НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«МИФИ»
А. Н. Рурукин
С. В. Сочилов
К. Г. Чайковский
Математика 5-6
Пособие для учащихся
6-х классов
Заочной школы МИФИ
Москва

Рурукин А.И., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6.
Пособие для учащихся 6-х классов Заочной школы МИФИ. - М.:
ЗШ МИФИ, 2011.- 92 с.
В пособии рассмотрены и систематизированы понятия
натуральных, дробных, рациональных чисел и действий с ними. Даны
первичные сведения об уравнениях. Разобран учебный материал по ряду
тем, изучаемых в 5-6-м классах, вызывающих затруднения у
учащихся.
Пособие ориентировано на обучение учащихся ЗШ МИФИ
различным способам решения традиционных и нестандартных задач и
развитие навыков решения задач.
© ЗШМИФИ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 6
Основные понятия 6
Сложение и вычитание натуральных чисел 8
Числовые и буквенные (алгебраические) выражения 14
Уравнения 17
Умножение натуральных чисел 20
Степень числа. Квадрат и куб 22
Деление натуральных чисел 25
Делимость чисел 30
2. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА 38
Обыкновенные дроби 39
Действия с обыкновенными дробями 42
Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями 48
Проценты 52
Задачи на части и проценты 53
Среднее арифметическое 61
Пропорции 64
3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 71
Отрицательные числа 71
Модуль числа 72
Действия с отрицательными числами 75
Рациональные и иррациональные числа 77
Решение уравнений 84
Решение текстовых задач с помощью уравнений 87
Заключение 91

Предисловие
Дорогие ребята!
Роль математики в современной жизни чрезвычайно
важна: ни одна финансовая операция, ни один экономический
анализ, ни одно исследование в любой области науки
невозможны без знания математики.
В 5-6-м классах продолжается изучение арифметики и
рассматриваются некоторые понятия из алгебры (буквенные
выражения, уравнения, функции), к изучению которой вы
приступите в 7-м классе.
Наш курс не заменяет, а дополняет обучение в обычной
школе, поэтому каждую тему пособия целесообразно изучать
совместно с материалом, изложенным в вашем школьном
учебнике.
Основная цель данного пособия - помочь развить навыки
решения задач, а развить их можно, только подражая
хорошим образцам и постоянно практикуясь.
Курс разбит на три части. В них авторы старались
изложить все необходимые сведения для решения задач по
каждой представленной теме, рассмотреть наиболее типичные и
нестандартные задачи и дать наиболее рациональные
способы их решения.
Курс не рассчитан на беглое чтение: для развития
навыков решения задач каждый раздел должен быть досконально
изучен, отработаны разобранные решения задач (а их в
каждой части несколько десятков!). Многие задачи существенно
отличаются от обычных школьных. Хотя для их решения
вполне хватает знаний, полученных из школьного учебника,
но необходимы сообразительность, внимание и аккуратность.
Преподаватели Заочной школы МИФИ проделали
огромную работу, создав это пособие, контрольные задания и мето-
4

дические указания к их выполнению. Вы же должны проявить
терпение, трудолюбие и настойчивость в учебе.
Желаем успеха!
Авторы будут признательны читателям за любые отзывы
и замечания.
Кандидат физ.-матем. наук, доцент, соросовский учитель
АН. Рурукин,
учитель высшей квалификационной категории
К. Г. Чайковский
5

1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Данная тема - одна из важнейших тем математики.
Изучается она в основном в 5-6-м классах школы, и в
дальнейшем к ее изучению практически не возвращаются. В то же
время на эту тему существует значительное число самых
разнообразных и трудных задач, которые часто встречаются на
олимпиадах и экзаменах. Даже ученики старших классов, как
правило, большинство задач этой темы, к сожалению, решить
не могут. Поэтому остановимся на этом разделе подробно.
Основные понятия
Натуральные числа используются для счета предметов:
1, 2, 3, 4, ... Для записи натуральных чисел используются
цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись называют
десятичной. Значение цифры зависит от ее места в записи числа.
Например, цифра 7 означает 7 единиц, если она стоит на
последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 7
десятков, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде
десятков); 7 сотен, если она стоит на третьем месте от конца (в
разряде сотен) и т.д.
Пример 1.1. Число 873 можно записать в виде 873 =
= 8100 + 7-10 + 3. Из этой записи видно, что данное число
состоит из 8 сотен, 7 десятков и 3 единиц.
В зависимости от количества знаков в записи числа его
называют однозначным, двузначным, трехзначным и т.д. Так,
в примере 1.1 было рассмотрено трехзначное число 873.
Последовательность всех натуральных чисел называют
натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...
Самое маленькое натуральное число - единица (1). В
натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше
предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в
нем нет.
6

Пример 1.2. Напишем все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 1, 2, 3 и ни одна из цифр не
повторяется.
В разряде сотен может стоять цифра 1. Тогда получаем
два числа: 123 и 132. В разряде сотен может стоять цифра 2.
Поэтому получаем также два числа: 213 и 231. На первом
месте также может стоять цифра 3. Вновь получаем два
числа: 312 и 321. Таким образом, получаем шесть чисел: 123,
132,213, 231,312, 321.
Для наглядности числа принято изображать на
координатном луче. Начертим слева направо луч ОХ. Построим
отрезок OA, длину которого примем за единицу. Над началом
луча О напишем число 0, над точкой А - число 1.
0 1 2 3 4 ^^
О А В С *
Отрезок OA называют единичным отрезком. Отложим
отрезок АВ, равный единичному. Над точкой В напишем число
2 и т.д. Получаем бесконечную шкалу, которую называют
координатным лучом. Числа 0, 1, 2, 3,..., соответствующие
точкам О, А, В, С..., называют координатами этих точек и
пишут: О (0), А (1), В (2), С (3) и т.д.
При счете натуральные числа называют по порядку. Из
двух натуральных чисел меньше то, которое при счете
называют раньше, и больше то, которое при счете называют
позже. Точка с меньшей координатой лежит на координатном
луче левее точки с большей координатой.
Пример 1.3. Число 3 меньше числа 5, как видно по
координатному лучу.
А в х
Результат сравнения двух натуральных чисел записывают
в виде неравенства, используя знаки < (меньше) или >
(больше). Например: 3 < 5, 9 > 5. Число 3 меньше числа 5 и больше
1, что можно записать в виде двойного неравенства: 1 < 3 < 5.
7

Многозначные числа сравнивают поразрядно. Например:
а) число 1384 больше числа 732 (или 1384 > 732), так как
число 1384 четырехзначное, а число 732 - трехзначное;
б) число 2451 больше числа 1964 (или 2451 > 1964), так
как хотя оба числа четырехзначные, но в первом числе
больше тысяч;
в) число 2437 больше числа 2416 (или 2437 > 2416), так
как в первом из этих четырехзначных чисел больше десятков
при одинаковом числе тысяч и сотен.
Сложение и вычитание натуральных чисел
Сложение натуральных чисел. Если прибавить к
натуральному числу единицу, то получится следующее за ним
число. Например:
а) 7 + 1 = 8, 73 + 1 = 74;
б) сложить числа 4 и 2 означает прибавить к числу 4 два
раза по 1:4 + 2 = 4+1 + 1 = 5 + 1=6. Пишут проще: 4 + 2 = 6.
Числа, которые складывают, называют слагаемыми.
Число, получающееся при сложении этих чисел, называют их
суммой. В записи 4 + 2 = 6 числа 4 и 2 - слагаемые, а 6 - их
сумма.
Сложение можно изобразить на координатном луче:
Напомним основные свойства сложения.
1. Переместительное свойство. От перестановки
слагаемых сумма не меняется. Например: 4 + 2 = 2 + 4 = 6.
х
1 8
х
ч 2
8

2. Сочетательное свойство. Чтобы прибавить к числу
сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое
слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе
слагаемое. Например: 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9и(4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9.
+ (2 + 3)
0 1 2 3 4/^5 6 7^1Г\9 10
'CHID9
+ 2 +3
3. Свойство нуля. От прибавления нуля число не
меняется. Например: 4 + 0 = 4 и0 + 4 = 4.
0 1 2 3 4 5
ТУ
Пример 1.4. Доказать, что выполняется двойное
неравенство 3762 + 4816 < 4354 + 5123 < 4861 + 5235.
Решение. Сравним слагаемые в каждой части неравенства.
Очевидно, что выполнены два двойных неравенства:
3762 <4354 <4861 и 4816 < 5123 < 5235.
Два неравенства одного знака можно сложить. Получим
верное неравенство: 3762 + 4816 < 4354 + 5123 < 4861 + 5235.
Что и требовалось доказать.
Пример 1.5. Записать подряд 20 пятерок. Поставить
между некоторыми цифрами знаки сложения так, чтобы
получилось в сумме 1000.
Решение. При решении этой задачи (как и во многих
задачах этой темы) используется метод подбора. Нетрудно
сообразить, что в сумму должны входить трехзначное число 555,
двузначные числа 55 и однозначное число 5:
555 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 5 = 1000.
Вычитание натуральных чисел. Действие вычитания
обратно действию сложения.
9

Пример 1.6. Грибник за два часа нашел 8 белых грибов.
Сколько грибов нашел грибник за второй час, если за первый
час он собрал 5 грибов?
Решение. Пусть за второй час грибник нашел х грибов (х -
некоторая величина). По условию задачи получаем равенство:
5 + х = 8. Из этого равенства надо найти х. В таком равенстве
число 8 является суммой двух чисел, одно из которых равно
5, а другое неизвестно (х). Действие, с помощью которого по
сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое,
называют вычитанием. Тогда пишут: х = 8 - 5 = 3.
Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым (в
нашем примере - число 8); число, которое вычитают,
называют вычитаемым (число 5), а результат -разностью (число 3).
При действиях с натуральными числами уменьшаемое не
может быть меньше вычитаемого.
Разность двух чисел показывает, на сколько первое число
больше второго (или на сколько второе число меньше
первого).
Действие вычитания также можно показать на
координатном луче.
012345678
-5
Вспомним основные свойства вычитания.
1. Вычитание суммы из числа. Чтобы вычесть сумму из
числа, можно сначала вычесть из этого числа первое
слагаемое, а затем из полученной разности - второе слагаемое.
Например: 9-(3 + 2) = 9- 5 = 4и(9-3)-2 = 6- 2 = 4.
^(3 + 2)
0 1 2 3 4^Т^6 7^Т^9 10
-2 -3
10

2. Вычитание числа из суммы. Чтобы из суммы вычесть
число, можно вычесть его из одного слагаемого и к
полученной разности прибавить другое слагаемое. Например:
(6 + 3)-2 = 9-2 = 7, 6-КЗ-2) = 6 + 1=7и(6-2) + 3=4 + 3=7.
0 1 2 3 4 5 6/ 71^^^9 Ю
8 х
+ (3-2)
3. Свойство нуля.
а) Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.
Например: 5-0 = 5.
0123456789 10
б) Если из числа вычесть то же число, получится нуль.
Например: 5-5 = 0.
01 23456789 10
Пример 1.7. За три дня теплоход проплыл 980 км. При
этом в первый день он проплыл 300 км, в третий день - на 60
км больше, чем в первый день. Какое расстояние теплоход
проплыл во второй день?
Решение. Рассчитаем расстояние, которое проплыл
теплоход за третий день: 300 + 60 = 360 км. Теперь легко
вычислить путь, пройденный теплоходом во второй день:
980-300-360 = 320 км.
Таким образом, за второй день теплоход проплыл 320 км.
В задачах с запутанным и длинным условием удобно
использовать диаграмму или таблицу.
Пример 1.8. В мотогонках Юра, Сергей, Антон и Витя
заняли со второго по пятое места. Сергей обогнал Юру на 27
с, но отстал от Вити на 32 с. Антон был впереди Вити на 9 с,
11

но отстал от победителя на 5 с. В каком порядке
финишировали мальчики и с каким отставанием от победителя?
Решение. Составим диаграмму движения мальчиков. В
соревновании участвовали Юра, Сергей, Антон, Витя и
победитель. Отметим точками каждого из участников.
Ю С
•П
В А
Если один из участников отстал от другого, будем на
диаграмме рисовать стрелку от одного к другому отстал и
проставлять время отставания. Так, Сергей обогнал Юру на 27 с.
Применительно к нашему принципу составления диаграммы,
это будет означать, что Юра отстал от Сергея на 27 с. На диа-
~ 1 К) 27 с С _
грамме такой факт мы отметим так: • .
Руководствуясь такими соображениями, легко построить полную
диаграмму:
Ю 27 с ^С
32 с/
В / 9с А
•
Из диаграммы видно, что первым из мальчиков после
победителя финишировал Антон, отстав от него на 5 с, за ним -
Витя, отстав от победителя на (5 + 9) = 14 с. Потом
финишировал Сергей с отставанием 14 + 32 = 46 с. Последним был
Юра, отставший от победителя на 46 + 27 = 73 с = 1 мин 13 с.
Пример 1.9. Мальчик купил пособия по информатике,
математике, русскому языку и биологии. Все книги без
первой стоят 246 руб., без второй - 231 руб., без третьей - 223
руб., без четвертой - 242 руб. Сколько стоит пособие по
каждому предмету?
Решение. Составим таблицу, соответствующую условию
задачи. В первой строке таблицы укажем сокращенное назва-
12

ние пособий, в первом столбце - номер комплекта книг. В
клеточках таблицы плюсом отметим те пособия, которые
входят в данный комплект и стоимость комплекта.
№
комплекта
И
м
РЯ
Б
Стоимость
комплекта, руб.
1
+
+
+
246
2
+
+
+
231
3
+
+
+
223
4
+
+
+
242
При внимательном рассмотрении таблицы видно, что при
сложении стоимостей четырех комплектов книг
246 + 231 + 223 + 242 = 942 руб.
мы получим утроенную стоимость всех книг (так как если
сложить строчки 1 + 2 + 3+ 4, то книги по каждому предмету
входят в сумму по три раза). Поэтому все четыре пособия
стоят 942 : 3 = 314 руб. Если из этой величины вычесть
стоимость первого комплекта, получим стоимость пособия по
информатике:
314-246 =68 руб.
Если из этой величины вычесть стоимость второго
комплекта, получим стоимость пособия по математике:
314-231 = 83 руб.
Аналогично найдём стоимость пособия по русскому
языку: 314 - 223 = 91 руб., по биологии: 314-242 = 72 руб.
Итак, пособия стоят: по информатике - 68 руб., по
математике - 83 руб., по русскому языку - 91 руб. и по биологии
- 72 руб.
Обратите внимание, что использование диаграмм и
таблиц в ряде случаев облегчает решение задач и делает его
более наглядным. Такие же приемы используются и при
решении задач в старших классах. Также очень полезно
применение графиков и ряда других приемов, с которыми вы будете
знакомиться в процессе обучения.
13

Числовые и буквенные (алгебраические)
выражения
Числовые (арифметические) и буквенные
(алгебраические) выражения являются важнейшими понятиями
математики. Фактически математика занимается анализом таких
выражений, их преобразованиями и решениями (различных
уравнений, неравенств и их систем).
Запись, составленная из чисел с помощью
арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление,
возведение в степень) и скобок, называется числовым
(арифметическим) выражением. В частности, сами числа также
можно рассматривать как числовые выражения.
Например: а) 4-8 + 3; б) 4- (8 + 3); в) 42 - 5; г) (3 + 4-3):5;
д)7; е)0.
Число, которое получается в результате выполнения
арифметических действий в числовом выражении, называют
значением числового выражения.
Очень часто к числовым выражениям приводят задачи с
текстовым содержанием.
Пример 1.10. На даче растут четыре яблони, пять вишен и
две сливы. При сборе урожая в среднем было собрано по 20
кг с каждой яблони, 15 кг - с вишни, 18 кг - со сливы. Какой
урожай фруктов был собран в саду?
Решение. Так как с каждой яблони было собрано 20 кг, то
с четырех яблонь 20 • 4 кг яблок. С каждой вишни собрано по
15 кг, поэтому с 5 вишен собрано 15-5 кг ягод. С каждой
сливы собрано 18 кг, а с двух собрали 18 • 2 кг слив. Общий
урожай фруктов равен сумме урожаев яблок, вишни и сливы
и составил:
20-4+15-5+ 18-2 (кг).
Итак, мы получили числовое выражение 20-4 + 15-5 + 18-2.
Вычислим значение этого выражения:
14

204 + 15 5 + 18-2 = 80 + 75 + 36 = 191 (кг).
Ответ: 191 кг.
Пример 1.11. Найти периметр (сумму длин всех сторон)
прямоугольника со сторонами 8 м и 6 м.
Решение. Эту задачу можно решить тремя способами.
1. Можно непосредственно подсчитать сумму длин
сторон прямоугольника и получить числовое выражение:
8м 8 + 6 + 8 + 6.
2. Можно найти сумму длин мень-
6М 6М * ~> / \ гг
ших сторон 6-2 (м) и сумму длин ооль-
8 м ших сторон 8-2 (м). Тогда сумма длин
всех сторон (периметр) прямоугольника описывается
числовым выражением
6-2 + 8-2.
3. Можно подсчитать полупериметр прямоугольника, т.е.
сумму меньшей и большей сторон: 6 + 8 (м). Теперь легко
найти периметр прямоугольника, который будет вдвое
больше полупериметра:
(6+8>2.
Вычислив значение любого выражения, найдём периметр
прямоугольника.
Ответ: 28 м.
Таким образом: а) по условию задачи можно составить
разные числовые выражения; б) независимо от формы записи
выражения результат его вычисления будет один и тот же
(учитывая свойства арифметических действий).
Аналогичным образом возникает понятие буквенного
(алгебраического) выражения. Обычно необходимость замены
чисел на буквы возникает при многократном использовании
одних и тех же действий. Тогда алгебраическое выражение
задает алгоритм некоторых вычислений.
Рассмотрим пример: один телевизор стоит 2800 руб. Два
телевизора стоят в два раза больше, т.е. 2800-2 = 5600 руб.
15

Пять телевизоров стоят в пять раз больше: 2800-5 = 14000 руб.
Обозначим число телевизоров буквой а, тогда а телевизоров
будут стоить в а раз дороже одного телевизора: 2800-я руб. С
помощью выражения 2800а можно находить стоимость
любого числа телевизоров, подставляя различные значения а и
выполняя умножение.
Так как буква а может принимать различные значения, то
букву а называют переменной, а выражение 2800а -
буквенным выражением, или выражением с переменной, или
алгебраическим выражением.
Пример 1.12. Найти периметр прямоугольника со
сторонами длиной а см и Ь см.
Решение. Так как противоположные
£ стороны прямоугольника равны, то длина
двух меньших сторон 2а (см), а длина
двух больших сторон 2Ъ (см). Тогда пе-
Ъ риметр (сумма длин всех сторон)
прямоугольника равен 2а + 2Ъ (см).
Используя алгебраическое выражение 2а + 2Ъ, можно
находить периметр прямоугольника со сторонами а см и Ъ см.
Буквы аи b могут принимать различные положительные
значения и называются переменными.
Из приведенных примеров видно, что понятия
арифметического выражения и алгебраического выражения очень
похожи.
Запись, составленная из букв и чисел с помощью
арифметических действий и скобок, называется алгебраическим
выражением. Буквы, входящие в выражение, называются
переменными. Примеры алгебраических выражений: а) (2а - 3)-Ь\
б) За + 2Ъ2\ в) а2; г) (2а + ЗЬ2):с.
Чтобы вычислить значение алгебраического выражения,
надо подставить значения переменных в выражение и
выполнить все необходимые действия.
16

Пример 1.13. Вычислить значение алгебраического
выражения (За + 2Ъ)-с при а = 2, Ъ = 3, с = 4.
Решение. Подставим значения переменных а, Ъ и с в
данное алгебраическое выражение (За + 26) с, получим
арифметическое выражение (3-2 + 2-3)4 и найдём его значение:
если а = 2, Ъ = 3, с = 4, то
(За + 2ft)* = (3-2 + 2-3)4 = 124 = 48.
Ответ: 48.
Заметим, что введение переменных и алгебраических
выражений позволило создать очень ёмкий, четкий и
лаконичный математический язык, на котором легко формулировать
различные утверждения, в частности, основные свойства
сложения и вычитания. В алгебраической форме записи эти
свойства имеют следующий вид:
1. Переместительное свойство сложения: а + b = b + а.
2. Сочетательное свойство сложения:
а + (Ь + с) = (а + Ъ) + с = а + Ъ + с.
3. Свойство нуля при сложении: а + 0 = 0 + а = 0.
4. Свойство вычитания суммы из числа:
а - (Ь + с) = а - Ь - с.
5. Свойство вычитания числа из суммы:
(а + Ъ)-с = а + (Ъ-с) = (а-с) + Ъ.
6. Свойство нуля при вычитании: а - 0 = 0 и а-а = 0.
Уравнения
Особое место среди алгебраических выражений занимают
уравнения, которые позволяют создать математическую
модель реальной ситуации и решить задачу.
Пример 1.14. На трех полках в книжном шкафу стоят 198
книг. На первой полке находится на 11 книг больше, чем на
второй, и на 7 книг больше, чем на третьей. Найти число книг
на каждой полке.
17

Решение. Пусть на первой полке стоит х книг, тогда на
второй полке находится (х - 11) книг, а на третьей полке (х - 7)
книг. Сумма этих книг равна 198. Получаем алгебраическое
выражение - равенство (уравнение):
х + (х-11) + (х-7)=198
или х + х-П + х-7 = 198, Зх- 18 = 198.
По определению операции вычитания имеем Зх = 198 + 18 или
Зх = 216. Тогда величина х в 3 раза меньше: х = 216 : 3 = 72.
Теперь можно вычислить число книг на второй и третьей
полках: х- 11 = 72-11=61 (книга); х-7 = 72-7 = 65 (книг).
Ответ: 72 книги, 61 книга, 65 книг.
Если анализ условия задачи и её решение вызывают
затруднения, то прежде, чем приступить к решению, полезно
перенести условие на схему, рисунок или таблицу. Например,
для решения этой задачи полезно нарисовать схему, как
учили в начальной школе:
Важно отметить, что в таких задачах за х лучше (но не
обязательно) принимать меньшее значение величины (если из
условия вы можете определить, где это меньшее значение). В
этом случае будет получаться более простое для решения
уравнение. Если одно и то же значение величины
сравнивается с другими два и более раз (в нашем примере - число книг
на первой полке), то это значение принимают за х, что мы и
сделали выше.
Учитывая важность уравнений для решения задач,
рассмотрим понятия, связанные с уравнениями, более подробно.
Существуют два вида алгебраических равенств. Одни из
них выполняются при всех значениях переменной, и их назы-
II полка
I полка
на 11 > -л
на7> -|
III полка
?
18

вают тождествами. Другие равенства выполняются только
при определённых значениях переменной, и их называют
уравнениями.
Например:
а) равенство а + Ъ = Ь + а является тождеством, так как
выполняется при всех значениях переменных а и Ъ\
б) равенство х+1+2х + 7 = Зх + 8 является тождеством,
так как выполняется при всех значениях переменной х\
в) равенство 2х + 3 = 4х - 1 является уравнением, так как
выполняется только при определённом значении переменной:
х = 2.
Заметим, что разделение алгебраических равенств на
тождества и уравнения достаточно условно. Часто без
предварительного исследования нельзя сказать, будет ли выполняться
равенство при всех значениях переменной или только при
некоторых ее значениях. Поэтому тождество можно
рассматривать и как уравнение, которое выполняется при всех
значениях переменной.
Далее мы будем рассматривать уравнения, содержащие
только одну переменную (назовем ее х).
Корнем уравнения называют такое значение переменной
х, при котором уравнение является верным числовым
равенством.
Например, в уравнении 1х + 2 = х + 26 число х = 4
является корнем этого уравнения, поскольку при подстановке
значения х = 4 в уравнение получим верное числовое
равенство: 7-4 + 2 = 4 + 26, так как 30 = 30. Число х = 3 не является
корнем данного уравнения, поскольку при подстановке этого
значения в уравнение верного числового равенства не
получается: 7-4 + 2 = 3 + 26 - неверно, так как 30 Ф 29.
Важно запомнить: если требуется определить, является ли
какое-либо число корнем данного уравнения, то решать
уравнение не нужно. Надо подставить число в уравнение вместо
19

переменной и проверить, получится ли верное числовое
равенство, что и было нами сделано.
Решить уравнение - это значит найти все его корни или
показать, что корней нет.
Для решения любого уравнения можно выполнять два
вида преобразований:
1) к обеим частям уравнения можно прибавить или
вычесть из них любое число (или выражение);
2) обе части уравнения можно умножить или разделить на
любое число (или выражение), не равное нулю.
Для рассматриваемых нами уравнений пока основная цель
- собрать члены, зависящие от переменной, в одной части
уравнения, а числа - в другой части уравнения, затем найти
значение этой переменной - корень уравнения.
Пример 1.15. Решить уравнение 5 х + 7 = 2х + 40.
Решение. Вычтем из обеих частей уравнения число 7 и
получим: 5х + 7 - 7 = 2х + 40 - 7 или 5х = 2х + 33. Теперь
вычтем из обеих частей уравнения выражение 2х и получим:
5х - 2х = 2х - 33 - 2х или Ъх = 33. разделим обе части
уравнения на 3 и получим: Зх : 3 = 33 : 3 или х = 11.
Используя преобразования, нашли единственный корень
данного уравнения.
Ответ: 11.
Умножение натуральных чисел
Произведением т-п называют сумму п одинаковых
слагаемых, каждое из которых равно т или, наоборот, сумму т
одинаковых слагаемых, каждое из которых равно и, т.е.
т-п - т + т + ... + т - п + п + ... + п .
п слагаемых т слагаемых
20

Числа тип называют множителями. Процесс
нахождения произведения чисел тип называют умножением тагах
чисел.
Пример 1.16. В школе четыре шестых класса, в каждом
из которых обучаются 23 школьника. Сколько
шестиклассников в школе?
Решение. Очевидно, что число шестиклассников в школе
равно 23 +23 + 23 + 23. Такое числовое выражение можно
записать в виде 234 = 92.
Ответ: 92 шестиклассника.
Приведем основные свойства умножения:
1. Переместительное свойство умножения: при
перестановке множителей произведение чисел не меняется:
2. Сочетательное свойство умножения: при
умножении числа на произведение двух чисел можно умножить его
на первый множитель, а затем полученное произведение
умножить на второй множитель:
3. Распределительное свойство умножения
относительно сложения: при умножении суммы на число можно
умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные
произведения:
Это свойство очень важное. Вы изучали его ещё в
начальной школе, но почему-то оно часто вызывает затруднения.
Повторите его:
a(b + с) = ab + ас или (а + Ь)с = ас + be
В обратную сторону эта формула имеет вид
ас + Ьс = (а + Ь)'С или аЬ + ас = а(Ь + с).
В таком виде формула будет часто использоваться,
например, для доказательства делимости выражения на какое-
либо число.
а • Ь = Ъ - а.
а • (Ъ • с) ={а • Ь) • с.
(а + ЬУс = ас + be.
21

4. Свойство единицы при умножении: произведение
чисел 1 и а равно а:
1 ■ а = а.
5. Свойство нуля при умножении: произведение чисел О
и а равно 0:
0 • а = 0.
Пример 1.17. Докажем, что сумма любых трех
последовательных натуральных чисел без остатка делится на 3.
Решение. Возьмем три натуральных последовательных
числа, например, 13, 14 и 15. Найдём их сумму: 13 + 14 + 15 = 42.
Очевидно, что число 42 = 314 и без остатка делится на 3.
Выполним аналогичные вычисления в общем случае.
Пусть первое из чисел равно и, тогда следующее число равно
(п + 1) и следующее за ним число равно (п + 2). Найдём
сумму этих чисел:
и + (и + 1) + (л +2) = и + и + 1+ и + 2 = Зл + 3 = 3<и + 1).
Так как число 3-(и + 1) представляет собой произведение
чисел 3 и п + 1, то, разумеется, число 3-(w + 1) без остатка
делится на 3 при любом натуральном числе п.
Степень числа. Квадрат и куб числа
Как известно, сумму одинаковых слагаемых можно
записать в виде произведения чисел:
т- п = т + т + ... + т = п + п + ... + п .
4 v / 4 v /
п слагаемых т слагаемых
Аналогично, произведение одинаковых множителей
можно записать в виде степени числа тп = mm-...т. При этом
п множителей
число т называют основанием степени, число п -
показателем степени, выражение гп - степенью.
Например, выражение З5 называют пятой степенью числа
3, и оно равно З5 = З-З-З-З-З = 243.
22

Два показателя степени из-за их распространенности и
частого использования имеют специальные названия. Вторую
степень т~ числа т называют квадратом числа т, третью
степень т3 числа т называют кубом числа т.
В таблице 1 приведены квадраты и кубы первых десяти
натуральных чисел.
Таблица 1
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
т1
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
т'
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
Пример 1.18. При возведении числа 4 в различные
степени Витя получил три числа, у которых цифры единиц
различные. Покажите, что мальчик ошибся.
Решение. Проследим за степенями числа 4: 41 = 4, 42 = 16,
43 = 64, 44 = 256, 45 = 1024 и т.д. Видно, что такие степени
оканчиваются только двумя различными цифрами 4 и 6,
поэтому степени числа 4 не могут иметь в разряде единиц три
различные цифры.
Пример 1.19. Миша нашел наименьшее из возможных
натуральных чисел, при умножении которого на 2 получается
точный квадрат, а при умножении на 3 - точный куб. Какое
число нашел мальчик?
Решение. Очевидно, что искомое число должно иметь
множители 2 и 3. При этом, чтобы при умножении на 2
получился точный квадрат, а при умножении на 3 - точный куб,
эти множители должны иметь вид 23 и З2.
Действительно, число 23 уже является кубом, и если З2
умножить на 3, то оно тоже станет кубом, и всё произведение
23-32 при умножении на 3 будет кубом числа 2-3. В то же
время, число З2 уже является квадратом, и если 23 умножить на 2,
то получится 16, что является квадратом числа 4, и всё
произведение 23-32 при умножении на 2 будет квадратом числа 4-3.
23

Поэтому данное число равно 23-32 = 8-9 = 72. Проверим
это: при умножении на 2 имеем число 72-2 = 144 = 122, при
умножении на 3 получаем число 72-3 = 216 = б3.
Ответ: 72.
Важно запомнить! Часто в задачах возникает
необходимость записать разложение числа по разрядам. Например:
234 = 2-100 + 3-10 + 4. Если же мы не знаем, какие цифры
стоят в одном или нескольких разрядах, то эти цифры
обозначаются буквами. Например, двузначное число, у которого
а десятков и Ь единиц, запишется как аЬ . Черточка сверху
означает, что записано число, а не произведение а на Ъ.
Разложение такого числа по разрядам будет иметь вид ab = 10а + Ъ.
Например, запись ЪаАЬ означает четырёхзначное число,
разложение которого по разрядам выглядит следующим
образом: ЪаАЪ = 3 • 1 ООО +100 • а + 4 • 10 + Ь.
Разберем пример.
Пример 1.20. Оля обратила внимание отца на
особенности его возраста - 47 лет: если к возрасту отца прибавить
число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке,
то получится полный квадрат (47 + 74 = 121 = 112). Может ли
подобное случиться ещё через несколько лет?
Решение. Пусть возраст отца выражается двузначным
числом аЪ = 10а + Ь, где а - число десятков, Ъ - число
единиц. Число, записанное теми же цифрами в обратном
порядке, запишется как Ьа = 10b + а. Найдём сумму этих чисел:
~ab+1xi= \0а + Ь + \0Ь + а = 1 \а + 1 \Ъ = 1 \(а + Ъ).
Такое число будет полным квадратом, если а + Ъ = 11 (т.е.
сумма цифр возраста отца равна 11). Этим свойством
обладают двузначные числа 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
Ответ: случится, когда отцу будет 56, 65, 74, 83, 92
года.
24

Пример 1.21. В записи (АБ)А = БВБ цифры зашифрованы
буквами (одинаковые цифры соответствуют одинаковым
буквам, разные - разным). Расшифруйте запись.
Решение. В зашифрованной записи при возведении
двузначного числа в степень получается трехзначное число.
Учтем, что ЗО3 = 27000 (пятизначное число), поэтому показатель
степени может быть только 2, т.е. А = 2. Основание степени
оканчивается той же цифрой, что и степень, поэтому Б может
быть 0, 1, 5 или 6 (см. табл. 1).
Проверим подобные числа: 202 = 4000, 212= 441, 252 =
= 625 , 262 = 676. Видно, что условию задачи удовлетворяет
только последнее равенство, при этом А = 2, Б = 6, В = 7.
Ответ: 262 = 676.
Деление натуральных чисел
Деление без остатка. Действие, с помощью которого по
произведению и одному из множителей находят другой
множитель, называют делением.
Пример 1.22. 72 фломастера разложили поровну в 12
коробок. Сколько фломастеров лежит в каждой коробке?
Решение. Пусть в каждой коробке лежит х фломастеров.
Тогда в 12 коробках будет 12х фломастеров. Получаем
уравнение 12х = 72. Учитывая таблицу умножения, видим, что
только одно число при умножении на 12 дает произведение
72. Это число 6. Таким образом, по произведению 72 и
одному из множителей 12 нашли неизвестный множитель 6 (т.е.
72:12 = 6).
Число, которое делят, называют делимым (72). Число, на
которое делят, называют делителем (12). Результат деления
называется частным (6).
Перечислим свойства деления.
1. При делении любого числа т на число 1 получается
число т: т: 1 = т.
25

2. При делении числа т (т Ф 0) на это же число
получается единица: т : т = 1.
3. При делении нуля на число т (т Ф 0) получается нуль:
0 : т = 0.
4. Ни одно число на нуль делить нельзя.
Пример 1.23. Решить уравнение (х - 5)8 = 56.
Решение. Используем свойства уравнений. Разделим обе
части уравнения на число 8 и получим х - 5 = 56 : 8 или
х - 5 = 7. К обеим частям уравнения прибавим число 5 и
найдём
х = 7 + 5 = 12.
Ответ: 12.
Пример 1.24. Сколько чисел от 1 до 100, таких, что
каждое из них делится на 3, но в своей записи не имеет цифры 3?
Решение. Всего чисел от 1 до 100, делящихся на 3, будет
33 (99 : 3 = 33). Среди таких чисел в своей записи имеют
цифру 3 числа: 3, 30, 33, 36, 39, 63, 93 (т.е. семь чисел).
Поэтому условию задачи удовлетворяют 33 - 7 = 26 чисел.
Ответ: 26 чисел.
Пример 1.25. Докажите, что разность между любым
числом и суммой его цифр всегда делится на 9.
Решение. Для определённости рассмотрим трехзначное
число abc = 100а +10Ь + с (где а - число сотен, b - число
десятков, с - число единиц). Найдём разность между этим
числом и суммой его цифр а + Ъ + с:
100а+ 10Ь + с-(а + Ъ + с) = 99а + 9Ь = 9(1 \а + Ь).
Видно, что данное выражение всегда делится на 9 (в
частном получится 1 la + b). Аналогично можно доказать для
числа с любым количеством цифр.
Во многих задачах полезны признаки делимости чисел.
Напомним их.
1. Число делится (без остатка или нацело) на 2, если его
последняя цифра четная или 0 (напомним, что число 0 не
26

является ни четным, ни нечетным). Например, число 37234
делится на 2, а число 37235 - не делится.
2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на
3. Например, число 37206 делится на 3, так как сумма цифр
этого числа 3 + 7+2+0+6=18 делится на 3. Число 37106
имеет сумму цифр 3+7+1+0+6=17, которая на 3 не
делится. Поэтому число 37106 также на 3 не делится.
3. Число делится на 4, если две его последние цифры
образуют число, которое делится на 4. Например, число 37212
делится на 4, так как число, образованное двумя
последними цифрами (число 12), делится на 4.
Число 37218 на число 4 не делится, так как число 18
(образованное двумя последними цифрами) на 4 не
делится.
4. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Например, числа 37210 и 37215 делятся на 5, а число 37213
на 5 не делится.
5. Число делится на 8, если три его последние цифры
образуют число, которое делится на 8, или являются
нулями. Например, число 37408 делится на 8, так как число 408
делится на 8. Число 37084 на 8 не делится, так как число 084
(или просто 84) на 8 не делится.
6. Число делится на 9, если сумма цифр этого числа
делится на 9. Например, число 37206 делится на 9, так как
сумма цифр этого числа 3+7+2+0+6=18 делится на 9.
Число 37205 не делится на 9, так как сумма цифр этого
числа 3+7+2+0+5 = 17 не делится на 9.
7. Число делится на 10, если его последняя цифра 0.
Например, число 37250 делится на 10, а число 37253 на 10
не делится.
Пример 1.26. Найти цифру X, при которой семизначное
число 15ХЗХЗХ делится на 9.
27

Решение. Используя признак делимости на 9, найдём
сумму цифр данного числа
А = 1 + 5 + X + 3 + X + 3 + X = 12 + ЗХ = 3(4 + X).
Чтобы А делилось на 9, необходимо, чтобы число (4 + X)
делилось на 3. Кроме того, X является цифрой числа, поэтому
О < X < 9. Прибавим ко всем частям неравенства число 4 и
получим 4 < 4 + X < 13. Среди чисел 4, 5, 13 делятся на 3
числа 6, 9, 12. Тогда, соответственно, X = 2, Х=5иХ = 8.
Ответ: искомые числа 1523232, 1553535, 1583838.
Пример 1.27. Найти все шестизначные числа вида
27X43 Y, которые делятся на 45.
Решение. Учтем, что число 45 = 5-9 и числа 5 и 9 не
имеют общих множителей (взаимно простые числа). Поэтому
используем признаки делимости на 5 и 9. Число делится на
5, если последняя цифра Y = 0 или Y = 5. Для этих случаев
найдём сумму цифр данного числа: A=2+7+X+4+3+Y=
= 16 + X + Y. При Y = 0 такая сумма А = 16 + X и делится на
9 только при X = 2. Получаем число 272430. При Y = 5 сумма
А = 21 + X и делится на 9 только при X = 6. Получаем число
276435.
Ответ: 272430, 276435.
Деление с остатком. В ряде случаев деление одного
натурального числа на другое возможно только с остатком.
j 7 ^ Например, мама принесла 17 конфет и хочет
~~j 5 поделить поровну между тремя детьми. Разделим
~2 17 на 3. Тогда каждому ребенку достанется по 5
конфет и 2 конфеты останутся.
В данном примере число 17 - делимое, число 3 -
делитель, число 5 - неполное частное (или просто частное),
число 2 - остаток. Поэтому в числе 17 содержится 5 раз по 3 и
ещё 2, т.е. 17 = 3-5+2.
Важно запомнить! В общем случае деление с остатком
можно записать в виде формулы:
28

делимое = делитель • частное + остаток.
При этом 0 < остаток < делитель. Если остаток равен
нулю, то делимое делится на делитель без остатка (или нацело).
Пример 1.28. Для класса купили несколько книг
стоимостью 102 руб., альбом стоимостью 216 руб., 18 наборов
карандашей и 12 линеек. Продавец подсчитал стоимость
покупки 5732 руб. Покупатель тут же обратил внимание продавца
на ошибку. Как он рассуждал?
Решение. Пусть было куплено а книг, обозначим
стоимость одного набора карандашей 6 руб., стоимость одной
линейки с руб. Тогда стоимость всех книг 102а руб.,
карандашей 186 руб., линеек 12с руб. Стоимость всей покупки
составляет 102а + 216 + 186 + 12с. Получаем уравнение
102а + 216 + 186+ 12с = 5732
или 3-(34а + 72 + 96 + 4с) = 5732.
Левая часть уравнения делится нацело на 3, а правая часть
уравнения делится на 3 с остатком 2. Поэтому уравнение не
имеет решений.
Для простоты мы считали, что стоимость каждой вещи
измеряется целым числом рублей. Если учесть, что стоимость
вещи может измеряться рублями и копейками, то это не
отразится на рассуждениях.
Пример 1.29. Натуральное число п при делении на 8 дает
остаток 3. Какой остаток дает число 5п при делении на: а) 8;
6)4; в) 2?
Решение. Так как число при делении на 8 дает остаток 3,
то его можно записать в виде п = %т + 3 (где т - частное,
натуральное число). Рассмотрим число
N= 5п = 5-(8ю + 3) = 40т + 15.
Выделим в этом выражении наибольшее число, нацело
делящееся на делитель:
а) представим число N в виде
N = (40т + 8) + 7 = Ъ(5т + 1) + 7.
29

Эта запись означает, что число N при делении на 8 дает
частное 5т + 1 и остаток 7;
б) представим число N в виде
N = (40т + 12)+ 3 = 4(1 О/я + 3) + 3,
т.е. число N при делении на 4 дает частное Ют + 3 и остаток 3;
в) представим число N в виде
N = (40т + 14) + 1 = 2(20т + 7) + 1,
т.е. число N при делении на 2 дает частное 20т + 7 и остаток 1.
Ответ: а) 7; 6)3; в) 1.
Делимость чисел
Простые и составные числа. Обсудим ещё некоторые
понятия, связанные с делимостью натуральных чисел.
Все натуральные числа (кроме числа 1) разделяются на
простые и составные.
Число называется простым, если оно не имеет других
делителей, кроме себя и 1 (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...).
Число называется составным, если оно имеет хотя бы
один делитель, который не равен самому числу или 1
(например: число 18 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, поэтому оно
является составным).
Выяснение вопроса, является ли данное число простым
или составным, задача достаточно не простая, что видно из
следующих примеров.
Пример 1.30. Определить, является ли число 1717...17
30 цифр
простым?
Решение. По признакам делимости на 2, 4, 5, 8 и 10
выясняем, что ни на одно из этих чисел данное число не делится.
Проверим признаки делимости на 3 и 9. Для этого найдём
сумму цифр числа. Так как число образовано повторяющейся
группой цифр 17 и таких групп 15, то сумма цифр числа
30

(1+7)15 = 8-15 = 120. Эта сумма делится на 3, поэтому и
заданное число делится на 3, т.е. является составным.
Ответ: число 1717...17 составное.
30 цифр
Пример 1.31. Определить, является ли число 9675 + 18733 +
+ 1521953 простым?
Решение. Очевидно, что подход предыдущей задачи здесь
не подходит, так как для этого пришлось бы возвести данные
числа в соответствующие степени, что достаточно громоздко.
Но очень просто выяснить, какой цифрой оканчивается
данное число.
Так как число 967 оканчивается на 7, а 75 оканчивается
цифрой 7, то и 9675 оканчивается цифрой 7. Число 18733
оканчивается цифрой 7, а число 152 1 953 - цифрой 1. Поэтому
последняя цифра данного числа будет 5 (так как 7 + 7 + 1 =
= 15). Итак, по признаку делимости число делится на 5 и
является составным.
Ответ: число 9675 + 18733+ + 1521953 составное.
Разложение натурального числа на множители.
Составные числа можно разложить на множители. Очень часто
требуется, чтобы такие множители были простыми числами.
Любое составное число можно представить в виде
произведения простых множителей.
Разложение данного числа на простые множители
начинают с наименьших простых чисел 2, 3, 5, используя
признаки делимости. При этом последовательно проводят деление
исходного числа на найденные простые делители. Результаты
такого деления удобно записывать столбиком.
Пример 1.32. Разложить на простые множители
число 540.
Решение. Данное число 540 по признаку
делимости делится на 2. В результате получаем 270. Число
270 также делится на 2 и получается 135. По призна-
540
2
270
2
135
3
45
3
15
3
5
5
31

ку делимости это число на 2 не делится, но делится на
следующее простое число 3. Разделив 135 на 3, получим 45,
которое также делится на 3, и получаем 15, которое делится на
3. Получаем число 5, которое делится само на себя.
Теперь проследим за правой от вертикальной черты частью
выполненных действий, запишем разложение числа на
простые множители и получим ответ'. 540 = 2-2-3-3-3-5 = 22-33-5.
Если данное число имеет другие простые множители, то
признаки делимости уже не помогают, и приходится
проверять, делится ли данное число на другие простые делители
(7, 11, 13, 17, 19 и т.д.) непосредственным делением.
Пример 1.33. Разложить число 1617 на простые
множители.
Решение. Число 1617 по признаку делимости делится на 3
и получается 539. Легко проверить, что это
число на 3 и 5 не делится. Проверяем
непосредственным делением, что число 539 делится на 7, и
получаем 77, которое вновь делится на 7.
Полученное число 11 делится само на себя.
Теперь можно записать разложение данного числа на
простые множители: 1617 = 3-7-7* 11 = 3-72-11.
Ответ: 1617= 3-72-11.
Пример 1.34. Петя утверждает, что ему удалось найти
такое натуральное число, произведение всех цифр которого
равно 3276. Докажите, что мальчик ошибся.
Решение. Разложим данное число на простые множители
и запишем его разложение в виде:
3276 = 2-2-3-3-7-13 = 22-32-7-13 =
= 4-9-7-13.
Однако число 13 не является цифрой, поэтому
мальчик ошибся.
Ответ: утверждение ошибочно.
1617
3
539
7
77
7
11
11
3276
2
1638
2
819
3
273
3
91
7
13
13
32

Пример 1.35. Определите число нулей, которыми
оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100.
Решение. Среди множителей произведения 1-2-3-...•99-100
на 5 делятся двадцать чисел (100 : 5 = 20). Если бы мы
раскладывали все множители произведения на простые
множители, то двоек получилось бы гораздо больше двадцати. При
умножении 5 на 2 на конце будет получаться 0. Значит,
произведение уже оканчивается двадцатью нулями.
Кроме того, среди двадцати чисел, делящихся на 5, есть
четыре числа, делящихся на 25 (100 : 25 = 4). А так как 25 =
= 5-5, то добавилось ещё четыре неучтённых пятёрки (а
четыре уже вошли в число двадцати пятёрок). Для каждой их этих
четырёх пятёрок так же найдётся свободная двойка, и в
результате добавятся ещё четыре нуля на конце. Итого,
произведение будет оканчиваться 24 нулями.
Ответ: 24 нуля.
Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных
чисел а, Ъ, с, ... называется наименьшее натуральное число,
которое нацело делится на числа а, 6, с,...
Для нахождения НОК чисел а, Ь,с,...:
1) выписывают разложения на простые множители чисел
а, Ь, с,...;
2) перечисляют все простые множители, входящие хотя
бы в одно из этих разложений;
3) каждый из перечисленных множителей возводят в
максимальную степень, с которой множитель входит в
разложения;
4) произведение полученных степеней простых
множителей дает НОК чисел я, 6, с,...
Пример 1.36. Найдём наименьшее общее кратное чисел
420, 990, 1470.
Решение. Разложим три данных числа на простые
множители:
33

420
210
105
35
7
2
2
3
5
7
990
495
165
55
11
2
3
3
5
11
1470
735
245
49
7
2
3
5
7
Получили: 420 = 22-3-5-7, 990 = 2-32-5-11, 1470 = 2-3-5-72.
В эти разложения входят простые множители 2, 3, 5, 7, 11.
Возведем эти множители в наибольшие степени, с которыми
они входят в разложения:
Перемножим эти степени и найдём НОК чисел 420, 990,
1470. Получим НОК(420, 990, 1470) = 22-32-51-72-111 = 97020.
Это - наименьшее число, которое делится нацело и на 420, и
на 990, и на 1470. Проверим это:
97020 : 420 = 231; 97020 : 990 = 98; 97020 : 1470 = 66.
Заметим, что вычисление НОК можно упростить, если
учесть разложения данных чисел: НОК = 22-32-51-72-111 =
= 21-31-(21-31-51-72)-111 = 6-1470-11 = 66-1470 = 97020. Здесь
были сгруппированы множители так, чтобы выделить число
1470, записанное в виде разложения на простые множители.
Умение находить НОК чисел необходимо при сложении и
вычитании дробей.
Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных
чисел а, 6, с,... называется наибольшее натуральное число, на
которое делятся нацело числа я, Ь, с,...
Для нахождения НОД чисел я, Ь, с,...:
1) выписывают разложения на простые множители чисел
а, Ь, с,...;
2) перечисляют те простые множители, которые входят во
все разложения;
2 - во вторую степень (22);
5 - в первую степень (51);
11 - в первую степень (11
3 - во вторую степень (З2);
7 - во вторую степень (72);
34

3) каждый из перечисленных множителей возводят в
минимальную степень, с которой множитель входит в
разложения;
4) произведение полученных степеней простых
множителей дает НОД чисел я, 6, с,...
Пример 1.37. Найти наибольший общий делитель чисел
420, 990. 1470.
Решение. Разложим три данных числа на простые
множители, как в примере 38, и получим: 420 = 22-3-5-7, 990 =
= 2-32-5-11, 1470 = 2-3-5-72.
В эти разложения одновременно входят только простые
множители 2, 3, 5. Возведем эти множители в наименьшие
степени, с которыми они входят в разложения: 2, 3, 5 - в
первую степень (т.е. 21, З1, 51). Перемножим эти степени и
найдём НОД чисел 420, 990, 1470. Получим НОД (420, 990,
1470) = 21-31-51 = 30 - это наибольшее число, на которое
делятся нацело и 420, и 990, и 1470. Проверим это: 420 : 30 = 14;
990:30 = 33; 1470:30 = 49.
Понятия НОК и НОД часто используются при решении
задач.
Пример 1.38. Мальчик раскладывает марки в альбоме.
Если он размещает на листе 20 марок, то получается целое
число листов. Если он помещает на листе 28 марок, то снова
получается целое число листов. Сколько марок у мальчика,
если их больше 400, но меньше 500?
Решение. Очевидно, что число марок должно без остатка
делиться и на 20, и на 28. Первое число, которое обладает
таким свойством - это НОК (20, 28). Найдём его. Разложим
числа на простые множители: 20 = 22-5 и 28 = 22-7. Поэтому
НОК (20, 28) = 22-5-7 = 140. Все остальные числа, которые без
остатка делятся на 20 и 28, - это числа, кратные 140, т.е.
числа вида 140-л (где п - натуральное число). По условию задачи
число 140-я должно быть больше 400 и меньше 500. Очевидно,
35

что этому условию удовлетворяет только число п = 3. Отсюда
число марок равно 140-и = 140-3 = 420.
Ответ: 420 марок.
Пример 1.39. Девочка раскладывает орехи кучками. Если
она кладёт в кучки по 8 орехов, то у неё остаётся 6 орехов.
Если она раскладывает по 12 орехов, то остаётся 10 орехов.
Если же она будет класть в кучки по 18 орехов, то останется
16 орехов. Какое наименьшее число орехов может быть у
девочки?
Решение. Нетрудно сообразить, что если девочке дать ещё
два ореха, то она может разложить новое число орехов по 8,
12 и 18 без остатка (нацело). Этим свойством обладает НОК
(8, 12, 18). Найдём его. Разложим числа на множители: 8 = 23,
12 = 22-3, 18 = 2-32. Тогда НОК (8, 12, 18) = 23-32 = 8-9 = 72. Но
на самом деле у девочки на 2 ореха меньше, т.е. 70 штук.
Проверим это. При раскладывании 70 орехов по 8 штук
получаем 8 полных кучек и 6 орехов в остатке. При
раскладывании 70 орехов по 12 штук получаем 5 полных кучек и 10
орехов в остатке. При раскладывании 70 орехов по 18 штук
получаем 3 полных кучки и 16 орехов в остатке.
Ответ: 70 орехов.
Пример 1.40. Чтобы сделать одинаковые подарки для
школьников на новый год, купили 66 мандаринов, 44 яблока,
110 шоколадок и 132 конфеты. Сколько школьников в классе,
если их число максимально возможное? Что вошло в каждый
подарок?
Решение. Число школьников должно быть таким, чтобы
между ними можно было поровну (без остатка) разделить
продукты, т.е. числа 66, 44, 110, 132 должны нацело делиться
на число школьников. Одно из таких чисел - НОД (66, 44,
ПО, 132), и оно максимально возможное. Разложим числа на
простые множители: 66 = 2-3-11, 44 = 22 11, 110 = 2-5-11,
132 = 22-3-11. НОД (66, 44, ПО, 132) = 2 11 = 22. Итак, в
36

классе 22 ученика, и в каждый из 22 подарков вошло: 66:22 =
= 3 мандарина, 44 : 2 = 2 яблока, ПО : 22 = 5 шоколадок,
132 : 22 = 6 конфет.
Ответ: 22 ученика; в подарок вошли 3 мандарина, 2
яблока, 5 шоколадок, 6 конфет.
Пример 1.41. Числа 106 и 232 разделили на одно и то же
число. В первом случае получили в остатке 10, во втором - 8.
На какое число делили?
Решение. Очевидно, что числа 106 - 10 = 96 и 232 - 8 =
= 224 без остатка будут делиться на одно и то же число. При
этом такое число больше 10, так как делитель должен быть
больше остатка. Разложим числа на простые множители:
96 = 25 -3 и 224 = 25- 7. Общими делителями этих чисел,
большими 10, являются числа 24 = 16 и 25 = 32. Оба числа 16 и 32
удовлетворяют условию задачи.
Взаимно простые числа. Числа называют взаимно
простыми, если они не имеют общих делителей (т.е. НОД чисел
равен 1). При этом сами числа могут быть и составными.
Например:
а) числа 6, 35 и 143 являются взаимно простыми. Если
разложить эти числа на простые множители: 6 = 2-3, 35 = 5-7,
143 = 1113, то видно, что эти числа являются составными, но
общих делителей у них нет;
б) числа 6, 21, 99 не являются взаимно простыми, так как
если разложить их на простые множители: 6 = 2-3, 21 = 3-7,
99 = 32 11, то видно, что у них есть общий делитель 3 (он же
является НОД этих чисел).
Чтобы найти НОК взаимно простых чисел, надо просто
перемножить их.
Пример 1.42. Найти НОК чисел 6, 35 и 143.
Решение. Как мы уже выяснили, числа 6, 35 и 143 -
взаимно простые. Поэтому НОК (6, 35, 143) = 6-35-143 = 30030.
Ответ: НОК (6, 35, 143) = 30030.
37

2. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
Мы уже выяснили, что сложение и умножение
натуральных чисел всегда дает в результате натуральное число.
Однако две другие операции: вычитание и деление не всегда
приводят к натуральному числу. Эти результаты неизбежно ведут
к необходимости расширения понятия числа.
Например, разность двух натуральных чисел 7-2 = 5
является натуральным числом, но разность чисел 2 - 7 = -5
является целым отрицательным числом (отрицательные числа
будут рассмотрены далее).
Частное двух натуральных чисел 6:2 = 3 также является
натуральным числом, но частное двух натуральных чисел
2:6 = — = — является обыкновенной дробью.
6 3
Другим доводом необходимости расширения понятия
числа является рассмотрение координатной оси. Пока на ней
нанесены только отдельные точки, соответствующие числам:
0,1,2, 3,...
С В А
Ьн—I 1 1 ь—ч 1 1 1 ►
0 1 2 3 4 5 х
Возникают, по крайней мере, два очевидных вопроса:
1. Какому числу соответствует, например, точкам,
расположенная между натуральными числами 1 и 2?
2. Какие числа обозначают точки В и С, расположенные
слева от начала отсчёта - точки 0, и почему мы
рассматривали только один луч координатной оси?
Приведенные соображения свидетельствуют о том, что
понятие числа более сложное и совсем не ограничено
натуральными числами. Натуральные числа - самый простой вид
чисел, который возник ранее всех естественным образом при
подсчёте реальных предметов. Заметим, что и в дальнейшем
38

понятие числа будет расширяться и обобщаться. Разумеется,
такое расширение и обобщение не должно противоречить уже
установленным фактам.
Обыкновенные дроби
Начнем обсуждение с примера.
Пример 2.1. Мама купила торт и разделила его поровну
на четырех человек: двоих детей, мужа и себя. При этом
каждый член семьи получил одну четвёртую долю (или одну
четвёртую часть) торта. Кратко этот факт записывают в виде:
1
— торта.
Вообще, обыкновенной дробью называют числа вида —,
п
где тип- натуральные числа. Число т называют
числителем, число п - знаменателем дроби.
Числа — - обыкновенные дроби. Видно, что нату-
8 16 1
ральные числа можно рассматривать как обыкновенную
дробь со знаменателем 1.
3
Черту дроби можно понимать как знак деления: — = 3 : 4.
4
В формулах, в которые входит действие деления, принято
записывать это действие через дробную черту, например: v = —,
V
а = — и т.д.
be
Дробь — легко изобразить на координатном луче. Для
п
этого единичный отрезок надо разделить на п равных частей,
затем от начала отрезка отложить т таких отрезков. Напри-
39

2 6
мер, для дробей — (точка С) и — (точка D) это будет
выглядеть так:
О В С A D
• 4 • 1 1 4 1 ^
0 12 1 6 х
5 5 5
Здесь единичный отрезок OA разделили на 5 равных
частей и получили отрезок ОВ (дробь -j). Затем отложили два
2
таких отрезка и получили дробь — (точка С). Потом
отложили 6 отрезков ОВ и получили дробь ^ (точка D).
Правильные и неправильные дроби. Дробь — называ-
п
ют правильной, если её числитель меньше знаменателя, т.е.
2 3 7
т<п. Например, —, —, — - правильные дроби.
Дробь называют неправильной, если ее числитель больше
знаменателя или равен ему, т.е. т> п. Дроби —, —, —,
5 1 16 5
неправильные дроби.
Правильные дроби меньше 1, неправильные дроби -
больше или равны 1.
Фактически неправильной дробью является смешанное
число.
Пример 2.2. Как разделить поровну 4 яблока между тремя
детьми?
Решение. Разделить яблоки можно двумя способами.
1. Каждое яблоко разделить на три части, тогда каждый
ребёнок получит 4 ~ = ^ яблока.
40

2. Каждому ребенку дать по одному яблоку, а последнее
яблоко разделить на три части и дополнительно дать детям.
Тогда каждый ребенок получит 1 + ^ яблока. Эту сумму
Л
принято записывать в виде 1— и читать «одна целая и одна
третья». При этом число 1 называется целой частью
смешанного числа 1 ^, а число ^ — дробной частью.
Очевидно, что каждый ребенок при любом способе
деления получит одно и то же количество яблок. Поэтому числа
Легко записать неправильную дробь в виде смешанного
числа и, наоборот, смешанное число представить в виде
неправильной дроби.
Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного
числа, надо:
1) разделить с остатком числитель на знаменатель;
2) полученное частное будет целой частью смешанного
числа;
3) остаток (если он есть) дает числитель, делитель -
знаменатель дробной части смешанного числа.
39
Пример 2.3. Записать дробь —в виде смешанного числа.
8
Решение. Разделим 39 на 8 и получим частное 4 39 I 8
4 1 4
— и 1— равны, т. е. —
3 3 F 3
= 1-.
3
Ответ: 1— яблока.
3
и остаток 7. Получим смешанное число 4—.
7
Ответ: 4—.
8
41

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной
дроби, надо:
1) умножить его целую часть на знаменатель дробной
части;
2) к полученному произведению прибавить числитель
дробной части;
3) записать эту сумму числителем дроби, знаменатель
дробной части оставить без изменений.
2
Пример 2.4. Представить смешанное число 3— в виде
неправильной дроби.
2
Решение. Для числа 3— найдём числитель искомой дро-
23
би: 3-7 + 2 = 21 + 2 = 23. Теперь запишем саму дробь —.
Ответ: —.
7
Действия с обыкновенными дробями
Напомним основное свойство дроби: если числитель и
знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и
то же число (не равное нулю), то получится дробь, равная
данной дроби.
Например: ^0=^2=~40' деиствительно' если разделить
числитель и знаменатель дроби ^ на одно и то же число 5,
то получим равную ей дробь . Если же умножить числитель
и знаменатель дроби — на одно и то же число 4, то вновь
Н 10
получим равную дробь —.
42

Основное свойство дроби широко используется для
сокращения дробей и приведения дробей к общему знаменателю.
588
Пример 2.5. Сократить дробь .
1386
Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби на
простые множители: 588 = 22-3-72 и 1386 = 2-32-7-11. Теперь
найдём НОД этих чисел: НОД (588, 1386) = 2-3-7 = 42.
Числитель и знаменатель дроби можно сократить на НОД этих
чисел, т.е. на 2-3-7. Тогда по основному свойству дроби получаем
588 22-3-72 2-7 14
1386 2-3z-7-ll 3-11 33
Ответ: —.
33
Пример 2.6. Привести дроби и к общему
знаменателю.
Решение. Разложим знаменатели дробей на простые
множители: 84 = 22-3-7 и 126 = 2-32-7 и найдём НОК этих чисел:
НОК(84, 126) = 22-32-7 = 252. Число 252 будем наименьшим
общим знаменателем этих дробей. Теперь найдем
дополнительные множители для первой и второй дроби. Для этого
разделим общий знаменатель 252 сначала на знаменатель первой
дроби: 252 : 84 = (22-32-7): (22-3-7) = 3, а затем - на знаменатель
второй дроби: 252 : 126 = (22-32-7): (2-32-7) = 2. Итак,
дополнительный множитель к первой дроби 3, ко второй 2.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю, умножив
числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий
дополнительный множитель:
ii-iLl-J! 5 _ 5-2 _ 10
84 " 84-3 " 252 И 126 ~ 126-2 " 252 '
п 33 10
Ответ: и .
252 252
43

Сложение и вычитание дробей. Сложить или вычесть
дроби просто, если они имеют одинаковый знаменатель. Надо
сложить или вычесть числители этих дробей, а знаменатели
оставить прежними. После этого (если возможно) полученную
дробь надо сократить и выделить целую часть.
Пример 2.7. Найти сумму и разность дробей ^ и .
Решение. В примере 2.6 мы уже привели данные дроби к
11 33 5 10
общему знаменателю: — = и = . Сложим и вы-
84 252 126 252
чтем их:
П J___33_ 10 _ 33 + 10 _ 43 #
84 + 126 ~ 252 + 252 ~ 252 " 252 '
11 5 33 10 33-10 23
84 126 252 252 252 252
Сократить полученные дроби нельзя, так как числа 43 и
23 простые, а знаменатель 252 таких множителей не имеет.
Обе дроби являются правильными.
Ответ: ; .
252 252
Умножение дробей. При умножении дробей получается
дробь, числитель которой равен произведению числителей
данных дробей, а знаменатель - произведению знаменателей.
Прежде чем выполнять умножение, надо выполнить
сокращение.
3 14
Пример 2.8. Умножить дробь — на —.
F F V 28 15
Решение. —• — = ^ ^ . Сократим полученную дробь,
28 15 28-15 F
разложив её числитель и знаменатель на простые множители,
3-14 3-2-7 1 1
и получим ответ: = —; = = —.
28-15 22-7-3-5 2-5 10
44

Деление дробей. При делении дробей дробь-делитель
заменяется на обратную (т.е. дробь, у которой числитель и
знаменатель меняются местами), а затем операция деления
заменяется на операцию умножения.
17 34
Пример 2.9. Разделить дробь — на —.
17 34 17 9 17-9 „
Решение. —: — = = . Сократим полученную
36 9 36 34 36-34
дробь, разложив её числитель и знаменатель на простые
множители:
17-9 17-32 1 1
36-34 22-32-2-17 22-2 8'
Ответ: —.
8
Разумеется, свойства арифметических операций полезно
использовать и при действиях с дробями.
Пример 2.10. Вычислить значение числового выражения
2009— • 23- - 2008— -23—+ 1—.
12 4 12 4 4
Решение. Сгруппируем в выражении первые два члена и
получим
2009— - 23- - 2008— • 23- +1- =
12 4 12 4 4
2009— • 23- - 2008— • 23- | +1- =
12 4 12 А) 4
= ( 2009— -2008—] - 23- +1- =
I 12 12 J 4 4
13 13
= 1 • 23— +1— = 23— +1— = 25.
4 4 4 4
Ответ: 25.
45

Пример 2.11. При каких натуральных числах п число
N = 3 + —-— также будет натуральным?
п-2
Решение. Так как в данном числе N число 3 натуральное,
то дробь должна быть натуральным числом. Для этого
п-2
знаменатель дроби п-2 должен быть делителем числителя 5.
Таких делителей всего два: 1 и 5. Рассмотрим эти случаи.
1. Если п - 2 = 1 ( т.е. п = 3), то N = 3 + —— = 3+5=8-
3-2
натуральное число.
2. Если «-2 = 5 (т.е. п = 7), то N = 3 + —— = 3+1=4-
7-2
натуральное число.
Ответ: при п = 3 N = 8, при п = 1N = 4.
Пример 2.12. Один экскаватор может вырыть траншею
за 6 дней, а второй - за 4 дня. За сколько дней два экскаватора
выроют траншею, работая вместе?
Решение. Эта задача относится к задачам «на совместную
работу». Вся работа принимается за 1 (единицу) - «целое», и
задача решается в частях.
Первый экскаватор за один день вырывает 1 часть
траншеи, второй - Jj- часть. Работая вместе, они вырывают за
1 1 2+3 5
1 день — + — = = — траншеи (это их совместная произ-
6 4 12 12 ^ F
водительность). Чтобы найти время их совместной работы,
надо всю работу (1) разделить на их совместную производи-
1 5 12 12 2
тельность: 1: — = 1 — = — = 2—дня.
12 5 5 5
Ответ: за 2-j дня.
46

Пример 2.13. Из пунктов А и В, находящихся на берегу
озера, одновременно вышли навстречу друг другу катер и
лодка, которые встретились через 2 ч и продолжили путь в
прежних направлениях. Катер проделал путь от А до В за 2^- ч.
Сколько времени затратила лодка на путь от В до А?
Решение. Можно сказать, что эта задача, как и
предыдущая, также на совместную работу. Лодка и катер проделали
одинаковый путь (принимаем за 1). Так как за 2 ч (до момента
встречи) они вместе проплыли весь путь (всё равно, что
вырыли вместе всю траншею в предыдущей задаче), то за 1 ч
1
катер и лодка проплывали вместе — часть всего пути, а катер
1 5 2
за 1 ч проплывал 1:2— = 1: — = — всего пути. Тогда за 1 ч
12 5-4 1
лодка проплывала = = — часть всего пути. Следо-
2 5 10 10 '
вательно, на весь путь лодке потребуется 1: — = 10 (ч).
Ответ: 10 ч.
Пример 2.14. Дана дробь со знаменателем 5. После того,
как к её числителю прибавили 4, а к знаменателю 10,
получили дробь, равную данной. Найти эту дробь.
Решение. Пусть числитель искомой дроби х. Тогда дробь
имеет вид у. После увеличения числителя и знаменателя по-
х + 4
лучаем дробь . По условию эта дробь равна исходной.
х х + 4
Получаем уравнение —= . Умножим обе части
уравнения на число 15 и получим уравнение Зх = х + 4. Вычтем из
47

обеих частей уравнения х и получим 2х = 4. Разделим обе
части уравнения на число 2 и найдём х = 2.
Ответ: искомая дробь -j .
Пример 2.15. Найти сумму дробей
2 2 2 2
- + + + ... + -
1-3 3-5 5-7 99-101
Решение. Необходимо каждую дробь суммы представить
в виде разности дробей с более простыми знаменателями.
2 112 112 11
Можно сообразить, что = , = , = ,
1-3 1 3 3-5 3 5 5-7 5 7
2 1 1 ^
..., = . Тогда искомая сумма равна
99101 99 101
\__\_ ]__]_ ]__]_ J 1_
1 3 + 3 5 + 5 7 +"'+99 101 "
В такой сумме взаимно уничтожаются все члены, кроме
гт 1 1 ЮО
первого и последнего. Получаем = .
1 101 101
Ответ: .
101
Десятичные дроби.
Действия с десятичными дробями
В математике часто используются дробные числа со
знаменателями, кратными 10: 10, 100, 1000, 10". Подобные
числа принято записывать без знаменателя в виде десятичной
7 8 23
дроби. Например: 5—=5,7; 3 =3,08; =0,023.
Н ^ 10 100 1000
Если в конце десятичной дроби дописать любое число
нулей, то дробь не изменится, т.е. 3,57 = 3,570 = 3,5700 и т.д.
Рассмотрим правила действий с десятичными дробями.
48

Сложение и вычитание десятичных дробей. Чтобы
сложить (вычесть) десятичные дроби, надо:
а) уравнять в дробях количество знаков после запятой;
б) записать дроби друг под другом так, чтобы запятая
была записана под запятой;
в) выполнить сложение (вычитание), не обращая
внимания на запятую;
4) поставить в ответе запятую под запятой в данных
дробях.
Пример 2.16. Сложить и вычесть дроби 4,23 и 2,534.
Решение. Сначала уравняем в дробях количество знаков
после запятой и запишем первую дробь в виде 4,23 = 4,230.
Умножение десятичных дробей. Чтобы умножить
десятичные дроби,надо:
а) выполнить умножение в столбик, не обращая внимания
на запятые;
2) в результате отделить справа запятой столько цифр,
сколько их стоит после запятой в обеих дробях вместе.
Пример 2.17. Умножить дроби 3,24 и 1,3.
324 Решение. Перемножим натуральные числа 324 и
13 13. Получим число 4212. Так как в перемножаемых
+ 972 дробях всего после запятой три знака, то в получен-
324 ном результате справа отделяем запятой три знака:
4212 4,212.
Ответ: 4,212.
Деление десятичных дробей. Чтобы разделить две
десятичные дроби,надо:
а) в делимом и делителе перенести запятую вправо на
столько знаков, сколько их после запятой в делителе;
б) после этого выполнить деление десятичной дроби на
натуральное число.
+ 4,230
4,230
2,534
Теперь выполним действия: 2,534
6,764
1,696
49

Пример 2.18. Разделить дробь 8,45 на дробь 1,3.
_84,5 |13_ Решение. Перенесем в делимом и делителе за-
78 6,5 пятую вправо на один знак, так как один знак по-
_65 еле запятой в делителе, и будем делить 84,5 на 13.
65 Получаем 8,45 : 1,3 = 84,5 : 13 = 6,5.
О Ответ'. 6,5
Часто проще выполнить деление, записав его не через
знак :, а через дробную черту.
Пример 2.19. Разделить дробь 0,54 на дробь 36,9.
0 54
Решение. Составим дробное выражение -^-^. Перенесем
в делимом и делителе запятую вправо на два знака, чтобы
знаков после запятых и в числителе, и в знаменателе не оста-
0,54 54 „
лось, и получим = . Выполним сокращение полу-
J 36,9 3690
ченнои дроби (на 9 и на 2): = = .
F 3690 410 205
Полезно выполнять деление именно таким образом, так
как не всегда результат деления можно записать в виде
конечной десятичной дроби.
Пример 2.20. Найти значение числового выражения
5,65 : 0,2 + 3,74-2,5 - 4,65 : 0,2 - 1,74-2,5.
Решение. Используя свойства арифметических действий,
получим:
5,65 : 0,2 + 3,74-2,5 - 4,65 : 0,2 - 1,74-2,5 =
= (5,65 : 0,2-4,65 : 0,2) + (3,74-2,5- 1,74-2,5) =
= (5,65 - 4,65): 0,2 + (3,74 - 1,74) -2,5 =
= 1 : 0,2 + 2-2,5 = 5+ 5= 10.
Ответ: 10.
Пример 2.21. Сумма нескольких чисел равна 20. Может
ли сумма их квадратов быть меньше, чем 0,25?
50

Решение. Возьмём, например, 2000 одинаковых чисел,
каждое из которых равно 0,01 (в сумме дают 20). Тогда
квадрат такого числа равен 0,0001. Сумма квадратов всех таких
чисел равна 0,0001-2000 = 0,2. Это число меньше 0,25.
Ответ: может.
Пример 2.22. При делении одного числа на другое
получается десятичная дробь, целая часть которой равна
делителю, а после запятой записано делимое. Какие это числа?
Решение. Пусть искомые числа а и ft. Тогда по условию
задачи получаем равенство а : Ъ = ft, а. Умножим обе части
этого равенства на 10. Левая часть примет вид 10(а : ft) =
= 10а : ft. Правая часть примет вид 10-ft,a = 10-(ft + 0,а) =
= 10ft + а. Составим новое равенство: 10а : ft = 10ft + а.
Очевидно, что а на ft нацело не делится (иначе получится не
десятичная дробь, а целое число). Поэтому 10 делится без
остатка на ft, так как в правой части равенства стоит целое
число. Тогда ft может равняться одному из четырех чисел: 1, 2, 5,
10. Рассмотрим эти варианты, используя равенство 10а : ft =
10ft + а:
а) если ft = 1, то получим 10а : 1 = 10а + 1 или 10а = 10 + а,
или 9а = 10, откуда а = ~^~ ~ дробное число (не подходит);
б) если ft = 2, то получим 10а : 2 = 10а + 2 или 5а = 20 + а,
или 4а = 20, откуда а = 5 (подходит);
в) если ft = 5, то получим 10а : 5 = 10а + 5 или 2а = 50 + а,
или а = 50, но тогда a:ft = 50:5 = 10 - натуральное число (не
подходит);
г) если ft = 10, то получим 10а : 10 = 10а + 10 или а = 100 +
+ а, что невозможно.
Итак, a = 5, ft = 2. Проверим: ^- = 2,5 - условие
выполняется.
Ответ: а = 5, ft = 2.
51

Проценты
Особую роль в экономике, статистике, социологии и
других науках занимает дробь или 0,01, которую называют
процентом. Процент обозначается знаком %.
Другими словами, процент - одна сотая часть некоторой
определённой величины. Вся величина составляет 100 %.
Например:
1 % от 1 м равен 0,01- 1 м = 0,01 м = 1 см;
1 % от 1 кг равен 0,01- 1 кг = 0,01 кг = 10 г;
1 % от 100 000 избирателей равен 0,01 100 000 = 1000
избирателей;
1 % от числа 320 равен 0,01-320 = 3,2.
Чтобы перевести дробь в проценты, надо умножить ее на
100. Например:
Чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число
процентов на 100:
Заметим, что проценты имеют смысл только по
отношению к определённой величине. Нельзя сравнивать, например
1 % и 3 %, не уточняя, от какой величины эти проценты.
Сравним 1 % от 1 км и 3 % от 1 м. Вычислим:
1 % от 1 км равен 0,01- 1000 м = 10 м,
3 % от 1 м составляют 0,03- 1 м = 0,03 м = 3 см.
Вывод: 1 % от 1 км больше 3 % от 1 м.
0,28= (0,28-100)% =28%,
36% = (36: 100) = 0,36 или 36% = — = — .
100 25
52

Задачи на части и проценты
Напомним некоторые правила.
1. Чтобы найти дробь от числа, надо умножить число на
эту дробь. Например:
3 3 20•3
а) найдём — от 20: 20 • — = = 12;
5 5 1-5
б) найдём 0,8 от 0,3: 0,3 0,8 = 0,24;
в) найдём 12 % от 40: переведём проценты в дробь и
выполним умножение: 12% = 0,12, 0,12-40 = 4,8.
2. Чтобы найти число по данному значению его дроби,
надо это значение разделить на дробь. Например:
а) свая возвышается над землёй на 40 см, что составляет
2 2 40 7
— её длины, найдём длину сваи: 40: — = — • — = 140 (см);
б) 0,2 от некоторого числа составляют 8, это число равно
8 : 0,2 = 80 : 2 = 40.
Пример 2.23. Масса изюма (высушенного винограда)
составляет 35 % массы свежего винограда. Сколько надо взять
свежего винограда, чтобы получить 2,1 кг изюма?
Решение. Переведём проценты в дробь: 35 % = 0,35.
Выполним деление: 2,1 : 0,35 = 6 кг.
Ответ: 6 кг.
Пример 2.24. Туристам надо пройти путь 40 км. В первый
3
день они прошли — всего пути. Сколько километров
осталось пройти туристам?
Решение. В задачах на части (или 40 км^
проценты), которые состоят не из
одного действия, полезно перенести
условие на схему.
Начинать анализ условия следует
с определения «целого», от чего будут
53

искаться части или проценты. В нашей задаче «целое» - это
весь путь 40 км. Так как «целое» принимается за единицу
(или за 100 % в задачах с процентами), то подпишем на схеме
число 1 под отрезком, изображающим 40 км.
Чтобы не было путаницы, все части (1 и дроби)
подписываем снизу отрезков, а размерные величины - сверху.
Теперь приступим к решению задачи. Из схемы видно,
что нам надо найти часть от целого, которая ищется
умножением, но мы не знаем значение дробной части. Его надо
найти. Так как туристы уже прошли — пути, то им осталось прой-
3 2
ти 1 = — пути (смотрите схему). Тогда находим остав-
2
шийся путь: у 40 = 16 (км).
Можно решить задачу и другим способом. Сначала най-
3
дём пройденный в первый день путь: —• 40 = 24 (км). Затем
оставшийся путь 40 - 24 = 16 (км).
Заметим, что по ходу решения полезно наносить на схему
уже найденные величины, что облегчит решение задачи.
Ответ: 16 км.
Пример 2.25. После повышения стоимости товара на
20 % он стал стоить 720 руб. Какова первоначальная
стоимость товара?
Решение. Здесь «целое» -
стоимость товара до подорожания,
которую надо найти. Перенесём условие
задачи на схему, подписав снизу от-
""lOO % 20 0/0 Резка> соответствующего
первоначальной стоимости, 100 %.
Из схемы видно, что надо найти «целое», которое ищется
делением. Так как из размерных величин (руб.) мы знаем
54

только стоимость 720 руб., то надо найти процент,
соответствующий этому отрезку: 100 + 20 = 120 %.
Теперь найдем «целое»:
120% =1,2;
720: 1,2 = 7200: 12 = 600 руб.
Ответ: 600 руб.
3. Чтобы найти, какую часть одно число составляет от
другого, надо первое число разделить на второе.
Если полученную часть (дробь) умножить на 100 %, то
получим, сколько процентов составляет первое число от
второго (процентное отношение чисел).
Пример 2.26. В классе 30 учеников, из них 12 мальчиков.
Сколько процентов составляют девочки от численности
класса?
Решение. Очевидно, что в классе 30 - 12 = 18 девочек.
Найдем отношение числа девочек к численности класса:
18 3
— = — = 0,6. Чтобы выразить эту величину в процентах,
умножим полученную дробь на 100 %: 0,6-100 = 60 %.
Ответ: 60 %.
Обратите внимание, что в знаменателе пишется то
число или величина, от которой ищется часть или процент.
Полезно запомнить следующее правило: чтобы
определить, на сколько процентов а больше (меньше) Ъ надо:
а) найти, на сколько а больше Ъ: а-Ъ\
б) найти, какую часть разность а — Ъ составляет от Ъ (т.е.
на какую часть а больше b): \
в) перевести эту часть в проценты (т.е. умножить на
100%): ^—^100%.
Ь
В таких задачах удобно сразу записать дробное
выражение в текстовой форме:
55

На сколько а больше (меньше) Ъ
1 UU% .
ъ
Обратите внимание: то число (или величина), с которой
сравнивают («целое» для задачи), пишется в знаменателе.
Пример 2.27. Найти: а) на сколько процентов число 50
меньше числа 100; б) на сколько процентов число 100 больше
числа 50.
Решение. Составим два дробных выражения:
ч На сколько 50 меньше 100 ,ЛЛП/ 100-50 1ЛЛП/
а) 100% = 100% =
100 100
=50 %;
_ На сколько 100 больше 50 -ЛЛП/ 100-50 i/W4ft/
б) 100% = 100% =
' 50 50
=100%.
Обратите внимание, что результаты получились разные,
так как в первом случае сравнение проводилось с числом 100
(число 100 - «целое» для случая а), а во втором случае
«целым» выступало число 50.
а) 100 б) 100 _
*50 12Г\ ^^5(Г " 50"
На схеме а) видно, что число 50 наполовину меньше 100,
т.е. на 50 %. На схеме б) число 100 в 2 раза больше числа 50,
т.е. на 100%.
Запомните: увеличить величину в 2 раза (добавить ещё
одну такую же величину) - это значит увеличить эту
величину на 100 %; увеличить в 3 раза (добавить ещё две такие же
величины) - значит увеличить на 200 % и т.д. Уменьшить
величину в 2 раза (или уменьшить наполовину) - значит
уменьшить ее на 50 %.
Пример 2.28. Длина прямоугольника на 20 % больше
стороны квадрата, а ширина на 10 % меньше стороны квадра-
56

та. На сколько процентов площадь прямоугольника больше
площади квадрата?
Решение. Воспользуемся правилом на с. 55 и составим
дробное выражение в текстовой форме:
На сколько £прям больше Sm ^ = £прям-£квад х QQ%
°квад квад
Найдем площади квадрата и прямоугольника. Так как
сторона квадрата неизвестна, то примем её за х. Тогда ^квад =
х2. Длина прямоугольника составляет 100 + 20 = 120 % от
стороны квадрата, т.е. 1,2лс, а ширина 100 - 10 = 90 % от
стороны квадрата или 0,9х. Отсюда SnpaM = 1,2х • 0,9х = 1,08х2.
Тогда
прям квад-100%= ' * -100% = -^^--100% =
^квад
= 0,08- 100% = 8%.
Ответ: площадь прямоугольника на 8 % больше площади
квадрата.
Пример 2.29. В школе учится 390 девочек, что составляет
60 % всех учащихся. Сколько детей учится в школе?
Решение. Мы уже повторяли, что «целое» находится
делением. Другой способ решения задачи основан на
составлении простейшего уравнения. Пусть в школе учится х детей,
60 % от х составляют 0,6х. По условию задачи эта величина
равна числу девочек в школе, т.е. 390. Получаем уравнение
0,6х = 390. Для нахождения х разделим обе части уравнения
на 0,6 и получим х = 390 : 0,6 = 3900 : 6 = 650.
Ответ: 650 учеников.
Важно помнить, что в задачах на части и проценты за х
принимают ту величину, с которой сравнивают или от
которой отсчитывают часть (процент), т.е. «целое». Это связано с
тем, что часть (процент) от числа находят умножением,
получается уравнение, которое легко решить.
57

Пример 2.30. В классе половина школьников ходит в
кружок по математике, четверть - на занятия по русскому языку,
седьмая часть - в спортивную секцию, а оставшиеся 3
школьника дополнительных занятий не посещают. Сколько в классе
учеников, если каждый из них посещает только один вид
дополнительных занятий?
Решение. Пусть в классе учится х детей. Тогда на матема-
1 . 1
тику ходит —х учеников, на русский язык —jc, в спортивную
секцию \jX. По условию задачи получаем уравнение:
—jc +—jc+—х+ 3 = х.
2 4 7
Умножим все слагаемые уравнения на НОК (2, 4, 7) = 28.
Получим: 14jc + 7jc + 4jc + 84 = 28jc или 25х + 84 = 28 х или
84 = Зх. Разделим обе части уравнения на число 3 и получим
84 : 3=х или х = 28.
Ответ: в классе 28 учеников.
Пример 2.31. Ольге надо разложить 70 тетрадей в две
стопки так, чтобы число тетрадей в первой стопке составляло
0,4 числа тетрадей во второй стопке. Сколько тетрадей будет
в каждой стопке?
Решение. Пусть во второй стопке будет х тетрадей, тогда
в первой стопке будет 0,4л: тетрадей. Общее число тетрадей
составляет х + 0,4л; = 1,4л; и равно 70. Получаем уравнение
1,4jc = 70. Разделим обе части этого уравнения на 1,4 и найдем
х = 70 : 1,4 = 700 : 14 = 50. Тогда во второй стопке будет
0,4х = 0,4-50 = 20 тетрадей.
Ответ: 50 и 20 тетрадей.
Пример 2.32. Раствор содержит 30 г соли и 170 г воды.
Найти процентное содержание соли в воде.
Важно помнить: процентным содержанием вещества в
растворе (сплаве) называют отношение массы вещества к
общей массе раствора (сплава), умноженное на 100 %:
58

„ масса вещества 1ЛЛП/
Процентное содержание вещества = 100%.
масса раствора
Решение. По условию задачи масса вещества (соли) 30 г,
масса раствора (соль + вода) 30 + 170 = 200 г. Находим про-
30
центное содержание соли в растворе • 100% = 15%.
Процентное содержание вещества в растворе по-другому
называется процентной концентрацией раствора. Так, фраза
«солевой раствор 15 %-ной концентрации» означает, что
масса соли в растворе составляет 15 % от массы раствора.
Ответ'. 15 %.
Пример 2.33. К 300 г 12 % раствора соли добавили 100 г
воды. Каким стало процентное содержание соли в растворе?
Решение. Найдем массу соли в первоначальном растворе:
12 % = 0,12, тогда 300 • 0,12 = 36 г.
При добавлении воды количество соли не изменилось, но
увеличилась масса раствора: 300 + 100 = 400 г. Отсюда
процентное содержание соли в растворе • 100% = 9%.
Задачу можно решить и с помощью уравнения. Пусть
после добавления воды процентное содержание соли в растворе
составляет х %. При этом масса соли не изменилась 0,12-300
г. В конечном растворе (массой 400 г) масса соли составила
0,0\х • 400 г. Приравняв эти величины, получим уравнение:
0,12-300 = 0,01x400 или 36 = 4х, х = 9.
Ответ: 9 %.
Пример 2.34. В свежих грибах 90 % воды, в сухих - 5 %.
Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 1 кг
сухих грибов?
Решение. При сушке грибов вода испаряется, но масса
сухого вещества не меняется. Пусть было собрано х кг свежих
грибов, в которых содержится 100 - 90 = 10 % сухого
вещества, что составляет 0,1 х кг.
59

В сухих грибах сухого вещества 95 %. В 1 кг таких грибов
будет 0,95 кг сухого вещества. Приравняв найденные
величины, получаем уравнение: 0,1* = 0,95. Умножив обе части
уравнения на 10, найдем х = 9,5.
Ответ: 9,5 кг.
Задачи на «сложные» проценты. Так называются
задачи, в которых какая-либо величина изменяется на
определённое число процентов два и более раз. Каждое последующее
изменение рассчитывается от новой полученной величины, а
не от начальной. Поэтому складывать или вычитать проценты
в этих случаях нельзя.
Пример 2.35. Цену на товар сначала снизили на 10 %, а
затем на 20 %. На сколько процентов в итоге снижена цена
товара?
Решение. Пусть первоначальная цена товара х руб., 10 %
от х составляют 0,1* руб. Поэтому после первого снижения
цена товара стала х - 0,1л* = 0,9л* руб.
Рассмотрим теперь второе снижение цены: 20 % от 0,9л*
руб. составляют 0,9л* • 0,2 = 0,18л*. Обратите внимание, что
20 % ищутся не от первоначальной цены, а от полученной
после первого снижения. После второго снижения цена товара
стала 0,9л* - 0,18 л* = 0,72л* руб.
Теперь воспользуемся правилом на с. 55. Составим
выражение:
На сколько руб. снижена цена 1 х- 0,72л*
Старая цена
0,28л*
• 100% = '-^ • 100% =
•100% = 28%.
л*
: о/
Ответ: цена товара снизилась на 28 %.
(Если бы мы сложили 10 % и 20 %, то получили бы 30 % -
неправильный ответ, так как задача на «сложные» проценты.)
60

Среднее арифметическое
В разделе математики, который называется «статистика»,
используются различные средние: арифметическое,
геометрическое, квадратичное, гармоническое и др. В основном они
используются для анализа и обработки данных испытаний,
социологических опросов, результатов экспериментальных
измерений и т.д. В то же время и в других разделах
математики возникают задачи, связанные со средними. Рассмотрим
пока только понятие среднего арифметического.
Пример 2.36. Любой прибор неточен. Поэтому измерения
для повышения точности результатов проводят или несколько
раз на одном и том же приборе, или на разных однотипных
приборах. Затем результаты усредняют. Так, кусок металла
был взвешен на пяти различных весах, которые показали 126
г, 132 г, 128 г, 131 г и 123 г. Сколько в среднем весит этот
кусок металла?
Решение. Разумно считать средним весом общий вес
измерений, деленный на число измерений. Получаем:
(126 + 132 + 128 + 131 + 123): 5 = 640 : 5 = 128 г.
Ответ: 128 г.
Напомним, средним арифметическим нескольких чисел
называют частное от деления суммы этих чисел на число
слагаемых:
Пример 2.37. Мальчик получил в течение месяца оценки
по математике: 5, 4, 4, 3, 5. Найти среднюю оценку за месяц.
Решение. По формуле среднего арифметического найдем
Среднее арифметическое =
Сумма чисел
Число слагаемых
5+4+4+3+5 21
21 Л л^
= — = 4-= 4,2.
5 5
5
Ответ: 4,2.
61

Из формулы среднего арифметического вытекает ещё
одна полезная формула:
Сумма чисел = Среднее арифметическое х Число слагаемых.
Пример 2.38. Среднее арифметическое трёх чисел равно
14,1. К ним добавили число 5,7. Чему равно среднее
арифметическое всех четырёх чисел?
Решение. Найдем сумму трёх чисел: 14,1 • 3 = 42,3.
Прибавим к этой сумме четвёртое число и получим сумму всех
четырёх чисел: 42,3 + 5,7 = 48. Теперь найдём среднее
арифметическое четырёх чисел: 48 : 4 = 12.
Ответ: 12.
Пример 2.39. Одно из чисел на 5,2 больше другого, а их
среднее арифметическое равно 12,4. Найти эти числа.
Решение. Примем меньшее число за х. Тогда большее
число х + 5,2. Сумма чисел составляет х + х + 5,2 = 2х + 5,2.
По формуле для суммы чисел получаем
2х +5,2= 12,4-2 или 2х + 5,2 = 24,8,
2х = 24,8 - 5,2 = 19,6, х = 19,6 : 2 = 9,8.
Мы определили меньшее число, теперь найдём большее:
9,8 + 5,2 = 15.
Ответ: 9,8 и 15.
Часто в задачах требуется определить не просто среднее
арифметическое чисел, а среднее значение каких-либо
величин: скорости, массы, урожайности, успеваемости и т.д. Фор-
мулы для вычисления величин используются те же (v = —,
Ц = и т.д.), только для расчета среднего значения в них
т
требуется подставлять полные (суммарные) значения
входящих в них компонентов:
^ Весь путь
Средняя скорость = ,
Всё время движения
62

^ Полная стоимость
Средняя цена = ,
Полная масса
„ w Весь урожай
Средняя урожайность = — и т.д.
Вся площадь посевов
Пример 2.40. Смешали 3 кг конфет по цене 70 руб. за
килограмм, 2 кг - по цене 80 руб. за килограмм, и 4 кг - по цене
ПО руб. за килограмм. Определить цену за 1 кг полученной
смеси конфет.
Решение. Вычислим полную стоимость всех конфет:
3-70+ 280+ 4 110 = 810 (руб.).
Полная масса конфет: 3 + 2 + 4 = 9 (кг).
810
Средняя цена смеси: -^- = 90 (руб.).
Ответ: 90 руб. за 1 кг.
Пример 2.41. Машина ехала 2 ч со скоростью 60 км/ч и 3
ч со скоростью 80 км/ч. Найти среднюю скорость движения.
Решение. Вычислим весь пройденный путь:
60-2 + 80-3 = 120 + 240 = 360 (км).
Время, затраченное на этот путь: 2 + 3 = 5 (ч).
Средняя скорость движения: 360 : 5 = 72 (км/ч).
Заметим, что такой же ответ можно получить, если найти
среднее арифметическое скоростей за каждый час движения:
(60 + 60 + 80 + 80 + 80): 5 = 72 (км/ч).
Ответ: 72 км/ч.
Обратите внимание, что если бы мы находили среднюю
скорость не по формуле, а как среднее арифметическое чисел
60 и 80, то получили бы неверный ответ 70 км/ч.
Пример 2.41. Поезд проехал 600 км со скоростью 40 км/ч
и ещё 600 км со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость
движения поезда.
Решение. В этой задаче неизвестно время движения,
поэтому найдем его. На путь в 600 км при скорости 40 км/ч бы-
63

ло потрачено: 600 : 40 = 15 (ч), затем на путь в 600 км при
скорости 60 км/ч было потрачено: 600 : 60 = 10 (ч). Общее
время движения составило 15 + 10 = 25 (ч). Средняя скорость
движения: (600 + 600): 25 = 1200 : 25 = 48 км/ч.
Ответ'. 48 км/ч.
Пропорции
Частное от деления двух чисел называют отношением
этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое
число больше второго, или какую часть первое число
составляет от второго.
Равенство двух отношений называют пропорцией. В
пропорции ^ = ^ (или а : Ь = с : d), числа а и d называют
крайними членами, а числа Ъ и с - средними членами пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение крайних
членов равно произведению средних членов, т.е. ad = be. При
этом, если в пропорции поменять местами средние члены или
крайние члены, то вновь получится верная пропорция. Дру-
а с
гими словами, из равенства — = — следуют равенства
Ъ d
а _Ъ d_ с
с d Ъ а
Пример 2.42. Решить уравнение —^ = —^—.
3- х
5
Решение. По основному свойству пропорции запишем:
7 0 о* а3 2'6'35 2,6-3,6 2,6 л. ,
7,2-х = 2,6-3—, откуда х = — = = = 1,3 (мы
5 7,2 7,2 2 V
3
перевели дробь 3— в десятичную дробь 3,6).
Ответ: 1,3.
64

Прямая и обратная пропорциональные зависимости.
Рассмотрим наиболее известные зависимости между двумя
переменными.
Две величины называют прямо пропорциональными, если
при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз
другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Тогда
отношения соответствующих значений этих величин равны:
21 = i^L. Соотношение между величинами у и х описывается
Уг х2
у
формулой у = ах (где а - некоторое постоянное число, а = —).
х
Пример 2.43. Пусть скорость машины 50 км/ч. Тогда
пройденный путь s (км) за время t (ч) можно вычислить по
формуле s = 50/ - это прямо пропорциональная зависимость
между величинами s и /. Вычислим пройденной машиной путь:
за tx = 2 ч s\ = 50 • 2 = 100 (км),
за h = 5 ч s2 = 50 • 5 = 250 (км).
Легко проверить, что выполняется равенство — = — или
100 2
= —, т.е. отношения величин равны.
250 5
Две величины называются обратно пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько
раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Тогда отношение значений одной величины равно обратному
отношению соответствующих значений другой величины:
= —. Соотношение между величинами у и х описывается
У2 Х\
формулой у =— (где а - некоторое постоянное число,
х
а = ху).
65

Пример 2.44. Расстояние между городами 200 км.
Машина проехала это расстояние при скорости v (км/ч) за время
t (ч). Потраченное время можно вычислить по формуле
200
t = обратно пропорциональная зависимость между ве-
v
личинами t и v. Найдём время при скорости v\ = 20 км/ч
200 1/w ч СЛ , 200 А, ч
tx = = 10 (ч) и при скорости £>2 = 50 км/ч t2 = = 4 (ч).
Легко проверить, что выполняется равенство — = — или
Ю 50 _ „
— = —. Следовательно, отношение значении одной величи-
4 20
ны равно обратному отношению соответствующих значений
другой величины.
Важно запомнить! При решении задач на
пропорциональные величины с помощью пропорций, сначала надо выделить
из условия три величины, из которых две будут изменяться, а
третья останется постоянной. Только после этого можно
приступать к определению вида пропорциональности (прямая или
обратная).
Пример 2.45. За 0,8 кг персиков заплатили 115,2 руб.
Сколько будут стоить 1,5 кг персиков?
Решение. Зависимость между массой товара и его
стоимостью при постоянной цене - прямо пропорциональная, так
как если купить товара в несколько раз больше, то и его
стоимость увеличится во столько же раз.
Запишем условие задачи в виде таблицы, обозначив
буквой х стоимость 1,5 кг персиков:
Покупка
Масса персиков, кг
Стоимость покупки,
руб.
1-я
0,8
115,2 1
2-я
^ 1,5
х ▼
66

Одинаковое направление стрелок обозначает прямо
пропорциональную зависимость между величинами. При этом
виде пропорциональности отношения значений соответст-
п 0,8 115,2
вующих величин равны. Получаем пропорцию: — = ,
1,5 х
115,2.1,5
откуда х = = 216.
0,8
Ответ: 1,5 кг персиков стоят 216 руб.
Пример 2.46. При скорости 36 км/ч на путь из одного
города до другого машина затратила 2,4 ч. Какое время
потребуется машине на этот путь при скорости 48 км/ч.
Решение. При заданном пути время движения машины
обратно пропорционально её скорости, так как если скорость
увеличится в несколько раз, то машина затратит на тот же
путь времени меньше во столько же раз.
Примем искомое время за х (ч) и запишем условие в виде
таблицы, а обратно пропорциональную зависимость
обозначим противоположно направленными стрелками:
Движение
Скорость, км/ч
Время, ч
1-е
36
2,4 л
2-е
1 48
х Т
При этом виде пропорциональности отношение значений
одной величины равно обратному отношению
соответствующих значений другой величины. Получаем пропорцию
36 х 36-2,4 lft
— = , откуда х = = 1,8.
48 2,4 48
Ответ: будет затрачено 1,8 ч.
С помощью пропорций можно решать задачи на
проценты, так как число процентов прямо пропорционально
соответствующей части величины. В частности, прямо
пропорциональны процентное содержание вещества в растворе или
67

сплаве и масса этого вещества (при неизменной массе
раствора или сплава).
Пример 2.47. В растворе 20 %-ной концентрации
содержится 5 г соли. Сколько соли будет содержаться в той же
массе раствора, если концентрация составит 35 %?
Решение. Так как масса раствора не изменяется, то масса
соли и процентная концентрация раствора прямо
пропорциональны. Обозначим через х (г) искомое количество соли и
составим таблицу:
Раствор
Масса соли, г
Концентрация, %
1-й
5
20 |
2-й
▼ X
35 *
Получаем пропорцию — = —, откуда х = = 8,75 г.
х 35 20
Подобные задачи мы уже решали другим способом:
1) найдём массу раствора («целое»): 20 % = 0,2,
5 : 0,2 = 25 (г);
2) найдём 35 % от 25 г: 35 % = 0,35;
0,35-25 = 8,75 (г).
Ответ: 8,75 г.
Способ решения задачи выбирать вам.
Пример 2.48. Четверо рабочих выполняют работу за 32 ч.
Сколько ещё надо пригласить рабочих, чтобы успеть
выполнить эту работу за сутки (производительность рабочих
одинаковая)?
Решение. При заданном объёме работы время и число
рабочих связаны обратно пропорциональной зависимостью:
если рабочих станет в несколько раз больше, то ту же работу
они сделают во столько же раз быстрее. Обозначим за х
новое (полное) число рабочих и запишем условие в виде
таблицы (в таблице учтено, что 1 сут. = 24 ч):
68

Условие работы
Число рабочих
Время, ч
1-е
4
32 а
2-е
▼ X
24
4 24 4-32 Л
Получаем пропорцию — = —, откуда х = = 5 —.
х 3 2> 24 3
Так как число рабочих не может быть дробным,
следовательно, чтобы успеть выполнить работу за сутки, необходимы
6 рабочих, т.е. надо пригласить ещё (6 - 4) = 2 рабочих.
Можно решить задачу, взяв за х число дополнительных
рабочих (вопрос задачи). Тогда пропорция примет вид:
4 24
= —, откуда получим 24(4 + х) = 4-32. Уравнение
получилось сложнее, но зато не будет дополнительных действий.
Ответ: надо пригласить ещё 2 рабочих.
Пример 2.49. Для 6 кроликов на 40 дней запасли 90 кг
сена. Сколько надо запасти сена для 10 кроликов на 50 дней?
Решение. В этой задаче изменяются все три величины: и
число кроликов, и масса сена, и число дней. Такие задачи
решаются в два этапа.
1. Оставляем прежней какую-либо величину: или число
дней, или число кроликов. Пусть, например, число дней
остаётся прежним - 40, а число кроликов - 10. Получается
обычная задача на пропорцию.
Примем за х (кг) массу сена, необходимую для 10
кроликов на 40 дней. Число кроликов и масса сена при постоянном
количестве дней прямо пропорциональны:
Ситуация
Масса сена, кг
Число кроликов
1-я
90
6 1
2-я
▼ X
10 +
6_
10
90
х
6х = 90-10; х--
9010
= 150.
69

2. Теперь получаем вторую задачу. Примем за>> (кг) массу
сена, необходимую 10 кроликам на 50 дней. Число дней и
масса сена при постоянном количестве кроликов прямо
пропорциональны.
Ситуация
Масса сена, кг
Число дней
1-я
150
40 |
2-я
' У
50 +
^ = 1*0; 40^ = 50-150; ^1^ = 187,5.
50 у ' ' ' 40
Ответ: для 10 кроликов на 50 дней необходимо 187,5 кг
сена.
Часто задачи на пропорциональные зависимости можно
решить устно (при определённом соотношении величин,
отличающихся, например, в 2 раза, 1, 5 раза и т.д.).
Пример 2.50. Три курицы снесли за 3 дня 9 яиц. Сколько
яиц снесут 6 куриц за 6 дней?
Решение. Обратим внимание, что здесь также изменяются
все три величины. Зафиксируем число куриц - 3. Тогда за 6
дней они снесут в 2 раза больше яиц (6 дней больше 3 дней в
2 раза), т.е. 9-2 = 18 яиц.
За 6 дней 6 куриц снесут ещё в 2 раза больше яиц (6 куриц
больше 3 куриц в 2 раза), т.е. 18 • 2 = 36 яиц.
Ответ: 36 яиц.
70

3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Отрицательные числа
Продолжим обобщение понятия числа, а именно,
задумаемся о существовании отрицательных чисел. Определённые
доводы были приведены уже в начале предыдущей части.
Усилим их ещё несколькими примерами.
Пример 3.1. Бизнесмен Федя получил беспроцентный
кредит в банке на 100 ООО руб. Далее ситуация могла
развиваться разными путями.
а) Используя кредит, Федя заработал 120 ООО руб., из
которых он возвратил банку 100 000 руб. Таким образом, доход
Феди составил 120 000 - 100 000 = 20 000 руб.
б) Используя кредит, Федя заработал 140 000 руб., из
которых он возвратил банку 100 000 руб., ещё Федя заплатил за
подорожавшее топливо 40 000 руб. Тогда его доход составил
140 000 - 100 000 - 40 000 = 0 руб., т.е. дохода Федя не
получил.
в) Используя кредит, Федя заработал 80 000 руб., из
которых он заплатил за подорожавшее топливо 20 000 руб. После
чего у него осталось 80 000 - 20 000 = 60 000 руб. А он
должен возвратить банку 100 000 руб. Каков же его доход в этом
случае? По аналогии с пунктами а) и б): 60 000 - 100 000 = ?
А вот это нужно уже понимать!
Конечно, ситуации б) и в) отличаются: в первом случае
Федя просто ничего не получил, а во втором случае не только
ничего не получил, но и остался должен банку. Назвать
результаты в этих случаях одинаковыми невозможно: из
здравого смысла понятно, что результаты разные.
Другой пример: если вам сказали, что завтра в городе
температура воздуха будет 10°, вы, наверное, уточните: тепла
или холода, чтобы соответственно одеться.
Обратимся к координатной оси и уточним понятие числа.
Выберем начало отсчёта - точку О с координатой 0, единич-
71

ный отрезок OA и положительное направление прямой
(указано стрелкой). Числа, расположенные справа от начала
отсчёта, будем считать положительными, а слева -
отрицательными.
BOCA
-2 -l',5 -1 ' 0 ' 1 1 ' 2 х
4
Например, на координатной прямой от точки О отложено
3
справа число — (точка С) и слева число -1,5 (точка В). Число
4
О не является ни положительным, ни отрицательным. Оно
отделяет положительные числа от отрицательных.
Число, показывающее положение этой точки на прямой,
как уже известно, называется координатой этой точки.
Каждому числу соответствует определённая точка на
координатной прямой и, наоборот, каждой точке на прямой
соответствует определённое число.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками,
называются противоположными числами: 3 и -3; 3,7 и -3,7 и
т.д. Противоположные числа на координатной прямой
изображаются точками, симметричными относительно начала
отсчёта.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль
называются целыми числами: .. .-2, -1,0 1,2,...
Модуль числа
Важной характеристикой числа является его модуль.
Модуль \а\ числа а равен самому числу а, если оно
неотрицательно, и противоположному числу -а, если оно
отрицательно:
а, если а > 0;
- а, если а < 0.
72

Например: |3,7| = 3,7, так как число а = 3,7 > 0; |0| = 0, так
как число 0 = 0; |-2,3| = -(-2,3) = 2,3, так как число а = -2,3 < 0.
Модуль числа а имеет простой геометрический смысл:
\а\ - расстояние на координатной оси от точки с координатой
а до начала отсчёта 0; \а - Ъ\ — расстояние между точками с
координатами а и Ь на координатной оси:
\Ь\ \а\
Л А .
I i ■ ■ 1 ■ > > I . —►
6-101 а х
1 . I
\а-Ъ\
Так, |3,7| - расстояние от точки 3,7 до точки 0;
101 - расстояние от точки 0 до точки 0;
|-2,3| - расстояние от точки -2,3 до точки 0;
13,7 - 2,31 - расстояние между точками 3,7 и 2,3;
|3,7 + 2,3| = |3,7 - (-2,3)| - расстояние между точками 3,7 и
-2,3.
Пример 3.2. Решить уравнение \х\ = 5.
Решение. Используем геометрический смысл модуля
числа. Расстояние от начала отсчёта до числа х рано 5 в двух
случаях: х = 5 и х = -5.
5 5
f i i ' ■ ■ ? i i " i i 1 —►
-5 -4 -3 -2 1 0 1 2 3 4 5 х
Ответ: 5 и -5.
Пример 3.3. Решить уравнение \х - 3,7| = 2.
Решение. Используя геометрический смысл модуля числа,
определяем, что расстояние от числа х до числа 3,7 равно 2.
При этом число х может быть и больше, и меньше числа 3,7
на две единицы.
2 2
-ч . .' i " i It \ —^-4-^
0 1 17 2 3 37 4 5 5J jc
Поэтому находим два корня этого уравнения:
73

этих чисел:
^ (где Ъ*0).
\Ь\ к"
х = 3,7 - 2 = 1,7 и х = 3,7 + 2 = 5,7.
Ответ: 1,7 и 5,7.
Основные свойства модуля.
1. Модуль числа - величина неотрицательная: \а\ > 0.
2. Модули противоположных чисел равны: \-а\ =
3. Квадраты модуля числа и самого числа равны: |я|2 = а2.
4. Модуль произведения чисел равен произведению
модулей этих чисел: \аЪ\ = \a\-\b\.
5. Модуль частного двух чисел равен частному модулей
а
~Ь
Пример 3.4. Вычислить значение выражения
Ь^1+|0,2-0,6| + |-0,2|.
Решение. Используя определение и свойства модулей,
получаем
+1 -0?41 +1 -0,2 Н -0,41 +1 -0,41 +1 -0,2|=
IW>I
= 0,4 + 0,4 + 0,2 = 1.
Ответ: 1.
Напомним, что из двух отрицательных чисел больше то,
модуль которого меньше. Нуль больше любого
отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.
Например: 2,7 > -3,2; -2,7 > -3,2, так как |-2,7| < |-3,2|; 0 > -2,7;
0 < 2,7.
Пример 3.5. Сравнить числа-2,7-1,3 и-3,6-1,4.
Решение. Оба числа будут отрицательными. Найдём
модули этих чисел: |-2,71,3| = 2,71,3; |-3,61,4| = 3,61,4.
Так как каждый множитель в числе 2,7-1,3 меньше
соответствующих множителей в числе 3,6-1,4, то
(2,71,3) < (3,61,4) или |-2,71,3| < |-3,61,4|,
поэтому -2,7-1,3 > -3,6-1,4.
Ответ: -2,7-1,3 >-3,6-1,4.
74

Действия с отрицательными числами
С помощью координатной прямой можно просто и
наглядно складывать числа. Сложить числа а и Ъ означает
изменить число а на Ъ единиц. Любое число от прибавления
положительного числа увеличивается, а от прибавления
отрицательного числа - уменьшается.
На числовой прямой показано сложение числа 2 с
числами 3 и -3:
-3 +3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 х
В соответствии с рисунком получаем 2 + 3 = 5и2 + (-3) = -1.
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
а) сложить модули этих чисел;
б) поставить перед полученным числом знак минус.
Например:
4 ( Ъ\ ( 4 3\ 7 Л
-3-+ -2- = - 3- + 2- =-5- = -6-.
5 ^ 5J ^ 5 5j 5 5
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
а) из большего модуля чисел вычесть меньший;
б) поставить перед полученным числом знак того
слагаемого, модуль которого больше.
Например:
.)-зИ~(,И)~,!;
2) 6,3+ (-2,4) = 6,3-2,4 = 3,9.
Как и в случае положительных чисел, операция
вычитания является обратной операции сложения: по заданной
сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы
его найти, надо к сумме прибавить число, противоположное
известному слагаемому: а-Ъ - а + (~Ъ).
Например:
1) 11—3=11-1- С—3) = 8;
75

2) 4 - 15 = 4 + (-15) =-11;
3) -3 - 12 = -3 + (-12) = -15.
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой,
надо из координаты его правого конца вычесть координату его
левого конца.
Пример 3.6. Найти длину отрезка АВ, если А (-3,7) и
В (6,3).
Решение. Из координаты правого конца (точки В)
вычитаем координату левого конца (точки А):
6,3-(-3,7) = 6,3+ 3,7= 10.
-3 7 10 ^
, , ГГ
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 *
Ответ: 10.
Теперь, когда вы научились выполнять действия с
отрицательными числами, важно запомнить, как решаются
уравнения с модулем без использования его геометрического
смысла.
Пример 3.7. Решить уравнения: |х + 3,1| = 4 и |5,2 -х\ = -2.
Решение.
а)|х + 3,1|=4.
х + 3,1=4, или х + 3,1=-4,
х = 4-3,1, х = -4-3,1,
х = 0,9. х--7,1-
Ответ: уравнение имеет два корня 0,9 и -7,1.
б) |5,2 -х\ = -2. Данное уравнение не имеет решений, так
как модуль не может быть отрицательным.
Чтобы перемножить два числа с одинаковыми знаками,
надо перемножить модули этих чисел.
Например: 2,7 1,3 = 3,51;
(-3,4>(-1,2) = |-3,4|-|-1,2| = 3,4 • 1,2 = 4,08.
Чтобы перемножить два числа с разными знаками,
надо перемножить модули этих чисел и поставить перед
полученным числом знак минус.
76

Например: 2,3<-1,8) = -|2,3|-|-1,8| = -2,31,8 = -4,14;
-2,6-1,2 = -|-2,6|-| 1,2| = -2,6-1,2= -3,12.
Чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками,
надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
Например: 2,99 : 1, 3 = 2,3;
-7,36 : (-2,3) = |-7,36| : |-2,3| = 7,36 : 2,3 = 3,2.
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо
разделить модуль делимого на модуль делителя и перед
полученным числом поставить знак минус.
Например: -3,92 : 2,8 = -|-3,92| : |2,8| = -3,92 : 2,8 = -1,4;
1,92 : (-1,2) =-|1,92| : |-1,2| =-1,92 : 1,2 = -1,6.
На нуль делить нельзя. При делении нуля на любое число
(не равное нулю) получается нуль.
Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа. Число, которое можно записать в
т
виде отношения — (где т - целое число, п - натуральное
п
число), называют рациональным числом.
2 -3 . -5 27 Л 13
Например: —, —,-5=—, 0,27 = , 4— = — и т.д.
7 5 1 100 3 3
Сумма, разность, произведение и частное (если делитель
не равен нулю) двух рациональных чисел также число
рациональное.
Любое рациональное число можно представить в виде
конечной или бесконечной периодической десятичной дроби
делением уголком.
29
Пример 3.8. Обратить в десятичную дробь: а) —,
б)-, в)—.
3 11
77

Решение, а) Напомним, что несократимую дробь можно
записать в виде конечной десятичной дроби только в том
случае, если её знаменатель в качестве простых делителей имеет
29
L?*L только числа 2 и 5. В дроби — знаменатель
"175 20
29
"20
_90
80 -
1QQ лучим конечную десятичную дробь
"10° 29 = 1,45.
дроби 20 = 2-2-5. При делении в столбик по-
0 20
~~1о~ ^66 ^ ^И делении в стол^ик Дроби =
1 Q
—— = 0,66... = 0,(6) - получается бесконечная пе-
_lg риодическая десятичная дробь с периодом 6.
—2~ 5
в) При делении дроби — = 0,4545... =
5 111 11
50 I о 4545 = 0>(45) получается бесконечная периодиче-
~44 екая дробь с периодом 45.
50 Формально в случае а) справа от числа
~55 1,45 можно дописать бесконечное число ну-
_50 лей 1,450000... и также рассматривать это
44 число как бесконечную периодическую деся-
6 ... тичную дробь с периодом 0.
Принято период десятичных дробей указывать в скобках,
но период, равный 0, не указывается.
Любую бесконечную периодическую дробь можно
обратить в обыкновенную дробь. При этом обращение проводится
по-разному для дробей с нулевым и ненулевым периодом.
Разберём это на примерах.
Пример 3.9. Обратить в обыкновенную дробь: а) 1,15;
б) 2,(4); в) 1,(15).
Решение, а) Запишем дробь в виде обыкновенной и
сократим её:
78

l,15 = lii = l±.
100 20
б) Обозначим искомое число через х и запишем: х = 2,(4)
или х = 2,44... Так как в периоде только одна цифра, то
умножим число х на 10 и получим 10х = 24,44... Вычтем из
числа 10х число х, получим уравнение:
10х-х = 24,44... -2,44... или 9х = 22,
х= — = 2-
9 9'
в) Обозначим искомое число через х и запишем х= 1,(15)
или х = 1,1515... Так как в периоде две цифры, то умножим
число х на 100 и получим 100х = 115,1515... Вычтем из числа
ЮОх число х, получим уравнение:
100х-х= 115,1515...-1,1515... или 99х=114,
Х~ 99 " 99 ~ 33*
Возникает вопрос: существуют ли ещё какие-нибудь
числа? Можно написать бесконечную десятичную дробь так,
чтобы она не была периодической. Значит, рациональные
числа не охватывают все возможные числа.
Иррациональные числа. Рассмотрим бесконечную
десятичную дробь 0,121122... В этом числе после запятой
выписаны по одному разу цифры 1 и 2, потом те же цифры
выписаны по два раза, затем по три раза и т.д. Полученная дробь
является непериодической. По определению такое число не
может быть рациональным. Подобные числа называют
иррациональными, т.е. иррациональное число - десятичная
бесконечная непериодическая дробь.
Иррациональные числа часто возникают в математике.
Например, отношение длины любой окружности к её
диаметру является постоянным числом. Это число является
иррациональным, его обозначают греческой буквой п (пи). Оно
79

состоит из бесконечного числа цифр после запятой:
3,1415926... Шестидесятилетний житель Японии Акира Ха-
рагучи запомнил число п до 100-тысячного знака после
запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать все
число целиком. Для краткости принято, что п » 3,14.
Если рассмотреть равнобедренный прямоугольный
треугольник с катетами длиной 1 см, то длина его гипотенузы
будет выражаться иррациональным числом, которое
обозначается символом: V2 см. При этом V2 « 1,41. С такими
числами вы будете подробно знакомиться в 8 классе.
Действительные числа. Рациональные и
иррациональные числа называются действительными числами. С ними
совершаются такие же действия, как и с целыми числами.
Свойства действий остаются те же.
Свойства сложения чисел:
- переместительное свойство: а + Ъ = Ь + а\
- сочетательное свойство: а + {Ь + с) = (а + Ь) + с;
- свойство нуля: а + 0 = я;
- свойство противоположных чисел: а + (-а) = 0.
Свойства умножения:
- переместительное свойство: ab = Ъа\
- сочетательное свойство: а(Ъс) = (ab)c\
- свойство единицы: а • 1 = а;
- свойство обратных чисел: а • — = 1 (а Ф 0);
а
- распределительное свойство умножения относительно
сложения: (а + Ъ)с = ас + be;
- свойство нуля: а • 0 = 0.
Из последнего свойства умножения следует, что
произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из
множителей равен нулю. Например, если ah = 0, то или а = 0, или
Ь = 0 (может быть, что ия = 0, и Ь = 0 одновременно).
80

Пример 3.10. Решить уравнение (2х - 3)(jc + 7)(2х + 5) = 0.
Решение. Так как произведение трех множителей равно
нулю, то один из них равен нулю. Получаем три простых
уравнения:
3
1) 2х - 3 = 0, откуда 2х = 3 и х = — = 1,5;
2) х + 7 = 0, откуда х = -7;
3) 2х + 5 = 0, откуда 2х = -5 и х = =-2,5.
Итак, уравнение имеет три различных корня.
Ответ: -7; -2,5; 1,5.
Теперь рассмотрим более сложные задачи, связанные с
действительными числами.
Пример 3.11. На координатной оси точками отмечены
несколько целых чисел, сумма которых равна 51. Если каждую
точку переместить на 5 единиц влево, то сумма чисел,
соответствующих этим точкам, станет равна -19. Сколько чисел
было отмечено на прямой?
Решение. Сумма чисел уменьшилась на 51 - (-19) = 70
единиц. При этом каждое число уменьшает сумму на 5
единиц. Значит, всего было отмечено 70 : 5 = 14 чисел.
Ответ: 14.
Пример 3.12. На координатной прямой отмечены точки
А (а) и В (Ь). Найти координату середины отрезка^В.
Решение. Будем считать, что точка В расположена правее
точки А, т.е. b > а. Пусть точка С (с) - середина отрезка АВ.
Найдем длины отрезков АС = с - а и СВ = b - с. Эти длины
равны. Получаем равенство с - а = Ъ - с, откуда 2с = а + Ъ и
а + b (' а + Ъ
с = —-—. 1очка С имеет координату С
Ответ: С а + ^
81

Таким образом, координата середины отрезка является
средним арифметическим координат его концов. Этот вывод
надо запомнить.
Пример 3.13. Произведение чисел каждой строки табли-
°\ а2 аЪ
цы а4 а5 а6 отрицательно. Какие знаки могут иметь про-
а7 as а9
изведения чисел в столбцах?
Решение. Так как произведение чисел каждой строки
таблицы отрицательно, то произведение всех чисел таблицы
отрицательно. Это возможно или если произведения чисел во
всех трёх столбцах отрицательны, или если произведение
чисел в одном столбце отрицательно, а произведения чисел в
двух других столбцах положительны.
Пример 3.14. В одну строку выписано 25 чисел. Сумма
любых трёх соседних чисел положительна. Может ли сумма
всех 25 чисел быть отрицательной?
Решение. Рассмотрим ряд чисел:
-9, 5, 5,-9, 5, 5,...,-9, 5, 5,-9.
Легко проверить, что сумма любых трёх соседних чисел
равна 1 (положительна). Найдём сумму всех 25 чисел. В этом
ряду восемь раз повторяется тройка чисел: -9, 5, 5 (25 : 3 = 8
и 1 (остаток)) и число -9 (последнее). Поэтому сумма всех 25
чисел равна 8(-9 + 5 + 5) + (-9) = 81+ (-9) = -1 -
отрицательное число.
Ответ: сумма всех 25 чисел может быть отрицательной.
В то же время она может быть и положительной,
например, для ряда чисел -9, 6, 6, -9, 6, 6, ..., -9, 6, 6, -9 (сумма
чисел 8-3 + (-9) = 15).
Пример 3.15. Найти сумму чисел
1 +2-3-4 + 5 + 6-7-8 + ... +301.
Решение. Необходимо определить закономерности в
слагаемых этой суммы, полезные для её вычисления.
82

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
1+(2- 3- 4 + 5)+ (6- 7- 8 +9)+...+ (298 - 299 - 300 + 301).
Видно, что сумма чисел в каждой скобке равна нулю.
Поэтому сумма всех чисел равна 1.
Ответ: 1.
Пример 3.16. Сколько слагаемых в правой части
равенства 18 = 18 + 17+ 16+ 15 +...+ Х (гдех-целое число)?
Решение. Очевидно, что х - отрицательное число.
Получаем 17 слагаемых от 17 до 1, столько же слагаемых от -1 до
-17 и ещё 0 и 18, т.е. всего 17 + 17 + 2 = 36 слагаемых.
Ответ: 36.
Пример 3.17. Дорога от дома до школы занимает у Оли
30 мин. Однажды по дороге она вспомнила, что забыла дома
учебник. Оля знала, что если она продолжит путь в школу с
той же скоростью, то придёт туда за 9 мин до урока, а если
вернётся домой за учебником, то, идя с той же скоростью, она
опоздает на урок на 11 мин. Какую часть пути она прошла?
Решение. Пусть расстояние от дома до школы а (м), тогда
скорость Ольги -jjj- (м/мин). Чтобы возвратиться домой и
вернуться к тому же месту, откуда она возвращалась (т.е. на
старое место), Оля должна будет затратить 9 + 11 = 20 (мин).
За это время она пройдёт расстояние
Значит, Оля от дома до старого места прошла — а: 2 = —
1
или — часть пути.
Ответ: — часть
s = v-1
2 < ^
= — а (м).
3 v
2
а
3
83

Решение уравнений
Во многих предыдущих задачах для решения мы уже
использовали уравнения. Поэтому остановимся на этой теме
подробнее.
Сначала рассмотрим некоторый вспомогательный
материал, который необходим для решения уравнений.
Часто при вычислениях приходится раскрывать скобки.
Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить
скобки и этот знак +, сохранив знаки слагаемых, стоящих в
скобках. Если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано
без знака, то его надо записать со знаком +. Например:
а + (Ь - с) = а + Ь - с;
а + (-Ь + с) = а-b + с.
Если перед скобками стоит знак -, то надо заменить этот
знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках, на
противоположные, а потом раскрыть скобки. Например:
а - (Ь - с) = а + (-Ь + с) = а-Ь + с;
а - (-Ъ + с) = а + (Ь - с) = а + b - с.
Если выражение является произведением числа и одной
или нескольких букв, то это число называется числовым
коэффициентом (или просто коэффициентом).
Пример 3.18. Упростить выражения: а) 0,5я-(-0,96);
б)0,Зд2*-(-0,5а*).
Решение. Сгруппируем отдельно числовые и отдельно
буквенные множители. Получаем:
а) 0,5я-(-0,9й) = 0,5-(-0,9)-я-й = -0,45яй. В этом
выражении коэффициент равен -0,45;
б) 0,Зя26-(-0,5я6)= 0,3-(-0,5>я2я^ = -0,15я362. В этом
выражении коэффициент равен -0,15.
Коэффициенты обычно пишутся перед буквенными
множителями. Коэффициенты -1 и +1 перед буквенными
множителями не пишут: a2b, -ab3 и т.д.
84

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть,
называют подобными. Чтобы слоэюить (привести) подобные
слагаемые (члены), надо сложить их коэффициенты и
результат умножить на общую буквенную часть.
Пример 3.19. Упростить выражения: а) За - 1а + а;
б)9а + 4Ь-1а-6Ь; в) 2а - За* - 5а2.
Решение.
а) в сумме За - 1а + а все слагаемые подобны, так как
имеют одинаковую буквенную часть а; сложив
коэффициенты 3 - 7 + 1 = -3, получаем За -la + а = -За;
б) в сумме 9а + 4b - la - 6Ь две группы подобных
слагаемых: 9а, -1а и 4Ъ, -6Ь; получаем: (9а - Id) + (4b - 6b) = 2а -2b;
в) в сумме 2а - За4 - 5а2 подобных слагаемых нет, так как
хотя в неё входит переменная а, но в разных степенях: а, а2,
аА. Поэтому привести подобные члены и упростить
выражение нельзя.
Теперь обратимся к решению уравнений. Для любых
уравнений справедливы два правила:
1) корни уравнения не изменятся, если обе части
уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное
нулю;
2) корни уравнения не изменятся, если к обеим частям
уравнения прибавить (или вычесть из них) одно и то же число
или выражение. Это правило можно выразить по-другому:
корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое
перенести из одной части уравнения в другую, изменив при
этом его знак.
В младших классах изучаются только линейные
уравнения, т.е. уравнения, в которые входит неизвестная только в
первой степени. Эти уравнения обычно приводят к виду ах = b
(где аиЬ- некоторые числа, ах- неизвестная).
Пример 3.20. Решить уравнения: а) 2х + 17 = 5(х + 2) - 8;
б) Зх + 2 = 4(х + 1) -х; в) Зх + 2 = 5(х + 1) - 2х - 3.
85

Решение. Раскроем скобки и приведем подобные члены.
Перенесём слагаемые с переменной х в левую часть
уравнений, а числа - в правую. Разделим обе части уравнений на
коэффициент при х и найдём х.
а) 2х + 17 = 5(х + 2) - 8, 2х + 17 = 5х + 10 - 8,
2х + 17 = 5х + 2, 2х-5х = 2- 17, -Зх = -15, х = 5.
б) Зх + 2 = 4(х+1)-х, Зх + 2 = 4х + 4-х,
Зх + 2 = Зх + 4, Зх - Зх = 4 - 2, 0-х = 2.
Так как при умножении нуля на любое число х
получается нуль, то ни при каком значении х такое равенство
невозможно. Поэтому уравнение не имеет корней.
в) Зх + 2 = 5(х + 1) - 2х - 3, Зх + 2 = 5х + 5 - 2х - 3,
Зх + 2 = Зх + 2, Зх-Зх = 2-2, 0-х = 0.
Так как при умножении нуля на любое число х получается
нуль, то такое равенство выполняется при всех значениях х.
Это означает, что любое число х будет корнем данного
уравнения, т.е. уравнение имеет бесконечное множество решений.
Заметим, что в уравнениях б) Ох = 2 и в) Ох = 0 на
коэффициент 0 при х, естественно, делить нельзя.
Рассмотрим более сложные (нелинейные) уравнения.
Пример 3.21. Решить уравнение (2х + 1)(5х - 2)(х + 3) = 0.
Решение. Так как произведение трёх множителей равно
нулю, то один из множителей равен нулю. Получаем три
линейных уравнения:
2х + 1 = 0 (корень х = = -0,5);
2
5х - 2 = 0 (корень х = — = 0,4);
х + 3 = 0 (корень х = - 3).
Итак, данное уравнение имеет три корня.
Ответ: -0,5; 0,4; -3.
86

Решение текстовых задач
с помощью уравнений
Одно из основных применений уравнений - решение
задач с текстовым содержанием. Примеры решения таких задач
мы уже приводили. Рассмотрим ещё несколько примеров.
Пример 3.22. На тестировании школьникам были
предложены 30 вопросов. За каждый правильный ответ
начислялись 7 баллов, а за неправильный (или отсутствие ответа)
снимались 12 баллов. Сколько правильных ответов дал
школьник, если он набрал 77 баллов?
Решение. Пусть школьник дал х верных ответов, тогда
ему начислили 7х баллов. Очевидно, что неправильных
ответов было 30-х, и за них сняли 12(30 - х) баллов. Получаем
уравнение:
1х - 12(30 -х) = 11 или 1х - 360 + 12 х = 77,
19* = 437,* = 23.
Ответ: школьник дал 23 правильных ответа.
Пример 3.23. Дано трёхзначное число, в котором
десятков на 3 больше, чем сотен, а единиц на 4 меньше, чем
десятков. При этом полусумма всех цифр числа равна цифре
десятков. Найти это число.
Решение. Пусть х - цифра десятков, тогда х - 3 - цифра
сотен, х - 4 - цифра единиц. Получаем уравнение:
х + (х-3) + (х-4) х + х-З + х-4
- = X или = X ,
2 2
Зх-7
= х, Зх - 1 = 2х, Зх - 2х = 7, х = 7.
2
Ответ: число 473.
Пример 3.24. Если к некоторому трёхзначному числу
приписать сначала слева, а затем справа цифру 7, то первое из
полученных четырёхзначных чисел будет на 3555 больше
второго. Найти это число.
87

Решение. Примем трехзначное число за х. Тогда, если
приписать к нему цифру 7 слева, то оно станет четырёхзначным, и
его можно представить в виде 7000 + х. Если приписать цифру
7 справа, то получится четырёхзначное число, которое можно
представить в виде 1 Ох + 7. Получаем уравнение:
7000 + *= 10х+ 7 + 3555.
Решаем его:
7000 + х = 10*+ 3562, 7000-3562= \0x-x,
3438 = 9х, л: = 382.
Ответ: 382.
Пример 3.25. Когда Витя станет вдвое старше, чем
сейчас, Коля будет на 4 года моложе Веры. В прошлом году
Коля был вдвое моложе Веры и в 3,5 раза моложе Вити. Сколько
лет сейчас каждому ребёнку?
Решение. Пусть в прошлом году Коле было х лет, тогда
Вере было 2х лет, а Вите 3,5л; лет. Сейчас Коле (х + 1) лет,
Вере (2л* + 1) лет, Вите (3,5л* + 1) лет.
Витя станет вдвое старше ещё через (3,5* + 1) лет. Тогда:
Коле будет (л; + 1) + (3,5л: + 1) = 4,5* + 2 лет,
Вере (2х + 1) + (3,5л: + 1) = 5,5л: + 2 лет.
По условию Вера тогда будет старше Коли на 4 года.
Получаем уравнение (5,5* + 2) - (4,5л* +2) = 4, отсюда л* = 4.
Значит, сейчас Коле х + 1 = 4 + 1 = 5 лет, Вере 2х + 1 = 9 лет, а
Вите 3,5л* +1 = 15 лет.
Ответ: Вите 15 лет, Коле 5 лет, Вере 9 лет.
В некоторых случаях для описания условия задачи
приходится использовать несколько переменных, которые, как
правило, являются натуральными числами. Для решения
полученного уравнения используют делимость натуральных чисел.
Пример 3.26. При стрельбе в тире спортсмен несколько
раз попал в десятку, столько же раз выбил по 8 очков и
несколько раз попал в пятёрку. Всего он набрал 117 очков.
Сколько выстрелов сделал спортсмен?
88

Решение. Пусть по х раз спортсмен выбил 10 и 8 очков и
у раз выбил 5 очков. Тогда он набрал 10* + 8х + 5у = 18* + 5у
очков. Получаем уравнение 18л: + 5у = 117. Выразим из него
117-18* 9(13-2*) _ Q _
переменную: у = = . Так как 9 и 5 взаимно
простые числа, то у будет натуральным числом, если
натуральное число 13-2* нацело делится на 5. Это возможно
только при х = 4. Тогда у = 9. Значит, всего спортсмен сделал
4 + 4 + 9=17 выстрелов.
Ответ: 17 выстрелов.
Иногда по условию задачи возникает несколько уравнений
(система уравнений), которую надо или решить (если это
возможно), или найти определённую неизвестную или их
комбинацию (при этом все неизвестные найти невозможно).
Заметим, что решение систем уравнений рассматривается только
в 7 классе.
Пример 3.25. Оля купила на 8 тетрадей меньше, чем
Миша и Витя вместе, а Витя - на 14 тетрадей меньше, чем Оля и
Миша вместе. Сколько тетрадей купил Миша?
Решение. Пусть Оля купила * тетрадей, Миша - у
тетрадей, Витя - z тетрадей.
По условию задачи х + 8 = у + z и z + 14 = х + ^. Сложим
почленно два этих уравнения (это можно сделать, так как
если к обеим частям равенства прибавить равные величины, то
равенство сохранится). Получаем:
х + 8+z + \4=у + z + x+>>,
8 + 14 =у + z + х +y-x-z, 22 = 2>>, у=\\.
Ответ: 11 тетрадей.
При этом в задаче неизвестные х и z найти невозможно.
Действительно, если подставить значение у = 11 в два
составленных уравнения, получим х + 8 = 11 + z и z+14=x+ll.
Из каждого уравнения имеем одно и то же равенство х = z + 3.
89

Очевидно, что х и z, удовлетворяющих этому условию,
бесконечно много.
Итак, из приведённых примеров видно, что в процессе
решения текстовой задачи надо выполнить следующие этапы:
1) ввести неизвестную или неизвестные (как правило,
выбираются те величины, которые необходимо найти по
условию задачи);
2) записать текстовое условие для выбранных
неизвестных в виде уравнения или системы уравнений;
3) решить уравнение или систему уравнений;
4) оценить правдоподобность ответа (например, скорость
лошади не может быть 538 км/ч, длина отрезка не может
составлять -7 см и т.д.);
5) сделать проверку полученного решения (если это
необходимо).
Если условие задачи вызывает затруднения, то надо
сделать схему, таблицу или рисунок и лишь потом приступать к
решению задачи.
90

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вот вы и дочитали до конца эту книгу, разобрались в
теоретическом материале и в различных способах решения задач
по всем представленным темам.
В 6 классе заканчивается изучение арифметики.
Надеемся, что вы полностью осмыслили понятие числа, при этом
обратили особое внимание на задачи, связанные с
делимостью натуральных чисел, которые часто встречаются на
практике.
Конечно, в одном небольшом пособии невозможно
охватить все типы задач. Не расстраивайтесь, если решения ряда
задач по-прежнему вызывают у вас затруднения. В
дальнейших курсах мы будем продолжать отрабатывать навыки
решения и уже изученных типов, и новых типов задач.
В 7 классе произойдёт разделение математики на алгебру
и геометрию, так как эти предметы изучают разные объекты,
используют различные методики и т.д.
Хочется надеяться, что предложенный курс математики
помог и поможет вам в изучении такого интересного и
логичного предмета. Пока вами сделан первый, но очень важный
шаг в изучении математики. Всё интересное - впереди.
Желаем успехов!
91

Александр Николаевич Рурукин,
Станислав Вячеславович Сочилов,
Константин Гарриевич Чайковский
МАТЕМАТИКА 5-6
Пособие для учащихся
6-х классов
Заочной школы МИФИ
Макет подготовлен Е.Н. Кочубей
scan by myshunya
Подписано в печать 23.09.2011. Формат 60x84/16
Печать офсетная. П. л. 5,75. Тираж 200 экз. Заказ № 255
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
Заочная школа МИФИ, 115409, Москва, Каширское ш., 31