Text
                    ПРЕДИСЛОВИЕ
Вы начинаете изучать новый предмет. Слово «алгебра» в его
названии указывает на то, что с некоторой частью курса вы уже
знакомы. Как и в предыдущие годы, значительное внимание будет
уделено «буквенному исчислению» — преобразованиям выраже¬
ний, составлению и решению уравнений, неравенств и их систем.
Наряду с решением уже знакомых задач, связанных с многочле¬
нами, рациональными дробями, степенями и корнями, вам пред¬
стоит расширить область применения алгебры. Будут включены
новые сведения из тригонометрии, сведения о логарифмах и т. д.
Принципиально новая часть курса посвящена изучению начал
анализа. Математический анализ (или просто анализ) — ветвь ма¬
тематики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя
две основные части: дифференциальное и интегральное исчисле¬
ния. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков
(в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница) и сыграл гро¬
мадную роль в развитии естествознания — появился мощный, до¬
статочно универсальный метод исследования функций, возни¬
кающих при решении разнообразных прикладных задач. Знаком¬
ство с начальными понятиями и методами анализа (произ¬
водная, дифференцирование, первообразная, интеграл, метод по¬
иска максимумов и минимумов функций) — одна из важных
целей курса. Добавим, что анализ традиционно относят к высшей
математике. Элементы анализа вошли в школьный курс срав¬
нительно недавно.
Несколько замечаний о том, как пользоваться учебником. Ог¬
лавление и предметный указатель, помещенные в конце книги, по¬
могут вам быстро найти нужный раздел, определение или теоре¬
му. Ответы и указания к упражнениям приведены в соответст¬
вующем разделе. Для знакомства с основными идеями решения
предлагаемых задач приводится множество примеров решения,
выделенных значками О и#. Отметим также, что задачи, вклю¬
ченные в каждый пункт до горизонтальной черты, необходимо
уметь решать для получения удовлетворительной оценки; эти за¬
дачи задают обязательный уровень подготовки. Задачи, следую¬
щие после черты, чуть сложнее.
Чтобы помочь вам при подготовке к контрольной работе, в кон¬
це каждой главы приведены вопросы и задачи на повторение
основного материала. Ответы на эти вопросы и примеры решения
таких задач можно найти в тексте соответствующих пунктов.
О происхождении изучаемых понятий, терминов и символов,
о людях, создававших математический анализ, вы можете узнать,
з


прочитав разделы «Сведения из истории», завершающие каждую из четырех глав учебника. Дополнительный материал теоретического характера содер¬ жится в некоторых пунктах учебника, он выделен значками V и А- По окончании школы вам предстоит сдавать выпускные экза¬ мены. Как известно, теоретический материал за курс средней шко¬ лы кратко изложен в книге «Математика. Справочные материа¬ лы». Практические упражнения для повторения курса помещены в заключительной главе «Задачи на повторение». ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В УЧЕБНОМ ПОСОБИИ N — множество всех нату¬ ральных чисел D(f) — область определения функ¬ ции f Z — множество всех целых чисел E(f) — область значений функ¬ ции f Z0 — множество всех неотри¬ Да — приращение аргумента х цательных целых чисел А/ (х0), А/ — приращение функции f Q — множество всех рацио¬ в точке Хо нальных чисел Г(х о) — производная функции f R — множество всех дейст¬ в точке Хо вительных чисел, чис¬ sin — функция синус ловая прямая cos — функция косинус [а; Ь) — замкнутый промежуток tg — функция тангенс (отрезок) с концами а ctg — функция котангенс и b, а<Ь e — число е, основание пока¬ (а; Ь) — открытый промежуток зательной функции, для (интервал) с конца- которой ((?)' = е? МИ Q И //, fl<i t°g0 — логарифм с основанием а ь\ [в; ь\ — полуоткрытые промежут¬ tg — десятичный логарифм ки с концами а и Ь, In — натуральный логарифм aCb (логарифм с основани¬ с; °°). ем е) 00 )' max / — наибольшее значение функ¬ • оо; Ь), [*; b] ции f на отрезке [а; b] - оо; 6] — бесконечные промежутки min / — наименьшее значение • оо; оо) — бесконечный промежу¬ [a; b] ток, числовая прямая функции / на отрезке [а; Ь] ti — обозначение вектора й ■ + 1 — 6-окрестность точки а \f (x) dx — интеграл функции f в пре¬ X — целая часть числа х a делах от а до 6 X — дробная часть числа х arcsin a — арксинус числа а X ‘ у — модуль (абсолютная ве¬ arccos a — арккосинус числа а личина) числа х arctg a — арктангенс числа а [ (А) — значение функции / в arcctg a — арккотангенс числа а точке х 4
Глава I ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение) 1. Радианная мера. Вы уже знакомы с радианной мерой углов. Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги ко¬ торого равна радиусу окружности (рис. 1). Радианная и градус- , ная меры связаны зависимостью 180° —я радиан; угол в п° равен ш радиан- При радианном измерении углов упрощается ряд формул. Так, для окружности радиуса г длина / ее дуги в а радиан нахо¬ дится по формуле l = ar\ (1) площадь S сектора круга радиуса г, дуга которого содержит a pa-k диан, такова: s = ir- (2)' Формулы (1) и (2) проще аналогичных формул /=-7577- и 2 1ОУ 5 ягп “ 360- д,ля вычисления Длины дуги окружности и площади сек¬ тора, дуги которых (величиной п°) заданы в градусной мере. Нали¬ чие у радианной'меры ряда преимуществ (см. также п. 17) приве¬ ло к тому, что в тригонометрии предпочитают пользоваться ради¬ анной, а не градусной мерой. Из курса алгебры вы знаете, как определяется поворот на угол в а радиан, где а — произвольное действительное число. Знакомы вам и определения синуса, косинуса, тангенса и котан¬ генса а (а — угол или число). О Пример 1. Найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла -у-. В прямоугольном треугольнике с углом в 30° противолежащий ему катет равен поло¬ вине гипотенузы с (рис. 2). Так как с= I, на¬ ходим «=-§~Ь f. 5
Рис. 2 Рис. 3 Поэтому cosf =f= j-,sinf=f=f, tgf=А=л/3, Ctgf= Ъ ф Вообще значения основных тригонометрических функций ост¬ рого угла а могут быть найдены так, как это делалось в курсе геометрии (рис. 3): cos а = -^~, sin а=-^-, tga=-^-, ctga=-^-. Приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котан¬ генса произвольного угла находятся с помощью калькулятора или таблиц. (Здесь и далее имеются в виду «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса.) Задача нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла путем применения известных вам формул сводится к нахождению значений sin a, cos a, tg a, ctg a, где Так, например, может быть заполнена следующая таблица: а 0 К IT к T к T 71 T 2k IT 3k ~4~ 5n *6~ к 7 к 1Г 5k T An T Зк т 5к 3 7к ~Г 11к "б" 2к sin a 0 1 2 {2 2 Ф 2 1 л/з 2 V2 2 1 2 0 1 2 2 _л/з 2 — 1 _л/3 2 _л/2 2 1 2 0 . VS 1 1 V3 2 V2 2 1 2 0 _ 1 2 V2 2 _V3 2 — 1 _V3 2 _л/2 2 _ 1 2 0 1 2 л/2 2 Ф 2 1 ' Z. I 0 1 Л/3 1 Ф - -Vs -1 1 л/З 0 1 л/з I л/з — ~л/3 -1 1 л/з 0 clg a’ - i 1 1 л/3 0 _ 1 л/з — 1 -л/з — л/з 1 1 л/з 0 1 Л/З -1 -л/з — 6
2. Основные формулы тригонометрии. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса сразу следуют основные тшго- нометрические тождества: sin2 a + cos2 a= 1; . sin a , cos a tga = ; ctg a = — cos a sin a tg a ctg a == 1; tg2a+l=-V-; ctg2a+l Основой для вывода остальных формул являются фор¬ мулы сложения: cos (a — р) = cos a cos p + sin a sin P; cos (a-fp) = cos a cos p—sin a sin P; sin (a — p) = sin a cos p —cos a sin P; sin (a + P) = sin a cos p + cos a sin P; ‘g(« + P) = 7^±^; tg(«-P)= 1-tgatg p Из формул сложения, полагая р=: l+tg atg р ' где n£Z, получаем формулы приведения для преобразования выражений вида sin^ia) , cos^ia) , tg(^-±a) , ctg(^-±a), n£Z. Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким мнемоническим правилом: а) перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (рис. 4), если б) функция меняется на «кофункцию», если п нечетно; функ¬ ция не меняется, если п четно. (Кофункциями синуса, коси¬ нуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.) и котангенса Рис. 4 7
Например: sin^-2—a^=cosa; cos^-^—a^=sina; tg(-^-+a) = —etg a; cos(a) = —sin a и т. п. Вам известны также формулы суммы и разности синусов (косинусов): i-о о • a + 0 «—Э sin a + sin 0 = 2 sin —cos ——■; о n • a— 0 a + 0 sin a —sin 0 = 2 sin —cos ——■; • о r> a + 0 a —0 cos a -f cos 0 = 2 cos —cos —^—; о о ■ a—0 . a + B cos a — cos 0 = — 2 sin —sin —. Из формул сложения, полагая a = 0, выводятся формулы двой¬ ного аргумента: sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos2 a — sin2 a; cos 2a = 1 — 2 sin2 a; cos 2a = 2 cos2 a — 1; (g2a=Tl!i^. & 1 —tg* a Подставляя в формулы cos2/=l—2 sin21 и cos 2/ = = 2 cos21—1 значение *=■§". получаем формулы половинного аргумента: . о a i —cos а /0ч Sin2-2~= 2 ; . 2 a 1 — cos a !1П^ —» - - - 2 2 2 a 1 + cos a / л \ cos2—=—2— . (4) О Пример 2. Найдем значение sin без помощи таблиц по формуле (3): 1 л , л/з 1 — cos — 1 . 2 л 6 2 2—+3 sin — 12 2 Так как sin-^->0, получаем sin ' ^твет можно упростить: л/2—УЗ -\/4 — 2 -\/3 ~\/(УЗ~ I)2 Уз— 1 Уб-Л^ ф 2 2 -у/2 2 -\/2 ~ 2 V2 ~ 4
Разделив почленно равенство (3) на (4), получаем: t~2 а _ 1 cos а /гч g 2 1+cosa ' ' ' 2 а 1 —cos а * 2 1+cosa Умножая числитель и знаменатель правой части равенства a SmT a tgr-£-= на 2 cos -77-, находим: ° 2 a 2 C0ST a . . a a sin — 2 sin — cos — , a 2 2 2 sin a tor —= . = = t e. s 2 a _ , a 1 + cos a ’ cos — 2 cosJ — , a sin a £ T- 1+cos a * ^ ^ Аналогично, умножая числитель и знаменатель правой части a sin — равенства tg ~-= на 2 sin -Ц-, приходим к формуле cosT . a 1— cos а /-ч *B- sino ■ <7> О Пр и мер 3. Найдем значение tg без помощи таблиц. О 1 — — 1 -i-^ ♦а2 5я — 4 — 2 У2 +1 (У2 +1 )2 (+24- п2 8 5л У5“У5_1 “ 2-l -W + )' 14COS— 1-у Заметим, что Поэтому tg-^-cO, и, следовательно, 2. о о 5л 8 Пример 4. Найдем sin cos и tg если известно, tg^=-h/2+l) что cosa = 0,8 и Угол находится в первой четверти, и, значит, sin-^->0, ~ 2 cos^->0, tg-^->0. Поэтому sin Т=\ ‘~~20,8 =УоП~-0,3162; cos ^=Л/-1±^=д/о^9 « 0,9487; tgT=VW=T*0’3333- •
Упражнения В каждом пункте упражнения разделены на две части. За¬ дачи, приводимые до горизонтальной черты, характеризуют обя¬ зательный уровень подготовки по данной теме: подобные упраж¬ нения необходимо уметь решать для получения удовлетворитель¬ ной оценки. В большинстве случаев со способами решения этих задач можно ознакомиться, рассмотрев примеры, разобранные в тексте соответствующего пункта. 1. Выразите в радианной мере величины углов: а) 45°, 36°, 180°; б) 120°, 310°, 360°; в) 60°, 72°, 270°; г) 150°, 216°, 90°. 2. Выразите в градусной мере величины углов: . л л 5л -ч 2я Зл л а' Т* 1Р 36 ’ * IP Т~’ 9~’ ч л Зл v 5л Зл 7л в) Т* 1Р л; г) Т* Т* “12- 3. Найдите числовое значение выражения: a) sin 0 + cos -7Г + sin2 -jS б) 3 sinЬ2 cos л + ctg2 в) 6 sin—2 cos О-f-tg2 г) 3tg-J—sin2 cos2 4. Существуют ли числа а, р и у» Для которых: а) sin a= — 0,5, cos 0=УЗ, tg у = — 2,5; б) sin а=^у-, cos Р= —2,2, tg у = 0,31; в) sin а = 1,3, cos0=^p, tg у = 5,2; г) sina=—7—, cos р=д/2,5, tgy =—7,5? 5. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: а> и f; б) °'4 и °-7; в) т " - f-• г> и 6. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же числа быть равными соответственно: а> —Г и _т; б) (^_2) и (V3+2); в) 2,4 и -A; 7. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: Ю
a) sin а=—0,8, л<а<С^р-; б) cos а=—у, у<а<л, в) sin а = ^, 0<а<-|-; г) cos а=||-, -^-<а<2л. 8. Упростите выражение: о /. л 1—2cos2p a) cos cl — cos cl-f- sin a; °) cos p_|_Sjn p > в) (sin2 a + tg2 a sin2 a) ctg a; r) cos4 / Mg2 t. 9. Вычислите: л 4л 4л л , 2л , 5л c0sT5c0sT5-s'nT5S'nT5 tgT-‘g-|2 cos 0,3л sin 0,2л + sin 0,3л cos 0,2л ’ 2л , 5л ’ l+tg-o tg л Зл 5л л .л 5л tg^+tgjo sm-jjcos-g—sm g-cos- в) г-тг; г> л, Зл ' . 5л . 7л 5л 7л '-tgTo'g20 sinT2S,nT2-COST2COS12 10. Вычислите sin 2a, cos 2Р, sin (a — p) и cos(a-f-P), если: а) sin a=-|-, cos P= —-|-<a<л, -^-<p<л, б) cosa = 0,6, sin p=—уу-, Щ- <а<2л, л<р<-у-. 11. Упростите выражение: 2 sin a cos P~sin (a~ ^ 1 —cos a-f cos 2a _ ' cos (a —P) —2 sin a sin p ’ ' sin 2a —sin a ’ /2 cos a —2 cost -j" + a ) в) ^; r) ctg2 a (1 — cos 2a) + cos2 a. 2 sin f — -fa \ —-^2 sin a 12. Преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы аргу¬ мент соответствующей тригонометрической функции принад¬ лежал промежутку ^ 0; : а) sin ур cos^— -у) , tgO^, ctg (—1,2л); б) tg^, sin^— , cos 1,8л, ctg 0,9л. 13. Найдите числовое значение выражения: v о . л 2л , 4л , 7л а) 8sm — cos — tg — ctg—; ll
14. Верно ли равенство: 15. Найдите sin cos -у, tg если: v 12 Зл ^ \ • 3 л ^ ^ a) cos а= ——, Жа<—; б) sin а =—, —<а<я, 16. С помощью калькулятора или таблиц найдите значения sin а, cos а, tg а, ctg а, если: а) а = 0,19; б) а = 1,37; в) а = 0,9; г) а=1,2. 17. С помощью калькулятора или таблиц найдите: а) радианные меры углов 17°; 43°24'; 83°36'; 72° 12'; б) градусные меры углов 0,384; 0,48; 1,11; 1,48. 18. Вычислите длину дуги, если известны ее радианная мера а и радиус R содержащей ее окружности: 19. Вычислите площадь сектора, если известны радиус R кру¬ га и радианная мера а центрального угла сектора: 20. а) Найдите радианную меру центрального угла сектора, если длина соответствующей дуги равна диаметру круга, б) Длина дуги сектора втрое меньше его периметра. Найди¬ те радианную меру его центрального угла. а) а = 2, R = 1 см; б) а = —, R = б см; г) а= у^-, R= 10 м. в) а = 0,1 и R = 1 м; а) а = 2, R= 1 дм; б) а = —, R = 2 см; г) а=у1, R = 3 м. в) а = 0,1, R= 1 м; 12
Найдите значения выражений (21—22). 21. a) 3sin^2a——^+2cos(3a— я), если a— б) sin2(a—|-)+3tg(x~т) ’ если а==Т; в) 4 cos ( За —+ctg(a + j^-) , если а=-~; г) cos(a + -|-) tg2(2a + -f-) , если а=— on \ 1+tga 12 Зл .п 22- а) если “=Тз"’ —<«<2я; sin a + cos a , 5 б) — , если tga =—; sin a— cos a ° 4 „v cos a+ctg a _ „ 1 ^ ^ Зл * ctg a * 6СЛИ C°S a= з~’ Л<а< — ; r) sin2 a — cos2 0, если cos2 a — sin2 0 = 0,5. 23. Докажите, что при 0<Ca<C-^- справедливо равенство: а) sin a -J\ -Mg2 a=- cos a yi+tg 2 a ’ 1+cosa _ / 1— cos a 0 , б) V у -г-. =2 ctg a; V 1 — cos a V 1 + cos a b ч +1 —sin2 a cos a B) —2 ; = — ; sin a У1 — cos2 a r) sjsm2 a-ftg2 a sin2 a ycos2 a + ctg2 a cos2 a Докажите тождества (24—26). 24. a) sin(-j-+a) = cos(-j a) ; б) «) tg(+-a)=ctg(f+a) ; Г) cCcsaS7n(ip = tga + ctg P- 25. a) (sin2 / + 2 sin t cos t — cos2/)2=l—sin 4/; cos a — 2 sin 3a —cos 5a , 0 6) -7—= - : =tg3a; sin 5a —2 cos 3a —sin a b 1 — 4 sin21 cos2 / q , sin a + 2 sin 2a +sin 3a Bl 1 n ■, .» ■ ——COS Zt. F) ™- ■ ~ ■■ ■1 cos / — sin / cos a + 2 cos 2a +cos 3a l-tg24- _ 2tg{ 26. a) cos t = — ; 6) sin 0= — . tg 2a. l+tg2y l + ig2 y 13
27. Вычислите (без помощи таблиц и калькулятора): a) sinjjcos-^-; б) (sin sin ^:cos \ ( • 2 Л 2 Л \2 в) (sm —-cos TJ ; г) 2л Т 11л л COS--COS- . 5л S,nT2 2. Тригонометрические функции и их графики 1. Функции синус и косинус. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью. Пусть точ¬ ка Ра единичной окружности получена при повороте точки Ро (1; 0) на угол в а радиан. Нетрудно понять, что ордината точки Ра — это синус угла а, а абсцисса этой точки — косинус угла а (рис. 5). О П р и м е р 1. Найдем значения синуса, косинуса, тангенса и Зл котангенса угла — радиан. Координаты точки Р3я (рис. 6) нетрудно найти, воспользовав- т шись свойством равнобедренного прямоугольного треугольника: *= —У=^§- Поэтому sin cos 2р= . tg^j-= = -1, ctgf =-1. • Далее мы считаем, что все углы измерены в радианной мере и поэтому обозначение рад, как правило, опускается. Договорив¬ шись считать единицу измерения углов (1 радиан) фиксирован¬ ной, определяем, например, синус числа х как синус угла в х ра¬ диан; косинус числа х как косинус угла в х радиан и т. д. Определение. Числовые функции, заданные формула¬ ми у — sin х и у = cos х, называют соответственно синусом и коси¬ нусом (и обозначают sin и cos). 14 Рис. 5 Рис. 6
Область определения этих функций — множество всех действи¬ тельных чисел. Областью значений функций синус и косинус является отрезок [—1; 1], поскольку и ординаты, и абсциссы точек единичной окружности принимают все значения от — 1 до 1 Будем обозначать область определения функции / через D (/), а об¬ ласть значений — через Е (/). Тогда можно записать: D (sin) = D (cos)=/?; Е (sin) = £ (cos) = [— 1, 1]. Напомним следующие известные вам свойства функций синус и косинус. Для любого х справедливы равенства: 1) sin( — х)=—sin х, cos (— x) = cosx; 2) sin (x-|-2ftrt) = sin x, cos (jc + 2ttrt) = cos x (n — произволь¬ ное целое число). 2. Синусоида. Построим график функции синус на отрезке [0; 2л]. Для этого отметим на оси ординат точки (0; — 1) и (0; 1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2л (обратите внимание: длина отрезка [0; 2л] приближенно равна 6,28). Разделим отрезок [0; 2л] и единичную окружность на 16 равных частей (рис. 7) Для построения точки графика с абсциссой а воспользуемся определением синуса: отметим точку Ра на единичной окружности и проведем через Ра прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 7) Точка пересечения этой прямой и прямой х = а искомая, так как ее ордината совпадает с ординатой точки Ра, а по определению sin а равен ординате Ра. На рисунке 7 показано построение 16 точек графика. Сое¬ диняя их плавной кривой, получаем эскиз графика синуса на от¬ резке [0; 2л]. Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что sin (x + 2nn) = sin х (п — произвольное целое число). Поэтому во всех точках вида х0 + 2лп, где 0^х0^2л, зна¬ чения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью па¬ раллельных переносов его вдоль оси Ох (вправо и влево) на 2л, 4л, 6л и т. д. (рис. 8). График синуса называется синусоидой. Отрезок [—1; 1] оси ординат, с помощью которого мы находили значения синуса, иногда называют линией синусов. 15
y=cosx Рис. 9 Для построения графика косинуса напомним, что cosjc = = + . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке хо равно значению синуса в точке хо + 4р Это означает, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние в отрицательном направлении оси Ох. Поэтому график функции у = cos л; (рис. 9) также является синусоидой. 3. Функции тангенс и котангенс и их графики. Определение. Числовые функции, заданные формулами y=tgx и у = ctg х, называют соответственно тангенсом и котан¬ генсом (и обозначают tg и ctg). Областью определения функции тангенс является множество всех чисел х, для которых cosx^O, т. е. все числа х, не равные -Y~\-nn (п «пробегает» все множество целых чисел Z). Область определения котангенса состоит из всех чисел х, для которых sinx=^0, т. е. из всех чисел, не равных ля, где n£Z. Проведем касательную / к единичной окружности в точке Ро (рис. 10). Пусть а — произвольное число, для которого cos аф0. Тогда точка Ра (cos a; sin а) не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая ОРа пересекает / в некоторой точке Та с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая ОРа проходит через точки О (0; 0) и Ра (cos a; sin а). Поэтому она имеет уравнение у = х tg а. 16
Рис. 10 Нис- 11 Абсцисса точки Та, лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравне¬ ния прямой ОРа находим, что ордината точки Та равна tg а. Итак, ордината точки пересечения прямых,ОРа и / ра^на тангенсу а. Поэ¬ тому прямую / и называют линией тангенсов. Нетрудно также доказать, что абсцисса точки Са пересечения прямой ОРа с касательной m к единичной окружности, проведен¬ ной через точку Рп (рис. 11), равна ctg а при sin афО. Поэтому ~2 прямую пг называют линией котангенсов. Рис. 12 17
Область значений тангенса (котангенса) — вся числовая пря¬ мая. Докажем это для функции tg. Пусть уо — произвольное действительное число. Рассмотрим точку Т (1; уо). Как только что было показано, тангенс угла ТОх равен у0. Следовательно, функция tg принимает любое действительное значение уо, что и тре¬ бовалось доказать. Напомним следующие известные вам свойства функций tg и ctg: 1) tg( — *)=— tg*; ctg(—х)=— ctg*; 2) tg (x-f-nn) = \g x\ cig (x-\-nn) = cig x, n£Z. Построение графика тангенса на интервале ^ (рис. 12) аналогично построению, описанному в случае синуса. (Значение функции tg в точке находится с помощью линии тан¬ генсов.) Вследствие тождества tg (л: + nn) = tg х {n£Z) график тангенса на всей области определения (рис. 13) получается из графика на интервале^—параллельными переносами 18 Рис. 14
вдоль оси Ох (вправо и влево) на я, 2я и т. д. График функции tg называют тангенсоидой. График котангенса приведен на рисунке 14. V Синус, косинус, тангенс и котангенс часто называют основ¬ ными тригонометрическими функциями. Иногда рассматривают еще две основные тригонометрические функции — секанс и косе¬ канс (обозначаются соответственно sec и cosec). Для того чтобы понять, почему основных тригонометрических функций именно 6, заметим, что тригонометрические функции ост¬ рого угла а можно определить как отношения сторон прямоу¬ гольного треугольника с острым углом а (рис. 3). Таких отноше¬ ний 6: a b I «х Ь sin а =—; cos а =—; tga = —; ctga =—; с с ъ Ь ь а sec а=4-; cosec а=—. А ь а Упражнения 28. Отметьте на единичной окружности точку Ра, если: _\ л я Зл _ л л з) а =—, <* =—, а=—, б) а =—, а = я, а= ——; \ л Зл л . я л 5л в) а =—, а = —, а=—4~; г) а= ——, а=2я, а=—. 29. Найдите координаты точки Ра единичной окружности, если a равно: \ л л \ л 2л Зл а) т. -я; б) т, т; )л в л ш v Зл л 5л ~~2~; Т’ : г' Т’ г* т* 30. В какой четверти координатной плоскости расположена точка Ра, если а равно: 8) X' у1, -2,7; б) |ь, 1,8л, -3,2; в) X' ~Т' 1>9; г) Т’ _2'3л' 3-7? 31. Найдите знак числа: а) sin Щ- cos ^ptg 2,3л; б) sin 1 cos 3 ctg 5; в) sin 1,3я cos,^-tg 2,9; г) sin 8 cos 0,7 tg 6,4. 32. Найдите значения синуса и косинуса а, если а равно: а) 4л, —л; б) Щ, —5,5л; в) л, —2л; г) Ц-, — 19
33. Постройте график функции: а) t/ = cos(^ + x) ; б) (/ = — sin (* + л); в) у = cos^~—; г) (/ = tg(* + n). 34. На единичной окружности отметьте точку Ра (х; у), координаты которой удовлетворяют условию: а) (/ = 0,5, хХ); б) х=—у~> 0; в) у> 0; г) //== — —, х<0. 35. На миллиметровой бумаге постройте единичную окружность, а затем центральный угол а, такой, что: a) sin а=—0,5; б) cosa = 0,3; в) cosa=—0,4; г) tga = 2. Найдите область определения и область значений данной функции. Постройте ее график (36—37). 36. а) (/ = 2 +sin *; б) у— 1-f-tg*; в) у = cos х — 1; г) у = 3 + sinjc. 37. а) у = 2 sin а:; б) у——— cosx; в) (/ = 0,5 tg х; г) у= — 1,5 sin л:. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции (38—39). 38. а) у = sin jc; б) у= I+cosjc; в) у — cos х; г) у = sinx—1. 39. а) у = х2 — 3х; б) у— sin х— 1,5; в) у = 2,5 + cosx; г) (/ = -!-+1. § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ 3. Функции и их графики 1. Числовая функция. С понятием функции вы познакомились в курсе алгебры. При изучении начал анализа удобно принять следующее определение: Определение. Числовой функцией с областью определе¬ ния D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, за¬ висящее от х. 20
Функции обычно обозначают латинскими (а иногда гречески¬ ми) буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точ¬ ке х и обозначают f (х). Область определения функции f обозна¬ чают D (f). Множество, состоящее из всех чисел f (х), таких, что х принадлежит области определения функции /, называют об¬ ластью значений функции f и обозначают Е (f). Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Например, формула /(х) = — имеет смысл при всех хфО, поэтому х 1 областью определения функции f (х)=— считают множество всех не равных нулю действительных чисел. Область ее значений сов¬ падает с областью определения и является объединением интер¬ валов (—оо; 0) и (0; оо). Вообще объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств А и В обо¬ значается так: А[}В. Например, объединением отрезков [0; 2] и [1; 3] является отрезок [0; 3]. Символом U удобно пользоваться для обозначения числовых . множеств, которые можно представить в виде объединения число- * вых промежутков. Так, для функции f (x)=-^- D(f)=E(f)=(- оо; 0)(J(0; оо). Область определения функции у — tg х — объединение всех ин¬ тервалов вида ^ —^Г+лп\ '§~ + лл ) » гДе область ее значе¬ ний — вся числовая прямая, т. е. £(tg)=(—оо; оо). Функции вида f(x)=p(x), где р(х) — многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида f(х)—^~, Q W где р и q — многочлены, называют дробно-рациональными функ¬ циями. Частное определено, если q (х) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции f — —множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (х). О Пример 1. Найдем область определения дробно-рацио¬ нальной функции с/ 4_7jt8-5x6 + 3x2 — 4х I \Х) XS _ дх2 2Х 21
Корни многочлена х3—3х2-\-2х — числа 0, 1 и 2. Поэтому D(f)=(- оо; 0)U(0; 1)U(1; 2)U(2; оо). # 2. График функции. Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «про¬ бегает» всю область определения функции f. Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Например, множество, изображенное на рисунке 15, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой а, но разными ординатами Ь\ и 62. Если бы мы сочли это множество графиком функции, то пришлось бы считать, что эта функция имеет при х—а сразу два значения Ь\ и 62, что противоречит опре¬ делению функции. Часто функцию задают графически. При этом для любого хо из области определения легко найти соответствующее значе¬ ние t/o — f (*о) функции (рис. 16). 3. Преобразования графиков. Запас функций, графики кото¬ рых вы умеете строить, пока невелик — это функции y=kx-\-b, y—ax2 + bx-\-c, у~У — sin х, у — cos х, y = tg х, у = ctg х. По¬ кажем, что, применяя известные из курса геометрии сведения о преобразованиях фигур, этот список можно существенно рас¬ ширить. 22
1) Рассмотрим сначала парал¬ лельный перенос на вектор (0; Ь) У к У=*2 вдоль оси ординат. Обозначая здесь и далее через (х'\ у') координаты точки, в которую переходит произ¬ вольная точка (х; у) плоскости при данном преобразовании, получим известные вам формулы Пусть / — произвольная функ- \ / ция с областью определения D (/). \ / Выясним, в какую фигуру переходит \ / график этой функции при данном \ / переносе. Из формул (1) сразу по- V.*/ лучаем, что произвольная точка (х; / (х)) графика переходит в точ¬ ку (х; f(x)-\-b). Это означает, что Рис- 18 график f переходит в фигуру, состоящую из всех точек (х\ f где х£ £>(/)• По определению графика функции эта фигура является гра- фшюм функции p=f(x)-j-6. Сказанное позволяет сформулировать правило: Для построения графика функции f (x)-\~b, где b — постоянное число, надо перенести график / на вектор (0; Ь) вдоль оси ординат. О Пример 2. Построим графики функций: а) у = sinx+2, б) у=х2- 5. а), В- соответствии с правилом переносим график функции у=sin х на вектор (0; 2), т. е. вверх по оси Оу на 2 единицы (рис. 17). б) Построение осуществляется переносом параболы у = х2 на вектор (0; —5), т. е. вниз по оси Оу (рис. 18). ф 2) Новым для вае преобразованием является растяжение вдоль оси Оу с коэффициентом k, которое задается формулами Для построения точки М\ в которую переходит данная точка М при растяжении, надо построить на прямой AM, где А — проекция М на ось Ох (рис. 19, а), точку, гомотетичную М относительно центра А (коэффициент гомотетии равен коэф¬ фициенту /г растяжения). На рисунке 19,6 показано построение точек, в которые переходят данные при растяжениях с коэффи- 1 о циентами — и —2. Выясним, в какую фигуру переходит график функции f при растяжении. Из формул (2) сразу получаем, что произвольная 23 (1) (2)
■г У i 'М'(х0;ку0) В Г 'М(х0;у0) L N(Xj;yty 0 А X н'Сх^щу > О) У £ (*2Г2Уг) Г(*з;уз) I л А г £ (*2;Уг) S) Н(х0;у0) м'(хо;?у0) \ }Щ;&) Щ;я) Рис. 19 точка (х; f (х)) графика f переходит в точку (х; kf (х)). Отсюда сле¬ дует, что график / переходит в фигуру, состоящую из всех точек (х; kf(x)), где x£D(f). Эта фигура является графиком функции y = kf(x). Доказано следующее правило: Для построения графика функции y = kf (х) надо растянуть гра¬ фик функции y = f (х) в k раз вдоль оси ординат. О Пример 3. Построим графики — 2х2 и и = 4- cos х. * 3 функций у Построение осуществляется в первом случае из графика функ¬ ции у = х2 (рис. 20), а во втором случае сначала строим график функ¬ ции у = cos х, затем воспользуемся растяжением вдоль оси ординат с коэффициентом (рис. 21). ф Замечание. Если 0< \k\ < 1, то растяжение с коэффициентом k часто называют сжатием. Напри¬ мер, растяжение с коэффициентом называют сжатием в 2 раза. Отме¬ тим также, что если fc<0, то для построения графика функции y = kf(x) надо сначала растянуть график f в \k\ раз, а затем отразить его симметрично относительно оси абсцисс (см. рис. 20). 3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор {а\ 0) за¬ дается формулами 24
| x' = x-\-a, \ У'=У- (3) Каждая точка графика функции f переходит согласно форму¬ лам (3) в точку (х-\-а\ fix)). Поэтому с помощью переменных х\ у' можно записать, что график f переходит в фигуру Ф, состоя¬ щую из точек (jc', f (х' — а)), где х' принимает все значения вида х-\-а (х «пробегает» D if)). Именно при этих значениях х' число х' — а принадлежит D if) и f{x' — а) определено. Следовательно, фигура Ф есть график функции у —f[x — а). Итак, можно сделать вывод: График функции y = f(x — а) получается из графика f пере¬ носом (вдоль оси абсцисс) на вектор (а; 0). Обратите внимание: если а>0, то вектор (а; 0) направлен в положительном направлении оси абсцисс, а при а<. 0 — в отрицательном. О Пример 4. Построение графиков функций у=У* +1 и у=cos^x—показано на рисунках 22 и 23. ф 4) Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k задается фор¬ мулами fx' = kx, \у'=у- ^ Произвольная точка графика функции f переходит при таком растяжении в точку ikx\ fix)). Пе¬ реходя к переменным х', у', мож¬ но записать, что график y = fix) пе¬ реходит в фигуру, состоящую из точек (* • ед , где х' принима¬ ет все значения вида x' = kx, a x£Dif). рИс. 22 25
Эта фигура есть график функции y = f^-E-j . Итак: Для построения графика функции y — f^—^ надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс. О Пример 5. Построение графиков функций у=cos 2х и у— = sin х показано на рисунках 24 и 25. ф О V 4. Отображение. Функцию с областью определения D и об¬ ластью значений Е называют также отображением множества D на множество Е. Можно сказать, например, что формула y = s\n х задает отображение множества R действительных чисел на отрезок [—1; 1]. Слова «функция» и «отображение» — Синонимы. Нередко рассматривают функции (отображения), область оп¬ ределения или область значений которых (а возможно, и оба этих множества) не являются числовыми множествами. С такими при¬ мерами, по существу, вы уже встречались в курсе геометрии. Например, областью определения функции «Площадь многоуголь¬ ника» при фиксированной единице измерения площадей является множество многоугольников плоскости. Область значений этой функции — множество неотрицательных чисел (площадь 0 име¬ ют «вырожденные» многоугольники, например отрезок). Движение (так же как и преобразование подобия), переводя¬ щее фигуру F в фигуру F', также является отображением, его область определения F и область значений F' состоят из точек. Понятие отображения часто относят к числу основных понятий всей математики. С его помощью можно дать такое определе¬ ние функции: функцией с областью определения D и областью значений Е называется отображение множества D на множество 26
Е, при котором каждому элементу множества D соответствует один вполне определенный элемент множества Е и каждый эле¬ мент множества Е поставлен в соответствие некоторому (хотя бы одному) элементу множества D. А Упражнения 1, i-, Ю; 40. Найдите значения функции: а) f {х) = х-{-~ в точках б) /(*) = 3cos(x—) в точках —2-, 0, л; в) f{x) = ^5x — x2 в точках 0. 1, 2; г) f (х) — 2 —sin 2л: в точках —0, 41. Запишите значения функции: а) / (х) = х2 + 2л: в точках х0, t-\- 1; б) f (х\ = tg2x в точках а, 6—1; в) /(л:) = '~+1 в точках хо, о+2; г) /(*) = 2 cosв точках z, Л + л. 42. Является ли графиком функции фигура, изображенная на рисунке 26, а — г? Рис. 26 27
Найдите область определения каждой из функций (43—44) 43. а) з= б) /W=V^-9: В) {{Х)= Л~2?~В : Г) /W“V§6=?. 44. a) f(x)—-p-\ б) /(jc)=2 tg х; в) f (*)=l+ctgx; г) f{x)=~. 46. Найдите область определения и область значений каждой из функций: а) (/ = 2 cos(x — ; б) */ = 2 + ^-; в) г) */ = 3 + 0,5 sin (* + 7") • 46. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображен на рисунке 27, а — г. 47. Начертите график какой-нибудь функции /у для которой: а) D (/) = [“2; 4], £(f)=[-3; 3]; б) D(f)=(-5; 3), £Ш = [2; 6]; в) D(f) = (0; 7), £(Л=[-П 6]; г) D(ft = [-4; 0], £(/)=(!: 4). Ум -5,* - У а ^V- N: 5 -.И"* -V -V г5 0 -О. - Л6 _ X ■в V: А П 2— Л х\ с; У* \А 1 / / г А Г J / -4 у О —( X 28 6) Рис. 27
48. В одной и той же системе координат постройте графики функций: \ 1 1 I о 1 а> У=- »=Т+2' У=—2- б) y=cosx, y=cosx—3, y=cos(; в) y = — *2, y = 4 — x2, y=—(x — 2)2; r) y — sin jc, y = sin x-\-2, = • Постройте графики функций (49—50). 49. а) г/=^; б) </=(*—2)2-4; в) у = \— (х+2)2; г) у=2+-J-- 50. а) у= 1+2 sin л:; б) y=^jx-\-Т — 1; в) У = 0,5 cos х—1; г) у = 2sjx — 1. 51. Найдите значения функции: „\ f/v\_/ х, если *>0, о 1 а г а> fW-\ если^<0. в точках-2; --;0;5; б) /(*)={ ** *’ еСЛИ х^~\' вточках —2; — I; 0; 4; ' v ’ \ 1 — х, если хС — 1, В) /(*)={ sin*- ес.-пи х>0’п вточках —f; --=-;0;-=-; ' ' V ' I cos л: — 1, если 2 з 6 {1, если х>0, 0, если х = 0, в точках —1,7; — л/2; 0; 3,8. — 1, если х<с0, 52. а) Основание ЛС треугольника ЛВС равно Ь, высота BD равна h. Через точку К высоты BD проведена прямая, параллель¬ ная АС. Выразите площади фигур, на которые делит эта пря¬ мая данный треугольник, как функции от расстояния ВК=х. б) Радианная мера центрального угла равна х, радиус круга равен R. Выразите площадь соответствующего сегмента как функцию от х. в) Радианная мера центрального угла сектора равна а, ради¬ ус равен г. Выразите периметр сектора как функцию от угла а. г) Прямая, параллельная диагонали квадрата, делит его на две фигуры. Задайте формулой зависимость между площадью каждой фигуры и длиной х меньшего отрезка, отсекаемого данной прямой от диагонали, если сторона квадрата равна а. 53. Найдите область определения функции: ■ л/З*— 2 У*2 —Зх — 4 а) «= б) У= 16-х2 ; 29
' ^ 3 —2лс ’ ' ^ 1-2* ' 54. Найдите область определения и область значений функции: a) y = \-\-sm2x; б) у=х-^-\ в) y=-yjx2-\-4\ г) у — 1,5 — 0,5 cos2 х. Постройте графики функций (55—56). 55. а) у= \х— 11; 5) в, у=^=2; г) Н?=С' еесГ„^!: 56. а) у = sin За: — 1; б) (/=-^-л:3 + 2; в) 1 Ч-cos 2л:; г) у=\-\-^-^х. 4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций 1. Четные и нечетные функции. Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала коорди¬ нат, т. е. для любого л: из области определения число (—х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделя¬ ют четные и нечетные. Определение. Функция f называется четной, если для лю¬ бого х из ее области определения f( — x)=f(x) (рис. 28). Определение. Функция f нечетна, если для любого х из ее области определения f ( — х)= — f (х) (рис. 29). о п р и м е р 1. Функция / (х) = х4 четная, а функция g (х) = х3 нечетная. Действительно, область определения каждой из них (это вся числовая прямая) симметрична относительно точки О и для любого х выполнены равенства / ( —х) = ( —x)4 = x4=/(x), 30 Рис. 28 Рис. 29
-2-10 1 у=х3 X Рис. 30 Рис. 31 g ( — *)==( — х)3= — х3 = —g (х). Графики этих функций изображе¬ ны на рисунках 30 и 31. ф При построении графиков четных и нечетных функций бу¬ дем пользоваться следующими известными из курса алгебры свойствами: 1°. График четной функции симметричен относительно оси ординат. 2°. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих двух правил вытекает следующее: при построе¬ нии графика четной или нечетной функции достаточно построить его часть для неотрицательных х, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае четной функции) или начала координат (в случае нечетной). О Пример 2. Функция f (х)=х-\--^- нечетная (докажите это самостоятельно). Ее график симметричен относительно начала координат (рис. 32). ф Основные тригонометрические функции синус, тангенс и котан¬ генс являются нечетными, а косинус — четной функцией (см. п. 2). Поэтому графики синуса, тангенса и котангенса (рис. 8, 13, 14) симметричны относительно начала координат, а график косинуса (рис. 9) симметричен относительно оси ординат. О Пример 3. Функция f (х) = *3 четная, так как ее об¬ ласть определения симметрична относительно точки х = 0 (она состоит из всех чисел, отличных от —1, 0 и 1) и для всех x£D (/) выполнено равенство 31
Рис. 32 Рис. 33 График этой функции симметричен относительно оси Оу (рис. 33). Пр и мер 4. Функция / {х)=хг-\-х не является ни четной, ни нечетной. Ее область определения симметрична относительно точки 0, но, например, при дс=1 не выполнено ни равенство ( — 1), ни равенство /(!)=— /( — 1), поскольку /(1) = 2, a f(-1)^0. • 2. Периодические функции. Очень многие процессы и явления, с которыми мы встречаемся в практике, имеют повторяющийся характер. Так, взаимное расположение Солнца и Земли повторя¬ ется через год. Положения маятника в моменты времени, отли¬ чающиеся на период колебания маятника, одинаковы. Такого рода процессы называют периодическими, а функции, их описывающие,— периодическими функциями. Известные вам основные тригонометрические функции — пе¬ риодические. Так для любого числа х и любого целого k выпол¬ нено равенство sin (л:-1- 2зтЛе) = sin х. Отсюда следует, что 2nk — период функции синус (кф0 — произвольное целое число). Вообще, говоря о периодичности функции /, полагают, что имеется такое число Тф 0, что область определения D (f) вмес¬ те с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х па¬ раллельными переносами вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние Т. Функцию f называют периодической с периодом ТФ0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х — Т и хфТ равны, т. е. f (х-\- T) = f (х) = —f (х — Т)- 32
Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой и sin (je + 2n;) = sin х, cos (jc + 2n)=cos х для любого х, си¬ нус и косинус — периодические функции с периодом 2л. Тангенс и котангенс — периодические функции с периодом л. В самом деле, области определения этих функций вместе с каж¬ дым х содержат числа jc + л и х — л и верны равенства tg(* + n) = tg*, ctg(*4^) = ctg*. Очевидно, что если функция f периодическая с периодом Г, то при любом целом пфО число пТ тоже период этой функции. Например, при /1 = 3, воспользовавшись несколько раз определени¬ ем периодической функции, находим: f(x+3T)=f((x+2T)+T) = !(x + 2T) = f((x+T) + T) = = f(x + T) = f(x). Докажем, что: а) наименьший положительный период функций y = smx и у = cos х равен 2л; б) наименьшим положительным периодом функций у = tg х и у = ctg х является число л. V а) Как уже отмечалось, число 2л является периодом функций sin и cos. Поэтому остается доказать, что положительное число, меньшее 2л, не может быть их периодом. Докажем это. Если Т — произвольный период косинуса, то cos (a-j-r) = cos a при любом а. Полагая a = 0, находим cos Т = cos 0=1. Наимень¬ шее положительное число Т, для которого cosjc=1, есть 2л. Пусть Т — произвольный положительный период синуса. Тогда sin (a + T) = sin а при любом а. Полагая а = -^-, получаем sin^T-t--^ = sin-|-= 1. Но sinjc=l только при jc=-|—|-2лп, n£Z. Поэтому Т = 2л/1. Наименьшее положительное число вида 2лп есть 2л. б) Если Т — положительный период тангенса, то tg Т = = tg (0 + 7’)=tg 0 = 0. Так как на интервале (0; л) тангенс нулей не имеет, Г^л. Ранее доказано, что л—период функции tg, и, значит, л — это наименьший положительный период тангенса. Для функции ctg доказательство аналогично. А Как правило, слова «наименьший положительный период» опускают. Принято, например, говорить, что период тангенса равен л, а период синуса равен 2л. Периодичностью основных тригонометрических функций мы уже фактически пользовались ранее, при построении графиков. Справедливо следующее утверждение: Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния пТ впра¬ во и влево вдоль оси Ох (рис. 34, здесь п — любое натуральное число). 2 Заказ 581 33
г- \ЩГ Действительно, пусть (*о; уо) — точка графика периодической функции /. Тогда точка хо-\-пТ при любом целом п принадлежит области определения f (см. замечание в начале пункта) и вслед¬ ствие периодичности / справедливо равенство f (xq-\-nT) = f (xq) — =Уо. Значит, точка (х0-\-пТ] у0), полученная при параллельном переносе точки (х0; уо) вдоль оси Ох на вектор (пТ; 0), тоже при¬ надлежит графику f. О Пример 5. Построим график функции f (х) = 2 cos х -+•1. Для построения воспользуемся тем, что функция f периодическая с периодом 2л. Действительно, функция f определена на всей пря¬ мой и, значит, вместе с произвольной точкой хо ее область опре¬ деления содержит точки, получающиеся из Хо параллельными пе¬ реносами вдоль оси Ох вправо и влево на 2л. Кроме того, вследствие периодичности косинуса f (х + 2л) = 2 cos {х\-2к)-\-1 = = 2 cos jc+1 =f (jc). Пользуясь свойством графиков периодичес¬ ких функций, строим график f сначала на отрезке [0; 2л] (для этого в соответствии с известными правилами преобразования графи¬ ков растягиваем график косинуса вдоль оси Оу в 2 раза и сдвигаем его на 1 вверх, рис. 35), а затем с по¬ мощью параллельных переносов про¬ должаем его на всю числовую пря¬ мую (рис. 36). # V Пример 6. Докажем, что функция / (х) = tg ^ 2х—^ периоди- 34
ческая и ее наименьший положительный период равен Тангенс определен при всех значениях аргумента, не равных \~лп, n£Z. Поэтому область определения данной функции состоит из таких ху что 2х—п, т. е. хФ^--\-^у n£Z. Отсюда следует, что D (J) наряду с произвольным х0 содержит и все точки вида + *0—-у-, n£Z. Очевидно, что число -у- яв¬ ляется периодом f, так как + =tg^2 —J-) = = tg^2x—^ =tg^2x—j-'j=/(x). Остается доказать, что число наименьший положительный период f. Допу¬ стим, что периодом f является такое число Го, что Го-С-тр. Тогда для любого x£D(f) справедливо равенство f (x+ r0) = tg(2 (jc-j- "Ь^о) j-) = tg((2х—^f)+2To>)—f(x) = tg^2x—, посколь¬ ку Г0 — период /. Но это означает, что 2Г0 — период функции tg. По предположению Г0<С-^Ч и, значит, 2Г0<л. Пришли к про¬ тиворечию с доказанным ранее: наименьший положительный пе¬ риод тангенса равен л. А Аналогично доказывается общее утверждение: Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция Af(kx-\-b), где A, k и b постоянны, a k=£0, также периодична, причем ее период равен Из этого утверждения сразу получаем, что, например, перио¬ дом функции sin^3A:—является число —у а период функции равен 4л. Упражнения Докажите, что функции являются четными (57—58). 57. a) f{x)=3*2 + х4; в) f (х) = х2 cos х; б) f(x)=x5 sin -j-; г) f (х) = 4хъ — х2. 58. a) f(x) 58. a) f(x)= : 2 sin ~ Г) = 2* 35
Докажите, что функции являются нечетными (59—60). 59. a) f(x) — x3 sin х2; б) f(x) = x2(2х — х3)\ в) f {х) — х5 cos Зх; г) f(x) = x(5—х2). 60. a)fW=il±i; б) Пх)=7Щ^.; в) f W = г) / W=^- 61. На рисунке 37, а — г построен график функции f для всех х, удовлетворяющих условию х^О (х^О). Постройте график функции f, если известно: 1) f — четная функция; 2) f — не¬ четная функция. 62. Докажите, что число Т является периодом функции /, если: a) f (x)=sin Т = 4я; б) f (х) = 2 tg Зх, Т=-у\ в) f(x) = 3cos4x, Т = -|-; г) / (x) = ctgГ=3л. 63. Докажите, что функция / является периодической: а) / (х)=2—cos *; б) /(x) = tg2x; в) / (x) = sin x + cos х\ г) f (х) = 3-J-sin2 х. Найдите наименьший положительный период каждой из функций (64—65). 64. a) #=4-sin4-; б) у = 3tgl,5x; У ji ZV- ■ _ t - - -b С 1 X. а) S) В) г) Рис. 37 Э5
Рис. 38 в) у = 4 cos 2х; 65. а) у = sin х cos х\ в) y = s'm9 х — cos2 х; г) y = 5tg—. б) y = s\nxs\n4x—cos* cos 4x; r) y = s\n 3x cos x + cos 3x sin x. 66. На рисунке 38, a — г изображена часть графика функции, имеющей период Т. Постройте график этой функции на про¬ межутке [— 1,5Г; 2,5Г]. 67. Найдите наименьший положительный период и постройте график функции: а) y = s\n 2х; б) у = cos^-; в) у = tg-|-; г) у = sin 1,5*. 68. Для функции f ученик проверил справедливость двух равенств и сделал вывод, что Т является периодом f. Прав ли ученик, если: чг/v • л 1 • / я , 2лЛ 1 гт, 2я а) /(*)=sinx, sin ~q~=~2~* sin\lT^~ir) ~T' T; б) f (x) = cos x, cos тр—0, cos(“+n^=0, T=л; в) /м={з±^:если x<u если х> 1, 37
K~"f)=0-5- f(~T+3)=0'5- г=3- г) f{x)=x+\x I, f (— 4)=0, f(-4 + 3)=0, T = 3? Какие из указанных ниже функций являются четными, ка¬ кие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечет¬ ными (69—70) ? 1*1 69. а) у = sinx + ctgx — х\ б) у- Sin X COS X В) y=*1+tg2*+*sinjt; г) У=— 70. а) у=-тгЦ-; б) у- '+sln* • х— I ’ ’ и х — sin* В) у=Щ ■*—; г) ' ^ I — X X COS X 71. Докажите, что данная функция является четной или нечетной, и постройте ее график: ч 1 1 а) */ = 7-; б) 72. Функции / и g определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если: а) h (x) = f (х) g2 (х), f — четная функция, g — нечетная; б) h(x) — f(x) — g (.х), fug — четные функции; в) h (x)=f (x)-}-g (.*), fug — нечетные функции; г) h (x) = f (х) g (jc), fug — нечетные функции? 73. Найдите наименьший положительный период функции: а) у=sin2 х; б) y=tgxctgx; (\ 2 sin -|-+ cos ■—-) . 74. Постройте график функции: а) у— 1 — cos 1 ,5л:; б) у = sin^2x—^ ; в) t/ = 2 + sin г) y = tg(2x—^y 75. Докажите, что если функция y=f(x) периодическая, то и функция y = kf (х)-\-Ь периодическая. 76. Докажите, что число 2 не является периодом функции: а) у=х2 —3; б) y = cosx\ в) у = Зх —5; г) у= \х\.
5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 1. Возрастание и убывание функций. Вы уже знакомы с поня¬ тием возрастающей и убывающей функций. Так, на рисунке 39 изображен график функции, определенной на отрезке [—1; 10]. Эта функция возрастает на отрезках [—1;3] и [4; 5], убывает на отрезках [3; 4] и [5; 10]. Известно, что функция у—х2 убывает на промежутке (—оо;0] и возрастает на промежутке [0; оо). График этой функции при изменении х от —ос до оо сначала «опускается» до нуля (значение функции в точке 0 равно нулю), а затем «поднимается» до бесконечности (см. рис. 20). Определение. Функция / возрастает на множестве Р, если для любых х\ и х2 из множества Р, таких, что x2>xi, выполнено неравенство / (х2) >/ (хi). Определение. Функция / убывает на множестве Р, если для любых х\ и *2 из множества Р, таких, что x2>xi, выполнено неравенство / (х2) </ (xi). Иными словами, функция / называется возрастающей на мно¬ жестве Р, если большему значению аргумента из этого множест¬ ва соответствует большее значение функции. Функция f называет¬ ся убывающей на множестве Р, если большему значению аргумен¬ та соответствует меньшее значение функции. О Пример 1. Докажем, что функция f(x)=xn (n£N) при нечетном п возрастает на всей числовой прямой, а при четном п функция /(л) = х" возрастает на промежутке [0; оо) и убывает на промежутке (— оо; 0]. Докажем сначала, что функция f(x)=x" возрастает на про¬ межутке [0; оо) при любом натуральном п. Пусть x2>Xi^0. Тогда по свойству степени X2>xi. Теперь рассмотрим случай четного п. Пусть х\ <х2^0. Тогда —х\>—х2^0 и (—xi)n> >( —х2)”^0, т. е. х”;>х2. Тем самым доказано, что функция f (х)=хп убывает на (— оо; 0] при четном п. Осталось рассмотреть случай нечетного п. Если х\ < 0 < х2, то х? < 0 < х§. Если х\ < х2 ^ 0, то — xi> — х2^0 и потому (—xi)n>(—х2)п^0, т. е. —х?> — х§, откуда следует, что хг>х”. Итак, доказано, что для нечетного п из неравенства x2>xi следует неравенство х2>х”. Согласно определению функция f (х) = х” при нечетном п возрастает на всей числовой прямой. Пример 2. Докажем, что если функция y=f(x) возрастает на мно¬ жестве Р, то функция у = — f (х) убывает на множестве Р. Пусть х\ и х2 — любые два числа из множе¬ ства Р. такие, что x2>xi. Надо до¬ казать, что —[ (х2)<—f (хО, т. е. fUiXf (jc2). Но это — очевидное следствие условия: f возрастает на множестве Р 39
У; "уч -а / 0 а ti х В) Рис. 40 Пример 3. Функция f (*) = “- убывает на каждом из про¬ межутков (— оо; 0) и (0; оо) (докажите самостоятельно). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих проме¬ жутков. Например, I >—1, но —I). ф При исследовании функций на возрастание и убывание приня¬ то указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти проме¬ жутки). Так, можно было сказать, что функция f (х)=-^~ убы¬ вает на отрезке [2; 100]. Это верно, но такой ответ неполон. Замечание. Для четных и нечетных функций задача на¬ хождения промежутков возрастания и убывания несколько упро¬ щается: достаточно найти эти промежутки при х^0 (рис. 40). Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [а; Ь\ где 6>а^0. Докажем, что эта функция убывает на про¬ межутке [—Ь\ —а]. Действительно, пусть — а^х2>х\^—Ь. Тогда f( — x2) = = f{x2), f( — xi)=f(x\), причем —x2<—xi^b, и поскольку / возрастает на [a; Ь\ имеем f (—xt)>f (—x2), т. e. f{x{)>f(x2). 2. Возрастание и убывание тригонометрических функции* Докажем сначала, что синус возрастает на промежутках £——|-2лп; -^-+2nnJ, neZ. В силу периодичности синуса дока¬ зательство достаточно провести для отрезка £ —^J . Пусть дг2>Х|. Применяя формулу разности синусов, находим: sin х2 — sin *1 = 2 cos *- sin *2 — *1 (1) Из неравенства х\ < х2 <следует, что 0 < Х2—Х1 В Я — *1+*2 ^ Я 9 ^ О 9 * 40
а) б) Рис. 41 Поэтому cos Х'~^Х2 >0, sin —2—Х| -> 0. Из (1) вытекает, что разность sin хг— sin х\ положительна, т. е. sin X2>sin х\. Тем самым доказано, что синус возрастает на указанных промежутках. Аналогично доказывается, что промежутки |-2лм; Щ-\-2ппJ, n£Z, являются промежутками убывания синуса. Заметим, что полученный результат легко проиллюстрировать с помощью единичной окружности: если —<^2^-^-, то точка Р1г имеет, естественно, ординату, большую, чем ордината точки Ptl (рис. 41, а). Если </2^-у-, то ордината точки Ph меньше ординаты точки Ptx (рис. 41,6). Промежутками возрастания косинуса являются отрезки [—л + 2ля; 2лл], где n£Z, а промежутками убывания — отрез¬ ки [2лл; л + 2лл], где n£Z. Доказательство можно провести при¬ мерно так же, как и в случае синуса. Проще же воспользоваться формулой приведения cos х = sin (*+-§-) • Из нее сразу следует, например, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки, полученные из промежутков возрастания синуса сдвигом на влево. Докажем, что функция тангенс возрастает на промежутках ^—5—1-лл; -тг+я/1^ , где n£Z. В силу периодичности тангенса доказательство достаточно провести для интервала ^ . Пусть xi и Х2 — произвольные числа из этого интервала, такие, что X2>xi. Надо доказать, что tgX2>tgXi. Имеем , , sin Х2 sin Х\ sin Хч. cos х\—sin Х\ cos Х2 sin (хг—Х|) tg Х2— Щ Х\ = = — . e e COS Х2 COS Х| COS *2 COS Х\ COS Х\ COS Х2 41
По предположению — <*2<-тр Поэтому cos*i>0, cosx2>0. А так как 0СХ2 — Х1<л, то и sin (*2— xi)>0. Следо¬ вательно, tg Х2 — tgxiX), т. е. tg X2>-tg *1, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что ctg убывает на промежутках (пп\ л + :гш), где n£Z. 3. Экстремумы. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) — одна из окрестностей точки 3, интервал ( — 3,3; —2,7) — окрестность точки —3. Изучая график рисунка 39, можно прийти к выводу, что наи¬ более «заметными» точками области определения являются такие точки х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки 3 и 5) или, наоборот, убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками макси¬ мума (хтах = 3 и *тах = 5) и минимума (xmin = 4). При построении графиков конкретных функций полезно пред¬ варительно найти такие точки. Например, для функции sin это точки вида ±-“f2л/г, n£Z. Возьмем для определенности хо = =-р-. Эта точка является правым концом промежутка возраста¬ ния синуса, и поэтому 1 =sin Aro>sin х, если —у-^л:<;-р-. Кроме того, хо=~ левый конец промежутка убывания, и следова¬ тельно, sin x<sin хо при • Итак, sin -j-Osin х для лю¬ бого х, лежащего в окрестности ^точки хо = и поэтому *о=-£ точка максимума функции синус. В точке —наоборот, убывание функции меняется на возрастание (слева от —-р-функция убывает, а справа возраста¬ ет). Рассуждая аналогично, получаем, что sinx]>sin^—-р-) = = — 1 в некоторой окрестности точки —-р-, и поэтому —-р точка минимума функции синус. Дадим точные определения то¬ чек экстремума. Определение. Точка Хо называется точкой минимума функции /, если для всех х из некоторой окрестности хо выполне¬ но неравенство f (x)^f (хо) (рис. 42). 42
О) Рис. 43 Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции /, если для всех х из некоторой окрестности хо вы¬ полнено неравенство f (x)^f (хо) (рис. 43). По определению значение функции f в точке максимума Л'о является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности Хо, как правило, имеет вид гладкого «холма» (рис. 43, а и рис. 44 — точки х\, х2, хз) или заостренного «пика» (рис. 43, б). В окрестности точки минимума графики, как правило, изобража¬ ются в виде «впадины», тоже или гладкой (рис. 42, б — точка х0, рис. 44 — точки Х4, Х5), или заострен¬ ной (рис. 42, а — точка Хо и рис. 44— точка Хб). Другие примеры поведения гра¬ фиков функций в точках мак¬ симума или минимума приведены на рисунках 45 (а — точка максимума), 46 (а — точка минимума) и 47 (здесь каждая точка промежутка 43
У* Рис. 47 • —1;0) является как точкой минимума, так и точкой макси¬ мума). Для точек максимума и минимума функции принято общее наз¬ вание — их называют точками экстремума. Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и миниму¬ мами функции (общее название — экстремум функции). Точки максимума обозначают хтах, а точки минимума xmin. Значения функции в этих точках обозначаются соответственно ymax и ymin. Упражнения 77. Для функций, графики которых изображены на рисунках 48, а — г, найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; а) б) В) г) 44 Рис. 48
б) точки максимума и минимума функции; в) экстремумы функции. Начертите эскиз графика функции f (78—80). 78. а) / возрастает на промежутке (— оо; 2] и убывает на проме¬ жутке [2; оо); б) f возрастает на промежутках (—оо;—2] и [0; 3], убы¬ вает на промежутках [—2; 0] и [3; оо); в) f убывает на промежутке (—оо; —1] и возрастает на промежутке [—1; оо); г) f убывает на промежутках (— оо; 1] и [4; оо), возрастает на промежутке [1; 4]. 79. а) *тах=— 3, *min = 4, /( — 3) = 5, f (4)= — 5; б) *гшп=— 2, xmin — 2, хтах = 0, f ( — 2) = / (2)= — 3. / (0)=2; в) *rnin= —5, *тах = 2, f( — 5)=1, / (2)=6; 0 *тах=— 4, хтах = 3, *т1п= — 1, /( — 4) = 5, /(3)—2, f (—1) 2. 80. a) f — четная функция, хтах = — 3, xmin = 0, f ( — 3) = 4, f( 0) = 0; б) f — нечетная функция, хтах = 2, xmin = 5, f (2) = 3, f (5)= — 4; в) f — четная функция, xmin = 4, *max = 0, f(4)=—2, f(0) = 2; r) f — нечетная функция, xmin= — 4, xmax= — 1, f ( — 4)= — 3, f (—!)=!- 81. Докажите, что функция y = kx-\-b: а) возрастает на множестве R при /г>0; б) убывает на множестве R при k<.0. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки макси¬ мума и точки минимума функции, ее максимумы и миниму¬ мы (82—85). 82. а) У = — х2-{-6х — 8; 6) У = = (* + 2)4+l; в) У== х2 — 4х; г) У = (х — З)4. 83. а) У = 3 х—2 ’ б) У = :-(* + 3)5; в) У = 1 х+3 ’ Г) У = {х-4)\ 84. а) У = 3 sin х — 1; б) У = ■■ —2 cos х-\-1; в) У= 2 cos 1; Г) У = 0,5 sin х—1,5. 85. а) У = l+2tgx; б) У = sin 1; в) У = — tg x\ г) У = cos х— 1. 86. Сравните числа: а) cos 32. и cos ^2; 7 9 б) sin и sin —; 7 8 45
v , 9л .6л в) tg — и tg-^-; ч . 4л Зл г) sin — и sin — . У о 87. Расположите числа в порядке возрастания: a) sin 3,2, sin 3,8, sin 1,3; б) cos 0,9, cos 1,9, cos 1,3; в) tg 0,5, tg 1,4, tg(—0,3); r) sin 1,2, sin (—1,2), sin 0,8. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстре¬ мума и экстремумы функции (88—89). 91. Докажите, что функция: а) f (х) = х4-\-Зх возрастает на [0; оо); б) /00=—*3 — 2дс убывает на R\ в) /(х)=хе—0,5 убывает на (— оо; 0]; г) f(x) = x5+1 ,5х возрастает на R. 92. Докажите следующие утверждения: а) если /— четная функция, х0 — точка максимума, то —Хо является точкой максимума; б) если / — нечетная функция и на промежутке [а; b] она убывает, то и на промежутке [—6; —а] функция / убывает; в) если / — нечетная функция, хо — точка минимума, то —х0 является точкой максимума; г) если f — четная функция и на промежутке [а; Ь] функция возрастает, то на промежутке [—6; —а] она убывает. 88. a) y=(T32f+I; б) у=4 \х\ —х2; г) у=х2 — 2 |х|. 90. Расположите числа в порядке возрастания: Г) Sin(-§), 46
6. Исследование функций 1. Построение графиков функций. Ранее вы строили графики функций «по точкам». Во многих случаях этот метод дает хоро¬ шие результаты, если, конечно, отметить достаточно большое число точек. Однако при этом приходится составлять большие таблицы значений функции, а главное, можно не заметить сущест¬ венных особенностей функции и в итоге ошибиться при построении графика. Предположим, например, что, вычислив значения функции в 15 точках и отметив соответствующие точки графика на коорди¬ натной плоскости, мы пришли к рисунку 49. Естественно предпо¬ ложить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, прохо¬ дящей через все эти точки (рис. 50). Однако «настоящий» гра¬ фик (естественно, проходящий через все эти точки) может быть совершенно не похож на этот эскиз (рис. 51—53). Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять характерные особенности функции, т. е. предварительно провести ее исследование. Пусть, например, о функции / нам известно, что она: — определена на объединении промежутков (— оо; —10) (-10; 10), (1.0; оо); — обращается в нуль в точках —11 и 0, отрицательна на интервалах (—оо; —11), (—10; 0) и положительна на интерва¬ лах (—11; —10); (0; 10) и (10; оо); Рис. 51 47
— возрастает на промежутках (—оо; —10) и (—10; 10), [12; 15] и убывает на промежутках (10; 12] и [15; оо); — имеет минимум в точке 12, причем f (12)= 16, и максимум в точке 15, причем / (15)= 19; — наконец, значения f при приближении значений аргумента к —10 и 10 неограниченно возрастают по абсолютной величине. Эти сведения позволяют понять, что эскиз графика функции примерно таков, каким он изображен на рисунке 53. Рассмотрим еще один пример: исследуем функцию /W=FTT- 1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х2+1 не обращается в нуль. 2) Заметим, что функция f четная: для любого х XJ2+! = М- Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее график при х^0, затем остается отразить построенную часть графика относительно оси ординат. 3) Найдем точки пересечения графика f с осями координат. Ось ординат график f пересекает в точке (0; f (0)). Значение f(0) равно 1. Поэтому график f проходит через точку (0; 1). Для того чтобы найти точки пересечения графика функции f с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = 0 (его корни назы¬ вают нулями функции). Уравнение 0 не имеет корней. Значит, график f не пересекает ось абсцисс. 4) Выясним, на каких промежутках функция f принимает по¬ ложительные, а на каких — отрицательные значения; их называют промежутками знакопостоянства функции. Над этими промежут¬ ками график функции лежит выше (соответственно ниже) оси абсцисс. В данном случае, поскольку при любом х значение х2+ 1 положительно, f(x)> 0 на всей числовой прямой. 5) Существенно облегчают построение графика сведения о том, на каких промежутках функция возрастает или убывает (эти промежутки называют промежутками возрастания или убыва¬ ния функции). Докажем, что для рассматриваемой функции промежуток возрастания — это (—оо;0], а промежуток убыва¬ ния — [0; оо). Пусть х\ и Х2 — два значения из промежутка [0; оо), при¬ чем X2>Xi. ПОСКОЛЬКУ Xi И Х2 ПОЛОЖИТеЛЬНЫ, ИЗ УСЛОВИЯ Х2>Х| следует х2>х2, х2 +1 >х? +1 и, наконец, -ттт<-ттт* Итак, *2+* *1-Г* / (х2)</(Х|), т. е. функция f убывает на промежутке [0; оо). На промежутке (—оо;0] функция / возрастает. Доказатель- 48
ство проводится аналогично (можно также воспользоваться четностью данной функции). 6) Найдем значения функции в точках, в которых возраста¬ ние сменяется убыванием или наоборот. В нашем случае имеется лишь одна точка, принадлежащая одновременно и промежутку возрастания, и промежутку убывания,— это точка 0. Точка 0 — точка максимума функции f (х)=^~ \ f(0)=l. 7) Заметим, наконец, что при неограниченном увеличении х значение х2 +1 неограниченно возрастает, а потому значения f (*)=._!_• (оставаясь положительными) приближаются к нулю. Полученных в ходе исследования свойств функции f (х) = достаточно для построения ее графика. хг + 1 Построим точку графика (0; 1). Мы установили, что [0; оо) — промежуток убывания функции f. Поэтому правее точки с абсцис¬ сой 0 график рисуем в виде кривой, которая «идет вниз» (рис. 54). Так как /(*)> 0 при любом х, эта кривая не может опуститься ниже оси абсцисс, причем (см. п. 7 исследования) при про¬ должении вправо график неограниченно приближается к оси абсцисс. Остается воспользоваться четностью функции f: гра¬ фик / получаем, отразив построенную для х^О кривую симмет¬ рично относительно оси ординат (рис. 55). 2. Схема исследования функций. При исследовании функций мы будем придерживаться описанной схемы. В общем случае исследование предусматривает решение следующих задач: 1) Найти области определения и значений данной функции f. 2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчаю¬ щими исследование, т. е. является ли функция /: а) четной или нечетной; б) периодической. 3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. 4) Найти промежутки знакопостоянства функции f. 5) Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. 49
6) Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках. 7) Исследовать поведение функции f в окрестности харак¬ терных точек, не входящих в область определения (например, точка х = 0 для функции f — » и ПРИ больших (по модулю} значениях аргумента. Необходимо заметить, что этот план имеет примерный харак¬ тер. Так, для нахождения точек пересечения с осью абсцисс надо решить уравнение f(x)=0, чего мы не умеем делать даже в слу¬ чае, когда f(x), например, многочлен пятой степени. (Существуют, правда, методы, которые во многих случаях позволяют найти число корней такого уравнения и сами корни с любой точностью.) Поэтому часто тот или иной этап исследования приходится опус¬ кать. Однако по возможности в ходе исследования функций желательно придерживаться этой схемы. Наиболее трудным этапом исследования является, как правило, поиск промежутков возрастания (убывания), точек экстремума. В следующей главе вы познакомитесь с общими методами реше¬ ния этих задач, основанными на применении методов матема¬ тического анализа. V Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f (например, прямая х = 0 для функции f {х) = =-£- или прямые х= ± 10 для графика функции, изображенного на рисунке 53), называют вертикальными асимптотами. Чаще всего график имеет вертикальную асимптоту х=а в случае, если выражение, задающее данную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а, а чис¬ литель нет. Например, график функции /(х)=-^- имеет верти¬ кальную асимптоту х=0. Для графика функции /(x)=tgx вер¬ тикальными асимптотами являются прямые х=~ + лл, где n£Z. Если график функции неограниченно приближается к некото¬ рой горизонтальной (в случае функции f (х)= 2 --- это прямая х Ч- * у—0, см. рис. 55) или наклонной (прямая у=х для графика функции f (x)=x-{-j-, см. рис. 32) прямой при неограниченном возрастании (по модулю) х, то такую прямую называют горизон¬ тальной (соответственно наклонной) асимптотой. А 3. «Чтение» графиков. В большинстве разобранных выше при¬ меров и задач на построение графиков функций вы встречались с такой ситуацией: функция задана формулой, требуется иссле¬ довать ее свойства и построить график f. Представляет значи- 50
-1 1 1 L 1 1 I I 1 l- i -i _J t 2 4 6 8 10 12 14 16 16 20 22 2'* 26 28 Рис. 56 тельный практический интерес другая задача: задан график f, с помощью которого требуется перечислить основные свойства этой функции. Подобные задачи часто решаются в ходе экспериментальных исследований. Построение графиков при этом осуществляется разными методами. Например, по точкам, найденным экспери¬ ментально. Существуют также многочисленные приборы-само¬ писцы. Это, например, осциллографы, на экранах которых электри¬ ческие колебания преобразуются в наглядные графические изображения. Другим примером прибора, позволяющего получить наглядное графическое описание, служит кардиограф; «прочи¬ тывая» полученную с его помощью кардиограмму, врачи делают выводы о состоянии сердечной деятельности. С довольно типичным примером трудностей, возникающих при исследовании реальных процессов, для описания которых еще не созданы точные теории, вы можете познакомиться, рассмотрев рисунок 56. Здесь приведены графики среднесуточного хода темпе¬ ратур по Московской области в феврале 1974 г. Толстой линией изображены «теоретические кривые» Л и Б, фиксирующие ре¬ зультаты долгосрочного прогноза (поскольку прогноз дается с точностью до 5°, кривых две). «Читая» этот график, мы нахо¬ дим, например, что предполагались три «волны холода» (в пе¬ риод с 4 по 10, с 17 по 19 и с 23 по 26 февраля). Предпола¬ галось также отсутствие оттепелей и в целом холодная (до — 17° —22°) погода. Однако в действительности (график факти¬ ческого хода температур изображен тонкой линией В) температура была выше нормы на 5—10° (климатическая норма, являющаяся результатом многолетних наблюдений, задана линией Г), в пе¬ риод с 4 по 8 февраля было потепление, а не похолодание и т. д. Эти и другие сведения о прогнозе и реальной картине вы можете получить, «читая» графики, приведенные на рисунке 56. 51
а) б) 6) г) Рис. 57 Упражнения 93. Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком (рис. 57). 94. Постройте график функции f, если известны ее свойства (см. таблицу): Свойство функции а) б) в) г) 1 Область определе¬ ния Область значений [-6; 6] [—2; 5] [-5; 4] [0; 6] [-4; 4] [-3; 6] [-5; 3] [0; 5] 2 Точки пе¬ ресечения графика: а) с осью Ох б) с осью Оу А (—4; 0), В (—2; 0) С (0; 2,5) 0(0; 0) А (-4; 0), В {-U 0), С (2,5; 0) 0(0; -2) А (3; 0) В (0; 4,5) 52
Свойство функции а) б) в) г) 3 Проме¬ жутки знакопо- стояиства: а) /(*)> 0 б) /(*)<0 [-6; -4), (-2; 6] (-4; -2) [-5; 0). (0; 4] (-4; -1). (2,5; 4) (-1; 2,5) [-5; 3) 4 Проме¬ жутки: а) воз¬ раста¬ ния б) убы¬ вания [-3; IJ [4; 6] [-6; -31 [1; 4] [-5; -21 [0; 4] [-2; 0] [-4; -21 [1; 4] [-2; I] [-3; 1] [-5; -31 [1; 3] 5 Точки максимума, максимум функции Точки минимума, минимум функции 1. / (1) = 3 — 3. /(-3)=-2 4. /(4)=1 — 2, / ( —2)=2 0, / (0) = 0 2, f (—2)=2 1. /(!)=—3 1. f(l)=5 -з, /( —3)=2 6 Допол¬ нительные точки графика /(—6)=3 /(6)= 5 И — 5)=0,5 f (4)=6 / (4)=6 f ( —5)=3 Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (95—97). 95. a) /(х) = 5— 2х; б) f{x) = 3 — 2х— х2; в) f(x) = 3x—2; г) f(x)=x2 — Зх + 2. 96. а) f(x) =^ 2; б) f (х) = — (х— З)4; в) f(*)=7qr2; г) f(x) = x3-\. 97. a) f(x)—-\[x—3\ б) f(x) = 4х —х2; в) f(x)=Vx +1; г) f(x) =4 —х2. 53
. Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (98—99). 1. Исследование тригонометрических функций. Свойства изу¬ чаемых функций удобно записывать согласно приведенной в пре¬ дыдущем пункте схеме. Сведем уже известные вам свойства функ¬ ций синус, косинус, тангенс и котангенс в таблицу (см. с. 55). (Всюду предполагается, что n£Z.) В таблице принята следующая нумерация свойств функции f: 1.1 —область определения; 1.2 — область значений; 2.1 — четность (нечетность); 2.2 — наименьший положительный период; 3.1 —координаты точек пересечения графика f с осью Ох\ 3.2 — координаты точек пересечения графика / с осью Оу\ 4.1 — промежутки, на которых f принимает положительные зна¬ чения; 4.2 — промежутки, на которых f принимает отрицательные зна¬ чения; 5.1 — промежутки возрастания; 5.2 — промежутки убывания; 6.1—точки минимума; 6.2 — минимумы функции; 6.3 — точки максимума; 6.4 — максимумы функции. Свойства тригонометрических функций часто применяются при решении задач. О Пример 1. Расположим в порядке возрастания числа sin (—1), sin 1, sin 2, sin 3, sin 4. Пользуясь формулами приведения, запишем эти числа в таком виде, чтобы значения аргумента принадлежали одному из проме- 98. a) f(x)=x4-{-4х2; б) f (х)= 1 —У* + 4; в) f (х)=х3-{-х\ г) f (л')=+/х—2 —2. 99. а) [ (х) = х2 —2 |х| + 1; б) f(x)=i±L; в) f(x)=|x|-x2; г) f(x)=-2i±i_. 7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания жутков возрастания синуса — отрезку sin 2 = sin (л — 2), sin 3 = sin (л — 3), sin 4 = sin (л — 4). Очевидно, что — f~< — 1<л—4<л —3<1<л —2<-~~, 54
Функция 1 / (Ar) = sin X / (*) — COS X f(x)=tgx / (x) = ctg х i.l R R (-f+n":T+m) (лл; л + ял) 12 [-1; i] [-1; 1] R R ' 2.1 I Нечетная Четная Нечетная Нечетная 22 2л 2л л л 3.I (лл; 0) (у + ял; о) (ял; 0) (т+пл; °) 12 (0; 0) (0; 1) (0; 0) Нет 1 4 1 (2лл; л + 2лл) (—^-+2лл; у+2лл^ ^ лл; у+лл^ (я«; y+ял) 4-2 (—л+2лл; 2лл) (у+2лл; ^+2ял) ^—^-+яя; яя^ ( Л \ —л-+ял; лл ] \ 2 / 5.1 £ —2лл; у + 2лл^ [—л + 2лл; 2лл] (-у+пп; i+лл) Нет L2 [у+2лл; ^-+2лл] [2лл; л + 2ял] Нет (лл; л + лл) i 41 -у+2лл л+2 ля Нет Нет 1 Г — 1 — 1 Нет Нет i ■ я Т+2.-ш 2лл Нет Нет ! i* 1 1 Нет Нет 1-— 55
Рис. 58 поэтому sin (— l)<sin (л—4)<sin (л —3)<sin 1 <sin (л —2). Итак, sin (— 1) < sin 4 < sin 3 < sin 1 < sin 2. # Рассмотрим график функции f (x) = 2 sin^3x—(рис. 58). Он получается при помощи следующей последовательности преобра¬ зований: а) сжатием графика функции t/ = sin х в 3 раза вдоль оси абс¬ цисс получаем график функции £/ = sin Зл: (рис. 59); б) переносом графика функции y = s\n Зх на вектор 0^ по- Рис. 59 56
Рис. 61 лучаем график функции </== sin3^x—, т. е. y = sm(^3x—^j (рис. 60) ; . в) растяжением графика у = sin( Здс——) в 2 раза вдоль оси ординат получаем график функции y = 2s\n(^3x—~^ (рис. 61). При преобразованиях, изученных в п. 3, «форма» кривой со¬ храняется (так же как при движениях и преобразованиях подо¬ бия). Поэтому синусоидой называют не только график синуса, но и любую кривую, полученную из него при помощи сжатий (рас¬ тяжений) вдоль осей и последующих движений или преобразова¬ ний подобия. Это же замечание справедливо для других кривых, например параболы или гиперболы. То обстоятельство, что свойства функций вида f (х)—А sin (kx-\~b) и f (х)—А cos (/где4-b) аналогичны свойствам синуса (или косину¬ са), позволяет сравнительно быстро провести исследование таких функций: главное — найти их период и точки, в которых значе¬ ния равны 0 и ±4. О Пример 2. Исследуем функцию f (х) = 2 sin(3x — и построим ее график. л Период функции f равен — (см. п. 4). Синус обращается в нуль в точках вида пп, n£Z, поэтому f (х) — 0 при Здс—= л/?, т. е. при X—-J- n£Z. Затем, решая уравнения/ (х)= —2 и f (дс)=2, по¬ лучим sin ^Зл: — — — 1 при Зх—^р- =—£-+2лп, откуда х— =ТГ+Т^’ sin(3^—X") = 1 ПРИ Зх—^-=-|-+2лп, отку- 57
да х==~^2+~\~» я 6 2. Отметим получен¬ ные точки на оси абсцисс. Достаточно рассмотреть отрезок, длина которого рав¬ на периоду. В данном случае удобно взять отрезок £у|-; , левый конец которого является точкой минимума функции (рис. 62). Далее рисуем график функции /, возрастающей от —2 до 2 на отрезке |p-J и убывающей от 2 до —2 на отрезке . При этом график должен пересекать ось абсцисс в точ¬ ках oj и о). Эскиз графика функции f на всей числовой прямой получается из графика ри¬ сунка 62 сдвигами на n£Z, вдоль оси абсцисс (рис. 58). $ 2. Гармонические колебания. Величины, меняющиеся согласно закону f (t) = A cos (со/ф-ф) (1) или / {t) = A sin (со/-Ьф), (2) играют важную роль в физике. По такому закону меняется, на¬ пример, координата шарика, подвешенного на пружине (рис. 149). Говорят, что шарик совершает гармонические колебания. Функцию (2) тоже можно записать в виде (1): A sin (а)/ + ф) = Л cos^co/4-ф— Параметры А, со и ф, полностью определяющие колебание (1), имеют специальные названия: А называют амплитудой колебания, со — циклической (или круговой) частотой колебания, ф — на¬ чальной фазой колебания (обычно берут ф£[0; 2л)). Период функ- о-_ ций A sin {(at ф) и A cos (со/ф-ф). равный —, называют периодом гармонического колебания. “ Свойства функций (1) и (2) удобно проиллюстрировать на сле¬ дующем примере из механики. Пусть точка М движется равно¬ мерно по окружности радиуса R=A с угловой скоростью о (при со>0 вращение против часовой стрелки, а при со<;0 — по часо¬ вой стрелке), причем в начальный момент времени / = 0 вектор ОМ составляет угол ф с положительным направлением оси абсцисс 58
(рис. 63). Рассмотрим две следующие функции от t — координаты проекций точки на оси абсцисс и ординат — функции x(t) и y(t). В момент времени t вектор ОМ составляет с положительным направ¬ лением оси Ох угол <р (/), при этом ф = согласно закону равно¬ мерного движения по окружности. По определению функций синус и косинус х (t) = A cos ф (/), т. е. х (t) — A cos (м/ф-фК у (t) = A sin ф (/), т. е. у (/) — A sin (со/-4-ф). Изучим свойства этих функций, опираясь на кинематические соображения. Их период равен, очевидно, времени Т, за которое точка совершает один оборот. Длина окружности равна 2лЛ, а о я 'г 2 пА 2л линейная скорость v точки равна сол, поэтому / Рассмотрим один из моментов времени to, в который точка М занимает крайнее правое положение. Тогда x(to)=A, у (to) = 0. Начиная с этого момента времени функция х (t) будет поперемен¬ но убывать от Л до —Л на первой половине периода и возрастать от — Л до Л на второй половине периода. При этом точки макси¬ мума функции х (t) — это те моменты времени, когда точка зани¬ мает крайнее правое положение; точки минимума соответствуют крайнему левому положению, а нули — верхнему и нижнему по¬ ложениям. Аналогичными свойствами обладает и функция у (/); ее точки максимума и минимума соответствуют верхнему и нижнему поло¬ жениям точки на окружности, а нули — правому и левому поло¬ жениям. Отметим, что при Л = 1,со = 1иф = 0 функции х (t) и у (/) рав¬ ны соответственно cos t и sin t. Проверьте самостоятельно, что из¬ вестные вам свойства этих функций легко получить, рассматри¬ вая соответствующее движение точки по единичной окружности. Упражнения 100. Пользуясь свойствами тригонометрических функций, замени¬ те выражение равным ему значением той же тригонометри¬ ческой функции наименьшего положительного аргумента: 18я •_ 28я / 15я \ , / 8я\ a)tg —,sm —; б) cos(-—). ctg(—г) ; в) sin(-■!£), г) cos f!. ctg f!. 59
101. Найдите область определения и область значений функции: а) f (х) — 3 cos 2л;—1; б) f (х) = 2 — ctg Зх; в) f{x) = 2tg^-; г) / (*) = 1+0,5 sin -j-. 102. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции: a) f(x)= — sin Злг; б) f(x) = tg^; в) /(*)=cos^-; г) f(x) = ctg 2*. 103. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси¬ мума и минимума функции: a) f(x) = 4cos3x; б) f (х)=0,5 ctg *)/(*) = 2tg-f-; г) /(*)=0,2sin4*. Исследуйте функцию и постройте ее график (104—105). 104. a) f (*)=-£- cos б) f {х)~—2 sin 2л;; в) / (лс)= — 1.5 cos Зле; г) / (х)=3 sin у-. 105. a) f(x)=-Y tg2x; б) f(x)=— 3cos~\ в) f(x)=— 2ctg-f-; г) f (x)=2,5 sin 106. Координата движущегося тела (измеренная в сантиметрах) изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, пе¬ риод, частоту колебания. Вычислите координату тела в мо¬ мент времени 0, если: а) х (/) = 3,5 cos 4л/, 0=-^ус; б) х(/) = 5 cos^Зл/+= 4.5 с; в) х (/) = 1,5 cos 6л/, 0 = 1-у с; г) х (/)=0,5 cos(-y +-у) . 0=8 с. 107. Найдите амплитуду, период, частоту силы тока, если она из¬ меняется по закону (сила тока измерена в амперах, время — в секундах): а) / (0=0,25 sin 50л/; б) / (0 = 5 sin 20л/; в) / (0=0,5 sin Юл/; г) / (0=3 sin 30л/. 108. Найдите амплитуду, период и частоту напряжения, если оно изменяется по закону (напряжение измерено в вольтах, вре¬ мя — в секундах): a) U (/)=220 cos 60л/; б) U (t)= 110 cos 30л/; в) U (/) = 360 cos 20л/; г) U (t)= 180 cos 45л/. 60
109. Расположите в порядке возрастания числа: а) cos 4, cos 7, cos 9, cos (— 12,5); б) tg ( — 8), tg 1,3, tg 4, tg 16; в) sin 6,7, sin 10,5, sin ( — 7), sin 20,5; r) ctg 3,5, ctg ( — 9), ctg 5, ctg 15. 110. Найдите область определения функции: а> У=б> у=~\1 sir|;~f cos2-f-; в> г) «=*v1в*+с‘ел- 111. Найдите область значений функции: а) у— sin х—-у/3 cos х\ б) У = в) у =VI -cos 4х; г) У=ц~{£— Исследуйте функцию и постройте ее график (112—ИЗ). 112. a) f(x) = 2cos(*+^-) ; б) f (х)=-^- sin — х) ; в) f(x) = tg(*—; г) f{x)= 1,5 cos(-£-—*) . 113. a) /(*) = sin(2x—; б) /(*) = ctg(-f-+j-) ; в) f(x) = 4cos(-^-+-|-) ; г) /(x) = tg(^-Зх) . 114. По графику, изображенному на рисунке 64, определите ам-
плитуду силы тока (или напряжения), период колебания. За¬ пишите закон зависимости силы тока (или напряжения) от времени. 115. В какой ближайший момент времени t (/>0), считая от на¬ чала движения, смещение точки, совершающей гармоничес¬ кие колебания по закону х (0=5 cos^-^- +•§-) : а) максимально; б) равно 2,5; в) равно 0; г) равно —5? § 3. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 8. Арксинус, арккосинус и арктангенс 1. Теорема о корне. Сформулируем важное утверждение, ко¬ торым удобно пользоваться при решении уравнений. Теорема (о корне). Пусть функция f возрастает (или убы¬ вает) ка промежутке /, число а — любое из значений, прини¬ маемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке /. Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По ус¬ ловию в промежутке / существует такое число Ь, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x) — a. Допустим, что на промежутке / есть еще число сФЬ, такое, что f(c)=a. Тогда или с<Ъ, или с>Ь. Но функция f воз¬ растает на промежутке /, поэтому соответственно либо f(c)<.f(b), либо f{c)>f(b). Это противоречит равенству f (c)=f (Ь) = а. Сле¬ довательно, сделанное предположение неверно и в промежутке /, кроме числа £, других корней уравнения f(x) = a нет. О Пример 1. Решим уравнение х3 + х = 2. Функция f (х) = х3 -\-х возрастает на R (это сумма двух воз¬ растающих функций). Поэтому уравнение f (x)=2 имеет не более одного корня. Легко видеть, что корнем является х—1. ф 2. Арксинус. Как вы знаете, функция синус возрастает на отрезке £—и принимает все значения от — 1 до 1. Следо¬ вательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что la|s^l, в промежутке £—существует единственный ко¬ рень Ь уравнения sin х — а. Это число b называют арксинусом чис¬ ла а и обозначают arcsin а (рис. 65). Определение. Арксинусом числа а называется такое чис¬ ло из отрезка £—, синус которого равен а. 62
О П р и м е р 2. Найдем arcsin • -л/2 я . я л/2 я S я я "I arcsin 2~~Т' так как slnT= 2 и Тч Т; ТJ* Пример 3. Найдем arcsin ^ ^ . Число^из промежутка £—, синус которого есть — равно —Поэтому arcsin ^ ^ ф 3. Арккосинус. Функция косинус убывает на отрезке [0; л] и принимает все значения от —1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|<1, на отрезке [0; л] существует един¬ ственный корень b уравнения cosx = a. Это число b называют арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 66). Определение. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0; я], косинус которого равен а. О Пример 4. arccos так как cos и -~ч(Ч0; л]. Пример 5. arccos^ —=-^, так как cos —Щ- и ^р6[0; л], ф 4. Арктангенс. На интервале ( —-2-^ функция тангенс воз¬ растает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале ^ существует единственный ко¬ рень b уравнения tgx = a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 67). Определение. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала ^ , тангенс которого равен а. 63
О Пример 6. arctg 1 так как tg-j-= 1 и п г ( п . л \ 4 ч 2 ’ 2 /’ Пример 7. arctg(—л/3) =—так как tg(—^ = —-v/3 Л Л Л \ з"Ч Т* Т/ ’ ® 5. Арккотангенс. Функция котангенс на интервале (0; л) убы¬ вает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0; л) существует единственный корень b уравнения ctg х=а. Это число Ь называют арккотангенсом числа а и обозна¬ чают arcctg а (рис. 68). Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; л), котангенс которого равен а. О Пример 8. arcctg-— = -2-, так как oXg-~=~ и -§-€ (0; я). Пример 9. arcctg ( — -yj3)=ур, так как ctg -у-= — д/3 и ^6(0; я). • Упражнения Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет каждое из уравнений (116—117)? 116. а) х7 = 3, х£(— оо; оо); б) —5, х£(— оо; 1); 64
в) х6=4, х6(—00; 0]; г) х + 2 2, х£(— 2; оо). 117. а) (х—З)3 =—4, х6( — оо; оо\б) 2 sin х=1,5, *6^—— J в) (х + 2)4==5, x£f —2: оо •; г' 0,5cosx=—*6 ГО; л]. Отметьте на единичной окружности точки Pt, для которых соответствующее значение t удовлетворяет данному равенст¬ ву. Найдите значение /, принадлежащее указанному проме¬ жутку (118—120). 118. a) б) Sinl—L. в) sin ; г) sin t= 1, [-f; f] . 119. a) cos/=—[0; л]; в) cos t=—&, [0; nl 120. a) tg/=-l, в) tgi); Вычислите (121 —123). 121. a) arcsin 0; в) arcsin 1; 122. a) arccos ( —; в) arccos^ —; 123. a) arctg (-д) ; в) arctg 0; 6) cos t=& [0; я* r) cos t = 0, [0; л} 6) ctg < = д/3, (0: л); г) ctg t~ — I. (0; л). 6) arcsin ( —-y-) . r) arcsin ( —-y-) <4 \/2 6) arccos y~, r) arccos 1. 6) arctg (— I); r) arctg V§. Имеют ли смысл выражения (124—125)? 124. a) arcsin^—; б) arccos у/5; в) arcsin 1,5; 125. a) arccos л; в) arccos (—л/3); 3 Заказ S8I г) arccos б) arcsin (3—л/20); ч . 2 г) arcsin —. 65
Найдите значения выражений (126—128). 126. a) arcsin 0-f- arccos 0; б) arcsin (—+ arccos ; в) arcsin arccos г) arcsin (— 1)+arccos ^ 127. а) arccos (—0,5) + arcsin (—0,5); б) arccos( — arcsin (— 1); в) arccos( ~^2~) + arcs*n( “^) » v л/2 • л/3 г) arccos—arcsin 128. a) arctg 1—arctg V3; 6) arctg 1 — arctg (—1); в) arctg (—-V3) + arctg 0; r) arctgarctg V3. уз 129. Сравните числа: a) arcsin^—и arccos 6) arccos^—^ и arctg( — 1); в) arctg-\[3 и arcsin 1; г) arccos^—и arcsin-^-. 130. С помощью калькулятора или таблиц найдите значение вы¬ ражения: a) arcsin 0,3010; arctg 2,3; б) arccos 0,6081; arctg 0,3541; в) arcsin 0,7801; arccos 0,8771; г) arctg 10; arcsin 0,4303. 131. Вычислите: а) 2 arcsin^ — + arctg i)_j_arccos ^; б) 3 arcsin -£—M arccos ( — — arcctg (—-\/3); в) arctg — л/3) + arccos ( —+ arcsin 1; r) arcsin (— 1)—~ arccos —\-3 arctg^ —. 132. Докажите, что для любых чисел х\ и Х2 из промежутка [—1; 1] из неравенства х\<,хг следует неравенство: a) arcsin х\ < arcsin Хг; б) arccos х\ > arccos *2. 133. Докажите, что для любых чисел х\ и Х2 из неравенства Х\<.Х2 следует неравенство: a) arctg ЛГ|< arctg х2; б) arcctg х\ > arcctg х2. 66
Расположите числа в порядке возрастания (134 135) 134. a) arcsin-J-, arcsin (— 0,3), arcsin 0,9; О б) arcsin (— 0,5), arcsin (— 0,7), arcsin-^-; в) arccos 0,4, arccos ( —0,2), arccos ( — 0.8); r) arccos 0,9, arccos ( — 0,6), arccos 135. a) arctg 100, arctg( —5), arctg0,7; б) arcctg 1,2, arcctg л, arcctg ( — 5); в) arctg(—95), arctg3,4, arctg 17; r) arcctg (— 7), arcctg (— 2,5), arcctg 1,4. 9. Решение простейших тригонометрических уравнений 1. Уравнение cos t — a. Очевидно, что если |а|>1, то урав¬ нение не имеет решений, поскольку |cosf|^l для любого t. Пусть |а|^1. Надо найти все такие числа /, что cos t = a. На отрезке [0; л] существует в точности одно решение уравнения (1) — это число arccos а. Косинус — четная функция, и, значит, на отрезке [—л; 0] уравнение (1) также имеет в точности одно решение — число — arccos а. Итак, уравнение cos t = a на отрезке [—л; л] длиной 2л имеет два решения: /=±arccos а (совпадающие при а=1). Вследствие периодичности функции cos все остальные реше¬ ния отличаются от этих на 2лп (n£Z), т. е. формула корней урав¬ нения (1) такова: (Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только при |а| < 1.) Решение уравнения (1) можно проиллюстрировать на единич¬ ной окружности. По определению cos t — это абсцисса точки Р/ единичной окружности. Если |а|<;1, то таких точек две (рис. 69, а); если же а=1 или а= —1, то одна (рис. 69,6). При а=1 числа arccos а и —arccos а совпадают (они равны нулю), поэтому решения уравнения cos t — a (1) t— ± arccos а-\-2пп1 n£Z. (2) cos t — 1 принято записывать в виде t — 2nn, ti^Z. 3* 67
Рис. 69 Особая форма записи решений уравнений (1) принята также для а= — 1 и а = 0: cos/— — 1 при / = л-)-2л/г, n£Z\ cos/ = 0 при /=-|—ля, ti£Z. О Пример 1. Решим уравнение cos х = -^~. По формуле (2) х=±arccos-^—\-2лп, n£Z. 1 Jl Поскольку arccos , приходим к ответу 6 о х= ±-^-+2лм, n£Z. Пример 2. Решим уравнение cos х= —0,2756. По формуле (2) х= Hh arccos (— 0,2756) -f- 2л /?, ti£Z. Значение arccos (— 0,2756) находим с помощью калькулятора; оно приближенно равно 1,8500. Итак, х=±хо + 2л«, п £Z, где х0« 1,8500. Пример 3. Решим уравнение cos(^2х—= —^?. По формуле (2) 2х—±arccos( —-тг) +2ля, n£Z, т. е. 2х—£-==±—+ + 2лп, откуда х=-^-±^+лп, n£Z. ф 68
2. Уравнение sin t—a. Уравнение sin t = a (3) не имеет решений при |а| > I, так как |sin/|^l для любого t. При \а\ ^ 1 на отрезке £ —уравнение (3) имеет в точности одно решение t\ — arcsin а. На промежутке функция sin убывает и принимает все значения от — 1 до 1. По теореме о корне уравнение (3) имеет и на этом отрезке один корень. Из рисунка 70, а видно, что этот корень есть число /г, равное л —arcsin о Действительно, sin/2 = sin(ji — /i)=sinfi=a. Кроме того, по- Я Jt п JX п скольку —имеем ——^ —1\и 71—2"^д — — /i < Jx-H-p-, т. е. число U принадлежит отрезку -y-J . Итак, уравнение (3) на отрезке £—р-; имеет два реше¬ ния: ^ = arcsin а и /2 = л—arcsin а (совпадающие при а= 1). Учи¬ тывая, что период синуса равен 2л, получаем такие формулы для записи всех решений уравнения: f = arcsin а+2лл, (4) t = n—arcsin а+2лл, n£Z. (5) Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а од¬ ной формулой: t = (— 1 )fcarcsin а+nk, k£Z. (6) Нетрудно убедиться, что при четных k = 2п из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4); при нечетных k—2n+\ —решения, записываемые формулой (5). Решение уравнения (3) удобно иллюстрировать на единичной окружности. По определению sin t есть ордината точки Pt единич- Рис. 70 69
ной окружности. Если ia| < 1, то таких точек две (рис. 70, а); при а= ± 1 — одна (рис. 70, б). Если а — 1, то числа arcsin а и л — arcsin а совпадают, поэтому решение уравнения sin / = 1 принято записывать так: /=-^~Ь2л/г, n£Z. При а= — I и а=0 принята следующая запись решений: sin t— — 1, если t=—^-+2лп, n£Z.. sin /=0, если t—лп, n£Z. О Пример 4. Решим уравнение sin *=-тр По формуле (6) х={ — 1)* arcsin Y--\-nk, k£Z, т. е. х—(—\)k \-лк, k£Z. Пример 5. Решим уравнение sin л: == 0,3714. Согласно формуле (6) * = (—l)n arcsin 0,3714 +ял, ti£Z. С помощью калькулятора находим arcsin 0,3714 «0,3805. Пример 6. Решим уравнение sin Функция синус нечетна. Поэтому . ( х л \ -^2 8Ш(т“)= 2 • По формуле (6) \arcsin (—^)+л к, k£Z. Так как arcsin^—^г) =—+» имеем: *=-^+(-1)*+1-^+2л*, k£Z. ф 3. Уравнение tg t=a. При любом а на интервале ^ имеется ровно одно такое число t, что tg/ = a,— это arctg а. Поэтому уравнение tg t = a (7) 70
имеет на интервале ^ —jjp дли¬ ной л единственный корень. Функция тангенс имеет период л. Следова¬ тельно, остальные корни уравнения (7) отличаются от найденного на пп (n£Z), т. е. f=arctg а + лл* n£Z. (8) Решение уравнения tg t=a удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов (рис. 71). Напомним, что tg t — это ордината точки Tt пересе¬ чения прямой OPtl с линией тангенсов (см. п. 1). Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точ¬ ка с ординатой а, это точка Г(1; о). Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью в двух точках; при этом интервалу ( —^ \ 2 2 J соответствует точка Pti правой полуокружности, такая, что t\ = arctg а. О П р и м е р 7. Решим уравнение tg х=-\/3. По формуле (8) находим решение х = arctg ^3 +ля, n£Zt а так как arctg -\/3=-х-, приходим к окончательному ответу: О х—-^—\-пп, n£Z. Пример 8. Решим уравнение tg *=5,177. Из формулы (8) следует, что х= arctg 5,177 + ли, n£Z. С помощью калькулятора находим arctg 5,177 «1,3800. Пример 9. Решим уравнение ctg х= —\]Ъ. Это уравнение равносильно уравнению tg х= —р f которое уз ’ решаем с помощью формулы (8): х = arctg ( — ~)+лл=—|-+лл, n£Z. # Упражнения Решите уравнения (136—143). 136. a) cosx=^; б) cosx=—в) cos*=^; г) cos х= — 1. 137. а) 2 cos *4-\/3 = 0; б) -д/2 cos*— 1=0; в) 2 cos x+V2=0; г) 2 cos *—1=0. 71 Т (1;а) 1 х
138. а) sin х— Y\ 6) sin x= — л/З v • 1 V . в) sin x= —y\ r) sin x = -1 139. а) л/2 sin д 1 =0; 6) 2 sin х+л/3=0: в) 2 sin х -1=0; r) 2 sin х + л/2 = 0. 140. а) tg х— - -JL; 6) ctg* = =л/3; в) tgдс= 1; г) tgx = 0. 141. а) igx+^[3 = 0\ б) ctg x+ 1 =0; в) л/3 tg -1=0; г) л/3'ctg x— 1 =0. 142. а) sin 2x = л/2 X =Г:б> cos T= —у; в) sin -y=y; r) cos 4x = 0. 143. а) sin x — — 0,6; 6) ctg x= =2,5; в) cos x=0,3; r) tg дс== — •3,5. Решите уравнения (144—147). 144. a) sin(--§-) б) tg(-4*)=-b в) cos(—2х)=— г) ctg(—= 145. a) 2cos^ ^ —л/3; б) 2sin^3.*:—^-) = —~^2\ в) V3tg(-f-+f)=3; г) 51п(т-т) + |=а 146. a) cos(-|— 2х) = -1; б) 2 sin(х-т) = л^; в) *&(*f §") = —!; г) 2cos(-^—3x)=V2- 147. a) sin Зл: cos х — cos Зх sin х=^; б) sin2-^—cos24“=l; 2 4 4 \ • г» г» 1 \ * х л х . я л/2 в) sin 2дс cos 2* =——; г) sin— cos ——cos — sin —=-|-. 148. Для каждой из функций y = 2cos(2x—f-) и t/=sin(-|-+^-) найдите координаты общих точек ее графика с прямой: а) х = 4,5л; б) у= — 1; в) у= 1; г) у = 0. 149. Решите уравнения cos^-|—^1П^2л:Н—== — I и найдите для каждого из них: а) наименьший положительный корень; г- \ Г я Зл "1 . б) корни, принадлежащие промежутку ——; -у I , 72
в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие промежутку ^ — л; . 150. Докажите, что все решения уравнения ctg t=a находятся по формуле / = arcctg а-\-пп, n£Z. 10. Решение простейших тригонометрических неравенств Решение неравенств, содержащих тригонометрические функ¬ ции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида sin f<a, cos t>a, tg t^a и т. п. Рассмотрим на примерах способы их решения. О П р и м е р 1. Решим неравенство sin Все точки Pt единичной окружности при значениях /, удовлет¬ воряющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную —Множество всех таких точек — дуга /, выделенная на рисунке 72. Найдем условие принадлежности точки Pt этой дуге. Точка Ри лежит на правой полуокружности, ордината Ptl рав¬ на —и, следовательно, в качестве t\ удобно взять значение = arcsin ^ ^ Представим себе, что мы совершаем об¬ ход дуги / от точки Р/( к Ри против часовой стрелки. Тогда *2>Л, и, как легко понять, /2 = л — arcsin^—^-) =^р- Таким образом, получаем, что точка Pt принадлежит дуге /, если — Итак, решения неравенства, принадлежащие промежутку —длиной 2л, таковы: —Вследствие перио- 2 2 J 6 о дичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2лл, где п £Z. Приходим к ответу: —~^-\-2nn^.t^.^-\-2nnt n£Z. Рис. 72 Рис. 73 73
Пример 2. Решим неравенство sin tc~. Это неравенство означает, что все точки Р/ единичной окруж¬ ности при значениях /, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую Множество всех таких точек — ду¬ га /, выделенная на рисунке 73. Концы ее Ри и Ри не входят в рассматриваемое множество, поскольку их ординаты не меньше, а равны Чтобы найти условие, при котором точка Р( принад¬ лежит указанному множеству, найдем t\ и t2. Возьмем , . л[2 я = arcsin —. Рассмотрим обход дуги / от точки Ри к Pti в направлении по часовой стрелке; и t2 — —я — arcsin —-р Все реше¬ ния неравенства из промежутка^——; -|-J длиной 2я таковы: —Учитывая периодичность синуса, получаем все 4 4 решения неравенства: 5л -р2яп</<-т—р2ян, n£Z. 4 • ^ 4 Пример 3. Решим неравенство cos *<•£-• Множество точек единичной окружности, абсциссы которых меньше лежат левее прямой х=Значит, множество всех таких точек есть дуга /, выделенная на рисунке 74 (концы ее Ри и Ph не входят в это множество). Находим /1 и t2. Точка Ри рас¬ положена на верхней полуокружности, абсцисса Pti равна еле- 1 Я довательно, /1 = arccos-5-=—. При переходе от точки Р. к Р, по дуге / выполняем обход против движения часовой стрелки, тог- 1 5я да t2>t\ и /2=2я —arccos—=—. Точка принадлежит выделен- 5я ной дуге I (исключая ее концы) при условии, что -£-<</<<-£. Ре- О О шения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2л] длиной 2л, таковы: Вследствие периодичности косинуса ос- О о тальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2лл, где п£Z. Приходим к окончательному ответу: ——[- ziin<^K,5п 74 -|-+2лп</<у-1-2лп, neZ.
Пример 4. Решим неравенство tg 1. Период тангенса равен л. Поэтому найдем сначала все ре¬ шения данного неравенства, принадлежащие промежутку ^ —j—; , а затем воспользуемся периодичностью тангенса. Для выделения всех точек Pt правой полуокружности, значения / которых удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии тангенсов. Если t является решением неравенства, то ордината точки Т, равная tg t, должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек Т —луч АТ (рис. 75). Множество точек Р/, соот¬ ветствующих точкам этого луча,— дуга /, выделенная на рисунке (обратите внимание: точка Ри принадлежит, а Р „не принадле- ~т жит рассматриваемому множеству). Находим условие, при кото¬ ром точка Pt принадлежит дуге /. t\ , и tg t\ = 1, сле¬ довательно, t\— arctg 1 =-£-• Значит, t должно удовлетворять ус¬ ловию —Все решения данного неравенства, принадле¬ жащие промежутку ( —j-; , таковы: ^ -j-J . Учиты¬ вая периодичность тангенса, получаем ответ: ■ ——(- Jltl <С 1-f~ Jltl, n£Z. л/2 Пример 5. Решим неравенство cos 2х^ Обозначив 2х через t, получим cos На рисунке 76 вы¬ делена соответствующая дуга /. Находим t\ = arccos^— Зя , Зя =—, t2=—откуда 75
Переходя к переменной х, получаем: Зл 4 Зя 2ля<2*<-|Ц-2яя, f- я/г^ х пп, n£Z. 8 . ^ ^ 8 Пример 6. Решим неравенство 3 tg(y у) <л/3- Преобразовав данное неравенство, получим: **(-§-§-)<#• Мт-т )<# • *(-§-§-)>-£ Обозначим через t, тогда tg t> А О —-^р На рисунке 77 выде¬ лена соответствующая дуга /. Так как t\ = arctg^ ~—jp получаем —у+л/гС/^-у+я/г. Перейдем к переменной х: J1 ■ ^ X JX ЗТ | ~+яп<Т~<~+пп' -j-+2nn<Jt<-y-+2«n, n(_Z. 0 Упражнения На единичной окружности отметьте точки Р/, для которых соответствующие значения t удовлетворяют данному нера¬ венству. Найдите множество значений t, удовлетворяющих неравенству и принадлежащих указанному промежутку (151—153). 151. a) sin f>-y, *€[0; я]; в) sin/>f, /6[0; я]; б) sin —у-, /6[—л; 0]; r) sin/<—4“. *€[—я; 0]. 76
152. a) cos t>& <e[—§-; -f-] ; 6) cos t< -±-, , в) cos t>± te[-f; f ] ; r) cos t< -f. t6[f j f] . 153. a) tgO-л/З. <6(-f; f) ; 6) tg <б(—§-; -§-) ; в) tgo#./e(-T n ’ 2 b r) tg*<— 1, Решите неравенства (154—157). 154. a) sin x^~\ 6) sin x< —-y; в) sin x>\\ r) sin *< — 155. a) cos x^ — 6) COS X<&', в) cos x^^-\ Г) cos *< — 156. a) tg*<V3; 6) igx>~73' в) tg^i: r) tg*< — 1. 157. a) 2 cos *— 1^0; 6) 2 sin * + ^2=^0; в) 2 cos * — -yjs^.0; Г) 0 A Uo 4“ * CO Решите неравенства (158—163). 158. a) sin 2л;6) cos-|->^; в) sin -|-< —-y-; r) tg 5* > 1. 159. a) 2 cos (2*+-§-)<l; 6) V3tg(a*+-§-)<l; в) V2sin(i+-|-)>1; r) 2 cos(4л:—5-)>V3. 160. a) sin* cos 4—cos * sin4-; D О 2 ^ \ • л I jt . ~\/2 o) sin — cos *+cos — sin *< — V; ' 4 4 2 в) 4 sin 2* cos 2x^-\j2; ■V Л Jl - -J3 r) COS — COS * —Sin * Sin —<—-77-. о о 2 161. a) ctg лг^УЗ; 6) V3ctg(-f—2*)>1; 77
163. Найдите решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: a) sin*^—хв(—;б) cos-|->^,*б[ —^-;0]; в) tgx^ — U *б( —-f-; -j-]; г) sin 2х<^-, *6[0; л]. 11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений В п. 9 было показано, как решать простейшие тригонометри¬ ческие уравнения. Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул тригонометрии. Рассмотрим не¬ которые примеры. О Пример 1. Решим уравнение 2 sin2* + sin х— 1 =0. Введем новую переменную y = s'mx. Тогда данное уравнение можно записать в виде 2i/2+*/—1=0. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат у\ =-~ и 1/2= — 1. Следовательно, sinx = — или sinx= — 1. В первом случае получим решения х=(— 1)* arcsin --—\-7ik, т. е. х=(— l)k -~-f nk, k£Z. Во втором случае имеем: х=—\-2лп, n£Z. Пр и мер 2. Решим уравнение 6 sin2 х-\- 5 cos х — 2 = 0. Заменяя sin2 х на 1— cos2 х, получим относительно cos х квадратное уравнение 6(1— cos2 х)+5 cos х—2=0, откуда — 6 cos2 х + 5 cos х+4=0, т. е. 6 cos2 х—5 cos х—4 = 0. Как и в примере 1, введем новую переменную cos х=у. Тогда 6у2—5у—4 = 0, откуда у——5- или у= 1Уравнение 1 1 cosx=l — не имеет решений, так как 1-т->1. Решая уравнение О О cos х——находим:
Пример 3. Решим уравнение tg х+2 ctg х=3. Обозначим tg х через у. Поскольку ctg х=~-, получаем урав- 2 Х нение */+~=3, которое приводится к квадратному tf — Ъу 4-2=0 (при условии уФ 0). Его корни у = 2 и у= 1. 1) tgx=2, x=arctg 2 + я/г, т. е. х=х0 + я/г, &6Z, где Хо = = arctg 2« 1,1072. 2) tgлг— 1, л&, k£Z. Пример 4. Решим уравнение 3 sin2 х—4 sin х cos х+ -f cos2 х=0. Значения х, при которых cos х=0, не являются решениями это¬ го уравнения, так как если cos х=0, то должно выполняться равен¬ ство 3sin2x=0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos2 х (или на sin2 х) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tg2 х—4 tg х+1 =0, откуда tgx=l или tg*=-i-. Следовательно, *=-£—1-я/г, n£Zt или х = arctg 4~+я/г, n£Z. 4 О Пр и мер 5. Решим уравнение 6 sin2 х+4 sin х cos х— 1. Заменим 1 в правой части уравнения на sin2 x-f-cos2 х. После выполнения соответствующие преобразований получаем 5 sin2 х+4 sin х cos х—cos2 х = 0. Воспользуемся приемом реше¬ ния подобного уравнения, который описан в примере 4. В резуль¬ тате имеем tgx=4-. tgx= — 1. Следовательно, и x = arctg4-+ЯИ, n£Z, или х=—J-Ц-я/г, k£Z. О 4 Пример 6. Уравнение sin2 х —sin 2х = 0 после замены sin 2х на 2 sin х cos х приводится к виду sin2* — 2 sin * cos * = 0. Разложим левую часть на множители: sin * (sin * — 2 cos х) = 0, откуда sinx = 0, т. е. х = лп, n£Z, или sin* — 2cos* = 0, откуда tg*—2 и * —arctg 2+яп, n£Z, т. е. х—хофлп, n^Z, где *о = = arctg 2» 1,1072. Как и в примере 4, можно было разделить обе части уравне¬ ния на cos2* и получить уравнение tg2* — 2tg*=0. Если же делить на sin2 *, то нужно учесть, что те *, при которых sin *=0,— решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного пос¬ ле деления на sin2 * уравнения ctg *—^-=0 надо добавить корни уравнения sin*=0. # Многие другие уравнения, например уравнение sin2 х— —sin * cos x-f-cos2 *=0 или уравнение sin3 *-{-2 sin2 * cos *— — 5 sin * cos2 x-f-2 cos3 *=0 и т. п., также решаются делением 79
левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степени, равной степени уравнения. Предварительно надо проверить, явля¬ ются ли значения х, для которых cos х = 0 (sin х = 0 при делении на sin”*), решениями данного уравнения. Так, уравнения вто¬ рой степени делят на cos2 х (или sin2*), а третьей — на cos3 х (или sin3 х) и заменой tg х (или ctg х) на у получают алгебраи¬ ческое уравнение. О Пр и м е р 7. Решим уравнение cos бх + cos 2л; = 0. Преобразовав сумму косинусов в произведение, получим 2 cos 4х cos 2х = 0. Это уравнение обращается в верное равенство, если cos 4л; — 0 или cos 2л: = 0, т. е. JI * Л/k ■ ^ Л | ЛП ^ м *=—+—, k£Z, или хn£Z. Пример 8. Решим систему уравнений {5л х~«=т■ sin х=2 sin у. 5 я Из первого уравнения находим у = х—Тогда 2 sin у = = 2 sin^x —= 2^sin х cos cos х sin = 2^sin х*-^—h -fy^cos x^ =sin х+^З cos x. Второе уравнение системы примет вид sin x = sin х+л/З cos х, откуда cosx = 0, х=-~-\-nti, где n£Z. Далее находим у — х — у=-|~{-л/г —у = лл — n£Z. Ответ. (у+л/г; л/г—у) , n£Z. # Упражнения Решите уравнения (164—168). 164. а) 2 sin2 x + sin х— 1 =0; в) 2 sin2 х —sin х—1 =0; 165. а) 6 cos2 x + cos х—1 =0; в) 4 cos2 х — 8cosx-}-3 = 0; 166. а) 2 cos2 x + sin x-f- I =0; в) 4 cos x = 4 —sin2 x; 167. a) 3 tg2 x + 2 tg x—1 =0; в) 2 tg2 x + 3 tg x—2 = 0; 168. a) 2 cos2 x + -\/3 cos x = 0; B) V3tg2x —3tgx = 0; 6) 3 sin2 x —5 sin x —2 = 0; r) 4 sin2 x+ 11 sin x—3 = 0. 6) 2 sin2 x + 3 cos x = 0; r) 5 sin2 x + 6 cos x — 6 = 0. 6) cos2 x + 3 sin x = 3; r) 8 sin2 x + cos x+1 =0. 6) tg x —2 ctg x+1 =0; r) 2 ctg x —3 tg x + 5 = 0. 6) 4 cos2 x —3 = 0; r) 4 sin2 x— 1 = 0. 80
Решите уравнения (169—174). 169. а) 3 sin2 х-f-sin х cos х = 2 cos2 х; б) 2 cos2 х — 3 sin х cos x-j-sin2 х=0; в) 9 sin х cos х — 7 cos2 x = 2 sin2 x: г) 2 sin2 х — sin х cos х = cos2 J 170. а) 4 sin2x— sin 2x = 3; в) sin 2x — cos x = 0; 171. а) 2 sin2 х=Уз sin 2x; в) sin jt-{--\/3 cos x = 0; 172. а) sin 2*4-2 cos 2x= 1 » в) 3 sin 2* +cos 2x = 2 cos2 x; 173. а) sin 4* +sin2 2x = 0; 6) в) 5 —2- 3sinx + 4 ’ r) 174. а) cos 5x — cos 3x = 0; 6) в) sin 5* —sin * = 0; r) 6) cos 2x—2 cos x— 1; r) sin 2x-}-4 cos2 x = 1. 6) -yfetgx—\[3ctgx = 2; r) tg x = 3 ctg x. 6) sin4 —cos4 г) 1 — cos x = 2 sin —3 =1- 5 tg лг+8 1 — sin 2x=^cos —sin . sin 7x — sin x=cos 4x; cos 3* + cos д: = 4 cos 2x. Решите системы уравнений (175—176). 175. a) 1 * + t/ = Я, I cos x—cos y= 1; 6) b)I | * + t/=л, 1 sin *-{-sin y= 1; r) 176. a) 1 sin *—cos tv=0, 1 sin2 x 4-cos2 y—2\ 6) B)| | sin *4-cos у — 1, [ sin2x—cos y= I; 0 { {: y 2 ’ cos2 x+sin2 y=2\ i ^ + */ = 2 ’ sin2 x — sin2 у — I. tg^tg^=4-; { i*-y=f, sin x cos t/=—. Сведения из истории 1. О происхождении единиц измерения углов. Градусное из¬ мерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен ^ развернутого угла. В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счисления, т. е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа 81
60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естест¬ венно поэтому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей. Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, ко¬ торыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют ла¬ тинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «умень¬ шенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т. е. минуты,— это первое деление; деление минуты на 60 секунд — второе деле¬ ние градуса. Малоупотребительное название секунды — тер¬ цина, латинское tercina означает «третье» (деление градуса). Принятая сейчас система обозначения величин углов полу¬ чила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Б р а г е. Но еще К. Птолемей (II в. н. э.) количество градусов (которые он называл также просто частями) обозначал кружком, число минут — штрихом, а секунд — двумя штрихами. Другая единица измерения углов — радиан — введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сна¬ чала в обозначениях указывалось, что имеется в виду именно ра- ^ R ^ дианная мера (например, угол в — радиан), но вскоре индекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происхо¬ дит от латинского radius (спица, луч). Если вспомнить опре¬ деление угла в один радиан (центральный угол, длина дуги кото¬ рого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для названия такого угла представляется совершенно естественным. 2. Об истории тригонометрии. Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и мате¬ матика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: тр/ytovov — треугольник, ретреш — мера. Иными словами, триго¬ нометрия — наука об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к триго¬ нометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически раз¬ личные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла а, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол 82
величиной а, или как хорда удвоенной дуги (рис. 78). В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индий¬ скими и арабскими учеными. В IV—V вв. по¬ явился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 — ок. 550), име¬ нем которого назван первый индийский спут¬ ник Земли. Отрезок AM (рис. 78) он назвал ардхаджива (ардха — половина, джива — те¬ тива лука, которую напоминает хорда). Позд¬ нее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было замене¬ но латинским синус (sinus — изгиб, кривизна). Слово косинус намного моложе. Косинус — это сокращение ла¬ тинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cos а = sin (90° — а)). Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». Поэтому известный математик Ф. Клейн (1849—1925) предлагал уче¬ ние о «тригонометрических» функциях называть иначе — гонио¬ метрией (латинское gonio означает «угол»). Однако это название не привилось. Тангенсы возникли в связи с решением задачи об опреде¬ лении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который соста¬ вил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными ев¬ ропейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее не¬ мецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «каса¬ ющийся» (вспомните: линия тангенсов — это касательная к еди¬ ничной окружности). Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и известного фран¬ цузского ученого Ж. Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «арк» происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin х, например,— это угол (а можно сказать, и дуга), синус кото¬ рого равен х. am аа! Рис. 78 83
Длительное время тригонометрия развивалась как часть гео¬ метрии, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наи¬ большие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практи¬ ческий интерес (например, для решения задач определения место¬ нахождения судна, предсказания затмений и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферичес¬ ких треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справ¬ лялись с задачами, существенно более трудными (почитайте книги о сферической геометрии), нежели задачи на решение плоских треугольников, которыми вы занимались в IX классе. Во всяком случае в геометрической форме многие известные вам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались древ¬ негреческими, индийскими, арабскими математиками. (Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.— их вывел английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А пер¬ вый рисунок синусоиды появился в 1634 г.) Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда приклад¬ ных задач, и в первую очередь задач астрономии. Имея дело с готовыми таблицами или пользуясь калькулято¬ ром, мы часто не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их, требовалось не только выполнить большой объем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Птолемея точны до пяти десятичных знаков включительно. Современный вид тригонометрии придал крупнейший матема¬ тик XVIII столетия J1. Э й л е р (1707—1783), швейцарец по про¬ исхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рас¬ сматривать функции произвольного угла, получил формулы приве¬ дения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал мно¬ гие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым раз¬ ным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 г. Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.) Но если вы попытались оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т. е. так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации тригономет¬ рии. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального приме- 84
Эйлер Леонард (1707—1783) — крупнейший математик XVIII столетия. Ро¬ дился в Швейцарии. Долгие годы жил и ра¬ ботал в России, член Петербургской академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящие¬ ся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям матема¬ тики. нения формул тригонометрии, доказательства стали намного ком¬ пактнее, проще. 3. Из истории понятия функции. Понятие функции, с которым вы знакомы с VII класса, возникло в математике сравнительно не¬ давно. Для того чтобы прийти к пониманию целесообразности его введения и получить первые достаточно четкие опреде¬ ления, потребовались усилия первоклассных математиков нес¬ кольких поколений. Революционные изменения в математике, происшедшие в XVII столетии, вызваны работами многих уче¬ ных, представляющих различные страны и народы. Но в пер¬ вую очередь следует назвать имена П. Ферма (1601 —1665), Р. Декарта (1596—1650), И. Ньютона (1643—1727), Г. В. Лейбница (1646—1716). Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы в 30-х годах XVII в., когда возникла аналити¬ ческая геометрия, характеризующаяся, в отличие от классичес¬ ких методов геометров Древней Греции, активным привлечением алгебры к решению геометрических задач. (Решая задачи по гео¬ метрии координатным методом, вы, по существу, пользуетесь методами аналитической геометрии.) Практически одновременно (и независимо друг от друга) французские математики П. Ферма и Р. Декарт заметили, что введение системы координат на плоскос¬ ти и задания фигур их уравнениями позволяют свести многие задачи геометрии к исследованию уравнений геометрических фи¬ гур. В честь Декарта, давшего развернутое изложение нового метода в книгах «Геометрия» и «Рассуждение о методе», прямо¬ угольная система координат позднее была названа декартовой. Су¬ щественно заметить, что одновременно формировалась и алгебра, создавалось «буквенное исчисление», то самое, с помощью которо- 85
Декарт Рене (1596—1650)— великий французский философ, математик. Один из создателей аналитической геомет¬ рии. Ввел понятие переменной величины. Его идеи нашли многочисленных последовате¬ лей — «картезианцев» (латинизированное имя Декарта — Картезий). Главные работы — «Геометрия», «Рассуждение о методе». го вы сейчас преобразовываете алгебраические выражения, реша¬ ете уравнения, текстовые задачи и т. д. Великий английский ученый, математик и физик И. Ньютон, исследуя зависимости координат движущейся точки от времени, фактически уже занимался исследованием функций. Хотя не он ввел это понятие, Ньютон ясно осознавал его значение. Так, в 1676 г. он отмечал: «Я не мог бы, конечно, получить этих общих результатов, прежде чем не отвлекся от рассмотрения фигур и не свел все просто к исследованию ординат» (т. е. факти¬ чески функций от времени). Сам термин «функция» впервые встречается в рукописи ве¬ ликого немецкого математика и философа Г. Лейбница — сна¬ чала в рукописи (1673 г.), а затем и в печати (1692 г.). Латинское слово function переводится как «свершение», «исполнение» (глагол fungor переводится также словом «выражать»). Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров, связан¬ ных с положением точки на плоскости. В ходе переписки Лейбниц и его ученик — швейцарский математик И. Бернулли (1667— 1748) постепенно приходят к пониманию функции как аналитиче¬ ского выражения и в 1718 г. дает такое определение: «Функцией переменной величины называется количество, составленное ка¬ ким угодно способом из этой переменной и постоянных». Л. Эйлер в своей книге «Введение в анализ» (1748 г.) формули¬ ровал определение функции так: «Функция переменного количест¬ ва есть аналитическое выражение, составленное каким-либо спо¬ собом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Эйлер же ввел и принятые сейчас обозначения для функций. Современное определение числовой функции, в котором это понятие уже освобождалось от способа задания, было дано неза- 86
Ньютон Исаак (1643—1727) — великий английский ученый. Одновременно с Г. Лейбницем разработал основы математи¬ ческого анализа. Создатель классической ме¬ ханики. Ньютону принадлежат выдающиеся открытия в оптике, других разделах физики и математики. Главный его труд — «Математи¬ ческие начала натуральной философии» — оказал колоссальное влияние на развитие естествознания. висимо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачев¬ ским (1834 г.) и немецким математиком Л. Дирихле (1837 г.). Основная идея этих определений заключалась в следующем: не существенно, каким образом (и в частности, необязательно путем задания аналитического выражения) каждому х поставлено в соответствие определенное значение у, важно только, что это соответствие установлено. Современное понятие функции с произвольными областями оп¬ ределения и значений (необязательно числовыми — см. с. 26) сформировалось, по существу, совсем недавно, в первой половине текущего столетия, после работ создателя теории множеств Г. Кантора (1845—1918). Сложный и, как видите, очень длительный путь развития по¬ нятия функции довольно типичен. Для того чтобы осознать необхо¬ димость введения нового абстрактного понятия, требуется выде¬ лить его в процессе решения многих конкретных задач, дать опре¬ деление, по возможности точно отражающее его смысл. История понятия функции хорошо иллюстрирует известную формулу В. И. Ленина: «... абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины». (Л е- н и н В. И. Поли. собр. соч.— Т. 29.— С. 152—153.) К понятию функции математики пришли, отправляясь от конк¬ ретных и трудных задач математики и ее приложений. Это происходило в процессе создания нового мощного аппарата ис¬ следований — интегрального и дифференциального исчислений, с элементами которых вы познакомитесь в следующей главе. От¬ крытие интегрального и дифференциального исчислений, централь¬ ным понятием которых Эйлер провозгласил функцию («Весь ана¬ лиз бесконечного вращается вокруг переменных количеств и их функций»), резко расширило возможности математики. 87
Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII столетии, дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс, который, в частности, писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря это¬ му в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференци¬ альное и интегральное исчисление». (Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч.— Т. 20.— С. 573.) Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связыва¬ ющие радианную и градусную меры угла. 2) Выразите в радианной мере величину угла: а) 18°; б) -250°; в) -360°; г) 225°. 3) Выразите в градусной мере величину угла: а) я; б) —2,5; в) —|-; г) 3. 2. I) Дайте определения синуса и косинуса числа а. 2) Отметьте на единичной окружности точку Ра. Найдите значения sin а и cos а (не пользуясь калькулятором или таблицами), если а равно: \ я \ я \ 5я \ я а> Т: б) —Г' в) т; г) ~г- 3) Найдите значения sin а и cos а, если а равно: а) 23°24'; б) —1,7; в) —108°6'; г) 0,8. 3. 1) Дайте определения тангенса и котангенса числа а. При каких значениях а определены tg а и ctg а? 2) Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами) tg а и ctg а, если а равно: \ Л \ 13 JX \ 7 Л \ Л а> Т; б> в> —Г' г> т- 3) Найдите значения tg а и ctg а, если а равно: а) 1,7; б) -0,4; в) 2,3; г) -0,5. 4. 1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометри¬ ческих функций одного аргумента. 2) Упростите выражение: а) (tg a + ctg a)(l +cos a)(l— cos a); cos3 a + sin3 a . cos3 a—sin3 a . 6) sin a cos a 1,1. 1+tg2 1+ctg2 a ’ r) sin3 a (1-fctg a) + cos3 a (1+tg a). 88
3) Докажите тождество: v cos a 1 + sina 1 —(sin a -f- cos a)2 ni 2 a) i :—=— ; б) I —~-=210 а; 7 1— sin a cos a 7 sin a cos a —ctg a & ч sin a 14-cos a . , 9 *2 1 2 *2 в) =—4 ; r) tg a —sin a = tg^ a sin^ a. 7 1— cos a sin a 7 b 5. 1) Как зависят знаки sin a, cos a, tg a, ctg a от того, в ка¬ кой координатной четверти лежит точка Ра? Назовите эти знаки. 2) Определите знак: а) sin ( — 212°) и ctg^p б) cos 305° и tg(—; в) cos (—105°) и ctgг) sin ( — 324°) и tg^p 3) По данному значению одной из тригонометрических функ¬ ций и промежутку, которому принадлежит а, найдите значе¬ ния остальных трех основных тригонометрических функций: а) sin а=^-,-р<а<я; б) ctg а= — 3, — <а<2л; в) tga=-p, л<а<4р г) cosa=-|-, 0<а<у-. 6. 1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения. 2) Приведите к значению тригонометрической функции наи¬ меньшего положительного аргумента: а) sin^ —“f~) '» б) ct8lF* в) tg(~"TL) ; г) C0ST* 3) Упростите выражение: а) sin^+cos^+tg^; /-Ч sin (л —a) cos (ji-f-a) tg ( — a) . sin(a—t) ctg(lF+a) cos(a+y) B) ctg ^p-f-sin cos —■; ^ sin (a — n)tg(y-fa) (t+“) ctg(“-") cos 7. 1) Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (разности). 2) Найдите значение выражения: 89
sin(-jp+a) .еслиsin а=-|-и 0<a<-|-; 6) cos^|- ntg--: cos^-|—a^ , если cos a=—и -^-<а<я; г) sin 75° и tg 75°. 3) Докажите тождество: а) sin(a-f--jp) + sin(a—^-^=-\/3sina; б) tg(-J-+x)—tg(-2-—*)=2tg2*; tga+tg(j".:) уз; r) a+tg p. . , , / я \ v 7 cos a cos p ® • в г- 1-tgatg^y-o j 8. 1) Запишите формулы двойного аргумента. 2) Вычислите: а) sin 2a, если cos а=—я<а<^р; 12 б) tg2a, если sin а=—, cos а <0; о • 15 cos 2а, если sm 3 Зя г) tg2a, если cos а=—, —<а<2я. 3) Докажите тождество: 2 tea /п 2 «\ - о /г\ 1 — cos 2a+sin 2а . r^(2cos2a-l)=Sm2a; б) l+eo,a,^iS-=tg в; в) 1—(cos a —sin а)2 = sin 2а; г) tg а (14-cos 2a) = sin 2а. 9. 1) Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов). 2) Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами: sin 70°—sin 10° cos 117° +cos 63°; б) cos 40° в) cos cosr) sin 112° +sin 248°. 3) Докажите тождество: ч sin a+sin 3a . 0 а) т—z—=tg 2a; cos a+cos 3a e б) (sin 2a+sin 4a)2 + (cos 2a + cos 4a)2 = 4 cos2 a; ч sin2tt+sin2p_t , . fiV ' cos 2a-{-cos 2p гВ^аТРЛ г) sin 2a + sin 4a + sin 6a=4 sin 3a cos 2a cos a. 90
10. 1) Запишите формулы половинного аргумента. 2) Найдите: \ о 1 Зя „ а) cos—, если cosa=—, —<а<2я; б) tg-|-, если sin а=—я<а<-|^; в) sin ~-t если sin а=—я<а<|р; \ а а 2 Зя г) ctg—, если cosа=—, — <а<2я. 3) Упростите выражение: ч sin a , а .о sin 2a cos a а) гг *ctg-H—sura; б) -r-. тг’т-, 1 7 1+cosa & 2 7 l+cos2a 1+cosa v 1 — cos a v sin a B) ; ; Г) — . sin a 1 +cos a 11. 1) Что такое числовая функция, ее область определения, область значений? 2) Найдите область определения функции: а> 12= б> в> г) 3) Найдите область значений функции: а) у = 3cosjc—1; б) 1; в) у = 2 — sin дг; г) у=3 — х4. 12. 1) Что такое график функции? 2) Постройте график функции: а) у=-~^-; б) У=2~cosx\ в) t/=V* + 2; г) */=sinx—1. 3) Найдите точки пересечения графика функции f с осями координат: а) / (*)=*3 —4*; б) / (*)=^-+ 1; в) / (*)= 1 — *4; г) / 13. 1) Сформулируйте определение функции, возрастающей (убы¬ вающей) на множестве Р. 2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79. 3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) У= 1+0,5 cos х; б) у=— ——; в) у = 2х*-\-Ах\ г) у= 1,5 sin х—1. 14. 1) Дайте определения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции? 91
2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79. 3) Найдите точки максимума и точки минимума функции: а) У=(х — 3)2 + 2; б) у = cos2 х; в) £/= 1 — (х + 2)2; г) jt/ = sin2 х. 15. 1) Какие задачи решаются при исследовании функции? 2) Проведите исследование функции: 0 а) у — sinx —2; б) в) у=х2— 4х+3; г) у=2cosjc+1. 3) Постройте графики этих функций. 16. 1) Дайте определения четной и нечетной функций. Каким свойством обладают их графики? 2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая — нечетной: \ sin X I .,5. а) у=—; б) у=х+х ; в) у = х cos х; г) у = Зх2-\-х6. 3) Постройте график функции f, если известно, что: а) f — нечетная; f(x)=cos х—1 при х£(—оо; 0]; б) f — четная; f(x)=(x — I)3 при х£[0; оо); в) f — четная; f (x) — s'm х при х£(—оо; 0]; г) f — четная; f (х)=4х — х2 при лг^[0; оо). 17. 1) Что такое периодическая функция, период функции? 2) Какой наименьший положительный период имеет функция: а) у — cos х; б) у = tg х; в) у = sin х; г) у = ctg х? 3) Найдите наименьший положительный период функции: а) у = sin-^-; б) */=cos (4х+1); в) */ = tg2x; г) у = cos 18. 1) Перечислите основные свойства функции синус. 92
2) Пользуясь свойствами функции синус, расположите в по¬ рядке возрастания числа: a) sin ОД sin 1,1, sin (—1,2); б) sin 4, sin 3,6, sin 2; в) sin 0,4, sin (—0,9), sin 1,4; r) sin 4,3, sin 2,9, sin 1,9. 3) Исследуйте функцию и постройте ее график: a) */ = sin(x—; б) у = sin-|-; в) у— 1 +1,5 sin х; г) у — sin 2*. 19. 1) Перечислите основные свойства функции косинус. 2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа: a) cos 0,3, cos (—2,9), cos 1,8; б) cos 5,3, cos 4,4, cos 6,2; в) cos 0,5, cos (—1,3), cos 3; r) cos 6,1, cos 3,5, cos 4,9. 3) Исследуйте функцию и постройте ее график: a) i/=cos(.x-f~£-) ; б) у—— cos*; в) t/ = 2cos*— 1; г) у = cos 20. 1) Перечислите основные свойства функции тангенс. 2) Пользуясь свойствами функции тангенс, расположите в по¬ рядке возрастания числа: a) tg( —0,4), tg 1,2, tg 0,8; б) tg2,8, tg3,9, tg 1,6; в) tg 0,6, tg(—1,3), tg( — 0,7); r) tg 4,3, tg 1,7, tg 2,5. 3) Исследуйте функцию и постройте ее график: а) У= —tg х; б) у=tg^-; в) у = 2 tg *; г) t/ = tg(x—-J-) . 21. 1) Сформулируйте теорему о корне. 2) Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких чисел определен арксинус? 3) Найдите значение выражения: a) arcsin (— 1)+ arcsin б) arcsin f-arcsin ^ ; в) arcsin arcsin 1; г) arcsin 0 — arcsin^—. 22. 1) Сформулируйте определения арккосинуса и арктангенса числа. 2) Для каких чисел определены арккосинус и арктангенс числа? 3) Найдите значение выражения: 93
г a) arccos (— 1)+arctg -\/3; б) arccos arcsin в) arctg (— 1)—arccos г) arccos 0 + arctg у. 23. 1) Запишите формулы для решения простейших тригономет¬ рических уравнений: sinx=a, cosx=a, tgx=a. При каких значениях а эти уравнения имеют решения? 2) Решите уравнение: а) 2 cos x-\-yj3 = 0; б) tg х-\-1 =0; в) 2sinx—-\/2 = 0; г) 2 cos х— 1=0. 24. Решите уравнение: 1) а) 2 sin2 x-f-3 sin х — 2\ б) tg2 х—4 tg x-4-3=0; в) 2 cos2 х—5 cos x=3; г) 2 sin2 x-f-sin x—0. 2) а) 6 sin2 x — 2 sin 2x= 1; 6) sin2 x —cos2 x=^; в) 4 sin x cos x=-\/3; r) cos4 x—sin4 x= L 25. Решите неравенство (предварительно укажите на единичной окружности множество точек Рх, таких, что х удовлетворяет данному неравенству): 1) а) sinx>^; б) 2 cos х-\-1 <0; в) tgx<-\/3; г) -yfesin x-f-1 >0. п\ \ • х X . 1 *\ ( ' х X \2 ^ 1 2) а) smyCosy>—у; б) ^sin у—cosyj ; в) 2sin2y<y; г) cos2 —sin2y>—^
Глава II ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ § 4. ПРОИЗВОДНАЯ 12. Приращение функции Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорцио¬ нальна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д. При сравнении значения функции f в некоторой фиксирован¬ ной точке хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f(x) — f(xo) через разность х — хо, пользуясь понятиями «приращение аргу¬ мента» и «приращение функции». Объясним их смысл. Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрест¬ ности фиксированной точки Хо. Разность х — хо называется при¬ ращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке хо и обозначается Ах. Таким образом, Ах — х — Хо, откуда следует, что х—Хо-\-Ах. Говорят также, что первоначальное значение аргумента Хо получило приращение Ах. Вследствие этого значение функции f изменится на величину /(*)“/ М=/(*о + Ах) - f (хо). Эта разность называется приращением функции f в точке Хо, соответствующим приращению Ах, и обозначается символом А/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению Af = f{xo-{-Ax) — f(xo), (1) откуда f{x) = f (хо + Ax) = f (х0) + A f. Обратите внимание: при фиксированном хо приращение А/ есть функция от Ах. А/ называют также приращением зависимой переменной и обозначают через А у для функции y=f(x). О П р и м е р 1. Найдем приращения Ах и А/ в точке Хо, если / (х) = х2, х0 = 2 и: а) х=1,9; б) х = 2,1. а) Дх = х — х0= 1,9 — 2= — 0,1; 95
Л/=/(1,9)—/ (2)= 1,92 - 22= -0,39; б) Лх = х— хо = 2,1 —2 = 0,1; Л; = / (2,1) — / (2) = 2,12 — 22 = 0,41. Пример 2. Найдем приращение А/ функции f з точке хо, если приращение аргумента равно Ах. По формуле (1) находим: A/./(,0+Ax)_/(*)=_J^--L = а'ц — (хр Да) Да Хо (х0 Да) Ао (ао -f- Да) Пример 3. Дан куб с ребром а. Выразим погрешность Д1/, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Ах. По определению прира¬ щения x = a-f-Ax, тогда АV = V (х) — V (а)=(а + Ах)3 — а3 = За2Ах + За (Ах)2+(Ах)3, ф Рассмотрим график функции y — f(x). Геометрический смысл приращений Ах и A f (приращение А/ обозначают также А у) можно понять, рассмотрев рисунок 80. Прямую /, проходящую через любые две точки графика функ¬ ции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х0; уо) и (х; у), равен у~Уо. X х0 Его удобно выразить через приращения Ах и А у (рис. 80): /г = tg а—^-. ь Да (Напомним, что угловой коэффициент прямой y — kx-\-b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.) С помощью введенных обозначений приращений удобно также зыражать среднюю скорость движения за промежуток времени 96
[to\ /о+А/]. Если точка движется по прямой и известна ее коор¬ дината x(t), то V МЛ _A*_*(<o + Afl—*(<о) cpva^ д t д t Эта формула верна и для Д/<0 (для промежутка [ЛН-А/; Л>])- В самом деле, в этом случае перемещение точки равно *(Л>)— — *(f0+A*); длительность промежутка времени равна —АЛ и, следовательно, 1/ /ЛА _x{to) — x(to + bt) х(/о + Д0 — x(to) _д/ — д/ Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами *о и *о-|-А*. Упражнения 177. а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую его сторону увели¬ чили на 0,2 м. б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущен¬ ную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) Д/?; 3) 0,1 см; 4) Л. 178. Найдите приращение функции f в точке *0, если: а) f (*) =—|-, *о = — 2, Д*=0,1; б) /(*)=2*2 — 3, *о = 3, Ах — —0,2; в) /(*) = 3*+1, *о = 5, Д* = 0,01; г) /(*) = 4г, *о = 2, Д* = 0,1. 179. Найдите приращения Д* и Af в точке *о, если: \ f / \ 2 2л Зл а) f(*)=cos^*, *о=—, б) f (*)=4* — **, *о = 2,5, * = 2,6; в) f(*)=tg*, *о=~, Х==Т; г) f (*)=У2* — 1, *о=1,22, *=1,345. 180. Выразите приращение функции f в точке *о через *о и Д*, если: a) f (*)=1— З*2; б) f (*)=а* + 6; в) f (*) = 2*2; г) /(*)=—У-. 4 Заказ 581 97
181. На рисунке 81 изображен график движения автобуса. Найди¬ те среднюю скорость движения за промежуток времени: а) [0; 3]; б) [3; 5]; в) [3,25; 5,25]; г) [0; 8]. 182. Точка движется по координатной прямой, причем в любой мо¬ мент времени t ее координата равна З-ф 12t — t2. На сколько и в каком направлении переместится точка за промежуток / времени: а) [2; 2,5]; б) [7; 8]; в) [4; 5]; г) [6; 8]? Чему равна ее средняя скорость? 183. Постройте прямые, проходящие через точку (1; 3) и имеющие угловые коэффициенты: а) —1 и 2; б) и —3; в) 3 и —2; г) —-- и —2. Выясните в каждом из случаев, какой угол (тупой или острый) образуют эти прямые с осью абсцисс 184. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции f (x)=-|-x2, прохо ящей через точки с данными абсциссами X] и хо. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью Ох, если: а) х\ =0, *2=1; б) Х\ = — 1, х2= — 2; в) х 1 = 1, х2 = 2; г) х\ — — 1, х2 = 0? 185. Ребро куба х получило приращение Дх. Найдите прираще¬ ние площади полной поверхности куба. 186. Выразите Д/ и ^ через хо и Дх и преобразуйте полученные выражения: a) f (*)=-х3 + Зх; б) рг-р в) f (х) = х3 — 2х; г) f(x)=jq-r. 98
187. Найдите среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени j/0; ^о + А/], если известен закон дви¬ жения: a) x{t)=v0t — б) x(t)=—at + b; в) х(/)=^-; г) х (t) = at — b. 13. Понятие о производной 1. Понятие о касательной к графику функции. Графики практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции у = х2 (рис. 82) при значениях аргумента, близких к 1. Для этого увеличим единицу масштаба (по сравнению с мас¬ штабом рисунка 82) в 10 раз; в этом масштабе построим график у — х1 на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 83). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис. 84) На этом рисунке хорошо видно, что при значениях, близких к 1, график функции у = х2 практически не отличает¬ ся от маленького отрезка прямой у = 2х—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой. Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: про¬ извольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой /. (Интересно заметить, что графо¬ построители, применяемые в ЭВМ, «рисуют» графики гладких функций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представля¬ ем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы по¬ нять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации. Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисо¬ вать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого пред¬ варительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью нож¬ ниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения при¬ водит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета. Проходящую через точку (х0; f (хо)) прямую, с отрезком ко¬ торой практически сливается график функции / при значениях лг, близких к Хо, называют касательной к графику функции f в точ¬ ке (х0; f (х0)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке. 4* 99
Г'
Координаты одной точки прямой I известны — это точка (хо; f (*о))- Остается найти угловой коэффициент k касательной В качестве примера рассмотрим функцию у = х2. Ее график в малой окрестности точки хо близок к отрезку касательной /. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты се¬ кущих, проходящих через точки (хо: *о) и (хо + Л.г, (л'0 + Д*)2), бу дут близки к угловому коэффициенту k, если Д* будет неограни¬ ченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к х0) Угловой коэффициент k (Дх) секущей, проходящей через точки (*о; у{хо)) и (хо + Дх; */(х0 + Д*)), равен (п. 12), где Ду — при¬ ращение функции у в точке *о, соответствующее приращению Дх аргумента. Для функции у = х2 k (Аж)<^+М~х° =2*°А*+= 2ж0 + Ах (1) Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяс¬ нить, к какому значению близко k (Д*), если Д* приближается к нулю. Очевидно, что k (Д*) близко к 2хо. Следовательно, при очень малых значениях Да: угловой коэффициент секущей близок к 2*о. При *о=1 получаем k = 2. Учитывая, что искомая касатель¬ ная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у = 2х—\. К этому же выводу пришли в на чале пункта из чисто наглядных соображений. 2. Мгновенная скорость движения. Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по пря¬ мой. Пусть координата х точки в момент времени t равна x(t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осу¬ ществляется непрерывно и плавн*. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямо¬ линейному участку шоссе. Поставим задачу: по известной зависимости *(/) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью). Если зависимость x{t) линейна, ответ прост: в любой момент вре¬ мени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее. Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден Эту скорость легко найти, сделав в момент времени to фото¬ снимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t.) Чтобы найти скорость омгн (£<>), зная х (0, на уроках физики вы поступали следующим образом Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Д/| от to до /о + Д^ известна (п. 12): о„ (")=£•• (2) 101
Как мы предположили, тело движется плавно. Поэтому естест¬ венно полагать: если At очень мало, то за этот промежуток времени скорость практически не меняется. Но тогда средняя ско¬ рость (на этом промежутке) практически не отличается от значе¬ ния нМП1 (to), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти иср(Д0 и посмотреть, к .какому значению оно близко, если считать, что At практически не отличается от нуля. Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью vo. Высота его в момент t at2 находится по известной формуле h (t) = vo t— 1) Найдем сначала Ah: Aft (/) = ко (<о + AQ-- v+ -Г" = »■>Ы ~ 4 А 4 (.А/) U'O — gio) At— g 2) vcp(At)= - =v0—gto— (3) 3) Будем теперь уменьшать At, приближая его к нулю. ^Для краткости говорят, что At стремится к нулю. Это записывается так: Д£-»-0.) gAt Как легко понять, в этом случае значение — тоже стре¬ мится к нулю, т. е. —~--^0 при At-*-0. А поскольку величины Vo и —gto, а значит, и vo—gto постоян¬ ны, из формулы (3) получаем: vcp(At)-+vo — gto при At-*- 0. Итак, мгновенная скорость точки в момент времени tG нахо¬ дится по формуле vMrH(At) = va — gt0. 3. Производная. Рассмотренные две задачи о вычислении уг¬ лового коэффициента касательной к параболе в точке с абсциссой л;0 = 1 и нахождении мгновенной скорости тела, брошенного вверх со скоростью vo, имели различные формулировки. Однако в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь одной схе¬ мы. В применении к произвольной функции f и любой точке *0 ее области определения эта схема может быть описана следующим образом. 1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке *0: Л/ = f(xо + Ах) — f (хо). 102
2) Находим выражение для разностного отношения : Af __f (xo + As) — f (хо) Ax Ax ’ которое затем преобразуем — упрощаем, сокращаем на Дх и т. п. 3) Выясняем, к какому числу стремится , если считать, что Ах стремится к нулю. * Найденное таким образом число иногда называется (по анало¬ гии с физикой) скоростью изменения функции / в точке лго или (что более принято) производной функции f в точке xq. Определение. Производной функции f в точке х0 называ¬ ется число, к которому стремится разностное отношение А/ _f (x0 + Ax)—f (Хо) Ах Ах при Ах, стремящемся к нулю. Производная функции f в точке хо обозначается f' (хо) (чита¬ ется: «Эф штрих от Хо»). О П р и м е р 1. Найдем производную функции f (х) = х3 в точ¬ ке Хо- Будем действовать по описанной выше схеме. 1) Af=(х0 + А*)3 — *о = Зхо Ах Зх0 (Ах)2 + (Ах)3. 2) |^=ЗхЕ + Зх0Ах + (Ах)2 (АхфО). 3) Теперь заметим, что слагаемое Зхо постоянно, а при Дх->0 очевидно, что Зх0Дх-»-0 и (Дх)2->0, а значит, и ЗхоДх + (Дх)2-*0. Получаем: ~->-Зхо при Дх->-0. Следовательно, f' (х0) = Зхо. Пример 2. Найдем производную функции f(x) = kx-\-b (k и b постоянны) в точке х0. 1) Af = (k(xo-\-Ax) + b) — (kxo-\-b) = kAx. 2) &“*• 3) Поскольку k — постоянная, — постоянное число при любом Дх, и, значит, при Дх-*-0. Итак, {kx-\-b)r — k. ф Функцию, имеющую производную в точке хо, называют диф¬ ференцируемой в этой точке. Пусть Di — множество точек, в ко¬ торых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому x£Dt число f (х), получим новую функцию с областью определения D\. юз
Эта функция называется производной функции y = f{x) и обозна¬ чается f' или у' Нахождение производной данной функции f называется диф¬ ференцированием. В этом пункте мы получили следующие формулы дифференци¬ рования: (х2)' = 2х, (х3)' = Зх2, (kx-\-b)' = k. Полагая в формуле (kx-j-b)' = k, что k = 0, Ь = С, где С — произвольная постоянная, получаем, что С' = 0, т. е. производ¬ ная постоянной равна нулю. Упражнения 188. Постройте график функции f и проведите к нему касатель¬ ную, проходящую через точку с абсциссой х0- Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой каса¬ тельной: а) f (х) = х2 —2х —3, х0 = 0, х0 = 3, х0 = 2, х0= — 1, б) f(x) = ~1-1, х0=— 2, х0=1, х0= —1, х0 = 2. Рис. 85 104
Рис. 86 189. Определите знак углового коэффициента касательной, прове¬ денной к графику функции (рис. 85) через точки с абсциссой Х\, х2, Хз, Х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности каких точек график функции явля¬ ется «гладкой» кривой? 190. Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86). Определите знак углового коэффициента касатель¬ ной в каждой из точек, отмеченных на графике. 191. Вычислите в точке х0, если: Дх а) /(х)=2х2, х0 —1, Дх равно 0,5; 0,1; 0,01; б) f(x)=x2, хо=1, Дх равно 0,5; 0,1; 0,01. 192. К какому числу стремится отношение ~ при Дх->0, если: а) ~==8х04-4Дх, х0 равно 2; —1; б) |^=Зхо + Зх0Дх + (Дх)2, х0 равно 1; —21; в) ^~=3х0 — 2Дх, х0 равно 4; 1; г) ~ — 2хо + Дх, хо равно 1; 2? 193. Используя формулы дифференцирования, полученные в п. 13, найдите производную функции f в точке х0, если: а) Длг)=х3, х0 равно 2; —1,5; б) f (х)=4 — 2х, х0 равно 0,5; —3; в) f (х) = 3х — 2, х0 равно 5; —2; г) f(x) = x2, х0 равно 2,5; —1. 105
194. Пользуясь определением производной, найдите значения про¬ изводной функции f, если: а) f (х)=х2 — Зх в точках —1; 2; б) f (х) = 2х3 в точках 0; 1; в) f(x)=-j- в точках —2; 1; г) f (х) = 4 — х2 в точках 3; 0. 195. Найдите уравнение касательной к графику функции f (х) = х2, проходящей через его точку с абсциссой Хо, если: a) Xq == — 1; б) лг0 = 3; в) х0 = 0; г) х0 = 2. 196. Пользуясь определением, найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону * (*), в мо¬ мент to: а) л;(/)^_/2 + 8*, *о = 6; б) х(*) = 3*3 + 2, *0 = 2; в) *о=4; г) x(t)=5t— 3, *0=Ю. 14. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке *о (см формулу (3) п. 13). Функция vcp(At) = Vo—gto — g‘Y' не определена при Д* = 0. Но для числа L = vo — gto при уменьше¬ нии | А* 1 разность vcp (At) — L приближается к нулю. Именно поэ¬ тому мы писали vcp(At)->vo — gto при Д*->0. Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стре¬ мящемся к хо, если разность f(x) — L сколь угодно мала, т. е. \f(x) — L\ становится меньше любого фиксированного 0 при уменьшении |Дх|, где Ах — х—*о. (Значение х=хо не рассматри¬ вается, как и в задаче определения мгновенной скорости.) Вместо х-*-хо можно, конечно, писать Дх->-0. Нахождение числа L по функции f называют предельным пе¬ реходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях. Первый случай — это предельный переход в разностном Af „ ~ отношении т. е. нахождение производной. С этим случаем вы познакомились в предыдущем пункте. Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Ес¬ ли f (*)->/ (*о) при х-*-хо, то функцию называют непрерывной в точке *о- При этом f (х) —L = f (x) — f (xo) — Af\ получаем, что \Af\ мало при малых |Дх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке *о соответствуют малые изменения значений функции. Все извест¬ ные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей 106
области определения. Графики таких функций изображаются не¬ прерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения гра¬ фиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действитель¬ но ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших слу¬ чаях такое исследование проводят на основании определения непрерывности. О Пример 1. Докажем, что линейная функция f (х) = kx + 6 непрерывна в каждой точке числовой прямой. Нам нужно показать, что |Д/| становится меньше любого фиксированного h> 0 при малых | Ajc 1. Но | Д/| = |/(л'о + Дх) — —7 (*о)1 = \k (х0 + Дх) + Ь) — (kxo + b)\ = |&| 1 Дл:| и |Д/| будет мень¬ ше h>0, если взять IДлг| ПРИ кфО (при k = 0 можно брать любое Дх). Пример 2. Докажем, что функция f (x) = ^fx непрерывна в точке хо при х0>0. Прежде всего отметим, что Ах мы будем выбирать таким, что |Дх|<!хо; тогда т/х=л/хо +Д* определен. Оценим разность V* — Vw , г- , г- | А/| = IVato 1 = ■ +--* т/gj^0 ^-Ах ±J^) I = \Xo~\~Kx ~\~\Хо = | А-v | < 1 A.v| V-'-o-f'Ax -\-~фхо дfxo Легко видеть, что 1Д/1 станет меньше 0, если взять |Дх| меньше д/*оh (и, как мы отмечали выше, меньше хо). # S7 В задаче определения мгновенной скорости число имгн(^о) было определено так, что функция уср(Д0» «дополненная» в нуле числом имги, становится непрерывной в этой точке. Та же ситуа¬ ция и в задаче определения углового коэффициента касатель¬ ной: функция g (Дх) = 2хо + А* станет непрерывной в этой точке, если считать, что g(0) = 2xo. А Как видно из примеров предыдущего пункта, новая опера¬ ция — предельный переход — служит новым средством нахож¬ дения неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться в этой главе. Выделим правила предельного перехода, которые доказываются в курсах математического анализа. Правило 1. Если функция f непрерывна в точке хо, то Дf-+0 при Дх->0. Правило 2. Если функция f имеет производную в точке Хо, то при Дх-»-0. Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке хо и производной в точке Хо. Правило 3. Пусть f (х)->Л, g (х)->£ при х-*-Хо. Тогда при х-*~хо (т. е. при Лх-*~0): 107
а) f(x) + g {х)-+А + В\ б) /(x)*g(x)-Wb£; в) тм -*£ (пРиВ*°)- Для непрерывных функций fug A=f(xо), B = g(xо) и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке хо функций непрерывны в точке хо (частное в случае, когда g(x0)=H=0). Правила предельного перехода широко используются при до¬ казательстве непрерывности функций и выводе формул дифферен¬ цирования. ОПример 3. Докажем, что функция h (х) = lOx+V* непре¬ рывна в любой точке хо промежутка (0; оо). Непрерывность функций /(х)=10х и g (х)—фс была доказана в примерах 1 и 2. Следовательно, функция h непрерывна как сумма двух непрерыв¬ ных функций (правило 3, а). Пример 4. Докажем, что f'(x)=——, где f (х)=фс. 2 -\/х 1) Для произвольной ТОЧКИ Хо А* Ухо -f- Ухо -f- Ах (см. пример 2). 2) М.= 1 - Дх Ухо"+ Ух0 + Дх 3) Vxo + Дх-»--д/х(Г при Дх-»-0 по правилу 1, так как функция -фс непрерывна в точке хо (см. пример 2), поэтому Vx*T-f-V*oH-Ах->- -+2-фс^ при Дх-^0 (по правилу 3, а) и -=—1— при У^+У^+Дх 2У^ Дх->0 (по правилу 3, в). Итак, (л/*)'=тт=- 2 Ух для любого положительного х. ф Упражнения 197. Является ли непрерывной в каждой из точек Х|, х2, хз функ¬ ция, график которой изображен на рисунке 87? 198. Постройте график функции f. Содержится ли в ее области определения точка, в которой функция не является непре¬ рывной? а> «) 0; 108
Рис. 87 им-}'/ ' X -}-2 при x< 1, при xZ&z 1. 199. Является ли функция / непрерывной в каждой точке данного промежутка: a) f{x) = X3 —4х,(—оо; оо); б) /(х) = ^Гр [2; оо); в) f (х) = х2 + 2х — 1, [—10; 20]; г) f (х) = Ьх—л[х, (0; оо)? 200. К какому числу стремится функция /, если: a) f{x) = x2 — 3*-{-4, лг-^0, х->2; б) /(*) = X -f- 1 , х-*4, х-^4; в) f(x)=4—-£-,х- 2, х->0; г) f(x) = 4x —х—>— 1, х->4? 201. Известно, что /(х)->1, g {х)-*~ — 2 при х-»-3. К какому числу при х-»-3 стремится функция: а) 3f(x)g(x); бв) 4/(x)-g(x); г) (3-g (х)) f (х)? 109
202. Известно, что f (х)-+ 3, g(x)-> —0,5 при х->— 1. Найдите число, к которому при х-*— 1 стремится функция: а) б) tfW-gW)2; B)(fwy+2gW; r)iig. 203. К какому числу стремится функция: а) /(*)=* t-V~2' при б> ^ = ^-2^7 ПРИ в) f (A')=-4i§nPH Л^2; г) М*)==“^р|- ПРИ Х-+—1? 204. С какой точностью найден периметр квадрата, если его сто¬ рона измерена с точностью до 0,01 дм? 205. С какой точностью достаточно измерить сторону правильного треугольника, чтобы найти его периметр с точностью 0,03 дм? 206. С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычислить длину окружности с точностью до 0,06 дм? 207. Известно, что f (х)->Л, g (х)-+В при х->а. Пользуясь прави¬ лами предельного перехода, докажите, что: а) С f (х)-+С’А, где С — постоянная; б) f(x)—g{x}-+A — B; в) (/ (*))2—(ё {х))2-*~А2 — В2; г) (/(*))"-^4", где n£Z. 15. Правила вычисления производных 1. Основные правила дифференцирования. Выведем несколько правил вычисления производных. В этом пункте значения функ¬ ций цини их производных в точке хо обозначаются для кратко¬ сти так: u(x0) = u, и(х0) = иу u'(xo) = u'y v' (xo) = v'. Правило 1. Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их сумма дифференцируема в этой точке и (u + v)' = и' -\-v'. Коротко говорят: производная суммы равна сумме произ¬ водных. 1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: 110
Д [U + v)=u(Xo-\- Ах) + V (jco'4- Д*) — (« (*о) + У (,х0)) = = (и (х0+Дх) — и (х0))+(v (хо + Дх) — v (х0))=Аи -J- До. Д (м + а) Дц ■ Да Дх Дх Дх 3) Функции и и v дифференцируемы в точке х0, т. е. при Ах->0 Д и , Да , >11, >и'. Дх Дх Тогда А ^ ->- м'-фц' при Дх 0 (см. правило 3, а) предель¬ ного перехода п. 14), т. е. (u-\-v)' = uf -\-v'. Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х(), то она непрерывна в этой точке: Af->(3 при Дх->-0, т. е. f (х0 -ф Дх)->/ (хо) при Дх-ИЗ. Действительно, Af=^-Ах->ф'(хо)-0 при Дх-МЗ, так как (хо), а Дх->0. Итак, Af->0 при Дх-йЗ, т. е. для дифференци¬ руемых функций f (хо + Ах)-»ф (хо) при Дх-ДЗ. Правило 2. функции и и v дифференцируемы в точ¬ ке Хо, то их произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)' = u'v -J- uv'. V 1) Найдем сначала приращение произведения: А (и v)=и (хо + Дх) v (х0 + Ах) — и (хо) v (х0)= = {и (х0) + Д«) (v (х0)+Av) — и (х0) v (х0)= = и (х0) v (х0)+ Дuv (х0)-ф и (х0) Av -ф AuAv — и (хо) v (х0,= = Дuv (х0)Т-и (хо) Av-\-AuAv 2> 3) В силу дифференцируемости функций // и v в точке хо при Дх-Д имеем ^-—>и', ^-+v', Дм-»-0. Поэтому Л{и-->и'и (х») Ф АЛ АЛ /ЛАГ -\-U (Xq)v'= u'v (Хо)-фМ (Хо)ц', т. е. (uv)'= и'иuv\ что и требовалось доказать. А Следствие. Если функция и дифференцируема в хо, а С — постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и (Си)' = Си Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из п. 13 фактом С' = 0: (Си)' = С'ы + Сы' = 0-и + См' = Сы'. 111
Правило 3. Если функции и и v дифференцируемы в точке Хо и функция v не равна нулю в этой точке, то частное — также дифференцируемо в хо и (и \ ' и'V — uv' v) и2 V Выведем сначала формулу 1 1) Найдем приращение функции У / 1 \ 1 1 у (Хо) — у (-Уо -f- Ах) —А у \!1/ V (х0 + Дх) V (х0) у (х0) у (Хо + Дх) V (хо) (у (х0) + Ду) 2) Отсюда ■(4) Ду ' Дх Дх у (х0) (у (х0)+Ду) 3) При Ал:-»-0 имеем ^~+v' (в силу дифференцируемости v в точке хо), Ду->0 (по доказанной лемме). Поэтому \ 0/ —у' у' гг. „ / 1 \ ' у' -у - -»—= г - т- е- (—) — г- Дх уу у 'у/ У Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произве¬ дения функций, находим производную частного: О П р и м е р 1. Найдем производные функций: a) f (х)=х?— б> а> (4-),=-?=-?■• поэтому =2t_(_?)=2jc+4'; в» (-£—) V х3+1/ х2 \ ' _ (х2),(х3 + 1)-х2(х3 + 1У 2х (х3 +1) ■- X2 ((х3)' + П _ >+i' (*3+1)2 = (*3+1)2 2х(х3+1) —х2(Зх2 + 0) _2х4 + 2х — Зх4 2х—х4 ~ (х3^-1)2 ~ (х3-}-!)2 (х3+1)2 112
2. Производная степенной функции. Формула для вычисления производной степенной функции х", где п — произвольное нату¬ ральное число, большее 1, такова: (д£гп)' = /гл:п_1. (1) Формула производной функции х2 уже известна: {х2)'= 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, полу¬ чаем: (а:3)' = (х2 • х)' = (х2)'х+х?(х)' = 2х • х + х2 • 1 = З*2; (х4)'=(х3 • х)'=(х3)'х -f- х3(х)' = Зх2 • * -f- *3 • 1 = Ах3. Заметим теперь, что {х*У = 2х2-\ {х3)' = Зх3~\ {х4)' = Аха-\ т. е. для п, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для п, равного 5, 6 и т. д. V Докажем, что формула (1) верна для любого натурального п> 4. Допустим, что формула (1) верна при n — k, т. е. что (хкУ = kx^~l. Покажем, что тогда формула (1) верна при n — k-\-1. Дейст¬ вительно, (а;*+1)' = (хк • х)' = (хк)' • а: + хк • (а:)' = = kxk~l-x + xk = kxk-{-xk = {k-{-l)xk. Поэтому из того, что формула (1) верна при я =4, следует, что она верна и при п = 5, но тогда она верна и при п = 6, а сле¬ довательно, и при п = 7 и т. д. до любого n£N (строгое доказа¬ тельство основано на методе математической индукции). А Если п — 1 или п = 0, то при хфО эта формула также спра¬ ведлива. Действительно, по формуле (1) при хфО (АГ!)'= I-ЛГ1-1 = 1 -АГ°= 1, (aj^^O'X0-1 =0, что совпадает со значениями производных функций х и I, уже из¬ вестными из предыдущего пункта. Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда п = —т, где т — число натуральное. Применяя правило дифференциро¬ вания частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при хФ0: (хГу=(х~ т)'=(-W ■ = ~ т^~1 = — т. —*—= \хт / (xmf х2т xm+l = —тх~т~1=пхп~1. 113
В результате можно сделать вывод: Для любого целого п и любого х (хф О при п^. 1) (хпу = пхГ~х. ОПР и мер 2. Найдем производные функций: a) f(x) = x 5; б) /м=з*7-|-. а) (л:-5)'= —5л:-5-1 = — 5лг“6; б) (^Зх7—= 3 (х7)' — 5 (х~3)' = 3-7х6— 5 (— 3)х~А = = 2\х6 + ~. ф X Из дифференцируемости степенной функции и основных пра¬ вил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции диффе¬ ренцируемы в каждой точке своей области определения. Упражнения Найдите производные функций (208—211). 208. a) f (х)=-хг + хъ\ б) f(*) = i-+ 5л: —2; в) f {х) = х2 + 3х— 1; г) f {х) = х3 + х[х. 209. а) / (х) = х3 (4 -f-2х — х2)\ б) f(x)=x[x{2х2 — х)\ в) f (x) = x2(3x + x3); г) f(x) = {2x — 3)(1— х3). 210- а> б> в> г) 211. a) y = xg — Зх4 —х + 5; б) у = -1—Д-+л/*; в) у = х7 — 4х5 + 2х— 1; г) у = ±-+ЛГ+ 1. 212. Вычислите значения производной функции f в данных точках: а) f (х) = х2 — Зх, х=—х = 2; б) f(x) = x — 4-л/х, х = 0,01, х = 4; в) f(x) = x-j-t x=V2, х=—щ\ г) = х=~3’ * = 213. Решите уравнение /'(*) = 0, если: a) f(x) = 2х2-х; б) f (х)=-^-х3+ х2 + 12; в) f (*)='•| 1,5л:2 — 4х; г) /(х) = 2х — Ъх2. 114
214. Решите неравенство /'(х)<;0, если: a) f (х) = 4х — 3х2; б) f(x) = x?-+-1,5х2; в) \(х) = х2 — 5х; г) f(x) — 4x—-j-x3. О 215. Найдите производную функции: а) 1{х)=\тВ' б> f«=(4-+*2)(2-^); в) г) Цх)=л}х(3х!’—х). 216. Найдите значения х, при которых производная функции / равна нулю: а) б) цх)=2х1-х?; в) / (x) = x4-}-4x; г) f (х) = х4— \2х2. 217. Решите неравенство /'(*)<0, если: a) f(x) = x3 — блг2 — 63л:; б) f (х) = 3х— 5х2-|-х3, в) f(x) = -|-х3 —8х; г) f (х) = 3х2 —9х—-^-х3. 218. Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная ко¬ торой равна: а) 2*-}-3; б) 16л:3 — 0,4; в) 8* —2; г) 9х2— 219. Верно ли, что функция ф (x) = fi (x)4~f2 (х) не имеет производ¬ ной в точке *о, если известно, что: а) каждая из функций /1 (*) и Д (х) не имеет производной в точке х0; б) fi(x) имеет производную в точке х0, а Ь (х) не имеет? 16. Производная сложной функции 1. Сложная функция. Начнем с рассмотрения примера. О Пример 1. Пусть требуется вычислить по заданному зна¬ чению х соответствующее значение z функции h, заданной форму¬ лой z = h (х) = -д/l — х2. Для этого надо сначала вычислить по заданному * значение y = f(x)= 1—х2. а затем уже по этому у вычислить г = 8{у)=л1у- 115
Итак, функция f ставит в соответствие числу х число у, а функ¬ ция g — числу у число z. Говорят, что h есть сложная функция, составленная из функций g и f, и пишут: h(x) = g (f (х)). Чтобы вычислить значение сложной функции h (x) = g (f (х)) в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у «внутрен¬ ней» функции f в этой точке, а затем g (у). Какова область определения сложной функции g (f (х))? Это — множество всех тех х из области определения функции f, для ко¬ торых f (х) входит в область определения функции g. В рассматриваемом примере областью определения функции / является вся числовая прямая. Значение h (х) определено, если значение f (х) принадлежит области определения функции g (у) = =^[у. Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство у^О, т. е. 1 — х2^0, и, значит, область определения функции g (f (х)) — это отрезок [—1; 1]. О 2. Формула производной сложной функции. В предыдущих пунктах вы научились находить производные рациональных функ¬ ций, в частности многочленов. Однако задача вычисления произ¬ водной функции f (х) = (2х4-3)100, хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень большого объема работы: надо представить (2x4-3)’ в виде многочлена и продифференци¬ ровать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упрос¬ тить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции. Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g име¬ ет производную в точке yo = f (хо), то сложная функция Л(х) = =g(f(x)) также имеет производную в точке хо, причем h'(Xo)=g'(f(Xo)) f'(Xo). (1) V Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Дх=т^0 рассмотреть дробь и установить, что jj-*- g' (yo)'f' (*о) при Дх->0. Введем обозначения: ДУ — f (*о 4- Дх) — f (х0)=Д/. Тогда Дh = h (х0 4- Дx) — h (х0)=g (Дх0 4~ Д*)) — g (Я*о)) = g {уо 4~ Ду) — — g(yo) = bg. Д^-^0 при Дх-»-0, так как / дифференцируема в точке Хо. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Д/^О в некоторой окрестности точки хо- Тогда при Дх -*• 0, так как jL-+f'(Xo) Ах Ay Ах Ay Ах Ах при Дх-И), а g' (Уо) при /Ау—►О. что выполнено при Дх—*-0 (это отмечалось выше). А П6
О Пример 2. Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции /i (х)=(2х4-3),0°. Функцию h можно представить в виде сложной функции h{x)=g{f{x)), где g(y)=ym, y=f(x)=2л:+3. Так как f'(х)=2 и g' {у) = lOOt/99, имеем W (х) = 2 • 1OOt/99 = 200 (2х + 3)99. Пр и мер 3. Найдем производную функции h (х)=УЗх2 + 1. Так как h(x)=g (f (х)), где y=f (х) = 3х2 +1, g{y)=-Jy, то g' 0/)=Т7~и y'=f'(x)=6x, откуда !.Л = —Si = -3*...... • 2V5 2^+1 V3F+T Упражнения Задайте формулами элементарные функции f и g, из кото¬ рых составлена сложная функция h (x) = g(f (х)) (220—221). 220. a) h(x) = cos Зх; б) h (x) = sin^2x— в) h{x)=ig^-\ г) Л(х)=cos(3x+|-). 221. a) h (х)=(3 — 5х)5; б) h (х)=д/cos х; в) h (x)=(2x-f-1)7; г) /i(x)=tg^-. Найдите область определения каждой из функций (222— 223). 222. а) у=^]9 — х2; б) t/ = 1 Ух2-7х+12 ’ в) t/=V0,25—хй; г) ~— У4х+5—х* 223. a) y—^jcos х; б) t/=- ■(«-Й ’ в) y — tg2x\ г) l/=y/sin х. Найдите производные функций (224—225) 224. a) f(x)=(2х-7)8; б) /(х) 1 (5х+1)3 ’ в) /(х)=(9х + 5)4; г) f{x). 1 (6х-1)5 * 225. a) f(x)=(З-f-)”9; б) f (jc)=(4-«—Г)® —(1 —2ЛГ)-*; в) f(x)—(4 — 1,5х)10; г) f (х)=(5х —2)13 —(4x-f-7)-6. 117
226. Найдите область определения функции: а) у=л[1 —2 cos х; б) у=~у— 1; в) y=^Jsin х —0,5; г) + 1. 227. Заданы функции /(х) = 3 —2х, g(x) = x2 и p(x)=sinx. За¬ дайте формулой сложную функцию h, если: а) Л (*)=/(&(*)); б) h(x) = g(p(x))-, в) h(x)=g {f (х)); г) h (х) = р (/ (х)). 228. Заданы функции f (х)= , g(x) = cosx и р {х)=л[х. За¬ дайте формулой сложную функцию Л; найдите ее область определения, если: a) A(x) = /(g(x)); б) h (x) = f (р (х)); в) h(x)=p (g (х)); г) Л(х) = р(/(х)). 229. Найдите такую функцию /, что f(g{x))=x: a) g (х) = 2х; б) g (х) = л/х; в) g(x) = 3x + 2; г) g (х) = х2 +1, х<0. 230. Найдите производную функции /: а) /(х) = (х3 —2х2 + 3)17; б) f (x) = Vl — х4+; в) / (х)=у/4х2 + 5; г) f (х) = (3 — х3)5 + у/2х — 7. 17. Производные тригонометрических функций 1. Формула производной синуса. Докажем, что функция синус имеет производную в любой точке и (sin x)' = cos х. (1) Применяя формулу sin a —sin р = 2 cos ”-j~--sin а~находим Дх Д sin х sin (xq + Ax) — sin Xp ~ i g J 2 Дх Дх Дх 2 cos^xp+^р^ sin Дх ~2 118 . Дх sin — COS (*«+¥) ■
Для вывода формулы (1) доста¬ точно показать, что: Дх а) Дх 1 при Дх->0; cos Хо б) cos^xo+-y^ при Дх->-0. Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу (1). Дей¬ ствительно, при Дх -> О Дх Д sin х Дх Дх 2 COS 1 • COS Хо = COS х0. V Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл. а) Отложим на единичной окружности от точки Р0 в обе сто¬ роны дуги РоА и РоВ длиной 1А— (рис. 88) Тогда длина дуги АВ равна |Дх|, а длина хорды А В равна 2| sin Дх При ма¬ лых |Дх| длина хорды АВ практически не отличается от длины стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы длины окружности. Дей¬ ствительно, при больших п верно, как известно, приближенное ра¬ венство Рп~С, где Рп — периметр правильного вписанного п- угольника, а С — длина окружности. Значит, длина стороны тако¬ го многоугольника приближенно равна длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно, Дх Дх АВ АЬ I *!L 2 Дх 2 1 при Дх -->■ 0. б) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, т. е. 2 " 2 Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим нера¬ венством, находим: | cos(xo-f^) —cos хо | = | — 2 sin ^-sin^xo-f-^^ | < <1 2sin^| < I Дх| 119
H° -Lyi-->0 при Дх->0. Поэтому Cos(xn+^-) ->-cosxonpH Дх -*• 0. А О П р и м е р. По формуле дифференцирования сложной функ¬ ции (sin (ах + 6))'== a cos (ах + 6). О 2. Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котан¬ генса. Докажем, что функции у = cos х, у — tg х, у=ctg х имеют производные в каждой точке своей области определения и справед¬ ливы формулы: (cos *)' = — sin ху (2) {3) (4) Вывод формулы (2) основан на равенствах cos х = = sin^-^—х^ , cos^—x^=sinx и правиле дифференцирова¬ ния сложной функции: (cos х/=( sin^^—х^ =cos^-|—х) —xj '= — sin х. Чтобы доказать справедливость формул (3) и (4), применим формулу для нахождения производной частного и выведенные формулы производной синуса и косинуса: ,, у ( sin х \' (sin хУ cos х—(cos х)' sin х cos2jt+sin2x 1 ' ® ' \ cos х ) cos2 х . I у I cos x \ ' (cos x)' sin x — (sin x)' cos x ' ® X' \ sin x ) sin2 x COS X cos X — sin2 x— cos2 x 1 sin X Упражнения Найдите производную каждой из функций (231—233) 231. а) у = 2 sin х; в) у=—0,5 sin х; 232. а) у = 3 cos х; в) у= 1—cos х; 120 б) у= 1—^-sin х; г) «/ = 0,5+1.5 sin х. б) t/ = x + 2cosx; г) у = 2 sin х+ 1.5 cos х.
233. a) y—-yj3 — 3 tg л;, б) у = cos х— tg л: в) Y~tg х; г) у = 2 tg х— sin х 234. Найдите f' (0) и f'[л), если: а) fix) = Y~cos (2х —л); б) f (х) = х — tg ( — 2х); в) f (х) = 3 sin —f-) • г) f(x) = 2cos-|- 235. Решите уравнение f'(x) = 0, если: а) f (*) =-^-x + cos xf б) [ (x) = x — tg х; в) f (х) = 2 sin х— 1; г) f (х) — х — cos х Найдите производную каждой из функций (236—238) 236. a) f (х) = х3 sin 2х, б) / (xj=x4 + tg 2х, \ С / \ cos Зх \ г / \ В) №)=— , г) f 237. a) /(x) = sin2x; б) f (x) = tg л:-|-ctg х; в) f(x) = cos2x; г) f(x) — sin2x + cos2x 238. a) f (x) = cos 2х sin x-J-sin 2х cos х; б) f(x) = cos2^—sin2 в) f (x) = sin 5x sin Зх-f-cos 5x cos Зх; r) f (x) = sin 3x cos 3x 239. Найдите точки, в которых f'(х) = 0, f'(x)> 0, если. а) f(x) = 2 sin2 х—1/2 х; б) f (х) = 2х + cos (4х — л); в) f(x) = cos 2х; г) f (x) = sin 2х—-уЗх. 240. Задайте формулой хотя бы одну функцию f, если а) Г(х)=1—sin х; б) f' (х) = 2 cos 2х в) Г (х)= —cos г) Г ix) — 3 sin х. § 5. ПРИМЕНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНОЙ 18. Применения непрерывности 1. Непрерывность функции. В п. 14 вы познакомились с поня¬ тием непрерывности функции в точке. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка /, то ее называют не¬ прерывной на промежутке I (промежуток I называют промежут¬ ком непрерывности функции f). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало; 121
график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». (Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе.) Как было показано в п. 15, функция, дифференцируемая в точке х0, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функ¬ ции и непрерывны в каждой из этих точек. Например, из дифференцируемости функции f (х) = х2 на всей прямой, а функции f(x) = ~ на промежутках (—оо;0) и (0; оо) вытекает непрерывность этих функций на соответствующих про¬ межутках. Отметим следующее свойство непрерывных функций: Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращает¬ ся в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки х\ и х2 интервала (а; Ь), что f (хi)<0, a Тогда непрерывная кривая (график функции f), соединяющая точки A (x\\f(x\)) и В (х2; f (х2)), разделенные прямой у = 0, пере¬ секает эту прямую в некоторой точке хз данного интервала (рис. 89), т. е. f (х3) = 0. (Представим себе, что точки А и В нахо¬ дятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; Ь). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из Л в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращает¬ ся на интервале (а; Ь) в нуль. 2. Метод интервалов. На свойстве непрерывных функций, рас¬ смотренном в этом пункте (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения нера- f (х2)>0. УА венств с одной переменной (метод интервалов). Опишем его. f(x2) О Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интер¬ вала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций эти¬ ми точками I разбивается на интер¬ валы, в каждом из которых непре¬ рывная функция f сохраняет посто¬ янный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции / в какой-либо одной точке из каждого такого ин¬ тервала. О Пример 1. Решим неравенст- Рис. 89 122
+ ————о -7 + — + -о——о О' ■ - > 7 £ 3 Рис. 90 х2— 1 Функция f(х) = —— ■■ непрерывна в каждой точке своей X — DX О области определения (это дробно-рациональная функция) и обра¬ щается в нуль в точках —1 и 1. Область определения этой функ¬ ции — вся числовая прямая, за исключением нулей знаменателя, т. е. точек 2 и 3. Эти точки и точки — 1 и 1 разбивают область определения f на 5 промежутков (рис. 90), в каждом из которых функция f непрерывна и не обращается в нуль. На рисунке отме¬ чен знак f в каждом из соответствующих интервалов, который определяем, найдя знаки значений f во внутренних точках интер¬ валов. Неравенство нестрогое, поэтому числа — 1 и 1 (нули функ¬ ции /) являются решениями неравенства. Рассматривая рисунок, можно записать о т в е т: множество решений неравенства — объединение промежутков (—оо; —1], [1;2) и (3; оо). Пример 2. Найдем один из корней уравнения х3 + 2х — 2 = 0 с точностью до 0,1. Функция f(x)=x3-\-2х — 2 непрерывна, поэтому достаточно найти отрезок длиной 0,2, на концах которого f имеет значения разных знаков. Имеем f (1)=1 >0, /(0)=—2<0, поэтому корень уравнения существует и он принадлежит отрезку [0; 1J. / (0,6)= = 0,63 + 2-0,6 — 2= — 0,584 < 0 и f( 1)>0, значит, корень лежит на отрезке [0,6; 1]. Наконец, f (0,8)=0,112>0, а /(0,6)<0, полу¬ чили, что корень на отрезке [0,6; 0,8]. Теперь мы можем его найти: хо«0,7 с точностью до 0,1. ф 3. Пример функции, не являющейся непрерывной. Практи¬ чески все функции, с которыми вы встречались до сих пор, непре¬ рывны в любой точке своей области определения. Не следует, однако, считать, что это верно для любой функции. Приведем пример. Рассмотрим функцию f (х)={х), где {х} — дробная часть числа х (график f(x) = {x} изображен на рисун¬ ке 91, а), и возьмем любую целочисленную точку оси абсцисс, например х = 2. Основное свойство непрерывной в х0 функции (/ (хо + Ах) ~+f(xо) при Дх-МЗ) в данном случае не выполняется. Действи¬ тельно, пусть Дх->0. Если Дх>0, то {хо + Дх} близко к нулю. Если же ДхСО, то значения {х0 + Дх} близки к 1. В то же время функция f (х) = {х} непрерывна во всех точках, отличных от точек х=д, где п — целое число. Это свойство функции f (х) = {х) нетрудно понять, рассмотрев рисунок 91, а. 4. Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке. Примером такой функции является функция 123
n -2 -7 О /Л/// 1 2 о) Рис. 91 /(*)= |*| (рис. 91, б), которая непрерывна, но не дифференцируе¬ ма в нуле. Напомним, что f/И— 1И— { если х>0, '' ' I —*, если *<0. Непрерывность функции / (*) = 1*1 в любой точке (в том числе и в нуле) очевидна. Рассмотрим график этой функции. Для любого *>0 в не¬ которой окрестности точки *о>0 функция равна *, и поэтому производная ее в таких точках равна *', т. е. |*|'=1 при х>»0. Так как |*| = —* при *<0, то |х|' =— 1 при отрицательных значениях *. В точке 0 функция f(x)=\x\ не имеет производной. V Докажем это методом от противного. Допустим, что /(*)= = |*| имеет производную в нуле, т. е. стремится к неко¬ торому числу А при Д* 0. Тогда при всех достаточно малых I Д*| значения близки к Л, и, в частности, при малых значениях Дх Дх должно выполняться неравенство При Дх>0 справедливо — 1 < 1 —Ас 1, т. е. А/(0) Дх неравенство а\ <1. 11-Л < 1, откуда 0<Л <2. Для Дх<0 справедливо неравенство 1 < — 1 —А < 1, т. е. —2<Л <0. (1) 1—Л |<1, откуда (2) Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше допущение о существовании производной функции / (л:) = |*| в ну¬ ле неверно. А Итак, < 1 при х>0, не существует при *=0, — 1 при *<0. 124
Упражнения 241. Является ли функция / непрерывной в точках Xi=0 и Хч = — 1, если: а) /(*)=*•-,+ !; б) в) f М={ 5 — 2х при Г) 1 (х)="2х~х2+х3? 242. Найдите промежутки непрерывности функции: a) f (х) = х3 —2х2; б) f (х)= ; в) f (х) = 2х4 —Зх2 + 4; г) f (х) = *-~^+6-. 243. Докажите, что данное уравнение имеет корень, принадлежа¬ щий отрезку [0; 1], и найдите его с точностью до 0,1: а) 1,4—10х2 —х3 = 0; б) 1+2х2—100х4 = 0; в) х3 —5х-}-3 = 0; г) х4+2х —0,5 = 0. Решите неравенства (244—245). 244. а) х2-5* + 4>0; б) -^-*+^,,>0; в) jc2-3*-4<0; г) -7х?6-<0. х — 2 245- а> W>0: б> 7=е+Г<1: в> Штт>': г> (^-4) <й 246. Найдите область определения функции: a) f (x)=^Jх——zj; б) /(*)—Y^zrr+l; в) fix) =-д/5+^±11; r) fW=yi ~ JC2-1 247. При каких значениях m функция f непрерывна на всей число¬ вой прямой, если: * г, , I 4 —х при х<4, м и . а-2-Зх
Решите неравенства (248—249) 248. а) х4-10х2 + 9<0; б) х4-8>7х2; в) л:4 — 5х2-}-6;>0; г) 5х2 — 4>х4 249. а) (х2 — 1)(х + 4)(jc3 — 8)<0; б) -фх2 — 4(х — 3)<0; в) *2(3-*)(*+2)>0; г) >0. 250. Найдите область определения функции: a) f(x) = VЭх^х5; б) f (x)=~yJ х2 — ~; в) f (x)=Vl6x —х5, г) f(x)=~\J 1—Р- 19. Касательная к графику функции 1. Касательная. С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х0 функции / вблизи хо практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей /, проходящей через точки (х0, f(x0)) и (хо "Г Ах; f (х0 -{- Дх)). Любая из таких секущих проходит через точку А (хо; / (хо)) графика (рис. 92). Для того что¬ бы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффи¬ циент секущей при Дх->0 стремится к числу f' (х0) (его мы примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Дх->-0. V Если же f' (хо) не существует, то касательная либо не сущест¬ вует (как у функции у= |х| в точке (0; 0), рис. 91, б), либо верти¬ кальна (как у графика у=\[х в точке (0; 0), рис. 93). А Итак, существование производной функции / в точке хо эквива¬ лентно существованию (невертикальной) касательной в точ¬ ке (хо, f (хо)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f' (хо). В этом состоит геометрический смысл производной. 126 Рис. 92 Рис. 93
Рис. 94 Касательная к графику дифференцируемой в точке хо функ¬ ции f — это прямая, проходящая через точку (*о; / (*о)) и имеющая угловой коэффициент f' (xq). Проведем касательные к графику функции / в точках Х\, х2, хз (рис. 94, а) и отметим углы, которые они образуют с осью абс¬ цисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол си острый, угол аз тупой, а угол а2 равен нулю, так как прямая / параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точ¬ ках 0; |-ил производная синуса равна 1; 0 и —I соответственно. Построим прямые, проходящие через точки (0; 0),и (я, 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и — 1 соответственно (рис. 94, б) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, у и л, он касался соответствующих прямых. Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1 см. Име¬ ем sin 0,5 «0,479425, т. е. | sin 0,5 — 0,51^0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции у = sin лс в интервале (— 0,5; 0,5) будет отклонять¬ ся (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии. 2. Уравнение касательной. Выведем теперь уравнение каса¬ тельной к графику функции f в точке А (лго; f (хо))- Уравнение прямой с угловым коэффициентом f' (х0) имеет Г(*»)>0, ГЫ = 0, f'(x3)<0. вид: У = Г (*о)-х + Ь. 127
Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная прохо¬ дит через точку А: /М = Г W-xo + б, откуда b=f{x0) — f' (х0)-х0, значит, уравнение касательной таково: y=f' (хо) х—f' (х0) • хо + f (х0), или y=f (*о) (х—хо). (1) О Пример 1. Найдем уравнение касательной к графику функ¬ ции /(х) = х3— 2л:2+1 в точке с абсциссой 2. В этом примере х0 = 2, f {x0) = f (2) = 23 — 2*22+ 1 = 1, f'(х) — =3х2 —Ах, f' (x0) = f' (2) = 3*22 — 4-2 = 4. Подставляя эти числа в уравнение (1), получаем уравнение у= 1+4(х —2), т. е. у = = 4х — 7. Пр и м е р 2. Выведем уравнение касательной к параболе у = х2 в точке с абсциссой Хо. Имеем у(хо)=хо, а у'(х0) = 2хо. Подставляя эти значения в уравнение (1) касательной, получаем у=хo-J-2xo (х —х0), т. е. у = 2хох — х2. Например, при Хо=1 получаем касательную, имею¬ щую уравнение у = 2х—1. Найдем координаты точки Т пересечения касательной к па¬ раболе в точке А (хо; хо) с осью Ох (рис. 95). Если (xi; 0) — коор¬ динаты точки Т, то, поскольку Т принадлежит касательной (и, зна¬ чит, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной), имеем 0 = 2xoXi—х2. Если х0^0, то xi=-y-. Полученный результат дает простой способ построения каса¬ тельной к параболе в любой ее точке А (кроме вершины): достаточно соединить точку А с точкой Т, делящей отрезок оси Ох с концами 0 и хо пополам; прямая АТ — искомая касательная. При хо = 0 касательная — это прямая Ох. # 3. Формула Лагранжа. Воспользуемся геометрическим смыс¬ лом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедли¬ вости того, что существует касательная к графику f в точке с абс¬ циссой с из интервала (а; Ь), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (6; f (b)). Рассмотрим прямую /, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью гра¬ фика, соответствующей промежутку [а; Ь\ Будем перемещать эту прямую / по направ¬ лению к графику f так, чтобы она остава¬ лась параллельной АВ. Зафиксируем поло¬ жение /о этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графи¬ ка. Из рисунка 96, а видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка ка- 128
Рис. 96 сания прямой /о с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f' (c)=tg а, где а — угол между прямой /0 и осью абсцисс. Но 1\\АВ, поэтому угол а равен углу наклона секущей АВ, т. е. /' (0 = tg Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; Ь) найдется такая точка с6(а; Ь) (рис. 96, б), что f'(c) Эта формула называется формулой Лагранжа. Упражнения 251. В каких точках графика функции f (рис. 97) касательная к нему: а) горизонтальна; б) образует с осью абсцисс острый угол; в) образует с осью абсцисс тупой угол? 252. При каких значениях аргумента (отмеченных на оси абсцисс) производная функции, заданной графиком (рис. 98): а) рав¬ на нулю; б) больше нуля; в) меньше нуля? Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции f (253—254). 253. a) f{x) = x2, М (— 3; 9); б) / (*) = •х3-х, м(2;|-); в) f (х) = х3, М (— 1; — 1); г) f (х) = х2 + 2х, М(1;3). 254. a) f (х) — 2 cos х, б) f (х)——tg х, М (л; 0); в) f(x)= 1+sinx, М (л; 1); г) /' (х)= — cos х, М ( — л; 1). 5 Заказ 581 129
АО EX 6) Рис. О d ex б) Рис. 98 Напишите уравнение касательной к графику функции f в точ¬ ке с абсциссой х0 (255—256). 255. a) f (x)=-f, х0= — 1, х0=1; б) f {х) = 2х —х2, х0=0, х0 = 2; 130
B) f(*)=*2+li *о = 0, х0=1; г) f (х)=х3 — 1, х0 = — 1, х0 = 2. 256. a) f{x) = 3 sin х, х0 = у-, х0 = л;; б) f(x) = tgx, x0=j-, х0=-^; в) f (х) = 1 +COS X, Хо —0, х0 = у-; г) f (х) = — 2 sin х, х0=—^~, х0 = л. Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси абсцисс (257—258). 257. a) f (х) = х3-Зх2 + Зх; б) f (х)=~х4+ 16х; в) f (х) = 3х4 — 6х2 + 2; г) f (х) = х3 — Зх + 1. 258. a) f (х) = 2 cos х + х; б) / (x) = sin 2х + V3*; в) f (x) = cos(x—^ ; г) / (x) = ^[‘2x — 2 sin x. 259. Под каким углом пересекается с осью Ох график функции- a) f (х) = 3х — х3; б) / (x) = sin(x + -^) ; в) f (х) = х2 — Зх + 2; г) f (х)= —cos х? 260. Под каким углом пересекается с осью Оу график функции: а) f(x)=jzT' б) f(x)=Y{s(x-t); в) f (х) = ^-(х—I)2; г) f (х) = sin (2х+ -£-)? 20. Приближенные вычисления Пусть, например, требуется вычислить приближенное значе¬ ние функции f (х) = х7 — 2х6 + 3х2 —х + 3 в точке х — 2,02. Значение f в близкой к 2,02 точке Хо = 2 находится легко: /(2)= 13. График f в окрестности точки 2 близок к пря¬ мой i/ = /(xo) + // (хо)(х — хо) — касательной к нему в точке с абс¬ циссой 2. Поэтому f (2,02)«у (2,02). Имеем /'(х) = 7х6—12х5 + + 6х-1, /' (х0) = Г (2) = 75 и /(x)«t/(x)= 13 + 75-0,02 = 14,5. Вычисления на калькуляторе дают результат f (2,02)» 14,57995. Вообще для дифференцируемой в точке х0 функции f при Ах, мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой х0), т. е. при малых Дх f (*)«/ (*о)+Г (*о) Аде. (1) 5* 131
Если точка Хо такова, что значения f (х0) и f' (хо) нетрудно вычислить, то формула (1) позволяет находить приближенные значения f (х) при х, достаточно близких к х0. Так, при вычисле¬ нии значения д/4,08 естественно взять в качестве Хо число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения f(x0) = д/хЦ и f' (х0) = 1 - при 2 д/хо х0 = 4 найти нетрудно: f (4) = д/4 = 2, (4) = -^—=-^-. По форму- 2 д/4 4 ле (1) при Дх = 0,08 получаем: д/4Д8 « 2 +-р 0,08 = 2,02. О П р и м е р 1. Выведем из формулы (1) приближенную формулу ~yj\ -f- Дх ~ 1 -(--у-Дх. (2) Возьмем f (х)=д/х, х0 = 1 и х = х0 + Ах= 1 -}-Дх. Имеем f (х0) = =д/Г=1 и /' (х) = —Цг-, откуда f' (х0) = /' (1)=-^-. По формуле (1) 2 д/х ^ Дх) = -\/Г+Дх« 1 +4"Аа:- В частности, д/l,06=д/l -f-0,06^ 1 -\—0,06=1,03. Значение д/4,08 также можно найти по формуле (2): д/4Д8 = 2 VT02 «2(1+-^- 0,02 ) = 2,02. Пр и мер 2. Выведем из формулы (1) приближенную формулу (1 + Дх)"« 1 -j-пДх. (3) Полагаем f(x) = xn, х0=1 и х = х0 + Д* = 1 +Дх. Находим f (х0)=1, f' (х) = пхп~\ откуда f'(х0) — п. По формуле (1) f (х)=0 + Д^Г» 1 -\~nkx. Например, 1,001100 = (1 + 0,001 )100 «=; 1 + 100-0,001 = 1,1- Значение 1,00110°, вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512. Пример 3. Для вычисления значения ^73-0- удобно вос¬ пользоваться формулой (3) при п=— 30, Дх=—0,003: (1 - 0,003)”30 » 1 + (_ 30) • (- 0,003) = I + 0,09 = 1,09. • Формулой (1) часто пользуются для вычисления приближен¬ ных значений и других элементарных функций, например тригоно- 132
метрических. Так, для вычисления sin 1° удобно взять f(x) = — sin х, х0 = 0, при этом Дх = у£- (так как 1°=у£5')- Имеем /(x0) = sin 0 = 0, (x0) = cos 0= 1 и sin х ж f (хо) + Г (*о)Ах = 0 -}- 1 • Ах = Ах, т. е. sin 1°» 0,017453. Вычисляя значение sin 1° на калькуля¬ торе, получаем sin 1°^ 0,0174525. Упражнения 261. Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции f в точках Х\ и х2: а) f (х)=х4-\-2х, Х\ =2,016, х2 = 0,97; б) f (х) = х5 — х2, х\ = 1,995, х2 = 0,96; в) /(х) = х3 —х, xi=3,02, х2 = 0,92; г) / М = х2 + Зх, xi = 5,04, х2=1,98. Вычислите с помощью формулы (1) и (3) приближенные значения (262—263). 262. а) 1,00210°; б) 0,995е; в) 1,0320°; г) 0,99820. 263. a) VH604; б) д/25,012; в) V0,997; г) У4ДЮ16. Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения (264—266). 264. a) tg 44°; б) cos 61°; в) sin 31°; г) ctg 47°. 265. a) cos (-|-+ 0,04^ ; б) sin^-|—0,02^ ; в) sin(-^+0,03); г) tg(-f+0,05). а) 1,003” ’ 0,996*" ’ 2,0016" ’ 0,994s ' 21. Производная в физике и технике 1. Механический смысл производной. Напомним, как опре¬ делялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х (t) времени t. За промежуток вре¬ мени от to до ^о + Л/ перемещение точки равно х (f0 + А/) — х (^о) = = Ах, а ее средняя скорость такова: Wcp(A/)=ff. (1) 133
При Л^СО формула (1) также верна: перемещение равно х (t0)—x (/о + Д/) = — Ал:, а продолжительность промежутка време¬ ни равна —М. Обычно характер движения бывает таким, что при малых At средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Д/->0 стремится к некоторому вполне определенному значе¬ нию, которое и называют мгновенной скоростью v {to) материаль¬ ной точки в момент времени to. Итак, Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) опреде¬ лена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если ско¬ рость на каком-либо промежутке времени (t\\ /2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координа¬ та растет с течением времени, а если и (/) отрицательна, то коор¬ дината х (t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения: Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение. О Пример 1. Рассмотрим свободное падение материальной точки. Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с 0, то, как известно из физики, х {t) = . Тогда скорость падения точки в мо¬ мент времени t равна а ускорение a = {gt)' = g есть величина постоянная. Рассмотрим более общий случай. vcp{M)=--+v(to) при А/->0. Но по определению производной -^->х'(*о) при А/->0. v{t) = x' {t). (2) 134
Пример 2. Пусть зависимость координаты точки, движу¬ щейся по прямой, от времени выражается формулой х (0=-§- t2-\-v0t-Ь*0, где афО, и0 и х0— постоянные. Найдем скорость и ускорение движения. Скорость этого движения такова: v = x' (0=(-?Н2 + ^о/ + хо) =2~t+v0 = at + v0. Так как нам известна скорость движения как функция вре¬ мени, мы можем найти ускорение этого движения: v'(t) = = (at -f- Vo)' = a. Мы видим, что ускорение при движении по квадра¬ тичному закону постоянно и равно а. Если а>0, то это равноуско¬ ренное движение; если же ас0, то равнозамедленное. Отметим также, что у0 = &(0), а х0 = х(0). ф В главе III мы докажем, что если при движении по прямой уско¬ рение а постоянно, то движение происходит по квадратичному закону: где — начальная скорость точки, а хо — начальная координата V Пусть y = f(x) — произвольная дифференцируемая функция. Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, совершаемое согласно закону х = /(/). Механический смысл производной позволяет дать наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления. О Пример 3. Пусть f и h — две дифференцируемые функции. Рассмотрим следующее (относительное) движение по прямой. Дана подвижная система координат, связанная с поездом, начало которой (кабина машиниста) движется относительно начала не¬ подвижной системы координат (станции) по закону xi=/(^). В подвижной системе координат материальная точка совершает движение по закону хг — h(t). Тогда координата х этой точки относительно неподвижной системы координат равна х —xi+^2, а ее скорость v (t) равна х' (t). С другой стороны, по закону сложе¬ ния скоростей v {t) = v\ (0 + ^2{t) = x\ (/)-}-Хг(^). Итак, мы получи¬ ли с помощью механического смысла производной известную формулу: (f + h)' = f' + h'. Пример 4. Пусть материальная точка движется по коорди¬ натной прямой согласно закону x = f(t). Средняя скорость этой точки на промежутке [а; Ъ] равна СР— Ь-а * 135
Мгновенная скорость v (t) в точках промежутка [а\ Ь] не может быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то момент /о 6[а; Ь] мгновенная скорость равна средней, т. е. в про¬ межутке [а; Ь] найдется такое /о, что Мы получили механическую интерпретацию формулы Лаг¬ ранжа. А, 2. Примеры применения производной. С помощью производ¬ ных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Например, мощность (по определе¬ нию) есть производная работы по времени. Рассмотрим пример. О Пример 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем из¬ вестна масса т (Г) любого его куска длиной / (/ отсчитывается от фиксированного конца стержня). Хотя стержень неоднороден, естественно полагать, что плотность его небольшой части (на участке от / до /-+-Д/) примерно одна и та же и чем меньше А/, тем в меньших пределах на этом участке изменяется плотность. Поэтому за характеристику распределения плотности стержня в зависимости от I принимают линейную плотность Пример 6. В большинстве задач механики рассматривают¬ ся движения точки на плоскости или в пространстве. Тогда ско¬ рость — векторная величина. Оказывается, что если координаты точки в момент t равны x(t) и */(/), то координаты вектора v (t) скорости равны х' (/) и у' (t). Пользуясь этим, можно вывести формулы производных тригонометрических функций на основе кинематики. Рассмотрим равномерное движение по окружности радиуса 1 в направлении против часовой стрелки с угловой скоростью 1 (рис. 99). Тогда координаты точки М в момент времени t таковы: х (/) = cos /, у (/) = sin t. Как вы знаете из курса физики, вектор ско- v (*о) = Г {to) b — а (3) Ук рости v (/) направлен по касательной к окружности, а его длина равна 1 (М = (nR = 1*1 = 1). Следователь¬ но, этот вектор совпадает с векто¬ ром ОР/+ я, координаты которого ны, координаты вектора v (/) равны соответственно х' {t) (т. е. cos' t) и У* (О (т- е- sin'/). Получаем изве¬ стные формулы: Рис. 99 cos' /= —sin /, sin't = cos /.
Рис. 100 Пример 7. Выведем свойство параболы, имеющее применение в оптике и технике. Поверхность, получающаяся при вращении параболы у = ах2 вокруг оси Оу, называется параболоидом вращения. Представим себе, что внутренняя поверхность параболои¬ да — зеркальная поверхность и это параболическое зеркало освещает¬ ся пучком лучей света, параллель¬ ных оси Оу. Рассмотрим сечение этого зер¬ кала плоскостью а, проходящей через ось Оу. Это сечение представ¬ ляет собой такую же параболу у = х2 (ось Ох выбираем в плоскости се¬ чения, а=1). Согласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости а, причем этот луч образует с каса¬ тельной к параболе такой же угол, как и падающий луч МА (рис. 100). V Докажем, что все лучи, параллельные оси Оу, после отраже¬ ния пересекутся в одной точке оси Оу. Обозначим через F точку пересечения произвольного отражен¬ ного луча с осыо Оу. Прямая АТ — касательная к параболе в точ¬ ке Л. Из законов отражения света (рис. 100) сразу следует, что /_ТАМ= Z..FAP. Но луч МА параллелен оси Оу, поэтому /LFPA — /„ТАМ. Следовательно, /LFPA= A.FAP, т. е. треуголь¬ ник FPA равнобедренный и FA = FP. Точка А (хо\ уо) лежит на па¬ раболе, поэтому уо — хЬ. Уравнение касательной АТ имеет вид у = 2хох — хо. Из него найдем ординату ур точки Р. Она равна уР=2хо*0 — х2, т. е. уР——уо. Если ординату точки F обозна¬ чим через у, то FP—y-Fyo- Длина FA = -\jxо + (уо — у)й, и поэтому (вспомним, что FA—FP) верно равенство (у+уо)2 = х2 + (уо— у) , т. е. у2 + 2уу0 + уо = у0 + yl — 2уу0 -f- у2, откуда 4уу0 = уо, и, посколь¬ ку уо¥=0, получаем у = ~. А Итак, все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фокусом параболического зеркала (точку F называют также фокусом параболы у — х2). На этом свойстве основано устройство параболических те¬ лескопов. Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде параллель¬ ного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить све¬ товой сигнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе создания параболических антенн, позволяющих усилить радио¬ сигналы. 137
Если же поместить в фокусе параболического зеркала источ¬ ник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит при¬ менение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных про¬ екторов, зеркала которых изготавливают в форме параболои¬ дов. ф Упражнения 267. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=—i-/3-{-2f2-{-5f. а) Выведите формулу для вычисле¬ ния скорости движения в любой момент времени /. б) Най¬ дите скорость в момент t = 2 с. (Перемещение измеряется в метрах.) в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится? 268. Материальная точка движется прямолинейно по закону х (t) = t3 — At2. Найдите скорость и ускорение в момент / = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 269. Вращение тела вокруг оси совершается по закону <р (/) = 3/2 — — 4/-1-2. Найдите угловую скорость ш (t) в произвольный мо¬ мент времени t и при t — A с. (<p (t) — угол в радианах, со (t) — скорость в радианах в секунду, t — время в секундах.) 270. Маховик, задерживаемый тормозом, за время / поворачи¬ вается на угол ф (t) — At — 0,3г. Найдите: а) угловую скорость со (/) вращения маховика в момент времени t = 2 с; б) такой момент времени, когда маховик остановится, (ф (t) — угол в радианах, t — время в секундах.) 271. Точка движется прямолинейно по закону л: (^) = 2^3 ^ — 1. Найдите ускорение в момент времени /. В какой момент времени ускорение будет равно: а) 1 см/с2; б) 2 см/с2? (х (t) — перемещение в сантиметрах, t — время в секундах.) 272. Точка движется прямолинейно по закону х (t) — —-—f- Зг — 5 (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Най¬ дите: а) момент времени /, когда ускорение точки равно нулю; б) скорость движения точки в этот момент. 273. Точка движется прямолинейно по закону х (t)=^ft. Покажи¬ те, что ее ускорение пропорционально кубу скорости. 274. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой ш, движущуюся прямолинейно по закону *(/) = = 2t3 — /2 при t — 2. 275. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону *(/) = = /2 + ^+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t — в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кинети¬ ческую энергию Е тела через 2 с после начала движения. 276. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, 138
отстоящей от точки А на расстояние /, масса куска стерж¬ ня АС в граммах определяется по формуле т (/) = З/2 + 5/. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрез¬ ка АВ', б) в конце В стержня. 277. По прямой движутся две материальные точки по законам x\{t) = AL2 — 3 и Х2 (t) — t3. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки? 278. Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела: первое — равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону s (t) = 2t2 -\-t- С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t — в секундах.) § 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ 22. Признак возрастания (убывания) функции В п. 6 вы видели, что одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убыва¬ ния. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрастания функ¬ ции. Если /' (*) >0 в каждой точке интервала /, то функция f возрастает на /. Достаточный признак убывания функции. Если /' (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на /. Доказательство этих признаков проводится на основании фор¬ мулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х\ и Х2 из интервала. Пусть х\СХ2. По формуле Лагранжа существует чис¬ ло c6(-*a; Х2), такое, что („ Число с принадлежит интервалу /, так как точки х\ и хг принад¬ лежат /. Если /'(л:)>0 для х£1, то f'(с)>0, и поэтому f (х\)с <Lf (х2) — это следует из формулы (1), так как Х2 — Этим доказано возрастание функции f на I. Если же /' (л)<;0 для х£1, то /' (с)<0, и потому f (л:|)>/ (*2) — следует из формулы (1), так как Х2 — АзХ). Доказано убывание функции f на /. V Наглядный смысл признаков ясен из физических рассужде¬ ний (рассмотрим для определенности признак возрастания). Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент вре¬ мени t равна /' (t) (см. п. 21). Если /' (0>0 в каждый момент вре¬ мени из промежутка I, то точка движется в положительном на¬ правлении оси ординат, т. е. если /1 </2, то f (t\)<.f (/2). Это озна¬ чает, что функция / возрастает на промежутке I. А 139
О Пример 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции f (х) = х^—х3. Данная функция определена на множестве всех действитель¬ ных чисел. Из равенства f' (х)= 1 —Здг следует, что /' (х)>0, если 1—3х2>0. Решая это неравенство методом интервалов (рис. 101, а), получим, что f' (х)>0 на интервале( —\ -~=), и, V д/3 д/3 / значит, на этом интервале f возрастает. Аналогично(х)<;0 на интервалах^ — оо; —-1—^ °°)« поэтому на этих интервалах f убывает. Далее вычислим значе¬ ния f в точках —— и На координатной плоскости отметим точки и i и наРисУем проходящий через них график функции, воз¬ растающей на интервале^ —и убывающей на интервалах (-°°; И(У: °°)(рис- 101'б)- Из рисунка видно, что функция /, непрерывная в точках ——и Уз , возрастает на отрезке Г —-^т1 и убывает на промежутках -уЗ L д/з д/3-l -УМУ; ")■• Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоеди- _ + _ няют к этому промежутку (как точ- ' 1 / Уз о) 1 Уз Рис. 101 ки и — в примере 1). д/3 д/3 Мы примем этот факт без дока¬ зательства. Замечание 2. Для реше¬ ния неравенств f'{х)>0 и /'(*)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дар- бу): точки, в которых производная равна 0 или не существует, разби¬ вают область определения функ¬ ции f на промежутки, в каждом из которых /' сохраняет постоянный
О 1 о) знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка. О Пример 2. Найдем проме¬ жутки возрастания (убывания) и построим график функции [(x) = 2x-\-jr. Область определения данной функции — объединение промежут¬ ков (— оо; 0) и (0; оо); f\x)= 2-^-; f' (л:) = 0 при х = 1. Точки 0 и 1 раз¬ бивают область определения функ¬ ции на три интервала (—оо; 0), (0; 1) и (1 ; оо). Согласно замеча¬ нию 2 в каждом из них f' сохраняет постоянный знак. Знак про¬ изводной в каждом из этих интервалов отмечен на рисунке 102, а. Следовательно, данная функция возрастает на интервалах (— оо; 0) и (1; оо). Поскольку f непрерывна в точке 1, то эту точку можно (в силу замечания 1) присоединить к промежутку, на ко¬ тором функция f возрастает. Окончательно получаем, что f возрастает на промежутке (— оо; 0) н [1; оо). Далее, f' (а)<0 на интервале (0; 1), и поэтому (с учетом замечания 1) f убывает на промежутке (0; 1]. Точка 0 не входит в D ([), однако при стремлении х к 0 слагае¬ мое Л- неограниченно возрастает. Поэтому и значения f неограни¬ ченно возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3. Отметим теперь на координатной плоскости точку М (1; 3) и нарисуем проходящий через нее график функции, возрастающей на промежутках (—оо; 0) и [1; оо) и убывающей на промежутке (0; 1] (рис. 102, б). Пример 3. Найдем промежутки возрастания (убывания) функции f (х) = — 2х + sin х. Функция определена на всей числовой прямой. Производная ее такова: f' (х)= — 2 +cos х. Поскольку Icosxl^l, легко получаем, что [' (х)СО для всех действительных х. Это значит, что функция f (х)=—2л:-{-sin* убывает на всей числовой прямой, ф 141
Упражнения Найдите промежутки возрастания и убывания функций (279—281). 279. а) / (лг)=3 —у-х; б) f (х)=-х2+ 2х-3\ в) f(x) = 4*-5; г) f(x) = 5x2-3x+\. 280. a) f (х)=—^- + \\ б) / (х)—х2 (х — 3); в) / ; f№:=x3~27х- 281. а) / (х)= 12х-\-Зх2 — 2л:3; б) f (х) = 4 — х4; в) f(x) = x(x2— 12); г) f(x) = 4-. 282. Постройте эскиз графика функции /\ удовлетворяющей ус¬ ловиям: а) D (/)=[—2; 5], /'(*)>0 при *£( — 2; 5); б) D(/)=[l; 6], f'(*)<0 при лс6(1: 3)U(3; 6), Г(3) = 0; в) D(f)=[-2; 5], /'(*)> 0 при лс6( —2; 1)U(1; 5), f (1) = 0; г) D (/)=[!; 6], /' (*)<0 при л: Е (1; 6)- Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте графики функций (283—284). 283. а) / (х)=х3-}-Зх2— 9л:+1; б) f (х)=4л:3 — 1,5л:4; в) f {*) = 2-}-9л: + Зл:2 —х3; г) f (х) = х4 — 2х2. 284. a) f(x) = 2 —б) f (х)= U —3|—2; в) f(x) = 8x2 — x4\ г) f(*)=| — l| . 285. Докажите, что функция f возрастает на /?, а функция g убы¬ вает на R: э а) / (a:) = 3a:-{-cos 2л:; б) g(x) =—-—х; О в) f (х)=х7-\-2х5-}-3\ г) £(л:)=—4л: + sin Зл:. 286. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на каж¬ дом из данных промежутков Pi и Рг: а) *3-27л: + 2=0, Pi=[—1; I], Р2=[4; 6]; б) л4 — 4л —9 = 0, Р, =[—2; 0], Р2 = [2; 3]; в) х4 + 6л:2 — 8 = 0, Р, =[—2; -1], Р2 = [1; 2]; г) -1+3*2-*3 = 0, Р, =[—2; 0], Р2=[2; 3]. 142
23. Критические точки функции, максимумы и минимумы Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где /' (х)>0 и /' (х)<0. Внутренние точки области определения функ¬ ции, в которых ее производная равна нулю или не существует, на¬ зываются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку толь¬ ко они могут быть точками экстремума функции (рис. 103 и 104). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют тео¬ ремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма). Н еобходимое условие экстремума. Если точ¬ ка хо является точкой экстремума функции f ив этой точке сущест¬ вует производная то она равна нулю: f'(x0) =0. Рассмотрим случай /'(хо)>0. По определению производной f(x)-f(x о) отношение LL-L—при х-*-хо стремится к положительному чис- X — Хо лу /' (хо), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к хо. Для таких х f{x)—f{x0) q X — Хо ’ и, значит, f(x)>f(xо) для всех х>хо из некоторой окрестности точки Хо. Поэтому хо не является точкой максимума. Если же х<Схо, то /(х)</(хо), и, следовательно, хо не может быть и точкой минимума /. Случай /'(х0)< 0 разбирается аналогично. Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращает¬ ся в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция име¬ ет экстремум. Например, производная функции / (х)=х3 обращает¬ ся в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 105). До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, Рис. 103 Рис. 104 143
. Рис. 107 точка 0 для функции у=л/х не является критической: в ней произ¬ водная не существует, но она не внутренняя точка области опре¬ деления.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум. О Пример 1. Рассмотрим функцию / (х)= \х\ (рис. 106). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0 — критическая точ¬ ка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум. Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2л:-f- \ х | (рис. 107). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной. В самом деле, если предположить, что функция / имеет в точ¬ ке 0 производную, то f (х) — 2х также имеет производную в 0. Но f (х) — 2х=\х\, а функция \х\ в точке 0 не дифференцируема (см. п. 18), т. е. мы пришли к противоречию. Значит, функция f в точке 0 производной не имеет, ф Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстре¬ мумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстрему¬ ма, требует дополнительного исследования. При этом часто помо¬ гают такие достаточные условия существования экстремума в точке. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, a f' (х)> 0 на интервале (а; хо) и Г(х)<С 0 на интервале (xq; b), то точка хо является точкой максимума функции f. Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого при¬ знака: если в точке хо производная меняет знак с плюса на минус, то xq есть точка максимума. Доказательство. Производная /' (х)>0 на интервале (а; *о), а функция / непрерывна в точке хо, следовательно (см. п. 22), функция f возрастает на промежутке (а; хо], и потому f(x)<cf(xо) для всех х из интервала (а; л:0). На промежутке [л:0; Ь) функция f убывает (доказательство ана¬ логично), и потому f(x)cf(xо) для всех х из интервала (*о; Ь). 144
Итак, /(*)</(хо) для всех хфХо из интервала (а; Ь), т. е. хо есть точка максимума функции f. V Признак максимума имеет про¬ стой механический смысл. Мы мо¬ жем считать, что f (х) — это коорди¬ ната точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, a f' (х) — ско¬ рость точки в этот момент. По усло¬ вию скорость точки за промежуток времени, предшествующий х0, поло¬ жительна. Поэтому в течение этого времени точка движется в положи¬ тельном направлении, она поднима¬ ется по оси Оу до точки f (хо), т. е. f(x)Cf(xo) при хСх0. В мо¬ мент хо точка на мгновение «останавливается» (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опус¬ каться по оси (по условию скорость /' (х) меньше нуля при а:>а:о), т. е. f (x)<f (хо). Итак, в окрестности хо имеем f (x)c f (х0). Точ¬ ка хо — точка максимума. А Признак минимума функции. Если функция f не¬ прерывна в точке хо, f (х)<0 на интервале (а; х0) и /' (х)>0 на интервале (х0; Ь), то точка хо является точкой минимума функ¬ ции /. Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого при¬ знака: если в точке л:0 производная меняет знак с минуса на плюс, то Хо есть точка минимума. Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно). О Пример 3. Найдем точки экстремума функции f (л:) = Зл: — л:3. Производная этой функции, равная 3 —За:2, определена во всех точках и обращается в нуль в точках — 1 и 1. В точке — 1 произ¬ водная меняет знак с минуса на плюс (f'{х)< 0 при хС — 1 и f'(х)>0 при — 1<а:<1). В точке 1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка — 1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума функции /. График функции изображен на ри¬ сунке 108. ф Упражнения 287. Найдите критические точки функции, график которой изо¬ бражен на рисунке 109. 288. Найдите критические точки функции: а) / М = 4 — 2л: + 7л:2; б) / (л:) = 1 + cos 2дс; в) f (х) — х — 2 sin х\ г) /(*) = 4х 145
289. Найдите точки максимума и минимума функции /, график которой изображен на рисунке 110. Существует ли производ¬ ная в соответствующей точке? Если существует, то чему рав¬ но ее значение? 290. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие — точками ми¬ нимума: а) /(*)=== 5+12* —х3; б) f (х)=9 + 8х2—-х4; в) / (*) = 2х3Зх2 — 4; г) / (х) = -^-х4 —х2. 291. Докажите, что функция f не имеет критических точек: а) /(х)=л/х; б) f(x)=tgx; в) f(x) = Sx — 7; г) f (х)=3х5 + 2х. Найдите критические точки функции / (292—293). 292. a) /(x) = sin2x— cos х; б) / (х) = 2х + -р-; в)/(х) = 10 cos x-f-sin 2х — 6х; г) / (х)=х3 —4х+8. х — 2 при х<1 — 1, х при — 1 <х< 1, 2—х при х^ 1; х + 6 при х< — 2, х2 при —2^х^2, 6 —х при х>2. в) /W=4+4-i г) /(*)—
294. Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами: а) D(f) = [— 3; 5]; f'{х)>0 при х£ ( — 3; 1), /'(*)<0 при *6(1;5)h/'0) = 0; б) D (/)=[-3; 5]; /'(*)<0 при *6 (-3; 1), Г (х)> 0 при *6 (1; 5) и функция f не имеет производной в точке 1; в) D (/) = [а; b]; х\ — точка минимума, лгг — точка максиму¬ ма функции, f (a) >f(b)\ г) D(/)=[a;6]; х\—точка максимума, хч — точка миниму¬ ма, f(a) = f(b). 295. Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстрему¬ мы. Постройте график функции: а) f(x)=±-x4 — 8х2; б) f(x)=-j-^r; в) f(x) = 2x —Ipx3; г) f(x) = x 24. Примеры применения производной к исследованию функций Вы уже знаете (п. 4), что построение графика функции лучше начинать с ее исследования, которое состоит в том, что для дан¬ ной функции: 1) находят ее область определения; 2) выясняют, является ли функция / четной или нечетной, является ли периоди¬ ческой. Далее находят: 3) точки пересечения графика с осями координат; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки воз¬ растания и убывания; 6) точки экстремума и значения f в этих точках и 7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю х. На основании такого исследования строится график функции. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстре¬ мум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции / и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума. О Пример 1. Исследуем функцию f (х) = 3х—5х3 + 2 и по¬ строим ее график. Проведем исследование по указанной схеме. 1) D (f)=R, так как f — многочлен. 2) Функция f не является ни четной, ни нечетной (докажите это самостоятельно). 3), 4) График f пересекается с осью ординат в точке (0; f (0)); чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить урав¬ нение Зх5 — 5х3 + 2=0, один из корней которого {х— 1) легко нахо¬ дится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пере¬ сечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства 147
мы находить не будем (как уже отмечалось в п. 4, приведенная схема имеет примерный характер). 5), 6) Найдем производную функции f: /' (х) = 1 5л:4 — 15л:2 = 15л:2 (л:2 — 1). D(f') = R, поэтому критических точек, для которых f'{х) не существует, нет. Заметим, что f'(х) = 0, если х2 (х2—1) = 0, т. е. при значениях аргумента, равных 0, — 1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки. Составляем таблицу: X (— оо; — 1) -1 (-1:0) 0 (0; 1) 1 0; «>) + 0 — 0 - 0 + fix) 4 2 0 ^ шах min В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежут¬ ках. (На каждом таком интервале знак производной не меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции: « »— возрастает, « » — убывает, а в четвертой — о виде критических точек (пп. 5 и 6 приведенной выше схемы). Критическая точка 0 функ¬ ции / не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто мож¬ но сделать, сравнив значения функции на концах этого проме¬ жутка (вместо определения знака производной). Например, f(0)cf(— 1), поэтому на промежутке ( — 1; 0) функция убывает (и, следовательно, f'с 0 на этом проме¬ жутке). Строим график функции (рис. 111). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, в таблице указано, что f убывает на интервале (0; 1). Функция f непрерыв¬ на в точках 0 и 1 (так как она не¬ прерывна всюду), следовательно, она убывает на отрезке [0; 1]. Поэтому ри¬ суем график убывающим на отрезке [0; 1] от значения / (0) = 2 до значения /(1) = 0. При этом касательные к графи¬ не
ку в точках 0,±1 должны быть горизонтальными — во второй строке таблицы сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналогично строится график и на остальных промежутках. Пример 2. Найдем число корней уравнения 2х3 — За:2 — — 12л:— 11 =0. Рассмотрим функцию f (х) = 2х3 —Зх2—12л: — 11. Ее область определения D (/) = (—оо; оо). Для отыскания критических точек функции f найдем ее производную: f'(x) = 6x2— 6х—12. Эта про¬ изводная обращается в нуль в точках х= — 1 и х = 2. Заполним таблицу: X (— оо; —1) -1 ( —1; 2) 2 (2; оо) Г(х) + 0 — 0 + f(x) — 4 — 31 ^ ~ шах min На промежутке (—оо; —1] функция возрастает от —оо до — 4, поэтому на этом промежутке уравнение / (х) = 0 корней не име¬ ет. На промежутке [— 1; 2] уравнение также не имеет корней, так как на этом промежутке f убывает от —4 до —31. Наконец, на про¬ межутке [2; с») функция f возрастает от —31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение f (х) = 0 имеет один корень (по тео¬ реме о корне). Итак, уравнение 2х — Зх2 — 12х— 11=0 имеет один корень и этот корень принадлежит интервалу (2; оо). ф Упражнения Исследуйте функцию и постройте ее график (296 296. а) /(х) = х2 — 2х + 8; -297) б) f (х)— —M + f-; в) f(x) = 297. a) f (х) = -х2 +5х + 4; • х3 -j- Зх— 2; в) f(x) — x + Зх + 2; б) /(х) = х4- г) f (х)=Зх2 2х—3; 298. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f (х)= 1 + 1,5х —Зх2 —2,5х3; б) f(x) = |—\—6х+1; 5 3 в) f (х) — \—Ь8х — 5; г) f (х)=х3 — 6х2 — 15х—2. 299. Докажите, что функция f возрастает на множестве R: а) f (х) = 2х — cos х; б) / (х)=х5 + 4х; в) f (х) = sinx-f--^-; г) / (х) = 2х3 + х — 5. 149
Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302). 300. a) f(x)=—x2——а:5; б) /(*)=4х2 — х4; в) f(x)=-{-х5—\±-х3\ г) f(x) = 5x3 — Зх5. 301. a) f(x) = x2 Vl +х\ б) f (х)= 6; в) / (х) = х -\/2 — х\ г) fix)- 2х 302. a) f (x) = sin2A: + sinA:; б) f (х) 1 т- в) f(x) = cos2* — cos*; г) f (*) = -—. l-x2 ' 2x 303. Докажите, что функция f принимает на данном промежутке положительные значения: a) f(x) = tgx — x; б) f(x)=^Jx — -Ь / = [1;оо); в) f(x) = x — sinx; / = (0; оо); г) f(*)=*-f-|— cosx; /=(-- 304. Сколько корней имеет уравнение: a) 4jc3 — Зх2 — 36jc— 10 = 0; б) ^-*3-^-+3* = 0; в) хА—4л:3 — 9 = 0; г) х2—^—1=0? 25. Наибольшее и наименьшее значения функции Решение многих практических задач часто сводится к нахож¬ дению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на от¬ резке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрез¬ ке [а; Ь] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наи¬ меньшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; Ь], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь] значения. Для случая, когда функция f не только непрерывна на от¬ резке [а; Ь\ но имеет на этом отрезке лишь конечное число крити¬ ческих точек, укажем правило отыскания наибольшего и наимень¬ шего значений f. Предположим сначала, что / не имеет на отрезке [а; b] крити¬ ческих точек. Тогда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции / на отрезке [а; Ь] — это значения в концах аи Ь. Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; Ь] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; Ь] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому 150
(см. предыдущий абзац) наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в кри¬ тических точках функции или в точках а и Ь. Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значе¬ ния функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. О Пр имер 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции у(х) = х3—1,5л:2 — 6л:+1 на отрезке [—2; 0]. Сначала найдем критические точки. Так как производная у' (х) = Зл:2 — Зх — 6 определена для любого х, остается решить уравнение у'(х) = 0. Решая его, находим х= — 1 и л: = 2. Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел у (— 2)= — 1, у(—1) = 4,5 и i/(0)= 1 (критическая точка л: = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наимень¬ шее значение достигается в точке —2 и равно —1, а наиболь¬ шее — в точке — 1 и равно 4,5. Коротко это записывается так: maX]i/(x) = i/(-1) = 4,5; т\п у (х) = у ( — 2)= — \. ф Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных приклад¬ ных задач. При этом действуют по следующей схеме: 1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выби¬ рают удобный параметр х, через который интересующую нас ве¬ личину выражают как функцию / (л:); 2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3) выясняется, какой практический смысл (в терминах пер¬ воначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат. Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полу- 151
Рис. 114 ченной математической задачи и 3) интерпретацию найденного ре¬ шения («перевод» его с языка математики в терминах первона¬ чальной задачи). С этим общим методом (его называют методом математи¬ ческого моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример его применения. О Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 114) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным? Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны у-(а — х), а объем коробки равен -~(а — х) х2. По смыслу задачи чис¬ ло х удовлетворяет неравенству 0 <.х<Са, т. е. принадлежит ин¬ тервалу (0; а). Таким образом, пример 2 мы свели к такой задаче: найти наибольшее значение функции V (х) — -^-(а — х) х2 на интер¬ вале (0; а). 2) Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформулировано для отрезка. Функция V непре¬ рывна на всей числовой прямой. Мы будем искать ее наиболь¬ шее значение на отрезке [0; а], потом сделаем выводы для решае¬ мой нами задачи. Находим критические точки функции: V' {х) — ах—|-x2, ах—|-д:2 = 0, т. е. х = 0 или х=—а\ 152
Так как У(0) = 0 и К(а)=0, своего наибольшего на отрезке 2 [0; а] значения функция V достигает при х = —а, т. е. О max V(*)-v(-§- а) Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а\ следовательно, и внутри интервала (0; а). 3) Остается вспомнить, что х — длина стороны основания ко¬ робки, имеющей при заданных условиях максимально возможный объем. Полученный результат означает, что максимальный объем имеет коробка со стороной основания -|-а. # Упражнения 305. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /: а) f(x) = x1 — 8л:2 — 9 на промежутках [—1; 1] и [0; 3]; б) f (*)— * на промежутках [—4; —1] и [1; 3]; в) f(x) = 3x5 — 5л:3 на промежутках [0; 2] и [2; 3]; г) f (X) = ~~x\ir t ' на промежутках [—3; —2] и [ 1; 5]. 306. Сравните наибольшее значение функции на промежутке Р\ и наименьшее ее значение на промежутке Р2: а) /(х) = л:3-J-Зл:2 — 9л:; Р,=[-4;0], Р2 = [3; 4]; б) f{x)=x'~2^ + 4; Р,=[ —р2 = [2;3]. 307. Материальная точка движется по прямой согласно закону s (/)= 12/2—^-/3, где s (t) —• путь в метрах и t — время в се¬ кундах. В какой момент времени из промежутка [4; 10] ско¬ рость движения точки будет наибольшей и какова величина этой скорости? 308. Найдите значения аргумента из промежутка [—2; 5], при 3 которых скорость изменения функции f (х)=21л: + 2л:2 — — 3 будет наибольшей или наименьшей. 309. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону v (t) = -^-t3—\2t (скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени ускорение дви¬ жения будет наименьшим, если движение рассматривать за промежуток от /i = 10 с до /2 = 50 с? 153
310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на данном промежутке: a) f (х) — 2 sin *-f-cos 2*, [0; 2л]; б) f (х) = 1,5х2 + ^-, [1; 4]; в) / М — 2 sin х + sin 2х, £о; ; г) f(x) = x + j^у, [—5; —2,5]. 311. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наи¬ меньшей. 312. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных сла¬ гаемых так, чтобы произведение этих чисел было наиболь¬ шим. 313. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовал¬ ся прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны пря¬ моугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 314. Число 54 представьте в виде суммы трех положительных сла¬ гаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наи¬ большим. 315. Число 16 представьте в виде произведения двух положитель¬ ных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей. 316. Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим? 317. Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллеле¬ пипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла? 318. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треуголь¬ ника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите длины сторон прямоугольника. 319. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сече¬ нием наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см. 320. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населен¬ ный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта? 321. Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от Л (участок АВ 154
берега считаем прямолинейным). Лодка движется со ско¬ ростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время? 322. Найдите число, сумма которого со своим квадратом прини¬ мает наименьшее значение. 323. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с задан¬ ной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедрен¬ ный треугольник. 324. Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади. 325. Покажите, что из всех равнобедренных треугольников, впи¬ санных в данный круг, наибольшую площадь имеет равно¬ сторонний треугольник. Сведения из истории 1. О происхождении терминов и обозначений. Раздел матема¬ тики, в котором изучаются производные и их применения к иссле¬ дованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида А/, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differential нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т. е. при рождении нового метода. Термин «производная» является буквальным переводом на рус¬ ский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Л а- гранж (1736—1813); он же ввел современные обозначения у', Такое название отражает смысл понятия: функция f' (х) происходит из f (х), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию — флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал йроизводную как 4j-. Это обозначение также часто встречается в современной литературе. Символ df Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функ¬ ции /. Дифференциал df функции f — это произведение производной f' (хо) на приращение Дх, т. е. df = f' (хо) А*; заменяя обозначение Ах на dx, это же можно записать так: df=f' (хо)dx, откуда f'(хо)=^~. Геометрический смысл дифференциала ясен из рас¬ смотрения рисунка 115: здесь df=AB, прямая I — касательная к графику. 155
Лейбниц Готфрид Фридрих (1646—1716) — великий немецкий ученый. Философ, матема¬ тик, физик, юрист, языковед. Создатель (на¬ ряду с Ньютоном) математического анализа. Основоположник большой математической школы. Идеи Лейбница оказали значительное влияние на развитие математической логики. Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифферен¬ циальном исчислении, был бы не полон без понятия предела и бесконечно малой. Подробнее о пределе говорится ниже, а пока заметим, что, например, производная определяется во всех руко¬ водствах именно как предел. Пишут /' (лго) = !im вместо при- Дх-*-0 Ал нятого выше обозначения fr (хо) ПРИ Д*-^0. Обозначение lim — сокращение латинского слова limes (межа, граница); уменьшая, например, Дх:, мы устремляем значения к «границе» /' (хо). Термин «предел» ввел Ньютон. Примером бесконечно малой может служить функция (Дх:)2 от Дх:, поскольку (Дх)2->-0 при Дх->-0. Вообще, если lim а (х)=0, гово- X-+XQ рят, что а (х) — бесконечно малая. Бесконечно малые играют важ¬ ную роль в математическом анализе, который поэтому часто на¬ зывают также анализом бесконечно малых. Заметим наконец, что слово «экстремум» происходит от латин¬ ского extremum (крайний). Maximum переводится как наиболь¬ ший, a minimum — наименьший. 2. Из истории дифференциального исчисления. 1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейб¬ ницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил зада¬ чу на построение касательной к такой сложной кривой, как спи¬ раль (применяя при этом предельные переходы), но и сумел найти максимум функции f (х)=х2 (а — х). Эпизодически понятие касательной (которое, как вы знаете, 156
Ферма Пьер (1601—1665) — французский математик и юрист. Один из крупнейших математиков своего времени. Ферма принадлежат блестящие работы в об¬ ласти теории чисел. Создатель аналитической геометрии, в которой он получил ряд круп¬ ных результатов. связано с понятием производной) встречалось в работах итальян¬ ского математика Н. Тартальи (ок. 1500—1557) — здесь ка¬ сательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность поле¬ та снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе реше¬ ния задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречают¬ ся уже у Р. Декарта, французского математика Р о б е р в а- ля (1602—1675), английского ученого Д. Грегори (1638— 1675), в работах И. Барроу (1630—1677) и, наконец, И. Нью¬ тона. К рассмотрению касательной и нормали (так называется пря¬ мая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке каса¬ ния) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенных коэффициентов он сумел решить за¬ дачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу. В 1629 г. П. Ферма предложил правила нахождения экстрему¬ мов многочленов. Существенно подчеркнуть, что фактически при выводе этих правил Ферма активно применял предельные пере¬ ходы, располагая простейшим дифференциальным условием мак¬ симума и минимума. Ферма сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Его имя заслуженно носит не только известная вам теорема из анализа. Великая теорема Ферма («Уравнение хп-\-уп — zn не имеет решений в натуральных числах при натуральном п, большем двух»), не доказанная, правда, и поныне, лишь один из итогов его размышлений над проблемами теории чисел. Ферма один из 157
м N h2 N‘ Рис. 116 создателей аналитическом геометрии. Он занимался и оптикой. Широко из¬ вестен принцип Ферма («Луч света распространяется так, что время его прохождения будет наименьшим»), при¬ меняемый и в современной физике. Важные следствия этого принципа вы можете вывести самостоятельно. Закон отражения света («Угол отраже¬ ния равен углу падения») сводится согласно принципу Ферма к решению известной геометрической задачи. Для вывода закона преломления света вам потребуется применить известные пра¬ вила нахождения экстремума. (Тре¬ буется решить такую задачу (рис. 116): «Луч света проходит из точки М нижней полуплоскости в точку N верхней. Скорость света в нижней полуплоскости (одно¬ родной среде) постоянна и равна щ, а в верхней полуплоскости — V2. По какому пути должна двигаться точка, чтобы весь ее путь занял наименьшее время?») Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал и две основные проблемы анализа: «1. Длина проходимого пути постоянно (т. е. в любой момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложен¬ ное время. 2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути». Первая проблема задает программу развития дифференциаль¬ ного исчисления, с элементами которого вы уже познакомились в этой главе. Вторая относится к интегральному исчислению (см. главу III). Если Ньютон исходил в основном из задач механики (ньюто¬ нов анализ создавался одновременно с ньютоновой классической механикой), то Лейбниц по преимуществу исходил из геометри¬ ческих задач. Говоря о последующем развитии идей анализа (а они очень быстро завоевали популярность и нашли многих последователей), следует в первую очередь назвать имена учеников Лейбница — братьев Я. и И. Бернулли. А. Лопиталь (1661 —1704), который учился у И. Бернул¬ ли, издал уже в 1696 г. первый печатный курс дифференциаль¬ ного исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых ме¬ тодов. Ряд крупных результатов получил Лагранж, его работы сыгра¬ ли важную роль в осмыслении основ анализа. 158
Как и в случае многих других разделов математики, неоце¬ ним вклад в развитие математического анализа, внесенный Л. Эйлером и К. Ф. Гауссом (1777—1855). В кратком очерке невозможно рассказать о существе откры¬ тий, сделанных в XVIII в. и позднее. Но об одном направлении нельзя не упомянуть. Речь идет о разложении функций в степен¬ ные ряды, т. е. о представлении функций в виде многочленов с бес¬ конечным числом слагаемых. С примером бесконечной суммы (числового ряда) вы знакомы: бесконечные периодические дроби представлялись в виде суммы бесконечного числа слагаемых. С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько неспра¬ ведливо название формула Тэйлора (Б. Тэйлор (1685— 1731) —английский математик, опубликовавший ее в 1715 г.), принятое для следующего замечательного соотношения: / (*„+д*)=/ ы+Цf (Дх)Ч... (М'+... (здесь fn) (лго) — значение, полученное /г-кратным дифференциро¬ ванием функции f в точке х0, а п\ — 1 *2•...•«). Зная формулы производных, например, для функций sin х и cos х, вы можете разложить их в ряд Тэйлора самостоятельно. Оказалось, что в ряде случаев, отбрасывая бесконечное чис¬ ло слагаемых, можно получать формулы, дающие хорошие приближения функций многочленами. 2) Энтузиазм, вызванный появлением нового мощного мето¬ да, позволяющего решать широкий круг задач, способствовал бурному развитию анализа в XVIII в. Но к концу этого столетия проблемы, возникшие уже у создателей дифференциального и интегрального исчислений, проявились весьма остро. Основная трудность состояла в том, что точные определения таких ключевых понятий, как предел, непрерывность, действи¬ тельное число, отсутствовали (соответственно и рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были даже ошибочны). Характерный пример — определение непрерывности. Эйлер, Ла¬ гранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX в.) назы¬ вали непрерывной функцию, которая в своей области определе¬ ния задана одним аналитическим выражением. Тем самым «новая» математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Интуиция, столь необходимая математикам, существенно опередила логику, тоже являющуюся неотъемлемой характеристикой математической науки. Гениаль¬ ная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логи¬ ческие основы. Характерны два высказывания, относящиеся к XVIII столе¬ тию. Известный математик М. Р о л л ь писал, что новое исчисле- 159
Коши Огюстен Луи (1789—1857)— крупный французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области ана¬ лиза, теории функций комплексного перемен¬ ного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши — разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими опреде¬ ления предела, непрерывности функции и т. п. ние есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель Вольтер заметил, что это исчисление представляет со¬ бой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математи¬ ком О. К о ш и (1789—1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказав¬ шим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько рань¬ ше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 — 1848), но его работы стали известны много позднее. Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящем¬ ся к а (т. е. lim/(x) = A), если для любого числа е>0 можно х-уа подобрать такое число 6> 0, что |/ (*) — А \ < е для всех х, удовлет¬ воряющих неравенству 0< \х — а \ <6». Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определе¬ ние непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке х0 если 1 im f (x) — f (х0). Х->Хо Формулировка определения предела последовательности (а именно с этим понятием связано определение интеграла — см. п. 30) такова: «Число А является пределом последовательности ап, если для любого е>-0 существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство \ап — А|<е». Коши доказал следующие теоремы о пределах, которыми мы 160
фактически пользовались (называя их правилами предельных переходов — п. 14) при вычислении производных: Если lim f (х)=А и lim g (х) — В, то существуют пределы суммы х-+а х-+а и разности, произведения, частного (при limg (х)ФО), причем х~-*а lim(/ (х)drg (х))=AdbB, х-*а lim (/ (x)g(x)) = A-B, x-+a lim iifL=A XJ, g(x) в Приведем пример доказательства «по Коши» (часто говорят: «на языке эпсилон-дельта»). Докажем теорему о пределе суммы. Возьмем любое положительное число е>0. Тогда число и поэтому (по определению Коши): 1) из условия lim / (х) = А следует, что можно подобрать число х-+а 61, такое, что |/(*)-Л|<-§- (1) для всех х, удовлетворяющих неравенству G<U —«| С6t; 2) из условия lim g(x) — B вытекает: существует такое 6г>0, х-+-а ЧТО \g{x)-B\<f (2) для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<1* — а|<Сбг. Обозначим через б наименьшее из чисел 6i и 62. Тогда для любого х, удовлетворяющего неравенству 0< \х — а \ <6, выпол¬ нены неравенства (1) и (2); для этих х имеем: I/(*) + £(*)-И + Я)! = 1(/(x) — A) + (g(x) — B)\ < \f(x) — A\ + + \g(x)-B 1<у+у = в. Этим доказано, что lim (f (x)-\-g (х))=А-\-В. x-*-a Остальные правила (для произведения и частного) доказы¬ ваются аналогично. Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и про¬ изводных, был охарактеризован Марксом как «мистический». Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь впе¬ ред, и вера в правильность результатов к вам придет». 6 Заказ 581 161
Кантор Георг (1845—1918) — немецкий математик, идеи и работы кото¬ рого оказали большое влияние на развитие математики в целом, на понимание ее основ. Создатель теории множеств. Получил ряд замечательных результатов, относящихся к теории бесконечных множеств, теории дейст¬ вительного числа. 3. О понятии действительного числа. Математический анализ возник в XVIII в. Но полное его обоснование было дано лишь в конце XIX столетия, когда вслед за теорией пределов, создан¬ ной Коши, сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедеки н дом (1831 —1916), К. Вейерштрассом (1815—1897) и Г. Кантором (1845—1918) была построена теория действительного числа. Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при счете и измерении величин. Ответ на вопрос: «Сколько элементов содержит данное конеч¬ ное множество?» — всегда выражается либо натуральным числом, либо числом нуль. Следовательно, множество {0; 1; 2;...} всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета. Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комна¬ ты — 16,45 квадратного метра и т. д. Величины бывают разных родов. Приведем два примера. 1. Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выра¬ жают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д. 2. Длительности промежутков времени тоже величины одного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и т. д. Величины одного и того же рода можно сравнивать между со¬ бой и складывать: 1 м > 90 см 350 м + 650 м = 1 км 300 с < 1 ч 2 ч-f 3 ч = 5 ч 1 кг>720 г 500 г-[-Ь00г “=1 кг 162
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815—1897) — немецкий математик, доказавший классичес¬ ки е теоремы в различных областях матема¬ тики. Работы Вейерштрасса по обоснованию математического анализа, по существу, завер¬ шают создание строгой стройной теории. Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность про¬ межутков времени и расстояние — величины разного рода. Скла¬ дывать и сравнивать величины разного рода нельзя. Величины можно умножать на положительные числа и нуль. В результате умножения величины а на неотрицательное число х получается величина Ь = ха того же рода. Приведем несколько примеров: 5*20 см =100 см = 1 м 0,01*20 см = 0,2 см =2 мм 0*20 см = 0 см Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, можно с ее помощью измерять любую другую величину а того же рода. В результате измерения получим, что а — хе, где х — число. Это число х называется числовым значением величины а при единице измерения е. Числовое значение величины зависит от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м {е — = 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при единице измерения в 1 см (е — 1 см). Пусть числовые значения величин а и b при одной и той же единице измерения е равны х и у, т. е. а — хе, b — уе. Если ЬФ0, то отношение — называют отношением величины а к Ь. У Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное опи¬ сание понятия величины опиралось на понятие числа. Но истори¬ ческий путь был иным: положительные действительные числа по¬ явились как отношения величин (а точнее, как отношения длин отрезков). 6* 1-63
С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало ясно, что отношение длин отрезков не всегда может быть выражено не только натуральным, но и рацио¬ нальным числом. Для того чтобы числовое значение каждого от¬ резка при фиксированной единице измерения было определено, требовалось введение новых чисел — иррациональных. Все практические измерения величин имеют лишь приближен¬ ный характер. Их результат с требуемой точностью можно выра¬ зить при помощи рациональных дробей или более специальным образом — при помощи конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее длина приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до одного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м. Но в математике часто отвлекаются от приближенного харак¬ тера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такие дроби представляют числа -|-= 0,666..., -\/2 =1,41421356..., я = = 3,14159265... .) Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда может быть выражено числом, представляемым в виде бесконечной десятичной дроби. Полная теория действительных чисел довольно сложна и не входит в программу средней школы. Но с одним из способов ее построения мы познакомимся в общих чертах. 1. Принимают: а) каждому действительному числу соответствует (в качест¬ ве его записи) бесконечная десятичная дробь: х — ао,ща2аз ■ ап ... ; б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа. Но при этом естественно считать десятичную дробь закан¬ чивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, за¬ канчивающейся бесконечной последовательностью нулей: 0,9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000... . Такое соглашение поясним примером: 0,(9) = 3-0,(3) = 3 •{-=!. Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девят¬ кой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. 164
Число а0 — это целая часть положительного числа *, а х—а0=0,010203 ... ап ... — дробная часть числа х. Число xn = a0,aia2... а„ называют десятичным приближени¬ ем х с точностью до 10~л по недостатку, а число х'п=хп-\- 10-л на¬ зывают десятичным приближением с точностью до 10-л по избыт¬ ку для числа х = ао,ауа2аз ... ап ... . Если число х отрицательно, т. е. х= — ао,а{а2а3 ... ап ... , то полагают л£=—ао,а1а2аз ... ап и Хп — Хп— Ю~Л. 2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число * меньше числа у, если хотя бы при одном п выполнено неравенство хп < уп, где хп и уп — десятичные прибли¬ жения с точностью до 10~л по недостатку для чисел хну. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятич¬ ных дробей уже известно.) 3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей). Суммой двух десятичных чисел хну (обозначается х-\-у) называют такое действительное число z, что при любом п выпол¬ нены неравенства Хп +Уп < * Л-У < Хп-\-у'п. В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и определяется единственным образом. Аналогично произведением двух неотрицательных чисел * и у называют такое число z (обозначается ху), что при любом п выполнены неравенства хпуп ^хуСх'п у п. Такое число существует и определяется однозначно. Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел |х| и \у\ уже определено, полагают ху— — \х\ \у\; в остальных случаях ху= \х\ \у\. (Как обычно, модулем каждого из чисел по, а{а2 ... ап ... и — а0, ata2 ... а„ ... называют число ао, а\а2 ... ап ... .) Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью х — у чисел хну называется такое число z, что y-\-z — x, а деление — как действие, обратное умножению: частным х:у на¬ зывается такое число z, что yz = x. 165
4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные свой¬ ства, присущие им в множестве рациональных чисел. Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Что такое приращение аргумента и приращение функции? 2) В чем состоит геометрический смысл приращений Дх и А/? отношения ' Дх 3) Выразите через *о и Дх: a) f(*) = *2 — *; б) /(*) = *3 + 2; в) f(x) = 3x — 1; г) [ (х)=^. 2. 1) Сформулируйте определение производной функции в точке. 2) Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке х0: a) f(x) = x2+ 1,*о=-2; б) / (*)=~, *о = 3; в) / (*) = 2х — 1, Хо——4; г) / (х) = *3, *о = 2. 3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции f(x) = xf1 (п — целое число)? 2) Дифференцируемая функция f задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику / в указанных точках и найдите приближенные значения производной в точках а, Ь, с, d. 3) Продифференцируйте функцию: а) / (*) = (*+ 2) sin*; б) f (х) = -~^7~:К ; в) /(*)=*3 —~-fcos3*; г) /(*) = -^. 4. 1) Какую функцию называют непрерывной на промежутке? 2) Найдите промежутки непрерывности функции: У' ** S / Ч V / > / V > у 1 _6_ 1 0. Л а i х. г 1 1 9 Рис. 117 166
B> I (*)=**; б) / W = 1 -2 tg *; в) t(x)=x*-ix-w’ г) f (*)=*' — Зх*+7. 3) Решите неравенство методом интервалов: а) ^4+dr>l; б) к' — 15х2 —16<0; в) "г~1Т4-<0; г) (*-1)(*-2)(* + 4)>0. 5. 1) Какую прямую называют касательной к графику функции / в точке (х0; f (х0))? 2) В чем состоит геометрический смысл производной? 3) Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке (х0; f (*о)): а) f(x) = cosx, *0=^; б) f (х) = ~, х0 = 2; в} / (л:) = sin л:, х0==я; г) f(x) — x2t х0——~. 6. 1) Запишите общую формулу для приближенного вычисле¬ ния значения функции, дифференцируемой в точке лго- 2) Выпишите формулы для приближенного вычисления зна¬ чений функции: а> f{x)=xn; б) / (*) = cos х; в) f(x)=^fx; г) = 3) Вычислите приближенные значения: а) { Qq|~io ; б) sin 59°; в) -^9,009; г) 0,99915. 7. 1) В чем состоит механический смысл производной? 2) Тело движется по прямой согласно закону х (/). Запи¬ шите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени /. 3) Найдите скорость и ускорение точки в момент t0, если: a) x(t) = t3 — 2*2-{-5, *о = 4; б) х (*) = 3 cos 2t, *о = у-; в) x(t) = 5t — t2, *о = 2; г) x (t) — 2*2 -\-t — 4, *o = 4. 8. 1) Запишите формулу Лагранжа. 2) Сформулируйте признак возрастания (признак убы¬ вания) функции. 3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию: 167
®) 9; */=3*—sin 3*‘> в) у — х* — 4х\ г) у = х2-\-^~. 9. 1) Какую точку называют критической точкой функции? 2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции. 3) Исследуйте на максимум и минимум функцию: а) У=\—х4; б) у = 2 sin x-f-cos 2х; в) у — х3 — Зх\ г) у = х — tg х. 10. 1) Опишите схему исследования функции. 2) Исследуйте с помощью производной функцию: a) f М=х+Т~^: б) fW=f+T; в) f (х) = х3 — Зх2 — 9х\ г) = 3) Исследуйте по общей схеме функцию / и постройте ее график: a) f(x) = x2—^; б) f (х) = х2(х — 2)2; в) f(x) = 2х2Н-Зх—1; г) f (x) — ^-+x2 — 3x-jrl. 11. 1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наи¬ меньшего значений функции на отрезке. 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке: а) / (х) — 0,8хб — 4х3, [— 1; 2]; б) / (х)=х — sin 2лг, [б; —-J ; в) f(x) = Зх2-2х3, [— 1; 4]; г) f (х) = х2 (6-х), [—1; 5]. 3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим? б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Пло¬ щадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
Глава III ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ § 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ 26. Определение первообразной Вспомним пример из механики. Если в начальный момент вре¬ мени t — 0 скорость тела равна 0, т. е. v (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь *(0=?. (1) Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость: 5' (/) = Ц (/) = £/. (2) Второе дифференцирование дает ускорение: v' (t)=a(t)=g, (3) т. е. ускорение постоянно. Более типично для механики иное положение: известно уско¬ рение точки а (t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости v (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной и' (/), равной а (/), надо найти v (t), а затем по производной s' (t), равной v (t), найти s (t). Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. С ней мы познакомимся в этой главе. Определение. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)=f(x). (4) д.3 О Пример 1. Функция F (х)~ — есть первообразная для функции f(x) = x2 на интервале (— оо; оо), так как рМ=(т)'=тЙ'=Г3г’=-,!=»-') для всех х£(—оо; оо). х3 Легко заметить, что -—Г 7 имеет ту же самую производную 169
х2 и поэтому также является первообразной для х2 на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений. В следующем пункте вы увидите, как найти все эти решения. Пр и мер 2. Для функции /(х)=-р на интервале (0; оо) ■у/х первообразной является функция F (х) — 2^/х, так как FW=(2^=2~=7=fW 2 ух Ух для всех х из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция F (х) = 2 -фс + С при любой постоянной С есть первообразная для функции /(х) = -р на том же интервале (0; оо). Ух Пр и мер 3. Функция /г(х)=-^-не является первообразной для функции / (х)= —-рг на промежутке (— оо; оо), так как ра¬ венство Ff (x) — f (х) не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков (—оо;0) и (0; оо) функция F является пер¬ вообразной для /. ф Упражнения 326. Докажите, что функция F есть первообразная для функ¬ ции / на указанном промежутке: а) F(x) = x5, f (х) = 5х4, х£(—оо; оо); б) F (х) = х-3, /(х)=— Зх~4, хб (0; оо); в) F (х)=у-х7, f(x) = x6, х£(— оо; оо); г) 7’(х)= —-|-х“6, / (х) = х“7, х6(0; оо). 327. Является ли функция F первообразной для функции / на ука¬ занном промежутке: а) F (х) = 3 — sin х, / (x) = cos х, х£(—оо; оо); б) F (х) = 5 — х4, f(x)=—4х3, х£(—оо; оо); в) F (x) = cos х — 4, f (х)= — sin х, х£( — оо; оо); г) F(x)=x~2 + 2, /(х)=27, х6(0; оо)? Найдите одну из первообразных для функции f на R (328— 329). 328. а) /(х) = 3,5; б) f(x) = cosx; в) f(x) = 2x; г) f(x) = sinx. 170
329. a) f(x)= — sinx; б) /(х)=—х; в) /(х)= — 4; г) f (х)= —cos х. 330. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке: а) F (x) = sin2 х, /(х) = sin 2*, x£R\ б) F (x)=-j-cos 2x, f (x) = — sin 2x, x£R; в) F (x)=sin 3x, f(x) = 3cos3x, x£R\ r) f (*)=3+tg-f-, /W=—. *€(-«; n). 2 cos'1 — 331. Является ли функция F первообразной для функции / на ука¬ занном промежутке: а) F(x)=2x-)-cos-|-, /(*) = 2— б) F{x)=^Ji~x\ f(x)= -L-, х£(-2; 2); —л: в) = fW=14— х£(0; оо); г) F (х)~4х-фс, / (х) — 6 /х, х£(0; 00)? 332. Найдите одну из первообразных для функции / на Я: a) f(x)=x + 2; б) f(x)=(sin— cos; в) / (x) = sin2 x-f-cos2 х; г) / (х) = Зх2 -f-1. 333. Найдите две первообразные для функции /: а) /(х) = 2х; б) / (х)= 1 — sin х; в) /(х)=х2; г) f (x) = cos х + 2. 334. Среди трех данных функций укажите такую, что дпе другие являются соответственно производной и первообразной для нее: а) f(x)=jr, g(x)=—y, h (х)— X2 б) f (х)~— cos х, g (х).— 1 -f-cos х, h (x)=x-{-sin x; в) / (x) = 1, g(x) = x+2, h (x) = ^--f 2x; r) f (x)=3 — 2 sin x, g (x) = 3x-f-2 cos x, h(x)——2 cos x. 171
27. Основное свойство первообразной 1. Общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверж¬ дение: Признак постоянства функции. Если F' (х) = О на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое хо из проме¬ жутка /. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0, что F (х) — F (х0) = F' (с) (х — Хо). По условию F'(с) — 0, так как с(1, следовательно, F (х) — F (хо) = 0. Итак, для всех х из промежутка / F{x) = F(x 0), т е. функция F сохраняет постоянное значение. Все первообразные функции f можно записать с помощью од¬ ной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойст¬ во первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на проме¬ жутке / может быть записана в виде F(x)+C, (1) где F (х) — одна из первообразных для функции f (х) на проме¬ жутке I, а С — произвольная постоянная. Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной: 1) какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке /; 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке / ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из проме¬ жутка / будет выполнено равенство Ф (x) = F (х)+ С. Доказательство. 1) По условию функция F — перво¬ образная для f на промежутке /. Следовательно, F' (х) = / (х) для любого х£/, поэтому (F (х) + С)' = F' (х) + С' = f(x) + 0 = / (х), т. е. F(x)-j-C — первообразная для функции f. 172
Рис. 118 2) Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке /, т. е. Ф'(х) = /(х) для всех х£/. Тогда (Ф (х) - F (.к))' = Ф' (х) - F (х) = f(x) — f (х) = 0. Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что раз¬ ность Ф (х)— F (х) есть функция, принимающая некоторое постоян¬ ное значение С на промежутке /. Таким образом, для всех х из промежутка / справедливо ра¬ венство Ф (х) — F (х) = С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометри¬ ческий смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 118, о). 2. Примеры нахождения первообразных. О Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функ¬ ции / (х) = — х3 на R. Заметим, что одной из первообразных функции f является функ- 4 / X* \ Г ция ——, так как ( ——) =— х . В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функции f таков: *■(*)=-£ +С. Пример 2. Найдем первообразную F0 (х) для функции /(х)= =-^~ на промежутке (0; оо), Принимающую при х=1 значение 1 Легко проверить, что любая первообразная функции / имеет вид F (х)= — -j- -f-С. Так как по условию /7(1)=1, приходим к 173
уравнению (относительно С) вида — l-f-C=l, откуда С = 2, и, следовательно, F0(x)=— Пример 3. Точка движется по прямой с постоянным уско¬ рением а. В начальный момент to —0 точка имеет начальную ко¬ ординату Хо и начальную скорость v0. Найдем координату х (t) точ¬ ки как функцию от времени. Так как х' (t)=v (t) и v' (t) = a (t), из условия a(t)=a получаем v'(t) — a. Отсюда следует, что и(/) = а/ + С,. (2) Подставляя = 0 в формулу (2), находим Ci = t»o и х' (t) — v {t)=at-f-По¬ следовательно, nt2 x(t)=^- + v0t + C2. (3) Чтобы найти С2, подставим в (3) значение to = 0, откуда С2 = хо. Итак, х {t)=-~--\-vot-\-xo. ф Замечание. Для краткости при нахождении первообраз¬ ной функции / промежуток, на котором задана /, обычно не ука¬ зывают. Имеются в виду промежутки возможно большей длины. Так, в следующем примере естественно считать, что функция f {х)= =-^т задана на интервале (0; сю). ф О Пример 4. Найдем для функции f (х)=— первообразную, ф график которой проходит через точку М (9; —2). Любая первообразная функции f (х)—~ записывается в виде ф 2д[х-\-С. Графики этих первообразных изображены на рисун¬ ке 118, б. Координаты точки М (9; —2) графика искомой первооб¬ разной должны удовлетворять уравнению 2y/9-f-С=—2. Отсюда находим, что С—— 8. Следовательно, F (х) — 2-фс — 8. Ф Ниже приводится таблица первообразных для некоторых функ¬ ций: Функция / k (посто¬ янная) x’t (nez, пф-1) 1 Т* sin х COS X 1 1 cos2 X sin2 x Общий вид перво¬ образных для f Jfex-bC 1 1 Г 2 фс+С —cosx-f- +с sin x-f-C tg x-f-C —-ctgx-j- +c л+1 1 174
Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоя¬ тельно. Упражнения Найдите общий вид первообразных для функции f (335— 336). 335. a) f (х) = 2 —х4; б) / (х) = х -f cos х; в) / (х) = 4х; г) /(х)=—3. 336. а) /(*)=*"; б) /W=X-2: в) /М=| — г) f(x) = )f. 337. Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке: a) /(*)-£. F(±) —12; б) f (-=-)=<>; в) f{x)=x3, F(— 1)=2; г) f (x)—sin x, F( — n)— — 1. 338. Проверьте, что функция F является первообразной для функции /. Найдите общий вид первообразных для f, если: а) F (x) = sin х—х cos х, f (х)=х sin х; б) F(*)=V?+T. в) Т7 (x)=cos x-f- х sin х, f (х)=х cos х; г) F(x)=x-^-, /(x)=i±£. 339. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через данную точку М: а) f(x)=2 cos х, УИ(— •) ; б) f{x)=l-x\ M (—3; 9); a) f(*)=s<n(*+f-) . М(Ц-', — ■) ; г) ^(т= 3)- 340. Для функции f найдите две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно а: а) /(х)=2—sin х, а=4; б) f (х)= l-j-tg2*, а=1; в) /(x)=sin2—cos2--, а = 0,5; г) /(х)=-р* °=2* * * -ух 175
341. Точка движется по прямой с ускорением a(t). В началь¬ ный момент /о ее координата равна хо, а скорость vq. Найдите координату х (/) точки как функцию от времени: а) а (/)= —2/, /0 — 1, *о = 4, и0 = 2; б) a(/) = sin/, *о = у-, *о = 2, i>o=l; в) а(/)=6/, /о=0, *о = 3, ц0 = 1; г) a(t) = cos t, to = л, *о = 1, Уо = 0. 28. Три правила нахождения первообразных Эти правила похожи на соответствующие правила дифферен¬ цирования. Правило 1. Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+ G есть первообразная для /+£. Действительно, так как F'—f и G' = g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F+G)' = F'+G'=f+g. Правило 2. Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF — первообразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому (ikF)' = kF' = kf. Правило 3. Если F (*) есть первообразная для f (*), a k и b — постоянные, причем кфО, то ~F (kx + b) есть первообразная для f (ifex-J-6). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем: (\-F(kx + bty=\-Ff (kx+b)-k = f(kx + b). Приведем примеры применения этих правил. О Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции /(*)=*3+^г- Так как для х3 одна из первообразньпь есть а для ^-одной из первообразных является —по правилу 1 находим: одной 1 X4 1 из первообразных для функции f (х)-х3—-^- будет Ответ. F {х)=—л —Ь С. v 7 4 х 176
Пример 2. Найдем одну из первообразных для функции f(x)=5 cos х. Так как для cos х одна из первообразных есть sin х, применяя правило 2, получаем ответ: F (л:) = 5 sin х. Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции y=sin (Зх — 2). Для sin х одной из первообразных является — cos х, поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна F (х) =—-|-cos (3%—-2). Пр и м е р 4. Найдем одну из первообразных для функции / W = (7_3X)5 • Так как для первообразной является — ^, по правилу 3 искомая первообразная равна F (%)=• 4 ^7~^ ^. Пример 5. Материальная точка массой 2 кг движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t эта сила равна F(t) = St — 2. Найдите закон х (/) движения точки, если известно, что при / = 2с скорость точки равна 3 м/с, а координата равна 1 (F — сила в ньютонах, t — время в секундах, х — путь в метрах). Согласно второму закону Ньютона F — ma, где а — ускоре¬ ние. Имеем я(0=—=4-<—1. ' т 2 Скорость v (/) точки есть первообразная для ее ускорения а (/), поэтому t<w=f-f2-<+c,. Постоянную Ci находим из условия и(2)=3: !_4_2 + Ci = 3, т. е. Ci =2 и v (/)=-|-/2 — / + 2. Координата х (t) есть первообразная для скорости v (t), поэтому х(1)=-\-13~12 + 21 + С2. Постоянную С2 находим из условия х(2)=1: i~4+4 + C2=l, С,= -3. Итак, закон движения точки: *(<)=Т<3-Т<2+2<-3- • 177
Упражнения Найдите общий вид первообразных для функции / (342— 344). 342. а) /(*) = 2 —х3+4г; б) f (x) = x — jr+cos х; в) / (*)=-р—sin х; г) / (х) = 5х2 — 1. 343. а) / (х)—(2х — З)5; б) f{x) = 3 sin 2х; в) / (х)"(4 — 5х)7; г) f (а)=—i-cos(-|—-2-). 344. а) №)=—к?'. б) /(х)= 2 COS (т-)' в) f > г) f(jc): 2 ■ 1 (Зх—If * /IV/ cos (Зх—1)* 345. Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку М: а) /(х)=4х+4г, Л4(—1; 4); б) /(*)=*3+2, Л1 (2; 15); в) f(x)=l-2x, М (3; 2); г) f (х)=^—10^+3, М(1; 5). 346. Найдите общий вид первообразных для функции: а) / (л:)= 1 — cos За' + 2 sin^-|—х) ; б) ' 1 4 ' smMx -у/2^ в> fW=swi)-3sin(4-I)+2'; г) ^W=(CT+A“2cos(t-*)- (3 —2х) п/бх-2 347. Задайте первообразную F для функции f формулой, если известны координаты точки М графика F: а) /(*)=2х+1, М(0; 0); б) f (х)=3хг — 2х, М(1; 4); в) f(x)=x + 2, Af(l; 3); г) / (•*)== ” *2 + Зх, М (2; —1). 348. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой v (t)—t2-{-2t— 1. Запишите формулу зависимости ее коорди¬ наты х от времени /, если известно, что в начальный момент времени (/=0) точка находилась в начале координат. 178
349. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой v (0=2 cos Найдите формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, если известно, что в момент t=—c точка находилась на расстоянии 4 м от начала коор¬ динат. 350. Точка движется прямолинейно с ускорением a(f)=12/2 + 4. Найдите закон движения точки, если в момент / = 1 с ее ско¬ рость равна 10 м/с, а координата равна 12 (единица изме¬ рения а равна 1 м/с2). 351. Материальная точка массой т движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t сила равна F (t). Найдите формулу зависимости x(t) от времени /, если известно, что при t = to скорость точки равна vo, а координата равна xq (F (/) измеряется в ньютонах, t — в секундах, v — в метрах в секунду, т — в ки¬ лограммах) : а) F (/)=6 —9/, /о = 1, г>о = 4, лг0=— 5, т — 3; б) F (/) = 14 sin t, to = п, Vo —2, Хо = 3, m —7; в) F (/)=25 cos /, to=-j-, vo = 2, Xo = 4, m —5; r) F (t) = 8t-\-8, to —2, u0 = 9, Xo = 7, m= 4. 352. График первообразной Fi для функции f проходит через точку М, а первообразной F2 — через точку N. Какова раз¬ ность этих первообразных? Какой из графиков F\ и /*2 рас¬ положен выше, если: а) /(х)=3*2-2* + 4, М (— 1; 1), N(0; 3); б) f (х)=4х — 6х2 + 1, М (0; 2), N{ 1; 3); в) f{x) = 4%-х3, М{2; 1), N {-2; 3); г) f(x)=(2x+l)\ М(-3; -1), ЛГ(1; 6-^-) ? § 8. ИНТЕГРАЛ 29. Площадь криволинейной трапеции Пусть на отрезке [а; Ь] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; Ь] и прямыми х = а и х = Ь (рис. 119), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криво¬ линейных трапеций приведены на рисунках 119, a — д. Для вычисления площадей криволинейных трапеций применя¬ ется следующая теорема: 179
о) Ь) Рис. 119 Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на от¬ резке [а; Ь] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 120) равна приращению первообразной на отрезке [а; Ь\ т. е. S—F (b)—F (а). (I) Доказательство. Рассмотрим функцию 5(а;), опреде¬ ленную на отрезке [а; Ь\ Если а<х^Ь, то S (х) — площадь «) Рис. 120 180
той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 120, а). Если х=а, то 5 (а)=0. Отметим, что S{b)=S (S — пло¬ щадь криволинейной трапеции). Докажем, что S'(x)=f(x). (2) По определению производной надо доказать, что при Дх —И). (3) Выясним геометрический смысл числителя AS (х). Для просто¬ ты рассмотрим случай Дх>0. Поскольку AS (х)=5 (х + Дх) — — 5 (х), то AS (х) — площадь фигуры, заштрихованной на ри¬ сунке 120, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади AS (х), опирающийся на отрезок [х; х + Дх] (рис. 120, в). В силу непрерывности функции / верхняя сторона прямоугольника пере¬ секает график функции в некоторой точке с абсциссой с£[х; х+Дх] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в час¬ ти криволинейной трапеции над отрезком [х; х+Дх], либо со¬ держит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади AS(x)). Высота прямоугольника равна f(c). По форму¬ ле площади прямоугольника имеем AS (x) = f (с)Дх, откуда Щ1£=[(с). (Эта формула верна и при Дх<0.) Поскольку точка с лежит между х и х + Дх, то с стремится к х при Дх->-0. Так как функция f непрерывна, / (с) —>f (х) при Дх —►0. Итак, х-< ~>f (х) при Дх—И). Формула (2) доказана. Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х£[а; Ь] имеем: 5 (х) = /г (х)+ С, где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции /. Для нахождения С подставим х — а: F (a)-\-C — S {а) — 0, откуда С =—F (а). Следовательно, S(x)=F(x)-F(a). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х — Ьъ формулу (4), получим: S = S{b)=F{b)-F{a). О Пример. Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции /(х)=х2, прямыми у = 0, х=1 и х = 2 (рис. 121). 181
Для функции f(x)—x2 одной из первообразных является функция ,.з /?(*:)=—. Следовательно, 5 = F(2)-f(l)=|—£ = -£-. • А Вы видели, что вычисление про¬ изводной функции в большинстве случаев связано лишь с трудностя¬ ми вычислительного характера. Сложнее обстоит дело с нахожде¬ нием первообразных. Так, не сразу ясно, имеет данная функция перво¬ образную или не имеет. В связи с этим отметим, что любая непре¬ рывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первооб¬ разную. Разъяснение этого факта дает доказательство формулы (2), приведенное выше. Однако первообразные некоторых из извест¬ ных вам функций нельзя записать с помощью функций, изуча¬ емых в школе. Так обстоит дело, например, с функцией */=V*4T. А Упражнения Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (353— 354). 353. а) у = х2, у = 0, х — 3\ б) у== cos х, у — 0, х = 0, в) у~sin х, у — 0, х = 0, х = л; г) у—~д, г/ = 0, х= 1, х = 2. 354. a) y = x3~j~ 1, у = 0, х=0, х — 2; б) у = 1 2 sin х, у—0, х—0, х=-^-; в) у = 4 — х2, у=0; г) У = 1 +^-cos х, у = 0, х= —х=~. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355— 356). 355. a) y={x + 2f, у = 0, х = 0; б) ^=(7^17+ Ь У=0' х—2\ в) у = 2х—х2, у=0; г) у=— (х— I)3, у = 0, х = 0. 182
356. a) </=3sin(*+22-) , у=0, х=-3jL, *=2jL; б) у— 2 cos 2х, у=0, х——х~~\ )• 1 а я 5д y = smx—у = 0, х =—, х= — \ г) у = 1 —cos х, у— 0, х=—х=~-. 30. Интеграл. Формула Ньютона—Лейбница 1. Понятие об интеграле. Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты бу¬ дем считать функцию / неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь\ тогда площадь S соответствующей криволиней¬ ной трапеции можно приближенно подсчитать следующим обра¬ зом. Разобьем отрезок [а; b] на п отрезков одинаковой длины точ- L п ками Xo — a<.Xi<X2<Z...<xn~i<xn — b, и пусть Ах—-11—= п —xk—Xk-\, где k = \, 2, ..., п — 1, п. На каждом из отрезков [xa_i; Xk] как на основании построим прямоугольник высотой f(xk-1). Площадь этого прямоугольника равна: f(x*-,)A а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 122) равна: 5Я=^”(/ (*о) + / (xO + .-. + f (x„_i)). В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом п, т. е. при малом Дх, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэ¬ тому возникает предположение, что Sn~S при больших п. (Корот¬ ко говорят: «Sn стремится к 5 при п, стремящемся к бесконеч¬ ности»— и пишут: при п-*оо.) Предположение это правильно. Более того, для любой не¬ прерывной на отрезке [а; Ь] функции f (не обязательно неотри¬ цательной) Sn при п—оо стремится к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функции f от а до b и обо- ft значают \ f (х) dx, т. е. а Ь f(x)dx при п—оо (1) а (читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b 183
называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак \ называют знаком интеграла. Функция / на¬ зывается подынтегральной функцией, а переменная х — перемен¬ ной интегрирования. Итак, если f(x)^0 на отрезке [а; Ь\ то площадь 5 соответ¬ ствующей криволинейной трапеции выражается формулой ь S=\f(x)dx. (2) а V Для приближенного вычисления интеграла можно рассмат¬ ривать суммы Sn. Лучше, однако, воспользоваться суммами (х\) + / (*2) + ... + f (xn-i)+~Yf {xn)j , слагаемые которых (в случае положительной функции f) равны площадям трапеций, «вписанных» в криволинейную трапецию и ог¬ раниченных ломаными, как это изображено на рисунке 123. Действительно, применяя формулу площади трапеции, полу¬ чаем: с _/(*!»)+/(*|) Ь — а , /(Х|)+/(*а) b~a I __ п 2 * п ' 2 п —(*0) + /+ f (^2) + ...+/(л:я_ 1)/ (*n)). А 2. Формула Ньютона — Лейбница. Сравнивая формулы пло¬ щади криволинейной трапеции ь S = F (b) — F (а) и S=\f(x)dx, а делаем вывод: если F — первообразная для / на [а; Ь\ то ь \f(x)dx=F(b)-F(a). (3) а 184
Формула (3) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции /, непрерывной на отрезке [а; Ь\ Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона — Лейб¬ ница. ^ О П р и м е р 1. Вычислим \ x2dx. -1 9 X3 Поскольку для х одной из первообразных является —, Для удобства записи разность F (b)—F (а) (приращение функции F на отрезке [я; £]) принято сокращенно обозначать /*Ч*)|а, т. е. F(6)-F(a)=F(*)|‘. Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона — Лейбница обычно записывают в виде ь \f(x)dx=F(x) |‘- (4) а л Пр и м е р 2. Вычислим $ sin xdx. ,о Пользуясь введенными обозначениями, получим: Л ^ sin xdx= —cos *|0= —cos л — (— cos 0) = 2. 0 о Замечание 1. Данное нами определение интеграла не поз¬ воляет говорить, например, об интеграле от — 1 до 2 функции •р*, так как эта функция не является непрерывной на отрезке [—1; 2]. Заметим также, что функция —— не является первооб- I х разной для функции на этом отрезке, поскольку точка 0, принад¬ лежащая отрезку, не входит в об¬ ласть определения функции. О Пример 3. Вычислим пло¬ щадь фигуры, ограниченной лини¬ ями у= 1—х и у — 3 — 2х—х2. Нарисуем эти линии (рис. 124) и найдем абсциссы точек их пере¬ сечения из уравнения 1— х — = 3 — 2х—х2. Решая это уравнение, находим лг= 1 и х——2. Искомая площадь может быть получена как Рис. 124 185
разность площадей криволинейной трапеции BADC и треуголь¬ ника ВАС. По формуле (2) имеем: Sbadc= 5 (3 — 2х — г?)с1х=(3х—х? — | |_,= —(з— 1 —1Г) _(з.(-2)-(-2)2-^) =9. sa/wc=xAb-bc=+3-3=+ Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна: S — Sbadc— ^ дВ/4с = 9——=—=4,5. Q Замечание 2. Удобно расширить понятие интеграла, по¬ лагая по определению при а^Ь, что Ь а \ f (х) dx — —\f (х) dx. а Ь При таком соглашении формула Ньютона — Лейбница оказы- а вается верной при произвольных а и b (в частности, $ f (х) dx — 0). Упражнения Вычислите интегралы (357—358). Я я 2 2~ 3 Т а) \ x4dx; б) \ cos xdx\ в) \ x3dx\ г) \ —. -1 о I 0 cos„ * 2 л 10 Т а) \ (27+if ; б) $ 3 cos 'Tdx' в) $ ; г) 5 sin 2xdx- 1 0 1 _я Докажите справедливость равенства: л л I Т 1 т т a) S ——\dx; б) \ sinxdx=\ о cos * о о U 16 Я Т V3 1 2 в) J cosxdx=J x2dx; г) ^ (2х-4- 1) (л:3— 1) сГл:. ООО о Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фи¬ гуры, ограниченной линиями (360—361). 357. 358. 359.
360. а) у=хА, у —0, х= — 1, л: = 1; б) у=х*, у= 1; в) у = х2— 4л:-}-5, у = 0, х = 0, х = А\ г) у — х2— 4х + 5, у = Ъ. 361. а) у= 1—лг3, у = 0, л = 0; б) у = 2— л3, у— 1, х =— 1, *=1; в) у——х2 — Ах, у — 0, х=—3, х= — 1; г) у — — х2 — Ах, у = 1, А' = — 3, х = — 1. Вычислите интегралы (362—363). 2л 2 Зл 6 362. $ sin \dx-. б) J в) J г) J-£= Л 3 -г-/2*+5 i COS1- 363 2л 9 ^ 2 2 . a) J (sin |-cos -Z-) dx\ б) J (1 + 2л:)3 dx\ о о Л 12 4 в) 5 (1+cos 2л') rfx; г) S(*+* ) Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фи¬ гуры, ограниченной линиями (364—366). б) у— 2 cos .v, у= 1, х= —-j-, х=^~; 364. а) у=х , у = 8, х б) i/ = 2 cos х, у — в) у—х2— 2х + 4, у — 3, л' =— 1; г) y = s\nxt У = \, x = Jt' x=f1- 365. а) у = Ах — х2, у = А — х\ б) У=^т> У = %х, х = А; в) у — х2, у = 2х\ г) £/ = 6 — 2х, у = Ъ-\-х — х2. 366. а) у — х2— 4л: + 4, у —А— хг\ б) у=х2 — 2х + 2, у = 2 + бл: —л:2; в) У = х2, У = 2х — х2\ г) у=х2, у — х3. 367. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ¬ ции у = 8х — 2л:2, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой л: = 0. 368. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ¬ ции f (х) = 8 — 0,5л:2, касательной к нему в точке с абсциссой х——2 и прямой л:=1. 187
369. Докажите равенство: ъ ъ а) \(f(*)+g (*)) dx=\ f(x)dx+\g (х) dx\ а а а Ь Ь б) \ kf (х) dx—k \ f (х) dx (где k — постоянная). 31. Применения интеграла 1. Вычисление объемов тел. Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 125), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь 5 сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпен¬ дикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следо¬ вательно, каждому числу х (из отрезка [а; Ь\ см. рис. 125) постав¬ лено в соответствие единственное число 5 (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; 6] задана функ¬ ция 5 (х). Если функция 5 непрерывна на отрезке [<а; Ь\ то спра¬ ведлива формула ь V=\s{x)dx. (1) а Полное доказательство этой формулы дается в курсах математи¬ ческого анализа, а здесь остановимся на наглядных соображе¬ ниях, приводящих к ней. Разобьем отрезок [а; Ь] на п отрезков равной длины точка¬ ми xo = a<Xi<*2<...<*л-1 <Ь=х„, и пусть ДХ = ■■Xk — Xk-\, k = \, 2, (см. п. 30). Через каждую точку х* проведем плоскость, перпен¬ дикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои (рис. 126, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскос¬ тями a*_i и а к, при достаточно больших п приближенно равен площади S (xk-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Дх, и поэтому (х0) Дх + 5 (xi) Дх-|-...-|- + S (*„_,) Ax = Vn. Точность этого приближенного ра¬ венства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше п. Поэтому V„ —*~V при п —► оо. По определению ин¬ теграла 188
b Vn —► J 5 (x) dx при n—>- oo. a О Пример 1. Докажем, что объем усеченной пирамиды вы¬ сотой Н с площадями оснований S и s равен Н (S + s + -yJSs). Пусть точка О — вершина «полной» пирамиды (рис. 127). Проведем через точку О ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды пересекают ось Ох в точках а и Ь. Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пере¬ секающая отрезок [а; 6] этой оси в точке х, дает в сечении много¬ угольник, подобный многоугольнику — основанию пирамиды. Поэ¬ тому площадь сечения 5 (х) равна kx2, и, в частности, s = S (a) = ka2 и S — S(b) = kb2. Объем усеченной пирамиды вычисляем по формуле (1): К=$ kx2dx—^-1 0=-|-(b3 — a3)=^:^-(kb2-\-kab-{-ka2) — = f-(s+VS5+s). Пр и м е р 2. Пусть криволи¬ нейная трапеция опирается на от¬ резок [а; Ь\ оси Ох и ограничена сверху графиком функции /, неот¬ рицательной и непрерывной на от¬ резке [а; Ь]. При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох получаем тело (рис. 128, а), объем которого находится по фор¬ муле V =5 л/2 (х) dx. (2) а Рис. 127 189
Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [я; Ь] этой оси в точке х, дает в сече¬ нии с телом круг радиуса f (х) и площади S(x) = nf2(x) (рис. 128, б). Отсюда по формуле (I) получается формула (2). Ф 2. Работа переменной силы. Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы Р по прямой. Если дейст¬ вующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемеще¬ ние равно s, то, как известно из физики, работа А этой силы равна произведению Ps. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой. Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проек¬ ция которой на ось Ох есть функция f от х. При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под дейст¬ вием этой силы материальная точка переместилась из точки М (а) в точку М (b) (рис. 129, а). Покажем, что в этом случае ра¬ бота А подсчитывается по формуле ь A=\f(x)dx. (3) а Разобьем отрезок [а; 6] на п отрезков одинаковой длины Ах — ~^. Это отрезки [я; Х\], [xi; хг], [x„_i; b] (рис. 129,6). Работа силы на всем отрезке [а; 6] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке [a; Xi] работа силы на этом от¬ резке приблизительно равна f (a) (xi — а) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [хг, хг] приближенно равна f (xi) (х2 — Х|) и т. д.; работа силы на п-м отрезке приближенно равна f (xn-i)(b—xn~i). Следо- 0 М(а) —I— мщ —I— М(а) н—ь М(Ь) н—к а) О а=х0 х, х2 ... Л/;-/ хп=Ь х 5) Рис. 129
вательно, работа силы на всем отрезке [а\ b] приближенно равна: и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрез¬ ки, на которые разбит отрезок [а; Ь\ Естественно, что это прибли¬ женное равенство переходит в точное, если считать, что п-*-оо: Поскольку Ап при п—►оо стремится к интегралу рассматри¬ ваемой функции от а до b (см. п. 30), формула (3) выведена. О Пример 3. Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пру¬ жину на 5 см? По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F = kx, где 6— постоянный коэффи¬ циент пропорциональности (рис. 130), точка О соответствует сво¬ бодному положению пружины. Из условий задачи следует, что 3 = 6-0,05. Следовательно, 6 = 60 и сила /г=60л:, а по формуле (3) V 3. Центр масс. При нахождении центра масс пользуются следующими правилами: 1) Координата х' центра масс системы материальных точек А\, А2, ..., Ап с массами mi, т2, ..., т„, расположенных на прямой в точках с координатами Х\, х2, ..., х„, находится по формуле 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. О Пример 4. Пусть вдоль стержня — отрезка [а; b] оси Ох — распределена масса плотностью р (л:), где р (х) — непрерывная функция. Покажем, что: Ап-(1 (a)+f (х,).+ ...+/(*„_,))->-/. Г ~ I 0.05 А= \ 60x:rfx: = 30x J 0 ; Л = 0,075 Дж. © о / __ m |Х| + т2х2 + — + тпХ, Щ\ +/ro + ... + m„ (4) О о) X Рис. 130 191
b а) суммарная масса M стержня равна $ р (х) dx\ а Ь б) координата центра масс х' равна $ лгр (л:) dx. а Разобьем отрезок [а\ b] на п равных частей точками а = — xoCxiCx2C...Cxn = b (рис. 129, б). На каждом из п этих от¬ резков плотность можно считать при больших п постоянной и при¬ мерно равной р (Xk-i) на k-м отрезке (в силу непрерывности р (х)). Тогда масса &-го отрезка примерно равна nik—^-^- p(x*_i), а масса всего стержня равна —-^(р (*о) + р (xi) + ... + P (x„ + i)). Считая каждый из п маленьких отрезков материальной точкой массы ть, помещенной в точке Xk-1, получим по формуле (4), что координата центра масс приближенно находится так: ^ q (*0Р (x0)-f XiP (Xi) + ...+X„_,p (*„_i)) x'n = 4 — (p (*o) + P (*i) + ... + p (x„_i)) Теперь осталось заметить, что при п—+■ оо числитель стремится к интегралу \ лгр (х) dx, а знаменатель (выражающий массу всего а р стержня) — к интегралу ) р (х) dx. а Для нахождения координат центра масс системы материальных точек на плоскости или в пространстве также пользуются фор¬ мулой (4). фА Упражнения 370. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: а) У=х2+ 1, х = 0, х=1, t/ = 0; б) у=-фс, х=1, х=4, у — 0; в) y=^[x, х=1, у = 0; г) у=[—х2, у — 0. 371. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: а) у=х2, у=х\ б) у = 2х, у=х-\-3, л: == 0, х— 1; в) у = х+2, у=\, х = 0, х = 2; г) у=-фс, у = х. 372. а) Выведите формулу объема шарового сегмента радиуса R и высоты Н. 192
б) Выведите формулу объема усеченного конуса высотой Н с радиусами оснований R и г. 373. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см? 374. Сила в 4 Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 8 см? 375. Под действием электрического заряда величиной q электрон перемещается по прямой с расстояния а до расстояния Ь. Найдите работу силы взаимодействия зарядов. (Рассмот¬ рите два случая: 1) a <b, q< 0; 2) 6<а, ^>0. Коэф¬ фициент пропорциональности в формуле, выражающей закон Кулона, считайте равным у.) 376. Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высо¬ той h с основаниями а и Ь. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину (а>Ь, а — верхнее основание трапеции). 377. Вода, подаваемая с плоскости основания в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определи¬ те затраченную при этом работу. Высота бака равна Л, радиус основания равен г. 378. Найдите работу против силы выталкивания при погружении шара в воду. 379. Однородный стержень длиной / = 20 см вращается в гори¬ зонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения со = 10л с-1. Площадь поперечного сечения стержня 5 = 4 см2, плот¬ ность материала, из которого изготовлен стержень, равна р = 7,8 г/см3. Найдите кинетическую энергию стержня. 380. Найдите центр масс однородного прямого кругового конуса. Сведения из истории 1. О происхождении терминов и обозначений. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры матема¬ тики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadrature переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в ан¬ тичное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действи¬ тельных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя пере¬ множать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновели¬ кий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре 7 Заказ 581 193
круга» не может, как известно, быть решена с помощью цир¬ куля и линейки.) Символ J введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы 5 (первой буквы слова summa). Са¬ мо слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероят¬ но, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Дейст¬ вительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функ¬ ция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово in¬ teger означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с пред¬ ложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. Другие известные вам термины, относящиеся к интеграль¬ ному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латин¬ ское слово primitivus переводится как «начальный»: F (х) — =\ f (х)dx — начальная (или первоначальная, или первообраз¬ ная) для / (х), которая получается из F (х) дифференцированием. В современной литературе множество всех первообразных для функции f (х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообраз- ъ ные функции отличаются на произвольную постоянную. А \ f {х) dx а называют определенным интегралом (обозначение ввел К- Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер). 2. Из истории интегрального исчисления. Многие значитель¬ ные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с при¬ менением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н. э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту. Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, пред¬ ложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда. Напомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограни¬ ченном удвоении числа сторон разность площадей этих много- 194
Архимед (ок. 287—-212 до н. э.J — великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер. Глубокие и остроумные идеи Архимеда, связанные с вычислением площадей и объемов, решением задач ме¬ ханики, по существу, предвосхищают откры¬ тие математического анализа, сделанное поч¬ ти 2000 лет спустя. угольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвое¬ нии числа его сторон. С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроум¬ ных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа л^З уу-< <3-у-^ , нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента па¬ раболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: соглас¬ но его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в 2 цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен — объема цилиндра). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, преж¬ де чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые резуль¬ таты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воз¬ зрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 131, а) они представляли себе составленной из вертикаль¬ ных отрезков длиной / (лг), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f (x) dx. В соот¬ ветствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме 7* 195
Риман Георг Фридрих Бернхард (1826—1866) — немецкий ученый, один из крупнейших мате¬ матиков XIX столетия. Сделал замечательные открытия в теории чисел и теории функций комплексного переменного. Заложил основы новой неевклидовой геометрии, получившей название римановой. Создал теорию интег¬ рала, обобщающую результаты Коши. S = 2 f (х) dx а<х<Ь бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. К е п л е р (1571 —1630) в своих сочинениях «Новая ас- Рис. 131 196
Чебышев Пафнутий Львович {1821—1894)— русский математик и механик. Его исследо¬ вания, получившие мировое признание, от¬ носятся к теории приближения функций мно¬ гочленами («многочлены Чебышева» наилуч¬ шего приближения), интегральному исчисле¬ нию, теории вероятностей, теории меха¬ низмов. трономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на беско¬ нечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и и Э. Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях. Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 131,6, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y=f(x) и y=f (х)-\-с. Представляя нашу фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикаль¬ ном направлении, мы можем составить из них прямоугольник с основанием b — а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т. е. S = S\=c {Ь — а). Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур фор¬ мулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Oj и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 131, в). Тогда площади фигур Oj и Ф2 равны. (В духе рассуждений мате¬ матиков XVII столетия мы опускаем оговорки, без которых это утверждение не совсем верно.) Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите, на¬ пример, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы. 197
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой у=хп, где п — целое (т. е. по существу вывел формулу J э?йх=-^-^ х?+х), и на этой основе ре¬ шил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630—1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию свя¬ зи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов. Однако при всей значимости результатов, полученных многи¬ ми чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирова¬ ния, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: диффе¬ ренциальное и интегральное исчисление создано. Методы математического анализа активно развивались в сле¬ дующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эй¬ лера, завершившего систематическое исследование интегрирова¬ ния элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интеграль¬ ного исчисления приняли участие русские математики М. В. О с т- роградский (1801 —1862), В. Я. Б у н я к о в с к и й (1804— 1889), П. Л. Чебышев (1821 —1894). Принципиальное значе¬ ние имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функ¬ ции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прош¬ лом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Р и м а- н а (1826—1866), французского математика Г. Д а р б у (1842— 1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием пло¬ щадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Ж о р д а- ном (1838—1922) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Л е- бегом (1875—1941) и А. Д а н ж у а (1884—1974), советским математиком А. Я. Хинчиным (1894—1959). 198
Лебег Анри (1875—1941) — французский математик. Создатель теории меры (обобщение понятий площади и объе¬ ма), на основе которой разработал новую теорию интеграла. Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Сформулируйте определение первообразной. 2) Докажите, что функция F является первообразной для функции / на /?: а) f {х)=2х + 3, F(x) = x2-(-За:+1; б) f(x) = sin2* + 3, F(x)=-?^+3*; в) f(*) = — *3 + 5, F{x)=—^-+5*+2; r) f (*)=— cos^-+l, F(x)= — 2 sin -y+x. 3) Является ли функция F первообразной для функции / на заданном промежутке: а) F (х) = х2 — х, f (х) = 2х—1 на/?; б) F (x)=-j^ — sin х, f(x) =—— cos* на/?; в) F(x)=x?+\, f(x)=-j-+x на /?; г) F (x)=x+cos x, f (x)= 1—sin x на /?? 2. 1) Сформулируйте признак постоянства функции на заданном промежутке. Сформулируйте основное свойство первооб¬ разной. 2) Запишите общий вид первообразных для функции: а) f {x) — kx-\-b (k и b — постоянные); б) f(*)=~'> в) f(x)=xn (п — целое число, пФ — 1); г) f (х)=cosx. 199
Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке: f (x) = sin х — cos х, F(n)=\; 6) f — —“т > i7 (3) = 5; f(x)=2x-5, F( l)=-2; r) f (x)=-L, , F( 6)= 10. л/jc—2 3. 1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных. 2) Найдите общий вид первообразных для функции: f(x) = sin Зле —; б) /(х)=3 1 cos 2 х 2 V* ’ в) f (х)=(4 — 5л:)3 —(2л,-_ 1)3 ; г) f(x)=x— 10 cos 2*. 3) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=(2-3х)2, ЛГ(1; 2); б) /(*)=sin 2*. м(-=-; -2) ; в) /(х)=л/2 cosx, м(-2-; 2); г) f (*)=__> М (0; 3). 4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запи¬ шите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. 2) Приведите примеры криволинейных трапеций. 3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную дан¬ ными линиями, и найдите ее площадь: a) t/ = sin xf у = 0, * = -£-, х = ^~> б) У=—х3> У = *=—2; в) у = (х — I)2, г/ = 0, х=3; г) у = 3— 2х —х2, у = 0, х = 0, х=—2. 5. 1) Объясните, что такое интеграл. 2) Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите ин¬ теграл: 3 2 л 3 f dx ; б) \ ; в) \ sin xdx\ г) $ x?dx. (х+10)2 ’ ' J ^ -3 T 3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) t/ = x2, у = Зх; б) у = х2 — 4х + 6, у= 1, х=1, х = 3; £/=4 — х2, t/ = 3; г) t/ = cos х, у=1, х=—у-,
Глава IV ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ § 9. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ 32. Корень л-й степени и его свойства 1. Определение корня. С понятием квадратного корня из чис¬ ла а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень л-й степени из числа а, где л — произвольное натуральное число. Определение. Корнем п-й степени из числа а называет¬ ся такое число, п-я степень которого равна а. О Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3, так как З3 = 27. Числа 2 и —2 являются корнями шестой степени из числа 64, поскольку 26 = 64 и (— 2)6 = 64. ф Согласно данному определению корень n-й степени из числа а — это решение уравнения х?1 = а. Число корней этого уравнения зависит от п и а. Рассмотрим функцию f(x) = xn. Как известно, на промежутке [0; оо) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из промежутка [0; оо). По теореме О корне (п. 8) уравнение хп = а для любого а£[0; оо) имеет неотрицатель¬ ный корень и притом только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени из числа а и обозначают °фа\ число п называ¬ ется показателем корня, а само число а — подкоренным выраже¬ нием. Знак корня -у[~ называют также радикалом. Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, л-я степень которого равна а. а) 3/8 = 2, так как 23 = 8 и 2>0; ^ \[ъ\ 3 / 3\4 81 3 ^ А б> Vi6=T- так (.ТУ =16 и т>0- • При четных п функция f(x) = xn четна. Отсюда следует, что если а>0, то уравнение хп = а, кроме корня хх =ija, имеет также корень х2 =—уа. Если а=0, то корень один: * = 0; если а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень лю¬ бого числа неотрицательна. Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует. О Пример 2. Найдем значение: а) ^8; б) 201
О Пример 3. Уравнение л:4 = 81 имеет два корня: это числа 3 и —3. Таким образом, существуют два корня четвертой сте¬ пени из 81. При этом — это неотрицательное число, т. е. V8T = 3, a -3=-V8l. Пр и мер 4. Положительным корнем уравнения х4 = 3 яв¬ ляется число V3. Это число (так же, впрочем, как и число —\fd) иррационально. Его десятичные знаки можно вычислить после¬ довательно: 1<УЗ<2, так как 14<3<24; 1,3<\/3<1,4, так как 1,34<3<1,44 и т. д. (убедитесь, что $J3= 1,31607...). # При нечетных значениях п функция /(jc) = jcn возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение х? = а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а от¬ рицательного) обозначают Sja. Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один. Для корней нечетной степени справедливо равенство V—а— В самом деле, (_^)«=(_ 1)".(^)и = -1 -а = -а, т. е. число —л[а есть корень п-й степени из —а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно, л1~а= Равенство V—а — —°\/а (при нечетном п) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифме¬ тический корень той же степени. Например, V—71=—^71, V—27=—V27==—3. Замечание 1. Для любого действительного х ц.К*—[ 1*1» если п четно; * I х, если п нечетно. (Докажите это свойство самостоятельно.) Замечание 2. Удобно считать, что корень первой степени из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозна¬ чают просто -у7). Корень третьей степени называют кубическим корнем. О Пример 5. Решим уравнение: а) х5= — И; б) хъ — 7. а) По определению корня n-й степени число х — корень пятой степени из —11. Показатель корня — нечетное число 5, 202
поэтому такой корень существует и притом только один: это V— П. Итак, х— —\/ТТ. б) По определению корня п-й степени решением уравнения х8 = 7 является число V7• Так как 8 — число четное, —у7 также является решением данного уравнения. Итак, Х\=у7, Xz=—V7• Ответ можно записать так: х= =Ь V?- # 2. Основные свойства корней. Напомним известные вам свой¬ ства арифметических корней п-й степени. Для любого натурального п, целого k и любых неотрица¬ тельных чисел а и b выполнены равенства: 1°. 2°- Vf{ьфо)- з°. V\^="Va (£>о). 4°. qja — n\fak (k > 0). 5°. 1VoF=(Va)fe (если £<0, то афО). Докажем свойство 1°. По определению l\Jab — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна ab. Число ^[a-ijb неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справед¬ ливость равенства (t\[a-!\[b)n = ab, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня п-й сте¬ пени: (Va • W=(л/а)п • (л/ьу = ab. Аналогично доказываются следующие три свойства: 3£>0 И №n = J№L=:±-; V& 'W (Щп ь и (V^‘=((VWf=(VS)‘=a; и (Var=((Va)n)fe=afe. Докажем теперь свойство 5°. Заметим, что n-я степень числа (л/af равна ак: ((л/я/Т = (л/а)ы = ((л/я)”)* = а*- По определению арифметического корня (!\/а)к=1\1^ (так как (Va)*^0). Приведем примеры применения свойств 1° — 5° к решению за¬ дач на преобразование числовых выражений, содержащих корни. О Пример 6. Преобразуем выражения: а) \/8 • б) ; в) VW; О 2VT28; а), У1285. a) V8-V4=V^4=V32 = 2 (свойство 1°); б> (свойс™о 2°); 203
B) VV^=IV7 (свойство 3°); г) 2-\/l28 = 2J\/27—\/2 (свойство 4°); д) применяя свойство 5°, находим У1283 = (У128)3 = 23 = 8. ф Докажем следующее свойство арифметического корня: 6°. Для любых чисел а и Ь, таких, что О^асЬ, выполняется неравенство у/а<У&. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что °\[а л]Ъ. Тогда по свойству степеней с натуральным показате¬ лем (Уа)"т. е. а^Ь. Это противоречит условию a<Cb. О Пр и м е р 7. Сравним числа д/2 и УЗ. Представим У2 и У/3 в виде корней с одним и тем же показа¬ телем: У2 = 1У¥= 1У32, а у/3 = 1У33= 1д/27 (свойство 4°). Из нера¬ венства 32 >27 по свойству 6° следует, что ‘У32>1У27, и, зна¬ чит, V2>V3. Пр и мер 8. Решим неравенство x6>20. Это неравенство равносильно неравенству х6— 20>0. Так как функция f(x) = x6 — 20 непрерывна, можно воспользоваться мето¬ дом интервалов. Уравнение х6 — 20 = 0 имеет два корня: У20 и —V20. Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка. Решение данного неравенства — объединение двух из них: (-оо; -V20) и (V20; оо). ф Упражнения Проверьте справедливость равенств (381—382). 381. а) -\/Тб = 2; б) У^Т= —1; в) 'УТ024 = 2; г) У-243=-3. 382. а) *УГ=1; б) Уб4 = 2; в) V—343=— 7; г) ‘Уб=0. Вычислите (383—384). 383. а) У—27; б) УвТ; в) У-32; г) Уб4. 384. а) д/1; б) д/|1; в) д/1|; г) \J1L. Решите уравнения (385—388). 385. а) х3-\-4 — 0; б) л6 = 5; в) л3 = 4; г) л:4= 10. 386. а) л:10—15 = 0; б) л7 + 128 = 0; в) л6 —64 = 0; г) г’ = 3. 387. а) 16л;4— 1 =0; б) 0,01л3+10=0; в) 0,02л6 — 1,28 = 0; г) 12-|—4-*2 = 0. 4 4 388. a) У*= — 0,6; б) \[х=3\ в) д/л=5; г) л]х= — 1. Найдите значение числового выражения (3,89—394). 389. а) (—VTГ)4; б) (2 У=^2)5; в) (У7)3; г) (~Ф)6. 204
390. a) V16-625; б) V32-243; в) У8-343; г) V9,0001 • 16. 391. а) VI60-625; б) V24*9; в) V48*27; г) У^Г45. 392. a) V9-V9; б) Vie-V^; в) V^-V9; г) м, а, „ & ^ а> У к.-..»....-. -V^iy/-3^ б> V 5 / 24? 3 / 717* ч 4 /77 ГТ . V5 В) V 1024 V 27 * "V 8*2 ^8о * 395. Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа: a) V2; б) V5; В) т/7; г) V3. Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли¬ женное значение корня с точностью до 0,01 (396—397). 396. a) V10.17; б) V?Т; в) УТЗ^Н; г) ЦП. 397. a) V137; б) VlO; в) г) ^Дз. Сравните числа (398—401). 398. a) V02 и 0; б) 'Щ* и ‘-дД- ; в) УП8и1;г) У02иУбД 399. a) 4-V2 и (Vi")2’ б> 'Vf" И В) V3; г) lV08 и 1. 400. а) л/^З и V^05; б) V4 и V»; в) V7 и V4*); г) л/5 и V500- 401. а) V—0,4 и У=7^3; б) и в) У^2 и \Т^4; г) У^5 и V=3. 402. Вынесите множитель за знак корня (а>0, 6> 0): a) V64a8&“; б) V“ 128а7; в) Уба12Ь6\ г) V^4^- 403. Внесите множитель под знак корня (а>0, Ь>0): а) — b\j3; б) ab~\/; в) а\17\ г) —ab У—4. а При каких значениях а верно равенство (404—405) ? 404. a) -yfa2=—a; б) Уа? = а\ в) Уа5=|а|; г) \[аА = а. 405. а) У<?= — а; б) Уа® = ~а\ в) \[а4—\а\; г) ^fcF^a. 205
Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406—407). 406 а) 3 • 61 . в\ 1 . г\ 1 * ' л/7—л/5 ’ ' а+л/2 ’ л/5 + л^’ л/б-1 ' 407. а) ; б) ; в) -i—; г) . V2 2 -\/х xSfi 3 Приведите числовое выражение к виду a у/б, где а — ра¬ циональное число, а b — натуральное (408—409). ,ЛО ч 2 . 6 ч 3 . . 10 \f4 ’ У27^2Ь ’ * \[\2 ’ V® 409. a) 'V255; б) \Jв) г) л/^- 410. Решите уравнение с помощью подстановки t=\[x или t=^Jx: а) У* — 5У*4-6=0; б) У* + л/* = 2; в) у/х —Зу/* + 2 = 0; г) у/х — Ъ^/х — б. Решите неравенства (411—412). 411. а) х4<3; б) *">7; в) *10>2; г) х3<5. 412. а) Ух<—7; б) в) V*>2; г) 3. Упростите выражения (413—414). 413. a) W5, гАе ^<0; б) Vo4, гДе в) Va5; г) -л/а*, где а^0. 414. a) Уо3—у/а5, где а<0; б) \/с?-\-2\[аг, где а^0; в) гДе г) гДе а<0. 415. Найдите значение выражения: a) Vl0+V73-Vl0—V73; б) +VT7; V4-VI7 в) V9-V65-V9+V65; г) V3—>/5-V3+V5. 416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала: ч 1 2 v 2 ч За а) б) —гтг; в) т^гг;dr» г) V2 — V3 ’ a-Vfe ’ V& + V7 ’ Va2-V^+W ’ 33. Иррациональные уравнения Уравнения, в которых под знаком корня содержится перемен¬ ная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение У*-2 = 0.
0 Пример 1. Решим уравнение д/х2—5=2. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим х2 — 5=4, откуда следует, что х2 = 9, т. е. х=3 или х= —3. Проверим, что полученные числа являются решениями урав¬ нения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение по¬ лучаются верные равенства д/3^5 = 2 и V(-3)2“5 —2. Следовательно, х = 3 и х =—3 — решения данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение д/х=х —2. Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х=х2 — 4а:+ 4. После преобразований приходим к квадратному уравнению х2 — — 5* -+- 4 = 0, корни которого х= 1 и х = 4. Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получаем верное равенство -д/4 = 4 — 2, т. е. 4 — ре¬ шение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части —1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения. Ответ: х = 4. ф Мы видим, что при решении иррациональных уравнений по¬ лученные решения требуют проверки, потому, например, что не¬ верное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = — 1 при возве¬ дении в квадрат дает верное равенство 12 = (—I)2. О Пример 3. Решим уравнение д/х2 — 2=д/х. Возведем обе части этого уравнения в квадрат: х2 — 2 = х, от¬ куда получаем уравнение х2—х — 2 = 0, корни которого х=—-1 и х = 2. Сразу ясно, что число —1 не является корнем данного уравнения, так как обе части его не определены при х— — 1. При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство д/22 —2= д/2. Следовательно, решением данного уравнения явля¬ ется только число 2. Пример 4. Решим уравнение д/х — 6 = д/4 — х. Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем х —6 = 4 — х, 2х=10, х = 5. Подстановкой убеждаемся, что чис¬ ло 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений, ф Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. О Пример 5. Решим уравнение д/х — 2=х — 8. По определению д/х — 2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими сло¬ вами, уравнение д/х —2 = х — 8 равносильно системе { х-2 = (х—8)2, I х—8>0. 207
Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению *2— — \7х + 66 = 0, получим корни 11 и 6, но условие х — 8^0 выпол¬ няется только для *=11. Поэтому данное уравнение имеет один корень *=11. Пример 6. Решим уравнение *— 1 =У*2—*— 1. В отличие от рассмотренных ранее примеров данное ирра¬ циональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы «избавиться от ради¬ кала», надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: (*—1)3 = *2 — *—1. После преобразований получаем: *3 — 3*2 + 3*— 1 =*2—* — 1, *3 — 4*2 + 4* = 0, * (*2 — 4*4-4) = 0, * (* — 2)2 = 0. Итак, *i=0, *2 = 2. Пример 7. Решим систему уравнений (Vh-\£=4, I х-\-у = 28. Положив м = У* и v=\fy, приходим к системе Г «4-« = 4, \ U3 + V3 = 28. Разложим левую часть второго уравнения на множители: uz-{-v3 = (u-\-v)(u2— uv-\-v2)— и подставим в него из первого уравнения u-\-v = 4. Тогда получим систему, равносильную второй: I и-1-0 = 4, 1 и2 — uv-\-v2 = 7. Подставляя во второе уравнение значение «, найденное из первого (« = 4 — и), приходим к уравнению и2 — и (4 — «)+(4 — и)2 = 7, т. е. и2 — 4ы + 3=0. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: «1 = 1 и «2 = 3. Соответствующие значения v таковы: «1 = 3 и «2 = 1. Пе¬ реходя к переменным хну, получаем: V* = «i, т. е. *1 = «3=1, y\ = v\ = 27, *2 = «2 = 27, y2 = vl — \. От в е т:.(1; 27), (27; 1).ф Упражнения Решите уравнения (417—420). 417. а) у*4+19 = 10; б) У*2 —28 = 2; в) Уб1-*2 = 5; г) У* — 9 = — 3. 418. а) у*+1=*-5; б) *+У2* +3 = 6; 208
в) д/2*— 1 =х — 2; г) 3+д/ЗлГ+Г=х. 419. а) -\j2x-j-1 =д/л:2 —2л: + 4; б) -\Jx--yJx2 —х — 3; в) д/л:+2 = д/2л: — 3; г) д/9 — х2=Ул:+9 420. а) л:=д/л:3-f*2 —6л:+8; б) х—2=\/х2—8; в) х=Ух3 — х1 — 8л: + 20; г) л:+1 =V*3 + 2a:2+*- 421. Решите систему уравнений: a) (Ух + 2 д/у=1, б) / 4 V* — У*/ = 2 д/2, 13 V*-\^=10; *2 д/^+З д///=8 д/2; в) | 2 V^+V^=7, г) | д/х+3 д/^=5д/5, I 4 V*/- 3 V* = 6; 1 5 д^- 2 д£=д/5. Решите уравнения (422—425). 422. а) д/л:+1 д/* + 6 = 6; б) -§±4г=л/*-1; -\/2лг — 1 в) ^±lr=V3*+2; г) д/л: д/2 —л: = 2л:. У*—2 423. a) -\/5+V* + 3 = 3; б) д/л/*2-16+* = 2; в) 18 — д/x-f- 10 =4; г) v*—V*2 — 5 = 1. 424. а) д/jc — 3 = 1 +У* — 4; б) д/*+2 —д/к —6 = 2; в) 24-д/Ю—л:=д/22 — л:; г) У1—2л: — 3=У16+х. 425. а) д/л:—3 — 6 = д/х—3; б) У*-|" 1 ~Ь 2 Ух -f-1 = 3; в) д/х—5 = 30 —Ух —5; г) 3‘У*2-3+УУ!-3 = 4. Решите системы уравнений (426—427). 426. а) /2д[х—— б) ( Уб+х-ЗУЗ*/ + 4=- ^ У* д/5=3; 14УЗ^ + 4 —5Уб+л:=| в) / д/х + 3 д/*/=10, г) \ 2 Ух — 2+У51/-И =8, 1 д/х д/*/=8; 1 зУх-2-2У5у+1 = 427. а) | д/*+д^=8, б) / У*+У*/=5, 1 х — у= 16; 1 лт/ = 216; в) | д/х—Vy=4, csT и £ 1 S и, 1 л:—у = 32; t''.' см II 34. Степень с рациональным показателем Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Выражение ап определено для всех а и п, кроме случая а=0 при п^.0. Напомним свойства таких степеней. 209
Для любых чисел а, b и любых целых чисел тип справедливы равенства: am-an = am+n; am:an = am~n (,афО); (am)n = amn\ (abr=a?-b\(jr)'[ЬФ0); a}—a\ a° = l (аф0)ш Отметим также следующее свойство: Если m>n, то ат>а" при 1 и ат <ап при 0<а<1. В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав 5 1 смысл выражениям типа 20,3, 8 7 , 4 2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, т п-я степень числа ап должна быть равна ат. Действительно, если свойство {aP)q = apq выполняется, то т (ап)п = ап'П = ат. Последнее равенство означает (по определению корня п-й т степени), что число а п должно быть корнем п-й степени из чис¬ ла ат. Определение. Степенью числа а > 0 с рациональным по¬ казателем г==~> гДе m — целое число, ап — натуральное (я > 1), называется число Итак, по определению m (1) Степень числа 0 определена только для положительных по¬ казателей; по определению 0Г = 0 для любого г>0. О Пример 1.По определению степени с рациональным показа¬ телем 7 7 =V7; 2* =У^5=У32; а'^^МсГ1. 2 Пример 2. Найдем значения числовых выражений 83, 81 \ 128 ~ 7 . 210
Воспользовавшись определением степени с рациональным пока¬ зателем и свойствами корней, имеем 83 =У8 = 2, 81 4 =\/8Т3 = 2 =(УвТ)3 = З3 = 27, 128 7 =VT28^=(Vl28)_2 = 2“2=-j- Ф Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и лю¬ бого рационального г число аг положительно. Замечание 2. Любое рациональное число допускает раз¬ личные записи его в виде дроби, поскольку ~=^ для любого на¬ турального k. Значение аг также не зависит от формы записи рационального числа г. В самом деле, из свойств корней следует, mk т что апк=пУаш=Уа^ ==а п . Замечание 3. При а<0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для а< О, то, например, значение (— 8)3 равня- I 2 лось бы у —8, т. е. —2. Но, с другой стороны, —=—, и поэтому 1 — должно выполняться равенство —2=( — 8)3 =( — 8)6 =У( — 8)2— =fy85=2. Покажем теперь, что при сформулированном выше определе¬ нии степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница за¬ ключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований). Для любых рациональных чисел г и s и любых положитель¬ ных а и b справедливы равенства: 1°. ar-as=ar+s. 2°. ar:c? =ar~s. 3°. (ar)s=ars. 4°. (ab)r = ar-br. s°(f )'=£• Для доказательства этих свойств надо воспользоваться опре¬ делением степени с рациональным показателем и доказанными в п. 32 свойствами корней. Докажем, например, свойства 1°, 3°, и 4°. Пусть ^=-— и s==~"> гд>е п и Я — натуральные числа, a m и р — целые. Тогда mq-\-np d-as = УсГ• УаР = n<\Jamq+np=a nq =ar+s\ 211
(ab)r=VOab)m = =*\[сГ * = ar-br. Свойства 2° и 5° доказываются аналогично (проведите соот¬ ветствующие рассуждения самостоятельно). , 3 О Пример 3. Найдем значение выражения 4:5 4. J- _ 1 J. А 3 . 1 1 I 3 У40*24:5 4 =^2375.24 -54 = 24 + 4 -5Т+4 =2'-51 = 10. Пример 4. Преобразуем выражения: I I a* —h* J’2 и2-1 а) - —; б) 0 ~Ь 1 1 1 I а0'8+«П°'7 + Ь1’4 ‘ а 4 +6 4 2^ 1 1 liii а) ^~Ь~2 _(flT)2-(fcT)2 (fl7-fc7)(flT+fc4)_ Т JL Т *11 11 11 и и а4 +64 а4 +64 а4 +64 „1.2 1,2,1 /l°.7\3 б) g—Т° ^ (а Г —(ft ) г^д0-4 h0-7 Ш а0’8 + a°'V'7+b М (а0-4)2 + a°'4fe°'7-|- (fe0-7)2 Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями: 6°. Пусть г — рациональное число и 0<а<6. Тогда аг<ЪТ при г>0, ar~>br при г С 0. 7°. Для любых рациональных чисел г и s из неравенства r>s следует, что ar > as при а > 1, ar <cf при 0 < а С 1. Докажем свойство 6°. Если г>0, то г можно записать в виде г~~' гДе m И п — натуральные числа. Из неравенства 0<а<Ь и свойств степени с целым показателем следует, что am<bm. По свойству корней (свойство 6°, п. 32) из этого неравенства полу¬ чаем V^<V^\ т-е- °г<ьг. В случае г<0 проводится аналогичное рассуждение. Для доказательства свойства 7° приведем сначала рациональ¬ ные числа г и s к общему знаменателю: г—— и s=-^~, где п — п п натуральное число, a m и р — целые. Из неравенства r>s сле- 212
дует, что m>p. Если а>1,тоа"=Уа>1 и по свойству степени с цел ым показателем (а п )т > (а п )р. lm I р Остается заметить, что (ап)т = ап=аг и (an)p = an=as. Случай 0<а<1 разбирается аналогично. О Пример 5. Сравним числа ^8 и 23 Запишем д^8 в виде степени с рациональным показателем: А — А д/8 = 25. По свойству 7° получаем 23>25, так как и О Пример 6. Сравним числа 2300 и З200. Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показате¬ лем: 230° _^23)100 — 8100' 3200 = (32)|00 = 9100 Так как 8<9, по свойству 6° получаем: 8100<9100, т. е. 2300 < 3200. в Упражнения 428. Представьте в виде корня из числа выражение: а) З1-2; б) 5 3 ; в) 41-25; г) б‘ 4 429. Представьте выражение в виде степени с рациональным по¬ казателем: а) Уа~2; б) в) 'У^7; г) М¥. Найдите значение числового выражения (430—431). 430. а) 243”; б) (2Е) \ в) 167; г) (g)\ 1 1 з 431. а) 82:(86 -92 ); б) VT00-(^)3-(У) ; в) 8^: 81-; г) (l §)"М. (4§ ) ' 213
Разложите на множители (432—433), 432. а) (а*)3+(ш/) , б) а —а ; в) 3 + 3, г) (За:) 1111 11 433. а) х3у3 —х3 —у3 +1; б) с2+с4; 1 1111 в) 4 — 43 ; г) а + Ь2+а2+а2Ь2. Упростите выражения (434—435). 434. а) ■ б) ; а2 —Ь 2 z 3 +223 +4 i х2 —4 . а-\-Ь х—16 В) v 1R » Г) 2 1 1 2 а3 — а3 435. а) -Г*^Т. ХЦ+ХУ ; б) _2^1_:4±L х4 +х2у* х2 +у2 а + а24-1 а2—1 (1 , 1 \ а3 — Ь3 11^ II Г^+56 + ft5 а+а2 Ь2 а—а2Ь2 / У*+ 1 X + X + X2—\fx 436. Сравните числа: i5 a) W » 3T; 6)0.4“” и (-f-) 7 ; в) ^ и 61,7; г) (4) 3 и У! 437. Найдите значения выражения: _1 _1 з ... 5 1 1 _ll "3" / о\-2с/1 з О з I /п0\2. б)0,001 J -(-2)-264 3 - 8 3+(97 - / 1 \ ~0-75 в) 273 +(1) -25° -'I г) (—0,5)-4 — 6250’25— (2-i-) +19( —З)-3. 214 -(5х)2 . 2а2 ;
438. Упростите выражение: \_ я\ а-1 л/g+Vo 4+1. Ч^+Т^Ч'+д+т-) ’■ в) S' а3 + 3а 3 ft 3 +9ft 3 г) (_■ »e±i.W»L_J. +JJ). V m+V2 m3 + 2У2/ \ 2 m ) 439. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем: а) У25-mr3; б) \ja2^Ja\ в) УР'-МЕ', г) -д/27 У* . 440. Представьте выражение в виде корня: _3 3 _2 2^ 2 а) 3*2 5; б) а45 ; в) 2Ь 3; г) . 441. Сравните числа: а) (л/З) т и Л/З-'-уД-; б) З600 и 5400; _ 5^ в) (-J-) 7 и У2-2'1; г) 730 и 440. 442. Имеет ли смысл выражение: _1 — — — а) (-3) 7; б) (—2)~4; в) 53; г) 0 7? 443. Найдите область определения выражения: _2 2 _2 2 а) (*+1) 7\ б) х5 \ в) х 4; г) (л —5)3. 444. При каких значениях переменной верно равенство:
§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 35. Показательная функция 1. Степень с иррациональным показателем. Зафиксируем по¬ ложительное число а и поставим в соответствие каждому числу т число ап. Тем самым получим числовую функцию f(x) = ax, определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую перечисленными в п. 34 свойствами. При а— 1 функция f(x) = ax постоянна, так как 1*=1 для любого рационального х. Нанесем несколько точек графика функции у = 2х, предва¬ рительно вычислив с помощью калькулятора значения 2х на отрез¬ ке [—2; 3] с шагом (рис. 132, а), а затем с шагом (рис. 132, б). 4 8 Продолжая мысленно такие же построения с шагом , ^-ит. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функ¬ ции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой т и принимающей значения 2" в рациональных точках х = ^- (рис. 132, в). Построив достаточно большое число точек графика функции у=^—^ , можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция у=^^ убывает на R. Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2® и Для каждого иррационального а, что функ- (X _I_J , будут непрерыв¬ ными, причем функция у = 2х возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой. Опишем в общих чертах, как определяется число аа для иррациональных а при а> 1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = ах была возрастающей. Тогда при любых рациональ¬ ных г\ и г2, таких, что г\СаСг2, значение аа должно удовлет¬ ворять неравенствам а'1 саасаГ2. Выбирая значения г\ и г2, приближающиеся к х, можно заме¬ тить, что и соответствующие значения а'1 и а'2 будут мало отли¬ чаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех а'1 для всех рациональных п и меньше всех а'2 для всех рациональных г2. Это число у по определению есть а“. 216
Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2х в точках хп и х'„, где хп и х'п — десятичные приближения числа x=V3, мы обнаружим, что, чем ближе хп и х'п к -л{3, тем меньше отличаются 2*п и 2х". Так как 1<^3<2, то 2' = 2<2^<22=4. 1,7<-\/3<1,8 и, значит, 21'7 « 3,2490096 < 2^ < 21 >8 « 3,4822022. Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближе¬ ния д/3 по недостатку и избытку, приходим к соотношениям: 2173« 3,3172782 < 2^ < 2174 « 3,3403517; 21 -732« 3,3218801 < 273 < 21 -733« 3,3241834; 217320« 3,321801 <2V3<21-7321 «3,3221104; 2i.73205 _ зз219952 < 2^ < 2' •73206 « 3,3220182; 21.73205° _ 3>3219952 < 2^< 21-73205*« 3,3219975. Значение 2вычисленное на калькуляторе, таково: 2^ «3,321997. Аналогично определяется число аа для 0<а<;1. Кроме того, полагают 1а=1 для любого а и 0а=0 для а>0. 2. Свойства показательной функции. Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, аФ 1), называется показательной функцией с основани¬ ем а. Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса). 1. Область определения — множество R действительных чисел. 2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел. 3. При а> 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a< 1 функция убывает на множестве R. Графики показательных функций для случаев а> 1 и0<о<1 изображены на рисунках 133—134. 4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства ахау = ах+у\ ^-=ах~у\ ау (aby=cfbx; (ах)у — аху. 218
Эти формулы называют основными свойствами степеней. Свойства 3 и 4 означают, что для функции у = ах, определен¬ ной на всей числовой прямой, остаются верными свойства функ¬ ции у — ах, которая сначала была определена только для рацио¬ нальных х (см. свойства 1° — 7°, п. 34). Упражнения 445. Перечислите свойства функции и постройте ее график: а) у = 4х; б) у = 0,2"; в) у = 0,7х-, г) у = 2,5". 446. Найдите область значений функции: а) у=— Т\ б) У=(-$-) +1; в) у= — (^-) ; г) у = 5х —2. 447. Сравните числа: а) (-7”) и 1; б) 3-^ и (4-)“; У5 в) 2,5-^ и 1; г) 0,3^ и 0,33. 448. Вычислите: а) ((л/2)^; б) 3'-2V3.9i+V3; в) 8V2;23V2; г) (3^)4 Упростите выражения (449—450). 449. a) ; б) хл-Ух2:хАл\ в) (а^; г) у^-у1'3:\[у^. ДСП я\ , .. (q2V5~1 )(^2V5 + ^ + a3^) . 219
а 3 +а 3 Ь3 +Ь 3 451. Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения: 452. Пользуясь полученными в задаче 451 результатами, най¬ дите значения 10^ и Ю^5 с точностью до 0,2. 453. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая — убывающей на множестве R: 455. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на /?'. 459. Верно ли, что показательная функция f{x)=ax: а) имеет экстремумы; б) принимает наибольшее значение в некоторой точке хо\ в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю; г) является четной (нечетной)? а) 10м1 и 10м2; б) 10мм и 10м'5; в) 102-23 и 102-24; г) 102'236 и 102-237 . а) у=(^)\ 6) у=(ф-2Г, у=^ 454. Найдите область значений функции: а) у = З'+'-З; б) у= |2‘-2|; в) у=(-j-)' ' + 2; г) у=4ы. (1 \ sinx .1 -L) ; б) у=5 + 3'“*'; | sin x| 2. 456. Найдите знак корня уравнения: a) (-i-)*=10; б) 0,3х = 0,1; в) 10х = 4; г) 0,7Х = 5. Решите графически уравнения (457—458). 458. a) 3,-x = 2jc— 1; в) 2х — 2=1 —х; г) 4х = 5 — х. б) 4х-р 1 = 6 — х; г) 3-х=- —. 7 X 220
36. Решение показательных уравнений и неравенств 1. Уравнения. Рассмотрим простейшее показательное урав¬ нение ах = Ь, (1) где а>0 и аФ 1. Область значений функции у = ах — множество положительных чисел. Поэтому в случае b<L 0 или Ь= 0 уравне¬ ние (1) не имеет решений. Пусть Ь>0. Функция у = ах на промежутке (—оо; оо) воз¬ растает при а> 1 (убывает при 0<а<1) и принимает все по¬ ложительные значения. Применяя теорему о корне (п. 8), полу¬ чаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном от 1, и b > 0 имеет единственный корень. Для того чтобы его най¬ ти, надо Ь представить в виде Ь = ас. Очевидно, что с является решением уравнения ах = а° (рис. 134). О П р и м е р 1. Решим уравнение 7Х~2 = У49. Заметим, что 49 = 72, а У49 = 73. Поэтому данное уравнение можно записать в виде 7Х_2 = 73. Следовательно, корнями дан¬ ного уравнения являются такие числа х, для которых х — 2 = =-|-, т. е. х = 2 -|-. Ответ: х — 2 -|-. Пример 2. Решим уравнение 5A*-2x-l = 25. Перепишем его в виде 5*2_2х_1 = 52. Корнями этого уравне¬ ния являются такие числа х, для которых х1 — 2л:—1=2. При¬ ходим к квадратному уравнению, корни которого — числа 3 и — 1. О т в е т: 3; — 1. Пример 3. Решим уравнение 6х+1 + 35-6х_1 = 71. Заметим, что 6Х+1 = 36 • 6Х_ 1. Поэтому данное уравнение можно записать в виде 36«6х-1 + 35*6х-| = 71, f. е. 71*6Х~‘=71, откуда 6х-1 =6°, х—1=0, х = 1. Ответ: 1. Пример 4. Решим уравнение 4х — 5 *2* +4 = 0. Сделаем замену переменной t = 2х. Заметим, что 4Х = (2*)2 = /2. Поэтому данное уравнение принимает вид /2 — 5/+ 4 = 0. Найдем решения этого квадратного уравнения: t\ — 1 и h~4. Решая уравнения 2х = 1 и 2х = 4, получаем х = 0ил = 2. Ответ: 0; 2. ф 2. Неравенства и системы уравнений. Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функ¬ ции у = ах: эта функция возрастает при а> 1 и убывает при 0 СаС 1. ОПример 5. Решим неравенство 0,57—3jcс4. Пользуясь тем, что 0,5~2 = 4, перепишем заданное неравен¬ ство в виде 0,57-3х<0,5-2. Показательная функция у = 0,5х убы¬ вает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 — Зл:>—2, откуда х<3. Ответ: (—оо; 3). 221
Пример 6. Решим неравенство 6х’+2х>63. Показательная функция у = 6х возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х -\-2х>Ъ, решая которое, получим ответ: (—оо; —3) и (1; оо). (1 \ х 28 —j —-gl+l Ь3<0. Сделаем замену » тогда — t2 и неравенство пе- 28 1 репишется в виде t2—г-^-|-3<;0, откуда —etc9. Следова- О о тельно, решением данного неравенства являются числа х, удов¬ летворяющие неравенством '^■<(4") <9. и только такие числа. Но , 9=(у) , а функция убывает, посколь- 1 1/1\х ку —<1. Поэтому решением неравенства —<(—) <9 будут числа х, удовлетворяющие неравенствам — 2<Сх<1. Ответ: (-2; 1). Пр и м е р 8. Решим систему уравнений ( 2х + 2*=12, \ 32х~у = 3. Из второго уравнения системы находим 2х — у= 1, откуда у = 2х—1. Подставляя вместо у в первое уравнение выраже¬ ние 2х — 1, получим 2х + 22х "1 = 12, откуда 2х 4- у~ 22х = 12. Обо¬ значив 2х через t, приходим к квадратному уравнению t2-\-2t — — 24 = 0, откуда /, = —6; /2 = 4. Уравнение замены 2Х=— 6 ре¬ шений не имеет. Корнем уравнения 2х=4 является число х — 2. Соответствующее значение у равно 3. Ответ: (2; 3). Ф Упражнения Решите уравнения (460—464). 460. а) 4*=64; б) (-1)‘=27; в) 3*=81; г) (-Й*=5Г «'• а> (4-)Чт)‘=§; б> в) ^-^=36; г) (-f-) =(|) 462. а) з6-=33'-2; б) , в) V^=9; Г) 2xJ+2x-°'5 = 4V2. 463. а) 7х+2 + 4-7х+, = 539; б) 2-Зх+1-Зх= 15; в) 4х+,+4х = 320; г) 3.5х+3 + 2-5Х+1 = 77. 222 > Зх+ 1 / у \ 5х — 3
464. а) 9х—8-Зх—9 = 0; б) 100х—1Ы0*+10 = 0; в) 36х—4-6х—12 = 0; г) 49х —8*7х + 7=0. 465. Решите систему уравнений: . [ 4Х+У = 16, ( 63х-^=у/б, a) I Дх+2»-1_,. о) » l4x+2*-i = l; иМ2,-2,= 1 { (=■--г, {«Г- ^ 3*-» + 2 = 27; I 79х-у=л]1 V2’ = 25, в) Решите неравенства (466—467). 466. а) (-+>27; б) (-#)*<JL; в) 0,2*<^-; г) (1.5)*<2,25. 467. а) 45“2*<0,25; б) 0,37+4‘> 0,027; в) 0,42*+|>0,16; г) 32“*<27. Решите уравнения (468—470). 468. а) Зх+,-2.3х“2 = 75; б) —(-g-)**' =4«8; в) 5*(т)Х 3+(т)Х+1 = 162; г) 5• 9х + 9х-2 = 406. 469. а) 2Х—2 = 3х-2; б) в) 5Х+1=8Х+1; г) 7х-2 = 42,_х. 470. а) Зх + З3_х= 12; б) 4^^+16= 10.2^т; в) (у-)'~*-(^-)* = 4,96; г) 4х—0,25х-2 = 15. 471. Решите систему уравнений: Г 5*+»= 125, л* /*+</=5, а) { 4(x-«)*-i = 1. б) { 4х+ 4^ = 80; _v { Зх + Зу= 12, , { 4Х+У = 128, в) \ 6х+у = 2\6] Г' I 53x-2i/-3=l. Решите неравенства (472—474). Ш2х — 3 у * \ 2х ; б) (X) <(т/5) х2+3,75. 2 . . . iOv о_2_ 2 3 в) 3"+;<(т) = г)(4-)10'>64! 473. а) (++(+ ‘>2,5; б) 22*-'+22'-2+22*~3<448; 223
*> (тГЧт)‘>ж- г> з'+2+з;;,'<28' 474. а) пх-п2х^0; б) - 10-3-*-f 3<0; в) 4х — 2x+l — 8>0; г) (^-)Х-5*6-х-6<0. 475. Решите графически неравенство: а) 2*<3-*; б) (-|У<2х+5; в) (т)*>2л:+1; г) 3*^i-x. 37. Логарифмы и их свойства 1. Логарифм. Вернемся к уравнению ах = Ь, где а>»0 и аф 1. Как показано в предыдущем пункте, это уравнение не имеет решений при 6^0 и имеет единственный корень в случае Ь>0. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают loge Ь, т. е. а}ч°ь = ь. Определение. Логарифмом числа b по основанию а на¬ зывается показатель степени, в которую нужно возвести осно¬ вание а, чтобы получить число Ь. Формулу а1ое°ь = Ь (где 6>0, а~>0 и аф 1) называют основ¬ ным логарифмическим тождеством. О П р и м е р 1. Найдем значение: a) log2 32; б) logs 0,04. а) Заметим, что 32 = 25, т. е. для того чтобы получить число 32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log2 32 = 5. б) Заметим, что 0,04 = “=5~2, поэтому logs 0,04=—2. Пример 2. Найдем логарифм числа по основанию -у/З. Заметим, что (л/3)_4=-^-. Поэтому по определению логариф¬ ма \og^~= _4. Пример 3. Найдем х, такое, что: a) loggx = 4-; О б) log* 8= — Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: _i_ а) x = 8,ogeX=83=2; _А _± б) xlogj,8 = 8, т. е. х 4 =8, откуда х = 8 3 =—. # 224
2. Основные свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции: При любом а>0 (аф\) и любых положительных х и у выпол¬ нены равенства: 1°. loge 1=0. 2°. loge а = 1. 3°. loge ху = loge х + loge у. 4°. logey-==logex—logay. 5°. \ogaxp=p\ogax для любого действительного p. Для доказательства правила 3° воспользуемся основным лога¬ рифмическим тождеством: x = a'oga*, у=а}°е'у. (1) Перемножая почленно эти равенства, получаем: ху=alog“ * • aloe‘y = aloe•х+log“у, т. е. xy=aioeaX+loeaU. Следовательно, по определению логариф¬ ма loge (ху) = loga X -f loga у. Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Правило 4° докажем вновь с помощью равенств (1): „1ое« * У а log о у .^log.x-log .у следовательно, по определению loga — =loga х — log*, у. У Говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов. Для доказательства правила 5° воспользуемся тождеством x = alogaX, откуда хр = (aXogaX)p=apXog°x. Следовательно, по опреде¬ лению loga ХР = р loga X. Говорят, что логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию: . log&X logb а (Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при хХ), а>0 и аФ 1, Ь>0 и ЬФ 1.) По правилу логарифмирования степени и основному логариф¬ мическому тождеству получаем: 8 Заказ 581 225
logfr x = \ogb (alogoJ;\ откуда log6 x=logo x • logb a. Разделив обе части полученного равенства на logt а, приходим к нужной формуле. С помощью формулы перехода можно найти значение логариф¬ ма с произвольным основанием о, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания Ь. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозна¬ чают lg, а с натуральными логарифмами вы познакомитесь в п. 41). О Пример 4. Найдем log0.3 7. Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим lg7« «0,8451, lg 0,3«0,4771 — 1 = —0,5229. Следовательно, по фор¬ муле перехода log0^ 7— 1,6162. Пример 5. Известно, что log25 = a и log23 = 6. Выразим log2 300 через а и Ь. Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем: log2 300 = log2 (3-52*22) = log2 3 + 2 log2 5 + 2 log2 2 = 6 + 2o + 2. Пример 6. Выразим логарифм выражения 8о3 У&* через log2 а и log2 b. (Коротко говорят: прологарифмируем данное вы¬ ражение по основанию 2.) Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем: 4 log2 (8а3 У/й) = 1°g2 (23-а3*6 7)=3 log2 2 + 3 log2 а+у- log2 b = = 3 + 3 log2 а+у- log2 b. Пример 7. Найдем x, если logs x = log5 7 + 2 log5 3 — 3 log5 2. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, поль¬ зуясь основными свойствами логарифмов: logs х = logs 7 + logs З2 — logs 23 = logs logs y-, т. e. logs x=log5-^- и потому x=^p-= 7,875. О О Пример 8. Найдем значение выражения lg~f~* Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем 72 числитель и знаменатель этой дроби: lg 72 — lg9 = lgy= 226
= lg 8 = 3 lg 2; lg 28 — lg 7 = lg — =lg 4 = 2 lg 2. Следовательно, lg 72 —lg 9 _ 3 lg 2 _ 3 m lg 28 —lg 7 2 lg 2 2 ‘ Упражнения Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а (476—478). 476. а) 32=9; б) 2-3=-Ь в) 42=16; г) 5~2=±. .L — 477. а) 92 =3; б) 7°=1; в) 325 =2; г) 3~1=-^- 2. А — — 478. а) 27т=9; б) 325 =8; в) 814 =27; г) 1253=25. Проверьте справедливость равенств (479—482). 479. а) 1о&>8Г=~ 4; 6) log i6 1 = 0; в) log4 16 = 2; r) logs 125=3. 480. а) log5 0,04 = -2; 6) log7 343 = 3; в) lg 0,01 = — 2; r) 1овзяз=-5- 481. а) l°gV2 8 = 6; 6) ios/i27=-6: в) log±9 = —: о 2; r) logo.5 4 = —2. 482. а) «5 log2vs 128 = 14 . = 3 * 6) logo,2 0,008 = 3; в) logvs 0.2 = -2; r) logo.2 125= —3. 483. Найдите логарифмы данных чисел по основанию о: а) 25, 4"» л/5 при а = 5; б) 64, 4"» 2 при а—8. О о в) 16, V2 при о = 2; г) 27, 4"» зД ПРИ я—3 Найдите число х (484—486). 484. a) log3 х— — 1; б) log i х= — 3; в) log5 х = 2; г) log? х — —2. б" 485. a) log4x= — 3; б) log^x=0; в) log, х=\\ г) log, х—— 3. т т 486. a) log* 81 =4; б) log*-^^2; в) log*4~= — 2; г) log* 27 = 3. 8* 227
487. Запишите число в виде логарифма с основанием а: а) 2; -у, 1; 0 при а—4; б) 3; —1; —3; 1 при а=3; в) 3; 0; —1 при а = 2; г) 1; —2; 0; 3 при а = 5. Упростите выражения, пользуясь основным логарифмичес¬ ким тождеством (488—490). 488. a) l,7log'72 б) л1ое"5'2; в) 2log25; г) 3,8log3e11. 489. a) 51+,og53; б) 10'-,g2; в) (^-)1+'°g4 2; г) 32-,og3'8. 490. а) 42log43; б) 5 31°в,'2 t в) г) 6-2iog65 491. Прологарифмируйте по основанию 3 (а>0, 6>0): a) б) В) 9а4 \ГЬ- г) Прологарифмируйте по основанию 10, где а>О, Ь>0, с>0 (492—493). 2 492. а) 100VoPc; б) ~в) ЩаЧАс 2, г) а2 Ь3 i — — 493. a) 103aVc 3, б) в) lfrVbV, г) -Ф. 107a36® 494. Известно, что logs2=a и logs 3 = 6. Выразите через а и Ь: а) logs 72; б) logs 15; в) logs 12; г) logs 30. Вычислите (495—496). 495. а) lg 8 + lg 125; б) log2 7 — log2 в) log,2 4 —f— logi2 36; r) Ig 13 — lg 130. 4Qfi я\ lg 8-j-lg 18 loga 16 . 49b* ) 2 lg 2 + lg 3 * 6) logs 4 * в) log2 11 log2 44; r) logo.3 9—2 logo,3 10. 497. Найдите x, если: а) logs x — 3 logs 2 + 0,5 log6 25 — 2 log6 3; б) lg*=-|-lg5a —3 1g6 + 4 1gc, 228
в, lg * = 5 lg m+-|- lg л—lg p; r) log4 log4 216 — 2 log4 10 + 4 log4 3. 498. Докажите: a) log±3+1og3+:-2; 6) 4'^7 = 71'®4; в) Iog37 + log? 3 > 2; r) 3",e'5 = 5l08'3. 38. Логарифмическая функция Пусть a — положительное число, не равное 1. Определение. Функцию, заданную формулой У = loge х, (1) называют логарифмической функцией с основанием а. Перечислим основные свойства логарифмической функции. 1. Область определения логарифмической функции — мно¬ жество всех положительных чисел R+, т. е. D(\oga)=R+. Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каж¬ дое положительное число х имеет логарифм по основанию а. 2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действи¬ тельного у справедливо равенство loge (ау)=у, (2) т. е. функция y=\ogax принимает значение уо в точке хо=ау\ 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а> 1) или убывает (при 0<а< 1). Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение). Пусть х\ и х2 — произвольные положительные числа и хг>х\. Надо доказать, что loga *2>loga Х\. Допустим противное, т. е. что loge loge Х\. (3) Так как показательная функция у—ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует: a,og“xs<alog“x‘. (4) Но а1ое“Хг=х2, а1оеаХ, = х\ (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что х?^.хi. Это противоречит допуще- НИЮ X2>Xi. Для построения графика заметим, что значение 0 логариф¬ мическая функция принимает в точке 1; loga 1 =0 при любом а~>0, так как дг = 1. 229
Рис. 135 Вследствие возрастания функции при а> 1 получаем, что при х> 1 логарифмическая функция принимает положительные зна¬ чения, а при 0<*d —отрицательные. Если О <С а < 1, то у = loga х убывает на R +, поэтому loga х > О при 0<л:<1 и loga*<:0 при х>\. Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = \oga х при a> 1 (рис. 135, а) и0<а<1 (рис. 135,6). Справедливо следующее утверждение (доказательство см. в п. 40): Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 136). Рассмотрим примеры применения свойств логарифмической функции. О Пример 1. Найдем область определения функции /(*)== logs (4 — 5х). Область определения логарифмической функции — множество R+. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых 4 —5лг>0, т. е. при жОД Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (—оо; 0,8). 230
Пример 2. Найдем область определения функции 3 5 f (.к) — log2 (х2 — Зх — 4). 2 7 Как и в предыдущем примере, Рис- 137 функция f определена для всех тех х, при которых х2— Зх— 42>0. Решая это квадратичное неравенство, получаем, что D (f) — объединение интервалов (— оо; — 1) и (4; оо). Пример 3. Найдем область определения функции /(*)=log, 2*+3 5 — 7х Решая методом интервалов неравенство находим (рис. 137), что D (/)=( —1-; . Пример 4. Сравним числа: a) log3 5 и log3 7; б) log! 5 ¥ и log, 7; в) log3 10 и log4 12. ¥ а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрас¬ тает на всей числовой прямой. Так как 7 >5, то log3 7 ;> log3 5. б) В данном случае основание логарифма меньше 1, поэтому функция у = log, х убывает, и, следовательно, log, 7 clog ,5. Т ¥ Т в) Заметим, что 10>9 = 3 , и поэтому log3 10>2, с другой стороны, 12<16 = 42, и, следовательно, log4 12<2. Итак, log3 10>log4 12. Пример 5. Что больше: log2 3+log27 или log2(3+7)? По основному свойству логарифмов log2 3 + log2 7 = log2 21. А так как log2(3-j-7) = log2 10 и 10<21, а основание логариф¬ ма 2 больше 1, то log2 10<log2 21, следовательно, log23 + + log2 7 > log2 (3 Ч- 7). # Упражнения Найдите область определения выражения (499—500). 499. a) log* (10 — 5х); б) logs (9 — х2); в) log3 (х—4); г) log0.3(x2—16). 500. a) logVio(6+x—х2); б) в) logo’9f^ir; г) l°g^(x2—2х~3)- Сравните числа (501—503). 501. a) log23,8 и log2 4,7; б) log, 0,15 и log, 0,2; 3 3 231
в) log35,l и log3 4,9; г) log0,2 1,8 и log0,22,l. 502. a) log/g 3 и 1; б) log^ 1,9 и log±2,5; Ф г Ф в) log„ 2,9 и 1; г) logo,7 V2 и l°go.7 0,3. 503. a) log2 10 и logs 30; б) log0,3 2 и logs 3; в) log3 5 и log7 4; г) log3 10 и logs 57. 504. Перечислите основные свойства функции и постройте ее график: a)# = log3*; б) у = logj_x; в) у = log4 *; г) у = \ogj_x. 2 3 505. Найдите область определения выражения: a) log2sinx; б) log3(2x — 1); в) logj cos х\ г) lg (1 — 3х). ~2* 506. Найдите значение выражения: а) log2 2 sin yg-+log2 cos -Ц-; б) log4(V7-V3)+1og4(Vi9+V2r+V9); в) Igtg4 + lgctg4; r) log. (5+2 ф)+log. (5-2 V§). 507. Постройте график функции: а) У = log3(x —2); 6) y=— log±x; 2 B) ^ = log2(x+l); r) y = log±x+2. 3 508. Решите уравнение: а) log3 x — 2 log9 6 —log9 12; б) logj^ x = logo,2 35 — 2 log0>2 25 д/7; ¥ в) logs x=^-Iog3 144 +logs 0,75; r) lognx = 3 logo.i 4 + 2 logo.i 1-i-. 509. Решите графически уравнение: a) lg jc= 1 — x\ 6) log, x=x — 4; T в) log, X=X—6] r) log2x=3—X. T 510. Верно ли, что логарифмическая функция: а) имеет экстремумы; б) является нечетной; 232
в) является периодической; г) является четной? 511. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке /: a) f(x) = log^x, / = [1; 4]; б) f (х) = log9x, /=[-5“, э] , в) f(x) = log5x, l]; г) /(*) = 1°&\_х> /=[4"’ 4] 39. Решение логарифмических уравнений и неравенств Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение logo x = b. Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на про¬ межутке (0; оо) и принимает на этом промежутке все дейст¬ вительные значения (рис. 135). По теореме о корне (п. 8) от¬ сюда следует, что для любого b данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что аь является таким решением. О Пример 1. Решим уравнение log2(х2 + 4л:-}-3) = 3. Данному уравнению удовлетворяют те значения х, для ко¬ торых выполнено равенство л:2 + 4л: + 3 = 23. Мы получили квад¬ ратное уравнение х2-\-4х — 5=0, корни которого равны 1 и —5. Следовательно, числа 1 и —5 — решения данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение logs (2х+3)=logs (х+1). Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства 2х-)-3;>0 и х-\-1 >0. Для этих х данное уравнение равносильно уравнению 2х-\-3=х-\-1, из которого на¬ ходим х=—2. Число х——2 не удовлетворяет, однако, нера¬ венству x-j-lX). Следовательно, данное уравнение корней не имеет. Это же уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения 2х+3 = х+1, находим, что х=— 2. Как всег¬ да, при неравносильных преобразованиях уравнений найденное значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравне¬ ние. В данном случае получаем, что равенство logs( — 1)= = logs(—1) неверно (оно не имеет смысла). Пример 3. Решим уравнение logx (х— 2х+2)= 1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа х, для которых выполнены условия: х>0 и хФ 1 (х — основание логарифми¬ ческой функции) и равенство х2—2x-j-2=xf т. е. х2—3х4-2=0. Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но л:=1 не может быть решением данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2. Пример 4. Решим неравенство log 1 (5 — 2л:) > —2. У 233
Число —2 равно log, 9. Поэтому данное неравенство можно Т переписать в виде log, (5 — 2jc)>log, 9. Т т j Логарифмическая функция с основанием — определена и убы- О вает на R+, так как -^-<1. Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие 0<5 — 2х<9, откуда — 2СхС2,5. Итак, множество решений данного неравенства есть интервал (-2; 2,5). Пример 5. Решим уравнение log!х — log^x — 3 = 0. Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной / = logs*, тогда log,*=-!2ItL=-f=2/. ' logsV5 1 2 Теперь данное уравнение перепишется в виде t2 — 21 — 3 = 0. Кор¬ ни этого квадратного уравнения 3 и —1. Решая уравнения замены log5* = 3 и log5* =— 1, находим х = 5= 125 и *=5-'=0,2. Пример 6. Решим систему уравнений / lg (I/—*) = lg 2, I log2 х — 4 = log2 3 — log2 у. Первое уравнение системы равносильно уравнению у—х = 2, х 3 а второе — уравнению —=—, причем х>0 и t/> 0. Подставляя х 3 у = х-\-2 в уравнение —, получим х (x-f2) = 48, откуда х2-\-2х—48 = 0, т. е. х= —8 или х = 6. Но так как х>0, то х=6 и тогда у = 8. Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х = 6, у — Ъ. Заметим еще, что с помощью логарифмов можно записать корень любого показательного уравнения вида ах = Ь, где Ь> 0 (чего мы не могли еще сделать, решая примеры в п. 36). Этим корнем является число x = \ogab. Пример 7. Решим уравнение 5‘"'3х=7. По определению логарифма 1—3x = logs7 и л: = —— Упражнения Решите уравнения (512—515). 512. а) 9х = 0,7; б) (0,3)х = 7; в) 2^ = 10; г) 10А = л. 234
513. a) log5* = 2; б) log0l4*= —1; в) log9x =—г) lgx = 2. 514. a) log, (2х— 4)=—2; б) logn (л^ + 2х + 3)= log„ 6; в) log0.3(5-f 2х)=1; г) log2 (3—х)=0. 515. а) (0,2)4-х = 3; б) 5A’ = 7; в) З2~3* = 8; г) 72х = 4. Решите неравенства (516—517). 516. a) log3x>2;6)log0(5X> — 2; в) logojxd; г) log25x<2. 517. a) log4 (х—2)<2; б) log, (3 — 2х)> — 1; в) log5(3x-f 1)>2; г) log1(4x+l)< —2. 7 Решите уравнения (518—520). 518. a) loga х = 2 loga 3-floga 5; б) lg (х — 9)-flg (2х— 1)=2; в) loga Х= loga 10—loga 2; г) 10g3 (х + 1) -f !og3 (х + 3) = 1. 519. а) -^-log2(x — 4)+-^-log2(2x— l) = log23; б) Ig(3x2+12x+19)-lg(3x + 4)=l; в) lg (x2 + 2x — 7) — lg (x— 1)=0; r) logs (x2 + 8) — logs (x +1) = 3 log5 2. 520. a) log2 x + log4 -yfx— 1,5 = 0; 6) lg2 x — lg x2+ 1 =0; в) log! x —logs x = 2; r) log! x — 2 log3 x — 3 = 0. 521. Решите систему уравнений: в) i х+у = 7, б) | log4 (х-\-у)=2, I lgx+\gy=\\ \ log3x + log3^=2-f log37; в) J x-{-y = 34, r) i Iog4 x — log4 y = 0, I log2x-f log2i/ = 6; \ x2 — 5i/2-f4 = 0. Решите уравнения (522—524). 522. a) 6) log2 * 15 lg*+l lg-< + 5 ’ / ь 4 x . *°g2 "g 1 ^ lg x_ i. r\ 1 I 5 —| ' lg (5x—4) * 4 lg x—6 ‘ lg x+2 523. a) logaX = log^a 2 + logj^ 3; 6) log* 2 — log4 x-f-|-=0; в) log3 x 2 log ^ x = 6; ° r) log25 x +logs ^ = log jл/8- 524. a) log2 (9 — 2X) = 3 — x; 5 6) log2 (25*+3 — l)=2 + log2 (5*+3+ 1); 235
в) log4 (2-4* 2 — 1) = 2jc — 4; г) log2 (4х -f 4) = log2 2х -f log2 (2X+1 — 3). Решите неравенства (525—528). 525. a) lg(2x — 3)>lg(x+l) в) lg(3x — 7)<lg (дг-h 1) 526. a) logo.s x > log2 (3 — 2x) в) lgx + \g(x— 1)< lg 6 527. a) logi a: — log2 л:^ 6; в) lg2* + 2 lg *>3; 528 . a) log2(sin-|-)< — 1; в) log, cos 2л: > 1; 6) log0,3(2x—4)>log0.3(*-fl); r) logo,5 (4x 7) <C logo.s (x-}- 2). 6) log„ (x + I) + logn л:< logn 2; r) log2 (л:2 — x— 12)<3. 6) log2, x — 4>0; У г) log! x — 9^0. 6) |3 — log2 x\ <2; r) |3 lg x— 11 <2. Решите системы уравнений (529—530). 529. a) / log±(*+f/) = 2, б) { lg (л:2 + */2) = 2, (logs (x — y) = 2; log1x + log1f/ = 2, 3 3 log^x — logJLi/=4; 530. а) Г 3y • 9* = 81, l 1ё(х+У)2 — \gx = 2 lg 3; I log48 X+l0g48 У= 1; Г) / lg(*2 + */2)=l + lg 13, I !g (x + y) = lg{x — y) + lgS. б) f iOi+»e(*+0>=5o, l ig(*+«/)+ig(*—y)=2—lg 5; в) /3^2^ = 576, r) | lg л: — lg y = \g 15 I logV2(f/—x) = 4] l0lg(3jc+2y) = 39. 1. 40. S7 Понятие об обратной функции 1. Обратимость функций. В ходе исследования различных функций вы неоднократно решали такую задачу: вычислить зна¬ чение функции f по данному значению лго аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения ар¬ гумента, при которых функция f принимает данное значение уо. О П р и м е р 1. Пусть f (x) = kx-\-b (k=£0). Чтобы найти значе¬ ния аргумента л:, при которых f{x) = yo, надо решить уравнение f {х)=уо, т. е. уравнение kx-\-b=yo. Решая его, находим, что при любом уо оно имеет и притом только одно решение „ Уо — Ь 236
Пример 2. Для функции f (х)=х2 уравнение f (л:)=г/о при £/о>0 имеет два решения: х\ =л[уо, х2——-y/уо. (Если уо=0, решение одно: лго = 0.) Ф Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Таким образом, при 0 функция f (x) = kx-{-b обратима, а функция f(x)=x2 (определенная на всей числовой прямой) не является обратимой. Замечание. Из определения обратимой функции сразу следует, что если f обратима, а число а принадлежит области значений Е (/), то уравнение f(x) = a имеет решение и притом толь¬ ко одно. 2. Обратная функция. Пусть f — произвольная обратимая функция. Для любого числа уо из ее области значений Е (f) имеет¬ ся в точности одно значение лго, принадлежащее области опре¬ деления D (/), такое, что f{xo)=yo- Поставив в соответствие каж¬ дому уо это значение хо, получим новую функцию g с областью определения Е (f) и областью значений D (/). Например, для обрати¬ мой функции f {x) — kx-\-b (ИфО) значение новой функции g в про¬ извольной точке уо задается формулой Выбирая для аргумента функции g привычное обозначение х, находим, что _ / \ х—Ь Если функция g в каждой точке х области значений обра¬ тимой функции f принимает такое значение у, что f(y)=x, то говорят, что функция g — обратная функция к f. Как показано выше, функцией, обратной к функции f {x) = kx-\-b (fc=j£0), является функция g{x)=^^-. Рассмотрим еще один пример. О Пример 3. Докажем, что функция /(л;)=л;3 обратима, и выведем формулу, задающую функцию y — g (x)t обратную к /. По определению обратной функции сначала надо доказать, что уравнение / {у)—х при любом значении х имеет единственное решение у. В данном случае это уравнение у3=х, которое имеет единственное решение у=Ух при любом х (см. п. 8). Поэтому функция f(x)=x3 обратима и обратной к ней является функция g(x)=yx. Графики этих функций изображены на рисунке 138. ф Если задан график обратимой функции /, то график функции g, обратной к f, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением: Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой у=х. 237
|вщг Рис. 138 Докажем это свойство. Заметим, что по графику функции f можно найти числовое значение обратной к f функции g в про¬ извольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на верти¬ кальной. Из определения обратной функции следует, что значение g(a) равно b (рис. 139, а). Таким образом, если считать, что выбрана несколько необыч¬ ная система координат (аргумент откладывается на вертикальной оси, а значения функции — на горизонтальной), то можно сказать, что график обратной к f функции g — это график функции / (по¬ строенной в обычной системе координат). Для того чтобы изобра¬ зить график g в привычной системе координат, надо отразить гра¬ фик / относительно прямой у = х (рис. 139,6). Если функция g — обратная к функции /, то функция g обрати¬ ма и обратной к ней является функция f. Поэтому говорят, что функции / и g взаимно обратны. Рис. 139 238
Рис. 140 Теорема (об обратной функции). Если функция f возраста¬ ет (или убывает) на промежутке /, то она обратима. Обратная к / функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей). Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (п. 8). Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к /, возрастает на множестве Е (/). Пусть xi и Х2 — произвольные значения из Е (/), такие, что х2>х\, и пусть y{=g(xi\ y2=g(x2). По определению обратной функции Xi=f(yi) и X2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функ¬ ция, находим, что допущение ух^у2 приводит к выводу f (ух)^ ^/(1/2)» т. е. х\^х2. Это противоречит предположению х2~>х\. Поэтому (/2>«/i, т. е. из условия х2~>х\ следует, что g (x2)>g(x 1). Именно это и требовалось доказать. О Пример 4. Как отмечалось выше, функция f(x) = x2 не является обратимой. Однако функция /*, определенная на проме¬ жутке [0; оо) формулой f* (х)=х2, возрастает на этом промежутке и, значит, имеет обратную. Обратной к функции /* является функция g(x)=t='yfx. Графики этих функций изображены на рисун¬ ке 140, а. # Вообще функция f(x) = xn при любом натуральном п воз¬ растает на промежутке [0; оо) и поэтому имеет обратную. Об¬ ратной к функции f(x)=xn является функция g(x)=l\[x. Графики этих функций при некоторых значениях п изображены на рисун¬ ке 140, б, в. Упражнения Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к дан¬ ной функции /. Укажите область определения и область значений функции g (531—532). 239-
531. a) f(x) =2*-И; б) f (х)=-^-х—1; _1 2 532. а) /(*) =—j-; б) / (х) = 2х2 (х^0); ^^=1+2; f(x) = ^x+L 533. Постройте график функции, обратной к f: а) /(*)=2*3+1; б) f(x) = (x+\)2, л:6(-оо; -1]; в) /(*)=— 2*3+1; г) /(*)=(*— I)2, *€[1; оо)- 534. По графику функции / (рис. 141) найдите значения обрат¬ ной к f функции g в точках —2, 1 и 3. Постройте график функции g, укажите ее область определения и область зна¬ чений: а) /(*) = /1 W; б) f(x) = f2(x); в) /(*) = /з(*); г) f(x) = f4{x). Рис. 141 240
Докажите, что функция f имеет обратную на указанном промежутке. Постройте график функции, обратной к f (535—536). 535. a) f{x)=x2-\-1, х<0; б) / (х)=2х, (— оо; оо); в) /(*)=V*. *>0; г) f(x) = x3-\- 1, (—с»; оо). 536. a) f(x)=s\nx, -] ; б)/M=tg *б( —; в) f(x)=cos л:, *6[0; л]; г) / (л:)=ctg л:, х 6(0; д). § 11. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ 41. Производная показательной функции 1. Число е. В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к ко¬ торым в каждой точке можно провести касательную. Но сущест¬ вование касательной к графику функции в точке с абсциссой хо равносильно ее дифференцируемости в xq. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках области определения. Нарисуем несколько графиков функции у = ах для а, равно¬ го 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 142), и проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс при¬ близительно равны 35, 40, 48 и 51° соответственно, т. е. с воз¬ растанием а угловой коэффициент касательной к графику функции у = ах в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg 35° до tg 51°. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствую¬ щей касательной равен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства): Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = ех в точ¬ ке 0 имеет производную, равную 1, т. е. Ах . е— И при Д*-Я). (1) Замечание. Доказано, что число е иррационально и поэ¬ тому записывается в виде бесконечной десятичной непериоди¬ ческой дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки таковы: е = 2,718281828459045... . Функцию ех часто называют экспонентой. 241
о Рис. 142 2. Формула производной показательной функции. Теорема 1. Функция ех дифференцируема в каждой точ¬ ке области определения, и (еху = ех. Доказательство. Найдем сначала приращение функ¬ ции у = ех в точке лсо: А у = еХй+Ах — еХо = еХо • еАх — еХо = еХо (е&х — 1). Пользуясь условием (1), находим: А у еХо (еЛ*— П Ах Ах Ах еХо при Ал: -*■ 0. По определению производной отсюда следует, что у' = е*, т. е. (iеху = ех при любом х. О П р и м е р 1. Найдем производную функции у=е5х: (е5х)' = е5х-(5х)' = 5е5х. ф Число е положительно и отлично от 1, поэтому определены лога¬ рифмы по основанию е. Определение. Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию е: In х = log, х. (2) 242
По основному логарифмическому тождеству для любого поло¬ жительного числа е1па=а. Поэтому а* может быть записано в виде ах=(е1па)х = ех1па. (3) Выведем формулу производной показательной функции при произвольном значении а. Теорема 2. Показательная функция а* дифференцируема в каждой точке области определения, и (аху =ах In а. (4) Доказательство. Из формулы (3) по теореме о произ¬ водной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и (о*)' =(ех 1п У = ех1п°\па = ах\па. (5) Следствие. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. ах —*~аХо при х —*-хо- Это вытекает из дифференцируемости показательной функции и леммы о непрерывности дифференцируемой функции (см. с. 111). О Пример 2. Найдем производные функций у = 2х и у = 5~3х. По формуле (4) имеем (2*)' = 2* In 2; (5“3*)'=( —З)*5“3д: In 5. Пр имер 3. Исследуем функцию f(x)=xex на возрастание (убывание) и экстремум. Найдем производную этой функции: /'(*) = (хеху=х'ех + а: (еху = ех + хе? = (1 + х). Так как еХч>0 для любого х, знак /' совпадает со знаком (1-f-jr). Следовательно, /'(*)>0 на промежутке (—1; оо), поэтому f воз¬ растает на промежутке [— 1; оо). На промежутке (— оо; — 1) имеем }' (*)<0, поэтому f убывает на (—оо; —1]. В точке хо= — 1 производная меняет знак с минуса на плюс, и, значит, лго = — 1 является точкой минимума. График функции приведен на рисунке 143. ф 3. Первообразная показательной функции. Теорема 3. Первообразной для функции ах на R является X функция ^ . Действительно, In а — постоян¬ ная, и поэтому (i£r)'=T^rW= = —J—ах In а = ах In а при любом х. Этим доказано, 243
if что — есть первообразная для ах на R. А из равенства (ех), = ех для всех х следует, что ех есть перво¬ образная для ех на R. О Пример 4. Найдем перво¬ образные для функций: а) /(*) = 5'; б) g (х)=4*2х; в) h\x) = 4eZx— 10-0,6х. Пользуясь теоремой 3 и прави¬ лами нахождения первообразных, выписываем ответы: а) F(x) = б) G{x) = In 5 4-2х -ЬС; -ЬС; Рис. 144 In 2 В) н{х)=^-е3х- 10- 0,6х In 0,6 -fC. Пример 5. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями У=3Х, У = 0, х= — 1, х=2. Указанная фигура есть криволинейная трапеция (рис. 144). Поэтому ее площадь S находим по формуле площади криво¬ линейной трапеции: 2 5= \ 3х dx — I In 3 2 — 1 26 In 3 In 3 3 In 3 Упражнения 537. Найдите по таблицам натуральных логарифмов (или с по¬ мощью калькулятора): a) In 3, In 5,6, In 1,7; б) In 8; In 17; In 1,3; в) In 2, In 35, In 1,4; r) In 7, In 23, In 1,5. Найдите производную каждой из функций (538—539). 538. а) у = 4ех+5; б) у = 2х+3е~х; в) у = 3 — — ех; 539. а) у = ех cos х; в) у = Зх — Зх2; г) у = 5е х—х2 б) у=3ех-\-2х; г) у=л;2^*. 540. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хо: a) f(x) = e х, х0 = 0; в) f(x) = ex, х0 = 0; б) f(x)=3x, х0=1; г) /(*) = 2~х, хо—\. 244
541. Найдите общий вид первообразных для функции: а) /(*)=5е«; б) /М=2-3'; в) /(*)=Г; г) f (х)=-±-е’+1. 542. Вычислите интеграл: 1112 a) J 0,5Xdx; б) \ e2xdx\ в) \ 2Xdx\ г) \ 3Xdx. — 2 JL 2 Найдите производную каждой из функций (543—544). X 543. а) у = ех> sin б) у = 72tg3x; в) у = е^ cos 2х; г) г/ = 2 “ж ctg 544. а) у=щ-- б) у=ф-^\ ч 3х ч о,з-' в) У = ^ГТТТ\ г) 3 • 2Х + 5Х 7 * VH-0.5' 545. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию: а) f(x)=xe5x; б) / (х)=х?2~к; в) f(x) = xe~x; г) f(x) = x40,5*. 546. Найдите общий вид первообразных для функции: a) f{x)=e3~2x\ б) f(x) = 2.0,9*-5,6-*; в) }(х) = 2-'0х- г) /(х)=е3х + 2,31+х. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (547—548). 547. а) у = ех, у=0, х = 0, х=\\ б) у = 3х, у = 9х, х=1; в) у = 2х, у = 0, х= — 1, х = 2\ г) у = ех, у = е2х, х=\. 548. a) у = 3, х=\\ б) y = ext y = e~xt у = е\ в) У=(^-)Х' У=Х' х= —2; г) У={^) . У = 4х, t/ = 4. 42. Производная логарифмической функции Покажем сначала, что логарифмическая функция дифференци¬ руема в каждой точке. Графики функций у = logax и у = ах сим¬ метричны относительно прямой у=х. Так как показатель¬ ная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет не¬ горизонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логариф¬ мической функции на ее области определения. 245
Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого х из области определения находится по формуле \п'х = ±. (1) По основному логарифмическому тождеству х = еы х при всех поло¬ жительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на /?+). Поэтому производные х и е1пх равны, т. е. х?=((}**)'. (2) Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1 (п. 41): (е,пУ = elnх In' х = х In' х. Подставляя найденные про¬ изводные в равенство (2), находим l=xln'x, откуда ln'x=-^-. О Пример 1. Найдем производные функций: а) у = In (5 -f- 2л:); б) У = log3x; в) у = log72x. а) (|n(5+2*)y=^5-.(6 + 2*)'=-gJ5-; б) (|овз*)'=(-{2т)'=^пЬ-; в) (1оё,2ху=(-^У==1^рг=-^ГГ. Пример 2. Исследуем функцию f (х)=х2 In х на возраста¬ ние, убывание, экстремум и построим ее график. Функция определена при x>0. Найдем ее производную: f' (х) = 2х In х+х2--^-—2х In x+x = 2x(ln *+-5-) • х>0, поэтому знак производной совпадает со знаком^In Отсюда следует, что /' (х)>0 на промежутке (-р; оо ) , и поэтому \уе ' на промежутке Г-р; «> ) функция возрастает; на промежутке Lye ' (О; -р) производная отрицательна, поэтому f убывает на проме- V -уе' жутке ( 0; —А . В точке -производная меняет знак с минуса на \ Уё J т/е плюс, значит, это точка минимума; f(^=) = —&■ График функции приведен на рисунке 145. ф Формула (1) показывает, что для функции -j- на промежутке (0; оо) любая первообразная может быть записана в виде In х + С. 246
Функция -j- имеет первообразную и на промежутке (—оо; 0), это функция 1п( —*). Действительно, (In (_*))'=_L.(_*)'=_L.(_ 1)==-L. Так как \х\=х при 0 и \х\ = —х при хсО, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообраз¬ ной для функции -j- является функция In |х|. О Пример 3. Для функции —первообразные равны X "(" О In Ijc + 31 +£ (на любом промежутке, не содержащем точку —3). Для функции общий вид первообразных In |5л: + 714- + С (на любом промежутке, не содержащем точку —^ . Пример 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями (/==—, у = 0, х=\, х = 2 (рис. 146). х 1 Поскольку In х при х>0 есть первообразная для —, площадь интересующей нас криволинейной трапеции равна S = In 2 — — In 1 = In 2. • Упражнения Найдите производную каждой из функций (549—550). 549. а) у = In (2 + 3*); б) */ = logo,3 x + sin х; в) y = ln (1 4-5*); г) у=1 g jc—cos х. 550. а) у = х2 log2 л:; б) У=^\ в) у = х In*, г) У=^-х- 247
551. Найдите общий вид первообразных для функции: а> 'М=7^й; б> ^W=T-^T6; в> fw=rb' r>/w=T- 552. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точ¬ ке с абсциссой дго, если: а) /(*) = 1п(х+1), х0=0; б) f(x) = lg х+2, х0=1; в) f(x)=2 In х, х0 = е; г) f (x) = \og2{x—\), х0 = 2. 553. Вычислите интеграл: а>(^б> ( ^ »>!>;*>( 554. Найдите производную функции: а\ 1п (5+3*). б) и— ^х • а) У— х2+1 , о) у lg(1_2jc). . х2 Ч logs X2 в> «=ЙГ^: г) «'=т+г- Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстрему¬ мы (555—556). 555. a) f(x)=^Jx\nx; б) /(*)=!^; в) f (х)=2х — \п х', г) f (х) = х \п х. 556. a) f(x)=x\n2x; б) в) /(*)—; г) f(x)=±-+\nx. У* Л 557. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) У—~—Ь2, £/ = 0, х=2, лг=6; б) //= —г/ = 0, лг= —4, х= — 1; в) */=27> У=0. *=Т’ г) у = 3—т/ = 0, л:=—6, х——3. 43. Степенная функция 1. Степенная функция и ее производная. Вы уже знаете, что для любого действительного числа а и каждого положитель¬ ного х определено число ха. Зафиксируем число а на промежут¬ ке (0; оо).
Определение. Функция, заданная формулой f (х)=ха, на¬ зывается степенной (с показателем степени а). Если а>0, то степенная функция определена и при х = 0, по¬ скольку 0“ = 0. При целых а формулой f (х)=ха степенная функ¬ ция f определена и для х<0. При четных а эта функция чет¬ ная, а при нечетных а — нечетная. Поэтому исследование сте¬ пенной функции достаточно провести только на промежутке (0; оо). В предыдущих разделах курса были получены формулы для производной функции у=ха лишь при целых показателях сте¬ пени, а также а = -|-. Теперь нам остается вывести формулу при произвольном а. Докажем, что для любого х из области определения производная степенной функции находится так: (ха),== Действительно, так как х = еХпх, то ха = еаХпх. Отсюда по пра¬ вилу вычисления производной сложной функции получаем: (*«)' = (еа{аху = еаХпх {а. \пх)'=ха-а~=ах°-{. Формула (1) доказана. При ас0 степенная функция убывает на промежутке (0; оо), поскольку (ха)' = аха_| <0 при х>0. При а>0 имеем (ха)' = = аха“1>>0, поэтому степенная функция возрастает при х>0. Кроме того, надо учесть, что при х = 0 степенная функция равна 0 и ха —»-0 при х —И) и х> 0. Поэтому точка 0 присоединяется к про¬ межутку возрастания, т. е. при а>0 степенная функция возра¬ стает на промежутке [0; оо). Примеры графиков степенной функции при различных а приведены на рисунке 147. Из формулы (1) следует, что производной степенной функции f (х)=ха является степенная функция ([' (х)=ах“-1). Иначе обсто¬ ит дело с первообразной степенной функции. При аФ—1 общий вид первообразных степенной функции f(x)=xa, как легко проверить, таков: F (х)=—к-С. а+1 1 Рис. 147 249
При а= — 1, как известно, первообразной функции f является функция F (*) = In |*|-}- С. 2. Вычисление значений степенной функции. Выведем прибли¬ женную формулу (1 + Л*)“ « 1 аД*. (2) Рассмотрим функцию /(*) = *“ и воспользуемся приближенной формулой /(*)«/ (*о) + У (хо) Л*, (3) известной из п. 20, при *о= 1 и * = 1 -{-А*- Имеем f (*о)=f (1) = 1 и У (*) = а*“_|, откуда /' (*0) = /' (1) = а- Г-1 =а. По формуле (3) f (*)=(1 +Д*)а« 1 4-аД*. Чаще всего эту формулу применяют для вычисления корней. Полагая а=—, находим: п 1 УГ+Д^=(1 + Ддг)т»1+^-. (4) О Пример. Вычислим приближенные значения: а) \Ч>08; б) V27^3; в) ‘VIООО. Воспользуемся формулой (4): 1 а) VH08 —(1 + 0,08)4 «14"^—0,08 = 1,02; б) да . +^)=3-V^f «з(. +±.<£) * « 3,0011. (Значение ^/27,03 с восемью знаками после запятой тако¬ во: У^7ДЗ« 3,0011107.) в) Заметим, что 2|0=Ю24. Имеем: lVT600=l^!r^=2.lY^|i«2(l-T^)« 1,995. • Упражнения Постройте график функции / и найдите ее производную (558—559). 558. а) /(а:) = *22; б) /(*) = *Л'3; в) f(*) = *~3; г) f (х) = х~^. 559. a) f{x)--=x-e; б) Ч vJ / в) /(*) = **; г) /(%•)--= (2*г"*J 250
Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значе¬ ния (560—561). I 560. а) 243; б) V625-3; в) Щ; г) V48- 561. a) V30; б) V90; в) л/^02; г) Щ. 562. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке /: 2 4 а) /(*)=хт, /=[ 1; 32]; б) f(x)=x~T, /=[-Ь 27] ; в) }(х)=х-\ /=[-Ь 1 ] ; г) /(*)=*4. 81 ] . 563. Найдите общий вид первообразных для функции: а) /(*)=--б) f(x)=x1^; В) f(x) = 3x~1', г) f(x)=xe. 564. Вычислите интеграл: 4 _5 Я е2 81 a) \x2dx\ б) $ , в) J 2х"~,^л:; г) $ ЪхАйх. 1 I -о- <? 16 л:'1 565. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = хы\ у = 0, х=1; б) у=х^3, У=-^~, лс=-^-; в) у = х~°’6, у = 0, х=1, х = 32; г) г/ = 0, х= 3, х = 5. 566. На миллиметровой бумаге постройте графики функций у=х/х, У=л/х, У = ух (*>0). 1) Найдите с помощью графика приближенные значения: a) V2, V3; б) V3, V^5; в) ^5, г) л^5, V2- 2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора. 3) Вычислите их приближенные значения, пользуясь форму¬ лой (4). У к а з а н и е: 2,5= 1,62 —0,06; 2,5= 1,33-+-0,303; 2,5=1,254+^; 2=1,42 + 0,04; 3= 1,43 + 0,256, 3 = = 1,34 = 0,1439. 4) Сравните полученные результаты. 567. Вер но ли, что функция f(x) = х^ обладает свойством: а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков; б) является четной; в) имеет экстремумы; г) существует точка лго, в которой функция принимает наи¬ меньшее значение. 251
44. Понятие о дифференциальных уравнениях 1. Непосредственное интегрирование. В ходе решения задач естествознания часто возникают соотношения, связывающие про¬ изводные некоторой функции (первую, вторую и т. д.), саму эту функцию и независимую переменную. Например, согласно второму закону Ньютона при движении по прямой материальной точки пос¬ тоянной массы т справедлива формула F = ma, где F — сила, вызывающая движение, а — ускорение точки. Пусть сила F зави¬ сит только от времени t, т. е. F = F(t). Вспоминая, что ускорение есть вторая производная координаты по времени (a(t)=x" (/)), по¬ лучаем дифференциальное уравнение относительно функции х (/): F (t) = тх" (/), т. е. x"(t)=-^-t для решения которого сначала находим х' (t) как первообразную F (t) функции а затем и x(t) как первообразную функции v (/) = =х' (t). Общее решение зависит от двух произвольных постоянных. Для того чтобы их найти, обычно задают координату и скорость в какой-либо момент времени t. О П р и м е р 1. При вертикальном движении под действием си¬ лы тяжести координата h(t) точки единичной массы удовлетворя¬ ет дифференциальному уравнению (ось Oz направлена вертикаль¬ но вниз): h" (0=S'- Общее решение этого уравнения имеет вид: h(t) = h0 + vot+%Lt где ho = h(0), v0 = v(0). Задав ho и Vo, мы получим уже единственное решение, ф Вообще первообразную F для функции f можно рассматривать как решение простейшего дифференциального уравнения F'(x) = f(x), (1) где f (х) — данная функция, F (х) — решение этого уравнения. 2. Дифференциальное уравнение показательного роста и пока¬ зательного убывания. Решение многих задач физики, техники, биологии и социальных наук сводится к задаче нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению f'(x) = kf(x), (2) где k — некоторая константа. Зная формулу производной показательной функции, легко до¬ гадаться, что решением уравнения (2) является любая функция вида f(x) = Cek\ (3) 252
где С — постоянная. Так как С произвольно, у дифференциаль¬ ного уравнения (2) бесконечно много решений. Докажем, что других решений, кроме функций вида (3), урав¬ нение (2) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию /, удовлетворяющую уравнению (2), и вспомогательную функцию g{x)=f(x)e~kx. (4) Найдем ее производную: g' (*)=/' (*) e~kx-+-f (х) (e~kx)f = f' (х) e~kx — kf (х) е~кх. Подставляя kf (х) вместо f'(х) из уравнения (2), получим: g' (л:) = kf (х) e~kK — kf (х) e~kx = 0. Из равенства производной функции g нулю следует, что g (х)=С при всех х. Из (4) получаем: f (х) е~кх = С, откуда f (х) = Секх, что и требовалось доказать. Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы пред¬ полагали, что функция f определена и удовлетворяет уравнению (2) на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто при¬ ходится рассматривать функции, удовлетворяющие уравнению (2) только на некотором промежутке. Естественно, что в таком случае формула (3) будет давать общее решение задачи только на промежутке, на котором выполняется уравнение (2). Смысл дифференциального уравнения (2) заключается в том, что скорость изменения функции в точке х пропорциональна значению самой функции в этой точке. Это уравнение часто встречается при решении практических задач. О Пример 2. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества равна: т (0) = то- (5) Экспериментально установлено, что скорость уменьшения массы вещества т (t) со временем t пропорциональна его количеству, т. е. т' (t)= —km (/), где k>0. Как показано выше, т (t)=Ce~ . Константа С находится из условия (5). А именно при / = 0 то = т(0) = Се~к'°, т. е. С = т0. Окончательно получаем: m(t) = m0e~kl. ф (6) Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из бесконеч¬ ного числа решений дифференциального уравнения одно, обыч¬ но требуется еще ввести начальные условия (в нашем случае это условие (5)). Промежуток времени 7*, через который масса радиоактив¬ 253
ного вещества уменьшается в 2 раза, называют периодом полурас¬ пада этого вещества. Зная Т, можно найти k. Так как m (Т)=-^ то, т. е. тйе~кТ=-^- т0, — kT 1 имеем е =—. Следовательно, ekT = 2, kT = In 2, откуда k = 1^. Например, для радия Т« 1550 лет. Поэтому (если время изме- ip 9 ряется в годах) 0,000447. Через миллион лет от на¬ чальной массы радия то останется только m (106)«moe~447 ~ «0,6* 10-,94mo. 3. Гармонические колебания. Производную от производной f' функции f называют второй производной функции f и обозначают f" (читается: «Эф два штриха»). Например: sin' х=cos х, sin" x=cos' х= — sin х, cos' х= —sin х, cos" л:= — sin'л:= — cos л:. ' ' Вторая производная помогает более подробно исследовать поведение функции. Первая производная есть скорость изменения функции, а вторая производная есть скорость изменения этой скорости. Анализируя формулы (7), можно заметить, что вторые произ¬ водные синуса и косинуса отличаются от самих функций только знаком. Иначе говоря, обе эти функции удовлетворяют при всех значениях аргумента t уравнению Г (0= —/(О- В физике, в частности в механике, большую роль играют функции /, которые удовлетворяют уравнению Г(0=-«7(0. (8) где о — положительная постоянная. Разберем задачу из механики, приводящую к уравнению тако¬ го вида. Пусть к шарику массой m прикреплена расположен¬ ная горизонтально пружина, другой конец которой закреплен (рис. 148), и пусть в состоянии равновесия координата х центра шарика равна нулю. При перемещении центра в точку с коорди- ibdwwuuLr# О X О X Рис. 148 Рис. 149 254
натой хфО возникает сила, стремящаяся вернуть шарик в по¬ ложение равновесия. Согласно закону Гука эта сила пропорцио¬ нальна перемещению х, т. е. F=—kx, где k — положительная константа (см. рис*. 149). По второму закону Ньютона F = ma, поэтому, учитывая, что при движении по прямой ускорение есть вторая производная от координаты, имеем: та (t) = mx" (t) = F, т. е. х" (/) = —^ х (/). Иначе говоря, движение центра шарика под действием сил упругости подчинено уравнению (8) при • Покажем, что физическая величина, изменяющаяся во вре¬ мени в соответствии с уравнением (8), совершает гармоничес¬ кое колебание (см. п. 7). Само уравнение (8) называют диффе¬ ренциальным уравнением гармонических колебаний. Проверим, что при любых постоянных А и <р функция / (/) =A cos (со/ + ф) (9) есть решение уравнения (8). В самом деле, пользуясь формулой для производной сложной функции, получаем: /' (/)= —Лео sin (со/ + ф), /" (/) = — А со2 cos (со/ + ф) = — со2/ (/). Верно и обратное: любое решение уравнения (8) есть функ¬ ция вида (9), причем обычно выбирают Л^О, ф6[0; 2л]. Дока¬ зательство этого выходит за рамки школьного курса. Произвольные постоянные Л и ф можно определить, если за¬ даны начальные условия /(0) = с/о, /'(0)=у о- V 4. Падение тел в атмосферной среде. Рассмотрим более слож¬ ный пример. При падении тел в атмосфере нужно учитывать сопротивление воздуха. Экспериментально установлено, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения, т. е. сила F, действующая на тело, равна F (t) = mg — khf (/), где т — масса тела, g — ускорение свободного падения, h (/) — коор¬ дината на прямой (ось Oh направлена вертикально вниз), k — коэффициент пропорциональности. По второму закону Нью¬ тона F=ma, поэтому получаем уравнение mz" (/)= mg — kz' (/), т. е. z" (t)=g--^-z' (/), которое удобно рассматривать как дифференциальное уравнение v'(t)=g — bv(t), где Ь = -^>0, (10) относительно скорости движения v (t)=z' (/). Для того чтобы при¬ вести это уравнение к знакомому виду, введем новую неизвестную 255
функцию y{t)~~—v (/), тогда j/'(/)=^-1—mf)) =— v'(t) и уравнение (10) записывается в виде — y'(t) = by(t), т. е. у’ (/) = —by (/), решения которого уже известны: y(t)=Ce~bt. Следовательно, v(t)=f-y(t)=f~Ce~b‘. Функция у = е~ы убывает на R, при этом ее значения неогра¬ ниченно уменьшаются при возрастании t (т. е. Се~ы-+0 при /-*- со для любого С). Это означает, что скорость приближается к по¬ стоянному значению которое зависит от величины коэффициен¬ та пропорциональности k и массы т. Например, при затяжных прыжках (парашют не раскрыт!) эта скорость равна примерно 50 м/с, а скорость парашютиста при приземлении (когда k значи¬ тельно больше) около 4—5 м/ч. А Рассмотренные примеры позволяют понять, насколько мощным аппаратом исследования являются дифференциальные уравнения. Очень часто элементарные законы, управляющие каким-либо про¬ цессом, записываются в виде дифференциальных уравнений. Для того чтобы выяснить, как процесс развертывается во времени, при¬ ходится эти дифференциальные уравнения решать. Упражнения 568. Проверьте, что функция y(t) является решением данного дифференциального уравнения: а) y(t) = 3 cos л), у"=—4у\ б) y(0=4sin(-i-/—§-) , у"=-±-у\ в) у (t)=2 cos At, у" + \6у = 0\ г) y(t)=-j-sin(0,\t+\), t/" + 0,01</ = 0. 569. Докажите, что функция у = Ъе3х удовлетворяет уравнению У' = 3*/. 570. Докажите, что функция у = 7е 2х удовлетворяет уравнению у'=—2у. 571. Докажите, что функция у = Зе удовлетворяет уравнению У'=—7у. 572. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифферен¬ циального уравнения: а) у" = —25у; б) ±-у" + *у=0; в) 4у" + 16у=0; г) у" = -~у. 256
573. Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания: 574. Докажите, что сумма двух гармонических колебаний Х\ {t) = A| cos (cl»i/Ф1) и лгг (0 = ^2 cos (о)2^ + ф2) будет пе¬ риодической функцией тогда и только тогда, когда отношение 0)1 частот есть рациональное число г, т. е. -±—г. 575. От т миллиграммов радия С через t минут радиоактивного распада осталось п миллиграммов. Найдите период полурас¬ пада радия С. 576. К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А. Че¬ рез сколько минут его останется 0,125 г, если его период полураспада равен 3 мин? 577. Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз? Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет. 578. Одно тело имеет температуру 200°, а другое 100°. Через 10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело остыло до температуры 100°, а второе — до 80°. Через сколько минут температуры тел сравняются? (Температура тела T(t) удовлетворяет уравнению T'(t) = = — k (Т — Ti), где Т\—температура окружающей среды.) 579. Два тела имеют одинаковую температуру 100°. Они вынесе¬ ны на воздух (его температура 0°). Через 10 мин темпера¬ тура одного тела стала 80°, а второго 64°. Через сколь¬ ко минут после начала остывания разности их температур будет равна 25°? 580. Моторная лодка движется по озеру со скоростью 30 км/ч. Ка¬ кова скорость лодки через 3 мин после выключения мотора? (Воспользуйтесь тем, что скорость лодки v {t) удовлет¬ воряет дифференциальному уравнению v'(t)=—kv(t\ где &=-£-, v — скорость в метрах в минуту.) 1. О происхождении терминов и обозначений. К умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Гре¬ ции (выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа — при нахождении объема куба). Но сов¬ ременные обозначения (типа а4, а5) в XVII в. ввел Декарт. Сведения из истории 9 Заказ 581 257
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. О р е м а (1323—1382). Из¬ вестно, что Шюке (ок. 1445 — ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевыми ^показателями. С. С т е в и н пред¬ ложил подразумевать под а" корень л[а. Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон. Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) дал опре¬ деление а°=1 при аФ 1 и ввел название показатель (это бук¬ венный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. (Отсюда происходит и слово по¬ тенцировать, часто употребляемое при переходах типа log„/(A:) = — l°ga g (х)=ф-aloeJW=alogog(jt).) В свою очередь термин exponenten возник при не совсем точном переводе с греческого слова, кото¬ рым Диофант обозначал квадрат неизвестной величины. Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющего два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)». Знак кор¬ ня в виде символа -\/ появился впервые в 1525 г. Современ¬ ный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту Ньютон уже указывал показатели корней: У~, V~~- Слово логарифм происходит от греческого Хоуоф (число) и apivpoq) (отношение) и переводится, следовательно, как отно¬ шение чисел. Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Дж. Не- нером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое — геометрической (см. ниже). Логарифмы с основанием е ввел С п е й д е л (1619 г.), составивший первые таблицы для функции In х. Название более позднего происхождения натуральный (естественный) объясняет¬ ся «естественностью» этого логарифма. Н. Меркатор (1620— 1687), предложивший это название, обнаружил, что In х— это площадь под гиперболой у = —. Он предлагал также название гиперболический. х 2. Из истории логарифмов. В течение XVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычисле¬ ний в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно по¬ нять, при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложе¬ нию (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100 000, позволяющая вычислять произведения по формуле ab —(аb)2—^-(a — b)2) большого успеха не приноси- 258
Непер Джон (1550—1617) — английский математик. Изобретатель лога¬ рифмов, составитель первой таблицы ло¬ гарифмов, облегчившей работу вычислителей многих поколений и оказавшей большое влияние на развитие приложений математики. ли. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деле¬ ние чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобрета¬ тели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство — таблицы логарифмов,— резко повысившее производительность труда вычислителей. Доба¬ вим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания пер¬ вых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобре¬ тена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инстру¬ ментом для многих поколений. (Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средства вычислений резко снижается.) Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Н е п е р о м (1550—1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552—1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов си¬ нусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90° с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чи¬ сел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечен¬ ными. Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения ло¬ гарифмов, была уже известна. Штифель (1487—1567) и ряд других математиков обратили внимание на то, что умножению и делению членов геометрической прогрессии ..., а~3, а~2, а~\ 1, а, а2, а3, ... 9* 259
соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих арифметическую прогрессию .... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть» целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа «остаются без ло¬ гарифмов», поэтому необходима была еще одна идея: возводить в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степе- (1 \п / 1 \"+1 1+-^;) и при больших значениях п близки, Непер и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в ка¬ честве основания число ^1—* а Бюрги — число (l+yjj*)- Дальнейший ход их рассуждений и описание схем вычислений пересказать довольно трудно как потому, что имеется много непростых деталей, так и потому, что вообще тексты XVI в. довольно туманны. Заметим только, что фактически далее Непер переходит к основанию ^1—а Бюрги — к основанию '°4 Это не изменило существа дела (как вам известно, (|+н0 l°ga10" A-==f^: l°ge х> и поэтому указанные переходы приводят лишь к переносу запятой в логарифме), но позволило несколько упрос¬ тить вычисления и сами таблицы. Таким образом, по существу оба изобретателя логарифмов пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней ви- да ^ 1 где М очень большое число. Рассмотрение чисел такого вида приводит к известному вам числу е, которое определя¬ лось как Пш(1-}-—) (определение предела последовательности П-*- оо \ Я / дано в «Сведениях из истории» к главе III). Осталось уже немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (ос¬ нование таблицы логарифмов Бюрги совпадает с точностью до третьего знака с е, основание таблицы логарифмов Непера близко к числу . Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были со¬ ставлены по совету Непера английским математиком Г. Бриг¬ гсом (1561 —1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы inr n(\la- 1) logю — , т (л/ТЬ — 1) достаточно точной при больших значениях тип. Бриггс брал значения т и п в виде степеней двойки: это давало ему возмож¬ 260
ность свести вычисление л[а и !у[\0 к последовательному извлече¬ нию квадратных корней. Другая идея Бриггса позволяет находить значения десятич¬ ных логарифмов некоторых чисел самостоятельно, без помощи таблиц. Целая часть логарифма целого числа на единицу мень¬ ше количества цифр в самом числе. Поэтому, например, для на¬ хождения lg 2 с точностью до трех знаков достаточно найти число цифр 2|0\ Это не очень трудно. При составлении таблиц логарифмов важную роль сыграло найденное Непером и Бюрги соотношение между приращениями Ах и Ду в произвольной точке Хо для функции y = \ogax. Отвле¬ каясь от деталей их системы изложения, основной результат можно выразить так: , где k — некоторая постоянная. Если осно- Ах х . 1 \п вание логарифмов — степень ( 1 -\ J , где п — достаточно боль- Ау 1 шое число, то -г-ж—. Ах X Устремляя Ах к нулю, приходим к дифференциальному урав¬ нению ty'—решением которого, как вы знаете, является функция lnxH-C. Существует система изложения, при которой *0 In х0 с самого начала определяется как § —, т. е. In х0 — пло- 1 * щадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой, осью аб¬ сцисс и прямыми х — 1 и а==Хо- Вывод известных вам свойств логарифмов, исходя из этого определения, не очень простая, но доступная вам задача. Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Дайте определение корня n-й степени из числа. Что такое арифметический корень n-й степени? 2) Найдите значение: а) У-27; б) V625; в) У^128; г) д/Т-; д) (У*)". 3) Решите уравнение: а) х3=125; б) х4 = 64; в) х5=—; г) х4 = — 16. 2. 1) Перечислите основные свойства арифметических корней. 2) Преобразуйте выражение: а) Щ.У4-, б) Ш; в) (Щ.у, Г)Л/2Е. 261
3) Какое из чисел больше: а) УГ28 или У4; б) 2100 или 1 ОО20; в) У26 или Уб; г) Уб или Уз? 3. 1) Дайте определение степени с рациональным показате¬ лем и перечислите основные свойства таких степеней. 2) Найдите значение: а> ((f)3) 2; б> ^64:2^{2'У; в) 16т; г) (§L)\ 3) Какое из чисел больше: — — — — — а) УГб или 24; б) 3 3 или 9 4; 4 4 2 в) 0,3 7 или 0,3 ~ 7; г) б"т или б"0’6? 4. 1) Перечислите основные свойства показательной функции. 2) Постройте график функции: а) у = 4х; б) У=(-\~) ; в) у = 6х; г) */=(-£-) . 3) Какое из чисел больше: V2 или 2 з; л/5 / I \ л/З а) 20,4 или 2^a; б) 1,2 ^ или 1,2^; в О (-J-) или ; г) 0,3 я или 0,3 3? 5. 1) а) Найдите корни уравнения ах=ас(а>0, аф 1). б) Решите неравенство ах>ас (рассмотрите два случая: 0<а< 1 и а> 1). 2) Решите уравнение: а) 27х = 93; б) 9Х+1 + Зх+2 = 18; в) 0,5х2+х"2'5=У2; г) Зх+2 — Зх = 72. 3) Решите неравенство: a) б) 0,2*2_2>5; в) 3*<-±-; г) (-±-)'+'>4. 6. 1) Дайте определение логарифма числа. 2) Найдите: a) log2 16 у/2; б) logo.2 25; в) lg 0,01; г) log j_ д/3. з 3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его по¬ мощью вычислите: j Ч 1 + log^ (, v 1 -h 10g»J ; в) 5-1 + logs2; г) 0,2, + logo.25. 262
7. 1) Перечислите основные свойства логарифмов. 2) Прологарифмируйте по основанию а выражение (с>0, Ь> 0): а) 16Ь7 §Jc при а = 2; б) —=— при а = 10; 7 v ЦМья ч 27л[Ь о » 0.4963 Л 7 в) —— при а — 3; г) —1—— при а = 0,7. с4 с5 ус 3) Найдите дс, если: ' з a) log3 х = 2 log3 7 + -f-log3 27—|-log3 16; б) log2x = 2 log2 5 — -|-log2 8 + log2 0,2; в) logs x = log5 I,5+-|-log5 8; г) lg*=l+2 1g3—§-lg 125. 8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечисли¬ те ее основные свойства. 2) Постройте график функции: а) У = log4*; б) y = \og1{x—\); 5 в) У = logs а:; г) у= log^x-f 1. 4 3) Какое число больше: а) lg 7 или 3 lg 2; б) log i 5 или log i 6; з ¥ в) log3 5 или log3 6; г) log2 3 или log3 2? 9. 1) а) Укажите все корни уравнения loga x—b (а>0, аф 1). б) Решите неравенство loga*> logac (рассмотрите два случая: 0<a< 1, а> 1). 2) Решите уравнение: а) log2 {х— 15) = 4; б) lg2 де-4-2 lg x = 8; в) In2 (дс— 2) = 4; г) lg(*2— 2x — 4) = lgil. 3) Решите неравенство: a) log0,6*>2; 6) lg — 2; в) In дс^ — 3; г) log7*<l. 10. 1) Запишите формулу производной для функции у = ех, у = ах. 2) Найдите производную функции: а) у(дс) = 5— 2е4-3х; б) и(х) = 3*57лг_|; в) g(x) = e~3x; г) 263 2х
3) Найдите общий вид первообразных для функции: a) v(x) = e*x-7e-*x\ б) и (x) = 5e0Jx; в) g(x) = e~3x; г) f(x) = eis. 11. 1) Какую производную имеет функция y=\ogax? Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = -^~. 2) Найдите производную функции: а) у = х In Зх;, б) у — log2 (7 — 2а); в) у = 2 log3 а; г) у = In 3) Найдите общий вид первообразных для функции: а) б) g (х) = ——тг; в) и{х) = -±-\ г) Л(а)=-2 Ьх ' ' ь, \ j х — з> / х > / v / д. _j_ 1 ■ 12. 1) Какую производную имеет степенная функция у = ха? 2) Постройте график функции и найдите ее производную: а) у = х‘; б) у — х~А\ в) у = х~0,3\ г) у = хл2. 3) Найдите приближенное значение: а) У32Д)2”; б) V127.9; в) Уб4Д г) 13. 1) Какие уравнения называют иррациональными? 2) Решите уравнение: a) xjx —3 — 2х — 7; б) Щс + 3=2\ в) а—-д/а=12; г) а + 3 = д/ЗЗ + а2. 3) Решите систему уравнений: а) / У* — л/у = 3, б) [ х + у — л[ху = б, \ а — у = 9; \ ■у = 9\ I ху~ 16; в) / У* + л/у = 4> г) ( *:+у = 7, \ а — у = 8; \ a“t/ = 12. 14. 1) Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными? 2) Решите систему уравнений: а) { х — 3у = 5, б) Г 52х~у = 0,2, j 2е,= 15"-'= 125; в) Г 2ху — 9, г) Г З3'+" = л/3, 1 4х ^=1; I 5а —4*/= 15. 3) Решите систему уравнений: Г а —- у = 4, б) ( Зх_2" = 1, а' I log2 a—log2t/= 1; I lg A-f-lg(4/ + 5) = 2; в) | log;, (5a — у) = 2, г) Г х2-\-у2 = 26, I At/= 2; ilog5 a= 1-flogs 4/. 264
Глава V ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1. Рациональные и иррациональные числа 1. Верно ли утверждение: а) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3; б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слага¬ емое четно; в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый сомножитель равен нулю; г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно? 2. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чи¬ сел делится на 3, а их произведение — на 6. 3. К числу 523 допишите две цифры справа так, чтобы полу¬ ченное пятизначное число делилось на: а) 3 и 5; б) 8 и 9. 4. Докажите, что число 1056— 1 делится на 3 и 11. 5. В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десят¬ ков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число. 6. Докажите, что если дробь у несократима, то несократима - ab И Дробь 7. Докажите, что: а) \а\ = \—а\\ б) в) \х\2~х2. 8. а) Найдите значения выражений (8—9). 2,75:1,1+3^- /> 1+2,2-10 265
10. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа: а) 3,82±0,1; б) 1,980-104±0,001-104; в) 7,891 ±0,1; г) 2,8-10~4±0,3* 10“4. 11. Пользуясь формулой (1 + *)"« 1 -\-пх, вычислите прибли¬ женно: а) 1.0025; б) 0,9974; в) 2,0043; г) 3,015. 12. Известно, что а«11,5, b «3,8. Найдите приближенное зна¬ чение выражения: а) а + Ь; б) За —Ь; в) ab\ г) 13. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) 2,(3), б) 0,(66), в) 1,0(8); г) 1,(33). 14. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел: а) -у/5; б) 2 V7; В) л/5+1; Г) + 15. Верно ли, что сумма (произведение) чисел а и b является рациональным (иррациональным) числом, если: а) а и Ъ — рациональные числа; б) а и b — иррациональные числа; в) а — рациональное, а b — иррациональное число? 16. Найдите с точностью до 0,01: а) У2 + -§-; б) V5~; в) УЗ+-§-; г) уё- _1_ И ' 17. Расположите числа в порядке возрастания. Укажите, какие из них являются рациональными, а какие — иррациональными числами: а) УЗ; -2; -1,7; б) log2 3; -1; —s/5; в) 0,(2); -L; г) а; -1,(6); УШ; lg 100. Сравните числа (18—19). 18. а) -±-и JL-- б) (д/5 + 2) и УТ7; IgY ,gT в) logs 7 и log7 3; г) (л/7 + 3) и л/зТ- 19. а) 151оВз 10 и I0log3,5; б) (л/2+л/З) и (л/30-л/3); в) sin 2,1 и sin 7,98; г) (л/8+л/З) и (л/З+лДо). 266
20. Докажите рациональность числа: а) б) (л/2+1)2+(1-л/2)2-(л/7+1)(л/7-1); В) ^'|~-'^-л/35; Г) (3V!8 + 2V8 + 4V50):-V2. V7-V5 2. Проценты. Пропорции 21. Найдите число лс, если: а) лс составляет 2,5% от 320; б) 2,5% числа х равны 75; в) лс равен числу процентов, которое состав¬ ляет 2,8 от 84; г) х составляет 140% от 35. 22. За 1987 г. выпуск предприятием продукции возрос на 4%, а за следующий год — на 8%. Найдите средний ежегодный прирост продукции за двухлетний период. 23. Из данных четырех чисел первые три пропорциональны числам 5, 3, 20, а четвертое число составляет 15% третьего. Найдите эти числа, если второе число на 375 меньше суммы остальных. 24. За осенне-зимний период цена на овощи возросла на 25%. На сколько процентов следует снизить цену весной, чтобы летом овощи имели прежнюю цену? 25. Найдите неизвестный член пропорции: а) 12:4-=*:|г; б) *:(-0,3)=0,15:1,5; в) 36 0,13 26 V х —6,2 4 2.5 15 ' X 4,8 х+5 1,2 ’ 4 — х 5 26. Решите уравнение: х—2 6 а> тг=-г; б) в! *~3 — 6,5 • г) ’ х—2 1,5 ’ ’ 1,2 JC+З ‘ 27. Через точку Е стороны АВ треугольника ABC проведена пря¬ мая, параллельная стороне АС. Найдите: а) отрезки, на которые прямая делит сторону ВС, если Л£ = 22,5 см, АЕ= 18 см, £С=15 см; б) площади фигур, на которые делится треугольник ABC, если АВ = 7,5 см, АЕ = 5 см, а площадь треугольника ABC рав¬ на 72 см2. 3. Прогрессии 28. Найдите сумму 20 членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен 2, а седьмой равен 20. 267
29. Между числами 4 и 40 найдите такие четыре числа, чтобы вместе с данными они образовали арифметическую про¬ грессию. 30. Докажите, что числа : , -—-, являются тремя по- log32 log62 logi 2 2 следовательными членами арифметической прогрессии. 31. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найдите сумму шести первых членов прогрессии. 32. Упростите выражение (a — cf -\-(b— с)2 -\-(b— df — (a — df, ес¬ ли известно, что числа а, b, с, d, взятые в указанном по¬ рядке, составляют геометрическую прогрессию. 33. Докажите, что числа л2 —1 ■, —!—- и 4- образуют геометри- V2—1 2—д/2 2 ческую прогрессию. 34. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. 35. Найдите число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072. 36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен —, 1 121 четвертый ее член равен —, а сумма всех членов —. Сколь¬ ко членов в этой прогрессии? 37. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифмети¬ ческую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма сред¬ них 12. 38. Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей гео¬ метрической прогрессии, в которой 61=д/з, 62=^-^^ • 39. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометри¬ ческой прогрессии равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и знаменатель. 40. Три числа, каждое из которых является степенью с осно¬ ванием а (а!>0, аф\), составляют геометрическую про¬ грессию. Докажите, что логарифмы этих чисел составляют арифметическую прогрессию. § 2. Тождественные преобразования 4. Преобразования алгебраических выражений 41. Разложите на множители: a) a2 + b2 -\-2а — 2b — 2аЬ\ б) x3 + (t/— 1) х-\-у\ 268
в) а6 —8; г) х4—х2 (у2 + l)-f у2. 42. Докажите, что: а) п4-\-2п3 — п2 — 2п делится на 24, если ti£N\ б) (п2 + Ап + 3) (и2 + 6п + 8) делится на 24, если n£N\ в) п3 — я делится на 6, если пек г) п3— 4/1 делится на 48, если n(iN, п — четное. 43. Сократите дробь: \ а3-\-а2 — а— 1 х2 + х—12 а) Т ; б) -! в) а2 + 2а+1 ’ х2 + 8х + 16 2а2 —5а + 2 . . х3 —27 аб — 26 — За + 6 ’ 7 хгу-\-Зху-\-9у ' Упростите выражения (44, 45). л л \ ( I 4тп \ ./ т п 2тп \ . 44. а) ( m -f- А2 :— ):( —: 5—г ) 7 \ ' пг-\-п / \m-f-n п — т т —я / б) -2^-:(а2-62)+ 26 аб а+ 6 *ч'~ ~ 7 1 а + 6 а2 —62 ’ ч / х 8 \ х2 —2х ■ х+8 . \ х2 — 4 х2 + 2х / 4 —х х + 2 * \ ( 1 ,2с . 1- \2 (с-3)2+12с 7 \с2 + Зс + 2'с2 + 4с + 3'с2-)-5с-)-6/ 2 4- ч / 3 2 1 \ . 4/у2 . \2х —/у 2х + /у 2х — 5/у/ 4х2 — у2 ’ бч /_3 ■ 4 , 2а \ / 3 \~' а-12 . 7 \а— З а2 — 5а + 6 а— 2/ \2а+ 1 / 3(3 —а)’ в) (4Ег+2*)-(4 2 —х ’ з v k2 9 —/г2 . 27 + /г ./« . /г2 \ Г' 3 + 6 * 62-36 •" 3-6 *\ ■" 3 — 6 / 5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями 46. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: ч л/2 — ч -\1з ч 2 ч 3 а) лЗ+чй1 ) в) vif vThI' 47. Вычислите: a) V(^^5?-V0^-V5)3-l; б) Л/75 — 5л/2 в) (V(^-1,5)2-V(l -л/2)3)2+ 0,75; г) 2-^-Г_^.(1|+2л^0). 2V5+V24 269
Упростите выражения (48—51). 48. а) (—±1 1 -— ' л/2а V2a + 2 а-ф2а' 0 + 2 ’ -\/х +1 . 1 49. а б в г 50. а 51. а 1+Ух + Х X2 фх / _л/с —WУс— 1 Ус4~ I \ V 2 2 Ус / Vyc+1 Ус7— 1 / ' v V*+l 7 У/г-1 / (фа + ф)2-(2ф)2 -ф^-фь\ тЩ_фЬ_ . ' а — 6 ~h ^ Н“ Л/^ (^-м+цт+')-- -фа? -\--фаР — -фаЧ)—у/Р V^ + Wb-Vo^-Va5 ’ х—1 . ха5+1 . 2 - * 15_i х + х2+1 * 1 1 1 (а~Ч~2 -):±Ь)'-Ь* \ .4.4/ а — ь а + а 2 b2 1 1 2 2 \ — 1 , — у х — у ^ 2х + х2у2 ^ •( — х—х у X2 +у2 (4^-^-+-^-) (1+f) '.2 2 9 9 9 / ' *- / -Ё -Н з U з а3 —2 а 3 6 3 +afc3 — ^ _4 2 _ _ а 3 b 3 — ab3 + а 3 Ь 2 2 —*/4) V .Л. У~х (-,g(V-*V ,-*-</): v 2 ,, 4 _ 4 ,, 2 7 4~1; У —X у X - —у 1 1 1 с— 1 с 2 +с 4 с 4 +с2 с 2 + 1 2 2 1 1 3 (ab)2 — 3b , (а 2 — b 2 )3 + 2а 2 + fc
6. Преобразования тригонометрических выражений Упростите выражения (52, 53). 52. a) tg2 а — sin2 а — tg2 а sin2 а; 53 б) Vsin2 Р (1 + ctg P) + cos2 р (1 +tg р); в) (3 sin а+ 2 cos а)2+ (2 sin а — 3 cos а)2; ч COS р tg р , „ о 0 г) ~sin2 Р ctgpcos р. . a) 2tga — tg(a — n) + ctg(^— a); / ч sin (—a) \ 2 / ■ cos a sin (л— a) ctg a . / n \ ’ s,n^T+aj tg ("—W cos (я — M p) im(y-p)ctg(Y+«)tg(|!+a) . /Зл , \ . Зя . 16л 1 Зл tg('T+aJs"1Ts'n~re°sT8 . , ч 5л . 11л ctg (л — a) cos — sin -g- cos 2n B) r) Докажите тождество (54, 55). сд ЯЧ tg (a-j-p) tg a tg p ^ 1 — cos 2a + sin 2a , tgatg(a + P) ® 1 + cos 2a + sin 2a ® ’ cos(a + P) + cos(a-p) _ч sina-sin3a _ ■ Q ' sin (a + P) + sin (a —p) “ ’ ' cos a — cos 3a ^ . a) cosa=cos-у- при л<а<2л; б) -y\--y/±—-|-cos 2а=л/2 cos (у у) при л<а<-у-; в) YX+tV T+Tcos 2а= ”cos Т ПРИ -у<а<2л; г) "д/1 Tcos а=л/2 cos (у—-у) приу-<а<2л. 56. Докажите справедливость равенства: ч я л 4л л 5л 1 а) cos — cos — cos —=—; б) tg 20°—4 sin 20° sin 50°= —2 sin 20°; 271
в) —l—з—4 sin 70° = 2. sin 10 r) cos20° + 2sin2 55o-V2sin65°=l. 57. Докажите справедливость неравенства: а) tg x + ctg если sinf^ + a) 6> 7 V—77 r-+2sin-f<2^; ./nta\./5na\ 2 v sln\,T5+T j Sm\T2 4”/ в) (1 -|-sin ф + cos ф) (1 —sin ф-4-cos ф) (1 4-sin ф — — cos ф) (sin ф-t-cos ф — 1)^ 1; г) 2 sin 4a sin 2a + cos 6a ^ — I. Вычислите (58, 59). 58. a) cos4 a-f-sin4 a, если sin2a=-|-; 1—2sin2-^- ^ б) ————— , если tg ' 1 + sin a & 2 в) cos a, если sinatga = -^-; r) sin a, cos 2a, cos-|-, если tg-|-=—-^2, n<a<y. 59. a) lgtg r-Hgtg2°-b.. + lgtg89°; 6) lgtg l°*lg tg 2°-... - lg tg 89°. 60. Сравните число с нулем: а) lg sin 32° • lg cos 7° • lg tg 40° • lg ctg 20°; б) lg tg 2° + lg tg 4° + lg ctg 2° + lg ctg 4°. 61. Найдите сумму tg2-^-4~ tg2—htg2-|~, если cos A' = —7—, cos и=—7—, cos z = " a b 4- с Ф 0. b-{-c J c + a a + 6 7. Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы Сравните числа (62, 63). 62. а) З400 и 43Q0; б) — logsи 7,ogl1; в) 5200 и 2500; г) log4 л/2 и log3 . 272
63. a) logs 2 + log3 7 и log3(2 + 7); б) log45 — log4 3 и log4 (5 — 3); в) 3 log7 2 и log7 (3 — 2); r) log3 1,5 + log3 2 и log3 1,52. 64. Упростите выражение: a) 81T_T'og94 + 25log|25 8; 6) 24 ,og<a —5^'°^“ —a0. 65. Запишите число в виде десятичной дроби: а) 491-|°g72_j_5; б) 36^~1оеб5 + 2"1оВ2,°. 66. Найдите значение выражения: я\ 'К 8 + lg 18 . } 2 lg 2 + lg 3 ’ б) 2 logo.3 3 — 2 logo,3 Ю; v 3 Ig2 + 31g5 . ' lg 13 — lg 130 ’ r) (2 log12 2 + 1 Og12 3) (2 log 12 6 — log!2 3). 67. Прологарифмируйте по основанию а выражение: а) 2563\/P при a — 5; б) °’001^ - при a = 0,2, b > 0, c>0. с \jc 68. Найдите x, если: а) log4 x = 2 log4 10 + -|-log4 81 —l°g4 125; б) logj^ * = -g-log_i_ 16 —logj^ 8 +logji 28. 3 3 3 3 69. Вычислите при помощи таблиц: v 7.832.yi2,98 . 102.32 S.2562 ’ У92,14-6,341 70. Упростите и найдите приближенное значение выражения log3 2 • log4 3• log5 4• log6 5•• logio 9. 71. Известно, что log2 (УЗ+l) + log2 (д/б— 2) = Л. Найдите сумму log2+/3—l) + log2 (л/б + 2). 273
§ 3. ФУНКЦИИ 8. Рациональные функции 72. Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой сто¬ роне, угол при основании 30°. Задайте формулой: а) площадь трапеции как функцию боковой стороны; б) периметр трапеции как функцию ее высоты. 73. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно сто¬ роне основания. Задайте формулой: а) объем призмы как функцию стороны основания; б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема. 74. Материальная точка, двигаясь прямолинейно, совершает гармонические колебания. Задайте формулой: а) координату точки как функцию времени; б) скорость точки как функцию времени. 75. На рисунке 150 изображены графики движения двух ту¬ ристов, которые вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. а) В какое время туристы прибыли в пункты А и Б? б) Сколько времени был в пути каждый из них? в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки? г) Сколько времени каждый из них отдыхал? д) С какой скоростью двигался каждый турист до останов¬ ки и после нее? е) Какова средняя скорость движения каждого туриста? 76. По графику функции (рис. 151) ответьте на вопросы: Рис. 150 274
О) В) б) г) Рис. 151
■ 1. Каковы промежутки возрастания функции? 2. Каковы промежутки убывания функции? 3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках? 4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [—2; 2]? 5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках? 6. На каких промежутках функция непрерывна? 7. Какие из этих функций четные и какие нечетные? 77. Найдите область определения функции: \ х — 2 * \ ~2 а> б) У- х2 + 2х-8 ’ 7 17 х4 — 1 У И CW2 _L on * У' х4 — 9** +20 ’ 7 и Зх2 —5х + 4 ' 78. Найдите промежутки непрерывности функции: \ х—4 -ч 2 I 4 а) У = -^—\ б) у = х х — 1 ’ в) У = 4 г) У = : 1 2 х ’ 1 у Зх3 — 2х2 + 5 ' 79. Докажите четность (нечетность) функции: а) у = х3 — Зх; б) у 5х 1-х2 ’ в) у — хА (x2 + 2); г) y=M+L' 80. Найдите промежутки знакопостоянства функции: ч х—1 Лч ,, х2 —4х—5 а) У = -77—\ б) у. Зх ’ 7 у 9—х2 ’ в) /у — 1 — 25х£~х3-- ; г) у=2х2 — 5х + 2. 81. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки макси¬ мума и точки минимума функции: а) у — 4х2 + 3х—1; б) у= 1—2 X в) У=(х— I)4 — 2; г) У = ~Т х— 1 Исследуйте функцию и постройте ее график (82, 83): 82. а) у = Зх —5; б) у — 2х2 — 7л:+ 3; _1_ 4 276 в) у — 2—\-х\ г) у= 12 — Ах — х2.
83. а) у=2-^; б) i/=(*-2)3-l; в) 9=-^: г) !/=4-(л-+2)4. Постройте график каждой из функций (84—86). 84. а) у = Зх — 2; б) у = х2— 4л: — 5; в) У = ——П г) */ = *3 +2- 85. a) j/ = 3*+|*|; б) (/= | — л:2-х + 2|; в) у — 2х—|х — 31; г) у = х2 — 4\х\ +3. 86. a) y = i±i; б) </=Л+2; в) </=l£!7^; г) а) у — х2 и у = л:4-6; б) у — —и у = 4 (*+ 1); 87. Имеют ли общие точки графики функций: с2 и г/ = л:-| в) у = х4 и у — 2л:2+1; г) У=^г и у — х2 —2? 88. Докажите, что уравнение имеет корень, принадлежащий за¬ данному промежутку /: а) л:3-6* + 2 = 0, / — [0; 1]; б) *4-Зл:2 +-|-=0, / = [1; 2]; в) х5 + 3* = 5, / = [1; 2]; г) 4 + 2*3 — л'5 = 0, / = [—1; 2]. Решите графически уравнения (неравенства) (89, 90). 89. а) 4 — Зл:^л: + 2; б) л:2 — 2л: = —л'; в) -1-= 4*; г) л:2 + 2х + 2>л:+1. 90. а) л:3 = —; б) 11 — х\ =2— |л:|; х— 1 в) х3 = —; г) \х— 11 = 3— \х\. х 1 91. График функции у = ах-\-Ь проходит через точки А(2; 1), Б (5; 10). Найдите а и Ь. 92. По графику квадратичной функции (рис. 152) определите знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта D. 93. Может ли линейная или квадратичная функция быть: а) чет¬ ной; б) нечетной; в) периодической? 94. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функ¬ ций: а) У=Х-т^г\ б) у = х3 — хUI+3; в) г ; г) у = 2х5 + х*-3х + 8. 277
г а) 5) г) д) Рис. 152 95. Является ли четной или нечетной функция: а) у — 5л:6 —2л:2 —3; б) у = 4х5 — 2xsх\ г> у=—?-? 278
9. Тригонометрические функции Найдите область определения каждой из функций (96, 97). 96. а) у = —\—; б) у= 1. ; ' v cos х ' v 1+2 sin 2x в) у= ——s-; г) у=- X 3 .XX д/3 COS X—— sin — cos — 97. a) y = ^fsin xcosx-, б) y = ^Jx tg х; в) у =у/sin5 x — cos2 x\ r) y = -\jsm jc+Vcos x• Найдите область значений каждой из функций (98, 99). 98. а) у= I — 3 sin б) «/ = 2 cos х tg х\ в) у = 2 + 3 cos 5д:; г) у = 2 |sin х\ — 1. "• а) l+si~2F; б) !/=Vl-cos4^; в> «'=ldbr; г> !/ = tg* + ctg*. 100. Найдите промежутки знакопостоянства функции: a) f/ = 3cos(*+-J-) ; б) |/ = 1 — tg За:; в) «/ = 1 — д/2 sin г) «/ = 1 +2 cos 2х. 101. Какие из данных функций являются четными, какие - нечетными: а) у = tg Зл: — ctg —; б) у ■■ Sin X COS' X ч . х3 — х ч sin х ъ в) у = sin^—р; г) «/=— cos х? 102. Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций: а) г/= 1 — sin 5л:; б) у = х sin2 х — х cos2 х\ в) «/ = 3tg(-|—-0 ; г) у=(sin x + cosx)2 103. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки мак¬ симума, точки минимума функции: 2 ■cos X a) 0=l+sin(*—£-) ; б) y=jzr( в) «/ = 0,5 cos ^—2х^ ; г) у =д/1 — sin2 х. 279
104. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): a) # = cos 2jc-}-sin2 х\ б) у= 1—4 sin Зл;; в) «у —sin л: —cos л:; г) #=l + |tgA:|. Постройте графики функций (105, 106). 105. а) у = 2sin2-^-; б) у=л[\ — cos2 х; в) #=1+2 cos 2л;; г) # = sin — -|-) — 2. 106. а) у ; б) # = (sin л; —cos л;)2; в) г/ = cos лг-f-1 cos л: |; г) у = sin х ctg х. 107. Исследуйте функцию и постройте ее график: a) </=++sin(*—2) ; б) y=+tg(^—-§-) ; в) y=l++os(-2—л) ; г) у= 1 —tg 2jc. 108. Известно, что Хо — корень уравнения sin у^=л:3- Следует ли отсюда, что число (— л;о) является корнем этого урав¬ нения? 109. Сравните числа: а) sin(n + -^-) и cos^ji + -^ ; б) tg л2 и ctg л2; в) tg 2 и ctg 2; г) sin 1 и cos 1. 110. Докажите: a) sina + cosa>l, если 0<а<-^-; б) cos (sin а)>0, a£R. 111. Решите графически уравнение: а) sin х= —х\ б) tg х = ^/2 cos х, — в) \gx = x, — л:<Y-; г) со5л;=1—л:2. 10. Степенная, показательная и логарифмическая функции Найдите область определения каждой из функций (112—114). 112. а) у —л!16л: —х3; б) у v*3 + 8 в) у=\5 — х—у\ г) у- 1 л[х2 + х — 20 113. а) f/ = Vjc2-3x —Зх+1; б) # = ^2 —1; в) # = log3(4 — Зл: + л;2); г) # = log2sinA:. 280
it/1 \ -Jx2 — 5x + 6 114. а) у- ;g(jt+|0)2 ; б) y — x}\og5 cos л:; в) у— |п<3дг~2) ; г) y=\l\g{3x2 — 2x). х1 — х — 2 Найдите область значений каждой из функций (11 115. а) у = 2 л]х-\-1; б) (/ = 52“х—1; в) у = 2 \gx-j- 1; г) у — 3х~2. 116. а) у = 2C0SX; б) у = 2 — фс; в) у— 1 + |log2 х\; г) */=l + lV*l- Найдите промежутки знакопостоянства каждой из i (117, 118). 117. а) У=(4-)'-4; б) f/ = log4 (х + З); в) у = 2-3'; г) у = ф—4. 118. а) г/ = 4Х + 2 — 4х; б) */ = lg (* — 2)— 1; в) «у = л/^+ 3; г) у — 2 — фс. Найдите среди данных функций четные и нечетные (1 119. а) у = 5X + 5“V; б) t/=lg(i— -v2); в) г) у = хф. 120. а) у = х1\ б) у —3х — З-*; в) у = 2C0SX; г) y = V^ + l- 121. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) г/ = 2 ф — 1; б) у = 4х-1—2; в) # = Y-log2(*+ 1); г) y = \jx — 2+1. Постройте графики функций (122, 123). 122. а) у — фГ— 2-f 1; б> Их)' ; в) у = 2—\jx + 1; г) f/=l+log2(x + 2). 123. a) */ = 5,ogs(jc-1); б) «у = 1 logj^AT | — 1; 2 в) </ = 2|х|; г) у= \og2X2. 124. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): 2. .. J —!— при О^л:^ 7,
D) y~° ’ 4 y~\ log2x при l<x<8. 125. Решите графически уравнение: a) log^ x = x— 3; б) д/х —2 = -|-; в) \og22x = 25~x; г) 2ul = ll-|x|. 126. Решите графически неравенство: a) log 1 л:> а: — 3; б) д/х— 2^ —; 1 х в) 2_|л|^х2 + 1; г) logiX>2x —7. з 127. Докажите, что наибольшие значения функций y = (\og2 3)s,n* и «/ = (log32)cos х равны. 128. Найдите значение аргумента хо, если: а) / = /Ы = 0; д/4х+ 1 б) /(x) = lg(x+15) + lgx, f (х0) = 2. 129. Докажите, что: / j \ *+1 а) функция f(x)==\~) убывает на множестве R\ б) функция / (х) = log2 Зх возрастает на промежутке (0; оо). § 4. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 11. Рациональные уравнения и неравенства Решите уравнения (130, 131). 130. а) 3(х — 2) — 5 = 4 — (5х — 1); б) |2х-3|=5; в) 7-2(3-х) = 4(х-1) + 5; г) 14 — 3x1 =2. 131. a) ^±l=2-i^^); б) |^+б| =4; в) 1-^=х-3(5~2х) ; г) | 1-^| =5. 132. При каких значениях а данное уравнение: а) ах — 2х = 3(х—1); б) а (1 — х)+2 = 3х — ах; в) х (2 —а) — х=5 + х; г) 5 + 3 (х + За)=9а + 5- имеет единственное решение; не имеет решений; имеет беско¬ нечное множества решений? 262
Решите неравенства (133—135). 133. а)^-Ц-*<1,5* + 3,5; 134. а) \4х — 3| <5; в) л: — 4(3 — *)>2л: + 7; г) 3 + ^Ц^<2*. б) |2* + 5|>1; б) г) 4 |2 —*| < 12. 135. а) |2х 3|>0; 7 X в) (л: — 4) 15 — Зл: | < 0; 136. Решите уравнение: г) |2л: + 7| (3 —*)<0. a) x2-j-2x— 15 = 0; б) 7л:2 + 5л: = 0; в) (х — 3) (х — 2) = 6(х — 3); г) *2-+4+=0. 137. При каком значении а имеют общий корень уравнения: а) х2 — ах —0 и х2 — х — 3а=0; б) х2 — (а — 1) лг = 3 и 4л:2 — (4а+ 3) л: + 9 = 0; в) л:2 + ал; + 8 = 0 и л;2 + л: + а = 0; г) 2л;2 + (За — 1) л; = 3 и 6л:2-(2а-3) х= 1? 138. Найдите значения k, при которых имеет один корень урав¬ нение: a) (k— 1) л:2 + (/г + 4) л: + /г + 7 = 0; б) 9л:2 — 2л; + /г = 6 — kx\ в) (2k — 5) л:2 — 2 (k— 1) х + 3 = 0; г) 3kx2 — 6л: + k — 2 = 0. 139. Не решая уравнения Зл:2 — 5л: — 2 = 0, найдите: а) сумму его корней; б) произведение его корней; в) сумму квадратов его корней; г) сумму кубов его корней. Решите уравнения (140, 141). « Л Л \ ОЛ — л - 140. а) - х— 1 6х — х2 — 6 2х — 3 j X— 1 X— 1 „\ ^ I ° .... 1к} В' х2 + 5х'Т~2х— 10 —х2 —25 ’ 2 , 3 _ 15 . I 2_=_^L_ ’ х — 4 (2 — х)2 {х+2f ’ б) 2л:4-5л:2+ 2 = 0; Решите неравенства (142—144). 142. а) 2л:2 + 6л:+ 17 >0; б) л:2 —3,2л: <0; в) (Зл; — 2)2 — 4л: (2л: — 3)>0; г) (6л:— 1)(1 +6х)+ 14<7л:(2 +5л:). 283
143. 144. 145. 146. 147. 148. 149. 150. 151. 284 з) {-х --)(* --^0; б) -x, + f ,'^-<0; х —3 хг — 2х + 8 \ % — 2 ^ г\ \ + 5х + 4 f\ (х —3) (х— 5) х1 — 5х — 6 а) (х—1)(х + 2)(х —3)(х —4)<0; б) х4 —3x2-f2<0; \ 4 —JC . 1 . , I 12 , 7 в) г>- ; г) Ч—-<—• х — 5 1 — х х~ х Докажите справедливость неравенства: а) т-\-— ^4 при т> 0; б) , -Ч~~^ 1; 7 т г 1+»г в) *т" + -— ^2 при а>0, Ь~> 0; Ь а г) при а>0, b>0, с>0, aCb. 12. Иррациональные уравнения и неравенства Решите уравнения (146—149). а) д/х2 + 2х -f-10 = 2л:— 1; в) д/17-f 2х —Зх2=х+1; a) д/х + 17 — -л/х: — 7 = 4; в) д/х —|— 7 —|— д/х — 2 = 9; a) д/х ——Рд/2 + х = 0; л/2 + х в) *-V* + 5 __ 1 . х -f- д/х H~ 5 ^ a) д/225 + л:2 = л:2 — 47; б) д/х2 — 16 = х2 — 22; г) у/л:2 -j~ 9 = х~ — 11. б) 2 д/х — 1 -|-д/х — 1 =3; г) 2V^+T-V^+T=6. б) д/х И- \[х — 2 = 0; г) УЗлГ+Т —УЗх+1=0. б) д/х — 2 = х — 2; г) д/х3 — 5х2 + 16х — 5 = х — 2. б) д/(х — 2) (i — 2х)> — 1; г) (д/х —3) (x2-f 1)>0. д/х2 — 2х + 3 2х2 + х+1 ’ г) д/2х — х2 + 15 (Зх — х2 — 4) ^ 0. в) д/хЧ- 36 = х2 — 54; Решите неравенства (150, 151). а) д/х2 —5^2; в) д/х2 —16^ 1; а) д/х2 —6х + 9> 3; б) в) д/25 — 20х + 4х2 ^ 1;
152. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 13. Тригонометрические уравнения и неравенства Решите уравнения (152—158). a) cos л:+2 cos 2х= 1; б) 4 sin 2х — 3 sin^2х— в) 2 cos2 х-f-4 cos х = 3 sin2 x\ г) cos2 x-f-4 sin2 x = 2 sin 2x. a) sin3 x — cos3 x— 1 ; 6) cos^-j—|-л;) + cos^—л;^ = 1; в) cos4 л: — sin4jc=^; r) sin^-^—I-*)-sin^-^—jc^ = 1. a) cos 4x + 2 cos2 x = 1; 6) 4 (1 +cos jc) = 3 sin2 cos в) cos 3>: + sin л: sin 2л: = 0; r) 4 (1 — cos jc) = 3 sin-|-cos2 a) cos 2a: — cos6a: = 0; 6) sin лг + sin 2jc + sin 3jc = 0; b) sin x + sin Зл; = 0; г) cos(“тг + ^л;^ +sin л; = 2 cos Зл;. a) r-r= 3 — ctg л;; б) 1 + 2 cos Зл; cos x— cos 2л: = 0; 7 ctgx+2 & 71 в) ■—= 11 —2 sin л;; г) ctg x -f y1--—=2. 7 sinx+l / & I l-f-cosx a) tg Зл; —tg л; = 0; 6) tg x — sin x = 2 sin2 в) sin л; tg a; = cos A; + tg л;; г) sin A; + sin 2A; = tg x. ч 1 -\-2x 2л _ a) arccos - — —; g) arctg(2A;—1)=——; в) arcsin r) arctg (2 —Зл;) = -^. Решите неравенства (159—162). a) sin(fL— 6) V^tg(^—*)>— 1; в) sin 2л; sin —cos 2л; cos r) sin Зл; cos x + sin x cos Зл; ^ a) 2 sin2 л;^ 1; 6) 3 tg2 2x^. 1; в) 4 cos2 л;^3; г) tg2 — 1 ^0. a) | cos x— 11 ^0,5; 6) sin x < cos x; в) I sin 2л;+ -^-1 r) tgx + ctgA:>0. a) sin л;—д/3 cos x>-^3; 6) log05 sin x> 1; в) sin a: + cos x< 1; r) log^ cos x> — 1. 285
14. Показательные уравнения и неравенства Решите уравнения (163—167). 163. а) (0,2)'’-'6'-37’5=5У5; б) 2Л’-3.5'’-3=0,01 -(К)'-1)3; В) 2г) £,5 16 V2’ 2-15 6,г-‘ 164. а) б) 4*-3'-°-5=3'+0-5-22'-' в) 25х~1 -|- 25х~2 + 25х_ 3=896; г) 52х“' -f-22x = 52x —22х+2. 165. а) 9*2-1 — З6-Зх2_3 + 3 = 0; б) 53х+1 + 34-52х = 7.5х; в) 16х —50*22х = 896; г) 74^-8-7а/4х + 7 = 0. 166. а) 3-4х + 2-9х = 5-6х; б) 8Х+18х = 2.27х; в) 2*25х — 5* 10х+ 2*4х ==0; г) 3-16х + 2-81х = 5-36х. 167. a) 32Vx + 32Vx-1-32Vx~2=ll; б) 5sin2x—25COSX=0; _i_ _l _i_ B) 2sin2^-f-2cos2x = 3; r) 3-9x+6X =2-4x. Решите неравенства (168—170). 168. a) -¥L^>(±.y+x; 6) 3x2+x<10,g9; л/32 V 2 / в) 3*(-^)2_ЗА:<-^; г) 4x2+x-11>5,og54. а) 0,04х-26*0,2х + 25<0; б) 9х — 84-3 ~2лг + -|->0; в) 4х-10-2х+16<0; г) 22x + l+(-^-)2*~M--f->0. 170. а) л:2-3х — Зх+1<0; б) 3,7 х“4 >1; в) лг2*5х —52+х<0; г) 2Х+2 — 2Х+3 — 2Х+4>5Х+1 — 5Х + 2. 15. Логарифмические уравнения и неравенства Решите уравнения (171 —175). 171. a) log2 лг=4 — 3 log3 х\ б) lg (2*—1)= 1 — lg л/*—9; в) log3 л!х — 5 + log3 д/2х^3= 1; г) 3 lg2 {х — 1) — 10 lg (х — 1)-J- 3=0. 172. а) 2 logs (lg *)=log5 (10— 9 lg x); б) lg (Зх + *— 17)=* lg 30 — x\ в) 2 lg (lg at)=lg (3 — 2 lg л;); г) x—x lg 5 = lg (2х + лг — 3). 286
173. a) log2 л;4-у—-^ = 5; б) log3 x + \ogj-xx — log±* = 6 в) 2 log^x + log*-|-=3; г) log^x + 4 log,* * + log8 *= 175. a) 3 logi> sin A* + log2 (1—cos 2a) — 2; б) logo.i sin 2*-f-Ig cos x = Ig 7; в) log7 5V*+T=(x —4) logy 5; r) lg (3-5*24*20*)=x + lg 18. Решите неравенства (176—179). 176. a) log2 (a2 — a — 4)<3; 6) log^_, (5 — 2*)>2; B) ^8 {x“ — * + 8)^ 1; г) logy7_! (3 2x)<c2. 177. a) 2 log2 a < 2 + log2 (x + 3); б) log , (10 — x) + log, (x — 3)> — 1; в) log, (x — 2)+log, (12 — *)> — 2; r) logo,5 (4 — x) > log0 5 2 — log0 5 {x — 1). 178. a) lg (x2-f a — 6) — lg (* + 3)<lg 3; 6) log2|^<l; в) 1п(а2 + За-10)-1п(а-2)>1п4; г) log3-^=p<l. 179. a) log2 (4* —5-2* -f 8)>2; 6) log2i5 * + 6>5 log0>5 *; 16. Системы рациональных уравнений и неравенств Решите системы уравнений (180—183). 174. a) xlog2*-2 = 8; в) xlg* = 10 ООО; б) х]°е**= 1 25л:2; в) lg2x>lgx + 2; г) log, (6*+1-36*)>-2. 180. г) J 5а — 8у — 0,
184. При каком значении а система уравнений: а) | х~5у = 7, б) {* + 2У=а, ах — у — —3; I 2х + 4у = 5; в) (х + ау = 2, г) (х—у = 2, X Зх — 2у = -6; I 2х — 2у = 2а — имеет единственное решение, не имеет решений, имеет беско¬ нечное множество решений? 185. Решите систему неравенств: о 13л: — 2 { {* + 2 0,5 п б) Т+Т(*-7Х X '->х~ 1 Зх —20 Х+1 2 3 5л; — 2,5 <С х\ х + 4 — 2, 3 4 Ъх<2 — х\ 2, г) ( 2 (Зх— 1)<3 (4л:1)-|- 16, I 4 (2+х) <С За: + 8. 17. Системы иррациональных уравнений Решите системы уравнений (186—188). 186. а) ! 1 -фс — л[у = 4, б). ( -у[х+л/у = 8, 1 2-^4-3^= 18; 1 л[х--4у = 15; в) 1 \ 3 -\[х — ^[у — 8, г) ] f л[ху— 12, 1 { -фс + 2-у[у=\9\ 1 1 V* + V«/ = 7- 187. а) ( зо, б) . f л: + (/—-\[ху = 7, 1 1 л/*+л/*/=5; { ху = 9; в) ^ ( л/* + л/у = 6, г) 1 [ лт/ = 64, i 1 х — у= 12; 1 1 х —у+ ~фсу = 20. 188. а) [ л[х + л[у = 20у б) i J Чх—Му=з-^-, 1 V*+V*/=6; 1лт/=1; f л[х — ~\[у — 5, г) 1 Г V*+V*/= —з. t *Jx — 4y=U 1 1 ху = 3. 288
18. Системы тригонометрических уравнений Решите системы уравнений (189, 190) 189. а) 1 sin х cos у ■ I sin у cos * = = 0,25, = 0,75; в) I 4 sin * sin у = 3, i tg*tg*/ = 3; 190. a) в) tg * + tg*/ = 2, l cos * cos y = -g-; 1 sin * sin y=—, ctg* ctg (/=3; 6) r) 6) { l -y=~ ,2 / \ 2 cos (я*) — cos2 (я*/) = 0; 2 f sin2 * = cos * cos y, \ cos2 * = sin * sin y. { , 5jt *+»=T' sin *-f- cos 2y — — 1; r) | cos 2y -J- cos * = 1, { I л. *+!/=-T- 19. Системы показательных и логарифмических уравнений Решите системы уравнений (191 —196). 191. а) 192. а) в) 193. а) в) 194. а) в) 195. а) в) 10 Заказ 581 9х+« = 729, 3Л -У- ' — 1 ; Ы5у-у=25, 2&У-Х—1 __ 1 . 4log4 2х — у__ — 1^ 52*-» + 5х = 5,2; gloga (У + х) 2 22х+«=16; 3х. 7^ = 63, Зх + 7*=16; 4x-4« = 64, 4х — 4« = 63; lgx—\gy=\, lg2*+lg2*/=5; lgx — \gy = 7, lg jc + lg f/ = 5; У — log3*==l, *«=312; б) f 2X — 2« = 16, 1 * + y=9; г) | 3X +3^ = 28, \ x — y = 3. 6) J 2x + 3«= 17, 2X+2 —3«+1 = 5; -*) 3x + 2-3«'2= 171. r) / log«(y — x) = 4, 6) { 6) ( 3x — 22y = 77, { УЗх-2у=7; г) Г У27—3«= -7, \ 2х — 3«= —5. 6) | log2 (*2 + */2) = 5, \ 2 log4 * + log2 */=4; Г) | log2(*+l)=log2(l/ + -|-), [ rog2* —2 log2(*/ —тг)=0. 21 + logs (JC2+1^) __ 15 logs (x2—y2) — log3 (* ■— y)=0; logs * + 310ВзУ==7, г) I 51+1ов1(х“у) = 25, 1 logs (*2 — У2) = logs (* + y). *« = 5 289
196. a) J log4 x— log2 (/ = 0, I x2— 2y2 — 8\ в) 1 1 og9 x 1 ogj-у = 0, I *2-5(/2 + 4 = 0; 6) { 32V*~^ = 81, I lg~\[xy — 1 +lg 3; r) / 2 log2 x—3tf=15, I 3y log2 x = 2 log2 дс + З^4-1 20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений 197. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км, при составлении нового расписания движения автобу¬ сов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость дви¬ жения автобуса по новому расписанию* если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым распи¬ санием. 198. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км, прошла 139-^- км вниз по течению реки и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь за¬ трачено 20 ч. 199. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. 200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юг, а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстоя¬ ние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого теплохода, если известно, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого. 201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в пер¬ вую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся? 202. На строительстве железнодорожной магистрали бригада строителей за несколько дней должна была по плану пере¬ местить 2160 м3 грунта. В течение первых трех дней брига¬ да ежедневно выполняла установленную норму, а затем каж¬ дый день перевыполняла норму на 80 м3, поэтому уже за день до срока бригада переместила 2320 м3 грунта. Какова по плану дневная норма бригады? 203. Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколь¬ ко дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой? 290
204. Для-перевозки 60 т грузн затребовали некоторое количество машин. В связи с тем что -на 'каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затре бовано еще 4 машины. Сколько 'машин было запланировано первоначально? 206. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содер жит 5 кг чистой меди, -а второй кусок — 4 кг. Сколько про¬ центов меди содержит первый кусок латуни, если второй со держит меди на 15% больше первого? 206. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли? 207. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина движется со ско¬ ростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 ч 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины. 208. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м. 209. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 50 км, одно¬ временно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 5 ч они встретились. После встречи пешеход, идущий из А в В, уменьшил скорость на 1 км/ч, а второй увеличил скорость на 1 км/ч. Первый пешеход прибыл в В на 2 ч рань¬ ше, чем второй в А. Найдите первоначальную скорость каждого пешехода. 210. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А расходуется 2 кг меди и 1 кг свинца, на изготовление одного электродвигателя типа В — 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколькб электродвигателей каждого типа было изготовлено, если всего израсходовали 130 кг меди и 80 кг свинца? 211. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выпол¬ нять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий? 212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно 1,2 г/см3 и 1,6 г/см3, составлена смесь массой 60 г. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плот¬ ность смеси, если ее 8 см3 имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей? 213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что,сплавив его с 3 кг чистого сереб¬ ра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его 10* 291
с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получают сплав с 84%-ной массовой долей серебра. 214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный обо¬ рот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки. 215. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите это число. 216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. § 5. ПРОИЗВОДНАЯ, ПЕРВООБРАЗНАЯ, ИНТЕГРАЛ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 21. Производная 217. Найдите отношение ~ для функции f, если: а) /(*) — ir*2’ *о=1, Д* = 0,1; б) f (*)=у/* — 1, *o = 2, Д* = 0,21; в) f(x)~3 —2*, *о = 2, Д* = 0,2; г) /(*)=~у,*о=1, Д* = 0,1. 218. Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке *о, если: а) /(*)=!—4*, *о = 3; б) f(*)=l,5*2, *о = 2; в) f(*) = 3* + 2, *о = 5; г) f (*) = *3+ 1, *о= — 1. Найдите производные функций (219—222). 219. a) f (л:)=-^л:4—|-*3 + -^-*2—* + 5; б) [(х)=(4 — *2) sin *; в) / (*) = (*2 + 5) (*3 — 2*+ 2); ч г / \ COS X r> /М=w- 220. а) /(Л) = |—^ + б) f{x)=(2~fi)lgx-, в) f(x) = 4=g-; г) 1(х) 1 — 2х ’ / / v / 1 — 2 cos х ' Зх 221. a) /(*) = 2* + lg*; б) f(x) — e + 2 log3 2*; в) f(x) = x2-52'; г) 292
ь x Рис. 153 222. a) / (x) = sin Зх + cos 5a:; b) fW = (3-2*3)5; 6) /(*)=V4-*4 (2x— l)3 * Г) f(x)=\g(3x) —3tg(2x—j-) . 223. Решите уравнение f' (x) — 0, если: a) / (x) = x4 — 2x2 + 1; 6) / {x)= 1,5 sin 2л:—5 sin x—x; в) f (x)— ——9x; r) f (x) = x + cos 2x. О О 224. Функция задана графиком (рис. 153). 1) Укажите, в каких из отмеченных точек: в) Г (х)> 0; б) f' (х)<0; в) f (х) = 0. 2) Укажите промежутки, на которых: в) /' (х)> 0; б) /'(х)<0; в) f'(х) = 0. Рис. 154 Рис. 155 293
3) В каких точках интервала (а; Ь) функция f не имеет произ¬ водной? Сравните значения производной в заданных точках (225, 226). 225. а) х\ и хо; б) х\ и *3; в) хч и *4; г) хз и *5 (рис. 154). 226. а) х\ и *2; б) *3 и хъ\ в) *4 и х$; г) *2 и х4 (рис. 155). 227. Функции и, v, w дифференцируемы в точке х. Докажите, что (uvw)' = u'vw -f- uv'w + uvw'. 22. Применение производной к исследованию функций 228. Вычислите приближенное значение функции в точках х\ и *2: а) / (*)=-|-*3 —*, *1 = 2,0057, *2=1,979; б) /(*) = 2 + 4* — *2-f-*4, *1=3,005; *2= 1,98. 229. Вычислите приближенное значение выражения: а) л/9Д09; б) 1,0001,5; в) 0,999“5; г) V^008. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки макси¬ мума и минимума функций (230, 231). 230. a) f{x)=--L^+ix‘-7x+lS; б) f(x)=^; В) г) f(x)=j^. 231. а) / (*) = cos 2* — 2 cos *; б) /(*) = 2 —sin-~; в) f (*) = 2 sin * + cos 2*; г) f (*) = 3* — cos 3*. Исследуйте функцию и постройте ее график (232—234). 232. a) f (х)=х2 (x-2f; б) /(*)=-!L+i; в) /(*)=*3 — З*2 — 9*; г) f{x)=T^. а) /(*)= 1 —2 sin 2*; б) /(*) = cos2* —cos*; в) /(*) = 3 —cos-|-; г) / (*) = sin2 * — sin *. 234. а) / (x)=-yjx In *; б) /(*)=X; в) /(*)=2**~4x; г) f (*) = * — In*. 235. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (ес¬ ли они существуют) на данном промежутке: 294
а) f (*)=18*2+8*3—3jc4, [1; 3]; б) / (x)=2 cos x—cos 2x, [0; nj B) f {x)=^+x\ [-f; 1 ] ; r) f (x)=sin x—x, [—я; я} 236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наи¬ большей; б) наименьшей. 237. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей? 238. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Най¬ дите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон. 239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с по¬ стоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соот¬ ветственно), определите, через какое время расстояние меж¬ ду ними станет наименьшим. 240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее ниж¬ ний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком рас¬ стоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)? 241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уров¬ ня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом? 242. Из всех цилиндров, имеющих объем 16л м3, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности. 243. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. 244. В конус, радиус основания которого R и высота Я, требу¬ ется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь пол¬ ной поверхности. Найдите радиус цилиндра. 245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать? 246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R. 247. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом R так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара. 248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh2. При каких значениях b и h прочность будет наибольшей?
249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукру¬ гом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре? 250. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС парал¬ лельно касательной в точке А так, чтобы площадь треуголь¬ ника ABC была наибольшей. 251. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим? 252. На параболе у=х2 найдите точку, расстояние от которой до точки А (2; 0,5) наименьшее. 253. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей? 23. Применения производной в физике и геометрии 254. По прямой движутся две точки. Определите промежуток вре¬ мени, в течение которого скорость первой точки была меньше скорости второй, если: а) х\ (/) = 2-|- /3, *2(/) = 2/ —3; б) *i(/)=9/2+l, *2(/) = /3. 255. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени по закону ф(/)=0,1/2— 0,5/ + 0,2. Найдите угло¬ вую скорость вращения тела в момент времени / = 20 с. (Угол измеряется в радианах.) 256. Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что его радиус равномерно увеличивается на 0,01 см/с. С какой скоростью увеличивается площадь диска в тот момент, когда его радиус равен 2 см? 257. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 60°, одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону s(/) = 2r— /. С какой скоростью они удаляются друг от друга в момент / = 3 ч? (s измеряется в километрах, / — в часах.) 258. Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца А равна 2 м/с. Какова величина скорости перемещения конца В в тот момент, ког¬ да конец А находится от начала координат на расстоя¬ нии 3 м? 259. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени / верхний конец лестницы, с каким ускорением? 260. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части AM растет пропорционально квадрату расстояния точки М от конца А и равна 10 г при AM = 2 см. Найди - 296
те: 1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке; 2) линейную плотность стержня в точках А и В. 261. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения. 262. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Ответьте на вопросы: а) на какой высоте от поверхности земли оно будет через 5 с? б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоя¬ нии от земли (считать £=10 м/с2)? х2 263. В какой точке параболы у= —-— 1 касательная наклонена к оси абсцисс под углом: а) 45°; б) 135°? 264. Найдите абсциссы точек графика функции f (х) — х3-\-—х2 — — х—3, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под углом 135°. 265. Докажите, что любая касательная к графику функции f(х)=х3+-^-х2-\-х — 3 пересекает ось абсцисс. 266. Докажите, что любая касательная к графику функции f (х)=х5-{-2х — 7 составляет с осью абсцисс острый угол. 267. Докажите, что графики функций f {х) — (х-\-2)2 и^(х) = 2—х2 имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку. 24. Первообразная 268. Найдите общий вид первообразных для функции: a) f (х) = 4 sin x-f-cos Зх; б) f (х) = х2-\-х~5-\-х2+^; В) fW-2+,4т; г) /W=_£_+;Ea_. 269. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: а) М(-Ь;2); б) f (*)=x-2 + cos X, ) ; в) f (х)=х~\ М (2; —3); г) f (х) = sin 2х, М (0; 1). 270. Найдите функцию, производная которой равна 2х — 3 в лю¬ бой точке х и значение которой в точке 2 равно 2. 271. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 3), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х равен За:2. 297
272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v (t)=sm t cos t. Найдите уравнение движения точки, если при t=-j- ее координата равна 3. 25. Интеграл 273. Вычислите: Зл a) J cos(1,5л+0,5л;)dx\ б) \{х 2+x2)dx\ — 2 в) J (cos Зх—sin 2х) dx\ г) \ (5—Qx—x2)dx. -5 12 274. Найдите наибольшее и наименьшее значения интеграла: ■+т a) J cos -^-dx, a£R\ б) J cos 2xdx, a^R. о 2 0 275. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) У—0,5л:2 —2д:-}-3, у= 7 — х\ б) y = (x—2f, у=4—х2; в) У = х? — 3x+4, ^=^+1; г) У = х2 — 2х-\-2, у = 2 + 4х — х2. 276. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая у=х-f-4 делит фигуру, ограниченную линиями у=-^-х2 и у = 8. 277. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2,5 +2л: — 0,5л:2, х— — 1 и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой л:=3. 278. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 — 4л: -f- 5 и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами х=\ и л:=3. 279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине? 280. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной линиями у=х24ха (а>0), х = 0, л: = 2 и у — 2, равна 12? (Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.) 281. Найдите пары чисел а и Ь, при которых функция f {х)= ==а sin лх + b удовлетворяет условиям: f' (2) = 2, $ f (л:) dx=4. о 298
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ Глава I I. г) ^ ^ . 2. г) 225°; 270°; — 105°. 3. в) 4; г) 3. 4. в) Нет; да; да. 5. в) Нет; о 5 2 8 8 15 г) да. 6. в) Нет; г) да. 7. г) sin а= — —; tg а=— -j|r; ctga = —g-. 8. г) —1. 9. ч . .л 24 161 84 77 л я я В) '• 10' б) —25 ' 289 ’ 85 ’ “85' "■ в) ,g“' ,2' б) tgT; -C0Sl8; “Т' —ctg 0,1 л. 13. г) 1. 14. в) Нет; г) да. 15. г) ^г; —4. 16. в) 0,7833; У17 л/17 0,6216; 1,2602; 0,7936. 17. б) 22°6"; 27°30'7"; 63°35'54"; 84°47'52". 18. в) 0,1 м; 3-2 V2 д/з г) 9л м. 19. в) 0,05 м2. 20. б) 1. 21. в) 3; г) -=~ . 22. в) . 27. г) —2. 6 " “* 3 30. в) IV; IV; II. 31. г) Плюс. 36. в) D(y) = R, Е (у) = [—2; 0]. 37. г) D(y)=R, Е(у)=[- 1,5; 1,5]. 38. г) (0; - 1), (+2лп; о), n£Z. 39. в) (0; 3,5). 41. в) — + 1, \ 2 / Хо 1 a-f 2 + 1. 42. в) Нет. 43. в) (— оо; — 4)|J( —4; 2)U(2; оо). 44. в) Числовая прямая, кроме чисел л/г, n£Z. 45. в) D (у) — Е (у) = (— оо; — 1)|J(— И 00)• 46. г) D (у) = =[—4; 3], £(у)=(—1; 4]. 49. г) Рис. 1. 50. в) Выполняем растяжение графика функции у = cos х вдоль оси ординат (k = 0,5), а затем перенос на вектор (0; — 1), рис. 2. 52. г) S,(x)=x2, D(S,) = (0; ^); S2(x)=a2-x2, D(S2) = (0; 53. в) [-2; 1,5) U (1.5; оо). 54. r) D{y)=R, Е (у) = [1; 1,5]. 64. г) Зл. 65. в) л. 4л 67. г) -s-. 68. в) г) Нет. 69. г) Нечет- О ная. 70. в) Ни четная, ни нечетная. 72. г) Четная. 73. г) 2л. 77. г) Возрастает на [—4; — 2], [0; 2], [4; 6J убывает на [— 6; —4], [ 2; 0], [2; 4]; хтгх = 2, xma)i = 2, *mjn = 4, *min = 0. Хт]п = 4. у (—2)=у (2)=3, у (0)=0, у( — 4) = у( 4)=—2. 82. г) Возрастает на [3; оо); убывает на ( — оо; 3]; jcmin=3, у (3)=0. 83. в) Возрастает на (—оо; —3), (—3; оо); точек экстремума нет. 84. г) Возрастает на J—~-\-2кп\ -^-+2лл|, убывает на [ + 2лл; Зя ~2 ,=— +2я п, Рис. 1 299
г If Рис. 2 у^+2лл) = — 1, xmin=—^+2лл, у(^—- + 2ля^ = — 2, n£Z. 85. г) Воз¬ растает на [—л + 2лл; 2лл], убывает на [2лл; л + 2лл]; хтах = 2лл, у(2лл)=0, хт1п = л + 2лл, у(л + 2лл)= —2; n£Z. 86. в) Первое больше. 87. г) sin (—1,2), sin 0,8, sin 1,2. 88. г) Убывает на (— оо; — 1], [0; 1], возрастает на [—1; 0], [1; оо), л'Шах=0, у{ 0)=0, xmin=±l, у{— 1)=у(1)= — 1. 89. в) Возрастает на £ — ^ +2лл; + 2nnJ, убывает на +2л/г; ^ + 2ля J , хтах = -^- + 2лп, +2лл) = 1, xmin=™ +2лл, +2л/г) = —1. neZ. 90. в) ctg ^, ctg ^, ctg , tg ^ . 91. в), г) Указание. Воспользуйтесь свойствами 1 о о о функций у = х6 и у = х5. 92. б) Указание. Пусть — ft<[xi <Х2<[ — а, тогда — Х2<— х\^.Ь и / (—х2)>/(—xi), так как f убывает на [a; ft], следовательно, f{x2)Cf(xi). 93. в) 1) D (/)=[—6; 6], £(/) = [—2; 2\ 2) функция нечетная; 3) (—4; 0), (0; 0), (4; 0) — точки пересечения с осью Ох, (0; 0) — точка пересе¬ чения с осью Оу\ 4) f (х)> 0 на (— 4; 0), (4; 6], f(x)<. 0 на [—6; —4), (0; 4); 5) f возрастает на [—6; —2], [2; 6], убывает на [—2; 2]; 6) xmin = 2, f(2)=—2, W=-2. /(-2) = 2. 96. г) 1) D (f) — E (f)=R; 2) (1; 0). (0; -1)-точки пересечения с осями координат; 3) f (х)<0 на (— оо; 1), /(х)>0 на (1; оо); 4) / воз¬ растает на R. 97. в) 1) D (/) = [— 1; оо), £ (/) = [0; оо); 2) (— 1; 0), (0; 1) — точки пе¬ ресечения с осями; 3) /(х)>0 на (—1; оо); 4) / возрастает на [—1; оо). 98. в) 1) £(/) = £(/)=/?; 2) функция нечетная; 3) (0; 0)—точка пересечения с осями; 4) /(х)<0 на (— оо, 0), /(х)>0 на (0; оо); 5) / возрастает на /?; г) 1) D(y) = [2; оо), £(/)=[—2; оо); 2) (6; 0) — точка пересечения с осью Ох; 3) / (х)<0 на [2; 6), f (х)>0 на (6; оо); 4) / возрастает на [2; оо). 99. в) 1) D (/) = =/?, E{f)—(^ — oо; ~J ; 2) функция четная; 3) (0; 0), ( — 1; 0), (1; 0) — точки пересечения с осями; 4) /(х)<0 на (— оо; —1), (1; оо), /(х)>0 на (—1; 0), (0; 1); 5) f возрастает на ^ —оо; —— J , [0; 0,5], f убывает на [—0,5; 0^ [0,5; оо); хтах=±0,5, у ( — 0,5)= у (0,5) = 0,25, xmin = 0. у(0) = 0. 100. г) — cos, -Ctg-jj-. 101. в) D(f)=(™; • пег. Е (f)=R. 102. г) f (х)> 0 при 300
Рис. 3 лл ^ ^ л , лл . . . я . ял л(л + 1) .. . п я , ял ~2 <X<~J +~2 ПРИ -J +~2 <*< 2 • ^ W=0 ПРИ х==~\ ~2 ’ n£Z. 103. г) Возрастает на —^ ; 4г , убывает на L о 2 о 2 J [хс » лл Зл лл "1 л . ЛЛ Л ЛЛ _ » | /. j « р , Т—2 ’ IT ~2 J’ Хтах==1Г ~2 ’ *min=—8 —2' График функции изображен на рисунке 3. 105. в) График функции изображен на рисун- Л 1 ке 4. 106. г) Л =0,5, Т—4, (0=-2'» в) Я, кроме чисел 2лл, n£Z. 111. в) [0; V2]; г) (0; 2]. 113. в) График функции изображен на рисунке 5. 114. в) Л = 12, 7*= 1,2, 7(0=12sin^-. 115. г) 2^ . 118. в) —; г) • о о о 2 Рис. 4 301
120. г) -4. 121. г) — 4 • 122. в) 4; г) 0.124. в) Нет; г) да. 125. б) Нет. 120. г) —^. 4 4 о о 127. в) ; г) 128. в) —^ ; г) 120. в) Первое меньше. 130. в) 0,8948; 0,5010.131. г) —— . 132. б) Введем обозначения а = arccos xt, Р = arccos х2. Пред¬ положим, что а<р. Так как аир принадлежат промежутку [0; я], где косинус убывает, получим cosa^cosf), т. е. xi^x2, что противоречит условию. 133. б) Указание. Используйте прием, описанный в решении упражнения 132 (б). 130. в) ±4+2лп, n£Z. 138. г) —£+2яя, n£Z. 139. г) (-iy+l *4 + О Z 4 n£Z. 141. в) 4 + ля. 142. в) (— 1)"*^ + 4ля, n£Z. 143. в) ± arccos 0,3+2яя, О о n£Z. 145. г) —^ + 4яя, n£Z. 140. г) 4 +3-• n£Z. ,47* г) (— •)" “р + +2?+Зля. n£Z. 148. в) (4 ±4 + яя; 1) ,(4 +4лп; l),n6Z. 149. г) °' т’ ~т 151-°>(+т) 1И-°>Н+) ,л«(-+“т) 154. г) ^ ^ +2ля; —^ + 2яя^ , n£Z. 155. в) £—^ + 2яя; 4 +2nflJ, n£Z. 150. г) ^^ +ля; —^ +ля^ , n£Z. 159. в) (4ля; л + 4ля), fl£Z. 160. г) +2ля; ^ + 2ля) , n£Z. 161. г) ( —| +2ля; я + 2лл) , n£Z. / я . 1 .2. ля 1 . 2 , ля\ , _ ... .Г я я! 162. г) ^_T+Tarcsm—+-g ;-тarcsin—+TJ,n6Z. 103. в) [ — ;TJ. 164. г) (—1)"-arcsin—+ля, n£Z. 165. г) 2ля, ±arccos4 +2яя, n£Z. 4 5 166. г) л+2яя, n£Z. 167. в) xi+ля, дв+яя, Xi = — arctg 2«—1,1071, jc2 = arctg4 «0,4636, n£Z. 168. г) ±^—ля, n£Z. 169. в) 4 + ля, arctg 3,5 + ля, 2 о 4 nez. 171. г) ±4 +ля, n£Z. 172. в) (- 1)".-I arcsin 4 +3 . «6^. 173. в) (- 1)" + | *4+яя. neZ. 174. в) ^ , 4+3 I neZ. 175. г) (у-™;™). neZ. 176. в) ^4 + 2лА; 4 + яя^ . n£Z> kez. 302
Глава II 177. б) 3) 1,2881; 4) nh(2R + h). 178. г) 0,205. 179. г) Д*==0.125. Д/=0,1. Ajc 180. г) —-—; . 181. в) 65 км/ч. 182. г) На 4 в отрицательном направлении, Хо (^о11 Аде) д р i/cp=—2. 184. в) 1,5, острый. 185. в) 6 (2х+186. г) д^= =((Xa+L)4oug+ir ,87' в) ^р=1(2,«+Л')' 188• ®> м,,нус- ллюс; шшус’ плюс. 191. б) 2,5; 2,1; 2,01. 192. г) -2, -4. 193. г) 5, -2. 194. в) , -1 195. г) у=4х—4. 196. в) 2; г) 5. 197. в) Непрерывна в точках х\, хь не является непрерывной в точке хз. 200. в) 5, 4. 201. в) 6. 202. г) 0,25. 204. /1=0,04 дм. I 34 206. h«0,01 дм. 208. г) 3*4 -. 209. г) -8*3 + 9х2 + 2. 210. в) 2 л/х (5*+8) 211. в) 7х6 —20х4 + 2; г) х—9х~\ 212. в) 1,5; 4. 213. в) 4; -1. 214. г) (- оо; -2), (2; оо). 215. в) + 5). 216. в) -1. 217. г) (-оо; 3), (3; оо). 218. г) Например, Злг3—^ х. 219. а) Нет. 220. г) /(х)=3х + -^, g(x) = cosx. 221. в) /(х)=2х+1, g(x)=x7. 222. в) [—0,5; 0,5]. 223. г) [2яп; я + 2яп\ n£Z 224. г) ——. 225. г) 65 (5*-2)12 + 24 (4х+7Г 7 226. в) ^ +2яя; 5+2ял1, я 6Z. 227. a) 3-2*2; в) (3-2xf. 228. б) . [0; 1)U(1-. оо); 6 J л/х — 1 в) л/cos х, £—^ +2яп; +2яп J , n£Z. 229. б) f (*)=х2, D (f)=[0; оо); r) f (*)— =—\lx— 1. 230. г) —15*2 (3—х3)4 + * 232. г) 2 cos х— 1,5 sin х. л/2х — 7 1 тт 4 рлс 2 v 233. в) j-. 234. г) 0; -1. 235. г) —£ +2яя, n£Z. 237. б) — -. 2о— . 2 cos"’ х 2 snr 2х 239. г) ±-^+яя, ^ +ял; ) » n€Z. 240. в) Например, f (х)= —sin х. 241. г) Да, да. 242. в) R; г) (—оо; 2), (2; оо). 248. в) 0,7. Указание. Проверьте, что f(0,8)<0, f(0,6)>0. 244. г) (—оо; 1), (2; 6). 245. в) (— оо; —4), [-2; —1), [2; оо). 246. г) (-оо; — 3]U(— 1; 1)UP; оо). 247. г) т>0. 248. г) (-2; -1), (1; 2). 249. в) ( — 2; 0), (0; 3); г) (— оо; —51 [2; оо). 250. в) (- оо; -4]U[0; 4} 253. в) 3. 254. г) 0. 255. г) у = Зх+1, у — 12х— 17. 256. в) у = 2, у= Н—j —х. 257. в) (-1; -1), (О; 2), (1; -1). 258. г) ^ +2яя; +2яп-1, (—j +2яп; л/2^2лп + 1 —^• п^Z* 259 . a) arctg 3 в точке (0; 0), я —arctg 6 в точках (—-\/3; 0) и (л/3; 0); г) в точках + 2яя; 0^ , ^ в точках (—£ +2яя; о), n€Z. 260. a) -j ; г) ^ . 261. в) 24,52,-0,16; г) 40,52, 9,86. 303
Рис. 7 263. г) 2,0004 264. г) 0,9302. 265. в) 0,526. 266. в) 0,1247. 267. а) ( —/2 + 4/ + 5) м/с; в) 5 с 268. 35 м/с; 22 м/с2 269. (6/—4) рад/с, 20 рад/с. 270. а) 2,8 рад/с. 271. 121 см/с, а) с; б) -1 с. 272. а) 6 с; б) 18 м/с. 274. 22т. 275. а) 0,04 Я; 12 6 б) 0,0025 Дж. 276. а) 65 г/см; б) 125 г/см. 277. 0</<2— 278. 8/2 —9/ + 21 , - при />0. 280. г) Возрастает на (—оо, —31, [3; оо); убывает -\/4Р—-6/ + 21 на [—3; 3]. 281. в) Возрастает на (— оо; —2], [2; оо), убывает на [—2; 2} 283. г) График функции изображен на рисунке 6. 284. в) График функции изображен на рисунке 7. 286. г) f (х) = — 3х2 + 6х=3х (2 — х), f' (х)<0 при всех х из промежутков (— оо; 0) и (2; оо), следовательно, f убывает на [—2; 0] и [2; 3], f —2)>0, / (0)<0, f (2)>0, / (3)<0, потеоремео корне уравнение имеет единствен¬ ное решение на каждом из промежутков [ — 2; 0], [2; 3]. 287. б) х2, х4, х5, Хб, х7 л 288. в) ±-д- + 2лл, n£Z; г) — 2- 290. в) xmax 1, х,^ 0, г) xmjn—±1. *тах = °- 291- а) 1'(Х)Ф0 НИ 2 -ух при каких х; /'(х) не существует при х = 0, но эта точка не является внутренней для про¬ межутка [0; оо). 292. в) (—1)п+1 ля. 6 0; n£Z\ г) ±—. 293. в) ±3; г) л/з 295. г) График функции изображен на ри¬ сунке 8. 297. г) График функции изображен на рисунке 9. 298. г) Возрастает на (—оо; —1], [5; оо), убывает на [—1; 5]. 300. в) D (f)=E (f)=R; f — нечетная; / (х) = 0 при /(х)> 0. г6 (-Vi- °)- (Vi; 00); f м<0- 304
Рис. 10 х £ ^ — о©; —, х £ ^ 0; • f возрастает на (— оо; — 2\ [2; оо); f убывает на [—2; 2]; х, с= —2, /(— 2)=4— , хг , = 2, /(2)=-4 15’ 305
Рис. 13 =/ (2)=25. 309. 10 с. 310. в) maxf(*)= [«+] ='(т)=3#- [отт„5м=Кт)=-2: г) max f(x)=f ( — 3)== — 4, min /(лс)= [-5; -2,51 f — 5: -2.5] =/( — 5)=— 5-1. 311. 24=12+12. 312. 4=2 + 2. 313. 12 м, 12 м. 314. 54= 12 + 24+ 18. 315. 16=4-4. 316. 8 cm, 8 cm. 317. Высота — 1,5 дм, сторона основания — 3 дм. Реше¬ ние. Пусть х — сторона основания бака (.¥>0). Выразим его высоту через объем и сто¬ рону основания. 13,5=лс2-А, Л=1^. Най- лг 54 дем поверхность бака 5=лс2+4лс 54 13.5 '1Г" = лс2+—. Найдем наименьшее значение функции 5(лс)=лс2+— на промежут- 54 ке 10; оо). S'(jc)= 2х—^ , лс = 3—критическая точка. Функция убывает на (0; 3], возрастает на [3; оо). Следовательно, min S(x) = S(3)=27. 318. 30 см, (0; оо) 20 см. 319. 20-\/2 см, 20-\f2 см. 320. В точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от точки шоссе, ближайшей к буровой вышке. 321. К точке отрезка АВ, удаленной от В на 1 км. 322. —0,5. 324. Квадрат. Глава III 327. г) Нет. 329. в) Например, —4дс. 331. в) Нет. 332. в) Например, х, 334. г) /(лс)=3 — 2 sin х. 336. в) х + ^р-+С. 337. г) — cos лс—2. 339. в) — cos^x + 4^ —2. 341. г) лс(/)= — cost. 343. г) — sin^-^-—^^+С. 344. в) — 3 (Зх— 1) + С. 345. г) 2 — 2лс5 + Злс+4,5. 346. в) — tg(3*+l)- х3 1 —3 cos (4 — лс)+лс + С 347. г) -“+4 * -4-5- . 348. лс(/)=-г- /3 + /2-/. 349. О /, О о x(/)=4sin -1 +2. 350. х (/)= t* + 2/2 + 2/ + 7, 351. г) х (/)=-! /3 + /2 + /— 1-|- 2 о о 352. в) —2; второй. 353. в) 2; г) 2- . 354. в) 10-1; г) я + 1. 355. в) 1-1 2 о о г) 2г. 356. в) V3—357. г) 1. 358. в) 0,9. 360. г) 10-|-. 361. г) 5-1. 4 о о о 362. г) 4. 363. в) ^+-1. 364. г) V3—?-• 365. г) 4,5. 366. г) -1 . 367. 5-1 . 12 4 о 12 о 368. 4,5. 369. а) Пусть F (лс) — первообразная для f (лс), С (лс) — первообразная для 306
g (x). Тогда F (x)+ G (x) — первообразная для f(x)+g(x)• Поэтому J(f(x)+g(x))dx= =(F (x)+ G (x))| =£ (6)+ G (b)—F(a)— G(a)- =F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=]f(x)dx+ Рис. 14 О Ь 2 +S*(x)dx. 370. г) 371. г) 372. а) ^(ЗЯ-Я); б) ^V + /?r+r2). 373. 0,16 Дж. 374. 0,16 Дж. 875. Y9I 4 —) • Указание. F (х)=—, где \ о а/ х Ь Ь 2 у>0 — некоторая постоянная. Поэтому Л ^ ^ dx=~ J. 873. а ° (в упражнениях 376—378 р — плотность воды, g — ускорение свободного па¬ дения). Указание. Сила давления жидкости на погруженную в нее пластинку Г* (вертикальную) вычисляется по формуле P=pg]S(x)dx, где S (х)—площадь fti пластинки, глубина погружения Л меняется от hi до Л2. 377. ПГ ^ ^ 4 dSo)^/^ 378. -т- я/?4р£. 379. —-—=4 160 ООО я2 эрг. Решение. Масса части стержня, О 6 отмеченная на рисунке 14, равна pSAx; пренебрегаем диаметром стержня (счита¬ ем отмеченную часть отрезком длиной Ах), тогда с точностью до величин по¬ рядка Ах линейная скорость каждой точки этой части равна сох. Обозначим через Е (х) кинетическую энергию части [0; х] стержня. Приращение кинетической г , mv2 pSco2x2Ax энергии за счет отрезка [х; х+Лх| приблизительно равно -jj—. т- е- —% • Sb^X* поэтому £'(х)=—^—; Е (0)=0, и, следовательно, искомая энергия есть / I *?/п f г/ / С pSco2x2dx 2 С х2 i pS(o2/8 Е (0=\ £ (х) dx=\ -— = pSor V — dx = -—-—. 380. Точка высоты кону- 0 0 о 3 са, находящаяся на расстоянии — высоты, считая от его вершины. Глава IV 384. в) —^ 386. в) ±2. 387. г) ±УГ7. 388. г) —1. 391. в) 6. 392. г) —5. 393. г) 2. 394. в) . 395. г) 1,44. 396. г) 2,22. 397. в) 1,29. 399. в), г) Первое меньше. 400. в), г) Первое больше. 401. в) Первое больше. 402. в) а3Ь \]6Ь2 403. г) У-кг^б3. 404. в) 0; г) а^0. 405. а) а=0; б) а^0; г) при всех а. 307
406. r) 407. г) 3(5". 408. г) ЬЩ. 409. г) 'V320- 410. г) б6. о о 2. 411. г) (-оо; Щ 412. г) [0; 81]. 414. в) 0. 415. г) 2. 416. в) № + Щ_ ш 417. в) ±6. 418. г) 8. 419. г) 0, —1. 420. в) -10; 2. 421. в) (16; 81). 422. г) 0; 0,4. 424. г) —12. 425. г) ±2. 426. в) (16; 4),( 36; 1-^ . 427. г) (27; 1), - 1 оя — — — (— 1; - 27). 428. г) V^3- 429. в) Ь |3. 430. в) 32. 431. в) -Щ-. 432. г) х 2 (32 — 5 2 )• ! JL 1 2. 1 433. г) (а2 +Ь 2) (а2 + 1). 434. г) а3 +Ь3. 435. г) х—\. 436. г) Первое меньше. 437. г) 10. 438. г) . 440. г) 2\[brcB. 441. в) Равны. 442. г) Нет. 443. в) (0; оо). у2т 444. в) а=±1- г) а = 0. 446. г) ( — 2; оо). 447. г) Первое меньше. 448. г) 9. 450. г) |д;я-(/п|. 451. в) 169,8; 173,8. 452. 10^« 172,4. 453. г) y=(3—^j7)x — / 1 V 2 убывает, у=[ — ) — возрастает. 454. г) [1; оо). 455. г) — 1; — 1— . 457. в) 0; \3_ д/7/ 3 г) 1.Указание. С помощью эскизов графиков «угадываем» абсциссу точки пере¬ сечения х=\, остается доказать, что других точек пересечения нет. Для этого воспользуемся свойствами соответствующих показательной и линейной функций. При х~> 1 функция у = 4х принимает значения, большие 4, а функция у = 5 — х — меньшие 4. (При функции принимают соответственно значения— меньшие и большие 4.) Следовательно, других точек пересечения графики не имеют. 458. г) -1.461. в) 4; г) -1 . 462. в) 4; г) -3; 1.463. в) 3; г) —1.464. в) 1; г) 1*. 0. 465. в) (-2; -3); г) (-1 ; 4) . 466. в) [2; оо); г) (-оо; 2). 467. в) (-оо; 0,5); г) (—1; оо). 468. в) —2; г) 2. 469. в) —1; г) 2. 470. в) 2; г) 2. 471. в) (1; 2), (2; 1); г) (2; 1,5). 472. в) [-3; -1]; г) (-оо; --|) , (4; оо). 473. в) (-2; оо); г) (—оо; 1). 474. в) (2; оо); г) [—1; оо). 475. в) (— оо; 0]; г) [1; оо). 484. г) ^ . 485. г) 8. 486. г) 3. 487. г) logs 5, logs logs 1, logs 125. 489. г) . 490. г) ^. 20 2 491. г) 2 log36 —3 — 7 log3 а. 493. г) lg с— 7—^ lg а — 8 lg b. 494. г) 1 +Д + &. 4 о 2 tTC’fl 3 496. в) —2. 497. в) 1—. 498. в) Решение. Рассмотрим разность между Р4 выражениями, содержащимися в левой и правой частях неравенства, сравним ее с I?.* о logl 7 —2 log3 7-f 1 (1—log37)2 нулем: log3 7+1 =■—2=— ; 1—Б_ - >0. г) Решение. 10g7 О <Og7 3 >Og7 3 Преобразуем левую часть равенства: 3log25_(5loi«3yog*5_5,0g«3-|oi25_ *°g23 iog 5 =5log25 =5log23. 499. г) (-00; — 4)U(4; 00). 500. в) ( 1; 2-i j . Б02. в), г) Первое меньше. 503. в), г) Первое больше. 505. в) (—^ +2лл; 308
о 123456769 ‘ X Рис. 15 +2ла J , n£Z. 506. в), г) 0. 507. г) График функции изображен на рисунке 15. 508. г) л-2. 509. в) 5. 510. г) Нет. 511. в) 0; —1. 512. в) log2 10. 513. г) 100. 514. в) —2,35. 515. в) — log3 2. 516. в) (0,7; оо). 517. в) (8; оо); г) (12; оо). 1 1 518. в) 5; г) Q. 519. в) 2; г) 0; 8. 520. в) 25; — ; г) 27, — . 521. в) (32; 2), (2; 32); г) (1; 1). 522. в) 4; г) 100, 108. 523. в) 9; г) ~ . 524. в) 2; г) 2. 526. в) (1; 3); г) (-4; -3)U(4; 5). 527. в) (0; 0,001)U(10; оо); г) ^; 27] . 528. в) ( +пл; —£ +™)и(-£ +лп: -£+ля). nez; г) (УоЛ; 10). 529. в) (^; з); г) (9; 7). 530. в) (2; 6); г) (9; 6). 531. в) g (х)= !=-?, D(g) = E(g)=R. 532. г) g(x)=x2 — 1, D(g)=[0; оо), Е (g)=[— 1; оо). 533. г) График изображен на рисунке 16. 535. в) g[x)=x*, х^0; г) g(x)=^/x—T. 538. в) —— ех. 539. г) 2хех + х2е*. 510. в) у= 1+х; г) */=-£- --£•(*-!) In 2. 541. г) -^-ех + * + С. 542. в) 4 2 » „,ои7 r,Q V о-./, о * х L 1 \ клл ^ 3х (2х In 1,5 + 5хIn0,6) «2.5247. 543. г) -2 ^ ln.2.ctg у + ——J . 544. в) -A (y + y)ft • 309
545. в) Возрастает на (—оо; 1], убывает на оо); 2,3*+1 Р: 00); *тах=1. /О)*—. 546. Г) i-^ + +fS2X+c- 54?- г> Те’~е+Т- 548- в) __2«2,3. 549. в) In 2 550. In х— 1 In2 X 1+5х ‘ 551. в) lnlx+21+С. 552. г) У=^£- 553. г) -1 in 10* 0.7675. 554. в) х(2 In 5х— 1) In2 5х ' 555. в) Убывает на (°; . возрастает на ; оо) ; xmin=-i , /(-i)=l+ln2. 556. в) Воз¬ растает на (0; е2], убывает на [е2; оо), хтах = е2, / (е2)=-^-. 557. в) In 8* 1,0397. 558. г) — у5х~ '. График изображен на рисунке 17. 559. г) 2 In З*(2х)1п3—', график изображен на рисунке 18. 560. г) 2,63. 561. г) 2,0125. 562. г) 27, хе+х 2 563. г) —гт+С. 564. г) 844. 565. г) In 1-=- € 1 g 572. г) Например, у =2 cos. 573. в) 1 _1_ 8 ' : 0,5108. 567. в) Нет; г) х0 = 0. / In 2 х"=— 9х. 575. в) In т — In п ' 576. 9 мин. 577. 580. 500е-5 м/мин «3,37 м/мин r-т- ч«3,322 ч; 0,6394. 578. мин» 14,75 мин. lg 2 lg 1,6 Глава V 1. а) Да; б), в) нет; г) да. 3. а) 52 305; 52 335; 52 365; 52 395; 52 320; 52 350; 52 380; б) 52 344. 5. 35. 6. У к а з а н и е. Пусть дробь ab а + Ь сократима на число d. d — делитель ab, поэтому существует общий делитель d' либо у чисел a, d, либо у чисел b, d\ пусть для определенности d' — делитель а и d, тогда а 4- Ь делится на d', следовательно, b делится на еГ, значит, дробь сократима на d’. _8_ 90 13. в) 1 14. а) Пусть -\/5=— p£Z, q£N, —— несократимая дробь, — >0, Я поэтому можно считать, что р и q—натуральные числа. Тогда 5 = jp-iT. е. р2 = 5<?2, откуда следует, что р2, следовательно, и р делятся на 5, т. е. p = 5fe. Подставляя p=5k в равенство p2 = 5q2, получим 25fc2=5q2, q2=5k2. Из послед¬ него равенства видно, что q делится на 5. Получили противоречие со сделанным предположением: оказалось, что дробь -^- сократима на 5; в) если У5+1 = г (где г рационально), тогда Л/5=г—1 рационально, что противоречит иррацио¬ нальности Уб- 19. а) Равны; в) первое меньше; г) первое больше. 31. 87 или 69. 310
32. 0. 34. Ьл =0.2; <7=5. 36. 5. 37. 12.5; 7,5; 4,5; 1,5 или 2; 4; 8; 12. 38. <7 = 1 . Л/5’ S = 3. 39. ЬI = 6; <7=0,5. 43. г) х—3 44. г) 2. 45. г) 3. 47. в) 1; г) 1. 48. в) х л/х — -л/х. 49. г) —\[а—ЦЕ. 50. б) ab*(a* + b*); г) <?+2 51. в) с ; г) 3. 52. б) |sin p+cos р|; г) sin р. 53. в) 1. 58. б) \-т— ; г) sin 2д/2 а . . , ^па= 5—; cos -=-= 1 + m 3 2 1 7 — — cos 2а =—59. а) 0. 60. а) Меньше 0. 61. 1. 62. г) Первое больше. 3 63. в) Первое больше. 64. а) 4 —. 65. б) 0,34. 66. в) —3: г) 1. 67. б) 4+4 logout — 4 —ylogo.2c. 68. б) 14. 69. г) 365,06446. 70. Ig2«0,3010. 71. 2—А. 73. б) S= . 77. в) (-оо; —л/5)и(—л/5; -2)U(2; л/5)и(л/5; оо). 80. в) /(х)>0 на^ — оо; и (5; оо), /(х)<0 на^-|-; 5^. 81. г) Убывает на (— 00; 1) и на (1; оо). 85. г) См. рис. 19. 86. а) См. рис. 20. 87. в), г) Да. 88. в) Пусть f (х)=х5 + 3х — 5, f(x) непрерывна, при этом f(l)= — 1 с0, f(2)=33>0. 91. а=3, Ь= —5. 92. в) а>0, £<0, с>0, Dc0\ г) а<0, Ь<0, с=0, Д>0; д) я<:0, Ь<0, с<0. D<0. 93. а) Могут (квадратичная вида у=ах2 + Ь и линейная вида у=Ь). X2 х3 х я 94. в) у=~з——?—г - 96. в) Все числа, кроме чисел вида ±-^-+2ля, n£Z. х4—1 ' х4—1 в) |у- + лл; у+лл^. n£Z. 98. г) Г—1; 1J. 99. г) (— 00; — 2](J[2; 00). . в) у>0 на (—у+4лл; у+4лЬ'<0 на (у+4лл; у+4лл^, n£Z. . в) Нечетная; г) четная. 102. г) л. 103. в) Убывает на £у+лл; у ■ Г Л л , 1 возрастает на I —д- + лл; у+л«1. 97 100 101 ■*min— 3 + ЛЛ, -*тах— g +ЛЯ, fl£Z. 104. г) min у= I, шах у не существует. 105. б) Указание. у= |sin х|. 108. Да. D(y) D (у) 311
109. в) tg 2< — 1 <ctg 2. 111. в) 0; г) 0. 112. в) (-оо; 0)U[1; 4]. 113. в) (- оо; оо); г) (2лл; л + 2лл), neZ 114. в) (у; г)и(2; °°). 115. г) (0; оо). 116. в) [1; оо). 117. в) £/>0 на (—оо; Iog3 2), у<0 на (log3 2; оо). 118. в) у>0 на [0; оо). 119. в) Ни четная, ни нечетная. 120. в) Четная. 123. а) Указание. у=х— 1 при х>1, D(y) = ( 1; оо). 124. г) min у=у (1)=0, max у — у( —1)=4. L-i;ef (— 1: 8] 125. г) ±3. 126. г) (0; 3). 128. а) 0; —. 133. г) [ji; оо). 134. в) [1; 13]; 34 I г) [-1; 5]. 135. г) -3,5 и [3; оо). 137. в) -6; г) 2; . 138. а) 1; 2; — 7-^-; 99 3 В) у; 4; г) 0; -1; 3. 139. а) у; в) у; г) Щ. 140. в) -у; г) -4; у. 141. в) —1; г) 1. 142. в) (-оо; оо); г) (1; 13). 143. г) (—оо; —4)U(6; оо). 144. в) (1; 3) U(3; 5); г) (3; 4). 146. в) 2; г) -4; 4. 147. в) 2; г) 63. 148. в) 4; г) —у; 0. 149. в) —8; 8; г) — 1; —3. 150. в) (- оо; -тД7]и[л/Т7; оо); г) (9; оо). 151. в) [2; 3}, г) Г—3- 5]. 152. а) — л + 2лп; ±arccos у+ 2лл, n£Z: б) у — 14 —2"arccosy+nn (или arctg 0,5 +ял, n£Z — другая форма ответа); г) ТГ 1 arctg 0,5 +лл; n£Z. 153. в) ±-77, 4-ял, л £Z; г) (— 1 fares in —+лл, nQZ. 12 уз 154. в) у + лл, у + у • n£Z\ г) 2лл, 24—1)"-arcsin у+2ля, n£Z. 155. в) у, n£Z\ г) у+у : —^+пП< n€z- I56- в) (—1)"у+ял, n£Z; г) (—1)"у+лл. n£Z 157. в) (— 1)п + 1-^- + лл, n£Z\ г) лл; ±-^- + 2ял, n£Z. 158. а) —б) 0; 6 3 4 », 2-\/з 2; „ 0. («- + «£, *+«»!) . ntZ; г, [_«+£ n£Z. 160. в) j^y + лл; y + nnj. n£Z\ г) л + 2лл; — y + 2nnJ(J и|^у+2лл; л + 2лл), n£Z. 161. a) £—^ + 2лл; у + 2лл^, n£Z\ в) + 4-ял; л/ij, n£Z\ г) ^лл; у + лл), n£Z. 162. а) ^у + 2лл; л + 2лл), n£Z; в) ^у + 2лл; 2л + 2лл), n^Z; г) ^—^-+2лл; у + 2лл) ti^Z. 163. в) 1; 5; г) 3; 9. 164. в) 2; г) 1. 165. в) 3; г) 0; у. 166. в) ilog^; г) 0; у. ~2 167. б) ±arccos (д/2— 1)4-2лл, n£Z; г) — 1. 168. в) (— оо; —^-) ; г) (— оо; —4)(J U(3; оо). 169. в) (1; 3); г) (- оо; — 1](J[0; оо). 170. б) (-5; 3)U(4; оо). 171. в) 6; 1 100 г) 1001; 1+ЦЮ. 172. в) 10; г) 3. 173. г) 64. 174. в) Ю0;-^-; г) 3; 9. 175. а) (-1)"Х Ху4-ял, n£Z; б) arcsin -^+2лл, п £Z. 176. а) ^—3 312
Г) (л/7-у. 177‘ а> ГО: г> <1; 2№; 4). 178. в) (2; оо); г) ; оо) 179. в) ГО; 0,1 ]U[100; оо); г) (-оо. 0]uDog65; 1). 180. в) (у; у) ; г) 0 181. в) (0,4; 0,8); г) (2; 3); (3; 2). 182. в) (0,5; 4); г) (7; 3); (-7; -3). 183. в) (1; 2); (2; 1); г) (-1; у) ; (-1; у) 185. в) [-3; у) ; г) (-3,5; 0). 186. в) (25 49); г) (9; 16); (16; 9). 187. в) (16; 4); г) (16; 4); (-4; —16). 188. в) (81; 16); г) (-1. -8); (-8; -1). 189. а) (у-(- 1)*^ + яя -у ; у + (- D* + +у) k, n£Z; б) (у —Y+4") ’ (у + лл + лЛ; -у+ля—лЛ) » (—у + лл+лА:; —^-+лл —л*) , A:, ngZ; г) ^у + у ; у+у+ 2лл) k,n£Z. 190. б) (лл; у —ля); ((—lf + ly + ля; у+(—1)"у — ля) , n£Z- в) (-£- + +ля + л&; у + ля — лА:) , ^—у + яя + лА; —у+ля — nkj , k£Z, fl£Z; г) (у+лп, —ля) , ^у + 2лп; у —2лп) , у + 2ля; у —2ля) n£Z. 191. а) (2; 1); б) (5; 4); в) (5; 1); г) (3; 0). 192. а) (1; 3); б) (3; 2); в) (2; 0); г) (2; 6). 193. а) (2; 1); (log3 7; log7 9); б) (4; 1). 194. а) (100; 10); (0,1; 0,01); б) (4; 4); в) (1 000 000; 0,1); г) (у; l) . 195. а) (27; 4); ; -з) ; б) (2; -1); в) (125; 4); (625; 3); г) (3; 2). 196. а) (4; 2); б) (25; 36); в) О: >) (4; 2); г) (512; 1). 197. 75 км/ч. 198. 4 км/ч. 199. 55 км/ч. 200. 18 км/ч, 24 км/ч 201. 10 с. 202. 240 м3. 203. 6 и 12 дней. 204. 20. 205. 25%. 206. 160 г, 20% 207. 60 км/ч. 208. 21 м/с, 147 м. 209. 6 км/ч, 4 км/ч. 210. 20; 30. 211. 20 г 30 дней. 212. 12 г, 48 г, 1,5 г/см3. 213. 3 кг, 80%. 214. 4 м/с, 3 м/с. 215. 32 216. 8 и 3: 28 я 27. 218. в) 3; г) 3. 219. г) ^~2) 5‘" *+У C°s х (2-х3)2 ч cos х — 2 ех + е~х — х (ех — е~х) In х - . 1 220. г) -—х -у. 221. г) — —-1——у—i . 222. г) (I —2 cos х)2 ‘ " х(е1 + е х) ' ’ х In 10 7~~ V 223‘ г> + n£Z. 225. в) П*2) = Г(г<); 2fo ^ I 12, 2, cos ^ 2х —J г) Г(хз)<0<Г(х5). 228. б) 25,375; 9,84. 229. в) 1,005; г) 2 + -^«2,000С7. 230. в) Возрастает на [1; оо), убывает на (—оо; 1], xmin=l; г) возрастает на (—оо; 4) и (4; оо). 231. в) Возрастает на £—у + 2лл; у+2ля^ , £~2~~^ +2ял; у + 2nnJ , убывает на £у + 2лл; у + 2ля^ , £у + 2яя; у+ 2ля^ , *max = ^j-+2ля, хтах = у + 2ля, хт!п = у + ля, nfZ; г) возрастает на (—оо ; оо). 232. а), б) См. рис. 21. 234. а), б) См. рис. 22. 235. в) max f = f(-^\ = [т, «] 313
а) в) Рис.. 21 ~4 -Ц- min f—f (1)=3; г) max f~f(— л) = л; min f — f(n)=—n. 4 I—:"1 236. а) 10 + 0; б) 5 + 5. 237. 10 см, 10 см. 238. 72 см2. 239. ч. 240. 2,4 м 2 R 241. 4 -\12 м. 242. Л = 2г. 243. — 245. /?=1,5 ч. 246. 4/? 247. Я = /?л+ 40 248. Ь — —рг см, Л = 40 л/3 V3 J см. 249. /?= Р ; Я = —г. 250. На расстоя- п + 4 я + 4 Ф Рис. 22 314
а) б) Рис. 23 нии 1,5 R от точки касания. 251. 60°. 252. Л4(1; 1). 253. У?У\ 254. а) ^0: , б) (6; оо). 255. 3,5 рад/с. 256. 0,04л см2/с. 257. 8 км/ч. 258. |у| = 1,5 м/с. 259. — ■ — м/с, —-~г—- м/с2. 260. 1) 360 г; 5а: г/см; 2) 0; 60 г/см. V25-4/2 л ^25 — 4г) 261. Зл рад/с. 262. а) 85 м; б) 4 с, 90 м. 263. а) Л4( — 1; -1,5); б) Л4(1; —1,5). 264. —0. 266. /' (.О = 5а-4 + 2;>0 для любого х. 268. в) 2а: + 3 1п \х— 1| + С; 1 23 1 3 г) tg 2а: —ctg Зл + С. 269. в) ——3- — 2 ; г) —^соБгА:^-— . 270. х2 — Зх+4. 271. у=х3-5. 272. —1 cos 2/ + 3. 273. в) 7~2^~3^ . г) 39 274. а) 2; —2; б) 0,5; -0,5. 275. в) ; г) 9. 276. 18 и — . 277. 10 . 278. . 279. 2; 1. 280. . и О о и о Решение. Указанная фигура заштрихована на рисунке (рис. 23, а соответствует а<2, а рис. 23, б соответствует а )>2). При а С2 площадь этой фигуры меньше 2 площади квадрата ОАВС, равной 4, а при 2 S — J (а:2 + 4х + a) dx—Sqabc~ о (а \ I 2 8 20 20 —+ 2x2 + axJ j 0 —4=—+ 8 + 2а—4г=2а + —. следовательно, 2а+—=12, 8 2 откуда а—— . 281. а — — , ft = 2. о л
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент функции 21 арккосинус 63 арккотангенс 64 арксинус 62 арктангенс 63 асимптота — вертикальная 50 — горизонтальная 50 — наклонная 50 Бесконечно малая 156 Величина 162 Гармонические колебания 58, 254 — — , амплитуда 58 — — , начальная фаза 58 — — , период 58 — — , частота 58 геометрический смысл производной 126 график функции 22 Десятичное приближение числа 165 дифференциал функции 155 дифференциальное исчисление 155 дифференцирование 104 дробная часть числа 165 Единичная окружность 14 Знаки значений тригонометрических функций 7 значение функции 21 Интеграл 183, 194 — неопределенный 194 — определенный 194 интегральное исчисление 194 интегрирование 184 Касательная к графику функции 99 Кавальери принцип 197 корень квадратный 202 — кубический 202 316 — л-ой степени 201 — — — арифметический 201 — посторонний 207 косеканс 19 косинус 14 котангенс 16 криволинейная трапеция 179 критическая точка функции 143 Линейная плотность 136 линия котангенсов 17 — синусов 15 — тангенсов 17 логарифм 224 — десятичный 226 — натуральный 242 Максимум функции 44 мгновенная скорость 101, 134 метод интервалов 122 — неделимых 195 механический смысл производной 134 минимум функции 44 Наибольшее значение функции 150 наименьшее значение функции 150 неравенство — логарифмическое 233 — показательное 221 — тригонометрическое 73 нуль функции 48 Область значений функции 21 — определения функции 20 общий вид первообразных 172 объединение множеств 21 основное логарифмическое тождест¬ во 224 — свойство первообразных 172 основные свойства корней 203 — логарифмов 225 степеней 211
— формулы тригонометрии 7 отображение 26 Первообразная 169 — показательной функции 243 — степенной функции 249 — тригонометрических функций 174 период функции 32 показатель корня 201 правила — дифференцирования 110 — нахождения наибольшего и наимень¬ шего значений функции на отрез¬ ке 150 — нахождения первообразных 176 — предельного перехода 106 — сравнения чисел 165 предел 156 — последовательности 160 — функции 160 предельный переход 106 пределы интегрирования 184 преобразования графиков функции 22 признак — возрастания функции 139 — максимума функции 144 — минимума функции 145 — убывания функции 139 — постоянства функции 172 приращение — аргумента 95 — функции 95 производная функции 104 в точке 103 — логарифмической функции 246 — постоянной 103 — сложной функции 116 — степенной функции ИЗ — тригонометрических функций 118 промежуток возрастания функции 48 — знакопостоянства функции 48 — убывания функции 48 Работа переменной силы 190 радиан 5 радикал 201 разность чисел 165 Секанс 19 синус 14 системы уравнений — логарифмических 234 — показательных 222 тригонометрических 78 синусоида 15 степень числа — с рациональным показателем 210 с иррациональным показате¬ лем 216 сумма чисел 165 схема исследования функции 49 Тангенс 16 тангенсоида 19 теорема — Вейерштрасса 150 — об обратной функции 239 — о корне 62 — Ферма 143 точка максимума 43 — минимума 42 — экстремума 44 Уравнение дифференциальное — гармонического колебания 255 — показательного роста (убывания) 252 — иррациональное 206 — показательное 221 — касательной к графику функции 127 ускорение 134 Фокус параболы 137 формула — Лагранжа 129 — объема тела 188 — Ньютона-Лейбница 185 — площади криволинейной трапеции 180 — Тэйлора 159 формулы приведения 7 Функция — возрастающая 39 — дифференцируемая 103 — дробно-рациональная 21 — логарифмическая 229 — непрерывная в точке 106 — непрерывная на промежутке 121 — нечетная 30 — обратимая 237 — обратная 237 317
— периодическая 32 — показательная 218 — сложная 116 — степенная 248 — убывающая 39 — целая рациональная 21 — четная 30 — числовая 20 функции взаимно обратные 238 Целая часть числа 165 центр масс 191 Число действительное 162 — иррациональное 162 — натуральное 162 — рациональное 162 — целое 162 число е 241 Экстремум функции 44
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ $ 1. Тригонометрические функции числового аргумента 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение) 5 2. Тригонометрические функции и их графики 14 }<2. Основные свойства функций 3. Функции и их графики 20 4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций 30 5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 39 6. Исследование функций 47 7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колеба¬ ния 54 § 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств 8. Арксинус, арккосинус и арктангенс 62 9. Решение простейших тригонометрических уравнений 67 10. Решение простейших тригонометрических неравенств .... 73 И. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем урав¬ нений 78 Сведения из истории 81 Вопросы и задачи на повторение 88 ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ $ 4. Производная 12. Приращение функции 95 13. Понятие о производной 99 14. Понятия о непрерывности и предельном переходе 106 15. Правила вычисления производных 110 16. Производная сложной функции 115 17. Производные тригонометрических функций 118 § 5. Применения непрерывности и производной 18. Применения непрерывности 121 19. Касательная к графику функции 126 20. Приближенные вычисления 131 21. Производная в физике и технике 133 $ 6. Применения производной к исследованию функции 22. Признак возрастания (убывания) функции 139 23. Критические точки функции, максимумы и минимумы .... 143 24. Примеры применения производной к исследованию функции . . . 147 25. Наибольшее и наименьшее значения функции 150 Сведения из истории 155 Вопросы и задачи на повторение 166 319