УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ. РОБАСТНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ.
МЕТОД ТАГУТИ
total
quality
managment
QUALITY CONTROL, ROBUST DESIGN AND THE TAGUCHI METHOD
Edited by Khosrow Dehnad
AT&T Bell Laboratories
Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software Pacific Grove, California
УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ.
РОБАСТНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ.
МЕТОД ТАГУТИ
Перевод с английского и научное редактирование доктора технических наук, профессора А.М. Талалая
Москва
ООО «СЕЙФИ» 2002
I.I.K I /
У(?7
Ав торы: Леон Р., Шумейкер А., Какар Р., Кац Л., Фадке М., Tai ути Г., Спини Д., Грико М., Лин К., НазаретУ., Клингер У., Нэйр В., Дехнад К., Прегибон Д.
Управление качеством. Робастное проектирование. Метод Тагути. Пер с англ. — М.: «СЕЙФИ» 2002. — 384 с.
ISBN 5-94688- 033-0
Коллективная монография специалистов из США и Японии посвящена обеспечению качества промышленной продукции методами робастного проектирования. В ней изложен новый подход к обеспечению качества, сущность которого состоит в создании робастных (т.е. устойчивых к мешающим воздействиям) систем путем минимизации вариаций показателей качества по объективному критерию робастности под названием «отношение сигнал/шум».
Дается аналитический аппарат статистически планируемых экспериментов. Подробно описаны примеры реализации, связанные с созданием робастных технологических систем в электронном производстве. Книга является первой подборкой основополагающих работ Тагути и его последователей.
Для проектировщиков, технологов, специалистов по качеству и планированию экспериментов, технических руководителей, а также аспирантов и студентов.
ISBN 5 94688- 033-0 (русск.)
ISBN 5-534-09048-6 (англ.)
© 1989 by AT&T
© Талалай А.М., перевод. 2002
© ООО «Сейфи», оформление. 2002
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Роль качества продукции на мировом рынке быстро возрастает. Наше стремление вписаться в этот рынок делает и нас участниками «гонки за качеством». Поэтому все новации в области обеспечения качества не могут теперь оставлять нас равнодушными. Тем более такие новации, как методы профессора Генити Тагути, произведшие в начале 1980-х годов эффект разорвавшейся бомбы. Настоящая книга как раз и возникла в связи с визитом в США в 1980 г. проф. Тагути. Он посетил тогда фирмы «Эй Ти энд Ти», «Форд» и ряд других организаций. Вместе с сотрудниками « Эй Ти энд Ти» Тагути провел ряд исследований, показавших высокую эффективность методов, которые называются теперь методами Тагути. Результаты этих исследований составили основу данной книги.
После визита Тагути события в США начали развиваться стремительно. В 1981 г. фирма «Форд» организовала курсы по обучению своих многочисленных поставщиков и сотрудников передовым методам контроля качества в рамках концепции Деминга с учетом достижений японских исследователей. Фирма получила столь большое число заявок на обучение со всех концов страны, что уже в 1983 г. было решено организовать самостоятельную бесприбыльную корпорацию — Американский институт по обеспечению качества и Центр пропаганды методов Тагути. В задачи этой корпорации входят постоянное обучение американских специалистов прогрессивным методам обеспечения качества, организация консультаций для фирм, желающих внедрить у себя эти методы, проведение ежегодных конференций с вручением премий Тагути.
5
Предисловие к русскому изданию
Конечно, Америка всегда неявно училась у всего мира. Проводником такого обучения выступала эмиграция. Однако теперь было явно показано, что Америка должна учиться современным методам обеспечения качества у Японии. Быть может, это произошло впервые. Явный успех Американского института по обеспечению качества привел к появлению в США целой сети коммерческих и некоммерческих учебных и консультационных центров, занимающихся целиком или частично методами Тагути. Один из них — Центр в Роче-стерском технологическом институте, возглавляемый проф. Роми.
Как и следовало ожидать, дальше этот процесс перекинулся в Канаду, где, например, был организован Институт повышения качества и продуктивности при Университете Ватерлоо, Онтарио, возглавляемыйпроф. Бовасом Абрахамом, ив Европу. В Лондонском университете деятельность в области методов Тагути возглавляет проф. Г. Уинн. Появились подобные организации в Германии, Болгарии (проф. И. Вучков) и ряде других стран.
Параллельно с проникновением в западный мир шло внедрение методов Тагути и на востоке. Характерный пример — интенсивные работы в Северной Корее, где при Государственном центре по вычислительной технике и программированию ведутся работы по пропаганде и внедрению методов Тагути, охватившие уже более 800 предприятий самых разных отраслей промышленности.
Можно констатировать, что мы имеем дело с явлением, имеющим глобальный масштаб и оказывающим заметное воздействие на ход эволюции нашего мира. Поэтому дадим краткое описание существа подхода Тагути и его элементов.
Концепция Тагути включает целый ряд ключевых моментов, среди которых отметим принцип робастного проектирования и функцию потерь качества. Начнем с робастности. Цикл жизни любого товарного продукта Тагути предлагает разделить на две неравные части. Первая — разработка и внедрение изделия, все то, что предшествует товарному производству. Вторая — собственно производство и эксплуатация. Проблемами качества надо начинать заниматься на первом
6
Предисловие к русскому изданию
этапе и чем раньше, тем лучше. Тогда появляется возможность не ужесточать контроль и не использовать очень совершенное, а значит и очень дорогое оборудование, а построить процесс проектирования и производства продукции так, чтобы ее характеристики были в наименьшей степени подвержены разбросу из-за несовершенств самого производственного процесса, изменчивости условий окружающей среды, неоднородности сырья и других помех, неизбежных при производстве и эксплуатации продукции. Вот характерный пример из книги. Одна японская фирма производила керамические плитки. Геометри-ческие размеры плиток сильно варьировали из-за неравномерности температурного поля печи обжига. Конечно, печь можно было усовершенствовать или просто купить более дорогую. Однако оказалось, что незначительного изменения состава плитки достаточно, чтобы уменьшить разброс размеров в 10 раз.
Такой подход очень привлекателен, особенно для нас сейчас, поскольку он оставляет надежду на существенное усовершенствование производства, без сколько-нибудь существенных капиталовложений, на имеющемся оборудовании.
Технологической основой робастного проектирования служит планирование эксперимента. Это широко известная концепция, современный вариант которой возник в 1920-е годы в Великобритании и связан прежде всего с именем Р. Фишера. Она была развита в работах многих исследователей в разных странах, прежде всего Дж. Боксом, Дж. Кифером, В.В. Налимовым и др. [1]. Десятки тысяч публикаций в области планирования эксперимента помешали вовремя заметить, что его распространение и эффективность в Японии гораздо выше, чем в США, а тем более у нас. Тем не менее, это так. Японская система широкомасштабного обучения специалистов оказалась более эффективной. Так, только на курсах, организованных компанией «Ниппон Денсо», и на курсах Японского союза ученых и инженеров ежегодно обучаются десятки тысяч инженеров. Есть основание считать, что львиную долю заслуг в повышении качества и производительности в Японии за последние три десятилетия надо приписать широкому использованию статистически планируемых экспериментов.
7
Предисловие к русскому изданию
Особенности подхода Тагути к планированию экспериментов заключаются в ограничении только ортогональными планами, по возможности без эффектов взаимодействия. Кроме того, он предпочитает насыщенные или близкие к насыщенным планы, а при обработке результатов эксперимента предпочтение отдается графическим методам или в крайнем случае дисперсионному, а не регрессионному анализу. Все эти предпочтения обусловливают весьма немногочисленный класс планов и процедур их анализа, что весьма упрощает проблемы выбора для экспериментатора. Вместе с тем отвергается огромный потенциал наработок математической теории эксперимента [2,3].
Любопытное соотношение сложилось между ЭВОП Бокса [4], где, кстати, тоже используется ортогональность планов, и подходом Тагути. Если ЭВОП — это непрерывная адаптация процесса к непрерывно «ускользающему» оптимуму, то подход Тагути — это создание такого режима, который в наименьшей степени нуждается в адаптации, который создает наиболее устойчивую ситуацию, позволяющую спокойно смотреть на бурные протуберанцы внешних условий (в известных пределах, конечно).
При классическом планировании эксперимента обычно предполагается, что ошибка воспроизводимости опыта, характеризуемая дисперсией в параллельных опытах, одинакова при различных комбинациях уровней факторов. В жизни такое условие выполняется достаточно редко. Для исключения этого неудобства привлекаются различные преобразования, стабилизирующие дисперсию. Если же в данном случае вводить веса наблюдений, то основное свойство таких планов эксперимента — ортогональность — при обработке результатов не приводит к раздельной оценке влияния факторов. Предложено несколько способов преодоления возникающих трудностей [5, 6]. Таким образом, традиционно неоднородность дисперсий выступает как мешающий параметр, затрудняющий оценку основного отклика. Тагути отказался от этого догмата и начал рассматривать дисперсию просто как второй отклик. Тогда открывается возможность отыскания такой комбинации уровней факторов, которая минимизировала бы дисперсию.
8
Предисловие к русскому изданию
С введением двух откликов немедленно всплывает хорошо известная проблема «Тришкина кафтана». И здесь Тагути предлагает удивительно простой и весьма интересный способ. Он предлагает разделить факторы на группы так, чтобы в одной из них оказались факторы, ответственные за основной отклик («номинал»), а в другой — ответственные за разброс. Для выявления этих групп Тагути вводит новый обобщенный отклик, который он называет «отношение сигнал/ шум». Это отношение — близкий родственник хорошо известного коэффициента вариации. Следовательно, исходная задача разбивается на две независимые оптимизационные процедуры: одну для номинала, а вторую для разброса. А поскольку они осуществляются в разных пространствах, результаты их просто «склеиваются», что и дает искомый устойчивый, или робастный, режим.
Полезно иметь в виду, что аналогичным образом предлагается разрабатывать и само изделие, и оборудование, на котором оно будет производиться, и технологию производства. Таким образом достигается широкое методологическое единство. Впрочем, мы еще увидим, что это единство идет гораздо дальше.
Другая важная особенность подхода Тагути — систематическое использование так называемой функции потерь качества, учитывающей потери потребителя (а значит, и общества в целом), связанные с качеством изделий.
В классическом подходе, восходящем еще к Тейлору, считается, что все изделия, попавшие внутрь поля допуска, равноценны, тогда как функция потерь Тагути различает изделия внутри допуска в зависимости от их близости к номиналу. Это создает возможность гораздо более тонкого оценивания и регулирования производственного процесса [7]. Конечно, функции цены, затрат или эффективности — дело не новое. Можно вспомнить, например, давние работы Д.В. Свечарника [8] и их развитие [9]. Однако Тагути удалось объединить много разнородных идей в единую концепцию, обладающую не только эстетическими достоинствами, но и способную приносить большую практическую пользу. Таким образом, отдельные элементы, составляющие методологию
9
Предисловие к русскому изданию
Тагути, были известны ранее. Однако ее достоинством является объединение этих разрозненных элементов в некую концепцию, связанную с совершенствованием качества. Смещение акцентов в методах планирования эксперимента, учет при этом функции потерь и т.д. делают эту концепцию привлекательной для практики и, что самое главное, приносят реальную экономию затрат на повышение качества.
Если говорить об идейном содержании данной книги, то перечисленные моменты в общем его исчерпывают. Но методы Тагути гораздо шире. В этой связи упомянем кратко еще ряд вопросов.
Прежде всего может оказаться, что робастный режим не обеспечивает требуемую эффективность производства. Значит без дополнительных затрат все-таки не обойтись. Но можно ли их минимизировать? Оказывается можно. Для улучшения процесса надо сузить допуск на показатель качества. А для этого надо сузить допуски на некоторые факторы. Чтобы выбрать наиболее подходящие факторы, можно спланировать эксперимент по Тагути уже не для самих значений факторов, а для точностей их поддержания. Тогда выявятся те из них, сужение допусков на которые будет самым эффективным в смысле функции потерь. Именно в ужесточение уровней этих факторов и надо вкладывать дополнительные средства.
Следовательно, вся процедура получается двухэтапной. Сначала планируются параметры при заданных допусках, а затем, если результат не достигнут, уточняются сами допуски. Причем процедура остается все время одной и той же.
Но и этого мало. Дело в том, что близкий подход удается применить и к таким объектам, динамикой которых нельзя пренебречь [ 10]. А это делает методы Тагути универсальными.
Анализ допусков и особенно изучение динамики объектов часто не позволяют исследователю непосредственно экспериментировать с объектом. Тогда на помощь приходит так называемый машинный имитационный эксперимент [ 11 ], т.е. эксперимент на объекте заменяется экспериментом на математической модели этого объекта. Во многих случаях, на
10
Предисловие к русскому изданию
пример в космических исследованиях, имитационное моделирование — единственная возможность получения практически важных результатов на этапе разработки изделий.
Универсальность подхода Тагути подчеркивается еще и тем обстоятельством, что при переходе от разработки продукции к ее промышленному производству Тагути вводит новые индексы воспроизводимости процессов и новые способы вычисления дисперсий и квадратичных ошибок, создающие новые возможности [ 12]. Наконец, методы Тагути связаны и с изучением рынка. Между прочим, недавно (1992 г.) начал выходить журнал «Курс на качество», первый выпуск которого посвящен в значительной степени анализу рынка, а второй — индексам воспроизводимости.
Методам Тагути в нашей стране пока не очень везет. Первая публикация, насколько мы знаем, была в 1971 г. [13]. Видимо, она осталась незамеченной. В 1974 г. был написан обзор [14], однако тогда он не был опубликован и только теперь выходит в свет. Затем, в 1987 и 1988 гг., вышли обзоры [15— 17], после чего только и начались попытки практического использования (некоторые из результатов приведены в работах [18—21]).
Обозначим теперь потенциального читателя книги. Данная книга, на наш взгляд, предназначена для следующих категорий читателей. Во-первых, это инженеры, занимающиеся вопросами проектирования изделий и технологических процессов; во-вторых, это специалисты служб обеспечения качества на предприятиях; в-третьих, это специалисты, профессионально занимающиеся развитием теории и методологии прикладной статистики и статистического контроля качества. И, наконец, она весьма полезна для практиков двух категорий: 1) тех, которые хотели бы получить общее представление о методе Тагути и о том, что он дает (см. ч. 1); 2) тех, которые на конкретных примерах хотели бы разобраться в методологии Тагути и увидеть практические результаты ее применения (см. ч. 2).
Закончим наше предисловие кратким изложением содержания книги. Она состоит из трех частей. В ч. 1 представлена общая концепция методов Тагути для робастного проек
11
Предисловие к русскому изданию
тирования. Это — вопросы обеспечения качества на стадии проектирования, потери потребителя из-за разброса выходных характеристик, параметрически планируемые эксперименты, снижение затрат на производство и эксплуатацию продукции при сохранении высокого качества.
В ч. 2 приводятся практические примеры использования методов Тагути. Обсуждаются робастное проектирование процесса формирования контактных окон в полупроводниковых схемах, процесса пайки волной, процесса эпитаксиального выращивания, процесса резки печатных плат, максимизации быстродействия операционной системы, оптимизация схемы операционного усилителя, системы рулевого управления грузовика, электрического кабеля и т.д.
В ч. 3 рассмотрены методические вопросы робастного проектирования, анализ отношения сигнал/шум, используемого Тагути, анализ данных, представленных в виде упорядоченных категорий (например, детали годные и бракованные), геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум и т.д.
Нам представляется, что появление русского перевода этой книги сейчас весьма своевременно в связи с переходом промышленности и всей экономики на рыночные отношения. В таких условиях борьба за качество должна стать естественным и непрерывным процессом, а не кампанией вроде «пятилетки качества».
А. Талалай, Ю. Адлер
Литература
1.	Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. — М.: Наука, 1976.
2.	Налимов В.В., Голикова Т.Н. Логические основания планирования эксперимента. — М.: Металлургия, 1981.
3.	Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1971.
4.	Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов. Модели статики. — М.: Металлургия, 1974.
5.	Адлер Ю.П., Талалай А.М. Об идентификации объекта при оптимальном управлении с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, № 5, 1973.
12
Предисловие к русскому изданию
6.	Талалай А.М. Экстремальные эксперименты при неравноточ-ности и неравномерном дублировании опытов // Заводская лаборатория, № 5, 1989.
7.	Лапидус В.А. Гибкие методы статистического контроля качества и надежности продукции. — М.: Знание, 1983 (ч. 1), 1985 (ч. 2).
8.	Горелова Г.В., Здор В.В., Свечарник Д.В. Метод оптимума номинала и его применение. — М.: Энергия, 1970.
9.	Талалай А.М. Методы определения центра настройки в АСУТП и смежных областях // Измерения. Контроль. Автоматизация, № 4, 1984.
10.	Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов. Модели динамики. — М.: Металлургия, 1978.
11.	Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. — Вып. 1, 2/Пер. с англ. — М.: Статистика, 1978.
12.	Adler Yu., Shper V. Some remarks on capability indices. — Proceedings, 9th Internet. Conf. Of the ISQA, 1992, p. 921—926.
13.	ИшиямаТ. Анализ работы вязальной машины «Тойота». — В сб.: Статистические методы управления качеством. — М.: Изд. Стандартов, 1971.
14.	Адлер Ю.П., Горский В.Г. Планирование промышленного эксперимента для обеспечения качества продукции // Курс на качество, № 3, 1992.
15.	Адлер Ю.П. Статистический контроль — условие совершенствования качества продукции (о методах Г. Тагути и их применении) // Автомобильная промышленность США, № 11, 1987.
16.	Адлер Ю.П. Новое направление в статистическом контроле качества — методы Тагути. — М.: Знание, 1988.
17.	Адлер Ю.П. Практика применения методов Тагути в индустриально развитых странах // Стандарты и качество, № 9, 1990.
18.	Минков Д.П., Стоянов Ст.Г., Ганев С.Хр., Иосифов Й.Й., Адлер Ю.П. Исследование динамики посевных агрегатов с использованием метода Тагути // Надежность и контроль качества. Сер. Статистические методы, № 10, 1992.
19.	Адлер Ю.П., Шинкаренко Л.М., Тимичева С.С., МясцоваТ.М., Коростелева Н.Г. Опыт использования методологии Тагути при оптимизации технологического процесса изготовления резисторов // Надежность и контроль качества. Сер. Статистические методы, № 12, 1992.
20.	Адлер Ю.П., Ролев С.С. Приложение методов Тагути к проблеме управления качеством в процессе проектирования установ
13
Предисловие к русскому изданию
ки для охлаждения молока // Надежность и контроль качества. Сер. Статистические методы, № 12, 1992.
21.	Яикон Л.В., Адлер Ю.П., Больберг А. А., Почиталкина И. А. Анализ качества очис тки реакционных газон в производстве аммонийной селитры //11адежностъ и контроль качества. Сер. Статистические методы, № 2, 1993.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1980 г. я был направлен университетом Аояма-гакун в США с целью помочь американской промышленности повысить качество ее изделий. Это был наш посильный ответ на ту помощь, которую США оказали Японии после Второй мировой войны. Летом 1980 г. я прибыл в Центр обеспечения качества фирмы AT&T Bell Laboratories, где велась разработка современных методов контроля качества. Результатом начального периода моей работы на этой фирме стал эксперимент с ортогональным матричным планированием в пространстве 18 параметров (ОА18) для процесса производства больших интегральных схем. Была поставлена задача оптимизации такого численного показателя качества, как отношение сигнал/шум. С тех пор данный экспериментальный подход получил название «робастное проектирование» и привлек внимание как инженеров, так и специалистов по статистике.
Мои коллеги из фирмы AT&T Bell Laboratories написали несколько пояснительных статей и ряд теоретических работ по робастному проектированию с точки зрения статистики. Поскольку было много обращений с просьбами о высылке оттисков этих статей, было принято решение опубликовать их вместе, в одной коллективной монографии, которую и представляет собой предлагаемая читателю книга.
Хотя специалисты по качеству заимствуют ряд технических терминов из традиционного планирования эксперимента, цели и задачи такой технической дисциплины, как обеспечение качества, отличаются от целей и задач статистики. Например, допустим, что есть два поставщика продукции. Один выпускает изделия, качественный показатель которых
15
Предисловие
имеет нормальное распределение с заданным средним значением и некоторым среднеквадратичным отклонением. У второго поставщика распределение этого показателя равномерное с такими же средним значением и среднеквадратичным отклонением. С точки зрения статистики эти распределения различны, однако в отношении качества оба изделия одинаковы. Причина в том, что в технике качества уровни качества измеряются посредством определения среднеквадратичного отклонения показателя от номинального (идеального) значения и его сопоставления с величиной отношения сигнал/шум.
Философия техники качества, предусматривающая применение экспериментов с ортогональными матрицами планирования, существенно отличается от традиционных статистических методов планирования эксперимента. В технике качества ортогональные матрицы используются для оценки новых разработок с целью их внедрения в производство. Здесь оцениваются только главные эффекты. Когда с помощью ортогональных матриц выполняется оценка только главных эффектов, эти эффекты могут быть смешаны с многими взаимодействиями. Когда таких взаимодействий и, следовательно, такого смешивания эффектов нет, применение других факторных методов планирования оказывается неэффективным. И наоборот, при существовании большого числа сильных взаимодействий такое планирование почти или совсем не дает результатов, поскольку оптимальные значения задаваемых параметров в реальной производственной ситуации оказываются иными.
Следует принять допущение, что задаваемые параметры взаимодействуют с различными реальными условиями: лабораторными, опытного производства, массового производства и эксплуатации. Наиболее эффективный способ выполнения экспериментов по выявлению степени этого взаимодействия — их проведение в лабораторных условиях с последующим заданием полученных оптимальных значений для условий массового производства. Чтобы определить наличие сильных взаимодействий между параметрами изделия или процесса, следует сравнить прогнозируемый выходной
16
Предисловие
результат с результатами этих экспериментов. Если такие взаимодействия действительно существуют и прогнозируемое значение отличается от реального результата, то появляется возможность предотвратить внедрение неудачных проектов в производство. Когда же прогноз и результаты экспериментов совпадают, есть уверенность, что настройка параметров выполнена оптимально и в дальнейшем может потребоваться только небольшая их подгонка. Таким образом, эксперименты с ортогональными планами могут выявить неудачные проекты, также как и методы контроля.
Хотя статистика — не единственная теория, лежащая в основе техники качества, я всегда положительно отношусь к любой подходящей статистической теории, помогающей измерять и улучшать показатели качества. Уверен, что изложенный в книге материал позволит начать процесс совершенствования методов и математических основ техники качества, в том числе и ее статистической теории. Вполне возможно, что читатели книги в будущем сыграют важную роль в развитии этого процесса.
Г. Тагути
Токио, Япония
25 декабря 1986 г.
ВВЕДЕНИЕ
Десять лет назад д-ра Тагути в США никто не знал. Сегодня его часто упоминают наряду с такими признанными лидерами в области качества, как Э. Деминг, Дж. Джу-ран и К. Исикава. Столт, существенное изменение — свидетельство успеха разработанного им подхода к технике качества. Соединив статистические методы с глубоким пониманием инженерных задач, д-р Тагути создал мощный инструмент для улучшения качества. В центре его подхода стоит метод снижения влияния факторов, называемых помехами, которые ухудшают качественные показатели изделия или процесса. В этом его радикальное отличие от традиционной техники качества, которая предусматривает идентификацию существенных источников помех и проведение измерений, зачастую дорогостоящих, с целью их контроля. «Параметрическое проектирование» Тагути обеспечивает нечувствительность к шуму путем правильного выбора определенных параметров, называемых управляемыми факторами. Поскольку задавать эти параметры обычно достаточно легко, «высокое качество достигается при минимальных затратах» . Эти уточненные значения параметров определяются с помощью статистических методов планирования эксперимента, позволяющих специалисту исследовать большое число факторов с помощью относительно небольшого числа экспериментов. На фирме AT&T Bell Laboratories совокупность этих методов называется робастным проектированием.
Отдел теории и технологии качества фирмы работает с д-ром Тагути над робастным проектированием с 1980 г. Специалисты фирмы исследовали и применили эту методологию к многим прикладным задачам. Количество запросов на реп
18
Введение
ринты опубликованных статей непрерывно росло, как росла и популярность методов Тагути. Кроме того, стало довольно сложно следить за развитием этих методов, поскольку статьи публиковались в разных изданиях. Настоящая книга снимает эти проблемы, так как в ней все ключевые разработки собраны воедино.
Первое испытание метода параметрического проектирования на AT&T Bell Laboratories состоялось летом 1980 г. В начале года д-р Тагути предложил посетить фирму и обсудить свои идеи, относящиеся как к технике качества, так и к планированию эксперимента. Он приехал в Центр обеспечения качества фирмы, где пробыл с августа по октябрь 1980 г.
Некоторые идеи и подходы, предложенные д-ром Тагути, были принципиально новыми и временами даже противоречивыми и трудными для восприятия; эти трудности, без сомнения, усугублялись языковым барьером. Тагути определил качество как «финансовые убытки для общества с того момента, как изделие отгружено потребителю». Это определение явно противоречило общепринятому представлению, согласно которому качество обычно ассоциируется с чем-то хорошим и желательным. Д-р Тагути также отстаивал свою идею создания систем, нечувствительных к факторам (помехам), ухудшающим их качественные показатели. Эта идея шла вразрез с принятой практикой выявления и устранения конкретных причин низкого качества изделий. С помощью статистических методов планирования эксперимента Тагути исследовал влияние различных факторов на «робастность» системы. Это влияние он измерял с помощью статистики, которую назвал отношением сигнал/шум, —для того времени вопрос чрезвычайно дискуссионный. Такой подход был в достаточной степени новым, поскольку планирование эксперимента в основном применялось в то время для установления влияния различных факторов на средние значения качественных показателей систем — т.е. «главных эффектов».
Вскоре стало очевидно, что оценивать его идеи и подходы только на основе чисто теоретических соображений нельзя; поэтому д-р Тагути вызвался испытать свой подход в реальной ситуации. Для этой цели был выбран фотолитографичес
19
Введение
кий процесс формирования контактных окон на кремниевых пластинах. В этой технологии, близкой к фотографии, на пластину наносится слой фоторезиста, который подвергается термообработке. Затем пластина через маску экспонируется ультрафиолетовым светом и с засвеченных областей, которые и представляют собой будущие контактные окна, фоторезист удаляется. Сами окна вытравливаются в вакуумном реакторе, после чего остатки фоторезиста удаляются с пластины.
По методу д-ра Тагути за восемь недель с помощью всего 18 экспериментов были исследованы девять важнейших параметров процесса. Анализ результатов позволил получить уточненные значения этих параметров и провести соответствующую подстройку процесса. Эксперимент имел оглушительный успех. С учетом расхода ресурсов и времени выполненный проект дал отличные результаты в плане улучшения технологии. В частности, разбросы ширины линий перед травлением материала, которые обычно служат показателем качества данного технологического процесса, были уменьшены в четыре раза. Кроме того, в три раза снизилась плотность дефектов, связанных с непротравленными или неэкспонированными контактными окнами. И наконец, в два раза было сокращено время выполнения самой операции фотолитографии контактных окон. Последнее достижение было связано с тем, что инженеры-технологи, проанализировав результаты экспериментов за несколько недель, удостоверились в стабильности и надежности нового варианта процесса, и это позволило им исключить несколько операций текущего контроля. (Более подробно эта работа описана в гл. 6.)
Замечательный успех этой тестовой задачи вдохновил исследователей фирмы AT&T Bell Laboratories на дальнейшее применение методов д-ра Тагути и стимулировал развертывание работ по совершенствованию его подхода. К исследованиям в 1985 г. подключились специалисты Центра качества и производительности Висконсинского университета под руководством проф. Бокса. Это сотрудничество высшей школы с промышленностью стало возможным благодаря помощи Национального научного фонда. Результаты исследова
20
Введение
ний фирмы AT&T Bell Laboratories и Центра качества и производительности были представлены на конференциях и семинарах в США и за рубежом и опубликованы в научных журналах, трудах конференций и технических отчетах. В опубликованных статьях сотрудников фирмы рассматривались различные аспекты подхода Тагути. Некоторые из них по существу носят описательный и пояснительный характер, некоторые посвящены прикладным задачам, в части статей рассмотрены чисто технические вопросы.
Настоящая книга отражает современный уровень развития робастного проектирования на фирме AT&T Bell Laboratories и тот факт, что это развитие продолжается. В книге представлен обзор данной сферы науки и техники для таких специалистов, как административно-управленческие работники, которые хотели бы получить общие сведения о предмете и его технических достоинствах и возможностях. Это знание поможет определить способы применения методов робастного проектирования на предприятиях и в организациях. Книга также может служить руководством по методам робастного проектирования для таких специалистов-практиков, как инженеры по контролю качества изделий и инженеры-технологи. В ней представлены результаты исследований в данной области науки и техники и указан ряд открытых вопросов, требующих дальнейшего изучения.
Чтобы в полной мере охватить круг тем, отраженных в отдельных статьях, и учесть интересы указанных выше групп специалистов, материал книги разбит на три части: «Общие положения», «Прикладные задачи» и «Методология».
В ч. 1 («Общие положения») представлены общие положения методологии Тагути. Она начинается гл. 1, в которой описана и объяснена идеология качества по Тагути. Рассмотрены определение качества через социальные затраты и их отношение к изменчивости. Изложено применение квадратичных функций для аппроксимации затрат, указана необходимость постоянного уменьшения изменчивости и использования статистических методов планирования эксперимента как способов реализации этого уменьшения. В гл. 2 на примере прикладной задачи представлены основные идеи
21
Введение
робастного проектирования. В гл. 3 на примерах описаны применение статистических методов планирования эксперимента в технике качества и их возможности как инструмента повышения качества. Гл. 4 содержит развернутое описание того, что стало в дальнейшем известно под названием метода Тагути. Само название книги частично образовано из названия этой статьи «Контроль качества на стадии проектирования, параметрическое проектирование и метод Тагути». В гл. 5 представлен обзор элементов параметрического проектирования. В ней дана общая классификация технических проблем и для каждого класса без специальных доказательств предложено определение отношения сигнал/шум.
Ч. 2 («Прикладные задачи») предназначена для специалистов-практиков. Она открывается гл. 6, в которой подробно изложена первая прикладная задача, решенная на фирме AT&T Bell Laboratories. В ней также проиллюстрирован «аккумуляционный анализ» — метод, предлагаемый д-ром Тагути для анализа данных, которые представляют собой такие упорядоченные категории, как плохой, средний и хороший. В гл. 7 рассмотрено применение параметрического проектирования для улучшения операций нанесения флюса, пайки и очистки в технологическом процессе пайки волной. Она также представляет собой неплохое вводное описание самой этой технологии. В гл. 8 дан обзор параметрического проектирования и представлена рабочая методика его практического применения. Методика и ее этапы рассмотрены на примере процесса выращивания эпитаксиального слоя на кремниевых пластинах. В гл. 9 продемонстрировано применение статистических методов планирования эксперимента для сокращения времени «реакции» вычислительной машины. В гл. 10 рассмотрены две задачи параметрического проектирования: 1) повышение срока службы режущего инструмента фрезерного станка и 2) оптимизация схемы дифференциального операционного усилителя.
В ч. 3 («Методология») представлены некоторые исследования по робастному проектированию, выполненные на фирме AT&T Bell Laboratories. Она открывается гл. 11, посвященной аккумуляционному анализу. Исследованы свойства ме
22
Введение
тода аккумуляционного анализа Тагути и показано, что используемые им степени свободы являются приближенными. Показано также, что метод неплохо работает при выявлении эффектов положения, однако слишком сложен. Автор предложил два простых расчетных метода для раздельного выявления влияния эффектов дисперсии и положения. В гл. 12 представлены математические постановки задач параметрического проектирования и определено понятие «Выходная мера, не зависящая от регулировки» (PERMIA). Авторы показали, что при определенных допущениях предложенные д-ром Тагути отношения сигнал/шум представляют собой величины типа PERMIA. Они подчеркнули, что если определенные допущения отсутствуют, то применение отношений сигнал/шум (SN-отношений), предложенных в гл. 5, не всегда обеспечивает минимизацию ожидаемых потерь. В гл. 13 показано, что для определенных моделей в предположении о квадратичной функции потерь двухшаговый метод оптимизации Тагути имеет естественную геометрическую интерпретацию. И наконец, в гл. 14 (завершающей) представлено руководство для анализа данных, полученных в экспериментах по технике качества. Стратегия анализа включает три фазы: исследование, моделирование и оптимизацию.
На сегодняшний день качество стало важным стратегическим оружием на рынке. Американские промышленники понимают этот момент и ведут борьбу за выпуск качественных изделий и предоставление качественных услуг по приемлемым ценам. Но чтобы вести эту борьбу еще эффективнее, в промышленности надо использовать все возможные методы повышения качества продукции. Отличную возможность для этого открывает применение робастного проектирования. До настоящего момента ознакомиться с этой методологией можно было, только проработав много различных изданий. Настоящая книга делает методологию более доступной для изучения и освоения. Ожидается, что книга послужит стимулом для дальнейших исследований по робастному проектированию.
Отдельные главы книги полностью независимы, что позволяет читать их выборочно. Важным критерием при их
23
Введение
компоновке было стремление сделать книгу доступной для читателя, не знакомого с робастным проектированием и методом Тагути. При последовательном чтении книги такой читатель переходит от вводных тем к все более сложным и специальным вопросам. Но поскольку главы независимы, в их вводных разделах иногда приводятся базовые сведения, которые читатель уже мог встретить раньше. В таких случаях он может лишь быстро просмотреть эти разделы.
Главы написаны разными авторами в разное время на тему, которая находится в процессе развития. По этой причине имеются некоторые различия в терминологии, которые иногда могут вносить определенную путаницу. Чтобы снять данную проблему, в начале книги приведен словарь употребляемых терминов. В тех случаях, когда автор использует термин, отличный от приведенного в словаре, при первом появлении такого термина делается сноска с указанием эквивалентного термина из словаря.
Настоящая книга не могла бы появиться без помощи многих людей и организаций. Я хотел бы выразить свою благодарность авторам статей за помощь, предложения и вклад в конечный результат. С благодарностью должен отметить поддержку, которую оказал нам Центр обеспечения качества фирмы AT&T Bell Laboratories и его директор Эдуард Фуш. Отдельно хотел бы поблагодарить Джеффри Хупера и Блен-тона Годфри, нынешнего и прежнего руководителей отдела теории и технологии надежности фирмы AT&T Bell Laboratories, за постоянные помощь и содействие. Сотрудник этого отдела Зигмунд Амстер помог нам решить две особенно сложные задачи, за что мы ему очень признательны. Набор книги был выполнен издательством фирмы AT&T Bell Laboratories. Начальную стадию производства книги курировала Мэри-Линн Хэнкинсон, а на завершающих стадиях эту функцию выполняли Роберт Райт, Кэтлин Эттвул и Мэрилин Томейно. Мы с признательностью отмечаем их отличную работу, а также помощь других сотрудников издательства. Выражаем также признательность Джону Киммелю из издательства Wadsworth & Brooks/Cole за содействие.
К. Дехнад
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РОБАСТНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ
Р. Леон, А. Шумейкер
Настоящий словарь содержит набор стандартных определений, принятых Центром обеспечения качества фирмы AT&T Bell Laboratories. Надеемся, что эти определения облегчат взаимопонимание между пользователями методов параметрического проектирования. Вклад в подготовку этого материала внесли многие сотрудники фирмы AT&T Bell Laboratories. Мы выражаем благодарность К. Дехнаду, Дж. Шофилду, И. Шерри и Дж. Ульриху. Особо благодарим М. Фадке, который сделал ценные и глубокие замечания. Метод параметрического проектирования рассматривается в работе [ 1 ].
Определения
Регулируемый параметр. Управляемый параметр, который можно использовать для точной настройки выходных характеристик после того, как выбраны значения нерегулируемых управляемых параметров, минимизирующие выходную меру независимо от регулировки.
Управляемая матрица. Матрица, строки которой определяют значения управляемых параметров в эксперименте. Тагути называет ее «внутренней матрицей».
Управляемый параметр. Переменная, номинальное значение которой может задаваться проектировщиками или инженерами-технологами1.
1 Буквальный перевод термина — «управляющий параметр». Определение «управляемый» принято для того, чтобы подчеркнуть, что этот параметр управляется разработчиком или технологом в отличие от неуправляемого параметра — помехи. — Прим. peg.
25
Словарь терминов
Функциональная характеристика. Основная характеристика изделия, относящаяся к его функциональным возможностям.
Параметр, регулирующий среднее значение. Регулируемый параметр, который управляет средним значением соответствующей функциональной характеристики.
Помеха (в параметрическом проектировании). Разбросы, которые вызывают флуктуации выходных характеристик изделия при фиксированных номинальных значениях управляемых параметров. Это, например, деградация изделия, дефекты сырьевых материалов и изменения условий производства или условий эксплуатации изделия потребителем.
Матрица помех. Матрица, строки которой определяют значения факторов помех в эксперименте. Тагути называет ее «внешней матрицей».
Параметр помехи. Источник помехи, который можно систематически варьировать при параметрическом планировании эксперимента.
Метод контроля качества на стадии проектирования (offline). Метод, который используется при проектировании изделия или производственного процесса для того, чтобы гарантировать или улучшить качество изделия.
Метод контроля качества в процессе производства (online). Метод, используемый при производстве изделия, чтобы улучшить и стабилизировать его качество.
Ортогональная матрица. Числовая матрица, столбцы которой попарно ортогональны. Это означает, что в каждой паре столбцов все упорядоченные пары чисел встречаются одинаковое число раз.
Выходные потери. Потери, вызванные отклонением функциональной характеристики от ее заданного значения.
Выходная мера. Мера средних выходных потерь, вызванных отклонением функциональной характеристики от ее заданного значения. Представляя собой результат усреднения по множеству единиц изделия, выходная мера количественно характеризует качество проектирования изделия или
26
Словарь терминов
процесса, а не качество отдельного изделия. Цель параметрического проектирования — поиск таких значений управляемых параметров, которые оптимизируют эту выходную меру.
Выходная мера, не зависящая от регулировки (PERMIA). Выходная мера, которая не зависит от значений регулируемых параметров. Использование меры PERMIA при параметрическом проектировании осуществляется в два этапа. Сначала идентифицируются значения нерегулируемых управляемых параметров, минимизирующие меру PERMIA. Затем идентифицируются значения регулируемых управляемых параметров, которые минимизируют выходную меру, при этом нерегулируемые параметры проекта сохраняют значения, полученные на первом этапе.
Выходная статистика. Статистическая оценка выходной меры.
Робастное проектирование. Подход к проектированию изделия или процесса, который заключается в уменьшении разбросов выходных характеристик путем использования таких методов проектирования, которые уменьшают чувствительность к источникам разбросов.
Мера робастности. Выходная мера, которая количественно выражает разброс функциональной характеристики изделия относительно ее среднего значения.
Робастная статистика. Статистическая оценка меры робастности.
Масштабный регулируемый параметр. Регулируемый параметр (параметры), который управляет величиной линейного воздействия сигнального параметра на функциональную характеристику изделия.
Сигнальный параметр. Переменная, которая используется для изменения значения функциональной характеристики с целью получения ее требуемого значения. Разработчик не выбирает значение этого параметра, однако он может пожелать спроектировать изделие или процесс так, чтобы они были очень чувствительны к его изменениям.
27
Словарь терминов
Отношения сигнал — шум1 (при параметрическом проектировании). Набор статистик выходной характеристики, предложенный Тагути [2].
Этапы проектирования изделия или производственного процесса (с точки зрения техники качества).
1.	Системное проектирование. Процесс использования научных и технических знаний для изготовления базового работоспособного опытного образца.
2.	Параметрическое проектирование. Процесс идентификации таких значений управляемых параметров изделия или производственного процесса, которые уменьшают чувствительность к источникам разбросов.
3.	Проектирование допусков. Процесс выбора экономически обоснованных допусков на управляемые параметры изделия или процесса.
Заданное значение. Требуемое значение выходной характеристики.
Литература
1. Kackar R. Off-Line Quality Control, Parameter Design, and the Taguchi Method. — Journal of Quality Technology, 1985, 17 (Oct.), 176—209. (Наст, кн., гл. 4)
2. Taguchi G., Yu-In Wu. Introduction to Off-Line Quality Control. — Tokyo: Central Japan Quality Control Association. Available from the American Supplier Institute, 6 Parklane Blvd., Suite 411, Dearborn, Mi 48126.
Дополнительная литература
Kackar R., Shoemaker A. Robust Design: A Cost-Effective Method for Improving Manufacturing Processes. — AT&T Technical Journal, April 1986. (Наст, кн., гл. 8)
Leon R., Shoemaker A., Kackar R. Performance Measures Independent of Adjustment: An Explanation and Extension of Taguchi Signal-to-Noise Ratios. — Technometrics, 1987, vol. 29, No. 3 (Aug.), 253—265. (Наст, кн., гл. 12)
Taguchi G., Phadke M. Quality Engineering Through Design Optimization. — Conference Record, GLOBECOM84 Meeting. Atlanta, Georgia: IEEE Communication Society, 1984, 1106—1113. (Наст, кн., гл. 5)
1 В данном термине используется понятие «шум», принятое в этом словосочетании. В остальных случаях в книге применяется эквивалентный ему термин «помеха». — Прим. peg.
Часть 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Глава 1. ФИЛОСОФИЯ КАЧЕСТВА ПО ТАГУТИ: АНАЛИЗ И КОММЕНТАРИЙ
Введение в идеи Тагути и их интерпретация
Р. Какар
© 1986 American Society for Quality Control
1.1.	Введение
Сегодня Генити Тагути часто упоминается вместе с Эдвардом Демингом, Каору Исикавой и Джураном. Его популярность — свидетельство достоинств его философии качества. Однако недостаток соответствующей информации придает ряду его идей налет таинственности. Эта глава служит введением в основные элементы философии качества по Тагути, которые кратко изложены ниже.
1.	Важная мера качества изделия — общие потери, которые наносятся изделием обществу.
2.	В конкурентной экономике непрерывное улучшение качества и уменьшение затрат необходимы для выживания в бизнесе.
3.	Программа непрерывного улучшения качества включает непрерывное уменьшение разбросов выходных характеристик изделия относительно их заданных значений.
4.	Потери потребителя из-за разбросов выходной характеристики изделия часто примерно пропорциональны квадрату отклонения этой характеристики от ее заданного значения.
5.	Качество и цена изделия в значительной степени определяются инженерным проектированием изделия и процесса его изготовления.
6.	Разброс выходных характеристик изделия (или процесса) может быть уменьшен путем использования нелинейности влияния параметров изделия (или процесса) на эти характеристики.
29
Глава 1
7.	Чтобы идентифицировать значения параметров изделия или процесса, которые уменьшают разброс выходных характеристик, можно использовать статистически планируемые эксперименты.
Эти семь элементов не охватывают все идеи Тагути. Некоторые из элементов также были сформулированы другими специалистами по качеству. В следующих разделах каждый из элементов обсуждается детально. Большей частью это обсуждение представляет собой мою интерпретацию и развитие идей Тагути. Я также сделал попытку связать эти идеи с материалами, опубликованными в других источниках.
1.2.	Социальный взгляд на качество
Важная мера качества изделия — общие потери, наносимые изделием обществу. Качество — сложное и многогранное понятие. Гарвин [ 1 ] рассмотрел восемь различных аспектов качества изделия: выходные характеристики, функциональные возможности, надежность, соответствие предъявляемым требованиям, долговечность, ремонтопригодность, эстетичность и воспринимаемое качество. Важность отдельных аспектов качества изменяется в зависимости от характера изделия и потребностей заказчика. Поэтому специфика понятия качества изменяется в зависимости от условий использования изделия. Вероятно, нет единственного определения качества, которое могло бы отразить все аспекты этого понятия.
Тагути обратил внимание на очень важную меру качества: социальные потери, наносимые изделием [2]. По Тагути «качество — это потери, которые несет общество с того момента, как изделие отправлено потребителю». Это определение представляется странным, поскольку понятие «качество» подразумевает желательность, тогда как понятие «потери» содержит идею нежелательности. Существо высказывания Тагути состоит в том, что социальные потери, наносимые изделием со времени его отгрузки потребителю, определяют его желательность. Чем меньше потери, тем более желательно изделие. Примеры социальных потерь от изделия — невыполнение требований покупателя к удобству его использования, неидеальность выходных
30
Философия качества по Тагути
характеристик и вредные побочные эффекты, вызываемые изделием. Все социальные потери из-за плохих характеристик изделия должны быть отнесены к его качеству.
Определение Тагути кажется неполным. Он не говорит о социальных потерях в период производства изделия. Сырье, энергия и труд, расходуемые на производство бесполезных изделий, являются социальными потерями. Кроме того, токсичные химические вещества, образующиеся при производстве изделия, могут нанести вред обществу.
Определение Тагути можно расширить, включив социальные потери при производстве изделия.
Социальная сторона качества — фундаментальная концепция. Согласно ей, цель контроля качества — уменьшение полных социальных затрат, а функция контроля качества — открыть и реализовать новые методы, которые дают обществу снижение затрат. Эффективная программа контроля качества сберегает обществу больше, чем стоит сама, и приносит выгоду всем.
Концепция «социальные потери» дает новый подход к принятию решений об инвестициях в проекты по улучшению качества. Такие инвестиции оправданы, если достигнутая экономия для покупателей больше, чем стоимость самих проектов. Рассмотрим пример. Если производитель поставляет изделие, которое наносит покупателю потери в 1 тыс. долл., а затраты производителя по ликвидации этих потерь составили бы только 200 долл., то общие социальные потери равны 800 долл. (1000—200). Затраты на предотвращение потерь в 200 долл., не сделанные изготовителем, могут стоить ему доверия и хорошего отношения потребителя. А это может привести к потере многих миллионов долларов из-за снижения сбыта. Инвестиции в проекты улучшения качества представляются намного более привлекательными, если оцениваются в долгосрочном плане.
1.3.	Важность улучшения качества
В конкурентной экономике непрерывное улучшение качества и снижение затрат необходимы для выживания в бизнесе. В такой экономике дело, не приносящее
31
Глава 1
достаточную прибыль, не в состоянии долго существовать. Прибыль есть разница между продажной ценой и издержками производства (и маркетинга) в расчете на одно изделие, умноженная на количество проданных изделий. Когда покупатель хорошо информирован и имеет свободу выбора, продажная цена определяется в основном продажной ценой аналогичной продукции конкурентов и другими рыночными условиями. Следовательно, прибыль определяется числом проданных единиц изделия (или сбытом) и издержками производства (и маркетинга) изделия.
Верный путь увеличения сбыта — это обеспечить высокое качество изделия при низкой цене. Покупатели хотят получить высококачественное изделие по низкой цене. Тем не менее большинство покупателей не против заплатить немного больше за изделие более высокого качества. Действительно, качество нельзя рассматривать безотносительно к цене. Например, недостаточно сравнить качество автомобиля «Шевроле» с качеством машины «Мерседес-Бенц», поскольку их реальные цены весьма различны. Однако кто купил бы «Шевроле», если бы «Мерседес-Бенц» стоил столько же?
Высокое качество при низкой цене — конкурентная стратегия производителей для выживания в бизнесе. Такие производители знают, что качество никогда не бывает достаточно высоким, а издержки производства — достаточно низкими, и они непрерывно улучшают качество и уменьшают издержки производства своих изделий. В новой, глобальной, экономике хорошо информированные покупатели постоянно повышают уровень своих требований. Следовательно, в системе свободного предпринимательства необходимо постоянно улучшать качество и снижать издержки производства.
1.4.	Необходимость уменьшения разбросов выходных характеристик
Программа непрерывного улучшения качества включает непрерывное уменьшение разбросов выходных характеристик изделия относительно заданных значений. Качество изделия нельзя улучшить без идентификации и изме
32
философия качества по Тагути
рения характеристик качества изделия. Кроме того, программа непрерывного улучшения качества зависит от знания идеальных значений характеристик качества. Каждая такая характеристика изменчива по своей сути. Ее значения могут различаться для разных единиц конкретного изделия и меняться для конкретного изделия во времени. Цель программы непрерывного улучшения качества — уменьшение разбросов характеристик качества изделия относительно их желательных значений. Почти все изделия имеют множество характеристик качества. Однако ни по экономической, ни по какой-либо другой причине не нужно улучшать все такие характеристики сразу, поскольку не все они одинаково важны. Достаточно улучшить главные из них. Выходные характеристики изделия — главные характеристики качества, которые определяют возможности изделия удовлетворить требованиям потребителя. Четкость изображения на экране телевизора — пример выходной характеристики. Идеальное значение выходной характеристики называется заданным значением. Изделие высокого качества постоянно функционирует вблизи заданного значения в течение всего своего срока службы при всех режимах работы. Например, телевизор, качество изображения которого зависит от погоды, — изделие невысокого качества. Аналогично, автопокрышка с гарантированным пробегом 40 тыс. миль имеет плохое качество, если изнашивается всего за 20 тыс. миль. Разброс выходной характеристики около заданного значения называется впредь вариацией выхода. Чем меньше вариация выхода относительно заданного значения, тем выше качество.
Вариацию выхода можно более эффективно оценить, если она измеряется по непрерывной шкале. Это связано с тем, что при непрерывных измерениях можно выявить небольшие изменения качества. Поэтому важно идентифицировать те выходные характеристики изделия, которые можно измерить по непрерывной шкале. Некоторые из таких характеристик автомобиля — это количество углерода в выхлопе, тормозной путь до полной остановки для заданных скорости и давления на педаль тормоза, время набора скорости от 0 до 88 км/ч и уровень шума двигателя.
33
Глава 1
Все заданные значения непрерывных выходных характеристик должны быть определены через номинальные уровни и допуски относительно этих уровней. Широко распространенной практикой в промышленности стало определение заданных значений только через интервалы. Эта практика выражает ошибочное представление о том, что уровень качества одинаков для всех значений выходной характеристики в заданном интервале и резко снижается, когда ее значение выходит за пределы этого интервала. Заданное значение должно быть определено как идеальное значение выходной характеристики. Отметим, что заданное значение не обязательно должно быть в середине интервала допуска.
Некоторые выходные характеристики не могут быть измерены по непрерывной шкале либо из-за природы самой характеристики, либо из-за ограничений методов измерений. Например, выходные характеристики, которые требуют субъективной оценки, нельзя измерить по непрерывной шкале. Наилучшим приближением к непрерывным мерам являются следующие категориальные меры: плохой, приемлемый, хороший и превосходный. Упорядоченные категориальные меры аппроксимируют непрерывные меры так же, как гистограмма аппроксимирует непрерывное распределение. Когда измерительный прибор имеет конечный диапазон и некоторые из значений выходят за его пределы, то данные представляют собой смесь дискретных и непрерывных значений. Такие данные можно аппроксимировать упорядоченным категориальным распределением. Подобным же образом цензурированные данные испытаний на надежность можно аппроксимировать упорядоченным категориальным распределением.
Хотя упорядоченные категориальные меры менее эффективны при выявлении малых изменений качества, чем непрерывные меры, они более эффективны, чем такие двоичные меры, как хороший или плохой. Например, классификация паяных соединений на хорошие или плохие дает скудную информацию об их качестве. Более информативная классификация могла бы быть основана на количестве припоя в соединении: не пропаяно, недостаточно пропаяно, хорошая пайка и превосходная пайка.
34
философия качества по Тагути
1.5.	Потери потребителя из-за разбросов выходных характеристик
Потери потребителя из-за вариации выхода часто примерно пропорциональны квадрату отклонения выходной характеристики от ее заданного значения. Любые разбросы выходной характеристики изделия относительно заданного значения приводя! к потерям потребителя. Эти потери могут изменяться от простых неудобств до финансового ущерба и физического вреда.
Пусть Y— выходная характеристика, измеренная по непрерывной шкале, Т — заданное значение Y. Пусть 1 (у) — потери, выраженные в долларах, которые песет произвольный потребитель в произвольное время в течение срока службы изделия из-за отклонения Yот Т. Вообще, чем больше отклонение выходной характеристики Y от ее заданного значения Т, тем больше потери потребителя 1 (у). Обычно трудно определить действительный вид функции 7 (у). Часто квадратичная аппроксимация 1{у) адекватно описывает экономические потери из-за отклонения Y от Т. (Использование квадратичной аппроксимации не ново. На самом деле, квадратичная аппроксимация является основой статистической теории метода наименьших квадратов, развитого Гауссом в 1809 г.) Простейшая квадратичная функция потерь имеет вид 1( У) = k(Y—Т)2, где Тс — константа (рис. 1.1).
Неизвестную константу к можно определить, если 7(У) известно для конкретного значения Y. Например, предположим, что интервал (Т — А,Т + А) — допуск потребителя, т.е. изделие функционирует неудовлетворительно, если У выходит из этого интервала, а затраты потребителя по ремонту или замене изделия составляют А долларов. Тогда А = ТсА2, к = А/№. Этот вариант функции потерь полезен, когда конкретное заданное значение является наилучшим, а потери возрастают симметрично при отклонении выходной характеристики от этого значения. Данную концепцию можно распространить и на другие ситуации. Ниже обсуждаются два специальных случая: 1) чем меньше, тем лучше (например, когда выходная характеристика — количество примеси, а ее
35
Глава 1
Рис 1.1. Увеличение потерь потребителя при отклонении выходной характеристики от заданного значения
заданное значение равно нулю; чем меньше примеси, тем лучше); 2) чем больше, тем лучше (например, когда выходная характеристика — усилие; чем оно больше, тем лучше).
Средние потери потребителя из-за вариации выхода получаются статистическим усреднением квадратичной функции потерь 1(Y) = k(Y—Т)2, связанной с возможными значениями У. В случае квадратичной функции потерь средние потери из-за вариации выхода пропорциональны среднеквадратичной ошибке У относительно заданного значения Т. Поэтому фундаментальной мерой изменчивости является среднеквадратичная ошибка, а не дисперсия.
Концепцию средних потерь из-за вариации выхода можно также использовать для характеристики возможностей процесса независимо от наложенных на него ограничений. Возможности процесса часто характеризуются «процентом несоответствия», который зависит от определенных ограничений процесса. Однако эти ограничения являются лишь практическими «средствами отсечки», которые используются для стандартизации производственного процесса. По мере уменьшения изменчивости процесса ограничения часто сужают. Средние потери от вариации выхода представляют меру изменчивости процесса, которая не зависит от предва
36
Философия качества по Тагути
рительно наложенных на него ограничений. Степень несоответствия может быть уменьшена до значений порядка 10'6, только когда ограничения интерпретируются как практические «средства отсечки» и разброс искомых выходных характеристик непрерывно уменьшается. Концепция квадратичных потерь показывает важность непрерывного уменьшения вариации выхода.
1.6.	Важность проектирования изделия и процесса
Качество и стоимость произведенного изделия определяются в значительной степени техническим проектированием изделия и производственного процесса. Цикл создания изделия может быть разделен на три частично перекрывающихся этапа: проектирование изделия, проектирование процесса и производство. Каждый этап имеет несколько стадий. Выход одной стадии является входом в следующую стадию. Поэтому все стадии, особенно моменты перехода, влияют на качество и стоимость. Однако в связи с увеличением сложности современных изделий проектирование изделия и проектирование процесса играют решающую роль. Действительно, преобладание немногих корпораций с высокой технологией производства таких изделий, как автомобили, промышленные роботы, микропроцессоры, оптические приборы и станки, можно связать с серьезным инженерным проектированием изделий и процессов производства.
Значимость проектирования изделия проявилась в связи с неудачей, случившейся несколько лет назад, когда важная военная миссия США по спасению заложников в Иране провалилась из-за того, что вертолеты падали в пылевой буре. Пыль вывела из строя подшипники и заклинила двигатели вертолета. Такая катастрофа не случилась бы, если бы вертолеты были разработаны так, чтобы противостоять сильным пылевым бурям. На характеристики изделия влияют переменные окружающей среды (и человеческие факторы при обработке изделия), деградация изделия и несовершенства производства. (Отметим, что эти источники разбросов явля-
37
Таблица 1.1. Этапы создания изделия, на которых могут быть предприняты меры против различных источников изменчивости
Этапы создания изделия	Источники изменчивости		
	Переменные окружающей среды	Деградация изделия	Изменчивость производственных условий
Проектирование	0	0	0
изделия			
Проектирование	X	X	0
процесса			
Производство	X	X	0
О — контрмеры возможны; X - контрмеры невозможны.
ются хронической проблемой.) Несовершенства производства выражаются в отклонении реальных параметров произведенного изделия от номинальных значений. Эти несовершенства вызываются неизбежными колебаниями в производственном процессе, и они ответственны за вариацию выхода для различных единиц изделия. Как показано в табл. 1.1, меры против вариации выхода, вызванной переменными окружающей среды и деградацией изделия, можно предпринять только на стадии проектирования изделия.
Производственные затраты на изделие и производственные несовершенства в нем определяются главным образом при проектировании производственного процесса. Для данной разработки процесса усиление его контроля может уменьшить производственные несовершенства (рис. 1.2). Но на средства контроля требуются затраты. (Затраты на контроль процесса оправданны до тех пор, пока они меньше, чем потери из-за несовершенств производства.) ПсТэтому необходимо уменьшать как несовершенства производства, так и необходимость контроля процесса. Это может быть осуществлено только с помощью улучшения проектирования процесса и в итоге ведет к снижению затрат.
Важность проектирования процесса осознана достаточно давно. Шухарт [3] придавал важное значение приведению
38
философия качества по Тагути
Рис 1.2. Улучшение проектирования процесса уменьшает как несовершенства производства, так и необходимость контроля процесса
процесса в статистически управляемое состояние, потому что это первый шаг в улучшении проектирования существующего процесса. Улучшение проектирования процесса включает уменьшение разброса из-за упомянутых хронических проблем. Трудно, если вообще возможно, найти средства для устранения хронических проблем, когда процесс нестабилен.
1.7.	Контроль качества на стадии проектирования
Вариация выхода изделия (или процесса) может быть уменьшена путем использования нелинейных влияний параметров изделия (или процесса) на выходные характеристики. Ввиду важности проектирования изделия и процесса контроль качества должен начинаться на первой стадии
39
Глава 1
цикла создания изделия и сопровождать все последующие стадии. Методы контроля качества на стадии проектирования — техническое средство контроля качества и затрат при проектировании изделия и процесса. Методы контроля качества в процессе производства — техническое средство контроля качества и затрат при производстве. Понятие «контроль качества», используемое здесь, имеет более широкое значение. Оно включает планирование и улучшение качества.
Для эффективного контроля качества требуются методы контроля качества на стадии проектирования, которые направлены в большей степени на улучшение качества, чем на его оценку. Некоторые примеры таких методов: проверки чувствительности, испытания прототипа изделия, ускоренные испытания долговечности и испытания на надежность. Основная функция этих методов — оценка качества. Они подобны медицинскому термометру: термометр может показывать, что температура пациента слишком высока, однако термометр не является средством лечения. Например, большинство испытаний на надежность в основном направлены на оценку надежности. Оценка надежности важна. Например, хорошие оценки надежности необходимы для обеспечения качества и выявления превентивных мер. Однако чаще всего реальной целью является улучшение надежности изделия. В таких случаях приближенные оценки надежности часто оказываются достаточными и требуется уделить больше внимания задаче улучшения надежности.
Так же как и выходные характеристики, все параметры изделия (и процесса) должны быть установлены с использованием идеальных значений и допустимых интервалов вблизи этих значений. В промышленности широко распространена практика устанавливать эти определения только с помощью допустимых интервалов. Но эта практика может иногда привести к производству изделий, чьи параметры едва попадают в допустимые интервалы. Такие изделия, вероятнее всего, имеют плохое качество. Даже если все параметры изделия находятся внутри допустимых интервалов, изделие может неудовлетворительно работать из-за взаимосвязей
40
Философия качества по Тагути
параметров. Например, если размер двери автомобиля находится вблизи верхней границы допустимого интервала, а размер дверной рамы находится вблизи нижней границы допустимого интервала, то дверь может плохо закрываться. Изделие лучше всего функционирует, когда все его параметры принимают идеальные значения. Знание идеальных значений изделия (и процесса) способствует непрерывному улучшению качества.
Тагути [4] ввел трехстадийный подход к установлению номинальных значений параметров изделия и процесса и допусков на них: системное проектирование, параметрическое проектирование и проектирование допусков.
Системное проектирование — процесс применения научных и инженерных знаний к разработке модели изделия. Модель изделия определяет начальные значения параметров изделия (или процесса). Системное проектирование включает учет как требований потребителя, так и производственных условий. Изделие не удовлетворит требованиям потребителя, если они не учитываются при проектировании. Подобным же образом проектирование процесса изготовления требует понимания условий производства.
Параметрическое проектирование — процесс идентификации таких значений параметров изделия (или процесса), которые уменьшают чувствительность конструкции к источникам изменения параметров. Пусть имеется электрическая схема. Рассмотрим в качестве ее выходной характеристики выходное напряжение схемы и его заданное значение у0. Предположим, что выходное напряжение схемы главным образом определяется коэффициентом усиления транзистора х в цепи и разработчик схемы свободен в выборе номинального значения этого коэффициента усиления. Допустим, что влияние коэффициента усиления транзистора на выходное напряжение нелинейно (рис. 1.3). Чтобы получить выходное напряжение у0, разработчик схемы может выбрать номинальное значение коэффициента усиления транзистора х0. Если действительное значение коэффициента усиления транзистора отклоняется от номинального значения xQ, выходное напряжение отклонится от у0. Коэффициент усиления транзистора может откло-
41
Глава 1
литься отх0 из-за несовершенства производства транзистора, деградации схемы в течение срока службы и внешних факторов. Если распределение коэффициента усиления транзистора такое, как показано на рис. 1.3, выходное напряжение будет иметь большой разброс. Один путь уменьшения вариации выхода — использовать дорогой транзистор, коэффициент усиления которого имеет более узкое распределение вблизи х0. Другой путь уменьшения вариа! 1,ии выхода — выбрать иное значение коэффициента усиления. Например, если номинальное значение коэффициента усиления есть х, выходное напряжение будет иметь значительно меньший разброс. Однако среднее значение у, выходного напряжения, связанное с коэффициентом усиления транзистора х[Г далеко отстоит от заданного значения у. Предположим, что существует другой элемент схемы (например, резистор), который линейно влияет на выходное напряжение, и разработчик схемы может выбрать номинальное значение этого элемента так, чтобы сдвинуть среднее значение от yt к у0. Подгонка среднего значения выходной характеристики к ее заданному значению — обычно значительно более легкая техническая задача, чем уменьшение вариации выхода. Когда схема разработана таким образом, что номинальное значение коэффициента усиления транзистора х равно хр можно использовать недорогой транзистор, имеющий широкое распределение около х(. Конечно, это изменение необязательно улучшит разработку схемы, если будет связано с увеличением разброса других выходных характеристик схемы.
Использование нелинейных влияний параметров изделия (или процесса) на выходные характеристики для уменьшения чувствительности инженерных разработок к источникам разброса составляет существо параметрического проектирования. Поскольку параметрическое проектирование уменьшает вариацию выхода путем уменьшения влияния источников разброса эффективней, чем с помощью их контроля, оно является высокоэффективным методом для улучшения инженерных разработок.
Концепция параметрического проектирования не нова для разработчиков схем. Приведем высказывание авторов ра-
42
Философия качества по Тагути
коэффициент усиления
транзистора
Рис. 1.3. Влияние коэффициента усиления транзистора X на выходное напряжение Y
боты [5]: «Различные воздействия, производство, окружающая среда и старение вызывают статистические разбросы в схемах, которвю номинально одинаковы. Разработчики, руководствуясь экономическими соображениями, должны обеспечить разработки, устойчивые к статистическим разбросам». Такое понимание параметрического проектирования близко также многим агрономам. Как отметили Эберхарт и Рассел [6], многие агрономы обычно проводят эксперименты для идентификации таких разновидностей растений, рост которых возможен в широком диапазоне почв, влажности и погодных условий.
Проектирование допусков—процесс определения допусков вблизи номинальных значений, которые идентифицированы с помощью параметрического проектирования. Общая практика в промышленности — назначение допусков скорее с помощью договоренности, чем научным путем. Допуски, которые слишком узки, связаны с увеличением производственных затрат, а слишком широкие допуски увеличивают вариацию выхода. Поэтому проектирование допусков включает поиск компромисса между потерями потребителя, которые связаны с вариацией выхода, и увеличением производственных затрат. Для
43
Глава 1
лучшего понимания подхода Тагути к проектированию допусков необходимо дальнейшее исследование.
1.8.	Эксперименты с параметрами проектирования
Для идентификации значений параметров изделия (или процесса), которые уменьшают вариацию выхода, могут быть использованы статистически планируемые эксперименты. Тагути предложил новый подход к использованию статистически планируемых экспериментов для параметрического проектирования [4]. Он классифицировал переменные, которые влиящт на выходные характеристики изделия (или процесса), на две категории: параметры проектирования1 и источники помех. Параметры проектирования — это такие параметры изделия (или процесса), чьи номинальные значения могут быть выбраны инженером, отвечающим за проектирование. Номинальные значения параметров проектирования определяют спецификацию проектирования изделия (или процесса) и наоборот. Источниками помех являются все те переменные, которые вызывают отклонение выходных характеристик от их заданных значений. (Источники помех включают отклонения действительных значений параметров проектирования от их номинальных значений.) Однако не все источники помех могут быть учтены в экспериментах с параметрами проектирования; препятствиями являются недостаток знаний и физические ограничения. Факторы помех* 2 — это те источники помех и их аналоги, которые могут систематически варьироваться в эксперименте с параметрами проектирования. Ключевые факторы помех — это те факторы, которые представляют главные источники помех, влияющие на выходные характеристики изделия и процесса в производственных условиях. Эти факторы должны быть идентифицированы и учтены в эксперименте.
'В словаре терминов: управляемые параметры.
2 В словаре терминов: параметры помех.
44
Философия качества по Тагути
Цель указанного эксперимента — идентифицировать такие значения параметров проектирования, при которых влияние факторов помех на выходную характеристику минимально. Эти значения оцениваются путем 1) систематического варьирования значений параметров проектирования в эксперименте и 2) сравнения влияния факторов помех для каждого тестового набора.
Эксперименты с параметрами проектирования по Тагути связаны 0 двумя матрицами: матрица параметров проектирования1 и матрица факторов помех1 2. Матрица параметров проектирования определяет их тестовые значения. Ее столбцы представляют параметры проектирования, а строки — различные комбинации тестовых значений параметров. Матрица факторов помех представляет тестовые уровни факторов помех. Ее столбцы представляют факторы помех, а строки — различные комбинации уровней помех. Полный эксперимент связан с комбинированием матрицы параметров проектирования и матрицы факторов помех (рис. 1.4). Каждый тестовый набор матрицы параметров проектирования сочетается со всеми строками матрицы факторов помех (рис. 1.4), и в результате для каждого тестового набора получаются четыре промежуточных значения выходной характеристики, отвечающих четырем комбинациям уровней помех в матрице факторов помех. Результирующая выходная характеристика оценивается для всех промежуточных значений, полученных для каждого из девяти тестовых наборов. Таким образом вариация множества значений выходной характеристики имитирует вариацию выхода изделия (или процесса) для заданных значений параметров проектирования.
В случае непрерывных выходных характеристик (рис. 1.4) множество результатов наблюдений для каждого тестового набора матрицы параметров проектирования используется для вычисления критерия, называемого выходной статистикой. Выходная статистика позволяет оценить влияние факторов помех. (Примеры выходных статистик приведены ниже в этом
1 В словаре терминов: управляемая матрица.
2 В словаре терминов: матрица помех.
45
Глава 1
Матрица
факторов Выходная Выходная
помех характеристика статистика
Матрица параметров проектирования
Параметры Факторы
тестовые проектирования помех
Рис 1.4. План эксперимента с параметрами проектирования по Тагути
РСе)],
Р(о)]9
разделе.) Вычисленные значения выходной статистики используются для оценки оптимальных значений параметров проектирования. Оценка затем проверяется в эксперименте. Исходные значения параметров проектирования не изменяются, если подтверждается достоверность оценки. Может потребоваться несколько серий таких экспериментов с параметрами проектирования, чтобы идентифицировать значения параметров, д ля которых влияние факторов помех достаточно мало.
Эксперименты с параметрами проектирования можно осуществить двумя способами: 1) физические,эксперименты, 2) расчеты на компьютере, Способ 2 реализуем, если имеется численное представление функции Y = f(0,(D), связывающей выходную характеристику Y с параметрами проектирования 0 и факторами помех (0.
Тагути рекомендует использовать «ортогональные матрицы» для формирования матриц параметров проектирования и факторов помех. Все обычные факторные и дробные факторные эксперименты представляются ортогональными мат
46
Философия качества по Тагути
рицами. Но не все ортогональные матрицы являются обычными дробными факторными планами. Какар [7] и Хантер [8] обсудили использование ортогональных матриц с точки зрения статистики.
Тагути рекомендует использовать критерий, который он назвал «отношение сигнал/шум» (отношение s/n), в качестве выходной статистики. Для (неотрицательной) непрерывной выход ной характеристики с фиксированным заданным значением он определил три типа отношения s/п для трех типов функции потерь, определяемых тем обстоятельством, какое заданное значение У является наилучшим: как можно меньшее, как можно большее или некоторое конечное. Предположим, что ряд у у.., уп представляет множество значений выходной характеристики К Тогда отношение s/n по Тагути, обозначаемое здесь как Z(0), может быть записано следующим образом:
1) как можно меньшее заданное значение У является наилучшим,
Z(0) = -lOlgfl£yf|;
2) как можно большее заданное значение Уявляется наилучшим,
<1 I
Z(0) = -lOlg;
У, )
3) некоторое конечное заданное значение Yявляется наилучшим,
Z(O = 101g( 7/я2 ).
Здесь у= -У.}-.л2 =---у(у- -у)2. /7	/7-1
Какар [7] более детально объясняет подобные отношения s/n. Он, а также Леон и др. [9] показали, как эти и другие отношения s/n связаны с квадратичной функцией потерь. Согласно Боксу [10], лучше изучать среднее у и дисперсию s2 раздельно, чем объединять их в отношение s/n, как предлагает Тагути. Пигнателло и Рамберг [11] пришли к такому же
47
Глава 1
выводу после тщательного анализа прикладных исследований.
Тагути рекомендует «аккумуляционный анализ» для анализа данных упорядоченных категориальных измерений. Нэйр [ 12] и Хамада и By [ 13] подвергли критике метод аккумуляционного анализа и обсудили альтернативные методы анализа данных.
Если выходная характеристика оценивается в двоичной шкале, такой, как хорошо — плохо, Тагути рекомендует следующую выходную статистику: Z(6) = 101g[p/(l-p)], гдер — доля значений «хорошо».
Леон и др. [9] приводят аргументы, которые обосновывают такую выходную статистику.
Тагути стимулировал большой интерес к применению статистически планируемых экспериментов к проектированию изделий и процессов. Хотя статистически планируемые эксперименты применяются для улучшения промышленных изделий и процессов достаточно давно (Типпет [14] использовал статистически планируемые эксперименты в текстильном и шерстяном производстве более 50 лет назад), именно Тагути показал всю широту сферы применения статистически планируемых экспериментов для контроля качества на стадии проектирования. Из его публикаций ясно, что он использует статистически планируемые промышленные эксперименты для не менее чем четырех различных целей:
1.	Идентификация значений параметров проектирования, при которых влияние источников помех на выходную характеристику минимально.
2.	Идентификация значений параметров проектирования, которые уменьшают затраты без ущерба качеству.
3.	Идентификация таких параметров проектирования, которые значительно влияют на среднее значение выходной характеристики, но не влияют на ее разброс. Подобные параметры могут быть использованы для изменения среднего значения.
4.	Идентификация таких параметров проектирования, влияние которых на выходные характеристики несущественно. Допуски на подобные параметры могут быть ослаблены.
48
Философия качества по Тагути
Опыт применения идей Тагути на фирме AT&T Bell Laboratories описан в работах [15—20].
Прикладные работы Тагути показывают, что он глубоко проник в проблемы контроля качества и затрат в промышленности, и демонстрируют действенность статистически планируемых экспериментов. Это объясняет влияние Тагути на общие программы контроля качества многих японских компаний. На мой взгляд, есть еще причины того признания, которое он заслужил:
•	Он идентифицировал очень важные проблемы качества и производительности в проектировании изделия и процесса.
•	Он предложил целостную стратегию (включающую идеи техники качества и статистические методы) для решения этих проблем.
•	Он и его сотрудники с успехом обучили своей стратегии тысячи инженеров из различных компаний.
•	Многие японские компании добились успеха, применив стратегию Тагути для контроля качества на этапе проектирования.
•	Стратегия Тагути не используется изолированно. Она является неотъемлемой частью общей программы контроля качества. Поскольку в этой программе осуществляется множество проверок и корректировок, недостаточная эффективность некоторых статистических методов, предлагаемых Тагути, видимо, не приводит к неблагоприятным последствиям.
Из октябрьского (1985 г.) номера Journal of Quality Technology и других недавних публикаций ясно, что некоторые идеи Тагути являются спорными. В основном это связано с необоснованностью статистических методов, предлагаемых Тагути. Представляется, что эти спорные моменты стоят на втором плане. Мы должны учиться широко привлекать идеи Тагути и совмещать их с наилучшей инженерной и статистической методологией, которую мы знаем.
Глава 2. МАКРОКАЧЕСТВО
ПРИ МИКРОЗАТРАТАХ
Л. Кац, М. Фадке © 1985 AT&T
2.1.	Введение
Несмотря на весьма малые размеры кристалла ИС, для его создания надо учесть много технических требований, влияющих на проектирование, производство и функционирование кристалла. Особенно важен производственный процесс, поскольку к нему предъявляются взаимно противоречивые требования. С одной стороны, проектные технические требования определяют ширину линий и элементов, которые достаточно трудно воспроизводить. С другой стороны, эксплуатационные требования к ИС подразумевают высокую степень надежности ее элементов. Обычный подход к производству кристаллов ИС связан с применением ультраточного оборудования, которое обеспечивает сверхжесткие допуски. Однако такие допуски всегда обходятся очень дорого, чего бы они ни касались — материалов или оборудования.
В микроэлектронном производстве компания должна устанавливать у себя оборудование, способное, например, точно контролировать температуру и напряжение, используемые при обработке кристаллических пластин. В противном случае предприятию придется браковать большое число негодных изделий, чтобы обеспечить поставку требуемого количества ИС. Если же производственный процесс можно спроектировать с более широким диапазоном допусков и при этом получать изделия высокого качества, то будут достигнуты уменьшение потерь, ускорение производства, снижение стоимости и улучшение положения на рынке. Легко говорить, что процесс должен быть настроен так, чтобы уменьшить неудобство использования жестких допусков в каждой производственной операции. Однако на практике, чтобы решить эту задачу и сохранить уровень качества, необходимый
50
Макрокачество при микрозатратах
для микроэлектронных приборов, нужно преодолеть определенные трудности.
Инженеры-производственники должны весьма внимательно и осторожно подходить к производству новых кристаллов. Дело в том, что многочисленные этапы технологического процесса взаимосвязаны. Разработчики приборов должны проводить многократные испытания как с помощью автоматизированного моделирования, так и путем экспериментов непосредственно с устройствами, чтобы определить оптимальные параметры каждого этапа процесса (доза, время и температура обработки и т.д.).
Оптимизация каждого этапа производственного процесса традиционно выполняется на основе опыта и квалификации инженеров-технологов. Но теперь существует новая математическая методика, известная под названием «метод робастного проектирования», которая исключает значительную часть интуитивных решений и трудоемких испытаний, необходимых в прошлом. Робастное проектирование требует тесного взаимодействия специалистов по обеспечению качества и инженеров-производственников. Эффективность данного подхода следует из недавней реализации крупного проекта, в котором робастное проектирование было использовано для ускорения модернизации производственного процесса. Речь идет о создании мегабитного кристалла памяти фирмы AT&T, которая освоила его производство раньше других компаний.
Робастное проектирование проводится в два этапа. Во-первых, прибор должен быть сделан максимально нечувствительным к отклонениям от заданного режима производственного процесса. Во-вторых, правильный уровень допусков необходимо найти в рамках заданных экономических показателей изделия. Предположим, что для сокращения допус ков процесса на 50% надо затратить 100 долл, и в результате достигается улучшение качества более чем на 100 дрлл. (оно измеряется уменьшением числа дефектных изделий и приближением выходных характеристик к заданным значениям) . Но если в результате улучшение качества даст выигрыш меньше, чем 100 долл., то более узкие допуски устанавливать
51
Глава 2
не следует. Это общий принцип второго этапа робастного проектирования; он может часто давать значительно больший выигрыш, чем инвестиции в качество.
Между тем на первом этапе робастного проектирования мы находим новые номинальные значения параметров процесса, которые дают выигрыш в несколько сотен долларов вообще без ужесточения допусков. Этот выигрыш и представляет собой принципиально новый результат робастного проектирования: производственный процесс делается нечувствительным к случайным влияниям.
Поскольку на рынке микроэлектронных изделий уровень конкуренции достаточно высок, такая деятельность по повышению экономической эффективности может означать переход компании к более рентабельному производству. Поскольку применение робастного проектирования часто приводит к тому, что новое изделие, например мегабитный кристалл памяти, выходит на рынок раньше, чем аналогичное изделие конкурентов, характер отношения к этой концепции может означать буквально выбор между выживанием и крахом.
2.2.	Робастное проектирование и контроль качества
В прошлом качество изделия контролировалось, главным образом, после его изготовления. Однако современному обеспечению качества отводится более активная функция: сразу же сделать хорошее изделие. Это означает, что роль контроля качества после изготовления изделия снижается, поскольку качество изделий становится намного более однородным. (См. New initiatives in quality assurance, AT&T Bell Laboratories RECORD, December 1983.)
Статистический подход к контролю качества, предложенный Шухартом 60 лет назад, содержит идею сохранения процесса производства в управляемом состоянии. Пусть, например, установлено, что температура процесса, протекающего в ванне, должна составлять 100° F. Карты контроля процесса по Шухарту построены так, чтобы сигнализировать о любых
52
Макрокачество при микрозатратах
Таблица 2.1. Переменные смешанного галогенного процесса
Переменная	Уровень	
1	2	3
Этап 1		
Давление в реакторе, мкм рт. ст	1	1,8	
Полная скорость потока, смУмин	1	1,5	
Добавка к общему потоку, %	1	2	3
Постоянное напряжение смещения, В	1	1,1	1,2
Этап 2		
Давление в реакторе, мкм рт. ст.	1	2	3
Полная скорость потока, смУмин	1	1,75	2,5
Добавка. %	1	15	30
Постоянное напряжение смещения, В	1	1,25	
Перетравливание, нм	1	1,5	2,0
отклонениях температуры от 100° F, с тем чтобы температуру можно было бы вернуть к заданному значению.
Концепция робастного проектирования иная: проектировщик ищет такой вариант процесса, в котором температура ванны не отклонялась бы сильно от заданной, даже когда что-то происходит не так. В сущности робастное проектирование начинается на этап раньше, чем контрольные карты Шухарта.
Инженер-технолог должен учесть 6 — 8 переменных (иногда даже больше), которые определяют данный этап технологического процесса. Взаимосвязи между этими переменными не обязательно бывают линейными. Допустим, что некоторый двухэтапный процесс определяется четырьмя переменными на первом этапе и пятью — на втором. Чтобы изучить все возможные комбинации значений этих переменных и найти наилучшую из них для данного процесса, необходимо провести много тысяч испытаний. Рассмотрим пример, приведенный в табл. 2.1, где указаны четыре переменные первого этапа и пять переменных второго этапа для смешанного галогенного процесса, используемого в микроэлектронном производстве. Каж
53
Глава 2
дая переменная имеет два или три возможных значения, называемых «уровнями». Эти уровни нормированы так, что первое значение каждого из них равно 1.
Предполагается, что инженер-технолог правильно идентифицировал все переменные. Но поскольку развитие микроэлектроники сегодня идет со скоростью лесного пожара, технолог часто работает на «неизученной территории». В результате его усилия могут быть потрачены впустую, если многие испытания проводились с неправильными переменными.
Именно в такой ситуации помогает концепция робастного проектирования. Вместо проведения сотен трудоемких испытаний, загружающих производственную линию, инженер-технолог сообщает подходящие переменные специалистам центра обеспечения качества, которые на базе метода ортогонального планирования эксперимента компонуют матрицу из небольшого числа разумно подобранных параметров технологического процесса. Экспериментальные данные для этого небольшого набора параметров в сочетании со специальным методом их анализа могут дать информацию о восьми и даже большем числе переменных процесса. В большинстве случаев такого ограниченного количества данных бывает достаточно, чтобы точно указать наилучшие рабочие уровни переменных технологического процесса.
Если эти испытания не дают положительных результатов, то технолог должен найти дополнительные управляемые переменные1. Это могут быть влажность, напряжение на электроде, давление газа или какие-либо другие переменные. Именно здесь вступает в действие опыт, позволяющий уменьшить технологические разбросы путем идентификации правильных управляемых переменных.
2.3.	Метод ортогональной матрицы
Традиционный метод изучения большого числа переменных предусматривает поочередный анализ их влияния. Очевидно, что это неэффективный и дорогостоящий подход. Группируя переменные в столбцы, образующие так
1 В словаре терминов, управляемые параметры.
54
Макрокачество при микрозатратах
называемую «ортогональную матрицу», инженер по обеспечению качества может извлечь значительно более точную информацию, чем при выполнении экспериментов по однофакторной схеме. В каждой паре ортогональных столбцов (рис. 2.1) присутствуют все комбинации различных уровней переменных, и они встречаются одинаковое число раз.
В методе ортогональной матрицы одновременно исследуются несколько факторов. В следующих друг за другом экспериментах инженеры меняют значения нескольких переменных. Соответствующая ортогональная матрица используется для того, чтобы определить, как нужно менять эти переменные, чтобы влияние каждой из них можно было отделить от влияния других переменных на заключительной стадии исследования.
После того как с помощью программы робастного проектирования определены идеальные уровни переменных, инженер-технолог может выполнить ряд проверочных экспериментов. Концепция робастного проектирования не исключает экспериментальные проверки и позволяет намного эффективнее выбирать значения переменных процесса и производственные допуски, сокращая время и затраты.
2.4.	Качественный скачок
Робастное проектирование впервые было реализовано на фирме AT&T Bell Laboratories в 1980 г. Некоторые составляющие этой концепции существовали и раньше, однако ее современная форма представляет собой качественный скачок по сравнению с тем, что было раньше.
Известный под названием «контроль качества на стадии проектирования», этот метод появился в Японии после Второй мировой войны. Он был развит проф. Тагути, экс-дирек-тором Японской академии качества и лауреатом премии Деминга. (Сегодня он — консультант фирмы AT&T и некоторых других компаний.) Первоначально работа фирмы AT&T в этой области основывалась на его изысканиях, но впоследствии заметно продвинулась дальше.
Контроль качества на стадии проектирования используется как стандартный метод во многих ведущих отраслях
55
		Номер столбца и		варьируемый фактор				
Номер	1	2	3	4	5	6	7	8
испытания	А	BD	С	Е	F	G	Н	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	2	2	2	2	2	2
3	1	1	3	3	3	3	3	3
4	1	2	1	1	2	2	3	3
5	1	2	2	2	3	3	1	1
6	1	2	3	3	1	1	2	2
7	1	3	1	2	1	3	2	3
8	1	3	2	3	2	1	3	1
9	1	3	3	1	3	2	1	2
10	2	1	1	3	3	2	2	1
11	2	1	2	1	1	3	3	2
12	2	1	3	2	2	1	1	3
13	2	2	1	2	3	1	3	2
14	2	2	2	3	1	2	1	3
15	2	2	3	1	2	3	2	1
16	2	3	1	3	2	3	1	2
17	2	3	2	1	3	1	2	3
18	2	3	3	2	1	2	3	1
Рис. 2.1. Ортогональная матрица LIS
Данная матрица представляет собой матрицу планирования 18 испытаний для восьми переменных. В каждой строке задается уровень для каждой переменной, участвующей в эксперименте. Все столбцы матрицы попарно ортогональны; это означает, что в каждой паре столбцов имеются все комбинации уровней переменных и все они встречаются одинаковое число раз.
японской промышленности для производства высококачественных изделий по низким ценам. Работу проф. Тагути стимулировал американский ученый Деминг, который убедил руководство японской промышленности в выгоде применения контроля качества непосредственно на производственных линиях по сравнению с контролем готовых изделий.
56
Макрокачество при микрозатратах
На современных предприятиях производство интегральных схем — сложный и длительный процесс. Впервые на фирме AT&T метод робастного проектирования был применен для решения задачи уменьшения разброса размеров «контактных окон» — отверстий диаметром около 3,5 мкм, которые вытравливаются в оксидных слоях толщиной примерно 2 кмк. Микропроцессорный кристалл WE„ 32100 фирмы AT&T, например, содержит на площади приблизительно 2,25 см2 около 250 тыс. таких окон.
Было исследовано только 18 различных режимов процесса из возможных 6000 комбинаций, чтобы определить оптимальные уровни значений девяти управляемых переменных. Впоследствии найденные уровни были использованы в производстве микропроцессора WE 32100, микрокомпьютера WE 4000 и некоторых других ИС, разрабатывавшихся в то время.
Следующим важным приложением робастного проектирования стало создание производственного процесса для 256-Кбит кристалла памяти фирмы AT&T. Разработка этих ИС памяти выполнялась последовательно: после проектирования кристалла проектировался производственный процесс.
Мегабитный кристалл памяти с самого начала создавался с учетом требований рынка. Разработка производственного процесса велась параллельно разработке кристалла, поэтому завод был готов начать выпуск ИС сразу же по завершении разработки.
Подобно тому как концепция робастного проектирования сегодня представляет собой качественный скачок по сравнению с предыдущими методами обеспечения качества, требования к современным инженерам-технологам качественно отличаются от прежних требований.
Десять лет назад ширина лш шй на фотошаблонах для больших интегральных схем (БИС) была столь большой, что для травления пластин можно было использовать жидкостные травители. Однако жидкостное травление действует как по вертикали, так и по горизонтали (изотропное травление), поэтому оно дает некоторое подтравливание схемных рисунков, если не производить корректировку размеров на фото
57
Глава 2
шаблоне. Сегодня линии на фотошаблонах настолько узки, что подгонка их размеров не позволяет полностью скомпенсировать подтравливание. Поэтому в новых производственных процессах используется сухое травление в атмосфере плазмы. Оно происходит в реакторе с низким давлением и сопровождается определенной химической реакцией.
Когда разработчики изделия приходят к технологам и спрашивают, смогут ли те уменьшить некоторые размеры или сделать что-либо другое по их разработке, то современный технолог, который в совершенстве знает свои процессы, может сразу же ответить «Конечно, можем» или «Ни в коем случае».
Некоторые основные этапы производства СБИС включают формирование истоков — стоков, выращивание оксида, литографию поликремния и силицида тантала, осаждение бо-рофосфорносиликатного стекла, фотолитографию окон, литографию алюминия, осаждение защитного покрытия и сборку. Каждый из этих этапов включает множество стадий, имеющих множество параметров с несколькими уровнями варьирования.
Травление силицида тантала — один из основных этапов, причем считается наиболее важным. Оборудование для травления, которое недавно использовалось в составе производственной линии, давало только 2/3 ее номинальной мощности из-за неоднородности процесса травления. Для решения проблемы, вызванной этой си туацией, были предложены три пути: 1) заменить оборудование надругое с другими возможностями, 2) добавить оборудование с такими же возможностями, 3) использовать усовершенствованный или новый химический процесс обработки.
Для исследования всех параметров с помощью обычных методов анализа требуется недопустимо много экспериментов. Однако при робастном проектировании были использованы матричные планы экспериментов, что позволило получить однородное травление за весьма малое время (20 суток). Модифицированный процесс был внедрен на существующем оборудовании, что увеличило производительность на 50%.
58
Макрокачество при микрозатратах
Робастное проектирование сохранило предприятию 1,2 млн. долл., которые ушли бы на замену оборудования и на переделку полов в цехе. К тому же оно позволило оптимизировать процесс травления силицида тантала.
Другие успешные применения программ робастного проектирования на фирме AT&T включают уменьшение времени реакции операционной системы UNIX™ в три раза, увеличение срока службы режущего инструмента в четыре раза, 65%-ное уменьшение числа визуальных дефектов при травлении: алюминия на кристаллах ИС и несколько применений в системах автоматизированного проектирования.
2.5.	Испытание — одно, два,...
Сегодня физические эксперименты по-прежнему необходимы для отладки процесса производства нового кристалла. Робастное проектирование помогает минимизировать число экспериментов.
Предположим, что некоторая операция травления имеет девять переменных и каждая переменная может принимать два или три значения. Чтобы реализовать все возможные комбинации, понадобилось бы примерно 6000 испытаний, однако проведение такого большого числа испытаний не может себе позволить никто. Поэтому группа робастного проектирования выбрала 18 из этих 6000 возможных испытаний и очень близко подошла к наилучшему решению. Используя данные по всем 18 испытаниям, группа смогла выбрать оптимальную комбинацию значений переменных.
Количество испытаний меняется довольно большими дискретными шагами: проводится 8, 18, 27 или 36 испытаний. Выбор числа испытаний осуществляется на основании здравого смысла, однако не существует способа определения того, является ли выявленный в результате испытаний процесс наилучшим.
Можно с уверенностью утверждать, что результаты, полученные с помощью данной программы робастного проектирования, значительно (или нет) лучше, чем полученные ранее. Нет необходимости получать наилучший результат — важно получить результат, достаточно близкий к нему.
59
Глава 2
Данный подход столь эффективен, что даже в опытном производстве позволяет достичь более точных результатов, чем обычно. Например, группа разработчиков недавно посетила завод в г. Аллентаун. Им были нужны мегабитные кристаллы с линиями, ширина которых отличается от заданной на определенную величину, чтобы экспериментально определить, как вариации ширины линий влияют на быстродействие прибора. Однако производственное оборудование стабильно выпускало кристаллы с такой высокой однородностью, что разбросы ширины линий не достигали даже трети того, чего хотели разработчики. В результате технологам пришлось сделать три разных фотошаблона, чтобы получить три различные ширины линий.
Робастное проектирование обеспечивает такую точность при невысоких затратах. Экономическая эффективность — главное достижение робастного проектирования. Без постоянных усилий по уменьшению производственных затрат изделия фирмы AT&T не смогли бы занять устойчивые позиции на рынке.
В этом отношении робастное проектирование вносит важный вклад в робастность самой фирмы AT&T.
Глава 3. ТЕХНИКА КАЧЕСТВА С ПРИМЕНЕНИЕМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
М. Фадке © 1982 American Statistical Association
3.1.	Введение
В словаре Вебстера контроль качества определяется как «совокупность мероприятий (таких, как анализ проекта и статистический выборочный контроль дефектов), разработанных для того, чтобы обеспечить адекватное качество произведенных изделий». Это пассивное определение, поскольку оно касается только «адекватного качества» и оставляет без внимания усилия, направленные на постоянное повышение качества. В настоящей главе под контролем качества понимаются активные воздействия, направленные на повышение качества.
Проблемы, которые могут возникнуть из-за использования только пассивного определения контроля качества, иллюстрируются следующим примером, взятым из номера японской газеты «Асахи» [1] от 17 апреля 1979 г. На рис. 3.1. показано распределение характеристики качества, называемой плотностью цветности, телевизионных приемников, изготовленных филиалами фирмы «Сони» в США и Японии. Желаемый уровень обозначен буквой т, значения ш±5 определяют допустимые границы. В американском филиале внимание было сосредоточено на «адекватном качестве», определяемом допустимыми границами, и поэтому распределение плотности цветности более или менее однородно в заданных границах для всех телевизионных приемников. Однородность распределения — непосредственный результат контроля качества, достигнутого путем сортировки. Телевизоры, изготовленные японским филиалом, имеют колоколообразное распределение, небольшая часть телевизоров выходит за допустимые пределы. Это вызвано стремлением разработчиков по возможности приблизить распределение
61
Глава 3
Рис. 3.1. Распределение плотности цветности телевизионных приемников
к значению т. Телевизоры, которые имеют плотность цветности вблизи т, обладают наилучшим качеством, т.е. относятся к классу А. При отклонении от т в любом направлении класс понижается. Можно видеть, что японский филиал производит значительно больше приемников класса А и значительно меньше — класса С по сравнению с американским филиалом. Предположим, что для потребителя стоимость ремонта пропорциональна квадрату отклонения плотности цветности от заданного среднего значения. Отношение ожидаемых затрат потребителя на ремонт приемников «Сони — США» и «Сони — Япония» равно отношению вторых моментов распределения плотности цветности. В этом случае затраты на ремонт приемников «Сони — США» в три раза выше, чем на ремонт приемников «Сони — Япония»!
Минимизация затрат потребителя на качество — правильный подход к управлению качеством, необходимый для выживания в условиях конкуренции. Такой подход нельзя реализовать простым удовлетворением заданным допускам. Нужно достичь такого распределения каждой характеристики качества, которое имеет наименьшую экономически оправданную дисперсию вблизи желаемого среднего значения. Для хорошего управления качеством требуется много статистических методов [2]. В настоящей статье внимание сосре
62
Техника качества— планирование эксперимента
доточивается на роли планируемых экспериментов и дисперсионного анализа.
Проф. Тагути, лауреат премии Деминга и экс-директор Японской академии качества, находился на фирме AT&T Bell Laboratories с августа по октябрь 1980 г. Во время своего визита он прочитал несколько лекций о японских методах применения планируемых экспериментов и дисперсионного анализа для управления качеством. Наш опыт использования его методов за последние два года показывает, что эти методы имеют высокий потенциал улучшения качества и производительности.
Настоящая статья разделена на шесть разделов. В разд. 3.2 дана краткая информация о взгляде Тагути на технику качества [3, 4]. В разд. 3.3 описан опыт улучшения процесса формирования окон при производстве интегральных схем [5]. Приложение к схемному проектированию представлено в разд. 3.4 [6]. Планирование сложных экспериментов рассмотрено в разд. 3.5, заключительные замечания представлены в разд. 3.6.
3.2.	Техника качества
Проф. Тагути рассматривает качество изделия с точки зрения его влияния на все общество [3, 4]. Количественную меру качества изделия он определяет как потери, которые изделие наносит обществу со времени его отгрузки потребителю. Качество изделия тем выше, чем меньше эти потери, которые могут быть вызваны многими причинами. Здесь мы сосредоточиваем внимание на потерях, которые возникают из-за отклонения функциональной характеристики изделия от заданного значения. Такие потери называют потерями из-за функциональной изменчивости. Например, функциональной характеристикой может быть выходное напряжение источника питания. Его желаемое значение будет являться заданным значением. Любые потери из-за отклонения выходного напряжения от заданного значения являются потерями из-за функциональной изменчивости.
Неуправляемые факторы, которые вызывают отклонение функциональной характеристики изделия от заданного зна-
63
чения, называются факторами помех1. Факторы помех могут относиться к трем категориям: 1) внешние факторы, 2) производственные несовершенства, 3) деградация изделия. Изменения рабочих условий, таких, как температура, влажность, вибрации от соседних машин, колебания напряжения питания и т.д., а также ошибки человека в работе с изделием являются внешними факторами помех. Под производственными несовершенствами подразумевается разброс параметров от одного изделия к другому, что неизбежно в производственном процессе. Пример производственного несовершенства — изменчивость сопротивления резистора в усилителе: при заданном значении 100 кОм отдельные резисторы могут иметь сопротивление, например, 101,5 кОм. Эти производственные разбросы являются мерой возможностей производства. Увеличение сопротивления резистора со временем, потеря упругости пружины или изнашивание деталей двигателя из-за трения — примеры источников помех из-за деградации изделий.
Общая цель техники качества — производство изделий, которые робастны по отношению ко всем факторам помех. Робастность означает, что функциональная характеристика изделия нечувствительна к разбросам факторов помех, чтобы достичь робастности, контроль качества должен начинаться на стадии проектирования изделия и продолжаться при проектировании производственного процесса и на самом производстве. При проектировании изделия можно учесть все три категории факторов помех, в то время как при проектировании производственного процесса и в ходе производства можно учесть только несовершенства производства. Контроль качества при проектировании изделия и производственного процесса называется контролем качества на стадии проектирования, в то время как контроль качества при производстве — контролем качества в ходе производства.
При контроле качества на стадии проектирования общий подход проф. Тагути состоит в том, чтобы следовать двухэтапной процедуре в противовес подходам, включающим поиск и контроль факторов помех:
1 В словаре терминов: помехи или параметры помех.
64
Техника качества— планирование эксперимента
1.	Определить уровни регулируемых факторов, при которых влияние факторов помех на функциональную характеристику минимально. Этот этап называется параметрическим проектированием.
2.	Если уменьшение изменчивости функциональной характеристики, достигаемое параметрическим проектированием, недостаточно, то осуществляется сужение допусков для факторов помех. Этот этап называется проектированием допусков.
Эти процедуры широко использовались во многих отраслях японской промышленности для повышения качества изделий при одновременном контроле затрат.
Основные статистические методы, используемые при параметрическом проектировании, — планирование экспериментов и дисперсионный анализ. В последующих разделах иллюстрируется использование этих методов.
В качестве метода улучшения качества и повышения выхода изделий в ходе производства Бокс [7] предложил метод планирования экспериментов, названный «эволюционным планированием» (ЭВОП). Не создавая помех производственному процессу, метод ЭВОП позволяет получить информацию, необходимую для его улучшения.
3.3.	Контроль качества на стадии проектирования для процесса производства интегральных схем
Здесь излагается применение метода, основанное на работе, выполненной Фадке и др. [5] в сотрудничестве с проф. Тагути. Типичный кристалл большой интегральной схемы содержит тысячи контактных окон. Крайне важно изготовить окна размером, очень близким к заданному. Для формирования или прорезывания этих окон размером приблизительно 3 мкм в оксидном слое толщиной около 2 мкм используется фотолитография. Существует девять факторов, связанных с этим процессом: А (размер маски), В (вязкость фоторезиста), С (скорость вращения), D (температура сушки), Е (времясушки), F (апертура), G (время экспонирования), Н (время проявления) и I (время травления).
65
Глава 3
В августе 1980 г., когда мы начали исследование, размер окна сильно изменялся, и во многих случаях окна не вскрывались. Целью исследования было отыскать наилучшие уровни для каждого из девяти факторов, чтобы размер окна был наименее изменчивым и средний размер составлял 3 мкм. Отметим, что в дополнение к среднему значению нас также интересовала дисперсия.
Потенциальные уровни каждого из девяти факторов приведены в табл. 3.1. Стандартные уровни этих факторов, установленные до августа 1980 г., также приведены в таблице. Факторы А, В и D имеют по два уровня, а остальные шесть факторов — по три. Полный факторный план в этом случае весьма велик и содержит З6 х 23 = 5832 эксперимента.
3.3.1.	План с ортогональной матрицей
Дробный факторный план, использованный в этом исследовании, дан в табл. 3.2. Это план с ортогональной матрицей, состоящий из 18 экспериментов [8]. Строки матрицы представляют опыты, а столбцы — факторы. Комбинацией букв BD обозначен обобщенный фактор с уровнями 1, 2 и 3, представляющими сочетания E^D,, B2Dj и B2D2 соответственно.
Отметим некоторые особенности данного плана и соображения относительно него.
1.	Это план только главных эффектов, т.е. отклик аппроксимируется сепарабельной функцией.
2.	Столбцы матрицы попарно ортогональны. Это значит, что в каждой паре столбцов присутствуют все комбинации уровней и они встречаются одинаковое число раз.
3.	Следовательно, оценки главных эффектов всех факторов и связанных с ними сумм квадратов не зависят от предположения нормальности и равенства дисперсий результатов наблюдений. Поэтому проверки значимости этих факторов осуществляются независимо.
4.	Оценки главных эффектов могут быть использованы для прогнозирования отклика для любой комбинации уровней параметров. Привлекательное свойство такого плана состоит в том, что дисперсия ошибки прогноза одинакова для всех
66
Техника качества— планирование эксперимента
Таблица 3.1. Тестовые уровни
Фактор			Уровень	
обозна- чение	название			
А	Размер маски, мкм		2	2,5
В	Вязкость фоторезиста		204	206
С	Скорость вращения	низкая	нормальная	высокая
D	Температура сушки, °C	90	105	
Е	Время сушки, мин	20	30	40
F	Апертура	1	2	3
G	Время экспонирования	+ 20%	нормальное	- 20%
Н	Время проявления, с	30	45	60
I	Время плазменного			
	травления, мин	14,5	13,2	15,8
Стандартные уровни
Зависимость скорости вращения от вязкости
Вязкость	Скорость вращения, об/мип		
	низкая	нормальная	высокая
204	2000	3000	4000
206	3000	4000	5000
Зависимость времени экспонирования от апертуры
Апертура	Время экспонирования		
	-20%	нормальное	+ 20%
1	96	120	144
2	72	90	108
3	40	50	60
67
Глава 3
Таблица 3.2. Ортогональная матрица 1|8
Испытание	А	BD	С	Фактор			Н	I
				Е	F	G		
1	I	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	2	2	2	2	2	2
3	1	1	3	3	3	3	3	3
4	1	2	1	1	2	2	3	3
5	1	2	2	2	3	3	1	1
6	1	2	3	3	1	1	2	2
7	1	3	1	2	1	3	2	3
8	1	3	2	3	2	1	3	1
9	1	3	3	1	3	2	1	2
10	2	1	1	3	3	2	2	1
11	2	1	2	1	1	3	3	2
12	2	1	3	2	2	1	1	3
13	2	2	1	2	3	1	3	2
14	2	2	2	3	1	2	1	3
15	2	2	3	1	2	3	2	1
16	2	3	1	3	2	3	1	2
17	2	3	2	1	3	1	2	3
18	2	3	3	2	1	2	3	1
тех комбинаций уровней параметров, которые присутствуют в полном фактором плане.
5.	Некоторые из факторов (В, D, F и G) являются дискретными, в то время как другие — непрерывными. В главных эффектах непрерывных трехуровневых факторов можно выделить линейные и квадратичные члены, используя ортогональные полиномы Чебышева. Для двухуровневых факторов мы можем оценить только линейные эффекты. Поэтому такой план может быть использован также для оценки поверхности отклика по отношению к непрерывным факторам.
6.	Известно, что модели главных эффектов могут привести к неверным заключениям при наличии взаимодействий. Однако на начальной стадии исследования допускается, что роль взаимодействий мала.
68
Техника качества— планирование эксперимента
Попытку изучить все парные взаимодействия на начальной стадии исследования можно сравнить с работой геолога, который сверлит 100 отверстий на площади в одну квадратную милю в поиске нефти, а не на площади 100 квадратных миль. Если бы мы захотели изучить все двухфакторные взаимодействия при числе экспериментов не более 18, то имеющихся степеней свободы было бы достаточно для изучения только двух трехуровневых факторов или пяти1 двухуровневых факторов! Это означало бы в данном исследовании, что мы отбросили половину факторов процесса без экспериментального обоснования.
Планы с ортогональными матрицами безусловно могут быть использованы для изучения взаимодействий. Пример такого типа рассмотрен в разд. 3.5.
При проведении экспериментов такого рода некоторые пластины могут сломаться или быть повреждены. Кроме того, обычно велика изменчивость размеров окон для разных пластин, которая связана с изменчивостью исходного материала. Поэтому мы решили проводить каждый эксперимент на двух пластинах. Были использованы три меры качества: ширина линии до травления, ширина линии после травления и размер окна после травления. Из каждой пластины изготовлялось пять кристаллов, на которых проводились измерения. Эти кристаллы находились на определенных местах пластины: наверху, внизу, слева, справа и в центре. Таким образом, для каждого эксперимента мы имеем 10 результатов измерений для каждой из трех характеристик качества.
3.3.2.	Анализ данных
Ширины линий до травления и после травления — непрерывные переменные. Для каждой из этих переменных представляющие интерес статистические характеристики — среднее и стандартное отклонение. Цель нашего анализа данных — определение таких комбинаций уровней факторов, при которых стандартное отклонение минималь
1 Имеется в виду главная полуреплика типа 251, где парные взаимодействия смешаны с тройными. — Прим. peg.
69
Глава 3
но, а среднее равно заданному значению. Мы будем называть эту комбинацию уровней факторов оптимальной комбинацией. Метод проф. Тагути получения оптимальной комбинации излагается ниже.
Отметим, что минимизация стандартного отклонения равноценна минимизации влияния факторов помех. В данном эксперименте факторы помех — это нормально распределенные отклонения скорости вращения, температуры сушки, толщины фоторезиста вдоль пластины и т.д., т.е. те факторы, которыми не может управлять инженер-технолог.
Рассмотрим сначала случай, когда имеется только одна переменная отклика. Вместо использования среднего и стандартного отклонения, мы будем иметь дело с преобразованными переменными —- средним и отношением сигнал/шум (отношение S/N). В децибеллах отношение S/N определяется как
Отношение S / N = 201g---среднее^------_
стандартное отклонение
= -2&\%{коэффициент вариации).
Если использовать преобразованные переменные, то проблема оптимизации будет состоять в определении таких (оптимальных) уровней факторов, при которых отношение S/N максимально, а среднее значение равно заданному. Решение этой проблемы включает следующие два этапа.
1.	Определение факторов, которые значимо влияют на отношение S/N, с помощью дисперсионного анализа отношений сигнал/шум. Такие факторы называются управляемыми факторами1; предполагается, что они управляют изменчивостью процесса. Для каждого управляемого фактора выбирается оптимальный уровень, при котором отношение S/Nмаксимально. Эта процедура максимизирует отношение S/N в целом. (Отметим, что мы имеем дело с моделью главных эффектов. При наличии взаимодействий они должны быть соответствующим образом учтены.)
2.	Выбор фактора, который меньше всех остальных факторов влияет на отношение S/N и значимо влияет на сред
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
70
Техника качества— планирование эксперимента
нее. Такой фактор называется сигнальным фактором1. В идеальной ситуации сигнальный фактор не должен влиять на отношение S/N. Устанавливаются уровни остальных факторов (т.е. таких, которые не являются ни управляемыми, ни сигнальными факторами), которые априорно являются номинальными, до оптимизационного эксперимента. Затем устанавливается такой уровень сигнального фактора, что среднее значение отклика равно заданному значению.
Проф. Тагути предложил рассматривать на практике следующие два аспекта при выборе сигнального фактора: 1) предпочтительно, чтобы связь между средним значением отклика и уровнем сигнального фактора была линейной; 2) наличие удобного способа изменения сигнального фактора в процессе производства. Эти аспекты важны с точки зрения контроля качества в ходе производства. Согласно такой системе контроля качества, предложенной Тагути, сигнальный фактор меняют в ходе производства, чтобы компенсировать небольшие отклонения в среднем значении отклика.
Почему мы предпочитаем работать с отношением S/N, а не со стандартным отклонением? Часто с уменьшением среднего значения стандартное отклонение также уменьшается, и наоборот. В таком случае, если используется стандартное отклонение, то оптимизация не может быть осуществлена в два этапа, т.е. нельзя минимизировать сначала стандартное отклонение, а потом обеспечить равенство среднего значения заданной величине.
Проработав большое количество приложений, проф. Тагути эмпирически нашел, что именно два этапа оптимизации, включающие отношение S/N, дают комбинацию уровней параметров, при которой стандартное отклонение минимально, а среднее равно заданному значению. Отсюда следует, что технические системы ведут себя таким образом, что управляемые производственные факторы могут быть разделены на три категории:
1)	управляемые факторы, которые влияют на изменчивость процесса, измеряемую отношением S/N;
1 В словаре терминов: регулируемый параметр.
71
Глава 3
2)	сигнальные факторы, которые не влияют (или очень мало влияют) на отношение S/N, но значимо влияют на среднее;
3)	факторы, которые не влияют ни на отношение S/N, ни на среднее.
Наша двухэтапная процедура также имеет преимущество перед процедурой, которая непосредственно минимизирует среднеквадратичную ошибку относительно заданного среднего значения. Практически заданное среднее значение может меняться с развитием процесса. Достоинством двухэтапной процедуры является то, что любое заданное среднее значение (конечно, в разумных границах) можно получить с помощью новой оптимальной комбинации уровней факторов, регулируя подходящим образом уровень только сигнального фактора. Это связано с тем, что на первом этапе минимизируется коэффициент вариации для широкого диапазона заданных средних значений.
При наличии нескольких откликов используется инженерный подход, чтобы разрешить противоречия, которые могут иметь место между различными откликами.
Иногда экспериментальные данные являются категориальными или смешанными, категориально-непрерывными, как в случае данных о размере окон после травления. Такие данные можно эффективно обрабатывать с помощью предложенного Тагути [9] метода аккумуляционного анализа.
3.3.3.	Результаты
С помощью приведенного выше метода анализа величины А, В, С, Е, F и Н были идентифицированы как управляемые факторы, a G — как сигнальный фактор. Размер маски изменяется от 2 до 2,5 мкм при следующих значениях факторов: скорость вращения 3000—4000 об/мин, время проявления 45—60 с. Время экспонирования подбирается так, чтобы обеспечить правильные средние значения ширины линии и размера окна. Эксперимент показал, что уровни других факторов были оптимальными с самого начала.
Проверочный эксперимент, проведенный при оптимальных условиях, показал следующие улучшения.
72
Техника качества - планирование эксперимента
1.	Стандартное отклонение размера окна до травления, которое является стандартной мерой качества, уменьшилось от 0,29 до 0,14 мкм.
2.	Число случаев невскрытая окон (когда размер окна равен нулю) уменьшилось с 0,12 до 0,04 окно/кристалл. Этот показатель соответствует трехкратному уменьшению плотности дефектов.
3.	Наблюдая эти улучшения в течение нескольких недель, инженеры-технологи убедились в стабильности и робастности новых параметров процесса. Поэтому они отказались от нескольких проверок в ходе процесса. В результате общее время нахождения пластин на фотолитографии уменьшилось в два раза.
Итак, рассмотрен пример, показывающий улучшение качества и производительности с помощью планируемых экспериментов и дисперсионного анализа.
3.4.	Контроль качества и затрат при проектировании изделия
Первый шаг в проектировании изделия — системное проектирование, т.е. создание основной конфигурации изделия. В случае схемного проектирования это означает выбор подходящей принципиальной электрической схемы специалистом в данной технической области. Затем должны быть выбраны уровни характеристик элементов и их допуски. Обычно чем шире допуски, тем ниже стоимость элемента. Однако широкие допуски приводят к большому разбросу функциональной характеристики изделия. Таким образом, возникает типичная дилемма выбора между качеством и ценой. Существует способ разрешения такой дилеммы с помощью нелинейной связи между характеристиками элементов и функциональной характеристикой и выбора таких номинальных уровней характеристик элементов, что даже при широких допусках на характеристики элементов функциональная характеристика изделия будет иметь небольшой разброс. Чтобы добиться дальнейшего уменьшения дисперсии функцио-
73
Глава 3
Таблица 3.3. Управляемые факторы
Фак- тор	Обозна ченис	Описание	Уровень		
			1	2	3
А	RFM	Сопротивление обратной связи (минус терминал), кОм	35,5	71	142
В	RPEM	Эмиттерное сопротивление (PNP минус терминал), кОм	7,5	15	30
С	RNEM	Эмиттерное сопротивление (NPN минус терминал), кОм	1,25	2,5	5
D	CPCS	Комплементарная пара источников тока, мкА	10	20	40
Е	OCS	Выходной источник тока,	10	20	40
		мкА			
				Существу-	
				ющий	
				уровень	
нальной характеристики изделия, уменьшают допуски на характеристики элементов.
Рассмотрим теперь применение планирования экспериментов и дисперсионного анализа при проектировании изделия на примере разработки дифференциального операционного усилителя, который широко используется в технике связи [6]. Схема содержит два источника питания, пять транзисторов и восемь резисторов. Она должна функционировать в широком диапазоне температур. Компенсационный характер схемы накладывает определенные ограничения на значения ее параметров. Из-за этих ограничений инженеры могут независимо определять значения только пяти параметров схемы, которые мы будем называть факторами проектирования, подразумевая тем самым, что они являются регулируемыми параметрами. Производственные разбросы характеристик резисторов, транзисторов и источников питания приводят к разбалансу схемы и вызывают напряжение сме-
74
Техника качества— планирование эксперимента
Таблица 3.4. Ортогональная матрица £36
Испы=-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 11 121314 15 16							171819 20				2122 23		
тание																							
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
4	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	1	1	1	1	2	2	2	2	3	3	3	3
5	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	1	1	1	1
6	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	1	1	1	1	2	2	2	2
7	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2	2	1	1	2	3	1	2	3	3	1	2	2	3
8	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2	2	2	2	3	1	2	3	1	1	2	3	3	1
9	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2	2	3	3	1	2	3	1	2	2	3	1	1	2
10	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	2	1	1	3	2	1	3	2	3	2	1	3	2
И	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	2	2	2	1	3	2	1	3	1	3	2	1	3
12	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	2	3	3	2	1	3	2	1	2	1	3	2	1
13	1	2	2	1	2	2	1	2	1	2	1	1	2	3	1	3	2	1	3	3	2	1	2
14	1	2	2	1	2	2	1	2	1	2	1	2	3	1	2	1	3	2	1	1	3	2	3
15	1	2	2	1	2	2	1	2	1	2	1	3	1	2	3	2	1	3	2	2	1	3	1
16	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1	1	1	2	3	2	1	1	3	2	3	3	2	1
17	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1	1	2	3	1	3	2	2	1	3	1	1	3	2
18	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1	1	3	1	2	1	3	3	2	1	2	2	1	3
19	2	1	2	2	1	1	2	2	1	2	1	1	2	1	3	3	3	1	2	2	1	2	3
20	2	1	2	2	1	1	2	2	1	2	1	2	3	2	1	1	1	2	3	3	2	3	1
21	2	1	2	2	1	1	2	2	1	2	1	3	1	3	2	2	2	3	1	1	3	1	2
22	2	1	2	1	2	2	2	1	1	1	2	1	2	2	3	3	1	2	1	1	3	3	2
23	2	1	2	1	2	2	2	1	1	1	2	2	3	3	1	1	2	3	2	2	1	1	3
24	2	1	2	1	2	2	2	1	1	1	2	3	1	1	2	2	3	1	3	3	2	2	1
25	2	1	1	2	2	2	1	2	2	1	1	1	3	2	1	2	3	3	1	3	1	2	2
26	2	1	1	2	2	2	1	2	2	1	1	2	1	3	2	3	1	1	2	1	2	3	3
27	2	1	1	2	2	2	1	2	2	1	1	3	2	1	3	1	2	2	3	2	3	1	1
28	2	2	2	1	1	1	1	2	2	1	2	1	3	2	2	2	1	1	3	2	3	1	3
29	2	2	2	1	1	1	1	2	2	1	2	2	1	3	3	3	2	2	1	3	1	2	1
30	2	2	2	1	1	1	1	2	2	1	2	3	2	1	1	1	3	3	2	1	2	3	2
31	2	2	1	2	1	2	1	1	1	2	2	1	3	3	3	2	3	2	2	1	2	1	1
32	2	2	1	2	1	2	1	1	1	2	2	2	1	1	1	3	1	3	3	2	3	2	2
33	2	2	1	2	1	2	1	1	1	2	2	3	2	2	2	1	2	1	1	3	1	3	3
34	2	2	1	1	2	1	2	1	2	2	1	1	3	1	2	3	2	3	1	2	2	3	1
35	2	2	1	1	2	1	2	1	2	2	1	2	1	2	3	1	3	1	2	3	3	1	2
36	2	2	1	1	2	1	2	1	2	2	1	3	2	3	1	2	1	2	3	1	1	2	3
щения нуля на выходе. Существуют 20 параметров этой схемы, подлежащих установлению допусков. С учетом температуры получаем 21 «параметр помех». Цель проектирования — выбор таких уровней параметров проектирования, чтобы средний квадрат напряжения смещения нуля при обычных производственных допусках был минимальным.
75
Глава 3
В математическом аспекте наша задача состоит в поиске в пятимерном пространстве факторов проектирования такой точки, для которой средний квадрат напряжения смещения нуля минимален. Планирование экспериментов — очень эффективный инструмент решения этой проблемы. В табл. 3.3 приведены уровни каждого из пяти параметров проектирования, которые образуют потенциальную область проектирования. Средние уровни каждого фактора представляют первоначальный проект. В табл. 3.4 приведена ортогональная матрица L36, взятая из работы [10]. Факторы А, В, С, D и Е соответствуют столбцам 12—16. Подматрица матрицы Lx, образованная столбцами с 12-го по 16-й и обозначенная {Iik}, называется управляемой ортогональной матрицей.
Для 10 параметров помех были выбраны два уровня, находящихся по обе стороны от среднего значения и отстоящих от него на одно стандартное отклонение. Эти параметры расположены в столбцах с 1-го по 10-й матрицы L36. Для остальных 11 параметров помех были выбраны три уровня: два уровня, находящихся по обе стороны от среднего значения и отстоящих от него на величину \’3/2х (стандартное отклонение), и один уровень, совпадающий со средним значением. Данные параметры расположены в столбцах с 12-го по 22-й матрицы L36. Подматрица L36, образованная столбцами с 1-го по 10-й и с 12-го по 22-й, обозначена {J.,} и называется ортогональной матрицей помех. Отметим, что управляемая ортогональная матрица и ортогональная матрица помех не обязательно должна происходить из одной и той же ортогональной матрицы, которая в данном случае обозначена L36. Здесь такой выбор этих матриц сделан для удобства.
3.4.1.	Моделирование и анализ данных
Пусть — напряжение смещения нуля, соответствующее i-й строке управляемой ортогональной матрицы и j-й строке ортогональной матрицы помех. Тогда
36
< =0/36)24
7=1
76
Техника качества— планирование эксперимента
есть средний квадрат напряжения смещения нуля, соответствующего 1-й строке управляемой ортогональной матрицы. Отметим, что здесь средний квадрат напряжения смещения нуля получается с помощью детермированного моделирования, определяемого ортогональной матрицей помех. Моделирование с помощью случайных чисел не используется. Однако 36 значений х.., которые используются для вычисления г, представляют выборку из 210 х 3" комбинаций уровней параметров помех. Таким образом, г. рассматривается как случайная переменная при проведении дисперсионного анализа. При выражении в децибелах средний квадрат напряжения смещения нуля определяется формулой Т]. — - 101g Юг-Ми имеем 36 значений для 36 строк управляемой ортогональной матрицы.
Результаты дисперсионного анализа даны в табл. 3.5. Можно видеть, что только факторы В, D и Е оказывают значимое влияние при 5%-ном уровне значимости на величину г/. На рис. 3.2 эти эффекты представлены графически. Отметим, что комбинация уровней факторов B|DJE1 дает наибольшее значение г/ и поэтому наименьшее значение среднего квадрата напряжения смещения нуля. Действительно, используя линейную модель с главными эффектами, можно показать, что среднеквадратичное напряжение смещения нуля уменьшается от начального значения 34,1 мВ до 20,2 мВ. Было выполнено моделирование с использованием ортогональной матрицы помех для оценки среднеквадратичного напряжения смещения нуля при прогнозированных оптимальных условиях и было получено значение 16,2 мВ, достаточно близкое к прогнозированному значению 20,2 мВ.
Таким образом было получено уменьшение на 40% среднего квадрата напряжения смещения нуля, что значительно улучшает качество просто путем сдвига средних уровней трех управляемых параметров. Отметим, что это изменение проекта не приводит к увеличению стоимости изделия.
Планируемые эксперименты и дисперсионный анализ могут использоваться для дальнейшего исследования пространства параметров проектирования вблизи точки оптимума. Их также можно использовать для нахождения тех допус-
77
Глава 3
Таблица 3.5. Таблица результатов дисперсионного анализа
Фактор	Число степеней свободы	Сумма квадратов	F
A(RFM)	2	9,9	0,53
B(RPEM)	2	463,7	25,03’
C(RNEM)	2	29,9	1,61
D(CPCS)	2	111,1	6,00-
E(OCS)	2	87,5	4,72-
Ошибка	25	231,6	
Сумма	35	933,7	
* Факторы с уровнем значимости 5% отмечены звездочкой.
Рис. 3.2. Графики эффектов значимых факторов. Стрелками указаны пределы ±<т
ков, которые могут быть сужены, чтобы еще уменьшить средний квадрат напряжения смещения нуля для минимизации стоимости изделия.
78
Техника качества- планирование эксперимента
В заключение отметим, что использование ортогональных матриц имело две цели: 1) оценить влияние факторов помех, 2) изучить многомерное пространство, образованное управляемыми факторами.
3.5.	Линейные графы
Промышленные эксперименты связаны с большим разнообразием условий: переменным числом факторов, различными комбинациями числа уровней факторов, различными требованиями к оценке взаимодействий и меняющимися ограничениями на способ проведения экспериментов. Чтобы эффективно спланировать эти эксперименты, нужны набор таблиц и простые процедуры для построения ортогональных планов с минимальными затратами. Методы построения ортогональных матриц и их линейных графов, развитые Тагути [10], вполне удовлетворяют этому требованию. Чтобы проиллюстрировать использование линейных графов, рассмотрим пример вырезания плат из панелей с помощью фрезерования. Цель эксперимента — выбрать наилучший режущий инструмент из четырех возможных и определить оптимальные условия резки. Перечислим факторы, подлежащие исследованию, и число их уровней: А) отсос (2 уровня), В) подача по X и У (2), С) тип инструмента (4), D) расположение шпинделя (4), Е) тип основания отсасывающего устройства (2), F) высота стопки панелей (2), G) глубина желоба (2) и Н) скорость (2). Экспериментальный план должен отвечать следующим требованиям.
1.	На станке находятся четыре шпинделя. Все шпиндели должны вращаться с одинаковой скоростью и иметь одинаковую подачу по осям X и У. Кроме того, эксперимент должен быть поставлен так, чтобы влияние положения шпинделя исключалось при оценивании влияния других факторов.
2.	Трудно изменять отсос. Поэтому предпочтительно изменять его уровень как можно реже.
3.	Должно быть изучено взаимодействий В х F.
Полный факторный план эксперимента включает 27 х 42 = 2048 опытов. Чтобы удовлетворить упомянутым выше тре-
79
Глава 3
Таблица 3.6. Ортогональная матрица Фактор
Испытание	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 И		12 13		14 15	
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2
3	1	1	1	2	2	2	2	1	1	1	1	2	2	2	2
4	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	1	1	1	1
5	1	2	2	1	1	2	2	1	1	2	2	1	1	2	2
6	1	2	2	1	1	2	2	2	2	1	1	2	2	1	1
7	1	2	2	2	2	1	1	1	1	2	2	2	2	1	1
8	1	2	2	2	2	1	1	2	2	1	1	1	1	2	2
9	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
10	2	1	2	1	2	1	2	2	1	2	1	2	1	2	1
11	2	1	2	2	1	2	1	1	2	1	2	2	1	2	1
12	2	1	2	2	1	2	1	2	1	2	1	1	2	1	2
13	2	2	1	1	2	2	1	1	2	2	1	1	2	2	1
14	2	2	1	1	2	2	1	2	1	1	2	2	1	1	2
15	2	2	1	2	1	1	2	1	2	2	1	2	1	1	2
16	2	2	1	2	1	1	2	2	1	1	2	1	2	2	1
бованиям, можно с помощью линейного графа, который рассмотрен ниже, построить ортогональный сбалансированный дробный факторный эксперимент. На рис. 3.3 показан перевод указанных требований в линейный граф. Рассмотрим ортогональную матрицу Lie, которая содержит 15 двухуровневых столбцов [8] (табл. 3.6). Четырехуровневый столбец можно образовать в двухуровневой ортогональной матрице пугем объединения двух столбцов, оставляя столбец их взаимодействий пустым. Это показано двумя кружками, соединенными линией. Поэтому для каждого из факторов С и D нужны два кружка, соединенные линией. Поскольку нас интересует взаимодействие В х F, надо провести линию, соединяющую эти факторы. На рис. 3.3 некоторые факторы обозначены черными кружками, остальные — светлыми. Светлые кружки означают, что соответствующие факторы подлежат минимальным изменениям, а черные кружки — соответствующие факторы подлежат многочисленным измене-
80
Техника качества— планирование эксперимента
1 о (А) Отсос
5 •
(Е)
Тип основания отсасывающего устройства
7Т
(G) Глубина желоба
3 о
(Н)
Скорость
(В) подача по осям X-Y
8	9	13 (BxF)
12	14
(С) тип инструмента
(О) положение шпинделя
гг\высота стопки
1 J панелей
Рис. 3.3. Линейный граф для эксперимента по фрезерованию. Буквы на графе обозначают факторы, числа — соответствующие столбцы ортогональной матрицы Ll6. Чтобы сформировать четырехуровневый столбец для фактора С, комбинируем столбцы 4 и 12 и оставляем пустым столбец 8 для их взаимодействия. Четырехуровневый столбец для фактора D формируется аналогично. Как показано на графе, взаимодействие BxF оценивается по столбцу 13.
ниям. Факторы А, В и Н обозначены светлыми кружками, поскольку они не могут изменяться от шпинделя к шпинделю в отдельном цикле работы станка. Фактор D обозначен черными кружками, поскольку в одном эксперименте должны участвовать все четыре шпинделя. Поскольку на остальные факторы не налагаются специальные ограничения, они могут обозначаться либо черными, либо светлыми кружками.
Имея подготовленный линейный граф, такой, как па рис. 3.3, достаточно легко сопоставить его с одним из нескольких линейных графов £/6 [8], соответствующих обозначениям столбцов, показанным на том же рисунке. Результирующий план дан в табл. 3.7. Отметим, что в экспериментах с 1-го по 4-й одинаковы скорость и подача по осям X и У; в этих четырех экспериментах представлены все четыре шпинделя. Эксперименты с 1-го по 4-й охватывают один цикл работы станка. Аналогично, эксперименты с 5-го по 8-й, с 9-го по 12-й и с 13-го по 16-й также охватывают полные рабочие циклы.
Тагути [10] протабулировал много ортогональных матриц и их линейные графы. Эти матрицы содержат различные
81
Глава 3
комбинации двух-, трех-, четырех- и пятиуровневых столбцов. С помощью линейных графов число возможных комбинаций можно увеличить. Недавно Какар [11] построил новые ортогональные матрицы. Превосходное описание методов построения ортогональных матриц приведено в работе [12].
3.6.	Заключение
Из приведенных примеров следует, что планирование экспериментов может способствовать повышению качества и производительности. Так, при производстве интегральных схем только лишь 18 тщательно отобранных экспериментов дали уменьшение на 50% стандартного отклонения процесса, на 67% уменьшилось число критических дефектов, возникающих из-за невскрытая окон, и одновременно на 50% уменьшилась продолжительность технологического процесса. В приложении к схемному проектированию умеренное по масштабу моделирование с числом вариантов анализа 362 = 1296 позволило уменьшить средний квадрат напряжения смещения нуля на 40%. Причем это улучшение качества не требует никакого сужения допусков и дополнительных затрат.
Планирование эксперимента и методы дисперсионного анализа первоначально разрабатывались Р.А. Фишером в 1920 г. в связи с сельскохозяйственными экспериментами. Теория и применение планирования эксперимента и методов поверхности отклика усовершенствовались многими исследователями, и на сегодняшний день имеется много превосходных монографий на эту тему (см., например, [ 12—16]). Использование ортогональных матриц для планирования экспериментов впервые было предложено Рао [17]. Полезные ортогональные планы были созданы многими исследователями (см., например, [10, 18, 19]).
В Японии осведомленность о методах планирования эксперимента и использование их значительно шире, чем в США. Например, компания «Ниппон-Денсо», поставщик электрических приборов во многие страны, использовала эксперименты, основанные на ортогональных матрицах, 2700
82
Техника качества— планирование эксперимента
Таблица 3.7. Матрица плана для эксперимента по резке панелей
Фактор									
Испытание	А	В	Н	С	D	Е	F	G	BxF
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	2	2	1	2	2	2
3	1	1	1	4	4	2	2	1	2
4	1	1	1	3	3	2	1	2	1
5	1	2	2	1	4	1	2	2	1
6	1	2	2	2	3	1	1	1	2
7	1	2	2	4	1	2	1	2	2
8	1	2	2	3	2	2	2	1	1
9	2	1	2	1	3	2	2	1	2
10	2	1	2	2	4	2	1	2	1
И	2	1	2	4	2	1	1	1	1
12	2	1	2	3	1	1	2	2	2
13	2	2	1	1	2	2	1	2	2
14	2	2	1	2	1	2	2	1	1
15	2	2	1	4	3	1	2	2	1
16	2	2	1	3	4	1	1	1	2
раз в 1976 г. [8]. Тысячи инженеров обучаются каждый год на курсах, субсидируемых компанией, и курсах, субсидируемых Японской ассоциацией стандартов и Японским объединением ученых и инженеров. Некоторые оценки свидетельствуют, что основная доля повышения качества и производительности в Японии за последние три десятилетия обусловлена широким использованием статистически планируемых экспериментов.
Подход к планированию и анализу экспериментов с использованием ортогональных матриц и линейных графов, широко распространенный в Японии, имеет следующие привлекательные черты.
1.	Простота постановки сложных экспериментов, включающих много факторов с различным числом уровней. Анализ полученных данных также прост и стандартизован.
83
Глава 3
2.	Предметами исследования являются как среднее значение, так и дисперсия отклика.
3.	Поскольку одновременно изучается большое количество факторов, данный метод эксперимента высокоэффективен. В план эксперимента включаются только те взаимодействия, которые предполагаются существенными.
Я полагаю, что планирование экспериментов должно стать необходимой составной частью курса обучения студентов и переподготовки инженеров. Это позволит значительно повысить качество и производительность.
Глава 4. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МЕТОД ТАГУТИ
Р. Какар
© 1985 American Society for Quality Control
4.1.	Введение
Производитель керамической плитки в Японии уже в 1953 г. знал, что дороже контролировать причины разбросов, чем сделать процесс нечувствительным к разбросам. Технологам компании Ina Tile было известно, что неравномерное распределение температуры в печи обжига вызывает разброс размера плиток. Поскольку неравномерное распределение температуры было определенной причиной разброса, контроль качества в ходе процесса привел бы к увеличению затрат на изготовление плитки. Технологи решили уменьшить разброс без увеличения затрат. Вместо контроля распределения температуры они попытались найти такую рецептуру плитки, которая уменьшила бы влияние неравномерности распределения температуры, вызывающей разброс. С помощью планирования экспериментов был найден экономически выгодный метод уменьшения разброса размера плиток. Было обнаружено, что увеличение содержания извести в плитке от 1 до 5% уменьшает разброс ее размера в 10 раз. Это открытие было качественным скачком в производстве керамических плиток.
Методика уменьшения разброса с помощью снижения чувствительности инженерной разработки к его источникам эффективнее контроля самих источников; она называется параметрическим проектированием. Это пример из книги «Передовые достижения в промышленности», опубликованной издательством Diamond Sha в Японии, иллюстрирует, что параметрическое проектирование — экономически эффективный метод улучшения производственных процессов. Еще более эффективно использование параметрического проектирования для улучшения процесса эксплуатации изделия, в
85
Глава 4
ходе которого на свойства изделия влияют окружающая среда, деградация изделия и несовершенства производства. Параметрическое проектирование может быть использовано для того, чтобы создать изделие, робастное по отношению к этим источникам разбросов.
Разброс характеристик изделия, возникающий в течение его срока службы, — важный аспект качества изделия. Методы контроля качества на стадии проектирования уменьшают разброс характеристик изделия при его эксплуатации и, следовательно, затраты на него в течение срока службы. Количественная мера разбросов характеристик изделия — ожидаемые затраты за весь период эксплуатации изделия из-за этих разбросов. Эксперименты с параметрами проектирования позволяют найти такой набор значений параметров, которые минимизируют ожидаемые затраты. Выходная статистика является критерием для сравнения различных наборов значений параметров проектирования изделия, что позволяет воспользоваться априорными инженерными знаниями об изделии и функции потерь. Тагути рекомендует использовать ортогональные матрицы для планирования экспериментов с параметрами проектирования. Такие эксперименты могут быть также использованы для идентификации набора значений переменных процесса, которые минимизируют влияние условий технологического процесса на характеристики изделия.
4.2.	Разброс выходных характеристик
Американское общество по контролю качества [ 1 ] определяет качество как «совокупность отличительных черт и характеристик изделия или услуг, соответствующих возможности удовлетворить потребности (потребителя)». Выходные характеристики — окончательные характеристики изделия, определяющие способность изделия удовлетворить потребности потребителя. Четкость изображения на экране телевизора — пример выходной характеристики. Большинство изделий обладают множеством таких характеристик, интересующих потребителя. Чтобы
86
Контроль качества в ходе проектирования
определить степень удовлетворенности этими характеристиками, необходимо знать идеальное состояние характеристики изделия с точки зрения покупателя. Это идеальное состояние называют заданным значением.
Все заданные значения характеристик изделия должны быть установлены через номинальные уровни и отклонения от них. В промышленности принято определять отклонения значений характеристик изделия только через интервалы. Эта практика выражает ошибочное представление о том, что потребитель равно удовлетворен всеми значениями характеристики в заданном интервале и сразу же становится неудовлетворенным, если ее значение выходит из этого интервала. Заданное значение должно быть определено как идеальный уровень выходной характеристики изделия и может находиться или нет в середине заданного интервала. Например, если «содержание примеси» является выходной характеристикой изделия и может находиться в заданном интервале (0, а), то заданное значение выходной характеристики в данном случае равно нулю. Разброс характеристики изделия — это величина, на которую характеристики изделия отклоняется от заданного значения в течение его срока службы при различных условиях работы и для разных единиц изделия. Разброс характеристики — важный аспект качества изделия. Чем меньше этот разброс относительно заданного значения, тем выше качество изделия. Например, телевизор, изображение которого зависит от погодных условий, имеет плохое качество. Что почувствует покупатель, если его автомобиль с гарантированным пробегом 100 000 миль придет в негодность после 30 000 миль? Изделие хорошего качества сохраняет свои характеристики в течение всего срока службы в самых различных рабочих условиях. Степень удовлетворенности покупателя обратно пропорциональна разбросу характеристик изделия. Джуран [2] определяет несколько аспектов качества изделия: качество проектирования, качество соответствия и надежность. Разброс характеристик изделия определяется всеми этими тремя важными аспектами качества.
Основные причины разброса характеристик изделия — параметры окружающей среды, деградация изделия и несо-
87
Глава 4
Таблица 4.1. Этапы создания изделия, на которых могут быть предприняты меры против различных источников разброса характеристик изделия
Этап создания изделия	Источник изменчивости		
	параметры окружающей среды	деградация изделия	изменения технологического режима
Проектирование	0	0	0
изделия			
Проектирование	X	X	0
процесса			
Производство	X	X	0
О — контрмеры возможны; X — контрмеры невозможны.
вершенства изготовления. Изменения параметров окружающей среды, таких, как температура, влажность и напряжение источника питания, могут вызвать разброс выходных характеристик изделия. Деградация изделия со временем — важная причина разброса его характеристик. Общие примеры деградации — увеличение электрического сопротивления резисторов, потеря упругости пружин, износ движущихся частей мотора из-за трения между ними. Кроме того, из-за неизбежных отклонений параметров производственного процесса от номинальных значений характеристики различных экземпляров изделия различаются.
Хотя все этапы цикла создания изделия влияют на его качество и стоимость, этапы проектирования изделия и производственного процесса оказывают решающее влияние на величину разброса характеристик изделия и сумму производственных затрат. Цикл создания изделия можно разделить на три отдельные, хотя и перекрывающиеся частично стадии: проектирование изделия, проектирование процесса изготовления и производство. На стадии проектирования изделия инженеры создают полную спецификацию проекта, включая спецификацию материалов, компонентов, конфигурации и отличительных свойств. Затем инженеры-технологи осуществляют разработку процесса производства. Они могут
88
Контроль качества в ходе проектирования
создать новый процесс или модифицировать существующий для производства нового изделия. Затем на заводе производственный процесс используется для получения множества единиц изделия.
Как показано в табл. 4.1, меры против разбросов характеристик изделия, вызываемых параметрами окружающей среды и деградацией изделия, могут быть предприняты только на стадии проектирования изделия. Инженеры-производственники хорошо знают, что управление производственным процессом, который чувствителен к отклонениям от его режима, обходится дорого. К тому же затраты по обнаружению и коррекции недостатков производства быстро увеличиваются по мере продвижения изделия по технологической линии. Как правило, дешевле всего корректировать недостатки производства в изделии сразу же после того, как эти недостатки возникли. Поскольку сложность современных производств и изделий неуклонно увеличивается, проектирование как изделий, так и процессов производства играет все большую роль в определении качества и стоимости изделий.
Однако традиционные методы контроля качества, такие, как диаграммы причин и результатов, изучение возможностей процесса, контроль качества процесса, контрольные карты и эмпирические байесовские карты [5] применяются в основном на стадии производства. Эти действия по контролю качества на стадии производства, которые поддерживают производственный процесс в статистически управляемом состоянии и уменьшают недостатки производства в изделии, называют методами контроля качества на стадии производства.
4.3.	Контроль качества на стадии проектирования
Методами контроля качества на стадии проектирования определяют воздействия на качество и стоимость изделия и процесса на стадии их проектирования в цикле создания изделия. Общая цель таких методов — улучшить тех-
89
Глава 4
нелогичность и надежность изделия и снизить затраты на его создание и эксплуатацию. Лидирующие производители изделий высокого качества используют методы контроля качества на стадии проектирования, такие, как анализ проекта, анализ чувствительности, испытания прототипа изделия, ускоренные испытания на долговечность и изучение надежности. Однако эти методы не так развиты и не так широко применяются, как методы контроля качества на стад ии производства. Промышленности нужны хорошо исследованные методы контроля качества на стадии проектирования. В особенности ей нужны научные методы идентификации тех компонентов проектирования изделий и процессов, которые уменьшают разброс характеристик изделий и затраты на их изготовление.
Как и характеристики изделия, все компоненты проектирования изделия и процесса должны быть выражены через идеальные номинальные значения и отклонения от этих номинальных значений. В промышленности принято определять эти компоненты только через интервалы отклонений. Такая практика может привести к тому, что характеристики производственного изделия едва попадают внутрь заданных интервалов отклонений. Такие изделия имеют плохие качество и надежность. Даже если все характеристики изделия находятся внутри заданных интервалов отклонений, изделие может оказаться неудовлетворительным по качеству из-за взаимодействия между его характеристиками. Например, если размер двери автомобиля находится вблизи верхней границы интервала, а размер дверного проема — вблизи нижней границы заданного интервала, дверь может плохо закрываться. Функционирование изделия будет наилучшим, когда все характеристики изделия принимают идеальные значения. Следовательно, знание идеальных значений характеристик изделия и процесса и оценка потерь, обусловленных отклонениями от этих идеальных значений, являются стимулами к непрерывному улучшению качества.
Тагути [3] описал трехстадийный подход к установлению номинальных значений характеристик изделия и процесса и отклонений от них: системное проектирование, параметрическое проектирование и проектирование допусков.
90
Контроль качества в ходе проектирования
Системное проектирование — процесс применения научных и инженерных знаний к разработке модели изделия. Модель изделия определяет начальные значения характеристик изделия и процесса.
Параметрическое проектирование — это процесс идентификации таких значений параметров проектирования, которые минимизируют (или по крайней мере уменьшают) разброс выходных характеристик изделия. Изделие или процесс может выполнять свои функции при нескольких наборах значений параметров проектирования. Однако разброс выходных характеристик может меняться при различных наборах значений параметров проектирования. Этот разброс увеличивает затраты как на производство, так и на эксплуатацию изделия.
Проектирование допусков — процесс определения допусков, которые минимизируют сумму затрат на производство изделия и его эксплуатацию. Окончательная стадия проектирования изделия и процесса — определение допусков вблизи номинальных значений характеристик изделия, установленных на стадии параметрического проектирования. До сих пор еще в промышленности принято назначать допуски по соглашению, без применения научных методов. Допуски, которые слишком узки, увеличивают затраты на производство, а слишком широкие допуски увеличивают разброс характеристик изделия, что, следовательно, ведет к росту затрат на эксплуатацию изделия.
4.4.	Ожидаемые потери
Для идентификации оптимального набора значений параметров требуется определить критерий, который необходимо оптимизировать. Таким критерием являются ожидаемые потери — ожидаемые денежные затраты любого потребителя, использующего изделие, в течение срока службы изделия из-за разброса характеристик изделия. Мерой разброса характеристик изделия являются ожидаемые потери. Концепция ожидаемых потерь делает конкретной проблему уменьшения разброса характеристик изделия, а
91
Глава 4
также создает общую основу для сравнения разбросов различных характеристик.
Пусть У— значение некоторой характеристики изделия и Т — заданное значение У. Значение У может отклоняться от Т как в течение срока службы изделия, так и для различных единиц изделия. В статистическом смысле У— случайная переменная с некоторым вероятностным распределением (параметрами вероятностного распределения Уявляются номинальные значения характеристик изделия при проектировании). Разбросы У вызывают потери для потребителя изделия. Пусть функция /(У) представляет потери в долларах, которые несет любой потребитель в произвольное время в течение срока службы изделия из-за отклонения УотТ. Обычно бывает трудно определить вид функции ДУ), но для многих характеристик изделия квадратичная аппроксимация ДУ) адекватно представляет экономические потери вследствие разброса характеристик изделия. Квадратичная функция потерь уже использовалась ранее. Действительно, квадратичные потери являются основой метода наименьших квадратов, созданного Гауссом в 1809 г. Самая простая квадратичная функция потерь имеет вид
tn
где К — константа (рис. 4.1). Неизвестная константа К может быть определена, если потери ДУ) известны для какого-нибудь значения У. Предположим, что (Т-Д, т + Д) — интервал допустимых отклонений потребителя. Если изделие работает неудовлетворительно, т.е. если У выходит из этого интервала, и затраты потребителя по замене или ремонту изделия составляют А долларов, то из уравнения (1) имеем А = КД2 и К = А/Л2.
Интервал допустимых отклонений изготовителя (Т-S, Т + S) также можно получить из функции потерь (1). Предположим, что до отгрузки изделия затраты изготовителя по замене какого-либо изделия, параметры которого выходят за интервал допусков потребителя, составляют В долларов. Тогда В = (А/Л2)(У— т)2, У = т ± (В/А),/2Д иб = (В/А)1/2Д. Поскольку В обычно значителы ю меньше А, интервал допусков изго-
92
Контроль качества в ходе проектирования
товителя будет уже, чем интервал допусков потребителя (рис. 4.1). Определив математическое ожидание для выражения (1) по отношению к распределению У, мы получим ожидаемые потери:
Z = £’[lfY;]=KE[Y — ТЛ-	(2)
Математическое ожидание в уравнении (2) определено относительно распределения У как для срока службы изделия, так и для различных потребителей отдельных изделий. В некоторых случаях функция потерь /(У) не симметрична относительно Т. Это может быть, например, тогда, когда выходная характеристика Унеотрицательна, а задан! юе значение У равно нулю. Несимметричная квадратичная функция потерь имеет вид
l(Y] = рЦУ-Т)2приУ<Т, ’ ’	(К2(У— т)2приУ>т.
Неизвестные константы Кх и К2 могут быть определены, если потери Ц У) известны для какого-либо значения У меньшего Т, и для значения У, большего т. Предположим, что (Т — Д,, Т + +Д2) — интервал допусков потребителя и затраты потребителя на ремонт изделия составляют долларов, если У меньше Т--ДрИ^долларов, еслиУболыпеТ + Д2. Тогда/у = А1/Д21иК2= А2/Д22. Получив математическое ожидание для выражения (3), найдем ожидаемые потери:
93
Глава 4
L = £[l(Y;j = K,PtE[(Y — T)2|YJ] +	— T)2|Y>T],(4)
где P{ — вероятность того, что Y< т, и Р2 = 1 — Pv Если Y — неотрицательное значение и Т = О, то Кх = 0. Обозначим К2 через К, тогда функция (3) упрощается:
1(Y) = KY2 при Y= 0,	(5)
и выражение для ожидаемых потерь (4) также упрощается:
L = КЕ[ Y2].	(6)
Ожидаемые потери (2), (4) и (6) поддаются оценке, если можно получить случайную выборку для распределения Y.
4.5.	Параметрическое проектирование для улучшения характеристик изделия
Параметрическое проектирование — это исследование, с помощью которого можно идентифицировать наборы значений характеристик изделия, которые минимизируют ожидаемые потери. В большинстве приложений для выполнения параметрического проектирования требуется постановка соответствующих экспериментов, которые могут быть либо физическими, либо численными, смоделированными на компьютере. Благодаря достижениям в области машинного моделирования эксперименты с параметрами проектирования для улучшения характеристик изделия часто выполняются на компьютере.
Параметрическое проектирование основано на классификации переменных, влияющих на характеристики изделия, на две категории: параметры проектирования1 и источники помех. Параметры проектирования являются характеристиками проектирования изделия, чьи номинальные значения могут быть определены его разработчиком. Вектор значений параметров проектирова! i ия определяет перечень проектируемых параметров изделия и наоборот. Реальные значения параметров проектирования для произведенного изделия могут отклоняться от
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
94
Контроль качества в ходе проектирования
номинальных значений. Источники помех — это все те переменные, которые вызывают разброс характеристик изделия как в течение его срока службы, так и для различных его единиц.
4.5.1.	Категории помех
Источники помех можно разбить на две категории: внешние и внутренние. Внешние источники помех — это такие внешние по отношению к изделию переменные, которые влияют на характеристики изделия. Наиболее общие примеры — разброс переменных окружающей среды, таких, как температура, влажность, пыль, вибрации, а также человеческие факторы при работе с изделием. Основные внутренние источники помех — несовершенства производства и деградация изделия.
Иногда внешние источники помех влияют косвенно на характеристики изделия, что увеличивает отклонения фактических характеристик изделия от номинальных значений. Например, высокая температура и влажность могут ускорить деградацию изделия. Эти отклонения являются внутренними источниками помех. Таким образом, если характеристики изделия нечувствительны к внутренним источникам помех, они могут также быть нечувствительны к тем внешним источникам помех, которые влияют на характеристики изделия, увеличивая уровень внутренних источников помех.
Не все источники помех могут быть учтены в экспериментах с параметрами проектирования из-за физических ограничений и недостатка знаний. Факторы помех1 — это те источники помех, которые могут быть учтены в экспериментах с параметрами проектирования. Факторы помех должны представлять также источники разбросов, которые влияют на характеристики изделия при его эксплуатации. Параметрическое проектирование возможно, поскольку влияние как внутренних, так и внешних факторов помех может изменить значения параметров проектирования. Согласно [6], можно определить наборы значений параметров, которые уменьшают разброс характеристик изделия.
1В словаре терминов: параметры помех.
95
Глава 4
Рис. 4.2. Влияние температуры на пластичность карамели
4.5.2. Примеры
Пример 1. Изделие — сорт карамели, производившейся одной японской компанией в 1948 г. Содержимое карамели — смесь более чем 10 составляющих, но главной составляющей является сахар. Рассматривается пластичность карамели — одна из характеристик изделия. Она оказалась очень чувствительной к температуре среды (рис. 4.2). Считалось, что карамель, пластичность которой была менее чувствительной к температуре, имела более высокое качество. Компания провела эксперименты с параметрами проектирования для того, чтобы создать такую рецептуру, которая обеспечивала пластичность, менее чувствительную к температуре. Улучшение характеристики изделия оказалось возможным, потому что влияние источника внешней помехи — температуры — на пластичность карамели зависит от рецептуры.
Пример 2. Рассмотрим электрическую схему. Предположим, что характеристика, представляющая интерес, — выходное напряжение, заданное значение которого равно у0. Пусть выходное напряжение схемы определяется в основном коэффициентом усиления транзистора х в схеме, и разработчик схемы может выбрать его номинальное значение для этого транзистора. Пред положим, что влияние коэффициента уси-
96
Контроль качества в ходе проектирования
Коэффициент усиления транзистора
Рис. 4.3. Влияние коэффициента усиления транзистора х на выходное напряжение у
ления транзистора на выходное напряжение имеет нелинейный характер (рис. 4.3). Чтобы получить выходное напряжение у0, разработчик может подобрать номинальное значение коэффициента усиления хд. Если фактический коэффициент усиления транзистора отклоняется от номинального значения х0, то выходное напряжение отклоняется от у. Коэффициент усиления транзистора может отклоняться отх0 из-за несовершенств изготовления транзистора, деградации в течение срока службы схемы и влияния параметров окружающей среды. Разброс фактического коэффициента усиления относительно его номинального значения — внутренний фактор помех в схеме. Если распределение этого фактора такое, как на рис. 4.3, то выходное напряжение будет иметь среднее значение у0, а также большую дисперсию. Если разработчик схемы выберет номинальное значение коэффициента усиления транзистора^ , то выходное напряжение будет иметь значительно меньшую дисперсию. Однако среднее значение выходного напряжения ур связанное с номинальным значением х,, далеко отстоит от заданного значения у. Теперь предположим, что существует другой элемент схемы, который линейно влияет на выходное напряжение, и разработчик схемы может выбрать номинальное значение параметра этого элемента так, что
97
Глава 4
бы сдвинуть среднее значение выходного напряжения от у до заданного значения у. Подгонка среднего значения характеристики изделия к заданному значению — обычно значительно более легкая техническая проблема, чем уменьшение разброса характеристики. Что касается выходного напряжения, то изменение номинального значения коэффициента усиления транзистора от х0 до xt улучшает схемное проектирование. Улучшение не обязательно будет достигнуто, если это изменение сопровождается увеличением дисперсии другой характеристики схемы.
4.5.3.	Эксперимент с параметрами проектирования
Эксперимент с параметрами проектирования основан на использовании двух матриц: матрицы проектирования1 и матрицы помех. Столбцы матрицы проектирования представляют параметры проектирования, цифры в столбцах — тестовые значения параметров проектирования и каждая строка матрицы (так называемый тестовый набор) — вариант набора характеристик изделия. Столбцы матрицы помех представляют факторы помех, а ее строки — различные комбинации уровней факторов помех. В ходе эксперимента с параметрами проектирования строятся различные комбинации матрицы проектирования и матрицы помех, как показано на рис. 4.4. Если матрица проектирования состоит из т строк, а матрица помех — из п строк, то общее число результирующих значений в эксперименте с комбинированием параметров проектирования составит т х п. Для каждой из т строк матрицы проектирования п строк матрицы помех обеспечат п или более повторных результатов наблюдений за выходной характеристикой изделия.
Уровни факторов помех и матрица помех выбираются так, чтобы эти повторные результаты наблюдений представляли влияние всех возможных уровней факторов помех. Повторные результаты наблюдений за характеристикой изделия для каждого тестового набора параметров проектирования ис-
1 В словаре терминов: управляемая матрица.
98
Контроль качества в ходе проектирования
Выходная Выходная характеристика статистика
матрица параметров проектирования
Матрица факторов помех
Параметры Факторы
Тестовые проектирования помех
Рис. 4.4. План эксперимента с параметрами проектирования

[z(e)9
пользуются затем для вычисления критерия, называемого выходной статистикой. Число т значений этой статистики, связанных с т тестовыми наборами в матрице проектирования, используются затем для определения значений параметров проектирования, минимизирующих ожидаемые потери.
4.6.	Выходная статистика
Выходная статистика позволяет оценить влияние факторов помех на выходную характеристику. Эффективная выходная статистика строится с учетом априорных инженерных знаний об изделии, функции потерь и распределении выходной характеристики. Пусть вектор 0= (0, 0?
0J представляет параметры проектирования и вектор со = (col, а>2,col) — факторы помех, учитываемые в эксперименте с параметрами проектирования. Допустим, что выходная характеристика У является функцией 0иа>, т.е. Y = f(0co). Параметры проектирования 0 являются параметрами распределения У, и для данного значения 0 факторы помех порождают это распределение.
99
Глава 4
Пусть 7](в) = Е[У) и с?(6) = Е[{У— г](6} }2] обозначают соответственно математическое ожидание и дисперсию величины У. В этой модели ожидаемые потери являются функцией 0.
Выходная мера является функцией вектора 0, выбранного таким образом, что максимизация выходной меры по возможным техническим решениям минимизирует ожидаемые потери. Выходная мера используется как критерий сравнения различных наборов значений параметров проектирования. В эффективной выходной мере учитываются инженерные знания об изделии (что позволяет упростить ее выражение) и функции потерь. Ожидаемые потери сами по себе являются выходной мерой, однако иногда выражение для них бывает слишком сложным, потому что в нем не учитываются инженерные знания об изделии. Различные инженерные разработки могут приводить к различным выходным мерам. Тагути сообщил нам, что он определил более 60 различных отношений сигнал/шум (оценки выходной меры) для инженерных приложений параметрического проектирования. Хотя выходная мера является функцией 0, в общем случае эта функция неизвестна. Следовательно, она должна быть оценена, и эта оценка, используемая в качестве критерия, должна быть оптимизирована. Мы используем термин «выходная статистика» для статистической оценки выходной меры, тогда как Тагути [7] использует термин «отношение сигнал/шум». (В табл. 4.2 устанавливается соответствие между терминологией Тагути и терминологией данной статьи.)
Если выходная характеристика Уявляется непрерывной переменной, функция потерь /(У) обычно используется в одной из трех форм в зависимости оттого, какое заданное значение У является наилучшим: как можно меньшее, как можно большее или некоторое конечное. Для первых двух случаев мы обсудим выходную статистику, рекомендуемую Тагути. Для третьего случая мы покажем, как две различные технические ситуации (только одна из них рассматривалась Тагути) приводят к различным выходным статистикам. ПустьMSE(O) = Е((У — Т)2], В(6) = г](0) — Т и £(0) = lv(0)]2 / представляют среднеквадратичную ошибку, смещение и квадрат величины, обратной коэффициенту вариации для распределения У.
100
Контроль качества в ходе проектирования
Таблица 4.2 Соответствие между терминологией Тагути и терминологией данной главы
Данная глава	Тагути
Изменчивость выхода Выходная статистика Параметры проектирования Внешние факторы помех Внутренние факторы помех Матрица проектирования Матрица помех	Функциональная изменчивость Отношение сигнал/шум Управляемые факторы Внешние факторы помех Внутренние факторы помех Внутренняя матрица Внешняя матрица
4.6.1. Как можно меньшее заданное значение Уявляется наилучшим
Значения выходной характеристики Yнеотрицательны, заданное значение Т = 0 и функция потерь 7(У) увеличивается с увеличением У, начиная с нуля. В этом случае ожидаемые потери (6) пропорциональны величине MSE(O] = В[(У—6)2] = £[ У2] и Тагути [7] рекомендует использовать выходную меру
ДО) = — 1О1д7Ч5Е(0)	(7)
Чем больше значение выходной меры, тем меньше среднеквадратичная ошибка. Пусть ряд у у2, .., уп — случайная выборка из распределения У для данного 0. Выходная мера (7) может быть оценена с помощью выходной статистики
Z(0) = -lOlg£>»	(8)
которая позволяет получить оценку выходной меры (7) по методу моментов.
4.6.2.	Как можно большее заданное значение Уявляется наилучшим
Выходная характеристика У имеет неотрицательное распределение, заданное значение равно бесконечности и функция потерь 7 (У) уменьшается при увеличении У, начиная с нуля. Это частный случай ситуации, рассмотренной в разд. 4.6.1, если мы будем трактовать величину 1 / У как выходную характеристику. При заданном значении 1/У, рав
101
Глава 4
ном 0, выходная мера (7) приводится к выражению £(6) = — 10 1g MSE(6), где MSE(6) = Bf(l/T)2], и выходная статистика (8) примет вид2(0) = — 101д(£(1 /у.)2/п).
4.6.3.	Некоторое конечное заданное значение У является наилучшим
Выходная характеристика Yимеет определенное заданное значение Т = Т , и функция потерь /(У) возрастает при отклонении Уот То в любом направлении. В этом случае ожидаемые потери (2) пропорциональны величине MSE(6} — Е[У—Т0)2], причем
MSE(0}' = а2(0) + [В(0)]2 = о(0) + [rtfO) — Tj2. (9)
Дисперсия, не связанная с математическим ожиданием. Во многих технических приложениях <7(0) и i](0) функционально независимы друг от друга и смещение В(0) можно уменьшить независимо от дисперсии	Часто этого можно про-
сто достигнуть подстройкой одного или большего количества так называемых регулируемых параметров. Регулируемые параметры — это специальные параметры проектирования, которые можно легко подстраивать, чтобы уменьшить составляющую (ее можно рассматривать как регулируемую составляющую) общего разброса вблизи заданного значения без влияния на остальные нерегулируемые составляющие общего разброса. В данной ситуации В(6) является регулируемой составляющей среднеквадратичной ошибки, о2(0) является нерегулируемой составляющей среднеквадратичной ошибки, а регулируемые параметры — это такие параметры проектирования, которые наиболее сильно влияют на г)(6) и, следовательно, на В(0), почти не влияя на &(0). Когда такие регулируемые параметры существуют, В (6) можно уменьшить независимо от сВ(О). Следовательно, в этой ситуации реальный выход — это уменьшить &(0). Тогда эффективной выходной мерой должна быть монотонная функция от ог(’6/ Так, функция
иб) = ^1до2(6)	(10)
может быть использована в качестве выходной меры. Чем больше выходная мера, тем меньше дисперсия c^(G). Пусть
102
Контроль качества в ходе проектирования
ряд у, у2, уп — случайная выборка из распределения Удля данного в. Тогда величина s2 = £(у. — у)2/(п — 1), где у = Sy/n, является оценкой (несмещенной) о2)©) и величина
Z(6) = - lg(s2J	(11)
— подходящей выходной статистикой. (Это не выходная статистика по Тагути.) Часто логарифмическое преобразование уменьшает кривизну и взаимодействия в функции отклика s2. Кроме того, логарифмическое преобразование часто уменьшает зависимость s2 от у. Знак минус в (11) используется для удобства, так чтобы всегда максимизировать выходную статистику. Бартлетт [8] рекомендовал использовать выходную статистику (11) для проверки равенства дисперсий нескольких распределений.
Дисперсия, связанная с математическим ожиданием. Иногда сг(0) линейно возрастает с ростом t](0), однако смещение В(0) можно уменьшить независимо от коэффициента вариации сг(0)/г\(0). В этом случае В(0) является регулируемой составляющей изменчивости, коэффициент вариации или эквивалентная ему функция £,(0) — нерегулируемыми составляющими изменчивости, а регулируемые параметры — это те параметры проектирования, которые сильно влияют на г](0) и. следовательно, на В(0), но почти не влияют на 5,(0). Когда такие регулируемые параметры существуют, относительно легко уменьшить В(0), и целью параметрического проектирования является максимизация 5,(0). Если 5,(0) остается большим или, что эквивалентно, коэффициент вариации остается малым, любое последующее изменение математического ожидания z;(0) не приведет к большому изменению дисперсии &(0). Поэтому эффективная выходная мера должна быть монотонной функцией Е,(0). Тагути [7] рекомендует использовать выходную меру
С(0) = 101g [£(6)].	(12)
Чем больше выходная мера, тем меньше коэффициент вариации сг(0)/г\(0). Разностьпу2 — s2 является оценкой (несмещенной) величины n[Г] (6ЭД2 Поэтому Тагути [7] рекомендует статистики
103
Глава 4
z/e; = ioigfy2/s2;,	(13)
Z2(0) = 10 Igtfny2- s2)/ (ns2)].	(14)
Поскольку можно записать (14) в nnj\eZ2(6) = 10 IgtfyVs2) — (1/п)], обе выходные статистики эквивалентны. Среднеквадратичная ошибка и ожидаемые потери достигают минимума при максимизации выходных мер (10) и (12), а смещение — То — при использовании регулируемых параметров.
4.7.	Метод Тагути
Метод Тагути для идентификации значений параметров проектирования, которые максимизируют выходную статистику, кратко излагается ниже.
1.	Идентифицируйте сравниваемые наборы значений параметров проектирования, а также наиболее важные факторы помех и их диапазоны.
2.	Составьте матрицу проектирования и матрицу помех, а также план для эксперимента с параметрами проектирования.
3.	Проведите эксперимент с параметрами проектирования и оцените выходную статистику для каждого тестового набора матрицы проектирования.
4.	Используйте значения выходной статистики для того, чтобы определить новые значения параметров проектирования.
5.	Убедитесь в том, что эти значения действительно улучшают выходную статистику.
Обсудим теперь эти этапы более подробно.
1.	Модель изделия, полученная из системного проектирования, определяет начальные значения параметров проектирования в = (6^0?	6t). Разработчик изделия затем
идентифицирует другие возможные значения 0. Набор всех возможных значений 0называется пространством параметров и обозначается &. Разработчик изделия идентифицирует факторы помех, которые вызывают наибольший разброс выходной характеристики. Эти факторы помех включают
104
Контроль качества в ходе проектирования
ся в эксперимент. Затем определяются такие диапазоны факторов помех, в которых желательна нечувствительность выходной характеристики. Набор всех возможных уровней факторов помех называется пространством помех.
Для данного вектора 0 в пространстве параметров & эксперимент проводится при различных уровнях факторов помех для того, чтобы получить новые значения выходной характеристики. Эти значения представляют влияние факторов помех на выходную характеристику и используются для вычисления выходной статистики. Надо отыскать значение 0 в пространстве 0, которое максимизирует выходную статистику. Таких значений может быть много, и любое из них будет пригодным при условии, что они не различаются по затратам.
2.	Полное исследование пространства параметров 0 экономически неэффективно. Можно использовать статистические методы планирования эксперимента для рационального отбора подмножества 0, называемого матрицей проектирования. Столбцы матрицы проектирования представляют параметры проектирования 0, а строки — различные значения 0. Выходную статистику оценивают для каждого набора значений 0 в матрице проектирования. Выходная статистика является переменной отклика. Ее выбор может иметь некоторое влияние на критерии, которые используются для построения матрицы проектирования. Матрица проектирования должна быть определена так, чтобы вычисленные значения выходной характеристики давали нужную информацию при минимальном числе тестовых наборов б в пространстве 0, которые максимизируют выходную меру.
Тагути [7] рекомендует использовать ортогональные матрицы (точнее ортогональные матрицы мощности два) для построения матриц проектирования. Ортогональная матрица — это обобщенный греко-латинский квадрат. Матрица проектирования на рис. 4.4 является греко-латинским квадратом, записанным в форме ортогональной матрицы. Все обычные дробные факторные планы являются ортогональными матрицами. Рао [9] разработал общую теорию ортогональных матриц, в [ 10] приведены методы построения ортогональных матриц и в [ 11] — каталог важных ортогональных
105
Глава 4
матриц. Эти матрицы позволяют задавать различные количества тестовых значений параметров проектирования. Тагути рекомендует выбирать три или более тестовых значения для каждого параметра проектирования. Такие количества тестовых значений выявляют нелинейности в главных эффектах параметров проектирования. Выбранные тестовые значения должны достаточно сильно различаться, с тем чтобы матрица проектирования покрывала широкую область пространства параметров.
Эксперименты с ортогональными матрицами имеют свойство попарного баланса, выражающееся в том, что каждое тестовое значение какого-либо параметра проектирования сочетается с каждым тестовым значением всех остальных параметров проектирования одинаковое число раз. Таким образом, любые два столбца ортогональной матрицы образуют полный двухфакторный план. Это позволяет сравнивать различные тестовые значения какого-либо параметра проектирования в диапазонах, задаваемых тестовыми значениями других параметров проектирования. Однако это сравнение может быть неверным при наличии взаимосвязи между параметрами проектирования. Хантер [12] обсудил более подробно эту и другие проблемы.
В экспериментах с ортогональными матрицами минимизируется число тестовых наборов с сохранением свойства попарного баланса. Если число тестовых наборов несущественно, можно использовать либо более сбалансированные эксперименты, такие, как дробные факторные эксперименты с разрешением IV или V, либо модели поверхности отклика [ 13], чтобы сформировать матрицу проектирования.
Тагути [7] также рекомендует использовать ортогональные матрицы дм формирования матрицы помех. Матрицу помех лучше формировать на основе специально отобранного, а не случайного подмножества пространства помех. Если тестовые уровни факторов помех рационально подобраны, ортогональная матрица дает возможность надлежащим образом покрыть пространство помех. Рассмотрим теперь принцип выбора тестовых уровней факторов помех согласно Тагути. Предположим, что математическим ожиданием и
106
Контроль качества в ходе проектирования
стандартным отклонением распределения фактора помех со. являются М. и S. соответственно. Допустим, что со. линейно влияет на выходную характеристику У; тогда фактор помех должен иметь два тестовых уровня: М. — S. и М. + S.. Если предположить квадратичную связь между сии У, то су должно иметь три тестовых уровня: М. — ^3/1S., М. и М. + V3/2S.. Очевидно, что указанные наборы тестовых уровней основаны на том, что факторы помех имеют распределения, близкие к симметричным-Случайная величина, принимающая три значения (М. — ^3/25, М. и М. + Л'3/2Д), имеет математическое ожидание и стандартное отклонение М. и S. соответственно. Эксперимент с параметрами проектирования состоит в комбинировании матрицы проектирования и матрицы помех (рис. 4.4).
3.	Эксперимент с параметрами проектирования можно проводить двумя способами: 1) физический эксперимент с опытными образцами изделия, 2) компьютерное моделирование, если функция У = f(0, со) допускает численное представление. Часто функция У = f(0, со) слишком сложна дзд аналитических расчетов, поэтому более подходящими являются методы компьютерного моделирования.
При использовании физических экспериментов либо невозможно, либо слишком дорого изготовить много опытных образцов с различными уровнями производственных несовершенств. Поскольку целью параметрического проектирования является идентификация значений параметров проектирования, которые учитывают широкий спектр несовершенств производства, для изготовления опытных образцов используются низкосортные материалы и детали. Выходные характеристики этих образцов оцениваются при различных уровнях внешних факторов помех. По этому поводу есть высказывание Тагути и By [6]: «нет ничего глупей, чем исследование, использующее дорогостоящие материалы или детали».
Если возможно численное представление функции У = f(0, со), то осуществим более информативный анализ. В частности, выходная характеристика изделия может быть оценена в присутствии внешних и внутренних факторов помех. При использовании моделирования на компьютере функция
107
Глава 4
У = f(0, оценивается для каждого значения б в матрице проектирования и для каждого значения сув матрице помех. Численные значения У, в свою очередь, используются для вычисления выходной статистики для каждого значения 0в матрице проектирования.
Если возможно численное представление функций, связывающих выходные характеристики, параметры проектирования и факторы помех, то применимы другие методы оптимизации процесса проектирования изделия. Например, в работах [14, 15] приведены численные алгоритмы оптимизации проектирования электронных схем. Хотя работы Сингала и Пинела [15] и Тагути посвящены одной и той же проблеме, в работе [15] не используются методы планирования эксперимента и оптимизируются одновременно несколько выходных характеристик, в то время как Тагути оптимизирует каждую выходную характеристику отдельно, используя методы планирования эксперимента.
4.	Вычисленные значения выходной статистики используются для определения такого значения 0 в пространстве параметров, которое максимизирует выходную статистику. Повторные наблюдения за выходной характеристикой, которые используются для вычисления выходной статистики, проводятся с помощью матрицы помех. Хотя матрица помех сформирована регулярным способом, повторные наблюдения за У для данного 0, проведенные с использованием матрицы помех, можно считать случайной выборкой из распределения У для данного значения 0.
Поскольку ортогональные матрицы являются обобщенными греко-латинскими квадратами, процедура анализа данных также есть обобщение процедуры анализа экспериментов с греко-латинскими квадратами ([ 16] в гл. 5). Статистическая модель, лежащая в основе использования ортогональных матриц для построения матрицы проектирования, является аддитивной моделью, которая может быть выражена соотношением
=я,+mmm(i5>
где [0.]. представляет влияние j-го тестового значения параметра проектирования 0. на выходную статистику Z(0) для
108
Контроль качества в ходе проектирования
i = 1,2,ки j = 1, 2, 3,аг— остаток. Предполагается, что остатки г для различных значений 0 имеют независимые и одинаковые распределения с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Вычисленные значения Z(0) используются для оценки влияний [0]. Оцененные значения [ 0.];, в свою очередь, применяются для идентификации такого тестового значения каждого параметра проектирования, которое обеспечивает большее значение Z(0). Эти тестовые значения определяют новые значения параметров проектирования 0. Если аддитивная модель (15) — подходящая аппроксимация реальной ситуации, то, скорее всего, новые значения должны быть лучше, чем первоначальные.
5.	Невозможно точно знать, является ли статистическая модель, лежащая в основе плана и анализа эксперимента, истинной. Следовательно, необходимо подтвердить с помощью последующих экспериментов, что новые значения улучшают выходную статистику по отношению к ее величине при исходных значениях параметров. Успешный проверочный эксперимент облегчает выводы о возможно неправильных допущениях, лежащих в основе модели. Если увеличение выходной статистики получается недостаточно большим, то может потребоваться следующая итерация параметров проектирования.
4.8. Проектирование параметров для улучшения проектирования процесса
Как было показано на примере изделия компании Ina Tile, параметрическое проектирование может уменьшить производственные несовершенства без увеличения производственных затрат. Эксперименты с параметрами проектирования могут помочь идентифицировать рабочие значения управляемых переменных процесса, при которых влияние изменчивости условий производства на выходные характеристики процесса минимальны. Промежуточные характеристики изделия в процессе производства определяют реальные характеристики изделия в конце про
109
Глава 4
изводственного цикла. Поэтому эти промежуточные характеристики используются для оценки характеристик процесса производства. С точки зрения проектирования процесса параметрами проектирования являются переменные процесса, рабочие значения которых могут быть выбраны разработчиком процесса, а отклонения от технологического режима являются источниками помех. Общие примеры таких отклонений — изменчивость поступающих материалов и комплектующих изделий, невозможность точно воспроизвести для каждого компонента производственного оборудования одинаковые условия среды (температура, концентрация, давление пара, влажность) при изготовлении каждой единицы изделия, изменчивость, связанная с оператором процесса, дрейф рабочих условий и колебания электропитания.
При проведении экспериментов с параметрами проектирования в производственных условиях часто экономически неэффективно включать много факторов помех в эксперимент. Однако эксперименты обычно могут быть спланированы так, что разбросы повторных значений из тестового набора адекватно отражают влияние изменчивости производственных условий. Эти повторные значения используются затем для вычисления и максимизации выходной статистики.
Статистически планируемые эксперименты применяются для улучшения производственных процессов более 50 лет [13, 17—19]. Однако в большинстве приложений оптимизируют среднее значение отклика. Цель экспериментов с параметрами проектирования — уменьшение разброса характеристик изделия, вызванного изменчивостью производственных условий. В производственных процессах управляемая изменчивость обычно значительно важнее, чем управляемость среднего значения, а неуправляемая изменчивость часто является основной причиной высоких производственных затрат.
В работе [20] показано, как ортогональный план с 36 тестовыми наборами был использован для улучшения процесса пайки волной при одновременном изучении 17 переменных. В работе [21] показано, как эксперимент с параметрами про
110
Контроль качества в ходе проектирования
ектирования был использован для оптимизации постоянной времени переходного процесса в компьютерной операционной системе. В работе [22] иллюстрируется использование эксперимента с параметрами проектирования для улучшения процесса фотолитографии при производстве интегральных схем. В работах [6, 23] приведено много примеров экспериментов с параметрами проектирования.
4.9. Заключение
В период работы на фирме Bell Telephone Laboratories в 1920-х годах Шухарт [24] заложил основы статистических методов контроля качества. Шухарт указал, что изменчивость есть факт жизни. Эволюция методов контроля качества вела к все более эффективным мерам против нежелательной изменчивости. Работа Тагути является главной в этой эволюции.
Следуя Исикаве [25], можно разделить эволюцию методов контроля качества на три этапа: 1) проверка, 2) контроль производственного процесса, 3) усовершенствование методов проектирования изделий и процессов (рис. 4.5). Проверка отсеивает негодные изделия до того, как они приходят к покупателю, и обеспечивает обратную связь с производ-
1980-е — усовершенствование
проектирования
1940-е
1920-е
Контроль производственного процесса
Проверка
______ ________I______________I___________—L
проектирование проектиро-изделия вание процесса производство
Этапы создания изделия
Рис. 4.5. Эволюция методов контроля качества
111
Глава 4
ством. Проверка не улучшает качество изделия. Контроль производственного процесса уменьшает его несовершенства, однако требует денежных затрат. Методы усовершенствования проектирования процесса, такие, как параметрическое проектирование, могут уменьшить несовершенства производства без увеличения затрат. Несовершенства производства — один из аспектов качества изделия. Цель методов усовершенствования проектирования изделия — сделать выходные характеристики изделия нечувствительными к переменным окружающей среды, деградации изделия и несовершенствам производства. Улучшение проектирования изделия и процесса уменьшает затраты на производство и эксплуатацию изделия.
Статистические методы проверки и контроля производственного процесса развиваются уже в течение 60 лет. Однако развитие статистических методов для улучшения проектирования изделия только начинается. Тагути [7] применил статистические методы планирования эксперимента для улучшения проектирования изделия. Он дал мощный импульс дальнейшим исследованиям статистических методов улучшения проектирования изделий и стимулировал более широкое применение существующих методов. Возможности сделать важный вклад в промышленность, подобные этой, возникают не часто.
(Обсуждение этой статьи и ответы автора приведены в журнале Journal of Quality Technology 17 (Oct. 1985): 189— 210.)
Глава 5. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАК ТЕХНИКА КАЧЕСТВА
Г. Тагути, М. Фадке © 1984 IEEE
5.1.	Введение
Обзор, сделанный Джураном [ 1 ], показал, что в Японии процент выхода годных кристаллов БИС выше, чем у американских и европейских производителей, в 2—3 раза. Другой анализ, сделанный Кларком [2], показал, что цикл разработки и создания определенного изделия для одной американской электронной компании составил 30 мес., тогда как для японского производителя того же изделия — только 18 мес. Кларк определил цикл создания как время от начала разработки изделия до начала его массового производства. Он отметил, что переход от этапа организации проектирования к этапу организации производства для японской компании происходил непосредственно, тогда как для американской компании для этого потребовалось несколько промежуточных стадий.
Приведенный пример вместе с успехами японцев в захвате электронного, автомобильного и других рынков побуждает нас задать следующий вопрос: что делает столь эффективными процессы проектирования и производства изделий, выполненные в Японии? Как известно, существует много причин, однако с точки зрения технологии там придают особое значение оптимизации проектирования и производства для достижения высоких технологичности, качества и надежности, а также эффективным методам моделирования и эксперимента для проведения оптимизации.
Методы оптимизации проектирования и процесса производства были развиты в 1950-х— 1960-х годах Тагути и By [3, 4] в связи со стремлением производить высококачественные изделия в экономических условиях, сложившихся в Японии после Второй мировой войны. Эти условия характеризовались низким качеством сырья, плохим производственным
113
Глава 5
оборудованием и недостатком хорошо подготовленных инженеров. Сейчас созданные Тагути и By методы оптимизации используются как стандартные для достижения высокой эффективности проектирования и производства изделия.
В настоящей главе излагаются основные принципы оптимизации проектирования и производства для достижения высоких технологичности, качества и надежности. Глава состоит из семи разделов. В разд. 5.2 описана техника качества и ее роль в процессах проектирования и изготовления изделия. Общая формулировка проблемы оптимизации проектирования дана в разд. 5.3; стратегия оптимизации описана в разд. 5.4. Инженерные проблемы отличаются большим разнообразием. Широкая классификация инженерных проблем дана в разд. 5.5, где также описывается выбор целевой функции для оптимизации. В разд. 5.6 рассматривается использование ортогональных матриц для оценивания целевой функции и для многомерной оптимизации на примере проектирования схемы управления температурой. Заключительные замечания представлены в разд. 5.7.
5.2.	Техника качества
Качество изделия можно выразить количественно с помощью общих потерь, наносимых обществу с момента поступления изделия потребителю [5]. Потери могут быть вызваны нежелательными побочными эффектами и отклонением качества функционирования изделия от заданного. Здесь мы рассмотрим только потери из-за функциональных отклонений. Например, уровень усиления общественного телефонного аппарата может различаться холодной зимой и жарким летом; он может разниться для различных телефонных аппаратов, а также ухудшаться с течением времени. В большинстве случаев эти потери можно оценить с помощью квадратичной функции потерь.
На функционирование изделия часть влияют так называемые факторы помех1. Существуют три типа факторов помех.
1 В словаре терминов: параметры помех.
114
Техника качества— оптимальное проектирование
1.	Внешние. Это различные типы факторов помех, внешних относительно изделия, такие, как условия нагружения, температура, влажность, пыль, напряжение питания, вибрации, вызванные работающим рядом механизмом, и ошибки человека при эксплуатации изделия.
2.	Несовершенства производства. Сюда включается изменчивость выходных характеристик для различных единиц изделия. Ее возникновение неизбежно в ходе производственного процесса. Пример несовершенства производства — отклонение сопротивления резистора от номинального значения 100 кОм, которое в каком-то экземпляре изделия может принять значение 101 кОм.
3.	Деградация. В начале эксплуатации все выходные характеристики изделия могут совпадать с заданными значениями, но год от года значения отдельных характеристик могут изменяться, что приводит к деградации свойств.
Один подход к уменьшению изменчивости функциональных характеристик изделия состоит в ограничении факторов помех или в их полном устранении. Для примера с телефонным аппаратом это могло бы означать уменьшение диапазона температур эксплуатации, обеспечение более узких диапазонов допусков или снижение дрейфа параметров. Несомненно, что все эти способы уменьшения изменчивости усиления общественного телефонного аппарата являются дорогими. Какой же способ менее дорогой? Он состоит в выборе таких значений параметров проектирования, чтобы минимизировать чувствительность ко всем факторам помех. Такой способ включает использование нелинейности соотношений между управляемыми факторами1, факторами помех и переменными отклика. Здесь под управляемыми факторами мы подразумеваем факторы или параметры, чьи уровни или значения устанавливаются разработчиком.
Отметим, что при проектировании изделия его можно сделать робастным ко всем трем типам факторов помех, описанных выше, тогда как при проектировании процесса производства и в его ходе можно только уменьшить изменчивость,
’ В словаре терминов: управляемые параметру.
115
Глава 5
вызванную несовершенствами производства. Когда изделие находится у потребителя, то только гарантийной службе следует адресовать проблемы качества. Таким образом, главная ответственность за качество изделия лежит на разработчике изделия, а не на организаторах производства.
Существуют три основных этапа в проектировании изделия или процесса производства: 1) системное проектирование; 2) параметрическое проектирование, или оптимальное проектирование; 3) проектирование допусков. Системное проектирование состоит в создании работоспособной принципиальной схемы или схемы производственного процесса. Роль параметрического, или оптимального, проектирования состоит в определении уровней управляемых факторов, которые минимизируют чувствительность ко всем факторам помех. На этом этапе допуски полагаются столь широкими, что производственные затраты оказываются малыми. Если параметрическое проектирование не обеспечивает достаточно низкую функциональную изменчивость изделия, то при проектировании допусков ряд допусков выборочно уменьшают, основываясь на их вкладе в затраты.
При разработке проекта в США основные усилия сосредоточиваются на системном проектировании, которое включает изобретательскую деятельность и использование прикладных наук, а также на проектировании допусков, которое также известно как анализ чувствительности. Оптимальное проектирование, которое важно для производства высококачественных изделий при низких затратах, игнорируется. В оставшейся части статьи описываются эффективные и легко применимые методы оптимального проектирования, которые широко используются в Японии.
5.3.	Проблема оптимального проектирования
На рис. 5.1 дана блок-схема изделия, которая может быть также использована для представления производственного процесса или даже коммерческой системы.
116
Техника качества— оптимальное проектирование
Рис. 5.1. Блок-схема изделия
Отклик обозначен как у. Факторы, которые влияют jia отклик, могут быть разбиты на четыре следующих класса.
1.	Сигнальные факторы (М). Это такие факторы, которые устанавливаются пользователем или оператором для того, чтобы достичь заданного значения выходной характеристики или выразить желаемой выход. Например, угол поворота руля является сигнальным фактором1 для механизма управления автомобилем. Установка рычага управления скоростью на вентиляторе и значения 0 и 1, передаваемые в системах связи, — также примеры сигнальных факторов. Сигнальные факторы отбираются инженером на основе инженерных знаний. Иногда используются в комбинации несколько сигнальных факторов; например, один из них может быть использован для грубой настройки, а другой — для тонкой настройки.
2.	Управляемые факторы (z). Это набор параметров изделия, за чьи значения ответствен разработчик. Каждый из управляемых факторов может принимать несколько значений, которые называют уровнями. Цель процесса проектирования — определить наилучшие уровни этих факторов. Для определения наилучших уровней можно использовать разные критерии; например, можно максимизировать стабильность и робастность проектирования при поддержании минимальных затрат. Робастность— это нечувствительность к факторам помех.
3.	Масштабно-выравнивающие факторы1 2 (7?). Это специальные виды управляемых факторов, которые можно легко
1 В словаре терминов: сигнальный параметр.
2 В словаре терминов: регулируемые параметры.
117
Глава 5
регулировать для достижения желаемого функционального соотношения между сигнальным фактором и откликом у. Например, передаточное число в механизме управления автомобилем можно легко отрегулировать на стадии проектирования изделия для того, чтобы достичь желаемой чувствительности радиуса поворота к изменению угла поворота. Пороговое напряжение в цифровой связи можно легко отрегулировать для того, чтобы изменить относительные ошибки при передаче нуля и единицы.
4.	Факторы помех (х). Это неуправляемые факторы. Они влияют на отклик у, и их уровни изменяются для разных единиц изделия, условий окружающей среды и моментов времени. Могут быть известны или определены только статистические характеристики факторов помех, но не их действительные значения. В разд. 5.2 описаны различные типы факторов помех.
Пусть зависимость отклика у от сигнальных, управляемых, масштабно-выравнивающих и связанных с помехами факторов имеет вид
у = f(x, М; z, R).	(1)
Функция f состоит из двух частей: 1) д(М; z, R) — прогнозируемое и желаемое функциональное соотношение между у и М; 2) е(х, М; z, R) — непрогнозируемая и нежелательная часть. Имеем
у = д(М; z, R) + е(х, М; z, R).	(2)
Если требуется линейное соотношение между у и М, д должно быть линейной функцией от М. Все нелинейные члены будут включены в е. Влияние всех факторов помех также выражается функцией с.
Цель проектирования — максимизация прогнозируемой части и минимизация непрогнозируемой части с помощью подходящего выбора уровней z и R. В качестве комбинированной меры степени предсказуемости используется отношение дисперсий1 функций д и е: степень предсказуемости = V /Ve-
1 Под дисперсиями V и V подразумеваются среднеквадратичные отклонения для д(М\ z, R) и е(х, М; z, R) соответственно.
118
Техника качества— оптимальное проектирование
Отметим, что степень предсказуемости не зависит от масштаба. По аналогии с теорией связи берут 101g (степень предсказуемости) и называют эту величину отношением сигнал/шум (S/N). Это отношение является функцией z и R:
rf(z, R) = 10 IgfV (z, R)/Ve(z, R)).	(3)
Как указывалось выше, R — специальный управляемый фактор, который используется с целью достижения желаемого функционального соотношения для любого заданного значения х и рациональной разработки изделия, с тем чтобы максимизировать степень предсказуемости. Часто можно определить влияние R на г/ без выполнения реальных экспериментов для различных значений R. В любом случае мы сначала оцениваем /;(z), причем t](z) = max ?/(z, /?). Оптимальное проектирование выполняется затем в области значения z.
Отметим, что из-за присутствия масштабного фактора максимизация ?;(z) приводит к минимизации V'. Если принять квадратичную функцию потерь, минимизация V приведет к минимизации потерь потребителя из-за функциональной изменчивости.
5.4.	Стратегия оптимизации
Стратегия оптимизации представлена на рис.
5.2. Эксперименты по оптимизации могут проводиться на объекте или моделироваться с помощью программного обеспечения и математической модели изделия. Они начинаются с выбора отклика, который нужно оптимизировать, и четырех типов факторов (управляемых, сигнальных, масштаб-но-выравнивающих и связанных с помехами) для анализа. С помощью ортогональной матрицы затем отбирается совокупность п значений управляемых факторов z. Для каждого отобранного значения z (zj проводятся эксперименты посред
1 Вывод этого результата см. в работе: Dehnad К., Phadke М., 1988. Optimization of Product and Process Design for Quality and Cost. Quality and Reliability Engineering International, vol. 4. В этой статье также показано, как большинство отношений S/N, приведенных в разд. 5.5, получаются из определения отношения S/N, данного в уравнении (3).
119
Глава 5
ством моделирования помехи х и желаемого диапазона М. Эксперименты на основе ортогональных матриц обеспечивают эффективные способы покрытия пространства помех и сигналов. Следующий шаг — калибровка, масштабирование и выравнивание для оценивания величин S/N, 7/(z.). Отметим, что на практике нет необходимости определять наилучшее значение масштабно-выравнивающего фактора R для каждого z.. Достаточно определить 7?(z).
После оценивания 7?(z.) для i = 1, .... п проводится анализ средних и дисперсий для о пределет 1ия влияния каждого элемента z на г]. Эта информация затем используется для выбора оптимальных уровней z, которые обозначаются через z*.
Следующий шаг — проверочный эксперимент при z*. Если результаты удовлетворительные, оптимизация заканчивается. Если нет, то проводится повторный анализ данных и/или следующий цикл экспериментов.
5.5.	Классификация проблем проектирования
Проблемы проектирования можно в широком смысле классифицирова ть на статические и динамические в зависимости от отсутствия или наличия сигнальных факторов соответственно. Другая важная категория — проблемы увеличения срока службы. Статические и динамические проблемы можно далее классифицировать в зависимости от природы сигнального фактора и переменной отклика. Классификация проблем проектирования, данная ниже, очевидно является неполной. Однако указанные классы охватывают громадное большинство инженерных проблем, встречающихся в различных отраслях промышленности. В некоторых случаях отношение S/N детально анализируется, а в других — просто приводится.
5.5.1.	Статические проблемы
Эти проблемы характеризуются отсутствием сигнальных факторов. В зависимости от желаемых значений отклика и того, является ли он непрерывным или дискретным, получаются следующие классы статических проблем:
120
Техника качества- оптимальное проектирование
Рис. 5.2. Блок-схема стратегии оптимизации
121
Глава 5
1.	Меньше — лучше. Здесь отклик непрерывный и положительный. Его наиболее желаемое значение равно нулю. Примеры таких ситуаций — напряжение смещения нуля дифференциального операционного усилителя, загрязнения от завода, ток утечки в интегральных схемах. Целевая функция для этого случая имеет вид д = — 101g (средний квадрат отклика). Описание примера с дифференциальным операционным усилителем см. в работе [6].
2.	Заданное значение отклика. Здесь отклик является непрерывным и имеет неэкстремальное заданное значение. Примеры таких ситуаций: а) при производстве интегральных схем требование к фотолитографическому процессу формирования окон состоит в том, чтобы все контактные окна имели заданный размер (например, 3 мкм); б) требование к процессу изготовления медного кабеля заключается в том, чтобы жильная проволока имела постоянное сопротивление на единицу длины. Отношение S/N для этого случая имеет вид д = Ю 1g (д2/о2). Здесьд и <т— соответственно прогнозируемая и непрогнозируемая составляющие отклика. Приложение к фотолитографии контактных окон детально описано в И-
3.	Больше — лучше. Это случай непрерывного отклика, который должен быть как можно большим. Прочность материала — пример такого класса проблем. Отношение S/N в этом случае имеет вид д = — 101g (средний квадрат величины, обратной отклику).
4.	Упорядоченный категориальный отклик. Это случай, когда отклик классифицирован на упорядоченные категории, такие, как очень плохой, плохой, приемлемый, хороший, очень хороший. Наиболее практичный метод анализа таких данных — аккумуляционный анализ, описанный Тагути [8].
5.5.2.	Динамические проблемы
Динамические проблемы характеризуются присутствием сигаальных факторов. В зависимости от природы сигнального фактора и переменной отклика имеются следующие четыре обычно встречающихся типа динамических проблем.
122
Техника качества— оптимальное проектирование
Рис 5.3. Характеристика калибровки вольтметра
1.	Непрерывно-непрерывный (НН). Здесь как сигнальный фактор, так и переменная отклика являются непрерывными величинами. Разработка аналогового вольтметра или температурного контроллера — примеры проблем типа НН. В этом случае желаемое функциональное соотношение является линейным:
y(z) = p(z, R) + (3(z, R)M + e(x, M; z, R).	(4)
Функция e содержит также нелинейность соотношения между у и М. Параметры рн /3 характеризуют прогнозируемое значение отклика. Они определяются с помощью калибровочного эксперимента и регрессионного анализа. Отношение S/Л/для типа НН определяется следующим образом:
р=	(5)
Величина о2 — это дисперсия е, которая является непрогнозируемой и нежелательной частью /, а [З2 — это дисперсия прогнозируемой и желаемой части, исключая ее значения для диапазона М. Для примера проектирования вольтметра (вообще для всех проблем разработки приборов) можно показать, что отношение S/ЛГнепосредственно относится к ошибке прогноза. В данной проблеме М — прикладываемое напряжение, у— отклонение стрелки прибора (рис. 5.3). После формирования уравнения (4) с помощью калибровки для вычисления
123
Глава 5
(прогнозирования) напряжения по наблюдаемому отклонению стрелки можно использовать следующее уравнение:
M=(y-p)/(3-e/(i.	(6)
Ясно, что дисперсия ошибки прогноза М равна о2/(У2 Отношение S/N в уравнении (5) является логарифмом обратной величины дисперсии ошибки прогноза.
Проблема оптимального проектирования в случае НН состоит в максимизации ^относительно z. Тогда в чем же роль величины R как масштабно-выравнивающего фактора? Требование к разработке вольтметра — обеспечить весь диапазон напряжений, представленных во всей шкале отклонения стрелки, которая может быть равной, например, 90°. Это требование естественно определяет заданное значение J0. Для любого z мы можем легко подрегулировать R, которое играет роль передаточного числа, чтобы обеспечить желаемое значение Д
Ре1улировка фактора R не влияет на р Таким образом, нет необходимости определять наилучшее значение R для каждого значения z при проведении экспериментов. В этом главное преимущество использования отношения S/N как меры добротности проектирования.
2.	Непрерывно-цифровой (НЦ). Пример типа НЦ — разработка температурного контроллера, вход которого (связанный с датчиком температуры) является непрерывным, авыход (функция включения — выключения источника нагрева) — дискретным. В таких проблемах предпочтительнее иметь два раздельных сигнальных фактора: один (М) для функции включения, другой (М') для функции выключения. Чтобы вычислить отношение S/N/\\a М, представляют М' как фактор помехи, а при вычислении S/N для М' фактором помехи будет М.
Таким образом можно достичь прогнозируемого независимого управления как по функции включения, так и по функции выключения. В обоих случаях (М и М') форма S/N та же, что и для случая НН.
1 Это было бы так, если бы были известны точные значения параметров д и /3. Однако они определяются с помощью регрессионного анализа и обладают собственной дисперсией. — Прим. peg.
124
Техника качества— оптимальное проектирование
3.	Цифро-непрерывный (ЦН). Разработка цифро-аналогового преобразователя — пример проблемы типа ЦН. Здесь также используется отдельный сигнальный фактор для преобразования нуля и единицы. Рассмотрение двух сигнальных факторов подобно случаю НЦ.
4.	Цифро-цифровой (ЦЦ). Разработка системы связи, операционной системы компьютера — примеры типа ЦЦ (сигнальный фактор и отклик выражаются цифровыми значениями). Рассмотрим систему связи. В табл. 5.1 приведены частоты обнаружения сигналов, имеющих значения нуль и единица. Вероятность ошибочного определения нуля как единицы равна р, а вероятность неправильного определения единицы как нуля составляет q.
Правильное определение нулей и единиц составляет прогнозируемую часть отклика. Ошибочная классификация является непрогнозируемой частью. С помощью дисперсионного анализа можно вычислить сумму квадратов, связанную с прогнозируемой (Sg) и непрогнозируемой (SJ частями следующим образом:
Sg = п(1 — р — q)2/2, Se = пр(1 —p) + nq(l— q),
ST = Sg + Se = n(l+p~q)(l-p + q)/2.
Тогда дисперсии, связанные с непрогнозируемой и прогнозируемой частями, будут выражаться соотношениями
V = S/(2n-2),Vg = (Sg-VJ/n.
Отношение S/N тогда определится формулой

= 101g^ = 101g
pQ.- p)+q(y~q)
(V)
Полученное приближение основано на том допущении, что п велико.
Часто в качестве меры информационной емкости системы связи используют энтропию. Достоинство разложения дисперсии на составляющие, описанного выше, состоит в том, что его легко обобщить на случай многих составляющих причинных систем Тагути [3].
125
Глава 5
Таблица 5.1. Цифровая передача в системе связи
Выход (отклик)			Общее число
		0	1	
Входной	0	п(1-р)	пр	п
сигнал	1	пр	n(l-q)	п
	Общее число	п(1-р + д) л(1+р-д)	2л
Рассмотрим теперь роль выравнивания. Хорошо известно, что система связи неэффективна, если ошибки передачи нуля и единицы неодинаковы. Более эффективная передача достигается при р = q. Этого легко достичь с помощью операции выравнивания, которая изменяет порог. На рис. 5.4 можно видеть, что изменение порога от 7?] до R2 уравнивает две ошибки, и новая система стала более эффективной.
Как определить значение р' = д', которое является значением ошибки после выравнивания, в соответствии с наблюдаемыми значениями ошибок р и д? Общая формула, предложенная Тагути [3] для приближенного определения р', является результатом преобразования
2 log Пр' = log Пр + log itq
2 • 10 lg	= 10 lg —+10 lg
р' р q
1 / р' -1 = 7(1/р-1)(1/д-1)	(8)
Отношение S/N после выравнивания получается подстановкой р = q = р'в уравнение (7):
77 = 101g 2р'(1-р')	(9)
Уравнение (9) определяет стандартизованное отношение S/ N. Именно это othoi пение нужно максимизировать по управляемым факторам z.
Для некоторых проблем типа ЦЦ ошибки одного рода могут быть более терпимы, чем ошибки другого рода. Пример такой ситуации — химическое или металлургическое разде-
126
Техника качества— оптимальное проектирование
Рис. 5.4. Эффект выравнивания вероятностей ошибок
ление. На стороне входа нуль может обозначать металл, представляющий интерес, скажем железо, а единица — примесь. На стороне выхода нуль может обозначать расплавленный металл, а единица — шлак. В этом случае желаемое отношение рид можно определить из экономических соображений. Таким образом, даже в этом случае формулу преобразования logit можно использовать для получения желаемого значения.
5.5.3.	Проблемы увеличения срока службы
Проблемы увеличения срока службы связаны с выбором таких уровней управляемых факторов, которые обеспечивают максимум срока службы или его желаемое распределение. Чтобы оценить влияние каждого управляемого фактора на вероятностную кривую срока службы, изучается одновременно большое число управляемых факторов. Для оценки вероятностных кривых срока службы и выбора оптимальных уровней управляемых факторов используется ме-
127
Глава 5
Рис. 5.5. Принципиальная схема температурного контроллера
тод анализа [4], очень близкий к аккумуляционному анализу. Прикладной анализ, связанный с повышением срока службы, представлен в работах [4, 6].
5.6.	Проектирование схемы температурного контроллера
5.6.1.	Принципиальная схема
На рис. 5.5 показана принципиальная схема температурного контроллера, в которой используются резистивный термометр RT в качестве датчика температуры и реостат R3 для установки нужной температуры. Значение сопротивления R^, при котором замыкается реле, составляет
R R3R2(E:R4+W	(10)
R^EzR2+EzRi-E0R2)
Очевидно, что эта проблема относится к типу «непрерывно-цифровая». Мы обсудим только часть процесса проектирования.
5.6.2.	Отбор факторов
Сигнальным фактор м является М = R3. Пять управляемых факторов — это , Т?2, Т?4, Ео и Еу. Удобно использовать отношения сопротивлений. Предпочтительнее рассматривать в качестве управляемых факторов отношения R2/ R^ и R4/Rv а не сами величины R2 и R4. Тогда z = (7^, R2/Rv R/
128
Техника качества— оптимальное проектирование
Таблица 5.2. Управляемые факторы и их уровни
Обозначение	Фактор	Уровень		
		1	2	3
А	кОм	2,67	4,0	6,0
В	a.=R2/RI	1,33	2,0	3,0
С	X = R4/R,	5,33	8,0	16,0
D	Ео	8,0	10,0	12,0
F	Е г	4,8	6,0	7,2
Начальные условия				
Таблица 5.3. Факторы помех и их уровни
Обозначение	Фактор	Допуск, % номинального значения	Уровень, % номинального значения		
			1	2	3
А	Rlf кОм	5	-2,04	0	2,04
В	a=R2/R,	5	-2,04	0	2,04
С	x=r4/r,	5	-2,04	0	2,04
D	Ео	5	-2,04	0	2,04
F	Ег	5	-2,04	0	2,04
Rv Ео, Д)1. Для двух параметров напряжения имеется естественное ограничение Д < Ео. В табл. 5.2 даны начальные значения управляемых факторов и их выбранные уровни.
Допуски для пяти управляемых факторов образуют факторы помех (табл. 5.3). Факторы окружающей среды и ухудшение свойств в данном анализе не изучаются. Предполагается, что их влияние адекватно представлено допусками. Отметим, что допуски задаются в процентах от номинального значения определенного управляемого фактора. Мы предполагаем, что допуски равны трем стандартным откло
нениям.
5.6.3.	Оценивание отношения S/N
При оценивании отношения S/Nнеэффективно применять метод Монте-Карло для имитации помех. Стан
129
дартизованным и эффективным методом может быть использование ортогональных матриц. Для каждой переменной помехи выбираются три уровня (табл. 5.3). Три уровня для каждого из факторов помех выбраны таким образом, что их среднее значение равно нулю, а дисперсия составляет о2. Этими тремя уровнями являются — \'3/2<т, 0 и л/3/2сг. (Иногда рассматриваются только два уровня факторов помех: + ст и — ст.)
Рассмотрим три уровня для сигнального фактора: 0,898, 1 и 1,102 кОм. Преимущество назначения трех уровней для сигнального фактора состоит в том, что такое количество позволяет оценивать линейные и квадратичные эффекты. Линейные эффекты рассматриваются как сигнальные эффекты, а квадратичные эффекты — как помехи.
Ортогональная матрица £]8 может быть использована для анализа до семи трехуровневых и одного двухуровневого факторов. Это достаточно для анализа влияния одного сигнального фактора и пяти факторов помех. Матрица Т18 и соответствие столбцов помехе и сигнальным факторам показаны в табл. 5.4. В последней колонке табл. 5.4 (вне матрицы L16) даны значения у = Е , соответствующие 18 условиям сочетания сигнального фактора и факторов помех. Этим значениям у соответствуют следующие значения управляемых факторов: = 2,67 кОм,	= 1,33, R4/Rt = 5,33, Е() = 8,0 В и Е = 4,8 В. При
этом каждый управляемый фактор находится на уровне 1.
С помощью стандартного дисперсионного анализа 18 значений у можно вычислить ожидаемые значения параметра (У, который является квадратом линейной регрессии у по М, и дисперсии ошибки <?е (в работах [3, 9] приведены формулы для вычислений). Пусть М. — сумма всех значений у, для которых сигнальный фактор находится на уровне i. Пусть Т — сумма всех 18 значений у. Тогда

^+M^sT=Yy'-T-, 2-6	tT 18
se=sT-sp,
11 = 101g
о
Se }/ Se 18-2 / 18-2
130
Техника качества— оптимальное проектирование
Таблица 5.4. Ортогональная матрица L18
Управляемый фактор
Испытание 1		2	А 3	В		С 6	D 7	F		
				4	5			8	Ч	
1	1	1	1	1	1	1	1	1	13,49	1,863
2	1	1	2	2	2	2	2	2	13,91	1,892
3	1	1	3	3	3	3	3	3	14,22	1,922
4	1	2	1	1	2	2	3	3	15,29	2,027
5	1	2	2	2	3	3	1	1	15,63	2,154
6	1	2	3	3	1	1	2	2	8,11	2,146
7	1	3	1	2	1	3	2	3	16,46	2,381
8	1	3	2	3	2	1	3	1	-5,52	2,310
9	1	3	3	1	3	2	1	2	16,35	2,281
10	2	1	1	3	3	2	2	1	8,59	1,922
11	2	1	2	1	1	3	3	2	15,77	1,863
12	2	1	3	2	2	1	1	3	15,19	1,892
13	2	2	1	2	3	1	3	2	8,96	2,030
14	2	2	2	3	1	2	1	3	15,52	2,215
15	2	2	3	1	2	3	2	1	15,59	2,087
16	2	3	1	3	2	3	1	2	15,76	2,456
17	2	3	2	1	3	1	2	3	14,82	2,215
18	2	3	3	2	1	2	3	1	9,76	2.309
	1	2	3	4	5	6	7	8		
		М	А	В	С	D	F			У
			Фактор помех							
Для данных в последней колонке табл. 5.4имеем т] = 13,49. Отметим, что расстояние между двумя последовательными уровнями М (М2 — М] и М3 — принято за единицу.
5.6.4.	Оптимизация
Эксперименты с использованием ортогональной матрицы — также эффективный путь максимизации нелинейной функции, в данном случае максимизации ту по отношению к управляемым факторам. Как отмечалось выше, ортогональная матрица £]п достаточна для одновременного
131
Глава 5
Таблица 5.5. Дисперсионный анализ для Г)
Обозна- чение	Фактор Значение уровней				Сумма квадратов	Степени свободы	Сред-НИЙ квадрат	F
	1		2	3				
А	в,	13,09	11,69	13,20	8,56	2	4,28	0,5
В	R/R,	15,22	13,32	9,46	103,84	2	51,92	6,6
С	R/R,	9,17	13,24	15,57	125,73	2	62,87	8,0
D		15,32	13,91	9,75	93,84	2	46,92	5,9
F	Е	9,59	13,14	15,25	98,18	2	49,09	6,2
	Ошибка				55,30	7	7,90	
анализа пяти управляемых факторов. Соответствие столбцов матрицы Lie управляемым факторам показано в табл. 5.4. Используя методику, описанную в разд. 5.6.3, мы вычислили отношение S/N для каждой из 18 комбинаций уровней управляемых факторов. Значения отношения S/N приведены в предпоследней колонке табл. 5.4.
Был выполнен стандартный дисперсионный анализ [10,11] значений ту (табл. 5.5). Среднее значение для уровня 1 величины Rt было получено усреднением шести значений ту, соответствующих единице в столбце 7^ (третий столбец). Другие средние значения были определены аналогично. Столбец сумм квадратов показывает относительный вклад каждого фактора в общую дисперсию 18 значений ту. Величина Бпоказывает влияние каждого фактора по отношению к ошибке.
Из табл. 5.5 видно, что Rt незначительно влияет на ту. Оптимальные уровни В, С, D и F — соответственно Bv С3, D} и F3. Отношение S/N, соответствующее этим оптимальным значениям управляемых факторов (А2, Bt, С3, Dt и F3), составляет 17,57 дБ. Это означает улучшение по сравнению с 3,66 дБ ддя начальных уровней управляемых факторов (А.2, В,., С2, D2 и F2).
Дальнейшего улучшения ту можно достичь анализом для меньших значений В и больших значений С. Поскольку два напряжения имеют естественное ограничение £, < Ео, дальнейшие изменения D и F невозможны. После еще двух итераций было получено оптимальное значение ту (18, 16 дБ).
132
Техника качества— оптимальное проектирование
Использование ортогональных матриц во многих более общих приложениях дает следующие преимущества по сравнению с методами нелинейного программирования: 1) не нужно вычислять производные, 2) не нужно вычислять гессиан, 3) алгоритм нечувствителен к начальным условиям, 4) можно легко обращаться с большим количеством переменных, 5) можно легко обращаться с комбинациями непрерывных и дискретных переменных.
При оптимальном проектировании не было уделено достаточно внимания реальным значениям RT , что необходимо для управления определенными температурами. Путем выбора подходящего среднего значения R3 можно легко приспособить проектируемое устройство к различным температурным диапазонам. Значения управляемых факторов, которые мы получили, могут еще быть оптимальными для различных температурных диапазонов. Это явное преимущество использования отношения S/N как целевой функции. Здесь регулирование среднего значения R3 является операцией масштабирования — выравнивания.
Что надо будет сделать, если дисперсия ошибки при оптимальных условиях превзойдет желаемый уровень? Очевидно, что в этом случае некоторые из допусков потребуется уменьшить, что приведет к более высоким производственным затратам. Чтобы увеличение затрат было минимальным, нужно сначала найти с помощью дисперсионного анализа вклад каждого фактора помех в дисперсию ошибки и затем уменьшить только те допуски, которые обеспечивают максимальную экономическую выгоду. Это называется проектированием допусков.
5.7.	Заключение
Цель оптимального проектирования — производство высококачественных изделий при низких затратах. Оптимальное проектирование направлено на минимизацию чувствительности ко всем факторам помех — внешним помехам, производственным несовершенствам и деградации деталей. Таким образом, оптимизация проектирования при
133
Глава 5
водит к более низким производственным и эксплуатационным затратам; она также увеличивает срок службы и надежность. В этой статье мы показали, как сформулировать целевую функцию (отношение S/N) для различных технических проблем. На примере схемы температурного контроллера мы также показали, как ортогональные матрицы можно использовать для оценивания отношения S/Nn его максимизации.
За последние четыре года в США выросло число приложений рассмотренных методов. Результаты многих прикладных исследований были представлены на проведенных в этом году конференции по возможностям промышленных экспериментов, организованной фирмой AT&T Bell Laboratories, и симпозиуме по методам Тагути, спонсорами которого являлись компания Ford Motor и Американское общество поставщиков. Области приложений включали производство интегральных схем, компьютерное проектирование интегральных схем, улучшение процесса пайки волной, оптимизацию срока службы инструмента и оптимизацию операционной системы компьютера.
Часть 2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 6. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ПРОИЗВОДСТВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМ
М. Фадке, Р. Какар, Д. Спини, М. Грико © 1983 AT&T
6.1. Введение
В настоящей главе описан метод контроля качества на стадии проектирования, представляющий собой систематический метод оптимизации производственного процесса. В ней также отражены работы специалистов фирмы Bell Laboratories по оптимизации процесса формирования контактных окон в технологии изготовления комплементарных МОП-схем (КМОП ИС) с 3,5-мкм проектными нормами, которые проводились в Лаборатории по изучению возможностей проектирования ИС (ICDCL) в Марри-Хилл. Здесь под оптимизацией мы понимаем уменьшение технологических разбросов выходных параметров при сохранении их заданных средних значений.
Типовая сверхбольшая интегральная схема содержит тысячи контактных окон (например, в 32-разрядном микропроцессорном кристалле BELLMAC1 площадью примерно 1,5см2, число контактных окон равно 250 тыс.), причем большинство из них не имеет дублирующих окон. Чрезвычайно важно, чтобы размеры этих окон были максимально близкими к заданным. При невскрытых окнах или их слишком малых размерах отсутствуют контакты с приборами, а при слишком больших окнах уменьшаются размеры других элементов приборов. Применение метода контроля качества на стадии
' Торговая марка приборов фирмы Bell Laboratories.
135
проектирования уменьшило дисперсию размеров окон в четыре раза. Кроме того, оно позволило существенно сократить продолжительность этапа формирования окон в данном производственном процессе.
Толчком к выполнению данной работы послужило пребывание проф. Генити Тагути в Центре обеспечения качества фирмы Bell Laboratories в августе — октябре 1980 г. Проф. Тагути, директор японской Академии качества и лауреат премии Деминга, работал над своим методом контроля качества на стадии проектирования в течение трех последних десятилетий. Обзоры методов контроля качества в процессе производства и контроля качества на стадии проектирования, созданных Тагути, приведены в работах [1, 2]. В настоящей главе представлены результаты практического применения на фирме Bell Laboratories его метода контроля качества на стадии проектирования.
Отличительные особенности этого метода — планирование эксперимента с использованием ортогональных матричных планов и анализ отношений сигнал/шум (s/n). Планы с ортогональными матрицами обеспечивают экономичные способы одновременного исследования влияния многих производственных факторов1 на средние значения и дисперсии выходных параметров. Ортогональные матричные планы представляют собой дробные факторные планы со свойством ортогональности, определенные в разд. 6.4. Отношение s/n есть мера изменчивости процесса. Согласно Тагути [3], оптимизация процесса по величине отношения s/n дает гарантию того, что полученные оптимальные режимы выполнения процесса робастны, или устойчивы, в том смысле, что они дают минимальные технологические разбросы.
Материал в главе распределен следующим образом. В разд. 6.2 дано краткое описание процесса формирования окон, который представляет собой решающий этап производства ИС. Этот этап обычно считается одним из самых сложных с точки зрения воспроизводимости размеров окон. Были выявлены девять важнейших факторов процесса и опреде
1В словаре терминов: управляемые параметры.
136
Контроль качества в прозводстве ИС
лены их возможные рабочие уровни. Описание этих факторов и их уровни приведены в разд. 6.3. Полное число возможных комбинаций уровней указанных факторов составляет около 6 тысяч.
Цель метода контроля качества на стадии проектирования — определить такую комбинацию уровней факторов, при которой дисперсия размера окна минимальна, а его среднее значение равно заданному. Чтобы найти такую комбинацию, было выполнено 18 экспериментов с ортогональной матрицей планирования 1 . Описанные в разд. 6.4 эти эксперименты соответствуют 18 комбинациям уровней факторов из 6000 возможных. Для каждого эксперимента измерялись ширина линий и элементы, определяющие размеры окон. Для определения оптимальной комбинации уровней факторов был выполнен анализ полученных данных. Результаты измерений и анализ данных представлены в разд. 6.5 — 6.9.
Оптимальные уровни факторов затем использовались в лаборатории ICDLC в Марри-Хилл при изготовлении микропроцессора BELLMAC-32, микрокомпьютера BELLMAC-4 и ряда других ИС. Результаты применения соответствующих технологических режимов рассмотрены в разд. 6.10.
Планирование эксперимента и предварительный анализ экспериментальных данных выполнялись под руководством проф. Тагути.
6.2. Процесс формирования окон
Изготовление интегральных схем — сложный и длительный процесс [4]. Формирование контактных окон — это один из важнейших этапов создания современных КМОП ИС. Оно осуществляется после выращивания защитного и затворного окислов, формирования поликремниевых линий и легирования затворных, истоковых и стоковых областей. На рис. 6.1 на сечении пластины показаны контактные окна. Окно представляет собой отверстие диаметром примерно 3,5 мкм, вытравленное в окисном слое толщиной около 2 мкм. Назначение окон — получение электрических соединений между затворами, истоками и стоками приборов. По указанной причине эти окна называются контактными.
137
Глава 6
Процесс формирования окон в окисных слоях включает операцию фотолитографии. Сначала поверхность фосфорно-си-ликатного стекла подготавливается посредством осаждения на нее нелегированного окисла и его предварительного отжига. Процесс формирования окон состоит из следующих операций.
1.	Нанесение фоторезиста. На поверхность пластины путем разбрызгивания наносится увлажняющее вещество, которое должно способствовать адгезии фоторезиста к окис-лу. Затем на пластину наносится фоторезист, который посредством ее вращения с высокой скоростью равномерно распределяется по поверхности.
2.	Сушка. Пластина нагревается для высушивания слоя фоторезиста. На этой стадии толщина слоя фоторезиста составляет примерно 1,3 — 1,4 мкм.
3.	Экспонирование. Покрытая фоторезистом пластина экспонируется ультрафиолетовым светом через маску (фотошаблон). Формируемые окна выглядят на фотошаблоне как прозрачные участки. Помимо окон, представляющих собой структурные элементы ИС, на фотошаблоне имеются тестовые рисунки. Свет проходит через эти участки и переводит фоторезист в окнах и в тестовых элементах в состояние, в котором он растворяется в соответствующем растворителе
138
Контроль качества в прозводстве ИС
(проявителе). Участки фоторезиста, на которые свет не попадает, не растворяются.
4.	Проявление. Экспонированная пластина погружается в проявитель, который растворяет только засвеченные области. В нормально отпечатанных окнах экспонированный фоторезист растворяется полностью, открывая поверхность окисла.
5.	Плазменное травление. Пластины помещаются в реактор с высоким вакуумом, где создается плазма, которая травит открытые участки окисла с более высокой скоростью, чем она травит фоторезист. Поэтому на тех участках, где в фоторезисте есть окна, такие же окна вытравливаются и в окисном слое до самой поверхности кремния.
6.	Снятие фоторезиста. С помощью кислородной плазмы и растворителей оставшийся на пластине фоторезист удаляется.
При окончательном формировании контактных окон выполняются следующие операции; 7) удаление верхнего окисного покрытия; 8) окисление контактной области для ее защиты от диффузии фосфора на следующей операции; 9) оплавление фосфорно-силикатного стекла для скругления краев окон; 10) отжиг в водороде и 11) жидкостное травление перед осаждением металла для удаления всех остатков окисла из контактных областей.
В начале исследований заданный размер окна на операции 6 составлял 3,0 мкм. Заданный конечный размер окна (после операции 11) был равен 3,5 мкм.
6.3.	Выбор факторов и их уровней
В настоящей работе для оптимизации были выбраны только операции 1—5. Их обсуждение с инженерами-технологами привело к тому, что для управления размерами окон были отобраны девять факторов1. Ниже приводятся эти факторы и указываются соответствующие им технологические операции.
1.	Нанесение фоторезиста. Вязкость фоторезиста В и частота вращения пластины С.
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
139
Глава 6
Таблица 6.1. Уровни факторов в эксперименте
Обозна-	Название		Уровень		
чение	>	фактора	1	2	3
А В	Размер на фотошаблоне, мкм Вязкость		2 204	2,5 206
С	Частота вращения, об/мин	Низкая	Нормальная Высокая	
D Е	Температура сушки, °C Времы сушки.мин	90 20	105 30	40
F	Апертура	1	2	3
G	Время экспонирования	+ 20%	Нормальное	-20%
Н	Время проявления, с	30	45	60
I	Время плазменного травления, мин	14,5	13,2	15,8
	Зависимость частоты вращения от вязкости
Вязкость	Частота вращения, об/мин низкая нормальная высокая
204 206	2000	3000	4000 3000	4000	5000
Зависимость времени экспонирования от апертуры
Апертура	Время экспонирования (установка РЕР)		
	+ 20%	Нормальное	-20%
1	96	120	144
2	72	90	108
3	40	50	60
2.	Сушка. Температура сушки D и время сушки Е.
3.	Экспонирование. Размер на фотошаблоне А, апертура F и время экспонирования G.
4.	Проявление. Время проявления Н.
5.	Плазменное травление. Время травления I.
140
Контроль качества в прозводстве ИС
Для операции снятия фоторезиста факторы не выбирались, поскольку она на размеры окна не влияет.
Типовые рабочие уровни указанных девяти факторов приведены в табл. 6.1. При этих режимах, с которыми технологи в основном работали в сентябре 1980 г., контактные окна получались с большими разбросами размеров, а в некоторых случаях просто не «пропечатывались» и не вскрывались.
Идея контроля качества на стадии проектирования состоит в том, чтобы систематически исследовать возможные уровни факторов с целью получить окна с однородными размерами.
В эксперименте по формированию окон число уровней выбиралось отдельно для каждого из девяти факторов. Эти уровни также приведены в табл. 6.1. Для шести факторов число уровней равно трем, для трех остальных — двум.
Уровни частоты вращения пластины связаны с вязкостью фоторезиста. Для резиста с вязкостью 204 низкая, нормальная и высокая частоты вращения равны 2000, 3000 и 4000 об/мин соответственно. Для вязкости 206 эти уровни составляют 3000, 4000 и 5000 об/мин. Аналогично, времена экспонирования зависят от апертуры. Соответствующие соотношения также приведены в табл. 6.1.
6.4.	Эксперимент с ортогональной матрицей планирования
Полный факторный эксперимент для исследования всех возможных комбинаций уровней факторов потребовал бы отдельных испытаний. С учетом стоимости материалов, затрат времени и доступности производственных мощностей такой эксперимент из-за своей громоздкости был неприемлем. К тому же из статистических соображений следует, что проведение полного факторного эксперимента не требуется, поскольку процессы обычно можно адекватно описать относительно небольшим числом параметров.
План дробного факторного эксперимента, использованный в данной работе, представлен в табл. 6.2. Он реализован на основе ортогонального матричного плана £18 из 18 испытаний [3].
141
Глава 6
Таблица 6.2. Ортогональный матричный план L
Номер столбца и фактор								
Испытание	1	2	3	4	5	6	7	8
	А	BD	С	Е	F	G	Н	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	2	2	2	2	2	2
3	1	1	3	3	3	3	3	3
4	1	2	1	1	2	2	3	3
5	1	2	2	2	3	3	1	1
6	1	2	3	3	1	1	2	2
7	1	3	1	2	1	3	2	3
8	1	3	2	3	2	1	3	1
9	1	3	3	1	3	2	1	2
10	2	1	1	3	3	2	2	1
И	2	1	2	1	1	3	3	2
12	2	1	3	2	2	1	1	3
13	2	2	1	2	3	1	3	2
14	2	2	2	3	1	2	1	3
15	2	2	3	1	2	3	2	1
16	2	3	1	3	2	3	1	2
17	2	3	2	1	3	1	2	3
18	2	3	3	2	1	2	3	1
Строки матрицы соответствуют отдельным испытаниям пластин, столбцы — факторам. Здесь величина BD рассматривается как объединенный фактор с уровнями 1,2 и 3, представляющими собой комбинации В^, B2Dt и B,D2 соответственно. Этот фактор введен для того, чтобы с помощью ортогонального матричного плана £18 исследовать влияние всех девяти факторов. Следовательно, в испытании 2 факторы А и BD находятся на уровне 1, все остальные — на уровне 2. Такой набор уровней соответствует следующему набору физических величин: 2-мкм размер на фотошаблоне, вязкость 204, температура сушки 90°С, частота вращения 3000 об/мин, время сушки 30 мин, апертура 2, время экспонирования 90 с, время проявления 45 с и длительность плазменного травления 13,2 мин. Остальные строки расшифровываются аналогичным образом.
142
Контроль качества в прозводстве ИС
Теперь рассмотрим некоторые свойства и обоснования этого плана.
1.	План направлен на изучение только главных эффектов, т.е. отклик аппроксимируется сепарабельной функцией. Функция нескольких независимых переменных называется сепарабельной, если ее можно представить как сумму функций, каждая из которых есть функция только одной независимой переменной.
2.	Для оценки главных эффектов имеются д ве степени свободы, связанные с каждым трехуровневым фактором, одна степень свободы для каждого двухуровневого фактора и одна степень свободы для общего среднего значения. На каждую степень свободы требуется как минимум одно испытание. Следовательно, минимально необходимое число испытаний равно 2x6 + 1x3 + + 1 = 16. Рассматриваемый план включает 18 испытаний. Для эксперимента с поочередным изменением факторов нужны всего 16 испытаний — на 2 меньше 18. Однако такой эксперимент дает намного менее точную информацию по сравнению с ортогональным матричным экспериментом [3,5].
3.	Столбцы матрицы планирования попарно ортогональны. Это означает, что в любой паре столбцов присутствуют все комбинации уровней и они встречаются одинаковое число раз.
4.	Таким образом, оценки главных эффектов всех факторов, как показано в табл. 6.2, и соответствующие им суммы квадратов в предположении о нормальном законе распределения и о равенстве дисперсий ошибок независимы. Хотя BD рассматривается как объединенный фактор, главные эффекты и суммы квадратов для В и D в предположении об отсутствии взаимодействия можно оценить раздельно. В общем случае эти оценки будут коррелированы друг с другом. Однако для любого из остальных семи факторов корреляции полученных оценок не будет.
5.	Оценки главных эффектов можно использовать для прогнозирования отклика для любой комбинации уровней факторов. Достоинство такого плана состоит в том, что дисперсия ошибки прогноза одинакова для всех комбинаций уровней факторов, покрываемых полным факторным экспериментом.
143
Глава 6
6.	Известно, что при наличии взаимодействий модели с учетом только главных эффектов могут приводить к неправильным выводам. Однако на начальных этапах данного исследования такие взаимодействия игнорировались. Если бы потребовалось исследовать все двухфакторные взаимодействия, используя не более 18 испытаний, то в нашем распоряжении имелось бы число степеней свободы, достаточное для исследования только двух трехуровневых или пяти двухуровневых факторов. Для настоящей работы это означало бы необходимость исключить половину факторов процесса без какого-либо экспериментального обоснования. И наоборот, при необходимости исследовать все девять факторов иих двухфакторные (парные) взаимодействия потребовалось бы как минимум 109 испытаний. Ортогональные матричные планы, несомненно, можно использовать и для исследования взаимодействий [3].
7.	Оптимальные режимы, полученные с помощью основного эксперимента, необходимо проверить с помощью дополнительного эксперимента, чтобы застраховаться от возможных негативных последствий игнорирования взаимодействий между управляемыми факторами процесса.
При проведении подобных экспериментов обычно бывает, что несколько пластин получают повреждения или раскалываются. Кроме того, изменчивость размеров окон от пластины к пластине обычно оказывается весьма значительной. Поэтому было принято решение проводить каждое испытание на двух пластинах.
6.4.1.	Дисперсионный анализ
Полученные в экспериментах данные анализировались методом дисперсионного анализа ANOVA (analysis of variance) [6]; Назначение метода дисперсионного анализа — разделить суммарную изменчивость данных, определяемую суммой квадратов отклонений от среднего значения, на вклады каждого из факторов и ошибку. Метод аналогичен применению теоремы Парсеваля для разделения мощности сигнала на вклады различных гармоник [3]. Чтобы определить, какие факторы оказывают значимое влияние, выполняются F-тесты. При проведении стандартного F-тес
144
Контроль качества в прозводстве ИС
та предполагается, что ошибки имеют нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями и независимы. Результаты F-теста отображаются с помощью уровня значимости. Когда говорят, что некоторый фактор значим на 5%-ном уровне, то это означает, что с вероятностью 5% или менее изменение уровня этого фактора никак не скажется на отклике. Если же F-тест показывает, что фактор не значим на 5%-ном уровне, то при изменении уровня данного фактора вероятность неизменности отклика составляет более 5%.
Уровни факторов, идентифицированные как значимые, подбираются затем так, чтобы получить наилучший отклик. Уровни остальных факторов в пределах диапазона их изменения в данном эксперименте могут быть любыми. Мы решили оставить их исходные значения.
Если допущения для F-теста удовлетворяются не полностью, то неточными оказываются и принятые уровни значимости. Однако стандартный F-тест относительно нечувствителен к отклонениям от допущений, принятых при его выводе. Поэтому для практических решений об изменении уровней конкретных факторов данная точность уровня значимости является вполне приемлемым ориентиром. В этой главе мы будем использовать стандартный F-тест даже несмотря на то, что некоторые из его допущений не выполняются достаточно строго.
6.5.	Меры качества
Размер окна — вполне приемлемая мера качества для данного эксперимента. Существующее оборудование не обеспечивает воспроизводимых измерений размеров окон в функциональных схемных блоках на кристаллах ИС ввиду малых размеров окон и их близости друг к другу. По этой причине в верхнем левом углу каждого кристалла размещаются тестовые структуры — линии нужной ширины и окна. Для определения качества на этих тестовых структурах измерялись следующие величины.
1.	Ширина линий после операции 4, которая называется шириной линий до травления или фотолитографической шириной.
145
Глава 6
2.	Ширина линий после операции 5, которая называется шириной линий после травления.
3.	Размер окна в тестовой структуре после операции 5, который называется размером окна после травления.
Для этих измерений на каждой пластине выбирались по пять кристаллов в определенных ее участках — верхнем, нижнем, левом, правом и центральном.
Все три меры качества считаются хорошими показателями размеров контактных окон в функциональных схемных блоках. Однако по своим размерам окна в тестовых структурах все же ближе к функциональным окнам, чем линии в тестовых структурах. Поэтому из этих трех мер качества ближе всего к размерам функциональных окон размер тестовых окон после травления.
6.6.	Экспериментальные данные
Для проведения эксперимента были отобраны 34 пластины. Поэтому испытания 15 и 18 проводились на одной пластине. Одна из пластин, взятых для испытания 5, в ходе обработки раскололась. Таким образом, испытаниям 5, 15 и 18 подвергалась только одна пластина. Результаты испытаний представлены в табл. 6.3.
Получаемые в подобных экспериментах данные можно разделить на два типа: непрерывные и категориальные. В данном случае ширина линий до и после травления относится к непрерывным данным. Размер окна после травления относится к категориально-непрерывным данным, поскольку одни окна были вскрыты, а другие — нет. Эти два типа данных анализируются разными способами, которые рассмотрены в следующих двух разделах.
6.7.	Анализ данных по ширине линий
Ширина линий как до травления, так и после него — непрерывная переменная. Интересующие нас ее статистические характеристики—среднее значение и среднеквадратичное (стандартное) отклонение. Цель нашего анализа—определить такую комбинацию уровней факторов, для которой
146
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.3. Экспериментальные данные
Испытание	Ширина линии до травления,мкм					Примечание
	Верх	Центр	Низ	Левый край	Правый край	
1	2,43	2,52	2,63	2,52	2,5	
1	2,36	2,5	2,62	2,43	2,49	
2	2,76	2,66	2,74	2,6	2,53	
2	2,66	2,73	2,95	2,57	2,64	
3	2,82	2,71	2,78	2,55	2,36	
3	2,76	2,67	2,9	2,62	2,43	
4	2,02	2,06	2,21	1,98	2,13	
4	1,85	1,66	2,07	1,81	1,83	Пластина
5	-	-	-	-	-	
5	1,87	1,78	2,07	1,8	1,83	раскололась
6	2,51	2,56	2,55	2,45	2,53	
6	2,68	2,6	2,85	2,55	2,56	
7	1,99	1,99	2,11	1,99	2,0	
7	1,96	2,2	2,04	2,01	2,03	
8	3,15	3,44	3,67	3,09	3,06	
8	3,27	3,29	3,49	3,02	3,19	
9	3,0	2,91	3,07	2,66	2,74	
9	2,73	2,79	3.0	2,69	2,7	
10	2,69	2,5	2,51	2,46	2,4	
10	2,75	2,73	2,75	2,78	3,03	
11	3.2	3,19	3,32	3,2	3,15	
11	3,07	3,14	3,14	3,13	3.12	
12	3,21	3,32	3,33	3,23	3,10	
12	3,48	3,44	3,49	3,25	3,38	
13	2,6	2,56	2,62	2,55	2,56	
13	2,53	2,49	2,79	2,5	2,56	
14	2,18	2,2	2,45	2,22	2,32	
14	2,33	2,2	2,41	2,37	2,38	
15	2,45	2,50	2,51	2,43	2,43	Пластины
15	-	-	-	-		нет
16	2,67	2,53	2,72	2,7	2,6	
16	2,76	2,67	2,73	2,69	2,6	
17	3,31	3,3	3,44	3,12	3,14	
17	3,12	2,97	3,18	3,03	2,95	
18	3,46	3,49	3,5	3,45	3,57	Пластины
18	-	-	-	-		нет
147
Глава 6
Продолжение таблицы 6.3.
Испытаю	Ширина линии после травления,мкм					Примечание
	ие Верх	Центр	Низ	Левый край	Правый край	
1	2,95	2,74	2,85	2,76	2,7	
1	3,03	2,95	2,75	2,82	2,85	
2	3,05	3,18	3,2	3,16	3,06	
2	3,25	3,15	3,09	3,11	3,16	
3	3,69	3,57	3,78	3,55	3,40	
3	3,92	3,62	3,71	3,71	3,53	
4	2,68	2,62	2,9	2,45	2,7	
4	2,29	2,31	2,77	2,46	2,49	Пластина
5	-	-	-	-	-	раскололась
5	1,75	1,15	2,07	2,12	1,53	
6	3,42	2,98	3,22	3,13	3,17	
6	3,34	3,21	3,23	3,25	3,28	
7	2,62	2,49	2,53	2,41	2,51	
7	2,76	2,94	2,68	2,62	2,51	
8	4,13	4,38	4,41	4,03	4,03	
8	4.0	4,02	4,18	3,92	3,91	
9	3,94	3,82	3,84	3,57	3,71	
9	3,44	3,30	3,41	3,28	3,20	
10	3,17	2,85	2,84	3,06	2,94	
10	3,70	3,34	3,45	3,41	3,29	
11	4,01	3,91	3,92	3,80	3,90	
И	3,67	3,31	2,86	3,41	3,23	
12	4,04	3,80	4,06	3,81	3,94	
12	4,51	4,37	4,45	4,24	4,48	
13	3,40	3,12	3,11	3,25	3,06	
13	3,22	3,03	2,89	2,92	2,98	
14	3,18	3,03	3,4	3,17	3,32	
14	3,18	2,83	3,17	3,07	3,02	
15	2,86	2,46	2,3	2,6	2,55	
15	-	-	-	-	-	Пластины
16	2,85	2,14	1,22	2,8	3,03	
16	3,4	2,97	2,96	2,87	2,88	
17	4,06	3,87	3,90	3,94	3,87	
17	4,02	3,49	3,51	3,69	3,47	
18	4,49	4,28	4,34	4,39	4,25	Пластины
18	-	-	-	-	-	нет
148
Контроль качества в прозводстве ИС
Продолжение таблицы 6.3.
Испытан	Размер окна,мкм					Примечание
	ие Верх	Центр	Низ	Левый край	Правый край	
1	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
1	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
2	2,32	2,23	2,30	2,56	2,51	
2	2,22	2,33	2,34	2,15	2,35	
3	2,98	3,14	3,02	2,89	3,16	
3	3,15	3,08	2,78	WNO	2,86	
4	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
4	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
5	-	-		-	-	Пластина
5	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	раскололась
6	2,45	2,19	2,14	2,32	2,12	
6	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
7	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
7	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
8	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
8	2,89	2,97	3,13	3,25	3,19	
9	3,16	2,91	3,12	3,18	3,11	
9	2,43	2,35	2,14	2,40	2,28	
10	2,0	1,75	1,97	1.91	1,72	
10	WNO	2,7	WNO	2,61	2,73	
11	2,76	3,09	3,22	3,05	3,04	
11	3,12	3,21	WNO	2,71	2,27	
12	3,24	3,08	WNO	2,89	2,72	
12	3,5	3,71	3,52	3,53	3,71	
13	2,54	2,63	2,88	2,31	2.71	
13	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
14	WNO	1,74	2,24	2,07	2,38	
14	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
15	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	Пластины
15	-	-	-	-	-	нет
16	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
16	WNO	WNO	WNO	WNO	WNO	
17	3,09	2,91	3,06	3,09	3,29	
17	3,39	2,5	2,57	2,62	2,35	
18	3,39	3,34	3,45	3,44	3,33	Пластины
18	-	-	-	-	-	нет
WNO — окно не вскрыто
149
Глава 6
стандартное отклонение минимально, а среднее значение равно заданному. Эту комбинацию уровней факторов будем называть оптимальной. Ниже описан метод получения такой оптимальной комбинации, разработанный Тагути.
6.7.1.	Одна выходная переменная
Сначала рассмотрим случай всего одной выходной переменной. Вместо того чтобы иметь дело со средним значением и стандартным отклонением, удобнее и легче работать с преобразованными переменными — средним значением и отношением сигнал/шум (s/n). Отношение s/n определяется выражением
s / п - 1g
среднее значение стандартное отклонение
= -^(коэффициент вариации)
Для преобразованных величин задача оптимизации состоит в определении оптимальных уровней, при которых отношение s/n максимально, а среднее значение равно заданному. Задачу можно решить в два следующих этапа.
1.	Определяем, какие факторы оказывают значимое воздействие на величину s/n, с помощью дисперсионного анализа отношения s/n. Такие факторы называются управляемыми факторами1; это значит, что они управляют изменчивостью процесса. Для каждого управляемого фактора выбираем в качестве оптимального такой уровень, которому соответствует максимальное значение s/n. В этом случае и результирующая величина отношения s/n будет максимальной.
2.	Среди всех факторов, оказывающих значимое воздействие на среднее значение, выбираем фактор, минимально влияющий на s/n. Такой фактор называется сигнальным1 2. В идеале сигнальный фактор вообще не должен влиять на s/n. В качестве уровней остальных факторов (не относящихся ни к управляемым, ни к сигнальным) выбираем их номинальные
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
2 В словаре терминов: регулируемый параметр.
150
Контроль качества в прозводстве ИС
значения до проведения оптимизационного эксперимента. Затем устанавливаем уровень сигнального фактора так, чтобы получить среднее значение, равное заданному.
На практике при выборе сигнального фактора нужно учитывать следующие моменты: 1) зависимость среднего значения отклика от уровня сигнального фактора по возможности должна быть линейной; 2) желательно, чтобы в производственном процессе изменение сигнального фактора выполнялось достаточно удобно и просто. Эти моменты имеют важное значение с точки зрения оперативного контроля качества. Сигнальный фактор можно использовать в ходе производства изделий для подгонки среднего значения [1—3].
Почему стандартное отклонение здесь заменено отношением s/n? Часто с уменьшением среднего значения одновременно уменьшается стандартное отклонение и наоборот. В таких ситуациях, если мы имеем дело со стандартным отклонением, предлагаемую двухэтапную оптимизацию выполнить нельзя, т.е. нельзя минимизировать стандартное отклонение, а затем приблизить среднее значение к заданному.
В процессе решения многих прикладных задач проф. Тагути эмпирически установил, что предлагаемая двухэтапная процедура оптимизации с использованием отношения s/n действительно дает комбинацию уровней факторов с минимальным стандартным отклонением, сохраняя заданное среднее значение. Это означает, что для рассматриваемых производственно-технических систем регулируемые производственные факторы можно разделить на три следующие категории.
1.	Управляемые факторы, влияющие на изменчивость процесса, мерой которой служит отношение s/n.
2.	Сигнальные факторы, которые не воздействуют (или воздействуют пренебрежимо слабо) на s/n, но существенно влияют на среднее значение.
3.	Факторы, не влияющие ни на среднее значение, ни на отношение s/n.
Рассмотренная двухэтапная процедура имеет и другое преимущество перед процедурой, в которой выполняется непосредственная минимизация среднеквадратичной ошиб
151
Глава 6
ки относительно заданного среднего значения. На практике заданное среднее значение в процессе разработки и отладки процесса может меняться. Преимущество двухэтапной процедуры состоит в том, что для любого заданного среднего значения (в определенном интервале) новую оптимальную комбинацию уровней факторов можно получить соответствующей настройкой уровня только сигнального фактора. Дело в том, что на этапе 1 процедуры коэффициент изменчивости процесса минимизируется для всех возможных заданных средних значений.
6.7.2.	Несколько выходных переменных
Рассмотрим теперь случай двух и более выходных переменных. В таком случае могут потребоваться технические знания и соображения, если окажется, что для разных выходных переменных нужны разные уровни какого-либо фактора. Модифицированная двухэтапная процедура излагается ниже.
1.	Раздельно определяем управляемые факторы и их оптимальные значения, соответствующие каждой выходной переменной. Если между этими оптимальными значениями, определяемыми различными выходными переменными, возникает противоречие, то для его разрешения следует использовать конкретные технические соображения.
2.	Выбираем фактор с минимальным воздействием (предпочтительно выбрать фактор, вообще не оказывающий влияния) на отношения сигнал — шум для всех выходных переменных, но существенно действующий на их средние значения. Это и есть сигнальный фактор. Задаем для остальных факторов, не действующих ни на средние значения, ни на величины s/n, их номинальные уровни до экспериментальной оптимизации. Затем задаем такой уровень сигнального фактора, при котором сред ние значения выход ных переменных равны заданным. Для разрешения возможных противоречий и в этом случае можно использовать конкретные технические соображения.
Выбор управляемых факторов, сигнального фактора и их оптимальных уровней для данной прикладной задачи рас
152
Контроль качества в прозводстве ИС
смотрен в разд. 6.9. В разд. 6.7.4 и 6.9 описан анализ данных, на основе которого выбираются оптимальные уровни факторов.
6.7.3.	Ширина линий до травления
Для каждого из 18 испытаний были рассчитаны среднее значение, стандартное отклонение и отношение s/n. В случае испытаний с двумя пластинами анализировались 10 измеренных значений, для испытаний с одной пластиной — пять. Результаты приведены в табл. 6.4. Наличие неодинаковых объемов выборки в дальнейшем анализе не учитывалось. Обозначим через х. и п. среднее значение и отношение s/n для /-го испытания. Рассчитывая общее среднее х. и единую дисперсию s2. (требуются для оценки z;() по двум пластинам для каждого z-го испытания, мы объединяем разбросы при наблюдении разных пластин в одном испытании и при наблюдении разных позиций на одной пластине. Речь идет о том, что
E[s2J = (разброс при наблюдении разных пластин для /-го испытания) х 5/9
+ (разброс при наблюдении разных позиций на одной пластине для /-го испытания).
Следовательно, максимизируя г], мы минимизируем сумму разбросов ширины линий для разных пластин и для одной пластины; эта сумма и представляет собой интересующую нас выходную характеристику. Возможны ситуации, когда желательно получить раздельные оценки воздействия уровней факторов на разбросы параметров для разных пластин и для одной пластины. В этих случаях необходимо рассчитать отношение s/n и среднюю ширину линий для каждой отдельной пластины.
При анализе ширины линий до травления и после травления мы рассчитываем х. и s2. для каждого испытания, объединяя данные для обеих пластин, используемых в отдельном испытании. Относи тельная мера разбросов для разных пластин и для одной пластины получена в разд. 6.8 при анализе данных по размерам окон после травления.
153
Глава 6
Таблица 6.4. Ширина линий до травления
Номер испытания	Средняя ширина линий X, мкм	Стандартное отклонение ширины линий S, мкм	s/n >1= ig(x/s;
1	2,500	0,0827	1,4803
2	2,684	0,1196	1,3512
3	2,660	0,1722	1,1819
4	1,962	0,1696	1,0632
5	1,870	0,1168	1,2043
6	2,584	0,1106	1,3686
7	2,032	0,0718	1,4520
8	3,267	0,2101	1,1917
9	2,829	0,1516	1,2709
10	2,660	0,1912	1,1434
И	3,166	0,0674	1,6721
12	3,323	0,1274	1,4165
13	2,576	0,0850	1,4815
14	2,308	0,0964	1,3788
15	2,464	0,0385	1,8065
16	2,677	0,0706	1,5775
17	3,156	0,1569	1,3036
18	3,494	0,0473	1,8692
Анализ отношения s/n. Оценки среднего отношения s/n для всех уровней факторов приведены в табл. 6.5. Среднее значение для первого уровня фактора А есть среднее по девяти испытаниям (с 1-го по 9-е), которые выполнялись при уровне 1 фактора А. Аналогично среднее отношение я/п для второго уровня фактора А есть среднее по испытаниям 10— 18, выполненным при уровне 2 этого фактора. Обозначим эти усредненные воздействия уровней А! и А2 как mA] и тА2 соответственно. Здесь mAi = 1,2857 и тА2 = 1,5166. Аналогичным образом получены и другие позиции в табл. 6.5.
Средние значения отношений сигнал — шум для каждого уровня восьми факторов представлены на рис. 6.2. Качественная оценка показывает, что размер на фотошаблоне и апертура сильно влияют на величину s/n. Время проявления и
154
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.5. Средние значения отношения s/n для ширины линий до травления
Фактор		Уровень		
		1	2	3
А	Размер на фотошаблоне	1,2857	1,5166	
BD	Вязкость х температура			
	сушки	(B,D,)1,3754	(Вр,) 1,3838	(B,D2) 1,4442
В	Вязкость	1,4098	1,3838	
D	Температура сушки	1,3796	1,4442	
С	Частота вращения	1,3663	1,3503	1,4868
Е	Время сушки	1,4328	1,4625	1,3082
F	Апертура	1,5368	1,4011	1,2654
G	Время экспонирования	1,3737	1,3461	1,4836
Н	Время проявления	1,3881	1,4042	1,4111
Общее среднее значение s/n равно 1,4011
вязкость фоторезиста на s/n влияют слабо. Интенсивности влияния других факторов занимают промежуточное положение между этими двумя крайними случаями.
Для факторов с тремя уровнями информация на рис. 6.2 позволяет также оценить линейность их воздействия. Если разности значений факторов для уровней 1 и 2 и 2 и 3 одинаковы, а сами уровни берутся в естественном порядке (1,2,3 или 3,2, 1), то воздействие соответствующего фактора линейно. Если указанные разности неодинаковы или порядок уровней перепутан, то воздействие имеет нелинейный характер. Например, воздействие апертуры примерно линейно, а времени сушки — нелинейно.
Выполним формальный дисперсионный анализ (ANOVA) для идентификации статистически значимых факторов. Дисперсионный анализ обобщенных линейных моделей широко представлен в литературе (см., например, [6, 7]). Простые методы ANOVA для ортогональных матричных экспериментов описаны в [3]. Для анализа этих данных используется следующая линейная модель:
у. = р+х. + е.,	(1)
где i = 1, ..., 18 — номер испытания; /л — общее среднее значение, х. — фиксированное воздействие комбинации
155
1,6
Глава 6
Отношение сигнал-шум
общее среднее значение /отношения сигнал-шум
/
• 2	*2
< з
Размер на Апертура F время частота	время Температура Вязкость в время
фотошаблоне А	сушки Е вращения С экспонирования G сушки 0	проявления н
Факторы
Рис. 6.2. Отношение сигнал —шум для ширины линий до травления. Среднее значение s/n для каждого уровня фактора показано точкой. Цифра рядом с точкой — уровень фактора.
Контроль качества в прозводстве ИС
уровней факторов в i-м испытании (для каждого из факторов учитывается только главный эффект, поэтому х. представляет собой сумму эффектов восьми рассматриваемых факторов); е. — случайная ошибка для /-го испытания; у. — отношение s/n для /-го испытания.
Чтобы уточнить смысл переменной х., рассмотрим испытание 1, проведенное при уровне 1 всех восьми факторов А — Н. Отметим, что фактор I заведомо не влияет на ширину линий до травления. Поэтому х, есть сумма главных эффектов, связанных с уровнем 1 каждого из факторов от А до Н.
Суммы квадратов и средние квадраты (дисперсии) для восьми рассматриваемых факторов приведены в табл. 6.6а. Соответствующие расчеты проиллюстрированы на примерах в приложении А. В табл. 6.6а приведены также ожидаемые средние квадраты (дисперсии). В [6, 7] рассмотрены соотношения для расчета ожидаемых средних квадратов (дисперсий), которые используются при построении подходящих F-тестов. Дисперсия ошибки, т.е. дисперсия е., обозначена как у2. Изменчивость, обусловленная факторами А — Н, обозначена через (р с соответствующим индексом.
Из табл. 6.6а видно, что средние суммы квадратов для факторов BD, С, G и Н меньше, чем средняя сумма квадратов для ошибки. Поэтому была построена новая таблица дисперсионного анализа ANOVA, в которой суммы квадратов для этих факторов объединены с суммой квадратов для ошибки. Линейная модель, лежащая в основе табл. 6.66, аналогична уравнению (1) и отличается только тем, что теперьх — сумма главных эффектов только факторов А, Е и F. Отношения F, рассчитанные путем деления средней суммы квадратов для фактора на среднюю сумму квадратов для ошибки, также приведены в табл. 6.66. В соответствии с таблицами F-крите-рия при 5%-ном уровне значимости факторы А и F значимы. Поэтому управляемыми факторами в данном случае являются размер окна на фотошаблоне и апертура.
При выполнении дисперсионного анализа подразумевалось, что функция отклика для каждого испытания (в данном случае отношение s/n) имеет нормальное распределение с постоянной дисперсией. В настоящее время мы исследуем
157
Глава 6
Таблица 6.6. Ширина линий до травления
а. Дисперсионный анализ для отношения s/n
	Источник	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Ожидаемый средний квадрат
А	Размер на фотошаблоне 1		0,2399	0,2399	+<рд
BD	Вязкость х температура				
	сушки	2	0,0169	0,0085	°г+‘Рм>
С	Частота вращения	2	0,0668	0,0334	<т + <рс
Е	Время сушки	2	0,0804	0,0402	^+<РЕ
F	Апертура	2	0,2210	0,1105	o^+<pF
G	Время экспонирования 2		0,0634	0,0317	^+<pG
Н	Время проявления	2	0,0017	0,0009	</+<₽„
Ошибка		4	0,1522	0,0381	с/
Сумма		17	0,8423		
б. Объединенный дисперсионный анализ для отношения s/n
Источник	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Сред-НИЙ квадрат	F-кри-терий	Процентный вклад
А Размер на					
фотошаблоне	1	0,2399	0,2399	9,56*	25,5
Е Время сушки	2	0,0804	0,0402	1,60	3,6
F Апертура	2	0,2210	0,1105	4,40*	20,3
Ошибка	12	0,3010	0,0251		50,6
Сумма	17	0,8423			100,0
F112(0,95) = 4,75;F212(0,95)	= 3,89.				
Звездочкой отмечены факторы, значимые при 95%-ном доверительном уровне.
функции распределения s/п и их влияние на результаты дисперсионного анализа. В данной главе уровни значимости рассматриваются как приближенные.
Практическую значимость статистически значимого фактора можно измерить в виде его процентного вклада — меры,
158
Контроль качества в прозводстве ИС
введенной Тагути [3], Этот процентный вклад есть процент полной суммы квадратов, относящийся к воздействию данного фактора, после того, как из этой суммы удалена приближенная оценка суммы квадратов ошибки. Чем выше этот процентный вклад, тем большее влияние изменения уровня данного фактора можно ожидать. Методика расчета процентного вклада проиллюстрирована в приложении Б, а результаты расчета приведены в табл. 6.66.
Из табл. 6.66 видно, что на долю как фактора А (размер на фотошаблоне), так и фактора F (апертура) приходится больше чем по 20% полной суммы квадратов. Это значит, что факторы А и F не только статистически значимы, но и значительно влияют на величину s/n. Эти результаты вполне согласуются с данными на рис. 6.2. Они используются в разд. 6.9 для выбора управляемых факторов.
Анализ средних значений. Теперь для выявления сигнального фактора проанализируем средние значения ширины линий до травления х. Их оценки для всех уровней факторов приведены в табл. 6.7 и на рис. 6.3. Очевидно, что уровни вязкости, размеры на фотошаблоне и скорости вращения относительно сильно меняют среднюю ширину линий. Время проявления и апертура слабо влияют на ширину линий. Влияние двух остальных факторов занимает промежуточное положение между этими двумя крайними случаями.
Линейная модель, использованная для анализа этих данных, совпадает с моделью по уравнению (1), однако теперь у. означает не s/n, а среднюю ширину линий до травления.
Табл. 6.8а и б — соответственно исходная и объединенная таблицы дисперсионного анализа ANOVA для средней ширины линий до травления. Поскольку план эксперимента не орто -гонален по отношению к факторам В и D, для разделения SBD на SB и SD нужен специальный метод, описанный в приложении В.
Из табл. 6.86 следует, что статистически значимое влияние на среднюю ширину линий до травления оказывают размер на фотошаблоне А, вязкость В и частота вращения С. Эти факторы в совокупности дают более 70% вклада в полную сумму квадратов. Результаты анализа используются в разд. 6.9 для выбора сигнального фактора.
159
Средняя ширина линий до травления, мкм
'Общее среднее значение
Размер на вязкость в частота	время	Время Апертура F Время температура
фотошаблоне А	вращения С экспонирования G сушки Е	проявления н сушки о
Рис 6.3. Средняя ширина линий до травления. Средняя ширина линий до травления для каждого уровня фактора показана точкой. Цифра рядом с точкой — уровень фактора.
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.7. Средние значения ширины линий (мкм) до травления
Фактор		Уровень		
		1	2	3
А	Размер на фотошаблоне	2,39	2,87	
BD	Вязкость х температура			
	сушки	(B1D1)2,83	(B2D,)2.31	(B,D2)2,74
В	Вязкость	2,79	2,31	
D	Температура сушки	2,57	2,74	
С	Частота вращения	2,40	2,59	2,89
Е	Время сушки	2,68	2,68	2,53
F	Апертура	2,68	2,56	2,64
G	Время экспонирования	2,74	2,66	2,49
Н	Время проявления	2,60	2,60	2,69
Общее среднее значение ширины линий равно 2,63 мкм.
6.7.4.	Ширина линий после травления
Анализ линий после травления выполняется так же, как анализ ширины линий до травления. Средние значения, стандартные отклонения и отношения s/n для каждого испытания приведены в табл. 6.9. Средние значения отношения s/n и средние значения ширины линий для каждого уровня фактора приведены в табл. 6.10а и б соответственно. Для анализа данных по ширине линий после травления вновь была использована линейная модель (уравнение (1)). Результаты дисперсионного анализа для отношений сигнал — шум в табл. 6.11а показывают, что ни один из девяти факторов технологического процесса не имеет значимого влияния (на уровне значимости примерно 5%) на величину s/n для ширины линий после травления. Объединенные результаты дисперсионного анализа для средних значений ширины ли ний после травления представлены в табл. 6.116, откуда следует, что вязкость, время экспонирования, частота вращения, размер на фотошаблоне и время проявлет 1ия оказывают значимое влияние (на уровне 5%) на среднюю ширину линий. Вклад этих факторов в полную сумму квадратов превышает 90%. Средние значения ширины линий после травления для каждого уровня факторов представлены на рис. 6.4.
161
Глава 6
Таблица 6.8. Ширина линий до травления
а.	Дисперсионный анализ для средней ширины линий
	Источник	Число	Сумма	Сред-	Ожидае-
	степеней		квад-	НИЙ	мый
	свободы		ратов	квад-	средний
				рат	квадрат
А	Размер на фотошаблоне	1	1,05	1,050	°2 + Ч’а
BD	Вязкость х температура				
	сушки	2	0,95	0,475	°2+
С	Частота вращения	2	0,73	0,365	<з2 + <рс
Е	Время сушки	2	0,10	0,050	°2 + Ч’е
F	Апертура	2	0,05	0,025	G2 + qiF
G	Время экспонирования	2	0,19	0,095	°2 + <Рс
Н	Время проявления	2	0,04	0,020	о2 + <рн
Ошибка		4	0,26	0,065	о2
Сумма		17	3,37		
б.	Объединенный дисперсионный анализ для средней ширины линий
Источник	Число	Сумма	Сред-	F-кри-	Процент-
	степеней	квад-	НИЙ	терий	ный вклад
	свободы	ратов	квад-		
			рат		
А Размер на
фотошаблоне	1	1,05	1,050	19,81'	29,6
В Вязкость	1	0,83	0,834	15,74'	22,6
С Частота вращения	2	0,73	0,365	6,89-	18,5
G Время экспонирования	2	0,19	0,095	1,79	2,5
Ошибка	И	0,58	0,053		26,8
Сумма	17	3,37			100,0
п (0,95) = 4,84; F2 „ (0,95) = 3,98.
Звездочкой отмечены факторы, значимые при 95%-ном доверительном уровне.
162
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.9. Ширина линий после травления
Номер испытания	Средняя ширина линий X, мкм	Стандартное отклонение ширина линий S, мкм	s/n '7=ig(W
1	2,84	0,11	1,42
2	3,14	0,063	1,70
3	3,65	0,15	1,40
4	2,57	0,20	1.11
5	1,72	0,40	0,63
6	3,12	0,27	1,07
7	2,62	0,19	1,14
8	4,10	0,18	1,37
9	3,55	0,26	1,13
10	3,31	0,35	0,98
11	3,60	0,38	0,98
12	4,17	0,27	1,18
13	3,10	0,16	1,29
14	3,14	0 16	1,29
15	2,55	0,21	1,09
16	2,81	0,37	0,88
17	3,78	0,22	1,23
18	4,34	1,078	1,75
6.8.	Анализ данных по размерам окон после травления
Некоторые окна экспонируются и вскрываются, тогда как другие не вскрываются. Следовательно, данные по размерам окон представляют собой данные смешанного категориально-непрерывного типа. Анализ таких данных выполняется путем преобразования их всех в категориальный тип данных и последующего применения метода «аккумуляционного анализа», описанного в работах Тагути [1,8]. Выявленные в этом анализе значимые факторы и представляют собой управляемые факторы.
163
Глава 6
Таблица 6.10. Ширина линий после травления
а.	Средние значения отношения s/n
Фактор		Уровень		
		1	2	3
А	Размер на фотошаблоне	1,22	1,19	
BD	Вязкость х температура			
	сушки	(B,D,)1,28	(B2D,)l,08	(B,D2)1,25
В	Вязкость	1,27	1,08	
D	Температура сушки	1,18	1,25	
С	Частота вращения	1,14	1,20	1,27
Е	Время сушки	1,16	1,28	1,17
F	Апертура	1,28	1,22	1,11
О	Время экспонирования	1,26	1,33	1,02
Н	Время проявления	1,09	1,20	1,32
I	Время травления	1,21	1,18	1,23
Общее среднее значение s/n равно 1,205.
б.	Средняя ширина линий, мкм
Фактор		Уровень		
		1	2	3
А	Размер на фотошаблоне	3,03	3,42	
BD	Вязкость х температура			
	сушки	(B,D,)3,45	(B2D,)2,70	(6,0.33,53
В	Вязкость	3,49	2,70	
D	Температура сушки	3,08	3,53	
С	Частота вращения	2,88	3,25	3,56
Е	Время сушки	3,15	3,18	3,35
F	Апертура	3,28	3,22	3,18
G	Время экспонирования	3,52	3,34	2,83
Н	Время проявления	3,04	3,09	3,56
I	Время травления	3,14	3,22	3,32
Общее среднее значение ширины линий равно 3,23 мкм.
164
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.11. Ширина линий после травления
а.	Дисперсионный анализ для отношения s/n
Источник		Число степеней свободы	Сумма квадратов	Сред-НИЙ квадрат	F-кри-терий
А	Размер на фотошаблоне 1		0,005	0,005	0,02
В	Вязкость	1	0,134	0,134	0,60
D	Температура сушки	1	0,003	0,003	0,01
С	Частота вращения	2	0,053	0,027	0,12
Е	Время сушки	2	0,057	0,028	0,13
F	Апертура	2	0,085	0,043	0,19
G	Время экспонирования 2		0,312	0,156	0,70
Н	Время проявления	2	0,156	0,078	0,35
I	Время травления	2	0,008	0,004	0,02
Ошибка		2	0,444	0,222	
Сумма		17	1,257		
б.	Объединенный дисперсионный анализ для средней ширины линий
Источник	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Сред-НИЙ квадрат	F-кри-терий	Процентный вклад
А Размер на фотошаблоне	1	0,677	0,677	6,92‘	8,5
В Вязкость	1	2,512	2,512	63,51-	32,9
С	Частота вращения	2	1,424	0.712	17,80’	17,9
G Время экспонирования 2		1,558	0,779	19,48-	19,6
Н Время проявления	2	0997	0,499	12,48-	12,2
Ошибка	9	0,356	0,040		8,9
Сумма	17	7,524			100,0
Ftg(0,95) =5,12; F2<,(0,95) =4,26.
Звездочкой отмечены факторы, значимые при 95%-ном доверительном уровне.
165
Средняя ширина линий после травления, мкм
Рис. 6.4. Средняя ширина линий после травления. Средняя ширина линий для каждого уровня фактора показана точкой. Цифра рядом с точкой — уровень фактора
Глава 6
Контроль качества в прозводстве ИС
По своим размерам все окна были разделены на следующие пять категорий:
Категория	Описание (размер, мкм)	Категория	Описание (размер, мкм)
I	Окно не вскрыто или	III	(2,25, 2,75)
	не экспонировано	IV	(2,75, 3,25)
II	(0, 2,25)	V	(3,25, оо)
Отметим, что категории упорядочены по размеру окон. Заданный размер окна по окончании операции 6 составил 3,0 мкм. Поэтому наиболее подходящая категория данных — это категория IV, наименее подходящая — категория I. В табл. 6.12 данные всех испытаний распределены по категориям. Чтобы упростить анализ, будем считать, что для отсутствующей пластины все результаты полностью совпадают с результатами для одной пластины в соответствующем испытании. Это допущение отражено в табл. 6.12, где представлены объединенные результаты для двух пластин в каждом испытании.
В табл. 6.13 представлены частотные распределения для каждого уровня всех факторов. Чтобы получить частотное распределение для определенного уровня конкретного фактора, были просуммированы соответствующие частоты для всех испытаний, проведенных с этим уровнем данного фактора. Например, частотное распределение для уровня 1 фактора С (низкая частота вращения) получено посредством суммирования частотных распределений из испытаний 1, 4, 7, 10, 13 и 16. Именно эти шесть испытаний выполнялись при уровне 1 фактора С.
Частотные распределения из табл. 6.13 представлены графически на рис. 6.5. Из рисунка и таблицы следует, что изменение уровней вязкости, частоты вращения или размера на фотошаблоне вызывает заметное изменение частотного распределения. Изменение уровней времени травления, времени сушки или температуры сушки слабо влияет на частотное распределение. Степень влияния других факторов занимает промежуточное положение между этими двумя крайними случаями.
Теперь определим, какие факторы оказывают значимое влияние на частотное распределение размеров окон. Стан-
167
Глава 6
Таблица 6.12. Данные по размерам окон после травления (экспериментальные частоты)
	Частотное	Частотное Объединенное частотное	
	распределение	распределение	распределение для
	для пластины 1	для пластины 2	двух пластин
Испытание	I II III IV V	I II III IV V	I II III IV V
1	5	0	0	0	0	5	0	0	0	0	10	0	0	0	0
2	0	1	0	2	2	0	2	3	0	0	0	3	3	2	2
3	0	0	0	4	0	1	0	0	3	0	1	0	0	9	0
4	5	0	0	0	0	5	0	0	0	0	10	0	0	0	0
5	*	•	•		•	5	0	0	0	0	10	0	0	0	0
6	0	3	2	0	0	5	0	0	0	0	5	3	2	0	0
7	5	0	0	0	0	5	0	0	0	0	10	0	0	0	0
8	5	0	0	0	0	0	0	0	5	0	5	0	0	5	0
9	0	0	0	5	0	0	1	4	0	0	0	1	4	5	0
10	0	5	0	0	0	2	0	3	0	0	2	5	3	0	0
11	0	0	0	5	0	1	1	2	1	0	1	1	2	6	0
12	1	0	1	3	0	0	0	0	0	4	1	0	1	3	5
13	0	0	3	2	0	5	0	0	0	0	5	0	3	2	0
14	1	3	1	0	0	5	0	0	0	0	6	3	1	0	0
15	5	0	0	0	0	*	•	*	*	°	10	0	0	0	0
16	5	0	0	0	0	5	0	0	0	0	10	0	0	0	0
17	0	0	0	3	2	0	0	4	0	1	0	0	4	3	3
18	0	0	0	0	5	*	*	•	*	*	0	0	0	0	10
* Звездочка означает отсутствие данных.
дартная проверка по критерию %2 для мультиномиальных распределений здесь не годится, поскольку мы имеем дело с упорядоченными категориями. Интуиция подсказывает, что здесь должен хорошо работать метод аккумуляционного анализа, и проф. Тагути эмпирически установил что этот метод эффективен при анализе упорядоченных категориальных данных. Метод состоит из следующих трех этапов.
1.	Расчет кумулятивных частот. В табл. 6.13 приведены кумулятивные частоты для всех уровней факторов. Кумулятивные категории отмечены скобками. Это означает, что (III) есть сумма категорий I, II и III. Следует отметить, что кумулятивная категория (V) есть не что иное, как полная сумма всех измерений окон для определенного уровня фактора.
168
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.13. Данные по размерам окон после травления — частоты для уровней факторов
Уровень факторов	I	Частота			Кумулятивная частота					
		II	Ш	IV	V	(I)	(П)	(Ш)	(IV)	(V)
Размер на фотошаблоне										
Ai	51	7	9	21	2	51	58	67	88	90
	35	9	14	14	18	35	44	58	72	90
Вязкость X температура сушки										
В,Е>1	15	9	9	20	7	15	24	33	53	60
ВЛ	46	6	6	2	0	46	52	58	60	60
B1D2	25	1	8	13	13	25	26	34	47	60
Частота вращения										
с,	47	5	6	2	0	47	52	58	60	60
С2	22	7	10	16	5	22	29	39	55	60
С3	17	4	7	17	15	17	21	28	45	60
Время сушки										
Е,	31	2	10	14	3	31	33	43	57	60
е2	26	3	7	7	17	26	29	36	43	60
Е3	29	11	6	14	0	29	40	46	60	60
Апертура										
F1	32	7	5	6	10	32	39	44	50	60
F,	36	3	4	10	7	36	39	43	53	60
F3	18 Время экспонирования		6	14	19	3	18	24	38	57	60
G,	26	3	10	13	8	26	29	39	52	60
G2	18	12	И	7	12	18	30	41	48	60
G3	42	1	2	15	0	42	43	45	60	60
Время проявления										
Hi	37	4	6	8	5	37	41	47	55	60
Н2	27	И	12	5	5	27	38	50	55	60
Н3	22	1	5	22	10	22	23	28	50	60
Время травления										
I,	37	5	3	5	10	37	42	45	50	60
12	21	8	14	15	2	21	29	43	58	60
1з	28	3	6	15	8	28	31	37	52	60
Сумма	86	16	23	35	20	86	102	125	160	180
2.	Проведение дисперсионного анализа ANOVA «двоичных данных» [7] для каждой из кумулятивных категорий за исключением последней, т.е. (V). Отметим, что при оценке уровня значимости в рамках данного дисперсионного анали-
169
за делается определенное приближение, поскольку наблюдаемые величины не имеют нормального распределения.
3.	Присвоение весов каждой из кумулятивных категорий. Эти веса обратно пропорциональны оценке дисперсии по Бернулли. Пусть сит — общее число окон в данной кумулятивной категории с, приведенное в нижней строке табл. 6.13. В таком случае вес для данной категории равен
сит	сит
----с х 1-----с-
180	180
1802
ситс (180 — сите )
В приложении Г приведены значения весов для каждой категории.
Затем для каждого фактора и для каждого члена ошибки аккумулированная сумма квадратов принимается равной взвешенной сумме сумм квадратов для всех кумулятивных категорий.
Интуитивное обращение к аккумуляционному анализу связано с тем, что работая с кумулятивными частотами, мы сохраняем порядок категорий. Задавая веса обратно пропорциональными ошибкам выборки в каждой кумулятивной категории, мы делаем данную процедуру более чувствительной к изменению дисперсии. Сложность состоит в том, что частоты кумулятивных категорий коррелированы. Поэтому истинный уровень значимости для F-теста может быть несколько иным по сравнению с тем, который представлен в таблице F-критериев. Чтобы понять статистические свойства аккумуляционного анализа, необходима значительная практика.
В табл. 6.14 приведен результат окончательного дисперсионного анализа для накопления сумм квадратов. Соответствующие расчеты проиллюстрированы в приложении Г. Для каждой кумулятивной категории при дисперсионном анализе использовалась следующая вложенная смешанная линейная модель:
Y... =ц + х. + е,.. + е,.., дк Г i 1д 2дк
(2)
170
Уровень
Рис. 6.5. Размер окна после травления. Графики дают частотное распределение уровней каждого фактора.
Контроль качества в прозводстве ИС
Глава 6
Здесь z = 1, ..., 18 — номер испытания; j = 1,2 — номер пластины в испытании; к = 1,.... 5 — номер позиции в пределах пластины в испытании; ц — общее среднее значение; х — постоянное влияние комбинации уровней факторов в z-m испытании (здесь рассматриваются только главные эффекты факторов; более подробная интерпретация х. приведена в разд. 6.7.3, где обсуждается модель (1)); е — случайная ошибка для j-й пластины в z-м испытании, e2jjk — случайная ошибка для позиции к на j-й пластине в z-м испытании, yjjk — наблюдаемое значение для к-й позиции на z-й пластине в z-m испытании (у. принимает значение 1, если размер окна попадает в соответствующую категорию, и значение 0 в других случаях).
Ожидаемые средние квадраты для этой модели дисперсионного анализа ANOVA также приведены в табл. 6.14. Дисперсии величин в] и е2 обозначены как crj ио® соответственно. Воздействия факторов A-I обозначены буквой <р с соответствующим индексом. Влияние несовпадения обозначено через <рг Мы предполагаем, что случайные переменные е]Ц и e2ijk независимы для всех значений z, j и к. Число степеней свободы, указанное в табл. 6.14, подобрано с учетом того факта, что в трех испытаниях использовалось по одной пластине.
Для проверки значимости влияния погрешности при наблюдении разных пластин в одном испытании сумма квадратов из соответствующего знаменателя используется как оценка у22. Соответствующее ей значение F-критерия, равное 11,69, значимо далеко за пределами номинального 5%-ного уровня. Для проверки несовпадения для модели, учитывающей только главные эффекты, соответствующий знаменатель представляет собой оценку о®2+5о®г Соответствующее значение F-критерия равно 0,87. Это означает, что модель, учитывающая только главные эффекты, адекватно описывает результаты испытания по отношению к случайным ошибкам при наблюдении разных пластин. При проверке значимости факторов технологического процесса средний квадрат знаменателя вновь представляет оценку о^ + 5у®. Из полученных результатов следует, что размер на фотошаблоне,
172
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.14. Размер окон после травления
а.	Дисперсионный анализ для аккумуляционного анализа
	Источник	Число Сумма степеней квад-			Средний квадрат	F-кри- Ожидае-терий	мый средний квадрат 4-W
	свободь		I ратов		
А	Размер на фотошаблоне	4	26,64	6,66	2,67' о,22 + 5о,2 + фд
BD	Вязкость х температура сушки	8	112,31	14,04	5,64* о22 + 5Gj2 + <pBD
С	Частота вращения	8	125,52	15,69	6,30* о22 +5о12 + <рс
Е	Время сушки	8	36,96	4,62	1,86 o22+5c,2 + <pE
F	Апертура	8	27,88	3,49	1,40 o22 + 5с12 + фр
G	Время экспонирования	8	42,28	5,29	2,12* c22 + 5g,2 + <pG
Н	Время проявления	8	45,57	5,70	2,29* o22+5o,2 + <pH
I	Время травления	8	23,80	2,98	1,20 c22 +5c12 + <p1
Несовпадение Ошибка при наблюдении разных пластин при		8	17,25	2,16	0,87 c22 + 5c,2 + <p.
одном испытании Ошибка при наблюдении разных позиций в одной пластине в одном		60	149,33	2,49	11,69*	c22+5O|2
испытании		528	112,45	0,21	
Сумма		656	720,00		
W=(Wm+W(n)+ Win„+ W(IV))/4
F460(0,95) = 2,53, F860(0,95) =2,10, F60да(0,95) = 1,32
б.	Раздельное оценивание SBD
Источник		Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	F-кри-терий
В	Вязкость	4	87,38	21,85	8,78*
D	Температура сушки	4	6,55	1,64	0,66
'Звездочкой отмечены факторы, значимые при 95%-ном доверительном уровне.
173
Глава 6
вязкость, частота вращения, время экспонирования и время проявления значимо влияют на размер окна (на уровне значимости примерно 5%). Влияние других факторов незначимо.
6.9. Выбор оптимальных уровней факторов
В представленной ниже таблице дана сводка важнейших результатов анализа, выполненного в разд. 6.7 и 6.8. В каждой категории факторы расположены по убыванию значимости в соответствии со значением F-критерия.
Значимое влияние на отношение s/n:
ширина линий до травления: A, F;
ширина линий после травления: нет.
Значимое влияние на среднее значение:
ширина линий до травления: А, В, С;
ширина линий после травления: В, G, С, А, Н.
Значимые факторы, выявленные с помощью аккумуляционного анализа:
размер окон после травления: В, С, А, Н, G.
Все факторы, значимо влияющие на величину s/n, и факторы, значимые согласно аккумуляционному анализу, представляют собой управляемые факторы. Задание оптимальных уровней этих факторов минимизирует изменчивость технологического процесса. В рассматриваемом случае управляемые факторы — это A, F, В, С, Н и G.
Чтобы выдержать заданное среднее значение выходного параметра технологического процесса, используется сигнальный фактор. В идеале такой сигнальный фактор должен значимо влиять на среднее значение, но не влиять на величину s/n. Тогда изменение уровня сигнального фактора будет влиять только на среднее значение. На практике допускается небольшое влияние сигнального фактора на величину s/n.
Из всех факторов (А, В, С, G и Н), которые значимо влияют на среднее значение, факторы А, В, С — относительно сильно управляемые факторы, о чем свидетельствуют значе
174
Контроль качества в прозводстве ИС
ние статистического F-критерия в аккумуляционном анализе и результаты дисперсионного анализа отношения s/n для ширины линий до травления. Однако эти факторы трудно менять в ходе производственного процесса. Поэтому факторы А, В и С на роль сигнального фактора не подходят. Из двух оставшихся факторов, G и Н, фактор G сильнее влияет на среднее значение и вместе с тем по результатам аккумуляционного анализа относится к числу менее значимых. Поэтому в качестве сигнального фактора было принято время экспонирования.
Оптимальные уровни управляемых факторов выбирались следующим образом. Размер на фотошаблоне А и апертура F значимо влияют на величину s/n для ширины линий до травления. Из табл. 6.5 следует, что для 2,5-мкм размера на фотошаблоне (уровень 2) величина s/n больше, чем для 2,0-мкм размера. Поэтому в качестве оптимального значения размера на фотошаблоне мы выбрали 2,5 мкм. Точно так же для апертуры 1 (уровень 1) получено максимальное s/n. Однако на основании прошлого опыта была выбрана апертура 2.
Аккумуляционный анализ данных по размерам окон после травления показал, что на частотное распределение влияют вязкость фоторезиста, частота вращения, размер на фотошаблоне, время проявления и время экспонирования. Оптимальные уровни этих факторов можно определить по табл. 6.13 и рис. 6.5, выбрав те из них, для которых относительная доля невскрытых окон (категория I) минимальна, а относительная доля окон с размерами в диапазоне 3,0 ± 0,25 мкм (категория IV) максимальна. Поскольку требование вскрытия окон обладает наивысшим приоритетом, во всех конфликтных ситуациях в качестве определяющего выбиралось требование минимальной доли по категории I. Были получены следующие оптимальные уровни: размер на фотошаблоне 2,5 мкм, вязкость 204, частота вращения 4000 об/мин, время проявления 60 с и нормальное время экспонирования.
В табл. 6.15 приведены оптимальные уровни факторов и их стандартные уровни на сентябрь 1980 г. Отметим, что проведенный нами эксперимент показал необходимость изменения размера на фотошаблоне с 2,0 до 2,5 мкм, частоты
175
Глава 6
вращения с 3000 до 4000 об/мин и времени проявления с 45 до 60 с. После этого с помощью подстройки времени экспонирования остается выйти на заданные средние значения ширины линий и размера окон. Эксперимент также подтвердил, что уровни остальных факторов, оставленные без изменений, близки к оптимальным значениям.
С целью определения оптимального режима был выполнен факторный эксперимент с высокой степенью дробности, при анализе которого учитывались только главные эффекты факторов. Взаимодействия между факторами не учитывались. Если взаимодействия по значимости сопоставимы с главными эффектами факторов, то может случиться, что полученный таким образом оптимальный режим не приведет к улучшению технологического процесса. Поэтому требуются дополнительные испытания, которые подтвердили бы оптимальность найденного режима. Такая проверка была выполнена в ходе работ, описанных в разд. 6.10.
6.10. Практическая реализация результатов и оценка преимуществ оптимальных уровней
Мы начали использовать полученный оптимальный режим технологического процесса, приведенный в табл. 6.15, в Лаборатории по изучению возможностей проектирования ИС в январе 1981 г. На начальном этапе значение экспозиции было принято равным 90, что соответствовало нормальному уровню этого фактора из табл. 6.1. Наблюдения показали, что конечный размер окна после операции 7 процесса получается намного большим заданного размера 3,5 мкм. С помощью последовательных экспериментов мы уменьшали время экспонирования до тех пор, пока не получили среднее значение конечного размера окна примерно 3,5 мкм. Соответствующий показатель установки экспозиции составил 140. С того времени производственный процесс осуществляется в этом режиме. Проведение данного процесса в новом режиме дает следующие преимущества.
176
Контроль качества в прозводстве ИС
Таблица 6.15. Оптимальные уровни факторов
Обозначение	Наименование фактора	Уровень	
		стандартный	оптимальный
А	Размер на фотошаблоне	2,0	2.5
В	Вязкость	204	204
С	Частота вращения, об/мин	3000	4000
D	Температура сушки,°C	105	105
Е	Время сушки, мин	30	30
F	Апертура	2	2
G	Экспозиция (установка РЕР)	Нормальная	Нормальная
Н	Время проявления, с	45	60
I	Время плазменного травления,		
	МИН	13,2	13,2
1.	Ширина линий до травления — обычный показатель качества данного процесса. До сентября 1980 г. стандартное отклонение этого показателя для базового кристалла с линейчатыми структурами (DSO-кристалла) составляло 0,29 мкм. После перехода на оптимальные параметры процесса оно уменьшилось до 0,14 мкм, т.е. в два раза (дисперсия уменьшилась в четыре раза). Это показала типовая фотография ПЛМ-участков микропроцессорного кристалла BELLMAC-32, изготовленного по новой технологии. Размеры контактных окон на этой фотографии были намного более однородными, чем на прежних фотографиях аналогичных областей кристаллов. Кроме того, все окна были нормально экспонированы и вскрыты.
2.	По завершении формирования окон (после операции 7) они обычно подвергались визуальному контролю и исследованию. Анализ данных по контролю качества на DSO-кри-сталле площадью примерно 0,19 см2 показал, что до сентября 1980 г. на каждый такой кристалл приходилось примерно 0,12 невскрытых или неэкспонированных окон (т.е. примерно одно невскрытое или неэкспонированное окно на каждые восемь кристаллов). Для нового технологического процесса этот показатель снизился до 0,04 (одно невскрытое или неэкспонированное окно на 25 кристаллов), т.е. было достигнуто
177
Глава 6
трехкратное уменьшение плотности дефектов из-за невскрытых контактных окон.
3.	Наблюдая эти улучшения показателей технологического процесса в течение нескольких недель, инженеры-техно-логи удостоверились в его стабильности и робастности при новых значениях параметров. В связи с этим они отказались от ряда контрольных операций в ходе процесса. В результате полное время нахождения пластин на стадии фотолитографии контактных окон было уменьшено в два раза.
Найденные оптимальные уровни параметров вначале использовались в Лаборатории ICDCL только для нескольких типономиналов выпускаемых ИС. В дальнейшем они были внедрены в производство всех типономиналов ИС с 3,5-мкм проектными нормами, включая микрокомпьютерный кристалл BELLMAC-4 и микропроцессорный кристалл BELLMAC-32. Размер окон на фотошаблоне был увеличен с 2,0 до 2,5 мкм, и в настоящее время это значение является стандартным для 3,5-мкм КМОП-технологии.
6.11. Обсуждение результатов и направление дальнейших работ
Рассматриваемый здесь метод контроля качества на стадии проектирования эффективен для повышения качества и выхода изделий. Он имеет достаточно много общего с методом поверхности отклика Майерса [9] и методом эволюционного планирования Бокса и Дрейпера [10], которые хорошо известны из американской литературы по статистике. Оба этих метода используются для максимизации выхода изделий в производственных процессах и базируются на методах планирования эксперимента. Основное различие состоит в том, что в рассматриваемом здесь методе контроля качества на стадии проектирования целевой функцией является изменчивость технологического процесса, которая очень сильно влияет на качество изделий. В методах поверхности отклика и эволюционного планирования изменчивость процесса обычно не рассматривается. Следовательно, интуиция наводит
178
Контроль качества в прозводстве ИС
на мысль, что оптимальные уровни, полученные методом управления качеством на стадии проектирования, должны обеспечивать более высокие робастность, стабильность и надежность процесса.
В методе поверхности отклика обычно используется относительно большая часть полного факторного эксперимента. Однако метод контроля качества на стадии проектирования позволяет, как правило, обойтись лишь небольшой его частью. Другое отличие состоит в том, что в методе поверхности отклика целевая функция считается непрерывной функцией, аппроксируемой полиномом невысокой степени. В методе контроля качества на стадии проектирования можно одновременно исследовать непрерывные и дискретные факторы.
Применение метода контроля качества на стадии проектирования к процессу формирования контактных окон в 3,5-мкм КМОП-технологии в Марри-Хилл позволило повысить точность управления размерами окон, уменьшить число невскрытых окон и сократить время фотолитографии. В настоящее время мы ведем работу по оптимизации двух других операций изготовления ИС. Речь идет об операциях формирования поликремниевых соединений и алюминиевых соединений. Оба этих процесса, как и процесс формирования контактных окон, включают фотолитографию и входят в число решающих этапов изготовления ИС. Мы считаем, что данный метод обладает большими возможностями и хотели бы, чтобы он нашел применение в различных филиалах фирм Bell Laboratories и Western Electric Company.
Приложение A.
Расчет сумм квадратов при анализе отношения сигнал — шум для ширины линий до травления
Ниже продемонстрированы расчеты сумм квадратов, представленных в табл. 6.6а. Корректирующий множитель Sm рассчитывается следующим образом:
179
Глава 6
Sm= £7, /18 = (25,2202//18 = 35,3366
Суммы квадратов SA для фактора А равна
С (9"'Л1)2 е (11,571]/+(13,6491/ г>л " 9 ~ 9
= 0,2399 (число степеней свободы (ч.с.с.) равно 1).
„ _ (6wzci) + (6тС2) + (6nic3) _	_
с -	6
~ (8,1979)2 + (8,1017/ +(8,9206/
= 0,0668( ч.с.с. = 2)
Суммы квадратов для факторов Е, F, G и Н вычислялись аналогично. Объединенная сумма квадратов для факторов В и D вычисляется как сумма квадратов для столбца BD и равна
(б>»д,е|)2+(6яг
B1D2 )2+(6 ™B2Dl)
'во —
(8,2524/ + (8,6649)2 + (8,3029/ _ , =---------------------------------JJ.JJOO
6
= 0,0169(ч.с.с. = 2)
Полная сумма квадратов равна
Sr	0,8423 (ч.с.с. = 17)
Сумма квадратов ошибки вычисляется путем вычитания:
s = ST— (SA + SBD + sc + SE + SP + SG + SH) = 0,1522 (ч.с.с. = 4).
В данном приложении сумма квадратов для фактора I (время травления) не вычисляется, поскольку он на ширину линий до травления не влияет.
180
Контроль качества в прозводсгве ИС
Приложение Б.
Расчет процентных вкладов при анализе отношения сигнал — шум для ширины линий до травления
Здесь объясняется расчет процентных вкладов отдельных факторов. Вклад фактора А в полную сумму квадратов равен SA — (ч.с.с. А) (средний квадрат ошибки).
Следовательно, процентный вклад фактора А равен
SA -(ч.с.с.А)(средний квадрат ошибки) |qq_ (полная сумма квадратов)
0,2399-0,0251 ~ 0,8432
100=25,5%
Аналогично рассчитываются процентные вклады факторов Е и F. Вклад ошибки в полную сумму квадратов равен
S + (полное ч.с.с. для факторов) (средний квадрат ошибки).
Следовательно, процентный вклад ошибки равен
Se+ (полное чс.с для факторов)(средний квадрат ошибки) полная сумма квадратов
0,3010 + 5-0,0251 0,8423
100 50,6%.
Приложение В.
Разделение SBD на SB и SD при анализе средней ширины линий до травления
Чтобы получить вклады факторов В и D в сумму квадратов SBD, ее можно разложить следующими двумя способами [П]:
$ВО = ^B(D) D' ‘^BD = ^*"d(B) + S в-
Здесь S'	— сумма квадратов от фактора В в предположе-
нии, что фактор D не оказывает влияния; S'D — сумма квадра
181
Глава 6
тов от фактора D после исключения воздействия фактора В. Слагаемые S' и S'B интерпретируются аналогично. Имеем
S'D = SBD-S'B(D)= 0,047 (Ч.С.С. = 1).
s;(c) =	6”1B2lD2-^^”B2Dl )1 2 * = 0,903 (Ч.С.С. = 1
(I2 + Г + 22)-6
Аналогично,
S'B = SBD-S-D(B)= 0,834 (Х.С.С. = 1).
S'B(D) =	= 0,903 (ч.с.с. = 1)
(12+12 + 22)-6
Для проверки значимости факторов В и D используются S'B и S' D соответственно. Отметим, что в сумме S' в и S' D не составляют SBD, как и следовало ожидать, поскольку данный план эксперимента не ортогонален по отношению к факторам В и D.
Приложение Г.
Расчет сумм квадратов для аккумуляционного анализа размера окон после травления
Ниже приводится расчет весов для кумулятивных категорий данных (I), (II), (III) и (IV) с использованием частот из нижней строки табл. 6.13.
1
И' =-------------------------= 4,008
() (86/180)-((180-86)/180)
И ~ 102 (180-102) ~ 4’072
IT z =------—--------= 4,713
( ’ 125-(180-125)
1 802
.. =--------------= 10,125
( ’ 160 (180-160)
182
Контроль качества в прозводстве ИС
Расчет сумм квадратов, приведенных в табл. 6.14, осуществляется следующим образом.
512 +352
90
862
180
+
582 +442
90
672 +582
90
882 + 722
90
1022
180
1252
180
1602 "ЙЮ
= 26,64
Sc=lP(/)
т " (игу
472 +222 + 172
60
522 +292 + 212
60
582 +392 +28
60
602 +552 +452
862
180
1022
180
1252
180
1602
180
= 125,52
Глава 7. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ПАЙКИ ВОЛНОЙ
К. Лин, Р. Какар
7.1.	Введение
Процесс пайки волной схемных блоков (СБ) включает три основные стадии: нанесение флюса, пайку и очистку. Протекание каждой из этих стадий зависит от ряда факторов1, иизменчивость любого из нихможет очень сильно влиять на результат процесса пайки волной и надежность СБ. Значительное улучшение качества продукции можно получить, отимизировав данный процесс и направляя все пропаянные СБ сразу на автоматические испытания без предварительного контроля и последующей доводки. Более того, в этом случае можно значительно снизить непосредственные трудоза траты и стоимость технологического процесса посредством сокращения запасов материалов и оборудования и производственных площадей, требуемых для различных операций контроля, доводки и повторных испытаний. Хорошо подобранный растворимый в воде флюс может заметно снизить плотность дефектов пайки и тем самым способствовать повышению качества пайки СБ [1]. Такой флюс имеет не только преимущество по стоимости и качеству, но и целый ряд других достоинств:
•	Позволяет обрабатывать схемы с очень высокой плотностью упаковки элементов, для которых применение мало активированного канифольного флюса было бы затруднено.
•	Позволяет отказаться во многих случаях применения пайки от использования хлорированных и фторированных растворителей для очистки СБ, заменив их на водные растворы моющих веществ. Таким образом можно удовлетворить требованиям стандартов ЕРА и OSHA по загрязнению окружающей среды. Применение органических ра
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
184
Оптимизация процесса пайки волной
створителей обычно обходится достаточно дорого, а многие из них к тому же потенциально опасны как канцерогенные вещества.
•	Уменьшает опасность повреждения высокочувствительных полупроводниковых приборов и интегральных схем электрическими разрядами вследствие наведения электростатических зарядов при очистке их смоченными в растворителях щетками.
•	Обеспечивает пайку элементов и печатных плат, трудно поддающихся пайке ввиду повышенной активности.
•	Уменьшает пожароопасность благодаря применению связующего вещества для флюса.
Однако ввиду агрессивного характера такого флюса чрезвычайно важна операция очистки после пайки. Чрезмерный остаток флюса в СБ может в дальнейшем очень неблагоприятно повлиять на характеристики и надежность изделия. Следовательно, для выполнения требований к чистоте и надежности СБ процесс очистки должен тщателы ю контролироваться. По этой причине конструкции и материалы элементов и схемных блоков должны быть совместимыми с процессами пайки с водорастворимым флюсом и очистки изделий водными растворами моющих веществ. Когда на плате используется защитное покрытие канифольного типа, для повышения эффективности очистки в растворитель добавляется iгемного моющего вещества. Электронные элементы и блоки должны допускать промывку путем орошения водным раствором моющего вещества и погружения в него.
Каждый фактор, определяющий операцию пайки, может влиять на конечный результат этого процесса. Следовательно, для создания «робастного процесса», с помощью которого можно выпускать высококачественные изделия, необходима совместная оптимизация этих факторов. В робастной технологии рабочий диапазон для различных параметров делается максимально широким, тогда как изменчивость качества изделия поддерживается минимальной. Проблема состоит в том, чтобы получить высокий уровень качества в тот момент, когда изделие произведено, без операций проверки и доводки.
185
Глава 7
Для организации эксперимента с высокой степенью дробности факторов с целью оптимизации всего процесса нанесения флюса, пайки и очистки использовался метод Тагути планирования эксперимента с ортогональной матрицей [2]. Впер-воначальном исследовании с помощью всего лишь 36 опытов были изучены все 17 факторов. На базе результатов этого ис следования было спланировано несколько меньших по объему последующих исследований, которые позволили в итоге реализовать робастный процесс пайки волной. Этот процесс включает применение нового высококачественного состава флюса и надлежащим образом подобранные операции пайки и очистки.
7.2.	Процесс пайки
Представленное здесь исследование иллюстрирует метод разработки робастного производственного процесса. Кроме того, показано, что учет практических соображений при выполнении эксперимента в промышленных условиях более важен, чем стандартные статистические допущения и модели, на которых базируются планирование и анализ эксперимента.
Процесс пайки с водорастворимым флюсом делится на три стадии: нанесение флюса, пайка волной и очистка водным раствором моющего вещества. На каждой стадии присутствуют несколько факторов, способных влиять на результат процесса. Эти факторы и принятые в исследовании их уровни перечислены в табл. 7.1.
В функции припойного флюса входят очистка соединяемых поверхностей, их защита от повторного окисления и уменьшение поверхностного натяжения для лучшего смачивания припоем и формирования паяного соединения. Типы и количества активатора, антиокислителя, поверхностно-активного вещества, растворителя и связующего вещества, используемых во флюсовой смеси, влияют на эффективность пайки и показатели чистоты процесса. Еще более важно то, что эти факторы могут влиять на надежность изделия. (Более подробное описание флюса для пайки дано в работе [3].)
186
Оптимизация процесса пайки волной
Таблица 7.1. Факторы, уровни и их связь с ортогональной матрицей
Фактор
Число Столбец уровней в табл. 7.3.
Разработка флюса
А	Тип активатора	2	3
В	Количество активатора	3	14
С	Тип поверхностно-		
	активного вещества	2	4
D	Количество поверхностно-		
	активного вещества	3	15
Е	Количество антиокислителя	3	16
F	Тип растворителя	2	5
G	Количество растворителя	3	17
Пайка волной			
Н	Количество флюса	3	18
I	Время предварительного прогрева	3	19
J	Температура пайки	3	13
К	Скорость конвейера	3	20
L	Угол конвейера	3	12
М	Высота волны	2	7
Очистка раствором моющего вещества			
N	Концентрация моющего		
	вещества	2	1
О	Температура раствора	2	2
Р	Скорость конвейера при очистке	3	22
Q	Температура воды для промывки	2	6
Пайка электронного блока выполняется в каскадной установке пайки волной. После нанесения и прогрева флюса сторона платы без элементов погружается в волну припоя на 1 — 2 с, и блок выходит из волны со сформировавшимися паяными соединениями. Метод нанесения (например, вспенивание, распыление и т.д.) и количество флюса могут определять эффек
187
Глава 7
тивность подготовки поверхностей к смачиванию припоем, их защиту от окисления и в итоге эффективность пайки. Чтобы исключить микровзрывы при быстром погружении электронного блока в волну расплавленного припоя, из флюса на ста дин предварительного прогрева необходимо удалить летучие составляющие. Вместе с тем постепенный предварительный прогрев позволяет резко ослабить тепловой удар, воздействующий на схемный блок во время пайки.
Холодные паяные соединения — результат недостаточного количества тепла и недостаточно высокой температуры при пайке или преждевременного охлаждения соединения после нее. Слишком много тепла и слишком высокая температура могут повредить СБ или его теплочувствительные элементы. Скорость конвейера может влиять на степень предварительного прогрева и длительность контакта с волной припоя, а из менение высоты волны может привести к изменению протяженности контакта платы с волной припоя. Все это влияет на температуру паяного соединения и СБ.
Количество флюса и динамика волны в области стекания припоя, где запаянный СБ выходит из волны, играют важную роль в определении количества дефектов при пайке волной СБ. Расположение и форма области стекания припоя могут изменяться при изменении угла конвейера.
В процессе очистки водным раствором моющего вещества СБ сначала отмывают этим раствором, затем ополаскивают в воде и, наконец, высушивают струями горячего воздуха и калориферами. Если необходимо, можно повторить циклы предварительной отмывки, очистки и высушивания. При условии достаточной очистки от остатков флюса необходимо использовать наименьшую возможную концентрацию очистителя для его экономии и уменьшения времени промывки. Чтобы достичь более эффективной очистки, увеличивают температуру очищающего раствора, что также предотвращает излишнее вспенивание. Чтобы обеспечить эффективную промывку, нагревают и воду для промывки. Любое изменение скорости конвейера при очистке изменяет время каждой стадии очистки СБ, что влияет на степень очистки СБ и производительность линии.
188
Оптимизация процесса пайки волной
7.3.	Экспериментальный план
На основе опыта разработки флюса и процессов пайки/очистки было решено первоначально изучить одновременно 17 факторов в исходном отсеивающем эксперименте (табл. 7.1 и 7.2). Семь из этих факторов имели два уровня, а остальные — три. Уровни факторов «количество активатора» и «количество поверхностно-активного вещества» зависят от факторов «тип активатора» и «тип поверхностно-активного вещества» соответственно. Подобным образом уровни фактора «скорость конвейера» зависят от уровней фактора «температура пайки». Уровни всех факторов намеренно были выбраны в предельно широких интервалах для того, чтобы получить большие изменения отклика. Получаемые таким образом отклонения отклика указывают путь к поиску «робастного» процесса.
Флюс для пайки является смесью пяти составляющих: активатора, поверхностно-активного вещества, антиокислителя, растворителя и связующего вещества. Если увеличивается количество одной из составляющих, доли других составляющих в смеси соответственно уменьшаются. Поэтому при подготовке смеси необходимо определят!, относительное количество каждой составляющей. Для такого определения (отличающегося от определения доли каждой составляющей) удобно написать количество каждой составляющей как долю количества какой-либо определенной составляющей. Здесь относительные уровни выражены просто как низкий, средний или высокий (табл. 7.2) для того, чтобы указать рассматриваемые варианты рецептур.
Для 17 факторов на двух и трех уровнях общее количество возможных комбинаций равно 7 558 272. Очевидно, что практически невозможно в этом случае поочередно менять все факторы, поэтому необходимо найти сокращенный вариант процедуры оптимизации. В данном исследовании был построен экспериментальный план высокой степени дробности на основе ортогональной матрицы факторов проектирования. Были высказаны соображения относительно того, как приспособить некоторые трудно изменяемые факторы, чтобы упростить проведение экспериментов.
189
Глава 7
Таблица 7.2. Факторы и их уровни в эксперименте
	Фактор	Уровень		
		1	2	3
Разработка флюса				
А	Тип активатора	а	b	-
В	Количество активатора — а	1	m	h
	- Ь	1	m	h
С	Тип поверхностно -активного вещества	с	d	-
D	Количество поверхностноактивного вещества — с	1	m	h
	- d	1	m	h
Е	Количество антиокислителя	1	m	h
F	Тип растворителя	X	У	-
G	Количество растворителя	1	m	h
Пайка волной				
Н	Количество флюса	1	m	h
I	Время предварительного нагрева	1	m	h
J	Температура пайки (ТП)	1	in	h
К	Скорость конвейера — 1 (ТП)	S	i	f
	- m (ТП)	S	i	f
	- h (ТП)	S	i	f
L	Угол конвейера	1	П1	h
М	Высота волны	1	h	-
	Очистка раствором моющего вещества			
N	Концентрация моющего			
	вещества	1	h	
О	Температура раствора	1	h	-
Р	Скорость конвейера при очистке	1	in	h
О	Температура воды для промывки	1	h	-
Обозначения:! — низкий, in — средний, h — высокий, s — медленный, i — промежуточный.! - быстрый.
190
<£>
Таблица 7.3. Ортогональная матрица (36,2й х 3,2(2)
	N (1)	О (2)	А С (3) (4)		F (5)	Q М (6) (7)	(8)	(9) (10)		L (И) (12)		I (13)	В D (14) (15)		Е G (16) (17)	н (18)	I (19)	к (20)	р (21) ₽2) (23)				
(1)	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	1	1	2	1	3	3	1
(2)	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	1	1	1	1	3	1	3	1	3	1	1	2
(3)	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2	2	1	1	2	1	1	3	2	2	1	1	2	1
(4)	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	2	1	1	3	3	1	2	1	1	2	2	1	1
(5)	1	2	2	1	2	2	1	2	1	2	1	1	2	3	3	1	1	2	2	3	1	3	3
(6)	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1	1	1	2	3	0	3	2	3	3	3	-	2	1
(7)	2	1	2	2	1	1	2	2	1	2	1	1	2	1	1	3	3	1	3	2	2	3	3
(8)	2	1	2	1	2	2	2	1	1	1	2		2	2	3	2	3	3	1	1	3	1	3
(9)	2	1	1	2	2	2	1	2	2	1		1	3	2	3	2	1	1	3	3	2	2	2
(10)	2	2	2	1	1	1	1	2	2	1	2	1	3	2	1	1	2	3	2	2	3	3	2
(И)	2	2	1	2		2	1	1	1	2	2	1	3	3	2	3	3	2	2	1	2	1	2
(12)	2	2	1	1	2	1	2	1	2	2	1	1	3	1	2	2	2	2	1	2	1	2	3
(13)	1	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	2	2	3	3	2	2	3	2	1		2
(14)	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	1	2	1	2	1	2	2	3
(15)	1	1	2	2	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3	2	2	1	3	1	2	2	3	2
(16)	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	2	2	2	1	1	2	3	2	2	3	3	2	2
(17)	1	2	2	1	1	2	1	2	1	2	1	2	3	1	1	2	2	3	3	1	2	1	1
(18)	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1	1	2	3	1	3	1	3	1	1	1	1	3	2
(19)	2	1	2	2	2	1	2	2	1	2	1	2	3	2	2	1	1	2	1	3	3	1	1
(20)	2	1	2	1	2	2	2	1	1	1	2	2	3	3	1	0	1	1	2	2	1	2	1
(21)	2	1	1	2	2	2	1	2	2	I	1	2	2	3	1	3	2	2	1	1	3	3	3
(22)	2	2	2	1	1	1	1	2	2	1	2	2	2	3	2	2	3	1	3	3	1	1	3
(23)	2	2	1	2		2	1	1	1	2	2	2	2	1	3		1	3	3	2	3	2	3
(24)	2	2	1	1	2	1	2	1	2	2	1	2	2	2	3	3	3	3	2	3	2	3	1
(25)	1	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	3	3	3	1	1	3	3	1	3	2	2	3
(26)	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	2	3	2	3	2	3	3	1
(27)	1	1	2	2	1		1	1	2	2	2	3	3	1	3	3	2	1	2	3	3	1	3
(28)	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	2	3	3	2	2	3	1	3	3	1	1	3	3
(29)	1	2	2	1	1	2	1	2		0		3	1	2	2	3	3	1	1	2	3	2	2
(30)	1	2	2	2		2	2	2	1	2	1	3	1	3	3	2	2	3	2	1	1	2	2
(31)	2	1	2	2	2	1	2	1	1	1	2	3		1	2	1	2	2	3	3	2	3	2
(32)	2	1	2	1	2	2	1	2	2	1	1	3	9	1	2		3	3	2	2	1	1	1
(33)	2	1	1	2	2	2	1	2	2	1	2	3	2	1	3	3	1	2	1	1	2	2	1
(34)	2	2	2	1	1	1	1	1	1	2	2	3	2	2	1	2	2	1	1	3	1	3	1
(35)	2	2	1	2	1	2	2	1	2	2	1	3	2	3	1	1	1	1	3	1	3	1	2
(36)	2	2	1	1	2	1	2	1	2	2		3	2	3	1	1	1	1	3	1	3	1	2
Оптимизация процесса пайки волной
Глава 7
Таблица 7.4. Опыты для поиска рецептуры флюса
Рецептура флюса	Тип активатора	Количество активатора	Тип поверх- Количество Количество			Тип Количество	
			ностно-активного вещества	поверхности о- активного вещества	антиокислителя	растворителя	растворителя
(1)	а	al	с	ст	m	X	1
2	а	al	с	с!	h	X	1
(3)	ь	b	d	dl	1	у	h
(41	а	ah	d	dh	1	у	m
(5)	ь	bh	с	ch	1	у	i
6)	ь	bh	d	dm	h	X	m
(7	ь	bl	d	dl	h	X	m
(8)	ь	bin	с	ch	m	у	h
IВ 9 * *)	а	am	d	dh	m	у	1
(10)	ь	bm	с	cl	I	X	m
И	а	ah	d	dm	h	X	h
12)	а	al	с	cm	m	у	m
13)	а	am	с	ch	h	X	m
14	а	am	с	cm	1	X	m
(15)	ь	bh	d	dm	m	у	1
16)	а	al	d	dl	m	у	h
17)	ь	bl	С	cl	m	у	m
18	ь	bl	d	dh	I	X	h
19)	ь	bm	С	dm	1	X	1
20)	ь	bh	с	cl	h	у	1
(21)	а	ah	d	dl	h	у	m
22	ь	bh	С	cm	m	X	h
23)	а	al	d	dh	1	X	1
24)	а	am	С	ch	h	у	h
25)	а	ah	с	cl	I	X	h
26	а	ah	с	ch	m	X	h
127)	ь	bl	d	dh	h	у	m
28)	а	am	d	dm	h	у	1
29	ь	bm	С	cm	h	у	h
30	ь	bm	d	dl	m	X	1
31)	ь	bh	d	dh	m	X	m
32	ь	bl	С	cm	I	у	m
(33)	а	al	d	dm	1	у	h
(34)	ь	bl	С	ch	h	X	I
35	а	am	d	dl	m	X	m
36)	а	bh	С	cl	1	У	1
В табл. 7.3. показана ортогональная матрица (36,211 хЗ12, 2), использованная в данном плане эксперимента. Ее можно применить для анализа до 11 факторов на двух уровнях и
12 факторов на трех уровнях всего лишь при 36 испытаниях.
Факторы представлены столбцами, а уровни факторов обо-
значены цифрами в каждом столбце. Строки ортогональной матрицы представляют отдельные опыты исследования. Этот
специальный план был построен путем комбинирования «набора разностей», данных в [4], и «матрицы Адамара» [5].
192
Оптимизация процесса пайки волной
Таблица 7.5. Опыт с процессом пайки волной
Пайка	Угол конвейера	Температура пайки	Скорость конвейера	Высота волны	Время предварительного нагрева	Количество флюса
(1)	1	1	Is	1	m	1
(2)	1	If	h	1	h	h
(3)	1	1	Is	1	h	m
(4)	1	1	li	h	1	1
(5)	1	in	mf	1	in	m
(6)	I	П1	mf	h	h	h
(7)	1	in	mi	h	h	1
(8)	1	in	ms	h	1	h
(9)	1	h	hf	I	h	1
(Ю)	1	h	hi	1	m	h
(11)	1	h	hs	1	m	in
(12)	1	h	hi	h	1	m
(13)	m	in	mi	1	h	in
(14)	m	m	ms	h	m	1
(15)	m	m	ini	1	1	h
(16)	m	m	mf	h	m	in
(17)	in	h	hs	1	h	h
(18)	m	h	hs	h	1	1
(19)	m	h	hf	h	1	in
(20)	m	h	hi	h	m	1
(21)	m	I	Is	1	1	in
(22)	m	1	If	1	h	1
(23)	in	1	li	I	h	h
(24)	m	1	11	h	m	h
(25)	h	h	hf	1	1	h
(26)	h	h	hi	h	h	in
(27)	h	h	hf	1	m	1
(28)	h	h	hs	h	h	h
(29)	h	1	li	1	I	1
(30)	h	1	li	h	m	m
(31)	h	I	Is	h	rn	11
(32)	h	1	II	h	h	m
(33)	h	rn	mi	1	m	h
(34)	h	П1	ms	1	1	m
(35)	h	in	mf	1	1	1
(36)	h	rn	ms	h	h	1
Поскольку некоторые из факторов, включенных в эксперимент, было трудно изменять, возникла необходимость такой постановки всего эксперимента, при которой изменения этих факторов были бы минимальными. Такими факторами оказались «уголконвейера», «концентрация моющего вещества», «температура пайки» и «температура раствора моющего вещества». Столбцы ортогональной матрицы, как показано в табл. 7.3, были отведены для различных факторов в соответствии со степенью трудности их изменения. Уровни
193
Глава 7
Таблица 7.6. Опыты по очистке раствором моющего вещества
Очистка	Концентрация моющего вещества	Температура моющего раствора	Скорость конвейера при очистке	Температура воды для промывки
(1)	1	1	11	1
(2)	1	1	1	h
(3)	1	1	m	1
(4)	1	h	1	1
(5)	1	h	h	h
(6)	1	h	m	h
(7)	h	1	h	1
(8)	h	1	1	1
(9)	h	I	in	I
(Ю)	h	h	h	1
(И)	h	h	1	h
(12)	11	h	m	1
(13)	1	1	1	1
(14)	1	1	in	h
(15)	1	1	h	1
(16)	1	h	in	I
(17)	1	h	1	h
(18)	1	h	h	h
(19)	11	I	1	I
(20)	h	1	in	h
(21)	h	1	11	h
(22)	h	h	1	1
(23)	h	h	in	h
(24)	Ii	h	h	1
(25)	1	1	in	1
(26)	1	1	h	h
(27)	1	1	1	1
(28)	1	h	h	1
(29)	1	h	m	h
(30)	1	h	1	h
(31)	h	I	111	1
(32)	h	1	h	h
(33)	h	1	1	h
(34)	h	h	in	1
(35)	h	h	h	h
(36)	h	h	1	1
факторов, связанные со столбцами 12, 1, 13 и 2, необходимо было изменять только 2,5,8 и 11 раз соответственно при проведении эксперимента согласно номерам строк.
194
Оптимизация процесса пайки волной
Порядок отвода для 17 факторов 17 столбцов ортогональной матрицы (табл. 7.3) показан в табл. 7.1. Помимо факторов, чьи уровни редко изменяются (угол конвейера, концентрация моющего вещества, температура пайки и температура раствора моющего вещества, расположенных в столбцах 12, 1, 13 и 2 соответственно), порядок отвода для других факторов оставшихся столбцов ортогональной матрицы был произвольным. Табл. 7.4—7.6 были получены для каждой из трех стадий исследования.
Результаты отсеивающего эксперимента были использованы для планирования серии небольших по объему экспериментов с целью подтверждения первоначальных выводов и лучшего определения предпочтительных уровней каждого фактора. Такая серия включала следующие эксперименты.
•	Завершающие эксперименты для подтверждения выводов отсеивающего эксперимента и устранения какой-либо двусмысленности.
•	Установочные эксперименты для лучшего определения уровней значимых факторов как в процессе пайки, так и в процессе очистки.
•	Проверочный эксперимент для сравнения результатов применения вновь разработанного флюса и отобранного коммерческого флюса.
•	Рецептурный эксперимент для тонкого подбора состава вновь разработанного флюса.
•	Широкомасштабный эксперимент для выяснения результатов применения нового флюса по большому числу схемных блоков.
7.4.	Показатели
Цель данного исследования — определить такие уровни факторов, которые минимизируют количества дефектов пайки, остатков флюса и трещин в маске для пайки и максимизируют сопротивление изоляции образцов. Обычно дефекты пайки можно отнести к четырем категориям: « не пропаяно», «недостаточно пропаяно», «перекрестия» и «сосульки». Однако анализ исходных результатов пайки пока-
195
Глава 7
Таблица 7.7. Показатели
Проверка сопротивления изоляции
Измеряется при исходных параметрах среды в комнате, через 30 мин, 1 и 4 сут при 35°С, 90% ОВ, несмещенное напряжение;
65°С, 90% ОВ, несмещенное напряжение
Характеристики очистки Измеряется количество остатков на плате
Эффективность пайки Визуальный контроль количества непропаянных, недостаточно пропаянных, хорошо пропаянных, избыточно пропаянных соединений и разнообразных дефектов
Трещины маски для пайки Визуальный контроль количества участков с трещинами на маске для пайки образцов с целью проверки сопротивления изоляции
зал, что почти все дефекты были либо перекрестиями, либо «сосульками». Поэтому исследовались только эти дефекты.
Количество остатков флюса на схемных блоках может влиять на характеристики и надежность изделия. Поэтому был проведен химический анализ для идентификации количества остатков флюса на схемных блоках после того, как они прошли через очистку с помощью моющего раствора.
Электрические характеристики тестовой платы после обработки оценивались посредством проверки сопротивления изоляции на гребенчатых образцах в замкнутой камере. Для каждого образца брались четыре значения сопротивления изоляции: при начальных параметрах среды и 30 мин, 1 сут и 4 сут нахождения в камере. Использовались два варианта условий в камере: 1) обычный уровень нагрузок (35°С, относительная влажность 90% и несмещенное напряжение) и 2) повышенный уровень нагрузок (65°С, отн. вл. 90% и несмещенное напряжение). Чем больше сопротивление изоляции, тем лучше электрические характеристики.
Если материал маски для пайки на схемной плате несовместим либо с флюсом, либо с процессом, то в маске могут воз
196
Оптимизация процесса пайки волной
никать повреждения (например, трещины) в результате коррозии или загрязнения схемы. После проверки на сопротивление изоляции все гребенчатые образцы обследовались визуально и определялось количество загрязненных участков.
Показатели, которые оценивались в данном исследовании, приведены в табл. 7.7. Окончательные характеристики отдельного процесса флюсования — пайки — очистки оценивались на основе степени дефектности пайки и надежности платы, определяемой по результатам проверки на сопротивление изоляции.
7.5.	Эксперименты и результаты
В данном исследовании использовалась специальная тестовая плата, сделанная по образцу реальной платы и очень похожая на тестовую плату, использованную в работе [ 1 ]. Эта плата двусторонняя, жесткая со слоем материала Sealbrite (официальная торговая марка Лондонской химической компании), изолирующим медные соединения, и металлизированными отверстиями. Подбирались элементы схемы, трудно поддающиеся пайке, что максимизирует количество дефектов пайки на каждой плате. Такой прием обеспечивает оптимальный набор статистических данных при наименьшем числе плат. Маска для пайки использовалась с обеих сторон платы, исключая медные участки и определенные области схемы.
На каждой плате идентифицировались шесть участков для осуществления различных испытаний и анализа.
Согласно экспериментальному плану, использовались 36 рецептур водорастворимых флюсов. В каждом опыте использовались две платы при условиях, приведенных в табл. 7.2. Пайка тестовых плат в каждом опыте осуществлялась в каскадной машине для пайки волной, а очистка — водным раствором моющего вещества методом распыления при условиях, также указанных в табл. 7.2. Затем платы обследовались для определения дефектов, разрезались и проверялись на присутствие остатков. Гребенчатые образцы собирались в отдельные пластиковые пакеты при условиях испытаний, а затем одновременно помещались в ис-
197
Глава 7
Таблица 7.8. Нормализованные значения чисел дефектов пайки иа плате*
Флюс	Среднее число пересечений в соединениях	95%-ный доверительный интервал	Среднее число пересечений в шве	Общее число пересечений	Набор условий пайки
Коммерческий	0,92	0,45	0,08	1,00	1
В	0,54	0,22	0	0,54	
Коммерческий	0,65	0,28	0,23	0,88	2
В	0,44	0,16	0,06	0,50	
Нормализованные по отношению к общему числу дефектов для коммерческого флюса, который использовался для пайки при наборе условий 1.
пытательную камеру для измерения сопротивления изоляции при определенных условиях испытаний.
Одна из 36 рецептур использовалась впоследствии в завершающем эксперименте по пайке, а четыре новых флюса с незначительными изменениями состава — в завершающем эксперименте по выбору рецептуры. На основе полученной к этому моменту7 информации определялась и проверялась экспериментально рецептура нового флюса А с целью как получения информации о характеристиках процесса пайки, так и для лучшего определения уровней факторов процессов пайки и очистки. Затем для проверочного эксперимента разрабатывался новый флюс В, и характеристики процесса пайки с этим флюсом оценивались относительно отобранного коммерческого флюса. В этом эксперименте использовались два различных набора условий пайки с разными температурой пайки, температурой верхней стороны платы после предварительного прогрева и скоростью конвейера.
Набор условий 1 обычно используется на производственной линии, тогда как набор 2 определялся, исходя из спланированного эксперимента для нового флюса В. Были обнаружены два основных типа дефектов пайки: пересечения в соединении и
198
Оптимизация процесса пайки волной
Рис. 7.1. Столбцовая диаграмма для данных табл. 7.8. Показаны общие количества дефектов пайки для каждого из флюсов при обоих наборах условий
пересечения в шве. В табл. 7.8 приведены количества дефектов пайки для каждого флюса при двух наборах условий пайки (испытывались 10 плат для каждого набора). Столбцовая диаграмма для этих данных приведена на рис. 7.1.
Анализ результатов показал, что имеется значимое улучшение характеристик при использовании флюса В при обоих наборах условий пайки. Кроме того, в обоих случаях 95%-ный доверительный интервал для флюса В оказался уже. Это показывает, что пайка с флюсом В дает меньший разброс и представляет собой очень робастный процесс. Для флюса В также очень хорошими были результаты как по проверке сопротивления изоляции, так и по характеристикам очистки. Визуальное обследование, выполненное на твердой мас
199
Глава?
ке, показало, что наименьшее количество трещин образуется при минимальной температуре пайки.
Метод ортогонально-матричного планирования эксперимента позволяет систематически и эффективно изучать сложные процессы при наличии большого числа факторов с помощью ряда частных опытов с учетом практических соображений, касающихся производственных процессов. Помимо идентификации значимых факторов он также дает информацию об относительной важности различных взаимодействий. Применение метода в различных отраслях промышленности Японии привело к повышению качества изделий и снижению их себестоимости.
Концепция такого метода контроля качества может быть использована как на ранних стадиях проектирования изделия, так и в процессе производства для достижения полной оптимизации системы и идентификации процесса, который относительно нечувствителен к незначительным изменениям его параметров. Высокий уровень качества изделия достигается путем надлежащего проектирования изделия, а не путем корректирующих действий после того, как изделие произведено. В большинстве случаев можно одновременно получить и низкую стоимость, и высокое качество изделия [6].
Обсуждаемый здесь эксперимент — достаточно привлекательное дело. Весьма скромный по объему план всего лишь с 36 частными опытами использовался в качестве первоначального отсеивающего эксперимента. Ограничения процесса учитывались таким образом, что требовалось минимальное число изменений трудно изменяемых факторов. Намеренно выбирались предельные уровни каждого фактора для того, чтобы получить широкий диапазон откликов, что позволило обнаружить путь, ведущий к «робастному» процессу. В последующей серии частных опытов уточнялись условия процесса и уровни факторов, в результате чего был разработан водорастворимый флюс высшего качества, а заодно и процесс пайки — очистки. При небольшой корректировке состава разработанного водорастворимого флюса с помощью соответствующих опытов может быть получена рецептура, оптимальная для процесса пайки волной схемных блоков.
Глава 8. РОБАСТНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ: ДЕШЕВЫЙ МЕТОД СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Р. Какар, А. Шумейкер © 1986 AT&T
8.1.	Центральная идея
Основная причина плохих результатов производственных процессов состоит в изменчивости производственных условий, связанной с колебаниями температуры в ходе производства, изменениями состава сырья и дрейфом параметров процесса. Чем чувствительнее производственный процесс к этой изменчивости, тем дороже управление им.
Метод, описанный в данной главе и называемый робастным проектированием, — экономически эффективный подход к совершенствованию производственного процесса. Его основы разработаны японским специалистом по качеству проф. Тагути.
Какова центральная идея робастного проектирования? Проще всего ее объяснить на примере улучшения процесса изготовления оптических фильтров. Эти фильтры, используемые в мультиплексорах для разделения света по длинам волн, состоят из кварцевой подложки, покрытой тонкими слоями диоксидов титана и кремния.
Основная проблема — изменчивость коэффициента преломления фильтра при производстве и эксплуатации. Одна из причин изменчивости — колебания относительной влажности в условиях производства и эксплуатации. На рис. 8.1 показано сечение упрощенного фильтра с одним только слоем диоксида титана. Молекулы воды из окружающей среды конденсируются в порах пленки и изменяют общий коэффициент преломления фильтра.
Чтобы разрешить эту проблему, можно было бы поддерживать относительную влажность постоянной с помощью герметизации фильтра. Однако это — трудное и дорогое решение. Мы используем другой подход: разработать та-
201
Глава 8
Рис. 8.1. Сечение упрощенного фильтра с одним слоем пленки на кварцевой подложке
кой процесс изготовления фильтра, чтобы слой получался плотным с минимальным количеством щелей, в которые может проникать вода. У такого фильтра коэффициент преломления будет менее чувствительным к изменениям влажности.
Эта идея — сделать изделие или процесс нечувствительным к изменчивости — и является сущностью робастного проектирования. Данная статья посвящена проектированию процесса производства. Хотя большинство идей, представленных здесь, также применимо к проектированию изделий, однако методы оптимизации могут быть иными.
В данной главе сформулирована проблема робастного проектирования и предложены четыре рабочих этапа для применения метода. Приведен пример использования метода для улучшения процесса производства интегральных схем. В конце главы обсуждена взаимосвязь между робастным проектированием и традиционными статистическими методами планирования эксперимента.
8.2.	Формулировка проблемы робастного проектирования
Чтобы точнее определить цель робастного проектирования, необходимы три понятия: функциональные характеристики, управляемые параметры и источники помех.
Функциональные характеристики — это основные измеряемые величины, которые показывают, насколько хорошо
202
Совершенствование производственных процессов
функционирует изделие. Для примера с оптическим фильтром коэффициенты i греломления и поглощения пленки—две характеристики, которые показывают, насколько хорошо изготовленный фильтр разделяет свет в определенном диапазоне длин волн.
Когда мы анализируем определенный этап производственного процесса, то обычно используем те функциональные характеристики незавершенного изделия, которые можно оценить после данного этапа процесса.
Сущность робастного проектирования состоит в уменьшении изменчивости функциональных характеристик изделия или процесса. (Среднее значение функциональной характеристики обычно представляет побочный интерес, поскольку его можно подстроить к заданному значению после того, как минимизирована изменчивость. Далее мы покажем, как это осуществляется при производстве пластин с интегральными схемами.) На функциональные характеристики влияют переменные двух типов: управляемые параметры и источники помех.
Управляемые параметры — это управляемые переменные процесса; их рабочие значения задает инженер-технолог. В примере с оптическим фильтром в управляемые параметры входят температура подложки и метод очистки подложки.
Источники помех, наоборот, — это переменные, которыми невозможно или дорого управлять. Примеры таких переменных — колебания температуры и влажности в цехе, дрейф управляемых параметров процесса и изменчивость сырья. Эти источники, в свою очередь, вызывают изменчивость функциональных характеристик изделия.
Цель робастного проектирования — найти такие значения управляемых параметров, при которых помехи минимально влияют на функциональные характеристики. Так, в примере с оптическим фильтром ключевая идея — уменьшить чувствительность функциональных характеристик с помощью подбора процесса, нечувствительного к помехам, а не путем контроля источников помех.
Чтобы достичь этой цели, в эксперименте систематически изменяют управляемые параметры и измеряют влияние
203
Глава 8
помех в каждом опыте. Затем используют полученные результаты для поиска таких значений управляемых параметров, которые делают процесс нечувствительным к помехам.
8.3.	Рабочие этапы робастного проектирования
Метод робастного проектирования включает следующие этапы:
1)	составление перечня функциональных характеристик, управляемых параметров и источников помех;
2)	планирование эксперимента, связанное с решением следующих вопросов: а) как варьировать значения управляемых параметров? б) как измерить влияние помех?
3)	проведение основного эксперимента и использование его результатов для оценивания улучшенных значений управляемых параметров;
4)	проведение дополнительного эксперимента для проверки правильности полученных оценок.
В следующем разделе описаны все этапы и показано, как их применить для улучшения процесса выращивания эпитаксиального слоя на кремниевых пластинах, используемых в производстве интегральных схем.
8.4.	Процесс эпитаксиального выращивания
Первый этап в производстве кремниевых пластин для приборов на интегральных схемах — выращивание эпитаксиального слоя на полированных кремниевых пластинах. Как показано на рис. 8.2, партия из 14 пластин обрабатывается одновременно. Две пластины устанавливают на каждой грани семигранного барабана, который располагается внутри металлического куполообразного сосуда. При вращении барабана через отверстия вблизи верхней части сосуда вводятся химически активные пары. Барабан и пластины нагреваются до высокой температуры, которая поддерживается до тех пор, пока эпитаксиальный слой не достигнет достаточной толщины.
204
Совершенствование производственных процессов
Рис. 8.2. Схема устройства для изучения влияния помехи на эпитаксиальный процесс. Для каждой из 14 пластин были сделаны пять замеров толщины эпитаксиальной пленки
Согласно требованиям к процессу выращивания, толщина слоя должна составлять 14—15 мкм (идеальное значение 14,5 мкм), однако реальные значения выходят достаточно далеко за заданный диапазон. Поэтому нужно минимизировать неравномерность эпитаксиального слоя, поддерживая его толщину как можно ближе к идеальному значению.
Работая совместно с инженерами-технологами, мы провели эксперимент по робастному проектированию для уменьшения изменчивости толщины относительно среднего значения 14,5 мкм. Были идентифицированы восемь основных управляемых параметров; используя 16 партий пластин, мы оценили среднюю толщину слоев и неравномер! юсть для двух тестовых значений каждого параметра.
Результаты эксперимента показали, что два управляемых параметра — положение отверстий и метод вращения барабана —- определяют неравномерность эпитаксиальных слоев. Было также показано, что один из параметров — время осаждения — оказывает наибольшее влияние на среднюю
205
Глава 8
толщину, но не влияет на неравномерность слоя. Заключительный эксперимент подтвердил, что новые значения поло жения отверстий и новый метод вращения, определенные в первом эксперименте, уменьшают неоднородность примерно на 60%. Переход к новым значениям этих параметров не увеличивает затраты.
В следующих разделах описывается, как выполнялись четыре рабочих этапа робастного проектирования для получения этих новых значений параметров.
8.4.1.	Этап 1 — составление перечня функциональных характеристик, управляемых параметров и источников помех
Большинство процессов имеет много функциональных характеристик. Например, эпитаксиальный процесс имеет две важные функциональные характеристики: толщина и сопротивление эпитаксиального слоя. Обе эти характеристики изучались, однако здесь излагаются лишь результаты по толщине эпитаксиального слоя.
Хотя в каждом процессе существует много управляемых параметров, их обычно нельзя изучать одновременно. В большинстве экспериментов по робастному проектированию изучаются одновременно от пяти до десяти управляемых параметров.
В исследовании процесса эпитаксиального выращивания мы изучали восемь параметров: А — тип вращения барабана; В — код пластины; С — температура осаждения; D — время осаждения; Е — расход газообразного мышьяка; F — температура травления соляной кислотой; G — расход соляной кислоты; Н — положение отверстий.
Параметр В не является управляемым параметром в обычном смысле. Однако его включение в число управляемых параметров необходимо для идентификации значений других управляемых параметров, которые обеспечивают равномерные эпитаксиальные слои для широкой номенклатуры кодов пластин.
Проверялись два значения каждого параметра. В табл. 8.1 приведены исходные и тестовые значения параметров.
206
Совершенствование производственных процессов
Основными источниками помех в эпитаксиальном процессе были неравномерность температуры, концентрации паров и профилей состава паров внутри куполообразного сосуда. Из-за этой неравномерности различалась толщина эпитаксиального слоя на пластинах, которые находились в разных местах барабана. Наибольшие различия наблюдались для пластин, расположенных в верхней и нижней частях каждой грани.
8.4.2.	Этап 2 — планирование эксперимента
При робастном планировании эксперимента одновременно изменяются значения управляемых параметров в нескольких отдельных опытах. В каждом отдельном опыте проводятся многократные измерения функциональных характеристик с целью оценивания чувствительности процесса к помехам. Поэтому планирование эксперимента является этапом, состоящим из двух частей, на которых принимается решение о том, как изменять значения параметров и как измерять влияние помехи.
Этап 2а — решение вопроса об изменении значений управляемых параметров. На этапе 1 были идентифицированы восемь управляемых параметров как потенциально важных для эпитаксиального процесса. Поскольку каждому параметру придается два значения, потребовалось бы 28, или 256, опытов для оценивания всех возможных комбинаций значений. Очевидно, что это заняло бы слишком много времени и средств. К счастью, можно выбрать небольшое количество таких опытов и при этом получить важную информацию об управляемых параметрах.
В случае эпитаксиального процесса было проведено только 16 из 256 возможных опытов. В табл. 8.2, называемой управляемой матрицей эксперимента, приведены значения управляемых параметров для 16 опытов. Эта матрица обладает важным свойством: она является сбалансированной. То есть для каждой пары параметров каждая комбинация тестовых значений появляется одинаковое число раз. Например, рассмотрим следующие параметры: температура осаждения (С) и время осаждения (D). Каждая комбинация (С = 1210°С,
207
Глава 8
Таблица 8.1. Исходные и тестовые значения управляемых параметров
Значение
	Управляемый параметр	исходное	тестовое	
			уровень 0	уровень 1
А	Тип вращения барабана	Прерывистое	Непрерывное	Прерывистое
В	Код пластины	—	668G4	678D4
С	Температура осаждения, °C	1215	1210	1220
D	Время осаждения	Малое	Большое	Малое
Е	Расход мышьяка, %	57	55	59
А	Температура травления соляной кислотой,°C	1200	1180	1215
G	Расход соляной кислоты, %	12	10	14
Н	Положение отверстий	4	2	6
D = большое), (С = 1210°С, D = малое), (С = 1220°С, D = большое) и (С = 1220°С, D = малое) появляется четыре раза в столбцах С и D.
Благодаря свойству сбалансированности имеет смысл раздельно сравнивать два тес товых значения температуры осаждения по диапазону тестовых значений времени осаждения и всех прочих управляемых параметров в эксперименте. Поэтому можно сделать отдельные заключения о каждом управляемом параметре по результатам эксперимента.
По результатам несбалансированного эксперимента, наоборот, трудно сделать подобные заключения. Например, эксперимент с поочередным изменением параметров, который наиболее распространен, является несбалансированным. В таких экспериментах только один управляемый параметр изменяется во времени, тогда как другие остаются фиксирован-
208
Совершенствование производственных процессов
Таблица 8.2. Управляемая матрица' для эксперимента по эпитаксиальному выращиванию
Опыт		А	в	Управляемый параметр					
				С	D	Е	F	G	Н
1	Непрерывное		668G4	1210	Большое	55	1180	10	2
2		11	668G4	1210	1	59	1215	14	6
3			668G4	1220	Малое	55	1180	14	6
4			668G4	1220		59	1215	10	2
5			678D4	1210		55	1215	10	6
6		11	678D4	1210	-*	59	1180	14	2
7			678D4	1220	Большое	55	1215	14	2
8			678D4	1220		59	1180	10	6
9	Прерывистое		668G4	1210	Малое	55	1215	14	2
10			668G4	1210		59	1180	10	6
11		м	668G4	1220	Большое	55	1215	10	6
12			668G4	1220	•*	59	1180	14	2
13			678D4	1210		55	1180	14	6
14			678D4	1210	11	59	1215	10	2
15			678D4	1220	Малое	55	1180	10	2
16			678D4	1220		59	1215	14	6
' Управляемая матрица задает режим отдельных опытов.
ными. В табл. 8.3 представлены результаты такого несбалансированного эксперимента для эпитаксиального процесса.
Если бы мы использовали такой подход, нам пришлось бы сравнить значения температуры осаждения (С) по результатам опытов 3 и 4. Однако такое сравнение было бы правомерно, только когда значения других семи управляемых параметров в этих двух опытах были бы фиксированными.
Этот пример также иллюстрирует второе достоинство сбалансированных экспериментов. В сбалансированном эксперименте по эпитаксиальному выращиванию (табл. 8.2) используются результаты 16 опытов для сравнения влияния температуры осаждения (С). Это позволяет точнее произвести оценку влияния, чем при поочередном изменении параметров, когда используются результаты только двух опытов.
209
Глава 8
Таблица 8.3. Управляемая матрица для эксперимента с поочередным изменением параметров
Опыт	А	Управляемый параметр						
		В	С	D	Е	F	G	Н
1	Непрерывное	668G4	1210	Большое	55	1180	10	2
2	Прерывистое	668G4	1210		55	1180	10	2
3		678D4	1210	••	55	1180	10	2
4		678D4	1220	11	55	1180	10	2
5		678D4	1220	Малое	55	1180	10	2
6	т	678D4	1220		59	1180	10	2
7	и	678D4	1220		59	1215	10	2
8	и	678D4	1220	11	59	1215	14	2
9	и	678D4	1220		59	1215	14	6
Управляемые матрицы, которые обладают свойством сбалансированности, легко построить по специальным таблицам, называемым ортогональными матрицами (ОМ). Мы построили управляемую матрицу для эксперимента по эпитаксиальному выращиванию по ортогональной матрице ОМ)6 (табл. 8.4).
Чтобы получить управляемую матрицу, мы поместили управляемые параметры в столбцах 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 и 14 матрицы ОМ16 и использовали символы 0 и 1 вместо тестовых уровней каждого параметра. Такое распределение параметров по столбцам матрицы ОМ)6 создает план с разрешающей способностью IV; он обеспечивает хорошие оценки эффектов первого порядка каждого управляемого параметра по результатам эксперимента. (Более подробная информация о разрешающей способности планов экспериментов приведена в гл. 12 книги [ 1 ].)
Хотя ОМ)6 — одна из наиболее часто используемых ортогональных матриц, существует много других полезных матриц. Особенно важна матрица ОМ8, которая позволяет изучить вплоть до четырех управляемых параметров на двух уровнях каждый в серии всего лишь из восьми опытов. Матрицы ОМ|8 и ОМЭТ полезны, когда большинство управляемых параметров имеет три тестовых уровня. Фадкеидр. [2] использовали ОМ18
210
Совершенствование производственных процессов
Таблица 8.4. Ортогональная матрица ОМ1С(215)
	Управляемый параметр	(столбцы А-Н)
Испытание	АВ	С	D Е 1	23456789	F	G	Н 10 И 12 13	14 15
1	0	00000000	0 0 0	0	0	0
2	0	0 0 0 0 0 0 1	1	1111 11
3	0	0 0	1	1	1	1 0 0	0 0	11	11
4	0	0 0	1	1	1	1	1	1	1	1 0	0	0	0
5	0	110 0 110 0	110	0	11
6	0	110 0	1111	0 0	11	0	0
7	0	1111 0 0 0 0	1111	0	0
8	0	11110 0 11	0 0 0	0	1	1
9	1	0	10	10 10	1	0	10	1	0	1
10	1	0	10	10	110	10 10	10
11	1	0	110	10 0	1	0	110	10
12	1	0	110	10	10	10 0	1	0	1
13	1	1 0 0	11 0 0	1	10 0	1	10
14	1	10 0	110	10	0	110	0	1
15	1	10 10 0 10	1	10 10	0	1
16	1	10	10 0	110	0	10	1	10
для построения управляемой матрицы в эксперименте по улучшению процесса фотолитографии окон.
Этап 26 — решение вопроса об измерении влияния помех. В эксперименте по эпитаксиальному выращиванию основная причина изменчивости толщины эпитаксиального слоя — неравномерность распределения химически активных паров между верхней и нижней частями куполообразного сосуда. Чтобы проследить за этой изменчивостью, мы систематически измеряли толщину эпитаксиального слоя пластин в верхней и нижней частях каждой грани барабана.
Наша задача состояла в измерении толщины эпитаксиального слоя в пяти точках (рис. 8.2) на каждой из 14 пластин, что в совокупности составляло 70 измерений для каждого опыта. Мы проделали такие измерения для всех 16 опытов, представленных в управляемой матрице.
211
Глава 8
Изложенная программа измерения влияния помех определяет типичную процедуру, используемую в большинстве экспериментов по робастному проектированию для совершенствования производственных процессов. Обычно мы измеряем влияние помех, проводя многократные измерения функциональной характеристики в различных местах одного образца для нескольких образцов в отдельном опыте. Важно планировать эти измерения, чтобы отразить влияние помех, и следовать одному плану в каждом опыте; тогда сравнение разных опытов будет обоснованным.
8.4.3.	Этап 3 — проведение основного эксперимента и использование его результатов для оценивания улучшенных значений управляемых параметров
Если эксперимент хорошо спланирован и проведен по плану, анализ, необходимый для оценивания улучшенных значений параметров, достаточно прост.
Как указано в разд. 8.4.2, было выполнено 70 измерений толщины эпитаксиального слоя для каждого из 16 опытов, представленных в табл. 8.2. Для каждого опыта подсчитывались среднее и дисперсия по этим измерениям. Если величины от у, до у70 представляют результаты 70 измерений для одного опыта, то среднее у и дисперсия s7 выражаются формулами
1	70	1	70
В табл. 8.5 приведены значения у и 1g л 2 для каждого опыта. (Логарифм s2 взят для улучшения статистических характеристик анализа.)
Цель эксперимента — сделать дисперсию толщины эпитаксиального слоя наименьшей и среднее значение толщины близким к 14,5 мкм. Сначала мы сосредоточились на задаче уменьшения дисперсии толщины эпитаксиального слоя. После минимизации дисперсии мы сможем подстроить время осаждения для того, чтобы достичь среднего значения толщины 14,5 мкм.
212
Совершенствование производственных процессов
Таблица 8.5. Среднее значение толщины и логарифм дисперсии толщины эпитаксиального слоя для каждого опыта
Опыт	Среднее V , мкм	Логарифм дисперсии 1g .V 2	Опыт	Среднее у , МКМ	Логарифм дисперсии 1g.V
1	14,821	-0,4425	9	13,972	-0,3467
2	14,888	-1,1989	10	14,032	-0,8563
3	14,037	-1,4307	11	14,843	-0,4369
4	13,880	-0,6505	12	14,415	-0,3131
5	14,165	-1,4230	13	14,878	-0,6154
6	13,860	-0,4969	14	14,932	-0,2292
7	14,757	-0,3267	15	13,907	-0,1190
8	14,921	-0,6270	16	13,914	-0,8625
Таблица 8.6. Среднее значение 1g л2 для тестовых уровней управляемых параметров
2
Среднее значение Ig.v
	Управляемый параметр	тестовый уровень		разность
		0	1	
А	Тип вращения барабана	-0,8245	-0,4724	0,3521
В	Код пластины	-0,7095	-0,5875	0,1220
С	Температура осаждения	-0,7011	-0,5958	0,1053
D	Время осаждения	-0,5237	-0,7732	-0,2495
Е	Расход газообразного мышьяка	-0,6426	-0,6543	-0,0117
F	Темперпатура травления соляной кислотой	-0,6126	0,6843	-0,0717
G	Расход соляной кислоты	-0,5980	-0,6989	-0,1008
Н	Положение ответстий	-0,3656	-0,9313	-0.5658
213
Глава 8
Управляемый параметр
Рис. 8.3. Среднее значение 1g № для тестовых уровней управляемых параметров
Чтобы уменьшить дисперсию толщины эпитаксиального слоя, мы идентифицировали управляемые параметры, оказывающие наибольшее влияние на lg s2 , и установили такие их уровни, которые минимизируют lg s2  В табл. 8.6 и на рис. 8.3 приведены средние значения 1gл2 для тестовых уровней всех восьми управляемых параметров.
Для примера рассмотрим параметр проектирования А— тип вращения барабана. Его значения — «непрерывное» в опытах с 1-го по 8-й и «прерывистое» в опытах с 9-го по 16-й. Согласно табл. 8.6, среднее значение lg s2 по опьггам с 1-го по 8-й равно
— 0,8245 = (—0,4425 + — 1,1989 + ... + —0,6270)/8. Подобным образом среднее значение Ig.s2 по опытам с 9-го по 16-й составляет
— 0,4724 = (—0,3467 + —0,8563 + ... + — 0,8625)/8. Поскольку 1g л2 оценивает неоднородность толщины эпитаксиального слоя, лучшими значениями для каждого управляе
214
Совершенствование производственных процессов
мого параметра являются те, которые обеспечивают наименьшее среднее значение 1g s2  Например, непрерывное (уровень 0) вращение барабана лучше, чем прерывистое (уровень 1), поскольку в среднем дает более равномерные эпитаксиальные слои.
Таким же образом мы сравнили тестовые уровни других управляемых параметров. Однако уровень каждого параметра изменялся только в том случае, если это изменение оказывало большое влияние на изменчивость толщины эпитаксиального слоя. Когда управляемый параметр испытывался на двух уровнях, степень его влияния на изменчивость измерялась разностью средних значений 1g s2 для этих уровней.
Длины отрезков на рис. 8.3 отражают величину влияния каждого управляемого параметра (горизонтальная линия на уровне — 0,648 является средним значением lg s2 по всем 16 опытам). Поскольку положение отверстий и тип вращения оказывают большее влияние, чем шесть других управляемых параметров, мы изменяли уровни только этих двух параметров. Все остальные параметры были оставлены на своих первоначальных уровнях.
8.4.4.	Этап 4 — проведение дополнительного эксперимента для проверки правильности полученных оценок
При использовании ортогональной матрицы ОМ16 для построения управляемой матрицы эксперимента по процессу эпитаксиального выращивания мы допускали, что соотношение между 1g .у2 и управляемыми параметрами было близким к линейному. Данная матрица в действительности учитывает небольшую нелинейность этого соотношения, вызванную взаимодействием между парами управляемых параметров. Однако если нелинейность велика, то новые уровни, найденные на этапе 3, могут не дать улучшения по сравнению с исходными уровнями.
Чтобы исключить такую возможность, был проведен небольшой завершающий эксперимент, в котором использовались новые значения управляемых параметров и их исходные значения в качестве ориентира. Различались только но-
215
Глава 8
Таблица 8.7. Результаты проверочного эксперимента
Значение	Управляемый параметр Среднее значение									
	А	в	С	D	Е	F	G	Н	У lg s2	5"
Исходное	Преры- вистое	678D4	1215	Малое	57	1200	12	4	14,10 -0,845	0,143
Новое	Непрерывное	678D4	1215	Малое	57	1200	12	6	14,17 -1,244	0,057
вые и исходные значения положения отверстий и типа вращения. Были проведены три независимых опыта при каждом значении параметров и по результатам вычислены среднее и логарифм дисперсии толщины эпитаксиального слоя. В табл. 8.7 приведены средние значения у и логарифмы дисперсии 1g 5 для новых и исходных значений управляемых параметров. Результаты проверочного эксперимента показали, что новые значения уменьшают дисперсию толщины эпитаксиального слоя на 60%. Почти нет различий в средней толщине для этих значений, поскольку время осаждения в эксперименте не изменялось.
Как правило, проверочный эксперимент является критерием обоснованности ввода изменений в производственный процесс по результатам экспериментов для робастного проектирования. Эксперименты, в которых изучается много управляемых параметров в небольшом количестве опытов, являются мощным инструментом улучшения производства. Однако поскольку при планировании таких небольших по объему экспериментов используется много допущений, проверочный эксперимент позволяет исключить необоснованные предположения.
8.5.	Поиск параметров, изменяющих среднее значение
Во многих производственных процессах можно использовать один или больше управляемых параметров
216
Совершенствование производственных процессов
Таблица 8.8. Среднее значение упри различных значениях управляемых параметров
v
	Управляемый параметр	тестовый уровень		разность
		0	1	
А	Тип вращения барабана	14,4166	14,3616	-0,0545
В	Код пластины	14,3610	14,4167	0.0556
С	Т емпература осаждения	14,443.5	14,3342	-0,1094
D	Время осаждения	14,8069	13,9709	-0,8359
Е	Расход газообразного			
	мышьяка	14,4225	14,3552	-0,0674
F	Температуре! травления			
	СОЛЯНОЙ кислотой	14.3589	14,4189	0,0600
G	Расход соляной кислоты	14,4376	14,3401	-0,0975
Н	Положение ответстий	14,3180	14,4597	0,1417
для изменения среднего значения функциональной характеристики, не влияя на изменчивость процесса. При наличии таких управляемых параметров, изменяющих среднее значение [3], можно выбрать значения других управляемых параметров для минимизации изменчивости без учета среднего значения. Затем используется регулируемый параметр для приближения среднего значения к заданному.
Поэтому наиболее важные характеристики параметра, изменяющего среднее значение, — небольшое влияние на изменчивость и большое влияние на среднее значение.
В эпитаксиальном процессе используется время осаждения для управления средней толщиной эпитаксиального слоя. Одна цель нашего эксперимента для робастного проектирования состояла в уменьшении изменчивости процесса, а другая — в обосновании того факта, что время осаждения действительно можно использовать для подстройки средней толщины эпитаксиального слоя без влияния на ее изменчивость.
Согласно рис. 8.3, время осаждения меньше влияет на дисперсию толщины эпитаксиального слоя, чем расположение
217
Глава 8
отверстий и тип вращения. Чтобы проверить тот вывод, что время осаждения сильно влияет на среднюю толщину эпитаксиального слоя, было проанализировано у таким же образом, как оценивалась величина 1g 52 на этапе 3. В табл. 8.8 ина рис. 8.4 приведены средние значения у при различных значениях управляемых параметров. Согласно рис. 8.4, время осаждения обладает наибольшим влиянием на среднее значение толщины эпитаксиального слоя у .
После этого анализа мы подобрали новые значения управляемых параметров для эпитаксиального процесса и подрегулировали время осаждения для того, чтобы сделать среднюю толщину эпитаксиального слоя равной 14,5 мкм. Отметим, что если изменять заданное значение, то соответственно нужно регулировать время осаждения, причем значения других управляемых параметров будут по-прежнему обеспечивать небольшую дисперсию вблизи нового заданного значения.
8.6.	Выводы и обсуждение результатов
В настоящей главе описаны основные этапы реализации метода робастного проектирования. В работе [ 1 ] более подробно обсуждаются вопросы планирования эксперимента, а в работе [4] дано детальное описание робастного проектирования. В книгу [5] включены некоторые примеры приложений этого метода в Японии.
Помимо примеров, описанных здесь и в статье [5], метод робастного проектирования был использован на фирме AT&T для улучшения многих других процессов: фотолитографии окон [2], изготовления гибридных интегральных схем с использованием фоторезиста, реакционно-ионного правления алюминия при изготовлении памяти на 256К.
В большинстве приложений робастного проектирования на фирме AT&T улучшалось проектирование производственных процессов, а не проектирование изделий. Хотя существуют некоторые различия в деталях, однако общие идеи применимы и для проектирования изделий. Например, в Японии
218
Совершенствование производственных процессов
Управляемый параметр
Рис. 8.4. Среднее значение у при различных значениях управляемых параметров
данный метод использовали для улучшения проектирования механизма управления грузовиком [5].
Для некоторых изделий, таких, как электрические схемы, известна функция, связывающая функциональную характеристику изделия с его управляемыми параметрами и основными источниками помех. Для таких изделий часто могут быть более эффективными другие методы оптимизации с использованием такой функции и ее производных.
В методе робастного проектирования используется хорошо разработанный статистический метод (планирование экспериментов) для решения важной технической проблемы — уменьшения изменчивости, вызванной изменчивостью производственных условий. Такое применение планируемых экспериментов — в основном заслуга проф. Тагути.
Статистически планируемые эксперименты используются для совершенствования производственных процессов уже
219
Глава 8
в течение 50 лет [1, 7, 8], но большинство приложений касалось средних значений функциональных характеристик процесса. Во многих приложениях по улучшению процессов можно легко регулировать среднее значение, используя параметр, изменяющий среднее. Результат производственного процесса более близко связан с изменчивостью процесса, и робастное проектирование — метод уменьшения этой изменчивости без увеличения производственных затрат.
Глава 9. НАСТРОЙКА КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ НА МАКСИМАЛЬНУЮ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ: СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
У. Назарет, У. Клингер
© 1986 American Statistical Association
9.1.	Введение
Мотивами для проведения работы, описанной в настоящей главе, послужили две различные, но взаимосвязанные проблемы, которые возникают при анализе производительности вычислительных систем. Первая из них формулируется следующим образом: как следует задать настроенные параметры1 операционной системы, чтобы получить наилучшее время реакции для интерактивных задач при заданных режимах нагрузки компьютера. Вторая проблема — как определить совокупность взаимосвязей между различными настроечными параметрами операционной системы и их влияние на время реакции системы.
Хотя вторая проблема представляется более общим вариантом первой, на практике они возникают в различных ситуациях. Первую проблему обычно приходится решать администраторам системы в попытке получить максимальную производительность компьютерной системы для пользователей. Напротив, второй проблемой занимаются главным образом разработчики системы и специалисты по анализу производительности, в обязанности которых входит моделирование производительности системы в различных нагрузочных режимах еще до ее фактической передачи заказчикам. Эта работа иногда называется аттестационными испытаниями на контрольных задачах.
Цель администратора системы состоит в том, чтобы оптимизировать скорость реакции системы при выполнении наиболее важных задач в конкретных нагрузочных режимах, задаваемых пользователями. Поэтому можно сказать,
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
221
Глава 9
что данная проблема имеет «локальный» характер. С другой стороны, разработчик системы и специалист по анализу производительности обязаны четко понимать, как система реагирует на изменения настроечных параметров в любом из многочисленных нагрузочных режимов, в которых предположительно она может функционировать. В этом смысле данная проблема имеет достаточно «глобальный» характер.
Весьма важным следствием этого разграничения является тот факт, что измерения при аттестационных испытаниях обычно выполняются с помо1цью «имитации» нагрузок, которые проектируются для данной системы способом, полностью определяемым данным экспериментом. Однако при настройке системы используются данные, которые получаются при реальных нагрузках, создаваемых пользователями системы. Такие нагрузочные режимы администратор системы или исследователь не в состоянии контролировать в полной мере. Но несмотря на указанные различия, настройка и аттестационные испытания имеют и ряд общих черт, связанных с необходимостью выполнять эксперименты с разными наборами параметров в поисках такой конфигурации, которая позволит получить наилучшие результаты.
В настоящей главе предлагается систематический и недорогой подход к проведению подобных экспериментальных исследований. В рамках этого подхода для планирования экспериментов используются статистические методы, а сами эксперименты во многих случаях дают почти такую же информацию, как полный набор испытаний. Предлагаемый подход, не будучи новым для специалистов по статистике, в настоящее время приобретает все большую популярность у администраторов систем и специалистов по анализу производительности в качестве альтернативы традиционным методам экспериментальных исследований.
В настоящей главе в качестве примера настраиваемой операционной системы рассматривается операционная система (ОС) UNIX1. Однако данный метод применим к любой опера
1 Официальная торговая марка фирмы AT&T.
222
Настройка компьютерных систем
ционной системе (или системе вообще), которая допускает подстройку ее рабочих характеристик пользователем. В разд. 9.2 даются сводка настроечных параметров ОС UNIX и описание их потенциального воздействия на реакцию системы. В разд. 9.3 представлена постановка задачи исследований на примере описания трех экспериментов, выполненных на вычислительных машинах VAX1780,785 и 8600. В разд. 9.4 поясняется принятая статистическая стратегия оценки влияния настроечных параметров на время реакции системы для операционных задач. В разд. 9.5 выполнен анализ результатов экспериментов и показано, насколько повышается производительность системы после подстройки параметров ОС на основании полученных результатов. И наконец, в разд. 9.6 дан критический анализ предлагаемого подхода и предложен ряд его дополнений и расширений.
9.2.	Что такое настройка компьютера?
Настройка компьютерной системы по существу немногим отличается от настройки любой другой, произвольной, системы. Она сводится к выявлению такого набора значений определенных параметров, который удовлетворяет требованиям к производительности. Следовательно, именно требования к производительности определяют, какой набор значений параметров «оптимален» для некоторого конкретного приложения. Например, типичный легковой автомобиль обычно «настраивается» на оптимальное соотношение топливной экономичности и токсичности выхлопных газов. Напротив, от гоночного автомобиля требуется максимальная скорость в ущерб топливной экономичности.
Предусмотрена возможность точной настройки ОС UNIX, позволяющая администратору системы задавать значения ряда параметров ее ядра во время начальной загрузки. Кроме того, есть возможность управления некоторыми опциями, не входящими в системное ядро. Одни из них относятся к аппа
1 Торговая марка фирмы Digital Equipment Corporation.
223
Глава 9
ратным средствам, другие — к программному обеспечению. Укажем несколько примеров таких параметров и их значимости для оперативной работы вычислительной системы.
1.	Системные буферы. Это блоки физической памяти типовым объемом 1024 кбайт, которые ОС использует для хранения недавно использованных данных в расчете на то, что они вскоре могут потребоваться вновь. Увеличение числа буферов повышает частоту «удачных обращений» к этой кэш-памяти. С другой стороны, чрезмерное число буферов может ухудшить производительность системы, поскольку они «отбирают» часть памяти у пользователей.
2.	Сопряженные процессы. Имеется двоичный разряд (бит), который разрешает исполняемому файлу выполнять запись его текстового сегмента в смежные блоки на устройстве перекачки. Для часто вызываемых команд (особенно для команд с большими отображениями) целесообразно иметь такую настройку бита сопряжения, чтобы при каждом их вызове соответствующий код попадал в память предельно легко. Системы, в которых эта настройка не предусмотрена, обычно испытывают хронические проблемы из-за перегрузки каналов ввода — вывода (ВВ) в накопителях на магнитных дисках и, как следствие, имеют худшие времена реакции. Число и тип команд с таким битом сопряжения тоже представляют собой настроечные параметры.
3.	Параметры страничного демона. При реализации виртуальной памяти в ОС UNIX память, используемая процессами, распределяется постранично. Страница памяти представляет собой часть программы длиной 512 или 1024 кбайт. Страничный демон — это системный процесс, предназначенный для освобождения памяти путем восстановления области памяти, занятой уже неиспользуемыми страницами. Процесс вообще можно «лишить» его страниц, если полное время работы центрального процессора (ЦП) превышает заданное значение. Частота запуска страничного демона, число одновременно активных страниц, которые допускаются для процесса, и максимальная квота времени ЦП до разгрузки процесса — это настроечные параметры ОС.
224
Настройка компьютерных систем
4.	Организация файловой системы. Этот параметр очень сильно зависит оттого, как система установлена первоначально. Идея состоит в том, чтобы распределить системные и пользовательские файлы между дисковыми накопителями таким образом, чтобы нагрузка на каждый накопитель была примерно одинаковой. Когда один из дисковых накопителей перегружен, ожидания ВВ возрастают и скорость реакции системы снижается.
5.	Вспомогательные устройства ЦП. Некоторые виды аппаратных комплексов допускают возможность подключения сопроцессоров или дополнительных блоков, которые освобождают ЦП от очень сложных операций. В качестве примеров можно назвать вспомогательные терминальные устройства ВВ и вспомогательные сопроцессоры. Применение таких устройств и их число также можно отнести к вопросам настройки.
6.	Основная оперативная память. Осуществляя небольшие изменения емкости физической памяти в системе, можно определить, дает ли увеличение объема памяти повышение производительности системы. Это полезно знать до приобретения дополнительных плат памяти.
9.3.	Три прикладные задачи
Для иллюстрации методологии рассмотрим три эксперимента, выполненных на вычислительных системах VAX 780, 785 и 8600, работающих под управлением ОС UNIX System V в Центре обеспечения качества фирмы AT&T Bell Laboratories.
Первый из них выполнялся главным образом с целью настройки системы и в чем-то аналогичен эксперименту, описанному в работе [ 1J - Задача состояла в том, чтобы повысить скорость реакции системы, производительность которой перестала удовлетворять потребностям пользователей, и разрешить некоторые вопросы, возникшие в работе [ 1 ]. В частности, предполагалось рассмотреть следующие вопросы.
•	Продолжительность эксперимента. На проведение эксперимента в работе [ 1 ] было затрачено более 3 мес. Мы считаем, что любой метод настройки, который требует для полу
225
Глава 9
чения результатов так много времени, имеет незначительную практическую ценность. Следовательно, одна из наших це лей состояла в том, чтобы найти способы получения полезных результатов за приемлемое время.
•	Стационарность нагрузки. Еще одна цель состояла в том, чтобы обеспечить достаточную стационарность нагрузочных режимов. Мы хотели исключить ситуацию, для которой невозможно определить, с чем связано повышение производительности — с улучшением настройки системы или со снижением уровня нагрузки (именно такая ситуация возникла в работе [1]).
В данном эксперименте настроечными параметрами были организация файловой системы, объем основной памяти, системные буферы, сопряженные процессы и два типа вспомогательных устройств для ЦП — КМС-устройства (терминальные процессоры ВВ) и PDQ-устройства (вспомогательные сопроцессоры).
Во втором эксперименте на системе VAX 785 фигурировали только пять из шести параметров эксперимента на системе VAX 780. Сопряженные процессы не рассматривались, поскольку к этому времени уже было накоплено достаточно знаний для их практического использования и организации. Эксперимент был построен так, чтобы оценить не только главные эффекты факторов1, но и некоторые их взаимодействия. Поэтому потребовалось большее число испытаний. В наши намерения входила не только настройка системы. Мы хотели также оценить преимущества более сложных (и более дорогих) планов экспериментов по сравнению с простыми планами типа того, по которому выполнялся первый эксперимент. Этот вопрос более детально рассмотрен в следующем разделе, где речь идет о стратегии экспериментов.
Третий эксперимент отличался от первых двух одной чрезвычайно важной характеристикой. В нем использовалась не «живая» нагрузка, а имитация нагрузки, разработанная в качестве типовой для предполагаемых условий эксплуатации данной компьютерной системы. Исследовались те же фак-
В словаре терминов: управляемые параметры.
226
Настройка компьютерных систем
торы, что и во втором эксперименте, за исключением отсутствия КМС-устройств (в новой модели VAX 8600 эти устройства не требуются). Благодаря использованию имитации нагрузки режимы эксперимента полностью контролировались, что позволяло надеяться на получение статистически более надежных результатов. Однако у нас не было опыта использования метода в подобных ситуациях и не было известно, справедливо ли обобщение полученных выводов на реальные нагрузочные режимы. В разд. 9.6 рассмотрены результаты такого эксперимента и полученные на их основе выводы.
9.4.	Стратегия эксперимента
Перед тем как строить основной план эксперимента, необходимо выбрать уровни различных факторов для испытаний. Поскольку набор факторов, учитываемых в первом эксперименте (машина VAX 780), включает факторы для двух других экспериментов, здесь достаточно описать только этот случай. В табл. 9.1 показаны уровни каждого из шести факторов в данном эксперименте. На рисунке можно видеть, что объем памяти, выделенный под системные буферы, зависит от полного ее объема. Следовательно, уровни «Малый», «Средний» и «Большой» означают разные части общей памяти для каждого из трех ее объемов. Объем памяти, отводимый под системные буферы (Sysbuff), был задан следующим выражением:
Sysbuff = CL + 0, 2Аф
Где CL = 1,0, 1,2и 1,4 Мбайт при уровнях «Малый», «Средний» и «Большой» соответственно. Аналогично KL = 0,1 или 2.
Выбор уровней исследуемых факторов очень сильно зависит от первоначальной компоновки системы и должен выполняться с учетом как характеристик нагрузки, так и сведений о том, как изменения этих параметров влияют на реакцию системы [2]. Эксперимент начинается с того, что для текущих значений параметров вводятся некоторые отклонения, которые могут быть умеренными или значительными. Малые отклонения не соответствуют цели эксперимента. Одно исключение из этой стратегии имеет место, когда те-
227
Глава 9
Таблица 9.1. Параметры эксперимента для VAX 780
Фактор	Уровень		
	1	2	3
Организация файловой системы	А	В	С
КМС-устройства	Нет	Есть	—
Объем памяти, Мбайт	6	7	8
Объем памяти под			
системные буферы	Малый	Средний	Большой
Сопряженные процессы	10	20	30
PDQ-устройства	Нет	Одно	Два
кущее значение одного из параметров явно неверное (неоптимальное). В табл. 9.1 такой пример есть. В эксперименте 1 число сопряженных процессов до эксперимента было равно 40. Однако данный параметр был выбран без учета их размеров или частоты вызова. Для проведения эксперимента в качестве уровней этого фактора были выбраны 10, 20 и 30 самых распространенных команд.
Теперь мы должны определить меры, с помощью которых будет оцениваться производительность системы в различных экспериментальных условиях. Общепринятый подход состоит в том, чтобы взять в этом качестве время выполнения определенного сценария, содержащего набор задач, важных для конкретной организации. Например, для организации обработки текстов такой сценарий может включать задачу форматирования некоторого документа. Обычно используются четыре выходные меры: простое время, время редактирования, вспомогательное время и время компиляции. Из них дополнительных пояснений требует только понятие «простое время». Это время реакции для команды без взаимодействия между пользователем и системой (например, команда датирования). Оно представляет собой меру скорости немедленной реакции.
Формирование плана отбора испытаний для эксперимента — чрезвычайно важная и трудная задача. Как уже отмечалось выше, мы стремились уменьшить полное время экспе
228
Настройка компьютерных систем
римента насколько возможно, не жертвуя целостностью методики. После тщательного исследования режимов нагрузки в системах VAX 780 и VAX 785 было решено принять рабочий день в качестве базовой длительности испытательного периода. Рабочий день — естественная единица отсчета, поскольку позволяет перенастроить систему с одного испытательного режима на другой в течение нерабочих часов, не доставляя пользователям никаких неудобств. В то же время это минимально возможная длительность в том смысле, что испытательные периоды длительностью менее дня могут нарушать нормальное функционирование системы. Сравнение таких испытательных периодов может оказаться неправомочным вследствие изменчивости нагрузки в течение одного дня (например, в периоды пиковых нагрузок). Для некоторых вариантов систем даже однодневный испытательный период может оказаться проблематичным, если нагрузка существенно меняется в разные дни недели.
В одной трети всех экспериментов (машина VAX 8600) весь испытательный период составлял не день, а всего около часа. Это, естественно, связано с применением имитации нагрузки.
Времена реакции измерялись через равные интервалы времени в течение всего испытательного периода. Важно не измерять их слишком часто, поскольку нагрузка, создаваемая синхронизирующими программами и синхронизированным сценарием работы, может мешать работе пользователей.
Самый важный аспект стратегии эксперимента в целом — выбор комбинаций уровней факторов для отдельных испытаний в эксперименте. Полное исследование практически наверняка позволит получить правильный ответ. Однако совершенно ясно, что такое исследование провести нельзя из-за недостатка времени. Для рассмотренного выше примера с машиной VAX 780 (табл. 9.1) эксперимент с перебором всех возможных комбинаций потребовал бы примерно 729 дней! Даже в третьем эксперименте (с имитацией нагрузки) расходы на управление получаются огромными. Для его проведения необходимо перезагрузить систему 81 раз! Вместо этого мы выбрали матрицу ком-
229
Глава 9
Таблица 9.2. План эксперимента для VAX 780
Номер испытания	Файловая система	КМС-уст-ройст-ва	Объем памя- ти, Мбайт	Объем буферов	Сопряженные процессы	PDQ-уст-ройст-ва
1	А	Нет	7	1,4	10	Нет
2	А	Нет	6	1,0	20	Одно
3	А	Нет	8	1,8	30	Два
4	А	Есть	7	1,2	30	Одно
5	А	Есть	6	1.4	10	Два
6	А	Есть	8	1.6	20	Нет
7	В	Нет	7	1,4	20	Одно
8	В	Нет	6	1.0	30	Два
9	В	Нет	8	1,8	10	Нет
10	В	Есть	7	1,6	30	Нет
11	В	Есть	6	1,2	10	Одно
12	В	Есть	8	1,4	20	Два
13	С	Нет	7	1,6	10	Два
14	С	Нет	6	1,2	20	Нет
15	С	Нет	8	1.4	30	Одно
16	С	Есть	7	1,6	20	Два
17	с	Есть	6	1,0	30	Нет
18	с	Есть	8	1.6	10	Одно
бинаций факторов, которая позволяет проводить одновременные испытания по всем факторам при ограниченном числе испытаний. Такие матрицы достаточно полно и подробно описаны в литературе по статистике (см., например, [3, 4]). Для примера в табл. 9.2 представлен план эксперимента 1 (VAX 780). Он построен с использованием ортогональной матрицы Llg и содержит всего 18 испытаний. В табл. 9.2 представлены значения каждого из факторов для каждого из 18 испытаний.
Для второго эксперимента мы использовали ортогональную матрицу Ц7 [3], описывающую 27 испытаний. Возросший
230
Настройка компьютерных систем
объем эксперимента, как указывалось выше, был спланирован специально таким образом, чтобы получить оценку не только главных эффектов, но и взаимодействий объема памяти с остальными четырьмя факторами. И наконец, эксперимент при контролируемой нагрузке (VAX 8600) с участием всего четырех факторов был проведен по плану на основе части матрицы З4, описывающей всего девять испытаний.
Использование таких планов экспериментов имеет следующие преимущества.
1.	Они дают результаты, усредненные по всему пространству параметров.
2.	Оценка воздействия любого из факторов получается ортогональной по отношению к остальным факторам (т.е. основное воздействие каждого отдельного фактора можно рассматривать независимо от воздействий всех прочих факторов).
3.	При определенных условиях такие планы позволяют получит!,информацию, которая приблизительно эквивалентна результатам намного более объемных экспериментов.
Очевидно, что такие результаты стоят затраченных усилий. Подобные планы дают сокращение объема эксперимента путем обоснованного смешивания главных эффектов факторов с их «совместным» воздействием или взаимодействием некоторых других факторов. Следовательно, эти планы определяются величиной доминирующих главных эффектов.
Несмотря на сказанное выше, мы предпочитаем стратегию на базе высокодробных матричных планов, поскольку она как минимум обеспечивает «самую дешевую» исходную позицию, на основе которой всегда можно получить очень полезную информацию об исследуемых параметрах. В частности, если полученные данные свидетельствуют о возможной значимости эффектов более высокого порядка (взаимодействий), то эксперименты можно расширить и дополнить. На практике в таких циклах нам редко приходилось использовать более одной итерации. Обычно повышение производительности в результате реализации прогнозируемой оптимальной настройки оказывалось вполне достаточным для того, чтобы отказаться от дальнейших экспериментов.
231
Глава 9
Рис. 9.1. Среднее время компиляции (в секундах)
9.5.	Анализ данных
У нас нет возможности представить здесь все данные и результаты их анализа для каждого из трех экспериментов. Поэтому мы приводим лишь часть графиков, которые обобщают полученные зависимости производительности от разных факторов. Приводятся также графики, демонстрирующие результат перенастройки этих параметров на уровни, которые следуют из данных экспериментов.
При анализе данных в качестве мер производительности были использованы среднеквадратичное и среднее значения времени реакции. Первое из них имеет то преимущество, что учитывает как среднее время реакции, так и его изменчивость, зато второе легче поддается интерпретации. Поскольку полученные по результатам экспериментов выводы, основанные на обеих мерах, оказались эквивалентными, здесь приведены результаты только для среднего времени реакции. На рис. 9.1 представлены оценки воздействия каждого из четырех параметров в эксперименте 3 (VAX 8600) на среднее время компиляции.
На основании этих данных были сформулированы следующие рекомендации.
232
Настройка компьютерных систем
Рис. 9.2. Время реакции (в секундах) вычислительной системы до и после настройки
1.	Машину следует эксплуатировать с объемом оперативной памяти 8 Мбайт. Наклон графика на рис. 9.1 показывает, что увеличение памяти на 4 Мбайт не дает существенного повышения производительности (память формируется из модулей по 4 Мбайт).
2.	Количество системных буферов можно установить на нижнем уровне, что означает выделение примерно 1,4 Мбайт памяти под систему и предоставление остальной памяти пользователям.
3.	Вариант С организации файловой системы предпочтительнее вариантов А и В.
4.	Использование PDQ-устройств нецелесообразно.
Эти выводы справедливы для данной конкретной меры скорости реакции и данной системы. Нет оснований считать, что аналогичные выводы будут получены для другой меры скорости реакции (например, времени редактирования) даже при точно такой же нагрузке. Например, можно утверждать, что отсутствие PDQ-устройств в системе может снизить про
233
Глава 9
изводительность обработки текстов, и это утверждение вполне может оказаться справедливым. В общем случае ответ зависит от относительного уровня возможностей процессора при конкретной нагрузке. Действительно, к своему удивлению мы наблюдали ситуации, когда добавление PDQ-уст-ройств увеличивает вспомогательное время реакции. Объяснение этого явления состоит в том, что процессор машины VAX по мощности в несколько раз превосходит микропроцессор, управляющий PDQ-устройствами. Поэтому каждый раз, когда задача обработки текста передается в PDQ-устрой-ство, из-за того, что ЦП оказался не в состоянии ее принять, происходит снижение производительности. Результаты эксперимента 1 показали, что в данной конфигурации системы целесообразно иметь одно или несколько PDQ-устройств. Для этой системы нагрузка была настолько большой, что при добавлении или исключении PDQ-устройств изменение производительности было незначительным, тогда как их добавление положительно влияло на время реакции при редактировании и на простое время реакции.
Способ проверки выигрыша в производительности после настройки состоит в последовательном проведении проверочных испытаний для старого и нового наборов параметров. Результаты таких испытаний для одной из трех систем показаны на рис. 9.2. На графиках пунктирные кривые представляют время реакции до эксперимента, сплошные — после. По ним видно, что после настройки системы получено значительное уменьшение как простого, так и вспомогательного времен реакции.
9.6.	Выводы
Нам удалось для всех трех систем снизить времена реакции для нескольких типовых задач. Для первой системы среднее снижение составило 38%, что для системы, считавшейся бесперспективной, представляет весьма значительный результат. Относительно второй системы было также установлено, что необдуманное применение PDQ-устройств может приводить к снижению производительности для задач обработки текстов. Оценка результатов эксперимента для тре
234
Настройка компьютерных систем
тьей системы еще не завершена. Предварительные данные показывают, что конфигурация, полученная на основании эксперимента с имитацией нагрузки, позволит машине достаточно легко справляться и с реальной нагрузкой.
Мы также получили свидетельство реальной пользы таких экспериментов как при настройке машин, так и при их аттестационных испытаниях на контрольных задачах. Результаты последовательных проверочных испытаний (длившихся 1 нед. каждое) выявили существенное сокращение времени реакции в обоих экспериментах по настройке, что указывает на возможность успешного применения данного подхода для периодической подстройки системы. Мы, однако, не можем утверждать, что этот подход применим во всех ситуациях. Тем не менее в тех случаях, когда внимание сосредоточено всего на нескольких факторах (это определяет краткосрочность эксперимента), а нагрузка относительно стабильна, данный метод поможет повысить производительность системы. Опыт работы с имитацией нагрузки убедил нас, что при аттестационных испытаниях на контрольных задачах возможности данного подхода еще более широки. В настоящее время данный подход используется для выявления функциональных зависимостей времени реакции модуля управления памятью операционной системы UNIX System V от ее настроечных параметров.
В заключение мы хотели бы подчеркнуть, что пренебрежение взаимодействиями некоторых факторов в теоретическом плане чревато неприятностями. Однако на практике, когда действуют ограничения по времени и ресурсам, потенциальные преимущества экспериментов со статистическим планированием (даже тех, в которых не производится оценка взаимодействий факторов) делают нашу стратегию полностью оправданной.
Глава 10. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
М. Фадке © 1986 AT&I
10.1.	Экономический и технологический вызов
Цель проектирования изделия и процесса — обеспечить получение хороших изделий при нормальных производственных условиях и всех возможных условиях эксплуатации, которые могут быть в течение срока службы. Кроме того, стоимость изготовления изделия (включая разработку и производство) должна быть низкой и процесс разработки должен быть быстрым, чтобы удовлетворить потребности рынка. Достижение этих целей — экономический и технологический вызов инженеру. Систематический и эффективный путь ответа на этот вызов — метод оптимального проектирования выходных характеристик, качества и стоимости, развитый Генити Тагути в Японии. Названный «робастным проектированием», метод оказался эффективным во многих областях инженерного проектирования в компаниях AT&T, Ford, Xerox, ITT и других. В настоящей главе представлены основные концепции робастного проектирования и детально описаны следующие два приложения: 1) исследование по увеличению срока службы фрезы; 2) оптимизация схемы дифференциального операционного усилителя.
Первое приложение иллюстрирует, как при небольшом числе экспериментов извлечь высокозначимую информацию о большом числе переменных для увеличения срока службы фрез, используемых для вырезания печатных плат из панелей, а также как эффективно решить задачу увеличения срока службы изделия. Первое прикладное исследование включало эксперименты с объектом, тогда как второе — моделирование на компьютере. Во втором исследовании оптимизировалась схема дифференциального операционного усилителя для поиска минимума напряже-236
Прикладные задачи оптимального проектирования
ния смещения нуля по постоянному току. Эта оптимизация достигается главным образом путем перемещения нулевой точки схемы, которое не увеличивает затрат на ее изготовление. С помощью уменьшения допуска можно достичь такого же улучшения, но при более высоких производственных затратах.
10.2.	Принципы робастного проектирования
С точки зрения Тагути качество изделия выражается как общие потери, наносимые обществу со времени отгрузки изделия потребителю. Потери могут быть результатом нежелательных побочных эффектов, возникающих при использовании изделия, и отклонения функциональной характеристики изделия от заданной функции. То новое, что привнесла эта точка зрения, состоит в учете затрат потребителя и в понимании того, что даже изделия, которые отвечают «определенным требованиям», могут наносить потери из-за неоптимальной выходной характеристики. Например, уровень усиления общественного телефонного аппарата может различаться зимой и летом и для разных аппаратов, а также ухудшаться с течением времени. Следствие этой изменчивости — плохая слышимость и необходимость в дорогостоящей схеме компенсации. В большинстве случаев квадратичная функция потерь с подходящей точностью описывает потери из-за изменчивости функционирования. Подробное описание принципов робастного проектирования приведено в работах [ 1 — 4].
10.2.1.	Источники изменчивости
Цель робастного проектирования — уменьшение потерь из-за изменчивости выходных характеристик относительно заданного значения. В общем случае характеристики изделия подвержены влиянию факторов, которые называются факторами помех1. Существуют следующие три типа факторов помех.
' В словаре терминов: помехи.
237
Глава Ю
1.	Внешние. Факторы, внешние по отношению к изделию, такие, как условия нагружения, температура, влажность, пыль, напряжение питания, вибрации от работающих рядом машин, ошибки человека при работе с изделием и т.д.
2.	Несовершенства производства. Изменчивость параметров изделия от одного экземпляра к другому неизбежна в производственном процессе. Например, если сопротивление некоторого резистора в изделии имеет заданное значение 100 кОм, то в конкретном изделии оно может оказаться равным 101 кОм.
3.	Ухудшение свойств. Когда изделие продано, все его выходные характеристики могут быть равны заданным значениям, однако по прошествии ряда лет значения характеристик отдельных элементов могут изменяться, что приводит к ухудшению свойств изделия.
Один из подходов к уменьшению изменчивости функционирования изделия — контроль факторов помех. Для примера с телефонным аппаратом это могло бы означать уменьшение рабочего диапазона температуры, требование более узких производственных допусков или обеспечение медленного дрейфа параметров. Это дорогие способы уменьшения изменчивости усиления телефонного аппарата. Какой путь менее дорогостоящий? Нужно установить такие значения параметров проектирования, чтобы минимизировать чувствительность ко всем факторам помех. Это включает использование нелинейности соотношения между управляемыми факторами1, факторами помех и переменными отклика. Здесь управляемый фактор означает фактор или параметр, которым может непосредственно управлять разработчик и чей уровень или значение также задается им.
Отметим, что при проектировании изделия его можно сделать робастным ко всем трем типам факторов помех, описанным выше, тогда как при проектировании производ-ственного процесса и в реальном производстве можно уменьшить изменчивость, возникающую только из-за несовершенств производства, и практически нельзя повли-
В словаре терминов: управляемые параметры.
238
Прикладные задачи оптимального проектирования
ять на изменчивость, вызванную другими факторами помех. Когда изделие находится у потребителя, то только гарантийной службе следует адресовать проблемы качества. Таким образом, основная доля ответственности за качество и стоимость изделия лежит на разработчиках, а не на изготовителях.
10.2.2.	Этапы проектирования изделия или процесса
Проектирование изделия и процесса — комплексная система мероприятий, включающая множество этапов. Существует три основных этапа проектирования изделия или производственного процесса: системное проектирование, параметрическое, или оптимальное, проектирование и проектирование допусков. Системное проектирование состоит в создании работоспособной принципиальной схемы или схемы производственного процесса. Роль параметрического, или оптимального, проектирования — определить такие уровни управляемых факторов, которые минимизируют чувствительность ко всем факторам помех. На этом этапе предполагается, что допуски столь широки, что производственные затраты малы. Если параметрическое проектирование не обеспечит достаточно низкую функциональную изменчивость изделия, то при проектировании допусков ряд допусков выборочно уменьшают, основываясь на экономической целесообразности.
10.2.3.	Проблема оптимального проектирования
Изделие и процесс могут быть представлены в виде структурной схемы (рис. 10.1) [2]. Такая схема также может быть использована для представления производственного процесса или даже коммерческой системы. Факторы, которые влияют на отклик у, могут быть разбиты на следующие четыре группы.
1.	Сигнальные факторы (М). Это такие факторы, которые устанавливаются пользователем или оператором для того, чтобы достичь заданного или желаемого значения отклика у.
239
Глава 10
Рис. ЮЛ. Структурная схема изделия или процесса
Например, угол поворота руля — сигнальный фактор1 для механизма управления автомобилем. Установка рычажка управления скоростью вентилятора и значения 0 и 1, передаваемые в системах связи, — также примеры сигнальных факторов. Сигнальные факторы отбираются инженером на основе технических знаний. Иногда два или более сигнальных фактора используются в комбинации; например, один сигнальный фактор может быть использован для грубой настройки, а другой — для тонкой. В некоторых ситуациях сигнальные факторы имеют фиксированное значение, как в двух приложениях, описанных в настоящей главе.
2.	Управляемые факторы (z). Это параметры проектирования изделия, за значения которых отвечает разработчик. Каждый из управляемых факторов может принимать несколько значений; эти значения называются уровнями или установленными значениями. Цель процесса проектирования — определение наилучших уровней этих факторов. Для определения наилучших уровней используются различные критерии; например, максимизируются стабильность и робастность конструкции при минимальных затратах. Робастность — это нечувствительность к факторам помех.
3.	Масштабно-выравнивающие факторы* 2 (/?). Это специальная разновидность управляемых факторов; данные
' В словаре терминов: сигнальный параметр.
2 В словаре терминов: регулируемые параметры.
240
Прикладные задачи оптимального проектирования
факторы можно легко регулировать для достижения желаемого функционального соотношения между сигнальным фактором и откликом у. Например, передаточное число в механизме управления автомобилем можно легко отрегулировать на стадии проектирования изделия так, чтобы достигнуть желаемой чувствительности радиуса поворота к изменению угла поворота руля. Пороговое напряжение в цифровой связи можно легко отрегулировать для того, чтобы изменить относительные ошибки при передаче нулей и единиц. Масштабно-выравнивающие факторы также известны как регулируемые параметры проектирования.
4.	Факторы помех (х). Факторы помех, описанные выше, являются неуправляемыми факторами и факторами, которыми мы не хотим управлять. Они влияют на выход у, и их уровни изменяются для разных единиц изделия, условий окружающей среды и моментов времени. Могут быть известны или определены только статистические характеристики помех, но не их действительные значения.
Пусть зависимость отклика у от сигнальных, управляемых, масштабно-выравнивающих факторов и факторов помех обозначена как
у = f(x,M;z,R).
По существу функция /состоит из двух частей: д(М; z, R) — прогнозируемое и желаемое функциональное соотношение между у и М и е(х, М; z, R) — непрогнозируемая и менее желаемая часть. Таким образом, у = д(М; z, R) + е(х, М; z, R). Если мы хотим иметь линейное соотношение между у и М, д должно быть линейной функцией от М. Все нелинейные элементы будут входить в функцию е. Влияние всех переменных помех также содержится в функции е.
Оптимальное проектирование обычно осуществляется в следующие два этапа.
1. Отыскиваются значения управляемых факторов, которые максимизируют прогнозируемую часть при одновременной минимизации непрогнозируемой части. Этот поиск можно вы полнить с помощью оптимизации критерия, называемого отно
241
Глава 10
шением сигнал/шум (S/N}. На этом этапе минимизируется изменчивость функциональной характеристики.
2. Прогнозируемая часть g(M; z, К) приводится к заданному значению путем регулирования масштабно-выравни-вающих факторов.
Проблемы проектирования очень разнообразны. Классификация проблем проектирования и способы выбора отношения S/N приведены в работе [2].
10.3.	Увеличение срока службы фрезы
10.3.1.	Процесс фрезерования
Типичные печатные платы компании AT&T изготавливаются на панелях размером 18 х 24 дюйма. Подходящего размера платы, допустим 8x4 дюйма, вырезаются из панелей с помощью штампа или фрезерования. Преимущество фрезерования состоит в том, что оно обеспечивает хороший контроль размеров и гладкие края, что уменьшает трение и царапание при помещении схемы в корпус. Однако когда фреза затупляется, образуется чрезмерное количество пыли, которая сплавляется с краями среза, и они становятся неровными. В таких случаях необходима дорогая операция зачистки для сглаживания краев. Однако частая замена фрез также дорога. Фрезерный станок имеет четыре шпинделя, которые синхронизированы по скорости вращения, горизонтальной подаче (подача х — у) и вертикальной подаче. Каждый шпиндель осуществляет фрезерование на отдельной стопке панелей. Обычно в стопку складывают от двух до четырех панелей для разрезания одним шпинделем. Процесс разрезания состоит в подведении шпинделя к краю платы, вырезания платы, используя х •— у подачу шпинделя, и поднятия шпинделя. Этот цикл повторяется для каждой платы, вырезаемой из панели.
Наша цель в таком эксперименте — увеличить срок службы фрез главным образом с целью предотвращения образования чрезмерного количества пыли. Контроль размеров плат был хорошим и не Iгредставил проблем.
242
Прикладные задачи оптимального проектирования
Таблица 10.1. Управляемые факторы для процесса фрезерования
Фактор		Уровень			
		1	2	3	4
А	Разрежение при отсосе, мм рт. ст.	25	5Г		
В	Подача х —у, см/мин	155*	204		
С	Подача по вертикали, см/мин	25*	127		
D	Тип фрезы	1	2	3	4*
Е	Положение шпинделя	1	2	3	4*
F	Тип основания отсасывающего				
	устройства	SR	ВВ*		
G	Высота стопки панелей, мм	4,8	6,4*		
Н	Глубина прорези, мм	1,6*	2,5		
I	Частота вращения, об/мин	30 000	40 000*		
' Звездочкой отмечен начальный уровень фактора.
10.3.2.	Выбор управляемых факторов и их уровней
Выбор подходящих управляемых факторов и их возможных значений — важный аспект оптимизации. При таком выборе используются априорные знания и опыт управления процессом. Возможные значения факторов называются уровнями. Целесообразно выбирать эти уровни на большом расстоянии друг от друга, так, чтобы в одной серии экспериментов изучалось широкое пространство параметров проектирования и была возможность значительных улучшений. Для процесса фрезерования были выбраны восемь управляемых факторов, приведенных в табл. 10.1.
Возникающая около фрезы пыль удаляется с помощью отсоса. Очевидно, что увеличивая интенсивность отсоса, можно уменьшить количество пыли, остающейся на платах. Начальное разрежение в процессе отсоса составляло 51 мм рт. ст., что соответствует максимальной производительности насоса. В качестве альтернативного уровня мы выбрали 25 мм рт. ст., предполагая в случае значимого различия в количестве пыли использовать более мощный насос. К отсосу относятся два параметра: основание отсасывающего устрой
243
Глава 10
ства и глубина прорези в задней панели. Тип основания он ределяет конфигурацию потока воздуха около вершины резца. Были выбраны два типа основания: сплошное кольцо и густая щетка. Под разрезаемые панели подкладывалась до полнительная панель с прорезями, обеспечивающими прохождение воздуха и улавливающими пыль. Глубина прорезей была управляемым фактором в данном исследовании.
Высота стопки панелей и подача х — у — управляемые факторы, относящиеся к производительности процесса и определяющие, сколько плат разрезается за 1 ч. Высота стопки трех сложенных вместе панелей составляла 4,8 мм, а четырех — 6,4 мм. Вертикальная подача определяет силу, прилагаемую к шпинделю при подведении к новой плате. Она может влиять на срок службы фрезы, вызывая поломку или порчу острия резца. Использовались четыре различных типа фрез, изготовленных разными фирмами. Фрезы варьировались по геометрии резания — углу заточки, числу зубьев и остроте резцов. Положение шпинделя не было управляемым фактором. В производстве используются всевозможные положения шпинделя, иначе уменьшается производительность процесса. Оно было включено в исследование, чтобы найти наилучшие значения управляемых факторов при эффективной работе всех четырех шпинделей.
Дополнительно к изменчивости от шпинделя к шпинделю факторами помех для процесса фрезерования являются изменчивость от одной фрезы к другой, изменчивость свойств материала в самой панели и от панели к панели, изменчивость скорости приводного двигателя и другие факторы.
10.3.3.	Эксперимент по ортогональной матрице
Полный факторный эксперимент д ля исследования всех возможных комбинаций уровней факторов потребовал бы 42 х 27 = 2048 экспериментов. Учитывая стоимость материала, время и доступность оборудования, полный факторный эксперимент непомерно велик. Однако нет необходимости выполнять полный факторный эксперимент, поскольку процесс обычно можно характеризовать относи
244
Прикладные задачи оптимального проектирования
тельно небольшим числом параметров. План 32 экспериментов по ортогональной матрице основан на матрице Д6 и линейных графах, которые даны в работе [ 5]. Матрица приведена в табл. 10.2. Этот план позволяет получить некоррелированные оценки главных эффектов каждого управляемого фактора, положения шпинделя и взаимодействий между подачей х — у и частотой вращения, вертикальной подачей и частотой вращения, высотой стопки панелей и частотой вращения, подачей х—у и высотой стопки панелей. Эта информация о влиянии управляемых факторов была использована для нахождения наилучших значений каждого фактора. 32 эксперимента были объединены в группы по четыре в каждой так, чтобы общими факторами для групп были общая частота вращения, подача х — у и вертикальная подача, а четыре эксперимента в т руппах соответствовали четырем разным шпинделям. Каждая группа представляет цикл экспериментов на станке с использованием всех четырех шпинделей, а весь эксперимент состоит из восьми таких рабочих циклов.
Анализ проводился с одной фрезой на испытание; таким образом, во всем эксперименте использовались только 32 фрезы. В каждом рабочем цикле станка обработка заканчивалась после каждых 250 см резания (перемещение фрезы на 250 см в плоскости х — у), с тем чтобы определить количество пыли. Если количество пыли значительно превышало заранее определенный уровень, то фреза считалась негодной. Если фреза ломалась, то она также считалась негодной. В противном случае полагалось, что фреза выдержала испытание.
Перед началом эксперимента средний срок службы фрезы в единицах перемещения оценивался величиной около 2160 см. Поэтому в целях экономии времени каждое испытание останавливалось после резания на длине 3320 см, что в два раза больше оцененного исходного среднего срока службы, и отмечались все годные и негодные фрезы.
В табл. 10.2 данные эксперимента выражены в сотнях дюймов (254 см). Число 3,5 означает, что фреза вышла из строя между 300 и 400 дюймами. Другие числа интерпретируются аналогично, исключая запись 17,5, которая означа-
245
Глава 10
Таблица 10.2. План эксперимента и измеренный срок службы фрезы
Испита- Разре-Подача Верти- ФрезаШпин- Тип							Высота Глуби- Часто-: стопки на про- та вра-			Измеренный срок службы
ние	жение при отсосе	х-у	кальная подача	ДеЛЬ		основания отсасываю щего устройства				
							-панелей рези		щения	
	А	В	С	D	Е	F	G	Н	I	
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	3.5
2	1	1	1	2	2	2	2	1	1	0.5
3	1	1	1	3	4	1	2	2	1	0.5
4	1	1	1	4	3	2	1	2	1	17.5
5	1	2	2	3	1	2	2	1	1	0.5
6	1	2	2	4	2	1	1	1	1	2.5
7	1	2	2	1	4	2	1	2	1	0.5
8	1	2	2	2	3	1	2	2	1	0.5
9	2	1	2	4	1	1	2	2	1	17.5
10	2	1	2	3	2	2	1	2	1	2.5
и	2	1	2	2	4	1	1	1	1	0.5
12	2	1	2	1	3	2	2	1	1	3.5
13	2	2	1	2	1	2	1	2	1	0.5
14	2	2	1	1	2	1	2	2	1	2.5
15	2	2	1	4	4	2	2	1	I	0.5
16	2	2	1	3	3	1	1	1	1	3.5
17	1	1	1	1	1	1	1	1	2	17.5
18	1	1	1	2	2	2	2	I	2	0.5
19	1	1	1	3	4	1	2	2	2	0.5
20	1	1	1	4	3	2	1	2	2	17.5
21	1	2	2	3	1	2	2	1	2	0.5
22	1	2	2	4	2	1	1	1	2	17.5
23	1	2	2	1	4	2	1	2	2	14.5
24	1	2	2	2	3	1	2	2	2	0.5
25	2	1	2	4	1	1	2	2	2	17.5
26	2	1	2	3	2	2	1	2	2	3.5
27	2	1	2	2	4	1	1	1	2	17.5
28	2	1	2	I	3	2	2	1	2	3.5
29	2	2	1	2	I	2	1	2	2	0.5
30	2	2	1	1	2	1	2	2	2	3.5
31	2	2	1	4	4	2	2	1	2	0.5
32	2	2	1	3	3	1	1	1	2	17.5
ет сохранность фрезы после резания надлине 1700 дюймов (3320 см) — значение, при котором заканчивалось испытание. Имеются 14 значений 0,5, показывающих предельно неблагоприятные условия. Имеются восемь случаев срока службы, равного 17,5, соответствующих очень благоприятным условиям. При проведении эксперимента важно взять широкий диапазон изменения каждого управляемого фактора, с тем чтобы примерно половина условий была благо
246
Прикладные задачи оптимального проектирования
приятной и половина — неблагоприятной. Таким образом, можно приблизительно установить оптимальные значения управляемых факторов.
10.3.4.	Анализ данных о сроке службы и результаты
Было выполнено два простых и независимых анализа данных о сроке службы для определения наилучшего уровня каждого управляемого фактора. В первом из них определялось влияние каждого управляемого фактора на время отказа. Во втором выяснялось, как изменение уровня каждого фактора изменяет вероятностную кривую срока службы.
В первом анализе выполнялась стандартная процедура дробных факторных экспериментов [6, 7]. В этом дисперсионном анализе игнорировалось влияние цензурирования. Результаты приведены на рис. 10.2 и 10.3. Графики позволяют сделать следующие выводы: 1) отсос при давлениях 25 и 51 мм рт. ст. дает одинаковые результаты; 2) замедление подачи х — у увеличивает срок службы; 3) влияние вертикальной подачи мало; 4) исходная фреза наилучшая из четырех типов; 5) различие между положениями шпинделей мало; 6) основание отсасывающего устройства в виде сплошного кольца лучше, чем в виде густой щетки; 7) уменьшение высоты стопки панелей значительно увеличивает срок службы фрезы (это изменение, однако, вызывает проблемы, связанные с производительностью станка); 8) глубина прорези в дополнительной панели не влияет на срок службы; 9) повышение частоты вращения увеличивает срок службы (если позволит стабильность установки, в следующем цикле экспериментов можно попробовать увеличить частоту).
Единственное сильное взаимодействие — взаимодействие высоты стопки и частоты вращения. Однако оптимальные значения этих факторов, определяемые главными эффектами, близки к определяемым взаимодействием. Наилучшая комбинация уровней факторов согласно полученным результатам и начальная комбинация уровней факторов представлены на рис. 10.3. Используя линейную модель Тагути и By [5]
247
Глава 10
Рис. 10.2. Средние эффекты факторов. Средний срок службы измеряется в единицах х 100 см. Показаны также 2ст-пределы
и учитывая только члены, для которых отношение дисперсий велико, т.е. факторы В, D, F, G, I и взаимодействие I х G, можно оценить срок службы фрезы для начальной, оптимальной или любой другой комбинации значений факторов. Прогноз срока службы при начальных условиях дает значение 2160 см, а при оптимальных условиях — 5600 см. Поскольку длина резания была ограничена величиной 3320 см, очевидно, что указанные прогнозированные значения, вероятно,
248
Прикладные задачи оптимального проектирования
	Уровень		
	начальный	оптимальный	
А Разрежение при отсосе В Подача х — у С Подача по вертикали D Тип фрезы Е Положения шпинделя F Тип основания отсасывающего устройства G Высота стопки панелей Н Глубина прорези I Частота вращения	<Г яГ сГ сГ । иГ и” х" щ”	JT1 I О "п [J	—	“	ib	—	•—	IJ ffl И 	
Рис. 10.3. Отобранные двухфакторные взаимодействия. Средний срок службы измеряется в единицах 100 см. Показаны также 2и-пределы. В таблице приведены начальный и оптимальный уровни управляемых факторов для процесса резания
249
Глава 10
относятся к ограничению снизу. Прогнозированное значение, особенно для оптимальных условий, скорее всего будет значительно меньше, чем действительное значение. Исходя из анализа работы станка, срок службы фрез при начальных условиях был определен в 2300 см, тогда как проверочный эксперимент при оптимальных условиях показал, что средний срок службы превосходит 10 500 см.
При выборе наилучших рабочих условий для процесса фрезерования необходимо рассмотреть общие затраты, которые включают стоимость не только фрез, но и обслуживания станка, очистки плат, если она необходима, и т.д. При оптимальных условиях, указанных на рис. 10.3, высота стопки панелей составляет 4,8 мм, что отличается от значения 6,4 мм при начальных условиях. Это означает, что одновременно разрезаются три панели вместо четырех. Потерю производительности станка из-за этого изменения можно восполнить увеличением подачи х — у. Если подачу х — у увеличить до 204 см/мин, производительность станка примерно достигнет начального уровня. Оцененный срок службы фрезы при этих альтернативных оптимальных условиях составляет 3320 см, что в два раза превышает оцененный срок службы при начальных условиях. Таким образом, 50%-ного уменьшения затрат на закупку фрез можно достичь при сохранении производительности станка. Необходимо провести вспомогательный эксперимент для точной оценки влияния подачи х — у при новых значениях всех остальных факторов. Это дало бы возможность провести точный экономический анализ.
10.3.5.	Вероятностная кривая срока службы
Данные о сроке службы можно проанализировать методом, описанным в работе [5], чтобы построить вероятностную кривую срока службы для уровней каждого фактора. Для этого на каждых 250 см резания отмечаются фрезы, которые сохранились и которые пришли в негодность. Обозначая эти события соответственно единицей и нулем, можно определить эффекты факторов с помощью стандартного метода анализа. Так, для уровней разрежения при отсо-250
Прикладные задачи оптимального проектирования
Рис. 10.4. Вероятностные кривые срока службы для фрез
I Частота вращения h х-х-)^
1
2.5
Перемещение фрезы.Крсм
се Д и вероятности сохранности фрезы после 250 см резания были оценены как соответственно 0,44 и 0,69. Подобным образом оцениваются вероятности для каждого фактора и каждой длины резания: 250 см, 500 см и т.д. Эти данные, представленные графически (рис. 10.4), демонстрируют влияние изменения уровня фактора на кривую срока службы. Выводы, полученные на основании этих графиков, согласуются с выводами анализа, описанного выше.
Графики, подобные изображенным на рис. 10.4, можно использовать для определения вероятностной кривой срока
251
Глава 10
Рис. 10.5. Принципиальная схема дифференциального операционного усилителя
службы для других комбинаций уровней факторов, например для оптимальной комбинации [5].
Отметим, что в этом методе определения кривой срока службы нет допущения относительно формы кривой: например, является ли она распределением Вейбулла или логарифмически нормальным распределением. Кроме того, общее количество данных, необходимых для построения кривой, мало. В данном примере мы взяли только 32 выборки, чтобы определить влияние восьми управляемых факторов. Для одиночной хорошей подгонки к распределению Вейбулла обычно требуется несколько десятков экспериментальных точек. Поэтому используемый здесь подход может быть полезен для решения задач повышения надежности.
Существуют, конечно, некоторые недостатки. Во-первых, как в любом дробном факторном эксперименте, необходимо учитывать взаимодействия между различными управляе
252
Прикладные задачи оптимального проектирования
мыми факторами. Однако этот недостаток можно преодолеть с помощью проверочного эксперимента. Во-вторых, требуется дальнейшее исследование методов определения статистической значимости различий между кривыми срока службы для различных уровней факторов.
10.4.	Оптимальное проектирование схемы
Схема дифференциального операционного усилителя широко используется в средствах связи. Пример — предусилитель в телефонной трубке, который должен функционировать в широком диапазоне температур. Важная характеристика этой схемы — напряжение смещения нуля на выходе. (Если напряжение смещения нуля велико, то схему нельзя использовать на бол!,ших расстояниях между телефонной станцией и телефоном.) Поэтому целью оптимизации была минимизация напряжения смещения нуля. Компенсационный характер схемы приводит к малому напряжению смещения нуля при номинальных условиях. Минимизации подлежит влияние допусков и изменчивости температуры на напряжение смещения нуля.
На принципиальной схеме (рис. 10.5) показаны два источника тока, пять транзисторов и восемь резисторов. Эта схема дифференциального операционного усилителя — часть большой интегральной схемы.
10.4.1.	Управляемые факторы и факторы помех
Ввиду компенсационного характера схемы должны выполняться следующие соотношения между номинальными значениями параметров схемы: RFP = RFM, RPEP = RPEM, RNEP = RNEM, AFPP = AFPM, AFNP = AFNM, SIEPP = SIEPM и SIENP = SIENM. Обозначения параметров схемы, начинающиеся с AF, относятся к параметру а транзисторов, а начинающиеся с буквосочетания SIE — к токам насыщения транзисторов. Далее, требования к усилению схемы диктуют следующие соотношения между сопротивлениями резисторов: RIM = RFM/3,55 и RIP = RFM/3,55. Эти
253
Глава 10
Таблица 10.3. Факторы помех для схемы дифференциального операционного усилителя
Обозначение		Среднее	Допуск	Уровень (умножить на среднее)		
				1	2		3
1	RFM	71 кОм	1%	0,9967	1,0033	
2	RPEM	15 кОм	21%	0,93	1,07	
3	RNEM	2,5 кОм	21%	0,93	1,07	
4	CPCS	20 мкА	6%	0,98	1,02	
5	OCS	20 мкА	6%	0,98	1,02	
6	RFP	RFM	2%	0,9933	1,0067	
7	RIM	RFM/3,55	2%	0,9933	1,0067	
8	RIP	RFM/3.55	2%	0,9933	1,0067	
9	RPEP	RPEM	2%	0,9933	1,0067	
10	RTY3	RTYb	*70/ /о	0,9933	1,0067	
И	AFPM	0,9817	2,5%	0,99	1	1,01
12	AFPP	AFPM	(1/2)%	0,998	1	1,002
13	AFNM	0,9712,5%	0,99	1	1,01	
14	AFNP	AFNM	(1/2)%	0,998	1	1 002
15	AFNO	0,975	1 0' 1 .'О	0,99	1	1,01
16	SIEPM	3.0E-13A	До множи-			
			теля 7	0,45	1	2,21
17	SIEPP	SIEPM	До множи-			
			теля 1,214	0,92	1	1,08
18	SIENM	6.0E-13 A	До множи-			
			теля 7	0,45	1	2,21
19	S1ENP	SIENM	До множи-			
			теля 1.214	0,92	1	1,08
20	SIENO	6.0E-13 A	До множи-			
			теля 2,64	0,67	1	1,49
21	TKELV	298 К	15%	0,94	1	1,06
соотношения между параметрами схемы называются сопрягающими соотношениями.
Существуют только пять управляемых факторов для этой схемы: RFM, RPEM, RNEM, CPCSh OCS. Параметры транзистора не могут быть определены для этой разработки, поскольку технология производства была выбрана предварительно и диктовала номинальные значения всех параметров транзистора. Кроме того, сопрягающие соотношения определяют номинальные значения остальных резисторов.
254
Прикладные задачи оптимального проектирования
Число параметров помех равно 21. Это допуски на восемь резисторов, 10 параметров транзисторов, относящиеся к пяти транзисторам, два источника тока и температура. Средние значения и допуски для этих факторов помех приведены в табл. 10.3. При проектировании схемы определяются только средние значения первых пяти параметров.
Допуски, которые приведены в таблице, являются 3 о -пределами. Для фактора RPEM о равно 21/3 = 7% его номинального значения. Взаимосвязь или корреляция между факторами помех также выражается через сопрягающие соотношения. Рассмотрим с этой точки зрения соотношение между RPEP и RPEM. Допуск 21% для RPEM представляет изменчивость от образца к образцу в пределах партии и изменчивость от партии к партии. Для данного образца резисторы RPEM и RPEP расположены близко друг к другу. Это приводит к уменьшению относительной изменчивости их параметров, но в то же время усиливает корреляцию между ними. Предположим, что сопротивление определенного экземпляра RPEM равно 15 кОм. Тогда для этого экземпляра сопротивление RPEP будет изменяться около 15 кОм в 3 о -пределах, равных 2% от 15 кОм. Если сопротивление другого экземпляра RPEM равно 16,5 кОм (на 10% больше 15 кОм), то сопротивление RPEP будет изменяться около 16,5 кОм в 3 о -пределах, равных 2% от 16,5 кОм.
Известно, что токи насыщения имеют распределения с длинными хвостами. Поэтому допуски являются мультипликативными величинами, а не аддитивными. Они будут аддитивными в логарифмическом масштабе.
10.4.2.	Оценивание среднего квадрата напряжения смещения нуля
Для определенного проекта, т.е. для определенного набора значений управляемых факторов, средний квадрат напряжения смещения нуля можно оценить многими способами. Наиболее распространены следующие два способа.
1.	Моделирование методом Монте-Карло. Для определения большого числа комбинаций значений факторов помех используются генераторы случайных чисел. Для
255
Глава 10
каждой комбинации оценивается напряжение смещения нуля и затем вычисляется его средний квадрат. Для получения точных значений среднего квадрата методом Монте-Карло обычно требуется большое число оцениваний напряжения смещения нуля, что может привести к большим затратам.
2.	Разложение в ряд Тейлора. В этом методе находятся пер вые производные напряжения смещения нуля по каждому фактору помех при номинальных значениях параметров проектирования. Пусть х(,..., хк — факторы помех с дисперсиями с2 ,..., с2к соответственно. Пусть у —напряжение смещения нуля. Тогда средний квадрат напряжения смещения нуля составит
к ( , \2
Г-1 dv 2
Иногда используют разложение в ряд Тейлора до членов второго порядка, если важны кривизна и корреляции1. При больших допусках важны нелинейности поведения величины V , при этом разложение в ряд Тейлора не дает очень точных результатов.
Однако в данном приложении мы использовали подход, предложенный Тагути. Ортогональная матрица £36, взятая из работы [5], использовалась для оценивания среднего квадрата напряжения смещения нуля в качестве стандартизованной меры, подлежащей оптимизации. Модельные исследования, о которых сообщил Тагути во время пребывания на фирме AT&T Bell Laboratories, показали, что метод ортогональной матрицы дает более точные оценки дисперсий и средних, чем метод разложения в ряд Тейлора.
Для резисторов и источников тока были выбраны два уровня допусков, расположенных на расстоянии в одно стандартное отклонение по обе стороны от среднего. Эти факто-
1 Для учета корреляции достаточно членов первого порядка, и данная формула справедлива при независимых хр х2, ..., х*. — Прим. peg.
256
Прикладные задачи оптимального проектирования
ры помех расположены в столбцах с 1-го по 10-й матрицы Е36 (табл. 10.4). Для 10 параметров транзисторов и температуры
были выбраны три уровня, расположенные при среднем значении и на расстоянии д/з/2 х (стандартное отклонение) по обе стороны от него. Эти факторы помех помещены в столбцах с 12-го по 22-й матрицы Е36. Подматрица матрицы Е36, образуемая столбцами с 1 -го по 10-й и с 12-го по 22-й, обозначена {Л} и рассматривается как ортогональная матрица помех.
Каждая строка матрицы помех представляет один образец
дифференциального усилителя с различными значениями параметров схемы в соответствии с допусками. Пусть Vj — напряжение смещения нуля, соответствующее строке J орто-
гональной матрицы помех. Тогда средний квадрат напряжения смещения нуля оценивается как '=— Поскольку
наилучшее значение напряжения смещения нуля равно нулю, для оптимизации этой схемы нужно максимизировать соответствующее отношение S / N = Т] — —101g г.
10.4.3.	Оптимизация проектирования
Эксперименты с использованием ортогональной матрицы — также эффективный способ максимизации нелинейной функции (в данном случае функции Т]) по отношению к управляемым факторам. Управляемые факторы и их уровни приведены в табл. 10.5. Матрица Ьж использовалась для одновременного анализа пяти управляемых факторов. (В данном приложении было достаточно матрицы Llg.) Факторы RFM, RPEM, RNEM, CPCS и OCS располагаются в столбцах с 12-го по 16-й соответственно. Подматрица Lx, образуемая столбцами с 12-го по 16-й, обозначена как {L,.} и рассматривается как управляемая ортогональная матрица.
Каждая строка управляемой ортогональной матрицы представляет разные проекты схемы. Для каждого проекта отношение S/N оценивалось с использованием процедуры, описанной в разд. 10.4.2. Алгоритм моделирования представлен графически на рис. 10.6.
Был выполнен стандартный дисперсионный анализ значений Т), результаты которого приведены в табл. 10.6. Влияние каждого фактора на Т] представлено на рис. 10.7.
257
Глава 10
Таблица 10.4. Ортогональная матрица L
Испы-
такие	1 2	3	4	5	6	7	8 9	10	11 12 13 14 15 16 17 18	19 20	21 22 23
1	1 1	1	1	1	1	1	1 1	1	11111111	1 1	1 1 1
2	1 1	1	1	1	1	1	1 1	1	12 2 2 2 2 2 2	2 2	2 2 2
3	1 1	1	1	1	1	1	1 1	1	1 3 3 3 3 3 3 3	3 3	3 3 3
4	1 1	1	1	1	2	2	2 2	2	2 11112 2 2	2 3	3 3 3
5	1 1	1	1	1	2	2	2 2	2	22222333	3 1	1 1 1
6	1 1	1	1	1	2	2	2 2	2	2 3 3 3 3 1 1 1	1 2	2 2 2
7	1 1	2	2	2	1	1	1 2	2	2 1 12 3 12 3	3 1	2 2 3
8	1 1	2	2	2	1	1	1 2	2	2 2 2 3 1 2 3 1	1 2	3 3 1
9	1 1	2	2	2	1	1	1 2	2	2 3 3 1 2 3 1 2	2 3	1 1 2
10	1 2	1	2	2	1	2	2 1	1	2 1 13 2 13 2	3 2	1 3 2
11	1 2	1	2	2	1	2	2 1	1	2 2 2 1 3 2 1 3	1 3	2 1 3
12	1 2	1	2	2	1	2	2 1	1	2 3 3 2 1 3 2 1	2 1	3 2 1
13	1 2	2	1	2	2	1	2 1	2	1 1 2 3 1 3 2 1	3 3	2 1 2
14	1 2	2	1	2	2	1	2 1	2	12 3 12 13 2	1 1	3 2 3
15	1 2	2	1	2	2	1	2 1	2	13 1 2 3 2 1 3	2 2	1 3 2
16	1 2	2	2	1	2	2	1 2	1	112 3 2 1 1 3	2 3	3 2 1
17	1 2	2	2	1	2	2	1 2	1	12 3 1 3 2 2 1	3 1	1 3 2
18	1 2	2	2	1	2	2	1 2	1	13 12 13 3 2	1 2	2 1 3
19	2 1	2	2	1	1	2	2 1	2	1 1 2 1 3 3 3 1	2 2	1 2 3
20	2 1	2	2	1	1	2	2 1	2	1 2 3 2 1 1 1 2	3 3	2 3 1
21	2 1	2	2	1	1	2	2 1	2	1 3 1 3 2 2 2 3	1 1	3 1 2
22	2 1	2	1	2	2	2	1 1	1	2 1 2 2 3 3 1 2	1 1	3 3 2
23	2 1	2	1	2	2	2	1 1	1	2 2 3 3 1 1 2 3	2 2	1 1 3
24	2 1	2	1	2	2	2	1 1	1	2 3 1 1 2 2 3 1	3 3	2 2 1
25	2 1	1	9	2	2	1	2 2	1	1 1 3 2 1 2 3 3	1 3	1 2 2
26	2 1	1	2	2	2	1	2 2	1	12 1 3 2 3 11	2 1	2 3 3
27	2 1	1	2	2	2	1	2 2	1	13 2 13 12 2	3 2	3 1 1
28	2 2	2	1	1	1	1	2 2	1	2 1 3 2 2 2 1 1	3 2	3 1 3
29	2 2	2	1	1	1	1	2 2	1	2 2 1 3 3 3 2 2	1 3	1 2 1
30	2 2	2	1	1	1	1	2 2	1	2 3 2 1 1 1 3 3	2 1	2 3 2
31	2 2	1	2	1	2	1	1 1	2	2 1 3 3 3 2 3 2	2 1	2 1 1
32	2 2	1	2	1	2	1	1 1	2	2 2 1113 13	3 2	3 2 2
33	2 2	1	2	1	2	1	1 1	2	2 3 2 2 2 1 2 1	1 3	1 2 2
34	2 2	1	1	2	1	2	1 2	2	1 1 3 1 2 3 2 3	1 2	2 3 1
35	2 2	1	1	2	1	2	1 2	2	12 12 3 13 1	2 3	3 1 2
36	2 2	1	1	2	1	2	1 2	2	1 3 2 3 1 2 1 2	3 1	1 2 3
Из табл. 10.6 следует, что только влияние факторов RPEM, CPCS и OCS на Т] намного превосходит дисперсию ошибки. Наибольшее влияние оказывает RPEM, и есть указание на то, что уменьшение его значения ниже 7,5 кОм может еще более снизить напряжение смещения нуля. Для обоих источников тока область от 10 до 20 мкА представляет со-
258
Прикладные задачи оптимального проектирования
Таблица 10.5. Управляемые факторы для схемы дифференциального операционного усилителя
Обозначение		Описание	Уровень		
			1	2	3
А	RFM	Сопротивление обратной связи, кОм	33,5	71	142
В	RPEM	Сопротивление в цепи эмиттера PNP, кОм	7,5	15	30
С	RNEM	Сопротивление в цепи эмиттера NPN, кОм	1,25	2,5	5
D	CPCS	Комплементарная пара источников тока, мкА	10	20	40
Е	OCS	Выходной источник тока, мкА	10	20	40
Начальные
значения
Таблица 10.6. Дисперсионный анализ для 7? = — 101g (средний квадрат напряжения смещения нуля)
Управляемый фактор		Среднее по уровням			Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат	F
		1	2	3				
А	RFM	26,5	26,4	25,3	9,9	2	4,95	0,5
В	RPEM	30,3	26,4	21,5	463,7	2	231,85	25,0
С	RNEM	25,1	25,8	27,3	29,9	2	14,95	1,6
D	CPCS	27,5	27,1	23,6	111,1	2	55,55	6,0
Е	OCS	27,3	27,0	23,8	87,5	2	43,75	4,7
Ошибка				231,6	25	9,26		
Общее среднее равно 26,05.
бой ровную площадку, откуда следует, что вблизи нее находятся наилучшие значения этих параметров. Кроме того, возможное улучшение при изменении тока этих источников от 10 до 20 мкА представляется малым. Таким образом, мы выбрали следующие два проекта схемы как потенциально оптимальные.
259
Глава 10
Рис. 10.6. Алгоритм моделирования для оценивания отношения сигнал/шум
Рис. 10.7. Усредненное влияние управляемых факторов на Т] = — 101g (средний квадрат напряжения смещения нуля). Стрелками показаны 2 ст -пределы
260
Прикладные задачи оптимального проектирования
Оптимум 1. Только изменение RPEM от 15 до 7,5 кОм. С помощью процедуры, описанной в разд. 10.4.2, величина Т] для этого проекта была оценена в 33,70 дБ по сравнению с 29,39 дБ для начального проекта. Относительно среднеквадратичного напряжения смещения нуля это улучшение схемы означает его изменение от 33,9 до 20,7 мВ.
Оптимум 2. Изменение RPEM до 7,5 кОм, а также CPCS и OCS до 10 мкА. Для этого варианта Г] было оценено в 35,82 дБ и среднеквадратичное напряжение смещения нуля — в 16,2 мВ.
До сих пор предметом обсуждения было только напряжение смещения нуля по постоянному току. Также важно рассмотреть стабильность работы при переменном токе. Для более детального анализа этой характеристики необходимо получить больше данных, подобных приведенным в табл. 10.6 и на рис. 10.7. Оптимальные значения управляемых факторов должны быть получены путем совместного анализа характеристик по постоянному току и по переменному току. Если возникнет противоречие, его можно будет разрешить поиском подходящего компромисса на основе количественных оценок эффектов. В нашем исследовании мы ограничились проверкой стабильности по переменному току при двух оптимальных условиях. Для обеспечения достаточного запаса стабильности по переменному току мы выбрали оптимум 1 как наилучший вариант схемы и назвали его оптимальным проектом.
10.4.4.	Проектирование допусков
При минимизации чувствительности к помехам для напряжения смещения нуля по постоянному току следующим шагом является проверка вклада в средний квадрат напряжения смещения нуля каждого источника помех. С помощью дисперсионного анализа 36 напряжений смещения нуля, соответствующих ортогональной матрице помех для оптимальных значений управляемых факторов, мы получили табл. 10.7, в которой представлены вклады каждого допуска в общий средний квадрат напряжения смещения нуля. В таблице также дано подобное разложение среднего квадрата напряжения смещения нуля
261
Глава 10
Таблица 10.7. Вклад в средний квадрат напряжения смещения нуля от различных источников помех
Фактор помех’	Вклад в средний квадрат напряжения смещения нуля, го-4 в2	
	Начальный проект	Изменение RPEM до 7,5 кОм
SIENP	6,7	23
AFNO	2,2	0,8
AFNM	1,6	0,4
SIEPP	0,5	0,5
RPEP	0.2	0,1
AFPP	0,1	0,1
Остальные	0,2	0,1
Сумма	11,5	4,3
" Здесь приведены шесть факторов помех, вносящих наибольший вклад в средний квадрат напряжения смещения нуля.
для исходного варианта схемы. Явно прослеживается уменьшение чувствительности схемы к различным источникам помех.
К результатам, представленным в таблице, применим обычный принцип Парето. Это значит, что небольшое число допусков определяет большую часть изменчивости отклика. В частности, фактор SIENP вносит наибольший вклад в средний квадрат напряжения смещения нуля (СКНСН). Следовательно, для дальнейшего снижения СКНСН в первую очередь надо уменьшать соответствующий допуск. Факторы AFN О, AFNM и SIEPP дают умеренный вклад в СКНСН. Вклад остальных факторов помех в СКНСН пренебрежимо мал. Поэтому с целью дальнейшего уменьшения производственных затрат надо тщательно проанализировать возможность ослабления соответствующих допусков.
10.4.5.	Уменьшение объема вычислений
Для оптимизации дифференциального операционного усилителя потребовалось 36 х 36 = 1296 оценок от
262
Прикладные задачи оптимального проектирования
клика схемы, а именно напряжения смещения нуля. Хотя в данном случае требуемое машинное время не составляло проблемы, в других случаях оценивание каждого отклика может оказаться непозволительно дорогим. В таких случаях значительного уменьшения объема вычислений можно достичь путем использования качественных инженерных знаний о влиянии факторов помех. Например, можно сформировать составной фактор помех. Верхний уровень составного фактора помех соответствует такой комбинации уровней отдельных факторов помех, которая дает высокое значение отклика. Нижний и номинальный уровни составного фактора помех определяются аналогично. Таким образом размерность орто го пал гной матрицы помех может быть резко уменьшена, и поэтому при оптимизации проекта требуется гораздо меньший объем вычислений. Дальнейшего уменьшения объема вычислений можно достичь, используя только два уровня для каждого фактора помех; однако в затруднительных случаях мы рекомендуем использовать три уровня. При проектировании допусков необходимо идентифицировать чувствительность к каждому фактору помех. Поэтому составной фактор помех нужно разложить на отдельные составляющие.
10.5.	Заключение
Метод робастного проектирования теперь используется во многих областях техники в США. Например, робастное проектирование привело к улучшению ряда процессов в производстве сверхбольших интегральных схем: фотолитографии окон, травления алюминиевых полос, процессов реакционного ионного травления, термического осаждения различных материалов и т.д. Эти процессы используются для изготовления 1-Мбит и 256-кбит кристаллов памяти. 32-бит процессорных кристаллов и других изделий. Приложение к фотолитографии окон, описанное в [8], впервые продемонстрировало в США эффективность подхода Тагути к повышению качества и снижению затрат с помощью робастного проектирования процесса. В данном приложении были достигнуты следующие преимущества: 1) уменьшение дисперсии
263
Глава 10
процесса в четыре раза; 2) уменьшение критических дефектов в три раза; 3) уменьшение времени обработки в два раза в результате того, что процесс становится стабильным и поэтому отпадает необходимость его контроля, требующего затрат времени; 4) легкость адаптации процесса к более тонкой технологии, что обычно является очень трудной проблемой.
Приложение метода к травлению алюминия было обусловлено тем, что плохое качество печати фоторезиста приводит к сужению линии и ее прерыванию. Сделав процесс нечувствительным к непостоянству профиля фоторезиста и другим источникам изменчивости, удалось уменьшить визуальные дефекты с 80 до 15%. Более того, на этапе травления можно впоследствии снизить требования к постоянству профиля фоторезиста.
Процесс реакционного ионного травления силицида тантала характеризовался большой неоднородностью качества травления, поэтому только 12 из 18 возможных положений пластины можно было использовать для производства. После оптимизации количество используемых положений возросло до 17, что почти на 40% увеличило возможности установки. К тому же эффективность экспериментов по ортогональной матрице позволила выполнить все исследования за 20 дней. Таким образом было сэкономлено 1,2 млн. долл, стоимости замены оборудования без учета затрат на ремонт пола помещения [9].
Решение задачи увеличения срока службы фрезы, описанной в настоящей статье, привело к увеличению в два — четыре раза срока службы фрез, используемых для разрезания печатных плат. Эта задача иллюстрирует, как можно организовать поиск наилучших значений управляемых факторов для увеличения срока службы или надежности при очень малом количестве выборок. Хотя число выборок, необходимых для реализации описываемого подхода, очень мало, оно достаточно для получения информации о том, как каждый фактор изменяет вероятностную кривую срока службы.
В примере с оптимизацией схемы дифференциального операционного усилителя уменьшение на 40% среднеквадра
264
Прикладные задачи оптимального проектирования
тичного значения напряжения смещения нуля было реализовано просто путем определения новой нулевой точки схемы. Для этого оказалось необходимым уменьшить чувствительность ко всем допускам и температуре, а не сузить допуски, что ведет к увеличению производственных затрат.
Ортогональная матрица помех здесь использовалась в новом качестве: для эффективного моделирования влияния многих факторов помех. Этот подход может успешно использоваться для оценивания проектов и проверки систем или математического обеспечения. Данный подход можно автоматизировать и использовать с различными инструментами компьютерного проектирования, чтобы сделать оптимальное проектирование стандартной процедурой.
Рассматриваемый подход был также использован для поиска оптимальных соотношений составляющих для изготовления растворимого в воде флюса [10]. При одновременном анализе параметров процесса пайки волной и состава флюса степень дефектности была уменьшена с 40 до 30%.
Эксперименты по ортогональной матрице были использованы для настройки систем аппаратно-математического обеспечения [11]. При одновременном анализе трех параметров аппаратного обеспечения и шести параметров математического обеспечения быстродействие операционной системы UNIX1 было увеличено на 60% для определенного набора условий нагрузки, испытываемых машиной.
Под руководством Американского общества поставщиков и компании Ford Motor некоторые поставщики автомобилей добились повышения качества и снижения затрат с помощью робастного проектирования [12].
Приведенные примеры показывают, что робастное проектирование — это набор средств и процедур для одновременного повышения качества, улучшения выходных характеристик, уменьшения затрат, а также увеличения производительности. Расширение его применения в промышленности должно иметь далеко идущие экономические последствия.
1 Официальная торговая марка фирмы AT&T.
Часть 3. МЕТОДОЛОГИЯ
Глава 11. АНАЛИЗ ПРОМЫШЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ КАТЕГОРИАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
В. Нэйр
© 1986 American Statistical Association
11.1.	Введение
Обращение к методам экспериментального проектирования в промышленных приложениях в минувшие несколько лет вызвано главным образом пионерной работой проф. Тагути. Традиционные методы экспериментального проектирования сосредоточиваются на идентификации факторов, которые определяют уровень производства или производственного процесса. Мы называем это эффектом положения факторов. Тагути первым осознал, что статистически планируемые эксперименты могут и должны использоваться на этапе разработки изделия для обнаружения факторов, которые влияют на изменчивость выхода. Это будет называться дисперсионными эффектами факторов. Путем установления факторов с важными дисперсионными эффектами на «оптимальные» уровни выход может быть сделан робастным к изменениям рабочих и окружающих условий в процесе производства. Таким образом, идентификация дисперсионных эффектов также существенна для повышения качества процесса.
В настоящей главе рассматриваются методы анализа упорядоченных категориальных данных промышленных экспериментов, направленных на повышение качества. Метод, используемый в промышленности для анализа таких данных, называется аккумуляционным анализом [1,2]. Показано, что статистический метод аккумуляционного анализа Тагути — эффективное средство идентификации важных эффектов положения; однако он слишком сложен для одной лишь идентификации эффектов положения. Более того, метод мало дает
266
Анализ промышленных экспериментов
для определения важных дисперсионных эффектов. Он также смешивает два эффекта так, что нельзя отделить факторы, которые влияют на изменчивость, от факторов, влияющих на положение. Вместо этого предлагаются две простые приближенные методики расчетов для раздельной идентификации эффектов положения и дисперсии.
Глава организована следующим образом. Она начинается с обзора проблемы параметрического проектирования при контроле качества на стадии проектирования (разд. И .2), из которого следует мотивировка оценивания дисперсионных эффектов. Поскольку литература по статистическому методу аккумуляционного анализа Тагути малодоступна, мы даем общее описание этого метода и предлагаем некоторые его модификации в разд. 11.3. Описывается также его применение в эксперименте по оптимизации процесса формирования контактных окон в полупроводниковых схемах [3], проведенном на фирме AT&T Bell Laboratories. Некоторые из особенностей метода рассмотрены в разд. 11.4. Они основаны на разложении статистики на ортогональные составляющие [4]. Показано, что первые две составляющие статистики аккумуляционного анализа определяют в основном различия эффектов положения и дисперсии. На самом деле, в специальном случае первая составляющая является критерием Вилкоксона для положения, а вторая составляющая — критерием Муда [5] для дисперсии; оба критерия применяются для составления таблиц сопряженности признаков. В статистике Тагу ги больший вес имеет первая составляющая, и потому эта статистика пригодна главным образом для определения эффектов положения. Однако для определения дисперсионных эффектов она не может быть даже такой эффективной, как статистика Пирсона X , которая назначает равные веса всем составляющим. Я предлагаю вместо этого использовать некоторые простые методы оценки (разд. 11.5). Эти методы особенно удобно использовать при анализе многомерных таблиц сопряженности признаков. Они иллюстрируются анализом данных по контактным окнам [3].
В экспериментах по улучшению качества обычно уделяется мало внимания детальному структурному моделирова
267
Глава 11
нию и анализу данных. Главная цель пользователя — идентифицировать действительно важные факторы и определить уровни, повышающие качество процесса. По этим причинам простые схемы вычислений, приведенные в настоящей главе, могут оказаться полезными для пользователей. Однако следует отметить, что существует много других статистических методов анализа упорядоченных категориальных данных [6]. Дополнительные материалы по последним исследованиям в области экспериментального проектирования для повышения качества приведены в работах [7—11].
11.2.	Общие сведения о проблеме параметрического проектирования
В этом разделе я представляю статистическую формулировку проблемы параметрического проектирования при управлении качеством на стадии проектирования. Я рассматриваю только случай фиксированного заданного значения (см. также [9, 11]).
Нас интересует проектирование процесса, чей выход Y— функция двух наборов факторов: 1) факторы помех1 (все неуправляемые факторы, включая рабочие условия и условия окружающей среды); 2) факторы проектирования (факторы, которые могут контролироваться и изменяться инженером-технологом). Пусть и и d — наборы факторов помех и факторов проектирования соответственно. Заданное значение для этого процесса фиксировано и равно t0, а затраты при отклонении Y от заданного значения t0 измеряются функцией потерь Ц Y, у. Цель эксперимента — определить параметры проектирования, т.е. значения факторов проектирования d, минимизирующих средние потери Еп [Ц У, у ] = En [L(f(d, п)), у.
В большинстве случаев данные Y = f(d, и) можно приближенно преобразовать к модели положения — масштаба, так что
т(У) = Z = ц (d)+сг (d) £	(1)
1 В словаре терминов: параметры помех.
268
Анализ промышленных экспериментов
Здесь случайная компонента е не зависит от значений факторов проектирования d, а Ц и ст — соответственно эффекты положения и дисперсии факторов d. Допустим без потери общности, что £ в формуле (1) имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Предположим, что функция потерь может быть аппроксимирована квадратичной ошибкой потерь для преобразованной переменной; тогда
L(Y,t0) = [Z-T(t0)p.	(2)
Чтобы минимизировать средние потери, нужно выбрать факторы проектирования, минимизирующие среднеквадратичную ошибку:
Ea[L(Y,t0)] = E[Z-T(t0)]2 =[д(б)-та0)]2 +<72(d). (3) Цель эксперимента — идентифицировать такие факторы проектирования, которые влияют на , и такие факторы, которые влияют на о , и установить их на «оптимальных» уровнях (в пределах рабочих ограничений) для того, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку (3). Этот подход отличается от традиционных методов экспериментального проектирования, цель которых — идентификация только эффектов положения. В них величины <т (d) рассматриваются как мешающие параметры, причем обычно допускается, что они являются постоянными (нет дисперсионных эффектов) или известны с точностью до параметра масштаба при изменении d.
Как указано в [9, 11 ], во многих ситуациях существуют легко идентифицируемые параметры, известные как «ре гулируемые» факторы1, которые главным образом влияют на уровень (положение) процесса, но не на его дисперсию. В таких случаях необходимо минимизировать только дисперсию в соотношении (3), поскольку составляющая смещения может быть сделана малой с помощью тонкой настройки регулируемых факторов. Поэтому эффекты положения играют роль мешающих параметров, и в первую очередь следует определить дисперсионные эффекты.
Если выходная переменная Y, полученная в промышленном эксперименте, непрерывна, то рациональными способа
' В словаре терминов: регулируемые параметры.
269
Глава 11
ми анализа данных являются 1) проведение обычного дисперсионного анализа ANOVA величины Z, = t(Yi ) для идентификации эффектов положения и 2) оценивание <7, для каждого опыта и анализ методом AN OVA lg в каждом эксперименте для идентификации дисперсионных эффектов. Тагути рекомендует анализировать логарифм отношения сигнал/шум (обрат! iyio величину коэффициента вариации). Это приводит по существу к тем же результатам, что и в случае 2 при Z = lg ¥;, что, вероятно, является наиболее общим преобразованием в промышленных приложениях. Анализ в случае 1 неэффективен, поскольку игнорирует тот факт, что дисперсии неодинаковы. Однако в большинстве случаев он будет достаточным. Более формальный анализ может быть проведен подгонкой параметрической модели к (1) и применением методов максимального правдоподобия [12].
11.3.	Аккумуляционный анализ: метод и пример
В некоторых промышленных экспериментах выход представляет собой данные, упорядоченные по категориям. Для анализа таких данных Тагути [1,2] предложил метод аккумуляционного анализа как альтернативу критерию Пирсона. Он обосновывал свою рекомендацию такого метода тем, что он подобен дисперсионному анализу количественных данных. Применение методов дисперсионного анализа к двоичным данным1 обсуждалось еще Кокраном [13] (см. также в работе [14] о рандомизированных критериях, применяемых для выборок из любой популяции). В более современной работе [15] предложен метод под названием CATANOVA1 2, устанавливающий подходящую меру изменчивости для категориальных данных. Однако Тагути рассматривает ситуации с упорядоченными данными и осуществляет дисперсионный анализ накопленных частот.
1 В форме 0 и 1. — Прим. peg.
2 В отличие от обычного дисперсионного анализа, который сокращенно записывается как ANOVA. — Прим. peg.
270
Анализ промышленных экспериментов
Для иллюстрации метода рассмотрим однофакторный эксперимент с фактором А на I уровнях. Чтобы упростить изложение, допустим, что имеется одинаковое число наблюдений п на каждом уровне. Наблюдения группируются в одну из К упорядоченных категорий, и Yik обозначает наблюдаемую частоту в категории к на уровне I (к = 1,..., i = 1,..., I). Обозначим накопленные частоты через Q* =	= и их
средние по уровням через Cik = х/= ] Cik / / . Тогда сумма квадратов (SS) для фактора А будет равна
SSA=n% £(Cik-Ck)2/[Ck(n-Ck)l (4) Л=1	<=1
Это выражение получается следующим образом. Из накопленных частот в к-м столбце образуем сумму квадратов для фактора A: SSA f. =	[(Q;. -Q)2 • Поскольку эти суммы имеют
различные математические ожидания при нулевой гипотезе о том, что фактор А не оказывает влияния, суммы стандарти
зируются перед тем, как их объединить в общую сумму квадратов в (4). В качестве грубой аппроксимации Тагути [2] предлагает использовать (I — 1) (К — 1) степеней свободы для SSA.
Поскольку накопленная частота С.к в ячейке (z, к) образована из Ск единиц и п — С.к нулей, внутренняя сумма квадратов пропорциональна величине С/к(п — С.к). Объединив эти величины, Тагути [2] получил сумму квадратов для ошибки:
sse=n£ XtG(n-G)]/[c;(n-q)].	(5)
*=i z=i
Математическим ожиданием суммы SSe является величина н(п — 1)Р(К— 1)/(/п — 1) = 1(п — 1)(К— 1). Видимо, в силу этого Тагути [2] предложил взять 1(п — 1)(К — 1) степеней свободы для SS (!) и использовать статистику
Fa = MS/MS	(6)
для проверки влияния фактора A (MS означает средний квадрат). Предыдущие определения распространяются непосредственно на многофакторную ситуацию.
Использование MS в знаменателе (6) не является необходимым. Фактически в данной ситуации не существует понятие «ошибка», поскольку SSab (4) уже было стандартизовано
271
Глава 11
Таблица 11.1. Данные по размеру окна после травления (частоты)
Испытание	I	II	III	IV	V
1	10	0	0	0	0
2	0	3	3	2	2
3	1	0	0	9	0
4	10	0	0	0	0
5	10	0	0	0	0
6	5	3	2	0	0
7	10	0	0	0	0
8	5	0	0	5	0
9	0	1	4	5	0
10	2	5	3	0	0
11	1	1	2	6	0
12	1	0	1	3	5
13	5	0	3	2	0
14	6	3	1	0	0
15	10	0	0	0	0
16	10	0	0	0	0
17	0	0	4	3	3
18	0	0	0	0	10
Общая доля	0,48	0,09	0,13	0,19	0,11
I: окно не вскрыто; II: 0,2,25 мкм; III: 2,25, 2,75 мкм; IV: 2,75, 3,25 мкм; V: 3,25 мкм.
с помощью CiJt(l — C.t/n), условной дисперсии величины С.к. В последнем разделе будет показано, что при нулевой гипотезе об отсутствии эффекта ожидаемое значение MSe приблизительно равно единице. Поэтому нет выигрыша от использования MSe. Если один или больше факторов оказывают сильное влияние, MS может быть значительно меньше единицы, что увеличивает статистику F.
Начиная с этого момента, я буду использовать термины аккумуляционного анализа, и статистика Тагути будет означать просто сумму квадратов в числителе выражений SSA, SSB и т.д. Общее обозначение Т будет использоваться для обозначения таких статистик. Как указано в [16], 7 =	'
г^еРк—статистика X2 Пирсона, основанная на категориях
272
Анализ промышленных экспериментов
Таблица 11.2. Дисперсионный анализ на основе аккумуляционного анализа данных по размеру окна после травления
Источник	df	SS	MS
А	4	26,64	6,66
BD	8	112,31	14,04
С	8	125,52	15,69
Е	8	36,96	4,62
F	8	27,88	3,49
G	8	42,28	5,29
Н	8	45,57	5,70
I	8	23,80	2,98
Ошибка	656	279,04	0,43
Сумма	716	720,00	
от 1 до к по отношению к категориям от к + 1 до К По этой причине Т иногда также называют кумулятивной статистикой х2 
Рассмотрим пример. Фадке и др. [3] провели эксперимент для оптимизации процесса формирования контактных окон в схемах на комплементарных структурах металл— оксид— полупроводник. Контактные окна обеспечивают соединения между затворами, стоками и истоками схем. Заданный размер окон составлял примерно 3 мкм. Важно, чтобы размер окон был близок к заданному: если окна не открываются или слишком малы, то происходит потеря контакта приборов; если окна слишком велики, то происходит закорачивание элементов схемы.
Процесс формирования окон включает фотолитографию. Фадке и др. [3] идентифицировали восемь факторов, которые важны для управления размером окна: А — размер на фотошаблоне, BD — вязкость х температура печи, С — частота вращения, Е — время прогрева, F— апертура, G — время экспонирования, И— время проявления и I— время плазменного травления. Экспериментальный план был ортогональной матрицей 118 (см. [11]) с фактором А на двух уровнях и всеми другими факторами на трех уровнях. В каждом ис-
273
Глава 11
Таблица 11.3. Значения статистики X Пирсона для таблиц сумм (данные по размеру окна после травления)
Источник	dl	SS	MS
А	4	18,51	4,63
BD	8	51,01	6,38
С	8	49,59	6,20
Е	8	38,20	4,78
F	8	27,07	3,38
G	о о	43,81	5,48
Н	8	34,30	4,29
1	8	26,21	3,28
пытании было 10 повторных наблюдений. Одно из измерений, которое выполнялось в ходе эксперимента, — замер размера окна после травления тестовых окон. Многие из окон не были вскрыты, а размеры могут быть измерены только у вскрытых окон. Фадке и др. [3] сгруппировали данные в пять категорий (табл. 11.1) и использовали метод аккумуляционного анализа для обработки данных.
Результаты дисперсионного анализа на основе аккумуляционного анализа даны в табл. 11.2. Они отличаются от таблицы дисперсионного анализа в [3] несколькими аспектами. В работе [3J сумма квадратов ошибок разлагается на составляющие исходя из анализа случайных эффектов и с учетом статистик F, определяемых формулой (6). Я рассматриваю величину MS факторов непосредственно и использую сумму квадратов ошибок SS только для проверки точки, полученной до того, как найдено много значимых факторов, а ошибка MS довольно мала. Число степеней свободы df в табл. 11.2 не является достаточным, и более рациональное приближение обсуждается в следующем разделе. Как отметил Тагути, указанные статистики следует использовать не для формальной проверки гипотез, а скорее для определения важности различных факторов.
На основании данных табл. 11.2 можно заключить, что сочетание вязкость — температура печи (BD) и частота враще
274
Анализ промышленных экспериментов
ния (С) — два наиболее важных фактора, влияющих на размер окна. Размер на фотошаблоне А, время экспонирования G и время проявления Н менее важны. Фадке и др. [3] пришли к тем же выводам на основании своего анализа. Интересно сравнить эти выводы с результатами, полученными из классических тестов по критерию Х~ Пирсона. Величины SS в табл. 11.3 являются значениями статистик Z2 Пирсона для проверки гипотезы однородности относительно каждого фактора на основе таблиц сумм. Интерпретируя как и выше, видим, что сочетание факторов вязкость — температура печи BD и частота вращения С — вновь наиболее важные факторы. Однако здесь они не являются доминирующими в отличие от табл. 11.2. Согласно табл. 11.3, время прогрева Е — важный фактор, что не следует из аккумуляционного анализа.
Результаты, представленные в следующих двух разделах, объясняю !' различия между этими двумя методами анализа. Показано, что статистика Тагути приспособлена главным образом к определению важных эффектов положения. В этом отношении факторы BD и С действительно доминируют. Фактор Е оказался важным согласно табл. 11.3, поскольку имеет большой дисперсионный эффект. На самом деле, как показано в разд. 11.5, время травления I— наиболее важный фактор при управлении изменчивостью размера окна.
11.4.	Аккумуляционный анализ: некоторые особенности
В этой разделе представлены некоторые интересные свойства величины Т и ее соотношение со статистикой Хг Пирсона Р. Они связаны с разложением статистик на ортогональные составляющие (см. [4]). Также проводится сравнение возможностей ТиР.
Рассмотрим снова однофакторную ситуацию, описанную в начале разд. 11.3. Статистика Т определяется формулой (4). Статистика Пирсона для проверки влияния фактора А имеет вид К i
Р=£	(7)
к=1 1=1
275
Глава 11
Рассмотрим таблицу I х К с фиксированными значениями сумм в столбцах. Пусть R — условная ковариационная мат рица У = (У;,..., У.к), которая одна и та же для i = 1,.... / при нулевой гипотезе. Статистика Т может быть выражена как квадратичная форма X'. =, (У .А'АУ.) для некоторой матрицы А. Матрицу А'А можно разложить следующим образом:
А’А = QAQ'.	(8)
ЗдесьД — (К — 1) х (К -— 1) — матрица собственных значений, Q = [qr||...|P<jrK1] — Кх (К—1) — матрица собственных векторов и Q = [1|Q] обладает тем свойством, что QRQ пропорционально единичной матрице. Если ZJ = 5X=,(g'y,)2 и Я- — собственные значения, то Твыражается формулой
(9) 7=1
Статистика Р может быть выражена через ортогональные составляющие Zj:
P = ZZJ •	(10)
7=1
Когда I = 2, величины Z условно и при нулевой гипотезе не-коррелированы; их математическое ожидание равно пулю и д исперсия составляет (1 — 1 /N)1, где N— общее число наблюдений. Для 1> 2 величины ZJ при j = 1, .... К— 1 приближенно независимо и идентично распределены как Z,2.,, когда размеры выборок велики. Ясно из (9), что для больших п величина Т распределена как линейная комбинация случайных величин статистики X . Путем подбора первых двух моментов это рас пределение можно аппроксимировать величиной d%2 , где
К-\	к-\
j=l
2 k-i к-i
=1+-—X HQXn-cjm-cjcj,	(11)
Д — /4=1 7=4+1	' '
v=(I-l)(K-l)/d.
276
Анализ промышленных экспериментов
Результаты моделирования показывают, что это выражение обеспечивает достаточное приближение к критическим значениям Т.
Когда (условные) общие частоты в каждом столбце одинаковы, разложение Тв (9) можно получить в явном виде [4]. Собственные векторы оказываются связанными с полиномами Чебышева, т.е. j-й собственный вектор q. представляется полиномом порядка j относительно к (к = 1, .... К), иу-м собственным значением является
Л, = К/[/(/+ 1)1-	(12)
Поэтому, когда I = 2, Z( пропорционально величине
=	(13)
* = 1
представляющей вариант статистики Вилкоксона для сгруппированных данных [17]. Известно, что Wобладает хорошей способностью к обнаружению различий положения даже по таблицам сопряженности признаков. Характеристики Z2 пропорциональна величине
M^(k-ll2-KI2)2(Yik-Yk),	(М)
А=1
являющейся вариантом статистики Муда [5] для сгруппированных данных. Муд предложил свою статистику для проверки различий в масштабе, допуская, что известны (или неизвестны) различия в положении. Модификация теста Муда для масштаба при наличии неизвестных различий в положении [18] включает первичное оценивание параметров положения с помощью исходных данных для применения рангового теста к остаткам. Эта модификация не может быть применена к таблицам сопряженности признаков. Асимптотические вычисления в разделе «Приложение», а также результаты моделирования, приведенные в разд. 11.4 и 11.5, показывают, что статистика в (14) может быть использована для проверки различий в масштабе даже при наличии умеренных эффектов положения. Когда различия положения велики, трудно получить оценку дисперсионных эффектов из категориальных данных.
277
Глава 11
Таблица 11.4. Способности к обнаружению различий положения и масштаба статистик Р, Т, Z2 и Z j '
Статистика	Достигнутый уровень			Способность к обнаружению различий					
				положения			масштаба		
	Ул	/в	/л»	Уд	/в	/лв	Уд	/в	/дв
р	0,10	0,09	0,09	0,34	0,14	0,10	0,68	0,20	0,11
т	0,09	0,09	0,09	0,49	0,19	0,08	0,59	0.16	0,09
Z,2	0,10	0,10	0.10	0,52	0,21	0,09	0,12	0,11	0,11
Z22	0,10	0,10	ОДО	0,11	0,10	0,11	0,85	0,30	0,07
’ Расчеты способностей проведены для /д = 0,5, У = 0,25 и }'ДЕ= 0 в модели положения [ масштаба] (4.9) [(4.10)].
Для /> 2 в случае равных вероятностей Z2 пропорционально величине
i
S
i-1
f W«-n)
Л=1
которая является статистикой Крускала — Уоллиса для таблиц сопряженности признаков [17]. Подобным образом Z2 пропорционально величине
1 г к	~\2
£ '^(k-H2-KI2)1(Yll-Yl) , i=l L к=1
которая есть обобщение двустороннего варианта (14). Отметим, что согласно (12) величина X* /Л,. = ^ -1, те. такая же, как общий вес, даваемый величиной Р составляющим. Статистика Т определяет наибольший вес Л, = К / 2 для первой составляющей Z2, которая является тестом для эффектов положения. Следовательно, аккумуляционный анализ действительно обладает хорошей способностью к обнаружению различий положения. Однако он является значительно более сложным методом, чем Z,2, для обнаружения различий поло-
278
Анализ промышленных экспериментов
жения. Статистика Гдает только вес Л2 = К /Ь второй составляющей Z2, которая проверяет дисперсионные эффекты. Поэтому Т может не иметь такой же высокой способности, как Р, которая дает вес 1 величине Z\. Как Р, так и Т обладают относительно низкой способностью по сравнению с Z2 при обнаружении дисперсионных эффектов.
В общем случае неравных вероятностей составляющие Z2 и Z2 не совпадают с тестами Вилкоксона и Муда соответственно. Результаты моделирования в табл. 11.4 показывают, однако, что первые две составляющие еще обладают хорошей способностью к обнаружению различий положения и масштаба соответственно. Основанная на результатах моделирования методом Монте-Карло табл. 11.4 была получена следующим образом. Было произведено 10 000 циклов моделирования факторного эксперимента 22 с факторами А и В. Для каждого цикла было 10 повторных наблюдений в z-м испытании (z = 1,..., 4), и наблюдения попадали в одну из пяти категорий. Пусть я,, = £‘=1 Рч обозначает накопленные вероятности (к = 1, .... 5; i = 1, ..., 4). Я проверил способность составляющих в условиях логистической модели изменения положения и логистической модели изменения масштаба. Если задатьр)(..., р5) — (0,1, 0,15, 0,3, 0,2, 0,25) и 7Д =	,
то в условиях модели изменения положения получается выражение
Igit^ =lgit^±y4±ye±yM,	(15)
а в условиях модели изменения масштаба —
IgitTT, =(lgit^)exp(±y21±/e±/AS).	,(16)
Чтобы получить критические значения, я использовал Х4 аппроксимацию для Р, аппроксимацию в (11) для Т и X, аппроксимацию для Z2 и Z2.
По табл. 11.4 можно заключить, что (11) обеспечивает достаточную аппроксимацию критических значений Т. Вычисления способностей были проведены для модели положения и модели масштаба при уд=0,5, ув=0,25и Дв = 0 (без взаимодействий в [15] и [16] соответственно). В модели изменения положения способность критерия Т выше, чем у Р, потому что он придает большую долю своего веса первой составляющей Z2; способность Z2 в этом случае близка к уровню 0,10.
279
Глава 11
В модели изменения масштаба, однако, способность Т даже ниже, чем у Р. Это связано с тем, что способность его доминирующей составляющей Z, близка уровню 0,10. Состав ляющая Z:, с другой стороны, пригодна для обнаружения дисперсионных эффектов. Моделирование с несколькими другими конфигурациями (рр ..., р5) дает качественно по добные результаты.
11.5. Два простых набора балльных оценок для обнаружения эффектов положения и дисперсии
Фактически для вычисления первых двух составляющих статистики Тагути Z' и Z2 необходимо решить задачу на собственные значения. В этом разделе я предлагаю два набора легко получаемых оценок, которые приводят к статистикам, очень близким к Z,2 и Z2 и обладающим сравнимой способностью к обнаружению эффектов положения и дисперсии.
Поводом для рассмотрения этих специальных наборов оценок является разложение статистики Тагути в особом случае равных вероятностей. Напомним, что в этом случае первая составляющая является тестом Вилкоксона (или его обобщением Крускала — Уоллиса), применяемым к таблицам сопряженности признаков. Она была рассчитана путем распределения всех результатов наблюдений по определенным категориям как взаимосвязанных величин, причем им приписывается значение, равное среднему рангу для этой категории (см. также [19] относительно ridit-ана-лиза). Поскольку известно, что статистика Вилкоксона имеет достаточно хорошие свойства [17], ее можно взять как первую составляющую даже в общем случае неравных вероятностей. Для второй составляющей используются квадраты оценок в средних рангах, как в случае равных вероятностей; кроме того, оценки берутся такими, чтобы обе составляющие были ортогональны. Подобные наборы оценок рассматривал Бартон [20] в связи со сглаженными тестами сгруппированных данных.
280
Анализ промышленных экспериментов
Пусть qk — часть результатов наблюдений от их общего числа, попадающих в категорию к. Например, для данных по размеру окна после травления в табл. 11.1 (qv ..., q5) = (0,48, 0,09, 0,13, 0,19, 0,11). Положим
А-1 г*=Х^+^/2’	(17)
7=1
т ак что тк пропорционально среднему рангу для категории к. Первый набор оценок (оценки положения) есть
= (18|
7=1
Здесь тк = Тк ~^=lqjTj ~^к	. Второй набор оценок
(оценки дисперсии) есть
dk=etlt'£q/l]"2,k = l,...,K.	(19|
7=1
Здесь ек = lk (Jk - Xj=i qfi) -1- Согласно (18) и (19), к	к	к
^lQkh=^lQk(lk=^iqklkdk^Q,	(20)
Л-1	Л-1	Л-1
К	К
=^qkd2k =i-	(21)
*=i	*=i
Эти оценки могут быть использованы для анализа многофакторных таблиц сопряженности признаков (пример — табл. 11.1). Для этого частоты из каждой категории надо умножить на оценки положения (дисперсии) и просуммировать произведения по категориям; тогда получится результат псев-донаблюдения положения (дисперсии) для z-го испытания. Такие результаты могут быть проанализированы с использованием стандартной программы дисперсионного анализа. Для определенности рассмотрим некоторый фактор А на I уровнях и пусть Y.+k (i = 1.I, к = 1,	—оценки в катего-
рии к для /-го уровня А, просуммированные по уровням всех других факторов. Тогда суммирование результатов псевдо
281
Глава 11
наблюдений положения для z-го уровня фактора А по уров ням других факторов дает
£=1
Подобным образом результат псевдонаблюдения дисперсий есть
D,
Л=1
Сумма квадратов положения для фактора А равна
1
SS^D^L2,/^, 1=1
сумма квадратов дисперсий составляет
SSA(d) = ^D2/n,.
i=i
Здесь и обозначает общее число результатов наблюдений на z-м уровне А. В многофакторной ситуации обе величины SSA (/) и SSA(d) проверяют влияние фактора А путем свертывания данных по уровням других факторов.
При нулевой гипотезе о том, что ни один из факторов не дает эффекта, условное распределение данных в таблице сопряженности признаков (условное по средним значениям столбцов ) получается с помощью обобщенного мно гомерного гипергеометрического распределения [ 17]. Как следует из моментов этого распределения и из формул (20) и (21), при нулевой гипотезе результаты псевдонаблюдения положения и дисперсии L. и D. имеют математическое ожидание, равное нулю, и некоррелированы. Кроме того, дисперсия результатов псевдонаблюдений от i-го уровня естьп (N—nJ/(N— 1) и ковариация результатов наблюдений для z-ro и/-го уровней есть — nn./(N— 1). Здесь N — общее число наблюдений. Упомянутые свойства носят безусловный характер. Ненулевые корреляции между результатами псевдонаблюдений при раз
282
Анализ промышленных экспериментов
личных уровнях и множители (N — п.)/(N — 1) в их дисперсиях проистекают от того факта, что они должны добавляться к нулю. Величины L. и D. — аналоги отклонений Yj - У в дисперсионном анализе. Их можно анализировать, игнорируя ковариации и используя дисперсии в виде п; /(1 -1 / N) ~ н,. Это показывает, что при нулевой гипотезе суммы квадратов положений SSA(l) и дисперсий SSA(d) приближенно распределены как /7-1 < гДе I— число уровней фактора, и они приближенно независимы. Следует отметить, что эти результаты имеют силу только при нулевой гипотезе о том, что ни один из факторов не оказывает никакого влияния. Для более тщательного анализа может потребоваться рассмотреть распределения при наличии других эффектов, что, однако, до некоторой степени запутывает анализ.
В табл. 11.5 приведены способности вышеуказанных статистик к обнаружению различий положения и масштаба, рассчитанные методом, подобным описанному в разд. 11.4. Отметим, что оценки положения 1 асимптотически оптимальны для логистической модели (15) [21]. Сравнение значений в табл. 11.5 для набора (р.... р5) = (0,10,0,15,0,3,0,20,0,25) со значениями в табл. 11.4 показывает, что способности SS(l) и SS(cl) сравнимы с их значениями для первых двух компонент Т( Z; и Z,2). Второй набор (р,...р5) = (0,48, 0,09, 0,13, 0,19, 0,11) соответствует об-
щей доле значений размеров окна после травления, отвечающих отдельным столбцам табл. 11.1, во всей совокупности данных. В этом случае почти половина всех результатов наблюдений приходится на одну колонку и, как и следовало ожидать, способности к обнаружению у всех статистик ниже. Статистики SS(I) и SS(d) и здесь обладают хорошей способностью к обнаружению различий положения и масштаба соответственно.
В табл. 11.6 представлены результаты повторного анализа данных по размерам окон после травления с использованием приведенных оценок положения и дисперсии. При интерпретации средних квадратов в табл. 11.6 рекомендуется (как это делает Тагут и) использовать MS как показатель важности эффекта, а не для формальной проверки гипотезы. Следуя этому подходу, можно заключить, что величины MS для положения дают такие же результаты, как аккумуляционный анализ Тагу-
283
284
Глава 11
Таблица 11.5. Способности к обнаружению различий положения и масштаба статистик Р. Т, SS(l) и SS(d) *
		(P'l	Р-5) =	(0,1,0,15, 0,3, 0,2, 0,25)			P-J =	10,48,0,09, 0,13, 0,19, 0,11)				
Статистика	Модель положения			Модель .масштаба			Модель положения			Модель масштаба		
	Г л	Л	Ум	УА	У в	У ' АН	Гл	У в	У ' лв	7,	Уа	/дв
Р	0,34	0,14	0,10	0,68	0,20	0,11	0,31	0,13	0,07	0,44	0,15	0,10
Т	0,49	0,19	0,08	0,59	0,16	0,09	0,49	0,20	0,09	0,32	0,13	0,10
SS(l)	0,52	0,21	0,09	0,12	0,11	0,11	0,50	0,20	0,09	0,17	0,11	0,10
SS(d)	0,13	0,11	0,11	0,81	0,28	0,07	0,15	0,11	0,11	0,58	0,20	0,09
• Расчеты способностей проведены для У А = 0,5, У в = 0,25 и У л|, = 0 в модели положения [ масштаба] (4.9) [(4.Ю)].
Анализ промышленных экспериментов
Таблица 11.6. Результаты повторного анализа данных по размеру окна после травления для идентификации эффектов положения и дисперсии
Источник	Степень свободы	Средний квадрат для эффекта	
		положения	дисперсии
А	1	7,50	1,30
BD	2	19,15	4,25
С	2	21,65	2,66
Е	2	2,52	8,53
F	2	3,04	7,03
G	2	7,13	1,05
И	2	6,14	3,98
I	2	1,82	9,30
ти в табл. 11.2. Этого следовало ожидать с учетом результатов, приведенных в разд. 11.4 и 11.5. Метод аккумуляционного анализа, однако, не выявляет важные дисперсионные факторы в табл. 11.5: время травле! 1ия I, температуру печи Е и апертуру F.
Другое достоинство метода балльных оценок в данном применении состоит в том, что он позволяет легко идентифицировать «оптимальный» уровень фактора, признанного важным. Например, фактор I (время травления) имеет три уровня. Чтобы определить, какой уровень минимизирует дисперсию, я усреднил результаты псевдонаблюдений дисперсии на каждом уровне. Уровень с наименьшим значением является оптимальным. Это показывает, что стандартное время травления является правильным значением фактора I; перетравливание приводит к увеличению изменчивости размера окна.
11.6. Обсуждение
Идея, лежащая в основе выбора схем балльных оценок, состоит в том, чтобы рационально разложить статистику Х~ Пирсона Р на К — 1 ортогональных составляющих и выбрать такие две из них, которые имеют наибольшую способность к обнаружению различий положения и масштаба. Ясно, что существует много способов выполнить это раз
285
Глава 11
ложение [4] для составляющих, связанных с кумулятивными тестами , отличными от метода аккумуляционного анализа Тагути, и для их соотношений со сглаженными критериями Неймана — Бартона и оптимальными оценками. Альтернатива методу оценок, описанному в разд. 11.5, может быть получена путем определения / и dk, как в (18) и (19), с Ф~1(тк) вместо т^.где Ф“'(-) —функция, обратная нормальному рас пределению. Оценки положения дают вариант сгруппированных данных по критерию нормальных оценок [17]. Оценки дисперсии в случае равных вероятностей дают вариант сгруппированных данных по критерию Клотца [22]. В большинстве ситуаций, когда надо обнаружить только действительно важные факторы, эти оценки привели бы к таким же заключениям, как изложенные в разд. 11.5. Повторный анализ данных по размеру окна после травления с помощью этих нормальных оценок дает величины MS, которые очень близки к значениям, приведенным в табл. 11.6.
Главное достоинство схем балльных оценок, рассмотренных в настоящей главе, в их простоте. Следует повторить, что существует много других методов моделирования и анализа упорядоченных категориальных данных [6]. Среди них регрессионные модели упорядоченных данных [23] оказались особенно полезными для экспериментов по улучшению качества. Сюда входит подбор параметрической модели, например логистической модели, и оценивание эффектов положения и дисперсии по принципу максимального правдоподобия.
В заключение отметим, что необходим тщательный анализ для выбора уровней факторов и определения категорий на стадии проектирования. Неправильно выбранные уровни факторов и категории могут резко уменьшить количество информации, извлекаемой из эксперимента. Например, предположим, что когда фактор находится на самом низком уровне, это уменьшает среднее так сильно, что все результаты наблюдений попадают в первую категорию. Из подобных наблюдений нельзя сделать никаких выводов о влиянии других факторов. Если фактор находится на двух уровнях, эффективность эксперимента уменьшается на 50%.
286
Анализ промышленных экспериментов
Далее, если категории так грубы, что все результаты наблюдений попадают в одну категорию, нельзя сделать никаких отдельных выводов об эффектах положения и дисперсии. Как правило, лучше всего выбирать уровни факторов и определять категории (когда это возможно) таким образом, чтобы примерно равное число результатов наблюдений попадало в каждую категорию.
11.7. Выводы
Цель промышленных экспериментов по улучшению качества — идентифицировать эффекты положения и дисперсии, связанные с факторами проектирования, и определить оптимальные уровни факторов для повышения качества процесса. Существуют более простые и более эффективные методы, чем аккумуляционный анализ, для выявления эффектов положения по упорядоченным категориальным данным. Более того, метод аккумуляционного анализа плохо определяет дисперсионные эффекты. Поскольку он смешивает эти два эффекта, нельзя отделить факторы, влияющие на положение, от факторов, влияющих на изменчивость. Схемы балльных оценок, предложенные в настоящей главе, могут быть использованы для раздельной идентификации эффектов положения и дисперсии. Они разрабатывались как простые, приближенные процедуры. Их можно дополнить более сложными методами при условии достаточной статистической подготовки пользователя и наличия математического обеспечения.
[Обсуждение настоящей главы и ответы автора приведены в журнале Technometrics, vol. 28, No. 4 (November 1986): 292—311.]
Приложение
Здесь кратко описывается асимптотический анализ, который показывает, почему два набора оценок, связанных с первыми двумя составляющими Г, а также оценки, рассмотренные в разд. 11.5, имеют хорошую способность к обнаружению различий положения и масштаба.
287
Глава 11
Рассмотрим таблицу/х К в разд. 11.3 с частотами У, i = 1 I. к = 1..Ки п =	. Пусть рк = F(xk)-F(xk_t), к = 1.
К, F определено на интервале (— °0,00), х0 = - °° хк = + °°. Пуст1 > fix') —плотность распределения и	=
Предположим, что элементные вероятности даются следую щей моделью положения — масштаба:
Р« =	) /бт, ] - F[(v, - Д,) / ст ]	(22)
для / = 1, I и к = 1, К. Без потери общности допустим, что %J=lFi = 0 и Х|=1 /3, = 0, где ft = 1g (а,).
Рассмотрим теперь последовательность возможных значений в (22) при р" = п',2р1 и /3." = и"2Д1 .Тогда с точностью до членов первого порядка имеем
р;=ра,/2[дя + А<-	(23)
где r)k = f(xk)~ f(xk_f) и	Отметим,
чтох^ =хгх=°-
Пусть (7]Г..., 1к) и (dp ..., dk) — бальные оценки соответственно положения и дисперсии в (18) и (19) или оценки, связанные с первыми двумя составляющими статистики Т. Пусть L. =ни Dj =iFinYk-\dkYik —стандартизованные результаты псевдонаблюдения соответственно положения и дисперсии. Тогда можно показать [4], что при п—>°° L и D. сходятся по распределению к независимым случайным нормально распределенным переменным с дисперсией единица и средними

-д Х'л -ft ,
(24)
(25)
Рассмотрим сначала случай равных вероятностей при Р. = 1/^и/, = (к - 1/2 - Х/2). Имеем/, = -lh,k+Jndk = dKk+i. Предположим, что функция f(x) симметрична. Тогда = -^к-к+1 и С =	• ТогДа = 0 в (24) и т,.за-
висит только от параметра положения дг-. Подобным образом	=0 в (25), так что/^.зависит только от парамет-
ра масштаба fj-. Поскольку мы моделируем семейство
288
Анализ промышленных экспериментов
положения — масштаба в (1), получаемое после некоторых преобразований, нет смысла допускать, что функция f(x) примерно симметрична.
В общем случае неравных вероятностей сумма J}*,l£k в (24) не будет равна нулю, поскольку способность к обнаружению различий положения, вычисляемая с помощью бальных оценок положения, будет в некоторой степени зависеть от параметра масштаба fa . Однако отметим, что оценки положения /к в (18) линейны в средних рангах, тогда как оценки дисперсии dk в (19) квадратичны. Поскольку сумма ХГ=7ЛС в (24) мала по сравнению с ^k=lIktik , то шп зависит главным образом от /у. Подобным образом сумма Yk=\dkr]k в (25) мала по сравнению с	, и поэтому m2j зависит в основном от
параметра масштаба fa .
Глава 12. ВЫХОДНЫЕ МЕРЫ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ РЕГУЛИРОВАНИЯ: ОБЪЯСНЕНИЕ И РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ «ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ» ПО ТАГУТИ
Р. Леон, А. Шумейкер, Р. Какар © 1987 American Statistical Association
12.1.	Роль отношения сигнал/шум в параметрическом проектировании
12.1.1.	Параметрическое проектирование: уменьшение чувствительности к изменчивости
Когда инженеры японской компании Ina Tile обнаружили, что неравномерный профиль температуры в сушильных печах вызывает неприемлемый разброс размера керамической плитки, они могли бы попытаться решить проблему с помощью дорогой модификации сушильных печей. Вместо этого они решили сделать недорогое изменение значений параметров проектирования керамической плитки, чтобы уменьшить чувствительность к изменениям температуры. Используя статистически планируемые эксперименты, инженеры определили, что увеличение содержания извести в глине с 1 до 5% уменьшает изменчивость размера плитки в 10 раз [1].
Этот простой пример иллюстрирует метод параметрического проектирования в технике качества, являющийся процессом выбора значений параметров проектирования изделия или производственного процесса для уменьшения чувствительности к помехам. Помеха — это трудная для управления изменчивость, влияющая на выходные характеристики. Например, все перечисленные ниже переменные рассматриваются как помехи: отклонения характеристик сырья от паспортных значений, изменения параметров производственного процесса и окружающей среды (например, температуры и влажности), дрейф значений парамет-
290
Выходные меры, не зависящие от регулирования
параметры проектирования
Заданное значение
Рис. 12.1. Схематическое представление простой задачи параметрического проектирования
ров во времени и отклонение параметров проектирования от номинальных значений из-за изменчивости производственных условий.
При параметрическом проектировании предполагается, что помехи неуправляемы. После параметрического проектирования, если потери, вызванные помехами, чрезмерно большие, инженер может подойти к управлению помехой с помощью относительно дорогих мер, таких, как использование высококачественного сырья или высокоточного производственного оборудования. (Более детальное обсуждение параметрического проектирования и следующей стадии проектирования, проектирования допусков, представлены в работе [1].)
12.1.2.	Формализация основной проблемы параметрического проектирования
На рис. 12.1 схематически представлена простая задача параметрического проектирования, подобная задаче повышения качества керамической плитки. Для данных значений параметров проектирования (-) помеха N генерирует характеристику выхода Y. Выход определяется передаточной функцией . Допускается, что помеха
291
Глава 12
случайна, следовательно, выход будет случайным. Потери возникают, если выход отличается от заданного значения t, которое представляет идеальный выход. Цель параметрического проектирования — выбрать такие значения параметров проектирования (], которые минимизируют средние потери, вызванные отклонениями выхода от заданного значения. Средние потери определяются формулой R(0) = EnL(Y,t), где L — функция потерь. Тагути [2, 3] назвал эту проблему статической проблемой параметрического проектирования, поскольку заданное значение фиксировано. Как мы покажем позже, другие проблемы параметрического проектирования являются обобщениями статической проблемы.
Тагути рекомендовал измерять эти потери, используя квадратичную функцию потерь
L(y,t) =К{у-Г,	(1)
где К определяется из простых экономических соображений [ 1 ]. Однако, как мы увидим в разд. 12.1.3, на практике он оптимизировал различные меры, называемые отношением сигнал/шум (S/N).
12.1.3.	Подход Тагути к параметрическому проектированию
Чтобы решить только что описанную проблему, Тагути [2] в общем случае разделил параметры проектирования на две группы [0 = (d, а)] и использовал следующую двухэтапную процедуру [4].
Процедура 1.
Этап 1. Найти значения d = d*, максимизирующие отношение S/ N.
Этап 2. Привести а к а*, когда d фиксировано на d‘.	(2)
Разделение параметров проектирования на две группы связано с идеей о том. что величины а являются параметрами тонкого регулирования, которые оптимизируются после того, как основные параметры проектирования d фиксированы. Тагути (см. [4]) утверждает, что этот двухэтапный подход имеет то преимущество, что при выбранном наборе (d*, а*) можно осуществить определенные измене
292
Выходные меры, не зависящие от регулирования
ния в требованиях к изделию или процессу, изменяя только значения регулируемых параметров а. Начальные значения d = d* остаются оптимальными. В частности, в приведенном выше примере производства керамической плитки компанией Ina Tile рецептура глины может быть выбрана таким образом, чтобы минимизировать число измерений отношения S/Nкак меры разброса размера плитки; затем изменением размера плитки в расплавленном состоянии можно осуществить подстройку среднего размера к заданному значению.
Признавая, что подходящая мера выхода зависит от характеристик проблемы, Тагути [3] классифицировал проблемы параметрического проектирования на категории и определил различные отношения S/N для каждой категории. Например, одна из этих категорий состоит из всех проблем статического параметрического проектирования.
Однако в общем случае Тагути [2] не обосновал использования отношений S/N и не объяснил, почему рекомендованная им двухэтапная процедура будет минимизировать средние потери. В настоящей статье мы исследуем этот вопрос, анализируя связь между двухэтапной процедурой, подобной процедуре 1, и проблемами параметрического проектирования, подобными описанной в разд. 12.1.2.
12.1.4.	Обзор содержания главы
В разд. 12.2 мы исследуем меры выхода в наиболее общей ситуации параметрического проектирования с точки зрения статической проблемы (разд. 12.1.2). В разд. 12.2.1 мы покажем, что для этой проблемы отношение S/N по Тагути и соответствующая двухэтапная процедура имеют силу в условиях квадратичных потерь и определенной мультипликативной модели передаточной функции. Мы также обсуждаем опасность использования этого отношения и соответствующей двухэтапной процедуры, когда справедливы модели передаточной функции различного типа. Рекомендация Тагути использовать единое отношение S/N для всех проблем статического параметрического проектирования основана на предположении, что
293
Глава 12
модель передаточной функции для большинства технических систем имеет мультипликативную форму. В разд. 12.2.2 мы покажем, как возникает мультипликативная модель в общем случае, когда помеха обусловливается изменчивостью условий производства, ухудшением свойств изделия со временем или дрейфом значений параметров проектирования.
В разд. 12.3 рассматривается блок-схема более общих проблем параметрического проектирования. Это обобщение включает «динамические» проблемы с участием «сигнальной» переменной входа, которая может использоваться для динамического управления выходом. В этом разделе мы также обобщаем вытекающий из разд. 12.2 способ построения двухэтапной процедуры, эквивалентной процедуре 1. Поскольку мера выхода, используемая на этапе 1 этой процедуры, не всегда эквивалентна отношению S/N, мы предлагаем термин «мера выхода, не зависящая от регулирования (PERMIA)».
Разд. 12.4 и 12.5 посвящены общим примерам проблем динамического параметрического проектирования, при анализе которых мы следуем способу получения мер выхода, не зависящих от регулирования и соответствующих двухэтапным процедурам. Эти примеры показывают, что различные отношения S/N для динамических проблем отвечают определенным типам моделей передаточной функции при квадратичных потерях. Однако при наличии передаточных функций различных типов можно получить подходящую двухэтапную процедуру, если использовать меру выхода, отличную от отношения S/N. Фактически использование отношения S/N в таких ситуациях неправомерно и может не привести к хорошим значениям параметров проектирования. В разд. 12.4 описываются динамические проблемы, в которых входные и выходные переменные непрерывны. Разд. 12.5 посвящен динамической проблеме двоичного входа и двоичного выхода. Наконец, в разд. 12.6 обсуждается возникновение регулируемых параметров на практике и возможные преимущества двухэтапной процедуры при их наличии.
294
Выходные меры, не зависящие от регулирования
12.2.	Меры выхода для статической проблемы параметрического проектирования
12.2.1.	Объяснение и расширение отношения S/N Тагути
Отношение S/N Тагути для статической проблемы параметрического проектирования (рис. 12.1) выражается формулой
S/N =101g(E2r/ VarT),	(3)
где ЕУи VarT— соответственно математическое ожидание и дисперсия У [3].
Если передаточная функция, показанная на рис. 12.1, описывается соотношением
У = ju(d,a)E(N,d)	(4)
где ЕУ = /z(d,a) — строго монотонная функция каждой составляющей а для каждого d, то использование отношения S/N (3) в двухэтапной процедуре приводит к минимизации квадратичных потерь. (Отметим, что ЕУ = g(d,a) означает, что Е (N,d) = 1.) Модель (4) может быть справедливой, если, например, влияние помех на выход У одинаково для приращений времени или расстояния. Например, при осаждении пленки на кварцевую пластину разброс толщины пленки будет постоянным при каждом увеличении толщины на 1 мкм. Это значит, что пленка толщиной 10 мкм будет иметь в 10 раз большее стандартное отклонение толщины, чем пленка толщиной 1 мкм. Еще один пример приведен в разд. 12.2.2.
Отметим, что модель (4) свидетельствует, что Var У/Е2 У не зависит от а (в случае 1g У а влияет на положение, но не на дисперсию). Связь отношенияS/N (3) с квадратичными потерями очевидна. Отметим сначала, что мы можем найти (d‘, а*) так, что 7?(d*, а*) = 111111 7?(d, а), используя общую двухэтапную процедуру оптимизации (процедура 2). Перед изложением процедуры 2 мы определим P(d) согласно уравнению P(d) = min P(d, а).
Процедура 2.
Этап 1. Найти d*, минимизирующее величину
P(d) = min £(d, а).	(5)
а
295
Глава 12
Этап 2. Найти а*, минимизирующее R(d‘, а). Чтобы убедиться, что процедура 2 всегда работает [при условии существования (a*, d*)], положим, что (d, а) — произвольные значения параметров и (d*, а*) получены по процедуре 2. Тогда 7?(d, а) min 7?(d, а) min 7?(d*, а) (на этапе 1) = 7?(d‘, а*) (на \ а	а
этапе 2).
Хотя эта процедура всегда возможна, она обычно бесполезна. Если, однако, существует сокращенный вариант вычислений величины P(d) = min /?(d, а), эта двухэтапная процедура может быть предпочтительным методом минимизации.
Если мы используем квадратичные потери и справедлива модель (4), то P(d) — убывающая функция отношения S/N (3). Это означает, что в таком случае двухэтапная процедура Тагути, описанная в разд. 12.1.3, эквивалентна процедуре 2.
Чтобы показать это, отметим, что при модели (6) и квадратичных потерях выполняется соотношение
/?(d,a) = /z2(d,a)CT2d + [/r(d,a)-r]2,	(6)
где ст" (d) = VarE(N, d) (для удобства берем К = 1 в функции потерь (1)). Приравняем нулю производную
dP(d,a) 2dJu(d,a)	,
—5—-------------4p(d,a)[l + CT"(d)]-f}.
da da
Получим P (d, a* (d)) = t/[l + cr*(d)]. Здесь a*(d) определяется из соотношения P(d, a*(d)) = minR(d, a). Подставив выражение для M в формулу (6) “получим P(d) = Per2 (d)/ [1 + ст2 (d)]. Имеем
s/дг = 101g J2- = 101g 7^2(^,a? = -10lgст2(d), VaiT /л (d,a)cr (d)
иРст" (d)/ [1 + ст" (d)[ является возрастающей функцией ст" (d). Следовательно, двухэтапная процедура 2 для решения задачи параметрического проектирования эквивалентна следующей процедуре.
Процедура 3.
Этап 1. Найти значения d*, которые максимизируют отношение S/N, равное 101g (Е2У/УагУ).
Этап 2. Найти а", такое, что Ц (d‘, а‘) = 1/[ 1 + ст2 (d*)[. При передаточной функции (4) использование отношения
296
Выходные меры, не зависящие от регулирования
S/N (3) приводит к минимизации квадратичных потерь. (Отметим, что даже если минимизация квадрата ошибки ожидаемых потерь ограничена требованием, чтобы среднее равнялось t, этап 1 остается тем же. Меняется этап 2, который становится «подстройкой Kt».)
Хотя правомерность использования отношения S/N (3) при передаточной функции (4) подтверждена предыдущим анализом, могут быть другие меры, более приемлемые на практике. В частности, если информация о функции потерь неточна, может не быть оснований предпочесть квадратичные потери, скажем, квадратичным потерям в логарифмическом масштабе Цу, t) = (Igy— Igt)2. При такой функции потерь передаточная функция (4) приводит к использованию Var(lgB) на этапе 1 процедуры 2. Покажем это. Имеем
7?(d, а) = E(lgy-lgt)2 = Var(lgГ) + FE(lgF) - lgгJ2  Покольку из модели (4) следует, что
Var(lgK) - Var(lgE(N,d) является функцией только d, то
min7?(d, а) = Var(lgy). а
Величина IgVar(lgK) была предложена Боксом [5] как альтернатива отношению S/N Тагути. Когда нет практических доводов в пользу какой-либо из приведенных выше функций потерь, видимо, следует принять рекомендацию Бокса, поскольку оценка величины lgVar(lg Y) обычно обладает лучшими статистическими свойствами, чем оценка отношения S/N [5]. (Отметим, однако, что могут возникнуть проблемы с этой функцией потерь, если t близко к нулю.)
Отметим также, что если передаточную функцию (4) заменить на
Y = р (d, а) + Е (N, d)	(7)
при Е, (N, d) = 0 и L(y, t) = (у— t)2, то вместо отношения S/N (3) в двухэтапной процедуре нужно использовать Var Y. Отметим, что отношение S/N зависит от регулируемого параметра а в условиях модели (7). Этот пример показывает, что неоправданное использование отношения S/N в ста
297
Глава 12
тических задачах, что, кажется, отстаивают Тагути и Фад-ке, может привести к значениям параметров проектирования, далеким от оптимальных.
12.2.2.	Пример — статическая проблема при изменчивости значений параметров проектирования
Предположим, что выход У системы задается формулой
У = Apg(D) (— оо<р<оо),	(8)
где (A, D) — случайные значения параметров проектирования в силу производственной изменчивости или ухудшения свойств. Эти случайные переменные имеют математические ожидания, равные номинальным значениям (a, d), устанавливаемым разработчиком. (Тагути [2] называет такого рода помехи «внутренними» помехами.) Модель (8) при р = 1 (предложенная в этом случае П. Шерри, инженером по качеству фирмы AT&T Bell Laboratories) часто встречается в приложениях. В таких приложениях параметр а называют масштабным параметром, потому что его можно использовать для изменения «масштаба» изделия или процесса. Примеры масштабных параметров [и модели (8)] — размер керамической плитки на производственной стадии расплавления, время осаждения пленки на поверхность, размер на фотошаблоне при производстве интегральных схем и время экспонирования при фотолитографии окон.
Инженеры часто обнаруживают, что изменчивость реального значения масштабного параметра (измеряемая стандартным отклонением) пропорциональна номинальным значениям. Поэтому мы допускаем, nroVarA = к2а7, к > 0.
Чтобы убедиться, что модель (8) — частный случай модели (4), представим А соотношением А = aZ, где Z— случайная переменная с EZ = 1 и VarZ = к7. Тогда
У = ар Z'1 g(D) = р (d, а) е (N, d), где р (d, а) = а₽Е^д(В)] и е (N, d) = Zpg'(D)/E[Zp<7(D)]. Из результатов, представленных в разд. 12.2.1, следует, что в случае модели (8) двухэтапная процедура Тагути приводит к минимизации среднеквадратичных потерь.
298
Выходные меры, не зависящие от регулирования
Параметры проектирования
нерегулируемые Регулируемые параметры параметры
Рис. 12.2. Общая проблема параметрического проектирования. Выход Y(s) определяется входным сигналом $ и помехой N посредством передаточной фукции f . Передаточная функция зависит от параметров проектирования d и а. Потери возникают, если выход не равен заданному значению t(s).
12.3.	Общая модель для проблем параметрического проектирования и удобное двухэтапное решение
Как указано в разд. 12.1.2, удобно рассуждать о проблемах параметрического проектирования, пользуясь блок-схемой, которая подобна приведенной на рис. 12.1. Еще один пример блок-схемы дан на рис. 12.2.
В этом случае для данных значений параметров проектирования d и а выход Y определяется входным сигналом s и помехой N. Потери возникают, если выход отличается от заданного значения, которое может зависеть от входного сигнала. Каки прежде, цель параметрического проектирования — подобрать такие значения параметров проектирования, которые минимизируют ожидаемые потери:
7?(d, а) = ЕЕ, (Е(У, l(s))|d, а).	(9)
Здесь распределение сигнала s отражает относительную частоту его различных значений.
299
Глава 12
Такого рода системы называются динамическими, поскольку выход и заданное значение зависят от сигнала, который не фиксирован разработчиком. Например, измерительный инструмент, такой, как весы в ванной, является динамической системой, поскольку ее выход (показание веса) зависит от входного сигнала (веса человека, стоящего на весах) . Показание веса также зависит от факторов помех (например, температуры).
Блок-схема на рис. 12.2 описывает не все проблемы параметрического проектирования. Например, может не быть сигнала, как в статической проблеме разд. 12.1.2. Кроме того, в проблеме управления разд. 12.4.2 скорее сигнал определяется заданным значением, чем наоборот. (Блок-схема, соответствующая этой проблеме, показана на рис. 12.3.) Однако блок-схема на рис. 12.2 модифицирована для представления большинства проблем параметрического проектирования. Например, К. Дехнад из фирмы AT&T Bell Laboratories предложил для некоторых пробле м, таких, как проектирование усилителя, заменить функцию f(s) классом всех линейных функций, поскольку, чтобы не было искажений на выходе усилителя, его связь со входом должна быть близка к линейной.
Цель параметрического проектирования — найти такие значения параметров проектирования (d, а), которые минимизируют средние потери R(d, а). Такую минимизацию можно осуществить для многих проблем параметрического проектирования с п омощью двухэтапной процедуры 2. Как указано в разд. 12.2, эта процедура всегда возможна, хотя она может и не быть полезной. Однако для определенных моделей и функций потерь P(d) эквивалентно отношению S/NTa-гути, а процедура 2 эквивалентна процедуре 1. В разд. 12.2 мы показали справедливость этого утверждения для статической проблемы параметрического проектирования. В других разделах главы мы приводим другие примеры, в которых P(d) эквивалентно отношению S/NТагути.
Однако для других моделей и функций потерь возможна такая же двухэтапная процедура, но P(d) не эквивалентно отношению S/N Тагути. По этой причине, когда можно использовать процедуру, подобную процедуре 2, мы называем
300
Выходные меры, не зависящие от регулирования
P(d) (или монотонную функцию от нее) мерой PERMIA, а не отношением S/N.
Для фиксированного значения d мы определим a'(d) как такое значение а, при котором минимизируется R(d, а), т.е.
P(d) = minP(d, а) = R(d, a* (d)).	(10)
а
12.4.	Меры выхода для динамических проблем параметрического проектирования
Согласно определению, данному в разд. 12.3, проблемы параметрического проектирования, в которых выходи заданное значение зависят от сигнала, называются динамическими. Как и во всех проблемах параметрического проектирования, решение динамических проблем направлено на поиск таких значений параметров проектирования изделия или процесса, которые минимизируют потери, вызванные отклонением выхода от заданного значения. В этом разделе рассматриваются два примера динамических проблем параметрического проектирования. Первый пример относится к разработке измерительного прибора, такого, как пружинные весы. Мера выхода не зависит от параметров калибровки, допускающих сравнение масштабов разных весов без калибровки. Во втором примере устанавливается мера выхода для общей проблемы управления, связанной с разработкой изделия таким образом, чтобы выход мог изменяться в определенном интервале путем изменения входного сигнала. В приложении А детально обсуждается специфическая проблема управления, включающая проектирование механизма управления грузовиком.
Оба эти примера относятся к типу проблем параметрического проектирования, которые Тагути и Фадке [3] называют непрерывно-непрерывными динамическими, поскольку вход и выход— непрерывные переменные. Тагути [2] предложил единое отношение S/N&mi всех таких проблем. Чтобы показать, что представляет собой это отношение S/N, определим общий тип непрерывно-непрерывной динамической проблемы формулой
Y =а + P's + e ,	(И)
301
Глава 12
где s — непрерывный сигнал, управляющий непрерывным выходом Y, а Е — небольшое отклонение от линейности. Тагути (см. [3]) предложил следующее отношение S/N:
S/Д = lg(j8'2/Vare') •	(12)
Это отношение S/N определяется формулами (11) и (12) независимо от принятой модели для Y.
В первом примере, рассмотренном в настоящем разделе, процедура 2 используется для нахождения меры PERMIA. Мы показываем, что отношение (12) является мерой PERMIA в определенной модели, и, следовательно, его использование приводит к минимизации потерь. Однако, если справедливы различные модели, использование этого отношения S/N не является правильным. Во втором примере отношение S/N зависит от регулируемых параметров, однако приводится эвристическая аргументация в пользу того, что отношение S/N может иногда вести к оптимуму.
12.4.1.	Объяснение отношения S/N: пример измерительного прибора
Предположим, что производитель хочет спроектировать измерительный прибор, показание которого У удовлетворяет следующей модели:
У = a(d,«1) + j8(d,«2)(y(d)5' + E(N;d),	(13)
где Var[ е (N; d)] = ст2 (d), Е[ е (N; d)] =0. Здесь s — действительное значение измеряемой величины.
Чтобы показать, почему эта модель пригодна для описания измерительного прибора, подлежащего калибровке, рассмотрим случай пружинных весов (например, почтовые весы). Весы состоят из двух частей: чувствительного элемента, которым является пружина, и шкалы, которая переводит величину сжатия пружины в показание веса. Для описания чувствительного элемента весов используется следующая модель: Z = Y (d)s + Е (N; d), где Z— сжатие пружины (в дюймах) , s — истинный вес объекта, d — параметры проектирования пружины (например, ее размер и тип сплава), N — помехи (например, несовершенства в пружине, которые влияют на сжатие). Поскольку положение делений шкалы и расстояние между ними выбираются разработчиком, модель
302
Выходные меры, не зависящие от регулирования
для показания весов Yесть Y = a (d, aj + /3 (d, a.JZ, где a( и a2 — регулируемые параметры, значения которых выбираются разработчиком. Подстановка выражения для Z дает модель (13).
Для любого измерительного прибора, описываемого моделью (13), желаемое значение показания Y равно истинному значению s. Предположим, что потери измеряются величиной (У— s)2, тогда целью параметрического проектирования является нахождение значений (d, а), которые минимизируют функцию EsEn[(K— s)2|d, а].
Кроме того, предположим, что разработчик налагает требование
(d, а) е [(d, а) : EN(Y|d, а, s) = s], т.е. прибор должен обеспечивать несмещенную оценку s. Чтобы найти оптимальные значения (d", а*), заметим, что
min min Е^Ек[(У-$)2 |d,a] = d a
~ minmin{j82(d,«2)VarN(£(N;d)) + d a
+ E ,[a(d, at) + /3 (d, a2 )y (d)s - s]2} =
= min[VarN(e(N;d))/y2(d)] d
Последнее из написанных равенств имеет силу, поскольку a*(d) и a*(d) должны удовлетворять соотношениям a (d, aj(d)) = 0 и (3 (d, a*(d)) у (d) = 1 для каждого d при несмещенном ограничении.
Функция VarN( е (N;d))/y2 (d) является мерой PERMIA, поскольку не зависит от регулируемых параметров а, и аг Эта мера определяет выход измерительного прибора, как после надлежащей калибровки.
Следовательно, параметрическое проектирование можно осуществить, используя следующую двухэтапную процедуру.
Процедура 4.
Этап 1. Найти d*, минимизирующее меру PERMIA, выражаемую функцией VarN(e (N; d))/y2 (d).
Этап 2. Найти значения а* и а*, для которых a (d*, а’) = О и (3 (d*,a;) = 1/У (d*).
303
Глава 12
Сопоставляя формулы (11) и (13), можно видеть, что Р' = Р (d, а2) и е' = Р (d, а2) Е. Итак, оптимизация меры PERMIA эквивалентна оптимизации отношения S/N, определяемого формулой (12), которая была предложена Тагути для всех непрерывно-непрерывных проблем параметрического проектирования. Стимулом к выводу меры PERMIA, изложенному в настоящем разделе, послужила гл. 22 книги Тагути [2].
Посмотрим, однако, что произойдет, если мы оставим ту же функцию потерь, но изменим модель для измерительного прибора следующим образом:
Y = a(d, aj + Р (d, a2)s + £ (N; d), где E (£ (N; d)) — 0 и VAR (£ (N; d)) = cr2 (d). Тогда, проследив предыдущую аргументацию, можно показать, что мерой PERMIA для параметрического проектирования является ст2 (d). Но при такой модели мера PERMIA не эквивалентна отношению 5/МТагути и отношение S7/V за висит от регулируемого параметра а2. Значит, использование отношения S/N как независимого от обоих регулируемых параметров привело бы к неправильному сравнению альтернативных значений нерегулируемых параметров проектирования d.
На протяжении всей главы мы подчеркиваем, что необходимо тщательно выбирать модели и функции потерь для каждой проблемы параметрического проектирования, поскольку соответствующая мера выхода может сильно от них зависеть. Отношение S/N в формуле (12) не может быть безоговорочно использовано для всех непрерывно-непрерывных проблем параметрического проектирования.
12.4.2.	Выходная мера для системы управления
В качестве примера системы управления рассмотрим механизм управления грузовиком. Водитель грузовика и грузовик образуют вместе систему управления. Водитель выбирает определенный угол поворота руля s(t), чтобы выполнить поворот по радиусу t. Проектирование поворотного механизма должно обеспечить водителю нахождение угла поворота руля для любого радиуса поворота в некото-
304
Выходные меры, не зависящие от регулирования
параметры проектирования
Нерегулируемые Регулируемые параметры параметры
Рис. 12.3. Блок-схема параметрического проектирования системы управления
ром диапазоне. Возможности выбора углов поворота также могут быть ограничены некоторым интервалом. Кроме того, радиусы поворота, определяемые данным углом поворота руля, должны иметь постоянное значение и не зависеть от таких помех, как состояние покрытия дороги, распределение нагрузки и давление воздуха в шинах.
Параметрическое проектирование механизма управления грузовиком детально рассмотрено в приложении А. В этом разделе мы представляем общую проблему управления, для которой мы постулируем модель и выводим меру PERMIA. Хотя принимаемая здесь модель отличается от модели, которая вводится для механизма управления в приложении А, меры PERMIA оказываются одинаковыми в обоих случаях.
Блок-схема на рис. 12.3 описывает общую проблему управления. Входной сигнале определяется заданным значением 1и стратегией управления s(/). Для простоты предположим, что s(t) является несмещенной стратегией управления, задаваемой соотношением
s(t) = {s: E(K(s)|d, a, s) = t}, где K(s) —выход системы, соответствующий сигналу s. Цель параметрического проектирования — нахождение таких
305
Глава 12
значений параметров проектирования (d, а), которые минимизируют ожидаемые потери R (d, а). Более общей целью могла бы быть минимизация ожидаемых потерь не только по значениям параметров проектирования, но также по некоторому набору допустимых стратегий управления. В настоящей главе мы ограничились набором, состоящим из одной стратегии.
Для данных значений параметров проектирования (d, а) предлагается следующая модель, описывающая взаимосвязь между выходом Y, сигналом s и помехой N:
Y=a (d, а) + Р (d)s + е (N, d),	(14)
где Е( Е (N, d)) = 0 и Var( Е (N, d)) = сг2 (d). При условии, что потери, вызванные отклонением Y от t, измеряются величиной (У— t)2, надо найти такие значения (d, а), которые минимизируют функцию ErEN[(F— l)2|d, а] . Для любого заданного значения t в интервале (f£, /;/), согласно стратегии несмещенного управления, s = s(f) должно выбираться из интервала (s£, sH) так, чтобы Е (Y|d, a, .sj — t. Это будет возможно, только если наклон /3 (d) удовлетворяет соотношению
\Р (d)|>|(tH-t£)/(sH-Sj|.
Следовательно, параметры проектирования должны обеспечивать выполнение этого соотношения. Отметим, что подобного ограничения не существует для отрезка, отсекаемого на оси ординат, сс (d, а), поскольку если наклон достаточно крутой, регулируемая переменная а может быть использована для сдвига прямой E(Y]d, a, s) вверх или вниз. Такая модель приводит к выделению следующих двух этапов в решении задачи параметрического проектирования.
Процедура 5.
Этап 1. Найти значение d‘, минимизирующие о2 (d) при ограничении р2 (d) > [(/,,— tj/(s,£ — s£)]2.
Этап 2. Выбрать а* так, чтобы величина a (d‘, а*) + Р (d*)s, где s принадлежит интервалу (s£, sH), покрывала интервал заданных значений (Д, tH).
Ограничение на d часто важно на практике, поскольку при выборе значений d так, чтобы сделать малым влияние помех, т.е. сг2 (d), также можно сделать малым влияние
306
Выходные меры, не зависящие от регулирования
сигнала, т.е. р . В предельном случае, когда механизм управления грузовиком прочно заварен, он мало чувствителен к помехе, но при этом полностью утрачивает способность к управлению.
Выше приводилась рекомендация [2, 3] меры выхода для всех непрерывно-непрерывных динамических проблем:
5/W = lg(j32(d)/<T2(d)).	(15)
При параметрическом проектировании систем управления, например механизма управления грузовиком, принципиальной целью является минимизация влияния помех на выход при сохранении, по меньшей мере, минимальной чувствительности к сигналу. Максимизацией S/N в уравнении (15) можно приближенно достичь этой цели, поскольку значения d, которые делают большим отношение j82 (dj/cr' (d), будут приводить к малому er2 (d) и большому fl2 (d) (и, следовательно, удовлетворят нашему ограничению). Однако не следует пытаться сделать р намного больше минимума, особенно если это приводит к большому значению ст .
12.5.	Мера выхода для динамической проблемы двоичный вход — двоичный выход
Вариант динамический проблемы параметрического проектирования систем связи и электронных устройств — проблема двоичный вход — двоичный выход. Она идентична непрерывной динамической проблеме, описанной в разд. 12.4, за исключением того, что вход и выход двоичные, а не непрерывные.
В настоящем разделе выводится мера выхода для простой проблемы двоичного входа и двоичного выхода — проектирования канала передачи двоичной информации. Мы показываем, что определенные предположения о модели приводят к мере выхода, независимой от регулируемых параметров канала. В процессе вывода появляются условия, при которых отношение S/N, предложенное Тагути для проблем двоичный вход — двоичный выход, не зависит от регулируемых параметров и приводит к минимизации средних потерь.
307
Глава 12
12.5.1.	Мера выхода для двоичного канала передачи
Назначение двоичного канала — передавать сигналы 0— 1 по проводу. Эти сигналы передаются в форме напряжения, причем нуль преобразуется в напряжение До, а единица — в напряжение Д](/г0 <//,). В действительности принимаются напряжения д0 + сгЕ и + ое , потому что электрические помехи в проводе добавляют случайную помеху к сигналу. Допускается, что помеха нормально распределена с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (см. гл. 8 в книгах [6, 7]). Величина ст — положительное число, отражающее реакцию канала на помеху. Значения д0, д, и сг зависят от значений некоторых параметров проектирования d. Если принятое напряжение меньше некоторого порогового напряжения а, то считается, что послан нуль. Если принятое напряжение больше а, то считается, что послана единица. Отметим, что а — также параметр проектирования (рис. 12.4).
Чтобы описать данную проблему с точки зрения схемы, изображенной на рис. 12.2, отметим, что сигналя — это 0 или 1 на входе, а выход Y— это принятое сообщение в форме 0 или 1. Поскольку цель в данном примере — воспроизвести сигнал, заданное значение t связано с сигналом функцией t(s) = s. Помеха N — это электрические флуктуации в проводе, которые влияют на систему через функцию е = Е (N). Передаточная функция дана на рис. 12.4, а в символической форме записывается следующим образом:
Y = f(s N’d = { 1-есл"Д5+от>°-1 J	[о,еслицг+ае<а,
где До, сг —функции параметров проектирования d. Буквой обозначено пороговое напряжение. Функция потерь определяется как
£(У(Г) = (У-гЪ-{°1:ееСслИиуХ:
Допуская, что нули и единицы посылаются с одинаковой частотой, ожидаемые потери выражаются формулой
308
Выходные меры, не зависящие от регулирования
Рис. 12.4. Схема двоичного канала. Канал позволяет посылать известные последовательности нулей и единиц и наблюдать выход в виде нулей и единиц. Можно изменять вероятность неправильного обнаружения, регулируя порог а.
tf(d, а) = ЕЕ^Цу, f)|d, О) =
= Pr(s = 0.Y = 1) + Pr(s = 1,Y = 0) =
= P(Y = l|s = 0)P(s = 0) + Pr(Y = 0|s = 1) Pr(s = 1) =
= l/2(p0 + p,).
где p0 = p0(d, а) и P1 = p,(d, a) — вероятности неправильной классификации соответственно нуля и единицы.
Разработчикам надо сравнить несколько возможных наборов значений параметров проектирования (d, а), чтобы найти такой набор, который минимизирует средние потери, вызванные неправильной классификацией сигнала. (Выражаясь точнее, инженеру нужно максимизировать пропускную способность канала. Этот критерий из теории информации приводит к аналогичному анализу [6].) Допустим, что инженеры не могут измерять напряжения, но могут послать известную последовательность нулей и единиц через канал и наблюдать результаты на выходе.
В чем заключается удобный способ нахождения оптимального значения параметров проектирования (d, а)? Можно последовать процедуре 2. Чтобы показать, как это сделать, допустим сначала, что ошибка, вызываемая помехой, имеет нормальное распределение:
309
Глава 12
I ° J I ° J
где a — пороговое напряжение, Ф — стандартная функция нормального распределения. Функция
R(d,a) = - Ф ----- +Ф ----
2|_ сг J сг J
минимизируется при a*(d) = [/z0(d) + jtZj (d)]/2. Это значит, что для данного набора d оптимальное значение порогового напряжения равно полусумме двух средних переданных напряжений (это легко доказать). Используя соотношение
фГ a (d)-/V
можно показать, что
tf(d,a(d)) = фГ^°+/Z|)/2 сг
\ф|Ч-/У , I 2<т >
(^-^/сг+Са-^/о
2
Отсюда следует
Ф 1 ( D ) + Ф'Ч Р ) А ада-(ф)=ф	W (16)
у1 )
Функция
F(d) - nun /?(d,n) = Z?(d,«*(<!))
является мерой PERMIA, потому что она может быть использована для определения значений нерегулируемых параметров проектирования d, при которых выход канала оптимален независимо от значения регулируемого параметра а. Это значит, что инженер может использовать приведенную
310
Выходные меры, не зависящие от регулирования
ниже двухэтапную процедуру для нахождения оптимального набора (<Г, а*) для (d, а).
Процедура 6.
Этап 1. Найти набор d‘, минимизирующий функцию
Ф"‘(/?0(д,а)) + Ф ‘(/?,(d,a))
2
при произвольном а.
Этап 2. Найти а*, для которого p0(d*, а*) =	(d*, а‘). Этап 2
необходим, потому что вероятности неправильной классификации равны тогда и только тогда, когда а минимизирует /?(d*. а). Этап 2 осуществляется эмпирическим регулированием (увеличением и уменьшением) а до тех пор, пока вероятности неправильной классификации не станут равными.
Отметим, что без процедуры 6 нахождение оптимального набора d* включало бы упомянутое выше эмпирическое регулирование а, которое занимает много времени, для каждого возможного значения d.
12.5.2.	Объяснение отношения S/N Тагути
Тагути и Фадке [3] (следуя [2]) предложили формулу, отличную от (16), для их двухэтапной процедуры. Мы нашли, что их формула вытекает из приведенной выше аргументации, если ошибка £, вызванная помехой, имеет стандартное логистическое распределение, а не стандартное нормальное распределение. Однако Тагути и Фадке не приняли такую величину как меру выхода. Вместо этого они использовали убывающую функцию от нее, которую назвали отношением S/N. В приложении Б мы показываем, что это отношение S/N было бы значимой мерой, если бы проблема двоичного канала была модифицирована так, что принимаемые напряжения оказались бы измеряемыми. Читатель, интересующийся применением отношения S/N в параметрическом проектировании технических средств связи, может обратиться к приложению Б.
311
Глава 12
12.6.	Регулируемые параметры на практике
12.6.1.	Как возникают регулируемые параметры на практике
Проблема идентификации регулируемых параметров проектирования может показаться трудной, однако на практике эти параметры часто определяют, исходя из инженерных знаний и условий проектирования изделия или процесса. Регулируемые параметры — это обычно такие параметры проектирования, которые используются для тонкой настройки выхода после того, как установлены другие, более трудно изменяемые, параметры проектирования.
Приведенные выше примеры регулируемых параметров включают размер изложницы, используемой при изготовлении керамических плиток, деления шкалы измерительного прибора и передаточное отношение в механизме управления автомобиля (приложение А). Другие примеры регулируемых параметров — это длина маятника в часах и ручки регулирования низких и высоких частот, громкости и баланса в стереоприемнике.
12.6.2.	Значение регулируемых параметров для разработчиков изделия и процесса
Регулируемые параметры часто специально разрабатываются для изделия или процесса, чтобы сделать более гибкой разработку. Например, определенные изменения в характеристиках изделия или процесса можно скорректировать путем изменения значений регулируемых параметров. В примере с керамической плиткой изменение требуемого размера плитки легко скорректировать путем изменения размера изложницы. Рецептуру плитки изменять не требуется.
В других примерах регулируемые параметры могут обеспечить приспособляемость изделия к изменчивости условий эксплуатации. Например, регулирование пылесоса по высоте ковра обеспечивает хорошую очистку по всей высоте ворса ковра.
312
Выходные меры, не зависящие от регулирования
12.6.3.	Достоинства выходной меры, не зависящей от регулируемых параметров
Когда регулируемые параметры включены в проектирование изделия или процесса, мера выхода изделия и процесса, не зависящая от них, может быть весьма полезной. Например, когда регулируемый параметр предназначен для подстройки к будущим изменениям характеристик разработки (например, желаемого размера плитки), использование величины PERMIA как меры выхода обеспечивает то, что значения нерегулируемых параметров, оптимальные для некоторого набора характеристик, будут также оптимальными для других наборов характеристик.
Если регулировка будет осуществляться потребителем, мера PERMIA может быть особенно полезна для разработчика изделия. Она позволяет разработчику оценивать выход изделия независимо от регулирования, которое может осуществить потребитель для приспособления изделия к своей конкретной ситуации. Для разработчика изделия мера PERMIA определяет выход таким, каким бы он был после соответствующей регулировки. Нет необходимости проверять каждый альтернативный проект изделия для каждого варианта условий его эксплуатации.
Использование меры PERMIA также уменьшает размерность проблемы оптимального параметрического проектирования. Такое уменьшение может быть полезным, поскольку в общем случае облегчает решение проблем оптимизации.
Мера PERMIA может иногда использоваться для преобразования проблемы оптимального параметрического проектирования с ограничениями в проблему без ограничений, как в случае статической проблемы параметрического проектирования (см. обсуждение процедуры 3).
Меры PERMIA можно применять для упрощения экспериментов по параметрическому проектированию. Эти меры можно получить аналитически, используя минимум технических знаний об изделии или ходе процесса (которые учитываются моделью). Для идентификации и подгонки эмпирической модели используются функции P(d) и R(d*, а), а не более сложная функция R(d, а), для которой
313
Глава 12
может потребоваться учет взаимодействий между параметрами d и а.
12.6.4.	Эмпирические методы идентификации меры PERMIA
Выбор меры выхода, не зависящей от регулирования, определяется сведениями о виде передаточной функции. В некоторых приложениях технические знания могут свидетельствовать в пользу мультипликативной модели, подобной (2), а не аддитивной, как (7). Эмпирические исследования могут проверять или дополнять технические знания. Для статического случая Бокс [5] описал способ исследования формы модели передаточной функции с помощью оценивания преобразования выхода Y, требуемого для обеспечения аддитивности модели передаточной функции.
12.7.	Выводы
Параметрическое проектирование— процесс поиска таких проектов изделия, которые нечувствительны к помехам, выражающимся в изменчивости условий производства и окружающей среды. Цель параметрического проектирования — найти такие значения параметров проектирования изделия, которые минимизируют ожидаемые потери из-за помех. Г. Тагути впервые использовал статистически планируемые эксперименты для параметрического проектирования. Его работы привели к широкому использованию этого метода в Японии и росту числа приложений в промышленности США.
При параметрическом проектировании Тагути использовал меры выхода, которые он назвал отношениями S/N [2,3]. В общем случае он не установил связи между этими мерами выхода и поставленной им целью — минимизацией потерь, вызванных помехами.
В настоящей главе мы показали, что если принять определенные модели отклика для изделия или процесса, то максимизация отношения S/N приводит к минимизации потерь. С помощью отношения S/N используется преимущество су
314
Выходные меры, не зависящие от регулирования
ществования специальных параметров проектирования, называемых регулируемыми параметрами. Когда они существуют, использование отношения S/N приводит к процедуре оптимизации параметров проектирования, состоящей из двух меньших по объему этапов.
В таких случаях возможность найти двухэтапную процедуру оптимизации представляется главным побуждением Тагути к использованию отношений S/N. Однако когда равноправны различные модели, двухэтапная процедура осуществима только при использовании меры выхода, отличной от отношения S/N. Существует много практических задач, в которых отношение S/N зависит от регулируемых параметров, и его использование может не привести к оптимальным значениям параметров проектирования.
Поскольку регулируемые параметры приносят определенную пользу разработчикам изделия или процесса, мы предлагаем меры выхода, выгодно использующие существование регулируемых параметров и более общие, чем отношение S/N Тагути. Мы называем их мерами выхода, не зависящими от регулирования (сокращенно PERMIA).
Когда регулируемые параметры существуют, меры PERMIA можно получить непосредственно, если известны функция потерь и общий вид передаточной функции. Мы предложили процедуры вывода этих мер и проиллюстрировали их использование на нескольких общих примерах параметрического проектирования. В некоторых случаях соответствующие процедуры непосредственно приводят к отношению S/АТагути.
[Обсуждение этой главы и ответы авторов приведены в журнале Technometrics, vol. 29, no. 3 (August 1987): 266—285.]
Приложение A
Проектирование механизма управления грузовиком
В этом разделе мы показываем, как мера PERMIA возникает в практической проблеме параметрического проектирования системы управления, а именно проек
315
Глава 12
тирования механизма управления грузовиком. Этот пример — модификация примера, данного в [1], — также иллюстрирует, как возникают регулируемые параметры на практике. Водитель грузовика выбирает угол поворота руля s, чтобы повернуть по радиусу I. (Угол поворота пути, возможно, представляется более естественной мерой отклика грузовика на определенный угол поворота руля, однако радиус поворота пути значительно легче измерить.) Выбор угла поворота руля определяется стратегией управления водителя. При проектировании механизма управления грузовиком цель инженера состоит в минимизации ожидаемых потерь, вызванных отклонением действительного радиуса поворота грузовика от намечаемого водителем. Это отклонение вызывается такими помехами, как состояние покрытия дороги, положение нагрузки и давление в шинах. (Скорость движения является еще одной помехой, которая сильно влияет на то, как грузовик реагирует на данный угол поворота руля. Для простоты мы принимаем, что скорость движения постоянна. Решение этой задачи, включающее скорость как фактор помехи, дано в работе [ 1 ].)
Как отмечалось выше, один из методов сделать механизм управления нечувствительным к помехам заключается в том, чтобы заварить механизм управления так, что грузовик всегда будет ехать прямо. Но это не будет решением проблемы, потому что вместе с минимизацией чувствительности к помехам конструкция должна обеспечивать любой нужный поворот при удобном угле поворота руля. Вследствие того что при уменьшении угла поворота руля усилие, требуемое для совершения поворота, возрастает, удобный угол не должен быть ни слишком мал, ни слишком велик, поскольку малые углы требуют слишком больших усилий, а большие углы могут потребовать слишком многих перехватов рулевого колеса. Предположим, что водителю требуется делать повороты радиусом от tL до tfl метров, а удобные углы поворота руля при таких поворотах принимают значения от s( до s градусов.
Блок-схема на рис. 12.3 описывает проблему с точки зрения параметрического проектирования. Водитель грузовика, намеревающийся сделать поворот радиусом t, выбирает угол поворота s, используя свою стратегию управления s(t). Гру
316
Выходные меры, не зависящие от регулирования
зовик реагирует на действия водителя радиусом поворота Y, который зависит от угла поворота руля s, факторов помех N и конструкции механизма управления.
В данном примере конструкция механизма управления определяется тремя параметрами проектирования: жесткостью передних амортизаторов А, геометрией рулевого механизма В и передаточным отношением G. С точки зрения геометрии рулевого механизма разумно допустить, что соотношение между Y, s, N, А, В и G задается следующей передаточной функцией:
Y = (GsyS("AB),	(17)
где § — положительная функция. Логарифмируя и делая некоторые очевидные замены, передаточную функцию можно написать в виде соотношения
IgF = [a(A,B,G)~ /3(A,B)lgs(N,A,B),	(18)
для которого мы вводим условие EN (£ (N, А,В)) = 1. Модель (18) подобна модели (14) из разд. 12.4.2 за исключением того, что ошибка теперь мультипликативная, а не аддитивная. Обе модели, однако, приводят к одной и той же мере PERMIA, как показано ниже.
Повторим , что цель разработчика — поиск таких значений параметров проектирования, которые минимизируют ожидаемые потери, вызванные отклонением Yот t. Если эти потери имеют вид £(У, 1) = (У — t)2, то тогда меры PERMIA, по-видимому, не существует. Однако меру PERMIA можно получить, если потери хорошо аппроксимируются выражением L(Y, t) = (1g У — 1g t)2. Тогда ожидаемые потери определяются соотношением
R(A, B,G) = Е En[ 1g У - 1g 1)2|Д В, G, s(t)] =
= Е {VarN(lg У]Д В, G, 1) + [En( 1g У]А, В, G, t) - 1g I]2}.
Следовательно, принимая следующую стратегию управления: s(l) = {s:EN(lgy|AB,G,l) = Igl}, для модели (18) получим соотношение
R(AB,G) = E((lgl)2)cr (А В),
где сг2 (А, В) = VarN (£ (N, А, В)). Следовательно, способность водителя сделать желаемый поворот измеряется величиной
(У2 (А, В).	(19)
317
Глава 12
Однако чтобы минимизировать сг2 (А, В) недостаточно только найти значения А и В. Повторим, что механизм управления должен обеспечивать любой поворот радиусом от tL до t метров при углах поворота руля между sL и sH градусов. Из модели (18) следует, что это возможно в среднем, если угловой коэффициент удовлетворяет неравенству
/32(A,B)>[(\gtL-\gtH)/(\gsH -IgsJ]2- (20) Если конструкция удовлетворяет этому ограничению, передаточное отношение G может быть подобрано так, что
Е( 1g У1Д В, G, sH) < 1g tL < 1g tH < E( 1g У]А, B, G, sL).
Отметим, что ни мера выхода а 2 (А, В), ни ограничение (20) не зависят от передаточного отношения G, т.е. (У2 (А, В) есть мера PERMIA, и ее оптимизация при ограничении (20) может быть проведена независимо от значения регулируемого параметра G.
Отметим, что в случае модели (18) неясно, как ее использовать вместе с отношением S/N Тагути (12) для непрерывно-непрерывных динамических проблем параметрического проектирования.
Приложение Б
Отношение S/Л/Тагути для двоичного канала
Инженеры-связисты часто используют отношение S/N как меру пропускной способности канала, потому что для многих типов каналов вероятность ошибки при передаче информации—убывающая функция отношения S/N, или пропускная способность — возрастающая функция отношения S/N. Пропускная способность — это теоретический максимум скорости передачи двоичной информации по каналу связи (см. гл. 8 и 9 в книге [6]).
Допустим, что в разд. 12.5 принятые напряжения ц() +<те и щ +<7Е измеряемы.Пусть ц = (ц0 + дД/З, а0 = ц0 - д, at = щ - д и е'=<уе • Тогда принятые напряжения ХД/= 1,2,...) описываются соотношениями X.. = u + а. +е' к =0,1,<Х, +а, =0,
е' wig N(0,a2).	(21)
318
Выходные меры, не зависящие от регулирования
Дисперсия ст2 является средней мощностью помехи, а дисперсия о2 = (ад + а,2)/ 2 = а(? = а2 — средней мощностью сигнала. (Поскольку мощность равна произведению напряжения на ток и по закону Ома напряжение пропорционально току, мощность пропорциональна квадрату напряжения.) Следовательно, величина ст2/ст2 есть отношение средней мощности сигнала к средней мощности помехи (отношение S/N), а выражение 101g(cr2/ст2) показывает, как велика мощность сигнала по сравнению с мощностью помехи в децибелах.
Теперь, как показано в гл. 8 книги [7], вероятность ошибки передачи после выравнивания — убывающая функция отношения S/N. Следовательно, определение значений переменных проектирования, минимизирующих эту вероятность, сводится к поиску значений, максимизирующих отношение S/N или эквивалентное ему отношение, выраженное в децибелах. Другими словами, отношение S/N — правильная мера выхода.
Задача состоит в оценивании отношения S/N на основе посылки известной последовательности п нулей и п единиц через канал. Можно считать, что модель (21) представляет однофакторную проблему дисперсионного анализа. Тогда оказывается, что математическое ожидание среднего квадрата разброса (MST) определяется выражением E(MST) = ст2 + л(2ст2), а математическое ожидание среднего квадрата ошибки (MSE) — выражением E(MSE) = cr2  Следовательно, простая оценка отношения S/N, равная ст2 / ст2, является оценкой по методу моментов, которая имеет вид (MST — MSE)/2nMSE. Поэтому при проведении эксперимента надо попробовать найти такие значения переменных проектирования, которые максимизируют величину
101g [(MST —MSE)/(nMSE)J.	(22)
Однако в первоначальной проблеме двоичного канала напряжение неизмеряемо. При решении этой проблемы Тагути и Фадке [3] предложили использовать оценку (22) на двоичном выходе. Двоичный выход применяется для вычисления величин MST и MSE, которые затем подставляются в
319
Глава 12
формулу (22). После алгебраических преобразований полу чается соотношение
?7 = 101g ((1 - р0 - ру )2 /[р0 (1 - р0) + р{ (1 - рх)]} •	(23)
Затем они использовали формулу, эквивалентную (16) при условии, что Ф — стандартная логистическая плотность распределения, а не стандартная нормальная плотность распределения. При подстановке выражения (16) в формулу (23) они получили величину, которую назвали отношением S/N после выравнивания:
ц = 101ё{(1-2<?)2/[2д(1-д)]}.	(24)
Здесь q— аналог величины 7?(d,a*(d)) в формуле (16) для логистического распределения.
К сожалению, модель (21) не адекватна, когда Xjk(z = 1, 2, ..., п; к = 1,2) —двоичные переменные. Кроме того, поскольку эти двоичные переменные не являются напряжениями (или токами), неясно, в каком смысле 1] будет убывающей функцией дна интервале (0, 1/2), поскольку после алгебраических преобразований можно получить
т] = 101g(8/[l/(<7-0,5)2-4]} •
Таким образом, значения параметров проектирования, которые максимизируют 7], также минимизируют д. Отсюда следует, что подход Тагути и Фадке [3] эквивалентен описанному в разд. 12.5.1.
Глава 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ ТАГУТИ
К. Дехнад
13.1.	Введение
Метод Тагути — эмпирический метод повышения качества изделия или процесса (системы). Он состоит в экспериментальном определении таких значений параметров системы, которые делают систему нечувствительной (робастной) к факторам, ухудшающим ее выход [ 1 ]. Успешное применение этого метода к различным техническим проблемам вызвало интерес у статистиков к изучению методологии и введению в нее традиционных статистических схем. Особый интерес был связан с понятием «отношение сигнал/шум» (отношение S/N}, которое проф. Тагути использовал для оценки вклада параметров системы1 в изменчивость ее функциональных характеристик. Крометого, он использовал отношение S/N в двухэтапной процедуре оптимизации, направленной на уменьшение изменчивости этих функциональных характеристик с помощью подбора соответствующих значений параметров системы. Этап 1 состоит в проведении высокодробного факторного эксперимента (планы с ортогональной матрицей) при различных уровнях параметров системы и использовании полученных данных для отбора уровней, максимизирующих отношение S/N. Так уменьшается изменчивость функциональной характеристики системы. Однако эта характеристика может не совпадать с заданным значением, и следующий этап направлен на устранение такого несовпадения с помощью регулирования параметра системы, называемого «регулируемым фактором»1 2.
Тагути не дал формального определения отношения S/N и правила для его выбора. Были попытки [1—3] формально
1 В словаре терминов: управляемые параметры.
2 В словаре терминов: регулируемый параметр.
321
Глава 13
определить и интерпретировать это понятие; Тагути и Фадке [4] разделили технические проблемы на общие категории и предложили варианты отношения S/N для каждой категории.
В настоящей главе сначала используется понятие функции квадратичных потерь, чтобы прийти к формальному определению отношения S/N как меры углового отклонения функциональной характеристики системы от заданного значения. В разд. 13.3 рассматривается двухэтапная процедура оптимизации, основанная на понятиях «отношение S/N» и «регулируемый фактор», и дается ее геометрическая интерпретация. Показывается, что эта процедура действительно минимизирует ожидаемые потери. В разд. 13.4 используется прикладное исследование д ля иллюстрации результатов предыдущих разделов. Наконец, в разд. 13.5 на примере канала связи доказывается, что формальное применение методологии может привести к ошибочным результатам. Детали некоторых математических выкладок, используемых в главе, представлены в приложении.
13.2.	Отношение сигнал/шум
В этом разделе мы формально определяем понятие «отношение сигнал/шум» как меру углового отклонения функциональной характеристики системы от заданного значения. Сначала мы вводим некоторые обозначения и терминологию, которые используются в тексте.
Следуя [4], мы представляем систему (т.е. изделие или процесс) P-схемой (рис. 13.1). На этой схеме М— вход1; у — выход, z — вектор управляемых факторов1 2, чьи уровни устанавливаются разработчиком; f— передаточная функция; х — помеха, которая может вызывать отклонение у от заданного значения у0. Более подробное описание этих понятий дано в работах [3, 4]. Любое отклонение у от у0 приводит к потерям качества, и во многих случаях эти потери
1 В словаре терминов: сигнальный параметр.
2 В словаре терминов: управляемые параметры.
322
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
Рис. 13.1. Р-схема изделия или процесса
удовлетворительно аппроксимируются квадратичной функцией Z(y) = к(у — у0)2. Обоснование этого выражения и способ определения коэффициента к, основанный на экономических соображениях, приводятся в работах [1, 5]. Часто бывает, что к является функцией входа М; например, в случае термостата рефрижератора потери из-за отклонения температуры от заданного значения могут зависеть от этого значения, а также от величины отклонения. Уже относительно небольшое отклонение от заданной температуры может привести к порче продуктов и значительным потерям.
Если к зависит от входа М, ожидаемые потери для данных конфигурации z системы и входа М определяются соотношением
Q(M) =	)]2</Р,(л),	(1)
где РД.) — распределение помехи и к(М) > О — коэффициент квадратичной функции потерь. Общие ожидаемые поте-
323
Глава 13
от заданного значения
Рис. 13.2. Угловое отклонение отклика
Рис. 13.3. Разложение потерь на составляющие
ри получаются суммированием (1) по частотам различных значений входа. Если Р2(.) — распределение значений входа М, то ожидаемые потери выражаются формулой
~Q =jQ(M)JP2(M) = ||/(z)-<g0||2.
Эта величина имеет свойство квадрата расстояния между функциями f и g0 .Далее, мы можем формально определить угол Q между f и g0 следующим соотношением (рис. 13.2 и приложение):
cos в = Jк(М)(/• g)dPl(x)dP2(М)/(||/|| ||g0||)
324
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
Рис. 13.4. Разложение отклика на составляющие
Здесь допускается, что распределение помехи РД.) не зависит от входного сигнала М. Это допущение в случае термостата выражается в том, что факторы помех, например уровень влажности, не зависят от температуры термостата.
Поскольку в данной геометрии g0 -(|| g0 || /1| f ||) cos Of' перпендикулярно к f, то на основании теоремы Пифагора ожидаемые потери могут быть представлены в виде суммы двух составляющих (рис. 13.3):
Il f - g0 им f cos^ II2 + II " liTifcos^l|2 •
Одну из этих двух составляющих, а именно ll/-(ll^o ||/И/1|)cost'll2 , называемую регулируемой составляющей потерь, обычно можно легко корректировать. Например, в случае термостата, если фактическая температура всегда вдвое превышает выбранное значение, проблема легко решается путем калибровки. Составляющую II go - (II go II! II f ID CCW IP в обЩем случае трудно регулировать, и поэтому она называется нерегулируемой составляющей потерь. После устранения систематической части потери принимают вид || gQ ||2 sin2 0, и в таком случае минимизация потерь эквивалентна минимизации угла 0 . Этот угол можно рассматривать как угловое отклонение отклика f от заданного значения g0 , а убывающая функция 0 называется отношением сигнал/шум.
325
Глава 13
На практике выбор определенного отношения S/N зависит от таких соображений, как желаемый диапазон величины .57/V или ее аддитивность по отношению к определенным параметрам системы. Широко используемой мерой является функция lgctg20 .Функция ctg20 является мерой отношения желаемой части выходного «сигнала» к нежелаемой части — «помехе» (рис. 13.4). Когда заданное значение фиксировано, т.е. g0 = /.i0, имеем
C0G3g_ №J]]2 _/z0W]2_	Е[/2]	_
Е[^]Е[/2] /гс2Е[/П Var[/] + E[/2]
= l/{l + Var[./]/E[./2]}.
Также имеемcos!6 = ctg26/[ctg26 +1]; поэтому ctg/= E[ / ]2/Var[/].
Итак, если отношениеS/N—возрастающая функция ctg20 , то его максимизация эквивалентна минимизации коэффициента вариации.
13.3.	Масштабный фактор и двухэтапная процедура оптимизации
Один из способов повышения качества системы, т.е. уменьшения ожидаемых потерь || f — g0 ||2, состоит в определении надлежащих значений параметров системы. Чтобы сделать систему нечувствительной к внешним факторам (помехам), обращаются к «робастному проектированию системы» и достигают цели аналитическими методами, если известна передаточная функция f . При отсутствии сведений об f эмпирическим путем приходят к лучшим значениям параметров процесса.
При выборе значения параметра с целью уменьшения потерь следует рассмотреть, как этот выбор влияет на регулируемую и нерегулируемую составляющие потерь, что может быть сложной задачей. Однако при наличии управляемого параметра zp называемого регулируемым фактором, который удовлетворяет соотношению / (х, М; z]F z) = = / (zj /, (х, М; z), можно не рассматривать одновремен
326
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
ное влияние нашего воздействия на две составляющие потерь. В этом случае можно сначала выбрать уровни параметров, которые максимизируют отношение S/N. Это минимизирует угловое отклонение системы от заданного значения и, следовательно, нерегулируемую составляющую потерь (рис. 13.2). Кроме того, при выборе уровней параметров нам не надо заботиться о влиянии нашего воздействия на регулируемую составляющую потерь, поскольку мы всегда можем ее устранить путем выбора надлежащего значения регулируемого фактора. Такие регулировки не влияют на отношение S/Nn, значит, на нерегулируемую составляющую потерь. Чтобы показать это, приведем следующие равенства:
cos,e [Ел°я АЕлЛ]2 [Елхг Egc2[Er] ZWW:2] Е^оНЕЛ2]'
Отсюда следует, что cos в и соответственно в не зависят от z, поэтому изменение этого фактора не влияет на угловое отклонение отклика от заданного значения. Следовательно, мы можем использовать этот фактор для устранения любо] о регулируемого отклонения отклика от заданного значения без влияния на нерегулируемую составляющую потерь, которая попутно уже была минимизирована.
Упомянутая выше двухэтаппая процедура включает следующие этапы.
1.	Определение таких уровней управляемых факторов, которые максимизируют отношение S/N. При этом минимизируется угловое отклонение отклика от заданного значения и, следовательно, нерегулируемая составляющая потерь.
2.	Использование регулируемого фактора (факторов) для устранения любого регулируемого отклонения отклика от заданного значения.
Эта процедура значительно упрощает задачу достижения наилучших значений параметров процесса, устраняя необходимость одновременного анализа двух составляющих потерь при выборе новых значений параметров системы. К тому же, если изменяется масштаб заданного значения, нет необходимости пересматривать все параметры системы, посколь
327
Глава 13
ку это изменение не влияет на угловое отклонение отклика и, следовательно, на регулируемую составляющую потерь, и поэтому не надо повторно регулировать параметры, влияющие на эту составляющую потерь (рис. 13.3). Указанное выше изменение влияет только на регулируемую составляющую потерь, и эти потери можно легко изменить, используя регулируемый фактор.
На практике, если регулируемые факторы неизвестны заранее, то для их идентификации можно применить анализ данных, а также графические и статистические методы. Кроме того, если существует более одного регулируемого фактора, то выбор одного из них обычно основывается на практических соображениях (таких, например, как легкость изменения). В случае фотолитографии окон [6] (разд. 13.4) было обнаружено, что регулируемым фактором является вязкость, однако ею нелегко управлять, и поэтому предпочтение было отдано времени экспонирования, которым управлять легче.
Очевидно, что предыдущие рассуждения основаны на квадратичной функции потерь. Обобщение концепции «отношение сигнал/шум» и соответствующая двухэтапная процедура оптимизации даны в работе [3].
13.4.	Прикладной анализ
Для иллюстрации рассуждений, приведенных в предыдущих разделах, рассмотрим исследование Фадке и др. [6]. Цель исследования — увеличить выход годных интегральных схем в процессе их производства. Здесь мы рассматриваем только часть исследования, которая относится к повышению качества формирования ширины линии до травления, т.е. к уменьшению разброса при поддержании средней ширины, равной заданному значению. Читатель, интересующийся подробностями, может обратиться к статье [6].
Факторы, идентифицированные как параметры системы, и их уровни даны в табл. 13.1. Согласно табл. 13.2, были проведены 18 испытаний. В каждом из них использовались две пластины, и на каждой пластине проводились пять измере-
328
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
Таблица 13.1. Тестовые уровни
Фактор			Уровень	
обозначение	название			
А	Размер на фотошаб-			
	лоне, мкм		2	2,5
В	Вязкость		204	206
С	Частота вращения,			
	об/мин	Низкая	Нормальная	Высокая
D	Температура сушки,°C	90	105	
Е	Время сушки, мин	20	30	40
F	Апертура	1	2	3
G	Время экспониро-			
	вания	На 20%	На 20%	
		выше	ниже	
		норм.	норм.	
Н	Время проявления, с	30	45	60
I	Время плазменного			
	травления, мин	14,5	13,2	15,8
Зависимость частоты вращения от вязкости
Частота вращения, Ю3 об/мин
	низкая	нормальная	высокая
Вязкость	204	2	3	4
20G	3	4	5
Зависимость времени экспонирования от апертуры
Время экспонирования
	на 20% выше нормального		нормальное	на 20% ниже нормального
Апертура	1	96	120	144
	2	72	90	108
	3	40	50	60
329
Глава 13
Таблица 13.2. Ортогональная матрица £|8
Номер		Номера столбцов и факторов						
испыта-	1	2	3	4	5	6	7	8
								
	А	BD	С	Е	F	G	Н	I
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	2	2	2	2	2	2
3	1	1	3	3	3	3	3	3
4	1	2	1	1	2	2	3	3
5	1	2	2	2	3	3	1	1
6	1	2	3	3	1	1	2	2
7	1	3	1	2	1	3	2	3
8	1	3	2	3	2	1	3	1
9	1	3	3	1	3	2	1	2
10	2	1	1	3	3	2	2	1
11	2	1	2	1	1	3	3	2
12	2	1	3	2	2	1	1	3
13	2	2	1	2	3	1	3	2
14	2	2	2	3	1	2	1	3
15	2	2	3	1	2	3	2	1
16	2	3	1	3	2	3	1	2
17	2	3	2	1	3	1	2	3
18	2	3	3	2	1	2	3	1
ний ширины линий до травления (табл. 13.3). Отношение сигнал/шум бралось в виде
средняя ширина линии
S/N 1g стандартное отклонение ширины линии ‘
Средняя ширина линии и отношение S/N, соответствующее каждому испытанию, даны в табл. 13.4. В предположении линейной зависимости отношения S/N от параметров проектирования в табл. 13.5 приведены его значения для различных уровней параметров проектирования. В табл. 13.6 представлены средние значения ширины линии для различных уровней параметров проектирования, в табл. 13.7 — значения из табл. 13.6, выраженные через угловое отклонение отклика от заданного значения.
330
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
Таблица 13.3. Экспериментальные данные по ширине линий
Номер испытания	Ширина линий, мкм			слева	справа	Примечание
	сверху	в центре	внизу			
1	2,43	2,52	2,63	2,52	2,5	
1	2,36	2,5	2,62	2,43	2,49	
2	2,76	2,66	2,74	2,6	2,53	
2	2,66	2,73	2,95	2,57	2,64	
3	2,82	2,71	2,78	2,55	2,36	
3	2,76	2,67	2,9	2,62	2,43	
4	2,02	2,06	2,21	1,98	2,13	
4	1,85	1,66	2,07	1,81	1,83	
5						Пластина
5	1,87	1,78	2,07	1,8	1,83	сломалась
6	2,51	2,56	2,55	2,45	2.53	
6	2,68	2,6	2,85	2,55	2,56	
7	1,99	1,99	2,11	1,99	2,0	
7	1,96	2,2	2,04	2,01	2,03	
8	3,15	3,44	3,67	3,09	3,06	
8	3,27	3,29	3,49	3,02	3,19	
9	3.0	2,91	3,07	2,66	2,74	
9	2,73	2,79	3,0	2,69	2,7	
10	2,69	2,50	2,51	2,46	2,4	
10	2,75	2,73	2,75	2,78	3,03	
11	3,2	3,19	3,32	3,2	3,15	
11	3,07	3,14	3,14	3,13	3,12	
12	3,21	3,32	3,33	3,23	3,10	
12	3,48	3,44	3,49	3,25	3,38	
13	2,6	2,56	2,62	2,55	2,56	
13	2,53	2,49	2,79	2,5	2,56	
14	2,18	2,2	2,45	2,22	2,32	
14	2,33	2,2	2,41	2,37	2,38	
15	2,45	2,50	2,51	2,43	2,43	Пластины
15	-	-	-	-	•	нет
16	2,67	2,53	2,72	2,7	2.6	
16	2,76	2,67	2,73	2,69	2,6	
17	3,31	3,3	3,44	3,12	3,14	
17	3,12	2,97	3,18	3,03	2,95	
18	3,46	3,49	3,5	3,45	3,57	Пластины
18	-	-	-	-	-	нет
331
Глава 13
Таблица 13.4. Ширина линий и значения S/Nfip травления
Номер испытания	Ширина линии		U-lg(Z/5)
	средняя % , мкм	стандарт отклонение S, мкм	
1	2,500	0,0827	1,4803
2	2,684	0,1196	1,3512
3	2,660	0,1722	1,1889
4	1,962	0,1696	1,0632
5	1,870	0,1168	1,2043
6	2,584	0,1106	1,3686
7	2,032	0,0718	1,4520
8	3,267	0,2101	1,1917
9	2,829	0,1516	1,2709
10	2,660	0,1912	1,1434
11	3,166	0,0674	1,6721
12	3,323	0,1274	1,4165
13	2,576	0,0850	1,4815
14	2,308	0,0964	1,3788
15	2,464	0,0385	1,8065
16	2,667	0,0706	1,5775
17	3,156	0,1569	1,3036
18	3,494	0,0473	1,8692
Для определения возможных масштабных факторов дан-ныетабл. 13.6и 13.7 были представлены графически (рис. 13.5). На рис. 13.5 пунктирные линии представляют первый уровень параметра проектирования, штриховые — второй, сплошные — третий. Длина линии соответствует среднему значению, угол наклона — угловому отклонению (200 ) отклика от заданного значения.
Из графиков можно видеть, что факторы А и F имеют явно выраженное влияние на угловое отклонение отклика (и, следовательно, на нерегулируемую составляющую потерь), а фактор В, по-видимому, пригоден для использования в качестве масштабного фактора. Однако на практике предпочтение было отдано фактору С, поскольку вязкость трудно контролировать и регулировать.
332
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
Таблица 13.5. Средние значения отношения S/N для различных уровней параметров проектирования до травления
	Фактор	-	Среднее S/N		
		уровень 1	уровень 2	уровень 3
А	Размер на фото-			
	шаблоне	1,2857	1,5166	
BD	Вязкость х темпе-			
	ратура сушки	(B,D,) 1,3754	(B.D,) 11.3838	(B,D2) 1.4442
В	Вязкость	1,4098	1,3838	
С	Частота вращения	1,3663	1,3503	1,4868
D	Температура сушки	1,3796	1,4442	
Е	Время сушки	1,4328	1,4625	1,3082
F	Апертура	1,5368	1.4011	1,2654
G	Время экспонирования	1,3737	1,3461	1,4836
Н	Время проявления	1,3881	1,4042	1,4111
Общее среднее значение отношения S/Л'равно 1,4011.				
Таблица 13.6. Средние значения ширины линии до травления для различных уровней параметров проектирования
	Фактор	—	Средняя ширина линии, мкм		
		уровень 1	уровень 2	уровень 3
А	Размер на фотошаблоне	2,39	2,87	
BD	Вязкость х темпе-			
	ратура сушки	(B,D,) 2,83	(B.,D,)2,31	(BjD,) 2,74
В	Вязкость	2,79	2,31	
С	Частота вращения	2,40	2,59	2,89
D	Температура сушки	2,57	2,74	
Е	Время сушки	2,68	2,68	2,53
F	Апертура	2,68	2,56	2,64
G	Время экспонирования	2,74	2,66	2,49
Н	Время проявления	2,60	2,60	2,69
Общее среднее значение ширины линии равно 2,63 мкм.
333
Глава 13
13.5.	Канал связи
Основным этапом в применении процедуры оптимизации, описанной выше, является надлежащая формулировка практической задачи. Для этого надо использовать технические знания и анализ данных, поскольку мы не можем упрощенно рассматривать техническую проблему как «черный ящик» и надеяться решить ее без учета внутренних характеристик работы системы, а только на основе характеристик элементов ее P-схемы, т.е. на основе данных о том, что, например, является ли вход дискретным, а выход — непрерывным при фиксированном заданном значении и т.д. В случае оптимизации проектирования канала связи мы не можем задать численные значения входного и выходного сигналов и использовать упомянутую выше процедуру оптимизации, поскольку в этом случае потери не могут быть аппроксимированы квадратичной функцией выхода. Для большей точности канал связи можно представить наборами X и У переданного и принятого сигналов X = {x.|i = 1, 2,..., 1} и У = {yfr = 1, 2.J},
Таблица 13.7. Угловое отклонение отклика от заданного значения
	фактор	Среднее значение 20 6		
		уровень 1	уровень 2	уровень 3
А	Размер на фотошаблоне	60	34	
BD	Вязкость х темпе-			
	ратура сушки	48	48	42
В	Вязкость	44	48	
С	Частота вращения	50	52	38
D	Температура сушки	48	42	
Е	Время сушки	42	40	56
F	Апертура	34	46	62
G	Время экспониро-			
	вания	48	52	38
Н	Время проявления	46	46	44
Общее среднее значение отношения S/N равно 1,4011.
334
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
а. •
Температура сушки
Размер на фотошаблоне
Частота вращения
температура сушки
Рис. 13.5. Среднее значение и угловое отклонение отклика от заданного значения
а также матрицей I х J с элементами Р которые являются вероятностями передачи х. и приема у. Для этого канала емкость определяется как
тах[Я(Х)-ЩХ|У)],
Н(Х)
335
Глава 13
где /7(X) = H(pl,p2,...) = -£-=1p,lg(p,.),p(.(z =1,2,...,/) — вероятности передачи х. и Н (Л|У) — условная энтропия X при данном Y, т.е.
Н(Х I У) =	= yj]H(X IY = У,.).
;=1
По теореме Шеннона если энтропия источника Н(Х) меньше, чем емкость канала, то для любого заданного £ > 0 можно передать сообщение так, что вероятность неправильной классификации сигнала будет меньше, чем £. Отсюда следует, что цель при определении параметров проектирования канала — максимизировать емкость канала, т.е. минимизировать потери информации. Эти потери не могут быть удовлетворительно аппроксимированы квадратичной функцией отклика, которым является принятый сигнал, поскольку реальные сигналы X и У, которые могут не быть численными, не имеют значения, а важны вероятности Поэтому если взять наборы X и Гиз реальной линии связи и подвергнуть их анализу, то результат нельзя будет обосновать ни физическими, ни техническими соображениями. В специальном случае двоичного канала приписывая значения 0 и 1 переданному и принятому сигналам, получим соотношение
Е[| f — g0 Ь ] = вероятность ошибки, где f — отклик (принятый сигнал), g0 — заданное значение (переданный сигнал). Для симметричного двоичного канала (Рп = Р22 = Р) имеем
емкость канала = 1 — Н(р,1 — р) = 1 + pig р + (1 — p)lg(l — р). Для этого частного представления канала дисперсионный анализ принятого и переданного сигналов дает F-отношение, близкое, тем не менее, к емкости канала. Это F-отношение и основанный на нем анализ не должны рассматриваться как метод оптимизации проекта канала связи или системы с дискретными входом и выходом. Чтобы сформулировать проблему так, чтобы метод был применим для ее решения, нужны некоторые сведения о внутренних характеристиках работы канала, например, являются ли сигналы напряжениями с нормальным распределением и т.д. Для улучшения проекта канала надо определить, как различные параметры системы влияют на это распределение.
336
Геометрическая интерпретация отношения сигнал/шум
Как отмечалось выше, двухэтапная процедура оптимизации, описанная в разд. 13.3, основана на допущении, что потери системы оцениваются квадратичной функцией и существованием масштабного фактора; поэтому применимость методологии к определенной проблеме зависит от справедливости указанных допущений. На практике должны использоваться технические знания и анализ данных [7] для проверки этих допущений; если возможно, проблему следует переформулировать так, чтобы обеспечить применение метода.
13.6.	Заключение
Показано, что в случае квадратичной функции потерь потери из-за отклонения отклика системы от заданного значения можно разложить на две составляющие: нерегулируемую, связанную с угловым отклонением отклика от заданного значения, и регулируемую, которую обычно легко корректировать. Такие потери можно уменьшить с помощью выбора подходящих значений параметров системы, и существование регулируемого фактора упрощает эту операцию, потому что в таких случаях мы сначала максимизируем отношение S/N и затем устраняем любую регулируемую составляющую потерь. Мы также дали геометрическую интерпретацию этой двухэтапной процедуры и, рассмотрев канал связи, проиллюстрировали необходимость проверки обоснованности определенных допущений перед применением процедуры к проблеме оптимизации.
Приложение
Здесь мы показываем, что расстояние между откликом и его заданным значением является нормой, индуцированной мерами к(М)Р2(М) и Pt (х) пространств сигнала и помехи.
Вернемся к P-схеме, приведенной в разд. 13.2. В идеальном состоянии системы отклик не зависит от помехи х, т.е. f(M,x',г) — g0(M) . Однако на практике отклик отклоняется от заданного значения из-за помехи, и естественно узнать, как близка в среднем система к заданному состоянию. В разд. 13.2.
337
Глава 13
мы использовали квадратичную функцию потерь и основывали измерения на ожидаемых общих потерях. В этом случае, если dP2(M) и dP} (л) — вероятностные меры в пространствах входа и помехи соответственно, то dp = к(М )dP2(M')dPl(x) — мера в пространстве произведения входа и помехи, а ожидаемые общие потери даются величиной (х.1). Отметим, что, взяв за меру произведение, мы допускаем независимость помехи и входа. Кроме того, стандартный результат состоит в том, что положительной эрмитовой формой в пространстве квадратично интегрируемых функций сигнала и помехи является величина
(₽r^2) = /Ui-g2)2^ 
Величина || g ||= (g • g} является псевдонормой, и стандартный результат состоит в том, что это пространство можно преобразовать в пространство внутреннего произведения с индуцируемой нормой. В этом пространстве угол между элементами g{ и g2 определяется соотношением
COS(gpg2) = (g{  g2)/II g, ||1/2|| g2 ||1/2 .
Дополнительные результаты приведены в работе [8].
Глава 14. СТРАТЕГИЯ АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО ОБЕСПЕЧЕНИЮ КАЧЕСТВА
В. Нэйр, Д. Прегибон © 1986 AT&T
14.1.	Введение
Методы экспериментального проектирования были традиционно нацелены на идентификацию факторов, влияющих на уровень производственного процесса. Японцы, особенно Тагути [ 1 ], показали, что для повышения качества также нужно идентифицировать факторы, влияющие на изменчивость процесса. Установив эти факторы на их «оптимальных» уровнях, изделие можно сделать робастным к изменениям условий работы и среды на производственной линии. Представляют интерес эффекты как положения, так и дисперсии факторов проекта рования1. В настоящей главе изла гаются методы анализа данных экспериментов по оптимизации процесса с фиксированным заданным значением для улучшения качества.
Мы предлагаем аналитический подход к структурированию данных с тремя этапами анализа: исследование, моделирование и оптимизация. Цель исследования состоит в определении необходимости преобразования данных. Чтобы определить тип преобразования, эффекты положения и дисперсии, а также возможные нерегулярности в данных, используются графические методы. На этапе моделирования для идентификации важных факторов проектирования используются стандартные методы дисперсионного анализа, доношенные вероятностными кривыми оцениваемых эффектов. На этапе оптимизации интерпретируется модель, а также определяются оптимальные уровни факторов и возможные комбинации уровней факторов для оптимизации качества процесса.
Тагути и By [1] рекомендуют моделирование отношения сигнал/шум для определения важных дисперсионных эф
' В словаре терминов: управляемые параметры.
339
Глава 14
фектов. Оно практически эквивалентно применению логарифмического преобразования к данным и моделированию дисперсии преобразованных данных. Мы предлагаем более общий подход, согласнокоторомудля получения подходящего преобразования можно использовать аналитические методы анализа данных.
Настоящая глава организована следующим образом. В разд. 14.2 изложены общие положения трехэтапной стратегии анализа данных. В разд. 14.3 описан эксперимент, проведенный на фирме AT&T Bell Laboratories для оптимизации процесса формирования контактных окон в интегральных схемах на комплементарных МОП-структурах [2]. В разд. 14.4—14.6 детально обсуждается каждый из трех этапов стратегии анализа данных на примере эксперимента по контактным окнам. В разд. 14.7 приведены замечания о методе максимального правдоподобия, анализе неповторяющихся данных, использовании мер, отличных от среднего и дисперсии, анализе упорядоченных данных и возможностях программного обеспечения.
14.2.	Наша стратегия: объяснение и общие положения
14.2.1.	Проблема параметрического проектирования
Рассмотрим проблему параметрического проектирования для оптимизации процесса с фиксированным заданным значением [1, 3]. Нас интересует проектирование процесса, выход которого Y— функция двух групп факторов: факторов проектирования, которые могут регулироваться инженером-технологом, и факторов помех1, т.е. всех неуправляемых факторов, включающих изменчивость условий производства и среды. Мы используем обозначения d и п для групп факторов соответственно проектирования и помех. Заданное значение для этого процесса фиксировано и равно tQ. Если мы можем определить затра
1 В словаре терминов: параметры помех.
340
Стратегия анализа экспериментальных данных
ты при отклонении выхода Yот заданного значения посредством функции потерь £(У, t0), то цель эксперимента — найти такие значения факторов (или параметров) проектирования d, которые минимизируют средние потери Еп {£(У, 10)}, где Y = f (d, n).
Обычно функция потерь не может быть точно определена. Кроме того, форма функции потерь может зависеть от неизвестной передаточной функции /(.). Тогда проблема параметрического проектирования будет состоять в выборе таких значений факторов проектирования, при которых выход Yнаиболее близок к заданному значению tQ. В настоящей главе мы интерпретируем эту проблему как поиск d для минимизации дисперсии ц. (d) выхода Yпри том ограничении, что среднее значение my(d) выхода Y должно быть как можно ближе к заданному значению 1(,- В разд. 14.7.2 рассматриваются другие меры положения и дисперсии.
14.2.2.	Роль преобразования данных
Перед анализом данных для выявления важных факторов проектирования надо сначала определить степень зависимости дисперсии от среднего значения. Если Vy (d) = Y (mY(d)), где /(•) — некоторая функция, то изменчивость процесса полностью определяется ограничением, наложенным на среднее, согласно которому оно должно быть близко к значению tQ. После достижения такого среднего значения минимизация изменчивости прекращается.
Обычно факторы проектирования d можно разделить на две группы dj и d2 так, что среднее ту„ возможно, является функцией обеих групп значений d, и d2, тогда как дисперсия t>r может быть разложена на множители:
Vr(d) = r(my(d,,d2))cr2(d2).	(1)
Чтобы определить влияние факторов проектирования на изменчивость, надо исследовать только множитель (У1 (d2) в уравнении (1). Вклад другого множителя в изменчивость определяется тем требованием, что среднее должно быть равно заданному значению. Если один или более факторов d, (называемых регулируемыми факторами1 [3]) известны заранее,
1 В словаре терминов: регулируемые параметры.
341
Глава 14
то надо моделировать только факторы d2 для минимизации <72 (d2). Среднее значение можно привести к заданному значению, изменяя регулируемые факторы.
Предположим, что функция у(-) известна. Тогда один из подходов к анализу дисперсионных эффектов состоит в оце нивапии величины ст2 = ь}. / у (ту) и моделировании ее как функции параметров проектирования. Анализ с помощью от ношения сигнал/шум Тагути [ 1 ] является специальным случаем этого подхода, когда у (т) = т2. Однако пет причин, по которым этот специальный случай всегда имел бы место.
Другой подход к анализу дисперсионных эффектов в урав нении (1), который рекомендуем мы, состоит в преобразовании Yв Z = т (У), где т' (У) = 1 /[ у (У)]1/2. С помощью разложения в ряд Тэйлора можно показать, что t»z = ст2. Таким образом можно оценить дисперсию Z и моделировать ее как функцию факторов проектирования. Такие преобразования известны в статистической литературе как преобразования, стабилизирующие дисперсию [4]. Практика показывает, что часто такие преобразования обладают другим полезным свойством — превращения распределения помехи в симметричное и среднего в аддитивную функцию факторов проектирования. По этой причине при У (т) = т2, когда применим анализ с помощью отношения сигнал/шум Тагути, мы рекомендуем логарифмическое преобразование данных. Среднее и дисперсия преобразованных данных могут быть проанализированы раздельно для определения эффектов положения и дисперсии.
Действительные трудности связаны с определением формы неизвестной функции у(-) в уравнении (1) из анализа данных. При достаточном числе повторных опытов, когда среднее и дисперсия У могут быть определены с приемлемой точностью, применимы аналитические методы анализа данных для определения формы у(-).
14.2.3.	Общие положения стратегии
На рис. 14.1. дана схема рекомендуемой нами стратегии анализа. Этап исследования начинается с графического представления данных для того, чтобы проверить воз-
342
Стратегия анализа экспериментальных данных
Этап исследования
Этап моделирования
Этап оптимизации
Рис. 14.1. Схема стратегии анализа данных. Стрелки указывают последовательность действий. Ромбы представляют места принятия решений. Штриховые линии показывают возможные пути, рекомендуемые для тщательного анализа.
343
Глава 14
можные нерегулярности и визуально определить различия средних и дисперсий при различных значениях уровней фак торов. Чтобы определить необходимость преобразования для стабилизации дисперсии, строится график зависимости дисперсии от средних. Если нет явной функциональной зависи мости, мы не преобразуем данные и переходим к следующему этапу — раздельному моделированию эффектов дисперсии и положения. Если существует сильная взаимосвязь, график используется для выбора подходящего преобразова ния и повторяется процесс для преобразованных данных.
На этапе моделирования мы рекомендуем использовать расчеты по стандартной схеме дисперсионного анализа, разложив эффекты на значимые составляющие с одной степенью свободы. Вероятностные кривые затем используются для определения важных факторов проектирования. Если нужны хорошие оценки эффектов, можно подобрать к данным параметрическую модель с помощью методов максимального правдоподобия.
На этапе оптимизации определяются оптимальные уровни факторов, которые влияют на дисперсию и положение. На их основе получаются возможные комбинации уровней факторов, которые оптимизируют качество процесса. Если существуют заранее известные регулируемые факторы [1, 3], необходимо моделировать только дисперсионные эффекты. Среднее можно приблизить к заданному значению с помощью тонкой подстройки регулируемых факторов. Такой двухстадийный подход к оптимизации можно также использовать, если регулируемые факторы заранее неизвестны. Обычно на этапе моделирования можно обнаружить некоторые факторы проектирования, которые влияют на положение, но не на дисперсию. Получив такие регулируемые факторы, мы сначала выбираем уровни других факторов, чтобы минимизировать дисперсию, и затем используем сигнальные факторы для приближения среднего к заданному значению.
14.3.	Пример
На фирме AT&T Bell Laboratories был проведен следующий эксперимент для оптимизации процесса форми-
344
Стратегия анализа экспериментальных данных
Таблица 14.1. Ортогональная матрица £1В экспериментального плана
Испытание	А	BD	С	Е	F	G	Н	I
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	2	2	2	2	2	2
3	1	1	3	3	3	3	3	3
4	1	2	1	1	2	2	3	3
5	1	2	2	2	3	3	1	1
6	1	2	3	3	1	1	2	2
7	1	3	1	2	1	3	2	3
8	1	3	2	3	2	1	3	1
9	1	3	3	1	3	2	1	2
10	2	1	1	3	3	2	2	1
И	2	1	2	1	1	3	3	2
12	2	1	3	2	2	1	1	3
13	2	2	1	2	3	1	3	2
14	2	2	2	3	1	2	1	3
15	2	2	3	1	2	3	2	1
16	2	3	1	3	2	3	1	2
17	2	3	2	1	3	1	2	3
18	2	3	3	2	1	2	3	1
рования контактных окон в интегральных схемах на комплементарных МОП-струкгурах [2]. Контактные окна обеспечивают соединения между затворами, стоками и истоками в схеме. Процесс формирования контактных окон включает фотолитографию. В работе [2] идентифицированы девять факторов, важных при управлении размерами окна: А — размер на фотошаблоне, В — вязкость, С — частота вращения, D — температура сушки, Е — время сушки, F — апертура, G — время экспонирования, Н— время проявления и I — время плазменного травления. Для факторов А, В и D были выбраны два уровня, а для всех остальных — три уровня. Авторы решили скомбинировать факторы В и D для формирования трехуровневого фактора BD и использовать ортогональную матрицу экспериментального плана £18, представленную в табл. 14.1.
345
Глава 14
Заданный размер контактных окон был в диапазоне 3,0—3,5 мкм. Было важно изготовить окна размером, близким к заданному; не вскрытые или слишком малые окна приводят к потере контакта между устройствами, а при слишком больших окнах происходит короткое замыкание устройств. Реальный размер окон в функциональных схе мах на кристалле не может быть точно измерен. Вместо этого существуют три приближенные меры качества: ширина линий до и после травления и размер окна после травления на тестовых образцах, расположенных в верхнем левом углу каждого кристалла. В каждом опыте проводились 10 измерений на двух пластинах с пятью кристаллами, расположенными в определенных местах на пластине: вверху, внизу, слева, справа и в центре. В настоящей главе рассматривается только анализ данных по ширине линий до травления, представленных в табл. 14.2.
14.4.	Этап 1 — исследование
Важно начать анализ с визуального представления экспериментальных данных, что позволяет оценить основные характеристики, такие, как эффекты положения и дисперсии, а также охарактеризовать возможные нерегулярности. Линейная диаграмма на рис. 14.2 является вариантом ячеечной диаграммы [5], широко используемой для представления такой информации. Для каждого эксперимента линейная диаграмма представляет среднее и стандартное отклонение, а также все повторные наблюдения, которые выходят за интервал ±сг около среднего значения.
Линейная диаграмма полезна для идентификации отдельных повторных результатов наблюдений в одном эксперименте, которые отстоят на несколько стандартных отклонений от нормы. Это могут быть «плохие» данные, которыми следует пренебречь при дальнейшем анализе. Для данных по ширине линий до травления таких нерегулярностей не было. Если некоторые результаты отвергнуты, рекомендуется вновь построить линейную диаграмму. Это обеспечивает то, что очевидные различия в эффектах положения и
346
Стратегия анализа экспериментальных данных
Таблица 14.2. Данные по ширине линий до травления
1	2,43	2,52	2,63	2,52	2,50	2,36	2,50	2,62	2,43	2,49
2	2,76	2,66	2,74	2,60	2,53	2,66	2,73	2,95	2,57	2,64
3	2,82	2,71	2,78	2,55	2,36	2,76	2,67	2,90	2,62	2,43
4	2,02	2,06	2,21	1,98	2,13	1,85	1,66	2,07	1.81	1,83
5	1,87	1,78	2,07	1,80	1,83					
6	2,51	2,56	2,55	2,45	2,53	2,68	2,60	2,85	2,55	2,56
7	1,99	1,99	2,11	1,99	2,00	1,96	2,20	2,04	2,01	2,03
8	3,15	3,44	3,67	3,09	3,06	3,27	3,29	3,49	3,02	3,19
9	3,00	2,91	3,07	2,66	2,74	2,73	2,79	3,00	2,69	2,70
10	2,69	2,50	2,51	2,46	2,40	2,75	2.73	2,75	2,78	3,03
И	3,20	3,19	3,32	3,20	3,15	3,07	3,14	3,14	3,13	3,12
12	3,21	3,32	3,33	3,23	3,10	3,48	3,44	3,49	3,25	3,38
13	2,60	2,56	2,62	2,55	2,56	2,53	2,49	2,79	2,50	2,56
14	2,18	2,20	2,45	2,22	2,32	2,33	2,20	2,41	2,37	2,38
15	2,45	2,50	2,51	2,43	2,43					
16	2,67	2,53	2,72	2,70	2,60	2,76	2,67	2,73	2,69	2,60
17	3,31	3,30	3,44	3,12	3,14	3,12	2,97	3,18	3,03	2,95
18	3,46	3,49	3,50	3,45	3,57					
дисперсии будут вызваны реальными эффектами, а не «плохими» данными.
Линейную диаграмму можно также использовать для визуальной оценки различий эффектов положения и дисперсии в различных экспериментах. Из рис. 14.2 следует, что изменчивость в разных экспериментах больше, чем изменчивость в одном эксперименте. Поэтому можно ожидать обнаружения больших эффектов положения на этапе моделирования. Интервалы ±<У различаются для разных экспериментов, но не слишком сильно. Это указывает на наличие умеренных дисперсионных эффектов.
Следующая стадия анализа — построение диаграммы среднее — дисперсия (рис. 14.3). На ней представлены в двойном логарифмическом масштабе средние и дисперсии для различных опытов. Если дисперсия О'2 (d2) в уравнении (1) постоянна, т.е. не зависит от факторов проектирования, то данная диаграмма имеет форму /(•) . Если my(d) постоянно,
347
Глава 14
Испытание
Рис. 14.2. Линейная диаграмма для данных до травления. Для каждого из восемнадцати отдельных эксперементов 0 обозначает выборочное среднее, отрезки обозначают интервал + одно стандартное отклонение около среднего и • обозначает значения, выходящие из этого интервала. Данные с очевидностью указывают на существование эффектов положения и, возможно, небольших дисперсионных эффектов.
диаграмма покажет, что между средними и дисперсиями нет взаимосвязи. Двойной логарифмический масштаб используется потому, что график будет примерно линейным с угловым коэффициентом к в общем случае, когда У (щ) = тк.
Обычно и сг, и ту умеренно зависят от факторов проектирования. Поэтому в общем случае вряд ли возможно разделить у(-) и О’(-) в уравнении (1). Однако если У (my(d)) — преобладающая составляющая, диаграмма среднее — дисперсия будет полезной для обнаружения взаимосвязи среднего и дисперсии.
Если диаграмма показывает сильную зависимость, можно провести линию (хотя бы на глаз) и оценить к по углу на-
348
Стратегия анализа экспериментальных данных
10
3
0.001
Выборочное среднее
Рис. 14.3. Диаграмма среднее — дисперсия для данных до травления. На график нанесены выборочные дисперсии и соответствующие выборочные средние в логическом масштабе по обеим осям. Номера экспериментов представляют экспериментальные точки. Линия проведена по экспериментальным точкам на глаз. Она показывает, что не существует ни линейной, ни какой-либо другой значимой взаимосвязи между дисперсией и средним.
клона этой линии. Если к = 0, то нет сильной зависимости и не нужно делать преобразование. При к, близком к 1, 2 и 4, нужны преобразования соответственно в виде квадратного корня, логарифма и обратной величины. Установлено, что эти три преобразования полезны на практике. На рис. 14.3 можно видеть, что нет сильной зависимости, и поэтому не нужно делать преобразование. Теперь можно переходить к следующему этапу— моделированию средних и дисперсий. Если мы установили необходимость преобразования, то следует повторить вышеупомянутый цикл с преобразованными данными (рис. 14.1).
349
Глава 14
14.5.	Этап 2 — моделирование
14.5.1.	Дисперсионные эффекты
Чтобы определить важные дисперсионные эффекты, мы моделируем логарифмы дисперсий данных (возможно преобразованных) как аддитивную функцию факторов проектирования. Аддитивность легче всего обеспечить в логарифмическом масштабе; она позволяет оценивать дисперсионные эффекты с помощью метода наименьших квадратов без ограничений.
Можно использовать методы стандартного дисперсионного анализа [6] и проверки по F-критерию для определения значимых факторов, если доступна оценка ошибки. Вместо этого можно воспользоваться менее формализованной методикой вероятностных графиков. Однако мы рекомендуем всегда использовать эту методику как дополнение к формальной процедуре дисперсионного анализа и проверкам по F-критерию. Если бы мы выполнили много проверок по F-критерию, как в многофакторных отсеивающих экспериментах, то обнаружили бы несколько значимых факторов даже тогда, когда ни один из них не оказывает никакого влияния. Методика вероятностных графиков позволяет избежать таких ошибок.
Чтобы построить вероятностный график, мы сначала раскладываем факторы с числом уровней, большим двух, на значимые составляющие с одной степенью свободы. Для количественных факторов это обычно линейные, квадратичные и т.д. составляющие. Полунормальный вероятностный график [7] может быть получен как зависимость упорядоченных значений составляющих от квантилей полунормального распределения. Линейная зависимость, проходящая через начало координат, показывает, что не существует значимых составляющих. Если существует несколько важных эффектов, то они имеют тенденцию сосредоточиваться в правом верхнем углу координатного квадрата над линейным графиком, определяемым остальными составляющими. Таким образом, вероятностный график на основе изменчивости различных составляющих позволяет определить важные из них.
350
Стратегия анализа экспериментальных данных
Таблица 14.3. Результаты дисперсионного анализа дисперсионных эффектов
Фактор	Степень свободы	SS	MS	F
А	1	0,493	0,493	4,059
BD	2	0,121	0,060	0,498
С	2	0,150	0,075	0,615
Е	2	0,380	0,190	1,563
F	2	0,831	0,415	3.421
G	2	0,496	0,248	2,042
Н	2	0,011	0,006	0,045
Остальные	4	0,486	0,121	
Результаты расчетов по методу дисперсионного анализа для данных по ширине линии до травления приведены в табл. 14.3. Проверки по F-критерию показывают, что ни один из факторов не является значимым. Факторы A, F и G имеют наибольшие наблюдаемые эффекты. На рис. 14.4 представлен полу-нормальный вероятностный график дисперсионных составляющих с одной степенью свободы. Линейная составляющая взаимодействия BD оценивает эффект фактора D. Квадратичная составляющая оценивает эффект фактора В при условии, что D не оказывает влияния. Поскольку в данном случае так оно и есть, эти составляющие обозначены как В и D на рис. 14.4. Составляющие других трехуровневых факторов имеют обычные линейную и квадратичную формы. Общий линейный характер графика указывает, что нет сильных дисперсионных эффектов. Однако эффекты факторов F, А и G несколько отличаются от других. Отметим также, что при разложении факторов на линейные и квадратичные составляющие мы не потеряли линейные эффекты факторов F и G.
Хотя дисперсионные эффекты факторов F, А и G наименее важны, мы включили эти факторы в процесс оптимизации. Возможная ошибка, связанная с этим включением, менее значима, чем неверный вывод о том, что данные факторы не оказывают влияния.
351
Глава 14
Рис. 14.4. Вероятностный график дисперсионных эффектов для данных до травления. Обозначения факторов и их составляющих представляют экспериментальные точки. Составляющие, обозначенные звездочкой, соответствуют « составляющим ошибки», а не эффектам, представляющим интерес. Линия на рисунке проведена на глаз. График показывает, что дисперсионные эффекты FI, А и GI наиболее важны.
14.5.2.	Эффекты положения
Важные эффекты положения можно определить с помощью моделирования средних для результатов наблюдений (возможно преобразованных) как аддитивных функций факторов проектирования. Для этого можно использовать взвешенный метод наименьших квадратов, который учитывает различия в дисперсиях, полученные по методике разд. 14.5.1. Ради простоты мы ограничимся методом наименьших квадратов, который может быть достаточным для обнаружения действительно важных эффектов. Более эффективная методика — метод максимального правдоподобия — изложена в разд. 14.7.1. Проверки по F-критерию и
352
Стратегия анализа экспериментальных данных
Таблица 14.4. Результаты дисперсионного анализа для эффектов положения
Фактор	df	SS	MS	F
А	1	0,651	0,651	22,459-
BD	2	1,345	0,672	23,186-
С	2	0,765	0,383	13,193"
Е	2	0,002	0,001	0,038
F	2	0,032	0,016	0,545
G	2	0,545	0,273	9,397"
Н	2	0,281	0,140	4,838
Остальные	4	0,116	0,029	
С повторными				
результатами	147	2,481	0,017	
'р<0,01. "р<0,05.
df — число степеней свободы.
вероятностные графики в данном разделе рассматриваются как приближенные процедуры.
Результаты дисперсионного анализа для эффектов положения по ширине линии до травления приведены в табл. 14.4. В дополнение к остаточной сумме квадратов (SS) мы приводим сумму квадратов для всех результатов, включая повторные, которая также дает оценку «ошибки». Мы используем термин «ошибка» как некоторую среднюю меру изменчивости, поскольку дисперсии могут быть разные. Средний квадрат ошибки (MS) для повторных результатов в табл. 14.4 меньше, чем средний квадрат остаточной ошибки. Для большей осторожности значения F-критерия в табл. 14.4 вычислены по отношению к среднему квадрату остаточной ошибки. Они показывают, что эффекты положения для факторов A, BD и в меньшей степени для С, G являются значимыми. Следующий по величине наблюдаемый эффект обусловлен фактором Н. На рис. 14.5 представлен полунормальный график составляющих с одной степенью свободы. Можно видеть, что факторы А, В и линейные составляющие С, G и Н дают наибольшие эффекты положения.
353
Глава 14
Квантили полунормального распределения
Рис. 14.5. Вероятностный график эффектов положения для данных до травления. Обозначения факторов и их составляющих представляют экспериментальные точки. Составляющие, обозначенные звездочкой, соответствуют «составляющим ошибки», а не эффектам, представляющим интерес. Линия на рисунке проведена для несущественных составляющих на глаз. График показывает, что дисперсионные эффекты В, CI, A, GI и HI наиболее важны.
14.5.3.	Интерпретация результатов анализа
Результаты моделирования можно представить диаграммой положение— дисперсия (рис. 14.6). На диаграмме приведены составляющие дисперсии с одной степенью свободы в зависимости от соответствующих составляющих положения; заштрихованные участки, полученные из вероятностных графиков, указывают эффекты, которые не являются важными. Факторы, которые находятся в области пересечения заштрихованных участков на рис. 14.6, не имеют ни эффектов положения, ни дисперсионных эффектов;
354
Стратегия анализа экспериментальных данных
Составляющие положения
Рис. 14.6. Диаграмма эффектов положения — дисперсии для данных до травления. Обозначения факторов и их составляющих представляют экспериментальные точки.
те же факторы, которые попадают па горизонтальный (вертикальный) участок, обладают только эффектом положения (дисперсии). Факторы, расположенные на незаштрихован-ных участках, обладают и эффектом положения, и дисперсионным эффектом. Для данных до травления В, С и в меньшей степени Н являются регулируемыми факторами, т.е. факторами только с эффектами положения. Фактор F — чисто дисперсионный фактор, а факторы А и G обладают и эффектами положения, и дисперсионными эффектами. Только линейные составляющие трехуровневых факторов являются важными; квадратичные составляющие оказались незначимыми.
Диаграмму положение — дисперсия можно также использовать, чтобы оценить эффективность преобразований результатов наблюдений на этапе исследования. Если болыпи! i-
355
Глава 14
ство важных факторов имеет как эффекты положения, так 11 дисперсионные эффекты и попадает в верхнюю правую или нижнюю левую незаштрихованную области на рис. 14.6, можно предположить, что дисперсия результатов (возмож но, преобразованных) — возрастающая функция среднего Таким образом, может оказаться необходимым дополнител! ное преобразование (рис. 14.1). Даже если ни один из факт< > ров не является важным, необходимо изучить диаграмму по ложение — дисперсия для того, чтобы определить, является ли корреляция оценок дисперсии и положения положитель ной или отрицательной. Сильная положительная (отрицательная) корреляция указывает, что соответствующее распреде ление помехи сильно скошено вправо (влево). Тогда может оказаться целесообразным преобразовать результаты и выяснить, существуют ли важные эффекты в преобразованной шкале. Для результатов до травления рис. 14.6 не указывает необходимость преобразования.
14.6.	Этап 3 — оптимизация
Можно использовать двухстадийный подход к оптимизации, если имеются регулируемые факторы, т.е. факторы, проявляющие только эффекты положения, которые либо известны заранее, либо определены на этапе моделирования. На первой стадии можно установить факторы, проявляющие дисперсионные эффекты, на оптимальных уровнях для минимизации изменчивости. Затем среднее значение можно привести к заданному значению с помощью тонкой подстройки регулируемых факторов.
Для данных по ширине линии до травления, как следует из предыдущего раздела, факторы В (вязкость) и С (частота вращения) — регулируемые, а фактор F (апертура) —- чисто дисперсионный. Факторы А (размер на фотошаблоне) и G (время экспонирования) проявляют как дисперсионные эффекты, так и эффекты положения. На рис. 14.7 представлена диаграмма факторных эффектов, которая позволяет определить величину и направление этих эффектов. Эту информацию также можно извлечь из диаграммы положение — дисперсия, если
356
Стратегия анализа экспериментальных данных
Рис. 14.7. Диаграмма эффектов факторных уровней для данных до травления. Для каждого из важных факторов, идентифицированных с помощью предложенного анализа, оцененные эффекты для каждого уровня фактора представлены как для положения, так и для дисперсии. Диаграмма пригодна для определения оптимальных уровней факторов. Отметим, что все эффекты линейны, поскольку ни одна из квадратичных составляющих трехуровневых факторов не оказалась значимой.
факторы проявляют только линейные эффекты. На рис. 14.7 можно видеть, что оптимальные уровни для минимизации дисперсии — это 1 для F, 2 для А и 3 для G. При этих оптимальных уровнях эффекты положения факторов А и G компенсируют друг друга. Для регулируемых факторов эффекты положения уменьшаются при увеличении вязкости В, но увеличиваются при увеличении частоты вращения С.
Теперь можно выбрать какой-нибудь из факторов F, А и G (или даже их комбинацию), чтобы минимизировать дисперсию. Отметим, что G является количественной переменной,
357
Глава 14
так что можно уменьшить изменчивость даже с помощью линейной экстраполяции за уровень 3. Однако окончательный выбор уровней факторов должен определяться как техническими, так и статистическими соображениями.
Стандартные рабочие уровни факторов А, В, С, F и G были соответственно 1, 1, 2,2 и 2. Только на основе статистического анализа можно рекомендовать изменить уровень А на 2, уровень С на 3, уровень F на 1 и, возможно, уровень G на 3. Фадке и др. [2] решили не изменять уровень F по техническим соображениям. Кроме того, они не рекомендуют изменять уровень фактора С. Их выводы основываются на анализе отношения сигнал/шум не только по тем данным, которые рассмотрены здесь (ширина линии до травления), но также по двум другим характеристикам качества (ширина линии после травления и размер окна).
Когда не существует регулируемых факторов или ими трудно управлять, процесс оптимизации более сложен. Оптимальные уровни дисперсионных факторов и факторов положения — дисперсии должны определяться одновременно. Можно формально сформулировать эту задачу как математическую и использовать для ее решения методы оптимизации с ограничениями. Однако представляется более полезной простая итеративная процедура поиска в подходящем факторном пространстве.
14.7.	Обсуждение
14.7.1.	Анализ по методу максимального правдоподобия
Способ анализа, изложенный в разд. 14.6, направлен главным образом на идентификацию важных эффектов как положения, так и дисперсии. В качестве побочного результата вычислений, используемых в этом анализе, были получены оценки эффектов. При подходящем выборе преобразования результатов наблюдений эти оценки должны быть надежными, хотя в общем случае неоптимальными. Проблема обусловлена главным образом тем фактом, что оптимальные оценки эффектов положения зависят от наличия 358
Стратегия анализа экспериментальных данных
или отсутствия дисперсионных эффектов. В частности, проведенный нами невзвешенный анализ на основе ортогональной матрицы выборочных средних с формальной точки зрения неверен, поскольку каждому выборочному среднему был придан одинаковый вес, хотя наличие дисперсионных эффектов диктует иное.
Можно реализовать более формальный метод оценивания [8], представляющий собой итеративный метод, который заключается в поочередном оценивании эффектов положения с помощью взвешенного метода наименьших квадратов и дисперсионных эффектов методом наименьших квадратов (как предлагалось), причем теперь дисперсия оценивается относительно текущих эффектов положения, а не относительно выборочных средних. В этом более подробном анализе используются все данные, а не только выборочные средние и дисперсии для отдельных экспериментов. В общем случае мы не рекомендуем эту процедуру, однако если результаты анализа нужно использовать мя прогнозирования и подведения баланса, то дополнительные вычисления допустимы.
14.7.2.	Анализ неповторяющихся данных
Аналитический подход к обработке данных, изложенный в настоящей главе, основан на предположении, что существует достаточное число повторных наблюдений в каждом эксперименте. Некоторые из наших предположений, особенно на этапе исследования, либо должны быть модифицированы, либо не могут использоваться, если нет повторных наблюдений. Мало информации можно извлечь из таких данных о преобразованиях. Подходящий масштаб анализа должен определяться экспериментатором на основе результатов аналогичного уже проведенного анализа и/или с точки зрения физического механизма возникновения наблюдаемых данных. Чтобы оценить дисперсионные эффекты, надо сначала идентифицировать важные эффекты положения. Генерируя псевдоповторные наблюдения и полагая все другие эффекты положения равными нулю, можно использовать изложенную здесь методологию. Более подробно данная тема изложена в работах [9, 10].
359
Глава 14
14.7.3.	Другие меры положения и дисперсии
Мы ограничили наше обсуждение средним и дисперсией как мерами положения и разброса соответственно главным образом потому, что они хорошо известны инженерам. Следует, однако, отметить, что подобный анализ можно провести с использованием других мер, которые могут оказаться более подходящими. Например, может иметь больший смысл выбрать факторы проектирования таким образом, чтобы приблизить к заданному значению t0 медиану, а не среднее. Аналогично, межквартильный диапазон (диапазон около центра, в который попадают 50% результатов наблюдений) может описать разброс лучше, чем дисперсия. Кроме упомянутого, важное свойство таких мер, как медиана и межквартильный диапазон, состоит в том, что их выборочные оценки менее чувствительны к «плохим» данным, чем соответственно среднее и дисперсия.
14.7.4.	Анализ упорядоченных категориальных данных
В некоторых случаях переменная отклика при анализе, связанном с улучшением качества, состоит из категориальных данных с заданным порядком в категориях. Тагути предложил для анализа таких данных метод, названный «аккумуляционным анализом». В работе [11] описаны особенности этого метода и другие методы анализа. В [ 12] обсуждается подгонка параметрических моделей к упорядоченным категориальным данным с помощью методов максимального правдоподобия.
14.7.5.	Математическое обеспечение
Анализ, изложенный в настоящей главе, полностью осуществлен посредством S-системы и языка для анализа данных [13]. S является системой для статистических расчетов и графических построений, однако не имеет специальных средств для анализа планируемых экспериментов. Специальный макропакет [14] позволяет провести необходимые вычисления.
360
Стратегия анализа экспериментальных данных
Блок-схема на рис. 14.1 подробно описывает необходимый анализ. Соответствующую программу можно ввести в математическое обеспечение, образующее «базу знаний» так называемых экспертных систем. Мы имели ограниченный опыт работы с математическим обеспечением такого типа, хотя и разработали аналогичную систему для линейного регрессионного анализа REX [15]. Отметим тот факт, что знания, закодированные в системе REX, точно такого же типа, как приведенные на рис. 14.1 и детально описанные в предыдущих разделах. Мы рассматриваем возможность создания интеллектуального интерфейса к S-системе, чтобы помочь инженерам моделировать свои данные и оптимизировать процесс повышения качества.
14.8.	Заключение
В экспериментах по технике качества обычно невелик интерес к детальным структурному моделированию и анализу данных. Главная цель исследователя — идентифицировать действительно важные факторы и определить их уровни, оптимизирующие качество процесса. Исходя из этих соображений, мы попытались достаточно просто изложить рекомендуемую нами стратегию. Ее можно дополнить более сложными методами в зависимости от необходимости в них и статистической подготовки пользователя. Наличие математического обеспечения могло бы уменьшить объем упрощений. Наконец, отметим, что не рассмотрели анализ данных проверочных экспериментов в нашей стратегии анализа данных, поскольку этот анализ — стандартная процедура. Однако необходимо подчеркнуть, что проверочный эксперимент, определяющий, улучшают ли действительно новые уровни факторов качество процесса — неотъемлемая часть экспериментов по технике качества.
ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
1.	Garvin D. 1984. What Does 'Product Quality' Really Mean? Sloan Management Review (Fall): 25 — 43.
2.	Taguchi G., Wu Yu-In. 1980. Introduction to Off-line Quality Control Systems. Nagoya, Japan: Central Japan Quality Control Association. Available from American Supplier Institute, Dearborn, Michigan.
3.	Shewhart W. 1931. Economic Control of Quality of Manufactured Product. New York: D. Van Nostrand Company. 1981. Reprint. American Society for Quality Control.
4.	Taguchi G. 1976. Experimental Designs. 3d ed. Vols. 1, 2. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese).
5.	Brayton R., Hachtel G., Sangiovanni-Vincentelli A. 1981. A Survey of Optimization Techniques for Integrated-Circuit Design. Proceedings of the IEEE 69:1334-1362.
6.	Eberhard S., Russell W. 1966. Stability Parameters for Comparing Varieties. Crop Science (Jan. —Feb.): 36 — 40.
7.	Kachar R. 1985 Off-line Quality Control, Parameter Design, and the Taguchi Method. Journal of Quality Technology 17 (Oct. 1985): 176 — 209. (Наст. КН., гл. 4)
8.	HunterS. 1985. Statistical Design Applied to Product Design. Journal of Quality Technology (Oct.): 210 — 221.
9.	Leon R., Shoemaker A., Kackar R. 1987. Performance Measures Independent of Adjustment: An Explanation and Extension of Taguchi's Sig-nal-to-Noise Ratios. Technometrics, vol. 29, no. 3 (Aug.): 253 — 265. (Наст, кн., гл. 12)
363
Литература
10.	Box G. 1986. Studies in Quality Improvement: Signal-to-Noise Ra tio, Performance Criteria, and Statistical Analysis Part 1 and II. Techni cal Report. Madison, Wis.: University of Wisconsin, Center for Quality and Productivity Improvement.
11.	Pignatiello J. Jr., Ramberg J. 1985. Discussion of Off-line Quality Control, Parameter Design and the Taguchi Method. Journal of Quality Technology (Oct.): 198 — 206.
12.	Nair V. 1986. Testing in Industrial Experiments with Ordered Categorical Data. Technometrics, vol. 28, no. 4 (Nov.): 283 — 291. (Наст, кн., гл. И)
13.	Hamada М., Wu J. 1986. A Critical Look at Accumulation Analysis and Related Methods. Technical Report. Madison, Wis.: University of Wisconsin, Department of Statistics.
14.	Tippett L. 1934. Applications of Statistical Methods to the Control of Quality in Industrial Production. Journal of the Manchester Statistical Society.
15.	Kackar R., Shoemaker A. 1986. Robust Design: A Cost-effective Method for Improving Manufacturing Processes. AT&T Technical Journal, vol.
65, no. 2 (Mar. — Apr.): 39 — 50. (Наст, кн., гл. 8)
16.	Katz L., Phadke M. 1985. Macro-quality with Micro-money. AT&T Bell Laboratories Record (Nov.); 22 — 28. (Наст, кн., гл. 2)
17.	Lin К., Kachar R. 1985. Optimizing the Wave Soldering Process. Electronic Packaging and Production (Feb.): 108—115. (Наст, кн., гл. 7)
18.	Рао Т., Phadke М., Sherred С. 1985. Computer Response Time Optimization Using Orthogonal Array Experiments. Proceedings of IEEE International Conference on Communications. IEEE Communications Society (June): 890 — 895.
19.	Phadke M. 1986. Design Optimization Case Studies. AT&T Technical Journal, vol. 65, no. 2 (Mar. — Apr.): 51 —68. (Наст, кн., гл. 10)
20.	Phadke M., Kackar R., Speeney D., Grieco M. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Experimental Design. The Bell System Technical Journal, vol. 62, no. 5 (May—June): 1273 — 1309 . (Наст, кн., гл. 6)
364
Литература
К главе 3
1.	Taguchi G. n.d. Seminar Given at AT&T Bell Laboratories (1979. The Asahi. April 17).
2.	Duncan A.J. 1974. Quality Control and Industrial Statistics. Richard D. Irwin. Inc.
3.	Taguchi G. 1978. Off-line and On-line Quality Control Systems. International Conference on Quality Control. Tokyo, Japan.
4.	Kackar R., Phadke M. n.d. An Introduction to Off-line and On-line Quality Control Methods. Unpublished work.
5.	Phadke M., Kackar R., Speeney D., Grieco M. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Design of Experiments. The Bell System Technical Journal, vol. 62, no. 5 (May—June): 1273 — 1309. (Наст, kh., гл. 6)
6.	Phadke M., Blaine G. n.d. Quality Engineering in Circuit Design. Forthcoming.
7.	Box G. n.d. Evolutionary Operations: A Method for Increasing Industrial Productivity. Applied Statistics 6:81 — 101.
8.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control Systems. Tokyo: Central Japan Quality Control Association.
9.	Taguchi G. 1974. A New Statistical Analysis Method for Clinical Data, the Accumulation Analysis, in Contrast with the Chisguare Test. Seishain-igaku 29:806 — 813.
10.	Taguchi G. 1976, 1977. Experimental Designs. 3d ed. Vol. 1, 2. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese)
11.	Kackar R. 1982. Some Orthogonal Arrays for Screening Designs. AT&T Bell Laboratories Technical Memorandum. Unpublished work.
12.	Rao D. 1971. Construction and Combinatorial Problems in Design of Experiments. New York: John Wiley & Sons
13.	Box G., Hunter W., Hunter J. 1978. Statistics for Experimenters — An Introduction to Design, Data Analysis and Model Building. New York: John Wiley & Sons.
14.	Box G., Draper N. 1969. Evolutionary Operations. New York: John Wiley and Sons.
15.	Kempthorne O. 1979. The Design and Analysis of Experiments. New York: Robert E. Krieger Publishing Co.
16.	Hicks C. 1973. Fundamental Concepts in the Design of Experiments. New York: Holt, Rinehart and Winston.
365
Литература
17.	Rao С. 1947. Factorial Experiments Derivable from Combinatorial Arrangements of Arrays. Journal of Royal Statistical Society, Ser. В 9:128-129.
18.	Plackett R., Burman J. n.d. The Design of Optimal Multifactorial Experiments. Biometric 33:305 — 325.
19.	Addelman S. 1962. Orthogonal Main-Effect Plans for Asymmetrical Factorial Experiments. Technometrics 4:21 —46.
Дополнительная литература
Cochran W., Cox G. 1957. Experimental Design. New York: John Wiley & Sons.
Davis O. The Design and Analysis of Industrial Experiments. New York: Imperial Chemical Industries Limited, Longman Group Limited.
Diamond W. 1981. Practical Experiment Design for Engineers and Scientists. Lifetime Learning Publications.
К главе 4
1.	ASQC (1983). Glossary and Tables for Statistical Quality Control. Milwaukee, Wis.: American Society for Quality Control.
2.	Juran J.M. 1979. Quality Control Handbook. 3d ed. New York: McGraw-Hill.
3.	Taguchi G. 1978. Off-line and On-line Quality Control Systems. Proceedings of International Conference on Quality Control. Tokyo, Japan.
4.	Kackar R.N., Phadke M.S. n.d. An Introduction to Off-line and Online Quality Control Methods. Unpublished work.
5.	Hoadley B. 1981. The Quality Measurement Plan (QMP). The Bell System Technical Journal 60:215 — 273.
6.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control. Tokyo, Japan: Central Japan Quality Control Association. Available from American Supplier Institute, 32100 Detroit Industrial Expressway, Romulus, Michigan 48174.
7.	Taguchi G. 1976, 1977. Experimental Design. 3d ed. 2 vols. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese)
366
Литература
8.	Bartlett M.S. 1937. Properties of Sufficiency and Statistical Tests. Proceedings of the Royal Society, London, Series A 160:268 — 282.
9.	Rao C.R. 1947. Factorial Experiments Derivable from Combinatorial Arrangements of Arrays. Journal of the Royal Statistical Society, Supplement 9: 128— 139.
10.	Raghavarao D. 1971. Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiments. New York: John Wiley and Sons, Inc.
11.	Kackar R.N. 1982. Some Orthogonal Arrays for Screening Designs. AT&T Bell Laboratories Technical Memorandum. Unpublished work.
12.	Hunter J.S. 1985. Statistical Design Applied to Product Design. Journal of Quality Technology. 17: 210 — 221.
13.	BoxG.E.P., Hunter W.G., Hunter J.S. 1978. Statistics for Experimenters. New York: John Wiley and Sons, Inc.
14.	Brayton R.K., Director S.W., Hachtel G.D. 1980. Yield Maximization and Worst-Case Design with Arbitrary Statistical Distributions. IEEE Transactions on Circuits and Systems CAS-27: 756 — 764.
15.	Singhal K., Pinel J.F. 1981. Statistical design Centering and Toler-ancing Using Parametric Sampling. IEEE Transactions on Circuits and Systems CAS 28: 692 - 702
16.	Scheffe H. 1959. Analysis of Variance. New York: John Wiley and Sons, Inc.
17.	Tippett L.C. 1934. Applications of Statistical Methods to the Control of Quality in Industrial Production. England: Manchester Statistical Society.
18.	Davies O.L. 1978. The Design and Analysis of Industrial Experiments. New York: Longman, Inc.
19.	Daniel C. 1976. Applications of Statistics to Industrial Experimentation. New York: John Wiley and Sons, Inc.
20.	Lin K.M., Kackar R.N. 1985. Wave Soldering Process Optimization by Orthogonal Array Design Method. Electronic Packaging and Production.
21.	PaoT.W_, Phadke M.S., SherredC.S. 1985. Computer Response Time Optimization Using Orthogonal Array Experiments. Proceedings of ICC. IEEE Communications Society.
367
Литература
22.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V., Grieco M.J. 1983. Off-line Quality Control for Integrated Circuit Fabrication Using Experimental Design. The Bell System Technical Journal 62: 1273— 1309.
23.	Prasad C.R. 1982. Statistical Quality Control and Operational Research: 160 Case Studies in Indian Industries. Calcutta, India: Indian Statistical Institute.
24.	Shewhart W.A. 1931. Economic Control of a Manufactured Product. New York, N.Y.: D. Van Nostrand Company. 1981. Reprint. American Society for Quality Control.
25.	Ishikawa K. 1984. Quality and Standardization: Progress for Economic Success. Quality Progress 1: 16 — 20.
К главе 5
l.	Juran J.M. 1981. Product Quality—A Prescription for the West. Juran Institute.
2.	Clark K.B. 1984. Series of Management Seminar Given in AT&T Bell Laboratories. April.
3.	Taguchi G. 1976,1977. Experimental Design. Vol. 1,2. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese)
4.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control. Tokyo, Japan: Central Japan Quality Control Association.
5.	Taguchi G. 1978. Off-line and On-line Quality Control Systems. Proceedings of International Conference on Quality Control. Tokyo, Japan.
6.	Phadke M.S. 1982. Quality Engineering Using Design of Experiments. Proceedings of the American Statistical Association, Section on Statistical Education, 11 — 20. Cincinnati (Aug.) (Наст, кн., гл. 3)
7.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V, Grieco M.J. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Experimental Design. The Bell System Technical Journal 62: 1273 — 1309. (Наст, кн., гл. 6)
8.	Taguchi G. 1974. A New Statistical Analysis Method for Clinical Data, the Accumulation Analysis, in Contrast with the Chisquare Test. Sa-ishain-igaku 20: 806 — 813.
9.	Hicks C.R. 1973. Fundamental Concepts in the Design of Experiments. New York: Holt, Rinehart and Winston.
368
Литература
10.	Box G.E.P., Hunter W.G., Hunter J.S. 1978. Statistics for Experimenters — An Introduction to Design, Data Analysis and Model Building. New York: John Wiley and Sons, Inc.
11.	Cochran W.E., Cox G.M. 1957. Experimental Design. New York: John Wiley and Sons, Inc.
К главе 6
1.	Taguchi G. 1978. Off-line and On-line Quality Control Systems. International Conference on Quality Control, B4-1-5. Tokyo, Japan.
2.	Kackar R.N., Phadke M.S. n.d. An Introduction to Off-line and Online Quality Control Methods. Unpublished Work.
3.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control. Nagoya, Japan: Central Japan Quality Control Association.
4.	Glaser A.B., Subak-Sharp C.A. 1977. Integrated Circuits Engineering. Reading, Mass.: Addison-Wesley.
5.	Meeker W.Q., Hahn G.H., Feder P.I. 1975. A Computer Program for Evaluating and Comparing Experimental Designs and Some Applications. American Statistician 29 (Feb. No. 1): 60 — 64.
6.	Hicks C.R. 1973. Fundamental Concepts in the Design of Experiments. New York: Holt, Rinehart and Winston.
7.	Searle S.R. 1971. Linear Models. New York: John Wiley and Sons.
8.	Taguchi G. 1975. A New Statistical Analysis Method for Clinical Data, the Accumulation .Analysis, in Contrast with the Chi-square Test. Shinjuku Shobo, Tokyo, Japan.
9.	Myers R.N. 1971. Response Surface Methodology. Newton, Mass.: Allyn and Bacon.
10.	Box G.E.P., Draper N.R. 1969. Evolutionary Operations: A Statistical Method for Process Improvement. New York: John Wiley and Sons.
11.	Snedecor G.M., Cochran W.G 1980. Statistical Methods. Ames, Iowa: Iowa State University Press.
К главе 7
1.	Cassidy M.P., Lin K.M. 1981. Soldering Performance of Fluxes: A Study. Electronic Packaging and Production 21 (Nov. No. 11): 153 — 164.
369
Литература
2.	Taguchi G. 1981. An Introductory Text for Design Engineers: Design and Design of Experiments. Tokyo: Japanese Standards Association.
3.	Zado F.M. 1981. The Theory and Practice of High Efficiency Soldering with Noncorrosive Rosin Soldering Fluxes. Proceedings of the Printed Circuit World Convention II. Vol. I. Munich, West Germany. June.
4.	Seiden E. 1954. On the Problem of Construction of Orthogonal Arrays. Annals of Mathematical Statistics 25: 151 — 156.
5.	Taguchi G. 1980. Introduction to Off-line Control. Tokyo: Japanese Standards Association.
6.	Crosby P.B. 1979. Quality is Free. New York: McGraw-Hill.
К главе 8
1.	Box G.E.P., Hunter W.G., Hunter J.S. 1978. Statistics for Experiments. New York: John Wiley and Sons.
2.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V., Grieco M.J. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Experimental Design. The Bell System Technical Journal, vol. 62, no. 5 (May—June): 1273— 1309. (Наст, кн., гл. 6)
3.	Leon R.V., Shoemaker A.C., Kackar R.N. 1987. Performance Measures Independent of Adjustment: An Explanation and Extension of Taguchi's Signal-to-Noise Ratios. Technometrics, vol. 29, no. 3 (Aug.): 253 — 265. (Наст, кн., гл. 12)
4.	Kackar R.N. 1985. Off-line Quality Control, Parameter Design, and the Taguchi Method. Journal of Quality Technology 17 (Oct.): 176 — 209. (Наст, кн., гл. 4)
5.	Taguchi G., Wu Y. 1979. Introduction to Off-line Quality Control. Japan: Central Japan Quality Control Association. Available from American Supplier Institute, 6 Parklane Boulevard, Suite 511, Dear-bom, Mich. 48126.
6.	Phadke M.S. 1986. Design Optimization Case Studies. AT&T Technical Journal, vol. 65, no. 2 (Mar.—Apr.): 51—68. (Наст, кн., гл. 6)
7.	Davies O.L. 1954. The Design and Analysis of Industrial Experiments. New York: Longman Inc.
8.	Daniel C. 1976. Applications of Statistics to Industrial Experimentation. New York: John Wiley and Sons.
370
Литература
К главе 9
1.	PaoT.W., Phadke M.S., Sherrerd C.S. 1985. Computer Response Time Optimization Using Orthogonal Array Experiments. IEEE International Communication Conference, Chicago, Conference Record, vol. 2:890 — 895.
2.	AT&T Information Systems, n.d. UNIX Systems V Tuning and Configuration Guide.
3.	Taguchi G., Wu Y. 1979. Off-line Quality Control. Tokyo: Central Japan Quality Control Association.
4.	Box G.E.P., Hunter W., Hunter J.S. 1978. Statistics for Experimenters. New York: John Wiley and Sons.
К главе 10
1.	Taguchi G. 1978. Off-Line and On-Line Quality Control Systems. International Conference on Quality Control (Tokyo).
2.	Taguchi G., Phadke M.S. 1984. Quality Engineering through Design Optimization. Conference Record, CLOBECOM 84 Meeting, 1106— 1113. IEEE Communications Society, Atlanta (Nov.). (Наст, кн., гл. 5)
3.	Phadke M.S. 1982. Quality Engineering Using Design of Experiments. Proceedings of the American Association Section on Statistical Education, 11 — 20. Cincinnati (Aug.). (Наст, кн., гл. 3)
4.	Kackar R.N. 1985. Off-line Quality Control, Parameter Design, and the Taguchi Method. Journal of Quality Technology (Oct.): 176— 188. (Наст, кн., гл. 4)
5.	Taguchi G., Wu Yu-In. 1979. Introduction to Off-Line Quality Control. Nagaya, Japan: Central Japan Quality Control Association. Meieki Nakamura-Ku. Available in English through the American Supplier Institute, Inc.
6.	Hicks C.R. 1973. Fundamental Concepts in the Design of Experiments. New York: Holt, Rinehart and Winston.
7.	Box G.E.P., Hunter W.G., Hunter I.S. 1978. Statistics for Experimenters — An Introduction to Design, Data Analysis and Model Building. New York: John Wiley and Sons, Inc.
8.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V., Grieco M.J. 1983. Off-Line Quality Control in Integrated Curcuit Fabrication Using Experimental
371
Литература
Design. The Bell System Technical Journal 1 (May — June, no. 5): 1273 — 1309. (Наст, кн., гл. 6)
9.	Katz L.E., Phadke M.S. 1985. Macro-Quality with Micro-Money. AT&T Bell Laboratories Record (Nov.): 22 — 28. (Наст, кн., гл. 2)
10.	Lin K.M., Kackar R.N. n.d. Wave Soldering Process Optimization by Orthogonal Array Design Method. Electronic Packaging and Production. Forthcoming.
11.	Pao T.W., Phadke M.S., Sherred C.S. 1985. Computer Response Time Using Orthogonal Array Experiments. Conference Record, vol. 2, 890 — 895. IEEE International Communications Conference, Chicago (June 23-26).
12.	American Supplier Institute Inc. 1984— 1985. Proceedings ofSuppli-er Symposia on Taguchi Methods. Romulus, Mich.
К главе 11
1.	Taguchi G. 1966. Statistical Analysis. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese)
2.	Taguchi G. 1974. A New Statistical Analysis for Clinical Data, the Accumulating Analysis, In Contrast with the Chi-Square Test. Saishin Igaku (The Newest Medicine) 29: 806 — 813.
3.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V., Grieco M.J. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Experimental Design. The Bell System Technical Journal 62: 1273 — 1310. (Наст, кн., гл. 6)
4.	Nair V.N. 1986. Components of Cumulative Chi-Square Type Tests for Ordered Alternatives in Contingency Tables. Statistical Research Reports # 18. Murray Hill, N. J.: AT&T Bell Laboratories.
5.	Mood AM. 1954. On the Asymptotic Efficiency of Certain Nonparametric Two-Sample Tests. Ann. Math. Stat. 25: 514 — 22.
6.	Agresti A. 1984. The Analysis of Ordinal Categorical Data. New York: Wiley.
7.	Box G.E.P. 1984. Recent Research in Experimental Design for Quality Improvement with Applications to Logistics. Technical Report # 2774. Madison, Wis.: MRC, University of Wisconsin-Madison.
372
Литература
8.	Kackar R.N. 1985. Off-line Quality Control, Parameter Design, and the Taguchi Method (with discussion). Journal of Quality Technology 17 (Oct.): 175-246. (Наст, кн., гл. 4)
9.	Leon R.V.. Shoemaker A.C. Kackar R.N. 1985. Performance Measures Independent of Adjustment: An Alternative to Taguchi's Signal to Noise Ratio. AT&T Bell Laboratories Technical Memorandum. (Наст, кн., гл. 12)
10.	Taguchi G. 1976, 1977. Experimental Design. Vols. 1, 2. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese)
11.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control. Nagoya, Japan: Central Japan Quality Control Association.
12.	Hartley H.O., Jayatillake K.S.E. 1973. Estimation for Linear Models with Unequal Variances. J. Amer. Stat. Assoc. 68: 189— 192.
13.	Cochran W.G. 1950. The Comparison of Percentages in Matched Samples. Biometrika 37: 256 — 66.
14.	Pitman E.J.G. 1937. Significance Tests Which May Be Applied to Samples from any Population. Suppl. J. R. Statist. Soc. 4: 119— 130.
15.	Light R.J., Margolin B.H. 1971. Analysis of Variance for Categorical Data. J. Timer. Stat. Assoc. 66: 534 — 44.
16.	Taguchi G., Hirotsu C. 1982. The Cumulative Chi-Squares Method Against Ordered Alternatives in Two-Way Contingency Tables. Rep. Stat. Appl. Res.. JUSE 29: 1 — 13.
17.	Lehmann E.L. 1975. Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks. San Francisco: Holden-Day, Inc.
18.	Sukhatme B.V. 1958. Testing the Hypothesis that Two Populations Differ Only in Location. Ann. Math. Stat. 29: 60 — 78.
19.	Bross I.D.J. 1958. Howto Use Ridit Analysis. Biometrics 14: 18 — 38.
20.	Barton D.E. 1955. A Form of Neyman's Tr2K Test of Goodness of Fit Applied to Grouped and Discrete Data. Skand. Aktuartidskr. 38: 1 — 16.
21.	Hajdk J., Sidrfk Z. 1967. Theory of Rank Tests. New York: Academic Press.
373
Литература
22.	Klotz J. 1962. Nonparametric Tests for Scale. Ann. Math. Stat. 33: 498-512.
23.	McCullagh P. 1980. Regression Models for Ordinal Data (with discussion). J. R. Statistical Society, B, 42: 109 — 42 (1980).
К главе 12
1.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control. Nagoya, Japan: Central Japan Quality Control Association. (Available from the authors through American Supplier Institute, 32100 Detroit Industrial Expressway, Romulus, MI, 48174.) 8.
2.	Taguchi G. 1976, 1977. Experimental Design. Vols. 1, 2. Tokyo: Maruzen Publishing Company. (Japanese)
3.	Taguchi G„ Phadke M.S. 1984. Quality Engineering Through Design Optimization. Proceedings of GLOBECOM 84 Meeting, 1106—1113. IEEE Communication Society. (Наст, кн., гл. 5)
4.	Phadke M.S. 1982. Quality Engineering Using Design of Experiments. Proceedings of the American Statistical Association, Section on Statistical Education, 11—20. Cincinnati. (Aug.) (Наст, кн., гл. 3)
5.	Box G.E.P. 1986. Studies in Quality Improvement: Signal-to-Noise Ratios, Performance Criteria and Statistical Analysis: Part I. Technical Report No. 11. Madison, Wis.: Center for Quality and Productivity Improvement, University of Wisconsin.
6.	Pierce J.R. 1980. An Introduction to Information Theory: Symbols, Signals and Noise. 2d ed., rev. New York: Dover Publications, Inc.
7.	Pierce J.R., Posner E.C. 1980. Introduction to Communication Science and Systems. New York and London: Plenum Press.
Дополнительная литература
Kackar R.N. 1985. Off-line Quality Control, Parameter Design and the Taguchi Method. Journal of Quality Technology 17 (Oct. no. 4): 176 — 209. (Наст, кн., гл. 4)
McGraw-Hill. 1977. McGraw-Hill Encyclopedia of Science and Technology Vol. 3. New York: McGraw-Hill, Inc.
К главе 13
1.	Phadke M.S., Dehnad K. 1986. Two Step Optimization for Robust Product and Process Design. Preliminary Report.
374
Литература
2.	Kackar R.N. 1985. Off-Line Quality Control, Parameter Design and the Taguchi Method. Journal of Quality Technology 17:176—206. (Наст, кн., гл. 4)
3.	Leon R.V., Shoemaker A.C., Kackar R.N. 1987. Performance Measures Independent of Adjustment: An Explanation and Extension of Taguchi's Signal-to-Noise Ratios. Technometrics, vol. 29, no. 3 (Aug.): 253 — 265. (Наст, кн., гл. 12)
4.	Taguchi G., Phadke M.S. 1984. Quality Engineering Through Design Optimization. (Наст, кн., гл. 5)
5.	Taguchi G., Wu Y. 1980. introduction to Off-line Quality Control Systems. Tokyo: Central Japan Quality Control Association.
6.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V., Grieco M.J. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Experimental Design. The Bell System Technical Journal, vol. 62, no. 5 (May-June): 1273-1309. (Наст. кн., гл. 6)
7.	Nair V.N., Pregibon D. 1986. A Data Analysis Strategy for Quality Engineering Experiments. Preliminary Report. (Наст, кн., гл. 14)
8.	Krall AM. 1973. Linear Methods of Applied Analysis. New York: Addison-Wesley.
К главе 14
1.	Taguchi G., Wu Y. 1980. Introduction to Off-line Quality Control. Japan: Central Japan Quality Control Association.
2.	Phadke M.S., Kackar R.N., Speeney D.V., Grieco M.J. 1983. Off-line Quality Control in Integrated Circuit Fabrication Using Design of Experiments. The Bell System Technical Journal, vol. 62, no. 5 (May-June): 1273— 1309. (Наст, кн., гл. 6)
3.	Leon R.V., Shoemaker A.C., Kackar R.N. 1987. Performance Measures Independent of Adjustment: An Explanation and Extension of Taguchi's Signal-to-Noise Ratios. Technometrics vol. 29, no. 3 (Aug.): 253 — 265. (Наст, кн., гл. 12)
4.	Bartlett M.S. 1947. The Use of Transformations. Biometrics 3: 39 — 52.
5.	Tukey J.W. 1977. Explanatory Data Analysis. Addison Wesley.
6.	Box G.E.P., Hunter W.G., Hunter J.S. 1978. Statistics for Experimenters. New York: John Wiley and Sons.
375
Литература
7.	Daniel С. 1959. Use of Half-Normal Plots in Interpreting Factorial Two-Level Experiments. Technometrics, vol. 1, no. 4 (Nov.).
8.	Nelder J.A., Pregibon D. n.d. Quasi-likelihood Models. Diometrika. Forthcoming.
9.	Box G.E.P., Meyer D 1985. Studies in Quality Improvement I. Dispersion Effects from Fractional Designs. MRC Technical Report # 2796 (Feb.). Madison, Wis.: University of Wisconsin.
10.	Nair V.N., Pregibon D. 1985. Analysis of Dispersion Effects: When to Log? AT&T Bell Laboratories Technical Memorandum (Dec.).
11.	NairV.N. 1985. Testing in Industrial Experiments with Ordered Categorical Data. AT&T Bell Laboratories Technical Memorandum (June). (Наст, кн., гл. 11)
12.	McCullagh P. 1980. Regression Models for Ordinal Data (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Ser. В 42: 109— 142.
13.	Becker R.A, Chambers J.M. 1984. S: An Interactive Environment for Data Analysis and Graphics. Belmont, Calif.: Wadsworth.
14.	Chambers J.M., FreenyA.E. 1985. A Decentralized Approach to Analysis of Variance. AT&T Bell Laboratories Technical Memorandum (Sept.).
15.	Gale W.A, Pregibon P. 1984. REX: An Expert System for Regression Analysis. Proceedings of COMPSTAT84,242 — 248. Prague. (Sept.). Pub. Physica-Verlag.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗД АНИЮ....................5
ПРЕДИСЛОВИЕ...................................... 15
ВВЕДЕНИЕ......................................... 18
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РОБАСТНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ....................................25
Часть 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Глава 1. ФИЛОСОФИЯ КАЧЕСТВА ПО ТАГУТИ:
АНАЛИЗ И КОММЕНТАРИЙ
1.1.	Введение.....................................29
1.2.	Социальный взгляд на качество................30
1.3.	Важность улучшения качества..................31
1.4.	Необходимость уменьшения разбросов выходных характеристик.....................................32
1.5.	Потери потребителя из-за разбросов выходных характеристик.....................................35
1.6.	Важность проектирования изделия и процесса...37
1.7.	Контроль качества на стадии проектирования...39
1.8.	Эксперименты с параметрами проектирования....44
Глава 2. МАКРОКАЧЕСТВО ПРИ МИКРОЗАТРАТАХ
2.1.	Введение.....................................50
2.2.	Робастное проектирование и контроль качества.52
377
Оглавление
2.3.	Метод ортогональной матрицы..................54
2.4.	Качественный скачок..........................55
2.5.	Испытание — одно, два,.......................59
Глава 3. ТЕХНИКА КАЧЕСТВА С ПРИМЕНЕНИЕМ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
3.1.	Введение.....................................61
3.2.	Техника качества.............................63
3.3.	Контроль качества на стадии проектирования для процесса производства интегральных схем....................65
3.4.	Контроль качества и затрат при проектировании изделия.73
3.5.	Линейные графы...............................79
3.6.	Заключение...................................82
Глава 4. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ, ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МЕТОД ТАГУТИ
4.1.	Введение.....................................85
4.2.	Разброс выходных характеристик...............86
4.3.	Контроль качества на стадии проектирования...89
4.4.	Ожидаемые потери.............................91
4.5.	Параметрическое проектирование для улучшения характеристик изделия...............94
4.6.	Выходная статистика..........................99
4.7.	Метод Тагути............................... 104
4.8.	Проектирование параметров для улучшения проектирования процесса........... 109
4.9.	Заключение................................. 111
Глава 5. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КАК ТЕХНИКА КАЧЕСТВА
5.1.	Введение................................... 113
5.2.	Техника качества........................... 114
378
Оглавление
5.3.	Проблема оптимального проектирования....... 116
5.4.	Стратегия оптимизации........................... 119
5.5.	Классификация проблем проектирования....... 120
5.6.	Проектирование схемы температурного контроллера. 128
5.7.	Заключение................................. 133
Часть 2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 6. КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА В ПРОИЗВОДСТВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СХЕМ
6.1.	Введение................................... 135
6.2.	Процесс формирования окон.................. 137
6.3.	Выбор факторов и их уровней................ 139
6.4.	Эксперимент с ортогональной матрицей планирования.... 141
6.5.	Меры качества.............................. 145
6.6.	Экспериментальные данные................... 146
6.7.	Анализ данных по ширине линий.............. 146
6.8.	Анализ данных по размерам окон после травления.. 163
6.9.	Выбор оптимальных уровней факторов ........ 174
6.10.	Практическая реализация результатов и оценка преимуществ оптимальных уровней........ 176
6.11.	Обсуждение результатов и направление дальнейших работ 178
Приложение А. Расчет сумм квадратов при анализе
отношения сигнал — шум для ширины линий до травления .... 179
Приложение Б. Расчет процентных вкладов при анализе
отношения сигнал — шум для ширины линий до травления .... 181
Приложение В. Разделение SBD на SB и SD при анализе средней ширины линий до травления............... 181
Приложение Г. Расчет сумм квадратов для аккумуляционного анализа размера окон после травления............ 182
379
Оглавление
Глава 7. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ПАЙКИ ВОЛНОЙ 7.1. Введение................................. 184
7.2.	Процесс пайки............................ 186
7.3.	Экспериментальный план................... 189
7.4.	Показатели............................... 195
7.5.	Эксперименты и результаты................ 197
Глава 8. РОБАСТНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ: ДЕШЕВЫЙ МЕТОД СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
8.1.	Центральная идея..........................201
8.2.	Формулировка проблемы робастного проектирования.202
8.3.	Рабочие этапы робастного проектирования...204
8.4.	Процесс эпитаксиального выращивания.......204
8.5.	Поиск параметров, изменяющих среднее значение...216
8.6.	Выводы и обсуждение результатов...........218
Глава 9. НАСТРОЙКА КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ НА
МАКСИМАЛЬНУЮ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ:
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД 9.1. Введение..................................221
9.2.	Что такое настройка компьютера? ..........223
9.3.	Три прикладные задачи.....................225
9.4.	Стратегия эксперимента....................227
9.5.	Анализ данных.............................232
9.6.	Выводы....................................234
Глава 10. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ 10.1. Экономический и технологический вызов....236
10.2.	Принципы робастного проектирования.......237
10.3.	Увеличение срока службы фрезы............242
10.4.	Оптимальное проектирование схемы.........253
380
Оглавление
10.5.	Заключение...............................263
Часть 3. МЕТОДОЛОГИЯ
Глава И. АНАЛИЗ ПРОМЫШЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ КАТЕГОРИАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
11.1.	Введение.................................266
11.2.	Общие сведения о проблеме параметрического проектирования................268
11.3.	Аккумуляционный анализ: метод и пример...270
11.4.	Аккумуляционный анализ: некоторые особенности.275
11.5.	Два простых набора балльных оценок для обнаружения эффектов положения и дисперсии.280
11.6.	Обсуждение...............................285
11.7.	Выводы...................................287
Приложение.....................................287
Глава 12. ВЫХОДНЫЕ МЕРЫ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ РЕГУЛИРОВАНИЯ: ОБЪЯСНЕНИЕ И РАСШИРЕНИЕ
ПОНЯТИЯ «ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ» ПО ТАГУТИ
12.1.	Роль отношения сигнал/шум в параметрическом проектировании....................290
12.2.	Меры выхода для статической проблемы параметрического проектирования............295
12.3.	Общая модель для проблем параметрического проектирования и удобное двухэтапное решение........299
12.4.	Меры выхода для динамических проблем параметрического проектирования............. 301
12.5.	Мера выхода для динамической проблемы двоичный вход — двоичный выход........307
12.6.	Регулируемые параметры на практике.......312
12.7.	Выводы...................................314
Приложение А. Проектирование механизма управления грузовиком..........................315
381
Оглавление
Приложение Б.
Отношение S/N Тагути для двоичного канала..........318
Глава 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ ТАГУТИ
13.1.	Введение.....................................321
13.2.	Отношение сигнал/шум.........................322
13.3.	Масштабный фактор и двухэтапная процедура оптимизации..............................326
13.4.	Прикладной анализ............................328
13.5.	Канал связи..................................334
13.6.	Заключение...................................337
Приложение.........................................337
Глава 14. СТРАТЕГИЯ АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО ОБЕСПЕЧЕНИЮ КАЧЕСТВА
14.1.	Введение.....................................339
14.2.	Наша стратегия: объяснение и общие положения.340
14.3.	Пример.......................................344
14.4.	Этап 1 — исследование........................346
14.5.	Этап 2 — моделирование.......................350
14.6.	Этап 3 — оптимизация.........................356
14.7.	Обсуждение...................................358
14.8.	Заключение...................................361
ЛИТЕРАТУРА.........................................363
382
Научно-техническое издание
Управление качеством.
Робастное проектирование. Метод Тагути
Перевод и научное редактирование д.т.н., проф. А.М. Талалая.
ООО «СЕЙФИ»
119620, г. Москва, Солнцевский проспект, д. 23
Подписано в печать 24.09.2002. Формат 84x108 1/32.
Бумага офсетная. Гарнитура «Балтика».
Печать офсетная.
Печ. л. 12. Тираж 1000 экз.
Заказ № 609т