случайные величины av, сформированные из
средних квадратических отклонений коэффициентов канонического
разложения (4.98) случайной функции и нормально
распределенных случайных чисел, обладают свойствами коэффициентов
спектрального канонического разложения и могут быть легко получены.
Исходя из изложенного выше, можно записать спектральные
канонические разложения физических параметров атмосферы
следующим образом:
P(tf) = «p(//) + op(tf)2%(?,cos2// + e,sm9t#), (4.107)
t(H)^mt(H) + al(H)^t^i(^cosQH + z^inQ^), (4.108)
v=l
v (Я) - mv (H) + cv (//) 2 avo (Tt cos QH+ es sin Q,//), (4.109)
v-1
u(H) = ma(H) + au(H)^a{bcosQ^ + ^sinQH). (4.110)
v = l
Сравнение выражений (4.105) и (4.65) показывает, что
дисперсии случайных коэффициентов спектральных канонических
разложений рассматриваемых физических параметров атмосферы
представляют собой вероятности того, что частоты атмосферных
возмущений располагаются в определенных интервалах и,
следовательно, учитывают особенности вертикальной структуры полей
термодинамических характеристик атмосферы. Дисперсии
случайных коэффициентов температуры и плотности воздуха приведены
в табл. 4.12.
Таблица 4.12
Дисперсии случайных коэффициентов канонических разложений температуры
и плотности воздуха
Группы
функций
I
II
III
IV
V
1|2|з|4|б|б|7|8|9|ю|И
—1
2 км
V
0,09
0,060
о,пз
0,332
0,476
0,18
0,203
0,241
0,213
0,209
0,27
0,527
0,266
0,117
0,095
0,36
0,101
0,155
0,088
0,046
0,45
0,039
0,066
0,040
0,038
0,54
0,021
0,040
0,029
0,030
0,63 | 0,72
0,016
0,020
0,028
0,025
0,007
0,014
0,025
0,018
0,81 | 0,90
0,006
0,010
0,012
0,011
0,005
0,008
0,008
0,06
0,99
0,005
0,007
0,008
0,005
Если выбрать в качестве критерия сходимости критерий
1-2Ж0.1, (4.111)
131

который вытекает из доверительных интервалов и точности
аппроксимации корреляционных функций температуры и плотности
воздуха, то наибольшее число членов имеет разложение,
соответствующее III группе корреляционных функций, а наименьшее
число членов — разложение, которое относится к I группе этих
функций, причем в последнем случае их всего пять.
Дисперсии случайных коэффициентов канонических
разложений составляющих скорости ветра приведены в. табл. 4.13. Эти
данные свидетельствуют о том, что (исходя из указанного выше
критерия) самая быстрая сходимость наблюдается у группы IV
и наименьшая — у группы II.
Таблица 4.13
Дисперсии случайных коэффициентов канонических разложений
составляющих скорости ветра
Группа
функций
I
II
III
IV
V
1|2|з|4|5|б|7|8|9|ю|11
2 км
V
0,09
0,3381
0,2775
0,05201
0,8152
0,18 | 0,27 | 0,36
0,2941
0,2040
0,3000
0,0851
0,1291
0,1455
0,0463
0,0333
0,0627
0,0881
0,0344
0,0212
0,45 | 0,54
0,0372
0,0577
0,0132
0,0145
0,0246
0,0342
0,0094
0,0086
0,63 | 0,72
0,0182
0,0310
0,0064
0,0069
0,0135
0,0214
0,0023
0,0058
0,81 1 0,90 | 0,99
0,0111
0,0198
0,0018
0,0043
0,0085
0,0139
0,0015
0,0038
0,0061
0,0108
0,0013
0,0022
§ 4.4. Формирующие фильтры физических параметров
атмосферы
Одним из видов представлений случайных атмосферных
возмущений могут служить формирующие фильтры. Формирующими
принято называть фильтры, которые позволяют сформировать
случайный процесс, корреляционная функция которого известна,
из белого шума.
Спектральная плотность S,r (Q) стационарной случайной
функции <р(#) (как было показано в § 4.1, центрированные и
нормированные значения температуры, плотности воздуха и
составляющих скорости ветра как функции высоты могут быть отнесены
к классу стационарных случайных функций) может быть
представлена в виде дробно-рациональной функции Q и записана в виде
произведения двух сомножителей:
S9(Q) = SX (2)0^2). (4.112)
Сомножитель Si(Q) содержит нули и полюсы функции 5ф(2),
расположенные в верхней полуплоскости, и является
ограниченной и аналитической функцией в нижней полуплоскости.
Сомножитель Gi(Q), наоборот, содержит нули и полюсы функции 50(2),
132

расположенные в нижней полуплоскости, и является
ограниченной и аналитической функцией в верхней полуплоскости. Для
действительных значений Q
Gl(Q)=S1(Q),
где черта обозначает комплексно-сопряженную величину и, таким
образом,
^(0) = 51(2)5Т(2) = |51(2)|2. (4.113)
Следовательно, функция Si(Q) обладает всеми свойствами
частотной передаточной функции устойчивой линейной стационарной
минимально-фазовой системы.
Если через фильтр, имеющий частотную передаточную функцию
<D(*Q), пропустить белый шум, обладающий, как известно,
постоянной спектральной плотностью и корреляционной функцией
где 6(h) —дельта-функция, то спектральная плотность выходного
сигнала, очевидно, будет равна
5^(2) = |Ф(/2)|2. (4.114)
Сравнив выражения (4.113) и (4.114), легко видеть, что
случайный процесс может быть получен из белого шума, если
последний пропустить через формирующий фильтр, частотная
передаточная функция которого определяется выражением
Ф(Ш) = Зг(а). (4.115)
Если белый шум имеет единичную интенсивность, то
спектральная плотность белого шума равна -^. В этом случае
спектральная плотность выходного сигнала отличается от равенства (4.114)
множителем -т^-, т. е.
или
5^) = -5г|Ф(И*)|3 (4.116)
1 H(iQ) //(— iQ)
S* (Q)-\:^r5l(2)5l(Q) = ^r F(iQ) F(-iQ)
где H(iQ) и F(iQ)—полиномы относительно Q, в которых все
нули располагаются в верхней полуплоскости симметрично по
отношению к мнимой полуоси. Кроме того, нули каждого из
полиномов H(iQ) и F(iQ)—попарно сопряженные комплексные числа,
расположенные в левой полуплоскости переменной /Q.
Следовательно, все коэффициенты полиномов Н(iQ) и F(iQ) положительны,
133

частотная передаточная функция формирующего фильтра равна
Ф(Ш) = -^-, (4.117)
а стационарная случайная функция ?^(Л) связана с белым шумом
v линейным дифференциальным уравнением
F(s)^ = H(s)v. (4.118)
В равенстве (4.118) F(s) и H(s)—полиномы относительно
оператора дифференцирования s = -^ с постоянными
коэффициентами
F(s) = ans" + aa_ls*-*+... + als + a0f |
H(s) = bms* + bM_ls"-i+... + bls + b0. J
Рассмотрим теперь формирующие фильтры, связывающие
физические параметры атмосферы с белым шумом.
В § 4.1 было показано, что центрированные и нормированные
значения температуры, плотности воздуха и составляющих
скорости ветра, как функции высоты, могут быть отнесены к классу
стационарных случайных функций и в зависимости от слоя
атмосферы их корреляционные функции определяются равенством
г3(ДА) = *-*ДЛ (4.120)
или выражением
г^(ДА) = e'^cosQ^h. (4.121)
Если корреляционная функция перечисленных случайных
функций выражается экспонентой (4.120), то нормированная
спектральная плотность равна
59<c>-4~inns- (4Л22)
Очевидно, выражение (4.122) равнозначно выражению
s<(Q) = 4r
Vik
k+ iQ
(4.123)
Сравнивая формулы (4.123) и (4.116), увидим, что случайную
функцию q> можно рассматривать как результат неограниченно
долгого пропускания белого шума единичной интенсивности через
формирующий фильтр с частотной передаточной функцией
ф<*2) = тйг- (4Л24)
134

Сопоставим теперь частотные передаточные функции (4.124)
и (4.117). Очевидно, полином H(iQ) имеет нулевую степень, а
полином/7^)—первую степень. Таким образом, выражение (4.118)
принимает вид
aiT + ao?(A)=M, (4.125)
причем
а0 = k\ 0i = 1; bQ = У2k.
В случаях когда корреляционная функция случайной функции
описывается равенством (4.121) (I и II группы корреляционных
функций температуры и плотности воздуха), спектральная
плотность имеет вид
S„ (&) = - —А / Г + Qo! о 1 (Р2 = д2 + А2)- (4Л26)
Числитель равенства (4.126) имеет два чисто мнимых корня Q =
= ±t'p. Знаменатель же имеет четыре комплексных корня Q =
= ztfio — ik* которые расположены симметрично относительно
действительной и мнимой осей. Отобрав корни, расположенные в
верхней полуплоскости, т. е. Q = i"p и Q = ±Q0 + /&, запишем выражение
(4.126) для действительных значений Q, которое будет иметь вид:
(4.127)
Как и (4.123), формула (4.127) показывает, что случайную
функцию ф(Л) можно рассматривать как результат прохождения
белого шума через стационарную линейную систему
(формирующий фильтр), частотная передаточная функция которой
выражается равенством
ф('2>-»(/а).1"^ + у "P!I * = V^- (4.128)
Поскольку числитель равенства (4.128) представляет собой
полином первого, а знаменатель — полином второго порядка,
уравнение связи случайной функции <р(А) с белым шумом v имеет вид
*.'^ + *i^+ «.?(*)-*.|? + М, (4-129)
в котором
а0 = З2; a{ = 2k; а> = 1; Ь0 = ^2к; bx = Y2k.
135
SJQ) =
2к
У2k (S +- 10)
'?* Н- 2kiil - (Ш)2

В табл. 4.14 приведены значения коэффициентов
дифференциальных уравнений (4.125) и (4.129) для различных групп
корреляционных функций температуры и плотности воздуха (номер
группы функций, как указывалось в § 4.1, соответствует
определенному слою атмосферы, различным широтам и полугодиям).
Таблица 4.14
Коэффициенты дифференциальных
уравнений, связывающих флуктуации
плотности и температуры воздуха
с белым шумом


фициент
а0
ах
а2
Ьо
*i
Группы функций
1
0,0475
0,0800
1,0000
0,0620
0,2840
II
0,0529
0,1880
1,0000
0,1005
0,4350
Ш
0,1570
1,0000
—
0,5648
IV
0,0975
1,0000
—
0,4425
■
Таблица 4.15
Коэффициенты дифференциальных
уравнений, связывающих флуктуации
составляющих скорости ветра
с белым шумом


фициент
До
ах
а2
Ьо
Ьх
Группы функций
I
0,0164
0,2000
1,0000
0,0575
0,4478
II | Ш
0,1900
1,0000
0,6102
0,0550
1,0000
0,3321
IV
0,0275
1,0000
0,2352
Соответствующие коэффициенты для меридиональной и
зональной составляющих скорости ветра приводятся в табл. 4.15.
В табл. 4.15, так же, как для температуры и плотности,
воздуха, номера групп корреляционных функций определяют
составляющую скорости ветра, слой атмосферы, широтную группу и
полугодие. Принадлежность каждой из групп корреляционных
функций скорости ветра к перечисленным ситуациям определяется
в §4.1.
§ 4.5. Представление атмосферных возмущений с помощью
собственных элементов корреляционных матриц
физических параметров атмосферы
Разложение атмосферных возмущений по собственным
элементам корреляционных матриц физических параметров атмосферы,
или по главным компонентам, представляется весьма
привлекательным. В работе [4] показано, что такие разложения являются
оптимальными. Кроме того, элементам таких разложений можно
в ряде случаев придать определенный физический смысл. Поэтому
разложения по собственным элементам корреляционных матриц
находят в последнее время все большее применение.
Представим нормированную центрированную функцию,
относящуюся к некоторому физическому параметру атмосферы \(t, Н)>
в виде ряда
(4.130)
?^,//) = 2гД*К(^).
136

Выражение (4.130) является дискретным представлением
функции ф(^, Щ (индекс I в дальнейшем будем опускать). Поэтому
можно ввести обозначения:
<р(*,//) = ?у (/ = 1,2,...,»),
«,(//) = «,; (/=1,2,..., П),
«.(О-** (* = 1,2,...).
Выражение (4.130) будем искать в классе наилучших
приближений к функции ф^- в смысле наименьших квадратов. Для этого
найдем минимум выражения
А=22К-22л/Г- <4Л31>
Предположим, что функции гч1 и uvj — ортогональны, т. е.
J2*2*"0 ПРИ v^'
i
2ла=0 при v^-
j
Тогда выражение (4.131) можно переписать следующим образом:
А=22К~2^2г^+2*Л1- (4Л32)
£ ; [ v J
Для определения минимума равенства (4.132) необходимо при-
равнять нулю производные -g— и ^—. В результате получаем
выражения
2 »«/*--«^2^ (4ЛЗЗ)
г £
2^А; = ^2^Г (4Л34>
Пусть функции ttvy — нормированы, т. е.
2<=1. (4.135)
J
Тогда
2v< = 2w <4136>
У
137

Подставив выражение (4.136) в равенство (4.133) и обозначив
и
r/*-ir2w»' (4Л38)
приходим к равенству
2ГЛ = ХА; (У-1,2,..., я), (4.139)
к
которое в матричном выражении имеет вид
ги = \и. (4.140)
Очевидно, в равенстве (4.140) X — являются собственными
значениями, а и — соответствующими собственными векторами
корреляционной матрицы г. Уравнение (4.140) означает, что мы ищем
такие векторы и> которые преобразуются матрицей г в векторы,
отличающиеся от исходных скалярным множителем %.
Матричное уравнение (4.140) в развернутом виде можно представить
следующим образом:
(Гц - >0 u\ + ri2u2 +... + rlnun = 0
г21«! + (г2? — X) и2 +... + г2пип — 0
(4.141)
гЯ1И,+гя2а2+...+ (гяя —Х)ая = 0 )
Эти уравнения, как видно, составляют систему линейных
уравнений относительно щ. Нетривиальное решение этой системы
существует в том и только в том случае, если К являются корнями
характеристического уравнения
|г-Х£| = 0. (4.142)
Корреляционные матрицы физических параметров атмосферы
являются вещественными симметрическими матрицами. Поэтому
их собственные значения также вещественны. Кроме того, чтобы
удовлетворялось равенство (4.137), они должны быть
положительными.
Корреляционную матрицу г с помощью ортогонального
преобразования можно привести к диагональному виду. Если Т —
ортогональная матрица собственных векторов, а
Г*—соответствующая ей транспонированная матрица, то
Г*гГ = Л, (4.143)
где Л — диагональная матрица с элементами Ки Х2, ., Лп,
расположенными в порядке убывания. Это требование к
расположению xv (v=l, 2, ..., п) является обычным в практике и обуслов-
138

ливает однозначность. Если взять определитель матрицы в
равенстве (4.143), получим
|А| = |Г»||г||Г| = |г| (4.144)
и, следовательно,
| г | = Хх х Х2 X .. . ХК- (4.145)
Выражение (4.145) показывает, что, если известны собственные
значения корреляционной матрицы, нетрудно вычислить
определитель последней. Умножив равенство (4.143) справа на Г* и
слева на Г, получим
г=ГА7*. (4.146)
Матрица, обратная матрице г, равна
Г1 = ТА~1Т*. (4.147)
Последнее равенство можна использовать для нахождения
матрицы, обратной корреляционной матрице, когда известны
собственные значения и собственные векторы корреляционной
матрицы. Кроме того, из уравнения (4.143} можно получить одно
важное свойство корреляционных матриц. Для этого возьмем след
матрицы Л в выражении (4.143)
SpA = Sp(T*rT) = Sp(rTT*) = Sp(rE)=Spr. (4.148)
Равенство (4.148) свидетельствует о том, что сумма элементов
главной диагонали корреляционной матрицы равна сумме ее
собственных значений.
Как указывалось выше, собственные значения суть корни
характеристического уравнения (4.142), которое является
уравнением степени п относительно X. После того, как они вычислены,
можно решить систему уравнений (4.141) для определения
собственных векторов матрицы г. Действительно, полагая в системе
(4.141) последовательно Х=Х\> Х=Х2 и т. д., получим п различных
решений системы (4.141), которые и будут представлять собой
собственные векторы корреляционной матрицы г:
Иъ «и; ии;...; и1п (для Х = ^)
и>; Щи и22;...; ^2« (для ^ = ^>)
и» ипи ияз;...; ипп (для x==xn).
Таким образом, элементы разложения (4.130) оказываются
определенными. С практическими методами получения
собственных элементов корреляционных матриц можно ознакомиться,
например, в работе [73].
В табл. 4.16—4.19 содержатся собственные значения и
собственные векторы корреляционных матриц температуры, плотности
воздуха и составляющих скорости ветра.
139

88SS*e
to
Сл
to —
О Сл
CD СЛ СО
СО О 00
CD "- —
СЛ
СО CD
tO СО
СО 4*
Сл CD
Сл -vj
Ю CD
4а- tO
00 *-
CD Сл
О *-
о ю
СО и-
СЛ CD
сл со
S5S
2gg
i i
о о о
4* СО
ю *■-
— CD
CD Сл
О ►- tO
•^ оо -^
CD Ю Сл
00 ^ S
I
о о
ю о
£ й
-^ со
4* _
CD 00
СО СЛ
£
Ю О
Сл I—
— со
Сл
2
4*. —
00 СЛ
со со
со со
I I
о о
I I
о о
*- о
СЛ 00
to
8?
5 S 8
о о
Сл СО
-^ to
СЛ СО
о ^*
*- СЛ
со оо
CD О
*-* о
СЛ CD
Сл "Ч
СЛ Сл
CD Ю О
*- СО СО
со to -^
to сл со
I I
о о
I
о
(О н-
СЛ -^
и- СО *-
Сл •-* <1
Сл — О
CD СЛ СО
8 3
со оо
Сл О
н- сл
ГО Ф*
со оо
•^ Сл
=: 2
CD CD
CD -^
*- 4^ СО
СО и- Сл
4а- О ОО
•^ 4^ *-
О О
ё з
CD О
I
О
ю
сл
оо
,_*
-v|
-vl
CD
t—*
-vl
со
со
S
to
о
4*
сл
с-*
сл
сл
-ч
сл
_-1
-vl
со
сл
в
00
to
ю
»—*
со
CD
Ю и- О *-
н- м- о Ю
СЛ 00 "Ч
сл и- сл
I I
о о
I
о
*- со
•^ о
сл сл
о •-* ю
оо to со
— 4* -^
Сл Си
8
О СО
СО CD
4* СЛ
CD *-
О
СЛ
СО
оо
оо
о сл
00 00
4* Сл
I I
О О О
4*
О
CD ■—* •—*
I I
i I
О О
I
о
4а- tO
00 4*
СЛ tO
сл to
СО О 4*
CD -vJ СЛ
00 СО СЛ
СЛ 4* СЛ
О СО
-^ to
со *-
Ю Сл
со о
СЛ 00
4а- -^
СЛ СЛ
CD и-
— н- о
СО *- tO
о оо to
СЛ CD СЛ
I
О
I
О
I I
СО О
Сл CD
-^ to
tO CD
О СО •—
*- to о
g s s
4*
43
CD
Сл
О СО
^1 со
CD "<1
Сл О
00 00
Сл CD
СО СЛ
О tO О
СО О 00
СО СЛ Сл
Ю 00 00
I
О
I I
о о о
о о о о
I
о
о о
8
о
о К
-^ сл
4± СО О
СО 00 tO
Сл и- «^
СО СЛ 4а-
tO 4а-
CD 00
СО н-
ю *-
Сл tO
СЛ Ю
•^ 00
CD СЛ
СЛ О
00 CD
О Сл СО
о -^ to
со ►— о
4а- СЛ
Сл -^
СЛ 00
р о о
о сл "сл
о о о о
I
о
I
о
со *-*
СО 4*
•-* "^
•-* СП
00 -vj
4* -^
»— to
оо со
8 £
8 §
Сл
4*
О О
00 Ъ)
I
о
I
о
о о о о
4^ и- О
CD CD СЛ
СО СО Сл
Ю О н-
tO СО
О *-
^ CD
СЛ Сл
8
~- О
СО CD
■<1 СО
CD Сл
о о ■—
to to о
СО Сл Ч
4^ О Сл
I I
О О
2
ЮООО'-*'-**-**—
.. 00Ю00ОСЛ-^004^
СО *— Сл •— СО 4^ tO 4^ ~
СЛ4^ОЮО^-00Сл
85
О СЛ и- *- Сл
со ч оо ч w
00 СЛ *- 4^ CD
Сл 00 СП 4* -^
ОН
о
to
2
4^
О
)mmL
S
со
о
о
со
«^
■^
о
о
►—1 •
Сл
4^
О
о
4^
К*)
Гл
to
о
_*
58
О
О
о
£
8
О
>__!
340
о
о
00
4*
О
¥т^.
CD
-vj
1
О
О
00
1—*
CD
О
О
СЛ
CD
1
О
О
ы
Сл
1
О
о
4ь
00
I
О
о
о
00
8
1
о
1—*
00
4*
СЛ
1
О
о
о
со
4^
1
О
299
•Ч
1
О
о
—
со
00
1
о
4*
а
ю
1
о
о
го
го
Сл
со
I
о
4*
CD
CD
*■"*
о
о
о
4*
и0
00
1
о
_*
SS
-vj
о
о
и—
ts>
О
to
о
со
со
о
1
о
!
о
^
to
00
CD
О
407
СЛ
1
о
о
н
п
о
о
н
со
«i
н
во
О
£ со
- <ъ
X х
ь £
0 л
Уя
1 S
о 2
* *
$ =
1§
3
р
н
•о
S
о
во
о
W
о 1

ш
СЛ СЛ Сл
Сл О Сл
Сл 4^
О Сл
СО СО to
Сл О Сл
О Сл
CD СЛ 00
о
►—
755
о
о
00
00
CD
О
459
CD
О
О
ю
387
О
о
*^
Ф*
о
4^
Сл
Ю
о
о
00
086
1
о
о
046
о
со
CD
00
1
о
О
00
772
1
о
о
8
оо
о
_*
CD
CD
1
о
О
Ф*
018
1
о
о
S
-ч
о
о
о
»—*
1
о
о
00
533
о
о
8
1
о
_4
СЛ
00
оо
1
о
о
со
829
о
,_*
00
4*
1
О
to
807
1
о
о
со
152
о
И-1
00
4^
1
О
00
8
Ф-
1
О
о
to
840
о
221
Сл
1
о
со
00
CD
1
О
О
>-»*
441
О
_4
00
СЛ
!
о
>—i
S
00
о
о
—
564
1
о
Ф*
Я
1
О
k_i
00
ю
о
1
о
^*
001
о
Сл
034
о
о
to
CD
О
1
О
о
721
о
Сл
5
СЛ
О
н-1
2
CD
1
О
1
О
О
00
О
Ф*
Сл
CD
00
О
О
а
00
о
— о
to -ч
СЛ 4*
О CD
0 °ч
н- CD
О CD
-^ 4*.
I-* О
4^ —
4> 00
4^ О
00 CD
О СЛ
СЛ 00
I Щ. &
CD «D Сл
CD СО tO
2 8 К
■-* 00 СЛ
CD »-* *-4
О
t
О
•ч
о
1
о
со
о
4ь
-^
1
О
о
о
Сл
CD
I
О
о
00
CD
CD
tO
1
о
о
00
^1
to
1
о
о
__1
CD
00
■о
о
1
о
о
to
8
о
1
о
4*»
О
*vj
о
1
о
1
о
00
СЛ
-ч
00
1
о
о
о
СЛ
00
^
1
о
о
о
1—*
00
to
о
о
о
ю
СЛ
Сл
о
о
►__!.
ф*
Ф*
>—*
о
о
to
00
t—к
■"*
1
о
СО О
S3 S
СЛ СО
00 CD
и- О
00 4*»
CD CD
CD -Ч
Сл to
О »—
СЛ СО
CD ^*
Ю •— О
00 СО 00
§00 О
00 «Ч
•— о о
оо to оо
4^ 00 О
CD tO ^*
Ф^ со
Ю Сл
и- ^4
О О
оо to
сл -^
I
О
I I
О О О
I
О
СО' Ю
— ф*
00 СЛ
to о
to •—
00 *Ч
•—* 4*.
м- о О
и- -^ СЛ
to сл to
СО СЛ ^*
Сл ГО
О О
1
О
00
СЛ
CD
Сл
О
О
Сл
СЛ
со
(—»
1
о
1
о
о
4^
О
•Ч
О
1
о
Сл
4^
О
l
О
О
ю
со
Сл
CD
О
О
О
00
to
00
1
о
о
to
^
S
о
о
о
4^
-Ч
о
1
о
to
00
CD
00
1
О
1
О
о
00
-vj
со
1
о
о
о
00
о
00
о
1
о
8
Сл
со
о
о
о
о
(—*
Сл
о
о
_*
CD
00
СЛ
о
*-* со
.00 СО
CD -
О
8
00 О
Сл Сл
Сл ■—*
СЛ Сл
to to
О 00
•—» О
to сл
со со
00 Ф*
CD -Ч
Ф* Ю
4* >— Ю
00 Сл CD
" Ю 00
4* ь-
S
О О ~-
оо -ч to
Сл О Ю
S 00 Ol
1
о
to
00
СЛ
о
00
о
СЛ
00
1
о
00
К*)
to
Ф*
о
СО
*ч
ф-
о
I
о
о
00
00
to
о
8
о
Сл
!
о
ю
00
о
00
о
4^
to
го
-vj
1
о
to
г^
to
00
1
о
о
Сл
*Ч
о
to
-ч
00
00
о
*°
Ф*
о
-ч
о
to
-ч
со
CD
1
о
ю
Я2
CD
Сл
I
о
I I
Сл *Ч
-ч со
Ф* 00
8 8
4*» 4*
00 4^
сл о
Сл СО
н- CD
СЛ СЛ
со •—
со »ч
ф* *-
о о о
Ф* *Ч 4^
00 00 Сл
О Ф* Сл
S3 8 S3
ф* tO •-*
00 00 00
I I
О О
О О
to -ч
«—* О
Ф» Ф*
-ч со
СЛ СЛ
оо -ч
о *-
СО О
со о
CD СЛ
СО Сл
-ч оо
00 Ф* Ф-
tO Ф* -Ч
ГО О СО
Ю 00 м
•— О Сл
S £ 8
оо ю -ч
о о
о Ъ
00 CD
^- 4*
I I
о о
о о
|-* СЛ
»vl ГО
*-* СЛ
о —
to ел
to сл
СЛ Ю
00 4ь
О Сл
сл -ч
СО Сл
00 О 4^
4^ 00 •—
О 00 CD
•— CD Сл
= S S
— 4^ tO
Сл 00 О
I
О
О О и-
Сл СЛ О
CD 00 00 CD
Сл 00 CD 00
2
О ~-
00 00
tO 4*.
00 ОО СЛ
S3 S
- to
О О
00 -Ч
О 00
*- -Ч Сл О
2 О CD Сл
CD 00 4>
•vj оо О 4^
о
СЛ
а
о
о
н
ев
8
Н
OS
S
В
S
"2 н
а
it
О СО
».§
а Е
<»
■в ж
»
3
■3
S
I
н
S
а
<т>
•о
н
<<
•о
Z

5 Таблица 4.18
Собственные значения Xv и собственные векторы корреляционной матрицы меридиональной составляющей скорости ветра.
Холодное полугодие, средние широты
И км
5
10
15
20
25
ЗЭ
35
40
45
50
55
60
V
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
и
12
X
V
4,0030
0,1065
0,0823
0,0259
0,0419
0,1760
0,2942
0,3452
0,3907
0,4201
0,4132
0,3826
0,3104
2,5176
0,5040
0,5621
0,5338
0,2327
—0,0896
—0,2025
—0,1558
—0,1010
0,0073
0,0481
0,0687
—0,0136
1,8315
—0,0816
—0,0709
—0,1152
—0,3524
—0,4838
—0,4143
—0,3397
—0,1170
0,1448
0,2611
0,3399
0,3335
0,9775
—0,1936
—0,1493
0,0370
0,4977
0,3920
—0,0529
0,1734
—0,3613
—0,1922
—0,0474
0,2558
0,5191
0,6990
—0,1522
—0,1820
—0,1104
0,7340
—0,3841
—0,1970
—0,0465
0,2274
0,2569
0,1075
—0,3105
—0,2719
0,4997
—0,4931
0,0823
0,5097
—0,0180
—0,4116
0,0986
0,3645
0,1231
—0,1864
—0,2710
0,0600
0,2257
0,3990
0,1170
0,0489
—0,1729
—0,2141
0,2336
—0,6571
0,2259
0,5023
—0,1553
—0,3344
0,0571
0,1526
0,3798
0,4789
0,0404
0,4006
—0,1498
0,4196
—0,2166
—0,3552
0,1863
0,3500
0,1381
—0,2048
—0,1368
0,2673
0,1733
—0,2898
0,1562
-0,0222
—0,0098
—0,2853
0,4589
—0,3876
0,3770
0,0729
—0,4674
0,2298
0,1920
—0,3709
0,5645
—0,3130
0,0443
0,0649
—0,2078
0,3366
—0,2610
—0,1677
0,4076
—0,0583
—0,1316
0,1741
0,1063
—3,4350
0,3226
—0,0378
0,0650
—0,1518
0,1246
0,0987
—0,5338
0,5461
0,0962
—0,2216
0,1193
0,0464
0,1185
—0,1040
0,0792
—0,1307
0,1511
—0,2437
0,3330
—0,2510
0,2665
—0,6220
0,4853

Таблица 4.19
Собственные значения A,v и собственные векторы корреляционной матрицы зональной составляющей скорости ветра. Средние
широты, холодное полугодие
И км
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
X
V
5.6721
0,0272
0,0572
0,0263 *
0,0913 :
0,1809
0,3404
0,3574
0,3724
0,3939
0,3856
0,3773
0,3544
2,8954
е,фбз
0,5109
43,f 130"
|>,|?73
;Q,1808
»,0512
—0,0291
—0,1425
—0,0885
—0,0747
—0,0419
0,0009
1,4951
—0,1711
—0,1714
—0,1460
0,2100
0,6405
0,4103
0,2334
0,0312
—0,1307
—0,2144
—0,2691
—0,3264
0,6035
—0,3275
—0,2994
0,0116
0,8036
—0,1410
—0,0404
—0,2487
—0,1443
0,0004
0,0450
0,1596
0,1595
0,3172
—0,6539
0,0901
0,6896
—0,2426
0,0202
0,1044
0,0167
—0,0058
—0,1026
—0,0295
—0,0099
0,0822
0,2833
0,0320
0,0033
—0,1462
—0,2549
0,4623
0,1689
-0,4970
—0,4192
—0,1662
0,1559
0,2673
0,3496
0,2142
—0,3869
0,7012
—0,4339
0,1042
—0,1005
—0,0094
0,2512
—0,2706
—0,0681
—0,0011
0,0907
—0,0064
0,1722
0,1815
—0,3179
0,0847
—0,0525
—0,2047
0,1419
0,5863
—0,4533
—0,3543
—0,1475
0,2536
0,1822
0,1648
0,0225
0,1071
—0,1462
0,0246
—0,1410
0,2306
—0,1255
0,4442
—0,3312
—0,4988
—0,1351
0,5506
0,1024
0,0636
0,0511
—0,0024
—0,0449
—0,4427
j 0,7432
—0,2803
—0,0468
0,0296
0,0384
0,1353
—0,3762
0,0447
—0,0168
1 0,0377
0,0150
—0,0029
0,1427
—0,2147
—0,0628
0,3170
—0,2538
—0,2709
0,7477
—0,3608
0,0351
0,0167
0,0162
—0,0264
0,0633
—0,0448
—0,0179
0,0266
0,2543
—0,6903
0,6535
—0,1347
—0,0179

Нетрудно видеть, что для всех рассматриваемых параметров
атмосферы суммы собственных значений весьма близки к следам
соответствующих корреляционных матриц. Небольшое различие
в четвертом знаке определяется заданной точностью вычислений
и округлением.
В табл. 4.20 приводятся коэффициенты разложений (4.130)
(главные компоненты), вычисленные для профилей температуры,
плотности воздуха, меридиональной и зональной составляющих
скорости ветра, указанных в табл. 4.8—4.11.
Таблица 4.20
Коэффициенты разложении температуры /, плотности
воздуха р, меридиональной и и зональной v
составляющих скорости ветра
Z
Z\
*2
*3
*4
*э
Ч
*7
*8
*9
ъ*
*ъ
*i2
*ts
*и
t
2,0421
2,2787
1,2696
1,3934
0,9247
0,0469
0,2286
0,4349
A8338
0,33§f*
'* —&*2Ж
1,1289
1,6052
0,1189
. Р
0,8646
—0,0392
—0,7350
0,3650
0,1616
—0,0250
—0,2010
—0,0968
0,0039
\ 0,1046
0.2S8Q
—0,ШЗ
0,0814
! 0,0617
и
1,0335
0,4842
0,1167
—0,1347
—0,0921
0,0265
0,0126
0,3179
—0,0469
- 0,0425
0,2871
0,2579
—
_.
V
0,9860
0,4143
—0,3479
—0,1187
—0,0319
—0,0048
0,0329
-0,1322
-0,0608
—0,0732
—0,0273
0,0466
—
—
Можно предложить другое, несколько отличное от равенства
(4.130), разложение физических параметров атмосферы,
основанное на собственных элементах соответствующих корреляционных
матриц.
Пусть имеем вектор исходных значений параметра <р.
Определим ортогональное преобразование
у=Т*9у (4.149)
где Т — по-прежне^^ершршадаатя матрица, и найдем дисперсию
переменных (4.149), ^Йии»шв«е через Л. Очевидно,
Л « М \уу*) =М \Т*<?9*Т\ = Т*гТ. (4.150)
Сравнивая равенства (4.150) и (143), видим, что если в
преобразовании (4.149) в качестве ортогональной матрицы взять
матрицу собственных векторов, то дисперсиями новых переменных у^
(|и=1, 2, ..., п) являются соответствующие собственные значения
корреляционных матриц исходных параметров.
144

Чтобы получить ц-тую главную компоненту га, будем
нормировать величины у р.. Это значит «подправим» их так, чтобы
дисперсии равнялись единицам для |i=l, 2, ..., п. Очевидно,
поставленная цель будет достигнута, если положить
г = Л-1/у (4.151)
Учитывая равенство (4.149), имеем
г = Л"1/2Г*? (4.152)
или
ср = ГЛ-1/2г. (4.153)
Если ввести обозначение
W = TA\ (4.154)
в конечном счете приходим к разложению
* - 2 ^л> (4л55>
в котором главные компоненты z^ и их веса W^ определяются
соответственно выражениями (4.152) и (4.154).
Используя равенства (4.150) и (4.154), легко показать, что
Ц7И7* = г и И7*И7=Л.
Как было показано, Spr=SpA. Это значит, что суммарная
дисперсия переменных ф* равна суммарной дисперсии
ненормированных компонент у^. Таким образом, можно найти долю, вносимую
каждой компонентой или рядом компонент в суммарную
дисперсию. Обозначим через R2
р
2 \
/?2=-^-. (4.156)
Поскольку для корреляционных матриц Spr=n9 где п —
порядок корреляционной матрицы, критерий (4.156) можно
переписать в виде
р
#» = ±=iJL. (4.157)
На рис. 4.5 представлены изменения критерия R2 в
зависимости от р. Критерий (4.157) имеет смысл относительной точности
разложения (4.130) при использовании в них заданного числа р
членов. С помощью рис. 4.5, задаваясь точностью разложения,
145

можно определить необходимое для достижения заданной
точности число членов ряда (4.130). Из рис. 4.5 следует, что
наилучшей сходимостью обладает зональная составляющая скорости
ветра.
Определив с помощью естественных элементов корреляционных
матриц физических параметров атмосферы разложения для
нормированных центрированных функций ср^, с помощью равен-
Юг
Рис. 4.5. Зависимость критерия R2 от числа членов
разложения
ства (4.6) можно записать соответствующие разложения для
рассматриваемых физических параметров атмосферы
Ht,H) = m%(H) + ^(H)^zr(t)ur{H)(p<n). (4.158)
Следует заметить, что разложение (4.158) является по сути
дела каноническим. Действительно, функции иг(Н) неслучайные
и могут трактоваться как координатные функции, а главные
компоненты zr(t)—как некоррелированные случайные величины
с нулевым математическим ожиданием. Некоррелированность
главных компонент и равенство нулю их математического
ожидания определяется выражением (4.152).
146

§ 4.6. Дискретно-непрерывное представление
случайных процессов в рамках корреляционной теории
Рассмотренные выше канонические и неканонические
разложения случайных процессов являются по существу представлениями
в классе непрерывных координатных функций и непрерывных
случайных величин с заданными законами распределения.
В рамках корреляционной теории можно получить разложения
случайных функций в классе непрерывных координатных функций
и случайных величин дискретного типа с заданным
распределением. Покажем это, введя последовательность независимых
случайных величин дискретного типа
ЛьЛ,,...,Лт, (4.159)
каждый элемент Л* которой в реализациях может принимать
заданное число фиксированных заранее состояний Ц (/ = 1, 2, ..., п)
с вероятностью ^р>Л- При этом пусть удовлетворяется система
тождеств
2Ptx|] = l (/-1,2,..., да). (4.160)
о
Представив центрированный случайный процесс \{t) в виде
канонического разложения
о т
&(/)-2V,(0
v = l
и используя условия
М[Л;]=0 (/ = 1,2,..., да), (4.161)
М[ЛгЛу]=0 (/^у = 1,2,...,да),
Л*[Л?]= 2 №)2/>№]=А (/-1,2,..., да), (4.162)
можно в соответствии с выражением (4.71) записать тождества
т
v=l
т
яе (/.о-2 д, к о]2.
v=l
Используя изложенную в § 4.3 методику, можно найти
координатные функции x^(t) и дисперсии случайных величин Z)v (v =
= l,2,...,m).
147

Если выше на этом процедура построения канонических
разложений была закончена, то при дискретном непрерывном
представлении случайного процесса необходимо по заданным
дисперсиям случайных величин дискретного типа £)v построить их ряды
распределения. Для решения поставленной задачи воспользуемся
выражениями (4.161) и (4.162). Заметим, что задача построения
ряда распределения имеет множество решений. Рассмотрим
последовательность ее решений.
Для удовлетворения условию (1.61) число состояний случайной
величины Л должно быть больше или равно двум. Пусть
случайная величина имеет два состояния Х\ и %2 с вероятностями Pi
и /V Тогда выражения (4.161) и (4.162) и условие (4.160)
позволяют записать систему уравнений:
Ж[А]=Х1Я1 + Х2Р2=0;
М [Л2] = \\РХ + \lP2 = D;
/>x:f/>3 = 1. (4.163)
Для решения системы (4.163) недостает одного уравнения,
поэтому предположим, что Pi = ^2- Тогда будем иметь
Хх = — Х2;
\=\h\ = \l2\ = V~D. (4.164)
Итак, используя выражение (4.164), сведем в табл. 4.21 модули
случайных величин дискретного типа для канонического
разложения атмосферных возмущений, характеристики которых приведены
в табл. 4.8—4.11 (холодное полугодие, средние широты).
Таблица 4.21
Модули состояний случайных величин дискретного
типа
Меридиональная
составляющая
скорости ветра
1,000
0,695
0,674
0,942
0,96
0,834
0,709
0,726
0,725
0,602
0,664
0,556
—
—
Зональная
составляющая
скорости ветра
1,000
0,650
0,644
0,856
0,912
0,615
0,576
0,532
0,435
0,330
0,338
0,375
—
—
Температура
воздуха
1,000
0,73
0,916
0,777
0,858
0,945
0,71
0,756
0,829
0,842
0,79
0,856
0,857
0,832
Плотность
воздуха
1,000
0,936
0,996
0,581
0,87
0,91
0,851
0,826
0,841
0,770
0,716
0,717
0,634
0,646
148

Пользоваться приведенными в табл. 4.21 данными неудобно,
поэтому можно заменить их на величины, равные единице для
всех случайных факторов, умножив предварительно все
координатные функции на величину состояния, приведенную в этой таблице.
Теперь все абсолютные величины состояний случайных
величин последовательности (4.159) будут равны единице, а сами
состояния определятся значениями Xi = l; Х2 =—1.
Число возможных состояний случайной последовательности
(4.159) при этом равно 2т, где т — число дискретных случайных
величин, а вероятность каждого состояния определится при этом
величиной 2~т, так как каждое состояние является равновероятным.
Аналогично можно произвести расчеты при числе состояний
более двух. Так, при /г = 3 будем иметь систему уравнений:
Л![А]=Х1Я1+Х2Р2 + Х,Р8 = 0;
М [Л21 = Х\РХ + /|Р2 + /|Р3 = 0;
/>1 + Л + Р8 = 1. (4.165)
Очевидно, в этом случае
Х2 = 0; Xj = Х3;
|X1| = |X,| = X = Vl,5£>. (4.166)
При £> = 1 получим h = VT5« l,22,rX3 = — Vh5^ — 1,22. Число
состояний при п = 3 значительно увеличивается и равно Зто„
а вероятность каждого из них уменьшается и равна З-"1.
При п=4 легко получить следующие уравнения:
М [Л] = \tPt + к2Р2 + Х,Р, + Х4Я4 = 0;
М [Л2] = Х\Рг + Х22Р2 + Х|Яа + Х?А = D;
Л + />2 + Р8 + Р4=1, (4.167)
откуда следует
P = P1 = P, = Pz = Pi = \;
)л » — Х4; Х2 = — Х3;
Ч + А.2 ~ -gp- •
Система (4.167) не позволяет определить все дискретные
состояния однозначно. Пусть Ая-—0,5. Тогда при D = \ получим
)ч = -1/175^-1,32,
т. е. А,! = — 1,32; Х2 = —0,5; Х3 = 0,5; ^=1,32.
149

В рассмотренных преобразованиях все дискретные состояния
равновероятны, так как Pl=P2 = Pz = P4.
Можно поставить задачу определения дискретных состояний
и их вероятностей из условия удовлетворения моментов выше
второго порядка, например нормальному распределению. При этом
будем иметь для п=2:
М [Л2*+1] = Х?*+1Л + >|*+1Р2 = 0 (А - 0, 1, 2
Ж [Л2] = \\РХ + \%Р2 = D.
Отсюда следует решение, полученное выше:
Л! = -^ = /5; Л = /\> = 4-
Для п = 3 имеем следующую систему уравнений:
М [Л2*+1] =0; А = 0, 1,2,...;
М [А2] = }\РХ + \1Р2 + Х32Яз = D = а2;
Ж [А4] = XjP! + Х42Я2 + >4Рз = За4;
Pi + P* + Pn=U
откуда следует
Х2 = 0, X] = — Х3; Ях = Р3;
2k\Pi = a2;
2Х?Я, = За4;
■ );
или
Л = я3 =
2Л + Я3
1
Х1=1/За; Х2^0; Х3 = |/"За.
При я>3 легко произвести аналогичные преобразования.
Результаты расчетов до п=5 приведены в табл. 4.22—4.24.
Таблица 4.22
Дискретные состояния
Число

состояний
1
2
3
4
5
150
1
а
уТа
V4f-
Уб-гТЛОа
2
_
— а
0
1
7Г"
Уз—/йь
3
—
—/3"а
1
/2
0
-1/5 — /10а
— 1/5+1Л0з

Вероятности состояний
Таблица 4.23
Число
состояний
1
2
3
4
5
1
1
2
1
6
5 —2УТ
88
7 — 2/10
60
2
1
2
2
3
39 + 2 /2"
88
7 + 2 У10
60
3
—
1
6
39 4- 2/2
88
8
15
4
—
—
5 — 2УТ
88
7 + 2 /Ш
60
5
—
—
—
7 — 2/Ш
60
Таблица 4.24
Величина момента Амгого порядка
Номер
момента
1
2
3
4
5
6
7
Нормальное

распределение
0
а2
0
За4
0
15з<з
0
Число состояний
2
0
а2
0
о*
0
аб
0
3
0
С2
0
За*
0
9а<з
0
4
0
а2
0
За*
0
15а6
0
5
0
а2
0
За*
0
15зб
0
В табл. 4.22 содержатся числовые значения дискретных
состояний случайной дискретной величины в функции числа
состояний. В табл. 4.23 приведены вероятности дискретных состояний,
в табл. 4.24 — числовые значения моментов для дискретной
случайной величины и непрерывной случайной величины с
нормальным распределением.
При числе "состояний п и /)г=1 (i=l, 2, ..., га) вероятность
каждого состояния последовательности (4.159) будет равна пгшу
а число всех состояний — N=nm. При достаточно больших тип
число всех состояний N последовательности (4.159) будет
достаточно велико, что представит серьезные затруднения при
исследовании рассеивания процессов движения летательных аппаратов
в атмосфере Земли. Поэтому есть необходимость рассмотреть
151

возможность получения дискретно-непрерывного неканонического
представления атмосферных возмущений в виде
S(^)-AlCos2*^ + A2sinQ*/,
где Ai и Лг — случайные величины дискретного типа с
характеристиками:
М[&\] =M[At] = 1;
М [AXA2] = 0;
£2* — случайная величина.
Учитывая результаты, полученные в § 4.2, для определения
характеристик случайной величины Q* будем иметь тождество
г£(*) = Л1 [cosQ*/]. (4.168)
Если Q* = A, т. е. является случайной величиной дискретного
типа с числом уровней, равным /г, то выражение (4.168) примет
вид:
М0= 2 cos у Я,. (4.169)
п
Так как Рг->0 и 2^=1, то задача определения величин
состояний %i и их вероятностей с помощью выражения значительно
затрудняется. Поэтому представляется возможным использовать
следующий прием. Пусть распределение случайной частоты Q*
найдено из условия (4.168). Тогда заменяя непрерывную
случайную величину дискретной случайной величиной с конечным числом
дискретных состояний и определенными вероятностями этих
состояний, как это сделано выше для нормального распределения
случайной величины, можно получить выполнение равенства (4.169)
с заданной ошибкой.
Рассмотренные в § 4.2—4.6 представления атмосферных
возмущений являются по сути дела их математическими моделями,
построенными на основе использования одних и тех же
статистических характеристик рассматриваемых параметров атмосферы.
Кроме разной скорости сходимости, различие между ними состоит
в том, что если канонические разложения (4.68) и разложения
по главным компонентам (4.158) можно построить для любого
из рассматриваемой совокупности профиля физического параметра
атмосферы, то моделируемые с помощью спектральных
разложений (канонического и неканонического) профили физических
параметров атмосферы выбираются случайным образом с помощью
реализаций указанных выше случайных чисел.
Выбор для решения задач управления движением аппаратов
в плотных слоях атмосферы той или другой модели должен
определяться характером поставленной задачи.

ГЛАВА 5
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В ПЛОТНЫХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ
§ 5.1. Модели нелинейных процессов управления
При проектировании систем автоматического управления
летательных аппаратов, движущихся в атмосфере Земли, возникает
необходимость учета влияния" флуктуации параметров атмосферы
на рассеивание траекторий. Учет флуктуации термодинамических
параметров атмосферы (плотности Ар, ветра до, температуры
А/, давления Ар), являющихся случайными функциями, в задачах
управления летательными аппаратами в атмосфере Земли может
базироваться на методах статистического анализа и синтеза
динамических стохастических систем, разработанных на основе
общей теории случайных функций [2, 5, 16, 17, 25, 26, 27, 38, 48].
Под управлением летательным аппаратом понимается
управление движением его центра масс и движением вокруг центра масс
Как движение центра масс летательных аппаратов, так и
движение их вокруг центра масс описываются нелинейными
дифференциальными уравнениями вида
X = F(X9US,t)tX(tQ)=X0, (5.1>
где X — /г-мерный вектор фазовых координат летательных
аппаратов в выбранной системе координат; / — текущее время;
I—/-мерный вектор возмущающих воздействий, включающий в себя'
функции, характеризующие флуктуации термодинамических
параметров атмосферы; Х0 — /г-мерный вектор начальных условий
фазовых координат; U—г-мерный вектор сил или моментов,
управляющих движением летательных аппаратов.
В зависимости от типа летательного аппарата, его назначения,
конструктивных и аэродинамических особенностей в качестве
системы уравнений (5.1) может быть принята одна из моделей,
приведенных в работах [13, 79]. Во введении уравнения (1) — (4)
описывают уравнения движения центра масс летательного
аппарата в атмосфере Земли.
Выбор системы координат в виде математической модели
процесса управления движением летательных аппаратов чаще всего
153:

диктуется целью непосредственных исследований. Поэтому
основное внимание целесообразно сосредоточить на изложении
статистических методов исследования процессов, описанных
нелинейными стохастическими уравнениями вида (5.1).
Используя материал гл. 4, можно рассмотреть пять форм
представления флуктуации термодинамических параметров атмосферы,
полученных в рамках корреляционной теории [2, 60, 79]:
1) случайная функция;
2) канонические представления случайных функций с
непрерывными случайными элементами;
3) неканонические представления случайных функций с
непрерывными случайными элементами;
4) канонические и неканонические представления случайных
•функций с дискретно-непрерывными элементами;
5) представление случайных функций путем преобразования
белого шума с помощью формирующих фильтров.
При этом канонические представления флуктуации
термодинамических параметров атмосферы могут быть:
— разложениями случайных функций по элементам,
полученным на основе использования процесса ортогонализации (по
Пугачеву) ;
— спектральными разложениями случайных функций;
— разложениями случайных функций по собственным
функциям (метод компонентного анализа) и др.
В зависимости от вида используемой модели случайной
функции можно построить различные модели процесса управления (5.1).
Представляют интерес следующие модели процессов управления,
различающиеся методами статистического анализа:
1. Общая модель стохастического процесса, описанного
векторным нелинейным дифференциальным уравнением (5.1), в
котором флуктуации параметров атмосферы являются случайными
функциями с заданными статистическими характеристиками
M[l(t)lM[l(t)l*(t)] и т. д.
2. Модель стохастического процесса, использующая
представления случайных функций в виде канонических или
неканонических разложений с непрерывными случайными величинами и
описанная векторным нелинейным дифференциальным уравнением
X = F(t, V, U, X), X(t0) = X0, (5.2)
где V — /л-мерный вектор некоррелированных непрерывных
случайных величин с заданным законом распределения плотности
вероятности.
3. Модель стохастического процесса, использующая
представления случайных функций в виде канонических или
неканонических разложений с некоррелированными дискретными случайными
величинами и описанная векторным нелинейным
дифференциальным уравнением
X = F(X,t, U, Л), X(t0) = XQ, (5.3)
154

где Л — m-мерный вектор дискретных случайных величин с
заданным распределением вероятностей дискретных состояний.
4. Модель стохастического процесса, использующая
дифференциальную модель фильтра «белого шума» ty(t) и описанная
нелинейным дифференциальным уравнением
X = F{X9 *f ф(0. U), X(t0)=X0, (6.4)
где я|)(/) —5-мерный вектор «белого шума» с равным нулю
математическим ожиданием M[y(t)]=0 и заданной корреляционной,
функцией вида
Выше обозначено: S(t) —матрица спектральной плотности
«белого шума», 6(/ — т) —дельта-функция.
В модели (5.4) вектор X включает в себя и фазовые
координаты фильтра «белого шума».
Для каждой из математических моделей (5.1) — (5.4) следует
рассмотреть возможные направления статистического анализа
процессов управления при заданном векторе управлений U,
определяющем процесс управления.
Одним из возможных подходов к анализу нелинейных
стохастических процессов является метод полной линеаризации
нелинейных уравнений вида (5.1), если линеаризация возможна. Идея
линеаризации основана на предполагаемой и обычно достигаемой
малости отклонений от опорного процесса, обеспечиваемой
введением управления по отклонениям.
Суть метода полной линеаризации заключается в следующем.
Решения дифференциального уравнения (5.1) представим в форме
X(t)=X(t) + LX(t)f (5.5)
где X—вектор опорных решений нелинейных уравнений (5.1),.
полученных интегрированием последних при нулевых
возмущающих воздействиях l(t) и заданных начальных условиях X(t0)=X0;
ДХ(/) —вектор отклонений решений возмущенной системы (5.1) от
опорных, вызванных наличием в правой части уравнений (5.1)
возмущений l(t).
Производя полную линеаризацию уравнений (5.1), можем
получить линейную модель процесса вида
&X = A(t)&X + C(t)%(t), LX(t0) = bX09 (5.6)
где
— матрица размерности ПХп, вычисленная на опорных решениях
X(t) и характеризующая свойства процесса;
155

— матрица размерности /гХ/, вычисленная на опорных решениях
X(t) и характеризующая степень воздействия возмущающих
воздействий на рассматриваемый процесс.
Уравнение (5.6) представляет собой линейную модель
нелинейного процесса (5.1) при заданном управлении U(Xy t). В
линейной модели (5.6) вектор возмущений может быть представлен
в любом из выше названных способов представления случайных
■функций.
Представляет интерес линейная модель для процесса (5.1),
«ели управление организуется так, чтобы уменьшить числовые
значения вектора отклонений AX(t) от нулевого значения. В этом
случае вектор управления может быть представлен в форме
U(X%t) = U(t%UC). (5.7)
Тогда линейная модель процесса (5.1) имеет следующий вид:
АХ = А (t) ЬХ + B(t) U(LX, t) + C (t)I (t),
Д*(*о) = Л*0, (5.8)
dF I
где B(t) = -0jj\ —матрица размерности nXr, характеризующая
эффективность управляющих воздействий U.
Линейные модели (5.6) и (5.8) построены в предположении,
что вектор опорных управлений U равен нулю. Если вектор
опорных управлений U не равен нулю, а управление представлено
б виде двух слагаемых
U(bX, 0= U{t)+bU{t,LX), (5.9)
то опорное решение чаще всего получают путем решения
нелинейных дифференциальных уравнений (5.1) при U=U(t), а модель
процесса (5.8) имеет вид:
\Х = А (О А* + В (t) Ш+С (/) с (*),
bX(t0) = OX0. (5.10)
В практических приложениях представляет интерес случай
управления, когда управляющая функция AU(t, AX) заменяется
управляющей функцией Д£/(|л, АХ)У т. е. процесс формирования
управления вектором AX(t) происходит по некоторой функции
P«<F(*,t/,5,*), (5Л1)
являющейся функцией фазовых координат, управлений,
возмущений и времени.
Подобная задача подробно рассматривается в работе [59] для
случая, когда функция \х зависит от фазовых координат процесса.
Использование измерений в связанных осях координат приводит
к необходимости рассмотрения задач управления, в которых
аргумент управляющего воздействия определяется, кроме того,
возмущениями и управляющими воздействиями.
156

К функции <р(Х, [/, |, t) предъявляется требование
монотонности. Осуществление управления по функции \л означает, что
независимую переменную (время t) в дифференциальном
уравнении (5.1) необходимо заменить на другую независимую
переменную (функцию |л). В этом случае дифференциальное уравнение
процесса (5.1) можно представить в виде
dX_F{X,u.t.l) Х{ )=х (5.12)
а процесс управления необходимо дополнить дифференциальным
уравнением для определения текущего времени процесса
dt 1
Ф ? (X, tf U, £)
, *Ы = 'о. (5.13)
Произведя полную линеаризацию уравнений (5.12) и (5.13),
получим линейную модель процесса в следующей форме:
1 dAX =D(ix)AX + P(^)A(/+Q(^)E + A(ix)A/, (5.14)
где
d\x
-^ = a (ix) Д^ + р (;х) At/ + 7 (ц) S + 8 (ц) Д*. (5.15)
д*Ы^=дг0,
*<«o-£(t)' ™-ж(т):
^>'-*(т)'' 8Ы = ^(т) {5Л6)
— матрицы коэффициентов линеаризации, вычисленные на
опорных решениях уравнений (5.1) при Х(\х0) =Х0.
Следует заметить, что U(t) = U(\i), поскольку невозмущенное
движение, описываемое системой (5.1) при g(tf)=0, изменяется
одинаковым образом как во времени, так и в координатах ц.
Функцию |1 называют параметром процесса управления [59],
уравнения (5.12) и (5.13) —нелинейными параметрическими
уравнениями, а уравнения (5.14) и (5.15)—линейными моделями
нелинейных параметрических уравнений.
157

Введя матрицы
и вектор размерности (я + 1)
У « (Л*, АО,
систему уравнений (5.14), (5.15) представим в векторной форме
^ = s(lx)K + 5(ix)A{/+L([i)E(Ix),
ГЫ=Г0. (5.17)
Вычисление матриц (5.16) можно произвести по приведенным
выше формулам, предварительно выписав уравнения (5.12) и
(5.13) в частных случаях параметра \х. Однако процесс
линеаризации является достаточно громоздкой процедурой, поэтому
следует рассмотреть алгоритм отыскания связи 1 между матрицами Dy
Р, Q, hy а, р, у и б и матрицами коэффициентов линеаризации Л,
В и С. Для этого определим частные производные (5.16).
Очевидно,
~ д ( F \ 1 Г dF • с, ду 1
п д ( F \ 1 Г dF • ~ ду I
e-j(f)-i[*t-^].
d_ /j_\ i_ J>j_
a ~ <W (^ J ~ ^ dx >
- A. /_L\ - i <%
-*(т)~7*
d' U / ¥ L
<?*
<5F • „<J~
(5.18)
1 Алгоритм получен в соавторстве с Ю. Б. Корниловым.
158

^г л dF D dF n dF л dF /c io\
Так как A = ~§x> **~ W и ~W' =W,T0 УРавнения (5.18)
примут вид:
о-р-И-^]-
_ 1 ду д 1 &р
т=_4-^, 8=-4-#. (5.19)
Выражения (5.19) можно преобразовать, если воспользоваться
полной производной функции ф в виде
^-яН + эИ+тИ + З"-^
где О—производная опорного управляющего воздействия 0; I —
производная вектора атмосферных возмущающих воздействий,
которые учитывались при расчете опорного движения X(t).
Обозначив U(t) =g{t)9\(t) =q(t), представим выражение (5.20)
в форме^
® дХ r ^ dU g + dt q + dt ' {D'~['
Для определения матриц Д Я, Q, n, a, p, у и в необходимо
вычислить в общем виде частные производные -j-, -^, -^f, -^ .
Это легко сделать, если воспользоваться следующими правилами
получения частных производных от сложных функций:
— производная скаляра Н по вектору есть вектор-строка
да ( да да да
дХ \ дхх дх2 ' ' ' дхп
159

— производная скалярного произведения по вектору есть
вектор-строка
dX
dX
dX
dX '
а и b — столбцы, {-^ и ^ — матрицы)
— вторая производная скаляра по вектору есть матрица
Г d2a
d2a
d2a
d*a
dX*~
dx\
d2a
dxxdx2
d2a
dxxdxn
dxxdx2
d2a
dxl
d2a
dx2dxn
dxxdxn
d2a
dx2dxn
d*a
dx2n
Следуя указанным правилам, будем иметь:
ЛУ ' ЛУ2 t" AVAV I S ЛГТЛУ~Г'
дХ
дХ2^ дХдХ
,д^д^ ■ » д2у ду dq
' НИ НУ ' " Л£ЛУ » /JS Л У "Т
dUdX
д2у
дШ ! <Э? &Y ^ (Ш*•
dU~~ г dXdU ' <МГ Л/
*P <?F I „* &<? , ду dg д*<? ^
НУ HIT "T~ & Л/72 "Г Л/7 Л/7 ' Ч Л£Л/7 > Л£
д{/2 ^ Я/ <Э£/
^Р ^ , д2ср
<ЭШ ^ d£ dU ^ dtdU »
+ •
^ _ /7* ^2сР д. <*р <?F ,
-^ —Г ^ v^ -h лу"лТ "г б
ае
*1
d2F
<Ш*
dcp dF
dUdi
д2у
+
^? d#
dU di + ^ d£2
d2y
d2y _. dy dq , d2y
di dl ^ dtdi'
dy dq d2y
F + лу a* + dUdtS + dJ d* "*" dj/ ^ ~*~ ft dt + a/2
Эти выражения получены путем определения частных
производных по векторам X, £/, | и времени £ от первой части
выражения (5.20). Они значительно упрощаются, если учесть, что
dg __ &i_ dg _ jdq _ j?£__!ty = 0
dX ~ dX ~ dU ~ dU ~~ <?£ "" d£ _ u'
и ввести обозначения
dg * dq л
dF
160

Получим
J?i--F*-^-4-^£ Л l tr* ** i л* *T l d^
ал"~г Мй^М-Л + * dUdX^4 dXdZ^dtdX*
$ =F* <*? i ** Д i g* *» i.g* *» I ^
at/ ^ ^ЛГ^^аХ0^^ dU*^4 dUdt^dtdU*
.*T - F* &Ч } dy c ■ « ^cp a*cp a*cp
a5~r ^a5^dXu^^ dUdi^4 d?^ dtdl>
i*_j^F ■ iir , j^ . is_ , ^ , jk , a*? rc-22v
a* — dxdtt+ dxL + Wdig + dugi + Шд+Ждг + Ж*- v*ul'
Подставив выражения (5.21) и (5.22) в уравнения (5.19),
получим расчетные формулы для вычисления коэффициентов
линеаризации нелинейных параметрических уравнений (5.12) и (5.13),
использующие матрицы Л (0» B(t) и С (t) линейной модели (5.10)
и частные производные функции <р по векторам X, {/, £ и
времени ty вычисленные на опорном решении X(t).
Полученный алгоритм позволяет при наличии модели (5.10)
построить достаточно легко линейную модель (5.17) при любой
функции ф и наличии опорного решения X(t).
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если принять
ц,=ф(Х, U, t), то формулы (5.22) примут вид:
$ - F* <**? 1 *Р л I „* d2? I. *Т .
дХ ~" г дХ* ^ дХ ^ s dUdX ^ dtdX*
atf ~ r dXdU ta^Dt^ dC/» ^ atftf t
dy __ dtp ^
as ~~axc;
Для 1л=ф(Х, f) формулы (5.22) упрощаются следующим
образом:
д*у
дх~~л ах2 ' ах 4П^ dtdx>
ait — Hi r. is. —it г-
a<y ax*5' ae ~~ axu'
6 Заказ 1910 161

Наконец, при \i=y(X) получим
<*Р _ р* д2ч i <*Р л.
дХ дХ* "Г" дХ '
ду _ ду Rt
dU~ dXD'
Подставив, например, выражения (5.24) в уравнения (5.19)
[ *-a*F +-ж для
щие расчетные формулы:
при У =1$(Р + -д£ Для параметра \x = q>(X, t)9 получим следую-
[дХ + df)
/^р . ilY4 ^ + <w <?x°J»
^х + dt)
h- 1 Гг *Р р 1 г ^ F d2y f р^г F-
fit р 4-:^-V L ^ ^ <^' &Г d
а = —
1 [>* i!f_ л- -?£ А 4- Л!£-1.
^5;
/if F-i-iSLV1 ^z
^zr+ dt)
1 fy r.
dx + #j
S= -
\9A" + dt)
162

Соотношения (5.26) наглядно показывают простоту
преобразований от линейной модели (5.10) к линейной модели (5.17) при
осуществлении управлений по некоторому параметру ц,
являющемуся функцией фазовых координат и времени. Аналогичные
соотношения можно выписать и для других видов функции ц..
Естественно, наиболее простыми соотношения (5.22) получаются при
параметре вида \i=<p(X), так как при этом
П 1 \лд(е F F°9 Л FF* **~\-
м
p--ntw[B&F-F&*]''
[дХ )
[ж 1
(J!1f\21 дх дХ1\>
\дх )
т =
[дХ
1
[дХ
1
')"
')*
дХ
ду
дХ
ду
(*')'"'
(5.27)
Для подготовки к статистическому анализу моделей (5.10) и
(5.17) необходимо определить структуру управляющих
воздействий.
Для этого введем в рассмотрение некоторую систему функций
наблюдения
Ъ (*,/,£/,£), ъ(Х,*,и,*), .... ч*(*,*,*/,Е), (5.28)
6* 163

каждая из которых вычислена на опорном решении X(t) и равна
ЧьЧг, -•-. Ч*. (5-29)
Используя системы функций (5.28) и (5.29), вычислим
разности
Д^1 = % — %. А712 = ^2 — 472, • • •, Ач* = ^л — % (5.30)
и предположим, что управление Д(/ является функцией
А£/(ДЧь Дъ, ..,4»). (5.31)
Произведя линеаризацию выражения (5.31), получим
At/ = ОД?), (5.32)
где & = gj матрица размерности г X #, характеризующая
линейную часть управляющего воздействия.
Для вектора Ац также можно получить линейное
представление в форме
дч = HY + ти + Ml, (5.33)
где #=-^р-; N = -^j; М = -^—матрицы линеаризации
размерностей £Х(я+1),&Хги£х/ соответственно.
Из выражений (5.32) и (5.33) можно получить выражение
для управляющего воздействия в форме
A(J=(E + GN)~l [GHY + QMl]. (5.34)
Подставляя управление (5.34) в уравнение (5.17), будем иметь
^ = Л(1х)Г+С(1х)еЫ, (5.35)
где
А (ц) = s + S {E-GN)-XGH,
С fci) = L + S (E -GN)~lGM. (5.36)
Итак, рассмотренные выше четыре нелинейные
математические модели процесса управления (5.1) — (5.4) можно дополнить
линейной моделью (5.35), элементы которой в общем случае
описываются соотношениями (5.36).
164

Пример 5.1. Проиллюстрируем изложенное выше на методическом примере
для упрощенной модели процесса движения центра масс летательного аппарата
в атмосфере Земли, уравнения которого приведены в работах [13, 79]. Без учета
вращения Земли упрощенная модель движения центра масс летательного
аппарата в продольной плоскости Оху (рис. 5.1) имеет вид:
У
Рис. 5.1. Система координат
Vx = - Oi COS (6 + <*) - ft sin (в + а) - JL g;
Vy = -Qi Sin (в + a) + Fx COS (6 + a) - ВЛ1 g;
У = Уу\
-* Co) = -*o; у('о) = ;уо>
где обозначено:
r = R + h; M=:
arctgvrs g = 9,81 = const;
V X
l/,.= Vcose; Fy = Fsine;
Qi = To (в, Л*) P (Л) VV ?t = fi (», M) p (Л) V2W;
■l0(aM) = ш ;
Cv (a,M)S

a — скорость звука; р (К) — плотность воздуха; h — высота полета
летательного аппарата над поверхностью Земли; Vw — воздушная скорость
летательного аппарата; R — радиус Земли.
Функции Yo(a» Щ и Yi(a> Щ определяются конструктивными и
аэродинамическими характеристиками летательного аппарата.
Угол атаки летательного аппарата примем в качестве управляющего
воздействия. В качестве возмущений рассмотрим
— отклонение плотности атмосферы p(h) от параметров стандартной
атмосферы
дР (Л) = р(Л)-р0(Л);
— отклонение функции у0 от расчетной Yo
Ато=то — то;
— отклонение функции yi от расчетной yi
ati = ti —7i-
Влияние ветровых возмущений ниже не учитывается по методическим
соображениям, поэтому VW = V.
Пусть опорное управление U(t)=a(t) задано из соображений перевода
летательного аппарата из точки с координатами (#0, Уо) в точку с
координатами (Xkt у к) и получено опорное решение уравнений (5.1.1) при начальных
условиях (5.1.2). Произведя линеаризацию уравнений движения (5.1.1)
относительно опорных движений Vx(t), ~x{t), Vy(t), y(t), получим линейную модель
процесса в виде
ЬУХ = anAVx + апАх + апЬУу + аиАу + ЬгАа + СпАр + с12АТо + с1дА^;
Ax = AVx;
АКу = OnbVx + аг2Ах + я33АУу + аиАу + bz\a + <?31Др + с32АТо + cn^t;
Ay = AVy. (5.1.4)
Введя обозначения
Ах = (AVxt Ajt, AVy, Ay); АЦ = Да;
S* = (Ар, ATo, ATl);
au a12 л13 a14>
10 0 0.
B =
аЪ\ #32 аЪЪ aU
0 0 ,1 0
с =
уравнения (5.1.4) представим в векторной форме
АХ = А АХ + В Ш + СМ (5.1.5)
Управляющее воздействие AU определим в форме
Ш = kxAVx + k2Ax + kzAVy + kAAy,
166

или в векторной форме
где
Ш = /(*Д*,
(5.1.6)
/<* = (*! *а МЛ
Подставив выражение (5.1.6) в уравнение (5.1.5), получим
ДХ = (Л + ВК*) ДХ 4- CS. (5.1.7)
На этом процесс построения линейной модели для процесса управления
движением центра масс летательного аппарата можно закончить.
Пример 5.2. Используя результаты, полученйые в примере 5.1, построим
линейную параметрическую модель, если параметр задан в виде
jjl = v0jc (v0 == const). (5.2.1)
Используя формулы (5.27), найдем соотношения для вычисления параметров
матриц D, Р, Q, h, а, р, у и 6 модели (5.14) и (5.15). Так как
дер
дХ
(О v0 0 0);
дер
dZ7
dp
д*
р* Д\^у?),
то построение линейной модели (5.14), (5.15) можно произвести по формулам:
Г ~YL~ д*~ ох3у
О - 1 \сд<* F Fd> c\-
р =
*
■ i[»ft'-'ft»i
с
Учитывая, что
1 ду
( ~)
2 дХ
В; т-
VW
НЙС; л=*■-<>■ <вд
дХ
F = v()x%
0 ч0 Ух °
0 v0 л 0
0 v0 Уу 0
0 vfl J 0
0
0
0
0
167

с помощью выражений (5.2.2) получим
«и * — Ул
D
«13 «14
ч0х2 \0х ч0х v0jc
О 0 0 0
«31*-
ГУ ^32 «33 «34
р* =
0 =
Vo*
О ^1 О
v0.x v0a:
■""fll £ii gia"
v0* \0x v0*a:
0 0 0
^31 g32 g33
чох v0* v0a:
- 0 0 0 J
O.0
о о
p = T = o.
(5.2.3)
Формулы (5.2.3) указывают на достаточную простоту построения линейной
модели процесса (5.14), (5.15) с использованием соотношений (5.27). Суммируя
сказанное выше, выпишем матрицы е, S и L для линейной модели
параметрической системы:
du
0
d$i
da
а
's =
L =
0*12 0*13 «*14 0
0 0 0 0
«Ю «33 «*34 0
0 0*43 0 0
0 0 0 0
(A 0 Л 0 0);
«и Чп Ч\ъ~\
0 0 0
= «31 «32 «33 1
0 0 0
ооо|
(5.2.4)
168

Вводя обозначения
Y* = (AVX A* AVy Ду A/),
можем выписать уравнение линейной модели (5.14), (5.15) в виде
Y' = *Y+SAU + L%. . (5.2.5)
Подставив управление taU
AU = kxAVx + k2Ax + kzWy + k^y + kbAt (5.2.6)
или ДУ=К*У, где /C*=(^i k2 h kA kb), в уравнение (5.2.5), получим
Y' = (s + SK*)V+Ll (5.2.7)
Итак, процедура построения линейной модели для процесса управления при
параметре (5.2.1) закончена. Заметим, что в уравнении (5.2.6) коэффициент
С,20\
С.Ю\
€,05\-
-0.051-
-0,15*-
300L
Рис. 5.2 Коэффициенты линеаризации Рис. 5.3. Коэффициенты линеа-
Яи (*), dlt (и-) ризации Ьх (t), px (\>)
/г2=0, так как дифференциальное уравнение для координаты Аде в уравнении
(5.2.7) отсутствует (все коэффициенты линеаризации во второй строке равны
тождественно нулю).
На рис. 5.2—5.4 показано изменение некоторых коэффициентов ai} и da, Ъи
Pi в функции аргументов t и jji. Приведенные результаты характеризуют
изменение динамических характеристик объекта управления при переходе от одного
аргумента управления / к другому аргументу v0#.
Построение линейной модели для нелинейных параметрических систем с
более сложной зависимостью параметра \i от фазовых состояний VXt xt Vy и у
также не вызывает серьезных трудностей.
169

На этом процесс рассмотрения моделей процессов
управления можно закончить и перейти к рассмотрению методов
статистического анализа процессов управления движением
летательного аппарата в плотных слоях атмосферы. Под задачей стати-
tf/2^
0,002]
0,001
at2(t)
■lfi-ЮЛ-
[qm
о*-
Wtyi
Рис. 5.4. Коэффициенты
линеаризации а12 (t), di2 0Л)
стического анализа процессов управления будем понимать
задачу вычисления математических ожиданий решений
уравнений (5.1) — (5.4), (5.35) и корреляционных матриц решений
Rxx(t) = M[X(t)X*(t)\
или статистических характеристик (математических ожиданий,
корреляционных матриц) некоторых функций от решений
нелинейных стохастических уравнений.
§ 5.2. Статистический анализ нелинейных систем
по линейному приближению
Решение уравнения (5.35) для линейной модели процесса
управления запишем в форме Коши
К((х) = Ф([А)Г0+Ф(!х)|ф-1(х)С(х)с(х)^. (5.37)
Предположим, что заданы матрица корреляций начальных
условий
Ryr(v.)=R0 = M[Y0V;} (5.38)
и корреляционная матрица возмущающих
воздействий—флуктуации параметров атмосферы
Як (*,*) = Ж [&(*)** ("Ob (5.39)
170

Найдем корреляционную матрицу решений
используя решение уравнения (5.35) в форме (5.37).
Предполагая, что статистическая взаимосвязь между вектором начальных
условий К0 и вектором возмущений 1(\х) отсутствует, будем иметь
Ryy (is I») = ф Ы Ro ф* (I*) + j j" *(!*) Ф"1 (О х
X С (О /?к(*, х) С* (х) f Ф_1(х)]* Ф* (ц) d* Л. (5.40)
В выражениях (5.37) и (5.40) матрица Ф(£) является
фундаментальной матрицей решений дифференциального
уравнения (5.35)
ф(0 = А(0Ф(0. Ф('о) = £. (5.41)
Вычисление корреляционной матрицы /?кк (ц, ц) с
использованием выражения (5.40) связано с рядом трудностей, а именно:
предварительным интегрированием уравнения (5.41), выполнением
необходимых вычислений под знаками интегралов в
выражении (5.40), вычислением двойного интеграла от функции двух
переменных. Вычислительные затруднения значительно
уменьшаются, если использовать различные представления случайной
функции.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Для канонических
представлений атмосферных возмущений, взятых в форме
t(t) = e(t)V, (5.42)
где в(/) — матрица координатных функций; V — m-мерный
вектор случайных величин с нормальным распределением плотности
вероятности и заданными характеристиками
M[V]=0; M[VV*]=Rvv,
выражение (5.40) преобразуется к виду
RYY (ц) = Ф (р) R0 Ф* (ц) + j J Ф ((х) Ф-'1 (t)C(t) в (О RVV X
X в* (х) С* (х) [Ф"1 (х)]* Ф* (ц) d<dt. (5.43)
171

По виду выражение (5.43) не является более простым по
сравнению с ранее полученным решением (5.40). Однако после
несложных преобразований, которые дают выражение
X Ryy JO* (т) С* (т) [О"' (*)] * Ф* (j») Л, (5.44)
его простота становится очевидной.
Введя обозначение
им = |Ф(1,)Ф-1(0С(0в(0^,
{J-o
получим для (5.44) следующее представление:
RYY М = ф GO #о Ф* (?) + Н М /?w//* (ц). (5.45)
Выражение (5.45) может быть использовано для вычисления
матрицы RYy(v<,v<) как при непрерывном векторе V, так и при
дискретном его представлении.
Если вектор £(/) представляет собой «белый шум», то
подставляя в уравнение (5.40) корреляционную функцию возмущения
в виде
Яй(','0-5(0»(<-'0, (5.46)
можно получить
ft ft
х s (О8 (<-*)&*(*) [ф_1(х)]*ф* GO лл-
= Ф(1,)/?0Ф*({х) + |ф({х)Ф-1(ОС(05(ОС*(0^. (5.47)
Неканонические представления случайных функций не
позволяют упростить расчетную схему (5.40) для вычисления требуемых
характеристик.
С использованием соотношений (5.40), (5.45) и (5.47) связан
достаточно громоздкий вычислительный процесс, поскольку
необходимо производить интегрирование дважды: во-первых, для
вычисления фундаментальной матрицы решений Ф(^), во-вторых,
для определения составляющей вектора К, вызванной
воздействием атмосферных возмущений. Поэтому в практике
статистического анализа линейных систем находят применение
корреляционные уравнения, связывающие между собой матрицу /?кг(ц, р)
с матрицами /?о и /?tt (t, т).
172

Обозначив
запишем уравнение (5.35) в виде
K'-^Wr+td»). (5.48)
Легко показать, что для любой случайной вектор-функции
ty(\i), имеющей все производные ф<Л), справедлива следующая
корреляционная система дифференциальных уравнений, соответ-.
ствующая уравнению (5.48):
RYY = ARYY + RyyA + /?Кф + Ry<\»
Ry$ = ARY^ + /?фф + /?Гфг,
^v уф' = ARyy "Ь ^фф' ~Ь ^?Уф" »
■*V Уф" == *<**V уф" "Г ^\фф" Г ^V уф'" *
^Уф(Л) в ^?уф(*) + #фф(*) + #уф(* + 1) »
с начальными условиями
#ууЫ = #о; (5.49)
#уФЫ = Ryy Ы = ... - #уф<*) Ы = 0. (5.50)
Система уравнений (5.49) связывает между собой
корреляционные матрицы выходных характеристик процесса Y с
корреляционными матрицами возмущений /?ффэ /?ф4>,, ..., /?w(») и
матрицей исследуемой системы А. В общем случае системой (5.49)
воспользоваться практически невозможно в силу ее бесконечности.
Если окажется, что решение Ry^(k+i) тождественно равно нулю,
тогда система уравнений (5.49) окажется конечной системой
корреляционных дифференциальных уравнений. Такую систему
уравнений можно использовать для статистического анализа процесса
по линейному приближению, т. е. по линейной модели (5.35).
Заметим, что при получении системы (5.49) использовались
следующие преобразования:
#'уу = м\^(уу*)] = м1у'у*+уу*'] =
= М [(АУ + ф) Y* + V (AV + ф)*] =
= ARyy -f- HyyA -f» Ryq, r Rуф »
173

= M\(AY +b)>l?* + Yb*'} = ARY^ + R^ + Ryr
и т. д.
Рассмотрим возможность получения оценки слагаемого /?Кф(*+1).
Для этого получим систему дифференциальных уравнений (5.49),
используя решение уравнения (5.48) в форме (5.40),
предварительно представив его в виде
/?гф(^^ = ф^)/?оФ*Ы + Пф^)Ф"!(ОХ
1*0 Но
XRn(t,^)[Ф-1(^)}*Ф*(p)dtdт
или в виде
где
тЫ = /?о + ||ф-1(0^Ф(^^)[Ф~,(^)]*^^. (5.52)
Продифференцировав выражение (5.51), получим
Так как
Ф'=ЛФ, (Ф')* = Ф*^*,
будем иметь
/?кк (I*) = ARYY + RyyA* + Ф (jx) Tf (ц) Ф* (ц). (5.53)
Введя обозначение
Но .... ' . .
представим выражение (5.52) в следующей форме:
и продифференцируем его по независимой переменной
т'(р) = |ф_1(^?(^)Л+ф_1Ы? (г = м»).
174

Так как
то выражение для производной функции у(\х) имеет вид:
а
-1'(!х) = |ф-1(х)^(,>!х)^х[ф-1(!х)]* +
+ Ф"1Ы]>^(^^)[Ф"1М]*^.
Подставляя полученное равенство в уравнение (5.53), будем
иметь следующее интегро-дифференциальное уравнение:
R'YY (,0 = ARYY+RYyA* + Ф Ы j Ф"J (x) #фф (т, jx) rft +
a
+ j /?фф (l*.*) [ф_1 00]* ^ ф* М- (5-54)
t*o
Введем обозначение
Ч!х) = |ф((,)ф-1(.)/?фф(.)(х)^. (5.55)
IJ-o
При условии, что
v* (to = 1 #;+ ('.«») 1ф~* (*)Г ^ ф* м.
уравнение (5.54) примет следующий вид:
. #'rr = ARYY + Ryy ~A* + v (ц) + v* (ц). (5.56)
Величина v(\x) представляет собой матрицу размерности пХп.
Продифференцировав выражение (5.55). по параметру |л,
будем иметь
'v'W^vW + ^W + ^w,
где
vi (ц) = Ф Ы J Ф"* СО -^ Яфф (т, 1х) *. (5.57)
Но
175

Продолжая указанный процесс преобразований, получим
бесконечную систему уравнений, характеризующую корреляционные
преобразования:
R'yy = ARyy+RYYA* + v (?) + v* (?)■
v'(^) = A ft*) v ((*) +/?ф4>) + v, (fi);
v; Ы = Л (?) V, (|л) + Rw (?) + v2 ([л);
v2 (t*) = ^ М v2 GO + ЯФГ((0 + vs GO;
v; GO = "A (?) vft (ji) + Rn(k) + vft+1; (5.58)
где
По виду системы дифференциальных уравнений (5.49) и (5.58)
совпадают, поэтому можно записать
Я^а^М^^^Ф^^^ (5.59)
Выражение (5.59) позволяет произвести оценку величины матрицы
/?Гф(л+1), если воспользоваться данными о числовых
характеристиках матрицы
mU(*)-^Hv-)] = #^)(*,\>-)-
Определим теперь выражения для М [ф (\ь) ф(Л) (р.)].
Для этого найдем производную произведения ^>(ii)^*(ii)
■£ Ф М 4>* GO = Ф' Ы Г (?) + Ф М Ф'# М. (5.60)
Применим операцию математического ожидания к равенству
(5.60), учитывая при этом, что операции математического
ожидания и дифференцирования перестановочны. Получим
^?ФФ (Iх) == ^?ф'ф* + ^?ф'ф*«
Очевидно, что
Аф'ф* = ^~ /?фф • (5.61)
176

Теперь определим вторую производную произведения ij)i|)*r
//2
После проведения операции осреднения будем иметь
Так как
-М[ФУ] = *♦•♦• = *%*•»
получим
откуда следует, что
^=-4-^- <5-б2>
Продолжая подобные преобразования, легко получить
ЯфФ* = ~~#ФФ- (5.63)
По аналогии можно найти выражения вида (5.61) — (5.63) и
ДЛЯ /?фф(Л).
Статистический анализ флуктуации термодинамических
характеристик атмосферы позволил произвести оценки величин JR^%
Оказалось, что
**фф»^ч *^фф' ns> *^фф»
Поэтому для процессов управления в атмосфере можно считать,
что
^ФФ' ~ *^фф"~ • • • ~ ^фф(^) ~ "•
В связи с этим система корреляционных уравнений (5.58)
значительно упрощается и приобретает вид:
R'yy М = А М #yy GO + Xyy М л М +v М +v* GO;
/(lx) = i(lx)v(lx) + /?H(Ix).
Это справедливо и для системы уравнений (5.49). Поэтому будем
иметь
Ryy GO = ^ (,i) RrY (v.) + /?KK({i) i* (jO + /?r<p (v.) + R*r^ M;
R'y^V-) = A(?) Ry^p) + R^M;
Rrr(Po) = Ro; /?гФЫ = о. (5.64)
177

Следовательно, мы приходим к достаточно простым
дифференциальным уравнениям, которые весьма удобны для статистического
анализа процессов управления движением летательных аппаратов
в атмосфере по линейной модели (5.35).
В частном случае, когда возмущение является «белым шумом»
с характеристикой (5.46), из уравнений (5.64) вытекает известное
корреляционное уравнение
R'YY (ц) = А (р) RYY (р) + RYY (ц) А* (ц) + S (ix).
Результаты исследований линейной модели (5.35) могут быть
использованы в качестве первого приближения при исследовании
нелинейных стохастических дифференциальных уравнений (5.1)
процесса управления.
Пример 5.3. Для линейной модели 5.1.7 процесса управления 5.1.5 при
числовых значениях коэффициентов алгоритма управления 5.1.6, равных k\ =
= —0,000418, k2 = —0,000576, &3=—0,000633, &4=--0,000295, произведено
численное интегрирование корреляционной системы уравнений:
Rxx = Z(t)Rxx + Rxx~A*(t) + Rxi + Rxi,
/?ж = 3 (0 + С%£*. (5.3.1)
где
&хх — '
M[Vx\
M[Vxx]
M[VxVy]
M{Vxy]
M [Vxx]
M[x*]
M [Vyx]
М[ху]
М [VyVx]
М [xVy]
М [V*]
М [Vyy]
M[Vxy]
М [ху]
М [Vyy]
ММ
**=|
'm\vm m\vm m[vaY
Af[jc6,] М[х^\ М[хЪг]
MlVy^] M[VyU] M[Vyt3]
Af[ySi] М[у1г] МШ
/ мЩ мш мш
%= мш м]Щ мш
\ М [5,5,] М [5Л] М Щ
А = А + ВК*, Ях(0) =
4 0 0 0
О 10» 0 О
0 0 4 0
О 0 0 10е,
178

На рис. 5.5—5.7 приведены графики среднеквадратичных значений
координат х, у, VX) Vy, управления а и нормированных значений взаимных моментов
ги =
M\Vxy]
M[VxVy)
r« = —-——— t
Г12 =
JC
М [Vxx]
X
M[x у]
V °V
x у
^34
r23
M[Vyy)
av a
У У
M[Vyx]
Анализ результатов численного интегрирования корреляционной системы
уравнений дает достаточно полное представление об управляемом процессе 5.1.7.
аарод
GyM
600
2000
ол
0,2
1000
0L 0L _
10 20 30 W 50i
Рис. 5.5. Среднеквадратичные значения координат у, Vx, Vy
и управления а при временном аргументе программы (<р = t)
Так, из рис. 5.5 можно определить интервалы времени, когда фазовые
координаты процесса имеют наибольшее рассеивание,, а также в любой момент
времени оценить в рамках корреляционной теории возможное рассеивание
фазовых координат и управления.
Рисунок 5.6 позволяет установить корреляционную связь между фазовыми
координатами и показывает, что между координатами х и у существует почти
функциональная взаимосвязь. Объяснение этого факта кроется в структуре
алгоритма управления (5.1.6).
Пример 5.4. Аналогичные расчеты проведены для линейной параметрической
модели (5.1.7) процесса управления. На рис. 5.7, 5.8 представлены графики
среднеквадратичных значений координат t, у, Vx, Vy, управления а и
нормированных значений взаимных моментов г при действии только отклонении
начальных условий АХ0.
179

Ю ?0 30 UO 50С
Рис. 5.6. Нормированные значения взаимных моментов при
временном аргументе программы (<р = t)

(Та, рад
0.2
°A
0'
\<*tc
0.0**
0,02
-
- 0l
1 <*У»
-BOO
600
-wo
200
- 0'
l^x:
-
200 [
1
tool
- 0«
Рис. 5.7. Среднеквадратичные значения координат ty Vx, Vy,y
и управления а при параметрическом аргументе <р = 0,000298л:,
вызванные рассеянием начальных условий
Рис. 5.8. Нормированные
значения взаимных
моментов при
параметрическом аргументе ? =
= 0,000298*, вызванные
рассеиванием начальных
условий

(Усе род
OtC
0,08\
0,06V
0,0<*\
0,02
CTi/M
400
У120
80
200
oL 0L о
<%,OVM/£
YX' vy
40
Рис. 5.9. Среднеквадратичные значения коо
и управления а при параметрическом apryiv
вызванные действием атмосферных в
Рис. 5.10. Нормированные значения взаимн
параметрическом аргументе <р = 0,000298л,
вием атмосферных возмущени
waD

На рис. 5.9 и 5.10 приведены аналогичные результаты при нулевых
начальных условиях и действии только внешних атмосферных возмущений. Рисунок
5.11 иллюстрирует результаты воздействия на процесс управления отклонений
начальных условий и внешних возмущений.
Сравнение результатов исследования линейных моделей при временной и
параметрической форме задания аргумента ц позволяет установить
значительное влияние вида аргумента на рассеивание фазовых координат процесса управ-
Рис. 5.11. Среднеквадратичные значения фазовых
координат t, у, Vx, Vу и управления а при параметрическом
аргументе <? = 0,000298.*, вызванные разбросом начальных
условий и действием внешних возмущений
ления. Так, при \i = t среднеквадратичное значение координаты у равно 0У =
= 3000 м, в то время как при jli=v0# это значение равно аг/ = 1000 м. При
этом максимальное значение оу сдвинуто по аргументу к началу процесса
управления (при |li=Vo#) по сравнению с временным аргументом. Приведенные
иллюстрационные примеры наглядно показывают эффективность
корреляционного анализа нелинейных систем по линейной модели.
§ 5.3. Методы статистического исследования
нелинейных процессов
При рассмотрении методов статистического анализа процессов
управления, описанных нелинейными стохастическими
дифференциальными уравнениями, достаточно важным вопросом является
выбор и обоснование соответствующей модели процесса.
Математические модели процессов (5.1) и (5.4) по своей структуре
183

достаточно близки, так как и в одной и в другой математических
моделях правая часть дифференциальных уравнений (5.1) и (5.4)
определяется непрерывным случайным процессом g(t) или ip(t) с
заданными статистическими характеристиками. Естественно,
напрашиваются два пути исследования процессов, описанных моделями
{5.1) (5.4). Первый из них связан с проведением
корреляционных преобразований, как это сделано для линейной модели
процесса (5.35), и построением системы корреляционных нелинейных
дифференциальных уравнений, связывающих корреляционные
матрицы решений #хх (t, t), корреляционные матрицы возмущений
У?£е(/, т) и матрицу корреляций начальных условий R0. Однако
решение этой задачи в частных случаях нелинейных процессов
связано с бесконечными системами дифференциальных уравнений
и необходимостью вычисления моментов решений высокого
порядка М [X{k) (t)X*{p) (t)]9 где k, /7^1 —целые положительные
числа. Корреляционные преобразования нелинейных систем —
достаточно сложный процесс и по существу они не находят широкого
применения в практике исследования нелинейных стохастических
процессов управления движением летательных аппаратов.
Второй путь статистического исследования процессов,
описанных моделями (5.1) и (5.4), связывают с приближенными
методами вычислений, основанными на методах математической
статистики.
Приступая к изложению вопросов применения аппарата
математической статистики для статистического исследования
нелинейных стохастических процессов, введем множество Qz элементов,
которые будем называть выборочными или случайными точками.
Выборочную точку будем рассматривать как возможный исход
эксперимента, произведенного при данной совокупности условий
(случайных возмущений). Применительно к рассматриваемой
задаче анализа под экспериментом будем понимать
интегрирование дифференциальных уравнений при заданных реализациях
случайных возмущений l(t) или if(t) в математических моделях
{5.1) или (5.4). Предположим, что в результате проведения N
экспериментов (интегрирований уравнений (5.1) с использованием
аналоговых, цифровых или комбинированных вычислительных
машин) для реализаций случайных возмущений
lw(t), l™(t), ..., lm(t) (5.65)
получено множество Qz реализаций решений уравнений (5.1)
*(1), Х{2\ ..., Хт. (5.66)
Так как последовательность реализаций возмущений (5.65)
является случайной выборкой, то последовательность решений (5.66)
также является случайной выборкой.
Из элементов выборки (5.66) скомпонуем выборку
г{1\ г<2>, ... г<"> (5.67)
184

и рассмотрим некоторые статистики выборки:
— выборочное среднее значение
N
"w
— выборочную дисперсию
*-*=l2(*W-3'- (5.69>
1=1
Если законы распределения элементов выборки (5.67)
одинаковы, а сами элементы выборки являются независимыми
случайными величинами, то известно [31], что
M[z]=?z; (5.70>
а2$ = ж[(г-^ь4> <5-71>
где о2 — среднеквадратичное значение случайной величины г,
цг — математическое ожидание этой величины. Аналогичные
формулы можно выписать для выборочной
дисперсируй [s2] = о»; (5.72).
°2(s2)=-^-^f)°<. (5.74>
Формулы (5.70) и (5.72) означают, что выборочное среднее
значение z и выборочная дисперсия s2 являются несмещенными
оценками для математического ожидания и дисперсии случайной вели-
чны z с математическим ожиданием jj,z, дисперсией о2 и четвертым
центральным моментом щ. Дисперсии выборочного среднего
значения z и выборочной дисперсии можно вычислить по формулам
(5.71) и (5.74).
Используя формулы (5.68) и (5.69), можно вычислить средние*
выборочные значения и выборочную дисперсию, а по формуле
n
и элементы выборочной ковариационной матрицы решений
нелинейных дифференциальных уравнений (5.1), представленных в
выборке (5.66).
При оценке характеристик рассеивания, полученных среднего
выборочного значения й выборочной дисперсии по формулам
(5.71) и (5.74), возникают затруднения, так как не известны
185.

характеристики случайной величины г, а именно о и |i4. Если
случайная величина z имеет нормальное распределение, тогда
формулы (5.71) и (5.74) имеют вид:
*2га=4; *2и = дёт. (5-7б>
Если воспользоваться выборочным значением дисперсии s2
вместо а2, тогда из формул (5.76) следуют формулы
-Н-£; "И-^?,. (5.77)
Выражения (5.77) можно использовать для оценки
характеристик рассеивания рассмотренных статистик или планирования
числа экспериментов (iV) для вычисления статистик с заданной
точностью.
Процесс статистического анализа, использующий в своей
основе теорию выборочного метода математической статистики и
предполагающий построение выборки (5.66), называют методом
статистических испытаний. Этот метод достаточно часто
используют в задачах анализа рассеивания нелинейных систем.
Метод статистических испытаний может быть применен и для
анализа процесса управления с использованием математической
модели (5.2). При этом значительно упрощается процесс
получения выборки (5.66), так как построение выборки случайных
величин V
Vw, Vi2), ..., V{N) (5.78)
вместо выборки реализаций случайных функций (5.65) в
значительной степени упрощает прикладную сторону процесса
исследований, поскольку формирование реализаций вектора случайных
величин с заданным распределением плотности вероятностей
/o(V) можно произвести с использованием стандартных программ
случайных чисел на цифровых вычислительных машинах.
В остальном процедура метода статистических испытаний для
математической модели (5.2) остается такой же, как и для
математической модели (5.1) и (5.4).
В заключение приведем формулы для вычисления оценок
статистических характеристик решений нелинейных уравнений (5.1),
(5.2) и (5.4) с использованием метода статистических испытаний:
N
М [XX*] --д^гт 2*(0*(°* = (*** V (5-79)
При использовании вычислительных машин вместо формул
(5.79) для обработки результатов расчетов по построению последо-
186

вательности (5.66) можно организовать текущую обработку, если
использовать рекуррентные соотношения при вычислении оценок
(X)N> (XX*)n для статистических характеристик М[Х], М[ХХ*]:
(XX*) N = ^QcX^)N^ + jj^{XX^)m . (5.80)
В формулах (5.80) выражения (X)N_1 и (XX*)N_X означают
оценки М[Х] и M[XX*]f полученные на предыдущем
эксперименте метода статистических испытаний.
Говоря о применении метода статистических испытаний в
задачах статистического анализа нелинейных дифференциальных,
уравнений, следует рассматривать вопрос о сходимости оценок
(X)Nf (XX*)N к реальным характеристикам Л1[Х], Л! [XX"*] и
точности вычисления выборочных средних (X)N и выборочной
ковариационной матрицы (XX*)N. В работе [79] приведены расчетные
формулы для определения требуемого объема выборки (5.67) из
условия обеспечения заданной точности вычисления
математического ожидания случайной величины, полученные с
использованием неравенства Чебышева и предельной теоремы Ляпунова.
В табл. 5.1 приведены значения числа элементов выборки
(5.67) в функции числа е, характеризующего диапазон погрешности
вычисления математического ожидания величины
N 3az
при заданной вероятности Р = 0,99 выполнения неравенства б^^ег
Таблица 5.1
е_ 0,01 0,05 0,1 0,2
W, .... 100000 4000 1000 250
N2 .... 10000 400 100 25
В табл. 5.1 число N{ получено из неравенства Чебышева,.
а число #2 — с использованием предельной теоремы Ляпунова.
Неравенство Чебышева
дает весьма грубую оценку погрешности величины 6jv. Оценка,
полученная с использованием предельной теоремы Ляпунова
*[*„<.] «ф(з.]/тг),
дает более точную оценку погрешности 6N.
187

Поэтому при расчете объема выборки (5.67) нужно
пользоваться второй строкой табл. 5.1.
При задании объема выборки (5.67) можно воспользоваться
и формулами (5.71), (5.74).
Из табл. 5.1 следует, что для обеспечения высокой точности
вычисления оценок (X)Ni (XX*)N с использованием метода
статистических испытаний требуется многократное интегрирование
системы нелинейных дифференциальных уравнений (5.1) для
получения выборки (5.66) большой размерности. В связи с этим
представляется необходимым рассмотреть другие приближенные
методы статистического анализа нелинейных процессов.
Такая возможность представляется только для модели
процесса управления, описанного дифференциальными уравнениями
вида (5.2), в которых случайные функции представлены
каноническими или неканоническими разложениями.
В методе статистических испытаний для модели процесса (5.2)
отсутствуют какие-либо гипотезы о структуре решений уравнения
относительно случайных величин V, в связи с чем объем выборки
(5.78) реализаций вектора V, а значит, и выборки решений (5.66)
при заданной точности вычислений статистических характеристик
может быть достаточно большим (табл. 5.1). Очевидно, что
использование априорной информации о характере связи решений
уравнения (5.2) с элементами случайного вектора V вида
*i(t,V) = ViV) (5.81)
может значительно сократить объем вычислений по определению
статистических характеристик функции <p(V). В настоящее время
разработан ряд методов, основанных на различных гипотезах
о характере связи (5.81). Основными из них являются метод
полной линеаризации, метод статистической линеаризации [19], метод
частичной линеаризации [62], метод неполной линеаризации,
метод Б. Г. Доступова [19], интерполяционный метод В. И. Чер-
нецкого [79], метод, использующий процедуру метода наименьших
квадратов, и метод статистических узлов.
Рассмотрим вычислительные аспекты некоторых из названных
методов.
Метод полной линеаризации основан на гипотезе о
линейном характере связи (5.81). Основные соотношения метода
полбой линеаризации рассмотрены в § 5.2. Использование метода
полной линеаризации требует непосредственной линеаризации
нелинейных уравнений (5.2). В ряде случаев непосредственная
линеаризация нелинейных уравнений (5.2) невозможна в силу,
например, релейности управления АС/ или других причин. Тогда,
используя гипотезу о линейности функции <p(V) от случайных
величин V, можно записать следующую расчетную формулу:
^<?(vf) — cP(Vr=0)
?(V) = <?(V = 0) + 2n l] у Ч (5.82)
188

где v? —реализация элемента v% вектора V при вычислении
функции q>(V).
Формула (5.82) может оказаться в ряде случаев
предпочтительнее соотношений метода непосредственной линеаризации
уравнений (5.2), так как при этом нет необходимости проводить
непосредственную линеаризацию нелинейных уравнений (5.2).
Введя обозначение
и используя формулу (5.82), вычислим расчетные соотношения для
определения математического ожидания и дисперсии
функции q>(V):
AfMVO]-<p(V--0); (5.83)
т
°4?(V)]-gW>i].
Формулы (5.83) записаны в предположении о
некоррелированности элементов вектора V и являются достаточно простыми.
Метод неполной линеаризации. Может оказаться,
что функция <p(V) связана с вектором случайных факторов
зависимостью [36]
ср (V) = <р (V = 0) + С*Л + ?1 (ш), (5.84)
где со — вектор сильно изменяющихся случайных факторов V, не
допускающих линеаризацию уравнений (5.2); Л — вектор слабо-
изменяющихся случайных факторов V, допускающих
линеаризацию уравнений (5.2).
Естественно, что при этом сумма размерностей векторов о>
и Л равна размерности вектора V.
Используя соотношение (5.84), легко получить расчетные
формулы для вычисления статистических характеристик функции
<p(V):
М[?(У)) = ?(У = 0) + М[Ъ(*));
о2 [? (V)} = C*RAAC + М [??(ш)] - (М [?1 («>)])2; (5.85)
RAA = M [ЛЛ*].
Анализируя расчетные формулы (5.85), можно отметить, что
при отсутствии корреляции между элементами векторов со и Л
для определения ЛГ[ф(У)] и 02[<p(V)] необходимо исследовать
нелинейную стохастическую систему, подверженную воздействию
случайного вектора со, размерность которого меньше размерности
полного вектора V, и линейную систему, возмущенную вектором Л,
что может существенно уменьшить объем вычислений при
определении статистических характеристик функции <p(V).
189

Метод частичной линеаризации. Для изложения
метода частичной линеаризации решение q>(V) можно представить
в виде ряда Тейлора
т
?(V) = <рКЛ) = ?К А = 0) + 2т^| К (5.86)
1=1
А=0
где, как и ранее, Л—вектор слабоизменяющихся случайных
величин, допускающих линеаризацию.
В формуле (5.86) -^ означает частную производную функции
<p(V) по элементам вектора Л, являющейся случайной функцией
вектора со сильно изменяющихся факторов или функцией
чувствительности первого порядка. Соотношение (5.86) позволяет
вычислять статистические характеристики М[<р(1/)] и 02[<p(V)] по
формулам
л*[«р(Ю] = л*[<р(ш)],
*> [ср (V)} = М [«р»(«,)] + ^°\М[(-^Хг)]3- (М [ср(«,)])». (5.87)
При использовании формул (5.87) в качестве расчетных
необходимо производить исследование расширенной системы
уравнений, включающих, с одной стороны, уравнения вида (5.2) и,
с другой стороны, дифференциальные уравнения чувствительности
вида [62]:
и №
Л=0 1
'Л=0
4i('o) = 0, (/=1,2,..., да). (5.88)
В уравнении (5.88) обозначено А/ = ^- .
Совместное интегрирование уравнений (5.2) и (5.88) позволяет
вычислить требуемые статистические характеристики решений
исходной системы (5.2) в рамках корреляционной теории, однако
при этом требуется знание структуры функции q>(V) в виде (5.86).
Метод Б. Г. Доступов а. В основу метода Доступова
положена гипотеза о том, что решение системы нелинейных уравнений
(5.2) можно достаточно точно представить в виде отрезка ряда
Маклорена. Изложение проведем на примере вычисления
статистических характеристик функции <р одной случайной величины v.
Имеем [19]
"•>-^(0L"- (5-89)
Используя разложение (5.89), получим расчетные формулы
для вычисления моментов функции ф по реализациям ф(*>,
полученным при заданных выборках случайной величины v. Пусть V(\)9
190

2(2). . • • > V(N) — некоторая выборка значений случайной
величины v. Тогда, очевидно, справедливо выражение
Умножив левую и правую части равенства (5.90) на некоторые
весовые коэффициенты cts и просуммируем полученные уравнения
по индексу 5. Будем иметь
Если принять, что
2 *av* = M [**] (k = О,1,2, ...,?), (5.92)
s=i
то справедливо тождество
Л*[?1 = 2<р(г>,К, (5.93)
так как в силу (5.89) имеем
я
"м°>1*2тг(0) «м-
Система алгебраических уравнений (5.92) может быть
использована для определения числовых значений весовых
коэффициентов as и реализаций случайной величины v8, при которых
необходимо производить расчет функции ф(у).
Расчетная формула для вычисления математического ожидания
функции <р(и) является достаточно простой: необходимо сложить
реализации с заданным весом as.
В случае m-мерного вектора случайных величин записываются
соотношения, аналогичные соотношениям (5.92) и (5.93) для
вычисления математического ожидания заданной функции <p(V).
Будем иметь
Я т т
»о")- 2> 2 • • • !!*,£**, ) w ■■■*>■
2»о"к-2^г2- 2 (»,»f*,., ) 2«л-?-ч-.
Я rn m f
ЛМ-242---2 (аг/, * Uk1^-^], (5.94)
11 Я*1 £1 Д^'А-''...^*! J. v /
191

откуда имеем соотношения
N
М [гЛгЛ. . .vrb] = 2 я**;... .v* (rlf r2,...f rk = 1,2,..., л»);
(5.95)
N
^[?]-S «,? (*j.,«J», ...,г>». (5.96)
Система алгебраических уравнений (5.95), как и система
уравнений (5.92), служит для определения реализаций случайных
величин Vrsk и весовых коэффициентов а* (5=1, 2, ..., N).
Используя приведенные выше результаты, легко записать
расчетные формулы для некоторых частных случаев [19].
I. При 9=2 легко получить для некоррелированных и
центрированных элементов случайного вектора V:
N
2«,-1;
5=1
N
2 V? = 0;
5 = 1
2 «Л'«? = { 4 ГгХ % (ги г, - 1,2, ....*). (5.97)
Число уравнений в системе (5.97) определяется по формуле
М = (м + ) (*» + ) ПрИ #=т+2 будем иметь следующие
расчетные формулы:
т+2 / т \
5=1 \5=1 /
<РЯ1+2=<Р(-'°1. ~«2 -"«)• (5-98)
II. При 7=3 расчетные формулы (5.98) примут вид
m
eM?(^]~i2(?2W + ?M-^))-(^[?])2. (5.99)
5=1
где
192

Аналогичные формулы для q>3 приведены в работе [19].
Таким образом, применение метода Б. Г. Доступова сводится
к следующему:
— расчету таблицы реализаций случайных величин, при
которых необходимо производить расчет функции <р;
— обработке результатов расчетов по формулам вида (5.96) —
(5.99).
Все сказанное выше относительно вычисления математического
ожидания и дисперсии функции ф справедливо и относительно
элементов вектора X(t> V).
Интерполяционный метод В. И. Ч е р н е ц ко го. Так
как решения уравнений (5.2) являются детерминированными
функциями времени и случайных величин Vj(j=lf 2, ..., т), то для них
возможно приближенное представление в виде интерполяционных
полиномов по факторам vu v2,... vm. Обозначим реализацию
элемента vt вектора V на множестве Qv через vik., где индекс k\
означает конкурентную реализацию элемента viy и рассмотрим q}
реализаций каждого элемента V\. Получив совокупность чисел
[vik » v>k, ...fvm (, для каждого элемента из этой совокуп-
12 km
ности вычислим функцию <p(V) на решениях уравнений (5.2),
используя при этом методы аналитического (если это возможно)
или численного решения нелинейных дифференциальных
уравнений. Будем иметь
V*2 ».-'(%Л %.)•
Интегральные полиномы, приближенно представляющие
функцию ф при использовании метода точечного интерполирования,
будут иметь следующий вид:
'- 2 »-•- .П.:,., и,,_„ v <5-100>
где
*i.*2. ■■..*„, у-1 Ы '*УМ J '*,)
(5.100')
является полиномом степени q$ относительно случайной
величины Vj,
«)^. —значения производной от полинома (5.100') относительно
случайной величины Vj9 вычисленное в точке vjk .
Формула (5.100) обеспечивает в узлах интегрирования
совпадение интерполяционного полинома и реализаций случайной
функции ф(У). Применим операцию математического ожидания к
левой и правой частям формулы (5.100). Будем иметь
?1>?2 Qm
Mb(V)\- 2 %*2,....*Л*2 v <5л01>
*1>*2> -->km
7 Заказ 1910 193

Величины
*1» *2»
%• (^) <fol rff 2 . . . ^m
л р «*£, V^y; M-vi м-1/2 . . . "vm
= ... /о(^1,^,...,^«)П"—w w \
(5.102)
зависят от выборки случайных величин pft ^...^ — Р (^i*» ^2*
..., <я ), (Лх= 1,2, ...,tfi; Л2= U 2, ...,^2; . ..;\, = 1,2, ...,
^m) и называются [79] числами Кристоффеля. В силу сделанного
ранее предположения о некоррелированности элементов
случайного вектора V выражение (5.102) можно представить в виде
т
т. е. для вектора независимых случайных величин числа
Кристоффеля представляются в виде произведения соответствующих
одномерных чисел Кристоффеля.
С учетом формулы (5.103) запишем расчетную формулу для
вычисления математического ожидания функции
Л1?1- 2 %%,....». ПР*г (5-104)
В работе [79] доказана сходимость приближений с
использованием интерполяционного метода к точному значению
вероятностной характеристики функции ср и показано, что в этом случае
числа Кристоффеля являются корнями ортогональных полиномов
по весу, равному плотности распределения случайной величины V{.
При этом справедлива теорема [79]: «Если в качестве узлов
интерполирования выбрать корни ортогональных полиномов по весу,
равному плотности распределения случайной величины vu то при
использовании п узлов интерполирования интерполяционный метод
дает точные значения в классе полиномов всех степеней до степени
<7 = 2я—1 включительно. При этом расширить класс абсолютной
точности не удается ни при каком другом полиномиальном
приближении». В работе [79] приведены также узлы
интерполирования и числа Кристоффеля для нормального распределения
вероятностей.
Итак, выбрав число узлов по каждому из элементов вектора V,
можем выписать совокупности координат (узлов) и чисел
Кристоффеля, которые позволяют определить всю совокупность узлов
интерполирования. В остальном требуется вычислить функцию
194

q>(V) в этих узлах и обработать результаты с использованием
расчетной формулы (5.104). Формулу (5.104) можно использовать и
для вычисления математического ожидания квадрата функции
<p(V). Для расчета математических ожиданий квадрата функции
q>(V) используем формулу
М[<?*\
2
*1.*2 кп
•9,
(V)j
?и-м чОч-кк»/--^)
X
?1»?2' -^ЧтЧьЯъ '-'>1т
^ 2d 2d Т*1,*2. ••••*„, ?vl.v2 vw *!• *2> •••» V' vl'v2>--'vm'
*1, *2. •-.. *тП. v2 vm
где
Я = Ж
Пт
av
(V))
X
w ч К) ("-%)]'
X
Для случая некоррелированных элементов вектора V имеем,
очевидно,
где
*1. *2> ■■■•km' vl- v2- •••vn
Р*у = Ж
\.Ы *=П^> (5Л05)
/=i
т«у(°у)
•*N ("'-"'*,).
поэтому
ЛГ[?ЧЮ]
^i-« ^m
bvk2, ••>*„
kl,k2,...,kr
2p-<-
;=i
(5.106)
Учитывая свойство чисел Кристоффеля [79], будем иметь
pkj = 9kp
7*
195

с учетом чего выражение (5.107) примет вид
?1'?2 Qm m
М[?ЦУ)]= 2 *\.*> *яПру (5.Ю7)
*l.*2.-.*m /-*
В целом, подводя итог сказанному об интерполяционном методе
Чернецкого, следует заметить, что интерполяционный метод
обладает достаточно большими возможностями в смысле точности
определения математического ожидания функции <p(V). Однако,
число узлов при этом может быть значительным. Это
соответствует значительному объему расчетов по вычислению функции
в узлах, связанных с интегрированием системы стохастических
дифференциальных уравнений (5.2). Поэтому одной из основных
задач при многократном анализе нелинейных стохастических
уравнений вида (5.2) является задача уменьшения размерности
вектора сильноизменяющихся случайных величин.
Как было показано выше, в этом случае можно
использовать метод неполной и частичной линеаризации, в
которых статистические характеристики M[q>(t9 со)], M[cp2(tf, со)],
M[hi(t, oy)hi (t, со)] (t=l, 2, ..., m2) могут быть вычислены
с использованием метода Доступова, метода статистических
испытаний или интерполяционного метода Чернецкого. Очевидно, что
сочетание метода неполной или частичной линеаризации с
интерполяционным методом позволит значительно сократить объем
вычислительных работ при определении статистических
характеристик нелинейных стохастических систем.
Следует отметить, что в методе статистических испытаний
представляется возможность в процессе вычислений
контролировать сходимость оценок статистических характеристик хотя бы
по факту изменения их с увеличением числа испытаний, в то время
как в методах, основанных на какой-либо гипотезе о структуре и
характере связи (5.81), такого контроля нет. Это означает, что
при отсутствии априорной информации о структуре функции (5.81)
получить достоверные данные о статистических характеристиках
функции <p(V) с использованием рассмотренных методов (методов
линеаризации, метода Доступова, интерполяционного метода) не
представляется возможным. Поэтому применение названных
методов при однократном статистическом анализе нелинейных
процессов вида . (5.2) вряд ли можно обосновать, если неизвестна
структура связи (5.81).
Применение методов статистического анализа нелинейных
процессов (5.2), основанных на гипотезах о структуре связи (5.81)
целесообразно при многократном анализе стохастических
процессов управления движением летательных аппаратов в атмосфере
Земли. Однако при этом возникает дополнительная задача —
задача изучения структуры связи (5.81) для обоснованного
применения одного из методов статистического анализа процессов
управления. По существу это задача разделения вектора случайных
196

величин V на компоненты, включающие в себя слабо
изменяющиеся и сильно изменяющиеся случайные факторы, и определения
компонент вектора V, значительно или незначительно влияющих
на процесс управления (5.2).
Так как названная задача имеет и самостоятельное значение,
то пути и методы ее решения будут рассмотрены в следующей
главе.
Представляет интерес группа методов статистического анализа
нелинейных систем, основанная на использовании приближенного
представления функции <p(V) полиномом
— mm
(?1(V) = a0 + 2iaivi+ ^ айр&+... (5.108)
на множестве Qv случайных величин V или разложения ее в ряд
Тейлора в окрестности значения V=0:
т т
;s(K)_T(K-o) + 2^le^+T-li2i^|e^+-" <5109>
Если представления функции q>(V) в виде (5.108) или (5.109)
получены, т. е. вычислены числовые значения коэффициентов а0, aiy
aij, ... и частных производных ^, д J , ... , то в основу
алгоритма статистического анализа процесса (5.2) можно положить
следующие соотношения:
M[v(V)]^M[i(V)l (5.110)
a2[cp(l/)]^a3[?(n] (5.111)
и т.д.
Для случая квадратичного представления функции <p(V)
полиномами (5.108) и (5.109) выражения (5.110) и (5.111) примут
вид:
M[il(V)] = a0+^aiiM[v]]>
[— 1 т т
??(V)\ = al+ 2 *\М Щ + 2а0^аиМ [vj] +
т т
+ 2 ^ «?,л*К]^№] + 2«?И*К] (5-112)
197

г 1 т
т т
т
+т|21(эЭ^),лИА'М <5113>
соответственно.
Для линейной модели функции
^ т
<?1(У) = а0 + %аы
или
выражения (5.112) и (5.113) значительно упрощаются и имеют
вид:
Af[ji(l/)] = flo; м[*\{У)] = а1+^а\мЩ (5.114)
и
Af[;2(l/)] = cp(l/=0)
ж[Й(ю] - ?2(^ = 0) + 2(UifM W1 <5Л15>
соответственно.
Для использования формул (5.112) — (5.115) необходимо
указать пути вычисления коэффициентов а0, а*, а^-, ф(V=0), ^, ^ J
и т. д.
Для вычисления коэффициентов а0, аг-, а^- можно воспользо- ,
ваться методом наименьших квадратов [35], позволяющим найти
искомые коэффициенты из условия наилучшего приближения функ- |
ции <f>(V) полиномом <p{V) заданной степени в смысле обеспечения
минимального значения критерия качества аппроксимации
JN=UU(»[Vil)}-b(idV(i)}}\ (5.116)
где <р(.} |V(/)] — значение функции при заданной реализации
вектора V = V{i)\ cpj } [V(i)]—значение полинома при этой же
реализации вектора случайных величин V.
198

Введя обозначения
А* = [а0а,а2.. .атапа12.. .alma2ian.. .amm),
Ao-(i«iMl)...«Mm«W,..V.(<)...),
5* = ('f(D?(2)---V)---V)); р = (р«))>
критерий (5.116) можно записать в форме
JN=[S-~PA]*[S-PA]. (5.117)
Определив частную производную от правой и левой частей
равенства (5.117) по вектору А и приравняв ее нулю, получим
d-^- = -2(S-PA)*P = 0,
откуда следует
Я* ЯЛ =Я*5. (5.118)
Решение уравнения (5.118) можно записать в виде
А=(Я*ЯГ1Я*5. (5.119)
Вектор Л при линейной модели функции <p(V) имеет
размерность iV = ra+l. При квадратичной модели функции <p(V)
размерность вектора А увеличивается до Af = 0,5(m2+3m + 2), где т —
размерность вектора V.
В связи с этим число экспериментов по вычислению функции
<р(1/) должно быть больше^ N для того, чтобы существовала
матрица, обратная матрице Р*Р.
Ниже числовое значение вектора Л, полученное в результате
расчетов по формуле (5.119), будем называть оценкой вектора А
и обозначать А. Если N>Ny то формулу (5.119) можно
использовать для оценки величины критерия качества (5.117),
характеризующего точность представления функции <p(V) полиномом q>(V).
Проведем некоторые преобразования выражения (5.117),
используя выражение (5.119). Будем иметь
JN= \S- ~PA]*[S-PA] =[S -ЯЛ]* [S -PA] =
= [5-Я(Я*ЯГ1Р*5]*[5-Р(Р*Р)'"1Я*5] =
= S*S-S*P(P*P)-l~P*S (5Л20)
или
JN = 5*5 - S*PA = 5* \s - PA]. (5Л21)
199

Выражения (5.120) или (5.121) могут быть использованы для
оценки точности аппроксимации функции <p(V) полиномом <p(V).
Метод наименьших квадратов для построения полиномов
(5.108) может успешно использоваться в случае малой
размерности вектора случайных величин V и невысокой степени
аппроксимирующего полинома.
В табл. 5.2 приведены числовые значения N для полиномов
первой и второй степени. Из таблицы следует, что уже при
размерности вектора V, равной 10, построение квадратичного полинома
для функции <p(V) представляет достаточные затруднения
вычислительного порядка.
Таблица 5.2
Степень
полионома
1
2
т
1
2
3
5
6
21
10
И
66
15
16
136
20
21
231
25
26
351
Эти затруднения связаны с обращением матрицы С = Р*Р
размерности NXN, имеющей М = 2J^N различных элементов (при
N = 66 имеем Л?=2211).
Описанная процедура вычисления статистических
характеристик функции <?(V) по ее приближенному представлению
обладает значительными преимуществами перед методом Доступова,
интерполяционным методом и методом частичной линеаризации
тем, что при этом может быть определено числовое значение
ошибки представления функции q>(V) полиномом q>(V) заданной
степени в виде
°2[е]-лгЬг/„-(М[е])3(
где
Знание характеристики а \ ошибки г представления функции
<p(V) полиномом q>{V) позволяет записать выражение
200

и указать ошибку вычисления требуемых характеристик функции
<p(V):
М ['? ( V)] = М \1 ( V)] + М [е]; з2 [ср ( V)] = о* [? ( V)] + а* [е].
(о. \22)
Изложенная методика вычисления статистических
характеристик функции по ее приближенному представлению может быть
использована и в других случаях представления функции <p(V).
Принципиально можно сформировать произвольную систему
функций yi(vit Хг) и построить представление вида
~ т т
9(V) = a0 + yiaai(vhli)+ ^ *iyTi(*i.Xi)Ty(*/.Xy) (5.123)
ИЛИ
~ m
?(У) = а0 + ^а1Ъ(^,1д- (5-124)
Например, функции yi(Vi) могут иметь вид:
Ti(^.X/) = sin xi^ii
Ъ (vh lh bh \) = sin xfli + bt cos v.^
и т. д., где bu Хг, V» — неизвестные постоянные.
В этом случае для отыскания оценок всех неизвестных
коэффициентов а0, аи aij, ..., х*> Vf, Ьг и т. д. метод наименьших
квадратов в изложенной выше форме не может быть применен в силу
того, что искомые коэффициенты могут входить нелинейно в
выбранную систему функций yi(Vi) и в выражение (5,123).
Подставив выражение (5.124) в критерий (5.116)
JN = i К [V(i)\ - «. - 2aflj (V„ X;)]2, (5.125)
сформируем функцию многих переменных от искомых
коэффициентов а\ и Хг- Для отыскания числовых значений параметров а*
и Хг практически затруднительно воспользоваться необходимыми
условиями минимума критерия (5.125) в форме
dJ\r dJ\r
так как система уравнений (5.126) является нелинейной
относительно щ и Хг и ее непосредственное решение обычно представляет
значительные трудности. На помощь здесь могут прийти
численные методы поиска экстремума функции многих переменных /jv.
Эта задача является достаточно простой в вычислительном
отношении, так как критерий (5.125) аналитически выражен через
искомые параметры и многократный расчет его числового
значения на ЦВМ не является обычно препятствием на пути
201

построения хорошего приближения функции <p(V). Достоинством
процесса вычисления статистических характеристик функции <p(V)
с помощью ее представления ®(V)y заключается в том, что при
ограниченном числе экспериментов по вычислению функции <р (V)
при заданных реализациях вектора случайных величин V можно
построить приближение функции <p(V), оценить ошибку
полученного приближения функции и найти требуемые характеристики
исходной функции.
Этот путь статистического анализа процессов управления в
атмосфере Земли является необходимым, очевидно, тогда, когда
расчет одной реализации функции <?(V) связан с большими
затратами машинного времени при интегрировании уравнений (5.2).
При построении модели (5.109) для функции ср (V) необходимо
вычислять частные производные^, д J , ..., используя
решения уравнения (5.2). В практических приложениях функция
ф(У) может быть задана в функции фазовых координат
процесса (5.2), например в виде
?i(lO = Gi(Jf,7\ V) (5.127)
или
т
?2(l/)= §Q2(X%t9V)dt, (5.128)
о
где Т — время процесса управления.
Так как частные производные ^, dv^v. для выражений (5.127)
и (5.128) имеют вид:
db__dGid£ dGt^
dvi дХ dvi ' dvi'
&Чх __>дХ\*дЮъдХ dGj д2Х дЮх дХ дЮ{
vtdvj \ dvt) дХ2 dvj * дХ dvtdvj ~" dvLdvj dvj ' dvidvj •
т
дъ _ рГ<К?2 дХ . д<?2'1 ,,
dvt~ ) [дХ dv^ dvi\Ur>
&Ъ _ Ь\(дХ\*дЮ2дХ dG2 д*Х дЮ2 дХ ^G21 ,
dvidvj ~ J [[dvi) дХ2 dvj ^ дХ dvidvj "*" dvtdX dvj "*" dvidvj\ Ul> \?ЛЩ
dv-л
T
0
то, введя обозначения
A.-^- Av-g^ </<У- 1,2, ...,m).
202

будем иметь
*Pt _ dG, u , dGx
dvt ~~ дХ ^"г"а^Г»
+ "^*У + ^]Л («У-1.2....,*). (5Л30)
В выражении (5.130) hi, кц представляют собой функции
чувствительности решений уравнения (5.2) по случайным величинам
vi (i=\, 2, ..., m). Для их вычисления можно воспользоваться
дифференциальными уравнениями чувствительности [50].
Выпишем дифференциальные уравнения чувствительности для
нелинейной модели процесса управления (5.2).
Очевидно, будем иметь для уравнений (5.2), представленных
в виде
Х1 = // (XU ХЧ, • • •, Хт<> У» 0>
-*/(/o)=-W=l'2, ...,«). (5.131)
Следующую систему дифференциальных уравнений
чувствительности первого и второго порядка:
А, - (AJl>, Л{», ...,*}">),
*i,-№Ag>,...,Ajf),
;=1
dxj * ^ dvt'
*i('o) = M'o) = 0 («<У- 1,2 да). (5.132)
Совместное интегрирование систем уравнений (5.131) и (5.132)
при V=0 позволяет в процессе одного интегрирования вычислить
функцию ф (У=0) и все необходимые частные производные для
203

построения модели функции <p(V) в соответствии с
выражениями (5.130).
Следует заметить, что воспользоваться моделью (5.109) можно
только в случае, если функция <p(V) является дифференцируемой
по своим аргументам.
Анализ изложенных приближенных методов статистического
анализа процесса управления, описанного уравнениями (5.2),
позволяет установить общее в приближенных методах статистического
анализа нелинейных систем:
1. Выбор реализаций вектора V (последовательности (5.78))
в пространстве Qv, в которых производится расчет функции y{V)
на решениях уравнения (5.2);
2. Обработка элементов последовательности (5.66),
составленной из реализаций функции <p(V) или решений уравнения (5.2)
на элементах последовательности (5.78);
3. Проверка точности полученных оценок статистических
характеристик.
Построение последовательности (5.78) реализаций случайного
вектора V в методе статистических испытаний, методе Доступова,
интерполяционном методе обычно связывают со свойствами
плотности распределения вероятностей вектора V. По сути дела в
методе статистических испытаний элементы последовательности (5.78)
должны удовлетворять заданному закону распределения
вероятностей fo(V) вектора V. В интерполяционном методе свойства
функции fo(V) используются при расчете как узлов интерполяции,
так и чисел Кристоффеля. В методе Доступова свойства функции
fo(V) используются как при расчете узлов, в которых
производится вычисление функции, так и при определении весовых
коэффициентов as(s = l, 2, ...), необходимых при решении задачи 2,
т. е. обработке последовательности (5.66). Однако элементы
последовательности (5.78) в методе Доступова и интерполяционном
методе в явной форме не связаны с плотностью распределения
вероятностей вектора У.
Решение задачи построения последовательностей (5.78) и (5.66)
в методах статистического анализа нелинейных процессов можно
рассматривать как процесс планирования эксперимента, так как
планирование эксперимента — это планирование
последовательности опытов (экспериментов) по схеме, обладающей какими-либо
оптимальными свойствами [77].
Так как выбор последовательности (5.78) в рассматриваемых
методах связан с алгоритмом обработки последовательности (5.66),
то очевидно, что первая задача в методах статистического анализа
нелинейных процессов является задачей планирования
эксперимента. В связи с этим в методе, основанном на использовании
моделей функции (p(V), расчет последовательности (5.78) может
быть основан на методах теории оптимального планирования
эксперимента [42, 44] и методах многофакторного анализа.
204

§ 5.4. Метод статистического анализа процессов управления
с дискретно-непрерывной моделью возмущений
При дискретно-непрерывной модели задания возмущающих
воздействий процесс исследования статистических характеристик
нелинейной стохастической системы значительно упрощается как
в плане планирования экспериментов, так и в плане обработки
их результатов. Пусть в названной модели возмущений все
дискретные случайные величины расположены в виде
последовательности
А^Л,, ...,Л„, (5.133)
для которой заданы вероятности состояний дискретных случайных
величин
рМ0, ...,/#">. (5.134)
На последовательности (5.133) можно выделить события
Aj = Aj{X[U9Ap9 ...,Л(;лО}, у= 1,2 Pl, (5.135)
вероятность для каждого из которых можно вычислить, используя
ряд (5.134).
Тогда можно записать, что правые части нелинейных
дифференциальных уравнений процесса управления будут определяться
последовательностью (5.135) событий, т. е.
X = F(xy Ah t) X(t0) = X0. (5.136)
Очевидно, и решения уравнения (5.136) будут определяться только
рядом событий (5.135), т. е.
X(t) = X(t9Aj). (5.137)
Итак, решения нелинейного уравнения (5.136) представляют
собой дискретные случайные величины, имеющие возможные
значения (5.137) с вероятностями р[4,-], (/=1, 2, ..., pi).
Для вычисления центральных и начальных моментов /г-того
порядка для некоторых функций от решений уравнения (5.136),
например <р(Х), можно воспользоваться формулами теории
вероятностей:
Pi \*
-2 9Wp(Aj]\ p[Aj]. (5.139)
j = i /
205

Полученные расчетные формулы (5.138) и (5.139) для
вычисления статистических характеристик заданных функций от
решений уравнения (5.136) являются достаточно простыми. Сказанное
проиллюстрируем на примере стохастической системы, имеющей
две дискретные случайные величины в правой части, каждая из
которых имеет три состояния (—1, 0, 1) с вероятностью 7з. Тогда
матрица планирования экспериментов будет иметь вид
Вероятность каждого из событий Aj равна p[Aj] =:-<=р.
Получив для каждого события Aj (/=1, 2, ..., 9) решения
уравнения (5.136), статистические характеристики функции ф(Х)
вычисляются по формулам (5.138) и (5.139), например,
и т. д.
Применимость описанного метода к задачам исследования
рассеивания траекторий движения летательных аппаратов, как и
других стохастических процессов, будет определяться числом
случайных факторов и количеством их состояний, так как они
определяют число решений нелинейных дифференциальных
уравнений (5.136).
В связи с этим и для дискретно-непрерывной модели
представления возмущений имеет актуальное значение задача анализа
значимости случайных величин и уменьшения их числа при
условии, что это не приведет к значительным ошибкам в числовых
значениях статистических характеристик решений нелинейных
уравнений.
А,-
-1
-1
-1
0
-1
1
0
-1
0
0
0
1
1
_1

ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ АТМОСФЕРНЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ
НА ДВИЖЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В ПЛОТНЫХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ
§ 6.1. Исследование значимости атмосферных возмущений
Задача исследования значимости случайных возмущений при
движении летательных аппаратов имеет как самостоятельное
значение в исследованиях процессов движения летательных аппаратов
в плотных слоях атмосферы, так и прикладное значение при
многократном статистическом анализе траекторий движения
летательных аппаратов в задачах оптимизации систем управления.
Необходимость исследования значимости случайных величин V\ (/=--
= 1, 2, ..., т) математической модели (5.2) в формировании
рассеивания фазовых координат X относительно их невозмущенных
(опорных) значений X возникает при решении задач численной
оптимизации процессов управления движением летательных
аппаратов в плотных слоях атмосферы при принятии решений о
целесообразности оценки и прогноза как атмосферных возмущений,
так и аэробаллистических параметров летательных аппаратов.
Если процесс движения летательного аппарата описан
дифференциальным уравнением (5.2), а качество процесса
характеризуется некоторой функцией I = M[q>i(Xf T)], то в силу зависимости
решений уравнения (5.2) от элементов случайного вектора V: х\ (t) =
= Xi(tf V) (t=l, 2, ..., /г), функция <pi(X, T) в неявной форме
зависит от случайных величин вектора V и имеет вид ф( V) =<pi (X, Т).
Задача исследования значимости случайных величин Vi в
формировании рассеивания функции <p(V) относится к задачам мно-
гофакторного анализа, развитию и приложению которого в
различных областях техники посвящается в последние годы
достаточно большое число работ [42, 44, 58, 75, 77, 81]. В основе
методов многофакторного анализа функции ф(У) лежит задача
получения некоторой модели функции (p(V) из условия
наилучшего приближения модели к исследуемой функции q>(V). Так как
аналитическое выражение для функции ф(У) в силу зависимости
ее от решений дифференциального уравнения (5.2) в практических
задачах получить невозможно, кроме случая описания процесса.
207

движения летательного аппарата линейными дифференциальными
уравнениями вида (5.10), то приходится ограничиваться обычно
представлением ее полиномом
л т т
? = а0 + ^а^+ ^ aijvivj+.... (6.1)
Задача построения аппроксимирующего полинома (6.1) может
быть решена в рамках классического регрессионного анализа
с помощью метода наименьших квадратов [1]. Для этого,
очевидно, необходимо сформировать некоторую последовательность
случайного вектора (5.78) и для каждого из ее элементов путем
интегрирования уравнений (5.2) вычислить функцию <р(10, т. е.
построить последовательность функции (выборку реализаций):
*(1),<PW....,fw, (6.2)
а затем обработать последовательности (5.78) и (6.2) с
использованием соотношений (5.119), (5.121).
Построив полином (6.1), необходимо путем анализа его
составляющих на множестве 2v решить задачу оценки вклада
каждой случайной величины в формирование рассеивания числового
значения функции y{V).
Дисперсионный [81], компонентный [1] и факторный [35]
анализы, методы планирования и обработки экспериментов [31, 36,
42, 77] позволяют решить задачу оценки вклада, вносимого
случайными факторами (элементами вектора V) в формирование
рассеивания функции <p(V).
Предположим, что построен полином первой степени
~ да
?(К) = а0 + 2ад (6.3)
и вычислены статистические характеристики функции <р:
M[ff(V)l Mtf(V)\9 *[<t(V)\.
Получим оценки первых двух моментов функции g>(V),
используя представление (6.3), в предположении о некоррелированности
элементов вектора V и центрированности его элементов. Будем
иметь
А?(у)}=2а'м1^- (6А)
г = 1
208

При нормальном и равновероятном (V{^[—bu Ь{\)
распределении элементов случайного вектора V формулы (6.4) примут вид:
M[i(V)]
#0,
m
1 = 1
M[i(V)]=a0,
Из выражений (6.4) следует, что вклад /-того фактора в
формирование дисперсии функции <p(V) определяется выражением
riw = ajM[v*]t (/=1,2,...,/и). (6.5)
Введем коэффициент значимости для полинома первого порядка
ч =
\
(6.6)
В табл. 6.1 приведены выражения для формул (6.5) и (6.6) для
нормального и равномерного законов распределения элементов
вектора V.
Таблица 6.1
Обозначения
,0)
Ч1)
Общая формула
а\М Щ
Формулы при нормальном
распределении
2 •?
а1 ,1[Т]
Формулы при
равномерном распределении
1 ,2
3 в« «*[9]
Аналогичные соотношения можно получить для полинома
второй степени:
<Р (V) = Оо + 2 a{0i + 2 avv*vJ-
£ = 1
(6.7)
209

Будем иметь
* = 1
i = \ / = 1
mm m
°2 [? (V)] = 2- K^ h?] + «?* F И] - [м Щ)2]\
+
<=i
+ 2 alM[v]]M[tf].
kj=i
Введем обозначение
1
Тогда получим следующее выражение для коэффициента y\f\
характеризующего вклад /-того фактора в формирование
дисперсии функции ф(У) по полиному второго порядка
4f> = а]М [**] + а\ [М [v*] (M [vf\)*] +
+ M[v^2j^LM[v^]. (6.8)
Коэффициент значимости определим по формуле
8^(2) = _:
ч а2
^
М
Используя вычисленные коэффициенты 6г\^ и 6r\V\ можно
разделить все случайные факторы на существенные и несущественные.
Несущественные факторы в дальнейших исследованиях можно .
не учитывать. Из числа существенных факторов можно выделить I
слабо и сильно изменяющиеся факторы, т. е. факторы, по
которым можно воспользоваться или линейной моделью, или строить
более сложную нелинейную математическую модель. Для решения
этой задачи необходимо сравнить линейную и нелинейную
(квадратичную) модели исследуемой функции.
210

Коэффициент нелинейности определим с использованием
соотношения
Mnj, = -^
ЧГ
(2)
где
Ач, = чР-Ч?>.
(6.9)
(6.10)
Подставив (6.10) в соотношение (6.9), можно получить следующее
выражение для оценки коэффициента нелинейности:
где
8Дту. = 1 — 8Ат]ь
(6.11)
„Р>
В табл. 6.2 дана сводка основных расчетных соотношений для
решения задачи оценки значимости случайных факторов с
использованием модели второго порядка.
Таблица 6.2
Обозначения
чР>
#
д,р>
Общие формулы
а\ М [vf\
4мЩ +
у=1
а\ [М И] -
н
Формулы при
нормальном распределении
2 2
eft
„2 m
245' +
„2 т
i ' V ^2 „2
7=1
Формулы при
равномерном распределении
4*?
4--Ю+
+ ^4*1+
1 m
Вычислив числовые значения введенных коэффициентов &Д^,
ЪЬу)^Щ1\ Щ2)у можно решить задачу оценки вклада каждого
случайного фактора в формирование рассеивания функции <p(V).
211

Если 1бДг)г1^е, то г-тый фактор можно считать слабо
изменяющимся, в противном случае—сильно изменяющимся. Здесь е —
наперед заданное положительное число, определяемое требуемой
точностью вычисления дисперсии функции.
Наличие только линейной модели функции q>{V) также
позволяет решить задачу выделения существенных и несущественных
случайных факторов. Так, будем иметь коэффициент значимости
г0)
Ч1)=—FT- (6-12>
Если StjP или 8г,р) меньше наперед заданного числа б, тогда
t-тым фактором можно пренебречь. Несколько слов необходимо
сказать о выборе чисел е и 6.
Вычисление реализаций функции <p(V) на ЦВМ обычно
производится с некоторой ошибкой Лф. Если ошибку вычислений
принять случайной с нормальным законом распределения плотности
вероятностей и заданными статистическими характеристиками
М[Дф]=0, /)[Д<р] =а2[А<р], то нижняя граница допустимых
значений коэффициентов значимости может быть определена
следующей зависимостью:
J2
CJ2
Д<р
.?.
Верхняя граница допустимых значений названных
коэффициентов может быть задана в соответствии с требованиями точности
вычисления статистических характеристик функции ф.
Заметим, что ошибка в вычислении реализаций функции ф(У)
на ЦВМ определяется ошибками округления, связанными с
конечной разрядностью арифметических устройств ЦВМ, ошибками
метода интегрирования и ошибками, связанными с неправильным
выбором шага интегрирования.
Чтобы воспользоваться формулами (6.5) — (6.12), необходимо
построить полином (6.3) с использованием регрессионного,
компонентного, дисперсионного или факторного анализа. Так как
изложению последних посвящено достаточно большое число работ
в отечественной и зарубежной литературе, то представляется
целесообразным изложить метод вероятностной аппроксимации для
построения полинома (6.1). Метод вероятностной
аппроксимации [36] связан с вероятностным планированием эксперимента,
что в большей степени отвечает специфике задач исследования
нелинейных стохастических процессов, а именно:
— случайности факторов, определяющих течение процессов
(5.2);
— большому числу факторов, при котором известные
детерминированные схемы планирования эксперимента являются
достаточно громоздкими в вычислительном отношении;
— использованию цифровых вычислительных устройств для
решения задач исследования.
212

§ 6.2. Метод вероятностной аппроксимации
Предположим, что исследуемая функция <p(V) является
функцией m-мерного вектора случайных факторов V, элементы
которого подчинены заданному симметричному закону распределения
fo{V) и удовлетворяют следующим условиям:
— математические ожидания случайных факторов равны нулю,
Л* [*»+»]= О (/= 1, 2 т), (А = 0,1,...);
— факторы являются некоррелированными случайными
величинами,
M[vpj] = 0 (/^)=1,2,...,/и).
Заданные предположения не снижают общности задачи,
позволяя при этом получить более простые расчетные соотношения.
Пусть множество Qv включает в себя все возможные состояния
элементов вектора V. Тогда задача построения
аппроксимирующего полинома (6.1) для функции y(V) может быть
сформулирована как задача наилучшего приближения функции на
множестве 2 у.
Ошибка аппроксимации функции ф(10 полиномом cp(V) равна
e(l/) = cp(V)-9(V). (6.13)
В силу случайности факторов V ошибку аппроксимации можно
считать случайной, а в качестве меры ошибки рассмотреть
статистические характеристики ошибки:
— математическое ожидание ошибки
Л = М[е]= $*(V)f0(V)dV; (6.14)
— второй начальный момент ошибки
у2=Ж[г2]= J *(V)f0(V)dV; (6.15)
а т.
— второй центральный момент
/3= М [(г - М [г])2] = У2 - А; (6.16)
— вероятность того, что ошибка e(V) не выйдет за заданные
пределы [ s(V) ] <>0
a = P[\*(V)\<*°1 (6.17)
где е° — заданная погрешность аппроксимации.
Можно привести еще достаточно большое число критериев
точности аппроксимации функции q>(V) полиномом ф(У), однака
выражения (6.14) — (6.17) являются наиболее приемлемыми с
физической точки зрения и характеризуют величину максимального
ожидаемого отклонения ошибки от нулевого значения.
2ia

Выбор критерия и его математическое описание в
аналитических исследованиях всегда подвергаются критике. В практических
задачах дело обстоит гораздо проще, так как физический смысл
задачи иногда позволяет четко математически описать требования
к решаемой задаче. В задаче аппроксимации функций хорошо
известны три подхода к формированию критерия:
1) точное совпадение во всех экспериментах (узлах
аппроксимации) ;
2) наименьшее значение суммы квадратов отклонений
полинома от аппроксимируемой функции во всех экспериментах (метод
наименьших квадратов);
3) минимальное значение максимального отклонения полинома
cp(V) от функции на множестве Qv (критерий Чебышева).
Критерии (6.15) и (6.16) в наибольшей степени отражают
требования к поставленной выше задаче наилучшей аппроксимации
функции <p(V) полиномом и могут быть отнесены к критериям
точности аппроксимации функции cp(V) полиномом с весом
плотности распределения случайных факторов.
Найдем необходимые условия минимума критерия качества
точности аппроксимации (6.15).
Очевидно, из условия
*^- = 0 (/</<...<v = lf2,...fm)
0aij... v
получим следующую систему алгебраических уравнений:
4-^Г = ж[е^)^] = ° (/-1.2....,»);
= Ж[£(К)&] = 0 (*<' = 1.2,...,да);
[е(К)-^У = 0 (*</<v= 1,2 да);
1 ау2
2 даы
■■М
1 дУ2
2 даш
1 dJt
2 дЧьР
= Л[Ге(1/)-1^—1=0 (*</<*</>=1,2,...,л*)
(6.18)
м т. д.
Размерность системы алгебраических уравнений (6.18)
определяется, очевидно, как числом случайных факторов V, так и сте-
214

пенью аппроксимирующего полинома (6.1). Выше записана
система уравнений для определения коэффициентов (параметров)
аппроксимирующего полинома четвертой степени. Раскроем
систему уравнений (6.18), используя сделанные выше предположения:
и выкладки.
Таккак^=-1'
£ = -«, (/-1,2,...,»);
да =-vkv, (A</ = 1,2 да);
дам
дв
да
•«v
= —VW, (A</<v= 1, 2,... да);
-^ VW» (*</<*</»= 1.2,....да), (6.19)
uukhp
то с учетом выражения (6.13) систему алгебраических
уравнений (6.18) можно переписать в виде:
Л[[ср(П-?(1/)]=0;
Л* [(? (Ю - Ф (V)) J = 0 (/ = 1, 2,..., да);
Л*[(?(Ю-?(Ю) ***/]= 0 (*</ = 1,2,...,да);
М [(? (К) - J (К)) гдоО = 0 (А < / < * = 1, 2, ..., да);
ж[(ср(К)-т(К))т>Лг)Л] = 0 (*</<*</>= 1,2,..., да)
или
Ж[<?(К)] = ж[;(г;)];
^[?(1/)^] = m[?(K)J (/ = 1,2,... да);
Л*М^)***«] = Л*[?(^)*л] (*</ = 1,2...,да);
ЛГ[?(Юад^] = М?(^Л^] (A</<v = l,2,...,w);
М [<р (К) *W^p] =M[9(V)vllv[vvp] (£</<v</? =
= 1,2,..., да). (6.20>
215

Введем обозначения:
Z0 = M[<r{V)\;
ZP-MfrWv,] (/=1,2,...,/я);
Z<$ = М[<?(К)ЗД] (А < / = 1, 2,..., да);
Zgt = Ж [ф (V) vkviVv] (k < / < v = 1, 2,..., да);
2^р = Ж[с?(К)г»*г»,г»чг»р] (*</<v</>= 1, 2,.... да), (6.21)
тогда систему уравнений (6.20) можно записать в форме:
Z0 = m[^(V)];
2A1}^M[i(V)v] (/— 1, 2 J»);
Z{?l=M[v(V)vkvl[(k<l=\>2, ..., Hi);
Z^=iW[^(K)^WJ (£</<v = l,2,...,m);
ZLHP=-M[?(K)TFft^vx>J (A</<v</>=1,2 от). (6.22)
Для критерия (6.16), представленного в форме Jz=h — J\>
также можно получить аналогичную выражениям (6.22) систему
уравнений:
1 dJz 1_ dJ± r dJx
2 да0 ~~ 2 да0
1 dJz _ 1 дУ2 , АЛ
2
1
2
1
u*w
dJ,
dakh
dJ,
-Т^-^^Г^^ЖГ = ° С-1.2...., «);
1 ** --И&-'**£--° (*<'-1.2....,«); (6.23)
■4"Йг-^-^Гв0 (*<'<-1,2,...,да);
Тд-а -ТдГ1 •/i#L- = ° ^</<v</,= l,2,...,«).
С учетом выражений (6.14), (6.18) систему уравнений (6.23)
1можно преобразовать и записать в виде:
^[•<Ю^]-Л*[.(10]Л|[£] (/-1,2,....»);.
^[г(^)^-] = Ж[з(1/)1ж[^-](&</=1,2,..., m) (6.24)
J216

M[e{V)^t] = M[£{V^M[^t] (*</<'-1.2,....«);
Учитывая формулы (6.14) и (6.19), можно вычислить:
*[£] — "
^[-S5r] = -^K1 (/=1,2,...,/»);
^["^r] = -^[^il (A</ = 1,2 да);
^["^l^^tW'l (*</<*-1, 2,..., «);
м[^м] = -М[г,Лг>Л] (*</<v</,= l,2,...,/n). (6.25)
Подставляя выражения (6.25) в уравнения (6.24), получим
M[t(V)] = M[t(V)\;
- Z}1} + Z0M К] = - М [? (К) г>] +
+ Ж[?(К)]ЖК] (/=1,2,...,/я);
-Z$ + Z0M [г>Л] = - Af [;(К)vpk] +m[Z (V)] X
Х^М (£</=1,2,...,от);
- Zgt + Z0M К*,г>,] = - Ж [J (V) vuvto] + Л* [J (К)] X
Xif[W,] (*</<>= 1,2,..., да);
- Z$lp + Z0M [г»йг»,г»,г»р] = - M [9 (V) г>*Ю|Х>,ю„] +
+ M[f(V)]M[vkviVvV„] (*</<v</> = l,2, ...,да). (6.26)
Легко видеть, что первое уравнение системы (6.26) выродилось
в тождество. Это означает, что коэффициент uq невозможно
определить из необходимых условий оптимальности критерия точности
аппроксимации (6.16). Он определяется из условия равенства
нулю математического ожидания ошибки аппроксимации Af[e]=0.
После учета ранее сделанных предложений о статистических
характеристиках вектора V
М [-of+i] =0 (1 = 1,2,..., от; k = 0, 1,...)
217

система уравнений (6.26) может быть записана в виде:
Z\1) = M[Z(V)vl} (/=1,2,..., от);
Zg> = ^[?(nvJ (ЬФ I = 1, 2,..., от);
Z$-Z0M[x>2*] =Лг[?(1/)^]-ж[?(1/)]жК] (4 = 1,2 /я);
Z&= Nl\i(V)vkvto\ (ft</<v = 1, 2,.... да);
Z$ftft - Z0M К] = Л1 [? (К) г»4*] - М [? (V)] М [v\] (ft =
= 1,2,..., от);
Z$« = Af [? (V) v\v\ (ft </= 1, 2,.... от);
Z$„ - Z0M [vl] M [vj] = M [? (V) г»Ы.] -
-ж[?]м[г>|]ЛфП ft</ = l,2,... от);
Zffi, = M [Z (l/) г»**?г»,] (ft < / < v = 1, 2,..., от);
Zk1n = M\^{V)vkv^ (ft</=l,2,...,OT);
Z$vp = m[?(1/)wyzvdJ (ft</<v</j=l,2,...,OT). (6.27)
Аналогичные выражения можно выписать и для критерия (6.17).
Рассмотрим правую часть первого уравнения системы
уравнений (6.22). После необходимых преобразований будем иметь
<Р (V)\ = а0 + ^ atM М + ^ аУЖ М +
i = l itj~l
т т
(*<;<*) (/</<v<p)
Аналогичные соотношения можно записать для правых частей
остальных уравнений системы (6.24). Из последнего выражения
следует очевидный вывод. Правые части системы уравнений (6.22)
являются линейными функциями неизвестных коэффициентов
полинома (6.1) и статистических характеристик факторов.
Введем векторы
Z={Z0;Zili) (/=l,2,...,tfl);Z$ (*</= 1, 2,.. ., m);. ..},
А= {а0; аг (/ = 1,2,...,т); аы (*;</ = 1,2,..., /ю);...}
218

и блочную матрицу С статистических характеристик элементов
притопа V вила ■— « ■ . —i
вектора V вида
С =
1 ' '
\С\\ \ С12 '
1 _ •___ '.
1 1
1 1 ■
Со\ « ^22 |
1 '
i >
^31 ! ^32 !
1 >
£41 s £42 i
1 1 j
1 * 1
1 1 •
\JL' '!' * '!
c\s
^23
^ЗЗ
£43
cu !• • •
1 1
C2i J. . .
1 1
1 1
1 1
C34 j. ..
C44 1. ..
t
. . . ' . . . 1
1 1
где cn = l; ^12 = 4 = (^N); 'i3 = 4 = ИМ); cu = cli =
= (M [Via/ad); c22 = (M [v^vA) и т. д.
Тогда систему уравнении (6.11) можно записать в матричной:
форме
Z = С А, (6.28>
откуда можно найти вектор
А = C~xZy
где С-1 — матрица, обратная матрице С.
Отметим одну особенность матрицы С. В силу сделанных-
выше предположений о статистических характеристиках факторов
матрица включает в себя блоки нулевых матриц (М[иг]К
(M[ViVjVi])f [MbopjOfliO^} и т. д., поэтому ее можно
представить в форме
С =
1
1
0 \С22
■
\ с* \ 0
с13; и
0 * с*
U ! С24
1
i
Iim i
С13
0
С93
0
о |...|
1
c2i ;. . .
■ 1
0!...
1 1
1 1
■ 1
Си \. . .
i 1
i
Обозначив матрицу С-1 через Д а ее блоки d\^ можно
представить ее в форме
D
ри j 0
1 1
0 \d22
k.1 °
i
0 ! d\A
1
1
| 1
^13
0
"зз
0
0
d24
0
dU
' "
" 1
" '
повторяющей форму матрицы С.
219

Вычислить матрицу D в общем виде при любой степени
полинома не представляется возможным, однако, из анализа формы ее
можно сделать достаточно важные в вычислительном отношении
выводы.
Во-первых, при использовании алгоритмов Фробениуса [12]
для вычисления матрицы D = C~l можно организовать процедуру
последовательного обращения матрицы, состоящей из четырех
блоков.
Так, для полиномов первой степени будем иметь
С|/1И.
\ 0 : с22 )
Для полиномов второй степени можно использовать матрицу
d
<U 1 °
С13
0
^33 ,
Для полиномов третьей степени будем иметь
с2
о;44;о
0
С24
0
си
и т. д.
Важность данного вывода следует из того факта, что при
использовании алгоритмов Фробениуса для вычисления обратной
матрицы разбиением ее на блоки меньшей размерности
необходимо вычислять матрицу, обратную матрице, стоящей в одном из
блоков. Используя в качестве таковой матрицу, стоящую
в блоке (1, 1), легко обойти процесс вычисления обратной матрицы,
кроме случая полинома первого порядка. Об этом речь,
естественно, идет в силу отсутствия свойства полной инвариантности
числовых значений коэффициентов относительно степени
аппроксимирующего полинома.
Во-вторых, отметим свойство частичной инвариантности части
коэффициентов аппроксимирующих полиномов, степени которых
(полиномов) отличаются на единицу (табл. 6.3).
В табл. 6.3 одинаковым числом «звездочек» обозначены
коэффициенты аппроксимирующих полиномов, которые не изменят
своего значения при повышении степени полинома на единицу.
Свойство частичной инвариантности коэффициентов
аппроксимирующих полиномов может быть успешно использовано при
вычислении аналитических выражений, связывающих коэффициенты
аппроксимирующих полиномов, элементы вектора V и
статистические характеристики факторов.
220

Таблица 6.3
Коэффициент
а0
щ
аи
aijk
aijki
aijkh
aijkhp
1
*
*
—
—
—
—
2
**
*
**
—
—
—
Степень
з
**
#**
**
***
—
—
полинома
«
****
***
****
***
****
—
•
****
*****
•F *I* *I* *T*
*****
****
—
—
******
*****
******
*^:^:**
******
*****
******
Остановимся далее на получении расчетных формул названной
связи. Пока будем предполагать, что элементы вектора Z известны.
На физической сути элементов вектора Z и алгоритмах их
вычисления остановимся ниже.
§ 6.3. Построение полиномов первой, второй и третьей степени
при вероятностном планировании эксперимента
Целью настоящего параграфа является отыскание явной
зависимости между элементами вектора А (см. (6.28)), элементами
вектора Z и статистическими характеристиками факторов. При
решении этой задачи для полинома первой степени
Л т
<р = а0 + 2 ар, (6.29)
следует воспользоваться первыми двумя уравнениями системы
(6.22). Будем иметь
Z* = M\i(V)\
ZP = Nl[v(V)v\ (/=1,2,...,да). (6.30)
После подстановки полинома (6.29) в выражения (6.30) и
проведения преобразований будем иметь следующую систему
алгебраических уравнений:
т
т
ZV = а0М К] + S <hM [oft] (/- 1,2 »)
или
Z<» = atM [x>2] (/ = 1,2,...,»), (6.31)
221

откуда получим выражения для вычисления коэффициентов:
а0 = Z0, (6.32)
z(1)
"1=1Щ (/ = 1,2> •••'га)- (6-33)
Итак, задача построения полиномов первой степени решена.
Коэффициенты а0, щ (1=1, 2, ..., т) выражаются через элементы
вектора Z достаточно простыми соотношениями (6.32) и (6.33).
Для построения полинома второй степени
«"* т т
? = Яо + 2 ал + 2 *W/ <6-34)
(Kf)
следует воспользоваться первыми тремя уравнениями системы
(6.22):
Z0 = M[i(V)};
ZJ!) = И* [?(!/)*,] (/— 1,2 J»);
г# = ж[?(1/)*Л] (Л</ = 1,2, ...,ni). (6.35)
Подставляя полином (6.34) в уравнения (6.35) и проводя все
необходимые преобразования, запишем
т т
Zo = ao + 2iaiM[vi]+ 2 ayMlvpj];
. т т
ZV = а0М [vt] + 2 аьМ [vflt] + 2 а*;Ж l*Wl (/ = 1,2, ..., m),
*=1 £, 7=1
ZU = а0М [t^] + 2 Я/М К^] + 2 ацм K*W/1
i=l i, /=1
или
*=i
ZP = atM [чй] (/ = 1,2,...,да);
m
Z$ = a0M [<ад] + J aijM lvkW°j] (ft < / = 1, 2, ..., /ю).
<'<>> (6.36)
Из системы уравнений (6.36) выделяется второе уравнение (что
говорит об инвариантности коэффициентов а\ (/=1, 2, ..., т) для
второй степени полинома). Первое и второе уравнения представим
в матричной форме (6.28), введя обозначения
222

c =
Cn \
Си
C\i
где
« = \M [vV[ 0 ... 0 M [v1\ 0 ... 0 ... At [t»m2],
Coo
W-l
/Я <
/w-1 .
0
0
A* [if?] Af [t|]
0
0
0
M [vf\ M [v\\ .
0
0
0
0
M [vl] M [v2m]
0
0
0
• M [*?] M [vl]
0
0
0
0
M [vj] M [v22]
0
0
M[vt]
0
0
0
0
0
0
0
M Щ M [v2m]
0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
... 0
• 1 °
. | 0
. j M [vi] M [vl]
• i °
• ! о
• j M [crj,]
Ю
CO

Для обращения матрицы С воспользуемся алгоритмом Фробе-
ниуса обращения блочной матрицы:
D = |
Спг +С111С12^ ^П1
°11 ь\211
где
Н ~ С22 CV2CU СП'
и-1
Так как c~xl = 1,то получим следующие расчетные формулы:
И — с —с* с •
£> =
1 + с12//-^2
п с12
(6.37)
Проведем необходимые преобразования.
Так как
*
с12с12 —
т *
т—1 *
1
т
ИИ])2 о
0 0
0 0
М [vl] M [vl] 0
0 0
L 0 0
M[v\]M[vl] 0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0
т-\
Af [t/J] Af [t;|] 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
{M[vl]f 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
M[vV[M[vl] 0 ... 0
...
•"
1
0
0
м Щ м [vl]
0
0
: №D\
то матрица Н является диагональной матрицей вида
Н = diag \M [vi] - [М [v\]f, M [v\] M [vl], ...,
M[v$}M[vl], M[vi]-(M[vl})\
M[vl]M[vl], ...,МЩ-(МШ)2}.
Матрица, обратная Я, имеет, очевидно, вид
//_1 = diag(
1
\M[vi]-(M[v\]f ' M[v\]M[Vl] ' ••"
-м[4]-(мщу> мщм[vi] ' ••••4i]-(iK]f
224
. (6.38)

Используя выражения (6.37) и (6.38), легко получить
—м\
M[vt\-(M[4}f
■О .
■мЩ_
*[*,]-("№?)'
(6.39)
Используя формулы (6.39) и матрицу (6.37), выпишем
расчетные формулы для вычисления коэффициентов регрессии Оо и ац
((^/-1, 2, .... т):
i=i
t=i
а1} =
-ч
■, i<j= 1,2, ...,от;
(6.40)
(6.41)
(6.42)
где
Д{ = Лф?]-(лф?])2 (* = 1,2,...,тп). (6.43)
На основании полученных выражений (6.40), (6.33), (6.41),
(6.42) выпишем расчетные формулы для вычисления
коэффициентов аппроксимирующего полинома второй степени:
а0 = \1 + ^ и \£о— 2d к1 Z'J »
L «=i х J «=i l
а, =
•'" м ДО
ЗУ
(/- 1,2,... ,771),
% =
.. г 21 ,, ГТГ' ^ <У — 1 f 2,•.., 7»t;
8 Заказ 1910
(6.44)
225

Представляет интерес случай, когда статистические
характеристики факторов равны между собой. Формулы (6.44) при
М ]рР*\ = М [v2k] (/ = 1, 2,..., т) примут вид:
а1} =
zf)
а'= M[v4 ♦ ^= US,..., да);
(Л* [»2])2
, i</ = 1,2,..., от;
i = 1.2 т.
(6.45)
При этом формула (6.43) имеет вид:
Дх = Л1(г>*1-(Л1[г»2])2.
Для построения полинома третьей степени
^ т т т
(*</) {Kj<b)
необходимо взять четыре уравнения системы (6.22):
Z0 = m[v(V)\
Z\1)^m[Z(V)v1\ (/=1,2,...,/я),
Zff = Af[?(l/)xi^J (£</ = l,2,...,m),
Zgl = Af[j(lOtW»J (£</<v = 1,2, ..., m).
Так как первое и третье уравнения записанной системы
использованы при построении полинома второго порядка (6.34)
и позволили определить коэффициенты а0 и ац (*^/= 1, 2, ..., т),
то для получения расчетных формул для коэффициентов
йг (i=l, 2,..., га), а^ь (i^j^k=\9 2,..., га) необходимо
воспользоваться вторым и четвертым уравнениями рассматриваемой
системы (6.22).
226

Выпишем второе и четвертое уравнения системы
т
Z(P = а,М К] + ^ атМ biW*l (/ - 1, 2, ..., «);
l,j,k = l
т
ZfX = 2 aiM [viVMOi] + 2 aijkM [viV.VbVi X
*=i itj,k = \
XVjVk] (/<v<8=l,2, ...,/tt).
Полученную систему уравнений для удобства проведения
вычислений представим в развернутой форме:
Z\l) = alM[v2l\+alllM[v'i\ +
+ ^ «W-W И] Ж И (/=1,2,...,»); (6.47)
У =1
(Ж)
т
+ ^ VW [г»?] Ж [v\] (/ = 1, 2,..., т); (6.48)
(МО
Z% = а,Ж [г»?] Ж Щ + аи,Ж [*J] Ж [v)\ + ашМ [*?] Ж [г$ +
2 ^М[г>?]ЛГ[^]жК] (*<у=1,2,...,да); (6.49)
(ft***/)
Z% = а/;7Ж [г»?] Ж И] Ж [я?] (/ < у < / = 1,2,..., т); (6.50)
Z% = агЖ [г-f] Ж [г$ + а,«М [г>1] Ж [г$ + ашЖ [*?] Ж [г»}] +
+ ^ ««И* N] ^ И] м И (* <У = 1.2, ...,/»). (6.51)
fe = l
Из уравнения (6.47) определим выражение для
коэффициента аг- (/=1, 2, ..., т):
»< эд° • <б-52)
8* 227

и подставим его в уравнение (6.48). Получим
гШ
м
м
4"-М-ЭД
+
+лф?]
2 ["1нМЩ-а1ИМЩ (* = 1,2,...,«),
У-1
l U + i)
откуда будем иметь выражение для вычисления коэффициентов ащ
*щ- Ш ['\i Ш (^ = 1,2 »), (6.53)
где
ti = M[v4]M[v1]-{M[vt])2.
(6.54)
Подставляя выражение (6.52) в уравнение (6.49), после
несложных преобразований будем иметь выражения для определения
коэффициентов аи$:
zW-mWAzV
(6.55)
Используя алгоритмы (6.53) и (6.55) и выражение (6.52),
получим расчетную формулу для вычисления коэффициентов
а, =
zM z%M [vj]
м
1 ~ м Щ
(6.56)
где
Ai *[«*]* К] ^ ИИ])2
ti
Kl
(6.57)
И, наконец, из выражения (6.50) следует
а1л =
М [vj] М Щ М ДО
(i<j<l= 1,2, ...,/») (6.58)
На основании полученных выражений (6.40), (6.56), (6.41),
(6.42), (6.43), (6.55), (6.58) выпишем расчетные формулы для
228

вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома третьей
степени:
-МВД
L /=1 J
Z0-
M[vf\
<?).
at =
2?Щ гЩм [,g ,
"И]
ЛМ
Л*
1 ^г-« ivl \ь
Zjj) (/-1,2..., «);
«« =
Z0>
, /<y = 1,2,..., /и;
fZS^i^-M^Zf)
«y/e
*$
, (г = 1,2,...,/»);
, ('</ = 1,2,..., от);
(/</</= 1,2,..., да).
(6.59)
При равных статистических характеристиках факторов
формулы (6.59) для коэффициентов полинома третьей степени
примут вид:
Щ*1 „1 7 _ м№
«о= fl +
•^o-^JZlf;
<=i
а, =
А3^> Zj?iM И ,
'' Л1 [v1]
■£- JZJH (/-1,2,..., да);
ау =
zB>
(Af[t»2])2
Z|f>-A1HZ0
(/<У = 1,2,...,да);
(/ = У=1,2,...,да);
[ zffl^H*Hzl')
(/-1,2,..., да);
z^-AiHzy» ,.
Af [»г] Ai
(/<y= 1,2,..., да);
(Atff)» (/</</= 1,2,..., да).
(6.60)
229

При этом формулы (6.54), (6.57) примут вид:
До = М [г>6] М [v*] - (М [г;4])3,
b3 = M[^M[v*) + m-±{M[v2])^ (661)
Итак, для полиномов первой (6.29), второй (6.34) и третьей
(6.44) степени получены расчетные формулы для вычисления
коэффициентов, связывающие между собой элементы вектора V и
статистические характеристики факторов. Расчетные формулы (6.59)
значительно упрощаются для случая равных статистических
характеристик факторов, что следует из формул (6.60).
Итак, получены расчетные формулы для вычисления
коэффициентов аппроксимирующих полиномов третьей степени. Они
являются достаточно простыми, особенно при одинаковых
статистических характеристиках факторов.
Случай полиномов более высокой степени для практики также
может представлять интерес, однако, громоздкость рассмотренной
процедуры не позволяет привести вывод соответствующих
расчетных формул для полиномов степени выше третьей. Из
вероятностных схем планирования эксперимента на множестве Qv можно
выделить две схемы, удовлетворяющие сделанным вначале данной
главы предположениям:
— схему с нормальным распределением экспериментов на
множестве Qv;
— схему с равномерным распределением экспериментов на
множестве 2 v.
Обе схемы могут быть использованы в практических расчетах,
поэтому, используя полученные выше формулы для общего случая
вероятностного планирования эксперимента, можно вывести
расчетные формулы для вычисления коэффициентов
аппроксимирующих полиномов для схем нормального и равномерного
планирования эксперимента на заданном множестве Qv.
§ 6.4. Точность аппроксимации при вероятностном
планировании эксперимента
Выше получены расчетные формулы для вычисления
коэффициентов аппроксимирующих полиномов (6.1), связывающих между
собой статистические характеристики факторов и элементы
вектора Z. Найдем ошибку вероятностной аппроксимации для
заданного распределения плотности вероятностей факторов. Для
критерия (6.15) после преобразований запишем выражение в виде
Л = М [<р2 (V)] - 2М [<р (V) ? (V)] + М [?2 (V)]. (6.62)
230

Получим расчетные формулы для вычисления критерия (6.62)
в частных случаях. Для полинома (6.29) первой степени
выражение (6.62) примет вид
J{2) = M№(V)]-2a0Z0-
т т
-2 J e^i4 +4+^a]M [vV[. (6.63)
i =1 £ = 1
Подставив выражение (6.32) и (6.33) для коэффициентов а0
и а* в формулу (6.100), будем иметь
У?> - Af [*■ (V)} - Zl - J] Щ- • (6.64)
Для полиномов второй степени (6.34) выражение (6.62) можно
представить в форме
т
Л2> = М [?2 (К)] - 2a0Z0 - 2 ^ ^ -
1=1
т mm
-2 2 в^+ао + 200 ^ М* И + 2 <#м И] +
/и /и
+ 2 *им и + 2 а«Л* К!м И] +
* = 1 /, 7 = 1
<* < У)
т
+ 2 j айа/уМ[г^Ж[*5]. (6.65)
<* <;)
Подставляя в выражение (6.65) формулы (6.44) для
коэффициентов а0, аг- и a,ij (/^/=1, 2, ..., т) и проведя преобразования,
получим
— И1»)2 Л (z<2>)2
- 2a0Z0 + al+ ^ [2a0auM [v2] +а2цМ [г>|] -
i=l
/тг
- 2atiZ$} +2 ^ *«V И ^ И]'
U < ))
231

что можно привести к виду
-mW(vS\- Vifol_ V [ l/)
+ 2Z« 2 "№,"№ [м N ^ - ^ И zf? ] - z8. (6.66)
/,7=1 * *
(*<Л
При нормированном векторе V выражение (6.66) упрощается
и имеет вид
<*< Л
/ -1 ^
+'Щт j zff+2z0 -(^pi j <*„- *«>• (6.67)
/ = i /, ;=i
<* < J)
Аналогично можно получить выражения для вычисления ошибка
вероятностной аппроксимации при более высокой степени
аппроксимирующего полинома.
§ 6.5. Вычисление оценок моментов Z
При вероятностной аппроксимации функции <p(V) полиномом
вида (6.1) введены в рассмотрение статистические характеристики
функции
ZP = М [Т (V) vt], Z?> = M[<? (V) vflj]9... (6.68)
Точное вычисление моментов Zo. для нелинейной
модели процесса вида (5.2) практически невозможно. Поэтому
представляется целесообразным использовать оценки моментов Z,
вычисленные с помощью приближенных методов статистического
анализа нелинейных систем, например, метода статистических
испытаний.
Если последовательность (5.78) для случайного вектора
построена и для нее рассчитана последовательность функции
?(1),<Р(2),...,<Р"\ (6.69)
232

то вычисление оценок моментов (6.68) может быть произведено
с использованием формул метода статистических испытаний:
1 = 1
й^иК(^)Л4 2?<»[И'>К> (/-1,2.....»);
7 = 1
[z?])N ~ [м [; (К) vPj\)N=V- &?L1+
+ ^<"4V. (6.70)
Аналогичные формулы можно записать для вычисления оценок
введенных моментов более высокого порядка с использованием
метода статистических испытаний.
Легко видеть, что вычисление оценок моментов (6.68) и
начальных моментов M[cp(V)] функции <p(V) можно воспользоваться
одними и теми же последовательностями (5.78) и (6.69).
При этом последовательность (5.78) может быть построена
в цифровых вычислительных машинах с использованием
стандартных программ случайных чисел с заданной плотностью
распределения вероятностей.
Пример 6.1. В качестве иллюстрации применения метода вероятностной
аппроксимации рассмотрим пример исследования влияния случайных
возмущений (элементов канонического разложения случайной составляющей плотности
воздуха) на процесс снижения летательного аппарата в плотных слоях
атмосферы Земли, описанного нелинейными уравнениями из работы [13]:
V = — *lP (h) V2— k2 sin 6 (kt = 1,75- 1(T3);
8 = — ^cos6 (^2 = 0,028);
x2
je^Vcose; y = Vsinb; h = y —;
р(Л) = р0(Л) + Ар(Л)1*(й). (6.1.1)
Обозначения, использованные при записи уравнения (6.1.1), приведены в
примере 5.1.
В качестве возмущения рассмотрим нормированную случайную
составляющую отклонения плотности атмосферы от стандартной po(ft), которую зададим:
в виде отрезка ряда Фурье (см. гл. 4) со случайными коэффициентами
б
Ар (Л) = 2 [йм+Ли +i cos </ + 1) шЛ + р„1г2, sin (/ + 1) шЛ],
-9.10r«(-L),
где Pi (t = l, 2, ..., 14) —весовые коэффициенты, приведенные в табл. 6.4.
Таблица 6.4
п 1 2 3 4 5 6 7
Р 0,69 0,46 0,31 0,21 0,19 0,17 0,16
п 8 9 10 11 12 13 14
р 0,69 0,46 0,31 0,21 0,19 0,17 0,16
235

103
h км
Л км . .
Числовое значение нормирующего множителя |х(Л), используемого в
числовых расчетах, приведено в табл. 6.5.
Таблица 6.5
0,5 0 1 2 3 5 7 10
4078 3263 2090 1,428 1,019 0,659 0,600 0,610
15 20 25 30 35 40 45 50
7915 2010 2703 0,928 0,504 0,509 0,179 0,110
Характеристики случайных факторов будем считать заданными и равными
о? = 1 при /=/,
0 при i Ф j.
Исследование проводилось для отклонения координаты х возмущенного
движения от // значения при невозмущенном движении (Ар=0) на высоте h =
= 100 м при следующих начальных условиях системы уравнений (6.1.1) : Уо =
=7850 м/с; 0О=—5°; */0=50 км; х0=0.
Статистические характеристики величины Ах (/i= 100 м), полученные
методом статистических испытаний при N = 150, равны М [Ах] = 100 м; а2 [А#] =
=6,2-106 м2. Числовые значения моментов первого 2(1) и второго Z<2> порядка,
вычисленные по формулам (6.70), приведены в табл. 6.6. Там же приведены
числовые значения коэффициентов а0, аи аа-
Таблица 6.6
M[vi}=0; M[vhvf]
j
1
2
S
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
aa
щ
i
1
1032
466
2183
2
-506
-296
-198
-714
3
-407
617
340
120
1046
4
170
396
225
416
158
423
5
-910
53
305
-686
960
430
305
6
-104
50
91
-164
179
26
-37
142
7
-431
-159
290
11
79
432
306
103
-174
8
745
4
-137
38
-188
-112
237
204
52
-322
9
-260
-130
275
-328
-245
-60
190
-79
234
-167
-107
10
-8
441
-15
-77
-169
7
136
-176
421
566
233
-15
и
200
120
-149
-152
-112
-257
-303
-32
-110
-73
-12
-56
-261
12
7
83
-30
-25
-113
5
-253
246
397
52
-115
236
68
-19
13
-246
-11
561
-150
404
-277
-69
-139
81
-99
-170
168
118
-109
100
14
244
-75
53
-29
202
-72
-128
-76
71
65
-71
-75
-68
-100
-100
-48
На рис. 6.1 показана сходимость коэффициентов а\ (*'=1, 2, ..., т) в
функции числа N, определяющего номер последовательности (5.78).
Из анализа результатов следует, что сходимость метода статистических
испытаний при определении оценок вектора Z достаточно высокая для
существенных случайных факторов. Несколько хуже сходятся оценки вектора Z для
факторов, мало влияющих на рассеивание фазовой координаты Ах.
Расчеты проведены на ЦВМ типа М-220 и позволяют сделать выводы
о влиянии отдельных случайных факторов на рассеивание координаты Ал: и
необходимости их учета при проведении исследований для данного класса
процессов. В табл. 6.7 приведены числовые значения вклада первых четырех
линейных членов разложения в числовое значение дисперсии координаты Ал: в
абсолютных значениях и в процентах.
234

<*i
300
200
100
-0.5a*
<*з
/
-ав
-a»
^300l
-aj,
J*w
-a,2
-<*t*j
m
125
m
127
128
— ■ 4». l—У
129
130 \ 131 /H
Рис. 6.1. Изменение коэффициентов в at (t) (/ = 1, 2,..., 14) в
функции числа элементов выборки
Таблица 6.7
з 4
а]- 10» 4,75 0,49 1,09
0,176
а2 [Л*]
% 76,6
7,9 17,6
2,8
Данные табл. 6.6 и 6.7 говорят о том, что первые четыре случайных
фактора в линейной модели определяют с точностью до 0,5% дисперсию координаты
Ах. Остальные случайные факторы практически не влияют на описанный
уравнениями (6.1.1) процесс снижения летательного аппарата.

ГЛАВА 7
ЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ
УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
§ 7.1. Оптимизация процессов управления движением
летательных аппаратов
Рассмотренные выше задачи анализа рассеивания
кинематических параметров траекторий движения летательных аппаратов
в плотных слоях атмосферы являются составной частью процессов
статистической оптимизации алгоритмов управления их
движением.
В примерах 5.1 и 5.2 были рассмотрены линейные алгоритмы
управления, обеспечивающие компенсацию отклонений
кинематических параметров движения летательных аппаратов от их
опорных значений. Принципиально алгоритмы могут быть и
нелинейными функциями рассогласований фазовых координат X. Задача
синтеза структуры и параметров алгоритма управления AU(X)
может быть сформулирована как вариационная задача [43, 59, 74]
минимизации некоторого заданного критерия качества [19, 32, 33,
43, 67, 79] при наличии связей в виде дифференциальных
уравнений (5.2).
Однако в большинстве практических задач управления
движением летательных аппаратов не удается решить задачу синтеза
алгоритмов управления (задачу определения оптимальной
структуры и параметров управляющих воздействий) с использованием
необходимых и достаточных условий оптимальности
функционалов [74] в силу сложности или громоздкости известных
формализации. Чаще всего с помощью формализации вариационных
методов удается указать лишь класс функций, к которым относится
структура оптимального управления.
В ряде практических задач управления в силу специфики
процессов управления и исполнительных устройств систем управления
или состояния техники реализации оптимальных управлений
ограничивается класс функций, в котором ищется оптимальное
управление. Поэтому одним из распространенных подходов к
построению удовлетворяющих практику алгоритмов управления является
подход, основанный на прямых методах решения [43, 59]. Суть
последних сводится к следующему. Задается класс искомых функ-
236

ций (зависимостей управляющих воздействий от рассогласований
фазовых состояний процесса), полностью определяемых конечным
набором параметров (коэффициентов), и вычисляются числовые
значения параметров (коэффициентов) из условия обеспечения
экстремального значения критерия качества процесса на
допустимом множестве искомых параметров. Математически эти задачи
формулируются так.
Задача 7.1. Требуется найти экстремум (для определенности
будем считать минимум) критерия качества
/«/(*!,*„...,*,) (7.1)
на открытом множестве Q* параметров fti, £2, ..., ka, если
критерий качества (7.1) вычисляется на решениях системы
дифференциальных уравнений
*i = Л(*ь *з,. •., хЯ9 Д«ь Да2|..., Диг, 6Ь..., SJ, (7.2)
*i ('о) в ■*/.<>• Св 1,2,...t л).
а управления Диь Д«2,..., Д иг определяются зависимостями
Ди; = Да, (Д*,(*). */; ' = К 2Э.. .,/*;/ = 1,2 s). (7.3)
В сформулированной задаче 7.1 критерий качества (7.1) обычно
задан в форме
/(*i, ku..., А,) = Af [Ф (А*, (/), Да,, кл i = 1,2 л;
у = 1,2,..., г; /=1,2,..., 5], (7.4)
так как решения уравнений (7.2) являются стохастическими в силу
случайности возмущений gi(f), Ы0> •••> 6т(0-
Задача 7.2. Требуется найти экстремум критерия качества (7.1)
на замкнутом множестве Qk параметров ku k2, ..., ks, если
критерий качества вычисляется по формуле (7.4) на решениях
системы нелинейных дифференциальных уравнений (7.2), а
управления заданы в форме (7.3).
Множество QK обычно задается пересечением двух множеств
определяемых следующим образом. Множество QJP
является множеством параметров k\, k2, ..., ks, определяемых
ограничениями вида:
К<К<К, (7.5)
где /(={&i, &2> • ••> ka)—5-мерный вектор искомых
(оптимизируемых) параметров; К, К — векторы числовых значений,
определяющих диапазон изменения оптимизируемых параметров.
Множество Qy задается ограничениями вида:
Q(*i, **,..., *,)<Q°, (7.6)
где^ Q° — /-мерный вектор заданных числовых значений; Q —
/-мерный вектор заданных функций от оптимизируемых параметров.
237

Функции Qj {ki\ /=1, 2, ..., s) вычисляются на решениях
системы дифференциальных уравнений (7.2) и заданы в форме
Q(K) = M [0(Дл„ Ли,., kt), /' = 1,2,. •., я; У = 1, 2,..., г;
/ = 1,2,...,*]. (7.7)
Итак, в задачах оптимизации систем управления динамических
процессов критерий качества (7.4) и ограничения (7.7)
вычисляются в общем случае на решениях нелинейных стохастических
дифференциальных уравнений, что, естественно, приводит к
неявной зависимости критерия качества (7.1) и ограничений (7.6) от
оптимизируемых параметров (вектора К).
Поэтому не представляется возможным заранее указать или
определить класс функций, к которому относятся рассмотренные
функции 1(К) и Q(K). Можно лишь отметить, что задача 7.1
относится к классу задач отыскания экстремума неявной функции
многих переменных. Задача 7.2 относится к классу задач
нелинейного программирования с нелинейной зависимостью от
оптимизируемых параметров как критерия качества (7.1), так и
ограничений (7.6).
§ 7.2. Методы поиска экстремума функций многих переменных
Существует достаточно много методов, алгоритмов и приемов
решения задачи поиска экстремума функций многих переменных
как с учетом ограничений [37], так и без них [61, 71].
Большинство из них основано на определенных гипотезах о структуре
функции /(/С). Одной из распространенных является гипотеза об
унимодальности оптимизируемой функции на множестве параметров QK.
По существу предположение об унимодальности критерия
качества 1(К) в задачах 7.1 и 7.2 нельзя обосновать без
предварительного изучения оптимизируемой функции путем вычисления
критерия качества в ряде точек на множестве Qk- Процесс вычисления
критерия качества при заданном числовом значении вектора К
будем называть экспериментом.
Методы поиска экстремума критерия качества 1(К) должны
учитывать отсутствие априорной информации о структуре
исследуемой функции, ее унимодальности, однозначности или много-
эстремальности и т. д. Кроме того, в алгоритмах оптимизации
критерия качества 1(К) не последнюю роль играют методы учета
возможных ошибок в проведении эксперимента (при вычислении
критерия качества аналитическими методами или численными
методами с использованием аналоговых или цифровых
вычислительных машин).
Суммируя сведения о поиске экстремума функций многих
переменных, можно привести удобную для изложения методов и
алгоритмов численной оптимизации классификацию, представленную
на рис. 7.1. В соответствии с предлагаемой классификацией все
238

методы поиска экстремума функций многих переменных можно
разделить на три большие группы:
1) методы случайного поиска;
2) детерминированные итерационные методы поиска;
3) комбинированные методы, сочетающие детерминированные
методы со случайным поиском.
Применительно к рассматриваемому классу задач методы
случайного поиска наиболее предпочтительны в силу отсутствия
априорной информации об оптимизируемой функции. Однако
достаточно большое число экспериментов, при котором достигается
экстремум оптимизируемой функции, ставит под сомнение их
применение в практических задачах оптимизации процессов
управления.
Детерминированные итерационные методы позволяют в
наибольшей степени уменьшить число экспериментов при поиске
экстремума заданной функции. Отсутствие априорной информации
об одноэкстремальности исследуемой функции не позволяет
утверждать, что найденный оптимум является абсолютным.
Отличительной особенностью детерминированных итерационных,
методов является тот факт, что для поиска локального экстремума
функции ЦК) выбирается начальная точка К = /С(0) в
пространстве параметров Q^. Различные способы изучения поведения
функции 1(К) в окрестности точки /С(0) и глубина этого изучения и
лежат, по существу, в основе всех методов и алгоритмов
детерминированного поиска. Названные признаки положены и в основу
классификации детерминированных методов (рис. 7.1).
Для выяснения вопроса о единственности найденного с
помощью детерминированных методов поиска экстремума
функции 1(К) на множестве параметров QK могут использоваться
два типа алгоритмов. Один из них связан с детерминированным
разбиением множества QK на подмножества w(;), (/=1, 2, ..., N)y
принадлежащих множеству Q^, и поиском экстремума на каждом
из подмножеств. Второй путь может быть связан с
комбинированием методов детерминированного поиска и случайным выбором
начальной точки /С = /С(0) с построением границ исследуемого
подмножества параметров со^ в целях исключения его из
дальнейшего исследования.
Среди детерминированных методов поиска можно выделить
четыре группы методов, различающихся глубиной изучения
структуры критерия качества /(/С):
— методы перебора;
— метод Гаусса — Зайделя;
— методы, основанные на локальном представлении критерия
качества аппроксимирующими гиперповерхностями заданного
порядка;
— методы, связанные с аппроксимацией критерия качества на
заранее выбранном подмножестве оптимизируемых параметров
аппроксимирующими гиперповерхностями заданного порядка.
239

Методы поиска экстремума функций многих переменных
1
Случайный поиск
1
1
1
Комбинированные методы
поиска
Детерминированное
направление со случайным
1 поиском вдоль него
• Случайное направление
с детерминированным
поиском вдоль него
Случайный поиск с
последующей аппроксимацией
результатов
гиперповерхностей
1
Метод
перебора
i
Детерминированные методы поиска
1
I
Метод
Гаусса—Зейделя
1
1
Методы поиска,
экстремума функций одной
переменной
1
Методы, основанные
на построении
гиперплоскости
^
i
Методы
локальной
аппроксимации
1
1 1
Алгоритмы
без „памяти"
1
1
Методы, основанные
на построении
гиперповерхностей второго
порядка
1
Метод
аппроксимирующих
полиномов
1
1
Алгоритмы
с „памятью*
1
| Методы, основанные
1 на построении гипер-
1 поверхностей порядка
выше второго
Метод наискорейшего
спу
ска
1 1
Метод градиента
1
Метод дифференци-
алопмд j^atmcnrm
Рис. 7.1. Классификация методов поиска экстремума функций многих переменных

Методы перебора связаны с выделением на множестве Як
параметров ряда точек, в которых производится эксперимент.
Сравнение числовых значений критерия качества 1(К) в каждом
из экспериментов позволяет выделить по крайней мере
подмножество параметров, где находится искомый экстремум. Это
утверждение справедливо, очевидно, для класса унимодальных
функций. Эффективность методов перебора в случае произвольного
класса оптимизируемой функции значительно уменьшается, так
как в этом случае может значительно увеличиться число узлов на
множестве Як параметров, в которых необходимо произвести
эксперимент. Так как границы множества 2^ в задаче 7.1 чаще всего
точно не определены, то методы перебора связаны со
значительным числом экспериментов и их применение в настоящее время
вряд ли целесообразно. Следует отметить, что в отдельных
многоэкстремальных задачах с наличием экстремумов одинаковой
величины 1(К) методы перебора могут быть единственными методами
определения всех экстремумов.
Метод Гаусса — Зайделя связан с исследованием критерия
качества в плоскости одного параметра ki при фиксированных
числовых значениях остальных параметров элементов вектора К.
Достоинство метода Гаусса — Зайделя перед методом перебора
заключается в исследовании структуры критерия качества в
плоскости одного параметра, так как он сводит процесс
многопараметрической оптимизации к однопараметрической, т. е. к поиску
экстремума функции одной переменной и связан с двумя
алгоритмами.
Первый из них требует знания диапазона изменения каждого
оптимизируемого параметра, т. е. границ множества 2J.P. При
этом на заданном множестве Я^ исследуется с использованием
метода перебора сечение критерия качества: выясняется характер
функции в рассматриваемом сечении, определяется число
экстремумов и т. д. Во втором случае используются поисковые
алгоритмы из начальной точки kf\ Определенный локальный
экстремум используется в качестве первого приближения по
параметру k{ при исследовании функции по другим параметрам.
Чаще всего применяется метод Гаусса — Зайделя при
небольшом числе оптимизируемых параметров (s^5). Применимость
метода Гаусса — Зайделя при большом числе параметров связана
со значительным числом экспериментов и при большой стоимости
каждого эксперимента вряд ли может быть оправдана.
Значительное распространение в практике поисковых методов
получили алгоритмы, связанные с локальной аппроксимацией
исследуемой функции гиперповерхностями заданного порядка
в малой окрестности выбранного в качестве начального
приближения вектора К = К{0). По существу эта группа методов и
алгоритмов связана с изучением структуры критерия качества только
в е-окрестности начального приближения вектора АГ(0). В свою
1/48 Заказ 1910
241

очередь отличия алгоритмов и методов, связанных с локальной
аппроксимацией критерия качества, заключается в глубине
изучения поведения критерия качества в е-окрестности пространства
параметров ЛГ(0). Можно выделить три группы алгоритмов,
объединенных общими подходами к процессу поиска:
1) методы построения гиперплоскости в пространстве
параметров 2^., проходящей через точку /С(0);
2) методы построения гиперповерхности второго порядка,
проходящей через точку
3) методы построения гиперповерхности выше второго
порядка, проходящей через точку Л^0).
Целесообразность подобного разделения связана с
алгоритмами использования полученной информации о поведении
оптимизируемой функции в окрестности точки К{0. Объединяет
рассматриваемую группу методов тот факт, что в точке К = К
строится ряд Тейлора вида
:{Кт + Д/С) = / (/С(0)) 2 -щг (К(0)) Д*г +
д1
Г-1
+ 2 2d dktdk; A*^> + • ' ' + /! 2d dktdki ...dfci X
ХДЛ,Д*У...АА„ (7.8)
где
Ь^ = kt- Щ
(0)
Очевидно, что построение ряда (7.8) при достаточно большом
числе его членов связано с большим числом экспериментов или
громоздкими расчетами по вычислению частных производных:
dl_ _т_ дЧ «</<v< -12 s)
dkt ' dkidkj' dfcfikjdk^ '" ' Kl ^J ^ ^' *' ~ 1,z' ' * *» *>'
Использование линейной части ряда (7.8) в форме
?[Кт+ LK) = / (К(0)) + 2 -щ (***) А*< <7-9>
позволяет установить только направление в пространстве
параметров 2^, в котором уменьшается критерий качества /(/С). Для
поиска экстремума в данном направлении могут использоваться
известные методы и алгоритмы (рис. 7.2):
— метод наискорейшего спуска;
— метод главных компонент градиента и другие методы,
которые сводят задачу многопараметрического поиска к задаче одно-
параметрического поиска экстремума функций вдоль направления
градиента критерия качества в точке ЛГ= /С(0).
242

Методы поиска экстремума функции одной переменной
J
Случайный
поиск
J
Метод
целенаправленного
перебора
I
Метод
дихотомии
1
Метод
золотой
сечения
[
1
Детерминированные методы
i
1
Методы анализа
отрезков
неопределенностей
Ф
I
Метод
фибонации
V
Метод квадратичных
полиномов
N
Методы приближения
функций кривыми
порядка
выше второго
V У
1
Метод
Ньютона
1
Метод
парабол
I
Метод
квадратической
аппроксимации
\
/ ^^
1
Метод

дифференциальных уравнений
Рис. 7.2. Классификация методов поиска экстремума функций одной переменной

Использование квадратичной модели [36] для критерия при
трех членах ряда (7.8):
/><о>+а*) . / (*«) + 2 жг (*(0)) to - *<0)) +
/ = i
+ ^2тЙ7-^-^)(^-^). (7Л0)
решает задачу отыскания градиента и определения величины
шага в пространстве параметров.
Необходимые условия минимума выражения (7.10) дают
систему линейных алгебраических уравнений для определения
величины нового приближения вектора К в пространстве параметров
^П+Д^^Н*,-*)-* (7.11)
И, наконец, нелинейные модели критерия качества с числом
членов ряда (7.8) больше трех дают более полное представление
о поведении функции 1(К) в е-окрестности точки /С=/С(0), однако
их использование не дает такого эффективного алгоритма для
поиска нового приближения вектора К в пространстве
параметров UK, как разложение (7.10) второго порядка. Для поиска
вектора параметров очередного приближения требуется использовать
либо метод дифференциальных уравнений, либо методы поиска
экстремума заданной в явной форме функции от оптимизируемых
параметров. Метод дифференциальных уравнений является по
существу методом наискорейшего спуска с малым шагом и
заключается в отыскании установившегося процесса, описанного
дифференциальными уравнениями
ЧГ-^Ж (/-1.2,....*), (7-12)
где / — модель критерия качества, К{ — коэффициенты
пропорциональности.
Решение уравнений (7.12) на ЦВМ не вызывает серьезных
затруднений, поэтому принципиально нелинейные модели выше
второго порядка могут быть использованы при поиске экстремума
функции многих переменных, если их построение возможно.
Следует сразу отметить, что успех процедуры поиска
экстремума функций многих переменных с помощью локальных
нелинейных моделей в значительной степени зависит от чистоты
проведения экспериментов для определения частных производных
разложения (7.8).
Второй особенностью в применении методов локальной
аппроксимации является требование унимодальности функции /(/С), так
244

как наличие даже незначительных высокочастотных
колебательных составляющих у оптимизируемой функции приведет к
неустойчивости алгоритма поиска экстремума.
От недостатков методов поиска с локальной аппроксимацией
функции можно избавиться, используя группу методов, связанных
с аппроксимацией функции 1(К) на заданном множестве (o<J>.
Отличием методов поиска с аппроксимацией критерия на
множестве ©(Л от методов поиска с локальной аппроксимацией ее
в е-окрестности точки /С(0) является то, что в этом случае вместо
разложения (7.8) функции 1(К) в окрестности точки К{0) ставится
задача наилучшего приближения функции 1(К) полиномом
заданной степени
7=а0+2а^+ 2 *№fikj (7.13)
<*<Л
из условия обеспечения наименьшего значения, например,
интегральной квадратичной ошибки подобного представления
У= j £2(Д/О^ДАГ, (7.14)
где
г(ДАГ)=/(Д/0-/(Д/0. (7Л5)
В остальном методы решения задачи поиска экстремума
функции 1(К) по ее модели 1{К) аналогичны вышеуказанным при
использовании локальных аппроксимаций с линейными и
нелинейными моделями критериев качества.
Может возникнуть вопрос о необходимости выделения методов
аппроксимации функции 1(К) полиномом 1(К) на множестве co(j)
в самостоятельную группу методов. На этот вопрос трудно
ответить однозначно. С одной стороны, вычислительные аспекты этой
группы методов существенно отличаются от вычислительных
аспектов методов локальной аппроксимации. В первом случае для
построения ряда (7.8) можно использовать или функции
чувствительности критерия качества по оптимизируемым параметрам [50]
или формулы разностей для приближенного вычисления частных
производных. Во втором случае основным аппаратом для
построения аппроксимирующих полиномов служит метод наименьших
квадратов (интегральный или точечный), решающий как задачу
вычисления требуемых коэффициентов регрессии полинома (7.13),
так и задачу сглаживания «неровностей» функции / (К).
Кроме указанного отличия, методы аппроксимирующих
полиномов позволяют использовать в полной мере «предысторию»
процесса поиска экстремума, чего нельзя сказать о методах
локальной аппроксимации. Подобные алгоритмы не могут быть
9 Заказ 1910
245

применены в методах локальной аппроксимации. Названные
различия достаточно существенны для того, чтобы выделить метод
аппроксимирующих полиномов в самостоятельную группу методов
поиска экстремума.
С другой стороны, и в одном и в другом случае имеем дело
с приближенным представлением критерия качества рядом
Тейлора (7.8) или аппроксимирующим полиномом (7.13), по форме
не отличающихся друг от друга. Это подобие по форме
отличающихся по содержанию представлений (7.8) и (7.13) может вызвать
возражение при выделении методов аппроксимирующих
полиномов в самостоятельную группу методов. Так как изложение
методов и алгоритмов по приведенной классификации представляется
более предпочтительным, можно принять решение о
предоставлении методам аппроксимирующих полиномов автономии в
классификации методов поиска экстремума функций многих переменных.
§ 7.3. Методы вычисления частных производных
для статистических характеристик стохастических процессов
При оптимизации стохастических процессов, описанных
нелинейными уравнениями:
** = /i (*i, *2,• - -• хя% t, ku ft2f.. •, *„ Vu *>2, •.., vm\
M'o)=*M V = l&-..,n),t£[t09T], (7.16)
одной из серьезных проблем вычислительного характера является
проблема расчета частных производных ряда Тейлора (7.8) для
оптимизируемого критерия 1(К).
Критерии качества чаще всего могут быть двух типов
- г
f Ф(*„ t)dt
.о
l2 = M[<b(xhT)].
Л = М
(7.17)
(7.18)
Определим частные производные критериев (7,17) и (7.18) по
параметрам управления ku k2i..., k8. Будем иметь
г
+ф«
ль
dk
_».
dk
Г 1 V дФ dxi
) — dxi dkl
О U = l
l- м\ v JLiaa- —
i .Z dxt dkt ^ dki
Ui M\c\ v ** дх- дх)
pK ~ J \ 2d dxidxj dki dfev
(/ = 1,2,..., s);
(7.19)
(7.20)
dkfa
+
(7.21)
246

dki ЭК + "aftfdftv +
«ЭА^А
+
V
/г
2
/ = 1
1
дФ
dxt
Zd д:
#>.*; 1
dkdkv
J
(*<v = l,2,...,s), (7.22)
dxt d2Xi
где "3JT • dk dk частные производные решении нелинейных
стохастических уравнений (7.16).
Для вычисления частных производных первого -gjf-> второго
д2х-
dkdlk и более высокого порядка для решений нелинейных
уравнений (7.16) можно воспользоваться дифференциальными
уравнениями чувствительности. Так, система дифференциальных
уравнений чувствительности первого порядка для уравнений (7.16)
имеет вид
dt \dki)~" 2d dxj dkt "*" Mi ' K }
Частные производные второго порядка для решений
нелинейных уравнений можно вычислить с использованием следующей
системы дифференциальных уравнений
d /**/<0\ v dft &*i d2fi
dt [ dktdk^ ) 2d dxj dkfik^ ^ dk{dk^ ^
JL Л2/. дх; дх„
+ 2 4fe^^ (/.^-1,2,....*), (<-1,2,...,»). (7.24)
p, ;=i
Системы дифференциальных уравнений для определения
частных производных более высокого порядка можно составить по
аналогично описанному выше алгоритму.
Введя обозначения
WW = -^W~ ('=1.2,..., я; / = l,2,-..,s);
WU О = TS^f (A l = 1Д- ' •' S] l = 1Д' ' •' й)' (7'25)
9* 247

системы уравнений (7.23) и (7.24) можно представить в
следующей форме:
ii(Oa 2M')«J+*i (0 (* — 1,2 л), (/— 1,2 s),
л л
Wb(0= 2а*>*^+ 2 *Ww?+&(') (/=1,2,...,/г;
/, v=l,2...,s), (7.26)
где обозначено
£{=-*! \\ = *Л (7 27)
Если начальные системы уравнений (7.16) не зависят от
параметров ku k2f..., kS9 то начальные условия систем уравнений (7.26)
нулевые:
w\(t0) = wl(t*) = 0 (i = 1,2 /г), (/, v = 1,2,..., s).
Выражения (7.27) являются случайными функциями
возмущающих воздействий, поэтому системы дифференциальных
уравнений (7.26) являются системой стохастических уравнений.
Подставляя обозначения (7.25) в выражения (7.19) —(7.22),
получим
u-*[,i1£-i<r>+iS£l]<'-,A--*>i
/ = i
(/, v = l,2,...,s);
+
+ 2т?ж!-<г>1 с.'-1-2 s>- <7-28)
1=1 l J
248

Интегрированием системы дифференциальных уравнений (7 16*
совместно с системами дифференциальных уравнений
чувствительности (7.26) на заданных реализациях вектора случайных факторов
можно получить реализации решений Хг (t9 V) и реализации
функций чувствительности w\ (t, V), wlu (ty V).
Обработав необходимое число реализаций названных функций
одним из методов статистического анализа нелинейных систем
уравнений, можно вычислить по формулам (7.28) требуемые
частные производные от математических ожиданий исследуемой
функции Ф или интеграла от нее для формирования ряда Тейлора (7.8).
В целом использование дифференциальных уравнений
чувствительности является достаточно эффективной процедурой, однако,
при ее реализации могут возникнуть некоторые затруднения.
Во-первых, для получения дифференциальных уравнений
чувствительности необходимо провести большую предварительную
работу. Во-вторых, дифференциальные уравнения чувствительности
имеют большую размерность системы.
В табл. 7.1 и 7.2 приведены числовые значения размерности
системы Nr для моделей чувствительности первого и второго порядка
соответственно в функции порядка исходной системы
дифференциальных уравнений «/г» и размерности «5» вектора оптимизируемых
параметров /С.
Таблица 7.1
Размерность системы
дифференциальных уравнений для
вычисления частных производных
первого порядка
Таблица 7.2
Размерность системы
дифференциальных уравнений для
вычисления частных производных
второго порядка
п
1
5
10
15
20
S
1
2
10
20
30
40
5
6
30
60
90
120
10
11
55
ПО
165
220
15
16
80
160
240
320
20
21
105
210
315
420
п
1
5
10
15
20
S
1
4
20
40
60
80
5
66
330
660
990
1320
10
409
2 045
4 090
6135
8 180
15
1271
6 355
12710
19 065
25 420
20
2911
14555
29110
43665
58 220
Числовые значения, приведенные в табл. 7.1 и 7.2 для
иллюстрации большой размерности системы дифференциальных
уравнений, рассчитывались по формулам, приведенным в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Формулы для расчета размерности дифференциальных
уравнений для частных производных решений
d
Nr
1
n(s+\)
2
n(s* + Ss + 2)
2
3
n(2s3-b<?2-f 135 + 6)
6
249

Там же приведена формула для расчета размерности системы
дифференциальных уравнений для частных производных третьего
порядка.
Естественно, при большой размерности исходной системы
(п>5) уравнений (7.16) и значительной размерности вектора
оптимизируемых параметров (s > 5) порядок системы
дифференциальных уравнений чувствительности для моделей третьего порядка
представляет собой внушительную цифру (Afr>330). Из
сказанного становится очевидным, что интегрирование уравнений
чувствительности третьего порядка представляет серьезные
затруднения даже для современных ЦВМ. Несколько лучше обстоит дело
с моделями чувствительности второго порядка (см. табл. 7.2).
Однако и при этом уже для s > 10 и п > 5 порядок системы
уравнений, которую необходимо интегрировать для получения функций
чувствительности первого и второго порядка также превышает
число iVr = 330.
Приемлемая размерность системы дифференциальных
уравнений получается только для моделей чувствительности первого
порядка. Поэтому для построения моделей критериев качества вида
(7.17) и (7.18) можно воспользоваться линейной моделью
разложений решений нелинейных уравнений (7.16) в ряд Тейлора по
приращениям оптимизируемых параметров Д/гь Д/г2,..., Л&3:
xt (t, К{0) + А*) = xt (t, K(0)) + У w\ (t, К{0)) Д*„ (7.29)
i = i
где
,(.о)
Ak, = kt-kr, (l=\,2,...,s).
Подставляя линейную модель решения (7.29) в выражения для
критериев качества (7.17) и (7.18), получим
Л
= М Ч Ф L (t, К<°>) +^w\ (*, Ki0)) ДлЛ dt\,
/2 = м Гф L [t, кт) + 2«"' ('. ^(0)) Щ • (7-3°)
Используя разложение выражений (7.30) в ряд Тейлора по
приращениям параметров А/гг (/=1, 2,..., s), можно получить
приближенное представление для ряда Тейлора (7.8).
Пример 7.1. Для иллюстрации сказанного рассмотрим процесс получения
разложения (7.8) с линейной моделью решений для критерия качества вида
т
1Х = М1\ {X* QX + U*CU) dt (7.31)
6
при линейном управлении
U = К*Х (К — вектор-столбец). (7.32)
250

Подставляя выражение (7.32) в критерий (7.31), получим:
Т
где
\
J X*DXdt |, (7.33)
D=Q + KCK*.
Так как
X (*, АК) = X (*, К{0)) + w (*, К{0)) ДК,
К = /С(0> + А/С,
то будем иметь
Л = л*
( {(X (t, K{0) + w (/, Ki0)) А/С)* (D<°> + 2U<CK(0) +
+ aa:ca/<*) (л* (*, к(0)) + »(г, к(0)) д/с)} л
(7.34)
Легко видеть, что после проведения всех преобразований, получим под
знаком интеграла полином четвертой степени относительно элементов вектора Д/(.
Описанный прием формирования локальных разложений математических
ожиданий некоторых функций Ф в ряд Тейлора успешно использован в ряде работ
[36, 62] при оптимизации линейных и нелинейных стохастических процессов
управления.
Идея использования линейной модели разложений решений
нелинейных уравнений (7.16) в ряд Тейлора является достаточно
плодотворной, так как позволяет вычислить необходимые для
построения ряда (7.8) только дифференциальные уравнения
чувствительности первого порядка w\(t)y что может значительно
сократить объем предварительной работы по получению уравнений
чувствительности (7.26) и объем вычислений. Оценку эффективности
рассмотренной идеи произведем для случая построения
квадратичной модели критерия качества. При использовании формул (7.28)
необходимо исследовать -y(s2+-2s +2) уравнений; при
построении линейной модели (7.29) число требуемых уравнений
уменьшается до п (5+1), т. е. число требуемых уравнений уменьшается
5 + 2
В ^г = —2— Раз'
Однако при описанном подходе функция Ф должна быть
функцией выше первого порядка от фазовых координат исследуемого
процесса, описанного уравнениями (7.16).
Выше рассмотрен точный метод вычисления частных
производных разложения (7.8). Искомые частные производные первого
порядка могут быть вычислены и с использованием приближенных
формул разностей, например,
д1 _/(/c<0U<°> + a*,)-/(a:<°>) „ лп
251

Для приближенного расчета частных производных второго
порядка можно воспользоваться различными формулами,
основанными на различном планировании эксперимента [42, 44]. Для
примера рассмотрим случай планирования эксперимента по схеме,
а)
i-Akj
-X
-Д*7
**j*
А*7
Aki
-*
I
I
б)
-
4
a*j|- "
2лкЛ
\
Akj
&h
Uht
д
Рис. 7.3. Схема планирования экспериментов для определения частных
производных
представленной на рис. 7.3 а. Обработка результатов по схеме дает
следующие расчетные формулы для вычисления частных
производных
н _/(*}«>+ а5)-/И0)-Ц)
dkt ~ 2ДЛ4 ♦
94 /К> + Л1г)+/И0>-Д1<)-2/(^))
дк\
2Д**
дЧ +/(jtf+ A*y)-3/(*W)
dkidkj AfyAfy
(i<y = 1,2,..., s).
(7.35)
В настоящее время планирование эксперимента для
вычисления частных производных производится до начала процесса
вычислений, т. е. производится жестко и не меняется в процессе
оптимизации в зависимости от поведения исследуемой функции. Это
вызвано в основном желанием производить расчеты частных
производных по конечным формулам.
По аналогии с рис. 7.3 а можно составить и другие схемы
планирования эксперимента для вычисления приближенных значений
частных производных критерия качества и ограничений (рис. 7.3 6).
Для планирования экспериментов, представленных на рис. 7.3 6
252

расчетные формулы для вычисления частных производных пеового
и второго порядков имеют вид: v
dl /(*}°>+ **,)-/(*?>>)
Ml (fe<°> + 2A*,) - 2/ (kf) + &*,)+/ (*<°>)
Для решения задачи вычисления оценок частных производных
можно использовать и методы оптимального планирования
эксперимента [42, 77], достаточно хорошо разработанные для решения
задач многофакторного анализа.
Минимальное число экспериментов, необходимое для
вычисления частных производных первого и второго порядка для критерия
качества при использовании формул разностей равно
Np =
s2 + 3s + 2
и приведено в первой строке табл. 7.2.
В каждом из экспериментов необходимо интегрировать только
исходную систему дифференциальных уравнений (7.16) столько
раз, сколько требует процедура вычисления статистических
характеристик (7.17) или (7.18). Слабым местом разностной схемы
вычисления частных производных_является неопределенность выбора
приращений коэффициентов Aki от выбранного начального
приближения. При этом обычно пользуются зависимостью
A^<0,U|0), (*-l,2,...,s). (7.37)
Сравнивая два описанных подхода к решению задачи
получения локальных представлений критерия качества в окрестности
точки АГ(0) в виде ряда Тейлора, можно сделать некоторые выводы.
При малых числах s и п (s, n ^ 5) для вычисления частных
производных первого и второго порядка целесообразно
пользоваться уравнениями чувствительности, так как при совместном
интегрировании дифференциальных уравнений чувствительности
с исходной системой уравнений за счет общих вычислительных
операций численного интегрирования дифференциальных
уравнений время получения частных производных меньше, чем при
использовании разностных методов для решения этой же задачи.
Покажем это. Время решения рассматриваемой задачи
разностными методами можно определить формулой
tp = Nptu
253

а время решения системы уравнений чувствительности равно
, _ 1 ^-NTn
lr — п + 1 tiKn-
В этих формулах обозначено: t\ — время решения (п+1)-го
исходного уравнения; N* — число экспериментов; п — порядок
исходной системы уравнений без учета дифференциального
уравнения для независимой переменной (/=1); kon — коэффициент общих
операций.
Вычислим отношение
h тц , я 4-1
Ч = — = J-> ™е \ = Г" •
г оп п 4-
Np
Коэффициент общих операций kon зависит от сложности правых
частей уравнений чувствительности и изменяется обычно в
диапазоне £0п=0,6-т-1,1.
Числовые значения для \ и \ приведены в табл. 7.4.
Таблица 7Л
Коэффициент эффективности разностных методов
S
1
3
4
5
10
NP
3
10
15
21
66
Ч/ 1 V
п
1 | 2
1,50
1,82
1,86
1,93
1,99
1,29
1,42
1,44
1,46
1,50
3 | 4
1,20
1,29
1,30
1,31
1,33
1,15
1,22
1,22
1,23
1,25
1
1,86
2,26
2,32
2,41
2,50
2
1,62
1,76
1,80
1,83
1,87
3
1,50
1,61
1,63
1,64
1,67
4
1,44
1,51
1,52
1,55
1,57
Из табл. 7.4 следует, что использование моделей
чувствительности для определения частных производных разложения (7.8)
тем эффективнее, чем больше оптимизируемых параметров в
исследуемой системе и чем меньше размерность исходной системы
уравнений (7.16).
При выборе метода вычисления частных производных
разложения (7.8) следует учитывать как преимущества моделей
чувствительности (в смысле затрат машинного времени), так и их
недостатки (значительная громоздкость в получении моделей
чувствительности), а также преимущества разностных методов, связанных
с интегрированием только исходной системы дифференциальных
уравнений, и другие практически важные критерии.
При оценке эффективности двух методов получения
разложения (7.8) с точки зрения стоимости процесса решения
поставленной задачи можно получить результат, противоположный
приведенному в табл. 7.4.
254

Для одного и того же процесса оптимизации с использованием
двух вышеописанных схем вычисления частных производных
стоимость решения может быть определена следующим соотношением:
^ — апод*под "г апр*пр "Т аотл*отл г ар*р>
(7.38)
где аПод, аПр, а0тл — коэффициенты, характеризующие стоимость
одного часа работы по подготовке, программированию и отладке
программы на ЦВМ; ар — стоимость одного часа работы машины
с учетом стоимости часа работы оператора; /под — время подготовки
задачи к программированию (часы), /Пр — время
программирования (часы); /0тл — время отладки задачи (часы); tv — время
решения задачи на ЦВМ (часы).
Предположим, что время каждой операции пропорционально
числу дифференциальных уравнений, которые приходится
интегрировать при проведении процесса оптимизации. В табл. 7.5
приведены все необходимые для проведения расчетов формулы.
Таблица 7.5
Формулы для вычисления времени подготовки, программирования, отладки
и решения задачи
Обозначения
Методы теории чувствительности
Разностные методы
пр
2 + п (s2 + 3s + 2)
Рпод 2
2 + п (s* + 35 + 2)
Рпр 2
Q 2 + n(s2 + 3s + 2)
"ОТЛ 2
2 + п (s2 + 3s + 2)
*lnm^on
2(я + 1)
аподРпод *• апрРпр "т" аотлРотл
?под("+1)
Р„р<* + 1>
S2 + 3$ + 2
*Хпш
Примечание. Через пш обозначено число этапов оптимизации.
С учетом данных табл. 7.5 выражение (7.38) для двух методов
расчета частных производных можно представить в следующей
форме:
Г г - ~ 2 + n(s2 + 3s + 2) , 2 + n(s2 + 3s + 2)
° — Т 2 г арг^оппш 2(я + 1) '
При апод=3, апр=1,5, аотл = 35, ар = 32, £под = 3, £пр = 0,5,
Ротл = 0,5, пт = 5, ^ = 0,1, kon = 0,8 рассчитаны числовые значения
255

критериев С и Ср в функции числа п и s и приведены в табл. 7.6.
В табл. 7.7 приведено отношение критерия Сг к О,
характеризующее эффективность
Сг
Таблица 7.6
Числовые значения критерия эффективности — стоимости
S
1
3
4
5
10
С
СР
л
1
200
682
1026
1438
4534
2
225
706
1049
1460
4547
3
299
1134
1422
1984
6196
4
419
1386
2077
2907
9126
1
106
170
298
394
1114
2
134
198
326
422
1142
3
162
226
354
450
1170
4
190
254
382
478
1198
Таблица 7.7
Числовые значения коэффициента цс
S
1
3
4
5
10
л
1
1,89
4,01
3,44
3,69
4,07
2
1,69
3,56
3,21
3,46
3,99
3
1,84
5,01
4,01
4,41
5,29
4
2,25
5,41
5,44
5,99
7,70
В табл. 7.8 и 7.9 для примера приведены аналогичные расчеты
при тех же коэффициентах аир при t\ = 1.
Таблица 7.8
Числовые значения критерия эффективности
S
1
3
4
5
10
Сг | СР
п
1 | 2 | 3
365
1003
1460
2008
6114
490
1470
2170
3060
9310
600
1860
2 760
3 840
11940
4
676
2132
3172
4 420
13 780
1
535
1655
2 455
3 415
10 615
2
562
1682
2 482
3 442
10642
3
588
1708
2 508
3 468
10668
4
615
1735
2 535
3 495
10695
256

Из табл. 7.7 следует, что применение формул разностей для
вычисления частных производных эффективнее с точки зрения
критерия стоимости процесса оптимизации, чем использование
дифференциальных уравнений чувствительности при /i = 0,1 час.
Таблица 7.9
Числовое значение коэффициента г\с
S
1
3
4
5
10
п
1
0,683
0,610
0,594
0,585
0,565
1 2
0,870
0,875
0,873
0,891
0,878
3
1,010
1,090
1,100
1,120
1,120
1 4
1,100
1,230
1,260
1,270
1,290
При этом коэффициент эффективности \ с ростом числовых
значений s и п значительно возрастает. Результаты табл. 7.8 и 7.9
говорят о перераспределении эффективности обсуждаемых методов
при различных значениях sun. При этом коэффициент
эффективности т]с меньше единицы при малых s и п и увеличивается с
ростом s и п.
Заметим, что данные табл. 7.6—7.9 получены при условных
значениях коэффициентов аир. Однако анализ полученных
результатов указывает на необходимость проведения
ориентировочных расчетов при планировании процесса оптимизации на ЦВМ,
так как, отдавая предпочтение тому или другому методу получения
характеристик ряда Тейлора без анализа класса задачи, можем
прийти к излишним затратам как времени, так и стоимости
процесса поиска экстремума функций многих переменных.
§ 7.4. Методы построения аппроксимирующих полиномов
В основе методов вычисления коэффициентов
аппроксимирующего полинома лежит задача наилучшего приближения
функции многих переменных полиномом (7.13) заданной степени d.
Если функция I[kv А2» •••»**) вычислена в точках k[\ &('>,...,
*i;)» (У = 1, 2,..., Ж), то имеем задачу наилучшего приближения
функции I(К) полиномом 1{К) в точках k[j\ $\..., k{J\ т. е.
задачу точечной аппроксимации [42]. Пусть критерий качества
аппроксимации имеет вид
М г ~ "12
J= ^UU){K)-IU)(K)\ ?U){K), (7.39)
где р(/)(/е(;)) — функция веса, характеризующая требования к
точности аппроксимации в заданных точках (/=1, 2,..., М).
257

При р(/С) = 1 имеем метод наименьших квадратов. Рассмотрим
таблицу планирования экспериментов для случая построения
квадратичного аппроксимирующего полинома. Для набора
коэффициентов k[ \ #2;),..., ks^ (/ = 1, 2,..., М) пусть вычислена
функция IU)[KU)] =/(У).
Таблица 7.10
Таблица планирования экспериментов
№
пп.
1
2
3
м
1 2
0 kv
1 /ef)
1 *}2>
1 *<3>
1 *<*>
3
feo
4!) •
*<2) .
«2
s + 1
*5
•• *?}
.. *f
... Af1
k2
... Jfe2*1*
... k2 <2>
... £2 <3>
... *2W
Mx + 1
/(/)
/d)
/(2)
/(3)
j(M)
Результаты расчетов помещены в табл. 7.10. Пусть М > М\
(Mi = 1 + ^ 2 ^ )• йведя в рассмотрение матрицу X, составленную
из элементов табл. 7.10 размерности МхМх (столбцы от 1 до Ми
строки от 1 до Л4), и матрицу Х*Х размерности МххМи а также
вектор Ь размерности МХ1 (столбец Afi + 1), можем записать
необходимое соотношение метода наименьших квадратов для
вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома, являющихся
элементами вектора Л (а0, аь а2,..., as, ац, а,\2>..., ass). Будем
иметь
А=[Х*Х)-гХ*Ь.
(7.40)
Из выражения (7.40) следует, что, заполнив табл. 7.10 при
проведении экспериментов, легко вычислить коэффициенты
аппроксимирующего полинома по приведенной формуле (7.40), если матрица
(Х*Х) является неособенной. Так как число членов квадратичного
полинома равно Ми то для неособенности матрицы (Х*Х)
необходимо выполнение условия М^Ми во-первых, и отсутствие
повторяющихся экспериментов, во-вторых.
При р(К)ф1 необходимо каждую /-тую строку матрицы
планирования (все элементы /-той строки таблицы 7.11) умножить на
величину ]/р( ). После этого можно воспользоваться формулой
(7.40) для вычисления элементов вектора Л.
Итак, процесс вычисления коэффициентов аппроксимирующего
полинома методом наименьших квадратов связан:
1) с проведением М^МХ экспериментов по вычислению
функции / [Kij)] и заполнением табл. 7.10;
258

ч«
2) с транспонированием матрицы X и умножением
полученного на матрицу X;
3) с обращением матрицы (Х*Х);
4) с умножением полученной обратной матрицы (Х*Х)~{ на
матрицу Х*\
5) с умножением матрицы (Х*Х)~1 X* на вектор Ь.
Все вычисления по указанной программе не представляют
серьезных трудностей при проведении расчетов на ЦВМ. В целом
метод наименьших квадратов допускает нежесткое планирование
экспериментов, т. е. выбор числовых значений коэффициентов
k\ ) (/=1, 2,..., s; /=1, 2,..., М), в отличие от формул
разностей, используемых в предыдущем параграфе. При жестком
планировании экспериментов матрица X обязательно должна быть
задана перед началом проведения «экспериментов». Не жесткое
планирование экспериментов может быть связано со случайным
выбором последовательности точек к\г) (i=l, 2,..., s), (/ =
= 1, 2,..., М), в которых производится расчет функции /(} [AT J
или с выбором последовательности точек k\ ) (j = 1, 2,..., s) из
условия, чтобы последовательность чисел /(;) (/=1, 2,..., М) по
крайней мере не увеличивалась. Это можно сделать, используя
различные схемы планирования.
§ 7.5. Метод вероятностной аппроксимации в задачах
построения аппроксимирующих полиномов
Для построения моделей критерия качества и ограничений
в алгоритмах оптимизации систем управления можно применить
метод вероятностной аппроксимации. Это станет, очевидно,
возможным, если ввести множество со приращений оптимизируемых
параметров АК и предположить, что на множестве со элементы
вектора А/С являются случайными с заданной симметричной
функцией плотности распределения вероятностей / (А/С). Тогда при
аппроксимации критерия качества / (А/С) полиномом / (А/С)с
минимизацией критерия оценки точности аппроксимации
/ = УИ{[/(Д/С)-7(А/С)П
можно воспользоваться полученными выше расчетными
формулами для вычисления коэффициентов аппроксимирующего
полинома. Так, при квадратичной модели критерия качества
7 (ДК) = а0 + J "£ki + 2 a^k^kJ
/'= 1 /, ;=.l
(Kj)
259

будем иметь следующие расчетные формулы для вычисления
коэффициентов а0, аи ац:
л» - 1 +
И**2])2
\z0-
м К] z\f
atJ-
ш[^-{мк])2;-0 Zlm[**j]-(лк])2'
zW
M[\k*]M[Ak)] С<У-1.2,...,5);
z|f)-^K]z0
I iw [д*д -(л [д*2])2 u "y " l' ' * *M ;'
z«>
a, =
1 " Ж [Д*2]
(/-l,2,...,s),
(7.41)
где
^0-Л1^[/(Д^];
ZY^MucViAJObki] (/== 1,2 s);
Zg> = M^ [/ (A*) M£kj] (i <J = 1,2,..., s). (7.42)
Формулы (7.41) при нормальном законе распределения
плотности вероятностей вектора А/С с заданными
среднеквадратичными значениями его элементов о* (i = l, 2 s) имеют вид
а0
-(1+-r)Z° 2"^"^";
« = 1
z(1>
я* = —у- (* = 1,2, ...,s);
J;
«У = <
Zg>
24
(/<y-l,2,...,s);
(/-y-l,2,...,s)
(7.43)
Особенность применения формул (7.43) при вычислении
коэффициентов а0, аи ац заключается в том, что на множестве ЙДА.
выделяется центральная точка /С<0) и все элементы вектора /С
группируются относительно ее с заданным вероятностным
распределением (речь идет о векторе Д/С). Элементы вектора А/С могут быть
260

VJ
равновероятно распределены относительно точки /С(0) на
множестве <о. Если Aki£ [—Ьи Ь{], то при AI [А*<] —0, Af [A*i] «-g-
(i=l, 2,..., s) из формул (7.41) получим следующие соотношения:
3ZP>
i=l
а, =
(/=1,2, ...,s);
% = <
9Z<2/
—^ (*<y = l,2,...,s),
3Zg>-*?Z0
46?
15 (/-У-1,2 s).
(7.44)
При равных диапазонах изменения элементов вектора АК
формулы (7.43) и (7.44) значительно упрощаются и имеют вид:
*-(l + -f)*.-TSr2*
z.o)
Л1 = -5Г (' = 1.2,..., S);
z(2)
-£- (*<y = l,2,...,s),
ац = 1
2o4
(*=/= 1,2,..., s)
(7.45)
«0 = (l + ^)Z0-^2Z"'
x ' / = 1
3Z(1)
ai = -&- (i= 1,2,..., 5);
9Z{2->
-^- (*<y = l,2,...,s),
a,,-
45Z<2>—15£2Z0
4^
(*=y=l,2...,$).
(7.46)
261

И, наконец, при нормированных элементах вектора А/С (о = 6 =
= 1) формулы (7.45) и (7.46) примут вид
*у =
a0 = (l + ^-)z0--i-2Z»;
^ ' / =1
a^Z^ (/=1,2,..., 5),
Z^ — Z
-V-2- ('=/=1,2,...,*),
г(2)
Ztf (/<y = l,2 s)
(7.47)
aU =
15
^-1 + тГ°-т2^
i = l
7(1)
a, = 3Zr (/ = 1,2,..., 5);
45Z(?> —15Z0
*4 (7 = 7 = 1,2,.
9Z}? (/<y=l,2,...,s).
s),
(7.48)
Формулы (7.47), (7.48) для вычисления коэффициентов a0, a*,
a^j аппроксимирующего полинома второй степени являются
достаточно простыми в вычислительном отношении, если известны
числовые значения величин Z0, Z\l\ Zf\ Так как вычисление
точных значений этих величин в соответствии г их математическими
выражениями (7.42) не представляется возможным, то вместо них
можно использовать их оценки Zo, Z\ \ Z\f\ определенные одним
из известных приближенных методов статистического анализа.
Для этого необходимо построить последовательность векторов
(2)
д/^\д/^\...,д/г
'№
(7.49)
элементы которых удовлетворяют выбранному закону
распределения плотности вероятностей / (Д/С) (нормальному или
равновероятному). Затем путем вычисления функции /(Д/С) для
каждого элемента последовательности (7.49) построить
последовательность функции
/(,)[Д/Са)], I{2)[bKi2)],...Jw[bKw].
(7.50)
Обработка элементов последовательностей (7.49) и (7.50)
одним из методов статистического анализа нелинейных систем
262

может позволить вычислить оценки Z0, Z\l\ Z\)\ Так, при
использовании метода статистических испытаний будем иметь:
/= 1
Nt
Ш„, = FT 2 /<0 1^(<>1 А^° <'<' - 1.2,.... *). (7.51)
/= 1
По существу единственным требованием при проведении
описанных выше вычислений для получения оценок \Zo)N > \Z{P)N *
N является требование удовлетворения элементами
последовательности (7.49) заданному закону распределения плотности
вероятностей вектора А/С.
Анализируя сказанное выше, можно отметить, что описанный
алгоритм метода вероятностной аппроксимации совместно с
формулами (7.51) для вычисления оценок приводит к необходимости
построения последовательности (7.50). Последнее представляет
собой достаточно трудоемкую в вычислительном отношении
операцию, если функция /(А/С) является математическим ожиданием
заданной случайной функцией, например,
1(\К) = Му[Ф(У,\К)]. (7.52)
Для вычисления каждого /-того элемента последовательности
(7.50) необходимо, очевидно, построить последовательность
векторов
V{l\V<*,...,Vm (7.53)
и для каждого из ее элементов V{1) вычислить последовательность
функции
Ф(1) [АКи), 1/(1)], ф<2) [ДЛГ(Л, V(2)] ф(ЛУ №\ V™]. (7.54)
Обработка последовательности (7.54), например, методом
статистических испытаний по формуле
(7 [ЬК">])„ш = ± V Ф«> [ДАТ"». И'>] (7.55)
i =1
и даст необходимую оценку требуемого математического
ожидания (7.52).
В целом для построения квадратичной модели критерия
качества необходимо произвести N = N{XN2 интегрирований
дифференциальных уравнений (7.2), описывающих процесс управления.
263

Так, при Л^! = Л^2^100 число N^ 10 000, что говорит о достаточна
большом объеме вычислительных работ и громоздкости описан^
ного подхода к построению моделей критерия качества или
ограничений. При большой размерности s вектора оптимизируемых
параметров К описанный подход все-таки может быть более
приемлемым, нежели описанные в § 7.2—7.4 алгоритмы. В связи с
необходимостью уменьшения числа N интегрирований
дифференциальных уравнений (7.2) ниже рассмотрим некоторые алгоритмы,
основанные на соотношениях метода вероятностной аппроксимации.
Для этого введем случайный вектор Л, составленный из
элементов вектора случайных возмущений V и элементов вектора Д/С
(предполагаем случайность вектора А/С в вычислительных целях).
Тогда можно построить полином для функции Ф (V, А/С):
Ф (I/, Д/С) = а0 + J aAkt + 2 a№№j +
m m s m
+ 2 b<°>+ 2 v^+ 2 2 c№vj+
i = \ i, ; = 1 i = \j = \
m s s m
+ 2 2 ViV*,+ 2 2 vA*W- <7-56>
i, у == 1 /= 1 /, ; = l£, v=l
Произведя операцию осреднения полинома (7.56), получим
s s m
/(Д/С) = а0 + 2 <*/**! + 2 *№№}+ 2 *'Ж ^ +
i = l i,j = \ i = l
т s m s
+ 22СшМ №д*< + 2 2 с"ьЖ ^ **'**'• (7-57)
i = l f = 1 * = U, v = l
При получении зависимости (7.57) предполагалось отсутствие
корреляционной связи между элементами вектора Л. Записав
выражение (7.57) в виде
Л т s / т \
I (Д/С) = а0 + 2 *«М [*«] + 2 К + 2 С»<Ж ^ А^ +
/ = 1 / = 1 \ I =--1 /
+ 2 К + 2^v^H V^kr (7.58)
можем сказать, что получена приближенная квадратичная модель
для критерия качества (7.52). Представляется возможность
рассмотреть достаточно простой алгоритм, если предложить другой
способ вычисления элементов Zo, Z[l\ Zf} и т. д.
264

Так как
£0 = л^[/(Д/О],
то с учетом выражения (7.52) для критерия качества
получим
Z0 = М^ЦЫС)] = М^[МУ[Ф(У, Д/С)]] -
= М,К tV[<b(bK,V)], (7.59)
если элементы векторов V и Д/С являются некоррелированными.
Это предположение легко удовлетворяется на практике, так как
случайность вектору Д/С придается формально только в
вычислительных целях.
По аналогии можно записать алгоритмы и для вычисления
элементов zf\ Zfh Будем иметь
Z[l) = Мис [/(ДАТ) А*/] = Мм, у [Ф (А/С, V) АЛ,], (7.60)
Z?/ = AW [/(А/С) АЛ.ДА.] = MlK, v [Ф (К, А/С) А^ДАу]. (7.61)
В сущности при некоррелированных элементах векторов V и Д/С
операция последовательного определения математического
ожидания функции Ф (V, Д/С) сначала осреднением на множестве Qv
элементов вектора V при фиксированных значениях вектора Д/С,
а затем осреднением полученных результатов /(Д/С) на множестве
шд/г в соответствии с формулами (7.59), (7.60), (7.61) может быть
заменена операцией однократного осреднения функции Ф (У, Д/С)
на множестве 2ЛС2ки<*>д/г В соответствии с формулами (7.59),
(7.60) и (7.61) можем выписать формулы для вычисления оценок
элементов Zo, Zf\ Zffl, например, методом статистических
испытаний:
/ = i
Й1)1з=Л^|ф(/)[Д^>.^,]Д^
1 = 1
Шм.-1к%*т[и<т,Ут]ыА*>и¥> («У-1,2,..., 5). (7.62>
/ = 1
Для того чтобы воспользоваться формулами (7.62), необходимо-
построить две последовательности:
— последовательность случайных векторов [/(Л) =f{V)f(AK)]
Л(1\Л<2),...,Л(Л^ (7.63)'
26S

— последовательность числовых значений функций
ф(1) [A(l)]f ф(2) [д<2>]^ ef ф("з) [АШ]9 {7М)
вычисленных на решениях нелинейных уравнений (7.2) для
каждого элемента последовательности (7.63). В соответствии с
обозначениями (7.63) формулы (7.62) можно переписать в виде:
(z?j)Ni = ±. 2 Ф(" [Л<*>] lm+ilm+J (i<y = 1,2,..., s). (7.65)
^3
1=1
Рассмотрим пример использования формул (7.59) — (7.61)
для вычисления числовых значений Z0, Z/(1), Zf\ если функция
<P(V, А/() задана на множестве ЙЛ с характеристиками ov =
= const = 1, аДАГ = const = 1 и имеет вид
Ф (I/, Л/Г) = 0,5 + 0, l^Aft? + 0,2x^4^ + 0,4<г^Д£2 +,
+ 0,Щ<о\ИЩ + О.Обг^^Дй, + 0,01^2Д£22Д£2.
Вычислив /(А/С) в соответствии с формулой (7.52), получим
/ (A/Q = Ж„ [Ф (Д/С, К)] = 0,5 + 0,1 Д£? + 0,6Д^ + 0,4Д£2 +
+ 2,7Д£* + 0,75*^*2 + 0,03Д*?Д4 (7.66)
Используя полученный результат (7.66), вычислим в
соответствии с формулами (7.62) необходимые для построения
квадратичной модели величины:
Z0 = 3,33; Zi1} = 0,6; Z'P = 0,4; Z?x] = 3,59;
Z$ = 0,75; Z$ = 8,89. (7.67)
Очевидно, числовые значения (7.67) можно получить
применением формул (7.59) — (7.61). Так, будем иметь
Z0 = 3,33; Z{1} = 0,6; Zil) = 0,4;
Z{? = 3,59; Z$ = 0,75; Z$ = 8,89. (7.68)
Числовые значения элементов Z0, Z^Zp* в соответствии
с полученными результатами (7.67) и (7.68) совпали, однако в
случае (7.68) расчеты оказались значительно более простыми в силу
применения однократной операции математического ожидания.
266

Вычислим коэффициенты ао, аг- и ац в соответствии с моделью
(7.47). Будем иметь
а0 - 0,42; ах = 0,6; а2 = 0,4;
ап = 0,13; а12 = 0,75; а22 = 1,78.
В связи с изложенным выше квадратичная модель критерия
качества может быть представлена выражением
/ (ЛАГ) = 0,42 + 0,6А^ + 0,4Д£2 + OJbMMi +
+ 0,13Д£2+1,78Д£22. (7.69)
Аналогичную квадратичную модель критерия качества можно
построить и при равновероятном распределении плотности
вероятностей элементов вектора А/С. Так, при 6 = 1 получим:
Z0 = 1,436; Z\1] = 0,2; Zj1} = 0,133;
Z{? = 0,489; ZiV = 0,083; Zg} = 0,72,
а, значит, при
a0 = 4,53; a{ = 0,6; a2 = 0,4;
/2ц = 0,11; 012 = 0,75; 022 = 2,71
модель критерия качества имеет вид
/ (Д/О = 4,53 + 0,6Д*1 + 0,4Д£2 + 0,75ДА!Д*з +
+ 0,1 Ш| + 2,71 Д&*. (7.70)
Модели критериев качества (7.69) и (7.70) отличаются друг от
друга, как и отличаются результаты поиска экстремума для этих
моделей
д£|Я) = -4,9; ДА^» 0,903;
д£>> = _ 3,75; Д^р)^ 0,304.
Поэтому выбор закона распределения плотности вектора А/С и
статистических характеристик его элементов представляет одну из
важных задач описанного алгоритма, основанного на методе
вероятностной аппроксимации.
Итак, суть изложенного метода сводится к расширению
пространства случайных факторов Qv исследуемого процесса за счет
придания в вычислительных целях вектору приращений А/С
оптимизируемых параметров /С случайных свойств и формированию
случайного вектора А/С. Обработка реализаций выходных
координат управляемого процесса (7.2), полученных при воздействии на
267

него реализаций расширенного вектора Л, позволяет произвести
указанные выше вычисления и построить необходимую для
оптимизации модель критерия качества и ограничений.
Преимущество описанного метода для построения моделей
критерия качества и ограничений на множестве оптимизируемых
параметров заключается в значительном уменьшении объема
вычислений за счет однократного получения и обработки случайных
последовательностей (7.63), (7.64) вместо последовательностей (7.53),
(7.54) и (7.49), (7.50).
Возвращаясь к квадратичной модели критерия качества
/(даг) = л+я*да:+да:*сда:, {7Л)
где
А - а09 В = (at), С = (а,Д
записанного в матричной форме, следует заметить, что в силу
применения приближенных методов статистического анализа для
вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома элементы
вектора В и матрицы С содержат случайные составляющие АВ
и АС. Поэтому выражение (7.71) можно записать в форме
7 = А + (в + Д#)* Д/С+ ДАТ* (с + Дс) ДАТ. (7.72)
Условие экстремума квадратичной формы (7.72) при этом
имеет вид
Д£= - 4~ (с + ДС)"' (в + Ив). (7.73)
Случайная составляющая матрицы С в значительной степени
может определить факт существования матрицы, обратной матрице С,
а значит, и правомерность записи (7.73). Так как в процессе
расчета элементов матриц В и С можно оценить возможное
максимальное значение ошибки | Асу | < s/;. и | Д^ | < е/э то
представляется возможным при необходимости организовать коррекцию
матрицы С так, чтобы, изменив ее элементы с^ на величину | Дс£у|Оу,
обеспечить выполнение условий существования обратной
матрицы С. Обозначив скорректированную матрицу через С, условие
(7.73) запишем в форме
д£= --1-е-15- ±-C~lLB. (7.74)
Второе слагаемое выражения (7.74) и будет характеризовать
ошибку 8ДАГ = С~ Д£ в вычислении вектора АК на каждом шаге
оптимизации. Отмеченное выше указывает на необходимость
статистического анализа результатов оптимизации, полученных путем
применения численных итерационных методов.
268

В заключение рассмотрим задачу построения квадратичных
моделей для критериев качества вида:
Л (Л/С) = Мv [Фр (V, ДАТ)], (7.75>
/2 (ДАТ) = М v U Ф" (V, Д/С) dt\, (7.76>
/3 = ЖК[(Ф(^,Д/С)-ЖК[Ф(^,Д/С)]}2], (7.77>
достаточно часто встречающихся в задачах статистической
оптимизации процессов управления.
Для критерия качества (7.75) при р^2 можно записать
аналогичные формулам (7.59) — (7.61) выражения. Будем иметь:
Z?/ = Мм. v [ФР (V, А/О bk£kj\ • (7.78)
Так же можно поступить и с вычислением вектора Z={Z0r
Z\l), Zf}\ для критерия качества (7.76). При этом получим:
Zo = A/K,Atf[f ®P(V, bK,t)dt\;
Z{P = My, ,K П ФР (V, А/С, t) dtbk} ,
Zg> = My, ,К\[ФР (V9 Д/С, t) <!№№; 1. (7.79>
Несколько сложнее обстоит дело с критерием качества (7.77).
Преобразив выражение (7.77), получим
/3 = Mv 1ф2 (У. д/01 - [Mv [Ф (К. А/С)] )2. (7.80>
Так как непосредственно к выражению (7.80) применить
разработанный аппарат не удается в силу нелинейности записанного выше
преобразования, в рассматриваемом случае можно построить
квадратичные модели для критериев
Му[Ф*(У, А/С)] и Му[Ф{У^К)\
в виде
Mv |Ф2 (К, А/С)] = а0 + {а{1))*ЬК + Д/С*а(2)Д/С,
Mv \Ф (V, А/С)] = bQ + {b{])Y Д/С + A/CV2)A/C. (7.81 >
26£

Подставляя соотношения (7.81) в выражение (7.80), можно
получить приближенную модель для критерия качества (7.77)
в форме
73^ {а0 - bl) + [а(1) + 2*0*(1Т **+
+ А/С* [а(2) - 2Ь^2) - 6(1) (б(1))*] ПК. (7.82)
Аналогично можно произвести вычисления для интегральных
критериев вида
/ = MVU {Ф (I/, А/С) - Mv [Ф (I/, LK)\*dt\ .
§ 7.6. Методы учета ограничений в задачах оптимизации
систем управления
Выше сформулирована задача 7.2 многомерной оптимизации
автоматической системы, описанной нелинейными стохастическими
дифференциальными уравнениями. Методы вычисления числовых
значений критерия качества и ограничений, являющихся
статистическими характеристиками заданных функций решений
стохастических нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотрены
в гл. 5. Ниже рассмотрим задачу нелинейного программирования,
считая, что все необходимые вычисления могут быть успешно
проведены с использованием изложенных выше методов, в форме
задачи 7.2. При рассмотрении методов решения задачи 7.2 будем
предполагать, что искомый вектор К существует. Задача 7.2
относится к общим задачам нелинейного программирования, общих
методов и алгоритмов решения которых пока не существует, если
ничего заранее не известно о характере функций /, Qi, Q2,..., Qi.
Критерий качества 1(К) в сформулированной задаче может
иметь несколько экстремумов, а ограничения могут быть
невыпуклыми функциями параметров управления /С. Отмеченная
специфика рассматриваемой задачи привела к разработке целого
ряда приближенных методов и алгоритмов для решения задач
нелинейного программирования с использованием как
детерминированного, так и случайного поиска оптимального решения [61,37].
Опишем несколько частных задач нелинейного
программирования, которые можно положить в основу приближенных методов
решения задачи нелинейного программирования вида 7.2.
Задача линейного программирования. Если
критерий качества (7.1) и ограничения Qi, Q2»..., Qi являются
линейными формами искомых параметров:
S
Г = а0 + ^ «Л, (7.83)
Qy = *y.o+2*A'*' U=W2,...,D, (7.84)
i = l
270

тогда задача определения оптимального вектора К является
задачей линейного программирования, которая математически
формулируется так:
Задача 7.3. Найти оптимальное решение К из условия
минимума критерия качества (7.83) при ограничениях (7.84) и
ограничениях вида (7.5).
Методы решения задач линейного программирования
достаточно хорошо разработаны. Основным методом решения задач
линейного программирования является симплекс-метод.
Задача квадратичного программирования. Если
критерий качества (7.1) является квадратичной формой вида
/ (К) = aQ + J atkt + J */M. ^ (7-85>
/ = 1 /, ;= 1
а ограничения являются линейными соотношениями вида (7.84) и
(7.5), тогда задача определения оптимального решения К является
задачей квадратичного программирования. Суть ее заключается
в следующем.
Задача 7.4. Найти оптимальное решение К из условия
минимизации критерия качества (7.85) при ограничениях (7.5) и (7.84).
Методы решения задач квадратичного программирования
достаточно разработаны, однако известные методы и алгоритмы
требуют выпуклости или строгой выпуклости оптимизируемого
квадратичного критерия качества (7.85).
Поиск экстремума с
ограничениями-равенствами. Если ограничения (7.6) являются
ограничениями-равенствами вида
Qi = Ql (* = l,2,...,/)f (7.86)
tq задача поиска оптимального решения К решается с
использованием множителей Лагранжа как задача поиска экстремума
функции
Н = min { / (К) + 2 Х< [Q< - <$} ■ <7-87>
Так как множители Лагранжа не определены заранее, то при
этом необходимо для их определения использовать и соотношения
(7.86). В случае квадратичного критерия качества (7.85) и
линейных ограничений-равенств эта задача решается с использованием
следующего алгоритма. Записав соотношения (7.85) и (7.84) в
матричной форме, будем иметь
1 = а0 + а*К+К*АК, (7.88)
Q = b0 4- ВК, (7.89)
271

где
а0 — число; а* = (аха2ав.. .as)\
А = (а/у); В = (ftw);
#о= (b0ib02.. .60*).
Так как в этом случае выражение (7.87) определяется
формулой
Н = {a0 + a*K+K*AK+&*(bQ + BK)}.
то условия оптимальности критерия качества (7.88) имеют вид
(жГ==а+2Л/с+^*А==0'
откуда
К=--~А-1[а + В*А). (7.90)
Подставив выражение (7.90) в уравнение (7.89), запишем
уравнение для определения вектора множителей Лагранжа
b0-^-BA-l{a + B*A) = Q09
откуда можно получить следующее равенство:
А = 2 [ВА-1 В*) "1 \b0 - Q0- 4~ ВА~1а\. (7.91)
И, наконец, подставляя выражение (7.91) в соотношение (7.90),
получим расчетную формулу для вычисления искомых
оптимальных коэффициентов
К = - ~^А~ 1а - А"1 В* {BA~lB*)-1 \b0 - Q0 - ^ ВА~1а\ . (7.92)
В рассмотренном примере выражения (7.90), (7.91) и (7.92)
справедливы, если матрица А является неособенной. Если при этом
ограничения описываются уравнениями второго порядка вида
g = b0 + b*K+K*BK=g0 (7.93)
(g— скаляр), то задача поиска оптимального решения К уже
значительно затрудняется, так как в этом случае будем иметь
/С= -(A + ABr'ia + AB); "(7.94)
:272

Ь0 + Ь*{-±.(А + АВГ1(а + АВ)} +
+ {- ± (А + АВГ1 (а + АВ)}*В {- -f (А +
+ АВГ1 (а + АВ)} = g0. (7.95)
Уравнения (7.94) и (7.95) являются нелинейными уравнениями
относительно числового значения множителя Лагранжа Л. Для
решения уравнения (7.95) уже возникает необходимость
использовать численные методы. В случае наличия I
ограничений-равенств будем иметь вместо одного уравнения (7.95) систему
нелинейных уравнений четвертой степени.
Известен ряд алгоритмов, основанных на сведении задачи
нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами
к задаче поиска экстремума одной функции многих переменных
с использованием функций «штрафа». Введем вектор невязки
в выполнении ограничений
8Q = Q(AT)-Q0
и функции «штрафа»
*(Щ) /-1,2,...,/.
Тогда решение задачи 7.2 можно искать как решение задачи
поиска минимума функции
н = mm / (К) + 2 ъ (Ч) Ч СО ,
Н = min (/ (К) +Уъ (8Q,)I. (7.96)
Функции «штрафа» могут иметь вид
ht Ч>0,
., (8Q,) - { («ОгЛ Ч>0,
\ О 8Q,.<0.
Ь(Щ.) = ehibQi.
и т.д.
Здесь Ы — достаточно большие положительные числа.
Задача поиска экстремума выражения (7.96) может быть
решена известными методами поиска экстремума функций многих
переменных.
273

Представляет интерес подход к решению задачи 7.2 с
использованием алгоритмов последовательного уточнения решений,
основанных на базе алгоритмов линейного и квадратичного
программирования. Метод последовательной оптимизации для решения
задач нелинейного программирования изложен в работе В. М.
Пономарева [59]. Суть метода последовательной оптимизации
сводится к тому, что исходная задача нелинейного программирования
заменяется последовательностью задач квадратичного
программирования, которые рассмотрены выше. Так как метод последова-
тельностной оптимизации получил широкое применение для
решения задач параметрического синтеза систем управления движением
летательных аппаратов, систем управления технологическими
процессами и т. д. и достаточно известен широкому кругу
специалистов в области теории управления, то опустим изложение научных
и методологических основ и вычислительных особенностей метода
последовательной оптимизации в рамках настоящей книги.
Аналогично можно построить процесс последовательной
оптимизации на базе алгоритмов линейного программирования.
Поясним сказанное, предположив, что критерий качества и ограничения
являются выпуклыми или строго выпуклыми функциями.
Пусть выбрана начальная (фигуративная) точка Ко в
пространстве параметров QK. В окрестности этой точки можно
записать для критерия качества и ограничений разложения вида
/ -/(*{) + (Щ^+ 4"*** (•&•),.**+•• ■ (7.97)
где А/С — 5-мерный вектор-столбец приращений параметров АК =
— К— Ко, /(/Со), Qi[ Ко), i = 1, 2,..., 5 — значения критерия ка-
ггО Ы dQt дЧ d*Qt
чества и ограничении, вычисленные в точке /Со, J]?>ijfc>Щ^>дК2 ~
соответственно вектор-строка и матрица проекций градиентов
первого и второго порядка критерия качества и ограничений и т. д.
Ограничиваясь только линейными членами разложений (7.97)
и (7.98), можно сформулировать следующую задачу линейного
программирования:
/=min{/(^) + [f(^)]A^,
A/C<Q° (t = 1,2, ...,/)• (7.99)
Ограничения (7.5) можно представить в виде
К<К°о + Ы<<.К. (7.100)
274
Qi(*°o) + [$(*8)

Естественно, что разложения (7.99) справедливы в некотором
замкнутом пространстве параметров
(&K)<Wf (7.101)
где W — вектор-столбец постоянных чисел.
В рассматриваемой задаче вектор W является неизвестным и
его определение потребует значительных вычислений.
Считая, что выражения (7.100) могут быть определены, опишем
процесс поиска вектора К, доставляющего минимум критерию
качества (7.1) на ограничениях (7.5) и (7.6).
Для последовательности
Щ<Щ< ••• < W°t< ••• (7-102)
находим последовательность векторов
К *?-*?+ А^?> ••.,*?«=*?_, + *К?> • • • (7-103)
а, значит, последовательность числовых значений критерия
качества
1{К%) >/(*?) >... > /(*?} > ... (7.104)
и последовательность числовых значений ограничений
(/?= 1,2, ...,/) (7.105)
путем решения последовательности задач линейного
программирования
(A/0<W° (У =1,2, ...). (7.106)
Вычисления последовательностей (7.104) и (7.105)
заканчиваются на /-том элементе последовательности (7.102), когда
нарушается одно из условий последовательностей (7.104) и (7.105).
Построение /-той последовательности (7.102) назовем этапом
решения задачи оптимизации, а решение задачи линейного
программирования на /-том этапе для /-того элемента — шагом.
Так как значения критерия качества и ограничений
вычисляются в конце каждого шага оптимизации для построения
последовательностей (7.104) и (7.105), то эти значения используются на
новом шаге оптимизации для уточнения задачи линейного
программирования (7.106). Градиенты критерия качества и
275

ограничений вычисляются только на первом шаге каждого этапа
оптимизации.
В точке
снова формируется задача линейного программирования, т. е.
вычисляются ее элементы -j^jt (Ко) , -щг (/Со) •
Для новой последовательности
К < w\ < wl < • • • < w) < • • • (7Л07)
и
^J; к\ = къ + ьк\\ Ki = Ki + &Kb ...; К) = к1 + щ, ...
производится решение задач линейного программирования при
W = w\(t = 1,2,...):
0р-0р(^) + [^га]#^<д^р--1,2,...,/;.
\Wt\<w\ (*=1,2, ...) (7.108)
и в точках пространства параметров
соответствующих полученным решениям, вычисляются значения
функционала 1(К) и ограничений Qp{K) по точным формулам и
строятся последовательности:
/Ц*4)>/Ц*1) >...>/} (*})>•••• (7.109)
Нарушение одного из условий (7.109) на /-том элементе
последовательности (7.107) служит сигналом окончания процесса решения
задач линейного программирования (7.108) и формирования новой
задачи линейного программирования в точке Kl = Ко + Д/Су.
Итак, строится последовательность числовых значений
критерия качества
/ [К») > I [KI) >...>/ {Kl) > ... (7.110)
Если рядом стоящие элементы последовательности (7.110)
отличаются на наперед заданную величину е, можно прекратить
276

процесс решения и считать, что вектор параметров /Со сходится
в е окрестность К> доставляющего минимальное значение
критерию качества (7.1) при ограничениях (7.5) и (7.6).
Для полного описания процедуры необходимо остановиться на
вопросе формирования последовательности W = {wj}.
При решении вопроса о выборе последовательности
w[<wi2< ... <wl.< ... (7.111)
можно использовать, например, аналоги градиентных методов.
Если каждая /-тая последовательность (7.111) состоит из
одного шага, то описанному процессу оптимизации в качестве
аналога можно привести градиентный метод. При этом на каждом
шаге необходимо определять градиенты критерия качества и
ограничений и решать задачу линейного программирования. Величина
шага пусть определится формулой
р2-2д£? = о- (7Л12>
Если величина шага р выбрана, то условие (7.112) можно
использовать для формирования вектора W.
Например, w)p можно определить по формуле
Ч>= Г (/>= 1,2, ...,*). (7.113)
I 2
Й№и>ГГ
Выражение (7.113) определяет вектор W на каждом-, этапе
оптимизации и может использоваться, если на этом этапе
удовлетворяются ограничения (7.6). Если i-тый этап состоит из \х шагов
и выполняются условия (7.6), то процесс построения
последовательности (7.111) можно проводить по аналогии с методом
наискорейшего спуска. В ряде случаев ограничения (7.6) могут
разделиться на две группы
Q,-Q? = 0 (f= 1,2 Л), (7.114)
QiKQlKO (t-bt+l, ...,/). (7.115).
Тогда элементы вектора W определяются по формулам
WJr 1 =! J—,-. (7.116)
[i(*w)+!^«>[]
2
10 Заказ 1910 277

Множители Лагранжа \ являются решением системы
алгебраических уравнений
где
v=l
При этом ограничения (7.115) и (7.100) при решении задач ли- I
нейного программирования будут учитываться автоматически. I
Описанная последовательная процедура с использованием I
формализованного аппарата линейного программирования явля- I
ется достаточно эффективной при использовании цифровых вычис- Ц
лительных машин. Основной ее недостаток заключается в том, что I
в ней не строго определяется последовательность числовых значе- 1
ний вектора W. Достоинством ее является сравнительная простота I
линейного представления критерия и ограничений. 1
Метод последовательной оптимизации В. М. Пономарева пред- 1
полагает построение последовательности решений в пространстве I
параметров 2^ I
К0 К1 К1 I
путем решения последовательности задач квадратичного програм- I
мирования вида I
Формирование задач квадратичного программирования значи- I
тельно сложнее формирования задач линейного программиро- I
вания. Однако сходимость процесса поиска решений задачи 7.2 I
в этом случае не определяется субъективными факторами, как ]
в последовательности задач линейного программирования. Исполь- ]
зуя методы построения моделей критерия качества и ограничений, 1
рассмотренные выше, можно успешно применять описанные 1
в данном параграфе алгоритмы для оптимизации систем управле- ]
ния летательных аппаратов, движущихся в атмосфере Земли.

ГЛАВА 8
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПРОГНОЗ В ЗАДАЧАХ
УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В ПЛОТНЫХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ
§ 8.1. Управление движением летательных аппаратов
в атмосфере с прогнозом фазовых координат
В целом ряде случаев процесс управления движением
летательных аппаратов в плотных слоях атмосферы, описанный
системой нелинейных стохастических уравнений
х1{**) = *1>* ('=1.2, ...f л) (8.1)
строится так, что вектор опорных управлений U(t) задан, а
коррекция фазовых координат процесса производится в заданные
моменты времени t\9 /2, • • •, tp ^ |70, Т] путем приложения к
системе (8.1) управлений AU = U—(У, действующих на отрезке AT.
Для определенности будем считать длительность
корректирующих управлений AU постоянной и равной величине AT.
Величина корректирующих управлений обычно ограничена
[Д£/(*.)]<Д£/о (* = 1,2, ...,/>), (8.2)
где Шi — заданные постоянные числа.
Пусть корректирующее управление выбирается из условия
обеспечения минимального значения критерию качества
/=Ф(Д*), (8.3)
характеризующему рассеивание процесса либо в очередной
момент коррекции t = //+1, либо в момент времени окончания
процесса управления летательным аппаратом.
Пусть при заданном опорном управлении известно фазовое
состояние процесса (8.1) при невозмущенном движении X(t)=X(t).
Влияние возмущающих факторов приводит к отклонению фазовых
координат процесса от опорных, характеризующемуся вектором
рассогласований
AX{f) = X{t)-X(t).
10* 279

Вектор АХ является функцией случайных возмущающих
факторов (вектор V). В силу случайности вектора AX(t)
корректирующие импульсы AU(ti), (/=1, 2,..., р) должны быть функциями
элементов вектора рассогласований.
К решению задачи построения оптимального управления
процессом (8.1) можно идти несколькими путями.
Один из них может быть связан с определением зависимости
W(tl) = <?[AX{tl)\ (i=\,2 p). (8.4)
В этом случае текущему состоянию процесса AX(t) в моменты
коррекции t{ (i = l, 2,..., р) выражение (8.4) ставит в соответствие
величину корректирующего управления. Однако рассмотренный
алгоритм управления (8.4) может оказаться недостаточно
дальновидным.
Второй путь формирования управляющих воздействий состоит
в использовании оценки вектора рассогласований фазовых
координат AX(t) в момент времени, соответствующий очередному
моменту коррекции t=ti+x. Тогда алгоритм управлений примет вид:
W(tt) = ?[д£(/<+1), и] (i = 1,2, .. .,/7). (8.5)
И, наконец, алгоритм управления может быть построен с
использованием оценки вектора рассогласований AX(t) в момент
времени окончания процесса t=T. Будем иметь
ьи(Ь) = ?[ьХ(Т)9А (*= 1,2, ...,/>). (8.6)
Итак, задачи оптимального управления процессом (8.1),
рассмотренные выше, могут быть сформулированы следующим
образом.
Задача 8.1. Для процесса, описанного системой нелинейных
стохастических уравнений (8.1), необходимо найти структуру и
параметры управления (8.4), обеспечивающего минимальное
значение критерию качества процесса (8.3).
Задача 8.2. Для процесса, описанного системой нелинейных
стохастических уравнений (8.1), необходимо произвести по
данным текущих измерений вектора AX(t) на интервале времени
между корректирующими импульсами прогнозирование вектора
в очередной момент коррекции f = /|+i и найти структуру и
параметры управления (8.5), обеспечивающего минимальное значение
критерию качества процесса (8.3).
Задача 8.3. Для процесса,описанного системой уравнений (8.1),
необходимо произвести прогноз терминального состояния
вектора АХ(Т) по данным измерений вектора AX(t) на интервале
между корректирующими импульсами и найти структуру и
параметры управления (8.6)'из условия минимизации числового
значения критерия качества (8.3).
280

Для решения задач 8.2 и 8.3 необходимо рассмотреть
алгоритмы прогноза будущих фазовых состояний процесса по данным
текущих измерений. Рассмотрим решение задачи прогноза,
§ 8.2. Прогнозирование фазовых координат нелинейных
стохастических процессов
Рассматриваемая задача прогнозирования будущих состояний
процесса движения летательных аппаратов в плотных слоях
атмосферы по данным текущих измерений относится к одной из
проблем оценок случайных процессов.
Проблеме оценок случайных процессов посвящено достаточно
большое число работ [2, 18, 27, 48, 83, 100]. Один из наиболее
значительных результатов в этой области получен Винером,
изложившим решение задачи фильтрации и упреждения для случая
стационарных процессов с рациональными спектрами. За работой
Винера последовали многочисленные обобщения (например, [5]),
в которых рассматривалась задача получения оптимальной
линейной стационарной или нестационарной динамической системы
для осуществления сглаживания, фильтрации или упреждения
стационарных или нестационарных случайных процессов с
конечным или бесконечным временем наблюдения. В этих работах
оптимальная динамическая система описывается интегральным
уравнением Винера — Хопфа.
В работах Калмана [27, 83] получены дифференциальные
уравнения для оптимальной динамической системы. Указанные
результаты связаны с динамическими моделями процессов
фильтрации и упреждения случайных процессов.
Рассмотрим алгоритмы прогнозирования будущих состояний
стохастических процессов, описанных нелинейными
уравнениями (8.1).
Предположим, что на интервале наблюдения t £ [tu t^\
процесса (8.1) производится измерение некоторых функций
гй(Д*,<). ■',..(**,<), .... Ч/(А*,<). (8.7)
В силу зависимости решений уравнений (8.1) от случайного
вектора возмущений V и случайных в общем случае начальных
условий АХ0 реализации функций (8.7) являются случайными.
Пусть закон распределения вектора Л={У, АХ0}, составленного-
из элементов векторов V и АХ0, задан и определяется
зависимостью /А (\, Xg,..., Хт_и/г), По данным непрерывных
измерений (8.7) на интервале t [/1, t2], поставим задачу определения
оценки некоторой функции у {АХ, tn), вычисляемой на элементах
вектора рассогласований АХ в момент времени t = tn, путем
обработки результатов измерений с помощью соотношения (см. рис, 8.1)
у (ИХ, tn) = ^; [ а, (х) ц {АХ (*), т) Л, (8.8)
281

где cii(t)(i=lt 2,..., /)—детерминированные функции,
подлежащие определению.
Соотношение (8.8) можно представить в виде
/ и
Так как y(tn, Л) и y(tUf Л) являются функциями случайного
вектора Л, то задачу определения функций di{t)y (i=l, 2,..., I)
можно сформулировать как задачу минимизации математического
ожидания квадрата ошибки прогнозирования состояния y(tn, Л)
с помощью соотношения (8.9)
е(Л) = у(*п,Л)-}(*п,Л). (8.10)
Вычислим критерий, характеризующий точность прогноза.
Будем иметь
/=M[s*(A)]=Js*(A)/A(A)rfA =
«А
= J У(^А)-21^ЫТ|(А,т)Л /A(A)rfA, (8.11)
где 2А— множество реализаций случайных факторов Л.
После несложных преобразований выражения (8.11) получим
I = M\yHtn>K)\-2^i\ai^)M[y{ta>A)rll{K^)\d^ +
+ 2 П^^)^(т)^[^(А,х)у];.(Ал)]^^т. (8.12)
Введя обозначения
Ry{tn) = M[y4tn,K)],
Ryni(tn,t) = M[y(tB,A)rll(t,A)},
запишем выражение (8.12) для критерия оценки качества
прогноза в виде
/ = /?у (/„) - 2 J J ** (*) Я*,, Cm *) ^ +
+ 2 f j«i(o^(t)/?4|lli(<,T)^dT. (8.13)
282

Найдем необходимые условия экстремума критерия качества
(8.13). Для этого представим искомые функции at(t) (* =
= 1, 2,..., /) в виде
М0 = Я/(0 + 7М(0 (*= 1,2, ...,/), (8.14)
где уг — постоянные множители, Acii(t)—произвольные функции,
не равные тождественно нулю на интервале f £ [t\, t2] и
удовлетворяющие следующим условиям:
bai(t1) = bai(t2) = 0 (*— 1.2 /).
Подставив выражения (8.14) в правую часть соотношения
(8.13), легко получить из условия
д1
= 0
необходимые условия для определения оптимальных в смысле
критерия (8.13) функций a,i(t)f (/=1, 2,..., /) в виде системы
линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода:
ЛуЧг(<п^) = 2?2<(т)/?^1^т)Л С" =1.2,...,/). (8.15)
Легко показать, что условия (8.15) являются и достаточными
условиями минимума критерия (8.13).
Учитывая тот факт, что измеряемые функции (8.7) и функция
y(tn) для нелинейного процесса (8.1) являются в общем случае
нецентрированными случайными функциями с математическими
ожиданиями т (t)4 т^ (£),..., тт (^)и my(tn) и корреляционными
функциями К (t9 x), (i, /=1, 2, 3, ..., /и), Kni(tn,t) (i =
= 1, 2,..., /), то систему интегральных уравнений (8.15) можно
переписать в форме
f(nj(tB9t) + my(tn)mTj(t) =
-21^('М^(/'т) + ^(^^(т)]Л (7=1.2,...,/) (8.16)
или
b (tu) Ч, (О гУу (*п, t) + my (tn) mTij (t) =
= 2js'(T)[°v^)4(T)r^('^) +
+ mnj(t)mni^)]dz (/=1,2, ...,/), (8.17)
где ггл) (/, т)—нормированные корреляционные функции.
283

Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть
Ку^ = Кщ = 0 (ЛУ— 1,2. ...,/),
тогда уравнения (8.17) примут вид:
™y(o = 2Wt)mi>*(T)dT- (818)
2 Пусть my[tn) = in (0 = 0, (t=l, 2,..., /), тогда
уравнения x8.17) примут вид:
-и^)^/^^) = 2}2^(х)^(х)^(/'т)^ (у =1,2,...,/.).
(6Л9)
Очевидно, что уравнение (8.18) не позволяет найти искомые
функции cii(t). Уравнения (8.19) позволяют решить поставленную
задачу определения функций a^t), при этом отсутствие
корреляционной взаимности между измеряемыми функциями t\i{i), (i =
= 1, 2,..., /) позволяет получить систему независимых
интегральных уравнений Фредгольма первого рода для определения каждой
из искомых функций a,i(t), (i = l, 2,..., /) в отдельности:
*у (*п) rnj (tn, t) = ^at (т) ant (t) гщ (t, т) tf т.
h
Если измерения (8.7) производятся с ошибкой
fyi (О. *чз (О,---. МО
и последняя определяется одним из двух наиболее
распространенных случаев:
^(0 = ^(0(1 + Н(0) (« = 1,2, ...,/),
то интегральные уравнения (8.15) можно записать в форме:
Ry;MnJ)=^Ul{,)[R^i(t^) + RbnS(^)]d-z (j = i,2,...,/),
Хуп, 1'" ') - 2 J S'(Т) *vu <*'*} t1 + V».('' т)^ С - L * • ■ •. '>■
если действительные текущие значения т]г(^) не коррелированы
с ошибкой измерения йтц(0-
284

Используя формулы (8.13) и (8.15), выпишем формулу для
вычисления критерия оценки точности прогноза функции* и It )
с использованием соотношения (8.8): d v n'
I--Ry(tn)-^la№Rni{tn*)d%. (3.20)
i=\tx
Выражение (8.20) позволяет оценить ошибку прогноза к
сделать рывод о возможности использования алгоритма прогноза.
Представляет интерес рассмотрение алгоритма нелинейной
обработки результатов наблюдения. Для вывода расчетных
соотношений достаточно предположить, что
где z(t) —функция наблюдения.
Тогда будем иметь с учетом формулы (8.15) следующую
систему линейных интегральных уравнений Фредгольма первого
рода
M\y(tn)z;(t)] = ^ai(x)M[z!(t)zi(>z)]dz (У— 1,2 /).
i-i tx
(8.21)
При прогнозе функции у (in) по одной функции наблюдения
получим линейное уравнение Фредгольма первого рода
Луч С... 0 — JS(x) /?„(*, т) Л. (8.22)
Выше рассмотрена задача прогноза состояний процесса по
данным текущих измерений в достаточно общем случае, а именно:
при отсутствии каких-либо допущений о процессе AX(t). В
частных случаях интегральные уравнения (8.15) могут значительно
упроститься.
Методам решения полученных линейных интегральных
уравнений типа Фредгольма (8.15) посвящено значительное число
работ [19, 32, 60]. Если /? (<,t) в уравнении (8.22)
—симметричное квадратично-суммируемое положительно-определенное ядро и
уравнение (8.22) разрешимо, то можно воспользоваться для его
решения методом последовательных приближений. Можно
воспользоваться и теоремами Фредгольма [32] и перейти от
интегрального уравнения (8.22) к системе алгебраических уравнений.
Для этого необходимо интервал (tu t2) разбить на п равных
промежутков длиной
Ах = М = *-*=*!
п
285.

и положить:
/?чч (tt + pat, t, + 9дт) = /?м (Л^ = 1,2,...,я),
/?„('n,<i + /^0-/?54 (/^= 1,2 л).
а(^ + ^Дх) = а^ (<7 = 1,2, ...,/г).
Заменяя интеграл J a(t)R (t, т)д?т при < = ^+/?Д/ суммой
п
2*#а'Ат (/>=1,2, ...,/г),
получим вместо интегрального уравнения (8.22) систему линейных
алгебраических уравнений
2 R"a*bx = RPn (p = 1, 2, ..., /г). (8.23)
Если определитель | R™ |, составленный из элементов R$, не
равен нулю, то система уравнений (8.23) имеет единственное
решение при любых значениях Rpyyi(p — 1,2,..., /г), не равных
тождественно нулю. В силу R^it, х) < /?.« (t) > 0 и симметричности
функции /?-ч(<, т) определитель всегда не равен нулю и решение
интегрального уравнения существует. Однако в силу
произвольности случайного процесса AX(t) и приближенного вычисления
статистических характеристик нелинейного процесса (8.1) можно
встретиться при решении интегрального уравнения с плохой
обусловленностью матрицы (/?*{[). Используя методы решения систем
линейных алгебраических уравнений, можно найти искомое
решение— функцию a(t)f заданную в дискретных точках.
По аналогии можно поступить и с задачей решения системы
интегральных уравнений (8.15). В этом случае будем иметь дело
с матрицей
/ /?,,„,(*, т) Я,Л(*,т) ... ЯЧ1Ч1(*,т)
\ЛЧЛ(<,х) ^Ч/(*,т) ... /?Ч/Ч/(/,х)
и векторами Л*(/) = (ai(<)o2(0 ...aj(0).
5* (О = (/?,„, (*п, 0 #у„2 (*п> 0 ... #„„, (/„, О),
позволяющими записать интегральное уравнение (8.15) в
матричной форме
B(tn,t)= $D(t,x)A(T)dz. (8.24)
286

Разбивая, как и ранее, интервал [tu t2] на п равных частей и
проведя преобразования, аналогичные выше рассмотренным для
одномерного случая, получим матрицу (Dps) размерности пХп
элементами которой будут квадратные матрицы Оря размерности
/X/, обращение которой и даст искомое решение. Однако в
многомерном случае интегрального уравнения (8.24) могут
возникнуть значительные трудности в обращении матриц размерности
(nXl)X(nXl) при больших значениях п и /. Кроме того, могут
наблюдаться и явления плохой обусловленности матрицы (Оря)
из-за наличия функциональной связи между сечениями отдельных
функций измерения. Поэтому при формировании задачи прогноза
следует учитывать специфику исследуемого процесса и при
наличии плохой обусловленности матриц следует изменить или
интервал наблюдения или отбросить измерения, не позволяющие
осуществить прогноз будущих состояний процесса.
При рассмотрении задачи прогноза y(tn) по данным
наблюдения функций m(t) предполагалось, что функции x\i(t) включают
в себя ошибки измерений 6r\i(t)f фильтрация которых в процессе
измерения не производится. Принципиально можно поставить и
решить задачу прогноза для случая, когда предварительно
производится фильтрация функций наблюдения r\i(t) и по выходным
сигналам фильтра fi(t) производится прогнозирование y(tn). Все
расчетные формулы при этом остаются прежними, изменится лишь
процедура вычисления необходимых для прогноза статистических
характеристик функций наблюдения. Рассмотрим описанный
случай подробнее, чтобы выяснить, в каком соотношении будут
рассматриваться задачи фильтрации и прогнозирования. Используя
динамическую модель фильтрации и прогнозирования,
представленную на рис. 8.2, выпишем критерий качества оценки точности
прогноза, учитывая при этом, что
/,(*) = j^(^,x)v,(x)^,
о
/ = Ry (t„) - 2 J j at (x) Ryf[ (*„, x) dx -b
+ 2 ]]aj{x)al(x)Rfifj(t,x)dt,dx. (8.25)
Так как
Ryf.(tn,x) = M Гу (*„) |то,(т,ХК(Х) AJ = jw,(t,X)/?„,,(*„,*)Л,
Я/,/у (',*) = ^Vft(t,b)Vj{x,X)RVj(bt\)dbdk,
287

то будем иметь
/ = /?, (*„) - 2 2 j7 в* (*)«», (*, X) /?я, (<п, М Л rft +
* *2 *
i=l ^ О
/ и и t т
+ 2 f j JJ^(0^(t)w,(^»)wy(t,X)/?Vy(8fX)rf/dxd4^. (8.26)
1,7=1 f\ ^ О О
Из условия минимума критерия (8.26) найдем необходимые
условия оптимальности для отыскания функций Wi(t9 т) и a.i{t).
Вводя в рассмотрение функции
Щ (*, *) = Щ (*, x) + pfiwt (t, т),
М0 = М0 + <7М(0 («- 1,2 /)
и подставляя их в критерий (8.26), получим из условий
= 0,
д!
dPk
= ?ь = 0
Pk=4
следующие соотношения:
01
•щ\ ."О (Л-1,2,...,/)
и * ц
^ = 0:jjA^(x,X) k(«)|/?r4(*.,X)-Jf2M')X
/, о L I <i о у = 1
dtdX = 0 (£ = 1,2,...,/);
Х«М*,8)Я„ (8,Х)йГШ
L = 0: [2Да,(х)Г^(х,Х)Ь (/п,Х)_ f J%(*)w,X
X (*. 8)*v,(8. MrfW/ljrfXrft = 0 (k = 1, 2,..., /),
откуда следует, что необходимые условия совпадают и имеют вид
i и ft
Ry^l)= 2 J^(0 Jwy(/,»)/?(», X)Л Л (*-1,2,...,/).
У-Ui \0 У /
(8.27)
Изложенное выше показывает, что из условия минимума
критерия (8.26) не удалось получить необходимых условий для
отыскания и оптимальной импульсной переходной функции Wi(tf т)
и весовой функции прогнозирующего устройства ai{t).
288

Введя обозначение
!V (t, >0 = f w; (/, 8) R (S, X) «Ю, (8.28)
0 '
перепишем условие (8.27) в виде
^(^Х)= 2 f^(O^U.M* (Л- 1.2 /). (8.29)
* = i *t
Сравнивая условия (8.15) и (8.29), можно заметить, что по
форме они являются равноценными. По существу же условия (8.29)
позволяют найти решение поставленной задачи только при
условии известной импульсной переходной функции Wj(t, т)
динамической системы, производящей фильтрацию измеренного сигнала.
В одномерном случае будем иметь
ц (*,*) = jW,8)/?„(8,X)<«. (8.30)
6
*у*('п.Ь)в \a{t)^{ty\)dt. (8.31)
t,
Легко видеть, что условия (8.30), по существу, являются
условием Винера, т. е. условием оптимальной фильтрации измеренного
сигнала, поэтому в одномерном случае раздельное решение
последовательности задач оптимальной фильтрации и прогнозирования
состояний случайного процесса обеспечивает оптимальное
значение критерия качества (8.26),так как
РСМ «*„('.*).
Итак, выражение (8.31) имеет вид
^ = ('п. } ) = f * (<) #/v К } ) Л- (8-32>
Сравнивая выражения (8.15) и (8.32), можно заметить, что они,
по существу, отличаются корреляционной связью в правой части
/?/v(t, X) и ^vv(t, X), что, естественно, является важным с точки
зрения решения задачи прогноза.
Выше рассмотрен алгоритм непрерывной обработки функций
наблюдения в целях решения задачи прогноза будущих
состояний. Схема работы устройства прогноза дана на рис. 8.1 и 8.2.
При использовании цифровых вычислительных машин для
решения задачи прогноза будущих состояний процесса функции
289

наблюдения r\i(t) будут измеряться в дискретных точках t\ + At,...,
..., t2 с интервалом At:
Ъ (ti + Ml ъ (t + 2Д/), ....4i(ti +/U), ...,Ъ (/а),
4i Ci + АО, Ч| С + 2АО, ...,4i('i+ 7*0, • • м Ч (<з)
V0
y(tiH
y(tui)
Рис. 8.1. Схема прогноза фазовых координат в заданный момент времени
Mi
y(tui)
Рис. 8.2. Схема прогноза фазовых координат в заданный момент
времени со сглаживанием измеренных сигналов
и задача построения алгоритма прогноза сведется к реализации
алгоритма
У('п) =22 a^t.+jAt). (8.33)
/ = 1 j = i
Для определения коэффициентов а^ введем вектор Л,
составленный из элементов ац вида
А* = (ana2i.. .апа12а22...%),
290

а измерения функций наблюдения расположим в вектор-строку
вида
Тогда выражение (8.33) можно представить в виде
У('п)= 2*Л' N = lxn.
/ = i
Сформулировав критерий оценки точности прогноза в форме
^А L i = l J
получим систему линейных алгебраических уравнений для
определения коэффициентов
N
2
I = 1
M[y(tn)cr] = 2M*[<*V] (r = 1,2,...,7V). (8.34)
Выражения M\y(tn)cr] и М [<уг] в системе уравнений (8.34)
означают Л1 [у (*n)i]v (уД*)] и М [t]v (уд/) т)5 (Ш)] при v, 5 = 1,2,..., I;
ij = 1,2,..., /г.
В практических задачах / и п могут быть достаточно
большими числами, поэтому в ряде случаев представляется
целесообразным коэффициенты ai(t) сформировать с использованием
некоторой системы заданных функций
Tl('),?2(0,- ••.?*(*).
тогда будем иметь
мх
л, (О- 2а"*'(<> (*-1.2,..-0. (8.35)
Подставляя выражение (8.35) в уравнение для критерия
качества (8.13), получим
l h Mi
7-*,('.)-2 2 1 2e»**(T)/W«.*)*+
/ = i /х л = 1
+ 2 2 Лв1Л(*)«л(ол «.*)*-
I Mx l Mx
=U)-22 2e»wi+ 2 2 aA^ <8-36>
291

где обозначено
Ki - f J ?* (*) ?P (0 R^ (A ') dtdt. (8.37)
Из условия ^-«0 получим систему алгебраических уравнений
для определения искомых коэффициентов aik:
г м1
2 2 <iaJp = w* (i = Ь 2- • •> Ь * « 1, 2,..., Мх). (8.38)
/=1/>-1
Рассмотренная процедура позволяет избежать получения
системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода,
обладающих значительными неприятностями при ее решении, однако
сходимость решения к оптимальному при малом числе М\ трудно
гарантировать, хотя при М\-+оо решения (8.38) сходятся к аг(/).
Для /=1 система уравнений примет вид
2 w*?ap = wk (k = h 2,..., Mt).
/7=1
Необходимые для проведения расчетов математические
ожидания M[y(tn)i\i(t)], M[r\i(t)i\j(t)]f а также элементы wf£9 wlk
могут быть вычислены путем обработки последовательностей
%(^п, А(1)), vj,.(^,A(2>),...,v!/(4,A(yV)) (/-1,2,...,/), (8.39)
полученных в результате интегрирования системы
дифференциальных уравнений (8.1) для последовательности случайного вектора
А(1), Л<2>,...,Л<"> (8.40)
с помощью ЦВМ. Затруднения, связанные с вычислением
коэффициентов wlKp и wlk по формулам (8.37), можно в значительной
степени преодолеть, если данные коэффициенты представить в форме
где
292

Реализации (8.41) могут быть легко вычислены на ЦВМ при
моделировании процесса (8.1), если исходную систему уравнений
дополнить системой дифференциальных уравнений
#=4i(0?*(0, t£ [tub] (/ = 1,2,-..,/; *» 1,2 Aft).
В остальном обработка последовательностей
рассчитанных для последовательностей (8.40), может быть
произведена с помощью рекуррентных соотношений метода
статистических испытаний.
При решении задачи построения алгоритма прогноза
использована априорная информация о возмущающих воздействиях,
вызывающих отклонение наблюдаемого процесса от опорного. В про-
цессе управления не предусматривается накопление информации
о возмущающих воздействиях и адаптация полученного
алгоритма.
Использование результатов прогноза в соответствии с
задачами 8.2 и 8.3 при оптимальном управлении процессом требует
знания эффективности управляющих воздействий, приложенных
в моменты коррекции t\9 t2,..., tp на фазовые состояния процесса
в очередные моменты коррекции и на терминальное состояние
системы.
§ 8.3. Определение эффективности управляющих воздействий
на состояние процесса
При формировании оптимального управления АСЛ, А£/2,...,
AUP необходимо определить состояние процесса, которое
обусловлено данным управлением, т. е. знать структуру и параметры
состояния исследуемой системы в функции управлений А£Д-
ЬХ(Т) = ДХ(Д£Л, Д£Л,..., Шр, Т) (8.42)
или состояния системы в очередной момент коррекции
д*(;ж) = д*(дц,*ж). (8.43)
Так как управления At/* прикладываются к системе (8.1)
скачком в момент времени U и остаются постоянными на интервале
t £ ['/» *1+ат]> то определение структуры функций (8.42) или (8.43)
может быть связано либо с представлением последних с помощью
ряда Тейлора
р
д£±Х (Т)
Щ+...9 (8.44)
Д*(Г)=Д*(7\ Ш^0)+2-^Щ7
**(',+,) - **('«+!. Щ -0)ч- ^Г |0 Wt + ... (8.45)
293

или с аппроксимацией АХ (Г) и AX(ti) некоторыми полиномами:
AX(T) = a0+j?ialUJi + ..., (8.46)
LX[tl+l) = a0 + albUl+.... (8.47)
Для построения рядов (8.44) и (8.45) необходимо на опорном
движении процесса (8Л) вычислять функции чувствительности
первого, второго и т. д. порядка вектора ДХ к управляющим
воздействиям.
Использование уравнений чувствительности связано обычно
со значительной предварительной работой по определению
дифференциальных уравнений чувствительности. Частные производные
первого порядка могут быть вычислены при наличии линейной
модели исследуемого процесса (8.1)
bX = A(t)HX + B(t)W,
если воспользоваться интегралом свертки
t
LXt (t) = j* wt (*, x) В (t) Щ (x) dz.
6
Так как A Ui = const на интервале t £ [*., </+дг], то будем иметь
fi (8.48)
Ящ(Т)= fwi(T9x)B(z)dx.
H
Для расчетов по формулам (8.48) необходимо предварительно
вычислить сечения w(tu t), до (Г, t) импульсной переходной
функции w(t, т) линейной модели (ДХ=ЛДХ) в различные моменты
времени tu t2i ..., tPi T.
Принципиально оба указанные пути могут быть успешно
использованы для решения поставленной задачи, однако им присущ
один общий недостаток, связанный со значительной
предварительной работой по линеаризации системы нелинейных
дифференциальных уравнений (8.1). Следует отметить еще одно
обстоятельство, которому часто не придается должное внимание при
построении управления для нелинейных процессов. При вычислении
опорных траекторий часто интегрируют уравнения (8.1) при
условии, что все случайные составляющие возмущающих факторов
равны нулю, т. е. исследуют систему уравнений
■** = /*(*ь*2,..., хп, [Mv1]9...fM(vm)9 £/(/)),
xi{t0) = M[xlQ] (*«1,2,...,л). (8.49)
294

Обозначим решения системы уравнений (8.49) через Xi(t)
(i=l, 2, ..., /г). Математические_ожидания решений системы
уравнений (8.1) обозначим через x<(f) =M[Xi(t)], (/=1, 2, ..., /г).
Очевидно, что разность полученных решений
bxi(t)=xi(t)-xi(t) (/-1,2,..., п) (8.50)
не равна нулю в общем случае.
Управление процессом (8.1) с целью сведения к нулю
рассогласований
bXi {ty V) = xt (*, V) - xt (t) = Ax, (t) + Ax, (/, V) (i = 1, 2,..., n)
(8.51)
связано с компенсацией как систематической ошибкой Дх*(0» так и
случайной составляющей рассогласований, что, естественно, может
привести к значительным отклонениям управляющих воздействий
от опорных и к значительным отклонениям текущих состояний
процесса от опорных при наличии ограничений на управляющие
воздействия.
Для компенсации систематической ошибки рассогласований
Axi(t), очевидно, необходимо найти математические ожидания
корректирующих импульсов А (У* также, чтобы обеспечить
Ад;г(*)=0, или в качестве программных движений рассматривать
фазовые состояния Xi(t)9 что, вообще говоря, дает один и тот же
эффект, а именно происходит замена опорного движения по
фазовым координатам Xi(t) на фазовые координаты Xi(t)
(i=l,2,..., /г). Последнее означает, что линеаризацию уравнений
движения (8.1) необходимо производить так, чтобы элементы
матриц линейной модели процесса
о п г т
^ - У аи (t) Ai, + J b^Uj + 2 CyV, (8.52)
вычислять на опорной траектории, характеризуемой состояниями
li(t) (/=1,2,..., п), т. е.
dfi
ач ~ Щ
=*, (0
С вычислительной точки зрения это означает, что для получения
фазовых координат ~Xi(t) необходимо исследовать нелинейную
возмущенную систему уравнений (8.1) одним из методов анализа
рассеивания нелинейных стохастических систем для определения
решений Xi{t), а затем производить линеаризацию нелинейных
уравнений.
295

Использование уравнений чувствительности также
предполагает параметрическую линеаризацию нелинейных стохастических
уравнений (8.1) относительно решений Х{ (t):
где
dxt __ d/i
г/А: — /)Л//. > #*7
А - AfA
U'tb —
ik dMJk\
Ч~л1
Поэтому для вычисления эффективности управляющих
воздействий с использованием системы линеаризованных уравнений (8.52)
или с помощью моделей чувствительности (8.53) требуется
значительная предварительная работа по определению решений
Xi(t) и линеаризации нелинейных уравнений (8.1) относительно
найденных решений.
В связи с этим представляется возможным указать на менее
трудоемкий алгоритм вычислений эффективности управляющих
воздействий с использованием описанного выше метода
вероятностной аппроксимации.
Используя полученные в шестой главе расчетные формулы и
вычислив элементы вектора Z с помощью одного из методов
исследования нелинейных систем, получим структуру функции ДХ по
параметрам управления. В целом вычислительная процедура
состоит в следующем.
Вводится вектор случайных параметров \i=(AU\y Ai/2,...,
AUp)y определяется диапазон изменения управляющих
параметров и предполагается их случайность с нормальным или
равномерным распределением и отсутствием корреляции между элементами
вектора |i. Затем определяются статистические характеристики
вектора \х на основании знания диапазона изменения управлений.
Строится случайная последовательность векторов
lAlA...,^ (8.54)
и для каждого из ее элементов путем решения системы
дифференциальных уравнений (8.1) при векторе Л=0(У=0, АХо=0)
строится последовательность векторов ДХ(^), ДХ(^),..., &X(tp),
&Х(Т), например
Д*(1)(Г), bX{2)(T),...^X{N)(T). (8.55)
Обработка последовательностей (8.54) и (8.55) позволяет
вычислить элементы вектора Zpr = М[кХ(Т)MJpi], а значит,
искомые коэффициенты регрессии.
296

Естественно, при аппроксимации функций &X(ti) полиномами
возникает вопрос о степени приближающего полинома. На этот
вопрос можно ответить, вычислив последовательно коэффициенты
регрессии при двух соседних степенях полиномов или из анализа
ошибки аппроксимации.
§ 8.4. Оптимальные управления с прогнозом фазовых координат
Рассмотрим последовательно решение задач 8.1—8.3,
сформулированных в § 8.1. В задаче 8.1 отсутствует задача прогноза
будущих состояний, однако она достаточно близко примыкает по
структуре алгоритма управления к задачам 8.2 и 8.3 и ее
решение может быть интересно с точки зрения выяснения преимуществ
оптимального управления с прогнозом фазовых состояний.
Так как отыскание структуры функции ср(ДХ) с помощью
аналитических методов синтеза является задачей достаточно
громоздкой и практически неразрешимой, то решение (8.4) ищут обычно
в классе заданных функций с использованием представления
функции ф(АХ) с помощью рядов вида
ср \ЮС(Ь)] = & + J kf^xj (/,) + ..., (8.56)
коэффициенты которых выбирают из условия обеспечения
критерию качества (8.3) минимального значения.
Введя 1-мерный вектор q, составленный из коэффициентов
ko, k{l\k{}}, ... (t = 1,2, ..., р; v, /=1, 2, ..., pi) и подставляя
выражения (8.4) и (8.50) в систему уравнений (8.1), получим
*i = fi (*t» хг. • • • **п • ^i» Vi, • • •, *>«,
Чи ^2»..., ?Л
xi ('о) = Я, о + д*|, о (^ = 1,2 /г). (8.57)
Итак, процесс управления описан системой нелинейных
дифференциальных уравнений (8.57), правые части которых содержат
неизвестные параметры алгоритма управления. Числовые значения
этих параметров обычно находят решением следующей задачи.
Задача 8.4. Для процесса, описанного системой нелинейных
стохастических уравнений (8.57), необходимо определить
параметры управления К из условия обеспечения критерию качества
(8.3) минимального значения.
Задача 8.4 относится к классу задач поиска экстремума
неявной функции многих переменных и может быть решена одним
из ранее рассмотренных итерационных методов поиска
экстремума. При этом хорошее начальное приближение для элементов
вектора q{0) в значительной степени определяет сходимость
итерационных методов поиска экстремума критерия (8.3) и объем
297

вычислений, связанный с его оптимизацией. Укажем поэтому на
один из возможных приемов выбора начального приближения
вектора <7<0) Для задач управления терминальным состоянием
процесса (8.1).
В задачах терминального управления обычно ставится
условие обеспечения в конечный момент времени работы системы
некоторой совокупности условий
Д^ = 1(.(Х(0)-1,№(0)=0 (/=1,2,....v). (8.58)
Разложим функции AL{ в ряд Тейлора относительно элементов
вектора АХ:
AL>= 2-?ir^ + Uo + ... (*=l,2f....v). (8.59)
7=1 '
Если число условий (8.58) равно числу элементов вектора AU,
т. е. p = v, то коэффициенты ряда Тейлора (8.61), вычисленные на
опорном движении в моменты времени коррекции, могут быть
приняты в качестве нулевого приближения вектора q с учетом
эффективности управления в /-тый момент коррекции.
Примером может служить задача управления процессом
снижения летательного аппарата в атмосфере земли в продольной и
боковой плоскости с помощью двух управлений — управления
углом атаки и управления углом скольжения.
Если целью управления летательным аппаратом является
обеспечение посадки в заданную точку на земной поверхности, то,
естественно, требуется выполнение двух условий
\Ll = Li{X(t))~-Ll(x)=0;
AL2 = L2(X(t))-L2(x) = 0,
где L\ и L2 — характеристики продольного и бокового движения
летательного аппарата.
Определив разложение функции ALX и AL2 в ряд Тейлора для
i-тых моментов управления
j = 1 ' ] I
Ml2 - дЦо + У т£-1 Ах, +.... (8.60)
и учитывая эффективность управления (пусть определяется
линейной регрессией)
298

из условии
AL}'»-All" (У, О-О,
bLp-LLP(Tftt) = 0
можно получить алгоритм управления вида
Ди(1> = 2^-С"^
д
ДиГ> = 1"М1 + С'ыг~* ^ (8 61 >
где
д = citj ii2—ciijii,.
Подставив в соотношения (8.61) выражения (8.60), получим
управления в форме
+их* _ff!lkz^!£k дл- +...
Ди(2) = -т1^,о+^4о , -T^/ + ci^'AY[
+ АЛГ*~7""'д+С"**'аЛ: + ,.,, (8.62)
где
.1 (дМ,\ ,,i [ <MZ8 \
Из равенства выражений (8.56) и (8.62) получим нулевое
приближение для вектора коэффициентов q(°l
В остальном решение задачи 8.4 производится с
использованием алгоритмов статистической оптимизации динамических
систем.
Аналогично могут быть решены задачи построения управления
для задач 8.2 и 8.3, при этом в разложениях функций управления:
(8.56) должны использоваться значения вектора ДХ(/),
полученные в результате прогноза по данным текущих измерений.
29£

CONCLUSION
The succesful solution of the aircraft motion control problem in
the earth atmosphere dense layers is closely connected with the
knowledge storage about its physical performances change.
In this book the authors have made an attempt to develop the
stochastic models construction methods of the random
thermodynamic parameter components change of the atmosphere dense layers
and wind to take into account of the atmosphere performances
changeability in aircraft missions of various types.
The random fluctuation representation of physical atmosphere
parameters in the* class of stationary random functions (by Puga-
chev), allowed to establish canonic (linear) and noncanonic
(nonlinear) resolutions of random thermodynamic parameters and wind
components and to estimate the established models trustworthiness.
This in turn allowed to replace the random function simulation
problem in analysing the aircraft trajectory scattering in the
atmosphere dense layers by the simulation problem of the noncorrelated
random values system.
The replacement of one problem by another has much identified
the character of the above stated in the last four chapters, devoted
to the computer development of the statistic analysis and the
aircraft control processes optimization in the atmosphere dense
layers, described by the nonlinear differentiated equations, envolving
in the right parts the above mentioned noncorrelated random values
system.
In stating the statistic methods of solutions research of the
nonlinear differential equations, the known results, received by B. G. Dos-
tupov, V. I. Chernecky, V. M. Ponomarev et. al., and some methods
and algorithms, developed by the authors, are diven here. These are
the methods of the probability approximation, extended factor space
and etc., which much simplify the statistic research of the spacecraft
motion control processes.
The methods of the sensitivity theory, the multifactor analysis
and the probability approximation are used in sonstruction nonlinear
static models in the estimation problem of random factors
significance and the control process optimization.
A comparative estimation given in the book can help the
investigator to choose the method in the solution of the concrete problems
of the aircraft motion control.
In some cases the authors gave a great attention to the used side of
the question to make the methods of the statistic analysis of solu-
tion nonlinear stochastic differential equation more accessible for
engineering.
300

ЛИТЕРАТУРА
1. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., Физ-
матгиз. 1963.
2. Андреев Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных
систем. М., «Наука», 1966.
3. А р е ф ь е в А. В. и др. Результаты измерения ветрового режима метеорной
зоны радиолокационным методом. — Геомагнетизм и аэрономия, 1966, № 4,
т. 6.
4. Багров Н. А. Аналитическое представление последовательности
метеорологических полей посредством естественных ортогональных составляющих. —
Труды ЦИП, 1959, вып. 74.
5. Беляев В. П., Белтадзе Т. Г., Литовченко В. Л. Некоторые
результаты экспериментальных исследований турбулентности атмосферы
с помощью радиозондов. — Труды ЦАО, 1964, вып. 54.
6. Бен дат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применение. М.,
«Наука», 1965.
7. Бирюков Л. А., Каст ров В. Т. О суточном ходе температуры в
стратосфере.— Метеорология и гидрология, 1961, № 8.
8. Боровикова А. С, Мерцалова О. Б. Широтные средние квадрати-
ческие отклонения температуры свободной атмосферы над северным
полушарием. — Труды НИИАК, 1965, вып. 30.
9. Б у с л е н к о Н. П. и др. Метод статистических испытаний. М., Физматгиз,
1962.
10. Вительс Л. А. Солнечная активность, преобразование форм атмосферной
циркуляции и внутримесячные колебания температуры. — Труды ГГО, 1959,
вып. 87.
11. Воробьев В. И. Высотные фронтальные зоны северного полушария. Л.,
Гидрометеоиздат, 1968.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, М., «Наука», 1966.
13. Горбатенко С. А. и др. Механика полета. М., «Машиностроение», 1969.
14. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей, М., «Наука», 1969.
15. Делов И. А. Турбулентные движения в верхней атмосфере на высотах
90—110 км и их связь с другими явлениями. — Проблемы космической
физики, 1966, вып. 1.
16. Дубенцов В. Р. Основные особенности распределения температуры
в атмосфере в различные сезоны в слое 0—100 км. — Метеорология и
гидрология, 1968, № 9.
17. За брейк о П. П. и др. Интегральные уравнения. М., «Наука», 1968.
18. Ив ановский А. И., Кивганов А. Ф. О роли радиационных и
турбулентных притоков тепла в формировании температурной стратификации
в стратосфере и нижней мезосфере. — Труды ЦАО, 1970, вып. 96.
19. Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика
нелинейных автоматических систем. М., Физматгиз, 1962.
20. Казаков И. Е. Статистические методы проектирования систем
управления. М., «Наука», 1969.
301

21. Калман Р. Вариационный принцип выбора оптимального фильтра из
условия минимума квадратов ошибки. — В сб.: «Самонастраивающие
автоматические системы». Труды Международного симпозиума. М., «Наука»,
1964.
22. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего
анализа. Л., Физматгиз, 1962.
23. Кащеев Б. Л., Делов И. А. Рухи атмосфери Земл на высот 90—
100 км. ДАН УССР, 1964, т. 7.
24. Кац А. Л. Циркуляция в стратосфере и мезосфере. Л., Гидрометеоиздат,
1968.
25. Кащеев Б. Л., Н е ч и т а й л е н к о В. А., Суворов Ю. И. Дрейф
метеорных следов. — Геомагнетизм и аэрономия, 1966, № 4, т. 6.
26. Кивганов А. Ф. Радиационные источники и стоки тепла в стратосфере
и нижней мезосфере. — Труды ЦАО, 1970, вып. 96.
27. К и д и я р о в а В. Г. Вариации плотности атмосферы на высотах 25—
80 км. — Метеорология и гидрология, 1966, № 1.
28. Ко л м ого ров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой
вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. — ДАН СССР,
1941, т. 30, № 4.
29. К о л м о г о р о в А. Н. Рассеивание энергии при локально-изотропной
турбулентности. — ДАН СССР, 1941, т. 32, № 1.
30. К о м а р о в В. С. Пространственные корреляционные связи температуры
в свободной атмосфере над некоторыми районами северного полушария.—
Труды НИИАК, 1967, вып. 40.
31. Крамер Г. Математические методы статистики. М., Изд. иностр. лит., 1948.
32. Л е н и н г Д. X., Б е т т и н Р. Т. Случайные процессы в задачах
автоматического управления. М., Изд. иностр. лит., 1958.
33. Л и Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и Управление. М.,
«Наука», 1966. %
34. Л о г и н о в В. Ф., Сазонов Б. И. Температура северного полушария и
космические факторы. — Вестник ЛГУ, 1967, № 18, вып. 3.
35. Л о у л и Д., Максвелл А. Факторный анализ как статистический метод.
М., «Наука», 1967.
36. Май бород а Л. А. Об использовании метода наименьших интегральных
квадратов в задачах анализа рассеивания нелинейных динамических
систем. — Труды Первой поволжской конференции по автоматическому
управлению. Казань, 1971.
37. Математические модели и методы оптимального планирования. Под ред.
Л. В. Канторовича. Новосибирск, 1966.
38. М е р ц а л о в а О. Б. Методика расчета вертикальных корреляционных
связей температуры и давления в свободной атмосфере и некоторые выводы из
полученных результатов. — Труды НИИАК, 1965, вып. 30.
39. Михлин С. Г. Лекции по нелинейным интегральным уравнениям. М.,
Физматгиз, 1959.
40. Михневич В. В., Солоненко Т. А., Филиппова А. Ф. О
корреляции между явлениями на Солнце, геомагнитными возмущениями и
давлением в тропосфере и стратосфере. — Тезисы доклада на Всесоюзной
конференции по научным итогам МГСС. М., 1967.
41. Мусте ль Э. Р., Сазонов Б. И. Современное состояние проблемы
«Солнце — нижняя атмосфера». — Тезисы доклада на Всесоюзной
конференции по научным итогам МГСС. М., 1967.
42. Н а л и м о в В. В., Чернова Н. А. Статистические методы планирования
экстремальных экспериментов. М., «Наука» 1965.
43. Нелинейная оптимизация систем автоматического управления. Под ред.
В. М. Пономарева. М., «Машиностроение», 1970.
44. Новые идеи в планировании эксперимента. Под ред. В. В. Налимов а.
М., «Наука», 1969.
45. Ньютон Дж., Кайзер Дж. Ф., Гулд Л. А. Теория линейных
следящих систем. М., Физматгиз, 1961.
46. Обнаружение и распознавание. Планирование экспериментов. — Доклады
302

II Всесоюзного совещания по статистическим методам теории управления.
М., «Наука», 1970.
47. О надежности сложных технических систем. Сб. трудов семинара секции.
надежности Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» при.
Президиуме АН СССР, М., «Советское радио», 1966.
48. О б у х о в А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного
потока.—Изв. АН СССР, сер, геогр. и геофиз. 1941, № 4—5.
49. П а в л о в с к а я А. А. Связь между процессами в тропосфере и нижней
стратосфере. — Труды ЦИП, 1964, вып. 137.
50. Петров А. А., Рязанова Л. Н. О трех случаях внезапного потепления
арктической стратосферы. — Труды ЦАО, 1964, вып. 52.
51. Пи ну с Н. 3. Структура поля скоростей ветра в верхней тропосфере и
нижней стратосфере. — Метеорология и гидрология, 1962, № 4.
52. П и н у с Н. 3. Некоторые результаты исследований мезо- и микроструктуры
поля ветра на высотах 6—12 км. — Труды ЦАО, 1964, вып. 53.
53. П и н у с Н. 3., Щербакова Л. В. Спектральные характеристики
флуктуации скоростей ветра в нижней половине тропосферы. — Труды ЦАО,.
1964, вып. 53.
54. Пи тер сон И. Л. Статистический анализ и оптимизация систем
автоматического управления. М., «Сов. радио», 1964.
55. Погосян X. П. Общая циркуляция атмосферы. Л., Гидрометеоиздат, 1972.
56. Погосян X. П., Павловская А. А., Шабельникова М. В.
Взаимосвязь процессов в тропосфере и стратосфере северного полушария.
Л., Гидрометеоиздат, 1965.
57. П о г о с я н X. П., Павловская А. А. О влиянии солнечной активности
на изменения температуры и циркуляция в стратосфере. — Метеорология и
гидрология, 1966, № 1.
58. Пономарев В. М., М а ибо род а Л. А. Метод вероятностной
аппроксимации.— Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971, № 3.
59. П о н о м а р е в В. М. Теория управления движением космических
аппаратов. М., «Наука», 1965.
60. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М., Гостехиздат, 1962.
61. Ра стриги н Л. А. Статистические методы поиска. М., «Наука», 1968.
62. Р о з е н в а ссе р Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем
автоматического управления. Л., Энергия, 1969.
63. Рязанова Л. А. Особенности температурного режима слоя 25—50 км.—
Труды ЦАО, 1964, вып. 52.
64. Садиков а Е. В. Фотометрия метеоров. — Информ. бюлл. МГГ, 1960,
№ 21.
65. Садиков а Е. В., Шербаум Л. М. Некоторые итоги фотографических
наблюдений метеоров в Киеве в 1957—1961 гг. — Проблемы космической
физики. Метеоры. 1966, вып. 1.
66. С а з о н о в Б. И. Высотные барические образования и солнечная
активность. Л., Гидрометеоиздат, 1964.
67. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического
управления. Под ред. Б. Г. Доступов а. М., «Машиностроение», 1970.
68. С т е л ь м а х Ф. Н. Особенности корреляционных связей температуры
в слое тропопаузы. — Труды НИИАК, 1967, вып. 40.
69. С т е л ь м а х Ф. Н. Вертикальные корреляционные связи температуры над
северным полушарием. — Труды НИИАК, 1965, вып. 30.
70. Т а т а р с к и й А. И. Методы изучения атмосферной турбулентности. — Изв.
ВУЗ. Радиофизика, 1960, т. 3, № 4.
71. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967.
72. У ил кс С. Математическая статистика. М., «Наука», 1967.
73. Ф а д д е е в А. К., Ф а д д е е в а В. Н. Вычислительные методы в линейной
алгебре. М., Физматгиз, 1963.
74. Ф е л ь д б а у м А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем.
М., «Наука», 1966.
75. Ф и н н и Д. Введение в теорию планирования экспериментов. М., «Наука»,
303

76. X а з е н Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи
оптимального управления. М., «Советское радио», 1968.
77. X и к с Ч. Основные принципы планирования эксперимента, М., «Мир», 1967.
78. X в о с т и к о в И. А. Исследование стратосферы при помощи
метеорологических ракет в СССР в Международном геофизическом году и
Международном геофизическом содружестве. — Труды ЦАО, 1964, вып. 52.
79. Чернедкий В. И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.,
«Машиностроение», 1968.
80. Шабельникова М. В. О роли вертикальных движений в изменении
температуры при стратосферных потеплениях. — Метеорология и гидрология,
1966, №11.
81. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М., Физматгиз, 1963.
82. Шур Г. Н. Экспериментальные исследования энергетического спектра
атмосферной турбулентности. — Труды ЦАО, 1962, вып. 43.
83. Шур Г. Н. Спектральная плотность турбулентности в свободной атмосфере
по данным самолетных исследований. — Труды ЦАО, 1964, вып. 53.
84. Ю д и н М. И. Вопросы теории турбулентности и структуры ветра с
приложением к задаче о колебаниях самолета. — Труды НИЦ ГУГМС, 1946,
вып. 35, сер. 1.
85. Ю р г е н с о н А. П. О связи между термической устойчивостью атмосферы
и структурой турбулентных движений. — Труды ЛВИКА, 1961, вып. 387.
86. Booker H. G. and Cohen R. A theory of londuration meteorechoes,
based on atmospheric turbulence with experimental confirmation. J. Geophys.
Res., v. 61, No. 4, 1956.
87. В о о k e r H. G. Turbulence in the ionosphere with applications to meteor-tails,
radio-star scintilation, auroral radarechoes and other phenomena. J. Geophys.
Res., v. 61, No. 4, 1956.
88. В е у e r s N. J., M i e r s В. Т. Diurnal temperature change in the
atmosphere between 30 and 60 km over white sands missel range. J. Atmos. Scien.,
v. 22, No. 3, 1965.
89. С о 1 e A. E., К a n t о r A. J., Nee P. Stratospheric temperature variations
25±0 —55 kilometers at latitude 15° N. J. Geophys. Res., 70, No. 20, 1965.
90. С о 1 e A. E. Suggestion of a second isopycnic level of 80 to 90 kilometers over
Churchill. Canada, J. Geophys. Res., 66, No. 9, 1961.
91. Craig R., Lateef M. A. Vertical motion during the 1957 stratospheric
warming. J. Geophys. Res., 67, No. 5, 1962.
92. F i n g e r F. G., T e v e 1 e s S. The mid-winter 1963 stratospheric warming
and circulation change. J. Appl. Met., 3, No. 1, 1964.
93. G о о d у R. M., L i n d z e n R. S. Radiative and photochemical processes
in mesospheric dynamics. Part 1, Models for radiative and photocj^mical
processes. J. Atmos. Scien., 22, No. 4, 1965. '
94. G r a n i t z n у Р. Uber die grossenordnung der grossraumigen vertikalbewe-
gungen in der honeren stratosphare. Abhange fust Metorol. Geophys., Freien
Univ. Berlin, 78, No. 7, 1967—1968.
95. G r e e n h о w J. S., N e u f e 1 d E. L. Measurements of turbulence in the
upper atmoshere. Proc. Phys. Soc, 74, Part 1, No. 475, 1959.
96. G r e e n h о w J. S., N e u f e 1 d E. L. Measurements of turbulence in the 80
to 100 KM region from the radio observations of meteors. J. Geophys. Res..
61, No. 4, 1956.
97. Greenhow J. S. Systematic wind measurements at altitude of 80—100 KM
using radio echoes from meteor trails. Thephie Mag., 45, No. 364, 1954.
98. G r e e n h о w J. S. Diurnal variations of density and scale heights in the
upper atmosphere. J. Atmos. and Terr. Phys., 18, No. 2/3, 1960.
99. H a r r i s M. F., Finger F. G., T e v e 1 e s S. Diurnal variations of winds,
pressure and temperature in the troposphere and stratosphere over the Azores.
J. Atmos. Scien., 19, No. 2, 1962.
100. Jones L. M., Peterson J. W., S с h a e f e r E. J. and S с h u 11 e H. F
Upper air density and temperature: some variations and abrupt warming in
the mesosphere. J. Geophvs. Res., 64, No. 12, 1959.
101. Kao S. K. and Sands E. E. Energy spectrum and eddy kinetic energies
304

of the atmosphere between surface and 50 kilometers. J. Geophys. Res., v. 72.
No. 22, 1966.
102. К a 1 m a n R. E. A new approach to linear filtering and prediction
problems. Trans. ASME, J. Basic Engineering, March, 1960.
103. К an tor A. J., Cole A. E. Zonal and meridional winds to 120 KM. J.
Geophys. Res., 69, No. 24, 1964.
104. Kantor A. J., Cole A. E. Monthly atmospheric structure, surface to
80 KM. J. Appl. Met., 4, No. 2, 1965.
105. Кар р R. R. The accuracy of winds derived by the radar tracking of chaff
at high altitudes. J. Met., 17, No. 5, 1960.
106. Kays M., G r a i g R. A. On the order of magnitude of largescale vertical
motions in the upper stratosphere. J. Geophys. Res., 70, No. 18, 1965.
107. La Ну V. E., Levi ton R. L. Accuracy of wind determination from
the track of a falling object. Air Force Surveys in Geophysics, No. 93, GRD
AFCRC, 1958.
108. Lendhard R. W. Variation of hourly winds at 35 to 65 KMs during one
day at eglin air force base, Florida. J. Geophys. Res., 68, No. 1, 1962.
109. L i n d z e n R. S. The radiative photochemical response of the mesosphere
to fluctuations in radiations. J. Atmos. Scien., 22, No. 5, 1965.
110. Miers В. Т. Wind oscillations between 30 and 60 KM over white sands
missle range. New Mexico, J. Atmos. Scien., 19, No. 2, 1962.
111. Mironovitch V. Stratospheric-tropospheric evolution and geomagnetic
t activity. Beitr. Phys. Atmos., 40, No. 3, 1967.
112. Maxwell A. Turbulence in the upper atmosphere. Phyl. Mag., 45, No. 371,
1954.
113. M u r g a t г о у d R. J., Goody R. M. Source and sinks of radiative energy
from 30 to 90 KMs. Quart. J. Royal Met. Soc, 84, No. 361, 1958.
114. Peterson J. W., Hansen W. H., Mewatters K. D. and Ban*
fant G. Falling sphrtr measurements over kwajalein. J. Geophys. Res., 70,
No. 18, 1965.
115. Quiros R. S. The high-latitude density regime at rocket altitude inferred
from observations in opposite hemisphere. J. Appl. Met., 5, No. 3, 1966./
116. Sheppard P. A. Dynamics of upper atmosphere. J. Geophys. Res., 64,
No. 12, 1959.
117. Sherhag R. Stratospheric temperature change and the associated changes
in pressure distribution. J. Met., 17, No. 6, 1960.
118. Sherhag R. Variations of the stratospheric temperature and related with
variations of the pressure distribution. J. Met., 17, No. 16, 1960.
119. Wiener N. The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary
Applications. Jhon Wiley and Sons Inc. New York, 1949.
120. Data report meteorological rocket network, 1961—1966.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора $
Предисловие авторов 4
Введение ' &
Глава 1. Особенности распределения температуры, давления и плотности
воздуха в плотных слоях атмосферы
§ 1.1. Температурный режим в тропосфере, стратосфере и мезосфере 12
§ 1.2. Особенности распределения давления в тропосфере, стратосфере
и мезосфере 19
§ 1.3. Плотность воздуха в тропосфере, стратосфере и мезосфере . . 22
§ 1.4. Внезапные потепления в стратосфере и связанные с ними
вариации термодинамических параметров атмосферы 25
Глава 2. Структура поля ветра в тропосфере, стратосфере и мезосфере
§ 2.1. Режим ветра в тропосфере, стратосфере и нижней мезосфере 30
§ 2.2. Особенности распределения ветра в слое метеорных следов . . 34
§ 2.3. Турбулентные движения в плотных слоях атмосферы 37
Глава 3. Вертикальная статистическая структура физических параметров
воздуха в плотных слоях атмосферы
§ 3.1. Характеристики вертикальной статистической структуры физиче- tt
ских параметров атмосферы 53
§ 3.2. Особенности распределений по высоте средних значений
температуры, давления и плотности воздуха в плотных слоях
атмосферы 59
§ 3.3. Корреляционные матрицы температуры, давления и плотности
воздуха 74
§ 3.4. Статистические характеристики ветра в плотных слоях атмосферы 87
§ 3.5. Точность определения статистических характеристик физических
параметров атмосферы 95
Глава 4. Некоторые формы представлений атмосферных возмущений
§4.1. Аппроксимация автокорреляционных функций температуры,
плотности воздуха и ветра аналитическими выражениями 101
§ 4.2. Неканонические разложения температуры, плотности воздуха и
составляющих скорости ветра 114
§ 4.3. Канонические разложения температуры, плотности воздуха и
составляющих скорости ветра 120
§ 4.4. Формирующие фильтры физических параметров атмосферы . . 132
§ 4.5. Представление атмосферных возмущений с помощью
собственных элементов корреляционных матриц физических параметров
атмосферы 136
§ 4.6. Дискретно-непрерывное представление случайных процессов
в рамках корреляционной теории 147
306

ч
Глава 5. Статистические методы исследования движения летательных
аппаратов в плотных слоях атмосферы
§ 5.1. Модели нелинейных процессов управления 153
§ 5.2. Статистический анализ нелинейных систем по линейному
приближению J 70
§ 5.3. Методы статистического исследования нелинейных процессов . 183
§ 5.4. Метод статистического анализа процессов управления с
дискретно-непрерывной моделью возмущений 205
Глава 6. Исследование влияния атмосферных возмущений на движение
летательных аппаратов в плотных слоях атмосферы
§ 6.1. Исследование значимости атмосферных возмущений 207
§ 6.2. Метод вероятностной аппроксимации 213
§ 6.3. Построение полиномов первой, второй и третьей степени при
вероятностном планировании эксперимента 221
§ 6.4. Точность аппроксимации при вероятностном планировании
эксперимента 230
§ 6.5. Вычисление оценок моментов Z 232
Глава 7. Численная оптимизация алгоритмов управления движением
летательных аппаратов
§ 7.1. Оптимизация систем управления движением летательных
аппаратов 236
§ 7.2. Методы поиска экстремума функций многих переменных . . . 238
§ 7.3. Методы вычисления частных производных для статистических
характеристик стохастических процессов 246
§ 7.4. Методы построения аппроксимирующих полиномов 257
§ 7.5. Метод вероятностной аппроксимации в задачах построения
аппроксимирующих полиномов 259
§ 7.6. Методы учета ограничений в задачах оптимизации систем
управления 270
Глава 8. Статистический прогноз в задачах управления движением
летательных аппаратов в плотных слоях атмосферы
§ 8.1. Управление движением летательных аппаратов в атмосфере
с прогнозом фазовых координат 279
§ 8.2. Прогнозирование фазовых координат нелинейных стохастических
процессов 281
§ 8.3. Определение эффективности управляющих воздействий на
состояние процесса 293
§ 8.4. Оптимальные управления с прогнозом фазовых координат . . . 297
Conclusion 300
Литература 301

Евгений Павлович Школьный
Леонид Александрович Майборода
АТМОСФЕРА И УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Редактор Л, И. Штанникова
Художник В. А Кубасов
Худ. редактор В. А. Каралкин
Техн. редактор М. С. Костакова
Корректор Г. Н. Римант
Сдано в набор 17/XI 1972 г.. Подписано к печати 7/Ш 1973 г.
М-Ш01. Бумага 60X90 Vie» типогр. № 1. Печ. л. 19,25.
Уч.-изд. л. 19,35. Тираж 1100 экз. Индекс МЛ-253. Заказ 1910.
Цена 1 руб. 94 коп.
Гидрометебиздат, 199053. Ленинград, 2-я линия, 23.
Ленинградская типография № 12 им. М. И. Лоханкова „Союзполи-
графпрома" при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
г. Ленинград, 196126, ул. Правды, 15.