АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
А. С. КОМПАНЕЕЦ
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ
И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
ГАЗОДИНАМИКА
СБОРНИК СТАТЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» МОСКВА 1977

УДК 530.1
Сборник составлен из научных работ известного советского
физика-теоретика, доктора физико-математических наук, профес-
профессора А. С. Компанейца. Большая часть статей посвящена изуче-
изучению взаимодействия света с веществом и физико-химических яв-
явлений, сопровождающих сильный взрыв в неоднородной атмосфе-
атмосфере и грунте.
Сборник предназначен для специалистов в области физики и
физической химии.
Ответственный редактор
академик
И.М.ЛИФШИЦ
Составитель
Н. М. КУЗНЕЦОВ
К 20402—О75_5_77 @ Издательство «Наука», 1977 г.
055@2)^77

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее издание включены 44 наиболее значительные
научные статьи доктора физико-математических наук, профес-
профессора Александра Соломоновича Компанейца. А. С. Компанеец —
крупный физик-теоретик, автор ряда монографий и учебников,
изданных в СССР и в зарубежных странах. Не менее ценное
научное наследие А. С. Компанейца составляют его статьи,
опубликованные в научных журналах в 1937—1972 годы.
Работы, вошедшие в этот сборник, внесли существенный
вклад в развитие классической и квантовой электродинамики,
теории относительности, квантовой механики. Значительную
часть сборника составляют работы по механике и физической
газодинамике. К ним относятся исследования: сильного взрыва
в грунте и в неоднородной атмосфере, установления равновесия
между квантами и электронами, ряда явлений, связанных с рас-
распространением лучистой энергии в веществе. Эти пионерские
исследования А. С. Компанейца явились отправным пунктом для
развития современных направлений в изучении сложных явле-
явлений, сопровождающих взрыв в различных средах.
Работы автора по взаимодействию света с электронами оказа-
оказались очень полезными для объяснения новых экспериментальных
данных об электромагнитном излучении глубин "космического
пространства.
В последние годы жизни Александр Соломонович занимался
вопросами биофизики. Его работы о распространении импульса
по нервному волокну — пример плодотворного применения фи-
физических законов и методов исследования в другой области есте-
естествознания.
Публикуемые статьи в соответствии с их тематикой распре-
распределены по следующим четырем разделам.
1. Физико-химическая газодинамика и механика.
2. Электродинамика и теория относительности.

3. Квантовая механика.
4. Физико-химические аспекты теории распространения им-
импульса по нервному волокну.
При распределении статей внутри каждого раздела в первую
очередь учитывалось их тематическое родство, а затем уже —
принцип хронологической упорядоченности.
Статьи публикуются без каких-либо изменений, исключая
исправления замеченных мелких опечаток и замены некоторых
обозначений, в соответствии с правилами издательства. Первая
статья раздела II дана в переводе с немецкого.
Н. М. Кузнецов
И. М. Лифшиц

Раздел I
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
И МЕХАНИКА
О ПОГЛОЩЕНИИ СВЕТА ПЛАЗМОЙ*
Известно, что свободный электрон не поглощает света: зако-
законы сохранения энергии и импульса в акте поглощения для него
не могут выполняться одновременно. Поэтому явление фото-
фотоэлектрического эффекта существенным образом зависит от свя-
связи электрона с ядром: К -электрон поглощает световые кванты
во всяком случае сильнее, чем L-электрон, и т. д. Тем более
невелико поглощение света электроном, принадлежащим к не-
непрерывному спектру.
Можно ожидать, таким образом, что вполне ионизированный
газ, находящийся при достаточно высокой температуре, имеет
небольшой коэффициент поглощения света. В настоящей рабо-
работе показывается, что это на самом деле не так, потому что плаз-
плазма как целое также обладает способностью поглощать свет,
причем это поглощение, в отличие от фотоэлектрического, не
убывает с частотой света и температурой плазмы.
Рассмотрим распространение электромагнитных колебаний в
плазме. Очевидно, оно будет сопровождаться также и смеще-
смещением зарядов плазмы, причем ядра как более тяжелые будут
смещаться во всяком случае слабее электронов. Далее, смещение
последних можно описать уравнениями классической гидроди-
гидродинамики, в которых объемная сила имеет вид силы Лорентца.
Релаксационными явлениями, связанными с подвижностью за-
зарядов, при колебаниях, имеющих весьма малый период, можно
пренебречь. Совместная система уравнений гидродинамики и
электродинамики, таким образом, имеет вид
A)
div«v, B)
at
•ЖЭТФ, 1944, 14, вып. 6.

Р=*р(п). (За)
Р=Р(л), C6)
D)
E)
F)
0. G)
Здесь v — скорость смещения электронов, п — их плотность,
р — давление, с — скорость света, е — элементарный заряд,
п0 — равновесная плотность электронов, так что п—п0 — плот-
плотность некомпенсированного заряда, Е — электрическое поле,
Н — магнитное поле, р — плотность энергии электронов, вклю-
включая энергию покоя плюс их давление, разделенные на с*. Урав-
Уравнения A) —(За, б)-—уравнение гидродинамики, D) —G)—обыч-
—G)—обычные уравнения Максвелла. Мы приняли, что во всяком случае,
каковы бы ни были микроскопические скорости электронов,
[|5
Полагая возмущения, происходящие в плазме, небольшими,
нетрудно свести систему A)—G) к виду, который относится к
распространению малых колебаний. Для этого надо считать
п—пй малой величиной и систематически пренебрегать всеми
квадратичными в возмущениях величинами. Тогда линеаризо-
линеаризованная система примет вид
^ (8)
(9)
+v, A0)
с ot с
(И)
liS, A2)
С 01
divH = 0, A3)
причем л'=м—rtOl Е=
Система (8) — A3) может быть выведена из вариационного
принципа, причем функция Лагранжа должна выглядеть так:
где ф — скалярный потенциал, А — векторный потенциал.
6

Исключим теперь v, п' и Н из системы (8)— A3). С этой
целью продифференцируем уравнение A0) еще раз по времени,
причем в левую часть подставим dH/dt из A2), а в правую —
dv/dt из (8), заменяя при этом я' по A1). Тогда получится урав-
уравнение, описывающее только вектор электрического поля Е:
A5)
= crotrotEVdivEf E.
с dt2 ср ср
Полагая теперь
A6)
т. е. в виде обычной плоской волны с частотой со и волновым
вектором к, получим два различных закона дисперсии ©=(о(&) в
зависимости от направления поляризации Ео.
При ?Jk (продольные волны)
A7)
р р р
и при Е0ЛМ (поперечные волны)
A8)
Рассматривая функцию Лагранжа L, легко видеть, что она
распадается на две — Lt и 1,, так что распространение продоль-
продольных и поперечных волн в линейном приближении происходит
независимым образом.
Функциональная зависимость частоты от волнового вектора
как для продольных, так и для поперечных волн очень напоми-
напоминает выражение релятивистской гамильтоновой функции мате-
материальной точки через импульс, причем в обоих случаях масса
покоя пропорциональна ш<,г^4ллогеа/Р' Однако частота попереч-
поперечных волн зависит от k гораздо сильнее, так как она содержит
коэффициент с1 при кг, тогда как частота продольных волн имеет
коэффициент иг (квадрат скорости звука), равный по|/р. В са-
самом крайнем случае, когда электроны плазмы движутся со ско-
скоростями, весьма близкими к ct
Р~л'/., а р=1/,(р—р)у A9)
так что
и2^с*13, B0)
обычно можно полагать и^с.
Поперечная волна, если она каким-либо образом возникнет,
будет поглощаться плазмой. Такой поперечной волне следует
сопоставить световую волну, в которую поперечная волна пере-
переходит при «о=О. Закон ее затухания в плазме под влиянием
возбужденных звуковых волн будет описывать поглощение све-
света. Механизм поглощения становится ясным, если написать

систему уравнений A)—G) с точностью не до линейных, а до
квадратичных членов. Это значит, что при исключении неизвест-
неизвестных надо отбросить величины типа «'[vH] как малые третьего
порядка. Тогда, обозначая
Ьи®Ц- B1)
получим вместо уравнения A5) следующее равенство:
+
ср Ф
div E Vdiv E- ^sL[(v V) v +vdiv V] +
4яеср с
+^EdivE+i^l[vH]. B2)
ср с2р
Последние три члена в B2) представляют возмущающую силу.
В ней следует удержать те члены, которые описывают взаимодей-
взаимодействие продольных волн с поперечными (поперечно-поперечные
взаимодействия отсутствуют в квадратичном приближении). По-
Поэтому член div EV div E для поглощения поперечных волн не су-
существен. Далее, величины v и Н могут быть определены из ли-
линеаризованных уравнений, если задать Е в виде плоской волны
согласно 016).
Именно:
B3)
B5)
Тогда возмущающая сила получит следующее выражение:
Fkkr = [ 2 -\ ) (k' Eik'j) Btk ^ hkk't (Ц'?йр/) Etk-
ср \ (oik ) с
B6)
Здесь индекс / принимает значения 1 и —1, причем Щк\\ =*
^= j <о/А'г co/fe',_x | = — |gj/л' |, так что Eik>л обозначает волну, бегу-
бегущую направо, Etk',-i—волну, бегущую налево. Обозначение Х^'у
очевидно. Разлагая B2) по компонентам Фурье, мы должны
выбирать только члены с одинаковой зависимостью от коорди-
8

нат. Тогда получим
^ S B7а)
+ ю1'-*Як-*- = й*,-* w (к' Я.*-,-/) Efe. B76)
При написании B76) предполагалось, что в какой-то началь-
начальный момент времени 1=0 было возбуждено только колебание
Eih и «звуковой» спектр, тогда как комбинационное колебание
Et,n-\' возникло уже в результате взаимодействия того и друго-
другого! Поэтому в правую часть B76) из всех поперечных волн
должно было войти только уже возбужденное Eih.
Будем искать Eth в таком виде:
^т*. B8)
1\ равна коэффициенту поглощения, умноженному на фазовую
скорость поперечных волн. ЕК-К> ищем как
/*, B9)
где c(t) настолько медленно переменная функция времени, что
ее второй производной следует пренебрегать. На с (t) налагается
начальное условие с@)=0. Тогда c(t) определится по уравне-
уравнению B76) следующим образом:
t C0)
Подставляя теперь B8) в левую часть, а C0) в правую часть
B7а), получим такое уравнение (где мы пренебрегли IV):
Суммирование по kf можно заменить интегрированием, если
учесть, что число колебаний с волновым вектором к' равно
где V — объем какой-то произвольной области, занятой плаз-
плазмой. Последний сомножитель правой части C1) обладает резо-
резонансными свойствами: он велик тогда, когда ©*',-+©*-*'=со»+
+ irk. Именно: при не слишком малых имеет место равенство
C2)

которым пользуются, например, в квантовой теории излучения
при вычислении ширины спектральных линий.
Учитывая» что разложение Фурье величины Е должно пред-
представлять действительную величину, приходим к требованию
Ek'i=E-k:-b C3)
где черта над Е означает комплексно-сопряженную с ним вели-
величину.
Тогда находим искомый коэффициент затухания Г*:
-V|?H2x
:-*',-/ ° (ю*—Щ-k' —»*'/)• C 4)
Величину У|?А'|2 следует выразить через энергию, приходящую-
приходящуюся на колебание с волновым вектором к'. Так как энергия про-
продольных колебаний связана с функцией Лагранжа соотноше-
соотношением
Ei = Ivi —• —Li\ , [од)
находим
C6)
откуда
— ^\ 6 (coft ^(ал.^ -сил-/). C7)
Для того чтобы вычислить стоящий в C7) интеграл, следует
прежде всего поставить величину ?**. При достаточно высокой
температуре &^кщ' надо воспользоваться законом равнораспре-
равнораспределения, так что
?*' = 6 C8)
(в — температура в эргах).
Интерференционное условие C2), если воспользоваться вы-
выражениями A7) и A8) для W, и (ot, приобретает несколько слож-
сложный вид, так что одно из интегрирований (по dQk') производится
сразу, зато другое, по к', приводит к уравнению четвертой сте-
степени для нахождения верхнего предела величины к' при задан-
заданном к. Мы рассмотрим поэтому только предельные случаи.
Пусть, во-первых,
C9)
10

иначе говоря, распространением звуковых волн можно пренеб-
пренебречь. Тогда в качестве переменной интегрирования в C7) проще
всего выбрать вектор k—k'=q, полагая ©к==<йо. Пользуясь тем,
что
с* q d q ¦= G}qda<ft D0)
находим
Очевидно, что найденная величина 1\ не сильно зависит от
о)*. Даже если (oh>cu0, ГА приводится к не зависящей от частоты
величине
6лл?е*в
Разумеется, если о0<со»<2(вк, в формуле D1) следует брать
только тот член суммы по /, для которого д= — V (<йд + юо)я — cd5
— действительная величина, так как другой член не удовлетво-
удовлетворяет интерференционному условию. Но и наименьшая возмож-
возможная частота шк=й10 приводит к тому же порядку величины 1\.
Пусть далее
D3)
что соответствует очень коротким волнам. Тогда и подавно
с*>«о„ D4)
а аргумент дельта-функции сводится к виду
l(kr) =ck—ф—ft'| ±w*/=0. D5)
Наибольшее значение k\ возможное по этому равенству, есть
Сах = 7"^- • D6)
1 ± и/с v
Интеграл по dQ* в C7) тоже легко берется; для этого достаточ-
достаточно воспользоваться D7) и хорошо известной формулой
0- D7)
В нашем случае
*=cosf>, i-
ax

Обозначая еще и»=и, «_i=— и, получим
Таким образом, очень короткие волны поглощаются примерно
так же, как и более длинные, частота которых сравнима с ui0.
Окончательно Г* надо записать так:
D9)
где / — функция частоты, которая, однако, всюду имеет порядок
нескольких единиц. Поэтому поглощение достаточно коротких
волн колебаниями плазмы всегда должно превысить фотопогло-
фотопоглощение. Если 8</пся, а плотность плазмы такова, что имеет ме-
место статистика Больцмана, коэффициент поглощения света
Х= № выглядит так:
Следует отметить далее, что и в том случае, когда электрон-
электронный газ подчиняется статистике Ферми, звуковые колебания мо-
могут следовать закону равнораспределения. Для этого необходи-
необходимо выполнение двух неравенств:
E2)
которые совместимы тогда, когда
лУ^*?.в E3)
В релятивистской области
E1а)
he, E2а)
я ' /в
12

и следовательно,
Левая часть E3а) меньше 0,1, так что E1а) и E2а) совме-
совместимы во всяком случае. Невыполнение E1) или E1а) означа-
означает только, что статистика электронного газа близка к больцма-
новской, но не затрагивает вопроса о применимости закона рав-
равнораспределения.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
(к теории шаровидной молнии) *
Шаровидная молния — редкое и мало изученное явление.
Близко воспроизвести ее в лабораторных условиях не удается
[2]1. Поэтому всякая предлагаемая теоретическая модель шаро-
шаровидной молнии представляет гипотезу, выводы из которой мож-
можно сравнивать только с показании ми очевидцев.
Что прежде всего бросается в глаза при описаниях шаровид-
шаровидной молнии,— это ее сравнительная устойчивость. Надо объяс-
объяснить, каким образом большой объем (порядка 1000 см3) ионизи-
ионизированного газа существует как одно целое в течение нескольких
десятков секунд.
В литературе известна попытка Нейгебауера [1] свести
устойчивость шаровидной молнии к обменным силам между элек-
электронами плазмы. Легко видеть, однако, что его работа содержит
неустранимое противоречие. В самом деле, он считает, что в
плазме отсутствуют кулоновские силы между электронами вви-
ввиду экранирования их положительными зарядами ионов. Но энер-
энергию обменного взаимодействия Нейгебауер определяет как
диагональный матричный элемент обменного типа именно от
этого кулоновского взаимодействия, причем экранирование со-
совершенно им не учитывается. Если бы он таким же образом
попытался определить энергию прямого кулоновского взаимо-
взаимодействия, то получилась бы бесконечность, от которой, следова-
следовательно, он отделался чисто словесно. На самом деле экраниро-
экранирование должно влиять на обменные силы в той же степени, что
и на кулоновские, причем обменные силы притяжения во всяком
случае, меньше прямых сил отталкивания. Кроме того, в цити-
* Труды Физико-технического ии-та, т. 1. Ташкент, 1947.
1 В квадратные скобки заключены указания на литературу.
13

руемой работе совершенно не принимается во внимание диффу-
диффузия зарядов, которые считаются как бы заключенными в ящик.
Какую роль может играть при этом рекомбинация ионов?
При каждой рекомбинации образуется световой квант. Такой
квант при атмосферном давлении имеет свободный пробег (об-
(обратное значение коэффициента поглощения) порядка 10~4 см,
сравнимый со свободным пробегом иона или электрона. Погло-
Поглощаясь, квант ионизирует молекулу. В результате ионизирован-
ионизированная молекула исчезнет в одном месте и появится в другом —
произойдет своего рода диффузия обоих носителей заряда [3].
Коэффициент диффузии равен квадрату свободного пробега,
деленному на время жизни атома в ионизированном состоянии.
Но этот промежуток времени гораздо больше промежутка меж-
между двумя упругими соударениями. Следовательно, коэффициент
рекомбинацжшной диффузии надо считать малым ло сравнению
с обычным газокинетическим. В дальнейшем мы будем рассма-
рассматривать только обычную диффузию. Установим прежде всего
уравнения, которым подчиняется диффузионный процесс в плаз-
плазме, т. е. в сильно ионизированном газе. Плазму будем считать
«изотермической», иначе говоря» примем температуру того или
другого рода носителей заряда одинаковой. Подвижности ионов
и электронов равны коэффициентам диффузии, деленным на kT.
Пусть л, и пр — объемные концентрации электронов и ионов,
Д. и Dp — их коэффициенты диффузии, Е — электрическое поле.
Тогда уравнения диффузии в одном измерении имеют вид
Предположим, что плотности пе и пр в объеме, занятом плаз-
плазмой, мало отличаются от начальной плотности л0. Допущение
это будет тем точнее, чем меньшее время протекал диффузион-
диффузионный процесс. Все время протекания процесса имеет порядок ве-
величины R2IDPt где R представляет размеры ионизированной об-
области [см. формулу D5)] и близко к одной минуте. Поэтому
начальный этап процесса можно описывать плотностями пе=
=ло+6«„ rcp=rto-f-6fipf где 6 л. и 6/1, — малые величины. Элек-
Электрическое поле Е тогда тоже будет иметь порядок малости 6л,
и мы имеем право заменить пеЕ произведением nQE и соответ-
соответственно пРЕ на п0Е, пренебрегая малыми второго порядка. Ре-
Решение (9) тем точнее, чем ближе / к нулю, и имеет относитель-
относительную ошибку tDJR*, которая, по определению, всегда меньше
единицы. Приведенное рассуждение теряет силу для области,
14

первоначально не занятой плазмой, где п9 равно нулю и не име-
имеет смысла считать 6п, и 6яР малыми величинами. В этом случае
применяется другой метод приближения. Если заменить их вели-
величиной п0 в множителе при ?, система A) превращается в ли-
линейную.
Заменим в ней
буквой t и х
буквой х. Сле-
Следовательно, мы приняли в качестве единицы длины дебаевский
радиус ионного облака. Окончательно линейная система выгля-
выглядит так:
?т - 5-+<*¦¦«*. »
В целях сокращения письма мы введем векторную систему
обозначений. Именно: введем вектор п с компонентами я„ пр и
постоянный вектор R=R{—1, 1}. В дальнейшем у нас будет
встречаться еще один постоянный вектор ?=?{1, 1} и постоян-
постоянная диагональная матрица D:
z> =
Р 1
0 DJ'
о JL
Тогда система B) приобретет вид
Возьмем частное решение C) пи пропорциональное е-и.
Для него будем иметь
Отсюда получается условие ортогональности
если предположить, например, что п(—оо)=д@) =0.
Другая ортогональная система получается из условия
(дп\ -п
15

но ей не соответствует никакого потока частиц из области, пер-
первоначально занятой зарядами (х<0), в область, первоначально
свободную от ионов (О)
Положим
где t — постоянный вектор. Получается система однородных
уравнений
D)
условие разрешимости которой следует из равенства нулю опре-
определителя системы D):
и ± х?) ± j/| $>e-upy (i ч-#)*+ДА, E)
В дальнейшем мы будем интересоваться решением при боль-
больших х. Во всяком случае, макроскопический х должен быть по-
порядка 10s—10* дебаевских радиусов.
Это соответствует
Хг<1 F)
что дает два корня
bt=Z),+Dp, Ga)
2D*dp
Gа) отвечает весьма быстро затухающему решению, которое не
играет роли. Аа дальше будет именоваться X и соответствующее
ему 5а просто 5» В составляющих
(8)
Общее решение будем искать в виде
п = Г S (X) le-kisin Xx dX, (9)
о
где коэффициент S(x) определяется из начального условия
я(г = О) = { , {iv)
I 0 л>0
как
(")
-оо
16

При этом допущено просто ?=?, так как поправка имеет поря-
порядок
дебаевский радиус
микроскопическая длина'
о
Входящий в S(%) множитель f sinx?d? следует полагать рав-
—со
ным — 1/х во всех тех случаях, когда такая замена не ведет к
расходимости. В нашей задаче это законно (в противном слу-
случае надо менять порядок интегрирования по | и по х). Плот-
Плотность п с достаточным приближением получается, если заме-
заменить ? единичным вектором Е. Приводить я в замкнутом виде
мы не будем, а запишем только диффузионную часть потока
(в обычной системе единиц)
%g* A3)
Чтобы вычислить электрическую часть потока (вынужденная
диффузия), следует воспользоваться более точным выражением
для I из равенства (8), так как иначе плотность заряда, равная
e(Rn), обращается в нуль. В результате электрическое поле ока-
окажется порядка малости A2), а вызванный им поток зарядов
одного порядка с A3):
Общий поток, равный сумме A3) и A4), одинаков по величине
и знаку для ионов и электронов:
>¦=>> ^
Следовательно, взаимодействие между зарядами делает равны-
равными их потоки, несмотря на сильное различие коэффициентов
диффузии (по крайней мере, на два порядка величины). Факти-
Фактически / зависит только от меньшего коэффициента диффузии
ионов Dp, так как с большим приближением
•-*¦
Менее подвижные ионы как бы удерживают более подвиж-
подвижные электроны, и плазма остается нейтральной8. Всякий объем-
объемный заряд очень быстро заставил бы ее рассеяться в простран-
2 Это имеет место и для точного уравнения.
17

стве. Поток через границу окончательно равняется
ё A6)
Может показаться, что дальнейшее движение электронов и ио-
ионов будет подчиняться законам свободной диффузии, т. е. что
в наружной области /=/».
Однако различие коэффициентов диффузии немедленно по-
поведет к появлению в этой области объемного заряда. Его поле с
необходимостью вызовет вынужденный поток js. Подробное
вычисление показывает, что за время порядка t— 1 сек и на ма-
макроскопических расстояниях от первоначально ионизированной
области определенный таким способом jB значительно больше
первоначально принятого потока jD [отношение EJDj — обрат-
обратная величина A2)], т. е. мы приходим к противоречию. На са-
самом деле во внешней области (*—0) следует учитывать только
/*, и тогда вычисленный из определения jD= — D — диффузи-
дх
онный поток окажется значительно меньшим, чем /* Таким об-
образом, в области х^О надо пользоваться системой A), отбра-
отбрасывая, однако, член D-. Запишем сначала уравнение диффу-
диффузии ионов:
dt дх kT
В дальнейшем будет показано, что слагаемая поля, обязанная
ионам, значительно больше той слагаемой, которую создают
электроны. Поэтому поле в первом приближении определится из
уравнения
-g=4^p. A8)
Исключая п9 из уравнений A7) и A8), получим
дх dt дх kT дх' К
Вводя обозначения т^-=^ Dptmax и интегрируя A9), придем к
уравнению
SL--Z^-/(t). B0)
дх дх
Функция f(x) определится из граничных условий. Чтобы найти
общее решение B0), перейдем к независимым переменным т, Z.
18

Для х получится линейное уравнение
интеграл которого легко находится как
x = y{Z+$fdx}±Zx+ j*/dt. B2)
Найдем теперь функции i|> и /. Прежде всего заметим, что при
х=0 и Z, т. е. электрическое поле, тоже равно нулю. Мы рас-
рассматриваем диффузию на малых участках сферической поверх-
поверхности, считая их плоскими. На самом же деле точка *=0 явля-
является внутренней по отношению ко всем зарядам. Отсюда следует
граничное условие для Е, которое дает
B3)
Далее надо приравнять потоки /, при *=0:
В наших обозначениях
, _ V 2
Разлагая ^ в ряд по степени Z до первого члена включительно.
придем к следующим двум условиям:
*= 0, B4а)
(J) a/t^O, B46)
где
Исключая п9 из уравнений B4а, б), запишем
V - -«Ч B6)
или
ФМ = -?и3- B7)
Будем искать /(т) в виде
Mt)=.j™. B8)
Подставляя B8) и B7) в B3), получим
Лг-=Ца\ B9)
19

Равенство B4а) при этом удовлетворится. Для того чтобы вы-
выполнилось уравнение B46), возьмем
А=—1/а. C0)
Итак, решение уравнения A9) с учетом граничных условий в
неявном виде {х через Е) выглядит так:
Можно оценить верхний предел для х, исходя из того требова-
требования, чтобы полный заряд во внешней области равнялся тому ко-
количеству, которое вытекало из плазмы:
'max
Ш <32>
или, пользуясь A8),
откуда Jtmax определится непосредственно по C1) как
*5г C3)
(при *~1 сек). Это очень большое число, порядка 10 см. Смысл
C3), конечно, только в том, что заряды во внешней области
своим же полем достаточно быстро убираются на бесконечное
расстояние и вовсе выходят из игры, уносимые конвекционными
потоками воздуха, проводниками и т. п. Решением C1) следует
пользоваться в непосредственной близости от плазмы при до-
достаточно малых xt порядка нескольких сантиметров.
Тогда поле, созданное ионами, приобретает простой вид:
л /У* У*. C4)
Если положить / равным нескольким секундам, то ?—10* в.
Найдем теперь электронную часть поля, которой мы сначала
пренебрегали. Для этого вычислим сперва пе по уравнению
^AISld^, C5)
а затем Ее из
^ C6)
дх
считая снова Яе(*=0) =0.
20

Подставив Ер в C5) из C4), приходим таким образом к ли-
линейному уравнению в частных производных первого порядка для
пе. Оно легко интегрируется с учетом пограничного условия для
потока. Решения выписывать мы не будем, так как пе требуете»
ведь только для оценки отброшенной нами величины Ее, Дей-
Действительно, оказывается
&?~1аг C7>
Так как предполагается, что система A) при поставленных
условиях имеет единственное решение, мы должны допустить,
что пр, найденное из уравнения A7), и п«, найденное из уравне-
уравнения C5), отличаются от своих точных значений не более чем на
малые величины порядка DVID«, и доказательство формулы C7)
не заключает в себе порочного круга.
Далее, диффузионный поток тоже нетрудно вычислить:
Его отношение к электрическому равно
что при х~\ см и i^\ сек не превышает 10~е.
Таким образом, плазма окружена электрическим полем, иа
нее непосредственно не действующим. Если равновесие в систе-
системе нарушится, может произойти сильный разряд.
Перейдем теперь к вопросу о равновесии плазмы.
Прежде всего, если какая-нибудь внешняя причина (провод-
(проводник) резко нарушит симметрию окружающего плазму объемного-
заряда, весьма вероятен разряд. Но и диффузионный процесс
лишает плазму устойчивости сам по себе. Это можно выяснить
следующим образом.
Изменение свободной энергии плазмы, обязанное диффузии:
(на едииицу поверхности), имеет вид
f, C9)
где F/ — свободная энергия на единицу поверхности, р, и |ip —
химические потенциалы носителей заряда, <р — электрический
потенциал. Подставляя dn/dt из Bа, б) и преобразуя C9) с уче-
учетом граничных условий для я, найдем
21

откуда, пользуясь уравнением A5), будем иметь
Сюда еще следует подставить no=cN/v, где с —относительная
начальная концентрация ионов, N — число Лошмидта. Оконча-
Окончательно для всей поверхности
^^ D2)
где
Возрастание Z7' со временем относится точно к бесконечной
ионизированной области. Поэтому может показаться странным
переход к конечному объему в уравнении D2). На самом деле
задачу диффузии нетрудно решить и для сферы. При этом в
уравнении (9) вместо интеграла будет стоять ряд Фурье. Но при
t> достаточно малых (по сравнению с R*/Dp), ряды так или иначе
заменяются на интегралы. Физически это значит, что диффузи-
диффузионный процесс задевает только область сферы, близкую к по-
поверхности, и переход от формулы D1) к формуле D2) законен.
Это соответствует добавочному давлению
Р dv 3 я'/. „V. ' 1 '
которое как бы стремится сжать плазму (оно имеет знак внеш-
внешнего давления). Оно напоминает давление в жидкой капле, обя-
обязанное поверхностному натяжению. Последним можно объяс-
объяснить, почему плазма стремится принять именно форму шара, а
также возникновение молнии в виде четок в том месте, где обыч-
обычный разряд ионизировал воздух. Последнее похоже на разрыв
жидкой струи на отдельные капли. Для полного давления в
плазме имеем
p=p'+NkT/v. D4)
Производная dp/dv всегда должна быть отрицательной, между
тем получается
др _ ib в1/' cNkT NkT j45»
dv ~ 9 ЯУ vv, о*
При достаточно большом t первый член в правой части превзой-
превзойдет по величине второй и плазма потеряет устойчивость. Именно
22

это будет иметь место при
16 V б ) cDp
Считая с сравнимым с единицей, получим / порядка 102 сек.
При меньших с плазма рассеется раньше, чем потеряет устойчи-
устойчивость. Такие случаи также описаны. В момент разрыва р' равно
3/4 всего давления. Поэтому, когда «поверхностное натяжение»
исчезает, должен возникнуть скачок давления, распространение
которого на небольших расстояниях связано со значительным
звуковым эффектом. Чисто механический эффект разрыва, на-
наоборот, невелик, что, по-видимому, согласуется с имеющимися
наблюдениями. Все разрушения, связанные с шаровой молнией,
следует приписать электрическому разряду.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить бла-
благодарность проф. Л. Р. Нейману за весьма интересное обсужде-
обсуждение результатов этой работы.
Л итератур а
1. Neugebauer. Z. Phys., 106, 474, 1937.
2. И. С. Стекольников. Молния. М.—Л., Изд-во АН СССР, 19Э9. (Содержит вето
литературу вопроса).
3. Р. Ромпе, М. Штеенбек. УФН, 1941, 25, 190.
ОБ УСТАНОВЛЕНИИ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ
МЕЖДУ КВАНТАМИ И ЭЛЕКТРОНАМИ*
1. Введение
Для того чтобы можно было рассматривать излучение как
замкнутую систему, удобно полагать, что оно находится в со-
сосуде с зеркально отражающими стенками. Само по себе излу-
излучение в таком сосуде не может прийти в термодинамическое
равновесие: уравнения электродинамики строго линейны и об-
обмен энергиями между колебаниями различной частоты, направ-
направления распространения и поляризации не осуществляется. По-
Поэтому считают, что в ящике, кроме излучения, находится сколь
угодно малая «угэлььая пылинка», которая заметно не возму-
• Работа была выполнена в 1950 г. в Институте химической физики Академии
наук СССР, отчет № 336; ЖЭТФ, 1956, 31, вып. 5A1), 876.
23

щает поле в каждый данный момент, но способна поглощать и
испускать излучение всех частот. Через достаточно долгое время
поглощение и испускание квантов «пылинкой» приведет к уста-
установлению термодинамического равновесия.
Что будет, если поместить в сосуд вместо пылинки вещества
свободный электрон? Сосуд считается достаточно большим, что-
чтобы можно было пренебречь квантованием энергии электрона.
Свободный электрон не поглощает и не испускает, а только рас-
рассеивает кванты, поэтому общее число квантов в сосуде не будет
изменяться. Какого рода равновесие установится? Если числа
заполнения п отдельных состояний малы по сравнению с еди-
единицей, то можно пренебречь вынужденными переходами и пола-
полагать, что вероятность рассеяния кванта в некоторое состояние
не зависит от числа находящихся в этом состоянии квантов,
иначе говоря, заменить множитель i+tt в вероятности перехо-
перехода на Г. Тогда между квантами будет устанавливаться такое
распределение, как в идеальном газе с постоянным числом ча-
частиц, иначе говоря, получится распределение вида м=е-'1в>/*г
(закон Вина). При этом средняя энергия кванта равна 3 kT.
Распределение Планка установится только значительно поз-
.же, так как оно осуществляется за счет вынужденного
испускания.
Физические условия, в которых может осуществляться рас-
распределение Вина, можно представить себе следующим образом.
Пусть вещество мгновенно приведено в состояние с очень высо-
высокой температурой, так что все атомы полностью ионизованы, а
излучение не успело образоваться. Тогда поглощение и и сну с-
кание квантов будет происходить за счет «свободно-свободного»
механизма. Соответствующий процесс испускания есть че что
иное, как радиационное торможение электронов. Этот процесс
тем вероятнее, чем меньше частота испускаемого кванта. То же
самое относится и к вероятности обратного процесса, «свобод-
«свободно-свободного» поглощения, поэтому при достаточно малых ча-
частотах тепловое равновесие будет устанавливаться путем погло-
поглощения и испускания квантов. При -больших частотах вероятность
комптоновского рассеяния превосходит вероятность поглощения.
Так как кванты рассеиваются на движущихся электронах, их
частота при рассеянии может и возрастать. Вначале число кван-
квантов еще невелико: все они будут стремиться к тепловому равно-
равновесию независимо друг от друга (т. е. вынужденные процессы
не будут составлять заметной части всех процессов рассеяния).
Между такими квантами установится распределение Вина со
средней энергией 3kT.
Благодаря этому переход энергии от вещества к излучению
будет гораздо более быстрым, чем если бы он происходил толь-
только за счет радиационного торможения электронов. Тормозные
кванты, имеющие частоты ш больше некоторой определенной
частоты йH, будут быстро и необратимо увеличивать свою энер-
24

гию комптоновским механизмом, стремясь дойти до виновской
энергии 3kT.
В дальнейших разделах будет найдена функция раыюеделе-
ния квантов, претерпевающих комптоновский процесс. В При-
Приложении мы рассмотрим, какую энергию отбирают от электро-
электронов кванты в теле ограниченных размеров.
2. Кинетическое уравнение
Напишем кинетическое уравнение для функции распределе-
распределения квантов п в неограниченной среде при учете одного только
рассеяния. Для общности сначала не будем пренебрегать вы-
вынужденными процессами. Уравнение имеет следующий вид:
(*L\ « - Г дХ Г [п A + я') N (в) -я'A + п) N (б + /ко —A©')] dW.
V dt /c J J
A)
Здесь Af — функция распределения свободных электронов, d\ —
элемент фазового объема электронов, dW—дифференциальная
вероятность перехода из данного состояния в другое, совмести-
совместимая с законами сохранения энергии и импульса. Индекс С при
dn/dt напоминает о том, что в равенстве учтены только компто-
новские процессы. Статистическое равновесие между электрона-
электронами в плазме устанавливается весьма быстро независимо от
излучения, поэтому функцию распределения ЛГ(е) следует счи-
считать максвелловской. Тогда, если подставить вместо /га A)
распределение Планка л= (eft*/MI—1)-1, то правая и левая ча-
части обратятся в нуль, как и должно быть.
Будем считать, что энергии электронов нерелятивистские,
иначе говоря, допустим, что имеет место неравенство kT<^mc2.
Тогда энергия, передаваемая в каждом отдельном акте, мала
по сравнению с энергией кванта Аю : «>'—<*>=== Д<й>.
Пользуясь этим неравенством, разложим подынтегральное
выражение A) в ряд по степеням А до второй -степени включи-
включительно. Положим hlkT
B)
Второй интеграл в правой части равенства B) гораздо легче
вычислить, чем первый. Но достаточно вычислить только один
из дпух интегралов, другой определится из того условия, что
уравнение должно обеспечивать сохранение полного числа кван-
квантов при рассеянии.
25

Законы сохранения импульса и энергии в нерелятивистском
приближении пишется следующим образом:
C)
=ha/+рЛ/2т.
Здесь р72/я=е, р и р'— импульсы электрона до и после столк-
столкновения, пип'- направления распространения кванта. Исклю-
Исключая р' из этих уравнений, получаем уравнение, определяющее
ш' как функцию ю, р и углов рассеяния. В этом уравнении сле-
следует положить ю=ю'+Д и ограничиться членами, линейными
относительно А, по крайней мере, пока определяется интеграл,
содержащий А*. После простых преобразований получается
h A _ ftc<a (р, п - n') + (М2 A - пи')
т& [1 ¦$- (hm/rru*) A + лп') — pn/mcj " ^ '
Скобку в знаменателе D) в интересующем нас случае законно
заменить единицей. В числителе первый член имеет порядок
величины [кТ1тсгУ>г, а второй член —порядок (kT/mc*J- Но
мы будем определять интеграл от А2, поэтому вклад первого
члена при усреднении по углам не обратится в нуль. Следова-
Следовательно, при подстановке в B) надо будет вычислить следую-
щи и интеграл:
/ = (ha/me)* Г dx Г dW (p, n -n'JW (в). E)
После усреднения по всем направлениям р получим
/ = V, {hn/nwJ J pW (e) dx j | n -n' |a dW. F)
Первый интеграл равен 2m^U kT=3mkT. Во втором инте-
интеграле следует заменить комптоновское сечение в нерелятлвист-
ском приближении на томсоновское, которое симметрично отно-
относительно рассеяния на углы 9 и я—G, так что jnnrdW=Q.
Томсоновское сечение не зависит от энергии кванта, следова-
следовательно,
I = (k(d)*(kT/mc*)c/l, G)
где / — комптоновский пробег, определяемый полным сечением
(8л./3) (е'/тсГ.
Для того чтобы уравнение B) обеспечивало сохранение пол-
полного числа квантов, надо положить
f dx \ dWN (в) А = (kTlnv*) (c/l) too D —Лш/ftГ). (8)
Равенство (8) может быть получено следующим образом. Кине-
Кинетическое уравнение для квантов должно выглядеть как неко-

торый закон сохранения
(dn/dt)c = —х~*д ipftfdx, (9>
где j — «поток» квантов в пространстве частот. Так как уравне-
уравнение B) второго порядка относительно х и содержит вторую про-
производную d*n/dxz линейно, без коэффициента, зависящего от п,
поток должен иметь вид суммы первой производной дп/дх и не-
некоторой функции, зависящей от п. Но в состоянии полного рав-
равновесия, когда п={е*—1)-\ поток равен нулю. При этом
дп/дх=—п A + п). Отсюда следует, что
j = g(x) [дп/дх t-/2(l Ья)], A0)
где функция g(x) подлежит определению. Подставляя A0) в
уравнение (9) и сравнивая с B)„ убеждаемся, что g~x2t a
неизвестная функция Д~*ХD—х), что эквивалентно (8). Ра-
Равенство (8) находится в качественном согласии с формулой Ви-
Вина: энергия кванта увеличивается до тех пор, пока h&<.4kT.
Введем теперь безразмерное время у по формуле
y. A1)
В этих единицах кинетическое уравнение пишется следующим
образом:
х+п+пА. A2)
Если л< 1, то это уравнение переходит в линейное:
A3)
ду)с *• ^
Это уравнение и будет решаться. По уравнению A3) легко вы-
вычислить время, за которое энергия кванта увеличится вследст-
вследствие комптон-эффекта в е раз. Умножая обе части A3) на Xs и
интегрируя, получим
j nx'dx -^nx'dx. (H)
о о о
Пока ha еще мало по сравнению с ?7, вторым интегралом в
A4) справа можно пренебречь. При этом будет х=хяаяе*{/. Это
значит, что время возрастания энергии в е раз равно
tc=(mc*l4kT)Uc. A5)
3. Тормозной спектр
Спектр тормозного излучения в общем случае выглядит до-
довольно сложно. Предположим, что выполняются такие условия,
когда для определения спектра применимо борновское прибли-
приближение. Эти условия выполняются в легких элементах при до-
достаточно высокой температуре (от нескольких десятков кило-
27

вольт и выше). В то же время считается, что выполнено нера-
неравенство кТ<^тс*. Рассеяние электронов на электронах с испус-
испусканием квантов мы учитывать не будем, так как оло вносит
заметный вклад только в самом легком веществе и во всяком
случае не превышает тормозного испускания на ядрах, оставаясь
всегда меньше него.
В борновском приближении и в нерелятивистском случае
тормозное сечение выглядит так [A), с. 183, A8)]:
<tota- A6)
8 гоЛс8 в А© со
Чтобы перейти отсюда к полному числу квантов ic данной ча-
частотой ш, испускаемых в единицу времени, сечение надо умно-
умножить на LN(B)vdz (L — число ядер в единице объема, v — ско-
скорость электрона), проинтегрировать по всем состояниям элект-
электрона и отнести к числу состояний кванта данной частоты в еди-
единице объема. Так получается выражение
L 3i/^g^g-^%№SB g^JW2) A7)
V AUj K }
V V Ы*кТ Ш* A°Urj hat
Здесь Ко — функция Макдональда [2, -с. 206], тв° — величина
размерности времени, характеризующая тормозное излучение.
Если учесть обратное поглощение квантов и их вынужденное
испускание, то получится скорость изменения числа квантов
вследствие радиационного торможения и свободно-свободного
поглощения:
-Л [ 4 ))
Производная обращается в нуль, если вместо п подставить рас-
распределение Планка.
Отвлекаясь от комптоновского процесса и полагая, что в ле-
левой части A8) стоит полное изменение dn/dt, мы можем проин-
проинтегрировать A8). Если в начальный момент п @)=0, то полу-
получается
A9)
Отсюда следует, чго время релаксации теплового равновесия
квантов при чисто тормозном механизме равно
тв = тв/^*'*7" — 1)- B0)
Полное кинетическое уравнение, учитывающее комтггонов-
ские и тормозные процессы, запишется теперь так:
-W—
L dt IB dt me2 I x2 дх \ дх
~ [(l+/i)— nex]. B1)
28

Переходя снова к безразмерному времени у, получим
it = J-Ai
ду х* дх
Тормозное время тв уменьшается с уменьшением частоты
примерно как ш2, поэтому кванты достаточно малых частот
всегда будут приходить в статистическое равновесие в процес-
процессах испускания и поглощения. Кванты больших частот будут
подхватываться комптоновским процессом и увеличивать свою
частоту, приближаясь к виновскому распределению. Не следует
думать, что их частота должна расти монотонно: уравнение
A2)—второго порядка, диффузионного типа. Приближение
квантов к неполному равновесию (по энергии, но не по <ислу)
идет по типу броуновского движения. Граница частоты, при ко-
которой комптоновский процесс подхватывает квант быстрее, чем
он успевает поглотиться, определена следующей оценкой:
Тс/тв~ 1. Подставляя в нее тс и тв, получаем
(9 /5/64 /2) L7?tril*cb№# (kT)~v9е~Хо/*
B3)
Весь рассматриваемый процесс установления равновесия
комптон-эффектом представляет интерес только в том случае,
если hto^kT, так как только тогда имеется область частот
ш^соо, в которой комптон-эффект играет существенную роль.
При малых х9 функция К9 может быть заменена разложением
по х0 [2, -с. 96] :A'o(x0/2) = lnD/Y*o), ™e ln 7=0,577. Таким
образом, х9 определяемся по уравнению
1. B4)
Это уравнение имеет смысл только в том случае, если Л — ма-
малое число.
Сравним теперь отвод энергии от электронов к квантам
чисто тормозным и комптоновским механизмом *.
Полная энергия квантов, испускаемых электронами в едини-
единице объема, равна
1Щ = f-Lft^ = JK- Fdxg-«,Kt IL) = 2«? B5)
[2, c. 424]. Все кванты, частота которых больше а>0, отбирают
энергию у электронов комптоновским механизмом, причем в
среднем энергия квантов доходит до 3kT. Поэтому в единицу
времени отбирается энергия
(dE/dt)c = 3kT \ Хвп2 Жо/л2с3. B6)
1 Это сравнение указал нам Л. Д. Ландау.

Основной вклад в интеграл дают малые частоты. Поэтому
функцию Ко под интегралом можно заменить ее приближенным
выражением и во избежание расходимости на верхнем пределе
интегрировать не до бесконечности, а до a>=kT/h. Отсюда полу-
получается
™L. B7)
dt)c n*c*h
to,
Если не пользоваться приближенным выражением для Л'о, то в
формуле B7) будет стоять еще численное слагаемое при лога-
логарифме. Именно, вместо In2 D/v*e) интеграл даст In2 D/yjc) —
0,27. Но это вряд ли можно считать уточнением, потому что ча-
частота о)д найдена оценочным способом.
Отношение энергии, передаваемой комптоновским механиз-
механизмом, к энергии, передаваемой квантам при испускании, равно
(dE\ fdE
что может достигать нескольких десятков.
Полагая, что кванты с частотой меньше <ай совсем не испы-
испытывают комптоновского рассеяния, мы совершаем некоторую
ошибку. Можно предположить другой, несколько 'более точный
способ вычисления (dE/dt). При достаточно малых частотах со-
состояние квантов стационарно и при х-+0 стремится к 1/х, т. е,
к предельному виду формулы Планка. Поэтому п удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению, которое полу
чается из B2), если отбросить в нем dnjdy. Кроме того, следует
отбросить и л по сравнению с пг и последовательно считать х
малой величиной во втором слагаемом правой части. Это дает2
jL*a (*1 4-*я) + — A -пх) 1п^^ - 0. B9)
dx \&х J х х
Положим теперь я—г'/z, z=x-ha|>, ф<С*. Тогда для ф' по-
получается уравнение
Л. х*у» — И ф' in -^5ё. ^ о. (зо)
Его можно приближенно проинтегрировать, если считать ко-
коэффициент при V большим числом (по методу Вентцеля — Кра-
мерса — Бриллюэна). С этой точностью
C1)
2 Дальше предполагается, что In B,35/х) > 1.
30

Такое решение справедливо, строго говоря, только тогда, когда
показатель велик по сравнению с единицей. Но если выбрать
С=—1, то получится интерполяционная формула для функции
распределения, которая обладает нужными свойствами и при
C2)
При больших х/х9 число квантов значительно меньше равновес-
равновесного. Добавляя под интеграл B7) множитель (I—пх), учиты-
учитывающий вынужденное испускание и поглощение квантов, полу-
получаем сходящееся выражение, которое можно интегрировать от
и)=0:
dt /c nVA J т r I Aoo
C3)
Подынтегральная функция равна нулю при достаточно малых
со. Эффективная граница интегрирования лежит примерно при
4. Общие формулы для средней частоты
при комптоновском процессе
Если фотонный газ еще далек от статистического равновесия
с электронами, то число фотонов с частотой ©>оH мало по
сравнению с единицей. В этой стадии процесса для квантов с
частотой <о><0о можно написать следующее линеаризованное
кинетическое уравнение:
.,|+rt) = 4tc/fB. C4)
у дх \дх } v '
Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение.
Для этого введем новую неизвестную функцию по формуле
п=е-*'\(хIх. C5)
Ф удовлетворяет уравнению (мы рассматриваем однородное
уравнение)
(|})^Wtp. C6)
Здесь А (х) — оператор в правой части. Некоторые упрощения
расчетов возникают благодаря тому, что А(х)—эрмитовский
оператор3.
3 Мы ввели оператор А (х) и нашли его спектр, пользуясь указаниями
И. М. Гельфанда.
31

Допустим, что начальное распределение фотонов задано в
виде некоторой функции по(х); тогда распределение в любой
более поздний момент символически записывается так:
Ф (*> У) = ЛЛв (*); л» С1 е*»'хе*<\ (х). C7)
Допустим, что в начальный момент испустился квант с часто-
частотой <о&. Тогда пй{х)=Ь(х—x^/xf. Вычислим в безразмерном
виде среднюю частоту, которую будет иметь этот квант через
некоторое время в результате комптоновского процесса:
C8)
Здесь мы воспользовались тем, что функция от эрмитовского
оператора есть тоже эрмитовский оператор. В формулу C8)
входит функция x(*i)i которая, очевидно, удовлетворяет отно-
относительно *, такому же уравнению C6), как ср(х) относительно
х. В отличие от <р функция % подчинена другому начальному
условию:
X(y = 0) = x\e-Xlf\ C9)
В дальнейшем индекс 1 при хх будет опускаться, потому что
«текущая частота» х нам больше не встретится.
Итак, чтобы найти среднюю частоту кванта, испущенного с
начальной частотой х, надо решить уравнение C6) с начальным
условием C9). Для этого надо сначала определить спехтр эр-
эрмитовского оператора А (х). Положим
2=1п х, x=e-2/7n(z)e~(|lt~'/4)V' D0)
Функция /ц (г) удовлетворяет обыкновенному дифференциально-
дифференциальному уравнению такого же вида, как уравнение Шредингера для
колебательных уровней двухатомной молекулы, если потенци-
потенциальная функция ядер взята в форме, предложенной Морзе:
2e' + 4ie**)h=v.% D1)
Уравнение D1) интегрируется при помощи вырожденных ги-
гипергеометрических функций, которые мы выразим через пере-
переменную х\
Х=СГЧР1Л4(х) D2)
[3, гл. 16]. Здесь Wxfr(x) есть функция Уиттекера, которая пред-
представляет собой комбинацию двух обычных вырожденных гипер-
32

геометрических функций:
Здесь М2,<АХ) определяется известным рядом
D4)
Функция V убывает на бесконечности как е~я, тогда как Л1
этим свойством не обладает. Поэтому х и выражено через W.
Найдем теперь функции дискретного спектра, аналогичные
колебательным состояниям двухатомной молекулы (функции
непрерывного спектра отвечают диссоциированной молекуле).
Дискретный спектр возможен при отрицательных \i2 [см. D1)]
или при чисто мнимых р.. Соответствующие собственные функ-
функции должны обладать интегрируемым квадратом. Согласно
формулам D2) — D4) функция W при малых х и чисто мни-
мнимых \i состоит из двух слагаемых вида x->h+M. По при верхнем
знаке квадрат функции не интегрируем. Следовательно, собст-
собственными значениями являются такие числа, при которых W со-
состоит только из функции с интегрируемым квадратом. Эти чис-
числа суть ||i|=7a и ||x|=V2, так как обращают в нуль первое
слагаемое формулы D3) (Г(—2)=оо, Г(—3)=оо).
Ряды для функций Miti/2(x) и Мг,ъп(х) обрываются. Так
получаются элементарные функции, которые мы пишем сразу с
нормировочными коэффициентами
*/.(*) =-V2(l -*/2)<г*/«, Ъь^Ъ-Ъхе-*'*. D5)
Функции непрерывного спектра нормируются путем перехо-
перехода к своему асимптотическому разложению совершенно анало-
аналогично тому, как это делается в задаче об атоме водорода. Раз-
Разложения относятся не к большим, а к малым х, потому что при
больших х функция W экспоненциально убывает. Из уравнения
D1) видно, что при г-*—-оо, т. е. при малых х, функция ^ про-
пропорциональна cos diz+X). Нормировочный множитель косину-
косинуса есть У2/л. Выражая W через cos (jiz+p)=cos (\i \nx+X)t по-
получаем нормированные функции непрерывного спектра
г (ад
D6)
Теперь легко написать общую формулу для * (х в правой
части равенства задает начальную частоту кванта, ранее на-
названную^):
х ^ Л ex/t е-чт Г e-i*4А <*д + е'Ч'Л, + 5VlXVl L D7)
х L i \
2 А. С. Комланеец 33

где ?*¦ Si/з и t8/a — коэффициенты разложения функции хге~*!2
[см. C8)] по "ортогональной системе функций %ц; ?1/2 и ?3/г на-
находятся элементарно. Для определения ?„ воспользуемся инте-
интегральным представлением функции W^lx) [3, с. 148]:
8A11 V 2irf J
Г (— <|* —'
-loo
Отсюда при помощи D6) находим
too
О- Г
2я* J
где комплексный интеграл взят по формуле Бериса [3, с. 74].
Подставляя это в D7), пользуясь формулой Г(а)Г{1— «)=?
=ncscjtu и тем^что W2tiVL{x) есть четкая функция от ц, полу*
чаем выражение х в виде комплексного интеграла:
too
~х = -i е-х'*е-*У* f e8'^,., (x) tg ^s . s rfs —2 /i — ^
D8)
Отсюда видно, что в результате комптоновского процесса сред-
средняя частота любого кванта стремится к ZkTjh независимо от
его начальной частоты. Применение формулы D8) будет дано
в приложении.
В заключение выражаю искреннюю признательность
Я. Б. Зельдовичу, поставившему настоящую задачу и прояв-
проявлявшему к ней постоянный интерес, а также Л. Д. Ландау и
И. М. Гельфанду, сделавшим ряд важных указаний. Многие
результаты раздела 3 были получены при участии ныне покой-
ного С. П. Дьякова.
ПРИЛОЖЕНИЕ
комптоновския процесс
В ТЕЛЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Можно вычислить среднюю частоту, которую приобретает
вследствие комптоновского процесса квант в теле конечных раз-
размеров. Так как там ооновское сечение не зависят от энергии, ко-
коэффициент диффузии кванта постоянен. При этом вероятность
34

вылета кванта в момент времени у зависит от времени экспо-
экспоненциально, если только начальное распределение отвечает ка-
какой-нибудь из собственных функций диффузионной задачи.
Естественно принять распределение, отвечающее основному соб-
собственному значению, так как только она из всех функций зна-
знакопостоянна. В безразмерных единицах вероятность зылета
кванта из системы записывается так:
dw(y)=#e-*vdy. (I)
Средняя частота вылетающего кванта при этом уже меньше
3kT/h. Она определяется, если помножить (I) на х и проинте-
проинтегрировать по у:
-ICO
(И)
Энергия, отбираемая квантами от электронов в этих усло-
условиях, равна интегралу по (II), взятому по тормозному спектру.
Введем обозначение
я(*„ ()- J M2,-,(*)Ke(f)¦?• №
С этим обозначением получим
Г (-2s) „. .\ sds
хш
Комплексный интеграл от первого слагаемого дополняется ин-
интегралом по бесконечному полукругу в левой полуплоскости.
Тогда весь интеграл выражается в виде суммы вычетов подын-
подынтегрального выражения, расположенных левее мнимой оси. Эти
полюсы расположены в точках s==—1/2, —3/2, —5/2 и, кроме
того, в точке s=yp+9/4. Вычеты в первых двух точках сокра-
сокращаются с двумя последними интегралами в формуле (IV). Вы-
Вычеты в точках s=—5/2, —7/2, —9/2 остаются конечными и при
*о=О, поэтому в них можно заменить х0 на 0. Все эти вычеты
дают только небольшую добавку к интегралу. Главный вклад
получается от вычета при 5=— У'/*-ЬР——(Vi+и) (если тело
имеет не слишком малые размеры, то и —малое число). Для
35 2»

х получается выражение
Величины Я@, —B?+1)/2) разлагаются в сходящиеся число-
числовые ряды Я@, —5/2) =2,27, #@, —7/2) =2,31, остальное вы-
выражения такого же рода умножаются на малые коэффициенты.
Величину tf(*o, —VP+VJ представим в виде разности двух
интегралов:
со
J
(VI)
Первый интеграл [назовем его F(u)] вычисляется путем разло-
разложения М в степенной ряд. Числовые значения Р(и) следующие:
и =0,01 0,03 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,75 1,0
F (и) =10080 1137 107 28,8 13,7 8,2 5,7 3.3 2,2
Во втором интеграле в (VI) надо взять выражения М и Д'о при
малых х. Это дает
При стремлении и к нулю получаются уже известные нам ре-
результаты для неограниченной среды.
Л итер атура
1. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М.— Л., ГТТИ, 1940.
2. Г. И. Ватсон. Теоряя бесселевых функций М., ИЛ. 1949.
3. Е. Г Уиттекер, Г. И. Ватсон. Курс современного анализа, ч. 2. М.—Л.
ГТТИ, 1934.
36

ВЛИЯНИЕ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА
НА АВТОЭЛБКТРОННУЮ ЭМИССИЮ*
(Представлено академиком В. И. Кондратьевым 18.VI 1959)
\. В настоящее время в опытах по автоэлектронной эмиссии
достигаются плотности тока порядка 107 а/см*. При таких плот-
плотностях тока поле объемного заряда начинает становиться срав-
сравнимым с полем, рассчитанным по полной разности потенциалов
и геометрии прибора. Иначе говоря, истинное поле на поверх-
поверхности катода уменьшается, и ток при данной разности потенция-
лов оказывается меньше, чем это следует из формул, не учиты-
учитывающих влияния объемного заряда. При плоских электродах
влияние объемного заряда было найдено в работе [1]. Полу-
Полученное там уравнение в безразмерных переменных можно запи-
записать в виде
(v—1)=0. A)
Здесь а=2лBт^)'/4-1А #-'/>/, 0—рДО)^1, где # —поле на
катоде, d — расстояние между электродами, V — полная раз-
разность потенциалов, / — плотность тока. В свою очередь / и S
связаны уравнением автоэлектронной эмиссии. Вычисления
удобно производить, задавшись некоторым значением &, из
него находить а и загем уже v. Тогда определится, во сколько
раз надо увеличить разность потенциалов между электродами
ко сравнению с теорией, не принимающей в расчет объемного
заряда, чтобы получить данное значение тока.
Фактически геометрия прибора гораздо ближе к сфериче-
сферической, чем к плоской. Точное.решение задачи о сферическом дио-
диоде было получено В. Л. Каном [2] и обобщено Р. П. Поплав-
ским [3] для того случая, когда поле не равно нулю на катоде.
Мы покажем, что сферичность очень сильно сказывается на ве-
величине разности потенциалов, необходимой для получения дан-
данного тока.
Решение Кана и Поплавского можно представить в парамет-
параметрической форме следующим образом:
V/. \ии (у) К-Чщ (х) + J0/. (У) /-•/. Wft B)
„.,. Г
У
(*)''-= *7*. D)
Здесь Я —радиус анода; г — радиус катода; /=4лг2/, т. е. пол-
полный ток; A'=3/rtI/lBe)-l/j=s2,88-104 Из дальнейших вычислений
* ДАН СССР, 1969, 128, вып. б, 1169.
37

следует, что у>х> причем х?30. Поэтому можно перейти к
асимптотическому представлению бесселевых функций *:
F)
Покажем теперь на типичном примере, насколько результа-
результаты расчета для сферического диода по уравнениям D)—E) от-
отличаются от результатов, получаемых из (I). Удобно исходить
из некоторого значения поля & на катоде, которое мы положим
равным 108 в/сж=3,33-105 CGSE. Работа выхода пусть будет
равна ш—4,6 эв. Плотность тока определяем по известной фор-
формуле [4]:
Г iflS^l G)
что дает /=l,29«10le CGSE, Полагая г=2ц=2-10-* см, нахо-
находим #7=18,7, откуда из D) получается *=29,3. Беря #=5 см,
определяем из E) #^=35. Следовательно, из F) находим V =
=75,4 CGSE. Без учета объемного заряда получилось бы
К=66,7 CGSE, так что объемный заряд увеличивает разность
потенциалов на 13%.
Совсем иной результат получается для плоского диода A).
Если принять d=R, то а=1,83, a з=2,88. Это соответствует
увеличению потенциала почти в 3 раза. Полагая d=r, получим
v= 1,017, так что по формулам для плоского диода нельзя опре-
определить эффективное расстояние между электродами, которое
давало бы такое же возрастание потенциала, как при сфериче-
сферической геометрии.
2. При больших плотностях тока обычно рекомендуется вво-
вводить в формулу G) поправку на силу изображения. Эта поправ-
поправка вызывает некоторые сомнения. Действительно, задача об
автоэлектронной эмиссии сводится к совместному решению урав-
уравнений Шредингера и Пуассова: —— Дф+(еф—е)г|з=О, Дф=
2т
=—4яр, где р — плотность заряда. Сила изображения полу-
получится, если подставить вместо р выражение еб(г—г') (г'— ра-
радиус-вектор заряда). Но эта подстановка противоречит кванто-
квантовой механике — следует взять |р=е|-ф|г. Поэтому задача сво-
сводится к совместному решению уравнений Шредингера и Пуас-
Пуассона, а классическая сила изображения а потенциал ф войти
не может.
Фактически барьер не является, конечно, прямоугольным. Он
как-то скруглен на расстоянии порядка размеров атомного слоя.
* Асимптотическое решение почти такого же вида было найдено Н. Б. Айзен-
Айзенбергом [6].

Эффективный прямоугольный барьер подбирается из условия
равенства площадей. Поэтому поправка от нелрямоугольности
барьера второго порядка малости по величине полной прони-
проницаемости [т. е. экспоненты G)]. Всякая поправка, имеющая
реальный смысл, должна быть больше. Однако оказывается, что
влияние подбарьерного объемного заряда, по крайней мере в
буквенном выражении, удовлетворяет этому требованию, так как
содержит дополнительно квадрат логарифма большого числа.
Подробности вычислений по методу самосогласованного по-
поля мы здесь не приводим, приведем только результаты. Обозна-
Обозначим величину показателя экспоненты в G) через Ж и определим
величину
л
Она имеет порядок 200—300. Далее, введем функцию
Тогда проницаемость барьера с учетом объемного заряда равна
*1 = jrA+Mp)- A0)
Если задать величину ?0 равенством
b, (П)
то }(В) при большом В приближенно равна — ?72.
В рассмотренном примере ?«=217, g,s=3,ll, так что поправ-
поправка составляет 0,054. Следовательно, чтобы получить ток той же
силы, что по формул-! G), надо взять на 5,4% меньшее поле и
на 8,1% меньшей *. Соответственно у тоже уменьшится на 2,37,
т. е. станет равным 32,63 вместо 35,0. Это дает V=71, или все-
всего на 6,5% больше, чем следует из теории, не учитывающей ни-
никаких поправок на объемный заряд.
Л итература
1. /. P. Barbour, W. W. Dolan et al. Phys. Rev., 1953, 92, 45.
2. В. Л. Кан. ЖТФ, 1948, 18, 483.
3. Р. П. Поплавскай. ЖТФ, 1950, 20, 149.
4. Г. А. Беге, А. Зоммерфельд. Электронная теория металлов, М,—Л., ОНТИ,
1938.
5. М. И. Елинсон, Г. Ф. Васильев. Автоэлектронная эмиссия. М., Физматгиз,
1958.
6. Я. Б. Айзенберг. ЖТФ, 1954, 24, 2079.

К ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
ПРИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ,
ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ *
Совместно с Я. Б. Зельдовичем,
Введение
Классическая теория распространения тепла в среде с по-
постоянной теплоемкостью и постоянной теплопроводностью мо-
может считаться наиболее изученной и даже практически закон-
законченной областью математической физики.
В настоящее время на очереди стоят нелинейные задачи
распространения тепла. Один класс таких задач возникает,
когда в уравнении распространения тепла рассматриваются ис-
источники тепла (химическая реакция), мощность которых зави-
зависит от температуры. С такими задачами мы встречаемся в тео-
теории распространения пламени и в теории звезд.
В обоих случаях наряду с влиянием температуры на ско-
скорость выделения тепла имеет место также существенная, как
правило, степенная зависимость теплопроводности и теплоем-
теплоемкости от температуры.
До последнего времени в теории горения и в теории злезд
решались задачи, в которых температура зависит только от од-
одной переменной, что позволяет переходить к обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям. Сюда относятся прежде всего
стационарные задачи (температура зависит только от коорди-
координат, но не от времени) и задача о пространственном распрост-
распространении пламени с постоянной скоростью в системе коорди-
координат, в которой вещество движется навстречу покоящемуся
пламени.
В настоящей заметке мы исследуем решения нелинейного
уравнения в частных производных для случая, когда в началь-
начальный момент в точке (в бесконечно малом объеме) сосредоточе-
сосредоточено конечное количество тепла; очевидно, что температура в этом
случае зависит и от координат, и от времени. Аналогичное
решение можно дать и для точечного источника, в котором теп-
тепло выделяется с постоянной скоростью начиная с некоторого
момента времени. Поставленную задачу мы решим для инерт-
инертной среды (без выделения тепла) для степенной зависимости
коэффициента теплопроводности и теплоемкости от темлерату-
ры, полагая начальную температуру среды равной нулю.
В линейном случае, т. е. при постоянной теплопроводности,
* Сборник, посвященный 70-летию академика А. Ф. Иоффе. М., Изд-во АН
СССР, 1950.
40

решением является хорошо известный «интеграл изолированно-
изолированного источника»
г»
1 т"Ч A)
Это решение может быть, например, получено разложением
начального распределения тепла (дельта-функция) в ряд по
плоским волнам и их сложением в произвольный момемт вре-
времени. В свою очередь с помощью (I) легко построить решение
задачи о распространении произвольного начального распреде-
распределения температуры в неограниченном пространстве.
В нелинейном сл\чае частное решение не может быть ис-
использовано для построения общего решения при произвольном
начальном распределении температуры. Искомое частное реше-
решение удается получить только с помощью понятия об авто м о дель-
дельности (само подобии).
Исследование решения представляет интерес как в гвязи с
общей методикой получения автомодельных решений, так и в
связи с особым поведением решения вблизи Г=0.
В линейной теории теплопроводиости полностью отсутству-
отсутствует понятие области влияния; температура лишь асимптотически
стремится к нулю на бесконечном расстоянии от источника.
В нелинейной теории, если в начальном состоянии среды тепло-
теплопроводность равна нулю (или если теплоемкость бесконечна),
то ь каждый даппый момент тепловое возмущение охватывает
только определенный, конечный объем. Мы особо рассмотрим
закон изменения температуры вблизи границы области, куда
уже распространилось тепловое возмущение, и вблизи границы
невозмущенной области.
1. Основное уравнение
Общее уравнение теплопроводности имеет вид
с —
dt
Если теплоемкость постоянна, а теплопроводность пропорцио-
пропорциональна 7", запишем его так:
S. = div aTngrad 7\ Х- — = аГ\ B)
ot с
Если теплоемкость тоже -переменна, введем новую переменную
V, однозначно связанную с Г по формуле Т = j" cdTy
dT'=cdT C)
и выразим k(T) и с(Т) через новую переменную Т': если с~Г"\
41

k~T*, то T/^7V|+1> к~ T/Ifl+1; и получим таким образом урав-
уравнение типа B) для яовой переменной Т. В дальнейшем рас-
рассматриваем плоскую л сферически симметричную задачи
^=fllr^, Da)
dt дх дх
= rT. D6)
dt г2 дг дг к
Соответственно закон сохранения энергии имеет вид
1 Ea)
E6)
2. Поведение температуры
вблизи границы возмущения
Рассмотрим предельный вид решения при Г, близком к нулю.
Предположим, что существует граница возмущенной области,
которая перемещается в пространстве с определенной скоростью
v. Обозначив z—расстояние от этой границы, получим вме-
вместо B)
a dz dz dz { }
Легко найдем первый интеграл (константу определяем из усло-
условия, что в невозмущенной области 7=0):
— vT = aTn~ G)
dz
и далее
Напомним, что в случае постоянной теплопроводности име-
имеет место известное решение вида Г—const e~Vi/a и температура
обращается в нуль только экспоненциально, асимптотически при
z-»-oo; при теплопроводности, растущей с понижением темпера-
температуры как Т~\ мы получили бы еще более медленное спадание
температуры, степенное (как z-i/v), а не экспоненциальное.
42

3. Автомодельное решение
Будем искать частные решения D) и E) вида
7" = i4fV©.E = — или g=—, (9)
Btm ВГ
где I — безразмерная переменная, f(?)—безразмерная функ-
функция, которая может зависеть от числа измерений пространства
и от показателя степени п в законе теплопроводности; [ не дол-
должно зависеть ни от t (помимо g), ни от размерной константы а
в законе теплопроводности. Эти условия дают два уравнения:
одно, связывающее пг и k с л, и другое, связывающее А и В с п.
Чтобы получить эти уравнения, подставим (9) в уравнение D)
или E). Опуская для простоты все безразмерные функции и
переменные, заменим дифференцирование делением. Получим
т~АГ\ х~ВГ, (Ю)
* -1; ду№ = 1; *1-**-™=1; 2/п+Ь-1. (И)
Если условия A1) выполнены, получим для / уравнения
| |rf A2а)
* Т^<» 026)
соответственно в плоском и сферическом случаях.
При данном п (т. е. при данном законе теплопроводности)
мы можем получить различные уравнения, а следовательно, и
различные решения, произвольно выбирая одну из двух вели-
величин m или kt связанных между собою уравнением (U).
Недостающая связь между m и k легко может быть получе-
получена из интеграла энергии Eа, б). Подставляя в Eа, б) выраже-
выражение для температуры (9), получим при учете A1):
плоский случай
2+п
сферический случай
; A3а)
A36)
43

Так как A1) устанавливает только одну связь между А и В,
оо
то A3а, б) не фиксирует никакого определенного значения f /<Й
оо оа со
или J f?*d%. Обозначая |/<? = Л. \ /5ad? = 4j» найдем
О 0 0
=
5= «Ж(-^\ Л- <i?/afl=\ A4а)
Из уравнений A3а, б) легко получить равенства (—) =°
ПГа("дГ) ^^ соответственно для плоского и сферического слу-
случаев. Эти равенства выражают условие отсутствия постоянно
действующего источника тепла в начале координат в согласии
с законом сохранения энергии, (Условие отсутствия объемных
источников тепла обеспечивается однородностью исходных
уравнений). Чтобы доказать сделанное нами утверждение,
умножим A2а) на d? и A26) на %2dl и проинтегрируем их от О
до оо. Тогда получим а плоском случае
0
откуда следует, что при fc=m, действительно,
В сферическом случае имеем
= (* -3m) J
Тогда при 3m=k выполнится поставленное условие
=°- A5б)
44

4. Определение констант в автомодельном решении
Общее решение дифференциальных уравнений A2а, б) со-
содержит в общем случае две произвольные константы. Напишем
его а виде
/=*<рF, С,С3). A6)
Решение должно удовлетворять двум граничным условиям:
х=оо, Т=0; х=—оо, Г=0 A7а)
или
г^оо, Г = 0; г-0, г8— =0. A76)
or
В плоском случае по симметрии можно рассматривать только
х>0 и заменить второе условие (при я=—оо) на условие
— =0 при х=0. Мы уже говорили, что условия для ироизвод-
дх
ных в начале координат выражают отсутствие источника тепла
r задаче о распространении заданного, постоянного количества
тепла.
Мы показали, что условия в нуле у автомодельного решения
выполняются при соответствующем выборе показателей m и k.
Это связано с тем, что одна из постоянных интегрирования»
скажем Cis входит в уравнение особым образом. Легко убедить-
убедиться, что уравнения A2а, б) имеют группу преобразований, остав-
оставляющих эти уравнения инвариантными, а именно (штрихами
отмечены преобразованные переменные):
Б'=с"Е; Г=с% A8)
Следовательно, если мы имеем какое-либо решение /=<р(?), то
и f=c2qp(cng) также является решением. Этим устанавливается
способ нахождения константы Сх. Вместо A6) напишем
^=СГф(СЙ,Са). A9)
Подставляя A9) в граничные условия A7), мы убедимся в том,
что С4 выпадает из получившихся уравнений. Выполнение гра-
граничного условия в нуле обеспечено надлежащим выбором по-
показателей; можно сказать, что показатель тп определяется как
собственное значение из граничных условий, наложенных на ре-
решение дифференциального уравнения.
В другой тепловой задаче — о распространении пламени —
мы раньше встретились с аналогичным положением, когда из
граничных условий на бесконечности удалось определить соб-
собственное значение параметра, входящего в уравнение, а именно
скорости распространения пламени v; в этом случае уравнение
имело простейшую группу преобразований — группу переносов
по оси х, благодаря тому что переменная х входила только под
знаком дифференциала. Поэтому одна из констант (Ct) входи-
45

ла в выражение температуры так: Т=Т(х+Си C2i v) и не влия-
влияла поэтому на выполнение граничных условий на сю.
Вернемся к автомодельному решению уравнений неличейиой
теплопроводности. Как отмечалось выше, только при л=0, в
линейном случае, Т асимптотически стремится к нулю при jc-»-oo;
при л>0 существует определенная граница возмущения в каж-
каждый данный момент t, так что Г=0 «при x>Xo(t) или r>^{t).
В автомодельном решении очевидно, что это условие перепи-
перепишется так:
f = o при е>ь; *.(О-ЬВ«"- B0)
Скорость границы возмущения t>, определяемая равенством
^1 B1)
непостоянна. Однако вблизи границы возмущения, в пределе,
при малых хй—х уравнение F) оказывается справедливым и
при переменной скорости v и аналогично в сферическом случае
при Го—/•<:/¦„.
Поэтому решение вблизи края найдем, подставляя B1) в (8).
Получим
Т = [яБвшВГ (*,—*) а]1 B2)
и после перехода к безразмерным переменным, используя A1),
будем иметь
I ©- [«пЬ (b-BJ1*1. 6,-6<8г B3)
Его можно получить и непосредственно из уравнений A2а, б).
Таким образом, B3) вблизи |=|0 дает начало кривой /(?).
Весь дальнейший ход решения уравнения тем самым уже пол-
полностью определен. Постоянная С2 при этом определилась еще
уравнением G) из условия смыкания при |=|0 с тривиальным
решением Г=0.
Из предельного вида решения B3) мы заключаем, что по-
постоянную Сх можно выбрать равной ?„. Поэтому, пользуясь тем,
что уравнение допускает группу A8), решение можно записать
так:
(?) B4)
Следовательно, все решения вида B4), отвечающие различ-
различным ?о, получаются аффинным преобразованием (изменением
масштабов g и /) из одного решения, например из такого, в ко-
котором положено ?о=1- Благодаря тому что в области нетри-
нетривиального решения |<|в, такое стандартное решение описы-
описывает процесс распространения тепла при заданных нами началь-
начальных и граничных условиях все время. Оно автоматически при-
46

ходит в точку g=0 с правильным значением производной бла-
благодаря надлежащему выбору показателей.
Благодаря наличию группы можно получать из одного ре-
решения /(|) целый набор различных решений A9); при этом ме-
меняются также интегралы J^Cr***"* в плоском случае и
/а~Сг'а+8п) в оферичеекам случае. Согласно A4а, б) при этом
меняются А и В, по как раз таким образом, что решение в пе-
переменных х и t никак не зависит от Clt а определяется только
заданными величинами п} a, E.
5. Понижение порядка и исследование уравнения
Согласно известной теореме Ли, порядок обыкновенного диф-
дифференциального уравнения, допускающего однопараметриче-
скую группу преобразований, т. е. инвариантного по отношению
ко всем преобразованиям этой группы, может быть всегда пони-
понижен на единицу. Выше мы указывали, что уравнение для авто-
автомодельного решения до-пускает группу преобразований.
Заметим, что для существования такой группы необходимо,
чтобы с течением времени оставалось подобным самому себе не
только решение с данным значением энергии Е [см. Eа, б)], но
чтобы имелось подобие и в решениях с различным ?. В пашем
случае степенного закона теплопроводности и начального тепло-
теплового импульса оба условия выполнимы.
Для понижения порядка уравнения удобно пользоваться
следующим методом: вводим инвариант преобразования
y=t~t/nf B5)
и новую независимую переменную, для которой преобразование
представляет собой параллельный перенос
Тогда уравнение второго порядка, связывающее у и z, содер-
содержит z лишь под знаком дифференциала. Следовательно, вводя
Р— ^т в качестве неизвестного, исключим z и получим уравне-
уравнение первого порядка, связывающее р с у. Подставляя найден-
найденные нами показатели по уравнениям A2, 13а, б), будем иметь:
плоский случай
B6а)
сферический случай
ay n 2 + on t\r n
B66)
47

При малых у ищем решение степенного вида
р=Ну; B7)
причем из условия обращения в нуль у при конечных ? и z
следует, что s<l. Подставляя B7) в уравнение и удерживая
старшие члены по малому //, найдем
Р=-~^1-". B8а)
*-"' B8б)
что тождественно совпадает с B3).
При |-vQ f стремится к константе, а следовательно, в этом
пределе
B9)
yap неограниченно ргстут. Нетрудно убедиться, что B9) удов-
удовлетворяет уравнениям B6а, б) в пределе при больших р и у.
Из предшествующего следует, что решение, идущее при малом у
по B8а, б), при большом у обязательно переходит в B9).
6. Решение уравнения для плоской задачи
Прямая подстановка показывает, что в плоской задаче [урав-
[уравнение B6а)] при любом значении показателя п сумма выра-
выражений, дающих предельные законы зависимости р от у при ма-
малых и больших у, т. е. выражение
Ь—г1" C0)
является точным решением B6а).
Теперь нетрудно найти и безразмерную f(?):
Наконец, возвращаясь к размерным переменным х, t и исполь-
используя условие нормировки на полную энергию Eа), получим ис-
искомое решение в окончательном виде
C2)
48

где
j^^?L C3)
Легко убедиться в том, что в пределе при гс-*0 найденное реше-
решение переходит в известное решение линейного уравнения. Дей-
Действительно, при
и C2) превращается в
Более того, выражение, подобное C2), оказывается справед-
справедливым и при л<0. Таким образом, мы нашли решение плоской
задачи не только в случае теплопроводности, обращающейся в
пуль при начальной температуре Г=0 (л<0), но и в случае те-
теплопроводности, обращающейся в бесконечность при Г=0 (л<
0)
)
В линейном случае постоянной теплопроводности решение
задачи дается, как известно, выражением C4) и экспоненциаль-
экспоненциально спадает на большом расстоянии. В случае/i<0, т.е. при ну-
нулевой теплопроводности, при Г~0 решение отличается суще-
существованием конечной области распространения тепла, вне кото-
которой Т—0.
В случае л<0, или бесконечной теплопроводности, при Г=*
= 0 решение имеет вид
™ • C5)
где — n=v, k/c=aT-v и
Gv = ^ A +i/9) v dz/ ^ -У——^ ^- C6)
Это решение справедливо только при v<2, так как при большем
v интеграл Gv расходится, что физически означает мгновенный
уход тепла на бесконечное расстояние при теплопроводности,
обращающейся в бесконечность по закону Г или еще сильнее.

Выражение C2) позволяет легко вычислить координату
мгновенного положения области распространения тепла:
f C7)
Выражение для времени, за которое граница возмущения до-
достигнет заданного положения, можно привести к привычному
виду:
t
2B + n) /E\n 2B
где
tx = a{fxf Тх=Щ2х). C9)
Хх есть значение температуропроводности, отвечающее средней
температуре в рассматриваемый момент, когда область возму-
возмущения простирается от х до — х, занимая длину 2х.
Наконец, в плоской задаче можно также выразить скорость
движения границы через %*:
dt nrn *rp dt n х
dt х dt n х
7. Распространение тепловой волны
от покоящейся плоскости постоянной температуры
Рассмотрим задачу нелинейной теплопроводности с началь-
начальным условием Г=0, *>-0 при /=0 и с граничным условием Т=
= 7^0, х=0, ^>0. Последнее отвечает постоянной температуре,
поддерживаемой на стенке во время распространения тепла.
Из граничного условия видно, что показатель к в выражении
(9) надо выбрать равным нулю, откуда следует, что т=7г- Та-
Таким образом,
T=7V(I): '^тк
Можно показать, что при /i>0 снова получится конечная об-
область влияния и граница
за которой Г^=0.
50

Зависящее от п число |0 может быть найдено численным ин-
интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка, что нами не производилось. Результат пред-
представляется в виде
iLfe. D2)
dt 2 х У '
Для поддержания постоянной температуры в плоскости не-
необходимо, чтобы в ней помещался источник тепла, мощность ко-
которого ~1/у/. Эти результаты вполне аналогичны соответст-
соответствующим утверждениям линейной теории.
По замечанию Н. А. Дмитриева, нестационарная задача о
распространении тепла от плоскости постоянной температуры
автомодельна при любом законе теплопроводности фG*).
Уравнение
<p(r)L D3)
dt дх^к ' дх к '
всегда допускает решение вида
Г-Г (Г.^о). D4)
Однако при произвольном (не степенном) виде <р решения с раз-
различными Тш не подобны друг другу. В согласии с теоремой Ли
при произвольном ф не удается понизить порядок обыкновенно-
обыкновенного уравнения второго порядка, к которому приводит подстанов-
подстановка D4) в D3).
Заключение
1. Рассмотрено нелинейное уравнение теплопроводности со
степенной зависимостью теплопроводности и теплоемкости от
температуры.
2. При температуропроводности, стремящейся к нулю в на-
начальном состоянии, решение отлично от нуля в конечной облас-
области, так что существует граница решения и невозмущенной об-
области. Рассмотрено решение вблизи границы.
3. Составлены уравнения для автомодельного решения за-
задачи о распространении отдельного теплового импульса.
4. Дано аналитическое решение уравнений в плоском случае.
51

ОБ ОХЛАЖДЕНИИ ВОЗДУХА ИЗЛУЧЕНИЕМ. 1 *
ОБЩАЯ КАРТИНА ЯВЛЕНИЯ
И СЛАБАЯ ВОЛНА ОХЛАЖДЕНИЯ
Совместно с Я. Б. Зельдовичем и Ю. П. Райзером
1. Качественная картина процесса охлаждения
нагретого воздуха
Задача о сильном взрыве в воздухе была рассмотрена Седо-
Седовым [1] (см. также [2]). Сильная ударная волна необратимо на-
нагревает воздух до весьма высоких температур, так что после
взрыва, когда давление падает до атмосферного, образуется
большая масса сильно нагретого воздуха.
Представим себе большую массу воздуха с линейными раз-
мерами порядка нескольких сот метров, нагретую до высокой
температуры — выше 100000° в центре; к периферии температу-
температура спадает ниже 100°. Как охлаждается такая масса? Очевид-
Очевидно, что 'молекулярная теплопроводность не играет никакой роли:
при коэффициенте диффузии тепла (температуропроводности)
порядка 1 см*/сек и размере ~10* см воздух остывал бы год.
Конвективный подъем за счет различия плотности горячего и хо-
холодного воздуха и связанное с подъемом перемешивание горя-
горячего воздуха с окружающими массами холодного более сущест-
существенны. Однако в первые 2—3 сек подъем невелик. Очевидно,
что конвективный подъем не может превышать ?*72, что состав-
составляет 5 ж за 1 сек, 20 л за 2 сек, 46 л* за 3 сек. Поэтому, рассмат-
рассматривая первые секунды, можно не учитывать и конвекцию. Основ-
Основным фактором является световое излучение воздуха, рассмотре-
рассмотрению которого и посвящена настоящая работа.
Характерная особенность задачи состоит в том, что ирозрач-
кость воздуха сильно зависит от температуры. Холодный воздух,
как известно, прозрачен для видимого света, что и обусловливает
возможность лучистого охлаждения нагретого объема.
Непрерывный спектр поглощения света в нагретом воздухе
обязан главным образом фотоиониз&цик возбужденных атомов.
Энергия иоиизашш атомов азотт и кислорода в основном состоя-
состоянии (/«14 eV) при температурах порядка 10000° значительно
больше энергий квантов, играющих основную роль в потоке
энергии Av порядка нескольких kT. Эти кванты могут поглощать-
поглощаться лишь атомами, возбужденными до энергии / — hv, равновес-
равновесное количество которых пропорционально больцмановскому фак-
фактору ехр{— (I+hvlkT)}. Поэтому длина пробега света, равная
обратной величине коэффициента поглощения, чрезвычайно
сильно зависит от температуры. Длина пробега меняется от ки-
• ЖЭТФ, 1958, 34, вып. 5, 1278.

лометров при Г»6000° до метров при Г» 10000° и сантиметров
при 7^13 000°.
Очевидно, что излучение, охлаждающее воздух, определяется
в основном тем слоем, в котором длина пробега излучения по-
порядка размеров системы, т. е. слоем с температурой порядка
10 000°, которую можно назвать температурой прозрачности Г2_
Рис. 1
Рис. 2
Более холодный воздух прозрачен и ие излучает, более горячий
воздух непрозрачен, интенсивно излучает, но испущенное им из-
излучение тут же поглощается. Такого рода соображения, опреде-
определяющие эффективный излучающий слой, ни в какой степени не
являются новыми, они общеприняты при изучении звезд. Но в
отличие от звезд излучение энергии воздухом не компенсирует-
компенсируется притоком энергии из внутренней более нагретой области, так
как распределение температуры в нашем случае определяется
главным образом предыдущей историей явления и не подчинено
условию стационарности. Поэтому можно ожидать, что если в
начальный момент имеется какое-то плавное распределение тем-
температуры, изображенное на рис. 1, то охлаждаться излучением
начнет слой с температурой порядка Г4~ 10000° и в следующие
моменты распределение температуры под влиянием излучения
будет изменяться так, как показано на рис. 1. Один за другим
слои воздуха будут охлаждаться до температуры прозрачности.
По нагретому выше Т2 газу распространяется температурный
уступ — волна охлаждения (ВО), в котором температура резко
падает от начального значения 77 до температуры прозрачнос-
прозрачности Га.
Изображая последовательные изменения распределения тем-
температуры на рис. 1, мы отвлекаемся от изменения распределения
за счет чисто гидродинамического движения. В действительнос-
действительности уступ образуется еще до того, как давление в воздухе упа-
упадет до атмосферного, и гидродинамический разлет прекратится
примерно в тот момент, когда охлаждение излучением слоя с
температурой —10000° станет сравнимым с адиабатическим ох-
53

лаждением расширяющегося воздуха. В дальнейшем, когда
адиабатическое охлаждение по мере падения давления быстро
уменьшается, охлаждение излучением начинает играть главную
роль. Напротив, до момента образования уступа основную роль
играет адиабатическое охлаждение и потери на излучение малы.
Таким образом, с учетом адиабатического охлаждения после-
последовательные изменения распределения температуры имеют вид,
показанный на рис. 2, где по абсциссе отложена не эйлеровская,
а лагранжева координата.
Можно сказать, что ВО распространяется по не возмущен но-
ному излучением воздуху, температура которого 2\ к моменту под-
подхода волны определяется только предыдущей историей процес-
процесса и чисто гидродинамическим движением, если таковое суще-
существует. Дело в том, что при температурах порядка десятков и
сотен тысяч градусов и градиентах температуры порядка тысяч
градусов на метр, которые имеют место в начальном распреде-
распределении» лучистая теплопроводность из-за сильного поглощения
слишком мала для того, чтобы создать сколько-нибудь заметный
поток энергии в области начальных температур 7\. Лучистая теп-
теплопроводность, коэффициент которой (коэффициент пропорцио-
пропорциональности между тепловым потоком и градиентом температуры)
пропорционален длине пробега света 1{Т) и кубу температуры,
быстро возрастает с увеличением температуры и играет сущест-
существенную роль лишь при сотнях тысяч градусов, ограничивая подъ-
подъем температуры величинами такого порядка и выравнивая тем-
температуру вблизи центра *.
Благодаря малой теплопроводности на верхнем краю ВО при
температуре 7\ поток энергии, поступающий -в волну изнутри,
близок к нулю и не может иметь существенного значения. Все
свойства ВО, и в частности скорость ее распространения по го-
горячему тазу, определяются в основном одной величиной — тем-
температурой исходного газа 7\. (Свойства газа и его давление
предполагаются заданными). Основная задача теории волны
охлаждения состоит в нахождении потока энергии Sis уходящего
с поверхности волны, который заключен, очевидно, в пределах
<7741>оа>07'1а4 (а — постоянная Стефана—Больцмана). Эта
задача представляется нетривиальной, так как во фронте ВО
имеет 'Место весьма резкое изменение температуры. Когда мы
найдем поток S2> скорость волны из соображений энергетическо-
энергетического баланса выразится элементарно
S^uptCpiTi-Ti), A)
где ср — теплоемкость воздуха при постоянном давлении, кото-
1 Коэффициент лучистой теплопроводности снова становится большим при низ-
низких температурах (ниже ~ 10 000°) из-за резкого возрастания длины пробега
/, которая при Т~50000° проходит через минимум [l(T) Р имеет минимум
при Г"" 10 000е]. Однако при больших пробегах, сравнимых с размерами си-
системы, перекос излучения теряет характер теплопроводности.
54

рую мы для простоты 'полагаем постоянной, a pi—'плотность
воздуха, по которому бежит волна. Основанием для написания
такого баланса служит то, что скорость волны, согласно оцен-
оценкам, оказывается дозвуковой, так что на протяжении узкого
фронта ВО давление р практически постоянно (по 'мере охлаж-
охлаждения воздух сжимается, так что /?~ipT«?const).
Нижняя температура ВО, или температура прозрачности, не
есть величина строго определенная. Это такая температура, ни-
ниже которой поглощение и излучение света становятся очень ма-
малыми, точнее, лри которой длина пробега света становится срав-
сравнимой с характерным масштабом R, на котором температура
падает от Т2 до достаточно малой величины, скажем, 1000°,
1(Тъ)жЯ. B)
Когда волна распространяется по расширяющемуся воздуху,
этот масштаб определяется гидродинамикой всего движения в
целом; он тем меньше, чем больше скорость адиабатического
охлаждения. Благодаря чрезвычайно резкой экспоненциальной
зависимости длины пробега от температуры, температура про-
прозрачности, несмотря ла содержащийся в ее определении произ-
произвол, заключена в довольно узком интервале и логарифмически
зависит от размера R и плотности воздуха р4.
Если должным образом усредненная по спектру длина про-
пробега есть
l=a(T) Wp)e"№, C)
где а—медленная функция от Т (для воздуха мы принимаем
а=2,8«10~1аХГ* см), р0 — нормальная плотность воздуха (см.
ниже), то температура прозрачности согласно B) равна
Как будет показано в дальнейшем, излучение, выходящее с
поверхности ВО, генерируется всегда на нижнем краю уступа
независимо от его высоты, т. е. при сколь угодно больших тем-
пер ату pax исходного газа 7\. Величина излучаемого ВО потока,
St определяется тлавным образам температурой прозрачности к
приближенно равна 2оТа\
Таким образом, скорость распространения ВО, пропорцио-
пропорциональная
в случае достаточно сильной волны, когда Г2<7\, зависит глав-
главным образом только от давления*. В таблице приведено не-
а Если учесть, что теплоемкость при высоких температурах растет с температу-
температурой из-за ионизации, то зависимости (I), E) несколько усложняются: в этой
случае вместо срТ{ и сРТл надо писать удельные энтальпии W{Ttp) и W{Ttp).
55

сколько рассчитанных значений скорости и, км/сек в воздухе ори
атмосферном давлении при разных 7\ и 7V Там же указаны и
значения R, из которых по формуле D) была получена темпе-
температура Гя.
Таблица
и, мм/сек при p=t атм
R.M-
Г
20000
50000
100000
10
10 700
2,7
1,8
1,6
50
9 700
2,1
1,4
1,2
100
9300
1.7
1,1
1,0
В теории теплопроводности показывается, что время охлаж-
охлаждения нагретого тела t~#ozcPp/»c, где и — коэффициент тепло-
теплопроводности, a RQ — размеры тела. В основе зависимости Х~
~R* лежит предположение о постепенном подобном понижении
температуры всей массы тела. При охлаждении нагретого тела
излучением, когда от периферии к центру объема бежит ВО, вре-
время охлаждения выражается совершенно иначе: t~R0/u. Так,
масса воздуха радиусом —100 му находящаяся при атмосфер-
атмосферном давлении и нагретая до температур порядка десятков и со-
сотен тысяч градусов, охлаждается излучением до температуры
порядка 10 000° за время ~0,1 сек. В дальнейшем охлаждение
излучением идет значительно медленнее и носит существенно
иной, объемный, характер (так как длина пробега света стано-
становится сравнимой с размерами тела). При этом начинают играть
роль механизмы 'поглощения и излучения света, отличные от
рассмотренного выше.
Вследствие сильной растянутости нижнего края ВО, а та.кже
поглощения и излучения света охлажденным ВО воздухом,
фронт ВО практически в большинстве случаев остается невиди-
невидимым. Все эти вопросы, в том числе и вопрос о возможности экс-
экспериментального наблюдения ВО, выходят за рамки настоящей
работы.
Ниже развивается приближенная теория ВО, т. е. подробно-
подробному рассмотрению подвергается тот узкий слой, в котором проис-
происходит резкое падение температуры от 7\ до Т2.
2. Постановка задачи о волне охлаждения
Отвлекаясь от конкретных размеров и формы охлаждаю-
охлаждающейся массы воздуха» будем искать решение нестационарных
уравнений лучистого теплообмена вида T(x—ut)t соответствую-
соответствующее плоской волне, распространяющейся в газе с заданными
56

температурой Тх и плотностью pi с постоянной скоростью и. Ско-
Скорость и сама должна быть найдена из уравнений наподобие
определения скорости пламени во взрывчатой смеси.
В действительности, уравнения не имеют точного решения
вида Т(х—ut). Дело в том, что по мере распространения волны
увеличивается толщина слоя охлажденного воздуха, в которой
поглощение света хотя и мало, но все же отлично от нуля, и тем-
температура прозрачности меняется с течением времени. В неогра-
неограниченной среде слой газа, охлажденного до сколь угодно низкой
температуры из-за своей бесконечной протяженности, оказыва-
ется совершенно непрозрачным, поток на бесконечности равен
нулю и режима ВО в строгом смысле слова вообще не существу-
существует а. Этот момент, принципиальный в случае неограниченной сре-
среды, создает лишь кажущуюся трудность в реальных условиях.
Ведь на самом деле нагретая область всегда ограничена и тем-
температура прозрачности лишь очень немного меняется с увеличе-
увеличением пройденного волной расстояния, будучи заключенной для
реальных размеров системы в весьма узком интервале. Допол-
Дополнительная, очень медленная зависимость решения от времени
Т(х—ut, t) возникает лишь на самом нижнем, сильно растяну-
растянутом краю волны, в области уже охлажденного воздуха, которая
почти прозрачна.
Если ВО распространяется по расширяющемуся воздуху, то
адиабатическое охлаждение быстро выводит охлажденные из-
излучением слои воздуха в область столь низких температур, что
он становится практически прозрачным. Дополнительная мед-
медленная зависимость Т от времени будет существовать лишь в
области адиабатического охлаждения и почти не будет влиять
иа профиль температуры в самой ВО.
Мы здесь не будем рассматривать дополнительного поглоще-
поглощения света в области низких температур, порядка нескольких ты-
тысяч градусов, которое обязано образующимся в нагретом возду-
воздухе окиси и двуокиси азота и практически не оказывает влияния
и а волну, хотя и может играть существенную роль в поглоще-
поглощении потока излучения, выходящего с поверхности волны, в пе-
периферийных слоях воздуха \
Кроме того, мы будем пренебрегать интенсивным молекуляр-
молекулярным поглощением в области низких температур, существенным
для ультрафиолетового излучения с к<2000 А, так как в спектре
с А,<2000 Л при температурах порядка и ниже 10000° заключена
небольшая доля энергии (меньше 4%), незначительно сказываю-
3 До некоторой степени аналогичная ситуация имеет место в теории стационар-
стационарного распространения пламени. Если не предполагать скорость химической ре-
реакции в несгоревшей смеси тождественно равной нулю, несмотря на то что в
действительности это — конечная, хотя и ксчезающе малая величина, смесь
сгорит раньше, чем к ней подойдет фронт пламени,
4 Своеобразные оптические эффекты, связанные с образованием при сильном
взрыве окислов азота, подробно рассмотрены одним из авторов в pa6oie [3].
Б7

шаяся на энергетическом балансе ВО. Для построения теории
ВО следует рассмотреть, как это обычно делается в теории ре-
режимов, плоский стационарный процесс в системе координат, в
которой ВО покоится. Для того чтобы избавиться от указанной
выше трудности и сделать задачу стационарной, т. е. перейти от
истинного решения Т(х— uty t) с дополнительной медленной
зависимостью от t к идеализированному Т(х— ut)t можно вос-
воспользоваться одним из двух формально искусственных, но в силу
сказанного физически совершенно оправданных приемов, отве-
отвечающих реальному положению вещей.
Можно, во-первых, ввести в энергетическое уравнение допол-
дополнительный постоянный член Л, играющий роль адиабатического
охлаждения, который задает постоянный масштаб R, определяю-
определяющий температуру прозрачности Т2 и делающий поглощение в
охлажденной излучением области конечным. Уравнение энерге-
энергетического баланса в стационарном случае имеет вид
где S — поток энергии излучения в точке х.
Можно, во-вторых, вообще исключить из рассмотрения
охлажденную ниже температуры прозрачности слабо поглощаю-
поглощающую область газа, определив с самого начала температуру про-
прозрачности Т2 по формуле D) и полагая, что среда при Г<Га
абсолютно прозрачна (/=.«>).
Для определения потока излучения мы воспользуемся диф-
диффузионным приближением к строгому кинетическому уравнению,
которое приближенным образом учитывает угловое распределе-
распределение излучения. В диффузионном приближении к точному урав-
уравнению 'баланса излучения
G)
добавляется приближенная связь потока 5 с плотностью энергии
излучения 5 U:
(8)
Здесь
Up = 4cTVo (9)
— равновесная плотность излучения, с — скорость света. Мы от-
отвлекаемся от рассмотрения спектрального состава излучения,
характеризуя перенос излучения должным образом усредненной
по спектру длиной пробега /.
1 Не следует смешивать диффузионное приближение с приближением лучистой
теплопроводности, которое представляет собой частный случай, когда истин-
истинная плотность U в уравнении (8) заменяется равновесной Up.
58

Как будет показано ниже, в значительной части ВО истинна яг
плотность излучения U весьма близка к равновесной Up\ в этом
случае, как известно [4], длина пробега усредняется по Роосе-
лапду. В области охлажденного воздуха U сильно отличается
от ?/р и длина пробега должна усредняться совсем иначе. Для
простоты будем везде пользоваться росселандовым средним„
пользуясь тем обстоятельствам, что больцмановский экспонен-
экспоненциальный фактор остается в / при любом способе усреднения, а
от предэкспонегщиального множителя, который, разумеется за-
зависит от способа усреднения, все существенные эффекты в ВО
зависят только логарифмически. Росселандово усреднение фор-
формулы Крамер с а для фотоэлектрического поглощения квантов воз-
буж денными атомами [4] дает после подстановки известных кон-
констант предэкспоненциальный множитель а(Т), который стоит в.
формуле C) для длины пробега.
В уравнениях G), (8) удобно перейти от геометрической ко-
координаты х к оптической толщине т но формуле
dx= -dxlU t=— J <**//, A0)
отсчитывая т от места, где /=оо, в сторону увеличения погло-
поглощения, т. с. в сторону повышения температуры:
—c{Up-U); (II)
A2)
Отказываясь от точного учета углового распределения излу-
излучения, можно написать и 'приближенные интегральные выраже-
выражения для потока и ллотпости, полагая, что 'все кванты двигаются
параллельно оси х «вперед» и «назад»:
A3)
U « у И tV*"T' df + Г U^'^ dx'V
A4)
Коэффициенты при квадратных скобках выбраны так, чтобы
формулы A3), A4) давали правильные значения потока с по-
поверхности абсолютно 'черного тела и плотности внутри черного
тела, вдали от границы. Для эффективного учета углового рас-
распределения следует пользоваться в этих формулах ле истинной,
а вдвое уменьшенной длиной 'Пробега. Легко проверить, что вы-
выражения A3), A4) удовлетворяют при этом уравнениям A1),
A2) типа диффузионных с коэффициентом диффузии, пропор-
пропорциональным lU вместо Узв. На верхнем краю ВО, как уже было
8 Вдиое уменьшенная длина пробега означает, что средний косинус квантов,
двигающихся «вперед» и «назад», полагается равным 7г- Дифференциальные:

сказано выше, поток близок к нулю, поэтому одно из граничных
условий к уравнению A1), A2) есть
т=оо, S = 0. A5)
Второе граничное условие должно быть поставлено на границе
между поглощающей и абсолютно прозрачной средами, т. е. при
т=^0. Это — известное диффузионное условие, согласно которо-
которому диффузионный поток на границе с «вакуумом» равен полови-
половине кинетического
t=0f S = cU/2. A6)
Интегральные выражения A3), A4) автоматически удовлетво-
удовлетворяют этому условию.
3. Слабая волна охлаждения
Рассмотрим предельный случай слабой ВО, в которой верх-
верхняя температура 7\ лишь немного превышает нижнюю Га. При
этом, однако, длину пробега будем считать весьма сильно зави-
зависящей от температуры так, чтобы оказались совместимыми два
условия: l(Ti)^t(Tt)—условие, необходимое для самого суще-
существования ВО, и условие 7\«Г*, Г4*«Га4, необходимое для того,
чтобы волну можно было рассматривать как слабую.
Рассмотрение слабой волны представляет главным образом
методический интерес; на этом примере благодаря упрощению
исходных уравнений удается получить точное аналитическое ре-
решение уравнений.
Воспользуемся первым <из указанных в предыдущем разде-
разделе приемом и будем считать, что наряду с лучистым теплооб-
теплообменом существует постоянное адиабатическое охлаждение Л,
так что энергетическое уравнение записывается в форме F). Ин-
Интеграл энергетического уравнения F) содержит константу ин-
интегрирования С, которая определяется выбором начала отсчета
координаты х, т. е. произвольна (уравнение имеет группу транс-
трансляции) :
— Ах+С. A7)
На нижнем и верхнем краях ВО, где поток 5 стремится к Sz—
потоку, уходящему на бесконечность и к нулю, величина аргсрТ
асимптотически стремится к двум прямым:
C2t *-*oo; A8)
х^ — оо, A9)
сдвинутым по ординате на величину «потока, уходящего на бес-
бесконечность Sz.
уравнения, эквивалентные интегральным выражением A3), A4), известны в
астрофизике под названием приближения Шварцшильда [4].
60

Уступ ВО заключен между этими прямыми; наша задача за-
заключается в нахождении положения этого уступа. Воспользуем-
Воспользуемся теперь условием, что волна слабая. Поскольку явление разыг-
разыгрывается в узком интервале температур, можно приближенно
полагать множитель Vv в уравнениях переноса излучения, кото-
которому пропорциональна излучательная способность, постоянным.
Очевидно, этот множитель, заключенный в волне в пределах
может быть в силу близости пределов положен равным любому
из них. Для определенности будем считать, что C/p=407V/c.
При этом, очевидно» поток, уходящий иа бесконечность»
S9 = oTl B0)
При условии L/P=sconst уравнения переноса излучения сильно
упрощаются. Будем исходить здесь из интегрального выражения
A3); получим
B1)
Подставляя B1) в A7), получим
ир^р Т = — Ах —Ste-X + С. B2)
Подстановка температуры из этой формулы в уравнение A0)
дает дифференциальное уравнение 'первого порядка для нахож-
нахождения функции х(т) или, возвращаясь к B2), Г(т,5а) и T(x,Sx).
Для решения этого уравнения заметим, что в интересующем нас
узком интервале температур фактическая больцмановская за-
зависимость длины пробега от температуры, даваемая формулой
C) (слабой зависимостью от температуры предэкспоненциаль-
ного фактора пренебрегаем), может быть аппроксимирована
экспоненциальной
B3)
где Го — некоторая температура, около которой произведено
разложение локазателя экспоненты.
Такая аппроксимация была сделана Франк-Каменецким в
теории теплового взрыва [5]. Эта формула автоматически обес-
обеспечивает стремление потока к нулю при х--*— оо, где температу-
температура стремится к бесконечности (а ее градиент согласно B2) ко-
конечен), что необходимо для существования режима. Температу-
Температуру Т„, около которой произведено разложение и которая может
быть задана произвольно, определим уравнением
HT\. B4)
61

Перейдем к безразмерным величинам по формула-м
e = {T-TQ)I/TJiT0; B5)
B6)
ЛЦТ0) kT0
Уравнения B2) и A0) в безразмерных величинах имеют вид
8=.—g —sr* + С, B8)
rf|=— e"erff. B9)
Решение их с граничным условием т=^0, |=оо(х=оо),
C, C0)
C1)
= 1п Г J tf*"x rfrl—s
дает параметрическую связь в(&), т. е. профиль температуры в
слабой ВО. При помощи подстановки 2^=е~т интеграл, стоящий
под знаком логарифма в формулах C0), C1), выражается через
табулированные функции Ei(x) [6]:
X
Ш(х)= Г ev^Ly C2)
J У
-00
а именно:
J = Г e^r dx^El (s) -ЙГEй-г). C3)
о
На нижнем краю ВО температура асимптотически приближается
к нижней прямой по закону (при т< 1, st< 1, в-*-—оо)
|=-+e—s+s A — ехр (—ев) +С. C4)
Со стороны верхних температур профиль в(?) имеет характер
уступа, крутизна которого все время растет при увеличении в.
Лишь когда в почти достигает верхней прямой, кривая 6(<=)
проходит через точку перегиба и начинает асимптотически при-
ближаться к верхней прямой, опять-таки по закону C4), но при
Эти закономерности иллюстрируются рис. 3, на котором
график 9(|) при s=5; начало отсчета g помещено в точку, где
в=0. Естественно считать фронтом ВО точку перегиба 0 (?),
в которой крутизна уступа максимальна, и под верхней и ниж-

ней температурами ВО подразумевать значения в на асимптоти-
асимптотических прямых при координате перегиба (см. рис. 3).
Оптическая толщина тф, соответствующая фронту ВО, может
быть найдена из уравнения d2®/dl2=O. Дифференцирование
C0), C1) дает трансцендентное уравнение для гф в зависимости
от параметра s
Еj (s) — Ei (P) = ер/A —
C5)
Температура в точке перегиба 6* а также верхняя и нижняя
температуры ВО 6, и в» равны
C6)
C7)
Задача нахождения нижней тем-
температуры ВО Тг и, следовательно,
ее скорости и при заданных верх-
верхней температуре 7\ и адиабатиче-
адиабатическом охлаждении А легко решает-
решается методом последовательных
приближений. Задаемся какой-
либо величиной параметра 5 и по
формулам C5) —C8) находим 8i и 9а. Затем, переходя к раз-
размерным температурам по формуле B5), определяем То и Г2;
подставляя эти значения в B7), находим параметр s в следую-
следующем приближении и т. д. Последовательные приближения быстро
сходятся, так >как То зависит от s логарифмически.
Удобнее пойти обратным путем: задаваясь значениями пара-
параметра s и какой-либо из двух величин, характеризующих
ВО— 7\ или Га, определить вторую величину и необходимое для
обеспечения существования стационарного режима адиабатиче-
адиабатическое охлаждение А. Так, для случая s=5, к которому относится
рис.3, получаем по формулам C5) — C8) : р=0,93, тф=1,69,
вф=2,7, 6i=3,7, 62=—1,3. Например, при верхней температуре
7*1=12250°, нижняя температура оказывается равной Г2=9200°;
при этом Г0=|10000° (/ принято равным для воздуха 14 eV).
Реальный интерес представляют лишь значения параметра s,
достаточно большие по сравнению с единицей. В самом деле, из
формулы B3) следует, что
C9)
а соотношение длин пробега должно быть больше единицы для
самого существования ВО, о чем было сказано в начале этого
раздела. (С другой стороны, сверху s ограничено условием
слабости волны.) В случае s»l все формулы существенно упро-
упрощаются и может быть установлена в явном виде приближенная

связь между нижней температурой ВО и величиной адиабатиче-
адиабатического охлаждения, причем температура Г„, около которой про-
произведено разложение длины пробега, вообще выпадает из урав-
уравнений. _
Воспользовавшись асимптотическим выражением Ei(s)&e9/s
при 5>1 и замечая, что когда s>l, корень уравнения C5)
р«1 (тф«Ins), найдем по C1), C5)
вф ^ In ЁГ(в)— 1 ж s-~ \ns—\. D0)
Откуда по формуле C8)
ва«— Ins. D1)
Возвращаясь к размерной температуре по формуле B5) и при-
принимая во внимание B7) и B3), получим искомое соотношение
S2=on D2)
Следует отметить, что согласно C7) в1>вф>0, а по D1) 92<0,
т. е. длину пробега мы разлагаем по формуле B3) около про-
промежуточной температуры в ВО:
Л итература
1. Л, И. Седов. Методы подобия и размерности в механике. Изд. 3-е. М„ Гостех-
издат, 1964.
2. G. Taylor. Proc. Roy. Soc, I960, 201, 175.
3. Ю. П. Райзер. ЖЭТФ, 1958, 34, 483.
4. А. Унзольд. Физика зведных атмосфер. М., ИЛ, 1949.
5. Д. А. Франк-Каменский. ЖФХ, 1939, 13, 738; Диффузия и теплопередача в
химической кинетике. М„ Изд-во АН СССР, 1947.
6. Я. Янке, Ф. Эмде. Таблицы функций. М.—Л., ГИТТЛ, 1949.
ОБ ОХЛАЖДЕНИИ ВОЗДУХА ИЗЛУЧЕНИЕМ. И*
СИЛЬНАЯ ВОЛНА ОХЛАЖДЕНИЯ
Совместно с Я. Б. Зельдовичем и Ю. П. Райзером
В первой части настоящей работы [I]1 была описана качест-
качественная картина охлаждения большого объема нагретого воздуха.
Охлаждение осуществляется излучением. При этом в воздухе
вырабатывается своеобразный профиль температуры — в виде
* ЖЗТФ, 1958, 34, вып. 6, 1447.
1 В дальнейшем при ссылках на формулы первой части будем писать перед
номером формулы единицу (например, A.4), A.10).
64

уступа или волны охлаждения (ВО), которая распространяется
в сторону более нагретого воздуха. Воздух в волне охлаждается
от высокой температуры Г, до более низкой температуры Тг.
Нижняя температура Т2 соответствует наступлению прозрачности
воздуха, т. е. таким условиям, когда он перестает поглощать и
испускать излучение.
В [1] был рассмотрен предельный случай слабой ВО, в кото-
которой верхняя и нижняя температуры 7\ и Тг близки друг к другу.
Вследствие близости обеих температур поток, уходящий с фронта
слабой ВО, достаточно близок и к а7\* и к оТ2*.
В этой статье будет дана теория сильной ВО, в которой верх-
верхняя температура может быть неограниченно высокой. Основная
задача заключается, очевидно, в определении потока излучения,
уходящего с фронта ВО на бесконечность, другая задача состоит
в нахождении распределения температуры во фронте ВО.
1. Определение потока излучения,
уходящего с фронта волны охлаждения
В [1] было указано, что для нахождения стационарного
режима ВО необходимо воспользоваться одним из двух приемов:
либо ввести в энергетическое уравнение постоянный член ади-
адиабатического охлаждения, либо же с самого начала определить
температуру прозрачности Тг по формуле A.4) и считать, что
при Т<Тг воздух абсолютно прозрачен (/=оо), тем самым
исключив из рассмотрения уже охлажденную излучением
область воздуха, которая поглощает свет весьма слабо.
Первый прием .дает более полную картину распределения
температуры, так как позволяет исследовать ход температуры в
охлажденном воздухе и учесть поглощение света в нем. Однако
он приводит к излишним математическим усложнениям при рас-
рассмотрении профиля температуры внутри ВО, т. е. при темпера-
температурах выше температуры прозрачности, и определении потока,
уходящего с фронта ВО. Между тем внутри ВО адиабатическое
охлаждение играет весьма малую роль, поэтому предпочтительно
рассматривать внутреннюю структуру ВО, воспользовавшись
вторым приемом. При этом энергетическое уравнение A.6) при-
примет вид
- + f-=° ™ иРА?"!-Т--0' 0)
х ах ах ах
а интеграл его
ttPiM7\-r)=S. B)
Относя равенство B) к нижнему краю ВО, получим уравнение
баланса энергии в ВО:
upiCp{Tt— 712)=52. C)
3 А. С. Компанеец 65

Величина потока S2, уходящего с фронта ВО, может быть
ограничена как сверху, так и снизу из самых общих сообра-
соображений.
Рассмотрим нижний край ВО, где температуры близки к Т2.
Согласно принятому нами условию, воздух ни в какой точке
волны не охлаждается до температуры более низкой, чем 72, так
как при Т<Т2 он перестает поглощать и излучать свет. Следо-
Следовательно, дойдя до температуры Г2, воздух не может дальше
охлаждаться, так что Г2 есть наименьшая из возможных тем-
температур в волне. Поэтому на краю ВО производная dT/dx^O и
согласно (i) dSfdx^Q. Из A.11) следует, что плотность излуче-
излучения на краю ВО меньше равновесной Uvl=4aT2'ic Поэтому в
диффузионном приближении вследствие граничного условия
A.16) 5»^2<r7V. С другой стороны, эффективная температура
излучения, уходящего на «бесконечность» с границы ВО, опре-
определяется формулой
S2 = <JTlu D)
и не может быть ниже самой низкой температуры л ВО—7V
Следовательно, поток 52 и эффективная температура Tc(t заклю-
заключены в очень узких пределах:
E)
F)
Таким образом, независимо от амплитуды ВО, которую
можно характеризовать отношением TJTt% при сколько угодно
большой верхней температуре излучает всегда нижний край ВО.
Этот вывод является следствием стационарности профиля ВО.
Излучение, выходящее с поверхности нагретого тела, грани-
граничащего с прозрачной областью, генерируется в слое около
поверхности, имеющем оптическую толщину т порядка несколь-
нескольких единиц, так как кванты, рожденные в более глубоких слоях,
практически полностью поглощаются в этом слое. Эффективная
температура излучения Теи равна, очевидно, некоторой средней
температуре излучающего слоя. Из формулы F) следует, что
в излучающем слое, оптическая толщина которого порядка
нескольких единиц, температура меняется весьма слабо, что
является условием существования локального термодинамиче-
термодинамического равновесия излучения с веществом или лучистой тепло-
теплопроводности. Это условие выполняется тем лучше, чем больше
амплитуда ВО, т. е. С/2 тем ближе к ?/р2 и S« к 2оТД
В самом деле, если изменение температуры в излучающем
слое имеет порядок Тг> то изменение потока "в нем согласно B)
есть \>±S\ ~ир1СрТг. Но в сильной волне согласно C)
Ss~uptcPTu так как 7"8<7\. Тогда с помощью A.11) и E)
можно оценить и относительное отклонение плотности излучения

U от равновесного значения Uv\
Так как в излучающем слое т~1, производная (с?5/с/тJ
порядка |Д5| и
Поскольку поток а излучающем слое сильной ВО почти посто-
постоянен |&S|/Si~7V7\<l", положение на нижнем краю сильной
ВО вполне аналогично положению в фотосферах стационарных
звезд. Задача определения связи потока S2 с температурой про-
прозрачности Тг при точном учете углового распределения излуче-
излучения эквивалентна в пределе сильной ВО известной проблеме
Милна [2], точное решение которой
si=yf°n (Г)
лишь немного отличается от принятого нами диффузионного
2. Распределение температуры в волне охлаждения
Выше было показано, что па нижнем краю сильной ВО плот-
плотность излучения весьма близка к равновесной. Естественно при-
принять, что локальное равновесие имеет место на протяжении всей
волны, и положить в уравнении A.12) UzzUv:
q с М» ШТ* dT Q.
s=t^t~~3~5;- (9)
Подставляя поток (9) в интеграл энергии B), получим уравне-
уравнение .для температуры
dT/dt=Suplc,(Tl—T)l\^oT\ A0)
из которого видно, что производная dT/di и. следовательно,
отклонение от условия локального равновесия монотонно умень-
уменьшаются с ростом температуры по мере удаления от нижней
границы ВО. Таким образом, перенос энергии излучения в силь-
сильной ВО имеет характер лучистой теплопроводности. Это и дока-
доказывает справедливость используемого нами росселандова спо-
способа усреднения длины пробега по спектру [2] внутри ВО
(СМ.П1).
Уравнение A0) интегрируется в квадратурах и дает профиль
температуры п ВО
*=1 — A—f,)exp[—т/тя+|К0], (И)
67 3*

r/rt
где
Рис. l.T2/Ti = 1/5; т„ = 1670
Рис. 2. Т2= 10 000°
Рис. 3. Т, =40 000°, T2=t 10000е
Тк-8A-/2]
(ID
Вблизи нижнего края Т~Тг, так
что в сильной ВО Г<7\. Тогда чис-
числитель правой части A0) можно за-
заменить с помощью C) и (8), что да-
дает приближенное решение на ниж-
нижнем краю волны
A2)
Это выражение, естественно, совпа-
совпадает с диффузионным решением про-
проблемы Милна.
Асимптотический вид профиля
при т^>тк можно получить, если по-
положить в формуле A1) q(t)asq A).
Эта величина при ?2<1 равна 11/6.
Из получаемой при этом формулы
следует, что тк представляет собою
эффективную оптическую толщину
ВО.
Если экстраполировать прибли-
приближенную формулу A2) вплоть до
верхней температуры Ти оптическая
толщина ВО окажется примерно в
4 раза меньшей, чем тк. Согласно
A1') оптическая толщина ВО воз-
возрастает с увеличением ее амплиту-
амплитуды очень быстро, пропорционально
)
На рис. I изображено распреде-
распределение / (т) для ?2=0,2.
Найдем теперь распределение
температуры по геометрической ко-
координате х. Поместим начало коор-
координат на нижней границе волны, где
Г=Га, т=0. Переходя в уравнении
A.10) к новой переменной темпера-
температуре вместо оптической толщины т,
и подставляя dT/dx по формуле
68

A0), получим с помощью выражений C) и (8)
J 8GУ'> Р<г>™. A3)
о та
При температурах, не слишком близких к верхней 7\, можно
приближенно положить в A3) 7\—Г» 7*1—Т.г. Подставляя в A3)
длину пробега по формуле A.3)% получим
Формула A4) подтверждает соображения, высказанные в [1]
о том, что температура в ВО имеет резкий уступ со стороны
высоких температур. На рис. 2 изображено распределение Т(х)
ва нижнем краю по формуле A4).
Экспоненциальная зависимость 1(Т), обеспечивающая резкий
уступ в ВО, в действительности имеет место лишь в области
температур, где существенна только первая ионизация, т. е. до
~ 30 000^-40000°. При более высоких температурах / проходит
через минимум и затем возрастает (сравнительно медленно).
Поэтому верхний край достаточно сильной волны с 7t>50000-h
-7-100000° довольно сильно растягивается, даже более, чем Г(т)
по формуле A1). (При /=const в области высоких температур
профиль Т(х) в этой области в точности совпадал бы с про-
профилем Г(т).) Примерный профиль температуры во всей волне
представлен на рис. 3.
Для того чтобы оценить точность приближения лучистой
теплопроводности, в котором был найден профиль температуры
к тем самым определить понятие «сильной» волны, можно найти
поправку к величине потока Sa=2a7V за счет отклонения от
локального равновесия. Очевидно, эта поправка дает точность
приближенного решения уравнения ВО, так как наибольшее
отклонение от локального равновесия имеет место именно на
нижней границе волны. Расчет указанной поправки методом
последовательных приближений дает 1 — 52/2оТг*=0,18 при
TJT%= 1,5; та же величина равна 0,1 при TJTZ=2 и 0,05 при
TJTl=3. Таким образом, точность приближений лучистой тепло-
теплопроводности быстро увеличивается с возрастанием амплитуды
ВО, и волна с 7\/Г2=3 с точностью 5% может считаться
сильной.
2 Согласно A.3), f~(T2/p) exp [I/kT]. Вследствие постоянства давления в ВО
(см. [1]), р~Г-1 и 2~Р ехр [1/Щ.

3. Нижний край волны охлаждения
и переход к прозрачной зоне охлажденного воздуха
Выше была рассмотрена структура фронта ВО, т. е. того слоя,
в котором воздух охлаждается излучением от начальной тем-
температуры Tt до температуры прозрачности Тг. При этом мы с
самого начала определяли температуру прозрачности из общего
условия A.2) н полагали, что при 7\<7 воздух абсолютно про-
прозрачен. В действительности поглощение света воздухом, охлаж-
охлажденным ниже температуры Тгу хотя и мало, но все же конечно.
Что происходит с потоком излучения, уходящим с фронта ВО
и как ведет себя температура в зоне охлажденного воздуха?
Процесс в этой области является существенно нестационар-
нестационарным, он зависит от конкретных условий: размеров, гидродинами-
гидродинамического движения, от дополнительных механизмов поглощения
света, которые имеют место при низких температурах (см. [1]).
Мы рассмотрим здесь тот практически важный случаи, когда
давление в воздухе еще не упало до атмосферного и воздух,
охлажденный излучением, продолжает охлаждаться адиабати-
адиабатически. Из-за чрезвычайно резкой зависимости 1(Т) адиабатиче-
адиабатическое охлаждение весьма быстро выводит воздух в область тем-
температур, при которых поглощение становится настолько малым,
что эта область воздуха уже ме оказывает практически никакого
влияния на режим ВО.
В том слое воздуха, который еще может повлиять на общее
распределение температуры и в котором температура падает до
величины на 1000—2000° ниже температуры прозрачности, ади-
адиабатическое охлаждение меняется мало. Поэтому процесс с ади-
адиабатическим охлаждением является квазистационарным во всей
представляющей интерес области.
Проследим за последовательным изменением состояния
частицы воздуха, вступающей в сильную ВО или, что то же
самое, будем продвигаться в положительном направлении оси х
с постоянной скоростью и. Пусть частица вступает в ВО с высо-
высокой начальной температурой 7\. Она начинает быстро охлаж-
охлаждаться излучением. Плотность излучения в частице при этом
остается все время ниже равновесной, так как количество
поглощаемой в единицу времени энергии меньше количества
излучаемой энергии; поток излучения в ней возрастает. Скорость
адиабатического охлаждения вначале значительно меньше
скорости лучистого охлаждения. Так происходит до тех пор,
пока частица не охладится до такой низкой температуры, что
скорость адиабатического охлаждения превысит скорость лучи-
лучистого теплообмена. Вследствие чрезвычайно резкого падения
поглощения (и излучения) с понижением температуры уже
небольшое адиабатическое охлаждение после этого момента
делает частицу почти прозрачной и лучистый теплообмен вскоре
прекращается.
70

При этом плотность излучения, которая определяется пото-
потоком, рождающимся в более нагретых слоях и проходящим через
частицу, остается почти неизменной, Равновесная же плотность
излучения, пропорциональная Р, быстро падает. Плотность
излучения в «.прозрачной» области становится, в отличие от
«непрозрачной», больше равновесной (количество энергии, погло-
поглощаемой в единицу времени больше количества излучаемой),
воздух несколько нагревается излучением, и поток уменьшается.
Рис.4
Рис.5
Следовательно, на оси х существует такая точка х= хг (соответ-
(соответствующие ей оптическую толщину и температуру обозначим
г2 и Т2), которая разделяет области «непрозрачного» воздуха,
интенсивно охлаждающегося излучением, и почти прозрачного
воздуха, слабо нагревающегося излучением. В этой точке
плотность излучения в точности равна соответствующей равно-
равновесной ?/а= ?/р2 и поток в ней S* максимален.
Очевидно, точку, в которой прекращается охлаждение воз-
воздуха излучением, и следует считать нижней границей ВО, а тем-
температуру в ней — температурой прозрачности при данном зна-
значен ии* адиабатического охлаждения А. Поток 5flf уходящий на
бесконечность, несколько меньше потока S2» выходящего с
поверхности фронта ВО за счет поглощения в «прозрачной»
зоне. Это поглощение оказывается небольшим: оптическая тол-
толщина «прозрачной» зоны, согласно оценке, сделанной в При-
Приложении, равна примерно та«0,16, так что SQ лишь немного
меньше, чем 5а.
Профили температуры и потока Т(х) и S(x), отвечающие
описанной выше качественной картине процесса, схематически
изображены на рис. 4 и 5. При низких температурах кривая
Т(х) стелется очень близко около нижней прямой, соответствую-
соответствующей постоянному адиабатическому охлаждению А и потоку 6'0,
уходящему на бесконечность, причем она приближается к "этой
прямой снизу, так как воздух в этой области нагревается излу-
излучением. Со стороны высоких температур кривая Т(х) резко
71

отходит от верхней прямой, соответствующей адиабатическому
охлаждению А и нулевому потоку. На нижнем краю ВО, где
поток максимален, отклонение температуры вниз от нижней пря-
прямой также максимально, что видно из энергетического уравне-
уравнения A.6).
Как показано в Приложении, температура прозрачности лишь
логарифмически зависит от величины адиабатического охлажде-
охлаждения и от амплитуды ВО.
Приносим благодарность акад. Н. Н. Семенову за стимули-
стимулирующие дискуссии.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим стационарный режим сильной ВО с адиабатиче-
адиабатическим охлаждением А. В интеграле энергии A.17) константа
интегрирования так же, как и в случае слабой ВО, равняется
потоку, уходящему на бесконечность:
upicPT+S=—Ax+Sa. A5)
Со стороны низких температур, когда поток 5 стремится к 50,
кривая температуры приближается к нижней прямой
upxcvT——Ax, A6)
а со стороны высоких температур, при S->-0— к верхней прямой *
мР1сРГ=—Ax+Su. A7)
В «прозрачной» области |x|>|xz|, где можно пренебречь
адиабатическим охлаждением, решение уравнений совпадает с
решением, полученным в разделе 2. Следует только писать не
частный интеграл A1), проходящий через точку т=0, Г=Га,
а общий — проходящий через произвольную пока точку (т2; Т2).
Если экстраполировать это решение вплоть до температуры npo-
зрачлости Г3, то получим прежнюю связь потока с температурой
r2:Sa=2or7y.
В «прозрачной» области |*|<|*2| при низких температурах
излучательная способность очень мала, поток является односто-
односторонним: все кванты двигаются только «вперед», выходя из
области с достаточно высокой температурой. При этом инте-
интегральные выражения A.13), A.14) принимают вид
A8)
В режиме без адиабатического охлаждения условие S-**0 со стороны высоких
температур было эквивалентно условию, что температура T-+Tt=*const. Здесь
же температурный градиент не только отличен от нуля, но стремится к кон-
константе при высоких температурах, поэтому для выполнения условия S-+Q при
Т-*-оо и существования режима необходимо, чтобы /-+0 достаточно быстро
при Т-+оо. В задаче о слабой ВО это условие выполнялось автоматически
благодаря использованию аппроксимационной формулы A.23).
72

Экстраполяция этого решения, справедливого при ?/р<
к точке х2у где U2=UpZ, также приводит к потоку 5г=20Тг*.
По определению, температура прозрачности соответствует
тому месту в волне, в котором скорость лучистого теплообмена
dSfdx меняет знак, т. е. обращается в нуль. Однако ясно, что эта
температура весьма близка к той, при которой скорость лучи-
лучистого охлаждения частицы падает до величины порядка ско-
скорости адиабатического охлаждения. В самом деле, как уже было
сказано выше, вследствие резкой температурной зависимости
коэффициента поглощения, которому пропорциональна скорость
лучистого охлаждения, уже небольшое адиабатическое снижение
температуры резко понижает скорость лучистого теплообмена.
Поэтому температуру прозрачности Тг можно определить из
условия' равенства скорости лучистого охлаждения, найден ной
по экстраполированному решению в «непрозрачной» области, и
скорости адиабатического охлаждения А.
Воспользуемся для вычисления скорости лучистого охлажде-
охлаждения в точке с температурой Т2 формулами A), C), (8), (9),
(МО):
) ^=-ui>lCpm =u9tcp f* -
dx}t l \dxj2 l * \boT\t (Га)
_ з «фУ,^ з q?1 A9)
8 t{T2) 4 /(TJCTj/r.-l) " V
Таким образом, мы приходим к трансцендентному уравнению
для определения температуры прозрачности через скорость ВО
или через величину верхней температуры ВО 7\:
8 AljTj = 4 Л/(П)GУП-1) _) {20)
3 u9lcpTt 3 oTj V
Благодаря экспоненциальной зависимости 1{Т) температура
прозрачности лишь логарифмически зависит от амплитуды ВО,
которая характеризуется ее скоростью или верхней температу-
температурой, и от адиабатического охлаждения.
Ясно, что определенная уравнением B0) температура с лога-
логарифмической точностью равняется «истинной» температуре про-
прозрачности, которая определяется условием равенства нулю лучи-
лучистого теплообмена, что и обосновывает возможность сделанного
приближения. Геометрически условие B0) означает, что мы
экстраполируем решение со стороны «непрозрачной» области до
iex пор, пока наклон температурной кривой dT/dx не совпадает
с наклоном прямой A6), к которой снизу приближается темпера-
температурная кривая в «прозрачной» области (см. рис. 4).
Остается еще определить положение нижнего края ВО,
т. е. координаты хг я т2. Для этого вычислим приближенно опти-
оптическую толщину т, соответствующую какой-нибудь точке х
в «прозрачной» области. Замечая, что в пределе низких темпера-
73

тур поглощение потока ничтожно E«50) и кривая температуры
Т(х) почти совпадает с нижней прямой A7), получим
х- - f-*L- - f ?_-^~Д!^ f *L B\\
J I (T) J rfr / (T) A i цт)' y
DO О
Здесь имеется в виду «точная» формула Крамере а для длины
пробега вместо приближения A.23), согласно которой /=оо при
Г=0. Подставляя в B1) длину пробега по формуле A.3) и при-
принимая во внимание, что при низких температурах экспоненциаль-
экспоненциальная зависимость гораздо резче степенной, найдем в результате
приближенного интегрирования
тгуч>»У *г=1?1*г B2)
АЦТ) I ЦТ) 1 V ;
По самому своему выводу эта формула справедлива при т<С1-
Если отнести ее к*нижнему краю ВО, т. е. к точке, где Г=72, по-
получим с помощью B0)
т.^ЯАЛ/З/. B3)
Поскольку в воздухе /=14 eV, а Г2«.10000°, т2ж0,1б4 ока-
оказывается достаточно малой величиной, и выражение B3) можно
рассматривать как оптическую толщину нижнего края ВО.
Геометрическая координата нижнего края ВО, которая со-
согласно B2), B3) равна
4ATzh B4)
представляет собой при этом расстояние, на котором темпера-
температура вследствие адиабатического охлаждения спадает от 7\ до
нуля.
Как и следовало ожидать, длина пробега, соответствующая
температуре прозрачности, как раз имеет порядок этого харак-
характерного масштаба, задаваемого величиной адиабатического
охлаждения и временем его действия.
Л итератур а
1. Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец, Ю. П. Райзер. ЖЭТФ, 1958, 34, 1278;
см. наст, изд., стр. 52.
2. А. Унзилъд. Физика звездных атмосфер. М., ИЛ, 1949,
74

РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ АТОМНОГО ВЗРЫВА. I*
Известно, что взрывы атомных бомб сопровождаются харак-
характерными радиосигналами, которые принимаются на расстоянии
тысяч и десятков тысяч километров. При распространении на
столь большие расстояния спектр радиоимпульса значительно
усложняется по сравнению с тем, который имел первоначально
испущенный импульс [1]. В настоящей работе будет изучаться
только этот последний. В такой форме он может быть зареги-
зарегистрирован на расстоянии, скажем, ста километров от места
взрыва. Иными словами, будет найден эффективный излучатель.
Г. М. Гандельмаи и Л. П. Феоктистов указали (частное
сообщение), каким образом в воздухе возникает электрическое
поле под действием у-квантов. Кванты выбивают комптоновские
электроны, которые летят преимущественно вперед, т. е. от места
взрыва. Но так как поток квантов приблизительно экспонен-
экспоненциально убывает с расстоянием от места взрыва, количество
отрицательных зарядов, перемещаемых на разных расстояниях,
различно. Неравномерная плотность заряда приводит к появле-
появлению электрического поля.
На своем пути комптоновские электроны рождают большое
число вторичных электронов, тем самым делая воздух проводя-
проводящим, и возникает ток, стремящийся уничтожить поле. Если есть
асимметрия вылета у-квантов, ток излучает электромагнитный
импульс. Но длительность импульса, обязанного электронному
току, может быть порядка одной или немногих микросекунд, что
может давать радиоволны метрового диапазона. Большой инте-
интерес представляют более длинноволновые колебания.
Причину этих колебаний указал О. И. Лейиунский (частное
сообщение). Электроны присоединяются не к положительным
ионам, а в основном к нейтральным молекулам О2. Воздух при-
приобретает ионную проводимость, и ток в нем сохраняется гораздо
дольше, чем в стадии электронной проводимости. К моменту
установления ионной проводимости в воздухе остается еще
электрическое поле. О. И. Лейпупский показал, что величина
этого поля практически независима от начальной ионизации
п данной точке пространства, так как чем больше ионизация, тем
больше и начальная плотность объемного заряда, но тем больше
и электронная проводимость воздуха, благодаря которой этот
объемный заряд рассасывается. Тот же результат, но в более
строгой форме получается и в настоящей работе.
Но если поле не зависит от начальной ионизации, то на нем
не сказывается и начальная асимметрия вылета квантов.
Поэтому оно оказывается чисто радиальным и симметричным.
Источником асимметрии является ионная проводимость воздуха,
ЖЭТФ, 1958, 35, вып. 6 A2), 1538.
75

которая, конечно, больше с той стороны, куда вылетело больше
квантов. Как показывают дальнейшие расчеты, асимметричный
ионный ток приводит к радиоимпульсу разумного порядка вели-
величины и ожидаемой длительности.
1. Начальное поле
Пусть число v-квантов, выходящих из места взрыва в единице
телесного угла в единицу времени в данном направлении, есть
$j4n (полное число вышедших квантов будет тогда JVn, где
усреднение производится по телесному углу). Назовем пробег
кванта Ь, а число вторичных электронов, приходящихся на один
комптоновский электрон, v. Тогда число свободных электронов,
возникающих на расстоянии г от места взрыва в единицу вре-
времени в единице объема, есть
J = Nove-rmnXr*. A)
Эффектов, связанных с многократным рассеянием квантов,
мы здесь рассматривать не будем, так как они имеют второсте-
второстепенное значение.
Если у— вероятность прилипания электрона к молекуле
в единицу времени, а пв — объемная концентрация вторичных
электронов, то п, удовлетворяет дифференциальному уравнению
J, B)
интеграл которого есть
C)
Плотность объемного заряда р определяется из закона сохра-
сохранения заряда, который в данном случае приводит к такому
уравнению:
dp/a*=—diver, Е + Ро, D)
где Е — электрическое поле, се — электронная проводимость воз-
воздуха, которая значительно больше его ионной проводимости,
пока есть свободные электроны, к р0— скорость возрастания
плотности объемного заряда, создаваемой перемещением компто-
новеких электронов <в воздухе.
Назовем среднюю радиальную составляющую пробега комп-
тоновских электронов /. Очевидно, что *<?>.. р0 определяется раз-
разностью между числом электронов, вышедших из данной точки и
пришедших в нее, или
76

Для точек, не слишком близких к центру, это дает
Pt=-JWXv. E)
Согласно уравнению Пуассона
divE = 4nP. F)
Подставляя это в D), находим
Рг G,
Заметим, что диффузионный ток был отброшен, так как он
гораздо меньше тока проводимости в данных условиях.
Как уже указывалось, аш и р0 зависят от угла. Тем не менее
будет показано, что в интересующие нас моменты времени поле
имеет только радиальную составляющую. Поэтому операция div
в правой части F) фактически содержит только производные
по г.
На Ег налагается граничное условие ?,(«>, i)=0. Интегри-
Интегрируя уравнение (8) с этим условием и используя E) и A),
находим
дЕМ+4ло,?, = — Ф#1!№) ехр (— г/Х). (9)
Отсюда
ft \
—4л Г ве (Г) Л ЛГ0 (/') d/'. A0)
г J
Здесь, как уже указывалось, ае — электронная проводимость воз-
воздуха. Обозначая подвижность электрона буквой <ае, получим
[см. C)]
а#»»Л=—ijr^A J*tn«P{Y(^-0>^. (И)
о
В выражение для Яг входит интеграл от <хе по времени, в кото-
котором можно свести двукратное интегрирование к однократному,
что дает
4я|а.аг-^*-^1 j4(n<l-exp{Y(f-m)**--

Чтобы найти Ег надо задаться явной зависимостью ЛТ« от
времени. Относительно вида этой зависимости можно высказать
следующее. Сначала, когда цепная реакция еще только развива-
развивается, Лгэ@ весьма быстро нарастает. После достижения макси-
максимума Л\@ убывает, но значительно медленнее, чем происходило
нарастание.
Можно задаться зависимостью
№. A3)
Как видно из дальнейших вычислений, поле Ег весьма мало чув-
чувствительно к величине р, если только выполнено простое
неравенство
р<у. A4)
1/у— время прилипания электрона к молекуле —составляет
примерно 4-Ю сек (см. [2]), величина же 1/р больше, что и
дает основание написать неравенство A4).
Подставляя зависимость A3) в формулу A2) и выполняя
интегрирование, находим
Е - ei с-'
~гД)
U
Аушхр(-Ю .
P(y-W y-P
В экспоненциальные функции этого выражения входит вели-
величина
есоИ v ехр (—гД) ?.г2р (у—р).
Полагая Л/р равным полному числу квантов, например 10", v,
т. е. число вторичных электронов на у-кваит, —3-104, r~k~
*~'3-Wcm, to, ~2,5x 106CGSE, находим, что выражение в пока-
показателе имеет порядок 4-Ю3, т. е. очень велико. Но отсюда сле-
следует, что основной вклад а интеграл A5) дают большие значе-
значения t\ когда функция схр(—pf) меньше всего, потому что она
входит в интеграл с отрицательным знаком (отсюда понятно,
почему пс существенна фаза нарастания потока квантов). Это
верно в том случае, когда выполнено неравенство A4), т. е. когда
экспонента ехр(—уП меньше ехр(—р*7). Тогда экспонента
ехр{—у?'} вообще не сказывается на величине интеграла и
выпадает из окончательного выражения для ?V, если t не слиш-
слишком мало. В результате интегрирования получится
Er^E -My—P)//co.v. 05)
Аналогичную оценку получил О. И. Лейпунский.
78

Итак, полное число 7-кваитов и их угловое распределение
пействительно не сказываются «а величине остаточного поля ?,
если только Л/р достаточно велико. Но это практически всегда
выполнено.
Е означает радиальное поле. Оно не обращается в нуль в
начале координат. Поэтому плотность заряда имеет в начале
координат особую точку:
Но эта особая точка не дает никакого вклада в полный заряд,
так как при интегрировании по объему р множится на rzdr.
Физически появление такой особой точки вполне оправдано,
потому что в начале имеет особую точку /(г, /). Численная
оценка дает для ? порядок величины около 2 Vjcm.
2. Электромагнитные колебания
Время образования начального поля порядка 1/р, что можно
принять около одной микросекунды. Период электромагнитных
колебаний примерно в 10 раз больше. Поэтому весь процесс
можно разбить на две стадии: первая стадия — возникновение
поля, рассмотренное выше, и вторая стадия — затухающие коле-
колебания, вызванные полем.
Во второй стадии проводимость воздуха — ионная. Соответ-
Соответственно этому затухание колебаний значительно меньше, чем
если бы оно было вызвано электронной проводимостью.
Число ионов непрерывно уменьшается вследствие их реком-
рекомбинации. Процесс рекомбинации следует учитывать вместе с
ионной проводимостью, потому что константа рекомбинации свя-
связана с подвижностью ионов соотношением (см. [2])
Ь ^ 4 че (ш+ -г w J =* 4Я5©. A7)
Оно удовлетворительно согласуется с опытом цри атмосферной
плотности воздуха.
Найдем теперь выражение для ионной проводимости воздуха
в зависимости от координат и времени. Для плотности ионов
одного знака имеем dn(dt='—bn2, откуда
/1=1/(И + 1Мв). A8)
Здесь /io—начальное число ионов в см*. Считая, что угловая
зависимость вылета квантов выражена слабо, запишем
Ограничиваясь величинами первого порядка малости по ?, нахо-
находим выражение для электропроводности
A9)
79

Здесь по определяется равенством
*0-(Лу/4тгрА,3)М''А)> B0)
где
Г"^. B1)
Таким образом, в начальный момент поле радиально сим-
симметрично и дается равенством A6), а электропроводность зави-
зависит от угла. Поэтому соответствующей асимметрией будет обла-
обладать и ток.
Электропроводность поведет к ослаблению начального поля
со временем. Удерживая только член сг<>, имеем
= 0, B2)
где индекс 0 при Еаг напоминает о том, что в этом приближении
поле считается центрально симметричным. Интегрируя B2),
находим с помощью A8)
Еог - ?ехр |- j 4чоуИj = ?ехр { - ^-ln (b +1 /n0) @ j. B3)
Если покимать равенство A7) буквально, то следует заменить
коэффициент при логарифме на 1. Мы положим, однако,
Axeiafb = a, B4)
где а можно определить из опытных данных. Таким образом,
B5)
Влияние рекомбинации приводит к степенному затуханию поля
вместо экспоненциального, как это было бы при постоянной во
времени концентрации ионов. Малая по предположению вели-
величина оч cos ft будет умножаться на ?Сг, что дает неоднородность
в уравнениях Максвелла» приводящую к появлению асимметрич-
асимметричного тока. Конечно, предположение о малости асимметрии
вызвано только расчетными причинами. При произвольной
степени асимметрии пришлось бы численно интегрировать урав-
уравнения Максвелла с тремя переменными (радиус, угол и время),
что неизмеримо труднее, чем (тоже численно) определять вели-
величины, зависящие только от радиуса и от времени.
Уравнения Максвелла запишем в виде
-^ + ^-Е. B6)
с at с
-^-^, B7)
O. B8)
80

Уравнения для div E, как обычно для проводящих сред, писать
не надо, так как оно следует из B6).
Решение для системы B6) —B8) ищем в виде
El cos 0, Ei>=
После такой подстановки угловая зависимость отделяется и
получается система уравнений для ?„ Е2 и Я.
Вводим следующие безразмерные переменные:
Тогда окончательно система, подлежащая численному интегри-
интегрированию, принимает вид'
"i , <пац (*)
1Г"Г ¦¦" ¦"• +
C0)
причем ц(*) дается формулой B1).
Начальное условие над И\ Е[* Е\заключается в том, что все
они при /=0 равны нулю.
При г=0 электрическое поле, по соображениям симметрии,
должно быть направлено по той прямой, от которой отсчитыва-
ется угол Ь. Это дает
о.о=а C2)
Магнитное поле в начале координат должно равняться нулю:
Я'@,0=0. C3)
Рассмотрим теперь вопрос об излучении электромагнитных
волн. На большом расстоянии от места взрыва, где функцию
р.(х) можно считать равной нулю, система B9) — C1) путем под-
подстановки
приводится к волновому уравнению
Ot C5)
Если асимметрия вылета квантов квадрупольная, вида 5C cosa 0—1) /2, то
в уравнение C1) войдет коэффициент 3 при fi'i.
81

решение которого представим как ?= f(x—y). Через функцию f
поле выражается по формулам
Я' = xr*f {x~y)-x-*f (х-у),
Е2 = x-*f{x-y)-x-*f (х- у) ±
*f (х-у).
C6)
Таким образом, функция f(x—у) определяет эффективный излу-
излучающий диполь. Он определяется путем численного интегриро-
интегрирования системы вдоль характерис-
характеристик х=у до той области, где
ц(я) =0. Результаты интегрирова-
интегрирования приведены на рисунке для
трех случаев. По ординате отло-
отложена функция f[x—у), определя-
определяющая поле в волновой зоне, а по
абсциссе — величина у — х + 10.
Как видно, амплитуда сигнала за-
зависит от величины т, т. е. от пол-
полного числа квантов, приблизи-
приблизительно логарифмически. Пример-
Примерно так же зависит и длительность
сигнала. Последнее кажется весь-
весьма естественным потому, что дли-
длина волны сравнима с размерами
ионизованной области, которые
зависят от числа квантов лога-
логарифмически.
В заключение приношу благодарность О. И. Лейпунскому,
который указал на роль ионной проводимости воздуха при воз-
возникновении радиосигнала и стимулировал настоящую работу
многочисленными дискуссиями. Анализ уравнений и необходи-
необходимые расчеты по данной задаче проводила группа А. А. Милю-
Милютина, которой я также приношу глубокую признательность.
Л. А. Дородницына и М. В. Келдыша благодарю за предостав-
предоставление вычислительных машин.
-€/Ъ
Значения параметров:
т=200; 2 — и=1,
3— «=1, т=,\
/_а=4,
0
JI итерату р а
1. Я. Л. Альперт. УФН, 1956, 60, 369.
2. А. Энгель, М. Стеенбек Физика и техника электрического разряда в газах,
т. Г. М.—Л., ГТТИ, 1936.

РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ АТОМНОГО ВЗРЫВА.
В работе [1] показано, что асимметричные ионные токи в воз-
духе, возникающие благодаря начальной асимметрии вылета
^квантов из места взрыва, приводят к появлению радиосиг-
радиосигнала 4. Всякое заметное отклонение от симметрии может вызвать
радиосигнал. О. И. Лейпунекий рассмотрел влияние электриче-
электрического поля земли на проводящую область воздуха около места
взрыва и возникающий при этом радиосигнал. Он указал также,
что магнитное поле земли, вызывая азимутальное отклонение
мегавольтных комнтоновских электронов, выбиваемых ?-кван-
тами, может вызвать радиоизлучение магнитодипольного типа.
В настоящей статье будет показано, что это излучение может
создавать поля напряженностью порядка 2—3 в/м на расстоянии
60 км от места взрыва. Эти поля в десять раз меньше тех, кото-
которые изучены в работе [1], и никогда не могут (даже при самых
специальных обстоятельствах) погасить их из-за разной сим-
симметрии электрического и магнитного диполей.
Азимутальный ток
Пусть полярная ось сферической системы координат сов-
совпадает с направлением земного магнитного поля. Тогда направ-
направленная азимутальная составляющая скорости комптоножжого
электрона v9 в магнитном поле земли будет равна по порядку
величины
vv = elcHyfet A)
где е-энергия электрона; / — его направленный пробег в воз-
воздухе, составляющий около 2 м при е~1 Мэв; #?— полярная
составляющая магнитного поля (с учетом искажения, вносимого
током).
Азимутальная составляющая тока выражается через ради-
радиальную составляющую следующим образом:
h = ^lr. B)
Выражение для радиальной составляющей тока было получено
в работе [1]. Мы перепишем его с учетом запаздывания распро
странепия ?-квантов. Для простоты расчетов будем полагать,
что вылет 7'кваптов из места взрыва следует экспоненциальному
* Атомная энергия», i960, 9, 265.
1 Если подставить в формулу A6) работы [1] исправленные значения подвиж-
подвижности электронов и премени прилипания электрона к молекуле О*, то получен-
полученный результат при прочих равных условиях окажется раз в 40 больше ре-
результата, приведенного в формуле A6).
83

закону
N(t) = Ae-V, C)
где /4/р — полное число ^-квантов. Тогда для радиального тока
получится выражение
-0 — \r*
где Я — свободный пробег v-кванта в воздухе, который для
V-квантов с энергией 2 Мэв составляет около 170 м.
Отсюда получается азимутальный ток комптоновских элек-
электронов
/Ф = , %г , (О)
где R — радиус вращения электронов в поле с напряженностью
Ио (произведение /?ЯФ не зависит от величины поля).
Вытеснение магнитного поля
из ионизированного воздуха
Комптоновские электроны создают вторичную ионизацию воз-
воздуха. Один мегавольтный электрон создает приблизительно
v~3«I04 электронов. Эти электроны присоединяются в основном
к нейтральным молекулам кислорода. Рекомбинируют уже
отрицательные молекулярные ионы с положительными. Так как
подвижность ионов по крайней мере в 1000 раз меньше, чем
электронов, в начальной стадии можно пренебречь ионной про-
проводимостью по сравнению с электронной. Если скорость при-
присоединения электронов к молекулам обозначить у» подвижность
вторичного электрона в воздухе — ю, и электронную проводи-
проводимость — о\, то для азимутальной составляющей тока проводи-
проводимости получим
1
г/с
Так же как и в работе [II, мы предположим, чтор<у. Тогда
можно пренебречь экспонентой в1 по сравнению с экспоиентой
е~9', и выражение для азимутального электрического тока будет
выглядеть так:
84

Запишем теперь уравнения Максвелла. Для этого введем
следующие обозначения:
/ф = ft sin О. (8)
Радиальная проекция электрического поля не входит в данную
задачу. Угловая зависимость поля исключается, и мы приходим
к следующей системе:
Последние два члена в правой части выражения (9) пропор-
пропорциональны потоку ^-квантов Л/р. Можно полагать, что величина
Л/р для разных значений полного эквивалента взрыва, начиная
с килотонных, является достаточно большой [1], и поэтому в
выражении (9) можно оставить только члены, пропорциональ-
пропорциональные Л/р. При этом в выражении для j9a надо пренебречь экспо-
нентой ~г(*"в") по сравнению с -*('-7/. Действительно,
с/Я~1,7-10в, а р — порядка нескольких единиц на 10s [1]. При
этом в равенстве
сокращаются все экспоненциальные члены и получается простая
зависимость
И% = —аН%. A3)
Постоянная а~10^а. Аналогичное приближение [1] давало вели-
величину
Подставляя выражение A3) в A0), приходим к уравнению
ОГ С 01
откуда
H%^±f(r ct«)f A5)
85

а из выражения A1) следует, что
/(r—eta). A6)
При t=0 имеем Н%~—Нй, где Яо—невозмущенное поле земли,
так что /(г) =— г.
Следовательно,
A7)
при r^>cta
A8)
И%^0 Н* = 0 при г<eta.
Таким образом, поле совершенно вытесняется только из
весьма малого объема. Но это вытеснение не равносильно обра-
образованию магнитного диполя соответствующих размеров, как бы
находящегося в среде с бесконечно большой проводимостью.
Поле магнитного диполя уменьшается обратно пропорционально
кубу расстояния. В нашем случае добавка к невозмущенному
полю, как это следует из выражений A7) и A8), обратно про-
пропорциональна расстоянию.
Ионная проводимость
Так как электронная проводимость уменьшается экспонен-
экспоненциально, а ионная — обратно пропорционально времени, то
через достаточно большой промежуток времени последняя
всегда будет преобладать. Ясно, что при этом исчезнет основная
причина для описанного выше вытеснения магнитного поля.
Чтобы точнее сравнить электронную и ионную проводимости,
мы не будем, как в работе [1], считать, что псе электроны мгно-
мгновенно выделились и присоединились к молекулам, а рассмотрим
все процессы вместе, т. е. выбивание вторичных электронов, их
присоединение к молекулам и рекомбинацию отрицательных
ионов с положительными.
Уравнения баланса числа ионов обоих знаков в единице
объема tij. и П- имеют вид
^=-bn+n_-\-De-*<; A9а)
z Значение у = Ю7 получается из монографик [2], если принять, что закон
1/v для эффективного поперечника захвата электрона молекулой О2 начина-
86

где D = Ae"r/k —-— ; b— коэффициент рекомбинации; t— время
4ла2л
с учетом запаздывания. Вычитая одно уравнение из другого и
интегрируя результат с начальным условием «+@)—л„@)=0,
получим
й+ = л_+-5- (e-w—*-*). B0)
у — р
так что п+ можно легко исключить из системы A9) и получить
уравнение Риккати для м_.
Делая обычную подстановку
п =^-2, B1)
получим линейное уравнение для г, которое выписывать не
будем. В этом уравнении удобно избавиться от первой про-
производной, для чего следует сделать подстановку
-fT<H»<-«-*) B2)
z — 5» ,
приводящую к уравнению для ?:
^]0. B3)
В дальнейшем будет приниматься, что
Фактически нас интересует решение при ftf^l, когда член
е~7г пренебрежимо мал. Но начальное условие накладывается
на ? при ?=0, когда обе экспоненты e~?t и <г7' равны. Поэтому
исследовать уравнение B3) надо осторожно. Удобно обратиться
к методу аналитического сопряжения решений, примененному
в работе [4].
Рассмотрим сначала область, где ytca.1. Тогда е"^ можно
заменить единицей. Решение, удовлетворяющее начальному
условию, выражается через вырожденную гипергеометрическую
функцию [5]. Это решение можно распространить на область
значений t, где е~т'<?1, а е~** еще очень мало отличается от
единицы. Там \ имеет вид экспоненты:
B4)
Ясно, что уравнение B3) действительно обладает таким реше-
решением, если исключить е^и и заменить ет*х единицей. Тогда можно
ет действовать с энергией 0,5 эв и меньше. Значение подвижности электро-
электрона в воздухе взято из книги [3]. Лучше всего было бы определить у и
(ое из эксперимента, близкого к естественным условиям. Для этого нужно
посылать в воздух импульсы мегавольтных электронов длительностью не
более 10-« сек и измерять проводимость и время ее за тух аил я. Этим ука-
указанием я обязан С. В. Стародубцеву.
87

построить такое решение, которое при рг<1 имело бы вид B4)
и могло быть асимптотически продолжено в область е~р'<^1.
Уравнение для g в интересующей нас области выглядит так:
Сделаем следующие подстановки:
Тогда для 1 имеем уравнение
°- <28)
7
4
Это уравнение —для вырожденной гипергеометрической функ-
функции с одним индексом, равным нулю (в обозначениях книги [5]
т—0). Здесь надо искать решение аналогично тому, как это
делается для функций Бесселя с целым индексом, т. е.
1 = е~ •" ( Я, B /55) trV2+v%-* dv, B9)
0
где /Со— функция Макдональда [6]. Считая ОЬ/уг и v/P большими
числами, легко вычислить интеграл B9) методом перевала для
f$f=T<Cl. Тогда оказывается, что выражение B9) действительно
переходит в B4). Это оправдывает выбор решения с Ко под
интегралом, а не с /„; последнее тоже удовлетворяет уравнению
B8), но не переходит в B4).
Сравним электронную и ионную проводимости при р/=т>1,
когда число электронов уже не очень велико. При этом условии
функцию Ко можно заменить постоянной и вынести из-под инте-
интеграла для значения у=-у/р>1. Тогда
SH" C0)
так как разность между п- и п± экспоненциально мала при
\. Здесь s сокращенно обозначает выражение
В этом случае использовано соотношение между подвижностью
ионов и коэффициентом рекомбинации Ь=4пеш

При очень малых 5 приближенно имеем s/Ci(s) = l, K0(s) =
= InB/5)—0,577, так что число ионов каждого знака
п, =n+ = (bt-^Lj\ C2)
где
г
C3)
Формула C2) напоминает обычный закон рекомбинации
ионов, но содержит логарифм начального числа электронов.
Если считать, что электроны мгновенно присоединяются к ней-
нейтральным молекулам, то получается обратное начальное число
ионов, как обычно:
C4)
В дальнейшем надо определить границу между областями,
где преобладают электронная и ионная проводимости. Так как
первая из них уменьшается экспоненциально, то граница имеет
довольно точный смысл. Проводимости равны там, где соблю-
соблюдается условие
Полагая ш=6102 CGSE, сэе=2-105 CGSE, у=Ю7 сект1,
р=3-10* сек~\ получим <ву/(й>.р)=0,1 (и, следовательно,
s—0,4). Тогда из выражения C1) получается уравнение для
границы между областями с различной природой проводимости:
? -*f C6)
где
ro=ln25-^L. C7)
Для взрыва с эквивалентом 20 тыс. т тринитротолуола можно
принять полное число -у-квантов Л/0^1023 [7]. Тогда то=1О,2,
причем полный интервал изменения т порядка т0. Учитывая, что
уравнение C6) применяется только для оценок, мы заменим его
следующим линейным уравнением:
-j-=0f6(Te-T). C8)
Так как т — время с учетом запаздывания, т. е.
to^p'ot C9)
89

находим искомое уравнение для границы:
г=0,12с(/0-*Ь D0)
где коэффициент 0,12 мало чувствителен к эквиваленту взрыва.
Оценка амплитуды радиосигнала
Точное решение задачи о радиосигнале потребовало бы чис-
численного интегрирования при помощи электронной машины, как
это делалось в работе [I]. В данной работе мы удовлетворимся
простой оценкой радиосигнала по порядку величины.
Прежде всего заметим, что ионная проводимость, если ее
определять по порядку величины из выражения C2) и восполь-
воспользоваться соотношением между подвижностью и коэффициентом
рекомбинации, дает для ионного тока выражение вида #<р/*,
которое сравнимо с выражением для тока смещения d&yldt.
Поэтому при грубой оценке величины радиоимпульса (отвле-
(отвлекаясь при этом "от его формы) отбросим ток ионной проводи-
проводимости. Поле излучения определим, исходя из того требования,
что соответствующее магнитное поле должно равняться
— Яооьс*/г на прямой, определяемой формулой D0) [см. также
A7)]. Постоянное слагаемое в выражении A7) соответствует
невозму щеп ному полю земли. Указанный способ оценки не
вполне однозначен, но если определять подобным способом
электрическое тюле импульса в волновой зоне или вычислять
поле по второй производной магнитного момента токов, то полу-
получится почти то же самое с точностью до коэффициентов, близких
к единице.
Поперечная составляющая поля излучающего магнитного
диполя равна
Уравнение прямой, определяемой формулой D0), в плоскости
(г, t) имеет вид
r=ac(t9—t)t D2)
где для нашей задачи (с учетом небольшой поправки на запаз-
запаздывание) а=0,12. Подставляя в выражение D1) г из D0) и
приравнивая это добавке к Н& из A7), легко находим
1 (и-'оJ <*я«с3*о D3)
22/oi/a» <1 + аM" V '
1 л JL l! а+aL 2-2/o-i/a» <1 + аM"
' а а»
Отсюда определим поле в волновой зоне:
=
9
A + a)* F -3/a + 1/л2) г A -i- о) B — 2/a
90

Здесь функция в квадратных скобках имеет полный интервал
изменения U. Вне этого интервала ее надо принять равной нулю
с точностью производимой оценки. При р=3-105 и pf=10,2 это
соответствует 3-I0~s сек. Пусть ctjr=\l5, тогда Hv~2,5 в/м.
Для больших эквивалентов эффективное время логарифмически
увеличивается. Например, для 2-10е т тринитротолуола U при-
приблизительно в 1,5 раза больше.
В заключение приношу благодарность О. И. Лейпунскому,
который указал мне на рассмотренный здесь механизм возник-
возникновения радиосигнала.
Литер ату ра
U А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1958, 35, выл. 6A2), 1538; см. наст, изд., стр. 75.
2. Г. Месса, Е. Бархоп. Электронные и ионные столкновения. М., ИЛ, 1958.
3. А. Энгель. Ионизованные газы. М., Физматгиз, -1959, стр. 129.
4. А. С. Компанеец, Ю. С. Саясов. ЖТФ, 1935, 25, 1124.
5. Е. Уиттекер, Дж. Ватсон. Курс современного анализа. M.t Гостехиздат, 1934.
6. Г. И. Ватсон. Бесселевы функции. М., ИЛ, 1949.
7. О. И. Лейпунский. Гамма-излучение атомного взрыва. М., Лтомиздат, 1959.
НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ИЗЛУЧЕНИЕМ*
Совместно с Е. Я. Ланцбургом
1. Введение. Постановка задачи
При высоких температурах, порядка 10">оК и выше, энергия пе-
переносится в газе в основном излучением, хотя относительная до-
доля энергии, принадлежащая излучению, может быть и малой (по
сравнению с энергией вещества).
Задача о распространении тепла из точечного источника мо-
может быть просто решена в том случае, когда пробег излучения и
внутренняя энергия вещества зависят от температуры по степен-
степенному закону {1 — 3]. Характерной особенностью решения являет-
является широкое «плато» температуры в середине нагретой области и
крутой спад к краю. Этот характер решения легко понять, так
как в середине, где теплопроводность больше, температура вырав-
выравнивается легче; очевидно, что для этого не обязательна строго
степенная зависимость теплопроводности от температуры.
Если зависимость пробега излучения в газе от температуры
достаточно сильная, полученное таким образом решение может
привести к следующему внутреннему противоречию: длина про-
* ЖЭТФ, 1961, 41, вып. 5, 1649.
91

бега излучения внутри нагретой области окажется сравнимой или
даже гораздо большей размеров самой области. Очевидно, что
при этом механизм переноса энергии не может быть описан в
терминах теплопроводности, тогда как в основу решения [1—3]
был положен именно механизм теплопроводности, т. е. предполо-
предположение о локальном термодинамическом равновесии излучения с
веществом.
В настоящей работе рассматривается тот случай, когда это
предположение не выполняется, что может иметь место при тем-
температурах ~10ВО К и выше. Строгая постановка задачи для всей
нагретой области (даже после ряда упрощающих предположе-
предположений) в этом случае возможна только с помощью интегрального
уравнения переноса излучения. Однако, если пробег меняется с
температурой достаточно сильно, задачу можно с хорошим при-
приближением решить более простым способом.
Пусть размер нагретой области R. Тогда температура То, прл
которой длина пробега сравнивается с #, определяется уравне-
уравнением
R. A)
Определение 1(Т) будет дано ниже. При сильной зависимости /
от Т температура Тй слабо зависит от R.
Соответственно определению A) вся нагретая область разби-
разбивается на две: внутреннюю, прозрачную, и внешнюю, мало про-
прозрачную, граничащую с холодным газом. Фактически со стороны
низких температур газ снова становится прозрачным при темпе-
температуре ниже ~104° К[4]. Поэтому существует утечка энергии из
нагретой области «на бесконечность». Но, если температура во
внутренней области достаточно высока, ролью этой утечки в об-
общем балансе энергии всей нагретой области можно пренебречь.
Соответственно этому мы будем полагать, что температура на-
наружного холодного газа и пробег излучения в нем равны нулю.
2. Прозрачная внутренняя область
Рассмотрим теперь состояние излучения в прозрачной облас-
области. Так как пробег излучения в ней велик по сравнению с ее раз-
размерами, следует считать, что плотность энергии излучения Ь\
внутри нагретой области постоянна по сечению (но меняется со
временем). При этом f/t гораздо меньше равновесной плотности
энергии излучения аТк при температуре вещества Т внутри облас-
области (а — 7,55- 10~м эрг-см~9-град-к). Очевидно, что везде внутри
прозрачной области Т>Тй. Спад температуры до Ти вблизи гра-
границы прозрачной области происходит не за счет излучения, а как-
либо иначе (например, путем электронной теплопроводности).
Так как спад температуры осуществляется на длине меньшей, чем
пробег излучения, плотность энергии излучения V у границы про-
прозрачности такая же, как внутри области, т. е. равна О{.
92

Нетрудно оценить Uv по порядку величины. Именно:
B)
Таким образом, пробег 1(Т) здесь характеризует излуча-
тельную способность единицы объема нагретого газа, равную
саТ*/1(Т) (с — скорость света). Величина [/(Г)! равна спек-
спектральному коэффициенту поглощения, усредненному по распре-
распределению Планка с учетом вынужденного излучения [5]. Для
дальнейшего удобно ввести эффективную температуру излучения
7\ по формуле Ui^zaTf или
Tt = T[R/l(T)]\ C)
Для того чтобы нагретая область расширялась путем пере-
переноса лучистой энергии, в каждую точку непрозрачной области
должно приходить излучение с температурой Г, несколько более
высокой, чем местная температура вещества. В рассматриваемой
задаче плотность энергии излучения может значительно превы-
превышать ее локальную равновесную плотность аР (в приближении
лучистой теплопроводности это превышение считается бесконеч-
бесконечно малым). В частности, на границе непрозрачной области при
Т = Т1) тоже должно выполняться неравенство
и{>аТ0'. D)
Найдем условие, при котором это неравенство выполняется.
Отношение UJaTf можно с помощью (I) и B) записать как
l(Tn)aF/l(T)aTS=(T/Toy-\
Показатель степени п для полностью ионизованного газа ра-
равен V» E, 6]. У не полностью ионизованного газа он меньше 7/г,
т. е. неравенство D) выполняется при Г>Ге.
3. Непрозрачный внешний слой
и скорость его распространения
Непрозрачной является та область, в которой температура па-
падает от То до нуля. Толщина этой области гораздо меньше /?, по-
поэтому приближенно ее можно рассматривать как плоский слой.
Иначе говоря, в каждый данный момент времени можно считать,
что прозрачная область занимает полупространство, и состояние
излучения в ней характеризуется температурой 7\. Граница про-
прозрачной области будет тогда перемещаться в сторону холодного
газа с постоянной скоростью v(Tlt To). С этой же скоростью будет
перемещаться и любая точка непрозрачного слоя в соответствии
с тем, что его толщина гораздо меньше R,
Таким образом, мы свели задачу нагревания газа излучением
к нахождению квазистационарного режима распространения
плоской тепловой волны по холодному газу (ср. [7]). Распределе-
Распределение температур вещества Т и излучения 7\ по радиусу качествен-

но изображено на рис. 1. Заштрихованная часть отвечает непро-
непрозрачному слою.
Выпишем теперь уравнение лучистого распространения теп-
тепла в непрозрачной области. Для плотности энергии вещества б и
потока энергии S имеем, очевидно, соотношение
d(z+U)ldl+dSldx=O. E)
Мы пренебрежем всеми видами переноса энергии, кроме лу-
лучистого. При тех больших температурах, которые рассматрива-
рассматриваются в настоящей задаче, перенос энергии излучением происхо-
происходит столь быстро, что газ не успевает реагировать на изменение
г т
Рис. 1.
Рис.2
давления и не приходит в движение; иначе говоря, гидродинами-
гидродинамическим переносом энергии можно пренебречь. Примем, что е =
= рсчТ, где р —плотность газа, с\ — удельная теплоемкость при
постоянном объеме, которую будем считать не зависящей от тем-
температуры. Напишем теперь уравнение баланса одного только
излучения:
dU/dt+dSldx=c(aTL — U)!l(T). F)
Правая сторона уравнения F) учитывает баланс между испуска-
испусканием и поглощением лучистой энергии.
Так как пробег излучения быстро падает с уменьшением тем-
температуры, можно считать, что он гораздо меньше размеров об-
области. При этом перенос энергии излучением можно рассматри-
рассматривать в диффузионном приближении [4], так что
S ——xkl'cdUldx. G)
В приближении лучистой теплопроводности в этом уравнении
вместо U ставится аТк. В данной задаче последнее приближение
недостаточно, так как оно приводит к нулевой скорости распрост-
распространения. Пробег V усредняется по частотам иначе, чем рассмот-
рассмотренный выше пробег /G), характеризующий лучеиспускательную
94

способность прозрачной области нагретого газа. Мы примем, од-
однако, для простоты, что в непрозрачной области / из F) и V из
G) одинаковы (см. [4, 8]).
Граничные условия для системы уравнений E) — G) следую-
следующие: на границе прозрачной области Т=Т^ (/—?Л; на передней
границе нагретого газа 71=0, 5=0, ?/=0.
Так как мы ищем стационарный режим распространения, на-
надо считать, что псе величины зависят от координат и времени
только через аргумент х— vt*. Кроме того, удобно ввести оптиче-
оптическую толщину т, дифференциал которой равен
дт=дх/1(Т)
(координата х отсчитывается в сторону уменьшения температу-
температуры Т), и перейти к безразмерным величинам
Интегрирование уравнения E) при условии Г=5 = ?/=0
(или up==s=u=^0) на передней границе нагретого газа сразу
приводит к уравнению
s=r«i'4-/30i*. (9)
Вместо же двух уравнений F) и G), исключив dxy можно полу-
получить одно обыкновенное дифференциальное уравнение
которое вместе с (9) связывает величины s, и и р (или размер-
размерные S, U и и). При данном ЗЕсаченин параметра р последнее урав-
уравнение интегрируется единственным образом с граничным услови-
условием s=0, «=0. На границе прозрачной области (при Т = Тйл U—
= ?Л или up=uPl., «=и4) это дает некоторую величину s(ut; p),
которую надо приравнять Up*-^Y^h согласно (9). Отсюда оп-
определяется искомая величина скорости p(at, uPo) или v(Tu To).
Разумеется, физический смысл имеют только такие решения,
при которых р==и/с^1. В ряде случаев для этого требуется, что-
чтобы выполнялось неравенство ?/<^?, которое мы положим в осно-
основу дальнейших вычислений.
Отбрасывание U в уравнении E) соответствует пренебреже-
пренебрежению вторым членом в правой части уравнения (9). При этом
1 Заметим, что решение -вида f(x—vt) уравнений типа лучистого теплообмена
рассматривалось также ранее рядом авторов [4, 9, 10J.
95

уравнение A0) перепишется в виде
du
при начальном условии s=0 для и=0.
Скорость волны р определяется из условия U=UV при T=Tt
(или и=ии при ир=1/Л), и уравнение для определения 0 при-
приобретает вид
«<«,;»=«;?'. A2)
Через особую точку (седло) м=0, s=0 проходит только одна
интегральная кривая (сепаратриса) в области положительных
значений величин (рис. 2, кривая 1). На этом же рис. 2 нанесена
кривая s=?w''\ соответствующая уравнению (9) без второго члена
в правой части, — кривая 2 (т. е. кривая 2 отвечает равновесным
значениям плотности энергии излучения u=uv). Заданным зна-
значениям и» и uV9 (т. е. Tt и То) соответствуют точки I и II на кри-
кривых / и 2. Очевидно, что уравнение A2) будет удовлетворено,
если точки / и // имеют одинаковую ординату, откуда ясно, что
скорость р находится единственным образом.
Из рис. 2 видно, что истинная плотность энергии излучения а
всегда больше равновесной ир, что необходимо, как отмечалось,
для распространения тепловой волны.
4. Некоторые частные случаи
Уравнение (И) в общем случае не интегрируется в известных
функциях. Поэтому мы рассмотрим предельные случаи.
1) (Г, — Го)/7\<1. Этот случай соответствует той части кри-'
вой ) на рис. 2, которая отвечает большим значениям и, где кри-
кривые I и 2 близки друг к другу. Для больших значений аргумента
решение A1) имеет вид
s{u, p)«i/''(l-l/16tta/a). A3)
Здесь заранее опущен член, пропорциональный р, так как р
оказывается малой величиной. Подставляя s{u, p) из A3) при
u—tii в уравнение A2), получим
Из A4) видно, что если выполнено исходное неравенство
(Ti — T9)^Tit то и при у~\ будет р<1. Поэтому законно вое*
пользоваться более точным уравнением A0). Это дает уточнен-
уточненное значение скорости:
<¦«•

Для р<С1 получается выражение
р = Г/1/уЗв(Гв). A6)
3) -yCl, a TJTt— порядка нескольких единиц. При этом по-
получается р<1. Пренебрегая р в уравнении A1), прииодим по-
последнее к уравнению Риккати, которое интегрируется в функциях
Бесселя чисто мнимого аргумента [11]. Уравнение A2) для на-
нахождения скорости запишется при этом и пиле
{ (Г./Т1)'. A7)
Так как 7\>?'п, это уравнение всегда имеет решение. Здесь мы
приняли, что 7\—Го не является малым по сравнению с 7\. Тогда
ии очевидно, имеет порядок величины нескольких единиц, а ско-
скорость находится из равенства
Н с /3 и\'* Wj
После того как скорость v границы нагретого газа определенj
п зависимости от7\ и Гп, задача о распространении тепловой вол-
волны решается из соображений баланса. Пренебрегая энергией, за-
заключенной в области спада температуры, имеем уравнение энер-
энергии
A9)
которое вместе с уравнением
dRldt = v{Tu Г,) B0)
и соотношениями A) и B) определяет/? и Ткак функции време-
времени t (здесь Т — истинная температура вещества в прозрачной об-
области, Е — полная энергия в волне).
Рассматриваемая задача имеет смысл только до тех пор, по-
пока 7Т1>Г(). Если в ходе решения указанной системы окажется, что
7\ и То сравнимы, дальнейшее решение должно проводиться в
приближении лучистой теплопроводности, поскольку при этом из-
излучение пришло в равновесие с веществом (см. [1 —3]). Если же
этот момент соответствует достаточно большим временам, может
успеть произойти достаточно заметное гидродинамическое рас-
расширение нагретой области.
В заключение приносим благодарность Ю. П. Райзсру за цен-
ценные дискуссии.
4 * С. Компанеец 97
2) Т{*Э>Та, но Ui<^E(T9). При этом существенны малые значе-
значения и, что отвечает приближенному решению уравнения A1):

Литер атура
1 Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец. Сб., посвящ. 70-летию акад. А. Ф. Иоффе.
' М.—Л., Изд-во АН СССР, 1950, стр. 61; см. наст, изд., стр. 40.
2. Г. И, Баренблатт. ПММ, U952, 16, 67.
3. Э. И. Андрианкин. ЖЭТФ, 1958, 35, 428.
4. Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец, Ю. П. Райзер. ЖЭТФ, 1958, 34, 1278.
1447 (см. наст, изд., стр. 52, 64).
5. Ю. П. Райзер. ЖЭТФ, 1959, 37, 1079.
6. В. В. Бибиков, В. И. Коган. В сб.: Физика плазмы и проблема управляе-
управляемых термоядерных реакций. Т. 3. М — Л., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 86.
7. Я> Б. Зельдович, Теория горения и детонации. М.—Л., Изд-во АН СССР,
1944.
8. А. Унзольд. Физика звездных атмосфер. М., ИЛ, 1949.
9. Г. И. Баренблатт. ПММ, 1953, 17, 7139.
10. И. В. Немчинов. ПМТФ, 1960, I, 36.
11. Л Я. Ватсон. Теория бесселевых функций, ч. I. M, ИЛ, 1949, стр. 91, 108:
Е. Янке, Ф. Эмде. Таблицы функций с формулами и кривыми, М, ИЛ,
1949, стр. ,361.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕПЛОВОЙ ВОЛНЫ
ПРИ УЧЕТЕ КОНЕЧНОСТИ СКОРОСТИ СВЕТА*
Совместно с Е. Я- Ланцбургом
1. Введение
Как известно, при достаточно высокой температуре вещество,
в частности газ, сильно или полностью ионизуется и становится
весьма прозрачным для излучения (длина пробега излучения
превышает линейные размеры нагретой области). В таком ве-
веществе тепловое равновесие между излучением и веществом
устанавливается относительно медленно, и если в веществе с ко-
конечной скоростью происходят изменения, то излучение может не
успевать «следить» за ними, оставаясь неравновесным.
Пример такого процесса был рассмотрен нами ранее в рабо-
работе [1], где изучалось расширение нагретой области в газе. Ре-
Решалась задача о скорости квазистационарного распространения
в непрозрачном холодном газе границы нагретой области, причем
в начальный момент времени внутри области вещество газа не
.-находилось в равновесии с излучением и было прозрачным для
него. Определяющим являлся тонкий переходный слой от про*
зрачаого, горячего газа к полностью непрозрачному, холодному.
* ЖЭТФ, 1962. 43. вып. 1G), 234.
98

Баланс между излучением и поглощением в этом слое и опреде-
определял скорость распространения тепла излучением.
В [1] была найдена зависимость этой скорости от величины
отношения неравновесной плотности энергии излучения {/t в
прозрачной области к плотности энергии вещества газа е(Г0)
на границе прозрачности (граница прозрачности условно опре-
определяется температурой Гв, при которой пробег излучения поряд-
порядка размеров всей нагретой области). При некоторых условиях
(Г/i^f/po» где t/pD=a71(L—равновесная плотность энергии излу-
чекия на границе прозрачности) скорость распространения v гра-
границы нагретой области по холодному газу определялась фор-
формулой
где с — скорость света (см. формулу A6) в [\]). Так как Ut и
е(Т0)—физически не связанные величины, эта формула может
привести к невозможному результату v>c при достаточно боль-
больших Ut.
Для того чтобы избежать этого, в настоящей работе будет
найдена скорость v при учете конечности скорости распростра-
распространения света.
2. Интегральные уравнения переноса излучения
при учете конечности скорости света
Совместим начало отсчета #=0 в момент времени ?=0 с
границей прозрачности и направим ось х в сторону холодного
газа. Тогда переходный слой, который из-за малой толщины
можно рассматривать как плоский, займет пространство между
точкой *=0, где он граничит с прозрачной областью, условно
простирающейся до #==—оо, и точкой x=xQl где он граничит с
холодным газом (см. рисунок).
Состояние излучения в переходном слое описывается диффе-
дифференциальным уравнением переноса излучения, которое для на-
нашего случая имеет вид [2]
jr+«?-l/p. A)
с dt дх 4я
Здесь /(*, /, ц) —интегральная (по частотам) интенсивность из-
излучения, ]i — косинус угла между направлением распространения
луча и осью х, k(x, t) —коэффициент поглощения излучения,,
усредненный по частотам, 0р=аР— равновесная плотность,
энергии излучения, причем температура T=T(xt t); a=7,55*
¦ 10Л эрг • см~* • град~к.
Удобно отдельно рассматривать интенсивность l(x, t, \i) для
1>|д^0 и— Kji<0, т. е. для излучения, идущего «вперед» и
«назад». Потребуем чтобы функции /(ц^О) и /(ц^О) удовлет-
99 а*

воряли следующим граничным условиям-
B)
Первое из условий B) описывает подвод лучистой энергии из
прозрачной области к переходному слою на границе прозрачно-
прозрачности. Оно учитывает неравновесное
состояние излучения прозрачной об-
области, где плотность энергии излуче-
излучения по порядку величины равна Ut
(как было указано в [1], плотность
энергии излучения у границы про-
прозрачности почти такая же, как и вну-
внутри прозрачной области, т. е. при-
приближенно равна ?/t=arii?//(r), где
R — размер всей нагретой области
газа, 1(Т) —определенным образом
усредненная по частотам длина про-
пробега излучения, характеризующая
лучеиспускательную способность нагретого до температуры Т
ууу
газа; в [1] показано также, что ^)
Второе из условий B) означает, что в переходном непрозрач-
непрозрачном слое отсутствует излучение, входящее в него на границе с
холодным газом.
Решениями уравнения A), удовлетворяющими граничным
условиям B), как легко показать, являются
x% U
jS-tfx (<-— )?ц@, х)
х, t,
C)
где обозначено
100

По определению, плотность энергии излучения U(x, i) и по-
поток излучения S(x, i) связаны с интенсивностью I(x, I, \i) соот-
соотношениями
1 1
U (х, t) = ^ j" / (*, tt ц) d-i, S (*, 0 - 2л j' / (*, t, ц) цф. D)
Подставляя (З) в D), приходим к интегральным уравнениям
переноса излучения, которые связывают U(xy t) и 5^ t) с рап-
ковссной плотностью энергии изучения С/р=аР и в которых ав-
автоматически учитывается запаздывание:
1
U (х, © = i J dyiU, (t -i) Eu @, x) J.
P
1 «
E)
f ^ j (*'. f) Uv (x\ f) ?„ (*', *) ^ s
j ft (x', f) U, {x\ f) ?M (x\
-S0-hS+-)-S_. F)
Обозначения t/fi, 50, U±1 S± понятны из уравнении: Uo и So
представляют собой соответственно плотность энергии и поток
излучения, приходящего в точку х от границы прозрачности;
U+i S+ и i/_, 5_ — плотность энергии и поток излучения, прихо-
приходящего в точку х из переход н о го непрозрачно го слоя соответст-
соответственно справа и слева от рассматриваемой точки. Во всех этих
величинах учитывается, что по пути в точку х излучение испыты-
испытывает поглощение.
101

3. Диффузионное приближение
с учетом конечности скорости света
Найдем решение уравнений переноса излучения, отвечающее
квазистационар пому режиму распространения по холодному
газу плоской тепловой волны с постоянной скоростью v, считая
ясе функции, входящие в E) и F), зависящими от координаты х
и времени t только в комбинации х — vt [при этом под интегра-
интегралами t следует брать с учетом запаздывания, как в E) и {6)J.
Будем решать задачу в диффузионном приближении, иначе
говоря, допустим, что на одной длине пробега излучения t=\fk
температура вещества меняется не очень сильно. В этом случае
ир в E) и F) можно разложить в ряд по степеням (х — х')
и ограничиться рассмотрением только первых трех членов этого
ряда.
Удобно также ввести «ретардированиую» оптическую толщи-
толщину ? по формулам
:—dx'k\x'—v(t^
при х' =
ГО
— оо ПрИ Х' = ХО.
Тогда разложенные в ряд выражения для U(x—vt) и
S(x — vt) для точки х, расположенной не очень близко от гра-
границы прозрачности, примут вид
(8)
| J j j (9)
здесь
' A0)
причем f/p берется от аргумента *—u^, a ?/'p и f/p" означают
соответственно первую и вторую производные от функции
Uv(x — vt) по этому аргументу. В (8) и (9) опущены величины
Uu и So> поскольку не очень близко от границы прозрачности
(дг=О) они дают экспоненциально малые вклады в U и 5.
102

Чтобы выполнить интегрирование по ? и ц, надо выразить
х* — х через ? и \i. Для этого воспользуемся определением «ре-
тардированной» оптической толщины G):
В A1) / берется от аргумента х— vtf a V — производная от / по
этому аргументу.
Подставляя A1) в A0), получаем
]«l/p(C. I*) —t/P—С (l -?)
A2)
Если теперь еще раз ввести оптическую толщину т, дифферен-
дифференциал которой равен dx=d(x— vt)/l(T), причем т=0 при лг=О
и т=оо при х=х9, получим вместо A2)
В интегралах U- и S- удобно сделать замену переменных
?-* — ? и |1-*-—м» тогда выражения U(x—vt) и S (х—vt) не
очень близко от границы прозрачности принимают симметрич-
симметричную форму
1 00
и (x-vt) -7 j у j iu» & i*)+u» (-5, -i*)] е-* «, A3)
0
A4)
Если в эти уравнения подставить A2') и выполнить интегриро-
интегрирование по ? и ц, получим выражения для V и S в диффузионном
приближении с учетом конечности скорости света:
?/ ж Up 4- prfUp/dT + i (PUp/dx\ A5)
з
S ^ - - cdUp/dx — -$cd?Up/dT\ A6)
3 3
Из уравнений A6) и A5) можно исключить производные от Upt
оставляя линейные по р члены и пренебрегая производными по-
порядка выше второго. Тогда вместо двух уравнений A5) и A6)
103

приходим к двум другим, из которых одно связывает диффузион-
диффузионный поток 5 и плотность излучения U при учете конечности ско-
скорости саета
~P<iS/dt-}-S= — -cdU/dx, A7)
3
а другое является уравнением баланса лучистой энергии
—QcdU/dt + dS/dr =c{UP—V) A8)
(заметим, что в [1] использовалось уравнение A7) без первого
члена в левой части).
Уравнения A7) и A8) можно получить и непосредственно из
дифференциального уравнения переноса излучения A), если ре-
решать его в диффузионном приближении (линейная зависимость
I(\i) от \х). Для этого надо последовательно умножить A) на
2яц и 2л и проинтегрировать по м- в пределах от —1 до +1, при-
принимая во внимание определения D).
Мы предпочли воспользоваться интегральными уравнениями
переноса E) и F), так как из уравнения F) одновременно по-
получается и выражение для диффузионного потока S на границе
прозрачности. При выводе этого выражения уже нельзя пренеб-
пренебрегать величиной 50 в этом уравнении. Тем же методом, которым
получено равенство A6), находим из F), полагая в нем х = 0,
(индекс 0 указывает, что производные берутся при т=0). Про-
изподпые от Uv надо исключить из A9) при помощи Aо) и A6);
тогда получаем в нужном нам приближении выражение для диф-
диффузионного потока на границе прозрачности
Таким образом, величины Т, U и 5 на границах переходного
слоя должны удовлетворять следующим условиям:
на границе прозрачности
Т - Т
т = 0 u^ul (т.е. e=:e(TJ и и? = иРй=аТ1у% B1)
S^S (т = 0)
на границе с холодным газом
104

Из уравнения баланса энергии d(z + U)ldl+dS/dx=Q и усло-
условия B2) следует
B3)
где е(Т) —плотность энергии вещества газа при температуре Т.
На границе прозрачности уравнение B3) имеет вид
B4)
4. Скорость распространения квазистационарной
тепловой волны
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы выяснить, как
влияет конечность скорости света на величину скорости распро-
распространения v тепловой волны в холодном газе. Как было указано
в разделе 1, в случае, когда на границе прозрачности O^U^,
в [1] оказалось возможным, что v>c. Поэтому представляет
интерес исследовать здесь именно этот случай.
Пренебрегаем в уравнении A8) Up и исключаем из A7) и
A8) 5; тогда получаем уравнение, содержащее только U:
(?- ')S-¦:-*?-"-<>. Р-7- B5)
Точно такое же уравнение получается и для S, если из A7) и
A8) исключить U. Решение этих уравнений ищем в виде
Сехр(— xfc/P), причем X должно быть действительным и положи-
положительным, чтобы U и S удовлетворяли условию B2) при т-»-оо.
Анализ характеристического уравнения для X
-*k-'i=0 B6)
показывает, что оно может иметь необходимые нам решения
Я>0 только в том случае, когда коэффициент при Хг положи-
положителен, т. е. когда
Р< 1/1/3- B7)
Когда этот коэффициент равен нулю или отрицателен, дей-
действительных положительных корней уравнения B6) не суще-
существует.
Неравенство B7) означает, что в рассматриваемом прибли-
приближении плоская квазистапионарная тепловая волна не может рас-
распространяться со сколь угодно большой скоростью: эта ско-
скорость v всегда меньше с/]/3.
Из двух корней уравнения B6) один оказывается отрицатель
ным, и его следует отбросить; положительный корень равен
K-Ylw-УЦ). B8)
105

Таким образом, решения уравнения B6) для U и аналогичного
уравнения для 5, удовлетворяющие условию B2), таковы:
и = Схег**Ю9 s = Cae-TMJ, B9)
где постоянные интегрирования Ct и Сг должны быть определены
из условий B1) на границе прозрачности. Очевидно, что Ci=Ui\
используя B4), можно получить и С2.
Из уравнений A8) и B3) при U>U» следует, что
Интегрируя это уравнение при условии B1), получаем соотно-
соотношение
Uif* (Го) = К - VS Р/A - /3 Р). C0)
Уравнение C0) определяет отношение UJtiT^) как функцию
р=у/с. Оно показывает, что при р<1/уЗ это отношение может
принимать любое конечное значение. Таким образом, какова бы
ни была величина Uu скорость v распространения квазистацио-
квазистационарной тепловой волны всегда меньше с/|3. Прч СЛ/е (Га) <с 1
(т. е. Р<1/У3) соотношение C0) переходит в соответствующий
результат работы [I] для случая, когда C/i»?/,„.
Благодарим Ю. П. Райзера за обсуждение работы.
Л итература
1. А. С. Компанеец, Е. Я. Ланцбург. ЖЭТФ, 1961, 41, 1649 (см. наст, изд.,
стр. 91).
2. С. Чандрасекпр. Перенос лучистой энергии, М„ ИЛ, 1953.
АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА
О РАЗВИТИИ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ИЗ ВОЛНЫ СЖАТИЯ*
(Представлено академиком Л. И. Седовым 14.XII 1955)
Автомодельные начальные условия задаются в следующем виде:
ро = Вх
Ро —0. *<0;
Здесь р», ро, щ — начальные давление, плотность и скорость.
* ДАН СССР, 1966, 107, вып. 1, 29.
106

Мы положим а<1, так что кривая распределения давления
имеет в начале координат вертикальную касательную. Давле-
Давлением невозмущенного газа мы пренебрегаем, в этом приближе-
приближении задача и является автомодельной.
Уравнения газовой динамики в переменных Эйлера, как из-
известно, имеют вид
.?_?- +0^4 = °- C)
Вводим следующие переменные:
E)
G)
ш = /Л|>; (8)
W-t (9)
В этих обозначениях система A)—C) переписывается так:
Bр-ф)й>-а>|Х—|<i = <p -<p*-2<i>; A0)
— Вф +BР—ф) ЕХ- —ф; (П)
ф)&в=-2A—ф)ш. A2)
В уравнения не входит явно %. Исключая из них х и образуя
частное от деления <р на ь\ получаем дифференциальное урав-
уравнение первого порядка
rfq> = 2P - ф (<р - qp*) BP - ф) + юB- ТФ —4р)
«(о) со 2 A — <р) Bр — <р)* -f (I—V) BР—Ф) (Щ—Ф4-2ш) -f 2 A—Ф)«'
A3)
Это уравнение является основным в настоящей задаче. Иссле-
Исследуем поведение интегральных кривых.
" Такие подстановки впервые ввели J1. И. Седов и К. П. Станюкович
107

Линии (р—2р и ш=0 суть два особых решения A3). Любая
интегральная кривая может пересекаться с этими линиями толь-
только в особых точках уравнения A3). Найдем теперь общий ха-
характер интегральной кривой. В окрестности точки ф=0, а)=0
уравнение A3) выглядит так:
±V A4)
Общий интеграл этого уравнения есть
Т-СУ«-2юA—1.), A5)
где С — постоянная интегрирования.
Покажем теперь, что начальным условиям задачи можно
удовлетворить только положив С=0. Действительно, моменту
/=0 отвечает ?=0. Согласно начальному условию, ф@) =0,при-
=0,причем порядок обращения <р в нуль должен быть большим, чем
1/2р, потому что %im пропорционально L Для | имеем следую-
следующее уравнение:
1Bр—ф)«_УсоM^. = юB~уФ'-4р) -;-BР-ф)(ф- Ф2)- A6)
При СфО ф^Уш (при малых ф и ш), что дает согласно A6)
Ф~|1/а||~/. Но это не удовлетворяет начальному условию для ф.
Следовательно, С=0. Тогда ф=— 2<o(l — 1/20). При этом вблизи
Ф=0, ©=0 уравнение A6) пишется так:
АП &- = со B. - 4Р) + 2рФ = 4РФ, Ф - ?1/р, A7)
что согласуется с начальным условием. Следовательно, из точки
Ф=0, ш=Ь выходит вполне определенная интегральная кривая
в сторону отрицательных ф и положительных аи. Этой кривой от-
отвечают положительные значения х и отрицательные у, как н
должно быть. Точка *=0, ?=о° ПРИ t>0 физически ничем не
выделена. Легко видеть, что в этой точке ф обращается в беско-
бесконечность, как I, а ш —как ?\ что и обеспечивает регулярный ход
всех функций при х—0.
Действительно, точка ф—оо, ю —оо является узлом для диф-
дифференциального уравнения A3). Вблизи этого узла a)=C^.
Подставляя это в A6), получаем
что и обеспечивает регулярность решения при х=0. После этого
интегральная кривая переходит в область ф>2р, ш>0 (чере.^
улел при ф = оо, о) = оо).
Интегральная кривая проходит ближе к оси ф, чем изоклина
нулей. Действительно, если бы где-либо при ф<[0 имело месте
108

пересечение интегральной кривой с изоклиной нулей, кривая не
могла бы пройти через точку ф=оо (см. рисунок). Уравнение
изоклины нулей на бесконечности ш=Лф2, а уравнение инте-
интегральной кривой на бес-конечности о)=Вф2, где В<А.
Точка, отвечающая переднему фронту ударной волны, лежит,
пе в этой области, а ниже ф=2ф*. Действительно, уравнение
фронта ударной волны вследствие автомодельности задачи есть
где |n — число. Отсюда, используя соотношения для ударной вол-
волны, имеем
A9)
Но v2 = -^— —, откуда следует, что ф2 (|о)= / E0). Подставляя
Y + lpo Y-l-l
это в A9), пэлучаем
iL B0)
Мы взяли положительный знак корня, так как скорость везде
направлена в сторону отрицательных х и ударная волна нахо-
находится при х<0. В дополнение к B0) имеем
B1)
Таким образом, точка интегральной кривой, отвечающая
ударному фронту, лежит ниже прямой ф=2р. Эта прямая сама
является особым решением основного уравнения A3). Следова-
Следовательно, интегральная кривая может пересечься с ней только в
особой точке. Особых точек на этой прямой две: при о)=оо »
при (о=0. Последняя особенность высшего порядка. Через пер-
первую нз них интегральная кривая пройти не может, потому что «>
обращается в бесконечность при *=0, т. е. при ф=оо. Если бы
ш = оо в любой другой точке, получилась бы бесконечная тем-
температура. Помимо этого, при ш = оо, (f=2p уравнение имеет сед-
седло. Проходящая через него единственная кривая (сепаратриса)
не может совпадать с особой интегральной кривой, представляю-
представляющей решение при ф=0, со=0. При <р=2р, <о=0 все интеграль-
Сущестиование ударного фронта ппереди волны с необходимостью елсдует
нз того, что нет н>исакого другого решения, удовлетворяющего кулевым гра-
граничным услопиям при х=—оо.
109

ные кривые, идущие со сто-
стороны q>>2p, w>0, ближе к
оси ф, чем изоклина нулей,
не проходят через эту осо-
особую точку, кроме особого
решения io=O. Но это реше-
решение не совпадает с инте-
интегральной кривой при Ф>2р
и не приходит в точку, отве-
отвечающую ударной волне. В
точке ф—2р, ю=0 имеется
и особенность типа узла. Со-
Соответствующие интегральные
кривые лежат ниже сепарат-
сепаратрисы, тангенс угла наклона
которой к оси ш есть
1/Bр—1). Изоклина нулей
в этой точке проходит кру-
круче, имея тангенс наклона
•у/Bр— 1) + 1/р. Но интег-
интегральная кривая, по доказан-
доказанному, идет еще круче и не
может прийти в особую точ-
точку со стороны узла.
Единственная возмож-
возможность получить решение за-
задачи состоит в том, чтобы
допустить существование
второй ударной волны, иду-
идущей по сжатому веществу
позади первой. В этой волне
происходит скачкообразный
переход через линию ф=2р. Так как обе интегральные кривые
выше и ниже ф=2р определены единственным образом, точки пе-
перехода могут быть прямо найдены из решения системы уравнений
г
ел/
Индекс 2 отвечает точке ниже линии <р=2р.
Функции ш, { и -ф однозначно определены вдоль обеих инте-
интегральных кривых в зависимости от ц>. Поэтому написанная здесь
система уравнений в принципе дает возможность определить ф,
и ф2, а, следовательно, по уравнению A6) можно найти и | вто-
второго ударного фронта. Дальнейшее интегрирование A6) опре-
определяет и ?=&), отвечающее головному фронту.
110

На рисунке показано4 примерное расположение интегральных
кривых в полуплоскости ю>0. Головной ударный фронт показан
в точке Sit вторая ударная волна — в точках 52, 5/. Искомая
интегральная кривая проведена жирной линией. Области х<0
отвечает нижний отрезок, области х>0 — оба верхних отрезка.
Институт химической физики Поступило
Академии наук СССР 10.VIII 1955 г.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
В ПЛАСТИЧЕСКОЙ УПЛОТНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ*
(Представлено академиком Н. И. Семеновым 17.11956)
Задача о медленном распространении пластической деформа-
деформации была решена С. Л. Соболевым [1]. Мы рассмотрим ударное
распространение пластической деформации в среде, характери-
характеризуемой следующими -свойствами. В начальном состоянии ее плот-
плотность рс, при этой плотности она оказывает пренебрежимо малое
сопротивление сжатию. Доведенная до плотности р4, среда несжи-
несжимаема и в этом состоянии пластична, причем принимается, что
абсолютная величина наибольшего касательного напряжения
линейно зависит от среднего нормального напряжения (условие
пластичности Прандтля) [2]. Такого рода пластичностью может
обладать, например, песок.
Ударная волна возникает под действием взрыва в некотором
весьма небольшом сферическом объеме радиуса /?0. Главные оси
тензора напряжений совпадают с координатными линиями сфе-
сферической системы, центр которой совмещен с центром взрыва.
Главные нормальные напряжения мы назовем о> и ae=tf9. Усло-
Условие пластичности, согласно предположению, должно быть запи-
записано так:
о,—0fl = ft4-m@,+ 2oB). A)
Уравнения движения уплотненной среды имеют вид
C)
•ДАН СССР, 1956, 109, вып. I, 49.
111

Из уравнения C) следует, что
u = k(t)/r*. D)
Подставляя это в B) и исключая аь при помощи A), полу-
получаем после интегрирования
о> ^ +PJ - 2Р, —-гС@г-«, E)
где
а = &п/A-г-2/п). F)
Граничные условии на фронте ударной волны имеют вид
Р0Й = Р1(Й—и(/?)), G)
? *r{R). (8)
Здесь /? —радиус фронта ударной волны.
Па границе расширяющейся полости надо приравнять дав-
давление нормальному напряжению, взятому с обратным знаком:
Радиус полости легко определить, исходя из сохранения мас-
массы. Если Ro — начальный радиус полости, получаем
Яо^. [Л _Gt.) R'^JLR*]1/3~R h -fiS-V'1. A0)
!Л Pi / Pi J \ Pi /
Величиной /?„я можно здесь пренебрегать, даже если 1—ро/р<
порядка нескольких процентов.
Принимая, что вещество в полости расширяется как идеаль-
идеальный газ с показателем изэнтропы у, находим выражение для р:
Исключая C(t) и k{t) из G), (8) и (9), приходим к диффе-
дифференциальному уравнению
1-A-_ро/Р1)Г (a — 4) [A —
112

Оно интегрируется в квадратурах. Прежде чем записать квадра-
ТУРУ> удобно исследовать выражение в правой части. Уравнение
должно во всяком случае допускать решение, отвечающее рав-
равновесию, #=0, Л=0. В правой части A2) будет стоять нуль,
если
/ РоЗ/nLl pj Jl pJ
Равновесие должно достигаться и тогда, когда т=0, как г.
теории пластичности Сен-Венана, потому что k и т не связаны
друг с другом. Но в этом случае для раиновесия необходимо,
чтобы k было меньше нуля. Отношение |?|/р<, весьма малое чис-
число, порядка 10~4 или меньше. Это оправдывает приближение, сде-
сделанное в A0), применительно к условию равновесия A3) для
не слишком больших у.
Условие равновесия A3) при 6<0 выполняется для псеч
т^—]!2. Но если — -72^'Ж0, то равновесный радиус больше,
чем при т=0. Это весьма мало вероятно, ибо m описывает до
полнительное трение в условии Прандтля. Поэтому надо считать,
что ш>*0. При очень больших m равновесный радиус снова ста-
становится больше, чем при w=0. Следовательно, эти значения т
лежат за пределами применимости линейной формулы A) в рас-
рассматриваемой задаче.
Введем теперь следующие безразмерные величины:
Ро • Pi
4-а
A5)
1-1» (a—i)&~3 -1
В этих переменных уравнение A2) перепишется так:
Его первый интеграл есть
У2- Ц^х~*-1- Ах-» \ хг«/'^— Ш " S ~~i)dx. A8)
5 "' \. SY р0 'dm I
l
Приближение A0), а значит и все дальнейшее, оправдано
только в том случае, если в интеграле A8) область, близкая к !,
113

пе дает существенного вклада, т. е. если ji—3y>0. Это условие
не является особенно стеснительным, как видно из таблицы
значений \i при разных а и пористости 1= 1—po/pi-
0,01
0,1
0>2
0
3,26
3,78
4,12
1
4,44
4,78
5,00
2
6,00
5,98
5,9fi
3
7,84
7/0
7,12
Считая, что условие \л—Зу>0 выполнено, можно пренебречь
и первым слагаемым в уравнении A8), в чем легко убедиться,
сравнивая коэффициент А/%1 с величиной ~т~- Тогда полу-
получается простое выражение для tf:
A9)
откуда получается значение максимального радиуса расшире-
расширения волны
1
B0)
Вещество остается сжатым и после разгрузки, так как сжатие
необратимо. Rm больше равновесного радиуса в отношении
(/<H-37)L
Время полного расширения равно
tm = Ro Л/ ^
B1)
Отметим, что в задачу не вошло какое-либо соотношение
между напряжениями и деформациями или скоростями дефор-
деформации. Здесь имеется аналогия со статически определимыми
плоскими задачами теории пластичности.
Литература
1. С. Л. Соболев. Труды Сейсмолог, ин-та. 1935, 49.
2. Л. С. Лейбенэон. Элементы математической теории пластичности. М.—Л.,
ГИТТЛ, 1943, стр. 56.
114

точечный взрыв
в неоднородной атмосфере*
(Представлено академиком Я. Б. Зельдовичем I9.X 1959)
Как известно, задача о точечном взрыве в среде с постоянным
показателем изэнтропы у имеет аналитическое решение [1] для
той стадии явления, когда можно пренебречь энергией, заклю-
заключенной в среде до взрыва, по сравнению с энергией, приносимой
взрывной волной. Сравнительно простое решение получается по-
потому, что задача автомодельна: она не содержит никаких харак-
характерных параметров размерности длины, скорости и времени.
Если есть градиент плотности среды хотя бы в одном направле-
направлении, автомодельности уже нет, и точное решение не получается.
При малых градиентах задачу удается рассмотреть методам воз-
возмущений [2,3].
Если взрыв происходит в весьма разреженной атмосфере, то
сильная ударная волна с предельным сжатием распространяется
на такие расстояния, где плотность меняется во много раз по
сравнению с плотностью в месте взрыва. Тогда линеаризация
недопустима. Численное интегрирование задачи стремя перемен-
переменными очень затруднительно, даже при счете на электронной ма-
машине.
Можно предложить по л у качественный подход, основанный на
одной существенной особенности точного центрально-симметрич-
центрально-симметричного решения. Именно, в этом решении энергия распределена
почти равномерно по всему объему взрывной волны и только
вблизи самого ее фронта в 2—3 раза превышает среднее значе-
значение по объему. В этой области сосредоточена и вся масса ве-
вещества.
Естественно предположить, что это же свойство имеет и
взрывная волна в неоднородной атмосфере. Действительно, если
давление внутри волны постоянно в пространстве (давление
пропорционально плотности энергии), а плотность массы равна
нулю, то уравнения гидродинамики в основной части объема вы-
выполняются тривиальным образом. Тогда, чтобы описать распро-
распространение волны, надо воспользоваться условиями на самом
ударном фронте.
Если уравнение фронта волны есть /(г, z, /)=0, то нормаль-
нормальная составляющая скорости фронта Dn определяется известным
равенством
0)
• ДАН СССР, I960, 130, выл. 5, 1001.
115

Здесь, как обычно в задаче о сильном взрыве, отброшено на-
начальное давление по сравнению с давлением во фронте волны р.
В этом приближении плотность за фронтом р' связана с плот-
плотностью перед фронтом р постоянным отношением
<2)
Давление выражается через плотность энергии е:
где Е — полная энергия взрыва; V —объем, занятый взрывной
волной; Х=к(у) —коэффициент, показывающий, во сколько раз
плотность энергии около фронта больше, чем средняя плотность
по объему [1]. Допущение о постоянстве К по поверхности лежит
в основе предлагаемого здесь метода.
Будем считать уравнение фронта волны в цилиндрических
координатах разрешенным относительно радиуса: r=r(zt t)\
Тогда полный объем волны есть
D)
где r(zu /)=г(г2, *)=0. Подставляя B)—D) в A) и выражая
плотность по барометрической формуле, приходим к уравнению
в частных производных для функции г:
Здесь г0 — Э'квивалентная толщина атмосферы; у— вспомога-
вспомогательная переменная, определяемая равенством
р0 —начальная плотность воздуха в точке взрыва (z=0).
Уравнение E) решается по методу разделения переменных.
G)
(8)
При малых t или у волна должна быть сферической. Для
этого достаточно положить функцию F (?) равной нулю. Исклю-
Иб

чая тогда fc из (8) и подставляя в G), получим
г = 2г0 arc cos \j
(9)
здесь x=y
Отсюда получаем положения верхней и нижней точек волны
гу и z2:
e^>^l+A- (Ю)
а также положение и значение ее максимального радиуса
C-W*. = I — jc«, rm - 2z0 arc sin x. A1 >
Таким образом, максимально возможный радиус волны ра-
равен лг0. При этом х=\, так что верхний край волны уходит на
Рис. 1
Рис. 2
бесконечность. Но это происходит за конечное время т, которое
определяется из F) как
где
-2ln(l-Jt)
Q«- J
1.еи/2П__хг i-e-«)l.
.2 J
A2)
A3)
Время ухода волны вверх на бесконечность оказывается ко-
конечным благодаря тому, что скорость волны согласно A) стре-
стремится к бесконечности при z-*-oo. На рис. 1 изображены кривые
для пересчета от х к t и [Щх)]1'1. На рис. 2 нанесены в масштабе
117

рассчитанные сечения волны вертикальной плоскостью, прохо-
проходящей через точку взрыва, для нескольких моментов времени.
Разумеется, решение теряет смысл раньше, чем zt обратится
в бесконечность. Тем не менее можно сделать следующий вывод:
как бы ни была велика полная энергия взрыва, сильная ударная
волна может распространяться по полученному здесь закону
вниз не более чем на 1,38 zOy или примерно на 11 км. При даль-
лейшем распространении вниз ударный фронт будет ослаблять-
ослабляться быстрее за счет волн разрежения, уходящих от него вверх по
открытой в пустоту области, захваченной волной. Распростране-
Распространение волны по невозмущенному воздуху будет напоминать корот-
короткий удар по веществу, граничащему с вакуумом, рассмотренный
Я- Б. Зельдовичем [4].
Л ите ратура
1 Л. И. Седов. Методы подобия и размерности в механике. М., Гостехнздат,
1957.
2. В. П. Карликов. ДАН СССР, 1955, 101, 8Г>.
¦3. Э. И. Лндрианкин. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, 2.
4. Я. В. Зельдович, Акуст. журя., t936, 2, 28.
ПРЕВРАЩЕНИЕ УДАРНОГО СЖАТИЯ
В ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ*
Совместно с В. И. Романовой и П. Л. Ямпольским
В физике высоких давлений в последние годы часто обсуж-
обсуждаются новые, перспективные задачи. Сюда относятся проблемы
получения сверхпроводников, металлизация диэлектриков и, з
частности, получение металлического водорода и ряд других
задач. *
Проведение экспериментальных исследований, необходимых
для решения указанных задач, ограничено теми максимальными
давлениями, которые доступны современным лабораторным
установкам. Эти давления, получаемые при статическом сжатии,
не превышают, как правило, нескольких сот килобар1.
Между тем для решения указанных выше задач требуются
давления, превышающие мегабар. Давления до 10 Мбар в на-
настоящее время можно получить в ударных волнах с йспользова-
• «Письма ЖЭТФ>, Ш72. 16. тшп. 4, 259.
1 Имеются данные о статическом уплотнении стекла и кварца при давлении
выше 2 Мбар [1].
118

нием взрывчатых веществ. Однако имеется одно обстоятельства,
лимитирующее использование ударных волн в ряде задач фи-
физики высоких давлений.
Процессы в ударных волнах связаны с изменением энтропии.
Вещество за фронтом ударной волны испытывает в связи с этим
сильный нагрев. Это приводит к тому, что степень сжатия ве-
вещества в ударной волне много меньше, чем при статическом
сжатии при тех же давлениях.
Таким образом, при решении перечисленных выше проблем,
где определяющим является, в сущности, гае давление, приложен-
приложенное извне, а степень уплотнения вещества, преимущества от ис-
использования ударных волн, создающих большие давления, яв-
являются поэтому в значительной степени иллюзорными.
В связи с этим представляется перспективной возможность
трансформации ударно-волнового сжатия в изэнтропическое2.
При этом становится возможным при помощи ударных волн по*
лучать высокие сжатии вещества, недоступные современной ла-
лабораторной практике.
С этой целью ниже рассматривается задача о распростране-
распространении ударной волны по среде с переменными акустическими ха-
характеристиками и определяется, каким законам должно удовлет-
норять изменение этой характеристики для превращения удар-
ударно-волнового сжатия в сжатие изэнтропическое.
Использовалось уравнение состояния типа Л. Д. Ландау и
К. П. Станюковича в виде суммы двух составляющих, которые-
характеризуют упругие свойства холодного тела и тепловое дав-
давление атомов [2]. Показатель степени объема в упругой состав-
составляющей принят равным 3, а коэффициент Грюнайзена равен 2.
Для простоты рассматривается вещество с переменным удель-
удельным объемом Vo, но при постоянной начальной скорости звука
сол с постоянным коэффициентом Грюнайзена.
Так как ударная волна создает переменную энтропию, удобно
вести счет в лагранжевых координатах, считая координатой мас-
массу на квадратный сантиметр, заключенную между входной по-
поверхностью и данной точкой. Тогда уравнения движения имеют
следующий вид3:
ди_ dp . 1V
-: B>
a.* dm w
где V— удельный объем, и — скорость, c8=(dp/dp)I=const,
s—энтропия. Уравнение адиабаты Гюгонио принимает весьма
2 Изэнтропа в твердом теле при не очень высокой температуре близка к изо-
изотерме.
3 В журнальном тексте в уравнение A) вкралась ошибка. После исправления
уравнения A) были скорректированы уравнение E) и рисунки.
119

Рис. 1
о /
If
1
у
-
^——
-^ ¦ ~
•
Рис. 2
простой вид
C)
где /7Ф, Уф — давление и удельный объем на фронте ударной
волны.
С помощью этого уравнения записываются выражения ско-
скорости фронта ударной волны и скорости вещества на фронте.
Закон распределения плотности с массой принимаем
ро=рп[1—(m/m,,J]. D)
Здесь р„ — характерное значение плотности.
Форма зависимости в большой степени произвольна. Сущест-
Существенно только, чтобы плотность нарастала по мере распростране-
распространения волны. В конкретных расчетах было принято /и„=5 г/см1.
Ударная волна возбуждается с помощью детонации доста-
достаточно толстого слоя взрывчатого вещества, примыкающего к
среде при /п=0, так чтобы давление на сжимаемое вещество
было постоянно.
Начальное изменение давления во фронте ударной полны
описывается разложением
E)
120

Расчеты, выполненные на ЭВМ методом явной разностной
схемы [3], привели к следующим результатам (рис. 1 и 2).
Получено, что при растущей плотности амплитуда ударной
волны растет. Дальнейшее дож а тие происходит изэнтропически.
На рис. 2 приведены для этого случая кривые сжатия в зави-
зависимости от времени для разных точек.
Таким образом показано, что принципиально возможно пре-
превращение ударно-волнового сжатия в изэнтропическое.
Приносим благодарность Г. М. Гапдельману за совет о вы-
выборе уравнения состояния и X. С. Кистеибойму за указание эф-
фективного метода численного счета.
Л итература
1. .V- Kavai, S. Mochizuki. J. Fluids Phys. Lett.. 1971, 34A, 107.
2. Л. Д. Ландау, К. П. Станюкович, ДАН СССР, 1945, 46, 399.
3. X. С. КистенбойМ; Г. С. Росляков. Численное решение одномерных задач о
взрыве. МГУ. 197L
ДИФФУЗИЯ ИЗ МГНОВЕННОГО ИСТОЧНИКА
В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ*
(Представлено академиком В. Ы. Кондрагьмым 1.XI 1962)
Считая, что газ, в котором происходит диффузия, распреде-
распределен по барометрическому закону, запишем для коэффициента
диффузии
d=*4 ^fT. U)
Плотность диффундирующего газа ищем в виде
л = ЛГ(г(г,*)<гМ, 4 = 2*-. B)
Называя еще т=б^, получим уравнение для N:
&i г дг дг дг* ' V V to K
Имеем систему ортонормированных погиг частных решений:
КР.Я - e-^Jo(qr) Y\ **¦-WVV Beе-**). D)
* ДАН СССР, 1&G3, 149, вып. 3 jr>4,
121

Здесь
Точечному единичному мгновенному источнику при г=0,
=0 отвечает выражение
Интегрирование по /? легко выполнить по стандартным фор-
формулам, что дает
G)
Последний интеграл не может быть взят в общем виде. По-
Поэтому рассмотрим следующие частные случаи:
1) 2е~*7тЛ2^1. Это относится либо к малым временам, либо
к большим глубинам вниз е~Хг/г^>\. Учитывая E), получим
для /у асимптотическое выражение
После этого интегрирование выполняется, и для п находим
Dпт)ш/' V [ U 2 / it
При малых z это переходит в стандартное решение для то-
точечного мгновенного источника.
2) 2e-KtliX2<^\1 что соответствует большим временам или
большим высотам, e-W2<Cl. При этом 1У можно заменить пер-
1 / х V
вым членом разложения /v W^jrj [—) -Гамма-функцию
удобно представить контурным интегралом, чтобы выразить ее
через экспоненту. Получаем приближенное равенство
-00
где
a.-,lln(sT&M*/«). A1)
122

После этого интегрирование по q выполняется:
-lbi-Mi
A2)
Интегрирование по 5 можно произвести в двух случаях:
2а) Точка прямо над источником, г=0. Считая, что 5 под ло-
логарифмом порядка единицы и вынося а из-под интеграла, по*
лучим
-
Формула A3') показывает, что легкий газ в тяжелом далеко
не сразу переходит к равновесному больцмановскому распреде-
распределению. Сначала он распространяется по высоте почти по тому
же закону, что и тяжелый газ. Это распределение тоже удовлет^
воряет диффузионному уравнению, так как
;*г= const,
что соответствует постоянному потоку. Плотность раньше обра-
обращается в нуль, чем становится равновесной. При Xi<C^ равно-
равновесие приближенно достигается раньше.
26) Точка на уровне источника, 2=0 и большие времена.
тХг>1. Тогда, если г>«, имеем
В случае, когда Х^Х:
[ln(ttf)-0.577].
-0,577]. A4).
A5).
Неравенство г>а фактически означает г>21птА,гА. Как по-
показывают уравнения A4) и A6), плотность при больших рас-
расстояниях от источника быстро убывает. Таким образом, в отли-
отличие от диффузии в однородной среде, распространение вбок в
поле тяжести заметно подавлено.
Вычислим еще количество вещества, ушедшего вверх.
При тЬ2^1 легко проинтегрировать общее выражение G):
A6').
00 DO
2л {rdr
о о
Г B — 't
123

В обоих случаях основная масса вещества уходит вниз. Это
связано с распределениями A3') и A3").
Задача очень упрощается, если диффузия происходит только
по высоте из плоского горизонтального слоя. Тогда вместо фор-
формулы G) имеем замкнутое выражение
Для точки, где плотность максимальна, отсюда получаем урав-
уравнение
, КЖ A8')
xl, К<Л ¦ A8")
Считая, что тА,2»1, можно было заменить /|x,-jiia (х) его ну-
нулевым членом разложения.
Ширина распределения оценивается по обычным формулам
теории флуктуации. Это дает
1 и^ч
ТЯГ'
1
Таким образом, в отличие от свободной диффузии, ширина
распределения стремится к конечному пределу порядка X.
В заключение выражаю благодарность В. Л. Тальрозе за по-
постановку задачи.
ЦЕПНЫЕ РЕАКЦИИ ПРИ УЧЕТЕ ДИФФУЗИИ
ДВУХ АКТИВНЫХ ЦЕНТРОВ*
Совместно с В. В. Воеводским
1. В конце двадцатых годов Семеновым [1] было установлено,
что в кинетике цепных реакций большую роль играет диффузия
активных центров к стенкам сосуда. Выяснению этого обстоя-
обстоятельства послужил теоретический анализ экспериментальных
данных по воспламенению паров фосфора {2]. Прямые опыты
Трифонова, поставленные с целью проверки этого основного для
ЖЭТФ, 1932, 23, вып. 2(8), 230.
124

цетшои теории положения, количественно его иодтпердили [3].
Семеновым и его сотрудниками было показано, что п огром-
огромном большинстве всех практически важных случаев опытные
факты подтверждают расчеты, основанные на представлении о
том, что преобладает диффузия одного активного центра над
другими. Соответствующее дифференциальное уравнение было
решено сначала для крайнего случая большого коэффициента
рекомбинации у стенки, когда концентрация там считается рав-
равной нулю (так называемая диффузионная область процесса ре-
рекомбинации) [4]. В дальнейшем Семеновым [5] было получено
общее решение этого уравнения для любых значений коэффици-
коэффициента рекомбинации, объяснившее ряд разнообразных экспери-
экспериментальных данных, в том числе опыты Бирои и Налбаидяна [6],
являющиеся прямым доказательством существования наряду с
диффузионной областью кинетической области обрыва цепей на
стенках, когда скорость рекомбинации на стенках определяется
не коэффициентом диффузии, а только константой скорости ге-
гетерогенной рекомбинации.
Применимость представлений о диффузии одного активного
центра вытекает из того, что химическая активность центров
различного типа обычно существенно различается, и поэтому
концентрация того из них, который медленнее вступает в реак-
реакцию, во много раз превышает концентрацию остальных активных
центров.
Однако возможны такие редкие случаи, когда концентрации
двух активных центров оказываются сравнимыми. Это может
иметь место, например, при сильном обеднении реакционной сме-
смеси одной из компонент: концентрация того активного центра,
который в ходе цепной реакции взаимодействует с этим вещест-
веществом, сильно возрастает. Приближенное решение такой задачи
на примере реакции окисления водорода было дано в 1946 г.
одним из нас G]. Уже эти приближенные расчеты дали удовлет-
удовлетворительное согласие с опытом и объяснили, в частности; наблю-
наблюдаемое на опыте смыкание нижнего и верхнего пределов воспла-
воспламенения в области малых содержаний водорода.
Вопрос о роли диффузии двух или большего числа активных
центров рассматривается также в недавно вышедшей книге Аку-
Акулова [8]. Акулов, однако, исходит из неверного представления о
том, что диффузионное уравнение для одного только центра не
включает членов, «учитывающих цепные превращения частиц
друг в друга», и что «поэтому такие уравнения к цепным про-
процессам по существу... неприменимы» {8, с. 17].
Прежде всего, хорошо известны цепные процессы, в которых
имеет место диффузия одного, и только одного активного центра.
Таков, например, цепной распад урана, где единственным актив-
активным центром является нейтрон (см., например, [9, с. 327]). Ниже
будет показано, что и результаты, получаемые при решении
уравнений диффузии для двух центров, в обычных условиях экви-
125

валентны результатам приближенной теории Семенова с одним
центром и не приводят к появлению новых пределов.
Н. С. Акулов ставит в общем виде задачу о цепной реакции
с учетом диффузии многих центров и пытается решить ее для
случая диффузии двух центров. Эта система написана у Акулопа
в следующем виде {8, с. 161, C6.7)]:
dnjdt= D^tii+aufii + aJ2n2,
A)
dnjdt- Ог&пг -f a2} rc» 4- аггпг.
Решение этих уравнений Акулов ищет в следующем виде:
р
Следовательно, Акулов полагает, что частные решения, отвеча-
отвечающие одному и тому же показателю k9t для обеих компонент про-
пропорциональны. Из-за этого он (на с. 162) приходит к противо-
противоречию при попытке удовлетворить граничным условиям общего
вида
B)
Таким образом, вследствие сделанного им ограничивающего
предположения Акулов лишен возможности искать общее реше-
решение задачи о двух центрах.
В следующем § 37 [8] Акулов пытается удовлетворить урав-
уравнениям с одной функцией, отбрасывая коэффициенты превраще-
превращения активных центров на стенках; при этом он берет собственные
функции в виде%,=cos lpx [формула C7.5)]. Но уже в формуле
C7.7) он вынужден принять /р различными для разных активных
центров; очевидно, что после этого его «собственные функции»
уже не удовлетворяют основным уравнениям C6.7). Следова-
Следовательно, предлагаемое Н. С. Акуловым решение по существу явля-
является ошибочным. Если же принять приближенное решение Аку-
Акулова, то оно может, очевидно, удовлетворить только уравнениям
диффузии с одним центром, и поэтому никакого обобщения ре-
результатов Семенова в такой форме дать не может, что и обна-
обнаруживается в конечном результате C7.16), который вдобавок
менее точен, чем приводимый строчкой ниже в формуле без но-
номера результат Семенова (без всякой на него ссылки).
Второй путь приближенного решения задачи, предлагаемый
Акуловым в § 38 [8], основан на предположении о крайне малых
126

скоростях гетерогенных превращений активных центрон. В этом
крайнем случае концентрации активных центров всех типов про-
просто постоянны по всему объему. Формулы для пределов воспла-
воспламенения могут быть получены и без решения диффузионного
уравнения, как это и было сделано в цитированной выше работе
[7]. Акулов получает в этом случае правильный результат, по-
поскольку в этих условиях принятое им предположение о пропор-
пропорциональности пх и пг выполняется.
2. Правильное решение системы A) при граничных условиях
B) должно искаться в следующем виде:
C)
№ы используем тот, вполне очевидный факт, что при данном
показателе kp имеются не одно, а два частных решения, причем
для различных компонент должна выбираться разная линейная
комбинация этих частных решений. Эта комбинация подбирает-
подбирается из граничных условий и ни к каким противоречиям отнюдь не
приводит.
Будем искать решение для сферического сосуда радиуса R.
При сосудах другой формы ничего качественно отличного в ре-
результатах не может получиться.
Тогда частное решение имеет следующий вид:
D)
A-kt /„ г stow , „ г sirnv\
Пъ= е * f а^ —— Ь ааЧ ~7/'
Здесь Xi и н2 являются корнями характеристического уравнения
' W
а коэффициенты пропорциональности а,,2 связаны с Xi,2 так:
<*i,a = . F)
a13
Полученные уравнения мы применим к анализу вопроса о
пределах воспламенения. При переходе через предел величина k
обращается в нуль. Отсюда получаются для пределов следую-
следующие значения u* 2 и ai<2:
i
D% D
127

Покажем, прежде всего, что уравнения диффузии для двух
центров могут быть сведены к уравнению Семенова для диффу-
диффузии одного центра в том случае, когда кинетические коэффициен-
коэффициенты для одного центра, скажем, а12, а„, пренебрежимо малы по
сравнению с коэффициентами для другого центра aiU flu- Отсю-
Отсюда получаем вместо G)
x\~au/Di9 xa2 = 0 Gа)
и вместо (8)
ах = 0 и аа ——ац/а«. (8а)
Таким образом, концентрация второго активного центра в рас-
рассматриваемом случае оказывается постоянной (в связи с тем, что
а обращается в нуль).
Итак, концентрации активных центров равны
(la)
Подставляем найденные решения в граничные условия B)
CL [DL (кЯ cos kR — sin «/?) - ouR si q xR\—CJP (<fxi—а1Я ^ W 0,
C<j91 sin xR bC
Исключая отсюда постоянные Ct и С2, приходим к ураппепшо
для определения пределов в рассматриваемом случае:
9)
По форме оно совпадает с тем, которое получил Семенов [5], но
вследствие граничных условий общего вида B) в правой части
стоит постоянная величина более сложного вида, содержащая
коэффициенты а12 и <j2i, соответствующие гетерогенным реакци-
реакциям продолжения цепи. Такого рола превращения Семеновым не
учитывались, поскольку существование их вообще не доказано.
Так как мы положили, что второй центр менее химически акти-
активен, чем первый, то следует и здесь считать ог21«0, после чего
уравнение (9) оказывается тождественным с уравнением прибли-
приближенной теории (см. [5], формула D2)).
128
а также

Рассмотрим теперь общий случай, когда учитывается диффу-
диффузия обоих центров. Подставляя решение D) в граничные условия
B) и исключая постоянные Ct и С2, приходим к уравнению
A0)-
Проанализируем это уравнение для различных предельных
случаев. Рассмотрим случай, когда все коэффициенты oik малы.
Этот случай называется кинетическим, поскольку процесс обры-
обрыва определяется кинетикой гетерогенной рекомбинации, а не диф-
диффузией. В этом случае надо произвести разложения Xi/?ctgxi7?
и x2#ctgx2# в ряды, и тогда после преобразований получаетсз!
уравнение для пределов
кз которого, как и следовало ожидать, выпадают оба коэффици-
коэффициента диффузии.
При анализе конкретного примера окисления водорода урав-
уравнение (II) сводится к более простому выражению, получаемому
на основании простых качественных рассуждений [7]. Как уже
говорилось, приближенное решение A1) полностью совпадает с
тем, которое получено Акуловым в § 38 его книги (8] (уравнение
A5)]. Мы привели его только для того, чтобы показать, что оно
может быть получено непосредственно из общего решения.
Покажем, что уравнение A1) отвечает двум пределам воспла-
воспламенения. Для этого надо задаться зависимостью коэффициентов
aik от давления. Коэффициенты с разными индексами (t^?),
соответствующие процессам продолжения и разветвления цепей,
в общем случае пропорциональны первой степени давления; xo-i
эффициенты с одинаковыми индексами (i=k) отвечают как про
цессам такого же рода, так и реакциям гомогенного обрыва це-
цепей при тройных столкновениях, что приводит к появлению квад*
рэтичных по давлению членов. Поэтому имеем
«И «ОД
о,!-*, A2)
«4,= —(V + *p).
5 А. С. Компапеец 129

а уравнение (И), записанное через давление, приобретает вид
-cd) pe] f (Я/3) (Cp* + Dp) r
O1- A3)
По определению Стл^а,, и а«^сг8а, так что (ТиСХза—
Тогда, ввиду того что
уравнение A3) имеет или два положительных корня, или ни
одного, что соответствует либо двум пределам воспламенения,
либо полному отсутствию воспламенения.
Исследуем теперь зависимость пределов воспламенения от
¦состава смеси при Л>0 в соответствии с реальными цепными
процессами. Пусть доля одной из компонент исходной смеси бу-
будет х, а другой 1—х\ тогда кинетические коэффициенты aiu а22
будут пропорциональны х, a a2iy а^—пропорциональны A—х).
Приведенное выше неравенство Ы>6е+ЗС/#, при выполнении
которого при /)>0 уравнение A3) имеет два положительных
корня, как легко видеть, не может выполняться ни при #=0, ни
при *=1. Это означает, что область воспламенения при данной
температуре ограничена как со стороны бедных, так и со стороны
богатых смесей.
Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда отношение
RaJD9 весьма велико (диффузионная область). В этом случае
концентрации активных центров на стенках сосуда весьма малы
и могут быть положены равными нулю. Для диффузии одного
центра такой случай рассматривался ранее Семеновым [I, 5],
для многих центров эта задача была рассмотрена Акуловым в
§ 27 его книги. Отметим, что в этом случае концентрации раз-
различных центров пропорциональны *.
Условия равенства концентраций нулю могут быть записаны
б таком виде:
0,
(Н)
=0.
Величина xj отрицательна, а поэтому н2— величина чисто мни-
мнимая. Единственное допущение, при котором можно удовлетво-
удовлетворить A4):
С2=0, Xitf-я. A5)
1 /1>о, д>о, о о, ото.
• Если нет разветвления цепей на стенке.
* В кинетическом случае, когда концентрации различных активных центров
почти постоянны по объему (см. выше), они тоже пропорциональны. Предпо-
Предположение Акулова о пропорциональности всех частных решений системы A)
справедливо в этих двух крайних случаях, но как это видно из D), в общем
случае неверно.
130

Освобождаясь от иррациональности, приходим к уравнению
для пределов в диффузионной области
Подставив сюда выражения для aiK из формулы A2), мы придем:
к следующему уравнению:
-1-^ = 0. A7),
Здесь коэффициенты А\ В', С и ?'—существенно положитель-
положительные числа, а- коэффициенты диффузии были представлены в виде-.
Di=D°?lp. Из уравнения A7) видно, что имеются либо два, либсг
ни одного корня. Точно так же, как и в рассмотренном выше
случае, скобка (be—cd) пропорциональна х(\—х), откуда сле-
следует, что область воспламенения замкнута со стороны смесей,
обедненных любой из компонент.
Рассмотрим теперь такой случай, когда скорость гетероген-
гетерогенных реакций одного из активных центров, взятого отдельно, ли-
лимитируется диффузией, а другого — кинетикой процесса на по-
верхности, иными словами, выполняется следующая система не-
неравенств:
Тогда в уравнении A0) следует оставить только те члены, кото-
которые содержат большое отношение. Деля их на произведение
(Rt /?^—1) (/?x2ctg xzR— I), приходим к уравнению
_
-I a2o12) *tR ctg y^R — i
При этом надо учесть, что к2— чисто мнимая величина, так что,
переходя к действительным величинам, получим
а2(ои -\- о^а^) = XtRctgxtR — i „~
ui{Oii-haao12) \^i\Rcth\x2\R-i
Числитель дроби, стоящей в правой части A9), испытывает ска-
скачок от —оо до -|-оо каждый раз, когда x2R принимает значения»
кратные я, а знаменатель есть монотонная функция своего аргу-
аргумента |х2|?. Поэтому A9) имеет бесчисленное множество дей^
ствительных корней. Для нас представляет интерес только пер-
первый корень, лежащий при значении Xi#, несколько большим л.
Несмотря на то, что значение этого корня немного зависит от
давления, все результаты анализа предыдущего, чисто диффузи-
диффузионного случая, конечно, остаются в силе.
Любопытно, что если положить равным нулю коэффициент
превращения на стенке а1г (существование которого, вообще, до
131 5*

сих пор не доказано), то и коэффициент рекомбинация Оц из
уравнения пределов исключается.
Полученный результат можно интерпретировать следующим
образом. Поскольку в ходе диффузии цепи к стенке происходит
непрерывное превращение центров обоих типов друг в друга, то,
если диффузия хотя бы одного из центров затруднена, диффузия
цепочки в целом будет также замедлена.
Таким образом, качественная картина цепной реакции, полу-
получаемая при рассмотрении диффузии только одного центра, ие
изменяется даже при столь различном диффузионном поведении
обоих центров. Этим и объясняется то, что приближенная теория
Семенова, основанная на диффузии одного центра, так хорошо
согласуется с большим числом опытных данных.
Л итература
1. И. И. Семенов. Цепные реакция. М.—Л., ОНТИ, 1934; Z. Phys., 1927, 46.
h Ch В 1929 2 61
Ц рц
109; Z. phys. Chem., В, 1929, 2, 61.
2. Yu. В. Khariton, L. F. Valta. Z
A Tf Z h Ch B
109; Z. phys. Ce, , , ,
2. Yu. В. Khariton, L. F. Valta. Z. Phys., 1926, 39, 547.
3. A. Trifonoo. Z. phys. Chem., B, 1929, 3, 195.
4. V. Bursian, V. Sorokin. Z. phys. Chem., B, 1931, .12, 247.
5. N. N. Semenou. Acta phys.-chim. URSS, 1Э43, 118, 93.
6. A. E. Бирок и Д. Б. Налбандян. ЖФХ, 1937, fl, «32.
7. В. В. Воеводский, ЖФХ, 1946, 20, 779.
8. Я. С. Акулов. Теория ценных процессов. М.-~Л., ГТТИ, 1961.
9. А. И. Ахиезер, И. Я. Померанцу к. Некоторые вопросы теории ядра. М,—Л.»
ГИТТЛ, 1950, стр. 321.
10. А. Б. Налбандян и В. В. Воеводский. Механизм окисления и горения водо-
водорода. М., Изд-во АН СССР, 1949,

Раздел II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
индуцированный р распад
ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ СТОЛКНОВЕНИИ ЭЛЕКТРОНА
С ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИЦЕЙ *
Как известно, космические лучи порождают в веществе так
называемые ливни, состоящие из большого числа частиц, кото-
которые возникают одновременно в одной и той же точке простран-
пространства. Гейзенберг {11 высказал предположение о том, что эти лив-
ливни являются продуктами р-распада тяжелых частиц, индуциро-
индуцированного космическими лучами.
Эффективное сечение р-распада при столкновении кванта
света или электрона с тяжелой частицей (протоном или нейтро-
нейтроном) в первом приближении, т. е. с учетом рождения только
одной р-частицы, вычислено Фирцем [2]. Как и следовало ожи-
ожидать, это сечение очень мало. В связи с этим представляется ин-
интересным вычислить вероятность р-распада при центральном
ударе.
В качестве падающей частицы рассмотрим очень быстрый
электрон. Его энергия Ей много больше тсгл что наверняка вы-
выполняется в космических лучах (т —масса покоя электрона).
Волновую функцию падающего электрона можно представить
в виде сферической стоячей волны. В соответствии с задачей о
центральном ударе будем считать тяжелую частицу неподвижной
и находящейся в начале координат. Волновую функцию полага-
полагаем в виде стоячей, а не бегущей волны потому, что в данном
случае речь идет не о возникновении, а о прямом и обратном
движении, которое почти не возмущено р-распадом. Совсем ина-
иначе обстоит дело с электроном, вылетающим из ядра. Волновая
функция такого электрона имеет особенность в начале коорди-
координат и не является поэтому регулярным решением уравнения
Дирака.
• сФиз. журн. СССР», 1937, 12, 138.
133

Для простоты ограничимся рассмотрением состояний электро-
электрона с полным моментом / = 1/г. Им соответствуют четыре различ-
различные собственные функции. Спин двух первых ориентирован по
направлению импульса частицы. Остальные две функции харак-
характеризуются спином противоположного знака. В обычных спек-
спектроскопических обозначениях для двух первых функций / = 7i»
1=\у т = \ и 0, а для двух следующих г=4/2| /=0, т=0 и /=1,
Все четыре собственные функции в указанной последователь-
последовательности имеют вид
-'rt
Po
Po
Po
Po
it —
Po
Будем далее верхние индексы 1, 2, 3, 4 обозначать буквой а.
Функция Ф нормирована на один электрон в объеме V=4/a я#в.
При этом
' ~~ 2 VnR T Sln ~h '
Здесь fu'=dfldx и т. д.;
В дальнейшем, там, где это не ведет к расходимости интегра-
интегралов, будем полагать Е0=ср0. Это приближение уже использовано
Ч"Ч)A)
Волновую функцию конечного состояния можно представить
плоскими волнами
C)
Здесь и?(р) —спинорная амплитуда волны Дирака с р = 1 и 2.
Она также определяется в приближении ?=ср, поскольку ?, как
будет видно из дальнейшего, имеет порядок величины ?0.
134

Поле падающих электронов, соответствующее переходу pD,
а->ф, р описывается методом Меллера. Л именно: конструируют-
конструируются соответствующие плотности заряда и тока
причем скалярный и векторный потенциалы искомого поля опре-
определяются из уравнений Даламбера
Пф=_-4др; ОЛ = -4я//Л D)
здесь a — вектор Дирака.
Для удобства решения уравнений D) ^?a(p0) разлагается по
плоским волнам:
цг@) (pQ) = e-iEat/h J aw (p') e»'n/A d p\
согласно интегральной формуле Фурье
здесь aa(p') —спинор:
1 _
+-А=
0
1
0
1
(pi+*pi)/Po
Рг/Ро
Pi/Po
1
0
I
0
—pi/Po
E)
Этот спинор отличается от спинора плоской волны. Так, если
иа и и4—амплитуды спинора, соответствующие положительной
энергии, то у1 и и2 не обязательно соответствуют отрицательной
энергии.
Окончательно получаем
Y(а> (ро) = т^* '¦»; .* '^" f u° (P') eP^d&e-Wb, F)
здесь jp'| =р0, ^Q'—элемент телесного угла для направления р'.
Отсюда обычным способом получаются <р и А:
G)

Массу тяжелой частицы можно считать бесконечно большой.
Ее изменение в процессе р-перехода пренебрежимо мало по срав-
сравнению с Ей/сК
Пусть, например, неподвижная тяжелая частица, располо-
расположенная в начале координат, является нейтроном. В этом случае
весь процесс вынужденного р-распада описывается в терминах
теории рассеяния следующим образом. Сначала нейтрон спон-
спонтанно распадается на протон, р-электрон и нейтрино. Это состоя-
состояние называется промежуточным. Далее Д-электрон взаимодей-
взаимодействует с падающей частицей и получает энергию, достаточную
для перехода в конечное состояние.
Импульс и спин спонтанно возникающего электрона в про-
промежуточном состоянии обозначим через Г, 6E = 1, 2, 3, 4). Элек-
Электрон может иметь и отрицательную энергию. Конечное состояние
электрона и нейтрона обозначим соответственно через I, у(Vе
-1,2,)и$,е(е=1,2).
Возмущенная собственная волновая функция электрона в
конечном состоянии представляется с помощью обычных формул
теории рассеяния
V (p'-p)8@(PO
(8)
гдеГ=1+р-~ р'и
у* У) "р (р) ц*6 (П *v 0) 0м (рЧ « "р (р) ц<6 00 « *у С)
(9)
Обмен между падающим и возникающим электронами будет
учтен в дальнейших формулах.
Обозначим Е{1)+Е(р)—Ео через W. Суммирование по пере-
переменной б выполняется известным способом: числитель и знаме-
знаменатель (9) умножаются на W+E(Y) и в числителе ?V заменя-
заменяется на Ни*.
Кроме того Zu}* uj*—бл. В результате имеем
Фермиевский матричный элемент, определяющий рождение
р-электрон а и нейтрино, пропорционален значениям их ^-функ-
^-функций в начале координат.
Для учета обмена следует взять в матричном элементе анти-
антисимметричную комбинацию состояний двух электронов. При
этом антисимметризации подлежит только одна пара состояний.
Таковой может быть, например, пара конечных состояний р, р
1
136

В случае перехода протон-июйтрон нужно было бы рассмот-
рассмотреть обмен падающего электрона с электроном, имеющим отри-
отрицательную энергию.
Для искомого матричного элемента получаем следующее вы-
выражение:
И = gVB (i)
r)dQ'. A1)
Интегрирование по dQ' выполняется без труда. Именно: в при-
приближении Me л л ер а полагается
Р= -fl —?
Но поскольку тсг<^Е9ч применима следующая формула
limf-^<fc=—/@Iпа + 0A).
о-о Je l-y
о
Эта формула получается интегрированием по частям, если
только /@)=И=0 и f@)^oo. Интегрирование A1) выполняется
после подстановки I—cosZ_(p/p) = t/ и соответственно 1—'COsZ.
Z_(p'l) = ?/. Следует только еще подставить р'||р в ха^ и р'Ц1
в я:аТВ.
Для дальнейшего р'(|1 обозначим через р" и определим вектор
I" тождеством 1"=1+р—р".
Далее будет видно, что ?"(/) и Е(р) имеют тот же порядок
величины, что Ей, поэтому
можно представить более кратко в виде 2 In —.
137

При этом получаем
0\iB.-EW-m-BWMhin2 rJk
шса Е(р) ЕA)
A2)
Искомая вероятность перехода имеет вид
[ Я |2 ^б 1Ъ-? (р)-Е (/) -?(¦)].
ft
Просуммируем эту вероятность по конечным состояниям всех
частиц. Сначала вычислим сумму по спиновым координатам е»
Р, у. Но поскольку каждое из четырех значений а равноценно
(веса всех этих значений в нашем приближении равны), выпол-
выполним суммирование только по а и разделим результат на 4. При
суммировании встречаются члены двух типов: l^ffyl2 и
Рассмотрим член первого типа:
Y S 1 *«ev"812 (^а -51 (ОJ = Т 2 I«e (w
—м8 (W + с (al')) awV«auP |». A3)
Индексы р, Y' 8 пробегают значения от 1 до 2. Можно прида-
придавать им значения от 1 до 4, если по известному методу Казимира
заменить и?(р) на
p
1 О, Р-3,4.
Аналогично заменяются ытA) и w"(s).
Искомая сумма преобразуется следующим образом:
2 2 "в (^+ с (al')) и^*°и%" (^ +с (о*I')
a=i pve==i
x/1 + Щ ив {w + с (al'))
(Г+с (аГ))
с (аГ)) (l + Й9) (V -u с (аГ))
Здесь ^ означает операцию сопряжения, так что a=a. Перед
вычислением шпура удобно сначала выполнить интегрирование
по dQ., т. е. по всем направлениям импульса нейтрона. При этом
138

члены, линейные по s, исчезают, а независящие ит s умножаются
на An. Вычисление шпура производится обычным образом с уче-
учетом того, что для единичной матрицы 6ik шпур о\<=4. Шпур каж-
каждого члена, содержащего нечетные степени (аА), равен нулю.
При суммировании по а используются следующие соотношения:
A4)
2 «а С) V»" (Р) - 2 Н1. 2 5" @ «iW (Р) = О-
<i ^ а
Здесь введено обозначение "у*=«*«*, индексы i?s следуют в по-
порядке циклической перестановки.
После введения еще одного обозначения Aр)//р=| искомое
выражение A3) представляется в виде
=* 4:tc* (pi + (ро-р) (с,-/)) A -1)*. A5)
Теперь вычисляем смешанные слагаемые
1 ^i ^ -'W^c(ar))wv(|)^a(p')uP(p)x
х и** (W? +с (аГ) w*P (p) va (p") w*P (I) A6)
плюс аналогичные слагаемые, в которых а действует на итA) и
ы*(р). При этом снова вводятся операторы Казимира и произ-
производится интегрирование по dQ8. После вычислений из A6) по-
получаем
- 4 лс» {1 -Е)« A -! 1) (р0-0 (д,-р). A7)
В том же приближении для знаменателей в A0) имеем
A8)
{ pa(%).
После подстановки A5), A7) и A8) в \Н\* находим

Дальнейшее интегрирование по dQp и dQ. сводится просто к
умножению на DлJ. Линейный по I член исчезает.
По абсолютному значению s легко провести интегрирование
с помощью б-функции. Поскольку вес состояний, заключенных
между s и s+ds равен szV/BjiAK, интегрирование снова сводится
к умножению — теперь на (/70—р—/)в/Bя)*сА\ После введения
переменных ?,=Е(рIЕ0 и и\=ЕA)/Е0 искомая вероятность пере-
перехода в единицу времени в интервал d?dx\ представляется в виде
О9)
Для получения вероятности перехода при одном столкнове-
столкновении следует разделить A9) на поток падающих частиц
с ] WaWdo. Здесь в качестве Ч* надо брать не стоячую, а набе-
набегающую волну, для которой ток равен 4с/R.
Представляет интерес привести в явном виде результат ин-
интегрирования по dx\ от 0 до I—?:
428 я*\hcj h*c* U2 3 12
Вероятность различных значений ? в интервале от 0 до 1 не
имеет ярко выраженного максимума и для |=0 и |-1 равна
нулю.
Наконец, полная вероятность процесса
^sg. B0)
4616 тИ \hc) h»c« ?0
Эта вероятность даже для крайне больших значений ?0 (?0~
~ 1040 eV) составляет около 10^10.
Выражаю сердечную благодарность профессору Л. Д. Лан-
Ландау за решающие указания.
Л итер атура
1. W. tieisenberg. Z. Phys.,'1936, 101, 533.
2. М. Fierz. Helv. phys. acta, 1936, 9, 245.
140

ИНДУЦИРОВАННЫЙ р-РАСПАД ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИЦЫ
С ОДНОВРЕМЕННЫМ ИСПУСКАНИЕМ КВАНТА*
Известно, что частицы космических лучей, проходя через ма-
материю, образуют в ней так называемые ливни, имеющие па фо-
фотографиях вид нескольких треков, выходящих из одной точки.
Для объяснения ливней Гейзенберг [1] предложил привлечь тео-
теорию р-распада Ферми [2]. Наличие в ней новой универсальной
постоянной g позволяет построить определенную комбинации)
размерности длины. Тогда, если длина дебройлевской волны на-
налетающей частицы будет порядка этой длины, вероятность одно-
временно образования нескольких р-частиц окажется того же
порядка, что и вероятность образования одной частицы, т. е.
эффекты высших приближений теории возмущений станут срав-
сравнимы с эффектом первого приближения. Паули, однако, показал,
что теория Ферми принципиально непригодна для построения
высших приближений. Одновременно Хейтлеру и Баба [3] уда-
удалось устранить основную трудность объяснения ливней с по-
помощью пар электрон — позитрон, исходя из так называемой ла-
виилой теории. В то время как вероятность возникновения не-
нескольких пар одновременно пропорциональна соответствующей
степени постоянной тонкой структуры, наблюдения совсем не
показывают такого показательного спадания числа ливней с воз-
возрастанием числа входящих в них частиц. Согласно лавинной
теории, одна возникающая пара образует другую, другая —
третью и т. д. При этом вероятность возникновения любого ко-
личества частиц пропорциональна всегда одной и той же степе-
степени постоянной тонкой структуры.
Все эти результаты, однако, не означают непригодности пер-
первого приближения теории Ферми для расчета индуцированных
р-переходов, могущих представить известный интерес. В настоя-
настоящей работе вычисляется эффективный поперечник рассеяния
жестких ^"Квантов тяжелой частицей с одновременно ее fHipe-
вращением.
При этом делаются следующие допущения:
а) энергия кванта гораздо больше как тс2 (т — масса элек-
электрона), так и масс-дефекта тяжелой частицы в переходе ней-
нейтрон — протон. Последним поэтому можно пренебречь, и резуль-
результат будет равно описывать переходы прямой и обратный;
б) масса тяжелой частицы бесконечно велика. Тяжелая час-
частица может получать только импульс, но не энергию. В дальней-
дальнейшем она предположена покоящейся в начале координат.
Рассматриваемый эффект относится в общей сложности к
третьему приближению теории возмущения: первому в теории
* ЖЭТФ, 1938, 8, вып. 10—11.
141

распада и второму в теории излучения (как всякий эффект рас-
рассеяния).
Промежуточные состояния системы образуют следующий на-
набор: тяжелая частица спонтанно распадается на другую тяже-
тяжелую (легкую) заряженную частицу и нейтрино; второе промежу-
промежуточное состояние может получиться двумя способами —либо
легкая частица поглотит падающий квант, либо испустит рас-
рассеянный. В первом случае в конечном состоянии частица должна
испустить рассеянный квант, во втором случае — поглотить па-
падающий.
Пусть импульс падающего кванта k (?~/i<u/c), импульс рас-
рассеянного кванта к'(й'=А<о'/с), импульс легкой заряженной части-
частицы в конечном состоянии р. Так как импульс в промежуточных
состояниях сохраняется, во втором промежуточном состоянии в
первом случае он должен равняться р" = р-|-к', а во втором слу-
случае р^ =р—к.
В первом промежуточном состоянии, из какого бы второго ни
исходить, получается импульс p'=p-t-k'—к.
Из общей теории следует такое выражение искомого диффе-
дифференциального эффективного поперечника процесса:
Ны
2уор'Ур'"Ур i
(Е' — Е\(Е" — Е\ '
<?'-?¦ )(?"-?)
^ (
(?'-?«) (<-?„) | h <2л*K
Предположим ^-функции всех частиц нормированными к едини-
единице на объем V. Тогда
ее I/5j5*(f) (an) iif
= ec
Здесь s означает импульс нейтрино, ttf(s)—соответственно все
остальные u-амплитуды дираковских плоских волн, причем знач-
значки i и т. пробегают значения от 1 до 2, a k и / — от 1 до 4 (про-
(промежуточные состояния могут иметь отрицательную энергию).
142

Суммирование под знаком модуля производится по k, l\ п, п*—
едитшчньге векторы поляризации падающего и рассеянного
квантов.
Далее
?¦ —?•=»#(//)—Ла + ?(я), C)
&--?•== Е1 (pi)+ *©' +
Суммирование по k, l выполняется по известному способу
Дирака:
&=s у \и{(s) uk (р') и*(р') (an) и1 (р") ц' (р") (on') ит (р) (
ft, Л [Е (s) -f ?* (p')] [? (s) - /ко + Е1 (р")\
»* (р7) У (rt (any) и1 (Р;> ц; (р^) (an) um (р)
-)¦
— и* (¦) \Е М - Я (Р'I («л) [? (s) -fm-H (p")) (an') um (р)
[?2 (s) — ?* (//)] ЦЛо> — ? (s)J — Е2 (р")]
u< (s) [Е (s) - Н (р')] (on') [Е {$) + ftoo' - //(pj)l (an) um (p)
I • D)
[С* (s) - ?» (p')J [(Я (s) -h Aa>'J - ?2 (P^J
Здесь Я(р') —оператор энергии уравнения Дирака, где, однако,
р'—обыкновенный вектор, а не hji-V. Обозначим для сокраще-
сокращения знаменатель первой дроби через flf а второй —- через f2.
Просуммируем далее по спинам конечного состояния, т. е. па
значкам i% m, от 1 до 2. Это легче всего осуществить по известно-
известному способу Казимира, который заключается в следующем. Заме-
Заменим и'($) выражением 7* [l+#(s)/?(s)]tt'(s). Оно остается рав-
равным a'(s) при 1—1, 2, т. е. в состояниях нейтрино с положитель-
положительной энергией, и равно тождественно нулю при i=3, 4. После
замены по i можно суммировать от 1 до 4. Аналогично посту-
поступим с ит.
Тогда квадрат модуля первого члена b будет равняться
2 I«' (*) ^Е (s>—и (Р'I («") [Е (в)—Л©—Я (р")] (an') am (р') |2 ^
-Я(р'I(оп)[Я(я)-Лш-
Прежде чем вычислить шпур, удобно произвести интегриро-
интегрирование no dQti т. е. по всем направлениям импульса нейтрино.
143

Тогда, принимая во внимание, что покоящаяся масса нейтрино
равна нулю и J H(s)dQ.=0, получим
f dQ,21Ь Г = -t spur |[?(«)-Я(р')](«n)
)-tf(p')] («m')
-Я (pl)l (on)(l + jg)(«")I?(*)+>*>'-Я (P,")](an')
)-Я(р')] (on) [ ?(s)-Am-
.'-.f (pl)l (an') (? (s)-
Если бы с самого начала писать матричный элемент ^-перехода
как GjV-Wbu\ в E) вошли бы шпуры вида spur{6516}= spur{Щ,
так как матрица 6 унитарна. Ее нельзя опускать, если в дальней-
дальнейшем не иметь в виду интегрирование по импульсам нейтрино.
Аналогично в анзатце Кокопинского — Юленбека р-матрица не
влияет на результат.
При вычислении шпуров мы будем пренебрегать величинами
порядка тс2, так как все входящие в задачу импульсы положены
много большими.
В знаменателях замена ?(р) на ср повела бы к расходи-
мостям в интегралах. Здесь мы положим
F)
В выражении E) достаточно выписать только шпуры Л и В»
так как С ничего не прибавляет к эффекту в рассматриваемом
приближении (см. ниже).
Называя
G = 2n(np/p)—P/P, <S'=2n' (n'p/p)—р/р,
будем иметь
п)-
144

-У («In)]+2s [(s -^)>p') -2 (s- h-f
- 4 (pV) s [(s -(- ^)f («'n')- 2 (s + *^j (pV) +
+2 (€'P;) (pjn')-rp?F'n')] +2s|s+ ^(в'рГ)-
-2 (s + ^ (pip') + 2 (g-pj) (p;P')-2 («'P')Л2] ¦ G)
Интегрирование по s легко выполнить, пользуясь входящей
в A) б-функцией. Именно: 5=йш—Лт'—/?, и вся операция сво-
сводится просто к умножению на s и соответствующей замене в
подынтегральной функции.
Проинтегрируем далее по всем направлениям импульса р.
Для этого надо преобразовать множители, входящие в ft и /г,
пользуясь F). Именно:
[Е (р) -к*'Г-
1 —cos (pk') -\-т2(?/2р2Ъ
с2 (hn'Ic-sY + ?* Ы -= \Е(p)-ckf-B (|р—ife |)-
= 2pkc* 11 - cos (pk) f nt<*l2p\. (8)
Теперь легко произвести само интегрирование по формуле
0A)
lim Г ll*l*L= /B^/'@)ln(a) f 0A), а>0. (9)
а-»о J а -у х а
о
Под х будем понимать один раз 1 — cos(pk'), другой раз 1 —
cos(pk). Рассматривая шпуры, легко видеть, что А обращается
в нуль при р||к' и В — при р||к. Остаются поэтому только члены»
пропорциональные In pjrnct т. е.
Знаменатель третьего члена E) становится малым в двух
точках: при рЦк и при р||к'. Каждая из точек дает, однако, толь-
145

ко член, содержащий In pjmc. Но в обеих точках С равно нулю.
Это легко видеть таким способом: при р||к' оператор (ар") анти-
перестановочен с (an'), так как (аА) (аВ) -f (аВ) (<*А)=2(АВ),.
(k'n')=0 и аналогично (рп')=0 при р|[к'. Тогда сомножитель
{s—hiblc— (ар")](ап')[[+ (ар)IP], входящий в С, равен (p + k')-
•(an')[l— (ap)//?]X[l+ (ap)//?]=0. Область, где к по направле-
направлению близко к к', прибавляет к интегралу члены гораздо меньше-
меньшего порядка, так как, хотя знаменатель в ней становится того же
порядка, что и в первых двух членах E), сама область мала.
При дальнейшем интегрировании по направлениям к' А и В ум-
умножатся снова на логарифмический член, становясь порядка
In h&fmc2. Между тем, если удержать величины 0 A), остающи-
остающиеся от интегрирования С по dQp, они войдут в окончательный ре-
результат в крайнем случае пропорциональными первой степени
In h(o/mc\ Содержать тс2 в знаменателе они, конечно, не могут,
так как их порядок во всяком случае не больше Аи В.
Чтобы проинтегрировать по dQk\ представим знаменатели в
виде
Далее все логарифмы следует заменить на логарифмы In /ш/
fmс2, потому что остальные входящие в них сомножители сами
0(Ам/р) и замена отвечает пренебрежению членами 0A). Тогда,
снова пользуясь (9), получим
4- к'УЩк-р-кТ .[.(p+kTi-r ^р [р2 + (Р-
Эффективный поперечник вычисляется для энергии падаю-
падающих квантов, ибо для числа квантов он расходится при малых k\
как это часто оказывается, A2) содержит kn в знаменателе, и
матричные элементы B) тоже дают k'-K Полный эффективный
поперечник будет
22 л3 [he) Аяс* тс»
A3)
Если исходить из анзатца Конолинского и Юленбека, Ф будет
пропорционально ш4. Ход вычислений ни в одном пункте не отли-
146

чается от приведенного. При /нд=1000 тс2, как это можно поло-
положить для космических лучей, Ф имеет порядок величины \0~™см2
в связи с малостью g~ Ша эрг-см3.
Литер ату р а
1. W. Heisenberg. Z. Phys., 1937. 101, 533.
2. Е. Fermi. Z. Phys., 1936, 88, 161.
3. Heltler. Bhabha. Proc. Roy. Soc, 1936, A159, 432.
О НОВОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ДИРАКОМ*
(Представлено академиком Н. Н. Семеновым 20.XII 1951)
Недавтго Дирак 1 предложил новую формулировку классиче-
классической электродинамики.
Уравнения Дирака выглядят так:
ЛИ'=-^. B)
е*
Следовательно, потенциалы в этой теории не являются произ-
произвольными величинами, а пропорциональны току, с которым они
связаны соотношением
'< = >А C)
Дополнительная величина л определяется условием B), налага-
налагаемым на потенциалы. Соотношения между полями и потенциа-
потенциалами, конечно, обычные.
Дирак показывает, что в предельном случае весьма малых л
его уравнения переходят в уравнения движения малого заряда
в электромагнитном поле, такие, как в лорентцевской электро-
электродинамике.
В настоящей заметке рассмотрено решение уравнений Дира-
Дирака для заряженной сферы.
Показано, что если задан первоначально покоившийся поло-
положительный заряд сферической формы, равномерно распределен-
* ДАН СССР, 1952, 82, вып. 6, 873.
1 P. Dlrac. Proc. Roy. Soc, 1951, 209, 291.
147

ный в пространстве, то уравнения Дирака имеют два решения.
1. Решение, в котором заряды разбегаются. В предельном
случае малой начальной плотности оно переходит в решение,
даваемое обыкновенной электродинамикой, как и должно быть.
2. Решение, в котором заряды сходятся к центру. Оно, оче-
очевидно, не может соответствовать физической реальности. Между
тем оно удовлетворяет тем же начальным условиям. Если в клас-
классической электродинамике от него еще можно (словесно) отде-
отделаться, то при переходе к квантовой теории, вероятно, встретятся
очень большие трудности*.
Уравнения Дирака для поставленной нами задачи выглядят
так:
1^г2Е = 4лЬф, D)
г1 дг
4«М, E)
с at
Е ?--?. F)
дг с di
Ф>_Л«=^. G)
Здесь ф — скалярный потенциал, А — радиальная составляющая
векторного потенциала, пропорциональная радиальному току,
Е — радиальная составляющая электрического поля.
Введем новые переменные:
Ф^-^сЬф, А = ~— sh*, (8)
?=^8. (9)
Заметим, что если выбрать в равенстве (8) знаки +, то полу-
получится упомянутое вначале неправильное решение. Положение
здесь аналогично двузначности энергии в теории относительно-
относительности. Знак при sh -ф не важен, потому что он отвечает просто вы-
выбору знака ф. Исключая К из D) E), получим следующую систе-
систему уравнений:
U+cth ¦-15+^-0. A0)
or с oi т
^ Ц*-в = 0. A1)
2 В обычной релятивистской механике имеется аналогичная трудность, потому
что получаются два знака энергии, или, что то же самое, два знака массы.
Но отрицательные массы исключаются начальным условием.
148

Уравнения характеристик выглядят так:
dr=^ = -^, A2)
Эта система легко интегрируется и дает
ы* = С1ч ' A4)
&ю A5)
/ = с A6>
Общий интеграл системы A0), A1) выглядит так:
A7)
В начальный момент радиальный ток отсутствует. Следова-
Следовательно, Л=0, shi|5=O, ф=0, ch^=l. Но произведение ггг внут-
внутри сферы непостоянно. Поэтому F(Ct) =0.
Чтобы определить вторую функцию, найдем с помощью D)
распределение поля в начальный момент. Имеем
во=4-я —г==вг< r^R. A8)
Здесь R — начальный радиус сферы, р0 — начальная плотность.
Таким образом, решение поставленной задачи выглядит так:
er+ch^=l + Vra?ri, ег2<а#3, A9)
ct = er» Г ^^^ . B0>
В неправильном решении в формуле B0) стоит минус перед
интегралом. Но это значит, что -ф с течением времени уменьша-
уменьшается, г[><0, Л<0. Мы не можем теперь выбрать 7,<0, потому что
тогда получится отрицательная плотность заряда, вопреки пред-
предположению. Полное время спадания в точку, как видно из B0) г
конечно. Покажем еще, что в предельном случае малой началь-
начальной плотности заряда при нашем выборе знаков в (8) получится
обычное решение. Возьмем крайнюю точку сферы, для которой,
согласно A9) ег2=аЯа. Для нее уравнение B0) принимает вид
V B1)

При малых а оно приводится « виду
г
ct = Bа**) -ш (V (l — * V1'1, B2)
как в обычной электродинамике.
Заметим, что а ~1 отвечает совсем небольшим плотностям
заряда, при т=10~17 всего 0,8* 10'а электрон/см\
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ *
Как известно, классические уравнения электродинамики не
могут быть регуляризованы релятивистско-ипвариантным обра-
образом в рамках чисто электромагнитной картины поля. Классиче-
Классическая модель протяженного заряда неустойчива по теореме Ирн-
шоу, а допускавшиеся раньше неэлектромагнитпые силы были
дальнодействующими и поэтому не укладывались в рамки тео-
теории относительности.
В настоящее время теоретическая физика знает примеры ре-
лятивистско-инвариантных полей помимо электромагнитных, на-
например векторное мезонпое поле. Оно, как бозонное, допускает и
предельный переход к неквантовой теории. Поэтому можно за-
заново поставить вопрос о построении устойчивой классической
.модели заряда, в которой электрические силы отталкивания
уравновешиваются «мезотгными» силами притяжения. Разумеет-
Разумеется, расчеты по классической модели представляют чисто мето-
методический интерес и не могут непосредственно сравниваться с
опытом.
Любопытно, однако, что регуляризация на основе «мезонно-
го» поля удастся без введения в теорию новых констант. Оказы-
Оказывается, что устойчивую модель протяженного заряда можно по-
получить только, если принять, что «мезонному» полю отвечают
виртуальные, а не реальные частицы. Последние не дают устой-
устойчивого равновесия с электромагнитными силами.
Будем исходить из релитивистско-инвариантного лагран-
лагранжиана
I = j dv [ J- (FJ -х'ф? -Е%) ±U (Ф| 1-4,)] . A)
ЖЭТФ, 1962, 43, вып. 6A2). 2185.
150

Здесь ф, — электромагнитный, 1|з,- — «мезонный» потенциалы; Eih
и Fik — соответствующим образом определенные поля; хй —
инвариантные константы. Знак у? выбран в соответствии с тем,
что «мезонггае» поле — виртуальное. Существенно, что электро-
электромагнитные и «мезонные» слагаемые ?"?fe и F»ft входят с разными
знаками, так как «мезонное» поле должно быть притягивающим.
Дальнейшие вычисления удобно производить в системе покоя
заряда как целого. Тогда из A) получаются обычным образом
уравнения электростатики и «мезостатики»:
B)
C)
D)
При этом ф, я|з и р — временные компоненты потенциалов и плот-
плотности тока, Е и F — электростатическое и «мезостатическое»
поля. Формула D) выражает условие равновесия сил. Следует,
конечно, потребовать и устойчивости равновесия.
Уравнение D) имеет два решения: р=0 и Е=—XF. Будем
считать, что первое имеет место при г>гйч а второе при r^.rCt
т. е. внутри области, занятой зарядом, в которой, таким образом,
ф=Я«ф + С. E)
Подставляя это в B) и C), находим
Кг) F)
— К2) при r^r,t G)
при /->/v (8>
Таким образом, «мезонное» поле и вне заряда — переменное
в пространстве. Но так как на иа не накладывается никакого
ограничения сверху, можно допустить, что пространственный пе-
период сколь угодно мал и поэтому «мезонное» поле не наблюдает-
наблюдается. Другой вариант, с быстро затухающим в пространстве «ме-
зонным» полем, не дает устойчивого равновесия с электростати-
электростатическими силами.
Решения G) и (8) всегда могут быть сопряжены при г=г^
Далее, надо удовлетворить непрерывности электрического потен-
потенциала и поля: ф(Го)=?/го, ?(го)=е/гоа. Это дает значение посто-
постоянной С из E):
где v= A-й,1)-*.
151

Через С очень просто выражается энергия заряда, которая
равна
±\ A0)
Производя над ней обычные преобразования, основанные на том,
что Е—— Vqj, F=—Уф, и на уравнениях B) и C), получим
=y. (И)
Теперь покажем, что ? имеет минимум при известном значе-
значении г0. Для этого удобно записать v так:
что дает
П ^ИйГ1 A3)
При го=0 знаменатель этого выражения имеет конечное значе-
значение и положительную производную, при ехг„=п он обращается
в —оо. Следовательно, существует определенное значение ехг0,
где знаменатель максимален, а & имеет минимум, т. е. равнове-
равновесие устойчиво. Оно достигается при ехгп=2, 3, когда
A4)
следует приравнять энергии покоя частицы /гас2, откуда
хе—3,54 тс*1е\ го^О,65 е*1тс\ A5)
Можно показать, что в слабом внешнем поле величина m=Cc2/
12с- есть коэффициент пропорциональности между силой и уско-
ускорением заряда.
Таким образом, в ответ входит только произведение хе, а не
каждая из величин в отдельности. Можно, например, считать е
сколь угодно малым, а х устремить к бесконечности. Если б стре-
стремится к нулю, то постоянная связи к стремится к бесконечности,
а произведение Я/ф остается конечным, как это легко видеть из
краевых условий при г=г0. Но так ка.к «мезоипое» поле имеет
бесконечно малый пространственный период, оно никак не дей-
действует на внешний заряд, который согласно A5) тоже имеет ко-
конечные размеры.
152

КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
С МОМЕНТОМ*
Ранее [1] было показано, что можно построить устойчивую
протяженную классическую модель заряженной частицы, урав-
уравновешивая электростатические силы отталкивания «мезонными»
силами притяжения. Соответствующие векторные мезоны долж-
должны иметь мнимобесконечный заряд и мнимобесконечную массу.
Если выбрать их массу действительной, то равновесие оказыва-
оказывается неустойчивым; мнимая, но конечная масса приводила бы к
сверхсветовым скоростям. Поэтому, чтобы лагранжиан удовлет-
удовлетворял необходимым требованиям релятивистской инвариантно-
инвариантности не только по форме, надо выбрать массу частиц мнимобеско-
нечной. Тогда из уравнений следует, что и соответствующий за-
заряд мнимобесконечен.
Вне области, занятой электрическим зарядом, «мезонное» поле
имеет бесконечно малый пространственный период и поэтому
непосредственно не воспринимается. Таким образом, в теории не
появляются никакие новые физические постоянные, кроме радиу-
радиуса (или массы), который имеет чисто полевую природу и оказы-
оказывается конечным в результате вычитания энергии «мезонного»
поля из энергии электростатического поля.
В настоящей работе ставится вопрос о некотором расшире-
расширении предлагаемой модели. Можно допустить, что она обладает
не только статической плотностью заряда, но и стационарным
распределением тока. Такая модель может существовать, не из-
излучая, если только электромагнитная сила везде уравновешива-
уравновешивается «мезонной».
Основные уравнения в системе покоя заряда как целого, со-
согласно [1], записываются в виде
Д<р—4лр, A)
B)
, C)
rot rot В = — 4jxc-1XJ—x2B, D)
Е—XF+c-U H-XG]=0. E>
Здесь <р, А, Е, Н—электромагнитные, ф, В, F, G — «мезонные»
потенциалы и поля, р, j —плотность электрического заряда и
тока. Инвариантная по определению константа % характеризует
заряд как источник «мезонного» поля, знак х* выбран в соответ-
соответствии с виртуальностью этого поля.
В дальнейшем мы принимаем, что ток j и потенциалы А, В
имеют только азимутальные компоненты относительно некоторой
• ЖЭТФ, 1963, 44, вып. 6, 2169.
153

оси симметрии и сами от азимута не зависят. Таким образом бу-
будут удовлетворены закон сохранения заряда и условие Лоренца
для электромагнитного потенциала.
Как и в [1], положим Хг->—оо и преобразуем в соответствии
с этим уравнения A) — D). Смысл преобразования достаточно
хорошо виден из операций над уравнениями A) и B). Комбини-
Комбинируя их, получаем
Введем обозначения
=— у, (i—x*)-1^'2, G)
тогда в пределе получаем
А (*-</) =-*V*, (8)
p=xVx/4rt. (9)
Произведение xv считается конечным. Аналогичные преобразо-
преобразования выполняются над магнитными величинами.
Система уравнений A) — E) нелинейна. Она не допускает
обычного разделения переменных в конечном виде путем разло-
разложения по полиномам Лежандра. Физически это понятно: невоз-
невозможно уравновесить силы от какого-то одного магнитного муль-
типоля, в частности диполя, во втором слагаемом E) конечным
числом электрических мультиполей в первом слагаемом. Поэто-
Поэтому заряд как целое будет обладать не только магнитным диполь^
ным моментом, но и всеми магнитными моментами нечетного по-
порядка и всеми электрическими — четного порядка. Возможно,
что это непривлекательное свойство классической модели не пе-
перейдет в квантовую теорию, где жесткое условие равновесия за-
заменяется гораздо менее стеснительным условием стационар-
стационарности.
Для электрических величин ищем разложения вида
со во
х = 2 **k (г) Р* (cos 9), у = 2 У* (г> р*ь (cose) 0 °)
и для магнитных —
х = 2 хшы (r) #ft+i (cos 9)> У = S У*и W Pikn (cos 9). A1)
Подстановка в уравнения (8) дает
A2)
где четность s — любая.
154

При подстановке в нелинейные уравнения E) надо перераз-
переразложить произведения полиномов Лежандра по их первым сте-
степеням. Для этого имеем следующие формулы:
*+'
А+/+1
i = 2
n=\k-l\
в A5) четность s, t произвольна, но одинакова. Коэффициент
L™^ находится, согласно [2], следующим образом («формула
Герона»):
rt>li 4(A-h/+n)+l [2{k |-i — л)]
[2(я + ^-*)-!!" [2(* + /
Далее,
M5Ut*« =T IP*+ 0B*+ 2)
^4i. 07)
$ti 4п(л |-1) ',*• '
где порядок нижних индексов в последней формуле, очевидно, не-
небезразличен.
Сравнивая теперь коэффициенты при одинаковых полиномах»
получаем условие равновесия для радиальной составляющей
силы ,, \
2 S [^^^-^^^^i1T(r^+i)] = 0, A9)
где л^О. Для составляющей силы, перпендикулярной радиусу,
находим (азимутальная составляющая равна нулю по соображе-
соображениям симметрии)
V B0>
причем
155

Уравнения A2), A9), B0) образуют полную систему, кото-
которая должна решаться внутри области, занятой зарядом г^.гп.
В начале координат г=0 выполняется условие регулярности:
разложение величины с индексом s начинается с Г. При г~гй не-
непрерывны составляющие поля и статический потенциал заряда.
Благодаря тому что «мезонное» поле осциллирует в простран-
пространстве» на него не надо налагать условий при г=оо. Поэтому усло-
условия его непрерывности при /•=/-<, могут быть удовлетворены всег-
всегда. Тогда условия непрерывности электромагнитного поля выра-
выражаются только при помощи величин х, у, определенных из внут-
внутренней задачи. Соответственно разложению A0) каждый член
четного порядка отвечает электрическому мультиполю, нечетно-
нечетного — магнитному мультиполю.
Согласно G) электромагнитные потенциалы определяются
просто как разности х—у. Следовательно, для нулевого порядка
имеем
Для всех высших порядков мультипольные моменты исклю-
исключаются, так что соответствующие граничные условия однородны.
Так,
^и "¦ д. B2)
Несколько разная форма записи для четных и нечетных мульти-
полей связана с тем, что первые — электрические, вторые — маг-
магнитные. Вместе с условиями B1) и B2), а также условием в
нуле система приведенных уравнений является полной и может
решаться численно, если ограничиться несколькими членами в
разложениях A0) и (И).
Энергию и момент нетрудно выразить в виде интегралов толь-
только по внутренней области. Так, энергия равна
71 [р {<(~
7 (А+щ]dV
7
Параметр xvr0 надо выбрать из условия минимума 8. В нулевом
приближении [1] энергия, вычисленная по B3), не имела мини-
минимума. Однако можно было несколько изменить определение ве-
величины v> связанной с «мезонным» зарядом X. Именно: заменяя
v на я/2хго+е, мы нашли единственное положительное минималь-
минимальное значение &. Выбор коэффициента л/2 дает наименьший ми-
156

иимум. Переход от v к е устанавливает некоторую связь между
массой и зарядом «мезонов». В дальнейшем, возможно, следует
минимизировать & и по форме заряда, отступая от сферической.
Пользуясь определением момента [3], можно выразить его
тоже через интеграл, только но внутренней области, причем по-
поверхностный интеграл обращается в нуль тождественно. Полу-
Получаем
vxre
|М |= || J[г, (А-ХВ)] P<*v| = j J Afe (}*„</.+
О
2
Л итер атура
1. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1962, 43, 2185.
2. ?. В. Гобсон. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М., ИЛ,
1952, стр. 89.
3. Л Вентцель. Введение в квантовую теорию волновых нолей. М., Гостехиз-
дат, 1947, стр. J 05—106.
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
С ДВУМЯ ФЕРМИОНАМИ. I *
1. Постановка задачи
Современная квантовая электродинамика обладает всеми
чертами законченной физической теории: она в состоянии одно-
однозначно предвычислить любой наблюдаемый эффект с заданной
степенью точности, если не надо учитывать никаких взаимодей-
взаимодействий, кроме электромагнитных. Расходящиеся выражения кван-
квантовой электродинамики частично отбрасываются, если они вхо-
входят в градиентно неинвариантные члены, частично устраняются
путем перенормировки массы и заряда. Хотя операция перенор-
перенормировки производится по строго определенному рецепту, остается
одна неудовлетворительная деталь: произведение расходящегося
интеграла на постоянную тонкой структуры считается малой ве-
величиной. Для оправдания говорится, что в «будущей» теории этот
интеграл станет конечным. Но трудно ожидать, чтобы эта буду-
будущая теория существенно отличалась от нынешней. Маловероят-
* ЖЭТФ, 1965, 49, вып. 6A2), 1781.
157

но, чтобы один и тот же круг явлений описывался двумя совсем
непохожими теориями. Скорее всего в аппарате теории должна
быть видоизменена какая-нибудь деталь, притом такая, которая
при современттом уровне экспериментальных знаний не влияет
заметным образом ни на один эффект.
Поиски этой детали облегчаются следующими соображения-
соображениями. Ландау, Абрикосов и Халатников [1] нашли, что наиболее су-
существенна расходимость собственно-энергетической части фото-
фотона. Если вычислить ее точно, а не в первом приближении по по-
постоянной тонкой структуры, то физический заряд электрона
стремится к нулю. По-видимому, основные трудности квантовой
электродинамики коренятся именно в фотонной функции Грина.
Джонсон, Бэкер и Уилли [2] показали, что если принять фотон-
фотонную функцию Грина при больших энергиях такой же, как она
выглядит у свободного фотона в нулевом приближении, то элект-
электрон будет обладать конечной массой чисто электромагнитного
происхождения при нулевой затравочной массе. В [2] авторы не
ставили себе целью устранить расходимость фотоннрй функции
Грина, полагая, что в нее должны дать вклад все заряженные
частицы, которые только существуют в природе. Тем самым было
высказано допущение, что квантовая электродинамика принци-
принципиально пе может быть построена как внутренне замкнутая и
последовательная теория уже потому, что большинство заряжен-
заряженных частиц ядер но активно.
Но это в какой-то степени плохо мирится с тем фактом, что
квантовая электродинамика в ее современной форме почти за-
закончена как физическая теория. Поэтому можно попытаться так
видоизменить аппарат квантовой электродинамики, чтобы ее
можно было формулировать без привлечения полей неэлектро-
неэлектромагнитной природы. Тогда обязательно надо учесть, что суще-
существуют две чисто электромагнитные частицы — электрон и ц-ме-
зон. В нынешней электродинамике их учитывают чисто формаль-
формальным образом: например, при вычислении собственно энергетиче-
энергетической части фотона складывают расходящиеся интегралы от
электронной и ц-мезонной петли.
Видоизменение теории, предлагаемое в настоящей работе, за-
заключается в том, что интегралы от обеих петель будут не скла-
складываться, а вычитаться. При этом расходящиеся выражения в
любом приближении по постоянной тонкой структуры сократят-
сократятся и останутся только конечные операции, связанные с устране-
устранением градиентно иеинвариантной части и перенормировкой за-
заряда.
Как было показано в [2], все выражения квантовой электроди-
электродинамики могут быть сделаны конечными вместе с фотонной функ-
функцией Грина.
Предлагаемая вычислительная процедура, по-видимому, не
может быть получена из лагранжева формализма. Надо допу-
допустить, что вакуумная петля существенно отличается от незамкну-
158

той фермионной линии, в частности на нее тгс распространяются
правила квантования. В то же время для незамкнутых линий
остается в силе прежняя процедура, так что пет оснований ожи-
ожидать каких-либо нарушений унитарности, как это бывает при
введении фиктивных регуляризующих частиц в лагранжиан. Вме-
Вместе с тем теория по-прежнему остается локальной и, разумеется,
релятивистски инвариантной.
Основными в предлагаемой схеме надо считать уравнения
Дайсона для гриновских функций фермиопа и кванта. При этом
оба фермиона должны входить в теорию симметричным образом,
но так, чтобы всевозможные фермионные петли па фотонной ли-
линии взаимно погашали бесконечные части. Если угодно, квант
является при этом как бы «сплавом» обоих фермжшов, совокуп-
совокупностью всех возможных петель с расходи мостя ми, которые со-
сокращаются попарно, Для вершинной части, как известно, точного
уравнения ис существует. Поэтому любой результат получается
лишь в том или ином приближении относительно постоянной
тонкой структуры. Здесь мы проследим разложения до членов,
квадратичных относительно постоянной тонкой структуры.
Чем можно оправдать предлагаемый прагматический рецепт?
Прежде всего, весь существующий аппарат теории остается поч-
почти без изменения. В принципе можно было бы заметить отличие
результатов в предлагаемой схеме от обычных только в радиа-
радиационных поправках второго порядка к магнитному моменту ja-
мезона. В соответствующие поправки для электрона ц-мезонная
петля дает вклад, который меньше электронного в отношении
квадратов масс обеих частиц, тогда как у ji-мезона вклад элект-
электронной петли больше. Но здесь зато очень мала сама поправка
от поляризации вакуума, так что точность современного опыта
недостаточна, чтобы высказаться за или против предлагаемой
модификации теории.
Л. А. Кружковой-Зайдсвой принадлежит следующее замеча-
замечание. Знак электронной петли надо во всяком случае считать из-
известным по лэмбовскому сдвигу у электрона. Поэтому знак ме-
зопной петли должен быть обратным, чтобы компенсировались
бесконечные части.
2. Фермионная функция Грина
Уравнение для фермионной функции Грина имеет вид (см.
13, с. 475, D4.4)])
О (Р) = S (p)+ Jj-S (p) JY|/? ip-k) rv (р, p-k\ k) G (p) Dm (*)d*k,
где S(p)=—(p—wn)-\ D^ — фотонная функция Грина, ГУ —
«точная* вершинная часть. Уравнение A) путем деления на
159

G(P)S{p) приводится к виду
B)
Но в дальнейшем, следуя [2], мы будем считать, что масса имеет
чисто электромагнитное происхождение. Тогда вместо S{p) надо
писать просто (р)~х.
Найдем уравнение для массы в нулевом приближении, по-
поЗдесь выбрана калибровка Ландау. Функцию G(p) ищем в виде
G{p)=[-X(p*)t + iY(p*)r. C)
Тогда, разделяя B) на четную и нечетную части, получим
Hp-P'f
Чтобы выполнить интегрирование по углам, удобно перейти
от галилеевского к четырехмерному евклидовскому пространст-
пространству, записывая для элемента объема 4np/sdpf smzxdx. При этом
надо положить, что р имеет только четвертую составляющую.
Тогда в результате элементарных выкладок оказывается, что ин-
интеграл, входящий в D), обращается в нуль, что было отмечено
еще в [2]. Мы получаем Х(рг) = \. Этим результатом можно поль-
пользоваться и в следующем приближении по е2 к уравнению E).
Интегрируя тем же способом по углам в E), приводим его к виду
Здесь y(z)=mf(z/m2), 3e2/16n2=L В частности, при х—О
Для дальнейших вычислений нам понадобится только условие
f@) = l. Асимптотический вид решения f(x) ~дг\ найденный
в [2], будет применен только для доказательства законности не-
некоторых упрощений.
160

3. Первая радиационная поправка
к фотонной функции Грина
Применим теперь предлагаемую вычислительную процедуру
для нахождения первой радиационной поправки к функции Гри-
Грина фотона. Для нее имеем выражение (см. [3])
Здесь
a n*t выражается известным образом:
Пй = -—¦ Sp \YoG(p)y?{p-k)d>p. (9)
Под G мы будем понимать не функцию Грина ферм иона в нуле-
нулевом приближении, т. е. не 5(р), а точную функцию C). В этой
функции достаточно положить, однако, Х=\, У=У@)=т. Но,
хотя G относится как бы к свободному фермиону, не надо счи-
считать, что p=im. В дальнейшем мы положим р=0, так что G =
= (im)-1=(i>y@)), где масса целиком электромагнитного про-
происхождения.
Таким образом, мы не должны учитывать никаких электрон-
электронных собственно-энергетических поправок в уравнении Дайсона,
равно как и |1-мезонных. Мы считаем, что они точным образом
учтены в G(p), которая находится из однородного интегрально-
интегрального уравнения. Поэтому, кроме поправок к DMV, надо будет учесть
еще только поправки к вершинной части.
Можно показать, что если для Д„° выбрана калибровка Лан-
Ландау, то и О»? будет чисто поперечным, если интеграл (9) сходит-
сходится. Таким образом, в первом приближении получим
0дт = 0&*О-Н>Ф). (Ю)
где б(р — разность выражений вида
ez 4 г т* ч- (р, р-к)- 2/31р» - (,Ф)Ч d {)
Bn)*ik* J (р*-!_т*I(р__/г)* + т2) k ;
образованная для двух фермионов. Для расходящихся интегра-
интегралов входящих в A1), берем известные выражения [3, с. 503]. Су-
Существенно, что коэффициенты при них не содержат масс, так что
бесконечные члены сокращаются. После этого получим
^l. A2)
Благодаря сходимости интеграла по р мы взяли только
G<0)=(im)-'.
6 Л. С. Компанеец \Q\

Выражение для бф следует, как обычно, сделать равным нулю
при fe~0. Для этого надо отбросить члены (т2г—тхгI2 и k2x
Х\п(т2г/т^). Последнее отвечает конечной калибровке. Заме-
Заметим, однако, что окончательный вид уравнения для отношения
масс от этой процедуры не зависит, так как члены, вошедшие в
перенормировку заряда, в уравнении для отношения масс сокра-
сокращаются. Но мы запишем б<р уже в калиброванном виде и гра-
диентио-инвариантно:
-и х A — х) к*/т\
4. Радиационная поправка к вершинной части
Если прибавить к вершинной части в уравнении Дайсона B)
первую радиационную поправку, получится выражение
-q-k) \\G(p-q
Здесь собственно от вершинной части стоит интеграл
A4)
Он не обращается в нуль при ?—0, поэтому для правильной ка-
калибровки в уравнение надо подставить
Кроме того, нас будет интересовать только значение поправки
при /?=0. Члены продольного характера, т. е. kv и ?v, дающие
после интегрирования опять &„ мы сразу опустим. Тогда подын-
подынтегральное выражение A4) приводится к следующему виду:
Я*
В окончательном выражении нам понадобятся только те чле-
члены, которые будут содержать логарифмическую расходимость.
Эта расходимость ликвидируется, если подставить правильное
асимптотическое выражение для У{рг). Но мы выведем уравне-
уравнение для отношения масс фермионов, в котором понадобится толь-
только К@), как в формуле для радиационной поправки к гринов-
ской функции фотона. Те члены вершинной части, которые не со-
содержат логарифмической расходимости, сокращаются из выра-
выражения для вершинной части, когда мы от самих масс фермионов
перейдем к отношению масс. Надо заметить, что сами массы из
уравнений получить невозможно, потому что затравочная масса
162

принята равной нулю, а построить из электродинамических пели-
чин комбинацию с размерностью массы нельзя.
Подставляя вместо G(p') простое выражение—{р'—im)-1,
приводим интеграл от исправленной вершинной части во втором
порядке по ег к виду
Bл)»
A5)
Интегралы по xv и по #2 вошли, как обычно, в результате пре-
преобразования знаменателей по Фейнману. Последнее слагаемое в
фигурной скобке A5) возникло при вычитании IV @, 0; 0).
Окончательно вклад радиационной поправки к вершинной части
сводится к выражению
2 m* V '
B л)* 2
5. Уравнение для отношения масс
В уравнениях для функции Грина обоих фермионов удобно
перейти к безразмерным переменным \р\\*п^ и \p\/ni2 и затем
поделить соответственно на mt и тг. Перейдя к системе отсчета,
где р=0, получим уравнения, в которые входит только f(kz/m* e)
(число а под логарифмом — от нерасходящихся членов):
1 = _*1
B
A7)
Благодаря тому что интегралы в уравнении A7) сходящиеся,
можно вычесть одно уравнение из другого и заменить при этом
f(ft*//nz,iS) на единицу: сходимость для разности интегралов со-
храняется. Бесконечные слагаемые вершинных частей сократят-
сократятся; благодаря этому мы заранее полагали f=l в вершинных
частях.
При интегрировании удобно снова перейти к евклидовскому
пространству. Особенности логарифмического члена, входящего
в 6(г\.2, этому не мешают, так как при изменении контура инте-
интегрирования в плоскости kk они остаются в стороне. Тогда для
163 6*

отношения масс получается уравнение
B я)»
^1гД
(I — *)| B л)8 2 т*
A8)
где f(z) в числителе надо заменить единицей. Будем считать
массу т, меньшей и заменим отношение mf/mf на ji. Оконча-
Окончательно получим
С /1 \ ^ ? dz 1 [1-rsa-cl —jr)]s 3,
\ х A —я) dx \ In -—-—- = —Inu.
0 0
0
A9)
Это уравнение обладает нетривиальным решением ц=т^1.
Действительно, при (я=1 оно выполняется. Но производная пра-
правой части по In ц конечна, а взятая от левой части — обращается
в нуль. Следовательно, вблизи ц=1 правая часть идет круче.
При очень малых jli левая часть идет как —ln2jii, так что обяза-
обязательно есть еще один корень уравнения A9), кроме единицы.
Положим сразу ц<1, что будет подтверждено дальнейшим рас-
расчетом. Пользуясь тем, что интеграл, входящий в A9), сходящий-
сходящийся, его можно представить в таком виде:
? & 1п [1+«г (I-*)]' ? Г 2 [1-*(!-
J 1+ z +()
- ^'^^у) 1 + ^,A^) 1 ^
^-1 + iwr(l-x) еи -1 -1- |х-^A - х) \
Первое слагаемое справа, проинтегрированное по х, есть про-
просто число, не зависящее от ц. Оно равняется 0,359. Во втором
слагаемом надо пренебречь ji, и оно дает ла/6\ В третьем слагае-
слагаемом отбрасываем единицу по сравнению с рг*х(\—х). Тогда ин-
интеграл приобретает такой вид, какой встречается в статистике
Ферми:
12'
если \i — достаточно малое число. Подставляя все это в B0), на-
находим In (л——4,40 или mjml=9. Так как уравнение относилось
не к ц, а к его логарифму, расхождение с правильным числом
/п2//гг1=206 не чересчур сильное. Можно полагать, что оно воз-
164

никло за счет недостаточной сходимости приближения но е2, в
котором велись расчеты. Еще одно приближение по е2, вероятно,
может быть получено, но существенное уточнение теории требу-
требует совсем иного подхода.
Уравнения в более высоком приближении по постоянной тон-
тонкой структуры могли бы содержать в себе некоторую возмож-
возможность определения самой этой постоянной. Действительно, в на-
настоящей работе мы были вынуждены просто отбросить градиент-
но неинвариантный член т22/2—т,2/2. При более точном вычис-
вычислении это будет некоторая функция постоянной тонкой структу-
структуры и отношения масс, которую следует полагать равной нулю
для того, чтобы придать теории инвариантность. Кроме того, бу-
будет еще уравнение типа A9), куда тоже войдут отношение масс
и постоянная, тонкой структуры. Поэтому то и другое, в принци-
принципе, могло бы быть определено.
В заключение выражаю благодарность Л. А. Кружковой-
Зайцевой за помощь при вычислениях и обсуждение результатов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТЕОРЕМА ЧЕЛЛЕНА — ЛЕМАНА
ДЛЯ РЕГУЛЯРИЗОВАННОИ ФОТОННОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
Как известно, фотонная функция Грина должна удовлетво-
удовлетворять соотношению
0е = — i (#—иу\ \% =:
где р(М2) —положительно определенная функция. Соотношение
(П.1) вытекает из общих требований унитарности.
Проверим, что (П.1) выполняется для регуляризованной на-
нашим способом функции Грина фотона. Сначала покажем это для
функции, найденной в том же приближении путем обычной про-
процедуры перенормировки. Соотношение (П.1) перепишется в этом
случае так:
4 л*2
Отсюда функция рт(М2) определяется по известной формуле
[4, формула A7, 85в))
165

Но тогда, как видно из (П.З), разность p=pml—pmt тоже суще-
существенно положительна, причем вычитается р, зависящее от боль-
большей массы, как и требовалось.
Настоящее Приложение написано по предложению И. С. Ша-
Шапиро, которому я выражаю сердечную признательность.
Л итератур а
1. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Ха.штникое. ДАН СССР, 1954, 95,
497. 733, П 17.
2. К. Johnson, M. Baker, R. Willey. Phys. Rev., 1964, 136, ВИИ.
3. А. И, Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. Изд. 2-е.
М., Физматпп, 1959.
4. С. Швебер. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. М., ИЛ.
1963, стр. 631.
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
С ДВУМЯ ФЕРМИОНАМИ. II *
Совместно с Л. А. Кружковой-Зайцевой
В предыдущей работе [1] было показано, что в квантовой
электродинамике с двумя ферм ионам и, электроном и мюоном,
расходящиеся диаграммы, содержащие замкнутые петли, могут
взаимно погашаться, и тогда удается построить теорию, сво-
свободную от бесконечных перенормировок. Предложенное видо-
видоизменение теории встретило острую критику, так как перемена
знака при петле изменяет знак и ее мнимой части, что несов-
несовместимо с общими физическими требованиями унитарности.
В [1] была сделана попытка обойти это 'возражение, пользуясь
тем, что мнимая часть мюонной петли при всех значениях им-
импульса фотона меньше, чем у электронной петли. Но и это не
снимает возражений, так как противоречит условиям аналитич-
аналитичности в применении к отдельным вершинам'петли. Кроме того,
если замкнутая мюонная линия имеет четыре вершины, то
она связана с вероятностью радиационного торможения мюона
и поэтому положительно знакоопределена.
Здесь мы попытаемся так видоизменить процедуру, предло-
предложенную в [I], чтобы сохранить основной результат, но нигде не
•«Письма ЖЭТФ», 1967, в, вып. 4.
166

вступать в противоречие с общими требованиями теории ноля.
Будем считать, что время входит в мюонное поле со знаком,
обратным тому, который оно имеет в электронном поле. Имен-
Именно: если оператор электронного поля есть (см. [2])
* - 2 <* ми *> *****+* *> ° (-р) ^'~п <])
то соответственный мюонный оператор
Операторы рождения и уничтожения мюонов удовлетворя-
удовлетворяют тем же антикоммутационным соотношениям, что и электрон-
электронные; _ш1ц_означает положительный квадратный корень <ов,ц =
= VmJu-T-p2. Спиноркые амплитуды и'{р) и v'(—р) по сравне-
сравнению с амплитудами и(р), »{—р) подвергнуты дополнительному
преобразованию Рака ^=уь"у5. Благодаря этому в уравнении Ди-
Дирака для электронов <и мюонов производная по времени входит
с одинаковым знаком, что необходимо для инвариантности
обоих уравнений по отношению к калибровке потенциалов
электромагнитного поля.
Свертка <ф(*)ф(*')>1 для электронов и мюонов будет
соответственно «меть различный вяд:
B)
B')
Функцию BtofJi)-1e±lttr''l(l~r) надо представить в виде контур-
контурного интеграла по р0. Тогда
J ^>.«^'> (p^— p\+ ml~ U) dp» C)
1 J е-ад-П (р2_ й
причем к массе мюона надо сделать мнимую положительную до-
добавку, чтобы получить слева должный знак в показателе. Мы
взяли вычет на отрицательной полуоси р0. Тем самым энергия
свободного мюона считается отрицательной. Но это не ведет
к абсурдным результатам, так как знак энергии в 6-фуякциях
при матричных элементах у мюонов обратный по отношению к
фотонам и электронам. В результате закон сохранения энергии
ни в чем не изменяется за счет мюонных переходов.
Вместе с тем эффективное сечение рассеяния поляризован-
поляризованных мюонов па поляризованной мишени чувствительно к пре-
преобразованию R. Именно: матричный элемент рассеяния содер-
167

жит оператор A+у55), гДе 5 определяется через единичный
вектор поляризации в собственной системе отсчета | по фор-
формулам 5=g+p(|p)m-l(?+m)-1> Sa=(lp)rrrl. Но преобразо-
преобразование ^-'(l+YsS)/? меняет знак пространственной части ysS.
Следовательно, если волновая функция другого партнера
столкновения не подвергнута преобразованию Я, эффективное
сечение будет по-иному зависеть от компонент диады ЕнЬл. чем
у однотипной частицы.
Результаты теории (^распада мюона .весьма чувствительны
к виду спииорных амплитуд. Легко видеть, что если мюокное
нейтрино однотипно с мюоном в наших предположениях, т. е. за-
зависит от времени с обратным знаком и подвергнуто преобра-
преобразованию R, то все формулы обычной теории сохраняют силу
(ом. [3]). Так получается некоторое указание на возможность
объяснения различной природы электронного и мюонного нейт-
нейтрино *.
Время, входящее в ура-внение для матрицы рассеяния, мож-
можно условно принять совпадающим с электронным временем.
Тогда фейнмановская диаграмма мюонной петли отличается
от диаграммы электронной петли знаком бесконечно малой
мнимой добавки к массе
!€tV,= i \dx j dp J dp0 №"-/«+ ff4* ± »—««A -*)]"*. №
0 -DO
Легко видеть, что мнимая часть выражения /в„ всегда конеч-
конечна и не зависит от знака е, тогда как действительная часть,
которая логарифмически расходится, определяется значком е.
Расходимости электронной и мюонной петли сокращаются, что
и требовалось.
Существует возможность экспериментальной проверки зна-
знака мюеншой поляризации 1ва«уума. Лэмбовский сдвиг тяжело-
тяжелого ц-мезоатома, если измерить его достаточно аккуратно, чув-
чувствителен к мюонной поляризации вакуума (в легком атоме
слитком преобладает электронная часть поляризации). Но так
как в тяжелом \i-мезоатоме мкюн в значительной мере движет-
движется внутри ядра, необходимо предварительно прозондировать
распределение потенциала в ядре с помощью быстрых электро-
электронов. У идеально сферического ядра (Pbm) .нестатичеакая флук-
туационная часть электромагнитного поля внутри ядра долж-
должна быть невелика по сравнению со статической, и не исказит
лэмбовский сдвиг сама по себе.
1 Ср. [3], стр. 72, формула третья сверху. Входящий в нее вектор S надо от-
отнести к системе покоя, где 5 = ?. Здесь перемена знака ничего не означает. Но
тогда результат не зависит от системы отсчета. Отличие от обычной теории
может проявиться только в члене вида Sc, 5№> т. с. в корреляции спинов. Но в
основном порядке величин такого члена нет (с. 73).
168

Весьма возможно, однако, что если удастся выявить вклад
в поляризацию вакуума частиц, отличных от электронов, то
заметную .роль сыграют и ядерно активные частицы, особенно
л-мезоны. Тогда чистая электродинамика с двумя фермионами,
электроном и мгаоном, даже «свободная от расходимостей, не
будет соответствовать опыту. Тогда трудно ожидать, что из нее
получится правильное отношение масс фермионоп. В работе [1]
оно и оказалось около 10.
В заключение приносим глубокую благодарность И. С. Ша-
Шапиро, К. А. Тер-Мартиросяну, М. И. Рязанову, В. М. Галицко-
му и М. П. Рекало за -критическое обсуждение всего круга
вопросов, связанных как с работой. [1], так и с настоящей за-
заметкой.
Л итер атур а
1. А. С, Компанеец. ЖЭТФ, 1965, 49, Вым. 6 A2), 1781; см. наст. изд. стр. 157.
2. А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. М., ГИТТЛ.
1959.
3. Л. Б. Окунь. Слабое взаимодействие элементарных частиц. М., Физматгиз,
1963.
СИЛЬНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
В ПУСТОТЕ*
Сильная гравитационная -волна была впервые рассмотрена
Эйнштейном и Розеном [11, показавшими, что уравнение рас-
распространения сильной волны, отвечающей в пределе слабой
поперечно-поперечной волне вида ?гг—gM, приводится к линей-
линейному уравнению распространения цилиндрической волны. Мож-
ко показать, что и более общий случай сильной гравитацион-
гравитационной волны, отвечающей в пределе наложению волн вида
ёгг—giz и gu, допускает весьма сходные упрощения.
Будем исходить из интервала вида
- ds* = Adxl -I- Cdxl + 2Bdx2dx9+Ddx\—Adx\% A)
где Л, В, С, D зависят только от xt >и х^ что в пределе соответ-
соответствует плоской волне.
Здесь координаты xt к х4 выбраны так, что gu = — gA4, ^fu^=0
(см. [1]). Отсюда получаются следующие выражения символов
Кристоффеля второго рода (положено CD—йа^а, нижние ин-
индексы при величинах Л, В, С, D означают дифференцирование
* ЖЭТФ, 1958. 34, иып. 4, 953.
169

по координате с тем же индексом):
Г1,, = - (М
Tja = Bа)-* (CD4-
¦ rja = Bа) (CB^BCJ;
r[s = Bа)-* (OTj-ffly; rja = Ba)-1 (DB^BDA).
Остальные rw\ за исключением тех, которые связаны с ука-
указанным выше соотношением 1У=1У, равны нулю.
Тождественно не обращаются в нуль только такие компо-
компоненты тензора кривизны Rib—Riv'. Ru, #u, Ru* R22, Ru, ^23. Это
дает шесть уравнений для четырех величин А, В, С, D. Таким
образом, надо показать непротиворечивость уравнений. Это бу-
будет сделано ниже при специальном выборе координатной си-
системы. Заметим здесь только, что на выбор координатной си-
системы уже наложены два условия: gtl—— gik и g^ — 0. Осталь-
Остальные два условия содержатся в двух лишних уравнениях сверх
четырех необходимых.
Запишем сначала уравнения /?lfc~0 для компонент 2 и 3.
После некоторых упрощений они принимают следующий вид:
4)]=0; B)
—D4a4+2D (В,1—C^—Bj+CAH =0' C)
^44-^1 f Ba) [Bi«i-B4a4+2B (Bj-CA-Bj+C^Jl -0. D)
Умножим теперь уравнение B) на D/2, C)— на С/2 и D)
на—В и сложим. Тогда получается линейное волновое уравне-
уравнение для У а:
Но, как было показано в 11], вид линейного элемента длины A)
остается инвариантным при всех тех преобразованиях коорди-
координат Xi=*Xi(xtt xk) и Хь=Хь(хи дг4), которые удовлетворяют урав-
уравнению
(iJu —(iJa -0. F)
Поэтому можно без всякого ограничения общности положить
V^ = *i- G)
170

Иначе это видно следующим образом. Произвольное реше-
решение E) есть ya=f(*i+x4)+?(*!—х%). Выберем координатную
систему так, чтобы
f (хг Ч- хА) = (xt f *4)/2, g (хх-х4) = (*!—х4)/2.
Этот выбор совместим с видом интервала A) благодаря усло-
условию F).
Покажем теперь непротиворечивость всей системы уравне-
уравнений гравитации при специальном выборе ^а—х^ (черту над *4
и х>. опускаем, кроме того, пишем \ri]/Az=L):
2RU- -2 IL11-Lf4H*iri^iM*ir{«-ClD1) = 0; (8)
2^44-2№п-^ f (^rtil-^rViC-CAJ-O: (9)
Образуя полусумму (8) и (9), получим:
(xx)-lLt - B^Г ft1 -!- Я-СА
Дифференцируя A0) пох, н (И) по jc4, легко показать, исполь-
используя B), C) и D), что A0) и A1) совместны, так как раз-
разность выражений для Lik и Lu пропорциональна величине
CDA 4- DCi—2BBA = (CD—BP)A -= (xlL = 0.
Находя по A0) и A1) вторые производные L41 и Liif убеж-
убеждаемся при помощи B), C) и D)» что выполняются и уравне-
уравнения {8) и (9). Тем самым непротиворечивость системы урав-
уравнений доказана полностью.
Вернемся теперь к уравнениям для В, Си D. Исключая В
через гх~ххг и взодя новые переменные
о z= C{CD— vjTv", 6 = Z> (CD—x\ytf\ A2)
A3)
что отвечает двум нелинейным взаимодействующим цилиндри-
цилиндрическим волнам. В случае, рассмотренном Эйнштейном и Розе-
ном [1], получалась линейная цилиндрическая волна. Сильная
плоская волна «евозможка потому, что вызываемое ею искрив-
искривление метрики несовместимо с плоским пространством (см. [2]).
Существенно, однако, что несмотря на нелинейность систе-
системы гиперболических уравнений A3), ее характеристики суть
прямые xl=±xL, Поэтому можно утверждать, что и сильные
гравитационные волны, подобно слабым, распространяются с
171

фундаментальной скоростью, 1равной скорости света'. Это го-
гораздо труднее увидеть из общих уравнений гравитации /?*=0.
Заметим, кроме того, что характеристики каждого -семейства
между собой, очевидно, не пересекаются. Это значит, что нели-
нелинейные гиперболические уравнения гравитации в пустоте не
приводят к необходимости образования ударных волн, в отли-
отличие, например, от уравнений газодинамики, принадлежащих
к тому же классу.
Пространство является римановским, если в нем допуска-
допускаются .непрерывные группы преобразований координат. Появ-
Появление ударных волн противоречило бы ошовной гипотезе о не-
непрерывности преобразований, т. е. о римановском характере
метрики. Таким образом, проведенное исследование еще раз
показывает внутреннюю 'согласованность эйнштейновских урав-
уравнений гравитационного полк.
В заключение приношу благодарность В. Л. Гинзбургу, ука-
указавшему мне основные литературные источники.
Л итература
1. A. Einstein, N. Rosen. On gravitational waves.—J. Franklin Inst., 1937, 223,
43.
2, Я, Г. Бергман. Введение в теорию относительности. М., ИЛ, 1947, стр, 253.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ ВОЛНЫ
В ВАКУУМЕ*
Как известно, существуют две точки зрения «а современное
состояние классической теории поля. В течение многих лет
считалось, и до -сих пор предполагается многими, что единая
классическая теория поля еще не построена ,и можно надеяться
на построение такой геометрии мира, из которой получатся не-
некоторые новые единые уравнения гравитации и электромагне-
электромагнетизма, подобно тому, как из рим адовой геометрии получаются
уравнения гравитации. При этом >не идут в счет уже достигну-
достигнутые единые формы записи уравнений Максвелла и Эйнштейна
(см. [1]), как iHe вносящие в теорию «овых физических идей.
Другая точка зрения состоит в том, что существующая клас-
1 Представляло бы, однако интерес исследование общего случая rfs2 =
dx*, dxh, где gi* = gik (xi, хл).
* ЖЭТФ, 1959. 37, выи, 6A2), 1722.
172

сическая теория поля уже окончательно сформулирована и ни-
никакое дальнейшее совершенствование электродинамики путем
ее геометриаации (по существу, а не по форме) не требует-
ся [2].
При этом имеют в виду, -конечно, поле, свободное от частиц,
так как частицы являются квантовыми, а не классическими
объектами. Тензор энергии импульса 7\Л для вещества относит-
относится уже к макроскопической, феноменологической теории. По-
Поэтому вопрос о существовании единой лслассической теории
поля'решается только для поля, свободного от частиц.
Трудно представить себе реальный эксперимент, который
мог бы решить этот вопрос. Поэтому приходится искать под-
подтверждение теории в ее -внутренней непротиворечивости.
В основе современной теории гравитации лежит предполо-
предположение о римановском характере 'пространства, в котором до-
допускаются только непрерывные и однозначные группы преоб-
преобразований. Любое следствие из уравнений гравитации и
электродинамики не должно противоречить этому допущению
и, разумеется, известным свойствам непрерывности электро-
электромагнитного поля.
Уравнения дМаксвелла и Эйнштейна относятся к гиперболи-
гиперболическому типу, причем 'коэффициенты при производных сами
являются функциями от неизвестных .величин, т. е. от компо-
компонент метрического тензора. Уравнения подобного типа не всег-
всегда допускают непрерывные решения. Например, в газовой ди-
динамике «спрерывные решения, полученные из гладких началь-
начальных условий, иногда приводят ,к необходимости возникновения
скачков, т.е. ударных воли [3]. Подобная ситуация была бы
совершенно недопустима в классической теории поля, так как
она противоречила бы ошовиому допущению о римановском
характере пространства или о непрерывности электромагнитно-
электромагнитного поля. Желательно было бы показать, что подобные разрывы
никогда не возникают, исходя из уравнений в их самой общей
форме. Пока удалось, однако, рассмотреть метрику более ча-
частного вида, принятую нами раньше [4]. Последняя несколько
обобщает метрику Эйнштейна — Розен а [5]. Отличие насто-
настоящей работы от [4] и [5] состоит в том, что в ней рассмот-
рассмотрено электромагнитное поле на равных началах с грави-
гравитационным.
Основной результат работы заключается в том, что при
выбранном характере метрики всегда существуют .координат-
.координатная система, в которой каждое -семейство характеристик обра-
образовано параллельными прямыми. Скорость любого дополни-
дополнительного м а лото возмущения, гравитационного и электромаг-
электромагнитного, в этой системе координат .всегда равна фундамент ал ь-
ной постоянной с. Возмущения не догоняют друг друга, поэто-
поэтому никогда не могут возникнуть скачки, в отличие от уравне-
уравнений газовой динамики. Таким образом, полученные результаты
173

говорят в пользу того, что современная классическая теория
поля не нуждается в дальнейшем совершенствовании.
Рассмотрим теперь распространение волны. Будем исходить
из метрики вида [4]
—ds2 = Adxl + Cdx\ + 2 Bdx^xz+Ddxl— Adxl A)
считая коэффициенты At Bt С, D функциями только от xt ъ хк
(этого достаточно для исследования характеристик). Уравнения
Максвелла для контрвариантных составляющих электромаг-
электромагнитного поля имеют вид
±{F^Y—g)=Qt Bя)
J- (Pn /~л г ± (Fm y—g) - 0. B6)
± (рт у~ё) "г ^ (^ К=г)-О, Bв)
^(F-V^=i) = O. Bг)
Из уравнений Bа) и Bг) видим, что F14=0, так что поле
можно считать чисто поперечным. Тогда для компонент тензо-
тензора энергии-импульса получим
j). . C)
Поэтому
П--П D)
откуда следует, что и
Т!=-71 E)
так как IV-0.
Запишем теперь уравнения Эйнштейна для компонент свер-
свернутого тензора кривизны /?2а, Ru, Ra (ср. [4]), Единицы изме-
измерения электромагнитного поля выберем такими, чтобы уравне-
уравнения гравитации имели вид /?л=Г1к (индекс при С, D, В, а озна-
означает дифференцирование ло хи хА):
Яи-^u ^ BаГ [Вжа^ВлЧ- 2В (В?-C
(а == СО-В1). F)
Умножим первое из этих уравнений на D, второе —на С,
третье — на—2В и сложим. Учитывая, что gzz=Dor\ g33—Ca~lt
174

?"=Вог\ получим справа 77+733=0, согласно E). Слева,
как было Доказано в {4], будем иметь
*?-«# = 0. G)
В качестве решения наиболее удобно выбрать (см. [5])
aV.= (CD—&)v* = xv (8)
Из уравнений для компонент Ril9 Ru и Я14 получается [4]
^-^ГЙ-'.-^-СА-С^^^Та, (9)
^•4- B*П BВ A- CA-CJ)J = лЧГ14. A0)
Здесь /,^1пЛ*. Значки 44 и 14 при Г — тензорные.
Докажем теперь совместимость уравнений (9) и A0). Для
этого вычислим, прежде всего, разность
Согласно уравнению Т^ = 0 выражение (И) равно V^-
Пользуясь значениями символов Кристоффеля и D), получим
j-Wj-Jf-wj-y=ivi,rt +i-tt7- --г;3г; +rj,r').
A2)
что в свою очередь приводится к виду
A3)
Подставляя вторые производные В, С, D из F), убеждаемся в
том, что (9) и A0) непротиворечивы. Таким образом, выбран-
выбранная нами метрика A) совместима с предположением о попе-
речности электромагнитного поля.
Найдем теперь характеристики волновых уравнений электро-
электромагнитного поля. Для этого запишем уравнения Максвелла в
смешанных компонентах Fk\ К уравнениям B6, в) надо доба-
добавить еще первую пару, вытекающую из того, что FitK=Aith—Лм:
х, йдг1 dxt *, дх, dxt
-2- CFl -г ~BF\ - -*-CF\ - ±BF\ =0,
fljr4 bxK дхх дх^
J-BFl -'r A DF\ — A5fJ __ A?)FJ =0. A4)
dxt - dxt дхг dXi x
175

Составляя но общему правилу характеристический определи-
тель (см. [6]), получим
1 ~Ь О О
О 0 1 —X
СК —С Вк —В
В% —В Wk —D
A5)
Следовательно, он имеет двойные корни Х=±1, т.е. и в ис-
«ривленном пространстве малые электромагнитные дополни-
дополнительные возмущения распространяются с фундаментальной
скоростью. Для гравитационных возмущений, распространяю-
распространяющихся в пространстве с метрикой A), то же было показано в
[4]. Здесь показана 'Совместимость обоих утверждений. Таким
образом, распространение сколь угодно сильной электромагнит-
электромагнитной волны в пространстве -в •классической теории не может по-
повести к иарушению римановского характера метрики.
Можно сделать еще замечание относительно решений, обла-
обладающих эвклидовской метрикой на бесконечности. Там, где
метрика эвклидовская, электромагнитное поле может быть толь-
только таким, каким оно получается из обычных уравнений Максвел-
Максвелла, без учета общей теории относительности. Но это лоле связано
фиксированными прямолинейными характеристиками с областя-
областями пространства, имеющими неэвклидову метрику. Поэтому поле
в искривленных областях пространства не может качественно
отличаться от того, что получилось бы в эвклидовом пространст-
пространстве. Иначе говоря нет оснований утверждать, что в общей теории
относительности возникают такие новые решения уравнений
электродинамики, которые не имеют эвклидовых аналогов.
Поэтому вряд ли -существуют так .называемые геоны, пред-
предположенные Уилером [7], 'Как точные 'несингулярные решения
уравнений гравитации и электромагнетизма, ib которых элект-
электромагнитное поле са-мо -оебя удерживает в конечном объеме
гравитационными силами (поле в .конечном объеме, находящее-
находящееся в тепловом равновесии, быть -может и способно себя удер-
удерживать, но это соответствует приближенным решениям).
По тем же причинам -можно усомниться и в другом предска-
предсказании Уилера [2], что /налич-ие или отсутствие зарядов объясня-
объясняется топологической связанностью пространства. Продолжая
прямые характеристики из бесконечности в неэвклидовскую
область, нельзя ожидать, что при этом изменится топологиче-
топологическая связность. Оба указанные здесь вьгоода о «геонах» и «то-
«топологических зарядах» обнаруживаются и при аналитическом
исследовании уравнений *.
3 Например, потенциал цилиндрической волны равен Ф = У2 lh [Ч2 h (&*«)•
•соь {Ьхк)\ в соответствии с его обычным выражением <po=A> (fc*i) cos {kxA).
176

Разумеется, это относится только к избранному здесь слу-
случаю решений, зависящих от двух переменных (xt и xit или xt
и *2, которой алгебраически весьма сходен, хотя и приводит
к эллиптическим уравнениям). Что будет, .когда решения зави-
зависят более чем от двух переменных, надо еще исследовать. Про-
Против существования трехмерных «геонов» говорит 'следующее
соображение. Как .известно, двухмерная (Потенциальная яма
способна удержать связанную частицу в квантовой механике
всегда, а трехмерная— «е всегда. Иначе говоря, волновое
уравнение -с переменными коэффициентами имеет экспонен-
экспоненциально затухающее на бесконечности решение в двух изме-
измерениях, когда аналогичное уравнение в трех измерениях такого
решения не имеет. Но оды видим, что подобное уравнение в
теории гравитации .не имеет затухающего решения и в двух
измерениях. Поэтому есть основание думать, что трехмерного
решения такого типа тем более нет,
Л итератур а
1. W. Pauli. Ann. Physik, 1933, 18, 305. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория
ноля, 1-е изд. №.— Л., ГИТТЛ, 1941, § 100.
2. A. Wheeler. Ann. Phys., 1957, 2, 525.
3. Л. Д. Ландау, Б. М. Лифшщ. Механика сплошных сред. №., ГИТТЛ, 1953.
стр. 453.
4. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1958, 34, 953; см. наст, изд., стр. 169.
5. A. Einstein, N. Rosen. J. Franklin Inst, 1937, 223, 43.
6. P. Курант, /?. Фридрихе. Ударные волны и сверхзвуковые течения. М., ИЛ,
1950.
7. A. Wheeler. Phys. Rev., 1955, 97, 1511.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ
В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ*
Совместно с А. С. Черновым
Вопросу о характере оообой точки при f=0 в решении гра-
гравитационных уравнений Эйнштейна посвящена обширная лите-
литература [1—4]. В настоящей работе показано, что модель с од-
однородным распределением материи, но с анизотропной метри-
метрикой обладает иной особенностью по времени, чем однородная
изотропная модель Фридмана — Леметра.
Мы будем кокать зависящие только от времени смешанные
компоненты тензора энергии-импульса в сопутствующей син-
* ЖЭТФ, 1964, 47, вып. 5Щ).
177

хронной системе, для которой метрическая форма имеет сле-
следующий вид:
eii<r'i>dzl. A)
Иначе говоря, от координаты г вообще ничего не зависит.
Дальнейшие вычисления показывают, что в этих предположе-
предположениях действительно существует сопутствующая синхронная
система отсчета.
Трехзначковые символы Кристоффеля равны (г=хи ф=*2т
t )
Остальные символы Кристоффеля при сделанных предположе-
предположениях обращаются в нуль. Штрих означает д/дг, точка над бук-
буквой d/dt.
Смешанные компоненты 7V в сопутствующей системе отсче-
отсчета равиы Г,1=Г2!4=Гз3=р1 7Y=— с, остальные компоненты
обращаются в нуль. Тогда из уравнений Эйнштейна
tf=8.tx(^-V26?r) B)
остаются следующие независимые пять (8ян положено в даль-
дальнейшем равным единице):
,*'—vf (©' - и')], Bа)
B6)
в—P = Vt № +j(+ rWg[|4|(+ l
Bb)
-(e-3p) =V2 12 (v + ii' + ci) ^(Vя T-^ + i1)]. Br)
V4v(a)' -ix')-V4(®'co 4-|i'ji)=i0. Bд)
Последнее уравнение выражает условие солутствия.
Левые части уравнений Bа)—Bг) зависят по условию толь-
только от времени. Правые части можно сделать зависящими тоже
только от времени, допустив, что v=v(f), ц=Р1(О- Тогда Bд)
приобретает форму
<i>' ~ vo) '/2 — со 'со/2. C)
Общий интеграл зтого уравнения есть
т) \-F(t). D)
178

Но мы полагаем, что ф — угловая координата. Поэтому, чтобы
линия г==0 це была особой, надо потребовать еиF')=0. Отсюда
следует У?(/)=?=0т ft@)=0. Из D) получаем тогда w=v. Если
подставить это и систему Bа) — Bг), то уравнение B6) будет
просто повторять Bа) ив дальнейшем может быть опущено.
Для нахождения h(r) достаточно только Bа), в которое h(r)
входит следующим образом: е-1г+ю>/гЛ"(г). Это выражение дол-
должно зависеть только от времени. Подставляя в него е"*1/2 из D),
с учетом того, что FG)=0, находим уравнение для h(r):
Отсюда следует что имеется три типа решений: /i=sha/" (модель,
открытая поV), h=r (модель,квазиэвклидовская nor),ft=smar
(модель, закрытая по г). Рассмотрим сначала второй случай как
наиболее простои. Система уравнений Bа), Bв), Bг) перепи-
переписывается так:
2 (в—р) = 2v 4- 2v* -|- |iv, (ба)
2(е—rt=2M^-i-|x2, F6)
—2,(в + Эр) - 4v -I- 2р -г- 2v* -;- {i\ Fа)
Рассмотрим два предельных случая: р=0 (пылевидная мате-
материя) и ?=3/7 (ультрарелятивистский газ). Для пылевой материи
находим (несущественные масштабные постоянные опускаем)
«W\ G)
ей=Г"'-(*_ Д)*, (8)
е = 4/3^ (/—Л). (9)
Это — частный случай более общего решения, найденного Шю-
кингом и Гекманом [5]. Именно: записывая метрическую форму
в виде
эти авторы получают
п __ ^VeU+*stn
Подставляя сюда 7=л/6, приходим к G) — (9). Этот последний
случай в некотором смысле выделен, так как решение Шюкиша
и Гскмана при произвольном у непродолжаемо за точку t=A,
поскольку множитель i—А стоит в метрических коэффициентах
с иррациональным показателем.
Любопытна тем не менее, что точка (=А является особой
и в решении G) — (9), но в несколько ином смысле, чем п более
179

общем решении, где уфк/6. Из метрической формы особенность
устраняется полиостью, если перейти к новым координатам
т=(/—A)chz, $=(*—;
Тогда df-—(t—Aydz* переходит в чисто галилеевское выраже-
выражение dx2—d?2. Но произведение еУ—g при /=Л меняет знак. Воз-
Возможно, здесь проявляется то общее свойство теории относитель-
относительности, что энергия в ней не положительно определена, и переход
через t—А отвечает замене т на — т. Этот пункт остается для
нас не совсем ясным. Заметим, что в противоположном крайнем
случае, когда е=3р, решения с положительными и отрицатель-
отрицательными энергиями строго разграничены и не переходят одно
в другое.
Что касается неквазиевклидовских решений при пылевой
материи, то здесь положение не изменяется существенным об-
образом по сравнению с уже указанным. Именно: после некоторых
вычислений получается (а2>0)
(Г)
(8')
(9')
(оо
i + cx Г
Се-?/*
И здесь произведение tf— g изменяет знак в некоторой точке.
При очень больших значениях t расширение оказывается
равномерным во все стороны. Поэтому при экстраполяции ны-
нынешнего состояния вселенной на более ранние стадии не следует
упускать из виду, что в этих ранних стадиях анизотропные ре-
решения ведут себя иначе, чем изотропные.
Рассмотрим теперь квазиевклидовское анизотропное решение
при ?=3р. Система основных уравнений приобретает вид
A0а)
[A06)
|i2. A0в)
Образуя разность из уравнений A0в) — (Юб)—4A0а), получаем
с точностью до несущественной постоянной
^i=— 61nv—5v. A1)
180

Далее, исключаем ц, и е, находим
2 v v—8v*— 7vvz—3v4 = 0. A2)
Первый интеграл A2) имеет вид
(v/v2 + i L (v/v2 + 3/4Г3 = — C.V2. A3)
Чтобы выяснить характер особенности вблизи ?=0, надо поло-
положить v/v2^> 1, что дает
v=CCV)"V'. (И)
Сама величина х равна при малых t:
v=(Zt)a/'/2Cia. A5)
Отсюда согласно A1).
ц = 1п*2. A6)
По уравнению A0а) определяем плотность энергии
е=(Са/Г4'*. A7)
На первый взгляд может показаться, что особенность метри-
метрической формы здесь можно в первом приближении устранить тем
же способом, как и у пылевой материи при t=A, т. с. путем пре-
преобразования t=fch;z, %=tshz. Но разложение метрических ко-
коэффициентов идет по дробным степеням tt а в выражение кри-
кривизны входят производные до второго порядка включительно.
Эти производные обращаются при /-0 в бесконечность. Из-за
этого становится бесконечным и произведение е^—g*.
В отличие от фридмаповского решения, где отрицательные /
не имеют смысла (в формулы входит у/j» полученное здесь ре-
решение можно брать и при *<0. Найденная нами особенность
по типу подобна точке заострения циклоиды. Можно видеть, что
A3) имеет и решения другого типа. Так, существует разложе-
ние dv-yrf/ вблизи точки аД- Но для этого решения произведение
еУ—g обращается в нуль как (!\ иначе говоря, плотность мате-
материи стремится к нулю.
* Как указано Е. Лифшицем и И.Халалшковым [31, в синхронной сопутствую-
сопутствующей системе геодезическими являются линии времени, в результате чего
пылевая материя может сгуститься до бесконечной плотности просто по-
потому, что отдельные частицы, не отталкиваясь друг от друга, сойдутся в
одну точку. В ультрарелятивистском газе этому могло бы воспрепятствовать
давление, отклоняющее движение частиц от геодезических линий. Но в на-
настоящей задаче взят случай не зависящего от координат давления, так что
градиент давления равен н>лю. Следовательно, нет и силы, уподящей части-
частицы газа с геодезических линий.
18]

Переходим теперь к общему случаю сь2#0, е=3р. Заменяя
t на //а, получаем уравнение для v:
12vv— 48va—42vv2— I8v* ± 28ve-v±21vVv~4e~av = 0. A8)
Здесь верхгтие знаки отвечают модели, открытой по г, нижние —
закрытой модели. Делая замену
v = е~**а (v), duldv = q (a), A9)
приходим к уравнению первого порядка
12u*qdq/du — Щ*и2 -~ 18?и3— Зи4 ± 2%qu ± 7и2—4 =-¦ 0. B0)
В этих переменных искомые функции равны:
B1а)
B16)
B1 в)
B1г)
Отметим теперь следующее важное обстоятельство. Уравне-
Уравнение 1— и2—Aqu=Q есть особый интеграл B0). Как видно из
B1 в), это решение разграничивает область с положительными
и отрицательными е, так что переход через е=0 здесь невозмо-
невозможен. Точка t=0 соответствует u=oo, q=°° в правом нижнем
квадранте плоскости (д, м), где уравнение B0) отвечает уже
исследованному выше квазиевклидовскому случаю. Поэтому
и здесь общее, неквазиевклидовское решение имеет качественно
такую же зависимость от времени, как и в случае пылевой ма-
материи.
Рассмотрим теперь промежуточный случай, когда вещество
обладает отличным от нуля давлением, но плотность кинети-
кинетической энергии еще много меньше плотности энергии покоя.
Будем считать, что вещество совершает изэнтропический про-
процесс. Тогда плотность энергии и давление выражаются через
плотность частиц следующим образом:
г = птп + Ы?**, р = 6йл1+б. B2)
При 6 = 2/3 имеем случай одноатомного газа. С этим значением
констант это одновременно и случай холодного ферми газа.
Уравнения интегрируются в квадратурах при произвольном
значении 6.
Вычтем F6) из Fа), чтобы исключить члены, относящиеся
к веществу. Получившееся уравнение допускает первый интеграл
V—р-^Се-ч-м*. . B3)
182

Из уравнений F6) и Fв) выразим теперь отдельно п и п1+л
и составим из них уравнение
* B4)
где смысл постоянной bx очевиден. В дальнейшем удобно ввести
новую неизвестную
B5)
так что е:—Y—g.
Заменяя теперь ji через ?, перепишем B4), одновременно
понизив его порядок путем подстановок:
i = &, Се< = х, v = V
v — — 1/3сй Bxdtofdx -г х).
Приводим уравнение B4) к виду
+ } О + в) «^Н-}A-*)*•]"*• B6)
Дальнейшее понижение порядка достигается путем подста-
подстановки
А = 3/4 A + бI+1/Vе.
Е]сли здесь еще вернуться от х к ?, получим уравнение в оконча-
1 ельном виде:
Решение удобно выразить в параметрическом виде, если исхо-
исходить из определения k~—sv. Пределами изменения s будут
! + 6>^l. Тогда
Его интеграл записывается так:
183

Выражение для плотности частиц получается через тот же па-
параметр s, так как
C0)
Таким образом, произведение ш?с=лУ—g остается постоян-
постоянным, что выражает просто сохранение числа частиц. Это требо-
требование заключено в самом уравнении, связывающем р и е. На-
Наоборот, крайний релятивистский случай этого требования в себе
не заключает, так что произведение еУ—g не остается^постоян-
остается^постоянным и е обращается в бесконечность сильнее, чем У—g в нуль.
В качестве начала отсчета времени удобно выбрать точку
s — i + 6, где плотность частиц бесконечна. Вблизи этой точки
имеем
¦-ГТа)
При произвольных значениях б нельзя, конечно, перейти от t к
—t (хотя, например, при 6=7з можно). Но когда плотность
частиц стремится к бесконечности, уравнение состояния перехо-
переходит в г=3р, которое снова допускает переход по времени через
нуль.
В заключение приносим сердечную благодарность за весьма
ценные обсуждения Я. Б. Зельдовичу, Е. М. Лифшицу, И. Д. Но-
Новикову и И. М. Халатникову.
Литер ату р а
1. Е. М. Лифшиц, И. М. Халатиков. ЖЭТФ, i960, 39, 149, 800.
2. Е. М. Лифшиц, В. В. Судаков, И. М. Халатников. ЖЭТФ, 1961, 40, 1847.
3. Е. М. Лифшиц. И. М. Халатников. УФН, 1963, 80, 391.
4. А. Л. Зельманоз. Труды 6-го совещания по вопросам космогонии. М., Ид-;-во
АН СССР, 1959, стр." 144.
5. Е. Schucking, О. Heckman. 8-me Consctl physique, Bruxelles, 1958, 149.

Раздел III
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
О НАХОЖДЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОБЕРТОНОВ
МНОГОАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ*
Хорошо известно, что представление о гармоническом ха-
характере сил, действующих между ядрами многоатомной молеку-
молекулы, отвечает фактам весьма неточным образом. Поэтому коле-
колебательные спектры молекул содержат не одни лишь собственные
частоты колебаний, которые только и разрешены в гармониче-
гармонических колебательных системах, но также обертоны и комбинаци-
комбинационные частоты. Ангармонизм нарушает, таким образом, запрет,
налагаемый на переходы квазиупругим характером сил; спра-
справедливыми только остаются те * запреты, которые вытекают из
симметрии молекул.
Для того чтобы выяснить, разрешен ли данный переход, надо
определить, по каким представлениям группы симметрии моле-
молекулы преобразуются волновые функции начального и конечного
состояний. Известно, что волновая функция основного состоя-
состояния преобразуется по единичному представлению, а функция
первого возбужденного состояния преобразуется по тому же не-
неприводимому представлению, что и соответствующая нормаль-
нормальная координата. Это следует из того, что первый полином Эрми-
та пропорционален координате. Функция с более высоким кван-
квантовым числом преобразуется, вообще говоря, уже по некоторому
приводимому представлению группы. Зная характер этого пред-
представления, его можно разложить по характерам неприводимых
представлений и найти тем самым данное представление.
В том случае, когда нормальное колебание не вырождено,
характер представления для волновой функции с квантовым
числом v дается простой формулой, принадлежащей Тиссе [I, 2]:
Там же приводятся рекуррентные формулы для случаев, когда
1 ЖЭТФ, 1940, 10, вып. 11.
185

координата дву- и трехкратно вырождена;
Хо (Я) = V,[Хх (Я) X** (Я)-Хх (Я0)] (двукратное вырождение), (!)
X* (Я) = V. [23^ (Я) X*.! (Я)-1/,Х,-а (Я) (X, (Я))я +
+VtXe-i (Я) X! (Я2) + Xt (Я')] (трехкратное вырождение).
B)
Здесь R — элемент группы симметрии молекулы. Я2, Я0—его
степени,
В настоящей заметке указываются формулы, определяющие
X. в замкнутом виде. При этом волновая функция находится п
предположении о квазиупругих силах, так как ангар монизм,
имеющий симметрию молекулы, не изменяет представления, по
которому преобразуется функция.
Рассмотрим сначала случай трехкратного вырождения.
Пусть qu q2 и ?3—соответствующие нормальные координаты.
В потенциальной энергии молекулы им отвечает член U=
= V2<o8(<7i2+?2* + ?32). Положим C/5=Vi©V и напишем уравне-
уравнение Шредингера выбранного колебания в полярных коорди-
координатах:
Здесь / означает азимутальное квантовое число. Обозначая
а затем переходя к у^х\ приводим C) к виду
dy dy 4* ^ 4 4 К '
D) представляет собой известное уравнение для нахождения
собственных функций водородного атома; оно имеет решение,
только если
4 Р ' 2
где /? — целое неотрицательное число. Отсюда
E^htoBp+l+*U)=hv(v+*U). E)
Здесь s/zha) — нулевая энергия пространственного осциллятора.
Кратность уровня Ev равна 2B/+1) по всем значениям Л кото-
которые меняются через две единицы от 1 до л иди от 0 до у в за-
186

висимости от четности v. Иначе, кратность^/г^Н-!) (и+2).
Каждому I отвечает определенная функция tylv.
Найдем сначала характер представления, по которому пре-
преобразуется i|v Надо заметить, что координаты qu qtt ga по от-
отношению к преобразованиям группы симметрии данной молеку-
молекулы не обязательно ведут себя, как декартовы координаты х, у, г.
Пусть группа симметрии молекулы Я изоморфна в смысле тео-
теории абстрактных групп другой группе симметрии С?. Тогда им
будут отвечать одни и те же непроводимые представления. Но
координаты q в группе И могут преобразовываться, как х, у, z
по отношению к группе G. Так, группы О и Td изоморфны. Они
имеют два трехмерных представления, из которых одно отвеча-
отвечает преобразованию хуг в группе О, а другое — преобразованию
xyz в группе Тл. Таблицу простых характеров точечных групп
можно найти в статье Розенталь и Мерфи {2, с. 334}, Из этой
таблицы легко усмотреть, по отношению к какой группе симмет-
симметрии qxqz4* ведут себя как декартовы координаты. После того как
это выяснено, нетрудно пайти х*. т. с. характер преобразования
\\:lv. В самом деле, он равен характеру преобразования /-и ша-
шаровой функции К,. Если операция не связана с отражением, а
представляет чистый поворот, то Хь—sin(/+V2)«p/sincp/2, где
ф-—угол поворота. Поэтому
v sin (v/2 -[-1) ф sin (v/2 t- d/2)q? .^.
*u= ... ^— . {o)
sin ф/2 sin <p
Если же, кроме поворота, операция содержит отражение в
плоскости, перпендикулярной оси.
sin-
. Ф .
sin — sin ф
где
ф = Ф + л. G)
Здесь использована четность / и v. Надо считать, кроме того,
что
. = (—1) mt a ——т.
sin n sin 2л;
Подстановкой в B) можно убедиться в том, что F) и G)
удовлетворяют формулам Тиссы.
187

В случае двукратно вырожденной координаты энергия
ED = ha Bp + / -|- I) - ftco (v -Ь 1), (8)
следовательно, / снова меняется через два. По таблице простых
характеров так же просто определяется, как преобразуются ц^цг.
Может оказаться, что некоторому элементу группы в представ-
представлении qfli отвечает его степень. Так, группы Т& и О, изоморфные»
как уже говорилось, имеют двумерное представление, в котором
характер класса элементов {ЗС2}=2. Поэтому классу элемен-
элементов {3d} в представлении q^qг отвечает единица или поворот
на 2гс. Если классу элементов в представлении qiq2 отвечает
чистый поворот,
^ (9)
sin cp
Если класс элементов содержит отражение, то х?»=6л, поэтому
Ха = |{1 + (-1)°}. (Ю)
Легко видеть, что (9) и A0) удовлетворяют уравнению A).
Л ите р атура
1. L Tisza. Z. Phys.. 1933, 82, 48.
2. /. Rosentahl, G. Murphy. Rev. Mod. Phys., 1939, 8t \ 4, 318.
МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
И а-ЧАСТИЦ В ТЯЖЕЛЫХ ЭЛЕМЕНТАХ*
Многократное рассеяние быстрых электронов послужило
предметом большого числа статей, как теоретических, так и
экспериментальных. Несмотря на то, что само явление никакой
физической проблемы не заключает, правильный учет его необ-
необходим при обработке многих экспериментов с быстрыми элект-
электронами, проходящими через конденсированное вещество. Инте-
Интерес теоретиков к этой задаче вызван отчасти, быть может, тем,
что все входящие в нее величины при известном предположении
о распределении потенциала в рассеивающем атоме могут быть
вычислены через универсальные постоянные. Между тем весьма
* ЖЭТФ, 1945, 15, вып. G.
188

сходная задача о броуновском движении содержит несколько
произвольную величину свободного пробега частицы. Поэтому
всякое несогласие теории многократного рассеяния с опытом,
выходящее за пределы неизбежных ошибок эксперимента, ста-
ставит вопрос о нахождении более точного теоретического решения.
Можно полагать, что недостаток предшествующих работ по это-
этому вопросу [2а, б; 3, 5] связан с неправильным учетом рассеяния
для «больших» углов. Под большими углами понимаются углы,
находящиеся в области, близкой к углам однократного рассеяния.
В настоящей работе показано, что в теорию многократного
рассеяния входит не только величина, аналогичная среднему
квадрату угла отклонения частицы, но и полное интегральное
сечение для столкновения.
Мы будем исходить из интегрального кинетического уравне-
уравнения, полученного еще Боте [1]:
cosfl — = — Г W[F (cosО, т)—F (cosfK, 1)] АУ, A)
дх J
где 0 —угол между импульсом электрона и направлением нор-
нормали к пластинке рассеивателя, г — расстояние точки внутри
пластинки от той поверхности, на которую падает электронный
пучок, F — функция распределения электронов по углам, W —
вероятность рассеяния в едитгице телесного угла в элементарном
акте при прохождении слоя вещества толщиной в 1 см.
При небольших углах отклонения W может быть представ-
представлено формулой
-1*
*7-J ^1 ЯГ Л I Л s /\ к
W =
Выражение B) получено в предположении о томас-фермиевском
распределении потенциала рассеивающего атома. Оно задается
универсальной функцией f(x), В — угол отклонения электрона,
у —его скорость, N — число атомов в единице объема, \i опреде-
определяется как
тогда как k — удвоенный импульс электрона р% выраженный в
соответствующих единицах:
Z —как обычно, атомный номер рассеивателя, h — постоянная
Планка, деленная на 2я.
При больших углах отклонения, таких, что 69» 1, B) пере-
переходит в формулу Резсрфорда. Следует отметить также, что B)
189

не содержит спиновых поправок. Порядок величины этих по-
поправок дается формулой Мотта и определен несколько ниже.
Следует учесть, что формула Мотта для рассеяния в тяжелых
элементах имеет только оценочное значение.
Когда все углы, входящие в задачу, достаточно малы, cos 8
в левой части уравнения A) может быть заменен единицей. При
9<Ю° это связано с процентной ошибкой. Если на пластинку
нормально падает параллельный пучок электронов и можно пре-
пренебречь большими углами отклонения в результате многих со-
соударений, F подчиняется граничному условию
F(cosO, *=0)=0 при 0>О E)
и нормировано на единицу. Уравнение E) отвечает предполо-
предположению о нулевом значении альбедо пластинки. Вызванная этим
ошибка порядка величины отношения полного сечения упругого
соударения к сечению для отклонений на углы, большие" 90°. От-
Отношение указанных величин имеет порядок l/k'1.
Введем еще величину X=sin9/2; тогда после сделанных за-
замечаний уравнение A) получит вид
1 F-F). F)
При этом единица длины выбрана равной !г^2Bец2I
Для упрощения записей будем обозначать входящий в F)
атомный множитель буквой А Разобьем входящее в F) инте-
интегрирование по X на два интервала: от нуля до некоторого значе-
значения Л и от Л до единицы. Но, так как kA есть большая величи-
величина, во втором интервале Л может быть положен равным 1/?2>Л
Л, в свою очередь,— еще настолько малый угол, что вместо точ-
точной формулы
cos О' = cos * cos Э Н sin ft sin G cos <p
в первом интервале между нулем и Л следует применять при-
приближенную формулу сложения
д' = У О» + 4tf -!- АЫ cos ср. G)
Прибавим теперь к интегралу по Л и вычтем из него другой ин-
интеграл, распространенный от Л до <х>, в котором F' выражено
по приближенной формуле сложения G).
Рассмотрим теперь ошибку, происходящую от того, что раз-
разность интегралов
% (8)
190

предполагается равной нулю. Мы можем представить величину
(8) еще и так:
Первое и третье слагаемые здесь имеют один тг тот же порядок
величины F/k*. В дальнейшем будет показано, что относитель-
относительная ошибка, происходящая от того, что эти слагаемые отбрасы-
отбрасываются, несколько меньше квадрата некоторого среднего угла
отклонения и не превосходит поэтому 1%. Второе слагаемое
имеет порядок величины (iWV)F"(b), поэтому должно быть в
О2/1пт раз меньше основного члена, имеющего порядок lf/ft*
Итак, интегральное уравнение будет иметь вид
JV^(ff,. (9)
о о
Решение (9) следует искать в виде разложения по функциям
Бесселя:
Тогда F легко может быть преобразовано с помощью известной
теоремы сложения аргументов для функций Бесселя:
с»)
При интегрировании по ср входящая в (II) сумма исчезает.
Сравнивая коэффициенты при /в(|~)' приходим к дифферен-
дифференциальному уравнению для с(т, ?):
СО
о
Функция /% удовлетворяющая граничному условию E), должна
выглядеть так:
A3)
Задача сводится, следовательно, к вычислению g. Подставляя
вместо Л его выражение и меняя порядок интегрирования, легко
191

приводим g к виду
оо оо сю
о
Внутренний интеграл удобно выразить с помощью интегрально-
интегрального представления /0:
JQ (и) = — I cos (и sin cp) dcp, A5)
2п J
о
и формулы
*--iln^. A6)
В правой части A6) стоит \п{Ь*/а2) потому, что левая часть яв-
является четной функцией относительно а и Ь. В результате по-
получим
со
J
Для дальнейших вычислений удобно искать сначала производ-
производную dgfdi, помня, что при §=0 и ^=0. При дифференцирова-
дифференцировании A7) по параметру g мы не должны обращать внимания на
то, что величина, стоящая со знаком логарифма, может обра-
обращаться в нуль, так как она входит в квадрате, а 1п*2
2 dx
при всех действительных значениях х. Тогда
Внутренний интеграл следует понимать как главное значение,
если Ъг1кж(х+у)*>\ или если gikl(x—yY>\. Это главное зна-
значение равно нулю, в чем нетрудно убедиться непосредственным
вычислением.
192

Таким образом,
x+y>lfk
klnx)dx I
о \x-y\ >\fk
Далее удобно перейти к переменным х+у~а и х—у=Ь и
ввести обозначение е=|/?- После этого A9) переходит в
B0)
Тогда
B.)
Интеграл, входящий в первое слагаемое, преобразуется по
частям:
+ е* Г /' (a) In (a -j-VT^?) da s*
8
In-1 + fГ (в)\nada) = e2 (in — + 0,489). B2)
При этом отброшены члены порядка er/z. Связанная с этим ошиб-
ошибка будет оценена ниже, С той же точностью могут быть вычис-
вычислены второе и третье слагаемые B1). После довольно длинных
7 А. С. Компанеец

вычислений они выглядят так:
2 J J * + ? /
B3)
Вспоминая теперь, что е=|/А, найдем
I®—5-Ш^. . B4)
Функцию распределения можно теперь писать так:
Введем переменную интегрирования Ц2к=х, тогда F будет
иметь следующий вид:
е
B6)
Величина ti входит в B6) через аргумент
определяющий таким образом универсальную единицу угла з
задаче о многократном рассеянии. Кроме этого аргумента,
функция распределения зависит от параметра т, представляю-
представляющего полное число столкновений, претерпеваемых электроном
внутри пластинки. Если, не меняя обозначения, ввести величину
М Вильямса [2 а]
z4'N ДГ = 6,02.10м, B8)
tn-v- a
где а — поверхностная плотность рассеивателя, а — его атомный
вес, получим под логарифмом B6) }'l,64Af. Для удобства срав-
сравнения с Вильямсом мы будем в дальнейшем также пользоваться
величиной М. Численное интегрирование показало, что B6)
вплоть до значений Ъ'~2 хорошо воспроизводится распределе-
распределением Гаусса. Полуширина (точнее, 1/е-ширина) его определя-
определяется как функция т. Если бы B6) содержало только In M в по-
показателе, полуширина определялась бы так:
B9)
в единицах, даваемых уравнением B7).
194

На самом деле, под логарифмом стоит также х, и это не-
несколько меняет истинную полуширину а. Ее отношение к а0
само является некоторой весьма медленно изменяющейся функ-
функцией М, которая может быть изображена следующей таблицей,
найденной в результате численного интегрирования B6):
250 1000 5000 100 000
1,04 1,06 1,06 1,06
а/ао-О,84
28
0,95
56
1,00
Значение М = 100 000 может встретиться только у весьма жест-
жестких космических частиц, так как во всех остальных случаях а
окажется сравнимым ели рассеяние — диффузным. Сравнение
с экспериментом удобно произвести в относительных единицах
так, чтобы выражать теоретическое значение полуширины в про-
процентах наблюденного значения; параллельно приводится ре-
результат теории Вмльямса, отличный от нашего на 20—30% в
сторону превышения.
Таблица 2
Элемент
РЬ
РЪ
С
А]
А1
РЬ
Li
РЬ
С
РЬ
Си
Fe
Cd
Поверхностная
плотность
0,144
0,074
0,68
0,0067
0,0266
0,0079
0,096
0,177
1,25
0,076
0,174
0,17-i
0,111
м
450
225
1120
15
58
25
130
540
2200
230
4',5
4Г>
318
Полуширина {%)
Теория
Вильямса
178
138
164
91
104
111
100
122
120
117
114
107
115
Настоящая
работа
141
114
131
54
79
78
79
103
103
9S
96
90
98
Автор
[*1
[9с1
[И]
[7J
[71
[8]
144
[4bJ
[4а]
[4aJ
[4а]
Первые три величины относятся к более старым опытам:
здесь и Вильяме и настоящая работа дают превышение над
экспериментом, причем последняя имеет превышение, вполови-
вполовину меньшее. Четвертая величина лучше согласуется с теорией
Вильямса. То же относится к следующим трем величинам, полу-
полученным Латышевым с сотрудниками. Следует отметить, однако,
что несогласие настоящей теории с Латышевым одинаково для
всех элементов, между тем как теория Вильямса дает превыше-
превышение для тяжелых элементов. Наконец, последние шесть величин
б целом лучше согласуются с настоящей работой. Поэтому мож-
195
7*

но еще говорить о некотором несогласии экспериментальных
данных различных авторов между собой.
Выражение B6) не сводится к функции Гаусса в общем
виде. Оно должно перейти в нее только при т-^оо. Но, так как
т стоит под логарифмом, даже при значении т~Ю5 ошибка,
имеющая порядок 1п1л)'т/1пУт, составит 25%. Практически,
однако, B6) может быть заменено распределением Гаусса
вплоть до углов, близких к полуширине -распределения. Величи-
Величина квадрата полуширины в радианах дается такой формулой:-
,
?%! *Л /.VI C0)
/nV a)\aj У
причем а/а0 следует брать по табл. I.
Наряду с многократным рассеянием электронов можно по-
поставить также вопрос о многократном упругом рассеянии быст-
быстрых а-частиц, которое может иметь место в достаточно тонких
слоях вещества. Общая теория здесь совершенно такая же, как
для электронов, разница только в том, что рассеяние а-частиц
надо описывать не в борцовском, а в классическом приближе-
приближении, так как для них 2Zez/hv обычно гораздо больше единицы
(см. [2]). Наименьший угол отклонения 0', с которым здесь при-
приходится иметь дело, определяется из того условия, что прицель-
прицельное расстояние удара должно быть сравнимо с томас-фермиев-
ским радиусом "атома. Вильяме определяет наименьший угол
отклонения а-частиц как 8'=3,8Zze2//raa2a0, где а0—радиус
атома, г=2. Вплоть до этого значения угла можно считать, что
рассеяние имеет резерфордовскии характер, а затем обращается
В нуль. Поэтому величина g, аналогичная A4), имеет для
a-частиц такой вид:
Интеграл, входящий в C1), сходится на верхнем пределе, в от-
отличие от среднего квадрата угла отклонения, который расхо-
расходится. Эффективный верхний предел C1) есть величина Л, при-
примененная при замене F) на (9). Формула C!) вычисляется без
затруднений путем однократного интегрирования по частям, по-
последующей замены Л по формуле Пуассона
Л(и) — —\ cos(иcosФ)sin
л J
о
и разложения интегрального косинуса. В результате
196

A11^ = 0,577). Функция распределения а-частиц по вылете из
пластинки имеет вид такой же, как B6). Однако величина М
равна в этом случае
jM=,O,61-5L—. C3)
т er a
Рассмотрим теперь возможные источники погрешности.
Прежде всего погрешность может заключаться в применении
борновского приближения для W B). Известно, что неточность
этого приближения имеет порядок величины Ze2/hv, что состав-
ляет для тяжелых элементов приблизительно 0,6. Она не отно-
относится, однако, как показал Вильяме, к главному члену W, тому,
который взят в формуле B). Отклонение от закона распреде-
распределения Резерфорда дается по порядку величины формулой Мот-
та, которую можно записать так:
4р*ояа
sin4 А \ с2 2 к с2 2)'
Если удержать в ней, кроме первого слагаемого, еще и третье,
око прибавит к g величину порядка Цкг. Иными словами, по-
погрешность, связанная с этим членом, даст в показателе C2)
поправку Утх/k, которая не превосходит 1%, причем, как можно
убедиться путем вычислений, в сторону уменьшения полушири-
полуширины распределения. Любопытно отметить, что, если бы главного
члена Резерфорда не было вовсе, закон многократного рассея-
рассеяния при углах, больших, чем %\кг, воспроизводил бы закон одно*
кратного рассеяния т. е. давал 1/03. Суммарное отклонение
электрона совсем не подчинялось бы распределению Гаусса.
Приближение Борна в форме B) становится несправедливым
для малых углов тогда, когда третий член, пропорциональный
1/8J, становится сравним с первым, который, начиная с 9~l/fc
и меньше, сохраняет один и тот же порядок величины. Следо-
Следовательно, третий член становится близким к первому при
0 ~ kr*i*\ здесь, очевидно, уже нельзя учитывать экранирование,
пользуясь приближением Борна. Но при вычислении g столь
малый интервал углов приводит к неточности всего лишь отно-
относительного порядка k-K'\ Отброшенные члены в выражении (8)
также не дают ничего пропорционального ?2 в значении g. Да-
Далее, члены, пропорциональные б7'2, опущенные в формулах B2)
и B3), приводят к ошибке порядка т~*\ Заметим/что если
представить решение в виде ряда, разложенного по полиномам
Лежандра, как это делают Гаудсмит и Саун дер сон, то оценить
неточность, связанную с применением приближения Борна,
весьма затруднительно.
Вилер [6] предполагает, что дифракция электронов в кри-
кристаллическом веществе может существенным образом повлиять
на величину W, так как кристалл, ориентированный не под уг-
197

лом Брегга, не рассеивает электронов вовсе. В микрокристалли-
микрокристаллическом веществе распределение электронов по углам должно
иметь характер дебаеграммы, для которой единица угла при-
приблизительно в 20 раз меньше, чем l/k. На величине полного эф-
эффективного сечения это должно сказаться существенным об-
образом, так как для вычисления полного сечения важен именно
интервал углов 1/й, на котором помещается меньше 10 колец
Дебая. Возражение Вильямса, согласно которому неупругое
рассеяние должно выводить электроны из когерентности, не убе-
убедительно, так как при возрастании числа рассеивающих центров
упругое и неупругое рассеяния растут параллельно, по крайней
мере, до тех пор, пока можно пользоваться теорией возмущений
при вычислении эффективного сечения. На величине g, однако,
дифракция электронов сказывается значительно слабее, так как
усреднение [1— МШ]=V&*I4 совершается по интервалу углов,
значительно большему чем l/k, вследствие логарифмической рас-
расходимости А,1 на верхнем пределе усреднения. Главной причиной
поправки, происходящей от дифракции, является различный
множитель повторяемости колец р. Так, в случае гранецентри-
рованной решетки отражения от граней с тремя различными
индексами, неравными нулю, имеют множитель повторяемости
р=48, тогда как, если два индекса одинаковы или если один
из трех индексов равен нулю, /9=24. При большом номере коль-
кольца п число колец между п и n+dn растет пропорционально
n2dn при р=48 и пропорционально всего лишь ndn при р=24.
Для еще меньших р число колец пропорционально dn. Ошибка,
вносимая кольцами с р=24> оказывается примерно такой же,
как от члена с 1/03, и поэтому тоже весьма незначительна.
Представляет интерес определить, при каких углах функция
распределения приобретает характер, близкий к тому, который
она должна иметь в элементарном акте. Для этого следует оп-
определить асимптотический характер A3) при больших_§. Это
удобно сделать, пользуясь средними значениями fl2 и \V, кото-
которые из A3) весьма удобно определяются по интегральным
формулам для функций Бесселя. В самом деле, если F дается
формулой A3), то
б» = Г <№ifr- —(-?Ъ ±е-*\ - т f ЛШ, C4)
Интегралы, входящие в C4), расходятся, причем по характеру
расходимости можно судить о поведении F при больших ft. Из
вида ё* и 5* следует, что F при самых больших углах идет по
198

формуле Резерфорда. Второе слагаемое в Ф\ соответствует
члену с меньшей степенью расходимости. Поэтому асимптоти-
асимптотический характер F следующий:
F = g-4-i№n * C5)
где XdLn=^l/^ а Я — коэффициент в формуле Резерфорда. Рас-
Распределение Резерфорда теряет силу со стороны малых углов,
когда оба члена C5) становятся одного порядка величины. От-
Отношение у=и^ш^)г может быть найдено из уравнения C6):
!=i^. C6)
2т у
Это дает значение К приблизительно вдвое больше, чем полу-
полуширина кривой распределения. Во всяком случае, нет никаких
оснований полагать F равным сумме двух кривых — Гаусса и
Резерфорда, как это делает Вильяме. Элементарный закон рас-
рассеяния электронов по выходе из пластинки может быть легко
отделен от многократного чисто экспериментально, по значению
полуширины кривой распределения.
Соображениями о роли дифракции электронов я обязан весь-
весьма интересной дискуссии с проф. СИ. Пекаром, которому при-
приношу искреннюю благодарность.
Литература
1. Bothe. I. Phys., 1939, 54, 101.
2. Е. Williams. Ргос. Roy. Soc, 1939. А169, 531; Phys. Rev., 1940, 58, 292.
3. S. Goudsmith, J. L. Saunderson. Phys. Rev., 1940. 58, 37; 1940, 57, 24.
4. /V. Oleson, K. T. Chao, H. Crane. Phys. Rev., 1941, 60, 378; С Sheppard. Phys.
Rev., 1942, 62, 313.
5. Bethe, Rose, Smith. Proc. Amer. Philos. Soc, 1938, 78, 572.
6. /. Wheeler. Phys. Rev., 1940, 57, 352 A.
7. L. A. Kulchitsky, G. D. Latyshev. J. Phys., 1941, 5, 249.
8 А. И. Андриевский, Л. А. Кульчицкий, Г. Д. Латышев, ЖЭТФ, 1942, 12,
вып. 1—2, 16.
9. a) W. Fowler. Phys. Rev., 1938, 54, 773.
b) N. Oleson, К. Ckao, J. Halpern, И. Crane. Phys. Rev., 1939, 56, 482.
) С Sheppard, W. Fowler. Phys. Rev., 1939, 36, 849.
H. Crane, M. Slawsky. Phys. Rev., 1939, 56. 120Q.
b) N.
c) С S
d) H.
199

МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ ТОНКИХ ПУЧКОВ
БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ*
Когда быстрые электроны, летящие в виде тонкого пучка,
претерпевают многократное рассеяние, диаметр пучка увеличи-
увеличивается по мере углубления л толщу вещества, приблизительно
следуя закону свободной диффузии в двух измерениях. Соот-
Соответствующий коэффициент диффузии был впервые определен
Ферми [I]. При этом он пользовался дифференциальным урав-
уравнением многократного рассеяния, имеющим, как показано в ра-
работе автора [2] [в дальнейшем цитируется как (Л)], логарифми-
логарифмическую точность.
В настоящей работе находится закон пространственного рас-
расширения пучка при многократном рассеянии. Результат очень
напоминает распределение электронов по углам, найденное
в (А).
Пусть пучок электронов падает в направлении оси z на тон-
тонкую пластинку, расположенную в плоскости х,у. Функция рас-
распределения электронов зависит в этом случае от координат точ-
точки в пластинке, т. е. x,y,z, и от углов, образуемых компонента-
компонентами скорости с осью 2. Если пластинка достаточно тонкая, эти
углы можно считать малыми и положить v2=v, vx=lv, vv=t\v.
Интеграл по столкновениям, входящий в первую часть кинети-
кинетического уравнения, будем писать с той же точностью, что и в
(А), уравнение (9). Единицы длины примем также совпадаю-
совпадающие с (А), т.е. 2=т, а для других координат сохраняем
обозначения х% у в новых единицах (единица длины =
= 24'jmV/3*%7/3z4/a/i2JV, где N — плотность атомов рассеивателя,
1г — дираковский квант действия).
Вероятность столкновения на единице длины равна в наших
обозначениях
0)
где ф(г)—потенциал Томаса — Ферми, й — импульс в соответ-
соответствующих единицах [см. (А)]. Здесь |', т|' — углы, определяю-
определяющие направление скорости после столкновения. Существенно, что
W зависит только от абсолютной величины угла столкновения.
Кинетическое уравнение имеет следующий вид:
ЖЭТФ, 1947, 17, вып. 12.
200

=~~ 11 w {F {х- "•ь л)~F (*'Vf
-00-00
Введем другую, усредненную функцию распределения, ко-
которая определяется так:
-оо -оо
Производя это усреднение над уравнением B) и пользуясь тем,
что на бесконечности F равно нулю, имеем
2я
где
00
w = J
-оо
введено вместо №. Пользуясь A), приводим w к такому виду:
f F)
где Jo — функция Бесселя нулевого порядка. Будем теперь ис-
искать неизвестную функцию / в виде интеграла Фурье:
|т|х)Л|. G)
Тогда слагаемое |— в левой части преобразуется так:
дх
-DO
авая часть принимает вид
- J el^du J <(Г» (Г) A -**"); 5" = E-f. (9)
-оо -оо
201

Пользуясь известным разрывным интегралом для бесселе-
бесселевой функции
s>|u|:
О, sO|,
можно показать, что
Jt»E")(l-eu*')d|'=2«g(«), A0)
где g(u)—функция, найденная в (А), B4). Именно:
^^. A1)
Таким образом, интегральное кинетическое уравнение све-
сведется к следующему дифференциальному:
Предполагая падающий пучок бесконечно тонким, мы долж-
должны полагать, что при
т=0, У(и,х) = ±Ь(х), A3)
где 6 (х) — известная б-функция. Тогда при т—0
№Ь *)=«(*)«©. (И)
Пользуясь A2), находим / в таком виде:
ОО СО / U: »
f(r, 6, х)=± j ди jd^expj^ + JoH-i j g(u)du . A5)
-co -oo \ tf+jit /
Интегрируя / по х, приведем его к форме
..if
2л J
A6)
Отсюда легко снова перейти к распределению по углам 0
lIF+rf* a именно:
Г
F (t, 9) - ^- Г e-e<«)Ve (и9) udu, A7)
2n J
о
которое было получено в (А), B5).
Интересно произвести сопоставление A6) и A7). Распреде-
Распределение A6) должно получиться, если рассеянные электроны ре-
202

гист^ирует достаточно длинный счетчик, в который попадают все
электроны, отклонившиеся на данный угол от плоскости х=0.
A6) можно назвать распределением по плоским углам. A7) яв-
является распределением по телесным углам, так как оно дает
вероятность отклонения на угол 9 от оси *=0, у=0. Его зареги-
зарегистрирует счетчик, весьма короткий по сравнению с диаметром
рассеянного пучка. Распределение A7) было подробно рассмот-
рассмотрено в (А). Если ввести параметр М, пропорциональный числу
столкновений, претерпеваемых электроном в пластинке, то A7)
и A6) оказываются функциями от lnAf. М определяется фор му-
лой[см. (А), B8)]'
Ни A6), ни A7) не сводятся к распределению Гаусса, но весь-
весьма на него походят, если вычислять их численно. При этом от-
отношение полуширины кУ1гШ (точнее, 1/й-ширины) оказывается
функцией Af/Если бы g(u) не содержало и под логарифмом, по-
полуширина распределения была бы строго пропорциональна
уГгГМ. Однако отличие истинных распределений от гауссова при
данном М ясно сказывается при сравнении полуширин A6) и
A7). Как известно, гауссово распределение по углам 9 является
произведением таких же распределений по углам Е и к], так как
0- = ь2 + т|2, и имеет одинаковую с ними полуширину. Численное
определение полуширин A6) и A7) дает иной результат. Если
ввести полуширину A7) а в единицах aQ=)f\nM и в тех же еди-
единицах я' для A6), то получается такая таблица:
м
16
0,84
1,00
28
0,95
1,05
56
1,00
1,075
250
1,04
1,08
1000
1,06
1,08
5000
1,06
1,08
100000
1,06
1,08
Из таблицы видно, что результирующие отклонения электрона
по углам 1 и х] нельзя считать независимыми, особенно при ма-
малом числе столкновений.
Аналогично A6) можно определить и распределение плотно-
плотности пучка по координате х. А именно:
1 JV~6.02-IOM, a — поверхностная плотность рассеивателя в г/cju2, а —атомный
вес рассеивателя.
203

Вид A8) вполне аналогичен A6), и от него тем же способом
легко перейти к распределению по радиусу г=^хг+у'\ Вводя в
ЦТ*'*
A8) переменную интегрирования v=-t-j±.t запишем его так:
я у о
4S j
По виду х(т**) не отличается от [(т, ?). Для вычисления полу-
полуширины х следует ввести величину М\ аналогичную М, которая
связана с ней равенством
Результат A9) так же отличается от полученного Ферми, как
угловое распределение A7) от обычного 1гауссовото. Но следует
заметить, что при выводе A7) и A9) не учитывались конечные
размеры ядра, которые сказываются и на рассеянии на малые
углы, когда энергия электронов достаточно велика (например,
для космических частиц).
Литер атура
1. В. Rossi, К. Greisen. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 4.
2. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1945, 15, вып. 6, 235; см. наст, изд., стр. 188.
МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
В ТЯЖЕЛОМ ВЕЩЕСТВЕ*
Изучение элементарных -процессов, происходящих с "быстры-
"быстрыми электронами, предъявляет к данным эксперимента непремен-
непременное требование «большой статистики», т. е. очень большого чис-
числа измерений определенного эффекта в строго определенных
условиях. Этому проще всего удовлетворить, пропуская моно-
монохроматический пучок электронов или у-квантоз через вещество
в конденсированном состоянии, например в виде пластинки. Тог-
Тогда вероятность элементарного процесса, происходящего с элек-
электроном в атоме или в ядре атома, будет несравнимо большей,
чем в том случае, если вещество изучается в камере Вильсона в
парообразном состоянии. Преимущество камеры Вильсона за-
заключается в наглядности результатов, но, чтобы получить из них
* *Труды Физико-технического ин-та», т. 1. Ташкент, 1947.
204

количественные выводы, экспериментатору часто приходится
проследить суммарно многие километры треков.
Слабой стороной эксперимента с пластинками является труд-
трудность Исключения вторичных эффектов из получившихся дан-
данных. Если речь идет о тяжелом веществе, то важнейшим из та-
таких вторичных эффектов является рассеяние электронов на ато-
атомах, упругое и неупругое. При этом упругое рассеяние, растущее,
как квадрат атомного номера рассеквателя, в тяжелом веще-
веществе будет преобладать. Как известно, упругое (резерфордов-
ское) рассеяние в большинстве случаев происходит на весьма
небольшой угол, но такие отклонения на малый угол могут на-
накопляться, и в конце концов электроны, вошедшие в пластинку
или выбитые из нее -у-квантами, получат угловое распределение,
весьма отличное от того, какое должно было бы установиться
при действии одного только изучаемого элементарного процес-
процесса. Поэтому представляет интерес построение количественной
теории такого многократного упругого рассеяния быстрых элек-
электронов на малые углы: в одних случаях для того, чтобы оценить
связанный с ним «вторичный» эффект и исключить его, в других,
быть может, и для того, чтобы включить его в рассматриваемый
первичный эффект и предсказать эффект суммарный [I,]. Кроме
того, имеющиеся в литературе экспериментальные данные о мно-
многократном рассеянии частью противоречивы, частью превосхо-
превосходят по величине результаты того, что можно заранее предпола-
предполагать, и поэтому представляет интерес возможно точная количе-
количественная теория явления.
Прежде чем установить уравнения для многократного рассея-
рассеяния быстрых электронов, следует установить вероятность рассея-
рассеяния электрона на определенный угол -в элементарном акте столк-
столкновения с атомным ядром тяжелого элемента. Как известно, для
тяжелых элементов, у которых Z/137 сравнимо с единицей (Z —
атомный номер), замкнутой формулы для эффективного попе-
поперечника рассеяния на произвольный угол не существует, но для
интересующего нас рассеяния на малые углы, которое является
преобладающим, сохраняет силу обычная формула Резерфорда,
причем входящая в нее масса электрона релятивистски зависит
от скорости. Для вероятности рассеяния электрона на угол 0
на 1 см пути получается следующее выражение:
где Л1 — плотность атомов рассеивателя.
Так как ядро считается неподвижным, входящая в уравнение
A) скорость электрона v при столкновении не меняется. При ма-
малых 0 выражение A) расходится. Это произошло потому, что
в него не введен атомформфактор, который учитывает экрани-
205

роаание заряда ядра атомными электронами при больших клас-
классических параметрах столкновения.
Более точная формула получается при определенных допу-
допущениях о распределении электронной плотности в атоме. Для тя-
тяжелых элементов принято для этого пользоваться распределе-
распределением Томаса — Ферми, хорошо оправдавшим .себя в различных
задачах о столкновениях. Потенциал ядра, действующий на элек-
электрон, берется в этом случае таким:
f' B)
C)
а функция f удовлетворяет дифференциальному уравнению
Тогда введенная в формуле A) плотность вероятности W(&)
получит вид
где р — импульс электрона.
Удобно далее ввести обозначения:
Здесь'с — скорость сталкивающихся электронов, практически
равная с.
Тогда
)
1-C0S8
Выражение A) часто обрезают со стороны 0 больших, следуя
Вильямсу [2]. Этим исключается, как принято говорить, одно-
однократное "рассеяние на большие, углы. На самом деле решение
интегрального уравнения многократного рассеяния содержит в
себе и эти будто бы «единичные» акты. При достаточно малой
206

толщине пластинки решение переходит в распределение типа A)
или—Лдля произвольных углов —в формулу, релятивистски бо-
более точную, чем A). При больших толщинах не имеет никакого
смысла^разделять электроны, вылетавшие из пластинки в обрат-
обратном направлении, на рассеянные многократно, «накопившие»
большой угол, и на «завернувшие» сразу вследствие столкнове-
столкновения «в лоб». Первых будет тем относительно больше, чем тол-
толще пластинка, но провести это разделение можно только каче-
качественно. Тем более физически невозможно установить «биогра-
«биографию» рассеянного электрона. Употребляемая иногда формула
Вильямса носит поэтому в лучшем случае интерполяционный ха-
характер и содержит степень произвола почти того же порядка,
что и уточнение результатов, на которое она претендует. При
этом произвол связан с употреблением качественного критерия
Вентцеля для угла, рассеяние на который «однократно».
Если пучок электронов падает на пластинку нормально к ее
поверхности, функция распределения электронов по углам в
данной точке внутри пластинки может зависеть только от одной
пространственной координаты — расстояния точки от поверхно-
поверхности пластинки.
Функция распределения за единицу временя выразится как
21 ««?-„<»*, (8)
где О —угол между направлением скорости электрона и нор-
нормалью к пластинке (внутренней в точке падения). Изменение
функции /"(<>) равно разности между числом электронов, полу-
получивших вследствие столкновения компоненту скорости и6 =
= v cos ft, и числом электронов, изменивших это значение у$ на
любое другое, что можно записать в виде интегрального урав-
уравнения
l/^Lcosft= [vW(Q){F({y)—F(&))dQ\ (9)
где cos 0'=cos ft cos 0+ sin ft sin Gcoscp; ф — азимут.
Коэффициент cos ft в левой части уравнения при малых углах
рассеяния близок к единице. Его можно принять равным единице
при достаточно тонких пластинках. Ошибка, которая при этом
допускается, тем меньше, чем меньше толщина пластинки, и по
порядку величины сравнима с толщиной пластинки, умножен-
умноженной на средний угол рассеяния на единице пути электрона. Чис-
Числовая величина этой ошибки будет оценена ниже. Итак, мы за-
запишем уравнение (9) как
05 J
207

В уравнении A0) легко разделить переменные (<р,О), пользуясь
разложением/7(f>, |) по полиномам Лежандра:
Тогда в выражении F(O') следует воспользоваться теоремой сло-
сложения для полиномов Лежандра:
РЯ(СО5&') = S ЙГ(С08&)ДГ(С08в)в"«». A2)
При подстановке A2) в A0) все члены, содержащие е'*, про-
пропадут при интегрировании по fp, если тФО. Поэтому A0) по-
получает вид (если перейти от duf к dQm)
Я^гРп (cos #) = - 2л S Ял (cos ft) С„ (V (в) < 1 -Р« (cos В)} dO,
или, сравнивая коэффициенты при одинаковых Рп, получим
A3)
Интеграл, стоящий в показателе правой части A3), может быть
вычислен, если воспользоваться выражением G). При этом надо
учесть то обстоятельство, что функция f(x) задана только чис-
числовой таблицей. Поэтому интеграл не может быть вычислен
точно, как функция К. Тем не менее при большом К (т. е. боль-
большой энергии электронов) его удается определить с точностью
до членов порядка 1/у/С по сравнению с 1п/( и с членом поряд-
порядка единицы. До сих пор задача решалась таким образом, что
опускался и этот последний член, что, несомненно, уступает точ-
точности последних экспериментов [3].
Обозначая cos в буквой и, опуская пока что постоянные ко-
коэффициенты и меняя порядки интегрирования в формулах G)
и A3), запишем интересующий нас интеграл так:
f(y)dy \
\du
A4)
Полином Рп{и) разложим в ряд по степеням A-й), ограничи-
ограничиваясь первым членом разложения. Дальнейшие члены после ин-
интегрирования имеют по отношению к нему порядок малости 1//С.
Тогда
A5)
208

Впедя далее }'1—и в качестве новой переменной, придадим A4)
вид
2 . dK L ( (
о о
A6)
Интеграл, входящий в A6), может быть переписан еще так:
х -г У J
. A7)
Займемся прежде всего первым из входящих в A7) интегралов.
Преобразуя его по частям, мы приведем интегрирование по у к
форме
_2 l-cos/Cd ?., . Г1^со5/(
' J I * —
причем подставлено f(oo)=0. Так как, далее, /@) = 1, получим
от первого члена A8)
во . оо
2 Г/(дг) 1~cos*p dx - 2 Urn —/ (8) In в — ff W In jc rf^-
о l и
5
/Се
Во втором и четвертом интегралах заменим нижний предел
интегрирования нулем, так как это не ведет к расходимостям.
Далее, в первом и третьем интеграле положим f(e) = L Восполь-
Воспользуемся далее равенством
I
dx = —In (Кг -+¦ С) 4- О (е),
где С — постоянная Эйлера, равная 0,577. В результате первый
и третий интегралы сведутся просто к 1п(К+С). Покажем да-
далее, что четвертый интеграл имеет порядок величины 1/у/С и в
принятом нами приближении может быть опущен. Для этого за-
заменим в нем Кх буквой ? и проинтегрируем его по частям. Будем

иметь
B0)
причем использовано уравнение E), которому удовлетворяет f.
Первый из получившихся интегралов равен нулю. В самом деле,
ему легко придать вид
Шп Г*?«!•* dZ= Urn
J J Z
f dZcoszl Г* =
J
о J io=o
B1)
где использовано асимптотическое поведение интегрального ко-
косинуса. Наконец, во втором интеграле правой части B0) можно
заменить W—] единицей, так как это не ведет к расходи-
расходимости и ошибка имеет порядок величины 1//С, как это видно,
если разложить по обратным степеням IIК и ограничиться пер-
первым членом разложения. Именно, употребляя прием, аналогич-
аналогичный B1), и пользуясь формулами для интегралов Френеля, най-
найдем его равным —-т=гУ2л. Следовательно, A9) сводится к виду
2 FlnJC+C—Jr (Jt)lnxdxl. B2)
xl.
Входящий в B2) интеграл находится нумерически по табли-
таблицам /. При f, меньшем 0,1, следует пользоваться разложением
/(*)= 1-1,589*+±*'/.+ ...; B3)
окончательно
jf (x)ln*dx = 0,383. B4)
о
Обратимся теперь к интегралу, входящему в формулу A8).
Он распадается на два слагаемых:
B5)
210

Путем некоторых вычислений удается произвести мажорацию
(оценку, верхнего предела величины) второго слагаемого_ B5),
и оно оказывается по порядку величины не большим 1/у/С
Первое слагаемое не зависит от К и содержит только универ-
универсальную функцию f. Пользуясь известным интегральным преоб-
преобразованием Дирихле, нетрудно придать ему вид, в котором чис-
числитель и знаменатель при х=у одновременно обращаются в нуль
B6). Окончательно имеем для первого слагаемого A7) выра-
выражение
2 [1п Я+С-0,3831-
х — У х+У J
B6)
Оба двойных интеграла также вычисляются нумерически; пер-
первый из них равен —1,08, второй —1,99. Поэтому B6) равно про-
просто 2 In 0,8*. '
Второе слагаемое A7) вычисляется, если подставить его в
A6) и выполнить дифференцирование по К- Тогда оно приобре-
приобретает простой вид:
" -w <27>
с ошибкой, не превышающей ту, которая допускалась выше.
Окончательно A6) сведется к выражению
л @,8/0. B8)
и разложение, которое мы имеем, получает вид
F Ц cos 0) - S Сп @) ехр [^^п (л+1) In @,8/Q l\ Pn (cos fr).
B9)
Если рассматривается очень тонкая пластинка, вероятность
того, что электрон, пройдя в ней некоторый путь, будет выбро-
выброшен в обратном направлении многочисленными актами столкно-
столкновений, очень мала. Также мала вероятность однократного столк-
столкновения, сразу отклоняющего электрон на угол, больший 90°.
Поэтому в случае рассеяния в тонкой пластинке предполагают,
что все электроны, проходящие через се переднюю поверхность,
имеют распределение падающего пучка и, следовательно, назад
не летит ничего. Считая падающий пучок параллельным, надо
211

полагать
F (О, cos ft) = J- б A —cos $), C0)
где 6 — дираковская б-функция. Чтобы удовлетворить гранич-
граничному условию C0), приравняем С„@)=—i—.. Поэтому функ-
функция распределения окончательно запишется так:
F = 2 ^-^ ^<Л«)Ф„ (cos ft), C1)
n 2
где
*=??П1@,8К)Е. C2)
Выясним теперь точность, с которой распределение C1) мо-
может быть заменено гауссовским распределением при малых
углах. Для этого вычислим средние значения величин
|y C3)
при достаточно малых fK Обозначим для краткости cos ft=и.
Тогда выражению C1) можно придать вид двойного ряда, если
воспользоваться разложением экспоненциальной функции и диф-
дифференциальным уравнением для полиномов Лежандра:
Далее имеем
C5)
так как суммирование по л представляет собой разложение
6-фуикции по полиномам Лежандра. Обозначение оператора D
ясно из C5). Прежде всего, легко видеть, что /)*(!— иI^^ об-
обращается в нуль при т<К.
212

Для этого достаточно придать этому выражению вид
Самое последнее дифференцирование понижает степень A—и)
на единицу, что затем компенсируется множителем A—и) при
производной. Дальнейшее двукратное дифференцирование пони-
понижает степень на два, но последующее умножение на A—и)
опять прибавляет единицу к показателю. Так как вторая про-
производная содержится ъ операторе {К—1) раз, она понижает
степень т на (К—1), и самая внешняя первая производная по-
понижает ее еще на единицу. В результате наименьшая степень
A—и) будет т—К. Все прочие члены, получающиеся от диффе-
дифференцирования сомножителей (l+а), дают более высокую сте-
степень (I—и). Поэтому первый член C5), не обращающийся в
нуль, есть—0 A—«)(!=1). Следующие члены пропорциональ-
т\
ны более высоким степеням / и при малых толщинах рассеиваю*
щего вещества могут быть опущены. Член, который мы удержи-
удерживаем, приводит C1) к распределению Гаусса, имеющему, таким
образом, точность порядка величины t по сравнению с еди-
единицей.
Вычислим теперь
Dm{\~u)?-1=am. C6)
Имеем
= 2n*Dm-1 A -и) + m (m-'r 1) D™ A -и)т]и=1. C7)
Последний член в правой части согласно только что доказан-
доказанному равен нулю, и получается
am^2miam-i C8)
или
fln = 2'-(m!)a. C9)
Таким образом,
4mtm m! = j
213

Следовательно, нам известны все моменты, даваемые функ-
функциями распределения F. Отсюда F однозначно определяется как
F^ik D0)
Множитель 1/2л отвечает нормировке в отношении азимута.
Уравнение D0) и является распределением Гаусса. Мы, однако,
оценили точность его в зависимости от толщины пластинки. Да-
Далее, из вывода D0) можно определить и те толщины, при кото-
которых рассеяние электронов практически однократно и ие отлича-
отличается от того, которое имеет место в элементарном акте.
Для этого надо исходить из определения не среднего квад-
квадрата, как это иногда делается, а среднего значения четвертой
степени угла рассеяния. Именно, средний квадрат угла рассея-
рассеяния, вычисленный из A), G) или D0), всегда возрастает, как
первая степень толщины пластинки, и его зависимость от тол-
толщины не может, следовательно, служить критерием одно- или
многократности рассеяния. Между тем среднее значение четвер-
четвертой степени при элементарном акте столкновения также про-
пропорционально первой степени /, а при многократном рассеянии
пропорционально Р. Как легко видеть, это связано с характером
зависимости Сп разложения F от я, именно с тем, что в показа-
показательную функцию входит л (л-И), на чем и построен весь вы-
вывод D0). Но член п(п+1) является только первым в разложе-
разложении Р*(и) по степеням (I— и), применявшемся в A5). Следую-
Следующий член, опущенный нами, меньше в отношении \/К. Зато, если
бы он был учтен, среднее значение содержало бы U Поэтому те
толщины, при которых многократное рассеяние преобладает над
однократным, определяются из неравенства
/,
Для свинца при энергии электронов около 2,5 Мэе это озна-
означает, что однократное рассеяние имеет место всегда, если тол-
толщина мишени составляет около \ мг на 1 смг.
Л нтератур а
1. Г. Д. Латышев, А. С. Компанеец. И. П. Борисов и //. М. Гусак, ЖЭТФ,
1940, 10, 996.
2. Е. Williams. Proc Roy. Soc, 1939, 169, 531.
3. А. И. Андриевский, J1. А. Кульчицкий. Г. Д. Латышев. ЖЭТФ, 1942, 12. 17.
214

КРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
В ВЕСЬМА ТОНКИХ СЛОЯХ ВЕЩЕСТВА*
Во многих ядерных экспериментах бывает существенно учи-
учитывать кратное рассеяние заряженных частиц, прошедших через
столь тонкие слои вещества, что полное число столкновений
сравнимо с единицей. При этом обычная приближенная теория
многократного рассеяния, в которой принимается, что число
столкновений весьма велико, неприменима, так что необходимо
пользоваться более точной теорией {1, 2]. Полученная я этой тео-
теории функция распределения для малых толщин изучалась Би-
берманом [3], но результаты этой работы не могут быть перене-
перенесены на углы, большие по сравнению с минимальным дифрак-
дифракционным углом отклонения (см. ниже). Даже если толщина рас-
рассеивающего слоя вещества составляет один пробег для упругого
рассеяния, заметная доля частиц претерпевает при прохожде-
прохождении больше, чем одно столкновение. Определить долю таких ча-
частиц в интегральном эффекте рассеяния очень легко. При помо-
помощи точной теории многократното рассеяния можно определить
и долю частиц, претерпевших кратное рассеяние и вылетевших
из вещества под определенным углом к первоначальному на-
направлению падения.
Общая формула для функции распределения частиц, про-
прошедших через некоторую толщу вещества и отклонившихся на
малый угол, была дана в [1) и \2]. Эту функцию можно запи-
записать так":
00
/ (в) - ^ j /„ (ив) ехр{ —JVJ" da1 (I -J9 («в'))} иди, A)
О
где N — число рассеивающих атомов на 1 см\ /0 — функция
Бесселя нулевого порядка, da' — дифференциальное эффектив-
эффективное сечение.
Для легких элементов в A) надо подставить дифференциаль-
дифференциальное эффективное сечение кулоновского рассеяния с учетом экра-
экранирования:
здесь Z — атомный номер, v — скорость частицы, а —параметр
экранирования. Утлы рассеяния считаются малыми, так как эти
углы представляют основной интерес в задаче о кратном рас-
рассеянии. Формуле B) отвечает потенциальное поле вида
V(Zl)*
* ЖЭТФ. 1965, 28, вып. 3, 308.
215

Введем оптическую толщину раосеивателя (d — геометриче-
геометрическая толщина)
a2 C)
и безразмерный параметр экранирования
v=ha/2mv. D)
Подставляя B), C) и D) в общую формулу (I), получим
формулу для многократного кулоновского рассеяния в легких
элементах:
здесь Ki — функция Макдональда. При больших оптических
толщинах эту функцию можно представить в виде
поскольку при этом основной вклад в интеграл E) дают значе-
значения 6, гораздо меньшие, чем Ут.
Подстановка (б) в E) дает формулу, справедливую при
больших т — порядка нескольких десятков:'
Подобное выражение было получено в [1], где изучалось рас-
рассеяние в тяжелых элементах, причем оказалось, что f(8) весьма
напоминает гауссово распределение. Для т=100 формула E)
табулирована в [5] без перехода к асимптотической форме G).
Если т= 1 или 3, то формула G), конечно, совершенно непри-
неприменима. Чтобы найти функцию распределения в этом случае, не-
необходимо численно интегрировать выражение E). Как уже го-
говорилось, расчет f(8) при малых т производил Биберман. Он
заменил элементарный закон рассеяния суммой гауссовых функ-
функций. Такая сумма может дать хорошее приближение для /@)
при самых малых углах отклонения @~2v), но заведомо не-
неприменима в области 8^2v, потому что средний квадрат угла
отклонения, вычисленный по формуле B), логарифмически рас-
расходится, а если пользоваться гауссовыми функциями и вместо
формулы B),— сходится. Но поскольку характерная особенность
кулоновского рассеяния как раз и состоит в том, что средний
квадрат угла отклонения расходится со стороны больших углов,
то, чтобы проследить f@) до возможно больших 9, не следует
пользоваться гауссовым приближением.
216

Заметим прежде всего, что непосредственное численное ин-
интегрирование по формуле E) невозможно, потому что интеграл
весьма медленно сходится на верхнем пределе. Поэтому из
подынтегрального выражения следует выделить часть, приходя-
приходящуюся на частицы, совсем не рассеявшиеся, и на частицы, рас-
рассеявшиеся однократно. Оставшаяся функция распределения
имеет вид
Индекс >1 указывает, что учтено только кратное рассеяние.
Легко проверить, что третий член в скобке под интегралом дает
однократное рассеяние, потому что (см. [4])
Для случая т=3 удобно было выделить и двукратное рас-
рассеяние, так как интеграл (8) сходился еще недостаточно хорошо.
Распределение двукратно рассеявшихся частиц, записанное от-
отдельно, имеет вид
f (#\_ tVV Г 2<*2 + *) in Ут2 + W+W , ^ о]
(9)
где
fl=e/2vVT. A0)
Можно убедиться, что
как и должно быть.
Приводим в табл. 1 (см. стр. 218) результаты численных рас-
расчетов для т— 1 « для т=3 (вычисления производилась Т. Н. Ша-
Шаталовой).
Здесь [^(fl1)—функция распределения частиц, испытавших
больше чем одно столкновение, ^ — функция распределения час-
частиц, испытавших одно столкновение. Оказывается, что число тех
и других становится сравнимым при -01=21 а при больших углах
преобладают частицы, претерпевшие кратное рассеяние.
217

1
I
4 8
о о"
218
4- О
о" о о
9 23
о* о о"
2 ii
3
Il

Распределение, приведенное в табл. 1, нормировано на еди-
единицу:
]
Здесь е-1 —доля частиц, прошедших без единого акта рассеяния.
Фактически табл. 1 охватывает 0,975 от числа всех прошедших
частиц, остальные рассеиваются на угол д, больший 5.
Эта таблица охватывает 0,92 от числа всех прошедших частиц.
Заметим, что теперь кратное рассеяние становится больше еди-
единичного уже при самых малых значениях О.
ДОПОЛНЕНИЕ
Функция распределения для кратного кулоновского рассея-
рассеяния может быть изучена и экспериментально при помощи прос-
простой оптической модели.
Пусть составлена эмульсия из двух прозрачных сред с очень
близкими показателями преломления. Будем считать, что одно
вещество образует собственно среду, в которую вкраплено вто-
второе вещество в виде беспорядочно расположенных шариков оди-
одинакового радиуса R. Радиус будем считать большим по срав-
сравнению с длиной волны проходящего света, чтобы можно было
пользоваться законами геометрической оптики. Таким образом
рассматриваемое рассеяние в известном смысле противоположно
рэлеевскому рассеянию, когда длина волны велика по сравнению
с размерами препятствия.
Определим сначала отклонение светового луча в элементар-
элементарном акте рассеяния. Согласно предположению, относительный
показатель преломления двух сред есть v, где v — малое число.
Пусть полярная ось проведена из центра шара в направлении па-
падения луча. Полярный угол точки падения луча на шар назо-
назовем р. Тогда угол отклонения луча в шаре, как видно из элемен-
элементарного построения, есть
e=2vtgp.
Угол 8 считается малым, так как v<l и вклад больших углов
незначителен. Отсюда легко получить дифференциальный эффек-
эффективный поперечник рассеяния. По общим формулам классиче-
классической теории рассеяния он оказывается равным!
1 Заметим, что формула B) получена в борцовском приближении из волнового
уравнения, а последняя формула получена в приближении геометрической
оптики. Волновая картина для частиц оказывается аналогичной лучевой
картине для света. Следовательно, найденная аналогия отнюдь не является
частным случаем оптико-механической аналогии. Усмотреть физическую
причину для этой аналогии мы не смогли.
219

Эта формула вполне подобна B), причем обозначение v соот-
соответствует прежнему, а
Формула для da может быть получена и путем предельного
перехода из дифракционной теории.
Литер атура
1. А. С. Компанеец. ЖЭТФ. 1945, 15, 235; см. наст, изд., стр. 188.
2. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1947, 17, 1059; см. наст, изд., стр. 200.
3. Л. М. Биберман. Изв. АН СССР. Серия физ. 195U 15, 424.
4. Г. И. Ватсон. Бссселевы функции. М., ИЛ, 1949.
5. Я. S. Snyder, V. T. Scott. Phys. Rev., 1949, 76. 220.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
К ЯДРУ*
(Представлено академиком И. Я. Семеновым. 14.V 1952)
Метод самосогласованного поля впервые применялся к объ-
объяснению строения ядра Вейцзекером [1]. В последнее время в
связи с развитием учения об ядерных оболочках возрос интерес
к методу самосогласованного поля применительно к ядру.
Д. Д. Иваненко применял метод Томаса — Ферми к объяснению
магических чисел [2].
В настоящей статье будет показано, что метод самосогласо-
самосогласованного поля может в самых общих, грубых чертах объяснить
некоторые основные закономерности в строении ядер: прибли-
приближенное постоянство энергии и объема, приходящихся на один
нуклон. Ввиду того что ряд постоянных, относящихся к ядерным
силам, неизвестен, мы будем вести доказательство так, чтобы
возможно меньше прибегать к конкретным численным значениям
величин.
Мы примем, что потенциал взаимодействия нуклонов в ядре
подчиняется уравнению типа Юкава
Д ф—а2ф=—4ngn. A)
Здесь g — нуклониый заряд, имеющий размерность обычного за-
заряда; п — плотность ядерной материи; ф — потенциал; а — обрат-
обратный радиус действия ядерных сил. В начале координат, не яв-
являющемся, очевидно, особой точкой, надо потребовать, чтобы
? = <>• B)
ДАН СССР, 19-52. 85, вып. 2, 301.
220

Границу ядра мы определим условием л=0. В этой точке по-
потенциал должен плавно сопрягаться с решением для пустого про-
пространства, имеющим вид y~e-arlr. Отсюда получаем второе гра-
кичнос условие
=-а. C)
Вычислим теперь полную энергию взаимодействия нуклонов,
учитывая, что силы имеют частично обменный характер. Для
примера возьмем, что половина сил не связана с обменом, а по-
половина сил — обменные. Координатная часть энергии взаимодей-
взаимодействия между парой нуклонов будет браться в виде
а обменный оператор мы запишем так (см., например, [3],
стр. 106):
i (^)] [1 + ^)] . E)
М .
4
Здесь а4 и ст2 — операторы спина обоих нуклонов, xt и тг — опе-
операторы их изотопического спина. Так как спин и заряд каждого
нуклона могут принимать два значения, в системе из двух нукло-
нуклонов может быть 16 волновых функций. Все эти функции следует
выбирать антисимметричными относительно перестановки нукло-
нуклонов. Мы выбирали волновые функции всегда в виде произведе-
произведения трех множителей: пространственного, спинового и зарядо-
зарядового. В 15 функциях антисимметричен один из трех сомножите-
сомножителей, а в одной функции антисимметричны все три. Пространст-
Пространственную волновую функцию мы выберем в виде плоской волны.
Так как потенциал оказывается почти постоянным и, во всяком
случае, меняется очень плавно, пользование плоскими волнами
для вычисления обменного интеграла, во всяком случае, здесь
более оправдано, чем у атома, как это делал Дирак (см. [4].
§ 2). Благодаря плавному ходу плотности мы отбросили и по-
поправку Вейцзекера на V/i ({4], § 12).
Вычисление диагонального матричного элемента энергии
взаимодействия, после суммирования по 16 состояниям, в без-
безобменной части дает 16/—4В, где / — обычная энергия, вычис-
вычисленная через плотности нуклонов, В —обменный интеграл. Об-
Обменная часть дает 4/—16В. Полусумма этих величин равна
10/—10В. Таким образом, на каждые 16 состояний двух нуклонов
приходится по 10 величин / и В.
Энергию взаимодействия нуклонов следует проинтегрировать
по всем возможным импульсам, от нуля до граничного импульса
фермиевского распределения. Как только что было указано,
221

выражение энергии взаимодействия имеет следующий вид:
E)
Множитель 10 впереди связан, конечно, с тем, что мы при-
приняли равные доли обычных и обменных сил. Подставляя плоские
волны для ijplf -фг и выражение D) для ?/12, получим после эле
ментарного интегрирования (q— граничный импульс, умножен-
умноженный на l//za)
Кинетическая энергия в методе Томаса — Ферми равна
(8)
При этом было учтено, что вес состояния нуклона с данным
импульсом равен 4, а не 2, как у электрона.
Потребуем минимума EHUn+U при дополнительном условии
А = Г ndv = |? Г tfdv » const, (9)
выражающем постоянство полного числа нуклонов. Умножая (9)
на некоторый параметр и, который имеет физический смысл ра-
боты удаления одного нуклона из ядра р= П J» ПРИ"
\ оА *
бавляя \кА к (EKAK+U) и варьируя яо q, получаем условие, свя-
связывающее между собой потенциал ср и граничный импульс q:
Это уравнение и должно решаться вместе с A) при гранич-
граничных условиях B), C).
Введем следующие безразмерные переменные:
Тогда система уравнений примет следующий вид:
AO_(D = -_Q', A2)
222

}^ A3)
причем функция f определена согласно A0) так:
^^JllLiil-Aarctgs. A4)
Перейдем к исследованию получившейся системы. В основной
части ядра потенциал, а следовательно, и граничный импульс
должны быть почти постоянными. Поэтому удобно исходить, как
из нулевого приближения, из бесконечно протяженной ядерной
материи. Для нее ДФ=0 и ее состояние определяется «химиче-
«химическим потенциалом» М с помощью двух уравнений:
|^ 06)
Пусть в средней части ядра Ф и Q мало отличаются от Фп
и Qo. Положим ф=Ф0+Ф', Q=Qt+Q\ где Ф' и Q' считаются
малыми. Для них получается система линейных уравнений, кото-
которая после исключения Q' приобретает вид
ДФ'-Л —2 W ' A7)
где функция } дается равенством
/(s) = l_!!UL±Jf>. A8)
Множитель при Ф' в правой части может быть как положи-
положительным, так и отрицательным. Если он отрицателен, решение
имеет осциллирующий характер. Тогда, следовательно, Ф'не име-
имеет тенденции к возрастанию по мере удаления от центра ядра
Иначе говоря, плотность везде будет близка к плотности беско-
бесконечной ядерной материи и нигде не обратится в нуль. Итак, если
выражение, стоящее в скобке, отрицательно, нельзя получить ре-
решение, близкое к постоянному в середине ядра и приводящее а
то же время к конечным размерам ядра.
Отсюда сразу видно значение обменного члена в энергии
взаимодействия. Без него скобка отрицательна при всех Q0>2/i-
Но при QO<1 и без обменного члена оказывается отрицательной
«работа выхода» М, что, очевидно, бессмысленно. Вообще без
обменного члена нельзя получить из решения системы A2) —A3)
ничего напоминающего свойства ядер.
Если величина в скобке положительна, решение имеет экспо-
экспоненциально возрастающий характер, поскольку вблизи начала
координат оно обязано согласно B) иметь вид b'| = Csh Д|, где
223

я2 — указанная величина в скобке. Поэтому при сколь угодно ма-
малом начальном отклонении Ф от Фо поправка Ф' станет сравни-
сравнима с Фо, если отойти достаточно далеко от начала. Конечно, тогда
уже нужно пользоваться точной системой A2) —A3). Но если
начальное значение Ф' было отрицательно, то величина Q' тоже
отрицательна. Поэтому плотность материи в какой-то точке об-
обращается в нуль и ядро получает конечные размеры. Разумеется,
мы не можем при заданном значении М распоряжаться началь-
начальным значением Ф' по произволу: оно должно быть выбрано так,
чтобы при обращении Q в нули выполнялось условие C). Но
из-за экспоненциального характера решения для Ф' уже малые
изменения М будут приводить к изменению радиуса ядра в 2—
3 раза. Поэтому окажется, что энергия связи ядра и его объем
будут приближенно линейны в зависимости от атомного веса,
ибо в своей основной части ядро близко по состоянию к беско-
бесконечно протяженной ядерной материи. Это состояние является
нулевым приближением к задаче и отвечает, как указывалось,
близким значениям химического потенциала, а поэтому при раз-
разных радиусах и атомных весах различается мало.
Из того условия, чтобы выражение в скобках в A8) было по-
положительным, и из A6) вытекают два неравенства:
{l ]-««} = i«F (s), A9)
x< т {s~'t[1 ~iln{l+#)]) =x(s)- B0)
По отношению к константе связи они действуют в. противополож-
противоположные стороны и могут быть записаны так:
g2 ^ 48я [J. т . g2 З.-t % ,2n
ftc 5Y(s) тс*т ' hc^ Юх (s) га " V
Здесь m0 —масса мезона, передающего силу, равная hale, и ц,—
химический потенциал, который по порядку величины равен
10 Мэв. Исключая отсюда константу связи, приходим к неравен-
неравенству для массы мезона:
B2)
В интервале значений 0<s<0,5 отношение хE)/^E) состав-
составляет около '/з, так что получается неравенство т„>т/3, не слиш-
слишком грубое, если учесть характер приближений. 5=0,5 отвечает
константа связи g2jhc~S,b, т. е. «сильная связь» *.
* При чисто обменных силах можно выбрать
hc~~ m~"~~6~'
224

В заключение считаю своим приятным долгом выразить бла-
благодарность Я. Б. Зельдовичу и В. Л. Гинзбургу за ценные дис-
дискуссии.
Л итератур а
1. С. F. Weizsdcker. Z. Phys., 1935, 96, 431.
2. Д. Д. Иваненко, В. Родичев. ДАН СССР, 1950, 70, 605.
3. Г. Бете. Лекции по теории ядра. М., ИЛ, 1949.
4. П. Гомбаш. Статистическая теория атома и се применения. М., ИЛ, 1951,
МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ СИЛ*
Метод самосогласованного ноля в приближении Томаса —
Ферми можно вывести из уравнений Фока путем перехода к ква-
з и классическому представлению матрицы плотности и гамиль-
.тониана [1—3]. Такой переход может быть произведен для коор-
координатной зависимости матричных элементов, но не для спиновых
переменных, так как спину не отвечает никакая классическая
величина. Интересно поэтому найти уравнения для матрицы
плотности в том случае, когда силы, действующие между части-
частицами, явно зависят от спина и от изотопического спина.
Как известно, матрица плотности определяется следующим
образом [1, с. 254]:
р (^ qf) = 2 фп (q) Ф« (</')¦ A)
п
фч в методе Фока представляет некоторую (неполную) систему
ортогональных функций. Желая учесть зависимость от спина
явно, запишем фп так:
фп (q) = {v (x) фв (а) х< (т), B)
где 5 и * —собственные значения спина и изотопического спина,
сг и т — соответствующие переменные, fv(x)—пространственная
волновая функция. Суммирование по 5 и t в матрице плотности
производится от 1 до 2. Поскольку
2 Ч>5 И Ф, Ю - бао', 2 *< М % С*') = Six',
то матрица плотности диагональна относительно переменных
а и т.
• ЖЭТФ, 1953. 25, иып. 5A1), 540.
8 А. С. Компанесц 225

Покажем теперь, что диагональна и правая часть уравнения
движения для матрицы плотности, которое имеет вид
где Я — гамильтониан [1, с. 255, D5)].
Более подробно это уравнение можно записать так:
~1Р ft'. О (*. f^-^W <V- C)
Здесь На — кинетическая энергия и энергия частиц во внешнем
поле (если оно имеется), В и Л— операторы, зависящие от пар-
парных действий между частицами;
q"% qt*))—V (q\ <?<*>; q^, q'ft)\ P (q^qM)&рЩЬ\ D)
Интегрирование в этих формулах включает в себя и сумми-
суммирование по спиновым переменным.
В формулы C) и D) входит матрица плотности в обще.\1
виде A). Подставим теперь выражения B) для волновых функ-
функций, ограничиваясь сначала зависимостью от обычного спина.
Изотопический спин будет введен дальше. Рассмотрим операто-
операторы V, которые могут иметь три вида спиновой зависимости:
V -= Уг (*', *W; хт% *<•>) Vo-6oWott); E)
' F)
Vs [х\ *«; х»у дс«) (sa<o- А) E„(&)аD)А), G)
где А—оператор. Векторное обозначение для х будет введено
ниже. Матрицы s удовлетворяют условию
Выражение f(B—A)q>q-p(q"'q")dq'" для оператора (о) пред-
представим так:
x [7- (*") h (П L (jc'«)/, (a:<*>) »r (a") *r (aw) $s (a») *s (o*))-
-U CO fc (^D>) 7. (*F>)/* (*«) »r (a") фг (с») ^ (
(8)
226

Используя теперь полноту системы спиновых функций, имеем
2 2 Ь«'
0D) =2dci'a-; (9)
2 S MoE)o(oi (a") ф, (a«) ^ (о») ^
Обозначив через р(^, а;7) матрицу плотности, зависящую
только от пространственных координат, приходим к уравнению,
не содержащему спиновой переменной:
MVi (x\ *<¦>; лда, .
= jdjc'" [B [К, (jf', *<•>; л:'", л'<*>) Р (л )
— [ V, {х\ хЮ\ х"\ хЫ) р (лдадг») dJtWcLcWp (а-Ч .v*)j. A1)
Последний член справа описывает обменное взаимодействие.
Оно, как известно, входило у Дирака с неверным множителем»
равным двум [3, с. 141].
Возьмем теперь оператор F). Для него получается
S 2 s°'°->saw*)b (о") i|>r (а'")
потому что диагональная сумма всех компонент s равна нулю.
Далее,
2 2 *о'о» *awau
2 Sa'c^SaW0'" = ($%'** = Збо'с" A3)
227 8*

Следовательно, уравнение A1) заменится таким:
= — 3 j dx'"V2 (х\ *<¦»; х'"',
A4)
т. е. содержит только обменный интеграл.
Для взаимодействия вида G) не обменный член, вполне ана-
аналогично A2), тоже даст нуль, а обменный член приводится к
виду
2 <!W» A) (so(B)o, A) = {(iA) (sA)}^ - A'da-a-, A5)
благодаря антикоммутативности операторов s*, sy, s2 и тому, что
их квадраты равны единице. Следовательно, получится выра-
выражение, аналогичное A4), но с .коэффициентом — А8 в правой
части.
Теперь нетрудно учесть влияние изотопического спина. В сим-
симметричной относительно знака заряда теории этот спин может
входить только в комбинации TiT* или через единичную матрицу.
Скалярное произведение т,т;2, подобно s,s2 оставит только обмен-
обменный член с коэффициентом — 3. Следовательно, комбинация
(TiT2) (s,s2) должна дать множитель — 9, а (тчт2) (stA) (s2A) —
множитель — ЗА2. Единичная матрица в пространстве изотопи-
изотопического спина даст прямое взаимодействие с множителем 2, а
обменное — с множителем— 1. Если при этом входит и обычный
спин, прямое взаимодействие исчезает, а обменное получает мно-
множитель — 3 или — 1 • Аа.
Остается рассмотреть еще кулоновскуго энергию
4
В прямом члене имеем
— 2 Фх'Х *«'f) fiiti) X(S) — ТгсE)хE)) = 4бт'Г ^ «X", A 6)
T<«)
если матрица iz приведена к диагональному виду
I1 Ч
О -1

Соответственно обменный член дает
A7)
Таким образом кулоновское взаимодействие входит только
при значении переменной изотопического спина, равном двум.
Обменный член войдет с коэффициентом У2 по сравнению с пря-
прямым из-за обычного спина [ср. A1)].
Для примера рассмотрим взаимодействие с потенциальной
энергией такого вида:
4- - (fit't—
>—х»). A8)
Здесь член с V4 можно точно свести к нейтральному скалярному
мезонному полю, а член с Va сводится к симметричному псевдо-
псевдоскалярному мезонному полю во втором приближении. При этом
функции Vi(r) и Vs(r) надо брать в виде (см. [4], с. 13)
V, (г) = -*-?!: V, (г) = ?--^1. A9)
Оператор А есть V, так что вместо А2 ладо ставить Л. Далее
B0)
Напишем теперь уравнения движения для составляющих мат-
матрицы плотности, содержащих т/=т/Л=1 и т'=т"=2. Последняя
определяет плотность заряда. При т/=т/Л:=1 имеем
D—F)9 B1)
где
О (х\ х'") = 46(x'-xw) f dx^V, (| x'-x^ |) P (x«>x«>); B3)
F(x',x«)«(Vf1{|x/-xW|)+3AT1(|x'-x<«|)p(x'EW). B4)
Прит'=т"=2 получится
Ca)i>—p(HoirD-F±C—Ca), B5)
229

где С — электростатическая энергия взаимодействия
С (х\ х'") = 2д (х' - л!") Г d х<«> , €* ¦ Р (х«>х*>); B6)
J | х х |
Св— обменная электростатическая энергия взаимодействия
«¦<•*«>-??$• (*>
Чтобы совершить предельный переход от квантовых уравнений
движения к квазиклассичсским, надо найти выражения, соответ-
соответствующие матричным элементам [5, с. 196; 2, с. 382]. Эти выра-
выражения сводятся к коэффициентам Фурье такого вида:
B8)
Здесь р(р, х) — классическая амплитуда, где р и х— числа,
а не операторы; х можно считать средним между х' и х".
Найдем теперь соответствующие амплитуды от величины
DnF:
D (р, х) = (' ехр ] — {*(*'-*'")! о (х'х'") d (х - х"') -
- JdхЫУг (|х'-х«> |) Р (х<*>, х<*>)-
^ _ 4^ j схр [—а I х'—хЫ Ц Р (х<4\ х<*>) (| х' — х« If1 d x«>;
B9)
F (р, х) - [ ехр [-'P(XXD))]
x'-xw 1)}-
1 Г/ i?2 , 3f- 3fa\
2-VA J I (p - pT -!- («ЛK r (p - p'J + (Pft)a.. (pfc)V
xP(p',xLp'. C0)
Электростатические члены, как известно, равны
C1)

В указанном приближении квантовая скобка Пуассона Нр—рН
переходит в классическую скобку для величин Я(р, х), р(р, х).
Условие стационарности состоит в том, что
:VptfVxP—VJ/VPP = O. C3)
Это уравнение содержит одну неизвестную функцию р(р, х).
В статистическом приближении функцию р(р, х) следует писать
в таком виде (р^ \р\):
Иначе говоря, все состояния, у которых абсолютная величина
импульса меньше граничного значения Р(|х|), заняты, а все
остальные—свободны. С такой функцией величины D, F, С, С«
приобретают вид
При этом функция ф(Р, р, а) равна
>р, p)_JLp»). C6)
+2P; C7)
для ср(Р, /?, р) имеем аналогичное выражение. Заметим, что ве-
величины На и ftp суть умноженные на скорость света массы мезо-
мезонов, переносящих взаимодействие. Функция <р(Р, р, а) удовлет-
удовлетворяет следующему тождественному соотношению:
[6, уравнение A8)].
Для кулоновских энергий имеем
[2, с. 384]. Выражение в круглых скобках в D0) есть ф(Р, р, 0).
Применимость квазиклассического приближения B8) можно
231

обосновать следующим образом. Оно справедливо тогда, когда
в экспоненте под интегралом стоит большая величина. Если счи-
считать областью движения нуклона весь размер ядра порядка
1,5-103 Ач\ а импульс порядка J0~14 г-см/сек (соответственно
граничной энергии 20 Мэв), то в экспоненте стоит величина
~Л1/§. Обычно, когда метод Томаса — Ферми применяется к ато-
атому, в экспоненту входит Z'1.
Если подставить C4) —D0) в классические скобки Пуассона
C3), то получится общий множитель dp/dz——б(р—Я)."Следо-
dp/dz——б(р—Я)."Следовательно, достаточно потребовать, чтобы выражение при dpjdz
равнялось нулю при р=Р(\х\)=Р(х). Величины C5) —D0)
зависят только от абсолютных значений р и х, так что уравнение
C3) приводится к следующему виду:
т dx 3n*ft« dx J [x —x'|
При этом мы пользовались тождеством C8). Итак, должна быть
постоянна следующая величина:
Функция k(s) означает то же, что f(s) в [6, (формула A4)]:
k (s) = 1 + 4ln (l +*)—~
Уравнение D2) относится к компоненте т/=т"=2.
Для компоненты г'=т"=1 члены, содержащие заряд, дол-
должны быть опущены. Константа ц определяется из условия
P* D3)
где интеграл берется по всей области, в которой Р(г) отлично от
нуля. Эта область одинакова для обеих компонент р, заряженной
и нейтральной, что и определяет связь между А и Z.
Уравнение D2) можно привести к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Для этого введем скалярный ме-
зонный потенциал % по формуле
*—зЗЫтггтт1^^' ,D4)
232

и скалярный электростатический потенциал Ф:
Ф *_ff4hLDrfxl. D5)
Очевидно, что потенциалы удовлетворяют уравнениям
D6)
D7)
Уравнение D2) перепишется теперь так:
Аналогичное уравнение, но без электростатических членов и теп-
зорных сил было нами получено в работе [6].
Граничные условия к уравнениям D6) и D7) следующие:
Х'(О)=О; Ф'@)=0; D9)
(dta<"M —a; li±S2L) = 0, E0)
где точка г„ соответствует обращению в нуль Р{г).
Рассмотрим еще уравнения D6), D8) при е=0 тем методом,
который применялся в [6]. Для этого надо исходить из беско-
бесконечно протяженной ядерной материи, как из нулевого прибли-
приближения, полагая Дх=0. Отсюда
E2)
Эти уравнения позволяют определить Ра как функцию ц.
Далее, вблизи середины ядра можно положить, что состояние
ядерной материи незначительно отклоняется от состояния не
ограниченной в пространстве материи, и подставить
где Xi и Рх — малые величины.
Для Xi получаем линеаризованное уравнение
3 / (^)
(S3)
где
233

Если коэффициент при Xt, стоящий в правой части этого урав-
уравнения, положителен, то при достаточно большом значении х
функция Xi станет сравнима с Ха, ибо она растет экспоненциаль-
экспоненциально. Иначе говоря, выбирая в центре значения %, весьма близкие
к /о, можно получить различные значения радиуса ядра х,у. Чем
меньше разность х—X» п центре, тем больше х0 при данном ji.
Фактически каждому ц отвечает такое Xi в центре, для которого
выполнено граничное условие E0) на краю ядра. \х имеет смысл
работы выхода нуклона из ядра. Весьма малые изменения jo, при-
приводят к заметным изменениям х0.
Можно заключить, что одно симметричное псевдоскалярное
поле во втором приближении не может обеспечить приближен-
приближенного выполнения свойства постоянной плотности ядерной мате-
материи. Весьма вероятно, что правильная теория ядерных сил будет
учитывать, по крайней мере, два сорта мезонов или больше.
Так как значения постоянных g, f, а, входящих в основное
выражение для потенциальной энергии, нам неизвестны, мы не
будем проводить численный анализ полученных результатов.
Л итература
1. П. Дирак. Основы квантовой механики. М.—Л., ГТТИ, 1932, гл. XI-а (до-
поли-е автора к рус. переводу).
2. P. Dirac. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1930, 26, 376.
3. П. Гомбаш. Статистическая теория атома. М., ИЛ, 1951.
4. В. Паули. Мезонная теория ядерных сил. М., ИЛ, 1947.
5. Л. Д. Ландау и Я. М. Лифшиц. Квантовая механика» ч. !. М.— Л., ГТТИ,
1946.
6. А. С. Компанеец. ДАН СССР, 1952, 85, вып. 2, 301; см. наст, изд., стр. 220.
УРАВНЕНИЯ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ДЛЯ ЯДРА
С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ СИЛ*
В предыдущей статье [1] было показано, как произвести пе-
переход от уравнений самосогласованного поля Фока к квазиклас-
квазиклассическому приближению Томаса — Ферми для некоторых видов
обычно рассматриваемых ядерных сил. Исходным пунктом яв-
является введение матрицы плотности. Переход к ее квазикласси-
квазиклассическим матричным элементам (см. [2, 3]) дает искомое прибли-
приближение.
Здесь мы дадим сначала критерий законности этого перехода,
который в [1] был только намечен.
¦ ЖЭТФ. 19Ъ4, 26, вып. 2, 153.
234

1. Квазиклассической может являться только зависимость
матрицы плотности от пространственных координат, другие пе-
переменные (механический и изотопический спин) всегда остаются
существенно квантовыми. Поэтому мы будем сначала раесмат-
рипать только пространственную координату х и запишем матри-
матрицу плотности р, как р(д:, х'). В стационарном состоянии матрица
р\х> *') удовлетворяет обычному квантовомехэпическому урав-
уравнению [2, 3]
f (НР — Щ = 1 \dx"'(H(x\ хт) Р [х"\ *•)—Р (*', х")И(х"\ jc-))=O.
0)
Переход к квазиклассическому приближению состоит в том,
что матричные элементы выражаются через коэффициенты Фурье
{везде положено А= 1):
р (*, х')= \ Р (А *±*-} j«x-xl) dp B)
и аналогично для Н(х, х')> Этот переход можно делать только
в том случае, когда в экспоненте стоит большое по модулю число,
т. е. когда е'р*х-х>) быстропеременная функция. Подставляя р по
формуле B) и соответствующее представление для Я в A), по-
получаем после простой замены переменных уравнение
Разложим подынтегральную функцию в ряд до членов треть-
третьего порядка включительно. Квадратичный член, очевидно, со-
сократится. Остающееся выражение выглядит так:
Члены, содержащие q, Д и их степени, можно проинтегриро-
проинтегрировать по частям. Тогда интегрирование по q и по ? выполняется
при помощи теоремы Фурье, и остается только интеграл по р,
который после сокращений приводится к виду
-—3 д*И
4/3
дрдх дх др^М\дх* dp' dp* дх* йх*др*
dpidx др*дх дх*др)\ У '
Подынтегральное выражение должно равняться нулю. Пер-
Первое слагаемое есть классическая скобка Пуассона, а величина а
235

круглой скобке — квантовая поправка к ней. Эта поправка про-
пропорциональна квадрату кванта действия. Она существенна в тех
случаях, когда величины р и И обладают большими производ-
производными по р и по я.
В [3] показано, что из классической скобки Пуассона полу-
получаются уравнения Томаса — Ферми для распределения заряда
в атом (с обменной поправкой). Добавочные члены в E) велики
вблизи ядра. Кроме того, они велики вблизи верхней границы
энергии в импульсном пространстве, где р обрывается. Поэтому
поправка относительно велика и на большихрасстоянияхо-гядра,
где общее число заполненных состояний невелико. В применении
к ядру классическая скобка Пуассона может стать недостаточ-
недостаточной вблизи границы ядра.
В [4] была сделана попытка исправить метод Томаса —
Ферми^ вводя вблизи границы ядра «поправку на кинетическую
энергию», содержащую производную от плотности. Строгое вы-
выражение E) не сводится к выражению, полученному в [4]. так
что упомянутая поправка работы [4] вряд ли имеет количест-
количественный смысл.
Может оказаться, что классическая скобка применима к ядру
во всех точках пространства (кроме очень малой области вблизи
внешней границы, где велики высшие производные величин).
Пусть, например, решение уравнений самосогласованного поля
покажет, что производная др/дх имеет порядок величины р//?
(/? — радиус ядра), а не порядок р/л, (г,» — радиус действия ядер-
ядерных сил). Так как импульсы частиц в ядре порядка 1/г0, а
Д ~ГоЛД то второй член в E) меньше основного (классического)
в отношении А~%> что для тяжелых ядер составляет примерно
0,025. Если же из уравнений самосогласованного поля окажется,
что р переходит от значения вблизи центра ядра к нулевому зна-
значению на расстояниях, сравнимых с гй1 то квазиклассическос при-
приближение в применении к ядру не лучше, чем представление ядра
в виде прямоугольной потенциальной ямы.
Анализ уравнений самосогласованного поля, проведенный
нами п статьях [1, 5], показывает, что переходная область на
границе ядра, во всяком случае, несколько больше радиуса дей-
действия ядерных сил. Поэтому можно попытаться применить метод
Томаса — Ферми к короткодействующим ядерным силам, прове-
проверяя законность метода по виду распределения плотности. Наи-
Наибольшая точность, которую можно ожидать,—порядка А~Ъ,
тогда как в наихудшем случае результаты будут иметь лишь ка-
качественный характер. Что справедливо на самом деле — сказать
пока нельзя.
Гораздо труднее доказать применимость к ядру метода само-
самосогласованного поля Фока до перехода к квазиклассическому
приближению. Существование ядерных оболочек с определен-
определенными значениями орбитального момента заставляет предпола-
предполагать, что метод самосогласованного поля к ядру применим.
236

^. Матрица плотности определяется, как известно, таким об-
образом:
Здесь fl означает совокупность координат нуклона, т. е. его гео-
геометрическую координату, механический и изотопический спин,
а и — совокупность соответствующих собственных значений.
Будем, как обычно, искать гМ?) в виде произведения волно*
вых функций, зависящих от пространственных координат х, ме-
механического спина s и изотопического спина /:
')• G)
В отличие от предыдущей работы [1], мы учли, что простран-
пространственные волновые функции нейтрона (т,= 1) и протона (тг=
=—1) различны. Теперь мы получим систему уравнений само-
самосогласованного поля, уточненную в этом отношении по сравне-
сравнению с [1]. Влияние механического спина мы рассматривать не
будем, а поэтому учтем только бесспиновые силы. Иначе говоря,
будут написаны уравнения самосогласованного поля для взаи-
взаимодействий следующего вида:
/г), (8)
(9)
и для кулоттовского взаимодействия
VQ = ±(\-xl9){l-x^±.. A0)
Учитывая, что собственную функцию спина можно записать
как
*М0=б*<;М«)=о<к> (И)
перепишем матрицу плотности в виде
Р (xst, x'i's') = р (jcta, x'x'o') =
(*, *')• A2)
Здесь рЛ*, х') — матрица плотности нейтронов, p_i(.r, xf) — мат-
матрица плотности протонов.
Операторы взаимодействия V входят в гамильтониан взаимо-
взаимодействия Hq>q- уравнений самосогласованного поля A) в форме
?F)). A3)
237

Здесь первый член в квадратных скобках л од интегралом
описывает прямое, а второй член — обменное взаимодействие.
Операторы 1'ь У2 и У3 представим в виде
-хгщ»N(x'-x'") 6 (xw -
где Fu F2 и Fc означают пространственные части соответствую-
соответствующих операторов.
Пользуясь равенствами A2) — A4), можно выразить опера-
операторы взаимодействия В—Л через матрицу плотности и опера-
операторы V. Для обычных сил, зависящих только от пространствен-
пространственных координат, получаем
= б«,.в„. [ [2ft (x'-x'") б (xw-x(l) F, (x'-x^P (xwxw) -
-6 <*'-jc(<))a(x(s>-a-1 F, (x'-xm) Px(xMxm))dxMdx«>-
. [25 (.«'-.«")JdxwFx (v'--.x(") p (v-(i)A-<4)) -
] . A5)
Здесь р означает pi-bp-i. Симметричные силы, зависящие от
изотопического спина, приводят к выражению
В A6) входят только обменные силы, т. е. только Aq'q-. Нако-
Наконец, кулоиовские силы действуют на одну протонную компоненту
и дают
x'-xw) p.t (Л<*>)-
A7)
Для перехода к квазиклассическому приближению надо пред-
представить рг (х'х'") в форме B). В компоненте Фурье теперь можно
238

писать просто x вместо полусуммы (*'+л:"')/2. Подставляя
pT(;t'V") в формулы A5) —A7) и переходя к компонентам Фурье
от всДичин В—Ау получим для сил обычного типа
ФАЯ.,* = (^)Г[2 J &рг (Х~Х"> JV* ("'*')-
- f 4»'Рт<Р'х) \dx-F, (х')е'"'-"*']. A8)
Для симметричных сил выражение A6) дает
"~wJdp'[2?(P#JC)~р?(р'хI5dJC'F'(x'y(P"'"' A9)
Кулотювские силы приводят к выражению
(*-4.*,-i = ^ [2 ^Fcix-x1) Jdp'P-, (pV)-
- f dp'P., ip'x) \ dx'F (x') ei[p'-p)x'J . B0)
Входящие сюда интегралы можно представить в более удоб-
удобном виде. Прежде всего интеграл
j dx'Pt (x -x') \ dp'? (p'xr) = g<t> (x) B1)
есть потенциальная энергия нуклона в самосогласованном поле
сил. Потенциал Ф удовлетворяет уравнению
ДФ—а»Ф = 4itg • 2 \ 9dp\ B2)
Здесь множитель 2 перед интегралом учитывает возможные ори-
ентации спина. Потенциал симметричных сил не входит п урав-
уравнения, так как формула A9) содержит только обменный член
и явная координатная зависимость выпадает.
В уравнение для протонов входит еще и электростатический
потенциал, который подчиняется уравнению Пуассона
Дфс = _4яе • 2 J P., dp. B3)
Обменные интегралы легко вычисляются. Так,
f dxtFl (*У (Р"Р) *' = ^ -. B4)
Плотности нейтронов и протонов следует искать в виде
B5)

где Р, — граничный импульс протонов и нейтронов. Отсюда имееь
\ Pt ip'x) dp' \ dx'F, (xf) ei<p'-p)x' =
2* {2pK т У
-2a [arctg (PT+p) + arctg (PT-/>I +2PtJ^--|-<p(a; PT, p),
B6)
здесь ф — функция, стоящая в фигурных скобках.
Условие стационарности состоит в том, что классическая
скобка Пуассона от величины рт должна обращаться в нуль.
Если подставить в эту скобку pt в форме B5), обращение скобки
в нуль означает просто, что гамильтониан равен постоянному
числу, т. е. не зависит от координаты на границе р=Р*( см. [3, 5].
Отсюда получаем уравнения для нейтронной и протонной ком-
компоненты:
у; Р-„ pj -!-ф (?; р„ Рг)] = -м B7)
Р f Ф («; Phi. Pi) + f [2<P (VJ Р„ Р J VЧ> № P-i. P-iI4-
ЬеФс -?-Ф @; P-i, P-i) = -»i-i. B8)
Здесь согласно B4)
<р@; Р~Х9Р-х)=2Р-1. B9)
Если пренебречь электростатическими членами в B8), то сле-
следует считать просто р.й=|л—i, Р1=Р_1. как и должно быть в тео-
теории, в которой нейтроны и протоны вполне равноправны. Одни
только силы (9), содержащие оператор (TtT2), не дают устойчи-
устойчивой модели ядра, потому что уравнения B7), B8) без потен-
потенциала Ф не могут быть удовлетворены при положительных зна-
значениях jAt. Величины р.с имеют смысл работы вырывания нуклона
из ядра.
Условие связи между числом протонов и числом нейтронов
состоит в том, что Р4 и Р-i должны обратиться в нуль в одной
точке. Действительно, если в некоторой точке Р4 обратится в
нуль, а Р~! еще не будет равен нулю, то система B0), B1), B5)
и B6) станет противоречивой (переопределенной), так как в ней
придется считать Р4=0 до тех пор, пока P-t тоже станет равным
нулю. Если же Pi и Р-4 будут равны нулю в одной и той жеточ-
240

кс Цу то для нее достаточно потребовать условий
Шп гЗ>) = -а, C0)
= 0. CD
Вместе с очевидными условиями
{dO>Idr)r=u=0; (d<DJdr)r=9=0 C2)
система уравнений является полной и непротиворечивой.
Уравнения самосогласованного поля с учетом кулоновских
сил, но без учета обмена и симметричных сил (9) рассматривали
Иваненко и Родичев [6], но их решение не удовлетворяет усло-
условиям C2), выражающим тот факт, что начало координат не яв-
является особой точкой. В работе [1] наша система была несколь-
несколько упрощена в том смысле, что в уравнение для протонов в функ-
функцию ф подставлялось /\—Р-ит.е.не входил граничный импульс
нейтронов, а в уравнение для нейтронов не входил граничный
импульс протонов. Теперь наши уравнения в этом смысле уточ-
уточнены. При этом получает обоснование то обстоятельство, что Pt
и Р-1 обращаются в нуль в одной точке.
Л итература
1. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1953, 25, вып. 5A1), 540; см. наст, илд., стр. 225.
2. Я. Дирак. Основы квантовой механики. М.—Л., ГТТИ, 1932, гл. Х1-а (до-
(дополи-е автора к рус. переводу).
3. P. Dirac. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1930, 26, 376.
4. П. Гомбаш. Статистическая теория атома. М... ИЛ, 1951.
5. А. С Компанеец. ДАН СССР, 1952, 85, вып. 2, 301; см. наст, изд., стр. 220.
6. Д. Д. Иваненко, В. Родичев. ДАН СССР, 1950, 70, 605.
УРАВНЕНИЯ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ
В АТОМЕ*
Совместно с Е. С. Павловским
1. Уравнение для матрицы плотности
Как известно, наилучший метод нахождения термов много-
электронного атома был предложен В. А. Фоком, Метод Фока
основал на том, что интеграл fW*HWdq стационарен для всех
* ЖЭТФ, 1956, 31, вып. 3(9), 427.
241

собственных значений гамильтониана И атома. В частности, этот
интеграл имеет абсолютный минимум для основного состояния
агома (q обозначает совокупность всех пространственных и спи-
спиновых переменных атома). На волновую функцию при этом на-
условие
| A)
В методе Фока волновая функция выбирается в виде симмет-
ризованного произведения волновых функций отдельных элек-
тронов tyi(q):
1/Р B)
(Р означает перестановку переменных отдельных электронов).
Волновые функции %(qx) можно всегда считать взаимно орто-
ортогональными и нормированными, так как их можно ортогонализо-
вагь путем линейной подстановки. Если функция т|з выбрана в
форме B), то без дальнейших ограничений общности удобно
брать в качестве дополнительного условия, налагаемого на вол-
волновую функцию, следующее:
]ti(qLk(<l)dq = 6ik C)
вместо указанного выше требования A).
Прежде чем варьировать интеграл энергии, приведем его к
специальному виду, пользуясь тем, что гамильтониан содержит
только члены, относящиеся к отдельным электронам и их попар-
попарным взаимодействиям:
±% v(9i,4k)> D)
причем функция V симметрична относительно обеих входящих
в нее переменных. В атоме U есть сумма кинетической и потен-
потенциальной энергии электрона в поле ядра, V—энергия электро-
сгатического взаимодействия электронов.
Подставляя B) и D) в выражение W*H4Tdq и используя
условие C), получаем
E)
242

Здесь q слева относится ко всему атому, а справа — к отдельно-
отдельному электрону. Вариация выражения E) равна
УЯV dq =
+ 2 f ** (*'>!' (*
J
причем использованы сокращенные обозначения
Bth Й) = Jtftf) Vfe Л*(^)*'. В й) =2 В» (g). G)
Умножая дополнительные условия C) на вариационные пара-
параметры alk и добавляя вариации C) к вариации интеграла энер-
энергии, получаем систему уравнений для искомых волновых функ-
функций ф<:
U (Я) % (Я) +В (я) Ь (я) - 2 в* (Я) Ь (Я) + 2 а<* № = °- &
к к
Существенно, что в этой сумме не исключается тот член, п ко-
котором i—k.
Параметры аЛ легко выразить через интегралы от U, В и Bik,
пользуясь условием C). Именно,
— 2 f i|)*e«ti Л?. (9)
Пользуясь определениями, легко показать, что матрица аГл —
эрмитовская: aik—ah*.
Уравнения (8) могут быть переписаны в очень компактном
виде, если ввести матрицу плотности р(?, q'), которая опре-
определяется следующим образом [1]:
Р Й. *') = 2 *Й) ¦?(*')• A0)
i
При этом сами волновые функции tyi(q) из уравнений исклю-
исключаются.
Чтобы перейти к матрице плотности р(<7, q'), напишем вместе
с уравнением (8) уравнение для комплексно-сопряженной функ-
функции i|>,* (q')\
243

Умножим теперь уравнение (8) на тЬ*{я'), а уравнение A0) —
на i\>i(q), просуммируем по I и вычтем (8*) из (8). Члены, со-
содержащие aik и aiA*, при этом сократятся, ибо
) - 2 *«¦
в силу эрмитовости матрицы aih.
Члены, стоящие при U и В, непосредственно переписываются
через матрицу Р (q, q'). Выражение, содержащее В,/г, тоже можно
переписать при помощи р. Действительно, в уравнении (8) л о лу-
лучится
= J V (q, f)V G. qT)dq"9 (<?",?'), (И)
и аналогично преобразуется уравнение (8*):
S* w +* (<?') j ^ ю ^ (ft. я") * (<п лг=
i.k
j1 r). al *)
Если ввести оператор
то выражение A1) перепишется так:
a A1*) получит вид
где использована очевидная симметрия оператора взаимодейст-
взаимодействия V:
Члены, происходящие от В, тоже можно выразить через мат-
матрицу плотности
в 2 * (?) ¦; ю «(J
244

Вводя операторы
B*. = b(q-f) J f>(?~, qlV(q, q")dq"; U,,. = 6(q-
приводим уравнение для матрицы плотности к виду
[ -Л*) Р (9", <?')-
Это последнее уравнение представляет собой квантовую скобку
Пуассона между операторами
и матрицей плотности р
ЯР-РЯ-О. A7)
Иными словами, Н есть эффективный оператор Гамильтона..
В этом операторе член В отвечает самосогласованному полю,
которое обязано распределению электронной плотности, а член
А есть так называемый оператор обменной энергии.
Он появился в уравнениях потому, что с самого начала была
взята антисимметризованная волновая функция 4я [см. B)] в.
соответствии с принципом Паули для системы электронов.
Уравнение A7) несколько отличается от обычных уравнений
квантовой механики тем, что оператор Гамильтона Я сам зави-
зависит от плотности р.
Исключим теперь спиновую переменную, пользуясь тем, что-
исходный гамильтониан D) не зависел от спинов. Матрица
плотности диагональиа относительно спиновой переменной, так
как в сумму по i можно поставить полную систему спиновых.
функций. Поэтому обменный оператор тоже диагоналей в пере-
переменных спина. Оператор Вт„ содержит ло сравнению с Аы„
лишнее интегрирование по q"\ которое включает в себя и сумми-
суммирование по спинам. Это дает в Вт„ дополнительный множитель.
2 по сравнению с Лет<г (Дирак [2] первоначально писал А с лиш-
лишним множителем 2, что было исправлено Иенсеном [31).
Итак, мы можем записать вес величины уже не через полную
совокупность переменных q, а только через пространственную
переменную г, потому что относительно спиновой переменной все
выражения диагональны:
Аг— ~~^Пг~П A8)'
Srr, - 26 (г - г») е* \ * (г" гП d г'". A9>
J \г— г'"|
245

2. Переход к квазиклассическому приближению
Дирак показал [2], что путем перехода к квазиклассичсскому
приближению можтто из уравнения A7) получить известное урав-
уравнение Томаса — Ферми для распределения потенциала в атоме.
При этом обменный оператор у Дирака давал в уравнении для
потенциала член, который меньше остальных членов в отноше-
отношении Z'1», где Z — атомный номер элемента. Этот обменный член
трактовался многими авторами [3—5] не как малая поправка по
отношению к самому уравнению, а наравне со всеми остальными
членами уравнения. Мы покажем, что так поступать нельзя.
Предельный переход к квазиклассическому приближению в
работе Дирака состоял п том, что квантовая * скобка Пуассона
для матрицы плотности р(г, г7) была просто заменена классиче-
классической скобкой Пуассона для коэффициента Фурье от матрицы
плотности. Между тем оказывается, что если не ограничиться
этим приближением, а найти член следующего порядка малости,
то появится поправка, пропорциональная Z~1/e, как и «обменный
¦член», оставляемый Дираком в уравнении. Как будет показано
дальше, добавочный член, пропорциональный Z~\ входит с
малым численным коэффициентом по сравнению с обменным
членом. Но, во всяком случае, нецелесообразно решать уравне-
уравнение с «обменным членом» точно. Всякий член, пропорциональ-
пропорциональный 2~|/а, должен рассматриваться только как поправка соответ-
соответствующего порядка к обычному уравнению Томаса — Ферми.
Следует указать, что Вайцзекер [6] пытался улучшить урав-
уравнение Томаса — Ферми, вводя в него другие поправочные члены
порядка Z~%1\ кроме обменных. Но метод, которым пользовался
Вайцзекер, нельзя считать убедительным. На самом деле оказы-
оказывается, что правильное выражение соответствующей поправки,
вытекающее из уравнения A7), меньше вайцзекеровского в
'9 раз. Из-за этого в конце концов выходит, что именно обменная
поправка является преобладающей по сравнению с другими чле-
членами порядка Z~\ так что в численном выражении исправления
обычного уравнения Томаса—Ферми, производившиеся до сих
пор, следует считать верными. Но это заключение справедливо
только до тех пор, пока обменный поправочный член мал по
сравнению с основным. Последнее условие не всегда было выпол-
выполнено: например, на больших расстояниях от ядра поправка уже
значительно превышает основной член.
Совершим теперь переход к квазнклассическому приближе-
приближению. Для этого представим сначала матричные элементы
р(х, х?) и Я(х, *') в виде разложений в интегралы Фурье по раз-
разности аргументов х — х'\
Р (х, *') = f p (p, t±f} <"*-'> 4P, B0)
™'> dpt B1)
46

где все аргументы векторные, так что х следует понимать, как г,
и т. п. Подставим эти разложения в скобку Пуассона:
ЯР — РЯ « J dx" [Я (я-, х") Р (х'\ *')— Р (** хГ) И (х\ х')] =
К* ??)"
х exp \ipfc-x") + ip(x"-x')}. B2>
В первом слагаемом этого интеграла сделаем следующую за-
замену переменных: x"=x+Z,+A, х*—х—A, pi^p—q. Во втором
слагаемом переменим обозначения р и pi и положим х"=х+?,.
*'—я—Л, pi=p+q. После этой подстановки скобка Пуассона
сведется к следующему виду:
})[// (p-q, -v+l+l)-
0. B3).
При переходе к квазиклассическому приближению надо счи-
считать большими область движения и импульс в интеграле B3).
Иными словами, велики импульс р и координата 5. потому что I
входит только в комбинации x+t/2 (мы положили h=\, а также
будем полагать в дальнейшем е=1 и m=l, т. с. перейдем к атом-
атомным единицам). Но если велика координата ?, то соответственно
мала разность импульсов q, потому что произведение q? входит
в показатель экспоненты. Разность координат Д тоже следует
считать малой, ибо она входит в показатель, умноженная на
большой импульс р. Следовательно, разность гамильтонианов
под интегралом можно разложить в ряд по степеням q и Л. Мы:
ограничимся третьим членом разложения. Очевидно, что нулевой
и второй члены сократятся, а останутся только первый и третий.
Будем сначала писать формулы без тензорных значков, которые
затем легко ввести в окончательный результат. Разложение вы-
выглядит следующим образом (см. [7]):
ар дх 3 | др3 2
дх 3 |_ др3 2 др2дх
Легко избавиться от множителей q n \ путем интегрирования
по частям, заменяя qe** и Ae'''A на — i(d/di)e"X и —L(d/dp)e>J>s.
9А7

Приравнивая нулю коэффициент Фурье, получим после интег-
интегрирования по частям следующее выражение, записанное уже в
тензорной форме:
l / уя &р о а3//
24 \дл^ йдГд djt^ др^ дрь др^ дх. дху др^ dp- др^ дх,
+3^2 ^ ^ ^P—Wo. B5)
3 j др^др^дХь дХ[ dpjdp^dpf дх^дх^ dxj
Первые два члена в этом равенстве представляют классиче-
классическую скобку Пуассона от коэффициента Фурье плотности р, а
остальные члены дают квантовую поправку к скобке Пуассона.
Исследование этой поправки и является основной целью настоя-
.щей работы.
3. Уравнения самосогласованного
поля в квазиклассическом приближении
В наименьшем приближении коэффициент Фурье от матрицы
плотности имеет вид
B6)
Иными словами, все состояния, у которых импульс меньше
некоторого граничного импульса Pc(r)t заняты, а состояния, у
которых р>ро{г), свободны. При помощи р0 можно определить
"коэффициенты Фурье от различных членов гамильтониана (речь
идет о коэффициентах Фурье относительно разности аргументов
-* — х?, так что координатная зависимость входит в них через
полусуммы аргументов).
Самосогласованное потенциальное поле В [см. A9)] дает сле-
следующее выражение коэффициента Фурье:
B7)
Здесь Bзх)-3 есть коэффициент Фурье от б-функции б (г—r')f a
.внутренний интеграл равен 4npQ3/3 по определению функции р0.
Спиновые состояния учтены множителем 2, входящим в В.
Обменный оператор преобразуется следующим способом:
248

Внутренний интеграл, как известно, равен 4л |р—р'|~2. После-
Последующее интегрирование по dp' элементарно и дает
По сравнению с В, Лр имеет меньший порядок величины, что
будет показано в дальнейшем после перехода к единицам Тома-
Томаса — Ферми. Поэтому в наименьшем приближении гамильтониан
выглядит так:
Согласно B5) функция р0 в этом приближении должна обра-
обращать в нуль классическую скобку Пуассона:
Из выражений для Яо и р0 получаем
dpt p ' °' дх{ г дг
так что скобка Пуассона имеет следующий вид:
Функция р0' отлична от нуля только при р=Ро. Следовательно,
при этом значении р обращается в нуль выражение в круглой
скобке:
0. C2).
Это уравнение непосредственно интегрируется, причем из усло-
условия на бесконечности константа интегрирования должна быть
положена равной нулю:
<33>
Выражение в левой части равенства есть энергия, вычисленная
для граничного значения импульса р0. Как мы видим, она обра-
обращается в нуль. Поэтому функция ро может быть записана в сле-
следующем» весьма удобном для дальнейших вычислений виде:
249

От уравнения C3) легко перейти к его обычной форме. Деист-
вительно, полагая
т?ут"-т- C5>
МЫ ВИДИМ, ЧТО
Афо = 4:г/?;/Зп2. C6)
Но согласно C3), ро2=2фо, так что потенциал удовлетворяет
уравнению Томаса — Ферми
C7)
Перейдем теперь к уравнениям первого приближения. Для
этого будем писать матрицу плотности и потенциал в виде раз-
разложений
C8)
Здесь фп, но определению, есть сумма потенциала ядра 'и само-
самосогласованного поля нулевого приближения. Функция ро(Еп)
определена формулой C4). Поправочные члены ф! и р, мы будем
подставлять только в скобку Пуассона нулевого приближения, а
во всех остальных членах уравнения B5) и п обменном опера-
операторе оставим только нулевое приближение.
Если подставить в часть выражения B5), содержащую третьи
производные, гамильтониан Но согласно C0), то легко убедиться,
что останется только первый член в круглых скобках. Действи-
Действительно, все смешанные производные от Яо по х{ и по р< равны
нулю и, кроме того, Н9 имеет только производную по /?< не выше
второго порядка. Вычисляя производные, имеем
гн =-w, " 1 * i *-
dxi dxk dxt dr r dr r dr
dr r dr
^ C9)
\ d?\
Удобно выделить множитель (р, г) и в остальной части изменить
независимые переменные, входящие в задачу: вместо ру г и (рг)
ввести переменные
?о = 72/>2-ф0, Л1'=[г, p2]=/7V2-(p гJ D0)
и л В нозых переменных произведение третьих производных вы-
выглядит так:
дх{ dxk dxl dpt д pk dpt
250

M+afs, Di)
r dr r dr\ dEl\ &г v r dr /) r dr
где обозначение / очевидно.
Обменную энергию А [см. B9)] следует подставлять только в-
скобку Пуассона нулевого приближения
др? dx. dKidpi pr dr \др dp:,)p=spQdp
iB!ll^i М± * *i. D2)
r n dr dE, г я dr
Будем полагать, что поправка к плотности выражена через
?01 М* и г. Как известно, классическая скобка Пуассона от лю-
любого интеграла движения или от любой функции интегралов дви-
движения обращается в пуль. Поэтому при подстановке pi в скобку
Пуассона нулевого приближения не обратится в нуль только тог
член, который содержит производную по г. Этот член равен
дНу dpi = _(рг) dpi /13)
dpi дх. г dr ' V 7
Поправка к потенциалу <pt зависит, по определению, только
от г. Поэтому она дает член
Jrp). *Ei jfeL . D4)
г dr a?j
Все выражения, входящие в уравнение B5), после сокращения
на (рг)/г имеют вид производных по г от различных выражений:
+A/2Й)+1^. D5>
dr ^ dr dE, л dr KY Yoy dEa 24 dr K f
Так как р0 не зависит от г, это уравнение можно сразу проин-
проинтегрировать, полагая произвольную аддитивную функцию от ?"„
и Мг равной нулю из условий на бесконечности. Это интегриро-
интегрирование по г стало возможным вследствие выбора независимых
переменных ?„, М2 и г. Итак,
11 Щ, я dE,
UdEl Г ** ' " dr'~ [dr j M rdr r dr \ '
' D6>
8 dE* { dr" r dr )
251

Другое уравнение, связывающее ф, и рь есть уравнение Пуас-
Пуассона для потенциала
^р. D7)
Хотя поправки к р0 велики при ?,=0, но в потенциал они входят
янтегрально, и поэтому результирующая добавка к потенциалу
.мала.
В уравнении D7) удобно прежде всего произвести интегри-
интегрирование по частям. При этом члены, не зависящие от угла, при-
«обретают просто множитель 4я, а член, пропорциональный М\
получает множитель 4л 7з **Рг потому, что М2 пропорционален
квадрату синуса между г и р. При помощи равенства D0) вели-
величина, стоящая в квадратной скобке правой части D6), после ин-
интегрирования по углам становится равной
Интегрирование по р тоже легко произвести, если воспользо-
воспользоваться определением C4) функции р0.
р
Действительно, вместо p2dp напишем У2(Е0 + ф0) dE0 и вос-
воспользуемся тем, что dpo/d?,=—6(?0). Интегралы от второй и
третьей производных р0 легко берутся при помощи известной
формулы
D8)
Подставляя pt из D6) в уравнение D7), получим
Это и есть уравнение для поправки к потенциалу. Здесь первое
слагаемое справа учитывает обмен, а второе слагаемое происхо-
происходит от добавки к классической скобке Пуассона. Если подста-
подставить выражение Дф0 в правую часть D9), то получится слагаемое
(8/9л2)ф0, которое в 9 раз меньше обменного члена. При числен-
численном интегрировании оказывается, что такого же порядка отноше-
отношение обеих поправок к потенциалу. Перейдем теперь к безразмер-
безразмерным переменным Томаса —Ферми, которые мы здесь выразим
через т, е nh:
r=M!i__JLJL, ъ--КЪ = ^—±—. 150)
37. Z7. me» ™ r YX FllO, x A» V
Тогда безразмерный потенциал в нулевом приближении удовлет-
удовлетворяет известному уравнению •
x*l*x-'\ E1)
252

а безразмерная поправка у находится из линейного неоднород-
неоднородного уравнения
Заметим, что потенциал в нулевом приближении пропорционален
2\ а в первом приближении пропорционален Z24 Следователь-
Следовательно, относительный порядок величины поправки есть Z~1/j (числен-
яый коэффициент 40/Fji)Vi мало отличается от единицы).
4. Интегрирование уравнения для поправки
к потенциалу
Граничные условия к уравнению E1) суть х@) = 1 и х(°°) =
=0, ибо в непосредственной близости от ядра имеет место чисто
кулоновский потенциал, а на большом расстоянии от ядра потен-
потенциал из-за экранирования электронами спадает быстрее, чем
кулоновский. Условие на бесконечности для у есть, очевидно,
тоже у(оо) = 0, а в нуле у@) =0, потому что значение потенциа-
потенциала вблизи х= 0 описывается уже функцией х(х).
С другой стороны, уравнение E2) несправедливо как в не-
непосредственной близости к ядру, так и на больших расстояниях
от ядра. Можно поставить вопрос: законно ли интегрировать
уравнение E2) с граничными условиями у@)=у(<х>)=0, если
эти условия наложены вне области применимости уравнений *.
Рассмотрим сначала решение со стороны малых значений х,
порядка радиуса К-оболочки. В области /С-оболочки принятое в
работе квазиклассическое приближение заведомо неприменимо.
Но заключенный в этой оболочке заряд— порядка величины еди-
единицы, так что его влияние на потенциал самосогласованного
поля в атоме имеет порядок 1/Z по отношению ко всему потен-
потенциалу.
Между тем принятая нами точность есть Z~\ так что поправ-
поправка порядка 1/Z должна отбрасываться. Вместе с тем отсюда вид-
видно, что Z-*h есть наивысшее приближение, совместимое с квази-
класепческим подходом к задаче.
Поэтому не следует интегрировать «точное» уравнение, в кото-
котором члены, пропорциональные Z~^\ учитываются наравне с основ-
основными (что, например, делает Иенсеи [3]). Уравнение для первого
приближения E2) достаточно проинтегрировать один раз, как
и основное уравнение E1), и для разных атомов учитывать зави-
зависимость потенциала от 2 только согласно E0).
Можно оценить непосредственно по уравнению E2) порядок
величины тех расстояний от ядра (со стороны малых *), где по-
поправка становится сравнимой с нулевым приближением. Найме-
* Этот вопрос поставил и разъяснил нам Л. Д. Ландау.
253

нее благоприятная оценка получается в случае, если сравнивать
не потенциалы, а поля, производимые данным распределением
плотности электронного заряда. Это сравнение мы и произведем.
Функция х вблизи начала координат имеет, как известно, сле-
следующий вид х=1—l,589x+7s*v*- Единица в первой части отве-
отвечает потенциалу ядра и при вычислении поля нас интересовать
не будет. Поле, происходящее от электронов, в нулевом прибли-
приближении есть
<Р _ 7V. <* Х-* _ 2 //*-'/.
0 dx х 3
Выражение у при самых малых х легко получить, подставляя в
правую часть E2) %=1, что дает */=4У*. или согласно E0)
9 Zv' ± L
Сравнивая &ь и ЙГ1э видим, что Я\ становится порядка #0, когда
*mift~0,06Z-a/a, rmln —0,07 h2IZme2t т. е. —0,07 от радиуса
/(-оболочки.
Таким образом, экстраполируя граничное условие для у п
точку х=0, мы совершаем ошибку, относительный порядок ко-
которой есть 1/Z, причем с малым численным коэффициентом.
Рассмотрим теперь применимость граничного условия #==0
при больших х. Как известно, асимптотический вид решения х(*)
со стороны больших х есть 144/*3, Но практически эта форма ре-
решения не достигается. Поэтому целесообразно принять, что функ-
функция х(*) при больших х есть А2(х)х~\ где А(х) —медленно ме-
меняющаяся функция от х. Соответственно определим асимптоти-
асимптотическое решение однородного уравнения
Будем искать у0 ввид?уо=хХ(х\ пренебрегая производными dh/dx.
Тогда
Одно решение у01 возрастает на бесконечности как х\ а другое
решение уа2 убывает на бесконечности, как хх'.
Любое решение неоднородного уравнения E2) можно выра-
выразить в виде квадратур от правой части при помощи решений у^
и у92. Но правая часть известна нам не при любых значениях х,
а только при таких xt когда поправка еще мала по сравнению с
основным решением. Предположим, что начиная с какого-то *=
= х0 и больше функция в правой части E2) есть какая-то неиз-
неизвестная F(x). Покажем, что решение у(х) прих<^ независитот
этой функции F(x)t если только y(xt) достаточно велико для то-
того, чтобы убывающее на бесконечности решение уже становилось
малым. Это означает, что можно положить #(оо)=0, не делая
заметной ошибки.
254

Обозначим известную правую часть E2) через f(x). Тогда
решение со стороны х<х^ можно записать в следующем виде:
У (х) = С#п (х) + С5у„ (*) + f / [х') (уи (х') *„(*)—йп(*)й»(*')> *v'.
E3)
если решение у9г связано с у01 известным соотношением
Уу,2 = У(н I РоГа<**. Между коэффициентами Ct и Сг существует
зависимость, определяемая из граничного условия в нуле. Эта
зависимость имеет форму Cz=pCi, причем коэффициент р ни-
никак не зависит от выбранного значения х—Xi и не связан с функ-
функцией F{x).
Со стороны больших х решение должно выглядеть так:
х
у(х) = CjjfaM +C&J?) + [ F (х') {уп (*') 1/и W—у„ (х) ym(x'))dx'.
"
E4)
Для того чтобы решение сохраняло конечное значение па беско-
бесконечности, необходимо наложить на С5 условие
C.-jFMfc.Wdx. E5)
Решения уравнений E3) и E4) должны плавно сопрягаться
лри x=*i, т. е. должны равняться сами функции и их первые
производные. Это дает
Но это и означает, что при больших х, можно положить *! = «>,
если только допустить, что функция F(x) не возрастает на бес-
бесконечности, что вполне естественно. Но тогда решение E2) при
x^Xt вообще перестает зависеть от значения х{ и от неизвестной
функции F(x). Следовательно, можно считать, что условие
y(oo)=Q наложено в области применимости уравнения E2).
Уравнение E2) интегрировалось численно по методу Нуме-
рова [8]. Идея этого метода заключается в том, что вместо неиз-
неизвестной функции у(х) выбирается новая неизвестная функция
У(х) — (аг1\2)у"{х), где а — шаг численного интегрирования.
У новой неизвестной вторая производная отличается от второй
разности па величину шестого порядка относительно а. Благо-
Благодаря этому метод Нумерова позволяет численно интегрировать
уравнения, разрешенные относительно второй производной, вы-
выбирая большой шаг.
Для того чтобы удовлетворить условию на бесконечности,
надо поступить следующим образом: сначала определить путем
255

численного интегрирования решение однородного уравнения,
равное нулю при х=0, затем, тоже путем численного интегри-
интегрирования, найти такое же решение неоднородного уравнения E2).
Отношение обоих решений стремится к постоянному числу при
х—*оо. Тогда, если вычесть из решения неоднородного уравне-
уравнения решение однородного уравнения, умноженное на это постоян-
постоянное отношение, то получится решение, удовлетворяющее обоим
поставленным условиям.
Для сравнения с расчетами, производившимися другими
авторами, мы расщепили правую часть на два слагаемых: чисто
Г"
\
j
т
' t
- ?
=
«обменную» поправку, равную 36 х, и остальную, «квантовую»
часть, найденную в настоящей работе. Соответствующие слагае-
слагаемые названы уА и ук. На графике уА и ук показаны отдельно.
Вследствие большого численного коэффициента уА существенно
преобладает при всех х, поэтому результаты Иенсена практи-
практически являются справедливыми, но только до тех пор, пока
в них обменная поправка мало по сравнению с основным чле-
членом. Последнее условие у Иенсена не соблюдалось при бочь-
ших*.
Что касается кпантовой поправки, то она оказалась в 9 раз
меньше, чем предполагал Вайцзекер. Поэтому можно считать
окончательно установленным, что на потенциале Томаса —
Ферми заметно сказывается только обменная поправка.
Литература
1. Я. Дирак. Основы квантовой механики. М,— Л„ ГТТИ, 1932, стр. 243—256.
2. P. Dirac. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1930, 26, 376.
3. Н. Jensen. Z. Phys., 1930, 111, 373.
4. /?. P. Feynman, N. Metropolis, E. Teller, Phys. Rev., 1947, 75, 1561.
5. П. Гомйаш. Статистическая теория атома. М., ИЛ, 1951.
6. С. F. Weizsacker. Z. Phys., 1935, 96, 431.
7. А. С. Компанеец. ЖЭТФ, 1954, 26, вып. 2, 153; см. наст, изд., стр. 234.
я. Б Нумеров. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1924, 84, 592; G. Pratt, Jr.
Phys. Rev., 1952,88, 1217,
256

О СВЯЗИ В ЯДЕРНОЙ МОЛЕКУЛЕ С** —С12*
В последнее время появились данные о рассеянии ядер угле-
углерода па углеродной мишени, указывающие на существование-
резонансных квазиуровней [1]. Эти уровни приписываются «моле-
кулярному» состоянию с временем жизни порядка 10~21 сек.
Настоящая заметка не ставит себе целью дать объяснение
опытам Альмквиста, которые, кроме того, еще не закончены.
Будет твлько показано, что могут существовать квазиустойчи-
квазиустойчивые состояния двух ядер на расстоянии, превосходящем размер
зоны размытости ядерного края. Это состояние следует рас-
рассматривать как некий предельный случай, указывающий на
возможность менее полного разделения, механизм которого
выявлен менее четко.
Связь в такой квазимолекуле может осуществиться за счет
общей для двух ядер орбиты сильно возбужденного нейтрона.
Если энергия такого нейтрона близка к порогу вырывания (на-
(например, ниже его на 1 Мэв), то волновая функция вне ядра
затухает на расстояниях, больших чем радиус действия ядер-
ядерных сил. Расчет показывает, что результирующая сила взаимо-
взаимодействия между ядрами за счет энергии этого нейтрона и кул о-
невского отталкивания переходит в притяжение на таких рас-
расстояниях от ядра, для которых уже можно говорить о раздельном
существовании обоих ядер, т. е. вне зоны размытости ядерного
края.
В ряде опытов Альмквиста энергия сталкивающихся ядер,
по-видимому, была недостаточна для возбуждения одноч а стач-
стачного нейтронного уровня (на это указал нам А. С. Давыдов),
Можно полагать поэтому, что в опытах осуществлялся не тот
предельный случай, который рассмотрен здесь, а некий проме-
промежуточный случай, когда зоны размытости ядерных краев частич-
частично перекрывались. Так или иначе к этим опытам данная заметка
не имеет прямого отношения.
Таким образом, положение здесь аналогично тому, которое
осуществляется в дейтроне. Поэтому можно произвести удовлет-
удовлетворительные по точности кв антовомех эпические вычисления
энергии связи, рассматривая оба ядра как две потенциальные
ямы. При бесконечном удалении друг от друга они имеют оди-
одинаковый нейтронный уровень. При сближении ядер этот уровень
расщепляется на два уровня: симметричный и антисимметричный
относительно ядер. Первый из них лежит ниже. Его энергия
может быть вычислена в адиабатическом приближении как
функция расстояния между ядрами. Для этого надо применить
метод, аналогичный тому, который применен в [2] для одномер»
ных потенциальных ям.
* ЖЭТФ, I960, 39, вып. 6A2), 1713.
9 А. С. Комганеец 257

Могло бы показаться, что рассматриваемый случай, связи
может осуществиться при столкновении ядер С13 и С", где просто
есть избыточный нейтрон, но не при столкновении двух ядер С12.
На самом деле, однако, при столкновении достаточно энергич-
энергичных ядер С12 нейтрон может возбудиться в одном из ядер. На
месте этого нейтрона образуется дырка в оболочке Р3/г, причем
& дырку частично перейдет нейтрон с соответствующего уровня
другого ядра. Благодаря второму нейтрону, частично заполнив-
заполнившему дырку, возбужденный нейтрон движется в двух одинако-
одинаковых потенциальных ямах. Ядра будут иметь два «общих» нейт-
.рона — возбужденный и невозбужденный. Так как им отвечают
разные квантовые числа, принцип Паули не помешает им нахо-
находится в состояниях любой симметрии. Даже и в состояниях
с разной симметрией их действия не могут компенсировать друг
друга из-за различия декрементов затухания волновых функций.
Разумеется, действия невозбужденных нейтронов в замкнутых
оболочках компенсируются, так как с необходимостью полу-
получаются пары нейтронов с противоположной симметрией волно-
волновых функций.
Если направить ось z по линии, соединяющей центры ядер,
а качало координат поместить посередине, то смещение энергии
состояния, симметричного относительно ядер, выражается так:
Здесь г|э0 — состояние в отдельном ядре, а интегрирование про-
производится в средней плоскости, перпендикулярной оси г. В каче-
качестве ^о мы подставим функции р- и s-состояний нейтрона. Если
распределение плотности возбужденного нейтрона вытянуто
вдоль оси, соединяющей ядра (как это имеет место в р-состоя-
пии), то связь между ядрами больше, чем для s-состояния нейт-
нейтрона с той же энергией.
Результирующая кривая потенциальной энергии в обоих
случаях сходна по форме. Она имеет форму кратера, внутри
которого возможен молекулярный квазиуровеиь. Расстояние
вершины кратера в выбранном примере от центра ядра для
р-состояния в 2,41 раза больше ядерного радиуса.
Обозначая расстояние вершины от «края» ядра через Д, ра-
радиус ядра г0, и==У2т \Ee™*\, можно вычислить при помощи A)
Д? из уравнений
i 3 i 3 Л
х^ + дГгхЖ + д)*/
258

(/7-нейтрон) и
(а-нейтрон)-
При выводе этих формул мы пренебрегали энергией нейтрона
вне ямы по сравнению с его кинетической энергией в яме,
Для численных подстановок в формуле B) и {3} радиус ядра
был положен равным 3,2 ф (считая, что го=1,4ЛЛф). Энергию
связи нейтрона в ядре положим равной 1 Мэв. Заметим, что, па
данным [3], в ядре С!г имеется уровень с такой энергией связи
и ему приписывается состояние О+, как и основному состоянию
С12. Поэтому возбужденное состояние можно приписать р-нейт-
ропу. Вопрос о возможности возбуждения именно этого состоя-
ния в опытах [1] оставим в стороне, так как нас больше интере-
интересует принципиальный вопрос осуществимости квазимолекулы.
Тогда из B) получим Д„=4,53 ф, а из C) А,—3,91 ф. Оба эти
значения, а особенно первое, больше чем радиус действия ядер-
ядерных сил. Для энергии связи нейтрона 4 Мэв Др=3,55 ф.
Очень интересно было бы объяснить с рассматриваемой точки
зрения, почему Альмквист не наблюдал резонансных явлений
при столкновении ядер О16. Здесь, к сожалению, приходится пока
ограничиться предположениями. Например, можно допустить,
что возбуждение нейтронов происходит при столкновении ядер
О16 с меньшей вероятностью, чем в случае С", вследствие боль-
большей устойчивости О!6. Но это допущение надо было бы проверить
независимыми опытами.
Для того чтобы ядра в «кратере» могли находиться в квази-
квазиустойчивом состоянии, они не должны слипаться при каждом
соприкосновении (на это указал нам К. А. Тер-Мартиросян).
Если действительная картина для ядер С12 отвечает рассмотрен-
рассмотренной здесь модели, что будет означать, что коэффициент прили^
пания для этих ядер значительно меньше единицы. Тогда воз-*
пикает еще одна возможность объяснения того, что резонаттец
отсутствуют у О1в: это может быть связано с большей вероят^
ностыо слипания у этих ядер. В задаче о рассеянии возможность
слипания может быть учтена путем введения некоторого комп«
лексного граничного условия в точке соприкосновения ядер.
Литература
1. D. A. Bromley, /. A. Kuehner, E. Almquist. Phys. Rev. Lett,, I960, 4, 365,
2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М„ Гостсхиздат, 1948
стр. 208.
3. F. Ajzenberg-Selove, Т. Lauritsen. Nucl. Phys., 1959, И, 117.
259 9*

ПОЛЕ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ,
ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ЭЛЕКТРОН,
В МЕТОДЕ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ*
При расчете атомных волновых функций по методу самосо-
самосогласованного поля многоэлектронная задача сводится к эффек-
эффективной одноэлектронной. Волновая функция оптического элек-
электрона определяется так, как если бы он двигался в поле ядра
и атомного остатка. Берсукер [\] обратил внимание на то, что
йри вычислении вероятностей перехода оптического электрона
по этому способу надо считать, что на электрон действует поле,
искаженное остовом. В работе [1J это искажение учитывалось
так, как если бы остов был диэлектрическим шаром, помещен-
помещенным во внешнее поле. Несмотря на грубость этой модели, она
находится в соответствии с основной физической идеей. В рабо-
работах [2, 3] задача была решена более строгим, квантовомехани-
ческим методом в адиабатическом приближении. Мы покажем,
что это приближение не является необходимым и что можно
получить более общую формулу дисперсионного вида, которая
в предельном случае малых частот переходит в формулы, най-
найденные в работах [2, 3].
Напишем, прежде всего, волновое уравнение для остова в
поле падающей световой волны:
— А & = */*_(#,* COS»0l|>. A)
i dt
Здесь не учтено обратное влияние оптического электрона на
остов, что соответствует так называемому методу «наслаивания».
Было показано прямым вычислением, что это влияние невелико
J4). Заметим также, что при учете обратного влияния задача
перестает быть линейной и нельзя применять обычный аппарат
квантовой механики, на котором основаны дальнейшие вычис-
вычисления.
Возмущенную волновую функцию основного состояния осто-
остова ищем в виде
¦=**>+2 *»(*)¦«• B)
л
Считая, что внешнее поле включено адиабатически, находим
отсюда
• «Оптика и спектроскопия», 1964, 18, 706.
260

Определяем возмущение плотности заряда остова, вызван-
вызванное световой волной:
Здесь $й и ^« означают уже волновые функции без временных
множителей. По возмущению плотности заряда определяем
возмущение потенциала, действующее на оптический электрон.
Это возмущение когерентно с падающей волной:
Таким обраом, поправка, предложенная Берсукером, состоит
в том, что в возмущающей энергии — е&х в уравнении для опти-
оптического электрона надо прибавить линейное по & возмущение
<р', происходящее от поляризации остова. Аналогичный резуль-
результат получен в [2, 3], но, как мы видим, решение задачи не тре-
требует адиабатического приближения. При больших частотах па-
падающей волны это приводит к новым эффектам.
Вычислим матричный элемент перехода между некоторыми
двумя состояниями оптического электрона кит. Эти состояния
должны отличаться на ±1 по орбитальному моменту, как это
следует из обычных правил отбора и непосредственно видно по
вычислениям. Получаем*
УЗ B/ +1) B1 +о, i у -п<гопъоп,*т ,„
Здесь I — момент электрона в^м состоянии; верхний множи-
множитель отвечает изменению момента на +1, нижний — на —1.
?(..*.*тп — интеграл от нормированных радиальных частей волно-
волновых функций, принадлежность которых видна по нижнему ин-
индексу:
] ft m (r)dr\ .
1 Выражения в фигурных скобках F) получаются из-за того, что волновые
функции содержат, по определению, нормированные полиномы Лежандра,
а в разложении ]г—r'|~J в E) дает те же полиномы Лежандра, которые
мы взяли ненормированными. Правила отбора не меняются потому, что
при 'вычислении матричных элементов по волновым функциям остова поле
падающей волны считалось однородным. Благодаря этому возбужденное
л-е состояние отличается от основного на единицу по орбитальному мо-
моменту, а интеграл E) дает только первый поливом Лежавдра. Заметим
еще, что при вычислении радиального интеграла мы относим в дальнейшем
индекс п уже к одноэлектронной функции, так как волновая функция осто-
остова считается факторизованной.
261

Таким образом, явление поляризации остова не выражается
в общем случае просто через его поляризуемость, как это полу-
получается по грубой модели.
Тем не менее для оценки явления можно несколько упростить
lon.km- Волновые функции остова go, gn отличны от нуля в мень-
меньшей области пространства, чем функции оптического электрона
/*, /«¦ Если обозначить эффективные радиусы внутренней и внеш-
внешней оболочки а и р и заменить волновые функции для оценки
интегралов экспонентами, то простой расчет показывает, что по
порядку величины отношение второго интеграла в G) к первому
есть (а/рM. Даже если а/р — Уг, это отношение невелико. Тогда,
если совсем отбросить первый интеграл и распространить ин-
интегрирование по г во втором интеграле до нуля, получим простую
оценку
* km
Она позволяет ввести обычную поляризуемость остова в форму-
формулу F), так как тогда в матричный элемент войдет выражение
Приближение (8) тем лучше, чем выше лежат возбужден-
возбужденные состояния к и /п, что физически хорошо понятно. Отношение
поляризационной поправки к основному матричному элементу
перехода имеет следующий порядок:
энергия оптического электрона / радиус остова \g
энергия возбуждения остова \радиус внешней оболочки/ '
Это отношение обычно не превышает 2—3%. Но если частота
падающего излучения близка к одному из потенциалов возбуж-
возбуждения оболочки, то роль поляризации оболочки становится
весьма важной. Можно ожидать, что в спектре мягких фотоэлек-
фотоэлектронов (с энергией порядка нескольких десятков электронвольт)
должны наблюдаться максимумы в соответствующих местах.
При выводе формул нигде не считалось, что <а<а><,п, так что
наличие максимумов поглощения в спектре мягких фотоэлек-
фотоэлектронов не вызывает сомнения. Но, разумеется, в непосредствен-
непосредственной близости от максимумов нельзя применять простую теорию
возмущений. Для вычисления формы линий необходимо, как
всегда, учитывать затухание.
В заключение приношу благодарность А. В. Ивановой за
указание литературы.
262

Литература
1. Я. Б. Берсукер. Уч. зап. Кишиневск. ун-та ((физмат), 1956, 24, 63.
2. И. Б. Берсукер. Опт. и спектр., I960, 9, 665; Иаа. АН СССР, сер. физ., 1958,
22, 750.
3. Я, Б. Берсукер, М. Г. Веселое. Изв. АН СССР, серия физ., 1958. 22, 662.
4. А. В. Иванова и Л. Н. Иванова. Опт. и спектр., 1964, 16, 917.
РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ФОТОЭФФЕКТЕ *
Когда электромагнитная волна падает на оптический электрон
атома, поведение электрона нельзя рассматривать строго, не учи-
учитывая влияния поля на атомный остаток. Иначе говоря, прибли-
приближение самосогласованного поля для расчета волновых функций
наружного электрона несправедливо при нахождении вероятнос-
вероятности радиационных переходов. Берсукер [1, 2] показал, что влия-
влияние остова можно описывать в терминах поляризуемости или ве-
величины, напоминающей поляризуемость, создающей дополни-
дополнительное линейное и когерентное слагаемое электромагнитного по-
поля, действующего на электрон. В заметке [3} было показано, что
эффект влияния па оптический электрон со стороны остатка об-
обладает дисперсией. Некоторые ограничительные предположения,
налагавшиеся при выводе Берсукером, могут быть сняты, и ре-
результат зависит от динамической поляризуемости атомного ос-
остатка.
Когда частота падающего излучения близка к энергии уров-
уровней возбуждения остатка, эффект приобретает резонансный ха-
характер. Так как соответствующие уровни могут лежать при энер-
энергиях порядка нескольких десятков электронвольт, резонансная
поляризация остатка должна сказываться на вероятности фото-
фотоэлектрического вырывания внешнего электрона световой волной.
Грубо говоря, остаток сперва поглощает квант с энергией, близ-
близкой к своей энергии возбуждения, а затем передает ее оптиче-
оптическому электрону, который вылетает из атома. На самом деле,
однако, имеет место интерференция между обоими механизма-
механизмами фотоэффекта (прямым и через возбуждение остова), подобно
тому, как в ядерной физике интерферируют потенциальное и
резонансное рассеяния нейтронов. В настоящей работе будет
рассмотрен резонансный фотоэффект.
Переменные, описывающие состояние атомной системы, обо-
обозначим двумя индексами: из них первый относится к остатку, а
второй — в внешнему электрону. Соответственно вводим три ам-
* ЖЭТФ, 1968, 54, вып. 3.
263

плитуды: саа, сп0 и сае. Индекс л относится к возбужденному состоя-
состоянию остатка, энергия которого близка к энергии падающих кван-
квантов; Е означает энергию фотоэлектрона. Матричные элементы
оптических переходов обозначим соответственно Яо„ и #<,?, пола-
полагая, что они относятся или к остову, или к внешнему электрону.
Зависимость от времени не включена в них. Недиагональный мат-
матричный элемент взаимодействия остова и внешнего электрона на-
назовем Vn0, ое- Он был выписан, например, в [3], но здесь его явный
вид не имеет значения. Для амплитуд сп{) и е„* имеем уравнения
l A)
coE' -f- H«ne ^oo- (-2)
E-
Здесь юп и (Не — соответствующие частоты переходов, <а — часто-
частота кванта.
Задачу можно решать методом возмущений по отношению к
см, считая соо=1. Тогда система A) —B) имеет строгое реше-
решение. Избавимся прежде всего в уравнениях от явной зависимости
от времени, полагая
соЕ=*е * соЕ (/), спй =е сло (t).
Тогда уравнения для величин со штрихами выглядят так:
'я—со) Гое = ^оя,поСл»-|-Яв?, C)
ic'nt, + (©я— CD)Ст = 2 УТЯЧЬЕ' +ЯОП, D)
Е'
с начальными условиями соЯ/@):=0» c«/@)=0. Согласно урав-
уравнению C) представляем coB' в виде квадратуры:
\ dr. E)
Это выражение надо подставить в D) и просуммировать по ?'.
Для этого второй член под интегралом справа удобно спсриа
проинтегрировать по частям с учетом начального условия:
После этого надо изменить порядок суммирования по ?' и инте
грирования по t. От суммы по ?' перейдем к интегрированию
264

вводя дифференциал числа состояний р(?') dE'. Так как в даль-
дальнейшем потребуется решение, справедливое при больших време-
временах, применим следующую асимптотическую формулу:
откуда получаем окончательно
2 Vm.ttE-c«e- = - дй (У„..„МшР (о) +1 VM,m |а р (о) е'„ (Q). F)
Таким образом, ся0' удовлетворяет обыкновенному дифферен-
дифференциальному уравнению
n
G)
Его решение выглядит так:
> exp {I (Мд
(8)
Известное теперь выражение с„0'@ 'подставляем в F), откуда
получается искомая амплитуда" вероятности cDE'@:
t (u)? — о) wn — о> -h ni I Vn9 ow lapN
Q -1
exp {f К ^ ag -[- ni \ Vn9i0& j« p ((o)) Q -1
От этой величины надо взять квадрат модуля и проинтегриро-
проинтегрировать по некоторому интервалу непрерывного спектра Е. Можно
показать, что ненулевой вклад, пропорциональный t, даст только
величина в квадратной скобке. Действительно, экспоненциально
затухающий член следует положить равным нулю, он связан с
выбором начальных условий при f=0. При достаточно большом
I затухающую экспоненту всегда можно отбросить. Член, содер-
содержащий (б^да?-а>*—1)/(ои—ш) линейно, при интегрировании по Е
дает вклад, не зависящий от времени, и поэтому при дальнейшем
дифференцировании по t выпадает. То же относится к единице во
итором слагаемом выражения (9). Остается обычное резонансное
интегрирование, которое дает для вероятности перехода
265

Пренебрегая взаимодействием остова с внешним электроном, по-
получим, очевидно, вероятность прямого фотоэффекта
Вводя сокращенные обозначения
= а,
видим, что форма резонансной линии определяется выражением
При х=—а эта функция имеет минимальное значение, равное
нулю. При x=lUa ее величина максимальна. Легко показать, что
/@)=fmax—l=/ma»—/(°°)» Отсюда можно найти точное положе-
ние резонанса по кривой поглощения.
Оценим теперь ожидаемую ширину'резонансной области. Мат-
Матричный элемент Vn0i,0« примем приблизительно равным Vno.oe~
~e*xn(lxajrb*, где rg порядка атомного радиуса. Сечение фото-
фотоэффекта далеко от резонансной области выразим как
Отсюда получается искомая ширина области
Считая, что переход в остатке разрешенный, примем x9n^ruZ'\
что дает A©~10BZ~%o^. Здесь мы положили <а~101в. Выбирая
энергию кванта порядка десятикратной энергии ионизации, оце-
оцениваем <тф для М-оболочки не очень тяжелых элементов как
10~19 смг, что дает Дсо приблизительно в 1 эв. Параметр а имеет
порядок величины Го'ю/сстф. В тех же допущениях он приблизи-
приблизительно равен единице. Но, если аф«с10-19, а становится гораздо
большим, что дает сильное превышение пика над гладкой кривой
фотоэффекта.
Все сказанное открывает некоторую возможность изучения
уровней атомиых остатков. Заметим также, что аналогичные эф-
эффекты могут наблюдаться и в ядерном фотоэффекте.
Л итература
1. И. Б. Берсукер. Уч. зап. Кишиневск. ун-та (физмат), 1956, 24, 63; Оптика
и спектроскопия, 1960, 9, 685; Изв. АН СССР, сер. физ„ 1958, 22, 750.
2. И. Б. Берсукер, М. Г. Веселое. Изв. АН СССР, серия физ., 1958, 22, 662.
3. Д. С. Компанеец. Оптика и спектроскопия. 1964, 16, 706; см. наст, изд.,
стр. 260.
266

Раздел IV
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
ПО НЕРВНОМУ ВОЛОКНУ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА
ПО НЕРВНОМУ ВОЛОКНУ*
Совместно с В. Ц. Гуровичем
Физическая картина явлений, происходящих при распростра-
распространении импульса по нервному волокну, с большой полнотой рас-
раскрыта в работах Ходжкина и его сотрудников J1]. В настоящее
время можно ставить вопрос о построении теоретической карти-
картины нервной проводимости для реальных нервных волокон, а не
для имитирующих моделей, как это сделано, например, в рабо-
работе И.
Ходжкин и Хаксли {3] описали механизм избирательной про-
проводимости мембраны с помощью ряда эмпирически подобранных
параметров и функций, которые они подставили затем в общее
уравнение распространения импульса вдоль волокна. Получив-
Получившееся уравнение оказалось столь сложным, что потребовало чж>
ленного решения. Хотя форма и скорость распространения им-
импульса, найденные таким образом, хорошо совпадают с экспери-
экспериментальными результатами для данного конкретного волокна, же-
желательно иметь некоторые простые общие соотношения, не зави-
зависящие от конкретной модели мембраны, о механизме действия
которой известно пока еще весьма мало. Выделив чисто феноме-
феноменологические вопросы, удобнее решать проблемы, относящиеся к
электрохимическому механизму избирательной проводимости
мембраны.
Как известно, при распространении нервного импульса можно
различать следующие характерные периоды.
1. Нарастание потенциала от его значения в покое (р0 до неко-
некоторого порогового значения <pt.
* «Биофи-шка», 1966, 11. вып. 5, 913.
267

2. Дальнейшее нарастание потенциала до максимального зна-
значения фа за счет ионов Na+, входящих в волокно из окружающей
среды сквозь оболочку. Причина увеличения проницаемости мем-
мембраны при потенциале ф, пока не выяснена, и мы вынуждены так
или иначе описывать это явление феноменологически, обращаясь
к простейшей форме зависимости, совместимой с экспериментом.
3. Возвращение нерва приблизительно к исходному потенциа-
потенциалу за счет оттока ионов К+.
4. Период «отдыха», после которого нерв способен пропускать
новый импульс.
Мы покажем, что скорость распространения одиночного им-
импульса определяется только первым и вторым периодами, т. е.
нарастающей фазой потенциала. Третий и четвертый периоды
подстраиваются к первым двум и на скорость распространения
не влияют. Уже поэтому можно полагать, что схема, принятая
при расчетах Ходжкиным и Хаксли, слишком сложна. Простые
зависимости, которые будут выведены, ранее предлагались Ход-
Ходжкиным и Раштоном [4, 5] из соображений размерности и вклю-
включают минимальное число констант. Уравнение, предложенное
Ходжкиным и Хаксли, включает гораздо больше констант, по-
поэтому размерностные оценки к нему» строго говоря, неприменимы.
Чтобы вывести простые формулы для скорости импульса, надо об-
обратиться к общей теории распространения химических процессов
[6], учитывая избирательный характер проводимости мембраны
возможно более простым образом.
Мы рассмотрим отдельно безмиелиновые волокна с перехва-
перехватами Ранвье (миелиновые), что дает два разных типа зависимос-
зависимости скорости распространения от параметров,
Безмиелиновое волокно
Обозначим заряд на единицу длины волокна е, продольный
электрический ток /, а ток через единицу длины мембраны i.
Тогда закон сохранения заряда записывается так:
Ток i возникает при некотором потенциале cpi и, как показыва-
показывает опыт, сохраняет приблизительно постоянное значение до по-
потенциала ф2, после чего меняет знак. Постоянство тока видно из
линейного нарастания потенциала на осциллограммах. При зна-
значении фа потенциал достигает максимума, иначе говоря, в этой
точке дф/д*=О.
Поэтому запишем
B)
Здесь Б(ф) = 1, если фа^ф^Ф^ и е(ф)=0, если ф вне этого ин-
268

тервала. Фактически поведение б(ф) при ф^ф2 для дальнейшего
не существенно. Знак минус указывает на увеличение заряла при
Ф>Ф1.
Заменяя тепгрь ф = — и /= ——^-, где С и R—емкость и
сопротивление на единицу длины, получаем
di RC ах* w w
Чтобы описать режим распространения импульса, надо искать
е (х, t) в виде е {x—vt), что дает
а6 «*¦¦— D>
где %=х—vt. При ?—<*>, е—en=Cq:0. При е—е{ производная
—=р непрерывна. В этой точке произвольно выбираем 1—0.
Далее, в точке, где е=ег, надо взять р=0, так как это —точка
максимума. Выполняя простые квадратуры, с учетом указанных
условий при e=:ei и ez находим уравнение для v:
-Г,- E)
Длительность фазы нарастания потенциала от ф! и ф2 получа-
ется из квадратуры для % и равна простому выражению
что согласуется с определением величины X.
Отношение в левой части E) приблизительно равно 4 или 5;
чтобы удовлетворить этому равенству, надо считать, что у^\ с
точностью до 1%. Тогда логарифм будет соответственно велик.
Отсюда находим с той же точностью выражение для скорости v:
Эта формула дает такую же .зависимость скорости v от радиу-
радиуса волокна_г, какая была найдена в [4] из соображений размер-
размерности: у~Уг. Как мы видим, достаточно рассмотреть только фазу
нарастания потенциала.

Миелиновое волокно
Как известно, расстояние между перехватами Ранвье прибли-
приблизительно совпадает с длиной затухания импульса между ними в
е раз. Чтобы учесть дискретный («сальтаторный») характер уси-
усиления импульса в перехватах, мы будем пользоваться усреднен-
усредненными значениями величин по отдельным промежуткам между пе-
перехватами. Тогда вместо дифференциального уравнения C) по-
получим разностное уравнение
•%=;ЙН-2*»+4»1 r*.-i)+*eW. (В)
at К1(С0
в котором Ra и Со относятся к целому промежутку, а вторая раз-
разность (en+i-—en)—(еп—en-t) заменяет вторую производную по-ко-
по-координате дге\дхг. Так как в каждом перехвате происходит полное
восстановление импульса за время, малое по сравнению с време-
временем прохождения импульса по отдельному участку, мы будем
считать изменения е„ с номером весьма резкими. В пределе, для
которого мы найдем приближенное решение, фронт нарастания
потенциала помещается в одттом-двух промежутках.
Если в уравнении (8) отбросить К, то оно становится линей-
линейным и однородным и допускает частные, решения вида
enJ = Bf exp ('4sh* L . t—fny (9)
где т — безразмерное в-ремя W0CD. Это решение отвечает рас-
распространению импульса со скоростью— sha — , т. е. очень сильной
зависимости скорости от параметра f («волнового числа»), вхо-
входящего в решение. Следовательно, для того чтобы импульс сох-
сохранял свою форму и не размывался, необходимо, чтобы решение
с каким-то определенным / сильно преобладало под всеми дру-
другими частными решениями.
При тех значениях епл где к отлично от нуля, легко найти част-
частное решение неоднородного уравнения, зависящее от такого же
аргумента, как и (8). Это есть
A0)
Оба решения, eTlf и e\h разумеется, относятся только к фазе
нарастания потенциала, где справедливо уравнение (8). Как ука-
указывалось, мы ищем такое решение, которое отвечает максим а ль-
но крутому нарастанию потенциала. Поскольку мы пользуемся
средними значениями потенциала на каждом промежутке, т. с.
пренебрегаем его пространственной зависимостью в этих преде-
пределах, целесообразно соответственным образом характеризовать и
его временное изменение в бегущем импульсе. Иными словами,
мы выберем такой момент времени, когда в некотором (я-f 2)-м
270

промежутке ея+2=ейу в <л+ 1)-м уже en+1=ei, т. е. достигнуто
пороговое значение потенциала для срабатывания перехватов, и
еп=ег, т. е. заряд достиг максимального значения. Ясно, что»
имея три числа: еСу е% и ег, задать более крутое изменение потен-
потенциала нельзя. Затем выберем в enf и e'ni некоторое среднее зна-
значение т., которое в дальнейшем сократится. Приравнивая теперь
е*. „-и, л+2 выбранным величинам eCt et и ег на промежутках с но-
номерами п, л-f 1 и п+2, получим уравнение
)
01)
Но К исключается тем же способом, как и в случае немиелнно-
вых волокон, потому что оно имеет тот же смысл. Именно,
#иС0К= g?^g' , где At — время прохождения одного отрезка,
Дт
деленное на R0C0, т. е. обратная величина указанной выше без-
безразмерной скорости. Отсюда находим
A2)
Окончательно получаем выражение для скорости
A3)
v
Здесь г —длина промежутка. Последний сомножитель был най-
найден Раштоном из соображений размерности [5]. Рассмотренный
в [1] пример хорошо согласуется по значению скорости с формул
лой A3). Получается скорость 22 м/сек при крутизне нарастания
импульса, отвечающей времени 0,2 м/сек. Это как раз два проме-
промежутка.
Таким образом, скорость распространения фронта импульса
в обоих случаях удовлетворительно описывается формулами, по-
получаемыми без привлечения конкретной модели мембраны.
В заключение считаем своим приятным долгом выразить при-
признательность Л. А. Блюменфельду и участникам семинара кафед-
кафедры биофизики физического факультета МГУ, принявшим участие
в обсуждении настоящей работы.
Литература
1. А. Ходжкин. Нервный импульс. М.. «Мир», 1963.
2. В. М. Ентов. Р. Л. Салганик, Г. И. Баренблатт. ППМ, 1965, 29, 977.
3. A. L Hodgkin, A. F. Huxley, J. Physiol., 1952, 6-17, 500.
4. A. L. Hodgkin. J. Physiol., 1954, 125, 221.
5. W. A. H. Rushton. J. Physiol., 1951, 115, 101.
6. Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий. Ж. физ. хим., 1938, 12, 100.
271

ВЫХОД НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА
НА СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ*
Как известно, электрическое сопротивление мембраны нервно-
нервного волокна имеет своеобразный характер. Если потенциал выше
порогового, ток идет не против градиента потенциала, а в направ-
направлении градиента. Иначе говоря, потенциал электролита растет
самопроизвольно за счет энергии, запасенной в биологической
среде, пока не достигает максимального значения. После этого
ток идет в обратном направлении и постепенно восстанавливает
состояние покоя в нерве.
Простейшая модель этого процесса отвечает чисто феноме-
феноменологическому описанию. Считается, что в надпороговой облас-
области ток сквозь мембрану имеет постоянное значение и прекраща-
прекращается по достижении максимального значения потенциала. Тогда
оказывается, что можно получить формулу для скорости распро-
распространения импульса без учета процессов, восстанавливающих по-
потенциал нерва, рассматривая только фазу нарастания потенциа-
потенциала. В случае гладкого волокна решение этой задачи достигается
вполне строгим методом и чисто аналитически. Волокно с пере-
перехватами Ранвье удается рассмотреть только в некоторых не
вполне очевидных предположениях о характере решения.
Представляет интерес проследить за выходом возбуждения
волокна на режим стационарного распространения: это позволя-
позволяет однозначно определить характер распределения потенциала
по волокну и скорость распространения импульса, когда она уже
установилась.
Такая задача не допускает аналитического решения даже для
принятой простейшей модели. Но, так как возможен переход к
безразмерным переменным, численное решение на ЭВМ позво-
позволяет сравнительно просто охватить различные случаи.
Режим возбуждения в безмиелиновом, т. е. гладком, волокне
может быть описан с помощью известного уравнения
dt RC At* X V '
Здесь e —заряд, R — сопротивление, С —емкость, i — ток сквозь
мембрану на единицу длины волокна. В простейшем предложе-
предложении [1] ток t отличен от нуля, если ег^е^е^ и соответственно по-
потенциал Vi^V^Vi, и в этом интервале имеет постоянное значе-
значение. Если пе учитывать влияния конечного омического сопротив-
сопротивления мембраны в подпороговом состоянии, задача приводится
к безразмерным переменным и содержит минимальное число па-
* «Биофизика», 1971, 16, вып. 4, 672.
272

раметров 1. Сделанное таким образом упрощение ничего не ме-
меняет в принципиальном отношении и лишь несколько сказывает-
сказывается на численных результатах.
Общая картина возникновения импульса при односторонне
приложенном возбуждении следующая. Считается, что прило-
приложенный потенциал VP превышает пороговое значение 1Л. Тогда
в точке приложения, на конце волокна, сразу возникает мем-
мембранный ток I, что приводит к нарастанию потенциала не только
за счет переноса заряда вдоль волокна, но и сквозь мембрану.
Через некоторый промежуток времени распределение потенциа-
потенциала описывается уже не падающей кривой от точки приложения,
а приобретает максимум где-то на конечном расстоянии от нее.
Затем этот максимум достигает значения Vz. После этого мем-
мембранный ток должен изменить направление, что, однако, не от-
отражено в уравнении (I), где положено i=const. Тем не менее за-
задача допускает решение и без учета этого обстоятельства.
Достаточно потребовать, чтобы при е=еа производная ~
дх
обращалась в нуль и при больших значениях х выполнялось
уравнение A). Тогда все, что находится левее линии, где е=еъ
не оказывает никакого влияния на область правее нее, и поло-
положение самой линии тоже определяется однозначно, если изве-
известна точка, где эта линия началась. Таким образом, описывается
весь процесс возбуждения от начала до выхода на стационарный
режим.
Пусть ер — плотность заряда в той точке, где потенциал равен
Vp(ep=CVp). Перейдем к следующим переменным:
*' = —. Bа)
x'=S±\"x, B6)
V ep I
rj= —. Bb)
Тогда уравнение A) примет вид
? = 0 + 1 пР„ i<4<-J. (За)
1 Омическое сопротивление мембраны в подпороговом состоянии может повес-
повести к тому, что и небольшой надпороговый импульс тоже затухнет. Мы, од-
однако, пренебрегли этим, чтобы достичь большей общности описания ъ обыч-
обычных условиях.
273

К этим уравнениям добавляются следующие начальные и гра-
граничные условия:
Л = 0, когда /' = 0, х' >0,
¦Л = 1, когда *' = 0, f>0,
пока
"!¦ И ЗЭ. —0
(А)
(Б)
после того, как достигнуто значение т|— -~-в той точке, где оно
в данный момент имеет место.
274

ft
Y/2J
# <т'
S x*
Рис.5
Рис. 6
Уравнения (За, б) решались численно на ЭВМ. По данным
вычислений построены кривые рис. 1—5 для случая, когда
es —?0—5(е,— е0), и различных значений возбуждающего потен-
потенциала, показанных на каждом рисунке отдельно2. Видно, что
вскоре после достижения максимального потенциала (или плот-
плотности заряда) кривые распределения заряда начинают переме-
перемещаться параллельно друг другу с постоянной скоростью, что и
отвечает выходу на стационарный режим распространения.
Так как единицы длины и времени содержат величину ер, ско-
скорость распространения должна быть пропорциональна корню
квадратному из ер. Результаты вычислений отвечают этому с
хорошей точностью. После перехода к обычным единицам ско-
скорость стационарного распространения согласуется со скоростью,
вычисленной по формуле, полученной в [1]: v=(ileliRCLt.
На рис. 6 изображены траектории точек, где е=е4 и е = ег в
плоскости х', ?. Видно, что линии, где e = eif почти сразу стано-
становятся прямолинейными.
Вычисления производились также для волокна с перехватами
Ранвье при тех же начальных и граничных условиях. В основу
было положено дифференциально-разностное уравнение, приня-
принятое в [1]:
д*п
при
при
Здесь еп — заряд, отнесенный к n-му перехвату, Яо, Со —сопро-
—сопротивление и емкость, приходящиеся на один участок между пере-
перехватами.
2 Кривые, описывающие распространение импульса в стационарном режиме,
изображены только правее точки, где е=еа. Левее ток через мембрану име-
имеет обратное направление, но существенно, что поставленная задача имеет ре-
решение без учета этого обстоятельства.
275

Скорость распространения импульса, выведенная в [II, имеет
вид
(i — длина перехвата). С численными расчетами должен срав-
сравниваться коэффициент, зависящий от е2, еа и еп. Отношение
(е2 — ехI(ех — ей) обозначим буквой ?. Тогда рассматриваемая
величина есть (? — 1J/?1п?. Ее можно рассматривать как без-
безразмерную скорость распространения, т. е. время прохождения
одного перехвата, измеренное в единицах {ROCU)-*. Имеем
| — по вычислениям
2. 0,73 1,43
3 1,19 1,70
5 1,97 2,08
Надо заметить, что формула для скорости в этом случае была
получена из некоторых допущений, а не путем строгого решения
уравнения E). Расчет показал ее неточность. Но одно допуще-
допущение, принятое при решении в [11, подтвердилось. И именно: ока-
оказалось, что переход от минимального потенциала к максималь-
максимальному происходит на наименьшем числе перехватов из возмож-
возможных, когда режим распространения стационарен, т. е. на одном
или двух перехватах. Это позволяет полагать, что само уравне-
уравнение E), написанное в дифференциально-разностном виде, отве-
отвечает действительному положению вещей, т. е. опытным данным.
Не требуется привлекать к рассмотрению ход потенциала на от-
отдельном перехвате.
*
В заключение приношу благодарность И. А. Корниенко за
постановку настоящей задачи. На ранних стадиях работы в ней
принимали участие О. Д. Ейса и Ю. Ткач.
ВЛИЯНИЕ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
МЕМБРАНЫ НЕРВНОГО ВОЛОКНА
НА НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ НЕРВНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ *
Прямыми измерениями Тасаки и других показано, что мем-
мембрана нервного волокна в подпороговом состоянии обладает
определенным сопротивлением омического типа, т. е. ток, прохо-
проходящий через мембрану, пропорционален разности потенциалов
* «Биофизика», 1971, 16, вып. 5, 890.
276

по обе ее стороны и направлен от большого потенциала к мень-
меньшему. При достижении порогового значения потенциала свойства
мембраны скачкообразно изменяются, ток направлен по разности
потенциалов и, кроме того, не связан с ней пропорциональной
зависимостью.
В работе [1] было принято простейшее предположение, что
ток в надпороговом режиме возбуждения сохраняет постоянное
значение, когда разность потенциалов между протоплазмой нерв-
нервного волокна и наружной средой больше некоторого минималь-
минимального значения Vt и меньше максимального значения V2. При до-
достижении этого значения потенциала ток скачкообразно изменя-
изменяет направление на обратное. Этого допущения было достаточно,
чтобы доказать существование вполне определенного режима
распространения импульса в волокне. Выражение для скорости
импульса могло быть выведено в основном и из чисто размерно -
стных соображений с точностью до коэффициента. Но соображе-
соображения, основанные на размерностях величин, могут применяться
только при допущении, что сопротивление мембраны в подпоро-
говом режиме бесконечно велико. Если учесть, что оно на самом
деле конечно, необходимо пользоваться общими методами тео-
теории режимов распространения. При этом выражение для скоро-
скорости распространения приобретает более сложный вид.
Конечность сопротивления мембраны сказывается еще силь-
сильнее на распределении потенциала в волокне в подпороговом ре-
режиме. В случае гладкого волокна это распределение описывает-
описывается известным решением задачи о распространении тепла вдоль
стержня при теплоотводе через боковую поверхность [2]. Более
сложная ситуация возникает в волокне с перехватами Ранвье
вследствие дискретного («сальтаторного») механизма распрост-
распространения; с этой задачи мы и начнем.
1. Подпороговое возбуждение миелинизированного нервного
волокна. Дифференциальное уравнение, описывающее возбужде-
возбуждение гладкого нервного волокна, переходит в дифференциально-
разностное уравнение для волокна с перехватами Ранвье. Пред-
Предложенное в работе [1] уравнение такого типа выведено в пред-
предположении, что в подпороговом режиме мембрана вообще не
проводит. Но, как следует из данных Тасаки [3, 4], омическое
сопротивление перехватов в поперечном направлении сравнимо
с сопротивлением участков между перехватами. Поэтому в под-
подпороговом режиме надо учитывать утечку заряда сквозь пере-
перехваты.
Выведем уравнение баланса заряда в подпороговом режиме.
Будем условно относить емкость миелинизированной части во-
волокна к ближайшему перехвату, считая, что заряд как бы цели-
целиком сосредоточен на перехвате. Фактически емкость, обязанная
миелиновой оболочке, сравнима с емкостью самого перехвата
или несколько больше нее [3, 41, но разностная схема по модели
сосредоточенных зарядов здесь оправданна.
277

Пусть Ro — продольное сопротивление участка между пере-
перехватами, г0 — сопротивление одного перехвата в подпороговом
состоянии, Со — совокупная емкость оболочки и мембраны, отне-
отнесенная к одному перехвату, еп — заряд, приходящийся на уча-
участок волокна, содержащий один перехват, Vn — потенциал на
соответствующем перехвате. Здесь п — номер перехвата. Очевид-
Очевидно, что en = C0Vn. Ток, проходящий от л + 1-го перехвата к п-му,
равен R<rl(Vn+i—Vn). Следовательно, скорость изменения заря-
заряда в л-м перехвате согласно уравнению баланса есть
-J-=4-(^«-^)-^-(^-^-l)-—• о)
Здесь последний член относится к утечке заряда сквозь мембра-
мембрану перехвата. Выражая потенциалы через заряды и переходя к
безразмерной записи времени в единицах R0C0y т. е. заменяя t на
RCt, получаем дифференциально-разностное уравнение
djf= (*« + «_, +2*)- ^ *. B)
at г0
Предположим, что к концевому перехвату в начальный мо-
момент приложен постоянный потенциал Vat та к" что там сохраняет-
сохраняется и постоянный заряд ео=1. Требуется определить en(tL считая,
что при ^0 еп@)=0, если п^\. Поставленная задача напоми-
напоминает задачу о продольном распространении тепла в стержне с
линейным законом теплоотдачи через боковую поверхность. Но
в данном случае координата изменяется дискретно, через еди-
единицу,
Уравнение B) решается следующим образом. Возьмем част-
йое решение вида
C)
для п^\. Переменная <р изменяется от 0 до 2л. Для C9(t) по-
получается дифференциальное уравнение
^ D)
где
2Х = ^1 ,
Го
так что
Cf@ = C,@)exp[-2(l+?.-cos<F)fl. E)
Функция С„@) определяется с помощью начального условия
еп @) = f Сф @) exp (in Ф) d<P = *„„, F)
о
лз которого следует, что С»@) должно быть линейной комбина-
278

цией функций ехр(гйф) с неотрицательным k при любом целом
положительном п. Таким образом, С,@) представляется суммой
вида
G)
Заряд eo(t) по условию сохраняет постоянное значение, рав-
равное 1. Умножая равенство для eu(t) на exp[2(l+X)fl, полу-
получаем
ехр [2 A + X) i\ J Сф @) ехр B -1- cos ф) dq> = J f] U ехр (tap) dq>. (8>
о о *=в
Воспользуемся теперь известным разложением
ехр B/ cos X) = 2
где It — функция Бесселя /-го порядка мнимого аргумента. В ле-
левой части равенства (8) будем считать и аргумент % чисто мни-
мнимым, и положим cosx—ch\%\ = l +X. Ввиду того, что hBt) —
=I-iBt)t перепишем равенство (9) в следующем виде:
Но ch[/arch(l+X)J есть не что иное, как полином Чебышева от
AМ
ch [/ arch (I + X)) = 1 ^1 + Х-|-
] |. A1)
Следовательно,
ехр [21 A -h X)] = /0 B0 + 22 ^ A + X) /, B0. A2)
i=i
с»
В правой части равенства (8) получается сумма 2я^ ЕЛB/)-
Так как вес /fB/) линейно независимы, получаем из сравнения
коэффициентов
^Ь). A3)
279

Отсюда находим выражение для Сф@):
СФ @) = -i- A + 2 2 ехр (^ф) Г, (I + %)\ =
2 ^ п l
e fl + +
2л ^ п l-uexp(i<p) и
где использовано обозначение ы, введенное равенством A1).
Подставим выражение |< в уравнение F) и заменим ехр(ар)
я а комплексную переменную z. Тогда интегрирование от 0 до 2 л
по <р перейдет в интеграл по контуру единичной окружности в
плоскости г. Но при этом равенство F) нарушится из-за того,
что полюс выражения г{——А (второе слагаемое в A4) спра-
справа) лежит внутри контура интегрирования. При интегрировании
необходимо исключить этот полюс и оставить только полюс при
г—0. Если /=0, этот полюс дает вычет только при м=0:
Теперь легко найти en(t):
е"@ = lbexp [~~ ° +ЯJ'! j A+2
Подставляя сюда разложение (9) и беря вычет только при z=0,
получаем
i ) A6)
С помощью рекуррентных соотношений
ТА+1 (х) + П-1W - 2хТк (х) {х = \
можно убедиться в том, что функция en(i) удовлетворяет основ-
основному уравнению B). Выполнение начального условия очевидно,
а граничное условие следует из формулы A2).
Посмотрим, как выражение для en(t) стремится к своему гра-
граничному значению при f->-oo. Для этого надо оставить en(t) за-
записанным в виде контурного интеграла. Он равен тождественно
интегралу, действительно вычисленному вдоль контура по <р (т. е.
найденному не с помощью теории вычетов), минус тот вычет,
280

который контурный интеграл по окружности имеет при z=l/«.
Соответствующий полюс был исключен при нахождении формулы
A6), а теперь удобнее сначала проинтегрировать вдоль самой
окружности, а затем отбросить вклад лишнего полюса.
Это последнее слагаемое, уже с обратным знаком, равно и~\
т. е. значению еа по достижении стационарности (см. [4]). При
больших t вклад в интеграл по ф дают только значения <р, близ-
близкие к 0, или, что то же самое, к 2я. Интегрирование можно рас-
пространить от ф=—оо до ф=оо. Разлагая дробные выражения,
входящие в A4), по ф и удерживая линейный член, получаем
J ехр(-
2 л
—00
, ехр Уф)
1— и ехр (/ф) и — ехр (гф) J
ш
ill °°
ип ехр ("• 'Ь
Таким образом, при ХфО, un(t) стремится к предельному значе-
значению экспоненциально.
Если К*= 0, решение A6) приобретает более простую форму:
* @ = \ln B0 + 2 2 /ft+* BАI ехр (-20. A8)
Это можно преобразовать к конечной сумме бесселсвых функ-
функций, но форма A8) нагляднее. Чтобы дать представление о за-
зависимости этой суммы от п и t, приводится таблица. При /=0,3;
1; 4; 10 строкой ниже приведены также значения функции
1—Ф(п/2У0| г^е Ф —интеграл ошибок, что позволяет сравнить
зависимость искомой величины от п при дискретном и непрерыв-
непрерывном изменении. 1 — Ф(п/2У0 — асимптотический вид A8) при
/-VOO.
С помощью формулы A6) получается и решение более общей
задачи, когда в момент времени f=0 на нулевом перехвате воз-
возбуждение включается и затем равняется заданной функции f{i),
а па всех остальных перехватах оно 0 при *=0. Если сохранить
обозначение en(t) для случая A6), то в общем случае
A9).
281

282

2. Распространение импульса в гладком нервном волокне. За-
Запишем уравнение распространения заряда по нервному волокну
в той его части, где состояние подпороговое:
$L = >-LJ?L i. B0)
dt RC дх* гС '
Оно аналогично A) и B). Здесь е — заряд, /? — сопротивление
протоплазмы, С —емкость, г —сопротивление мембраны, отне-
отнесенные к единице длины. При этом e<et. Соответствующее урав-
уравнение для надпорогового режима есть
dJ-=±*L^i B1)
dt RC дх* ' U И '
Оно относится к участку, где в данный момент е^е^е*. В нем
i — ток сквозь мембрану, отнесенный к единице длины. По пред-
предположению, I на этом участке не изменяется. Считается, что ког-
когда е=е2, потенциал, и соответственно заряд е принимают мак-
максимальное значение. Это позволяет простым образом найти ско-
скорость стационарного распространения импульса.
Для сокращения записи введем следующие переменные t'=it,
x'=yiRCxt a—(frC)-1, в которых уравнения B0) и B1) выгля-
выглядят так:
?-?-¦'• <22>
?-? + !- B3)
Выбираем зависимость е от координат и времени, отвечающую
стационарному режиму распространения
e = e(x'—v'f). B4)
Для_перехода к обычным единицам скорость надо умножить на
I
Подставляя выражение B4) в уравнение B2), находим
— v''e = e— ae. B5)
Решение выбираем в виде
е - ех ехр [ + X (x'tf—1% B6)
где
*=-Т+Т/Т+"- B7)
Так как импульс, по предположению, бежит в сторону возра-
возрастающих хл надо было выбрать решение, обращающееся в нуль
283

при х=оо. Потенциал и заряд отсчитываются от своего значе-
значения в состоянии покоя.
Уравнение B3) при подстановке выражения B4) приобретает
форму
B8)
Полагая в=р и переходя к независимой переменной е, перепи-
переписываем B8) так:
-о'р-Р*+1. B9)
ае
Разделяем в нем переменные и интегрируем по е от е^ до ег.
Значение производной р исключается из следующих условий:
при e~ez обращается в нуль производная р(е2)=0, при е=еА
производная непрерывна, т. е. согласно формуле B6)
— Щ. C0)
Поэтому для скорости v' получается следующее уравнение:
4- In (I — Ха'^Г1 -^i =• v'et—v'ev C1)
V
Чтобы перейти к скорости распространения в обычных единицах,
введем следующие обозначения:
C2а)
C26)
8> C2в)
C2г)
Легко показать, что величина р, или квадрат скорости v2, выра-
выражается через и следующим образом:
?*= &RCM. C3)
Подставляя это в C1), получаем уравнение для и:
1Пт1_. C4)
Величины, входящие в это уравнение, как видно из их опреде-
определений C2а—г) t не зависят от диаметра волокна. Следовательно,
яе зависит от диаметра и величина и. Отсюда видно, что ско-
284

рость v пропорциональна корню квадратному из диаметра, как
это получается без учета конечности сопротивления мембраны.
Но теперь это уже не может быть выведено из простых сообра-
соображений о размерности величин.
Сравним теперь результаты с данными опыта, которые при-
приводятся в книгах [3] и [5]. Наименее точно может быть определе-
определена величина Д/, т. е. длительность фазы нарастания импульса.
Пользуясь кривой, относящейся к аксону кальмара [3, с. 18],
А*=0,7-10-3 сек или, во всяком случае, близка к этому. Далее,
согласно [5, с. 98], можно принять е=2. Значение а для аксона
кальмара [5, с. 61] следует принять равным 1, так как сопротив-
сопротивление мембраны Rm на единицу площади равно 700 ом<см, а ем-
емкость Ст — 1 мкф/см. Таким образом, уравнение для и имеет вид
Путем простого подбора легко убедиться, что к=0,85. Тогда со-
хласно C3) р = 1,07. Диаметр аксона равен d—0,05 см, а со-
сопротивление в продольном направлении /?»=30 ом-см. Следова-
Следовательно,
"Г'^28 м/сек, C5)
что не слишком сильно отличается от экспериментального зна-
значения v=25 м/сек для того же объекта [3, с. 13]. Различие можно
приписать известному произволу в выборе Д* и отчасти е.
Без учета конечности сопротивления мембраны, т. е. при с=0,
получилась бы скорость 36 м1сек% что согласуется с опытом го-
гораздо хуже.
Приношу благодарность И. А. Корниенко за ряд ценных ука-
указаний.
Л итература
1. А. С. Компанеец, В. Ц. Гурович. Биофизика, 1966, И, вып. 5, 913; см. наст.
изд., стр. 267.
2. X. С. Карслоу. Теория теплопроводности, М.—Л., Гостехиздат. 1947.
3. А. Ходжкин. Нервный импульс. М, «Мир>, 1965.
4. Й. Тасаки. Проведение нервного импульса. М., ИЛ, 1957.
5. Б. Катц. Нерв, мышца и синапс. М„ «Мир», 1968.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Раздел I
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА И МЕХАНИКА . 5
О поглощении света плазмой 5
Об устойчивости плазмы в пространстве (к теории шаровидной
молнии) ... 13
Об установлении теплового равновесия между квантами и элект-
электронами ' 23
Влияние объемного заряда на автоэлектронную эмиссию ... 37
К теории распространения тепла при теплопроводности, завися-
зависящей от температуры. (Совместно с Я. В. Зельдовичем) ... 40
Об охлаждении воздуха излучением. 1. (Совместно с Я. Б. Зель-
Зельдовичем и Ю. П. Райэером) 52
Об охлаждении воздуха излучением. II. (Совместно с Я. Б. Зель-
Зельдовичем и Ю, П. Райэером) 64
Радиоизлучение атомного взрыва. I 7Ь
Радиоизлучение атомного взрыва, II 83
Нагревание газа излучением. (Совместно с Е. Я. Ланцбургом) . 91
Распространение неравновесной тепловой волны при учете конеч-
конечности скорости света. (Совместно с Е. Я. Ланцбургом) . . . 98
Автомодельная задача о развитии ударной волны из волны сжатия 106>
Ударные волны в пластической уплотняющейся среде . . . . 111
Точечный взрыв в неоднородной атмосфере 115*
Превращение ударного сжатия в изэяЧропнческое. (Совместно с
В. И. Романовой и П. А. Ямпольским) US
Диффузия из мгновенного источника в ноле тяжести . . . . 121
Цепные реакции при учете диффузии двух активных центров.
(Совместно с В. В. Воеводским) 124
Раздел II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ . . 133
Индуцированный р-распад при центральном столкновении элект-
электрона с тяжелой частицей 133-
Индуцированный р-распад тяжелой -частицы с одновременным
испусканием кванта 141
О новой формулировке электродинамики Дираком 14?
286

Регуляризация классических уравнений электродинамики . . . 150
Классическая модель заряженной частицы с моментом , . . 153
Квантовая электродинамика с двумя фермионами. I , . . . 157
Квантовая электродинамика с дл>мя фермионами. II, (Совместно
? Л. А. Кружковой-Зайцевой) 166
Сильные гравитационные волны в пустоте 169
Распространение сильной электромагнитно-гравитационной полны
в вакууме *'2
Решение уравнении гравитации в однородной анизотропной моде-
ли. (Совместно с А. С. Черновым) *{*
Раздел III
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА *85
О нахождении колебательных обертонов многоатомных молек)л. 185
Многократное рассеяние быстрых электронов и а-частиц в тяже-
тяжелых элементах 188
Многократное рассеяние тонких пучков быстрых электронов . . 200
Многократное рассеяние быстрых электронов в тяжелом веществе 204
Кратное рассеяние в кулопояском ноле в весьма тонких слоях ве-
вещества 215
Применение метода самосогласованного ноля к ядру .... 220
Метод самосогласованного поля для тензорных сил .... 225
Уравнения самосогласованного поля для ядра с учетом электро-
электростатических сил 234
Уравнения самосогласованного поля в атоме. {Совместно с
Е. С. Павловским) 241
О свяли в ядерной молекуле С"—Си 257
Поле световой волны, действующей на электрон, в методе само-
самосогласованного поля 260
Резонансные явлении в фотоэффекте 263
Раздел IV
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРА-
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ПО НЕРВНОМУ ВОЛОКНУ 267
Распространение км пульса по нервному волокну. {Совместно с
В. Ц. Гуровичем) 267
Выход нервною импульса на сг^ ^онарный режим распростране-
распространения . * . . 272
Влияние омического сопротивлении мембраны нервного волокна
на некоторые эффекты нервного возбуждения 276