М. М. Дагаев
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО
АСТРОНОМИИ
Допущено Министерством
просвещения СССР в качестве
учебного пособия
для студентов физико-
математических факультетов
педагогических институтов
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1980

ББК 22.6
Д14
Михаил Михайлович Дагаев
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АСТРОНОМИИ
Редактор Л. Л. Величко. Художник Ю. В. Самсонов. Художественный редаю-
тор В. М. Прокофьев. Технический редактор М. И. Смирнова. Корректоры
Р. Б. ШтутманиО. С. Захарова.
ИБ № 4448
Сдано в набор 09.06.79 г. Подписано к печати 12.12.80 г. А14208. 84Х1087з2- Бум.
тип. № 2. Литерат. гарн. Печать высокая. Усл. п. л. 6,72. Уч.-изд. л. 6,39.
Тираж 26000 экз. Заказ 7621. Цена 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государств
венного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной тор*
говли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Рыбинской типографии № 2 в областной типографии
управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского
облисполкома, 153628, г Иваново, ул Типографская, 6
Дагаев М. М.
Д14 Сборник задач по астрономии: Учеб. пособие
для студентов физ.-мат, фак, пед, ин-тов. — М:
Просвещение, 1980.— 128 с, ил.
В пособии содержатся задачи по всем разделам программы курса
астрономии для педагогических институтов. К задачам даны ответы и
примеры решения.
60602—543 ББК 22.6
4280 4309021200 52
l03@3J-80
F) Издательство «Просвещение», 1980 г*

ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение задач помогает усвоению курса общей аст-
астрономии, так как показывает конкретное применение
теоретических основ науки.
В каждом разделе задачи расположены в порядке
возрастающей трудности, от простых до сравнительно
сложных. Задачам предшествуют краткие теоретические
сведения с разбором характерных задач. Объем этих
пояснений неодинаков и зависит от полноты освещения
тех же разделов в учебниках.
Задачи составлены по научным данным с таким рас-
расчетом, чтобы были представлены все основные разделы
курса общей астрономии, изучаемого в педагогических
институтах. Во многих задачах предлагается найти ре-
решения, связанные не с одним, а с несколькими объектами
или с одним явлением, наблюдаемым в различных мес-
местах земной поверхности. Это сделано для того, чтобы по
результатам решения можно было сделать обобщающие
выводы, но решение разных вариантов может быть вы-
выполнено различными студентами. Преподаватель может
также показать решение одного варианта задачи, а
оставшиеся предложить студентам для самостоятельно-
самостоятельного решения.
Следует иметь в виду, что тесная взаимосвязь почти
всех разделов астрономии далеко не всегда позволяет
точно распределить задачи по разделам, и некоторые
перестановки неминуемы.
При решении задач по сферической астрономии, на
конфигурации планет и запуски искусственных небес-
небесных тел полезно делать чертежи, во многом облегчающие
решение, а результаты сводить в таблицы, анализ кото-
которых помогает обнаруживать закономерности, формули-
формулировать необходимые выводы и устанавливать реальность
результатов.

В отличие от процесса научных исследований, высо-
высокая точность вычислений при решении учебных задач не
является определяющей. Поэтому решение задач воз-
возможно с различной точностью, и в зависимости от нее
результаты могут несколько отличаться от ответов к за-
задачам. Преподаватель вправе округлять в разумных
пределах приводимые в задачах точные данные и обу-
обучать этому студентов.
В учебном процессе наиболее реальна и достаточна
точность вычислений до трех значащих цифр и поэтому
полезно использовать логарифмическую линейку и таб-
таблицы Барлоу, а также таблицы логарифмов, хотя зача-
зачастую можно воспользоваться шкалой мантисс логариф-
логарифмической линейки. Таблицы для перевода единиц вре-
времени «в градусные единицы (табл. 1), градусных единиц
в единицы времени (табл. 2) и интервалов времени с точ-
точностью до 1 с (табл. 3) помещены в конце задачника.
Ответы к задачам даны перед таблицами.
Автор благодарит доктора физико-математических
наук И. А. Климишина и кандидата физико-математи-
физико-математических наук О. К. Ухову за ценные указания, высказан-
высказанные при рецензировании задачника.
Автор с благодарностью воспримет все критические
замечания по предлагаемому пособию, направленные к
его совершенствованию.

I. ОСНОВЫ СФЕРИЧЕСКОЙ
И ПРАКТИЧЕСКОЙ
АСТРОНОМИИ
§ 1. КУЛЬМИНАЦИЯ СВЕТИЛ,
ВИД ЗВЕЗДНОГО НЕБА
НА РАЗЛИЧНЫХ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ
ПАРАЛЛЕЛЯХ
В каждом месте земной поверхности высота hp полю*
са мира всегда равна географической широте ф этого
места, т, е,
Ар=Ф, A)
а плоскость небесного экватора и плоскости небесных
параллелей наклонены к плоскости истинного горизонта
под углом
t=90°—ф, B)
Высота h и зенитное расстояние z любой точки небес-
небесной сферы, в том числе и любого светила, связаны меж-
между собою зависимостью
й+г=90°, C)
В момент верхней кульминации (рис. 1) светило со
склонением б<ф (светила Мь М2 и Af3) пересекает не-
небесный меридиан к югу от зенита Z (над или под точкой
юга S) и его зенитное расстояние
гв=Ф—б, D)
высота
ftB= (90°—ф) +^б, E);
азимут Лв—О0 и часовой угол /B=:0o=0tl.
При 6>ф светило (МА) в верхней кульминации пере-
пересекает небесный меридиан к северу от зенита (над точ«

кой севера W), между зенитом Z и северным полюсом
мира Р, и тогда зенитное расстояние светила
2в = 6-ф, F)
высота
ftB=(90°—б)+ф, G)
азимут Лв==180°, а часовой угол ?в = 0°=0ч.
В момент нижней кульминации (рис. 2) светило пе-
пересекает небесный меридиан под северным полюсом ми-
мира: незаходящее светило (Mi)—над точкой севера N,
заходящее светило (М2 и М3) и невосходящее свети*
ло (МА) — под точкой севера. В нижней кульминации
высота светила
Лн=б-(90°-Ф), (8)
его зенитное расстояние
zH=180°—б—ф, (9)
азимут Лн=180° и часовой угол /н= 180°== 12Ч.
L-90-V
Рис. 1. Верхняя кульминация светил

Рис. 2. Нижняя кульминация светил
В зависимости от ф, светила с 6<0° могут в нижней
кульминации проходить под точкой юга S (светилб Мъ)
и тогда Лн=0°, а часовой угол 4=180°=12ч. В этом слу-
случае при решении задач получится 2н>180° или /iH< —90°,
чего быть не может, и, следовательно, реальное зенитное
расстояние z=360°— zH, а высота ft= — A80° +ftH), но
всегда ft=90°—2. Направление кульминации относитель-
относительно зенита отмечается буквами: S (или ю)—кульмина-
ю)—кульминация к югу и N (или с) — кульминация к северу от зе«
нита. Из формулы (8) следует, что при
б^+:(90°-Ф) A0)
высота Лн^О0, т. е. светило никогда не заходит под го-
горизонт (незаходящее светило), а, согласно формуле E),
у невосходящего светила Ав^0° и склонение
6<-(90°-ф). (И)

Примеры
1. Определить зенитное расстояние, высоту, азимут и
часовой угол звезды Капеллы (а Возничего) в верхней и
нижней кульминации на северном тропике (ф=-Ь23о27')г
на географической широте ф~-Ь45°58' и на северном по-
полярном круге (ф=+66°33/). Склонение Капеллы
б=4-45°58/.
Данные: Капелла (а Возничего), б=+45с58';
северный тропик, ф=+23°27'; место с ф=+45°58/г;
северный полярный круг, ф^+бб^З'.
Решение. Склонение Капеллы б=а+45°58/>ф се-
северного тропика, и поэтому следует воспользоваться
формулами F) и C):
zB=6—ф=-+45°58'—23О27'-22°31'ЛГ,
hB=90°—2в=90°—22°31'=rK67029W,
следовательно, азимут Лв=180°, а часовой угол tB^0°=^
На географической широте ф=+45°58/ = 6 зенитное
расстояние Капеллы гв=6—ф=0°, т. е. в верхней куль*-
минации она находится в зените, и ее высота Ав^+ЭО0,
часовой угол ?в=0°=0ч, а азимут Ав неопределенный.
Те же величины для северного полярного круга вы-»
числяются по формулам D) и C), так как склонение
звезды 6 6633/
гв=ф—6= +66*33'—45°58/=20°35/5,
йв=90°—zB= H-I9O0—20°35'= +69°25'S,
а поэтому Ав==0° и /в=:0о=0ч.
Вычисления высоты hB и зенитного расстояния гн
Капеллы в нижней кульминации проводятся по форму*
лам (8) и C): на северном тропике (ф=+23°27')
/2Я== б— (90°—ф) = + 45°58/— (90°—23°270 = —20°35W,
т. е. в нижней кульминации Капелла заходит за гори-
горизонт, и ее зенитное расстояние
гн=90°—ftH=90°— (—20°35А) = 110°35%
азимут Лн=180° и часовой угол *н=180о=12ч,
На географической широте ф=;+45°58' у звезды
ftH=6— (90°—ф) = +45°58/—(90°—45°58/) = + 1°56W,

т. е. она уже незаходящая, и ее
гн=90°—Лн := 90°— 1 °56'=88о04'#,
Лн=180° и /нв180°=12ч.
На северном полярном круге (ср = +66°33/)
Ав«б—(90°—ф) «+45°58/—(90°—бб^ЗО = +22°31W,
и гн==90°—AH==90o2o3r = 67°29W,
т. е. звезда тоже не заходит за горизонт.
2. На каких географических параллелях звезда Ка-
Капелла (б—+45°58') не заходит за горизонт, никогда не
видна и в нижней кульминации проходит в надире?
Данные: Капелла, б==+45°58/.
Решение. По условию A0)
Ф> + (90°—б)» + (90°—45°580, откуда ф^+44°02',
т. е. на географической параллели, с ф=+44°02/и север-
севернее ее, вплоть до северного полюса Земли (ф=+90°),
Капелла является незаходящей звездой.
Из условия симметрии небесной сферы находим, что
в южном полушарии Земли Капелла не восходит в ме-
местностях с географической широтой от ф ——44с02' до
южного географического полюса (ф=—90°).
Согласно формуле (9), нижняя кульминация Капел-
Капеллы в надире, т. е. при zH=180o=180°—ф—б, происходит
в южном полушарии Земли, на географической парал-
параллели с широтой ф——6=—45°58/.
1. Определить высоту полюса мира и наклонение не-
небесного экватора к истинному горизонту на земном эк-
экваторе, на северном тропике (ф=Н~23°27/), на северном
полярном круге (ф = +66°33') и на северном географи-
географическом полюсе.
2. Склонение звезды Мицара (? Большой Медведи-
Медведицы) равно +55° 11'. На каком зенитном расстоянии и на
какой высоте она бывает в верхней кульминации в Пул-
Пулкове (ф= + 59°46') и Душанбе (ф=+38°33/)?
3. На каком наименьшем^ зенитном расстоянии и наи-
наибольшей высоте бывают в Евпатории (ф = +45°12/) и
Мурманске (ф= + 68°59') звезды Алиот (е Большой
Медведицы) и Антарес (а Скорпиона), склонение кото-
которых соответственно равно +56°14/ и —26°19/? Указать
азимут и часовой угол каждой звезды в эти моменты.
4. В некотором месте наблюдения звезда со склоне-
склонением + 32°19/ поднимается над точкой юга на высоту в

63°42/. Найти зенитное расстояние и высоту этой звезды
в том же месте при азимуте, равном 180°.
5. Решить предыдущую задачу для той же звезды
при условии ее наименьшего зенитного расстояния 63°42'
к северу от зенита.
6. Какое склонение должны иметь звезды, чтобы в
верхней кульминации проходить в зените, а в нижней
кульминации — в надире, точке севера и точке юга места
наблюдения? Чему равна географическая широта этих
мест?
7. Вычислить зенитное расстояние, высоту, азимут и
часовой угол в верхней и нижней кульминации звезды
Р Лебедя (имеющей склонение +27°51') на земном эк-
экваторе, на северном и южном тропике (ф~±23°27/), на
географической широте (ф==±27°51/), на северном и юж-
южном полярных кругах (ф=±66°33/) и географических по-
полюсах. По найденным значениям высоты в верхней и
нижней кульминации построить график ее зависимости
от географической широты, проанализировать законо-
закономерность изменения высоты и указать, на какой геогра-
географической широте понятие кульминаций отсутствует.
8. Чему равна разность зенитных расстояний двух
звезд при одноименных кульминациях в одном пункте
наблюдения?
9. Решить предыдущую задачу для звезд у Андроме-
Андромеды и а Овна, склонение которых равно +42°05/ и
+23°14/. Указать различие азимутов и часовых углов
этих звезд в одноименных кульминациях в Днепропет-
Днепропетровске (ф = +48°28/) и в Душанбе (ф=+38°33/).
10. Найти разность зенитных расстояний звезды при
ее разноименных кульминациях в одном пункте наблю-
наблюдения.
11. Решить предыдущую задачу для звезд, верхняя
кульминация которых в Ярославле (ф = +57°38') и Таш-
Ташкенте (ф=+41°18/) происходит над точкой юга.
12. Вычислить разность наибольшей и наименьшей
высоты звезды Альдебарана (а Тельца) в тех местах,
где обе ее кульминации бывают к северу от зенита. В пре-
пределах каких географических параллелей возможны эти
явления? Склонение Альдебарана равно -j-16o25'.
13. Найти разность зенитных расстояний при одно*
именных кульминациях одной и той же звезды на раз*
личных географических параллелях.
10

14. Решить предыдущую задачу для звезд Алиота
(г Большой Медведицы) и Спики (а Девы) по наблюде-
ниям в Пулкове (ф=+59°46') и в Ашхабаде (ф*8*
= +37°45'). Склонение этих звезд равно соответственно
Н-56°14' и —10°54\
15. У звезды а Большой Медведицы, склонение
Г+62°0Г, а у звезды а Южной Рыбы — 29°54'. Чему рав-
равны высота полюса мира и наклонение небесного эквато*
ра к истинному горизонту на тех географических парал-
параллелях, где эти звезды проходят в зените, кульминируют
в точке юга и точке севера? Рассмотреть обе кульмина-
кульминации и сделать обобщающий вывод.
16. В Москве (ф==+55°45') звезда ц Большой Мед-
Медведицы в нижней кульминации находится на высотэ
!+15°19\ Круглосуточно ли пребывает она над горизон-
горизонтом Горького (ф=+56°20/) и Ашхабада (ф«+37°45')?
17. Склонение звезды Денеба (а Лебедя) равно
+ 45°06'. Найти условия ее видимости в Кирове (ф =
= +58°36') и Ла-Плате (ф=— 34°54').
18. Звезды с каким склонением проходят в зените
и надире Петрозаводска (ф=+61о47'), Тбилиси (ф =
*= + 41°42') и Канберры (ф=—35°20') и каковы условия
их видимости в этих городах?
19. На каких географических параллелях звезды Бе-
Бега (а Лиры) и р Скорпиона становятся незаходящими?
Склонение этих звезд соответственно равно +38°44/ и
то7
то.
20. С каких географических параллелей северного
земного полушария становятся видимы звезды Толиман
(а Центавра) и Канопус (а Киля), склонение которых
соответственно равно —60°38/ и —52°40/? Какие из этих
звезд видны на территории СССР в Кушке (ф==
= +35°15/)?
)
21. С каких географических параллелей звезды Ал-
голь (E Персея, 6=Н-40°46') и Антарес (а Скорпиона,
б=—26° 19') становятся невосходящими?
22. Вычислить пояса географической широты, в ко-
которых основные звезды Большой Медведицы и Южного
Креста не восходят над горизонтом, полностью восходят
и заходят, а также совсехМ не заходят. Склонение этих
звезд Большой Медведицы находится в пределах от
+ 62°01' (а) до +49°26/ (у)), а Южного Креста —от
—62°49' (а) до —56°50' (v).
11

§ 2. ВИДИМОЕ ГОДОВОЕ
ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА, СМЕНА
СЕЗОНОВ ГОДА
И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПРИЗНАКИ
ТЕПЛОВЫХ ПОЯСОВ
В нашу эпоху эклиптика наклонена к небесному эк*
ватору под углом е=23°27' и поэтому склонение Солнца
на протяжении года меняется в пределах ±23°27'. На-
Наклон земной оси определяется углом между нею и пер«
пендикуляром к плоскости земной орбиты (к оси эклип-
эклиптики) .
Если через ?о обозначить количество тепла, получае-
получаемого единицей площади земной поверхности от Солнца,
находящегося в зените, то при зенитном расстоянии Сол-
Солнца z та же единица площади получает количество тепла
?=?0cos2, A2)
что позволяет сравнивать Ех и Е2 при зенитных расстоя-
расстояниях Солнца Z\ и г2.
Гражданские сумерки ^длятся до погружения Солнца
под горизонт на 7° (ft =—7° и z=97°). Если же даже в
нижней кульминации высота Солнца hn^—7° (гн<97°),
то гражданские сумерки длятся до восхода Солнца и на-
называются белыми ночами.
Подставляя в формулу (8) Ан=—7°, легко найти гео-
географическую широту мест, в которых наступают белые
ночи при различных значениях склонения Солнца. Та
же формула, при подстановке в нее /гн = —18° дает гра-
границу темных ночей, при которых заревое освещение пол-»
ностью исчезает. При hu=—0°,9 верхний край солнеч-
солнечного диска обычно касается горизонта, и тем самым оп-
определяется начало и окончание полярного дня. Начало
и окончание полярной ночи обусловлено полуденной вы-
высотой Солнца: hB = — 0°,9 (или гв=90°,9) *.
Длительность периода белых ночей, полярного дня и
полярной ночи находится по календарным датам, в кото-
которые склонение Солнца имеет вычисленное или заданное
значение, а сами даты устанавливаются по астрономиче-
астрономическим календарям-ежегодникам, в том числе и по Школь-
* Приведенные значения hn и hB учитывают величину радиу-
радиуса солнечного диска ( «0°,3) и среднюю рефракцию в горизонте
1*0°,6), что дает 0°,9.
12

ному астрономическому календарю. При решении таких
задач достаточно принимать значения географической
широты и склонения Солнца с точностью до 0°,1.
Примеры
1. На какой географической широте Солнце кульми-
кульминирует в день летнего солнцестояния на высоте Н-72°50'
над точкой севера? Чему равна полуденная и полуноч*
ная высота Солнца на той же широте в дни равноденст-
равноденствий и зимнего солнцестояния?
Данные: день летнего солнцестояния; //в =
*=+72°50'N; 6 =+23°27V
Решение. В день летнего солнцестояния полуден-
полуденное зенитное расстояние Солнца 2в=90°—/гв = 90°—-
—72°50' Л/Г=17°10/Л/, и так как кульминация происходит
к северу от зенита, то 6>ф, и, согласно формуле F),
Ф=^б—гв = +23°27'— \TW^+b°\T.
В дни равноденствий 5 = 0°, и, по формулам E) и
(8),
/1в=90°—ф = 90°—6° 17'= +83°43'S
и
/гн = —(90°—ф) = —(90°—6°17') =— 83°43'Л/.
В день зимнего солнцестояния Ь^—23°27', т. е.
6<ф, и поэтому, по тем же формулам,
hB=90°—Ф + б=90°—6° 1 7'—23°27' = + 60° 16'S
и
/гн=б— (90°—ф) = —2Ъ°2Т— (90°—6° 17^) = — 107° 10 'N.
Высота в нижней кульминации получилась меньше
—90°, что невозможно. Это означает, что нижняя куль-
кульминация Солнца происходит под точкой юга S. Поэтому
действительная высота /?н=— A80°—107°10/) =—72О5(Г S.
2. Найти длительность периода белых ночей и про-
продолжительность полярного дня и полярной ночи в Ам-
дерме, географическая широта которой ф=+69°4Г.
Данные: ф=+69°4Г= + 69°,7.
Решение. Подставляя в формулу (8) /in=—7° и
Ф=+69°,7, вычисляем склонение Солнца б, при котором
наступают белые ночи:
б - Ан +; (90°—q>) = -7° + (90°-69°,7) = +13°,3.
и

Та же формула при Ан==—0°,9 дает для незаходяще-
го Солнца 6= + 19°,4, а формула D)—для невосходя<
щего Солнца
б = ф—гв=69°,7—90°,9 = —21°,2.
По астрономическому календарю-ежегоднику уста-
устанавливаем, что Солнце имеет склонение 6= + 13°,3 26 ап-
апреля и 18 августа, б= + 19°,4—18 мая и 27 июля, а
6 = —2Г,2 — 28 ноября и 15 января.
Следовательно, в Амдерме с 26 апреля до 18 мая и с
27 июля до 18 августа длятся белые ночи, с 18 мая до
27 июля продолжается полярный день, а с 28 ноября до
15 января — полярная ночь.
23. Вычислить наклонение эклиптики и определить
экваториальные координаты ее основных точек по изме-
измеренным в дни солнцестояний полуденным зенитным рас-
расстояниям Солнца 29°48' и 76°42/ к югу от зенита.
24. Около 3 тыс. лет назад в день летнего солнцесто-
солнцестояния полуденное зенитное расстояние Солнца в одном
из мест земной поверхности было 26°15/ю, а в день зим-
зимнего солнцестояния полуденная высота Солнца в том же
месте равнялась +16°03'ю. Вычислить наклонение эк-
эклиптики к небесному экватору в ту эпоху,
25. По результатам предыдущих задач вычислить
годичное изменение наклонения эклиптики и сделать вы-
вывод о причине этого изменения.
26. Вычислить для дней равноденствий и солнцестоя-
солнцестояний полуденную и полуночную высоту и зенитное рассто-
расстояние Солнца в Петрозаводске (ф=г+61°47/), Москве
(Ф=+55О457) и Ашхабаде (ф=+37°45/).
27. По результатам предыдущей задачи обнаружить
закономерность в вычисленных величинах и указать, в
каких из трех городов бывают вблизи летнего солнце-
солнцестояния белые, светлые и темные ночи.
28. Определить отношение количества тепла, получа-
получаемого от Солнца в полдень дней равноденствий и солн-
солнцестояний городами, указанными в задаче 26. Сравнение
провести для каждого города в отдельности (по датам)
и по городам в каждую дату.
29. Найти полуденную и полуночную высоту Солнца
в дни равноденствий и солнцестояний на земном эквато-
экваторе, на тропиках, на полярных кругах и географических
полюсах.
14

30. Определить отношение количества тепла, получа-
получаемого в полдень дней равноденствий и солнцестояний
местами земной поверхности, указанными в предыдущей
задаче. Сравнение провести для каждого места (в раз-
различные даты) и по местностям (в каждую дату).
31. На каких географических параллелях Солнце не
восходит, проходит в зените и не заходит в дни, когда
его склонение равно +2Г19/ и —16°43'?
32. В какие дни года Солнце проходит в зените и на-
надире экватора, тропиков и земных параллелей с геогра-
географической широтой +7°48' и —18°357? (Некоторые даты
следует установить по астрономическому календарю-
ежегоднику.)
33. На какой географической широте Солнце кульми-
кульминирует в день летнего солнцестояния на зенитном рас-
расстоянии в Ю°41' к северу от зенита? Чему равна полуден-
полуденная и полуночная высота Солнца на той же широте в
дни равноденствий и солнцестояний?
34. Решить предыдущую задачу при том же полуден*
ном зенитном расстоянии Солнца, но к югу от зенита.
35. Найти планетографическую широту * тропиков и
полярных кругов на планетах Марсе, Юпитере и Уране,
если наклон оси Марса равен 24°48', оси Юпитера 3°G7',
а оси Урана 98° (наклон больший 90° означает обратное
вращение планеты).
36. По результатам предыдущей задачи отметить осо-
особенности расположения тропика© и полярных кругов в
сравнении с земными и определить пределы изменения
склонения Солнца в небе этих планет.
37. Вычислить отношение количества тепла, получа-
получаемого от Солнца в полдень дней равноденствий и летне-
летнего солнцестояния экватором, северным тропиком и се-
северным полярным кругом Урана и выяснить условия
освещения различных зон этой планеты на протяжении
периода ее обращения вокруг Солнца, близкого к 84 го-
годам. Наклон оси планеты равен 98°.
38. При каком склонении Солнца наступают белые
ночи в Ленинграде (ср=+59°57А) и Архангельске (ф —
= +64°34/)? Возможны ли в этих городах полярные дни
и полярные ночи?
* Угловое расстояние от экватора планеты, аналогичное геогра-
географической широте на Земле.
15

39. По результатам предыдущей задачи и астрономи-
астрономическому календарю-ежегоднику определить длитель-
длительность периода белых ночей в тех же городах.
40. Воспользовавшись астрономическим календарем-
ежегодником, найти длительность периода белых ночей
и продолжительность полярного дня и полярной ночи в
Мурманске (ср=+68о59') и Хатанге (ф=+71°58') и оп-
определить наибольшую полуденную и полуночную высоту
Солнца в этих городах.
41. До каких географических параллелей распрост-
распространяются границы полярного дня, полярной ночи, белых
и темных ночей в дни равноденствий и солнцестояний?
42. На каких географических параллелях начинаются
и оканчиваются периоды белых ночей, полярный день и
полярная ночь при склонениях Солнца 6=4-10° и 6=
= Н-21°? Примерно в какие дни года это происходит?
§ 3. СИСТЕМЫ СЧЕТА ВРЕМЕНИ
Звездное время S измеряется часовым углом ty точ-
точки весеннего равноденствия и поэтому всегда S = tym
У небесного светила с прямым восхождением а часовой
угол
t = S—a. A3)
Звездное время S в пункте с географической долго-
долготой X связано со звездным гринвичским временем So ра-
равенством
причем К отсчитывается к востоку от Гринвича и выра-
выражается в часах, минутах и секундах времени. Для пере-
перевода градусных единиц в единицы времени существуют
таблицы (см. табл. 1 и 2 на стр. 125 и 126).
В один и тот же физический момент звездное время
Si и S2 в двух пунктах различается на разность геогра-
географической долготы К\ и ^2 этих пунктов, т. е.
S2—S! = X2—Ku A5)
Используемые в практической жизни средние солнеч-
солнечные сутки продолжительнее звездных суток на 3М56С,6^
«3М56С.
Местное среднее время
16

П =Г0+П, A6)'
где т] — уравнение времени, a Tq—истинное солнечное
время, измеряемое часовым углом Солнца, увеличенным
на 12Ч, т. е.
Г© =*0+:12ч. A7)
Местное среднее время T\t и Гх2 двух пунктов свя-
связано между собой равенством:
7\ -Thi=X2-Xu A8)
а со средним гринвичским временем Го (называемым
всемирным временем)—равенством
Тк =Ге+Я,. A9)
В практической жизни используется либо поясное
время
Гп = Го.+п, B0)
лдбо декретное время
Гд=Гп+1ч=Го+п+Г1, B1)
где п — номер часового пояса, равный целому числу ча-
часов.
Для двух пунктов, расположенных в разных часовых
поясах П\ и ^2,
7\ — ТД1 - Т л2 —Т Пх =п2—щ. B2)
Если система счета времени не указана, то всегда
подразумевается время, действующее на данной терри-
территории.
Показание часов Тч (или S4) не всегда соответствует
моменту точного времени Т или S. Разность
и = Т—Тч или Us=S—S4 B3)
называется поправкой часов, зная которую можно опре-
определять точное время по неверно идущим часам.
Примеры
1. Определить звездное время в пунктах с географи-
географической долготой 2Ч23М37С и 7М6м20с в момент, когда в
пункте с географической долготой 80°05',5 у звезды Вегн
(а Лиры) часовой угол равен 4Ч29М48С. Прямое восхож-
восхождение Беги а=18ч35м15с.
17

Данные: Xi = 2423M37°; X2=7M6M20c; ta=80°05',5;
Вега, а=18ч35м15с, * = 4Ч29М48С.
Решение. Пользуясь таблицей 2 (стр. 126), выра-
выражаем географическую долготу третьего пункта в едини-
единицах времени: ta=80o05',5 = 5420M22<\
Согласно формуле A3), звездное время в третьем
пункте (с %г)
Из формулы A5) следует, что в первом пункте (с К\)
звездное время
S.^Se+CX,—X,) - 23W03c+B423M37c—5ч20м22е)=
=20ч08м18с;
во втором пункте (с fa) звездное время
S2 = SZ+ (fa—Яз) = 23ч05м03с+ Gч46м20с—5ч20м22с) =
=25ч31м01с,
т. е. в этом пункте начались уже новые звездные сутки
(но не календарные сутки), и там 52=1ч31м01с.
При другом ходе решения используется формула A4).
2. Некоторый пункт с географической долготой
5Ч34М находится в пятом часовом поясе. Найти местное
среднее, поясное и декретное время этого пункта в ис-
истинный полдень 27 октября, если в этот день уравнение
времени равно —16м.
Данные: Я=5Ч34М, я = 5; 27 октября т] = — 16м.
Решение. В истинный полдень истинное солнечное
время Г0=12ЧЮМ. Согласно формулам A6), A9), B0)
и B1), 27 октября местное среднее время
поясное время
Тп = Тх +(п—Я) = 11Ч44М—34м=11ч10м
и декретное время
43. Определить звездное время в моменты верхней и
нижней кульминации звезды Фомальгаута , (а Южной
Рыбы), прямое восхождение которой 22Ч54М53С.
44. Найти звездное время в моменты, в которые ча-
часовой угол звезды Ригеля (f$ Ориона) соответственно
равен —3Ч17М43С и 1Ч42М29С. Прямое восхождение этой
звезды 5ч12м08с.
18

45. Определить звездное время в ^пунктах с географи-
географической долготой 2Ч13М23С и 84°58' в момент, когда в пун-
пункте с долготой 4Ч37М11С звезда Кастор (а Близнецов) на-
находится в верхней кульминации. Прямое восхождение
Кастора 7Ч31М25С.
46. Решить предыдущую задачу для тех же пунктов,
но для момента времени, в который звезда Капелла
(а Возничего) находится в нижней кульминации в Иркут-
Иркутске (А,==6ч57м05с). Прямое восхождение Капеллы
5ч13м00с.
47. Вычислить часовые углы звезд Алголя (Р Персея)
и Альтаира (а Орла) в 8ч20м30с по звездному времени.
Прямое восхождение этих звезд соответственно равно
Зч04м54° и 19Ч48М21°. Часовые углы выразить в градус-
градусных единицах.
48. Прямое восхождение звезды Миры (о Кита)
2Ч16М49С, Сириуса (а Большого Пса) 6Ч42М57° и Процио-
на (а Малого Пса) 7Ч36М41С. Чему равны часовые углы
этих звезд в моменты верхней и нижней кульминации
Сириуса?
49. Найти часовые углы звезд Кастора (а Близнецов)
и Шеата (р Пегаса) в момент, когда часовой угол звез-
звезды Беги (а Лиры) равен 4ч15м10с. Прямое восхождение
Кастора 7Ч31М25С, Беги 18Ч35М15С и Шеата 23ч01м21с.
50. Часовой угол звезды Миры (о Кита) в Гринвиче
равен 2Ч16М47С. Определить в этот момент звездное вре-
время в пунктах с географической долготой 2ч03м02с и
54°44',5. Прямое восхождение Миры 2Ч16М49С.
51. Найти звездное время и часовой угол звезды Ми-
цара (? Большой Медведицы) в Гринвиче и в пункте с
географической долготой 6ч34м09с в тот момент, когда в
Якутске (Х=8Ч38М58С) часовой угол звезды Альдебара-
на (а Тельца) 329°44'. Прямое восхождение Мицара
13Ч21М55С, а Альдебарана 4чЗЗЛ103°.
52. Какое прямое восхождение у звезд, находящихся
в верхней и нижней кульминации в двух различных пунк-
пунктах наблюдения, если в одном из них, расположенном
восточнее другого на 36°42', часовой угол звезды Проин-
она {« Малого Пса) равен —2Ч16М41С? Прямое восхож-
восхождение Проциона 7Ч36М41С.
53. На каких географических меридианах звездное
время соответственно равно 22ч48м30с и 7Ч36М34С, если
в местности с географической долготой 5ч31м40с звезда
19

Капелла (а Возничего) имеет часовой угол — 2ч39м08с?
Прямое восхождение Капеллы 5ч13м0с.
54. Через какие интервалы звездного времени после
верхней кульминации звезды р Льва с прямым восхож-
восхождением 11Ч46М31С звезда а Гидры будет находиться в
верхней кульминации, в нижней кульминации и занимать
положение при часовом угле 4Ч25М16С? Прямое восхож-»
дение а Гидры 9ч25м08с.
55. В момент верхней кульминации звезды Геммы
(а Северной Короны), прямое восхождение которой
15Ч32М34С, часы, идущие по звездному времени (звезд-
(звездные часы), показывали 15Ч29М42С. Найти поправку часов
и их показание при часовом угле той же звезды, равном
1ч20м50с.
56. В момент верхней кульминации звезды Альдеба-»
рана (а Тельца) с прямым восхождением 4чЗЗм03° звезд-
звездные часы показывали 4Ч52М16С, а в такой же момент еле*
дующей ночи их показание было 4ч51м04с. Вычислить по-
поправки звездных часов в моменты наблюдений, а также
их суточный и часовой ход (т. е. изменение поправки за
сутки и за один час).
57. В момент верхней кульминации звезды 8 Большой
Медведицы с прямым восхождением 12ч51м50с звездные
часы показывали 12Ч41М28С, а в момент последующей
нижней кульминации той же звезды их показание было
0Ч41М04С. При &аких показаниях тех же часов звезда
Р Малой Медведицы проходила обе кульминации, если, ее
прямое восхождение равно 14ч50м50с?
58. Найти среднее, поясное и декретное время в пун-
пунктах с географической долготой 4Ч43М28С и 9ТЧ8М37С в
момент 6ч52м06с по среднему гринвичскому времени. Пер*
вый пункт находится в пятом, а второй — в десятом ча*
совом поясе.
59. Определить среднее, поясное и декретное время в
пунктах с географической долготой 5Ч12М56С и 7n51M22cv
если в этот момент в третьем пункте ласы пеГСШывали
17Ч31М44С по среднему времени, а географическая долго*
та третьего пункта равна 6Ч27М36С. Первый пункт нахо-
находится в пятом, а второй — в восьмом часовом поясе.
60. Найти разность между поясным и средним, а так-*
же между декретным и средним временем в пункте с ге-
географической долготой 7Ч18М58С, расположенном в седь«
мом часовом поясе,
20

61. Определить последовательность наступления од-»
ноименных моментов по среднему, поясному и декретно*
му времени в Баку (А,=3Ч19М, п=3) и Новосибирске
(А,=5Ч32М, я=6).
62. В какие моменты времени по различным систем
мам счета наступают истинный полдень и истинная пол-
полночь в Ростове-на-Дону (Х=2Ч39М, я=3) и Оренбурге
(А,=3Ч41М, я=4) в дни, когда уравнение времени соот-
соответственно равно +12М и —15м?
63. Точные городские часы Красноярска (/2 = 6) по-
показывают 7Ч32М вечера. Какое в этот момент среднее,
поясное и декретное время в Киеве (Я=2ч02м, /г=2) и
Хабаровске (Я=9ч00м, я=9)?
64. После месячного полета на научной космической
станции «Салют-4» космонавты А. А. Губарев и
Г. М. Гречко 9 февраля 1975 г. в 14ч03м по московскому
времени приземлились северо-восточнее Целинограда.
Сколько времени было в этот момент в Целинограде
(я=5) и Казани (п==3)? Москва находится во втором
часовом поясе.
65. Лунное затмение 18 ноября 1975 г. началось в
20ч38м,5 и окончилось 19 ноября 1975 г, в 0Х108м,2 по
всемирному времени. В какие даты и моменты времени
оно началось и окончилось в Краснодаре (/г=3), Таш-
Ташкенте (я = 5) и Иркутске (п = 7)?
66. В 1974 г. летнее солнцестояние наступило 21 июня
в 18Ч38М по всемирному времени. Когда оно наступило по
времени городов, указанных в предыдущей задаче?
67. В момент передачи из Москвы (я = 2) 12-часового
радиосигнала точного времени часы в одном из учреж*
дений Томска (А,=5ч40м, /г = 6) показывали 16Ч12М. Вы-
Вычислить поправку этих часов к местному среднему и при-
принятому времени Томска и Красноводска (Я=3Ч32М, «='
=4) и найти показания тех же часов в 19ч0м по време-
времени каждого города.
68. Самолет вылетел из Свердловска (/г = 4) в 11ч20м
и прибыл без опоздания в Иркутск (/2 = 7) в 17Ч45М.
Сколько времени летел самолет и какие моменты выле-
вылета и прибытия указаны в расписании Аэрофлота?
69. Телеграмма отправлена из Нерчинска (п = 8) в
7ч40м вечера по городским часам и доставлена адресату
21

в Смоленске (я=2) в тот же день в 16ч20м по времени
этого города. Сколько времени шла телеграмма и какие
моменты времени отправки и доставки отмечены на ней?
§ 4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ГЕОГРАФИЧЕСКИХ И НЕБЕСНЫХ
ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
В долгие зимние ночи астрономы измеряют зенитные
расстояния одних и тех же звезд в обеих кульминациях
и по формулам D), F), (9) независимо находят их скло-
склонение F) и географическую широту (ф) обсерватории.
Зная ф, определяют склонение светил, у которых наблю-
наблюдается только верхняя кульминация. При высокоточных
измерениях учитывается рефракция, которая здесь не
рассматривается, кроме случаев расположения светил
вблизи горизонта.
В истинный полдень регулярно измеряют зенитное
расстояние Zq Солнца и отмечают показание S4 звезд*
ных часов, затем по формуле D) вычисляют его скло-
склонение 60, а по нему — прямое восхождение oq , пос-
поскольку
sinctQ =tg60 -ctgs, B4)
где 8 = 23°27/ — уже известное наклонение эклиптики.
Одновременно определяется и поправка звездных ча-
часов
us=S—5q=a0—S,, B5)
так как в истинный полдень часовой угол Солнца /q=0
и поэтому, согласно формуле A3), звездное время
Отмечая показания S'4 тех же часов в моменты
верхней кульминации ярких звезд (они видны в телеско-
телескопы и днем), находят их прямое восхождение
a=a0 + (Sr4—S4) B6)
и по нему аналогичным образом определяют прямое вос-
восхождение остальных светил, которое также может быть
найдено как
a=S; +us. B7)
22

По публикуемым в астрономических справочниках
экваториальным координатам (а и 6) звезд определяют
географические координаты мест земной поверхности.
Примеры
1. В истинный полдень 22 мая 1975 г. зенитное рас-
расстояние Солнца в Пулкове было 39°33' S (над точкой
юга), а звездные часы показывали 3Ч57М41С. Вычислить
для этого момента экваториальные координаты Солнца
и поправку звездных часов. Географическая широта Пул^
кова ф=+59°46'.
Данные: 20=39°33'S; S4 = 3457™4lc", <р=Ч-59°46'.
Решение. Согласно формуле D), склонение Солнца
б0 =ф—zQ = 59°46'—39°33'=+20°13'8
По формуле B4)
sinao = tg6Q-ctg<§=tg20o13/*ctg23o27/-
= +Д3683-2,3053=+0,8490,
откуда прямое восхождение Солнца aQ=58°06/,2, или,
переведя в единицы времени, (xq=3452m25c.
Так как в истинный полдень, согласно формуле A3),
звездное время S = aQ =3Ч52М25С, а звездные часы по-
показывали 5Ч=3Ч57М41С, то, по формуле B5), поправка
часов
us = S—S4=a 0—S4 = 3Ч52М25С—3Ч57М41с=—5м 16е.
2. В момент верхней кульминации звезды а Дракона
на зенитном расстоянии 9°177 к северу звездные часы по-»
казывали 7ч20м38с, причем их поправка к звездному
гринвичскому времени равнялась + 22м 16е. Экватори-
Экваториальные координаты а Дракона: прямое восхождение
14ч03м02с и склонение Ч-64°37'. Определить географиче-
географические координаты места наблюдения.
Данные: звезда, а=14ч03м02с, б-+64037\ zB =
=9°17'JV; звездные часы S4 = 7420M38c, as = 22M16c.
Решение. По формуле F), географическая широта
ф = б—zB = + 64°37'—9° 1Г = + 55°207.
Согласно формуле A3), звездное время в месте на-
наблюдения
23

S = a=14403M02c, а звездное время в Гринвиче
So = S4+и3=7ч20м38с+22м 16е = 7Ч42М54<\
Следовательно, по формуле A4), географическая
долгота
I = S—So — 14ч03м02с—7Ч42М54С = 6ч20м08с,
или, переведя в угловые единицы, Х=95°02'.
70. Определить географическую широту места наблю*
дения и склонение звезды по измерениям ее зенитного
расстояния z или высоты h в обеих кульминациях—верх-
кульминациях—верхней (в) и нижней (н):
а) *в=15°06'ЛГ, гн = 68°14'М;
б) *B=15o06'S, гн = 68°14'Л/;
В) /гв=+80о40'ю, 2н-72°24/с;
Г) Ав»"+78°08/ю, Лн= + 17°40'ю.
71. В местности с географической широтой ср =
= +49°34' звезда а Гидры проходит верхнюю кульмина*
цию на высоте +32°00' над точкой юга, а звезда р Ма-
Малой Медведицы — к северу от зенита на расстоянии в
24°48'. Чему равно склонение этих звезд?
72. Какое склонение имеют звезды, которые в верх-
верхней кульминации в Канберре (ф = —35°2(У) находятся
на зенитном расстоянии 63°39' к северу от зенита и на
высоте +58°42' над точкой юга?
73. В Душанбе звезда Капелла (а Возничего) про-*
ходит верхнюю кульминацию на высоте +82°35/ при
азимуте 180°, а звезда Альдебаран (а Тельца), склоне-
склонение которой +16°25/, — на зенитном расстоянии 22°08/
к югу от зенита. Чему равно склонение Капеллы?1
74. Вычислить склонение звезд б Большой Медведи-
Медведицы и Фомальгаута (а Южной Рыбы), если разность зе-
зенитных расстояний этих звезд и Альтаира (а Орла) в
верхней кульминации в Ташкенте (ф=+41°18/) состав-
составляет соответственно —48°35' и +38°38/. Альтаир кульми-
кульминирует в Ташкенте на высоте +57°26' над точкой юга.
75. Какое склонение у звезд, кульминирующих на го-
горизонте и в зените Тбилиси, географическая широта ко-
которого + 41°42/? Рефракцию в горизонте принять 35'.
76. Найти прямое восхождение звезд, в моменты верх-
верхней кульминации которых звездные часы показывали
24

18Ч25М32С и 19ч50м40с, если при их показании 19ч20м16с
звезда Альтаир (а Орла) с прямым восхождением
]9Ч48М21С пересекла небесный меридиан к югу от зенита.
77. В момент верхней кульминации Солнца его пря-
прямое восхождение было 23ч48м09с, а звездные часы пока-
показывали 23ч50м01°. За 46М48С до этого небесный меридиан
пересекла звезда р Пегаса, а при показаниях тех же ча-
часов 0ч07м40° наступила верхняя кульминация звезды
а Андромеды. Какое прямое восхождение у этих двух
звезд?
78. 27 октября 1975 г. в Одессе Марс прокульминиро-
вал через 15м50° по звездным часам после звезды Бе-
тельгейзе (а Ориона) на высоте, превышающей высоту
этой звезды в кульминации на 16°33'. Прямое восхожде-
восхождение Бетельгейзе 5Ч52М28С и склонение -Ь7°24'. Какие
экваториальные координаты были у Марса и вблизи ка-
какой точки эклиптики он находился?
79. 24 августа 1975 г. в Москве (<р — +Ь5°45'), когда
звездные часы показывали 1Ч52М22С, Юпитер пересек не«
бесиый меридиан на зенитном расстоянии 47°38'.
В 2Ч23М31С по тем же часам прокульминировала звезда
а Овна, прямое восхождение которой 2ч04м2К Чему бы-
были равны экваториальные координаты Юпитера?
80. В пункте с географической широтой +50°32' по-
полуденная высота Солнца 1 мая и 11 августа равнялась
+ 54°38', а 21 ноября и 21 января +19°29'. Определить
экваториальные координаты Солнца в эти дни.
81. В истинный полдень 4 июня 1975 г. Солнце про-
прошло в Одессе (ф=+46°29/) на высоте Ч-'65°54', а за
13М44С до этого звезда Альдебаран (а Тельца) пересек-
пересекла небесный меридиан на зенитном расстоянии, превыша-
превышающем полуденное зенитное расстояние Солнца на 5°58'.
Определить экваториальные координаты Солнца и
звезды.
82. 28 октября 1975 г. в 13ч06м41с по декретному вре-
времени в пункте с Я=4Ч37МИС (я=5) и ф=+41°18/ зенит-
зенитное расстояние Солнца было 54° 18'. За 45М45С (по звезд-
звездному времени) до этого в верхней кульминации находи-
находилась звезда Спика (а Девы), а через 51М39С после нее —
звезда Арктур (а Волопаса) на высоте Ч-68°0Гю. Опре-
Определить экваториальные координаты Солнца и Арктура.
Уравнение времени в этот день было —16м08°#
25

83. Найти географическую широту местности, в кото-
которой звезды р Персея F=+40°46') и е Большой Медве-
Медведицы F = +56°14') в моменты верхней кульминации на«
ходятся на одинаковом зенитном расстоянии, но пер*
вая — к югу, а вторая — к северу от зенита.
84. В моменты верхней кульминации звезда а Гончих
Псов со склонением +38°35' проходит в зените, звезда
Р Ориона — на 46°50/ южнее, а звезда а Персея — на
1Г06' севернее. На какой географической параллели про-
проведены измерения и чему равно склонение указанных
звезд?
85. В момент верхней кульминации Солнца средний
хронометр показал 10ч28м30с, а при его показании
14Ч48Л152С был принят из Гринвича 12-часовой радиосиг-
радиосигнал точного времени. Найти географическую долготу
места наблюдения, если уравнение времени в этот день
было +6м08с.
86. В момент верхней кульминации звезды i Геркуле-
Геркулеса на зенитном расстоянии в 2°14/ к северу от зенита
звездное гринвичское время было 23ч02м39°. Экватори-
Экваториальные координаты i Геркулеса а=17ч38м03с и 6 =
= +46°02/, Определить географические координаты мес-
места наблюдения.
87. В момент показания звездного хронометра
18ч07м27с экспедиция приняла радиосигнал точного вре-
времени, переданный из Гринвича в 18ч0м0с по звездному
гринвичскому времени. В момент верхней кульминации
звезды у Кассиопеи на зенитном расстоянии в 9°08' к
югу от зенита показание того же хронометра было
19ч17м02с. Экваториальные координаты у Кассиопеи
а = 0ч53м40с и б^+бО^'. Найти географические коорди-
координаты экспедиции,
88. В истинный полдень показание среднего хроно-
хронометра экспедиции было 11Ч41М37С, а в момент приема
12-часового радиосигнала точного времени из Москвы
тот же хронометр показал 19Ч14М36С. Измеренное зенит-
зенитное расстояние звезды а Лебедя (б=<+45о06') в верхней
кульминации оказалось равным 3°26' к северу от зенита.
Определить географические координаты экспедиции, ес-
если в день проведения наблюдений уравнение времени
равнялось —5м 17е.
89. В истинный полдень штурман океанского лайнера
измерил высоту Солнца, оказавшуюся равной ,+75°4Г
26

при азимуте 0°. В этот момент средний хронометр с по-
поправкой — 16М,2 показывал 14Ч12М,9 гринвичского вре-
времени. Склонение Солнца, указанное в морском астроно*
мическом ежегоднике, было +23°19/, а уравнение време-
времени + 2М55С. Какие географические координаты имел лай-
лайнер, где и в какие примерно дни года он в это время на-
находился?
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
НЕБЕСНЫХ КООРДИНАТ
И СИСТЕМ СЧЕТА ВРЕМЕНИ.
ВОСХОД И ЗАХОД СВЕТИЛ
Связь между горизонтальными и экваториальными
небесными координатами осуществляется через парал-
параллактический треугольник PZM (р^с. 3), вершинами ко-
которого служат полюс мира Р, зенит Z и светило М, а
сторонами — дуга PZ небесного меридиана, дуга ZM кру-
Рис. 3. Параллактический треугольник
27

га высоты светила и дуга РМ его круга склонения. Оче*
видно, что PZ=90°—ф, ZM=z=90°—h и РМ=90°—б,
где ф — географическая широта места наблюдения, г —
зенитное расстояние, h — высота и б — склонение све-
светила.
В параллактическом треугольнике угол при зените
равен 180°—Л, где А — азимут светила, а угол при по-
полюсе мира — часовому углу t того же светила. Тогда
горизонтальные координаты вычисляются по формулам
cos?=sirup • этв+соэф • cos6 • cost, B8)
sins:. cosA =—sin6 • соэф+соэб • sirup • cost, B9)
sinz • sinA = cos6 • sin/, C0)
а экваториальные координаты — по формулам
Sin6 = COS? • sirup—Sin2 • СОБф • COsA, C1)
cos6 • cost = cosz • coscp+sinz • sirup • cosA, C2)
cos6-sin?=sin2»sini4, C0)
причем t = S—а, где a — прямое восхождение светила и
S — звездное время.
При расчетах необходимо по таблице 3 (с. 127) пере-
переводить интервалы звездного времени AS в интервалы
среднего времени АГ (или наоборот), а звездное время
«о — в среднюю гринвичскую полночь заданной даты за-
заимствовать из астрономических календарей-ежегодников
(в задачах этого раздела значения s0 приводятся).
Пусть некоторое явление в каком-то пункте земной
поверхности произошло в момент Т по принятому там
времени. В зависимости от принятой системы счета вре-
времени по формулам A9), B0) или B1) находится сред-
среднее гринвичское время Го, представляющее собой интер-
интервал среднего времени Д7\ протекший с гринвичской пол-
полночи (АГ=Г0). Этот интервал по таблице 3 (е. 127) пере-
переводится в интервал звездного времени AS (т. е. AjT->AS),
и тогда в заданный момент Tt соответствующий средне-
среднему гринвичскому времени Го, звездное время в Гринвиче
So=5o+AS/ C3)
а в данном пункте
S=S0+A,, A4)
где X — географическая долгота места,
23

Перевод интервалов звездного времени AS в интерва-
интервалы среднего времени &Т — Т0 (т. е. AS-^ДГ) осуществля-
осуществляется по таблице 3 (с. 127) вычитанием поправки.
Моменты времени и азимуты точек восхода и захода
светил вычисляются по формулам B8), B9), C0) и A3),
в которых принимается г=90°35/ (с учетом рефракции
р = 35').
Найденные значения часового угла и азимута в пре-
пределах от 180 до 360° соответствуют восходу светила, а в
пределах от 0 до 180° — его заходу.
При вычислениях восхода и захода Солнца учитыва-
учитывается еще его угловой радиус г=16/. Найденные часовые
углы /q дают моменты по истинному солнечному време-
времени (см. формулу A7), которые но формуле A6) перево-
переводятся в моменты среднего времени, а затем — в приня-
принятую систему счета.
Моменты восхода и захода всех светил вычисляются
с точностью, не превышающей Iм.
Примеры
1. В каком направлении был заранее установлен
телескоп с фотокамерой для фотографирования солнеч-
солнечного затмения 29 апреля 1976 г., если в пункте с геогра-
географическими координатами Х=2ч58м,0 и ф=+40°14/ се-
середина затмения наступила в 15Ч29М,8 по времени, отли-
отличающемуся от московского на Ч- 1Ч? В этот момент эква-
экваториальные координаты Солнца: прямое восхождение
а=2ч27м,5 и склонение б= + 14°35/. В среднюю гринвич-
гринвичскую полночь 29 апреля 1976 г. звездное время
50==14ч28м19с.
Данные: пункт наблюдения, ^=2Ч58МД ф=4-40° 14',
Т=15Ч29М,8, Г—ГМ=1Ч; so=14428M19c = 14428M,3; Солн-
Солнце, а=2ч27*Д б = + 14°35/.
Решение. В середине затмения московское время
ТМ = Т—1Ч=14Ч29М,8, и поэтому среднее гринвичское вре-
время Го=Гм—Зч= 11Ч29М,8. С гринвичской полночи про-
прошел интервал времени ДГ=Г0=11ч29мД который пере-
переводим по таблице 3 в интервал звездного времени
AS=11431M,7, и тогда в момент Го, по формуле C3),
звездное время в Гринвиче
29

а в заданном пункте, по формуле A4), звездное время
S = So+K=2ч0м,0+2ч58м,0=4ч58м,0
и, по формуле A3), часовой угол Солнца
t=S—а=4ч58м, О—2Ч27М, 5=2ч30м, 5,
или, переводя по таблице 1, *=37°37/,5«37°38/.
По таблицам тригонометрических функций находим:
sinq>=sin40o14'=+0,6459,
coscp=cos40°14'=+0,7634;
sin6=sinl4°35/=+0J518,
cos6=cos 14°35'=+0,9678;
sin*=sin37°38'=+0,6106,
cos/=cos37°38'=+0,7919.
По формуле B8) вычисляем
cosz=0,6459 • 0,2518+0,7634 • 0,9678 -0,7919 =
= +0,7477
и по таблицам находим г=41°36' и sinz=+0,6640.
Для вычисления азимута используем формулу C0):
sin А = -щт •sln t = tMw- °'6106 = + °'88997)
откуда получаем два значения: Л=62°52/ и А = 180°-^
—§2ОЬ2'=*\\7°№. При 6<<p значения А и t не слишком
резко отличаются друг от друга и поэтому Л=62°52/.
Следовательно, телескоп был направлен в
точку неба с горизонтальными координатами Л = 62°52'
и г-41°36/ (или Л=;+48°24/).
2. Вычислить азимуты точек и моменты восхода и за-
захода Солнца, а также продолжительность дня и ночи
21 июня 1975 г. в местности с географическими коорди-
координатами ?1=4Ч28М,4 и ф=Н-59°30', находящейся в пятом
часовом поясе, если в полдень этого дня склонение Солн-
Солнца б=+23°27/, а уравнение времени rj= + lM35c.
Данные: Солнце, Ь=+2Ъ°2Т\ т] = + 1м35с= + 1м,6;
место, Х=4Ч28М,4, Ф = 59°30', п = 5.
зонте
30
Решение. Учитывая среднюю рефракцию в гори-
горите р = 35' и угловой радиус солнечного диска г =16',

находим, что в момент восхода и захода Солнца центр
солнечного диска находится под горизонтом, на зенитном
расстоянии 2=90°+р + г=90°51',
Тогда
sinz=+0,9999, cosz=— 0,0148,
sin6= + 0,3979, cos6=;+0,9174,
sinq)=+0,8616, cos<p=+0,5075.
По формуле B8) находим
cos*-sincp.sin5 -0,0148-0,8616-0,3979
cos<p-coso 0,5075-0,9174 ~
- —0,76804
и по таблицам f- ± A80°—39°49',3) = ± 140°10/,7 и
sin f= ±0,6404.
По таблице 2 получим, что при восходе Солнца его
часовой угол fi=—140°10',7=— 9ч20м/7, а при заходе
f2= + 140°10A,7 = +9420M,7, т. е. по истинному солнечному
времени, согласно формуле A7), Солнце восходит в
Tqi =12ч4-/1==12ч—9ч20м,7
и заходит в
что, по формуле A6), соответствует моментам по сред*
нему времени
ГХ1 =Tq\ +п=2ч39м,3+1м>6=2ч41м
и
ТХ2 =Г02+г1==21ч2Ом,7+1м,6=21ч22м.
По формулам A9), B0) и B1) те же моменты по по-
поясному времени:
восход
Гп1 = Гх1—Я+/г=2М1м—4Ч28М+5Ч=ЗМЗМ
и заход
Гп2=7х2 —Х+я=21ч22м—4Ч28М+5Ч=21Ч54М,
а по декретному времени:
восход Гд1=4ч13м и заход Гд2=22ч54м.
31

Продолжительность дня
т=Гд2—ГД1 = 22*54М—4Ч13М=18Ч41М.
В момент нижней кульминации высота Солнца
йн=б—(90°—ф) ==+23°27/—(90е—БУЗО7) = —7°03',
т. е. вместо обычной длится белая ночь.
Азимуты точек восхода и захода Солнца вычисляют-
вычисляются по формуле C0):
sin л = тёгsin' = ± -w- -0'6404 = ± °>5876'
что дает Л = ± A80°—36°,0) = ±144°,0, так как азимуты
и часовые углы Солнца находятся в одном квадранте.
Следовательно, Солнце восходит в точке истинного го-
горизонта с азимутом Ах——144°,0 = 216°,0 и заходит в точ-
точке с азимутом Л2= + 144°,0, расположенных в 36° по обе
стороны от точки севера.
90. Через какие интервалы среднего времени череду-
чередуются одноименные и разноименные кульминации звезд?
91. Через сколько времени после верхней кульмина-
кульминации Денеба наступит верхняя кульминация звезды
у Ориона, а затем — снова верхняя кульминация Дене-
Денеба? Прямое восхождение Денеба 20ч39м44с, а у Ориона
5Ч22М27С. Искомые интервалы выразить в системах звезд-
звездного и среднего времени.
92. В 14ч15м10с по среднему времени звезда Сириус
(а Большого Пса) с прямым восхождением 6Ч42М57С на-
находилась в нижней кульминации. В какие ближайшие мо-
моменты времени после этого звезда Гемма (а Северной
Короны) будет находиться в верхней кульминации и ког-
когда ее часовой угол будет равен Зч16м0с? Прямое восхож-
восхождение Геммы 15Ч32М34С.
93. В 4ч25м0с часовой угол звезды с прямым восхож-
восхождением 2ч12м30с был равен — 34°26',0. Найти прямое вос-
восхождение звезд, которые в 21ч50м0с будут находиться в
верхней кульминации и в нижней кульминации, а также
тех звезд, часовые углы которых станут равными
— 1ч13м20с и 5ч42м50с.
94. Чему равно приближенное значение звездного
времени в среднюю, поясную и декретную полночь Ижев-
Ижевска (Х=3Ч33М, п=3) 8 февраля и 1 сентября?
32

95. Примерно в какие дни года звезды Сириус
(а=6ч43м) и Антарес (а=16ч26м) находятся в верхней
и нижней кульминации в среднюю полночь?
96. Определить звездное время в Гринвиче в 7Ч28М16С
9 января (so=74llM39c)* и в 20ч53м47с 25 июля (so=,
*= 20ч08м20с).
97. Найти звездное время в средний, поясной и дек-
декретный полдень, а также в среднюю, поясную и декрет-
декретную полночь в Москве (^ = 2ч30м17с, п==2) 15 января
G3518)
@)
98. Решить предыдущую задачу для Красноярска
(Ji=64llM26°, я = 6) и Охотска (Я=9чЗЗм10с, л=10) в
день 8 августа (so=214O3M32c).
99. Вычислить часовые углы звезды Деиеба (а Ле*
бедя) (а = 20ч39м44с) в Гринвиче в 1942м 10° 16 июня
Eо=17ч34м34с) и 16 декабря (so=5436MO4c).
100. Вычислить часовые углы звезд а Андромеды
(а = 0ч05м48с) и р Льва (а«1Р4бм31с) в гО^г^О" 3 ав-
августа Eо==2Оч43м4Ос) и 5 декабря (so=4452M42c) во Вла-
Владивостоке (Х=8Т147М31С, л = 9).
. 101. Найти часовые углы звезд Бетельгейзе (а =
= 5Ч52М28°) и Спики (а==13ч22мЗЗс) в Р52М36С 25 июня
(so=184O6MO7c) и 7 ноября (so==2q58M22c) в Ташкенте
(Я=4Ч37М11С, п—Ъ).
102. В какие моменты времени в Гринвиче находят-
находятся в верхней кульминации звезда Поллукс (а = 7ч42м16с),
з в нижней кульминации звезда Арктур (а= 14Ч13М23С)
10 февраля (so=9417M48c) и 9 мая (so=154O4M45c)?
103. Найти моменты верхней и нижней кульминации
22 марта (so=ll455M31c) и 22 июня (so=17458M14c)
звезд Капеллы (а=5ч13м00с) и Беги (а=18ч35м15с) на
географическом меридиане Я==Зч10м0° (/г=3). Моменты
указать по звездному, среднему, поясному и декретному
времени.
104. В какие моменты времени 5 февраля (so =
= 8ч58м06с) и 15 августа (so=21431MO8c) часовые углы
звезд Сириуса (а = 6ч42м57с) и Альтаира (а= 19Ч48М21°)
в Самарканде (^ = 4Ч27М53С, /г=4) равны 3Ч28М47С?
105. В какие моменты времени 10 декабря (so =
= 5Ч12М24°) часовые углы звезд Альдебарана (а =
-4чЗЗм03с) и р Лебедя (а=19ч28м42с) в Тбилиси
* Здесь и далее в скобках после дат указано звездное время
в среднюю гринвичскую полночь.
2 М, М, Дагаев 33

(A,=2ll59Mllc, n = 3) и в Охотске (Я=9чЗЗм10с, л=10) со-
соответственно равны + 67°48' и —24°32'?
106. На каких географических меридианах звезды
а Близнецов и у Большой Медведицы находятся в верх-*
ней кульминации 20 сентября (so=23453MO4c) в 8Ч0м26°
по времени Иркутска (/г=7)? Прямое восхождение этих
звезд соответственно равно 7Ч31М25С и 11Ч51М13С.
107. Определить горизонтальные координаты звезд
е Большой Медведицы (а=12ч51м50с, 6=+56°14') и
Антареса (а=16ч26м20с, б=—26О19Г) в 14ч10м0° по
звездному времени в Евпатории (ф=4-45°12/).
108. Чему равны горизонтальные координаты звезд
Геммы (а=15ч32м34с, 6=~+26о53') и Спики (а=
= 13Ч22М33°, 6=—10°54') 15 апреля Eов13чЗОмО80) и
20 августа (so=21450M50c) в 21ч30м по декретному вре-
времени в пункте с географическими координатами
Х = 6ч50м0с (л«7) иф-+71°58/?
109. В какие точки неба, определяемые горизонталь-»
ными координатами, необходимо направить телескоп,
установленный в пункте с географическими координата-
ми Я = 2Ч59М,2 (я-3) и ф=Ч-41°42', чтобы 4 мая 1975 г.
(so=HM5MO2c) в 2240м по поясному времени увидеть
Уран (а=13ч52м,1, б== — 10°55') и Нептун (а==16ч39м,3,
б—-го^зг7)?
ПО. В какие моменты времени восходит, кульмини-*
рует и заходит и сколько времени находится над гори*
зонтом точка летнего солнцестояния 22 марта (so =
= 11Ч55М31С) и 22 июня (so=17458M14c) на центральном
меридиане второго часового пояса в местах с географи-
географической широтой ф=+37°45/ и ф=-+-68°20/? Моменты вы*
разить по звездному и декретному времени.
111. Вычислить азимуты и моменты восхода, верхней
кульминации, захода и нижней кульминации звезд
Кастора (а = 7ч31м25с, б-Ч-Зг^О') и Антареса
(а-16ч26м20с, 6~—26°19') 15 апреля E0=13ч30^08с)
и 15 октября (so==l431M37c) в местах земной поверхнос-
поверхности с географическими координатами Я=3Ч53М33С (п = 4),
Ф=+37°45/ и Ь = 2Ч12М15С (я-2), ф^+бв^Э7.
112. Вычислить азимуты и моменты восхода, верхней
кульминации и захода Солнца, его полуденную и полу-
полуночную высоту, а также продолжительность дня в даты
весеннего равноденствия и обоих солнцестояний в пунк-
пунктах с географическими координатами Я — 2Ч36М,3 (я=2),
34

Ф=+59°57' и Я = 5Ч53М,9 (п = 6), ср=+69018'. В последо-
последовательные даты уравнение времени соответственно рав-
равно +7М23С, + 1М35С и —2м08с.
113. В какие моменты времени 30 июля (so=
= 20ч28м03<)) в пункте с А,=2ч58м0с (п=3) и ф = +40°14'
нижеперечисленные звезды имеют горизонтальные коор-
координаты А и г;
Звезда
Сириус (а Большо-
Большого Пса)
Регул (а Льва)
Капелла (а Возни-
Возничего)
б1
10
5
а
<42*
05
13
157С
43
0
-16°
+ 12
+45
39'
13
58
А
— 40°
+ 65
+ 152
10'
05
55
67
46
86
г
°08'
28
25
114. В пункте с географическими координатами Х=
=4ч37м11с(/г = 5) и ф = + 41°18/ 5 августа 1975 г. (so=
= 20ч51м42с) были измерены горизонтальные координа*
ты двух звезд: в 2 Г110м у первой звезды А = —8°33' и
г=49°5Г, а в 22ч50м у второй звезды Д = 46°07/ и г—
= 38°24/. Вычислить экваториальные координаты этих
звезд.

II. ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
АСТРОНОМИИ И НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКИ
§ 6. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
КЕПЛЕРА И КОНФИГУРАЦИИ
ПЛАНЕТ
Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптиче-
эллиптическим орбитам, в одном, общем фокусе которых находит-
находится Солнце. В первом приближении можно считать, что
орбиты больших планет (кроме Плутона) лежат в одной
плоскости. Большая полуось а орбиты (рис. 4) опреде-
определяет размеры, а эксцентриситет е — степень вытянутости
орбиты. Радиус-вектор г планеты определяется уравне-
уравнением эллипса
и меняется в пределах от перигельного расстояния
<7=:С#=аA— е)9 C5)
когда истинная аномалия О=0°, до афелийного расстоя-
расстояния
C6)
при -& = 180°.
Средним расстоянием планеты от Солнца является
большая полуось ее орбиты
+5 C7)
Расстояния между планетами и расстояния планет от
Солнца обычно выражаются в астрономических едини-
единицах (а. е.), но иногда и в километрах из расчета, что
1 а. е. = 149,6-10б км.
36

Звездные, или си«
дерические, периоды
обращения Тх и Т2
двух планет связаны с
их средними расстоя-*
ниями й\ и п2 от Солн^
ца третьим законом
Кеплера
Планета
if-
C8)
Рис. 4. Эллиптическая орбита
Если Т дается в го«
дах и а — в астроно-
астрономических единицах, то, принимая для Земли Го=1 год
и ао=1 а. е., получим для любой планеты
Г = а\ C9),
Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты
2 тс a iAr.\
va = -у- D0)
всегда выражается в км/с. Так как обычно а задается в
астрономических единицах A а. е.= 149,6* 103 км) и Т—¦
в годах A год=31,56-106 с), то
-. _ 2гса.149,6-10а OQ 7R —
V"~~ Г-31,56-Ю6 ~ ^>'° Т #
Заменив Г из формулы C9), получим:
29,78 _ 29,8
(км/с).
D1)
Средняя продолжительность синодического периода
обращения S планеты связана с сидерическим периодом
Т уравнением синодического движения:
для нижних планет
J___j 1
О I In
для верхних планет
1
1
1
т
D3)
где То — сидерический период обращения Земли, равный
1 звездному году.
Средний синодический период обращения позволяет
вычислить примерную дату t2 очередного наступления
37

определенной конфигурации планеты по известной дате
U такой же конфигурации, так как
t2ttt{+S. D4)
Любые планетные конфигурации и даты их наступле-
наступления могут быть вычислены по гелиоцентрической долго-
долготе / планет, отсчитываемой в плоскости эклиптики от
точки весеннего равноденствия Т в прямом направле-
направлении, т. е. против вращения часовой стрелки. Пусть в не-
некоторый день года t\ гелиоцентрическая долгота верхней
планеты /ь а гелиоцентрическая долгота Земли 10\
(рис. 5). Планета за средние сутки проходит по орбите
дугу со = 3607Г (среднее суточное движение планеты), а
Земля — дугу со0=3607!Го (среднее суточное движение
Земли), где Т и То выражены в средних сутках, причем
Г>Г0 и оо<соо.
В день t2 искомой конфигурации гелиоцентрическая
долгота планеты
/1 D5)
Планета
(
Планета
Рис. 5, Гелиоцентрическая долгота
38

а Земли
откуда,
получим
обозначив
1 + &W2—1\)
coo—со = Доз
и
?oi+o)-A/,
(/02—/oi) — (/а—/0
D6)
A/t^-L. D7)
Дм '
и
t2=t{+AL D8)
При вычислении конфигураций нижних планет
Ао) = (О—соо.
Наибольшие сближения с Землей планет, обращаю-
обращающихся по заметно вытянутым орбитам, повторяются че«
рез целые числа тип средних синодических S и сидери-
сидерических Т периодов обращения, поскольку
mS^nT. D9)
Эта же формула позволяет установить периодичность
великих противостояний планет.
Примеры
1. Найти перигельное и афелийное расстояния, сиде-
сидерический и синодический периоды обращения, а также
круговую скорость малой планеты Поэзии, если большая
полуось и эксцентриситет ее орбиты равны 3,12 а. е. и
0,144.
Данные: а = 3,12 а. е., е=0,144.
Решение. По формулам C5) и C6) перигельное
расстояние q — a(l—е) =3,12A—0,144) =2,67 а. е. и афе-
афелийное расстояние Q = a(l+e) =3,12A+0,144) =3,57 а. е.
Формула C9) дает сидерический период обращения
Г = а-|/'а = 3,12узД2;Г = 5,51 года,
а так как а>ао=1 а. е., то планета верхняя и поэтому
ее синодический период обращения S вычисляется по
формуле D3) при Го=1 году:
5 = ^^ = -5^f=T ; S e *'22 года-
Формула D1) дает круговую скорость
29,8 29,8
"= = ]ъ 16
39

Рис. 6. Конфигурации планет
2, Определить гелиоцентрическую долготу Земли и
планет 21 марта, если в этот день Меркурий находился
в верхнем соединении с Солнцем, Венера — в наиболь-
наибольшей западной элонгации (ДЯ=47°) и Марс —в противо-
противостоянии.
Дано ы е: Меркурий, Д>„=0°; Венера, ДХ=47°; Марс,
АЛ=180°.
Решение. На чертеже (рис. 6) изображаем орбиты
планет концентрическими окружностями с центром в
Солнце, из которого проводим луч, показывающий на«
правление на точку весеннего равноденствия у. Так как
21 марта Солнце с Земли видно в точке весеннего равно-
равноденствия Т, то Земля (з) находится в диаметрально
противоположной точке своей орбиты, и ее гелиоцентри-
гелиоцентрическая долгота /о=180°. Меркурий (М) изображаем в
верхнем соединении (за Солнцем), и его гелиоцентри-
гелиоцентрическая долгота /м==0°. Венера (В) находится в наи-
наибольшей западной элонгации и поэтому проводим с Зем-
40

ли касательную к орбите Венеры вправо (к западу) ог
Солнца- Гелиоцентрическая долгота Венеры
/в= 180°+ (90°—ДЯ) = 270о-~47о=223°.
У Марса (Мс), находящегося в противостоянии, ге-
гелиоцентрическая долгота /Мс=180°.
3. Верхнее соединение Меркурия произошло 18 апре-
апреля 1975 г. Когда примерно наступит ближайшая наиболь-
наибольшая западная элонгация планеты (ДЯ==22°), если сред-
среднее суточное движение Меркурия со=4°,09, а Земли
шо=О°,99?
Данные: Меркурий, fi=18.IV1975 г., ДЯ=22°,
со=:40,09; Земля, со0=0°,99.
Решение. Меркурий движется быстрее Земли
(о)>о)о). Изобразим на чертеже (рис. 7) Землю и рас-
расположения Меркурия относительно нее в день t\ верхне-
верхнего соединения (М{) и в день h очередной наибольшей
западной элонгации (Af2). За промежуток времени Д/ =
=/г—1\ Меркурий пройдет дугу L~M\M2 со средним
суточным движением Дсо = со—соо = 4° ,09—0°,99 = 3°Д 0.
Из чертежа видно, что L=180°+ (90°—ДЯ)=270°—22°*=
=248°. Тогда, согласно формуле D7),
bt—i— = -Жг - 80 сут
Л<о 3 ,10 J
и очередная наибольшая западная элонгация Меркурия
наступит вблизи /2 =
-18.1 VI975 г.+ 80 сут=
=98JV1975 г. или /2 =
= 7 июля 1975 г.
115. Вычислить пери-
гельное и афелийное рас-
расстояния планет Сатурна
и Нептуна, если их сред-
средние расстояния от Солнца
равны 9,54 а. е. и 30,07 а. е„
а эксцентриситеты ор-
орбит — 0,054 и 0,008.
116. Какая из двух
планет — Нептун (а =
=30,07 а. е.,?=0,008) или
Плутон (а = 39,52 а. е,,
е=0,253) — подходит
Земля
Рис. 7. Относительный путь Мер-
Меркурия

ближе к Солнцу? В скобках даны большая полуось и
эксцентриситет орбиты планеты.
117. Найти значения истинной аномалии планеты, при
которых ее радиус-вектор равен среднему гелиоцентриче-
гелиоцентрическому расстоянию.
118. Найти эксцентриситет орбиты и перигельное рас-
расстояние планеты Марса и астероида Адониса, если у
Марса большая полуось орбиты равна 1,52 а. е. и наи-
наибольшее расстояние от Солнца 1,66 а. е., а у Адониса
соответственно 1,97 а. е. и 3,50 а. е. Указать, какая из
этих двух планет подходит ближе к Солнцу.
о /119. На каком среднем и наибольшем гелиоцентриче-
гелиоцентрическом расстоянии движутся малые планеты Икар и Си-
Симеиза, если у Икара перигельное расстояние и эксцент-
эксцентриситет орбиты равны 0,187 а. е. и 0,827, а у Симеизы —
3,219 а. е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор
изменяется в больших пределах, абсолютно и относи-
относительно?
120. Вычислить периоды обращения вокруг Солнца
планеты Венеры и астероида Европы, у которых средние
гелиоцентрические расстояния соответственно равны
0,723 а.е. и 3,10 а. е.
121. Определить периоды обращения вокруг Солнца
малой планеты Аполлона и кометы Икейи, если обе они
проходят вблизи Солнца почти на одинаковых расстоя-
расстояниях, равных у Аполлона 0,645 а. е., а у кометы 0,633 а. е.,
но их орбиты имеют эксцентриситеты 0,566 и 0,9933 со-
соответственно.
122. Первый спутник планеты Юпитера — Ио обраща-
обращается вокруг нее за 42Ч28М на среднем расстоянии в
421 800 км, С какими периодами обращаются вокруг
Юпитера его спутники Европа и Ганимед, большие полу-
полуоси орбит которых равны 671,1 тыс. км и 1070 тыс. км?
123. Найти средние расстояние от Сатурна его спут-
спутников Мимаса и Реи, обращающихся вокруг планеты с
периодами в 22Ч37М и 4Д,518. Самый крупный спутник
планеты — Титан, обращается за 15Д,945 по орбите с
большой полуосью в 1221 тыс. км.
124. Видимое с Земли суточное смещение Солнца по
эклиптике в начале января достигает наибольшего зна-
значения 61', а в начале июля — наименьшего значения 57'.
Вычислить эксцентриситет земной орбиты и указать, ка-
какие ее точки Земля проходит в эти дни.
42

125. Астероид Фортуна сближается с Землей до рас-
расстояния в 1,056 а. е., а астероид Офелия —до 1,716 а. е.
Их средние гелиоцентрические расстояния соответствен-
соответственно равны 2,442 а. е. и 3,129 а. е. Найти эксцентриситеты
орбит этих астероидов, их перигельиое и афелййное рас-
расстояния. Орбиту Земли считать окружностью, а накло-
наклонениями орбит астероидов (Г,5 и 2°,5) пренебречь.
126. На каких предельных расстояниях от Земли мо-
могут находиться планеты Меркурий (а = 0,387 а. е.,
е = 0,206) и Марс (а=1,524 а. е., е = 0,093)? В скобках
даны большая полуось и эксцентриситет орбиты плане-»
ты. Эксцентриситетом земной орбиты пренебречь.
127. Найти пределы изменения диаметра солнечного
диска с планеты Марс, если при среднем гелиоцентриче-
гелиоцентрическом расстоянии планеты он равен 2Г03". Эксцентриси-
Эксцентриситет орбиты планеты равен 0,093.
128. Видимый с Земли диаметр солнечного диска в
начале января равен 32/35//, а в начале июля — ЗКЗК7.
Вычислить эксцентриситет земной орбиты, перигельное
и афелййное расстояния Земли и сравнить влияние экс-
эксцентриситета на смену сезонов года с воздействием на-
наклона земной оси, равного 23°27' (расчеты провести для
географической широты 0°, 30° и 60°).
129. Чему равна круговая скорость планет Урана и
Плутона, среднее расстояние которых от Солнца состав-
составляет соответственно 19,19 а, е. и 39,52 а. е.?
130. Найти среднюю орбитальную скорость астерои-
астероидов Икара A,078 а. е.), Крымеи B,774 а. е.) и Нестора
E,237 а. е.). В скобках указано среднее гелиоцентриче-
гелиоцентрическое расстояние астероида.
131. При каких значениях истинной аномалии ско-
скорость небесного тела, обращающегося по эллиптической
орбите, равна его круговой скорости?
132. Астероид Лидия обычно бывает в противостоя-
противостоянии через каждые 469 сут, а астероид Инна —через
447 сут. Во сколько раз эти астероиды в среднем даль-
Щё от Солнца, чем Земля?
133. Средний синодический период обращения Мерку-
Меркурия составляет 116 сут и перигельное расстояние
0,307 а. е., Сатурна —378 сут и 9,024 а. е. Вычислить для
этих планет сидерический период обращения, большую
полуось и эксцентриситет орбиты, афелййное расстояние,
наибольшее и наименьшее геоцентрическое расстояние,
43

круговую скорость, а также предельное изменение коли*
чества тепла, получаемого ими от Солнца, вследствие
эллиптичности орбиты. Земную орбиту принять круговой.
134. Найти примерные даты предыдущей и очередной
наибольшей западной элонгации Венеры, если такая же
ее конфигурация была 7 ноября 1975 г. Большая полу-
полуось орбиты Венеры равна 0,723 а. е.
135. Вычислить весьма приближенные даты двух оче- *
редных верхнего и нижнего соединений Меркурия, если
предыдущее нижнее соединение планеты произошло
9 октября 1975 г. Звездный период обращения Меркурия
равен 88 сут.
136. Определить гелиоцентрическую долготу планет
Меркурия и Юпитера 25 сентября 1975 г., если 9 марта
этого же года гелиоцентрическая долгота Меркурия бы-
была 243°, а Юпитера 359°. Среднее суточное движение
Меркурия 4°,09 и Юпитера 5',0,
137. 17 февраля 1975 г. гелиоцентрическая долгота
Венеры была равна 26°, а гелиоцентрическая долгота Са-
Сатурна 107°. Среднее суточное движение этих планет
соответственно равно 1°,602 и 0°,034. Вычислить гелио-
гелиоцентрическую долготу обеих планет на 17 июля 1975 г.
и объяснить причину резкого различия в изменении ге-
гелиоцентрической долготы этих планет за один и тот же
промежуток времени.
138. 29 марта 1975 г. гелиоцентрическая долгота Зем-
Земли была равна 187°, Юпитера 1° и Урана 210°. Когда
произойдет ближайшее противостояние этих планет, если
среднее суточное движение Земли равно 0°,986, Юпитера
4',98 и Урана О',72?
139. Найти день очередного верхнего соединения Ве-
Венеры, если 23 апреля 1975 г. ее гелиоцентрическая долго-
долгота равнялась 131°, а гелиоцентрическая долгота Зем-
Земли— 212°. Среднее суточное движение Венеры равно
1°,602, а Земли 0°,986.
140. Определить день очередного нижнего соедине-
соединения Венеры, если ее наибольшая западная элонгация
(ДЯ = 47°) произошла 7 ноября 1975 г. Сведения о сред-
среднем суточном движении см. в задаче 139.
141. Вычислить день очередной наибольшей восточ-
восточной элонгации (ДА,=22°) Меркурия, если его наиболь-
наибольшая западная элонгация (ДЯ=27°) была 6 марта 1975 г.
44

Среднее суточное движение Меркурия равно 4°,092, а
Земли 0°,986.
142. Противостояние астероида Ирмы произошло
23 сентября 1976 г., а Лины — 2 декабря 1976 г. Боль-
Большая полуось орбиты Ирмы.равна 2,772, а. е., а орбиты
Лины — 3,139 а. е. Когда произойдет ближайшее соеди*
нение этих астероидов друг с другом?
143. Чему была равна гелиоцентрическая долгота
Земли и планет 23 сентября, когда Меркурий находился
в наибольшей западной элонгации (A>t=28c), Венера—
в нижнем соединении, Марс — в соединении и Юпитер—*
в противостоянии?
144. Определить гелиоцентрическую долготу Земли
и планет 22 июня, если в этот день Меркурий находился
в нижнем соединении, Венера — в наибольшей восточной
элонгации (ДА,=45°), Марс — в противостоянии и Юпи«
тер — в западной квадратуре. Гелиоцентрическое рас-1
стояние Юпитера принять равным 5,20 а. е.
145. Сидерический период обращения Меркурия ра-
равен 88Д, а синодический период—116Д. Примерно через
сколько времени повторяются наибольшие сближения
Меркурия с Землей?
146. У орбиты Марса большая полуось — около
1,52 а.е. и эксцентриситет 0,093, а у орбиты астероида
Эрота—-1,46 а. е. и 0,222. Через какие промежутки вре-
времени происходят великие противостояния этих планет,
на какое примерно расстояние они в эти эпохи сближав
ются с Землей и насколько могут удаляться от нее вне
этих эпох? Орбиту Земли принять круговой, наклонением
орбит планет пренебречь.
§ 7. РАССТОЯНИЯ, РАЗМЕРЫ
II ВРАЩЕНИЕ ТЕЛ
СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Расстояния г от Земли до тел Солнечной системы вы-
вычисляются по их горизонтальным экваториальным па-
параллаксам ро и экваториальному радиусу Земли Ro:
г = —^—, E0)
sin A, ' v ;
или
Q4QQ'
E1)
45

если параллакс выражен в минутах дуги (р</) и
г = ™**L Ro E2)
Ро
при параллаксе, выраженном в секундах дуги (ро")-
Если положить /?0=1, то г получается в экваториаль-
экваториальных радиусах Земли. При вычислении г в километрах
следует принять /?0=6378 км.
Если угловые размеры небесного тела р^?3°, то его
линейные размеры
/? = rsinp, E3)
а при р<3°, вследствие пропорциональности sin p и р,
^==/•-34337— (р — в минутах дуги), E4)
R= r 2О6265№ (р """ В секУнДах Дуги) E5)
R - Ro-j^, E6)
где р и ро — в одноименных единицах измерения.
В формулах E3) — E6) R получается в единицах из-
измерения, принятых для г и /?о-
Радиусы Солнца и планет обычно выражаются в ра-
радиусах Земли (реже — в километрах), причем полярный
радиус /?п, экваториальный радиус Re и сжатие е пла-
планеты связаны зависимостью
#п = /М1—е), E7)
а средний радиус
При совпадении направлений вращения и обращения
небесного тела вокруг Солнца продолжительность его
солнечных суток S, период вращения Р и период обра-
обращения Т связаны зависимостью
Р>Г), F0)
46

а при противоположных направлениях одному из период
дов приписывается знак минус.
Примеры
1. У кометы, проходившей недалеко от Земли, го«
ризонтальный экваториальный параллакс был 14",5, уг-
угловой диаметр головы 15' и видимая длина хвоста 8°.
Вычислить линейные размеры головы и нижний предел
длины хвоста кометы. (Наблюдатель видит проекцию
хвоста на небесную сферу.)
Данные: ро=14",5, р=15' и Х=8°.
Решение. Расстояние кометы от Земли может быть
найдено либо по формуле E2):
206265" о 206265" C07Q ПА _о 1П6
г _ _—/?0=—- 6378 = 90,73-106 км
р 1 т , о
либо при известном параллаксе Солнца pQ =8",794,
г -а0 -^- = 1 • ~^г~- = 0,6065 а. е.
или
г=0,6065-149,6-106==90,73-106 км.
Поскольку р<3°, то по формуле E4) линейный диа-
диаметр головы
D=r!&v =90,73-10е -дщг = 396-10« км.
Угловая длина хвоста Я=8°>3°, и поэтому для вы-
вычисления нижнего предела длины хвоста используется
формула E3):
Z=rsinA,=0,6065-sin8°=0,6065-0,1392='
или =0,0844 а. е.,
/ = 0,0844-149,6-106= 12,6-106 км.
2. Некоторая гипотетическая планета обращается
вокруг Солнца в прямом направлении за 1,52 года, а вра-
вращается вокруг своей оси навстречу с периодом 32 сут.
Найти продолжительность солнечных суток на планете.
Данные: 7=1,52 года = 555*, Р = 32Д.
Решение. Так как Р<Т, а направление вращения
противоположно обращению, то, согласно формуле E9),
I _ _J 1_ _1 1 587
S Р Т 32 ^ 555 ~~ 32-555 »
откуда продолжительность солнечных суток
47

32-555 = 30д^ т^ е до земных суток.
^ - 587 "'
147. Вычислить средний радиус и сжатие Земли, если
ее экваториальный радиус равен 6378 км, а полярный ра-
радиус— 6357 км.
148. Радиоимпульс, направленный к Венере в ее ниж-
нижнем соединении на среднем расстоянии от Солнца
0,7233 а. е., возвратился к Земле через 4М36С. Вычислить
геоцентрическое расстояние планеты во время радиоло-
радиолокации, длину астрономической единицы в километрах и
средний горизонтальный экваториальный параллакс
Солнца.
149. При среднем противостоянии Марса посланный к
нему радиосигнал возвратился к Земле через 522,6 с.
Найти среднее гелиоцентрическое расстояние Земли и
соответствующий ему горизонтальный экваториальный
параллакс Солнца. Сидерический период обращения
Марса равен 1,881 года.
150. Чему равен горизонтальный экваториальный па-
параллакс Луны при ее среднем C84 400 км), ближайшем
C56 410 км) и наибольшем D06 740 км) геоцентриче-
геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли —
6378 км.
151. По данным или результатам задачи 150 вычис-
вычислить предельные значения диаметра лунного диска, ко-
который при среднем геоцентрическом расстоянии ра-
равен ЗГ05".
152. Пределы геоцентрического расстояния Луны,
измеренного радиолокационным методом в 1975 г., были:
16 января —406 090 км; 28 января —357 640 км и 12 фев-
февраля— 406 640 км. Найти значения большой полуоси и
эксцентриситета лунной орбиты в интервалах времени,
заключенных между смежными датами.
153. Радиосигнал, направленный к Меркурию при
его наибольшем сближении с Землей, вернулся на Зем-
Землю через 8М52С. Определить геоцентрическое расстояние
планеты и эксцентриситет ее орбиты, если большая по-
полуось орбиты равна 0,387 а. е.
154. Синодический период обращения астероида Эро-
Эрота составляет 2,316 года. 23 января 1975 г., в эпоху ве-
великого противостояния, его горизонтальный экватори-
экваториальный параллакс был равен 58",26, а радиус-вектор
48

Земли мало отличался от ее перигельного расстояния
(эксцентриситет земной орбиты — 0,017). На каком рас-
расстоянии от Земли прошел в этот день астероид и чему
равны большая полуось и эксцентриситет его орбиты?
155. Чему равны горизонтальные экваториальные па-
параллаксы Урана и Нептуна в противостоянии при их
среднем, перигельном и афелийном расстояниях? Боль-
Большая полуось и эксцентриситет орбиты первой планеты
равны 19,19 а. е. и 0,0460, а второй —30,07 а. е. и
0,0079. Орбиту Земли считать окружностью, а параллакс
Солнца принять равным 8",794.
158. В каких пределах меняется горизонтальный эк-
экваториальный параллакс Солнца, если при среднем ге-
гелиоцентрическом расстоянии Земли он равен 8",794, а
эксцентриситет земной орбиты — 0,0167?
157. Вычислить линейный радиус Луны в радиусах
Земли и в километрах, если при горизонтальном эквато-
экваториальном параллаксе в 55', 1 радиус лунного диска ра-
равен 15'Д
158. При среднем противостоянии горизонтальный
экваториальный параллакс Юпитера равен 2",09, а Са-
Сатурна— 1",03. Вычислить экваториальный, средний и по-
полярный радиусы, а также сжатие этих планет, если у
первой угловой экваториальный диаметр составля-
составляет 46",8, угловой полярный диаметр 43",9, а у второй —
соответственно 19",4 и 17",5.
159. Узнать линейные размеры большого диаметра
Красного пятна на Юпитере и диаметр радиационного
пояса планеты, если пятно видно с Земли под углом око-
около 10", а радиоизлучение планеты наблюдается из окру-
окружающего ее пространства вплоть до расстояния в 13',7
от центра ее диска. Параллакс Юпитера принять рав-
равным 2",09.
160. Горизонтальный экваториальный параллакс
Солнца равен 8",794, а его угловой диаметр — 32'. Вы-
Вычислить линейный радиус Солнца в сравнении с земным
и линейные диаметры солнечных пятен с угловыми диа-
диаметрами в 0",8 и 24".
161. Во время противостояния Юпитера при его сред-
среднем расстоянии от Солнца в 5,20 а. е. наблюдаемая с
Земли наибольшая элонгация его четырех галилеевых
спутников, обращающихся по незначительно вытянутым
орбитам, составляет соответственно 138",5; 220",3; 35Г,2
49

и 618",1. Найти значения больших полуосей орбит этих
спутников.
162. На каких примерно расстояниях обращаются во-
вокруг Марса его спутники Фобос и Деймос, которые по
наблюдениям с Земли при среднем противостоянии пла-*
неты удаляются от нее соответственно на 24'',7 и 61",8?
Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а. е.
163. С какой угловой и линейной скоростью враща*
ются точки лунного экватора и селенографических па-*
раллелей с широтой 30° и 60°? Диаметр Луны — 3476 км,
а период ее вращения — 27Д,32.
164. Экваториальная зона планеты Юпитера диамет-
диаметром в 142 800 км вращается с периодом 9ч50м, а средняя
зона, диаметр которой 139400 км, — с периодом 9Ч55М.
Найти угловую и линейную скорость точек экватора пла-
планеты и параллелей с широтой +30° и +60°.
165. За 1 час наблюдений детали поверхности пла-
планеты Марса сместились по долготе на 14°,62. Вычислить
период вращения Марса и линейную скорость вращения
точек его экватора и параллелей с широтой —20° и —50°.
Диаметр Марса — 6800 км.
166. Найти географическую широту точек земной по-
поверхности, линейная скорость вращения которых в два,
четыре и восемь раз меньше линейной скорости экватора.
167. Меркурий и Луна вращаются в направлении
своего орбитального движения, первый с периодом в
58Д,65, а вторая с периодом в 27Д,32. Период обращения
Меркурия вокруг Солнца равен 88Д, а Луна обращается
вокруг него вместе с Землей. Чему равна продолжитель-
продолжительность солнечных суток на Меркурии и на Луне?
168. Какая продолжительность солнечных суток в
современных единицах измерения была бы на Земле,
Луне и Меркурии, если бы эти небесные тела вращались
навстречу орбитальному движению, т. е. с востока к за-
западу? Необходимые данные заимствовать из предыду-
предыдущей задачи.
169. Найти продолжительность солнечных суток на
Венере, которая вращается с периодом в 243Д,16 в об-
обратном направлении, а обращается вокруг Солнца в пря-
прямом направлении за 225Д. Какова была бы продолжи-
продолжительность солнечных суток при совпадении направлений
вращения и обращения?
50

§ 8. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО
ТЯГОТЕНИЯ И ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
В частном случае задачи двух тел рассматривается
движение тела меньшей массы т относительно тела
большей массы М, принимаемого за неподвижное и на-
называемого центральным телом.
Линейная скорость v движущегося тела относительно
центрального определяется интегралом энергии
*'- * (т-- 4-)» <61>
где \x=G(M-\-m), a — большая полуось орбиты тела
меньшей массы, г — радиус-вектор того же тела, G — гра-
гравитационная постоянная.
Если масса т движущегося тела пренебрежимо мала
в сравнении с массой М центрального тела, то задача
двух тел называется ограниченной и тогда \i = GM.
Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей
массы обращалось вокруг центрального тела по круго-
круговой орбите (эксцентриситет е=0) радиусом г~а, оно
должно на этом расстоянии иметь скорость
«. - V f - YJ- <б2>
называемую круговой скоростью. Как средняя скорость
движения тела она может быть также подсчитана по пе-
периоду обращения Т и большой полуоси а орбиты тела:
vK = va= 1J2_. D0)
Если движущееся тело на расстоянии г от централь-
центрального тела имеет скорость
то орбитой будет парабола (?=1, а=оо). Поэтому ско-
скорость vu называется параболической.
Если v>Vu, то движущееся тело пройдет мимо цент-
центрального тела по гиперболе (е>\).
В каждой точке орбиты с радиус-вектором г скорость
тела
F4)
51

Точка эллиптической орбиты, ближайшая к централь-
центральному телу, называется перицентром, а наиболее удален-
удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкрет-
конкретные наименования по названию центрального тела, и не-
некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:
Центральное
тело
Солнце
Земля
Венера
Марс
Сатурн
Луна
Греческое
название
Гелиос
Гея
Геспер
Арес
Кро'нос
Селена
Наименование
перицентра
перигелий
перигей
перигесперий
периарий
перикроний
периселений
Наименование
апоцентра
афелий
апогей
апогесперий
апоарий
апокрбний
апоселений
В перицентре, при г=# = аA—е)у тело-спутник обла-
обладает наибольшей скоростью
F5)
, — наименьшей ско-
а в апоцентре, при
ростью
Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а
расстояния могут быть заданы в астрономических еди-
единицах, километрах или радиусах центрального тела. По-
Поэтому в формулы F4), F5) и F6) необходимо подстав-
подставлять значения расстояний в одинаковых единицах из-
измерения.
В поле тяготения Солнца, на произвольном от него
расстоянии г, выраженном в астрономических единицах
(а. с), круговая скорость
v*-yr*>Yr [KM/c]- {67)
Если расстояния г заданы в километрах, а масса
центрального тела выражена в массах Земли, то круго-
круговая скорость
52

*>к = 631,3 УЖ [км/с]. F8)
Наконец, при измерении масс в массах Земли и рас-
расстояний в радиусах Земли круговая скорость
^L [км/с]. F9)
Средняя или круговая скорость va тела, обращающе-
обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите
с большой полуосью а, также вычисляется по формулам
F7), F8) и F9) подстановкой в них г=а.
Подстановка в формулы F8) и F9) r—R (радиус
небесного тела) дает значение круговой скорости wK у
поверхности этого тела, называемой в космонавтике пер-
первой космической скоростью. Вторая космическая ско-
скорость йУп==аукУ2. Очевидно, что
v = Wk и v = Wn G0)
к V? п /г '
где г отсчитывается от центра небесного тела и выража-
выражается в его радиусах.
Третий обобщенный закон Кеплера
Т\ (М2 + щ) = а\
Т\ (Мг + Щ) а\ ( }
применим к любым системам тел с массахми Ш\ и т2, об-
обращающихся с периодами Т\ и Т2 вокруг своих централь-
центральных тел (с массами Mi и М2) по эллиптическим орбитам,
большие полуоси которых соответственно равны а\ и а2.
Массы планет и их спутников выражаются обычно в
массах Земли (реже — в массах Солнца, в тоннах и ки-
килограммах), большие полуоси орбит — в астрономиче-
астрономических единицах или в километрах, а периоды обраще-
обращения — в годах и сутках, а иногда — в часах и минутах.
При вычислениях по формуле G1) выбор систехмы
единиц не имеет значения, лишь бы однородные величи-
величины были выражены в одинаковых единицах. Если же
этот закон используется в виде
то решение задач проводится обязательно в определен-
определенной системе единиц, так как в разных системах числен-
численное значение гравитационной постоянной различно.
53

Если периоды обращения заданы в земных средних
сутках, расстояния — в километрах и массы тел--в мас«
сах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид
Т2(М+т) = 132,7- 10-16а3. G3)
Примеры
1. Комета Галлея прошла в 1910 г. свой перигелий
на гелиоцентрическом расстоянии 0,587 а. е. со скоро-
скоростью 54,52 км/с, а комета Икейи — Секи в 1965 г. — на
перигельном расстоянии 0,0083 а. е. со скоростью
480 км/с. По каким орбитам двигались эти кометы и ко*
гда они возвратятся к Солнцу?
Данные: комета Галлея, q — 0,587 a.e., vq~
= 54,52 км/с; комета Икейи — Секи, #=0,0083 а. е., t/9 =
= 480 км/с.
Решение. Чтобы определить род орбиты, необходим
мо подсчитать круговую vK и параболическую vu ско*
рость кометы относительно Солнца на заданных расстоя*
ниях q от него и сопоставить вычисленные скорости с
действительными.
Комета Галлея. Согласно формуле F7), на рас-
расстоянии 9 = 0,587 а. е. круговая скорость
29,78 29,78 оо о_ .
vK= ' ¦¦¦ = —р==г = 38,87 км/с,
к Yq КО, 587 '
а по формуле F3) параболическая скорость
0n = uKf2 = 38,87-1,414 = 54,96 км/с«55 км/с.
Поскольку vK<vq<vn и в то же время vq близка к
1>ш то комета Галлея обращается вокруг Солнца по очень
вытянутой эллиптической орбите, большая полуось ко-
которой вычисляется по формулам F4) и F7).
Положив в формуле F4) r—q, найдем
2a t
— -1.
По формуле F7) круговая скорость кометы равна
29,78
Подставив эту формулу в предыдущее выражение, по-
получим:
297
54

Откуда
ee 2Щ = 8^8 =18,0 а. е.
29,782 . ——v\ 886,85- 1 - 54,522
Я q 0,587
По формуле C5) эксцентриситет орбиты
— ¦-*='~4&-».""¦
По третьему закону Кеплера C9) период обращения
кометы
T=aia--= 18Vl8"^76 лет.
Следовательно, комета Галлея снова вернется к
Солнцу и будет видна в 1986 г.
Комета Икейи-Секи. На расстоянии r=q =
=0,0083 а. е. круговая скорость
2Ь1 ^Л = 327 км/с
и параболическая скорость
ид=ику2"=327-1,41 =461 км/с,
т. е. скорость кометы в перигелии vq>vn; комета прошла
вблизи Солнца но гиперболической орбите и больше к
нему не вернется.
2. Для астероида Икара найти среднюю скорость,
скорость в перигелии, в афелии и в точке орбиты с ис-
истинной аномалией 90°, а также круговую и параболиче-
параболическую скорость на тех же расстояниях от Солнца. Боль-
Большая полуось и эксцентриситет орбиты Икара равны
1,078 а. е. и 0,826.
Данные: Икар, а= 1,078 а.е., е=0,826, #=90°.
Решение. По формулам C4), C5) и C6) находим
гелиоцентрические расстояния:
при д-90°
_ 1,078A-0,826^) _
Г 1+* cos 90° Ujd4^ a' е*'
9=1,078 A—0,826) =0,188 а. е.,
Q= 1,078 A+0,826) = 1,968 а. е.
по F7), F5) и F6), круговая скорость планеты
*•- тт = 28'7 км/с«
65

скорость в перигелии
Vq = 28,7 j/^jS" = 93,0 км/с
и скорость в афелии
vn = ^1_ = 8,86 км/с.
I/1 »968
I./1
Г 0
0,188
По формуле F4) скорость при Ф=90°
vr - 28,7 ]/^g*_l = 66,1 км/с.
На расстоянии д = 0,188 а.е.-, согласно формулам
F7) и F3), круговая скорость
68,7 км/с
к^ /0,188
и параболическая скорость
Опа=68,7-1,41 =96,9 км/с,
Т. е. ??д
На расстоянии Q= 1,968 а. е.
= 21,2 км/с
и 1>пд = 21,2-1,41-29,9 км/с,
Т. С. VQ<CVnQ<iVxLQ.
На расстоянии г=0,342 а. е.
v = 29'8 « 50,8 км/с
кг V 0,342
и t;nr=50,8« 1,41 = 71,6 км/с,
Т. С. УКг<^г<Упг.
3. Найти массу Юпитера по движению его спутника
Ио, обращающегося вокруг планеты с периодом в 1Д,769
по круговой орбите на расстоянии в 421,6 • 103 км.
Данные: спутник, Т—1^,769, а=421,6-103 км.
Решение. Формула G3) дает
М= 132,7* Ю-16 . -^—132,7 • 10"0 X
56
D21,6-103K =
О/

4. Вычислить первую и вторую космическую скорость
на Юпитере, круговую и параболическую скорость па
расстояниях в 3 и 8 его радиусов от поверхности, а так-
также скорость его первого спутника Ио, обращающегося
по круговой орбите радиусом 421,6* 103 км. Масса Юпи-
Юпитера равна 318 масс Земли, а средний радиус—10,9 ра-
радиуса Земли.
Данные: Юпитер, М=318, /?=10,9;
расстояния: ЗУ? и 8R от поверхности, или от центра
планеты r{ = 4R и г2=9/?;
спутник Ио, Т= 1*,769, а=421,6-103 км.
Решение. По формуле F9), первая космическая
скорость
wK = 7,91 У^ = 7,91 У^~ = 42,7 км/с
и вторая космическая скорость, по F3),
^42,7-1,41 =60,2 км/с.
По формулам G0), круговая скорость на различных рас-
расстояниях
—Sf-J 1.4 км/с
км/с
9
а параболическая скорость
Согласно формуле F8), скорость спутника Ио
va = 631,3 /Ж= 631,3 / 421^810з = 17,3 км/с.
170. Чему равна круговая и параболическая скорость
относительно Солнца на средних расстояниях Венеры
@,723 а. е.), Земли A,00 а. е.), Юпитера E,20 а. е.) и
Плутона C9,5 а. е.)? По общим результатам найти и
57

объяснить найденную закономерность. Расстояния пла-
планет от Солнца указаны в скобках.
171. Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и
Гектора в перигелии и афелии, если их круговая ско-
скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соот«
ветственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком
среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти
планеты?
172. Большая полуось и эксцентриситет орбиты Мер-
Меркурия равны 0,387 а. е. и 0,206, а орбиты Марса —
1,524 а. е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет,
их скорость в перигелии и в афелии.
173. Считая орбиты планет круговыми и лежащими в
плоскости эклиптики, найти лучевую скорость Меркурия,
Венеры и Марса во время их основных конфигураций.
Необходимые для решения данные заимствовать из за-
задач 170 и 172. (Лучевой скоростью называется проекция
пространственной скорости на луч зрения наблюдателя,
т. е. в данном случае на направление от Земли к пла-
планете.)
174. Вычислить скорость астероидов Лидии и Адони-
Адониса на их среднем, перигельном и афелийном расстояние
ях, а также круговую и параболическую скорость на
этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет ор-
орбиты первого астероида равны 2,73 а. е. и 0,078, а вто-
второго—1,97 а. е: и 0,778.
175. На каких гелиоцентрических расстояниях ско-
скорость Меркурия равна 56,1 км/с и 41,7 км/с? Большая
полуось орбиты планеты 0,387 а. е.
176. С какой скоростью относительно Солнца прохо-
проходил Марс в эпоху великого противостояния при геоцент-
геоцентрическом расстоянии в57,15-106 км? Сопоставить эту
скорость с круговой и параболической скоростью на том
же расстоянии от Солнца. Большая полуась орбиты Мар-
са равна 1,524 а. е.
177. Решить предыдущую задачу для астероида Эро-
Эрота, если он в эпоху великого противостояния проходил
свой перигелий 23 января 1975 г. на расстоянии 22,59 X
ХЮб &м от Земли. Период обращения Эрота вокруг
Солнца равен 1,760 года.
178. На каком расстоянии от Солнца прошла коме-
комета, если ее скорость на этом расстоянии равнялась
65 км/с и комета двигалась по параболической орбите?
53

179. Комета 1931 IV прошла свой перигелий на рас-
расстоянии 0,07 а. е. от Солнца со скоростью 160 км/с, а
комета 1945 II — на расстоянии 1,24 а. е. со скоростью
36,5 км/с. Определить род орбит, по которым двигались
эти кометы и установить, вернутся ли они к Солнцу и
когда именно.
180. Синодический период обращения астероида Кол-
Колхиды равен 1,298 года, а его скорость в перигелии —
20,48 км/с. Чему равны сидерический период обращения
астероида, большая полуось и эксцентриситет его орби-
орбиты, перйгельное и афелийное расстояния, а также ско-
скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии и в
афелии? ^ ^
181. Эксцентриситет орбиты астероида Узбекистании
равен 0,092, а его скорость в афелии— 15,21 км/с. Найти
большую полуось орбиты астероида, его звездный и си-
синодический периоды обращения, скорость в перигелии и
при истинной аномалии в 30, 90 и 120°.
182. Определить массу Марса в массах Земли по
движению его спутника Деймоса, находящегося от пла-
планеты на среднем расстоянии в 23,5* 103 км и обращающее
гося вокруг Марса за 1,26 сут. Период обращения Луны
вокруг Земли равен 27,32 сут и большая полуось лунной
орбиты — 384,4-103 км.
183. Узнать массу Урана по движению его четвертого
спутника Оберона, обращающегося вокруг планеты за
13,46 сут на среднем расстоянии в 587 тыс. км.
184. По параметрам обращения Земли вычислить мас-
массу Солнца в земных массах.
185. Определить сидерические периоды и среднюю
скорость спутников Сатурна, Мимара и Фебы, обращаю-
обращающихся вокруг планеты на средних расстояниях, соответ-
соответственно 185,4-103 км и 12960• 103 км. Масса Сатурна в
95,2 раза превышает массу Земли.
186. По данным предыдущей задачи вычислить ско-
скорость тех же спутников Сатурна в перикронии и апокро-
нии, а также круговую и параболическую скорость на
указанных расстояниях от Сатурна. Эксцентриситеты ор-
орбит спутников в той же последовательности равны
0,020 и 0,166.
187. Найти большую полуось орбит и среднюю ско-
скорость спутников Юпитера Ио и Каллисто, обращающих-
59

ся вокруг планеты с периодами соответственно в 1Д,7E9
и 16Д,689. Масса Юпитера в 318 раз больше массы Земли.
188. Как должна измениться масса центрального те-
тела, чтобы у его спутника среднее расстояние увеличи-
увеличилось в k раз, а период обращения в п раз и, в частности,
при &=/г?
189. Какой должна быть масса Солнца, чтобы Зем-
Земля обращалась вокруг него с современным периодом, но
на вдвое большем расстоянии? Как изменятся при этом
периоды обращения Марса и Сатурна, если их расстоя-
расстояния останутся неизменными? Современные периоды
обращения этих планет— 1,881 года и 29,46 года.
190. Определить гипотетический период обращения
Луны вокруг Земли при условии, что масса Земли воз-
возросла бы в четыре раза, а Луна оказалась на вдвое боль-
большем расстоянии. Современный период обращения Луны
равен 27Д,32.
191. Вычислить круговую и параболическую скорость
на поверхности Земли и на расстояниях в 1, 8 и 59,3 ее
радиуса от поверхности.
192. Среднее геоцентрическое расстояние Луны —
384 400 км, а средний эксцентриситет ее орбиты —
0,0549. Найти среднюю, перигейиую и апогейную скорос-
скорости Луны и сопоставить их с результатами предыдущей
задачи.
193. Чему равна круговая и параболическая скорость
на поверхности Солнца и на расстоянии трех и восьми
радиусов от его поверхности? Масса Солнца в 333 000 раз
превышает массу Земли, а его радиус равен 109,1 зем-
земного.
194. Определить круговую и параболическую скорость
на поверхности Луны, Венеры и Марса. Массы и радиу-
радиусы этих тел в земных параметрах: Луны 0,0123 и 0,272,
Венеры 0,815 и 0,950 и Марса 0,107 и 0,533.
§ 9. ИСКУССТВЕННЫЕ НЕБЕСНЫЕ
ТЕЛА
При запуске искусственных небесных тел им сооб-
сообщается начальная скорость (скорость запуска) ?>ш зави*
сящая от рассчитанной орбиты. Начальная скорость со-
общается космическим двигателем на некоторой высоте
hB над поверхностью центрального тела (вокруг которо-
60

го запускается спутник),
г. е. от его центра на рас-
расстоянии
г=/?+Лн, G4)
где R — средний радиус
этого тела. В частности,
при запуске вокруг Зем-
Земли /?-=6371 км»6370 км,
что следует иметь в виду
при решении задач этого
раздела.
Форма и размеры эл-
эллиптической орбиты ис-
искусственного спутника оп- (перицентр)
ределяются целями запус-
запуска (рис. 8). Центр цент-
центрального тела является
одним из фокусов орби-
орбиты, а ее большая полуось
_ g+Q __ kg +
а — 2 — к + 2
причем перицентрическое расстояние
А (апоцентр)
8. Эллиптическая орбита
искусственного спутника
G5)
и апоцентрическое расстояние
G6)
G7)
где hq — наименьшая высота (высота перицентра) и
Iiq — наибольшая высота (высота апоцентра) искусствен-*
ного спутника над поверхностью тела. Для искусствен-
искусственных спутников и орбитальных кораблей Земли /?7 — вы<
сота перигея, hq — высота апогея, q — перигейиое рас*
стояние и Q — апогейное расстояние.
Эксцентриситет орбиты определяется формулой C5).
Скорость искусственных небесных тел обычно выра^
жается в км/с и вычисляется по формулам D0), F4) —
F6) и F8)-G0).
Периоды обращения искусственных спутников приня-
принято измерять в минутах, а их расстояния—в километрах,
и поэтому третий закон Кеплера имеет вид
= 275,2-10-*°-*
М
G8)
61

или
Т = 1&,58-10-5аТ/4- G9)
3
а=331,2 VMP, (80)
где М — масса центрального тела, выраженная в массах
Земли.
По параметрам обращения искусственного спутника
можно вычислить массу центрального тела.
Продолжительность полета искусственных спутников
над полушарием центрального тела, расположенным под
перицентром орбиты (перицентрийное полушарие),
где Т — период обращения спутника и е — эксцентриси-
эксцентриситет его орбиты.
Над противоположным (апоцентрийным) полушарие
ем спутник пролетает за интервал времени
т=Г—t (82)
Формулы G5) — (82) вполне применимы и к движе-
движению естественных спутников планет.
В полете с одной планеты к другой межпланетная
станция (межпланетный корабль) становится спутником
Солнца и движется в его поле тяготения по законам дви-
движения планет. Простейшей траекторией полета является
полуэллиптическая, вершины (апсиды) которой касают-
касаются орбит планеты запуска (с нее производится запуск) и
планеты сближения (к ней направляется станция). Пре-
Пренебрегая в первом приближении наклонением и эллип-
эллиптичностью планетных орбит, можно проводить расчеты
по значениям их больших полуосей ct\ (планеты запуска)
и п2 (планеты сближения), заданных в астрономических
единицах (а. е.).
При полете к верхней планете (рис. 9) запуск станции
осуществляется на ее перигельном расстоянии
<7=at (83)
в прямом направлении; афелийное же расстояние стан-
станции
Q^a2. (84)
62

А (планета сближения
вденьгг)
(планета запуска
в день t1t}
Р
(планета
сближения
в
Рис. 9. Простейшая орбита межпланетного корабля
При направлении станции к нижней планете д — а2 и
Большая полуось а гелиоцентрической орбиты меж-
межпланетной станции вычисляется по формуле C7), эко
центриситет орбиты — по формуле C5), а продолжи-
продолжительность полета, выраженная в годах,
А . Т а У<Г /с.-х
А*"=-2- = —J-, (Ьо)
где а — в астрономических единицах. При необходимости
А/ переводится в сутки.
Гелиоцентрическая скорость полета станции дается
формулами D1), F4), F5) и F6). При запуске к верх-
верхней планете начальная гелиоцентрическая скорость
VH=F<?, а при запуске к нижней планете Ун= VQt причем
в эту скорость 1/н входит орбитальная (в рассматривае-
рассматриваемом здесь простейшем случае—круговая) скорость Vx
63

планеты запуска. Следовательно, чтобы межпланетная
станция вышла на расчетную гелиоцентрическую орбиту,
необходимо сообщить ей дополнительную скорость
v^Vn-Vt. (86)
Но, чтобы покинуть планету запуска, станция долж-
должна еще преодолеть ее притяжение, на что требуется ки-
mwl
нетическая энергия —п—, где т — масса станции и
шп — вторая космическая (критическая) скорость на по-
поверхности этой планеты. Поэтому скорость запуска vu
станции с планеты, называемая также начальной плаие-
тоцентрической скоростью, найдется из равенства
т vl m v% mwi
—_ ** i
откуда
День запуска t\ межпланетной станции не может быть
произвольным и выбирается по подходящей конфигура-
конфигурации А^2 планеты сближения Р (см. рис. 9), иначе стан-
станция придет в намеченный район встречи либо раньше, ли*
бо позже планеты. У планеты сближения с сидерическим
периодом обращения Г2 среднее суточное движение.
360°
и за найденную по формуле (85) продолжительность т>
лета станции Д? (выраженную в сутках) планета должна
прийти в район встречи Л, пройдя по своей орбите путь
L2 = co2A^=—-— At.
1 а
Следовательно, в день t\ старта межпланетной стан*
ции разность гелиоцентрической долготы планеты сбли-
сближения Ik) и планеты запуска A\) должна быть
/2_ /, = 180°—L2= 180°—(о2М (88)
и по этой разности нетрудно найти в астрономическом
календаре-ежегоднике на текущий год подходящий день
/|. В этот день расстояние между планетами
Р = у <Х\ -\-п2 — 2ata2 cos (/2 — /x), (89)
64

а конфигурация ДХг планеты сближения вычисляется ли-
либо из равенства
sin &h = ~ sin (/,—Л), (90)
либо по формуле
ctg ЛХ2 = -g- cosec (/3—/0—ctg (/,—/i)- (91)
Легко видеть, что при L2<180° найденная элонгация
будет западной, а при L2> 180° — восточной.
Очевидно, межпланетная станция подойдет к плане-
планете сближения в день /2=<+A/
Примеры
1. Запущенный 19 апреля 1973 г. в Советском Союзе
искусственный спутник «Интеркосмос — Коперник-500»
предназначен для исследования рентгеновского излуче-
излучения Солнца и верхних слоев земной атмосферы в преде-
пределах от 200 до 1550 км над земной поверхностью. Опреде-»
лить параметры движения спутника.
Данные: спутник, ^=200 км, /zQ= 1550 км;
Земля, /? = 6370 км, М = 1.
Решение. По формуле G5) большая полуось орби-
орбиты спутника
п , Ня+ПЯ со7п t 200+1550 7О/|Г-
а~ R-\— 2 -= 6370 Н ~ = 724о км,
а по G6) и G7) его перигейное расстояние
<7 = /?+Ад = 6370+200=6570 км
и апогейиое расстояние
Q = #+ftQ=6370+1550=7920 KM
Эксцентриситет орбиты, согласно C5),
а по формуле G9) период обращения
Г=16,58.10~5а]/^- = 16,58- Ю-5 -7245- /7245 =
== 102м,
так как масса Земли Л1=1»
3 М. М. Дагаев 65

Формула F8) дает круговую скорость спутника
= 7,42 ки/с.
а формулы F5) и F6) —его скорость в перигее
*< =«. Утв7'42< /Иг = 8>15 км/с
и в апогее
v _ « l/-?- = —УМ=г = 6,76 км/с.
i/7920
Г 6570
Согласно формулам (81) и (82), спутник пролетает
над перигейным полушарием Земли за промежуток вре-
времени
T
^ 18-Kl-,
а в течение т==Г—/=102—45=57м
движется над апогейным полушарием.
2. Какую ареоцентрическую скорость и на каком мак-*
симальном расстоянии от поверхности Марса нужно со-
сообщить космическому аппарату, чтобы он стал искусст-
искусственным спутником планеты и обращался вокруг нее с
периодом в 2М0м по эллиптической орбите с эксцентри-
эксцентриситетом 0,250? Масса Марса равна 0,107, а его радиус—¦
3400 км.
Данные: Марс, М = 0,107, # = 3400 км;
аппарат, Г=2М0м=160м, е=0,250.
Решение. Согласно формуле (80), у орбиты искус-
искусственного спутника большая полуось
а = 331,2 ^МР—331,2 |/0,107.1602 = 4650 км,
и расстояние апоария
=4650-1,250=5810 км,
откуда, по G7), максимальное расстояние от поверхнос-
поверхности планеты
/2Q==:Q_/?=^5810—3400=2410 км.
По F8), круговая скорость спутника
va= 631,3 /Жв 631,3/^ = 3,04 км/с
66

и тогда, согласно F6), искомая скорость в апоарии
= 2'35
3. Выяснить обстоятельства полета межпланетного
корабля с Венеры к Юпитеру. Среднее гелиоцентриче-
гелиоцентрическое расстояние Юпитера — 5,203 а. е., а Венеры —
0,723 а. е. Критическая (вторая космическая) скорость
на поверхности Венеры 10,36 км/с; среднее суточное
движение Юпитера 0°,0831.
Данные: планета запуска, Венера, а\ = 0,723, а.е.,
шп= 10,36 км/с; планета сближения,, Юпитер, а2=,
= 5,203 а.е., ш2=0о,831 ^5' (в сутки).
Решение. Изображаем орбиты обеих планет и ге«
лиоцентрическую орбиту межпланетного корабля (см.
рис. 9). Поскольку корабль стартует с нижней планеты
к верхней, то запуск происходит в перигелии, и, согласно
формулам (83), (84), G5), C5) и (85), перигельное
расстояние корабля 9=ai = 0,723 а. е., афелийное рас-
расстояние Q = a2 = 5,203 а. е., большая, полуось орбиты
а = -i+g.- 0,723+6,203 =
эксцентриситет орбиты
— 1—J—1--5Й-О.7И
и продолжительность полета к Юпитеру
. a V^a 2,963 т л с пт г» гг
t = —ft- = -у-]/2,963= 2,55 года.
По формуле D1) гелиоцентрическая круговая ско-
скорость корабля
т/ 29,8 29,8 л„ п
V"==TT = ТТШ = 17'3 км/с'
а по F5) —скорость в перигелии, она же начальная ге-
гелиоцентрическая скорость корабля,
Ve=Vq= Va /2 = 17,3 ]/ЬЩ я 46,4 км/с.
Так как орбитальная скорость Венеры
I/ 29»8 29>8 ас гл
vв TZ = W7ir = 35'°
67

то, согласно (86), дополнительная скорость
Од=Ун—Vi«=46,4—35,0=11,4 км/с,
откуда, по (87), скорость запуска корабля с Венеры
vH=V v\ + w\ = ]Л1542 + Ю,362= 15,4 км/с.
За промежуток времени Д? = 2,55 года = 2,55-365 сут
Юпитер пройдет по своей орбите путь
L2 = со2А/ = 0°,0831 • 2,55 • 365 = 77°,4,
и поэтому, по (88), в день старта корабля разность ге«
лиоцентрической долготы Юпитера и Венеры
l2—h = 180°—L2= 180°—77°,4= 102°,6,
а конфигурация ЛХ2 Юпитера, видимая с Венеры, нахо-
находится по формуле (91):
ctg ЛХ2 = Mj| cosec 102°,6 — ctg 102°,6 =
= 0,1390-1,0247 + 0,2235 = + 0,3659,
откуда А^2 = 69°,9. Поскольку L2==77o,4<180°, то найден-
найденная конфигурация представляет собой западную элонга-
элонгацию. Этот же результат получается и по формулам (89)
и (90).
195. Определить скорость запуска и периоды обраще-
обращения искусственных спутников Земли, движущихся вокруг
нее по круговым орбитам на расстояниях половины и
двух ее радиусов от поверхности.
196. Решить предыдущую задачу для искусственных
спутников Марса и Юпитера. Массы и радиусы в срав-
сравнении с земными: Марса — 0,107 и 0,533, а Юпитера —
318 и 10,9.
197. Как изменятся периоды и скорость обращения
спутников предыдущих задач, если масса центрального
тела возрастет в п раз, а его радиус — в т раз и в част-
частном случае при т = /г?
198. На какой высоте над земной поверхностью и с
какой скоростью движутся по круговым орбитам искус-
искусственные спутники с периодами обращения в 90м, 150м,
и Зч? Радиус Земли принять равным 6370 км.
199. Вычислить высоту над земной поверхностью и
скорость стационарного искусственного спутника, т. е.
68

спутника, неподвижно висящего над одной и той же точ-
точкой земного экватора.
200. Решить предыдущую задачу для стационарных
искусственных спутников планет, указанных в задаче
196. Период вращения Марса — 24Ч37М,4, а Юпитера —
9ч50м,5.
201. Найти скорость и периоды обращения искусст-
искусственных спутников при одинаковой высоте в 200 и 1000 км
над поверхностью Земли, Луны, Марса и Юпитера. Мас-
Массы этих небесных тел в той же последовательности равны
1, 0,0123, 0,107 и 318, а радиусы — 6370, 1738, 3400 и
71400 км.
202. На сколько градусов и в каком направлении
должна смещаться трасса полета полярных искусствен-
искусственных спутников * за один оборот при их движении по кру-
круговым орбитам со скоростью 7 км/с и 2 км/с вокруг Зем-
Земли, Меркурия и Венеры? Период вращения Меркурия —
58Д,65, а Венеры — 243Д,2 (вращение планеты обратное).
Необходимые сведения см. в задаче 204.
203. По каким орбитам будут двигаться искусствен-
искусственные небесные тела, запущенные с горизонтальной ско-
скоростью 9,5 км/с на высоте 200 км над поверхностью Зем*
ли, Марса и Юпитера? Необходимые сведения заимст-
заимствовать из задачи 201.
204. На какой минимальной высоте и с какой ско-
скоростью должны быть выведены на эллиптические орбиты
с эксцентриситетом 0,100 и 0,600 искусственные спутни-
спутники, чтобы они обращались с периодами в 2'1 и 8Ч вокруг
Меркурия и Венеры, массы которых, в сравнении с зем-
земной, соответственно 0,055 и 0,815, а радиусы — 2440 км
и 6050 км?
205. Какую долю своего периода обращения проле-
пролетают над перицентрийным и апоцентрийным полушария-
полушариями планет искусственные спутники при эксцентриситетах
их орбит 0,100 и 0,400?
206. Сколько времени пролетали над перигейным и
апогейным полушариями орбитальная станция «Салют-
5» (выведена на орбиту 22 июня 1976 г.) и спутник связи
«Молния-2» (выведен на орбиту 25 декабря 1973 г.), ес-
если «Салют-5» обращался в пределах высоты от 258 км до
* Трассой полета называется проекция орбиты спутника на
поверхность небесного тела. Полярный спутник проходит над обо-
обоими полюсами планеты.
69

283 км, а «Молния-2» — по орбите с большой полуосью
27 030 км и высотой апогея 40 860 км?
207. Найти массу Луны (в массах Земли) по движе-
движению ее искусственных спутников, обращавшихся над
лунной поверхностью в пределах высоты: «Луна-19»
B8 ноября 1971 г.) от 77 км до 385 км, с периодом в
241м; «Луна-20» A9 февраля 1972 г.) от 21 км до 100 км,
с периодом в 1Ч54М. В скобках указана дата выведения
спутника на селеноцентрическую орбиту. Диаметр Лу-
Луны — 3476 км,
208. По данным и результату предыдущей задачи
рассчитать круговую и предельные селеноцентрические
скорости спутников Луны.
209. Определить массу Марса по движению его есте-
естественного спутника Деймоса и советского искусственного
спутника «Марс-5» A2 февраля 1974 г.). Деймос обра-
обращается вокруг планеты с периодом 1Д,262 на среднем
расстоянии 23 500 км, а «Марс-5» — с периодом 25ч,0, в
пределах высоты над поверхностью планеты от 1760 км
до 32 500 км. Радиус Марса — 3400 км„
210. Советская автоматическая межпланетная стан*
ция «Венера-10», ставшая 25 октября 1975 г. вторым ис-
искусственным спутником Венеры, обращалась в те дни
вокруг планеты с периодом 49Ч23М в пределах от
1400 км до 114 000 км над ее поверхностью. Определить
массу Венеры, приняв ее радиус равным тЮ50 км.
211. Первый в истории человечества облет Земли был
осуществлен Героем Советского Союза Ю. А, Гагариным
на космическом корабле «Восток» 12 апреля 1961 г. в
пределах высоты от 181 км до 327 км над земной поверх-
поверхностью. Определить большую полуось и эксцентриситет
орбиты корабля, период его обращения вокруг Земли, его
среднюю и предельные скорости, а также продолжитель-
продолжительность полета над перигейным и апогейным полушариями
Земли.
212. Решить предыдущую задачу для спутника связи
«Молния-2», выведенного 5 апреля 1973 г. на орбиту во-*
круг Земли в пределах высоты от 500 до 39 100 км,
213. Как изменились бы параметры полета спутника
связи предыдущей задачи, если бы он в пределах той же
высоты обращался вокруг Меркурия и Юпитера? Необ*
ходимые данные заимствовать из задач 201 и 204.
70

214. Спутник связи «Молния-3», выведенный 14 апре-
апреля 1975 г, на орбиту с высотой перигея 636 км над южным
полушарием Земли, обращается вокруг планеты с перио-
периодом 1240м. Найти большую полуось и эксцентриситет
орбиты спутника, его апогейную высоту, скорость в пе-
перигее и апогее и продолжительность полета над противо*
положными полушариями Земли.
215. Вычислить все основные параметры полета ис-
искусственного спутника Луны «Луна-22», выведенного на
орбиту 9 июня 1974 г., если он обращался с периодом
в 2ч02м и поднимался в апоселении на высоту в 244 км
над лунной поверхностью. Сведения о Луне заимствовать
из задачи 201.
216. Определить большую полуось и эксцентриситет
простейшей эллиптической орбиты космического кораб-
корабля, продолжительность его полета от Земли до Марса и
скорость запуска с Земли, если среднее гелиоцентриче-
гелиоцентрическое расстояние Марса равно 1,524 а. е. Среднюю орби-
орбитальную скорость Земли принять 29,8 км/с.
217. По данным и результатам предыдущей задачи
найти конфигурацию Марса, наиболее благоприятную
для запуска к нему с Земли космического корабля. Пе-
риод обращения Марса вокруг Солнца равен 687 сут.
218. Вычислить скорость запуска космического ко-
корабля с Марса для полета к Земле по простейшей орбите
и благоприятствующую этому конфигурацию Земли.
Среднее гелиоцентрическое расстояние Марса —
1,524 а. е., его масса — 0,107 и радиус — 0,533 в сравне-
сравнении с земными.
219. По данным и результатам задач 216, 217 и 218
найти наименьшую продолжительность путеществия с
Земли на Марс и обратно (подходящие даты для стар*
та кораблей установить по астрономическим календа-
календарям-ежегодникам) .
220. Определить параметры, указанные в задачах
216, 217 и 218 для полета космического корабля с Земли
к Венере и обратно к Земле. Среднее гелиоцентрическое
расстояние Венеры равно 0,723 а. е., ее масса — 0,815 и
радиус — 0,950 в сравнении с земными.
221. Через какие промежутки времени целесообразно
запускать с Земли к планетам космические станции?
71

§ 10. ТЯЖЕСТЬ И ТЯГОТЕНИЕ
Согласно закону всемирного тяготения, на поверхно-
поверхности сфероидального небесного тела с массой М и ради-
радиусом R гравитационное ускорение*
(92)
а на поверхности Земли то же ускорение
go = G ~^- = 9,81 м/с2 = 981 см/с2,
откуда, поделив первое равенство (92) на второе, по-
получим:
« М = ' '93)
где обязательно М выражается в массах Земли и R —
в радиусах Земли, a g'— ¦ »г — относительное
гравитационное ускорение в сравнении с земным.
В поле тяготения небесного тела на произвольном
расстоянии от него гравитационное ускорение
= Q м
или, учитывая равенство (92),
1T
В этой формуле г и R могут быть выражены в любых,
но обязательно одинаковых единицах длины.
Пример
Найти гравитационное ускорение, сообщаемое Юпи-
Юпитером своему второму спутнику Европе, находящемуся от
планеты на среднем расстоянии 670,9» 103 км. Масса Юпи-
Юпитера в 318 раз больше земной массы, а средний радиус
Земли равен 6371 км.
Данные: спутник, г=670,9-103 км;
Юпитер, М=318;
Земля, /?о=6371 км(
* Ослабление g вращением тела здесь не рассматривается.
72

Решение. По формулам (94) и (93) искомое ус-
ускорение
№ М
gV = 8 72-» а 8=8о -^гэ
где go=981 см/с2 — ускорение свободного падения на
земной поверхности.
Тогда gf=;gQJM-9
причем г выражено в радиусах Земли, а масса М —
в массах Земли, т. е. в тех же единицах измерения, что
и в формуле (93).
Поскольку средний радиус Земли /?0=6371 км, то
искомое гравитационное ускорение
rav = 28I см/с2'
6371 /
222. Определить ускорение свободного падения на по-
поверхности планет Марса и Венеры, а также астероида
Цереры. Массы и радиусы в сравнении с земными: у
Марса —0,107 и 0,533, у Венеры —0,815 и 0,950, у Це-
Цереры— 28,9- Ю-5 и 0,0784.
223. Масса Луны в 81,3 раза, а диаметр в 3,67 раза
меньше земных. Во сколько раз вес космонавтов был
меньше на Луне, чем на Земле?
224. Чему равно ускорение свободного падения па
поверхности Солнца и Сатурна, радиусы которых боль-
больше земного соответственно в 109,1 и 9,08 раза, а средняя
плотность в сравнении с земной составляет 0,255 и 0,127?
225. Какое ускорение свободного падения было бы на
поверхности Земли и Марса, если бы при неизменной
массе их диаметры увеличились вдвое и втрое? Сведе-
Сведения о Марсе см. в задаче 222.
226. Как изменилось бы ускорение свободного паде-
падения на поверхности планеты при увеличении ее массы
в т раз, а средней плотности в п раз и, в частности,
при т = п?
227. Каким стало бы ускорение свободного падения
на поверхности Солнца, если бы при той же массе оно
увеличилось в диаметре до размеров земной орбиты?
Масса Солнца в 333 тыс. раз больше земной, а его диа-
диаметр равен 1 392 000 км.
228. По данным предыдущей задачи найти гравита-
73

ционное ускорение Земли в поле тяготения Солнца, срав-
сравнить его с полученным в ней результатом и сделать соот*
ветствующий вывод.
229. Как изменилось бы ускорение свободного паде-
падения на Земле при неизменной массе и увеличении ее
размеров в 60,3 раза, т. е. до орбиты Луны?
230. Вычислить гравитационное ускорение Луны в
поле тяготения Земли и Солнца при ее среднем геоцент-
геоцентрическом расстоянии в 384 400 км. Сравнить результаты
с ответом предыдущей задачи и проанализировать их.
Необходимые сведения заимствовать из задачи 227.
231. Как изменилось бы гравитационное ускорение
Луны в поле тяготения Земли, если бы масса Земли уве-
увеличилась в т раз, а Луна находилась в п раз дальше
(ближе), чем сейчас, и, в частности, при т=/г?
232. В каких пределах меняется гравитационное ус-
ускорение Меркурия (а=0,387 а. е. и ?=0,206), Плутона
(а=39,5 а. е. и е=0,253) и кометы Галлея (а=18,0 а. е.
и ? = 0,967)? В скобках приведены данные об орбитах
этих тел. Недостающие сведения заимствовать из зада-
задачи 227.
233. В каких пределах меняется гравитационное уско-
ускорение спутника связи «Молния-3», выведенного на орби-
орбиту 14 апреля 1975 г. и облетающего Землю в пределах
высоты от 636 км до 40 660 км над земной поверхностью?
Радиус Земли — 6370 км.
234. Решить предыдущую задачу для космической на-
научной станции «Прогноз-3», выведенной 15 февраля
1973 г. на геоцентрическую орбиту с большой полуосью
в 106 670 км и высотой перигея 590 км.
235. Найти гравитационное ускорение двух галиле-
евых спутников Юпитера, Ио и Каллисто, обращающих-
обращающихся вокруг планеты ка средних расстояниях в 5,92 и
26,41 ее радиуса. Масса Юпитера равна 318, а радиус —
10,9.
236. Указать расположение общего центра масс Зем-
Земли и Луны, приняв радиус Земли 6370 км, массу Луны
равной 1/81 земной массы и расстояние между телами —
60 земным радиусам.
237. По данным задачи 236 найти положение точки
равного притяжения между Землей и Луной, в которой
гравитационные ускорения от этих тел численно равны
между собой, но противоположно направлены.
74

Ill ТЕЛЕСКОПЫ
§ 11. ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТЕЛЕСКОПОВ
Основными характеристиками телескопа являются
его фокусное расстояние F, диаметр объектива D и от-
относительное отверстие
а = 4-> <95)
часто называемое светосилой.
Даваемое телескопом увеличение
(96)
где f — фокусное расстояние окуляра, р — угловые раз-
размеры светила при наблюдении невооруженным глазом
и р — угловые размеры того же светила при наблюдении
в телескоп. Кратность увеличения обычно обозначается
знаком X , проставляемым около числа в виде показате-
показателя степени (например, 50х , 120х и т. д.).
Наибольшее увеличение, допускаемое телескопом при
хороших атмосферных условиях,
№т=2?>, (97)
а наименьшее или равнозрачковое увеличение
(98)
где D — диаметр объектива, выраженный в миллиметрах.
Разрешение (или разрешающая сила) телескопа в ха«
растеризуется наименьшим угловым расстоянием между
двумя точечными объектами, при котором они видны
рядом, не сливаясь друг с другом:
(99)
75

а соответствующее ему увеличение, называемое разре-
разрешающим увеличением,
WB « ~. A00)
Проницающая способность (сила) телескопа тт пред-
представляет собой предельную звездную величину звезд,
доступных наблюдениям в телескоп в темную, безоблач-
безоблачную ночь:
mT = 2,™10 + 51gD. A01)
В формулах (99), A00) и A01) диаметр D объектива
телескопа тоже выражен в миллиметрах.
Изображение светила (или расстояния между свети-
светилами) в фокальной плоскости телескопа (обычно гово-
говорят: в фокусе телескопа), в том числе и на полученных
в ней фотонегативах, имеет линейные размеры
d=Ftgp, A02)
а при малых угловых размерах
dKS3FliWSSiF 206265" ' A03)
где р' — угловые размеры в минутах дуги и р''— те же
размеры в секундах дуги.
Тогда угловой масштаб фотонегатива
или
Г = -?- Г/мм], A05)
а линейный масштаб
6 = 4";
где R — линейные размеры светила.
Диаметр поля зрения телескопа, выраженный в ми-
минутах дуги,
/V - ^ A07)
и более точно определяется по прохождению звезды по
диаметру поля зрения неподвижного телескопа;
76

N=~- cos 8, A08)
где т — продолжительность прохождения звезды в се-
секундах и б — склонение звезды.
У радиотелескопа и радиоинтерферометра разрешение
9-2" ,51 • 105 -А_ = 4200' -А-, A09)
где X — длина радиоволны и D — диаметр радиотеле-
радиотелескопа (или расстояние между радиотелескопами, обра-
образующими радиоинтерферот&етр) берутся в одинаковых
единицах измерения.
Степень реагирования радиоприемного устройства на
радиосигналы характеризуется чувствительностью
ДТ= -у • —7==-> (ПО)
которая определяется шумовой температурой Гщ, по-
постоянной времени to (времени срабатывания записываю-
записывающего прибора) в секундах и полосой пропускания
Av в герцах.
Пример
Угловой диаметр Венеры вблизи ее наибольшей элон-
элонгации равен 25". Какой нужно применить окуляр, чтобы
при наблюдениях в телескоп с фокусным расстоянием
объектива 10,8 м Венера была видна размерами с Луну,
угловой диаметр которой равен 32', и какой будет диа-
диаметр изображения планеты на негативе, полученном в
фокусе телескопа? Найти также масштабы негатива,
зная, что диаметр Венеры равен 12 100 км.
Данные: F=10,8 м=1080 см; Венера, р=25",
#=12 100 км; р=32'=1920".
Решение. По формулам (96), A03), A05) и A06)
получим: увеличение
U7 = -L = -l^=77X-
р 25 *
окуляр с фокусным расстоянием
/= -^г = ¦ 77 ; /== 14,0 см = 140 мм;
диаметр изображения планеты на фотонегативе
77

d=F-7rJr-7r= 1080.' 25"
206265" 206265"
d=0,13 CM = 1,3 мм;
угловой масштаб негатива
Г = -Jj- = -=%- = 19^,2 мм-
линейный масштаб
238. Определить относительное отверстие, разреше-
разрешение, проницающую способность, наибольшее, наимень-
наименьшее и разрешающее увеличение двух телескопов, одного
с объективом диаметром 37,5 см и фокусным расстояни-
расстоянием 6 м, а другого с объективом диаметром 1 м и фокус-
фокусным расстоянием 8 м.
239. Найти увеличение и диаметр поля зрения двух
телескопов, одного с объективом диаметром 30 см и све-
светосилой 1:5, а другого с диаметром 91 см и светоси-
светосилой 1:19, при окулярах с фокусным расстоянием 40 мм
и 10 мм.
240. Чему равны светосила, разрешение, проницаю-
проницающая способность, наибольшее, наименьшее и разрешаю-
разрешающее увеличение школьного менискового телескопа Мак-
Максутова и школьного телескопа-рефрактора, если первый
имеет диаметр 70 мм и фокусное расстояние 70,4 см, а
второй — диаметр 80 мм и фокусное расстояние 80 см?
241. Узнать увеличение и диаметр поля зрения теле-
телескопов предыдущей задачи при окулярах с фокусным
расстоянием 28 мм, 20 мм и 10 мм.
242. Какое увеличение и поле зрения дадут окуляры
школьных телескопов, указанные в предыдущей задаче,
при использовании их для наблюдений в телескопы с
объективами диаметром 65 см и светосилой 1:16 (Пул-
(Пулковская обсерватория) и 33 см и 1:10,5 (Ташкентская
обсерватория)? Какие из этих окуляров реально пригод-
пригодны для указанных телескопов?
243. Имеет ли смысл использовать окуляр с фокус-
фокусным расстоянием 5 мм при наблюдениях в телескопы с
фокусным расстоянием 1,25 м и светосилой 1:5 и с фо-
фокусным расстоянием 7,50 м и светосилой 1:15?
78

244. Какое минимальное угловое расстояние между
компонентами двойной звезды может быть разрешено в
телескопы с объективами диаметром 20 см и 1 м?
245. Определить минимальное угловое расстояние
между компонентами двойных звезд, доступных наблю-
наблюдениям в школьные телескопы с объективами диамет-
диаметром 70 мм и 8 см.
246. Какие наименьшие угловые расстояния между
компонентами двойных звезд могут быть разрешены те-
телескопами, одним с фокусным расстоянием и светоси-
светосилой объектива 1 м и 1:10, а другим с фокусным расстоя-
расстоянием Ими светосил ей 1:16? Окуляры с каким фокусным
расстоянием должны быть для этого применены?
247. В телескопы какого наименьшего диаметра мож-
можно видеть двойные звезды (J Лебедя C5"), ? Большой
Медведицы A4") и у Девы E",0) и какое при этом
должно быть применено минимальное увеличение?
В скобках даны угловые расстояния между компонента-
компонентами двойных звезд.
248. Можно ли в телескопы школьного типа видеть
диски планет Марса, Урана и Нептуна, если угловые
диаметры этих планет в среднем противостоянии соот-
соответственно равны 18", 4",0 и 2",5? Диаметр объектива
школьного менискового телескопа равен 70 мм, а школь-
школьного телескопа-рефрактора — 80 мм.
249. Угловой диаметр Юпитера при среднем противо-
противостоянии равен 49", а угловой диаметр Венеры в эпоху
нижнего соединения — около 60". Какие увеличения не-
необходимо применить для того, чтобы в телескоп диски
этих планет были видны размером с Луну для невоору-
невооруженного глаза, если диаметр лунного диска близок к
0°,5?
250. Определить линейный диаметр фотографических
изображений Марса и Луны, а также масштабы этих не-
негативов, полученных в фокусе рефрактора с объективом
20 см и светосилой 1:15 и в фокусе крупнейшего в мире
советского рефлектора с фокусным расстоянием 24 м.
Угловые размеры этих светил принять равными соответ-
соответственно 25" и 32', а линейный поперечник Луны —
3476 км и Марса — 6800 км.
251. Вычислить масштаб негативов и линейные диа-
диаметры фотографических изображений Марса и Луны
при фотографировании их в фокусе школьного телеско-
79

па-рефрактора, диаметр объектива которого равен 8 см
и светосила — 1 : 10. Необходимые сведения заимствовать
из предыдущей задачи.
252. Объектив нормального астрографа имеет диа-
диаметр 33 см, а масштаб негативов, экспонируемых в его
фокусе, получается равным V мм~!. Найти фокусное рас-
расстояние и светосилу астрографа, а также линейные раз-
размеры на негативах (снятых в фокусе) взаимного рас*
стояния компонентов двойной звезды р Лебедя, угловое
расстояние между компонентами которых равно 35".
253. Сколько времени могут быть видны звезды и Де-
Девы, Капелла (а Возничего) и Полярная (а Малой Мед-
Медведицы) в поле зрения неподвижного телескопа при уве-
увеличении в 100 раз, если склонение этих звезд равно
соответственно — 0°03', + 45°58/ и + 89°02'?
254. Звезда Ригель (Р Ориона), имеющая склоне-
склонение—8°15', проходит диаметр поля зрения неподвижно-
неподвижного телескопа за 1 мин. Найти увеличение и диаметр по-
поля зрения телескопа при этом увеличении.
255. Звезда Сириус (а Большого Пса) со склонением
—16°39' наблюдается в телескоп с диаметром объекти-
объектива 20 см и светосилой 1:15. При одном окуляре эта звез-
звезда проходит диаметр поля зрения за 1М53С, а при дру-
другом—за 38е. Определить фокусное расстояние окуляров
и диаметр поля зрения телескопа при их применении.
256. При окуляре с фокусным расстоянием 32 мм
разрешающее увеличение телескопа Пулковского ре-
рефрактора составляет 325х. Определить диаметр, фокус-
фокусное расстояние и светосилу объектива телескопа, его
разрешение и проницающую способность, допускаемое
наибольшее и наименьшее увеличерие, поле зрения при
указанных трех увеличениях и продолжительность про-
прохождения по его диаметру звезд а Большой Медведицы
и Проциона (а Малого Пса), склонение которых равно
соответственно +62°01/ и +5°2Г.
257. Сравнить разрешающую силу самого крупного
в мире советского шестиметрового телескопа-рефлекто-
телескопа-рефлектора и радиотелескопов с антеннами диаметром D, рабо-
работающих на длине радиоволны А,: 1) Ь=22 м, к=65 см;
2) D= 100 м, Л= 10 см; 3) D= 1000 м, К= 10 м.
258. Найти разрешение радиоинтерферометров, со-
состоящих из двух радиотелескопов с взаимным расстоя-
30

нием в 100 км, 1000 км и 9000 км и воспринимающих
радиоволны, указанные в предыдущей задаче.
259. Вычислить чувствительность приемника радио-
радиотелескопа с полосой пропускания Av, постоянной време-
времени то и шумовой температурой Тт: 1) Av=105 гц, то =
= 10с и Гш=250° К; 2) Av=104 гц, то=Зс и 7ш=200° К;
3) Av=106 гц; то=2Ос и 7ш=310° К.
260. Определить шумовую температуру приемника
телескопа с полосой пропускания Av, постоянной време-
времени то и чувствительностью АГ: 1) Av=106 гц, то=6с и
ДГ=О°,2О; 2) Av=105 гц, то=1О° и АГ=0°,39; 3) Av=j
= 104 гц, то=4° и АГ=2°,20.

IV. ОСНОВЫ АСТРОФИЗИКИ
И ЗВЕЗДНОЙ АСТРОНОМИИ
§ 12. БЛЕСК СВЕТИЛ
Блеск Е светила характеризуется его видимой звезд-
звездной величиной т. Одно и то же светило может иметь
различную видимую звездную величину в зависимости
от способа ее определения: визуальную звездную вели*
чину mv> фотографическую звездную величину тР8, фо«
товизуальную звездную величину mpv, фотоэлектриче*
ские звездные величины V (желтую), В (синюю) и
U (ультрафиолетовую), болометрическую гпь и т. д.
Отношение блеска Е\ и Е2 двух светил связано с их
видимой звездной величиной т\ и т2 формулой Пог-
сона:
te-F- - 0,4 (/и2 — mj. ПИ)
Разность
C=mpg—mv=mPg—mpv A12)
называется обычным лqкaзaтeлeм цвета, разность
(В—V)—основным показателем цвета, а разность
(U—V)—ультрафиолетовым показателем цвета, хотя
часто под ним подразумевается также разность (U—В).
Планеты и их спутники светят отраженным солнеч-
солнечным светом и поэтому при полной фазе их блеск
E=kA-?p-9 A13)
где k — коэффициент, учитывающий освещенность Солн-
Солнцем и систему единиц измерения, А — сферическое аль-
альбедо *, d — линейный диаметр, г — гелиоцентрическое
* Сферическое альбедо показывает, какую долю падающего
Света отражает тело (Л1)
82

расстояние и р — расстояние от наблюдателя; эти рас-
расстояния выражаются либо в километрах, либо в астро-
астрономических единицах A а. е. = 149,6-106 км).
Расстояния до звезд измеряются парсеками (пс) и
значительно реже —световыми годами (св. г.); 1 пс=
= 206 265 а. е. = 3,26 св. г.
Расстояние г звезды, выраженное в парсеках, и ее
годичный параллакс я, измеренный в секундах дуги ("),
связаны соотношением
r = -U A14)
Так как блеск Е каждой звезды прямо пропорциона-
пропорционален ее светимости L и обратно пропорционален квадра-
квадрату расстояния г от наблюдателя, то отношение светимо-
светимости двух звезд
Примеры
1. Визуальный блеск звезды Беги (а Лиры) равен
+ 0т,14 и ее параллакс О", 123, а у звезды р Водолея ви-
визуальный блеск +Зт,07 и параллакс 07/,003. Найти отно-
отношение блеска и светимости этих двух звезд.
Данные: m!=+0m,14, jti = 0",123;
m2=+3m,07, я2=0",003.
Решение. По формуле A11),
lg -fi- = 0,4 {mt—mJ=0,4 C^,07—0™, 14)= 1,172
и
-EL. = 14,86 « 15.
Согласно выражению A15),
Li Ег ( щ у __ 1л рп( (ГэООЗ у 14»86
ИЛИ
-Ь-= 113,1 « 113.
Следовательно, звезда Бега представляется нам яр-
ч-е звезды р Водолея в 15 раз, а в действительности
звезда р Водолея ярче Беги в 113 раз,
83

2. В эпоху среднего противостояния Марса его спут-
спутники видны с Земли звездообразными объектами +llm,6
(Фобос) и +12т,8 (Деймос). Найти блеск спутников в
эпоху великого противостояния Марса. Среднее гелио-
гелиоцентрическое расстояние Марса равно 1,524 а. е., а экс-
эксцентриситет его орбиты — 0,0934.
Данные: Марс, а= 1,524 а. е., е=0,0934;
Фобос, m= + llw,6; Деймос, m= + 12m,8.
Решение. По формуле A13), блеск спутника
В среднем противостоянии гелиоцентрическое рас-
расстояние Марса и его спутников г=а=1,524 а. е., а их
геоцентрическое расстояние р = а—ао= 1,524—1,0==
= 0,524 а. е.
Согласно формуле C5), в эпоху великого противо-
противостояния Марса его гелиоцентрическое расстояние
rx=q = a A-е) =1,524A—0,0934) = 1,382 а.е., а геоцент-
геоцентрическое расстояние pi —<7—ао= 1,382—1,0 = 0,382 а. е.,
и поэтому блеск спутника
3 \
Следовательно, —н~ =
или, согласно A11),
lg -&- - 2 Ig -Zl- - 0,4 (m-m,),
где т — известная и mi — искомая звездная величина
спутника. Отсюда
т-т1 = 5 lg jg^gj- = 5 lg 1,51 = 5-0,179 = 0«,9,
т. е. блеск Фобоса m1 = llm,6—0w,9=10m,7, а блеск Дей-
Деймоса mi= 12m,8—0т,9= 11т,9.
261. Во сколько раз звезда Арктур (а Волопаса) яр-
ярче звезд а Андромеды и ц Девы, если визуальный блеск
Арктура равен +0т,24, а Олеск остальных звезд соот-
соответственно равен +2т,15 и 4т,00?
84

262. Во сколько раз звезды в Лебедя и у Водолея сла-
слабее Сириуса (а Большого Пса), если их визуальный
блеск соответственно равен +2т,64 + Зт,97 и —1т,58?
263. Во сколько раз меняется блеск Марса, если его
видимая визуальная звездная величина колеблется в
пределах от + 2т,0 до —2т,6?
264. Найти разность однородных звездных величии
звезд, различающихся по блеску в 10, 100 и 1000 раз.
265. Сколько звезд нулевой видимой звездной вели-
величины могут заменить свет, испускаемый всеми звездами
восьмой видимой звездной величины, число которых'
близко к 26 700?
266. Во сколько раз доступные телескопам самые
слабые звезды (Н-22™,5) слабее звезды Альтаира
(а Орла), блеск которой +0w,89?
267. Визуальный блеск звезды Поллукса (р Близне-
Близнецов) равен "+lm,21, звезды Альтаира (а Орла) + 0т,8Э
и звезды Ригеля (C Ориона) +0т,34, а видимые фотогра-
фотографические звездные величины тех же звезд равны соот-
соответственно + 2т,46, -Ыт,13 и +0т,17. Определить обыч-
обычный показатель цвета каждой из этих звезд и отношение
интенсивности излучения в визуальных и фотографиче-
фотографических лучах.
268. Фотоэлектрическая желтая звездная величина
звезды Веги (а Лиры) равна +0т,03, звезды Альдебара-
на (а Тельца) +0т,86 и звезды Спики (а Девы) +0т,97,
их основные показатели цвета равны соответственно
0m,00, -Mm,54 и —0т,23, а ультрафиолетовые {U—V) по-
показатели цвета равны 0т,00, -ЬЗт,46 и —1т,17. Найти
синюю и ультрафиолетовую звездную величину каждой
из этих звезд.
269. Вычислить для каждой звезды предыдущей за-
задачи отношение блеска в различных лучах.
270. Во сколько раз отличается блеск Солнца в ви-
визуальных (—26т,78) и фотографических (—26™,21) лу-
лучах и во сколько раз — в желтых и синих лучах, если его
основной показатель цвета равен +0т,63? В скобках
указана видимая звездная величина Солнца.
271. На сколько изменится видимая звездная величи-
величина звезды при ее удалении в два, четыре и п раз и при
таком же уменьшении ее действительного расстояния?
272. Фотографический блеск звезды Проциона
(а Малого Пса) равен +0т,88, а обычный показатель
85

цвета Ч-0т,40. Найти визуальный блеск этой звезды при
увеличении ее расстояния от Земли в пять и десять раз
и при уменьшении ее расстояния в три и шесть раз.
273. Определить отношение освещенностей, созда*
ваемых на Земле Луной в полнолуние и в первой четвер*
ти, если в первом случае блеск Луны равен—12™,?, а
во втором — 9W,2.
274. Во сколько раз полная Луна светит слабев
Солнца, если ее визуальный блеск равен —12т,7, а види-
видимая визуальная звездная величина Солнца —26т,8?
275. Во сколько раз Земля получает больше света
от Солнца (—26т,78), чем от самой яркой звезды неба
Сириуса (а Большого Пса), видимая визуальная звезд-
звездная величина которого равна —lm,58?
276. Вычислить угловой диаметр и видимую визуаль-
визуальную звездную величину Солнца с планет Меркурия, Мар-
Марса и Плутона и определить освещенность этих планет
Солнцем в сравнении с освещенностью Земли. Расстоя-
Расстояния этих планет от Солнца равны соответственно
0,387 а. е., 1,524 а. е. и 39,5 а. е. Видимый с Земли диа*
метр Солнца 32', а визуальный блеск равен —26т,78.
277. В эпоху среднего противостояния Марса его
спутники видны с Земли звездообразными объектами
Ч-11т,6 (Фобос) и Ч-12т,8 (Деймос). Какие примерно
угловые размеры и каков блеск спутников в полной фа-
фазе по наблюдениям с Марса, если средний поперечник
Фобоса равен 21 км, а поперечник Деймоса—12 км, и
они обращаются вокруг планеты соответственно на рас-
расстояниях в 9400 км и 23 500 км? Среднее гелиоцентриче*
ское расстояние Марса равно 1,524 а. е., а его радиус—•
3400 км.
278. Используя данные предыдущей задачи и экс-
эксцентриситет марсианской орбиты, равный 0,0934, вычис-
вычислить блеск спутников Марса при его наиболее далеком
(афелийном) противостоянии и при наиближайшем (пе-
ригелыюм) и афелийном соединении.
279. Диаметр Луны меньше земного в 3,67 раза; сфе-
сферическое альбедо Земли 0,39, а Луны 0,07. При гео-
геоцентрическом расстоянии в 384 400 км блеск полной Луч
ны равен —12т,7. Как выглядит Земля и Луна по наблю-
наблюдениям с Солнца?
280. Звезда Сириус (а Большого Пса) с видимой ви-
визуальной звездной величиной— lm,58 находится в 20 раз
86

ближе к Земле, чем звезда е Змеи, визуальный блеск ко-
которой + 3™,85. Какая из этих звезд и во сколько раз ка-
кажется нам ярче и какое отношение их светимости?
281. Решить предыдущую задачу для звезд а Орла
и а Ориона, если у первой звезды блеск +0?п,89 и па-
параллакс 0", 198, а у второй + 3™,78 и 0",002.
282. Параллаксы Полярной звезды (а Малой Медве-
Медведицы), Мицара (? Большой Медведицы) и звезды Кап-
тейна равны соответственно 0",005, 0",037 и 0",251. Вы-
Выразить расстояния этих звезд в парсеках и световых
годах.
283. Расстояние от звезды Денеба (а Лебедя) до
Земли свет проходит за 815 лет, расстояние от звезды
Альдебарана (а Тельца) —за 67,9 года и от звезды То-
лимана (а Центавра)—за 4,34 года. Чему равны го-
годичные параллаксы этих звезд?
§ 13. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА
СОЛНЦА И ЗВЕЗД
Светимость звезд вычисляется по их абсолютной
звездной величине М, которая связана с видимой звезд-
звездной величиной т соотношениями
A16)
51gr, A17)
где п — годичный параллакс звезды, выраженный в се-
секундах дуги (") и г — расстояние звезды в парсеках (пс).
Найденная по формулам A16) и A17) абсолютная
звездная величина М принадлежит к тому же виду, что
и видимая звездная величина т, т. е. может быть визу-
визуальной Mv, фотографической Mpg, фотоэлектрической
(Mv, Мв или Ми) и т. д. В частности, абсолютная боло-
болометрическая звездная величина, характеризующая пол-
полное излучение,
Mb=Mv + b A18)
и может быть также вычислена по видимой болометри*
ческой звездной величине
mb = mv + b, A19)
где Ь — болометрическая поправка, зависящая от спект-
спектрального класса и класса светимости звезды.
87

Светимость L звезд выражается в светимости Солн*
ца, принятой за единицу (Lq=1), и тогда
lgL = O,4(Af0~AI)f A20)
где Mq — абсолютная звездная величина Солнца: ви-
визуальная Л40г,==-Нт,79; фотографическая МфРё~
—-Ь5т,36; фотоэлектрическая желтая MQvr=="+4mO7;
фотоэлектрическая синяя MQB=5m,40; болометриче*
екая MQ6=4-4m,73, Эти звездные величины необходимо
использовать при решении задач данного раздела.
Вычисленная по формуле A20) светимость звезды
соответствует виду абсолютных звездных величин звез-
звезды и Солнца.
Закон Стефана—Больцмана
применим для определения эффективной температуры Те
только тех звезд, у которых известны угловые диаметры.
Если Е — количество энергии, падающей от звезды или
Солнца по нормали на площадку в 1 см2 границы зем-
земной атмосферы за Iе, то при угловом диаметре А, выра-
выраженном в секундах дуги ("), температура
Те - 642,с
где <т= 1,354-10-12 кал/(см2-с-град4) =
= 5,70-10~5 эрг/(см2-с-град4) и выбирается в зависимо-
зависимости от единиц измерения количества энергии Е, которое
находится из формулы A11) по разности болометриче-
болометрических звездных величин звезды и Солнца путем сравне-
сравнения с солнечной постоянной ?q»2 кал/(см2«мин).
Цветовая температура Солнца и звезд, в спектрах
которых известно распределение энергии, может быть
найдена по закону Вина
Т = -Нг—, A22)
где Хт — длина волны, соответствующая максимуму
энергии, а К — постоянная, зависящая от единиц изме-
измерения X. При измерении X в см /(=0,2898 см-град, а при
измерении X в ангстремах (Л) /(=2898-104А-град.
С достаточной степенью точности цветовая температу-

pa звезд вычисляется по их показателям цвета С и
7°A23)
7200°
С+0'7г,65
Т = 7^° /194)
Массы М звезд обычно выражаются в массах Солнца
( М 0=1) и надежно определяются только для физиче-
физических двойных звезд (с известным параллаксом я) по
третьему обобщенному закону Кеплера: сумма масс ком-
компонентов двойной звезды
Mi + М2 = -~, A25)
где Р — период обращения звезды-спутника вокруг глав-
главной звезды (или обеих звезд вокруг общего центра масс),
выраженный в годах, и а — большая полуось орбиты
звезды-спутника в астрономических единицах (а. е.).
Величина а в а. е. вычисляется по угловому значе-
значению большой полуоси а" и параллаксу я, полученным
цз наблюдений в секундах дуги:
а = -21. A26)
Если известно отношение расстояний п\ и а% компо-
компонентов двойной звезды от их общего центра масс, то ра-
равенство
позволяет вычислить массу каждого компонента в от^
дельности.
Линейные радиусы R звезд всегда выражаются в ра-
радиусах Солнца (/?0 = 1) и для звезд с известными уг-
угловыми диаметрами А (в секундах дуги)
/?= 107,5 4. A28)
причем
1 gA = 5,444—0,2m6—21g7\ A29)
Линейные радиусы звезд вычисляются также по фор-
формулам
89

lgfl = 8,473—0,20M6—21g7\ A30)
lg/?=0,82C—0,20Mv+0,51 A31)
= 0J2(B—V)— 0,20^+0,51, A32)
в которых Т — температура звезды (строго говоря, эф-
эффективная, но если она не известна, то цветовая).
Так как объемы звезд всегда выражаются в объемах
Солнца, то они пропорциональны /?3, и поэтому средняя
плотность звездного вещества (средняя плотность
звезды)
Р=Р©-?з-> A33)
где PQ—- средняя плотность солнечного вещества.
При pQ = 1 средняя плотность звезды получается в
плотностях солнечного вещества; если же нужно вычи*
слить р в г/см3, следует принять pq=1,41 г/см3.
Мощность излучения звезды или Солнца
g 0=4я Д2аГИ=4яг2?, A34)
а ежесекундная потеря массы через излучение опреде*
ляется по формуле Эйнштейна
ДМ = _|ц A35)
где с = 3-1010см/с — скорость света, AM — выражается
в граммах в секунду и <g0— в эргах в секунду.
Примеры
1. Определить эффективную температуру и радиус
звезды Веги (аЛиры), если ее угловой диаметр равен
0",0035, годичный параллакс 0",123 и болометрический
блеск —0т,54. Болометрическая звездная величина
Солнца равна —26т,84, а солнечная постоянная близка
к 2 кал/(см2-мин).
Данные: Вега, Д=3",5-10~3, я = 0",123,
т6=— 0т,54;
Солнце, т0 6=— 26т,84, EQ =
=2 кал/(см2-мин) = 1/30 кал/(см2-с);
постоянная сг=1,354Х
Х10-12 кал/ (см2- с -град4).
Решение. Падающее нормально на единицу шю*
90

щади земной поверхности излучение звезды, аналогичное
солнечной постоянной, вычисляется по формуле A11):
lg -|-=0,4 (mQb-mb)=0,4 (—26« 84+0"\54) =
=—10,520 = — 11 + 0,480,
откуда "? = 3,02- 10\
или Е= 3,02.10-".-^ = l,007.10-i2 кал/(см2-с).
Согласно A21), эффективная температура звезды
= 642,3 |/
= 10 100 К.
По формуле A28), радиус Беги
R = 107,5А - Ю7,5 . i^Jgl = 3,1,
2. Найти физические характеристики звезды Сириуса
(а Большого Пса) и его спутника по следующим данным
наблюдений: видимая желтая звездная величина Сириу-
Сириуса равна —lw,46, его основной показатель цвета 0m,00, a
у звезды-спутника соответственно +8т,50 и +0т,15; па-
параллакс звезды равен 0",375; спутник обращается вокруг
Сириуса с периодом 50 лет по орбите с угловым значение
ем большой полуоси 77/,60, причем отношение расстоя-
расстояний обеих звезд до общего центра масс составляет 2,3:1.
Абсолютную звездную величину Солнца в желтых лучах
принять равной +4т,77.
Данные: Сириус, Vx = — lm,46, (В—l/)i = 0m,00;
спутник, V2= +8™,50, (В—УJ=+0"М5,
Р =50 лет, а//=7//,60;
fl2:ai = 2,3:l; я=0л/,375.
Солнце, Mqv= +4m,77.
Решение, Согласно формулам A16) и A20), аб*
солютная звездная величина Сириуса
n= — 1 m,46 + 5 + 51gO,375 = +1™,41,
m

а логарифм его светимости
1 = O,4(Af0—Afi) =0,4D^,77—lm,41) = 1,344,
откуда светимость L\=22.
По формуле A24), температура Сириуса
Т — 7920 _ 7920 i i
1 1— (?-K)i-fOm,72 ~~ 0
по формуле A32)
^^ = 0,72E—V)i—0,2
= 0,72-0^00—0,20-lm,41+0,51=0,228,
и тогда радиус Сириуса /?i = l,7, а его объем Rl =1,7°==
= 4,91 (объема Солнца).
Те же формулы дают для спутника Сириуса: Му2=
= +11™,37; L2=2,3- Ю-3; Г2=9100°; Л2=0,022;
По формуле A26), большая полуось орбиты спутника
— <—?&¦-*>.**. ^
по A25) сумма масс обеих звезд
— а* _ 20>33 _ q q
и, по A27), отношение масс
-ft-—S-—?- или М» - 2,3 М,,"
откуда при совместном решении уравнений A25) и A27)
находится масса Сириуса Mi = 2,3 и масса его спутника
М2=1,0.
Средняя плотность звезд вычисляется по форму-
формуле A33): у Сириуса
а у его спутника
= 1,41 . 1>0 = 133-103 г/см3
• 10,6-Ю-6
= 133 кг/см3.
92

По найденным характеристикам — радиусу, светимо-
светимости и плотности — видно, что Сириус принадлежит к
звездам главной последовательности, а его спутник яв-
является белым карликом.
284. Вычислить визуальную светимость звезд, визу-
визуальный блеск и годичный параллакс которых указаны
в скобках: а Орла @™,89 и ОМ98), а Малой Медведи-
Медведицы B™,14 и 0",005) и е Индейца D™,73 и 0",285).
285. Найти фотографическую светимость звезд, для
которых визуальный блеск, обычный показатель цвета и
расстояние от Солнца указаны в скобках: р Близнецов
(lw,21, +lw,25 и 10,75 пс); ц Льва Cm,58, + 0т,00 и
500 пс); звезда Каптейна (8т,85, +1т,30 и 3,98 пс). Све-
Сведения о Солнце приведены на странице 88.
286. Во сколько раз визуальная светимость звезд
предыдущей задачи превышает их фотографическую све-
светимость?
287. Визуальный блеск Капеллы (а Возничего) равен
0т,21, а ее спутника 10w,0. Показатели цвета этих звезд
равны соответственно +0w,82 и +lm,63. Определить, во
сколько раз визуальная и фотографическая светимость
Капеллы больше соответствующей светимости ее спут-
спутника.
288. Абсолютная визуальная звездная величина звез-
звезды р Большого Пса равна—2W,28. Найти визуальную и
фотографическую светимост^ двух звезд, одна из кото-
которых (с показателем цвета +0^,29) в 120 раз абсолютно
ярче, а другая (с показателем цвета -f0w,90) в 120 раз
абсолютно слабее звезды р Большого Пса.
289. Если бы Солнце, Ригель (р Ориона), Толимаи
(гх Центавра) и его спутник Проксима (Ближайшая)
находились на одинаковом расстоянии от Земли, то ка-
какое количество света в сравнении с солнечным получала
бы она от этих звезд? Визуальный блеск Ригеля 0ш,34,
его параллакс 0",003, те же величины у Толимана 0т,12
и 0",751, а у Проксимы 10т,68 и 0//,762. Звездная величи-
величина Солнца указана в задаче 275 и на с. 88.
290. Найти расстояния от Солнца и параллаксы трех
звезд Большой Медведицы по их блеску в желтых лу-
лучах и абсолютной звездной величине в синих лучах*
1) а, V=lmj9f (B—V) = + l™fl7 и AfB=+0*1,32;
2) б, V=3TO,31, (В—V) = + 0™,08 и А!в=+ lm,97;
3) V= 1т,86, {В—V)=— 0я1,19 и Мв=— 5™,32.
93

291. На каком расстоянии от Солнца находится звез-
звезда Спика (а Девы) и чему равен ее параллакс, если ее
светимость в желтых лучах равна 720, основной показа-
показатель цвета равен —0т,23, а блеск в синих лучах 0w,74?
292. Абсолютная синяя (в 23-лучах) звездная величи-
величина звезды Капеллы (а Возничего) +0m,20, a звезды Про-
циона (а Малого Пса) -ЬЗт,09. Во сколько раз эти звез-
звезды в синих лучах абсолютно ярче или слабее звезды Ре-
гула (а Льва), абсолютная желтая (в V-лучах) звездная
величина которой равна —0т,69, а основной показатель
цвета — 0™, И?
293. Как выглядит Солнце с расстояния звезды То-
лимана (а Центавра), параллакс которой 0",751?
294. Каков визуальный и фотографический блеск
Солнца с расстояний звезд Регула (а Льва), Антареса
(а Скорпиона) и Бетельгейзе (а Ориона), параллаксы
которых соответственно равны 0",039, 0",019 и 0",005?
295. На сколько болометрические поправки отлича*
ются от основных показателей цвета при болометриче*
ской светимости звезды, превышающей в 20, 10 и 2 раза
ее желтую светимость, которая, в свою очередь, больше
синей светимости звезды соответственно в 5, 2 и 0,8 раза?
296. Максимум энергии в спектре Спики (а Девы)
о
приходится на электромагнитную волну длиной 1450 А,
о
в спектре Капеллы (а Возничего) —на 4830 Айв спект-
о
ре Поллукса (р Близнецов)—на 6580 А. Определить
цветовую температуру этих звезд.
297. Солнечная постоянная периодически колеблется
в пределах от 1,93 до 2,00 кал/?м2-мин,) На сколько при
этом изменяется эффективная температура Солнца, ви-
видимый диаметр которого близок к 32'? Постоянная Сте-
Стефана а=1,354«10~12 кал/(см2-с-град4).
298. По результату предыдущей задачи найти при-
приближенное значение длины волны, соответствующей мак-
максимуму энергии в солнечном спектре.
299. Определить эффективную температуру звезд по
измеренным их угловым диаметрам и доходящему от них
до Земли излучению, указанным в скобках:
1) а Льва @",0014 и 3,23-10~u кал/(см2-мин));
2) а Орла @",0030 и 2,13-Ю-11 кал/(см2-мин));
3) а Ориона @",046 и 7,70-101 кал/(см2-мин)).
300. Видимая болометрическая звездная величина
94

звезды а Эридана равна —lm,00 и угловой диаметр
0",0019, у звезды а Журавля аналогичные параметры
H-lw,00 и 0",0010, а у звезды а Тельца + 0™,06 и 0",0180.
Вычислить температуру этих звезд, приняв види-
видимую болометрическую звездную величину Солнца рав-
равной —26т,84 и солнечную постоянную близкой к
2 кал/(см2-мин).
301. Определить температуру звезд, визуальный и
фотографический блеск которых указан в скобках:
7 Ориона A™/70 и lm,41); е Геркулеса (Зт,92 и Зт,92);<
а Персея A™,90 и 2™,46); р Андромеды B™,37 и Зт,94).
302. Вычислить температуру звезд по фотоэлектриче*
ской желтой и синей звездным величинам, указанным в
скобках: е Большого Пса (lw,50 и lw,29); р Ориона
@т,13 и 0т,10); а Киля (—0т,75 и — 0т,60); а Водолея
B™,87 и 3W,71); а Волопаса (—0т,05 и 1т,18); а Кита
;B™,53 и 4^,17).
303. По результатам двух предыдущих задач найти
длину волны, соответствующую максимуму энергии в
спектрах тех же звезд.
304. У звезды Беги (а Лиры) параллакс 0",123 и уг-
угловой диаметр 0",0035, у Альтаира (а Орла) аналогич-
аналогичные параметры О'7,198 и 0",0030, у Ригеля (р Ориона) —
0",003 и 0",0027 и у Альдебарана (а Тельца) — 0",048 и
0",0200. Найти радиусы и объемы этих звезд.
305. Блеск Денеба (а Лебедя) в синих лучах lm,34,
его основной показатель цвета +0w,09 и параллакс
0",004; те же параметры у звезды 8 Близнецов равны
4m,38, + 1т,40 и 0",009, а у звезды у Эридана 4т,54,
Н-1т,60 и 0",003. Найти радиусы и объемы этих звезд.
306. Сравнить диаметры звезды б Змееносца и звез-
звезды Барнарда, температура которых одинакова, если у
первой звезды видимая болометрическая звездная вели-
величина равна lm,03 и параллакс 0",029, а у второй те же
параметры 8W,1 и 0",545.
307. Вычислить линейные радиусы звезд, температу-
температура и абсолютная болометрическая звездная величина ко-
которых известны: у а Кита 3200° и —6т,75, у р Льва
9100° и +1т,18, а у 8 Индейца 4000° и +6т,42.
308. Чему равны угловые и линейные диаметры звезд,
видимая болометрическая звездная величина, температу-
температура и параллакс которых указаны в скобках: ц Большой
Медведицы (—0™,41, 15 500° и 0",004), е Большой Мед-
95

ведицы ( + lm,09, 10 000° и 0",008) и р Дракона ( + 2™,36,
5200°и0",009)?
309. Если у двух звезд примерно одинаковой темпе-
температуры радиусы различаются в 20, 100 и 500 раз, то во
сколько раз различается их болометрическая светимость?
310. Во сколько раз радиус звезды а Водолея (спект-
(спектральный подкласс G2Ib) превышает радиус Солнца
(спектральный подкласс G2V), если ее видимая визуаль-
визуальная звездная величина 3W,19, болометрическая поправ-
поправка —0w,42 и параллакс 0",003, температура обоих светил
примерно одинакова, а абсолютная болометрическая
звездная величина Солнца равна -Ь4т,73?
311. Вычислить болометрическую поправку для звезд
спектрального подкласса G2V, к которому принадлежит
Солнце, если угловой диаметр Солнца 32', его видимая
визуальная звездная величина равна —26т,78 и эффек-
эффективная температура 5800°.
312. Найти приближенное значение болометрической
поправки для звезд спектрального подкласса В01а,
к которому принадлежит звезда е Ориона, если ее угло-
угловой диаметр 0",0007, видимая. визуальная звездная ве-
величина lm,75 и максимум энергии в ее спектре приходит-
о
ся на длину волны 1094 А.
313. Вычислить радиус и среднюю плотность звезд,
указанных в задаче 285, если масса звезды f$ Близнецов
примерно 3,7, масса ц Льва близка к 4,0, а масса звезды
Каптейна 0,5.
314. Визуальный блеск Полярной звезды 2т,14, ее
обычный показатель цвета +0т,57, параллакс 0",005 и
масса равна 10. Те же параметры у звезды Фомальгаута
(а Южной Рыбы) 1™,29, + 0™,11, 0",144 и 2,5, а у звезды
ван-Маанена 12™,3, +0™,50, 0",236 и 1,1. Определить све-
светимость, радиус и среднюю плотность каждой звезды и
указать ее положение на диаграмме Герцшпрунга —
Рессела.
315. Найти сумму масс компонентов двойной звезды
е Гидры, параллакс которой 0",010, период обращения
спутника 15 лет и угловые размеры большой полуоси его
орбиты 0",21.
316. Найти сумму масс компонентов двойной звезды
а Большой Медведицы, параллакс которой 0",031, пери-

од обращения спутника 44,7 года и угловые размеры
большой полуоси его орбиты 0",63.
317. Вычислить массы компонентов двойных звезд по
следующим данным:
Звезда
а Возничего
а Близнецов
5 Большой
Медведицы
Угловые
размеры
большой
полуоси
орбиты
0",054
6", 29
2", 51
Годичный
параллакс
0",073
0" ,072
0\127
Период
обращения
105 дней
420 лет
59,8 года
Отношение
расстояний
звезд от об-
общего центра
масс
1Ы4
8:7
49:51
318. Для главных звезд предыдущей задачи вычис-
вычислить радиус, объем и среднюю плотность. Видимая жел-
желтая звездная величина и основной показатель цвета этих
звезд: а Возничего 0т,08 и + 0т,80, а Близнецов 2т,00 и
Н-0™,04 и g Большой Медведицы Зт,79 и +0™,59.
319. Для Солнца и звезд, указанных в задаче 299,
найти мощность излучения и потерю массы за секунду,
сутки и год. Параллаксы этих звезд следующие: а Льва
0",039, а Орла 0",198 и а Ориона 0",005.
320. По результатам предыдущей задачи вычислить
продолжительность наблюдаемой интенсивности излуче-
излучения Солнца и тех же звезд, полагая ее возможной до по-
потери половины своей современной массы, которая (в мае*
сах Солнца) у а Льва равна 5Д у а Орла 2,0 и у а Ори-
Ориона 15. Массу Солнца принять равной 2* 1033 г.
321. Определить физические характеристики компо-
компонентов двойной звезды Процйоиа (а Малого Пса) и ука-
указать их положение на*диаграмме Герцшпрунга—Рессела,
если из наблюдений известны: визуальный блеск Процио-
на 0w,48, его обычный показатель цвета + 0w,40, видимая
болометрическая звездная величина 0м,43> угловой диа-
диаметр 0",0057 и параллакс 0",288; визуальный блеск спут-
спутника Проциона 10m,81, его обычиый показатель цвета
;+0т,26, период обращения вокруг главной звезды —
40,6 года по орбите с видимой большой полуосью 4",55;
отношение расстояний обеих звезд от их общего центра
масс равно 19:7, Необходимые сведения о Солнце ука-
указаны на странице 88.
М. М. Дагаео
97

322. Решить предыдущую задачу для двойной звезды
а Центавра. У главной звезды фотоэлектрическая жел-
желтая звездная величина равна 0т,33, основной показатель
цвета +0w,63, видимая болометрическая звездная вели-
величина 0w,28; у спутника аналогичные величины суть lm,70,
г+1т,00 и 1т,12, период обращения 80,1 года на видимом
среднем расстоянии 17",6; параллакс звезды 0",751 и от-
отношение расстояний компонентов от их общего центра
масс равно 10:9.
§ 14. КРАТНЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ
ЗВЕЗДЫ
Блеск Е кратной звезды равен сумме блеска Ег всех
ее компонентов
?=?1+Е2+?з+... = 2?«, A36)
и поэтому ее видимая т и абсолютная М звездная вели-
величина всегда меньше соответствующей звездной величин
ны ть и Mt любого компонента.
Положив в формуле Погсона A11)
lg -§- = 0,4 (m0—/я)
?0=1 и /по=О, получим:
lg? = —0,4m. A37)
Определив по формуле A37) блеск ?* каждого ком-
компонента, находят по формуле A36) суммарный блеск Е
кратной звезды и снова по формуле A37) вычисляют
т = — 2,5 lg E.
Если заданы отношения блеска компонентов
и т. д,, то блеск всех компонентов выражают через блеск
одного из них, например ?2=-~ , Еъ—пЕх и т. д., и за-
затем по формуле A36) находят Е.
Средняя орбитальная скорость v компонентов затмен-
ной переменной звезды может быть найдена по периоди-
периодическому наибольшему смещению ЛХ линий (с длиной
волны к) от их среднего положения в ее спектре, так как
в данном случае можно принять
98

v = vr=*?-9 A38)
где vr — лучевая скорость и с == 3 • 105 км/с — скорость
света.
По найденным значениям v компонентов и периоду
переменности Р звезды вычисляют большие полуоси
<Х\ и п2 их абсолютных орбит:
Р, A39)
затем — большую полуось относительной орбиты
a^ai+a2 (НО)
и, наконец, по формулам A25) и A27)—массы компо-
компонентов.
Формула A38) позволяет также вычислить скорость
расширения газовых оболочек, сброшенных новыми и
сверхновыми звездами.
Примеры
1. Вычислить видимую визуальную звездную величи-
величину компонентов тройной звезды, если ее визуальный
блеск равен Зт,70, второй компонент ярче третьего в
2,8 раза, а первый ярче третьего на Зт,32.
Данные: т = 3™,70; -I5- = 2,8; тг=т3—Зт, 32.
Решение. По формуле A37) находим
lg?= - 0,4т = - 0,4.3™, 70 - - 1,480 =,520
и ? = 0,03311.
Чтобы воспользоваться формулой A36), необходи-
необходимо найти отношение E\jEz\ по A11),
lg 4r~ — 0,4 (/и8—гог)= 0,4.3"\32= 1,328,
откуда Ек = 21,3 Е3.
Согласно A3G),
99

и тогд!а
E9 = ~y = °ffi". = 0,001319 =* 0,00132,
?2=2,8?3=2,8-0,001319=0,003693=0,00369
и ?i=21,3S8=21,3.0,001319=0,028094-0,02809.
По формуле A37)
m,=—2,51gf,=—2,5.1g0,02809=—2,5.2",449=3"\88,
m2= — 2,51g?2=— 2,5.1g0,00369==— 2,5 .,567 = 6^,08,
m3=—2,51g?3=—2,54gO,00132=—2,5-lU21=7"\20.
2. В спектре затменной переменной звезды, блеск ко-
которой меняется за 3,953 сут, линии относительно их
среднего положения периодически смещаются в проти-
противоположные стороны до значений в 1,9-10~4 и 2,9* 10~4 от
нормальной длины волны. Вычислить массы компонентов
этой звезды.
Данные: (ДАД) 1 = 1.9- Ю~4; (ЛЯД) 2 = 2,9-10~4;
Р3953
Решение. По формуле A38), средняя орбитальная
скорость первого компонента
1^ = 57 км/с,
Орбитальная скорость второго компонента
t>2=87 км/с.
Чтобы вычислить значения больших полуосей орбит
компонентов, необходимо период обращения Р, равный
периоду переменности, выразить в секундах. Так как
1д=86400с, то Р = 3,953-86400е. Тогда, согласно A39),
у первого компонента большая полуось орбиты
vi_ 57-3,953-86400
а*~" 2-я Р~~ 23,14 "э
«1 = 3,10-106 КМ,
а у второго az^ -g-Р =-IS- at =¦ -|^- -3,10-106;
я2=4,73-10б км,
100

и, по A40), большая полуось относительной орбиты
а=а,^+а2=7,83- 10е; а«7,83-106 км.
Для вычисления суммы масс компонентов по форму*
ле A25) следует выразить а в а, е. A а. е.= 149,6-1.06 км)
и Р — в годах' A год=365^,3).
lg (Мх+М2) = 3 lg a-2 lg Р = 3 lg /4^,№ ~Т
-2 ig |^§ = 3 (lg 7,83 - lg 149,6) -
— 2 (lg 3,953 —lg 365,3) = 3 @,8938—2,1749) —
— 2 @,5969—2,5626) = 0,0881
или Ml + M2= 1,22^ 1,2.
OiHouieniie масс, по формуле A27),
Mj_ _ a2 _ 4,73-1Q8 _ « ro
и тогда Mi«'0,7 и М2«0,5 (в массах Солнца).
323. Определить визуальный блеск двойной звезды
а Рыб, блеск компонентов которой 4т,3 и 5т,2.
324. Вычислить блеск четырехкратной звезды 8 Лиры
по блеску ее компонентов, равному 5™,12; 6rn,03; 5m,ll
и 5т,38.
325. Визуальный блеск двойной звезды у Овна 4w,02,
а разность звездных величин ее компонентов составляет
0т,08. Найти видимую звездную величину каждого ком*
поиента этой збезды.
326. Какой блеск тройной звезды, если первый ее
компонент ярче второго в 3,6 раза, третий — слабее вто-
второго в 4,2 раза и имеет блеск 4т,36?
327. Найти видимую звездную величину двойной
звезды, если один из компонентов имеет блеск Зш,46, а
второй на lw,6? ярче первого компонента.
328. Вычислить звездную величину компонентов трой-
тройной звезды р Единорога с визуальным блеском 4т,07, ес-
если второй „компонент слабее первого^ 1,64 раза и ярче
третьего {наЛт,57.
329. Найти визуальную светимость компонентов и об-
общую светимость двойной звезды а Близнецов, если ее
компоненты имеют визуальный блеск lm,99 и 2т,85, а па-
параллакс равен 0",072.
101

330. Вычислить визуальную светимость второго ком-
компонента двойной звезды у Девы, если визуальный блеск
этой звезды равен 2т,91, блеск первого компонента Зт,62,
а параллакс O",1Q1.
331. Определить визуальную светимость компонентов
двойной звезды Мицара (? Большой Медведицы), если
ее блеск равен 2т, 17, параллакс 0",037, а первый компо-
компонент ярче второго в 4,37 раза.
332. Найти фотографическую светимость двойной
звезды ц Кассиопеи, визуальный блеск компонентов ко-
которой 3w,50 и 7т,19, их обычные показатели цвета +От,577
и -f 0m,63, а расстояние 5,49 пс.
333. Вычислить массы компонентов затмеиных пере-
переменных звезд по следующим данным:
и
WW
и
Звезда
Персея
Змееносца
Возничего
Цефея
44
180
117
120
Лучевая скорость
компонентов
км/с и 220 км/с
км/с и 205 км/с
км/с и 122 км/с
км/с и 200 км/с
Период
переменности
2Д,867
1Д,677
2Д,525
2^.493
334. Во сколько раз меняется визуальный блеск пе-
переменных звезд р Персея и х Лебедя, если у первой звез-
звезды, он колеблется в пределах от 2W>2 до 3W,5, а у вто-
второй—от 3W,3 до 14W,2?
335. Во сколько раз меняется визуальная и боломет*
рическая светимость переменных звезд а Ориона и
а Скорпиона, если у первой звезды визуальный блеск
колеблется от 0т,4 до 1т53 и соответствующая ему боло-
болометрическая поправка от —3W,1 до —3W,4, а у второй
звезды — блеск от 0т,9 до 1т,8 и болометрическая по*
правка от —2™,8 до —Зт,0?
336. В каких пределах и во сколько раз меняются
линейные радиусы переменных звезд а Ориона и а Скор*
пиона, если у первой звезды параллакс равен 0",005 и
угловой радиус меняется от 0",034 (в максимуме блес*
ка) до 0",047 (в минимуме блеска), а у второй — парал-
параллакс 0"ДI9 и угловой радиус —от 0",028 до 0",040?
337. По данным задач 335 и 336 вычислить темпера-
102

туру Бетельгейзе и Антареса в максимуме их блеска, ес«
ли в минимуме температура первой звезды равна 3200К,
а второй — 3300К.
338. Во сколько раз и с каким суточным градиентом
меняется светимость в желтых и синих лучах перемен^
ных звезд-цефеид а Малой Медведицы, ? Близнецов,
tj Орла, TY Щита и UZ Щита, сведения о переменности
которых следующие:
а
С
TY
UZ
Заезда
М. Медведицы
Близнецов
Орла
Щита
Щита
Период
з*
10
7
11
14
,97
,15
,18
,05
,74
Блеск в синих
лучах
в макси-
максимуме
2я1,50
4,38
4,08
11,79
12,43
в мини-
минимуме
2^,66
5,18
5,36
13,19
13,80
Основной показатель
цвета
в макси-
максимуме
+0w,56
+0,70
+0,59
+ 1,47
+ 1,63
в мини-
минимуме
+0'
+1
+1
+2
+2
",61
02
04
00
¦ •2
339. По данным предыдущей задачи найти амплитуд
ды изменения блеска (в желтых и синих лучах) и основ-
основных показателей цвета звезд, построить графики зави-
зависимости амплитуд от периода переменности и сформули-
сформулировать вывод об обнаруженной по графикам закономер-
закономерности.
340. В минимуме блеска визуальная звездная величи-
величина звезды 6 Цефея 4ШД а звезды R Треугольника 12т,6.
Каков блеск этих звезд в максимуме светимости, если
она у них возрастает соответственно в 2,1 и 760 раз?
341. Блеск Новой Орла 1918 г. изменился за 2,5 сут
с 10т,5 до lw,l. Во сколько раз он увеличился и как в
среднем менялся на протяжении полусуток?
342. Блеск Новой Лебедя, обнаруженной 29 августа
1975 г., до вспышки был близок к 21т, а в максимуме
увеличился до 1тэ9. Если считать, что в среднем абсо-
абсолютная звездная величина новых звезд в максимуме
блеска бывает около —8т, то какую светимость имела
эта звезда до вспышки и в максимуме блеска и на ка-
каком примерно расстоянии от Солнца звезда находится?
103

34&.Эмиссионные водородные линии Щ ^486} А)л\
Н< D340 А) в спектре Новой Орла 1918 г. бти Смеще-
Смещены к фиолетовому концу соответственно на 39,8 А и
35,6 А, а Ъ спектре Новой Лебедя 1975 г. —на 40,5 А и
о '
36,2 А. С какой скоростью расширялись газовые оболбч-
ки, сброшенные этими звездами?
344. Угловые размеры галактики М81 в созвездии
Большой Медведицы равны 35'Х14', а галактики М51
в созвездии Гончих.Псов—14'Х10', Наибольший блеск
сверхновых звезд, вспыхнувших в разное время в этих
галактиках, был равен соответственно 12т,5и 15'м,1. При-
Приняв в среднем абсолютную звездную величину сверхно-
сверхновых звезд в максимуме блеска близкой к —15т,0, вы-
вычислить расстояния до этих галактик и их линейные раз-
размеры.
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ЗВЕЗД
И ГАЛАКТИК В ПРОСТРАНСТВЕ
Пространственная скорость V звезд всегда определя-
определяется относительно Солнца (рис. 10) и вычисляется по
лучевой скорости Vr, направленной вдоль луча г, соеди-
соединяющего звезду с Солнцем, и по тангенциальной ско-
скорости W.
V/ V2 A41)
Звезда
Направление прост*
ранственной скорости V
звезды характеризуется
углом д мейсду нею и лу-
лучом зрения наблюдателя;
очевидно.
Звезда в
наибольшем
сближении
с Солнцем
Солнце
Рис. 10, Движение звезды относи-
относительно Солнца
cos &=--?-
и sin
(Ц2)
- Vt
" V >
причем 0°^Ф 5^180°.
Из наблюдений опре*
деляется лучевая ско-
скорость vr звезды относи-
относительно Земли. Если в
спектре звезды линия с
104

\ волны V сдбий^та " от спЫгд нормального
(лабораторного)* положения на величину &х мм, а дис-
дисперсия спектрограммы на данном ее участке равна
D А/мм, то смещение линии, выраженное в А,
ЬХ^Г—\=bx-D A43)
и» по A38), лучевая скорость
ДА
V* C \ >
где с==3* 105 км/с — скорость света.
Тогда лучевая скорость в килбметрах в секунду отнб-
сителыю Солнца
Vr=i>r—29,8-sin(Ь.—&0 )cosp*f A44)
где Я*— эклиптическая долгота и ?* — эклиптическая
широта звезды, Xq — эклиптическая долгота Солнца в
день получения спектрограммы звезды (заимствуется из
астрономического ежегодника), а число 29,8 выражает
круговую скорость Земли в километрах в секунду.
Скорость У г (или vr) положительна при направлении
от Солнца' (или от Земли) и отрицательна при обратном
направлении.
Тангенциальная скорость Vt звезды в километрах в
секунду определяется по ее годичному параллаксу & и
собственному движению jx, т. е. по дуге, на которую сме-
смещается звезда на небе за 1 год:
F,= 4,74 ^ = 4,74^.г, A45)
причем )li и я выражены в секундах дуги ("), а расстоя-
расстояние г до звезды — в парсеках.
В свою очередь, ц определяется по изменению эквато-
экваториальных координат а и б звезды за под (с учетюм пре-
прецессии):
]/ ) .146)
причем компонент собственного движения звезды по пря-
прямому восхождению [ха выражен в секундах времени (с),
а компонент по склонению jm-з —в секундах дуги (").
Направление собственного движения \х определяется
позиционным углом ф, отсчитываемым от направления к
северному полюсу мира:
Уъ 154ua cos ь
cos ф = — и sin Ф =—-—-Т9 A47)
причём ф в пределах от 0° до 360°.
105

По рисунку 10 нетрудно подсчитать интервал време*
ни А/, отделяющий нас от эпохи, в которую звезда про-
ходила (или пройдет) на минимальном расстоянии гт
от Солнца.
У галактик и квазаров собственное движение jji=O, и
поэтому у них определяется только лучевая скорость Vr,
а так как эта скорость велика, то скоростью Земли пре-
пренебрегают и тогда Vr=vr. Обозначая-у- = г, получим
для сравнительно близких галактик, у которых
Vr=cz, A48)
и, согласно закону Хабб^а, их расстояние в мегапарсеках
(Мпс) *
г
Г — // — 50 '
где современное значение постоянной Хаббла #=
= 50 км/с-Мпс.
Для далеких галактик и квазаров, у которых г>0,1,
следует пользоваться релятивистской формулой
а оценка их расстояний зависит от принятой космологи-
космологической модели Вселенной. Так, в закрытой пульсирующей
модели
а в открытой модели Эйнштейна — де Ситтера
<152>
Примеры
1. В спектре звезды линия гелия с длиной волны
о
5016 А сдвинута на 0,017 мм к красному концу, при дис-
о
персии спектрограммы на этом участке в 20 А/мм. Эк-
Эклиптическая долгота звезды равна 47°55/ и ее эклиптиче-
эклиптическая широта — 26°457, а во время фотографирования
спектра эклиптическая долгота Солнца была близкой к
223° 14'. Определить лучевую скорость звезды.
* 1 Мпс-10бпс.
106

о
Данные: спектр, Х=5016 А, Лх=+0,017 мм, .
D=20 А/мм;
звезда, Я* = 47°55/, Р*=—26°45';
Солнце, Я0=223° 14'.
Решение. По формулам A43) и A38) находим
смещение спектральной линии:
и лучевую скорость звезды относительно Земли:
vT = с 4- = 3.10». ±||4; vr = + 20,5 км/с.
Чтобы использовать формулу A44) для вычисления
лучевой скорости Vr звезды относительно Солнца, необ-
необходимо по таблицам найти
sin(X.—A© ) = sinD7°55'—223°14') =—0,0816
и cosp* = cos(—26°45') = +0,8930,
и тогда t^=tv—29,8-sin(ta—A0)cosp* =
= +•20,5+29,8-0,0816.0,8930=+22,7; 1/, = +22,7 км/с.
2. В спектре квазара, фотографический блеск кото-
которого 15т,5 и угловой диаме1р 0^,03, эмиссионная линия
о
водорода Нр с длиной волны 4861 А занимает положе-
о
ние, соответствующее длине волны 5421 А. Найти луче-
лучевую скорость, расстояние, линейные размеры и свети-
светимость этого квазара.
Данные: тР8= 15™,5, Д = 0",03;
Н,* , >/=5421 А°, я=4861 А.
Решение. По формуле A43), смещение спектраль-
спектральной линии водорода
АХ = }/ — X = 5421 — 4861 = + 560 А
.-¦?--+-??--+ 0,115,
и так как 2>0,1, то, согласно A50), лучевая скорость
;
(г+1)«-1 @t115+lg^
г (-г+1J+1
или Vr=0,108-3« 105 км/с= +32400 км/с.
По формуле A51), в закрытой пульсирующей модели
Вселенной расстояние до квазара
г _ 3-Ю5 0,115
Г Н ' \+г 50 * 1 + 0,115'
107

r = 619 Mnp=619-
или r*^619*l О6-3,26 ев, лет=2,02
Тогда, по E5), линейный диаметр квазара
^ Щ = 90 пс/,
или D=90 -3,26=293 св. гола.
Согласно A17), его абсолютная фотографическая звезд-
звездная величина
Mpg=mpg+5—51gr=15™, 5+5—lg619-106= — 23W,5
и,, по формуле A20), логарифм светимости
—Mpg) =0,4- Em,36 + 23™,5) = 11,54,
откуда светимость Lpg = 347-109, т. е. равна светимости
347 миллиардов звезд типа Солнца.
Те же величины в модели Эйнштейна — де Ситтера
получаются по формуле A52):
- Н [l yj+z )~ 50 [1 /-1+0,115 Г
г = 636 Мпс;
или г=636-106 -3,26 св. лет. = 2,07-109 св. лет, D =
=92,5 пс=302 св. года и с той же степенью точности
Afpg=— 23"\5 и Lpg=347.109.
345. Линии поглощения водорода Н^ и Hs , длина
о о
волны которых 4861 А и 4102 А, смещены в спектре звез-
о
ды к красному концу соответственно на 0,66 и 0,56 А.
Определить лучевую скорость звезды относительно Зем-
Земли в ночь наблюдений.
346. Решить предыдущую задачу для звезды Регула
(а Льва)., если те же линии в ее спектре смещены к фио-
о о
летовому концу соответственно на 0,32 А и 0,27 А.
347. В какую сторону спектра и на сколько милли*
метров сдвинуты линии поглощения железа с длиной вол-
о о
ны 5270 А и 4308 А в спектрограмме, звезды с лучевой
скоростью —60 км/с, если дисперсия спектрограммы на
о о
первом ее участке равна 25 А/мм, а на втором 20 А/мм?
348. Вычислить положение водородных линий погло-
поглощения Н^, Н§ и Нх в спектрах звезд, лучевая скорость
103

одной из которых относительна Земли равна —50 км/с,
а другой +30 км/с. Нормальная длина вблны этих лнниб-
соответственно 4861, 4102 и 3750 А.
349. Звезды р Дракона и у Дракона находятся вбли-
вблизи северного полюса эклиптики. Линии железа с
о о
Я=5168 А и Я=4384 А в спектре первой звезды смеще-
о о
ны к фиолетовому концу на 0,34 А и 0,29 А, а в спектре
о о
второй звезды — на 0,47 А и 0,40 А. Определить лучевую
скорость этих звезд.
350. Найти лучевую скорость звезды Канопуса
(а Киля), если в ночь наблюдений эклиптическая долго-
долгота Солнца была близкой к эклиптической долготе звез-
о о
ды, а линии поглощения железа Е E270 А) и G D326 А) в
спектрограмме звезды сдвинуты к красному концу соот-
соответственно на 0,018 мм и 0,020 мм, при дисперсии
о о
20 А/мм на первом участке спектрограммы и 15 А/мм на
втором ее участке.
351. В ночь фотографирования спектра звезды Беги
(а Лиры) ее эклиптическая долгота отличалась от эклип-
эклиптической долготы Солнца на 180°, и линии поглощения
о о
водорода Нр D861 А) и Нт D102 А) оказались сдвину*
тыми к фиолетовому концу спектрограммы соответст-
соответственно на 0,0225 мм и 0,0380 мм при дисперсии на участ*
о о
ках расположения этих линий равной 10 А/мм и 5 А/мм.
Найти лучевую скорость Веги.
352. При каких условиях поправка приведения луче-
лучевой скорости звезд к Солнцу равна нулю и при каких её
абсолютное значение становится наибольшим?
Звезда
а Близнецов
7 Близнецов
р Близнецов
Р Гончих
Псов
Склонение
+32° 001
+ 16 27
+31 53
+41 38
Годичный
параллакс
0",072
0,031
0,059
0,108
Компоненты собственного
движения
- по а
-0с,0130
+0,0033
+0,0121
-0,0629
по 5
—О", 110
—0,046
+0,154
+0,284
109

353. По приведенным в таблице сведениям вычислить
величину и позиционный угол тангенциальной скорости
звезд (см. с. 109).
354. Вычислить тангенциальную скорость звезд, па«
раллакс и собственное движение которых указаны после
их названий: Альтаир (а Орла) 0",198 и 0",658; Спика
(а Девы) 0",021 и 0",054; в Индейца 0",285 и 4",69.
355. Для звезд предыдущей задачи найти компонен-
компоненты собственного движения по экваториальным координа-
координатам. Позиционный угол собственного движения и склоне-
склонение каждой звезды указаны после ее названия: Альтаир
54°,4 и +8°44'; Спика 229°?5 и —10°54'; е Индейца 123°,0
и —57°00'.
356. За какой интервал времени и в каком направле-
направлении звезды предыдущей задачи сместятся на диаметр
лунного диска C0') и какими будут тогда их экватори-
экваториальные координаты в координатной сетке 1950.0, если в
настоящее время в этой же сетке их координаты: у Аль-
таира 19Ч8м20с,6 и +8°44'05", у Спики 13Ч22М33С,3 и
—10°54'04" и у е Индейца 21ч59мЗЗс,0 и —56°59'34"?
357. Какими будут экваториальные координаты звезд
предыдущей задачи в 2000 г. в координатной сетке этого
года, если в местах их положения годовая прецессия по
прямому восхождению и по склонению (в последователь-
последовательности перечисления звезд) равна 4-2°,88 и +9",1; +3c,i6
и —18",7; +4<\10 и +;17",4?
358. Лучевая скорость звезды Ахернара (а Эридана)
равна +19 км/с, годичный параллакс 0",032 и собствен-
собственное движение 0А/,098, а у звезды Денеба (а Лебедя) ана*
логичные величины равны соответственно — 5 км/с,
0",004 и 0",003. Найти величину и направление простран*
ствеииой скорости этих звезд.
359. В спектре звезды Проциона (а Малого Пса) ли-
о о
нии поглощения железа с длиной волны 5168 А и 4326 А
смещены (с учетом скорости Земли) к фиолетовому кон«
о о
цу соответственно на 0,052 А и 0,043 А. Компоненты соб-
собственного движения звезды равны — 0с,0473 по прямому
восхождению и —Г',032 по склонению, а ее параллакс
0",288. Найти величину и направление пространствен-
пространственной скорости Проциона, склонение которого +5°29'.
360. На спектрограмме звезды Капеллы (а Возниче*
ПО

гоу линии поглощения железа с длиной волны 4958 А
о
и 4308 А сдвинуты к красному концу на 0,015 мм при ди-
дисперсии на этих участках соответственно 50 А/мм и
44 А/мм. Склонение звезды Н-45°58', эклиптическая дол-
долгота 8Г10', эклиптическая широта + 22°52', параллакс
0",073, а компоненты собственного движения -|-0с>,0083 и
—0",427. В ночь наблюдений эклиптическая долгота
Солнца была 46°18/. Узнать величину и направление про-
пространственной скорости звезды.
361. В настоящую эпоху визуальный блеск звезды
Беги (а Лиры) -f 0m,14, ее собственное движение 0",345,
параллакс 0",123 и лучевая скорость—14 км/с. Найти
эпоху наибольшего сближения Веги с Солнцем и вычис-
вычислить для нее расстояние, параллакс, собственное движе-
движение, лучевую и тангенциальную скорость и блеск этой
звезды.
362. Решить предыдущую задачу для звезды Толима-
на (а Центавра), визуальный блеск которой в современ-
современную эпоху равен +0™,06, собственное движение 3",674,
параллакс 0",751 и лучевая скорость —25 км/с. Какими
были искомые величины 10 тыс. лет назад и какими они
будут через 10 тыс. лет после эпохи наибольшего сбли-
сближения?
363. В спектрах, далеких галактик и квазаров наблю-
наблюдается смещение линий к красному концу (красное сме-
смещение). Если это явление интерпретировать как эффект
Допплера, то какой лучевой скоростью обладают назван-
названные объекты при красном смещении, составляющем со-
соответственно 0,1, 0,5 и 2 длины волны спектральных ли-
линий?
364. По данным предыдущей задачи вычислить рас-
расстояния тех же объектов в двух космологических моде-
моделях, приняв постоянную Хаббла равной 50 км/с-Мпс.
365. Найти красное смещение в спектрах внегалакти-
внегалактических объектов, соответствующее лучевой скорости, рав-
равной 0,25 и 0,75 скорости света.
366. Какое получится различие в лучевых скоростях
объектов предыдущей задачи, если вместо релятивист-
релятивистской формулы эффекта Допплера использовать обычную
сЬормулу этого эффекта?
Ill

ках:
367. В таблице приведены сведения о трех галактя*
Обозначение
галактики
М101
М96
М83
Созвездие
Б. Медведица
Лев
Волосы Веро-
Вероники
Видимые
размеры
28'х28'
п х 8
9X6
Видимая
звездная
величина
8^,2
10,0
10,1
Смещение
спектральных
линий Н и К
6.9А
10,3
15,8
Зная, что у линий Н и К ионизованного кальция длина
о о
волны 3968 А (Н) и 3934 А (К), вычислить лучевую ско«
рость, расстояние, линейные размеры, абсолютную звезд-
звездную величину и светимость этих галактик.
368. В спектре квазара СТА 102, имеющего блеск
17тД смещение эмиссионных линий превышает соответ-
соответствующую длину волны в 1,037 раза, а в спектре кваза-
квазара PKS 0237—23 (блеск 16"\6) —в 2,223 раза. На каких
расстояниях находятся эти квазары и чему равна их све-
светимость? Задачу решить по двум космологическим мо«
делям.
369. Вычислить расстояние, линейные размеры и све-
светимость квазара ЗС 48, если его угловой диаметр равен
0",56, блеск 16т,0, а линия X 2798 ионизованного магния
смещена в его спектре до положения X 3832.
370. Решить предыдущую задачу для квазара ЗС 273
с угловым диаметром 0",24 и блеском 12W,8, если эмисси-
эмиссионные линии водорода в его спектре сдвинуты:
Нр (Х4861) до Х—5640 А; Нт (X 4340) до
X = 5030 А и Н8 (X 4102) до X = 4760 А.
371. У одного из наиболее удаленных квазаров крас-
красное смещение составляет 3,53 нормальной длины спект-
спектральных линий. Найти лучевую скорость квазара и оце-
оценить расстояние до него.

ОТВЕТЫ
1. 0* и 90°; + 23°27' и 66°33'; +66*33' и 23°2Г; +90° и 0°.
2. 4°35'ю и +85о25'ю; 16°38'с и + 73°22'с.
3 i1°02'N, +78e58'N, 180° и О4; 71°31'S, + 18°29'S, 0° и О4;
12°45'S, -f 77°15'S, 0е и О4; 95°18'S, —5°18'S, 0J и О4.
4. 89°04'с и + 0°56'с.
5 179°04'с и — 89°04'с.
6. ф = 6 = 0с; 6=*ф=«+45о0'; 6.== <р = — 45°0'.
7. Ответ см. в таблице на с. 114.
8. бя—6i; 2<р—(Л1 + 62); ба—бг, 62—61.
9. 18°5Г, 0° и О4; 11°47', 180° и О4, 0° и О4; 18°5Г, 180° и 12Ч.
10. 180°—2ф и 180°—26.
11. 6444'; 97°24'.
12. НПО'; —16°25'<<р< +16'25'.
13. ф2—Фь |фа+ф!—2б|; ф2—ф!1 фг—фь
14. 14*57'; 22*0Г; 22°0Г.
15. +62°0Г и 27°59'; в точке юга невозможна; +27°59' и 62ЧП';
южный полюс +29°54/ и 60°06'; +60°06' и 29С54'; в точке се-
севера невозможна.
16. В Горьком круглосуточно; в Ашхабаде заходит.
17. В Кирове круглосуточно; в Ла-Плате заходит.
18. В Петрозаводске +6Г47' незаходяшие; —6Р47' невосходящие,
В Тбилиси +4Г427 и —41°42Г восходят и заходят,
в Канберре —35°20' и +35°20' тоже заходящие.
19. 4-5Г16' и —70°20'.
20. Н-гЭ^ и +37°20' (в Кушке видна).
21. — 49°14' и +63°41'.
22. <— 40°34'; Ч-27°59/>ф>—27°59'; ^+40°34/.
>+33°10л; +27°11/>ф>—27°1Г; ^—33°10'.
23. 23°27'.
24. 23°5Г.
25. —0",48; изменение наклона земной оси.
26. Ответ см. в таблице на с. 114.
27. В день зимнего солнцестояния hn — —hB дня летнего солнцестоя-
солнцестояния. Вблизи летнего солнцестояния в Петрозаводске белые
ночи, в Москве светлые, в Ашхабаде темные ночи.
28. Петрозаводск: 9,44:5,69:1; Москва: 4,51:3,00:1; Ашхабад:
2,01:1,64:1.
Ашх.:Моск.:Петр.: 1,24:1,08:1; 1,67:1,19.1; 5,81:2,25:1.
29. Ответ см. в таблице на с. 114.
Экватор . 2,30 2,51 1,34
Тропик 2,51 2,30 1
Полярный круг 1,83 1
Полюс 1 —
1,72:1,87:1
2,51:2,30:1
1,83:1 —
1
31. <-~69°,6, +21°19', ^+67°,8; ^+74e,2t -16°43', ^-7
113

114

32. В зените: 21.111 и 23IX; 21 VI (сев.) и 22.XII (юж); 9 IV и
2.IX, 27.1 и 15.XL
В надире: 21.III и 23.IX; 22.XII (сев.) и 21.VI (юж.); ПН и
13.Х; 14.V и 30.VII.
33. +12°46'; + 77°14' ю и — 77*14' с; +79°1Э' с и —53°47' с;
+ 53°47' ю и —79° 19' ю.
34. + 34°08'; + 55°52' ю и —55°52' с; + 79°19' ю и — 32°25' с;
+32°25' ю и —79°19' с.
35. ±24°48' и ±65°12'; ±3°07' и ±86°53/; ±82° и ±8°.
36. Марс: сходно с земными, от 4-24°48' до — 24°48';
Юпитер: сходно с земными, от +3°07/ до —3°07';
Уран: противоположно земным, от +82° до —-82°»
37. Экватор: 7,19:1; пол. круг.: 3,58:1; тропик: 1:7,19.
Полярные дни и ночи в зоне +8°^ф^+90°; в зените
0°^ф^82° (то же и в южном полушарии). В районе полю-
полюсов до 42 земных лет.
38. +23°,0 и +18°,4; невозможны (ср<4-65°,6).
39. С 9.VI по 3.VII; с 13.V по 31.VII.
40. Мурманск: примерно в период с 28.IV до 20.V и с 24.VII до
15.VIII; с 21.V до 23.VII; с 2.XII до ИЛ; -Н4°28' ю и
+ 2°26' с Хатанга: с 18 IV до 8.V и с 5.VIII до 24.VIII; с 9.V
до 4.VIII; с 17.XI до 261; + 4Г29' ю и + 5°25' с.
41. Равноденствия: ±89°,0, не бывает; ±83°,0 и ±72э,0;
летнее солнцестояние: +65°,6; —67°,5; +59°,4 и + 48°,5;
зимнее солнцестояние: —65°>6; +67°,5; —59°,4 и —48°, 5.
42. «16IV и 27.VIII, +73°, +79° и —81я; »26.V и 18.VII,
+ 62°, +68°, —70°
43. 22Ч54М53С и 10ч54м53с.
44. 1Ч54М25° и 6Ч54Л137°.
45. 5ч07м37с и 8434w0Gc.
46. 12^29^18° и 15Х155М47С.
47. 5ч15м36с-78°54',0 и — 11TJ27M51с = 12ч32м09с == 188°02/,2.
48. 4ч26м08с, 0ч и —0ч53м44с; 16ч26м08с, 12Ч и 11ч0бм16с.
49. 15ч19м00с и 23Ч49МС4С«— 0ч10м56°.
50. 6Ч36М38С и 8Ч12М34С.
51. 17ч53»01в и 4ч316с; 0^27^10° и 1Р05«15в.
52. 2Ч53М12С и 14Ч53М12С; 5ч20м0° и 17ч20м0е,
53. 1Ч46М18С«26°34',5 и 10ч34м22с«158°35/,5.
54. 21Ч38*37С; 9Ч38М37С и 2ч03м53°,
55. +2М52° и 16ч50м32с.
56. —19м 13°, — 18м01с, +1М12° и +ЗвД
57. 14ч40м24с и 2ч40м00°.
58. 11Ч35М34С, Пч52«06° и 12ч52м06с; 16Т110м43°, 16ч52м06с и
17ч52^0бс.
59. 16ч17м04с, 16ч04м08с и 17ч04м08°; 18ч55м30с, 19ч04м08° и
20ч04м08с.
60. —18М58С и 4-41 2е.
61. В Баку: Гд, Тх и Тп\ в Новосибирске: Гд, Тп и Гх .
62. В Ростове: 12Ч12М, 12Ч33» и 13Ч33М; 0ч12м, 0^33м и 1Ч33М;
ПЧ45М, 12ч06м и 13ч06м; 23Ч45", 0ч06м и 1ч06м;
В Оренбурге: 12Ч12М, 12Ч31М и 13Ч31М; 0ч12м, 0ч31м и Р31М-
11Ч45М, 12ч04м и 13ч04м; 23'Ч5М, 0ч04" и 1ч04м
63. В Киеве: 14<Ч34М, 14Ч32М и 15Ч32М; в Хабаровске; 21Ч32»
2Р32* и 22^32М,
115

64. 17ч03м я'ДООЗ» (Татарская АССР живет по поясному времени J.
65; а Краснодаре — поясное время: 18 ноября 23*38^,5 и 19 ноября
Зп08м,2; в Иркутске — декретное время: 19 ноября
4Ч38*,5 п 8ч08м,2; в Ташкенте — декретное время;
19 ноября 2Ч38М,5 и 6ч08м,2.
66. 21 июня в 21Ч38М; 22 июня в 2Ч38Я; 22 июня в 0п38м.
67. —1Ч32М, —12м и 1942я; — ЗМО", —2Ч12М и 21Ч12».
68. Московское время: 9ч20м, 12Ч45М и 3Ч25М.
69. Московское время: 13М0м, 16ч20м, 240м.
70. -f 48°20' и + 63°26'; +63О26' и 4-48°20/; +58°28' и -4-49с08';<
—47°5Г и —59°46'.
71. —$°?6' и +74°22'.
72. +28° 19' и — 66°38'.
73. +45°58'.
74. + 57° 19' и — 29°54'.
75. —48°53' и +4Г42/.
76. 18П53М37С и 20ч 18*45°.
77. 23ч01 M_2j[c jl0105м48е.
5T'^r'D8Ml80 и +23657/; вблизи точки летнего солнцестояния.
79. 1Ч33М12° и +8°07'.
80. 1 мая: 2Ч34М,7 и +15°10/; 11 августа: 9Ч25М,3 и +15е10';
21 ноября: 15М7М,8 и —19в59'; 21 января: 20ч12м,2 и —19°59'.
81. 4М6М47С и +22023'; 4чЗЗм03° и +\Ь°25'.
82. 14ч08м37° н —13°007; 14Ч14М31С и +19°19\
83. +48°30'.
84. +38°35/, —ВЧБ' и + 49°4Г.
85. 4ч26м30с-66°37/,5.
86. —5Ч24М36С»—75°09/,0 и +43°48/.
87. 5ч44м05с н +69°35'.
88. 4Ч27М42° и +41°40/.
89. — 1Ч53М,8=~28°27/ и +37°38'; 26—27 июня, в районе Азорских
островов.
90. 23ч56м04с и 11ч58м02*.
Д52«15ч17м17с^АГ2=а15ч14м47° (после v Ориона).
92. Ич01м22° и 14Ч6м50с.
93. 17Ч22М38С, 5Ч22М38С, 18Ч35М58° и ИЧ39М48С.
94. 8 февраля: 9М4М, 9Ч47М и 8Ч47М; 1 сентября: 22П32М, 23ч05м
и 22ч05м.
95. Сириус: 1 или 2 января и 1 или 2 июля,
Антарес: около 26 мая и 27 ноября.
96. 14ч41м09с и 17ч05мЗЗс.
97. 19436W52C, 20ч07м14с и 19ч07м04с; 7Ч34М54С, 8ч05м16с и
7ч05м06с.
98. 9ч04м29°, 9Ч15М57С и 8Ч15М47С; 21ч02м31с, 2Р13М59С и
20ч13м49с; 9ч03м56с, 8ч37м02с и 7Ч36М52С: 21ч01м58с, 20435w04c
и 19^34^54°.
99. 16М0м14° и 4М1М44°.
100. а Андромеды: 15Ч59М57С и 0ч08м59с;
Э Льва: 4Ч19М14С и 12Ч28М16°.
101. Бетельгейзе: 12Ч42М45С и 21ч35м00с; Спика:' 5ч12м40с и
14ч04м55с.
102. Поллукс: 22ч20м48° и 16Ч34М48С; Арктур: 16^52М49С и
1Р06м49°,
116

103. Капелла: 22 марта, 5ч13м00с, 17ч15м10°, 17ч05м10<* и 18ч05мЮ";
\rWW>&l708* 5070& $ШШс 22
, %, И
17МЗ«00с,- 23Ч\БМ2В^ и 23чО5м25€ ' (яеред началом
данной даты) или 2ач11м29с и 23ч01м29° (в данную
дату) и 0ч05м25*.
Вега? 22 марта, 18Ч35М15°, 6чЗ$м10°, 6ч29м10с и 7Ч29М10С;
*6Ч35МЩС, 18Ч37М12С, 18Ч27М12С и 19Ч27М12«; 22 июни,
18Ч35М15С, G433*3QC, 0ч23м30° иЛч23м30с; 6*35М15С,
12Ч31М32С, 12"*21М32С и 13Ч21М32С.
1041 Сириус: 1Чйн\Вс и 13Ч11М22С; Альтаир: L4449M33C и 2Ч18М33С.
105. 4Ч52М31С и 13Ч37М24С; 5Ч19М37С и 14Ч04М30*.
106. 6ч57м48с = 104°27/,0 и 11Ч7м36° = 169о24',0
107. Л = 140°11' и z=16°01'; Л=—30°54' и z = 77°58'.
108. 15 апреля, Л--=—85С42' и г=63°0Г; Л==—51с20' и г-=87°09';
20 августа, Л = +48°28' и г-50о07'; Л==+70°11/ и z=95°06'.
109. Уран: Л==— 7°36' и г-52°56л, Нептун: Л*—45О42' и z*76°26'.
110. На ф = +68°20' всегда над горизонтом. На ф^=+37°45'
S = 22441M,5, 6ч00м,0 и 13Ч18М,5, AS=14437M; 22 марта
Гд = 11ч45м, 19ч02м и 26Ч19М = 2Ч9М B3. III), ЛГ=14Ч34М;
22 июня 7Д = 5Ч43М, 13ч00м и 20ч17м, АГ-=14Ч34М.
111. На ф=+68°59' Кастор не заходит, Антарес не восходит.
На ф = + 37°45/ Кастор 15 апреля: 226°4Г и Пч03м; 0° и
19ч05м; 133°19' и Зч08м; 180° и 7ч07м; 15 октября: азимуты —
те же; 23ч04м, 7ч06м, 15ч08м и 19ч04м. Антарес, 15 апреля:
303°34' и 23ч30м; 0° и 4ч03м; 56°26' и 8Ч36М; 180е и 16-4I";
15 октября: азимуты —те же; 11Ч27М, 15Ч59М, 20ч32м и 3Ч57М.
112. На ф«+59°57', равноденствие: 268°32' и 6Ч25М; 0° и 12Ч31М;
91°28/ и 18Ч38М; Ч-ЗО^З' и —30о03Л; 12М4М. Летнее еолйцестоя-
ние: 254°52' и Зч00м; 0° и 12Ч25М; 145°08' и 21Ч51М; +53°30'
и — 6°36' (белая ночь); 18Ч52М. Зимнее солнцестояние: 320°17'
й 9*25»*; 0° и 12*22М; 39°43' и 1548м; +6°36/ и —53°30г; 5Ч53*.
На ф^+бЭ0^' в день равноденствия: 267°457 и 7ч04м; 0° и
1344м; 92°15' и 19Ч23М; +20°42' и ~20°42^ 12Ч19^.
21.VI б>(90°—ф), не заходит; +44°09' и +2°45/, а с учетом
средней рефракции +3°00/ (полярный день); 22.XII 6<—
— (90°—ф), не восходит; -—245' (сумерки) н —44°09' (поляр-
(полярная ночь).
ИЗ. Сириус в 8ч43мг Регул в 17Ч27М; Капелла в 19'ч01м.
114. 17ч07м,8 и —8°11'; 16Ч33М,1 и +1Г10л.
115. 9,02 а. е. и 10,06 а. е.; 29,83 а. е. и 30,31 а. е.
116. 29,83 а. е. и 29,52 а. е., Плутон — ближе.
117. t) = arccos (—е).
118. 0,093 и 1,38 а. е.; 0,777 и 0,44 а. е. Адонис — ближе.
119. 1,081 а. е. и 1,975 а. е.; 3,930 а. е. и 4,641 а. е.
120. 225 сут и 5,458 года.
121. 1,8! года и 919 лет.
122. 3-\55 и 7М5.
123. 185,3-103 км и 526,7-103 км.
124. 0,017; перигелий и афелий.
125. 0,158, 2,056 а. е. и 2,828 а. е.; 0,132, 2,716 а. ё. и 3,542 а. е.
126. 1,467 а. е. и 0,533 а. е.; 2,666 а. с. и 0,382 а. е.
127. От 23'12" до 19'16".
128. 0,017, 0,983 aVe. и 1,017 а. е.; 1,07; 1,09, 1,67 и 7,04.
117

129. 6,80 км/с и 4,74 км/с.
130. 28,7 км/с, 17,9 км/с и 13,0 км/с.
131. i5==arccos (—e).
132. 2,734 а. е. и 3,102 а. е.
133. 88Д; 0,387 а. е.; 0,206; 0,467 а. е.; 1,467 а. е.; 0,533 а. е.;
47,9 км/с; 2,31; 29,53 года; 9,554 а. е.; 0,055; 10,079 а. е.;
11,079 а. е.; 8,024 а. е.; 9,63 км/с; 1,25.
134. 3 апреля 1974 г. и 12 июня 1977 г.
135. 6 декабря 1975 г. и 2 февраля 1976 г.
136. 341° и 16°.
137. 266° и 112°.
138. 8 октября 1975 г. и 22 апреля 1975 г.
139. 20 июня 1976 г.
140. 5 апреля 1977 г.
141. 19 мая 1975 г.
142. Вблизи 2 декабря 1980 г.
143. 0°; 62°; 0°; 180°; 0°.
144. 270°; 270°; 225°; 270°; 349°.
145. 7,26 года.
146. Марс: 15 и 17 лет; 56,7-10б км и 398-106 мк.
Эрот: 37 лет и 44 года; 20,3-106 км и 416-Ю'5 км.
147. 6371 км и «1/300.
148. 41,40-106 км, 149,6-106 км и 8,794.
149. 149,6-106 км и 8",794.
150. 57/02//, 61'31" и 53'55"<
151. ЗЗ'З!" и 29'22".
152. 381 860 км и 0,0634; 382 140 км и 0,0641.
153. 79,80-106 км и 0,206.
154. 22,58-106 км-0,151 а. е., 1,458 а. е. и 0,222.
155. 0",48, 0",51 и 0",46; 0'',302, 0",305 и 0",300.
156. От 8",943 до 8",650,
157. 1736 км.
158. 71400 км, 69 900 км, 67 000 км и «1/16; 60 000 км, 58 000 км,
54 200 км и ^1/10.
159. 30 500 км и около 5-Ю6 км.
160. 109,1 или 696 000 км, 570 км и 17 200 км.
161. 421,8-103 км, 670,9-103 км, 1070-103 км и 1882103 км.
162. 9400 км и 23 500 км.
163. 0",549 с-^^бб-Ю-6 рад/с; 4,62 м/с, 4,00 м/с и 2,31 м/с.
164. О',61О с-* = 36",6 с-1 и 12,7 км/с; О',605 с^-Зб^З с-, 10,6 км/с
и 6,13 км/с.
165. 24Ч37М,4=24Ч37М24С; 241 м/с, 226 м/с и 155 ч/с.
166. 60°,0; 75°,5 и 82°,8.
167. 176* и 29Д,53.
168. 23Ч52М,2; 25Д,42; 35^,2.
169. 117Д и 8,24 года-13,37-Г.
170. 35,02 и 49,52; 29,78 и 42,11; 13,06 и 18,47; 4,74 и 6,70 (все —
км/с).
171. 15,2 и 11,3; 13,4 и 12,8 (км/с); 2,27 а. е.
172. 47,9, 59,0 и 38,9; 24,1, 26,5 и 21,9 (км/с).
173. 0; 36,4; 13,5; 13,9 (км/с).
174. Лидия: 18,0, 19,5 и 16,7 (км/с); 18,0 и 25,4; 18,8 и 26,6; 17,4
и 24,6 (км/с). Адонис: 21,2, 60,0 и 7,5 (км/с); 21,2 и 30,0; 45,1
и 63,8; 15,9 и 22,5 (км/с),
118

175. 0,327 а. е. и 0,440 а. е.
176. 26,4? км/с; 25,33 и 35,82 (км/с).
177. 30,55 км/с; 27,75 и 39,24 (км/с),
178. 0,42 а. е.
179. 1^ = 160 км/с>1>п=159 км/с, по гиперболе; vg^36,5 KM/c<t'n:s=a
= 37,9 км/с, по эллипсу, 7=26,7 года.
180. 4,356 года; 2,667 а. е.; 0,115; 2,360 а. е.; 2,974 а, е.; 18,24 км/с
и 16,24 км/с.
181. 3,19 а. е.; 5,70 года; 1,21 года-442д; 18,29; 18,10; 16,83 и
16,01 (км/с).
182. 0,107.
183. 14,7.
184. 333 000.
185. 22Ч,6 и 14,3 км/с; 550* и 1,71 км/с.
186. 14,6 и 14,0 км/с; 14,4 и 20,4; 14,2 и 20,0 км/а 2,02 и 1,45 км/с;
1,87 и 2,64; 1,58 и 2,23 км/с.
187. 421,7-108 км и 17,3 км/с; 1883-103 км и 8,18 км/с.
188. /г3: п2 и Л.
189. В 8 раз больше; 243« и 10,42 года.
190. 38,63 сут.
191. 7,91 и 11,2; 5,59 и 7,91; 2,64 и 3,73; 1,02 и 1,44 км/с.
192. 1,02; 1,08 и 0,97 км/с.
193. 437 и 618. 218 и 309; 146 и 206 км/с.
194. 1,68 и ?,38; 7,32 и 10,4; 3,54 и 5,00 км/с.
195. 6,46 км/с и 2Ч35М,5; 4,57 км/с и 7Ч18М.
196. 2,89 км/с и Зч05м; 2,04 км/с и 8Ч43М; 34,9 км/с и 543м;
24.7 км/с и 1445м.
197. т l/Z и т; l/Z и I.
198. 280 км и 7,74 км/с; 2980 км и 6,53 км/с; 4190 км и 6,14 км/а
199. 35790 км и 3,07 км/с.
200. 17000 км и 1,45 км/с; 89600 км и 28,2 км/с.
20К Земные: 7,79 км/с и 1Ч28М,3; 7,35 км/с и 1Ч45М. Лунные:
1,59 км/с и 2ч07м; 1,34 км/с и 3Ч34М. Марсианские: 3,44 км/с
и 1ч50*; 3,11 км/с и 2Ч28М. Юпитеровы: 42,1 км/с и 2Ч58М;
41.8 км/с и 3*01*
202. 30°,53 и 229° к западу; не реален и Г,20 к западу; 0°,10 и 4°,30
к востоку (по земным представлениям).
203. По эллипсу: «=12760 км, е = 0,485, Г=240м; уйдет по гипер-
гиперболе; упадет на планету.
204. 301 км и 2,94 км/с, 630 км и 3,34 км/с; 724 км и 7,26 км/с,
1534 км и 8,28 км/с.
205. 0,435 и 0,565; 0,252 и 0,748.
206. 44М,8 и 44М,9; 55м и 11Ч22М.
207. 0,0123 и 0,0123.
208. 1,58, 1,71 и 1,46 км/с; 1,65, 1,69 и 1,61 км/с.
209. 0,108 и 0,107.
210. 0,814.
211. 6625 км; 0,011; 89М,4; 7,76, 7,85 и 7,68 км/с; 44м,1 и 45М,3.
212. 26 170 км; 0,737; 11Ч42М; 3,90, 10,02 и 1,52 км/с; 55м и 10М7м.
213. 22 240 км; 0,868; 39Ч,5; 0,98, 3,68 и 0,26 (км/с); 1Ч2 и 38Ч 3
91 100 км; 0,212; 446м; 37,3, 46,3 и 30,1 км/с; 93м и 163м.
214. 27 000 км; 0,741-; 40 620 км; 9,94 и 1,48 км/с; «1* и 11^,3
119

п^ЖО км, ?«О780 км, Q« 1^80 км', -Я,-4* фл, >*=0,053,
vn -1,61 км/с, да, -*1,70 км/с..t>g« f,58 км/с, * ~57» и т^= 65м.
216. 1,262 а. е.; 0,208; ti,708 года«258 суп Ufi км/С
217. 94°,1 к западу от Солнца.
218. 5,6 км/с; 37°,6 к востоку.
219. 2 года 8 мес.=974 су т.
220. 0,862 а. е.; 0,161; 0,400 года = 146 дней; 11,5 км/с* восточная
элонгация 45°,5; к Земле: 10,8 км/с, по земным, представлениям
элонгация западная 98°,3 (в небе Венеры — восточная);, 2 го-
года 1 мес.
221. Через синолический период.
222. 3,70, 8,86 и 0,46 м/с2.
223. В 6 раз.>
224. 273 и 11,3 м/с2.
225. 2,45, 1,09 и 0,93, 0,41 м/с2,
з
226. Утп2 и т.
227. 0,59 см/с2.
228. 0,59 см/с2.
229. 0,27 см/с2.
230. 0,27 см/с2, а в поле тяготения Солнца 0,59 см/с2.
231. т : п2 и /га,-1.
232. От 2,71 до 6,28 см/с2; от 2,42-10~4 до 6,82-10~4см/с2
от 4,74-Ю-4 до 1,68 см/с2 (в 3550 раз).
233. От 0,18 до 8,11 м/с2 (в 45 раз).
234. От 0,93. см/с2 до 8,21 м/с2 (в 879 раз).
235. 75 см/с2 и 3,76 см/с2.
236. 4660 км от центра Земли.
237. 343 980 км от центра Земли.
238. 1:16; 0",37; 15™; 750х, 60х и 190х; 1:8; 0",14; 17т,1; 2000*
(никогда не применяется), 170х и 500х.
239. 1) 38х и 53'; 150х и 13'; 2) 430х и 4/,6; 1730х (не применяется)
и Г,2.
240. 1) 1:10; 2"; 11™,3; 140х, 12х и 35х; 2) 1:10, 2"; И"»,6; 160х,
13х и 40х.
241. 1) 25х и 80'; 35х и 57'; 70х и 29'; 2) 28х и 7Г; 40х и 5<У; 80х и 25'.
242. 1) 371х и 5',4; 520х и 3',8; 1040х и 1',9 (не применяется);
1FZ-18OX. 2) 124х и 16М; 173х и 1Г,5; 346х и 5',8; №*=55Х;
все применимы.
243. WZ=42T и №w=500x, №=250х — подходит; №2 = 83Ж,
Wm «1000х и W = 1500х — не подходит,
244. 0,70" и 0",14,
245. 2" и 1",8.
246. 1",4, 50х и 20 мм; 0",16, 438х и 32 мм.
247. Две— в любой; третья —при 60х и D=*120 мм.
248. Марс и Уран видны, Нептун -— на пределе.
249. 37х и 30х.
250. 1) 0,36 мм и 28 мм; 69",4 мм-1; 18900 км/мм и 124 км/мм.
2) 2,9 мм и 223 мм; 8",6 мм~1; 2340 км/мм и 15,6 км/мм.
251. 4',3 мм-1; 68000 км/мм и 470 км/мм; 0,1 мм и 7,4 мм.
252: 34Ф ем; 1:10,4; |'=1'мм-1; 0,58 мм.
253. 80е, 115е и 1\2.
254. 135х и 14'Д
255. 40,5 мм и 27'; 13,5 мм и 9х,
120

?56„650 м.м; 10,4 м; 1: ,16; 0",22; 16>М; *300* (ае np
И t.Q8* 1'А-$'Д «vl8^5; 1Э\5#> и»158Ч^с, 25е и
257. Оптический 0",0& радиол 124'; 4',2 и 42',
258. Г',64; 0",025 и 0">28.
259. 0,39; 1,82 и 0,1 L
260. 312°, 248° и 280°.
261. «6 и 32.
262. «49 и 166,,
263. »|59,
264. 2"»,5; 5**,0; 7"»Д
265. 17.
266. 437.10е,
267. + 1™,25 и 3,16; 4-0*424 и 1,25; -Ч)"М7 и 111,17.
268. +2w,40 и -Hw,32; -|-0"\74 и —0™20.
269. 1,00; 4,13, 18,4 и 5,86; 1,24, 2,94 и 2,38.
270. 1,69 и 1,79.
27Ь На lm,50; 3w,01 и 5 Ign.
272. +3m,98 и +5m,48; —lw,90 и —3m,4I.
273. 25,1.
274. 437-103,
275. 12-109.
276. я* 83 и -»28W,84; 21' и —25W,86; 49" и —18m,80.
277. — 9"\0 и 127; —5т,2 и Г.
278. 12"*,1 и 13W,3; 14m,9 и I6m,l; 15>M и 16W,3.
279. Звездообразно, —4W,4 и +0т,2.
280. Ярче кажется Сириус в 150 раз; светимость е Змеи больше в
2,68 раза.
281. Ex:E2^i4A ?,:12=685.
282. 200 пс и 652 св. г.; 27 пс и 88 св. г.; 3,98 пс и 13 св. г.
283. 0",004; 0",048 и 0",752.
284. 9,3; 4610; 1:7,6;
285. 16,8; 12 940; 1:520.
286. 3,16; I; 3,31.
287. 8320 и 17 400.
288. «80 800 и 61800; 5,61 и 2,45.
289. 67 300; 1,3; в 13,2* 103 раз меньше.
290. 32,2 пс и 07/,031; 19,2 пс и 0",052; 239 пс и 0">004.
291. 46,6 пс и 0",02,1.
292. Обе слабее: в 2,5 и 36 раз.
293. -М)т,41.
294. +6«\83 и 7™,40; +8"\39 и +8m,96; -fllm,29 и -И1М,86.
295. -Иш,50; +lm,75; +0т,99.
296. 20 000 К; 6000 К; 4400 К.
297. От 5750 до 5800 К.
298. 4995 А («5000 А).
299. 13 600 К; 8400 К и 3000 К.
300. 15 200 К; 13 200 К и 3900 К.
301. 20 000 К; 11 100 К; 6000 К и 3240 К.
302. 15 500 К; 20 300 К; 9100 К; 5080 К; 4060 К; 3350 К.
303. 1448, 2615, 4869, 8941, 1869, 1427, 3184, 5703, 7135 и 8648 А.
304. 3,1 и 29; 1,6 и 4,3; 97 и 912700; 45 и 89900.
305. 53 и 147 000; 93 и 804 400; 394 и 6Ы0б.
306. Различие в 494 раза.
121

307. 650; 2,1; 0,97.
308. 0",0014 и 38; 0^,0017 и 23; 0",0035 и 42.
309. В 400; 104 и 25-104 раз.
310. ?2.
311. —0™,05.
312. 3m 0
31з! 21 hV,53-10-4 г/см3; 31 и 1,89-Ю-4 г/см3; 0,28 и 32,0 г/см3.
314. 4570; 71 и 4,0-10~5 г/см3 — сверхгигант;
12,1; 1,5 и 0,99 г/см3 — звезда главной последовательности;
1,78-10~4; 0,012 и «900 кг/см3 — белый карлик.
315. 42,8.
316. 4,2.
317. 2,8 и 2,1; 2,0 и 1,8; 1,10 и 1,06.
318. 1,6; 4,1 и 0,96 г/см3; 1,9; 6,9 и 0,41 г/см3;
1,2; 1,7 и 0,90 г/см»,
319. 39-1022 квт, 4,33-10б тн/с, 374-109 тн/сут и 1361012 тн/год;
177-1024 квт, 19,7-108 тн/с, 17-1013 ти/сут и 62-Ю15 тн/год;
454-Ю22 квт, 50,4-Ю6 тн/с, 4,35-101* тн/сут и 15,9-10*4 тн/год;
257-1026 квт, 28,6-1010 тн/с, 24,7-Ю15 тн/сут и 90,Ы017 тн/год.
320. 7,35-101а лет; 8,06-1010 лет; 1,26-1012 лет; 1,66-10» лет.
321.
322.
323.
324.
325.
326.
327.
328.
329.
338.
331.
332.
333.
Звез-
Звезда
Про-
цион
Спут-
Спутник
+2т,68
+ 13,01
Lv
7,0
5,2-1Г
-4
Мь
+2W,(
-
Лроцион — звезда главной
белый
Звез-
Звезда
ч
карлик.
Mv
+4^,71
+6,08
Lo
1.06
0,30
мь
+4т,66
+5,50
33
L>
6,9
Ш
1,8
0,6
R
2
0
0L3
,з
9,7
2,3.10"(
последовательности;
1,
0
07
,49
R
1,05
1,03
1,16
1,09
М
1,05
0,95
Обе звезды главной последовательности.
3-п,91.
Зт',85*,
4т,73
lm,09.
1т,57.
4™,68;
25,4;
2,7.
15,2 v
1.
и 4т,81.
5т,22 \
11,5 и 36,9«
[ 66,5.
4,6 и 0,9; 2,9 и
3,3;
,79.
37.
1,8
и 1,8
; 5,3 и
3,2.
г/см3
0,25
3.9-105
6400
7900
спутник—
г/см3
1,28
1.23
%
5870
4600
122

334. В 3,3 и 22 900 раз.
335. В 2,3 и 1,7; 2,3 и 1,9 раза.
336. От 730 до 1010 (в 1,38 раза) и от 160 до 230 (в 1,44 раза).
337. 4300 К и 4650 К.
338.
в
а
С
"П
TY
UZ
синих лучах
М. Медведицы
Близнецов
Орла
Щита
Щита
0
0
1
1
1
д в
w,16
,80
,28
,40
,37
1,16
2,09
3,25
3,63
3,53
Увеличе-
Увеличение блеска
(за сутки)
—0^,121
—0,236
—0,535
—0,380
—0,279
Уменьше-
Уменьшение блеска
(за сутки)
+(Г\060
+ 0,118
+0,268
+ 0,190
+0,140
В желтых лучах
а М. Медведицы
С Близнецов
у\ Орла
TY Щита
UZ Щита
0^,11
0,48
0,83
0,87
0,88
Д?к
1,11
1,56
2,15
2,23
2,25
Увеличе-
Увеличение
блеска
(за сутки)
—О*1,083
—0,142
—0,347
—0, 236
—0, 179
Уменьше-
Уменьшение
блеска
(за сутки)
+О*,О42
+0,071
+0,174
+0, 118
+0, 090
Р, сутки
3,97
10,15
7,18
11,05
14,74
Р
ЗД,97
7,18
10,15
11,05
14,74
AV
0тМ
0,83
0,48
0,87
0,88
&В
0г\16
1,28
0,80
1,40
1,37
Л (В— V)
+0^,05
+ 0,45
+0,32
+ 0,53
+ 0,49
Указание: у цефеид блеск возрастает примерно в два раза бы-
быстрее его уменьшения,
339. Данные для графиков.
Звезда
а М. Медведицы
1] Орла
? Близнецов
TY Щита
UZ Щита
340. Зт,5 и 5т,4.
341о В 5750 раз, на —1т,88 или в 5,65 раза.
342. 1/250 и 160-103; 1000 пс.
343. 2500 км/а
344. 3.16 Мпс-10,3.106 св. г.; 32-Ю3 ПСХ13-103 пс;
10,5 Мпс=34,2-10б св. г.; 43-Ю3 псХЗО-103 пс.
345. +40,8 км/с.
346. —19,7 км/с,
347. К фиолет. концу: —0,042 мм и —0,043 мм.
348. 4860,2; 4101,3 и 3749,4 А; 4861,5; 4102,4 и 3750,4 А.
349. —19,8 км/с и —27,3 км/с.
123

350. 4:20,6 км/с.
3^2. AVr«p при р-±90° и (Я*—Xq,. =0° или 180°;
ЛУГ«±29,8 км/с при р-0 и (Ь,—Лф)~:?90о.
353. 13,0 км/с?и 236°,2; ГО, Г км/с'и l34°,St 17,5 km/cV45*!> ?
33,4 км/с и- 291°,9.
354. 15,8; 12,2 и 78,0 км/с.
355. 4-0с,036 и +0",383; —0с,б03 и -т~0"*035; +0с",481 и ~2'\556.
356. Принято d ж = 1800". Альтаир: за 2740 лет, к сев.-востоку,
а=19ч49м59с,1 и б=»+9°01'33"; Спика: за 33300 лет, к юго-
западу, а-13ч21м0с,0 ц!5 = --П013'31"; в Индейца: за 384 года,
к юго-востоку, а = 22ч02м37с,7 и 6=—57°15'56".
357; а=:1ч50м4б°,4 иб=+8°51'59"; а=НЗч25м11с,1 и
6 = --1Г19Ч1"; а=22ч03м22с,1 и б = —56°47'12".
358. 24 км/с и 38°; 6 км/с и 146°.
359. 20,8 км/с и 99°.
360. 41,2 км/с и 43°,2.
361. Через 310-103 лет: 5,50 пс и 0",182; 0",755; 0 и 19 км/с; — 0w,7L
362. Через 28,1-103 лет; 0,902 пс и 1",108; 7",992; 0 и 34 км/с;
—0т,78.
10 тыс. лет назад: 1,60 пс и 0",625; 2",505; —28 км/с и 19 км/с;
+ 0т,46.
Через 10 тыс. лет после наибольшего сближения: 0,967 пс и
1",034; 6",915; +12 км/с и 32 км/с; ~0™,62.
363* 30-103, 115.5.103 и 240-103 (км/с).
364. В закрытой: 545 Мпс=1,78-109 ев г.; 2-Ю3 Мпс=б,5-109 св. г.;
4-Ю3 Мпс=13-109 св. г.; в открытой: 564 Мпс=1,84-109 св. г.;
2,2Ы03 Мпс=7,2-109 св. г.; 5,08Ч03 Мпс-16,6-109 св. г.
365. 0,29 и 1,65.
366. 0,29с вместо 0,25с и 1,65с вместо 0,75с.
367. 510 км/с, 10,2 Мпс=33,3*10б св. г., 83,1 -103Х83,1 -103 пс,
—21"\8 и 43,7-109; 780 км/с, 15,6 Мпс-50,9.10в. св. г.,
, 49,9-103X36,3-103 пс, — 20w,9 и 19,0-109; 1200 км/с, 24Д) Мпс==
-78,2-tO6 св. г., 62,8-103X41,9-103 пс, —21т,8 и 43,7-109.
368. 1) 3,06-10э Мпс-10-109 св. г/и 76-1010;
3,59-103 Мпс=11,7-109 св. г. и 132-1010;
2) 4,14-103 Мпс«13,5-109 св. г. и 331-1010; 5,32-103 Мпс^
== 17,3-109 св. г. и 525-1010.
369. В закрытой: 1,62-103 Мпс=5,28-109 св. г., 4400 пс=*
= 14,3- Ю3 св. г., 8,32.10й. В открытой: 1,74-Ю3 Мпс=-5,67Х
Х109 св. г., 4720 пс=15,4-103 св. г., 10-10й.
370. В закрытой: 828 Мпс=2,7-109 св. г., 963 пс = 3140 св. г.,
4,37-1012.
В открытой: 864 Мпс=2,8-Ю9 св. г., 1000 пс=3260 св. г.,
4,79-1012.
371. 0,907 с = 272 000 км/с; 4,67-103 Mnc^l5,2-109 св. г. и
6,36-103 Мпс=20,7-109 ев, г.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица I
Перевод единиц времени в градусные единицы
Часы
в градусах
ч
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 .
12
13
14
15
16 .
17
18
19
20
21
22
23
24
о
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300
315
330
345
360
Минуты времени в градусах
и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
. 20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
и минутах дуги
0 15
0 30
0 45
1 00
1 15
1 30
1 45
2 00
2 15
2 30
2 45
3 00
3 15
3^30
3 45
4 00
4 15
4 30
4 45
5 00
5 15
5 30
5 45
6 00
6 15
6 30
6 45
7 00
7 15
7 30
м
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
7 45
8 00
8 15
8 30
8 45
9 00
9 15
9 30
9 45
10 00
10 15
10 30
10 45
11 00
11 15
11 30
11 45
12 00
12 15
12 30
12 45
13 00
13 15
13 30
13 45
14 00
14 15
14 30
14 45
15 00
Секунды времени в минутах
с
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
и секундах дуги
/ м
0 15
0 30
0 45
1 00
1 15
1 30
1 45
2 00
2 15
2 30
2 45
3 00
3 15
3 30
3 45
4 00
4 15
4 30
4 45
5 00
5 15
5 30
5 45
6 00
6 15
6 30
6 45
7 00
7 15
7 30
с
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
7 45
8 00
8 15
8 30
S 45
9 00
9 15
9 30
9 45
10 00
10 15
10 30
10 45
11 00
11 15
11 30
11 45
12 00
12 15
12 30
\2 45
13 00
13 15
13 30
13 45
14 00
14 15
14 30
14 45
15 0
125

Таблица 2
Перевод градусных единиц в единицы времени
Градусы
в единицах
времени
о
1
2
3
4 -
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
60
70
80
90
100
150
200
250
300
350
360
ч м
0 4
0 8
0 12
0 16
0 20
0 24
0 28
0 32
0 36
0 40
0 44
0 48
0 52
0 56
1 00
1 20
2 00
2 40
3 20
4 00
4 40
5 20
6 00
6 40
10 00
13 20
16 40
20 00
23 20
24 00
Минуты дуги в единицах
времени
1
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
м с
0 4
0 8
0 12
0 16
0 20
0 24
0 28
0 32
0 36
0 40
.0 44
0 43
0 52
0 56
1 00
1 4
1 8
1
1
1
1
]
1
1
1
1
1
12
16
1 20
1 24
1 28
32
36
40
44
48
52
56
2 00
г
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
и
55
50
57
58 *
59
60
м с
2 4
2 8
2 12
2 16
2 20
2 24
2 28
2 32
2 36
2 40
2 44
2 48
2 52
1 2 56
; 3 00
i 3 4
3 Ь
3 12
3 16
3 20
3 24
3 28
3 32
3 36
3 40
; 3 44
3 48
-3 52
3 56
4 00
Секунды дуг?
и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
I в единицах
времени
с
0,07
0,13
0,20
0,27
0,33
0,40
0,47
0,53
0,60
0,67
0,73
0,80
0,87
0,93
1,00
1,07
1,13
1,20
1~27
1,33
1,40
1,47
1,53
1,60
1,67
1,73
1,80
1,87
1,93
2,00
и
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
4^
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
с
2,07
2,13
2,20
2,27
2,33
2,40
2,47
2,53
2,60
2,67
2,73
2,80
2,87
2,93
3,00
3,0?
3,13
3,20
3,27
3,33
3,40
3,47
3,53
3,60
3,67
3,73
3,80
3,87
3,93
4,00
126

Таблица 3
Перевод интервалов времени
При переводе интервалов среднего времени АГ в интервалы
звездного времени AS поправка прибавляется,
При переводе интервалов звездного времени AS в интервалы
среднего времени AT поправка вычитается,
ч
я
о.
1
S
ч
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
й
Попран
м с
0 10
0 20
0 30
0 39
0 49
0 59
i 09
1 19
i 29
I 38
1 48
I 58
S
Интерв
ч
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Поправ
м с
2 08
2 13
2 28
2 38
2 47
2 57
3 07
3 17
3 27
3 37
3 46
3 56
ч
«О
О.
О)
н
М
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ••
10
11
12
13
14
15
Попра*
С
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ч
сз
О.
м
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Попра!
С
3
3
3
3
1 3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
ч
СЗ
о.
S
М
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40 '
41
42
43
44
45
СЗ
гл
са
Попра;
С
5
5
5
¦6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
Интерв
М
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
вка
Попра
С
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
10
10
10

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
I. Основы сферической и практической астрономии
§ 1. Кульминация светил. Вид звездного неба на различ-
различных географических параллелях 5
§ 2. Видимое годовое движение Солнца, смена сезонов го-
года и астрономические признаки тепловых поясов . , 12
§ 3. Системы счета времени , 16
§ 4. Практическое определение географических и небесных
экваториальных координат , 22
§ 5. Преобразование небесных координат и систем счета
времени. Восход и заход светил -. « 27
II. Основы теоретической астрономии и небеснай механики
§ 6. Эмпирические законы Кеплера и конфигурации планет 36
§ 7. Расстояния, размеры и вращение тел Солнечной си-
системы «45
§ 8. Закон всемирного тяготения и задача двух тел , , ¦ 51
§ 9. Искусственные небесные тела * ¦ . . * 60
§ 10. Тяжесть и тяготение . 72
III. Телескопы
§ И, Характеристики телескопов • . * 75
IV. Основы астрофизики и звездной астрономии
§12. Блеск светил 82
§ 13. Физическая природа Солнца и звезд ¦¦..... 87
§ 14. Кратные и переменные звезды 98
§ 15. Движение звезд и галактик в прострчнстве , . . . П4
Ответы ..«.. . . . » I 13
Приложение i 25
128